/
Текст
МЕТОДИКА
НАВЧАННЯ
УДК 51:378.147(075 8)
ББК 74.262я73
С47
Гриф надано Міністерством освіти
і науки України {лист від 1 червня
2004 р. № 14/18.2-1147)
Видано за рахунок державних коштів.
Продаж заборонено
Рецензенти: чл.-кор. ЛПН України, д-р пед. наук, проф. М. І. Бур
да (Інститут педагогіки АПН України); канд. пед. наук, доц. Л. О. Соколенко
(Чернігівський державний педагогічний університет ім. Т. Г. Шевченка)
Редактор Т. М. Глушко
Слепкань 3. І.
С47 Методика навчання математики: Підручник. — 2-ге вид., до-
пов. і переробл. — К.: Вища пік., 2006. — 582 с.: іл.
18 ВИ 966-642-267-0
Розглянуто різні методичні підходи до подання навчального матеріалу з
основних змістових ліній шкільного курсу математики, контролю успішно
сті учнів, організації позакласної роботи. Подано ґрунтовний аналіз особли
востей сучасних шкільних програм з математики, розкрито сутність систем-
ного, комплексного й особистісно орієнтованого підходів до навчання мате-
матики.
У другому виданні наведено повий розділ «Методика навчання елемен-
тів комбінаторики, початків теорії ймовірностей та вступу до статистики»
Для студентів математичних спеціальностей вищих педагогічних навчаль-
них закладів.
УДК 51:378.147(075.8)
ББК 74.262я73
І8ВИ 966-642-267-0
© 3. І. Слепкань, 2000
© 3. І. Слепкань, 2006, зі змінами
ЗМІСТ
Передмова ............................................................. 6
ЧАСТИНА 1. ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
Розділ і. Методика навчання математики. Математика в школі
як навчальний предмет
1.1 Методика навчання математики як наука і як навчальна дисципліна
у вищому педагогічному навчальному закладі ............................ 8
1.2. Рух за реформу шкільної математичної освіти ..................... 10
1.3. Математика в школі як освітня галузь. Основна мета і завдання навчання
математики в сучасній загальноосвітній школі ......................... 13
1.4. Державний освітній стандарт з математики для середньої школи
як нормативний документ .............................................. 19
1.5. Особливості сучасних шкільних програм з математики .............. 21
1.6. Впутрініпьопредметпі та міжпредметпі зв’язки .....................ЗО
Розділ 2. Діяльиісний, системний, комплексний та особистісно
орієнтований підходи у навчанні математики
2.1. Діяльиісний підхід .............................................. 36
2.2. Роль загальних розумових дій і прийомів розумової діяльності у навчанні
математики ........................................................... 38
2.3. Системний і комплексний підходи у навчанні математики ........... 45
2.4. Проблеми особистісно орієнтованого підходу в процесі вивчення
математики в школі ................................................... 47
Розділ 3. Принципи і методи навчання математики
3.1. Принципи навчання математики .................................... 52
3.2. Методи навчання математики ...................................... 54
3.3. Самостійна робота учнів ......................................... 60
Розділ 4. Формування математичних поняті.
4.1. Види математичних понять. Терміни, символи, означення. Систематизація
навчального матеріалу і класифікація математичних понять ......... 64
4.2. Методика формування математичних понять ......................... 68
Розділ 5. Теореми і доведення їх у школі
5.1. Аксіоми і теореми. Види теорем. Необхідні умови. Достатні умови.
Необхідні й достатні умови ........................................... 76
З
5.2 Методи доведення ................................................. 80
5.3. Методика навчання учнів доведень теорем .......................... 84
Розділ 6. Задачі у навчанні математики
6.1. Функції задач у навчанні математики. Види задач .................. 93
6.2. Методи і способи розв’язування задач ............................. 96
Розділ 7. Засоби навчання математики
7.1. Підручник з математики .......................................... 103
7.2 Навчальне обладнання з математики і методика його використання .. 104
7.3. Кабінет математики в школі ...................................... 106
7.4. Використання інформаційно-комунікаційних технологій навчання
математики ......................................................-.... 108
Розділ 8. Форми організації навчальної діяльності учнів
8.1 Урок математики. Підготовка вчителя до уроку .................... 112
8.2. Підвищення ефективності уроків математики ....................... 117
8.3. Система тестування як засіб педагогічної діагностики успішності
та розвитку учнів .................................................... 123
8.4. Специфіка навчання математики в школах (класах) з поглибленим
її вивченням ....................................................... 136
Розділ 9. Позакласна робота і факультативні заняття з математики
9.1. Позакласпа робота з математики ................................ 143
9.2. Факультативні курси з математики ................................ 147
ЧАСТИНА 2. МЕТОДИКА НАВЧАННЯ ОКРЕМИХ ПРЕДМЕТІВ
Розділ 10. Методика навчання математики в 5—6 класах
10 1. Повторення, систематизація, узагальнення та розширення відомостей
про натуральні числа ............................................ 150
10.2. Звичайні дроби ................................................. 162
10.3. Десяткові дроби і проценти ..................................... 168
10.4. Вивчення додатних і від’ємних чисел ............................ 179
10.5. Вивчення елементів алгебри і геометрії в 5-6 класах ............ 185
Розділ 11. Методика навчання алгебри
11.1. Алгебра як наука і як навчальний предмет ....................... 191
11 2. Розвиток поняття числа в курсі алгебри ......................... 194
11.3. Наближені обчислення ........................................... 197
11.4. Вирази та їх перетворення ...................................... 208
11 5. Рівняння та нерівності в курсі алгебри ...................... 221
11.6. Вчення про функцію в шкільному курсі алгебри ................... 235
Розділ 12. Методика навчання геометрії в основній школі
12.1. Геометрія як навчальний предмет ................................ 251
12.2. Пропедевтика геометрії в 1 — 6 класах .......................... 258
12.3. Методика проведення перших уроків геометрії .................... 260
12.4. Вивчення ознак рівності трикутників ............................ 266
12.5. Сума кутів трикутника........................................... 273
12.6. Геометричні побудови ......................................... 277
12.7. Методика вивчення багатокутників ............................... 283
4
12.8. Геометричні перетворення в шкільному курсі...................... 293
12.9. Декартові координати і вектори па площині ...................... 304
12.10. Геометричні величини в шкільному курсі планіметрії ............ 321
Розділ 13. Методика навчання алгебри і початків аналізу
13.1. Алгебра і податки аналізу як навчальний предмет ................ 332
13.2. Функції в курсі алгебри і початків аналізу. Тригонометричні функції
числового аргументу та їхні властивості ............................ 336
13.3. Показникова, логарифмічна і степенева функції .................. 350
13.4. Рівняння та нерівності в курсі алгебри і початків аналізу .. 362
13.5. Границя функції та неперервність ............................... 387
13.6. Похідна ........................................................ 402
13.7. Застосування похідної .......................................... 411
13.8. Первісна й інтеграл ............................................ 420
Розділ 14. Методика навчання стереометрії
14.1. Стереометрія як навчальний предмет. Пропедевтика навчання
стереометрії в основній школі ........................................ 436
14.2. Перші уроки стереометрії ....................................... 440
14.3. Паралельність та перпендикулярність прямих і площин............. 446
14.4. Методика навчання теми «Многогранпики» ....................... 459
14.5. Тіла обертання ................................................. 468
14.6. Декартові координати і вектори в просторі ...................... 474
14.7. Геометричні величини в стереометрії ............................ 483
Розділ 15. Методика навчання елементів комбінаторики, початків теорії
ймовірностей та вступу до статистики
15.1. Методика навчання елементів комбінаторики ...................... 490
15.2. Методика навчання початків теорії ймовірностей ................. 503
15.3. Методика навчання вступу до статистики ......................... 535
Список використаної та рекомендованої літератури .......................562
Предметний покажчик .................................................. 579
ПЕРЕДМОВА
Розбудова національної системи освіти відповідно до Закону України
«Про освіту», Державної національної програми «Освіта» («Україна XXI
століття»), Національної доктрини розвитку освіти України у XXI ст., За-
кону України «Про вищу освіту», інтеграція в світову систему освіти по-
требує удосконалення стратегії математичної освіти. Це пов’язано з тим,
що математика має широкі можливості для інтелектуального розвитку осо-
бистості, передусім логічного мислення, просторових уявлень і уяви, алго-
ритмічної та інформаційної культури, формує вміння встановлювати при-
чинно-наслідкові зв’язки, обґрунтовувати твердження, моделювати ситуації.
Система математичної освіти на різних ступенях навчання має спира-
тися на такі вихідні положення:
бути складовою цілісної системи формування особистості па основі
досягнень математики, психолого-педагогічної науки, педагогічного досвіду
у вітчизняних і зарубіжних навчальних закладах різних типів;
бути безперервною і забезпечувати наступність різних ланок ступене-
вої системи освіти;
ґрунтуватися на засадах гуманізації навчально-виховного процесу і
гуманітаризації його змісту;
на різних ступенях навчання слід здійснювати рівневу і профільну
диференціацію навчально-виховного процесу на основі базового змісту
математичної освіти;
навчання математики на всіх ступенях має бути спрямоване на розви-
ток інтелекту, алгоритмічної культури, математичної інтуїції, вміння вчи-
тись і застосовувати набуті знання для розв’язування практичних і при-
кладних задач;
в організації навчального процесу доцільно надавати пріоритет мето-
дам активного навчання та його сучасним технологіям;
у процесі навчання математики та її застосування використовувати ін-
формаційно-комунікаційні технології, зокрема на основі персональних ком-
п’ютерів.
Провідна роль у здійсненні поставлених завдань належить вчителеві (ви-
кладачеві) математики. Від його математичної, психолого-педагогічної та
методичної підготовки, особистих якостей залежать професійна комнетент-
6
ність і здатність організувати навчально-виховний процес на рівні сучасних
вимог.
Основною в методичній підготовці вчителя математики у вищому педаго-
гічному навчальному закладі є навчальна дисципліна «Методика навчання
математики» (її також називають дидактикою математики, або педагогікою
математики), яка разом із фундаментальними математичними дисципліна-
ми, педагогікою і психологією мас забезпечити професійну підготовку май-
бутнього вчителя математики відповідно до потреб сучасної освіти.
Пропонований підручник з методики навчання математики є другим,
переробленим і доповненим виданням підручника «Методика навчання
математики» (К.: Зодіак-ЕКО, 2000). Його створено відповідно до су-
часних вимог до професійної підготовки майбутнього вчителя (викладача)
математики загальноосвітньої школи і професійно-технічних навчальних
закладів. Підручник призначено для студентів математичних спеціальнос-
тей вищих педагогічних навчальних закладів і університетів, які готують-
ся до педагогічної діяльності як учителі та викладачі математики. Він
стане у пригоді також учителям шкіл і викладачам професійно-технічних
училищ, технікумів, методистам інститутів ніслядипломної освіти. Підруч-
ник підготовлено з урахуванням програми курсу методики математики
1305] і чинної програми шкільного курсу математики. Він складається з
двох частин: загальної методики і методики навчання окремих предметів.
Методику навчання окремих предметів шкільного курсу подано відпо-
відно до ступенів навчання — в основній і старшій школі. Цс сприяє під-
готовці студентів до педагогічної практики па останніх курсах навчання.
Особливістю підручника є прагнення автора максимально використати
досягнення психолого-педагогічної науки і шкільної практики у навчанні
математики учнів різних вікових груп.
У підручнику розглянуто можливі підходи до вивчення навчального
матеріалу з основних змістових ліній шкільного курсу, враховано здобут-
ки учителів-новаторів і передових учителів України, а також зарубіжний
досвід.
За роки незалежності в Україні відбулися істотні зміни в середній школі
та системі освіти в цілому. На виконання Закону України «Про освіту», На-
ціональної доктрини розвитку освіти України у XXI ст. створено освітній
стандарт з математики, розробляються нові диференційовані програми з ма-
тематики для різних типів закладів середньої освіти. Запроваджено ради-
кальні зміни в організації навчання в середній школі — 12-річний термін
навчання, система оцінювання знань за 12-бальною шкалою.
Зазначені зміни, нові цілі та завдання вивчення математики за умов осо-
бистістю орієнтованого навчання потребують відображення їх у відповідних
методичних системах математичної підготовки учнів середньої школи.
ЧАСТИНА
ЗАГАЛЬНА МЕТОДИКА
НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
МЕТОДИКА НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ.
1 МАТЕМАТИКА В ШКОЛІ
ЯК НАВЧАЛЬНИЙ ПРЕДМЕТ
1.1. Методика навчання математики як наука
і як навчальна дисципліна у вищому
педагогічному навчальному закладі
Методика навчання математики (скорочено її називають методикою
математики) — це наука про математику як навчальний предмет і зако-
номірності процесу навчання математики учнів різних вікових груп. За-
вдання методики математики — відповісти на чотири основні запитання:
1. Навіщо навчати математики? (Мета навчання математики.)
2. Що потрібно вивчати? (Зміст навчання.)
3. Як потрібно навчати математики? (Методи, організаційні форми
і засоби навчання математики.)
4. Як розвивати і виховувати учнів у процесі навчання математики?
Методика математики належить до циклу педагогічних наук. Вона
спирається на математику як науку, виокремлюючи і піддаючи дидак-
тичному обробленню зміст навчального матеріалу, на педагогіку, пси-
хологію, логіку, філософію, кібернетику як загальну теорію управ-
ління і на узагальнений педагогічний досвід роботи вчителів.
Методика математики у вищому педагогічному навчальному закла-
ді — це навчальна дисципліна, яка має забезпечувати опанування
студентами основ методики математики як науки, змісту й особливос-
тей шкільних програм, підручників для різних типів шкіл, можливо-
стей використання інформаційних технологій у навчальному про-
цесі; формувати і розвивати професійні якості й особистість май-
бутнього вчителя, здатного сприяти свідомому і міцному засвоєнню
учнями системи математичних знань, навичок і умінь, потрібних у
повсякденному житті та трудовій діяльності кожному членові су-
спільства, достатніх для вивчення суміжних дисциплін і здійснення
безперервної освіти; формувати за допомогою предмета математики
в загальноосвітній школі, середньому професійно-технічному учи-
лищі всебічно розвинену, соціально зрілу і творчо активну особис-
тість.
8
За структурою методика математики як навчальна дисципліна по-
ділена на дві частини:
І. Загальна методика математики, яка розглядає загальні питання,
що становлять теоретичні й організаційні основи процесу навчання
математики.
II. Спеціальна методика математики, предметом якої є методика
вивчення окремих розділів і тем шкільного курсу математики.
Вважають, що з появою перших шкільних підручників було запо-
чатковано шкільний курс математики і методику її навчання.
Автором першого відомого в історії підручника з математики «Ариф-
метика, сиречь наука числительная» (1703 р.) був російський матема-
тик-самоук Л. П. Магніцький (1669—1739)
Значний вплив на розвиток шкільної арифметики й алгебри в усьому
світі мали підручники Л. Ейлера (1707—1783), видані вперше в Пе-
тербурзі (1740, 1768—1769).
У XVIII ст. в Російській імперії шкільний курс математики вже
сформувався у вигляді чотирьох самостійних предметів (ариф-
метика, алгебра, геометрія та тригонометрія) і проіснував у такому
складі до 60-х років XX ст. У 1962—1963 рр. арифметику як
окремий предмет у початковій та основній школі було відмінено,
так само як і назву «арифметика». Замість предмета «Арифмети-
ка» (за старою нумерацією класів десятирічної школи арифметику
вивчали до середини 6 класу) у початковій школі та в 4—5 класах
основної було запроваджено нову назву «Математика», а навчаль-
ний матеріал тригонометрії розподілено між алгеброю і геометрією.
У старших класах замість алгебри було введено спочатку предмет
«Алгебра і елементарні функції», а пізніше — «Алгебра і печатки
аналізу».
У другій половині XVIII — на початку XIX ст. значний вплив на
розвиток шкільного курсу математики і методики його навчання спра-
вила діяльність члена Петербурзької академії наук С. О. Гур’єва
(1764—1813) та його сина П. С. Гур’єва (1807 — 1884).
У XIX ст. до становлення методики навчання арифметики чимало
зусиль доклали В. А. Євтушевський (1836—1888), О. І. Гольденберг
(1837—1902), С. І. Шохор-Троцький (1853 — 1923), який розробив
метод доцільних задач, що не втратив значення й сьогодні.
У становлення шкільного курсу геометрії вагомий внесок зробили
А. ІО. Давидов (1823 -1886), А. Н. Острогорський (1840—1907),
В. О. Латишев (1850 — 1912). Основи методики алгебри, алгебри і по-
чатків аналізу закладено в працях О. М. Страннолюбського (1839 —
1908), В. II. Єрмакова (1845—1922), В. П. Шереметєвського (помер
1919), М. Г. Попруженка (1854—1917), К. Ф. Лебединцева (1879 —
1925).
Найпоширенішими в дореволюційній і радянській школі були під-
ручники з арифметики, алгебри і геометрії А. П. Кисельова (1852 —
1940), які неодноразово перевидавалися.
9
З іноземних методистів-математиків слід назвати Ф. Клейна (1849 -
1925), який на початку XX ст. очолив рух за першу реформу шкіль-
ної математичної освіти.
В Україні над проблемами методики математики плідно працювали
К. Ф. Лебединцев (1879—1925), О. М. Астряб (1879—1962), К. М. Щер-
бина (1864— 1946) та ін.
Найвідомішими працями К. Ф. Лебединцева є такі: «Курс алгебрьі для
средних учебньїх заведений» (у двох частинах), «Руководство алгеб-
рьі для женских гимназий» (у двох частинах), «Внедение в современ-
ную методику математики». Посібник «Преподавание алгебрьі и на-
чал анализа» (К.: Рад. шк., 1991) підготувала до видання за рукопи-
сами батька його дочка О. К. Лебединцева.
О. М. Астряб був першим завідувачем кафедри елементарної ма-
тематики і методики математики Київського педагогічного інституту і
працював у ньому з 1920 р. (на той час — Інститут народної освіти).
Із праць О. М. Астряба найвідомішою є «Наочна геометрія», яка ви-
тримала кілька перевидань, в тому числі в Німеччині та Японії. Крім
того, йому належать «Нариси з методики викладання систематичного
курсу арифметики», «Як викладати геометрію в політехнічній шко-
лі», «Методика викладання стереометрії» та ін.
Потрібно згадати діяльність у галузі математичної освіти України
М. П. Кравчука (1892 — 1942). У 30-х роках XX ст. за його редак-
цією було видано «Робочі книги з математики». На жаль, його було
репресовано і вислано до Сибіру (помер, повертаючись із заслання в
Україну).
На розвиток математичної освіти значно вплинули І і II Всеросійські
з’їзди викладачів математики (1912, 1914 рр.) та міжнародний рух за
нову реформу шкільної математичної освіти, другий період якого
розпочався в 50-х роках XX ст. і триває донині.
Для розвитку сучасного шкільного курсу математики багато зро-
били А. М. Колмогоров (1903 — 1987), О. І. Маркушевпч (1908 —
1979), О. Я. Хіпчин (1894 - 1959), методисти-математики В. Л. Гон-
чаров (1896— 1955), В. М. Брадіс (1890 — 1975), І. К. Андропов (1894 —
1975), українські методисти-математики І. Є. Шиманський (1896 —
1982), О. С. Дубинчук (1919- 1994), Д. М. Майергойз (1903 -1970),
Г. П. Бевз (нар. 1926), І. Ф. Тесленко (1908 — 1994), А. Г. Конфоро-
вич (1923 — 1997) та ін.
1.2. Рух за реформу шкільної математичної освіти
Зміст шкільного курсу математики завжди відстає від рівня її роз-
витку та практичного застосування. З прогресом науки і виробництва
суспільство висуває нові вимоги до рівня шкільної математичної осві-
ти, що зумовлює потребу періодично модернізувати зміст шкільного
курсу цієї дисципліни.
10
Традиційний шкільний курс математики, який склався до середини
XVII ст., тобто в «долейбніцівські» часи, проіснував майже без змін
до 60-х років XX ст. Він містив матеріал геометрії Евкліда у спроще-
ному і зменшеному обсязі, арифметику, алгебру, тригонометрію.
Уже в XIX ст. відомі математики і педагоги світу звертали увагу на
те, що шкільні програми не відповідають потребам часу, і пропонували
реформувати шкільну математичну освіту. Зокрема, М. В. Остро-
градський (1801 — 1862, народився у м. Полтаві), П. Л. Чебишов
(1821 —1894), В. П. Шереметєвський, А. Блюм (1812 — 1877) обстою-
вали необхідність ввести в шкільний курс основи математичного аналізу;
Ф. Клейн пропонував вивчати в школі геометричні перетворення. На-
прикінці XIX ст. розпочався міжнародний рух за реформу шкільної ма-
тематичної освіти. У 1908 р. на IV Міжнародному математичному
конгресі було створено Міжнародну комісію з реформи, яку очолив
Ф. Клейн. Комісія розробила основні напрями реформи, які поступово
почали реалізовувати в багатьох країнах світу. У початковій школі вони
полягали у посиленні пропедевтики геометрії, практичної спрямованості,
наочності під час вивчення курсу; у середній школі — у встановленні
тісніших внутрішньо- і міжпредмстних зв’язків, поданні елементів мате-
матичного аналізу й аналітичної геометрії, посилення уваги до провідних
ідей у шкільному курсі — функцій в арифметиці й алгебрі, геометрич-
них перетворень — у геометрії.
Викладачі математики всього світу підтримали ідеї реформи, але і
в Російській імперії, до складу якої входила Україна, і в багатьох
інших країнах ці ідеї не дістали підтримки офіційних органів освіти.
У перші роки після жовтневого перевороту педагоги-математики
висловлювали багато прогресивних ідей щодо втілення реформи в
життя. Зокрема, у Києві в 1924 р. К. Ф. Лебединцев виступив перед
учителями з циклом лекцій про вивчення початків математичного
аналізу в школі. Написаний ним підручник з алгебри вперше містив
відомості про границю і похідну. Проте ідеї реформи з різних причин
так і не було реалізовано.
Уже в середині XX ст. стан шкільної математичної освіти прийшов
у суперечність з вимогами життя. Основною тенденцією в цей період
стає широке проникнення математики в різні сфери інтелектуальної
діяльності, в науку і виробництво. Це, в свою чергу, стимулювало
інтенсивний розвиток математичної науки, розширення сфер її засто-
сування. Потреби матеріального виробництва, економіки, техніки,
військової справи спричинили виникнення зовсім нових математичних
дисциплін (кібернетика, теорія інформації, теорія програмування,
теорія ігор тощо). Все це зрештою зумовило оновлення змісту шкіль-
ного курсу.
У світі знову почався інтенсивний рух за реформу шкільної мате-
матичної освіти. Крайні модерністи (Г. Шоке, Ж. Дьєдонне, Ж. Па-
пі, Л. Фелікс та ін.) пропонували ввести в шкільний курс векторні
11
простори, відмовитись від геометрії Евкліда, вивчати відношення,
аксіоматичний метод, логіку, теорію множин та інші теми.
В Україні перебудова освіти почалася в 1962—1963 рр. відміною
курсу тригонометрії і запровадженням курсу «Алгебра і елементарні
функції», який містив теми «Границя функції», «Похідна». Проте з’я-
сувалося, що таке доповнення до традиційного курсу не вирішує про-
блеми його модернізації. Тому вже з 1964 р. почалося розроблення
нових програм.
Комісію з питань визначення змісту шкільної математичної освіти
очолили А. М. Колмогоров і О. І. Маркушевич, які, на відміну від
крайніх модерністів, дотримувалися поміркованіших поглядів на ре-
форму. У 1968 р. після широкого обговорення проектів було опублі-
ковано нову програму з математики для середньої школи.
Програма передбачала як вивчення нових тем (поняття множини,
операції над множинами, границя функції, похідна, інтеграл, поняття
про найпростіші диференціальні рівняння, вектори, геометричні пере-
творення, елементи аналітичної геометрії), так і зміну підходу до ви-
вчення традиційних понять, ідей і методів. Наприклад, поняття функції
в сучасному його трактуванні вводилось у 6 класі, і відразу передбача-
лося систематичне вивчення властивостей елементарних функцій. На рік
раніше, в 5 класі, розглядалася система координат. Широке використан-
ня методу координат передбачалось як в алгебрі, так і в геометрії на
площині та в просторі. Елементи геометрії й алгебри було включено до
програми початкової школи і до курсу математики 4 — 5 класів. Почина-
ючи з 1968 р. нові програми і створені за ними підручники неодноразово
уточнювалися й удосконалювалися. Висловлювалось багато критичних
зауважень щодо наслідків перебудови змісту шкільної математичної осві-
ти. Зокрема, визнано недоцільним вивчення у школі множин, відношень,
елементів математичної логіки. Зазнало критики захоплення авторів
шкільних підручників геометричними перетвореннями, які викладалися
на основі множин. До шкільної програми було запропоновано включити
елементи стохастики (поєднання статистики і теорії ймовірностей), ос-
кільки ідеї стохастики використовуються в кінетичній теорії, ядерній
фізиці, астрономії (наприклад, дослідження матерії у просторі, вивчення
потоків космічних частинок), у біології (генетиці), обчислювальній ма-
тематиці (наприклад, метод Монте-Карло), логіці, педагогіці та психо-
логії, інженерній справі, в організації виробництва (наприклад, конт-
роль за якістю виробничої продукції), на транспорті, зв’язку тощо.
Тенденція — це сучасне вдосконалення шкільної математичної
освіти, встановлення правильного співвідношення між теоретичним
рівнем викладу навчального матеріалу, розвитком логічного мислення
і формуванням в учнів знань й умінь прикладного характеру. Невід-
кладним завданням є розроблення загальнодержавної програми з ма-
тематики початкової й основної школи, яка відповідно до сучасних
вимог визначала б зміст обов’язкової математичної освіти. Програма
12
може передбачати можливість вивчення матеріалу з різним ступенем
повноти. З урахуванням програми основної школи вже створюються
програми різних профілів старшої школи.
П. С. Александров (1896 — 1982), який тривалий час працював ра-
зом із А. М. Колмогоровим, був його однодумцем, близьким другом, спів-
автором книжок і статей стосовно шкільної математичної освіти, вважав,
що найважливішим є те, як програми втілюються в життя: викладач з
високою математичною культурою може на елементарному матеріалі роз-
крити учням математику як науку, а не тільки як навчальний предмет.
1.3. Математика в школі як освітня галузь.
Основна мета і завдання навчання
математики в сучасній загальноосвітній школі
Математика в базовому навчальному плані загальноосвітніх на-
вчальних закладів І—III ступенів. За чинним нині перехідним на-
вчальним планом (табл. 1.1) математику вивчають в 1 —9 класах 4 год,
в 10—11 класах — 3 год на тиждень. Слід мати на увазі, що в класах з
поглибленим вивченням математики передбачено 8 — 9 год на тиждень,
а в спеціалізованих класах ще більше. Збільшену кількість годин порів-
няно зі звичайними класами відводять на математику в профільних
класах різного спрямування (економічного, природничого, технічного
та ін.), наприклад, для універсального і природничого профілю — по
4 год, для філологічного, суспільно-гуманітарного, спортивного, худож-
ньо-естетичного — по 3 год на тиждень.
Згідно з базовим навчальним планом, затвердженим постановою
Кабінету Міністрів України № 24 від 14 січня 2004 р., математику як
освітню галузь вивчають упродовж усіх навчальних років у 1 — 12 кла-
сах усіх трьох ступенів загальноосвітньої школи. Цією постановою
було доручено Міністерству освіти і науки, Академії педагогічних
наук України розробити до 1 червня 2004 р. навчальні плани і про-
грами для учнів основної та старшої школи.
Затверджений 14 січня 2004 р. базовий навчальний план передба-
чає розподіл навчального часу між освітніми галузями. Він склада-
ється з інваріантної та варіативної частин (табл. 1.2).
В інваріантній складовій плану, в якій у 5—12 класах відведено
7017,5 год на рік (78,6 %), на вивчення математики передбачено
980 год (11 %). Для порівняння:
на мову і літературу відведено 2135 год (23,9 %),
суспільствознавство — 770 год (8,6 %),
естетичну культуру — 350 год (3,9 %),
природознавство — 1365 год (15,3 %),
технології — 490 год (5,5 %),
здоров’я і фізичну культуру — 927,5 год (10,4 %).
13
Таблиця 1.1. Типовий навчальний план загальноосвітніх навчальних
закладів III ступеня з українською мовою навчання (перехідний)
№ пор. Навчальний предмет Кількість годин на тиждень у класах за напрямами навчання
загальноосвітній гуманітарний природничо- математичний техно- логічний
10 11 10 11 10 11 10 11
1 Українська мова 2 2 2+(1) 2+(1) 2 2 2 2
2 Українська літе- ратура 2 2 3(+1) 3(+1) 2 2 2 2
3 Зарубіжна літе- ратура 2 2 2 2 2 2 2 2
4 Іноземна мова 2 2 3 3 2 2 2 2
5 Друга іноземна мова або мова на- ціональної мен- шини (3) (4)
6 Математика 4 4 3 3 4+(3) 4+(3) 3 3
7 Інформатика 1+1* 1 + 1* 1+(1) 1+(1) 1+1* 1+1* 1 1
8 Історія України 2 1,5 2+(1) 1,5+(1) 1 1 1 1
9 Всесвітня історія 1,5 1,5 1,5 1,5+(1) 1 1 1 1
10 Людина і су- спільство / Осно- ви філософії (1) 1+(1) 1 1
11 Географія 1 1+(1) 1+(1) (1) 1
12 Основи економі- ки (1) 1 1 1 1
13 Біологія, основи екології 1 2 1 1 1+(1) 2+(1,5) 1 2
14 Фізика 3 3,5 2 2 3+(1) 4+(1,5) 3 3,5
15 Астрономія 0,5 2 2 1 0,5
16 Хімія 2 2 1 1 2+(1) 2 2 2
17 Художня культу- ра / Основи етики / Основи естетики 1+(1) 1+(1)
18 Фізична культу- ра і здоров’я, ДПІО, ОБЖ 3 3 3 3 3 3 а] 3
14
Продовження табл. 1.1
№ пор. Навчальний предмет Кількість годин на тиждень у класах за напрямами навчання
загальноосвітні й гуманітарний природничо- математичний техно- логічний
10 11 10 11 10 11 10 11
19 20 Трудове навчан- ня / Технології Креслення 2 2 1 5 1 5
Разом Додатковий час на поглиблення знань з предме- тів, профільне навчання, занят- тя за вибором, факультативні, індивідуальні і 29,5+(1) ЗО+(1) 31,5 31 29 ЗО 29 ЗО
групові заняття Гранично допус- тиме навчальне навантаження на учня: 5-деппий робо- 7,5 7 6,5 7 9 8 9 8
чий тиждень 6-дсішнй робо- 33 33 33 33 33 33 33 33
чий тиждень Всього поклас- но (без ураху- вання поділу класів на 36 36 36 36 36 36 36 36
групи) 38 38 38 38 38 38 38 38
Примітки: 1. * Друга година з інформатики використовується за наявності
комп'ютерного забезпечення.
2. У класах гуманітарного напряму за рішенням навчального закладу вводить-
ся вивчення другої іноземної мови (мови національних меншин) або збільшується
кількість годин на предмети мовно-літературного чи суспільно-гуманітарного цик-
лів (додаткові години позначено у дужках).
3. Аналогічно у класах природничо-математичного напряму збільшується кількість
годин на предмети природничого чи математичного циклів (додаткові години позначе-
но у дужках).
4. У класах гуманітарного напряму за вибором навчального закладу можуть
вивчатися предмети «Художня культура», або «Основи етики», або «Основи есте-
тики» (з урахуванням навчально-методичного забезпечення).
5. Предмети «Людина і суспільство» або «Основи філософії» і «Основи еко-
номіки» вводять за наявності відповідного педагогічного та навчально-методичного
забезпечення, за його відсутності ці години переводять у варіативну складову.
15
У варіативній складовій плану передбачено додаткові години на освіт-
ні галузі, предмети на вибір, профільне навчання, факультативи, індиві-
дуальні заняття та консультації — всього 1907,5 год (21,4 %).
Новий базовий навчальний план має дещо інший розподіл навчаль-
ного часу.
Формулюючи мету і завдання навчання математики в загальноос-
вітній школі, потрібно враховувати преамбулу Закону України «Про
освіту», в якій визначено роль освіти в суспільстві й сформульовано
її загальну мету:
«Освіта — основа інтелектуального, культурного, духовного, соці-
ального, економічного розвитку суспільства і держави.
Метою освіти є всебічний розвиток людини як особистості і най-
вищої цінності суспільства, розвиток її талантів, розумових і фізич-
них здібностей, виховання високих моральних якостей, формування
громадян, здатних до свідомого суспільного вибору, збагачення на цій
основі інтелектуального, творчого, культурного потенціалу, підви-
щення освітнього рівня народу, забезпечення народного господарства
кваліфікованими фахівцями.
Освіта в Україні ґрунтується на засадах гуманізму, демократії, на-
ціональної свідомості, взаємоповаги між націями і народами» [1 ].
Головна мета і завдання навчання математики в загальноосвітній
школі. Визначаючи мету і завдання навчання математики в загальноос-
вітній школі, зміст програмного матеріалу на сучасному етапі розвитку
освіти в нашій державі, слід враховувати потреби в математичній підго-
товці основних категорій учнів, які закінчують основну і старшу школу,
відповідно до сфери їхньої майбутньої трудової діяльності.
До першої категорії учнів належать ті, хто після закінчення основ-
ної та старшої школи працюватимуть у галузі сільськогосподарського,
промислового виробництва, на транспорті, в сфері обслуговування і
виконуватимуть роботу, що не потребує високого рівня математичної
підготовки. Для них, очевидно, достатнім є загальноосвітній, обов’яз-
ковий рівень, передбачений державним стандартом. Його можна та-
кож вважати достатнім для учнів — випускників основної і старшої
школи, які діставатимуть професійну підготовку в професійно-тех-
нічних училищах, технікумах і вищих навчальних закладах за спеці-
альностями, не пов’язаними з широким застосуванням математичних
знань.
Другу категорію учнів становлять ті, хто після закінчення основ-
ної школи навчатиметься у профільних класах старшої школи, се-
редніх і вищих професійно-технічних навчальних закладах, щоб
набути спеціальностей, пов’язаних з ґрунтовним застосуванням мате-
ма піки.
До третьої категорії учнів слід віднести тих, котрі стануть профе-
і іііпіімп математиками або спеціалістами, яким потрібен підвищений
рівень математичної підготовки.
І (і
Таблиця 1.2. Базовий навчальний план загальноосвітніх навчальних
закладів II—III ступенів (розподіл навчального часу між освітніми галузями)
Освітня галузь Загальна кількість годин
II ступінь (5 — 9 класи) ПІ ступінь (10—12 класи) II і III ступені (5—12 класи)
тиж- день рік від- сотків тиж- день рік від- сотків тиж- день рік від- сотків
Інваріантна складова
Мови і літера- тури 42 1470 27 19 665 19 61 2135 23,9
Суспільство- знавство 12 420 7,7 10 350 10 22 770 8,6
Естетична куль- тура 8 280 5,1 2 70 2 10 350 3,9
Математика 20 700 13 8 280 8 28 980 11
Природознав- ство 26 910 16,7 13 455 13 39 1365 15,3
Технології 8 280 5,1 6 210 6 14 490 5,5
Здоров’я і фізич- на культура 17,5 612,5 11,4 9 315 9 26,5 927,5 10,4
Разом 133,5* 4672,5 86 67 2345 67 200,5 7017,5 78,6
Варіативна складова
Додаткові годи- ни на освітні галузі, предмети па вибір, про- фільне навчан- ня, факультати- ви, індивідуаль- ні заняття та консультації 21,5 752,5 14 33 1155 33 54,5 1907,5 21,4
Гранично допус- тиме навчальне навантаження на учня 130 4550 90 3150 220 7700
Разом (загальне навчальне наван- таження) 155 5425 100 100 3500 100 255 8925 100
* Години фізичної культури освітньої галузі «Здоров’я і фізична культура» не
враховуються в гранично допустимому навантаженні учнів.
17
Враховуючи зазначене, змістом математичної освіти на сучасному
етапі має бути традиційне інваріантне ядро, набуте багаторічним до-
свідом навчання математики у вітчизняній та зарубіжній школі, що
становить основу математичної підготовки в усіх типах середніх на-
вчальних закладів, є фундаментом для вивчення математики у вищих
навчальних закладах і для неперервної освіти. При цьому традиційне
ядро слід доповнити елементарними знаннями, навичками і вміннями,
пов’язаними з потребами широкого використання в науці та на вироб-
ництві ідей і методів теорії ймовірностей і статистики, інформатизації
всіх галузей суспільства.
Основна мета навчання математики в загальноосвітній школі без-
посередньо випливає із загальної мети освіти, наведеної у преамбулі
до Закону України «Про освіту», та з мети загальної середньої освіти,
визначеної в ст. 35 цього закону:
«Загальна середня освіта забезпечує всебічний розвиток дитини як
особистості, її нахилів, здібностей, талантів, трудову підготовку, про-
фесійне самовизначення, формування загальнолюдської моралі, за-
своєння визначеного суспільством, національно-культурними потре-
бами обсягу знань про природу, людину, суспільство і виробництво,
екологічне виховання, фізичне вдосконалення».
Отже, всебічний розвиток особистості, створення для ЦЬОГО
сприятливих умов — головна мета школи. Завдання навчання і
виховання підпорядковані головній меті, виступають як загальні фор-
ми, засоби її досягнення.
Головну мету і завдання навчання математики у загальноосвітній
школі сформульовано в державному освітньому стандарті [104]:
опанування учнями системи математичних знань, навичок і умінь,
потрібних у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності,
достатніх для успішного оволодіння іншими освітніми галузями знань
і забезпечення безперервної освіти;
формування в учнів наукового світогляду, уявлень про методи ма-
тематики, її роль у пізнанні дійсності;
інтелектуальний розвиток учнів (логічного мислення, просторових
уявлень і уяви, алгоритмічної, інформаційної та графічної культури,
пам’яті, уваги, інтуїції);
економічне, екологічне, естетичне, громадське виховання, формуван-
ня позитивних рис особистості.
Освітня галузь математики структурована за такими змістовими
лініями: числа; вирази; рівняння та нерівності; функції; елементи ком-
бінаторики; печатки теорії ймовірностей та елементи статистики (ариф-
метичний і алгебраїчний навчальний матеріал); геометричні фігури;
геометричні величини (геометричний матеріал).
Традиційно методика навчання математики розглядає в предметі
«алгебра» шість змістових ліній, які всі ввійшли у стандарт. У пред-
меті «геометрія» традиційно виокремлюють п’ять змістових ліній: гео-
18
геометричні фігури; геометричні побудови; геометричні перетворення;
координати і вектори; геометричні величини. В освітній стандарт з
геометрії увійшли лише дві змістові лінії — геометричні фігури та
геометричні величини.
Зазначимо, що нині, в умовах поглиблення світового співробітництва,
інтеграції економіки, виробництва, наукових досліджень розвинені краї-
ни всього світу, зокрема Україна, прагнуть до підвищення інтелектуаль-
ного потенціалу свого народу, формування творчої особистості. Матема-
тика як освітня галузь має широкі можливості для цього. Отже, на вчи-
теля математики, який навчає учнів всі 12 років, покладено високу від-
повідальність за створення умов для опанування учнями системи матема-
тичних знань, навичок і вмінь, їх інтелектуального розвитку, формуван-
ня творчої особистості, виховання на рівні сучасних вимог.
1.4. Державний освітній стандарт
з математики для середньої школи
як нормативний документ
Державний освітній стандарт з математики — це нормативний
документ, обов’язковий для виконання всіма середніми закладами
освіти.
У ньому за ступенями навчання і змістовими лініями зазначено мі-
німальний комплекс математичних знань, навичок і умінь, державні
вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів відповідно до цьо-
го мінімуму. Державний стандарт має три складові:
1) базовий навчальний плав загальноосвітніх навчальних закладів
II —III ступенів;
2) зміст освіти (мінімальний);
3) мінімальні державі вимоги до рівня загальноосвітньої підготов-
ки учнів.
Державний стандарт з математики — це не програма навчальної
дисципліни, а лише основа для складання різнорівневих програм і
створення підручників з математики. Підручники мають забезпечува-
ти як вимоги освітнього стандарту (мінімальний, обов’язковий рі-
вень), так і підвищений та поглиблений рівень навчання математики.
Цей державний стандарт визначає вимоги до освіченості учнів — ви-
пускників основної та старшої школи, гарантії держави у їх досягненні
у всьому освітньому просторі країни.
На основі базового навчального плану Міністерство освіти і науки
України (МОН) розробляє типові навчальні плани для загальноосвіт-
ніх навчальних закладів. Ними визначається перелік навчальних
предметів і курсів відповідно до змісту освітніх галузей, кількість
годин, відведених на їх вивчення у кожному класі. На основі типових
навчальних планів навчальні заклади складають навчальні робочі
19
плани, в яких конкретизується варіативна складова базового навчаль-
ного плану з урахуванням особливостей організації навчально-вихов-
ного процесу.
У загальноосвітніх навчальних закладах з навчанням мовами націо-
нальних меншин, у спеціалізованих школах, гімназіях, ліцеях, коле-
гіумах дозволяється за рахунок загального навчального навантаження
збільшувати гранично допустиме навантаження учнів до меж, що не
перевищують санітарно-гігієнічні норми.
Наведемо фрагмент державного стандарту щодо змісту і вимог до
рівня загальноосвітньої підготовки учнів основної школи:
Зміст освіти Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів
Числа Натуральні, цілі, раціональні, дійсні числа. Звичайні дроби. Десяткові дроби. Дії над чис- лами. Проценти. Процентні розрахунки. Пропорції Уявлення про числові множини та співвідно- шення між ними. Знання правил виконання процентних розрахунків. Уміння виконувати дії над числами та простішими числовими вираза- ми, розв’язувати текстові задачі
Досягти рівня загальноосвітньої підготовки, зазначеного в держав-
ному стандарті, має кожен учень. Цей рівень, який часта називають
обов'язковим, має оцінюватися 4 — 6 балами, які відповідають тради-
ційній оцінці «З». Рекомендацій щодо цього в стандарті поки що не-
має. Проте є рекомендовані МОН критерії оцінювання чотирьох рів-
нів компетентності учнів з математики та інших освітніх галузей, які
зручно подати у такому вигляді:
Шкала оцінювання Бали
4-бальна 2 3 4 5
Перехідна 2-; 2; 2+ 3-; 3; 3+ 4-; 4; 4+ 5-; 5; 5+
12-бальна 1-3 4-6 7 - 9 10-12
Слід мати на увазі, що мінімум знань, зафіксований у стандарті,
може бути засвоєний на різних рівнях компетентності та оцінюватись
різною кількістю балів. Проте на рівні мінімальних вимог до їх за-
своєння учні мають отримати 4 — 6 балів.
Водночас школа (програми, підручники) має створити умови щодо
підвищеного і поглибленого рівня для тих учнів, які мають математич-
ні здібності та виявляють інтерес до вивчення математики.
20
1.5. Особливості сучасних шкільних
програм з математики
Поряд з головною метою освітньої галузі «математика», викладеною
в державному освітньому стандарті, в ньому сформульовано основні за-
вдання реалізації змісту освітньої галузі на II і III ступенях навчання.
В основній школі головним завданням змісту освітньої галузі е такі:
поглиблення розвитку уявлень про число, формування обчислю-
вальних навичок і застосування їх до розв’язування задач;
розширення математичного апарату, засвоєного в початковій школі;
формування навичок й умінь тотожного перетворення виразів;
розв’язування рівнянь, нерівностей, їх систем і застосування їх до
розв’язування задач; формування уявлень про геометричні величини
та навичок і умінь їх вимірювання та обчислення;
навчання математичної мови;
формування уявлень про математичні поняття та методи як важливі
засоби моделювання реальних процесів і явищ.
У старшій школі основним завданням реалізації змісту освіти є такі:
розширення математичного апарату, засвоєного в основній школі;
розширення і систематизація загальних відомостей про функції,
вивчення иочатків аналізу, розв’язування прикладних задач; розши-
рення відомостей про ймовірність та елементи статистики;
вивчення просторових фігур, поглиблення розвитку просторових
уявлень і уяви;
розширення і поглиблення відомостей про геометричні величини;
розширення і поглиблення уявлень про математику як елемент за-
гальнолюдської культури, нро застосування її в практичній діяльно-
сті, різних галузях науки.
Отже, завдання вивчення математики в основній і старшій школі,
які є умовами досягнення головної мети освітньої галузі, охоплюють
реалізацію всіх змістових ліній, про які йшлося раніше (див. під-
розд. 1.3). Тому, аналізуючи особливості шкільної програми, слід про-
стежити, як розвивається кожна із змістових ліній по ступенях на-
вчання. Досвід вітчизняної та зарубіжної школи доводить, що усвідом-
лення і міцність знань, навичок і умінь краще забезпечуються за умо-
ви концентричного розвитку основних змістових ліній. Отже, аналіз
програми природно починати з початкової школи, щоб уявляти собі, з
якими знаннями, навичками й уміннями мають прийти учні після по-
чаткової школи до 5 класу основної.
Числа. Ця змістова лінія починає розвиватися в початковій школі,
проходить через увесь початковий курс математики і є стрижнем, на-
вколо якого вибудовуються всі інші змістові лінії курсу.
У 1 класі учні вивчають числа 1 - 10 та число 0, назву і позначен-
ня чисел від 1 до 10, число і цифру 0. Утворюють числа додаванням
одиниць. Порівнюють числа. Вивчають знаки >, <, вчаться дода-
21
вати і віднімати числа в межах десятка. Потім учні вивчають числа
11—20, дії додавання та віднімання, усну і письмову нумерацію чисел
11—20, десятковий склад чисел, поняття про десяток. Розв’язують
текстові задачі на застосування дій додавання і віднімання. Проводиться
творча робота над задачею; добір запитання до умови. Складаються
задачі за практичними діями з предметами.
У 2 класі учні починають знову додавати і віднімати одноцифрові
числа, але з переходом через десяток у межах 20. Потім вивчають усну і
письмову нумерацію чисел 21 —100. Вводиться поняття сотні.
Далі учні вивчають усне додавання і віднімання двоцифрових чи-
сел без переходу через десяток (34 + 52; 54 - ЗО; 54 + 3), потім — з
переходом через десяток (28 + 59; 40 - 8; 50 - 34), виконують пись-
мово додавання і віднімання двоцифрових чисел.
У цьому класі учні вперше ознайомлюються з діями множення чи-
сел на 2 і 3 та ділення на 2 і 3.
Розв’язуються прості задачі на знаходження невідомого доданка і не-
відомого зменшуваного та складені задачі, які містять відношення «біль-
ше на», «менше на»; задачі на знаходження невідомого від’ємника.
У 3 класі учні вивчають усну і письмову нумерацію чисел у межах
тисячі; значення 0 у запису числа; десятковий склад чисел, розкладан-
ня трицифрових чисел на розрядні доданки, додавання і віднімання
чисел у межах тисячі.
У цьому класі вивчають таблицю множення чисел на 4, 5, 6, 7, 8, 9 і
ділення відповідно на ці числа. Учні вперше ознайомлюються із мно-
женням чисел на 1 і 0, діленням на 1, діленням 0 па число, неможли-
вістю ділення на 0, множенням і діленням числа на 10.
Вперше вивчаються відношення «більше в», «менше в», позатабличне
множення і ділення; множення двоцифрового числа па одпоцифрове;
ділення суми на число; ділення двоцифрового числа па одпоцифрове і
двоцифрового числа на двоцифрове.
Розв’язуються складені задачі на збільшення та зменшення числа в
кілька разів; розширені задачі на спосіб зведення до одиниць.
У 4 класі учні ознайомлюються з лічильною одиницею, тисячею,
утворенням і назвою чисел у межах мільйона; для ознайомлення вво-
диться поняття «мільярд»; поняття класу, десяткової системи числен-
ня; порівняння, додавання і віднімання багатоцифрових чисел. Впер-
ше розглядаються переставний і сполучний закони додавання.
У цьому класі вивчають письмове множення багатоцифрових чисел
на одно- та двоцифрові числа, переставний, сполучний і розподільний
закони множення; ділення багатоцифрових чисел на одно- та двоциф-
рове число, на 10, 100, 1000; ділення з остачею (вперше).
У 4 класі вперше запроваджуються дроби. Спочатку розглядають
знаходження частини числа і числа за його частиною; поняття чи-
сельника і знаменника, читання дробів, потім — знаходження дрсб’.
числа (визначення числа за його дробом тут не передбачено) [303].
22
Починаючи з 2001/2002 навчального року основна і старша школи
України працюють за програмами [302 ; 303; 304 ], затвердженими Мініс-
терством освіти і науки України у серпні 2001 р., які розраховані на
11-річну школу. Як уже зазначалось, у 2005 р. було розроблено нові
програми з математики для 1—12 класів загальноосвітньої школи.
У 5 —6 класах чинна програма передбачає повторення, систематиза-
цію, узагальнення і деяке розширення отриманих у початковій школі
відомостей про натуральні числа та дії над ними. Зокрема, якщо в почат-
ковій школі виконувались дії в межах одного мільйона, то на ньому ета-
пі дії поширюються на вищі розряди. Вивчаються правила округлення
натуральних чисел, ознаки подільності, поняття найбільшого спільного
дільника (НСД) і найменшого спільного кратного (НСК).
Перше розширення множини натуральних чисел і нуля введенням
простіших звичайних дробів і дій знаходження дробу від числа відбу-
валось ще в 3 (4) класах. У 5 —6 класах вивчення звичайних дробів
реалізується в два етапи: в 5 класі перед вивченням десяткових дро-
бів розглядаються ширші відомості про звичайні дроби, але лише ті,
які будуть потрібні для введення десяткових дробів (правильні й не-
правильні звичайні дроби, додавання та віднімання дробів з однако-
вими знаменниками).
У 6 класі учні вивчають додавання і віднімання звичайних дробів
з різними знаменниками, але спочатку ознайомлюються зі зведенням
дробів з різними знаменниками до дробів з однаковими знаменника-
ми. Вивчається множення і ділення будь яких звичайних дробів.
У 5 класі вивчають десяткові дроби, їх округлення та всі чотири
дії з десятковими дробами. У 5 —6 класах вивчають проценти (відсо-
тки) і три основні задачі на проценти.
У в класі відбувається розширення числових множин — вводятея
додатні та від’ємні числа, дії з ними (множина цілих чисел і множина
раціональних чисел).
Упродовж вивчення всіх числових множин розв’язуються текстові
задачі на виконання дій арифметичними способами, а в 6 класі впер-
ше застосовується метод рівнянь розв’язування текстових задач.
У 7—9 класах удосконалюються обчислювальні навички при вивчен-
ні як алгебри, так і геометрії. В курсі алгебри 8 класу відбувається чер-
гове розширення відомих числових множин — вводяться поняття ір-
раціонального числа і множини дійсних чисел. У старших класах
удосконалюються обчислювальні навички. В 11 класі є можливість
вивчати комплексні числа, але ця тема не обов’язкова для вивчення
всіма учнями.
Шкільна практика свідчить, що в разі послаблення уваги вчителів
до обчислювальної культури учнів в 11 класі багато з них припуска-
ються помилок при обчисленні похідних та інтеграла за формулою
Ньютона —Лейбніца, а також розв’язуючи геометричні задачі на об-
числення.
23
Перехідна програма передбачає вивчення систематичних відомос-
тей про наближені обчислення наприкінці вивчення курсу алгебри
9 класу, хоч це запізно, оскільки не забезпечує потреб фізики, хімії
та інших предметів.
Вирази. У початковій школі учні мають справу з найпростішими
числовими виразами та їх обчисленням.
У / класі запроваджується поняття виразу (числового). Обчислю-
ються значення виразів на зразок 5 + 2 + 3, 10-3-4, 5 + 4-7,
8-3 + 4, розглядаються способи читання виразів по-різному: плюс,
додати, мінус, відняти, збільшити на, зменшити на, знайти суму,
знайти різницю.
У 2 класі знову розглядають числові вирази та їхні значення, дужки,
порядок виконання дій у виразах без дужок і з дужками. Вперше вво-
диться поняття про вираз з однією літерою та його числове значення.
У 3 класі знову обчислюють вирази з дужками і без дужок, зна-
чення виразів, які містять одну-дві літери.
У 4 класі знову знаходять значення числових виразів з дужками та
без них і значення буквеного виразу за заданих числових значеннях
літер.
У 5 —б класах числові вирази ускладнюються не лише за структу-
рою, а й за компонентами (дробові, додатні та від’ємні числа). На
цьому етапі навчання запроваджуються буквеиі вирази, формули й
обчислення за формулами, квадрат і куб числа, відношення та пропор-
ції, розширюється коло задач на пропорційний поділ, па пряму й
обернені пропорційні залежності.
Великий обсяг відомостей про вирази надається в курсі алгебри
7 класу. Все, що вивчалося про вирази в 5 — 6 класах, було лише
пропедевтикою для систематичного вивчення цієї теми у курсі алгеб-
ри, застосування їх у суміжних предметах.
У 7 класі вивчають цілочислові вирази, їх види та тотожні пере-
творення. Саме тут запроваджуються поняття цілочислового раціо-
нального виразу, степеня з натуральним показником, одночлена, ба-
гаточлена і зведення їх до стандартного вигляду, тотожно рівних ви-
разів, тотожності, оберненого перетворення одночленів і багаточлснів.
Вивчаються формули скороченого множення:
(а + б)2 = (? + 2аЬ + б2; я2 - б2 - (а - Ь) (а + Ь);
а3 ±Ь3 = (д + б)(«2 ±аЬ+Ь2).
У 8 класі вивчають раціональні вирази, алгебраїчні дроби, дробові
вирази та їх перетворення. На цьому етапі навчання розглядають по-
няття степеня з нульовим, цілим від’ємним показником та їх власти-
вості, стандартний вигляд числа. Тотожні перетворення дробів, раціо-
нальних та ірраціональних виразів вивчають у зв’язку з поняттям
24
квадратного кореня. Це становить значну частку навчального матеріа-
лу курсу алгебри 8 класу.
У 9 класі новим для учнів виразом є квадратний тричлен і його
перетворення.
У курсі алгебри і початків аналізу 10—11 класів вивчають триго-
нометричні, ірраціональні, вирази, пов’язані з коренем п-го степеня,
показникові та логарифмічні вирази, пов’язані з вивченням відповід-
них функцій.
Рівняння і нерівності. Перше уявлення про рівняння як рівність,
що містить невідоме, учні дістають у початковій школі. Вже в 3 класі
вони розв’язують рівняння на зразок х + 7 = 15; х - 9 = 14; 18 - х = 12,
х 7 = 42; х : 8 = 4; 32 : х = 8 на основі залежностей результатів ариф-
метичних дій від компонентів, а також найпростіші нерівності з однією
змінною. У 4 класі розв’язують рівняння на зразок 17 - х = 50 - ЗО;
(16 + %)-34 = 10 та нерівності з однією змінною.
Лінія рівнянь у 5 — 6 класах розширюється у зв’язку з тим, що в
5 класі учні розв’язують лінійні рівняння не лише на основі залежно-
сті результатів арифметичних дій від компонентів, а й ознайомлюють-
ся з властивістю рівняння щодо можливості додавання до обох його
частин однакового виразу і наслідком з цієї властивості, який дає
можливість переносити вирази з однієї частини рівняння в другу з
протилежним знаком. Отже, розширюються множина рівнянь, які
учні можуть розв’язувати (невідоме може бути в обох частинах рів-
няння), і види задач, які розв’язують за допомогою рівнянь. З цим
методом учнів вперше ознайомлюють у 6 класі.
У курсі алгебри 7 — 9 класів учні розв’язують рівняння, викорис-
товуючи тотожні перетворення цілих і дробових виразів.
У 7 класі учні ознайомлюються з поняттям системи лінійних рів-
нянь з двома невідомими і трьома способами їх розв’язування: графіч-
ним, способом підстановки і способом додавання, розв’язують тексто-
ві задачі за допомогою системи рівнянь.
У 8 класі учні вивчають квадратні рівняння та спосіб їх розв’я-
зування, розв’язують дробово-раціональні рівняння, які зводяться до
квадратних, і відповідні текстові задачі.
У 9 класі розв’язують системи рівнянь другого степеня з двома
невідомими і текстові задачі за допомогою систем рівнянь.
З поняттям числової нерівності та знаками « > », « < » учні впер-
ше ознайомлюються в початковій школі, потім розглядають у 5 класі
у зв’язку з порівнянням і округленням натуральних чисел. У 6 класі
для порівняння раціональних чисел упроваджуються знаки «>», «<».
Як самостійну тему «Нерівності» вивчають у 9 класі, де вводиться
поняття числових нерівностей, обґрунтовуються основні їх властивос-
ті та розглядаються поняття нерівності зі змінною, лінійної нерівнос-
ті, системи лінійних нерівностей з однією змінною. Учні вчаться роз-
25
в’язувати системи таких нерівностей. У 9 класі вивчають нерівності
другого степеня.
У 10—11 класах програма курсу алгебри і податків аналізу перед-
бачає ознайомлення учнів з тригонометричними, ірраціональними,
показниковими і логарифмічними рівняннями і нерівностями, їх сис-
темами та способами розв’язання.
Функції. У 1 — 7 класах здійснюється пропедевтика вивчення понят-
тя функції. Вона реалізується у зв’язку з вивченням залежностей ре-
зультатів арифметичних дій від компонентів, обчисленням значень бук-
вених виразів за даним значенням однієї з букв, розв’язуванням тексто-
вих задач за допомогою рівнянь, діаграм, уведенням у 6 класі коор-
динатної площини та побудови графіків залежності між величинами.
Проте термін «функція» на цьому етапі ще не застосовується.
Поняття функції, області визначення і області значень, способів
задання функцій, їх і-рафіків запроваджується при вивченні курсу
алгебри у 8 класі. Тут також розглядають окремі види функцій: лі-
нійну, функції у = кх, у = —, у = \Іх, у = х2, [у = х3 їх графіки і
властивості. Властивості читаються за заздалегідь побудованим гра-
фіком і аналітично не доводяться (учні ще не знайомі з означенням
зростаючої, спадної, парної та непарної функцій).
У 9 класі вивчають квадратичну функцію у = ах2+Ьх + с, а Ф 0,
побудову її графіка методом геометричних перетворень, які на цей
час вже мають бути вивчені в курсі геометрії. Учні вчаться роз-
в’язувати нерівності другого степеня з однією змінною, зокрема гра-
фічним способом, використовуючи графік квадратичної функції.
До теми «Функції» належать і числові послідовності як функції
натурального аргументу. Проте ця тема передбачає вивчення здебіль-
шого формул н-го члена і суми перших п членів прогресій та роз-
в’язування задач на прогресії, зокрема прикладних.
Функції яіпа, сова, (^а, хоча і вивчають у курсі геометрії 8
класу, але тут функціями ще не називають. їх означають як від-
ношення сторін прямокутного трикутника і відповідних відрізків у колі
радіуса К (координатний метод означення цих відношень). Проте і
тут відбувається функціональна пропедевтика, оскільки доводиться, що
синус і косинус не залежать від довжини сторін прямокутного трику-
тника, а залежать лише від величини кута.
Тригонометричні функції кута і довільного числового аргументу
вивчають у 10 класі. У цьому класі передбачено вивчення степеневої,
показникової та логарифмічної функцій.
У 10 класі перед вивченням тригонометричних функцій передбаче-
но розширення відомостей про функції (зростаючі, спадні, парні, не-
парні, періодичні) та на основі введених означень аналітичне дове-
дення властивостей усіх раніше розглянутих функцій.
26
Елементи комбінаторики, початки теорії ймовірностей і вступ до
статистики. Вивчення елементів стохастики в школі зумовлене тим зна-
ченням, яке теоретико-статистичні знання мають у загальноосвітній підго-
товці сучасної людини. Без мінімальної ймовірнісно-статистичної грамот-
ності складно адекватно сприймати соціальну, політичну, економічну ін-
формацію та приймати обґрунтовані рішення. Сучасні фізика, хімія, біо-
логія, весь комплекс соціально-економічних наук побудовані і розвива-
ються на ймовірнісно-статистичній основі, і без відповідної підготовки по-
вноцінне вивчення цих дисциплін у середній і вищій школі неможливе.
Пропедевтика вивчення цих знань передбачається вже в основній
школі. Розробники нових програм планували вивчення елементів комбі-
наторики, початкових відомостей про теорію імовірностей і описову ста-
тистику наприкінці курсу алгебри 9 класу в розділі «Елементи приклад-
ної математики». Проте відсутність методичного забезпечення і належно-
го подання цих тем у підручнику алгебри не дало можливості реа-
лізувати такі плани. Чинна програма передбачає ознайомлення з елемен-
тами комбінаторики, яким передує введення елементів теорії множин, з
печатками теорії імовірностей і вступом до статистики на завершення
вивчення курсу алгебри і податків аналізу в 11 класі.
Слід зазначити, що в школах Російської Федерації стохастику си-
стематично вивчають, починаючи з 5 класу, а 23 вересня 2003 р. ви-
дано наказ Міністерства освіти РФ «Про введение алементов комби-
наторики, статистики и теории вероятностей в содержание математи-
ческого образовапия основної! школи». У ньому пропонується орієн-
туватися на такий зміст:
розв’язування комбінаторних задач: перебір варіантів, підрахунок
числа варіантів за допомогою правила множення;
представлення даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків; діагра-
ми Ейлера; середні результати вимірювання;
поняття і приклади випадкових подій; частота подій, імовірність;
рівпоможливі події та підрахунок їхніх імовірностей; уявлення про
геометричну ймовірність.
Учителям пропонується також перелік підручників для 5-9 кла-
сів, вкладок до них і додаткової літератури, яка стосується вивчення
цих тем [214].
Геометричні фігури. Пропедевтика вивчення геометрії проводиться в
1—6 класах. Уже в 1 класі розглядаються круг, різні види багатокутни-
ків, учні вчаться розрізняти їхні елементи (вершини, сторони, кути).
У 2 класі ознайомлюються з кутами багатокутника, прямокутниками,
квадратами, вивчають коло, центр кола, круг. У З класі розглядаються
зображення і вимірювання відрізків, ламаної. Знову розглядаються кут,
види кутів, прямокутник, квадрат, периметр багатокутника (квадрата).
Учні вчаться знаходити сторону квадрата за його периметром, будувати
прямокутники і квадрати на папері в клітинку за даними довжинами
сторін. Знову розглядають коло, радіус і центр кола.
27
У 4 класі вперше вводяться поняття про геометричні тіла: призма,
паралелепіпед, куб, піраміда, конус, куля, циліндр, їх форма, назва.
Вивчають коло, побудову кола за допомогою циркуля; діаметр кола;
визначення довжини однієї зі сторін прямокутника за його площею і
відомими розмірами другої сторони; визначення площі прямокутної
ділянки за її планом. Розв’язують задачі, пов’язані з периметром і
площею прямокутника.
У 5 —6 класах програмою передбачено розширення уявлень учнів
про геометричні фігури (точка, відрізок, пряма, прямокутник, коло,
круг), вводяться поняття кута і його вимірювання, паралельних і пер-
пендикулярних прямих, їх побудова за допомогою лінійки і косинця.
На наочному рівні розглядаються геометричні тіла (прямокутний па-
ралелепіпед, куб, куля, останнім часом — циліндр, конус, призма,
піраміда). Учні виготовляють розгортки багатогранників, конуса. Си-
стематичне вивчення фігур на площині здійснюється в курсі планіме-
трії 7 — 9 класів, а в просторі — в курсі стереометрії (10—11 класів).
Під час вивчення планіметрії передбачено розвиток просторових уяв-
лень і уяви за допомогою виходу в простір, наприклад, вивчаючи
площі фігур при розв’язуванні задач, учні визначають площу поверх-
ні прямокутного паралелепіпеда. Наприкінці курсу геометрії 9 класу
передбачено тему «Початкові відомості стереометрії».
Геометричні побудови. Ця лінія починає реалізуватися ще в почат-
ковій школі; учні виконують побудову відрізків заданої довжини, зо-
бражують па папері в клітинку відрізки, ламані, трикутники, чотири-
кутники, багатокутники, кола.
У 5 — 6 класах учні за допомогою лінійки і косинця виконують по-
будову паралельних і перпендикулярних прямих, за допомогою транс-
портира будують кути заданої величини, зображують прямокутний
паралелепіпед, куб, кулю та інші тіла.
У систематичному курсі планіметрії (7 — 9 класи) в 7 класі перед-
бачено вивчення самостійної теми «Геометричні побудови», де учні
вивчають п’ять основних побудов за допомогою циркуля і лінійки,
ознайомлюються з методом геометричних місць розв’язування задач
на побудову. Задачі на побудову розв'язуються у 8 — 9 класах під час
вивчення усіх видів геометричних перетворень, учні ознайомлюються
з алгебраїчним методом розв’язування задач на побудову.
У 10—11 класах учні вчаться зображувати на площині просторові
фігури, користуючись властивостями паралельної проекції, вивчають
так звані уявні побудови і розв’язують задачі на побудову перерізів
багатогранників.
Лінію геометричних перетворень подано в курсі планіметрії 8 кла-
су вивченням всіх видів рухів, а в 9 класі — гомотетією та подібніс-
тю. В стереометрії здебільшого оглядово учнів ознайомлюють з геоме-
тричними перетвореннями в просторі.
28
Координати і вектори в шкільній програмі передбачено вивчати в
кілька етапів. У 6 класі учні вперше ознайомлюються з прямокутною
системою координат на площині, вчаться знаходити точки за їх коор-
динатами на координатній прямій і на координатній площині та
розв’язують обернену задачу. У геометрії 8 класу знову вивчають де-
картові координати на площині, а в 10 класі — в просторі. Учні ви-
вчають відповідні формули довжини відрізка і координат середини
відрізка. Метод координат широко використовується для побудови
графіків функцій, графічного розв’язування рівнянь і нерівностей,
означення зіпа, соза, для кутів від 0° до 180°, під час вивчення
векторів і операцій над ними.
Вектори й операції з ними вперше розглядають у геометрії 8 класу
і в темі «Координати і вектори» в 10 класі.
До аналітичного апарату геометрії крім методу рівнянь у роз-
в’язуванні задач належить також тригонометричний матеріал — три-
гонометричні функції, за допомогою яких, починаючи з 8 класу,
розв’язуються трикутники як в планіметрії, так і в стереометрії.
Чинна програма з математики для загальноосвітньої школи перед-
бачає в 9 класі ознайомлення з поняттям математичного моделювання
і його прикладами.
Аналіз програм з математики для класів з поглибленим вивченням
предмета і для спеціалізованих шкіл з поглибленим теоретичним і
практичним вивченням математики здійснюється на практичних за-
няттях з курсу методики математики.
Геометричні величини. В початковій школі учні вже в 1 класі ви-
вчають довжину відрізка, одиниці довжини — сантиметр, дециметр.
Вимірюють відрізки і будують відрізки заданої довжини за допомо-
гою лінійки. Крім того, вони вивчають об’єм і одиницю об’єму —
літр, поняття маси і одиницю маси — кілограм.
У 2 класі запроваджується поняття периметра багатокутника. Роз-
глядаються одиниці довжини — дециметр, метр, співвідношення між
ними і вимірювання цими одиницями. Вводиться одиниця маси —
кілограм; час і одиниці часу — доба, тиждень, місяць, рік; вартість
та її одиниці — гривня (гри), копійка (коп.).
У 4 класі вперше застосовується поняття про площу, одиницю ви-
міру площі ( см2, дм2, м2, ар, га, км2).
Розглядається правило визначення площі прямокутника, площі різ-
них фігур за допомогою палетки.
У 5 класі учні знову вимірюють довжини відрізків і будують від-
різки за заданою довжиною, вивчають ламану та її довжину, вперше
вимірюють кути за допомогою транспортира. Вводиться поняття рів-
ності кутів. Знову розглядається площа прямокутника і обчислення
площі за формулою. Вперше вводиться поняття об’єму і вивчається
29
об’єм прямокутного паралелепіпеда, куба, виконуються обчислення
їхніх об’ємів за формулами.
У курсі планіметрії 7 — 9 класу геометричні величини вивчаються
на дедуктивній основі. Довжина відрізка і міра кута — первісні по-
няття, які не означуються. В 9 класі вводиться означення площі, ви-
вчаються і доводяться теореми про площу прямокутника, паралело-
грама, трикутника, трапеції.
У 9 класі запроваджуються поняття і доводяться формули довжи-
ни кола, площі круга.
У курсі стереометрії вивчається означення об’єму тіла, доводяться
формули об’єму багатогранників, тіл обертання і відповідно їхні пло-
щі поверхні.
1.6. Внутріїїшьопредметні
та міжпредметні зв’язки
Потреба реалізації внутрішньопрсдметних зв’язків випливає з дедук-
тивного характеру шкільної математики і визначається тим, що оволо-
діння системою знань є водночас і засобом, і метою розвитку особистості
школяра. Психологи Ю. О. Самарін, П. О. Шеварьов переконливо по-
казали системний характер розумової діяльності школярів, що здійсню-
ється через узагальнення асоціативних зв’язків, включення їх у зв’язки
вищого порядку. З реалізацією внутрішньопредметних зв’язків тісно
пов’язана проблема наступності в навчанні. У «Педагогпческой знцик-
лопедии» зазначається, що наступність у навчанні полягає в установлен-
ні потрібного зв’язку і правильного співвідношення між частинами на-
вчального предмета на різних ступенях його вивчення [279]. У педагогі-
ці знаннями вважають не будь-яку інформацію, а лише ту, яка має
якість системності, тобто якість знань, що характеризує наявність у сві-
домості учня структурних зв’язків або зв’язків будови знання всередині
наукової теорії. Маються на увазі зв’язки між поняттями, твердження-
ми, способами розв’язування задач та ін. Тому потрібна цілеспрямована
систематична робота вчителя для встановлення зв’язків і відношень між
різними елементами знань.
Враховуючи концентричний характер побудови програми з мате-
матики, слід забезпечити єдиний підхід у трактуванні понять, спосо-
бах діяльності учнів і обов’язкову опору на вже засвоєні учнями
знання. Наприклад, вивчаючи геометричні величини в систематично-
му курсі геометрії, важливо актуалізувати ті уявлення, знання та на-
вички, які учні здобули в 1—6 класах. Справді, па рівні практичних
дій учні засвоїли всі властивості довжини відрізка, величини кута,
які в геометрії формулюються у вигляді аксіом. Іще один приклад.
Вивчення алгебраїчних дробів у 8 класі спирається на аналогічні вла-
стивості дій стосовно звичайних дробів.
ЗО
Під час засвоєння понять слід показувати учням зв’язки «рід —
вид», вивчаючи різні множини чисел, види виразів в алгебрі, чотири-
кутники в геометрії тощо, використовувати класифікаційні схеми.
Реалізація внутріпіньопредметних зв’язків перебуває в полі по-
стійної уваги передових учителів. Так, учителька середньої школи № 1
м. Донецька, В. П. Іржавцева, яка досягла високих результатів на-
вчання математики, кожний навчальний рік починає з повторення і
систематизації головного, вивченого учнями в попередні роки за ос-
новними змістовими лініями. На це вона відводить близько 10 уроків.
Вивчення кожної нової теми починається з повторення того, що учні
вже знають і що пов’язано з новим навчальним матеріалом. Це дає
змогу всім учням усвідомити зв’язки між засвоєним і новим, а також
структурні зв’язки.
Реалізації внутрішньопредметних зв’язків сприяє використання ана-
логій у процесі навчання математики. Наприклад, у стереометрії визна-
чення багатьох понять формулюються аналогічно спорідненим поняттям
планіметрії. Крім того, розв’язування більшості стереометричних задач
зводиться до планіметричних. Тому важливо, з одного боку, забезпечити
свідоме і міцне засвоєння головного у планіметрії, а з другого — систе-
матично повторювати цей матеріал і вміло актуалізувати його з метою
вивчення відповідного матеріалу зі стереометрії.
Міжпредметні зв’язки. Зв’язки між елементами знань і умінь з
різних навчальних предметів сприяють формуванню всебічно розви-
неної творчої особистості, яка оволоділа системними знаннями, за-
гальнонауковими уміннями та навичками і вміє застосовувати між-
предметне перенесення знань й умінь для розв’язування нових пізна-
вальних задач. Міжпредметні зв’язки є визначальними у вирішенні
проблеми інтеграції та координації навчання.
Інтеграція — це процес і результат створення нерозривно по-
в’язаного, єдиного, суцільного. Нині ця проблема актуальна для шко-
ли у зв’язку зі створенням інтегрованих курсів (математика з інфор-
матикою, природознавство, суспільствознавство). І в нашій країні, і в
зарубіжних системах освіти давно ставилося завдання створення єди-
ного інтегрованого курсу математики, не розділеного на предмети -
алгебру, геометрію, алгебру і початки аналізу. У Німеччині такий курс
існує традиційно. У Болгарії група вчених під керівництвом Б. Сен-
дова вже створила підручники для кількох класів, які інтегрують ма-
тематику, рідну й іноземну мови та інші предмети.
Координація — це погодження навчальних програм зі спорідне-
них предметів з погляду єдиного підходу до трактування понять,
ідей, методів, процесів, явищ, а також у часі їх вивчення.
Міжпредметні зв’язки реалізуються поєднанням інтеграції та коор-
динації знань, які взаємно доповнюються і сприяють формуванню в
учнів єдиної картини світу, наукового світогляду. Міжпредметні зв’язки
спрямовані на надання учням системи політехнічних знань зі спорід-
31
нених предметів: математика — фізика — хімія — біологія — фізич-
на географія — креслення — трудове навчання.
Реалізація міжпредметних зв’язків має здійснюватися передусім за
допомогою використання математичних ідей і методів, математичного
апарату в інших предметах, розгляду в курсі математики навчального
матеріалу, який має велике значення в споріднених дисциплінах. Важ-
ливо також приділяти достатню увагу тому, як математичні задачі
виникають на основі задач з інших предметів і як метод розв’язування
цих математичних задач використовується для розв’язування пема-
тематичних задач. Реалізувати міжпредметні зв’язки під час вивчення
математики означає насамперед створити запас математичних моделей,
які описують явища і процеси, що вивчаються в різних предметах.
Такими моделями є основні поняття математики: величина, число,
функція, фігура, рівняння, похідна, інтеграл, диференціальне рів-
няння, ймовірність тощо. Наприклад, похідна — це математична
модель різних фізичних, хімічних, біологічних понять: швидкості
прямолінійного нерівномірного руху, електрорушійної сили, індукції
як швидкості зміни магнітного потоку у фізиці, швидкості реакції в
хімії, швидкості розмноження бактерій у біології та ін. До мате-
матичних моделей прикладних задач належать такі важливі мате-
матичні задачі: знаходження розв’язку алгебраїчного рівняння; най-
більшого і найменшого значення функції; розв’язку диференціального
рівняння, що задовольняє певні початкові умови; формування закону
розподілу деяких випадкових величин.
Можна назвати основні напрями зв’язків математики з фізикою:
величини та їх вимірювання; обчислювальна культура; функції та
графіки, похідна, інтеграл, диференціальні рівняння; вектори.
Найістотніші зв’язки математики з хімією виникають під час роз-
в’язування задач на пропорції, проценти, використання правил набли-
жених обчислень. Аналіз навчально-методичної літератури і стану на-
вчання хімії та фізики в школі й педагогічному вищому навчальному
закладі свідчить, що найсуттєвіші прогалини в обчислювальній культурі
пов’язані з наближеними обчисленнями. Тому виникає потреба в тісних
зв’язках у роботі вчителів математики, хімії та фізики, зокрема у прове-
денні методичних об’єднань з цих питань, участі вчителів математики в
опрацюванні результатів вимірювань і обчислень під час проведення ла-
бораторних робіт і уроків з розв’язування обчислювальних задач.
Слід мати також на увазі, що деякі математичні поняття на уроках
фізики і хімії запроваджуються раніше, ніж на уроках математики.
Тому, по-перше, потрібно забезпечити єдиний підхід до трактування
таких понять і, по-друге, на уроках математики використовувати вже
відомі учням знання. Прикладом є поняття стандартного вигляду чис-
ла. На уроках фізики і хімії учнів підводять до цього поняття по-різ-
ному. Зокрема, в § 7 підручника з неорганічної хімії авторів Г. Є. Руд-
зітіса, Ф. Г. Фельдмана йдеться про те, що маса малого легкого ато-
32
ма Гідрогену становить 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 663 кг,
або 1,66-10~27 кг, або 1,66-10-29 г. Маса атома Оксигену становить
2,66-10-26 кг, а маса атома Карбону — 2,0 10-26 кг. У курсі фізики
вже в 7 класі виникає потреба ввести стандартний вигляд числа. Про-
те автори підручника з фізики [283] подають це питання так: най-
меншу масу має молекула водню; її маса дорівнює 0,000 000 000 000
000 000 000 003 3 г, або г.
1025
Часто учні не знають, що обчислення з додатними і від’ємними чис-
лами виконуються під час розв’язування задач з хімії. Повторюючи
курс алгебри в 9 класі, доцільно навести такий приклад. У 8 класі,
вивчаючи тему «Ступінь окиснення», учні визначають ступінь окис-
+1 х -2
нення Хрому в дихроматі калію Кг Сг2 О7 складанням рівняння (+1)2 +
+х • 2 + (-2)7 = 0, звідки 2 + 2х-14 = 0; 2х = 12, х - 6. Отже, ступінь
+1 +6 -2
окиснення Хрому в цій сполуці +6, тому дістанемо Кг Сг2 О7.
Зв’язки математики з кресленням і трудовим навчанням спрямова-
ні на формування графічної грамотності учнів, що відбувається під
час вивчення комплексу предметів — математики, креслення, образо-
творчого мистецтва, географії, фізики, хімії, трудового навчання. На
цих уроках учні ознайомлюються з різними графічними зображення-
ми: рисунками, кресленнями, ескізами, географічними картами, схе-
мами, графіками, діаграмами тощо. Проте креслення як предмет є
основним у системі графічної підготовки учнів 1 — 11 класів.
Розв’язуючи задачі на побудову на уроках математики в 5 —7 кла-
сах, учні набувають перших теоретичних основ графічної грамотності.
Проте практичні навички і вміння закладаються на уроках трудового
навчання вже з 1 класу.
На уроках праці основними програмними знаннями й уміннями,
якими учні оволодівають, виготовляючи різні вироби, є геометричні
побудови на металі, деревині, тканині (розмітка). Ще до вивчення
систематичного курсу геометрії на уроках праці учні ділять коло на 6,
12 однакових частин, будують рівносторонні трикутники, для побудо-
ви і перевірки прямих кутів застосовують слюсарний кутник, викори-
стовуючи діагоналі прямокутника, ознайомлюються з поняттям масш-
табу, дістають уявлення про циліндр, конус.
Починаючи з 5 класу на уроках праці учні виконують і «читають»
креслення, схеми, ескізи, технічні рисунки, вчаться проставляти роз-
міри деталей.
Під час вивчення курсу геометрії потрібно спиратися на знання й
уміння, отримані на уроках праці.
Уже на перших уроках креслення у 8 класі слід звернути увагу
учнів на те, що наочні зображення, виконані від руки «на око», без
2 Слзпкань 3. І.
33
точного дотримання розмірів предмета, називають технічним рисун-
ком, що лінії, паралельні на предметі в натуральному вигляді, залиша-
ються паралельними і на зображенні [55, 9]. Ці зауваження стосу-
ються також геометричного рисунка і є підготовкою до вивчення влас-
тивостей паралельної проекції в курсі геометрії 10 класу та правил
зображення просторових фігур на площині.
Важливим напрямом зв'язку геометрії та креслення є єдиний під-
хід до використання ліній і позначення літер, розмірів фігур відповід-
но до чинних стандартів Єдиної системи конструкторської документа-
ції (ЄСКД).
Наведемо вимоги до використання ліній у зображеннях, з якими
учні ознайомлюються на уроках креслення і мають дотримуватися в
геометрії.
Суцільна товста основна лінія призначена для зображення видимих
контурів, предметів. її товщину вибирають від 0,5 до 1,4 мм залежно від
розмірів і складності зображень, форми рисунка і позначають літерою 5.
Штриховою лінією зображають невидимі контури предметів. Дов-
жину кожного штриха вибирають від 2 до 8 мм залежно від розмірів
зображення. Відстань між штрихами в лінії має дорівнювати 1 — 2 мм
і бути приблизно однаковою на всьому зображенні. Товщина штрихо-
вих ліній становить від х/З до х/2.
Суцільну тонку лінію завтовшки від х/3 до х/2 використовують
для неповного зображення, наприклад у разі зображення площини у
вигляді обірваного контуру.
Зв’язки математики з географією можуть здійснюватись у кількох
напрямах. Предмет «географія» вивчають, починаючи з 6 класу, і в його
змісті є кілька понять, які тісно пов’язані зі спорідненими поняттями з
курсу математики 5 — 6 класів і їх вивчають раніше. Дсюить вдало в під-
ручнику географії для 6 класу вводиться означення масштабу: мас-
штабом називається дріб, у якого чисельник — одиниця, а знаменник -
число, що вказує, у скільки разів відстань на плані менша, ніж на самій
місцевості. Цей вид масштабу називають числовим [79, 151].
Це означення можна використати і на уроках математики. У гео-
графії вводяться поняття лінійного масштабу, іменованого масштабу,
відносної й абсолютної висоти. Останні два поняття доцільно викори-
стати, розглядаючи від’ємні числа. Наприклад, відносний рівень (ви-
сота) води в річці може виражатись як додатним, так і від’ємним чи-
слом.
Задачі на визначення масштабу знімання можуть розв’язуватися не
тільки на уроках географії, а й на уроках математики. Наведемо при-
клад такої задачі.
Задача 1.1. Нехай потрібно зобразити на аркуші шкільного зошита розміром
21x17 см вулицю завдовжки 1 км. Зображення вулиці має вміститися па ньому і
може мати довжину не більш як 20 см. Який масштаб слід узяти?
34
Розв'язання. Досить розділити довжину вулиці (1 км) иа довжину відрізка,
що її зображає (20 см). Маємо:
1 км _ 100000 см _сллл
20 см 20 см
Це означає, що на плані довжина вулиці зменшиться в 5000 разів. Отже, чис-
ловий масштаб — = 1: 5000, а іменований — в 1 см міститься 50 м.
Учні дізнаються, що дуги кола вимірюються в градусах, на уроках
географії, тобто до того як починають вивчати геометрію. Водночас
ставиться завдання обчислити в метрах довжину дуги кола (меридіа-
на) в Г. У цьому разі міркування такі. Довжина кола Землі становить
40 000 км, а півкола — 20 000 км. Півколу відповідає дуга в 180". Тому
20000 :180 = 111 км (наближено). Знаючи це, за градусами меридіанів
можна обчислювати відстані в кілометрах.
На жаль, у згаданому підручнику географії ціла низка понять вво
диться некоректно з погляду математики. Наведемо два приклади.
1. У зв’язку з введенням лінійного масштабу стверджується: «Мас-
штаб — це пряма лінія, розділена на рівні частини (звичайно сантимет-
ри)». Проте пряма лінія — нескінченна, отже, її не можна розділити
на рівні частини [79, 15]. Очевидно, йдеться про відрізок, а не про
пряму.
2. У зв’язку із введенням понять паралелі, меридіана та їхніх вла-
стивостей наводиться таке означення: «Паралелями називають лінії,
умовно проведені на поверхні Землі паралельно екватору». Однак
екватор, як і паралель, — коло, а поняття паралельності застосовне
лише для прямих. Далі читаємо: «Як і меридіан, паралель можна
провести через будь-яку точку земної поверхні. У кожній точці пара-
лель перпендикулярна до меридіана» [79, 23]. Проте відношення пер-
пендикулярності також застосовне лише для прямих, а кут між кри-
вими, якими є паралель і меридіан, — це кут між дотичними, прове-
деними до кривих у точці їх перетину.
Учитель математики може скористатися прикладом географічних
координат, уводячи в 6 класі поняття про прямокутну систему коор-
динат, хоча в географії маємо не прямі, а кола, які в разі перетину
визначають положення точки на сфері.
ДІЯЛЬНІСНИИ, СИСТЕМНИМ,
КОМПЛЕКСНИЙ ТА ОСОБИСТІСНО
2 ОРІЄНТОВАНИЙ ПІДХОДИ
У НАВЧАННІ МАТЕМАТИКИ
2.1. Діяльнісний підхід
Головна теза діяльнісного підходу в розвитку особистості полягає в
тому, що людина виявляє властивості та зв’язки елементів реального світу
лише в процесі й на основі різних видів діяльності (предметної, розумо-
вої, індивідуальної, колективної та ін.). У навчальній діяльності, як і в
будь-якій іншій, розрізняють три компоненти: 1) мотиви і навчальні за-
дачі; 2) навчальні дії; 3) дії контролю й оцінювання знань школярів.
Навчальну діяльність не можна звести до жодного з цих компонен-
тів. Повноцінна навчальна діяльність завжди є єдністю і взаємопро-
никненням всіх цих трьох компонентів. В учнів потрібно виховувати
певне ставлення до знань, навчальні мотиви. Завдяки цьому знання й
уміння набудуть для них особистісного смислу, стануть їхнім внутрі-
шнім надбанням.
Учень добре усвідомлює лише те, що виступає як прямий предмет і
як мета його діяльності. Тому свідомість учіння передбачає, з одного
боку, виконання школярами відповідних дій з навчальним матеріалом
(а не просто його спостереження і прослуховування), а з другого — пе-
ретворення матеріалу, що засвоюється, на пряму мету цих дій, тобто на
розв’язування навчальних задач. Знання і уміння, зокрема з математики,
свідомо засвоюються лише тоді, коли учень з виконаної діяльності та її
результатів здобуває інформацію про істотні властивості реального світу,
наприклад про кількісні й просторові його форми.
Активне формування навчальної діяльності веде до істотних змін в
особистості учня, в його свідомості, інтелектуальному і моральному
розвиткові, тобто сприяє становленню учня як суб’єкта діяльності, як
індивідуальності.
Інтелектуальний розвиток відбувається у процесі засвоєння знань,
способів та орієнтирів діяльності.
Відповідно до теорії поетапного формування розумових дій розріз-
няють три основні типи орієнтування в завданні.
Перший тип-, учням надають зразок дії та називають її результат,
але не вказують, як виконувати цю дію. Вчитель, який працює за цим
типом орієнтовної основи дії, сам, по суті, програмує значну кількість
36
помилок учнів у виконуваних діях. Тому йому доводиться займатися
переучуванням і доучуванням, а не правильним навчанням.
Другий тип: учню дають всі вказівки, як правильно виконувати
дії або завдання, тобто готовий алгоритм дій. За умови дотримання
вказівок алгоритму навчання відбувається без великої кількості по-
милок і швидше, ніж за першого типу орієнтування.
Третій тип передбачає навчання не стільки способу дії у конкрет-
ній ситуації, скільки аналізу ситуації. Вчитель спеціально організовує
з учнями поглиблений аналіз розв’язування задачі: вони самостійно
складають узагальнену схему або алгоритм розв’язування. Учитель
обирає типову опорну задачу або дві задачі з деякого класу задач,
розв’язувати які потрібно навчити учнів, і залучає їх до роз-
в’язування. Після цього аналізується процес розв’язування, виокрем-
люються істотне і неістотне в умові задачі та її розв’язуванні, склада-
ється алгоритм або правило-орієнтир. Це дає змогу учням усвідомити
особливості певного класу задач і принцип варіації неістотного, що
дає можливість перенести спосіб розв’язування в нові умови.
Наведемо приклад. У 7 класі можна ознайомити учнів з методом від
супротивного під час доведення теорем і розв’язування задач на доведення
на прикладі розв’язування однієї-двох задач (або задачі і теореми). Під
керівництвом учителя учні колективно виокремлюють істотні спільні етапи
доведення; формулюють правило-орієнтир методу: щоб довести твер-
дження методом від супротивного, слід: 1) припустити супротивне тому,
що потрібно довести; 2) скориставшись припущенням, відомими аксіома-
ми і доведеними раніше твердженнями, міркуваннями, дійти висновку,
який суперечить умові твердження, що доводиться, припущенню, відомій
аксіомі або доведеному раніше твердженню; 3) зробити висновок, що при-
пущення — неправильне, а правильне те, що потрібно довести.
Крім того, надається орієнтир можливого використання методу:
неможливість чи єдиність чого-небудь в математиці завжди доводить-
ся методом від супротивного. Цим методом інколи доводять обернені
твердження.
Відповідно до діяльнісного підходу етапи засвоєння знань роз-
глядаються водночас з етапами засвоєння діяльності. Знання із само-
го початку включаються в структуру дій. Якість знань у цьому разі
визначається їхньою адекватністю діяльності, що використовується для
їх засвоєння. На думку Н. Ф. Тали.зіної, знання ніколи не можна да-
ти в готовому вигляді, вони завжди засвоюються через ту чи іншу
діяльність [346, 41 ].
Розумові дії класифікують за різними ознаками. Якщо розглядати
дії за ступенем використання їх в різних галузях людської діяльності,
то можна виокремити загальні дії, що використовуються в усіх галу-
зях знань (наприклад, аналіз, синтез, порівняння, абстрагування,
узагальнення), і специфічні дії, які характерні для тієї чи іншої галу-
зі знань. Наприклад, дія підведення до поняття й обернена — виве-
37
дення наслідків (із факту належності трикутника до поняття «рівно-
бедрений трикутник» випливають його властивості).
Одним із шляхів підвищення ефективності навчання і розвитку
учнів є ретельний аналіз різних видів навчальної діяльності з метою
виокремлення розумових і практичних дій, які входять до їхнього
складу, та попереднє навчання учнів кожній з цих дій. Практика на-
вчання свідчить, що особливістю пізнавальної діяльності учнів, які
мають слабку підготовку з математики, є песформованість загальних і
специфічних розумових дій та прийомів розумової діяльності. Саме
вони становлять механізм мислення, і цим механізмом учні мають
оволодівати у процесі навчальної діяльності.
Діяльнісний підхід до організації навчання математики потребує,
щоб учень під час опрацювання навчального матеріалу здійснив пов-
ний цикл пізнавальних дій: сприйняв навчальний матеріал, усвідомив
його, запам’ятав, потренувався в застосуванні знань на практиці, от-
же, здійснив таку діяльність — повторення, поглиблення і міцне за-
своєння цього матеріалу. Тому, розробляючи методику вивчення кожної
теми програми, слід передбачити максимально сприятливі умови для
організації пізнавальних дій, які всі загалом і забезпечують оволодін-
ня учнями програмним матеріалом.
Діяльнісний підхід у навчанні широко застосовують у педагогіці та
методиках навчання різних предметних галузей, зокрема математики,
оскільки він дає можливість ефективно розв’язувати багато завдань
навчання, розвитку і виховання. Діяльнісна теорія учіння по праву
домінує в сучасній дидактиці й методиках навчання.
Водночас, коли постає питання про джерела і механізми творчості,
внеску окремого суб’єкта в науку і культуру, при їх описанні і пояс-
ненні апарат теорії діяльності виявляє свою принципову обмеженість.
Унікальність і неповторність особистості, провідна роль несвідомого,
інтуїції в творчих діях не можуть бути розкриті за допомогою понять
теорії діяльності.
Слід визнати, що в будь-яких творчих діях наявна сильно вираже-
на діяльнісна складова, і діяльнісний підхід щодо вивчення творчості
правомірний і часто дуже плідний. Водночас у тлумаченні творчої дії
як діяльності залишається нерозкритим найістотніше — джерела твор-
чості.
2.2. Роль загальних розумових дій і прийомів
розумової діяльності у навчанні математики
Найповнішу характеристику механізму мислення і ііого складових
дій (операцій) з використанням математичного матеріалу подано у
праці С. Л. Рубінштейна [316], в якій переконливо показано провідну
роль аналізу і синтезу в процесі мислення.
38
Аналіз і синтез. Аналіз (від грец. — розклад, розчле-
нування) і синтез (від грец. — з’єднання, складання) —
взаємообернені дії, складові процесу мислення. Цими термінами на-
зивають також і реальний поділ або з’єднання матеріальних об’єктів,
подій, явищ, хімічних сполук з метою детального дослідження.
У методиці навчання математики аналіз використовують під час
розв’язування задач і доведення теорем, коли у формулюванні задачі або
теореми відокремлюють умови і вимоги, виділяють величини, фігури,
про які йдеться в задачі або теоремі, елементи фігури чи інші фігури,
що входять до складу даної, формулюють етапи розв’язування задачі
тощо. Вживають також терміни: «аналіз уроку», коли розглядають його
складові частини для з’ясування, чи досягнуто поставлених цілей; «ана-
ліз контрольної роботи», коли ставиться завдання визначити типові по-
милки, яких припустилися учні, і здійснити корекцію знань і умінь.
У реальній розумовій діяльності аналіз і синтез нерозривно пов’язані.
Особливо яскраво це виявляється під час розв’язування задач і доведен-
ня теорем. С. Л Рубінштейи у зв’язку з цим виокремлює важливу фор-
му аналізу — аналіз, який здійснюється через синтез, і називає його
«основним нервом будь-якої розумової діяльності». Сутність його поля-
гає в тому, що об’єкт у процесі мислення включається в дедалі нові
зв’язки і внаслідок цього виступає щоразу в новій якості, які фіксуються
в нових поняттях; з об’єкта, таким чином, ніби видобувається щоразу
новий зміст, він ніби повертається кожного разу іншим боком, у ньому
виявляються нові властивості [316, 98— 99].
Наведемо приклади розв’язування задач, в яких застосовано прийом
аналізу через синтез.
Задача 2.1. У дАВС бісектриси кутів А і С перетинаються в точці О, через яку
проведено пряму ОЕ, паралельну АС. Довести, що довжина відрізка ОЕ дорівнює
сумі довжин відрізків бічних сторін, що прилягають до основи АС (рис. 2.1).
Розв'язання. Оскільки ОЕ = ОО + ОЕ, то
для розв’язання задачі досить довести, що
ОО = ОА і ЕО = ЕС. Виокремимо на рисунку
відрізок АО і проаналізуємо його з погляду
різних понять. Справді:
1) АО — відрізок бісектриси кута А (за умо-
вою), тому ЛОАО = ^ОАС',
2) АО — відрізок січної між паралельними
прямими ОЕ і АС, тому АОЛС = АООА', Тоді
ХОАО = гООА;
3) АО — основа лАОО, при якій рівні кути трикутника. Отже, аАОО — рів-
нобедрениіі, тому ОА = ОО. Аналогічно можна довести, що ЕО = ЕС.
У процесі розв’язування відрізок АО виокремили (аналіз), зіста-
вили з іншими елементами рисунка (синтез) і включили у нові
зв’язки, що й дало можливість розв’язати задачу.
39
г 1
Приклад 2.1. Розв’язати рівняння 3 =
Щоб розв’язати це найпростіше показникове рівняння, учні мають відокремити
(аналіз) праву частину і переосмислити звичайний дріб — як степінь числа 3.
81
Записавши рівняння у вигляді 3* = З'4, зіставити (синтез) ліву і праву частини і
прирівняти показники. Отже, х = -4.
Приклад 2.2. Розв’язати рівняння 2х =32 +1.
Поділивши обидві частини рівняння на вираз 2х Ф 0, учні дістають рівняння
І “2“ І + Виокремивши (аналіз) дроби і —, потрібно переосмислити
їх як значення тригонометричних функцій СО8~ І ЗІП^Г. Дістанемо рівняння
о 6
Ч5іпїї) =1-
Порівнюючи (синтез) його з відомою тригонометричною тотожністю, учні до-
ходять висновку, що в заданому рівнянні х = 2.
Аналіз через синтез як прийом розумової діяльності інколи на-
зивають «прийомом переосмислення елементів задачі». Цьому прийо-
му корисно цілеспрямовано навчати учнів.
У методиці навчання математики аналізом і синтезом традиційно нази-
вають також два протилежні щодо розвитку думки міркування, якими по-
слуговуються під час розв’язування задач і доведення теорем. Аналіз —
міркування від того, що потрібно знайти або довести, до того, що дано
або встановлено раніше. Синтез — міркування у зворотному напрямі.
Порівняння — це розумова дія, спрямована на виокремлення спіль-
ного і відмінного в предметах і явищах. Порівняння починається зі
співставлений предметів або явищ, тобто із синтезу, а далі відбува-
ється аналіз порівнюваних об’єктів, виявлення в них спільного (одна-
кового) і відмінного. Виокремлене завдяки аналізу істотне спільне
об’єднує, тобто синтезує об’єкти. Цим самим здійснюється узагаль-
нення. Порівняння — обов’язкова умова абстрагування й узагальнен-
ня. Тому ще К. Д. Ушинський вважав, що порівняння — основа будь-
якого розуміння і мислення, основна умова продуктивності мислення,
а отже, і будь-якої аналітико-синтетичної діяльності.
Розрізняють дві форми порівняння — зіставлення і протиставлен-
ня. Зіставлення — це розумова дія, спрямована на виокремлення
істотних ознак, спільних для деяких об’єктів. Протиставлення спря-
моване на виявлення відмінного, неістотного, чим можна знехтувати.
Порівняння виконують лише в сукупності однорідних об’єктів, які
утворюють певний клас. Наприклад, вводячи поняття «паралельні прямі»,
у планіметрії розглядають можливі положення двох прямих на площині
(рис. 2.2). Порівнюючи різні пари прямих, учні з’ясовують, що пари / і З
мають істотне спільне — воші перетинаються. Для пар 2, 4, 5 істотним
40
спільним є те, що вони не перетинаються, а
неістотним — відстань між прямими, їх по-
ложення на площині (горизонтальні, розмі-
щені вертикально, під певним кутом).
Абстрагування — розумова дія, спря-
мована на виявлення в предметах і яви-
щах істотного і відокремлення неістотного
в них. Результатом абстрагування зазви-
чай є абстракції — образи, створені люд-
ським розумом.
Термін «абстракція» вживають також
для позначення методу наукового дослі-
дження під час вивчення певних об’єктів,
явищ, процесів, коли не враховують їхні
неістотні ознаки. Це дає змогу спростити картину явища і розглядати
його ніби в «чистому вигляді». Наприклад, такі геометричні фігури,
як точка, пряма, площина, виявились результатом абстрагування від
властивостей реальних об’єктів, від яких вони походять: товщини
(прямої, площини), розмірів (точки). Водночас властивості прямих,
точок (математичних абстракцій) використовують для розв’язування
практичних задач з реальними об’єктами.
Узагальнення. Цим терміном позначають процес виявлення спільного
в заданих предметах і явищах. С. Л. Рубінштейн показав неправомір-
ність такого розуміння узагальнення. На його думку, узагальнення —
практично значиме і науково виправдане — це не виокремлення взагалі
будь-яких спільних властивостей, в яких предмети або явища подібні,
незалежно від того, що це за властивості; наукове узагальнення об’єднує
не взагалі властивості, спільні або подібні для певних явищ, а властиво-
сті, істотні для них [316, 40]. Істотні — це такі спільні властивості, які
не можна відокремити від певного класу предметів. Вони однозначно
відрізняють будь-який предмет певного класу від предметів інших кла-
сів. Логіка істотними вважає такі незалежні ознаки об’єкта, кожна з
яких є необхідною, а всі разом — достатніми для того, щоб він належав
до певного поняття. Наприклад, сприймаючи поняття «зовнішній кут
трикутника», учні мають знайти в запропонованому наочному матері-
алі (рисунках) істотну ознаку, спільну для всіх зовнішніх кутів трикут-
ників — бути суміжним внутрішньому куту, і неістотні, якими відріз
пяються зовнішні кути трикутника (величина кута, розміщення три-
кутника і відповідного зовнішнього кута на площині).
Узагальненнями послуговуються в різних видах навчально-пізна-
вальної діяльності під час вивчення математики: формулюючи поняття,
доводячи теореми, розв’язуючи задачі. Тому навчити прийомів правиль-
ного узагальнення — одне з найважливіших завдань. Необхідною умо-
вою формування правильних узагальнень є варіювання неістотних ознак
понять, властивостей, фактів за сталості істотних ознак.
41
У практиці навчання математики використовують здебільшого два
прийоми узагальнення.
Перший прийом — учні зіставляють задані об’єкти (наприклад,
фігури в геометрії, вирази, формули, рівняння в алгебрі), виокремлю-
ють і формулюють їхні істотні спільні властивості, залишаючи осторонь
неістотні (абстрагуючись від них), і об’єднують об’єкти за цими власти-
востями (узагальнюють). При цьому учням невідомі загальні істотні вла-
стивості, вони виявляють їх самостійно. Другий прийом — учні знають,
які істотні спільні властивості потрібно виявити, тому із даних об’єктів
вони виокремлюють ті, які відповідають змісту поняття, що формулю-
ється, зіставляючи, виокремлюючи в кожному об’єкті ці властивості, і
об’єднують об’єкти за істотними спільними властивостями.
Узагальнення під час доведення теорем полягає в тому, що дове-
дена теорема, наприклад про властивість даного рівпобедреного три-
кутника, поширюється на всі рівнобедреиі трикутники. Якщо учень
не може довести теорему, коли трикутник інакше розміщено на пло-
щині і змінено букви для позначення, то це означає, що узагальнення
не відбулося і доведення сприйняте формально.
Узагальнення теорем відбувається і за змістом. Наприклад, теорема
косинусів є узагальненням теореми Піфагора. Можливе узагальнення і
задач. Приклади узагальнення задач наведено в посібнику [35].
Встановлення і використання аналогії. Аналогія (від грец.
а\'аХоу(а — відповідність, подібність) — прийом розумової діяльнос-
ті, спрямований на отримання нових знань про властивості, ознаки,
відношення предметів і явищ, що вивчаються, на підставі знань про
їхню часткову подібність.
У найпростіших випадках міркування за аналогією можна відобра-
зити такою схемою:
Останнім часом філософи вважають аналогію не лише категорією ло-
гіки, а й категорією психології. Щодо думки, згідно з якою проблема
аналогії належить радше до психології, ніж до логіки, А. 1. Уйомов
вважає, що аналогія є одним із різновидів асоціацій за подібністю, на
основі якої одна думка спричинює іншу. В одних випадках така асоціа-
ція допомагає досягненню істини, а в інших — заважає, проте яким буде
результат, заздалегідь сказати не можна. Аналогії дуже часто притаман-
на велика переконливість, оскільки асоціація, що спричинила ту чи іншу
42
думку в однієї людини, може зумовити виникнення її і в інших. Однак
цю переконливість не слід ототожнювати з обґрунтованістю. Такою є
психологічна концепція аналогії (Уемов А. И. Основньїе формьі и пра-
вила вьіводов по аналогии. — М.: Наука, 1964. — 410 с.).
Висновки за аналогією можуть виявитись або правильними, або
хибними, тобто мають гіпотетичний характер. Вони потребують спеці-
ального обґрунтування правильності чи хибності за допомогою дедук-
тивних міркувань (доведень).
Аналогію як логічний метод наукового пізнання широко викорис-
товують у математиці та інших науках. Не менш важлива роль анало-
гій у навчанні математики в школі під час формування понять, на-
вчання доведенню тверджень і розв’язування різних задач.
Використання аналогій під час формування понять сприяє активізації
розумової діяльності школярів, оскільки, зрозумівши, що нове поняття
аналогічне відомому раніше, учень може припустити збіг властивостей
цих понять. Порівняння аналогічних понять дає можливість встановити
однакові властивості, а також виявити властивості, що не збігаються
(наприклад, для понять «числова рівність» і «числова нерівність»). Це
сприяє глибшому усвідомленню властивостей нових понять, міцному їх
запам’ятовуванню і запобіганню помилок. Великі можливості викорис-
тання аналогій під час формування основних понять курсу стереометрії.
Якщо вчитель вдало спрямовує мислення учнів, то вони самостійно ви-
значають пари аналогічних понять: коло та сфера, круг і куля, кут і
двогранний кут, паралельні прямі й паралельні площини, трикутник і
тетраедр, паралелограм і паралелепіпед тощо.
Порівнюючи аналогічні поняття, висновки зручно подати у вигляді
таблиці. Наприклад, вивчаючи паралелепіпед, можна запропонувати
учням таблицю порівняння його властивостей з властивостями прямо-
кутника і паралелограма (табл. 2.1).
Таблиця 2.1. Порівняльна таблиця властивостей прямокутника
і паралелепіпеда
Прямокутник Паралелепіпед
Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох ного вимірів Діагоналі прямокутника рівні Протилежні сторони паралелограма — рівні відрізки Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл Протилсяші кути паралелограма рівні Квадрат діагоналі прямокутного парале- лепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні Протилежні грані паралелепіпеда — рівні паралелограми Діагоналі паралелепіпеда в точці перетину діляться навпіл Протилежні двогранні кути паралелепіпе- да рівні. Протилежні тригранні кути па- ралелепіпеда нерівні
43
При вивченні лінійних рівнянь і нерівностей з однією змінною
таблиця порівняння відповідного навчального матеріалу дає можли-
вість краще усвідомити і запам’ятати спільне і відмінне в означеннях,
способі розв’язування та множині розв’язків (табл. 2.2).
Таблиця 2.2. Порівняльна таблиця властивостей лінійних рівнянь
і лінійних нерівностей з однією змінною
Лінійне рівняння Лінійна нерівність 3 однією змінною
Рівняння вигляду ах + Ь = 0, де а і Ь — деякі числа, х — невідома, на- зивається лінійним Якщо а ± 0, то рівняння ах + Ь - 0 має єдиний корінь х = а Якщо а = 0 і 6 = 0, то множиною коренів такого рівняння є множина всіх чисел Якщо « = 0 і Ь*0, то рівняння не має коренів, тобто множина коренів — порожня множина Нерівність вигляду ах + Ь > 0 або ах + Ь < < 0, де а і Ь — числа, х — змінна, назива- ється лінійною Якщо а Ф 0, то множиною розв’язків лі- нійної нерівності ах + Ь < 0 є множина чисел або ( + °°) Якщо а = 0, то множиною розв’язків такої нерівності є множина всіх чисел (при Ь > 0) або порожня множина (при Ь < 0) Якщо а Ф 0, то множиною розв’язків ліній- ної нерівності ах + Ь > 0 є множини чисел Якщо а = 0 і Ь < 0, то множиною розв’яз- ків цієї нерівності є порожня множина, при а = 0 і Ь > 0 — множина всіх чисел
Індукція і дедукція. Форму мислення, за допомогою якої на під-
ставі знання про окреме робиться висновок про загальне, називають
індукцією (від лат. іпдисііо — наведення).
Форму мислення, за допомогою якої від відомого загального твер-
дження переходять до мент загальних або окремих, називають дедук-
цією (від лат. дедисііо — виводжу).
У шкільному курсі математики розрізняють три види індукції (ін-
дуктивних умовиводів).
Неповна індукція — міркування від окремого до загального, тобто
умовивід, який ґрунтується на вивченні властивостей окремих об’єк-
тів певної сукупності й поширюється на всі її об’єкти. Наприклад,
побудувавши за точками графіки кількох лінійних функцій у =
-кх + Ь, учні переконуються, що їх графіком є пряма лінія. Після
цього вони за індукцією роблять висновок, що графіком будь-якої
лінійної функції є пряма лінія. Цей умовивід правильний, хоча й
має характер гіпотези, доки не буде доведений в аналітичній
геометрії.
44
Наведемо ще один приклад. Обчисливши значення виразу 991п2 +1
за п = 1, 2, 3, 4, 5, 6, дістанемо числа, які не можна подати у ви-
гляді квадрата натурального числа. Логічно припустити, що для всіх
7
натуральних п числа вигляду 991и +1 не є квадратами натуральних
чисел. Цей умовивід неправильний, оскільки за допомогою комп'ю-
терного дослідження було знайдене число
п = 12055735790331359447442538767,
2
за якого значення виразу 99 іп +1 є квадратом числа
379 516 400 906 811 930 638 014 896 080.
Отже, умовиводи, отримані за допомогою методу неповної індук-
ції, лише правдоподібні, тому потребують доведення.
Повна індукція — умовивід, у правильності якого переконуються,
розглядаючи всі окремі випадки (об’єкти, фігури, числа), що утворюють
скінченну множину. Наприклад, доводячи теорему про вимірювання
вписаного в коло кута, розглядають всі три окремі випадки (центр кола
належить одній із сторін кута, лежить між сторонами, міститься поза
кутом). Доведення властивостей показникової функції передбачає роз-
гляд усіх можливих випадків належності показника до різних множин
чисел (натуральний показник, цілий, дробовий та ірраціональний).
Твердження, що ґрунтуються на застосуванні методу повної індук-
ції, завжди правильні, тобто повна індукція є методом доведення.
Математична індукція — один із найважливіших методів дове-
дення математичних тверджень, які охоплюють нескінченну кількість
випадків (залежать від натурального п). Він ґрунтується на принципі
(аксіомі) індукції.
2.3. Системний і комплексний підходи
у навчанні математики
Назва «системний підхід» походить від терміна «система» (від
грец. ойоттща — утворення, складання) — множина елементів, що
перебувають у зв’язках одне з одним і утворюють певну цілісність,
єдність. Розрізняють матеріальні та абстрактні системи. Перші поді-
ияють на системи неорганічної природи (фізичні, геологічні, хімічні
тощо) і живі системи (простіші біологічні системи, організми, попу-
ляції, види, екосистеми). Особливий клас матеріальних живих систем
становлять соціальні системи (від найпростіших об’єднань до соціаль-
но-економічної структури суспільства).
Абстрактні системи — це поняття, гіпотези, теорії, наукові знання
про системи, лінгвістичні (мовні), формалізовані, логічні та ін. Су-
часна наука досліджує різні системи за допомогою системного під-
45
ходу, який охоплює спеціальні теорії систем у кібернетиці, системо-
техніці, системному аналізі та інших галузях.
Яскравими прикладами абстрактних систем є математична наука і
шкільний курс математики.
Основним завданням системного підходу як напряму спеціальної
методології науки є розроблення методів дослідження й конструюван-
ня складних за організацією об’єктів як систем.
У педагогіці та методиці навчання математики системний підхід
спрямований на розкриття цілісності об’єктів навчання, виявлення в
них різних типів зв’язків і зведення в єдину теоретичну характерис-
тику. Як систему можна розглядати також будь-яку пізнавальну діяль-
ність. її складовими будуть суб’єкт пізнання (учень), процес, продукт
і мета пізнання, умови, за яких відбувається пізнавальна діяльність.
Складові системи (підсистеми) можна розглядати як самостійні
системи. С. Л. Рубінштейн свого часу зазначав, що, оскільки все у
реальному світі системне, взаємозумовлене, взаємопов’язане, то знан-
ня, які описують різноманітність форм цього світу, мають бути систем-
ними. Оволодіння системою математичних знань, навичок, умінь є і
засобом, і метою стосовно розвивального навчання.
За Л. Я. Зоріною, під системністю слід розуміти «качество знаний,
которое характеризует наличие в сознании ученика структурних связей
или связей построения знаний внутри научной теории» (Зорина Л. Я.
Системность — качество знаний. — М.: Знание, 1976).
К. Д. Ушинський писав: «Ум єсть не что иное, как хорошо орга-
низованная система знаний».
Системні знання — це знання, які вибудовуються у свідомості уч-
нів за схемою: основні наукові поняття — основні положення теорії —
наслідки — застосування. Саме так будуються математичні знання.
Потрібно надати учням не лише фактичні знання математичної теорії,
а й методологічні відомості про основні елементи знань і структурні
зв’язки між ними (математичними поняттями, аксіомами, теоремами,
алгоритмами, правилами) і способами діяльності (навичками і умін-
нями). При цьому елементами знань називають знання, яким прита-
манна певна самостійність, тобто ті, що в навчальному процесі стають
або об’єктом навчання, або засобом розв’язання теоретичних, практич-
них чи навчальних завдань.
Психологами виявлено системний характер розумової діяльності уч-
нів, яка відбувається у вигляді узагальнених асоціативних зв’язків вклю-
ченням їх у зв’язки вищого порядку [383]. У роботах І. М. Сєченова й
І. П. Павлова асоціації виступають як механізми забезпечення систем-
ності розумової діяльності людини. Нагадаємо, що асоціація — це зако-
номірний зв’язок кількох психічних процесів, який виражається в
тому, що поява одного з цих процесів спричинює появу іншого (асо-
ціації за подібністю, за відмінністю, за суміжністю). У дидактиці це
поняття пов’язується з наступністю. «Преемственность в обучении
46
состоит в установлений необходимой связи и правильного соотноше-
ния между частими учебного материала на разньїх ступенях его изу-
чения» [279, т. З, 155]. Зв’язки можуть бути встановлені в межах од-
ного предмета (внутрішньопредметні зв’язки) або між різними пред-
метами (міжпредметні зв’язки).
На сучасному етапі розвитку загальноосвітньої школи у змісті на-
вчання наявні чотири основні складові:
1) знання про природу, суспільство, людину, техніку;
2) досвід здійснення відомих способів діяльності;
3) досвід творчої діяльності;
4) досвід емоційно-ціннісного ставлення до навколишнього життя.
Щоб забезпечити міцні системні знання, необхідно здійснювати
комплексний підхід до процесу навчання. Такий підхід ґрунтується
на застосуванні закону діалектики, відповідно до якого будь-які яви-
ща розглядаються у всіх зв’язках і опосередкуваннях, у єдності спіль-
ного, індивідуального й окремого.
Комплексний підхід до навчального процесу полягає у забезпечен-
ні єдності трьох параметрів:
1. Навчальний процес має бути єдністю соціального, психологічно-
го і педагогічного.
2. Єдність усіх функцій навчання (освітньої, розвивальної, виховної).
3. Єдність усіх компонентів навчального процесу в будь-якій мето-
дичній системі: цілей, змісту, методів, організаційних форм і засобів
навчання за провідної ролі цілей навчання.
2.4. Проблеми особистісно орієнтованого підходу
в процесі вивчення математики в школі
Упродовж трьох останніх десятиріч усі розвинені країни світу
здійснювали і продовжують здійснювати реформування освітніх сис-
тем. При цьому першочерговою метою реформування проголошува-
лось підвищення інтелектуального потенціалу нації, розвиток творчої
особистості. Вирішення проблеми розвитку інтелекту учнів середньої
школи певною мірою забезпечувалося психологічними теоріями на-
вчання, відповідними дидактичними і психологічними принципами і
технологіями навчання, методичними системами, що опрацьовували
методисти і вчителі-новатори. Ми маємо на увазі насамперед розроб-
лені в 50 —60-х роках минулого століття дві принципово різні педаго-
гічні системи розвпвального навчання: Л. В. Занкова (система інтен-
сивного всебічного розвитку) і Д. Б. Елькопіпа та В. В. Давидова, в
якій основну увагу приділено розвитку інтелектуальних здібностей
дитини, формуванню цілеспрямованої навчальної діяльності. Хоча
обидві системи були створені для початкової школи, основні їх поло-
ження виявились актуальними і для учнів інших вікових груп. Було
47
проведено, зокрема в Україні, низку досліджень щодо розвитку інте-
лекту, продуктивного мислення, творчої особистості учнів і вчителя.
Математика має широкі можливості щодо інтелектуального розвитку
учнів і впливу на особистість, тому цій проблемі приділялась і
приділяється нині велика увага.
І все-таки розвиток інтелекту — це лише один бік проблеми розвитку
особистості. Традиційне навчання математики більшою мірою було
зорієнтовано на розвиток логічного мислення і меншою — на розви-
ток особистісного потенціалу учнів.
Однак на початку XXI ст. постало завдання розвитку саме особис-
тісних якостей суб’єктів навчального процесу — учнів і вчителя.
Поворот освіти до особистості зумовлений глобальними процесами
гуманізації й демократизації соціуму, змінами у сфері економіки, со-
ціальними вимогами, потребами науково-технічного прогресу. Нині
виробничі сили вступили в якісно нову фазу розвитку, за якої їх про-
грес не можна забезпечити лише технічними чинниками без актуаліза-
ції сил саморозвитку, мотивації, співучасті та співавторства кожного ро-
бітника, різнобічного його розвитку. Американські економісти X. Боуен,
Д. Джоргенсои, Р. Рейч забезпечення такого розвитку індивіда нази-
вають «людськими інвестиціями», віддача від яких, за їх чіткими
розрахунками, відчутно вища від вкладень у фізичний капітал.
Отже, виховання особистості стає метою освіти, зокрема математич-
ної. Функції освіти полягають в тому, щоб засобами розвитку особистос-
ті забезпечити розвиток суспільства. У Концепції 12-річної загально-
освітньої школи України зазначено, що стратегічною метою школи є
життєва і соціальна компетентність учнів, яка передбачає розвиток і са-
морозвиток школярів на основі повнішого використання внутрішнього
потенціалу особистості. Належний рівень розвитку учнів позитивно
впливатиме і на якість навчання, і на їх інтелектуальний розвиток.
Особистісно орієнтована освіта як зміст особистісного розвитку ви-
значає розвиток тих функцій, які особистість виконує в життєдіяль-
ності індивіда: функцій вибору і цілепокладання, рефлексії, смислови-
значення, побудови образу свого «Я», прийняття рішень і відпові-
дальності за їх виконання, творчої самореалізації в обраній діяльнісній
сфері, забезпечення автономності й індивідуальності буття суб’єкта.
Зрозуміло, що створювати умови і забезпечувати розвиток цих
функцій особистості у процесі навчання математики значно важче,
ніж розвивати логічне мислення, просторові уявлення і уяву, алгорит-
мічну й інформаційну культуру, формувати уміння розв’язувати за-
дачі, доводити математичні твердження.
Проте парадигма особистісно орієнтованої освіти зобов’язує вчите-
ля математики і викладача вищого навчального закладу, який готує
вчителя, включати в зміст освіти крім предметної складової, що зада-
ється освітніми стандартами, навчальними програмами, ще й емоцій-
но-ціннісні, особистісні компоненти.
48
Нині є підстави говорити, що існують кілька концепцій особистіс-
но орієнтованої освіти. Потрібно вибирати ту, яка найбільшою мірою
відповідає специфіці математичної освіти і була б орієнтована не ли-
ше на засвоєння системи математичних знань, навичок і вмінь, а й на
розвиток і саморозвиток особистості учня та вчителя.
У системі особистісно орієнтованої математичної освіти надзвичай-
ної важливості набуває цілепокладання як основний регулятор обґрун-
тування процесу навчання математики. При цьому слід враховувати
кілька джерел цілепокладання: насамперед соціальне замовлення,
потреби особистості учня, вчителя математики, який найефективніше
реалізує технологію творіння особистості учня. Потрібно також усві-
домити, що особистісно орієнтована освіта — це не формування осо-
бистості із заданими наперед якостями, а створення сприятливих умов
для повноцінного виявлення і розвитку особистісних функцій школя-
ра, студента.
Важливо, щоб цілі навчання предмета, теми, окремих елементів
знань були не лише сформульовані вчителем, а й сприйняті учнями,
що забезпечити значно важче.
Наступна проблема — потреба визначення змісту математичної
освіти не лише в термінах предмета математики, як це зазвичай
прийнято в традиційній освіті, а й у термінах розвитку особистіс-
них функцій суб’єктів навчання — учня і вчителя. У цьому зв’язку
важливим є створення реальних державних освітніх стандартів як ос-
нови диференційованого навчання, розвитку і виховання. Особливо-
го значення набуває розв’язування прикладних задач, які виникають
за межами математики, але розв’язуються математичними метода-
ми. Слід зазначити, що ця проблема на певному рівні вирішується.
Проте часто учням (і студентам) пропонують прикладні задачі зі
штучними ситуаціями, яких насправді не існує ні в повсякденному
житті, ні в тих галузях науки чи виробництва, яких вони стосу-
ються.
Нині функцією змісту математичної освіти є не лише надання учням
системи математичних знань і вмінь, а й забезпечення цілісного орієнту-
вання у світі з позицій інтересів людини, ефективного використання ма-
тематичних знань і умінь для визначення учнем свого місця в житті,
продовження неперервної освіти впродовж усього життя.
Відомо, що навчання є відображувально-перетворювальною діяль-
ністю, оскільки спрямоване на перетворення особистого досвіду учня
засобами пізнання та самопізнання. Пізнавальні та перетворювальні
компоненти цієї діяльності взаємозумовлені. Перетворювальний харак-
тер навчання пов’язаний з активністю учня як суб’єкта діяльності.
Тому за умов особистісно орієнтованої математичної освіти потрібно
реконструювати і процесуально-методичну складову навчання. Доціль-
но розумно поєднувати пряме та контекстне, діалогове й інструктив-
не, індивідуальне та колективне навчання, створювати сприятливі
49
умови для репродуктивної, продуктивної та творчої діяльності, по-
єднувати зовнішнє регулювання вчителем навчання та самоосвіту,
застосовувати активні й інтерактивні методи навчання. При цьому
зміст навчання має об’єднувати змістовий і процесуальний компо-
ненти, забезпечувати взаємодію навчання й особистого досвіду
школяра.
Шкільний підручник за умов особистісно орієнтованої математичної
освіти має бути побудований так, що учень зміг самостійно обрати рівень
засвоєння навчального матеріалу і режим навчання відповідно до своїх
потреб і можливостей.
Тому і в змісті підручника, і в змісті обраної вчителем методичної
системи головна увага має приділятися рівневій диференціації на-
вчання, використанню розвивальних завдань, матеріалу, який сприяє
гуманізації та гуманітаризації математичної освіти, дає можливість
учням виявляти своє ставлення до того, що вивчається.
За умов особистісно орієнтованої математичної освіти під час під-
готовки вчителя зростає потреба актуалізації його особистісних влас-
тивостей і функцій як головного суб’єкта в організації навчально-
виховного пронесу. Тут потрібно розв’язувати двоєдине завдання: здій-
снювати особистісно орієнтований підхід у навчанні студентів (це за
вдання не лише педагогічних, а й усіх вищих закладів освіти) і готу-
вати майбутнього вчителя до здійснення особистісного підходу в на-
вчанні математики школярів.
На наш погляд, зазначені проблеми особистісно орієнтованої мате-
матичної освіти нині мають стати першочерговим предметом дисерта-
ційних досліджень з методики навчання математики, науково-дослід-
ної роботи викладачів кафедр педагогічних (і не тільки) вищих на-
вчальних закладів та вчителів-практиків. Потрібне, науково обгрунто-
ване розроблення технологій особистісно орієнтованої математичної
освіти як учнів загальноосвітніх шкіл, професійно-технічних закладів
всіх типів, так і студентів вищих закладів освіти. До такого висновку
дійшли й учасники семінару-наради головних редакторів освітянських
журналів: «Навіть з ризиком втрати певної суми знань, яку не засво-
їть учень, ми повинні формувати передусім особистість, але не за до-
помогою тиску, авторитаризму стосовно дитини, майбутньої особисто-
сті. Переконані, що дуже багато проблем у суспільстві, не тільки в
освіті, науці, а взагалі в демократії, ми розв’яжемо тоді, коли побу-
дуємо всю справу навчання і виховання на основі природних здібнос-
тей кожної людини» 1214].
До технології особистісно орієнтованого навчання, методичного
його забезпечення психологи (І. С. Якіманська та ін.) ставлять такі
вимоги:
1) зміст навчального матеріалу має забезпечувати виявлення зміс-
ту суб’єктного досвіду учня, зокрема досвіду його попереднього на-
вчання;
50
2) викладання знань в підручнику і вчителем на уроці має бути
спрямованим не лише на розширення обсягу, структурування, інтегру-
вання, узагальнення предметного змісту, а й на постійне перетворення
наявного суб’єктивного досвіду кожного учня. При цьому в процесі на-
вчання потрібно постійно узгоджувати суб’єктивний досвід учня з нау-
ковим змістом пропонованих знань; конструювання і організація на-
вчального матеріалу мають надавати можливість учню обирати його
зміст, вид і форму для виконання завдань, розв’язування задач;
3) виявлення і оцінювання способів навчальної роботи учня, якими
він користується самостійно, усталено, продуктивно;
4) потрібно забезпечити своєчасний контроль і оцінювання не
лише результатів, а здебільшого процесу навчання, уміння, тобто
тих трансформацій, які виконує учень, засвоюючи навчальний ма-
теріал.
Отже, робота зі способами навчальної діяльності учня має бути
основою організації особистісно орієнтованого освітнього процесу.
Прийоми цілепокладання, планування, рефлексії створюють підґрун-
тя для самоосвіти, самоорганізації учня.
ПРИНЦИПИ
І МЕТОДИ
З НАВЧАННЯ
МАТЕМАТИКИ
3.1. Принципи навчання математики
Важливими завданнями процесу навчання математики в школі є
такі: домогтися глибокого і міцного засвоєння учнями теоретичних
знань — математичних понять, тверджень про їхні властивості (аксіо-
ми, теореми), правил, законів; сформувати навички й уміння застосу-
вання теоретичних знань на практиці, оволодіння способами творчої
діяльності; досягти глибокого усвідомлення учнями світоглядних і
морально-етичних принципів. Слід розрізняти поняття «процес на-
вчання» і «процес здобуття освіти». Навчання, зокрема математики,
забезпечує освіту лише за умови його формувального впливу на осо-
бистість. М. Г. Чернишевський вважав, що для того щоб людина була
освіченою у повному розумінні слова, потрібні три властивості: ши-
рокі знання, звичка мислити і шляхетність почуттів.
На сучасному етапі розвитку школи дидактика трактує навчання
як цілеспрямований педагогічний процес організації та стимулювання
активної навчально-пізнавальної діяльності учнів для оволодіння нау-
ковими знаннями, навичками, уміннями, розвитку творчих здібнос-
тей, світогляду, морально-етичних поглядів і переконань. Процес на-
вчання — це процес взаємодії між тим, хто вчить, і тим, хто навча-
ється. Нагадаймо з курсу педагогіки: закономірності процесу навчан-
ня, що об’єктивно існують, виступають як основні вимоги до практич-
ної організації навчального процесу. Вони дістали назву дидактичних
принципів.
У підручнику (368] наведено вісім дидактичних принципів: 1) науко-
вості й ідейно-політичної спрямованості; 2) проблемності; 3) наочності;
4) активності та свідомості; 5) доступності; 6) систематичності й послі-
довності; 7) міцності; 8) єдності освіти, розвитку і виховання.
Зміст цих принципів розкрито в курсі педагогіки. Як самостійну
роботу пропонуємо інтерпретувати цей зміст на прикладах навчання
математики. Враховуючи, що основна мета загальноосвітньої школи —
всебічний розвиток особистості, у процесі навчання математики слід
ґрунтуватися на дидактичних і психологічних принципах розвиваль-
ного навчання.
52
Дидактичні принципи розвивального навчання сформулював у
60 —70-х роках XX ст. Л. В. Занков. Він вважав, що не будь-яке на-
вчання створює максимально сприятливі умови для розвитку учнів.
Потрібний ретельний добір змісту, методів, організаційних форм і
засобів навчання, щоб забезпечити ці умови. При цьому слід врахову-
вати такі важливі дидактичні принципи розвивального навчання.
Провідна роль теоретичних знань. У процесі навчання мате-
матики це означає, що не можна розпочинати формувати навички й
уміння застосування математичних знань доти, доки учні не засвоїли
основних понять, тверджень, правил, законів, методів.
Навчання швидкими темпами. У досвіді вчителів-новаторів
(В. Ф. Шаталов, Р. Г. Хазанкін та ін.) реалізація цього принципу по-
лягає у вивченні основного теоретичного матеріалу швидкими темпа-
ми на початку ознайомлення з темою, здійснення дійового контролю
його засвоєння і збільшення таким чином часу для розв’язування за-
дач. У процесі розв’язування задач теоретичний матеріал повторюєть-
ся, поглиблюється, закріплюється.
Навчання на високому, проте доступному рівні склад-
ності. Так само, як спортсмени розвивають свої фізичні можливості
на вправах високої складності, учні повинні розвивати мислення, ін-
телект на навчальних задачах високого рівня складності. Цей прин-
цип ґрунтується на введених ще в 30-х роках XX ст. психологом
Л. С. Виготським поняттях зони актуального і зони найближчого роз-
витку учнів. Учень працює в зоні актуального розвитку тоді, коли
розв’язує навчальні задачі в межах засвоєного ним навчального мате-
ріалу. Проте, як зазначав Л. С. Виготський, потрібно працювати на
завтрашній день учня, тобто працювати в зоні його найближчого роз-
витку. Це означає, що учень має працювати над навчальними задача-
ми, які він ще не спроможний розв’язати самостійно, але за незначної
допомоги вчителя або своїх товаришів він таким задачам дає раду.
Водночас об’єктивним фактом є те, що різні учні мають різні зони
актуального і найближчого розвитку. Саме тому за умов класно-урочної
системи слід здійснювати рівневу диференціацію, використовувати тру-
пові й індивідуальні форми роботи, виділяючи типологічні групи учнів,
які мають приблизно однаковий рівень загального розвитку, навченості,
темпу просування у навчанні, цікавості до математики.
Усвідомлення всіма учнями процесу навчання. Забезпечен-
ня цього принципу потребує від учителя копіткої роботи з тими, хто
відчуває труднощі в навчанні, з’ясування причин цього та організації
своєчасної педагогічної підтримки таких учнів.
Систематична робота вчителя над загальним розвитком
усіх учнів, зокрема найслабкіших. У процесі навчання математики
передусім передбачається розвиток мислення, оволодіння учнями за-
гальними розумовими діями і прийомами розумової діяльності. Практика
і дослідження психологів свідчать, що основною причиною слабкої під-
53
готовки учнів з математикм є насамперед несформованість дій аналізу,
синтезу, порівняння, абстрагування, узагальнення.
Психологічні принципи розвивального навчання сформульовано у
працях 3. 1. Калмикової [ 140; 141].
1. Систематичний розвиток основних видів мислення: наочно-дійово-
го (або практичного), наочно-образного й абстрактно-теоретичного.
2. Проблемність навчання. Учень лише тоді включається в пізна-
вальний процес, виявляє розумову активність, коли стикається з проб-
лемами (питаннями і задачами), які йому потрібно розв’язати.
3. Індивідуалізація та диференціація навчально-виховного процесу.
4. Цілеспрямоване формування алгоритмічних і евристичних при-
йомів розумової діяльності.
5. Систематичний розвиток мнемонічної діяльності (тобто розвиток
пам’яті) для забезпечення фонду дійових знань. На думку педагога і
психолога П. П. Блонського, порожня голова не міркує. Психологи
зазначають, що добре розвинена пам’ять є умовою розвиненого інте-
лекту. В процесі навчання математики слід прагнути запам’ятову-
вання учнями основних означень, тверджень, алгоритмів розв’язання
типових задач, навчати учнів спеціальних мнемонічних прийомів, які
полегшують запам’ятовування навчального матеріалу.
Важливою є також спеціальна настанова вчителя на те, що потріб-
но вивчити, перевести в довгострокову пам’ять, а що вивчається для
ознайомлення і не потребує заучування. Відсутність такого орієнту-
вання призводить до непотрібного перевантаження пам’яті учнів за
сумлінного ставлення їх ДО навчання або до ігнорування того, що слід
вивчити, запам’ятати.
і
3.2. Методи навчання математики
Слово «метод» грецького походження і в перекладі означає шлях
дослідження, спосіб пізнання.
Під методом навчання в дидактиці розуміють способи навчальної
роботи вчителя й організації навчально-пізнавальної діяльності учнів
з розв’язування різних дидактичних задач, спрямованих на оволодін-
ня матеріалом, що вивчається [368, 194].
Крім терміна «метод навчання» в дидактиці є термін «прийом на-
вчання», під яким найчастіше розуміють складову частину або окре-
мий аспект методу.
У педагогіці існує різна класифікація методів навчання залежно
івід вибору основи класифікації, а саме: за джерелом здобування
знань (словесні, наочні, практичні), за способами організації навчаль-
ної діяльності учнів (методи здобування нових знань, методи форму-
вання умінь та навичок і застосування знань на практиці, методи
перевірки й оцінювання знань, умінь та навичок), за характером на-
І54
вчально-пізнавальної діяльності учнів (І. Я. Лернер і М. М. Скат-
кін): а) пояснювально-ілюстративний (розповідь, лекція, пояснення,
робота з підручником, демонстрації та іп.); б) репродуктивний (від-
творення знань і способів дій, діяльність за алгоритмом, програмою);
в) проблемний виклад; г) частково-пошуковий, або евристична бесіда;
д) дослідницький метод. Останні три методи використовують під час
проблемного навчання як дидактичної системи.
Проілюструємо застосування методів навчання математики за ха-
рактером навчально-пізнавальної діяльності учнів.
Пояснювально-ілюстративний метод. Ним послуговуються, вво-
дячи математичні поняття, вивчаючи аксіоми, теореми і способи
розв’язування різних класів задач. Наприклад, під час вивчення по-
няття функції в курсі алгебри 8 класу вчитель наводить приклади
залежності між змінними величинами і об’єктами іншої природи, що
задані за допомогою формули, графіка, таблиці, і формулює озна-
чення функції як залежності між змінними, за якої кожному значен-
ню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної.
Вводяться поняття аргумент, область визначення, область значень
функції; розв’язуються вправи на відшукання значень функції за да-
ним значенням аргументу. Вводячи поняття функції, вчитель може
лати учням історичну довідку про те, іцо вперше термін «функція» за-
стосував Г. Лейбніц (1646—1716) у XVII ст. Перше означення функції в
1718 р. сформулював учень і соратник Лсйбніца Й. Берпуллі (1667 —
1748). Загальніше, фактично сучасне, означення функції сформулював
у 1834 р. М. І. Лобачевський, а трьома роками пізніше — математик і
філософ Б. Больцано (1781 —1848).
Репродуктивний метод. Його використовують для закріплення на
уроці нового матеріалу, перевірки домашнього завдання (учні відтво-
рюють розв'язання задач, формулювання та доведення теорем, озна-
чення математичних понять, правила тощо). На уроках, де форму-
ються уміння і навички розв’язування прикладів, задач, застосування
репродуктивного методу виявляється в діяльності учнів під час
розв’язування вправ і задач за зразком, який дано вчителем або наве-
дено в підручнику, в діяльності за певним алгоритмом. При цьому
діяльність за зразком має здійснюватись не за вказівкою «роби те, що
роблю я», а за порадою «роби так, як роблю я».
Недоліком двох названих методів є те, що вони недостатньо сприя-
ють розвитку продуктивного мислення, пізнавальній активності й
самостійності учнів. Водночас недооцінка репродуктивної діяльності
учнів призводить до того, що в них не формується фонд дійових знань,
який є необхідною умовою для можливостей організації самостійної
пізнавальної діяльності, розвитку творчого мислення і продуктивної
діяльності,
Наступні три методи проблемного навчання спрямовані на усунен-
ня зазначених недоліків.
55
Проблемний виклад. Цей метод навчання математики полягає в
тому, що, пояснюючи навчальний матеріал, учитель сам формулює
проблеми і зазвичай сам їх розв’язує. Однак постановка проблем по-
силює увагу учнів, активізує процес сприймання і усвідомлення того,
що пояснює вчитель. Наприклад, доводячи третю ознаку рівності
трикутників (за трьома сторонами), вчитель ставить проблеми на кож-
ному етапі доведення теореми і сам проводить потрібні обґрунтуван-
ня, оскільки досить складна для учнів 7 класу структура доведення
теореми не дає можливості організувати колективне доведення самими
учнями.
Частково-пошуковий метод, або евристична бесіда. За цього ме-
тоду вчитель заздалегідь готує систему запитань, відповідаючи на які
учні самостійно формулюють означення поняття, «відкривають» до-
ведення теореми, знаходять спосіб розв’язування задачі.
Наведемо приклади евристичної бесіди, яку можна провести під
час формування математичного поняття і доведення теореми.
Пояснюючи поняття лінійного рівняння з двома невідомими в
7 класі, вивчення нового матеріалу починають з аналізу рівнянь з дво-
ма невідомими, заздалегідь записаних на дошці:
1) 3*+ 7//= 5;
2) л2 + 2^2 = 16;
3) 1,6* = 3/-25;
4) 4 - Зх + у = 0;
5) 0 • х + Ту = 1,3;
6) у = х + —;
х
7) х - у = 0;
8) 12*+ 0-з/= 8;
9) ху + 8 = 0;
10) 0 • х + 0 у = 10;
11) 0 * + 0-з/ = 10;
12) *2 + з/2 - Зху = 0.
Рівняння 1), 3), 4), 5), 7), 8), 10), 11) записано кольоровою крей-
|дою. Головне завдання вчителя — спрямувати аналіз рівнянь так, щоб
учні самостійно помітили істотні розпізнавальні властивості лінійного
рівняння з двома невідомими, за якими можна розрізнити рівняння цьо-
го виду серед інших і сформулювати означення. При цьому модель
управління розумовою діяльністю учнів може мати такий вигляд.
Учитель. Які рівняння записано на дошці?
Учень. Записано рівняння з двома невідомими.
Учитель. Зіставте рівняння, записані кольоровою крейдою, і спробуйте
помітити спільні властивості, що відрізняють їх від решти рівнянь.
Учень. До виділених рівнянь невідомі входять у першому степені (спочатку
учні помічають саме цю властивість).
У ч и т е л ь. Однак до рівняння 9) кожна невідома також входить у першому
зтепені (семикласники ще не знають степеня одночлена).
Учень. У виділених рівняннях кожний член з невідомою містить лише одну
тевідому.
Учитель. У рівнянні 6) кожний член містить також лише одну невідому.
Учень. У виділених рівняннях члени з невідомою є добутком числа на неві-
іому в першому степені.
І6
Учи
нянн ; т є л ь. Підведемо підсумок. Отже, ви помітили, що виділені кольором рів-
М&10ТЬ дві істотні властивості: 1) кожний член рівняння містить не більш як
У невідОЬіу. 2) члени з невідомою є добутком числа на перший степінь невідомої.
ехстотними властивостями поняття лінійного рівняння з двома
нев1Д°кіИмтІ є значення коефіцієнтів і вільного члена.
тім учитель пропонує записати виділені рівняння так, щоб чле-
3 НеВідомими містились у лівій частині, а вільний член — у правій, і
записати всі рівняння в загальному вигляді, скориставшись для по-
значеніїя Коефіцієнтів при невідомих буквами а, Ь, вільного члена — с.
Записують усі рівняння у вигляді ах + Ьх = с і формулюють
означЄ1ІНЯ 1нсля
цього розв’язують кілька усних вправ на підведення
До нового поняття (розпізнавання лінійного рівняння серед інших
РІВВЯНЬ з двома невідомими). Учні називають при цьому значення
коефіцієнтів а, Ь і вільного члена с. ---.
. ведемо ще один приклад. У 10 класі на
Уроці геометрії вивчається теорема 15.1 (за /
л*ЛРУЧниКом О. В. Погорєлова [291] про мож- / І
ЛИВІСТЦ Проведення площини, І ТІЛЬКИ ОДНІЄЇ, (а В у
(рис3 і точку, що не лежить на ній а
Вчцтель
звертає увагу на те, що доведення Рис-
Цієї теореми має складатися з двох частин: спочатку доводиться існу-
вання площини, що проходить через дану пряму і точку, яка не ле-
. Ва ній, тобто доводиться можливість проведення цієї площини;
потім обґрунтовується її єдиність. Модель організації колективного
пошУКу доведення може виглядати так.
У Ч и Т
У ч е н
У ч и Т
У ч с ц
У ч и т
У Ч е н
точки, що
У ч
. ит е л ь. Доведемо можливість проведення площини за даних умов. Яка
У ’’ стереометрії обгрунтовує можливість проведення площини?
4 Є Н ь. Аксіома про можливість проведення площини через дві різні прямі,
ЩО пеРстинаються
„ ,, 2і и т е л ь. До якої додаткової побудови підводить нас ця аксіома, щоб мож-
ЛИВО СШ ПҐ\ »-
л'ло провести площину заданих умов?
ь. Потрібно провести ще одну пряму, яка перетинала б пряму а.
ель. Яка аксіома обгрунтовує можливість проведення прямої?
ь. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну,
ель. Через які дві точки проводитимемо ще одну пряму?
ь. Через точку В і вибрану на прямій а довільну точку А.
ель. Яка аксіома обгрунтовує можливість вибору точки А?
ь. Хоча б якою була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і
У не належать їй.
4 и т е л ь. Проведемо пряму Ь через точки А і В. Прямі а і Ь різні, оскіль-
т°чка в прямої Ь не належить а. Через дві прямі а і Ь проведемо площину а.
Доведемо
що площина а — єдина.
ДИак чн є потреба доводити єдиність площини, якщо через дві прямі, що пс-
* аЮТЬся, можна провести площину, і лише одну? Виявляється, що є, оскільки
точку обрано на прямій а довільно.
57
Яким методом у математиці доводиться єдиність чого-небудь?
У че и ь. Методом від супротивного.
У ч и т е л ь пропонує довести єдиність площини а, користуючись алгорит-
мом методу від супротивного.
Дослідницький метод передбачає самостійний пошук розв’язання
пізнавальної задачі. При цьому може виявитися, що проблему має
сформулювати сам учень або її формулює вчитель, але розв’язують
учні самостійно. Наведемо приклад.
У 9 класі після вивчення формул для обчислення площ прямокут-
ника, паралелограма, трикутника перед учнями ставлять проблему —
знайти формулу для обчислення площі трапеції, ґрунтуючись на вже
вивчених формулах обчислення площ фігур. Одні учні можуть
провести діагональ трапеції і звести обчислення її площі до визна-
чення суми площ двох трикутників, па які вона розіб’ється, другі
можуть добудувати трапецію до паралелограма, треті — побудува-
ти трикутник, площа якого дорівнює площі трапеції, або скориста-
тися іншими можливими способами. Колективне обговорення напри-
кінці уроку способів знаходження формули площі трапеції максималь-
но активізує увагу і тих учнів, які самі не змогли знайти потрібну
формулу.
Існують специфічні методи навчання, характерні для шкільного
курсу математики. Розглянемо деякі з них.
Метод доцільних задач. Його запропонував наприкінці XIX ст.
С. І. Шохор-1 роцький. Належить він фактично до методів про-
блемного навчання. Згідно з цим методом навчання математики
здійснюється за допомогою задач. Із задач починається вивчення
будь-якої теми, що забезпечує мотивацію вивчення теоретичного
матеріалу. Вивчаючи теоретичний матеріал теми, учні переважно
розв’язують задачі. Теореми в геометрії доводять лише ті, які для
учнів не є очевидними, але й не потребують поглиблених мірку-
вань.
Практика свідчить, що значення методу доцільних задач не можна
перебільшувати і формально дотримуватися його. По-перше, вивчення
не кожної теми доцільно розпочинати з розв’язування задач, по-
друге, не можна недооцінювати значення теоретичних знань.
Абстрактно-дедуктивний і конкретно-індуктивний методи на-
вчання. Ці методи набули неабиякого поширення у навчанні матема-
тики. Вперше їх докладно проаналізував К. Ф. Лебедпнцев.
Суть абстрактно-дедуктивного методу навчання полягає в тому,
що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам наводить
означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні прикла-
ди об’єктів, що належать до цих понять. Формулюється й доводиться
теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади засто-
сування нового теоретичного матеріалу.
58
Конкретно-індуктивний метод навчання протилежний абстракт-
но-дедуктивному. За цього методу пояснення нового матеріалу почи-
нається з розгляду прикладів. Використовуючи приклади, учні мають
можливість виявити істотні властивості поняття, що вводиться. Це
допомагає самостійно чи за допомогою вчителя сформулювати озна-
чення поняття. Рисунок до теореми дає змогу учням виявити власти-
вості зображеної фігури і самостійно чи за допомогою вчителя сфор-
мулювати теорему. Наведемо приклади.
У 9 класі запроваджується поняття кута, вписаного в коло. За аб-
страктно-дедуктивного методу навчання вчитель відразу розпочинає з
формулювання означення вписаного в коло кута й ілюструє його кон-
кретними прикладами. За конкретно-індуктивного методу навчання
вчитель пропонує учням рисунок на дошці (рис. 3.2), на якому зо-
бражено кілька різних кутів, пов’язаних з колом. Вписані кути на
рисунку зображено одним кольором (тут — потовщеними лініями).
Учням пропонується порівняти кути, виділені кольором, і назвати
їхні істотні спільні властивості. Учні помічають, що вершини кутів
лежать на колі, а сторони перетинають це коло. Вчитель пропонує
учням сформулювати означення; звертає увагу на неістотні власти-
вості вписаних кутів (величина, розміщення центра кола відносно
сторін).
Під час вивчення теореми про вимірювання вписаних кутів абстрак-
тно-дедуктивним методом вчитель формулює теорему і доводить її
сам чи залучає до доведення теореми учнів, послуговуючись методом
евристичної бесіди. За конкретно-індуктивного методу навчання вчи-
тель може запропонувати учням побудувати в зошиті довільно вписа-
ний кут і відповідний йому центральний кут, провівши з центра О
радіуси в точки А і С перетину кола сторонами вписаного кута
(рис. 3.3). Потім потрібно виміряти транспортиром вписаний кут
АВС, відповідний центральний кут АОС і порівняти їхні градусні
міри. Учні роблять висновок, що вписаний кут дорівнює половині
відповідного центрального кута. Учень формулює теорему, учитель
пропонує довести її.
59
3.3. Самостійна робота учнів
Крім усного викладу теоретичних знань, пояснень учителя спосо-
бів розв’язування різних типів задач і колективного їх розв’язування
значне місце в процесі навчання математики посідає самостійна робо-
та учнів. Самостійною роботою називають самостійне вивчення учня-
ми навчального матеріалу на уроці або під час виконання домашнього
завдання за підручниками, навчальними посібниками та науково-
популярною літературою, самостійне доведення теорем і розв’язуван-
ня задач, роботу в зошитах з друкованою основою, програмоване на-
вчання за допомогою програмованих посібників та персональних
комп’ютерів.
Самостійна робота учнів за підручником, навчальними посібника-
ми, науково-популярною літературою — важливий для самоосвіти при-
йом навчальної роботи, якому потрібно спеціально і цілеспрямовано
навчати учнів як в основній, так і в старшій школі.
Нові знання з математики учні сприймають і засвоюють з певни-
ми труднощами. Тому потрібні поради вчителя щодо роботи над мате-
матичним текстом. Вони можуть мати вигляд такого правила-орієн-
тира:
1. Прочитай уважно текст один чи два рази, виокрем головне в
ньому (нові поняття, твердження, правила тощо).
2. Склади план прочитаного.
3. Визнач поняття, про які йдеться в тексті. Пригадай означення
відомих понять і знайди означення нових.
4. Знайди твердження, які доводяться в тексті. З’ясуй, що в них
дано, що потрібно довести. З’ясуй, з яких тверджень складається до-
ведення, за допомогою яких відомих тверджень вони
обґрунтовуються.
5. Спробуй відповісти на контрольні запитання. Сформулюй озна-
чення нових понять і твердження, що доводилися в тексті.
6. Не вдаючись до тексту, виконай потрібні рисунки і відтвори
прочитане за планом.
У 5 — 6 класах слід на прикладі конкретного тексту показати, як
виокремити головне в тексті та скласти план. Лише після цього мож-
на пропонувати учням виконати це самостійно.
Наведемо приклад навчання учнів 5 класу складанню плану в разі
їх самостійної роботи з підручником [112] під час вивчення теми
«Паралельні прямі».
Насамперед учитель пропонує учням уважно прочитати текст п. 5.8
до вправ (за підручником), потім сам пояснює, як можна скласти
план. Пояснення вчителя може виглядати так.
У першому і другому абзацах ідеться про те, які прямі називають
паралельними, наводяться приклади предметів довкілля, які дають
уявлення про паралельні прямі, і вводиться символ для позначення
60
паралельних прямих. Тому перший пункт плану можна записати так:
«Паралельні прямі, приклади, позначення паралельних прямих».
У третьому абзаці стверджується, що дві прямі на площині, пер-
пендикулярні до третьої прямої, — паралельні, і обгрунтовується це
твердження. Отже, його можна сформулювати в плані так: «Паралель-
ність двох прямих, перпендикулярних до третьої прямої». У наступ-
них абзацах ідеться про паралельні відрізки, побудову паралельних
прямих за допомогою лінійки і косинця. В останньому абзаці форму-
люється основна властивість паралельних прямих. Отже, весь план
може мати такий вигляд:
1. Паралельні прямі. Приклади. Позначення паралельних прямих.
2. Паралельність двох прямих на площині, перпендикулярних до
третьої прямої цієї площини.
3. Паралельні відрізки.
4. Побудова паралельних прямих.
5. Основна властивість паралельних прямих.
Необов’язково складати письмовий план до кожного тексту. Після
самостійного вивчення учням можна запропонувати відтворити текст
за складеним планом або за заздалегідь складеною системою запи-
тань. При цьому до відтворення тексту чи відповідей на запитання
доцільно залучати кількох учнів. Щодо наведеного тексту система
запитань може бути такою:
1. Які дві прямі називають паралельними?
2. Які предмети навколишнього світу дають уявлення про пара-
лельні прямі?
3. Як позначають паралельні прямі а і б?
4. Як розміщені в площині дві прямі, перпендикулярні до тієї са-
мої прямої цієї площини?
5. Як побудувати паралельні прямі за допомогою лінійки і косинця?
Після уважного вивчення тексту учень може самостійно скласти
систему запитань замість плану.
Програмоване навчання виникло з потреб вдосконалення тради-
ційного і створення кращих умов для реалізації дидактичних принци-
пів навчання.
Термін «програмоване навчання» походить від термінології про-
грамування для ЕОМ, власне навчання здійснюється за спеціальними
програмами. У них матеріал, що вивчається, подається послідовними
порціями, після засвоєння кожної з яких учням пропонується конт-
рольне запитання або завдання. Перехід до наступної порції можли-
вий лише після ознайомлення з правильною відповіддю і характером
помилки, якої учень припустився.
Існує дві системи програмування навчального матеріалу — лінійні
та розгалужені програми. За лінійною програмою навчальний матеріал
подається невеликими частинами, які містять контрольні запитання
щодо вивченого матеріалу. Учень звіряє власну відповідь на запитан-
61
ня з правильною і переходить до вивчення наступної частини матері-
алу. У розгалуженій програмі частини навчального матеріалу більші
за обсягом. Наприкінці кожної частини учень відповідає на запитан-
ня, вибираючи правильну відповідь з кількох запропонованих. Про-
поновані відповіді складаються з урахуванням можливих помилок,
що їх припускаються учні. Якщо учень вибрав правильну відповідь,
то йому дозволяють перейти до нової частини навчального матеріалу.
У разі вибору неправильної відповіді учневі пропонують звернутися
до сторінки, де пояснюється характер помилки, ще раз опрацювати
попередню частину і вибрати правильну відповідь.
У 50 —60-х роках XX ст. програмоване навчання набуло великої
популярності, оскільки давало змогу кожному учневі працювати в
міру своїх можливостей і в своєму темпі, тобто створювало сприятли-
ві умови для індивідуалізації навчання. Проте впровадження його
наштовхнулося на низку труднощів, пов’язаних передусім з потребою
створення програмованих посібників, які за обсягом значно переви-
щували традиційні підручники і фактично приводили до потреби
створювати посібники з окремих тем. Разом із перевагами програмо-
ване навчання мало недоліки, пов’язані насамперед з тим, що учні,
працюючи індивідуально, увесь час змушені мовчати, що не сприяє
розвитку їхньої математичної мови. Крім того, учень позбавлений
можливості постійно спілкуватися з учителем і товаришами, висловлю-
вати свої міркування, які не передбачені навчальною програмою.
Саме з цих причин інтерес до програмованого навчання поступово
зменшився.
На сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти ціка-
вість до програмованого навчання знову зростає у зв’язку з можли-
вістю використання персональних комп’ютерів, які дають змогу в на-
вчальних програмах враховувати індивідуальні особливості учнів,
здійснювати навчання в режимі діалогу, ширше використовувати під
час пояснення наочність у динаміці.
Домашні завдання. Це один із видів самостійної роботи, який за-
звичай містить як закріплення вивченого на уроці, так і самостійне
вивчення нового навчального матеріалу за підручником, розв’язуван-
ня вправ та задач за зразком і таких, що мають певну новизну і по-
требують від учнів творчого підходу до застосування знань. Домашнє
завдання дає змогу зосереджувати процес усвідомлення і запам’ято-
вування головного в навчальному матеріалі. Плануючи вивчення на-
вчального матеріалу на уроці, вчитель має передбачати зміст і обсяг
домашнього завдання. На виконання його учень має витрачати не
більш як 50 % часу, відведеного на цей матеріал на уроці (якщо тіль-
ки добре засвоїв його).
Потрібно диференціювати домашнє завдання за рівнем засвоєння
попереднього матеріалу та здібностей учнів. Якщо вчитель упевнений
у тому, що сильніші учні виконають вправи на рівні обов’язкових
62
результатів навчання, він може звільнити їх від простих вправ і задач
та запропонувати їм кілька складніших. Навпаки, учням, які мають
слабку підготовку, можна обмежитися вправами обов’язкових резуль-
татів, якщо вони не мають бажання або ще не готові до розв’язування
складніших вправ.
Під час повторення навчального матеріалу корисно іноді запропо-
нувати учням придумати свої приклади замість наведених у підруч-
нику.
Домашнє завдання найчастіше пропонується в останні хвилини
уроку, іноді — відразу після вивчення нового матеріалу чи навіть на
початку уроку. Якщо для розв’язування задач і прикладів недостат-
ньо пропонованих на уроці зразків, вчитель, задаючи домашні за-
вдання, має зробити певні вказівки, які допоможуть учням впоратись
із розв’язуванням вправ і задач.
Найзручніше зміст домашнього завдання записати на дошці, за-
значивши параграф підручника і номери вправ. Слід проконтролюва-
ти, чи записали учні домашнє завдання в щоденник.
У методичній системі донецького вчителя В. Ф. Шаталова домаш-
ня робота учнів має нетрадиційну форму. На початку чверті учням
пропонується велика кількість вправ і задач, номери яких записують-
ся в клітинки спеціально виготовленої плашки. Учням не регламенту-
ється кількість задач домашнього завдання до кожного уроку. Вони
розв’язують задачі тоді, коли їм зручно, можуть випереджати своїх
однокласників щодо кількості розв’язаних задач. Клітинки з номера-
ми вже розв’язаних задач замальовуються кольоровим олівцем, що
дає можливість легко визначити темп виконання завдання. Теоретич-
ний матеріал учні повторюють за підручником і опорними сигналами
(схемами, на яких стисло і за допомогою графічних зображень пода-
но головне в теоретичному матеріалі). Наступний урок починається з
відтворення учнями записаного в спеціальному зошиті опорного сиг-
налу.
РОЗДІЛ
ФОРМУВАННЯ
МАТЕМАТИЧНИХ
ПОНЯТЬ
4.1. Види математичних понять.
Терміни, символи, означення.
Систематизація навчального матеріалу
і класифікація математичних понять
Види математичних понять. Кожна наука і кожний навчальний
предмет оперує певного сукупністю властивих їм понять.
Поняття — це форма мислення, в якій відображуються загальні
істотні та відмінні (специфічні) властивості й особливості певних
предметів або явищ дійсності. Термін «поняття» зазвичай вживають
для позначення розумового образу певного класу об’єктів, процесів
об’єктивної реальності або нашої свідомості. Математичні поняття
відображують у нашому мисленні просторові форми та кількісні від-
ношення дійсності, абстрагуючись від реальних ситуацій.
Кожне поняття має свій обсяг і зміст. Обсяг поняття — це множина
об’єктів, які охоплюються цим поняттям. Зміст поняття — це множи-
на істотних спільних властивостей (характеристичні властивості), при-
таманних усім об’єктам, що належать до поняття. Наприклад, обсяг по-
няття «паралельні прямі простору» — всі можливі паралельні прямі
простору, а зміст — сукупність двох загальних істотних властивостей
(лежати в одній площині і не перетинатися), кожна з яких необхідна і
лише обидві разом достатні для того, щоб дві прямі простору були пара-
лельними. Між змістом і обсягом понять існує така залежність: чим
___________ менший обсяг поняття, тим більший його зміст. Напри-
/РодовеХ клад, поняття «лінійна функція» має менший обсяг,
/ поняття \ ніж поняття «функція», оскільки кожна лінійна функ-
/ /£І І ція є функцією, але не будь-яка функція є лінійною.
( і / / Якщо обсяг одного поняття становить певну час-
I '/ / тину обсягу другого, то перше поняття називають
І / видовим, а друге — родовим. Поняття «функція» —
\ У родове, а «лінійна функція» — видове. Схематично
-----співвідношення між родовим і видовим поняттями
Рис 4 1 можна зобразити у вигляді діаграм Ейлера —Венна
(рис. 4.1).
Кожному математичному поняттю відповідає здебільшого один тер-
мін, а окремі з них мають відповідні термінам символи (д, X, %, ['(х),
>, <, =, +, ., < У, 18, ...).
64
Термін не можна ототожнювати з поняттям, яке йому відповідає, так
само як не можна ототожнювати число і цифру, що його позначає.
У шкільному курсі математики вивчають три види понять: 1) пер-
вісні (неозначувані); 2) означувані; 3) поняття, які вводяться опису-
ванням, на прикладах. В останньому випадку учні частково дістають
уявлення про істотні властивості поняття, але означення поняття не
формулюється з дидактичних міркувань.
Означенням (або дефініцією) називають речення, в якому в мов-
ній або символічній формі перелічуються загальні істотні властивості,
тобто розкривається зміст поняття.
У математиці використовують різні способи означення понять.
Найпоширенішим з них є означення через найближчий рід і видову
ознаку. Наприклад, ромб — це паралелограм, у якого всі сторони
рівні. У цьому означенні поняття «паралелограм» — найближчий рід,
а ознака «всі сторони рівні» — видова ознака.
У геометрії часто використовують конструктивні означення, в яких
зазначається спосіб утворення поняття. Наприклад, у підручнику
О. В. Погорєлова [290] трикутник означено як фігуру, складену з
трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які по-
парно з’єднують ці точки.
В алгебрі є означення через перелік. Наприклад, раціональні та
ірраціональні числа разом називають дійсними числами.
Означення — це твердження, які приймають за домовленістю. То-
му немає сенсу говорити, істинні вони чи хибні. Вони правильні або
неправильні. Останнє означає, що зміст і обсяг поняття збігаються
або не збігаються.
До означення ставлять низку вимог. Найважливіші з них такі.
1. Відсутність хибного кола. Це означає, що означуване поняття не
повинне явно чи неявно міститись у тому понятті, за допомогою якого
воно означається. Наприклад, інколи намагаються сформулювати озна-
чення наближеного числа так: число, яке неточно, тобто з похибкою, ви-
ражає значення величини або деякого числа, називають наближеним. За
іншим означенням, похибка — це різниця точного і наближеного чисел.
Ііце один приклад. Взаємно перпендикулярні прямі означають як прямі,
що утворюють прямий кут. Водночас прямий кут означається як такий,
у якого сторони взаємно перпендикулярні.
2. Відсутність омоніма. Це означає, що кожний термін (символ)
має вживатися не більше ніж один раз як такий, що відповідає озна-
чуваному поняттю. У разі порушення цієї вимоги той самий термін
(символ) позначатиме різні поняття.
3. Означення не повинно містити означуваних понять, які ще не
означились.
Процес означення математичних понять — це процес зведення
означуваного поняття до другого, з ширшим обсягом, другого — до
третього з іще ширшим обсягом і т. д. Оскільки такий процес не може
З Слзпкань 3. І.
65
бути нескінченним, виникає потреба у вихідних, первісних поняттях,
яким не дається означення за допомогою інших понять. У шкільному
курсі математики до таких понять належать: натуральне число, мно-
жина, точка, пряма, площина, відношення «належати», «лежить між»,
довжина відрізка, градусна міра кута.
Хоча первісні поняття не означаються явно через інші поняття,
проте їхній зміст розкривається системою аксіом. Наприклад, в аксіо-
мах планіметрії наводяться основні властивості первісних понять —
точки, прямої тощо. Тому систему аксіом розглядають як неявне, не-
пряме означення первісних понять.
Систематизація навчального матеріалу і класифікація математич-
них понять. Систематизація і класифікація навчального матеріалу, зокре-
ма математичних понять, допомагають учням глибше усвідомити зв’язки
між поняттями, їхніми властивостями і відношеннями, чіткіше уявити
структуру навчального матеріалу і математики в цілому. Усвідомлення
системи математичних понять, суджень і умовиводів особливо важливе в
разі дедуктивної побудови теорії, насамперед шкільного курсу геометрії.
Система, як уже зазначалося, — це сукупність, об’єднання взаємо-
пов’язаних і розміщених у відповідному порядку елементів (частин)
певного цілісного утворення.
Систематизація — розміщення матеріалу в певному порядку,
певній послідовності.
Наведемо приклад застосування систематизації для формування
поняття графіка лінійного рівняння з двома невідомими ах + Ьу = с.
Систематизацію навчального матеріалу зручно подати у формі табли-
ці (табл. 4.1). Вона наочно ілюструє, який вигляд має графік цього рів-
няння залежно від значень коефіцієнтів а, Ь та вільного члена с.
Аналізуючи цю таблицю, можна помітити, що графіком лінійного
рівняння з двома невідомими є пряма тоді і лише тоді, коли хоча б
один з коефіцієнтів а чи Ь не дорівнює нулю; якщо а = 0, Ь = 0, с # 0,
то графіком є порожня множина точок, а коли всі параметри а, Ь, с
одночасно дорівнюють нулю, графіком є множина всіх точок коорди-
натної площини.
Класифікація (від лат. сіаззіз — розряд, [асіо — роблю) — роз-
поділ об’єктів за класами залежно від їхніх загальних властивостей.
У термінах теорії множин класифікація — це розбиття множини
об’єктів на підмножини, які не перетинаються.
Ознаку, за якою здійснюється поділ поняття, називають основою по-
ділу. Обсяг того самого поняття можна ділити на підмножини по-
різному залежно від обраної основи. Наприклад, якщо в основу класи-
фікації трикутників покласти величину кута, то трикутники можна поді-
яти на гострокутні, прямокутні, тупокутні, а якщо співвідношення між
сторонами, то множину трикутників можна поділити на дві підмно-
жини — різносторонні трикутники і рівнобедрені трикутники.
66
Таблиця 4.1. Формування поняття графіка лінійного рівняння
У шкільному курсі здебільшого використовують класифікацію, яка
полягає в багатоступеневому розбитті об’єктів на два класи за допо-
могою обраної основи класифікації (дихотомія).
67
Наприклад, коли в 9 класі завершується вивчення тотожних
творень алгебраїчних виразів, доцільно створити класифікації
му на основі алгебраїчних дій, за допомогою яких складено
(рис. 4.2).
Пере-
' схе-
вирази
Рис. 4.3
Рис. 4.2
ілюструвати за допомогою ді
Класифікацію понять можна також ілюструвати за допомогою ’
грам Ейлера—Венна. Наприклад, класифікацію опуклих Чоті 2113
ників з урахуванням означень різних їх видів, прийнятих у під
ку О. В. Погорєлова [290], зручно зобразити діаграмою (рис 43)™
4.2. Методика формування математичних понять
Психологічні основи формування понять. Засвоєння математичних
понять відбувається у процесі аналітико-синтетичної діяльності учнів,
спрямованої на виявлення істотних загальних властивостей певного по-
няття й усвідомлення його неістотних властивостей, а також на застосу-
вання нового поняття до розв’язування задач. До пізнавальної діяльності
учнів щодо засвоєння математичних понять належать як загальні (ана-
ліз синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і спе-
цифічні розумові ДІЇ (підведення до поняття і обернена Їй Дія — виве-
дення наслідків). Під час вивчення паралельних прямих у планіметрії
учні виокремлюють (аналіз) пари прямих, порівнюють їх і після з’ясу-
вання істотного спільного в парах об’єднують (синтез) пари за цими
спільними істотними властивостями, Відходячи від неістотного в них
(відстань між прямими, їх розміщення на площині) (абстрагування).
Узагальнення завершується на етапі введення терміна і символу.
У разі використання абстрактно-дедуктивного методу навчання для
формування нового поняття вчитель формулює означення сам, наво-
дить приклади об’єктів, що належать до цього поняття, виявляє істот-
ні спільні властивості та зазначає неістотні. Наприклад, запроваджу-
ючи поняття «тотожно рівні вирази» в 7 класі, вчитель має сам сфор-
мулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за
будь-яких значень змінних, називають тотожно рівними) і навести
приклади тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Наприклад,
68
вирази 3(х+у) і Зх + Зу, аЬ + ібс і 16с + аЬ — тотожно рівні. Ви-
рази 2х + у і 2ху — нетотожно рівні. Істотною спільною власти-
вістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових
значень за будь-яких однакових значень змінних. Неістотним є кіль-
кість змінних, які містить вираз, форма виразів. Наприклад, вираз
5(Ь + с) має форму добутку, а тотожно рівний йому вираз 5Ь + 5с
має форму двочлена; тотожно рівні вирази аЬ + 16с і 16с + аЬ різ-
няться місцем одночленів, що не є істотним.
Труднощі засвоєння понять учнями, які мають слабку підготовку,
пояснюються передусім невмінням виокремлювати істотні властивості
об’єктів і абстрагуватись від неістотних. У зв’язку з цим учні роблять
неправомірні узагальнення, інакше кажучи, генералізацію неістотних
властивостей (надання їм ролі істотних). Істотними для них стають
яскраві властивості, які виявляються саме тоді, коли фігури розмі-
щені на рисунку стандартно. Наприклад, учні впізнають прямий кут
або прямокутний трикутник, якщо вони зображені так, як на рис. 4.4,
і не впізнають у випадку, показаному на рис. 4.5. Розглянемо ще
один приклад. Окремі учні вважають, що зовнішній кут трикутника
завжди тупий і більший за внутрішній, суміжний з ним. Це трапля-
ється, якщо вчитель обмежується прикладами лише гострокутних
трикутників. З метою уникнення таких помилок потрібно варіювати
наочність, приклади за неістотними ознаками, включати в систему
вправ на підведення до нового поняття такі об’єкти, які не належать
до нього.
На формування математичних понять дещо негативно може впли-
нути життєвий досвід учнів. Наприклад, у ДАВС (рис. 4.6) деякі
учні проводять висоту з вершини С вертикально, що пов’язано з жит-
тєвим розумінням висоти як відстані до горизонтальної площини або
прямої.
Розглянемо особливості методики формування трьох основних ви-
69
Рис. 4.6
Первісні поняття. Перше первісне по-
няття, з яким учні ознайомлюються ще в
початковій школі, є поняття «натуральне
число». У п. 1.1 підручника з математики
для 5 класу [266], де повторюються і роз-
ширюються відомості про натуральні числа,
учні читають:
«Числа 1, 2, 3, ..., що вживаються при
лічбі предметів, називаються натуральними
числами». Це твердження не є означенням.
По-перше, насправді в цьому твердженні
йдеться лише, про введення терміна, який застосовують для назви чисел
під час лічби. По-друге, натуральні числа можна дістати і за вимірювання
різних величин у випадку, коли одиниця виміру вміщується певну кіль-
кість разів у вимірюваній величині. Наприклад, довжина кімнати І = 5 м.
Тому правильно було б сказати, що числа, які використовуються під
час лічби предметів, дістали назву натуральних чисел. Взагалі, вводячи
первісні поняття, вживати слово «називаються» не можна, оскільки учні
сприйматимуть відповідні твердження з цим словом як означення.
Ті відомості про натуральні числа, які подаються в 5 класі (порів-
няння натуральних чисел, існування найменшого числа 1, відсутність
найбільшого натурального числа, необмеженість натурального ряду
чисел, запис натуральних чисел та ін.), дають учням уявлення про
зміст цього поняття. Проте в повному обсязі зміст поняття «натураль-
не число» розкривається системою аксіом Пеано.
Інтуїтивні уявлення про первісні поняття геометрії, зокрема понят-
тя точки, прямої, площини, учні також отримують у початковій школі
та з курсу математики 5 -6 класів. На перших уроках геометрії в 7 кла-
сі розкриваються істотні властивості понять «точка» і «пряма» за до-
помогою системи аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важ-
ливими неозначуваними відношеннями «належати» для точок і пря-
мих, «лежить між» — для трьох точок прямої.
Доцільно звернути увагу учнів па те, що поняття точки, прямої,
площини походять від реальних існуючих об’єктів довкілля. Напри-
клад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про
точку — місце дотику олівця до паперу чи крейди до дошки, уявлен-
ня про площину — поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури діс-
тають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина
прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється
продовженою необмежено, хоча зображається у вигляді відрізка.
Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні
добре засвоїли термінологію стосовно цих понять. Наприклад: «точки
А і С лежать на прямій а», або «точки А і С належать прямій о»;
«прямі а і Ь перетинаються в точці С», або «точка С є точкою пере-
тину прямих а і Ь».
70
Учні мають усвідомити, що по-
няття «лежить між» стосується то-
чок прямої. Доцільно не тільки
ввести це поняття і проілюструва-
ти на рисунку, а й розв’язати кі-
лька вправ на підведення до цього
поняття. Зокрема, можна запропо-
нувати учням указати точки, які
лежать між двома іншими точка-
ми. В цьому разі доцільно взяти не
тільки точки прямої, а й точки до-
вільних ліній, наприклад кола, ла-
маної (рис. 4.7).
Якщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між
даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку
К посередині відрізка АВ. Це пов’язано з розумінням цього поняття в
життєвій практиці. Учням слід пояснити: в геометрії точкою, що ле-
жить між точками А і В, є не лише середина відрізка АВ, а й будь-
яка точка цього відрізка, розміщена правіше від А і лівіше від В.
Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між
точками А і В цього кола. Учні мають уміти обґрунтувати неправиль-
ність такої відповіді, розрізняти сформоване на життєвому досвіді
поняття «лежати між» і наукове, геометричне поняття. Під час підсум-
кового повторення у 9 класі або па першому уроці стереометрії в
10 класі доцільно пояснити походження і роль первісних понять.
Означувані поняття. Деякі поняття вводяться через означення вже в
курсі математики 5 — 6 класів. Це, наприклад, розгорнутий кут, квадрат,
правильний дріб, неправильний дріб, середнє арифметичне, процент,
дільник даного числа, кратне даному числу, найбільший спільний діль-
ник, найменше спільне кратне, пропорція, паралельні прямі, перпенди-
кулярні прямі. Означаються обернені арифметичні дії.
У систематичних курсах алгебри і геометрії значна кількість нових
понять означається. Наприклад, тотожно рівні вирази, тотожність, то-
тожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним
невідомим, функція, багаточлсн, степінь багаточлена, відрізок, промінь,
коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, багатогранник.
Вводячи означення математичних понять, потрібно враховувати, на-
скільки відомі й зрозумілі учневі певного віку ті істотні властивості, які
розкривають зміст нового поняття. Цспхолог Дж. Брунср з цього приво-
ду зазначав, що коли основні поняття подано у формальному вигляді як
рівняння або точні словесні означення, то вони є недоступними для ди-
тини, якщо вона не засвоїла їх спочатку інтуїтивно.
Це зауваження стосується введення означень на всіх етапах на-
вчання. Що абстрактніше поняття, складніша логічна структура його
71
означення, то гостріша потреба в попередньому запровадженні понят-
тя на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в
означення, спочатку на конкретних прикладах з використанням наоч-
них образів. Це стосується насамперед таких понять, як границя чис-
лової послідовності, границя функції, неперервність функції, похідна.
Важливо звертати увагу школярів на логічну структуру означень і
передусім чітко називати спільні істотні властивості, що входять в
означення, характер їх зв’язку (кон’юнктивний, диз’юнктивний чи
обидва одночасно). При цьому не обов’язково вводити термінологію
логіки, важливо пояснити роль сполучників.
Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уроках
стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, слід зверну-
ти увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого
поняття залежно від вибору істотних властивостей, що містить озна-
чення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не
можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність
введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема. Потріб-
но показати учням приклади обґрунтування доцільності введення саме
такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час
розгляду поняття степеня з нульовим і від’ємним показниками слід
пояснити, що доцільність запропонованих означень спричинена по-
требою поширити правила дій над степенями з натуральним показни-
ком на степені з нульовим і цілим від’ємним показниками. Зокрема, ві-
домо, що ат :ап = ат~п за а ^=0 і т> п. У випадку т = п маємо, за
означенням частки, ат :ап = 1. Якщо спробуємо застосувати правило
дій степенів з однаковими основами, то дістанемо
Тому краще використати таке означення степеня з нульовим показ-
ником: степінь з показником «нуль» будь-якого числа, відмінного від
нуля, дорівнює одиниці. Скорочено: = 1 за а Ф 0. Вираз 0° не має
смислу.
Так само запроваджують означення степеня з цілим від’ємним по-
казником, якщо тільки а * 0 і т < п.
Наведені міркування не є доведенням формули я0 = 1 або а~к = —г.
ак
Вони лише обґрунтовують доцільність введення саме таких, а не
інших означень.
Поняття, що вводяться описово. Значна кількість математичних по-
нять, що вивчається в курсах математики початкової школи та 5—6 кла-
сів, вводиться описово. Наприклад, у 5 класі за посібниками [266, 267]
так вводять поняття числового й буквеного виразів, відрізка, кута, три-
кутника, площі, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного
паралелепіпеда; у 6 класі — поняття простого і складеного чисел, кола,
72
кругового сектора, кулі, від’ємного числа, додатного числа, числової
прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.
Низка понять вводиться описово, на прикладах і в систематичних кур-
сах алгебри, геометрії. Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри на
кількох прикладах запроваджується поняття одночлена і його стандартно-
го вигляду. При цьому увагу звертають на те, що наведені вирази є добут-
ком чисел, змінних та їхніх степенів, тобто фактично розкривають істотну
властивість одночленів. Розглядаючи поняття «геометрична фігура» на
першому уроці геометрії в 7 класі, недоцільно обмежуватися лише рисун-
ками фігур, запропонованих у підручнику. Потрібно показати учням мо-
делі різних планіметричних фігур і геометричних тіл, наприклад трикут-
ників, виготовлених з дроту, і плоских трикутників, вирізаних з паперу
або картону, кола, круга, паралелепіпеда, кулі. Слід звернути увагу на
те, що обидва трикутники, коло, круг можуть розміститися в площині
всіма своїми точками, а паралелепіпед і куля — ні. Ці перші уявлення
про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому за-
своєнню їхніх властивостей у подальшому вивченні курсу геометрії.
У процесі формування математичних понять учні припускаються
помилок, самостійно виявляючи істотні властивості у разі формуван-
ня поняття конкретно-індуктивним методом і формулюючи означення,
якщо їх уже введено. При цьому учні часто не помічають деяких істот-
них властивостей або умов, невдало вибирають або взагалі пропуска-
ють родове поняття.
Найефективніше названі помилки виправляти за допомогою
контрприкладів, які допомагають гге тільки краще усвідомити істотні
властивості понять, а й міцніше запам’ятати їх.
Наведемо приклад застосування контрприкладів для виправлення
помилок учнів під час формулювання вже наведених раніше означень
понять.
На уроках геометрії учні вже ознайомились з означенням хорди.
Під час повторення вивченого було допущено помилку в означенні.
При цьому «діалог» учителя з учггем може бути таким.
Учень. Хорда — це лінія, що з'єднує дві точки кола.
Учитель проводить хвилясту лінію, що з’єднує дві точка кола.
У ч е и ь. Хорда — це пряма лінія, що з'єднує дві точки кола.
Учитель проводить січну, що проходить через центр кола.
Учень. Хордою називається відрізок, що з’єднує дві точки кола.
Психолого-дидактичні передумови застосування понять. Умін-
ня застосовувати поняття є показником його засвоєння. Па думку
Н. О. Менчинської, якщо учень справді засвоїв поняття, то він уміє
ного і застосовувати.
Одним із провідних принципів педагогічної психології є принцип
єдності знань і дій. Проте існують два роди знань: знання про пред-
мети і явища навколишнього світу (а отже, і про поняття) і знання
про дії, які з ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного і
73
сучасного навчання математики є недостатня увага до знань другого
роду. Часто учні, які добре знають означення математичних понять,
не вміють застосовувати їх до доведення теорем і розв’язування за-
дач, зокрема прикладних. Тому дії, адекватні знанням, зокрема по-
няттям, мають стати не тільки засобом, а й предметом засвоєння.
З погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумо-
ві дії, як «підведення до поняття» («дія розпізнавання») та обернена їй
дія — відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності
об’єкта до поняття приходять до системи властивостей, які має цей
об’єкт. Потрібна спеціальна система вправ на підведення об’єктів до по-
няття. Для встановлення факту належності об’єкта до певного поняття
потрібно перевірити наявність у об’єкта сукупності необхідних і достат-
ніх властивостей. Якщо виявиться, що об’єкт не має хоча б однієї з іс-
тотних властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не на-
лежить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а й
теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням
у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, мо-
жуть бути покладені в основу означень. Наприклад, для встановлений
належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися озна-
ченням паралелограма і теоремою про його ознаку. Разом вони є еквіва-
лентними системами необхідних і достатніх властивостей.
Перелік операцій, іцо входять до складу дії підведення до поняття
у випадку, коли істотні властивості пов’язані сполучником «і» чи
сполучником «або», можна задати у вигляді такого навчального алго-
ритму. Щоб визначити, чи належить х до поняття у, потрібно:
1) виокремити властивості у,
2) з’ясувати, якими сполучниками пов’язані ці властивості;
3) якщо: а) сполучником «і», то перевірити, чи має х всі властивості
у. Якщо так, то х належить до поняття у, якщо ні, то х не належить до
поняття у; б) сполучником «або», то перевірити, чи має х хоча б одну
властивість у. Якщо так, то х належить до поняття у, якщо ні, то х не
належить до поняття у.
Якщо означення поняття має змішану структуру, тобто містить сполуч-
ник «і» та сполучник «або», то в алгоритмі потрібні додаткові вказівки.
Наведемо приклад. У курсі геометрії 7 класу учні ознайомлюються з
означенням медіани трикутника. Доцільно ще на етапі введення озна-
чення чітко виділити дві істотні властивості, які воно містить і які лише
разом утворюють необхідну і достатню властивість належності об’єкта до
поняття «медіана»: 1) медіана — це відрізок; 2) цей відрізок з’єднує
вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Щоб встановити, чи є /1£) медіаною трикутника АВС, потрібно:
1) пригадати означення медіани; 2) перекопатися, що істотні власти-
вості в ньому пов’язані сполучником «і»; 3) перевірити, чи має АО
обидві властивості медіани.
74
Перелік операцій, що є складовими дії «відшукання наслідків»,
можна задати у вигляді такого навчального алгоритму: 1) назвати всі
істотні властивості, які входять в означення поняття; 2) назвати інші
істотні властивості, які вивчалися.
Наприклад, результати відшукання наслідків з поняття «рівнобедрений
трикутник» можна сформулювати так. Якщо трикутник рівнобедрений,
то: 1) дві сторони його рівні; 2) кути при основі рівні; 3) бісектриса кута
при вершині є медіаною, проведеною до основи; 4) бісектриса кута при
вершині є висотою, проведеною до основи; 5) пряма, що містить згадану
бісектрису кута при вершині, є віссю симетрії цього трикутника.
З метою забезпечення передумов для формування умінь застосовувати
поняття та їхні властивості до розв’язування задач і доведення теорем,
доцільно після вивчення кожного з основних понять і відношень звести
разом їхні істотні властивості, що містяться в означеннях і теоремах.
До таких понять слід віднести насамперед основні геометричні фі-
гури та їхні властивості, відношення рівності, паралельності, перпен-
дикулярності, основні види рівнянь, нерівностей, функцій. У міру
вивчення курсу виникають нові можливості щодо доведення відно-
шень рівності, паралельності й перпендикулярності відрізків, подіб-
ності фігур. Тому важливо сформулювати правила-орієнтири для до-
ведення цих відношень. Наприклад, щоб довести рівність двох відріз-
ків, можна включити їх у трикутники і довести рівність цих трикут-
ників або скористатися властивістю одного з рухів, або застосувати
вектори, або довести, що ці відрізки є бічними сторонами рівнобедре-
пого трикутника чи протилежними сторонами паралелограма (прямо-
кутника, квадрата, ромба).
Основою застосування понять до розв’язування складніших задач і
доведення теорем є прийом розумової діяльності, який дістав назву «ана-
ліз через синтез», або переосмислення елементів задачі з погляду різних
понять. У підрозд. 2.2 наводились приклади застосування цього прийому.
У процесі застосування понять в учнів формується така важлива розу-
мова дія, як конкретизація, оскільки використання знань у практичних
ситуаціях пов’язане з переходом від абстрактного до конкретного. Дослі-
дження педагогічної психології показують, що перехід від оперування абс-
трактними поняттями до конкретної практичної ситуації досить складний
для школярів. З цього приводу Л. С. Виготський писав, що шлях від абс-
трактного до конкретного виявляється тут не менш важким, ніж шлях
сходження від конкретного до абстрактного [73, 235].
Багатьом учням складно одночасно виокремлювати абстрактні спів-
відношення в конкретних даних і абстрагуватися від наочного сприй-
мання об’єктів. Для запобігання таким труднощам потрібно викорис-
товувати конкретні практичні ситуації ще в період формування абст-
рактних понять — розв’язувати задачі практичного змісту. Особливо
корисними є практичні роботи на місцевості, екскурсії на сільського-
сподарські та промислові підприємства.
ТЕОРЕМИ
51 ДОВЕДЕННЯ
ЇХ У ШКОЛІ
5.1. Аксіоми і теореми. Види теорем.
Необхідні умови. Достатні умови.
Необхідні й достатні умови
Вивчення теорем та їх доведень у систематичних курсах геометрії
й алгебри починається з 7 класу і посідає значне місце в навчальному
матеріалі. Наприклад, лише в курсі геометрії 7 класу підручники міс-
тять по 18 теорем. Крім того, в підручниках [78; 290] передбачено
значну кількість задач на доведення, які в традиційних підручниках
геометрії, наприклад у підручнику А. П. Кисельова, відігравали роль
теорем. Учні виконують доведення як складову розв’язання задач на
побудову.
Теореми та доведення їх розвивають логіку мислення учнів, про-
сторові уявлення та уяву, навчають методам доведення, сприяють ус-
відомленню ідеї аксіоматичної побудови математики. Доведення да-
ють змогу учням засвоїти евристичні прийоми розумової діяльності,
формують позитивні якості особистості, зокрема обгрунтованість су-
джень, стислість, чіткість висловлення думки.
Які вимоги програми до математичної підготовки учнів стосовно
теорем і доведення їх?
На рівні обов’язкового мінімуму відповідно до програми [302] учні
мають розв’язувати типові задачі на обчислення, доведення і побудо-
ву, виконувати доказові міркування, Грунтуючись на теоретичних фак-
тах (аксіоми, теореми, означення).
Для виконання цих вимог учні мають знати формулювання аксіом
і основних теорем: ознаки рівності й подібності трикутників, ознаки
паралельності прямих, теорему Піфагора, ознаки паралельності й пер-
пендикулярності прямих і площин у просторі, теорему Вієта, власти-
вості функцій, ознаки монотонності, екстремуму, теореми про похід-
ні, властивості первісної та ін.
Чи повинні учні знати всі доведення теорем? Під час вивчення
певної теми на рівні обов’язкових результатів навчання учні мають
знати формулювання теореми, основні етапи доведення, найважли-
віші обґрунтування і найпростіші застосування теореми; на рівні
8—12 балів уміти доводити і застосовувати теорему в складніших
випадках.
76
Не обов’язково пам’ятати доведення вивчених теорем на кінець на-
вчального року. На усних екзаменах учні мають знати на відповідних
рівнях теореми, які включено до екзаменаційних білетів.
Теорему не можна вважати засвоєною, якщо учні не вміють засто-
совувати її до розв’язування типових задач. У реальній шкільній
практиці вчителі реалізують ці вимоги по-різному. Основними недо-
ліками у вивченні теорем та їх доведень є формалізм у знаннях і
вміннях учнів. Деякі з них сумлінно виучують доведення теорем за
підручником, але не можуть відтворити їх на зміненому положенні
рисунка, з іншими буквеними позначеннями і, іцо найголовніше, час-
то не вміють застосовувати теорему в конкретних ситуаціях, посила-
ються на теорему, замість того, щоб посилатися на обернену їй, не
вміють самостійно доводити теореми навіть у найпростіших випадках.
Основною причиною формалізму в навчанні теорем та їх доведень
є те, що в підручниках доведення теорем зазвичай викладено синте-
тичним методом, і учням залишається лише вивчити готове доведен-
ня. На уроці вчитель часто не організовує аналітико-синтетичну діяль-
ність учнів, спрямовану на пошук доведення, не надає учням прави-
ла-орієнтири методів доведень, прийоми розумової діяльності, що за-
стосовуються в процесі пошуку доведень.
Аксіоми і теореми. Види теорем. Необхідні умови. Достатні
умови. Необхідні й достатні умови. Математика має справу з вислов-
леннями (або твердженнями), які доводяться (теореми, задачі на до-
ведення), і такими, що їх домовляються приймати без доведення (ак-
сіоми).
Введення аксіом, як і первісних (неозначуваних) понять, пов’язане з
дедуктивним принципом побудови математики. Справді, доведення будь-
якого твердження Т складається з тверджень, істинність яких обґрунто-
вується раніше доведеними істинними твердженнями Тр Г2,.... Оскіль-
ки низка раніше доведених тверджень не може бути нескінченною, ви-
никає потреба домовитись прийняти без доведення кілька іс-
тинних тверджень. Схематично це можна показати так, як на
рнс. 5.1. їх назвали аксіомами (А), що в перекладі з грецької
мови означає «повага», «авторитет». На основі аксіом, дове-
дених раніше тверджень і означень доводять нові твердження
(теореми, задачі на доведення).
Залежно від логічної структури теореми, як і будь-якого
висловлення, розрізняють чотири їх види: прямі, обернені,
протилежні, контрапозитивні (інакше кажучи, протилежні
оберненим, або обернені протилежним щодо прямої теореми).
Запишемо пряму теорему у вигляді умовного вислов-
лення:
«Якщо Р, то С)», (5.1)
де Р — умова теореми, С) — її висновок.
77
Помінявши в теоремі (5.1) місцями умову і висновок, дістанемо
обернену щодо (5.1) теорему.
«Якщо С), то Р». (5.2)
Замінивши в теоремі (5.1) Р і О їхніми запереченнями «Р» і «ф»,
дістанемо протилежну щодо (5.1) теорему.
«Якщо Р, то ф». (5.3)
Одночасно помінявши місцями в теоремі (5.1) умову і висновок Р
і С) і замінивши їх запереченнями «Р» і «ф», дістанемо контрапози-
тивну (протилежно обернену або обернену протилежнії!) теорему
щодо (5.1):
«Якщо С), то Р». (5.4)
Безпосередніми міркуваннями або за допомогою таблиці істинності
можна встановити, що теореми (5.1) і (5.4), а також теореми (5.2) і
(5.3) рівносильні.
Отже, якщо теорему (5.1) доведено, то немає потреби спеціально
доводити теорему (5.4).
До теорем, в яких є кілька умов або висновків (складені теореми),
можна сформулювати кілька обернених теорем. З них не всі можуть
виявитися правильними.
Розглянемо теорему: «Якщо багатокутник правильний, то навколо
нього можна описати коло». Обернене твердження «Якщо навколо бага-
токутника можна описати коло, то він — правильний» не є справедли-
вим. У цьому легко переконатися за допомогою контрприкладу. Справ-
ді, коло можна описати і навколо прямокутника, і навколо рівнобічної
трапеції, які не є правильними багатокутниками.
Якщо з твердження «А» випливає твердження «В» і з «В» випливає
«А» (символічно «А=> В» і «В=>А»), то твердження «А» і «В» нази-
вають рівносильними і позначають А <щ> В. Наприклад, теореми «Якщо
діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться на-
впіл, то цей чотирикутник — паралелограм» і «Діагоналі паралелограма
перетинаються і точкою перетину діляться навпіл» є рівносильними
твердженнями. Це — правильні взаємно обернені теореми.
З відношенням слідування та рівносильності безпосередньо пов’я-
зані три види умов, які стосуються умовних тверджень: необхідні,
достатні, необхідні і достатні.
Умову називають необхідною, якщо без її наявності висновок не
може виконуватися. Наприклад, у твердженні «Якщо число закін-
чується парною цифрою, то воно ділиться на 2» умова «Якщо чис-
ло закінчується парною цифрою» є необхідною умовою, оскільки
число не може ділитися на 2, якщо воно не закінчується парною
цифрою.
78
Умову називають достатньою, якщо за її наявності висновок
обов’язково виконується. Наприклад, у твердженні «Якщо функція зро-
стаюча або спадна на певній множині значень аргументу, то вона має
обернену функцію на цій множині» умова зростання або спадання (тобто
умова монотонності) є достатньою умовою для існування оберненої
функції до даної. Проте функція може мати обернену і тоді, коли умова
монотонності не виконується, але кожного свого значення функція набу-
2
вас лише для одного значення аргументу. Наприклад, функція у = х ,
задана на множині {-!; 0; 2^, має обернену на цій множині.
Умову називають необхідною і достатньою, якщо без її виконан-
ня висновок не може виконуватись і в разі її виконання висновок обо-
в’язково виконується.
У випадку істинності прямої й оберненої теорем умова кожної з
них є необхідною і достатньою. Символічно це можна записати так:
це Р — пряма теорема, О — обернена теорема; інакше кажучи, твер-
дження Р і О — рівносильні.
Наприклад, кожна з умов двох взаємно обернених теорем щодо
паралелограма, наведених вище, є умовою необхідною і достат-
ньою.
Умови необхідні й достатні трапляються не тільки в теоремах, а й
в означеннях понять. Наприклад, в означенні паралельних прямих
простору є дві істотні властивості (лежати в одній площині та не пе-
ретинатися). Кожна з них є необхідною і лише разом вони достатні
для того, щоб дві прямі простору були паралельні.
Співвідношення між умовою та висновком для розглянутих трьох
видів умов зручно подати у вигляді таблиці (табл. 5.1).
Таблиця 5.1. Співвідношення між умовою та висновком
Умова Висновок
А необхідна, проте не є достатньою для В А = з В — хибне, В => А — істинне
А достатня, проте не є необхідною для В А = » В - істинне, В => А — хибне
А необхідна і достатня для В А = »в і В =» А — істинне
У шкільному курсі твердження, що містять необхідну і достатню
умову, формулюють по-різному. Зокрема: «Для того щоб ..., необхід-
но і достатньо ...». У стверджувальному реченні вживають словоспо-
лучення «тоді і тільки тоді», «ті і тільки ті» та ін. Наприклад: «Для
того щоб добуток двох або кількох співмножників, які є цілими ра-
ціональними виразами, дорівнював нулю, необхідно і достатньо,
79
щоб принаймні один з цих співмножників дорівнював нулю»; «Графі-
ком лінійного рівняння з двома невідомими ах + Ьу = с буде пряма
тоді і тільки тоді, коли хоча б один з коефіцієнтів а або Ь не дорів-
нює нулю»; «На 6 діляться ті й тільки ті числа, які діляться на 2 і
на З».
5.2. Методи доведення
У шкільному курсі математики учні ознайомлюються з такими ос-
новними методами доведень: синтетичним, аналітичним, аналітико-
синтетичним (його інколи називають методом руху з двох кінців),
методом доведення від супротивного, повної індукції, математичної
індукції, методами геометричних перетворень (центральна симетрія,
осьова симетрія, поворот, паралельне перенесення, гомотетія та подіб-
ність), алгебраїчним методом, окремими випадками якого є векторний
і координатний. У сучасному шкільному курсі застосовано також ме-
тоди математичного аналізу: метод границь, методи диференціального
та інтегрального числення.
Експериментальні дослідження психологів і методистів, досвід роботи
передових учителів свідчать, що коли в учнів сформовано загальні й
специфічні розумові дії, які є складовими уміння доводити, то за належ-
ної організації вивчення вже в основній школі учні можуть засвоїти ос-
новні методи доведень. Психологічними і дидактичними передумовами,
що сприяють свідомому засвоєнню кожного методу, є оволодіння учнями
алгоритмами або правилами-орієнтирами (евристичними схемами) мето-
дів, які становлять орієнтовну основу діяльності, спрямованої на пошук і
виконання доведення. Ефективним є таке ознайомлення учнів зі змістом
методу доведення і правилом-орієнтиром його, за якого на прикладі до-
ведення одного-двох тверджень (теорем або задач на доведення) учні під
керівництвом учителя колективно виявляють істотні загальні кроки в
доведенні та формулюють відповідний алгоритм чи правило-орієнтир.
Розглянемо основні методи доведень.
Аналітичний метод. Математика і методики її навчання містять
два види аналітичних міркувань. Перший з них разом із синтетичним
описав Евклід у своїх «Началах», хоча вони були відомі ще раніше
Платону (428—348 до н. е.) й Арістотелю (384—322 до н. е.). Дру-
гий вид увів Наші (III ст.).
Суть аналізу Евкліда можна пояснити на прикладі доведення нерів-
ності .
Приклад 5.1. Довести нерівність а + —=- > 2. Міркуватимемо так.
а
1. Припустимо, що задана нерівність — правильна.
2. Виведемо з неї наслідки: помножимо обидві частини на а2 > 0 ( д2 Ф 0 за
умовою). Дістанемо д4 +1 > 2д2.
80
3. Перенесемо 2а2 в ліву частину останньої нерівності. Дістанемо а4 -2а2 +
+1>0.
4. Запишемо ліву частину отриманої нерівності у вигляді квадрата двочлена:
(а2-1)Чо.
Остання нерівність правильна за будь-якого а.
Отже, міркування виконувалися від того, що потрібно довести.
При цьому з припущення правильності того, що слід довести (осно-
ва), виводились наслідки, які привели до очевидної правильної нері-
вності (наслідку).
Такі аналітичні міркування називають аналізом Евкліда. Проте цей
аналіз не можна вважати доведенням, хоча ми й дістали очевидну пра-
вильну нерівність, оскільки правильність наслідку ще не гарантує пра-
вильності основи. Справді, з хибної основи правильними міркуваннями
можна дійти правильного наслідку. Наприклад, -а = а, де а Ф 0 —
хибне твердження. Якщо піднести обидві частини цієї неправильної рів-
2 2
ності до квадрата, дістанемо правильну рівність а = а . Перехід від
істинності наслідку до істинності основи можливий тільки тоді, коли
основа і наслідок — правильні взаємно обернені судження.
Саме з цієї причини аналіз Евкліда не можна вважати доведенням,
і тому його називають інколи «недосконалим аналізом».
Синтетичний метод. Часто аналіз Евкліда допомагає знайти синте-
тичний метод доведення. У ньому міркування виконують від умови
або від уже відомого твердження до доводжуваного. Якщо умову до-
воджуваного твердження (або відоме твердження) позначити літерою
А, а висновок — В, то схема синтетичного методу матиме вигляд
Л Я] Л2 —> > Ап -» В.
2 1
Приклад 5.2. Доведення нерівності а + —~>2 синтетичним методом вигля-
а
датиме так.
Доведення. 1. Нехай а Ф 0. Відомо, що («2-1) >0.
2. Запишемо ліву частину цієї нерівності у вигляді тричлена а4 - 2д2 +1 > 0.
2 2
3. Розділимо обидві частини останньої нерівності на а Ф 0. Дістанемо а - 2 +
2 1
4. Перенесемо число -2 у праву частину нерівності. Дістанемо а + —у > 2, що
<г
іі потрібно було довести.
Недоліком синтетичного методу доведення в розглянутому прикла-
ді є неможливість (якщо не проведено аналіз Евкліда) здогадатися,
/2 \2
що потрібно починати саме з нерівності (с -11
> 0. У геометричних
81
доведеннях синтетичним методом важко здогадатися про додаткову
побудову, яку часто в процесі доведення слід виконати.
Правило-орієнтир пошуку доведення синтетичним методом за до-
помогою аналізу Евкліда можна задати так.
1. Припустити, що висновок (вимога) теореми (задачі на доведен-
ня) правильний.
2. Вивести з цього припущення всі можливі наслідки.
3. Переконатися, що отриманий висновок-наслідок є або очевид-
ною, або встановленою раніше істиною.
4. Взявши отриманий істинний висновок за вихідний, проаналізу-
вати твердження у зворотному напрямі та перейти до висновку про
правильність твердження, яке доводять.
Синтетичний метод разом з аналізом Евкліда особливо зручно ви-
користовувати для доведення нерівностей.
На відміну від аналізу Евкліда аналіз Паппа відповідає всім вимо-
гам доведення і тому його називають «досконалим аналізом», або
аналітичним методом доведення. Папп так характеризує аналітичний
метод доведення: в аналізі шукане вважається знайденим, і визначає-
мо, звідки його було б отримано, і далі, що передувало б цьому
останньому, доки не дійдемо до чого-небудь відомого — того, що мо-
гло б стати вихідним пунктом.
Логічною основою аналітичного методу, як і синтетичного, є аксіома:
з правильного твердження завжди випливає правильний наслідок.
Схема міркувань при цьому така: В <— Ап <— А2 А <— А.
Відмінність аналізу Евкліда від аналітичного методу доведення
(аналізу Паппа) полягає також у тому, що в аналізі Евкліда з при-
пущення правильності доводжуваного виводять необхідні умови (на-
слідки), а в аналітичному методі добирають достатні умови для вико-
нання висновку твердження, яке доводять.
Деякі вчителі й автори методичних посібників часто доводять твер-
дження аналітичним методом, а після цього виконують міркування у
зворотному напрямі, тобто доводять твердження синтетичним мето-
дом, хоча в цьому немає потреби. У такому разі таке доведення безпід-
ставно називають аналітико-синтстичинм методом.
Аналітико-синтстичний метод. Цей метод полягає в тому, що по-
шук доведення починають аналітичним методом, але міркування не
доводять до кінця, а, спиняючись на певному кроці, починають мір-
кувати у зворотному напрямі, тобто з розгортання умови. Отже, завер-
шують доведення синтетичним методом.
Наведем<3 приклад розв’язування задачі на доведення цим методом.
Задача 5.1. Довести, що у чотирикутника, описаного навколо кола, суми дов-
жин протилежних сторін рівні (рнс. 5.2).
Доведення. Щоб довести, що АВ + С£) = ВС + АВ, досить довести, що АМ +
+ ВМ + СК + ВК = £)£ + ЛІ. + Ві\' +С№, де М, У, К, І. — точки дотиків кола і
чотирикутника.
82
Розгорнемо умову теореми. За властивістю
дотичних, проведених з однієї точки до кола,
ЛМ = АЬ, ВМ = ВМ, СК = СК\ Г)К = ОЬ. До-
давши ці рівності почленно, дістанемо АМ + ВМ +
+ СК + І)К = АВ + ЇДУ + С7У + £)£, що й потріб-
но було довести.
У цьому доведенні міркування здій-
снювалися послідовно: то від висновку
теореми, то від умови. Рух з протилеж- д 2
них боків у загальному випадку викону-
ють доти, доки міркування не дійдуть спільного твердження або су-
перечливих висновків. Цей метод особливо зручний, якщо перетво-
рення лише умови чи лише висновку теореми (задачі) не приводить
до мети.
Метод доведення від супротивного. Цей метод уводять уже в 7 кла-
сі на початку навчання курсу планіметрії. Його логічною основою є за-
кон виключення третього: з двох супротивних тверджень одне завжди
правильне, друге — неправильне, а третього бути не може. Завдяки
цьому закону замість доведення певного твердження під час використан-
ня методу доведення від супротивного доводять, що супротивне йому
твердження — неправильне, і на цій підставі роблять висновок, що
правильне доводжуване твердження. При цьому стосовно супротивно-
го твердження здійснюють аналіз Евкліда, з нього виводять наслідки.
Після розгляду конкретних двох прикладів доведень методом від
супротивного учні колективно можуть сформулювати його правило-
орієнтир (див. с. 92).
Досвід показує, що правило-орієптир методу доведення від супротив-
ного доцільно оформити у вигляді таблиці та вивішувати її кожного разу
в подальшому вивченні курсу під час використання цього методу.
Слід рекомендувати учням письмово оформлювати доведення ме-
тодом від супротивного у вигляді трьох кроків відповідно до правила-
орієнтира; усні доведення також будувати за цією схемою. Після вве-
дення методу доцільно дати зразок такого оформлення.
Задача 5.2. Довести, що коли пряма перетинає одну з двох паралельних пря-
мих, то вона перетинає і другу пряму.
Дано: а, Ь, с — прямі; п с
------------------------------
(рис. 5.3)
Довести: с перетинає Ь.
Доведення. 1. Припустимо, що с і Ь не пе- ________________________________
ретипаються, тобто що с || Ь.
2. Тоді дістанемо, що через точку О пере-
тину прямих а і с проходять дві різні прямі а і с, які паралельні прямій Ь. Проте
це суперечить аксіомі про властивість паралельних прямих.
3. Висновок: припущення неправильне, а правильне те, що пряма с перетне
пряму Ь.
83
Метод математичної індукції. Логічною основою цього методу є
принцип математичної індукції, взятий в шкільному курсі за аксіому:
якщо твердження А(п), яке залежить від натурального числа п, ви-
конується для п = 1 або п = п0 та із припущення, що воно виконуєть-
ся для натурального числа п-к, де к> п0, випливає, що воно вико-
нується і для п = к +1, то це твердження виконується для будь-якого
натурального числа п(п > нс).
Правило-орієнтир доведення методом математичної індукції міс-
тить три кроки.
1. Перевірити правильність твердження для п = 1 або п = н0.
2. Припустити, що твердження правильне за п = к, де к > і до-
вести, використовуючи це припущення, що твердження правильне за
п - к +1, тобто для наступного значення п.
3. Зробити висновок, що на підставі принципу математичної індук-
ції твердження правильне для будь-якого натурального п, де п > п0.
Відомо, що будь-яке доведення — це дедуктивне міркування. Ме-
тод математичної індукції не є винятком, хоча історично в його назві
є термін «індукція». Справді, на першому кроці в цьому методі вико-
нують індуктивне міркування, але завдяки посиланню на загальне,
раніше відоме твердження — принцип математичної індукції (аксіо-
му) в третьому кроці, в цілому міркування, які здійснюють у методі
математичної індукції, дедуктивні.
Векторний метод. Векторний метод доведення геометричних твер-
джень полягає в тому, що їхні умови і вимоги перекладають на мову
векторів. Отримані векторні рівності приводять до потрібного вигляду7
на основі властивостей операцій над векторами, а потім результат пере-
кладають у зворотному напрямі — на мову геометрії. (Докладніше век-
торний метод, методи геометричних перетворень тощо розглядатимемо у
відповідних розділах методики навчання окремих предметів.)
5.3. Методика навчання учнів
доведень теорем
Навчання готових доведень. Навчанням доведень називатимемо на-
вчання готових доведень, пропонованих учителем або підручником, і
навчання учнів самостійного пошуку доведень, на відміну від А. А. Сто-
ляра, який навчання доведень розуміє як навчання розумових процесів
пошуку, відкриттів і побудов доведення, а не навчання відіворення і
заучування готових доведень [342]. Нагне розуміння загальної методич-
ної проблеми навчання доведень пояснюється тим, що готові доведення
мають велике значення у процесі навчання математики. За умови належ-
ної організації навчання готових доведень можна формувати в учнів
84
і омноненти самостійного пошуку і побудови доведення. Готові доведення
мають виступати як моделі, на яких учні навчаються розумових дій і
ІіріІІІОМІВ розумової діяльності, що покладено в основу вміння доводити,
методів доведень та їх застосування, вчаться самостійно шукати доведен-
ня за аналогією з вивченим.
1 Іроблему навчання доведень доцільно поділити на кілька навчальних
виїдань, які розв’язують послідовно: 1) вивчення готових доведень,
нмніпя відтворювати їх; 2) самостійна побудова доведення за вивченим
іразком; 3) пошук і виклад доведення за вказаним учителем методом
иоеобом); 4) самостійний пошук і виклад доведення учнями.
/(ля успішного навчання доведень потрібно, щоб учні оволоділи
/ккпть повного системою теоретичних знань і умінь (поняття та їх
означення, аксіоми, теореми, уміння виконувати основні побудови
ницо). Шкільна практика свідчить, що цього недостатньо для гли-
бокого усвідомлення і сприйняття учнями готових доведень і само-
і пішого їх відшукання. Використання елементів логіки (роз’яснення
учням правил виведення, логічна організація навчального матеріа-
іу) також не розв’язує проблеми ефективного навчання доведень,
і цього приводу заслужена вчителька України В. М. Осинська
і.ізпачає, що в процесі засвоєння програмного матеріалу учні на-
вчалися застосовувати елементи логіки і математичної символіки.
Через два роки експериментальної роботи вона переконалася, що
не дещо підвищило їхню математичну культуру. Особливо позитив-
ніш ефект був виявлений у здібних учнів, а середні й слабкі учні, як
। раніше, погано міркували і розв’язували задачі. Навчання елементів
'іогіки не полегшило засвоєння математики школярами з низьким рів-
нем розвитку.
Підготовка до навчання учнів доведень здійснюється вже в 5 —
о класах, де вони ознайомлюються з першими твердженнями і роб-
ін гь перші кроки у виконанні дедуктивних умовиводів. Цілеспря-
моване навчання доведень починається з перших уроків систематич-
ного курсу планіметрії введенням понять «теорема», «доведення
іеорсми». Учні мають вчитися виконувати аналіз формулювання
теореми, тобто відокремлювати умову від висновку. Досвід пока-
зує, що на перших етапах учні стикаються з труднощами, якщо
ісорему не сформульовано у формі умовного речення, тобто в термі-
нах «якщо ...., то...». Для зменшення цих труднощів доцільно запро-
понувати їм усні вправи на виділення умови і висновку з відомих уже
інерджень, на переформулювання твердження в умовне речення і ві-
докремлення умови та висновку. Для прикладу наведемо такі твер-
дження.
1. Якщо сума цифр ділиться на 3, то і число ділиться на 3.
2. Сума двох протилежних чисел дорівнює нулю.
3. Якщо чисельник дробу збільшити в кілька разів, то і дріб збіль-
ішггься в стільки само разів.
85
4. Зі збільшенням знаменника дробу в кілька разів дріб зменшу-
ється в стільки само разів.
Уміння доводити математичні твердження має чотири основні
складові: 1) дія підведення об’єкта до поняття; 2) володіння необхід-
ними і достатніми ознаками понять, про які йдеться у висновку;
3) дія вибору ознак понять, які відповідають заданим умовам; 4) дія
розгортання умов.
З метою забезпечення свідомого засвоєння учнями готових дове-
день і навчання їх самостійно шукати доведення потрібно заздалегідь
формувати ці складові. Наприклад, щоб навчити учнів дії розгортан-
ня умов, можна запропонувати їм такі усні вправи.
1. Дано два рівні суміжні кути СОВ і ВОО. Що нам тим самим
ще дано?
2. З точки М виходять два промені МА і МВ. Пряма СД перети-
нає промені в точках Е і Е. Кути АЕС і ВЕО, які при цьому утвори-
лися, рівні. Що нам ще дано?
3. Відрізки і А2В2 мають спільну середину О. Що нам відо-
мо про пари відрізків А\А2 і В{В2, А2В} і А^В2 ?
Розгортаючи умови, часто доходять висновку, що потрібно псре-
формулювати висновок теореми або задачі. Прийом переформулю-
вання висновку теореми або задачі сприяє формуванню вміння дово-
дити твердження.
Наприклад, учням пропонують довести твердження: точки А, В і С
лежать на одній прямій, якщо бісектриси прилеглих кутів АБО і І)ВС
перпендикулярні. Учні мають міркувати так: оскільки потрібно довести,
що точки А, В і С лежать па одній прямій, то досить довести, що маємо
розгорнутий кут і що точка В є його вершиною, а точки А і С належать
доповняльним півпрямим (сторонам розгорнутого кута).
Під час вивчення готових складніших доведень (наприклад, ознак
рівності трикутників) доцільно запропонувати учням готову таблицю, в
якій у лівому стовпчику записано твердження, з яких складається дове-
дення, у правому — відповідні обгрунтування. Наведемо приклад такої
таблиці (табл. 5.2) для першої ознаки рівності трикутників (рис. 5.4).
Приклад 5.3.
Дано: ьАВС і дД^Ср
АВ = А]ВІ,
АС =
/.ВАС = АВХА{\.
Довести: дАВС г^дДВ^Ср
Демонструючи цю таблицю, потрібно спочатку закрити правий
стовпчик і поступово відкривати його в міру того, як учні самостійно
знаходитимуть потрібні обґрунтування.
86
Таблиця 5.2. Доведення першої ознаки рівності трикутників
Твердження Обґрунтування
1. Існує &АХВ2С2, рівний дЛВС, у якого одна вершина збігається з вер- шиною Л|, вершина />2 лежить на промені фВр а С2 — в одній пло- щині з С| відносно прямої АХВХ 2. 3. Точка В2 збігається з Вх 4. /ВХАХС, = /В2АХС2 5. Промінь АХС2 збігається з проме- нем АХСХ 6. АХСХ = Л|С2 7. Отже, лЛхВ2С2 =лАхВхСх 8. Л.АВС =аАхВхСх 1. За аксіомою про існування трикутни- ка, рівного заданому 2. Оскільки АХВХ = АВ за умовою, а АхВ2 = АВ за означенням рівних три- кутників 3. За аксіомою про відкладання відріз- ка, рівного заданому 4. Оскільки /ВХАХСХ - /ВАС за умо- вою, а /В2АхС2 = /ВАС за означен- ням рівних трикутників 5. За аксіомою про відкладання кута, рівного заданому 6. Оскільки АХСХ = АС за умовою, а А1С2 = АС за означенням рівних трикутників 7. Оскільки їх вершини збіглися 8. Оскільки лАхВ2С2 =лАхВхСх за дове- денням, а лАхВ2С2 =лАВС за аксіо- мою про існування трикутника, рів- ного заданому
За цим зразком учні самостійно можуть скласти в зошитах анало-
гічну таблицю після вивчення другої ознаки рівності трикутників.
Такі таблиці доцільно складати учням після самостійного вивчення
окремих найпростіших теорем на уроці за підручником.
Під час вивчення готових доведень теорем учні мають усвідомлювати
істотні елементи доведення, відсторонюватися від неістотних (розмі-
щення рисунка, позначення літерами) і помічати істотне спільне в дове-
деннях. Наприклад, істотним спільним у доведенні всіх трьох ознак по-
дібності трикутників є те, іцо доведення кожної ознаки починається з
виконання перетворення гомотетії одного з даних трикутників з коефіці-
єнтом, що дорівнює відношенню довжини сторони другого трикутника
до довжини відповідної сторони першого. Доводиться, що отриманий
при гомотетії допоміжний трикутник дорівнює першому, а отже, подіб-
ний другому з даних трикутників.
87
Для створення психологічних передумов успішного засвоєння готових
доведень важливо не пропускати проміжні ланки доведення. Психологи
обгрунтовують це тим, що міркування, пов’язані з поновленням пропу-
щених ланок, відвертають увагу учнів від основної лінії доведення. Ві-
домі педагоги-математики середньої та вищої школи на своїх уроках і
лекціях завжди прагнули роз’яснювати учням навіть дрібниці, щоб усу-
нути будь-яку неясність, зосередити увагу на головному.
Перш ніж проводити докладне доведення, потрібно спочатку на-
звати основні етапи і твердження, на яких воно ґрунтуватиметься. Це
дає можливість звернути увагу учнів на структуру доведення в ціло-
му, виявити основну його ідею, назвати метод.
Психологи обґрунтовують це тим, що докладне, розгорнуте дове-
дення забезпечує утворення зв’язків між окремими ланками, а корот-
ка схема з указівкою на ідею і метод доведення забезпечує розуміння
структури основних зв’язків в цілому, сприяє міцності засвоєння ма-
теріалу.
Досвід показує, що учні краще усвідомлюють і запам’ятовують
структуру доведення, якщо записують у символічній формі його ко-
роткий виклад. Досвідчені вчителі вважають, що учні швидше і сві-
доміше сприймають доведення, якщо в процесі пояснення вчителя не
відриваються для складання конспекту. Для цього вчитель пропонує
учням спочатку уважно прослухати доведення за наперед заготовле-
ним на дошці рисунком або за рисунком, який він виконує під час
доведення. Після цього вчитель проектує на екран короткий символіч-
ний запис умови і вимоги теореми, її доведення, пропонує учням пе-
ренести рисунок і записи в зошит, якщо в цьому є потреба. Цю думку
підтверджують дослідження психологів, які експериментально довели,
що одночасне виконання двох видів діяльності, кожний з яких потребує
повного зосередження уваги, неможливе. Має бути часткова автома-
тизація хоча б одного виду діяльності, щоб обидва виконувалися з
достатнім успіхом.
Сказане не виключає, а навіть передбачає спеціальне навчання уч-
нів старших класів складання конспекту шкільної лекції з метою під-
готовки учнів до такої діяльності у вищому навчальному закладі або
під час подальшого навчання за умов самоосвіти.
Навчання учнів самостійного пошуку доведень. Навчання учнів
уміння самостійно здійснювати пошук доведення значною мірою за-
лежить від володіння основними складовими уміння доводити і мето-
дами доведень.
У більшості теорем і задач на доведення процес доведення спрямо-
ваний на те, щоб показати, що об’єкти, задані в умові теореми (за-
дачі), містять необхідні й достатні або достатні ознаки понять, про
які йдеться у висновку. У геометричних доведеннях такими поняття-
ми можуть бути фігури, їхні властивості, відношення між фігурами.
Тому учні мають навчитися розгортати умови, тобто діставати з
88
умови ознаки шуканого поняття, оскільки в складніших теоремах
ці ознаки подано в умові неявно, вони приховані за змістом інших
понять.
При цьому цілеспрямований пошук потрібних ознак має відбу-
ватися якнайкоротшим шляхом. Це можливо лише тоді, коли учень
знає, де слід шукати потрібну ознаку. Для полегшення пошуку до-
цільно надавати учням набір «пошукових областей». Наприклад, як-
що в умові теореми або задачі трапляються поняття «прямий кут»,
«рівні суміжні кути»», «бісектриса розгорнутого кута», то кожне з
цих понять містить умову перпендикулярності двох прямих. Після
вивчення скалярного добутку двох векторів і означення й ознак
перпендикулярності прямої та площини в 10 класі до «пошукових
областей» для встановлення перпендикулярності двох прямих
(відрізків) додаються ще дві ознаки: 1) дві прямі перпендикуляр-
ні, якщо скалярний добуток двох векторів, що лежать на кожній з
цих двох прямих, дорівнює нулю; 2) дві прямі перпендикулярні,
якщо одна з них перпендикулярна до площини, на якій лежить
Друга.
У процесі підготовки до пошуку складніших доведень можна ско-
ристатися правилами-орієнтирами, що вказують, як встановити най-
поширеніші відношення між двома фігурами: рівність, подібність їх,
паралельність прямих або відрізків. Наприклад, щоб довести рівність
трикутників, досить: 1) підвести їх до однієї з ознак рівності або ско-
ристатися означенням рівних трикутників; 2) довести, що один з три-
кутників можна дістати з другого, виконавши деякий рух (симетрія,
поворот, паралельне перенесення).
Для доведення рівності відрізків або кутів досить: 1) довести рів-
ність трикутників або інших фігур, елементами яких є зазначені у
вимозі відрізки (кути), а потім зробити висновок про рівність відпо-
відних відрізків (кутів); 2) довести, що один відрізок (кут) можна
отримати з другого, виконавши деякий рух.
Після вивчення скалярного добутку двох векторів на площині й у
просторі учнів ознайомлюють ще з одним способом доведення рівно-
сті відрізків і кутів — векторним.
Слід звернути увагу учнів і на те, що у зв’язку з доведенням рів-
ності фігур часто користуються властивостями вимірювання відрізків
та кутів і загальними властивостями величин: а) дві фігури рівні між
собою, якщо кожна з них рівна третій; б) якщо від двох рівних відріз-
ків (або кутів) відняти рівні відрізки (або кути), то дістанемо рівні
відрізки (або кути). Те саме справедливе щодо додавання.
Необхідною умовою правильного вибору потрібної ознаки поняття,
до якого підводиться об’єкт, є усвідомлення всіх істотних властивос-
тей і ознак. З цього погляду важливо під час вивчення основних по-
нять та їхніх відношень привести в систему ці властивості й ознаки і
показати можливість їх використання.
89
Володіння методами доведень і вміння вибрати потрібний метод —
важлива умова для забезпечення самостійного виконання доведен-
ня. В процесі навчання учнів самостійного пошуку доведень най-
важливішим є аналітичний метод. Навчати учнів володінню аналітич-
ним методом найкраще у вигляді евристичної бесіди, використовуючи
зразки доведень. Наведемо модель організації діяльності учнів під
час використання аналітичного методу на прикладі задачі на дове-
дення.
Задача 5.3. Довести, що бісектриса ВР внутрішнього кута трикутника АВС
ділить протилежну сторону на відрізки АР і ОС, пропорційні його сторонам ВА і
ВС (рис. 5.5).
Дано: лАВС, ВР — бісектриса ААВС.
„ АР АВ
Довести. ос=^7-
Учитель. Звідки можна дістати пропорцію,
яку потрібно довести?
Учень. Можна скористатися подібністю три-
кутників або властивістю відрізків, що відтинають-
ся на сторонах кута трикутника прямою, паралель-
ною протилежній стороні.
Учитель. Чи є па рисунку подібні трикут-
ники?
О
Рис. 5.5
Учень. Ні, немає.
Учитель. Як розміщені на рисунку нерші три відрізки, що входять у про
порцію, яку потрібно довести?
Учень. Три з них розміщені на сторонах кутаЛ.
Учитель. На яку думку наштовхує пас цей факт?
Учень. Скористатися властивістю відрізків, що відтинаються па сторонах
трикутника прямою, паралельною протилежній стороні.
У ч и т е л ь. Де може лежати четвертнії відрізок?
Учень. На продовженні сторони АВ.
Учитель. Як його побудувати?
Учень. Продовжити сторону АВ і через точку С провести пряму, паралель-
ну ВО, до перетину з прямою АВ в точці Е.
У ч и т е л ь. Яку пропорцію тепер можна скласти?
АР _ АВ
РС ВЕ'
У ч с и ь.
Учитель. Порівняйте цю пропорцію з тією, яку потрібно довести. Який
висновок з цього можна зробити?
У ч е н ь. Потрібно довести, що ВЕ = ВС.
Учитель. Чим є па рисунку ці відрізки?
Учень. Сторонами &СВЕ.
Учи т е ль. За якої умови дві сторони трикутника рівні?
Учень. Дві сторони трикутника рівні, якщо вони лежать напроти рівних
кутів.
Учитель. Рівність яких кутів потрібно довести?
Учень. Потрібно довести, що /.3 ~ А4.
Після цього, виходячи з умови теореми, доводиться рівність зазначених кутів і
робиться висновок про рівність відрізків.
90
Правило-орієнтир аналітичного методу доведення може бути та-
ким.
1. Запитати: з якого раніше відомого твердження необхідно випли-
ває висновок доводжуваного твердл<епня? інакше кажучи, знайти до-
ведене раніше твердження (або аксїоМу), якого достатньо, щоб зроби-
ти висновок доводжуваного твердження.
2. Якщо такого раніше відомого твердження знайти не вдається, то
потрібно шукати інше, поки ще Не доведене твердження, з якого не-
обхідно випливав би висновок доводЖуваного
3. Потім потрібно шукати настуПне твердження, з якого необхідно
випливало б попереднє, і так далі, дОКИ не буде отримано тверджен-
ня, яке безпосередньо випливає з Умови теореми.
4. Зробити висновок, що дане Твердження доведене, оскільки весь
ланцюжок достатніх умов для викє>нання висновку задовольняється в
силу умови доводжуваного твердження.
Ознайомлювати учнів з аналітичним методом доведення та відпо-
відним правилом-орієнтиром наизручніше на прикладі наведеної за-
дачі, а застосувати його — під час доведення теорем про площі бага-
токутників.
У міру сформованості в учнів основних складових уміння доводи-
ти і набуття першого досвіду виконаиня доведень слід запропонувати
евристичну схему пошуку доведення. Ця схема може мати такий ви-
гляд.
1. Виділити тс, що дано в умові, і вказати, що потрібно довести.
2. Ввести всі потрібні позначення, у геометричних теоремах (зада-
чах) попередньо викопати рисунок
3. Записати умову і висновок теореми (задачі) у символічній
формі.
4. Назвати ознаки, потрібні для доведення.
5. Розгорнути умови, тобто з Того, що дано, вивести можливі на-
слідки.
6. Порівняти з умовами та їхгдми наслідками кожну з ознак, за
якими можна довести те, що потрібно. Вибрати ознаку, зручну для
доведення.
7. Якщо безпосередньо вибрати відповідну ознаку не вдається, по-
думати, які ще потрібні для доведення ознаки можуть бути задані в
умові.
8. Постійно пам’ятати, що колц пошук доведення ускладнено, по-
трібно звертатися до даних і до тоГо, що випливає з них.
Для геометричних доведень цю схему можна доповнити вказівками
щодо геометричного рисунка: пісдя виконання третього пункту схеми
проаналізувати рисунок, позначити на ньому рівні елементи, прямі
кути, паралельні відрізки та інші характерні особливості рисунка і
окремих ЙОГО елементів. Потім, Виділивши на рисунку елементи фі-
гур, відношення яких потрібно Довести або які потрібно визначити,
91
задати собі запитання: чим ще є або чим ще могли б бути дані елемен-
ти? Окремі елементи рисунка (відрізки, кути тощо) доцільно зістав-
ляти з іншими елементами, включати їх до складу інших фігур, роз-
глядати в різноманітних зв’язках з іншими елементами (прийом пере-
осмислювання елементів задачі). Якщо на рисунку немає фігур або
елементів, необхідних для використання ознак, за допомогою яких
можна довести те, що потрібно, то слід виконати додаткові побудови і
зробити всі висновки, що випливають з них.
Таку евристичну схему доцільно разом з іншими матеріалами по-
містити в математичному кабінеті на стенді «Учись учитися».
Можливий варіант правила-орієнтиру методу доведення від супро-
тивного такий.
1. Припустити супротивне тому, що потрібно довести.
2. Використовуючи припущення, відомі аксіоми і раніше доведені
твердження за допомогою міркувань дійти висновку, який суперечить
умові твердження, що доводиться, відомій аксіомі, раніше доведеному
твердженню або припущенню.
3. Зробити висновок, що припущення неправильне, а правильне
те, що потрібно довести.
Неможливість і єдиність чого-небудь у математиці завжди дово-
дять методом від супротивного. Інколи цим методом доводять оберне-
ні твердження.
ЗАДАЧІ
6 У НАВЧАННІ
МАТЕМАТИКИ
6.1. Функції задач у навчанні математики.
Види задач
Поняття «задача» і функції задач у навчанні математики. У лі-
тературі з психології та педагогіки немає єдиного трактування понят-
тя «задача». Залежно від підходу до зв’язку між суб’єктом і задачею
автори тлумачать його по-різному. Кібернетика, дидактика і методика
навчання математики розглядають задачу як ситуацію зовнішньої діяль-
ності, що запропонована окремо від суб’єкта діяльності. Тому здебіль-
шого задачу розуміють як будь-яку вимогу обчислити, перетворити,
побудувати або довести що-небудь. Психологія розглядає задачу як ме-
ту, задану в певних умовах, як особливу характеристику діяльності
суб’єкта. Задача тут тлумачиться як суб’єктивне психологічне відо-
браження тієї зовнішньої ситуації, в якій розгортається цілеспрямо-
вана діяльність суб’єкта.
У шкільній практиці задачами у широкому розумінні вважають не
лише текстові, сюжетні задачі, а й різні вправи, приклади.
Процес розв’язування задачі як розумову діяльність досліджує пси-
хологія й аналізує методика математики. Останнім часом здійснюються
спроби дослідити задачі як такі, а не лише процес їх розв’язування.
Звертається увага на потребу мати чітке уявлення про структуру задачі.
Відомо, що кожна задача містить умову (умови) і вимогу (вимоги).
Задачі у навчанні математики є і об’єктом вивчення, і засобом на-
вчання. Зазвичай розрізняють чотири основні їхні функції — навча-
льна, розвивальна, виховна і контрольна.
Навчальна функція полягає у формуванні в учнів системи ма-
тематичних знань, навичок і умінь на різних етапах навчання. За до-
помогою системи задач учні вчаться не лише застосовувати здобуті
теоретичні знання, а й на етапі мотивації переконуються у потребі
здобуття нових знань; у процесі розв’язування задач дістають додат-
кову теоретичну інформацію і відомості про методи розв’язування.
Розвивальну функцію задач спрямовано на розвиток мислення
школярів, на формування в них розумових дій і прийомів розумової
діяльності, просторових уявлень і уяви, алгоритмічного мислення, вмін-
ня математизувати ситуацію тощо.
93
Виховну функцію задач спрямовано на формування в учнів нау-
кового світогляду, вона сприяє екологічному, економічному, естетичному
вихованню, розвиває пізнавальний інтерес, позитивні риси особистості
(наполегливість, волю, відповідальність за доручену справу та ін.).
Контрольна функція задач полягає у встановленні навченості,
рівня загального і математичного розвитку, стану засвоєння навчаль-
ного матеріалу окремими учнями і класом загалом.
Жодна із названих функцій не може реалізовуватися ізольовано
від інших, але в кожній конкретній задачі вчитель має виокремити ос-
новну функцію і за належної цільової установки прагнути насамперед її
реалізації. Кожна з основних функцій задач важлива в загальній системі
навчання, але останнім часом особливу увагу приділяють розвивальній
функції. Не випадково Д. Поя (1887 — 1985), Е. Резерфорд (1871 —
1937), Н. Бор (1885 — 1962), А. Ейнштейн (1879—1955), П. Л. Капі-
ца (1894 — 1984), Б. М. Кедров (1903—1985) та інші видатні вчені
зазначали, що задачі мають не тільки і не стільки сприяти закріплен-
ню знань, тренуванню в їх застосуванні, скільки формувати дослід-
ницький стиль розумової діяльності, метод підходу до явищ, що ви-
вчаються.
Однією з найважливіших проблем шкільної математичної освіти є
навчання учнів методів і способів розв’язування задач, самостійного
пошуку розв’язку задач. Методи і способи розв’язування задач ви-
значаються характером самих задач і тими знаннями та допоміжними
засобами, якими учні володіють на певному етапі навчання.
Нині у дослідженнях психологи, дидактики і методисти перекон-
ливо показали, що вміння школярів розв’язувати задачі прямо не за-
лежить від кількості розв’язаних задач. Якщо навіть учень розв’язав
багато задач, але в нього не сформований загальний підхід до задачі,
аналізу її, пошуку плану розв’язування, самостійно розв’язувати задачі
він не зможе.
Види задач з математики. Залежно від того, яку вимогу поставле-
но в задачі, розрізняють задачі па обчислення, доведення, побудову і
дослідження.
У задачах на обчислення потрібно знайти число (або множину чи-
сел) за даними числами і умовами, якими вони пов’язані між собою
та з невідомими числами. До таких задач належать текстові задачі й
різні приклади (задачі на розв’язування рівнянь, нерівностей, їхніх
систем тощо).
У задачах на доведення потрібно довести сформульоване в них
твердження. Цим вони не відрізняються від теорем. Тому не дивно,
що те саме твердження подається в різних підручниках або під руб-
рикою теорем, або під рубрикою задач. Теоремами зазвичай вважають
найважливіші твердження, які широко використовують під час
розв’язування різних задач і доведення інших теорем. Водночас на
окремі задачі доводиться посилатися як на теореми.
94
До задач на побудову належать як геометричні задачі, в яких по-
трібно побудувати певну фігуру, що задовольняє умову задачі, так і
задачі на побудову графіків функцій, діаграм, перерізів багатогран-
ників та інших тіл.
У задачах на дослідження потрібно дослідити що-небудь. Наведе-
мо приклади таких задач.
1. Чи існує піраміда, в якій дві протилежні грані перпендикулярні
до основи і взаємно перпендикулярні?
2. Чи може проекція паралелограма у разі паралельного проекту-
вання бути квадратом?
х — 1
3. Дослідити на монотонність і екстремум функцію у = 2х + -[-
Залежно від кількості розв’язків задачі на обчислення і побудову
бувають визначені і невизначені. Визначеними називають задачі, які
мають скінченну кількість розв’язків, а неви значеними — ті, які ма-
ють безліч розв’язків.
За характером даних розрізняють задачі із зайвими і суперечли-
вими даними.
«Розв’язати задачу» для всіх задач (крім задач на доведення)
означає знайти розв’язок.
Розв’язок є кінцевим результатом процесу розв’язування задачі.
Опис процесу розв’язування у вигляді послідовності всіх міркувань,
зокрема подане в символічній формі, називають розв’язуванням зада-
чі. Тому письмово оформлений процес пошуку розв’язку подається
під рубрикою «Розв’язування».
Слід погодитися з поглядами психологів, дидактиків і методистів
стосовно того, що процес розв’язування задачі має складатися з таких
етапів: 1) аналіз формулювання задачі, тобто відокремлення того, що
в ній дано і що потрібно знайти, довести або дослідити; 2) пошук
плану розв’язування; 3) здійснення плану, перевірка і дослідження
знайденого розв’язку, тобто доведення того, що знайдений розв’язок
задовольняє вимоги задачі; 4) обговорення (аналіз) знайденого спо-
собу розв’язування з мстою з’ясування його раціональності, можли-
вості розв’язування задачі іншим методом чи способом.
Зауважимо, що не для всіх задач і не кожного разу потрібно вико-
нувати всі чотири етапи. Наприклад, перевірку розв’язування кожної
текстової задачі методом рівнянь проводити недоцільно, адже це по-
требує багато додаткового навчального часу. Однак слід навчити уч-
нів робити таку перевірку і періодично пропонувати виконувати її.
Так само необов’язковим етапом є дослідження при розв’язуванні за-
дач на побудову і геометричних задач із застосуванням тригонометрії.
Проте для окремих задач такий етап стане в пригоді.
95
6.2. Методи і способи розв’язування задач
Найважливішим завданням навчання математики в школі є навчання
учнів математичних методів, зокрема методів доведення теорем і методів
та способів розв’язування задач. «Короткий тлумачний словник україн-
ської мови» (К.: Рад. шк., 1978. — С. 140) стверджує, що метод — це
шлях, спосіб теоретичного дослідження або практичного здійснення чо-
го-небудь. Відразу виникає запитання: а що таке спосіб? На нашу дум-
ку, поняття «метод» вдаліше тлумачиться в третьому виданні «Большой
советской знциклопедии» (т. 16, с. 472): «метод (от греч. рлбобод —
путь исследования или познания, теория, ученне) — совокупность при-
емов или операций практического или теоретического освоєння действи-
тельности, подчиненньїх решению конкретної! задачи».
У методиці математики методом розв’язування задач (як і дове-
дення теорем) називають сукупність прийомів розумової діяльності або
логічних математичних дій та операцій, за допомогою яких розв’язується
великий клас задач. Поняття «спосіб розв’язування задачі» — вужче.
Це сукупність прийомів розумової діяльності або логічних і мате-
матичних дій та операцій, які використовують для розв’язування ок-
ремої задачі або невеликої сукупності задач певного виду.
Наприклад, в алгебрі найпоширенішим методом розв’язування тек-
стових (сюжетних) задач на обчислення є метод рівнянь; у геометрії за-
дачі на побудову розв’язують кількома методами: методом геометричних
місць, методом геометричних перетворень (симетрії центральної та осьо-
вої, повороту, паралельного перенесення, подібності або гомотетії), алге-
браїчним методом. Векторний метод розв’язування задач на обчислення і
доведення поширений в геометрії. У курсі алгебри і початків аналізу
основним методом дослідження функцій і побудови їхніх графіків є ме-
тод, що ґрунтується на використанні похідної, методом обчислення площ
плоских фігур і об’ємів геометричних тіл — метод інтегралів.
У процесі пошуку способу розв’язування багатьох задач на обчис-
лення, доведення використовують синтетичний і аналітичний, а інко-
ли аналітико-синтетичний методи міркувань, які прийнято називати
синтетичним, аналітичним і аналітико-синтетичним методами розв’я-
зування задач відповідно.
Синтетичний метод здебільшого використовують у початковій школі
та в 5 — 6 класах основної школи для розв’язування найпростіших задач.
Розв’язуючи задачу синтетичним методом, міркують від умови
до шуканого, тобто виводять наслідки з того, що дано. Наведемо
приклад розв’язування задачі синтетичним методом.
Задача 6.1. Відстань між містами А і В дорівнює 288 км. З міста А до міста В ви-
їхав автомобіль зі швидкістю 72 км/год. Одночасно з автомобілем з міста В до міста
А виїхав велосипедист, який зустрівся з автомобілем через 3 год після виїзду. За який
час подолає відстань між містами автомобіль? За який — велосипедист?
96
Розв’язання. 1. Оскільки швидкість автомобіля і відстань між містами відомі,
і о можна визначити час руху автомобіля:
288:72 = 4 (год).
2. Можна знайти шлях, який автомобіль проїхав до зустрічі:
72-3 = 216 (км).
3. Обчислимо шлях, який подолав велосипедист до зустрічі:
288-216 = 72 (км).
4. Можна знайти швидкість велосипедиста, оскільки шлях завдовжки 72 км
він проїхав за 3 год:
72:3 = 24 (км/год).
5) Знайдемо час, за який проїхав усю відстань велосипедист:
288:24 = 12 (год).
Відповідь. Автомобіль проїхав увесь шлях за 4 год, а велосипедист — за
12 год.
Пошук розв’язку цієї самої задачі аналітичним методом матиме
такий вигляд.
У ч и т е л ь. Що потрібно знати для відповіді на запитання задачі?
У ч е н ь. Потрібно знати швидкості автомобіля та велосипедиста. Швидкість
автомобіля відома і відомий весь шлях, який подолав автомобіль. Тому весь час
руху автомобіля дорівнює 288 : 72 = 4 (год).
Учитель. Що потрібно знати для визначення швидкості велосипедиста?
Учень. Потрібно знати шлях, який велосипедист проїхав за 3 год до зу-
стрічі.
Учитель. Як знайти цей шлях?
Учень. Для цього досить знайти шлях, який проїхав до зустрічі авто
мобіль, тоді решту відстані між містами проїхав до зустрічі велосипедист.
У ч и т е л ь. Знайдіть цей шлях.
Учень. 72-3 = 216 (км); 288-216 = 72 (км).
Учитель. Як знайти швидкість велосипедиста?
У ч е п ь. Потрібно шлях до зустрічі поділити на витрачений час: 72 : 3 =
= 24 (км/год).
Учитель. Як знайти час, за який подолав всю відстань велосипедист?
Учень. Для цього потрібно відстань між містами поділити на швидкість ве-
лосипедиста: 288 : 24 = 12 (год).
Аналітичний метод сприяє свідомому пошуку розв’язку задачі,
вчить учнів здійснювати такий пошук самостійно. У старших класах
аналітичний метод широко використовують для розв’язування стерео-
метричних задач на обчислення об’ємів, площ поверхонь геометрич-
них тіл. При цьому розв’язування починається із записування відпо-
відної формули, за якою обчислюється шукана величина, а потім
здійснюється пошук невідомих величин, які входять до формули.
Докладніше про інші методи розв’язування задач ідеться в розді-
лах, що стосуються методики вивчення алгебри, геометрії, алгебри і
початків аналізу.
4 Слзпкань 3. І.
97
Методика навчання учнів розв’язування задач. Ефективною ме-
тодика навчання учнів розв’язуванню задач може бути лише за комплек-
сного підходу до навчального процесу. Це означає, що має бути
чітко визначена мета навчання учнів розв’язування задач певного ви-
ду чи оволодіння певним методом, ретельно розроблена система самих
задач, які розв’язуватимуться в класі та пропонуватимуться як домаш-
нє завдання, доцільно вибрані методи і організаційні форми роботи
на уроці, засоби навчання, здійснений контроль стану сприймання
учнями методів і способів розв’язування, набутих ними навичок і
умінь.
У процесі розв’язування задач здійснюється як алгоритмічна, так і
евристична діяльність. Значна кількість шкільних задач, зокрема ал-
гебраїчних вправ, опорних задач на побудову, вправ на дослідження
функцій, обчислення похідних та інтегралів, виконується за певними
алгоритмами. Опанування учнями цих алгоритмів є важливим за-
вданням навчання математики. Філософи стверджують, що немає
кращого способу створити умови для творчої діяльності як бездоганне
знання алгоритмів. Справді, розв’язування творчих, нестандартних
задач зводиться, зрештою, до виконання відомих опорних задач, які
розв’язуються за певними алгоритмами. На жаль, нерідко на уроці в
школі та на вступних екзаменах до вищих навчальних закладів окремі
учні знаходять спосіб розв’язування складної нестандартної задачі, але
довести справу до кінця не можуть, оскільки забули розв’язування опор-
ної задачі, до якої звелась нестандартна, або не можуть правильно
розв’язати найпростіше, наприклад тригонометричне, рівняння.
Водночас навчити учнів розв’язувати задачі та вправи алгоритміч-
ного характеру, лише пропонуючи їм готові алгоритми, не можна.
Доцільніше організувати на прикладах розв’язування однієї-двох за-
дач колективний пошук алгоритму.
Це стосується і навчання учнів розв’язування задач і вправ певних
типів за певним алгоритмом чи правилами-орієнтирами.
Наведемо приклади. На уроці в 5 класі учні розв’язують задачі на
рух двох типів: зустрічний і рух в одному напрямку.
Задача 6.2. З двох міст, відстань між якими 840 км, одночасно назустріч один
одному виїхали два поїзди: один зі швидкістю 60 км/год, а другий — зі швидкіс-
тю 80 км/год. Через скільки годин вони зустрінуться?
Задача 6.3. Літак вилетів з аеропорту зі швидкістю 500 км/год. Через 2 год з
того самого аеропорту в тому самому напрямку вилетів другий літак зі швидкістю
700 км/год. Через скільки годин після вильоту другий літак наздожене перший?
Яка відстань буде між ними через 3 год?
Розв’язавши ці дві задачі та аналогічні їм, учні колективно можуть
дійти висновку, що в разі розв’язування задач на зустрічний рух, в
яких потрібно визначити час, через який об’єкти зустрінуться, слід
додати їхні швидкості та поділити відстань між пунктами, від яких
почався рух, на сумарну швидкість.
98
У задачах на рух, в яких об’єкти рухаються від одного пункту і в
одному напрямку, а потрібно визначити відстань між об’єктами через
певний час, раціональнішим є спосіб розв’язування, за якого знахо-
дять різницю між швидкостями об’єктів і множать її на заданий час.
У задачах на спільну роботу орієнтиром для розв’язування є вка-
йвка щодо прийняття всієї роботи за одиницю і вираження частки
всієї роботи, яку виконують окремі особи чи механізми за одиницю
часу, або частки роботи, яку вони виконують разом.
Аналогічні вказівки або правила-орієнтири доцільно пропонувати
учням для розв’язування задач на проценти, пропорційний поділ,
геометричних задач на побудову, які розв’язують методами геометри-
чних місць, геометричних перетворень, задач на доведення методом
від супротивного, побудову перерізів багатогранників, побудову гра-
фіків функцій за допомогою геометричних перетворень, розв’язуван-
ня задач векторним методом та ін.
Особливу увагу слід приділити навчанню учнів основних методів
розв’язування задач. Для прикладу розглянемо методику навчання
методу рівнянь для розв’язування текстових (сюжетних) задач.
Шкільна практика свідчить, що хоча метод рівнянь розглядають
уже в 6 класі та використовують упродовж всього подальшого ви-
вчення шкільного курсу математики, результати вступних екзаменів
до вищих навчальних закладів незаперечно доводять, що значна час-
тина випускників слабко опанувала цей метод.
Однією з причин цього ми вважаємо недостатню увагу вчителів до
розв’язування в 5 —6 класах арифметичним способом текстових задач
і вправ, які безпосередньо готують учнів до усвідомлення методу рів-
нянь. Крім того, потрібно спеціально контролювати засвоєння учнями
евристичної схеми пошуку рівняння як моделі зв’язків МІЖ ВІДОМИМИ 1
шуканими.
Уміння розв’язувати задачі методом рівнянь як компонента відпо-
відної діяльності містить такі розумові дії: аналіз задачі (виокрем-
лення умов і вимог); встановлення істотних зв’язків між відомими і
шуканими; виявлення величин, значення яких прирівнюватимуться,
позначення невідомої та подання потрібних величин через введену
невідому, складання рівняння і його розв’язування; перевірка розв’я-
зування задачі. Уміння можна сформувати, якщо попередньо відпра-
цьовано всі його складові.
Успішно аналізувати формулювання задачі учні можуть лише тоді,
коли вони засвоїли її зміст. Для цього важливо вдало подати задачу
учням. Це можна зробити по-різному. Якщо задача з підручника, то
ефективніше, коли задачу вголос читає вчитель або один з учнів, а
решта стежать, як сформульовано задачу. Досвід свідчить, що най-
краще, коли задачу читають не менш як двічі. Доцільно, щоб учень,
який розв’язуватиме задачу, після повторення змісту задачі та вио-
кремлення умови і вимоги скорочено записав їх на дошці. Перші ско-
99
рочені записи на дошці вчителеві доцільно робити самому, пропоную-
чи зразок, що його наслідуватимуть учні. Для окремих задач умову і
вимогу потрібно подати у вигляді таблиці або графічної ілюстрації.
Наведемо приклад.
Задача 6.4. Один кусок дроту на 54 м довший за другий. Після того як від
обох кусків відрізали по 12 м, перший виявився в 4 рази довшим, ніж другий.
Знайти довжину кожного куска.
Скорочений запис змісту задачі може мати вигляд:
І II+ 54 -12, II-4 ?
II -12 ?
Геометричне зображення змісту задачі наочно ілюструє зв’язок між даними і
шуканими, допомагає доцільно вибрати невідому х і скласти просте для
розв’язання рівняння З.г = 54 (рис. 6.1).
У процесі пошуку рівняння потріб-
но з’ясувати, про які величини йдеться
в змісті задачі, які зв’язки існують між
цими величинами і шуканим, значення
яких величин можна прирівняти. За-
лежно від цього доцільно ввести неві-
дому і скласти рівняння.
У методиці навчання алгебри відомі дві евристичні схеми пошуку
рівняння до задачі. Першу схему застосовують до розв’язування не-
складних задач, вона має такий вигляд: 1) позначити як х шукану
величину (або одну із шуканих); 2) виразити через х інші величини,
про які йдеться в змісті задачі; 3) ґрунтуючись на залежності між
відомими і невідомими величинами, скласти рівняння.
Друга евристична схема зручна для розв’язування складніших за-
дач: 1) з’ясувати, виходячи зі змісту задачі, значення яких величин
можна прирівняти; 2) вибрати невідому і позначити її буквою х; 3) ви-
разити через х значення величин, які прирівнюватимуться; 4) скласти
рівняння.
Друга евристична схема забезпечує цілеспрямований вибір невідо-
мої та вираження через неї потрібних величин.
На першому, підготовчому етапі навчання учнів методу рівнянь
потрібно нагадати всі види основних задач, які розв’язуються кожною
арифметичною дією, їх буквений запис, сформувати навички скла-
дання простих виразів з невідомою. Далі розв’язуються усно найпро
стіші задачі на складання рівнянь за умовою задачі. Для прикладу
наведемо кілька задач.
1. До якого числа слід додати 12, щоб дістати 68? (Учні познача-
ють як х невідоме число і записують рівняння: х + 12 = 68.)
2. Число а на 7 більше за число Ь. Як можна записати залежність
між а і Ь за допомогою рівності?
100
3. Число пі втричі більше, ніж число п. Як можна записати залеж-
ність між т і п за допомогою рівності?
4. Купили 10 кг цукерок по х гривень за 1 кг. Як записати у ви-
гляді виразу вартість покупки?
Важливо домогтися усвідомлення учнями того, що словосполучення
«а на стільки-то більше за Ь» іноді потребує дії додавання, а іноді —
віднімання залежно від того, якої з двох величин воно стосується. Це
саме стосується словосполучення «а в стільки-то разів більше за Ь». До-
свід показує, що деякі учні не реагують на слова «сума», «додано»,
«всього» в умові задач. Тому на першому етапі потрібно спеціально ак-
центувати слова, які містять ін<|юрмацію для складання рівняння.
Існують різні організаційні форми щодо розв’язування задач. На
уроці можливі колективне фронтальне розв’язування задач, колек-
тивна робота окремих груп і самостійне розв’язування.
Готуючись до колективної фронтальної роботи, яка проводиться
інколи методом евристичної бесіди, потрібно продумати і записати в
конспекти (якщо йдеться про практиканта або вчителя-початківця)
систему запитань щодо пошуку способу розв’язування. Доцільно про-
понувати слабшим учням відповідати на прості запитання, щоб їх за-
лучити до процесу пошуку способу розв’язування задачі. Іноді спосіб
розв’язування знаходять сильні учні, а реалізацію його на дошці до-
цільно запропонувати середньому чи слабкому учневі. Не можна до-
пускати, щоб учні механічно переписували розв’язування задачі з
дошки, не усвідомивши способу. Тому в процесі оформлення запису
можна пропонувати окремим учням пояснити, чому виконується та чи
інша дія або яким має бути наступний крок розв’язування.
За групової форми організації розв’язування задач на уроці вчи-
тель має підготувати для кожної групи набір задач відповідно до здіб-
ностей учнів групи, під час уроку контролювати діяльність кожної
групи і надавати допомогу тій, яка більше її потребує. Інколи слід
спеціально провести консультацію (3 — 5 хв), в якій активну участь
братимуть сильніші учні, а не лише вчитель.
Можливі різні форми організації самостійного розв’язування уч-
нями задач на уроці. цс здебільшого навчальні самостійні роботи, але
інколи потрібні й контрольні. Самостійні роботи можуть тривати ці-
лий урок, але частіше — частину уроку. Залежно від мети такі робо-
ти можуть проводитись на початку, в середині або наприкінці уроку.
Якщо вчитель хоче перевірити стан виконання домашнього завдання і
надати допомогу тим, хто відчуває труднощі, він може запропонувати
задачу або вправи, аналогічні домашнім. Якщо опановується певний
тип задач, самостійну роботу можна запропонувати в середині чи на-
прикінці уроку. Для ефективної й оперативної перевірки таких робіт
можна запропонувати двом-трьом учням оформити розв’язування на
плівці та спроектувати його на екран через графопроектор. Інколи
101
два учні розв’язують задачу на відкидних дошках, і відразу після
закінчення допущені помилки аналізують. Можлива й усна фрон-
тальна перевірка за етапами розв’язування задач і вправ.
Досвідчені вчителі, зокрема В. Ф. Шаталов, з метою інтенсифіка-
ції процесу навчання, збільшення кількості розв’язаних на уроці за-
дач перед уроком записують скорочено умови чотирьох-п’яти задач на
дошці. Починається розв’язування першої задачі. Вчитель сам за ско-
роченим записом умови читає зміст задачі й організовує колективний
пошук розв’язування. Один з учнів оформлює розв’язування на дош-
ці, всі інші — в зошитах або уважно слухають розв’язування і сте-
жать за його оформленням. Потім запис на дошці витирають, а учням
пропонується самостійно оформити розв’язування в зошиті. Після
цього розв’язується наступна задача, а дошка поступово звільняється,
що позитивно впливає на настрій учнів.
В. Ф. Шаталов практикує проведення «релейних» контрольних ро-
біт, які мають на меті перевірку стану засвоєння способів розв’язу-
вання опорних задач. Після того як розв’язано значну кількість задач
у робочих (загальних) зошитах, складається каталог їхніх номерів за
підручником. Поряд з кожним номером задачі в клітинці зазначають
номер сторінки в зошиті, на якій наведено розв’язування цієї задачі.
На контрольну роботу виноситься п’ять-шість задач (чи більша кіль-
кість вправ). Учні готуються до цієї роботи упродовж двох тижнів,
повторюючи за зошитом розв’язування тих задач, які вони не можуть
відтворити самостійно.
Особливістю методичної системи В. Ф. Шаталова щодо задач є те,
що вчитель на початку чверті або півріччя пропонує учням значну
кількість задач з підручника, номери яких оформлено на спеціальних
плашках у вигляді різних фігур (будинків, метеликів тощо). Вчитель
створює умови для випереджувального розв’язування задач у зручний
для учнів час, ретельно перевіряє зошити з виконаними розв’язу-
ваннями. Отже, вчитель систематично контролює не тільки засвоєння
теоретичного матеріалу, а й способи діяльності щодо його використання
для розв’язування задач.
ЗАСОБИ
7 НАВЧАННЯ
МАТЕМАТИКИ
7.1. Підручник з математики
До засобів навчання математики належать: підручник з математи-
ки, дидактичні матеріали і довідкова математична література, навчаль-
не обладнання, зокрема наочні посібники, моделі, рисунки, схеми,
таблиці, предмети оточення, інструменти, прилади, екранні засоби
навчання, калькулятори, персональні комп’ютери, відповідні педаго-
гічні програмні засоби. Вони мають утворювати єдиний комплекс,
основою якого є підручник математики.
У підручниках викладено основи знань і способів діяльності від-
повідно до цілей навчання, визначених програмою.
Підручник призначений передусім для учнів відповідного віку.
Водночас у деяких підручниках математики є матеріал, потрібний
учителеві для організації навчально-пізнавальної діяльності учнів.
Крім того, підручником користуються батьки, допомагаючи учням під
час виконання домашніх завдань і контролюючи їхню роботу.
До підручника з математики висувається низка вимог стосовно
структури викладу навчального матеріалу, зокрема педагогічна доціль-
ність теоретичної частини і системи задач підручника, точності, стис-
лості та ясності мови, жвавості, цікавості викладу, якості ілюстратив-
ного матеріалу.
Обов’язковими вимогами до наукової системи підручника є мате-
матична коректність викладу теоретичного матеріалу, доцільність ви-
бору наукової схеми викладу, відповідність трактовки понять, термі-
нології та символіки традиціям, прийнятим у математичній науці і
школі.
Дидактичні вимоги потребують забезпечення доступності, наочнос-
ті, систематичності, стислості викладу матеріалу, наявності засобів мо-
тивації учіння, розвитку мислення, пізнавальної активності й цікавос-
ті до предмета, диференціації навчання, спрямованості на формуван-
ня загальнонавчальних умінь.
Вимоги до методичного апарату підручника пов’язані із забезпе-
ченням належного розвитку змістових ліній, методичної доцільності
викладу теоретичного матеріалу, системи вправ і задач, рівня реалі-
103
зації внутрішньопредметних і міжпредметних зв’язків, наявності мож-
ливостей для контролю та самоконтролю, застосування технічних за-
собів навчання й комп’ютерної підтримки, прикладної, практичної
спрямованості, наявності умов для організації самостійної роботи уч-
нів на уроці та в позаурочний час.
Важливим завданням навчання математики є формування в учнів
уміння працювати з підручником. Потрібно спеціально навчати учнів
читанню підручника і науково-популярної літератури з математики.
Зміст, форми і місце роботи з підручником визначаються віком учнів,
рівнем їхньої математичної підготовки і наявними вміннями працюва-
ти з книжкою.
Можна рекомендувати такі методи і форми роботи з підручником
на уроці.
1. Читання тексту підручника після пояснення вчителя.
2. Розгляд прикладів підручника після пояснення їх учителем з
метою закріплення, наведення власних прикладів.
3. Читання вголос учителем тексту підручника з метою навчання
учнів виокремленню головного в тексті, розбиття його на змістовні
частини, складання плану.
4. Читання тексту учнями, виокремлення в ньому головного і зміс-
товних частин.
5. Самостійне читання тексту учнями, складання плану і відповідь
на запитання вчителя або підручника.
У старших класах доцільно практикувати самостійне вивчення уч-
нями за підручником окремих тем, відшукання ними нових понять,
правил, формулювань і доведення теорем, наведення прикладів засто-
сування вивченого матеріалу, зокрема в суміжних дисциплінах та на
практиці.
7.2. Навчальне обладнання з математики
і методика його використання
Реалізація принципу наочності під час вивчення математики — не-
обхідна умова, що забезпечує ефективність навчання й умови для за-
побігання формалізму. Психологічний аналіз ролі наочності у на-
вчанні подано в [49], де зазначається, що в разі тлумачення процесу
учіння як аналітико-синтетичпої діяльності наочністю слід вважати
діяльність учня стосовно конкретних предметів і явищ. Це той прак-
тичний реальний аналіз, який є першим ступенем пізнавальної діяль-
ності і в цьому розумінні передує розумовому аналізу і синтезу, який
здійснюється словесно.
Наочність сприяє утворенню ясних і точних образів сприймання і
уявлення, полегшує учням перехід від сприймання конкретних пред-
метів до сприймання абстрактних понять про них за допомогою вияв-
104
лення і словесного закріплення спільних істотних властивостей по-
нять.
У дослідженнях психологів показано, що позитивний вплив наоч-
ності визначається низкою умов, зокрема правильним поєднанням
слова вчителя і наочності, врахуванням вікових та індивідуальних
особливостей учнів, спеціальним навчанням учнів умінню бачити на-
очний матеріал. Потрібно зосередити увагу учнів на тому, що саме в
певному наочному матеріалі слід виокремити, порівняти, подумки пе-
ретворити.
Водночас із позитивним впливом наочність може відіграти і не-
гативну роль. Наприклад, надуживання моделями стереометричних
фігур на перших уроках стереометрії може загальмувати розвиток
просторових уявлень і уяви, постійне використання готового рисунка,
який, наприклад, проектується на екран в процесі розв’язування гео-
метричних задач, призводить до того, що в учнів слабко формується
уміння виконувати зображення просторових фігур на площині. За
одноманітного використання рисунків планіметричних фігур, на-
приклад прямокутних трикутників, прямих кутів у стандартному
положенні (прямий кут розміщений унизу, а зовнішній кут трикут-
ника зображується лише для гострокутних трикутників), гальму-
ється виявлення і узагальнення істотних властивостей фігур. Увага
учпів при цьому фіксується на випадкових, неістотних властивостях,
відбувається їх генералізація (піднесення до ролі істотних). При
цьому учні не розрізняють прямий кут, прямокутний трикутник,
якщо він зображений у нестандартному, незвичайному для учнів по-
ложенні.
Для уникнення цих негативних явищ важливо правильно поєдну-
вати слова вчителя з демонстрацією наочного матеріалу. Вчитель має
спрямовувати процес спостереження учня, варіювати положення фігур у
наочному матеріалі, виокремлювати в ньому як істотні властивості,
так і неістотні.
Особливо велике значення має наочність у курсі математики 1 —
6 класів. Створення у школярів цих класів правильних геометричних
образів на основі конкретних геометричних фігур і предметів довкіл-
ля є першочерговим завданням вивчення геометричного матеріалу в
цих класах.
Надзвичайно важливою є роль графічних зображень під час ви-
вчення функцій в основній школі та в курсі алгебри і початків аналі-
зу, уміння зображувати просторові фігури на площині під час ви-
вчення стереометрії. Докладніше про це йдеться у відповідних розді-
лах методики вивчення окремих предметів.
Значну допомогу учням у вивченні алгебри і геометрії надають
спеціальні прилади, які моделюють математичні поняття, задачі, гра-
фічні зображення. До них належать: магнітна дошка з координатною
сіткою, переносна магнітна дошка, комплект кривих для магнітної
105
дошки, магнітні прилади «Вимірювання площ», «Частини цілого і
дроби» тощо.
З успіхом використовують у школі гумові штемпелі (штампи) із
зображеннями різних плоских і просторових фігур, графіків тощо.
Вони допомагають заощадити навчальний час на етапі розв’язування
задач, коли учні вже навчилися виконувати потрібні зображення.
У процесі формування навичок виконання дій з додатними і
від’ємними числами деякі вчителі використовують виготовлену в шкіль-
них майстернях модель координатної прямої. На відшліфовану де-
монстраційну лінійку (дошка 150 х 15 см) наносять координатну
пряму з просвердленими отворами для фіксування точок, що від-
повідають додатним і від’ємним числам.
Аналогічні моделі координатної прямої можна виготовити зі зви-
чайних пластмасових або дерев’яних лінійок. Спочатку учні викону-
ють дії на моделі і, помітивши закономірності в отриманні результа-
тів, під керівництвом учителя колективно формулюють відповідні
правила.
Динамічні планіметричні та стереометричні моделі набули поши-
рення в школах України. Ініціатором створення таких моделей упро-
довж багатьох років був київський учитель М. О. Придатко, потім до
цього доклав зусиль математик-методист Г. Ф. Олійник. їхній досвід
висвітлено в працях [270; 297].
У посібнику [270] наведено список рекомендованої літератури що-
до виготовлення саморобних наочних посібників з математики.
Для проведення лабораторних робіт з математики потрібний набір
моделей для вимірювання довжин, площ і об’ємів тіл. Вій складаєть-
ся з 20 палеток, 40 кубиків розміром 10 х 10 х 10 мм, 40 кубиків
розміром 20 х 20 х 20 мм, а також різних плоских фігур, східчастих
тіл. Учитель може організувати разом з учителем праці виготовлення
різних моделей самими учнями. Така робота сприяє свідомому засво-
єнню навчального матеріалу, формує уміння застосовувати теоретич-
ний матеріал на практиці.
Поширеним засобом наочності є математичні таблиці. Здебільшого
їх виготовляють у школі учні й вчителі. Проте вже кілька комплектів
таблиць для різних класів видано українськими видавництвами, на-
приклад, [6; 43; 192; 271; 272].
7.3. Кабінет математики в школі
Успішне використання навчального обладнання, технічних засобів
навчання можливе лише за умови, коли в школі створено принаймні
два кабінети математики — для учнів основної та старшої школи.
Кабінет має бути обладнаний столами для учнів і вчителя, клас-
ною дошкою, в яку можна вмонтувати магнітну дошку з нанесеною на
106
неї системою координат. У деяких кабінетах математики є ще одна
дошка для проведення фронтальної роботи, яку розміщено вздовж
однієї зі стін кімнати. Шафи для наочних посібників, приладів, таб-
лиць, бібліотечки та картотеки навчальної, методичної, науково-
популярної літератури з математики та дидактичних матеріалів, тех-
нічні засоби навчання розміщують позаду учнівських столів. Відповід-
но до результатів новітніх досліджень лабораторій шкільного навчаль-
ного обладнання не рекомендується розміщувати наочні та інші мате-
ріали на бічних стінах кабінету, щоб не відвертати увагу учнів під час
проведення уроку.
У багатьох кабінетах над класною дошкою вмонтовано світильни-
ки, пластиковий екран типу ЗПП-1 або ЗГШ-2, пристрої для демон-
стрування таблиць, під дошкою — скриньки для таблиць і готоваль-
ню для класних креслярських інструментів (лінійка, циркуль, коси-
нець, транспортир). Як наочні посібники, що використовуються під
час вивчення геометричних перетворень, в кабінеті бажано мати про-
порційний циркуль, пантограф.
До комплекту навчального обладнання з математики мають входити
технічні засоби навчання (кінопроектор, діапроектор, епідіаскоп, графо-
проектор (кодоскоп), магнітофон, телевізор) і пристосування для їх ви-
користання (екран, зашторювання, підставки для апаратури), а також
діафільми, кінофільми, діапозитиви, кодопозитиви до них.
Обладнуючи кабінет математики, потрібно враховувати чинні до-
кументи і методичні рекомендації: «Типовий перелік навчально-
наочних посібників і навчального обладнання для загальноосвітніх
шкіл», «Про навчальні кабінети загальноосвітньої школи», «Правила
техніки безпеки для кабінету математики».
Кабінет математики має бути обладнаний сучасними обчислюваль-
ними засобами — калькуляторами. Уроки з використанням персо-
нальних комп’ютерів можуть проводитись у спеціально обладнаних
кабінетах інформатики.
Для проведення вимірювальних робіт на місцевості, які посилю-
ють прикладну спрямованість шкільного курсу математики, доцільно
мати в кабінеті комплект спеціальних геодезичних приладів — астро-
лябію, екліметр, екер, нівелір або універсальний шкільний кутомір,
який може замінити названі прилади, набір віх, рулеток або мірних
стрічок.
Кожний учитель математики має знати наявний перелік кінофіль-
мів, діафільмів, діапозитивів, які зазвичай зберігаються в районних
фільмотеках. За потреби кодопозитиви вчитель може виготовляти сам
або разом з учнями.
Математичний кабінет крім навчального обладнання доцільно
оформити портретами видатних математиків, цікавим матеріалом що-
до застосування математики у повсякденному житті, народному гос-
подарстві, в науці.
107
Для успішного навчання математики в шкільних кабінетах мають
бути дидактичні матеріали, методичні розробки, зразки оформлення
екзаменаційних робіт тощо. Набори варіантів самостійних і контроль-
них робіт, тестів, роздавальний матеріал, конспекти уроків, розробки
окремих тем вчитель повинен накопичувати упродовж усього періоду
своєї роботи. Це потрібний матеріал для узагальнення і поширення
передового педагогічного досвіду.
У математичному кабінеті мають бути зібрані матеріали для поза-
класної роботи з математики і факультативних занять, готуватись ма-
тематичні газети, проводитись заняття математичних гуртків, виготов-
лятись наочні посібники, проводитись підготовка до тижнів математи-
ки, вечорів, олімпіад, додаткові заняття з тими, хто відчуває трудно-
щі у навчанні.
Зазвичай організовує роботу кабінету математики й обладнує його
завідувач, який призначається дирекцією школи з-поміж учителів ма-
тематики. Учитель має згуртувати довкола себе учнівський актив.
Бажано скласти щорічні перспективні плани роботи кабінету, методич-
ної роботи, плани заходів щодо поповнення обладнання, графіки ро-
боти гуртків, факультативів, проведення додаткових занять, матема-
тичних вечорів, тижнів математики, математичних конкурсів, виста-
вок учнівських робіт тощо.
7.4. Використання інформаційно-комунікаційних
технологій навчання математики
Сучасне суспільство ставить перед системою освіти нові завдання,
пов’язані з розробленням педагогічної стратегії за умов комп’ютери-
зації та інформатизації всіх сфер життя суспільства.
Істотні зміни в інформаційному середовищі людини призвели до
зниження ефективності використання традиційних підходів до на-
вчання. Ці зміни пов’язані з упровадженням комп’ютерної техніки в
різні сфери діяльності людини, що спричинює структурні зміни цієї
діяльності. Можливості застосування комп’ютера в навчальному про-
цесі перекривають традиційну сферу переважно алгоритмічної діяль-
ності учня, яка дотепер була базою формування математичної культу-
ри покоління, що підростає.
Нині важливого значення набувають проблеми інтенсифікації й
оптимізації навчально-виховного процесу, активізації пізнавальної
діяльності, розвитку творчого мислення учнів. Сучасні інформаційні
технології навчання (СІТН) значною мірою сприяють розв’язуванню
цих та інших завдань, які постають перед системою освіти.
СІТН — нова методологія і технологія навчально-виховного про-
цесу з використанням найновіших електронних засобів навчання (зо-
крема ЕОМ). СІТН — це системний метод навчання на основі ЕОМ, у
108
вузькотехнічному розумінні — використання у навчанні електронних,
передусім комп’ютерних засобів навчання. Комп’ютер може викону-
вати різні функції: контролювальних машин, навчальних тренажерів,
моделювальних стендів, інформаційно-довідкових систем, ігрових на-
вчальних середовищ, електронних конструкторів, експертних си-
стем і т. д.
Основою програмного забезпечення технологій комп’ютерного на-
вчання (ТКН) є навчальні програми: від найпростіших контролю-
вальних програм до складних навчальних систем з елементами штуч-
ного інтелекту. ТКН можуть мати різний ступінь розвиненості компо-
нентів своїх структур: моделей дисциплін (чому вчити), моделей уп-
равління (як вчити), моделей тих, хто навчається (кого вчити).
ТКН підтримують продуктивну діяльність учнів, сприяють індиві-
дуалізації та диференціації процесу навчання, реалізації діяльнісного
підходу, раціоналізують працю вчителя й учнів.
Запровадження СІТН не повинно перетворюватися на самоціль.
Воно має бути педагогічно виправданим, застосовуватись передусім з
погляду педагогічних переваг, які воно може забезпечити порівняно з
традиційною методикою навчання.
Використання СІТН під час вивчення шкільної математики дає
змогу поєднати високі обчислювальні можливості у процесі дослі-
дження різних функціональних залежностей, звільнивши учнів від
рутинних обчислень, з перевагами графічного подання інформації,
розвитку геометричної інтуїції, графічних навичок, евристичної діяль-
ності, врахування індивідуальних здібностей і можливостей учнів.
Комп’ютери створюють нову технічну основу для здійснення в розум-
них межах програмованого навчання, організації індивідуальних і
групових форм навчальної діяльності на уроці, своєчасного контролю
успішності учнів і падання педагогічної підтримки, створення умов
для випереджувального навчання тих, хто має здібності й інтерес до
математики.
В Україні та за її межами вже створено чимало навчальних про-
грам. Зокрема, це програма ОКАНІ, [306], розроблена М. І. Жалдаком
і ІО. В. Горошко для комп’ютерної підтримки курсів алгебри, матема-
тичного аналізу, теорії ймовірностей і математичної статистики, фізики,
використання в наукових дослідженнях. Основним призначенням про-
грами є графічний аналіз функцій. Вона дає змоіу користувачеві вводи-
ти і редагувати до п’яти функцій, вилучати вже непотрібні функції.
Методику вивчення елементів теорії границь числових послідовно-
стей у курсі математики в класі з поглибленим вивченням її з викори-
станням СІТН розробила В. В. Дровозюк. Пакет програмних педаго-
гічних засобів для комп’ютерної підтримки шкільного курсу матема-
тики, який дає можливість конструювати системи завдань для індиві-
дуальної роботи з урахуванням рівня розвитку і типу мислення учня
створив А. В. Пеньков [280].
109
Л. С. Нуракова розробила систему двох типів навчальних моду-
лів комп’ютерної підтримки навчання математики в школі: 1) про-
грамні засоби, які підтримують репродуктивні види діяльності уч-
нів; 2) інструментальні програмні засоби продуктивної діяльності
учнів [265].
Можливі найрізноманітніші застосування ЕОМ у вивченні матема-
тики. Під час розв’язування обчислювальних задач, побудови діаг-
рам, графіків залежностей між величинами у 5 —6 класах доцільно
використовувати калькулятори, але для моделювання текстових задач
на рух, побудови діаграм ефективніше скористатися персональними
комп’ютерами, оскільки на екрані комп’ютера учні можуть спостері-
гати у динаміці залежності між швидкостями, часом і шляхом у
задачах на зустрічний рух та на переміщення об’єктів в одному
напрямку.
У курсі алгебри основної школи ефективним є використання пер-
сональних комп’ютерів у процесі дослідження властивостей лінійної
к /—
та квадратичної функції, функцій У = у-\х, при графічному
розв’язуванні рівнянь, систем рівнянь, нерівностей.
Широкі можливості персональний комп’ютер має як тренажер і
контролювальний засіб для формування навичок і умінь виконання
тотожних перетворень різних виразів, розв’язування рівнянь і нерів-
ностей упродовж вивчення всього шкільного курсу математики.
У курсі алгебри і початків аналізу в 10 класі персональний
комп’ютер стане в пригоді у процесі повторення і розширення відомос-
тей про функції, зокрема під час уведення означень зростаючої, спадної,
парної, непарної, періодичної функцій. Особливо ефективним є таке ви-
користання у вивченні способів побудови графіків складних функцій за
допомогою геометричних перетворень. Учні мають можливість спостері-
гати на екрані рухи і перетворення основних найпростіших графіків у
процесі побудови графіків функцій у = -[(х); у = [(~х); У = А(И):
г/ = |А(х)|; У = Кх)±а’ де й>°; У = /'(х±а), де й > 0; у = а[(х)\
у = / (ах), де <7 > 0.
Під час вивчення понять границі числових послідовностей і функ-
цій, неперервності функції комп’ютер дає можливість запобігти фор-
малізму в засвоєнні учнями основних понять та підвищити ефектив-
ність процесу формування умінь застосовувати метод граничного пе-
реходу до розв’язування задач. Демонстраційні програми призначені
для створення наочних ілюстрацій до пояснення вчителя, моделю-
вальні — для імітації абстрактних процесів у їх внутрішньому розвитку і
русі, операційні — для проведення обчислювальних експериментів, тре-
нажерні — для формування типових умінь і відпрацювання конкретних
навичок навчання. В деяких пакетах закладено також можливість діа-
логу з користувачем.
110
Існують широкі можливості для використання СІТН для вивчення
геометричного матеріалу. Під час розгляду геометричних перетворень
учні мають змогу на екрані комп’ютера побачити різні види рухів,
гомотетії у процесі перетворення конкретних фігур. Учні краще за-
своюють алгоритми основних побудов, якщо до виконання самим уч-
нем певної побудови на екрані комп’ютера в кольорі наводяться всі
етапи побудови. Це також справедливо і для виконання зображень
просторових фігур на площині, розв’язування задач на побудову пе-
рерізів багатогранників. Персональні комп’ютери можуть допомогти
учням математизувати ситуації в геометричних задачах практичного
змісту, в лабораторних роботах на вимірювання й обчислення геомет-
ричних величин.
Можливості СІТН ще тільки починають вивчати і впроваджува-
ти. Отже, є велике поле для творчої ініціативи вчителя й учнів
Комп’ютери широко використовують також у разі дистанційного на-
вчання.
Заслуговує на увагу комплексне використання традиційних засобів
навчання, зокрема засобів наочності (таблиці, моделі), і СІТН.
РОЗДІЛ
ФОРМИ ОРГАНІЗАЦІЇ
НАВЧАЛЬНОЇ
ДІЯЛЬНОСТІ
УЧНІВ
8.1. Урок математики.
Підготовка вчителя до уроку
Основною колективною формою організації навчання за умов класно-
урочної системи є урок математики. Сутність уроку розкривається в
дидактиці. Урок математики, так само, як і будь-який урок, має ос-
новні характеристики: мету, завдання, зміст, методи і засоби навчан-
ня, організаційні форми навчальної діяльності. Водночас уроки мате-
матики мають певну специфіку, яка визначається особливостями нау-
ки і шкільного предмета математики.
Урок математики. Дедуктивний характер математики як пред-
мета, абстрактність і загальність математичних понять, фактів і
пов’язаних з ними способів діяльності потребують не тільки подолан-
ня формалізму в засвоєнні програмного матеріалу, а й забезпечення
свідомого засвоєння і закріплення всього основного програмного
матеріалу, формування комплексу дійових знань, на яких ґрунту-
ється здобуття нових знань. Тому систему уроків потрібно будува-
ти так, іцоб створити оптимальні умови для сприйняття нового ма-
теріалу, його усвідомлення, запам’ятовування головного в ньому, за-
стосування засвоєних знань на практиці, наступного повторення, глиб-
шого і міцнішого оволодіння математичними знаннями, павичками й
уміннями. Слід пам’ятати, що засвоєння частиною учнів деяких мате-
матичних понять і способів діяльності відбувається упродовж кількох
уроків.
У дидактиці існують різні класифікації типів уроків. Найпошире-
нішими з них є дві.
Перша класифікація ґрунтується на дидактичній меті уроку.
Вона розроблена К. Д. Ушинським і містить такі типи уроків: а) ком-
бінований урок, в якому поєднано різні цілі й види навчальної робота
(робота щодо закріплення вивченого раніше, засвоєння нового навчаль-
ного матеріалу, вироблення практичних навичок і умінь тощо);
б) урок подання нових знань; в) урок закріплення вивченого, зокрема
урок формування навичок і умінь; г) урок повторення, система-
тизації й узагальнення вивченого; д) урок перевірки й оцінювання
знань.
112
В основу другої поширеної класифікації типів уроків покладено
способи проведення їх. У ній розрізняють: урок повторення, урок-
бесіду, контрольну роботу, комбінований урок.
У методиці навчання математики для характеристики уроків вико-
ристовують обидві класифікації.
З погляду логіки процесу навчання в структурі уроку математики
розрізняють три компоненти: 1) актуалізація здобутих знань і спосо-
бів діяльності; 2) формування нових знань і способів діяльності;
3) застосування — формування павичок і умінь. За відносної не-
змінності зазначених компонентів форми їх реалізації можуть бути
різними.
Основними етанами уроку математики зазвичай є такі.
1. Постановка мети і завдань уроку.
2. Ознайомлення з новим матеріалом.
3. Закріплення нового матеріалу: а) на рівні відтворення інформа-
ції та способів діяльності; б) на рівні творчого застосування і здобут-
тя нового.
4. Перевірка знань, навичок і умінь.
Залежно від мети і завдань уроку послідовність цих етапів може
бути різною, деякі навіть можуть бути відсутніми. Проте для кожного
уроку обов’язковим є перший етап — постановка мети і завдань, зо-
крема і перед учнями.
Вибір метолів навчання, організаційних форм і засобів залежить від
поставлених цілей уроку. При цьому кожному методу і прийому мають
відповідати певні організаційні форми діяльності учня на уроці.
Планування. Вчитель математики здійснює планування роботи за-
звичай перед кожним навчальним півріччям, коли складається кален-
дарний план з кожного предмета, і впродовж навчального року, коли
складаються тематичні плани з окремих тем і плани або конспекти до
кожного уроку (поурочні плани, плани-конспекти).
Календарний плай охоплює весь навчальний матеріал програми,
розподілений по уроках. Він затверджується адміністрацією шко-
ли. Враховуючи обставини, які складаються в конкретному класі,
вчитель може вносити до календарного плану певні зміни. Напри-
клад, коли у 5 класі вчитель починає навчати математики нових
для нього учнів, може виникнути потреба присвятити один-два
уроки повторенню, діагностичній самостійній роботі з метою вияв-
лення рівня підготовки учнів за курсом початкової ніколи і по-
дальшої організації індивідуальної та диференційованої роботи з
учнями.
На допомогу вчителям математики журнал «Математика в школі».,
автори методичних посібників пропонують зразки календарних планів
з окремих предметів. їх можна взяти за основу, однак учиіЄлЬ має
складати календарний план, враховуючи стан успішності учнів у по-
передньому класі, конкретні умови кожного класу.
113
Наведемо один із можливих варіантів такого конспекту.
План-конспект уроку геометрії
студента V курсу фізико-математичного факультету УДПУ ім. М. П. Дрс
гомапова
(прізвище, ім’я, по батькові)
Школа №
Клас
Дата
Тема уроку. Формула координат середини відрізка у просторі.
Мета і завдання уроку. Закріпити вивчене на попередньому уроці, навчити учні
доводити формулу координат середини відрізка і застосовувані її до розв’язування зада1
Обладнання до уроку: кодоскоп.
І. Організація класу (2 хв). Перевірити готовність класу до уроку. У журна/
зафіксувати прізвища відсутніх.
II. Перевірка домашнього завдання і закріплення вивченого на попередньому
уроці (10 хв).
1. Два учні готуються до відповіді за картками індивідуальних завдань.
Завдання учневі К.: а) сформулювати означення декартових координат у про-
сторі. Побудувати точку Р (2; 3; 4); б) дано точку А (-2; 3; 5). Знайти основи
перпендикулярів, проведених з цієї точки на координатні осі й координатні пло-
щини.
Завдання учневі Ф_: а) вивести формулу відстані між двома точками у про-
сторі; б) дано точки А (5; 2; -3), В (2,5; 0; 0), С (3; 0; —5). Яка з них лежить: в
площині хг; на осі х?
2. Фронтальна робота з класом.
Поки учні готуються до відповіді біля дошки, провести опитування учнів класу:
а) на скрап через кодоскоп проектуються чотири точки: А (3; —2; 4), ІЗ (0; 3; 1),
С (0; 0; 8), £) (-5; 0; 1). Яка з них лежить: на осях координат; на координатній
ПЛОЩИНІ?
б) на якій відстані точка Р (2; —1; 3) лежить: від початку координат; коорди-
натних площин; осей координат?
в) паралелограм задано його вершинами:
В(0; 2; 4), С(4; 1; 0),
Л(2; 3; 4), 0(6; 2; -2).
Знайти довжини його сторін;
г) усно перевірити розв’язування домашньої задачі (5).
3. Заслухати відповіді учнів біля дошки. Учні класу уважно слухають і за по-
треби виправляють відповіді. Відповіді учнів біля дошки оцінити.
III. Вивчення нового матеріалу (15 хв)
Ставиться завдання: вивести формулу координат середини відрізків у просто-
рі. Пропонується пригадати аналогічну формулу на площині й спосіб її виведен-
ня. Учні висувають гіпотезу щодо вигляду формули. Висловлене припущення
доводиться одним з учнів на дошці. Всі інші виконують доведення в зошитах.
IV. Розв’язування задач на застосування формул (10 хв).
1. Задача 8.
2. Задача 7.
У зв’язку з розв’язуванням цієї задачі звернути увагу учнів на те, що отрима-
не рівняння є рівнянням площини в просторі
Для сильніших учнів можна запропонувати додаткові запитання до цієї задачі:
а) чи може ця площина проходити через середину відрізка ОА? б) як вона
розміщується щодо прямої О А?
116
3. Задача 11 (резервна).
V. Завдання додому (1 хв).
1) Підготувати відповідь на запитання 3.
2) Розв’язати задачі 9,10,12 з § 16.
8.2. Підвищення ефективності
уроків математики
За сучасних умов перед учителем постає завдання не тільки дати
учням міцні знання і навички з математики, передбачені шкільною
програмою, а й розвивати їхнє мислення, цікавість до предмета, ак-
тивізувати пізнавальну діяльність, привчати працювати самостійно,
щоб, закінчивши школу, вони могли й далі діставати освіту, підвищу-
вати свою кваліфікацію, здобувши пенний фах. Успіх у досягненні
поставленої мети визначається вдосконаленням не тільки змісту шкіль-
ного курсу математики, а й методів і прийомів, організаційних форм і
засобів навчання. Саме такий комплексний підхід забезпечує підви-
щення ефективності уроків з математики, що стало предметом особ-
ливої уваги з боку вчителів і психолого-педагогічної науки в цілому.
Ефективним, на нашу думку, є урок з математики, побудова і прове-
дення якого максимально сприяють досягненню поставлених перед
уроком цілей і завдань. Такий урок дає можливість учителю досягти
оптимальних результатів навчання.
Завдання підвищення ефективності уроків з математики потребує
від учителя володіння методами і прийомами, формами і засобами
навчання як традиційними, виробленими віковим досвідом учителів і
методистів, так і тими, які виникли і ввійшли в практику порівняно
нещодавно. З нових форм навчання назвемо лекційно-практичну' сис-
тему, а із засобів навчання ЕОМ, зокрема персональні комп’ютери.
Уміння володіти арсеналом передового, новаторського педагогічного до-
свіду дає можливість творчо використовувати наявні способи підвищен-
ня ефективності уроків з математики і знаходити нові.
Па основі аналізу сучасних досягнень педагогіки, психології, методи-
ки навчання математики та досвіду роботи вчителів можна визначити
такі основні способи підвищення ефективності уроків математики.
1. Раціональний вибір мети і завдань уроку, ного змісту і струк-
тури.
2. Застосування методів і прийомів активного навчання учнів.
3. Уміле поєднання колективних, групових та індивідуальних
форм навчання, спрямоване на впровадження диференціації навчаль-
но-виховного процесу па основі досягнення обов’язкових результатів
навчання.
4. Систематичне використання різних видів самостійної робота учнів.
5. Посилення зв’язку теоретичного матеріалу і задач. Удоскона-
лення системи вправ, посилення їх прикладної спрямованості.
117
Наведемо приклад календарного плану для вчителів, які працюють
за підручником [11] (табл. 8.1).
Таблиця 8.1. Календарний план (витяг)
Номер уроку Тема уроку Номер пункту Кількість
підручника годин
40 Багаточлсии (19 год) Багаточлен і його стандартний вигляд 24 1
41, 42 Додавання та віднімання багаточлепів 25 2
43, 44, 45 Множення одночлена па багаточлен 26 3
46, 47, 48, 49 Винесення спільного множника за дужки 27 4
50 Контрольна робота № 7 — 1
51,52 Множення багаточлепа на багаточлен 28 2
53,54 Розкладання багаточлена на множники 29 2
55,56,57 способом групування Доведення тотожностей ЗО 3
58 Контрольна робота № 8 - 1
Досить ефективною формою планування роботи під час вивчення
окремих тем є складання тематичних планів. Вони дають змогу чітко
сформулювати мету і завдання вивчення кожної теми, які враховують
цілі розвитку, навчання і виховаїшя, вимоги до знань і умінь, а також
довести до відома учнів обов’язкові результати навчання, терміни конт-
ролю успішності учнів за цією темою. У тематичному плані є можливість
спланувати систему уроків, повторення з метою актуалізації опорних
знань і поточне повторення для повторення і закріплення вивченого ра-
ніше, передбачити наочні посібники і технічні засоби навчання, само-
стійні й контрольні роботи, заліки, систему вправ, що виконуватимуться
на уроці й удома.
Форма тематичного плану може бути різною. Наведемо частину
тематичного плану з геометрії н 11 класі вчителя математики серед-
ньої школи № 1 м. Донецька В. П. Іржавцевої за темою «Многогран-
ники»* (табл. 8.2) за умови роботи за підручником [291].
Підготовку вчителя до уроку доцільно починати з перегляду ка-
лендарного або тематичного плану, плану чи конспекту попереднього
уроку, щоб урахувати, чи виконано повністю план попереднього уро-
ку, чи, можливо, щось не вдалося подати. Слід ще раз розглянути
можливі способи розв’язування тих вправ і задач, які пропонувались
учням як домашнє завдання, визначити, кого з учнів потрібно опита-
ти чи перевірити їхню домашню роботу.
’ За сучасною науковою термінологією — «багатогранники».
114
Таблиця 8.2. Тематичний план (витяг)
Номер уроку Дата Тема уроку Зміст навчального матеріалу Питання і задачі на уроці Повторення Домашнє завдання
Багатогранники (17 год)
6 Багатогран- ний кут Двогранний кут Питання 1 —3, зада- ча 1 (1) С. 5, 191-194 Питання 1 —3, за- дача 1(2)
7 Багатогран- ний кут Тригранний і багатогранний кути Питання 4 5, задача 3 С. 107-109 (§ із) Питання 4-6, задача 2
8 Багатогран- ник. Призма Багатогран- ник. Призма. Самостійна робота № 1 Питання 6 8, задачі 7. 11 Питання 1, 3 (§ 14) § 16, теореми 16.2; 16.4 Питання 7-14, задачі 6, 13
Після цього слід уважно вивчити відповідігай матеріал підручника,
ознайомитися з методичними посібниками, продумати, які використати на-
очні, технічні, обчислювальні засоби навчання, персональні комп’ютери
Важливо правильно поставити дидактичну мету і завдання, добрати
зміст навчального матеріалу з урахуванням потреби рівневої диференціа-
ції, продумати структур}^ уроку, вибрати доцільні методи і прийоми до-
сягнення мети і завдань уроку, організаційні форми, засоби навчання.
Потрібно визначитися щодо форм проведення контролю успішності
учнів. Якщо проводити самостійну роботу, математичний диктант,
короткочасну контрольну роботу', то слід розробити їх різнорівневий
зміст. Обов’язково слід продумати, які записи і в який спосіб розміс-
тити на дошці, що учні писатимуть на уроці в зошитах та ін.
Якщо урок потребуватиме виготовлення дидактичних матеріалів
(таблиця, модель, діапозитиви до графонроектора тощо), то зробити
це потрібно заздалегідь. Слід ретельно підготувати зміст домашнього
завдання, передбачити час і форму подання його учням. Тільки після
цього можна братися до складання плану або конспекту уроку.
Плани і конспекти уроків. Досвідчені вчителі складають поурочні
плани, що є обов’язковим документом, без наявності якого керівницт-
во школи має право не допустити вчителя до проведення уроку.
Поурочний план (одна-дві сторінки) за формою може бути довіль-
ним, але має відображувати мету і завдання уроку, його зміст і струк-
туру, методи, організаційні форми і засоби, які використовувати-
муться на уроці, потрібний навчальний матеріал, домашнє завдання.
Студенти-практиканти зобов’язані складати конспект уроку, який
фактично має бути сценарієм, моделлю, що відображує основні етапи
діяльності вчителя на уроці та сплановані, очікувані види навчальної
діяльності учнів.
115
6- Раціональне поєднання традиційних наочних посібників і техніч-
них засобів навчання із сучасними інформаційними технологіями.
7. Удосконалення внутрішньо- і міжпредметних зв’язків.
8. Реалізація органічного зв’язку навчання, розвитку і виховання
учнів.
9. Удосконалення форм і методів контролю успішності учнів.
Визначаючи мету і завдання уроку, його зміст і структуру, вчитель
має враховувати конкретні умови того чи іншого класу, можливості
класного колективу і кожного учня окремо. При цьому мету уроку
потрібно формулювати як прогноз кінцевого результату.
Погодимося з думкою В. І. Бондаря, то практично неможливо
визначити ефективність уроку, метою якого є продовжити вивчен-
ня теми, поглибити (закріпити, розширити) знання та уміння уч-
нів, Щось схарактеризувати тощо. Такі цілі уроку не можна взяти як
міру, ідеал, до якого прагнуть на уроці вчитель та учні. Вони (цілі)
не даіоть жодної інформації про очікуваний результат, а тому не мо-
жуть порівнюватись з реальними результатами навчання учнів на
уроці, д Там, де немає можливості порівнювати результат з мірою
(метоіо), не можна визначити ефективність уроку ні коефіцієнтом,
ні навіть судженням на зразок «вчитель досяг (не досяг) мети уро-
ку» [50].
Правильними з дидактичного погляду є, наприклад, такі цілі уро-
ку: сформувати уявлення про функцію; домогтися усвідомлення уч-
нями зв’язку між діями додавання і множення натуральних чисел;
сформувати навички й уміння зводити подібні члени багаточлена; уза-
гальнити та систематизувати знання про квадратичну функцію; пере-
вірити й оцінити знання і уміння диференціювати дроби та іп.
Не можна ототожнювати поняття «мета уроку» і «завдання уро-
ку». Іноді мета уроку замінюється його цільовими завданнями, тоді
завдання уроку — де умови досягнення мети. Зміст завдань уроку та
кількість їх визначаються структурою змісту' навчального матеріалу. На-
приклад, мстою уроку, темою якого є «Що таке функція» (8 клас), мо-
же бути: сформування уявлення про функцію. До цього уроку можна
сформулювати такі цільові завдання (для вчителя):
навести приклади залежностей між змінними (змінними величина-
ми і змінними об’єктами будь-якої природи);
ввести поняття незалежної та залежної змінних;
сформувати поняття про функціональну залежність або функцію;
ввести поняття області визначення н області значень функції.
Завдання уроку ставляться одне за одним послідовно на відповід-
них етапах уроку. Вони вказують на те, які саме знання щодо понят-
тя функції засвоюватимуться учнями.
Залежно від змісту навчання доцільно ставити перед учнями ці-
льові Завдання. Наприклад, на уроці геометрії в 7 класі, темою якого
є «Вертикальні кути», мета уроку може бути такою: сформувати по-
118
няття вертикальних кутів і домогтися засвоєння їх властивості. Наве-
демо приклад постановки перед учнями цільових завдань:
засвоїти означення вертикальних кутів;
довести теорему про їх властивість;
розв’язати задачу, в якій використано властивість вертикальних
кутів.
Розв’язуючи загальне завдання підвищення рівня математичної
освіти, потрібно шукати способи підвищення ефективності як окремо-
го уроку, так і системи уроків, що стосуються змістових ліній курсу.
При цьому особливого значення набувають уроки узагальнення та
систематизації знань.
Останнім часом набула поширення лекційно-практична система ор-
ганізації навчання математики, яка виявляється ефективною в стар-
ших класах.
Лекційио-практичпа система. Вона дає змогу забезпечити реалі-
зацію психолого-педагогічних принципів розвивального навчання ма-
тематики, оптимально розподілити навчальний час. Зокрема, за такої
системи є можливість швидкими темпами вивчити теоретичний мате-
ріал, а основну увагу приділити формуванню навичок і умінь, активі-
зувати самостійну роботу учнів. За лекційно-практичною системою
плідно працюють вчителька математики середньої школи № 170
м. Києва II. П. Нікітенко, вчитель з м. Бєлорєцька (Башкирія) Р. Г. Ха-
занкін. Система роботи кожного з них має свої особливості, однак
спільним є те, що за дидактичну одиницю опрацювання навчального
матеріалу обрано певну тему.
Наприклад, Н. П. Нікітенко розподіляє тему на блоки і вивчення
кожного блоку починає зі шкільної лекції, в якій викладає відповід-
ний теоретичний матеріал. Після цього вона проводить урок-
консультацію, на якому з’ясовує стан засвоєння теоретичних знань,
надає консультації тим, хто цього потребує. У цьому бере участь не
лише вчитель, а й учні-коисультапти. Далі проводяться уроки, які
сприяють формуванню навичок і умінь. На цих уроках здійснюється
диференційований підхід за допомогою групових та індивідуальних
форм навчання. Потім так само вивчається наступний блок. Прово-
дяться самостійні й контрольні роботи, заліки, насамкінець — семі-
нар. на якому учні виступають з повідомленнями. Наприклад, на за-
вершення вивчення теми «Похідна та її застосування» учні, готую-
чись до семінару, шукають історичні довідки, цікаві задачі на засто-
сування похідної тощо. Па семінарі систематизуються і повторюються
основні питання теми.
За системою Р. Г. Хазанкіна на першому (або двох перших) уроці
у формі шкільної лекції викладається весь теоретичний матеріал те-
ми. Після цього також у формі шкільної лекції вчитель, залучаючи
учнів, пояснює розв’язування опорних задач теми (6—7 простих за-
дач або вправ, на яких ґрунтується розв’язання складніших). Почім
119
кілька уроків відводяться на формування навичок і умінь. Учні само-
стійно у класі та під час виконання домашніх завдань спочатку зна-
ходять у підручнику та різних збірниках задач ключові задачі і
розв’язують їх. Потім розв’язують складніші задачі за умов диферен-
ційованого навчання (групові й індивідуальні форми навчальної діяль-
ності). Після цього проводиться урок-консультація, на якому учні
задають учителю питання як з теоретичного матеріалу, так і стосовно
способів розв’язування задач (зокрема зі збірників конкурсних за-
дач). Учні заздалегідь готують на картках запитання, задачі та зда-
ють картки вчителеві до уроку-консультації, надаючи йому можли-
вість підготуватися до відповідей. Наступний урок — залік. На залі-
ку учням пропонуються запитання з теорії та задачі. Після цього
обов’язково виконують аналіз результатів заліку і корекцію знань і
умінь. Вивчення теми завершується традиційною контрольною робо-
тою з обов’язковим аналізом її результатів.
Самостійна робота. Із форм навчання, спрямованих на активіза-
цію пізнавальної діяльності учнів, велике значення мають різні види
самостійної роботи як навчального, так і контрольного характеру.
Плануючи самостійну роботу, вчитель має визначити її мету і
зміст, форму виконання і спосіб виявлення результатів. Завдання
мають відповідати можливостям кожного учня, тому доцільно вико-
ристовувати кілька варіантів завдань різної складності. Допомогти
вчителеві у виборі варіантів самостійних робіт можуть дидактичні
матеріали, збірники самостійних і контрольних робіт, збірники задач,
традиційні та чинні паралельні підручники.
Розрізняють короткочасні самостійні роботи з наступним роз-
в’язуванням учнями вправ на дошці й аналізом допущених помилок,
усні, напівписьмові, письмові роботи з використанням дидактичних
матеріалів і технічних засобів навчання (перфокарт, перфокасет,
шаблонів, тестів), математичні диктанти, шифровані самостійні
роботи.
Важливим видом самостійної роботи учнів на уропі та під час ви-
конання домашніх завдань є робота з підручником.
Щоб запобігти при цьому формалізму в навчанні та спробам де-
яких учнів зазубрювати текст підручника, потрібно вже з 5 класу
спеціально, систематично навчати учнів роботи з математичним тек-
стом. Передусім доцільно пропонувати їм з’ясувати, про які понят-
тя йдеться в тексті, чи трапляються там вже відомі поняття, згада-
ти їхні означення, істотні властивості. Учні мають назвати нові
поняття, сформулювати їхні означення, виявити істотні властивості
нових понять, бажано, щоб учні самостійно навели приклади цих
понять.
Якщо в тексті є формулювання і доведення теореми, то важливо
щоб учні самостійно виокремили умову і висновок, нарисували фігу-
ри, про які йдеться в умові, виконали додаткову побудову, спробува-
120
ли довести теорему, з’ясувавши, на яких відомих раніше твердженнях
ґрунтується доведення.
Потрібно орієнтувати учнів на запам’ятовування основних озна-
чень і формулювань теорем.
Після закінчення самостійної роботи над текстом перевіряється
стан його засвоєння. Для цього учні мають відповісти па низку за-
питань, заздалегідь підготовлених учителем чи тих, які наведено в
підручнику.
У самостійних роботах навчального характеру виняткове значення
має своєчасна перевірка результатів роботи, аналіз допущених учня-
ми помилок. Для забезпечення цієї вимоги вчителі застосовують різні
прийоми. Якщо класна дошка має відкидні поля, то три-чотири учні
можуть виконувати завдання з двох боків полів рухомої частини, інші
три-чотири учні — на прозорій плівці. Далі, проектуючи розв’язування
графопроектором на екран, його колективно перевіряють і виправля-
ють помилки.
Для зворотного зв’язку використовують сигнальні картки. Напри-
клад, картки із зображенням знаків «+>> і «-» зручно застосовувати,
розв’язуючи усні вправи на виконання дій з додатними і від’ємними
числами.
Деякі вчителі використовують шифровані вправи. Для цього на
переносній дошці або на екрані наводять два варіанти робіт і шифро-
вані відповіді до них. Наприклад:
обчислити значення
І варіант II варіант
1) -5,6-(3,7) = о;
2) 31,2-а + (-2,5) = Ь;
3) -12-(-6,1)-Ь = с,
4) (Ь + с)-а = <1.
1) 27,3-(-2,6) = о;
2) -ЗьЗ-а+(-3,4) = Ь;
3) -13-6-(-11,2) = с;
4) (й + Ь)-с = д..
Відповіді: -41,5(1);-36,6(2); -36,5(3);-4(4); -1,9(5); 29,9(6);
30,6(7); 34,8(8).
Учень, який виконав першу вправу, шукає здобуте число серед
відповідей. Якщо його там немає, то учень припустився помилки, по-
трібно перевірити розв’язування. Виконавши всі вправи свого варіан-
та, учень подає вчителеві роботу з шифрованою відповіддю 6281. Це
означає, що а = 29.9; Ь - -36,6; с = 34,8; д. = —41,5.
За допомогою шифрів учитель має можливість швидко перевірити
роботи багатьох учнів і допомогти тим, хто помилився.
Подібними до шифрованих вправ є кругові вправи, які зацікав-
люють учнів, дають їм змогу контролювати себе на окремих етапах
роботи. Наприклад, у 5 класі пропонується розв’язати рівняння:
№ 1. 2000 : (2х + 510) = 2;
№ 2. 601 - (Зх +!)• 60 = 1;
121
№3. (8х -12)-15 - 200: 4 = 10;
№ 4. (49х + 11)-5-293 = 7;
№ 5. 5х + 70:120 + 2 = 3;
№ 6. (6х-35)-35 = 245.
Учитель пояснює: всі приклади пов’язані між собою так, що зна-
ченням х у будь-якому з них є число, що міститься в правій частині
одного із заданих рівнянь. Розв’язавши правильно всі приклади,
учень зазначає їхні номери в тому порядку, в якому він розв’язував.
Застерігаємо вчителів від надмірного захоплення самостійними ро-
ботами, особливо якщо деякі учні ще не усвідомили способу розв’я-
зування задач, рівнянь або певних тотожних перетворень, пов’язаних
із засвоєнням зразка оформлення записів.
Удосконалення обліку успішності учнів. Облік успішності сти-
мулює учнів до кращого навчання, дає можливість учителеві і бать-
кам контролювати їхню навчальну роботу, допомагає органам освіти і
громадськості робити об’єктивні висновки про діяльність шкіл і окре-
мих вчителів, узагальнювати і поширювати їхній досвід. Облік успіш-
ності сприяє здійсненню зворотного зв’язку в керованій системі
«учень — учитель», допомагає поліпшити стан оволодіння учнями
програмним матеріалом, а отже, спонукає вчителя шукати раціональ-
ні способи організації навчання, надавати індивідуальну допомогу
тим, хто відчуває труднощі у навчанні.
Розрізняють поточний, підсумковий і тематичний облік знань, на-
вичок, умінь та відповідне оцінювання. Поточний облік здійснюється
в процесі навчання і передбачає оцінювання усних відповідей, пись-
мових і практичних робіт. Підсумкове оцінювання за півріччя і за рік
проводиться на основі поточного обліку знань і умінь. До підсумково-
го належить також виставлення екзаменаційних і перевідних оцінок.
Для об’єктивнішого обліку успішності учнів учителі практикують те-
матичний облік знань. Віп передбачає (за результатами вивчення пев-
ної теми) оцінювання домашніх завдань, усних відповідей, письмових
робіт на уроці, диференційованих завдань, доповнення відповідей
інших учнів, заліків з урахуванням участі у роботі семінарів та інших
видів навчальної діяльності, після чого учитель може виставляти за-
гальну оцінку. Тематичний облік не є обов’язковою формою контро-
лю, проте він дає змогу вчителеві систематично й об’єктивно оцінюва-
ти роботу учнів, що спонукає їх до систематичної навчальної діяльно-
сті в класі і під час виконання домашніх завдань.
На особливу увагу заслуговує оцінювання усних відповідей і
письмових контрольних робіт. Рекомендації щодо нього пропонують-
ся зазвичай у додатку до навчальних програм.
Досвідчені вчителі за результатами контрольних робіт оформлю-
ють спеціальну таблицю (табл. 8.3), яка дає матеріали для аналізу
характеру помилок учнів і корегування роботи вчителя.
122
Таблиця 8.3. Зведена таблиця результатів контрольної роботи
№ ігор. Прізвище та ім’я учня Оцінка Характер помилок
1 2 3 Баранова Ольга Василенко Надія Ревуцький Іван і т. д.
Разом помилок коленого виду
Разом оцінок (у балах) Зауваження вчителя
10-12 7—9 4-5 1 3
Для оцінювання усних відповідей на уроці на практиці за-
стосовують два види оцінювання: 1) оцінку виставляють відразу після
відповіді учня; 2) оцінку виставляють наприкінці уроку (поуроч-
ний бал).
Поурочний бал виставляють за роботу упродовж усього уроку,
якщо вчитель не може за однією відповіддю поставити оцінку. Ради-
мо не захоплюватись поурочними балами, оскільки для об’єктивного
оцінювання вчителю потрібно бути дуже уважним, фіксувати всі види
роботи окремого учпя, що складно і не завжди можна зробити.
У зарубіжних школах (США, Велика Британія, Німеччина та їй.)
поширений тестовий метод оцінювання успішності й здібностей учнів.
У нашій країні він також починає відроджуватись і використовувати-
ся на практиці.
8.3. Система тестування як засіб педагогічної
діагностики успішності та розвитку учнів
Мета педагогічної діагностики. Педагогічна діагностика ставить
за мету, по-перше, оптимізувати процес індивідуального навчання, по-
друге, в інтересах суспільства забезпечити об'єктивний контроль ре-
зультатів нанчання і, по-третє, керуючись виробленими критеріями,
звести до мінімуму помилки у разі вибору учнями профілю і спеціалі-
зації навчання. Сучасна науково обґрунтована дидактика і методика
навчання математики приречені на поразку, якщо вони не ґрунтують-
ся на багатому інструментарії максимально об’єктивних методів педа-
гогічної діагностики.
Одним із провідних інструментаріїв педагогічної діагностики є тес-
ти. Корені тестування сягають у давнину. У давніх греків тестування
123
було визнаним супутником процесу навчання. Китайська імперія ще
3000 років тому використовувала тести для відбору на державну
службу.
Ф. Гальтон (Велика Британія) у XIX ст. започаткував тестування
для вивчення індивідуальних відмінностей у психічних і фізіологіч-
них функціях людей. Він також розробив методи математичної стати-
стики для аналізу відомостей щодо індивідуальних особливостей у
такій формі, що давала змогу дослідникам, які не мають математичної
підготовки, вільно їх використовувати.
Перші три десятиріччя XX ст. система тестування розвивалась у
багатьох країнах, але з різною інтенсивністю. Перший тест з арифме-
тики опублікував у 1908 р. учень Е. Торндайка Стоун. У 1914 р. спіл-
ка американських шкільних рад схвалила об’єктивні методи оціню-
вання за допомогою тестів, відтоді США заполонили тести шкільної
успішності. Завдяки науковим дослідженням у галузі тестування у
США на 1927 р. вже було розроблено 520 тестів, тоді як у Німеччині —
лише 13.
У колишньому СРСР в 20 —30-х роках XX ст. тести почали ши-
роко використовувати у професійно-консультаційній роботі, в дослі-
дженнях працездатності і лише частково — під час вивчення шкільної
успішності. Водночас беззастережне використання нашвидкуруч адап-
тованих зарубіжних тестів, переоцінювання їх значення і нехтування
традиційними методами оцінювання шкільної успішності завдали
шкоди навчанню і вихованню молодого покоління. Внаслідок цього
постановою уряду 1936 р. було засуджено тести успішності й інте-
лектуальні тести, які нібито мали «класовий» характер і перевіря-
ли «природжений інтелект», а не рівень розвитку дитини на пси-
ний час.
На нинішньому етапі розвитку людства зарубіжний досвід свід-
чить, що тести мають певні переваги перед традиційним інструмента-
рієм діагностики успішності й розвитку учнів (контрольні та само-
стійні роботи, усні відповіді учнів, олімпіади, звичайні спостереження
вчителя, анкети та іи.).
Традиційний контроль здебільшого орієнтований на виявлення
помилок і недоліків, а тому зумовлює негативне ставлення до нього
учнів. Справді, чинні в Україні норми рекомендують виставляти оцін-
ку залежно від кількості помилок і недоліків. Багаторічний зарубіж-
ний досвід свідчить, що тестовий контроль успішності учнів за пев-
них умов спричинює позитивне ставлення школярів до нього, оскіль-
ки тести спрямовані переважно на виявлення досягнень учнів. Ве-
лика кількість різних завдань (20—30 і більше), які охоплюють знач-
ний навчальний матеріал і перевіряють не тільки навички й уміння, а
й теоретичні знання, дає змогу учневі вибрати передусім ті, з якими
він може впоратися і набрати максимальну для нього кількість
балів.
124
Постановка завдань і опрацювання результатів тестування стандар-
тизовані, що забезпечує досить об’єктивне і швидке оцінювання успіш-
ності й здібностей багатьох учнів.
Система тестування нині популярна в багатьох країнах. Напри-
клад, у США функціонують державні служби тестування, зокрема
Служба тестування в освіті. Ця установа взяла на себе відповідаль-
ність за всі програми тестування для університетів, професійних учи-
лищ, урядових установ та інших організацій. Створені також регіональ-
ні й національні програми тестування. Щорічно близько половини з
двох мільйонів випускників середніх шкіл за власним бажанням ви-
конують завдання тесту САТ, який допомагає кожному оцінити влас-
ну підготовку за загальноприйнятими об’єктивними критеріями і від-
повідно до цього вибрати навчальний заклад для подальшої освіти
Щорічний підсумковий контроль у вигляді тестування дає можливість
кожному учню самостійно перевіряти свою підготовку. Для цього до-
сить придбати в магазині або взяти в шкільній бібліотеці стандартний
тест з будь-якого предмета за попередній рік і виконати його без сто-
ронньої допомоги. Учень може сам себе перевірити, послуговуючись
кодом правильних відповідей, який додається до тесту. Якщо тест має
ще й ранжуваиня за кількістю правильних відповідей, то це сприяє
самостійному визначенню кожним учнем своєї відносної успішності.
Учителеві тести допомагають з’ясувати успіхи кожного учня відпо-
відно до програми й організувати своєчасну індивідуальну допомогу,
скорегувати власну педагогічну діяльність. Підсумкові тести дають
можливість виявити здібних і обдарованих учнів, а органам освіти —
порівняти успіхи учнів і вчителів різних шкіл району, області або
держави в цілому.
Тестовий контроль дає змогу зіставити якість різних підручників,
методичних систем навчання, дослідити еволюцію освіти молоді упро-
довж кількох років і внести потрібні зміни до системи освіти. Вини-
кає можливість порівняти якість освіти різних країн за єдиними кри-
теріями. Таке міжнародне тестування дітей 9- і 13-річного віку з ма-
тематики, фізики і природничих дисциплін проводилось у 1990 —
1991 рр. у 20 країнах світу. Україна також брала в ньому участь у
складі колишнього СРСР (див. [213 (193. — № 1, 2)]).
Комп’ютери дають можливість обробляти і зберігати дані тестової
перевірки, іцо забезпечує створення національної служби контролю та
банку стандартів освіти.
Однак тести мають і низку недоліків, якими не можна нехтувати.
Зокрема, тести успішності зазвичай виявляють лише кінцевий резуль-
тат виконання завдання. При цьому складно, а часто й неможливо,
простежити логіку міркувань учня. Не можна не враховувати, що де-
які учні вибиратимуть відповідь із запропонованих навмання або ме-
тодом виключення. Сучасні діагностичні методики мають фіксувати
не тільки загальну результативність (продуктивність) виконання тес-
125
тових завдань, з й. процес їх виконання, без чого складно виявити
індивідуальні відмінності й можливості учнів і на їх основі організу-
вати диференційоване навчання.
З цієї причини тести не можуть бути єдиною формою контролю
якості успішності й рівня розвитку молоді. їх потрібно застосовувати
у комплексі з іншими формами, зокрема традиційними.
Україна, інтегруючись у міжнародну систему освіти, має викорис-
тати переваги системи тестування в організації навчально-виховного
процесу в закладах освіти. Наші учні, студенти й аспіранти, які вже
нині виїжджають за кордон для продовження освіти, мають звикнути
до тестової перевірки досягнень і можливостей індивіда.
Упроваджуючи систему тестування в Україні, потрібно враховува-
ти застереження, зроблене в передмові до праці відомого американсь-
кого спеціаліста в галузі тестування Г. Анастазі редакторами перекла-
ду К. М. Гуревичем і В. І. Дубовським. На їхню думку, розв’язати
проблему методики тестування за допомогою розроблених в інших
країнах тестів навряд чи можливо. Ці методи мають бути створені на
основі нашої культури, шо потребує і кваліфікації, і досвіду [15].
Отже, в Україні постало питання організації державної служби те-
стування в освіті, яка створювала б програми тестування для різних
типів навчальних закладів.
Типи і види тестів. Залежно від призначення розрізняють два ти-
пи тестів.
Тести досягнень. Найпоширеніші з них є такі.
1. Тести інтелекту. Для вимірювання загального інтелектуального
рівня за допомогою різних тестових методик вводиться коефіцієнт
інтелекту (позначається — від англ. Іпіеііідєпсе
2. Тести окремих здібностей. У цій системі тестування використо-
вують тести для вимірювання не тільки окремих здібностей, а й бата-
реї здібностей, які вимірюють ступінь виявленості в індивіда тієї чи
іншої здібності з деякої їх сукупності. Замість загального показника
інтелекту 10 визначають показники таких властивостей, як вербальне
(мовленнєве) розуміння, просторові уявлення, арифметичні й алгеб-
раїчні здібності, швидкість сприймання, тобто викопується диферен-
ційована діагностика здібностей. Ці тести допомагають відібрати здіб-
них і обдарованих у різних сферах діяльності учнів.
3. Тести шкільної успішності. Це — найпоширеніші тести. їх скла-
дають як державні служби тестування, так і вчителі для діагностики
успішності за поточного і підсумкового контролю.
4. Тести відбору. Ці тести традиційно і широко використовують
для відбору до різних навчальних закладів (вищі навчальні заклади,
професійні училища, технікуми, спеціалізовані школи і класи), для
відбору і розподілу персоналу на промислових підприємствах, війсь-
ковослужбовців.
126
5. Тести для виявлення специфічних труднощів у навчанні, причин
академічної неуспішності, різних здібностей учнів під час вивчення
окремих предметів. Вони мають доповнюватися спостереженнями ко-
лективу вчителів.
6. Тести для консультування щодо навчальних і професійних пла-
нів наступної діяльності, різних аспектів життя. До них також нале-
жать тести як засіб самопізнання і розвитку особистості, що полег-
шують прийняття індивідуальних рішень.
7. Тести, якими послуговуються у фундаментальних дослідженнях
для збору даних про індивідуальні й групові відмінності, вікові зміни
в розвитку індивіда, відносну ефективність різних методів, форм і
засобів навчання, вилив реалізації соціальних програм.
Особистісні тести. З них молена виокремити два основні.
1. Тести особистісних характеристик (виявлення емоційної регуля-
ції, міжособистісннх відносин, мотивації, зацікавлень, установок).
При цьому використовують різні анкети особистості для з’ясування
сімейних, шкільних, професійних стосунків, реакції підкорення тощо.
2. Ситуаційні тести. Вони виявляють такі особливості поведінки,
як обман, крадіжка, наполегливість, погодженість дій та ін. Визна-
чення властивостей особистості пов’язане з найбільшими труднощами.
Залежно від орієнтації у сучасній педагогічній діагностиці розріз-
няють три класи тестів:
1) нормативно-орієнтовапі тести, показники виконання яких упо-
рядковані і виконання яких окремим учнем оцінюється порівняно з
виконанням їх всією групою. Конкретний тестовий показник може
бути описаний як середній, вище середнього, нижче середнього. Такі
тести використовують під час відбору до навчальних закладів, проф-
відборів;
2) критеріальио-орієнтовані тести, показники яких дають уявлення
про ступінь опанування певних знань, навичок і умінь, тобто орієнто-
вані на певні цілі навчання. Ілюстрацією критеріально-оріентованих є
тести, які з’ясовують рівень розвитку просторових уявлень чи оволо-
діння тотожними перетвореннями певних видів виразів або кваліфі-
кації водіїв і пілотів для видачі їм прав;
3) неформальні тести шкільної успішності, які складають учителі з
метою максимально об’єктивно зафіксувати результати спланованого
ними процесу навчання у своїх класах і використати їх у подальшій
педагогічній діяльності.
У системі тестування, як і за будь-якої іншої перевірки, результа-
ти вимірювання мають задовольняти гри основні критерії: об’єктив-
ність, надійність, валідність.
Об’єктивність означає, що результати вимірювання мають бути
максимально незалежними від тих, хто вимірює, тобто потрібно мак-
симально виключити суб’єктивізм. Інакше кажучи, для будь-якого ін-
127
дивіда показник тестування має бути однаковим незалежно від того,
хто обробляє результати. Насправді досягти повної стандартизапії й
об’єктивності практично неможливо, хоча за належного забезпечення
рівень більшості тестів досить високий.
Під надійністю вимірювання розуміють ступінь точності, з якого
можна скласти кількісне уявлення про певну ознаку, наприклад рі-
вень знань, навичок і умінь, розвитку індивіда. Надійність передбачає
погодженість результатів тесту, які отримують під час повторного йо-
го використання до тих самих індивідів у різні періоди часу з вико-
ристанням наборів еквівалентних завдань.
Валіднісгпь, або вірогідність, тесту показує, що саме вимірює тест
і як добре він це робить. Валідність означає, що завдання тесту охоп-
люють всі аспекти перевірки, причому в правильній пропорції. Тому
зміст, що перевіряється, потрібно фіксувати заздалегідь відповідно до
поставлених цілей, а не після того, як тест вже складено.
Залежно від наявності відповіді розрізняють три види тестових за-
вдань: 1) відкриті, коли відповіді не надають ні тим, кого тестують,
ні тим, хто обробляє результати тестування; 2) напівзакриті, коли
відповіді надають тим, хто тестує; 3) закриті, коли відповіді надають
і тим, кого тестують, і тим, хто обробляє результати тестування.
Залежно від форми подання відповіді розрізняють вільну форму
відповідей і вибір відповідей з кількох запропонованих. Якщо врахо-
вувати і форму завдань, то дістанемо таку досить поширену класифі-
кацію тестів.
1. Вільна форма відповіді.
1.1. Тести з пропусками.
1.2. Завдання на доповнення.
1.3. Коротка відповідь.
1.4- Форма мікротвору.
2. Форма, яка передбачає вибір відповіді.
2.1. Установлення зв’язку.
2.2. Альтернативні форми.
2.3. Вибір відповіді.
Прикладом тестів з пропусками в початковій школі є завдання в зо-
шитах з друкованою основою або завдання в математичних диктантах, за
яких учню пропонується дописати пропущене слово або речення.
Наведемо приклади тестових завдань інших видів.
Приклад 8.1 (завдання на доповнення). У заданому ряді числа розміщено за
певною закономірністю. Встановити, на якому правилі ґрунтується його побудова,
і дописати наступне число:
25; 5, 10; 2; ...
Приклад 8.2 (тест, що потребує короткої відповіді). Яке значення має х у рів-
нянні —= — ?
Ь-1 х
128
Приклад 8.3 (тест з відповіддю у формі мікротвору). 1. Чому справа Дрейфу-
<іі «чала подією національного масштабу? 2. Чи існує піраміда, в якій дві проти-
лежні грані перпендикулярні до основи і перпендикулярні між собою?
Приклад 8.4 (тест на встановлення зв’язку). Вибрати з фігур, пронумерова-
них від 1 до 5, фігуру, то співвідноситься з фігурою С так само, як фігура В
співвідноситься з фігурою А (рис. 8.1). (Правильна відповідь: фігура 2.)
А
Рис. 8.1
За альтернативної форми пропонуються лише дві відповіді.
Приклад 8.5. Протилежні кути паралелограма рівні.
А) Відповідає дійсності.
Б) Пс відповідає дійсності.
Тести з вибором відповіді набули поширення завдяки машинному
обробленню результатів. Схему подання такої форми завдань показа-
но в прикладі 8.6.
Приклад 8.6 (табл. 8.4).
Таблиця 8.4. Схема тесту з вибором відповіді
Постановка завдання Яке число буде наступним у ряду: 5 35 28 4 11 77 70?
Набір відповідей Розв’язок Дистрактори А) 10 Б) 17 В) 35 Г) 63
Приклад 8.7. З точки О опустити перпендикуляр на пряму Х¥ (рис. 8.2)
Для розв’язання задачі потрібно виконати такі побудови.
І. З’єднати 0> з точкою перетину цих дуг.
II. Описати дугу радіусом НК навколо точки И.
III. Описати дугу навколо точки 0 так, щоб вона перетнула пряму Л’У в точ-
ках К і Н.
IV. Описати дугу радіусом КН навколо точки К.
Визначити правильну послідовність побудов: А) II, III, IV, І; Б) III, II, IV, І;
В) III, IV, І, II; Г) IV, III, II, І.
Рис. 8.2
5 Слзпкань 8. І.
129
Правила створення тестів. На основі досвіду створення і викорис-
тання тестів, теоретичних досліджень проблем тестування можна
визначити такі основні правила створення тестів.
1. Конструюючи завдання для тестів, потрібно передусім виріши-
ти, який вид завдань найкраще відповідає поставленій меті, змісту й
умовам тестування. Чи можна обмежитись одним видом завдань, чи
доцільно вибрати кілька видів? Наприклад, для учнів 3 класу недо-
цільно застосовувати завдання з вибором відповіді та змінювати види
завдань у межах одного тесту.
2. Залежно від мети тестування вже під час конструювання за-
вдань потрібно визначити рівень складності. При цьому слід врахову-
вати, які засоби під час виконання завдань можна використовувати, а
які — ні.
3. Досвід доводить, що доцільно сконструювати на 50 або 100 %
більше завдань, ніж того потребує остаточна форма тесту, оскільки
тільки частина завдань витримає перевірку на придатність.
4. Потрібно обговориш створені завдання з досвідченими вчителя-
ми (викладачами), щоб з’ясувати, наскільки кожне із завдань відпо-
відає цілям перевірки. Однак не слід орієнтуватися на досвідчених
учителів щодо оцінювання ними складності завдань, адже вони схиль-
ні її недооцінювати і правильно визначають складність лише в 10—25 %
випадків. З цієї причини складність завдань потрібно визначити за
допомогою емпіричного аналізу.
5. Перш ніж конструювати тест, слід скласти інструкцію для дослід-
ної форми тесту і перевірити її разом із завданнями на невеликих групах
учнів. Це дасть інформацію про якість завдань і самої інструкції.
6. Складаючи дистрактори (неправильні відповіді), слід урахову-
вати типові помилки учнів. Емпіричний аналіз пробного тестування
має дати інформацію про складність завдань, їхню селективність, пе-
ревірку на придатність дистракторів.
7. Рівень складності завдань визначають за формулою:
__ Кількість учнів, які правильно виконали завдання
Кількість учнів, які брали участь у тестуванні
Він залежить також від позиції завдання в тесті (важливо, склад-
ним чи ні було попереднє завдання). Тому доцільно скласти кілька
варіантів дослідного тесту з різною послідовністю завдань.
8. Важливою характеристикою якості тестових завдань є їхня ко-
реляція, що визначається коефіцієнтом кореляції. Цей коефіцієнт ви-
ражає ступінь зв’язку між виконанням певного завдання і решти за-
вдань дослідної форми тесту. Теоретично він може змінюватися від 1
до -1. Наприклад, якщо учень, який отримав кращий результат, ви-
конуючи перше завдання, матиме вищий результат і після виконання
другого завдання, а учень, який отримав другий кращий результат за
130
перше завдання, отримує такий самий результат і за друге завдання
і т. д. до найнижчого результату, то між цими двома завданнями існує
повна кореляція. Коефіцієнт кореляції у цьому разі дорівнює 1,0.
Від’ємна кореляція -1,0 означає, що результати одного завдання
протилежні результатам іншого. Наприклад, кращий індивідуальний
результат після виконання першого завдання виявляється гіршим по-
рівняно з другим завданням і навпаки. Причому така ситуація спо-
стерігається по всьому розподілу результатів виконання завдань.
Реальний коефіцієнт кореляції набуває значень від 0 до 1. Найпо-
ширенішим є введений К. Пірсоном (1857—1936) коефіцієнт кореля-
ції добутку моментів. Він враховує не тільки місце результату індиві-
да в групі, а й відхилення від групового середнього значення. Вико-
ристання тестів під час вивчення математики визначається тим, що
навчання математики в школі є водночас засобом розвитку учня і пе-
редавання йому системи математичних знань, навичок і умінь, вироб-
лених людством і соціально значущих для його майбутньої трудової
діяльності. Тому контроль шкільної успішності з математики має бути
орієнтований па перевірку досягнень як першої, так і другої мети. Як
це здійснити? За рекомендацією психологів і методистів, перевіряти
успішність учнів можна або за допомогою одного тесту, який містить і
завдання, спрямовані на виявлення рівня розвитку, зокрема матема-
тичного, або за допомогою двох різних тестів. Перший (основний) з
них перевіряє основні знання й уміння, а другий — уміння застосо-
вувати знання в нестандартній ситуації.
Основний тест має бути програмно валідним, відображати обо-
в’язкові й підвищені вимоги до знань і умінь програмного основного
змісту. Якщо із загальної кількості відповідей на завдання 70 % є
правильними, ці результати рекомендується прийняти як обов’язкові,
що відповідають оцінці «6» (або «залік»). Такий вибір нижньої межі
позитивної оцінки психологи (Н. Ф. Тализіпа) пояснюють тим, що до
засвоєння приблизно 70 % загального обсягу знань і умінь навчальна
діяльність учнів перебуває в стадії формування. Якщо вона припиня-
ється па цьому рівні, то обсяг знань і умінь зменшується, розпадаєть-
ся, якщо оволодіння забезпечується на рівні не менш як 70 %, то на-
далі учні можуть успішно засвоювати нові знання та способи діяльно-
сті і з часом засвоюють потрібний обсяг знань і умінь повністю.
Оцінку «9» рекомендується ставити тоді, коли 90 % відповідей
правильні. Це — показник повного засвоєння основного змісту. При
цьому враховують, що у 20 — 30 завданнях тесту будь-яка людина
може припуститися двох-трьох незначних помилок.
Перевірити, як забезпечується розвиток учнів, зокрема інтелектуа-
льний, можна було б за допомогою позапредметних психологічних
тестів, наприклад тестів інтелекту. Однак тоді складно встановити, як
впливає на розвиток учнів математика чи інший предмет. Перевірка
інтелектуального розвитку за допомогою предметного тесту підвище-
131
ного рівня завдань дає змогу виявити значні успіхи, наприклад у
розв’язуванні нестандартних задач з математики за відсутності істот-
них успіхів з інших предметів. Отже, є об’єктивна підстава рекомен-
дувати учневі вибрати математичний профіль подальшого поглибле-
ного навчання або профіль, пов’язаний з потребою поглибленої мате-
матичної підготовки, і припустити позитивний вплив шкільного курсу
математики на розвиток учня.
Виконання тесту підвищеного рівня не є обов’язковим для всіх
учнів, але для отримання оцінки «10—12» учень має виконати його
успішно. Отже, оцінку «10—12» доцільно виставляти тоді, коли
учень не тільки оволодів основним змістом шкільного курсу, а й ви-
явив підвищені здібності, показавши вміння застосовувати здобуті
знання в нестандартних ситуаціях.
Психологічні тести. Здебільшого це тести, якими послуговуються
в психологічній діагностиці. Вони діагностують інтелект й інші пси-
хологічні властивості та якості особистості. Педагогічна діагностика
не може не враховувати результати досліджень психологічної діагнос-
тики. Найперспективнінюю є така стратегія педагогічної діагностики,
за якої вчителі, складаючи неформальні тести і традиційні контрольні
роботи, використовують завдання, які перевіряють не тільки рівень
знань і умінь учнів, а й оволодіння ними розумовими діями і прийо-
мами розумової діяльності, дають уявлення про рівень розвитку твор-
чих здібностей школярів. Саме такі завдання часто входять до складу
психологічних тестів.
Наведемо приклад шкільного психологічного тесту просторового
мислення, розробленого 1. С. Якіманською та ін. (.Якиманская II. С.,
Зархин В. Г., Кадаяс Х.-М. X. Тест пространственного мьшіления:
Способ разработки и применения // Вопр. психологии. — 1991. —
№ 1. - С. 128 — 134.)
Просторове мислення забезпечує орієнтування в просторі — на-
вколишньому або уявному. Воно формується і розвивається на всіх
етапах розвитку особистості внаслідок різних навчальних впливів, але
має яскраво виражену індивідуальну специфіку, особливості її вияв-
лення в різних видах діяльності (ігровій, навчальній, професійній).
Змістом просторового мислення є оперування просторовими образами
на основі їх створення з використанням наочної опори (предметної
або графічної, різної міри загальності або умовності).
Просторове мислення завжди використовується для розв’язування
різних задач. Воно ґрунтується на системі знань, які не можуть і не
повинні нівелюватися.
Для проведення масового обслідування учнів щодо показника рів-
ня розвитку їхнього просторового мислення потрібне розроблення
спеціальних шкільних портативних тестів. Вони мають передбачати
роботу з образом (створення й оперування), виявляти особливості
цього процесу, сильні й слабкі сторони кожного учня за різного на-
132
вчального матеріалу. Щодо використання різних перцептивних ознак
(форми, величини, просторових співвідношень), то важливо виявити
індивідуальні схильності учнів до цього.
Створений з цією метою тест просторового мислення містить п’ять
розділів (субтестів), завдання яких потребують від учнів у процесі ство-
рення образу роботи з розмірами об’єкта (завдання 1, рис. 8.3), їх фор-
мою (завдання 2, рис 8.4), оперування образами, що спричинює видо-
зміну положення об’єкта (завдання 3, рис. 8.5), його структуру (завдан-
ня 4, рис. 8.6), одночасну зміну просторового положення і структури
образу (завдання 5, рис. 8.7). Тест має дві форми (71 і В), кожна з яких
містить 15 видів завдань. Кожний вид завдань подано двома варіантами
різного рівня складності (а і б). Отже, одна форма тесту складається із
ЗО завдань, а весь тест — із 60.
Приклад 8.7.
Завдання 1. Виберіть із чотирьох об’єктів гой, який має таку саму висоту, як
фігура, зображена окремо (зразок) (рис. 8,3).
Рис. 8.3
Завдання 2. Знайдіть серед поданих чотирьох фігур ту. яка відповідає зразку
(рис. 8.4).
Рис. 8.4
Завдання 3. З чотирьох зображень виберіть те, яке відповідає заданому
об’єкту, якщо па нього дивитися з боку, показаного стрілкою (рис. 8.5).
Рис. 8.5
133
Завдання 4. Укажіть ту частину площини, яка є спільною для всіх фігур
(рис. 8.6).
Рис. 8.6
Рис. 8.7
Завдання 5. Фігуру розрізано вздовж лілії ЛК на дві частини. Уявіть, що
трикутник ЛВК повертається навколо точки К так, що відрізки ВК і КС суміщу-
ються. Яка фігура при цьому утвориться (рис. 8.7)?
Апробувався тест у 8 і 9 класах московських шкіл № 91, 315 і
1079 (1990 р.). Тестувалося 269 учнів. Тест пропонувався в кожному
класі одночасно всім учням. Ті, хто сидів удвох за однією партою,
мали різні форми тесту (А і В). Тестування проводилось упродовж
одного уроку (40 — 50 хв). Учні мали можливість працювати в індиві-
дуальному темпі практично без обмеження в часі, що важливо для
отримання об’єктивних результатів.
Тест дав змоіу дістати інформацію з таких питань:
а) визначення навчального матеріалу (креслення, геометрія, малю-
вання), на якому створення образів і оперування ними відбувається
найуспішніше;
б) виявлення того виду завдань (на величину, форму і тип оперу-
вання), який спричинює найбільші труднощі;
в) аналіз особливостей різної діяльності учнів (створення образів,
оперування образами) у процесі виконання ними завдання.
Найпростішими для учнів виявилися завдання на матеріалі малю-
вання, а найскладнішими — па матеріалі креслення.
Аналіз результатів виконання тесту показав, що учні, маючи при-
близно однакову успішність щодо сумарної кількості балів, виявили
певні досягнення або недоліки в процесі виконання окремих завдань.
Ці відомості мають особливе значення для корегування індивідуальної
роботи з учнями.
Аналіз засвідчив, шо потрібно приділяти увагу не тільки учням з
відносно низькою успішністю, а й тим, хто має досить високий рівень
розвитку просторового мислення. Наприклад, з кількох учнів, які
мали 18—20 правильно викопаних завдань із ЗО (60 — 70 %), одному
було складніше викопувати завдання па «величину», другому — «на
форму», третьому — «оперувати з готовими образами», четвертому —
«створювати образ».
134
[. С. Якімаяська зі співробітниками розробили дидактичні матеріали,
які дають змогу працювати над структурними елементами просторового
мислення з урахуванням рівня їх розвитку в окремих учнів [401].
Тести є ефективним засобом виявлення, навчання та виховання
обдарованих і талановитих дітей. Психологи вважають, що головна
ознака обдарованості це творчі можливості дитини. З методів діаг-
ностики творчої обдарованості (креативності) найвідомішими і най-
поширенішими у світі є тести творчого мислення ГІ. Торренса ((ТТМТ).
їх використовують: у дослідженнях інтелектуального розвитку дити-
ни; в дослідженнях, пов’язаних з індивідуалізацією навчання; під час
розроблення корекпійпих і терапевтичних програм; для оцінювання
ефективності різних навчальних програм, навчальних посібників і
підручників з погляду динаміки розвитку творчих здібностей учнів;
для виявлення дітей з прихованими творчими здібностями, що особ-
ливо важливо для дітей із сімей з низьким рівнем освіти, які не ма-
ють умов для розвитку своїх здібностей.
П. Торренс визначає творчу обдарованість через характеристику
діяльності, у процесі якої учень стає чутливим до проблем дефіциту
або прогалин у знаннях, до змішування різнопланової інформації,
дисгармонії елементів навколишнього середовища, визначає пробле-
ми, шукає способи їх розв’язання, висуває та кілька разів перевіряє
гіпотези, модифікує їх і остаточно перевіряє результати. Розв’язуючи
проблеми, він прагне уникнути загальноприйнятих і очевидних
розв’язків. Відповідно до такого тлумачення творчої обдарованості
П. Торренс сконструював тестові завдання, які є моделями творчого
процесу. Для забезпечення широкої зони дії тесту було відібрано за-
вдання, які слабко корелюють між собою, є цікавими і привабливими
для дітей.
Тест має чотири батареї завдань: вербальні та фігурні форми А і В.
Фігурні тести складаються з трьох субтестів, на виконання кожного
передбачено 10 хв (разом ЗО хв). Зміст фігурних тестів такий.
Завдання «Намалюй картину» — тест, в якому учень придумує
оригінальну картину з використанням заданого елемента (у формі
краплі або квасолі), зробленого з кольорового клейкого паперу. Про-
понується придумати такий малюнок, який більше ніхто не може
придумати (оригінальність), і доповнити його так, щоб він став поє-
ною і цікавою розповіддю (ретельність розроблення). Художній рі-
вень виконання при цьому не враховують.
Завдання «Незавершені фігури». З гештальтпсихології відомо, що
незавершені фігури спричинюють прагнення завершити їх найпрості-
шим і найлегшим способом. Для оригінальності відповіді потрібно
контролювати це прагнення і стримувати його виконання. Кожну з
10 фігур оцінюють за оригінальністю і ретельністю розроблення ідеї.
Кількість виконаних завдань визначає показник швидкості, а різно-
манітність завдань — гнучкість мислення.
135
Завдання «Фігури, що повторюються». Завдання аналогічне попе-
редньому. Задано ЗО пар паралельних прямих (форма А) або 40 кру-
гів (форма В). Фігури А потребують завершення як відкриті фігури,
а фігури В — руйнування як замкнені фігури. Повторення того само-
го елемента дає змогу перевірити здатність до продуціювання різно-
манітних асоціацій.
Перший досвід тестування в 1993 р. у школах і на вступних екза-
менах до вищих навчальних закладів України показав, що до прове-
дення тестів виявилися не готовими як учні, так і вчителі. Учні від-
чували дискомфорт і невиправдане хвилювання під час тестування з
тієї причини, що пропонувалося багато завдань, які за відведений час
виконати фактично неможливо. Оптимально розподілити відведений
на виконання тесту час більшість учнів виявилася неспроможною,
оскільки не мала досвіду такої діяльності. Отже, до тестування учнів
погрібно привчати упродовж навчання в школі. Ще гірша психологіч-
на ситуація створилася під час тестування абітурієнтів педагогічного
інституту, яким було запропоновано за 4 год виконати 13 завдань з
математики і 9 — з фізики.
Потребують удосконалення збірники тестових завдань, способи пе-
ревірки й оцінювання виконання тестових завдань.
8.4. Специфіка навчання математики
в школах (класах) з поглибленим
її вивченням
Школи (класи) з поглибленим теоретичним і практичним вивчен-
ням математики та спеціалізовані школи фізико-математичного про-
філю. Класи з поглибленим вивченням математики сформовані майже в
кожному районі великих міст і в районних центрах усіх областей Украї-
ни. Вони працюють у складі 8 — 11 класів. Школи з поглибленим теоре-
тичним і практичним вивченням математики є здебільшого в обласних
центрах. Спеціалізована іпкола-інтернат фізико-математичного профілю
функціонує лише в м. Києві. У цій школі навчаються обдаровані учні,
відібрані на конкурсній основі з усіх областей України.
Відбір учнів до шкіл (класів) з поглибленим вивченням математи-
ки відбувається з урахуванням підсумкових оцінок за попередні кла-
си, рекомендацій учителів математики і на основі співбесіди, на якій
з’ясовують свідомість вибору, пікавість до математики, участь у гурт-
ках, факультативних заняттях, олімпіадах. Проведення будь-яких
екзаменів з метою відбору заборонено.
Ці школи (класи) працюють за навчальними планами, затвердже-
ними Міністерством освіти і науки України. Математику вивчають за
спеціальною навчальною програмою, затвердженою Міністерством
136
освіти і науки України, а решту предметів — за програмами загально-
освітньої школи.
Програма з математики охоплює весь матеріал програми за-
гальноосвітньої школи і передбачає не стільки розширення цієї про-
грами, скільки її поглиблення за допомогою насамперед розв’язування
нестандартних задач підвищеної складності, розвитку творчого мислен-
ня. Розширення програми відбувається за темами, які використову-
ють у різних галузях математики і сферах її застосування (множини,
комбінаторика, питання подільності та ін.). Програма має бути досить
варіативною, тобто враховувати умови класу і можливості вчителя,
який може поглиблювати окремі теми, а може й не робити цього.
У спеціалізованій школі поглиблення окремих тем алгебри і початків
аналізу, геометрії може бути значним. З метою орієнтації на різні га-
лузі математичної науки можна вивчати спеціальні курси за вибором
учнів.
Наведемо для прикладу орієнтовний розподіл навчального часу в
8 і 11 класах за чинною програмою (табл. 8.5) [302].
Таблиця 8.5. Орієнтовний розподіл навчального часу в 8 і 11 класах
№ пор. Клас, предмет, тема Кількість годин
8 клас 8 год на тиждень, разом 270 год
Алгебра 5 год на тиждень, разом 170 год Резервний час і час на повторення 26 год
1 Раціональні дроби 23
2 Дійсні числа. Квадратні корені 34
3 Квадратні рівняння 34
4 Нерівності 41
5 Степені з цілим показником 12
Геометрія 3 год ка тиждень, разом 102 год Резервний час і час на повторення 10 год
1 Чотирикутники 26
2 Теорема Піфагора 20
3 Дскартові координати на площині 17
4 Перетворення фігур 29
11 клас 6 год па тиждень, разом 204 год
Алгебра і печатки аналізу 3 год па тиждень, разом 102 год Резервний час і час на повторення 17 год
1 Первісна та інтеграл 10
2 Показникова, логарифмічна і степенева
функції 25
137
Продовження табл. 8.5
к? пор. Клас, предмет, тема Кількість годин
3 Багаточлсни від кількох змінних Сис- теми рівнянь і нерівностей 15
4 Комплексні числа 12
5 Диференціальні рівняння 8
6 Елементи комбінаторики 7
7 Елементи теорії ймовірностей 8
Геометрія 3 год на тиждень Разом 102 год Резервний час і час на повторення 22 год
1 Багатограннії ки 28
2 Тіла обертання 20
3 Об’єм тіла 23
4 Площі поверхонь тіла 9
Досвід роботи шкіл (класів) з поглибленим теоретичним і практич-
ним вивченням математики свідчить про те, іцо найвдалішою формою
організації навчального процесу в них є лекційно-практична система,
в якій розрізняють лекції, практикуми з розв’язування задач, семінари.
Більше уваги, ніж у звичайних класах, приділяється організації різ-
них видів самостійної роботи учнів, зокрема роботі з підручником,
науково-популярною, довідковою літературою, банками даних під час
роботи з персональними комп’ютерами.
У процесі вивчення програмного матеріалу належна увага має
приділятися узагальненням, вивченню різних методів доведень і
розв’язування задач, усвідомленню ідеї аксіоматичної побудови мате-
матики.
Істотне значення має надаватися міжпредметним зв’язкам і при-
кладним аспектам математики. З цією метою ефективними можуть
бути лекції або бесіда та відповідні їм семінари на теми «Математика
і природознавство», «Математика і моделювання». «Аксіоматичний
метод в геометрії», «Роль практики у виникненні геометрії», «Си-
метрія в природі, техніці» та ін.
У зв’язку із введенням профільного навчання в старшій школі
розроблено нову програму поглибленого вивчення математики в 10 —
11 профільних класах [304].
Для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики в
Україні видано навчальні посібники [26; 148; 149].
138
Видавництво «Освіта» в 1989 р. видало методичні рекомендації
для вчителів «Особенности углубленного изучеиия математики в 8—
9 классах», підготовлені Є. П. Неліним.
Математика у вечірніх школах. Вечірні (змінні) школи на сучасно-
му етапі розвитку освіти в Україні мають право працювати в складі 6 —
12 класів. Однак вони працюють здебільшого в складі 9 — 12 класів.
Якщо раніше у вечірніх школах навчалися переважно дорослі, працюючі
люди, то нині контингент учнів вечірніх шкіл докорінно змінився. У них
навчається значна кількість юнаків і дівчат такого самого віку, як і в
денній школі. Найдорослішими є ті, хто повернувся з лав армії, проте їх
у вечірніх школах небагато. Здебільшого у вечірніх школах навчається
молодь, яка з різних причин не має свідоцтва про закінчення основної
школи, учні професійних навчально-виховних закладів, іцо не дають
середньої освіти. Майже третина всіх учнів ніде не працює.
Навчання здійснюється в дві зміни (денну й вечірню). Наприклад,
у вечірній СІП № 18 м. Києва, в якій навчаються близько 700 учнів,
заняття відбуваються у дві денні зміни (перша починається о 9.00 год)
і у дві вечірні (остання починається о 16 год 40 хв). Учні займаються
п’ять днів на тиждень (від понеділка до п’ятниці) по чотири-п’ять
уроків щодня.
Новий базисний навчальний план для вечірніх шкіл затверджено в
1993 р. Па його основі кожна школа розробляє свій навчальний план
з урахуванням контингенту учнів. У складі цих шкіл функціонують і
спецкласи з поглибленим вивченням окремих предметів. У звичайних
класах математику вивчають по 3 год на тиждень за тими самими на-
вчальними програмами, що й у денних загальноосвітніх школах, хоча
для них розроблено й окремі програми [300].
Основними особливостями навчання математики у вечірніх школах
є такі.
1. Оскільки за рівнем математичної підготовки учні значно відріз-
няються один від одного, вчителеві доводиться організовувати індиві-
дуальну і групову роботу на уроці та в позаурочний час, спрямовану
на усунення пропусків у знаннях, навичках і вміннях.
2. Учитель змушений виносити на урок більший обсяг навчального
матеріалу, ніж у денній загальноосвітній школі, тому важливо вио-
кремлювати в ньому основне і вчити робити це учнів; потрібно дома-
гатися, щоб учні запам’ятовували основне, з тим шоб утворити фонд
дійових знань.
3. Важливо забезпечити прикладну спрямованість навчання мате-
матики, залучаючи, зокрема, матеріал тих галузей виробництва, де
працюють учні вечірніх шкіл.
4. У вечірніх школах ефективно використовувати лекційно-прак-
тичну систему організації навчального процесу, залікову систему об-
ліку успішності учнів; залікові заняття інколи зручно поєднувати з
консультаціями.
139
5. На консультаціях доцільно реалізувати диференціацію навчаль-
ної діяльності учнів, організовуючи групову й індивідуальну роботу
учнів залежно від потреб допомоги, зокрема й щодо усунення про-
пусків у знаннях і вміннях.
У вечірніх школах зазвичай використовують посібники, видані для
учнів денних загальноосвітніх шкіл. Однак слід зауважити, що є спе-
ціальні навчальні посібники для учнів вечірніх шкіл.
Професійні навчально-виховні заклади. Середні професійно-тех-
нічні училища(СПТУ) було запроваджено в усіх республіках колиш-
нього С.РСР у 1969 р. Нині в Україні є три типи професійних навчаль-
но-виховних закладів:
1) професійно-технічні училища (ПТУ). які готують робітників на
базі основної (дев’ятирічної) школи без надання загальної середньої
освіти;
2) середні професійно-технічні училища (СПТУ), які готують ква-
ліфікованих робітників і надають загальну середню освіту;
3) вищі професійно-технічні училища, до яких приймають учнів
після 11 класів середньої школи. Такі училища є складовими комп-
лексів ПТУ — технікум — професійний ліцей. Вони надають вищу
робітничу освіту, передбачають поглиблене вивчення загальнотехніч-
них предметів, елементів інженерно-технічних дисциплін.
До СПТУ учнів приймають після 9 класу без екзаменів, на пре-
стижні для молоді професії — за конкурсом документів. Здебільшого
це трирічні професійно-виховні заклади, однак є і такі, в яких на-
вчаються три з половиною і чотири роки.
Існує близько 1000 робітничих професій, які розподілені за
дев’ятьма напрямами. Наприклад, сільськогосподарський напрям має
близько 90 професій (трактористи, водії, машиністи широкого профі-
лю, слюсарі-оператори. контролери на тваринницьких фермах, вино-
градарі та ін.). Відповідно до цього розроблено багато навчальних
планів і програм (близько 400), що пов’язано із сезонною роботою і
специфікою виробничих професій.
Навчальний план СПТУ складається з двох циклів. Перший цикл —
професійно-технічний, розрахований приблизно на 2500 год. Він різ-
ний для різних груп професій. Наприклад, для сільськогосподарсь-
ких професій він передбачає вивчення основ агрономії, деталей і бу-
дови машин (тракторів, автомобілів, сільськогосподарських машин),
техніки безпеки, правил дорожнього руху, технічного креслення, ос-
нови економічних знань та ін.
Другий цикл — загальноосвітній, розрахований приблизно на
1600 год. Обов’язковим у ньому є вивчення української, російської,
іноземної мов і літератур, математики, фізики й астрономії, історії,
географії, біології. Додатково введено курси естетики, фізичного ви-
ховання, військової підготовки, 350 год передбачено на оплачувані
консультації.
140
Згідно з навчальним планом алгебра і печатки аналізу вивчаються
в СПТУ на І —III курсах, а геометрія — на І —II курсах.
Професійно-технічна освіта є навчально-виробничою галуззю на-
родного господарства і водночас важливою ланкою системи народної
освіти в державі. Тому під час визначення мети і змісту навчання ма-
тематики в СПТУ першочергового значення набувають інтереси про-
фесійно-технічної підготовки майбутніх робітників. Обов’язковою
вимогою навчання математики туг стає профілювання курсу з ураху-
ванням значущості цього предмета для оволодіння майбутньою про-
фесією, а також для розвитку загальної культури учнів. Водночас має
зберігатися мінімальне загальноосвітнє ядро, яке відповідає змісту
основної освіти, встановленому для загальноосвітньої школи. Цей ос-
новний інваріантний компонент, який має збігатися з програмою кур-
су А для загальноосвітньої інколи, потрібно доповнювати варіативним
компонентом — професійно значущим матеріалом — і планувати спе-
ціальний час на його вивчення. Професійно значущий матеріал має
передбачатися і в базисному компоненті програм.
До такого професійно значущого матеріалу належать знання (фак-
ти, поняття тощо) і вміння (узагальнено-пізнавальні, обчислювальні,
розрахунково-вимірювальні, графічні, експериментальні), які фор-
муються під час вивчення математики і є значущими для процесу
опанування конкретною професією, сприяють вдосконаленню профе-
сійної підготовки. Викладачі математики мають засвоїти програму
техмінімуму, щоб визначити, яке місце може займати математика в
загальнотехнічних, спеціальних предметах і виробничій практиці,
що забезпечують професійну підготовку, яку роль у них вона може
відігравати.
Взаємозв’язок вивчення математики з цими предметами і практи-
кою — одна з найважливіших проблем математичної підготовки в
СПТУ. На жаль, часто вивчення математики в СПТУ копіює вивчен-
ня її в загальноосвітній школі.
Зазвичай у СПТУ України наприкінці вересня проводиться діагно-
стична контрольна робота з математики, яка має па меті з’ясувати
рівень математичної підготовки учнів за курсом основної школи й ор-
ганізувати надалі корекційпу роботу Тому обов’язковим є відведення
перших уроків з обох математичних предметів на повторення і зве-
дення в систему знань і умінь щодо основних змістових ліній курсу.
У травні проводиться контрольна робота для з’ясування стану мате-
матичної підготовки за перший рік навчання в СПТУ.
Специфіка вивчення математики в СПТУ пов’язана ще і з тим, що
навчальний процес будується за тижнями, в яких кількість годин мо-
же бути різною. Розклад уроків планується так, щоб учні мали перер-
ву на обід, а уроки з теоретичних предметів чергувалися з лаборатор-
ними і практичними заняттями в майстернях. Завершується навчаль-
ний день близько 18 год. Тому викладачі мають намагатися подати
141
якнайбільше навчального матеріалу на уроці, щоб домашнє завдання
не було занадто обтяжливим.
Проблемами в СПТУ є також організація иозакласної роботи, під-
готовка до олімпіад, які, тим не менше, вже багато років успішно
проводяться серед учнів цих закладів.
Ефективним у СПТУ може бути застосування лекційно-практичної
системи організації навчального процесу. Нині актуальними є проб-
лема диференціації навчання математики, індивідуальні й групові
форми навчальної діяльності. Неприпустимим є зниження теоретич-
ного рівня вивчення навчального матеріалу, нехтування доведенням
теорем і формул, передбачених програмою. Рівень викладу має бути
високим, а рівень вимог — різний залежно від категорії учнів.
В Україні нагромаджено значний позитивний досвід роботи викла-
дачів математики в СПТУ. У багатьох СПТУ наявні добре обладнані
математичні кабінети, зібрано різноманітні дидактичні матеріали, зо-
крема орієнтовані на реалізацію професійної спрямованості курсу.
Видано навчальні посібники для учнів [385], методичні посібники для
викладачів [115—117] та ін. Цей досвід потребує уважного вивчення і
використання, особливо молодими викладачами.
Спеціальної уваги заслуговує систематична групова та індивіду-
альна робота з тими учнями, які навчаються з випередженням і мають
на меті вступ до вищих навчальних закладів Нині 10 % випускників
СПТУ, які навчаються на «10—12?», мають право вступати до ВНЗ
відразу після закінчення СПТУ. На жаль, поки лише 3 % учнів за-
кінчують СПТУ на «відмінно», тобто можливості вступу до ВНЗ
випускники СПТУ ще повністю не реалізовують.
ПОЗАКЛАСНА РОБОТА
І ФАКУЛЬТАТИВНІ
9 ЗАНЯТТЯ
З МАТЕМАТИКИ
9.1. Позакласна робота з математики
Позакласна робота з математики — це заняття, які відбуваються в
позаурочнмй час, ґрунтуються на принципі добровільної участі, мають
на меті підвищення рівня математичного розвитку учнів і цікавості до
предмета завдяки поглибленню і розширенню основного змісту про-
грами. Позакласні заняття можна будувати як на матеріалі, незначно
пов’язаному зі шкільною програмою, так і на матеріалі, який безпо-
середньо межує з темами обов’язкової програми, але не дублює цю
роботу, а поглиблює і деіпо розширює її.
Не слід вважати позакласною роботою додаткові заняття з тими
учнями, що не встигають з математики, а також індивідуальні та гру-
пові заняття з тими, хто навчається з випередженням. Робота з цими
категоріями учнів безпосередньо пов’язана з вивченням на різному
рівні програмного матеріалу.
Форми і методика проведення позакласиої роботи. До форм по-
закласної роботи належать: 1) позакласна робота в школі; 2) поза-
шкільна робота в дитячих будинках творчості, літніх таборах відпо-
чинку тощо; 3) робота заочних математичних шкіл різних рівнів.
У межах кожної з цих форм, у свою чергу, існують різні форми
позакласиої роботи: математичний гурток, тиждень або місячник ма-
тематики, математичні вечори, математичні ранки для учнів (1—6 кла-
си), клуби веселих і кмітливих математиків, шкільні олімпіади,
математична преса (класна і шкільна математичні газети, бюлетені,
стенди тощо), математичні екскурсії, шкільні наукові конференції,
позакласне читання науково-популярної літератури, підготовка учня-
ми доповідей, рефератів, творів з математики, виготовлення матема-
тичних моделей тощо. Останнім часом у київських школах (напри-
клад, СШ № 206, 208) виникла нова форма позакласиої роботи —
громадський огляд знань. Він полягає в тому, що наприкінці півріччя
або року учні готуються до огляду вивченого матеріалу курсу і де-
монструють свої знання і вміння на зборах громадськості — учнів
школи, батьків, представників дирекції школи і громадських органі-
зацій.
143
Названі форми позакласної роботи часто перетинаються, і тому їх
складно чітко розмежувати.
Найпоширенішою формою позакласної роботи є математичні гурт-
ки, в діяльності яких розрізняють два напрями. Перший — форму-
вання та розвиток початкової цікавості до математики і розвиток ма-
тематичного мислення. Другий — поглиблення та розширення знань з
математики і розвиток мислення. Перший напрям є провідним для
гуртків учнів 5—7 класів, другий — для гуртків учнів 8 — 11 класів,
хоча елементи обох напрямів наявні в кожному з них.
Залучення учнів до гурткової роботи найкраще здійснювати на
уроках, запропонувавши їм цікаву задачу або фрагмент з історії роз-
витку математики і запросивши продовжити розгляд цієї теми на за-
сіданнях гуртка.
Діяльність гуртка буде ефективнішою, якщо він об’єднує відносно
стабільний склад учнів і працює за складеним заздалегідь планом. План
має передбачати не тільки доповіді вчителя і розв’язування цікавих за-
дач, а й повідомлення самих гуртківців, випуск стішшх газет, участь в
організації та проведенні вечорів, тижнів або місячників математики,
засідань клубу веселих і кмітливих математиків, олімпіад тощо.
Заняття в гуртках (особливо учнів 5 — 7 класів) мають захоплюва-
ти їх, бути якомога жвавішими, з елементами гри, змагань. Окремі
задачі та запитання бажано добирати так, щоб труднощі, які виника-
ють у процесі їх розв’язування, спонукали учнів до розгляду певних
питань теорії та нових способів діяльності, які дещо розширюють і
поглиблюють програму.
Водночас у роботі гуртків і клубів веселих і кмітливих математи-
ків доцільно використовувати ребуси, математичні фокуси і загадки,
турніри й естафети, інсценізації, вікторини, математичні софізми, ці-
каві факти з історії розвитку математики і біографій видатних мате-
матиків тощо.
Математичні вечори проводять зазвичай один раз на півріччя або
на рік з учнями паралельних класів, наприклад паралельних 5—6,
8—9 чи 10—11 класів. Вечори доцільно присвячувати підведенню
підсумків олімпіад, тижнів або місячників математики; окремим видат-
ним математикам; історії розвитку математики; ролі математики в на-
уково-технічному прогресі; ролі ЕОМ у сучасному суспільстві; ок-
ремим темам математики та іншим питанням на розсуд учителя.
До проведення математичного вечора потрібно заздалегідь ретель-
но готуватися: розробити його сценарій, запропонувати деяким учням
знайти матеріал за рекомендованою літературою, добрати і перевірити
фрагменти їхніх виступів, підготувати цікаво оформлене оголошення,
наочний матеріал тощо. Учні мають виявляти максимум ініціативи в
підготовці та проведенні вечора.
До підготовки і проведення шкільних олімпіад мають докладати
зусилля всі вчителі математики, які працюють у школі. Завдання, що
144
забезпечують підготовку учнів, доцільно висвітлювати в шкільних і
класних математичних газетах або спеціальних бюлетенях. Основна
підготовча робота припадає иа учасників математичних гуртків.
У районних, обласних і всеукраїнських олімпіадах беруть участь пе-
реможці шкільних олімпіад та олімпіад відповідного нижчого рангу.
Досвід показує, що до обласних, всеукраїнських і міжнародних олім-
піад потрібно спеціально готувати учнів, об’єднавши переможців шкіль-
них олімпіад і олімпіад вищого рівня. Таку роботу в місті або районі
мають проводити досвідчені вчителі.
Розглянемо для прикладу можливий варіант проведення «Тижня
математики» на тему, присвячену діяльності М. В. Остроградського.
Використаємо досвід, висвітлений у методичних рекомендаціях, під-
готовлених керівником секції методики математики Рівненського від-
ділення педагогічного товариства К. Л. Корч (Рівне, 1982). «Тижні
математики» дають змогу залучити до позакласної роботи багатьох
учнів усіх класів, розкрити їхні потенційні здібності, підвищити рі-
вень математичної культури, розвивати пізнавальний інтерес учнів,
розширити їхній кругозір, показати роль математики в науково-
технічному прогресі та розвитку інтелектуального потенціалу країни
Ця форма роботи насичена конкретними заходами, і тому успішне
проведення «Тижня математики» потребує серйозної та тривалої під-
готовки. Досвід показує, що підготовку його потрібно починати за
1,5 — 2 місяці. Керувати цією роботою доцільно доручити організацій-
ному комітету, до складу якого входять учителі та учні, а очолює йо-
го ініціативний учитель математики.
Комітет складає сценарій «Тижня», призначає відповідальних за
кожну ділянку роботи (випуск газет, робота членів журі, підготовка
матеріалів стенда, оформлення приміщення, добір повідомлень, питань
для КВК («Клуб веселих і кмітливих») і т. д.). При цьому потрібно
враховувати індивідуальні інтереси та можливості вчителів і учнів, ос-
кільки підготовча робота має бути масовою і творчою. Вчителі мають
бути постійно в центрі подій, надавати допомогу, генерувати ідеї, про-
водити репетиції, тренування тощо. Велику допомогу можуть надати в
цей період шкільна преса, шкільна бібліотека, запропонувавши спе-
ціальні науково-популярні видання з математики, статті в журналах.
За 10 днів до початку «Тижня» доцільно оформити спеціальний
випуск шкільної математичної газети з інформацією про термін про-
ведення і зміст заходів на весь тиждень, в якій кожному дню «Тиж-
ня» присвятити невеликий опис, ілюстрований відповідними рисун-
ками та епіграфом.
Наприклад, до конкурсу розв’язування математичних задач можна
як епіграф взяти вислів М. О. Митропольського про те, що сила ма-
тематики — в її практичному застосуванні.
Якщо є можливість, то до пропаганди «Тижня» потрібно залучати
шкільне радіо або замкнену телевізійну систему.
145
Щоденний зміст «Тижня» може мати такий вигляд
Понеділок. У коридорі на видному місці з’являється яскраво оформлена
об’ява про початок «Тижня», стіни прикрашені висловлюваннями про математику
видатних мислителів минулого і сучасності.
У зручних для огляду місцях вивішують стенди: «М. Е. Остроградський —
видатний математик», «Математика на службі людства», «Математика і сільське
господарство», «Математика в житті батьків», «Вікторина ерудитів» та ін.
У понеділок після уроків у молодших і середніх класах (1 9 класи) відбува-
ється класна математична година. Бажано, щоб її підготували і провели учні 10 —
11 класів.
У 10—11 класах можна прочитати лекцію «М. В. Остроградський видатний
математик» або провести «Зустріч за круглим столом», засідання «Клубу цікавих
зустрічей», на яких запрошені спеціалісти розповідатимуть старшокласникам про
роль математики в народному господарстві, досягнення сучасної вітчизняної та
світової математики.
Вівторок. У коридорах або в математичному кабінеті організовується ви-
ставка книг і журналів «За сторінками підручника математики». Консультанти,
серед яких може бути бібліотекар, дають пояснення, зокрема, де можна взяти
почитати ту чи іншу книжку.
Зазвичай велике зацікавлення виявляють учні до стенда «З посмішкою про
математику».
Основним заходом дня може бути математичний ранок для учнів 5 — 6 класів і
наукова конференція, присвячена топології або іншій галузі математики (у попу-
лярній і цікавій для сприйняття формі) для учнів 9 11 класів. Доповіді мають
бути короткими й унаочненими.
Середа. Цього дня в коридорах школи можна розгорнути виставку само-
робних наочних посібників, альбомів, рефератів про математику, кращих зошитів
учнів 5 — 6 класів. У шкільному залі відбувається «Математичний бій» учнів
7 — 8 класів. Спеціальне журі оцінює стенди і визначає переможців.
Четвер. Проводяться три заходи «Математичного тижня»:
1) конкурс математичних газет (їх вивішено в коридорі), який оцінює журі та
присуджує три перших місця;
2) для учнів 10—11 класів організовується прес-конференція, на якій вчителі
та студенти відповідають учням на запитання про життя і наукову діяльність
М. В. Остроградського, сучасний розвиток математики та її застосування, дВіль-
ність сучасних математиків та ін. Запитання доцільно .задавати в письмовій формі,
щоб відсіяти ті, які безпосередньо не стосуються теми. Відповіді на деякі з них
можна дати в особистій бесіді з учнями;
3) математичний КВК учнів 9 класу Традиційно його програма містить такі
пункти: привітання команд; розминка; домашнє завдання; номери художньої са-
модіяльності; конкурс капітанів; цікаві задачі й запитання; конкурс уболіваль-
ників.
II ’ я т н и ц я. Цього дня заплановані олімпіада учнів 5 11 класів і матема-
тичний вечір учнів 10—11 класів, наприклад на тему «Математика наука моло-
дих!». Для підготовки вечора можна використати посібник [153].
Субота. Можна провести «Математичний з’їзд» учнів школи і підбити на
ньому підсумки «Тижня математики». На з’їзді доцільно оголосити наказ дирек-
тора школи про нагородження комапд-переможниць різних змагань, окремих уч-
нів-нереможців олімпіади, конкурсів і учнів, які брали акгпвну участь у підготов-
ці й проведенні «Тижня математики» (призами можуть бути грамоти, жартівливі
вірші, книжки математичного змісту, художня лііература тощо). В залі демон-
струється фотогазета з фотографіями переможців. З’їзд завершується розважаль-
ною частиною.
146
На черговому засіданні методичного об’єднання вчителів матема-
тики потрібно підбити підсумки «Тижня», назвати досягнення і недо-
ліки, скласти плани на майбутнє. Доцільно оформити матеріали «Ти-
жня» у вигляді альбому, який відображує педагогічний досвід поза-
класної роботи з математики в школі.
9.2. Факультативні курси з математики
Факультативи з математики не є формою позакласної роботи. Це
одна з форм диференційованого навчання математики, мета якого —
поглиблення і розширення знань учнів, розвиток їхніх математичних
здібностей і стійкого зацікавлення математикою.
Факультативні заняття в 7 —10 класах (за старою нумерацією) бу-
чо введено восени 1967 р. Крім згаданої вище мети тоді їм відводи-
іась важлива роль своєрідної педагогічної лабораторії для опрацю-
вання, уточнення й «обкатування» матеріалу, який пізніше мав увійти
їо обов’язкової програми.
Перша програма факультативних занять передбачала заняття двох
шдів: і) важливі із загальноосвітнього погляду додаткові розділи і
іитання, що межують з темами обов’язкової програми, і такі, які роз-
кривають застосування математики; 2) спеціальні факультативні кур-
*и: «Обчислювальна математика», «Програмування», «Векторні про-
пори і лінійне програмування». Ці курси передбачали наявність до-
сить розвиненої цікавості учнів до вивчення вибраних розділів мате-
матики. їх рекомендувалося проводити там, де є спеціалісти (учителі
пкіл, працівники обчислювальних центрів, науково-дослідних уста-
юв, вищих навчальних закладів).
Першу програму факультативів було опубліковано в 1967 р. Розра-
ювана вона на стару шкільну програму. Тому провідне місце в ній за-
ймали теми, які мали увійти до нової програми: у 8 класі — «Множини
і операції над ними» (10 год), «Нескінченні множини» (10 год), «Геоме-
тричні перетворення» (20 год); у 9 класі — «Похідна» (36 год), «Прин-
цип математичної індукції» (10 год); у 10 класі — «Інтеграл» (12 год),
«Печатки теорії ймовірностей» (18 год) та інші, з яких учитель крім
обов’язкових міг вибрати доцільну, на його погляд, у конкретних умовах.
З упровадженням в життя нових шкільних програм змінювались і
програми факультативних занять. У 9 класі з’явилась тема «Комплек-
сні числа» і пов’язана з нею тема «Алгебраїчні рівняння вищих сте-
пенів», яку потім було перенесено до 10 класу. У 10 класі з’явилась
тема «Диференціальні рівняння та їхні значення в природознавстві».
Спеціальні курси факультативів не знайшли широкого застосуван-
ня передусім через відсутність фахівців, а також тому, що учням
середньої школи ще важко обрати для вивчення яку-небудь широку
спеціальну галузь математики.
147
В історії існування факультативів розрізняють два етапи. Перший,
перехідний етап (1967—1976 рр.) і другий, новий етап (від 1976 р.),
коли було розроблено новий зміст факультативів після введення нової
шкільної програми.
Нині факультативне навчання математики в 7 —11 класах має по-
глиблювати знання учнів, здобуті ними під час вивчення основного
курсу, а також розвивати логічне мислення, цікавість до математики,
творчі здібності.
Факультативний курс складається з двох розділів: «За сторінками
підручників математики» і «Математична мозаїка».
Теми першого розділу безпосередньо стосуються основного курсу,
поглиблюють його, систематизують і доповнюють навчальний матеріал,
а також мають на меті підготовку до вступу до ВНЗ. Особливу увагу
приділено розв’язуванню задач підвищеної складності.
Основні теми першого розділу в 7 класі: «Прості і складені числа»
(10 год), «Системи числення» (8 год), «Геометричні побудови» (10 год),
«Визначні точки і лінії в трикутнику» (8 год); у 8 класі — «Числові
множини» (12 гол), «Метод координат» (10 год), «Геометричні перетво-
рення» (12 год), «Незвичайна алгебра»(Ю год); у 9 класі — «Рівняння,
нерівності та їх системи» (15 год), «Визначні теореми і факти геометрії»
(10 год), «Логічна будова геометрії» (8 год); у 10 — 11 класах — «Ал-
гебраїчні рівняння, нерівності, системи» (12—20 год), «Функції та гра-
фіки функцій. Початкп аналізу» (8—16 год), «Квадратний тричлен.
Доведення нерівностей» (4—12 год, 8 год); «Тригонометричні функ-
ції та задачі» (8 — 18 год, 12 год), «Числа і числові послідовності»
(4 — 10 год, 4 год), «Нестандартні рівняння та нерівності. Задачі з
параметром» (6—14 год, 8 год), «Методи розв’язування планімет-
ричних задач» (8—16, 10 год), «Стереометричні задачі та методи їх
розв’язування» (12—28 год, 18 год).
Нові програми факультативних занять опубліковано в [307].
Відмінність факультативів від гуртків полягає передусім у тому,
що гуртки передбачають наявність в учнів початкової цікавості до
математики, яку вони мають розвивати, а умови факультативів —
стійкої зацікавленості. Це визначає особливості методики навчання
учнів за умов факультативних курсів.
Методика організації та проведення факультативів. Факультатив-
ні курси розраховані на тих учнів, які мають достатню підготовку з
математики, однак, як виняток, можна дозволити відвідувати факуль-
татив і тим, хто ще не досяг високих оцінок, але має потенціальні
можливості для цього. Залучати до факультативів і гуртків доцільно,
розв’язуючи на звичайних уроках цікаві задачі і вирішуючи пробле-
ми, шо потребують розширення знань і умінь. Учням пропонують
розширити їх на факультативних заняттях.
Не можна механічно переносити методи, прийоми, організаційні
форми і засоби навчання математики в звичайних класах на факуль-
148
гативне навчання. Враховуючи, що учні на факультативних заняттях
мають більші можливості для навчання та стійку цікавість до матема-
тики, тут мають переважати методи проблемного навчання (проблем-
ний виклад, евристичні бесіди, дослідницький метод). Більше часу
слід присвятити самостійній роботі. Окремі вчителі поділяють вико-
нання завдань дослідницького характеру на кілька етапів. Спочатку
учні вивчають потрібну літературу, потім шукають алгоритм розв’я-
зування задачі або проблеми, а на заняттях звітують про результати
своїх пошуків. Розроблений алгоритм можна втілити в програму для
персонального комп’ютера або калькулятора.
На факультативних заняттях є можливість для прискореного ви-
вчення частини теоретичного матеріалу завдяки самостійній роботі.
Ефективним є застосування лекційно-практичної системи навчання, в
якій належне місце відводиться семінарам. На семінарах учні готують
повідомлення про цікаві застосування математичних методів, способи
розв’язування нестандартних задач, наводять історичні довідки тощо.
Важливою проблемою є взаємозв’язок факультативних занять з
вивченням обов’язкового курсу, погодженість у часі та змісті вивчен-
ня тих чи інших цигань.
Досвід свідчить, що більшу частку запланованого до вивчення ма-
теріалу потрібно перенести безпосередньо на заняття в класі, а домаш-
ні завдання звести до мінімуму і пропонувати лише для того, щоб уч-
ні були підготовленими до наступного заняття. Творчі завдання, які
потребують значного часу, не є обов’язковими для всіх учнів факуль-
тативу, однак виконання їх слід всіляко схвалювати.
Система оцінювання має бути досить гнучкою, не копіювати застосо-
ваної в обов’язковому курсі. Заохочуючи учнін, які працюють у факуль-
тативі, в жодному разі не можна залякувати їх негативними оцінками і
відштовхувати від роботи, яку вони обрали за власним бажанням.
Факультативні заняття в 7—9 класах є важливим засобом допро-
фільного навчання і допомагають учням визначитися .щодо вибору
майбутньої професійної діяльності.
ЧАСТИНА
МЕТОДИКА НАВЧАННЯ
ОКРЕМИХ ПРЕДМЕТІВ
МЕТОДИКА
НАВЧАННЯ
ЛА МАТЕМАТИКИ
РОЗДІЛ Ш В 5-6 КЛАСАХ
10.1. Повторення, систематизація, узагальнення
та розширення відомостей
про натуральні числа
Основні відомості про натуральні числа і дії над ними учні дістають у
початковій школі. В ній передбачено навчити їх читати, записувати, порі-
внювати числа в межах мільйона, виконувати нескладні усні й письмові
обчислення (додавання та віднімання чисел у межах мільйона, множення
дво-, трицифрових чисел на одно-, дво- і трицифрове число, ділення
три-, чотири-, п’ятицифрового числа на одно- і двоцифрове число).
Відомості про натуральні числа в 5 класі повторюють, системати-
зують, поглиблюють, уточнюють і розширюють за такими основними
напрямами:
1) поглиблення знань учнів про нумерацію багатоцифрових чисел;
2) розкриття ролі нуля як числа і дії натуральних чисел з нулем;
3) систематизація відомостей про чотири арифметичні дії, про зв’язок
між прямими й оберненими діями, формування умінь виконання дій
над багатоцифровимн числами; 4) узагальнення знань учнів про зако-
ни арифметичних дій і застосування їх до раціоналізації обчислень.
У результаті вивчення теми всі учні мають оволодіти знаннями і
вміннями, що задають рівень обов’язкової підготовки:
мати уявлення про натуральні числа і нуль;
читати, записувати і порівнювати натуральні числа;
виконувати усно арифметичні дії в межах складності прикладів на
додавання і віднімання двоцифрових чисел, множення та ділення (без
остачі) двоцифрового числа на одноцифрове;
виконувати письмово чотири арифметичні дії над натуральними
числами, в запису яких є кілька десяткових розрядів (з урахуванням
складних випадків переносу з розряду в розряд і використання пулів
у запису числа);
розв’язувати текстові задачі за допомогою арифметичних способів,
які використовують дії над натуральними числами.
150
Поняття про натуральне число. Читання та записування багато-
цифрових чисел. Поняття «натуральне число» належить до первіс-
них, неозначуваних понять. У теоретичних курсах зміст його розкри-
вається через систему аксіом, наприклад аксіом Пеано. У теорії мно-
жин натуральне число означають як потужність скінченної множини.
На жаль, у деяких шкільних підручниках, наприклад [266], під час
розгляду цього поняття наведено твердження, які учні, навіть стар-
шокласники, сприймають і фіксують у пам’яті як означення. Зокре-
ма, у ньому сказано: «Числа 1. 2. З. пю використовуються під час
лічби предметів, називаються натуральними». У цьому твердженні
небажано вживати слово «називаються», а доцільніше сказати «ді-
стали назву», оскільки йдеться лише про термін, а не про зміст по-
няття «натуральне число».
Перш ніж розглядати питання про читання і записування бага-
тоцифрових натуральних чисел, потрібно повторити з учнями по-
няття про розряди і розрядні одиниці, класи десяткової системи
числення, співвідношення між розрядними одиницями, записуван-
ня числа у вигляді суми розрядних одиниць, домогтися правильно-
го вживання учнями слів «цифра» і «число». Щоб учні розрізняли
поняття «цифра», «число» і правильно використовували ці термі-
ни, слід звернути їхню увагу иа тс, що цифри — це умовні знаки
для позначення чисел. Десяткова система числення має тільки де-
сять цифр, за допомогою яких позначається безліч натуральних
чисел. У зв’язку з цим є добра нагода на уроці коротко згадати
про інші системи числення, зокрема про римську й інші нумерації.
На занятті математичного гуртка можна докладніше розповісти про
історію виникнення різних систем числення і нумерацій. Вважає-
мо, що під нумерацією розуміють спосіб читання (усна нумерація)
і записування (письмова нумерація) чисел. У цьому разі не можна
ототожнювати «нумерацію» з «системою числення». У тій самій
системі числення, наприклад десятковій, можуть бути різні нуме-
рації.
Для здійснення перспективних зв’язків з десятковими дробами
потрібно повторити основну властивість десяткової системи чис-
лення, що виражає, співвідношення між розрядними одиницями. Зо-
крема, слід звернути увагу учнів на основну властивість в іншому
формулюванні: одиниця кожного розряду в десять разів менша від
одиниці розряду, яка міститься ліворуч, і в десять разів більша за
одиницю розряду, що міститься праворуч (крім одиниці розряду
одиниць, біля якого поки що немає розрядів праворуч). Достатню
увагу потрібно приділити з’ясуванню позиційного принципу десят-
кової системи числення та її переваг перед непозиційними систе-
мами, наприклад римською. Для повторення усної та письмової
нумерацій послуговуються таблицями розрядних одиниць і оди-
ниць класів (табл. 10.1).
151
Таблиця 10.1. Таблиця розрядних одиниць і одиниць класів
Письмова нумерація розрядних одиниць 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000
1 Клас одиниць іпипиґо
—'
ішоз
Клас тисяч ьбоііх іПиннНо -
ьваиі ихшоо)/ -
ЬЮИХ пі.ї.03
Клас мільйонів ШНОИЧІЛН ґПиииМо -
ШНОИЧІЛИ ИЯХКЗО)/
ЯТНОИЧІГІИ іпхоз
Клас мільярдів ЯПЛІЕЯІЛК ПіиішЦ0
ЯЙДІВЧІГІИ ІОІІЮ9Ї7
ШЇЛІВЧІЛК ІНЛСГ)
Усна нумерація розрядних одиниць Одиниця Десять оди- ниць - деся- ток Десять десят- ків - сотня Десять со- тень — тисяча Десять ти- сяч — деся- ток тисяч Десять десят- ків тисяч — сотня тисяч Десять со- тень тисяч — мільйон і Т. д.
152
Під час повторення поняття класів доцільно дати учням орієнтир
щодо назви класів, оскільки в цьому учні часто припускаються помилок.
Назва класу визначається назвою розряду, який містить останню цифру
класу. Практика доводить, що стійкі навички читання багатоцифрових
чисел в учнів формуються й усвідомлюються швидше, якщо сформулю-
вати їм правило читання багатоцифрових натуральних чисел.
Для того щоб прочитати багатоцифрове натуральне число, потрібно:
1) розбити число на класи справа наліво;
2) якщо найвищий клас містить три цифри, то прочитати зліва на-
право кожний клас як трицифрове число і додати назву класу;
назва останнього класу (класу одиниць) не додається;
3) якщо найвищий клас містить одну або дві цифри, то прочитати йо-
го як одноцифрове або двоцифрове число і додати назву цього
класу; решту класів читати так само, як у попередньому випадку.
Під час записування багатоцифрових чисел учні припускаються
найбільше помилок у разі відсутності певних розрядів або цілих кла-
сів. Пов’язано це з тим, що деякі учні недостатньо усвідомлюють прин-
цип поділу чисел на класи і розряди, погано знають назви класів,
починаючи від класу одиниць і до класу мільярдів і, навпаки, почи-
наючи від класу мільярдів до класу одиниць.
Учитель має на конкретних прикладах пояснити спосіб міркувань
під час записування таких чисел. Наприклад, нехай потрібно записа-
ти число двадцять вісім мільярдів два мільйони сорок три. Міркуємо
так: за класом мільярдів міститься клас мільйонів, в якому має бути
три цифри, а є лише одна третя цифра (2), отже, ліворуч від неї по-
трібно поставити два нулі. За класом мільйонів міститься клас тисяч,
а в нашому прикладі цього класу немає, тому після цифри 2 ставимо
три нулі. У першому класі (класі одиниць) має бути також три циф-
ри, а є тільки дві останні (43), тому ліворуч від цифри 4 ставимо
нуль. Дістаємо: 28 002 000 043.
Зробимо кілька зауважень.
1. Кращому засвоєнню десяткової системи числення сприяє вико-
ристання звичайної рахівниці.
2. У системі вправ досить обмежитись першими чотирма класами,
оскільки надалі в інших предметах і в практиці для позначення вели-
ких чисел зазвичай користуються степенем числа 10. Щоправда, уч-
ням молодших класів цікаві назви інших класів — трильйони, квад-
рильйони, квінтильйони, секстильйони і т. д. Проте рекомендувати
запам’ятати ці назви недоцільно.
3. Повторенню і розширенню десяткової нумерації сприяють впра-
ви, що стосуються метричної системи мір.
4. Реалізації перспективних зв’язків з вивченням комбінаторики
сприяють вправи иа зразок: скільки трицифрових чисел можна склас-
ти, записавши їх за допомогою лише цифр 2, 3 і 9 за умови, шо в за-
пису числа не повинно бути однакових цифр.
153
Дії над натуральними числами. Практика показує, що для учнів,
які навчилися виконувати чотири дії над натуральними числами в
початковій школі, виконання дій над багатоцифровими числами не
становить значних труднощів.
їхню уваіуг потрібно зосередити на питаннях теоретичного обгрунту-
вання правила виконання кожної дії, на розв’язуванні складніших ком-
бінованих вправ, раціоналізації обчислень, розв’язуванні складніших
текстових задач. Для тих, у кого недосконалі знання і навички, основну
увагу доцільно зосередити на виробленні стійких навичок виконання дій.
Удосконалення навичок усних обчислень є важливим для всіх учнів.
Отже, насамперед доцільно провести діагностику знань, навичок і
умінь учнів з тим, щоб ефективно здійснювати диференційоване на-
вчання з погляду як складності навчального матеріалу, так і рівня
вимог до окремих категорій учнів. Наприклад, на рівні обов’язкових
результатів навчання не слід вимагати від учнів теоретичного обґрун-
тування виконання чотирьох дій на основі їх законів, відомостей про
розряди і властивості десяткової системи числення. Для тих, хто на-
вчається на 9—12 балів, така вимога потрібна.
Слід врахувати і те, що основний матеріал про дії над натураль-
ними числами учням відомий. Тому вчителеві важко підтримувати
постійний пізнавальний інтерес на уроці і під час виконання домаш-
ніх завдань. Для цього потрібно ширше використовувати різні дидак-
тичні ігри, математичні ребуси, розв’язування «деформованих» (із
зірочками) вправ, програмованих завдань, широко залучати наоч-
ність, історичні довідки.
Важливою умовою є дотримання наступності з курсом початкової
школи.
Повторення кожної з чотирьох дій доцільно починати із практич-
них задач, шо дасть змогу забезпечити мотивацію навчання і підви-
щить пізнавальний інтерес.
Додавання. У методиці навчання математики неодноразово обгово-
рювалось питання, чи потрібно означати в школі дію додавання нату-
ральних чисел і як це робити. Ще на початку XX ст. зазначалося, що
жодне з означень цієї дії, які наводились у шкільних підручниках
того часу, не можна вважати логічним означенням. І. К. Андронов і
В. М. Брадіс зробили спробу означити дію додавання на основі по-
няття об’єднання скінченних множин. При цьому спочатку вводились
означення доданків і суми, а потім додавання означалось як дія зна-
ходження суми доданків. Оскільки чинна нині програма не передба-
чає вивчення в школі операцій над множинами, такий методичний
варіант застосувати неможливо. Найоптимальнішим у сучасних
умовах є методичний підхід, за якого дія додавання натуральних
чисел не означається. Вважається, що поняття додавання інтуїтив-
но зрозуміле для учнів з досвіду навчання в початковій школі і з
практики.
154
Під час повторення дії додавання доцільно уточнити такі питання.
1. Використовуючи запис чисел у вигляді суми розрядних одиниць
і закони додавання, теоретично обґрунтувати правило додавання бага-
тоцифрових чисел, розглянувши конкретні приклади спочатку без
переходу через десяток. Наприклад, додаючи числа 2352 і 6243, по-
даємо кожне з них у вигляді суми розрядних доданків:
2352 = 2 тис. + 3 сот. + 5 дес. + 2 од.;
6243 = 6 тис. + 2 сот. + 4 дес. + з од.
Розглянувши доданки й об’єднавши їх у групи, дістанемо:
(2 од. + 3 од.) + (5 дес. + 4 дес.) + (3 сот. + 2 сот.) +
+ (2 тис. + 6 тис.) = 5 од. + 9 дес. + 5 сот. + 8 тис. =
= 8 тис. + 5 сот. + 9 дес. + 5 од. = 8595.
У разі виконання додавання стовпчиком спочатку додають одиниці
з одиницями, потім — десятки з десятками і т. д. По суті, тут за-
стосовують обидва закони додавання: переставний і сполучний.
Достатню увагу потрібно приділити додаванню, яке потребує пе-
реходу через десяток.
Важливо наголосити учням на застосуванні законів додавання для
раціоналізації обчислень, розглянувши приклади на зразок
897 + 269 + 3; 382 + 801 + 208 + 189.
2. Спеціального розгляду потребує питання про зміну суми залеж-
но від зміни доданків, іцо є елементом пропедевтики вивчення понят-
тя функції в 7 класі. При цьому доцільно скористатися відомою за-
лежністю для раціоналізації розв’язування вправ. Наприклад:
1) не обчислюючи, встановити, який із знаків =, >, < слід поста-
вити між виразами і чому:
а) 8475 + 2182 і 8472 + 2182;
б) 3136 + 847 і 3136 + 849;
в) 1093 + 28 023 і 1091 + 28 025;
2) не обчислюючи суми, визначити, на скільки одна сума більша
або менша від другої:
а) 3297 + 262 “ і 3290 + 262;
б) 6307 + 21 526 і 6302 + 21523.
3. Повторити додавання натурального числа до нуля і нуля — до
натурального числа. Обґрунтувати властивість нуля в разі додавання
складно, оскільки означення дії додавання не вводиться.
Проте доцільно підвести учнів до висновку, що а + 0 = а і 0 + а = а,
0 + 0 = 0, запропонувавши спочатку заповнити таблицю (табл. 10.2).
Таблиця 10.2. Властивість нуля в разі додавання
а 0 0 9 18 1 0 0
Ь 2 0 0 5 7 0
а + Ь 6 18 7
155
4. Слід підкреслити можливість і однозначність дії додавання двох
натуральних чисел, натурального числа і нуля. Це важливо з погляду
розширення поняття про число.
5. Доцільно наголосити на тому, які задачі розв’язують дією дода-
вання. На прикладі двох конкретних задач учні мають дійти виснов-
ку, що дією додавання розв’язують дві різні за математичним змістом
задачі. У першій задачі, наприклад, знаходять суму двох доданків, а
в другій задане число збільшують на кілька одиниць.
6. З погляду пропедевтики вивчення різних видів виразів, доціль-
но звернути увагу учнів на неоднозначність терміна «сума». Його
вживають у двох значеннях: як результат дії додавання і як вираз,
що складається з двох або кількох чисел (або букв), сполучених зна-
ком «+». Аналогічне зауваження стосується і термінів «різниця»,
«частка», які розглянемо далі.
7. Доцільно зауважити, що перевірку дії додавання виконують за
допомогою цієї самої дії перестановкою доданків. Можна також ско-
ристатися для перевірки мікрокалькулятором.
Віднімання. У шкільних підручниках його означають як дію,
обернену додаванню. Найвдаліше це означення подано в такому форму-
люванні: відняти від числа а число Ь означає знайти таке число х,
яке в сумі з числом Ь дає а. Позначають: Ь + х = а.
На цьому етапі навчання важливо вдосконалити навички відніман-
ня багатозначних натуральних чисел, звернути особливу увагу на
складні випадки віднімання, зокрема такі:
78 325 , 5002 000
“ 6 286 а0° "2 985 632,
Важливо, щоб учні усвідомили можливість двох способів перевір-
ки дії віднімання: 1) додаванням, знаходячи зменшуване за від’єм-
ником і різницею; 2) відніманням, знаходячи від’ємник за зменшува-
ним і різницею. Можна також скористатися мікрокалькулятором. За
можливості доцільно розглянути зміну результату дії віднімання від
зміни компонентів. Можна запропонувати сильнішим учням розгля-
нути таблицю і дійти висновку щодо зміни різниці залежно від зміни
одного з компонентів (табл. 10.3).
Таблиця 10.3- Залежність зміни різниці від зміни одного із компонентів
Дано Що змінили? Як змінили? Отримали Як змінилась різниця?
25 - 7 = 18 Від’ємник Від’ємник Від’ємник Зменшуване Зменшуване Збільшили на 3 Збільшили на 10 Зменшили на 6 Збільшили на 5 Зменшили на 4 25 - 10 = 15 25 - 17 = 8 25 - 1 = 24 30 - 7 = 23 21 - 7 = 14 Зменшилась на 3 Зменшилась па 10 Збільшилась на 6 Збільшилась на 5 Зменшилась на 4
156
Виявлені закономірності потрібно застосувати для раціоналізації
обчислень. Нехай пропонується усно обчислити різницю 5868 - 997.
Для цього зручно спочатку округлити від’ємник до тисячі, обчислити
усно нову різницю 5868 - 1000 = 4868. Оскільки внаслідок округлен-
ня від’ємник збільшився на 3, то різниця зменшилась на 3 одиниці.
Тому до числа 4868 потрібно додати число 3. Дістанемо:
5868 - 997 = 4868 + 3 = 4871.
Рівності а - 0 = а і а - а = 0 обгрунтовують за допомогою озна-
чення дії віднімання. Учні мають міркувати так: за означенням дії
віднімання маємо рівності а + 0 = а і 0 + а = а, які правильні за вла-
стивістю нуля щодо дії додавання. Отже, правильні також рівності
а — 0 — аїа — а = 0.
У чинних іпкільних підручниках не розглядається питання про
можливість виконання дії віднімання й однозначність результату.
Однак потрібно, щоб після розв’язування вправ на віднімання двох
натуральних чисел учні усвідомили таке: дія віднімання неможлива в
множині натуральних чисел, якщо зменшуване менше, ніж від’ємник.
Якщо зменшуване більше за від’ємник або дорівнює йому, то різниця
завжди існує і дорівнює певному натуральному числу в першому ви-
падку і нулю — в другому.
Повторення дії віднімання доцільно завершити повторенням типів
задач, які розв’язують за допомогою цієї дії.
Множення. Вже з початкової школи учні знають, що множенням
натуральних чисел називають додавання однакових доданків. На ета-
пі повторення важливо, щоб учні після розв’язування певної кількості
прикладів змогли виконати узагальнення і сформулювати означення
для двох чисел а і Ь у вигляді: помножити число а на число Ь озна-
чає знайти суму Ь доданків, кожний з яких дорівнює а. Доцільно
звернути увагу учнів на те, що це означення поширюється лише у
випадку натурального числа Ь, відмінного від 1. Для добутку а-і
потрібна спеціальна домовленість (означення), що а. • 1 = а. Така сама
спеціальна домовленість запроваджується для дії а -0 = 0.
У системі вправ потрібно передбачити як прямі завдання (записати
у вигляді добутку суму: 6-і 6 + 6 + 6; ш + т + т + т), так і обернені
(записати у вигляді суми добуток: 125-4; а 7 ).
Для закріплення і кращого усвідомлення означення дії множення
слушними є такі запитання.
1. Чи будь-яке додавання можна замінити множенням? (Ні. Якщо
не всі доданки однакові, зробити це не можна.)
2. Чи будь-яке множення можна замінити додаванням? (Ні. Лише
таке, коли множник відмінний від одиниці і нуля.)
Множення одиниці на натуральне число а (і - а - а) і нуля на чис-
ло а(0‘а - 0) обґрунтовують, виходячи з означення дії множення.
157
Під час розв’язування вправ на множення багатоцифрових нату-
ральних чисел стовпчиком цікавими для учнів можуть виявитись такі
питання стосовно певного прикладу:
х327
35
1635
981
11445.
1) Чому в цьому прикладі при множенні на 3 записали добуток
981, змістивши всі цифри на один розряд ліворуч? (Очікувана відпо-
відь: оскільки множення виконувалось на 3 десятки, а при зміщенні
цифри на одне місце ліворуч її значення збільшується в 10 разів.)
2) Чи правильно ми зробили, помноживши число 327 спочатку на
5 одиниць, а потім — на З десятки і лише потім виконавши додавання
отриманих добутків? Який закон множення ми застосували? (Очіку-
вана відповідь: ми скористалися розподільним законом множення
щодо додавання, уявивши число 35 у вигляді суми розрядних до-
данків.)
Слід приділити увагу запобіганню помилкам, яких деякі учні при-
пускаються під час множення па числа, що закінчуються нулями або
містять нулі всередині .
Шкільна практика свідчить, що в учнів не виникає особливих тру-
днощів стосовно питання про зміну добутку в разі збільшення (змен-
шення) одного або двох компонентів у кілька разів. Учні самостійно
обґрунтовують відповідні висновки для конкретних прикладів. Відо-
мо, що одночасне збільшення одного множника в кілька разів і змен-
шення другого в стільки само разів ефективно використовується для ус-
ного скороченого множення на 5, 25, 125. Наприклад, добуток 24-25
можна усно обчислити двома способами:
і. Запишемо добуток 24-100, Його легко обчислити. Це число 2400,
яке в чотири рази більше за шуканий добуток. Поділивши його усно
на 4, дістанемо 600.
2. (24: 4) (25-4).
Перевіряють дію множення множенням з перестановкою множни-
ків або за допомогою калькулятора.
Основні закони множення, як і додавання, потрібно повторювати,
ілюструючи їх застосування для раціоналізації обчислень. Наприклад,
переставний закон дає змогу швидше обчислити добуток 25 - 639 4, як-
що переставити співмножники. Переставляючи третій множник з дру-
гим, можна обчислити усно добуток
25-639-4 = 25-4-639 = 100-639 = 63 900.
158
Розподільний закон також часто використовують для раціоналіза-
ції обчислень. Наприклад,
33 • 125 = (32 +1) -125 = 32 -125+ 125 =
= 32(100 + 25) + 125 = 4000 + 125 = 4125.
Ділення. Дію ділення означають аналогічно дії віднімання як
дію, обернену множенню: поділити число а на число Ь означає знай-
ти таке число х, при множенні якого на. число Ь дістанемо число а.
Це означення потрібно закріпити усними вправами на зразок: пояс-
ніть, що означає поділити число 96 на 32. В результаті міркувань за
означенням учні складають рівність х - 32 = 96.
Відразу можна обґрунтувати рівність 0 : а = 0. Вона випливає з
рівності 0-л = 0. «Заборона» ділення на нуль приймається за озна-
ченням. Проте доцільність такої заборони можна пояснити відповід-
ною рівністю, записаною на основі означення дії ділення. Справді,
припустимо, що ми хочемо число 8 поділити на 0. Цс означає: потріб-
но знайти таке число х, що х • 0 = 8. Однак ця рівність не виконуєть-
ся за жодного значення х, оскільки за будь-якого х добуток х • 0 до-
рівнює 0 (це також приймається за означенням під час введення дії
множення).
З погляду ідеї дальшого розширення поняття числа слід звернути
увагу на виконувапість дії ділення у множині натуральних чисел. Во-
на не завжди можлива, як і дія віднімання. Наприклад, число 7 не
ділиться без остачі на число 2, оскільки немає такого натурального
числа х, за якого виконувалась би рівність х -2 = 7.
З усіх чотирьох арифметичних дій найбільша кількість помилок,
яких припускаються учні, припадає на дію ділення. Правило і сама
дія ділення на натуральне число найгірше сприймаються у випадках,
коли між цифрами частки є нулі. Наприклад, у результаті ділення
105 105 на 35 дістають 33 замість 3003. У посібнику [112] подано ре-
комендації щодо уникнення таких помилок: потрібно навчити учнів
ще до виконання ділення визначати кількість цифр у частці.
Наприклад, нехай потрібно поділити 14 035 на 7. Найвищий роз-
ряд діленого — десятки тисяч. Якщо відокремити в діленому одну
цифру 1, го один десяток тисяч на 7 не ділиться, тому десятків тисяч
у частці не буде. Частка почнеться з одиниць тисяч, тобто буде чоти-
рицифровим числом.
Аналогічно можна міркувати, підраховуючи кількість цифр у частці
при діленні на двоцифрове число. Наприклад, при діленні 65 025 864 на
18 відокремлюємо в діленому перші дві цифри 65 мільйонів. Число 18
міститься в 65 три рази з остачею. Отже, найвищим розрядом у частці
будуть одиниці мільйона, тобто частка буде семицифровою.
Можна ознайомити учнів із загальним прийомом визначення кіль-
кості цифр у частці: відокремивши в діленому стільки цифр, скільки
159
їх у дільнику, підраховуємо, скільки цифр залишилось в діленому.
Шукана частка міститиме стільки само цифр або на одну більше. Об
ґрунтувати це можна так: якщо відокремлене спочатку число ділиться
(з остачею або без остачі) на дільник, то в частці дістанемо одну пер-
шу цифру, а якщо не ділиться, то не дістанемо такої цифри. При
«знесенні» кожного наступного розряду діленого дістанемо в частці
по одній цифрі.
Слід наголосити, що під час ділення потрібно щоразу «зносити»
по одній цифрі і виконувати ділення отриманого числа так, щоб оста-
ча була завжди меншою від дільника. Недотримання останньої вимо-
ги може призвести до грубих помилок на зразок такої:
_48 | 8
40 ["бГ
_ 8
8
0
Завершити систематизацію відомостей про дію ділення доцільне
повторенням типів простих задач, які нею розв’язуються. Основні ;
них: 1) відшукування невідомого множника за відомим добутком і
другим множником; 2) задачі на кратне порівняння (у скільки разів
одне число (величина) більше (менше) ніж друге); 3) ділення на час-
тини (наприклад, 15 см : 3 = 5 см); 4) ділення на вміщення (напри-
клад, 45 см : 3 см = 15) — з’ясування, скільки разів одна однорідна
величина вміщується в другій.
З метою підготовки до вивчення десяткових дробів важливо звер-
нути увагу учнів на залежність результату дії ділення від зміни діле-
ного і дільника, зокрема сформулювати основну властивість частки.
Розв’язуючи комбіновані вправи на всі дії з натуральними числа-
ми, важливо повторити порядок дій при обчислення виразів. З почат-
кової школи учні мають знати: 1) якщо у виразі позначені лише дії
І ступеня (додавання та віднімання), то їх виконують зліва направо
в тому порядку, в якому вони записані; 2) якщо у виразі позначені
лише дії II ступеня (множення та ділення), то їх також слід вико-
нувати зліва направо в порядку слідування у виразі; 3) якщо у ви-
разі є дії І і II ступенів, але відсутні дужки, то спочатку потрібно
виконувати дії другого ступеня, а потім — першого в порядку їх слі-
дування; 4) якщо вираз має дужки, то спочатку виконують дії в дуж-
ках. У зв’язку з повторенням порядку використання дужок потрібне
зробити такі уточнення: у виразі (5-6): 10 = 3 дужки зайві, проте у
виразі 90 : (3 5) = 6 вони необхідні.
Подільність натуральних чисел. За чинною програмою цю тему
передбачено вивчати в 6 класі безпосередньо перед її застосуванням
КІО
під час вивчення звичайних дробів. Це новий за змістом навчальний
матеріал, оскільки містить деякі невідомі раніше учням поняття, бага-
то з яких означають.
Першими вводять поняття «дільник числа» і «кратне числу». Слід
мати на увазі, що термін «дільник» учні вже знають із початкової
школи і він позначав компонент дії ділення. Потрібно наголосити, що
терміни «дільник» і «дільник числа» мають зовсім різний зміст, вони
позначають різні поняття.
Поняття «дільник числа» і «кратне числу» учні найкраще засвою-
ють, розв’язуючи вправи. Потрібно вимагати від них уміння чітко
формулювати відповідні означення. Слід звернути увагу на те, що
будь-яке натуральне число має скінченну кількість дільників, з яких
є найбільший і найменший, і нескінченну кількість кратних, серед
яких є найменше і немає найбільшого.
Запроваджуючи поняття «просте число», «складене число», потріб-
но звертати увагу на те, щоб учні правильно формулювали означення
і в разі наявності помилки у сформульованому означення відразу на-
водили контрприклад. Практика свідчить, що в означенні простого
числа деякі учні забувають слово «лише» і формулюють означення
так: натуральне число називають простим, якщо воно має два різних
дільники. Контрприклад: число 6 має два різних дільники 2 і 3, але
не є простим. Під час введення понять «просте число», «складене чи-
сло» зручно, щоб учні попередньо склали таблицю (табл. 10.4) і,
аналізуючи її, помітили, що є числа, які мають лише два різні діль-
ники, а є й такі, в яких дільників більше ніж два.
Таблиця 10.4. Прості та складені числа
Число 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Дільник числа 1 і; 2 і; з 1; 2; 4 і; 5 1; 2; 3; 6 і; 7 1; 2; 4; 8 1; 3; 9 1; 2; 5; 10 1; 11 1; 2; 3; 4; 6; 12
У зв’язку з вивченням питання «Таблиця простих чисел» є нагода
розповісти учням цікаві факти з історії розвитку теорії чисел, згадати
про видатних математиків, які зробили відкриття в цій галузі.
Відомо, що ознаки подільності виражають необхідні й достатні
умови. Тому природно було б під час їх формулювання вживати сло-
восполучення «ті і тільки ті», або «тоді і тільки тоді», або «необхідно
і достатньо». Проте з дидактичних міркувань доцільно ці ознаки
сформулювати так, як це зроблено в підручнику [267], де відповідні
твердження вказують на те, які числа діляться на певне число і які не
діляться на це число.
Доцільно повідомити учням, що кожне складене число можна роз-
класти на прості множники. Цей факт і ознаки подільності чітко до-
водяться в теорії чисел.
6 Слзпкань 3. І.
161
Під час вивчення матеріалу, що стосується найбільшого спільного
дільника і найменшого спільного кратного двох або кількох натураль-
них чисел, важливо домогтися від учнів чіткого усвідомлення них
понять, уміння формулювати відповідні означення, сформувати умін-
ня знаходити їх, розкладаючи числа на прості множники. При цьому
потрібно контролювати чіткість оформлення відповідних математич-
них записів.
10.2. Звичайні дроби
Ідея розширення поняття числа послідовно розвивається в шкіль-
ному курсі математики. Проте послідовність уведення нових чисел не
збігається з логічною схемою
N с / с г с С.
У школі прийнято «історичну» схему розвитку числа
У с с 0* с О с К сС,
в якій додатні дробові числа запроваджують відразу після вивчення
розширеної нулем множини натуральних чисел.
У 60-х роках XX ст. науковці Академії педагогічних наук колиш-
нього СРСР проводили експериментальні дослідження щодо можли-
вості вивчення від’ємних чисел раніше, ніж дробових, а десяткових
дробів раніше, ніж звичайних. Ідея вивчення десяткових дробів рані-
ше, ніж звичайних, виникла ще у XVIII ст. За підручником «Ариф-
метика» В. Я. Буняковського (1844 р.) десяткові дроби вивчалися
раніше, ніж звичайні. Доцільність такої послідовності пояснювалась
переважно тим, що десяткові дроби частіше використовують на прак-
тиці, дії над ними простіші, ніж над звичайними, і фактично зводять-
ся до виконання дій над натуральними числами.
Проте в традиційному шкільному курсі до 60-х років XX ст. Десят-
кові дроби вивчали після звичайних. Обґрунтовувалось це тим, що
учням молодших класів складно уявити десяту, соту, тисячну і т. д.
частини одиниці без попереднього уявлення про такі частини, як по-
ловина, третина і т. д. Уведення десяткового дробу раніше, ніж зви-
чайного, дає формальне уявлення про десяіковий дріб і учні вважа-
2
ють, що звичайніш дріб — і десятковий 0,4 — різні числа. Усклад-
нюється також сприймання учнями розв’язування задач про знахо-
дження дробу числа і числа за його дробом.
За чинною програмою звичайні дроби в школі вивчають у три етапи.
На першому, пропедевтичному, етапі в 4 класі початкової школи
учнів ознайомлюють з поняттями «дріб», «чисельник», «знаменник»,
162
навчають порівнювати найпростіші дроби, знаходити дріб числа і чис-
ло за його дробом двома діями.
На другому етапі в 5 класі перед вивченням десяткових дробів пе-
редбачено розширення відомостей про звичайні дроби. Тут повторю-
ють відомості з 4 класу і, крім того, вводять нові поняття — «правиль-
ним і неправильний дріб», «ціла і дробова частина числа». Учні
вчаться виділяти цілу частину дробового числа і розв’язувати оберне-
ну задачу, порівнюють дроби з однаковими знаменниками, додають і
віднімають такі дроби.
Основна мета вивчення звичайних дробів у 5 класі полягає в озна-
йомленні учнів з початковими відомостями про них в обсязі, достат-
ньому для вивчення десяткових дробів.
Вимоги до знань і умінь на цьому етапі навчання такі:
розуміти суть звичайного дробу, чисельника і знаменника, правиль-
ного і неправильного дробу, цілої та дробової частини числа;
знати правила порівняння, додавання та віднімання звичайних
дробів з однаковими знаменниками;
читати і записувати дробові числа; порівнювати, додавати і відні-
мати звичайні дроби з однаковими знаменниками;
розв’язувати текстові задачі, пов’язані зі звичайними дробами,
арифметичними способами.
На третьому етапі в 6 класі триває вивчення звичайних дробів. Тут
розглядають основну властивість дробу, скорочення, порівняння, до-
давання і віднімання дробів з різними знаменниками, множення та
ділення звичайних дробів.
Основною метою вивчення звичайних дробів у 6 класі е форму-
вання стійких навичок перетворення дробів і виконання чотирьох
арифметичних дій над ними.
Вимоги до знань і умінь на третьому етапі такі:
знати основну властивість дробу та застосовувати її до скорочення
дробів і зведення дробів до найменшого спільного знаменника;
знати правила додавання і віднімання дробів з різними знаменни-
ками, множення та ділення дробів;
уміти виконувати чотири арифметичні дії над довільними звичай-
ними дробами;
розв’язувати арифметичними способами текстові задачі, в яких ви-
користано звичайні дроби.
Уведення поняття звичайного дробу. Перетворення дробів. Учи-
тель має розуміти принципову відмінність між поняттями «дріб» і
«дробове число». Про зміст цих понять, зв’язок і відмінність між ни-
ми йдеться в статті А. М. Колмогорова з циклу статей про теоретичні
основи шкільного курсу математики [155]. Звичайний дріб (так само
десятковий дріб, проценти) — не лише форма, символ для запису як
дробового, так і цілого числа. Наприклад, дробове число можна
163
записати не тільки у формі звичайного дробу, а й за допомогою десят-
кового дробу (0,5) або процентів (50 %). Будь-яке ціле число також
можна записати у кількох формах. Наприклад, число 2 можна запи-
сати у вигляді звичайного дробу десяткового дробу (2,0
або 1,99) чи за допомогою процентів (200 %). Для учнів 5 — 6 класів з
дидактичних міркувань для скорочення математичної мови терміни
«дробове число» і «дріб» часто вживаються як синоніми, і в цьому
немає великої біди. Водночас потрібно поступово привчати учнів до
розуміння поняття «дріб» як форми запису числа (пізніше — алгеб-
раїчного виразу).
У 4 класі та в курсі матемагики 5—6 класів дріб трактують спочат-
ку як частину цілого (яблука, круга, відрізка тощо), а пізніше — як
частку від ділення двох натуральних чисел. Під час формування по-
няття звичайного дробу, порівняння дробів з однаковими знаменни-
ками потрібно широко використовувати наочність і практичні вправи
на розбивання відрізків, круга, прямокутників та інших об’єктів на
рівні частини і позначення за допомогою дробу різних частин цілого,
а також пов’язувати вивчення цього матеріалу з метричною системою
мір (довжина, площа, об’єм, грошові одиниці, час тощо) і вимірю-
ванням різних величин, що показує учням походження дробів з прак-
тичної діяльності людей.
Важливо розглянути зображення дробів на координатному промені
та розв’язування оберненої задачі. На координатному промені легко
пояснити основну властивість дробу і порівняння дробів (рис. 10.1).
2 З
Рис. 10.1
У зв’язку зі скороченням дробів можна запропонувати рис. 10.2,
який не тільки переконає учнів в існуванні різних записів того самого
Рис. 10.2
числа, а й дасть змогу усвідомити відмін-
ність між поняттями «дріб» і «дробове
число».
Деякі учні припускаються помилок під
час перетворення дробових чисел на не-
правильний дріб. Щоб уникнути таких
4
164
помилок, доцільно не тільки сформулювати правило, а й записати
його символічно. Наприклад,
.-2 = 7-5 + 2 = 37
7 7 7 '
У разі зведення дробів до спільного знаменника крім зразка фор-
ми запису, який наведено в підручнику [267], можна запропонувати
учням інший, який краще відтворює суть перетворення і звільняє від
умовного запису додаткових множників малими цифрами за допомо-
гою дужок.
Приклад 10.1. Звести дроби і до найменшого спільного знаменника.
Розв’язування. 36 - 2 - 2 - 3 • 3; 48 = 2 2 2 2 - 3; НСЗ (36; 48) = 48•3 = 144;
додаткові множники: першого дробу — 144 : 36 = 4; другого — 144.48 = 3.
5 54 _ 20 . 7 __ 7-3 _ 21
36 36-4 144’ 48 48-3 144’
Дії над звичайними дробами. Введення дробових чисел є важли-
вим етапом у процесі розширення поняття числа. На кожному етапі
розширення виникає потреба навчитися порівнювати нові числа і ви-
конувати чотири арифметичні дії над ними. При цьому слід домови-
тися, що розуміти під сумою, різницею, добутком і часткою нових
чисел.
Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками не
спричинює труднощів в учнів. Після розв’язування попередніх при-
кладів доцільно звернути увагу учнів на те, що додавання (відніман-
ня) таких дробів полягає в підрахунку суми (різниці) однакових час-
тин цілого. У цьому розумінні зазначені дії мало чим відрізняються
від відповідних дій над натуральними числами. На початковому етапі
розв’язування вправ можна скористатися такими формами запису:
2 . 1 _ 2 + 1 _ 3. 7 2 _ 7 2 ___ 5
5 5 5 5’ 9 9 9 9‘
На завершальному етапі слід виконати узагальнення і зробити записи
а , Ь а + с. а с а — с „ г . л
5- + — = —,— -г — -г = —,—, а>с або а = с, отМ).
ос Ь Ь Ь Ь
Для деяких учнів трохи важчими виявляються вправи на додаван-
ня і віднімання дробових чисел, які містять цілу і дробову частини з
однаковими знаменниками. Для таких учнів потрібно збільшити кіль-
кість вправ у системі диференційованого навчання.
Свідомість і стійкість навичок виконання додавання і віднімання
дробів з різними знаменниками значною мірою залежать від сформо-
ваності вміння зводити дроби до спільного знаменника, знаходити
найменше спільне кратне знаменників. Тому насамперед слід з’ясува-
165
ти стан цих умінь у різних категоріях учнів і повторити відповідний
матеріал.
Для уникнення помилок не слід поспішати переходити до коротко-
го запису. Доцільно на першому етапі розв’язування вправ вимагати
докладних пояснень і розгорнутих записів на зразок
"7 . ~2 -5 _ 28 . 12 25 _ 28 + 12 + 25 65 . ,5 .1.
15 10 12 60 60 60 60 60 60 12’
г5 33 _ 10 9_10-9_1.
6 4 12 12 12 12’
2і+81=(2+8)+(іг+т]=
= 10+4 + 9 = 10 + 1| = 10 + 1±=11±.
На етапі скорочення записів слід періодично вимагати від учнів
пояснення виконаних проміжних обчислень.
Розв’язування системи вправ мас завершуватися складнішими при-
кладами віднімання дробових чисел, коли дробова частина від’ємника
більша від дробової частини зменшуваного. Такі вправи потрібно по-
чинати з віднімання правильного дробу від одиниці, від цілого числа,
потім — віднімання дробового числа, яке містить цілу і дробову час-
тини, від цілого числа, і нарешті, найскладніший для учнів випадок —
дробова частина від’ємника більша за дробову частину зменшуваного.
В цьому разі для перших прикладів потрібно дотримуватись доклад-
ного запису на зразок
я3 ч9 й9 оІО 721 -»10 „11
84_3І2-8І2^312=7І2-3І2-4Ї2'
Останнє зауваження. Чинна програма і шкільний підручник не пе-
редбачають розв’язування громіздких вправ з великими чисельниками
і знаменниками. Це цілком виправдано, якщо враховувати можливість
використання обчислювальної техніки. Доцільніше приділити більше
уваги розв'язуванню текстових задач практичного змісту.
Множення і ділення дробів. У методиці навчання математики і
в шкільній практиці існують два підходи щодо введення дії множення
на дріб. У традиційному шкільному курсі арифметики обґрунтування
доцільності введення саме такого правила множення на дріб пов’язу-
валось із задачею знаходження дробу від числа (помножити яке-
побудь число на дріб означає знайти цей дріб від множеного), а ділення
на дріб тлумачилось як знаходження числа за його дробом. За таким
методичним варіантом запровадження, наприклад, правила множення
на дріб потребувало чималого навчального часу, оскільки спочатку
166
слід повторити розв’язування задач на знаходження дробу числа дво-
ма діями, як це виконувалось у початковій школі. Потім послідовно
розглядались задачі множення натурального числа на дріб, які зводи-
лися до знаходження дробу числа. Після цього переходили до задачі
множення дробу і дробового числа, що містить цілу частину, на дріб.
Зміст множення дробу на натуральне число тут маємо розуміти як
суму однакових доданків, кожний з яких дорівнює цьому дробу, а
множення цілого числа на дріб доводилося розуміти як знаходження
дробу від числа.
За чинною програмою і нинішніми підручниками прийнято інший
методичний підхід до введення дії множення на дріб. Він потребує
значно менше навчального часу і має такі особливості.
1. Виклад починають із введення загального правила множення
дробу на дріб, а множення дробу на натуральне число і натурального
числа на дріб розглядають як окремі випадки, якщо натуральне число
подати у вигляді дробу зі знаменником 1. Дія ділення на дріб зво-
диться до множення на обернений дріб.
2. Обґрунтування доцільності прийняття саме такого правила мно-
ження на дріб здійснюється за допомогою розгляду відомої учням задачі
про площу прямокутника. Опора на цю задачу допомагає обґрунтуван-
ню, оскільки однакові за математичним змістом задачі мають розв’язу-
ватися тією самою дією незалежно від їхніх числових даних.
3. Задачі про знаходження дробу числа і числа за його дробом
вводяться пізніше, ніж задачі на застосування дій множення та ділен-
ня на дріб.
Під час пояснення дії множення дробів зручно використати модель
картонного квадрата (рис. 10.3), розділеного на прямокутники, на
якому зверху закріплено квадрат, складений із різних рухомих пря-
мокутників, що можуть відкривати чи закривати різні частини квад-
рата. На цій моделі учні усно визначають площі різних прямокутни-
ків, довжини сторін яких виражені різними правильними дробами, і,
порівнюючи результати, самостійно роблять висновок щодо правила
множення звичайних дробів.
Під час розв’язування задачі про площу прямокутника можна вве-
сти правило множення звичайних дробів, розв’язавши задачу для ви-
падку, коли довжини сторін ви-
ражаються десятковими дробами,
перетворивши ПОТІМ СПІВМНОЖНИКИ І з
добуток на звичайні дроби. Проте
перший підхід з дидактичних мір-
кувань зручніший, оскільки учні
практично підраховують кількість
прямокутників, на які розбиваєть-
ся квадрат, і знаходять частку пло-
щі квадрата. Рис. 10.3
167
Зазначимо психологічні труднощі, які пов’язані з дією множення
дробів.
Перша полягає в тому, що учнів потрібно переконати в непридат-
ності старого означення дії множення на натуральне число для мно-
ження на звичайний дріб. Справді, не можна повторити співмножник
2
доданком, наприклад — раза. В цьому випадку може йтися не про
означення, а лише про встановлення правила множення звичайних
дробів.
Друга трудність пов’язана з тим, іцо в результаті множення на
будь-яке натуральне число, відмінне від 1, завжди отримували добу-
ток, більший за будь-який із співмножників. У випадку множення на
правильний дріб добуток завжди менший за будь-який із співмнож-
ників. Проте це не повинно бути несподіваним для учнів, оскільки
під час множення на десятковий дріб такі випадки вже траплялися.
На конкретних прикладах потрібно переконати учнів у тому, що за-
кони множення натуральних чисел поширюються і на звичайні дроби.
У зв’язку із множенням дробових чисел з цілою частиною числа на
ціле можна не обмежуватися перетворенням числа на звичайний дріб,
а показати можливість використання розподільного закону для вико-
нання дії. Наприклад,
12^-5 = (12 + ^)5 = 12.5 + ^-5 = 60 + ^ = 60і5.
Розв’язуючи вправи на всі дії зі звичайними дробами, не слід за-
хоплюватись обчисленням громіздких виразів, які містять дроби з
великими чисельниками і знаменниками.
10.3. Десяткові дроби і проценти
Чинна програма передбачає всі основні відомості про десяткові
дроби і проценти вивчати в 5 класі. Дещо по-різному розподілено ви-
вчення процентів в паралельних шкільних підручниках. У підручнику
[221 ] поняття про проценти й основні задачі на проценти дано в
5 класі, а в підручниках [266; 267] вивчення цієї теми відбувається в
два етапи. У 5 класі вводиться лише поняття про проценти, а розв’я-
зування основних задач на проценти передбачено в 6 класі. У тради-
ційному шкільному курсі математики 60-х років XX ст. десяткові дроби і
проценти були останніми темами курсу арифметики і вивчались у 6 (ни-
ні 7) класі. Досвід вивчення в школі цих тем упродовж останніх трьох
десятиріч свідчить, що учні 5 класу сприймають десяткові дроби, але
із задачами на проценти становище значно гірше. Учні 5 класу зі знач-
ними труднощами сприймають основні задачі на проценти, певна час-
тина випускників середньої школи не вміє виконувати розрахунки з
168
процентами. Чимало вступників до вищих навчальних закладів вияв-
ляються безпорадними під час розв’язування задач, пов’язаних із
процентами, і припускаються помилок навіть у найпростіших задачах.
Однією з причин такого становища є невдале місце процентів у програ-
мі. Досвід показує, що їх доцільніше вивчати пізніше, зокрема в 6 класі,
а складніші задачі на проценти зробити предметом вивчення в курсі ал-
гебри. Це більш актуально в наш час, коли виробництво в умовах рин-
кової економіки потребує вільного і свідомого оперування процентни-
ми обчисленнями. Тому новою програмою передбачено саме таке ви-
вчення процентів у шкільному курсі.
Основною метою вивчення десяткових дробів у 5 класі є форму-
вання вміння читати, записувати, порівнювати й округлювати десят-
кові дроби, виконувати чотири арифметичні дії над ними. Вимоги до
знань і умінь такі:
розуміти смисл десяткового дробу як форми запису числа, мати чіт-
ке уявлення про його розряди, десяткові знаки, знати правила порів-
няння, округлення та виконання чотирьох арифметичних дій;
уміти читати, записувати, порівнювати, округлювати десяткові
дроби і виконувати чотири арифметичні дії над ними.
Основна мета вивчення процентів — ввести поняття про проценти
як форму запису числа. Навчити учнів розв’язувати три основні зада-
чі на проценти (зокрема, пов’язані з продуктивністю праці, ринковою
економікою). Вимоги до знань і умінь:
розуміти проценти як форму запису цілих і дробових чисел;
уміти записувати проценти у вигляді звичайного та десяткового
дробів і подавати будь-яке число у вигляді процентів;
уміти знаходити: проценти від числа, число за його процентами і
процентне відношення чисел;
уміти застосовувати знання про проценти до розв’язування най-
простіших міжпредметних, виробничих і економічних задач.
Уведення поняття десяткового дробу. В навчальній і методичній
літературі відомі два підходи до тлумачення і введення десяткового
дробу. В традиційному курсі арифметики десятковий дріб пояснюва-
ли як окремий випадок звичайного дробу, а всю теорію десяткових
дробів виводили з відповідної теорії звичайних дробів. Другий підхід
до запровадження десяткових дробів, реалізований, зокрема, у [266],
не використовує тлумачення десяткового дробу як окремого випадку
звичайного, а ґрунтується на позиційному принципі десяткової нуме-
рації та ідеї поширення вправо від одиниці основної властивості роз-
рядних одиниць десяткової системи числення (одиниця кожного роз-
ряду в десять разів менша за одиницю розряду, що міститься ліворуч,
і в десять разів більша за одиницю розряду, що міститься праворуч).
Другий підхід передбачає перед розглядом десяткових дробів про-
ведення уроку на повторення десяткової системи числення та метрич-
ної системи мір. При цьому слід наголосити на основній властивості
169
розрядних одиниць десяткової системи саме в формі, наведеній вище,
і звернути увагу на аналогічне співвідношення між одиницями метрич-
ної системи мір. Зокрема,
ІДМ = -М; 1см = —м:
Щоб мотивувати потребу вивчення десяткових дробів, можна ви-
користати інформацію з газет чи з іншої періодичної преси, в яких
виконання певних планів або порівняння випуску продукції подано за
допомогою десяткових дробів. Змісту такого символічного запису кіль-
кісної інформації учні ще не знають.
Пояснення вчителя під час введення десяткових дробів може бути
таким. Невідома учням до цього часу форма запису чисел, наприклад
98,7; 103,6; 8,67, дістала назву «десяткові дроби». Утворення десят-
кових дробів відбувається за тим самим позиційним принципом десят-
кової системи числення, що і натуральних чисел. Відомо, що одиниця
кожного розряду в натуральному числі крім розряду одиниць містить
десять одиниць розряду, шо розміщуються праворуч. Інакше кажучи,
одиниця кожного такого розряду в десять разів більша за одиницю
розряду, шо міститься праворуч, і в десять разів менша за одиницю
розряду ліворуч, тобто становить десяту його частину. Виникає запи-
тання, чи не можна поширити цю властивість одиниць розрядів далі,
праворуч від розряду одиниць? Чи потрібні розряди, які розміщувалися
б праворуч від розряду одиниць? Виявляється, що на практиці вони по-
трібні. Пояснимо це на такому прикладі.
Нехай довжину металевої планки вимірювали лінійкою з міліметро-
вими поділками і в результаті вимірювання дістали 1 м 8 дм 5 см 2 мм.
Цей розмір потрібно виразити в метрах і записати одним числом.
1 1 1
Оскільки 1 дм = — м; 1 см = м; 1 мм = — м,
8 5 2
то ! „ 8 дм 5см 2 мм = 1 м + - м м + — м.
Останню суму записують одним числом за допомогою коми: 1,852 м.
Читають його так: одна ціла 852 тисячних метра. Отже, 1 м 8 дм 5 см
2 мм = 1,852 м.
Запис 1,852 є десятковим дробом.
Розмір планки можна виразити в метрах і за допомогою звичайно-
го дробу. Справді, оскільки 1 мм = м, У 5 см міститься 50 мм, у
852
8 дм — 800 мм, то 8 дм 5 см 2 мм = — м. Тому 1 м 8 дм 5 см 2 мм =
1000
- і 852
1000
Отже, 1^у« = 1,852 м.
170
Порівнюючи отриманий десятковий дріб і записану вище суму в
частинах метра, помічаємо, що ліворуч від коми міститься натуральне
число 1, яке визначає кількість цілих метрів. Праворуч від коми пер-
ша цифра 8 показує кількість десятих частин метра, друга цифра 5 —
кількість сотих і третя цифра 2 — кількість тисячних частин метра.
Тому перший розряд після коми називають «розряд десятих», другий —
«розряд сотих», третій — «розряд тисячних». Одиниця кожного з
цих розрядів має ту саму властивість, що й одиниці розрядів у нату-
ральному числі.
Отже, десяткові дроби записують за тим самим позиційним прин-
ципом десяткової нумерації, що й натуральні числа.
За допомогою десяткового дробу можна записувати дробові числа.
В цьому разі ліворуч від коми міс (йтимуться цифри цілої частини числа,
а праворуч — дробової частини. Цифри дробової частини називають де-
сятковими знаками. Число 1,852 містить три десяткових знаки: 8, 5 і 2.
Після нього учням пропонують записати значення величин за до-
помогою звичайного дробу, потім — десяткового і заповнити таку таб-
лицю (табл. 10.5).
Таблиця 10.5. Запис дробового числа у вигляді десяткового дробу
Значення величини Цілі одиниці Частини одиниць
Тисячі і Сотні Десятки Одиниці Десяті Соті Тисячні Десятковий дріб
1 м 8 дм 5 см 2 мм 1 8 5 2 1,852 м
9 м 8 дм 9 8 9,8 м
25 м 4 см 2 5 0 4 25,04 м
95 м 3 мм 9 5 0 0 3 95,003 м
15 кг 85 г 1 5 0 8 5 15,085 кг
Розв’язування вправ на записування десяткових дробів потрібно
завершити правилом, яке дає учням вказівки щодо записування десят-
кових дробів. Шкільна практика доводить, що частина учнів припус-
кається помилок не тільки під час записування десяткових дробів, а й
при їх читанні. Експериментальна перевірка показала, що кількість
таких помилок зменшується, якщо учням після розгляду кількох при-
кладів дати таке правило-орієнтир читання десяткових дробів.
Для того щоб прочитати десятковий дріб, потрібно:
1) прочитати цілу частину дробу як натуральне число і додати
слово «цілих»;
2) прочитані дробову частину як натуральне число, не звертаючи
уваги на нулі на початку дробової частини, і додати назву
останнього розряду дробової частини.
171
Дії над десятковими дробами. Доцільність правила виконання
кожної арифметичної дії над десятковими дробами також найліпше
вводити за допомогою розв’язування задач. Потрібно відразу зверну-
ти увагу учнів на те, що дії над дробовими числами, записаними у
вигляді десяткового дробу, виконують майже так само, як і дії над
натуральними числами, оскільки позиційний принцип десяткової ну-
мерації поширюється і на десяткові дроби. У цьому разі дії над десят-
ковими дробами виконувати простіше, ніж над тими самими дробови-
ми числами, записаними у вигляді звичайних дробів. У цьому учні
зможуть переконатися в 6 класі, коли вивчатимуть дії над звичайними
дробами.
Досвід показує, що виконання дій вад десятковими дробами біль-
шість учнів сприймає без особливих труднощів. Деякі з них припус-
каються помилок при додаванні та відніманні через те, що неправиль-
но підписують доданки. Тому передусім потрібно повторити правила
дій над натуральними числами і звернути увагу учнів на правильне
підписування доданків під час виконання дій І ступеня. Потрібно до-
могтись також, щоб учні, принаймні своїми словами, вміли сформу-
лювати правила дій над десятковими дробами.
Оскільки окремі учні припускаються помилок при додаванні та
відніманні дробів з різною кількістю десяткових знаків, доцільно
виконати кілька вправ з попереднім зрівнюванням кількості десятко-
вих знаків, дописуючи нулі.
Належну увагу слід приділити усному додаванню та відніманню
десяткових дробів, використанню для раціоналізації обчислень пере-
ставного і сполучного законів.
Оскільки дробові числа, зокрема записані у формі десяткового
дробу, нові числа, то для них принципово важливо сформулювати не
тільки правила порівняння, а й означення обернених дій віднімання і
ділення.
Під час віднімання десяткових дробів учні припускаються поми-
лок, коли віднімають від одиниці, десяткового дробу і від цілого чис-
ла. Важливо домогтись усного виконання дій у прикладах: 1 - 0,7;
1 - 0,39; 1 - 0,432; у нескладних прикладах вигляду: 5 - 0,42;
9 — 2,76, а також у прикладах на доповнення десяткового дробу до
найближчого цілого числа.
Доцільність правила множення десяткових дробів зазвичай пояс-
нюється в підручниках за допомогою розв’язування тієї самої задачі
про площу прямокутника, що і в разі множення звичайних дробів
(див. п. 5 підручника [406]). Однак недоцільно обмежуватися лише
заміною десяткових дробів натуральними числами на основі залежно-
сті між одиницями метричної системи мір, виконанням множення на-
туральних чисел і оберненого перетворення здобутого результату на
десятковий дріб. З дидактичних міркувань слід підвести учнів до са-
мостійного формулювання правила множення десяткових дробів.
172
Це не призведе до труднощів, якщо обчислити площу прямокутни-
ка для двох пар значень довжин сторін і проаналізувати результати:
1) 4,2 см і 3,8 см. Обчислити добуток 4,2 см х 3.8 см; 4,2 см = 42 мм;
3.8 см = 38 мм; 42 х 38 — 1596 мм2.
ОСКІЛЬКИ 1 СМ2 = 100 ММ2, ТО 1 ММ2 = см2.
Площа дорівнює: 1596 мм2 = см2 ~ 15-^- см2 = 15,96 см2.
Отже, 4,2-3,8 = 15,96.
2) 2,53 дм і 5,2 дм. Обчислити добуток 2,53 дм-5,2 дм; 2,53 дм =
= 253 мм; 5,2 дм = 520 мм; 253-520 = 13 160 (мм2).
Оскільки 1 дм2 = 10000 мм2, то 1 мм2 = дм2.
Площа дорівнює:
2 131560 2 4-і лсг 2
131 560 мм = АГ. АА—дм = 13,156 дм .
10 000
Отже, 2.53-5,2 = 13,156.
Учням пропонують порівняти кількість десяткових знаків кожного
добутку з кількістю десяткових знаків співмножників і зробити ви-
сновок щодо правила множення десяткових дробів.
Щоб запобігти намаганням окремих учнів під час множення десят-
кових дробів підписувати розряд під розрядом за аналогією з дода-
ванням і відніманням, потрібно переконати їх в недоцільності такого
запису.
Деякі учні відчувають труднощі і припускаються помилок у випад-
ку, коли в добутку не вистачає цифр для того, щоб відокремити ко-
мою дробову частину від цілої. Тому в системі вправ слід передбачи-
ти достатню кількість таких прикладів, а від учнів періодично вима-
гати пояснення своїх дій під час розв’язування цих вправ.
Учні мають набути стійких навичок множення десяткового дробу
на 10, 100, 1000 і т. д.
Ділення десяткових дробів природно починати з ділення дробу на
натуральне число. Потрібно приділити належну увагу діленню на 10,
100, 1000 і т. д. У деяких учнів виникають труднощі у випадках, ко-
ли в числі не вистачає цифр для перенесення коми на потрібну кіль-
кість цифр, тому для них слід збільшити кількість саме таких вправ.
Множення та ділення десяткових дробів на 10, 100, 1000 і т. д.
доцільно пов’язати з перетворенням числових значень величин, вира-
жених у різних одиницях виміру. Міркування учнів мають бути та-
кими самими, як і під час розв’язування вправи: записати у квадрат-
них метрах 10,27 га.
173
Міркування мають бути такими: 1га = 10 000 м2, тому в 10.27 га
має бути квадрйТНИХ метрів у Ю 000 разів більше. Отже, потрібно
10,27 збільшити в 10 000 разі*.
10,27 10 000 = 102 700 м2.
Перед вивченням ДІЇ діленая на десятковий дріб потрібно повтори-
ти правило Ділення натуральних чисел і основну властивість частки.
Під час розв’язування перших вправ слід обов’язково вимагати від
учнів усних пояснень виконуваних у процесі ділення операцій.
Розв’язуючи комбіновані Вправи на всі дії з десятковими дробами,
складність яких для більшості учнів не повинна перевищувати наве-
дених у підручнику, потрібно використовувати приклади, в яких мож-
на раціоналізувати обчислення завдяки використанню законів дій.
Доцільно поєднувати письмові обчислення з усними, перевіряючи ре-
зультати на калькуляторі.
Формування обчислювальних навичок відбувається ефективніше,
якщо вчитель застосовує дидактичні ігри, змагання, цікаві задачі, вправи
для розвитку учнів.
Проценти. Три основні задачі На проценти. Процентні розрахунки
виникли ще в давнину у зв’язку 3 пот^юбами комерційних операцій (ви-
значення процентних грошей капіталу або часу, за яким капітал дає пев-
ний прибуток). Пізніше процентами почали послуговуватися, обчислю-
ючи інші змінні величини (зміна населення, родючості землі та іи.).
У XIX ст. проценти вже широцо застосовували у статистиці та в інших
науках, техніці, економіці, хімії, метеорології, сільському господарстві, у
виробництві. Наприклад, за допомогою процентів позначають різні до-
пуски під час виготовлення про/^кції. коефіцієнти корисної дії механіз-
мів, втрати енергії, витрати на експлуатацію, амортизацію, частку вико-
нання завдання, склад хімічних сполук, сумішей, сплавів, частку в су-
спільстві різних категорій населення, вологість повітря, схожість насіння.
Оскільки спочатку проценти використовували у комерційних роз-
рахунках, то й означення процента випливали із цього. Наприклад, у
підручнику Фербера «Арифметика» наводилося таке означення: під
процентом розуміють ту винагОроду, яку видають за користування
грошовою сумою, ПОЗИЧКОЮ, взятою па певний строк.
У сучаснії! навчально-методичній літературі є різні означення про-
цента: 1) процентом називають одну соту частину (тут використовують
аналогію з тим, що ОДІЇу другу називають половиною, одну третю —
третиною, одну четверту — четвертю); 2) процентом називають дріб
із знаменником 100; 3) процентом числа називають одну соту частину
цього числа.
В останньому означенні поняття процента пов’язується з певним
числом. Проте в самій математиці та на практиці доводиться розгля-
дати проценти як частину будь-чого і проценти як форму запису чис-
174
ла. Наприклад, потрібно виразити відношення в процентах, процент
схожості насіння та ін. У цьому розумінні перше означення має пере-
ваги і використовується в чинних підручниках.
Сота частина дістала спеціальну назву «процент» і позначення
= 1 %. Учням буде цікаво дізнатися, що крім сотої частини спеці-
1
альну назву і позначення дістала також частина. її називають
«проміле» (від лат. рготіїїє — на тисячу) і позначають = 1 %о
У проміле часто виражають склад сплавів із дорогоцінних металів.
Наприклад, проба золота 585 %<> означає 0,585, тобто 1 кг сплаву міс-
тить 585 г чистого золота.
Для успішного застосування процентів до розв’язування задач важ-
ливо попередньо сформувати навички перетворення десяткових,
звичайних дробів і цілих чисел на проценти та навпаки. Систему
вправ при ньому слід будувати відповідно до дидактичного принципу
«від простого до складного». Практика свідчить, що починати потріб-
но з десяткових дробів, які мають два десяткових знаки (наприклад,
0,64 = 64 %), потім три і більшу кількість (0,728 = 72,8 %) і наприкін-
ці переходити до вправ з одним десятковим знаком (0,8 = 80 %). Для
того щоб в останньому прикладі уникнути помилок на зразок 0,8 = 8 %,
доцільно у перших вправах спочатку перетворювати десяті частини на
соті: 0,8 = 0,80 = 80 %. Завершити цей набір вправ потрібно прикла-
дами на запис у вигляді процентів десяткових дробів, що мають цілу
частину, і цілих чисел. Слід звернути увагу учнів, які зазнають труд-
нощів у перетворенні цілих чисел, на те, що ціле число можна уявля-
ти як десятковий дріб, який у дробовій частині має безліч нулів. На-
приклад, 2 = 2,0000... - 200 %; 42 = 42,000... = 4200 %.
Усі випадки доцільно узагальнити, запропонувавши таке правило-
орієнтир:
щоб перетворити десятковий дріб на проценти, потрібно перенести
кому на два розряди вправо і після нього поставити знак %.
Значні труднощі для учнів становлять вправи з перетворення про-
центів па дроби, оскільки дія ділення сприймається важче, ніж дія
множення. Зокрема, учні припускаються більше помилок, якщо кіль-
кість процентів виражено дробовим числом. Наприклад, 17,3 % =
= 0,173; 8,2 % = 0,082. Розв’язування такого набору вправ також до-
цільно завершити формулюванням правила.
Оскільки розв’язування задач на процентне відношення ґрунтуєть-
ся на перетворенні звичайних дробів на проценти, слід спочатку сфор-
мувати навички такого перетворення. В цьому разі можна відразу да-
ти учням правило (а потім закріпити його системою вправ)'
щоб перетворити звичайний дріб на проценти, потрібно спочатку
перетворити звичайний дріб на десятковий, а потім десятковий —
175
на проценти. Якщо звичайний дріб не перетворюється на скін-
ченний десятковий, слід виконати округлення з потрібкою точ-
ністю.
Процентні обчислення грунтуються здебільшого на таких найпрос-
тіших задачах на проценти: 1) знаходження процентів даного числа;
2) знаходження числа за даним числом його процентів; 3) знахо-
дження процентного відношення двох чисел.
Кожну з цих задач можна розв’язати кількома способами: 1) зведен-
ням до одиниці; 2) зведенням до дробів; 3) способом пропорцій; 4) за
допомогою рівнянь; 5) за формулою.
Наведемо способи розв’язування трьох згаданігх задач на проценти.
1. Знаходження процентів даного числа.
Задача 10.1. До овочевого магазину завезли 800 кг яблук, причому 62 % з них
першого сорту. Скільки кілограмів яблук першого сорту завезли до магазину?
Розв'язання. І спосіб (зведення до одиниці). Знайдемо спочатку, скільки
кілограмів відповідає одному процентові, тобто соту частину всіх яблук: 800 : 100 =
= 8 кг. Щоб знайти 62 %, потрібно виконати множення:
8 62 = 496 кг.
II спосіб (зведення до дробів). Подамо спочатку проценти у вигляді десят-
кового або звичайного дробу і знайдемо дріб від числа 800 дією множення цього
числа на дріб:
62% = ^ = 0.62: 800 0.62 = 496кг.
ПІ спосіб (спосіб пропорцій).
800 кг становить 100%; — =
х 62
х кг становлять 62 %; х = & =496 кг.
IV спосіб (за допомогою рівнянь). Нехай х кг — кількість яблук першо-
го сорту.
Тоді
^100- = 62; х = 62-8 = 496 кг.
800
V спосіб (за формулою):
де Ь — шукане число; а — дане число; р — кількість процентів, які потрібно
знайти від числа а.
Отже,
х = = 496 кг.
2. Знаходження числа за даним числом його процентів.
Задача 10.2, Для виготовлення вершкового морозива витрачено 35 кг цук-
ру, що становить 14 % всієї маси морозива. Скільки кілограмів морозива виго-
товлено?
176
Розв’язання. І спосіб (зведення до одиниці). Спочатку визначимо, скіль-
ки кілограмів морозива припадає на 1 %:
35:14 = ^ = 2,5 кг.
14
Оскільки вся маса морозива становить 100 %, то
2,5 -100 = 250 кг.
Отже, виготовлено 250 кг морозива.
II спосіб (зведення до дробів). За умовою задачі, 35 кг становлять 14 %,
тобто 0,14 всієї маси морозива. Щоб визначити, скільки кілограмів морозива
виготовлено, потрібно знайти число за відомим ного дробом, тобто виконати
ділення:
35 : 0,14 = 250 кг.
[II спосіб (спосіб пропорцій).
35 кг становлять 14 %;
х кг становлять 100 %; х = = 250 кг.
14
IV с п о с і б (за допомогою рівнянь). Нехай виготовлено х кг морозива. Тоді
1 % морозива становить = 0,0і.г кг, 14 % становлять 0,01 • 14 = 0,14х кг. За
умовою задачі 0,14 х кг дорівнюють 35 кг. Отже, маємо рівняння:
0,14х = 35; х = 35 : 0,14; х = 250 кг.
V спосіб (за формулою):
О = ^оо,
Р
де Ь — число, яке становить р % числа «;
= 35-100 = 250
14
3. Знаходження процентного відношення двох чисел.
Задача 10.3. Учні 6 класу домовилися за два дні зібрати 220 кг макулатури.
Першого дня вони зібрали 88 кг. Який процент завдання виконано упродовж
першого дня?
Розв’язання. І спосіб (зведення до одиниці). На 1 % припадає
220:100 = 2,2 кг.
Тому 88 кг становлять
88 : 2,2 = 40%.
II спосіб (зведення до дробів). Знайдемо відношення даних чисел (дріб) і
запишемо його у процентах:
[II спосіб (спосіб пропорцій).
220 кг становлять 100 %; 220 : 88 = 100 : х\
88 кг становлять х %; х = = 40 °6.
177
IV спосіб (за допомогою рівнянь).
Нехай в перший день завдання виконано на х %. Оскільки 1 % запланованої
220
кількості макулатури становить кг, що за умовою дорівнює 88 кг, то маємо
рівняная 2,2л = 88, х = = 40 %.
V с п о с і б (за допомогою формули). Відомо, іцо р = 100 %, де р кіль-
кість процентів, яку становить дане число а від даного числа Ь. Отже:
88
220
40 %.
Добре, якщо учні можуть розв’язати задачу на проценти (як і будь-
яку іншу) різними способами. Проте ознайомлення учнів з будь-яким
способом залежить від того, чи засвоїли вони потрібні теоретичні відомо-
сті і чи вміють виконувати ті складові операції (дії), які становлять
структуру способу розв’язування. Тому найкращим методичним варіан-
том навчання учнів розв’язування задач на проценти є поступове озна-
йомлення з різними способами розв’язування того самого виду задач у
процесі вивчення шкільного курсу математики. На наш погляд, у підруч-
нику [266] вдало побудовано вивчення перших двох задач на проценти.
У 5 класі, в якому вводиться поняття процента, учні фактично повто-
рюють спосіб зведення до одиниці, розв’язуючи задачі на знаходження
процентів числа. З цим способом їх ознайомили ще в 4 класі.
У 6 класі під час вивчення множення звичайних дробів після того,
як учні навчились знаходити дріб від числа, задачу про знаходження
процентів від числа розв’язують знову: спочатку способом зведення
до одиниці, а потім знаходженням дробу від числа.
Вивчення дії ділення дробів супроводжується ознайомленням уч-
нів із способом знаходження числа за його дробом діленням відомого
числа на даний дріб. Після цього розглядається задача на знаходжен-
ня числа за відомим числом його процентів.
Здавалося б, що природним є ознайомлення учнів із задачею про
процентне відношення чисел при введенні поняття відношення, а
розв’язування всіх трьох відомих основних задач на проценти за допо-
могою пропорцій слід навести під час вивчення пропорцій. На жаль,
у підручниках цього не зроблено. При подальшому вивченні курсів
хімії учням доведеться використовувати пропорції при розв’язуванні
задач на проценти. З-поміж задач, які розв’язують методом рівнянь в
алгебрі, мають бути і задачі на проценти. Запроваджуючи поняття
буквеного виразу і формули на перших уроках алгебри в 7 класі, до-
цільно розглянути формули процентів, що забезпечить єдиний підхід
і усвідомлення зв’язку між трьома основними задачами на проценти.
Практика свідчить, що складніше для учнів визначити вид задачі
після того, як вивчено всі три види і починається розв’язування різ-
них видів задач на проценти. Потрібно звернути увагу учнів на те, що
178
в усіх трьох основних задачах на проценти завжди дві величини за-
дано, а третю (невідому) слід визначити (числа а, Ь і р %). Однак
характер залежності між ними в кожному виді задач різний.
Розв’язуючи з учнями три основні задачі на проценти, інколи ко-
рисно для перевірки скласти і розв’язати дві обернені задачі. Це
сприятиме формуванню уміння визначати вид задачі.
Приклад 10.2. Потрібно знайти 6^ % від 48,4.
Розв’язання. 6^ % = 6,5 % = 0,065;
48,4 0,065 = 3.146.
Перша обернена задача. Від якого числа 3,146 становить 6 і%?
Розв’язання. 3,146 : 60,065 = 48,4.
Друга обернена задача. Скільки процентів від 48,4 становить чи-
сло 3,146?
Розв’язання. —— 100 % = 6,5 %.
48,4
Якщо учні не розв’язуватимуть задачі на проценти (також і склад-
ні) у курсі алгебри, геометрії, алгебри та початків аналізу, то набуті в
5—6 класах навички й уміння буде втрачено. Саме цим значною мірою
пояснюється безпорадність старшокласників і студентів у розв’язуванні
задач, пов’язаних із процентами. Під час підсумкового повторення курсу
алгебри в 9 класі та курсу алгебри і початків аналізу в 11 класі потрібно
повторити, систематизувати й узагальнити способи розв’язування основ-
них і типових складніших задач на проценти, які мають міжпредметний
характер, використовуються на виробництві, у ринковій економіці, ста-
тистиці.
10.4. Вивчення додатних і від’ємних чисел
До 60-х років XX ст. додатні та від’ємні числа вивчались у курсі
алгебри 6 класу (за старою нумерацією). Після переходу на нові про-
грами, в яких традиційний курс арифметики в 1—5 класах було замі-
нено курсом математики, додатні та від’ємні числа почали вивчати в
5 класі після вивчення десяткових і звичайних дробів. Пізніше в про-
грамі та підручнику вивчення додатних і від’ємних чисел передбачалося
на початку 5 класу перед систематичними відомостями про звичайні дро-
би. Проте таке місце цієї теми не виправдало себе, оскільки на труднощі
вивчення звичайних дробів (як додатних, так і від’ємних) накладалися
труднощі дій з додатними і від’ємними числами.
Тому нині програма і підручники з математики для 5 і 6 класів пе-
редбачають вивчення додатних і від’ємних чисел після звичайних
дробів, тобто в 6 класі.
179
Основною метою вивчення теми є розширення уявлення учнів про
число за допомогою введення від’ємних чисел, формування стійких
навичок порівняння і виконання чотирьох арифметичних дій над до-
датними і від’ємними числами, уміння обчислювати значення виразів,
що містять додатні та від’ємні числа. Вимоги до знань і умінь:
мати уявлення про додатні та від’ємні числа, модуль числа, вмі-
ти зображати раціональні числа на координатній прямій, порівню-
вати їх;
знати правила виконання чотирьох арифметичних діл над додат-
ними і від’ємними числами, закони дій, вміти обчислювати вирази,
що містять ці числа.
Історія розвитку математики свідчить, що третє розширення понят-
тя числа — запровадження від’ємних чисел — люди сприйняли значно
важче, ніж перші два (введення нуля і дробів). Це пояснюється тим,
що від’ємні числа-’меншою мірою, ніж натуральні і дробові числа,
пов’язані з повсякденним життям, практикою
Від’ємні числа виникли у зв’язку з'потребою розв'язувати рівнян-
ня, зокрема виконувати дію віднімання від меншого числа більшого.
Вже давні грецькі та китайські математики, наприклад Діофант (III ст.),
дійшли висновку про неминучість введення від’ємних чисел, проте
вони не визнавали їх. Індійські математики в XII ст. називали
від’ємні числа «несправжніми». Перші спроби трактувати ці числа як
борг майна зробили китайські вчені ще 2100 років тому. До XVII ст.
математики намагались обґрунтувати правила множення від’ємних
чисел, але такі спроби (навіть Л. Ейлера і О. Коші) закінчувалися
невдало. Саме тому від’ємні числа не діставали визнання доти, доки
Р. Декарт не застосував їх для побудови аналітичної геометрії.
Труднощі введення від’ємних чисел в історії математики певною
мірою відображуються при вивченні їх в сучасній шкапі. Досвід по-
казує, що запровадження поняття від’ємних чисел не призводить до
особливих труднощів, якщо воно добре мотивоване потребами прак-
тики. Важче сприймається обґрунтування доцільності правил дій над
додатними і від’ємними числами.
Введення поняття від’ємного числа. Історія розвитку шкільного
курсу математики свідчить, що спроба окремих авторів шкільних під-
ручників і методичних посібників означити поняття від’ємного числа
не привела до строго логічного означення. Тому це поняття доцільно
вводити описово в тісному зв’язку з потребами практики та інтерпре-
тацією на координатній прямій.
Найвдалішим, на наш погляд, є підхід, за якого від’ємні числа
застосовують для позначення числових значень величин, які змі-
нюються у двох протилежних напрямках. Пояснення починається з
прикладів, які підводять учнів до висновку, що для позначення чи-
слових значень таких величин потрібно вказати напрямок зміни
величини.
180
Починати пояснення можна із запитань.
1. Рівень води в Дніпрі змінився на 12 см. Яким він став?
2. Температура повітря змінилась на 5°. Чи замерзла вода?
Відповісти на поставлені питання не можна, якщо невідомо, на-
приклад, яким був спочатку рівень води щодо умовного нуля і як він
змінився збільшився чи зменшився. Аналогічно: якою була спочат-
ку температура стосовно початку відліку (температура плавлення
льоду) і збільшилась вона чи зменшилась?
Для того щоб позначати числом значення величин, які можуть
змінюватись у двох протилежних напрямках, було введено від’ємні
числа. Всі відомі до нього натуральні й дробові числа назвали додат-
ними.
Від’ємні числа стали записувати зі знаком «~», наприклад: —5, -7,
-3. Перед додатними числами домовились ставити знак «+» або писа-
ти їх без знака. Наприклад, числа +2, +0,9 ті самі, що і 2; 0,9. Число
0 не належить ні до додатних, ні ло від’ємних чисел.
Додатні та від’ємні числа зручно зображувати на координатній
прямій.
Потім вводять поняття координатної прямої, продовжуючи ліворуч
відомий учням координатний промінь. Бажано, щоб клас було облад-
нано демонстраційною координатною прямою, а кожен учень мав мо-
дель такої прямої, виготовлену зі звичайної дерев’яної або пластмасо-
вої лінійки з наклеєною шкалою, на якій позначені додатні та від’єм-
ні числа із просвердленими отворами в точках поділу шкали. Звичай-
ний гвіздок допоможе фіксувати на шкалі раціональні числа.
Доцільно звернути увагу учнів на те, що координатних прямих
можна побудувати безліч залежно від вибору одиниці відліку.
Після введення поняття координати точки учні розв’язують за до-
помогою моделі координатної прямої та відповідних записів у зошиті
вправи на позначення па координатній прямій точок за їх координа-
тами й обернені вправи — за позначеною па прямій точкою визнача-
ють її координати. Розв’язуються різноманітні вправи, пов’язані з
поняттям відстані між двома точками, заданими їх координатами.
Під час розгляду поняття модуля числа формулюється геометричне
означення модуля через поняття відстані від початку відліку до точ-
ки, що зображує число. У деяких посібшіках властивість модуля чис-
ла для невід’ємного числа бути самим числом, а для від’ємного —
протилежним числом називають також означенням модуля. Оскільки
учням уже відомий буквений запис законів арифметичних дій, фор-
мули. то після усного розв’язування впран
сел можна узагальнити властивості модуля
{а, якщо а > 0,
-а, якщо а < 0, або |«| =
0, якщо <7 = 0,
на визначення модуля чи-
а, якщо а > 0,
[-с, якщо а < 0.
181
Порівняння нових чисел потрібно ілюструвати на координатній
прямій.
Дії над додатними і від’ємними числами. Учитель має па-
м’ятати, що правила дій додавання та множення над додатними і
від’ємними числами в теоретичних курсах вводять за означенням, а
дії віднімання та ділення означують як обернені до додавання і мно-
ження. У школі бажано за допомогою розв’язування вправ підвести
учнів до самостійного формулювання цих правил, шо водночас за-
безпечить обґрунтування доцільності прийняття саме таких, а не
інших правил.
Додавання. До правила виконання додавання двох від’ємних чи-
сел можна підвести учнів на прикладі задачі про зміну температури.
У процесі пояснення вчитель може використати демонстраційний тер-
мометр. Насамперед припускають, що оскільки задачі на знаходжен-
ня двох послідовних змін додатних значень величин розв’язують до-
даванням, то такі задачі доцільно розв’язувати додаванням і за від’єм-
них значень двох величин.
Якщо температура повітря ввечері була 0 °С, змінилася на -3°,
потім
Рис.
а
ще на -4°, то всього температура змінилася на -7°. Отже,
-З + (-4) = -7. Можна продемонструвати розв’язу-
вання цієї задачі на моделі термометра (рис. 10.4).
Цю саму ситуацію можна продемонструвати на
координатній прямій. Звернемо увагу, що зміна
будь-якої величини на від’ємне число виконується
рухом точки вліво. Нехай початкове значення вели-
чини відповідно 0 (точка 0 відліку). Величина змі-
нилася спочатку на —2, а потім ще на -3. Ця зміна
відповідає додаванню чисел -2 і -3. Результату від-
повідає точка -5. Отже, -2 + (-3) = -5.
Аналізуючи обидва приклади, учні самостійно
зроблять висновок щодо знака суми і модуля її: сума двох від’ємних
чисел є число від’ємне; модуль суми дорівнює сумі модулів до-
данків.
Після цього можна запропонувати учням сформулювати правило
додавання двох від’ємних чисел:
щоб долати два від’ємних числа, потрібно:
1) додати модулі доданків;
2) перед отриманим числом поставити знак «-».
Додавання двох чисел з різними знаками також зручно пояснити
за допомогою моделі координатної прямої. Розглянувши принаймні
два приклади -7 + 13 = 6, -9 + 5 = -4 (рис. 10.5), учні дійдуть ви-
сновку, що знак суми збігається зі знаком числа з більшим модулем,
а модуль дорівнює різниці більшого і меншого модулів доданків, далі
формулюється правило:
182
—1_І_1_І_І_І__І_І-1—1—І—І—1-1--1
-7 -10 1 6 х
і_______і___і__і___і____і__і--1----1---1--1---1---1---1--1----—
-9 -4 -10 1 6 х
Рис. 10.5
щоб додати два числа з різними знаками, потрібно:
1) знайти модулі доданків,
2) від більшого модуля відняти менший;
3) перед результатом поставити знак числа з більшим модулем.
Правило доцільно закріпити розв’язуванням певного набору вправ,
зокрема на визначення суми двох протилежних чисел. Деякі дії слід
перевірити за допомогою моделі координатної прямої.
Віднімання. У разі віднімання принциповим положенням обчис-
лень і виконання тотожних перетворень є заміна дії віднімання дією
додавання числа, протилежного від’ємнику. Підвести учнів до цього
висновку можна різними способами. Один з них наведено у підруч-
нику [267]. За цим способом перетворюють рівняння х + 5 = 2, з яко-
го знаходять х = 2 - 5. Зазначається, що викопати таке віднімання ми
поки що не можемо. Проте, додавши до обох частин рівняння число
(-5), дістанемо х + 5 + (-5) = 2 + (-5).
Звідси х = 2 + (-5); х = -3. Після перевірки того, що число (-3)
є коренем рівняння, роблять висновок, ідо значення х з рівностей
х = 2 - 5 і х = 2 + (-5) можна прирівняти. Отже, матимемо рівність
2-5 = 2 + (-5).
Загальне правило:
щоб від одного числа Відня ги друге число, потрібно до зменшува-
ного додати число, протилежне від’ємнику.
До цього висновку можна прийти інакше, використовуючи озна-
чення дії віднімання: відняти від числа а число Ь означає знайти
таке число с, сума якого з числом Ь дорівнює числу а.
Па підтвердження цього правила розглядають приклади:
(+7) - (+3) = (+4), оскільки (+3) + (+4) = (+7);
(+6) - (-3) = (+9), оскільки (-3) + (+9) = (+6);
(-5) - (+3) = (~8), оскільки (+3) + (-8) = (-5);
(-8) - (-3) = (-5), оскільки (-3) + (~5) = (-8).
Написані вище різниці дають той самий результат, що й суми
(+7) + (-3) = (+4); (-5) + (~3) = (-8):
(+6) + (+3) = (+9); (-8) + (+3) = (-5).
Звідси випливає сформульоване вище правило.
Після розв’язування певної кількості вправ на використання цього
правила можна від виразу вигляду (+5) + (-3) - (+2) - (-1) + (+7)
перейти до алгебраїчної суми 5 — З — 2 + 1+ 7І розв’язати кілька
усних вправ на обчислення таких виразів.
183
Множення і ділення. Доцільність прийняття правила знаків при
множенні додатних і від’ємних чисел найкраще пояснити потребами
самої математики: ми приймаємо такі правила знаків, щоб закони дій,
встановлені для додатних чисел, залишились в силі і для від’ємних
чисел. Потрібно прийняти три твердження щодо добутку двох ві-
д’ємних чисел, чисел з різними знаками й умову рівності нулю до-
бутку.
З цих тверджень випливають правила множення, які показують
учням, що потрібно робити при множення таких чисел:
1) щоб перемножити два від’ємні числа, слід перемножити їхні
модулі та поставити перед результатом знак <+»;
2) щоб перемножити два числа з різними знаками, потрібно
перемножити їхні модулі й поставити перед результатом
знак «—».
Далі ці два правила закріплюють розв’язуванням вправ, які мають
містити натуральні числа, десяткові й звичайні дроби.
Для підготовки до розв’язування рівнянь важливим є твердження,
що виражає необхідну і достатню умову рівності нулю добутку двох
або кількох співмножників, які є числами або цілими алгебраїчними
виразами (для дробових і трансцендентних виразів ця умова допов-
нюється): якщо хоча б один з множників дорівнює нулю, то і добуток
дорівнює нулю. Навпаки, якщо добуток дорівнює нулю, то хоча б один
із співмножників дорівнює нулю. Ілюструють це твердження спочатку
числовими виразами вигляду 5-0 = 0; (-2,7) -0 = 0; 0 (-3.9) = 0, а по-
тім рівністю, у лівій частині якої є добуток із співмножником, що міс-
тить невідоме. Наприклад, (-7) (х + 3) = 0. Це означає, що х + 3 = 0,
оскільки -7 0. Отже, х = -3.
У методичній літературі поширене пояснення доцільності правил
множення додатних і від’ємних чисел за допомогою розгляду конкрет-
них задач на зміну величин (зміна температури за кілька днів, рівня
води в річці та ін.), які розв’язуються за формулою аЬ. Ці пояснення
зрозумілі учням, поки викопується множення від’ємного числа на до-
датне, але для випадку множення додатного числа на від’ємне або
двох від’ємних чисел, доводиться вводити певну домовленість (на-
приклад, у посібнику [35] у разі множення від’ємного числа на додат-
не домовляються ставити знак першого множника). Спеціальну увагу
потрібно приділити випадку множення на (-1).
Для конкретного тлумачення смислу множення двох від’ємних
чисел або множення додатного числа на від’ємне використовують
вправи, розв’язування яких пов’язане з переміщенням уздовж коор-
динатної прямої. Під час введення дії ділення додатних і від’ємних
чисел доцільно відразу звернути увагу учнів иа те, що вона, як і ра-
ніше, є дією, оберненою множенню. Після розв’язування кількох
вправ на основі означення дії ділення учні самі можуть сформулюва-
184
ти правило ділення двох від’ємних чисел і ділення чисел з різними
знаками.
Розв’язуючи вправи, учні мають переконатися в справедливості
законів множення і ширшого їх тлумачення. Справді, використовую-
чи поняття алгебраїчної суми, можна не розглядати розподільний за-
кон стосовно віднімання.
Важливо показати учням застосування законів дій для раціоналі-
зації обчислень, розв’язування рівнянь, спрощення виразів. Заверши-
ти вивчення раціональних чисел слід уточненням понять «раціональне
число», «множина раціональних чисел», звернувши увагу на те, що в
цій множині виконуються всі чотири арифметичні дії, крім ділення на
нуль.
10.5. Вивчення елементів алгебри
і геометрії в 5—6 класах
Основною метою вивчення елементів алгебри і геометрії в 5—6 кла-
сах є пропедевтика, тобто підготовка учнів до вивчення систематич-
них курсів алгебри і геомегрії в наступних класах. Певною мірою до-
сягаються цілі міжпредметного характеру. Учні використовують здо-
буті знання па інших уроках (географії, праці), у безпосередній прак-
тичній діяльності.
Під час вивчення елементів алгебри і геометрії погрібна наступ-
ність, тобто слід ґрунтуватися на уявленнях і знаннях, які учні діста-
ли в початковій школі. Провідним методом навчання має бути конк-
ретно-індуктивний з опорою на наочність та інтуїцію досвід, набутий
раніше, зокрема практичний досвід учнів.
Елементи алгебри. Основний зміст навчального матеріалу курсу
математики в 5 - 6 класах становить розвиток поняття числа та дії над
раціональними числами. Водночас у цьому курсі починають розвива-
тися інші змістові лінії алгебри тотожні перетворення, рівняння та
нерівності. Систематично має проводитися функціональна пропедев-
тика (залежність результатів дій від компонентів, залежність значен-
ня виразу від значення букви, яка входить до його складу, ознайом-
лення з прямокутною системою координат, побудова графіків залеж-
ностей, діаграм, складання виразів зі змінною під час розв’язування
перших задач за допомогою рівнянь та ін.).
Основною метою вивчення є формування уявлення про числові
та буквені вирази, початкового уміння використання буквеної сим-
воліки для позначення відношень чисел, запису законів арифметич-
них дій, формул розв’язування нескладних лінійних рівнянь на
основі залежності результатів дій від компонентів і перенесенням
членів з однієї частини рівняння в Другу, функціональна пропедев-
тика.
185
Вимоги до знань і умінь:
мати уявлення про числові та буквсні вирази, розпізнавати їх, вмі-
ти використовувати букви для запису законів арифметичних дій,
складати числові й прості буквені вирази за умовами текстових задач,
знати правило розкриття дужок, зведення подібних доданків і вміти
виконувати ці перетворення виразів;
розуміти зміст понять «рівняння», «корінь рівняння», «розв’язати
рівняння»;
знати правило перенесення членів рівняння з однієї частини рів-
няння в другу і розв’язування рівнянь за допомогою цього перетво-
рення та на основі залежності результатів дій від компонентів;
вміти використовувати знаки «>» і «<» для порівняння чисел і
виразів.
Вирази та їх перетворення. Найпростіші елементи алгебри
вивчають у початковій школі. Зокрема, учні використовують букви
для запису законів арифметичних дій, знаходять числові значення
найпростіших буквепих виразів, ознайомлюються з найпростішими
формулами. У 5-6 класах повторюються, розширюються та поглиб-
люються знання учнів про числові й буквені вирази у зв’язку з роз-
ширенням числових множин.
У 5 — 6 класах під час вивчення числових виразів потрібно насам-
перед звернути увагу на два можливі способи читання виразів, які
містять різні арифметичні дії, дужки.
За першого способу (яким часто послуговуються для виконання при-
кладів для обчислення) числа, знаки дій, дужки читаються в порядку їх
розміщення у виразі. Наприклад, вираз 2,5-9 +5-(242-96) можна чи-
тати так: дві цілих п’ягь десятих, помножені на дев’ять, плюс п’ять, по-
множене на вираз у дужках: від двохсот сорока двох віднята дев’я-
носто шість. Цей самий вираз можна прочитати інакше, назвавши
спочатку останню дію. яку виконують під час обчислення виразу, а по-
тім — усі інші дії.
Другий спосіб читання наведеного вище прикладу такий: сума до-
бутків чисел 2,5 і 9 і числа 5 па різницю чисел 242 і 96. Ці способи
читання використовують і для буквених виразів. Наприклад, вираз
а - 2Ьс можна прочитати так: а мінус два Ьс. Можна інакше: різниця
числа а і добутку числа 2 на числа Ь і с.
Розв’язуючи вправи, частина учнів ставить зайві дужки або не ста-
вить їх там, де вони потрібні. У кожному окремому випадку учням слід
пояснювати правила вживання дужок. Наприклад, нехай виконується
завдання на записування виразу: від добутку чисел 48 і 12 відняти суму
чисел 25 і 63. Якщо у виразі 48 • 12 - (25 + 63) учні візьмуть у дужки
добуток чисел 48 і 12, то вони не припустяться помилки, але ці дужки
зайві. Якщо вони не поставлять дужки в запису суми чисел 25 і 63, то
припустяться грубої помилки (потрібно пояснити чому).
186
Під час розв’язування вправ на обчислення буквених виразів по-
трібно дати учням зразок оформлення розв’язування. Наприклад,
запис розв’язування вправи № 9286) з підручника [38] доцільно
оформити так:
«Якщо а = -2,5, то 2,8 - а : (а + 2) = 2,8 - (-2,5) : (-2,5 + 2) =
= 2,8 + 2,5 : (-2,5 + 2) = 2,8 + 2,5 : (-0,5) = 2,8 - 5 = -2,2».
Якщо потрібні проміжні обчислення, то їх записують нижче зада-
ного прикладу.
У 5 —6 класах ще не вживають термінів «тотожно рівні вирази»,
«тотожні перетворення виразів», але виконують найпростіші перетво-
рення числових і буквених виразів на основі законів арифметичних
дій та обернені перетворення. Найважливішими перетвореннями на
цьому етапі є записування сум на зразок а+а+а+ау вигляді до-
бутку й обернене перетворення, розкриття дужок, перед якими стоїть
знак «-», додатний або від’ємний числовий та буквений множники,
винесення спільного множника за дужки, зведення подібних доданків
(термін «подібні члени» в 5 —6 класах ще не використовують).
Теоретичною основою таких перетворень є розподільний закон
множення. Мотивацією до вивчення кожного з них насамперед має
стати потреба спрощення обчислень значень виразів, а пізніше — за-
стосування до розв’язування рівнянь. Для розв’язування потрібно
передбачити вправи і з цілими, і з дробовими числами Важливо ви-
магати від учнів формулювання відповідних правил перетворень і
словесного коментарю розв’язування вправи.
У зв’язку з вивченням поняття «коефіцієнт» достатньої уваги по-
требують вправи на спрощення виразів, що є добутками числових і
буквених виразів з коефіцієнтами. Такі вміння використовуватимуть-
ся надалі не тільки в тотожних перетвореннях цілих виразів, а й для
розв’язування задач за допомогою рівнянь, в яких через невідоме до-
водиться виражати значення інших величин.
Рівняння та нерівності. Уявлення про рівняння учні дістають
ще в початковій школі, де рівнянням називають рівність, яка містить
невідоме число, позначене буквою. Розв’язати рівняння означає знай-
ти це невідоме число (поняття кореня рівняння на цьому етапі не вво-
диться). Учні розв’язують найпростіші рівняння на зразок х + 5 = 7;
12-х = 8; 2-х = 16.
У курсі математики 5 — 6 класів зберігається наступність і в тлума-
ченні рівнянь, і в способі їх розв’язування. Водночас здобуті у початко-
вій школі знання розширюються. Вводиться поняття «корінь рівняння».
У 5 класі учні розв’язують рівняння на основі залежності результатів
арифметичних дій від компонентів, причому невідоме у рівнянні міс-
титься тільки в лівій його частині. Тут більше уваги слід приділяти
формулюванню правші знаходження невідомих компонентів, невідоме
число може позначатися різними буквами, а не лише буквою .г.
187
Розв’язуються і складніші рівняння вигляду (4* -1—): = 9 (№ 355 г
\4 4/ З
з підручника [38]).
Аналізуючи рівняння, учні мають дійти висновку, що невідоме чи-
сло входить до складу діленого, тому спочатку потрібно знайти цс
11 2
ділене. Дістанемо = Отже, маємо рівняння, в якому
невідоме входить у зменшуване, і т. д.
В окремих прикладах після того, як корінь знайдено, доцільно
зробити перевірку.
У процесі вивчення програмного матеріалу рівняння, які пропону-
ються для розв’язування, ускладнюють. Наприклад, після вивчення
розподільного закону і перетворення «зведення подібних доданків»
учням пропонують рівняння на зразок 5 - 2у + Згу - 7 = -1; 8 (2 - 5) -
-7г + 3 = -10.
У 6 класі вивчають властивість рівняння щодо додавання (відні-
мання) до обох його частин того самого числа. З цієї властивості ви-
водять наслідок, який стверджує, що доданки можна переносити з
однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому їхні знаки на
протилежні.
Це правило дає можливість розв’язувати рівняння з невідомими в
обох частинах. Саме на цьому етапі навчання можна сформулювати
загальне правило-орієнтир розв’язування рівнянь, які передбачено в
6 класі.
Слід зазначити, що автори різних підручників неоднаково фор-
мулюють властивість рівняння щодо перенесення його членів. У [267]
формулюється твердження, яке зазначає лише можливість перенесен-
ня членів, а в [222] ще наголошується, що в цьому разі не змінюють-
ся корені рівняння.
Чинна програма і підручники передбачають ознайомлення учнів з
розв’язуванням текстових задач за допомогою рівнянь наприкінці
6 класу. Систематичне використання методу рівнянь здійснюється в
курсі алгебри. Тому опанування цього методу в 6 класі не може бути
обов’язковим результатом навчання.
Елементи геометрії. Вивчення елементів геометрії в 5—6 класах є
логічним продовженням вивченого в курсі математики 1 —4 класів.
У початковій школі накопичувалися й розвивалися геометричні уявлення
учнів про точку, пряму, площину, окремі геометричні фігури (прямокут-
ник, трикутник, коло), учні звикали до відповідної термінології, оволо-
дівали початковими навичками використання лінійки, кутика, циркуля.
Конкретно-дійове мислення та геометричні уявлення розвиваються за-
вдяки виконанню практичних дій, спрямованих на виготовлення учнями
моделей геометричних фігур, вирізуванню, зображенню, розпізнаванню
фігур на рисунках і в довкіллі. Значна кількість вправ виконується на
вимірювання геометричних величин.
188
У 5-6 класах наявний запас геометричних знань і уявлень систе-
матизується, узагальнюється і розширюється. На цьому етапі навчан-
ня на наочно-інтуїтивному рівні, з використанням дедуктивних мірку-
вань (без уживання термінів «означення», «теорема», «доведення»)
починають розвиватися майже всі змістові лінії шкільної геометрії.
Таким чином досягається мета підготовки учнів до вивчення дедуктив-
ного курсу геометрії.
Справді, лінія вивчення геометричних фігур та їхніх властивостей
розвивається у зв’язку з повторенням відомостей про точку, пряму,
площину, відрізок, трикутник, прямокутник, квадрат. Вводяться нові
фігури: у 5 класі — промінь, кут та його різновиди, прямокутний пара-
лелепіпед; у 6 класі - коло і круг, круговий сектор, куля, паралельні та
перпендикулярні прямі, піраміда, призма, циліндр, конус. Дсіцо розши-
рюються відомості про знайомі фігури. Наприклад, запроваджують еле-
менти кола і круга — центр, радіус, діаметр. Під час розгляду трикут-
ника формулюють його властивість — сума будь-яких двох сторін
трикутника більша за третю сторону.
Лінія геометричних побудов розвивається завдяки побудові нових
фігур: кутів за їх градусною мірою, паралельних і перпендикулярних
прямих, круга і секторів у зв’язку з вивченням діаграм.
Значно розширюється навчальний матеріал щодо вимірювання
геометричних величин. Крім відомих вимірювань довжин відрізків
учні вчаться вимірювати кути, обчислювати площі прямокутників,
довжину кола і площу круга, об’єм прямокутного паралелепіпеда.
Безпосередньо вимірюючи величини, учні переконуються у правиль-
ності їхніх властивостей, які в курсі геометрії формулюватимуться у
вигляді аксіом.
На цьому етапі навчання закладаються основи координатного методу.
Учні ознайомлюються з прямокутною системою координат; вчаться зна-
ходити точку за її координатами на прямій і площині; розв’язують
обернену задачу; за координатами точок визначають відстань між
двома точками на координатній прямій.
Основним методом вивчення геометричного матеріалу в 5 —6 кла-
сах є конкретно-індуктивний метод. Більшість геометричних понять,
зокрема фігур та їх елементів, уводять конструктивно, тобто у зв’язку
з їх побудовою. Запроваджують низку означень понять, хоча термін
«означення» вживати недоцільно.
Наприклад, «дві прямі, що при перетині утворюють прямі кути,
називають перпендикулярними» або «дві прямі, що лежать в одній
площині і не перетинаються, називають паралельними». Якщо від
учня вимагають сформулювати означення, найчастіше вживають сло-
восполучення «Що таке...?», «Що називають...?».
Під час вивчення прямої важливо створити уявлення про її нескін-
ченність. У [266] у зв’язку з цим вживається вислів «пряма не має
кінців». Хоча у цьому підручнику спочатку вводиться відрізок, а
189
пряма утворюється продовженням його кінців, на наступному уроці
доцільно наголосити, що відрізок є частиною прямої. Це потрібно для
перспективного зв’язку з курсом геометрії, в якому відрізок розгля-
дається як частина прямої.
З погляду перспективних зв’язків потрібно прагнути до однакового
тлумачення понять у пропедевтичному і систематичному курсах гео-
метрії. На жаль, у чинних підручниках таку вимогу дотримано не
завжди. Наприклад, під час вимірювання кутів у підручнику [266]
градус тлумачиться як величина — частини прямого кута, а в [290] і
[78] його подають як геометричну фігуру, наприклад, градус — кут,
що дорівнює частині розгорнутого кута [78, 17].
Практика доводить, що під час виконання геометричних побудов і
вимірювання кутів ефективним є алгоритмічний підхід, за якого чітко
формулюються вказівки щодо виконання тієї чи іншої діяльності.
Наприклад, щоб виміряти кут, потрібно: 1) накласти на кут транспор-
тир так, щоб вершина кута сумістилась з центром транспортира, а
одна сторона кута пройшла через початок відліку на шкалі; 2) знайти
штрих на транспортирі, через який пройде друга сторона кута, і про-
читати число градусів, яке позначено біля цього штриха. Окремої
вказівки потребує використання верхньої або нижньої шкали транс-
портира, якщо такі є.
Під час вимірювання відрізків і кутів слід розвивати в учнів око-
мір, тобто навички «на око» визначати градусну міру кута.
Основним засобом вивчення геометричного матеріалу в 5 —6 кла-
сах має стати система різних вправ і задач, які передбачають спосте-
реження властивостей фігур і величин на рисунку, в довкіллі, необ-
хідність робити висновки, вживаючи потрібні геометричні терміни, а
також задач, які потребують дій учнів, спрямованих на зображення
фігур, вимірювання відповідних величин, виготовлення моделей фігур.
МЕТОДИКА
44 НАВЧАННЯ
РОЗДІЛ І І АЛГЕБРИ
11.1. Алгебра як наука
і як навчальний предмет
Алгебра як наука виникла із потреб розв’язування рівнянь. За-
дачі на розв’язування і дослідження рівнянь вплинули на розвиток
поняття числа. Після відкриття від’ємних, ірраціональних, ком-
плексних чисел загальне дослідження цих числових систем також
стало проблемою алгебри. Застосована в алгебрі буквена символіка
дала змогу записувати властивості дій над числами в стислій фор-
мі, зручній для виконання операцій над буквеними виразами. За-
гальні дослідження, що проводились у зв’язку із задачами на
розв’язування рівнянь, зумовили ширше застосування теорій, які ві-
дігравали спочатку лише допоміжну роль у розв’язуванні рівнянь у
самій математиці та за її межами. Саме ці теорії, до яких належать
теорія груп, теорія кілець, теорія полів, лінійна алгебра, теорія Га-
лу а, теорія алгебраїчних чисел, і становлять основний зміст сучас-
ної алгебри.
Отже, у сучасному розумінні алгебру можна визначити як науку
про системи об’єктів будь-якої природи, в яких встановлено операції,
що за своїми властивостями подібні до додавання і множення чисел. Ці
операції називають алгебравпшми. Алгебра класифікує системи об’єктів
із заданими на них алгебраїчними операціями за їх властивостями і ви-
вчає різні задачі, які виникають в цих системах, зокрема задачу роз-
в’язування і дослідження рівнянь. У нових системах об’єктів ця задача
набуває нового змісту. Наприклад, розв’язком рівняння може бути
вектор, матриця, оператор.
Шкільний курс алгебри містить не тільки суто алгебраїчний мате-
ріал, а й той, що стосується математичного аналізу (наприклад, вчен-
ня про функцію). Навчальний матеріал згруповано за шістьма основ-
ними змістовими лініями.
1. Розвиток поняття про число. Починаючи вивчення курсу алгеб-
ри, учні вже знають множину раціональних чисел. У 8 класі вводять-
ся ірраціональні числа, що разом із раціональними числами утворю-
ють множину дійсних чисел. У старших класах з поглибленим ви-
вченням алгебри і початків аналізу множина дійсних чисел розширю-
191
ється до множини комплексних чисел. У 8 класі вивчають наближені
обчислення, які також належать до цієї змістової лінії.
2. Тотожні перетворення виразів. У курсі алгебри ця лінія дістає
найбільшого розвитку. У 7 класі вивчають прямі й обернені перетво-
рення цілих виразів, у 8 класі — дробових і тих ірраціональних ви-
разів, які пов’язані з квадратним коренем. У попередні роки у 9 класі
розглядались перетворення тригонометричних виразів. Досвід пока-
зує, що вивчення їх відбувалось дещо формально, оскільки цей мате-
ріал не застосовується до розв’язування тригонометричних рівнянь.
До 10 класу, в якому вивчають ці рівняння, учні встигали забути ос-
новні тригонометричні тотожності і втратити набуті навички перетво-
рень тригонометричних виразів. Тому за новою програмою цю тему
перенесено до 10 класу, а у звільнений навчальний час передбачено
ознайомлення учнів з початковими відомостями статистики, елемен-
тами комбінаторики і теорії ймовірностей.
3. Рівняння і нерівності. У 7 класі триває розв’язування лінійних
рівнянь, вводяться їх означення і загальний вигляд. Завершується
вивчення алгебри в 7 класі введенням поняття системи рівнянь з дво-
ма невідомими. У 8 класі вивчають квадратні рівняння та застосуван-
ня їх до розв’язування текстових задач і дробові рівняння, які зво-
дяться до квадратних. У 9 класі триває розв’язування квадратних рів-
нянь і таких, що зводяться до них, зокрема біквадратних; розгляда-
ються системи рівнянь, які містять рівняння другого степеня. Ви-
вчення числових нерівностей, лінійних нерівностей з однією змінною
та їх систем передбачено у 8 класі, а нерівностей другого степеня та
дробових нерівностей — у 9 класі.
4. Вчешія про функцію. На основі функціональної пропедевтики, яка
проводиться в 1—6 класах, явне введення функції та її загального по-
няття відбувалось за програмою в 7 класі. Проте досвід навчання алгеб-
ри останніми десятиріччями свідчить, що програма 7 класу виявилася
перевантаженою новим для учнів навчальним матеріалом, який закладає
основи алгебри. Тому за новою програмою вивчення самостійної теми
«Елементарні функції» передбачено у 8 класі. Тут учні мають отримати
уявлення про функції як математичні моделі залежності між величина-
ми й об’єктами будь-якої природи. Поняття про основні способи за-
дання функцій вводиться на прикладах прямої й оберненої пропорцій-
ності. Передбачено також вивчення властивостей функцій у = кх,
її - — , у = кх + Ь, у = х2. у - х3, у - уіх, їх графіків, табличного
X
способу задання. У зв’язку з останнім питанням потрібно ознайомити
учнів з використанням і аналізом різних дослідних даних, поданих у
таблицях, з метою розвитку і формування статистичних уявлень.
5. Елементи теорії множин. Комбінаторика.
6. Елементи стохастики (печатки теорії ймовірност ей і вступ до
статистики).
192
Метою вивчення алгебри в основній школі є вдосконалення об-
числювальних навичок, поглиблення розуміння буквених виразів, їх
видів і тотожних перетворень цілих, дробових, ірраціональних вира-
зів; поглиблення та розширення апарату рівнянь і нерівностей як ос-
новного засобу математичного моделювання прикладних задач; фор-
мування уявлення про функцію, вивчення властивостей елементарних
функцій; ознайомлення з елементами теорії множин і комбінатори-
кою, печатками теорії ймовірностей та вступом до статистики.
Після вивчення курсу учні мають оволодіти такими знаннями й
уміннями, що задають обов’язковий рівень підготовки:
мати уявлення про раціональні й ірраціональні числа, дійсні числа,
наближене значення числа і величини; знати означення квадратно-
го кореня, абсолютної та відносної похибки; правила наближених
обчислень без строгого врахування похибок (правила підрахунку
правильних цифр);
виконувати арифметичні дії над точними і наближеними значення-
ми (зокрема, з використанням калькулятора), вміти прикидати в дум-
ці й оцінювати точність результатів обчислень;
розуміти суть одночлена, багаточлена, алгебраїчного дробу, дробо-
вого виразу; знати формули скороченого множення, правила вико-
нання основних видів тотожних перетворень виразів, зазначених у
програмі:
виконувати тотожні перетворення цілих і раціональних виразів
(зокрема, за допомогою формул скороченого множення), ірраціональ-
них виразів, що містять квадратні корені;
розуміти суть числових нерівностей і знати їхні властивості, розу-
міти суть нерівності зі змінною, лінійного, квадратного, раціонально-
го рівняння і нерівності;
вміти розв’язувати зазначені в програмі види рівнянь і нерівно-
стей, систем рівнянь і нерівностей, текстові задачі методом рів-
няння;
мати уявлення про функцію;
вміти розрізняти види функцій, наведених у програмі, виражати
на простих прикладах залежності між змінними; знаходити значення
функцій, заданих формулою, таблицею, графіком;
будувати графіки функцій, зазначених у програмі, і читати за ни-
ми властивості цих функцій;
мати уявлення про початкові поняття статистики і теорії ймовірно-
стей, про способи перерахунку елементів скінченних множин, розумі-
ти смисл перестановок, розміщень і комбінацій;
розуміти поняття «ймовірність», «частота», вміти підраховувати
ймовірності в найпростіших випадках і розв’язувати найпростіші за-
дачі за допомогою формул комбінаторики.
7 Слзпкань 3. І.
193
11.2. Розвиток поняття числа в курсі алгебри
Раціональні числа. Всі відомості про раціональні числа учні діс-
тають з курсу математики 1—6 класів. Перш ніж вводити поняття
ірраціонального числа, потрібно провести бесіду, присвячену ідеї роз-
витку поняття числа, систематизації й узагальненню відомостей про
раціональні числа. Зміст бесіди може бути таким.
У попередніх класах вивчались різні множини чисел. У цьому разі
розширення відомої множини чисел виконувалось так, щоб: 1) нова
множина чисел містила вже відому множину; 2) смисл дій над числа-
ми у відомій множині залишався тим самим у відомій множині; 3) у
новій множині виконувалась дія, яку не можна було виконати у відо-
мій множині; 4) нова множина чисел була такою, щоб не існувало
жодної її підмножини, яка містила б попередню множину і задоволь-
няла ті самі умови.
Справді, множину N натуральних чисел, які першими виникли в
практичній діяльності людей, після введення числа 0 і від’ємних чи-
сел, протилежних натуральним, було розширено до множини цілих
чисел X. У множині X смисл дій над натуральними числами залиша-
ється тим самим, але крім додавання і множення стає завжди можли-
вою дія віднімання. Після введення дробових чисел (додатних і
від’ємних) множина цілих чисел розширюється до множини раціона-
льних чисел £). У множині раціональних чисел стає завжди можли-
вою дія ділення, крім ділення на нуль, а смисл дій, які виконува-
лись у попередніх множинах чисел, залишається тим самим і в пій
множині.
Кожне раціональне число можна подати у вигляді дробу (частки)
т
де т — ціле число, а п - натуральне число.
Кожне раціональне число можна зобразити єдиною відповідною
точкою на координатній прямій.
Важливо на конкретних прикладах перетворення звичайних дробів
на десяткові переконати учнів, що кожний звичайний дріб можна по-
дати у вигляді десяткового дробу — скінченного чи нескінченного,
але обов’язково періодичного. Всі цілі числа та скінченні десяткові
дроби можна подати у вигляді нескінченного періодичного десятково-
го дробу з нулем у періоді. Отже, кожне раціональне число можна
подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. На
цьому етапі навчання немає потреби ознайомлювати учнів з правила-
ми перетворення періодичних десяткових дробів на звичайні. Слід
наголосити: якщо не розглядати періодичні дроби з числом 9 у пері-
оді, то кожному десятковому періодичному дробу відповідатиме єдине
раціональне число. У таких випадках кажуть, що відповідність між
множиною раціональних чисел і множиною нескінченних періодичних
десяткових дробів взаємно однозначна.
194
Проте виявилось, що раціональних чисел недостатньо для потреб
як самої математики, так і галузей її застосувань.
Ірраціональні числа. Розширення множини раціональних чисел
можна мотивувати по-різному. Найкраще об’єднати потреби алгебри і
геометрії. Традиційно введення нових, ірраціональних чисел пов’я-
зують із задачею вимірювання відрізків. У традиційному шкільному
курсі математики ірраціональні числа впроваджувались у старших
класах. При цьому попередньо запроваджувалось поняття сумірних і
несумірних відрізків, доводилось твердження про те, що діагональ
квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці довжини, несумірна зі
стороною. Далі для позначення довжини несумірних відрізків вводи-
лись ірраціональні числа, будувалась множина дійсних чисел, роз-
глядались порівняння та дії над числами в цій множині.
За сучасних умов відповідно до чинної програми потрібно вивчати
ірраціональні числа і множину дійсних чисел у 8 класі на доступні-
шому рівні за коротший час, без багатьох означень і доведень або фа-
ктично на рівні уявлень. Тому мотивування і введення ірраціональних
чисел можна здійснити за таким методичним варіантом.
На одиничному відрізку координатної прямої будують квадрат
(рис. 11.1) і ставлять за мету визначити довжину його діагоналі ОК,
а відповідне число зобразити точкою Р на координатній прямій. Гео-
метрично це виконати легко відкладанням циркулем відрізка ОК на
координатній прямій. Однак виникає запитання: яким числом вира-
жається координата Р? Щоб з’ясувати це, позначимо довжину відріз-
ка О Я буквою х і побудуємо тце один квадрат, стороною якого є від-
різок ОК (рис. 11.2). З рисунка випливає, що площа цього квадрата
вдвоє більша за площу одиничного квадрата. Отже, х — 2, оскільки
площа одиничного квадрата дорівнює 1.
Щоб визначити х, потрібно розв’язати квадратне рівняння. Графі-
чний спосіб його розв’язування (рис. 11.3) свідчить, що існують два
корені цього рівняння. Квадрат кожного з них дорівнює 2. З поперед-
нього навчального матеріалу учні вже знають, що число, квадрат яко-
го дорівнює 2, називають квадратним коренем. Арифметичний квад-
195
раціональними також числа
ратний корінь позначається символом
72. Тому два корені рівняння л2 - 2
є не що інше, як числа -72 і —72. Які
це числа?
Далі формулюють і доводять мето-
дом від супротивного твердження: не іс-
нує раціонального числа, квадрат якого
дорівнює 2.
Отже, корені 7? і -72 рівняння
не належать до раціональних чисел.
Слід звернути увагу на те, що не є
7з, 75, V?.... Такі числа називають
ірраціональними. Префікс «іг» латинською мовою означає «не». Не
слід думати, що ірраціональні числа можна отримати лише добуван-
ням квадратного кореня з деяких раціональних чисел. Ірраціональ-
ним є число те, що виражає відношення довжини ката до діаметра.
Пізніше учням стане відомо, що ірраціональними числами виража-
ються значення тригонометричних функцій, логарифмів. Число є, що
є границею вигляду Ііт [1 + -М , також ірраціональне.
П—»оо\ 2/
Учитель має зауважити, що можна обчислити з якою завгодно кіль-
кістю десяткових знаків наближене значення числа %/2 (як і коренів
з інших чисел). Це можна зробити способом випробувань або за до-
помогою ЕОМ, зокрема калькулятора:
%/2 = 1,41421...;
п = 3,12159....
Подальше обчислення значень 72 і л все одно дає нескінченний
неперіодичний десятковий дріб. Інакше і не може бути, оскільки тоді
вони були б раціональними числами.
Ірраціональних чисел можна утворити безліч, якщо записувати
нескінченні десяткові дроби, наприклад, так: 12,010 010 001... або
8,020 022 000 222... .
Якщо множину раціональних чисел доповнити числами ірраціональ-
ними, то отримаємо розширену множину, яку називають множиною
дійсних чисел і позначають літерою К. У множині дійсних чисел є
можливою дія добування коренів з раціональних чисел і деякі інші
математичні операції.
Оскільки дійсні числа записують у вигляді нескінченних десятко-
вих дробів (періодичних або неперіодичних), то їх можна порівняти
за тими самими правилами, що й десяткові дроби.
Введення ірраціональних чисел показало, що координатна пряма
має точки, яким не відповідає жодне раціональне число. Після впро-
196
вадження ірраціональних чисел і утворення множини К дійсних чисел
виконується взаємно однозначна відповідність між множиною точок
координатної прямої та множиною дійсних чисел. Це означає, що кож-
ній точці координатної прямої відповідає дійсне число (її координата)
і, навпаки, кожному дійсному числу відповідає точка на координатній
прямій.
З теоретичних курсів відомо, що строга теорія дійсних чисел до-
сить складна. Тому учням 8 класу надають лише спрощені відомості
про цю множину. Щодо виконання чотирьох арифметичних дій над
дійсними числами, то учням досить сказати, що в цій множині вико-
нуються всі арифметичні дії, крім ділення на нуль. Якщо хоча б одне
з чисел є ірраціональним, дії виконують над їхніми наближеними
значеннями, взявши попередньо ці наближення з однаковою кількіс-
тю десяткових знаків. Можна на прикладі проілюструвати учням до-
давання або віднімання двох ірраціональних чисел. Наприклад,
72 +7і = 1,414 + 3,142 = 4,556.
Якщо потрібно обчислити цю суму точніше, то наближені значення
доданків беруть із більшою кількістю десяткових знаків.
У підручнику алгебри [10] поняття ірраціонального числа вво-
диться до вивчення теми «Квадратні корені» і не пов’язується з нею.
Автори обмежуються лише геометричними потребами, мотивуючи не-
обхідність розширення множини раціональних чисел. Такий методич-
ний варіант можливий, але, на наш погляд, йому притаманно більше
формалізму, ніж розглянутому вище. До речі, саме такий підхід до
запровадження ірраціональних чисел було прийнято в попередніх ви-
даннях згаданого підручника.
Уже під час вивчення квадратних рівнянь у зв’язку з потребою
розв’язати рівняння вигляду х1 +1 = 0 можна було б ввести комплек-
сні числа. Проте програма передбачає вивчення їх лише в класах з
поглибленим вивченням математики або на факультативних заняттях.
Можна розглянути цю тему і на заняттях математичного гуртка.
11.3. Наближені обчислення
Наближені обчислення широко використовують майже в усіх галу-
зях практичної діяльності людей, в науці, техніці, виробництві. Опа-
нування правилами наближених обчислень допоможе учням не тільки
грамотно і раціонально розв’язувати задачі з фізики, хімії, географії,
біології, а й наближено прикидати в думці результат і оцінювати його
точність у реальній життєвій практиці.
Знання про наближені значення чисел і величин поглиблюють і
розширюють уявлення учнів щодо числа і практики обчислень. Пра-
вила наближених обчислень є загальнішими, їх покладено в основу
197
означення операцій з дійсними числами. Вони мають велике приклад-
не значення. Справді, процес застосування математичних методів до
розв’язування практичних задач складається з трьох етапів: 1) побудова
математичної моделі; 2) внутрішньомодельне розв’язування; 3) інтерпре-
тація отриманого математичного результату, тобто встановлення його
зв’язку з вихідними даними. У цьому процесі побудова математичної
моделі часто безпосередньо пов’язана з вимірюваннями. Точність ви-
мірів істотно впливає на вибір математичної моделі та визначає вибір
алгоритму внутрішньомодельного розв’язування. Не менш важливим
є оцінювання точності отриманого результату.
Звідси стає зрозумілим значення математичного апарату наближе-
них обчислені» у галузях застосування математики і роль наближених
обчислень у математичній підготовці учнів загальноосвітньої школи.
Водночас систематичне і свідоме залучення всіх етапів математичного
моделювання до процесу вивчення в школі наближених обчислень
дасть змогу забезпечити мотивацію вивчення й усвідомлення учнями
прикладної значущості математики.
У шкільній практиці здійснювалися спроби вивчати в різних кла-
сах усі три основні методи наближених обчислень. Ще в традиційно-
му курсі арифметики правила підрахунку правильних цифр (практи-
чні прийоми наближених обчислень, що є методом нестрогого врахуван-
ня похибок) вивчали у 6 класі. У курсі алгебри 7 класу (за старою ну-
мерацією) вивчався метод меж — метод строгого врахування похибок.
У 8 класі робили спробу вивчати другий метод строгого врахування по-
хибок — метод урахування границь похибок. Саме цей метод викорис-
товують у лабораторних роботах з фізики, в технічних науках.
Нині програма передбачає вивчення в курсі алгебри 9 класу лише
одного методу наближених обчислень — правил підрахунку правиль-
них цифр. На жаль, і в попередні роки, і нині стан вивчення набли-
жених обчислень у школі не задовольняє вимоги сучасності і перебу-
ває на низькому рівні. Основною причиною цього є формальне ви-
вчення теми. Досвід показує, іцо учні без особливих труднощів
сприймають теоретичні відомості теми і практичні прийоми наближе-
них обчислень. Однак у подальшому ці знання і вміння втрачаються,
оскільки ні автори шкільних підручників, ні вчителі математики не
приділяють уваги систематичному розв’язуванню задач, навіть прак-
тичних, з реальними, тобто наближеними даними. За подальшого ви-
вчення всіх шкільних предметів в учнів не виникає потреби в набли-
жених обчисленнях. Аналіз навчально-мегодичної літератури з фізи-
ки, хімії свідчить, що навіть автори посібників не дотримуються пра-
вил наближених обчислень, наводячи зразки розв’язування задач і
відповіді до запропонованих учням задач. Не кращий стан і на уро-
ках фізики та хімії.
Використання сучасної електронної обчислювальної техніки в
школі ще гостріше ставить питання про вміння учнів правильно оці-
198
нити точність результату та округлити його, якщо відповідь, отрима-
на на екрані ЕОМ, містить, як правило, вісім цифр.
Останнім часом дещо змінився підхід до вивчення правил підрахунку
правильних цифр під час виконання наближених обчислень у шкіль-
них підручниках.
Зазначене вище свідчить про загальну потребу подальшого розро-
блення методики вивчення наближених обчислень у курсі математики
і забезпечення використання здобутих знань і вмінь під час вивчення
суміжних предметів.
Починаючи з 70-х років XX ст. шкільні програми і підручники з
алгебри передбачали (і передбачають нині) вивчення наближених
обчислень в три етапи. Пропедевтика їх здійснюється ще в почат-
ковій шкапі. Під час вимірювання довжин відрізків учні дістають
наближені значення й округлюють результат. Не вживаючи термі-
нології наближених обчислень, вони послуговуються висловами
«близько 3 дм», «трохи менше ніж 12 см». Виконуючи ділення з
остачею, записують округлений результат у вигляді 65 : 8 = 8 (ос-
тача 1).
На першому етапі в курсі математики 5 — 6 класів вивчають елемен-
ти наближених обчислень. Зокрема, у 5 класі вперше вводять поняття
про округлення чисел, термін «наближено дорівнює» та відповідний
символ «~», формулюють правила округлення натуральних чисел і
десяткових дробів. У 6 класі здобуті знання і навички закріплюються
і застосовуються під час вивчення періодичного десяткового дробу,
десяткового наближення звичайного дробу.
Курс алгебри передбачав два наступні етапи вивчення наближених
обчислень. У 7 класі, за підручником [9], після вивчення одночленів
розглядалася тема «Абсолютна і відносна похибки». Практика пока-
зала, що ця тема виявилась ізольованою від її застосувань у курсі
алгебри 7 класу. На останньому, третьому, етапі у 8 класі після ви-
вчення числових нерівностей передбачена самостійна тема «Наближе-
ні обчислення», в якій розглядають питання запису наближених зна-
чень, дії над ними за способом підрахунку правильних цифр і обчис-
лення з наближеними даними на мікрокалькуляторі.
За програмою [302] відомості про наближені обчислення, зосере-
джені в одній темі курсу алгебри 9 класу «Елементи прикладної мате-
матики», що занадто пізно, оскільки позбавляє можливості використову-
вати їх у геометрії та фізиці.
Формування основних понять теми. Уперше необхідність упрова-
дження в практику наближених обчислень переконливо показав
О. М. Крилов (1863—1945). У його праці «Лекції з наближених об-
числень» розглянуто питання теорії, практичні правила наближених
обчислень. Він звернув увагу на те, що інженери і техніки, які не
знають правил наближених обчислень, виконують під час разрахунків
понад 90 % зайвої роботи.
199
Методичні основи вивчення наближених обчислень у школі заклав
В. М. Брадіс. Донедавна навчально-методична література ґрунтувалась
на правилах наближених обчислень за способом підрахунку правиль-
них цифр і на методичних підходах, розроблених О. М. Крилевим і
В. М. Брадісом. Відповідно до них у разі виконання дій додавання та
віднімання у результаті підраховували кількість правильних десятко-
вих знаків, а в діях множення і ділення — кількість правильних зна-
чущих цифр. Основними в теорії наближених обчислень є поняття:
«точне і наближене значення числа (величини)», «абсолютна похиб-
ка», «відносна похибка», «значущі цифри», «точність наближеного
значення», «правильні цифри».
Формуючи поняття «точне і наближене значення числа», «набли-
жене значення величини», потрібно систематизувати відомі учням
джерела отримання наближених значень.
1. Наближені значення завжди отримують під час вимірювання
будь-яких величин (довжини, площі, об’єму, ваги, часу, температури
тощо). При вимірюванні довжини в різних галузях практичної діяль-
ності застосовують не тільки певні одиниці довжини, а також і кратні
їм, обов’язково більші. Дрібніші одиниці та їх частки до уваги не бе-
руть. Наприклад, відстань від Києва до Львова залізницею 862 км
наводиться в кілометрах, частками кілометра нехтують. Вимірюючи
розміри поля, беруть до уваги лише цілі метри. Кажуть, що поле має
довжину 283 м і ширину 195 м, хоча насправді ці довжини на якісь
частки метра більші або менші. Кравці «знімають мірку» з точністю
до сантиметра, учнівські креслення в зошитах виконують з точністю
до 1 мм, тоді як технічні креслення подають з точністю до десятих
часток міліметра, а на годинникових заводах працюють з точністю до
мікрометра. Зважуючи продовольчі товари покупцям, беруть до уваги
лише грами, а виготовляючи ліки, в аптеці зважують компоненти в
десятих і навіть сотих грамах (дециграмах і сантиграмах). Час прове-
дення уроку вимірюють з точністю до хвилини, а оцінюючи результа-
ти на спортивних змаганнях, фіксують не тільки секунди, а й десяті
та соті їх частки.
Отже, у разі вимірювання будь-яких величин за допомогою вимі-
рювальних приладів погрібно враховувати точність приладу (на ньо-
му завжди зазначено можливу похибку виміру) й умови задачі щодо
потрібної точності результату. Точних значень неперервних величин
визначити неможливо, похибки вимірів виникають об’єктивно через
недосконалість вимірювальних приладів і фізіологічних можливостей
людини щодо виконування вимірювань. Значення неперервної вели-
чини завжди описують двома моделями: а) точне значення величини —
така модель є абстракцією на зразок точки або прямої в геометрії,
використовують її лише в теоретичних дослідженнях; б) наближене
значення величини — модель, яку використовують на практиці. Точні
значення можна отримати під час вимірювання дискретних величин,
200
тобто таких, які можна вимірювати, послуговуючись лише натураль-
ними числами (наприклад, кількість учнів у школі, кількість поїздів).
2. Під час лічби також часто отримують наближені значення. На-
приклад, якщо запропонувати кільком особам порахувати кількість
дерев у великому парку, то у кожного з них виявиться різний резуль-
тат. Як наближене значення в такому разі використовують середнє
арифметичне результатів тих, хто рахував дерева в парку. Якщо
кажуть, що бібліотека має книжковий фонд 18 000 примірників, то
мають на увазі, що не число є наближеним значенням кількості
книжок в бібліотеці.
3. Наближені значення дістають при округленні чисел, наприклад
нескінченних періодичних дробів та ірраціональних чисел, результа-
тів ділення чисел, якщо виконують ділення з остачею.
Зауважимо, що у попередніх виданнях навчально-методичної літера-
тури використовували термін «наближене число», від вживання якого
нині відмовились, оскільки спроби розкрити смисл цього поняття при-
зводили до логічного «порочного кола». Справді, на запитання «Які чи-
сла називають наближеними?», відповідали: «Ті, які з похибкою дають
значення числа або величини». «А що таке похибка?» Відповідь: «Це
різниця між точним і наближеним числами».
Поняття про абсолютну та відносну похибки найдоцільніше вводи-
ти на прикладах наближень відомих чисел. Для цього можна взяти
наближення числа п, зокрема ті, які були знайдено давніми матема-
тиками (наближення і а5 ):
«, =3; с2=3,14; «з = 3,2; «4 = ^ = 3,1428571...;
с =^| = 3,1415828....
3 113
Використовуючи зображення цих наближень на координатній пря-
мій і поняття відстані між двома точками, заданими їх координатами,
логічно ввести означення абсолютної похибки як модуля різниці точ-
ного і наближеного значень числа (величини). Можна скористатися
. к 2
десятковими наближеннями звичайного дробу —, які виражаються
нескінченним десятковим дробом. Тоді абсолютна похибка наближен-
ня 0,667 дорівнюватиме |^-0,66?|
Термін «абсолютна похибка» тут застосовано не в розумінні старої
назви «абсолютна величина числа», замість якої нині вживають тер-
мін «модуль». Істотним є той факт, що похибку вимірюють у тих са-
мих одиницях, що й саму вимірювану величину.
Відносна похибка характеризує якість вимірювання, тому її при-
родно вводити на прикладі, який показує неможливість використання
201
абсолютної похибки для порівняння якості вимірювання однорідних
величин. Це вдало зроблено в підручнику [9]. Слід зауважити, що
оскільки абсолютна похибка і вимірювана величина подаються одна-
ковими одиницями, то їх відношення (відносна похибка) виражається
абстрактним числом, яке найчастіше наводять у процентах.
З поняттям абсолютної похибки безпосередньо пов’язане поняття
«правильна цифра» наближення. Раніше в навчально-методичній лі-
тературі з теорії та практики наближених обчислень правильною ци-
фрою наближеного значення називали таку цифру розряду, за якої
абсолютна похибка наближення не перевищувала половини одиниці
цього розряду. У сучасній літературі означення правильної цифри
передбачає, що абсолютна похибка не повинна перевищувати одини-
цю відповідного розряду.
Уся практика наближених обчислень спрямована па опанування
уміння записувати результат вимірювань і обчислень лише з правиль-
ними цифрами.
Шкільна практика свідчить, що не всі учні свідомо сприймають
означення значущих цифр наближення, дехто з них плутає значуші
цифри з десятковими знаками. Трапляються помилки, пов’язані з на-
маганням окремих учнів відкидати нуль (або кілька нулів) наприкін-
ці дробової частини наближеного значення, записаного у вигляді де-
сяткового дробу. Це призводило до помилок у підрахунку кількості
значущих цифр наближення.
Означення значущих цифр досить чітке і, здається, не спричинює
труднощів у сприйнятті учнями: значущими цифрами наближеного
значення називають всі його цифри, крім нулів на початку числа.
Наприклад, число 0,0093 має дві значущі цифри, але чотири десятко-
ві знаки. Потрібно розв’язати певну кількість різноманітних усних
вправ на визначення учнями кількості значущих цифр наближення.
У цьому наборі вправ мають бути і такі, в яких нуль міститься напри-
кінці дробової частини, наприклад, 52,40; 9,0. Якщо відкинути нуль в
кінці наближення, то відразу зміниться точність наближеного значен-
ня. Це істотно, адже якщо токареві потрібно виточити деталь за роз-
міром 29,0 мм, а він не візьме до уваги нуль наприкінці числа, то де-
таль може виявитися бракованою.
У шкільній практиці виникало питання, чи вважати нуль (або кіль-
ка нулів) наприкінці цілого числа значущим. Наприклад, господарст-
во зібрало 125 000 т зерна. Чи будуть нулі наприкінці значущими?
Це залежить від того, чи міститься нуль у розряді, з точністю до яко-
го взяте число. Якщо наближене значення взяте з точністю до 1, то
всі три нулі наприкінці — значущі, якщо до десятків — то лише два
нулі, що містяться в розряді десятків і сотень, є значущими.
Такої неоднозначності щодо характеру нулів наприкінці цілого чи-
сла легко уникнути, якщо вважати, іцо введене означення значущих
цифр стосується лише наближених значень, записаних у вигляді де-
202
сяткового дробу. Так можна записувати і цілі числа, якщо записувати
їх у стандартному вигляді с-10п, де 1 < а < 10, п — ціле число, і в
співмножнику с, наведеному у вигляді десяткового дробу, писати ли-
ше правильні цифри.
У такому разі число 125 000, взяте з точністю до десятків, потріб-
но записати у вигляді 1,2500-105. У цьому числі п’ять значущих цифр.
У точному значенні слід вважати безліч значущих цифр, оскільки
завжди можна дописати нулі наприкінці дробової частини.
Дії над наближеними значеннями. Під час повторення правил
округлення натуральних чисел і десяткових дробів доцільно сформу-
лювати їх у вигляді чіткого алгоритму.
Для того щоб округлити натуральне число до певного розряду, по-
трібно:
1) замінити пулями всі наступні за цим розрядом цифри;
2) останню збережену цифру не змінювати, якшо першою відкину-
тою цифрою була 0, 1,2, 3, 4;
3) останню збережену цифру збільшити на одиницю, якщо першою
за цим розрядом цифрою була 5, 6, 7, 8 або 9.
Шкільна практика показує, що під час вивчення округлення десят-
кових дробів не можна обмежуватися лише правилом округлення
дробу до певного десяткового знака або одиниці. Адже десяткові дро-
би доводиться округлювати і до певного розряду цілої частини. До-
цільно сформулювати учням два правила округлення десяткових дро-
бів і рекомендувати використовувати те, яке потрібне в конкретному
випадку.
Правило 11.1. Для того щоб округлити десятковий дріб до якого-
иебудь десяткового знака або до розряду одиниць, потрібно: 1) від-
кинути всі десяткові знаки, що містяться після цього десяткового зна-
ка (або розряду одиниць), 2) останню збережену цифру залишити без
зміни, якщо першою відкинутою цифрою була 0, 1,2, 3, 4; 3) остан-
ню збережену цифру збільшити на одиницю, якщо перша з відкину-
тих цифр була 5, 6, 7, 8 або 9.
Правило 11.2. Для того щоб округлити десятковий дріб до якого-
небудь розряду цілої частини, потрібно: 1) відкинути всі цифри дро-
бової частини; 2) цілу частину округлити за правилом округлення
натуральних чисел.
Перш ніж приступати до вивчення арифметичних дій над набли-
женими значеннями, доцільно сформулювати правило запису набли-
жених значень О. М. Крилева: наближений результат слід запису-
вати так, щоб остання цифра вказувала на його точність; всі циф-
ри, крім останньої, мають бути правильними і лише в останній до-
пустима невелика похибка.
Слід зазначити, що у фізиці, хімії, технічних науках наближені
значення записують здебільшого у стандартному вигляді, використо-
203
вуючи записи на зразок т = а±к, де а — наближене значення т, к —
число, що його не перевищує абсолютна похибка наближення.
Число А називають точністю обчислень. Молодший розряд числа А
має відповідати молодшому розряду числа а.
Доцільно звернути увагу учнів на можливе використання знаків
««» і «=» у запису наближених значень. Якщо потрібно позначити,
що а є наближеним значенням т без зазначення точності наближення,
то вживають запис т = а. Якщо їп записують як суму його набли-
ження а і числа А, що його не перевищує абсолютна похибка, послу-
говуються знаком рівності: т = а ± к.
У підручниках, навчальних посібниках і науково-технічній літера-
турі для запису наближених значень за допомогою лише правильних
цифр часто використовують знак «-» замість « = ».
Для практики наближених обчислень важливо навчити учнів ви-
значати абсолютну похибку наближених значень, записаних у стандарт-
ному вигляді, за натуральних і цілих від’ємних п, якщо всі цифри
наближення правильні. В цьому разі є нагода реалізувати міжпредмет-
ні зв’язки з курсами фізики, хімії.
Приклад 11.1. Оцінити абсолютну похибку (тобто знайти А) наближеного
значення швидкості електрона V = 6 • 106 м/с.
Розв’язання. о-(6±1)Л06 - 6-ІО6 +1-106 = 6-106±І06.
Отже, /? - 10^, тобто швидкість електрона наведено з точністю до 1 000 000 м/с.
Це означає: V змінюється від 6 000 000 -1 000 000 до 6 000 000 + 1 000 000 м/с.
Приклад 11.2. Оцінити абсолютну похибку заряду електрона ц - 1,6-10-19 Кл.
Розв’язання. <? = (1,6 ± 0,1) 10"19 = 1.6 1 <Г19 ± 0,1 -10“19 = 1.6 ІО'19 + 1СГ20. Отже,
і /; = 10Ж
Проаналізувавши розв’язування цих прикладів, учні самі зможуть
сформулювати алгоритм визначення точності А наближення, заданого
у стандартному вигляді. Для цього потрібно: 1) у виразі с-10” запи-
сати множник а у вигляді а ± А; 2) відкрити дужки і, перетворивши
добуток степенів, записати вираз у вигляді ±Ар Значення А| і буде
шуканою абсолютною точністю наближення.
Дещо інакше оцінюють відносну точність наближення, записаного
у стандартному вигляді. Повернемося до прикладу 11.1. Відносною
похибкою називають відношення абсолютної похибки до модуля на-
ближеного значення. Оскільки точне значення абсолютної похибки,
як правило, невідоме, то доводиться мати справу з числом А, якого
вона не перевищує. Число А називають границею абсолютної похибки.
Тоді число (границя), що його не перевищить відносна похибка,
204
знайдемо як дріб Д-. У прикладі 11.1 с = ^ < 1 (округлюємо в
И 6-Ю6 6
л- \ лл • її •> А 1О-20 10"1 11 п і
бік збільшення). У прикладі 11.2 т-т =---77г = , = -777 < тд - Ц1 -
Н 1,6-10"19 !>6 16 10
В обох прикладах границя відносної похибки (відносна точність) ви-
явилася меншою за одиницю останнього розряду в запису наближен-
ня (числа а).
Потрібно звернути увагу учнів на таке: може здатися, що абсолют-
ну і відносну точність наближення, записаного у стандартному вигля-
ді, шукають однаково. Насправді це не так. Якщо відносну точність
наближення можна відразу визначити за одиницею останнього розря-
ду наближення а, то для обчислення абсолютної похибки доведеться
спочатку записати множник а у вигляді суми (я±Л) і лише після
перетворення отриманого виразу знайти абсолютну точність.
Якщо наближені обчислення вивчають за традиційною методичною
схемою, то після введення понять правильної та значущої цифр на-
ближення формулюють два правила дій над наближеними значення-
ми, записаними лише з правильними цифрами.
Правило 11.3. При додаванні та відніманні наближених значень
у результаті слід зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх у
заданому наближеному значенні з найменшою кількістю десяткових
знаків.
Правило 11.4. При множенні та діленні наближених значень
у результаті слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має
задане наближене значення з найменшою кількістю значущих
цифр.
Оскільки піднесення до степеня — це множення однакових спів-
множників, а добування кореня є оберненою дією до дії піднесення
до степеня, то в результаті слід зберігати стільки значущих цифр,
скільки їх було в основі степеня (підкореневому числі). За великої
кількості співмножників (великого значення показника степеня) по-
хибка швидко збільшується. Навпаки, під час добування кореня збіль-
шення показника кореня зменшує похибку результату.
У разі обчислення значень виразів, які містять кілька дій, часто
користуються правилом запасної цифри: в проміжних діях залишають
на одну цифру більше, ніж передбачає правило виконуваної дії. В
останній дії запасну цифру відкидають за правилами округлення. За-
пасну цифру інколи підкреслюють рискою.
В останньому виданні підручника алгебри [10] при виконанні до-
давання та віднімання наближених значень в результаті, як і раніше,
підраховують кількість правильних десяткових знаків. Правило дода-
вання та віднімання наближених значень ґрунтується на методі меж.
Перед виконанням дії множення і ділення поняття значущої цифри не
205
вводять, а в результаті цих дій підраховують також кількість правиль-
них десяткових знаків за умови попереднього подання даних і ре-
зультату в стандартному вигляді. Справді, при виконанні множення
та ділення враховується не абсолютна, а відносна точність. У набли-
женні, записаному в стандартному вигляді, за останнім десятковим
знаком можна визначити відносну точність. Що більше десяткових
знаків у певному множнику, то менша відносна похибка (більша від-
носна точність).
Приклад 11.3. Нехай я = 0,28, у ~ 42.3. Знайти наближене значення добутку ху.
Розв’язання. 1) Знайдемо добуток цих десяткових дробів. Дістанемо ху ~
= 11,844.
2) Запишемо задані числа і результат у стандартному вигляді:
0,28 = 2,8-10'1; 42,3 = 4,23-10і; 11,844= 1,1844-10і.
3) Результат округлити за даним, яке має меншу відносну точність, тобто за
першим. Справді, у першому множнику 0,28, записаному в стандартному вигляді
(2,8-10-1є один десятковий знак після коми, а в другому ^4,23-ІСГ1) - два
десяткові знаки. Отже, ху = 1,2-10і = 12.
Приклад 11.4. Нехай х~ 836.7. у = 92. Знайти наближене значення частки
Розв’язання. 1) Знайдемо часту цих наближень. Дістанемо х : у ~ 9,09.
2) Запишемо числа і результат у стандартному вигляді: 836,7 = 8,367 -102;
92 = 9,2-Ю'; 9.09 = 9,09 10°.
3) Результат слід округлити за даним, яке мас меншу відносну точність (мен-
ше десяткових знаків у першому множнику стандартного вигляду). Отже, х:у~
= 9,1-10° =9,1.
Після розв’язування вправ можна сформулювати правила множен-
ня і ділення наближених значень.
Правило 11.5 залишається тим самим, що і в першому методич-
ному варіанті.
Правило 11.6. При множенні та діленні наближених значень по-
трібно: 1) виконати дію так само, як з точними даними; 2) записати
дані та результат у стандартному вигляді; 3) округлити результат у
стандартному вигляді до стількох десяткових знаків, скільки їх має
наближене дане в стандартному вигляді з найменшою кількістю десят-
кових знаків.
Зауважимо, що під час виконання ділення наведених вище чисел в
учнів виникає запитання: «До якого розряду його виконувати, якщо
числа не діляться без остачі?»
У перших прикладах вказівку щодо розряду, до якого потрібно
виконувати ділення, має давати вчитель. Якщо правило вже відоме,
учні самі можуть зорієнтуватися й усно навести дані у стандартному
206
вигляді. Вони зрозуміють, що ке доцільно в стандартному вигляді
частки отримувати десяткових знаків більше, ніж їх має дане з най-
меншою кількістю десяткових знаків.
Розглянутий тут другий методичний варіант має переваги перед
першим у разі, коли обчислення традиційно проводять над числами,
записаними у стандартному вигляді, наприклад, у курсі фізики, ме-
ханіки. Вони полягають у тому, що не потрібно вводити поняття зна-
чущих цифр, а підрахунок кількості правильних цифр результату для
всіх чотирьох дій виконують за кількістю десяткових знаків.
Недоліком цього варіанта є те. шо для дій другого і третього сту-
пеня потрібно подавати дані й результат у стандартному вигляді, а
потім знову повертатись до звичайного вигляду числа.
У зв’язку з вивченням тригонометричних функцій кута і розв’я-
зуванням прямокутних і косокутних трикутників доводиться розв’я-
зувати задачі не тільки з точними, а й з наближеними даними. Прак-
тичні задачі слід обов’язково розв’язувати з наближеними даними.
У таких задачах виникає потреба встановити залежність між точністю
значень лінійних і кутових елементів. Така залежність випливає із
залежності між точністю значень аргументу і тригонометричної функ-
ції. Тут зручно застосовувати поняття значущих цифр числа. Щоб
пояснити учням об’єктивну залежність без строгого обґрунтування
(таке обґрунтування здійснюють за допомогою теорії ймовірностей),
доцільно звернутися до чотиризначних таблиць значень тригономет-
ричних функцій В. М. Брадіса.
Нехай наближене значення тангенса відоме з двома значущими
цифрами (тобто з відносною точністю до 0,1). Наприклад, ~ 2,1.
Виникає запитання: «Яке наближене значення кута доцільно взяти з
таблиці?»
Округлюючи табличні значення тангенса до двох значущих цифр,
учні переконуються, що перші дві цифри 2 і 1 мають тангенси кутів від
64°00' до 65°00/. Цс свідчить, що кількість мінут і десятків міну г шука-
ного значення кута правильно визначити не можна. Тому шуканий кут,
взятий за таблицею чи мікрокалькулятором, слід округлити до 1°, тобто
х = 64° або х ~ 65°. У цих наближеіпіях х обидві цифри правильні.
Аналогічно можна показати, шо коли наближене значення функції
відоме з трьома значущими цифрами, то шуканий кут, взятий за табли-
цею чи мікрокалькулятором, доцільно округлити до цілого десятка мі-
нут, з чотирма значущими цифрами — до однієї мінути. Ці правила не
поширюються на куги, близькі до 0° і до 90°. Наприклад, для визначен-
ня з точністю понад 1° малих кутів (від 0° до 5,42°) досить знати зна-
чення синуса або тангенса з трьома значущими цифрами; для кутів,
близьких до 90°, за трьома значущими цифрами можна знайти значення
кута не точніше ніж до 1°. Проте такі кути на практиці трапляються не
часто.
207
Залежність між точністю значень лінійних і кутових елементів
можна пояснити учням на прикладі розв’язування прямокутного
трикутника.
Задача 11.1. Дано: д«25см, с ~ 35 см. Знайти: Ь, А. В, 5.
Розв’язання. 1) 5іпД = £; 5іпЛ = || = 0,71; Л = 46°; 2) В = 90°-Л; В = 90°-
-46” = 44°; 3) Ь = сса,Л- Ь = 35 с<ж 46° = 35 0,70 - 24,5 -25(см); 4) .5=|оЬ,
5 = ^25 • 25 = 312,5 « 310 (з точністю до десятків).
В умовах практичних задач слід враховувати залежність між точ-
ністю лінійних і кутових елементів: якщо лінійні елементи задано з
двома значущими цифрами, то кутові елементи не доцільно задавати
точніше, ніж до 1°, якщо з трьома зна-
чущими цифрами — точніше, ніж до
цілого десятка мінут, якщо з чотирма
значущими цифрами, — точніше, ніж
до однієї мінутм. Навпаки, якщо кут
відомий з точністю до 1°, немає сенсу
лінійні елементи визначати точніше, ніж
до двох значущих цифр.
Задача 11.2. Визначити висоту предмета,
до основи якого можна підійти. Наприклад,
визначити висоту школи за допомогою шкіль-
ного екліметра (прилад, який вимірює кути,
що лежать у вертикальній площині, і забезпе-
чує точність вимірювання не більше ніж до 1°)
(рис. 11.4).
Результати вимірювань: ЕА = 15 м, Л ~ 1,6 м, а = 48° (Л = ЕЕ — зріст учня,
який вимірював кут а за допомогою екліметра).
Розв’язання. АВ = АС + СВ; АС = ЕЕ = Л; ЕС = ЕА .
Отже, СВ~ 15 -Ій48° ==15 -1,11 = 16,7; АВ ~ 16,7 +1,6 = 18,3 «18 (м).
11.4. Вирази та їх перетворення
Вивченню різновидів виразів і перетворенню їх відведено в курсі ал-
гебри значну частину навчального часу. Це не дивно, оскільки перетво-
рення виразів є основою для розв’язування рівнянь і нерівностей, дове-
дення тотожностей, обчислення значень буквених виразів. їх широко
використовують у диференціальному і і інтегральному численні.
З найпростішими числовими і буквеними виразами учні ознайоми-
лись у 1—6 класах, вивчали найпростіші перетворення виразів за за-
конами арифметичних дій. У курсі алгебри постає завдання — на ос-
208
нові вже здобутих знань і умінь систематизувати, поглибити і розши-
рити знання, навички й уміння учнів про вирази та їх перетворення,
навчити цілеспрямовано використовувати їх під час виконання різних
навчальних задач (спрощення виразів, розв’язування рівнянь нерів-
ностей, доведення тотожностей та ін.).
Програма передбачає в 7 класі повторити й уточнити відомості про
числові та буквені вирази, формули, ввести поняття про тотожно рівні
вирази, тотожність, тотожні перетворення виразів. У цьому класі вивча-
ють тотожні перетворення цілих виразів (одночленів і багаточленів),
формули скороченого множення та застосування їх до перетворення ба-
гаточленів.
У 8 класі передбачено вивчення тотожних перетворень раціональ-
них дробів, дробових виразів і перетворень ірраціональних виразів,
пов’язаних з квадратним коренем. Розширюється поняття степеня.
Зокрема, вводять поняття степеня з цілим від’ємним показником і
розглядають перетворення найпростіших виразів, що містять степені з
від’ємним показником.
У 9 класі тотожні перетворення цілих і дробових виразів викорис-
товуються для розв’язування рівнянь, нерівностей, систем рівнянь. Ви-
вчається спеціальне перетворення — розкладання квадратного тричлена
на множники, яке використовується для виведення загальної формули
коренів квадратного рівняння, побудови графіка квадратичної функції.
Вимоги до знань і вмінь, набутих в результаті вивчення виразів та
їх перетворень, можна сформулювати так:
розрізняти числові й буквені вирази;
розуміти зміст степеня з натуральним показником, одночлена, ба-
гаточлена, алгебраїчного дробу, цілих і дробових виразів, степеня з
цілим показником;
уміти зводити до стандартного вигляду одночлени і багаточлени;
знати формули скороченого множення й уміти застосовувати їх до
тотожних перетворень виразів;
уміти додавати, віднімати, множити багаточлени і розкладати їх на
множники;
уміти скорочувати, додавати, віднімати, множити, ділити алгебраїч-
ні дроби;
уміти зводити дробові вирази до вигляду дробу;
уміти перетворювати вирази, що містять квадратні корені.
У традиційних підручниках алгебри, зокрема в підручнику А. П. Ки-
сельова, у зв’язку з вивченням тотожних перетворень виразів розгля-
дались дії додавання, віднімання, множення та ділення одночленів,
багаточленів, алгебраїчних дробів. У цьому разі в 6 класі (за старою
нумерацією) вивчали лише прямі перетворення (додавання, множен-
ня, ділення цілих виразів), а в 7 класі — обернені (розкладання ба-
гаточленів на множники). Це «відривало» тотожні перетворення від
їх застосувань і призводило до формалізації навчання алгебри.
209
З цього приводу В. Л. Гончаров (1896 — 1955) у 1953 р. зазначав,
що як би школа не поспішала приголомшувати учнів громіздкими
вправами в буквених перетвореннях і розвивала формальну техніку в
міру потреби, ретельно з’ясовуючи логіку операцій, то вивчення алгеб-
ри стало би більш плідним, а також і легшим для пересічного учня.
У попередніх виданнях підручника алгебри за редакцією О. І. Мар-
кушевича було реалізовано саме такий методичний підхід до вивчення
тотожних перетворень виразів. В основу цього підходу покладено та-
кож ідеї Г. Б. Гуревича, які він виклав у журналі «Математика в
школе», № 6 за 1962 р. в статті «Про терминологию начальной алге-
бри». Г. Б. Гуревич запропонував відмовитись в алгебрі від терміна
«дії над виразами», оскільки, наприклад, дій додавання одночленів
або багаточленів взагалі не існує. Цю дію можна лише позначити, а
виконати можна лише тоді, коли виконано підстановку числових зна-
чень букв. Справді, після позначення додавання або віднімання вико-
нується тотожне перетворення позначеного виразу — зведення його
до стандартного вигляду багаточлена. Взагалі всі операції початкової
алгебри — це перетворення виразів на тотожно рівні їм. Згідно з та-
ким підходом потрібно говорити не про додавання і віднімання дро-
бів, а про перетворення суми й різниці дробів на дріб, чисельник і
знаменник якого є багаточленами стандартного вигляду. Ділення од-
ночленів і багаточленів пропонувалось не розглядати. Спроба впрова-
дити таку термінологію виявилась невдалою, і автори підручника
алгебри повернулися до традиційної термінології, зручнішої для
учнів. Зауважимо, що дія ділення одночленів та багаточленів і нині в
школі не вводиться. Послідовність розгляду тотожних перетворень, за
якої прямі й обернені перетворення вивчають паралельно, виявилася
вдалою, її залишено в чинних підручниках алгебри.
Формування основних понять. Основними поняттями теми є такі:
«числовий вираз», «вирази зі змінними» або «буквений вираз», «тотож-
но рівні вирази», «тотожність», «тотожне перетворення виразу», «одно-
член», «багаточлен», «дріб», «дробовий вираз», «раціональні вирази».
З поняттями «вираз», «значення виразу» і відповідними термінами
учні ознайомлювались ще в початковій школі, де вони мали справу зде-
більшого з числовими виразами. Прості буквені вирази їм також трапля-
лись. У 5 — 6 класах було поглиблено відомості про числові іі буквені
вирази; розглянуто найпростіші тотожні перетворення без використання
відповідного терміна — йшлося про «спрощення виразів».
У шкільному курсі математики означення поняття «вираз» давати
недоцільно, адже сформулювати таке означення складно. Поняття
про вирази (числові й буквені), тобто вирази зі змінною, формують
описово на конкретних прикладах. Учні мають навчитися розрізняти
числові й буквені вирази. Щодо окремих видів виразів, то їх вводять
поступово, з вивченням програмного матеріалу. Важливими при цьо-
му є формування усної алгебраїчної мови, правильна орієнтація у
210
різновидах виразів та їхніх назвах. Учні мають усвідомити, що назва
виразу визначається не тим виглядом, до якого його можна звести, а
тим, який він має при заданні.
Поняття тотожно рівних виразів, тотожності вперше вводять до
курсу алгебри 7 класу на рівні означень. Поняття тотожних перетво-
рень виразів пояснюють описово на прикладах. Досвід показує, що
поняття тотожно рівних виразів і тотожних перетворень виразів недо-
цільно розривати, як це зроблено, наприклад, в [9]. Природніше ці
поняття запроваджувати на одному уроці, пов’язавши з потребою об-
числення виразу. Проаналізуємо, як проводить такий урок учителька
з м. Донецька В. П. Іржавцева.
На початку уроку вчителька пропонує учням швидко обчислити
значення трьох виразів, записаних на дошці:
1) 2-2,5 +3-(12,5-6,25)+17-6,25+5-12,5+6-6,25 =
2) 2 (-2) + 3 (-2 - (-6)) + 17 (-6) + 5(-2) + 6 (-6) =
3) 2І + 3(|-(-Д) +17(-|) + 5І + б(-|) =
2 \2 \ 4// \ 4/ 2 \ 4/
Зробити це швидко безпосередніми обчисленнями неможливо. Учням
пропонується порівняти ці три вирази, знайти і виокремити в них спільне.
Учні помічають, що всі три вирази мають однакові співмножники
2, 3, 17, 5 і 6. Змінюються лише другі співмножники і числа в дуж-
ках. Вчителька пропонує використати букви для позначення змінних і
записати всі три вирази у вигляді одного виразу зі змінними.
Учні називають вираз
2а + 3 (а - Ь) +17Ь + 5а + 6Ь =
і відразу пропонують спростити його. На дошці виконують перетво-
рення
2а + 3(а - Ь) + 176 + 5а + 66 = (1)
= 2а + За - ЗЬ +17Ь + 5а + 66 = (2)
= (2«+ 3а + 5«) +(-36 + 176 + 66) = 10« + 206 = - (3)
У цьому разі перехід до нового виразу обґрунтовується законами дій.
Учителька пропонує учням усно обчислити значення виразу (3) за
а = 12,5, 6 = 6,25 і звертає увагу на те, що цих за самих значень а і 6
значення виразів (1) і (2) також дорівнює 250, але обчислювати їх дове-
деться значно довше. Вирази (1) —(3) називають тотожно рівними. Піс-
ля цього вчителька формулює означення тотожно рівних виразів. Учні
наводять приклади таких виразів, розв’язують відповідні вправи за під-
ручником.
Після цього учні усно обчислюють значення виразу (3) за а = -2,
1 1
6 =-6 і а = —, Ь = —Дістають відповідно числа -140 і 0. Вчителька
2 4
211
зауважує, що ці самі величини отримують у разі підстановки наведених
значень а і Ь у вирази (1) і (2), але обчислити їх значно важче.
Вдаючись знову до виразів (1) —(3), вчителька запроваджує
поняття тотожного перетворення виразу і наголошує, що раніше,
спрощуючи вирази на основі законів арифметичних дій, учні фактич-
но виконували їх тотожні перетворення. Робота завершується
розв’язуванням вправ на тотожні перетворення виразів.
Зауважимо, що окремі вчителі після розгляду відповідних прикла-
дів намагаються використати проблемну ситуацію і досягти того, щоб
учні самостійно сформулювали означення тотожно рівних виразів.
Досвід показує, що чинити так недоцільно, оскільки і за стилем ре-
чення, і за змістом означення це завдання спричинює труднощі в уч-
нів (хоча вони вільно наводять приклади) і призводить до марнуван-
ня навчального часу на уроці.
Вдалим у наведеному уроці є те, що вчителька підвела учнів до
потреби виконати узагальнення і слушно мотивувала потребу вико-
нання тотожного перетворення з метою спрощення виразів.
Поняття і відповідне означення тотожності доцільно розглянути на
наступному уроці. Слід мати на увазі, що означення тотожності в
7 класі вводять на множині цілих виразів. У 8 класі це поняття роз-
ширюють і дають нове означення тотожності як рівності, правильної
не за будь-яких значень змінних, а лише за всіх допустимих значень
змінних, які вона містить.
Поняття одночлена формують конкретно-індуктивним методом,
розглядаючи приклади і вводячи термін «одночлен». Важливо, щоб
учні усвідомили істотну властивість одночленів, за якою вони відрізня-
ються від інших видів виразів: одночлени є добутком чисел, змінних і
степенів змінних. Неістотною властивістю одночленів є числовий множ-
ник. Він може бути будь-яким числом — цілим, дробовим, додатним,
від’ємним, може дорівнювати одиниці. У такому разі одиницю перед
буквеними множниками не записують. Неістотним є і те, скільки змін-
них та їх степенів містить одночлен і якими буквами їх позначено.
Істотним є те, що ця кількість змінних скінченна. Одночленом може
1
бути число, наприклад, 5; ; 2,95.
Поняття стандартного вигляду одночлена, степеня одночлена та-
кож вводять описово на конкретних прикладах.
Поняття багаточлена не спричинює труднощів і означається як су-
ма одночленів.
Практика доводить, що складнішими для сприймання учнями 8 кла-
су є поняття «цілий вираз», «дробовий вираз» і «дріб». Пов’язано це
насамперед із тим, шо термін «цілий вираз» в учнів асоціюється з
поняттям цілого числа, а «дріб» — з поняттям звичайного дробу як
числа. Насправді відоме учням поняття дробу є лише формою запису
числа (числового виразу).
212
У 8 класі доцільно уточнити, узагальнити і розширити уявлення
учнів про вирази. Почати слід з поняття раціональних виразів: раціо-
нальними називають вирази, які утворені з чисел і букв за допомогою
дій додавання, віднімання, множення, ділення. Наприклад,
5^2 27т 42 _25; |. Х + Д
п 5 1 - 6т З 9л-2
1 - 6т ’
Раціональні числа можна розподілити на два класи: цілі числа та
дробові числа. Так само і раціональні вирази можна розподілити на
два класи: цілі вирази і дробові вирази.
Цілими називають вирази, складені з чисел і змінних за допомо-
гою дій додавання, віднімання, множення та ділення на число, від-
мінне від нуля.
Дробовими раціональними виразами називають раціональні вирази,
які містять дію ділення на змінну або на вираз із змінною (буквою).
Згідно з цими означеннями з наведених вище раціональних виразів
с 2 а2+Ь2 •> г- 2 • 1,1т 2т
вирази 5хц ; -—-—; 42; -2,5; — є цілими, а вирази ——-; -——;
^ 5 3 п 1-6т
7у
X +—— дробовими.
(.)х2
Із раціональних виразів виокремлюють раціональні дроби. Раціо-
нальним дробом називають вираз вигляду де а і Ь — одночлени
або багаточлени, тобто числові або буквені вирази. З наведених вище
, а2+Ь2 . 2,7т. 2т 2
виразів раціональними дробами є вирази ---= , ------, -—; —.
О 72 1-6т З
клад, вирази
Після того як учні ознайомляться з ірраціональними, тригономет-
ричними і логарифмічними виразами, можна ввести загальніше по-
няття «дріб». Дробом називають вираз вигляду де а і Ь — будь-
які числові або буквені вирази.
Потрібно домогтися, щоб учні розрізняли поняття «дріб» і «дро-
бовий вираз», адже не будь-який дріб є дробовим виразом. Напри-
2 2
а 5 є раціональними дробами, але не є дробови-
ми виразами. Вирази - — раціональні дроби і дробові
7у , . „
вирази, вираз х+—— — дробовий вираз, але не раціональний дріб.
2х2
Будь-який дробовий раціональний вираз можна перетворити і зве-
сти до вигляду раціонального дробу.
У 8 класі учні вперше ознайомлюються з ірраціональними виразами,
тобто виразами, які містять дію добування кореня зі змінної або виразу,
213
який містить змінну. На цьому етапі навчання вони мають справу лише з
ірраціональними виразами, які містять арифметичні квадратні корені.
Вирази, які містять корені будь-якого степеня, вивчають у курсі алгебри
і початків аналізу. У зв’язку з вивченням тригонометричних функцій
кутів у курсі геометрії 8 класу вперше впроваджуються найпростіші три-
гонометричні вирази і тригонометричні тотожності.
Вивчення тотожних перетворень цілих виразів. Слід мати на
увазі, що перетворення в курсі алгебри розподіляють на два класи:
1) тотожні перетворення — перетворення виразів; 2) рівносильні пе-
ретворення — перетворення формул. У разі потреби спрощення однієї
частини формули в ній виокремлюють вираз, який перетворюється
(використовується певне тотожне перетворення). Відповідний преди-
кат в цьому разі не змінюється. Наприклад, 15х - 6х = 36; 9х = 36.
Шкільна практика свідчить, що для вивчення різних видів тотож-
них перетворень доцільним виявляється алгоритмічний підхід. Це
означає, що вивчення кожного з видів перетворень має завершуватися
(або починатися) формулюванням правила (алгоритму) перетворення.
Першим, новим для учнів перетворенням, яке трапляється в курсі ал-
гебри 7 класу, є зведення одночленів до стандартного вигляду. Мотиву-
ють це перетворення потребою спрощення одночлена, отриманого в ре-
зультаті множення двох одночленів. Важливо при цьому підкреслити
теоретичну основу виконання перетворення: у разі зведення одночлена
до стандартного вигляду використовують переставний, сполучний закони
множення і правило множення степенів з однаковою основою.
Після розгляду кількох прикладів слід сформулювати правило:
для того щоб звести одночлен до стандартного вигляду, потрібно
перемножити числові множники і степені змінних з однією осно-
вою; отримане число поставити в добутку па перше місце.
Вивчення множення одночленів завершується розв’язуванням кіль
кох вправ на виконання оберненого перетворення — подання задано-
го одночлена у вигляді добутку двох одночленів, з яких один має за-
даний вигляд. Наприклад, записати одночлен 48а Ь' с у вигляді до-
бутку двох одночленів, з яких один є 6аЬ2.
Такі вміння будуть потрібні надалі під час розкладання багаточле-
нів на множники.
Піднесення одночленів до степеня не спричинює труднощів в уч-
нів, проте деякі з них забувають підносити до степеня коефіцієнт.
До основних видів тотожних перетворень багаточленів належать:
зведення багаточленів до стандартного вигляду, додавання та відні-
мання багаточленів, множення одночлена на багаточлен і обернене
перетворення (розкладання багаточлена на множники способом вине-
сення спільного множника за дужки), множення багаточлена на бага-
точлен й обернене перетворення (розкладання багаточлена на множ-
ники способом групування).
214
Зведення багаточлена до стандартного вигляду виконують зведен-
ням подібних членів. Це перетворення фактично відоме учням з 5-
6 класів, але там воно мало іншу назву — зведення подібних додан-
ків. Важливо, щоб учні могли пояснити теоретичну основу цього пере-
творення і правило його виконання:
щоб звести подібні члени, потрібно додати їх коефіцієнти і припи-
сати до отриманого числа співмножником спільну буквену частину
подібних членів.
Додавання та віднімання багаточленів є позначення цих дій і зве-
дення подібних членів. При цьому учні мають добре знати правило
відкриття дужок, перед якими стоїть знак «+» або «-».
У курсі алгебри вивчають й обернене перетворення. Тому учні ма-
ють знати правило взяття багаточлена в дужки, якщо перед ними сто-
їть знак «+» або «-».
Множення одночлена на багаточлен також фактично відоме учням
перетворення, яке вони виконували в 5-6 класах, вивчаючи розпо-
дільний закон множення числа стосовно додавання. Труднощі у сприй-
манні виникають в окремих учнів під час вивчення оберненого пере-
творення — розкладання багаточленів на множники способом вине-
сення спільного множника за дужки. Під час вивчення цього тотож-
ного перетворення важливо мотивувати потребу в ньому. Фрагмент
уроку, на якому вводять зазначене перетворення, може бути таким.
Учитель ставить завдання якнайшвидше обчислити суму
23,7 19,9 + 23,7-80,1.
Учні пропонують зробити це так:
23,7(19,9 + 80,1) = 23,7-100 = 2370.
Правомірність такого перетворення обґрунтовують відповідним за-
коном множення.
Потім вчитель пропонує знайти значення виразу
3,28 т: -х2 за х = 2,28.
Слід звернути увагу на те, що, як і в попередньому прикладі, об-
числення набагато спрощується, якщо спочатку випести спільний
множник за дужки. Однак у цьому випадку спільний множник не чи-
сло, а змінна х. Вчитель на дошці, а учні в зошитах виконують запис:
3,28х - х2 = 3,28х - х • х = х(3,28- х) =
= 2,28 (3,28 - 2,28) = 2,28 • 1 = 2,28.
Учитель зауважує, що розглянуті приклади свідчать про зручність
подання заданого багаточлена у вигляді двох або кількох співмнож-
ників. Таке тотожне перетворення називають розкладанням багато-
215
членів на множники, а розглянутий спосіб його виконання — вине-
сенням спільного множника за дужки.
Потім доцільно розглянути приклад, в якому за дужки виносять
степінь змінної.
Наприклад, розкласти на множники багаточлен 3,28т2 -х3.
Учитель на дошці виконує розв’язування:
3,28х2 - х3 = 3,28х2 - х2 - х =
= х2 -3,28-х2 -х - х2(3,28-х).
Нарешті останній крок перед формулюванням правила: потрібно
розкласти на множники тричлен, коефіцієнти членів якого не є взаєм-
но простими числами:
2 2
14х у - 2\ху + 'ІЗху = 7ху 2х - 7ху Зу + 7ху 4 =
= 7ху(2х - Зу + 4).
Учитель коментує кожний крок розв’язування, звертаючи увагу на
те, що для перших прикладів потрібно щоразу спочатку визначити
спільний множник, а потім подати кожний член багаточлена у вигляді
добутку спільного множника й одночлена. Цей добуток і дасть відповід-
ний багаточлен у дужках.
Після розв’язування ще кількох вправ доцільно сформулювати уч-
ням правило розкладання багаточленів на множники способом вине-
сення спільного множника за дужки:
1) знайти спільний множник всіх членів багаточлена;
2) кожний член багаточлена подати у вигляді добутку двох множ-
ників, з яких один спільний;
3) винести спільний множник за дужки, застосовуючи розподіль-
ний закон множення.
Зауважимо, що в традиційному курсі алгебри вивчали дію ділення
одночленів, тому замість другого кроку правила розкладання багато-
членів на множники виконували ділення кожного члена на спільний
множник. Сучасна методична система рекомендує під час розв’я-
зування перших прикладів другий крок виконувати письмово. Надалі
це можна робити усно.
Практика доводить доцільність формулювання спеціального пра-
вила відшукання спільного множника членів багаточлена. Для цього
потрібно:
1) знайти найбільший спільний дільник всіх коефіцієнтів членів;
2) помножити його на степені змінних з найменшим показником, з
яким вони входять до всіх членів багаточлена.
Типовою помилкою, якої учні припускаються, виконуючи зазначе-
не тотожне перетворення, є така: учні не ставлять в дужках число 1
замість члена, який збігається зі спільним множником після його ви-
216
несення за дужки. Тому прикладам на зразок 18х3 - 12.x2 + 6х =
= 6х (Зх2 - 2х +1) потрібно приділити належну увагу.
Формули скороченого множення. У 7 класі чинна програма пе-
редбачає вивчення п’яти формул скороченого множення:
(а ± Ь)2 = а2 ± 2аЬ + Ь2;
(а - б)(а + б) = а2 - б2; (а ±Ь)(а2 ±аЬ +б2) = а3 ±Ь3.
У курсах алгебри деяких зарубіжних шкіл розглядають також фор-
мулу (х +а)(х +Ь) = х2 + (а + Ь)х + аЬ.
Доведення формул скороченого мно-
ження не спричинює труднощів. Вони
виникають у частини учнів під час засто-
сування формул, особливо у зворотному
порядку. Запам’ятовуванню та застосу-
ванню формул сприяє вміння учнів сло-
весно сформулювати їх. Запам’ятовуван-
ню формул також сприяє їх геометричне
тлумачення (рис. 11.5).
Перш ніж застосовувати формули ско-
роченого множення виразів і виконувати
обернене перетворення, потрібно розв’я-
зати кілька усних вправ на знаходження
квадратів одночленів з числовими
коефіцієнтами, на запис одночлена у вигляді квадрата одночлена.
На рівні поглибленого вивчення курсу доцільно ознайомити учнів
з формулами (а + Ь)3 = а3 ± За2Ь + ЗаЬ2 ± Ь3. Формули скороченого
множення вивчають і застосовують і в наступних класах. У 8 класі —
це формула різниці квадратів, за допомогою якої позбуваються ірра-
ціональності в знаменнику дробу (наприклад, у дробах , ;
<3 + 1
_ а—=; —33 . —) у д класі уЧНям доводиться вилучати з
у/а +\ІЬ 7 - За/3 а-у!Ь
квадратного тричлена квадрат двочлена під час виведення формули
коренів квадратного рівняння та побудови графіка квадратного три-
члена. У зв’язку з вивченням геометричної прогресії (9 клас) учнів
ознайомлюють з тотожністю
(х-1)(х” *+х" 2 + ... + X +1) = хп - 1.
У класах з поглибленим вивченням математики розглядають фор-
мулу бінома Ньютона, яка є узагальненням формул квадрата і куба
двочлена на випадок будь-якого натурального показника.
217
Система вправ на застосування формул скороченого множення мас
містити вправи для усних обчислень. Наприклад:
41•39 = (40 +1) (40 -1) = 1600 - 1 = 1599;
412 - 392 = (41 + 39) (41 - 39) = 80 • 2 = 160.
Потрібно передбачити систему вправ на ефективне використання фор-
мул скороченого множення до розв’язування рівнянь, спрощення вира-
зів, доведення тотожностей, виведення формул наближених обчислень.
Під час підсумкового повторення теми доцільно ще раз назвати всі
види тотожних перетворень цілих виразів та їх можливі застосування.
Тотожні перетворення раціональних та ірраціональних виразів.
До тотожних перетворень раціональних виразів, відмінних від цілих,
які вивчають у 8 класі, належать скорочення раціональних дробів,
додавання та віднімання таких дробів, множення, піднесення до сте-
пеня з натуральним показником, ділення дробів і тотожні перетво-
рення раціональних виразів, які містять цілі й дробові вирази.
Під час скорочення раціональних дробів, що ґрунтується на основ-
ній властивості дробу, типовою помилкою є така:
а+ Ь_ 1 + б
ас с
Часто учні припускаються помилок, змінюючи знак перед дробом.
Наприклад:
-а-Ь _ _а-Ь. а _ _ а
2 2 ' Ь + с с+Ь'
Під час виконання дій над дробами трапляються помилки па зразок
а [ с _ д + с . а _ а } а
Ь (1 Ь + ґГ Ь + с Ь с
Одним із способів зменшення кількості названих помилок є обчис-
лення заданого й отриманого після перетворення виразу. Практика свід-
чить, що для уникнення помилок потрібно ще при введенні нового мате-
ріалу зробити пряму вказівку про неприпустимість таких перетворень і
пояснити учням, чому саме таке перетворення є помилковим.
Перетворення суми і різниці раціональних дробів з різними зна-
менниками ґрунтується на вмінні знаходити найпростіший спільний
знаменник.
Доцільно сформулювати правило (алгоритм) відшукання найпрості-
шого спільного знаменника: 1) скласти добуток найменшого спільного
кратного модулів коефіцієнтів знаменників заданих дробів і степенів
кожної змінної з найбільшим показником, з яким змінна входить до зна-
менників цих дробів; 2) знайти додаткові множники заданих дробів; для
цього досить записати спільний знаменник у вигляді добутку двох спів-
множників, з яких один — знаменник заданого дробу, тоді другий буде
218
додатковим множником його; 3) знайти добуток чисельника кожного
дробу на додатковий множник і записати спільний знаменник.
Можна сформулювати правило зведення дробів до спільного зна-
менника, який не є найпростішим. Для цього досить записати спіль-
ній! знаменник як добуток знаменників заданих дробів. Другий і тре-
тій пункти правила будуть ті самі.
Аналогія у виконанні дій множення та ділення раціональних і зви-
чайних дробів як числових виразів полегшує сприймання учнями цих
тотожних перетворень. Водночас, виконуючи перетворення, потрібно
враховувати, що два дробово-раціональні вирази називають тотожно
рівними, якщо вони мають ту саму область визначення і на ній то-
тожно рівні. Тому, перетворюючи на дріб добуток двох дробів
•ф А2 • -л ^1-^2 «
——, дістанемо дріб ——який має ту саму область визначення,
в\ В2 В]В2
, ГЛ • • •
що і добуток . Отже, ці вирази тотожно рівні.
А В2
тт А ^2
Частка —- : —- визначена для тих значень змінних, для яких жоден
ві в2
з цілих виразів В\, і А2 не стає таким, що дорівнює нулю. Областю
А] Л2
визначення виразу : —- є множина значень змінних, за яких не пе-
В1 В2
ретворюються на нуль цілі вирази В^ і Л2. Це означає, що область ви-
А| Л2 , . ,
значення виразу —-: є підмножиною області визначення дробу
ві в2
А]В2 се- • • х
- або збігається з нею, і ці вирази тотожно рівні на області визна-
ні А2
чеїшя частки двох дробів.
Основною метою перетворення раціональних виразів, які містять
цілі й дробові вирази, є перетворення їх на дріб, чисельник і знаменник
якого є цілими раціональними виразами. Може виявитись, що отрима-
ний в результаті перетворення дріб нетотожно рівний цьому раціональ-
ному виразу внаслідок зміни області визначення. У таких випадках у
відповіді разом із знайденим дробом потрібно зазначати множину, на
якій розглядають цей дріб.
Приклад 11.5. Перетворити на раціональний дріб вираз
. , , 1 х2 - 4
Розв’язання.
1 х2-
х + 2 х
+ 1 х2
1 х(х
х * О, х Ф -2.
1
219
У курсі алгебри основної школи учні розглядають ірраціональні
вирази (щоправда, термін не вживається) у зв’язку з вивченням ариф-
метичного квадратного кореня. На цьому етапі застосовують такі
перетворення ірраціональних виразів: перетворення кореня із добут-
ку, дробу, степеня, множення та ділення коренів, винесення множни-
ка з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня, звільнен-
ня від ірраціональності, зведення подібних доданків, які містять ко-
рені. Символ л/~ застосовують лише для арифметичних коренів.
Зазначимо, що вже під час вивчення коренів розглядається понят-
тя не тільки раціонального дробу, а й дробу де а і Ь — будь-які
вирази, зокрема такі, що містять корені.
Слід мати на увазі, що в 10 класі вивчатимуться ірраціональні ви-
рази, які містять корені будь-якого степеня і пов’язані з ними степені
з раціональними показниками. Для виразів, що містять корені, по-
няття стандартного виразу кхау® ... 2у встановлене стосовно тих
виразів, які містять лише дії множення, ділення, піднесення до степе-
ня і добування кореня. Якщо вираз є раціональним щодо виразів ви-
гляду кхау$ ... 2у,то їх перетворюють так само, як і зведення раціо-
нальних виразів до стандартного вигляду.
У курсі алгебри 8 класу перетворення виразів, що містять квадрат-
ні корені, передбачають використання означення арифметичного ко-
реня, тотожностей >/а^ = |«|, 67а) = а. Тому належну увагу потрібно
приділити засвоєнню істотних властивостей квадратного кореня, що
наведені в означенні. Найбільше помилок учні припускаються, вино-
сячи і вносячи під знак кореня числові й буквені множники. Для за-
побігання формалізму в засвоєнні навичок і умінь виконання тотож-
них перетворень різних виразів потрібно водночас із введенням основ-
ного завдання перетворення (зведення до стандартного вигляду) до-
магатись усвідомлення учнями того, що у кожному конкретному ви-
падку метою тотожного перетворення є подання виразу у вигляді,
зручному для розв’язування поставленої задачі.
Наведемо приклади.
1. Обчислюючи значення виразу 7,32х2 - 7,32ху, за х = 10, у = 0,
недоцільно розкладати його на множники способом винесення спіль-
ного множника за дужки, оскільки за таких значень змінних воно
легко обчислюється безпосередньою підстановкою значень змінних.
2. Якщо потрібно побудувати графік функції у =
——т + 4 за до-
х +1
помогою геометричних перетворень відомого графіка оберненої про-
порційності, недоцільно дробовий вираз, що задає функцію, зводити
220
_ 2
до вигляду дробу. Навпаки, дріб ----
доцільно записати у вигляді
суми дробів і перетворити праву частину формули так:
У =
і4+4=<і±1к1 + 4 = 1-^-
X+1 х + 1 Х + 1
З
х + Г
+ 4 = 5-
3. У підручнику [10] наведено приклади і завдання на звільнення
від ірраціональності лише в знаменнику дробу. Водночас є задачі, в
яких потрібно позбутися ірраціональності в чисельнику дробу. На-
приклад, під час доведення властивості зростання функції у = д/х
вибираємо х2 > Хр де х} >0, х2 > 0, і складаємо різницю
/(х2)-/'(хі) = Т^-Л/^ =
- ~+ _ Х2 -Х1 > о
^х2 + д/^2 +
оскільки х2 - ху > 0 за означенням числової нерівності, у]х^ + у/х^ > 0
за означенням арифметичного квадратного кореня.
11.5. Рівняння та нерівності в курсі алгебри
Як вже зазначалося, найпростіші лінійні рівняння та задачі на
складання рівнянь учні розв’язують у 1—6 класах. Основний спосіб
розв’язування грунтується на використанні залежності між компонен-
тами і результатами арифметичних дій, а в 6 класі рівняння роз-
в’язують також перенесенням членів з однієї частини в другу.
У 7 класі в курсі алгебри основної школи учні продовжують роз-
в’язувати такі рівняння, водночас здійснюють певні узагальнення.
Вводиться означення лінійного рівняння з одним невідомим у загаль-
ному вигляді ах = Ь і досліджується питання кількості коренів зале-
жно від коефіцієнта а і вільного члена Ь.
Учні розв’язують текстові задачі за допомогою лінійних рівнянь,
далі такі рівняння розв’язуються у зв’язку з вивченням тотожних пе-
ретворень цілих виразів і застосуванням їх.
При множенні одночлена на багаточлен і розкладанні багаточленів
на множники утворюються перші неповні квадратні рівняння (хоча
відповідну назву ще не вводять). Учні розв’язують також рівняння,
що містять дроби зі знаменниками — числами. Після перетворення ці
рівняння зводяться до лінійних. На завершення курсу алгебри 7 кла-
су запроваджується поняття про лінійне рівняння з двома невідоми-
ми, його графік, систему лінійних рівнянь з двома невідомими і спо-
соби їх розв’язування.
221
Систематичне вивчення квадратних рівнянь передбачено у 8 класі.
Після цього розв’язують дробові раціональні рівняння, які зводяться
до квадратних.
У 9 класі вивчають біквадратні рівняння та системи рівнянь друго-
го степеня. Розгляд кожного нового виду рівнянь та їх систем супро-
воджується розв’язуванням текстових задач на складання рівнянь.
Систематичне вивчення числових нерівностей з однією змінною та їх
систем передбачено у 8 класі, хоча найпростіші числові нерівності учні
розглядали в попередніх класах, порівнюючи числа і чисдові вирази.
Вимоги до знань і умінь:
знати означення лінійного, квадратного рівняння і формули їхніх
коренів;
мати уявлення про дробові раціональні рівняння і знати способи їх
розв’язування; розуміти зміст поняття системи двох рівнянь з двома
невідомими;
вміти розв’язувати лінійні, квадратні, дробові раціональні рівнян-
ня та їх системи;
знати означення числової нерівності, мати уявлення про нерівності
першого та другого степеня з однією змінною, систему нерівностей з
однією змінною;
вміти розв’язувати нерівності першого і другого степеня з однією
змінною та системи нерівностей першого степеня з однією змінною.
Формування основних понять лінії рівнянь і нерівностей. У ма-
тематичній науці існує кілька підходів до означення поняття рівняння
залежно від понять, за допомогою яких його трактують. Основні з
них означають рівняння через вираз, функцію і предикат.
Означення 11.1. Рівнянням з однією змінною х (або з одним не-
відомим х) називають рівність /[(х) = /2.(г) виразів Д(х) і /2 (х), що
визначені відповідно на множинах і Л/2, Для якої поставлено зав-
дання відшукати множину всіх значень х з М? с М = М\ А Л/2 та~
ких, щоб вирази Д (х) і /~2 (х) мали однакові числові значення.
Означення 11.2. Рівнянням з однією змінною х (або з одним не-
відомим х) називають рівність Д (х) = /2 (х) двох аналітично заданих
функцій Д (х) і , (х) з областями визначення О| і О2 і областями
зміни і У2, де ¥і с К, У2 с /?, для якої поставлено завдання від-
шукати всі значення х з Ог с О = Оі П О2 такі, щоб обидві функції
мали однакові числові значення.
Означення 11.3. Предикат Д(х) = /2(х) з множиною визна-
чення О, для якого поставлено завдання знайти множину істиннос-
ті [)г с О, називають рівнянням з однією змінною х (або з одним
невідомим х).
222
Аналогічно можна означити і поняття рівняння з кількома невідо-
мими, у цьому випадку вирази (або функції, або предикати) потрібно
розглядати з кількома змінними:
ї\(хх,х2,...,хп) і /2(хрХ2,...,х„).
За допомогою означення 3 можна легко сформулювати означення
системи і сукупності рівнянь.
Нехай дано рівняння Д (хр х2,..., хп ) = срг- (хр х2,..., хп), де (х^,
х2,.... хп )є Лг-, Ог- — множина визначення, а Огі — множина істин-
ності г-го рівняння, і = 1, 2,..., к.
к
Означення 11.4. Кон’юнкцією а //(хрх2,...,хп) = фі(хрх2,...,хп)
г=1
з множиною визначення Л = А Л2 А ... АЛп, для якої поставлено
завдання знайти множину істинності Лг = А Л^ А - - - А ЛГ/, нази-
вають систему к рівнянь з п змінними (невідомими).
71 (хр х2,.. .,Х„)=фі (ХрХ2,.. .,х„),
Позначають /2 (хр х2,. -,хп) = <Рі (ХрХ2,.
Д(хрх2,. ’Хп} = Ч>к (хі,х2-- ..,х„)
к
Означення 11.5. Диз’юнкцією V Д (хр х2,..., х„) = ф* (хр х2,..., хп)
г=1
з множиною визначення Л = Л1 А Л2 А ... А Л^, для якої поставлено
завдання знайти множину істинності Лг = ЛГ) А Л?2 А ... А ОГк, нази-
вають сукупність к рівнянь з п змінними (невідомими).
[71 (хр х2,. ’ хп) = <Р1 (*Р х2’ • ’хп)
Позначають /2(ХрХ2,.. ^П) = <Р2(Х1>Х2>- ’хп)
Ґк (х1- х2> •• ’Хп) = Ч>к (х\’х2<- ’хк)
Вибір підходу до означення рівняння в школі залежить від вікових
особливостей учнів і рівня їхньої підготовки, від форми навчання
(факультативи, класи з поглибленим вивченням предмета) та інших
факторів.
В основній загальноосвітній школі найпростішим для сприймання
є перше означення, оскільки родове поняття «вираз» простіше, ніж
«функція» або «предикат».
Означення через функцію має певні незручності порівняно з ін-
шими. Пояснимо це на прикладі. Під час розв’язування трансцендент-
223
ного рівняння (х))4^ = у(х) за такого підходу інколи втрачаються
розв’язки. Справді, функція у = (/(х))(р^х^за означенням визначена
лише для /(х)>0. Тому виключаються випадки, коли / (х)<0, іцо
призводить до звуження множини розв’язків рівняння. Наприклад,
для рівняння хх+1 = х2 значення х = -1; х = 0 виключаються з мно-
жини розв’язків у разі функціонального означення рівняння, тоді як
за означенням 11.1 ці значення х є коренями рівняння.
У загальноосвітній школі складно подати одночасно формально стро-
ге і доступне для сприймання учнями означення рівняння. Тому в під-
ручниках з математики для 5 класу (наприклад, [266] означення 1) по-
няття рівняння вводять у зв’язку із задачею відшукання невідомого
числа в рівності, яка містить невідоме. Отже, рівняння трактують як
рівність, шо містить невідоме. Відразу запроваджується означення
кореня рівняння як числа, за якого рівняння перетворюється на пра-
вильну рівність. Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені.
У підручнику з алгебри [9] рівняння трактується як рівність, іцо
містить змінну. Через поняття змінної подається означення кореня
рівняння. Дещо інакше формулюється задача «розв’язати рівняння».
Це означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.
У попередніх виданнях шкільного підручника з алгебри за редак-
цією О. І. Маркушевича вводились елементи математичної логіки,
поняття та символи рівносильності й логічного слідування <=>, =>,
термінологія множин, формулювалось означення рівносильних рів-
нянь (нерівностей). Чинною програмою та підручниками з алгебри не
передбачено розгляд поняття рівносильних рівнянь (нерівностей),
вивчення теорем про рівносильність рівнянь (нерівностей), хоча щодо
рівнянь і нерівностей терміни «рівносильне рівняння» [10, 126} «рів-
носильна нерівність» [10, 159] використовуються. Поза всякими сум-
нівами існує потреба запровадження в шкільних підручниках озна-
чення понять «рівносильне рівняння», «рівносильні нерівності (сис-
теми)». Без цих понять не можна забезпечити свідоме і глибоке за-
своєння питань розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем. Без-
перечно, в класах з поглибленим вивченням математики цей навчаль-
ний матеріал має вивчатися разом з теоремами про рівносильність.
Щодо тлумачення понять числової нерівності та нерівності зі змін-
ною також можливі різні методичні підходи. Тривалий час у шкіль-
них підручниках обмежувалися геометричним тлумаченням числової
нерівності: число а називали більшим за число Ь, якщо точка, що зоб-
ражує число а на координатній прямій, міститься праворуч від точки,
що зображує число Ь. У процесі систематичного вивчення нерівностей
у курсі алгебри формулювалось і доводилось твердження про власти-
вість числових нерівностей: число а більше за число Ь, якщо різниця
224
а - Ь є додатним числом, і число а менше від числа Ь, якщо різниця
а - Ь є від’ємним числом; навпаки, якщо різниця а - Ь є додатним
числом, то число а більше за число Ь і якщо різниця а - Ь є від’єм-
ним числом, то число а менше від числа Ь.
В останньому виданні підручника з алгебри [10] автори поверну-
лись до традиційного підходу до вивчення числових нерівностей —
першу частину сформульованого твердження прийнято як означення
числової нерівності.
Вивчаючи властивості числових нерівностей, доцільно скористатися
таблицею (табл. 11.1), в якій зіставляються відношення «рівне», «біль-
ше», «менше» на множині чисел. З таблиці випливає спільне в означенні
та властивостях числових рівностей і числових нерівностей, виявляються
відмінності цих відношень, що сприятиме кращому запам’ятовуванню їх.
Таблиця 11.1. Порівняння властивостей числових рівностей
і нерівностей
Числові рівності Числові нерівності
Число а називають таким, що дорівнює числу Ь, якщо різни- ця а - Ь дорівнює нулю За будь-яких а і Ь, якщо а = Ь, то Ь = а За будь-яких а, Ь і с, якщо а = Ь і Ь = с, то а = с (властивість транзитивності рівностей) Якщо а = Ь і с — будь-яке число, то а + с = Ь + с Якщо а = Ь і с — будь-яке число, то ас = Ьс Якщо а = Ь і с = д, то а + с = - Ь + <1 Якщо а = Ь і с = <1, то ас = Ьсі Наслідок. Якщо а = Ь, то а2 = Ь2 Якщо а = Ь і а * 0, Ь 0, то а Ь Число а називають більшим за число Ь, якщо різниця а - Ь є додатним числом. Число а на- зивають меншим від числа Ь, якщо різниця а - Ь є від’ємним числом За будь-яких а і Ь, якщо а < Ь, то Ь > а і, навпаки, якщо а > Ь , то Ь < а За будь-яких а, Ь і с, якщо а < Ь і Ь < с, то а < с; якщо а > Ь ї Ь > с, то а > с (властивість транзитивності нерівностей) Якщо а < Ь і с — будь-яке число, то а + с < < Ь + с Якщо а < Ь і с > 0, то ас < Ьс; якщо а < Ь і с < 0, то ас > Ьс; якщо а > Ь і с > о, то ас > > Ьс; якщо а > Ь і с < о, то ас < Ьс Якщо а < Ь і с < д, то а + с < Ь + д; якщо а > Ь і Од, то а + с > Ь + д Якщо а < Ь і с < д (а, Ь, с, <1 — додатні чис- ла), то ас < Ьд Наслідок. Якщо а < Ь, а > 0, Ь > 0, то а2<Ь2 Якщо а < Ь (а і Ь — числа одного знака), то 11 і — >т-; якщо а > Ь (а і Ь — числа одного зна- а Ь т 1^1 каї, то — < — а Ь
8 Слзпкань 3. І.
225
Вивчення способів розв’язування різних видів рівнянь і систем
рівнянь. Відповідно до діяльнісного підходу до навчання орієнтовну
основу розв’язування різновидів рівнянь доцільно подати у вигляді
алгоритмів.
Загальну схему розв’язування рівнянь з одним невідомим, які зво-
дяться до лінійних (хоча поняття лінійного рівняння тут ще не вво-
диться), слід дати учням ще в 6 класі після того, як вони ознайомляться
з властивістю рівнянь, що дає змогу переносити члени рівняння з од-
нієї частини до другої. Ця схема виглядатиме так: 1) спростити рів-
няння (розкрити дужки, звести подібні доданки); 2) перенести додан-
ки, що містять невідоме, в одну частину (зазвичай ліву), а доданки,
що не містять невідомої, — в другу, змінивши при цьому знаки на
протилежні; 3) звести подібні доданки; 4) знайти корінь рівняння.
Якщо потрібно, то зробити перевірку.
У 7 класі цей алгоритм повторюють з використанням термінів «не-
відоме», «подібні члени».
Розв’язуючи в 7 класі рівняння другого степеня розкладанням лі-
вої частини рівняння на множники за умови, що права частина дорів-
нює нулю, важливо чітко сформулювати теоретичну основу розв’я-
зування таких рівнянь. Вона є необхідною і достатньою умовою рівності
нулю добутку двох або кількох співмножників: добуток двох або кількох
співмножників дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли принаймні
один із співмножників дорівнює нулю. Так формулюється умова
для добутку цілих раціональних виразів. Для трансцендентних ви-
разів її потрібно доповнити умовою невтрачання смислу співмнож-
ників.
Алгоритм розв’язування квадратних рівнянь задають формулою
коренів квадратного рівняння. З метою підготовки до виведення
цієї формули розв’язують кілька рівнянь способом вилучення квадра-
та двочлена.
Практика свідчить, що деякі учні припускаються помилок під час
обчислення дискримінанта і застосування формули коренів квадрат-
ного рівняння внаслідок неправильного вибору знаків другого коефі-
цієнта Ь і вільного члена с. Тому, вводячи означення квадратного рів-
няння, слід звернути увагу учнів на те, що ліва частина рівняння
ах2+бх + с = 0, за а Ф 0, містить алгебраїчну суму. Якщо в конкрет-
ному рівнянні біля членів є знаки «-», то вони стосуються чисел а, Ь
і с. Після цього потрібно розв’язати кілька усних вправ і назвати а, Ь
і с у конкретних прикладах квадратних рівнянь.
Розв’язуючи дробові раціональні рівняння, доцільно запропонува-
ти учням кілька можливих способів розв’язування залежно від теоре-
тичної основи, на якій ґрунтується спосіб.
Один із способів наведено в пробному підручнику [1691. Він полягає
в такому: 1) знайти спільний знаменник дробів, що входять до рівняння;
226
2) помножити обидві частини рівняння на спільний знаменник; 3) роз-
в’язати отримане ціле рівняння; 4) виключити з його коренів ті, які
перетворюють на нуль спільний знаменник.
Різновидом цього способу є такий, за якого всі члени рівняння пе-
реносять у ліву частину і отриманий вираз зводять до дробу вигляду
/* { х) /* {->0
Рівняння ( ) = 0 розв’язують, скориставшись необхідною і
достатньою умовами рівності нулю дробу: дріб дорівнює нулю тоді і
тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює
нулю. Прирівнюють до нуля чисельник, розв’язують отримане ціле
рівняння і зі знайдених розв’язків виключають ті, за яких знаменник
перетворюється на нуль. Такий спосіб розв’язування дає змогу учням
краще усвідомити потребу позбутися коренів, які перетворюють зна-
менник на нуль. Можна також звести дробове раціональне рівняння
7(х) а(х) . . .
до вигляду ; ' = > < і скористатися умовою рівності двох дробів з
ф(х) <р(х)
однаковими знаменниками. Для розв’язування такого рівняння досить
прирівняти чисельники, розв’язати отримане рівняння та із знайдених
розв’язків виключити ті, за яких знаменник стає таким, що дорівнює
нулю.
х 7 (х) <?(х)
Нарешті можна записати дробове рівняння у вигляді *’
скориставшись властивістю пропорції, утворити ціле рівняння
С(х)-\|/(х) = <р(х)-<7(х). Після його розв’язування потрібно виключити
ті корені, які перетворюють на нуль знаменники ср(х) і і|і(х).
До поняття системи лінійних рівнянь з двома невідомими учнів
підводять у 7 класі після розгляду лінійного рівняння з двома неві-
домими і його графіка. Найкраще почати з розв’язування текстової
задачі, з якої отримують такі два рівняння. Щоб відповісти на питан-
ня задачі, доведеться відшукати такі два значення невідомих, які пе-
ретворюють на правильну числову рівність кожне з отриманих рів-
нянь. Означення системи не вводять, але пояснюють на розглянутому
прикладі, що в таких випадках кажуть: отримані під час розв’я-
зування задачі рівняння утворюють систему рівнянь. Вводять форму
запису системи (фігурні дужки) і формулюють означення розв’язку
системи двох рівнянь з двома невідомими.
За аналогією із завданням розв’язати рівняння стверджується, що
розв’язати систему рівнянь означає відшукати всі її розв’язки або до-
вести, що розв’язків немає.
Насамперед потрібно ввести графічний спосіб розв’язування си-
стеми з метою геометричного пояснення розв’язків кожного з рів-
нянь і системи рівнянь як координат точки перетину обох графіків.
З’ясовується можлива кількість розв’язків системи двох лінійних
227
рівнянь з двома невідомими залежно від розміщення графіків. На
наступних уроках у 7 класі розглядають два алгебраїчні способи
розв’язування таких систем; спосіб підстановки і спосіб додавання.
У 9 класі учні повертаються до вивчення систем рівнянь. Тут уже
розглядаються системи, в яких одне або обидва рівняння — другого
степеня. Починають розв’язувати такі системи також графічним спо-
собом, а потім розглядають способи підстановки і додавання. На за-
няттях математичного гуртка і в класах з поглибленим вивченням ма-
тематики доцільно ознайомити учнів з іншими алгебраїчними спосо-
бами розв’язування систем рівнянь окремих видів. Розглянемо деякі з
таких способів.
Спосіб, що ґрунтується на використанні теореми Вієта.
Цим способом зручно розв’язувати системи вигляду
{х± у = а,
ху = Ь.
Наприклад, щоб розв’язати систему
{х + у = а,
ху = Ь,
досить скласти допоміжне рівняння, коренями якого є х і у. Позна-
чаючи невідому в цьому рівнянні буквою, наприклад 2, за теоремою
Вієта, запишемо 22 - (х + у)г + ху - 0 або 2 2 - аг + Ь = 0. Звідси г^ -
Г~2 /~2
= — —Ь; г?=х: + \—,— Ь. Отже, х = 2\, у = г7 або х = г7,
2 \ 4 2 V 4 1
у ~ 2(, оскільки рівняння цієї системи не змінюються в разі заміни х
на у і навпаки, тобто вони симетричні. Дістанемо, що розглядувана
система має два розв’язки;
Г~2 Г?.
л х СІ і СІ. і 67 І СІ »
Г~2 Г~2
Таким способом можна розв’язати також систему
ґ 2 2 2
х + у = а ,
ху = Ь2
2 2 14
після зведення другого рівняння до вигляду X у ' = Ь .
Спосіб застосування допоміжних невідомих. Розв’язування
систем цим способом полягає в тому, що певного вигляду вирази із
228
невідомими позначають новими буквами. Внаслідок такої заміни рів-
няння заданої системи спрощуються, а отже, спрощується спосіб роз-
в’язування нової системи. Обчисливши нові невідомі, знаходять роз-
в’язки заданої системи.
Приклад 11.6. Розв’язати систему
(х + у)2 -4(х + г/) = 45,
(х-у)2-2(х-у) = 3.
Розв’язання. Нехай х + у = и, х — у = V. Тоді система набере вигляду
и2-4м-45 = 0,
V2 - 2г - 3 = 0.
Розв’язуючи квадратні рівняння відносно и і V, матимемо щ =9, м2 = -5;
~ г>2 ~
Повертаючись до невідомих х і у, дістанемо чотири системи лінійних рівнянь:
{х + г/=9, [х + у = -5, [х+у = 9, [х + у = -5,
х - у = 3; |х - у = -1; [х - у - -1; |х - у = 3.
Після їх розв’язування отримаємо чотири розв’язки заданої системи:
1) х = 6, 2) х =-З, 3) х - 4, 4) х = -1,
У = з, у = -2, у = 5, у = -4.
Приклад 11.7. Розв’язати систему
2х2 + 2у2 = Зху,
4х - А.у = ху.
Можна розв’язати цю систему таким самим способом, як і в прикладі 11.6,
ЯКЩО ВЗЯТИ X - у = V, ху = І. Після зведення системи до вигляду
|2^х2 + у2 ) = Зху,
|4(х-у) = ху
дістанемо нову систему
2(г2+2ї) = 51,
4г = 1.
Її легко розв’язати способом підстановки.
Приклад 11.8. Розв’язати систему
у х З
х2-і/2=8.
Її можна розв’язати впровадженням допоміжної невідомої, якщо взяти і = і.
Тоді перше рівняння зведеться до такого: = а^° Зг2-101+3 = 0.
Розв’язуючи квадратне рівняння, дістанемо 6=3, 12 = —.
229
Отже, задана система зводиться до таких двох систем:
х _ •> (х_ _ 1
У . у 8’
х2-у2=8; \х2-у2=8,
які розв’язуються способом підстановки.
Упровадженням допоміжної невідомої розв’язують системи рівнянь
другого степеня з двома невідомими, якщо одне або обидва рівняння
однорідні. Однорідним називають рівняння вигляду Е (х, у,і) = 0,
де Р(х, у,Г) — однорідний багаточлен, тобто такий, в якого всі
члени мають один і той самий степінь стосовно невідомих, наприклад,
багаточлен 7х2 + 2ху -0,25 у2 — однорідний багаточлен другого сте-
пеня.
Приклад 11.9. Розв’язати систему
ах2 + Ьху + су2 = 0,
(цх2 + Ь^ху + с^у2 + сіх + еу + /" = 0, де [ Ф 0.
Разе’язиния. Розв’яжемо її у загальному вигляді. Перше рівняння, яке є од-
норідним, задовольняють значення х = 0, у = 0. Однак вони не задовольняють
друге рівняння цієї системи, яке не є однорідним. Тому х - 0 і у = 0 не є
розв’язком системи. Маємо право поділити обидві частини першого рівняння па
у2 0 і ввести нову невідому — = г. Тоді перше рівняння набере вигляду
X х2 XX
«І — І + Ь| — І + с = 0 або яг2 + Ьг +с — 0, де г = —.
У ) і, У ) У
Оскільки х = гу, то, розв’язуючи квадратне рівняння стосовно г і підставляю-
чи в друге рівняння заданої системи х = г^у, х = г2у, дістанемо два квадратні
рівняння щодо г:
а\г2у2 + Ьхгху2 + с(у2 + 4г\у + еу+[ = 0,
сі^т^у2 + + сІ22у + еу + [ — Ь.
Розв’язуючи ці рівняння, отримаємо по два значення г, за якими з рівностей
х - гу), х - г2у дістанемо відповідні значення х.
Приклад 11.10. Розв’язати систему
«|Х2 + Ь^ху + с^у2 = т^,
а2х2 + Ь2ху + с2у2 - т2,
де + 0, т2 Ф 0, тому х * 0, у Ф 0.
Ця система зводиться до системи однорідних рівнянь. Якщо виключити вільні
члени з обох рівнянь системи, то дістанемо однорідне рівняння вигляду
ах2 + Ьху + су2 = 0. Поділимо обидві його частини на у Ф 0 і введемо нову неві-
дому І = —. Матимемо рівняння аі2 +Ьі + с = 0. Визначимо з нього і і, скористав-
230
шись рівністю х = Іу, дістанемо лінійні рівняння іцодо х і у. Ці рівняння разом з
одним із рівнянь заданої системи утворять найпростішу систему, яку легко
розв’язати способом підстановки.
У посібнику для вчителів авторів Г. Ф. Супруна, 3. І. Слєпкань
«Система рівнянь другого степеня» (К.: Рад. шк.., 1964. — 91 с.)
наведено інші штучні способи розв’язування систем рівнянь.
Способи розв’язування нерівностей з однією змінною. Під час
розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною доцільно вико-
ристати аналогію з рівняннями щодо означення і способу розв’язу-
вання.
Лінійною нерівністю з однією змінною називають нерівність ви-
гляду ах < Ь або ах > Ь (ах <Ь чи ах >Ь'),цех — змінна, а і Ь
числа.
Якщо а ф 0, то множиною розв’язків нерівності ах < Ь є множина
—) або множина ; + <»).
За а = 0 множиною розв’язків цієї нерівності є множина всіх чи-
сел (за Ь > 0) чи порожня множина (за Ь < 0).
За а Ф 0 множиною розв’язків нерівності ах > Ь є множина
(—; +«Д або множина (-«>;
\а / \ а/
Вивчення нерівностей другого степеня з однією змінною передба-
чено в курсі алгебри 9 класу і пов’язується з графіком квадратичної
функції. Перш ніж розв’язувати такі нерівності загального вигляду,
потрібно розглянути способи розв’язування нерівностей вигляду
х2 < а, х2 > а (відповідно х2 < а, х2 > а ). Саме в процесі знахо-
дження розв’язків таких нерівностей частина учнів припускається
помилок. Наприклад, для нерівності х2 < 4 пишуть х < ±2, а для
нерівності х2 > 4 дістають х > ±2 за аналогією з розв’язуванням ква-
дратного рівняння х2 =4, х2 = ±2.
Доцільно розглянути три способи розв’язування, наприклад, нерів-
ності х2 <4.
Графічний спосіб. Ліва і права час-
тини цієї нерівності задають функції
у = х2 і у = 4. Побудуємо в одній си-
стемі координат графіки цих функцій
(рис. 11.6). Знайдемо множину тих зна-
чень х, за яких графік функції у = х
розміщено нижче, ніж графік функції
у = 4. Такою множиною є проміжок
(—2; 2), тобто -2 < х < 2.
231
Можна побудувати графік функції у = х2 - 4 і знайти ті х, за
яких графік міститься нижче від осі х.
Спосіб розкладання на множники. Перенесемо число 4 в лі-
ву частину нерівності та розкладемо її на множники. Дістанемо
х2-4<0, (х - 2)(х + 2) < 0.
Добуток двох співмножників від’ємний тоді і тільки тоді, коли їх зна-
ки протилежні. Звідси можна скласти дві системи лінійних нерівностей
|х + 2 < 0, |х < -2.
Як випливає з рис. 11.7, ця система не має розв’язків.
, [х - 2 < 0, [х < 2,
Розв’язками системи є всі х,
-2<х <2 (рис 11.8).
які належать проміжку (—2; 2), або
Рис. 11.7
Рис. 11.8
-2 -1
Рис. 11.9
Спосіб добування арифметичного кореня з обох частин
нерівності. Оскільки права частина нерівності — додатне число, то
після добування кореня з обох частин нерівно-
сті дістанемо |х|<2. Як випливає з рис. 11.9,
числа, модуль яких менший від числа 2, нале-
жать проміжку (-2; 2).
Аналіз розглянутих способів виявляє, що
найкоротшим з них є останній. Практика свідчить, що учні, послуго-
вуючись ним, забувають застосовувати тотожність уіо2 = |а| і припус-
каються помилок на зразок ±х < 2.
Нерівності вигляду ах2 + Ьх + с < 0 і ах2 + Ьх + о 0, а ^0 най-
доцільніше розв’язувати графічно, попередньо записавши їх у вигляді
х2+ —х+—<0 і х2+ —х + —>0, якщо а > 0. Визначаючи корені
а а а а
квадратного тричлена в лівій частині і розкладаючи його на множ-
ники за теоремою Вієта, дістанемо нерівності (х -х()(х-х2) < 0 і
(х - х1 )(х - х2) > 0. їх можна розв’язати одним із трьох способів:
1) побудувати ескіз графіка квадратного тричлена і вибрати мно-
жину тих значень х, за яких графік лежить нижче (вище) від осі х;
2) застосувати метод інтервалів: 3) скласти системи лінійних нерівно-
232
стей, скориставшись умовою від’ємності або додатності добутку двох
співмножників.
Якщо квадратний тричлен не має коренів, то, вилучаючи в ньому
квадрат двочлена, записують нерівності у вигляді а (х - т)2 + п < 0,
2
а(х- т)2 + п > 0, де т = п = -—, 4дс. Залежно від знаків а і п
' ' 2а 4а
роблять висновок про множину розв’язків нерівності.
Розв’язуючи дробові нерівності, учні припускаються найбільше
помилок під час їх перетворення. Найпоширенішою з них є відкидан-
ня знаменника зі змінною за аналогією з розв’язуванням дробових
рівнянь і заміна дробової нерівності на цілу. На конкретному при-
кладі найпростішої дробової нерівності потрібно переконати учнів у
тому, що робити цього не можна, і пояснити чому.
6
Приклад 11.11. Розв’язати нерівність х+—>5.
Розв’язання. Якщо позбутися знаменника, відки-
нувши його, то отримаємо нерівність х + Ь > 5х
або х2-5х + 6>0. Розв’язуючи отриману нерів-
ність графічним способом (рис. 11.10), дістанемо
два числових проміжки, в яких значення х задо-
вольняє останню нерівність: (-°°; 2) і (3; +<»).
Проте за х = -1, яке належить першому проміжку,
нерівність х + —>5 перетворюється па непра-
х
вильну числову нерівність -7 > 5.
Помилка виникла при переході від за-
даної нерівності до нерівності х2 + 6 > 5х.
«Відкидання» знаменника означає множення
вираз х, який може бути як додатним, так і від’ємним. При множенні на
від’ємне х обох частин нерівності потрібно змінювати знак нерівності на
протилежний. Можна перейти від дробової нерівності до цілої, помножив-
ши обидві частини нерівності на вираз, який безперечно є не від’ємним.
У розглядуваному випадку зручно обидві частини нерівності помно-
2
жити на квадрат знаменника дробу, тобто на х', після зведення заданої
„2 _ 5 , є
нерівності до вигляду 2---:---- > 0. Дістанемо (х - 5х + 6)х > 0. Роз-
X
в’язуючи цю нерівність зведенням до систем
обох частин неоівності на
х2-5.т + 6>0, або
х > 0
х2 - 5х + 6 < 0,
х < 0,
чи методом інтервалів, дістанемо два проміжки, яким належать роз-
в’язки заданої дробової нерівності (0; 2) і (3; + °°).
233
рівність до вигляду
Задану нерівність можна розв’я-
зати графічно, попередньо звівши її
до вигляду х-5>—. Після побу-
дови графіків у = х-5 і у =
X
(рис. 11.11) легко знайти множини
тих значень х, за яких пряма ле-
жить вище, ніж гіпербола. Це бу-
дуть проміжки (0; 2) і (3; +°°).
Якщо йдеться про алгебраїчні спо-
соби розв’язування дробових нерівно-
стей, то доцільно за аналогією до
розв’язування дробових рівнянь ре-
комендувати учням перетворити не-
—> 0 або —< 0 перенесенням членів нерів-
<р(х) ф(л-)
пості з правої частини в ліву і зведенням отриманого виразу до ви
гляду дробу.
Після цього учень може скористатися одним із трьох можливих
способів: за допомогою умови додатності (від’ємності) дробу скласти
дві системи нерівностей; звести до цілої нерівності множенням обох
частин отриманої нерівності па квадрат знаменника і застосовувати
метод інтервалів; у разі отримання нерівності другого степеня
розв’язати її графічно.
Поняття про метод інтервалів доцільно ввести на прикладі розв’я-
зування дробової нерівності.
Приклад 11.12. Розв’язати нерівність
х2 + х - 20
х2 + х - 6
Розв’язання. Ліва частина нерівності — раціональний дріб, який задає функцію
г2 + х — 20
((х) = —=-------. Після розкладу чисельника і знаменника дробу на множники
х2 + х - 6
дістанемо /(^) = 7-"" ох/
(х + 3)(
х -
х -
х = 4 і певнзначена за х = -З, х — 2. Розмістимо ці чотири числа на координатній
прямій. Вони розіб’ють п па п’ять проміжків (інтервалів, звідси п назва — «метод
інтервалів»): -5), (-5; -3), (-3; 2), (2; 4) і (4; +»). За х > 4, тобто
на проміжку (4; +“), всі чотири множники чисельника і знаменника додатні,
2^. Ця функція перетворюється па нуль за х = —5,
тому функція /"(х) =
(х + 5)(х-4)
(х + 3)(х-2)
додатна. Рухаючись вздовж координатної пря-
мої справа наліво, помічаємо (цс можна перевірити, обчисливши значення функції
за довільного х з кожного проміжку), що в кожній з чотирьох точок розбиття
змінює знак лише один з чотирьох множників. Це означає, що змінює знак і функ-
234
ція, тобто ліва частина заданої нерівності. На кожному з чотирьох проміжків функція
зберігає знак, тобто є знакосталою.
Зміну знаків функції зручно проілюструвати за допомогою хвилястої кривої
(рис. 11-12), яку проводять справа наліво, починаючи зверху від координатної пря-
мої. На тих проміжках, де крива
розмішена над координатною
прямою, /’(х)>0, а там, де під
прямою, ((х ) < 0. Побудовану
криву називають кривою знаків.
Отже, множиною розв'язків
заданої нерівності є об’єднання
двох множин (-5; -3) і (2; 4).
Методом інтервалів послуговуються під час розв’язування рівнянь
та нерівностей, які містять змінну під знаком модуля.
Розв’язуючи системи нерівностей з однією змінною, зручно скори-
статися графічною ілюстрацією на координатній прямій.
Приклад 11.13. Розв’язати систему нерівностей
2-х + 3 < 12 + 5х,
2.x + 2 < 22 - Зх.
Розв’язання. Розв'яжемо обидві не-
рівності окремо. З першої нерівності ді-
станемо рівносильну нерівність Зх > -9,
звідки х > -3. З другої нерівності
матимемо 5х < 20, звідки х<4. Отже,
задану систему замінимо рівносильною
Рис. 11.13
х > -З,
х < 4.
Зобразимо на координатній прямій множини розв’язків кожної нерівності здо-
бутої системи і позначимо їх штриховими лініями з різним нахилом. Множина
розв’язків системи утвориться в результаті перетину цих ліній (рис. 11.13).
В і д п о в і д ь: (-3; 4).
11.6. Вчення про функцію
в шкільному курсі алгебри
За попередньою ироірамою поняття функції та відповідне означення
явно запроваджувалось у 7 класі. Зважаючи па те іцо програма курсу ал-
гебри 7 класу перевантажена навчальним матеріалом, який закладає осно-
ви цього навчального предмета, чинною програмою передбачено введення
поняття функції та вивчення функції у = кх +Ь, у = кх, у = —, у = х ,
З І 2
у = х і у-уіх у 8 класі, а функцію у = ах +Ьх + с, а^О — у
9 класі.
235
Основною метою вивчення є формування уявлення про функції як
математичної моделі залежності між величинами й об’єктами будь-
якої природи; введення поняття про основні способи задання функцій
на прикладах прямої й оберненої пропорційності; розгляд функцій
у = кх + Ь, у = кх, у =—, у = х2, у = х3, у = >Гх, у = ах2+Ьх + с,
а Ф 0 та їхніх графіків, табличних способів задання.
Вимоги до знань і вмінь:
розуміти зміст поняття «функція», знати три основні способи за-
дання функцій — формулою, таблицею, графіком;
розуміти істотні властивості функцій, передбачені програмою, роз-
пізнавати їх серед інших функцій, що задані формулою, вміти буду-
вати їх графіки, читати за графіками властивості, наводити приклади
залежностей, які виражаються ними.
Розвиток поняття функції. Про різні означення функції. Поняття
функції, як і поняття числа, пройшло довгий історичний шлях уточнен-
ня і розширення. Воно виникло з потреб практики і таких наук, як фі-
зика, хімія, природознавство та ін. Явного означення функції ще не було
навіть тоді, коли І. Ньютон (1643- 1727) та Г. Лейбніц (1646—1716)
уже відкрили диференціальне та інтегральне числення. Вперше термін
«функція» вжив у своїх працях Г. Лейбніц, пов’язуючи його з геомет-
ричними уявленнями. Він також упровадив терміни «змінна», «констан-
та» . Перше означення функції сформулював учень і співпрацівник Леііб-
ніца И. Бернуллі в 1718 р.: функцією змінної величини називають кіль-
кість, що утворена будь-яким способом з цієї змінної величини і сталих.
У 1748 р. це означення було уточнене Л. Ейлером: функція змін-
ної кількості — це аналітичний вираз, складений певним чином з цієї
кількості і чисел або сталих кількостей.
Отже, перше означення функції И. Бернуллі і Л. Ейлер пов’язу-
вали з аналітичним виразом, що її задає. Однак таке тлумачення
звужувало поняття функції принаймні з двох причин:
1) існують функції, які не можна задати аналітичним виразом (фор-
мулою);
2) той самий вираз може задавати різні функції. Наприклад, у = х
і у = 8Іп(агс8Іп х) — х. Отже, таке означення функції гальмувало по-
дальший розвиток математичної науки та її застосувань.
Розвиток природознавства і математики потребував розширення
поняття функції. На це звернув увагу Ж. Фур’є, розробляючи теорію
рядів. Проте минуло понад 100 років після застосування першого озна-
чення функції, поки М. І. Лобачевський у 1834 р. не сформулював зага-
льніше означення функції: число, яке задається для кожного х і разом
з х поступово змінюється; значення функції можна задати або аналі-
тичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа
і вибирати одне з них; нарешті, залежність може існувати і залишати-
ся невідомою.
236
Три роки потому П. Діріхле дійшов висновку, що спосіб встанов-
лення відповідності між значеннями х і у неважливий, і дав таке озна-
чення функції: у є функцією від х, якщо будь-якому значенню х від-
повідає цілком певне значення у, причому зовсім неістотно, яким са-
ме способом встановлено зазначену відповідність.
Отже, в основу означень М. І. Лобачевського і П. Діріхле явно
покладено ідею відповідності.
У XX ст. тривало розширення поняття функції. У 1930 р. П. Дірак
запровадив нове поняття «дельта-функція», за допомогою якого опису-
вав явища квантової механіки. С. Л. Соболєв увів поняття «узагальнена
функція», що як окремий випадок містить поняття «дельта-функція», і
застосовував його для розв’язування задач математичної фізики.
Як слушно зауважив Г. Є. Шилов (1917—1975), під впливом но-
вих потреб математики та інших наук означення функції буде і надалі
змінюватися, кожна наступна зміна, як і попередня, відкриватиме
нові горизонти науки і приводитиме до нових важливих відкриттів.
Аналіз навчально-методичної літератури для шкіл і вищих навчаль-
них закладів свідчить, що в ній існують два напрями у тлумаченні по-
няття функції: класичний і сучасний.
У межах класичного напряму є кілька підходів до розуміння по-
няття функції. Зокрема, функцію тлумачать як: 1) змінну величину,
числові значення якої змінюються залежно від числових значень ін-
шої змінної величини; 2) закон (або правило), за яким значення за-
лежної змінної величини змінюються за зміни незалежної змінної;
3) відповідність між значеннями змінних величин.
Наприклад, перше означення знаходимо в підручнику з алгебри
А. П. Кисельова, у посібнику Є. С. Кочеткова і К. С. Кочеткової «Ал-
гебра і елементарні функції» [167], у «Короткому курсі математично-
го аналізу» О. Я. Хінчипа.
Означеннями класичного напряму послуговуються природничі науки.
Недоліками цих означень є те, що, по-перше, вони грунтуються на
понятті «величина», зміст якого не можна розкрити; по-друге, вони
не охоплюють відповідностей між об’єктами будь-якої природи.
Сучасний напрям у тлумаченні поняття функції охоплює такі озна-
чення, які грунтуються на теоретико-множинній основі та використо-
вують поняття «відповідність», «множина». У межах цього напряму
також існує кілька підходів: 1) означають не саму функцію, а лише
функціональну ситуацію; 2) функцію розглядають як відповідність
або відношення між певними множинами; 3) функцію означають як
закон відповідності між множинами.
Означення сучасного напряму охоплюють широкий клас об’єктів
будь-якої природи, тому їх можна використовувати і в традиційних
застосуваннях математики (зокрема, у природничих науках) і в тих,
які виникли останніми десятиріччями.
237
У зв’язку з модернізацією шкільної математичної освіти і завдан-
ням наближення її до ідей та методів сучасної математичної науки з
70-х років XX ст. змінилося місце поняття функції в шкільних про-
грамах і підручниках, а також його тлумачення. Якщо в традиційно-
му курсі алгебри означення класичного напряму вводилось у 8 класі
(за старою нумерацією), то з 70-х років XX ст. поняття функції стало
предметом вивчення в 6 класі, а означення сучасного напряму фор-
мулювалося через поняття відповідності між множинами. Щоправда,
упродовж останніх трьох десятиріч була спроба подавати в шкільних
підручниках алгебри різні варіанти сучасних означень. Так, у перших
виданнях навчального посібника з алгебри за редакцією О. І. Мар-
кушевича функція означалась як відповідність між множинами X і У,
за якої кожному елементу першої множини X відповідає: єдиний еле-
мент другої множини У. Була спроба означити функцію як відношен-
ня між елементами двох множин X і У, за якого кожному елементу
множини X відповідає не більше ніж один елемент множини У. Проте
знову повернулися до означення функції як відповідності певного ви
ду між двома множинами.
Шкільна практика тих років і експериментальні дослідження з
проблем методики навчання математики показали, що сучасні озна-
чення функції як відповідності між множинами або як бінарного від-
ношення між елементами двох множин, маючи безсумнівні переваги
перед іншими підходами до означення функції з погляду математич-
ної строгості, виявились невдалими для сприймання учнями. Поняття
функції вони пов’язували зі стрілочними діаграмами, які використо-
вуються для ілюстрації лише скінченних множин. Крім того, ці озна-
чення позбавляли функцію її основної риси — динамічності і не ви-
користовувалися для характеристики реальних процесів, особливо в
суміжних предметах.
Тому в останньому виданні підручника з алгебри за редакцією
С. А. Теляковського [9] поняття функції вводилось у 7 класі й пода-
валось як залежність між двома змінними, за якої кожному значенню
незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. В цьому
разі явно означення не формулюється, а впроваджується описово на
прикладах. Таке тлумачення поняття функції не поступається за загаль-
ністю означенням через поняття множини, оскільки йдеться про відпові-
дність між значеннями змінних (а не лише змінних величин), якими
можуть бути об’єкти будь-якої природи. Водночас усі приклади підруч-
ника охоплюють лише числові функції, більшість їх — це приклади за-
лежностей між значеннями змінних величин. Виявилося, що для такого
пояснення функції учні підготовлені життєвим досвідом і легше його
сприймають. Це не виключає можливості надалі в курсі алгебри і почат-
ків аналізу ознайомити учнів із сучасним означенням функції як від-
повідності між двома множинами.
238
Функціональна пропедевтика. Для свідомого засвоєння відомос-
тей про функцію в курсі алгебри потрібно, починаючи з 1 класу, про-
водити функціональну пропедевтику — підготовчу роботу, спрямова-
ну на формування поняття функції, способів її задання, властивостей
окремих видів функції. У 1 класі, розв’язуючи текстові задачі, учні
виявляють залежність вартості товару від ціни, зміну результатів дій
від зміни компонентів, обчислюють значення виразів. У 3 класі учні
обчислюють шлях залежно від швидкості та від часу, визначають пло-
щу прямокутника залежно від довжини однієї зі сторін та ін. У 6 кла-
сі будують діаграми, розв’язують текстові задачі, ознайомлюються з
поняттям «координатна площина», будують графіки залежностей, ще
не називаючи їх функціями.
Перш ніж вводити координатну площину, доцільно повторити по-
няття «координатна пряма» і дві задачі, які з нею пов’язані: 1) ви-
значення положення точки на координатній прямій за заданою її ко-
ординатою; 2) визначення координати точки на координатній прямій.
Потрібно ще раз наголосити, що положення точки на координатній
прямій визначається заданням одного числа — координати цієї точки.
На практиці доводиться визначати положення точки не тільки на
прямій, а й па площині. Наприклад, місце глядача в кінотеатрі зада-
ється двома числами, зазначеними на квитку. Перше число визначає
номер ряду, а друге число — номер місця в цьому ряду.
У математиці для визначення положення точки на площині застосову-
ють прямокутну систему координат — дві координатні прямі, які перети-
наються під прямим кутом і розміщені одна горизонтально, друга — вер-
тикально. Точку перетину О вважають початковою точкою відліку, на
кожній координатній прямій встановлюють додатний і від’ємний напрям-
ки й одиницю відліку. Площину з обраною на ній системою координат
називають координатною площиною. Положення будь-якої точки на коор-
динатній площині визначається впорядкованою парою чисел, з яких пер-
ше показує відстань точки від осі у, а друге — від осі х. Далі розв’язують
дві взаємно обернені задачі, пов'язані з координатною площиною.
Потрібно, щоб учні або учитель навели приклади застосування си-
стеми координат у побуті та інших шкільних предметах (шахова до-
шка, гра «морський бій», географічна карта, за якою можна визначи-
ти широту і довготу будь-якої точки, та ін.).
Введення поняття функції. Пояснення починають зазвичай з розгля-
ду залежностей між значеннями двох змінних, в яких кожному значен-
ню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної.
Під час формування загального поняття функції важливо викорис-
тати приклади залежностей, що задаються різними способами (за до-
помогою формули, графіка, таблиці), відомі учням з попередніх кла-
сів, і ті знання та вміння, які вони здобули під час здійснення функ-
ціональної пропедевтики.
239
Оскільки функція вважається заданою, якщо вказано спосіб залеж-
ності між змінними і область визначення функції, то природно, роз-
глядаючи приклади, запровадити поняття області визначення та обла-
сті значень функції. У підручнику [9] наведено досить вдалі прикла-
ди функцій у зв’язку з формуванням цього поняття. Якщо загальне
поняття функції вводиться через поняття змінних, якими можуть бути
об’єкти будь-якої природи, а не лише величини, доцільно навести
приклади і такого характеру, хоча надалі учні матимуть справу з чис-
ловими функціями.
Приклад 11.14. Учні 7 класу чергують у класі впродовж лютого. Кожному дню
лютого, в який відбуваються заняття, відповідає певний черговий. Чергових призна-
чають у тому порядку, в якому прізвища учпів розміщено в класному журналі.
Потрібно зауважити, що областю визначення функції в цьому прикладі є мно-
жина днів лютого, в які відбуваються заняття школярів, а областю значень —
множина учнів, яких призначають черговими.
На цьому етапі навчання вже можна назвати
три основні способи задання функції та засто-
сувати символ у = /(х) для позначення будь-
якої функції.
Доцільно навести приклади залежностей,
які не є функціями, наприклад |г/| = х. Графік
цієї залежності (рис. 11.14) свідчить, що одно-
му значенню незалежної змінної х відповіда-
ють два значення у і -у залежної змінної,
тобто не виконується друга істотна властивість
поняття функції.
Потрібно звернути увагу учнів на те, що термін «функція» іноді
вживають для позначення двох понять: функціональної залежності та
залежної змінної.
Слід приділити достатню увагу вправам на відшукання значень
функції за даними значеннями аргументу й оберненій задачі — обчи-
слення значень аргументу, яким відповідає задане значення функції
для різних способів її задання.
З погляду формування умінь складати математичні моделі залеж-
ностей за умов практичних задач, важливими є завдання на складан-
ня формул (функцій) залежностей: шляху від часу за сталої швидко-
сті, маси різних предметів від об’єму, побудови графіків залежностей
температури повітря, атмосферного тиску від часу, отриманих під
час експериментальних спостережень. З метою впровадження елемен-
тів статистики можна практикувати складання таблиць статистичних
даних.
Методика вивчення окремих видів функцій. Доцільно навести за-
гальну методичну схему вивчення окремих видів функцій як у курсі
алгебри, так і в курсі алгебри і початків аналізу.
240
І. Етап мотивації: розглядаються приклади залежностей, які при-
водять до певного виду функції.
II. Формулювання означення функції, що впроваджується. Залеж-
но від виду функції та підготовленості учнів означення можна ввести
конкретно-індуктивним методом (за якого учнів підводять до само-
стійного виокремлення істотних властивостей і формулювання озна-
чення) чи абстрактно-дедуктивним методом (за якого вчитель сам фор-
мулює означення і наводить приклади введеного виду функції). На
цьому етапі учні розв’язують усні вправи на підведення до поняття
функції, що вивчається. Серед пропонованих функцій маю'іь бути
такі, що не належать до розглядуваного виду.
III. Побудова по точках за заздалегідь заготовленою таблицею
графіка функції та «читання» за ним властивостей функції. На наступ-
них етапах навчання, зокрема в 9—10 класах, під час систематизації
відомостей про функції та введення означення зростаючої, спадної,
парної, непарної, періодичної функцій буде нагода довести властивос-
ті окремих видів функції аналітично.
IV. Застосування властивостей вивченої функції, зокрема, до
розв’язування рівнянь, нерівностей та інших задач.
Використаємо цю методичну схему для вивчення лінійної функції.
На першому етапі, етапі мотивації, наведемо приклади різних за-
лежностей, які задаються тією самою формулою.
1. Залежність шляху 5 у разі рівномірного прямолінійного руху
від часу і, якшо відомий початковий шлях 50, який пройшло тіло:
5 = 50 + VI, де ( І 5 — ЗМІННІ; V І — сталі.
2. Видовження металевого стрижня під час нагрівання відбуваєть-
ся за формулою І = кі + /(), де температура нагрівання і і довжина
стрижня І — змінні; — довжина стрижня за температури 0° і к —
коефіцієнт лінійного розширення — сталі.
3. Вартість телеграми можна виразити формулою Т = к + пх, де к —
кур’єрський збір; х — кількість слів; п — вартість одного слова.
4. Вартість проїзду на таксі виражається формулою р = р$ + дх, де
х — кількість кілометрів, що проїхав на таксі пасажир; д — вартість
проїзду за 1 км, грн; р^ — показ лічильника в момент від’їзду таксі, грн.
Тут х — змінна.
Якщо вводити означення лінійної функції конкретно-індуктивним
методом, то можна запропонувати учням записати у загальному виг-
ляді залежності між змінними у розглянутих чотирьох прикладах у
вигляді однієї формули. Позначивши незалежну змінну буквою х, за-
лежну — буквою у, коефіцієнт біля змінної — буквою к, а вільний
сталий член — буквою Ь, учні прийдуть до формули у = кх +Ь. Вчи-
тель зауважує, що всі функції, які можна задати такою формулою,
241
називають лінійними. Учням пропонується, скориставшись отриманою
формулою, сформулювати означення лінійної функції. Доцільно в цьому
разі звернути увагу учнів на істотні властивості лінійної функції, які
легко помітити зі структури формули, що задає цю функцію: це дво-
член, в якому один член є добутком числа на перший степінь незалежної
змінної, а другий член — число. У загальному вигляді між членами сто-
їть знак «плюс». Якщо між членами є знак «мінус», то він стосується
вільного члена Ь. Неістотними властивостями є значення коефіцієнта к і
вільного члена Ь, вони можуть бути будь-якими числами. Неістотним є
також порядок розміщення членів двочлена.
Систему вправ на підведення до поняття лінійної функції доцільно
побудувати, варіюючи неістотні ознаки — значення к і Ь. Вона може
бути такою.
Які формули з наведених нижче задають лінійну функцію? Вказа-
ти для них Ь і к.
1) # = 5х + 2; 2) г/ = 7,3х-6; 3) г/ = х2-2;
1 II (о + ІС| к II ІЛ 00 II
7) у = 2хл-\- 8) г/ = 0; 9) # = 8-3,7х;
10) у = х; 11) г/ = -2х-8; 12) г/ = -5,9х;
13) ~ = 2х +1; 14) у = ; 15) у - а2х, де а — стала хС О X.
В останньому прикладі не всі учні розпізнають лінійну функцію за
певної сталої а. Важливо, щоб учні усвідомили, що формула у = кх + Ь
є узагальненням всіх можливих лінійних функцій, вона задає множину
лінійних функцій за різних значень к і Ь та порядку членів.
Після .заповнення таблиці значень х і у для певної лінійної функції та
побудови відповідних точок на координатній площині учням пропонують
поки що прийняти па віру (цей факт буде доведено в старших класах),
що графіком лінійної функції є суцільна пряма. Доцільно після побудо-
ви графіків кількох лінійних функцій звернути увагу учнів на те, що
для побудови прямої, як відомо з курсу геометрії, досить знайти дві точ-
ки. Якщо значення Ь невеликі за модулем, одна точка (0; 6) завжди ві-
дома безпосередньо з формули. Другою точкою може бути будь-яка, ко-
ординати якої можна обчислити з формули у = кх + Ь за будь-якого за-
даного х. Інколи зручно обчислити точку перетину графіка з віссю х,
поклавши у = 0 і обчисливши відповідне значення х.
Бажано, щоб учні самі помітили, як впливають на розміщення
графіка знаки к і Ь: за к > 0 пряма утворює з додатним напрямком
осі х гострий кут, а за к < 0 — тупий. Залежна змінна у зростає зі
зростанням х у першому випадку і зменшується в другому. Цим са-
мим реалізуються перспективні зв’язки навчального матеріалу з дове-
денням монотонності лінійної функції в 10 класі.
242
Лінійну функцію застосовують вже під час вивчення систем двох
лінійних рівнянь з двома невідомими, зокрема при введенні графічно-
го способу розв’язування таких систем і навіть раніше, коли учні ви-
вчають графік лінійного рівняння з двома невідомими.
Під час введення понять зростаючої, спадної, парної та непарної
функцій в 10 класі доцільно знову повернутися до властивостей лі-
нійної функції і довести їх аналітично.
Приклад 11.15. Послуговуючись означеннями зростаючої та спадної функцій
довести, що за к > 0 лінійна функція зростаюча.
Доведення. Нехай к > 0 і є А‘, х2 є Я і х2 > Ху. Тоді /(х2 ) - {(х;) = кх2 +
+ Ь - кху - Ь = к(х2- Ху) > 0, оскільки к > 0 за умовою, а х2 - Ху > 0 за означенням
числової нерівності. Отже, /'(х2 ) > к(х\) за означенням числової нерівності.
Так само доводиться, що за к < 0 лінійна функція спадна.
Під час дослідження лінійної функції на парність і непарність у
10 класі потрібно зазначити, що за к Ф 0 і Ь 0 ця функція не на-
лежить ні до парних, ні до непарних функцій. Справді, хоч будь-які
х і -х належать області визначення функції, тобто множині В, проте
У(-х) = -кх + Ь Ф {(х) і /'(-х) Ф (х) = -кх + Ь.
Однак за Ь = 0 і к * 0 лінійна функція у = кх є непарною, оскіль-
ки {(-х) = -кх = -/ (х), а за к = 0 вона є парною, оскільки /(х) = Ь,
/ (~х) = Ь = [(х). Графік її є прямою, паралельною осі х, або такою,
що збігається з нею, і симетричною відносно осі у.
У 10 класі під час вивчення поняття періодичної функції слід звер-
нути увагу учнів на те, що в разі к Ф 0 і 6 Ф 0, лінійна функція не є
періодичною, оскільки не існує такого числа Т Ф 0, що [ (х + Т) =
= /’(х), адже /(х + Т)= к(х + Т) + Ь = кх + кТ + Ь Ф /(х).
Проте за к - 0 у = Ь є періодичною функцією, оскільки за будь-
якого Т 0 [ (х + Т) = Ь = {(х). Однак найменшого додатного періо-
ду для цієї функції не існує.
Окремим випадком лінійної функції є пряма пропорційність,
оскільки формулу у = кх можна отримати з формули у = кх + Ь за
Ь = 0. Тому вивчення прямої пропорційності можна почати саме з та-
ких міркувань. Після цього учні самі можуть сформулювати означен-
ня прямої пропорційності та навести приклади залежностей, які за-
даються формулою у = кх. Як окремий випадок лінійної функції
пряма пропорційність має графіком пряму. Можна запитати в учнів,
яка специфічна властивість цієї прямої. Хто-небудь із них скаже, що
графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через поча-
ток координат, оскільки за х = 0 у = 0. Тому для побудови графіка
досить знайти координати ще однієї точки, задавши зручну для обчис-
лення значення х і обчислити за формулою у.
243
Розв’язуючи вправи стосовно лінійної функції та прямої пропор-
ційності, потрібно не тільки будувати графіки відповідних функцій за
заданою формулою, а й розв’язувати обернені вправи: за відомим графі-
ком знайти формулу, що задає функцію.
Приклад 11.16. Записати формулу лінійної
функції, зображеної на графіку (рис. 11.15).
Розв’язання. Для відшукання формули погріб-
но обчислити значення к і Ь у загальній формулі
лінійної функції у — кх + Ь. Оскільки графік
проходить через точку (0; 3), то її координати
задовольняють рівняння у = кх + Ь. Підставляю-
чи в це рівняння х = 0, у = 3, дістанемо
З = к • 0 + Ь, звідки Ь = 3. Щоб знайти к, скориста-
ємося тим, що графік проходить через точку (2; 0).
Підставимо в рівняння у = кх + Ь значення х = 2,
л/= 0 і Ь = 3. Дістанемо 0 = 6-2 + 3, звідси
З
2'
Отже, підставляючи в загальну формулу лінійної функції значення к =
З
2
, 6 = 3, матимемо шукану формулу лінійної функції, графік якої задано па
рис. 11.15: у = ~х + 3.
2 З
Під час вивчення функцій у = х і у -х у8 класі можна наве-
сти приклади залежностей між змінними, які приводять до цих функ-
цій (залежність площі квадрата від довжини його сторони 5 = а2,
залежність об’єму куба від довжини його сторони V = а3). Досвід
показує, що вивчення цих двох функцій відбувається з більшою ціка-
вістю й учні беруть жваву участь у цьому процесі, якщо ще до запов-
нення таблиць і побудови графіків дослідити їх властивості та перед-
бачити деякі особливості в розміщенні графіків на основі відомих уч-
ням властивостей виразів х2 і х3. Справді, обидва графіки мають
пройти через початок координат, оскільки за х = 0, у - 0.
За х: * 0 для функції у = х2 у завжди додатне. Це означає, що
графік лежатиме вище від осі х, крім точки (0; 0).
Для функції у - х3 за х Ф 0 і х > 0 у >0, а за х < 0 у < 0 за вла-
стивістю степеня з непарним показником. Це означає, що за х > 0 гра-
фік міститиметься в першій координатній чверті, а за х < 0 — у третій.
Потрібно, щоб два учні біля дошки за допомогою мікрокалькуля-
торів заповнили таблиці та побудували графіки обох функцій. Цю
саму роботу учні виконують у зошитах. Таблиці та графіки підтвер-
дять досліджені властивості функцій.
Підготовкою до вивчення властивостей зростання та спадання функ-
цій є усні вправи на визначення тих ділянок області визначення функції
244
2
у = х , па яких зі зростанням аргументу х значення функції також
зростають, а на яких зі зростанням значення х значення у зменшу-
ються. За графіком функції у = х3 учні можуть встановити, що па
всій області визначення зі зростанням х значення у зростають.
За допомогою калькулятора можна переконатися, що за досить
близьких до нуля значеннях аргументу графіки функції у = х2 і
у = х3 майже збігаються з віссю х.
Вивчення оберненої пропорційності у = — у 8 класі природно
X
пов’язати з різними прикладами залежностей між змінними, які відо-
мі учням із життєвого досвіду або із суміжних предметів, зокрема
геометрії, фізики. Наприклад: за наявності певної суми грошей Р кіль-
кість куплених зошитів у обернено пропорційна їхній ціні х (г/ = — І;
якщо площа прямокутника дорівнює 20 см2, його ширина Ь обернено
пропорційна довжині а (і> = —); за постійної напруги 17 сила струму
= -^0. Для учнів може
І обернено пропорційна опору К провідника
бути цікавим такий факт: формулу І = за постійного 17 отримано з
формули, яка описує закон Ома. Проте якщо з цієї формули вирази-
ти /?, то формула П = -у- не задає обернену пропорційність, оскільки
за зміни 17 в кілька разів сила струму І не залишається постійною, а
змінюється в стільки само разів. Обернено пропорційна залежність
опору провідника від його площі перерізу задається формулою
Р = р-у, де р і І — сталі.
У наведених прикладах використовують додатні величини, тоді як
означення функції у = — передбачає і додатні, і від’ємні значення х
X
та у. Важливо при цьому наголосити, що значення к Ф 0 . На відміну від
вивчених раніше функцій областю визначення оберненої пропорційності
не є множина всіх чисел, оскільки х має бути відмінним від нуля.
у,
Після побудови графіків кількох функцій у= — за додатних і
X
від’ємних х учні мають зробити висновок щодо розміщення гіперболи
у відповідних координатних чвертях залежно від знака к, характеру
зміни значень функції зі зростанням значень аргументу. На цей час у
курсі геометрії учні вже ознайомилися з поняттями осьової та централь-
ної симетрії. Доцільно звернути увагу на те, що за певного значення к
графік (гіпербола) симетричний відносно початку координат. У 10 класі
245
після введення означень зростаючої, спадної, парної та непарної функ-
цій потрібно знову звернутися до властивостей функції у = —, довес-
X
ти їх аналітично, послуговуючись відповідними означеннями.
Під час вивчення квадратичної функції у = ах2+Ьх + с за
а Ф 0, в 9 класі на етапі мотивації легко навести приклади залежпос-
о 2
теи, які задаються функцією у - ах , що є окремим випадком квад-
ратичної, але складніше підібрати аналогічні приклади для загально-
го вигляду функції. Проте такий приклад є. У курсі фізики учні ви-
вчають формулу положення тіла відносно системи координат у будь-
а 1?
який момент часу с: за прискореного руху х = х0 + цОхг + —, де
х0 — початкова координата тіла; цОг — початкова швидкість (проек-
ція вектора швидкості на вісь х); ах — прискорення (проекція век-
тора прискорення на вісь х).
Найскладнішим для сприймання учнів є навчальний матеріал щодо
побудови графіка квадратичної функції загального вигляду у =
- ах^ +Ьх + с. Тому не випадково учнів готують до цього, послідовно
розглядаючи питання побудови графіків функцій у = х2, у - ах^ + п,
у = а(х + ?«)2 +п з використанням побудови відомого графіка функ-
ції у = х2. З метою актуалізації опорних знань і вмінь потрібно по-
вторити розв’язування вправ на вилучення квадрата двочлена з три-
члена ах^+Ьх+с за певних числових значень а, Ь, с і лише після
цього перейти до розв’язування задачі в загальному вигляді.
Навчальний матеріал стосовно побудови графіків і вивчення власти-
востей окремих видів квадратичної функції та загального її вигляду дає
змогу в класах з поглибленим вивченням математики або на заняттях
математичного гуртка розглянути на рівні узагальнення побудову
графіків складніших функцій геометричними перетвореннями графі-
ків відомих функцій. При цьому доцільно звести в систему вісім основ-
них перетворень, які дають можливість урізноманітнити систему вправ
на побудову графіків функцій. Це підготує учнів, які навчаються на під-
вищеному рівні, до побудови графіків складніших тригонометричних,
степеневих, показникових і логарифмічних функцій в курсі алгебри і
початків аналізу.
Можна заздалегідь підготувати таблицю (табл. 11.2), в якій показано
послідовність розгляду кожного перетворення і наведено шуканий гра-
фік. Водночас потрібно теоретично обґрунтувати окремі перетворення
з метою запобігання формалізму у сприйманні готового алгоритму.
Так, під час розгляду другого перетворення доцільно провести такі об-
ґрунтування в загальному вигляді: аргументи функцій у = [ (х) і /(-х)
246
Таблиця //.2. Побудова графіків функцій за допомогою
геометричних перетворень
У=*2 4 і І. Дано: графік у = [(х). Побудувати: у = = -/(*)- 2 Приклад. Дано: у = х . Побудувати: у = = -х2. Алгоритм. 1. Побудувати графік 2. Відобразити його симетрично осі х. Діс- танемо графік функції у = ( (х)
-1 У = -Х2 /( (-1 ) 1 X
. У^'Гх У 1 У=^, 11. Дано: графік у = /(л). Побудувати: у = Г(-х)- Приклад. Дано: у ~ 4х. Побудувати: у = = у!-х. Алгоритм. 1. Побудувати графік у = /Дх ). 2. Відобразити його симетрично осі у. Діс- танемо графік у = ((-х)
-1 0 1 X
У - у=2іх1 + 1 <1 ПІ. Дано: графік у = /'(.*). Побудувати: ^ = /'(1*1)- Приклад. Дано: у = їх + 1. Побудувати: у = 2|х| + 1. Алгоритм. 1. Побудувати графік функції у = /Дх) за х > 0. 2. Відобразити його симетрично осі у. Об’єднання побудованих графіків є графі- ком функції у = [(|*|)
-1 0 1 X
\ у -1/40 2 1 у=І2х+1І 1 X IV. Дано: графік у = [(х). Побудувати: У = |/'(*)|- Приклад. Дано: у - 2.г + 1. Побудувати: У = |2х + 1|. Алгоритм. 1. Побудувати графік функції у =[(х). 2. Відобразити симетрично осі х ту частину побудованого графіка, яка міститься нижче від осі х. Об’єднання графіків, розміщених не нижче від осі х, є графіком функції у = = !/(*)!
247
Продовження табл. 11.2
\ У у 1 / #=х2+2 / У=*2 1 у=х2-2 V. Дано: графік у = ((х). Побудувати: у = = [(х) + а, а >0. Приклад. Дано: у - х . Побудувати: у = = х2±2. Алгоритм. 1. Побудувати графік функції у = ((х). 2. Паралельно перенести його вгору на від- стань а вздовж осі у для у = ((х) + а, на відстань а вниз для у = / (х ) -а
0 /1 х‘
<1 і
у=(х+2 ї. І2 V у-х2 у=(х-2)2 V У VI. Дано: графік у - [(х). Побудувати: у = ((х +а), де а>0. Приклад. Дано: у = х . Побудувати: у = = (х + 2)2. Алгоритм. 1. Побудувати графік функції г/ = /'(х). 2. Паралельно перенести його на відстань а ліворуч уздовж осі х для г/ = /'(х + я), на відстань а праворуч для у = [ (х - а)
- 0 X
СМ II II II 3-^ VII. Дано: графік у = /(х) Побудувати: у - а[(х), а > 0. Приклад. Дано: у = х3. Побудувати: у =
Л2Т/ /
'ХЗ“Т 2 -і = 2х3,у = ±х3. Алгоритм. 1. Побудувати графік функції у = /'(х). 2. Розтягнути цеіТ графік від осі х уздовж осі у в а разів за а > 1 і стиснути до осі х за 0 < а < 1
-1 //Ті. 1 2 1 X
-і -2
VIII. Дано: графік у-[{х). Побудувати:
У = ї(ах),а >0.
Приклад. Дано: у - {х}. Побудувати: у =
= {2х}.У = {|х}.
Алгоритм.
1. Побудувати графік функції у = [(х).
2. Розтягнути цей графік від осі у вздовж
осі х в а разів за 0 < а < 1 і стиснути до осі
у за а > 1
248
різняться знаками. Нехай точка Мо (х0; //о) належить графіку функції
у = /'(х). Знайдемо координати відповідної точки М (х; у), яка нале-
жить графіку функції у = / (-х) і в яку перейде точка Мо (х0; ?/0) в
результаті шуканого перетворення.
Використаємо підстановку х0 =-х. Звідси х =-х0, у = /(-х) =
= /"(х0) = у{}. Отже, точка М має протилежну абсцису і ту саму ор-
динату, тобто М(-х0; уц). Виявилося, що вона має бути симетрич-
ною точці Мо (х0; у0) відносно осі у. Це означає, що графік функції
у = /(-х) можна дістати з графіка функції у = / (х) за допомогою
перетворення симетрії відносно осі у.
Такі самі обґрунтування з використанням ідеї підстановки можна
провести для шостого і восьмого перетворень.
Під час побудови графіків функцій, формули яких містять мо-
дуль, як і при розв’язуванні рівнянь і нерівностей з модулем, до-
цільно дати учням загальний орієнтир: потрібно перетворити фор-
мулу звільненням від знака модуля, ґрунтуючись на його властиво-
сті. Наприклад, достатнім обґрунтуванням третього перетворення є
таке:
За Х-°’
' І/ [у (~х) за х < о.
Звідси випливає, що графік функції у = /(|х|) збігається з
графіком функції у = /(х) за х > 0 із графіком функції у = / (-х)
за х < 0. Побудову останнього графіка розглянуто в попередньому
перетворенні.
Аналогічно обґрунтовують побудову графіка у = |/(х)|.
Досвід свідчить, що узагальнення стосовно побудови графіків
функцій за допомогою геометричних перетворень потрібно викону-
вати паралельно з розглядом побудови графіків конкретних функ-
цій.
На завершення розгляду восьми основних перетворень доцільно
дати учням такі два орієнтири.
1. Під час побудови графіків функцій вигляду у = а/ (кх±Ь)±т
можна виконувати основні перетворення в будь-якій послідовності.
Однак перетворення VI доцільніше виконувати останнім, оскільки
інші перетворення (VII, VIII) доведеться виконувати не відносно по-
чатку координат, а відносно тієї точки, в яку перейде початок коор-
динат у результаті перетворення VI.
2. Перетворення VI можна виконувати лише тоді, коли аргумент х
має коефіцієнт 1.
249
Рис. 11.16
будуємо перенесенням графіка у =
(рис. 11.16).
Приклад 11.17. Побудувати графік
функції у = л/1 - х.
Розв’язання. Перетворимо формулу,
яка задає функцію, так, щоб перед аргу-
ментом х був коефіцієнт 1. Дістанемо
у - у]-(х - І). Шуканий графік будуємо у
такій послідовності: 1) у = Гх; 2) у = 4-х;
3) графік заданої функції у = у/- ( х - 1)
х на одну одиницю праворуч уздовж осі х
Будуючи графіки деяких дробово-раціональних функцій, під час
перетворення формули іноді зручно вилучити з неправильного дробу
цілу частину.
Приклад 11.18. Побудувати графік функції у =
х -З
X + 1
Розв’язання. Перетворимо формулу так:
х - 3 _ (л + 1) - 4 _ і _ 4
х + 1 х + 1 х +1'
Побудову графіка заданої функції виконаємо в такій послідовності: 1) у-—;
X
2) у=-—; 3) у = \-—; 4) у = 1-
X X X + 1
Зауважимо, що в шкільній практиці під час побудови графіків
функцій за допомогою геометричних перетворень вчителі, виконуючи
перетворення V і VI, інколи рекомендують переносити не графіки
вздовж осей координат, а самі осі.
Такий спосіб можливий, але практика доводить, що для деяких
учнів він виявляється важчим для сприймання і вони застосовують
його формально.
МЕТОДИКА НАВЧАННЯ
ГЕОМЕТРІЇ
40 В ОСНОВНІЙ
РОЗДІЛ ІЬ ШКОЛІ
12.1. Геометрія як навчальний предмет
Метою навчання геометрії в 7-9 класах є систематичне вивчення
властивостей геометричних фігур на площині, формування просторо-
вих уявлень, розвиток логічного мислення, засвоєння апарату, потріб-
ного для вивчення суміжних дисциплін (фізики, географії, креслен-
ня, трудового навчання та ін.).
Визначена мета має досягатися забезпеченням раціонального поєд-
нання логічної чіткості та геометричної наочності, розвитком інтуїції,
послідовною реалізацією ідеї дедуктивної побудови математичної тео-
рії і формуванням у зв'язку з цим потреби обґрунтовувати тверджен-
ня під час доведення теорем і розв’язування задач; цілеспрямованим
навчанням учнів виокремлення геометричних форм і відношень, фак-
тів у предметах і явищах навколишньої дійсності; реалізацією прак-
тичної спрямованості курсу застосуванням геометричного апарату до
розв’язування задач па обчислення, доведення і побудову, зокрема
прикладного і міжпредметного змісту.
Навчальний матеріал курсу згруповано за п’ятьма змістовими
лініями:
1) геометричні фігури та їх властивості; 2) геометричні побудови;
3) геометричні перетворення; 4) геометричні величини, їх вимірюван-
ня і обчислення; 5) координати і вектори.
Після вивчення курсу учні мають оволодіти таким обов’язковим
мінімумом знань і умінь:
знати означення геометричних фігур (за програмою), їхні ознаки,
властивості та відношення, сформульовані в означеннях, аксіомах і тео-
ремах; уміти зображати геометричні фігури, про які йдеться в умовах
теорем і задач, розрізняти відомі фігури на рисунках і моделях;
розв’язувати типові задачі па обчислення, доведення і побудову,
здійснювати в цьому разі доказові міркування, ґрунтуючись на теоре-
тичних фактах (аксіомах, теоремах, означеннях);
виконувати основні побудови циркулем і лінійкою; розв’язувати
нескладні комбіновані задачі, що зводяться до виконання основних
побудов;
251
застосовувати апарат алгебри і тригонометрії в процесі розв’я-
зування стандартних геометричних задач;
використовувати вектори і координати для розв’язування стандарт-
них задач (обчислення довжин і кутів, додавання та віднімання век-
торів, множення вектора на число).
Логічна побудова шкільного курсу геометрії. Геометрія як наука —
це частина математики, початковим предметом якої є просторові від-
ношення і форми тіл, без урахування інших їхніх властивостей (гус-
тини, маси, кольору тощо). Сучасна геометрія вивчає будь-які відно-
шення та форми, що виникають при дослідженні однорідних об’єктів,
явищ, подій (без урахування їхнього конкретного змісту) і виявля-
ються подібними до звичайних просторових відношень і форм.
Виникнення геометрії було зумовлене практичними потребами лю-
дей (вимірювання відстаней, площ земельних ділянок, об’ємів тіл).
Найпростіші геометричні твердження і поняття були відомі ще в Дав-
ньому Єгипті (початок II тисячоліття до н. е.). Проте логічні дове-
дення тверджень на той час були примітивними або їх зовсім не було.
З VI до І ст. до н. е. розвиток геометрії відбувався здебільшого в Дав-
ній Греції. На той час вже виникли порівняно строгі логічні доведен-
ня, які виклав у своїх «Началах» Евклід (близько 300 р. до н. е.).
Розвиток астрономії та геодезії (І —II ст.) привів до відкриття плос-
кої і сферичної тригонометрії.
Зовсім новий підхід до вивчення геометричних фактів запропону-
вав у першій половині XVII ст. Р. Декарт. Він відкрив метод коорди-
нат, чим заклав основи аналітичної геометрії.
У 1826 р. М. І. Лобачевський запропонував систему аксіом, яка
відрізнялася від аксіом Евкліда. Так було відкрито можливість існу-
вання неевклідової геометрії.
У шкільному курсі до 60-х років XX ст. в основу логічної побудо-
ви підручників геометрії в усіх країнах було покладено аксіоматику
Евкліда. Зокрема, на такій логічній основі побудований підручник
геометрії А. П. Кисельова, який витримав понад ЗО видань. У період
світового руху за модернізацію шкільного курсу в 50 —60-х роках у
багатьох країнах висловлювалась думка щодо відмови від системи
Евкліда і використанні у шкільному курсі тільки сучасної та доскона-
лої аксіоматики. Виникали різні пропозиції та спроби, зокрема про-
понувалося побудувати шкільний курс геометрії на основі аксіомати-
ки векторного простору (аксіоми Вейля), покласти в основу курсу
геометричні перетворення, аксіоми метричного простору. Було ство-
рено пробні підручники. У 70-х роках у республіках колишнього
СРСР кілька років планіметрію вивчали за посібником [154], створе-
ним за безпосередньої участі А. М. Колмогорова. В основу посібника
було покладено аксіоматику, запропоновану А. М. Колмогоровим.
У ньому широко використовувалися термінологія та символіка мно-
жин, основним засобом доведення теорем і розв’язування задач були
252
геометричні перетворення, передбачалось використання векторів і триго-
нометричних функцій як апарату для розв’язування задач. Однак посіб-
ник зазнав гострої критики через занадто високий теоретичний рівень,
заформалізованість термінології та символіки множин, недосконалість
системи задач. Трохи вище оцінювали вчителі навчальний посібник зі
стереометрії за редакцією 3. О. Скопеця, який був логічним продовжен-
ням посібника з планіметрії за редакцією А. М. Колмогорова.
З 1982/83 навчального року 6 класи всіх шкіл України і деяких
областей Білорусі та Росії почали працювати за четвертим виданням
підручника О. В. Погорєлова.
Після кількох перевидань і перемоги на Всесоюзному конкурсі
шкільних підручників у 1990 р. підручник [290] разом з підручником
Л. С. Атанасяна [78] було рекомендовано як паралельні підручники
для 7 — 11 класів середньої школи.
Логічні основи і методичні особливості паралельних підручників
геометрії. Підручник О. В. Погорєлова [290] побудований за тради-
ційною схемою, тобто такою самою, як і підручник А. П. Кисельова
[146]. Особливість цієї схеми полягає в тому, що ознаки рівності
трикутників розглядаються на початку курсу і є основним засобом у
доведеннях теорем і розв’язуванні задач. Водночас підручник О. В. По-
горєлова має переваги перед підручником А. П. Кисельова з погляду
чіткості викладу теоретичного матеріалу.
Розглянемо логічні підґрунтя підручника О. В. Погорєлова. Його
побудовано на дедуктивній основі, хоч і не строго аксіоматично.
1. Виклад теоретичного матеріалу ґрунтується на семи первісних (не-
означуваних) поняттях. Шість із них — планіметричні, які переходять в
стереометрію (точка, пряма, довжина відрізка, градусна міра кута, від-
ношення «належати» для точок і прямих і «лежить між» для трьох то-
чок прямої), і одне вводиться в стереометрії — поняття «площина».
Основні властивості неозначуваних понять описують дев’ять аксі-
ом планіметрії (табл. 12.1), які переходять у стереометрію (аксіоми
IV, VII, VIII і IX з незначними уточненнями), і три аксіоми стерео-
метрії (табл. 12.2).
Чотири аксіоми планіметрії (IV, VII, VIII, IX), які переходять ра-
зом з усіма іншими в стереометрію, потребують уточнення, оскільки в
просторі існує не одна, а безліч площин. Після уточнення вони фор-
мулюються так.
IV. Пряма, що належить площині, розбиває цю площину на дві
півплощини.
VII. Від півпрямої на площині, яка її містить, в задану півплощи-
ну можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і
тільки один.
VIII. Хоч би яким був трикутник, існує рівний йому трикутник у
даній площині в заданому розміщенні відносно даної півпрямої в цій
площині.
253
Таблиця 12.1. Аксіоми планіметрії
Аксіома належності точок і прямих
А Ь с о І. Хоч би яка була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. Через будь-які дві точки мож- на провести пряму, і до того ж одну
Аксіома взаємного розміщення трьох точок прямої
С, В II. 3 трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими
Аксіома вимірювання відрізків
В а АВ = а > 0 АВ=АС+СВ III. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорів- нює сумі довжин частин, на які він розби- вається будь-якою його точкою
Аксіома про розбиття площини прямою
С а IV. Пряма розбиває площину на дві пів- площини
—— 'О
Аксіома вимірювання кутів
А^ в ААВС=т°>0 С — А(аЬ) -А ( ас) +А(сЬ) V. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180". Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами
Аксіоми відкладання відрізків і кутів
А а VI. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один VII. Від будь-якої півпрямої в задану пів- площину можна відкласти кут заданої градусної міри, менший від 180°, і тільки один
254
Продовження табл. 12.1
Аксіома про існування трикутника, рівного даному
VIII. Хоч би який був трикутник, існує рів-
ний йому трикутник у заданому розміщенні
відносно даної півпрямої
Аксіома паралельних
IX. Через точку, що не лежить на цій прямій,
можна провести на площині не більш як одну
В (, пряму, паралельну даній
Таблиця 12.2. Аксіоми стереометрії
Ср Хоч би яка була площина, існують точки,
що належать цій площині, і точки, що не на-
лежать їй
С2. Якщо дві різні площини мають спільну
точку, то вони перетинаються по прямій, що
проходить через цю точку
С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точ-
ку, то через них можна провести площину, і
до того ж тільки одну
Прийнята в підручнику [290] система аксіом дала можливість
О. В. Погорєлову чітко довести важливі для побудови курсу ознаки
рівності трикутників, які в підручнику А. П. Кисельова чітко не до-
водились. Аксіоми вимірювання відрізків і кутів дали змогу обминути
досить складні для теоретичного викладу питання вимірювання геоме-
тричних величин.
Завдяки зміні послідовності викладу теорем традиційного курсу
автору вдалося стисло викласти теоретичний матеріал і доповнити
курс новими темами: декартові координати, вектори, геометричні пе-
255
ретворення. Скорочення кількості теорем досягнуто перенесенням ча-
стини з них у задачі.
Уже з § 1, де вводяться всі первісні поняття й аксіоми, починає
послідовно розвиватися ідея аксіоматичної побудови геометрії. Аксіо-
ми і теореми широко використовуються для доведення теорем і
розв’язування задач.
2. У підручнику О. В. Погорєлова застосовано три класи понять:
1) первісні, які не означуються; 2) ті, що вводяться описово, на при-
кладах без чіткого означення (геометрична фігура, аксіома, дати озна-
чення чому-небудь та ін.); 3) поняття, які означаються за допомогою
первісних понять або означених раніше. Означення понять найчасті-
ше сформульовані конструктивно, тобто в означенні наведено спосіб
утворення фігури. Як правило, означення подано в пояснювальному
тексті без виділення курсивом (крім самого терміна). Наприклад:
^Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що
не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з’єднують
ці точки».
Прийняті в підручнику означення відрізка та півпрямої (променя)
не передбачають включення кінців відрізка і початку променя у від-
повідні фігури. Це дає можливість виключити в умовах задач і теорем
окремі, особливі і тому складні випадки. Зокрема, якщо за умовою
задачі точку взято на медіані трикутника, то немає потреби спеціаль-
но зумовлювати те, що вона ие лежить на стороні, не збігається з вер-
шиною трикутника.
Вводяться два види кутів: 1) кут як «фігура, що складається з точ-
ки — вершини кута — і двох різних півпрямих, що виходять з цієї
точки, — сторін кута» 2) плоский кут: «кут розбиває площину на дві
частини. Кожну з частин називають плоским кутом». Аналогічно озна-
чають багатокутник (трикутник) і плоский багатокутник (трикутник).
Паралельні прямі означають окремо в планіметрії (дві прямі нази-
вають паралельними, якщо вони не перетинаються) і в стереометрії
(дві прямі в просторі називають паралельними, якщо вони лежать в
одній площині і не перетинаються). Перше означення містить одну
істотну властивість, друге — дві.
До означення призми і циліндра здійснено єдиний підхід, за якого
призма (циліндр) складається з двох плоских багатокутників (двох
кругів), що суміщуються паралельним перенесенням, і всіх відрізків,
які сполучають відповідні точки цих багатокутників (кругів). Єдино-
го підходу дотримано також при означенні піраміди і конуса.
3. Координати і вектори на площині й у просторі та геометричні
перетворення введено радше із загальноосвітньою метою, ніж як апа-
рат для доведення теорем і розв’язування задач.
4. У підручнику О. В. Погорєлова значно менше, ніж у поперед-
ніх підручниках геометрії, приділено місця і уваги геометричним по-
будовам.
256
5. Означення тригонометричних функцій вводиться вже у 8 класі
спочатку як відношення сторін у прямокутному трикутнику, а пізніше —
координатним способом. Апарат тригонометрії застосовано для роз-
в’язування прямокутних і косокутних трикутників і в теоретичному
матеріалі. Наприклад, косинус кута використовується для доведення
теореми Піфагора.
6. У підручнику не запроваджено термінологію та символіку мно-
жин.
Для позначення прямих, відрізків, довжин відрізків, кутів та їх
міри застосовано традиційну символіку. Наприклад, символом АВ
позначають і відрізок, і пряму, і довжину відрізка.
Символом ААОВ позначається і кут, і його міра. Інколи для по-
значення кута використовують символ /- (аЬ), де а і Ь — промені, що
його утворюють.
Методичні особливості підручника О. В. Погорєлова визначаються
трьома факторами. По-перше, підручник призначено для учнів — во-
ни мають працювати з ним після того, як прослухали відповідне по-
яснення вчителя на уроці. По-друге, автор виходить з того, що голов-
не завдання навчання геометрії в школі — навчити учня логічно мір-
кувати, аргументувати свої твердження, доводити. По-третє, основним
засобом навчання геометри вважається розв’язування задач.
Широке залучення учнів до доведень за зразком з обов’язковим
посиланням на аксіоми, доведені раніше теореми і введені означення
в перших двох параграфах створюють умови для виникнення потреби
доводити нові твердження та для формування вміння міркувати, за-
своювати мову і символіку геометрії.
Зауважимо, що автор підручника прагнув забезпечити стислість дове-
день окремих складніших теорем, зокрема ознак рівності трикутників,
тому відпрацьовані та інтуїтивно зрозумілі міркування в доведеннях
пропущено. Посилання на аксіоми і теореми мають бути змістовними, а
не поданими у вигляді переліку відповідних номерів, застосованих у
підручнику лише для зручності викладу навчального матеріалу.
Підручник має близько 1200 задач. Частину з них розв’язано в по-
яснювальному тексті з метою: 1) ознайомити учнів саме з цим спосо-
бом розв’язування (хоч учні можуть запропонувати й інший спосіб);
2) дати додаткову опорну інформацію, тому на деякі важливі власти-
вості фігур, отримані під час розв’язування задач, можна посилатися
як на теореми (наприклад, задача № 629, § 11); 3) дати зразок стис-
лого оформлення розв’язування задачі. Багато задач подано парами
для того, щоб одну розв’язати в класі, а другу — виконуючи домаш-
нє завдання. Система задач посібника передбачає розв’язування в
класі близько половини задач, на що в середньому має витрачатись
близько 50 % сукупного навчального часу уроку. Система задач не є
надлишковою. Мається на увазі, що до інших джерел задач учитель
9 Слзпкань 3. І.
257
має звертатися після того, як розв’язано задачі відповідного парагра-
фа підручника.
Організації самостійної роботи сприяють наведені після кожного
параграфа запитання для повторення. Запитання складено так, що на
кожне з них учень може знайти відповідь в тексті підручника
Пропонуємо самостійно проаналізувати за такою самою схемою
підручник Бевза Г. П. та ін. [34].
12.2. Пропедевтика геометрії в 1—6 класах
Початкова школа. Найважливішими завданнями курсу математи-
ки початкової школи, що стосуються пропедевтики систематичного
курсу геометрії, є такі: ознайомлення учнів з основними величинами
та їх вимірюванням (довжини відрізків, площі фігур); формування
уявлень про деякі геометричні фігури та їхні властивості; вироблення
потрібних графічних умінь.
Розглянемо, як здійснюється підготовча робота щодо геометрично-
го матеріалу в 1- 4 класах.
У першому класі на наочно-інтуїтивному і оперативному рівнях
учні виконують побудови, практичні дії з фігурами. Вводяться: круг,
трикутник, квадрат, чотирикутник, п’ятикутник. Учнів ознайомлюють
з точкою і відрізком, їх зображенням, довжиною відрізка. Впрова-
джується одиниця довжини — сантиметр, пізніше — дециметр, роз-
глядається поняття «відстань». В учнів формують уміння вимірювати
довжини відрізків, будувати відрізок заданої довжини за допомогою
лінійки.
У другому класі учні продовжують виконувати вимірювання і по-
будову відрізків, розпізнавати знайомі фігури. Вводяться нові фігури —
ламана, багатокутник. Учні вимірюють довжину ламаної, знаходять
периметр багатокутника, вивчають кути багатокутника, прямий кут.
Вводяться нові фігури: прямокутник, квадрат, коло і центр кола. Учні
вчаться будувати прямокутники і квадрати на папері у клітинку, коло —
за допомогою циркуля.
У третьому класі впроваджується буквене позначення геометричних
фігур. Вперше вводиться поняття площі фігури як розміру частини
площиник обмеженої фігурою. Учні вивчають одиниці площі: квадратний
сантиметр, квадратний дециметр, обчислюють площі фігур методом під-
рахунку. У цьому класі формується уміння будувати прямокутник і ква-
драт за даними довжинами сторін (по клітинках зошита). Учні продов-
жують розв’язувати вправи на знаходження периметра багатокутника.
У четвертому класі учні далі вивчають міри площі (крім відомих
квадратного сантиметра і квадратного дециметра вводиться нова оди-
ниця — квадратний метр), визначають площі прямокутників та інших
фігур за допомогою палетки.
258
Особливістю методики вивчення геометричного матеріалу в початко-
вій школі є широке використання конкретно-індуктивного методу, наоч-
ності та практичних дій учнів. На основі наочного ознайомлення з моде-
лями та рисунками учні мають навчитися вільно розпізнавати найпрос-
тіші геометричні фігури в предметах, моделях, рисунках, оволодіти на-
вичками побудови та вимірювання. На цьому етапі навчання не передба-
чено введення означень геометричних фігур, проведення дедуктивних
міркувань, крім, можливо, найпростіших дедуктивних висновків.
Курс математики 5—6 класів. На цьому етапі навчання дещо по-
глиблюють і розширюють відомості про відомі учням з початкової
школи фігури, а також вводять нові фігури та геометричні поняття.
Зокрема, учні продовжують вивчати відрізки та їх вимірювання, але
при цьому їхню увагу звертають на те, що відрізок коротший за будь-
яку іншу лінію, яка з’єднує його кінці, що довжина відрізка, який
складається з кількох частин, дорівнює сумі довжин цих частин.
Отже, всі теоретичні факти щодо геометричних величин, сформульо-
вані в курсі геометрії у вигляді аксіом вимірювання, на цьому етапі
засвоюються на рівні наочно-дійового мислення.
У п’ятому класі учнів ознайомлюють з новими геометричними фі-
гурами: промінь (як фігура, утворена продовженням відрізка в один
бік), пряма (як фігура, утворена продовженням відрізка в обидва
боки), розповідають про площину як образ реальних об’єктів (поверх-
ня скла, спокійного водоймища тощо). Безпосередньою побудовою
вводять: поняття кута, його видів (прямий, гострий, тупий), одиницю
виміру кутів. Формується уміння вимірювати кути транспортиром і
будувати кути заданої величини. Учням уже відоме поняття площі,
вони вміють обчислювати площі квадрата і прямокутника, отже, на
цьому етапі навчання вводяться формули площі квадрата і прямокут-
ника (5 = а2, 5 = аЬ), нові одиниці площі (гектар, квадратний кіло-
метр). Учнів вперше ознайомлюють з геометричним тілом — прямо-
кутним паралелепіпедом, з новою геометричною величиною — об’є-
мом, його одиницями, вони розв’язують вправи на обчислення об’єму
прямокутного паралелепіпеда.
У шостому класі вводять формули довжини кола і площі круга —
відомих з початкової школи геометричних фігур. Упроваджується нова
фігура — круговий сектор, нові геометричні тіла — призма, піраміда,
циліндр, конус.
Важливими для підготовки до вивчення систематичного курсу гео-
метрії є відомості про перпендикулярні і паралельні прямі, про побу-
дову їх за допомогою лінійки та косинця. На рівні практичних дій
(побудови) учнів ознайомлюють з фактами, які стверджуються в кур-
сі геометрії аксіомою паралельних.
На відміну від початкової школи в 5 —б класах теоретичний рівень
викладу геометричного матеріалу вищий. Окремі поняття вводять на
259
рівні означень (розгорнутий кут, паралельні прямі тощо), здійснюють
нескладні дедуктивні міркування. Водночас, як і в початковій школі,
при вивченні елементів геометрії мають переважати конкретно-
індуктивний метод навчання, широке залучення наочності, практич-
них вправ учнів з моделями і виконання ними зображень фігур, по-
будов лінійкою, косинцем, циркулем.
12.3. Методика проведення перших уроків
геометрії
На перших уроках геометрії ми подаємо навчальний матеріал,
який вводить учнів у геометрію. Це відповідає параграфам 1 і 2 під-
ручника О. В. Погорєлова [290], в яких розглянуто первісні поняття
геометрії, найпростіші геометричні фігури (відрізок, півпряма, пів-
площина, кут, трикутник, паралельні та перпендикулярні прямі),
вводяться поняття про аксіому, теорему, формулюються всі аксіоми,
покладені в основу курсу планіметрії.
Основною метою перших уроків геометрії є дати поняття про гео-
метрію, систематизувати наочні уявлення про найпростіші геометрич-
ні фігури, ввести первісні (неозначувані) поняття і поставити учнів
перед потребою означення деяких відомих їм фігур (відрізок, півпря-
ма, півплощина, кут, трикутник, паралельні прямі), розглянути пер-
вісні та означувані відношення, сформулювати основні властивості
найпростіших фігур і властивості вимірювання відрізків і кутів, які
наприкінці теми буде названо аксіомами. На перших уроках також
вводять поняття про теореми, їх доведення і аксіоми. В учнів форму-
ють потребу доведення нових тверджень за допомогою аксіом і вже
доведених тверджень. Вони набувають перші уміння виконувати до-
ведення. Важливим завданням перших уроків є формування геомет-
ричної мови на основі вже відомої та нової для учнів термінології. На
перших уроках геометрії ще не ставлять за мету пояснювати учням
походження та роль первісних понять і аксіом, ідею аксіоматичної
побудови геометрії. Про це можна говорити, завершуючи вивчення
планіметрії або на перших уроках стереометрії, коли на прикладі
планіметрії учні вже мають зразок дедуктивної побудови курсу. Про-
те ідею дедуктивної й аксіоматичної побудови математики вчитель має
систематично втілювати з перших уроків геометрії, насамперед фор-
муючи потребу означати нові геометричні поняття та доводити нові
геометричні твердження на основі вже відомих понять, аксіом і дове-
дених тверджень.
Формування основних понять. Щодо первісних, неозначуваних
понять планіметрії «точка», «пряма», то уявлення про них учні вже
мають з попередніх класів. Однак, хоч уявлення про точку походить
від об’єктів, які існують реально (місце дотику олівця до паперу,
260
крейди — до дошки, місце перетину двох ліній тощо), потрібно під-
креслити, що в геометрії точка не має розмірів. Так само, хоч уяв-
лення про пряму дає туго натягнута нитка (стрічка), в геометрії пря-
ма не має товщини, кінців і вважається необмежено подовженою.
Формуючи поняття «належить» для точок і прямих на площині,
потрібно звернути увагу на можливість використання різних термінів
для позначення цього відношення: «точки А і С належать прямій а»,
«точки А і С лежать на прямій а», «пряма а проходить через точки А
і С».
Щодо формування первісного відношення «лежить між» для трьох
точок прямої, то потрібно відмежувати набуте учнями з життєвої
практики поняття «лежить між». Наприклад, у побуті часто вжива-
ють вислови на зразок «місто Коростишев лежить між Києвом і Жи-
томиром», пояснюючи, яким автобусом дістатися до Коростишева.
Проте якщо подивитися на карту, то очевидно, що автомобільна тра-
са, якою рухається автобус, не є прямою лінією. У цьому разі, з по-
гляду геометрії, застосування цього терміна неправомірне, адже ви-
слів «лежить між» в геометрії використовують для позначення влас-
тивості трьох точок, які належать лише прямій.
Якщо учням запропонувати самостійно позначити на прямій точку
С, яка лежить між двома даними точками А і В цієї прямої, то хто-
небудь із учнів може позначи-
ти цю точку лише посередині
відрізка АВ. Потрібно наголо-
сити, що це правильно не ли-
ше для точки, яка лежить посе-
редині відрізка. Доцільно роз-
в’язати усні вправи на підве-
дення до поняття «лежить
між», використовуючи різні ві-
домі учням фігури (рис. 12.1).
Система запитань може бути
такою.
1. Чи лежить точка Р між
точками М і N (рис. 12.1, б)?
2. Які точки на рис. 12.1, а, б лежать між двома іншими?
3. Чи лежить точка Р між точками £ і Е (рис. 12.1, в)? Укажіть
на цьому рисунку точки, які лежать між двома іншими.
4. Яка точка на рис. 12.1, г лежить між двома іншими? Які точки
не мають цієї властивості?
За умови роботи за підручником О. В. Погорєлова [290] на пер-
ших уроках геометрії вводять 25 означуваних понять, ще три впрова-
джують описанням, на прикладах (геометрична фігура, аксіома, дати
означення чому-небудь). Більшість цих понять відома учням з попе-
261
редніх класів, але тепер постає завдання сформулювати їх означення.
Щодо терміна «означення», то, на відміну від термінів «аксіома», «тео-
рема», його в підручниках не пояснюють. З курсу логіки відомо, що
означення — це твердження, в якому перелічуються істотні властиво-
сті поняття. На початку вивчення курсу геометрії з дидактичних мір-
кувань надавати учням таке тлумачення терміна «означення» недоціль-
но. Тому досить обмежитися роз’ясненням на прикладах поняття
«означити що-небудь».
Означувані поняття на перших уроках геометрії можна вводити
конкретно-індуктивним і абстрактно-дедуктивним методами.
Наприклад, можна підвести учнів до означення відрізка, виокрем-
люючи істотні властивості точок цієї фігури. В цьому разі вчитель
може подавати пояснення у формі такої евристичної бесіди.
Учитель. Візьмемо пряму а і позначимо на ній відрізок АВ (рис. 12.2). Звер-
немо увагу передусім на те, що відрізок — це частина прямої. Крім того, з’ясуймо
істотну властивість точок, з яких складається
а £_______С____________В Р відрізок АВ. Позначимо точку С, яка нале-
жить цьому відрізку, і точку П прямої, яка не
Рис. 12.2 належить відрізку АВ. Яку властивість має
точка С стосовно точок А і В?
Учень. Точка с лежить між точками А і В.
У ч и т с л ь. Чи має таку властивість точка О?
Учень. Ні, точка О не лежить між точками А і В.
Учитель. Чи матимуть таку саму властивість, як точка С, всі інші точки, з
яких складається відрізок АВ?
Учень. Так, всі вони лежать між точками А і В.
Учитель. Тепер спробуйте означити відрізок, тобто сказати, яка фігура
називається відрізком. У цьому разі використайте помічені дві істотні властивості
відрізка.
Учні формулюють означення. Вони можуть пропустити деякі сло-
ва, зокрема слово «усіх» стосовно точок прямої, з яких складається
відрізок. Учитель уточнює означення, учні повторюють його.
Так само учщ можуть самостійно формулювати відомі їм означен-
ня понять «розгорнутий кут», «паралельні прямі», «бісектриса кута».
Стосовно означення паралельних прямих потрібно зауважити, що в
планіметрії воно містить лише одну істотну властивість — «не пере-
тинатися» .
Означення Таких понять, як «кут», «трикутник», «рівні трикутни-
ки», «суміжні Кути», «перпендикуляр до прямої» тощо, доцільніше
ввести абстрактно-дедуктивним методом, тобто означення формулює
сам учитель, наводить приклади, учні розв’язують задачі, що закріп-
люють нові поняття.
Щодо поняття «геометрична фігура», яке описово запроваджують
на першому уроці, то слід мати на увазі, що в підручнику О. В. По-
горєлова термін «плоскі фігури» застосовується до кутів і багатокут-
ників дещо нетрадиційно. Тому на першому уроці, розглядаючи по-
262
няття «геометрична фігура», доцільно скористатися моделями каркас-
них (виготовлених з дроту) і плоских (виготовлених з паперу чи кар-
тону) трикутника і прямокутника, кола, круга, прямокутного парале-
лепіпеда, піраміди, кулі, циліндра, конуса. Потрібно зазначити, що
трикутники, багатокутники, коло, круг можуть розміщуватися в одній
площині всіма своїми точками, на відміну від паралелепіпеда, кулі,
піраміди, циліндра, конуса, які називають тілами. Після цього легко
ввести поняття планіметрії як розділу геометрії, в якому вивчають
фігури на площині.
Ознайомлення з аксіомами і теоремами. Слід мати на увазі, що з
аксіомами планіметрії на оперативному, практичному рівні учні фак-
тично ознайомились у процесі вивчення курсу математики 1—6 кла-
сів. Однак на тому етапі навчання ці властивості найпростіших фігур
аксіомами не називали. Цей термін не застосовують і на перших уро-
ках планіметрії доти, доки учні не ознайомляться з поняттями «тео-
рема» і «доведення» [290, с. 18] і не відчують потреби у використанні
аксіом для обґрунтування доведень.
Вивчення основних властивостей найпростіших фігур і формулю-
вання кожної властивості доцільно починати з розгляду відповідних
фігур і практичних дій учнів: вибір точок на прямій і поза нею, про-
ведення прямої через дві задані точки, вимірювання довжини відрізка
та величини кута, проведення через задану точку прямої, паралельної
даній. Помічені властивості учні можуть сформулювати самостійно у
вигляді тверджень, які пізніше називатимуться аксіомами.
Стосовно введення поняття аксіоми як твердження про властивості
найпростіших фігур, що їх домовились прийняти без доведення, то на
перших уроках планіметрії цими відомостями про аксіоми можна об-
межитися.
У 10 класі на першому уроці стереометрії можна дещо розширити
інформацію про аксіоми. Слід підкреслити, що ці твердження домо-
вились прийняти без доведення. Залежно від особливостей вибору
первісних понять і побудови курсу геометрії за аксіому можна взяти
інше твердження, яке в іншому курсі доводиться. Так, якщо теорему
про суму кутів трикутника вважати аксіомою, то можна довести влас-
тивість проведення через точку, яка не належить прямій, лише однієї
прямої, паралельної даній. На цьому етапі навчання вже є можли-
вість пояснити походження та значення первісних понять і аксіом при
побудові курсу планіметрії.
Поняття про теорему і доведення вчитель має запровадити перед до-
веденням першої теореми про властивість прямої, яка не проходить че-
рез жодну вершину трикутника і перетинає одну зі сторін цього трикут-
ника. Структуру змісту теореми (умова і висновок) також потрібно по-
яснити на прикладі формулювання цієї теореми, оскільки іншого зразка
учні поки що не мають. Можна також показати учням зразок скорочено-
го запису умови і висновку теореми за попередньо заготовленим рисун-
263
ком. Потрібно привчати учнів до культури записів на дошці та в зошиті:
рекомендувати рисунок розміщувати зліва, а скорочений запис змісту
теореми (задачі) — справа. Хоча в підручнику [290] не вживаються тер-
мінологія і символіка множин, не практикується скорочений запис змісту
теореми, проте можна використати символи є і й належності та
неналежності для точок. Скорочений запис може мати такий вигляд:
Дано: Д.АВС, а — пряма;
а перетинає АВ; Аі. а,
Веа,Сеа (рис. 12.3).
Довести: а перетинає ВС
чи АС.
Рис. 12.3 Деякі вчителі з перших уроків
практикують виконання на дошці
(а учні — в зошитах) скороченого запису основних етапів доведення.
В цьому разі учні під час доведення теореми намагаються встигнути
за вчителем виконати скорочений запис у зошиті. Такий методичний
прийом вивчення доведень на перших уроках не можна вважати ви-
правданим, оскільки учні не заглиблюються у зміст доведення, а пра-
гнуть лише скорочено записати його. Якщо є потреба в скороченому
записі доведення, то доцільніше надати учням час після того, як до-
ведення пояснене і закріплене повторним поясненням чи відтворенням
одним з учнів. Не слід ставити негативні оцінки за нездатність окремих
учнів відтворити доведення перших теорем на наступному уроці після
того, на якому вивчали теорему. На рівні обов’язкових результатів
навчання можна обмежитись лише вмінням сформулювати теорему,
виконати рисунок, назвати загальну схему і твердження, які викори-
стовуються під час доведення.
Вже при вивченні властивостей найпростіших геометричних фігур,
у процесі розв’язування задач на доведення і під час доведення тео-
реми 2.3 підручника [290] учні ознайомлюються зі схемою міркувань
за методом від супротивного. У § 2 підручника [290] передбачене яв-
не ознайомлення учнів з доведенням від супротивного. Щоб полегши-
ти сприймання цього першого для учнів методу доведень, потрібно не
тільки пояснити їм його суть, а й дати навчальний алгоритм і орієн-
тир доцільності використання. При цьому краще організувати на уро-
ці колективний пошук алгоритму на прикладі відомих учням доведень
двох тверджень. Короткий запис обох доведень можна заздалегідь
заготувати на дошці.
Задача 12.1. Чи може пряма, яка перетинає одну з двох паралельних прямих,
не перетинати другу? Поясніть відповідь.
Доведення. Припустимо, що с не перетинає Ь. Тоді через точку А проходять
дві прямі а і с, які не перетинають Ь, тобто паралельні Ь. Однак це суперечить
аксіомі паралельних прямих.
264
Висновок. Припущення неправильне. Отже, а має перетнути Ь.
Теорема 2.3. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну
до неї пряму, і тільки одну.
Розглянемо другу частину доведення цієї теореми, де обґрунтовується єди-
ність побудованої прямої Ь, перпендикулярної до даної прямої а в точці А
(рис. 12.4).
Дано: а — пряма,
А — точка, що належить а.
Довести: через точку А можна провести пряму,
перпендикулярну до а, і тільки одну.
Доведення. Припускаємо, що існує інша пряма с, яка
проходить через точку
якщо позначити як
одній півплощині з
же, ВІД променя О]
кути («!&]) і (а^),
відкладання кутів, оскільки кут, рівний заданому, можна відкласти лише один.
Висновок. Припущення неправильне. Отже, через точку А можна провес-
ти лише одну пряму, перпендикулярну до а.
А і перпендикулярна до а. Тоді
промінь прямої с, що лежить в
то кут (а^С]) дорівнює 90°. От-
одну півплощииу відкладено два
С1
Ьр
в
кожний з яких дорівнює 90°. Проте це суперечить аксіомі про
Порівнюючи обидва доведення, учні помічають їхні істотні спільні
кроки і з допомогою вчителя можуть сформулювати алгоритм методу
доведення від супротивного, який доцільно оформити у вигляді таб-
лиці, і вдаватися до цієї таблиці у разі потреби використати при до-
веденні метод від супротивного.
Для того щоб довести твердження методом від супротивного, по-
трібно:
1) припустити супротивне тому, що слід довести;
2) користуючись припущенням, відомими аксіомами і доведеними
раніше твердженнями, за допомогою міркувань дійти висновку,
який суперечить умові твердження, що доводиться, відомій ак-
сіомі, доведеному раніше твердженню або припущенню;
3) зробити висновок, що припущення неправильне, а правильне те,
що потрібно довести.
Можна дати учням орієнтир для застосування методу від супротив-
ного: неможливість чого-небудь і єдиність чого-небудь в математиці
завжди доводиться методом від супротивного. Цим методом інколи
послуговуються також для доведення обернених тверджень.
Особливості системи задач перших уроків. Система задач, які
розв’язують на перших уроках геометрії, спрямована насамперед на
засвоєння основних властивостей найпростіших фігур, на формування
вмінь посилатися на аксіому, теореми й означення під час доведення
нових тверджень, розв’язування задач на доведення й обчислення, на
засвоєння геометричної мови. У цій системі значну увагу потрібно
приділити практичним вправам учнів щодо проведення прямих, вибір
265
точок, які задовольняють певні вимоги, поясненню мовою геометрії
помічених на рисунку властивостей точок, прямих, відрізків, кутів.
Задачі на визначення довжин відрізків, градусної міри кутів розви-
вають в учнів окомір, практичні навички вимірювання й побудови
відрізків і кутів заданої величини.
Задачі 35 — 40 § 1 підручника [290] підготовляють учнів до дове-
дення ознак рівності трикутників, а розв’язування задач, подібних до
29, 50, привчає їх до міркувань, які виконуються при доведенні мето-
дом від супротивного.
Шкільна практика свідчить, що корис-
ними для підготовки до вивчення трьох ознак
рівності трикутників є задачі на побудову три-
кутника за двома сторонами і кутом між ни-
ми, за стороною і двома прилеглими кутами,
за трьома сторонами. У цьому разі умови за-
дач доцільно пропонувати у такому форму-
люванні.
Задача 12.2. Нарисуйте довільний трикутник ЛВС.
Позначте в ньому сторони АВ, ЛС і кут А (рис. 12.5).
Побудуйте трикутник А^В^у, в якого Л]В| = АВ,
Л|С| = АС і АА\ = /.А.
Виконуючи побудову під керівництвом вчителя, учні наочно перекопуються,
що побудований трикутник дорівнює трикутнику АВС.
12.4. Вивчення ознак рівності трикутників
Відношення рівності трикутників є окремим випадком відношен-
ня рівності фігур. Означення рівності геометричних фігур у шкіль-
ному курсі вводять у зв’язку з вивченням у 8 класі рухів. Озна-
чення рівних трикутників і ознаки їх рівності вивчають у 7 класі
на початку курсу, оскільки вони традиційно є основним аргумен-
том під час доведення теорем, розв’язування задач і вивчення інших
тем.
Основною метою вивчення теми «Рівність трикутників» є озна-
йомити учнів з ознаками рівності трикутників і навчити застосову-
вати їх до розв’язування задач. Вміння застосовувати ознаки рівності
трикутників потрібно довести до рівня, що забезпечує учням можли-
вість самостійно розв’язувати задачі, які потребують застосування
цього апарату. Під час вивчення цієї теми посилюються можливості
розвитку логічного мислення, усвідомлення учнями ідеї дедуктивної
побудови геометрії. Доведення ознак рівності трикутників потребує
обґрунтування кожного із тверджень, які містить доведення, поси-
ланням на відповідні аксіоми, означення, вміння застосувати метод
від супротивного. Ці доведення непрості для сприймання всіма уч-
266
нями, тому було б неправомірним на рівні обов’язкових результа-
тів навчання вимагати від усіх школярів уміння відтворювати до-
ведення. Тут вперше виникає можливість пояснити учням відмінність
між твердженням, яке є означенням певних фігур, і твердженнями,
які є ознаками рівності цих фігур (означення і ознаки рівності трикут-
ників, означення рівнобедреного трикутника і ознака такого трикут-
ника).
Використання відомих і формування нових понять теми. У зв’яз-
ку з вивченням ознак рівності трикутників і пов’язаного з ними на-
вчального матеріалу використовується багато вже відомих понять та
їх означень: відрізок, довжина відрізка, рівні відрізки, кут, кутова
міра, рівні кути, трикутник, рівні трикутники, перпендикуляр, про-
ведений до прямої, та ін. Отже, слід подбати про своєчасну актуалі-
зацію потрібних знань, повторення необхідних означень понять. Особ-
ливо уважно слід повторити означення рівних трикутників і відповідну
символіку. Специфіка підручника [290] потребує від учнів уважного
ставлення до позначення буквами відповідних сторін і кутів у двох
рівних трикутниках. Корисними для цього є задачі на зразок такої.
Трикутники МКР і К(^)$ рівні. Відомо, що сторона М\’ = 12 см, а
кут Р дорівнює 98°. Чому дорівнюють сторона РС,) і кут 5? Пояснити
відповідь.
У цій темі вводять шість нових понять: рівнобедрений трикутник,
рівносторопній трикутник, теорема, обернена до даної, висота трикут-
ника, опущена з даної вершини, бісектриса трикутника, проведена з
даної вершини, медіана трикутника, проведена з даної вершини. Всі
зазначені поняття доцільніше запровадити абстрактно-дедуктивним
методом і проілюструвати конкретними прикладами. Важливо спеціаль-
но підкреслити істотні властивості цих понять і протиставити їм неіс-
тотні. Наприклад, означення бісектриси трикутника, проведеної з да-
ної вершини, містить дві істотні властивості: 1) це — відрізок бісект-
риси кута трикутника; 2) він сполучає вершину трикутника з точкою
на протилежній стороні. Неістотними у цьому означенні є вид трикут-
ника, розміщення вершин на площині.
В означенні рівнобедреного трикутника є лише одна істотна ознака —
рівність двох сторін. Неістотним є розміщення цього трикутника
на площині. Зокрема, основа рівнобедреного трикутника необов’яз-
ково має бути горизонтальною, як це здебільшого зображено в підруч-
никах.
Вводячи поняття висоти трикутника, не слід обмежуватися лише
формулюванням означення. Учні мають виконати практичні вправи
на проведення висот з різних вершин гострокутних, тупокутних і
прямокутних трикутників. Слід мати на увазі, що попередній життє-
вий досвід учнів може гальмувати засвоєння поняття висоти трикут-
ника. Навіть старшокласники, проводячи висоту тупокутного трикут-
267
ника АВС, припускаються помилки, вважаючи
висотою відрізок ВО (рис. 12.6).
Під час введення поняття оберненої теореми
доцільно запропонувати учням сформулювати
твердження, обернені до відомих з курсу мате-
матики 5 — 6 класів, і з’ясувати, чи правильні
вони (наприклад, твердження, обернене до
ознаки подільності числа на 3).
Доведення теорем. Усі теореми, які вивчають
у цій темі, належать до основних теорем курсу геометрії, оскільки їх
широко використовують під час доведення інших теорем і розв’язування
задач. Найскладнішими з них для сприймання учнів є доведення ознак
рівності трикутників. Перш ніж приступати до вивчення першої ознаки,
потрібно звернути увагу учнів на відмінності між термінами «означення»
і «ознака» рівності трикутників. Означення відповідає на запитання
«Що це таке?», тобто розкриває зміст поняття. Ознака — це теорема, в
якій наведено умови, за яких об’єкт належатиме до поняття, про яке
йдеться в означенні. Доведення двох перших ознак рівності трикутників
доцільно організувати на трьох рівнях строгості, або скорочено — «в
три проходи».
Перший прохід вчитель виконує сам. Його мета — ознайомити уч-
нів зі структурою доведення в цілому. За рисунком вчитель пояснює
основну ідею доведення, називає основні твердження, які воно міс-
тить, без потрібних обґрунтувань.
Під час виконання другого проходу доведення відтворюють з усіма
потрібними обґрунтуваннями. В цьому разі доцільно заздалегідь заго-
тувати таблицю з двох стовпчиків. У лівому стовпчику слід записа-
ти всі твердження, які містить доведення, в правому — обґрунту-
вання кожного з них. Правий стовпчик під час другого проходу спо-
чатку закривають і відкривають після відповідей учнів на запитання
«Чому?».
Під час третього проходу вводять домовленість пропускати обґрун-
тування деяких, інтуїтивно і наочно найзрозуміліших тверджень для
скорочення доведення. З метою закріплення доведення вчитель ще
раз повторює його в скороченому варіанті. Фактично — це доведен-
ня, наведене в підручнику [290].
Проілюструймо цей методичний варіант на прикладі вивчення пер-
шої ознаки рівності трикутників (рис. 12.7).
Приклад 12.1.
Дано: дАВС і д/1|В(С|.
АВ = АІВІ; ЛС = ЛІСІ;
АА = ААу.
Довести: дАВС =лЛіВіС^.
268
Доведення. І прохід (вчитель виконує сам). Існує дЛ|ЯгС2, рівний дЛЯС.
Він розміщений так, що одна з його вершин збігається з вершиною Лі, друга
вершина Я2 лежить на промені Л1Я1, третя С2 — в тій самій півплощині, що й
вершина С| відносно прямої А}С} (відкривається рисунок трикутника Л1В2С2 ).
Доведемо, що за даних умов вершина Я2 має збігатися з Яр а С2 — з (ос-
новна ідея доведення).
Оскільки Л|В| =Л!Я2, то вершина Яг збігається з вершиною В]. Оскільки
2бЯ,Л|С| = /В2АуС2, то промінь Л(С2 збігається з променем Л^Ср Оскільки
= Л|С2, то Сг збігається з Ср Отже, дЛ|Я(Ср збігається з дЛ|Я2С2, тобто
рівний дЛЯС. Теорему доведено.
II прохід. Вчитель показує учням таблицю (табл. 12.3), в лівому стовпчику
якої записано всі твердження, які містить доведення (правий стовпчик закритий),
і пропонує відповісти на запитання, чому виконується кожне твердження. Правий
стовпчик відкривається в міру відповідей учнів.
Таблиця 12.3. Доведення першої ознаки рівності трикутників
Твердження Обґрунтування
1. Існує дЛіЯ2С2, рівний дЛЯС, в якого одна вершина збігається з Лр Я2 лежить на промені Л(Яр С2 — в одній ПІВПЛОЩИНІ 3 С| відносно прямої Л1Я1 2. А, В, = Л]Я2 3. Яг збігається з Я| 4. г^Я|Л^С| = ЛЯ2Л|С2 5. Промінь Л|С2 збігається з променем Л1С?! 6. Л|С| = Л|С2 7. С2 збігається з С\ 8. дЛ^С, =дЛЯС 1. За аксіомою про існування трикут- ника, рівного даному 2. Оскільки Л(Я2 = АВ за означенням рівних трикутників, а Л|Я] = АВ за умовою 3. За аксіомою про відкладання від- різка заданої довжини 4. Оскільки ^Я2Л|С2 = /ВАС за озна- ченням рівних трикутників, /ВіА[Сі = = /ВАС за умовою 5. За аксіомою про відкладання кута, рівного заданому 6. Оскільки Л|С2 = АС за означенням рівних трикутників, Л|С| = АС за умовою 7. За аксіомою про відкладання від- різка, рівного даному 8. дЛ)Я|С! = дЛ|ЯгС2, оскільки верши- ни їх збігаються: дЛЯС = дЛ|ЯгС2, що обґрунтовано в п. 1
269
III прохід. Вводиться домовленість пропустити обгрунтування тверджень 2, 4, 6.
Тоді в скороченому варіанті доведення матиме такий вигляд.
Існує аАіВ2С2, рівний дАВС, в якого одна вершина збігається з вершиною
А) трикутника А^Су друга В2 лежить на промені Л(В|, а третя С2 лежить в
ОДНІЙ ПІВПЛОЩИНІ З С] ВІДНОСНО ПрЯМОЇ Л|В|.
Доведемо, що за таких умов вершини В2 і С2 збігаються з вершинами В( і
С]. Справді, оскільки А^В^ = АІВ2, то вершини В2 і В\ збігаються за аксіомою
про відкладання відрізка, рівного заданому. Оскільки АВІА^СІ = 2^В2Л]С2, то
промені А^ і А^С} збігаються за аксіомою про відкладання кутів. Оскільки
ДС| = А2С2, то вершини Су і С2 збігаються за аксіомою про відкладання відрізків.
Отже, А/1)В)С1 = дАВС, оскільки дА^С) збігається з аАіВ1С2, а останній
рівний дАВС.
Вивчення першої ознаки потрібно завершити розв’язуванням зада-
чі на її застосування.
На наступному уроці учні відтворюють доведення і розв’язують
задачі на застосування вивченої ознаки.
Другу ознаку можна довести за такою самою схемою. Оскільки в
структурі доведення другої ознаки багато спільних етапів, тверджень
і обґрунтувань, можна організувати учнів на колективний пошук до-
ведення і обґрунтування кожного з тверджень, які містить доведення.
Доведення третьої ознаки рівності трикутників є найважчим для
сприймання, тому це доведення вчителеві доцільно виконати самому.
Оскільки в структурі доведення використовується метод від супротив-
ного, на попередньому уроці потрібно повторити його алгоритм, а під
час доведення третьої ознаки рівності вивісити таблицю, на якій за-
писано його алгоритм. Це полегшить сприймання учнями доведення
третьої ознаки, дасть їм можливість брати участь у виконанні першо-
го кроку і робити висновки з двох наступних.
Розв’язування задач на застосування ознак рівності трикутни-
ків. Шкільна практика свідчить, що із задач на застосування ознак
рівності трикутників найважчими для учнів є задачі на доведення.
У підручнику [290] після § 3, присвяченого ознакам рівності трикут-
ників, їх — більшість.
Відповідно до дидактичного принципу від простішого до складні-
шого доцільно ці задачі розподілити на три види, які потрібно роз-
в’язувати послідовно.
І. Задачі на доведення рівності трикутників. Для розв’язування
їх слід дати учням загальний орієнтир: щоб довести рівність двох
трикутників, потрібно знайти у них три пари відповідно рівних
елементів, серед яких має бути хоч би одна пара рівних сторін. Перед
розв’язуванням цих задач учні мають розв’язати підготовчу задачу,
яка ще раз зорієнтує їх увагу на правильність запису рівності три-
кутників.
270
Задача 12.3. У трикутниках ОЕЕ і РРО р р _____------г-уД
(рис. 12.8) сторони ОЕ=СІЇ, РО = РК і У
АЕОЕ = АР ПСА- Чи правильний запис &Е>ЕЕ = Е /
=дРКС? Якщо ні, то як правильно записати \
рівність трикутників? \ /
Відповідь. Запис неправильний, оскіль- \ /
ки якщо АОЕГ - АРНС), то має бути ОЕ = РК, \/
а за умовою ОЕ = 01?.
Оскільки за умовою трикутники рівні за
двома сторонами і кутом між ними, то, щоб Рис. 12.8
зробити правильний запис, доцільно почати з вершин рівних кутів — букв С і /?,
потім приписати букви Е і С> (другі кінці рівних сторін) і, нарешті, записати треті
букви Е і Р — вершини рівних трикутників: лОЕР = лВС)Р.
Можна також, позначивши на рисунку відповідно рівні відрізки і
кути, записати рівність трикутників так само, як записують трьома
буквами рівність відповідних кутів. Наприклад, &ЕЕ)Е - лРЕ(*) або
&ЕГ)Е = ДрЯП.
II. Задачі на доведення рівності деяких елементів у двох даних
трикутниках.
III. Задачі, в яких для доведення рівності трикутників або їхніх
елементів потрібно розглянути кілька пар рівних трикутників.
У зв’язку з розв’язуванням цих двох видів задач доцільно дати
учням таке загальне правило-орієнтир:
щоб довести рівність двох відрізків або двох кутів, досить включи-
ти їх у два різні трикутники і довести їх рівність.
Потрібно також учити дітей аналізувати умови таких задач, зокре-
ма з’ясовувати, скільки пар рівних елементів дано і до чого зводіггься
розв’язування задачі або які можливості для встановлення рівності
інших пар елементів можна використати.
Розглянемо розв’язування задачі № 23 із § 3 підручника [288].
Задача 12.4. Доведіть рівність трикутників за кутом, бісектрисою цього кута і
стороною, прилеглою до цього кута (рис. 12.9).
Дано: дАВС і дА]В|С|,
АЯДС = АВМіА- в
Д|О| = бісектриса АЛр
ДО = АіД; АС = \ О
Довести: дЯ/ІС =ДЛ. В|С|. \
77 Л V А ' ---й
Доведення: У заданих трикутниках уже є дві пари п
відповідно рівних елементів: АВ/1С = ДВІАІС1 і АС =
= Д1С|. Щоб довести рівність цих трикутників, досить .г'
довести або рівність кутів ВСА і В<С,А. з метою вико- \ „
• ------Н-------С|
ристати другу ознаку рівності трикутників, або рівність 1
сторін АВ і И|Ву для використання першої ознаки. Рис. 12.9
271
Застосувати першу ознаку не можна, оскільки для доведення рівності трикут-
ників ЛВО і А^В^О^, до яких належать відрізки АВ і А|В|, не вистачає даних.
Другу ознаку застосувати можна, адже ЛАОС = дЛ(О|С| за першою ознакою
рівності трикутників. Справді, АС = А^Ср АО = АДД за умовою, АОАС = ЛО^А^С^
як половини рівних кутів ВАС і ВІАІСІ.
З рівності трикутників А ОС і АДДС^ випливає рівність кутів ВСА і В^С^А^.
Отже, лАВС = лА^В^ за другою ознакою рівності трикутників.
Слід проводити обговорення виконаного розв’язування, для того
щоб зробити узагальнення, висновки, які надалі використовувати-
муться для розв’язування інших задач.
Такий аналіз і узагальнення потрібно проводити і під час розв’я-
зування складніших задач.
Задача 12.5. Доведіть рівність трикутників за медіаною і кутами, на які вона
розділяє кут трикутника (рис. 12.10).
Дано: лАВС і дА]В|С|; ВО — медіана
лАВС; ВДД — медіана дА^С];
ВО = ВІОІ;
ААВО = ААХВД\; АОВС = ЛОхВхСу
Довести: дАВС =дА)В1С1.
Доведення. Оскільки ААВС = ААВО + АЕ>ВС,
/А\В\С\ = ААІВІОІ + ЛОІВІСІ, а кути, що є доданка-
ми, відповідно рівні за умовою, то ААВС = ААІВІСІ.
Якби вдалося довести рівність відрізків АВ і А|В|,
ВС і В|С|, то для доведення рівності заданих три-
кутників можна було б скористатися першою ознакою.
Учням складно здогадатися про додаткову побудову. Тому вчитель має сам її
запропонувати: подовжити медіани ВО і ВДД на їх довжину і з’єднати кінці Е і
Е| отриманих відрізків з вершинами А, С і А(, Ср
Отримані внаслідок додаткової побудови фігури складаються з кількох трикут-
ників. Перед учнями ставлять завдання довести рівність, наприклад, відрізків АВ
і АІВІ.
До яких трикутників належать відрізки АВ, АІВІ і ВС, В^Су ? Учні з’ясову-
ють дві можливості і вибирають трикутники АВЕ, АД^Еу та СВЕ і СДІД^.
У них сторони ВЕ і В|£] рівні, оскільки довжини їх дорівнюють подвоєній меді-
ані, а медіани рівні за умовою; кути АВЕ і А|В|Еі та СВЕ і СІВІЕІ рівні за умо-
вою. Якби можна було довести рівність кутів ВСА і В|С(А| та ВЕС і В|£|Сі, то
трикутники були б рівні за другою ознакою. Крім того, зазначені кути, належать
до трикутників ОЕА і Оі^Аі та ОЕС і
Доведемо спочатку, що лОЕС = лОВА, а лОЕА = лОВС і відповідно лО\Е\С\ =
= лО^В^А^, а дОі^Аі = дО|В|С|.
272
Справді, &ОЕС =аОВА за першою ознакою, оскільки в них ОЕ = ОВ за
побудовою, ОС = ОА як відрізки основи, на які вона ділиться медіаною,
АЕОС = АВОА як вертикальні. Так само можна довести рівність інших трьох
пар трикутників.
З рівності трикутників випливає рівність відповідних кутів:
За умовою
АОЕС = АОВА, (12.1)
АОЕА = АОВС, (12.2)
АОІЕІС] = (12.3)
АО1Е1АІ = АО^С', (12.4)
АОВА = АОуВ^Ау, (12.5)
АОВС = АОуВ{\. (12.6)
Зіставляючи рівності (12.1), (12.3) і (12.5), дістанемо, що АЕ>ЕС = АІ)\Е\С\,
а зіставляючи рівності (12.2), (12.4) і (12.6), матимемо АОЕА = АО\Е\А\. Тому
лЛВЕ = і &ЕВС = дЕ^Сі за другою ознакою рівності трикутників.
Отже, лАВС =дЛ]В|С| за першою ознакою.
На завершення розв’язування цієї задачі доцільно надати учням уза-
гальнений орієнтир щодо додатково виконаної побудови: якщо в умові
задачі йдеться про рівність медіан або дано медіану, довжина якої відо-
ма, то для її розв’язування доцільно подовжити медіану на її довжину і
з’єднати кінець отриманого відрізка з вершинами трикутника.
Застосування ознак рівності трикутників потрібно для розв’язу-
вання прикладних задач, зокрема геодезичних; деякі з них включено
в систему задач чинних підручників.
12.5. Сума кутів трикутника
Теорема про суму кутів трикутника є одним із фундаментальних
тверджень, що стосуються властивостей трикутників. Водночас її вве-
денню передує вивчення ознак паралельності прямих і теорем про
властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січ-
ною, — теорем, які застосовують для доведення інших теорем і роз-
в’язування задач.
Теорему про суму кутів трикутника безпосередньо використовують
для доведення властивості зовнішніх кутів трикутника, ознаки рівно-
сті прямокутних трикутників і теореми про існування та є дикість пер-
пендикуляра до прямої.
Отже, навчальний матеріал цієї теми доповнює ознаки рівності
трикутників важливим теоретичним апаратом для розв’язування задач
і доведення інших теорем.
273
Основною метою вивчення теми є ознайомити учнів з теоремою
про суму кутів трикутника, ознаками паралельності прямих, оберне-
ними твердженнями та навчити застосовувати їх під час вивчення тео-
рем і до розв’язування задач. Учні мають знати формулювання всіх
теорем, уміти застосовувати їх до розв’язування задач.
Вивчаючи цю тему, потрібно скористатися нагодою і надалі розви-
вати логічне мислення учнів. Зокрема, доцільно ще раз наголосити на
відмінності між поняттями «означення паралельних прямих» і «озна-
ка паралельних прямих», звернути увагу на те, що теорема про вла-
стивість кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною, є
оберненою до ознаки паралельності прямих.
Розглядаючи наслідок з теореми про суму кутів трикутника і тео-
рему про існування і є дикість перпендикуляра до прямої, доцільно
залучити учнів до колективного пошуку доведення відповідно до на-
веденого раніше навчального алгоритму методу від супротивного.
Формування основних понять. У цій темі на рівні означення вво-
дять шість нових для учнів понять: внутрішні односторонні і внутріш-
ні різносторонні кути, зовнішній кут трикутника, гіпотенуза і катети
прямокутного трикутника, відстань від точки до прямої та відстань
між паралельними прямими. Два поняття (січна, відповідні кути)
вводять з використанням рисунка.
Упровадженню означень внутрішніх односторонніх і внутрішніх
різносторонніх кутів має передувати наочне ознайомлення з цими ку-
тами за допомогою рисунка. Водночас цим не можна обмежуватись,
оскільки особливістю підручника [290] є те, що означення цих понять
використано в доведенні теореми про суму кутів трикутника.
Щоб в учнів не створилося неправильне уявлення, що зовнішній
кут трикутника завжди більший, ніж внутрішній, суміжний з ним, не
можна обмежуватися прикладами зовнішніх кутів лише гострокутного
трикутника. Потрібно розглянути також тупокутні, прямокутні три-
кутники і запропонувати учням позначити всі зовнішні кути таких
трикутників.
Слід домогтися, щоб учні позначали і правильно називали кути
при перетині двох прямих третьою. Доцільно, щоб ці назви поперед-
ньо застосував вчитель.
Вивчення теорем. Для доведення трьох теорем з чотирьох, перед-
бачених у цій темі, послуговуються методом доведення від супротив-
ного. Тому учням пропонують повторити алгоритм цього методу і за
можливості залучають їх до самостійного пошуку доведення відповід-
но до алгоритму. Це, зокрема, доцільно зробити при доведенні теоре-
ми про паралельність двох прямих, які паралельні третій, а також
наслідку з теореми 4.4 [290].
Практика свідчить, що застосування методу від супротивного для
доведення ознаки паралельності прямих (теорема 4.2 з підручника
[290]) ускладнюється потребою виконання додаткової побудови і мір-
274
кувань, до яких самим учням додуматися складно. Тому цю теорему
вчителю краще довести самому, показати її застосування до доведен-
ня твердження про можливість проведення через точку, яка не нале-
жить заданій прямій, прямої, паралельної заданій, а на наступному
уроці запропонувати учням відтворити доведення цих двох твер-
джень.
Деякі учні не розрізняють аксіому паралельних і твердження про
можливість проведення лише однієї прямої, паралельної заданій прямій
через точку, що не лежить на ній. Потрібно пояснити відмінності між
цими твердженнями. На завершення вивчення теорем теми і наслід-
ків, що з них випливають, доцільно разом з учнями сформулювати
правило-орієнтир щодо можливостей застосування вивченого матеріа-
лу до доведення паралельності двох прямих на площині. Для того
щоб довести паралельність двох прямих на площині, досить довести
одне з тверджень: 1) внутрішні різносторонні кути рівні; 2) сума внут-
рішніх односторонніх кутів дорівнює 180°; 3) відповідні кути рівні;
4) кожна з прямих паралельна третій; 5) кожна з прямих перпенди-
кулярна до третьої прямої.
Задачі теми. Теоретичний матеріал теми дає можливість розв’я-
зувати різні задачі на доведення і обчислення. У цьому разі перева-
жають задачі на обчислення. Метою розв’язування задач, наведених у
підручнику [290], є надання учням додаткової інформації, яка знадо-
биться у подальшому вивченні курсу. Наприклад, розв’язання задачі
10 зводиться до обґрунтування рівності внутрішніх односторонніх і
внутрішніх різносторонніх кутів в одній із типових конфігурацій, яка
неодноразово траплятиметься надалі при вивченні теореми про суму
кутів трикутника, властивостей паралелограма і трапеції, подібності
трикутників.
У задачі 35 (розв’язування наведено в тексті підручника) обґрун-
товується положення основи висоти в гострокутному трикутнику та
висоти, що проведена з вершин прямого або тупого кута в прямокут-
ному і тупокутному трикутниках. Надалі ця
властивість неявно використовуватиметься під
час доведення теореми Піфагора, розв’язуван-
ня задач на її використання та на подібність £)/ \
трикутників. />^ \
Низка задач потребує застосування алге- / а
браїчного апарату. Наприклад, під час розв’я- /ні
зування задачі 27 (рис. 12.11) для загального
випадку (/ЯбС - а) доцільно скласти рівнян-
ня 2.x + х = 180° - а. Звідси х = 60°--|, АА = АС = 2.x = 120°--у,
А$ = а-.х = а- 60° 60°.
275
Безперечно, систему задач підручника потрібно доповнювати при-
кладними задачами. Наведемо приклади двох таких задач.
Задача 12.6. Для того щоб виміряти висоту дерева ВО, приготували прямокут-
ний трикутник АВ}С] з кутом А = 45° (рис. 12.12) і, тримаючи його вертикаль-
но, відійшли на таку відстань, за якої, дивлячись вздовж гіпотенузи АВ^, поба-
чили верхівку В дерева. Яка висота дерева, якщо відстань АС - 5,6 м, а зріст ОС
людини 1,7 м?
Задача 12.7. У середніх широтах України прийнято такі розміри кута між
кроквинами АС і АВ (рис. 12.13): для залізних дахів 120°, для толевих — 145°,
для черепичних — 100°, для тесових — 90°. Визначити для кожного даху той кут,
який кроквини утворюють з горизонтальною лінією СВ.
Рис. 12.12
Вивчаючи ознаки паралельності прямих, доцільно пригадати ві-
домий з 6 класу спосіб побудови паралельних прямих за допомогою
лінійки та косинця і показати інший можливий спосіб використання
їх для розв’язування цієї задачі. Учням буде цікаво ознайомитися зі
спеціальними креслярськими (рейсшина) і столярними (малка) ін-
струментами для побудови паралельних прямих. Ці прилади опи-
сано в підручнику [78].
У зв’язку з вивченням прямокутного трикутника можна ознайоми-
ти учнів з кутовим рефлектором, який було встановлено на одній з
автоматичних станцій, запущених на Місяць, і за допомогою якого
було досить точно визначено відстань від Землі до Місяця.
При введенні поняття відстані між паралельними прямими і роз-
в’язанні задачі 50 за підручником [290], в якій доводиться властивість
рівновіддаленості паралельних прямих, можна запропонувати учням
довести обернене твердження. Воно формулюється так: всі точки пло-
щини, які містяться по один бік від заданої прямої та рівновіддалені
від неї, лежать на прямій, паралельній заданій. На основі цієї влас-
тивості побудований прилад рейсмус, який використовують у столяр-
ній справі для розмічування на поверхні дерев’яного бруска прямих,
паралельних краю бруска.
276
12.6. Геометричні побудови
Геометричні побудови традиційно є однією з основних змістових
ліній шкільного курсу геометрії. Це зумовлено тим, що виконувати їх
доводиться і учням під час вивчення всього курсу геометрії, і праців-
никам різних галузей у професійній діяльності (інженерам-конст-
рукторам, геодезистам, архітекторам, кравцям, столярам, будівельни-
кам та ін.).
Найпростіші геометричні побудови учні виконують уже в початко-
вій школі та в 5 — 6 класах: проводять прямі, кола, відрізки, що дорів-
нюють заданим, будують кути заданої градусної міри з використан-
ням транспортира, проводять паралельні та перпендикулярні прямі за
допомогою лінійки і косинця, зображують кути, трикутники, квадра-
ти, прямокутні паралелепіпеди, циліндри, конуси, призми, піраміди.
У систематичному курсі геометрії спеціально виокремлюють задачі на
побудову, які розв’язуються лише за допомогою циркуля і лінійки. Ці
задачі мають значну дидактичну цінність, оскільки не тільки формують
практичні навички виконання основних побудов, а й розвивають логічне
мислення, формують евристичну діяльність. З курсу геометрії для ви-
щих навчальних закладів відомо, що такі задачі розв’язують у чотири
етапи: 1) аналіз задачі, мета якого — встановити зв’язки між шуканими
і даними задачі, скласти план виконання побудови; 2) побудова за скла-
деним планом; 3) доведення, мета якого — довести, що побудована фі-
гура задовольняє умови задачі; 4) дослідження, мета якого — з’ясувати,
за яких даних задача має розв’язки, скільки їх, чи є окремі випадки, що
потребують спеціального розгляду.
Щодо кількості розв’язків задачі на побудову, слід мати на увазі,
що це питання вирішується залежно від того, маємо справу з пози-
ційними чи з непозиційними задачами. У позиційних задачах зазна-
чено, як розміщені одні фігури відносно інших заданих фігур. У та-
кому разі шукані побудовані рівні фігури вважають різними розв’яз-
ками. У непозиційних задачах рівні фігури не вважають різними роз-
в’язками.
У шкільному курсі геометрії під час розв’язування задач на побу-
дову недоцільно вимагати від учнів виконувати завжди всі чотири
етапи розв’язання. По-перше, дослідження може виявитися складні-
шим, ніж побудова, доведення, і недоступним для більшості учнів,
особливо якщо в умові задачі зазначені кути. По-друге, в найпрості-
ших задачах учні можуть скласти план побудови без будь-якого ана-
лізу, і вимога його проведення лише знеохотить їх розв’язувати зада-
чу. Недоцільно при розв’язуванні кожної задачі вимагати від учнів
виконувати побудову шуканої фігури, якщо основні побудови вже
добре відпрацьовані, а до них зводиться розв’язування будь-якої за-
дачі. Потрібно враховувати, що місце і значення задач на побудову в
сучасному курсі геометрії дещо змінилися порівняно з традиційним у
277
зв’язку зі зменшенням кількості годин, які передбачено нині на ви-
вчення геометрії в школі.
Враховуючи зазначені фактори, для більшості задач на побудову
слід вважати задачу розв’язаною, якщо вказано план побудови шука-
ної фігури і доведено, що побудована за ним фігура задовольняє ви-
моги задачі. Це не виключає можливості в складніших задачах навчати
учнів здійснювати попередній аналіз, а в деяких задачах — вико-
нувати побудову і дослідження, якщо воно доступне учням. Сильнішим
учням доцільно пропонувати в класі та під час виконання домашнього
завдання при розв’язуванні окремих задач виконувати всі чотири
етапи.
Самостійна тема «Геометричні побудови» зазначена в програмі як
остання тема курсу геометрії 7 класу. Вона тісно пов’язана з ознака-
ми рівності трикутників і паралельності прямих, властивостями кола,
оскільки побудова і доведення в багатьох задачах ґрунтуються на
цьому навчальному матеріалі. Саме цим пояснюється, що в підручни-
ку [290] на початку теми (§ 5) вводяться відомості про коло та його
елементи, теореми про центр вписаного в трикутник і описаного на-
вколо нього кола, відомості про дотичну. Крім п’яти основних побу-
дов у § 5 також розглянуто поняття про геометричне місце точок і метод
геометричних місць. Основну кількість задач (37) на побудову зосере-
джено в цьому і в наступному параграфах, присвячених вивченню у
8 класі чотирикутників. В інших темах курсу планіметрії кількість за-
дач на побудову значно зменшується.
Зовсім по-іншому визначені місце і роль задач на побудову в під-
ручнику [78]. Тут самостійна тема «Задачи на построение» передба-
чена відразу після вивчення ознак рівності трикутників до вивчення
ознак паралельності прямих і кола та пов’язаних з ним трикутників
(ці відомості подаються у 8 класі). Це — не найліпші умови для ви-
вчення і розв’язування задач на побудову. Водночас у [78] наступні
теми курсу планіметрії, зокрема геометричні перетворення, містять
значно більше задач на побудову. Задачі підвищеної складності наве-
дено після вивчення співвідношень між сторонами і кутами трикутни-
ка, чотирикутників, рухів.
Основною метою вивчення геометричних побудов у школі є навчи-
ти учнів виконанню основних побудов за допомогою циркуля та лі-
нійки і розв’язуванню нескладних комбінованих задач, які зводяться
до виконання основних побудов.
Учні мають знати алгоритми виконання основних побудов, уміти
виконувати їх, складати план побудови і доведення в нескладних
комбінованих задачах.
Основні побудови. Задачі на побудову. Основними побудовами є
п’ять: 1) трикутника за даними сторонами; 2) кута, що дорівнює да-
ному; 3) бісектриси даного кута; 4) перпендикулярної прямої; 5) по-
діл відрізка навпіл.
278
Розпочинаючи вивчення основних побудов, доцільно нагадати учням,
що вони вже виконували різні побудови (зокрема, деякі з основних) за
допомогою циркуля, лінійки, косинця, транспортира, наприклад будува-
ли трикутники за заданими елементами. У геометрії особливо цікавими є
задачі, які розв’язуються лише за допомогою циркуля і лінійки. Вико-
ристання лише циркуля та лінійки у тих випадках, коли відрізки і кути
задано геометрично, підвищує точність побудови.
Насамперед потрібно з’ясувати і пам’ятати, які геометричні побу-
дови можна виконувати за допомогою кожного з цих двох інструмен-
тів. З використанням лише лінійки можна провести: 1) довільну пря-
му; 2) довільну пряму, що проходить через задану точку; 3) пряму,
що проходить через дві задані точки. Циркулем можна лише описати
коло з даного центра даним радіусом, зокрема відкласти на даній
прямій від даної точки даний відрізок.
Під час вивчення основних побудов доцільно скористатися алгорит-
мічним підходом, а саме домогтися від кожного учня засвоєння алго-
ритму основної побудови. Наприклад, при побудові бісектриси кута
алгоритм може мати такий вигляд. Щоб побудувати бісектрису кута,
потрібно: 1) описати з вершини кута як із центра коло довільного
радіуса; 2) з точок перетину побудованого кола зі сторонами кута
описати два кола тим самим радіусом і позначити точку їх перетину,
відмінну від вершини кута; 3) через вершину кута і точку перетину
кіл провести промінь, який і є бісектрисою кута.
Учні мають не тільки знати алгоритм кожної основної побудови, а й
уміти застосовувати його для розв’язування задач на побудову. Напри-
клад, алгоритм побудови кута, що дорівнює заданому, доцільно відразу
застосовувати для побудови за допомогою циркуля та лінійки трикутни-
ка за двома сторонами і кутом між ними та за стороною і двома кутами.
Складніші задачі на побудову. Навчання розв’язування складні-
ших задач на побудову має бути спрямоване передусім на оволодіння
методами розв’язування таких задач, на розвиток продуктивного мис-
лення учнів. У шкільному курсі основними методами розв’язування
задач на побудову є такі: метод геометричних місць, методи геометрич-
них перетворень (симетрії, повороту, паралельного перенесення, го-
мотетії), алгебраїчний метод.
У 7 класі за умови роботи за підручником [290] передбачено озна-
йомлення учнів з поняттям «геометричне місце Т0Ч0К>> і відповідним
методом розв’язування задач на побудову. У підручнику [78] це не
заплановано, хоча відповідні задачі на побудову розв’язуються і про-
понуються учням для самостійного розв’язування. Введення означен-
ня геометричного місця точок (фігура, яка складається з усіх точок
площини, що мають певну властивість) потребує пояснення в ньому
слова «всіх». Воно означає, що всі точки такої фігури мають згадану
властивість; якщо певна точка площини має згадану властивість, то
ця точка належить даній фігурі.
279
При ознайомленні учнів з методом геометричних місць доцільно
використати алгоритмічний підхід, а саме на прикладах розв’язу-
вання двох задач, наприклад 43 і 45 із [290], сформулювати навчаль-
ний алгоритм методу.
Щоб розв’язати задачу методом геометричних місць, потрібно: 1) з’я-
сувати, до знаходження якої точки (точок) зводиться розв’язання за-
дачі, які дві вимоги ця точка має задовольняти; 2) відкинути одну з
вимог задачі і побудувати геометричне місце точок, які задовольняють
другу вимогу; 3) відкинути другу вимогу і побудувати геометричне
місце точок, які задовольняють першу вимогу; 4) позначити шукану
точку як перетин побудованих геометричних місць.
Закріпити цей алгоритм доцільно розв’язанням задачі 40.
Розв’язуючи складніші задачі, зокрема 31, 39 із підручника [290],
доцільно здійснити аналіз з метою навчити учнів загальної схеми мір-
кувань у процесі пошуку побудови. Як приклад, розглянемо розв’язан-
ня задачі 31 з підручника [290], яку позначимо як 12.8.
Задача 12.8. Побудувати трикутник за стороною, медіаною, проведеною до ці-
єї сторони, і радіусом описаного кола.
Розв’язання. Аналіз (усно). Нехай дАВС — шуканий (рис. 12.14).
У ньому АС — задана сторона, В£) — задана медіана, ОА — радіус описаного
кола. Положення вершин А і С визначається заданням сторони АС. Задача зво-
диться до відшукання положення вершини В.
В Точка В має задовольняти дві вимоги: 1) бути відда-
® леною на відстань К від центра описаного кола — точки
О, положення якої залишається поки що невідомим.
Друга точка, положення якої потрібно знайти, тобто
точка В, має належати до кола радіуса К з центром у
точці О; 2) бути віддаленою від середини £) сторони АС
на відстань, що дорівнює довжині медіани, тобто точка В
, має належати до кола радіуса, що дорівнює довжині
медіани, з центром у точці О.
Точка О має задовольняти дві вимоги: 1) бути рівно-
Рис. 12.14 віддаленою від відомих точок А і С, тобто лежати на
серединному перпендикулярі до відрізка АС; 2) бути
віддаленою на відстань В від точки А або точки С, тобто лежати на колі радіуса
К з центром у точці А або в точці С. З аналізу випливає побудова.
Побудова. Виберемо відрізки довжиноюЬ, і К. Побудуємо відрізок
завдовжки Ь і позначимо його кінці точками А і С. Побудуємо серединний перпен-
дикуляр до відрізка АС і проведемо з центра А коло радіусом К. Перетин кола з
побудованим серединним перпендикуляром визначить положення точки О. Вер-
шину В знайдемо на перетині двох кіл: кола, проведеного радіусом К з центра О,
і кола, проведеного радіусом, що дорівнює довжині т^, з центра £) перетину се-
рединного перпендикуляра з відрізком АС. Трикутник АВС шуканий.
Доведення правильності виконаної побудови не зумовлює в учнів
труднощів. Щодо дослідження, то на цьому етапі навчання воно до-
сить складне, тому виконувати його в повному обсязі недоцільно, хо-
280
ча поставити перед учнями питання про умови, за яких можна побу-
дувати трикутник, цілком допустимо.
Під час розв’язування задач на побудову в наступних класах по-
трібно звернути увагу учнів на інші можливі методи. Зокрема, при
вивченні геометричних перетворень слід дати учням правило-орієнтир
використання окремих видів перетворень до розв’язування задач на
побудову.
Для методу осьової симетрії це правило може бути таким.
1. Припустити, що задачу розв’язано. Обрати певну симетрію від-
носно даної прямої або прямої, яку легко побудувати. Замінити один
з даних елементів симетричним відносно обраної осі симетрії.
2. Розв’язати задачу стосовно побудованого симетричного елемента та
інших даних. Цим самим задача зведеться до відомої чи до простішої.
3. Від допоміжної задачі перейти до шуканої, застосувавши обер-
нене перетворення симетрії.
Це правило можна проілюструвати розв’язуванням певної задачі
або узагальнити попередньо виконане розв’язування цієї задачі й сфор-
мулювати наведене вище правило-орієнтир.
Задача 12.9. Дано пряму МК і точки А і В з різних боків від неї. Через точки
А і В провести дві прямі так, щоб кут між ними ділився прямою МЛ' навпіл.
Розв’язання. Припустимо, що задачу розв’язано і
шукані прямі побудовано (рис. 12.15). Рівність
кутів АХМ і ВХМ свідчить, що як вісь симетрії
доцільно взяти бісектрису ХМ кута АХВ. Тоді за-
дача зводиться до знаходження точки X. Для цього
будуємо точку Ар симетричну А відносно даної пря-
мої МІ\Ї, і через точки А^ і В проводимо пряму до
перетину з прямою МХ в точці X. Потім через точки
X і А проводимо пряму АХ. Прямі АХ і ВХ — шу-
кані, що легко довести.
Рис. 12.15
Правила-орієнтири методів паралельного перенесення і повороту
подібні.
1. Припустити, що задачу розв’язано. Один з даних елементів пе-
ренести паралельно собі в певному напрямку на задану відстань (або
повернути навколо даної точки на певний кут). Результатом такого
перетворення буде допоміжна фігура, яку можна побудувати за дани-
ми задачі.
2. Побудувати допоміжну фігуру й оберненим паралельним пере-
несенням (поворотом) виконати побудову шуканої фігури.
Застосування цього правила-орієнтира доцільно проілюструвати
розв’язуванням таких задач.
Задача 12.10. Побудувати трапецію за чотирма даними сторонами а, Ь, с, сі.
Задача 12.11. Побудувати трикутник за двома сторонами а і с та медіа-
ною ть.
281
Рис. 12.16
Розв’язання. Аналіз. Припустимо, що задачу
розв’язано і дАВС побудовано (рис. 12.16). У ньому
ВС = а, АВ = с, В О = ть. Розглянемо поворот на-
вколо точки О на кут 180°. Точці В при цьому пово-
роті відповідатиме точка Р, а точці С — точка А.
Трикутник АВР можна побудувати за трьома сторо-
нами АВ = с, АР = а і ВР = 2ть.
Побудова. Будуємо іСВАР за трьома сторо-
нами і знаходимо середину £) сторони ВР. Проводимо медіану Л£) і на її продов-
женні відкладаємо відрізок £)С = А£). Трикутник АВС — шуканий.
Доведення і дослідження не спричинюють труднощів. Задача мас єдиний
розв’язок, якщо 2отй<а+с і 2?ий > й — с.
Методом подібності розв’язують такі задачі на побудову, в яких
дані містять умови, що визначають нескінченну множину подібних
фігур. Труднощі для учнів полягають у тому, щоб розділити умову
задачі на дві частини. Одну з них використовують для побудови до-
поміжної фігури, подібної до шуканої, а друга, що визначає розміри
фігури, дає можливість за допомогою перетворення подібності допоміж-
ної фігури побудувати шукану. Умови, що визначають розміри фігури,
можуть бути двох видів. Це довжина будь-якого елемента фігури або
розміщення фігури відносно інших даних фігур. Доцільно розглянути
задачі, які передбачають умови кожного з цих двох видів. Правило-
орієнтир методу подібності можна сформулювати так.
1. Відокремити в умові задачі дві частини і, відкинувши ту, що ви-
значає розміри фігури, побудувати фігуру, подібну до шуканої.
2. Ввести відкинуту умову і, застосовуючи перетворення подібності
допоміжної фігури, побудувати шукану фігуру.
Вдалими задачами для введення цього правила-орієнтира є такі.
Задача 12.12. Побудувати трикутник за двома кутами і висотою, проведеною з
вершини одного з них.
У цій задачі умови (два кути) визначають множину трикутників, подібних до
шуканого. Друга частина умови (висота) визначає розміри шуканого трикутника.
Тому, відкинувши цю другу умову, за двома кутами будуємо трикутник, подібний
до шуканого. Потім, використавши відкинуту умову (висоту), будуємо шуканий
трикутник, вибравши вершину, з якої проведено висоту, за центр гомотетії.
Задача 12.13. У даний трикутник вписати квадрат.
У цій задачі розміри квадрата визначаються умовою розміщення його вершин на
сторонах даного трикутника. Відкинувши цю умову, можна побудувати довільний
квадрат, дві вершини якого лежать на одній стороні трикутника, а третя — на другій.
Оскільки всі квадрати подібні, то, вибравши за центр гомотетії вершини даного три-
кутника, шо утворюється перетином сторін, які містять вершини допоміжного квадра-
та, досить виконати перетворення гомотетії та дістати шуканий квадрат.
Рівень обов’язкових результатів навчання не передбачає розв’я-
зування складніших задач на побудову. Водночас учням, які цікав-
ляться математикою і мають відповідні здібності, потрібно систематич-
но пропонувати задачі на побудову як на уроках, так і для розв’язу-
вання в позаурочний час.
282
12.7. Методика вивчення багатокутників
Відповідно до чинної програми вивчення багатокутників відбува-
ється за кілька етапів. У початковій школі та у 5 — 6 класах на наоч-
но-інтуїтивному рівні учні ознайомлюються з прямокутником, квадра-
том, трикутником, довільним багатокутником, підраховують кількість
сторін і вершин у них, розв’язують вправи на знаходження перимет-
ра, площі прямокутника. Отже, на цьому етапі навчання багатокут-
ники здебільшого є дидактичним засобом вивчення арифметичного
матеріалу, метричної системи мір.
У 7 —9 класах ті самі багатокутники стають об’єктами вивчення.
Насамперед на початку курсу в 7 класі ґрунтовно вивчають трикут-
ник як одну з основних фігур курсу планіметрії, властивості якого
часто використовують під час вивчення багатокутників та інших плоских
фігур. Спочатку вивчають ознаки рівності трикутників, які разом з
ознаками паралельності прямих є основним аргументом під час дове-
дення теорем і розв’язування задач. Вивчення трикутників триває впро-
довж усього курсу планіметрії (у 8 класі — теорема Піфагора і
розв’язування прямокутних трикутників, у 9 класі — ознаки подібно-
сті трикутників, розв'язування косокутних трикутників, формула площі
трикутника).
Чотирикутники, їх окремі види — це велика перша тема курсу
планіметрії 8 класу. Під час її вивчення є багато можливостей для
розвитку логічного мислення учнів, використання вивченого навчаль-
ного матеріалу для розв’язування різних задач, зокрема практичних,
оволодіння методами розв’язування задач і доведення теорем.
Тема «Многокутники», в якій передбачено переважно розгляд пра-
вильних багатокутників, завершує в курсі планіметрії вивчення різ-
них видів багатокутників.
З чотирикутниками і багатокутниками доводиться мати справу і
при вивченні питань вимірювання геометричних величин у планімет-
рії (площі фігур), геометричних перетворень, векторів, декартових
координат на площині.
Засвоєння властивостей різних видів багатокутників має велике
значення і для реалізації зв’язків наступності, оскільки в курсі сте-
реометрії вивчення багатогранників і тіл обертання, питань вимірю-
вання площ поверхонь і об’ємів ґрунтується на відомостях про бага-
токутники.
Основна мета вивчення чотирикутників і багатокутників у курсі
планіметрії — забезпечити засвоєння учнями істотних властивостей і
ознак окремих видів чотирикутників, правильних багатокутників і
навчити застосовувати здобуті знання до розв’язування різних видів
задач.
Ця тема створює сприятливі умови для розвитку логічного мис-
лення учнів у трьох основних напрямах.
283
1. Ідея дедуктивної побудови геометрії яскраво ілюструється під
час введення означень різних видів чотирикутників, причому здебіль-
шого зазначенням роду і видової відміни. Це створює умови для фор-
мування уміння класифікувати чотирикутники і показує структурні
зв’язки між поняттями.
2. Багато властивостей багатокутників учні мають можливість
встановити самі, аналізуючи наочний матеріал і виконуючи безпосе-
редні вимірювання. Водночас виникає потреба довести виявлені влас-
тивості.
3. Оскільки більшість теорем теми нескладні для доведення і пря-
мо грунтуються на вивчених ознаках рівності трикутників і паралель-
ності прямих, то є можливість організувати самостійний пошук дове-
день і формувати уміння наводити правильні обгрунтування, доказові
міркування.
Під час вивчення теми «Чотирикутники» створюються сприятливі
умови для подальшого поглиблення таких понять, як «означення»,
«ознака» і «властивість» щодо різних видів чотирикутників, засвоєн-
ня понять «пряма теорема» й «обернена теорема». Для учнів, які ма-
ють достатню підготовку з геометрії, можна розширити теоретичний
матеріал, упроваджуючи поняття «необхідна умова», «достатня умо-
ва», «необхідна і достатня умови» та пояснюючи зв’язок цих умов з
прямою і оберненою теоремами.
Методика вивчення чотирикутників. У навчально-методичній лі-
тературі поняття чотирикутника і багатокутника трактують по-
різному. В одних курсах їх означають як фігури, що складаються з
відрізків, будь-які два з яких мають спільний кінець і не лежать на
одній прямій. Потім під час вивчення площ плоских фігур вводять
поняття плоского багатокутника як частини площини, обмеженої чо-
тирикутником (багатокутником).
В інших курсах із самого початку плоский багатокутник розгля-
дають як частину площини, обмежену простою замкненою лама-
ною. У чинних підручниках здійснено перший підхід, який узго-
джений з трактуванням цих понять у підручниках математики для
1—5 класів.
Існують різні методичні підходи до впровадження поняття чотири-
кутника. Можна спочатку ввести означення багатокутника, а чотири-
кутник розглянути як окремий вид багатокутника. Такий підхід реа-
лізовано в [290]. У [78] спочатку наводиться означення чотирикутни-
ка як фігури, складеної з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що
послідовно з’єднують їх. У цьому разі жодні три з даних точок не
лежать на одній прямій. Пізніше в 9 класі під час вивчення теми
«Многокутники» спочатку розглядають означення ламаної, замкненої
ламаної, а багатокутник означають як просту замкнену ламану.
Крім понять «многокутник», «чотирикутник» у [2901 використано
й інше поняття — «плоский многокутник» (отже, і «плоский чотУри-
284
кутник»), або багатокутна область як частина площини, обмежена
багатокутником.
Під час пояснення поняття чотирикутника доцільно використати
наочний посібник — модель чотирикутника, виготовлену з дроту.
На цьому етапі навчання не передбачено вводити поняття плоского
й опуклого чотирикутників, тому, розв’язуючи вправи на підведен-
ня фігур до названих понять, доцільно використати фігури, які до
них належать (рис. 12.17, а, б), і такі, що до них не належать
(рис. 12.18).
На уроці, на якому запроваджується поняття чотирикутника, учні
мають засвоїти елементи чотирикутника (вершини, сторони, сусідні
вершини, сусідні сторони, протилежні вершини, протилежні сторони,
діагоналі) та відповідну термінологію, навчитись зображувати чоти-
рикутники і позначати точками їхні вершини. Слід зауважити, що
чотирикутник позначають послідовним записом його вершин, напри-
клад чотирикутник РШРС). Учні мають уміти вказувати вершини і
сторони зображеного чотирикутника.
Для учнів може виявитись цікавою умова, яка визначає довільний
чотирикутник, тобто забезпечує можливість його побудови за допомо-
гою циркуля та лінійки. Дехто з учнів може вважати, що за анало-
гією з довільним трикутником, який визначається трьома елементами, з
яких хоча б один має бути лінійним, чотирикутник визначається чо-
тирма. Потрібно показати, що це не так. Справді, довільний чотирикут-
ник можна розбити діагоналлю на два трикутники. Один з них визнача-
ється (може бути побудований) трьома елементами, принаймні один з
яких має бути лінійним. Для того щоб було визначено (побудовано)
другий трикутник, потрібно задати ще два елементи, оскільки один
елемент у трикутників спільний.
У чинних підручниках здійснено різний підхід до введення окре-
мих видів чотирикутників. У [290] спочатку розглянуто паралелог-
рам, потім — прямокутник, ромб, квадрат, і лише наприкінці — тра-
пецію.
У [78] спочатку вивчають паралелограм і трапецію, а потім — пря-
мокутник, ромб, квадрат. Підхід, застосований у [290], на наш по-
гляд, вдаліший, оскільки послідовність вивчення всіх видів паралело-
грама не порушується вивченням фігури, яка до паралелограма не
належить.
285
Означення всіх видів чотирикутників упроваджуються однаково.
Зокрема, паралелограм і трапеція протиставляються одне одному.
Трапеція означається як чотирикутник, в якого лише дві протилежні
сторони паралельні.
Проте існує й інший підхід до означення трапеції, за якого трапе-
цію означають як опуклий чотирикутник, в якого дві сторони паралель-
ні. В цьому означенні немає жодних зумовлень стосовно двох інших
сторін. Згідно з ним паралелограм є окремим видом трапеції. Про
переваги такого підходу йдеться в підручнику для педагогічних інсти-
тутів М. М. Бескіна «Методика геометрии» (М.: Учпедгиз, 1947. —
С. 137).
Після вивчення означень і властивостей всіх видів чотирикутників
доцільно навести учням їх класифікацію у вигляді кругів Ейлера
(рис. 12.19). У цьому разі слід звер-
нути увагу учнів на те, що кожний
прямокутник, ромб, квадрат є па-
ралелограмом, а кожний квадрат є
одночасно ромбом і прямокутни-
ком. Усім чотирикутникам, які на-
лежать до множини паралелогра-
мів, притаманні властивості пара-
лелограма, тобто родового поняття.
Водночас певний вид паралелогра-
мів має свої властивості, причому
такі властивості притаманні не кож-
ному паралелограму. Наприклад, у
ромба діагоналі взаємно перпен-
дикулярні, а у прямокутника —
рівні.
Рис. 12.19
На особливу увагу заслуговує питання щодо засвоєння учнями оз-
нак і властивостей різних видів чотирикутників.
У методиці математики загальноприйнято називати ознаками твер-
дження (теореми або задачі па доведення), за допомогою яких можна
визначити, що певний об’єкт (наприклад, чотирикутник) належить до
певного класу об’єктів (наприклад, прямокутників). Отже, ознака —
це прикмета, за якою розпізнають фігуру. Водночас в означенні будь-
якого поняття зазначено його загальні істотні властивості. З іншого
боку, сукупність загальних істотних властивостей понять, згаданих в
означенні, також становить ознаку поняття. Тому доцільно після вве-
дення означення кожного виду чотирикутників робити два висновки
щодо його властивостей і ознаки, які випливають безпосередньо з
означення. Наприклад, після розгляду означення паралелограма слід
звернути увагу учнів на те, що означення дає змогу зробити два ви-
сновки: 1) якщо відомо, що деякий чотирикутник є паралелограмом,
то можна стверджувати, що його протилежні сторони паралельні
286
(властивість сторін паралелограма); 2) якщо відомо, що в деякому
чотирикутнику протилежні сторони попарно паралельні, то він пара-
лелограм (ознака паралелограма).
Властивості окремих видів чотирикутників формулюють у вигляді
спеціальних тверджень. Наприклад, у [290] стосовно паралелограма
це теореми 6.2, 6.3.
Ознаки окремих видів чотирикутників формулюють також у ви-
гляді теорем і задач на доведення. Тому на завершення вивчення ко-
жного виду чотирикутників потрібно систематизувати всі його ознаки,
оскільки, як і властивості, вони мають широко використовуватися
надалі для розв’язування задач. Наприклад, до ознак паралелограма
крім сформульованої раніше на основі означення належать також твер-
дження:
якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину
діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм;
якщо у чотирикутника дві сторони паралельні й рівні, то він —
паралелограм.
Доцільно запропонувати учням як домашнє завдання скласти таб-
лицю для паралелограма, прямокутника, ромба і квадрата, в якій в
одному стовпчику перелічити всі їхні властивості, а в другому —
ознаки.
Теореми теми. Оскільки для доведення теорем, що стосуються оз-
нак і властивостей паралелограма та його окремих видів, потрібно
використовувати ознаки рівності трикутників, ознаки паралельності
прямих, аксіому паралельних, властивості рівнобедреного трикутни-
ка, то доцільно своєчасно запропонувати учням повторити цей теоре-
тичний матеріал.
Доведення теореми 6.1 за підручником [290] нескладне, тому мож-
на запропонувати учням на уроці спочатку самостійно виконати його,
а потім заслухати доведення одного з учнів. Слід зазначити, що дове-
дена теорема є ознакою паралелограма, її можна використовувати під
час розв’язування задач і доведення інших теорем, якщо потрібно
довести, що певний чотирикутник є паралелограмом.
Вивчаючи теорему 6.2, можна здійснити такий методичний варіант.
Оскільки учням уже відоме поняття оберненої теореми, можна запро-
понувати їм самостійно сформулювати теорему, обернену до теореми
6.1, виконати рисунок (рис. 12.20), записати символічно умову і ви-
сновок теореми. Після цього поставити
завдання довести сформульовану теоре-
му, яка виражає властивість діагоналей
паралелограма.
Перш ніж почати доведення, доцільно
пояснити учням основну його ідею і за-
пропонувати виконати доведення само-
стійно.
287
Ідея полягає ось у чому. Будуємо допоміжний паралелограм, дві
сторони якого збігаються зі сторонами АВ і АВ). Провівши діагональ
ВИ і поділивши її навпіл точкою О, проводимо відрізок АО і на його
продовженні відкладаємо відрізок ОС| = АО. Після сполучення точ-
ки Ц з вершинами В і О дістанемо чотирикутник АВС^О, який є па-
ралелограмом за побудовою і теоремою 6.1. Залишається довести, що
ВС\ збігається з ВС.
Вивчення доведення теореми 6.3 можна організувати як само-
стійну роботу учнів з підручником. Після того як учні уважно про-
читають доведення, слід запропонувати їм оформити в зошитах рису-
нок (рис. 12.21), умову, висновок і основні
2.————— етапи доведення у вигляді таблиці з двох
/ Х. / стовпчиків (табл. 12.4). В лівому записують
/ / твердження, які містить доведення, в пра-
вому — їхнє обґрунтування.
д £ Доведення теорем і розв’язування біль-
шості задач на доведення в пояснювальному
Рис. 12.21 тексті, що стосується властивостей і ознак
прямокутника, ромба, квадрата і трапеції, можна організувати дифе-
ренційовано: тим учням, які мають достатню підготовку, запропону-
вати самостійний пошук доведення, а тим, хто відчуває труднощі у
навчанні, розглянути готове доведення за підручником.
Таблиця 12.4. Доведення теореми про властивості паралелограма
Твердження Обґрунтування
1. АВ = ВС 1. ААОВ = іхСОГ), оскільки АВОС = ААОВ як вертикаль- ні; ОА = ОС і ОВ = ОВ за властивістю діагоналей парале- лограма
2. АВ = ВС 2. ААОВ = дСОВ (доводиться так само, як і в п. 1)
3. ААВС = А.СВА 3. дАВС =лСВА, оскільки АВ = СВ і ВС = ВА за доведе- ним в п. 1 і 2, АС — спільна
4. АВСВ = АВАВ 4. дВСВ = &.ВАВ (доводиться так само, як і в п. 3)
Особливе місце займає теорема Фалеса, її застосування до дове-
дення властивості середньої лінії трикутника та теореми про пропор-
ційні відрізки, яка є узагальненням теореми Фалеса. Теорема Фалеса
та її узагальнення є допоміжними, тому не слід вимагати від усіх уч-
нів уміння відтворювати їх доведення, однак потрібно звернути увагу
учнів на те, що ці теореми застосовують для доведення інших теорем
і розв’язування задач. Зокрема, теорема Фалеса визначає спосіб ді-
лення відрізка на будь-яку кількість рівних частин, а теорема про
пропорційні відрізки — спосіб побудови четвертого пропорційного
288
відрізка. Слід зауважити, що теорема про пропорційні відрізки вико-
нується і у випадку, коли йдеться не тільки про сторони кута, а й про
будь-які прямі.
Особливості системи задач. У цій темі, як і в багатьох інших, за-
дачі можна умовно поділити на два класи: ті, які закріплюють роз-
глянуті поняття й твердження, і ті, в яких вони використовуються
для обчислення довжин відрізків, міри кутів, побудови фігур і дове-
дення різних тверджень. Найчастіше використовують властивості різ-
них видів чотирикутників та їхні ознаки. Досвід показує, що учням
складніше застосовувати ознаки, ніж властивості фігур. Тому доціль-
но сформулювати учням загальний орієнтир застосування вивченого
теоретичного матеріалу до розв’язування задач:
якщо в умові задачі (теореми) дано, що чотирикутник належить до
певного виду (паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат), то під час
розв’язування задачі або доведення теореми можна використати будь-
яку його властивість;
якщо в задачі (теоремі) потрібно довести, що певний чотирикутник є
паралелограмом (прямокутником, ромбом або квадратом), то для дове-
дення слід використати одну з ознак певного виду чотирикутника.
На особливу увагу заслуговує задача 18, вміщена в пояснювально-
му тексті (всі номери задач у цьому пункті наведено за [290]). Учням
складно самостійно знайти додаткову побудову, тому доцільно, щоб
вчитель сам пояснив її розв’язування.
Зауважимо, що деякі задачі можуть бути розв’язані різними способа-
ми. Від цього залежить їх місце в поурочному плануванні. Наприклад,
задачі 11 і 14 можна розв’язувати відразу після розгляду означення па-
ралелограма, а не використовувати теорему 6.3. Задачу 7 можна роз-
в’язати, застосувавши властивості сторін паралелограма чи властивості
діагоналей. Розв’язуючи задачі 22, 23 на побудову, доцільно спочатку
виконати аналіз з метою з’ясувати, до знаходження яких вершин зво-
диться розв’язання задачі. Задачі 24, 33, 34, 36 — задачі на підведення
чотирикутника до означення прямокутника або ромба. Саме тут доцільно
нагадати учням алгоритм підведення об’єкта до певного поняття. Щоб
визначити, чи належить х до поняття у, потрібно:
1) виокремити істотні властивості у, що містить означення, і пере-
вірити, яким сполучником вони з’єднані;
2) якщо сполучником «і», то перевірити, чи має х всі виявлені
властивості у. Якщо так, то х належить множині у, якщо ні, то не
належить;
3) якщо сполучником «або», то перевірити, чи має х хоча б одну
властивість у.
Після того як учні ознайомляться з ознаками згаданих раніше
фігур, вони зможуть підводити їх до певного поняття, користуючись і
цими ознаками.
10 Слзпкань 3. І.
289
У процесі підведення певної фігури до означення прямокутника
чи ромба слід домагатися, щоб учні усвідомили потребу перевірити
виконання двох фактів: задана фігура має бути паралелограмом і
для неї має виконуватися специфічна (видова) ознака (всі кути
прямі або сторони рівні). Зокрема, в задачах 24 — 34 фігури є па-
ралелограмами за умовою. Залишається довести специфічну влас-
тивість.
У задачі 36 за умовою виконується специфічна властивість, а по-
трібно довести, що дана фігура є паралелограмом.
У системі задач до теми «Чотирикутники» слід виділяти опорні,
які не повинні залишитися поза увагою учнів. Наприклад, задача 60.
Її результати використовують під час розв’язування задач 61 — 64, 70.
Розв’язуючи її, доцільно розглянути два способи, які ґрунтуються на
різних додаткових побудовах: 1) з вершини меншої основи прово-
диться перпендикуляр до більшої основи; 2) з вершини меншої осно-
ви проводиться пряма, паралельна бічній стороні, що виходить з дру-
гої вершини меншої основи.
Під час вивчення теми можна використати додаткові задачі із різ-
них збірників задач і методичних посібників для вчителів, зокрема
[282], а також у посібнику «Геометрия в 7 — 9 классах» (Метод. Реко-
мепдации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А. В. По-
горелова / Л. Ю. Березина, її. Б. Мельникова, Т. М. Миіценко и др. —
М.: Просвеїцение, 1990. — 336 с.).
Опуклі багатокутники. Згідно з чинною програмою опуклі ба-
гатокутники вивчають у 9 класі, разом із темою «Площі фігур»
вони завершують курс планіметрії. Основний зміст теми становлять
відомості про опуклі багатокутники і суму їхніх кутів, про правильні
багатокутники, побудову окремих з них і вираження радіусів впи-
саних й описаних кіл через сторони правильного багатокутника та
сторін — через радіуси. Відомості про правильні вписані й описані
багатокутники застосовують до обчислення довжини кола та площі
круга-
У результаті вивчення теми учні мають знати означення: багатокут-
ника, плоского, опуклого, правильного багатокутників, теорему про
суму кутів опуклого багатокутника і факт, що правильний опуклий
багатокутник є вписаним в коло й описаним навколо кола. Це дає
можливість встановити залежність між стороною та радіусами відпо-
відно вписаного й описаного багатокутників.
Учні мають знати алгоритми побудови вписаних і описаних правиль-
ного трикутника, квадрата, правильного шестикутника.
Ці вміння стануть у пригоді для виконання зображень правиль-
них пірамід, призм та їх комбінацій з тілами обертання в курсі сте-
реометрії.
у чинних підручниках геометрії по-різному розглядаються озна-
чення багатокутників. У [2901 спочатку вводяться допоміжні поняття
290
(ламана, проста ламана, замкнена ламана), а потім означається бага-
токутник: просту замкнену ламану називають багатокутником, якщо її
сусідні ланки не лежать на одній прямій.
Крім означення багатокутника відразу подають означення плоского
багатокутника: плоским багатокутником або багатокутною областю
називають скінченну частину площини, обмежену багатокутником.
Нарешті, вводиться означення опуклого багатокутника як такого, що
лежить в одній півплощині з будь-якою прямою, ЩО МІСТИТЬ ЙОГО сто-
рону.
Одночасно впроваджують допоміжні поняття: вершини, сторони,
діагоналі багатокутника, кут, зовнішній кут опуклого багатокутника.
Отже, введення поняття багатокутника переобтяжене значною кіль-
кістю понять.
У 178] поняття багатокутника вводиться у 8 класі перед вивченням
чотирикутників. Означення ламаної та інших пов’язаних з цим по-
нять тут не подаються. Багатокутник відразу означається як фігура,
складена з відрізків так, що суміжні відрізки не лежать на одній
прямій, а несуміжні відрізки не мають спільних точок. Термін «плос-
кий многокутник» не застосовується, хоча відповідне поняття розгля-
дається: фігуру, що складається з багатокутника і його внутрішньої
області, також називають багатокутником. Означення опуклого бага-
токутника подано так само, як і в [290]. Тут також вводиться поняття
и-кутника і доводиться твердження про суму його кутів. Усі інші ві-
домості про багатокутники у [78] вивчаються пізніше, в 9 класі, в
темі «Довжина кола і площа круга».
Означення правильного багатокутника як опуклого багатокутника,
в якого всі сторони рівні і всі кути рівні, подається однаково в різних
підручниках. Те саме стосується означення багатокутника, вписаного
в коло й описаного навколо нього. Щоправда, в підручнику [290] вво-
дяться означення кола, вписаного в багатокутник, і кола, описаного
навколо нього. Учні мають знати, що в умовах геометричних задач
вживають обидва поняття.
Специфіка понять, пов’язаних з багатокутниками, така, що їхні іс-
тотні властивості учні сприймають без особливих труднощів. Доціль-
но, щоб їх означення ввів учитель.
При побудові правильних вписаних і описаних багатокутників слід
ураховувати, що на уроках праці учні вчилися будувати квадрат,
правильний трикутник і правильний шестикутник, вписані в коло.
Тому потрібно пригадати ці побудови. Розглядаючи побудову правиль-
ного вписаного трикутника, крім способу, запропонованого в [290],
доцільно ознайомити учнів з іншим способом, який полягає в прове-
денні довільного діаметра кола і перпендикулярної до нього хорди
через середину одного з радіусів, з яких складається діаметр. Кін-
ці хорди і кінець другого радіуса, що належить проведеному діаме-
291
тру, визначать вершини правильного вписаного трикутника АВС
(рис. 12.22). Ця властивість зазначеної хорди обґрунтовується під час
розв’язування задачі 17.
Оскільки вершини правильного вписаного шестикутника можна ді-
стати побудовою вершин двох правильних трикутників, то, провівши
перпендикулярні хорди через середини обох радіусів, наприклад го-
ризонтального діаметра, знайдемо вершини обох правильних трикут-
ників (рис. 12.23).
Доцільно ознайомити учнів з досить зручним способом побудови пра-
вильного описаного трикутника, який не зводиться до побудов дотич-
них у вершинах вписаного правильного трикутника, оскільки побудова
дотичної до кола потребує додаткових побудов. Щоб побудувати пра-
вильний описаний навколо кола трикутник, досить знати вершини впи-
саного правильного трикутника і скористатися тим, що вершина X опи-
саного трикутника (рис. 12.24) міститься на відстані висоти від сторони
АВ вписаного трикутника (можна запропонувати довести цей факт).
Тому, подовжуючи діаметр, відкладемо на прямій СО від сторони АВ
відрізок, що дорівнює висоті вписаного трикутника. Проводячи прямі
ХА і ХВ, знаходимо дотичні до кола. Відкладаючи на них від точок А і
В відрізки ВУ і Л/, які дорівнюють відрізкам АХ і ВХ, маємо дві інші
вершини 7 і У описаного правильного трикутника.
Розглянуті способи побудови правильних вписаного й описаного три-
кутників є зручними під час виконання їх зображень у просторі, оскіль-
ки паралельне проектування зберігає паралельність прямих і відношення
відрізків, що належать одній прямій або паралельним прямим.
Рис. 12.22
З п’яти теорем теми, вивчення яких передбачене в підручнику
[290], найважливішими з погляду застосування є теореми 13.3 і 13.5.
Перша з них стосується можливості вписати правильний опуклий ба-
гатокутник у коло й описати правильний опуклий багатокутник на-
вколо кола. При цьому як наслідок із доведення випливає, що впи-
сане й описане кола правильного багатокутника мають один і той
самий центр. Досвід переконує, що доведення цієї теореми не спри-
292
чинює учням труднощів. Це саме стосується і доведення теореми
13.5, з якої безпосередньо випливає формула довжини кола.
Зауважимо, що для доведення теореми 13 5 використано ідею
граничного переходу, хоч учні на цьому етапі ще не обізнані з по-
няттям границі. Тому запропоноване доведення не є строгим. До того
ж теорема 13.5 доводиться методом від супротивного, що потребує
попереднього повторення алгоритму методу.
Складнішим для сприймання учнів є доведення теореми 13.4, оскіль-
ки тут двічі потрібно застосовувати геометричні перетворення (рух і
перетворення подібності). Тому вимагати від учнів уміння відтворюва-
ти доведення на рівні обов’язкових результатів навчання недоцільно.
Важливим для розв’язування задач є висновок з цієї теореми про те, що
у правильних и-кутників відношення периметрів, радіусів вписаних і
радіусів описаних кіл рівні. Потрібно передбачити розв’язування задач
на використання цього твердження.
Із задач до теми «Многокутники» на особливу увагу заслуговують
ті, які розв’язані в пояснювальному тексті підручника [290], оскіль-
ки вони дають учням додаткову інформацію щодо властивостей опук-
лих багатокутників. Важливими також для розв’язування інших за-
дач є задача 16, в якій потрібно вивести формулу сторони ап правиль-
ного п-кутника через радіус г вписаного кола і радіус 7? описаного
кола; задача 11 про властивість протилежних сторін описаного на-
вколо кола багатокутника; задачі 26, 28 і 29, в яких пропонується
знайти радіус г вписаного кола через сторону а правильного багато-
кутника і радіус К описаного кола, сторону описаного багатокутника
через сторону а вписаного багатокутника і навпаки.
12.8. Геометричні перетворення
в шкільному курсі
Ідея перетворень є однією з основних у сучасній математичній на-
уці та в різних галузях її застосувань. Вона тісно пов’язана з ідеями
функції, відображень, які широко використовують у практиці (архі-
тектура, геодезія тощо).
Геометричні перетворення, зокрема рухи, розглядалися в геометрії
ще за часів Евкліда, хоча в різні періоди розвитку математики і шкіль-
ного курсу їм приділяли неоднакову увагу. Наприкінці XIX — на по-
чатку XX ст. в період міжнародного руху за реформу шкільної матема-
тичної освіти Ф. Клейн запропонував зробити геометричні перетво-
рення основною лінією шкільної геометрії. Хоча цілком реалізувати її не
вдалося, однак у 60-х роках XX ст. у період активізації руху за реформу
цікавість до геометричних перетворень у шкільному курсі знову зросла.
Висловлювалися пропозиції зробити геометричні перетворення основою
293
побудови шкільної геометрії, створювалися відповідні підручники. Проте
їх не було схвалено педагогічною громадськістю, вчителями.
У прігіінятій у 1968 р. програмі шкільного курсу геометричні перетво-
рення вважалися однією з основних змістових ліній геометрії й апара-
том для доведення теорем і розв’язування задач. Цей погляд на геомет-
ричні перетворення було реалізовано у навчальних посібниках за редак-
цією А. М. Колмогорова (планіметрія) та 3. О. Скопеця (стереометрія).
Слід зазначити, що зроблена в цих посібниках спроба трактувати геомет-
ричні перетворення як відображення площини (простору) на себе з широ-
ким використанням термінології та символіки множин призвела до надмір-
ної заформалізованості навчального матеріалу і як результат — до трудно-
щів у його сприйманні.
У чинній програмі та підручниках О. В. Погорєлова [290] і
Л. С. Атанасяна та ін. [78] геометричні перетворення залишаються од-
нією з основних змістових ліній курсу геометрії, але порівняно з посіб-
ником за редакцією А. М. Колмогорова їхнє місце і значення зменши-
лись.
Програма і підручник [290] передбачають вивчення геометричних пе-
ретворень у курсі планіметрії за два етапи. Рухи розглядають у 8 класі,
а подібність фігур — у 9 класі.
У підручнику 178] передбачено вивчення у 8 класі центральної та
осьової симетрії без зв’язку з рухом, теми «Подібні трикутники» — без
зв’язку з поняттям перетворення подібності. В останній темі 9 класу
розглянуто рухи. У зазначених підручниках по-різному означено основні
поняття геометричних перетворень, визначено різне місце для їх застосу-
вання до доведення теорем і розв’язування задач.
Основною мстою вивчення геометричних перетворень є ознайомлен-
ня учнів з різними видами рухів (осьова та центральна симетрія, пово-
рот, паралельне перенесення), подібністю та гомотетією, їхніми влас-
тивостями, введення загального поняття про рівність і подібність фі-
гур, застосування окремих видів перетворень, ознак подібності три-
кутників до розв’язування задач.
Учні мають розуміти суть кожного із зазначених у програмі видів
геометричних перетворень, знати їхні властивості, ознаки подібності
трикутників і вміти застосовувати їх до розв’язування найпростіших
задач.
Методика вивчення рухів. Система введення понять теми «Рухи»
залежить від місця цієї теми в загальній структурі курсу планіметрії,
зокрема в підручнику. У підручнику О. В. Погорєлова до понять теми
належать 12 нових для учнів понять: рух, перетворення фігури, точ-
ки, симетричні відносно даної точки і відносно даної прямої, означен-
ня перетворень симетрії відносно даної точки і відносно даної прямої,
центрально-симетрична фігура, фігура, симетрична відносно прямої,
поворот площини навколо даної точки, паралельне перенесення, спів-
направлені прямі, загальне поняття рівних фігур.
294
Поняття перетворення фігури доцільно ввести описово на наочно-
му, інтуїтивному рівні, як це фактично зроблено в підручнику [290].
У підручнику [78] це поняття взагалі не розглядається.
Поняття руху впроваджується на рівні означення. Для цього у
[290] використано поняття перетворення: перетворення однієї фі-
гури на іншу називають рухом, якщо воно зберігає відстань між
точками, тобто переводить будь-які дві точки X і У однієї фігури в
точки X' і ¥' іншої фігури так, що Х¥ = Х'У'. Тут доцільно засто-
сувати рухомі планіметричні моделі. В [78] на наочному, інтуїтивно-
му рівні спочатку вводиться поняття відображення площини на себе.
При цьому як приклади такого відображення наводяться відомі
учням з 8 класу осьова та центральна симетрії. Отже, рух означено
як відображення площини на себе, що зберігає відстань між точ-
ками.
Різними методичними підходами можна послуговуватися, вводя-
чи поняття центрально-симетричних і симетричних відносно даної
прямої точок. У підручнику [290] прийнято конструктивні озна-
чення. Наприклад, точки, симетричні відносно даної точки, означено
так.
Нехай О — фіксована точка, X — довільна точка площини. Відкла-
демо на продовженні відрізка ОХ за точку О відрізок ОХ', рівний ОХ.
Точка X' називається симетричною точці X відносно точки О.
Таке означення водночас визначає спосіб побудови точки X'.
У підручнику [78] означення центрально-симетричних точок сфор-
мульовано інакше: дві точки А і Л1 називають симетричними відно-
сно точки О, якщо О — середина відрізка АА^
Означення фігури, симетричної відносно даної точки і центрально-
симетричної фігури не спричинять труднощів, якщо проілюструвати
такі фігури різними приклада-
ми. При цьому потрібно навес-
ти не тільки приклади централь-
но-симетричних геометричних
фігур (пряма, відрізок, коло,
паралелограм), а й різноманіт-
них орнаментів, наприклад та- Рис. 12.25
ких, як па рис. 12.25.
Аналогічно в [290] конструктивно або переліком істотшіх властиво-
стей вводяться поняття точок, симетричних відносно прямої /. У [78]
подано таке формулювання: дві точки А і А^ називають симетричними
відносно прямої /, якщо ця пряма проходить через середину відрізка
АА) і перпендикулярна до нього. Слід зауважити, що це означення
містить дві істотні властивості, кожна з яких необхідна, і лише разом
вони достатні для того, щоб дві точки А і Л1 були симетричні відносно
295
Рис. 12.26
•А
Мі
прямої І. Наприклад, точки М і М' задовольняють
першу істотну властивість і не задовольняють дру-
гу, а точки В і В' задовольняють другу, але не
задовольняють першу (рис. 12.26). Тому точки М
і М', В і В’ не симетричні відносно прямої /.
Потрібно розв’язати усні вправи на підведення до
поняття симетричних відносно точки і прямої фі-
гур, включаючи до системи вправ фігури, які не є
симетричними.
При введенні поняття фігури, симетричної від-
носно даної точки і даної прямої, важливо, щоб
учні навчилися будувати точку, відрізок, промінь, пряму, трикутник,
коло, кут, паралелограм тощо, симетричні відповідним фігурам відно-
сно точки і відносно прямої. Слід звернути увагу учнів, що оскільки
положення прямої та відрізка задається двома будь-якими точками,
променя — початковою точкою і будь-якою іншою його точкою,
кола — центром і будь-якою його точкою, трикутника — положен-
ням його вершин, то для побудови симетричної фігури досить побу-
дувати точки, симетричні тим, які визначають положення фігури.
Під час навчання побудови симетричних точок відносно точки і прямої
доцільно сформулювати алгоритми.
Наприклад, щоб побудувати точку X', симетричну даній точці X від-
носно даної прямої потрібно: 1) провести перпендикуляр XX до
прямої 2) подовжити його за точку X і на продовженні відкласти від-
різок XX' = XX. Точка X' — шукана.
Деякі учні плутають поняття «фігура, симетрична відносно точки
(прямої)» та «центрально-симетрична фігура», яка містить вісь симетрії
(симетрична відносно прямої). Отже, потрібно наголосити, що в першо-
му випадку йдеться про дві фігури, а в другому — про одну, яка в ре-
зультаті перетворення симетрії переходить сама у себе.
Важливо зауважити достатні умови, за яких задається центральна й
осьова симетрії. Щоб задати центральну (осьову) симетрію, досить ука-
зати: центр (вісь) симетрії або дві відповідні точки. У другому випадку
легко побудувати центр і вісь симетрії.
Під час вивчення осьової симетрії доцільно навести приклади її засто-
сування в архітектурі, техніці, біології (споруди, креслення літаків, де-
талі машин, інструменти, листя дерев, крила метелика тощо). За розгля-
нутою вище методичною схемою можна вивчати й інші рухи.
Під час уведення поняття повороту слід наголосити, що будь-який по-
ворот може бути заданий: центром О, кутом повороту а(0° < а < 180°),
напрямком повороту або центром повороту і двома відповідними точ-
ками X і X'. У цьому разі ефективно скористатися рухомою моделлю
(рис. 12.27).
296
Рис. 12.27
Паралельне перенесення дуже часто застосовують у математиці та
інших науках. Зокрема, в алгебрі та математичному аналізі паралель-
не перенесення і симетрії використовують для побудови графіків
складних функцій, у кресленні — для побудови різних фігур. Перш
ніж вводити означення паралельного перенесення, корисно спочатку
продемонструвати цей вид руху на рухомій планіметричній моделі,
виготовленій з картону і кальки (рис. 12.28). Це дасть змогу учням
виявити істотну властивість паралельного перенесення (це перетво-
рення, за якого точки зміщуються в одному й тому самому напрямку
на ту саму відстань). Проте учнів потрібно переконати в необхідності
формулювання строгого математичного означення, в якому не вжива-
лось би поняття «в одному й тому самому напрямку», оскільки воно
саме потребує означення. Доцільно, щоб означення пояснив учитель і
проілюстрував його прикладами.
У підручниках [290] і [78] по-різному запроваджується означення
паралельного перенесення. О. В. Погорєлов означає паралельне пе-
ренесення як перетворення фігури, за якого довільна точка (х; у) пе-
реходить у точку (х + а; у + Ь), де а і Ь — одні й ті самі для всіх
точок (х; у). Отже, в означенні паралельного перенесення використа-
но координатний метод. За такого підходу потрібно проілюструвати
на моделі паралельне перенесення, наприклад трикутника в коорди-
натній площині, і показати, що а і Ь для всіх трьох вершин однакові
(рис. 12.29).
Зауважимо, що симетрії та паралельне перенесення в цьому підруч-
нику означено через поняття перетворення фігури і доводиться, що
ці перетворення є рухами. Поворот означено за допомогою поняття
РУХУ-
У підручнику [78] означення паралельного перенесення вводить-
ся після вивчення векторів і подається через поняття вектора у тако-
му вигляді: нехай а — цей вектор. Паралельним перенесенням на
вектор а називають відображення площини на себе, за якого кожна
297
точка М відображається в таку точку МА
Рис. 12.28
Рис. 12.29
У зв’язку із розглянутим означенням рівності фігур важливо наголо-
сити, що попередні означення рівності відрізків, кутів, трикутників ви-
ражають одне й те саме. На прикладі означень рівності трикутників у
(290] фактично доводиться рівносильність застосованого раніше і нового
означення через рух.
За умов роботи за підручником О. В. Погорєлова передбачено ви-
вчення чотирьох теорем та їх доведень щодо властивостей руху, пере-
творень симетрії відносно точки, прямої і паралельного перенесення.
Крім того, наводяться доведення інших тверджень стосовно властиво-
стей двох послідовно виконаних рухів, обернених до теореми 9.1,
властивості паралельного перенесення й еквівалентності двох озна-
чень рівності трикутників, яких немає в рубриці «теорема». Вимагати
від усіх учнів уміння відтворювати ці доведення па рівні обов’язко-
вих результатів недоцільно.
Теорему 9.1 про властивість руху доводять методом від супротивного.
Тому слід пригадати алгоритм цього методу, скориставшись відповідною
таблицею (див. підрозд. 5.3). Теореми 9.3 і 9.4 доводять, послуговую-
чись координатним методом. Учні мають пригадати правило-орієнтир
цього методу і виконати доведення відповідно до нього.
Система задач до теми «Рухи» містить здебільшого вправи па по-
будову фігур при різних видах рухів, задачі на доведення властивос-
тей окремих фігур у разі виконання рухів. Обмежуватися лише цими
задачами для учнів, які мають хорошу підготовку, не можна. Потріб-
но розглянути кілька задач на побудову, в яких ефективно викори-
стовуються геометричні перетворення. Такі задачі доцільно пропону-
вати і надалі під час вивчення наступних тем. Рухи широко застосо-
вують для розв’язування задач на максимум і мінімум. Приклади по-
дібних задач наведено в посібнику [248].
Перетворення подібності. Тема «Подібність фігур», в якій вивчають
перетворення подібності, за умови роботи за підручником О. В. Погорє-
298
лова [290] має не тільки теоретичне значення, осФл,'ІСИ ТУТ ВІІВ,|ається
важливе відношення фігур, а й політехнічну, прикдаднУ спрямованість.
Справді, подібність і гомотетію широко використо1Ують У Ф°то" і кіно-
справі, картографії, архітектурі, машино- і приладсХ’УдУванні ]а н інших
сферах виробництва, де доводиться моделювати об єкти- Подібність ви-
вчають в 9 класі, а не водночас із рухами.
Можливі різні методичні підходи до вивченіїЯ теми «Подібність
фігур». Оскільки відношення подібності фігур Є узагальненням від-
ношення рівності, а перетворення подібності є узагальненням руху, то
доцільно означення подібних фігур і вивчення 1ХН1Х властивостей
пов’язати з перетворенням подібності. За такого рГДХОДУ немає потре-
би спеціально означати подібні трикутники. їх уводять як окремий
випадок подібних фігур.
У підручнику Л. С. Атанасяна та ін. [78] перетвОР61®1® подібності фі-
гур не розглядається, а тему «Подібні трикутники» передбачено вивчати
у 8 класі. Тут запроваджується спеціальне означеРня подібних Трикут-
ників, доводяться ознаки їх подібності та розгляда|ОІІ>ся питання засто-
сування подібності трикутників до доведення теорс^1 1 розв язуванця за-
дач, зокрема практичних. Нарешті, вводиться по1'яття ПР° П0Дібність
довільних фігур. Відповідне означення сформуЛьовано так- фігури
Р і називають подібними, якщо кожній точці фігуРи мо>кна по-
ставити у ВІДПОВІДНІСТЬ точку фігури Р\ так, ЩО ДЛЯ будь-яких двох
ТОЧОК М І N фігури Р І ВІДПОВІДНИХ ЇМ ТОЧОК фігури ви-
копується умова ~ к, Де ~ одне й те саМе додатне число для
всіх точок. У цьому разі припускають, що кожні* точка фігури /т зі-
ставляється з якою-пебудь точкою фігури Р.
Відповідно до чинної програми після вивчення геми Учш мають зна-
ти означення перетворення подібності, гомотетії, подібних фігур, вла-
стивості перетворення подібності, ВМІТИ ДОВОДИЛИ ознаки подібності
трикутників і застосовувати їх до розв’язування ;*аДач-
Основними поняттями теми є поняття псретворсі111® подібності гомоте-
тії, подібних фііур. У цій темі вивчають також важлгїВ1 дл® подальщого за-
своєння курсу поняття кутів, пов’язаних з колом: центральний, вписаний,
плоский і доновнювальний кути. Останні два поняті® є допоміжними.
Найскладнішим з погляду сприймання учнями і методики вивчення є
ПОНЯТТЯ перетворення подібності. Якщо учні засР°ять ПО ПОНЯТТЯ, то
означення подібних фііур як таких, що переводятРся °Дна в одну пере-
творенням подібності, не призведе до труднощів.
Можливі такі методичні варіанти введення понЯ™ перетворення по-
дібності: 1) учитель сам формулює означення та іЛюстРУе його прикла-
дами (абстрактно-дедуктивний метод); 2) учнів сЛ0ЧаткУ підводять до
введення означення на відомих із життєвого досіРдУ прикладах (конк-
ретно-індуктивннй метод).
299
Розпочати можна із уведення терміна «подібні фігури», оскільки
він неодноразово траплявся у повсякденному житті. Справді, учні не
раз спостерігали однакові за формою і різні за розмірами фігури (од-
ну й ту саму фотографію різних розмірів, репродукції картин, плани
ділянок, географічні карти тощо). Ґрунтуючись на цих уявленнях і
розглянутих у класі прикладах, учні можуть самостійно сформулюва-
ти означення перетворення подібності. Доцільно спочатку пригадати
вже відоме означення одного з перетворень (руху) і ще раз звернути
увагу на те, що при цьому перетворенні зберігається відстань між
двома точками даної фігури і відповідними точками фігури, отрима-
ної внаслідок перетворення.
Після цього пропонується розглянути чотири пари фігур (рис. 12.30)
і порівняти їх. Учитель наголошує, що в першій парі прямокутників
відношення відстаней між двома точками однієї фігури і відповідни-
ми точками другої дорівнює одному й тому самому числу 2. Інакше ка-
жучи, відстані між двома точками змінюються в однакову кількість ра-
зів. Друга пара прямокутників такої властивості не має. У третьому при-
Рис. 12.30
300
кладі пара кіл має таку саму властивість, як і перша пара прямокутників,
тільки відстань між відповідними точками змінюється в раза. Вчитель
зазначає, що перетворення фігур Р на 7у і 0 на (У у першому і третьому
прикладах називають перетворенням подібності, а фігури — подібними.
Учням пропонують сформулювати означення перетворення подібності за
аналогією з перетворенням руху. Вводиться поняття про коефіцієнт по-
дібності к. Учитель звертає увагу на те, що за к = 1 перетворення подіб
ності є рухом.
Доцільно поставити перед учнями завдання сформулювати означення
подібних фігур за аналогією з означенням рівних фігур. Деякі з них
імовірно запропонують назвати подібними однакові за формою і різні за
розмірами фігури. Потрібно переконати учнів у неприйнятності такого
означення. Справді, у другому прикладі маємо однакові за формою
фігури (прямокутники), які не подібні. Термін «однакові за формою»
потребує свого означення.
Потрібно відразу ввести означення подібних фігур як таких, що пе-
реводяться одна в одну перетворенням подібності. Загальне означення
подібних фігур дає можливість не формулювати окремо означення подіб-
них трикутників.
Доцільно наголосити, що будь-які два кола подібні, і запропонувати
учням навести ще один приклад фігур, які подібні одна до одної. Зазви-
чай учні називають лише квадрати.
Аналізуючи властивості фігур у четвертому прикладі, потрібно за-
уважити, що фігури Р і Р' не тільки подібні, а й розміщені відносно
точки О так, що виконується рівність ОХ' = к ОХ. Учитель зазначає,
що це перетворення називають перетворенням гомотетії, відповідні фігу-
ри — гомотетичпими, формулює означення гомотетії, вводить поняття
коефіцієнта гомотетії.
Слід звернути увагу учнів на те, що кожні дві гомотетичні фігури
подібні, але не кожні дві подібні фігури гомотетичні. Гомотетія визначає
спосіб побудови подібних фігур і вважається заданою, якщо: задано
центр гомотетії О та коефіцієнт гомотетії к або задано центр гомотетії
О і дві відповідні точки X і X'.
Після цього слід запропонувати учням виконати перетворення гомо-
тетії трикутника, кола, квадрата. У класах з поглибленим вивченням
математики доцільно розглянути поняття гомотетії з від’ємним коефіці-
єнтом і запропонувати виконати відповідні перетворення фігур.
Поняття вписаного і центрального кутів упроваджують конкретно-
індуктивним або абстрактно-дедуктивним методом. Означення плоского
кута має ввести сам учитель.
За умови роботи за підручником [290] вивчають доведення п’яти тео-
рем, з яких найважливішими є ті, що стосуються ознак подібності три-
кутників і вимірювання вписаного кута. Крім того, доводять деякі твер-
301
дження, які не названо теоремами: властивість перетворення подібності
та її наслідки, властивість транзитивності відношення подібності фігур,
співвідношення елементів прямокутних трикутників і властивість бісек-
триси трикутника ділити протилежну сторону на частини, пропорційні
двом іншим сторонам. Останні твердження широко використовують для
розв’язування задач.
Після вивчення властивості перетворення подібності та властивостей
подібних фігур, що випливають з неї, потрібно конкретизувати їх для
подібних трикутників, оскільки саме цю властивість доводиться часто
використовувати під час розв’язування задач. При цьому так само, як і
для рівності трикутників, істотним є порядок запису вершин подібних
трикутників: якщо ЛАВС ~ ЛА^Ср то АА = АА}, АВ = АВ\, АС =
/С і АВ - ВС - АС
х А}Ві В& А}С{ ’
Для вироблення навичок виконання правильних записів доцільними є
вправи на зразок таких:
1) ЛАВС ~ лА^В^С^,
АА = 30°, АВ = 85°, АС = 65°. Визначити
ААр АВХ, АС}\
2) лАВС ™ лА^В^С), АВ = 3 см, ВС = 4 см, АС = 6 см, А^ =
= 12см. Обчислити і А^Ср
Під час вивчення ознак подібності трикутників слід знову нагадати
відмінність між поняттями «означення подібних трикутників» і «ознаки
подібності трикутників».
Перш ніж доводити ознаки подібності трикутників, доцільно звер-
нути увагу учнів, що ці доведення виконують за однаковою схемою:
1) до лА}В]Сі застосовують перетворення подібності, наприклад го-
АВ
Ай/
мотетію з коефіцієнтом к =
У цьому разі отримують ЛА^В^С^,
2) доводять, що ЛАВС — ЛА-^В^С-у,
3) використовуючи транзитивність подібності фігур, робляті» висно-
вок, що ~ ЛАВС.
Проілюструвати цю схему можна на доведенні першої ознаки. Це
дасть можливість залучити учнів до колективного пошуку доведення двох
інших ознак.
Оскільки для доведення всіх трьох ознак подібності трикутників ви-
користовують ознаки рівності трикутників, потрібно заздалегідь запро-
понувати учням їх повторити.
Для доведення твердження про властивість бісектриси кута трикут-
ника використовують ознаку подібності прямокутних трикутників. Од-
нак учням незрозуміло, як можна здогадатися про додаткову побудову,
що полягає в проведенні перпендикулярів з двох інших вершин трикут-
ника до прямої, якій належить бісектриса кута, проведена з третьої вер-
302
шини. Тому слід навести учням доведення властивості бісектриси кута
трикутника аналітичним методом з використанням відомої учням власти-
вості прямої, паралельної стороні трикутника, що розглядалася в задачі
17 з § 11 [290].
У підручнику О. В. Погорєлова після § 11 «Подібні фігури» вмі-
щено задачі. Частина з них (задачі 1—7, 10) спрямована на закріп-
лення означення подібних, гомотетичннх фігур і перетворення гомо-
тетії та подібності, на формування навичок побудови фігури, гомоте-
тичної даній. У задачах 17, 25, 36, 42, 43, 51, 58, 59, 61 і 62 подано
теоретичні факти, які використовуються для розв’язування інших за-
дач. Деякі з них, наприклад задача 62, у традиційному підручнику
геометрії А. П. Кисельова вивчались як теореми. Зрозуміло, що пере-
лічені задачі потрібно розв’язувати в класі або як домашнє завдання з
наступною перевіркою в класі. Задачі 57 і 58 вводять нові для учнів
геометричні місця точок, які можуть бути використані для розв’я-
зування складніших задач на побудову. Задачі 8, 9, 53, 60 є задачами
на побудову, які розв’язуються методом подібності. Система задач
має чимало задач на доведення, які значна частина учнів не зможе
розв’язати самостійно, тому їх потрібно розглянути в класі. Напри-
клад, в задачі 17 розв’язування значно спростилося б, якби учням
х . ... а с а с /
була відома властивість пропорції, якщо т =_7. то т---= ----- (по-
ЬаЬ-аа-с
хідна пропорція). Зауважимо, що розв’язання цієї задачі ґрунтується
па задачі 15.
Розглянемо розв’язання задачі 17, яку позначимо як задачу 12.14.
Задача 12.14. Пряма, паралельна стороні АВ трикутника АВС (рис. 12.31),
ділить його сторону АС у відношенні пі : п, здійснюючи відлік від вершини С.
У якому відношенні вона ділить сторону ВС?
Дано: лАВС, РО || АВ;
СР _ т
РА ~ п ‘
Знайти:
Разе’язанпя. За доведеним в задачі 15 маємо:
лАВС ™ лРОС звідки
властивістю пропорції:
СР _ со
АС ВС ’
За основною
СР ВС = АС СО.
Доведемо спочатку, то виконується рівність
СР _ ер
АС-СР ВС-СО
(12.7)
(12.8)
303
Вона виконуватиметься, якщо за основною властивістю пропорції виконується
СР(ВС-СО) = СО(.4С-СР), або СРВС-СР С<2 =СО-АС-СР СС>. Звід-
си СР • ВС = С<2 АС. Остання рівність виконується (див. (12.7)). Отже, вико-
нується і рівність (12.8). Оскільки АС-СР = РА,СВ -СО =РВ, то виконується
СР СР т
' рв РА п
Для розв’язання цієї задачі довелося спочатку зробити аналіз Евк-
ліда, а потім оберненим міркуванням довести пропорцію (12.8) синте-
тичним методом.
Під час розв’язування задач на побудову доцільно надати правило-
орієнтир методу подібності, розв’язавши спочатку задачу 12.11, а по-
тім задачу 12.12.
У систему задач на подібність фігур слід включити практичні задачі
на визначення висоти предметів (телеграфного стовпа, башти, ширини
річки, відстані до недоступної точки). Під час визначення висоти, на-
приклад стовпа, можна показати учням два способи: 1) за допомогою
жердини (рис. 12.32); 2) за допомогою люстерка (рис. 12.33). У друго-
му випадку промінь АС, відбиваючись від люстерка в точці С, потрап-
ляє в око людини (точку Е). Зріст людини ОЕ, відстані ЕР від ока
до маківки людини, ОС, ВС — відомі, А.1 = /.2.
Рис. 12.33
Рис. 12.32
Цікавим може бути для учнів прилад, яким послуговуються лісни-
ки для визначення висоти дерева, — висотомір лісовода, пропорцій-
ний циркуль, далекомір, поперечний масштаб, пантограф. Практичні
задачі, пов’язані з подібністю фігур, можна знайти в [282], описання
згаданих приладів — у [146; 1541.
12.9. Декартові координати і вектори на площині
Метод координат — це спосіб визначення положення точки, фігури
або тіла за допомогою чисел або інших символів. Числа, за допомогою
яких визначається положення точки, називають її координатами.
304
Прямокутні координати застосовувалися в геометрії здавна. Зо-
крема, Аполлоній Пергський (бл. 262 — бл. 190 до н. е.) за допомо-
гою них визначав і досліджував, щоправда в геометричній терміноло-
гії, еліпс, параболу, гіперболу. Вперше ідеї методу координат систе-
матично виклали за допомогою невід’ємних чисел П. Ферма (1601 —
1655) і Р. Декарт. Від’ємні координати ввів І. Ньютон, а термін «ко-
ординати» — Г. Лейбніц.
Перевага методу координат перед синтетичним методом, за якого
безпосередньо розглядаються фігури і кожна задача потребує особли-
вого підходу, полягає в його алгоритмічності. Справді, за допомогою
методу координат будь-яка геометрична задача зводиться до алгебраїч-
ної, а алгебраїчні задачі легше алгоритмізувати.
Сучасне життя потребує широкого використання знань і вмінь,
здобутих під час вивчення методу координат у школі. Лікар будує
графік температури хворого, економіст — графік зміни випуску про-
дукції на виробництві, фізик за допомогою графіків у певній системі
координат досліджує фізичні явища і т. ін. У математиці широко по-
слуговуються не тільки прямокутною декартовою системою коорди-
нат, а й іншими системами: сферичними, циліндричними, еліптични-
ми. Метод координат є основним методом дослідження властивостей
геометричних фігур в аналітичній геометрії.
Із введенням методу координат до шкільного курсу геометрії розши-
рився набір аналітичних методів. До них, крім методу рівнянь в алгебрі,
належать векторний метод і метод, що ґрунтується на використанні три-
гонометричних функцій. Координатний метод спрощує розв’язування
багатьох геометричних задач, доведення теорем, дає можливість спрос-
тити виклад теоретичного матеріалу стосовно векторів, тригонометрич-
них функцій. Метод координат дає змогу встановити тісні зв’язки з ал-
геброю, фізикою, географією, астрономією, застосовувати сучасні ЕОМ
не тільки до розв’язування обчислювальних задач, а й до геометричних,
дослідження геометричних об’єктів, співвідношень, графічних завдань.
Відповідно до чинної програми вперше поняття «координата точки
на прямій», «прямокутна система координат па площині» розглядають-
ся в курсі математики 6 класу. У курсі алгебри 7 — 9 класів здобуті
знання і вміння застосовуються до побудови графіків функцій, графіч-
ного розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем. У курсі геометрії
8 класу знову передбачено вивчення декартових координат, застосування
методу координат до дослідження властивостей геометричних фігур і
означення тригонометричних функцій кута від 0° до 180°, вивчення
функцій.
У підручниках з геометрії по-різному визначено місце методу коор-
динат. У підручнику О. В. Погорєлова [290] тема «Декартові коорди-
нати на площині» пропонується у 8 класі і широко використовується
для вивчення властивостей геометричних фігур, векторів, паралельного
перенесення. У підручнику Л. С. Атанасяна та ін [78] «Метод коор-
305
динат» передбачено вивчати в 9 класі після вивчення векторів і засто-
совувати його до розкладання векторів на два неколінеарних вектори,
обчислення скалярного добутку векторів, розв’язування найпростіших
задач у координатах і виведення рівняння кола та прямої.
Основною метою вивчення декартових координат в школі є форму-
вання поняття про координати точки на прямій і площині, вміння зна-
ходити точку за її координатами і розв’язувати обернену задачу, знахо-
дити відстань між двома точками і координати середини відрізка, засто-
совувати метод координат до розв’язування найпростіших задач і в по-
дальшому вивченні курсу математики та суміжних предметів.
Вивчення декартових координат у 5—6 класах. Підготовча робо-
та до введення координатної площини починається вже в 5 класі, де
розглядають поняття «числовий промінь» і показують, як зобразити
на ньому натуральні числа.
У 6 класі для зображення додатних і від’ємних чисел упрова-
джується координатна пряма. Учні мають усвідомити, що положен-
ня точки А на прямій цілком визначається одним числом, яке нази-
вають координатою точки і позначають Л(3), В (7, 8), М (х). Слід
звернути увагу учнів, що одним числом визначають положення точки
не лише на прямій. Наприклад, положення супутника на траєкторії,
якою він рухається навколо Землі, визначається числом, що дорівнює
відстані, яку він подолав від певної точки траєкторії; положення
рухомого транспорту на залізниці чи автостраді можна визначити
за номером кілометрового стовпа, який дорівнює відстані від певного
пункту.
Після введення поняття координатної площини (на прикладі залу
кінотеатру) можна навести інші приклади застосування системи коор-
динат: географічна карта (за допомогою широти і довготи визначають
положення будь-якого населеного пункту), шахова дошка (положення
фігури визначається двома символами — малою літерою латинського
алфавіту і цифрою). Використання двох символів для позначення
положення шахової фігури на дошці (наприклад, король а2) дає мож-
ливість транслювати перебіг шахових змагань з будь-якого міста зем-
ної кулі.
У 6 класі поняття про координати точки на прямій і на площині
вводять описово на прикладах. Тут ще не ставлять за мету застосову-
вати означення абсциси й ординати. Важливо, щоб учні усвідомили,
що координата точки на прямій — це число, модуль якого дорівнює
відстані точки прямої від початку відліку — точки О. Модулі першої
та другої координат точки М на координатнії! площині задають від-
стані цієї точки від осі х і осі у.
Уся система вправ на цьому етапі має бути спрямована на форму-
вання вміння розв’язувати пряму й обернену задачі на визначення
положення точки на координатній прямій і площині.
306
Висловимо зауваження відносно термінології та символіки, пов’яза-
них з методом координат. На жаль, у шкільних підручниках щодо
цього немає єдності. Так, у підручнику [266] застосовано термін «чи-
слова вісь» та його синоніми «числова пряма», «координатна вісь».
У підручнику [222] використано термін «координатна пряма» в тому
самому розумінні. У посібнику з алгебри і початків аналізу [12] вжи-
то два терміни: «числова пряма» і «координатна пряма», причому
вони мають різний зміст. Координатна пряма — це пряма, на якій
обрано початок відліку, напрямок і одиницю відліку. Числова пряма —
це множина Е всіх дійсних чисел. Числова пряма одна, а координат-
них прямих багато. У підручнику з геометрії [290| використано термін
«осі координат». По-різному позначаються осі координат. У підручнику
з геометрії [290], підручниках з математики для 5 — 6 класів застосовано
позначення «вісь х», «вісь #», а в підручнику з алгебри і початків аналі-
зу [12], підручнику з геометрії [78] — «вісь Ох», «вісь Оуь.
Наголошуємо, що, починаючи з 6 класу, потрібно в усіх шкільних
предметах дотримуватися однакової термінології та символіки.
Метод координат у курсі геометрії. Вивчення у 8 класі теми
«Координати на площині» слід починати з повторення і систематиза-
ції тих знань і умінь, які учні вже мають із попередніх класів. Це
можна зробити за такою схемою запитань і завдань.
1. Що таке вісь координат?
2. Чим визначається положення точки на осі координат?
3. Як називають число, за допомогою якого визначається поло-
ження точки на осі координат?
4. Як записати точку, задану на прямій координатою? Як знайти її
положення на осі координат?
5. Позначити на осі координат точки М (3), N (-2), Р(2, 5).
6. Записати точки, позначені на осі координат, за допомогою їх
координати.
7. Що таке координатна площина?
8. Чим визначається положення точки на координатній площині?
9. Як називають координати точки на координатній площині?
10. Як символічно записати точку, задану на площині координатами?
11. Позначити на координатній площині точки Л7 (2; 5), Л/(-1;2),
Р(-3;-2).
12. Записати точки за їх координатами, які позначені на координат-
ній площині.
13. Навести приклади застосування координат.
На відміну від 6 класу в курсі геометрії 8 класу тему «Декартові
координати на площині» вивчають па вищому теоретичному рівні та в
ширшому застосуванні. Зокрема, вводять означення абсциси х і орди-
нати у точки Л. У підручнику [290] їх означено терміном «абсолютна
величина числа», якого учні з курсу алгебри не знають. Тому доціль-
307
А
Рис. 12.34
но застосувати термін «модуль числа». Можна
використати легший для сприймання учнів тер-
мін «відстань». Зокрема, виконавши рисунок
12.34, можна звернути увагу учнів на те, що
А..О = АЛ„, а АА„ — відстань від точки А до
л У У
осі у. Тому означення абсциси формулюють і
так: абсцисою точки А називають число х, мо-
дуль якого дорівнює відстані від точки А до
осі у.
Аналогічно можна сформулювати означення ординати.
Вчитель розповідає учням, що термін «декартові» стосовно коор-
динат пов’язаний з ім’ям Р. Декарта, який уперше застосував їх у
математиці.
Крім поняття декартових координат у цій темі вводяться такі нові
для учнів поняття: рівняння фігури в декартових координатах, куто-
вий коефіцієнт прямої, синус, косинус, тангенс кута від 0 до 180°.
Розглядаючи перше поняття, потрібно ґрунтуватися на відомих з кур-
су алгебри 7 класу поняттях рівняння з двома невідомими, лінійного
рівняння з двома невідомими ах + Ьу = с. Учні мають пригадати, що
графіком такого рівняння може бути пряма (за умови, що хоча б один із
коефіцієнтів а чи Ь не дорівнює нулю), вся координатна площина за
а = 0, Ь = 0, с = 0 і порожня множина точок за а = 0, Ь = 0, с 0.
У курсі геометрії ставиться мета довести, що будь-яка пряма в де-
картових координатах х і у має рівняння вигляду ах + Ьу + с = 0. По-
трібно, щоб учні зрозуміли, що відоме їм з курсу алгебри лінійне рів-
няння ах + Ьу - с принципово не відрізняється від рівняння ах +
+ Ьу + с = 0.
Якщо пригадати відоме з курсу алгебри 7 класу поняття про си-
стему двох лінійних рівнянь із двома невідомими, означення розв’язку
системи і графічний спосіб її розв’язування, то учні самі дійдуть ві-
домого їм висновку щодо координат точки перетину прямих. Поняття
кутового коефіцієнта прямої важливе з погляду перспективних
зв’язків з поняттям геометричного змісту похідної, яке розглядати-
меться в 11 класі.
Введення означень зіп а, соз а, сс будь-якого кута від 0 до 180°
потребує мотивації. Однак спочатку потрібно пригадати означення
синуса, косинуса і тангенса гострого кута через відношення сторін у
прямокутному трикутнику. Запроваджені раніше означення дали мож-
ливість розв’язувати прямокутні трикутники. Проте в геометрії, фізи-
ці, геодезії, техніці та інших галузях доводиться розв’язувати і косо-
кутні трикутники, в яких кути можуть змінюватись від 0 до 180°. То-
му виникає потреба означити тригонометричні функції й для цих ку-
308
тів. Виявляється, що це зручно зробити за допомогою декартових ко-
ординат. Після цього вводять означення за допомогою кола радіуса
К, розміщеного на координатнії! площині.
Після запровадження означень зіп а, соз а, а для кутів 0° < а <
<180° (а = 90° для виключається) слід навчити учнів знаходи-
ти їхні значення за допомогою таблиць і калькулятора.
За умови роботи за підручником [290] не передбачено вивчення
теорем у темі «Декартові координати на площині», проте доводяться
деякі твердження, яких немає в рубриці «теорема». Основні з них
чотири: виведення формул координат середини відрізка, довжини
відрізка, рівняння кола і прямої. Доведення відомого, але принципо-
во важливого факту, що графіком лінійної функції є пряма та її вла-
стивість щодо точок перетину з колом, подано як ознайомлення і впра-
ви на застосування методу координат.
Перед доведенням формул координат середини відрізка потрібно
повторити теорему Фалеса і спосіб визначення відстані між двома
точками на прямій за їх координатами, означення модуля числа. До-
свід переконує, що для деяких учнів є незрозумілим перехід від рів-
ності |х — Л7|| = |х — х2| до двох рівпостей: х —Х]=х —х2 або х-х^ =
= — (х —х2). Тому доцільно попередньо розв’язати усно такі вправи.
Приклад 12.2.
1. Нехай |х| = 2. Знайти х.
Учні знаходять: х = 2 або х = -2.
2. Нехай |х| = а, де а > 0. Знайти х.
Учні дістають: х = а або х =
3. Нехай |х-х1| = |х-х2|. Які дві рівності випливають із заданої рівності?
Учні наводять дві рівності: х - Х\ = х - х-2 або х - X) = -(х - х2 ).
Оскільки за умовою хі * х2, то перша рівність не може виконуватися. Отже,
викопується друга рівність, з якої знаходимо х. Справді, х - х^ = -х + х2, звідки
Система задач теми здебільшого спрямована на закріплення нових
понять і використання доведених формул.
У класах з поглибленим вивченням математики, на заняттях мате-
матичного гуртка доцільно ознайомити учнів з методом координат
розв’язування геометричних задач (табл. 12.5). У зв’язку з цим слід
на прикладах розв’язування принаймні двох задач сформулювати пра-
вило-орієнтир методу координат.
Однією з них може бути задача про умову перетину двох кіл раді-
усів а і Ь та відстанню між центрами с. Другою задачею може бути
така.
309
Таблиця 12.5. Основні відношення між фігурами
Мова геометрії Мова координат
1. Точки А і В лежать: а) на площині; 6) у просторі 2. Дано пряму АВ 3. Прямі АВ і СІ) паралельні 4. Прямі АВ і СІ) перпендикулярні 5. Точка О ділить відрізок навпіл 6. Точка С ділить відрізок АВ у відно- 4С щепні —- = Л Є/) 7. Довжина відрізка АВ дорівнює т 8. Відстань від точки М до прямої АВ дорівнює Д 9. Дано площину а 10. Відстань від точки М до площини а дорівнює т 1. а) А(хх;у}),В(х2;у2); 6) Л(х|;^;г1),В(х2; г/2;г,) 2. а) у = кх + Ь; х-ху _ у-уу . х2~х\ У2~У\ У2 * У) 3. АВ : у = к^+Ьр СІ): у = к2х + 62; Д к2, /?2 4. АВ :у = к\Х-^Ьу, СГ) . у - Іі2х + Ь2, к^к2 = ~1> * &2 5. Д(х1;г/|),В(х2;г/2),О(х0;.?/(]); _ .г, + х2 _уу + у2 Ао 2 ’ Уо ~ 2 6- б(хх, у^), В(х2; у2),О(х0;у(>); _ хА + Лх2 _ уі +Ту2 Л° 1 + Л 1 + Л 7. Щ = 7(л-2-^)2 + (^2-?/і)2. де Л(хі;^),В(х2;у2) 8. М (х0; у0 ), АВ :ах+Ьу+с=0; |дхо+/2>/о+с| 9. а : ах + Ьу + сг + Д = 0 10. М(х0; г/0;а0); а : ах + Ьу + сг + Д = 0; ... _|^0+Ьу0+сг0 + Д| ^а2+Ь2+с2
Задача 12.15. У коло з центром О вписано чотирикутник ЛИСІ) з перпенди-
кулярними діагоналями, які перетинаються в точці Р. Довести, що середини сто-
рін АВ і С£), центр О і точка Р є вершинами паралелограма (рис. 12.35).
Доведення. Виберемо початок координат у центрі кола, осі розмістимо паралель-
но діагоналям уписаного чотирикутника. Позначимо С(х1; у-\ ), В (х2; У2 ) ’оДІ
О(х2;-^2), Р(х2;Уі).
310
Оскільки точки К і М є серединами відрізків АВ і СІ), то їхні координати:
к( х2 хХ. У2~ У \\ м( хХ~х2. У\ ~ Уі )
2 ’ 2 2 ’ 2 )'
Щоб довести, що чотирикутник ОКРМ — паралелограм, досить показати, що:
1) протилежні його сторони попарно рівні й паралельні; 2) точки О, К, Р, М не
лежать на одній прямій.
За формулою відстані між двома точками:
Звідси ОК = РМ, КР = ОМ.
Визначимо кутові коефіцієнти і Л2 прямих ОК і ОМ. Відомо, шо кутовий
коефіцієнт прямої дорівнює відношенню різниць ординат і абсцис двох точок, що
належать цій прямій. Тому
#1 + #2 У і - У2
2 Уі + У>. к 2 _У1~У2
1 Х2 - X] х2 - Хх ’ 2 -Т1 + х2 Х1 + х2
2 2
Звідси можна зробити висновок, що /г, * /г2. Неважко довести, що кутовий ко-
ефіцієнт Л3 прямої РМ дорівнює кх.
Отже, доведено, що протилежні сторони чотирикутника ОКРМ рівні й пара-
лельні. Тому цей чотирикутник - паралелограм.
Узагальнюючи спосіб розв’язування наведених двох задач, учні
колективно можуть назвати істотні спільні
сформулювати правило-орієнтир методу ко-
ординат.
Для того щоб розв’язати задачу методом
координат, потрібно:
1) відокремити умови і вимоги задачі (те-
ореми). Обрати систему координат, відносно
якої перевести вимоги на мову координат і
скласти рівності зі змінними;
2) використовуючи умови задачі, пере-
творити рівності зі змінними і прийти до
результату мовою координат;
3) здобутий результат перевести на мову
геометрії.
етапи їх розв’язування і
311
Це правило-орієнтир поширюється і на стереометричні задачі.
Вектори на площині. Ідея вектора є однією з фундаментальних
ідей сучасної математичної науки та її застосувань. На векторній ос-
нові нині розвиваються лінійна алгебра, аналітична і диференціальна
геометрія, теорія багатовимірних просторів. Вектори широко застосо-
вуються в сучасній фізиці, технічних науках. Тому природно, що в
50-х роках XX ст. на початку всесвітнього руху за реформу шкільної
математичної освіти у всіх розвинених країнах було висловлено одно-
стайну думку впровадити ідею вектора в шкільну математику. Для
цього пропонувалося два підходи.
1. Крайні модерністи (Ж. Дьєдонне, Л. Фелікс, Г. Шоке) наполя-
гали на тому, щоб зробити ідею вектора провідною лінією шкільного
курсу, зокрема курс геометрії будувати на основі векторного просто-
ру, наприклад, використовуючи аксіоматику Вейля.
2. У колишньому СРСР А. М. Колмогоров, О. І. Маркушевич, які
очолювали перебудову змісту шкільної математичної освіти, дотриму-
валися поміркованого підходу і пропонували не розглядати ідею век-
тора як основну і не будувати на ній навіть певний розділ геометрії.
Водночас передбачалося ввести поняття вектора і потрібний апарат век-
торної алгебри із загальноосвітньою метою та використовувати векто-
ри як засіб для доведення теорем і розв’язування задач геометрії, фі-
зики. Спробу реалізувати такий погляд здійснено в посібниках з гео-
метрії А. М. Колмогорова 1154] та 3. А. Скопця [147], а також у під-
ручниках з геометрії [290; 781.
Через зменшення кількості годин, запланованих для вивчення ма-
тематики в школі, чинна програма й автори підручників з геометрії не
ставлять за мету систематично використовувати векторний метод під
час доведення теорем і розв’язування задач, а передбачають вивчати
вектори із загальноосвітньою метою і послуговуватися ними лише для
розв’язування найпростіших стандартних задач. Безперечно, в стар-
ших класах фізико-математичного профілю, спеціалізованих школах,
класах з поглибленим вивченням математики і на факультативах век-
торний метод має застосовуватися значно ширше.
За чинною програмою і проектом нової програми з математики век-
тори передбачено вивчати в два етапи: спочатку вивчаються вектори
на площині, а потім — у просторі. За підручником О. В. Погорєлова
[290] у 8 класі крім основних понять стосовно векторів вивчаються
всі операції над векторами (додавання, віднімання, множення вектора
на число і скалярний добуток двох векторів, розкладання векторів по
координатних осях). Дещо інше місце вектори посідають у підручни-
ку Л. С. Атанасяна та ін. [78]. За ним вектори починають вивчати у
9 класі, що звужує можливості їх застосування в геометрії та фізиці.
Основна програма зобов’язує, щоб у 8 — 9 класах учні мали уяв-
лення про вектор, рівні вектори, вміли виконувати операції над век-
торами, передбачені програмою, і застосовувати вектори до розв’я-
312
зування нескладних стандартних задач (обчислення довжин відрізків
і міри кутів, додавання та віднімання векторів, множення вектора на
число, скалярний добуток векторів).
Означення вектора. У зв’язку із введенням векторів у шкільний
курс насамперед постало питання: яке означення вектора взяти в кур-
сі геометрії? Журнал «Математика в школе» з цього приводу спеціаль-
но друкував статті. Як зазначав О. Д. Александров в одній із них,
питання «Що ж таке вектор?», «Яке означення правильне?» не точні.
Відповіді на ці питання такі: вектор — це те, що називають вектором,
і правильне означення те, яке прийняте, якщо тільки воно свідоме і
не містить у собі суперечності. Доцільніше запитати не що таке век-
тор, а що називають вектором або що слід називати вектором, щоб
означення було осмисленим, не призводило до плутанини і було логіч-
ним у застосуваннях. Г. П. Бевз звернув увагу на те, що фізика і гео-
метрія розглядають різні поняття вектора. У фізиці розрізняють зв’я-
зані й ковзні вектори.
Зв’язані вектори називають рівними, якщо вони мають не тільки
рівні модулі й однакові напрямки, а й спільну точку прикладання.
Клас рівних між собою векторів, розміщених на одній прямій, на-
зивають ковзними векторами. Отже, ковзний вектор визначається
трьома елементами: прямою, напрямком і довжиною.
У геометрії розглядають вільні вектори, тобто такі, для яких істот-
ним є лише довжина і напрямок. Наведемо приклад. Якщо маємо дві
зчеплені шестірні (рис. 12.36), то вектори
О]/-) і О2Е2 з погляду фізики різні,
оскільки сили, які вони зображують,
обертають шестірню в протилежних на-
прямках. З погляду геометрії всі чотири
вектори О2/^ Оз^3> ^4^4 зобра-
жують один і той самий вектор. Вільні
вектори застосовують і у фізиці. Напри-
клад, швидкість і прискорення твердого
тіла, що рухається поступально, є вільними векторами.
У навчально-методичній літературі трапляються різні означення
вільних векторів. Вектори трактують:
1) як напрямлений відрізок прямої евклідового простору, в якого
один кінець (точка А) називається початком вектора, а другий кінець
(точка В) — кінцем вектора;
2) впорядкована пара точок;
3) клас еквівалентних напрямлених відрізків;
4) паралельне перенесення;
5) впорядкована пара, трійка, ..., п чисел.
Множини об’єктів, іцо відповідають цим трактуванням, ізоморфні
одна одній. Кожне з наведених трактувань є інтерпретацією загаль-
313
нішого абстрактного поняття вільного вектора, означення якого фор-
мулюється в теоретичних курсах геометрії: будь-яку множину
об’єктів, що задовольняє перші вісім аксіом системи Вейля, назива-
ють множиною векторів, а будь-який елемент цієї множини — векто-
ром. У школі з дидактичних міркувань зазвичай розглядають одну з
інтерпретацій. У посібниках [147; 154] вектор означено як паралельне
перенесення, а в підручниках [78; 290] його вважають напрямленим
відрізком. О. Д. Александров у своїх статтях критично проаналізував
різні означення векторів і звернув увагу, що перш ніж дати означення
через напрямлений відрізок, потрібно спочатку означити напрямлений
відрізок і рівність напрямлених відрізків, а потім сформулювати оз-
начення: вектором у геометрії називають напрямлений відрізок, що
розглядається з точністю до вибору початку, тобто рівні один одному
напрямлені відрізки вважаються представниками або зображеннями
одного і того самого вектора.
Методика введення основних понять теми. З метою мотивації за-
провадження поняття «вектор» доцільно нагадати учням, що поняття
векторних величин їм траплялося раніше, в 7 класі, в курсі фізики.
У підручниках фізики векторними називають величини, які крім число-
вого значення (модуля) мають напрямок. Наприклад, сила є вектор-
ною величиною. На рисунках силу зображують у вигляді відрізка
прямої зі стрілкою на кіпці, яка вказує, напрямок. Взагалі поняття
«вектора» в геометрії виникло як математична абстракція об’єктів, що
характеризуються величиною і напрямком на відміну від скалярних
величин, які характеризуються лише числом. Проте не будь-яка вели-
чина, що характеризується модулем (числовим значенням за заданої
одиниці) і напрямком, є вектором. Наприклад, потік машин па вулиці
міста можна виміряти кількістю машин за 1 год, і цей потік має на-
прямок. Однак такі величини не додаються як вектори за правилом
трикутника або паралелограма.
У темі, присвяченій векторам на площині, вводиться значна кіль-
кість нових для учнів понять — абсолютна величина (або модуль век-
тора), нульовий вектор, рівні вектори, координати вектора, кут між
нульовими векторами, колінеарні вектори та ін. Викладений в підруч-
нику О. В. Погорєлова теоретичний матеріал стосовно векторів на ко-
ординатній осі вигідно відрізняється чіткістю, економністю, простотою
доведень законів дій над векторами. Водночас у ньому наведено мало
геометричних ілюстрацій, які розвивали б просторові уявлення й уяву,
вправ на побудову. Одним із найважливіших для подальшого вивчення
теоретичного матеріалу є поняття про координати вектора. Не можна
обмежуватися лише формальним уведенням означення цього поняття.
Доцільно мотивувати потребу в ньому, дати учням наочне уявлення
про координати вектора на координатній площині. Розглянемо один
із можливих методичних варіантів запровадження поняття координат
вектора.
314
Учитель звертає увагу учнів на те, що сьогодні на уроці вони
ознайомляться з новим для них поняттям — координатами вектора.
Координати вектора, як і координати точки, дають можливість визна-
чати положення вектора на координатній площині. Координати век-
тора дадуть змогу означити дії (операції) над векторами, довести їхні
властивості та застосувати до розв’язування задач, а також установи-
ти зв’язок між геометричними закономірностями в розміщенні векто-
рів і арифметичними закономірностями їхніх координат і навпаки.
Учням пропонують розглянути положення трьох векторів на а, Ь,
с на координатній площині та порівняти їх розміщення (рис. 12.37).
Учні помічають, що вектори а і Ь рівні
(мають рівні модулі й однаково напрям-
лені). Вектори а і с різні за довжиною і
за розміщенням на координатній площи-
ні. Щоб схарактеризувати виявлені зако-
номірності за допомогою чисел, введемо ко-
ординати векторів, які задаються за допо-
могою координат початку і кінця вектора.
(Вводяться означення координат вектора,
символічні позначення: а(а\,а2), Ь[Ь^;Ь2)
або (<'/1;<72), (^;Ь2).) Учням пропонують, використовуючи означення
Й1 = х2 й2 ~ Уі ~У\> записати координати векторів а, Ь і с:
= 5 - 2 = 3; а2 = 8 - 4 = 4; «(3;4);
61 = 8 - 5 = 3; Ь2 = 8 - 4 = 4; 6(3; 4);
с‘1 = 6-12 = —6; с2 = 2 - 8 = -6; с’(-6; - 6)
Внаслідок розв’язання цієї вправи учні дістали два факти:
1) виявилось, що координати рівних векторів однакові, а різних —
різні;
2) учні визначають за допомогою формули відстані між двома точ-
ками довжину вектора а: \аІ = 7(5 2)2 + (8-4)2 і роблять висновок,
що модуль вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів
його координат.
Отже, |«|= + (і2, тобто учні дійшли потреби довести необхідну
і достатню умови рівності двох векторів. Далі доцільно поставити пе-
ред учнями запитання: чи можна визначати координати вектора за
рисунком? Виявляється, що можна. Для цього досить порахувати кіль-
кість клітинок під час руху від початку вектора до кінця спочатку
вздовж осі х, а потім — уздовж осі у.
315
На наступному уроці учням^пропонують знайти за рисунком уже ві-
домі координати вектора с = АВ і векторів ВС і АС, а потім співвід-
ношення між координатами векторів АВ, ВС і АС, які утворюють три-
кутник. Це підведе учнів до означення суми двох векторів. За рисунком
учні визначають координати векторів АВ(-&, -6), ВС(5; 2), АС (-4; - 4).
Слід зауважити, що координати вектора АС є сумою координат векто-
рів АВ і ВС, які разом з вектором АС утворюють трикутник.
Вивчення дій (операцій) над векторами. Було розглянуто мето-
дичний варіант, за якого учні конкретно-індуктивним методом само-
стійно підходять до формулювання означення суми двох векторів.
Аналогічно можна підвести до формулювання означення різниці двох
векторів через їх координати. Для векторного методу розв’язування
задач важливо, щоб учні навчились за допомогою відповідних побу-
дов вільно знаходити суму І різницю векторів. Тут виявляється ефек-
тивним алгоритмічний підхід — уміння знайти суму двох векторів за
правилом трикутника або правилом паралелограма.
Задачу про побудову різниці двох векторів а і Ь доцільно роз-
глянути також двома способами.
1. Від довільної точки О відкладають вектори ОА = а і ОВ = Ь
(рис. 12.38). Позначають вектор ВА. За правилом трикутника запи-
сують векторну рівність ОВ + ВА = О А або Ь + ВА=а. З означення
різниці векторів а і Ь (це такий вектор,
який у сумі з вектором Ь дає вектор а) ви-
пливає, що в А є різницею векторів а і Ь,
тобто а - Ь = ВА.
Звідси легко сформулювати правило по-
будови вектора-різниці.
Для того щоб побудувати вектор с -
= а — Ь, потрібно: а) перенести початки век-
торів а і Ь у довільну точку О; 6) позначи-
ти вектор-різницю с, початком якого є кінець вектора-від’ємніша (век-
тора Ь), а кінець є кінцем вектора-зменшуваного (вектора а).
2- Другий спосіб побудови вектора-різниці ґрунтується на озна-
ченні протилежного вектора і доведеній теореми: а - Ь = а + (~Ь).
Звідси побудова: від довільної точки О відкладають вектор ОА = а,
а потім від точки А вектор ~АВ=-Ь Тому а = ОА + АВ = ОВ
(рис. 12.39).
Слід мати на увазі, що в підруЧНИКу о. в. Погорєлова скалярний
добуток двох векторів означено за допомогою їхніх координат. При-
316
Рис. 12.39
йняте в багатьох посібниках (зокрема, [147]) за означення скалярного
добутку твердження про властивість його дорівнювати добутку число-
вих значень довжин на косинус кута між векторами в підручнику
[290] доводиться. Введення скалярного добутку і поняття колінеарно-
сті векторів дає можливість розв’язувати різноманітні задачі, пов’я-
зані з перпендикулярністю та паралельністю відрізків, метричні зада-
чі на визначення довжин відрізків і величин кутів.
Векторний метод розв’язування задач. Розумова діяльність,
спрямована на використання векторного методу, містить такі специ-
фічні дії:
1) переформулювання відношень між фігурами з геометричної мо-
ви на мову векторів і обернену дію;
2) дії (операції) над векторами;
3) подання вектора у вигляді суми, різниці двох векторів, добутку
вектора на число;
4) перетворення векторних рівностей з використанням законів век-
торної алгебри і властивостей скалярного добутку;
5) перехід від співвідношень між векторами до співвідношень між
їхніми довжинами.
Згідно з теорією поетапного формування розумових дій важливо за-
здалегідь поступово відпрацювати кожну розумову дію, яка є складовою
діяльності щодо розв’язування задач векторним методом. Із метою ус-
пішного засвоєння учнями першої розумової дії доцільно запропонувати
їм таблицю основних відношень обома мовами (табл. 12.6).
Із векторним методом доведення геометричних тверджень і відпо-
відним правилом-орієнтиром доцільно ознайомити учнів на прикладах
доведення двох тверджень, із яких перше учні вміють доводити і без
застосування векторів.
Задача 12.16. Довести, що середня лінія
трапеції паралельна основам і довжина її дорів-
нює півсумі довжин основ (рис. 12.40).
Дано: АВСО — трапеція,
ММ — середня лінія,
АО і ВС — основи.
Довести: ММ || АМ,
ММ = ±(АО + ВС).
317
Таблиця 12.6. Основні відношення між фігурами
Мова геометрії Мова векторів
1. АЙЦСО 2. АВЕСО 3. <7 — пряма, А, В, С — точки на прямій а 4. М = Му 5. О, А, В, С — точки на площині а 6. АВ Ц а, С£> Ц а, ЕР || а, де АВ, СР), ЕР — прямі, а — площина, АВ і С£> — перетинаються 7. С — точка на промені АВ АС _ т СВ п ’ зокрема, якщо АС — СВ 8. — середина відрізка АІВІ, М2 — середина відрізка А2В2 9. ОАВС — паралелограм. 10. АВ = т, де АВ — відрізок, т — довжина АВ 11. М — центроїд а АВС 12. АВ 1а, де а — площина, АВ, СР), МР — прямі, СО і МР перети- наються і лежать на площині а 1. АВ = кСГ) 2. АВСО = 0. 3. АВ = к ВС, або АС = к АВ, або АС = к АВ, або ОС = р- ОА + с/ ОВ, де О — довільна точка; р + <7 = 1 4. ММ, = б, або ОМХ = ОМ, де О — довільна точка 5. х-ОА + у ОВ + гОС = 0, де х, у, г — дійсні числа 6. ЕР = х АВ + у • СІ), де х, у — дійсні числа 7. АС= — СВ або ОС = — -ОА + —Ї—ОВ, т + п т + п де О — довільна точка; пг і п — дійсні числа, ОС = |(ОА + дв) 8. МуМ2= ±(АуА2 + В,В2) 9. а) ОВ = ОА + ОС; 6)ОА=СВ або ОС = АВ 10. от2 = АВ АВ-- АВ2 11. ОМ = ^(ОА + ОВ + ОС), де О — довільна точка або МА + МВ + МС = 0 12. ЛВ СО = 0 і АВ МР = $, вектори СО і МР неколінеарні
318
Модель організації колективного пошуку доведення може мати такий вигляд
У ч и т е л ь. Для розв’язування цієї задачі скористаймося властивістю векто-
рів. Як можна довести паралельність відрізків ММ і АО, використовуючи векто-
ри? (Доцільно в цьому разі мати в класі таблицю 12.6, з якої учні знайдуть по-
трібне співвідношення.)
Учень. Досить показати, що вектори Л/А' і АО колінеарні.
Учитель. Яка достатня умова колінеарності векторів ММ і АО?
Учень. Має існувати таке число х, яке задовольняє рівність ММ = х АО.
У ч и т е л ь. Враховуючи сказане і вимогу довести рівність ММ = -^(АО + ВС),
спробуємо подати вектор ММ через вектори АО і ВС Як це зробити?
Учень. З чотирикутника МВСМ
ММ = МВ + ВС + СМ, (12.9)
а з чотирикутника ЛММІ)
ММ = МА+АО+ВМ. (12.10)
Учитель. Додамо рівності (12.9) і (12.10) і спростимо праву частину от-
риманої рівності, використовуючи властивості векторів і закони додавання.
У ч е н ь. Отримаємо векторну рівність: 2ММ = МВ + ВС + СА' + МА + АО +
+ І)М Згрупуємо вектори у правій частині. Матимемо 2ММ = (МВ + МА) +
+ (САі + ОАГ) + (ВС + АО) = ВС + АП, оскільки МВ + АМ=б, СМ + ОМ = б.
Звідси
МА'* = ДС + ЛО (12.11)
Учитель. Визначте |Л/А71 і виразіть ііого через модулі векторів-доданків.
У ч с п ь.
|МЛЇ| = ^|ВС +АО|; |МЛЇ| = |(|ВС| + |АО|),
(12.12)
оскільки вектори ВС і АО паралельні.
Учитель. Використаємо останню рівність, щоб довести паралельність век-
торів ММ і АО. Для цього виразимо вектор ВС через вектор АО, враховуючи
умову задачі. Як не можна зробити?
Учень. За умовою АО || ВС, тому вектори АО і ВС колінеарні, тобто іс-
нує таке число к, що ВС = к АІ).
У ч и т е л ь. Підставимо в рівність (12.11) замість ВС його вираз через АО.
Дістанемо Л7М = А® = * * АО. Якщо прийняти * ? - = х, то ММ =
= х ЛВ). Який висновок випливає з останньої рівності?
У ч е н ь. Вектор ММ колінеарний вектору АО, а отже, і вектору ВС.
Учитель. Як виразити мовою геометрії останнє твердження та рівність (12.12)?
У ч е н ь. Відрізок ММ паралельний відрізкам АО і ВС, довжина його дорів-
нює півсумі довжин відрізків АО і ВС.
319
Задача 12.17. Довести, що висоти довільного трикутника перетинаються в од-
ній іочці.
Дано: дАВС,
АР 1 ВС,
ВО ± АС,
О — точка перетину АР і ВО,
лежить на СД.
Довести: СД ± АВ (рис. 12.41).
Модель організації колективного пошуку дове-
дення може мати такий вигляд.
Учитель. Уведемо на рисунку (12.41) векто-
ри АВ, ВС і СА, ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с.
Як можна виразити вимогу задачі мовою векторів?
Учень. Потрібно довести, що с • АВ = 0.
Учитель. Щоб використати умову теореми, виразимо вектори АВ, ВС і
СА через вектори а, Ь, с. Як це зробити?
У ч е н ь. АВ = Ь - а ВС = с - Ь, СА =а - с.
Учитель. Які векторні рівності можна скласти, враховуючи умови задачі?
Учень. а(с - Ь) = 0, Ь(а - с) = 0.
У ч и т е л ь. Скористаймося розподільним законом скалярного множення век-
торів і запишемо дві останні рівності у вигляді рівпостей скалярних добутків двох
векторів; а • с = а Ь; Ь а = Ь с.
Яку векторну рівність можна дістати з них?
Учень. Оскільки а • Ь = Ь а, то а с = Ь с.
Учитель. Як перейти від цієї рівності до тієї, - яку потрібно довести?
Учень. Запишемо отриману рівність у вигляді а с ~ Ь с = сСа ~ Ь) = 0.
Оскільки а - Ь = ВА, то с-ВА = 0. Оскільки АВ і ВА — протилежні вектори,
то с • АВ = 0.
Учитель. Як мовою геометрії виразити останню рівність?
Учень. СД 1 АВ, тобто відрізок СД — висота дЛВС. Отже, три висоти
трикутника перетинаються в одній точці.
Внаслідок виокремлення істотного спільного в обох доведеннях
учні під керівництвом учителя колективно можуть дійти правила-
орієнтира векторного методу доведення тверджень.
1. Відокремити у формулюванні теореми (задачі) умови і вимоги,
виконати рисунок. Сформулювати вимоги мовою векторів і з ураху-
ванням їх позначити вектори на рисунку.
2. Враховуючи умови і вимоги, скласти допоміжні векторні рівно-
сті. Для цього у разі потреби виразити вектори у вигляді суми або
різниці інших векторів чи у вигляді добутку вектора на число. Пере-
творити отримані рівності та дійти потрібної.
3. Подати отриману рівність мовою геометрії.
320
Найскладнішим для учнів є позначення векторів на рисунку. До-
свід раціонального позначення векторів набувається з практики, од-
нак певні орієнтири в цьому надає аналіз формулювання теореми (за-
дачі). Для формування навичок використання правила-орієнтира слід
запропонувати учням розв’язати векторним методом відомі з планімет-
рії твердження про властивість середньої лінії трикутника, про суму
квадратів діагоналей паралелограма, про властивість діагоналей ром-
ба, прямокутника.
Слід звернути увагу школярів на те, що векторний метод доведен-
ня теорем не універсальний, його зручно застосовувати для доведення
паралельності та перпендикулярності прямих і відрізків, належності
трьох точок одній прямій, подільності відрізка в заданому відношен-
ні, для доведення співвідношень між довжинами відрізків і величи-
нами кутів.
Під час розв’язування метричних задач, зокрема на визначення
довжини відрізка і міри кута векторним методом, доцільно запропо-
нувати учням відповідні алгоритми (табл. 12.7).
Таблиця 12.7. Алгоритм векторного методу розв’язування
метричних задач
Обчислення довжини відрізка Обчислення значення міри кута
1. Вибрати два нсколінеарні (па пло- щині) або три некомпланарні (у просторі) основні вектори, дов- жини і кути між якими відомі 2. Розкласти по них вектор, дов- жину якого потрібно обчислити 3. Знайти скалярний квадрат цього вектора за формулою а = а2 і довжину | а І = 1. Вибрати два неколінеарні (на площині) або три некомпланарні (у просторі) основ- ні вектори, довжини або відношення дов- жин і кут між ними відомі 2. Вибрати вектори, що задають шуканий кут, і розкласти їх по основних векторах 3. Обчислити соз {а, Ь) = , а,' ІяІ-ІЬІ
12.10. Геометричні величини
в шкільному курсі планіметрії
Поняття величини, як і поняття числа, є одним з основних у шкіль-
ному курсі математики та суміжних предметах природничого циклу
(фізика, хімія, біологія), трудового навчання, спеціальних і загаль-
нотехнічних дисциплін у професійно-технічних училищах, техніку-
мах, технічних вищих навчальних закладах. Зміст загального поняття
«величина» не піддається розкриттю ні за допомогою означення, ні
11 Слзпкань 3. 1.
321
через систему аксіом (непрямий спосіб), ні описанням істотних вла-
стивостей. Непрямо означити, застосувавши систему аксіом, можна
лише класи окремих величин, зокрема скалярних і векторних. Упер-
ше аксіоматику скалярних величин сформулював А. М. Колмогоров.
У його працях системою скалярних величин названо деяку множину,
яка задовольняє 10 аксіом.
Узагальненням додатних скалярних величин є такі скалярні вели-
чини, які змінюються в двох протилежних напрямках (температура) і
значення яких можуть виражатися нулем, додатним або від’ємним
числами. Узагальненням скалярних величин є також вектори, тензори
та інші нескалярні величини. У деяких абстрактних математичних
дослідженнях введено неархімедові величини, для яких не виконуєть-
ся аксіома Архімеда.
Оскільки множина дійсних чисел задовольняє систему 10 аксіом
скалярних величин, то правомірно самі дійсні числа називати величи-
нами. Особливо зручно це при розгляді змінних величин.
Н. Я. Віленкін пропонував інше означення скалярної величини: ве-
личиною, заданою відношенням а - Ь і а = Ь®с у множині £2, на-
зивають розбиття цієї множини на класи еквівалентності за відношен-
ням «о рівновелике 6».
Із дидактичних міркувань жодна абстрактна теорія скалярних ве-
личин не може бути предметом вивчення в середній школі. Проте,
починаючи з початкової школи, упродовж вивчення всього шкільного
курсу математики та суміжних предметів, в учнів потрібно сформува-
ти правильне уявлення про різні скалярні та векторні величини, роз-
глядаючи різні приклади і здійснюючи безпосередні вимірювання.
При цьому важливо дотримуватись єдиного підходу до термінології та
символіки щодо величин та їх вимірювання.
Зазначимо, що в шкільній практиці і навчально-методичній літера-
турі трапляються некоректності, навіть помилки щодо застосування
терміна «величина». Часто його ототожнюють з термінами «кіль-
кість», «значення величини», використовують вирази на зразок «ве-
личина площі» (площа сама є величиною), «величина числа» (число
також величина), «абсолютна величина числа».
Геометричні величини (довжина відрізка, величина кута і його си-
нонім — міра кута, площа, об’єм) водночас є фізичними величинами.
В учнів поступово має сформуватися уявлення про те, що величина —
це загальна властивість певного класу об’єктів, їхніх станів або про-
цесів, які в них відбуваються. З кількісного боку ця загальна власти-
вість може бути індивідуальною для кожного об’єкта. Наприклад, два
різні трикутники можуть мати різні площі. Потрібно, щоб на прикла-
дах конкретних геометричних фііур учні усвідомили, що довжина
відрізка вказує розмір частини прямої, яку він становить, властивість
протяжності цієї фігури; площа плоскої фігури вказує розмір частини
322
площини, яку обмежує ця фігура, а об’єм — розмір частини просто
ру, яку обмежує певне геометричне тіло.
Вимірюють величини, а не об’єкти (фігури), тому правильним є
вираз «виміряти довжину відрізка», «виміряти величину кута», а не
«виміряти відрізок, кут». Проте слід мати на увазі, що терміном
«кут» у геометрії називають і геометричну фігуру, і величину. На-
приклад, кут між двома прямими — не фігура, а величина. Тому в
іншому розумінні терміна «кут» вираз «виміряти кут» правомірний.
У підручниках з математики для 5 — 6 класів Е. Р. Нурка і
А. Е. Тельгмаа [266], Н. Я. Віленкіна та ін. [222] стосовно відрізків
вжито правильний вираз «виміряти довжину відрізка», а щодо кутів
в обох розуміннях цього терміна використано лише вираз «вимірю-
вання кутів».
У підручниках з геометрії [78; 288] використано неправомірні ви-
рази «вимірювання відрізків», «вимірювання кутів». Для скорочення
вимови їх вживати можна, але тільки після відповідної домовленості,
як це зроблено, наприклад, у підручнику [78].
Щодо величин застосовують три терміни: 1) розмір величини;
2) значення величини; 3) числове значення величини.
Розмір величини — кількісне вміщення тієї властивості певного
об’єкта, яка відповідає поняттю величина. Розмір величини для цього
об’єкта існує об’єктивно і не залежить від вибору одиниці виміру.
Наприклад, розмір довжини відрізка АВ існує об’єктивно, хоч дов-
жина його може виражатися різними числами залежно від вибору
одиниці виміру довжини.
Значення величини — оцінка величини у вигляді деякого числа
прийнятих для неї одиниць. Наприклад, 25 м, 2500 см. Значення ве-
личини завжди записують числом разом з найменуванням вибраної
одиниці величини. Це те, що раніше в шкільних підручниках назива-
ли «іменованим числом»; нині цей термін, як правило, не використо-
вують. Отже, значення тієї самої величини для певного об’єкта може
бути різним залежно від вибору одиниці виміру.
Числове значення величини — це число, яке міститься у значенні
величини. Наприклад, 25 дм3 — значення об’єму тіла, а 25 — чи-
слове значення об’єму тіла Числове значення величини також зале-
жить від вибору одиниці виміру.
У зв’язку з вимірюванням величин застосовують два терміни:
«одиниця величини» й «одиниця виміру величини», зміст яких відрі-
зняється, хоч у підручниках і методичній літературі їх часто ототож-
нюють (можливо, для скорочення вимови).
У метрології, яка визначає державні стандарти щодо термінології
та символіки, і в фізиці одиниця величини — це величина, якій, за
означенням, присвоюють числове значення, що дорівнює одиниці.
Термін «одиниця величини» застосовують також для позначення оди-
323
ниці, що входить множником до значення величини. Наприклад, 1 см,
1°, 1 м3.
У навчальному посібнику з геометрії А. М. Колмогорова [154]
значення будь-якої величини а записувалось у вигляді рівності
а = х • е, де е — одиниця величини, х — числове значення величини.
Відношенням значень величин а = х-е і Ь = у -є, де Ь 0, називали
відношення — їхніх числових значень за однієї й тієї самої одиниці е
У
величини. Такий запис величин використовують здебільшого у фізи-
ці, хімії.
Одиниці деякої величини можуть відрізнятися своїм розміром.
Наприклад: 1° і 1 радіан ~ 57°; 1 м і 1 фут = 0,3048 м; 1 м і 1 дюйм =
= 25,4-1(Г3м.
Для вимірювання геометричних величин послуговуються терміна-
ми «одиниця виміру довжини», «одиниця виміру величини кута»,
«одиниця виміру площі», «одиниця виміру об’єму». Ці одиниці вимі-
ру є відповідними фігурами. Одиниця виміру довжини — це одинич-
ний відрізок, тобто такий, довжина якого є одиницею довжини (1 мм,
1 м, 1 дм, 1 км і т. д.). Одиниця виміру кутів — центральний кут,
величину якого взято за одиницю міри кута (1° — у градусній систе-
мі, 1 радіан — у радіанній системі). Одиниця виміру площі — оди-
ничний квадрат, тобто квадрат, сторона якого є одиничним відрізком.
Площа одиничного квадрата є одиницею площі.
Місце величин у шкільному курсі математики. Слід мати на ува-
зі, що перше уявлення про величини та вимірювання їх учні дістають
ще в дошкільному віці: уявлення про величину як просторову ознаку
предметів накладанням і прикладанням їх, навички порівнювати різні
предмети, утворювати впорядковані сукупності (за довжиною, об’є-
мом та ін.), розвиток окоміру, початкові уявлення про вимірювання
величин.
У шкільному курсі величини, їх вимірювання та обчислення ви-
вчають концентрично. У першому концентрі (1—4 класи) на наочній
основі формуються уявлення про довжину, площу, масу, час, швид-
кість, вартість Вводяться одиниці величин та одиниці їх виміру, роз-
глядаються залежності між величинами (ціною, кількістю та вартістю;
швидкістю, часом і шляхом; площею і довжшіами сторін прямокутника),
учні застосовують набуті знання й уявлення для розв’язування текстових
задач, які містять величини, вчаться практично вимірювати довжини
відрізків і ламаних у сантиметрах, дециметрах, міліметрах, будувати
відрізок за заданою довжиною, обчислювати периметр і площу прямо-
кутника, квадрата. Запроваджуються одиниці площі (квадратний метр,
квадратний дециметр, квадратний сантиметр), розв’язуються вправи на
визначення площ фігур підрахунком. У 4 класі учнів ознайомлюють зі
співвідношеннями між одиницями величин.
324
Після закінчення початкової школи учні мають знати: назви і по-
значення одиниць найважливіших величин — довжини (км, м, дм,
см, мм), маси (кг, г), площі (м2, дм2, см2), швидкості (км/год, м/с),
часу (год, хв, с); уміти: вимірювати довжину відрізка, довжину ла-
маної; будувати відрізок заданої довжини; обчислювати периметр і
площу прямокутника та багатокутника (за допомогою палетки).
У 5 — 6 класах відомості про величини, їх вимірювання й обчис-
лення повторюються і розширюються. Тут учнів ознайомлюють із
двома новими величинами — мірою кута (вводиться градусна міра
кута) й об’ємом прямокутного паралелепіпеда. Програма 5 — 6 класів
містить вимогу виконувати найпростіші вимірювання і побудови від-
різків, кутів за заданою градусною мірою кута.
Другий концентр щодо вивчення величин, їх вимірювання й обчи-
слення здійснюється в два етапи. На першому етапі, у 7 —9 класах,
учні знову повертаються до відомих їм геометричних величин, але
вивчають їх уже на дедуктивній основі: запроваджуються первісні
поняття «довжина відрізка», «градусна міра кута» та аксіоми, що
виражають істотні властивості цих понять. У 9 класі програмою пе-
редбачено вивчення площ багатокутників, довжини кола і площі кру-
га. У підручнику О. В. Погорєлова [290] вводиться означення площі
простої фігури, тоді як у підручнику Л. С. Атанасяна та ін. [78] тема
«Площа многокутників» розглядається у 8 класі й означення площі
фігури не запроваджується. Автори обмежуються описанням на при-
кладах поняття площі, тобто фактично грунтуються на тих уявлен-
нях, які сформувалися в учнів раніше.
У підручнику О. В. Погорєлова наводиться означення площі дові-
льної фігури через поняття простої фігури з неявним використанням
ідеї граничного переходу: «Дана фігура має площу У, якщо існують
прості фігури, що містять її та містяться в ній, площі яких як завгод-
но мало відрізняються від 5». Далі на основі цього означення розгля-
дається формула площі круга, кругового сектора і сегмента.
В обох підручниках [78; 290] не вводиться означення довжини ко-
ла. Автори доводять формулу довжини кола, як і площі круга, ґрун-
туючись на наочних уявленнях про це поняття, неявно використовую-
чи ідею граничного переходу, хоча поняття границі учні ще не знають.
Програма на цьому етапі навчання обмежується вимогою обчислю-
вати значення геометричних величин (довжин, міри кутів, площ),
застосовуючи вивчені властивості фігур і формули.
Другий етап реалізовується в 10—11 класах. Учні в курсі стерео-
метрії вивчають питання вимірювання площ поверхонь і об’ємів гео-
метричних тіл. Вимоги програми сформульовано аналогічно до ви-
вчення геометричних величин у планіметрії. У підручнику О. В. По-
горєлова під час розгляду теми «Тіла обертання» вводяться на рівні
означення поняття «тіло» (тілом називають скінченну замкнену об-
325
ласть) і «поверхня тіла» (границю тіла називають поверхнею тіла),
однак попередньо запроваджуються означення внутрішньої точки фі-
гури й області. Поняття і способи обчислення площі поверхні багато-
гранників не спричинюють труднощів для учнів. Щодо площі повер-
хонь тіл обертання, то строге обґрунтування відповідних формул
пов’язане з певними труднощами. Можна було б обмежитися виве-
денням формул площ поверхонь тіл обертання, користуючись їх роз-
гортками. Попередні варіанти шкільної програми містили саме такий
підхід. Чинна нині програма передбачає в 11 класі вводити поняття
площі поверхні на рівні строгого означення, але з опорою на наочні
уявлення учнів.
В історії розвитку шкільного курсу геометрії і методики його на-
вчання мало кілька методичних і теоретичних підходів до введення
поняття про площу поверхні. У підручнику А. П. Кисельова [146] спо-
чатку розглядалися формули площ поверхонь, а завершувалося вивчен-
ня стереометрії виведенням формул об’ємів геометричних тіл. У цьо-
му разі площі бічних поверхонь тіл обертання означились як границі
площ бічних поверхонь правильних вписаних п-кутних призм, пірамід
(для циліндра й конуса) й описаного багатогранника (для сфери).
У період модернізації шкільного курсу геометрії в 60-х роках XX ст.
було змінено послідовність вивчення площ поверхонь і об’ємів. Спо-
чатку вивчалася тема «Об’єми тіл», а завершувався курс доведенням
формул площ поверхонь тіл обертання. Це було пов’язано з такою
обставиною. К. Шварц (1843—1921) показав, що спосіб вписування й
описування багатогранників під час обчислення площ поверхонь мож-
ливий не для будь-яких тіл, оскільки границі площі поверхні вписа-
ного багатогранника може не існувати (зокрема, границі площ повер-
хонь вписаного й описаного багатогранників можуть бути різними).
Тому А. Лебег (1875—1941) запропонував інший загальний спосіб
обчислення площ поверхонь тіл. Його суть полягала в тому, що площа
поверхні тіла означилась (і обчислювалась) як границя об’єму шару,
яким покривалося тіло, за умови прямування до нуля товщини шару
[185].
Цей спосіб був поданий у навчальному посібнику В. М. Клопсько-
го, 3. А. Скопця, М. 1. Ягодовського [147], а потім — у перших ви-
даннях підручника О. В. Погорєлова.
В останньому виданні підручника О. В. Погорєлов повернувся до
традиційного підходу до виведення формул площ поверхонь тіл обер-
тання й об’ємів тіл. У цьому разі саме поняття площі поверхні не
означається, а під час виведення формул неявно використовується
поняття границі. Такий підхід правомірний, оскільки неважко довес-
ти, що границя площі поверхні вписаного й описаного навколо тіл
обертання багатогранників існує.
Методика вивчення геометричних величин у планіметрії. Повто-
рення і розширення відомостей про довжини відрізків і міру кутів
326
та їх вимірювання у 5-6 класах доцільно здійснювати через роз-
в’язування текстових задач, забезпечуючи цим перспективні зв’язки з
наближеними обчисленнями, оскільки результати вимірювань дов-
жин і величин кутів виражаються наближеними значеннями. Доціль-
но також дати учням чіткі алгоритми вимірювання відповідних ве-
личин.
Поширеною помилкою учнів під час вимірювання кутів за допомо-
гою транспортира є неправильний вибір шкали з тих двох шкал, які
позначені на деяких транспортирах. Тому потрібно звернути увагу
учнів на правильний вибір шкали.
Аналогічно можна сформулювати алгоритм вимірювання довжин
відрізка лінійкою. У ньому потрібно передбачити вказівку на випа-
док, коли другий кінець відрізка не суміщається зі штрихом шкали
лінійки, а міститься між двома сусідніми штрихами.
Пояснюючи алгоритми вимірювання відрізків і кутів, зручно ско-
ристатися демонстраційною лінійкою та транспортиром або їх прозо-
рими моделями для демонстрації процесу вимірювання через кодо-
скои.
При вимірюванні геометричних величин, як і будь-яких інших, по-
трібно вказати використовувану одиницю величини, за допомогою
якої записуватиметься отримане значення величини.
Вивчаючи формулу довжини кола в 6 класі, слід звернути увагу
учнів па те, що виміряти безпосередньо довжину цієї замкненої кри-
вої лінії масштабною лінійкою, яка є відрізком прямої, не можна.
Однак можна знайти формулу, яка дає змогу обчислити довжину ко-
ла через його радіус або діаметр, тобто через відрізки прямої.
Доцільно також ознайомити учнів з різними вимірювальними при-
ладами, якими послуговуються в техніці, на виробництві та в інших
галузях народного господарства. Довжини відрізків креслярі вимі-
рюють масштабною лінійкою: теслярі, столяри, будівельники — склада-
ним метром, рулеткою; землеміри — польовим циркулем; геодезисти —
мірною стрічкою (ланцюгом, рулеткою, звичайною мотузкою); кравці —
клейончастим «сантиметром»; слюсарі, фрезерувальники, токарі —
штангенциркулем, кронциркулем. Спеціальний лічильник підраховує
відстань, яку подолав автомобіль.
Під час повторення систематичного курсу геометрії, в якому геоме-
тричні величини вивчають на дедуктивній основі, потрібно звернути
увагу учнів на те, що довжина відрізка і градусна міра кута є первіс-
ними поняттями, а аксіоми вимірювання описують властивості цих
понять. Водночас поняття площі в 9 класі та поняття об’єму в 11 кла-
сі в підручнику [290] вводяться за допомогою означення. При цьому
в тлумаченні всіх «трьох» геометричних величин і в розумінні їх ви-
мірювання здійснено єдиний підхід:
1) рівні фііури мають рівні відповідні величини (довжини, міри
кутів, площі, об’єми);
327
2) якщо фігуру розбивають на частини, то відповідна цій фігурі
величина (довжина, міра кута, площа, об’єм) дорівнює сумі відповід-
них величин її частин;
3) існує одиниця виміру, тобто фігура, відповідну величину якої
взято за одиницю (одиничний відрізок, центральний кут в 1°, квадрат
і куб, сторони яких є одиничними відрізками).
Довжину кола в 9 класі вивчають на вищому теоретичному рівні,
хоч і не доводять формулу строго дедуктивно. Справді, строге дове-
дення потребує використання поняття границі, якого учні на цьому
етапі навчання ще не знають. Для реалізації перспективних зв’язків,
пропедевтики поняття границі та наочної ілюстрації ідеї граничного
переходу можна запропонувати учням готову таблицю значень пери-
метрів правильних вписаних і описаних навколо кіл радіусів 1 і З
багатокутників (табл. 12.8). Аналізуючи рисунки й числові значення
периметрів, учні переконуються, що за К = 1, зі збільшенням кілько-
сті сторін багатокутника значення периметрів прямують до одного й
того самого числа, що наближено дорівнює 6,28 = 2л -1. Якщо 7? = З,
то це число дорівнюватиме 6,28 • 3 ~ 2л • 3.
Таблиця 12.8. Деякі значення вписаних і описаних навколо кола
радіуса К багатокутників
Кількість сторін Периметр вписаного багатокутника Периметр описаного багатокутника
В = 1 В = 3 Я = 1 В = 3
6 6 18 = 6-3 6,9282 20,7846 = 6,9282-3
12 6,2117 18,63497 = 6,2117 - 3 6,4308 19,2923 = 6,4308-3
24 6,2653 18,7958 = 6,2653-3 6,3193 18,9579 = 6,3193-3
48 6,2787 18,8361 = 6,2787-3 6,2922 18,8765 = 6,2922-3
96 6,2821 18,8462 = 6,2821-3 6,2854 18,8563 = 6,2854-3
192 6,2829 18,8487 = 6,2829-3 6,2837 18,8487 = 6,2837 3
Після доведення теореми про відношення довжини кола до його
діаметра, з якої безпосередньо випливає формула довжини кола, до-
цільно запропонувати учням самостійно вивести формулу довжини
дуги кола, яка має градусну міру п°.
У курсі геометрії й алгебри основної школи розширюються відомо-
сті про кути та вимірювання їх. У курсі алгебри вводять поняття про
кут повороту' (як величину, а не фігуру), який може виражатися в гра-
дусах будь-яким ДІЙСНИМ ЧИСЛОМ від -оо ДО +оо. У геометрії (й алгебрі)
запроваджують поняття радіанної міри кута. Для реалізації зв’язків з
іншими предметами та виробничою практикою доцільно розповісти
учням про інші одиниці виміру величин кутів.
328
В астрономії за одиницю виміру кутів взято кутовий час — кут,
який становить і частину прямого. У картографії кути вимірюють у
. 1
градах. Град дорівнює - — частині розгорнутого кута і позначається
буквою £. Наприклад: ЛАОВ = 525.
У техніці за одиницю виміру кутів взято повний оберт, зокрема
йдеться про число обертів вала, шківа, махового колеса.
В артилерії кути вимірюють у великих і малих поділках кутоміра.
Повний оберт ділять на 60 рівних частин, кожну з яких називають
великою поділкою кутоміра. Велику поділку розділяють на 100
малих. Значення кута, виміряне в цих одиницях, записують так:
25 — 47, що означає 25 великих і 47 малих поділок кутоміра. У цій
системі, як і в радіанній, немає символу для позначення одиниці міри
кута.
У курсі планіметрії на основі наочних, інтуїтивних уявлень про
площу, які учні отримали в 1—6 класах, теоретичні відомості про
площі фігур будуються на дедуктивній основі. У підручнику О. В. По-
горєлова [290] в 9 класі сформульовано означення площі простої
фігури. У ньому перелічено істотні властивості площі, і на їх ос-
нові доводиться формула площі прямокутника та інших видів бага-
токутників.
У підручнику Л. С. Атанасяна та ін. [78] здійснено інший методи-
чний варіант вивчення теми «Площі». Означення простої фігури і
площі простої фігури тут не вводиться. Автори обмежуються наоч-
ним, інтуїтивним уявленням про площу багатокутника, описом основ-
них її властивостей. Ці властивості використовують для доведення
формули площі квадрата. На основі цієї формули доводять теорему
про площу прямокутника. З формули площі прямокутника випливає
формула площі паралелограма. За допомогою всіх цих формул авто-
ри доводять теореми про площу трикутника.
Під час вивчення теореми про площу трапеції доцільно скори-
статися дослідницьким методом навчання: запропонувати учням
самостійно вивести формулу площі трапеції, застосовуючи власти-
вості площі та відомі формули площ інших багатокутників. Різні
учні виберуть різні шляхи пошуку формули, що дасть можливість
завершити роботу колективним обговоренням знайдених способів
доведення.
Через систему спеціально підібраних задач корисно ознайомити
учнів з іншими формулами площ багатокутників. Ці формули стануть
у пригоді під час розв’язування різноманітних задач, їх доцільно зве-
сти в таблицю (табл. 12.9), яку учні мають записати у довідковий
зошит, призначений для формул, правил-орієнтирів методів доведень
та методів і способів розв’язування певних класів задач.
329
Таблиця 12.9. Формули площ багатокутників
Багатокутник Формули площі Значення букв
Довільний трикутник Прямокутний трикут- ник Рівносторониій три- кутник Довільний опуклий чотирикутник Паралелограм Ромб Прямокутник Квадрат Описаний багатокут- ник Правильний багато- кутник Трапеція 5 = -і а!га, 8 = —аЬ яіп а, $ = УІР(р-а)(р-ь)(Р~с)’ 8 = гр, 8 = ^ 1 47? $ = 5=|с/гс _ а2Уз 4 5 = ^</|т725іп<Р 5 = а!іа, 8 = аЬ5іпа, 8 = -^с/^2 5ІП <р 2 5 = ака, 8 = а зіп а, З" = 2 * г 8 = аЬ, 8 = ^(1^2 8ІП {Р 8 = а2, .9 = ^- 5 = рг .. _ па„г _ і 5 " 2 ' 8 2РГ 8 = “±^-Іі, 5 = Ні а, Ь, с ~~ сторони, 1іа — висота до сторони а, а — кут між а і Ь, р — півпериметр, г — радіус вписаного кола, К — радіус описаного кола а, Ь — катети, с — гіпотенуза, Ііс — висота до сторони с а — сторона Щ,(І2 ~ діагоналі, <р — кут між ними ; а, Ь — суміжні сторони, а — кут між ними, ка — висота до сторони а а — сторона, а — кут між суміжними сторонами, (Ц, <І2 ~~ Діагоналі а, Ь — сторони, ^,</2 — діагоналі, (р — кут між ними а — сторона, (і — діагональ ; р ~ півпериметр, г — радіус вписаного кола ап — сторона правильного //-кутника, ; г — радіус вписаного кола, р — периметр а, Ь — основи, Л — висота, / — середня лінія
330
У чинних підручниках з геометрії для виведення формули площі
круга традиційно послуговуються ідеєю граничного переходу від
площі вписаного (описаного) правильного багатокутника до площі
круга за умови прямування до нескінченної кількості п сторін пра-
вильного и-кутника.
Працюючи за підручником О. В. Погорєлова [290], потрібно
звернути увагу учнів на те, що круг не є простою фігурою, тобто
такою, яку можна розбити на скінченну кількість трикутників. Тому
слід увести умову існування площі 5 фігур, які не є простими: та-
ка фігура має площу х, якщо існують прості фігури, які містяться
в ній і містять її з площами, що як завгодно мало відрізняються
від 5.
Після виведення формули площі круга, кругового сектора і сег-
мента доцільно розповісти учням, що далі в курсі алгебри і початків
аналізу вони ознайомляться із загальним методом обчислення площ
плоских фігур, обмежених графіками функцій, за допомогою інтег-
рала.
МЕТОДИКА НАВЧАННЯ
АЛГЕБРИ
ЛЛ І ПОЧАТКІВ
РОЗДІЛ ІМ АНАЛІЗУ
13.1. Алгебра і початки аналізу
як навчальний предмет
У курсі алгебри і початків аналізу продовжується розвиток основ-
них змістових ліній курсу алгебри та завершується розроблення ана-
літичного апарату, що застосовується в предметах природничо-
математичного циклу. Значну частину цього курсу становлять почат-
ки диференціального й інтегрального числення, які завершують у шкіль-
ному курсі вчення про функцію. Поняття про методи диференціального
й інтегрального числення відкривають широкі можливості для застосу-
вання математики в різних галузях науки і практики, формують науко-
вий світогляд, дають можливість складати і розв’язувати моделі за-
дач, що характеризують різні процеси.
Лінія тотожних перетворень розвивається у зв’язку з вивченням
тригонометричних, показникової, логарифмічної та степеневої функ-
цій. Формули тригонометрії, показникові та логарифмічні тотожності,
тотожності, пов’язані з ірраціональними виразами, застосовуються для
спрощення виразів, доведення тотожностей, розв’язування рівнянь,
нерівностей та їх систем, побудови графіків складних функцій.
Лінія рівнянь і нерівностей не тільки розвивається унаслідок ви-
вчення властивостей функцій, зазначених у програмі, а й подається
самостійними темами (тригонометричні рівняння, розв’язування показ-
никових, логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем).
Під час вивчення курсу алгебри і початків аналізу є широкі мож-
ливості для реалізації міжпредметних зв’язків. У геометрії тригоно-
метричні функції використовують для розв’язування задач, похідну й
інтеграл — для обчислення об’ємів і розв’язування задач на найменші
та найбільші значення геометричних величин. У фізиці дослідження
функцій застосовують під час вивчення електродинаміки й оптики,
похідну та диференціальні рівняння — явищ радіоактивного розпаду.
Багато понять курсу алгебри і початків аналізу, зокрема границя, не-
перервність, похідна, є основою для постановки задач у курсі інфор-
матики. У курсі алгебри і початків аналізу є можливість крім тради-
ційних засобів навчання використовувати інформаційні технології,
зокрема персональні комп’ютери, мікрокалькулятори. Після вивчення
332
курсу учні на рівні обов’язкової підготовки мають опанувати такі
знання й уміння:
мати уявлення про тригонометричні, показникову, логарифмічну і
степеневу функції, знати їх властивості, вміти будувати графіки цих
функцій;
знати основні тригонометричні, показникові й логарифмічні тотож-
ності та вміти виконувати на їх основі тотожні перетворення відповід-
них виразів;
розв’язувати найпростіші тригонометричні, показникові й логариф-
мічні, ірраціональні рівняння та нерівності, використовуючи тотожні
перетворення;
мати уявлення про похідну, первісну й інтеграл, уміти знаходити
їх за допомогою таблиць та вивчених правил, застосовувати до дослі-
дження функцій і побудови графіків, обчислення площ криволінійних
трапецій та об’ємів найпростіших тіл обертання.
На перших уроках у 10 класі перед вивченням тригонометричних
функцій числового аргументу доцільно повторити і розширити відо-
мості про функції.
Повторення і розширення відомостей про функції. Спочатку по-
трібно пригадати поняття «множина», з яким учні могли ознайомити-
ся як в курсі геометрії, так і в суміжних дисциплінах. Слід зауважи-
ти, іцо це загальїюматематпчпе поняття належить до первісних, не-
озпачуваних понять і широко використовується під час вивчення функ-
цій, рівнянь, нерівностей, їх систем, геометричних фігур. Множини
позначають великими буквами латинського алфавіту, наприклад А,
М, X, ¥. Елементи множин позначають малими буквами, наприклад
а, Ь, х. Для порожньої множини є спеціальний символ 0. Належ-
ність елементів до певної множини позначається символом є, напри-
клад яє А; неналежність — символом Є.
Множину В називають підмножипою множини А, якщо кожний
елемент множини 13 належить до множини А; позначають В с А. На-
приклад, множина натуральних чисел є підмножиною множини дійс-
них чисел, тобто N с 7?.
Над множинами виконують операції. Основними з них є об’єд-
нання і перетин. Тепер слід ввести означення цих операцій і відповід-
ну символіку.
Потім доцільно пригадати загальне поняття функції, з яким учні
ознайомилися в курсі алгебри за 8 клас: залежність однієї змінної від
іншої, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине
значення залежної змінної, називають функціональною залежністю, або
функцією. Учні згадують поняття області визначення й області значень
(синонім — область зміни), способи задапня функцій, символіку.
На цьому етапі доцільно ввести означення числової функції як
окремого виду загального поняття функції: числовою функцією з об-
333
ластю визначення X називають залежність, за якої кожному числу х
із множини X ставиться у відповідність єдине число у.
Учні наводять приклади вже відомих їм числових функцій, указу-
ють область визначення та область значень для кожної з них.
Потрібно спеціально розглянути функції у = [х], у = {х} та їхні
графіки. Вони зручні як приклади розривних і періодичних (у = {х})
функцій, що визначені на множині К. Потрібно пригадати означення
зростаючої та спадної функцій на множині М і навести приклади та-
ких функцій, виконати вправи на доведення властивостей зростання і
спадання для відомих функцій. Учителю слід сформулювати алгоритм
дослідження функції на зростання і спадання на певній множині М.
У цьому разі для визначення множини М зростання (спадання) функ-
ції можна попередньо за точками побудувати ескіз її графіка.
Для доведення зростання (спадання) функції на множині М по-
трібно:
1) вибрати х2 > х(, де Х| є М і х2 є М;
2) скласти різницю [ (х2 ) - [ (х]);
3) встановити знак утвореної різниці: якщо вона додатна (від’єм-
на), то /(х2) > {(х\ )(/(т2) < /(хі)), тобто функція зростаюча
(спадна) на множині М.
Поняття парної та непарної функцій за чинною програмою не роз-
глядаються в основній школі і виявляються новими для учнів, хоча в
підручнику [11] вони наведені. Під час запровадження цих понять
насамперед звертають увагу на те, що таку властивість мають функ-
ції, область визначення яких є множиною чисел (точок), симетрич-
ною відносно початку координат. Це означає, що для будь-якого х з
області визначення число —х також належить області визначення.
Крім того, для парних функцій виконується умова / (~х) = [ (х), а
для непарних — умова ((~х) = (х) для будь-якого х з області ви-
значення.
Доцільно відразу сформулювати алгоритм дослідження функцій на
парність (непарність).
Для того, щоб дослідити функцію на парність (непарність), по-
трібно:
1) перевірити, чи є область визначення функції множиною, симет-
ричною відносно початку координат;
2) перевірити, чи виконується рівність [ (-х) = ( (х)(/"(-х) = -/(х)).
Якщо не виконується хоча б одна з цих істотних властивостей, то
функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій.
Неважко довести, що графіки парних функцій симетричні віднос-
но осі у, а непарної — відносно початку координат.
334
Справді, якщо у = [(х) парна, тобто її область визначення симет-
рична відносно початку координат і /’(-х) =/'(х), то це означає, що
будь-які точки М (х; ( (х)) і М](-х;/'(х)) або М(х; у) їМ^(-х; у)
належать графіку функції. В системі координат ці точки симетричні
відносно осі у.
Аналогічно доводять центральну симетрію відносно початку коор-
динат графіка непарної функції.
Досвід показує, що учні самостійно наводять приклади парної
(у = х2,у = хЛ} і непарної (у = х, у = х3^ функцій, але тільки деякі
самостійно роблять висновок стосовно парності й непарності функції
у = ах + Ь залежно від значень а ї Ь.
Важливо довести властивість парності й непарності відомих учням
к 2
функцій у = ах+ Ь, у =у = Xі, у = хп, де п є N. та інших, зокрема
складних функцій. У цьому разі вчитель наводить приклади, які пе-
реконують учнів у необхідності перевірки виконання не тільки другої,
а й першої вимоги алгоритму.
ч г3-т2
Приклад 13.1. Функція /{х)-——р- за хФ 1 збігається з парною функцією
. , ? ... .. . х2 (г — 1) 2 / \ п ।
<р(х) = х , оскільки за цієї умови /(х) = —-—- = х = <р(х). Проте ця функ-
ція не є парною, оскільки її область визначення несиметрична відносно початку
координат. Справді, х = -1 належить до області визначення, а -х = 1 не нале-
жить цій області.
Слід звернути увагу учнів на те, що всі функції вигляду у = [(|х|)
2 і—
є парними. Наприклад, у = |х| -1, у - т—?, у = ^х].
|х|
Розширюючи відомості про функції, на цьому етапі доцільно за-
провадити поняття періодичної функції, а пізніше застосувати його до
доведення згаданої властивості для тригонометричних функцій. До
поняття періодичної функції приводять періодичні процеси, в яких
стан певних змінних повторюється. Прикладами таких процесів є рух
колінчастого вала і поршня у
двигунах внутрішнього згорян-
ня, різні обертальні рухи, елек-
тромагнітні коливання тощо.
Поняття періодичної функції
можна ввести, розглянувши гра-
фік уже відомої функції /~(х) =
- {х} (рис. 13.1). Учні безпосе-
редньо за графіком визначають,
335
що в разі додавання до будь-якого значення аргументу х числа Т = 1
значення функції не змінюється. Воно не зміниться і тоді, коли до будь-
якого х додати число пТ, це п — ціле число. У такому випадку кажуть,
що функція / (х) = {х} періодична з найменшим додатним періодом 7 = 1.
Після цього можна дати означення: функцію у = / (х) з областю
визначення 7) називають періодичною з періодом Т > 0, якщо для
будь-якого х з області визначення [ х + Т і х - Т також належать І) і
виконується рівність / (х + Т) = / (х - Т) = /" (х), тобто значення функ-
ції не змінюється.
Як приклад відомої учням періодичної функції можна навести лі-
нійну функцію у = ах + Ь за а - 0. Справді, для будь-якого хє 7? і
довільного дійсного числа Т виконується умова /(х + 7) = /(х - 7) =
= у (х) = Ь. Проте для цієї функції не існує найменшого додатного
періоду, її періодом може бути будь-яке Т є /?.
Періодичною є також функція Діріхле
. , _ Г1, якщо х - раціональне число,
[0, якщо х - ірраціональне число,
але найменшого додатного періоду вона також не має.
Методом від супротивного можна довести твердження: якщо 70 —
найменший додатний період функції /, то всі періоди цієї функції
кратні 70 також є періодом цієї функції, тобто якщо Т — будь-який
період /, то Т - пТ0, де иє 7, п 0.
Із властивостей періодичної функції випливає важливий практич-
ний висновок: для побудови графіка періодичної функції з періодом
Т досить побудувати графік на відрізку [0; 7], а потім паралельно
перенести побудований графік вліво і вправо вздовж осі х на відстані
гіГ, де п — будь-яке натуральне число.
Із інших властивостей функції на цьому етапі навчання доцільно
навести означення точок максимуму і мінімуму функції.
13.2. Функції в курсі алгебри і початків аналізу.
Тригонометричні функції числового аргументу
та їхні властивості
Поняття про кіп а, соз а, а як вирази без вживання терміна
«функція» вперше запроваджуються в курсі геометрії 8 класу. В цьо-
му класі доводяться твердження про зміну синуса, косинуса і танген-
са зі зростанням кута. Отже, учні переконуються в тому, що існує
залежність між градусною мірою кута а і значеннями кіп а, сова,
і ця залежність є функціональною.
336
Означення кіп а, сока, їда запроваджено в підручнику О. В. По-
горєлова 1290] за два етапи. На першому етапі в темі «Теорема Піфа-
гора» (8 клас) вводиться означення косинуса гострого кута як відно-
шення прилеглого катета прямокутного трикутника до гіпотенузи. Це
означення використовують під час доведення теореми Піфагора. Піз-
ніше розглядаються означення синуса і тангенса кута а, вивчаються ос-
новні тригонометричні тотожності 5іп2 а + соз2 а = 1, 1 + Ід2 а = —,
соз2 а
11 8111СХ
1-і---— = —=—, за означенням вводиться тотожність Іда =----------.
Ід2 а кіп2 а с°за
Відразу після цього доводяться формули зведення зіп (90° - а) = сок а,
соз(90°-а) = 8Іпа та обчислюються синус, косинус і тангенс для ку-
тів 45°, 30° і 60°.
За допомогою означень віл а, сока, їда на цьому етапі встанов-
люються правила співвідношення між сторонами і кутами в прямому
трикутнику, що дає змогу розв’язувати прямокутні трикутники.
На другому етапі в курсі геометрії 8 класу вводяться означення
синуса, косинуса і тангенса будь-якого кута від 0 до 180° за допомо-
гою координат. У 9 класі доводяться теореми синусів і косинусів та
розв’язуються косокутні трикутники.
У підручнику Л. С. Атанасяна та ін. [78] означення синуса, коси-
нуса і тангенса гострого кута прямокутного трикутника також запро-
ваджуються у 8 класі, проте їх не застосовують при доведенні теоре-
ми Піфагора. Співвідношення між катетом і гіпотенузою на основі
введених означень тут не формулюють. Означення зіпа, соза і їда
для будь-яких кутів від 0 до 180° (крім 90° для їда), теореми синуса
і косинуса і розв’язування косокутних трикутників вивчають у 9 класі.
Термін «тригонометричні функції» також не використовують. За чин-
ною перехідною програмою в курсі алгебри 9 класу було передбачено
розгляд теми «Тригонометричні вирази та їх перетворення». Цей ма-
теріал вивчався з погляду виразів, а не функцій, тому при введенні
означень синуса, косинуса і тангенса довільного кута термін «триго-
нометричні функції» не застосовували. Тут запроваджували означення
синуса, косинуса, тангенса і котангенса довільного кута, для них розгля-
дають основні тригонометричні тотожності 8іп2 а + сон2 а = 1, 1 + Ід2 а =
1 2 1
=----= , 1 + СІд а = 2—, формули зведення для кутів вигляду
соб2 а зііі а
90°-а, 180°-а, теореми синусів і косинусів.
Під час вивчення теми «Тригонометричні функції» в курсі алгебри
і початків аналізу в 10 класі потрібно використовувати здобуті знання
й уміння учнів про функцію взагалі, синус, косинус і тангенс зокре-
337
ма. Основна увага має бути зосереджена на розгляді тригонометрич-
них функцій будь-якого числового аргументу і основних тригономет-
ричних тотожностей. Проте доцільно попередньо повторити і розши-
рити відомості про радіанну систему вимірювання кутів і дуг.
Про радіанну міру кутів і дуг. Перш ніж вводити поняття триго-
нометричної функції числового аргументу, доцільно докладніше, ніж
у курсі геометрії 9 класу, розглянути поняття «радіанна міра кута».
При цьому потрібно пояснити причину її введення, специфіку і переваги
Рис. 13.2
перед іншими системами вимірювання кутів.
Можна нагадати учням про різні системи вимі-
рювання кутів.
Радіанну міру кутів широко використову-
ють у математиці, фізиці, техніці. Передумо-
вою її запровадження був такий факт: якщо
розглянути два концентричні кола радіусів гх
і г2 (рис. 13.2) і два різні центральні кути
ААОВ = а° і
МИ /| І /2, І
вжини дуги
І)()С = Р° з відповідними дуга-
/2, то за відомою формулою до-
1 _ па°гх г _ па°г? _ лр°?|
’ - 180° ’ 2 = 'і 80°’ ’ = 180° ’
лр°г2
2 180°
Поділивши обидві частини кожної з чотирьох рівностей па
відповідний радіус, дістанемо:
її = ла° ^2 _ лос° 1} _ тф° ^2 _ ЛР°
гх 180° ’ г2 - 180° ’ гх ~ 180° ’ г2 “ 180° ’
Звідси — = — = т, — = — = п. Якщо а° > Р°, то т > п. Отже, для
г\ г2 г\ г2
деякого центрального кута відношення довжин дуг концентричних кіл
до радіусів є величиною сталою і може слугувати характеристикою
величини відповідного центрального кута.
о /
встановлено, що для довільного центрального кута - - а, де а —
стала для цього центрального кута.
Число а, що дорівнює відношенню довжини дуги до радіуса кола,
називають радіанною мірою кута.
Якщо І = г, то а = 1. Тому в радіаипій системі за одиницю виміру
величини кута взято центральний кут, для якого довжина відповідної
дуги дорівнює довжині радіуса. Міру цього кута називають радіаном.
Радіан є одиницею радіанної міри кутів.
Радіанною мірою дуги кола називають радіанну міру відповідного
центрального кута.
338
Для радіанної міри кута і відповідної одиниці традиційно не
запроваджено позначення. Тому якщо розглядають тригонометричну
функцію кута, міра якого виражена в градусах, наприклад 30°, то
записують 8ІиЗО°. Якщо міра кута виражена в радіанах, то пишуть
8ІП”. Це означає, що цей кут містить
о о
радіан, а у виразі кіп 2 —
два радіани.
Деякі учні помилково вважають, що символ я є позначенням оди-
ниці радіанної міри. Щоб спростувати це неправильне уявлення, по-
трібно у прикладах використовувати аргументи тригонометричних
функцій не тільки з ірраціональним числом п або його частками, а й
з іншими дійсними числами.
Специфікою радіанної міри є й те, що радіан міститься в розгор-
нутому куті п ~ 3,14 разів, а градус 180.
Перевага радіанної системи вимірювання кутів полягає в тому, що
формули довжини дуги і площі сектора у випадку вимірювання від-
аг2
повідного центрального кута в радіанах спрощуються: І = га, 5 = ,
де г - радіус кола, а — радіанна міра центрального кута. (Порів-
, , лга° с пг2а° ч
няите з формулами І = 5 = -3^5-)
Проте найбільшою перевагою радіанної міри є те, що для малих
кутів, виміряних у радіанах, виконуються наближені рівності
кіп а ~ а, ІД а = а. Справді, нехай а = 3°. Оскільки 3° ~ 0,0524 раді-
ана, а кіп 3° ~ 0,0523, то справедлива наближена рівність кіп 0,0524 =
= 0,0523. Для градусної міри рівність кіп3° = 3 не має смислу. Цю
властивість радіанної міри широко застосовують у математичному
аналізі та інших науках.
Практика свідчить, що виведення формул переходу від градусної
міри кута до радіанної і навпаки не спричинює труднощів в учнів.
Помилок вони припускаються, здебільшого заокруглюючи наближені
значення, отримані під час застосування згаданих формул.
Введення поняття тригонометричних функцій числового аргумен-
ту. Насамперед потрібно згадати означення тригонометричних функ-
цій кута і поширити їх на будь-яку градусну міру, ввести кут поворо-
ту. Крім того, слід переконати учнів, що існує відповідність між мно-
жиною дійсних чисел і множиною точок одиничного кола, для чого
попередньо виконати таку вправу.
Приклад 13.2. Позначити на одиничному колі точки Ро, в які відображується
початкова точка Р$ (1; 0) при повороті навколо центра кола на кут а радіанів,
якщо а = 1, а = 7, а а = 2, а = -1, а = 0 (рис. 13.3).
4 4
339
Рис 13.3
Числу а = 0 відповідає точка
колі, числу а = 2 — точка Р2, яка є
Розв’ язання. За г = 1 із формули дов-
жини дуги, вираженої через радіанну міру,
випливає І = га - а, де а — радіанна міра
центрального кута і відповідної йому дуги.
Це означає, що числове значення довжини
дуги збігається з числовим значенням її
радіанної міри.
Оскільки точка Рп, в яку відображуєть-
2
ся точка Ро(1;О), лежить па перетині осі у
. її 3,14 . *• її о
з колом і — = -1,6; —-0,8, то точка
2 2 4
Рр в яку відображується /^(1;0), лежати-
ме на колі між точками і Рк. Точки
4 2
і Р п містяться на колі в четвертій чверті
~4
симетрично точкам Р^ і Рп відносно осі х.
4
(1; 0) — початок відліку дуг на одиничному
Кіпцем дуги, 1ЦО дорівнює ДВОМ дугам Р^Ру-
Розв’язуючи цю вправу, небажано переходити від радіанної міри
до градусної, хоч учням легше замінити 1 рад на 57°, а ~ рад — на
90° і відшукати точку Р( на дузі кола. Важливо навчити учнів зна-
ходити відповідні точки на колі для кутів, заданих радіанною мірою,
оскільки ставиться за мету ввести поняття тригонометричної функції
довільного числа.
На завершення розв’язування цієї вправи доцільно розглянути
координатну вісь, яка є дотичною до одиничного кола в точці
Ро (1; 0), має початком відліку цю точку й одиницю відліку, що
дорівнює радіусу одиничного кола. Якщо уявити цю координатну вісь
такою, що не розтягується, і намотувати її на одиничне коло, то
наочно виявляється відповідність між множиною Я дійсних чисел і
множиною точок одиничного кола.
Після цього увагу учнів звертають на те, що кожній точці Ра на
одиничному колі відповідають її абсциса й ордината, які також залежать
від числа а. Тому маємо ще дві залежності між дійсним числом і абсци-
сою та ординатою відповідної точки Ра, в яку відображується початкова
точка Ро (1; 0) одиничного кола при повороті навколо центра кола на кут
а радіанів. Отже, існують відповідності між множиною дійсних чисел і
множиною абсцис і ординат точки Ра одиничного кола. Ці залежності
340
(відповідності) дістали назву тригонометричних функцій числа або три-
гонометричних функцій числового ар іу менту.
Означення 13.1. Синусом числа а називають ординату точки Ра
одиничного кола, в яку переходить початкова точка Ро (1; 0) при пово-
роті навколо центра кола на кут а радіанів. Його позначають зіп а.
Означення 13-2. Косинусом числа а називають абсцису точки
Ра одиничного кола, в яку переходить початкова точка Ро (1; 0) при
повороті навколо центра кола на кут а радіанів. Його позначають
соз а.
Означення 13.3. Тангенсом числа а називають відношення
5111 —, а котангенсом числа а — відношення со—. їх позначають
соз а зів а
відповідно і сі^а.
Отже, за означенням, Іе а = 51па , сіє а = со5 а.
соз а зіп а
Оскільки кожному дійсному числу х можна поставити у відповід-
ність дійсні числа зіпх і созл, то вважатимемо, що на множині Р
задано функції у = зіпх, у = созх. Враховуючи, що у = Х^х=-^——
визначений для всіх х, крім тих, за яких созл=0, і кожному дійс-
ному числу, крім х = у + 7?л, п є 7, відповідає єдине число ІДх, вва-
жатимемо, що у = Ї£х — функція, областю визначення якої є всі
дійсні числа, крім х = + гт, де п є 7.
Міркуючи аналогічно, можна зробити висновок, що функція
г/ = сі£л' областю визначення має множину всіх дійсних чисел, крім
х = пп, п є. 7.
Для побудови графіків функцій у = ї&х і г/ = сі§х і для роз-
в’язування деяких інших задач доцільно запровадити поняття лінії
тангенсів і лінії котангенсів.
Послуговуючись означеннями 13.1— 13.3, потрібно на уроці колек-
тивно дослідити характер зміни значень кожної з тригонометричних
функцій та їхніх знаків.
Для тангенса і котан-
генса зручно використати
їхні лінії як дотичні до
одиничного кола. Запам’я-
товуванню знаків функції
по координатних чвертях
сприяє схема, наведена на
рис. 13.4.
Рис. 13.4
341
З метою повторення відомостей з курсу геометрії про значення
тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° слід знайти ці значення
для відповідних радіанних мір.
Приклад 13.3. Знайти значення всіх чотирьох тригонометричних функцій
числа
трикутнику
Оскільки у
відтинає
Розв’язання. Щоб знайти ми А і сов А, досить
знайти ординату і абсцису точки Рп (рис. 13.5), яка
З
частини дуги РцРп. У
2
прямокутному
^А = |.
а
ОЛРп ЛРпОА=^
З з
прямокутному трикутнику катет, що
лежить напроти кута —, дорівнює половині гіпоте-
6
і
вузи, то ОА = —. За теоремою Піфагора
ОА = соз А = |;
сґйА = ^
8 3 2 '
Аналогічно можна знайти значення тригонометричних функцій чи-
сел
6
Учитель рекомендує учням запам’ятати значення функцій
чисел 0, А у, А -у, ті, 2л, оскільки ними часто послуговуються,
розв’язуючи інші задачі. Ці значення зводять до табл. 13.1.
Вивчення властивостей тригонометричних функцій. Перш ніж
вивчати властивості тригонометричних функцій, попередньо потрібно
довести їхню періодичність і, послуговуючись означенням та цією
властивістю, побудувати графіки. Графіки дають змогу виявити інші
властивості, а потім обґрунтувати їх аналітично.
Використовуючи означення синуса і косинуса числового аргументу
та враховуючи їх геометричну інтерпретацію на одиничному колі,
матимемо зіп (х + 2іт) = кіпх; соз(х + 2пл) = соях, де иє/, п^О,
тобто періодом синуса і косинуса є числа 2ил. Застосовуючи лінії тан-
генсів і котангенсів, неважко зробити висновок, що і§(х+ил) = Ц’х,
сЩ (х + ил) = сі§ х, тобто періодом тангенса і котангенса є числа пл.
342
Таблиця 13.1. Значення деяких тригонометричних функції!
а 0(0°) |(30°) |05°) |(60°) А(90°) л(180°) ~(27ГГ) 2 л (360°)
8іп а 0 1 2 Уг 2 Уз 2 1 0 -1 0
С08СС 1 Уз 2 У2 2 1 2 0 -1 0 1
їда 0 Уз 3 1 Уз Не існує 0 Не існує 0
сіда Не існує Уз 1 УЗ 3 0 Не існує 0 Не існує
Доведемо методом від супротивного, що найменшим додатним пе-
ріодом синуса і косинуса є число 2л. Пригадаємо алгоритм методу
від супротивного і виконаємо доведення відповідно до нього.
Припустимо, що існує додатне число І < 2л таке, іцо зіп(х + /) =
= зіпх. Тоді за х = ~ матимемо зіп^ += зіп^ = 1. Однак синус
може дорівнювати одиниці лише в точці Рп, яка відповідає на одинич-
2
йому колі числам + 2пл, де не 7. Отже, + 2нл, звідки
І = 2пл. За припущенням, 0 < І < 2л, тобто 0 < 2гт < 2л. Поділивши
всі три частини останньої нерівності на 2л, дістанемо 0 < п < 1, що
суперечить умові, оскільки п є 7, а між 0 і 1 немає жодного цілого
числа. Отже, припущення неправильне, а справедливе те, що 2л
найменший додатний період функції у = зіп х.
Аналогічно, взявши рівність соз(х+/) = созх, де х = 0, можна до-
вести, що найменшим додатним періодом для функції г/ = созх є чи-
сло 2л.
Доведемо, що число л є найменшим додатним періодом функції
г/= І£х. Припустимо, що існує додатне число /<л таке, що
Н»(х +1) = 1§х. Тоді за х = 0 матимемо Су*(О +1) = = 0. Однак
тангенс дорівнює нулю лише в двох точках і Рп одиничного кола,
які відповідають числам ил, де п є 7. Тому І - пи. За припущенням,
0 < / < л, тобто 0 < »л < л. Поділивши всі три частини останньої не-
рівності на л, дістанемо 0 < п < 1, що суперечить умові. Отже, при-
пущення неправильне, а справедливе те, що л — найменший додат-
ний період функції у = £§х.
343
Доцільно розглянути сім властивостей тригонометричних функцій
у = СО8Л-, у = у = сі§х і систематизувати їх так, як це наведено
для функції у = 8ІП X.
1. Оскільки синус існує для будь-якого дійсного числа і як орди-
ната точки одиничного кола змінюється на відрізку [ — 1; 1], то облас-
тю визначення функції у=8Іпх є множина К всіх дійсних чисел,
областю значень — відрізок [-1; 1].
2. Графік функції симетричний відносно початку координат, тобто
функція у = 8Іп х непарна. Доведемо це за допомогою одиничного
кола.
Область визначення цієї функції — множина, симетрична відносно
початку координат. Залишається довести, що зіп(-а) =-зіпа. По-
значимо на одиничному колі точки Ра і Р_а, які відповідають чис-
лам а і -а, що належать множині К. Оскільки прямокутні трикут-
ники РаОА і Р_аОА рівні, то РаА = Р_аОА (ОА — спільний катет).
Отже, абсциси точок Ра і Р_и однакові, а ординати — протилежні
числа. Тому 8іи (-а) = -зів а.
3. Функція періодична з найменшим додатним періодом 2л (дове-
дено вище).
4. Функція набуває значення, що дорівнює нулю (нулі функцій)
за х - кп, де к є 7, оскільки ординати точок одиничного кола пере-
творюються на нуль на відрізку [0, 2л] у двох точках оц = 0 і «2 - тг, а
функція періодична.
5. Проміжки зростання функції — відрізки + 2нл; + 2пл^, де
пє7. Оскільки ?/ = 8ІП.Г — періодична функція, то досить довести
зростання на одному із названих відрізків, наприклад на
Скористаймось означенням зростаючої функції. Нехай хі є - —,
і х2 > хр Доведемо, що різниця [(х2)-[(х|) додатна.
Справді, / (х2 ) - / (х'! ) = 8ІП х2 - 8ІП Х'і = 2 СО8 -- 8ІП —, оскіль-
Л „ Л Л л’і + Х-) л
ки за умовою х2 - х} > 0; - — < хі < х2 < —, тому < —Ц-—— < — ;
„ Ху ~~ Хі 'тг Ху + Х-і . . Ху — Хі _
0 < —- < тр отже, СО8—^2—- >0 І 81П —™—- > 0.
Отже, 8ІП х2 >8ІПХ1.
344
6. Проміжками, де синус додатний, є (2пл; л + 2«л), «є 2, оскіль-
ки на відрізку [0; 2л], довжина якого дорівнює найменшому додатно-
му періоду 2л, функція додатна на проміжку (0; л). Синус від’ємний
на проміжках (л + 2»л; 2л + 2нл), оскільки на відрізку [0; 2л] він
від’ємний на проміжку (л; 2л).
7. Синус досягає максимуму, що дорівнює 1, в точках ^ + 2л«, де
п є 2, а мінімуму, що дорівнює -1, у точках + 2лн, де п є 2,
оскільки на відрізку [0; 2л] ордината точки одиничного кола дорів-
нює 1 за а = ^ і -1 за а = ^.
З метою закріплення вивчених властивостей тригонометричних
функцій і повторення основних понять щодо функцій можна запро-
понувати вправи на знаходження області визначення й області зна-
чень складних функцій, формули яких містять тригонометричні функ-
ції; на порівняння числових значень тригонометричних виразів; на
побудову графіків складних тригонометричних функцій за допомогою
геометричних перетворень відомих графіків функцій. Такі вправи на-
ведено в 1384].
У зв’язку з побудовою графіків функцій вигляду у = Азіп (ілі + <р)
методом геометричних перетворень синусоїди потрібно звернути увагу
учнів на те, що за допомогою таких функцій математично описують різні
коливальні фізичні процеси. Найпростішими з них є гармонічні коли-
вання, закон руху в яких описує саме формула у (і) - Лзіп(щ£ + <р), де
А — амплітуда, со — кутова частота, <р — початкова фаза коливання.
Введення обернених тригонометричних функцій. У шкільному
курсі математики існують різні методичні підходи до введення арк-
косинуса, арксинуса, арктангенса. У посібнику з алгебри і початків
аналізу [12] їх розглядають як корені відповідних рівнянь
8ІПХ = й, СО8Х = й, = а. Для цього спочатку доводять теорему про
корінь рівняння / (х) = й на проміжку І, а потім, зважаючи на цю
теорему, вводять означення, наприклад арксинуса: арксинусом числа
[л лЗ
~~2>2 ’ 11(0 иого синус дорів-
нює й.
Досвід показує, що часто учні формально сприймають це означен-
ня, не розуміючи, чому вибрано саме відрізок
вважають, що
у виразі агсБіпй число й є числовим значенням радіанної міри кута
або дуги.
345
Інший підхід здійснено в посібнику [386], в якому арксинус, арк-
косинус і арктангенс вводять як обернені тригонометричні функції.
Графічні ілюстрації та властивості відомих тригонометричних функ-
цій сприяють свідомому засвоєнню нових функцій і застосуванню їх
до розв’язування тригонометричних рівнянь. Крім того, у такий спо-
сіб реалізуються перспективні зв’язки з вивченням логарифмічної
функції як оберненої до показникової, забезпечується дійовий зв’язок
з курсом математичного аналізу, який вивчається у вищій школі.
За такого методичного підходу спочатку пояснюється поняття обер-
неної функції, хоча за чинною програмою це має відбуватися пізніше,
вії класі, перед вивченням логарифмічної функції- Доцільно це зро-
бити на двох прикладах: лінійної функції у = 2х + 3 (рис. 13.6) і функ-
ції у = х2 (рис. 13.7), чітко відокремивши три кроки, які потім бу-
дуть узагальнені в алгоритм знаходження формули функції, оберне-
ної до даної. Покажемо це на прикладі функції у - х .
Областю визначення цієї функції є множина К усіх дійсних чисел,
а областю значень — множина невід’ємних чисел, тобто х є Н,
у є [0, + °°).
Із графіка функції випливає, що кожного свого значення г/0 (крім
- 0 ) вона набуває за двох значень аргументу і х2. Якщо роз-
глянути залежність змінної х від змінної у, то ця залежність не буде
функцією, оскільки одному значенню відповідають два значення
змінної х. Це означає, що на всій області визначення (множині 7?)
функція у = х'2 не має оберненої. Проте якщо розглянути підмножи-
ни цієї множини, наприклад (-°°; 0] або [0;+°°), то на цих підмно-
жинах функція у = х'2 кожного свого значення набуває лише за одно-
го значення аргументу. На першій з цих підмножин функція спадає,
Рис. 13.6
Рис. 13.7
346
на другій — зростає. На кожній із них існує функція, обернена до
У = х1-
Знайдемо, наприклад, функцію, обернену до у = х1 = /(х), якщо
х є (-оо; 0]. У цьому випадку областю визначення є множина (-°°; 0],
а областю значень — множина невід’ємних значень у, тобто
г/є [0, +о°).
Вважатимемо у незалежною змінною, а х — залежною і роз-
в’яжемо рівняння у - х стосовно змінної х. Це квадратне рівняння
має два корені: х = ±^у. Однак за умовою х недодатне, тому
х = —\[у = ф(#)- Функція х = -у[у = <р(у) є оберненою до у = х2 за
умови х < 0.
Поміняємо у формулі х = -у[у позначення незалежної та залежної
змінних, оскільки незалежну змінну позначають буквою х, а залежну —
у. Дістанемо функцію у = -4х = ф(х), обернену до у = х2, х < 0.
Областю визначення оберненої функції у = -л/х = ф(х) є множина
[0;+°°), адже арифметичний корінь існує лише для невід’ємних чи-
сел, а областю зміни — множина 0], оскільки значення арифме-
тичного кореня невід’ємні, а протилежні їм значення — недодатні.
Отже, для оберненої функції у = -д/х х є [0; + °°), у е (-<»; 0].
Зауважимо, що області визначення і значень взаємно обернених
функцій помінялися множинами. Для лінійної функції цього помі-
тити не можна, оскільки обидві множини є множинами всіх дійсних
чисел.
Побудуємо графіки функцій у = х2, х < 0 і у = -4х в одній сис-
темі координат (рис. 13.8). Як і для лінійної функції (рис. 13.7) по-
будовані графіки симетричні відносно прямої у = х.
Функцію /, яка має обернену, назива-
ють оборотною.
Слід звернути увагу учнів, що необ-
хідною і достатньою умовою існування
оберненої функції <р є така: функція /
має набувати кожного свого значення
лише для одного значення аргументу.
Достатньою умовою існування оберне-
ної до даної функції є її монотонність,
тобто зростання або спадання на всій об-
ласті визначення.
347
За допомогою функціональної символіки можна сформулювати оз-
начення функції, оберненої до даної оборотної функції /.
Означення 13.4. Оберненою до даної оборотної функції у = / (л)
називають таку функцію х = ф(.у), яка кожному у із області значень
функції у = /(х) ставить у відповідність єдине число х з її області
визначення.
Якщо поміняти позначення незалежної та залежної змінних, то
обернену функцію до у = /(х) запишемо у вигляді у = ф(х).
Узагальнюючи розглянуті приклади, потрібно сформулювати
для учнів алгоритм знаходження формули функції, оберненої до
даної:
1) з’ясувати, чи є функція у = / (х) оборотною на всій області ви-
значення. Якщо ні, то визначити підмножину області визначен-
ня, де існує обернена функція до у = / (х);
2) розв’язати рівняння у = / (х) щодо змінної х, тобто знайти
х = ф(у) на множині, де існує обернена функція;
3) поміняти позначення змінних: незалежну зміну позначити як х,
а залежну — як у. Дістанемо функцію г/ = ф(х), обернену до
У =Цх).
Неважко довести, що графіки взаємно обернених функцій у - / (х) і
у = ф(х) симетричні відносно прямої у = X.
За допомогою цього алгоритму можна запровадити обернені триго-
нометричні функції. Наведемо це на прикладі функції у = зіпх.
1. Із властивості періодичності та графіка функції у = зіпх (рис. 13.9)
випливає, що кожного свого значення у вона набуває для нескінченної
множини значень аргументу х = х0 + 2пп, я є Я. Це означає, що функ-
ція не є оборотною на всій області визначення. Водночас на всіх про-
міжках, на яких вона зростає або спадає, існує обернена функція. Най-
ближчим до початку координат з таких проміжків є -тті тг • Справді,
348
2. Вважаючи у незалежною змінною, ах — залежною, розв’яжемо
рівняння у = зіпх щодо змінної х. Це означає, що потрібно знайти
таке число х (кут або дугу), синус якого дорівнює у. На обраному
проміжку таке число буде єдине. Його позначають символом агсзінг/.
Отже, х = агсзіпг/ = <р(г/).
Важливо наголосити, що під знаком арксинуса міститься у, тобто
значення синуса, тоді як х = агскіпу = <р(#) є функцією, оберненою
я. я"!
2 ’ 2
до у = ній х за х є
3. Поміняємо позначення незалежної та залежної змінних.
Дістанемо функцію у = агсзіпх = ф(х), обернену до г/ = 5Іпх за
Враховуючи, що область визначення й область значень взаємно
обернених функцій міняються місцями, матимемо для функції у =
= агсзіпх, х є [-1; 1], у є або інакше < агсзіпх <
Графік функції г/ = агс8Іпх можна дістати з графіка г/ = зіпх, ві-
добразивши відповідно ділянку синусоїди симетрично прямої у = X
(рис. 13.10).
За графіком учні можуть визначити
властивості функції # = агс8інх. У кла-
сах з поглибленим вивченням математи-
ки доцільно ці властивості довести ана-
літично.
Для практики розв’язування най-
простіших тригонометричних рівнянь
потрібно звернути увагу на те, що за
х > 0 значення агсзіп х слід вибирати в
першій чверті, а за х < 0 — в чет-
вертій.
За такою самою схемою можна роз-
глянути функції у = агссозх, у = агсі§х,
Рис. 13.10
максимально залучивши учнів до самостійної навчальної діяльності
під час знаходження обернених функцій до у = со5 х, у = х.
На рівні обов’язкових результатів навчання можна без доведення
сформулювати теорему про властивість монотонності взаємно оберне-
них функцій.
Теорема 13.1. Якщо функція /"зростає (або спадає) на проміжку
І, то вона оборотна. Обернена до / функція <р, визначена в області
значень /", також зростає (відповідно спадає).
349
Приклади обернених тригонометричних функцій ілюструють вико-
нання згаданих властивостей. Сильнішим учням можна запропонува-
ти самостійно ознайомитись з доведенням наведеної теореми за по-
сібником [389].
13.3. Показникова, логарифмічна
і степенева функції
До 60-х років XX ст. у традиційному курсі алгебри, який вик-
ладали за підручником А. П. Кисельова «Алгебра: В 2 ч.» (К.:
Рад. шк., 1966), показникову та логарифмічну функції вивчали у
10 класі (за старою нумерацією). Це була одна з найважчих для
сприймання учнями тем. У 70 —80-х роках (до 1982/83 навчального
року), у період переходу на новий зміст навчання, понад 10 років ці
функції вивчали за два етапи. У 8 класі вивчали самостійні теми
«Степінь з раціональним показником. Показникова функція», «Де-
сяткові логарифми», де вводилась функція у = 1§.г. Враховуючи, що
вчення про функцію за новим змістом навчання здійснювалося систе-
матично, починаючи з 6 класу, у 8 класі учні не відчували особливих
труднощів у сприйманні функцій у = ах, у = х та їхніх властиво-
стей. Водночас у 8 класі та на наступних етапах навчання в
суміжних предметах ці функції не мали належного застосування.
Тому останніми роками повернулися до вивчення показникової,
логарифмічної та степеневої функцій у курсі алгебри і початків
аналізу в 10 класі. Відповідно до чинної програми нині ці функції
запроваджують у 10 класі. На початку теми розглядають узагаль-
нення поняття степеня, вводять поняття про степінь з ірраціо-
нальним показником, розв’язують ірраціональні рівняння та їх
системи. У зв’язку з вивченням показникової та логарифмічної
функцій передбачено узагальнення основних показникових тотож-
ностей ах ау = ах+у, (ал = аху на будь-який дійсний показник,
розгляд логарифмічних тотожностей, розв’язування показникових і
логарифмічних рівнянь і нерівностей. Ця тема охоплює похідні
показникової, логарифмічної та степеневої функцій, поняття про
диференціальне рівняння, зокрема диференціальні рівняння показ-
никового зростання та гармонічних коливань.
Основною метою вивчення теми є розширення поняття степеня,
введення кореня и-го степеня, ознайомлення учнів з показниковою,
логарифмічною, степеневою функціями та їхніми властивостями,
розв’язування показникових, логарифмічних рівнянь і нерівностей та
їх систем.
350
Вимоги до знань і вмінь на рівні обов’язкових результатів иаича1
ня такі: 0_
знати основні показникові й логарифмічні тотожності, вміти заст1
совувати їх до розв’язування рівнянь і нерівностей;
знати означення та властивості показникової, логарифмічної й сЛ
пеневої функцій, вміти будувати їх графіки;
застосовувати графіки та властивості названих функцій до розв’/
зувапня рівнянь, нерівностей та їх систем.
Узагальнення поняття степеня. Поняття степеня в шкільної*^
курсі математики розширюється й узагальнюється поступово. Вперіщ
зі степенем числа — квадратом і кубом числа — учні ознайомлюю!
ся в 5 класі, але при цьому термін «степінь» ще не застосовується. ।
Означення степеня з натуральним показником і його властивос
вводять у курсі алгебри 7 класу перед запровадженням поняття одіг
члена. ।
Після введення правила ділення степенів з однаковими основами
натуральними показниками т і п за умови, що т > п, означають степії
з нульовим показником числа а, яке не дорівнює нулю. У 8 класі пері 3
введенням запису числа у стандартному вигляді означають степінь
цілим від’ємним показником.
За чинною програмою запровадження поняття кореня п-го степеїф/
означення та властивості степеня з раціональним показником і поняті
тя про степінь з ірраціональним показником передбачено в 10 кла^а
перед вивченням показникової функції. В 10 класі виникає потре/,
повторити і звести в систему відомості про степінь з показпико/ ’
який набуває значень із різних числових множин.
Є різні методичні підходи до введення поняття степеня і, зокрем/ ’
до мотивації розширення цього поняття.
Означення степеня з натуральним показником вводиться однаково
усіх підручниках і методичних посібниках. При цьому означення м;„
двоступеневу структуру. Спочатку означають степінь числа а з патф
ральпим показником п, більшим за одиницю, як добуток п множникі.
кожний з яких дорівнює а. Окремо означається степінь числа а з пока
ником 1: степенем числа а з показником 1 називають саме число а.
Учні часто припускаються помилок щодо використання терміні!
степенем називають не вираз ап, а показник п. Тому важливо, ще
булп чітко відпрацьовані три терміни: ап — степінь, п — показнії
степеня, а — основа степеня.
Доцільність введення саме такого означення степеня з нульовшм
показником числа, яке не дорівнює нулю, пояснюється поширення^
правила ділення степенів з натуральними показниками т і п на впій
док, коли т = п, тобто ап : ап = ап п = а°. Оскільки за будь-яко/
а Ф 0 і будь-якого натурального п а" : ап = 1, слід прийняти :/
51
Зі
означенням, що а° = 1 за а * 0. Виразу 0° не надається ніякого
змісту.
Потрібно звернути увагу учнів на те, що наведені міркування не є
доведенням рівності а = 1, а лише пояснюють доцільність її прий-
няття за означенням.
Цю саму ідею можна покласти в основу міркувань щодо до-
цільності запровадження означення степеня з цілим від’ємним по-
казником. Потрібно звернути увагу учнів на те, що в математиці та
інших науках, зокрема фізиці, хімії, виникає потреба розглядати і
такі степені. Учні вже знають з цих предметів, що масу електрона
записують виразом 9 10~28 г. Щоб записати це число у вигляді де-
сяткового дробу, потрібно 29 цифр: 0,000...09. Виникає питання, як
29 цифр
розуміти вираз 10’28 і в загальному вигляді а~п, де п — натуральне
число і а 0. Яке означення степеня з цілим від’ємним показником
доцільно прийняти?
Поставимо за мету поширити правило ділення степенів з натураль-
ними показниками ат : ап на випадок, коли т < п, зокрема п = т + к,
де к — натуральне число. Тоді має бути
ат : ап = ат : ат+к = ап^т+к} = а~к. (13.1)
Водночас
ат : ап = ат : атлк = = Ц-.
атлк апак ак
(13.2)
Порівнюючи рівності (13.1) і (13.2), доходимо висновку, що для
виконання розглянутого раніше правила ділення степенів з натураль-
ними показниками у випадку, коли пг < п, потрібно прийняти за оз-
-к 1
начениям, що а = —.
ак
Означення 13-5. Якщо а Ф 0 і к — ціле додатне число, то
ак
Можливі й інші методичні варіанти введення означень степенів з
нульовим і від’ємним показниками. Доцільність запровадження
відповідних означень можна пояснити, виходячи не з обернених, а з
прямих дій. Наприклад, поставлено мету — з’ясувати, якого змісту
слід надати виразу а°, щоб правило множення степенів з однаковою
основою залишилося тим самим і за нульового показника. Припусти-
мо, що воно виконується і в цьому випадку. Тоді аиапІ = а т = ат.
352
Відомо, що за ат Ф 0, тобто за а 0, добуток двох співмножників
і ат може дорівнювати одному з них тоді і лише тоді, коли
другий співмножник дорівнює 1. Після цього формулюють озна-
чення а° = 1, а Ф 0.
Так само ставиться за мету зберегти правило множення степенів з
однією основою і натуральними показниками, якщо показниками мо-
жуть бути цілі від’ємні числа. Нехай т = -п. Тоді
атап = ат+п = ап*п = й° =1.
_ -і
Якщо а Ф 0, то з рівності а пап = 1 випливає а~п = —.
Після цього формулюють означення степеня з цілим від’ємним по-
казником.
У підручнику з алгебри для 8 класу [10] реалізовано інший підхід
до введення степеня з цілим від’ємним показником. Записується по-
слідовність степенів числа 10:
10°, 10і, 102,103,....
У ній кожне число менше від наступного в 10 разів. Зберігаючи
цю властивість, продовжують послідовність вліво:
...,-^-,-Дт-, Д-,10°,101,102,103,....
103 102 10і
Оскільки в такій послідовності степенів показник кожного степеня
на одиницю менший від показника наступного, то, поширюючи цю
закономірність на степені, які містяться ліворуч від 10°, записують їх
1 -і 1
з від ємним показником. Замість —- пишуть 10 , вираз —позна-
чають 10 і т. д. Дістають послідовність степенів
.... 10-3,10-2,10'1,10°, 10і, 102,103,....
Цю домовленість приймають для степенів з будь-якою основою,
відмінною від нуля.
Властивості степенів з натуральними показниками поширюються
на степені з цілим показником.
Введення поняття степенів з раціональним показником передує
вивченню коренів п-го степеня. Слід мати на увазі, що означення ко-
реня квадратного з числа а як числа, квадрат якого дорівнює а, і оз-
начення арифметичного квадратного кореня учні знають з 8 класу.
Символ уГ використовувався для позначення лише арифметичного
квадратного кореня.
12 Слзпкань 3. І.
353
За чинною програмою означення кореня н-го степеня, арифметич-
ного кореня и-го степеня і його властивості розглядаються в 10 класі.
Ці означення вводяться аналогічно попереднім означенням, що
стосуються квадратного кореня. Тому їх потрібно нагадати, після чого
можна запропонувати учням самостійно сформулювати означення ко-
реня и-го степеня та арифметичного кореня и-го степеня.
На цьому етапі навчання символ 4~ застосовують до позначення
будь-яких коренів, а не лише арифметичних. Наприклад, ^-125 = -5.
Слід звернути увагу на те, що корінь непарного степеня з від’ємного
числа можна виразити за допомогою арифметичного кореня. Наприк-
лад, ^-343 = -43ЛЗ, оскільки \/-343 = -7 і-д/343 = -7.
Взагалі, за будь-якого додатного а і непарного п '4-а = -4а.
Введення степеня з дробовим показником є подальшим розширен-
ням поняття степеня. Традиційно доцільність введення означення та-
кого степеня пояснювалась потребою зберегти правило піднесення
степеня до степеня, розглянуте для степенів з натуральними показни-
ками \ат) = атп, на випадок дробового показника —,
де п — нату-
ральне число, т — ціле число. Тоді
' ”1 'і” „ тп
ап = ап = а п
= «"',«>0
За означенням арифметичного кореня и-го степеня
т .----
Отже, за заданої умови доцільно взяти ап = УІат.
Означення 13.6. Якщо а — додатне число, — -- дробове число
п
пі ---------------------------------
(п — натуральне, т — ціле), то ап = 4ат.
Степінь з основою, що дорівнює нулю, означають лише для додат-
ного дробового показника: якщо — — дробове додатне число (т і п —
п
т
натуральні), то 0” =0.
Слід наголосити, що для від’ємних основ степені з дробовими по-
3 1
казниками не розглядаються. Інакше кажучи, вирази (-5)4 , (-8) з ,
1
0 4 не мають змісту.
Існує й інший методичний підхід до пояснення доцільності введен-
ня означення степеня з дробовим показником, який реалізовано в
354
підручнику [386]. Із означення арифметичного кореня випливає, як-
що т — ціле число, п — натуральне число і т ділиться на п, то за
-------------------- т --- 15
а>0 рівність УІат = ап правильна. Наприклад, \715 = 7 5 = 73,
--- ТП
оскільки ^73) - 715. Якщо вважати, що рівність \ат -ап вико-
нується для будь-якого дробового показника — і додатної основи а,
п
то всі властивості степенів з цілим показником зберігатимуться і для
цього показника (доводиться пізніше).
.-- т
Після цього вводять означення: \агп = ап , а > 0.
На завершення запроваджують поняття степеня з ірраціональним
показником. Спробуємо з’ясувати, що слід розуміти під степенем аа,
де а — додатне число, а 1; а — будь-яке ірраціональне число.
Розглянемо три випадки.
1. а > 1, а — додатне ірраціональне число, наприклад 10 . Нехай
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...
(13.3)
є послідовністю наближених значень числа -72, взятих з недостачею, а
2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;... (13.4)
є послідовністю наближень 72, взятих з надлишком.
Якщо скласти відповідні послідовності значень степеня числа 10
101’4; Ю1’41; 101’414; 101’4142;
101-5;10,’42;10,'415;10,’4143;
(13.5)
(13.6)
у/2
то 10 є числом, яке більше за будь-яке число першої послідовності
і менше від будь-якого із чисел другої послідовності.
2. За 0<«<1 і додатного ірраціонального а, наприклад 0,І^2,
відповідні послідовності будуть такими:
0,11-4;0.11’41;0,1,’414;0.11>4142;...,
р 11,5. д р,42. р р.415. р р.4143.
Значення степеня 0,1 менше від будь-якого з відповідних чисел
першої послідовності і більше за будь-яке з відповідних чисел другої
послідовності.
355
3. За будь-якого додатного а і від’ємного ірраціонального а вира-
• СІ • • • >
зові а надають того самого змісту, що і для степенів з від ємним
раціональним показником. Наприклад,
10-^=—1—; (0,1)“^=---------і-г-.
10^ (0,1/2
У класах з поглибленим вивченням математики, учні яких озна-
йомлені з поняттям границі числової послідовності, можна сформу-
лювати означення степеня з ірраціональним показником.
Послідовності (13.5) і (13.6) є зростаючими за способом утворення
їх членів і обмеженими, оскільки кожний з їх членів менший від 10 .
За теоремою Вейєрштрасса, кожна з цих послідовностей має границю
(вона виявляється однаковою). За означенням, цю границю прийма-
ють за значення степеня 10 .
Означення 13-7. Степенем аа, де «>0 і а — ірраціональне
число, називають границю послідовності
Л А
де Ь^, Ь2, , Ьп — будь-яка послідовність раціональних чисел, що має
границею число а.
Вивчення показникової функції. Введення поняття показникової
функції доцільно здійснювати за тією самою методичною схемою, за
якою вивчалися всі попередні функції (див. розд. 11).
На етапі мотивації доцільно навести приклади залежностей, які
виражають показниковою функцією.
Приклад 13.4. У процесі радіоактивного розпаду маса т речовини змінюється
з часом і за законом т = тоа1, де пі — маса речовини через і років після початку
розпаду, то — початкова маса речовини, а — стала для цієї речовини.
Приклад 13.5. Кількість мешканців міста з мільйонним населенням через х
років за умови, що кожного року спостерігається приріст населення на 2 %, об-
числюють за формулою у = 1 000 000 -0,02х.
Приклад 13.6. Температура Т 100 г піску, нагрітого до 100°, змінюється за 0°
залежно від часу і за формулою Т = 100 0,8і.
Приклад 13.7. У разі витікання рідини з циліндричної посудини через тонку
трубку, яка розміщена в основі циліндра, висота її рівня рідини з часом і
змінюється за формулою її = Іідв?, де /ід — початковий рівень води, а — стала,
що залежить від діаметра трубки.
У кожному з наведених прикладів формула задає функцію, для
обчислення якої сталий множник доводиться множити на степінь ста-
356
лої зі змінним показником, яка має цілком певне додатне значення.
Найпростішим випадком таких залежностей є функція вигляду
у = ах, яку називають показниковою.
Означення 13.8. Показниковою функцією називають функцію
у = ах, де а — задане додатне число, що не дорівнює одиниці; х і у —
змінні.
Властивості показникової функції учні спочатку «читають» за
графіком, а потім учитель доводить їх аналітично. Попередньо
потрібно повторити властивості степенів.
Властивість 1. Областю визначення функції у = ах є множина
всіх дійсних чисел, оскільки вираз ах за а > 0 визначений для будь-
якого х.
Цю властивість можна розглянути на прикладі функції у = 2х:
X -2 1 |со -Ц -і -1 1 _1 2 _1 4 0 1 4
У = 2х 0,25 0,30 0,35 0,42 0,50 0,59 0,71 0,84 1,00 1,19
Властивість 2. Показникова функція набуває лише додатних
значень.
Доведення. Справді, за а > 0 і х > 0 вираз ах додатний, а за
х < 0 ах = —> 0, оскільки -х > 0 і а~х > 0.
а х
Властивість 3. Якщо а > 1, то за х > 0 ах >1, за х < 0
0 < ах < 1. Якщо а < 1, то, навпаки, за х > 0 0 < ах < 1, а за х < 0
ах >1.
Доведення. Нехай а > 1 • Розглянемо значення показника х із різ-
них числових множин.
1. Нехай х — додатне раціональне число, тобто х = —, де т і п —
п
— і—
натуральні числа. Тоді у = ах - ап = \ат, оскільки за а > 1 і ат > 1, і * * * * *
і ^>1.
2. Нехай х — додатне ірраціональне число. Тоді існують додатні
раціональні числа х і х”, які є десятковими наближеннями х, тобто
х' < х < х”.
т
Вище було доведено, що а п >1, а тому і ах > 1.
357
1
3. Якщо х < 0 — будь-яке дійсне число, то ах = де -х > 0.
а х
Тоді а~х > 1, тому ах = < 1 •
а х
Випадок, коли 0 < а < 1, зводиться до попередніх. Учням можна
запропонувати як домашнє завдання самостійно викопати доведення
для цих значень а.
Властивість 4. Якщо х = 0, то за будь-якого а > 0 у = ах = 1,
що випливає з означення степеня з нульовим показником.
Властивість 5. Показникова функція за а > 1 зростаюча, а за
0 < а < 1 — спадна.
Доведення. Нехай а > 1 і х2 > Л'і Тоді х2 = х^ + 4, де сі > 0.
Складемо різницю [ (х2 ) - / (х,) = г/2 - ух = а*2 - аЛ| = {ах 1 +<І - аХ] ) =
= ах> (а*1 - 1) > 0, оскільки за другою властивістю показникової
функції а*1 >0, а за третьою властивістю а(1 > 1. Отже, ах'2 > ах*.
Аналогічно доводиться властивість спадання показникової функції.
На цьому етапі важливо сформулювати наслідок із властивості 5,
на якому грунтується розв’язування показникових рівнянь і
нерівностей.
Властивість 6. Якщо а > 1, то за х —> значення у —> +°°, а
за х —> -оо значення г/ —> 0, залишаючись додатним. Враховуючи мо-
нотонність функції, можна стверджувати, що в цьому випадку
функція монотонно зростає від 0 до +°°.
Якщо 0 < а < 1, то за х —> +°° значення у —> 0, залишаючись до-
датним, а за х —> -оо значення у —> +°°. Враховуючи монотонність,
можна стверджувати, що в цьому випадку у = ах монотонно спадає
від +°° до 0.
Властивість 7. Областю значень функції є множина всіх до-
датних чисел.
Незважаючи на те, що за доведеною властивістю 2 функція у - ах
набуває лише додатних значень, залишається нез’ясованим питання,
чи не змінюється вона стрибкоподібно. Можна довести, що показни-
кова функція є неперервною, але це доводиться в курсі математично-
го аналізу вищої школи.
На завершення доцільно розв’язати вправи на застосування вла-
стивостей показникової функції до порівняння значень степенів, ос-
нов степенів, їхніх показників, показати використання показникової
функції під час вивчення явищ навколишнього світу. Такі приклади й
задачі наведено у посібнику [386].
358
Логарифмічна функція. Перш ніж вводити логарифмічну функ-
цію як функцію, обернену до показникової, доцільно розглянути оз-
начення логарифма числа Ь за основою а(а > 0, а & 1) як показника
степеня, до якого потрібно піднести число а, щоб дістати число Ь, і
запровадити символ 1о£а Ь. Слід звернути увагу учнів, що лога-
рифмічна рівність 1о£а Ь = х і показникова ал = Ь виражають те саме
співвідношення між числами а, Ь і х. За ними можна знайти одне з
цих трьох чисел.
Потрібно розв’язати кілька вправ на перехід від показникових до
логарифмічних рівностей, обчислення значень виразів на зразок
51о§3 27 + 21082^,
1о£2 64, а потім навести основну логарифмічну
тотожність і розв’язати кілька усних вправ на її застосування до об-
числення значень виразів.
Основою для розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей,
тотожних перетворень логарифмічних виразів є чотири теореми про
основні властивості логарифмів і наслідки з них, а також деякі важ-
ливі логарифмічні тотожності. Цс тотожності:
1086 а = ’ 1о§°ь = Іой^ ьк'
ч,"ь4іо8»ь’'о8"'>=Ї^-
Можна запропонувати учням самостійно знайти функцію, оберне-
ну до показникової функції у = ах, скориставшись відомим їм алго-
ритмом відшукання формули функції, оберненої до даної, з яким во-
ни могли ознайомитися раніше під час вивчення обернених тригоно-
метричних функцій. Учні самі доходять означення логарифмічної
функції як оберненої до показникової, викопуючи три кроки
1. Функція у = ах зростаюча за а > 1, спадна за 0 < а < 1, тому
вона є оборотною на всій області визначення. Враховуємо, що
х є К,у& (0; + °о).
2. Розв’яжемо рівняння з двома невідомими у = ах стосовно не-
відомої х. Оскільки х — показник степеня, то, за означенням лога-
рифма, х = 1о8„г/= ф(г/)-
3. Поміняємо позначення незалежної та залежної змінних.
Дістанемо у = 1о§о х, де х є (0; + °°), у є К.
Означення 13.9. Функцію, обернену до показникової функції
у = ах (а > 0, а * 1), називають логарифмічною і позначають у = 1р§а х.
359
Рис. 13.11
систем.
Степенева функція.
учні ознайомлювалися в
Побудувавши графік логарифмічної
функції як кривої, симетричної графі-
ку функції у = ах відносно прямої у = х
(рис. 13.11), учні спочатку «прочитують»
властивості цієї функції за графіком, а
потім доводять їх аналітично, використо-
вуючи теорему про властивості взаємно
обернених функцій.
У зв’язку з вивченням логарифміч-
ної функції достатню увагу потрібно
приділити засвоєнню логарифмічних то-
тожностей та застосуванню їх до об-
числення значень виразів, тотожних перетворень логарифмічних
виразів, розв’язування логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх
З окремими випадками степеневої функції
7 і 8 класах [у = х2, у = х3, у = -Тх). Однак
на тому етапі навчання термін «степенева функція» та відповідне оз-
начення не вводились, оскільки поняття степеня не розширювалось до
степеня з дійсним показником.
Запровадивши степінь з дійсним показником х1’, виявляємо, що за
заданого дійсного значення р кожному додатному х можна поставити
у відповідність числове значення степеня х1’. Отже, за сталого дійс-
ного показника р і змінного додатного х матимемо функцію у = хр,
яку називають степеневою.
Властивості степеневої функції залежать від заданого значен-
ня р.
Доцільно розглянути різні можливі множини значень р.
І. Нехай р — натуральне число.
Наведемо властивості функції.
1. Областю визначення функції є множина 7? всіх дійсних чисел.
Область значень залежить від парності чи непарності р. Якщо р пар-
не, то область значень у = хр є множиною невід’ємних чисел, якщо
непарне, то — множиною К всіх дійсних чисел.
2. Функція парна за парного р і непарна за непарного р.
3. За х = 0 у = 0, за х = 1 у = 1, тобто всі графіки степеневих
функцій проходять через початок координат і точку (1; 1).
4. За парного р функція зростає на проміжку [0; +°°) і спадає на
проміжку (-о°; 0].
За непарного р функція зростає на всій області визначення.
360
Рис. 13.12
5. За парного р графіки степеневих функцій подібні до графіка
функції у = Xі (рис. 13.12, а), а за непарного — до графіка функції
у = х3 (рис. 13.12, б).
II. Нехай р — ціле від’ємне число.
У цьому випадку функція у = хр визначена на множині всіх дійс-
них чисел, крім х = 0. Якщо р парне від’ємне число (рис. 13.13, а),
множиною значень функції є множина всіх додатних чисел. Функція
парна на області визначення, графік її складається з двох гілок і си-
метричний відносно осі у, у = хр зростає за х є (-°°; 0) та спадає за
Рис. 13.13
361
хє (0;+°о). Якщо р непарне від’ємне число (рис. 13.13, б), множи-
ною значень функції є об’єднання двох числових проміжків (-<»; 0) і
(0; + °о). Функція непарна, спадна на всій області визначення, графік
її симетричний відносно початку координат.
III. Нехай р — дробове додатне число, тобто р = —, де т і п —
натуральні числа.
З урахуванням означення степеня з дробовим показником степепе-
т .--------------------------------
ва функція матиме вигляд у = хп - \хт. З окремим випадком такої
функції (у = д/х) учні ознайомились в курсі алгебри 8 класу.
За р = ^,р = ^ степенева функція має вигляд у = хСг, у = у/х
відповідно. Графіки двох останніх функцій за формою подібні до
графіка функції у = 4х. Неважко довести, що всі функції зростаючі,
їхня область визначення залежить від показника кореня. Для парних
п функція визначена лише за невід’ємних значень х, для непарних —
за будь-якого дійсного х. У загальному випадку функція у = УІхт
розглядається лише за х > 0.
Потрібно звернути увагу учнів на те, що функції у = х2 і у = д/х
за х > 0, а також у = х3 і у = у/х за х є 7? є взаємно оберненими.
13.4. Рівняння та нерівності в курсі алгебри
і початків аналізу
Курс алгебри і початків аналізу передбачає навчити учнів розв’я-
зувати трансцендентні рівняння й нерівності (тригонометричні, показни-
кові, логарифмічні) та ірраціональні рівняння й нерівності. Цс пов’я-
зується з розглядом властивостей відповідних функцій. Відомо, що не
існує загального способу розв’язування трансцендентних рівнянь і
нерівностей. Проте за умов середньої ніколи доцільно ознайомити учнів
зі способами розв’язування найпростіших та окремих видів таких рів-
нянь і нерівностей, до яких здебільшого зводиться розв'язування склад-
ніших. Практика свідчить, що доцільно звести в систему окремі види
рівнянь і нерівностей за способами їх розв'язування.
Відповідно до чинної програми учні мають уміти розв’язувати най-
простіші тригонометричні рівняння (кіп х = а, соз х - а, І£х = «) та
деякі нескладні види тригонометричних рівнянь, які зводяться до
найпростіших; навчитися розв’язувати нескладні показникові, лога-
рифмічні, ірраціональні рівняння, нерівності та їхні системи.
362
Тригонометричні рівняння і нерівності. У методичній літературі
певний час велась дискусія з приводу означення поняття тригономет-
ричного рівняння. Тригонометричним пропонувалось називати:
1) рівняння, в якому змінна міститься лише під знаком тригоно-
метричної функції (у такому разі рівняння вигляду х + зіп х = 0 не
належить до тригонометричних; його пропонували називати «транс-
цендентним»);
2) рівняння, в якому змінна міститься не тільки під знаком триго-
нометричної функції (тоді рівняння х + 5іп х = 0 вважалось тригоно-
метричним).
Розбіжність в означеннях не є принциповою. Слід наголосити на
принциповій відмінності тригонометричних рівнянь від алгебраїчних:
тригонометричні рівняння, що містять змінну ліпне під знаком триго-
нометричної функції, або зовсім не мають розв’язків, або мають їх
нескінченну кількість. Це пов’язано з властивістю періодичності три-
гонометричних функцій.
Найпростіші тригонометричні рівняння. Це рівняння вигляду
зіп х = а, соз х = а, Ід х = а.
Шкільна практика доводить, що часто учні правильно виконують по-
трібні перетворення, розв’язуючи складніші тригонометричні рівняння, і
припускаються помилок під час розв’язування простіших рівнянь, до
яких зводяться складніші. Тому важливо домогтися, щоб учні не фор-
мально запам’ятовували формули загального розв’язку, а усвідомлю-
вали, чому отримано саме такі формули, а не інші. Доцільно розглянути
два способи розв’язування наші рості ших тригонометричних рівнянь:
графічний і за допомогою одиничного кола. Покажемо це на прикладі
розв’язування рівняння
зіил' = «. (13.7)
Г р а ф і ч и и й епосі б. Спочатку вчитель нагадує учням, у чо-
му полягає графічний спосіб розв’язування рівнянь: потрібно побуду-
вати графіки функцій у = кіп х, у = а і знайти абсциси точок перетину
цих графіків.
Оскільки -1<8іп.г<1, то за а > 1 і а < -1 рівняння (13.7) не має
розв’язків (рис. 13.14). Отже, потрібно шукати розв’язки за -1 < а < 1.
Рис. 13.14
363
Досить знайти розв’язки на будь-якому числовому проміжку завдовжки
2л і скористатися властивістю періодичності синуса.
Розглянемо розв’язки на проміжку [-я; п] (див. рис. 13.14). Мож-
ливі два випадки.
1. Нехай 0 < а < 1. Як випливає з рис. 13.14, на проміжку [-я; я]
пряма у = а перетинає синусоїду в двох точках. Абсциса однієї з то-
чок перетину належить проміжку
(0;£). Тому,
за означенням аркси-
нуса, її можна позначити як агсзіпа. Тоді абсциса другої точки пере-
тину дорівнює л - агсзіп а. В силу періодичності синуса множину всіх
розв’язків рівняння (13.7) можна записати у вигляді двох рівностей:
х = агсзіп а + 2кп,
(13.8)
х = л-агс8іпо + 2/гл = -агсзіпа + (2к + 1)л, де ке 7. (13.9)
Формули (13.8) і (13.9) розв’язків можна записати у вигляді однієї
х = (-1)" агсзіп а + пп, де п є 7.
(13.10)
За парного п, тобто за п = 2к, дістанемо формулу (13.8), а за не-
парного, тобто за п = 2к + 1, матимемо формулу (13.9).
2. Нехай -1 < а < 0. Пряма у = а перетинає синусоїду також у
двох точках, абсциси яких належать проміжку (-л; 0). Абсциса однієї
точки належить проміжку тому її можна позначити як
агсзіпй, абсцису другої точки можна подати у вигляді —л-агсзіпа.
Отже, за умови -1 <а<0 множини розв’язків рівняння (13.7) за-
пишемо двома формулами:
х = агсзіп а + 2/гл, де к є 7,
х = —л ~ агсзіп а + 2кп = -агсзіп а + (2к -1) л, де к є 7.
Об’єднавши ці дві формули, дістанемо формулу (13.10):
х - (—1)” агсзіп а + нл, де п є 7.
За а = 0 пряма у = а перетинає синусоїду в точках з абсцисами
X = ЯЛ, тобто рівняння 5ІПХ = 0 має. множину розв’язків х = пп, де
п є 7.
Якщо а = 1, пряма має спільні точки з синусоїдою за х = + 2/гл,
якщо а = -1 — за х = + 2пп.
Ці самі розв’язки дістанемо за а - 0 і а = ±1, підставивши їх у
формулу (13.10).
364
Учням корисно запам’ятати окремі випадки загальної формули роз-
в’язків рівняння (13.7):
зіп х = 0, х = ті,
зіп х = 1, х =~ + 2пп,
зіп х = -1, х = - + 2пп, п є 7.
Відшукання розв’язків за допомогою одинич-
ного кола. За цього способу також розглянемо два випадки.
1. Нехай 0 < а < 1. За означенням синуса, число а є ординатою точки
Р одиничною кола, тому ця точка має належати верхньому півколу.
Позначимо на осі у точку А з ординатою а і проведемо через неї пряму,
паралельну осі х (рис. 13.15). Ця пряма перетне коло в двох точках Мі
і М2. Точка Мх належить дузі першої чверті, тому відповідне число х
позначимо як агсзіп а. Всі інші числа, що відповідають точці Мх, за-
пишемо у вигляді формули
х = агсзіп а + 2кп, к є 7.
Точка Л/2 відповідає числу я-агсзіпа, а всі числа, які зображу-
ються точкою М2, запишемо у вигляді формули
х - я-агсзіп а + 2кп = -агсзіп а + (2к + 1)я, к є 7.
Об’єднуючи дві останні формули, дістанемо формулу (13.10):
х = (-1)" агсзіп а + ті, п є 7.
2. Нехай -1 < а < 0. Як випливає з рис. 13.16, точки Мі і М2за цієї
умови належать нижньому півколу. Точка відповідає числу, що на-
365
Усі числа, що зображуються точкою М1, запишемо за формулою
х - агскіпа + 2кп, ке 2.
Точка М2 відповідає числам, які можна записати у вигляді
-я-агсзіпл. Тоді всі числа, що зображуються точкою М2, запишемо
за формулою
х = -я - агсзіп а + 2кп - -агсзіп а + (2к — 1)я.
Об’єднуючи дві останні формули в одну, матимемо формулу (13.10):
х = (-1)” агсзіп а + ті, п є 7.
Система вправ на застосування формул загального розв’язку
рівнянь 8Іпх = а, созх = а, = а має передбачати і найпростіші рів-
няння на зразок
1 УЗ 1 х/2
8ІПХ = , СО8Х = -2^-, ІД2Х = 1, 8ІП — X =
Під час їх розв’язування учні припускаються таких помилок:
1) неправильно вибирають агсзіп а, агссоз а, агсі£ а\
2) ділять на
значення агс±8 а, агсзіп а,
а не доданки
формули загального розв’язку. Наприклад, записують 2х =
я
4
8
х = ~ + кп.
8
Для того щоб уникнути помилок першого типу, потрібно звернути
увагу на нерівності < агсзіп а < 0 < агссоз а < п, — < агсІ£ а < ~
і надати вказівки щодо вибору значень агсзіпа, агссоз «, агсі^а.
Якщо 0 < а < 1, значення агсзіпп потрібно вибирати у І чверті, за
-1 < а < 0 — у IV чверті.
Якщо 0 < а < 1, значення агссоз а потрібно вибирати у І чверті, за
-1 < а < 0 — у II чверті.
Якщо а > 0, значення агсідд потрібно вибирати у І чверті, за
а < 0 — у IV чверті.
Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь. Окремі
способи розв’язування тригонометричних рівнянь з метою ознайом-
лення з ними і порівняння зручно показати на прикладі рівняння
8ІПХ - СО8 X = 0.
(13.11)
366
Спосіб зведення до однієї тригонометричної
функції. Перенесемо созх у праву частину і виразимо його через
хіпх:
СО8 X = ±л/1 - 8ІП2 X.
Дістанемо
5ІП X = ±л/1- 8ІП2 X.
Піднесемо обидві частини останнього рівняння до квадрата. Отри-
маємо
2 2
8ІП Х = 1-8ІП X,
ЗВІДКИ
2 2 1 л/2
28іп х = 1;8іп х = —;8іпх = ±—.
Маємо два найпростіші тригонометричні рівняння:
8ІП х = х = (-1)” агс8іп^-+ пп = (-1)" + пп, пє 2,
8іпх = х - агс8Іп^-^-^+ кп =
Ці дві формули задають чотири множини розв’язків, які отримає-
мо, підставляючи цілі п і к:
х = ~ + 2тп, т є 7,
4
х = + 2тп, т є 7,
4
х = —V + 2тл, т є 7,
4
х = —~ + 2тп, т є 7.
4
На одиночному колі ці розв’язки зоб-
ражуються чотирма точками (рис. 13.17).
Перевірка підстановкою в рівняння
(13.11) виявляє, що рівняння задовольня-
ють лише дві множини розв’язків:
х - — + 2г/т,
4
Чтт
х = — + 2шп, т є 7.
4
Цей спосіб розв’язання незручний тим,
що в результаті піднесення до квадрата
367
обох частин рівняння ЗІП X = ±ч 1 - зіп^ х приводить до сторонніх ко-
ренів і потребує перевірки.
Спосіб розкладання на множники.
зіп х — соз х = 0; зіп х -
= 0;
х + — — X X — — + X
2СО8—2—зіп—-2— = 0; 2со8у8іп(х-у) = 0;
2 2 4 \ 4/
зіп (х - = 0; х - = кп; х = — + /гл, к є 7.
\ 4/ 4 4
Спосіб розв’язування однорідних рівнянь.
зіп х - соз х = 0.
Доведемо методом від супротивного, що созх 0. Справді, при-
пустимо, що соз х = 0. Тоді, виходячи із заданого рівняння, матимемо
зіп х = 0, що неможливо для того самого х.
Отже, припущення неправильне, а правильне те, що в цьому рів-
нянні соз х Ф 0.
Розділимо обидві частини рівняння на созх 0. Дістанемо 1£х -1 =
- 0, звідси ІД х = 1, х = + кп, к є 7.
Спосіб введення допоміжного аргументу.
зіп х - соз х = 0;
зіпх-Ісозх = 0; зіп х -^соз х = 0;
4 г\ ’ ЇТ гч
81ПХ----— СОЗХ = 0; 81ПХСО8—-81П —СО8Х - 0;
я 4 4
соз —
4
8іп(х-^) = 0; х--^ = /гя; х = ^ + кп; кє 7.
\ 4/ 4 4
Спосіб піднесення до квадрата,
зіп х - созх = 0; зіп х-2зіпхсо8х + со8 х = 0; і
1 - зіп 2х = 0; зіп 2х = 1; 2х = + 2пп, х = — + пп, п є 7.
2 4
Графічний спосіб (рис. 13.18).
зіп х - соз х = 0; зіп х - соз х; у = зіп х; у = соз х.
Доцільно спеціально розглянути в загальному вигляді способи роз-
в’язування однорідних і лінійних тригонометричних рівнянь, які ви-
користовувались для розв’язання рівняння (13.11).
368
Рис. 13.18
Однорідними називають такі тригонометричні рівняння, в яких
кожний член лівої частини є багаточленом того самого степеня щодо
синуса і косинуса, а права частина — число 0.
У загальному вигляді однорідне рівняння можна записати так:
а зіп'1 х + 6зіп"-1 х соз х + ... + т8іп хсоз"-1 х + /соз" х = 0.
Розглянуте рівняння (13.11) є однорідним рівнянням першого сте-
пеня однорідності щодо синуса і косинуса.
Однорідне рівняння н-го степеня однорідності розв’язується ділен-
ням обох частин на соз" х. Однак попередньо потрібно довести, що
соз" х * 0, тобто соз х ї 0.
Справді, припустимо созх = 0 Тоді, із заданого рівняння доходи-
мо висновку, що і зіп" X - 0, тобто зіп х = 0. Це неможливо для того
самого аргументу х, оскільки якщо созх = 0, то зіпх = 1.
Після ділення обох частин однорідного рівняння на соз" х Ф 0 ма-
тимемо рівняння п-го степеня відносно їй х:
а х + ЬЦ*"-1 х + ... + ті£х + 1 = 0.
Не слід вважати, що в будь-якому однорідному рівнянні созх не
може дорівнювати нулю. Наприклад, в однорідному рівнянні 2соз2х +
+ зіпхсозх = 0 він може дорівнювати нулю, і тому ділити обидві час-
тини рівняння на соз х не можна, оскільки будуть втрачені роз-
в’язки. У такому разі рівняння розв’язується способом розкладання
на множники:
соз х (2 соз х + зіп х) = 0,
звідси:
1) соз х = 0, х = -^ + пл, п є 2;
2) 2созх +зіпх = 0.
369
Друге рівняння також однорідне. Для нього созх^О, і тому це
рівняння можна звести до вигляду 2 + 1§х = 0,1§х = -2.
Лінійним тригонометричним рівнянням називають рівняння вигляду
дзіпх+ 6созх = с. (13.12)
Ного можна розв’язати кількома способами. Один із них полягає у
діленні обох частин рівняння на вираз
, а зіп х + - , ---- соз х - . с
\сі2 + Ь2 ^а2 + Ь2 4а2 + Ь2
( ґ \2
д/а2 + 62. Дістанемо
(13.13)
_______ а2 + Ь2 _ 1
а2 +Ь2 сі2 +Ь2
а2 . Ь2
а2 +Ь2
+ -Т-Ь—
>/а2 + Ь2
є косинусом і синусом деякого числа ф
! +Ь2
(допоміжний аргумент). Нехай .. а = созф, -
ма2 +Ь2 уі
Після підстановки в рівняння (13.13) матимемо
Оскільки
то числа ,——
- = зіп ф.
+ Ь2
а
зіп X соз <р + соз х ЗІ 11 ф = —,
4а2 + Ь2
с __
й2"??7
або зіп (х + ф) = . с Оскільки |зіп (х + <р)| < 1, то
\Іа2 + Ь2
звідки с2 < а2 + Ь2 — умова існування розв’язків лінійного рівняння
а зіп х + Ь соз х = с.
Отримане рівняння є найпростішим тригонометричним рівнянням.
Розв’язуючи його, дістанемо
х = (-1)" агсзіп
х + ф = (-1)” агсзіп , с + пп, п є 7,
= - ф + пп, п є 7.
+ Ь2
Для обчислення ф скористаймося виразами для созф та зіпф і
Ь
складемо рівність ф = Д.Ь ~ , звідки ф = агсі£— (ф виби-
л/й2 +Ь2
раємо з проміжку
370
Лінійне рівняння (13.12) можна звести до однорідного множенням
9 т о X
на тригонометричну одиницю 1 = зіп — + соз — і заміною в лівій час-
. . 1-Х X 2 X • 2 X
тині зіпх = 2зт —соз —, созх = соз --зіп —.
Рівняння (13.12) можна розв'язати також підстановкою С = і
СОЗ X =-----—.
1 + і82|
2^
заміною зіп х =---——
1 + ^2|
Заслуговують на окрему увагу тригонометричні рівняння, які міс-
тять алгебраїчні суми вигляду зіпх + зіп 2х + зіпЗх +... + зіп пх, або
соз х + соз 2х + соз Зх +... + соз пх, або ід х + ід 2х + ід Зх +... + ІД пх.
їх розв’язують методом групування членів і застосуванням формул
додавання тригонометричних функцій. Отримане рівняння розв’я-
зують, як правило, способом розкладання иа множники.
Тригонометричні рівняння, складовими яких є парні степені функ-
цій зіпх і созх, іноді доцільно розв’язувати, знижуючи степінь функ-
, 2 1 - соз 2х „2 1 + соз 2х
цій за формулами зіп х =-------, соз х =--------.
Тригонометричні рівняння ВИГЛЯДУ добутку /, (х)/2 (х) = 0 і
дробу 7 ( = 0, де (х), /2 (-г)> /п (г) ” вирази, іцо містять три-
гонометричні функції, розв’язують на основі тверджень:
а) добуток двох або кількох співмножників дорівнює нулю тоді і
тільки тоді, коли принаймні один із них дорівнює нулю, а інші при
цьому не втрачають смислу;
б) дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює
нулю, а знаменник за значень змінних, які перетворюють на нуль чи-
сельник, не дорівнює нулю і не втрачає смислу.
Наприклад, у рівнянні ' = 0 чисельник дробу дорівнює ну-
лю за х = — + пп, де п е 2, але за цих значень змінних втрачає смисл
знаменник, оскільки за них І£х
розв’язків.
Наведемо ще один приклад.
не існує. Отже, це рівняння не має
X X
Приклад 13.8. Розв’язати рівняння --------— = зіп—.
1 + соз х 2
ЗІП X-зіп 7^(1 + СОЗ х)
Розв’язання. , 51ПЛ----зіп— = 0;-------—«---------= 0; зіпх + 2соз2 ^зіп — =
1 + соз х 2 1 + созх 2 2
1 +СО5Х
- 0; зіпх -зіп хсоз~ - 0; зіпхі 1 - соз^) = 0;
371
1) зіпх = 0; х = пп, пє2;
2) 1-со8І = 0; 28іп24 = 0; зіп4 = 0; = кп; х = 4кп, ке 7.
2 4 4 4
Остання множина розв’язків входить у множину х = пп.
Із множини розв’язків х = пп потрібно виключити ті, за яких знаменник
1 + созх перетворюється на нуль, тобто ті, за яких созх дорівнює -1. Це буде
за всіх непарних п. Отже, залишити слід лише ті х, які дістанемо за п = 2к.
Отже, розв’язками цього рівняння є множина х = 2кп, де к є 7.
Доцільно зауважити, що під час розв’язування рівнянь, які міс-
тять добутки зіпазіпР, зіпасозр, соз а соз Р, зручно використати
формули:
зіпазіп р - ^(соз(а -Р) - соз (а + Р)),
соз а соз Р = 2 (СО5 (а _ 3) + СО5 (а + Р))>
1
зіпасозР = (ос - Р) + зіп(а + Р)).
Слід постійно звертати увагу учнів на можливі випадки порушення
еквівалентності під час розв’язування тригонометричних рівнянь, а
саме про втрату і появу сторонніх розв’язків. Ми вже наводили такі
приклади. Потрібно спеціально назвати учням причини порушення
еквівалентності. Сторонні розв’язки можуть виникнути в результаті
піднесення до квадрата обох частин рівняння. Втрати розв’язків мо-
жуть трапитись під час ділення обох частин рівняння на вираз, що
містить невідому, зокрема в разі необгрунтованого ділення обох час-
тин однорідного рівняння на вираз соз" х, використання підстановки
і - застосування теореми додавання тригонометричних функцій.
Наведемо ще два приклади втрати розв’язків.
Приклад 13.9. Розв’язати рівняння зіп х - -77 созх = 77.
Розв’язання. Це — лінійне тригонометричне рівняння. Скористаймося нід-
созх =------—. Дістанемо
< + і£2 |
218^
становкою 8Іп х =-----—,
1 +182 у
Оскільки 1 + і82 у * 0, ТО
2і8|-77(1-і82|)->/7(1 + і82|) = 0; і8| = >/7;
у = агсі8\І7 + кп; х = 2аісі8д/7 + 2кп, ке 2.
372
Неважко помітити, що задане рівняння задовольняють числа х = (2п + 1)л.
Пірата розв’язків сталася внаслідок заміни зіпх і созх на і переходу в
гакий спосіб до алгебраїчного рівняння відносно ^8^- 4е рівняння не задоволь-
няють ті значення х, за яких не існує ^8^> тобто числа у = (2л + 1)^ або
х = (2и + 1)л. Оскільки безпосередньою підстановкою в задане рівняння легко
переконатись, що числа х = (2я + 1)л його задовольняють, то їх потрібно
приєднати до знайдених розв’язків.
Отже, розв’язками заданого рівняння є числа двох множин:
х = 2агсї£ х/7 + 2кп, ке 2 і х = (2п + 1 )л, п є 2.
Приклад 13.10. Розв’язати рівняння І£^х+-^)+(^(х= 2сі£х.
_ „ , і / оі І8а + 180 . / оі І8«_І8Р
Розв язання. Застосуємо формули ^(а + Р) = }*8(а~3) = і + ^а^р’
сі£а = —-.
18“
Дістанемо
18х + 1 1&х -1 _ 2
1-І£х 1 + Ї.Дх і£х'
і8((і8^ + 1)2-(18^-1)(1-^8^))-2(1-і82 г )
(і-і£2х)і8х
= 0.
Після спрощення матимемо
ЗІ82х-1
(1-Є82*)і8*
= 0; Зі82х-1 = 0; і£2х = |;
18х = ±^:
X = ±тг+ пп,
о
п є 2.
За знайдених значень х не втрачає смислу і не перетворює на нуль знаменник
дробу. Проте неважко перевірити, що задане рівняння задовольняють також числа
вигляду х = у + пп, не 2.
Втрата розв'язків сталася в результаті застосування теореми додавання для
функції тангенс. Ця теорема виконується, якщо 1{<а, І8Р> *8(а-Р) мають
смисл. Якщо х = — + пп, то І£х не має смислу, тому ці розв’язки було втрачено.
У разі розв'язування заданого рівняння за допомогою формули суми тангенсів
двох чисел втрати розв’язків не буде.
Розв’язуючи тригонометричні рівняння, учні часто потрапляють у
ситуацію, за якої розв’язавши одне й те саме рівняння різними спосо-
бами, вони дістали різні за формою формули загальних розв’язків. їх
еквівалентність можна довести перетворенням формул і об’єднанням
373
кількох формул в одну. Можна також довести рівність множин
розв’язків, записавши у розгорнутому вигляді прогресії, »-м членом
яких є формула загального розв’язку тригонометричного рівняння.
Проте обидва ці способи громіздкі.
Доцільно записати задане тригонометричне рівняння у вигляді
/ (х) = 0, знайти найменший додатний період / функції у = /"(х) і по-
казати, що на проміжку [0; /] кожна з отриманих формул має ту саму
множину розв’язків.
Зручним є також геометричний спосіб: якщо різні формули на
одиничному колі визначають однакові множини точок, що зображу-
ють частинні розв’язки рівняння, то ці множини рівні. Однак така
геометрична інтерпретація можлива лише тоді, коли періодом (не
обов’язково найменшим додатним) функції у = ((х), що є лівою час-
тиною рівняння [ (х) = 0, буде число 2тг.
Програма курсу алгебри і початків аналізу передбачає ознайомлен-
ня учнів зі способами розв’язування лише найпростіших тригонометрич-
них нерівностей вигляду зіп х > а, зіп х < а, соз х > а, соз х < а,
1§х > а, І£х < а. Досвід показав, що найзручніше це зробити за до-
помогою одиничного кола [386].
Показникові рівняння. Щодо означення показникових (і лога-
рифмічних) рівнянь, як і стосовно тригонометричних, існують два
погляди:
1) показниковими (логарифмічними) називати рівняння, в яких
невідоме міститься лише у показнику степеня (під знаком логарифма
або в його основі);
2) показниковими (логарифмічними) називати рівняння, в яких
невідоме міститься не тільки у показнику степеня (під знаком лога-
рифма або в його основі).
Аналогічні погляди існують щодо означення показникових і лога-
рифмічних нерівностей.
Доцільно ознайомити учнів з основними способами розв’язування
показникових рівнянь. До найпростіших показникових рівнянь нале-
жать рівняння вигляду Теоретичною основою його роз-
в’язування є наслідок з властивості монотонності показникової функ-
ції: якщо степені того самого числа, відмінного від одиниці, рівні, то
рівні й їхні показники.
Спосіб зведення обох частин рівняння до
степеня з однаковою основою. Цим способом можна роз-
в’язати показникові рівняння вигляду ах = Ь, а^х^ = Ь, = Ь*^х\
де а > 0, Ь > 0, а Ф 1.
4г2 —3 х 1
Приклад 13.11. Розв’язати рівняння 9 =—.
374
44Г-М _і / ) \ >
Розв’язання. З' ' = 3 ’, звідси 2(4х -Зх | = ~1, 8.Ц - 6т +1 = О,
_ 6 + УІ36 - 32 _ 6 + 2 . г _ 1 г _і
Г’.2-----ЇФ“ ЇГ’ х1-4’Х2-2-
Приклад 13.12. Розв’язати рівняння ч8х 1 = ч42 х.
Розв’язання. 2 2 =2 3 ; — (х - 1) = — (2 - х); 9х-9 = 8-4х; ІЗх - 17;
4
ІЗ'
До такого самого способу зводиться розв’язування деяких рівнянь
вигляду аІ:хЬ,х = с. При цьому застосовують тотожності апЬп =
Приклад 13.13. Розв’язати рівняння 22ї -3Л = 144.
Розв’язання. 22г = (22 V = 4Л‘; 4Г 3х = 144; (4 3)х = 144; 12 х = 122; х = 2
Спосіб логарифмування. Рівняння вигляду = Ь\
аКх) ~ фр(х) завжди можна звести до вигляду = с4*1^ за допо-
могою основної логарифмічної тотожності а = а
„2
Приклад 13.14. Розв’язати рівняння 5' = 2.
Розв’язання. Замінимо число 2 степенем з основою 5, використавши основну
логарифмічну тотожність: 2 = 51ОВз2. Дістанемо рівняння 5 х +х = 5іоа5;
', звідси
Т2 + X = ІО£5 2.
Отже, показникове рівняння звелось до квадратного стосовно
невідомого х. Це саме рівняння можна було отримати відразу,
прологарифмувавши обидві частини заданого рівняння за основою
5 або за будь-якою іншою основою: (х2 + хро^з 5 = 1о§5 2 а(ро
х + х — Іод- 2.
Уведення допоміжної невідомої. Цим способом до-
цільно розв’язувати показникові рівняння, які містять алгебраїчну
суму степенів ВИГЛЯДУ з тією самою основою. При цьому як
нову невідому зручно взяти степінь аІІХ+ь з показником, що має най-
менші числа кх + Ь. Після введення допоміжної невідомої задане
рівняння зведеться до лінійного або квадратного щодо нової не-
відомої.
375
Приклад 13.15. Розв’язати рівняння 2х + 2Х+3 =72.
Розв’язання. Зробимо підстановку 2х = у > 0. Рівняння набере вигляду
у + 8у = 72. Звідси у = 8. Повертаючись до підстановки, матимемо 2х =8; 2х =
= 23; х = 3.
Приклад 13.16. Розв’язати рівняння 4Х+1,5 +7.2Х+1 = 4.
Розв’язання. Взявши 2Х+1 = у > 0 і записавши степінь 4Х+1,5 у вигляді
22(х+1,5) _ -^.х ,23 = 2 • 22х 22 = 2 • 22(х+1\ зведемо задане рівняння до квадратно-
го щодо у. 2у2 + 7у - 4 = 0.
Один із розв’язків, у\ = -4, не задовольняє умову, оскільки значення показ-
никової функції у - 2Л+1 додатне.
Повертаючись до підстановки, дістанемо 2Х+1 =0,5 або 2Х+1 = 2-1; х + 1 = -1;
х = -2.
Спосіб винесення спільного множника за
дужки. Цим способом зручно розв’язувати рівняння, ліва частина
яких є сумою степенів вигляду з тією самою основою і з одна-
ковими коефіцієнтами к у показнику степеня. В цьому разі за дужки
звичайно виносять степінь з найменшим показником.
Приклад 13.17. Розв’язати рівняння 32у“* +32у-2 -32у-4 =315.
Розв’язання. В лівій частині рівняння винесемо за дужки множник 32у~4.
Дістанемо 32*~4(33+32-1) = 315 або 32у ~4 35 = 315; 32у-4 = 9; З2*'4 = З2;
2у -4 = 2; у = 3.
Винесенням множника за дужки зручно скористатися і для
розв’язування рівнянь, ліва і права частини яких є алгебраїчною су-
мою степенів з двома різними основами і лінійними показниками від-
носно невідомої х.
х_3 Х+1
Приклад 13.18. Розв’язати рівняння 4Х+І -5 2 = 5 2 -22х-4.
Розв’язання. Замінимо це рівняння на рівносильне перетворенням:
1 З
22х+2 + 22х-4 = 5 2+5' 2;
г з
22х-4(26+1) = 5ї”2(52+1);
65-22х“4 =26 -5 2.
Розділимо обидві частини отриманого рівняння на вираз 26 -5 2 Ф 0
376
Дістанемо
65 • 22*-4 _5 22ї“4 _ . 22*-4 • 2~’
з *’ 3 *’ з
26-5* 2 2-5 2 5 2.5-1
х-| = 0; х = |.
звідси
Графічний спосіб. Розв’язуючи трансцендентні рівняння,
що містять невідому не тільки у показнику степеня, а й у цілих або
дробових виразах як член рівняння, можна знайти наближені роз-
в’язки графічним способом.
Приклад 13.19. Розв’язати рівняння 2г = X + 2.
Коренями цього рівняння є абсциси точок перетину графіків у — Iх і
у = X + 2 (рис. 13.19).
Показникові нерівності. Важливо
наголосити, що теоретичною основою роз-
в’язування показникових нерівностей є
властивість монотонності показникової
функції, а способи розв’язування анало-
гічні способам розв’язування показни-
кових рівнянь.
Найпростіша показникова нерівність
вигляду > а9^ (або а^х^ < а'9^),
де а > 0, а ф 1, /'(х) і <р(х) — алгеб-
раїчні вирази, за а > 1 рівносильна не-
рівності /(х)><р(х) (або /’(х) < <р(х) ),
а за 0 < а < 1 рівносильна нерівності
/(х)<<р(х) (або /'(х) > <р(х) ).
Способом зведення до однієї основи розв’язують нерівності вигляду
й/їг) > І) (або а^х^ <Ь) і нерівності вигляду а^х^ > Ь'9'^ (або
ЙЛХ) < де а > 0, Ь > 0, а Ф 1. Він полягає у заміні на степінь з
основою а за допомогою основної логарифмічної тотожності Ь =
Ці самі нерівності можна розв’язати способом логарифмування
обох частин нерівності за певною основою.
Приклад 13.20. Розв’язати нерівність 23х ' > 5.
Розв’язання. Замінимо число 5 степенем з основою 2: 5 = 21р8г5. Дістанемо
нерівність 23*-1 > 2ІО8г5, звідси Зх-1>1о§25, х > —~2^
377
Цю саму множину розв'язків дістанемо безпосереднім логарифмуванням
обох частин заданої нерівності за основою 2: (Зх -1) Іо£2 2 > 1о&2 5, звідси
Зх -1 > 1о£2 5.
Способом винесення спільного множника за дужки розв’язують
нерівності, які містять степеневі вирази вигляду акх+Ь з однаковими
коефіцієнтами к в показнику. В цьому разі зазвичай за дужки вино-
сять степінь з найменшим показником.
Приклад 13.21. Розв’язати нерівність 22л~* + 22х-3 - 221-5 > 27-дг + 25^т -
_23-х
Розв'язання. Ця нерівність рівносильна такій;
22г5 (24 - 22 -1) > 23-* (24 + 22 -1) або 22*-5 > 23-г
Звідси 2х - 5 > 3 - х\ Зх > 8; х > 2 .
Окремі види показникових нерівностей, які є алгебраїчними
нерівностями стосовно степеня з однією основою, зручно розв’язати,
ввівши допоміжне невідоме.
Приклад 13.22. Розв’язати нерівність ~ < 0.
Розв’язання. Нехай ( — ) = у > 0. Тоді нерівність набуває вигляду у- — — \<
< 0, оскільки = —.
\2/ у
За умовою у > 0, тому можна помножити обидві частини останньої нерівності
на у. Дістанемо нерівність другого степеня у* - у - 2 < 0.
Розклавши ліву частину цієї нерівності на множники, матимемо (д-2)(у + 1) <
< 0. Оскільки у > 0, то у + 1 > 0, але тоді - 2 < 0, а у <2.
Повертаючись до підстановки у - , дістанемо найпростішу показникову
нерівність <2, звідси < (^) | 2; х > 1<>д2 2.
Логарифмічні рівняння. Для розв’язування логарифмічних рівнянь
використовують логарифмічні тотожності, властивості логарифмів і
операцію потенціювання. Важливо звернути увагу учнів на те, що
оскільки логарифмічна функція визначена лише на множині додатних
чисел, то ще до розв’язування рівняння потрібно знайти область ви-
значення виразів, з яких складається рівняння. Очевидно, наприклад,
що рівняння 1§(х —5) = 1^(3- я) не має розв’язків, оскільки х мають
378
належати спільній частині областей визначення виразів 1§(х-5) і
1§(3-х), тобто множині розв’язків системи
[х - 5 > 0,
[З - х > 0,
або
х > 5,
х < 3.
Оскільки остання система не має розв’язків, то їх не має і задане
логарифмічне рівняння.
Слід застерегти учнів від можливих порушень еквівалентності ло-
гарифмічних рівнянь в результаті виконання тотожних перетворень.
Наприклад, якщо маємо рівняння 1§х2 =3, то, розв’язуючи його
за означенням логарифма, дістанемо два розв’язки. Справді, х =10 ,
х = ±10л/0. Якщо розв’язувати це рівняння на основі твердження про
З
логарифм степеня, то дістанемо 2І£х = 3, 1§х = —, х = 102 = Юх/Го.
Втрата розв’язку сталася внаслідок використання тотожності 1о£д =
= &1о£д и, яка справедлива лише за додатного и.
Доцільно також звести в систему основні способи розв’язування
логарифмічних рівнянь.
Найпростішим є логарифмічне рівняння вигляду 1о§а / (х) = Ь, яке
розв’язується за означенням логарифма за умови, що /”(х)>0. До
найпростіших належить також логарифмічне рівняння вигляду
1°£д А(х) = іо$а <р(х), яке розв’язується на основі наслідку з власти-
вості логарифмічної функції: якщо логарифми двох чисел за однією і
тією самою додатною основою, відмінною від 1, рівні, то рівні й самі
числа. За цим твердженням [ (х) = <р(х) на спільній частині областей
визначення функцій 1о£д/Цх) і Іо£д<р(х).
Найпростіше логарифмічне рівняння 1о£о [(х) = Ь можна роз-
в’язати також способом зведення до рівності логарифмів за однією
основою, якщо записати праву частину — число Ь — як логарифм
виразу за основою а. Справді, Ь = 1о£д аЬ, оскільки 1о£д аь = 61о§д а =
= Ь. Тоді розглядуване рівняння набере вигляду Іо£д /(х) = 1о§д ,
звідки /(х) = а&, якщо тільки [(х) > 0. Цим прийомом заміни числа
логарифмом послуговуються під час розв’язування складніших лога-
рифмічних рівнянь. Доцільно навести чотири способи розв’язування
таких рівнянь.
Спосіб потенціювання. Ним розв’язують логарифмічні
рівняння, ліва і права частини яких є сумою логарифмів за однако-
379
вою основою числових виразів і таких, що містять невідому. У за-
гальному вигляді ці рівняння можна записати так:
1о§а А (х) + 1о£а /2 (х) +... + 1о£а (х) =
= 1°8о Фі (х) + 1о& <Р2 (х) +... + ІО£Д <р„ (х).
Задане рівняння рівносильне системі
А МА* (^)--А» (*) = Фі (х)ф2 (х)...ф„ (х),
А (*) > °-
А> (х) > о,
А» (*) > °-
Ф1 (х) > 0,
Ф2 (х) > 0,
Фи(х)> 0.
Перше рівняння системи отримано в результаті потенціювання
обох частин заданого рівняння.
Приклад 13.23. Розв’язати рівняння ІД х + Ід (х2 - 4 ) = Ід ( х + 2 ) + Ід 3.
Разе’язання. Виконавши потенціювання обох частин наведеного рівняння,
складемо систему
х(х2 - 4) = 3(х + 2),
х > 0,
х2 - 4 > 0,
х + 2 > 0.
Розв’яжемо спочатку рівняння системи:
х(х - 2)(х + 2)-3(х + 2) = 0; (х + 2)(х2 - 2х + 3) = 0,
звідси
Х| = -2; х2 = -1; х3 = 3.
Залишається перевірити, які значення х задовольняють кожну з нерівностей
системи.
Значення х{ = -2 не задовольняє жодну нерівність, х2 = -1 не задовольняє
перші дві, значення х3 = З задовольняє всі три нерівності.
Отже, розв’язком Є X = 3.
Способом потенціювання розв’язують також рівняння, які крім лога-
рифмів за однією основою мають доданками числа, що не містяться під
знаком логарифма. їх попередньо замінюють логарифмом відповідного
виразу.
380
Приклад 13.24. Розв’язати рівняння Іод2 (йх2 - 20) - 2 = 1о§2 6 + 1о§2 х.
Розв’язання. Запишемо це рівняння у вигляді 1од2 (йх2 - 20 ) = 1о§2 22 + 1о^2 6 +
+ 1о§2 х. Звідси дістанемо систему
Йх2 - 20 = 24х,
йх2 - 20 > 0,
х > 0.
Квадратне рівняння йх2 - 24х - 20 = 0 має корені х( = х2 =
Нерівності системи задовольняє х2 = 4^.
Отже, розв’язком є х = ~.
Спосіб введення допоміжної невідомої. До-
поміжну невідому доцільно вводити під час розв’язування рівнянь,
які є алгебраїчним стосовно логарифмів за деякою основою.
Приклад 13.25. Розв’язати рівняння -—;;------------= 1.
5 -18 х 1 + х
Розв’язання. Нехай у = І£х. Дістанемо алгебраїчне рівняння
1
5-у
Розв’язавши його, матимемо корені у\ = 2, у% = 3.
Повертаючись до підстановки, знаходимо 1§х = 2, звідси х = 100; 1§х = 3,
х = 1000.
Отже, розв’язком є х = 100; х = 1000.
Приклад 13.26. Розв’язати рівняння Іодх 75 + 1о£х 5х - 2,25 = І од2 75.
Розв’язання. Оскільки х > 0, х # 1, а ІО£Ж 75 =-і 1о§х 5, то це рівняння на-
бере вигляду Іоц2 5-61о{’ї 5 + 5 = 0. Нехай у = Іощ. 5. Дістанемо квадратне
рівняння у2 - (зу + 5 = 0, звідси у^ = 1, у2 = 5.
Повертаючись до підстановки, матимемо 1о§х 5 = 5, звідси х5 = 5, х - 75;
1о£х 5 = 1, звідси х = 5.
Отже, розв’язками є х = 75; х = 5.
Застосування формули переходу від однієї
основи логарифма до іншої. Якщо рівняння містить ло-
гарифми виразів за різними основами, то, розв’язуючи його, потрібно
насамперед звести всі логарифми до однієї основи.
381
13
12’
основою 3. Тоді
4 3
Приклад 13.27. Розв’язати рівняння 1о§81 х + 1о§27 х + 1о§9 х =
Разе'язання. Замінимо всі логарифми логарифмами за
, ІОЙоХ ІОЄоХ ІОЙаХ 13
рівняння набере вигляду , --- + і—+ : > або
1о§381 ІО£327 1о§39 12
+—= Звідси 131о§3х = 13; Іо£3х = 1; х = 3.
Відповідь, х = 3.
Приклад 13.28. Розв’язати рівняння 1о§ 3 25 + 1о^25л. 5 = 1.
Розв’язання. У цьому рівнянні зручно звести обидва логарифми до основи 5,
оскільки 25 є степенем 5.
Отримане рівняння зводиться до алгебраїчного за допомогою підстановки
У = 1о§5 х
Графічний спосіб. Рівняння, що містять невідому не лише
під знаком логарифма, розв’язують графічним способом.
Приклад 13.29. Розв’язати рівняння 1о§2 х = х -2.
Розв’язками цього рівняння є абсциси точок перетину графіків функцій
у = 1о#2 х і у = х-2 (рис. 13.20).
Логарифмічні нерівності. До най-
простіших логарифмічних нерівностей
належать нерівності вигляду 1о§й/"(х)>
> Ь (або Іо§й / (х) < Ь ), 1о£й [(х) >
> 1о$й <р(х) (або ІО8„ А(х) < 1одй <|>(х)).
Теоретичною основою розв’язування
логарифмічних нерівностей є власти-
вість монотонності логарифмічної функ-
ції. Способи розв’язування логариф-
мічних нерівностей аналогічні способам
розв’язування логарифмічних рівнянь.
Найпростішу нерівність 1о£й [ (х) > Ь (або 1о£й /'(х) < Ь ) зручні-
ше розв’язувати зведенням лівої частини до логарифма за основою а,
тобто Ь = 1о§й аЬ, потім скористатися властивістю монотонності лога-
рифмічної функції.
Потрібно спеціально наголосити на вимозі враховувати області ви-
значення виразів, які містить нерівність.
Приклад 13.30. Розв’язати нерівність 1о§5 (3 - х ) < — 1.
Разе’язання. Зведемо цю нерівність до рівносильної:
10^5 (3-х) сі0855
382
яка рівносильна системі
З - х > 0.
Відповідь. (2,8; 3).
Нерівність вигляду 1о£й (X ) + 1о§а /2 (х )+... + 1о£а (х) >
> 1о§а <р1 (х)+ 1о§а (р2 (х) + + 1°8с Ф«г (х) за а>\ рівносильна си-
стемі
А (*)А> (*) -Аг (х) = Ф1 (*)<Р2 (*)-<Рт (*)
А(х)>0,
/2(х)>0,
АЛ^)>о,
Ф1 (х) > 0,
Ф2 (х) > 0,
Фш (*) > 0-
Приклад 13.31. Розв’язати нерівність х/.Зх -5 + (2х -4) < 2 -1§5.
Розв’язання. Ця нерівність рівносильна такій: — 1&(3х - 5) + (2х - 4) < І£ 20,
звідси
1§(3х - 4) + 1§(2х - 4 ) < 1$400.
Отримана нерівність рівносильна системі
(Зх - 5 )(2х - 4) < 400,
Зх - 5 > 0,
2х - 4 > 0;
-^<х<10,
Відповідь. (2; 10).
Ірраціональні рівняння і нерівності. Ірраціональними називають
рівняння, що містять невідому під знаком кореня. Аналогічно озна-
чають ірраціональні нерівності. Слід звернути увагу учнів, що скла-
довими ірраціональних рівнянь і нерівностей є лише арифметичні ко-
рені. Такий підхід дає змогу уникнути неоднозначного тлумачення зна-
чень коренів.
Розв’язування ірраціональних рівнянь пов’язується з вивчен-
ням в 11 класі властивостей кореня п-го степеня. В посібнику [386]
383
передбачено ознайомити учнів зі способом розв’язування найпрос-
тіших ірраціональних рівнянь, які містять корені, здебільшого друго-
го і третього степенів. Основною метою під час розв’язування таких
рівнянь є зведення ірраціонального рівняння до алгебраїчного за до-
помогою перетворень, які дають можливість позбутися коренів. До-
цільно ознайомити учнів з двома способами розв’язування ірраціо-
нальних рівнянь.
Піднесення обох частин рівняння до степеня
з показником, який дорівнює показнику коре-
ня. В цьому разі слід пам’ятати, що після піднесення до квадрата
обох частин рівняння
А = В (13.14)
отримане рівняння
Л2 = В2 (13.15)
2 2
може виявитися нерівносильним першому. Справді, рівняння А = В
рівносильне рівнянню А2 — В2 =0 або (А - В)(А + В) = 0.
Останнє приводить до двох рівнянь: А - В = 0, або А = В, яке
збігається з рівнянням (13.14) і А + В = 0, або А = -В.
Друге рівняння відрізняється від рівняння (13.14), і якщо воно
має розв’язки, то вони будуть сторонніми для рівняння (13.14). їх
доведеться відкинути.
Сторонні розв’язки зазвичай встановлюють перевіркою. Тому, роз-
в’язуючи ірраціональні рівняння таким способом, потрібно виконати
перевірку (або не виконувати її, якщо заздалегідь визначено, що
рівняння А = -В не має розв’язків). Як і при розв’язуванні лога-
рифмічних рівнянь, слід враховувати, виходячи з означення арифме-
тичного кореня, область допустимих значень невідомої для коренів,
які містить рівняння.
Приклад 13.32. Розв’язати рівняння Ух - 2 = х - 4.
Розв’язання. Після піднесення обох частин рівняння до квадрата дістанемо
квадратне рівняння х - 2 = х2 - 8х + 16. Воно має корені х( = З і х2 =6.
Перевірка здобутих значень х виявляє, що дане рівняння задовольняє лише
число х = 6.
Якщо заздалегідь визначити область допустимих значень х, розв'язавши сис-
тему
Гх-2 >0,
[х - 4 > 0,
звідси х > 4, то можна без перевірки відкинути х( = 3 •
384
Приклад 13.33. Розв’язати рівняння 2уі2х2 + х3 + 15 - х = х + 2.
Розв’язання. Відокремимо корінь і піднесемо обидві частини отриманого
рівняння до третього степеня:
2\І2х + х3 +15 = 2х + 2, або >І2х + х3 +15 = х +1;
2х + х3 + 15 = х3 + Зх2 + Зх + 1, або Зх2 + х -14 = 0.
Останнє квадратне рівняння має два корені: х( = -2-і і х2 = 2. Перевірка по-
казує, що обидва вони задовольняють дане рівняння.
Відповідь. х(= -2^ і х2 = 2.
Спосіб введення допоміжної невідомої. Цей
спосіб зручно використовувати в двох випадках.
1. Дано рівняння, алгебраїчне відносно кореня.
Приклад 13.34. Розв’язати рівняння уіх2 - 5Ух + 6 = 0.
Розв’язання. Це рівняння можна записати у вигляді (У*) -бУх + 6 = 0. По-
значивши у = уіх, дістанемо квадратне рівняння у2 - 5у + 6 = 0, яке має корені
г/1 =2. у2 = 3.
Повернувшись до підстановки, отримаємо: а) 2 = >[х, звідси х = 8; б) 3 = Ух,
звідси х = 27.
Відповідь. Х| = 8, х2 = 27.
2. Підкореневі вирази мають однакові алгебраїчні вирази відносно
невідомої або такі самі вирази містять рівняння без кореня.
Приклад 13.35. Розв’язати рівняння х/зх2 -2х + 15 + х/зх2 - 2х + 8 = 7.
Розв’язання. Нехай у = х/Зх2 - 2х + 8. Тоді у2 = Зх2 - 2х + 8, а Зх2 - 2х + 15 =
'= у2 + 7. Задане рівняння набере вигляду у + у]у2 + 7 = 7, або у]у2 + 7 = 7 - у.
Після піднесення обох частин останнього рівняння до квадрата дістанемо рівняння
у2 + 7 = 49 - 14у + у2, або 14у = 42, у = 3.
Повертаючись до підстановки, матимемо х/зх2 -2х + 8 = 3, Зх2-2х + 8=9,
п 1
або Зх - 2х — 1 = 0. Звідси х( = , х2 - 1.
Відповідь. х(=--і; х2 = 1.
Приклад 13.36. Розв’язати рівняння х2 - х - х/х2 - х + 13 = 7.
Розв’язання. Нехай х/х2 -х + 13 = у £ 0. Позначимо підкореневий вираз як у.
Тоді у2 = х2 - х + 13, а х2 - х = у2 -13.
13 Слзпкапь 3. І.
385
Замість виразів х2-х і \х2-х + 13 підставимо їхні позначення. Дістанемо
квадратне рівняння г/2-13-у = 7, або у2-у-20 = 0; у} = -4; у-А = 5.
Оскільки за умовою у > 0, то корінь = -4 відкидаємо, залишається у - 5.
Повертаючись до підстановки, матимемо Тх2 - х + 13 = 5, звідси х2 - х + 13 =
= 25, х2 - х - 12 = 0, х-і = -3; х2 = 4.
Відповідь. X] = -3; х2 = 4.
Ірраціональні нерівності. Відповідно до програмних вимог обо-
в’язкових результатів навчання можна не ознайомлювати учнів зі спо-
собами розв’язування ірраціональних нерівностей. Однак на підви-
щеному і поглибленому рівнях потрібно передбачити розв’язування най-
простіших ірраціональних нерівностей.
Ірраціональна нерівність (х) < §(х) рівносильна системі нерів-
ностей
77м > о,
8 (*) > 0,
(77оо)2 > (н*))2-
Ірраціональна нерівність (х) > .у(х) рівносильна сукупності двох
систем
А(х-)>0,
#(х) > 0,
(7777) )2 >(#(*))2;
/(х)>0,
8 (х)<0.
Приклад 13.37. Розв’язати нерівність 7х + 61 < х + 5.
Розв’язання. Ця нерівність рівносильна системі нерівностей
х + 61 > 0,
х + 5 > 0,
х + 61 < х2 + ІОх + 25;
х > -61,
х > -5,
х2 + 9х - 36 > 0;
х > -5,
х2 +9х-36>0.
Розв'яжемо графічним способом
квадратну нерівність. Оскільки х, 2 =
9 + /81 а чк 9.15 .
= “2±^Т + 36 2 ±Т’ Х1=~9 * * 12’
х2 = 3, то нерівність виконується в
позакореневому інтервалі (рис. 13.21).
386
Множини розв’язків першої та другої нерівностей перетинаються па проміжку
(3; + ).
Відповідь. (3;+°о).
Приклад 13.38. Розв’язати нерівність \Іх - 2 > х - 3.
Разе’язання. Оскільки вираз х-3 може бути і додатним, і від’ємним, то за-
дана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
1)
або
х2 - їх + 11 < 0.
2
(Тх^2)2 >(х-3)2, х-2>х2-6х + 9;
Розв’язавши графічно квадратну нерівність, дістанемо множину розв’язків
Її перетином з множиною розв’язків першої нерівності є
множина 3 < х < (рис. 13.22).
Множиною розв’язків цієї системи є множина 2 < х < 3.
Об’єднуючи множини розв’язків обох систем, дістанемо множину розв’язків
заданої нерівності 2 < х < - (рис. 13.23).
13.5. Границя функції та неперервність
У традиційних курсах математичного аналізу розглядались три види
границь: границя змінної, границя числової послідовності та границя
функції. У сучасних курсах розглядають лише останні два види.
У шкільному курсі математики до 60-х років XX ст., тобто до вве-
дення курсу «Алгебра й елементарні функції», вивчали то границю
змінної, то границю числової послідовності. Причому ця тема запро-
ваджувалась у курсі геометрії перед розглядом довжини кола і площі
круга.
У 70 —80-х роках шкільна програма передбачала вивчення границі
числової послідовності та границі функції. Пізніше було залишено
лише границю функції. Останніми роками з програми шкільного курсу
387
алгебри і початків аналізу було виключено явне вивчення поняття
границі. Пояснювалось це тим, що переважна більшість учнів не
сприймає означення границі функції. Вважалось, що інтуїтивне уяв-
лення про границю учні мають дістати в процесі введення поняття
похідної.
Однак шкільна практика останніх років свідчить, що вилучення зі
шкільної програми явного вивчення границь не сприяло полегшенню і
глибшому усвідомленню понять похідної та інтеграла. Тому розроб-
ники нової шкільної програми знов повертаються до вивчення понят-
тя границі функції. Воно є одним із найважливіших понять матема-
тичного аналізу і водночас — одним із найскладніших для розуміння
не тільки учнів, а й студентів. І це не випадково. Труднощі спричинені
тим, що перехід від скінченного до нескінченного, від дискретного до
неперервного потребує високого рівня розвитку абстрактно-теоретич-
ного мислення, тоді як пряме перенесення уявлень про скінченне на
нескінченне призводить до помилок.
Зазначені труднощі відчували і видатні математики в процесі фор-
мування й уточнення поняття границі. Відомо, що перше означення
границі сформулював усередині XVII ст. Дж. Валліс (1616 — 1703).
Однак у той час ще не було чіткого розуміння основних понять, по-
в’язаних з теорією границь, зокрема поняття нескінченно малої. Цей
термін розуміли як вказівку на розміри величини, а не на характер її
зміни. Сам Г. Лейбніц зауважував можливість розглядати нескінченно
малі величини як величини незрівнянно малі (наприклад, порошинка
відносно Землі). Ж. Д’Аламбер (1717 — 1783), автор найвдалішого
для XVIII ст. означення границі, вважав, що змінна величина не
може набувати значення, що дорівнює тій границі, до якої вона
прямує. О. Коші (1789 — 1857), який сформулював у 1829 р. за-
гальне означення границі, не обґрунтовуючи, переносив власти-
вості скінченних сум неперервних функцій на випадок нескінченної
суми їх.
В історії розвитку математичного аналізу і шкільного курсу іс-
нували різні методичні варіанти щодо введення границь. На сучасно-
му етапі поширені два підходи до запровадження поняття границі
функції:
1) вводиться означення за Коші, тобто означення границі функції
в термінах є, 5;
2) вводиться означення за Гейне, тобто з використанням границі
числової послідовності. Цей варіант потребує попереднього вивчення
поняття границі числової послідовності.
Розглянемо ці два методичні варіанти, але спочатку наведемо ва-
ріант методики вивчення поняття границі числової послідовності.
Границя числової послідовності. Перш ніж вводити формальне
означення границі числової послідовності, потрібно сформувати її
наочно-інтуїтивне уявлення. З цією метою доцільно розглянути
388
а\ а2 аз а$ аз аз
0 1 —1 1 [ ' —[— 1 3 6 9 12 15 18
Об а4 аз а2 а>
-12 -10 і і г— і' "і 1 1 г -8 -6 -4 -2-1 0 1
аю а4 аз «2 а}
-------1---------------------------—і -і—і--------1-------------1---—
0 1 И 5 4 3 2
10 4 3 2
аі а2 аз а4
-------,----------------------------1 •— -----1----1---1 •---•-
0 1 3 5 ]_ 2
2 3 4
йі аз, а4 а2
------1-------------1------------1--------—»----1—і-----1-----------•-
0 1 2 8 з 132 4
З 4 2
Рис. 13.24
приклади п’яти нескінченних послідовностей: зростаючих, спад-
них, коливальних, які не мають границі та які мають її. Водночас
для кожної послідовності слід подати їх геометричну інтерпретацію
(рис. 13.24):
1) 3, 6, 9, 12, .. , Зп, ...;
2) -2, -4, -6, ..., -2п, ...;
3) 2, |, ..., ^±1, ...;
2 3 4 п
4) і 3 5 7 9 2п -1
’ 2’ 3’ 4’ 5”” п
9 2 8 13 3?? + (-1)”
’ ’ 2’ 3’ 4 п
Насамперед учитель зазначає, що поїщтгя границі застосовне лише
ДО нескінченних послідовностей. Аналізуючи «поведінку» членів
кожної з наведених послідовностей, учні ДОХОДЯТЬ висновку, що пер-
ша З НИХ Є зростаючою нескінченною ПОСЛІДОВНІСТЮ, члени якої мо-
жуть перевищити як завгодно велике, Наперед задане число Друга
послідовність — спадна, члени її можугь стати меншими від будь-
якого від’ємного числа, а за модулем вогщ перевищують будь-яке до
датне число. У третьому прикладі маємо нескінченно спадну послі-
довність. її члени, зменшуючись, як завгодно близько наближаються
до числа 1, залишаючись праворуч від нього. У четвертому прикладі
члени послідовності, зростаючи, як завгодно близько наближаються
до числа 2, залишаючись ліворуч від нього. В останньому прикладі
маємо коливальну послідовність, члени якої з обох боків як завгодно
близько наближаються до числа 3.
389
Отже, у трьох останніх послідовностях їхні члени як завгодно
близько наближаються до певного числа. Це число і називають гра-
ницею послідовності.
Щоб сформулювати загальне означення границі числової послі-
довності, потрібно математичною мовою записати властивість членів
послідовності як завгодно близько наближатися до певного числа.
З цією метою розглянемо відстані кожного члена, наприклад чет-
вертої послідовності, від числа 2. Оскільки відстань між двома точ-
ками на координатній прямій дорівнює модулю різниці їх координат,
то дістанемо
кі-2| = |1-2| = 1;
_1_.
10’
|у о| _ [199 п| _ 1
І’00 2‘ 1100 П 100’
іу _2і = |201_2| = _Ь-
1101 1 1101 І 10Г
Отже, різниця між членами послідовності та числом 2 зі зростан-
ням номера члена весь час зменшується і може стати меншою від як
завгодно малого, наперед заданого додатного числа є. Нехай, на-
приклад, є = 0,01. Номер члена, після якого виконується нерівність
|хи - 2| < < є, позначають буквою N. Для розглядуваного прикладу
N = 100. За п > 100|х„ -2| <0,01.
Таку саму властивість мають числа 1 і 3 у третьому та п’ятому
прикладах.
Тепер можна сформулювати означення границі числової послі-
довності та запровадити відповідні символи: Ііш хп = а, або хп —> а,
п—>°°
ЯКЩО П -» оо.
Доцільно сформулювати без доведення достатню умову існування
границі послідовності (теорема Вейєрштрасса) та теореми про грани-
цю суми (різниці), добутку і частки послідовностей. Потрібно роз-
390
в’язати кілька вправ на застосування цих теорем, зокрема в гео-
метрії.
Границя функції. Спочатку доцільно нагадати означення границі
числової послідовності, якщо її вже введено, і звернути увагу учнів
на те, що числова послідовність — це також функція, визначена на
множині натуральних чисел. Значеннями її членів є окремі числа.
У такому разі кажуть, що функція змінюється дискретно. Потім ста-
виться мета розглянути поняття границі функції, областю визначення
якої є будь-яка множина. Пояснення доцільно розпочати з прикладів
і графічних ілюстрацій з тим, щоб учні, насамперед на наочно-
інтуїтивному рівні, зрозуміли, що границя функції — це число, до
якого як завгодно близько наближаються значення функції, коли зна-
чення аргументу прямують до певного числа, до +°= або
Введення означення за Коші. Проаналізуймо, як поводяться
1 2
значення, наприклад, функції у = — х +2, коли значення аргументу х
як завгодно близько наближається до числа 2. Із графіка випливає, що
коли х наближається до числа 2 зліва чи справа, відповідні значення
[ (х) як завгодно близько наближаються до числа 4 (рис. 13.25).
1 2
У такому випадку кажуть, що функція /(х) = ^х +2 має грани-
цею число 4, якщо х —> 2, і символічно записують Ііт НгХ2 + 21 = 4.
х->‘2\2 /
Простежимо, як поводяться значення, наприклад, функції
/’(х) = х ~~ 9, якщо х —> 3.
х-3
На відміну від попереднього прикладу в точці х = 3 функція не
визначена. Проте з графіка (рис. 13.26) випливає, що коли х —> З, то
відповідні значення функції [ (х) як завгодно близько наближаються
391
до числа 6. У такому випадку також вважають, що число 6 є грани-
х^ — 9 т2 _ а
цею функції / (х) =--— за хчЗ, і записують Ііш —---= 6.
х — 3 х—>3 х — З
Спробуємо мовою математики сформулювати істотні властивості
границі функції у вигляді означення. Для цього задамо в першому
прикладі як завгодно мале додатне число є
і побудуємо є-окіл точки 4 (рис. 13.27).
1 2
Усі значення /”(х) = —х +2, які містяться
в околі точки 4, тобто всередині відрізка
МІ\’, задовольняють нерівність 4 - є < / (х) <
Віднявши від усіх трьох частин нерівно-
сті число 4, дістанемо нерівність -є < /Дх)-
- 4 < є або рівносильну їй нерівність
|/"(х)-4|<є. (13.16)
Відомо, що поведінка значень функції
залежить від того, яких значень набуває
аргумент х. З’ясуємо, для яких х виконується нерівність (13.16). Для
цього проведемо з точок М і N перпендикуляри до перетину з
графіком функції в точках С і О і опустимо з них перпендикуляри па
вісь х. На перетинах з віссю х дістанемо точки Р і (}, які визначають
несиметричний відносно х = 2 відрізок. Відрізок Р<2 містить, крім
точки 2, всі значення аргументу х, відмінні від х = 2, для яких вико-
нується нерівність (13.16).
Очевидно, що РР > Р(). Довжину меншого відрізка Р^ позначи-
мо як 8 і побудуємо 8-окіл точки 2. Всі значення аргументу х, що
містяться в 8-околі точки 2, задовольняють нерівність
2-8<х<2 + 8.
Віднявши від усіх частин цієї нерівності число 2, дістанемо нерів-
ність -8 < х - 2 < 8 або рівносильну їй нерівність
|х-2|<8. (13.17)
Отже, для тих значень х, які задовольняють нерівність |х — 2| < 8,
виконується нерівність |/ (л) — 4| < є. Геометрично це означає, що
тільки-но значення аргументу х, яке прямує до числа 2, потрапляє в
8-окіл точки 2, відповідне значення [(х) функції потрапляє в є-окіл
точки 4. Для другого прикладу графічну ілюстрацію наведено на
рис. 13.28.
392
Числовий проміжок Р^ і значення 5 для будь-якого наперед
заданого є > 0 можна знайти аналітично, розв’язуючи відповідні
нерівності. Доцільно проілюструвати міркування на такому прик-
ладі.
Задамо наперед число є > 0 і поставимо за мету знайти відповідно
число 8>0 таке, щоб для всіх х * 3 і таких, що |х-3|<8, викону-
валася 6 нерівність |/(х) - 6| < є.
Припустимо, що остання нерівність виконується, тобто
х2 — 9
х - З
-6
< є.
(13.18)
Виходячи з нерівності (13.18), оцінимо |х-3|, у нашому випадку
розв’яжемо нерівність стосовно |х-3|. Якщо х 3, то скоротивши
дріб на х - 3, дістанемо нерівність |(х + 3) - 6| < є або |х - 3| < є.
Отже, в розглядуваному прикладі можна взяти 6 = є, чому від-
повідає і графічна ілюстрація на рис. 13.28.
Після розгляду прикладів можна сформулювати означення функції
у ~ /Xх) * Ше Раз проілюструвати його на рисунку (рис. 13.29).
Означення 13-Ю. Число Ь називають границею функції у = /“(х)
за х —> а (або в точці а), якщо для будь-якого наперед заданого чис-
ла є > 0 знайдеться таке число 8 > 0, залежне від є, що для всіх
хФа і таких, які задовольняють нерівність |х - а\ < 8, виконується
нерівність |/'(х)-Ь|<є.
Зауважимо, що замість умов х / а і |х - «| < 8 в означенні можна
було б записати одну нерівність 0 < |х - < 8. Проте досвід доводить,
Ра-Ьа(2 х
Рис. 13.29
393
що учні важче сприймають таку форму запису, оскільки з неї ще пот-
рібно зробити логічний висновок про умову х Ф а.
Учні краще усвідомлюють означення границі за Коші, якщо від-
разу розказати їм про застосування означення для доведення рів-
ностей вигляду Ііт /"(х) = Ь за заданих значень а і Ь. У таких при-
х->а
кладах важливо навести учням хід міркувань. Для самостійного роз-
в’язування доцільно пропонувати здебільшого лінійні функції, в яких
відшукання 8 за заданим наперед є не пов’язане зі складними
нерівностями.
Приклад 13.39. Довести за допомогою означення границі функції рівність
Ііт (5х +1) = 16.
х—>3
Доведення. Достатньо довести, що для будь-якого наперед заданого числа
Е > 0 можна знайти таке число 5 > 0, що для всіх хф а і таких, що |х - 3| < 8,
виконується нерівність
|(5х + 1)-16| < е. (13.19)
Припустимо, що нерівність (13.19) виконується. Виходячи з цієї нерів-
ності, оцінимо |х-3|. Для цього розв’яжемо її щодо |х-3|, виконавиці пере-
творення в лівій частині нерівності (13.19): |5х-15|<є; |5(х-3)|<е; 5|х-3|<е,
звідси
|х-3|<|.
(13.20)
Отже, для всіх х Ф 3 і таких, які задовольняють нерівність (13.20), вико-
нується нерівність (13.19). Тому можна взяти 8 = ^.
Приклад 13.40. Довести, використовуючи означення границі функції, що
Ііт (їх2 + 2І = 4.
х->2 \ І /
Доведення. Покажемо, іцо для будь-якого наперед заданого є > 0 можна знай-
ти таке 8 > 0, що для всіх х ф 2 і таких, що |х — 2] < 8, викопується нерівність
І(Р+2Н<'-
(13.21)
Припустимо, що нерівність (13.21) виконується. Виходячи з неї, оцінимо
|х-2|. Зробити це лише тотожними перетвореннями лівої частини і роз-
в’язуванням нерівності стосовно |х-2| не вдається. У таких випадках застосову-
ють спосіб підсилення нерівності (13-21) з метою отримати простішу нерівність,
яку легко розв’язати щодо |х-2|.
Запишемо спочатку нерівність (13.21) у вигляді
|х-2||х + 2|
2
< Е, звідси
(13.22)
394
Замінимо множник |х + 2| в нерівності (13.22) числом, якого він не переви-
щує. Цим самим підсилимо нерівність (13.21) і дістанемо іншу, простішу
нерівність. З цією метою па шукане б накладемо обмеження: 8<1. Тоді
|х - 21 < 1, або -1 < х - 2 < 1, звідки, додавши по 4 до всіх трьох частин останньої
нерівності, отримаємо 3 < х + 2 < 5. Отже, |х + 2| < 5.
Замінимо в нерівності (13.22) множник |х + 2| числом 5. Матимемо нову
нерівність
(13.23)
Якщо х задовольняє нерівність (13.23), то тим більше воно задовольняє
нерівність (13.22), а тому її нерівність (13.21). Останні міркування доцільно
проілюструвати учням на прикладі звичайної числової нерівності: якщо 5 < 8, то
тим більше 2 < 8.
Нерівність (13.23) розв’яжемо щодо |х-2|. Дістанемо |х-2|<—е.
2
Отже, за 8 потрібно взяти менше з двох чисел 1 і — Е.
Доцільно звернути увагу учнів на те, що графічні ілюстрації та роз-
глянуті приклади свідчать про залежність шуканого числа б від зада-
ного є: що менше є, то менше 8. Знайдене 8 можна зменшувати.
Теореми про цганнцю суми, різниці, добутку та частки функцій на
рівні обов’язкових результатів можна сформулювати без доведення і
лише навчити учнів використовувати ці теореми для обчислення гра-
ниць. Для класів з поглибленим вивченням математики й учнів зви-
чайних класів, які навчаються на «9 12», можна запропонувати до-
ведення зазначених теорем за підручником [386].
Введення означення за Гейне. За пропонованою методикою
1 2
насамперед доцільно розглянути приклади функцій / (х) = — х +2 і
але в дещо іншому аспекті.
1 2
Розглянемо поведінку функції А(г) = 2 х + ЯК1ЦО значення х як
завгодно близько наближаються до числа 2. Значення аргументу х
можуть прямувати до числа 2 по різному. Нехай, зокрема, вони утво-
рюють послідовність 1,9; 1,99; 1,999; ..., члени якої як завгодно
близько наближаються до числа 2, тобто хп —> 2 за п —> <*=.
1 2
Відповідні значення функції /(х) = +2 в цьому разі утворю-
ють послідовність 3,8050; 3,9801; 3,9980, ..., члени якої як завгодно
близько наближаються до числа 4, тобто Ііт /(х„) = 4.
п—я»
395
Візьмемо іншу послідовність значень аргументу х, що має грани-
цею також число 2. Наприклад,
2,1; 2,01; 2,001, .... хп -> 2, п -л «
Відповідна послідовність значень функції
4,2050, 4,0201; 4,0020,...
має границею число 4, тобто Ііш /(хп) = 4.
и—>оо
Хоч би яку іншу послідовність значень аргументу х, що має гра-
ницею число 2, було взято, відповідні послідовності значень функції
[ (х) матимуть границею число 4.
1 2
У такому разі вважають, іцо функція [(х) = — х + 2 за х —>2 має
границею число 4, і символічно записують Ііш + 2^=4
д-2 _ о
Характер зміни значень функції [ (х) - ~—— можна простежити
за таблицею:
х„ 2,9 2,99 2,999 2,9999
5,9 5,99 5,999 5,9999
хп 3,1 3,01 3,001 3,0001
ї(х’п) 6,1 6,01 6,001 6,0001
Отже, для двох різних послідовностей значень аргументу х, які
мають границею число 3, відповідні послідовності значень функції
((х) мають границею одне її те саме число 6.
Для будь-якої іншої послідовності значень аргументу х, що має
границею число 3, відповідна послідовність значень цієї функції має
границею число 6. У цьому разі також вважають, що функція /(х) =
х2 - 9 х2 — 9
= ——— має границею число 6 за х —» З, і записують Ііш -------— = 6.
х — 3 х—>3 х — З
Учні можуть зробити висновок, що для будь-яких функцій вико-
нується така властивість, як у попередніх прикладах. Щоб цього не
трапилось, доцільно розглянути ще такі приклади.
З’ясуємо, як змінюються значення функції Діріхле
. П, якщо х — раціональне,
' ’ [0, якщо х — ірраціональне,
за х —> 0.
396
Виберемо послідовність ірраціональних значень аргументу, шо має
границею число 0:
П7 У2 х/2 а/2 __ р
<2, —х —> і) за п —> «.
2 3 п
Відповідно послідовністю значень функції буде послідовність
0, 0, 0, ... , 0, ... ,
яка має границею число 0.
Якщо взяти послідовність раціональних значень аргументу, що має
границею число 0,
' ? 5.....І..... 33
то відповідно послідовністю значень функції буде ПОСЛІДОВНІСТЬ
1, 1,1,... , 1, ...,
яка має границею число 1, тобто Ііш / (хга ) = 1.
Я—>оо
Отже, в цьому прикладі за х = 0 для двох різних послідовностей
значень аргументу, що мають границею число 0, відповідні послі-
довності значень функції мають різні границі. У такому разі вважа-
ють, що функція не має границі за х —> 0.
Тепер розглянемо функцію /(х) = 2 х за х —> 0.
Візьмемо послідовність значень аргументу, що має границею число 0,
наприклад, 1,
І
2’
і
З’
— Відповідна послідовність значень
функції 2, 22, 23,.... 2”,... не має границі.
Якщо взяти послідовність значень аргументу -1,
1
2’
—що мас
п
чень функції і,
границею число 0, то
__І _1_ 1-
22 ’ 23 ' 2"”‘
відповідна послідовність зна-
має границею число 0.
У цьому разі вважають, що за х —> 0 функція не має границі.
Після розглянутих прикладів можна сформулювати означення гра-
ниці за Гейне.
Означення 13.10. Число Ь називають границею функції у = [ (х)
за х —> а (або в точці й), якщо для будь-якої послідовності значень
аргументу, відмінних від о,
Хр Х2, Хд, .. , Хп, ...
397
з границею, іцо дорівнює а, відповідна послідовність значень функції
А(л’і). А(*2)> А(хз)>-> /(Лп)>-
мас границею число Ь.
Слід звернути увагу учнів, що в наведеному означенні йдеться не
про одну послідовність значень аргументу, а про безліч усіх можли-
вих послідовностей, які мають границею число а.
Досвід свідчить, що приклади на доведення існування границі функції
за допомогою означення за Гейне не спричинюють труднощів в учнів, як-
що вони навчилися визначати границі числових послідовностей.
Приклад 13.41. Довести, використовуючи означення границі функції за Гейне, що
Ііт (±х2 + 2І = 4.
х—>2*2 /
Доведення. Оскільки ця функція визначена для всіх значень х, то
візьмемо будь-яку послідовність значень аргументу, яка має границею число 2,
тобто Ііт хп = 2.
Відповідна послідовність значень функції
1 -.2 1 „2 , о 1 2 , 1 2 , п
— Х| +2, —Х2+2, — Х3+2,..., -ХпА-Л,...
має п-й член Ґ(х„) = -~х„ + 2.
З урахуванням теорем про границі і взявши до уваги, іцо Ііт х„ = 2, знахо-
димо 1іт/’(х„):
Я—>оа
ііт (~х2 + 2І = Ііт ^х2 + ііт 2 = 1 Ііт х„ 1 Ііт х„ + 2 = І2-2 + 2 = 4.
77—>со \ 2 / п—>оо 2 и—><=О 2 м—>оо " 2 " 2
Доцільно звернути увагу учнів на те, що оскільки було вибрано будь-яку
послідовність значень аргументу, яка має границею число 2, то тим самим охоп-
лені всі можливі такі послідовності.
У випадку, коли функція не існує за певних .значень аргументу (на-
Л-2 _ 9 г _ ч
приклад, /’(х) = —----------- не існує, якщо х = 2 і х = 3), длядове-
х - 5х + 6
дення існування границі цієї функції за х —> 3 вибирають будь-яку
послідовність значень х, що має границею число 3, але з членами, від-
мінними від 3.
Неперервні та розривні функції. Поняття неперервності функ-
ції в точці — одна з важливих її властивостей, наочно-інтуїтивне
уявлення про яку учні вже дістали в процесі побудови графіків різ-
них функцій.
У курсі алгебри і початків аналізу ставиться за мету, ґрунтуючись
на набутих уявленнях, ввести означення функції, неперервної в точці
398
Хц і па відрізку, застосувати ці означення для доведення неперервності
вивчених раніше найпростіших функцій.
Потрібно звернути увагу учнів на те, що поняття неперервності придатне
не лише для дослідження властивостей функцій та побудови їх
графіків. Границі неперервних у точці х = а функцій обчислити значно
простіше, якщо використати рівність Ііт/(х) =/Дп). Властивістю
.г—>а
неперервності функцій послуговуються під час доведення теорем про
похідні та в різних інших питаннях математичного аналізу.
У курсах математичного аналізу вищої школи поширені кілька озна-
чень неперервності функції в точці: за Коші, за Гейне, із застосуванням
границі функції в точці, поняття приросту аргументу і приросту функ-
ції, лівої та правої границь функції.
Вибираючи означення для шкільного курсу алгебри і початків
аналізу, потрібно керуватися вимогою найбільшої доступності його
для учнів і потребами використання в подальшому вивченні цього
курсу.
Досвід доводить, що найдоступнішим для сприймання учнями є озна-
чення за допомогою границі функції
Ііт А(г) = А(хо) ’ а для засто-
сування (насамперед до доведення теорем про похідні) зручним є озна-
чення за допомогою приростів аргументу та функції. Причому останнє
означення учні легко дістануть із попереднього. Вводячи означення не-
перервної в точці функції, доцільно використати графічні зображення
насамперед відомих учням функцій. При цьому слід нагадати учням,
що раніше, будуючи графіки функцій, вони знаходили кілька точок
графіка і сполучали їх суцільною лінією. Виникає запитання: чи
завжди графік тієї чи іншої функції — суцільна лінія? Виявляється,
у
ні. Наприклад, графік функції у = х є суцільною лінією, а графік
2
функції у = — складається з двох окремих гілок. У таких випадках
х
кажуть, що функція у = х2 неперервна за будь-якого значення аргу-
2
менту х, а функція у = — має розрив у точці х = 0.
Доцільно навести деякі інші графіки розривних функцій, заздалегідь
заготовивши рисунок (рис. 13.30).
Аналізуючи кожний графік, можна скористатися будь-яким означен-
ням границі функції, яке вводилось в школі. Зокрема, розглядаючи оз-
начення границі за Гейне, неважко помітити, що в прикладі на рис.
13.30, а для довільного значення аргументу х0 і будь-якої послідовності
значень змінної х, що має границею х0, відповідна послідовність зна-
чень функції має границю, яка дорівнює /(х0).
399
2
Наведена на рис. 13.30, б функція у=— розривна в точці х = 0,
тому що в цій точці вона не визначена.
Функція ( (х) = [х] (рис. 13.30, в) визначена за будь-якого дійсного
значення аргументу, але має безліч розривів за кожного цілого значен-
ня х. Причиною розриву, наприклад у точці х0 = 1, є те, що для двох
різних послідовностей значень аргументу, менших від 1 і більших за 1,
члени яких прямують до 1, відповідні послідовності значень функції
мають різні границі Перша послідовність
0, 0, 0, .... 0, ...
має границею число 0, а друга
1, 1, 1, ..., 1, ...
має границею число 1. Отже, в точці х0 = 1 функція ((х) = [х] не
має границі. Це і є причиною розриву функції в цій точці.
Як випливає з рис. 13.30, г, функція розривна в точці х0 = 1,
оскільки не визначена в ній, а на рис. 13.30, д причина розриву
функції в точці х0 = 0 та сама, що й у функції на рис. 13.30, в.
400
Функція, наведена на рис. 13.30, е, визначена за будь-якого
дійсного значення аргументу. У точці х0 = 0 вона розривна з тієї при-
чини, що значення границі Ііт [(х) = 0 не дорівнює значенню функ-
х->0
ції в точці х0 = 0, адже ((х0) = 2, тобто Ііт ((х)ф { (х0).
х->0
Проаналізувавши наведені графіки, учні самі зможуть назвати
істотні властивості неперервної функції та сформулювати означення.
Означення 13.11. Функція у = [ (х) називається неперервною в
точці х0 = а з області визначення, якщо границя функції за х -> х0
існує і дорівнює значенню функції в цій точці, тобто якщо виконуєть-
ся умова Ііт /'(х) Ф А(^о)-
х—>х0
Застосовуючи це означення, неважко показати, що функція ((х) =
= ІХ2
2
+ 2 неперервна в точці х2
= 2, оскільки, як було доведено ви-
ще,
Ііт М-х2
х^2\2
/(2) = 4. Аналогічно можна довести, що ця
+ 21 = 4 і
функція неперервна в будь-якій точці х0 є К.
Після цього доцільно звернути увагу учнів на те, що в математич-
ному аналізі часто використовують інше означення неперервної
функції в точці, яке неважко дістати з попереднього.
Справді, якщо рівність Ііт [(х) = [(х0) записати у вигляді
Ііт /’(х) = Ііт /Ххо), то звідси Ііт [А(^)-/^(х0)] = 0.
X—>Хд X—»Хд х—>Хд
Різниця / (х0) є приростом функції який відповідає при-
росту х — х0 = Ах аргументу. Якщо х —> х0, то Лх —> 0. Позначивши
/"(х) -/”(х0) = Д^(х0), подамо попередню рівність з границею у виг-
ляді Ііт А/'(хо) = О. Отже, маємо інше означення.
X—>Хд
Означення 13.12. Функцію у = ((х) називають неперервною в
точці х0 з області визначення, якщо границя приросту функції в цій
точці дорівнює нулю, коли приріст аргументу прямує до нуля.
Зауважимо, що сформульоване означення неперервності стосується
властивості функції в певній точці. Функція може бути розривною в
певній точці, наприклад /”(х) = —
розривна в точці х = 1, і непе-
рервною в будь-якій іншій точці з області визначення. Слід зауважи-
ти, що коли функція неперервна в будь-якій точці певної множини,
401
то вважають, що вона неперервна на цій множині. Доцільно запропо-
нувати учням довести за допомогою означення 13.12 неперервність
функцій у = кх +Ь, у — х2, у = х3, у = у/х, про які учні мають наоч-
не уявлення завдяки побудові їхніх графіків.
Потрібно розглянути принаймні один приклад дослідження на не-
перервність розривної функції.
Приклад 13.42. Дослідити на неперервність функцію /(х)=[х] у точці
х0 = 2.
Розв’язання. 1. Надамо х0 = 2 приросту |Дх| < 1 і запишемо відповідне
значення функції /’(х0 + Д.х). Очевидно, шо в разі 0 < Дх < 1, матимемо
/(х0 + Дх) = 2, а в разі -і < Дх < 0, отримаємо /'(х0 + Дх) = 1.
2. Знайдемо Д/’(х0). Якщо 0 < Ах < 1, то Д/’(х0) = /'(х0+Дх)-/’(хо) = 2-
-2 = 0, а якщо -1 < Дх < 0, то Д/(х0 ) =/"(х0 + Дх)-/(х0) = 1 - 2 =-1.
3. ііт Д/(л'о) = Ііт 0 = 0 за 0 < Дх < 1, і Ііт Д/(х0) = Ііт (-1) = -1 за
л—х->-і0 х-»х0
-1 < Дх < 0.
Отже, за довільного Дг —> 0 приріст функції не прямує до 0, тому функція
/"(х) = [х] розривна в точці х0 = 2.
13.6. Похідна
З історії розвитку математичного аналізу відомо, іцо до відкриття
похідної прийшли незалежно один від одного Г. Лейбніц та І. Нью-
тон: перший — розв’язуючи геометричну задачу про знаходження
положення дотичної до кривої у певній точці, другий — розв’язуючи
задачу механіки про визначення миттєвої швидкості.
У курсах математичного аналізу вищої школи для підведення сту-
дентів до означення похідної здебільшого розв’язують обидві задачі.
У шкільному курсі через обмеженість часу найчастіше докладно роз-
глядають одну з цих задач. Перевагу слід віддати задачі про миттєву
швидкість, оскільки з нею учні вже ознайомились з курсу фізики, а
на цьому етапі навчання доцільно оформити її розв'язування в термінах
і символах математичного аналізу (приріст аргументу, приріст функ-
ції, границя функції). При цьому в процесі розв’язування потрібно
чітко назвати чотири кроки, які розкривають зміст похідної, та за-
уважити, що їх доцільно виконувати надалі під час виведення формул
і доведення основних теорем про похідні.
Розглядаючи задачу про миттєву швидкість, потрібно звернути
увагу учнів на те, що середня швидкість нерівномірного прямолі-
нійного руху певною мірою характеризує ного, проте вона часто не
задовольняє потреб практики. Наприклад, диспетчерові автобусної
402
станції досить знати середню швидкість, з якою автобус рухається від
станції відправлення до кінцевого пункту, а автоінспекторові, який
стежить за безпекою руху, важливо знати швидкість автобуса в мо-
мент перетину ним залізничного переїзду, де не можна перевищувати
певної швидкості.
Отже, виникає потреба вміти визначати швидкість у деякий мо-
мент часу іц.
Щоб учні неформально сприйняли означення миттєвої швидкості,
слід на прикладі конкретної задачі з числовими даними показати, що
значення середньої швидкості прямує до певної границі, яку природ-
но вважати числовим значенням швидкості в деякий момент часу 10,
тобто значенням миттєвої швидкості.
Задача 13.1. Знайти швидкість тіла, яке вільно надає, в момент часу ї0 = 4с,
що минув від початку руху.
Розв’ язаппя. З курсу фізики відомо, що закон руху тіла, яке вільно падає,
виражений формулою 5(1) =
2
Щоб визначити швидкість тіла в момент часу
-| = 5 м/с2
10 = с.
вважатимемо для спрощення обчислень
виконаємо такі
чотири кроки.
1. Надамо аргументові = 4 с приросту = 1 с і визначимо шлях, який
пройшло тіло за час “ (4 +1 )с - 5 с:
5 (10 + Д1) = + ^1. = 5.52 = 125 м.
2. Визначимо шлях, який пройшло тіло за проміжок часу Д1 = 1 с. Цей шлях ста-
повить приріст Д\(/о) функції 5(і) = ~~ = 5і в точці 10 = 4 с. Для цього до-
статньо від нового значення 5(10+Д1) функції 5(1) відняти її значення в точці 10:
Дї(10) = 5(/0 +Д1)-5(10) = 5(і0 + Д1)2 -51^ =
= 51д + 101оД1 + 5 (Д1 )2 -5іо = 5(210 + Ді)Д1 =
= 125-80 = 45 м.
Зауважимо, що вже з першого кроку розв’язування цієї задачі доцільно прив-
чати учнів записувати приріст функції у вигляді добутку, одним із співмножників
якого с приріст аргументу.
3. Знайдемо середню швидкість за інтервал часу Д1 = 1 с:
Л.ф0) 2(210+Д1)Ді г/п д . ,
Ц. = <— = 5 (210 + Д! ) = 45 м/с.
Д! Д1 '
4. Нехай Д1 —> 0. Обчислимо середню швидкість за інтервали часу Д1, що
дорівнюють відповідно 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 с за знайденою в третьому кроці
формулою сс = 5(210 + Д1).
403
Результати обчислень зручно подати у такому вигляді:
Ф 5 (А) М Ґ0 + А/. 5(Є0+ДГ) МФ) _Д5(і0) де
4 80 1 5 125 45 45
4 80 0,1 4,1 84,05 4,05 40,5
4 80 0,01 4,01 80,4005 0,4005 40,05
4 80 0,001 4,001 80,04005 0,040005 40,005
4 80 0,0001 4,0001 80,600400005 0,00400005 40,0005
Аналізуючи отримані результати, учні зауважують, що за А/ —> 0
Дх(£0)—»0. Однак відношення тобто середня швидкість,
зменшуючись, прямує до числа 40, яке природно взяти за швидкість
тіла, що вільно падає, в момент часу /р = 4 с. Число 40 є границею
середньої швидкості за Дї —> 0. Після цього вчитель формулює озна-
чення миттєвої швидкості як границі середньої швидкості і вводить
і • (^0)
позначення V = Ііт —
д/->0 Д£
Зауважимо, що для вибраного значення ф у разі виконання гра-
ничного переходу в четвертому кроці змінною є лише Дї, але значен-
ня границі залежить від вибору ф. Справді, якщо ф = 4 с, то V =
= Ііт = 40 м/с, якщо б = 5,2 с, то V = Ііт = 52 м/с.
де—>0 Д£ де-»о Дї
Можна запропонувати учням узагальнити розв’язування задачі про
миттєву швидкість на будь-який момент часу і, внаслідок чого після
виконання чотирьох кроків вони дістануть відому з курсу фізики
формулу швидкості тіла, що вільно падає, V = $і.
Потрібно звернути уваїу учнів на те, що такими самими чотирма
кроками розв'язуються задачі фізики, хімії та інших галузей, якщо є
потреба визначити швидкість зміни деякої функції. Наприклад, у
хімії швидкість розчинення певної речовини в іншій (наприклад, солі у
.4 .. ДО ,. О(ї + Дї)-О(/)
воді) визначають як границю Ііт —— = Ііт —------------—, де у —
де—>0 Дї де—>0 Д£
кількість речовини, що розчиняється, і — час розчинення; у фізиці
швидкість зміни температури тіла під час нагрівання в будь-який мо-
мент часу і обчислюють за формулою ь = Ііт де 6 — темпера-
ДГ->0 Д<
тура тіла, і — час; силу струму — за формулою І = Ііт —, де а -
де->0 Де
кількість електрики, і — час.
404
Ці самі чотири кроки виконують і під час розв’язування задачі про
знаходження положення дотичної в точці до кривої, що є графіком
деякої функції.
Узагальнюючи спосіб розв'язування всіх згаданих задач, прихо-
дять до поняття похідної. Нехай функція у = / (х) задана на деякому
проміжку (а; Ь) і х0 — точка, яка належить цьому проміжку. Вико-
наємо ті самі чотири кроки, що й для розв’язування задачі про
миттєву швидкість:
1) надамо значенню х0 довільного приросту Дх (число Дх може
бути як додатним, так і від'ємним), але такого, щоб число х0 + Дх
належало проміжку (а; Ь);
2) обчислимо в точці х0 приріст функції
\у = Д/(х0) = /'(х0 + Дх)-/(х0);
3) складемо відношення
Аг/ = А/~(*о) = /~(х0 +Дх)-/~(х0)
Дх Дх Дх
4) знайдемо границю цього відношення за Дх —> 0, тобто
і™ лх, Ііт АІаП |іт
Дх д/—>о Ах д£—>о Дг
Якщо така границя існує, то її називають похідною функції у = [(х)
в точці х0 і позначають (' (х0) або у'.
Означення 13.13. Похідною функції у ~ ((х) в точці х0 нази-
вають границю відношення приросту &у функції до приросту Дх
аргументу за умови, що приріст Дх аргументу прямує до нуля, а
границя існує, тобто
/'(х„) = Ііт — = Ііт 11т /<*.~ Д*о).
д^оДг д/->о &у д/->о Дх
Зауважимо, що перш ніж вводити поняття похідної, слід привчити
учнів до використання трьох різних символів, що стосуються прирос-
ту функції та відношень її до приросту аргументу. Кроки 1)—4) фак-
тично задають правило відшукання похідної.
Після введення означення доцільно за його допомогою, виконуючи
чотири кроки, знайти похідні функцій г/=х2, У = ~’ У = с> Ж с ~
стала. Однак перед цим важливо зауважити, що коли похідну шука-
ють у деякій точці х0, то вона як границя є певним числом. Якщо
405
функція у = ((х) має похідну в кожній точці х проміжку (й; Ь), то
кожному значенню х відповідає певне значення похідної. Доцільно
нагадати учням, що в задачі про миттєву швидкість двом різним зна-
ченням часу ф = 4 с і І] =5,2 с відповідали різні значення миттєвої
швидкості = 40 м/с і й, = 52 м/с.
Отже, в такому разі похідна функції у = ((х) на проміжку (й; 6)
є також функцією, яку позначають символом (' або у - ('(х). Якщо
2
функцію задано формулою, наприклад, у = х , то похідну можна
позначати символом (х2) . Наприклад, для розглянутої функції х(ї) =
= -2^- похідна х (і) =
= є лінійною функцією аргументу і.
Для глибшого усвідомлення учнями означення похідної доцільно
відразу з’ясувати її механічний і геометричний зміст. Механічний
зміст похідної випливає з розглянутої задачі про миттєву швидкість.
Учні самі здатні зробити висновок, що похідна дорівнює миттєвій
швидкості нерівномірного руху. Цим самим з’ясовується механічний
зміст похідної.
Геометричний зміст похідної випливає із задачі про дотичну до
кривої у певній точці: похідна в точці х0 дорівнює тангенсу кута на-
хилу дотичної до кривої з додатним напрямком осі х у точці з абсци-
сою х0.
З метою закріплення означення й алгоритму відшукання похідної
за означенням (послідовним виконанням чотирьох кроків) потрібно
запропонувати учням у класі і як домашнє завдання обчислити
похідні функцій у=5х2-2х, у = х, г/ = —, у ~ сх у загальному
х
вигляді та за певних значень аргументу х.
Основні теореми про похідні. Ними є теореми: 1) про непе-
рервність диференційовної в точці функції; 2) про похідну суми функ-
цій; 3) про похідну добутку функцій; 4) про похідну частки двох
функцій; 5) про похідну степеневої функції; 6) про похідну складної
функції.
Остання теорема дає можливість розширити системи вправ на об-
числення похідних і застосування похідної до різноманітних задач.
Перша із зазначених теорем стверджує достатню умову неперер-
вності функції в точці, її використовують для доведення теорем про
похідну добутку і частки двох функцій.
Теорема 13.2. Якщо функція / має похідну в точці х0, то вона
неперервна в цій точці.
406
Доведення. Нехай в точці х0 існує похідна Л(хо)- Знайдемо грани-
цю приросту функції в цій точці А/(х0) = 4 (хо + Аг) - (хо)- За умови
_ і г / ч і ((х0) , Л< (хо)
Ах —> 0 матимемо Ііт А<(хп) = Ііт —— Ах = Ііт —л х
Д/.->0 ДТ->0 Ах Д£-»0 Аг
/
х Ііт Ах = //(хо)О = 0. Отже, функція ( неперервна в точці х0 за
Д£—>0
другим означенням неперервності.
Важливо зауважити, що умова диференційовності функції [ у точ-
ці х0 є достатньою умовою неперервності функції в зазначеній точці.
Проте неперервність функції ( в точці х0 є лише необхідною, але не-
достатньою умовою диференційовності функції в цій точці. Доцільно
на уроці навести приклад доведення відсутності похідної, неперервної
в точці х0 = 0, функції у = |х|, а як домашнє завдання запропонувати
учням довести, що неперервна в точці х = 1 функція
Лх) =
2
х , за х < 1,
х, за х > 1
не має похідної у цій точці.
Досвід доводить, що логічну схему доведення теорем 2) -4) учні
сприймають легше, якщо послідовно виконують всі чотири кроки ал-
горитму знаходження похідної за означенням. Зауважимо, що в про-
цесі доведення згаданих трьох теорем частина учнів формально пере-
носить правила тотожних перетворень добутку одночлена на много-
член па перетворення, пов’язані з функціональною символікою. Пов’я-
зано це з тим, що в навчальному посібнику [12] буквами и і г> позна-
чено як залежні змінні, так і відповідності між змінними. Тому уч-
ні, наприклад, перетворюючи вираз А(?7и) = п(х0 + Дх)гі(х0 + Ах)-
- и(х0)о(х0), записують: (г./х0 + г/Ах)(гіх0 +иАх)-... Щоб уникнути
таких помилок, функції потрібно позначати и = (х), о - /2 (х), а, на-
приклад, добуток їх записувати як у = /1(Х)А2(Х)-
Письмове оформлення доведення, наприклад теореми про похідну
частки двох функцій, може мати такий вигляд.
Теорема 13.3. Якщо функції и = (х) і о = /”2 (х) у точці х ма-
ють похідні і /2 (х) * то в цій точці функція у = 1 ~ також має
/2 (х)
похідну у = [ (х) = 1 24 '——.
407
Доведення. 1. Надамо аргументу х приросту Дх і запишемо нові
значення функцій и, о і у.
/1(х + Дх) = /1(х) + Д/1(х);
/2(х + Д.т) = ^2(х) + Д/2(х);
/7 г + Лг ї = /І(х + Дх) = /і(х)+д/і(х)
> /Их + Дх) /2(х) + Д/2(х)
2. Знайдемо прирости функцій и, V і у.
Ьи = (х + Дх) - (х) = Д/^ (х);
Ду = <2 (х + Дх) - (2 (х) = Д^ (х);
/•Дх + Дх) /)(х) =
У А2(х + Дх) /.(х)
_ А (*)/> (*) + /2 (*) Д/і (*)~ /І (*)/2 (х) ~ /І (*)Л/2 (г)
/2(х + Дг)/2(х)
. А2(х)ДА(х)~А(х)Д6(х)
3. Знайдемо відношення
д/і (*) с г/„хД6(х)
ДУ _ Дх '2 /1 ( )
М (бОО)2+/2(х)Д/2(х)
4. Знайдемо границю відношення за умови Дх —> 0, викори
стовуючи теореми про границю частки, границю добутку сталої на
функцію:
і- ДА (х) /• / X г , ч д6 (х)
. Ііт —і-------Ііт —Vа—-
Ііт -^ = ^~>0 Дх
^0 Дх 1іт (^2 (х))2 + А, (х) Ііт Д/2 (х)
Лх-»0 Дх—>0
_ А,(х)А2(х)-А(х)/2(х)
Оскільки /і (х)
Ііт
(/2(х))2
і /2 (х) не залежать від Дх,
^О=А-М, 11тДО=6м,
Ііт Л/2 (х) = 0,
Дх—>0
408
адже функція /і (х) диференційовна в точці х, отже, неперервна в
цін точці. Теорему доведено. Формулу похідної частки зручно запи-
сати у вигляді І—)- і сформулювати словесно.
Ф/ у2
Перш ніж вивчати теорему про похідну складної функції, потрібно
і’ясувати, іцо таке складна функція. Зробити це зручніше на кон-
1
кретному прикладі. Наприклад, функцію у ~ -Ух -5 = (х-5)2 = ((х)
1
2
можна розглядати як степінь
лінійної функції и - х - 5 - Л(х).
Щоб обчислити значення функції у для заданого значення аргументу
х, доведеться виконати дві операції:
1) обчислити значення різниці х-5;
2) добути арифметичний корінь із значення цієї різниці.
Першою операцією кожному х ставимо у відповідність певне чис-
ло, тобто матимемо функцію и = /г(х) = х - 5. Другою операцією ста-
вимо у відповідність знайденому значенню и деяке інше число. Отри-
маємо другу функцію у = $ (и) = уій - л//г(х) - $ (Л(х)) = /"(х).
Функцію у = І (х) = % (її (х)) називають складною функцією аргу-
менту х. Змінну и називають проміжною змінною.
Областю визначення функції и = /г(х) = х -5 є множина дійсних
чисел, а областю визначення функції у = ^(и) = 4й є множина не-
від’ємних значень и, тобто и > 0 або х - 5 > 0. Звідси х > 5.
Отже, областю визначення складної функції у = ((х) = -75-х є
множина [5; + <*>).
Щоб полегшити учням обчислення похідних складних функцій,
слід привчити їх знаходити за формулою складної функції проміжну
змінну, яка також є функцією. Наприклад, для функції у =
= ух2-5х + 6 проміжною змінною є квадратична функція и-
= х - 5х + 6. У цьому разі задану функцію можна записати у вигляді
Строге доведення теореми про похідну складної функції розгля-
дається в курсі математичного аналізу вищої школи. У шкільному
курсі алгебри і початків аналізу теорему доводять з певними обме-
женнями, які спрощують доведення. Справді, нехай у = ((х) —
складна функція. В цьому разі м = Л(х) — проміжна змінна (функ-
ція), яка має похідну в точці х0, а складна функція у = д(и) має по-
409
хідну за змінною и в точці и0 - /г(х0). Це означає, що існують гра-
. і • Дм ,. Лу
ниці Ііт — і Ііт —
Дх—>0 Дх Ди—>о
Надамо значенню л'о приросту Дх. Тоді змінна и набуде приросту
Дп, який зумовить приріст Ду функції у =/" (х) = & (її), де и = Іг(х).
Щоб знайти похідну у'=Г(х), потрібно обчислити Ііт —. При-
дачо Дх
пустимо, що за досить малих Дт ф 0 відповідне Дп також не дорів-
гг • Ду . Ду Ду Дм
нює нулю. Подамо відношення —— у вигляді —= ———.
1\х [хх ІХи !хх
Використовуючи теорему про і-раницю добутку, дістанемо
Ііт — - Ііт — Ііт —,
Дх—>0 Дх Ди—>0 Ду Дг->0 Дх
оскільки Ду —> 0 за Дг —> 0. Справді, за умовою функція и-Ь(х}
диференційовна, а тому неперервна. Оскільки обидві границі правої
частини рівності за умовою існують, то існує Ііт
Дг—>0
Отже, Г(хо) = «'(мо)Л,(хо)- Позначивши /'(х) = у'г, &’(и) = уи,
дістанемо формулу похідної складної функції у вигляді
Ух = У'иих’
тобто похідна складної функції у = [ (х) за змінною х дорівнює добут-
ку похідної цієї функції за проміжною змінною и на похідну проміж-
ної змінної и за змінною х.
Ілюструючи застосування виведеної формули до обчислення похід-
них різних складних функцій, для перших прикладів доцільно запи-
сувати окремо проміжну змінну, а згодом цю операцію учні викону-
ватимуть усно.
Приклад 13.43. Знайти похідні функцій:
1) у = х/5-х; 2) \Сг2 -5х + 6; 3) у = созбх.
Розв’язання. 1) у = -75- х = -4и ', и = 5 - х; уг = —4= (5 - хї = —Д - і
х 2х/и 2ч/5 ?с
2) у = х^х2 -5х + 6 = и = х2 - 5х + 6;
їН'Оо)
3) у = созбх = созм; и = 6х; у'х = -зіп м(6х) = -бзіпбх.
410
І
13.7. Застосування похідної
Похідною як елементом математичного апарату широко послуго-
вуються в різних науках. В алгебрі її здебільшого застосовують для
дослідження функцій та побудови їх графіків, у геометрії — для зна-
ходження рівняння дотичної. Похідну використовують у наближених
обчисленнях, для наближеного розв’язування рівнянь, дослідження і
відокремлення коренів рівнянь, спрощення виразів, доведення тотож-
ностей і нерівностей, знаходження біноміальних коефіцієнтів і дове-
дення формули бінома Ньютона. У фізиці за допомогою похідної об-
числюють швидкість і прискорення, досліджуючи різні фізичні яви-
ща, наприклад явища резонансу.
Застосування похідної для знаходження найбільших і найменших
значень функцій на певному відрізку [а; Ь] дає змогу розв’язати ши-
рокий клас прикладних задач. У таких задачах функція не задається
в готовому вигляді, а за умовою задачі потрібно скласти співвідно-
шення, яке пов’язує функцію з тими змінними, від яких залежить її
найбільше чи найменше значення.
У шкільному курсі алгебри і початків аналізу на рівні обов’яз
кових результатів навчання обмежуються застосуванням похідної для
дослідження функцій і побудови графіків, в геометрії — знаходжен-
ням рівняння дотичної, прикладами застосування похідної у фізиці та
розв’язанням певної кількості прикладних задач на знаходження
найбільшого і найменшого значення функцій. Водночас на факульта-
тивних заняттях, у іуртках, у класах з поглибленим вивченням мате-
матики слід ознайомити учнів з іншими важливими застосуваннями
похідної. Зокрема, використання похідної для наближених обчислень
ефективніше здійснюється за умови попереднього розгляду поняття
диференціала функції. Застосування похідної для виведення формули
бінома Ньютона дає змогу ознайомити учнів з методом невизначених
коефіцієнтів, який широко використовують в алгебрі, в математично-
му аналізі [12]. Цікаві приклади застосування похідної для дослі-
дження коренів кубічного рівняння та наближеного розв’язування
рівнянь (метод дотичних, метод ітерацій, дослідження фізичних явищ,
явище резонансу) можна знайти в посібнику [21], а приклади засто-
сування для спрощення виразів, доведення тотожностей, нерівностей і
наближених обчислень числа — в посібнику [64].
Застосування похідної для дослідження функцій. У курсах ма-
тематичного аналізу вищої школи за допомогою похідної досліджують
функції здебільшого на: 1) монотонність; 2) екстремум; 3) досягнення
найбільших і найменших значень; 4) опуклість, угнутість та знахо-
дження точок перегину.
У шкільному курсі алгебри і початків аналізу на рівні обов’яз-
кових результатів навчання доцільно ознайомити учнів лише з пер-
411
тими трьома дослідженнями. До того під час дослідження функцій
на екстремум досить обмежитися використанням лише першої по-
хідної.
Дослідження функцій на монотонність. Шкільна
практика доводить, що пояснення ознак зростання (спадання) функ-
цій доцільно почати з графічних ілюстрацій відомих учням найпрос-
„9 З
тіших функцій у = X і у = х , властивості монотонності яких було
доведено раніше на основі означень зростаючої та спадної функцій.
Справді, з графіка параболи у = х2 (рис. 13.31) випливає, що на
проміжку (0; +°°), де функція зростає, дотична до графіка в будь-
якій точці утворює гострий кут з додатним напрямком осі х. Це озна-
чає, що похідна ('(х) у цих точках додатна. На проміжку (-<»; 0),
де функція спадає, дотична до параболи утворює тупий кут з додат-
ним напрямком осі х, тобто похідна /Дх) на цьому проміжку
від’ємна.
Функція у = х3 зростає на всій області визначення, тобто на про-
міжку (-<»; +оо). Дотичні до графіка цієї функції (рис. 13.32) в усіх
точках, крім однієї (початок координат), утворюють гострі кути з
додатним напрямом осі х. Це означає, що похідна цієї функції в усіх
точках, крім х = 0, додатна. Лише за х = 0 вона дорівнює нулю.
Справді, ('(х) = Зх2 > 0 для всіх х Ф 0 і /^'(х) = Зх2 = 0 за х = 0.
На основі розглянутих прикладів слід задати учням запитання: як
за допомогою похідної сформулювати достатні умови зростання і спа-
дання функції, які дадуть змогу знайти, не знаючи графіка функції,
проміжки зростання (спадання) функції та використати їх для побу-
дови графіка? Учні самостійно сформулюють зазначені достатні умо-
ви. Потрібно звернути їхню увагу на те, що достатні умови є оберне-
? з
ними твердженнями щодо виявлених на графіках у = х і у = х
властивостей функцій та їхніх похідних. Щодо доведення в шкіль-
ному курсі достатніх умов зростання і спадання функцій, то були
спроби здійснити різні методичні підходи. Зокрема, в попередніх ви-
даннях посібника 112] формулювалась і доводилась на основі озна-
чення границі функції за Коші теорема про зростання і спадання
функції в точці х0, а достатні умови зростання і спадання функції (
на проміжку формулювались без доведення. Зазначалось, що таке до-
ведення непередбачене програмою. У підручнику М. І. Башмакова [31]
зв'язок між властивостями зростання і спадання функції та знаком її
похідної встановлюється за допомогою механічного тлумачення похід-
ної як швидкості руху матеріальної точки. У багатьох посібниках для
середньої школи, зокрема й у [12], без строгого доведення, геомет-
ричними міркуваннями запроваджується формула Лагранжа та на її
основі доводяться достатні ознаки зростання і спадання функції на
проміжку І. Крім того, наочний зміст цих ознак пояснюється меха-
нічним тлумаченням похідної.
Важливо сформувати в учнів практичні навички застосування вив-
чених теорем для дослідження різних функцій на монотонність. До-
свід свідчить, що така робота відбувається ефективніше, якщо на при-
кладі дослідження однієї-двох функцій сформулювати відповідний
алгоритм.
Для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) функції,
потрібно:
1) знайти область визначення функції та точки розриву;
2) знайти похідну;
3) записати і розв’язати нерівність ['(х)> 0 і вибрати із множини
її розв’язків проміжки, на яких функція визначена. Знайдені
проміжки є проміжками зростання функції;
4) записати нерівність ('(х) < 0 і вибрати із множини її розв’язків
проміжки, на яких функція визначена. Знайдені проміжки є
проміжками спадання функції.
Зауважимо, що коли функція неперервна в будь-якому з кінців
проміжку зростання (спадання) функції, то такий кінець можна
приєднати до цього проміжку.
Дослідження функцій на максимуми, мініму-
ми, найбільші та найменші значення. Спочатку по-
трібно ввести низку нових для учнів понять, які відразу використовува-
тимуться. Йдеться про поняття: точка максимуму функції, точка мініму-
му функції, точка екстремуму, максимум функції, мінімум функції, ек-
стремуми функції. Досвід доводить, що деякі учні плутають поняття
«точка максимуму функції» та «максимум функції», «точки екстремуму
функції» й «екстремум функції». Слід спеціально підкреслити, що
коли йдеться про точки максимуму (мінімуму), точки екстремуму
функції, то мається на увазі значення аргументу, а в разі використан-
413
ня понять максимум (мінімум), екстремум — йдеться про значення
функції. Важливо також наголосити, що максимум і мінімум (екст-
ремуми) характеризують поведінку функції в як завгодно малому
околі точки х0, а не на всій області визначення чи на її частині, де
визначений максимум функції в певній точці може виявитись мен-
шим від мінімуму в іншій точці. Вводячи поняття найбільшого і най-
меншого значень функції, потрібно ще раз підкреслити, що останні
два поняття характеризують поведінку функції на певному відрізку
[а; Ь]. Під час запровадження поняття «критичні точки функції» особ-
ливу уваїу слід звернути на ті критичні точки, в яких похідна не
існує, проілюструвавши їх відповідним графіком.
Принциповими в цій темі є три твердження, які виражають не-
обхідну (теорема Ферма) і достатні умови існування екстремуму функ-
ції в точці. Практика свідчить, що доведення зазначених теорем не
спричинюють в учнів особливих труднощів. Можна дати обгрун-
тування достатніх умов екстремуму, послуговуючись механічним тлу-
маченням функції у = ( (х) як закону руху матеріальної точки, та по-
хідної ^'(х) як швидкості руху [31].
Для розв’язування вправ на знаходження точок екстремуму функ-
ції стане в пригоді алгоритмічний підхід. Доцільно після вивчення
достатніх ознак сформулювати алгоритм дослідження функцій на екс-
тремум.
Для того щоб дослідити функцію на екстремум, потрібно:
1) знайти критичні точки: прирівняти до нуля похідну /'(х), роз-
в’язати отримане рівняння і приєднати до коренів рівняння
Д(х) = 0 точки, в яких похідна не існує;
2) розмістити критичні точки на координатній прямій в порядку їх
зростання;
3) дослідити знак похідної /'(х) спочатку ліворуч, а потім право-
руч від кожної критичної точки. Якщо з переходом х через
критичну точку похідна змінює знак з «+» на «-», то в цій кри-
тичній точці функція у = / (х) має максимум; якщо знак Д(х)
змінюється з «-» на «+», то в цій точці функція у = ((х) має
мінімум. Якщо з переходом х через критичну точку похідна
Д(х) не змінює знака, то в цій критичній точці функція не має
ні максимуму, ні мінімуму;
4) обчислити максимуми та мінімуми функції, підставивши в фор-
мулу у - /" (х) значення точок максимуму і точок мінімуму.
1 2
Приклад 13.44. Знайти екстремуми функції /(х) = (х -2)3 („г -5)3 .
Розв'язання. 1. Знаходимо похідну:
414
і 2 2 1 1
Г(х) = |(х-2)~3(х-5)3+|(х-2)3 (х-5) 3 =
2 1
(х-5)з 2(х-2)з _ х-5 + 2х-4
2 + і 2 1
3(х-2)з 3(х-5)з 3(х-2)з (х-5)з
__Зх-9_____________х - 3
2 1 2 1 '
3(х—2)з (х-5)з (х-2)з(х-5)з
З формули випливає, що /'(х) = 0 за х = 3 і /"'(х) не існує за х = 2 та х = 5.
2. Розмістимо критичні точки в порядку зростання: х( = 2; х2 = 3; х3 = 5.
3. Дослідимо знак похідної ліворуч і рпаворуч від кожної критичної точки:
а) нехай е>0 — як завгодно мале число. Тоді /',(2-е)>0 і
У'(2 + е)>0. Отже, в точці х = 2 функція не має ні максимуму, ні
мінімуму;
6) /'(3-е)>0 і У'(3 + е)<0. Тому точка х = 3 є точкою максимуму
функції;
в) /"(5-е)<0 і У'(5 + е)>0. Тому точка х-5 є точкою мінімуму
функції.
4- /тах = /(3) = (-2)1 = ^Ц2? = ^4;
/пйп=/(5) = 0.
Зауважимо, що коли х1 і х2 — сусідні корені рівняння У'(х) = 0
і між цими коренями функція у - ('(х) неперервна, то вона зберігає
знак на відрізку [х,;х2]. У зв’язку з цим зауваженням можна до-
сліджувати функції на екстремум інакше. Якщо У'(х) неперервна і
має скінченну кількість коренів, то їх корені заносять до таблиці.
У кожному проміжку між цими коренями вибирають контрольну точ-
ку х = с і обчислюють значення ['(с) в Цій точці. Цей знак збіга-
ється зі знаком Г(х) на всьому досліджуваному проміжку. Якщо
функція /"'(х) має точки розриву або не визначена в деяких точках,
то їх також наводять у вигляді таблиці.
З цим способом можна ознайомити учнів, які цікавляться матема-
тикою і навчаються на рівні, вищому за обов’язковий.
Приклад 13.45. Знайти екстремуми функції у = х3 + Зх2 - 9х + 60.
Розв’язання. 1) у = Зх2 + 6х - 9. Похідна визначена за всіх х, а задана
функція неперервна. Розв’яжемо рівняння у = 0, тобто Зх2 + 6х - 9 = 0, або
х2+2х-3 = 0, х, ,2 =-1 ± т/Г+"з =-1 ± 2; Х| =-3; х2 = 1.
2) критичні точки розбивають координатну пряму на три проміжки:
(-<>°;-3); (~3;1) і (1;+°°);
415
3) виберемо в цих проміжках контрольні точки -4; 0; 2. У цих точках мати-
мемо /"' (-4 ) = 15; Д ( 0 ) = -9; /' (2 ) = 15. Складемо таблицю:
X -4 -3 0 1 2
+ 0 - 0 +
З таблиці випливає, що х = -3 — точка максимуму, а х = 1 — точка
мінімуму;
4) /тах = Г(-3) = 87;/-тіп =/(!) = 55.
Оскільки задачі на знаходження проміжків зростання (спадання)
й екстремумів функцій пов’язані між собою, то можна сформулювати
алгоритм одночасного розв’язування цих обох задач, який зручно ви-
користовувати під час загального дослідження функцій і побудови їх
графіків.
Для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) й екстрему-
ми функції, потрібно:
1) знайти область визначення функції;
2) знайти критичні точки функції, розмістити їх в порядку зрос-
тання і занести до таблиці разом із проміжками, на яких функ-
ція визначена;
3) за контрольними точками знайти знак похідної на кожному з
отриманих проміжків;
4) визначити за знаком похідної характер зміни (зростання чи
спадання) на кожному з проміжків;
5) виявити наявність екстремуму в кожній критичній точці та об-
числити його.
Приклад 13.45 [12, № 350г]. Дослідити функцію на зростання (спадання) та
екстремуми: V ( х) = ——° .
х(4-х2 і
Розв’язання. 1. Функція має область визначення О (V ) = ( - <*>; - 2 ) І) ( -2; 0) І)
0(0; 2)1) (2; +~).
Таблиця 13.2. Характер зміни функції г(х) =—, 10 .
хІ4 —х2)
X (-то;- 2) Ґ_9._2х/з'і І 3 ) 2х/з 3 ( з ) 2>/з 3 ґ 2х/з.9) V 3 ’ ) (2; + ~)
V (*) гфх) + 0 г;іпах = = -3>/з / І 0 Цпіп ~ =з7з + +
416
1б(Зл-2-4)
—1------4 = 0;
х2(4-х2)2
Зх2 - 4 = 0;
г _ и. 2л/з . г _-2л/з. г _2л/з
42-±~- Ч-----------3-. 4-—
3. Контрольні точки: х = -3; х = -1,2; х = -1; х = 1; х = 2; х = 3.
4. Характер зміни функції показано в табл. 13.2 стрілками.
5. Оскільки в критичній точці х = —знак похідної змінюється з «+>> на
«-», то в ній функція досягає максимуму, причому огаах = о
1 = -ЗуіЗ. У кри-
тичній точці х = —похідна змінює знак «-» на «+», тому в цій точці функція
досягає мінімуму, причому оІГ|і[|
Розв’язуючи вправи на відшукання найбільшого і найменшого зна-
чень функції у = /\х) на відрізку [я; б], потрібно враховувати таке:
оскільки неперервна функція обов’язково набуває найбільшого (най-
меншого) значення і воно може досягатися тільки в стаціонарних точ-
ках і на кінцях відрізка, то немає потреби перевіряти достатні умови
існування екстремуму функції в стаціонарних точках. Досить обчислити
значення функції в цих точках і порівняти їх зі значеннями функції на
кінцях відрізка. Тут також доцільно навести алгоритм, який скла-
дається з трьох кроків:
1) знайти всі критичні точки функції на відрізку [а; б];
2) обчислити значення функції в усіх критичних точках і на кін-
цях а і Ь відрізка;
3) з отриманих чисел вибрати найбільше і найменше.
Розв’язування текстових задач на знахо-
дження найбільших і найменших значень. Обчис-
люючи найбільші та найменші значення в практичних задачах, слід
навести учням правило-орієнтир розв’язування таких задач:
1) проаналізувати формулювання задачі; з’ясувати, найбільше (най-
менше) значення якої величини потрібно знайти; вибрати неза-
лежну змінну (аргумент) х і записати цю величину у вигляді фор-
мули, що задає відповідну функцію;
2) знайти найбільше та найменше значення цієї функції.
Часто в таких задачах може виявитися, що досліджувана величина
«алежить від двох змінних, наприклад х і і. У такому разі шукають
співвідношення, яким пов’язані між собою ці змінні, і виражають од-
ну змінну через іншу.
14 Слзпкань 3. І.
417
Слід звернути уваїу учнів також на те, що в багатьох задачах уже
за умовою можна визначити характер критичної точки, не досліджу-
ючи знака похідної ліворуч і праворуч від неї. Проте в деяких зада-
чах без такого дослідження обійтися неможливо. Доцільно розгляну-
ти задачі обох видів.
Задача 13.2. Відомо, що міцність балки з прямокутним поперечним перерізом
прямо пропорційна довжині основи перерізу і квадрату його висоти. Знайти
Рис. 13.33
розміри поперечного перерізу найміцнішої балки,
яку можна випиляти з круглої колоди діаметра д.,
якщо поперечний переріз балки вписано в переріз
колоди.
Розв’язання. Позначимо як х довжину основи
перерізу балки, як у — його висоту (рис. 13.33).
За умовою, міцність Т балки можна подати у ви-
гляді Т = кхуі, де к — відомий коефіцієнт про-
порційності, який залежить від матеріалу. Вирази-
мо у через х за теоремою Піфагора: у2 = г/2 - _г2.
Отже, Т = кх^сР - х2 ).
Потрібно знайти найбільше значення функції Т = [ (х) па проміжку
0 < х < сі.
Оскільки Т(0) = Т(<7) = 0
З них відрізку [0; '
Критичні точки
належить лише
функція
досягає максимуму, який і є найбільшим значенням па заданому відрізку.
Отже, прямокутна балка матиме найбільшу міцність за
= ґ уісі2 - х2 'І тобто у випадку у : х = -х/2.
1 Х=Я
Задача 13.3. Вартість утримання баржі за 1 год складається з вартості палива,
яка пропорційна піднесеній до третього степеня швидкості баржі, і вартості амор-
тизації баржі (заробітна плата команди, вартість обладнання тощо). Отже, за-
гальна вартість утримання баржі за 1 год виражається формулою 5 = яг3 + Ь, де
V — швидкість судна в кілометрах за годину; а і Ь — коефіцієнти, задані для
кожного судна.
За якої швидкості V загальна сума утримання на 1 км шляху буде найменшою,
якщо с = 0,005, Ь = 40?
418
1
Розв’язання. Баржа долає 1 км шляху за — год. Тому загальна сума утри-
мання на 1 км шляху становитиме
р = (0,005г?2 + 40)|
= 0,005г?2+ — .
V
Отже, потрібно знайти т’(О<г?<°°), за якої функція р = /(а) набуватиме
найменшого значення.
р' = 0,01г,-^ = ^4000; ТІЬ4ООО=О;
V2 100г?2 100г?2
г?3 -4000 = 0; V = ^4000 = 16.
Візьмемо до уваги, що в разі г? —> 0 і г? —> •» матимемо р —> •». Це означає,
що дуже мала і дуже велика швидкості не приводять до найменшої суми утриман-
ня судна на 1 км шляху, оскільки за малої швидкості витрачається багато часу,
отже, підвищується вартість утримання команди, а за дуже великої витрачається
багато палива. Похідна перетворюється на нуль лише за одного значення аргумен-
ту V = ^4000, тому за цього значення г? функція набуває найменшого значення.
Отже, найраціональнішою є швидкість г? ~ 16 км/год.
Задача 13.4. Визначити розміри циліндричної закритої консервної банки за-
даного об’єму V см3, за яких її повна площа поверхні буде найменшою, тобто
щоб витрати жерсті па її виготовлення були найменшими.
Розв’ язання. Нехай х — діаметр основи банки, її — її висота. Тоді повна
площа поверхні банки
1 7
5 = 2—ях +пхІі.
4
Оскільки об’єм банки відомий, то, використовуючи формулу об’єму циліндра
1 2
V = —пхк, виразимо висоту /г через х і V:
!г= 4П
ка-
тоді величину 8 подамо через одну змінну х:
5 = 1^2^41/ =д£±8Ц, дех>0.
2 кх2 2х
Задача зводиться до визначення найменшого значення функції 8 -{(х) на
проміжку 0 < х < +•».
Знайдемо похідну і критичні точки:
(тсг3 + 8У)' X - х'(я.г3 + 8У ) _ ! _ ^3 _ 8Г _ ^3 _ 4Г
2 х2 2 х2 X2
яг3 - 4П = 0; х =
V я
419
Тут не можна порівняти значення функції в критичній точці з її значеннями на
кінцях проміжку, оскільки проміжок не має правого кінця. Тому потрібно
дослідити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Оскільки
5' г— <0, а У г-— >0, то в точці х = матимемо мінімум, який
V 71
X- - Л7 • і 4У л
збігається з найменшим значенням. У цьому разі п = —. = , тобто як-
що висота дорівнює діаметру основи (осьовий переріз має форму квадрата), на
виготовлення циліндричної банки заданого об’єму потрібно найменше жерсті.
13.8. Первісна й інтеграл
Тему «Первісна й інтеграл» за програмою вивчають в 11 класі.
Основна мета вивчення полягає у запровадженні поняття про пер-
вісну, інтеграл, операцію інтегрування як обернену до операції
диференціювання; застосуванні інтеграла до обчислення площ кри-
волінійних трапецій і об’ємів найпростіших тіл обертання (в гео-
метрії).
Вимоги до знань і вмінь:
знати означення первісної, інтеграла, розуміти зміст операції
інтегрування як оберненої до операції диференціювання;
уміти знаходити первісні та найпростіші інтеграли, користуючись
таблицею і правилами знаходження первісних;
уміти застосовувати інтеграл до обчислення площ криволінійних
трапецій і об’ємів найпростіших тіл обертання.
Не всі терміни, що вводяться в цій темі, відповідають тим, якими
послуговуються у курсах математичного аналізу вищої школи. Про-
грама і чинні шкільні навчальні посібники не передбачають викорис-
тання термінів «иевизначений інтеграл», «визначений інтеграл». Засто-
совується один термін «інтеграл» у розумінні «визначений інтеграл». Не
використовується символ иевизиачеиого інтеграла |/'(д)б/х. Для сим-
Ь
волу інтеграла | [ (х)сіх упроваджуються такі позначення і терміни:
а
а і Ь — межі інтегрування; ( — підінтегральна функція; х — змінна
інтегрування. Проте зміст множника сіх і термін «диференціал аргу-
менту» не вводяться. Пов’язано це з тим, що поняття диференціала
аргументу і функції в шкільному курсі не вивчають. У зв’язку з цим
Ь
залишається пояснити учням, як читати вираз (х)сіх, і запропоиу-
а
вати їм сприймати цей символ як єдиний для позначення інтеграла.
420
Первісна. Запровадження первісної, як і похідної, можна було б
почати з метою мотивації з розв’язування задач, обернених до тих,
які привели до поняття похідної. Проте експериментальна перевірка і
досвід роботи в школі доводять, що доцільніше починати не із задач,
а спочатку ввести на конкретному прикладі первісну як функцію,
похідна якої дорівнює заданій функції на певному проміжку, потім
розглянути згадані задачі з метою пояснення фізичного і геометрич-
ного змісту сталої інтегрування та мотивації введення інтеграла.
Насамперед слід звернути увагу учнів на те, що кожна дія (опе-
рація), яка вивчалась у шкільному курсі, має обернену: додавання —
віднімання, множення — ділення, піднесення до степеня — добуван-
ня кореня. Деякі обернені операції в цьому разі виявилися неодно-
значними. Наприклад, дія добування квадратного кореня з числа, яка
є оберненою до дії піднесення числа до квадрата, є двозначною.
Справді, існують два значення квадратного кореня з числа 16: числа
4 і -4.
Основною операцією диференціального числення є операція від-
шукання похідної заданої функції [. Під час розв’язування задач,
зокрема з фізики і геометрії, доводиться виконувати обернену опе-
рацію, тобто за відомою похідною деякої функції визначати саму
функцію. Наприклад: 1) за формулою функції, яка задає швидкість
г РУХУ тіла, знаходити формулу функції, яка задає закон руху —
залежність шляху 5 від часу і; 2) за відомим кутовим коефіцієнтом
дотичної до кривої в кожній точці певного проміжку (функція х) —
формулу функції, до графіка якої проводять дотичну.
Нехай дано функцію [(х) = х2, яка є похідною невідомої функції
С(х). Треба відшукати (відновити) невідому функцію Р (формулу,
х3
що задає її). Поміркувавши, учні самі назвуть функцію Г(х) = —,
похідна якої дорівнює х2, тобто заданій функції /(х) = х2.
Цю функцію називають первісною.
Доцільно, щоб учні відповіли на таке запитання: чи існують ще
функції, похідні яких дорівнюють х2 ? Учні наведуть приклади та-
ких функцій, а на дошці слід записати їх у вигляді
х
2 _
( г3
^- + 5
( ->-3
Л гу
~з~
Учні зроблять висновок: існує безліч функцій, похідні яких дорів-
нюють функції / (х) = X2- Множину всіх первісних записують у ви-
гляді /7(х) + С, де С — довільна стала. Цей вираз називають загаль-
ним виглядом первісної.
421
Доцільно, щоб, користуючись таблицею похідних, учні самостійно
на уроці заповнили таблицю первісних, яку наведено в посібнику [12,
145]. На наступному уроці, присвяченому вивченню первісної, по-
трібно розглянути дві задачі, які мотивують її введення, з’ясовують
механічний і геометричний зміст довільної сталої.
Задача 13.5 (обернена до задачі, що приводить до поняття похідної). Тіло ру-
хається прямолінійно зі швидкістю V = (с — в метрах за секунду), де
# = 10 м/с2. Знайти закон руху, якщо за перші 4 с тіло подолало 80 м.
Розв’язання. Шуканий закон руху є функцією часу І. Позначимо цю функцію
ЯК 5 = 5(1). Оскільки швидкість прямолінійного руху є похідною функції 5 =
= 5(1), ТО 5'(1) = £І.
Отже, розв’язування задачі зводиться до знаходження функції 5 = 5(0, для
якої з'(і) = ді, а 5(4) = 80 м. Неважко знайти, що
5(О = ^- + с,
(13.24)
де С — довільна стала.
Якби з умови задачі не було відомо, що за перші 4 с тіло подолало шлях 80 м,
то стала С залишалась би невизпаченою. За цією додатковою умовою можна об-
числити значення С і тим самим з множини функцій 5(1) =
«і2
2
+ С вибрати ту,
яка відповідає умові задачі.
Справді, оскільки за 1 = 4с функція 5(1) = 80, то, підставляючи ці значення
І і 5 у загальний вигляд первісної (13.24), дістанемо
80 = + С,
звідси С = 0.
,2
Підставляючи значення С у рівність (13.24), отримаємо 8~2~’ тобто закон
руху тіла, що вільно падає.
Отже, обчислення значення довільної сталої С дало можливість з усіх видів
руху визначити той, який виявився законом руху тіла, що вільно падає.
Задача 13.6 (обернена до задачі про проведення дотичної до кривої в певній
точці). Знайти рівняння кривої, що проходить через точку М (1; 2). Кутовий кос
О
фіцієнт її дотичної дорівнює 4х .
Розв’язання. У цій задачі потрібно знайти формулу, що задає функцію Р,
похідною якої є функція [ (х) = 4х3. Відомо, що графік функції проходить через
точку М(1;2).
Шукана первісна має вигляд
Р(х) = хі +С
(13.25)
422
і геометрично задає множину степеневих функцій. Щоб виділити із множини
первісних ту, графік якої проходить через точку М(1; 2), врахуємо, що за х = 1,
Р(х) = 2. Підставляючи ці значення х і Р(х) в рівність (13.25), дістанемо рів-
няння 2 = 1 + С, звідси С = 1.
Підставивши знайдене значення С в рівність (13.25), отримаємо шукане
рівняння кривої
Р(х) = Xі +1.
В обох розглянутих задачах довелось за похідною /" деякої функції
р шукати (відновлювати) множину первісних, а за додатковими умо-
вами виокремлювати зі знайденої множини ту первісну, яка задово-
льняє умову задачі.
Вивчаючи властивості первісної, слід зазначити, що у курсах ма-
тематичного аналізу вищої школи зазвичай доводять дві теореми, які
виражають властивості первісної.
1. Якщо функція Р (х) є. первісною для / (х), то і функція Г(х) + С
також буде первісною для функції /" (х).
2 Будь-які дві первісні для тієї самої функції відрізняються одна
від одної лише сталим доданком.
У шкільних посібниках ці дві теореми здебільшого об’єднують в
одну. Доводячи друге твердження, ґрунтуються на твердженні, яке
випливає з теореми Лагранжа. У посібнику [12], спираючись на вве-
дену раніше без доведення формулу Лагранжа, доводять твердження
про сталість функції, яка на деякому проміжку І має похідну, що
дорівнює нулю. Використовуючи це твердження, доводять основну
властивість первісної (другу її частину).
Досвід роботи в школі доводить, що з трьох правил знаходження
первісних, які вивчають у школі, складною для застосування вияв-
ляється третя властивість про первісну функції вигляду /" (кх + Ь), де
к, Ь — сталі і к Р 0. Тому потрібно розв’язати достатню кількість
вправ з метою навчити учнів застосовувати її.
Інтеграл. Поняття визначеного інтеграла виникло у зв’язку із
розв’язуванням геометричних задач (про обчислення площі кри-
волінійної трапеції) та фізичних (про визначення шляху, пройде-
ного точкою під час прямолінійного руху за її відомою миттєвою
швидкістю; роботу змінної сили; масу неоднорідного стрижня).
Розв’язування їх зводиться до виконання граничного переходу певно-
го типу.
Традиційно склалося так, іцо в курсах математичного аналізу ви-
щої школи введення визначеного інтеграла здебільшого пов’язується із
розв’язуванням задачі про визначення площі криволінійної трапеції.
Проте в шкільних посібниках і в підручниках для технікумів була спро-
ба покласти в основу означення інтеграла формулу Ньютона—Лейбніца
423
(інтегралом на проміжку [а; Ь] називають приріст первісної на цьому
проміжку, тобто
Ь
|((х)гіх = Р(Ь)~ Р(а)).
а
У чинній шкільній програмі та підручниках прийнято традиційний
підхід до запровадження інтеграла у зв’язку із задачею про площу
криволінійної трапеції. Нагадаємо, що в курсах математичного ана-
лізу вищої школи після розв’язування задачі про площу криволі-
нійної трапеції інтеграл означають як границю інтегральної суми:
Ь п-1
//(л-)сГх= Ііт X /"(^)^> Де А(Г) = тахАгЛ.
а А(гН°/г=0
Пізніше доводиться зв’язок між первісною і визначеним інтегралом
(формула Ньютона — Лейбиіца).
У шкільному курсі подано дещо спрощений варіант введення по-
няття інтеграла: відрізок [а; Ь] під час розв’язування задачі про пло-
щу криволінійної трапеції розбивають на п рівних частин; складають
скінченну суму добутків значення функції в лівому або правому кінці
відрізка розбиття на довжину Аг кожного з відрізків і за я —> <*> шу
кають границю цієї суми, яку, за означенням, і вважають площею
криволінійної трапеції.
Під час введення поняття інтеграла в школі можна здійснити два
методичні варіанти. Розглянемо перший з них.
Почати можна з прикладів задач, що пояснюють поняття інте-
грала.
Задача про площу криволінійної трапеції. До-
цільно насамперед звернути увагу учнів на те, що у шкільному курсі
геометрії вивчають способи обчислення площ фігур лише певного ви-
ду (багатокутників, круга і його частин). Виникає запитання: як об-
числити площу плоскої фігури, обмеженої будь-якою кривою?
Тут доцільно подати історичні відомості, пов’язані з виникненням
інтегрального числення. Так, ще в III ст. до н. е. Архімед обчислював
площі фігур, обмежених довільними лініями (зокрема, круга і пара-
болічного сегмента), методом «вичерпування». Пізніше, упродовж
XVII ст., було обчислено площі деяких інших фігур, проте ці обчис-
лення потребували спеціальних прийомів відшукання границь. І лише
завдяки працям Й. Кеплера (1571 — 1630), Б. Кавальєрі (1598—1647),
пізніше П. Ферма (1601 — 1665), Б. Паскаля (1623—1662), Д. Вал-
ліса (1616—1703) було відкрито (це зробили І. Ньютон і Г. Лейбніц)
інтегральне числення, а в ньому знайдено загальний метод розв’я-
зування задачі про обчислення площі криволінійної трапеції.
424
Після введення поняття про кри-
волінійну трапецію як фігуру, обме-
жену відрізком [а; Ь] осі х, графіком
неперервної функції у = [ (х) і пря-
мими х = а, х = Ь (рис. 13.34), від-
різок [а; 6] розбивають на п рівних
частин точками
а = х0 < Х| < х2 <... < х^_! <
< хк < ... < хп-1 < хп = Ь.
На кожному з відрізків розбиття [х^_р х/г] будують нрЯМсїкутники
з висотою, що дорівнює значенню функції в лівому (а^° ’іравому)
кінці відрізка.
Площу $>п східчастої фігури, що є об’єднанням побуДОВаііих пря-
мокутників, визначають як суму
5п = [ (х0)Лх + /(х^Лх +... + [ (Хд.^Дх =
= ^(Л*о)+/Ч*і)+-+/ї*п-і)).
оскільки Лх = ——— є довжиною кожного з відрізків роз/>ИТЧ.
Якщо п > «>, то Лх —> 0, і внаслідок неперервності ^У^кції у =
— [(х) східчаста фігура дедалі менше відрізнятиметься В1^ криволі-
нійної трапеції. Природно припустити, що площа 8п прЛ^^атиме до
площі 5 криволінійної трапеції, а наближена рівність $п 5’ за ве-
ликих п виконуватиметься з будь-якою точністю. Це ^ає підставу
прийняти за означенням, що 5 = Ііт 5,,.
п->0
Задача про масу неоднорідного стрі1 'ія. Мож-
на розглянути ще одну задачу, яка зводиться до обчисЛ^и1Ч границі
суми такого самого вигляду, як і в задачі про площу /рИІ|олінійної
трапеції. о м
Нехай потрібно обчислити масу * *
неоднорідного за щільністю стрижня >35
на ділянці [0;/] (рис. 13.35). Рис- 13/
Якщо позначити як х відстань від лівого кінця стри7^ня (початку
відліку точки О) до точки ТИ, то кожному х відповідати^ 'іевне зна-
чення щільності р, тобто р є функцією від х:р = р(А'’ Знайдемо
масу стрижня, знаючи його довжину І і функцію р = р(^^’
425
Для цього розіб’ємо відрізок [0; /] на п рівних частин точками
0 < х0 < х} < х2 <...< хп_} = І.
Тоді довжина кожного з відрізків [х/г_1; х/;] розбиття дорівнює
хк ~ хк~\ = Ьх =~~- Заи—><*> Дх —> 0, а щільність стрижня на досить
малій ділянці можна вважати сталою і такою, що дорівнює, наприк-
лад, значенню функції р = р(х) в лівому кінці відрізка. Тоді сума
тп = р(х0)Дх + р(х1)Дх +... + р(хпЧ)Дх
визначатиме наближене значення маси тп усього стрижня, а Ііт тп
дорівнюватиме масі т стрижня.
Цим самим методом розв’язують й інші задачі, зокрема про обчис-
лення роботи змінної сили, кількості електрики, що проходить через
поперечний переріз провідника за час від до і2.
Можна узагальнити спосіб розв’язування розглянутих задач і по-
ширити його на інші задачі.
Нехай дано функцію у - ( (х) неперервну і додатну па відрізку
[я; Ь]. Розіб’ємо відрізок [я; б] на п рівних частив точками
а = х0 < х, < х2 < ... < х„_, < х„ = Ь
і утворимо суму
5п = А (^0 ) ^ + А (х,) ДХ + / (х2 ) ДХ + ... + < (х„_і ) Д*
або
8п = /'(х1 )Дх + /’(х2)Дх +... + [ (хп)Дх,
де Дх = -——.
п
Означення 13-14. Границю суми 8п за я —> називають іпте-
ь
градом функції у = [(х) від а до Ь і позначають символом [ /~(х)с?х.
а
Отже, за означенням
Ь ,
} ((х)с?х = Ііш —(х0) + / (х^ +... + / (х„_1));
функцію У - [ (х) називають підінтегральною функцією, вираз
/'(х)г/х — підінтегральним виразом, число а — нижньою межею, Ь —
верхньою межею інтегрування, змінну х — змінною інтегрування.
426
В учнів може виникнути питання щодо змісту множника сіх.
Оскільки в школі не передбачено вивчення поняття диференціала
функції та диференціала аргументу, то учням доведеться запропону-
Ь
вати сприйняти як єдиний символ / ((х)с?х для позначення інте-
а
грала, а зміст символу сіх не розкривати, пославшись на те, що це
розглядається в курсах математичного аналізу вищої школи.
Доцільно пояснити геометричний зміст інтеграла: це площа кри-
волінійної трапеції, обмеженої графіком функції у =/'(х), відрізком
[а; Ь] осі х і прямими х = а, х - Ь, тобто
Ь
8 = { / (х) сіх.
а
З метою психологічного переконання учнів у широких можливос-
тях розглянутого способу обчислення площ плоских фігур доцільно
розв’язати цим способом задачу про обчислення площі трикутника,
порівнявши результат зі здобутим за відомою теоремою геометрії, а
самостійно запропонувати обчислити площу фігури під параболою.
Задача 13.7. Обчислити площу трикутника, обмеже-
ного віссю х, прямими с = к і у = 2х (рис. 13.36).
Розв’язання. Ця криволінійна трапеція має вигляд
прямокутного трикутника, причому межі інтегрування
а = 0, Ь = к, нідіптстральна функція у = 2х невід'ємна
і неперервна на (0; Л].
Розіб’ємо відрізок [0; /г] па п рівних відрізків точ-
ками
0 = х0 < X] < х2 < - • < хк_^ <
<хк <...<х„ч <хп=к.
Довжина кожного з утворених відрізків ; хк ]
дорівнює хк - хк_ । = — = Ах.
Запишемо абсциси правих кінців кожного з відрізків:
Х| = Ах, х2 = 2Дх, х3 = 3Ах,..., х„_1 = (н - 1)Дх, х„ = пАх.
Утворимо добутки /'(х^)Дх і знайдемо суму
= 1 (-Ц )л-г + А(*2 )Д-ї + • + /(ли-і )Дт + 1(хп ) Ах.
Підставимо в останню рівність значення /(Х| ) = 2Ах, 1 (х2 ) = 2 2Ах, /(х3 ) =
= 2 ЗАх,..., + ( (х„ ) = 2пДх.
427
о . п(п +1) .
З урахуванням 1 + 2 + 3 + ...п = •—- дістанемо
5„ = 2Дх • Дх +2 - 2Дг + 2 - ЗДг • Дг +... + 2п • Дг • Дх =
= 2( Дх)2 (1 + 2 + 3 +... + п) = 2^-п(" + 1) = к2 ^±1.
ГГ п
Ііт (1 -
2
і = *2.
Отже, 5 = Ііт 5„ = Ііт &221±1 = &2
п—>°° п—Я
Після цього доцільно запропонувати учням обчислити площу трикутника за
відомою формулою геометрії 5 = ~ОА • АВ.
Оскільки ОА = к, АВ = [ (к) = 2к, отримаємо 5 = й2.
Як домашнє завдання можна запропонувати учням задачу на об-
числення площі фігури, яку не можна обчислити засобами шкільної
геометрії.
Задача 13.8. Обчислити площу фігури, обмеженої частиною параболи у = х2,
віссю х і прямою х = к.
Зауважимо, що під час розв’язування цієї задачі доведеться скористатися
формулою суми квадратів п перших натуральних чисел, яку учням можна запро-
понувати записати в зошити:
І2 + 22 + З2 +... + в2 =
6
Цю формулу доводять методом математичної індукції або так, як у посіб-
нику [ 186].
Формула Ньютона—Лейбніца. Доцільно звернути увагу учнів на те,
що безпосередньо за означенням легко обчислювати інтеграли для най-
простіших функцій, таких як у = кх, у = х . Для інших, наприклад
тригонометричних, обчислення границь сум значно ускладнюється. Ви-
никає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом?
Такий спосіб знайшли І. Ньютон і Г. Лейбпіц. Строге доведення цієї
формули виходить за межі шкільного курсу. Проте не можна без будь-
яких пояснень давати учням лише готову
формулу. Цілком можливо проілюстру-
вати справедливість формули Ньютона—
Лейбніца геометричними міркуван-
нями. Для цього слід повернутися до
задачі про площу криволінійної трапеції
(рис. 13.37). Відомо, що площа криволі-
нійної трапеції дорівнює інтегралу
Ь
5 = | / (х)<7х.
а
428
Зафіксуємо довільне х є [о; Ь] і проведемо перпендикуляр до осі х.
Площа фігури аАКх змінюється зі зміною х, тобто є функцією х,
яку позначимо 5(х).
Доведемо, що існує похідна цієї функції, причому 5'(х) = /'(х).
Інакше кажучи, покажемо, що функція 5 (х) є первісною під інтег-
ральної функції.
Надамо х приросту Дх. Для спрощення міркувань приймемо
Лх > 0. Тоді функція 5 (х) набуде приросту Д5(х). У математичному
аналізі доводиться, що неперервна на відрізку [о; Ь] функція у = /"(х)
досягає на ньому найбільшого і найменшого значень. Оскільки функція
у = ((х) неперервна на відрізку [х; х + Дх], то вона набуває на ньому
найменшого значення т і найбільшого значення М. Очевидно, що
т • Дх < Д5 (х) < М Дх.
Поділивши всі три частини цієї нерівності на Дх > 0, дістанемо
ДД (х)
т < —< М.
Лх
Унаслідок неперервності функції у = [ (х) Ііт т = Ііт М = [ (х).
Дх -->0 Лх->0
Д5(х)
Тоді Ііт —-У^ = /’(х). Остання рівність означає, що Д'(х) = /(х),
Лг—>0 Дх
тобто функція Д(х) є первісною підінтегральної функції /"(х).
Позначимо як Р(х) будь-яку первісну функції /(х). Відомо, що
будь-які дві первісні тієї самої функції відрізняються лише сталим
доданком С. Тому
Д(х) = £(х)+С. (13.26)
За х = а значення Д (х) перетворюється на нуль, оскільки відрізок
хК збігається з відрізком аА. Отже, поклавши в рівності (13.26)
х = а, дістанемо 0 = Р («) + С, звідки С = -Р(а).
Підставивши в рівність (13.26) замість С його значення, матимемо
5(х) = Р(х)-Р(а). (13.27)
Очевидно, що площа 5' криволінійної трапеції аАВЬ виражати-
меться числом, що дорівнює значенню функції 5 (х) за х = Ь, тобто
Д = Д(&).
Водночас за х = Ь рівність (13.27) набере вигляду
Д(Ь) = Г(Ь)-Г(й). (13.28)
429
Отже, різниця значень первісної Р(Ь)-Р(а) дорівнює площі кри-
волінійної трапеції аАВЬ. Враховуючи, що та сама площа має зна-
Ь
чення / [ (х)с?х, дістанемо
а
Ь
\({х)с1х = Р(Ь)-Р(а}.
а
Ця рівність отримала назву формули Ньютона—Лейбніца.
Доцільно навести учням приклади обчислення інтеграла за допо-
могою цієї формули. Зокрема, варто повернутися до задачі 13.8, за
к
якою обчислювався інтеграл Учні побачать перевагу формули
0
Ньютона—Лейбніца:
к 9 З к
5 = | х2с?х =
0 3
0 3
Насамперед слід розглядати такі приклади, щоб первісну можна
було знайти безпосередньо за означенням або за таблицею первісних.
Наприклад,
я
Я 2
2 /—
Г 8ІП ХСІХ = — СОЗ X = -ІСОЗ 5 - СОЗ VI = СОЗ V =
„ \ 2 4/ 4 2
4 Я
4
Складніші приклади доцільно розв’язувати після того, як вивчено
властивості інтеграла.
Застосування інтеграла. Програма передбачає ознайомити
учнів із застосуванням інтеграла насамперед для обчислення площ
плоских фігур. Досвід доводить, що коли фігура, площу якої
потрібно визначити, є
криволінійною трапецією стандартного ви-
гляду (обмежена зверху графіком
функції г/ = /(х), знизу — відрізком
[а; б] осі х, відрізками прямих х = а
і х - Ь ), то в учнів не виникає труд-
нощів у розв’язуванні задачі. Труднощі
є тоді, коли фігура розміщена між
графіками двох неперервних функцій
у - У (х) і у = <р(х) (рис. 13.38) або
частково (рис. 13.39, а) чи повністю
(рис. 13.40) під віссю х.
430
Визначивши, що площу фігури, розміщеної над віссю х і обмеже-
ної зверху і знизу графіками функцій у = [ (х) і у = ф(х), обчислю-
ють за формулою
Ь
8 = { (/ (х) - ф (х)) (їх,
а
можна поширити цю формулу і на ви-
падок, коли частина фігури міститься
нижче від осі х (рис. 13.39, а). Щоб
перекопатися в цьому, досить перене-
сти розглядувану фігуру паралельно в
напрямку осі у на відстань т так, щоб
вона розмістилася над віссю х (рис.
13.39, б). Однак таке паралельне пе-
ренесення означає, що дані функції
у = [ (х) і у = ф(х) замінюються нови-
ми функціями /] (х) = /" (х) + т і ф1 (х) =
Ф1 (х) = ф(х) + т.
Очевидно, що площа фігури, обмеженої цими лініями, дорівнює
площі даної фігури. Тому шукана площа
Ь
$ = Н/І 0)~<Рі (л.))с/х =
а
Ь Ь
= І ((А (х) + т) ~ (ф(х) + (х)_ ф(*)М*-
а а
З останньої формули випливає ще один важливий висновок. Якщо
ь
позначити різницю /’(х)-ф(х) = <?(х), то 5 = / д(х)(1х, тобто для
а
431
числового значення площі важливою є
не форма фігури, а довжина відрізка
<?(х), обмеженого лініями у = / (х) і
у = ф(х). Отже, якщо взяти дві інші
функції у = Д (х) і у = ф( (х), які за-
довольняють умову (х)-ф1 (х) =
= 7(х), то дістанемо фігуру, рівно-
велику попередній (рис. 13.41). Цей
факт установив у XVII ст. Б. Ка-
вальєрі. Він сформулював принцип:
якщо дві плоскі фігури розміщені між двома паралельними прямими і
всі відповідні паралельні перерізи їх мають однакову довжину, то ці
фігури рівновеликі.
Потрібно наголосити, що в геометрії інтеграл використовують не
тільки для обчислення площ фігур, а й для визначення об’ємів тіл,
довжин дуг кривих ліній, площ поверхонь тіл. Доцільно також навес-
ти приклади задач на застосування інтеграла у фізиці, техніці, еко-
номіці [386].
Диференціальні рівняння в шкільному курсі математики. За
чинною програмою введення поняття про диференціальне рівняння
передбачено в 11 класі на завершення вивчення теми «Інтеграл».
У посібнику з алгебри і початків аналізу [12] поняття про диферен-
ціальне рівняння другого порядку (диференціальне рівняння гармо-
нічних коливань) запроваджується спочатку в розділі «Застосування
похідної до дослідження функцій», а після вивчення похідної показ-
никової функції ще раз розглядається диференціальне рівняння пер-
шого порядку. З дидактичних міркувань такий підхід до вивчення
диференціальних рівнянь у школі не можна вважати вдалим. До-
цільніше ввести поняття про диференціальне рівняння один раз, але
пояснити його спочатку на прикладі рівняння першого порядку, а
потім навести задачу, яка приводить до диференціального рівняння
другого порядку.
Основною метою вивчення цієї теми є ввести поняття про дифе-
ренціальні рівняння і показати застосування їх до вивчення процесів і
явищ навколишнього світу. Оскільки розв’язками розглядуваних ди-
ференціальних рівнянь є функції, зокрема показникова і тригономет-
рична, то тут є нагода навести учням приклади застосування цих
функцій для дослідження реальних процесів і явищ.
Учні мають отримати уявлення про диференціальне рівняння і йо-
го розв’язки, знати приклади задач, розв’язування яких зводиться до
таких рівнянь. Проте формування навичок розв’язування навіть най-
простіших видів диференціальних рівнянь програма основного курсу
не передбачає.
432
Відомо, що математичний аналіз як математика змінних величин з
часів свого зародження розвивався в тісному зв’язку з природознав-
ством, зокрема фізикою та механікою. Саме потреби розвитку фізики,
необхідність кількісного вивчення змінних рухів і процесів зумовили
виникнення та формування основних понять диференціального й ін-
тегрального числення. Поняття диференціального рівняння — одне з
основних понять математичного аналізу. Щоб ввести його, розглянемо
етапи вивчення певного фізичного процесу. Це фактично процес мо-
делювання:
1) створення фізичної гіпотези, що ґрунтується на експерименті, і
запис цієї гіпотези в математичній формі (у вигляді математичної за-
дачі);
2) математичне розв’язування цієї задачі;
3) фізичне тлумачення отриманого розв’язку.
Здебільшого фізичні закони описують співвідношення між величи-
нами, що характеризують фізичний процес, і швидкістю зміни цих
величин. Це означає, що багато фізичних законів описується рівнян-
нями, які містять похідну невідомої функції. Такі рівняння називають
диференціальними, наприклад, у - ку, у' = х2 + 2хг/.
Крім функції та її похідних складовою диференціального рівняння
може бути і незалежна змінна х (аргумент). Якщо розв’язком відомих
вже алгебраїчних рівнянь, наприклад з однією змінною, є одне зна-
чення або множина значень цієї змінної, то окремим розв’язком ди-
ференціального рівняння є функція, похідна якої входить до рівнян-
ня. Загальним розв’язком диференціального рівняння є множина та-
ких функцій.
Розв’язати диференціальне рівняння означає знайти функцію (або
множину функцій), похідна якої міститься у рівнянні.
До диференціального рівняння ми приходили під час введення
первісної, коли мали рівність Г'(х) = (х) і потрібно було знайти (від-
новити) функцію Р(х), похідна якої дорівнювала ((х). Розглянемо
інші приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.
Задача (3.9. Нехай тіло, наприклад металеву пластинку, нагріту до темпера-
тури /ДО) градусів, у момент і = 0 занурюють у велику посудину з повітрям
нульової температури. Тіло починає охолоджуватися, і ііого температура у буде
функцією часу і. Позначимо цю температуру символом у {і).
Згідно із законом охолодження Ньютона швидкість зміни температури, тобто
похідна у'(І), пропорційна різниці температур тіла і середовища. У розглядува-
ному випадку ця швидкість пропорційна у(1), оскільки у(1) - у(0) = у{1) - 0 =
= у(і). Отже, маємо, що в кожний момент часу І виконується співвідношення
= <13.29)
де к - додатний коефіцієнт, що залежить від металу, з якого виготовлено пла-
стинку; знак «мінус» свідчить про зниження температури.
433
Рівняння (13.29) — це диференціальне рівняння, яке є математичною модел-
лю розглядуваного процесу охолодження пластинки.
Розв’язати диференціальне рівняння (13.29) означає знайти множину всіх
функцій г/(/), які разом зі своєю похідною перетворюють рівняння (13.29) на
тотожність.
Для рівняння (13.29) розв’язком є множина функцій у = Се~к1, де С —
довільна стала, оскільки у' = Се~кІ (-к) = -Ске кІ.
Справді, після підстановки в рівняння (13.29) значень у і у дістанемо то-
тожність
-Ске~к1 = -к Се~кі; е~ік = е~кі.
Оскільки відшукання функції, похідна якої входить до дифе-
ренціального рівняння, зводиться до операції інтегрування, то часто
замість терміна «розв’язати» використовують термін «проінтегрува-
ти» диференціальне рівняння. У задачі 13.9 загальний розв’язок у =
= Се~к1 є множиною складних показникових функцій. Умова задачі
дає змогу відокремити із множини цих функцій ту, яка задовольняє
початкову умову: за і = 0 у = у$.
Підставивши ці значення в загальний розв’язок, матимемо у§ = Се
звідки С = у0.
Отже, закон охолодження остаточно можна виразити так
(підставивши замість С = у0 ):
У^) = Уое~к1-
Отримана формула є частинним розв’язком диференціального рів-
няння (13.29).
Після розглянутої задачі та введення поняття диференціального
рівняння і його розв’язків доцільно звернути увагу учнів па те, що
залежно від порядку похідної, яка міститься у рівнянні, розрізняють
рівняння першого, другого та вищих порядків. Наприклад, рівняння
у'(і) = -ку(1) є диференціальним рівнянням першого порядку. Роз-
глянемо задачу механіки, розв’язування якої зводиться до диферен-
ціального рівняння другого порядку.
Задача 13.10. Нехай до кульки масою т прикріплено горизонтально роз-
міщену пружину, другий кінець якої закріплено (рис. 13.42, а), і нехай у стані
рівноваги координата х центра кульки дорівнює 0 Коли центр зміститься в точку
з координатою центра „г Ф 0, сила Р намагатиметься повернути кульку в поло-
ження рівноваги. З одного боку, згідно із законом Гука, ця сила пропорційна
зміщенню х, тобто
Р - -кх(і),
де к — додатна константа (рис. 13.42, б).
434
Ох 0 х х
а б
Рис. 13.42
З іншого боку, за другим законом Ньютона
Р = та.
Водночас прискорення а є другою похідною від координати, тобто
а = х'(І').
Тому, підставляючи замість а його значення і прирівнюючи значення Р, отри-
маємо
-кх(і) = т.г'(С).
Звідси
/(і) = --ї(і). (13.30)
Рівняння (13.30) є диференціальним рівнянням другого порядку.
У фізиці, зокрема в механіці, велику роль відіграють функції Д які
задовольняють диференціальне рівняння
Г(0 = -“7(0- (13.31)
У задачі 13.10 центр кульки під дією сил пружності визначається
цим рівнянням за со = Кажуть, що фізичні величини, які змі-
нюються в часі відповідно до рівняння (13.31), здійснюють гармоніч-
ні коливання, а рівняння (13.31) називають диференціальними рів-
няннями гармонічних коливань. Виявляється, що за будь-яких сталих
А, щ і <р функція /~(ї) = Асоз(сої + <р) є розв’язком рівняння (13.31).
Для перевірки цього факту знайдемо /'(ї), ("(і) і підставимо разом з
((і) значення /'(() в рівняння (13.31). Справді,
= -Асозіп(ої + <р), Г(і) = -Асо2 соз(сої + ср).
Після підстановки дістанемо тотожність
-Асо2 соз (сої + ср) = -со2А соз (сої + ср),
або
соз (сої + ср) = соз (сої + ср).
Потім доцільно розглянути задачі про радіоактивний розпад, рів-
няння гармонічних коливань (див. приклади з посібника [387]).
МЕТОДИКА
Л/І НАВЧАННЯ
РОЗДІЛ 14 СТЕРЕОМЕТРІЇ
14.1. Стереометрія як навчальний предмет.
Пропедевтика навчання стереометрії
в основній школі
Метою навчання курсу стереометрії є систематичне вивчення вла-
стивостей геометричних фігур у просторі, розвиток просторових уяв-
лень і уяви, засвоєння учнями способів обчислення важливих для
практики геометричних величин і подальший розвиток логічного ми-
слення.
Зміст шкільного курсу стереометрії протягом останніх років не за-
знав істотних змін порівняно з традиційним. Здебільшого його згру-
повано навколо п’яти змістових ліній: 1) просторові геометричні фі-
гури та їхні властивості; 2) геометричні побудови; 3) геометричні пе-
ретворення; 4) координати і вектори в просторі; 5) геометричні вели-
чини. Отже, в курсі стереометрії надалі розвиваються основні змістові
лінії планіметрії, тому йому властивий систематизувальний і узагаль-
нювальний виклад, широке використання аналогій, спрямованість на
закріплення й розвиток умінь і навичок, набутих в основній школі.
На рівні обов’язкових результатів навчання, згідно з програмою,
учні мають уміти зображувати на площині просторові геометричні
фігури, наведені в умовах теорем і задач, відокремлювати відомі фі-
гури на рисунках і моделях; розв’язувати типові задачі на обчислення
і доведення, спираючись на засвоєні теоретичні відомості; виконувати
обґрунтовані міркування під час розв’язування типових задач, вико-
ристовуючи теоретичні відомості, набуті учнями в процесі вивчення
планіметрії та стереометрії; обчислювати значення геометричних ве-
личин (довжин, кутів, площ і об’ємів), використовуючи вивчені в
курсах планіметрії й стереометрії формули і теореми; застосовувати
апарат алгебри, початків аналізу та тригонометрії до розв’язування
геометричних задач і доведення теорем; використовувати вектори і
координати, розв’язуючи нескладні стандартні задачі.
У стереометрії не всі основні лінії курсу планіметрії розвиваються
однаково. Зокрема, геометричним побудовам за допомогою циркуля
та лінійки уваги майже не приділено за специфікою курсу і браком
навчального часу. Проте уявним побудовам у курсі стереометрії по-
трібно приділяти належну увагу: з учнями, які мають достатню підго-
436
товку і цікавляться математикою, на гуртках або факультативних за-
няттях можна розглянути задачі на побудову перерізів багатогранни-
ків методом слідів і методом внутрішнього проектування. Водночас
потрібно навчити всіх учнів зображувати просторові фігури на пло-
щині, ґрунтуючись на властивості паралельної проекції.
Усі основні види геометричних перетворень, які вивчались у пла-
німетрії, переходять до стереометрії. Крім того, відбувається розши-
рення видів симетрії — розглядається симетрія відносно площини.
Новою властивістю руху в просторі є те, що він переводить площину
в площину. У просторі так само озиачається рівність фігур, причому
за паралельного перенесення площина переходить або в себе, або в
паралельну їй площину. Розширюються властивості гомотетії. За до-
помогою цього перетворення розв’язують стереометричні задачі. Бага-
то відомостей стосовно координат і векторів на площині без змін пе-
реходять у простір, а під час розгляду нового теоретичного матеріалу
можна скористатися аналогіями.
Ефективність розв’язування задач у стереометрії можна значно збіль-
шити, якщо застосовувати не тільки традиційні засоби унаочнення,
обчислення, а й сучасні інформаційні технології, зокрема персональні
комп’ютери та мікрокалькулятори. Курс стереометрії має широкі мо-
жливості для інтелектуального розвитку учнів, насамперед логічного
мислення, просторових уявлень і уяви.
Слід розрізняти поняття «уявлення» і «уява». У психології уяв-
лення трактується як образ раніше сприйнятого предмета або явища
(уявлення пам’яті), а також образ, створений продуктивною уявою; це
вища форма чуття, відображення у вигляді наочно-образного знання.
Уява — це психічна діяльність, яка полягає у створенні уявлень і
мисленнх ситуацій, які насправді ніколи загалом не сприймалися лю-
диною. Розрізняють уяви відтворювальні і творчі. На думку О. Д. Алек-
саидрова, геометрія в своїй сутності є таким поєднанням живої уяви
та строгої логіки, в якому вони взаємно організовують і спрямовують
одна одну. Уява дає змогу безпосередньо бачити геометричний факт і
підказує логіці його вираження й доведення, а логіка, в свою чергу,
надає уяві точності та спрямовує її на створення картин, що виявля-
ють потрібні логіці зв’язки. Уява — це прекрасна, могутня здібність
людини. Вона, зрозуміло, взагалі потрібна людині для орієнтування в
навколишньому світі і в розвиненій формі важлива для багатьох ви-
дів діяльності. Вона потрібна кваліфікованому робітнику, інженеру,
архітектору, авіатору, скульптору та ін. (Александров А. Д. О геомет-
рии // Математика в шк. — 1980. — № 3. — С. 56 — 57)
Для формування в учнів просторових уявлень і розвитку уяви важ-
ливо починати запровадження понять, аксіом, теорем і багатьох задач
стереометрії з розгляду моделі та наочного рисунка. Модель і рису-
нок дають змогу учням виокремити властивості просторових фігур і
абстрагуватися від неістотних, виконати узагальнення, помітити по-
437
трібні відношення і зв’язки між елементами фігур, здійснити аналіз
через синтез під час доведення теорем і розв’язування задач, узагаль-
нити виконане доведення, поширивши твердження на всі фігури пев-
ного класу.
Водночас потрібно зважати на особливості курсу стереометрії, в
якому учням трапляються складніші співвідношення геометричних
фігур, ніж на площині. Стереометричний рисунок, який є найдоступ-
нішим і найпоширенішим засобом унаочнення, все-таки подає просто-
рові образи у спотвореному вигляді, що утруднює уяву. В стереомет-
рії через складність просторових уявлень необхідною стає логіка, ніс
дає великий і переконливий матеріал для розвитку в учнів логічного
мислення. Недарма О. Д. Александров у згаданій статті зазначав, ще
завдання навчання геометрії — розвивати в учнів три якості: просто-
рову уяву, практичне розуміння та логічне мислення.
Зупинимося на особливостях організаційно-методичної діяльності
вчителя під час навчання стереометрії.
Із визначених програмою вимог до навчання стереометрії принци-
пово важливою є та, що високий рівень абстрактності стереометрич-
ного матеріалу, логічна строгість систематичного викладу мають по-
єднуватися з високим ступенем наочності, мотивації вивчення навча-
льного матеріалу і з практичною спрямованістю навчання. Унаочнен-
ня потрібне під час вивчення всіх розділів курсу стереометрії. Водно-
час практика доводить, що надмірне захоплення унаочненням може
гальмувати розвиток просторових уявлень і уяви учнів, а відрив від
практичного застосування матеріалу, що вивчається, знижує пізнава-
льний інтерес, мотивацію, спричинює формалізм у знаннях і вміннях
учнів.
Орієнтація на безумовне досягнення всіма учнями обов’язкових
результатів навчання і створення умов для випереджального навчання
тих, хто має здібності та цікавляться математикою, потребує забезпе-
чення диференціації за рівнем вимог з урахуванням індивідуального
стилю навчання, відмінностей у розумовому, емоційно-вольовому роз-
витку учнів, їх навченості та темпах оволодіння програмним матеріа-
лом. Зважаючи на вік старшокласників, учитель під час вивчення
стереометрії має більші можливості для організації самостійної на-
вчальної діяльності учнів, систематичного повторення, розширення й
узагальнення як планіметричного матеріалу, так і нових для учнів
тісно пов’язаних з ним теоретичних відомостей та способів діяльності
в стереометрії.
Досвід доводить, що під час вивчення стереометрії ефективними
є різні варіанти лекційно-практичної системи навчання. У формі
шкільної лекції можна, наприклад, подати відомості про аксіоматичну
побудову геометрії, провести перші уроки з тем «Паралельність пря-
мих і площин», «Перпендикулярність прямих і площин», подати ВІ-
ДОМОСТІ про геометричні перетворення в просторі, правильні бага-
438
гогранники, об’єми багатогранників. У формі підсумкової лекції
доцільно систематизувати знання з теми «Многогранники». Урок-
семінар можна ефективно провести на завершення вивчення багато-
гранників.
Пропедевтика вивчення стереометричного матеріалу в основній
школі. Зі шкільної практики добре відомі труднощі на початку ви-
вчення стереометрії в 10 класі. Однією з основних причин цього є
слабко розвинені просторові уявлення й уява. На просторові фігури,
зокрема різні геометричні тіла (кубики, м’ячі, кульки, циліндри, ко-
нуси тощо), діти епізодично натрапляють у дитячому садку, в курсі
математики початкової школи. У 5-6 класах основної школи вони
вже явно вивчають прямокутний паралелепіпед, куб, обчислюють їхні
об’єми, площі основ, граней, обчислюють за формулою об’єм кулі.
У 6 класі на наочно-інтуїтивному рівні вводять призму, піраміду, ци-
ліндр, конус, кулю. На уроках праці, малювання, пізніше — крес-
лення учнів ознайомлюють з циліндром, конусом, розгортками пара-
лелепіпедів, призм.
Водночас, якщо обов’язковою для всіх дітей є основна школа, то
курс математики в ній повинен мати певиою мірою завершений харак-
тер. Це означає, що крім плоских фігур учням слід мати уявлення і
про основні просторові фігури. Інакше кажучи, потрібне паралельне
вивчення на наочно-інтуїтивному рівні елементів стереометрії в курсі
планіметрії (паралельність і перпендикулярність прямих і площин,
прямокутний паралелепіпед, пряма призма, піраміда, циліндр, конус,
куля, практичні вміння визначати площі поверхні й об’єми зазначе-
них тіл, зображувати просторові фігури на площині, будувати їх роз-
гортай, читати рисунки).
Така пропедевтика стереометрії потрібна не тільки для розвитку
просторових уявлень і уяви, а й для практичної підготовки школярів.
В учнів СПТУ і технікумів, наприклад, виникають труднощі під час
вивчення спеціальних предметів, на виробничій практиці в ситуації,
коли потрібно обчислити об’єми тіл, площі поверхонь, виконати зав-
дання з технічного креслення.
Спроби розв’язати цю суперечність здійснювалися в 70 —80-х ро-
ках XX ст., у період упровадження нових програм і підручників. На-
приклад, у посібнику з геометрії А. М. Колмогорова 1154] на завер-
шення курсу планіметрії пропонувався пропедевтичний розділ сте-
реометрії, в якому без строгих доведень було стисло викладено відо-
мості про фігури в просторі та формули для обчислення об’ємів і
площ поверхонь основних геометричних тіл. Проте в той час від посіб-
ника відмовилися, і спробу не було реалізовано. У чинній програмі
знову передбачено вивчення цього навчального матеріалу в темі «По-
чаткові відомості стереометрії».
Інший методичний варіант реалізації пропедевтики стереометрії в
курсі планіметрії пропонує В. І. Рижик (Рьіжик В. И. Система задач
439
школьного учебника геометрии: Днс. ... д-ра пед. наук в форме научного
доклала. — СПб., 1993. — 57 с.). Автор наводить у задачах геометричні
відомості щодо стереометрії. При цьому ознайомлення з поняттями і
фактами стереометрії має не систематичний, а пропедевтичний характер,
його основною метою є сприяти виникненню і розвитку тривимірних
просторових уявлень. Пропоновані фігури аналогічні тим, які вивчають
у планіметрії. Наприклад, якщо в теоретичному матеріалі йдеться про
трикутник, то в задачах розглядають тетраедр, вивчення правильного
трикутника пов’язується з правильним тетраедром і правильною трикут-
ною пірамідою, квадрата — з кубом і правильною чотирикутною пірамі-
дою, кола і круга — з циліндром і конусом, прямокутника — з прямо-
кутним паралелепіпедом і прямою призмою.
Перша поява багатогранників і тіл обертання пов’язується з їх мо-
делями. Учням пропонують спочатку зробити розгортку, потім склеї-
ти та отримати багатогранник, який вивчається. Досвід переконує, що
учні 12 — 13 років зацікавлено виконують такі завдання й успішно
дають їм раду. Пізніше використовують матеріалізовану форму геоме-
тричних тіл — рисунки. Учням пропонують стереометричні задачі на
доведення й обчислення, розв’язування яких сприяє глибшому засво-
єнню планіметрії. Наприклад, задачі на ознаки рівних трикутників
можна урізноманітнити, якщо працювати з трикутниками, які є гра-
нями тетраедра. Багатогранники й тіла обертання використовують
надалі під час вивчення інших тверджень планіметрії.
Запропонований методичний варіант пропедевтики стереометрії до-
сить перспективний. Проте ми вважаємо за необхідне дещо розширити
відомості про геометричні тіла в 6 класі. Саме після запровадження по-
нять кола, круга і кулі доцільно ввести поняття призми, піраміди, цилін-
дра і конуса та формули для обчислення об’ємів і площ поверхонь цих
тіл. У 9 класі під час вивчення теми «Площі фігур» слід повернутися
до обчислення площ поверхонь і об’ємів геометричних тіл за форму-
лами, виконуючи вимірювання лінійних елементів за моделями.
Йдеться про проведення лабора торної роботи на вимірювання й обчи-
слення геометричних величин. Такі завдання важливі, оскільки рівень
розвитку тривимірних просторових уявлень в основній школі потріб-
но постійно підтримувати. До того ж такі лабораторні роботи потре-
бують використання (отже, і повторення) правил наближених обчис-
лень.
14.2. Перші уроки стереометрії
До перших уроків стереометрії належать ті, що стосуються першої
теми курсу — «Аксіоми стереометрії, їх найпростіші наслідки». Слід
мати на увазі, що під час вивчення перших тем стереометрії, а отже,
вже на перших уроках, учні натрапляють на труднощі, на які зверта-
440
ли увагу свого часу О. М. Астряб і Д. М. Маєргойз. Оскільки на-
вчання перших тем курсу здебільшого залишається традиційним, то
висловлені зауваження є актуальними й нині. Йдеться про труднощі,
пов’язані передусім з недостатнім розвитком в учнів просторових
уявлень й уяви, значною абстрактністю навчального матеріалу порів-
няно з планіметричним, перевантаженістю теоремами, зокрема дріб-
ними, наявністю багатьох аналогій і відмінностей між відповідними
поняттями та твердженнями планіметрії й стереометрії.
З метою зменшення перших труднощів учитель має використову-
вати наочність, зокрема стереометричний ящик або сучасні його мо-
дифікації. Зменшити труднощі щодо абстрактності навчального мате-
ріалу можна, якщо вчитель конкретизує означення, аксіоми й теореми
різноманітними застосуваннями їх у навколишньому житті та техніці.
Перевантаженість теоремами та їх доведеннями вчитель може змен-
шити, якщо зосередить увагу учнів на основних твердженнях, які бу-
дуть часто потрібні надалі.
Щодо аналогій і відмінностей у навчальному матеріалі планіметрії та
стереометрії, то вчитель має скористатися тими аналогіями, які дають
змогу учням краще усвідомити й запам’ятати факти зі стереометрії, та
застерегти їх від тих аналогій, які можуть призвести до помилок.
Основна мета вивчення першої теми полягає у повторенні аксіом
планіметрії та засвоєнні учнями аксіом стереометрії. Учні мають зна-
ти аксіоми стереометрії, основні наслідки з них, уміти застосовувати
їх до розв’язування задач. Як і на перших уроках планіметрії, вимога
все доводити з посиланням на аксіоми і доведені раніше теореми є
обов’язковою.
Бесіда про логічну будову геометрії. Перший урок доцільно при-
святити поясненню учням ідеї дедуктивної, аксіоматичної побудови
геометрії на прикладі планіметрії, походження та ролі первісних по-
нять і аксіом, повторенню аксіом планіметрії та схеми логічної будови
геометрії. Бесіда вчителя може мати такий зміст.
Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують
певними поняттями, вивчають їх властивості та відношення між
ними. Наприклад, фізика вивчає такі поняття, як рух, швидкість,
маса, теплота, струм тощо. Граматика розглядає поняття: речення,
прикметник, дієслово тощо. Геометрія — це наука про властивості
геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як гео-
метрична фігура, окремі види фігур — трикутник, круг, куб. Гео-
метрія вивчає такі відношення між фігурами, як рівність, подіб-
ність, паралельність, перпендикулярність, розглядає різні перетво-
рення фігур (симетрії, поворот, подібність), має справу з геомет-
ричними величинами (довжина відрізка, кола, міра кута, площа,
об’єм).
На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побу-
дові. Вона побудована дедуктивно. Що це означає?
441
Потрібно пояснити учням суть терміна «дедукція». Дедукція (від лат.
сіесіисііо — виведення) у широкому розумінні — це така форма мислен-
ня, за якої нова думка суто логічно виводиться з деяких думок-посилань.
У вужчому розумінні дедукція — це такий умовивід, унаслідок якого
можна отримати нові знання про предмети або групи предметів на основі
вже наявних знань про досліджувані предмети. Планіметрія вивчає фі-
гури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пря-
ма. Ці два поняття належать до первісних, яким домовились не давати
означень і використовувати їх для означення інших понять. Наприклад,
серединним перпендикуляром до відрізка називають пряму, перпендику-
лярну до цього відрізка і яка проходить через його середину. Тут се-
рединний перпендикуляр означається через первісні поняття «пряма»,
«точка» (середина відрізка).
Потреба в первісних поняттях та їх роль у геометрії саме і пов’язані з
дедуктивним принципом її побудови. Справді, в геометрії кожне нове
Рис. 14.1
поняття, крім первісних, означається або на ос-
нові первісних, або на основі раніше означених
понять. Розглянемо приклад. Як відомо, квадра-
том називають прямокутник, всі сторони якого
рівні; прямокутник означається через паралело-
грам, в якого всі кути прямі; паралелограм озна-
чається через чотирикутник і т. д. Маємо лан-
цюжок понять (рис. 14.1), який не може бути
нескінченним. Тому виникає потреба невелику
кількість понять прийняти без означення (первіс-
ні поняття), а через них означати інші.
Крім точки і прямої первісними поняттями
планіметрії є поняття «належать» для точок і
прямих, «лежать між» — для трьох точок пря-
мої, «довжина відрізка», «градусна міра кута».
Доцільно зауважити, що первісні поняття вибирає той, хто будує курс.
Наприклад, у шкільному посібнику А. М. Колмогорова [154] поняття
«лежить між» означилось через первісне поняття «відстань». Первісні
поняття, як і більшість означуваних, походять від об’єктів, що існують
реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття «площина» похо-
дить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак
площину ми уявляємо необмежено подовженою, вона не має товщини.
Пряма — образ натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не
має кінців і товщини та уявляється необмежено подовженою.
Крім первісних і означуваних понять геометрія використовує твер-
дження, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів:
аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпро-
стіших фігур (первісних понять) і приймаються без доведення, нази-
вають аксіомами. Твердження, іцо виражають властивості геометрич-
них фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом
442
Рис. 14.2
також спричинені дедуктивним принципом побудови гео-
метрії. Тут ми маємо аналогічну схему (рис. 14.2), оскіль-
ки кожне нове твердження доводиться на основі раніше
відомого, вже доведеного твердження і т. д. Оскільки лан-
цюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає
потреба домовитись прийняти невелику їх кількість без
доведення і використовувати для доведення інших.
Вибір аксіом — це також справа домовленості. Доціль-
но сказати учням про те, що коли теорему про суму кутів
трикутника прийняти за аксіому, то за її допомогою можна
було довести твердження про властивість паралельних
прямих на площині (аксіому паралельних).
Далі потрібно повторити аксіоми планіметрії, скористав-
шись для цього зведеною таблицею, в якій подано всі
дев’ять аксіом (див. розд. З, § 2 підручника О. В. Погорє-
лова [291]).
На цьому уроці можна проаналізувати кілька означень з
того, через які раніше відомі поняття їх формульовано, і хоча б одне
доведення з погляду того, які відомі раніше твердження (посилання)
в ньому використано.
Завершують урок демонструванням заздалегідь заготовленої схеми
побудови геометрії.
Схема побудови геометрії
1. Перелічують первісні (неозначувані) поняття.
2. Формулюють аксіоми про властивості первісних понять.
3. За допомогою первісних і раніше означених понять формулю-
ють означення нових понять.
4. На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень дово-
дять нові твердження.
Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них. На другому
уроці доцільно ввести поняття про стереометрію як розділ геометрії,
що вивчає властивості фігур у просторі, пояснити походження термі-
на (від гр. егеєрєб^ — об’ємний, просторовий і цєтрєго — вимірюю) та
звернути увагу па те, що найпростішими фігурами в стереометрії є
точка, пряма і площина. Оскільки площина є новою найпростішою
фігурою, потрібно «[юрмулюватіи аксіоми, що виражають властивості
площини. Далі пропонуються зведені в одну таблицю (див. табл. 12.2)
три аксіоми стереометрії. Слід навести учням приклади використання
аксіом стереометрії у виробничій діяльності людини. Наприклад, учи-
тель розповідає, як тесляр перевіряє, чи розміщуються кінці ніжок стола
в одній площині, від чого залежить стійкість стола. Він натягує нитки на
кінці ніжок і перевіряє, чи перетинаються вони (аксіома С3).
Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то
всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і система аксіом
443
стереометрії складається з дев’яти аксіом планіметрії та трьох аксіом
групи С. Після цього потрібно уточнити учням деякі аксіоми планімет-
рії (IV, VII, VIII, IX) як аксіоми стереометрії.
На перших уроках стереометрії за умови роботи за підручником
О. В. Погорєлова [290] доводять чотири теореми, які є найпростіши-
ми наслідками з аксіом. Перший наслідок стверджує існування і єди-
ність площини, яка проходить через задану пряму і задану точку,
що не лежить на прямій. Можна скористатися одним з двох методів
доведення цієї теореми. Перший — синтетичний — викладено в під-
ручнику. Досвід доводить, що деякі учні формально заучують дове-
дення, не усвідомлюючи глибоко його суть і додаткову побудову, яка
викопується. Тому на уроці доцільніше використати аналітичний
метод, який активізує пізнавальну діяльність учнів на пошук дове-
дення. Після цього учні можуть викласти доведення синтетичним ме-
тодом.
Наведемо можливу модель організації діяльності учнів під час ви-
вчення згаданого доведення. В цьому разі за таблицями аксіом учні
вибиратимуть аксіому, потрібну для доведення. Після формулювання
теореми потрібно виконати рисунок (рис. 14.3) і коротко записати
умову і висновок з теореми.
Дано: а — пряма;
В — точка, яка не лежить на а.
Довести: 1. Існування площини а, яка про-
ходить через а і В.
2. Єдиність площини а.
Доведення. Учитель. І. Доведемо існу-
вання, тобто можливість проведення площини
а, яка проходить через а і В. Яка аксіома сте-
реометрії обґрунтовує можливість проведення
площини?
Рис. 14.3
Учень. Аксіома про можливість проведення площини через дві різні прямі,
що мають спільну точку.
Учитель. На яку додаткову побудову наштовхує нас ця аксіома ?
Учень. Потрібно провести ще одну пряму, яка перетинала б пряму а.
У ч и т е л ь. Яка аксіома обгрунтовує можливість проведення прямої?
Учень. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну.
У ч и т е л ь. Через які точки проводитимемо ще одну пряму?
Учень. Через точку В і довільну точку А прямої а.
Учитель. Яка аксіома обґрунтовує можливість вибору точки А?
Учень. Хоч би якою була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і
точки, що не належать їй.
Учитель. Проведемо пряму через точки В і А. Прямі а і Ь різні, оскільки
точка В прямій а не належить. Через прямі а і Ь, які перетинаються, проведемо
площину а (виконує па дошці рисунок площини а).
Учитель. II. Доведемо, що площина а єдина.
(В учнів може скластися думка, що немає, потреби в доведенні єдиності пло-
щини а, оскільки за аксіомою С3 через дві прямі, які перетинаються, можна
444
провести площину і тільки одну. Насправді це не так, оскільки точку А на прямій
а було вибрано довільно. Тому довільною є і пряма Ь.)
Яким методом доводиться в математиці єдиність чого-небудь?
Учень. Методом від супротивного.
Учитель. Спробуйте самостійно довести єдиність площини а, скористав-
шись методом від супротивного.
Учень (очікувана відповідь). 1. Припустимо, що існує іце одна площина а',
яка відмінна від а і проходить через а і В.
2. Тоді оскільки а належить а (за побудовою) і а (за припущенням), то а і
а' перетинаються по прямій а. За побудовою точка В належить площині а, а за
припущенням вона належить а. Це означає, що В належить а, що суперечить умові
теореми.
3. Припущення неправильне, а справедливе те, що а і а' збігаються, тобто іс-
нує єдина площина а, яка проходить через пряму а і точку В.
За іншим методичним варіантом учні можуть самостійно ознайомитись
з доведенням цієї теореми за підручником, але оформити його з усіма
обґрунтуваннями у вигляді таблиці (табл. 14.1).
Таблиця 14.1. Доведення теореми нро існування і єдиність площини,
яка проходить через задану пряму і задану точку,
що не лежить на прямій
Твердження Обгрунтування
1. Виберемо на прямій а дові- льну точку А 1. За аксіомою про існування точок, які нале- жать прямій
2. Через А і В можна провести пряму Ь 2. За аксіомою про можливість проведення прямої через дві точки
3. Прямі а і Ь різні 3. Оскільки точка В не належить прямій а
4. Через прямі а і Ь можна про- вести площину а 4. За аксіомою про можливість проведення площини через дві прямі, які мають спільну точку
5. Площина а проходить через пряму а і точку В 5. Оскільки а проходить через а за побудовою, а через В, тому що В належить Ь; а прохо- дить через Ь за побудовою
Єдиність площини а доводиться так само, як і в попередньому мето-
дичному варіанті.
Доведення наступних двох теорем не громіздкі, проте також потребу-
ють докладного обґрунтування з посиланням на вивчені аксіоми і тео-
реми. Доведення теореми 15.2 (за нумерацією підручника [290]) доцільно
вивчати, складаючи таблицю, а щодо доведення теореми 15.3, то можна
організувати колективний його пошук. Обидві ці теореми безпосередньо
445
використовують у практиці. Тесляр перевіряє якість поверхні стола,
що виготовляється, прикладаючи до його кришки в різних напрямках
лінійку. Якщо між лінійкою і кришкою стола немає просвітів, то стіл
виготовлений якісно (теорема 15.2). За теоремою 15.3 побудовано шта-
тиви для фотоапаратів і різних геодезичних приладів. Кінці ніжок
штативів знаходяться на одній площині, внаслідок чого прилад займає
стійке положення. Будь-які двері можна розглядати як модель пло-
щини, а два завіси і замок, на який двері замикаються, — як три точки,
що визначають площину.
Система задач перших уроків стереометрії містить їх небагато,
але переважно — це задачі на доведення. Доцільно звернути увагу
учнів на те, що вивчені аксіоми стереометрії та наслідки з них да-
ють можливість розв’язувати найпростіші задачі на побудову в
просторі. Проте оскільки рисунок в стереометрії лише умовно зобра-
жує просторову фігуру, то побудови в стереометрії бувають двох ви-
дів: а) побудови на рисунку, які реально виконуються на площині
паперу або дошки (наприклад, побудова перерізів багатогранни-
ків); б) уявні побудови, за яких фактично лише пояснюється мож-
ливість побудови, доводиться існування об’єкта. У цьому разі ви-
ходять з того, що в просторі можна вибрати будь-яку точку, через дві
точки можна провести пряму, через три точки, через пряму і точку,
що не лежить на ній, через дві прямі, які перетинаються або парале-
льні, можна провести площину; якщо дано пряму і площину, які
перетинаються, то можна вказати точку їх перетину; в заданій або
побудованій площині можна виконувати будь-які побудови плані-
метрії.
14.3. Паралельність та перпендикулярність
прямих і площин
В історії розвитку шкільного курсу математики і методики його
навчання до цього часу дискутується питання про послідовність вивчен-
ня тем «Паралельність прямих і площин» і «Перпендикулярність пря-
мих і площин». У перших виданнях підручника з геометрії А. П. Ки-
сельова першою вивчалась тема «Перпендикулярність прямих і пло-
щин». Такий порядок прийнято і в навчальному посібнику О. Д. Алек-
сандрова та ін. Перевага такої послідовності вивчення цих тем поля-
гає в тому, шо відразу можна розв’язувати різноманітні задачі на об-
числення, застосовувати під час доведення теорем ознаки рівності
трикутників, властивості рівнобедрених трикутників. Недоліком такої
послідовності є те, що рисунки в цьому розділі зображують фігури,
зокрема кути, у спотвореному вигляді, а тому потребують від учнів
добре розвиненого просторового уявлення. Тому в наступних видан-
нях підручника А. П. Кисельова та в інших підручниках, за якими
446
працювали школи останніми десятиріччями і працюють нині, тему
«Паралельність прямих і площин» подано першою. Такий порядок
має переваги насамперед тому, що рисунки просторових фігур сприй-
маються учнями легше, оскільки на них зберігається паралельність
прямих і пропорційність паралельних відрізків. Тут більше можливо-
стей використати паралельне перенесення, вивчені аксіоми, встанови-
ти зв’язки з кресленням, досить рано ознайомити учнів зі способом
зображення просторових фігур на площині. Слабким місцем такого
порядку вивчення тем є збіднена система задач, особливо змістових
задач на обчислення.
Відомості про прямі та площини є основоположними в курсі сте-
реометрії, тому важливо забезпечити стійкі й усвідомлені знання цьо-
го матеріалу. В такому разі потрібно зважати на труднощі, які вини-
кають в учнів з переходом від планіметрії до тривимірного простору і
пов’язані з недостатнім розвитком просторових уявлень і уяви, з на-
явністю аналогій і відмінностей в означеннях і теоремах, пов’язаних з
паралельністю й перпендикулярністю прямих на площині та прямих і
площин — у просторі.
Паралельність прямих і площин у просторі. Розпочинаючи ви-
вчення теми, доцільно відокремити для учнів чотири блоки в змісті
навчального матеріалу.
1. Паралельність прямих у просторі; мимобіжні прямі.
2. Паралельність прямої та площини.
3. Паралельність площин у просторі.
4. Паралельне проектування як спосіб зображення просторових
фігур на площині.
Вивчення першого блоку навчального матеріалу природно почати з
розгляду можливих положень двох прямих а і Ь на площині та в прос-
торі. Учні пригадають, що в планіметрії, тобто на площині, можливі
лише два положення прямих а і Ь: 1) прямі а і Ь перетинаються; 2) пря-
мі а і Ь паралельні.
Потрібно пригадати означення паралельних прямих у планіметрії
та зазначити, що воно містить лише одну істотну властивість — «не
перетинаються». Далі, використовуючи стереометричний ящик, мо-
дель куба або прямокутного паралелепіпеда, з’ясовують можливі поло-
ження двох прямих а і Ь в просторі. Учні самі доходять висновку, що
таких можливих положень три: 1) прямі а і Ь перетинаються; 2) прямі
а і Ь лежать в одній площині і не перетинаються; 3) прямі а і Ь не
лежать в одній площині і не перетинаються.
Як і в планіметрії, дві прямі в просторі вважають такими, що пе-
ретинаються, якщо вони мають лише одну спільну точку. Після цього
вводять означення паралельних і мимобіжних прямих у просторі.
Важливо наголосити, що означення двох паралельних прямих у прос-
торі містить дві істотні властивості: 1) лежати в одній площині; 2) не
перетинатися.
447
Кожна з цих властивостей необхідна і лише обидві разом достатні
для того, щоб дві прямі в просторі вважались паралельними.
Учні мають добре усвідомлювати означення й ознаку паралельних
прямих, розуміти відмінності між цими двома твердженнями, доводи-
ти ознаку (теорема 16.2 за підручником [290]). Дехто з учнів не роз-
різняють ознаки паралельних прямих на площині та в просторі. Тому
слід наголосити, що хоча формулюються ці теореми однаково, проте,
по суті, в теоремі 16.2 йдеться про три прямі, які не обов’язково ле-
жать в одній площині. Так само деякі учні не усвідомлюють принци-
пової різниці між аксіомою паралельних прямих у планіметрії та тео-
ремою 16.1, яка стверджує можливість проведення через точку поза
заданою прямою лише однієї прямої, паралельної заданій.
Доведення ознаки паралельності прямих у просторі досить громізд-
ке. Тому важливо із самого початку доведення зробити цільову уста-
новку: якщо кожна з прямих Ь і с паралельна прямій а і потрібно
довести, що Ь\\с, то для доведення слід скористатися означенням па-
ралельних прямих у просторі, оскільки жодна ознака ще не відома.
Отже, потрібно довести два факти: 1) прямі Ь і с лежать в одній пло-
щині; 2) прямі Ь і с не перетинаються.
Далі міркування за підручником спрямовані на досягнення цієї
мети.
Вивчення другого змістового блоку теми «Паралельність прямих і
площин» не зумовлює в учнів особливих труднощів. Пояснення ново-
го матеріалу доцільно почати із з’ясування (на основі моделей прямої
та площини) можливих випадків взаємного розміщення прямої та
площини у просторі. Учні колективно доходять висновку, що пряма а
може лежати в площині а і не лежати в ній. У другому випадку також
можливі два варіанти: пряма а і площина а не перетинаються; пряма
а і площина а перетинаються в одній точці.
Після цього природно вводиться означення паралельних прямої та
площини. Слід звернути увагу учнів на те, що означення аналогічне
означенню паралельних прямих у планіметрії. Це сприятиме закріп-
ленню в пам’яті нового означення.
Під час доведення ознаки паралельності прямої та площини доціль-
но відразу сформулювати мету доведення — потрібно довести, що пря-
ма а, яка не належить площині а і паралельна прямій аг цієї площини,
не може перетнути площину а. Учні вже із 7 класу мають знати, що
неможливість чого-небудь доводиться методом від супротивного. Після
виконання додаткової побудови (проведення площини а через парале-
льні прямі а і Я)) учні спроможні самостійно здійснити міркування
методом від супротивного, виконавши три кроки: 1) припустимо, що
а перетинає а; 2) тоді точка перетину мала б належати прямій я(.
Проте це суперечить умові теореми, ОСКІЛЬКИ а || Яр 3) припущення
448
неправильне, а справедливе те, що пряма не перетинає площину а,
тобто за означенням паралельна площині а.
Паралельність площин вивчається за тією самою методичною схе-
мою: після розгляду на моделях можливих положень двох площин у
просторі формулюється означення паралельних площин. Учні без
особливих труднощів з’ясовують два можливі положення і за анало-
гією з попередніми означеннями паралельності прямої та площини
самі формулюють означення паралельних площин.
Далі виникає потреба сформулювати теорему, яка стверджує озна-
ку паралельності двох площин. Шкільна практика доводить, що деякі
учні намагаються сформулювати цю ознаку за аналогією з ознакою
паралельності прямих у планіметрії. Така спроба розглянути ситуацію
перетину двох площин третьою приводить до потреби використовува-
ти двогранні кути між площинами. Однак такі кути ще не розгляда-
лись. Учитель сам має сформулювати ознаку паралельності двох пло-
щин і звернути увагу учнів на те, що за умовою теореми потрібно до-
вести неможливість перетину заданих площин, тобто підвести їх до
означення паралельних площин. Учні самі виберуть метод доведення
від супротивного і зроблять перший крок припущення, що площини
перетинаються. Проте відповідний рисунок учням зробити важко, по-
трібна допомога вчителя. Подальші міркування, що випливають з
припущення, учні можуть знайти колективно.
Твердження про існування площини, паралельної заданій площині
(теорема 16.5), нагадує учням аксіому паралельних прямих у плані-
метрії. Доведення цієї теореми доцільно дати учням лише як ознайо-
млення і не вимагати від усіх уміння відтворювати це доведення.
Водночас твердження про властивість паралельних площин, перетну-
тих третьою площиною, і задача 33, з якої випливає твердження про
рівність відрізків паралельних прямих, які містяться між двома пара-
лельними площинами, хоч і не занесені в підручнику [290] до рубри-
ки теорем, заслуговують уважного вивчення. Ці твердження застосо-
вують до розв’язування задач.
Спираючись на аналогії деяких означень і властивостей, пов’язаних з
відношенням паралельності в планіметрії та стереометрії, потрібно уник-
нути помилок учнів, пов’язаних із неправомірним перенесенням за ана-
логією відповідних властивостей. Наприклад, дехто з учнів вважає, що
для прямих а, Ь і площин а і Р виконуються відношення:
1) якщо а Ц а і а||£, то а || Ь;
2) якщо а Ц а і а||Р, то а || р.
Перпендикулярність прямих і площин у просторі. Зміст навчаль-
ного матеріалу цієї теми можна умовно розділити на три блоки.
1. Перпендикулярність прямих у просторі.
2. Перпендикулярність прямої та площини.
3. Перпендикулярність площин.
15 Слзпкань 3. І.
449
Методична схема вивчення кожного блоку така сама, що і в попе-
редній темі. Спочатку вводять означення перпендикулярності відповід-
них об’єктів, потім формулюють і доводять ознаку їх перпендикуляр-
ності. Для прямої та площини розглядають задачу на побудову пер-
пендикулярних прямої та площини, доводять єдиність такої площини
і властивість перпендикулярної прямої та площини. Особливе місце і
значення в цій темі належать навчальному матеріалу стосовно перпен-
дикуляра та похилої до площини, а також теореми про три перпенди-
куляри. Остання застосовується під час розв’язування задач, пов’я-
заних з багатогранниками і тілами обертання. Схемою доведення цієї
теореми часто послуговуються в задачах.
Тому важливо домогтися того, щоб усі учні вміли доводити теоре-
му про три перпендикуляри.
У зв’язку з вивченням перпендикулярності прямих у просторі пот-
рібно повторити відповідний матеріал з планіметрії та стереометрії.
У навчальній і методичній літературі відомі два види означень перпен-
дикулярних прямих у просторі:
1) дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетина-
ються під прямим кутом [290];
2) дві прямі називають взаємно перпендикулярними, якщо кути
між ними дорівнюють 90° [147].
Друге означення охоплює також прямі, які не перетинаються, зок-
рема мимобіжні. Відповідно до цього прийнято два види означень
перпендикулярних прямої та площини:
1) пряму, що перетинає площину, називають перпендикулярною
до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка
лежить у цій площині і проходить через точку перетину;
2) пряму і площину називають перпендикулярними, якщо пряма
перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині [146].
Перевага першого означення для прямої та площини полягає в то-
му, що наведення умови їх перетину в означенні позбавляє потреби
спеціально доводити цей факт. Друге означення можна ввести в кла-
сах з поглибленим вивченням математики, доповнивши його умовою
перетину прямої та площини (умова проходження прямої площини
через точку перетину прямої та площини тут не розглядається). Таке
означення полегшить доведення деяких теорем і розв’язування задач,
зокрема теореми про три перпендикуляри.
Щодо означення перпендикулярних площин, то в учнів, за анало-
гією з означенням перпендикулярних прямих, виникає бажання озна-
чити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом. Однак відразу
виникає проблема: що розуміти під кутом між площинами? Цю проб-
лему розв’язують по-різному. У підручнику О. В. Погорєлова [290]
дві площини, іцо перетинаються, названо перпендикулярними, якщо
третя площина, перпендикулярна до прямих перетину цих площин,
перетинає їх по перпендикулярних прямих. У посібнику Л. С. Ата-
450
насяна та ін. [78] спочатку введено означення двогранного кута, а
потім на цій основі подано означення перпендикулярних площин.
У посібнику О. Д. Александрова та ін. означення двох перпендику-
лярних площин введено на основі поняття перпендикулярності прямої
та площини: дві площини називають взаємно перпендикулярними,
якщо в кожній з них через будь-яку точку проходить пряма, перпен-
дикулярна до другої площини.
Теореми, що стверджують ознаки перпендикулярності в просторі
двох прямих, прямої та площини, двох площин, можна доводити різ-
ними способами. Здебільшого доведення виконують, розглядаючи па-
ралелограми і ланцюжок рівних трикутників. Водночас, наприклад,
ознаку перпендикулярності прямої та площини, теорему про два пер-
пендикуляри і теорему про три перпендикуляри можна було б довес-
ти векторним методом.
Ознака перпендикулярності двох прямих у просторі, яку сформу-
льовано в підручнику О. В. Погорєлова [290], практично не викорис-
товується в системі задач, а доведення її хоча й не складне, проте все-
таки громіздке. Тому недоцільно приділяти багато уваги умінню від-
творювати учнями це доведення.
Що стосується теореми про три перпендикуляри, то в традиційних
підручниках геометрії розглядались дві окремі взаємно обернені тео-
реми і під час розв’язування задач робилось посилання на одну з них.
У підручнику О. В. Погорєлова пропонується одна теорема про три
перпендикуляри, формулювання якої містить пряме й обернене твер-
дження. Тому і в доведенні теореми потрібно відокремити дві части-
ни, в яких доводяться достатність і необхідність. Однак передусім, ви-
користовуючи рисунок, доцільно символічно записати умову і висновок
до кожної частини доведення (рис. 14.4). У цьому разі зручно кольоро-
вою крейдою навести на рисунку кожний із трьох перпендикулярів,
про який ідеться в теоремі. Запис доведення можна оформити так.
Доведення.
1. Достатність.
Дано: АВ ± а, АС — похила до а;
ВС — проекція 71С;
с належить а, с ± СВ.
Довести: с ± АС.
Доцільно звернути увагу учнів на
те, що хоча в теоремі потрібно довести
перпендикулярність двох прямих у про-
сторі, використати ознаку перпендику-
лярності двох прямих у просторі тут не
можна. Тому слід діяти в інший спосіб: виконати додаткову побудову
і скористатися властивістю перпендикулярних прямих і площин,
ознакою й означенням перпендикулярності прямої та площини. Для
451
глибшого усвідомлення всіма учнями кроків доведення доцільно
оформити його у вигляді таблиці (табл. 14.2).
Таблиця 14.2. Доведення теореми про три перпендикуляри
(достатність умови)
Побудови і твердження Обгрунтування
1. Проведемо пряму СА' Ц АВ і. За теоремою про можливість проведення через точку, що лежить поза прямою, лише однієї пря- мої, яка паралельна заданій прямій і
2. СА' ± а 2. За теоремою про перпендикулярність площини до прямої, яка паралельна перпендикулярній до пло- щини прямій
3. Проведемо через прямі АВ і А'С площину р 3. За означенням паралельних прямих у просторі
4. с ± СА' 4. За означенням прямої, перпендикулярної до пло- щини
5. с ± Р 5. За ознакою перпендикулярності прямої до площи- ни ( с ± СА' за доведенням, с ± СВ за умовою)
6. сТАС 6. За означенням прямої, перпендикулярної до пло- щини
Під час введення означень, доведень теорем і розв’язування задач
на тему «Перпендикулярність прямих і площин» потрібно широко ви-
користовувати наочність, зокрема стереометричний ящик, моделі ба-
гатогранників.
Зображення просторових фігур на площині. Види паралельної
проекції. Рисунки просторових фігур є одним із важливих засобів
ггавчання, спрямованим на реалізацію дидактичного принципу наоч-
ності. Наочність сприяє утворенню чітких і точних образів у процесі
сприймання й уявлення, полегшує учням перехід від конкретних об’єк-
тів до абстрактних понять за допомогою відокремлення і словесного
вираження загальних істотних властивостей фігур, допомагає встанов-
ленню зв’язків між елементами фігур та іншими фігурами під час роз-
в’язування задач.
Якщо планіметричний рисунок здебільшого відповідає реальній
фігурі, без спотворення відображає її властивості та виконується від-
повідно до умови задачі або теореми, то на рисунку просторової фі-
гури спотворюються довжини відрізків і величини кутів, він має певні
графічні умовності. Правильно і наочно виконаний рисунок просто-
рової фігури сприяє розумовій діяльності учнів, а неправильне і не-
наочне зображення, навпаки, гальмує розумову діяльність і часто стає
однією з причин невміння правильно розв’язати задачу.
452
Позитивний вплив наочності визначається цілою низкою умов,
найважливіша з яких — правильне поєднання слів учителя і наочнос-
ті, спеціальне навчання учнів «читанню рисунка», уміння виконувати
його. Досвід доводить, що формування в учнів умінь виконувати зо-
браження просторових фігур на площині відбувається ефективніше,
якщо поступово і систематично надавати їм правила-орієнтири вико-
нання цих зображень. Такі правила стають для учнів основою вико-
нання стереометричного рисунка. Перші правила-орієнтири доцільно
ввести під час вивчення п. 142 підручника [290].
Вони будуть підготовкою до вивчення і зображення в 11 класі ба-
гатогранників.
При цьому потрібно мати на увазі, що зображення просторових фігур
у геометрії відрізняються від креслень, виконаних за правилами нарис-
ної геометрії, зокрема аксонометрії. Виконання таких креслень пов’язане
з вибором і врахуванням напрямків аксонометричних осей, масштабу,
потребує великої кількості додаткових побудов, а отже, і навчального
часу, відволікає увагу від засвоєння геометричного матеріалу. Тому
під час вивчення зображень просторових фігур на площині в шкіль-
ній геометрії допускаються певні графічні умовності. Водночас такі
зображення мають відповідати вимогам, сформульованим ще в 40-х
роках XX ст. М Ф. Четвсрухіним. Назвемо три основні з них.
1. Зображення має бути правильним, тобто однією з паралельних про-
екцій оригіналу. Звідси випливає, що під час виконання стереометричного
рисунка потрібно ґрунтуватися на властивості паралельної проекції.
2. Зображення має бути наочним, тобто давати просторове уявлення
оригіналу. Справді, куб можна зобразити у вигляді квадрата, пірамі-
ду — у вигляді трикутника, круг — у вигляді відрізка. Хоча такі зо-
браження і правильні, проте вони не наочні. Тому слід рекомендувати
учням зображувати призми і піраміди так, щоб було видно найбільшу
кількість їхніх граней, щоб зображення ребер не збігалися. Кулю зо-
бражують так, щоб її перерізи площинами мали вигляд еліпсів, відповід-
но еліпсами мають зображуватися основи циліндрів і конусів.
3. Зображення має бути простим для виконання, тобто не потребу-
вати побудов, що безпосередньо не стосуються розв'язування задачі
або доведення теореми.
Потрібно орієнтувати учнів на те, що починати виконання рисун-
ків призм і циліндрів зручніше з верхньої основи, оскільки в зобра-
женні верхньої основи видно всі лінії, а проводити ребра або твірні
вниз зручніше, ніж угору.
Рисунок доцільно виконувати на лівій частині сторінки зошита,
передбачивши для нього не менш як чверть сторінки. Найтовщими
зображують основні видимі лінії, невидимі виконують штриховими
лініями завтовшки основних, допоміжні лінії — суцільними тон-
кими або штриховими.
453
Виконуючи зображення просторових фігур на площині, викорис-
товують два види паралельної проекції: 1) косокутну — проектуваль-
ні прямі нахилені під довільним кутом до площини зображень; 2) пря-
мокутну (ортогональну) — проектувальні промені перпендикулярні
до площини зображень. В. М. Брадіс [52] пропонував у школі засто-
совувати прямокутну проекцію і довільну косокутну проекцію, зокре-
ма її окремий вид — кабінетну проекцію. Косокутну проекцію нази-
вають кабінетною, якщо проектувальні промені обрано так, що проек-
ція відрізка, перпендикулярного до горизонтальної прямої, спотворю-
ється за довжиною вдвоє і утворює з горизонтальною прямою кут 45°
або 135°. У кабінетній проекції просто і наочно зображуються багато-
гранники, які в основі мають квадрат, прямокутник, правильний три-
кутник, шестикутник.
Тіла обертання найбільш наочно зображуються в ортогональній
проекції. У кожному окремому випадку потрібно вибирати той вид
паралельного проектування, за якого досягаються найвища наочність
і простота виконання рисунка.
Розглянемо правила-орієнтири виконання зображень багатокутни-
ків, зокрема правильних, і кола.
Зображення багатокутників і кола в довільній косокутній проек-
ції. За такого проектування будь-який трикутник можна розглядати
як паралельну проекцію наперед заданого трикутника.
Зображенням квадрата, прямо-
кутника, ромба, паралелограма може
\ бути довільний паралелограм. Як-
/ \ що задано довільний чотирикутник
в/ \ ЛВСІ) (рис. 14.5), діагоналі якого
І \ перетинаються в точці М, то відно-
/ М \ шеиня відрізків діагоналей оригіиа-
/х ____________ЛУ має Дорівнювати відношенню від-
А ® повідних відрізків зображення. Тому
Рис. 14.5 для виконання зображення цього
чотирикутника досить: 1) побудува-
ти довільний АА{В{Су, який може бути зображенням ЛАВС; 2) роз-
ділити відрізок А1СІ точкою М1 так, щоб
Ал/1 _ АМ .
МС ’
3) провести пряму В[Л/1 і вибрати на ній точку £>( так, щоб
51 А/, _ ВМ .
МХБХ МБ’
4) точку сполучити з Аі і Ср
454
У задачах, в яких ідеться про довільний чотирикутник (напри-
клад, в основі багатогранника), за його зображення можна взяти
будь-який чотирикутник зі зручним для зображення багатогранника
розміщенням вершин.
Зображенням трапеції також є трапеція, причому з певним відно-
шенням основ, якщо це відношення задане.
Для побудови зображення правильних п’ятикутника і шестикутни-
ка враховують їхні оригінали. Можна довести, що в правильному
п’ятикутнику АВСОЕ (рис. 14.6) діагоналі АС і ВО паралельні від-
повідно сторонам ОЕ і АЕ і, крім того, діляться точкою Р у набли-
женому відношенні 3:2. Звідси випливає спосіб побудови зображен-
ня правильного п’ятикутника: будуємо довільний паралелограм
А'Е'О'Р', на продовженні його сторін А'Р' і О'Р' відкладаємо відріз-
Діагоналі правильного шестикутника (рис. 14.8) ділять його на
шість правильних трикутників. Кожна пара трикутників утворює
ромб. Правильний шестикутник має три пари попарно паралельних
сторін. Є кілька способів побудови зображення правильного шестикут-
ника. Розглянемо два із них.
І спосіб: 1) будуємо довільний паралелограм АО'Е'Е' (рис. 14.9):
2) на продовженні сторони А'О’ відкладаємо відрізок О'О' = А'О'~,
455
3) на продовженні сторони Е'О' відкладаємо відрізок О'В' = О'Е';
4) проводимо діагональ Е'О' і на подовженні відкладаємо відрізок
О'С' = Е'О'.
II спосіб: 1) будуємо довільний А А'О'Е’; 2) на продовжен-
ні сторони А'О' відкладаємо відрізок О'О' = А'О'; 3) на продовжен-
ні сторони Е'О' відкладаємо відрізок О'С' = О'Е'; 4) через точку
О' проводимо пряму, паралельну А’Е', і на цій прямій з обох бо-
ків від точки О'відкладаємо відрізки О’Е' і О'В', що дорівню-
ють А'Е'.
Коло у косокутній проекції зображують у вигляді несиметричного
відносно горизонтального діаметра еліпса (рис. 14.10). Однак таке
зображення кола не досить наочне, тому для зображення тіл обертан-
ня застосовують прямокутну проекцію.
Зображуючи в кабінетній проекції квадрат, досить зобразити
одну його сторону горизонтальним відрізком А'О', що дорівнює
стороні АО оригіналу, і з кінців відрізка А'О' провести до нього
під кутом 45° відрізки А'В' і О'С', які дорівнюють половині А'О'
(рис. 14.11).
Рис. 14.11
Зображення прямокутника в кабінетній проекції викопують анало-
гічно, лише бічні сторони мають бути зображені у відношенні 1:2 з
відповідними сторонами оригіналу.
Зображуючи в кабінетній проекції правильний аАВС, слід
враховувати, що його висота СО =
АВуіЗ
2
проведена під кутом
45° до основи, зменшується вдвоє і наближено дорівнює половині
сторони АВ, якщо зображення цієї сторони розміщене горизонтально
(рис. 14.12).
Рисунок правильного шестикутника в кабінетній проекції зруч-
но почати із зображення в цій проекції правильного трикутника
А'О'В'.
Зображення в ортогональній проекції. Коло в ортогональній про-
екції має вигляд симетричного відносно горизонтального діаметра
еліпса (рис. 14.13).
456
Рис. 14.12
Рис. 14.13
Тому тіла обертання, як правило, виконують в ортогональній проек-
ції. Тоді в цій самій проекції потрібно зображувати і багатогранники, що
комбінуються з тілами обертання. Якщо при цьому основами багатогран-
ників є правильні багатокутники, вписані в коло чи описані навколо ньо-
го, то доцільно використати правила-орієнтири зображення їх.
Щоб виконати рисунок оригіналів квадратів, вписаного в коло й
описаного навколо нього, досить провести в колі два взаємно перпен-
дикулярні діаметри, сполучити їхні кінці (для вписаного квадрата) і
провести дотичні до кола в кінцях діаметрів (для описаного квадрата,
рис. 14.14).
Таким чином, побудова в ортогональній проекції зображень вписа-
ного й описаного квадратів зводиться до побудови зображень двох
взаємно перпендикулярних діаметрів. Якщо за перший обрати гори-
зонтальний діаметр, то перпендикулярний до нього діаметр в ортого-
нальній проекції зобразиться також перпендикулярним відрізком мен-
шої довжини. Хоча таке зображення і буде правильним, проте воно
незручне, оскільки зображення ребер у призмах і пірамідах, вписаних
у тіла обертання або описаних навколо них, збігаються.
Тому для побудови зображень двох взаємно перпендикулярних діа-
метрів за перший діаметр АВ зручно обрати той, який розміщений
приблизно під кутом 10° до горизонтального діаметра. Для побудови
зображення діаметра, перпендикулярного до першого, досить скорис-
татися властивістю хорд, паралельних діаметру: вони діляться навпіл
діаметром, перпендикулярним до заданого. Отже, досить провести
довільну хорду, паралельну діаметру АВ (рис. 14.15), розділити її
навпіл і через точку поділу та центр еліпса провести діаметр СІ).
Відрізок СІ) і є зображенням діаметра, перпендикулярного до діамет-
ра АВ.
Рис. 14.14
Рис. 14.15
457
Для побудови в ортогональній проекції зображень вписаного й опи-
саного квадратів досить сполучити кінці діаметрів у першому випадку і
провести дотичні в кінцях діаметрів — у другому (рис. 14.16).
Для зображення в ортогональній проекції правильних вписаного й
описаного трикутників скористаємося властивостями відповідних фі
гур-оригіпалів (рис. 14.17). Сторона вписаного трикутника ділить ра-
діус кола, що перпендикулярний до неї, навпіл, а сторони описаного
трикутника є дотичними до кола у вершинах вписаного і паралельні
його сторонам. Крім того, вершини описаного правильного трикутнії
ка лежать па продовженні висот вписаного трикутника на відстані
двох висот від відповідної вершини. Звідси маємо правило побудови
зображень правильних вписаних і описаних трикутників:
1) виконуємо зображення еліпса і двох взаємно перпендикулярних
діаметрів/ІВ і СО (рис. 14.18) способом, розглянутим вище; 2) про-
водимо хорду ЕР через середину одного з радіусів паралельно діамет-
ру АВ; 3) сполучаємо кінці хорди ЕР з кінцем С діаметра.
Трикутник ЕСР є зображенням правильного вписаного в коло
трикутника в ортогональній проекції.
Ортогональну проекцію правильного описаного трикутника легко
виконати, якщо відкласти на продовженні будь-якої з висот вписаного
трикутника відрізок, який дорівнює висоті, та провести через отриману
точку Р і дві інші вершини Е і Р вписаного трикутника дотичні. Тре-
тю дотичну проводять через третю вершину вписаного трикутника
Рис. 14.18
паралельно його протилежній сто-
роні. Можна також, відклавши на
одній з побудованих дотичних (на-
приклад, РЕ) відрізок ЕМ = РЕ, про-
вести дотичну через точки М і С.
Зауваження. Будуючи зобра-
ження правильного вписаного три-
кутника, можна ділити навпіл будь-
який з чотирьох радіусів. Проте
якщо трикутник є основою багато-
458
гранника, доцільно обрати такий із них, щоб дві грані багатогранника
були видимі. Щоб зображення основи багатогранника у вигляді опи-
саного трикутника було наочним, орієнтацію вписаного трикутника
потрібно поміняти на 180°.
Вивчаючи багатогранники в 11 класі, учні мають використовувати
запроваджені правила-орієнтири відповідних зображень.
14.4. Методика навчання теми «Многогранники»
Як справедливо зазначав О. Д. Александров (Что такеє много-
гранник//Математика в шк. — 1981. — № 1, 2), багатогранники
становлять центральний предмет стереометрії. Провідна роль багато-
гранників визначається передусім тим, що багато результатів стосовно
інших тіл отримано з відповідних результатів для багатогранників.
Наприклад, означення об’ємів і площ поверхонь тіл подається мето-
дом граничного переходу від об’ємів і площ поверхонь багатогранни-
ків. Одним із методів вивчення тіл і поверхонь загального вигляду у
вищій геометрії є наближення їх багатогранниками. Багатогранники
виокремлюються серед інших тіл багатьма цікавими властивостями,
теоремами і задачами нгодо них, наприклад теорема Ейлера про чис-
ло граней, ребер і вершин, симетрію правильних багатогранників,
задача про заповнення простору багатогранниками. Загальноосвітнє
значення вивчення теми «Многогранники» полягає ще й у тому, що
вона надає багатий матеріал для розвитку просторових уявлень і уяви
учнів, для розвитку того, за словами О. Д. Александрова, поєднання
живого просторового уявлення зі строгою логікою, яке становить суть
геометрії. Наприклад, факт перетину діагоналей паралелепіпеда в
одній точці потребує, з одного боку, підсилення уяви, щоб це побачити
наочно, з другого — строгого доведення.
Основна мета вивчення теми — спираючись на уявлення і знання
про багатогранники, отримані під час вивчення математики, креслен-
ня і з життєвого досвіду, ввести означення багатогранника і його ви-
дів, вивчити їхні властивості, застосовувати їх до розв’язування за-
дач, надалі розвивати просторові уявлення, уяву, логічні, графічні її
обчислювальні вміння.
Учні мають знати означення двогранного, тригранного і багато-
гранного кутів, багатогранників і його видів, зображувати їх, форму-
лювати та доводити теореми про властивості багатогранників, уміти
застосовувати їх до розв’язування задач.
Теоретичний матеріал цієї теми за підручником О. В. Погорєлова
[290] невеликий за обсягом, що дає змогу розв’язувати в класі і вдома
різноманітні, зокрема прикладні, задачі. Під час доведення теорем,
розв’язування задач, обгрунтувань побудови геометричних фігур вико-
ристовується багато доведених раніше тверджень. Тому повторення ра-
459
ніше вивченого матеріалу є важливим елементом уроків, присвячених
вивченню багатогранників. Так, під час розгляду двогранних кутів по-
трібно повторити відомості про розбиття площини прямою на дві пів-
площини, перпендикулярність площин, кути між площинами.
Формування понять теми. Доцільно звернути увагу на те, що в
стереометрії фігурами, аналогічними багатокутникам, є багатогранни-
ки. З найпростішими з них учні вже ознайомились на уроках матема-
тики, праці, креслення, у побуті (прямокутний паралелепіпед, куб,
призма, піраміда).
Елементами багатокутників є вершини, сторони, кути. Потрібно
пригадати означення кута, плоского кута, звернути увагу на те, що
існують два плоскі кути із заданими сторонами. їх називають дспов-
нювальними. Слід також пригадати введене в курсі стереометрії по-
няття півплощини, кута між площинами.
Елементами багатогранників є вершини, грані, двогранні, тригран-
ні або багатогранні кути. Отже, виникає потреба у з’ясуванні, що та-
ке двогранний, тригранний і багатогранний кути. Потім можна запро-
понувати учням прочитати пояснювальний текст за підручником, від-
повісти на запитання і виконати такі вправи.
1. Чи можна навести приклади двогранних, тригранних кутів, ви-
користовуючи предмети, що є довкола?
2. Сформулювати означення двогранного кута і його елементів.
3. Як визначити величину двогранного кута?
4. Чи залежить величина двогранного кута від положення вершини
лінійного кута на його ребрі? Яким методом доводиться цей факт?
5. Яким завбільшки може бути двогранний кут?
Відповідь. Якщо позначити градусну міру двогранного кута як ір,
то 0° < ір < 180°.
6. Зобразіть на рисунку прямий, гострий і тупий двогранний кути.
7. Покажіть на моделі куба двогранні й тригранні кути.
8. Усередині двогранного кута взято точку. Чи може відстань від
цієї точки до ребра двогранного кута дорівнювати відстані від цієї
самої точки до будь-якої з його граней? Обгрунтуйте відповідь за до-
помогою моделі двогранного кута.
9. У тригранному куті всі плоскі кути прямі. Чи будуть всі дво-
гранні кути цього кута також прямі?
10. Сформулюйте означення багатогранного кута.
Важливо звернути увагу учнів на те, що сума градусних мір плос-
ких кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.
Багатогранник і його види. У навчальній літературі трапляються
різні означення багатогранника. Так, у посібнику В. М. Клопського,
3. О. Скопця, М. І. Ягодовського [147] попередньо вводилось означення
обмеженої фігури: фігуру називають обмеженою, якщо існує куля, що
містить цю фігуру. Прикладами обмежених фігур є тетраедр, куб,
460
циліндр. Півпростір, двогранний, тригранний кути — необмежені фі-
гури. Після цього розглядались означення тіла і багатогранника.
Означення 14.1. Об’єднання обмеженої просторової області та її
межі називають тілом. Межу тіла інакше називають його поверхнею,
а просторову область тіла — його внутрішньою областю.
Означення 14.2. Багатогранником називають тіло, поверхнею
якого є об’єднання скінченної кількості багатокутників.
У підручнику О. В. Погорєлова (290] означення багатогранника
сформульовано без використання понять теорії множин. Багатогран-
ник — це таке тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількос-
ті плоских багатокутників. Багатогранник називають опуклим, якщо
він розміщений з одного боку від площини кожного плоского багато-
кутника на його поверхні. Спільна частина такої площини і поверхні
опуклого багатогранника називається гранню. Грані опуклого багато-
гранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней на-
зивають ребрами багатогранника, а вершини — вершинами багато-
гранника.
Отже, у наведеному означенні попередньо не означаються поняття
«тіло», «поверхня», через які означено поняття багатогранника. Маєть-
ся на увазі, що ці поняття сприймаються учнями в наочному, життє-
вому розумінні.
О. Д. Александров в одній із статей дає докладний аналіз поши-
рених означень багатогранника. Він зазначає, що оскільки тіло є час-
тиною простору, то означення багатогранника можна було б сформу-
лювати і так: багатогранник — це частина простору, обмежена скін-
ченною кількістю багатокутників
Перш ніж вводити на уроці означення багатогранника, потрібно по-
вторити означення плоского багатокутника, опуклого багатокутника,
оскільки їх використання і аналогія в останньому означенні з опуклим
багатогранником сприятиме кращому засвоєнню нових понять.
У підручнику О. В. Погорєлова запропоноване нетрадиційне озна-
чення призми. Прггзмого називають багатогранник, що складається з
двох плоских багатокутників, які лежать у різних площинах і сумі-
щаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що з’єднують
відповідні точки цих багатокутників. Багатокутники називають осно-
вами призми, а відрізки, які з’єдггують відповідні вершини, — бічни-
ми ребрами призми. У цьому означенні використано поняття паралель-
ного перенесення і здійснено загальний підхід, який ггадалі застосо-
вано до означешгя піраміди, циліндра, конуса.
Досвід доводггть, що запроваджеггня означень прямої призми, па-
ралелепіпеда, прямокутного паралелепіпеда, піраміди, зрізаної піра-
міди гге спричинює в учнів труднощів. Потрібно звернути їхню увагу
гга використання багатогранників у довколишньому житті, зокрема в
архітектурі, машино- і приладобудуванні та в інших галузях. Усі нові
поняття слід конкретизувати на моделях.
461
Кращому усвідомленню означень і властивостей кожного виду ба-
гатогранників, розвитку просторових уявлень і уяви сприятимуть усні
вправи, які розв’язуються на уроці відразу після запровадження но-
вої фігури. Наприклад, після ознайомлення з означеннями багато-
гранника і призми можна запропонувати учням такі усні вправи.
1. Чи може гранню п’ятигранника бути: а) чотирикутник; б) п’яти-
кутник? (Відповідь: а) може; б) не може.)
2. Яку мінімальну кількість граней може мати призма? Скільки
вершин, ребер, бічних ребер у такої призми?
3. Чи існує призма, що має 11, 18, 25 ребер, 33 ребра? (Взяти до
уваги, що в и-кутній призмі загальна кількість ребер становить Зн.)
4. Чи існує призма, в якій лише одне бічне ребро перпендикулярне
до площини основи?
5. Чи існує призма, в якій лише одна бічна грань перпендикулярна
до площини основи?
6. Чи існує паралелепіпед, у якого лише одна бічна грань перпен-
дикулярна до площини основи? тільки дві грані перпендикулярні до
площини основи?
7. Основою похилого паралелепіпеда є прямокутник. Дві бічні
грані перпендикулярні до площини основи. Чи можуть ці грані бути
суміжними? Доведіть, що дві інші бічні грані — прямокутники.
8. Основою паралелепіпеда є ромб. Один з діагональних перерізів
перпендикулярний до площини основи. Доведіть, що другий діагональ-
ний переріз — прямокутник.
У зв’язку із формуванням понять «піраміда», «правильна пірамі-
да» корисними для усвідомлення істотних властивостей цих багато-
гранників і для подальшого розв’язування складніших задач будуть
такі самі вправи.
1. Чи існує піраміда, в якій дві протилежні грані перпендикулярні
до основи і перпендикулярні між собою?
Якщо учні не зможуть дати правильної відповіді, потрібно задати їм
допоміжне запитання: чи існує піраміда, дві протилежні грані якої пер-
5 пендикуляриі до основи? Якщо вони знову не
к. зможуть дати правильної відповіді, запитати: чи
існує піраміда, в якої дві суміжні грані перпен-
'X \ х. дикулярні до основи? Після цього виконаний
\\ х X. рисунок (рис. 14.19) переконає учнів, що в пі-
\\ 4 раміді 5АВСО дві протилежні грані перпенди-
\\ кулярні до основи і перпендикулярні між собою.
\ / 2. Доведіть, що коли всі бічні ребра пірамі-
/ ди рівні між собою або однаково нахилені до
\ / площини основи, то в основі лежить багато-
£>"-Х/ гранник, навколо якого можна описати коло,
А при цьому вершина піраміди проектується в
Рис. 14.19 центр кола.
462
3. Доведіть, що коли всі двогранні кути при основі піраміди
рівні між собою, то в основі її лежить багатокутник, в який можна
вписати коло, при цьому вершина піраміди проектується в центр
цього кола.
4. Доведіть, що в правильній трикутній піраміді протилежні ребра
взаємно перпендикулярні.
5. Доведіть, що коли в трикутній піраміді всі плоскі кути при вер-
шині прямі, то висота піраміди перетинає площину основи в точці
перетину висот трикутника-основи.
У зв’язку із запровадженням поняття про правильні багатогранни-
ки потрібно мати на увазі, що програма на рівні обов’язкових резуль-
татів навчання передбачає лише введення поняття про правильні
багатогранники. Тому недоцільно на уроці розглядати задачі, що
доводять їхні властивості, які не ввійшли до означення. Водночас
доцільно з’ясувати з учнями, чому існує лише п’ять типів правильних
багатогранників. Для цього досить згадати про те, що сума градусних
мір плоских кутів опуклого багатогранного кута менша за 360°.
Багатогранний кут може складатися щонайменше з трьох плоских
кутів. Оскільки «з = 60°, сс4 - 90°, а5 = 108°, а6 = 120°,... і а3 -3 =
= 180° < 360°, ал 3 = 90° - 3 = 270° < 360°, оц •3 =108°•3 = 324° < 360°,
а6 3 = 120° • 3 = 360°, то гранями тригранних кутів правильного бага-
тогранника можуть бути правильний тригранник, квадрат і правиль-
ний п’ятикутник. Отримаємо відповідно правильний тетраедр, куб і
додекаедр. Аналогічно для чотиригранного кута правильного
багатогранника знаходимо, що він може складатися лише з плоских
кутів правильних трикутників. Дістанемо відповідно октаедр. Нарешті,
гранями п’ятигранного кута можуть бути лише правильні трикутни-
ки, оскільки <23 • 5 = 60° 5 = 300° < 360°. Дістанемо ікосаедр. Жодних
інших можливостей щодо утворення правильних багатогранників
немає.
На заняттях гуртків і факультативних груп можна розглянути на-
півправильпі багатогранники — ізогони й ізоедри.
Зображення багатогранників і побудова їхніх плоских перері-
зів. Доцільно надати учням загальні нравила-орієнтири щодо зоб-
раження багатогранників і окремих їх видів. Всі види призм і пі-
рамід слід зображувати так, щоб найбільшу кількість граней і ре-
бер було видно, а ребра не збігались. Доцільно рекомендувати уч-
ням починати виконувати зображення призм з верхньої основи,
оскільки всі сторони верхньої основи видно, а ребра зручніше про-
водити зверху вниз.
Зображення піраміди потрібно виконувати в такій послідовності:
1) на площині зображують деякий багатокутник (наприклад, п’яти-
кутник) (рис. 14.20);
463
Рис. 14.20
2) поза площиною багатокутника (як пра-
вило, зверху) вибирають довільну точку 5
(вершину) і сполучають її з вершинами осно-
ви. Суцільними відрізками виконують ті реб-
ра, які видно, штриховими лініями — ті, які
не видно.
При зображенні правильних пірамід зав-
жди відома проекція вершини піраміди на ос-
нові. Тому після виконання зображення осно-
ви потрібно визначити цю проекцію, провести
пряму, якій належить висота піраміди, і на ній
вибрати вершину. Потім сполучити вершину
піраміди з вершинами основи.
У разі побудови багатогранників, в основі яких лежать правильні
багатокутники, потрібно дотримуватися правил-орієнтирів їх зобра-
ження, що наводились у 10 класі під час вивчення властивостей пара-
лельної проекції.
На рівні обов’язкових результатів навчання програмою і підруч-
ником [290| передбачено розгляд найпростіших випадків побудови
перерізів. На заняттях гуртків або факультативних груп, в класах з
поглибленим вивченням математики доцільно ознайомити учнів із за-
гальними методами побудови перерізів тіл, зокрема багатогранників.
Мається на увазі метод внутрішнього проектування (метод відповід-
ності) і метод слідів при паралельному і центральному проектуванні.
Розв’язування задач на побудову перерізів зводиться до знаходження
точок перетину січної площини з ребрами багатогранника. Це озна-
чає, що учні мають уміти розв’язувати основну задачу такого змісту.
Дано три точки А, В, С і проекція Р1 четвертої точки на основній
площині а. Знайти на площині АВС точку О, проекція якої О) ві-
дома при заданому напрямку проектування.
Зауваження. Якщо задано три точки А, В, С, то вважається, що
при заданому напрямку проектування відомі їхні проекції А], В^ і С1
на основній площині а.
Розв’язуючи цю задачу методом слідів
(рис. 14.21), учні приходять до такого алго-
ритму.
1. Провести прямі через дві відомі точки
А і В та через їхні проекції А] і В}. Позна-
чити як X точку перетину отриманих пря-
мих: X = АВ П А]В].
2. Провести прямі через третю відому точ-
ку С і точку В (або А) та через їхні проек-
ції і В( Позначити як У точку перетину
464
отриманих прямих: У = СВПС1В1. Провести пряму ХУ — слід пло-
щини АВС на площині а.
3. Провести пряму О\В^ через проекцію шуканої точки О і проек-
цію відомої точки В до перетину з прямою ХУ. Позначити як У
точку перетину цих прямих: 2 = Р1В1 А ХУ.
4. Знайти точку О на перетині проектувальної прямої, проведеної
через точку Ор і прямої 7.В\ 1) = 7 В Г\ Г)\О.
Зауваження. Точку можна було сполучити з проекцією будь-
якої відомої точки, але п потрібно вибирати так, щоб проведена пря-
ма перетинала слід ХУ в межах зображення
площини а.
Розв’язуючи цю саму задачу методом
відповідності (рис. 14.22), учні прийдуть до
такого алгоритму.
1. Провести прямі через проекції двох ві-
домих точок і Ц та проекцію третьої відо-
мої точки Л1 і проекцію шуканої точки.
Позначити як Х} точку перетину проведених
прямих:
Х} = В& А А1О].
2. Провести пряму через відповідні відомі точки В і С до перетину
з проектувальною прямою, проведеною з точки X). Позначити як X
точку перетину проведених прямих: X = ВСС\Х^Х.
3. Знайти точку Ід на перетині прямої АХ, проведеної через третю
відому точку А і допоміжну точку X, та проектувальної прямої, про-
веденої з точки Ор Алгоритми обох методів зручно записати у сим-
волічній формі.
І. Метод слідів
Дано: а — площина; А (А^), В[В^ ),
С(С1) — точки та їхні проекції;
Г)} — проекція невідомої точки О.
Знайти: £>.
Алгоритм розв’язування.
1. Х = ДДАЛ1В1.
2. У^ВСПВ'Сі,
ХУ — слід площини АВС на а.
3. 2 = £>1В1ААГУ.
4. Р = 2ВАЦО.
465
Дано: а — площина; А (Д ), В (В} ),
С(С]) — точки та їхні проекції;
— проекція невідомої точки О.
Знайти: О.
Алгоритм розв’язування.
1. Х1 = В^С^
2. Х = ВСГ\Х}Х.
3. р = лхпоо1.
Під час побудови перерізів пірамід зручно скористатися цент-
ральним проектуванням. Алгоритми розв’язування основної задачі
обома розглянутими методами також запишемо у скороченому ви-
гляді:
І. Метод слідів
II. Метод відповідності
Дано: а — площина;
А — центр проектування;
А(Л(), В^В^, С(С]) — точки та
їхні проекції;
О] — проекція невідомої точки І).
Знайти: О.
Алгоритм розв’язування.
1. X = Ь’СП^Ср
2. У = АСПЛ1С1,
ХУ — слід площини АВС на а.
3. Х = ЦА,ПХУ.
4. О = АУПЩ.
Дано: а — площина;
5 — центр проектування;
А(А|), С(С() — точки та
їхні проекції;
О] — проекція невідомої точки Ід.
Знайти: О.
Алгоритм розв’язування.
і. рад.
2. Х = АСПХіА.
3. Г) = ДХПО1А.
466
Наведені алгоритми побудови перерізів при паралельному та цент-
ральному проектуванні доцільно оформити у вигляді наглядних посіб-
ників і вивішувати в кабінеті під час розв’язання задачі на побудову
перерізів.
Досвід доводить, що, користуючись алгоритмом розв’язування ос-
новної задачі, учні досить легко впораються з будь-якою задачею на
побудову перерізів багатогранників і символічно запишуть роз-
в’язування.
Рис. 14.23
Задача 14.1. Побудувати методом слідів переріз шестикутної призми
площиною, заданою трьома точками М, N. Р. що лежать иа бічних гранях
призми.
Розв’язання. За основну площину а виберемо площину нижньої основи, за
напрямок проектування — напрямок ребер. Проекції шуканих точок перетину з
ребрами збігаються з вершинами
нижньої основи (рис. 14.23).
1. Знайдемо точку перетину
площини МЕР з ребром В\В2-
1)
2) У
Х¥ — слід перетину площини
МЕР з площиною АіВіСіЕіЕіГі;
3) 7 = Х'УПЛфВі;
4) В = Л'7Г)В1В2.
2. Знайдемо точку перетину
площини МЕР з ребром Е|Е2.‘
1) /. = ХУПЕ]В];
2) Р=РВПГІР2.
3. Знайдемо точку перетину
площини МЕР з ребром <щС2:
1) К = ^С1ПХУ;
2) С = ЕКПС1С2.
На грані ф.Д2І?2бі призми маємо дві точки В і М, які належать площині пе-
рерізу. Провівши пряму Р>М, знайдемо точку А перетину січної площини з ребром
ДЛ2. Провівши в грані АІА2Е2ЕІ пряму АР, дістанемо пряму перетину цієї грані
з січною площиною. В площині грані Р\Р2Е2Е\ можна провести пряму ГЕ, яка
також є лінією перетину цієї грані з січною площиною. Водночас дістанемо точку
Е перетину площини МЕР з ребром Е^Е2. Сполучивши С з Р і провівши пряму
СР у площині грані С^С2Е2Е>}, знайдемо точку О перетину площини ММ1 з реб-
ром ОїД?- Можна обмежитись символічним записом:
4. А=ВМПА1А2.
5. Е = ГЛ7ПЕ1Е2.
6. О = СРГ\ОІО2.
467
Рис. 14.24
1) Ц =С1Е1ПА1О1;
2) У = СЕ П5Ц;
3) О = ЛУПО15.
Через побудовані точки В, Л, Р, Е, О, С
проходить шуканий переріз призми площи-
ною МЕ1/3.
Задача 14.2. Побудувати методом відпо-
відностей переріз шестикутної піраміди пло-
щиною, заданою трьома точками АЕС, які
лежать на ребрах піраміди (рис. 14.24).
Розв’язання 1. Знайдемо точку перетину
січної площини АЕС з ребром 57Ц
1) X, =Л1С1ПВ1Е1;
2) X = Х^ПЛС;
3) Е = ЕХП5Е1.
2. Знайдемо точку перетину січної пло-
щини з ребром 8І)у:
3. Знайдемо точку перетину січної площини з ребром 8Ру:
1) Ху — АуЕ)у П РуСу;
2) X = АІ) ПХу8;
3) Г = С7П/ї5.
Шестикутник АВСОЕР — шуканий переріз піраміди площиною АЕС.
14.5. Тіла обертання
Ця тема завершує вивчення властивостей фігур у просторі. Вивчення
учнями тіл обертання має не тільки загальноосвітнє, а й практичне зна-
чення, оскільки їх форми мають деталі багатьох машин, приладів, архі-
тектурні споруди, побутові речі, наприклад гончарні вироби.
Основна мета вивчення теми — ввести означення кожного з тіл
обертання, ґрунтуючись па уявленнях, отриманих про них під час
вивчення математики, креслення, трудового навчання, навчити зо-
бражувати їх на площині, довести теореми про властивості тіл обер-
тання та навчити застосовувати ці властивості до розв’язування
задач.
Учні мають володіти поняттями про тіла та поверхні обертання,
зображувати їх і застосовувати властивості до розв’язування задач.
Теоретичний матеріал про тіла обертання невеликий за обсяіом і
засвоюється учнями без особливих труднощів. Досвід доводить, що
циліндр і конус доцільно вивчати за одним методичним планом, під-
креслюючи спільне і відмінне в означеннях, властивостях, зображен-
нях.
468
Значні труднощі у частини учнів виникають під час розв’язування
задач, особливо задач на комбінації тіл обертання з багатогранника-
ми. Труднощі пов’язані насамперед з відсутністю умінь правильно і
наочно зображати комбінацію тіл, теоретично обґрунтувати рисунок і
окремі етапи розв’язування задачі, правильно виконати наближені
обчислення, зокрема в практичних задачах.
У зв’язку з вивченням тіл обертання виникає потреба і можливість
у систематичному повторенні відповідного планіметричного матеріалу
(коло, круг, вписані й описані багатокутники).
Для демонстрації тіл обертання можна використати відцентрову
маїпину, яка є в кабінеті фізики, заготовивши заздалегідь набір дро-
тяних рамок. Допоможуть правильному сприйманню моделей тіл обер-
тання шаблони еліпсів для швидкого зображення тіл обертання та
перерізів їх площиною.
Формування понять теми. У підручниках і методичних посібниках в
різні роки використовувались неоднакові терміни щодо розглядуваної
теми: «круглі тіла» у В. М. Брадіса [52], «тіла обертання» у О. В. По-
горєлова [290], «фігури обертання» у Ю. М. Колягіна [156]. Слід
мати на увазі, що фігури обертання є ширшим поняттям, оскільки
охоплює тіла обертання, поверхні обертання та інші фігури.
У підручнику [290], як і в більшості інших шкільних підручників
і посібників, йдеться про тіла обертання та відповідні їм поверхні:
циліндр — поверхня циліндра, конус — поверхня конуса, куля —
сфера. Традиційно тіла обертання і відповідні їм поверхні вивчаються
після багатогранників. У цьому разі використовують відоме учням на
наочному рівні поняття «тіло», а послідовність вивчення окремих тіл
обертання відповідає прийнятій послідовності вивчення багатогранни-
ків: призма, піраміда, правильний багатогранник — циліндр, конус,
куля.
Можливий також інший порядок вивчення тіл обертання, від
якого залежить їх трактування. Зокрема, в пробному підручнику
О. Д. Александрова спочатку вводяться загальні відомості стосовно
понять обмеженої фігури, опуклої фігури, тіла, опуклих тіл тощо.
Потім, раніше ніж багатогранники, вивчаються тіла обертання в такій
послідовності: куля, циліндр, конус, оскільки поняття сфери і кулі
широко застосовують у подальшому вивченні стереометрії. Нетра-
диційно означено циліндр і конус. Так, циліндром називають об’єд-
нання паралельних відрізків, які йдуть з усіх точок деякої плоскої
фігури до площини, що паралельна площині цієї фігури. Згідно з
таким означенням циліндр може мати своєю основою точку, відрі-
зок, трикутник, круг, пряму, півилощину і т. д. Після цього вво-
диться означення прямого кругового циліндра або циліндра обер-
тання. За такого трактування циліндр і конус не завжди є тілами.
Це тлумачення циліндра і конуса можна було б ввести в класах з
поглибленим вивченням математики, а для масової школи воно
469
складне для сприймання. Тому слід визнати вдалішим означення
тіл обертання, що наведено в підручнику [290]. В ньому здійснено
єдиний підхід до означення призми, піраміди, циліндра і конуса.
Означення цих фігур досить широке, оскільки охоплює не тільки
прямий круговий циліндр (конус), а й похилі. На завершення вво-
дяться означення прямого кругового циліндра і конуса, які найчасті-
ше трапляються на практиці. Зокрема, циліндром (точніше, круговим
циліндром) називають тіло, що складається з двох кругів, які не
лежать в одній площині і суміщуються паралельним перенесенням, і
всіх відрізків, які сполучають відповідні точки цих кругів. Якщо
пригадати запроваджене раніше означення призми, то, скористав-
шись моделлю циліндра і вказівкою ва подібність означень призми
і циліндра, учні можуть самостійно сформулювати означення ци-
ліндра.
Аналогічно можна здійснити і під час введення означення конуса.
Означення вписаної в циліндр і описаної навколо циліндра призми не
зумовлює в учнів труднощів. Після розгляду означень цих понять
учні самі можуть за аналогією сформулювати означення вписаної в
конус і описаної навколо конуса піраміди. Означення кулі учні також
здатні сформулювати самостійно, якщо їм попередньо нагадати озна-
чення круга і звернути їхню увагу на аналогії в означеннях круга та
кулі. Потрібно звернути увагу учнів па аналогію понять коло — сфе-
ра: коло — це межа круга, сфера — межа кулі. Те саме стосується по-
нять дотичної прямої до кола і дотичної площини до сфери (кульової
поверхні).
Після запровадження означень тіл обертання потрібно дати уч-
ням правила-орієнтири їх правильного і наочного зображення па
площині.
Зображення тіл обертання та їх комбінацій з багатогранника-
ми. Під час вивчення кожного з тіл обертання корисно відразу нада-
ти учням правила-орієнтири їх зображення. Виконання рисунка ци-
ліндра не спричинює в учнів особливих труднощів, і все таки слід
запропонувати їм таке правило-орієнтир: 1) побудувати прямокутник —
осьовий переріз циліндра, в якому нижню основу зобразити штри-
ховою лінією; 2) взявши верхню і нижню основи прямокутника за
діаметри основ циліндра, виконати рівні еліпси, при цьому в ниж-
ній основі частину еліпса, яку не видно, навести штриховою лі-
нією.
Будуючи конус, потрібно враховувати, що наочний рисунок можна
дістати у разі, якщо основу конуса .зображено у вигляді еліпса. Од-
нак це означає, що в оригіналі висота конуса нахилена під кутом до
горизонтальної площини, і тому більшу частину поверхні конуса вид-
но. Щоб показати це на рисунку, твірні, що відокремлюють видиму
частину поверхні конуса від невидимої, потрібно провести відповід-
ним чином. Правило-орієнтир у цьому випадку може бути таким:
470
1) спочатку провести діаметр основи конуса штриховою лінією (рис.
14.25), потім з його середини О провести перпендикуляр — висоту
конуса; позначити на проведеному перпендикулярі вершину 5 конуса;
2) зобразити в основі еліпс, провівши штриховою лінією його неви-
диму частину; 3) провести діаметр АС приблизно під кутом 10° до го-
ризонтального діаметра; точку А взяти за точку дотику твірної кону-
са; 4) провести твірну і симетрично до неї відносно висоти 80 —
твірну 8В. Якщо потрібно зобразити осьовий переріз конуса, то можна
провести твірну 8С, яку видно. Тоді 8АС буде зображенням осьового
перерізу.
В ортогональній проекції наочним є таке зображення кулі, в якому
великий круг або будь-який переріз кулі горизонтальною площиною
має вигляд еліпса. Таке зображення можна дістати, якщо вертикаль-
ний діаметр кулі нахилений під певним кутом до горизонтальної
площини. В цьому разі верхній кінець його зобразиться точкою М,
розміщеною нижче від кола, що відокремлює видиму частину поверх-
ні кулі від невидимої, а нижній кінець 5 — вище цього кола. Очевид-
но, що в такому разі більшу частину верхньої півсфери видно, а ниж-
ньої — не видно.
Зображуючи перерізи верхньої та нижньої півкуль горизонтальни-
ми площинами, відмінними від великого круга, потрібно враховувати
таке. Переріз верхньої півсфери зобразиться еліпсом, який дотикаєть-
ся до сфери не в кінцях зображення горизонтального діаметра, а в
кінцях Я і В паралельної йому хорди (рис. 14.26). Тому центр еліпса
зобразиться точкою О}, розміщеною нижче від хорди АВ, а центр С>2
в перерізі нижньої півсфери — вище, ніж відповідна хорда СІ). Як-
що через точки А і О] провести діаметр АК, то це буде один з діамет-
рів, з яких зручно починати побудову двох взаємно перпендикуляр-
них діаметрів зображення кола. У верхній півсфері більшу частину
еліпса (зображення перерізу) видно, а в нижній півсфері, навпаки,
більшу частину еліпса не видно.
Рис. 14.26
Рис. 14.25
471
Зображення комбінацій тіл обертання з багатогранниками. Роз-
глянемо зображення багатогранників, вписаних у кулю.
Піраміда, вписана в кулю. Якщо немає спеціальних
вказівок щодо розміщення основи піраміди відносно верхньої або ниж-
ньої півсфери, то найбільш наочне зображення комбінації дістанемо,
якщо впишемо основу піраміди в переріз нижньої півсфери. Правило-
орієнтир виконання зображення цієї комбінації може бути таким: 1) про-
вести коло, що зображує сферу та її вертикальний діаметр; верхній
кінець діаметра прийняти за вершину 5 піраміди; 2) у нижній півсфері
зобразити переріз. Для цього провести горизонтальну хорду і позначити
на вертикальному діаметрі трохи вище від хорди центр О перерізу. Точ-
ка О буде основою висоти піраміди. Зобразити еліпс так, щоб більша
частина його була невидима, а менша — видима; 3) якщо основою піра-
міди є довільний багатокутник, то його вершини обирають на еліпсі (пе-
рерізі) так, щоб найбільшу кількість граней піраміди було видно. Якщо
в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то його зображення
виконують за наведеними правилами.
Для забезпечення більшої наочності існує домовленість зображати
вписане тіло як самостійне, не вважаючи, іцо всі його лінії невидимі.
Правильну чотирикутну піраміду, впи-
сану в кулю, зображено на рис. 14.27.
Призма, вписана в кулю. До-
цільно звернути увагу учнів на те, що в цій
комбінації просторових фігур призма
пряма, а верхня та нижня основи її впи-
сані в рівні круги, що лежать у паралель-
них січних площинах на однаковій від-
стані від центра кулі (див. теорему 20.3
з підручника [290]). Звідси випливає
таке правило-орієнтир зображення цієї
комбінації: 1) виконати зображення кулі
та її вертикального діаметра; 2) на однаковій відстані від центра
кулі провести хорди в зображенні нижньої та верхньої півсфер;
позначити на вертикальному діаметрі центри перерізів, нарисувати еліп
си; 3) якщо призма неправильна, вибрати вершини на верхньому
еліпсі так, щоб найбільшу кількість граней призми було видно; для
правильної — зобразити правильний вписаний багатокутник в ос-
нові; 4) спроектувати обрані вершини на нижній переріз і провести
всі ребра призми.
Правильну трикутну призму, вписану в кулю, зображено на
рис. 14.28.
Куля, вписана в пряму призму. Слід надати учням
загальний орієнтир: зображення кулі, вписаної в багатогранник, ци-
ліндр і конус, доцільно завжди починати із зображення кулі.
т
Перш ніж вводити правило-орієнтир зображення кулі, вписаної в
пряму призму, потрібно за допомогою моделі виявити характерні особ-
ливості цієї комбінації. Висота призми дорівнює діаметру кулі. Якщо
перетнута цю комбінацію площиною великого круга паралельно осно-
ві призми, то в перерізі дістанемо круг з описаним навколо нього ба-
гатокутником. Якщо побудувати цей багатокутник, то можна знайти
вершини основ: вони, лежать на прямих, паралельних вертикальному
діаметру кулі, й віддалені від вершин багатокутника (перерізу) на від-
стань, що дорівнює радіусу кулі.
Отже, можна сформулювати таке правило-орієнтир: 1) виконати зоб-
раження кулі та її вертикального діаметра; 2) зобразити великий
круг, площина якого паралельна основі призми, й описати навколо
нього багатокутник. Якщо багатокутник неправильний, то провести сто-
рони (дотичні) так, щоб найбільшу кількість граней було видно, якщо
правильний, — виконати його зображення за наведеними правилами;
3) через вершини багатокутника провести прямі, паралельні вертика-
льному діаметру кулі, і відкласти на них від кожної вершини в обид-
ва боки відрізки, що дорівнюють радіусу кулі; 4) отримані точки
сполучити відрізками.
Зображення ортогональної проекції кулі, вписаної в правильну
трикутну призму, подано на рис. 14.29.
Куля, вписана в конус або правильну піра-
міду. Якщо перерізати цю комбінацію площиною, що проходить через
точки дотику кулі до поверхні конуса (граней піраміди), то дістанемо в
перерізі коло, в точках якого дотикаюті>ся до кулі твірні конуса (апофе-
ми граней піраміди, якпю вона правильна). Це дає можливість, зобра-
жуючи кулю, вписану в конус або в правильну піраміду, обрати верши-
ну конуса (піраміди) на прямій, що містить висоту. Справді, якщо у
верхній півсфері провести площину, паралельну основі конуса (пірамі-
ди), і в точці дотику еліпса з колом, яка відокремлює видиму частину
сфери від невидимої, провести дотичну до цього кола, то в перетині з
подовженням вертикального діаметра кулі дістанемо вершину 5 конуса
Рис. 14.28
473
(піраміди). Для зображення основи конуса (піраміди) досить виконати
перетворення гомотетії в просторі з центром у вершині 5.
Отже, можна сформулювати таке правило-орієнтир побудови зобра-
ження кулі, вписаної в правильну піраміду (для конуса правило анало-
гічне): 1) зобразити кулю та її вертикальний діаметр; 2) зобразити до-
вільний горизонтальний переріз у верхній півсфері; 3) з точки доти-
ку еліпса і кола провести дотичну до перетину з подовженням діаметра
кулі в точці 5; 4) виконати зображення описаного навколо круга перері-
зу піраміди (правильного багатокутника) за вже відомими правилами;
5) щоб отримати зображення основи піраміди, виконати перетворення
гомотетії в просторі відносно вершини 5 з коефіцієнтом Іі =
О
Кулю, вписану відповідно в конус і правильну чотирикутну піра-
міду, зображено на рис. 14.30 і 14.31.
Ще раз зауважимо, що наведені правила-орієптири зображення
просторових фігур на площині є правилами виконання рисунків, а
не креслень. Вони дають учням лише орієнтовну основу для вико-
нання наочних зображень і не відповідають вимогам, які ставлять
до зображень, виконаних за правилами креслення, нарисної гео-
метрії.
14.6. Дскартові координати і вектори
в просторі
Ця тема продовжує за матеріалами стереометрії розвивати ідеї
координатного і век торного методів з курсу планіметрії. Особливість її
полягає в тому, що багато означень понять планіметрії без змін «пере-
ходять у простір» (наприклад, перетворення фігур, симетрія фігур
відносно точки, прямої, гомотетія, вектор, абсолютна величина век-
474
тора). Без зміни формулюється низка тверджень, що виражають
властивості перетворень і векторів (наприклад, властивості паралель-
ного перенесення, теореми про властивості рівних і колінеарних век-
торів, скалярного добутку). Багато понять і тверджень цієї теми оз-
начають та доводять аналогічно до відповідних понять і тверджень
планіметрії, тому вивчення її надає великі можливості для викорис-
тання аналогій. У зв’язку з цим перед розглядом нового матеріалу
потрібно повторити відповідні відомості з планіметрії й організува-
ти самостійну роботу учнів з новими поняттями та теоремами на
основі аналогій.
Оглядовий характер вивчення теми і невелика кількість уроків, що
передбачені для її опрацювання базовою програмою, не дають мож-
ливості систематично використовувати координатний і векторний ме-
тоди для розв’язування геометричних задач у просторі. Проте такі
задачі можна розв’язувати під час вивчення наступних тем, на занят-
тях математичного гуртка, факультативах. У класах з поглибленим
вивченням математики це потрібно робити систематично.
Для забезпечення ефективного повторення і засвоєння нового ма-
теріалу доцільно використовувати наочні посібники, в яких зіставля-
ються відомості про вектори на площині і в просторі. З цією метою
можна виготовити таблиці, послуговуватися персональними комп’юте-
рами, кодопозитнвами.
Введення декартових координат. Розглядаючи декартові коорди-
нати у просторі, потрібно нагадати учням відомості про координати
точок на прямій і площині. З цією метою можна застосувати в класі
для фронтальної роботи таку систему запитань і завдань.
1. Що таке координатна пряма? Чим визначається положення то-
чок на координатній прямій?
2. Позначити на координатній прямій точки 3(2), Щ-3), С(2, 7).
Знайти координати точки (рис. 14.32).
М В АС £>
—І-—І Г»—І Т 1 1 1 І ? • І 1 1 Г*~) 1---•-
-7-6-5-4-3-2-1 0 І 2 3 4 5 6 7 8 х
Рис. 14.32
3. Як визначити відстань між точками Аі (х,) і Л2 (х2 ) координат-
ної прямої?
4. Знайти відстань між точками А (2) і В(-3).
5. Що таке система координат на площині?
6. Чим визначається положення будь-якої точки па координатній
площині? Що називається абсцисою; ординатою точки?
7. Як знайти точку М (х^; ух) па координатній площині, якщо за-
дано її координати х1 і у] 2 Знайти точку N(1,-2) на координатній
площині (рис. 14.33).
475
У
5-
4-
3-
2-
1-
—Г—І---1-1-1-ГТГ І І І І . >
-6-5-4-3-2-1 - 123456%
-2- «АГ
-3-
-4-
-5-
-6-
Рис. 14.33
8. Як знайти координати точки Р, заданої на координатній площи-
ні (рис. 14.33)?
9. Як визначити відстань між точками Д(хр у^ і В(х2; у2) за 1Х
координатами?
10. Знайти відстань між точками Л(1; -2) і В (-2; 2).
11. Визначити координати середини відрізка АВ, якщо А (1; 0) і
В(3;2).
Після введення декартових координат у просторі, означення ко-
ординат і пояснення прямої задачі потрібно за готовим рисунком
або за моделлю координатного простору пояснити два можливі
способи розв’язування оберненої задачі. Перший спосіб наведено
на рис. 14.34.
Другий спосіб зводиться до побудови прямокутного паралелепіпе-
да (рис. 14.35). Можна зробити висновок про те, що положення будь-
якої точки в координатному просторі
задається впорядкованою трійкою чи-
сел х, у, г. Кожній точці координатно-
го простору відповідає певна впорядко-
вана трійка чисел і, навпаки, кожній
впорядкованій трійці чисел відповідає
точка координатного простору.
Доведення формул відстані між
двома точками і координат середини
відрізка в просторі. Після постановки
завдання знайти і довести формулу від-
стані між двома точками (лр у\, .р) і
Л2 (х2; і/2; г2) У просторі та формулу
Рис. 14.35
476
координат середини відрізка АВ учні можуть висловити гіпотезу: за
аналогією з відповідними формулами планіметрії вони мають вигляд
а = 7(г2 - Г1Ґ + (^2 - .V) )2 + (ф - г, )2;
г . *1+*2 +У2 *1+Ф
2 ’ 2 ’ 2 2 '
Здавалося б, що доведення цих формул, аналогічних планіметрич-
ним, не повинні спричинити труднощі в учнів. Проте досвід показує
інше. У частини учнів доведення формули відстані між двома точка-
ми зумовлює значні труднощі на етапі обґрунтування побудови пря-
мокутного трикутника в просторі, до того ж такого обґрунтування в
підручнику [291] немає. Тому доцільно організувати колективний
пошук доведення.
У ч іітел ь. Пригадаємо, як виводиться формула відстані між двома точками
площини. (Учням на попередньому уроці пропонувалось повторити відповідне
доведення. Вчитель звертає увагу на те, що для
доведення будувався прямокутний трикутник і
застосовувалася теорема Піфагора.) Відповідна
формула для простору доводиться аналогічно.
Розглянемо спочатку випадок, коли пряма
Л]Л2 не паралельна осі г (рис. 14.36). Прове-
демо через точки ф і Л2 прямі, паралельні
осі г. Вони перетнуть площину ху в точках А\
і Аг. Ці точки мають ті самі координати х, у,
що і точки А^ і А2, а координата г у них до-
рівнює нулю. Проведемо площину а через
точку А2 паралельно площині ху. Вона перетне
пряму Л1Л] у точці С. (На рисунку потрібно
провести площину а так, щоб точка Л1 була над зображенням площини а, в іншому
разі деякі учні вважають, що точки А2, Аі і С лежать в одній площині а. )
Доведемо, що дЛ2Сф — прямокутний.
Доведення: а) Л1 Аі X пл. ху, оскільки ф Аі || г, а г X пл. ху,
б) Аг А і -Ь Ф А і, оскільки А2 А і лежить в площині ху і проходить через
точку А і;
в) фАі||А2А2, оскільки Л) Л і || г, Л2 Аг II 2. Прямі ф А і і Л2 Аг ви-
значають площину р;
г) А2С Ц Л 2 Л і як прямі перетину двох паралельних площин а і ху третьою
площиною р.
Отже, Л2СХЛ1 Лі, а лА2СА^ — прямокутний. (До обгрунтування відповід-
них тверджень цього доведення потрібно залучати учнів.)
477
Як можна виразити квадрат гіпотенузи ДЛ2 через катети?
Учень. Лр42 = /ЦС2 + СА2.
Учитель. Спробуємо виразити квадрати катетів через координати точок
Л) і А2. Як це зробити?
__ 2 2 2
Учень. СА2 = А] А2, але А і А 2 = (т2 ~х1) + (у2 ~у1) -
Учитель. Як можна виразити довжину відрізка А^С через координати то-
чок Л) і А2 ?
Учень. Л(С = - г2.
Учитель. Це правильно для даних точок. Однак може виявитись, шо точ-
ка А2 лежатиме вище, ніж Ар тоді г\ < г2, а різниця г1 - г2 буде від’ємною. У
цьому разі довжина відрізка А\С виражається через модуль різниці г1 - г2, тобто
А1С = |г1-г2|. Оскільки |г1 - г2| = |г2 - г\ | і - г2|2 = |г2 - г\ |2, то АХС2 =
= І21 - г2І2 = |г2 - гі|2- Як тепер можна записати квадрат довжини відрізка А;А2 і
його довжину?
У ч е н ь. Ар42 = (л-2 - Л'і + (у2 - У\)2 + (г2 - г1 / •
Л1Л2 = \1(х2 ~ хі )2 + (У1 ~УіУ + (г2~г\)2-
Учитель. Якою буде довжина відрізка А,А2, ЯКШ° в>п виявиться пара-
лельним осі г?
Учень. А,А2 =|2]-г2|.
Учитель. Перевіримо, чи дістанемо той самий результат за виведеною фор-
мулою. Якими будуть в цьому разі координати точок А1 і А2?
Учень, А, (х,; 0,; 2)), А2(х1;г/1;г2).
Учитель. Підставте координати точок Л1 і А2 у формулу і знайдіть ре-
зультат.
Можна запропонувати учням довести формули координат середини
відрізка у просторі самостійно за підручником під час виконання до-
машнього завдання, а на наступному уроці перевірити засвоєння цьо-
го матеріалу.
Розв’язування стереометричних задач координатним методом.
Правило-орієнтир координатного методу таке саме, іцо і в планімет-
рії. Після його повторення можна проілюструвати застосування
координатного методу в стереометрії прикладом розв’язування та-
кої задачі.
Задача 14.3. У сферу вписано правильну чотирикутну піраміду з двогранним
кутом при основі а. Знаючи іцо площа сфери дорівнює У, знайти площу основи
піраміди.
Розв’язання. У цьому випадку зручно вибрати систему координат так, щоб
початок її був у центрі М основи, а додатні напрямки осей х, у, г збігалися від-
478
Діда
Ч «
. Звідси 2 = —
2 г
Радіус
описаного
кола
/?2 = ов2 = г2
я2(і82« + 2)2
16 ф2 а
7И2(і£2а + 2)2
Відомо, що 5 = 4л7? , або 5=---------=---—. їз цієї рівності визначимо
4 Ід2 а
площу основи піраміди 8ЛВСИ:
С=<? = 45іЯ2а
л(і^2 а + 2)
Вектори в стереометрії. Перш ніж розглядати цю тему, потрібно
запропонувати учням повторити за підручником навчальний матеріал
стосовно векторів на площині, зокрема пригадати: означення вектора,
його модуля, рівних векторів, координат вектора, властивість рівних
векторів, заданих координатами, правила знаходження вектора-суми,
різниці двох векторів, добутку вектора на число, формулювання век-
торної рівності, означення скалярного добутку і його властивість че-
рез добуток модулів і кут між ними.
Враховуючи, що окремі означення і твердження про вектори пере-
ходять без зміни або з невеликими змінами в простір, доцільно роз-
глянути з учнями заздалегідь заготовлену таблицю, в якій порівню-
ються означення і теореми про вектори на площині та в просторі
479
(табл. 14.3). Після цього можна запропонувати учням довести (для
простору) теорему про необхідну і достатню умову рівності двох век-
торів, причому на уроці розглянути доведення оберненого тверджен-
ня, а додому задати доведення прямого.
Таблиця 14.3. Вектори на площині та в просторі
На площині
У просторі
1.
2.
Вектором називають напрямлений відрізок і позначають: а, а, АВ, АВ
Нехай вектор а має початком і кінцем
точки ЛДхрУї), А2(х2,у2). Коор-
динатами вектора називають числа
«І = х2 - Хр я2 = у2 - У\ Вектор а,
заданий координатами, позначають
я(яря2) або (яря2)
2. Нехай вектор а має початком і кінцем
точки ^(хру^), Л2(х2;у2;г2).
Координатами вектора а називають
числа й| = х2 - Хр с2 = у2 - Ур а3 =
= г2 - ?]. Вектор а, заданий коор-
динатами, позначають с (йр с2 ; а3 )
або (яр «2; «з )
3.
4.
5.
Координати нульового вектора а дорівнюють нулю
Два вектори називають рівними, якщо вони суміщаються паралельним перене-
сенням
Теорема. Рівні вектори мають рівні відповідні координати і, навпаки, якщо у
векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні
6. Вектори АВ, СО називають однаково напрямленими, якщо півпрямі АВ і СО
однаково напрямлені
7. Абсолютною величиною (або модулем) вектора називають довжину відрізка,
що зображує вектор. Позначають |а|
8. Теорема. Абсолютна величина век-
тора (врс2) дорівнює ^в2 + Д2
9. Сумою векторів я (йр Д2 ) і Є(Ьр )
називають вектор с ( аі + Ьр я2 + )
8.
9.
Абсолютна величина вектора
(вр «2; а3 ) дорівнює д/я2 + я2 + а3
Сумою векторів я (яр я2; я3 ) і
Ь (бр Ь2; ) називають вектор і
с(«і+Лр«2+&2;вЗ+&з)
10. Для будь-яких векторів а, Ь і с а + 5 = Із + а а + (Ь + с) = (а +Ь’) + с
11. Хоч якими є точки А, В і С, виконується векторна рівність АВ + ВС = АС
12. Різницею векторів я (яр я2 ) і Ь(Ьр )
називають такий вектор с (ср с2 ),
який у сумі з вектором Ь дає вектор
а. Звідси бр с2 = а2 -Ь2
12. Різницею векторів а = (в1;а2;в3) і
Ь = (Ьр Ь/, Ьд ) називають такий век-
тор с = (ср с2; с3 ), який у сумі з век-
тором Ь’ дає вектор а. Звідси с( =
= ах-Ьх, С2=а2~Ь2\ с3 = а3-Ь3
480
Продовження табл. 14.3
На площині У просторі
13. Добутком вектора а (ср с2 ) иа число А називають вектор Ас(Аср Ас2 ) 14. Два відмінних від нульового вектори лежать на одній прямій або на паралельн 15. Теорема. У колінеарних векторів ві, паки, якщо у двох векторів відповідні ко пеарні 16. Скалярним добутком векторів с (ср с2 ) і Ь (Ьр, £>2 ) називають чис- ло с^Ь] + с2Ь2 17. Теорема. Скалярний добуток вектор величин на косинус кута між векторами 18. Для будь-яких векторів а (ср с2 ), Ь(ЬрЬ2), с(срс2)і(с+Ь)с = = а с + Ь - с 19. Будь-який вектор а (ср с2 ), можна записати у вигляді а = ср;( + с2е2, де Є) і е2 — одиничні вектори (ор- ти) 13. Добутком вектора а (ср с2; с3 ) на число А називають вектор Ас (АС|; Ас2 і Ас3 ) називають колінеарними, якщо вони их прямих цповідні координати пропорційні і, нав- ординати пропорційні, то вектори колі- 16. Скалярним добутком векторів с (ср с2; с3 ) і Ь (Ьр Ь^', Ьд ) нази- вають ЧИСЛО сД + с2Ь2 + с3Ьд ів дорівнює добутку їх абсолютних 18. Для будь-яких векторів с(срс2;с3), ^(ЬрЬгіЬз) і с = (ср, с2; с3 ) (с +Ь) с = а с + Ь с 19. Будь-який вектор а (ср с2; с3 ) можна записати у вигляді (і = + ^2^2 + ^3^3 ’ ’ ^2 ’ е3 — одиничні вектори (орти)
Розв’язування стереометричних задач векторним методом. Пра-
вило-орієнтир розв’язування позиційних задач і алгоритм розв’я-
зування метричних задач векторним методом в стереометрії такий
самий, як і в планіметрії. Потрібно запропонувати учням пригада-
ти це правило-орієнтир і алгоритм розв’язування, записані зазда-
легідь на таблиці. Застосування їх зручно проілюструвати на при-
кладі такої задачі.
Задача 14.4. Кожне ребро правильної чо-
тирикутної піраміди дорівнює а. Визначити
відстань між висотою піраміди і мимобіжною з
нею висотою бічної грані.
Розв’язання. Припустимо, що МИ — шу-
кана відстань (рис. 14.38). Візьмемо точку О
(перетин діагоналей основи) за полюс і вира-
зимо вектор довжина якого визначаєть-
ся, через вектори 05 = т, ОС = п, ОГ) = к з
Рис. 14.38
урахуванням, що М15 = МО + ОГ) + Г)5!.
*/216 Слзпкань 3. І.
481
Оскільки МО = х-8О = х-їп, ОМ = у ОР = у(ОР-ОЇ)) = у\^т-~п-к'},
то Л/Л^ = (-г + -1//^ги + (1-//)А>+ !// и.
Взявши до уваги, що ММ 1 80 і ММ 1 ОР, тобто ММ 08 = 0, ММ • ОР = 0,
отримаємо
+ + 0 “У +|п-£) = 0;
((~* + ^#)»г + (1 -у)к + ±уп}т = 0.
Оскільки т • п - т • к = 0, то після спрощення матимемо
|(-*+|^)™2+|#«2-(і-з/)£2 = 0;
(-х +-і#)»г2 = 0,
-х + ^у = 0;
~2Х + 2^_(1-^) = 0'
ЗВІДСИ X = 4, у = 4.
5 5 ____,
Підставивши значення х і у в рівність, що виражає ММ через т, к, п, отри-
----------* 1 -» 2 “* ---'7 --->>
маємо ММ = —к+ — п. Визначивши скалярний квадрат ММ, дістанемо ММЛ =
= -^(А2 + 4п2). Оскільки А2 = п2 = то ММ = -^-[^- + ^-1 = 15^1; ММ =
25 \ / 4 251441 100
дл/ЇО
10 '
Для розв’язування багатьох задач на площі та в просторі зручно
скористатися векторною формулою чотирьох точок — для довільних
чотирьох точок А, В, С, П справджується така векторна рівність:
АВОС + ВС'ОА + СА-ОВ = (). Потрібно звернути увагу учнів, що век-
тори АВ, ВС і СА взято в одному напрямку обходу периметра три-
кутника, інші співмножники кожного доданка є векторами з початком
у точці О і кінцями у точках А, В і С.
Доведення. Нехай О — довільна точка простору. Якщо виразити кож-
ний вектор доводжуваної рівності через різницю векторів, які виходять з
точки О, то дістанемо АВОС + ВС-ОА + САГ>В = (ОВ-ОА)(рС-ОО)-\-
+(дс-дв)(дА-до)+(дА-дс)(дв-до)=о.
Використання доведеної рівності значно спрощує розв’язування
векторним методом задачі про перетин в одній точці трьох висот три-
кутника. Доцільно запропонувати учням виконати таке доведення,
482
застосувавши векторну рівність до чотирьох точок А, В, С, О, де А, В,
С — вершини трикутника, О — точка перетину двох висот, і порів-
няти його з доведенням у підрозд. 12.9.
Задача 14.5. Довести, що коли дві пари ми-
мобіжних ребер тетраедра взаємно перпендику-
лярні, то й ребра третьої пари також взаємно
перпендикулярні.
Доведення. Застосуємо до точок А, В, С,
8 векторну рівність для чотирьох точок
(рис. 14.39).
Оскільки /15 ± ВС, то Л5 ВС = 0. Через
те що 8С1. АВ, маємо 8С-АВ = 0. Звідси
СА 8В = 0, а це означає, що СА ± 8 В.
У старшій школі поряд із стереометричними задачами, які доціль-
но розв’язувати векторним методом, учням пропонують також плані-
метричні.
14.7. Геометричні величини в стереометрії
У курсі стереометрії 10 — 11 класів розглядають величини трьох
видів: кути (двогранні кути, кути між двома прямими в просторі,
прямою і площиною), площі поверхонь та об’єми багатогранників і
тіл обертання.
Вимірювання кутів між прямими в просторі, прямою і площиною,
двогранних кутів фактично зводиться до обчислення плоских кутів.
У частини учнів виникають труднощі у зв’язку з побудовою лінійного ку-
та даного двогранного, коли такий кут задано в задачах, пов’язаних з ба-
гатогранниками. Обґрунтування цієї побудови пов’язане із застосуванням
теореми про три перпендикуляри. Тому доцільно спеціально розглянути
вправи, пов’язані з побудовою лінійного кута даного двогранного. Труд-
нощі у багатьох учнів виникають також при виборі кута між похилою і
площиною, якщо такий кут розміщено в нестандартному положенні. Зок-
рема, учні майже завжди правильно позначають кут між бічним ребром і
площиною основи піраміди, і багато з них не можуть правильно позначити
кут між бічним ребром трикутної піраміди і протилежною гранню.
Щодо площ поверхонь геометричних тіл, то обчислення площ по-
верхонь багатогранників не становить труднощів, оскільки задача
зводиться до обчислення площ граней (багатокутників). Площі поверхні
циліндра і конуса також легко обчислити за допомогою їхніх розгор-
ток. Обчислення площі сфери дещо складніше. Проте для всіх тіл
обертання важливо вміти знаходити відповідні формули площ повер-
хонь, використовуючи підхід, аналогічний доведенню формули площі
круга. Тільки для тіл обертання доводиться вписувати відповідно
483
правильну п-кутну призму (для циліндра), правильну п-кутну піра-
міду (для конуса) і описувати опуклий багатогранник (для сфери).
У цьому разі також використовується ідея граничного переходу.
Під час вивчення доведень формул площі круга, площі поверхонь
тіл обертання є нагода надати учням історичні довідки щодо робіт
Архімеда, які стосуються вимірювання довжини кола і площі круга,
та історію задачі про квадратуру круга. Архімед уперше використав
числові послідовності периметрів і площ правильних вписаних 4-, 8-,
16-кутників для визначення довжини кола і площі круга.
Упродовж кількох століть математики намагалися побудувати за
допомогою циркуля і лінійки квадрат, площа якого дорівнює площі
заданого круга. Лише наприкінці XVIII ст. було доведено нерозв’яз-
ність цієї задачі.
У шкільних підручниках попередніх років реалізовано інший тео-
ретичний і методичний підходи до виведення формул площ поверхонь
тіл обертання, ідею якого запропонував А. Лебег (1875—-1941) [185]:
тіло, наприклад кулю, покривали шаром фарби, обчислювали об’єм
цього шару, і за умови прямування до нуля товщини шару об’єм його
прямував до числа, значення якого і приймали за числове значення
площі поверхні.
Об’єми тіл. Перше уявлення про об’єми тіл та їх обчислення учні
дістають у курсі математики 5 класу у зв’язку з вивченням прямокут-
ного паралелепіпеда. Наприкінці 9 класу розглядають початкові відо-
мості стереометрії, без доведення вивчають геометричні величини.
В 11 класі учні повертаються до вивчення об’ємів па дедуктивній ос-
нові. За умови роботи за підручником О. В. Погорєлова [291] анало-
гічно введенню поняття площі фігури в курсі планіметрії запрова-
джується поняття об’єму спочатку простих тіл. Так само формулю-
ється означення об’єму простого тіла як додатної величини, числове
значення якої має три властивості. Далі доводиться формула об’єму
прямокутного паралелепіпеда. В останньому виданні підручника [291]
подано інший, коротший спосіб доведення цієї формули, ніж у попе-
редніх, але також із використанням ідеї граничного переходу.
Практика виявляє, що доведення формул об’єму похилого парале-
лепіпеда методом перетворення його додатковими побудовами на
прямокутний, як і доведення формули об’єму призми, не зумовлюють
в учнів особливих труднощів, якщо використати заздалегідь виготов-
лені моделі, що ілюструють етапи перетворення. Значно складніше
учні сприймають доведення формули об’єму трикутної піраміди.
У навчально-методичній літературі відомо кілька способів доведен-
ня цієї формули:
1) спосіб, що ґрунтується на явному використанні границі (спосіб
границь);
2) спосіб, що спирається на використання принципу Кавальєрі;
3) спосіб доведення за допомогою формули Симпсона;
484
4) спосіб доведення за допомогою визначеного інтеграла;
5) спосіб, який ґрунтується на попередньо доведеному твердженні
про рівновеликість двох трикутних пірамід з рівними площами основ
і рівними висотами. Цей спосіб наведено в підручнику О. В. Погорє-
лова [291]. Для доведення твердження про рівновеликість трикутних
пірамід тут використано ідею граничного переходу, хоч явно поняття
границі не застосовано.
Розглянемо чотири із зазначених способів.
Спосіб границь. Існує кілька варіантів доведення формули
об’єму піраміди цим способом. Один з них наведено у попередніх ви-
даннях посібника О. В. Погорєлова. Доступнішим для учнів є запропо-
нований у посібнику К. Ф. Лебединцева [186]. Відповідно до нього на
першому етапі доводиться формула суми квадратів п перших чисел на-
турального ряду, яка далі використовуватиметься для доведення форму-
ли об’єму піраміди. (Можна скористатися готовою формулою.)
Запишемо різницю між виразами я3 і (я-І)3:
п3 - (я -І)3 = п3 ~(п3 - Зя2 + Зп -1).
Підставимо в цю рівність послідовно числа 1, 2, 3, ... . Дістанемо
рівності:
13-03 =3-12-3-1 + 1,
23 -13 = 3-22 - 3 2 + 1,
З3 -23 =3-32 -3-3 + 1,
43-З3 = 3-42-3-4 + 1,
я3-(я-І)3 = 3-я2-3-я+ 1.
Після почленного додавання всіх рівностей матимемо: я3 =
= 3(12 + 22 + З2 + ... + я2 3(1 + 2+3+... + я) +я.
Виразимо з цієї рівності суму квадратів я перших чисел натураль-
ного ряду, замінивши водночас суму в других дужках за формулою
суми я членів арифметичної прогресії. Отримаємо:
<2 . ч2 4. ч2 . . „2 _ я\ п(п + ^) 2я3 + Зя2 + я _
З 2 о о
я(2я2 + 2я + я + 1)_ я(2я(я + 1) + (я + 1))_ я (я +1) (2я +1)
= ______ = _______ _ .
/2 п2 о2 2 Я (я + 1)(2я 4-1)
Отже, 1 + 2і + 3 +... + я2 = —---41-'.
6
’/2+16 Слзпкань 3. І.
485
Візьмемо довільну трикутну пірамі-
ду з площею основи 5 і висотою Н
(рис. 14.40), розіб’ємо її висоту' на п
рівних частин. Через точки поділу про-
ведемо площини, паралельні основі пі-
раміди. Потім проведемо через вершини
перерізів прямі, паралельні якому-
небудь ребру піраміди (наприклад,
/1/1), побудуємо на кожному з перерізів
призми, що входять у відповідний шар
піраміди, і такі, що виходять з неї. За-
значимо, що східчасті багатогранники,
складені з вхідних і вихідних призм,
різняться на одну призму, основа якої
збігається з основою піраміди.
Якщо позначити об’єм східчастого багатогранника, що міститься в
піраміді, як Ур а того, що містить в собі піраміду, — як У2, то об’єм
V піраміди задовольняє умову
У, < V < У2.
СГГ СП
РІЗНИЦЯ У2“^1 Де ~ об’єм призми, на яку відрізня-
ються східчасті багатогранники.
8Н
За п —> оо різниця У2 - У] =-- прямує до нуля. Звідси випливає,
що об’єм піраміди є спільною границею Ц і У2, тобто
У = Ііш У) = Ііш У2.
П—п—>«>
Отже, обчислення об’єму піраміди зводиться до обчислення грани-
ці об’єму одного зі східчастих багатогранників за умови, що п —> °о.
Обчислимо попередньо об’єм, наприклад, багатогранника, що міс-
тить піраміду. Враховуючи, що У2 складається з об’ємів п призм, об-
числимо об’єм к-ї призми. Площу основи к-ї призми знайдемо, врахо-
вуючи, що площі перерізів відносяться як квадрати їхніх відстаней
від вершини. Маємо
звідси
5 = 8^-
к \2
486
а об’єм к-ї призми дорівнює
ск2 Н _ 8Нк2
п2 п п3 ’
За к, що змінюється від 1 до ті, дістанемо послідовно об’єми всіх
призм. Тому
8НІ ,8Н-З2 8Н-З2 , 8Нп2
пл пл пл ті
-5Я(і2+?2+32 + , 2 X _ 8Н п(п+ і)(2.П+ і) _
- П3 Vі +2 +л +- +п )- пз 6
=¥(1+І)(2+Ч
6 \ п /\ ПІ
Тоді
К= 1іш^(1-ДЇЇ2 + Д = |5Я.
п->~ Ь \ п / \ п / З
Використання принципу Кавальєрі. Б. Кавальєрі
сформулював принцип, який чітко доведено було пізніше: два тіла з
рівними висотами рівновеликі, якщо рівновеликі будь-які їх перерізи,
проведені паралельно основам на однаковій відстані від них.
Для доведення формули об’єму піраміди спочатку, ґрунтуючись на
принципі Кавальєрі, доводять лему про рівновеликість двох трикут-
них пірамід з рівними і рівновеликими основами. Справді, якщо в
пірамідах з висотою Н і площею провести паралельно основам пе-
рерізи на однаковій відстані х від вершини і позначити площі перері-
Р х2 Я х2
зів як Р і Р., то — = —=- і -і = —х-. З цих рівностей випливає, що
1 О Я2 О Я2
Р = Р].
Спираючись на принцип Кавальєрі, можна зробити висновок про
рівність об’ємів (рівновеликість) пірамід.
Після цього до трикутної піраміди добудовують ще дві трикутні
піраміди так, щоб утворилась трикутна призма. Будь-які з трьох пі-
рамід мають рівні висоти і рівновеликі основи, тому за доведеною
лемою їхні об’єми рівні. Отже, об’єм піраміди
^ = |ря.
Використання формули С і м п с о н а. Т. Сімпсон (1710—
1761) сформулював теорему, яка давала можливість обчислювати
об’єми досить великого класу геометричних тіл (призм, пірамід, зрі-
заних пірамід, конусів, зрізаних конусів, куль, кульових сегментів
тощо).
487
Теорема 14.1. Якщо в багатограннику (або іншому тілі) основи
паралельні і площа перерізу, паралельного основі, є цілою функцією
відстані перерізу до основи степеня не вище ніж третій, то об’єм тіла
обчислюється за формулою
У = Я(5н+45с+5в),
де Н — висота тіла; 5Н — площа нижньої основи; 5С — площа серед-
нього перерізу; 5В — площа верхньої основи.
Формулу Симпсона можна довести за допомогою поняття границі.
Оскільки в піраміді та конусі 5В = 0, 5Н = 5, 5С = ^5, то У =
=4(°+475+5)=4я5-
6 \ 4 ІЗ
Спосіб визначеного інтеграла. Один із можливих
варіантів цього способу обчислення об’єму будь-якої піраміди подано
в навчальному посібнику В. М. Клопського, 3. О. Скопця [147].
Для знаходження формули об’єму
V піраміди з площею основи (~) і висо-
тою II у ній проводять переріз площи-
ною, паралельною основі, на відстані х
від вершини (рис. 14.41).
Площа 5(х) основи й об’єм пірамі-
ди, що відтинається перерізом, є функ-
цією від х. Якщо 5(0) = 0 і П(0) = 0,
то функції 5(х) і Н(х) визначені на
відрізку [0;Н].
Надамо х приросту Дх > 0 (х + Дх <
<Н) і проведемо площину, паралель-
ну основі, через точку х + Дх. Тоді
об’єм Н(х) також отримає приріст ДІ7. Очевидно, що ДІ7 — об’єм
зрізаної піраміди, основи якої лежать в площинах перерізів. На кож-
ній з основ зрізаної піраміди побудуємо призму з висотою Дх. За
властивостями об’єму 5(х)Дх<ДЙ < 5 (х + Дх) Дх, звідси
5(х)< — <5(х + Дх).
Дх
Знайдемо формулу для функції 5(х), скориставшись гомотетією
тт
з коефіцієнтом — і центром у вершині піраміди:
X
_О_=нІ
х2 '
488
звідси
5(х) = —^х2.
/ Н2
Функція 5(х) неперервна на відрізку [0; Н], тому Ііт 5(х + Д_х) =
Лх-іО '
= 5(х). З подвійної нерівності випливає, що 1іт^- = 5(х), або
дх->о Ах
за означенням похідної, П'(х) = 5(х). Це означає, що функція V (х)
є первісною для 5(х) на [0; Н]. Об’єм заданої піраміди дорівнює
значенню функції П(х) за х = Н, тобто V = У(Н).
Оскільки за умовою У(0) = 0, то можна записати, що V =
- У(0). Тоді, за означенням інтеграла, дістанемо
н
V = 15 (х)с?х.
о
Підставимо в останню формулу вираз для 3(х) і проінтегруємо
його. Матимемо:
Н з н
=10я.
о п п ° о
У класах з поглибленим вивченням математики можливий інший
методичний варіант використання визначеного інтеграла для обчис-
лення об’ємів тіл, що вивчаються в шкільному курсі. Такий варіант
наведено в навчальному посібнику О. Д. Александрова та ін. Спочат-
ку вводять поняття довільного циліндра і конуса. Призма і піраміда в
такому разі є окремими випадками циліндра і конуса. Потім розгля-
дається теорема про об’єм прямого циліндра. Спочатку її обґрунто-
вують наочними міркуваннями, а потім доводять строго.
Далі формулюють теорему про вираження об’єму простої фігури Т
інтегралом, тобто
н
У(Т)= /5(х)с?х.
о
Після цього доводять теореми про об’єм циліндра (зокрема, приз-
ми), об’єм конуса (зокрема, піраміди), кулі, тіл обертання.
РОЗДІЛ
15
МЕТОДИКА НАВЧАННЯ
ЕЛЕМЕНТІВ КОМБІНАТОРИКИ,
ПОЧАТКІВ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
ТА ВСТУПУ ДО СТАТИСТИКИ1
15.1. Методика навчання елементів комбінаторики
У загальноосвітній середній школі до 70-х років XX ст. комбіна-
торику вивчали за підручником А. П. Кисельова. Відразу після впро-
вадження нової програми, нових підручників і посібників, зокрема
посібника з алгебри і початків аналізу за редакцією А. М. Колмого-
рова, комбінаторику було виключено з програми і посібників, потім її
знову деякий час вивчали, потім знову виключили. Нині, у зв’язку з
уведенням до нової програми української школи початків теорії ймо-
вірностей, комбінаторику передбачено вивчати вії класі
У загальноосвітній школі вивчають сполуки без повторень. Програмою
з математики для 5—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів еле-
менти комбінаторики передбачено вивчати упродовж 8 год в 11 класі.
Метою вивчення теми є ввести поняття множини та її елементів,
ознайомити учнів з видами множини й операціями над ними; навчити
виконувати зазначені операції; ввести означення впорядкованої мно-
жини, перестановки, розміщення та комбінації; довести формули для
обчислення кількості кожного виду сполук; навчити розрізняти види
сполук і розв’язувати комбінаторні задачі.
Після вивчення теми учні мають дістати уявлення про множину та
її елементи, порожню множину, способи задання множин, підмножи-
ну даної множини; знати означення операцій над множинами, допов-
нення множини, впорядкованої множини, перестановки, розміщення і
комбінації та формули для обчислення їх кількості; уміти задавати
множини, утворювати підмножини даної множини, знаходити резуль-
тати операцій над множинами, доповнення множини, розрізняти види
сполук і знаходити їх кількість за відповідними формулами, розв’я-
зувати нескладні комбінаторні задачі.
Для класів з поглибленим вивчення математики програма передбачає
вивчення комбінаторики у 8 класі в темі «Множини. Елементи матема-
тичної логіки. Комбінаторика. Ймовірність» (12 — 17 год); у 9 класі — в
темі «Множини. Комбінаторика. Ймовірність» (17 — 20 год); у 11 кла-
сі — окремою темою впродовж 15 — 20 год.
1 У цьому розділі використано матеріали дисертаційного дослідження І. С. Со-
коловської.
490
У 8 класі програмою передбачено вивчення комбінаторних правил
множення і додавання; із сполук — вивчення тільки перестановок без
повторення та формули для обчислення їх кількості.
Учні повинні мати уявлення про перестановки як упорядковані
множини однієї й тієї самої кількості елементів; знати формулу для
обчислення кількості перестановок із т елементів; уміти обчислювати
кількість перестановок для значення т у межах 10.
У 9 класі вивчають розміщення та комбінації без повторень із п по
т елементів і формули для обчислення їх кількості.
Учні мають знати відповідні формули й уміти обчислювати кіль-
кість розміщень і комбінацій для значень п і т у межах до 10.
Основною метою вивчення комбінаторики вії класі є формування
поняття перестановки, розміщення і комбінації з повторенням елемен-
тів і вироблення вміння застосовувати ці знання до розв’язування
комбінаторних задач.
При цьому учні мають знати означення основних понять, формули
для обчислення кількості перестановок з т елементів, розміщення і
комбінацій з п по т елементів з повтореннями; уміти використовувані
названі формули до розв’язування нескладних комбінаторних задач.
Для класів гуманітарного напряму навчання елементів комбінато-
рики програмою з математики не передбачено.
Пропедевтика елементів комбінаторики в основній школі. З мс-
тою пропедевтики вивчення елементів комбінаторики, початків теорії
ймовірностей і вступу до статистики відповідний матеріал можна вклю-
чати в курс математики, починаючи з 5 класу.
Розглянемо конкретні приклади.
Під час вивчення теми «Натуральні числа» (5 клас) можна запро-
понувати учням для розв’язування деякі комбінаторні задачі на пере-
становки та розміщення й обчислення їх кількості без використання
відповідних термінів і формул. Розв’язуючи такі задачі, потрібно звер-
нути увагу на утворення різних перестановок і розміщень із заданої
кількості елементів, навчити підраховувати їх кількість без викорис-
тання готових формул. У цьому разі зручно застосовувати графи.
Задача 15.1. Запишіть усі тріїцифрові числа, які можна утворити за допомогою
цифр 1, 2, З, пс повторюючи їх у записі числа. Скільки таких чисел утворилось?
Розв’язання. Побудуємо таку схему (граф).
123
132
213
231
312
321
491
Побудову схеми (графа) слід супроводжувати такими поясненнями:
1) на першому місці ми можемо записати будь-яку із трьох заданих цифр;
2) на другому місці ми можемо записати тільки одну з двох цифр, що зали-
шилися після того, як ми записали першу цифру;
3) на третьому місці записуємо ту цифру, що залишилася після запису перших двох.
За допомогою такої схеми (графа) ми записали всі можливі числа і тепер лег-
ко підрахувати, що їх 6.
Задача 15.2. Скільки трицифрових (чотирицифрових) чисел можна записати
За допомогою цифр 3, 4, 5 (б), не повторюючи цифри в записі числа? Дати відпо-
відь, не виписуючи всі ці числа.
Розв’язання. На перше місце можна записати будь-яку із заданих цифр, тобто
є три (чотири) різні можливості. На друге місце можна записати вже будь-яку з
Цифр, що залишилися, тобто є дві (три) можливості. Кожна перша цифра може
комбінуватися з будь-якою цифрою, що міститься на другому місці. Тому загальна
кількість різних способів запису двох цифр 3-2 = 6 (4-3 = 12). Далі зрозуміло,
Що на третє місце можна записати вже тільки одну цифру (одну з двох цифр), що
залишились, тому для трьох цифр кількість способів 3-2-1 =6 (4-3-2 = 24).
Аналогічно для останньої, четвертої цифри, є тільки один спосіб зайняти місце в
записі числа і загальна кількість таких чисел становитиме 4 - 3 • 2 -1 = 24.
Задача 15.3. Як зміниться відповідь до задачі 15.2, якщо цифру 3 замінити на
Цифру 0? Відповідь пояснити.
Відповідь. Оскільки число не може починатися з цифри 0, то загальна
кількість утворених чисел буде 2-2-1 = 4 (3-3 2 1 = 18).
Після розв’язування цих або подібних задач можна зробити деякі
узагальнення. Зокрема, ознайомити учнів з комбінаторним правилом
множення, яке можна сформулювати так.
Якщо деякий об’єкт А можна вибрати т способами, а після цьо-
го інший об’єкт В можна вибрати п способами, то пари А і В мож-
на вибрати т п способами.
Потім ввести поняття перестановки і формулу для обчислення їх
кількості.
Задача 15.4. Скільки двоцифрових чисел можна утворити із цифр 1, 2, 3, 4,
не повторюючи їх у записі числа?
Розв’язання. 1 спосіб. Знову використаємо граф. Побудову графа супро-
воджуємо поясненнями, аналогічними поясненням у задачі 15.1.
492
II спосіб. Підрахунок кількості таких чисел можна виконати в інший спо-
сіб. На перше місце можна записати будь-яку з чотирьох цифр — усього маємо
чотири можливості.
На друге місце — будь-яку з трьох цифр, що залишилися, отже, маємо три
можливості.
Будь-яка цифра, що міститься на першому місці, може комбінуватися з будь-
якою цифрою на другому місці. Тому загальна кількість різних способів становить
4-3 = 12. Якщо учнів вже ознайомили з комбінаторним правилом множення, мож-
на відразу зробити висновок про кількість чисел за сформульованим правилом.
Задача 15.5. Скільки трицифрових чисел можна утворити з цифр 2, 3, 4, 7,
не повторюючи цифри в записі числа? Як зміниться відповідь, якщо замість циф-
ри 7 взяти цифру 0?
Розв'язання. 1) міркуючи як у задачі 15.4, отримаємо, що загальна кількість
чисел 4 • 3 • 2 = 24;
2) якщо одна з цифр 0, то на перше місце можна записати тільки одну з трьох
цифр, і тоді загальна кількість чисел 3-3-2 = 18.
Після розв’язання задач 15.4 і 15.5 знову можна зробити деякі
узагальнення. Потрібно звернути увагу учнів, що, на відміну від за-
дач 15.1 — 15.3, в задачах 15.4 і 15.5 у записі чисел цифр було менше,
ніж пропонувалося в умові задачі, але в усіх задачах істотним був
порядок запису цифр. Після цього можна ввести поняття розміщення
з п по т елементів і записати формулу для обчислення кількості роз-
міщень
А"1 = п(н-1)х...х(и-т + 1).
Для того щоб в учнів не сформувалася думка, що такі задачі мож-
на розглядати тільки з числами, потрібно розглянути інші задачі.
Задача 15.6. Війні-Пух, П’ятачок і Сова збиралися на день народження до
Віслючка Іа і почали вирішувати, в якому порядку вони вручатимуть подарунки.
Скільки можливих варіантів у них є?
Відповідь. 6.
Задача 15.7. Мама Коза пішла за молоком, а семеро козенят почали гратися в
«потяг». Проте відразу засперечалися, в якому порядку їм «їхати». Тоді вони
вирішили перепробувати всі можливі випадки. Цікаво, скільки часу вони витра-
тять, якщо кожний новий «потяг» буде «їздити» хоча б одну хвилину?
Відповідь. 84 год.
Задача 15.8. Тітонька Поллі наказала Тому Сойєру пофарбувати паркан біля
будинку, який складається з чотирьох секцій. Він вирішив пофарбувати кожну
секцію в інший колір і задумався, в які кольори і в якому порядку це зробити.
Скільки є варіантів зафарбувгапія, якщо Том має шість фарб різних кольорів?
Відповідь. 360.
Методика формування основних понять комбінаторики. У мето-
диці навчання математики та в навчально-методичній літературі існу-
ють різні підходи до вивчення різних видів сполук залежно від їх
трактування, послідовності запровадження і доведення формул.
У підручнику А. П. Кисельова спочатку вводиться означення сполук.
493
Означення 15.1. Різні групи, складені з яких-небудь предметів,
що відрізняються одна від одної або порядком цих предметів, або са-
мими предметами, називають взагалі сполуками.
Після цього вводиться, спочатку описово на прикладі, а потім на
рівні означення поняття розміщень як сполук, що відрізняються одна
від одної або предметами аЬ і ас, або порядком предметів, наприклад
аЬ і Ьа, якщо кількість предметів у них та сама.
Означення в загальному вигляді формулюють так.
Означення 15.2. Розміщеннями з п елементів по тп називають
такі сполуки, з яких кожна містить т елементів, узятих із даних п еле-
ментів, і відрізняються одна від одної або елементами, або порядком
елементів.
Поняття перестановок запроваджується через поняття розміщення
як окремий випадок розміщення, коли розміщення з п елементів узя-
то по п. Отже, різняться вони тільки порядком елементів.
Такі розміщення називають перестановками. Спеціально означення
не формулюють.
Поняття комбінації також розглядається за допомогою поняття роз-
міщень.
Означення 15.3. Якщо з усіх розміщень, що можна скласти з п
елементів по т, вибрати тільки ті, які відрізняються одне від одного
принаймні одним елементом, то матимемо сполуки, що називають ком-
бінаціями.
Далі наводять приклади комбінацій для чотирьох елементів а, Ь, с,
д, взятих по три елементи. Спеціально визначення комбінацій також
не формулюють.
У пробному підручнику Б. В. Вейця і І. Т. Демідова [651 першими
вводяться перестановки. Після розгляду прикладу на утворення з трьох
цифр трицнфрових чисел без повторення цифр і підрахунку кількості
таких чисел, запроваджується поняття (без означення) перестановки.
Кожний спосіб упорядкування множини будь-яких елементів на-
зивають, традиційно, перестановкою цих елементів.
Далі доводиться теорема про кількість перестановок з п елементів.
Поняттю комбінацій передує вивчення поняття підмножини. Роз-
глядається приклад множини А = {х;уг}, утворюються всі підмножи-
ни множини А з одного, двох, трьох елементів. Потім вводиться таке
поняття (означення) кількості комбінацій.
Означення 15.4. Кількість підмножин, що складаються з т еле-
ментів, які містяться в множині А з п елементів, називають кількістю
комбінацій з п по т і позначають С'".
Отже, тут означено не поняття комбінації, а їх кількість.
У посібнику для факультативних занять [137] відразу (паралель-
но) запроваджується поняття сполук з повтореннями і без повторень
494
на основі множини в такій послідовності: розміп1енн5і, перестановки,
комбінації. Розміщення без повторень означено так-
Означення 15.5. Упорядковану ^-елементну ШДІїножину заданої
множини X, що містить пі елементів, називають Р°зміщеннями без
повторень з тп елементів по к.
Після цього вводять поняття перестановок бе;! иоІіторень впоряд-
кованих множин, що відрізняються одна від оДнО1 лише порядком
елементів, які містяться в них.
Потрібно звернути увагу на те, що перестановйа ^(з повторень з тп
елементів — це те саме, що її розміщення без повї°РС|п> з т елементів
по т.
Нарешті, комбінаціями без повторень з т по Чементів назива-
ють иевпорядковані підмножини даної множини, п1° МІстить т елемен-
тів. З поняттям розміщення їх не пов’язують, про НИ5і згадують лише
ПІД час виведення формули ДЛЯ обчислення числа Ст'
У підручнику [387] з алгебри і початків аналі3У 7ля 11 класу по-
слідовність розгляду сполук без повторень така: перестановки, роз-
міщення, комбінації, оскільки перестановки є наипЬостішим видом
сполук. У цьому підручнику зроблено спробу поєдНати підхід А. П. Ки-
сельова, який не використовував поняття мпожийи 1!ід час введення
різних видів сполук, з теоретико-множиною терМІ,Ішіогіею та симво-
лікою.
Спочатку запроваджуються основні відомості з теорії множин (по-
няття множини, підмножини, порожньої множиш! > ОІ|ерацій над мно-
жинами). Обсяг цього матеріалу невеликий і достУпн1(й учням.
Сполуки без повторень вводять у § 34 розд. 6- ^'бчатку на конк-
ретних прикладах розглядають поняття комбінатсФних задач і комбі-
наторики як розділу математики, що займається методами розв’язу-
вання комбінаторних задач. Перш ніж вивчати озйач(ііня перестанов-
ки, вводять поняття впорядкованої множини, перес-таН(>вки з п елемен-
тів означають як «будь-які впорядковані множині1’ ЦБ складаються з
п елементів». Означення запроваджують після р£>зглЯДу конкретних
прикладів.
Слід звернути увагу учнів па характеристичн1 О3|іаки перестано-
вок: 1) предмети різні; 2) усі місця зайняті; 3) порядок елементів важ-
ливий.
Для введення поняття розміщення спочатку розв язУіоть таку задачу:
скількома способами можна скласти денний ро:*клац занять з п’яти
різних уроків, якщо в класі вивчають десять різнДх пІ)едмстів?
Означення формулюють так.
Означення 15.6. Будь-яку впорядковану піді^11ол,ину з п елемен-
тів заданої множини М, яка містить т елементів, Дє > п, називають
розміщенням з т елементів по п.
495
Одразу потрібно роз’яснити характеристичні ознаки розміщень:
1) предмети і місце різні; 2) 0 < п < т; 3) усі п місць зайняті; 4) по-
рядок елементів важливий.
Перш ніж вводити поняття комбінації також слід розв’язати таку
задачу: скількома способами можна призначити чотирьох вартових з
тридцяти солдат?
Очевидно, що в цій задачі будь-які групи вартових можуть відріз-
нятися лише складом солдат у них. Порядок у групі неістотний. Тут
маємо справу з різними підмножинами з чотирьох елементів заданої
множини, яка складається з ЗО елементів.
Далі формулюють означення.
Означення 15.7. Будь-яку підмножину з п елементів заданої мно-
жини М, яка містить т елементів, називають комбінацією з т елемен-
тів по п, а кількість їх позначають С”г
Характеристичні ознаки комбінацій такі: 1) предмети різні;
2) 0 < п < т; 3) порядок вибору елементів не має значення.
Доведення основних формул. Підхід до доведення формул ком-
бінаторики певного мірою залежить від послідовності вивчення окре-
мих видів сполук і попереднього ознайомлення учнів з методами до-
ведень, зокрема з методом математичної індукції. На цей час учні
мають уміти застосовувати метод математичної індукції, який розгля-
дався під час вивчення теми «Похідна». За умов роботи за підручни-
ком [387] метод математичної індукції вводять раніше (під час ви-
вчення похідної функції у = х").
У цьому підручнику формула кількості перестановок запроваджу-
ється в такий спосіб: спочатку за допомогою індуктивних міркувань
на конкретних прикладах обчислення /], Р2, Р$ і Р4 учнів підводять
до висновку, що Рп = І-2-Зх...х(и-1)и = п!.
Після цього формулу доводять методом математичної індукції. Так
само доводиться ця формула і в пробному підручнику [65].
За підручником перестановки вивчають після розміщень, отже, фор-
мулу Рт отримують З формули ( ^'^у методом безпосередньої
підстановки в ліву частину к-т з урахуванням того, що за означен-
ням 0! = 1 і перестановка без повторень з т елементів — це те саме,
що й розміщення з т елементів по т елементів. Такий самий спосіб
наведено в підручнику А. П. Кисельова.
Формулу кількості розміщень у підручнику [387], за яким розмі-
щення вивчають після перестановок, і на прикладі вже розв’язаної
задачі про складання розкладу на день з десяти предметів по п’ять
предметів А[о = 10, отримують у результаті індуктивних міркувань:
496
А1‘о=10, А2о = 1О-9, А(3о=1О-9-8, А^ = 10-9-8-7, а/0 = 10-9-8-7-6,
А%’ = л(п-1)(п-2)х...х(п —(т —1)) = м(и —1)(и —2)х...х(и —ли+1).
Далі правильність формули доводять методом математичної індукції.
У підручнику А. П. Кисельова, за яким розміщення вивчають пер-
шими, для виведення формули їх кількості також здійснюють індук-
тивні міркування, але відразу для т елементів а, Ь, с, к, І. По-
слідовно утворюють та обчислюють кількість розміщень А^ = т,
А^=т(т~1), А^п=т(т-1)(т-2), А^, А^п і роблять загальний вис-
новок, що А” = т(т-1)(т-2)х...х(т-(п-1)).
Проте цей висновок, отриманий у результаті індуктивних мірку-
вань, не доводять методом математичної індукції, тому таке введення
формули є нестрогим.
У деяких посібниках розміщення та формули їх кількості вивча-
ють останніми, після комбінацій. Спочатку доводять формулу А™ =
= т!С"’, а потім з неї знаходять А'" після підстановки значення С™.
Формулу кількості комбінацій С”г у більшості підручників вивча-
ють останньою.
У підручнику [387] спочатку доводять формулу А,'" =С”’ -Рт.
Розглянемо випадок, коли и = 3, т = 2 і множина {а, Ь, с}. За оз-
наченням комбінації будь-яку підмножину з т елементів заданої
множини М, яка містить п елементів, називають комбінацією з п еле-
ментів по т.
Оскільки в підмножині, як і в множинах взагалі, елементи не по-
вторюються, а порядок їх є неістотним, то комбінації відрізнятимуть-
ся одна від одної лише складом елементів.
Утворимо з множини {а, Ь, с} всі можливі підмножини по два еле-
менти. Дістанемо {а, і>}, {а, с}, {/д с}. Отже, С3=3.
Кожну з утворених комбінацій можна впорядковувати двома спо-
собами. Справді, Р2 =1-2 = 2. Усього дістанемо 3-2 = 6 впорядкованих
2
множин. Раніше було встановлено, що А3 = 6 = 3-2.
2 2
Отже, для розглянутого випадку встановили, що А3 =С3 -Р2-
У загальному випадку доведення виконують аналогічно. Щоб утво-
рити впорядковані множини, які містять т елементів з даних п еле-
ментів, потрібно
1) виокремити із заданих п елементів які-небудь т елементів. Це
можна зробити С” способами;
497
2) виокремлені т елементів впорядкувати, що можна зробити Рт
способами.
Разом отримаємо С"‘ Рт упорядкованих множин, тобто
= ст .р
‘Уі п ІіГ
Звідси
(15.1)
Ат
Ст — п
П Рп,
т
Після підстановки в отриману формулу відомих уже виразів для
Д" і Рт дістанемо формулу
т _ п(и-1)(л-2)х...х(п-т + 1)
” 1-2-Зх...х(/и-1)/я
її спрощують, домножуючи чисельник і знаменник на вираз
1-2-Зх...х(и-/п). Звідси
(15.2)
_ п!____
” иг!(и-т)!
Далі можна довести чотири властивості для кількості комбінацій
(а можна цього і не робити, обмежившись формулами (15.1) і (15.2):
1)
2)
гіп — г'п~т*
»
^т+1 _ ТІ — 111 (~'7П-
п ~ т + 1 п’
+1 _ Л-.П+1.
+ ~ °пг+1>
3)
4)
Після розв’язування кількох сюжетних задач на обчислення кіль-
кості комбінацій потрібно розглянути трикутник Паскаля і довести
формулу бінома Ньютона (можна методом математичної індукції, а в
класах з поглибленим вивченням математики доцільно запропонувати
доведення за допомогою похідної та методу невизначених коефіцієн-
тів). Завершити вивчення теми слід розв’язуванням різноманітних
комбінаторних задач різних рівнів складності.
Розв’язування комбінаторних задач. Традиційно розв’язування
простіших комбінаторних задач зводиться до визначення виду сполу-
ки, про яку йдеться в задачі, і застосування відповідної формули для
обчислення кількості цих сполук. Тут основна трудність, що виникає
в учнів, — саме визначення виду сполуки.
Тому перед розв’язуванням задач на обчислення кількості різних
видів сполук доцільно запропонувати учням таку систему запитань,
що сприятиме правильному визначенню виду сполуки, про яку йдеть-
ся в умові задачі.
498
Вибір формули для обчислення кількості сполук
При цьому враховують характеристичні властивості кожного виду.
Задача 15.9. Скільки різних п’ятицифрових чисел можна записати за допомо-
гою цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, що жодна цифра в записі числа не повторюється?
Розв’язання. Для числа істотним е порядок запису цифр. При цьому всі зада-
ні цифри входять до запису числа. Отже, маємо справу з перестановками з п’яти
елементів. їх кількість = 5! = 120.
Задача 15.10. Скільки різних трицифрових чисел можна записати за до-
помогою цифр 1, 2, 3, 4, 5 за умови, шо жодна цифра в записі числа не по-
вторюється?
Розв’ язання. Тут також істотним є порядок запису цифр, але при цьому не всі
цифри, а тільки які-небудь три з п’яти входять до запису числа. Отже, маємо справу
з розміщеннями з п’яти елементів по три елементи. їх кількість = 5 • 4 - 3 = 60.
Задача 15.11. З п’яти учнів трьох необхідно відправити па черіування до їдаль-
ні. Скількома способами можна вибрати трьох чергових?
Розв’язання. У виборі учнів для чергування порядок вибору є неістотним,
адже однаково в якому порядку вчитель викличе чергових: «Петренко, Сидоренко
іі Іваненко» або «Сидоренко, Петренко й Іваненко». Це та сама трійка чергових.
При цьому в кожному виборі задіяні три з п’ятьох учнів. Отже, маємо справу з
З ч і
комбінаціями трьох елементів із п’яти. їх кількість Сч = - ' = 10.
3 3!2!
Проте такий підхід має істотний недолік. Учні, прочитавши умову
задачі, намагаються «впізнати» сполуку, записати «потрібну» формулу і
вже автоматично виконують обчислення. При цьому вони не прагнуть до
кінця зрозуміти сюжет, про який ідеться у задачі, спробувати його змо-
делювати.
Щоб уникнути цього, на початку слід розв’язати кілька задач на
застосування комбінаторних правил додавання та множення:
якщо для деякого об’єкта Л існує т способів вибору, а для іншого
об’єкта В-п способів, то вибрати А або В можна т + п способами;
499
якщо деякий об’єкт А можна вибрати т способами, а після цього
інший об’єкт В можна вибрати п способами, то пари А і В можна ви-
брати тп способами.
Задача 15.12. Ідучи на тренування, спортсмен одягає або майку, або футбол-
ку. Скільки він має варіантів вибору майки чи футболки, якщо його мама випрала
три майки і чотири футболки?
Розв’ язання. За правилом додавання 3 + 4 = 7. Проілюструвати це можна так.
Припустимо, що у шафі на одній поличці лежать три майки, а на другій — чоти-
ри футболки. Довільно з будь-якої полички беремо тільки одну річ. З першої
полички взяти одну річ можна трьома різними способами, а з другої — чотирма
способами, тоді взяти одну будь-яку річ можна 3 + 4 = 7 різними способами.
Задача 15.13. Цех із виготовлення капелюхів розпочав випуск трьох нових
моделей, для яких було закуплено фетр чотирьох кольорів. Скільки видів різних
капелюхів може виготовити цех?
Розв’язання. Для кожної з трьох моделей можна використати кожний з чоти-
рьох кольорів. За правилом множення кількість різних видів капелюхів станови-
тиме 3-4=12.
Для ілюстрації можна скласти таку таблицю:
Модель Колір
1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
Задача 15.14. Прямого сполучення із селищами А і В немає. Турист може по-
трапити з А до В або через селище С, або через селище І). З А до С ведуть два
різні шляхи, а з А до О — три. З С до В можна потрапити трьома різними доро-
гами, а зі) до В — двома. Скільки турист має різних варіантів вибору шляху від
А до В?
Розв’язання. Доцільно зробити графічну ілюстрацію:
Якщо йти з А до В через С, то шлях можна обрати 2-3 = 6 способами. Якщо
йти з А до В через О, то для вибору шляху є 3-2 = 6 способів. Тоді різних варі
антів вибору шляху 6 + 6 = 12.
Зауваження. Якщо зробити графічну ілюстрацію, то можна, не використо-
вуючи жодного правила, визначити кількість варіантів вибору шляху просто про-
водячи олівцем по лініях.
500
Розв’язуючи складніші комбінаторні задачі, бажано, за можливос-
ті, розглянути різні способи їх розв’язування. Зрозуміло, що за бра-
ком часу це не завжди вдається зробити. Тому потрібно, готуючись до
уроку, не обмежуватися тільки одним способом розв’язування задачі
для того, щоб на уроці організувати роботу з пошуку раціональнішого
способу розв’язування. При цьому як домашнє завдання можна за-
пропонувати учням відшукати інші способи розв’язування розгляну-
тих на уроці задач.
Задача 15.15. Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою
цифр 0, 1,2, 3, 4, 5? Цифри в записі числа не повторюються.
Розв’язання. І спосіб. У записі числа важливим є порядок цифр. Три
О
елементи з шести у певному порядку можна вибрати А$ способами. Проте вони
охоплюють і всі ті записи, які починаються з цифри 0. Це, фактично, двоцифрові
числа, записані цифрами 1, 2, 3, 4, 5. їх можна утворити способами.
Отже, шукана кількість чисел А$ - А$ = 6- 5- 4- 5- 4 = 100.
II спосіб. Зрозуміло, що число не може починатися цифрою 0. Тому для
вибору першої цифри є п'ять різних варіантів (способів). На друге і третє місце з
тих цифр, що залишилися, три (у певному порядку) можна вибрати А? способа-
ми. Загальна кількість буде 5 • А? = 5 5 4 = 100.
III епосі б. На першому місці можна записати будь-яку з цифр 1, 2, 3, 4, 5 —
всього п’ять способів. На другому — знову будь-яку з п’яти (серед них вже може
бути 0). На третьому — будь-яку з чотирьох, що залишилися після запису пер-
ших двох цифр числа. Усього 5-5-4 =100 різних записів трицифрових чисел.
Задача 15.16. У шаховому гуртку п’ять хлопців і три дівчини. Для зустрічі з
гросмейстером прийшло три запрошення. Скількома способами можна розподіли-
ти запрошення так, щоб на зустріч потрапила хоча б одна дівчина?
Розв’язання. І спосіб. Вимога «хоча б одна дівчина» означає, що їх може
бути одна, дві або три. Тоді запитання переформулюємо так: «Скількома спосо-
бами можна вибрати трьох осіб з п’яти хлопців і трьох дівчат, щоб серед них було
або одна дівчина, або дві дівчини, або три дівчини?»
Одну дівчину з трьох можна вибрати трьома способами і залишається виб-
рати ше двох хлопців з п’яти. Це можна зробити С5 способами. Отже, всього
маємо ЗСд способів. Дві дівчини з трьох можна вибрати Сд способами і од-
2
ного хлопця — п’ятьма способами. Усього 5С5 способів. Три дівчини можна
вибрати тільки одним способом. Тоді загальна кількість способів становитиме
ЗС5 + 5С? + 1 = 46.
II спосіб. Троє осіб з усіх членів гуртка можна вибрати с| способами.
Тільки троє хлопців можна вибрати Сд способами. В усіх інших варіантах будуть
присутні дівчата. Отже, таких способів
501
Зауваження. Під час розв’язування другим способом фактично було вико-
ристано поняття доповнення множини, що є аналогом поняття протилежної події.
У разі розв’язування задачі на обчислення ймовірностей ця задача може бути
сформульована так: «У шаховому гуртку п’ять хлопців і три дівчини. Для зустрі-
чі з гросмейстером прийшло три запрошення. Чому дорівнює ймовірність того, що
на зустріч потрапить хоча б одна дівчинка?»
Задача 15.17, З десяти тенісисток і шести тенісистів складають чотири зміша-
ні пари. Скількома способами це можна зробити?
Розв’язання. І спосіб. Чотири змішані пари — це вісім осіб: чотири тені-
систки і чотири тенісисти. Чотири тенісистки з десяти можна вибрати С40 спосо-
бами. Чотири тенісисти із шести можна вибрати Сд способами. Тоді вісім осіб
для утворення чотирьох пар можна вибрати С^} способами. Полічимо, скіль-
кома способами можна з восьми осіб утворити чотири змішані нари: одного з тені-
систів можна поставити у пару з будь-якою з чотирьох тенісисток, усього чотири
способи; другого тенісиста можна поставити у пару вже з будь-якою з трьох тені-
систок, усього три способи; третього — з двох тенісисток, усього два способи; для
четвертого залишається тільки один спосіб стати у пару. Отже, всього
4 • 3 • 2 1 = 4! способів утворення чотирьох пар з восьми осіб. Усіх способів утво-
рити чотири змішані пари С40 -С^ -4! = = 600.
II спосіб. Усіх змішаних пар з десяти тенісисток і шести тенісистів можна
утворити 10-6 = 60. Проілюструємо це такою схемою-сіткою (вузли сітки — це
пари):
Тенісистки
стовпчики, а потім із кожного стовпчика взяти по одній парі з різних рядків.
Чотири стовпчики з десяти можна вибрати С40 способами. Після цього першу
пару можна вибрати з будь-яких шести рядків, усього шість способів; другу — з
п’яти рядків, усього п’ять способів; третю — з чотирьох рядків і четверту — з
трьох рядків. Усього чотири пари можна вибрати С40 6 5 • 4 • З способами:
С^о 6 5 4 3 = 4Яд6 5-4 = 10-9-8 7 15 = 75 600.
4'2!
Такий самий результат отримаємо, якщо в наведених міркуваннях стовпчики
замінити па рядки, а рядки — на стовпчики. Загальна кількість способів вибору
становитиме:
Сіо -6-5 -4 -3 =4тЦ-6-5 -4 = 10-9 -8-7 -15 = 75 600.
4! 2!
502
Програма з математики для загальноосвітніх шкіл не передбачає
вивчення сполук з повтореннями елементів, проте за допомогою ком-
бінаторних правил додавання і множення можна розв’язати нескладні
комбінаторні задачі на знаходження кількості сполук, в яких можливі
повторення елементів.
Задача 15.18. Скільки різних трицифрових чисел можна записати за допомо-
гою цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри можуть повторюватися в записі числа?
Розв’язання. На перте місце можна записати будь-яку з п’яти цифр — всього
п’ять варіантів. Оскільки цифри можуть повторюватися, то на друге місце можна
також записати будь-яку з п’яти цифр — знову п’ять варіантів. Отже, на перші
два місця дві будь-які цифри можна записати 5-5 = 52 способами. На трете місце
також можна записати будь-яку з п’яти цифр. Тоді всіх можливих трицифрових
чисел буде 52 • 5 = 53 = 125.
Задача 15.19. Скільки різних натуральних чисел можна записати за допомо-
гою цифр 1, 2, 3, 4, 5, якщо цифри у записі чисел можуть повторюватися і цифр
у записі має бути не більше ніж 5?
Разе’язання. Числа можуть бути одно-, два-, три-, чотири- або п’ятицифрові.
Одноцифрових чисел можна записати п'ять. Двоцифрових — 5 -5 = 52, трициф-
рових — 53, чотирицифрових — 54 і п’ятицифрових — 55. Усього різних чисел
5 + 52 + 53 + 54 + 55. Це сума п’яти перших членів геометричної прогресії, перший
член якої 6] = 5, а знаменник <7-5. За формулою суми п перших членів геомет-
^(і-^5) 5(55-1
ричної прогресії У = —----- = ——-—- = 3905. Отже, всіх чисел 3905.
Задача 15.20. Букви азбуки Морзе складаються із символів (точок і тире).
Скільки букв можна записати за умови, що кожна буква містить не більше ніж
5 символів?
Розв’язання. Буква може містити один, два, три, чотири або п’ять символів,
причому символи у запису можуть повторюватися, наприклад, «—», або «—»,
або «----». Букв, що складаються з одного символу, можна записати всього дві.
Для запису букви з двох символів на перше місце можна записати або точку, або
тире, тобто маємо два варіанти, і на друге місце можна записати або точку, або
тире — знову два варіанти. Отже, двосимвольиих букв 2 • 2 = 22. Міркуючи анало-
гічно, доходимо висновку, що трисимвольпих букв буде 23, чотирисимвольних —
24 і п’ятнсимвольиих — 25. Усіх можливих букв буде 2 + 22 + 23 + 24 + 25 - 62.
15.2. Методика навчання початків
теорії ймовірностей
Пропозиції щодо потреби включення початків теорії ймовірностей
у шкільні програми з математики висловлювалися ще в XIX та на
початку XX ст. Цей матеріал, як і елементи статистики, вже тоді міс-
тили шкільні програми деяких країн Західної Європи, за винятком
Франції. Ці теми також вивчалися тоді в курсі алгебри російських
503
шкіл, зокрема, їх було розглянуто в підручниках М. Т. Щеглова і
К. Д. Краєвича.
В Україні професор Київського політехнічного інституту В. П. Єр-
маков видав у 1878 р. перший український підручник з теорії ймовір-
ностей. У 1896 р. для читачів, не обізнаних з вищою математикою,
було видано посібник М. М. Філіпова «Елементарна теорія ймовірно-
стей» .
На початку XX ст. у Росії у зв’язку з міжнародним рухом за ре-
форму шкільної математичної освіти директор Урюпінського реально-
го училища П. С. Фролов склав програму курсу теорії ймовірностей,
а в 1907 р. разом з П. О. Некрасовим розробив проект програми з
математики для гімназій, в яку було внесено елементи комбінаторики,
теорії ймовірностей і статистики. Цей проект жваво обговорювався на
І і II Всеросійських з’їздах викладачів математики (1912 р., 1913 р.),
але Міністерством народної освіти його не було прийнято. Водночас
цю пропозицію підтримала значна частина передових учителів. 17 трав-
ня 1914 р. Міністерство торгівлі та промисловості затвердило програ-
му з теорії ймовірностей для комерційних училищ, а в 1915 р. ви-
йшло два підручники за цією програмою. В Україні (Галичина) у 8 кла-
сах гімназій починають вивчати комбінаторику, елементи теорії ймовір-
ностей і статистику із застосуванням у теорії страхування життя.
У 20 —30-х роках XX ст. вивчення елементів теорії ймовірностей
упроваджується в школах Франції, Великої Британії, США, Австрії,
Нідерландів, Швеції, Швейцарії, країнах Балтії. У Росії з 1919 р.
елементи теорії ймовірностей було включено до програми єдиної тру-
дової школи і вивчалися до 1935 р. У 1935 р. у програмі було зали-
шено тільки комбінаторику.
З кінця 50-х років у зв’язку з другим етапом руху за реформу
шкільної математичної освіти ці теми почали постійно вивчатися на
різних рівнях складності в школах США, Франції, Великої Британії,
Японії, Нідерландів, Австралії, Австрії, Болгарії, Угорщини, Іспанії,
країнах Скандинавії та ін.
У 1967 р. в СРСР В. Г. Болтянським, А. М. Колмогоровим, Ю. М. Ма-
каричевим, О. І. Маркушевичем було розроблено проект програми з
математики для школи. У ньому передбачалося в 10 класі вивчати
тему «Початки теорії ймовірностей», а на факультативних заняттях —
«Додаткові питання теорії ймовірностей». Вивчення елементів статис-
тики не передбачалося. В остаточному затвердженому в 1968 р. варі-
анті програми було залишено в 9 класі вивчення лише елементів ком-
бінаторики, які пізніше також виключили з програми. Початки теорії
ймовірностей було передбачено вивчати на факультативних заняттях
в обсязі 18 год.
На початку 90-х років віце-президент АПН В. Г. Розумовський на
одному із засідань АПН зазначав, що у світі теорію ймовірностей у
школі не вивчають лише в п’яти країнах, зокрема в СРСР.
504
В останні два десятиріччя проблема розвитку у школярів імовірніс-
но-статистичного мислення постала особливо гостро й актуально у
зв’язку з новим етапом науково-технічного прогресу і розвитком рин-
кової економіки. Сучасне суспільство потребує вміння аналізувати
випадкові чинники, оцінювати шанси, прогнозувати, висувати гіпоте-
зи, приймати рішення в умовах, які мають імовірнісний характер.
Відомий спеціаліст у галузі теорії ймовірностей член-кореспондент
АН України Б. В. Гнєденко (1912 — 1995), який тривалий час працю-
вав у Києві, потім — у МДУ ім. М. В. Ломоносова, неодноразово
наголошував на необхідності включення початків теорії ймовірностей
у шкільну програму, обґрунтовуючи це тим, що на теорії ймовірнос-
тей вже давно ґрунтуються різні галузі науки і виробництва. Сучасне
природознавство широко використовує теорію ймовірностей і статис-
тику під час опрацювання результатів спостережень. На цих розділах
науки ґрунтується сучасна фізика, механіка, астрономія, обчислюва-
льна математика, економіка, військова справа. Промислові підприєм-
ства широко застосовують теорію ймовірностей і статистику не лише
для відбраковування продукції, а й для організації процесу виробниц-
тва (статистичний контроль у виробництві).
Не можна недооцінювати вплив теорії ймовірностей і статистики
на формування особистості учня. Угорський математик Альфред Реньї
(1921 —1962) у статті «Заради чого необхідно викладати теорію ймо-
вірностей» (переклад українською надруковано у журналі «Матема-
тика в школі», 1998, № 1) зазначав: «Вивчання теорії ймовірностей
належним чином впливає і на характер учнів, наприклад розвиває
хоробрість, оскільки дає змогу зрозуміти, що за певних обставин не-
вдачі можна віднести до випадковостей і. отже, зазнавши невдачі,
зовсім не варто відмовлятися від боротьби за досягнення поставленої
мети. Люди, які перебувають на низькому рівні розвитку, схильні до
надмірної недовірливості: яка би біда не трапилася з ними, вони схильні
приписувати її чиємусь злому наміру, навіть якщо такі твердження
позбавлені найменших підстав. Пояснюється це необізнаністю з таким
поняття, як випадковість.
Вивчення теорії ймовірностей може принести безперечну користь,
оскільки дає змогу остаточно порвати з пережитками магічного мис-
лення кам’яного століття. Вивчаючи теорію ймовірностей, люди ста-
ють більш доброзичливими і толерантними до оточуючих і, отже, лег-
ше вписуються в житгя суспільства».
Чинна шкільна програма з математики для загальноосвітніх навчаль-
них закладів передбачає вивчення початків теорії ймовірностей в 11 кла-
сі в курсі алгебри і початків аналізу.
Метою вивчення теми є введення основних понять теорії ймовірнос-
тей, поняття про теорію ймовірностей як науку, доведення теорем до-
давання та множення ймовірностей, теореми про ймовірність здійс-
нення принаймні однієї з незалежних подій, введення поняття про
505
класичну ймовірність і закону великих чисел; навчання учнів обчис-
люванню ймовірностей випадкових подій.
При цьому учні мають:
— отримати уявлення про випробування та випадкові події; повну
групу подій; попарно несумісні, рівноможливі (рівноймовірні), еле-
ментарні події; схему Бернуллі;
— знати означення вірогідної та неможливої подій; класичне озна-
чення ймовірності; теорему додавання ймовірностей несумісних подій;
означення протилежної події; теорему множення незалежних подій;
теорему про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних
подій; означення взаємно незалежних випробувань; статистичне озна-
чення ймовірності; закон великих чисел;
— уміти обчислювати за класичним означенням імовірність події;
використовувати теореми додавання та множення для обчислення
ймовірностей подій; знаходити у найпростіших випадках імовірність
здійснення принаймні однієї з незалежних подій.
Програмою для класів з поглибленим вивченням математики у 8 класі
в темі «Множини. Елементи математичної логіки. Комбінаторика.
Імовірність» передбачено ознайомити учнів з теорією ймовірності як
наукою; ввести поняття випадкової події та статистичної імовірності
події, вчити обчислювати статистичну ймовірність.
Після завершення вивчення теми учні мають отримати уявлення
про теорію ймовірностей як науку; подію, випадкову подію та статис-
тичну ймовірність випадкової події; уміти розв’язувати найпростіші
задачі на обчислення статистичних імовірностей.
У 9 класі у темі «Множини. Комбінаторика. Імовірність» передба-
чено розширити відомості про випадкові події і обчислювати статис-
тичні ймовірності випадкових подій.
При цьому учні мають уміти наводити приклади випадкових подій
і розв’язувати найпростіші задачі на обчислення статистичних імовір-
ностей.
В 11 класі основною метою вивчення теми «Початки теорії ймовір-
ностей» є сформувати в учнів уявлення про основні поняття теорії
ймовірностей і виробити вміння застосовувати їх до розв’язування
простих задач.
Після вивчення теми учні мають:
— отримати уявлення про стохастичний експеримент, елементарну
подію та простір елементарних подій; випадкову подію як деяку під
множину множини елементарних подій та розуміти зміст висловлення
«подія відбулася»; еквівалентність подій, неможливу подію, несумісні
події; дискретний і неперервний розподіли статистичних імовірностей
на просторі елементарних подій; центр розподілу та величину розсію-
вання статистичних імовірностей; умовні статистичні ймовірності;
можливість передбачення усередненого результату великої серії ви-
пробувань; математичне сподівання та дисперсію;
506
— знати означення суми, добутку, різниці двох подій, протилеж-
ної події; основні властивості статистичних імовірностей; правила об-
числення статистичної ймовірності суми і добутку кількох подій; фор-
мулу повної ймовірності;
— уміти давати геометричну інтерпретацію операцій над подіями
(за аналогією з операціями над множинами); обчислювати статистич-
ні ймовірності випадкових подій; застосовувати правила обчислення
суми і добутку ймовірностей кількох подій та формулу повної ймовір-
ності до розв’язування простих задач.
Для гуманітарних класів тему «Елементи теорії ймовірностей» вклю-
чено до додаткової частини програми, за якою передбачено розгляну-
ти предмет теорії ймовірностей; основні поняття; подію та її статистич-
ну ймовірність; статистичну ймовірність суми і добутку подій.
Перший досвід вивчення початків теорії ймовірностей на факуль-
тативних заняттях виявився корисним, але він не дав чітких відпові-
дей на всі питання щодо змісту навчального матеріалу і методики на-
вчання, оскільки факультатив проводився у невеликій кількості шкіл.
Це не дало підстав зробити висновки щодо шляхів і засобів удоскона-
лення вивчення стохастикп в школі.
У сучасній літературі є різні погляди на зміст і структуру навча-
льного матеріалу теми «Печатки теорії ймовірностей». Найбільше
суперечок виникає стосовно того, як означати ймовірність події. Слід
зауважити, що в різних посібниках, підручниках, методичних реко-
мендаціях для вчителів і учнів сьогодні чітко виявляються два підхо-
ди до означення ймовірності події: класичний і статистичний.
У свій час А. М. Колмогоров, даючи рекомендації вчителям щодо
викладання факультативу з теорії ймовірностей, зазначав, що є розум-
ним почати безпосередньо з комбінаторних підрахунків кількості ви-
падків, які сприяють тій чи іншій події. Такі задачі можуть бути ці-
кавими за змістом. Вони є гарною психологічною підготовкою до са-
мого введення поняття ймовірності. Далі він зауважував, що досить
часто замість «класичного» означення ймовірності доводиться вико-
ристовувати «статистичне». Проте на перших кроках ознайомлення з
теорією ймовірностей розумно поставитися з довірою до «класичного»
означення. З погляду чистої математики тут немає ніякої «нестрогос-
ті» (журнал «Математика в школе», 1968, № 2).
Поділяючи думку А. М. Колмогорова і використовуючи досвід ви-
вчення початків теорії ймовірностей на факультативних заняттях,
вважаємо за доцільне дотримуватися класичного підходу до введення
поняття ймовірності. Адже вивчення числових множин і дій над різ-
ними числами починається і продовжується до 8 класу лише над точ-
ними значеннями чисел і тільки у 8 класі запроваджуються наближені
значення чисел і величин. У курсі геометрії також спочатку вивчають
абстрактні ідеальні фігури. Аналогічно поняття статистичної та геоме-
тричної ймовірностей сприймаються легше, якщо учні вже ознайом-
507
лені з класичним означенням імовірності та навчаються обчислювати
її під час розв’язування різних задач, зокрема прикладних.
Пропедевтика теорії ймовірностей в основній школі. Потреба
пропедевтики вивчення початків теорії ймовірностей в основній школі
не викликає сумніву. У 5 — 6 класах є можливість готувати учнів до
ознайомлення з класичним означенням імовірності, теоремами про
додавання і множення ймовірностей. На перших етапах навчання до-
статньо пояснити учням поняття випадкової події як такої, що може
відбутися або не відбутися під час деякого випробування, а ймовір-
ність події розглядати саме як можливість, шанс. Причому, звертаю-
чись до життєвого досвіду проведення й участі у різноманітних іграх
і жеребкуваннях, можна говорити про більш або менш можливі події,
неможливі та вірогідні події. Так, після вивчення у 5 класі звичайних
дробів можна один урок присвятити темі «Звичайні дроби та підра-
хунок шансів на успіх», на якому ознайомити учнів з поняттям події
та її ймовірності під час розв’язування задач на підрахунок шансів на
виграш.
Задача 15.21. Підкинемо гральний кубик. Ти виграєш, якщо на верхній грані
кубика випаде 6 очок. Який у тебе шанс виграти з одного підкидання?
Розв’язання. Під час підкидання кубика па верхнії! грані може випасти або 1,
або 2, або 3, або 4, або 5, або 6 очок. Тобто існує 6 різних можливостей появи
певного числа очок. Виграшною є тільки одна з шести. Отже, шанс на виграш
становить 1 до 6. Це можна записати так: 1 : 6 або -і. При цьому кажуть, що
Ь
1
6’
шанс виграти дорівнює
Задача 15.22. На столі лежать два червоних і три жовтих яблука. Миколка
навмання, не дивлячись, бере одне яблуко. Наталка й Іринка загадали: якщо Ми-
колка візьме червоне яблуко, то виграє Наталка, якщо жовте — Іринка. У кого з
дівчат більше шансів на виграні? Чому?
Розв’язання. Миколка може взяти будь-яке одне з п’яти яблук, тобто має
всього п’ять різних можливостей взяти яблуко. У двох з них взяте яблуко може
2
бути червоним, а в трьох — жовтим. Отже, у Наталки шанс виграти дорівнює —,
а у Іринки —
В обох задачах ішлося про деяку подію. У кожному випадку від-
бувалося певне випробування — підкидався гральний кубик, навман-
ня бралося яблуко. Кожне з випробувань мало деяку кількість нас-
лідків, результатів випробування, а подія, яка розглядалася («випало
6 очок», «Миколка взяв червоне яблуко», «Миколка взяв жовте яб-
луко»), могла відбутися, а могла і не відбутися.
У такому разі кажуть, що подію, яка може відбутися або не від
бутися під час деякого випробування, називають випадковою.
Крім того, ставилося завдання оцінити можливість настання тієї чи
іншої події. Французький математик Б. Паскаль, який одним із пер-
508
ших почав досліджувати подібні задачі, назвав чисельну оцінку мож-
ливості того, що певна подія відбудеться, імовірністю.
Події, як правило, позначають великими латинськими буквами А,
В, С тощо. Імовірність події позначають буквами Р або р. Отже, в
і і
задачі 15.21 імовірність події «випало б очок» дорівнює —, або р = -р-
6 о
2
У задачі 15.22 подія А — «Миколка взяв червоне яблуко» і Р(А) = —,
О
подія В — «Миколка взяв жовте яблуко» і Р(В) = -|.
Можемо зробити висновок, що ймовірність деякої події можна за-
писати дробом, знаменник якого — кількість усіх можливих наслідків
деякого випробування (досліду), а чисельник — кількість наслідків,
які сприяють здійсненню цієї події.
Якщо А — деяка подія, то
р , . V _ Кількість наслідків випробування, які сприяють події А
Кількість усіх наслідків випробування
Зрозуміло, що під час проведення того самого випробування одні з
подій більш можливі (мають більшу Ймовірність), інші — менш можливі
(мають меншу ймовірність). Так, у задачі 15.22 подія «Миколка взяв
червоне яблуко» менш можлива, ніж подія «Миколка взяв жовте яб-
луко». Крім того, існують події, які завжди відбудуться внаслідок ви-
пробування, а є такі, що ніколи не відбудуться. Наприклад, під час підки-
дання грального кубика подія «випало більше ніж 6 очок» жодного разу
відбутися не може, а подія «випало число від 1 до 6» завжди відбудеться.
Таку подію, яка обов’язково відбудеться внаслідок проведення де-
якого випробування, називають вірогідною.
Подію, яка ніколи не відбудеться внаслідок проведення деякого
випробування, називають неможливою.
Отже, подія «випало більше ніж 6 очок» є неможливою, подія
«випало число від 1 до 6» є вірогідною.
Задача 15.23. Визначити для кожного випробування, які з наведених подій є
випадковими, вірогідними, неможливими:
а) підкидають гральний кубик і фіксують кількість очок, що випали на верх-
ній грані:
подія А — «випало число З»;
подія В — «випало число, менше ніж 7»;
подія С — «випало парне число»;
подія £) — «випало число, що ділиться ца 7»;
подія Е — «випало число, менше ніж 5»;
б) у мішечку 3 жовтих, 4 синіх і 5 зелених кульок. Навмання виймають одну
кульку:
подія А — «витягнуто зелену кульку»;
подія В — «витягнуто синю кульку»;
509
подія С — «витягнуто білу кульку»;
подія О — «витягнуто кольорову кульку»;
подія Е — «витягнуто жовту або синю кульку».
Відповідь: а) події А, С, Е — випадкові, В — вірогідна, О — неможлива;
б) події А, В, Е — випадкові, О — вірогідна, С — неможлива.
Задача 15.24. Обчислити ймовірності подій, зазначених у задачі 15.23.
Розв’язання: а) у цьому випробуванні всього 6 усіх можливих наслідків.
Події А — «випало число 3» — сприяє тільки один наслідок випробування,
отже, Р(Л) = ^;
події В — «випало число, менше ніж 7» — сприяють усі 6 наслідків випробу-
/?
вання, отже, Р(В) = тг = 1;
о
події С — «випало парне число» — сприяють три наслідки: випало або число 2,
З 1
або число 4, або число 6, отже, Р(С) = — = —;
о 2
для події Д — «випало число, що ділиться на 7» — немає жодного наслідку,
який би сприяв тому, щоб вона відбулася, отже, Р(Д) =
0
= 0;
6
події Е — «випало число, менше ніж 5» — сприяє чотири наслідки: випало
або число 1, або число 2, або число 3, або число 4, отже, Р(Е) =
4 = 2.
6 З’
б) у цьому випробуванні є всього 3 + 4 + 5 = 12 усіх можливих наслідків.
Події А — «витягнуто зелену кульку» — сприяє 5 наслідків випробування,
отже, Р(А) = ~;
події В — «витягнуто синю кульку» — сприяє 4 наслідки, отже, /’(/.) =
= _4_ = 1-
12 З’
для події С — «витягнуто білу кульку» — немає жодного наслідку, який би
сприяв тому, щоб вона відбулася, отже, Р(С) = = 0;
події О — «витягнуто кольорову кульку» — сприяють усі 12 наслідків випро-
12
бування, отже, Р(О) = — = 1;
події Е — «витягнуто жовту або синю кульку» — сприяють 3 + 4 = 7 паслід
у
ків, отже, Р(Е) = —.
Після розв’язування задачі 15.4 можна зробити такі висновки.
Оскільки вірогідній події сприяють усі наслідки випробування, то
її ймовірність дорівнює 1.
Для неможливої події немає жодного наслідку, який би сприяв її
появі, отже, ймовірність неможливої події дорівнює 0.
Імовірність будь-якої випадкової події завжди більша за 0 і менша за 1.
Наведені приклади не тільки готують учнів до сприйняття класич-
ного означення ймовірності, а й показують одне з можливих застосу-
вань поняття звичайного дробу.
Вивчаючи у 6 класі дії над звичайними дробами можна розглянути
задачі на додавання та множення ймовірностей.
510
Задача 15.25. У ящику є 3 жовтих, 4 червоних і 5 зелених кульок. Знайти ймо-
вірність того, що навмання витягнута з ящика кулька буде жовтого або червоного
кольору.
Перш ніж розв’язувати цю задачу, слід повторити деякі відомості, з якими уч-
нів ознайомлювали у 5 класі. Це може відбуватися, наприклад, так.
Учитель: У чому полягає випробування, про яке йдеться у задачі?
У чен ь- Навмання витягують кульку з ящика.
Учитель: Скільки всього кульок у ящику?
Учень: 12.
Учитель: Отже, можна витягнути будь-яку з 12 кульок. Тобто є 12 різних
наслідків цього випробування. При цьому, наприклад, може відбутися подія «ви-
тягнуто жовту кульку». Як оцінити можливість (імовірність) здійснення такої
події? Давайте пригадаємо, як ми робили це у 5 класі (бажано, щоб до уроку був
підготовлений плакат, який учитель може використати під час бесіди).
А — подія, Р(А) — ймовірність події А:
Р(А) = —,
п
де п — кількість усіх наслідків випробування;
т — кількість наслідків випробування, які
сприяють події А.
Позначимо подію «витягнуто жовту кульку» літерою Ж. Скільки наслідків
випробування сприяє тому, щоб подія Ж відбулася?
Учень: 3 наслідки.
Учитель: Тоді чому дорівнює Р (Ж)?
Учень: Р(Ж) = ^=|.
Аналогічно учні обчислюють імовірність появи червоної, зеленої кульок.
Розв’язання. Випробування полягає у витягуванні однієї кульки з ящика. Не-
хай подія А — «витягнуто жовту або червону кульку». Оскільки все одно яку
кульку, жовту або червону, витягнуто і при цьому кулька не може бути водночас
жовтою і червоною, то кількість наслідків випробування, що сприяють появі жов-
тої або червоної кульки, становить 3 + 4 = 7. Кількість усіх можливих наслідків
у
випробування 12. Тоді ^(-^) = '
Далі пропонуємо учням записати ймовірність події А у такому вигляді:
Р(А) = Р(Ж або 7) = ^ = ^ = -| + 1| = -1 + 1 = Р(Ж)+Р(У),
тобто Р(Ж або V ) = Р(Ж) + Р(У ).
Отже, для обчислення ймовірності події «витягнуто жовту або червону куль-
ку» можна обчислити ймовірності подій «витягнуто жовту кульку» і «витягнуто
червону кульку», а потім їх додати.
Тут використано одне з основних правил обчислення ймовірностей —
правило додавання ймовірностей.
Якщо є дві події, які не можуть відбутися одночасно, то ймовір-
ність того, що відбудеться одна з двох подій (все одно яка), дорівнює
сумі ймовірностей цих подій.
511
Після узагальнення слід повернутися до задачі 15.25 і знайти ймо-
вірність того, що навмання витягнута з ящика кулька буде жовтою
або зеленою, червоною або зеленого.
Задача 15.26. В одній коробці є 4 синіх і 5 червоних олівців, а у другій — З
синіх і 7 червоних олівців. Навмання з кожної коробки виймають по одному олів-
цю. Чому дорівнює ймовірність того, що обидва вийняті олівці будуть синіми?
Розв’язання. Випробування полягає в тому, що з кожної коробки виймають по
одному олівцю. Нехай подія А — «обидва олівці сині». Визначимо кількість усіх
можливих наслідків цього випробування і кількість наслідків, що сприяють події А.
З першої коробки один олівець можна вийняти 4 + 5 = 9 різними способами.
З другої коробки — 3+7 = 10 різними способами. Кожний із 9 способів витягу-
вання олівця з першої коробки можна поєднати з кожним із 10 способів витягу-
вання олівця з другої коробки, тобто є 9-10 = 90 способів вийняти по одному
олівцю з двох коробок. Отже, п = 90. Синій олівець з першої коробки можна
вийняти 4 способами, з другої коробки — 3 способами, тобто є 4 • 3 = 12 способів
вийняти два синіх олівці. Отже, т = 12. Тоді
Р(Л)=12=2.
1 ’ 90 15
Можна розглянути інше розв’язання. Нехай подія С| — «з першої коробки
вийнято синій олівець», подія — «з другої коробки вийнято синій олівець».
Причому подія не залежить від того, відбудеться чи ні подія С2, а подія С2
не залежить від того, відбудеться чи ні подія С|. У такому випадку кажуть, що ці
події незалежні. Обчислимо ймовірності цих подій: Р(С1) = ^ і Р(С2) = -^.
Далі пропонуємо учням записати ймовірність події А у такому вигляді:
Р(Л).Р(С,,С2).|.АД.АА.Р(С,).Р(С2).
тобто Р(СІ/С2) = Р(С1)-Р(С2).
Отже, для обчислення ймовірності події «обидва олівці сипі» можна обчисли-
ти ймовірність подій «з першої коробки вийнято синій олівець» і «з другої короб-
ки вийнято синій олівець», а потім їх перемножити.
Під час розв’язування було використане ще одне правило обчис-
лення ймовірностей — правило множення. Його можна сформулюва-
ти так.
Нехай маємо дві події, здійснення кожної з яких не залежить одна
від одної. Імовірність того, що дві незалежні події відбудуться одно-
часно, дорівнює добутку ймовірностей цих подій.
Після узагальнення слід повернутися до задачі 15.26 і знайти ймо-
вірність того, що навмання витягнуті по одному олівці будуть черво-
ними. Якщо поставити вимогу знайти ймовірність того, що два олівці
будуть різних кольорів, то під час розв’язування можна продемонст-
рувати використання обох правил. Проте це завдання набагато склад-
ніше від попередніх.
512
Задача 15.27. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що
на верхній грані кубика випаде число 5 або число 6?
Розв’язання. Нехай подія А — «випало число 5», подія В — «випало число
6». При цьому події А і В не можуть відбутися одночасно. Подія С — «випало
число 5 або число 6» — полягає в тому, що відбудеться одна з подій А чи В (все
одно, яка саме). Отже, Р(А) = ± і Р(В)=-^, тоді за правилом додавання ймо-
вірностей Р(С) = Р(А) + Р(В) = + -| = = -і.
Задача 15.28. Підкидають монетку і гральний кубик. Яка ймовірність того, що
на монетці випаде герб, а на кубику число 6?
Розв’язання. Нехай подія А — «випав герб», подія В — «випало число 6».
При цьому подія А може відбутися незалежно від того, відбудеться чи ні подія В,
тобто події А та В незалежні. Подія С — «випав герб і число 6» — полягає в то-
му, що події Я і В відбудуться одночасно. Отже, Р(А) = — і Р(В) = —, тоді за
правилом множення ймовірностей Р(С) = Р(А) Р(В) = .
Методика формування основних понять. Перші два уроки в 11 кла-
сі доцільно присвятити формуванню основних понять теорії ймовірно-
стей: стохастичний експеримент (дослід, випробування), подія (явище),
випадкова подія, масові випадкові події, сумісні події, однаково мож-
ливі події, вірогідні, неможливі події, елементарні події, класичне
означення ймовірності.
На наступних уроках розглядають статистичне означення ймовір-
ності і закон великих чисел, геометричне означення ймовірності, по-
няття про умовну ймовірність, доводять теореми додавання і множен-
ня ймовірностей, означають незалежні події та незалежні випробу-
вання, вводять схему Бернуллі.
До первісних понять теорії ймовірностей належать поняття «стоха-
стичний експеримент» і «подія». На першому уроці на конкретних при-
кладах потрібно ввести поняття випадкової події та масових випадко-
вих подій і переконати учнів, що для масових випадкових подій іс-
нують закономірності, які вивчає теорія ймовірностей. Слід звернути
увагу учнів на те, що характерною особливістю математики, яку вони
вивчали до цього часу, була визначеність даних і здебільшого одно-
значність результатів, отриманих під час розв’язування задач. На-
приклад, числове значення об’єму куба V цілком визначається дов-
жиною ребра. Значення миттєвої швидкості нерівномірного руху за-
дається рівнянням руху (закон руху) § = [ (Г) і значенням моменту
часу ід, в який визначають миттєву швидкість V = ['(і), і = Іц. Проте
у житті, науці, техніці доводиться мати справу з подіями реального
світу, які залежать від невідомих або таких обставин, що не підда-
ються обліку. Наприклад, не можна передбачити, скільки зернин до-
стигне в колосі, що проросте з висіяної зернини, скільки грибів ви-
росте на тій ділянці лісу, де вони росли в минулому році, скільки
513
випускників загальноосвітніх шкіл України складуть вступні іспити
до вищих навчальних закладів.
Такі події отримали назву випадкових, а теорія ймовірностей їх
вивчає.
Французький математик Б. Паскаль, праці якого водночас із працями
італійського математика Д. Кардане, французького математика П. Фер-
ма, нідерландського математика X. Гюйгенса становлять основи теорії
ймовірностей, зазначав, що більшість людей вважає, що коли вони
про що-небудь не мають повного знання (а ми ніколи не маємо повно-
го знання), то вони взагалі нічого про це не знають. Натомість Пас-
каль переконаний, що такі думки глибоко помилкові, окремі знання є
також знаннями і неповна впевненість має деяке значення, особливо
коли відомий ступінь цієї впевненості. Хто-небудь запитає: «А хіба
можна виміряти ступінь впевненості числом?» Звичайно, відповідає
він. Особи, які грають в азартні ігри, ґрунтують свою впевненість на
увазі. Зауважимо, що ступінь можливості, впевненості в події Б. Пас-
каль назвав імовірністю.
Теорію ймовірностей цікавлять лише масові випадкові події, тобто
однорідні події, які відбуваються за певних умов і можуть бути від-
творені необмежену кількість разів.
Практика вивчання теорії ймовірностей на факультативних занят-
тях доводить, що надзвичайно важливо навести учням конкретні прик-
лади, які підтверджують існування закономірностей масових випад-
кових подій. У підручнику [387] наведено таблиці наслідків 10 000
підкидань монети, розподіл шроту на дошці Гальтона. Досвід пока-
зує, що найпереконливішим для учнів є дослід із записками, який
описано у підручнику і який доцільно провести у класі.
Учні самі дійдуть висновку, що існування закономірностей масових
подій і вміння передбачати результати дослідів, у яких наявні елементи
випадковості, є надзвичайно важливими для науки і практики.
Узагальнюючи розглянуті приклади, доцільно ввести поняття сто-
хастичного експерименту, яке використовується в теорії ймовірностей.
Експеримент (дослід, випробування) називають стохастичним,
якщо за виконання певної сукупності умов його можна повторювати
необмежену кількість разів і результати якого наперед не можна пе-
редбачити.
Події — це лише можливі результати стохастичного експерименту.
Подію називають випадковою, якщо за виконання певної сукупності
умов (у результаті стохастичного експерименту) вона може відбутися
або не відбутися.
На наступному уроці, ілюструючи конкретними прикладами, доціль-
но ввести поняття повної групи подій, попарно несумісних і сумісних,
однаково можливих, вірогідної та неможливої подій.
Центральним поняттям є поняття ймовірності події як числової ха-
рактеристики (міри) можливості появи випадкової події.
514
Спочатку доцільно ввести класичне означення ймовірності, тобто
ймовірності для елементарних подій. Вони утворюють повну групу
несумісних однаково можливих (рівноможливих) подій.
На прикладі конкретного досліду (в підручнику наведено приклад
з калькуляторами, але на уроці можна навести інший приклад, вико-
ристати гральний кубик або монетку) вводиться класичне означення
ймовірності. Так, А. М. Колмогоров на прикладі підкидання двох
гральних кубиків і фіксацій суми очок на верхніх гранях описує по-
няття рівноможливих випадків і поняття ймовірності: ймовірністю
називають відношення сприятливих випадків до загальної кількості
рівноможливих. При цьому він зауважує, що математика не дає від-
повіді на запитання, які випадки можна вважати рівноможливими.
У разі кидання кубиків фізично істотні умови падіння кубика будь-
якою з шести граней доверху здаються однаковими. Крім того, при-
родно вважати, що різні комбінації верхніх граней двох кубиків
також однаково правдоподібні. Досвід підтверджує ці припущення.
Математична теорія ймовірностей займається тільки обчисленням
ймовірностей різних подій за певних припущень у задачах, що нас
цікавлять, припущенням є те, які випадки потрібно вважати рівно-
можливими.
Отже, слід звернути увагу, що коли в дослідах визначають ймовір-
ність події за класичним означенням, то умови вважають ідеальними -
гральний кубик має бути ідеальної форми (центр ваги збігається з
геометричним центром), монета виготовлена з однакового за щільніс-
тю металу тощо.
Задачі на обчислення ймовірності за класичним означенням також
мають бути практичного змісту, хоча умови задачі ідеалізуються. На-
приклад, у задачі № 142 з підручника [387] для обчислення ймовір-
ності появи першого трамвая потрібного маршруту припускається, що
трамваї всіх маршрутів підходять до зупинки однаково часто.
Потрібно розв’язати належну кількість складніших задач, у яких
кількість усіх однаково можливих несумісних подій, що утворюють
повну групу подій, і кількість сприятливих для подій, які розгляда-
ються, наслідків обчислюють за допомогою формул комбінаторики.
Такі задачі мають бути близького для учнів змісту.
Доцільно у зв’язку з вивченням класичного означення ймовірності
роз’яснити учням широко вживані в практиці та побуті поняття «прак-
тично неможливої» і «практично вірогідної» подій, тобто подій, імо-
вірність яких близька відповідно до 0 і до 1. Адже зробити висновок
про те, відбудеться подія чи ні, можна лише з урахуванням умов, за
яких подія відбувається чи ні. Справді, якщо ймовірність запізнення
потягу дорівнює 0,01, то цю подію (запізнення потягу) можна вважа-
ти практично неможливою. Проте якщо ймовірність того, що під час
стрибка парашутиста парашут не розкриється, дорівнює 0,01, то цю
подію вважати практично неможливою не можна.
515
Перш ніж вводити статистичне означення ймовірності, доцільно
звернути увагу учнів на те, що класичне означення ймовірності має
обмежене застосування, причому за теоретично ідеальних умов. Для
випробувань (дослідів), що фактично відбуваються на практиці, не
має змоги розрізнити однаково можливі події. У таких випадках ви-
користовують статистичне означення ймовірності. Попередньо потріб-
~ ._ . т
но розглянути поняття статистичної частоти події як відношення —,
п
де п — загальна кількість випробувань; т — кількість появ події, що
нас цікавить. Наприклад, п — загальна кількість пострілів, які вико-
нує стрілець; т — кількість влучень у ціль.
Розглянемо випробування, що полягає у підкиданні грального куби-
ка і фіксації кількості очок, що випадають на його верхній грані. Не-
хай нас цікавить подія «випало число 2». Якщо здійснити п підки-
дань і при цьому двійка випала тп^ разів, то статистична частота по-
яви двійки дорівнює р\ Якщо гральний кубик підкидали п + 1
разів і двійка при цьому випадала Рази> то статистична частота
„ ТП-)
ПОЯВИ ДВ1ИКИ дорівнює Р2 =—
Продовжуючи аналогічні мірку-
вання, зауважимо, що в загальному випадку під час підкидання граль-
ного кубика N разів двійка може випасти разів, статистична час-
тота в цьому разі дорівнює Р^ Якщо збільшувати кількість
випробувань, то статистична частота події «випало число 2» дуже ма-
ло відрізнятиметься від деякого числа — ймовірності цієї події
(у випадку підкидання ідеального грального кубика статистична час-
і
тота дуже мало відрізняється від — ). Після наведення інших прикла-
6
дів доцільно ввести статистичне означення ймовірності події.
Означення 15.8. Імовірністю події називають невідоме число р,
навколо якого зосереджується значення статистичної частоти здійс-
нення події А зі зростанням кількості випробувань.
Позначивши статистичну частоту символом Рд, {Л}, Рд, {Л} =
природно записати наближену рівність Р^, {А} ~ Р (А), де Р(А)
ймовірність події А.
Ця наближена рівність відображує важливу закономірність масо-
вих випадкових подій. Вона багаторазово перевірялася експеримен-
тально і підтверджувалася практичною діяльністю.
Швейцарський математик Якоб Бернуллі вперше в 1713 р. матема-
тично сформулював цю закономірність у вигляді теореми, що отрима-
516
ла назву закону великих чисел. Її доведення, яке Я. Бернуллі шукав
20 років, займало 12 сторінок тексту. У 1837 р. французький математик
С. Пуассон узагальнив теорему Я. Бернуллі, а в 1845 р. її надзвичайно
коротке і строге доведення надав російський математик II. Л. Чебишов.
Для того щоб показати практичне застосування теореми Я. Бернул-
лі, доцільно розв’язати задачу, яку наведено в підручнику [387], а
для домашнього завдання запропонувати таку задачу. Під час перевір-
ки партії з 2000 радіодеталей було виявлено 8 бракованих. Скільки
бракованих радіодеталей може бути у партії з 3700 штук?
Перш ніж розглядати геометричне означення ймовірності, доцільно
пояснити учням потребу його введення. Слід звернути увагу на те, що
класичне означення ймовірності застосовується для випробувань зі
скінченою кількістю наслідків. Для випробувань з нескінченою кіль-
кістю наслідків вводиться геометричне означення ймовірності.
Це поняття доцільно пояснювати на таких простих прикладах.
Приклад 15.1. Па відрізку АВ завдовжки І одиниць задано відрізок СІ) зав-
довжки І одиниць (рис. 15.1). Навмання на відрізок АВ «кидають» точку. Як
визначити ймовірність влучення точки на відрізок СІ)?
Приклад 15.2. Маємо два концентричних круги, на які навмання «кидаємо»
точку Р (рис. 15.2). Яка ймовірність влучання точки у середину кільця, утворено-
го цими кругами?
Можна використати і приклад з геометричними тілами.
Розв’язуючи подібні приклади, слід звернути увагу учнів, що ймо-
вірність влучити в будь-яку частину відрізка (приклад 15.1) пропор-
ційна довжині цієї частини; ймовірність влучити в будь-яку частину
круга (приклад 15.2) пропорційна площі цієї частини. Узагальнюючи
поняття геометричної ймовірності для плоских фігур О і #, де фігура
# становить частину фігури О, слід підвести учнів до висновку, що
ймовірність Р(Л) події А «навмання кинута на фігуру С точка по-
,. , , п, .. Площа #
трапить на фігуру #» обчислюється за формулою Р(А) - ца~С ’
причому фігуру # називають сприятливою для події А.
Після розгляду прикладів, зокрема
практичних (наприклад, на визначення
ймовірності спрацювання сигналізатора,
який наведено в підручнику [387]), слід
зауважити, що геометричний підхід до
ймовірності події не залежить від розмір-
ності геометричного простору. Важливим є
Рис. 15.1
Рис. 15.2
те, щоб простір усіх елементарних подій і підпростір подій, які спри-
яють події, ймовірність якої нас цікавить, були однакового виду і од-
накової розмірності. Потім формулюють геометричне означення ймо-
вірності.
Означення 15.9. Імовірністю події А називають відношення міри
області, яка сприяє цій події, до міри всієї області. Записується
п , . ч тез у .
И(Л) =-----—, де символом тез позначено міру області, яка може
тез О
бути довжиною відрізка, площею фігури, об’ємом тіла тощо.
Обмеженість часу, який передбачено на вивчення початків теорії
ймовірностей у загальноосвітній школі, не дає можливості розв’язу-
вати значну кількість задач на застосування статистичного і геометрич-
ного означень імовірності. Для закріплення цих понять доводиться
обмежуватися лише розв’язуванням небагатьох задач на уроці і само-
стійним розв’язуванням подібних завдань учнями вдома.
Методика вивчення теорем. Чинною програмою і підручником
[387] передбачено вивчення таких тверджень (теорем):
1) теорема додавання ймовірностей несумісних подій і два наслід-
ки з неї;
2) теорема множення ймовірностей і наслідок з неї;
3) теорема множення ймовірностей для незалежних подій;
4) теорема про ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій;
5) теорема про ймовірність здійснення принаймні однієї з не залеж-
них подій;
6) формула Бернуллі (розглядається без доведення).
Теореми додавання та множення ймовірностей вводяться для кла-
сичного означення ймовірності події. Перш ніж вивчати кожну з цих
теорем, розглядають відповідно поняття суми і добутку двох подій.
Цей матеріал не зумовлює труднощів в учнів, якщо попередньо під
час вивчення елементів теорії множин їх ознайомлювали з поняттями
об’єднання і перерізу двох множин. Поняття суми і добутку двох по-
дій аналогічне цим поняттям.
Теорему додавання ймовірностей суми двох несумісних подій учні
сприймають без особливих труднощів, якщо проілюструвати її дове-
дення таким рисунком (рис. 15.3).
518
У цьому випадку п — кількість усіх елементарних подій деякого
випробування; т — кількість подій, які сприяють події А; к — кількість
подій, які сприяють події В. Тоді Р(А) = Р(В) = Оскільки події
А+В сприяє т + к подій, Р(А) = — — - = + тобто Р(А + В) =
= Р(А)+Р(В).
Слід наголосити, що теорема поширюється на суму будь-якої скін-
ченної кількості попарно несумісних подій.
Під час вивчення теореми множення можливі два методичних під-
ходи.
1. Теорему множення формулюють тільки для незалежних подій і
доводять з використанням геометричної ілюстрації. Цей підхід було
здійснено в першому виданні підручника [387].
2. Його реалізовано в останньому виданні підручника [3871. Такий
підхід виправдано тим, що в практиці незалежні події трапляються
значно рідше, ніж ті, для обчислення ймовірності яких крім сукупно-
сті умов, що відповідають випробуванню, слід розглядати ще й інші
додаткові умови. Наприклад, така задача.
Задача 15.29. У коробці є 4 червоних і 5 синіх олівців. Навмання один за од-
ним витягують два олівці. Знайти ймовірність того, що другий олівець буде синім.
Розв’язання. Нехай подія А — «перший олівець червоний», подія В — «дру-
гий олівець синій». Зрозуміло, що коли подія А відбулася, то Р (В) = ^, а якщо
О
ні, то Р (В) = — = —, тобто ймовірність події В можна обчислити за умови, в'щбу-
о 2
лася чи ні подія А.
Таку ймовірність називають умовною і позначають РА (В) — умов-
на ймовірність події В, якщо відбулася подія А. Аналогічно Рв (А) —
умовна ймовірність події А за умови, що відбулася подія В. Визначи-
ти умовну ймовірність можна за формулою
'МВ)-'7^- (15.1)
Аналогічно
р (а)-р{ав)
Рв(А)-~Р(ву
Після введення поняття умовної ймовірності доцільно розв’язати
задачу на обчислення ймовірності деякої події В за умови, що відбу-
лася подія А, використовуючи спочатку класичне означення ймовір-
ності, а потім — формулу (15.1). Отримані однакові відповіді озна-
чають, що формулу (15.1) можна прийняти за означення умовної
519
ймовірності або довести за класичним означенням ймовірності. Роз-
глянемо це доведення.
Нехай наслідками деякого випробування є п елементарних подій.
З них події А сприяє І наслідків, із яких г — це наслідки події АВ.
Знайдемо ймовірність події В за умови, що подія А відбулася. За
І г
класичним означенням ймовірності Р(А) = —, Р(АВ) - —. Якщо по-
дія А відбулася, то події В сприятимуть г елементарних подій з І. То-
ді РА (В) = у. Поділимо чисельник і знаменник дробу на п, тоді ма-
тимемо:
РА(В) =
г_п_ Р(АВ)
і І р(л)
п
Виконання формули (15.1) дало підставу для такого означення.
Означення 15.10. Умовна ймовірність події В за умови, що подія А
відбулася, за означенням дорівнює РА (В) =
Р(АВ)
Р(Л)
, де Р(А) 0.
З формули (15.1) безпосередньо випливає теорема.
Теорема 15.1- Імовірність одночасної появи двох подій (імовір-
ність добутку двох сумісних подій) дорівнює добутку ймовірності од-
нієї з них на умовну ймовірність другої, яка обчислена за припущен-
ня, що перша подія вже відбулася. Тобто
Р(ЛВ) = Р(А)Рл(В).
(15.2)
Ця теорема поширюється і на випадок одночасної появи кількох по-
дій р(а,а2 4) = Р^РА. (А2)ВЛ1Л2 (л3)....-рЛ)Л2.„.Лп і (А„).
Після введення означення незалежних подій формулюють теорему
про ймовірність добутку двох незалежних подій, яку легко дістати із
загальної теореми множення ймовірностей двох подій. Оскільки для
незалежних подій РА (В) = Р(В), то
Р(АВ) = Р(А)Р(В). (15.3)
Рівність (15.3) інколи приймають за означення двох незалежних
подій.
Означення 15.11. Дві події називають незалежними, якщо ймо-
вірність їх добутку дорівнює добутку їх імовірностей.
Після введення означень попарно незалежних подій і незалежних
у сукупності подій теорема множення ймовірностей двох незалежних
подій поширюється на ймовірність одночасної появи кількох подій,
незалежних у сукупності.
520
Теорема множення ймовірностей подій дає можливість сформулю-
вати важливу для практики розв’язування задач теорему про ймовір-
ність появи хоча б однієї з двох сумісних подій. Перш ніж формулю-
вати теорему, потрібно нагадати учням, що означає «поява хоча б од-
нієї з двох сумісних подій» (відбудеться або перша подія, або друга,
або обидві відбудуться одночасно. Інакше кажучи, якщо А і В деякі
події, то їх сума А + В визначає появу хоча б однієї з них).
Теорема 15.2. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних
подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх одно-
часної появи (їх добутку):
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ).
Теорему про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалеж-
них подій учні легко отримають із загальної теореми множення ймо-
вірностей незалежних у сукупності подій і другого наслідку з теореми
про ймовірність суми двох несумісних подій (Р (А) = 1 - Р (а)).
Вивчення всіх теорем і наслідків з них потрібно проілюструвати
розв’язуванням задач на їх застосування.
Навчальний матеріал щодо незалежних випробувань і схеми Бернул-
лі доцільно розглядати після введення відносної події А. Важливо під-
креслити, що у різних незалежних випробуваннях подія А може мати
або різні ймовірності, або одну й ту саму ймовірність. Останнє відбува-
ється, якщо незалежні повторні випробування проводяться за однієї й
тієї самої сукупності умов. Формулу Бернуллі розглядають тільки для
таких незалежних випробувань, в яких подія А має одну й ту саму ймо-
вірність. Формулу Бернуллі надають учням без доведення, проте у
зв’язку із розв’язуванням принаймні двох задач (див. задачі 1 і 2 на
с. 258, 259 підручника [387]).
Особливості розв’язування системи задач. Зрозуміло, що ви-
вчення теоретичного матеріалу слід супроводжувати розв’язуванням
відповідних задач.
Під час і після вивчення основних понять теорії ймовірностей до-
цільно запропонувати учням такі задачі.
Задача 15.30. Яке з наведених випробувань буде стохастичним експеримен-
том, а яке — ні? Відповідь пояснити.
а) охолодження води за нормального тиску до 0° С і фіксація її стану;
6) витягування однієї карти з повної колоди і фіксація зображення на ній;
в) розкручування колеса «Поле чудес» і фіксація сектора, на якому зупиня-
ється стрілка;
г) змішування сульфату натрію і хлориду барію та фіксація наявності осаду;
д) поява кульки з лототрону лото «Забава» і фіксація зображеного на ній номера;
е) змочування зрізу картоплі розчином йоду і фіксація зміни кольору поверхні
картоплі.
Відповіді: а) ні; з фізики відомо, що під час охолодження води за нор-
мального тиску до 0° С вона перетворюється на лід; б) так; наперед не можна
17 Слзпкань 3. І.
521
передбачити, яку саме карту втягнеш з колоди; в) так; г) ні; з хімії відомо, що при
змішуванні сульфату натрію і хлориду барію завжди випадає осад; д) так; е) ні.
Задача 15.31. Гральний кубик підкидають один раз. Зазначити всі наслідки
випробування, якщо нас цікавить:
а) число, що випало на верхній грані кубика;
б) парність числа, що випало на верхній грані кубика;
в) складеиість числа, що випало на верхній грані кубика;
г) кратність числа, що випало на верхній Ірані кубика;
д) поява на верхній грані кубика числа, не більшого за 4;
е) поява на верхній грані кубика числа, не меншого за 1.
Відповіді. Наслідки випробування запишемо у вигляді множини:
а) (1, 2, 3, 4, 5, 6}; б) {парне, непарне}; в) {1, {2, 3, 5}, {4, 6}} або {1, просте,
складене}; г) {{3, 6}, {1, 2, 4, 5}} або {ділиться на 3, не ділиться на 3}; д) {{1, 2, 3, 4},
{5, 6}} або {рівне або менше за 4, більше за 4}; е) {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Задача 15.32. На 10 жетонах вибито числа від 1 до 10. Навмання виймають
один жетон. В яких відповідях зазначені всі можливі наслідки випробування?
а) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
б) {парне; непарне};
в) {просте; 4, 6, 8, 9, 10};
г) {парне; 1, 3, 5};
д) {кратне 3; не ділиться на 3};
е) {не більше за 3; не менше за 4}.
Відповіді: а) так; б) так; в) ні, не враховано наслідок «витягнуто число 1»;
г) пі; не враховано наслідки «витягнуто число 7» і «витягнуто число 9»; д) так;
е) так.
Задача 15.33. Указати кількість наслідків такого експерименту:
а) з мішечка для гри в лото виймають одну бочечку з номером;
б) навмання витягують одну кісточку доміно з повного набору;
в) з нового відривного календаря на 2004 рік навмання виривають листок;
г) картки з написаними на них буквами II, О, Д, І, Я перемінують, навмання
розкладають у ряд і фіксують слово, що утворилося;
д) з ЗО учнів класу навмання обирають чотирьох для чергування в їдальні;
е) з 10 карток, на яких записано цифри, навмання одна за одною виймають
три картки і фіксують отримане число;
є) картки з написаними па них буквами Е, Л, Е, М, Е, Н, Т перемішують, нав-
мання розкладають у ряд і фіксують слово, що утворилося.
Відповіді: а) 90; б) 28; в) 365; г) А = 5! = 120; д) С± = -;Ж, = 27 405;
° 4!26!
е) Лро = 10-9-8 = 720; є) = 4 5• 6 7 = 840.
Зауваження. Під час розв'язування завдань г)—е) виникає потреба повто-
рити основні комбінаторні сполуки і формули для обчислення їх кількості.
Розв’язуючи завдання є), можна зробити такі пояснення: сім букв можна у пев-
ному порядку розкласти в ряд 7! способами, але при цьому однакових варіантів
розміщення букв буде стільки, скільки разів три букви Е можна поміняти місія-
ми, тобто 3! варіантів.
Задача 15.34. Які з подій є випадковими, вірогідними, неможливими:
а) випадання на верхній грані грального кубика числа більшого за 6;
6) випадання на верхній грані грального кубика числа не більшого за 6;
в) випадання на верхніх гранях двох гральних кубиків у сумі 13 очок;
г) навмання вирваний листок із нового календаря містить число, не більше за 31;
д) влучення або промах при одному пострілі;
522
е) виграш за одним білетом лотереї;
є) витягування з коробки кольорової кулі, якщо в ній є 3 синіх і 5 червоних
куль;
ж) витягування з коробки жовтої кулі, якщо в ній є 3 синіх і 5 червоних
куль?
Відповіді. Події, описані в пунктах а), в), ж) — неможливі; б), г), д),
є) — вірогідні; е) випадкова.
Під час розв’язування задач на обчислення ймовірності події за класичним
означенням буде доцільним спочатку запропонувати задачі на визначення загаль-
ної кількості наслідків деякого випробування та кількості наслідків цього випро-
бування, які сприяють появі події, що розглядається.
Задача 15.35. Зазначити загальну кількість елементарних подій випробу-
вання та кількість елементарних подій, які сприяють тому, щоб деяка подія від-
булася:
а) випробування — вибір довільного натурального двоцифрового числа; подія
А — «навмання взяте натуральне двоцифрове число ділиться на 5»;
б) випробування — підкидання грального кубика; подія В — «поява на верх-
ній грані грального кубика не менше ніж 5 очок»;
в) випробування — вибір довільної букви з розрізної абетки; подія С — «нав-
мання взятою буквою означається один голосний звук»;
г) випробування — витягування довільної карти з гральної колоди; подія О —
«навмання витягнута карта містить зображення людини»;
д) випробування — підкидання монети двічі; подія Е — «хоча б один раз ви-
пало зображення герба»;
е) випробування — перемішування карток з цифрами 1, 2, 3, 4, 5 і розкла-
дання їх у ряд; подія А — «утворилося парне число»; подія В — «утворилося
число, кратне 5»; подія С — «утворилося число, кратне 3»; подія О — «утвори-
лося число, кратне 9»;
є) випробування — з карток з цифрами 1, 2, 3, 4, 5 навмання вибирають три і
розкладають у ряд; подія А — «утворилося непарне число»; подія В — «утвори-
лося число, кратне 5»; подія С — «утворилося число, кратне 3»; подія /9 —
«утворилося число, кратне 9».
ж) у класі навчаються 17 дівчат і 13 юнаків; випробування — на чергування у
їдальні навмання вибирають чотирьох учнів; подія А — чергуватимуть тільки
юнаки; подія В — чергуватимуть тільки дівчата; подія С — чергуватимуть два
юнаки та дві дівчини; подія Г) — чергуватимуть не більше ніж дві дівчини.
Відповіді: а) 90 і 18; б) 6 і 2; в) 33 і 6 (це букви а, о, у, и, і, е); г) мож-
ливі такі випадки: 36 і 12, або 52 і 12, або 54 і 14 (це залежить від того, яку ко-
лоду використовують і чи має вона джокер); д) 4 і 3; е) усього Р5 = 5! = 120 еле-
ментарних подій. Події А сприяє поява числа, яке закінчується парною цифрою.
Таких чисел можна утворити 2 • Р4 = 2 • 4! = 48. Отже, події А сприяє 48 елемен-
тарних подій. Події В сприяє поява числа, яке закінчується цифрою 5. Таких
чисел можна утворити Р4 =4! = 24. Отже, події В сприяє 24 елементарні події.
Полії С сприяє поява числа, сума цифр якого ділиться на 3. Очевидно, Що
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, тобто будь-яке утворене число буде кратне 3. Отже, події С
сприяють усі елементарні події цього випробування. Події Г) сприяє поява числа,
сума цифр якого ділиться на 9. Очевидно, іцо жодне утворене число не буде крат-
не 9. Отже, для події О кількість елементарних подій, що їй сприяють, дорівнює 0;
є) усього /І5 = 5 • 4 • 3 = 60 елементарних подій. Події А сприяє поява числа, яке
523
закінчується непарною цифрою. Таких чисел можна утворити 3 • Л2 = 3 4 • 3 = 36.
Отже, події А сприяє 36 елементарних подій. Події В сприяє поява числа, яке
закінчується цифрою 5. Таких чисел можна утворити Лд = 4 3 = 12. Отже, події
В сприяє 12 елементарних подій. Події С сприяє поява числа, сума цифр якого
ділиться на 3. Із заданих цифр виберемо такі всі трійки, сума яких ділить на 3: 1,
2, 3, або 1, 3, 5, або 2, 3, 4, або 3, 4, 5. З кожної такої трійки цифр можна утво-
рити 1°3=3! = 6 чисел; усього чисел, які діляться на 3, буде 4 7^ = 4 -6 = 24.
Отже, події С сприяє 24 елементарні події. Події О сприяє поява числа, сума
цифр якого ділиться на 9. Для утворення таких чисел можна використати трійки
цифр 1, 3, 5 або 2, 3, 4. Отже, для події О кількість елементарних подій, що їй
сприяють, дорівнює 2 • Р3 = 2 • 6 = 12; ж) усього С30 = = 27 405 елементар-
них подій. Оскільки юнаків — 13 і чотирьох із них можна вибрати С{з способа-
4 13’
ми, то події А сприяє С]3 = 4* = 715 елементарних подій. Оскільки дівчат —
17 і чотирьох із них можна вибрати С*7 способами, то події В сприяє
= д/7з, - 2380 елементарних подій. Двох юнаків із 13 можна вибрати С23
способами, двох дівчат із 17 — С27 способами. Використовуючи комбінаторне прави-
ло множення, отримаємо С23 С27 варіантів вибору двох юнаків і двох дівчат для
2 2 13’ 17’
чергування. Отже, події С сприяє С13 -С17 = у = 10 608 елементарних
подій. Для того щоб відбулася подія £>, у групі чергових може не бути дівчат зовсім,
або бути одна дівчина, або бути дві дівчини. Тобто події 7) сприяє С^3 + 17 -С^3 +
+ С23С27 = 715 + 17 + Ю 008 = 16 185 елементарних подій.
Результати розв’язування задачі 15.35 можна використати для об-
числення ймовірностей зазначених у ній подій за класичним означен-
ням. Потім розв’язати запропоновані далі задачі (зокрема, задачі
15.36—15.39 можна розв’язувати усно). Під час розв’язування задач
на обчислення ймовірності події за класичним означенням можна на-
дати учням таке правило-орієнтир:
1) визначити, про яке випробування йдеться у задачі;
2) чітко сформулювати подію, ймовірність якої потрібно обчисли-
ти і позначити її (Л);
3) обчислити загальну кількість рівноможливих наслідків (и) цьо-
го випробування;
4) обчислити кількість наслідків (иг), які сприяють розглядуваній
події;
5) обчислити ймовірність події за формулою Р(Л) = ^.
Задача 15.36. У колекції нумізмата зібрано 200 монет, серед яких 25 монет
XIX ст. Яка ймовірність того, що навмання вибрана монета датована XIX ст.?
Відповідь, і
О
524
Задача 15.37. На донорський пункт прийшли 12 осіб, із яких 5 мають першу
групу крові, 3 — другу, а інші — третю. Яка ймовірність того, що перша людина,
яка здала кров, має третю групу крові?
Відповідь. у
Задача 15.38. Куб, усі грані якого пофарбовані, розпилено па 27 кубиків. Визве
чити ймовірність того, що вийнятий навмання кубик має дві пофарбовані грані.
Відповідь.
Задача 15.39. У кишені є монети номіналом 5 і 50 коп. (на дотик не відрізни-
ти). Монет по 5 коп. удвічі більше, ніж монет по 50 коп. Яка ймовірність того,
що навмання витягнута монета буде номіналом у 50 коп.?
Відповідь.
Задача 15.40. З цифр 0, 1, 2, 3, 4 складають трицифрові числа, цифри яких
не повторюються. Яка ймовірність того, що навмання взяте число:
а) дорівнює 241;
б) буде кратним 5;
в) буде парним;
г) буде непарним?
Розв'язанпя. Оскільки першою цифрою числа не може бути цифра 0, то всьо-
го трицифрових чисел можна утворити 4-4-3 = 48. Тому всіх елементарних по-
дій буде 48. Тоді
а) появі числа 241 сприяє тільки одна елементарна подія. Отже, р
48
б) із утворених чисел кратними 5 будуть ті, що закінчуються цифрою 0. Таких
чисел 12, тому події «число кратне 5» сприяє 12 елементарних подій. Отже,
_ 12 _ 1.
Р 48 4’
в) із утворених чисел парними будуть ті, що закінчуються цифрами 0, 2 або 4.
Чисел, які закінчуються цифрою 0, є 12; цифрою 2 або 4 — по 9. Тоді події «чис-
ло парне» сприяє 12 + 9 + 9 = 30 елементарних подій. Отже, р = — = -|;
г) оскільки всі утворені числа є парними або непарними, то непарних чисел
буде 48 - ЗО = 18, тому події «число непарне» сприяє 18 елементарних подій. От-
18 З
ЖЄ’ Р=48 = 8-
Задача 15.41. У класі 16 юнаків і 14 дівчат. Для прибирання актової зали до
святкового вечора потрібно відправити шість учнів. Учнів вибирають навмання за
номером у журнальному списку. Чому дорівнює ймовірність того, що залу будуть
прибирати:
а) тільки юнаки;
б) тільки дівчата;
в) дві дівчини й чотири юнаки;
г) три дівчини і три юнаки?
Розв’язання. Усього шість учнів із ЗО можна вибрати С§(- способами, тому
всього є С30 елементарних подій. Розмірковуючи далі, матимемо:
а) шість юнаків із 16 можна вибрати Ср6 способами. Тому події А «прпбира-
тимуть тільки юнаки» сприяє С®й елементарних подій; Р(А) = —1Д-;
СЗО
525
6) шість дівчат із 14 можна вибрати С]64 способами. Тому події В «прибира-
тимуть тільки дівчата» сприяє С14 елементарних подій; Р(В) = —
с30
в) дві дівчини із 14 можна вибрати С\д способами, чотирьох хлопців із 16
можна вибрати С46 способами. Використовуючи комбінаторне правило множення,
отримаємо, що всього варіантів утворити групу з двох дівчат і чотирьох юнаків
С]4 -С16. Тому події С «прибиратимуть дві дівчини й чотири юнаки» сприяють
С2 С4
С24-С46 елементарних подій; Р(С) = - 14 16~;
сзо
г) міркуючи аналогічно розв’язуванню завдання в), визначимо, що події О
«прибиратимуть три дівчини і три юнаки» сприяють Ср4-С^ елементарних по-
дій; Р(В)= П 16.
С30
Після введення статистичної частоти, статистичного та геометрич-
ного означень імовірності доцільно запропонувати учням розв’язати
такі задачі.
Задача 15.42. У результаті 20 підкидань грального кубика отримали таку по-
слідовність випадань чисел: 6, 4, З, 3, 2, 6, 5, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 5, 3, 6, 6, 1, 4, 4.
Знайти абсолюти}' і статистичну частоту появи:
а) кожного числа;
б) парного числа;
в) непарного числа;
г) числа не більшого за 3; більшого за 3;
д) числа не більшого за 6;
е) числа, кратного 7.
Розв'язання. Для зручності складемо таку таблицю (її називають частотною
таблицею):
Число 1 2 3 4 5 6
Кількість випадань 3 3 4 4 2 4
Тоді матимемо:
= Ї0’ Рк^ = Й=5;
б) для знаходження статистичної частоти появи парного числа можна дода-
ти абсолютні частоти випадання чисел 2, 4 і 6. Тоді {або 2, або 4, або 6} =
„ 3 + 4 + 4 = 11
20 20'
З іншого боку очевидно, що статистичну частоту появи парного числа можна
обчислити, додавши статистичні частоти появи відповідно чисел 2, 4 і 6. Тоді
Рд; {або 2, або 4, або 6} = Рд, {2} + Ри {4} + Рд, {6} = | |
/І) З З /І)
526
в) якщо парні числа випадали 11 разів, то непарні 20-11 = 9 разів. Отже,
Рд, {або 1, або 3, або 5} =
г) Рд, {а < 3} = Р^ {« > 3} = = у, де а - число, що випало;
д) число, не більше за 6, випадає в кожному випробуванні. Отже, Рд, {а < 6} =
= 20 = ..
20 ’
е) число, кратне 7, жодного разу не може випасти. Абсолютна частота такої
події дорівнює 0. Отже, Рд, {а:7} = ~ = 0.
Задача 15.43. Відомості про кількість учнів у 30 класах школи такі:
28 зо 26 32 28 31
26 32 32 28 26 30
32 ЗО 28 28 ЗО 31
32 26 26 28 30 32
31 31 ЗО 28 26 ЗО
Знайти статистичну частоту, що у навмання вибраному класі навчається:
а) 30 учпів; б) менше за ЗО учнів;
в) більше за 30 учнів; г) не менше за ЗО учнів;
д) не більше за 32 учні; е) не менше за 26 учпів;
є) більше за 32 учні.
Разе’язання. Складемо таблицю:
Кількість учнів у класі 26 28 ЗО 31 32
Кількість класів 6 7 7 4 6
Нехай п — кількість учнів у класі. Тоді матимемо:
а) Рд,{я = 30} = ^;
в)РИ«>30}^ = |;
д) Рд,{«<30} = || = 1;
є) Рд,{н>32} = А = о.
б) Р„{й<30} = 1|;
г)Р„{н>30} = -|£;
е)РдДи>26} = || = 1;
Задача 15.44. Взяти довільний уривок тексту, що містить 200 букв. Знайти
статистичну частоту появи:
а) букви к; б) букви и; в) букви л; г) букви о.
Задача 15.45. Статистична частота деякої події при проведенні 100 випробу-
вань дорівнює 0,3. Чи можна стверджувати, що після проведення 300 таких самих
випробувань ця подія відбудеться 90 разів?
Відповідь. Не можна.
Задача 15.46. Статистична ймовірність влучення в ціль при здійсненні 50 по-
стрілів дорівнює 0,8. Скільки відбулося влучень?
Розв’язання. Оскільки Рд,{Л} =—, де п — кількість пострілів; т — кіль-
кість влучень, то т = п Р^ {А}. Отже, т = 50 0,8 = 40.
527
Задача 15.47. Скільки разів підкинули монету, якщо герб випав 78 разів і
статистична ймовірність такої події при цьому дорівнювала 0,52?
Відповідь. 150.
Задача 15.48. Для пошиття партії шкільних піджаків замовлено 2400 метале-
вих ґудзиків. Під час перевірки партії з 500 ґудзиків було виявлено шість брако-
ваних. Яку найменшу кількість запасних ґудзиків потрібно додати до замовлення,
щоб виключити брак?
Відповідь. 29 (оскільки статистична частота появи браку дорівнює
то із 2400 ґудзиків може бути приблизно 2400бракованих, що мен-
А і не більшій за 6 см від середини відрізка?
А М N О В
ше за 29).
Задача 15.49. На відрізку АВ завдовжки 20 см навмання позначають точку С.
Яка ймовірність того, що вона розміщена на відстані не більшій за 8 см від точки
Розв’язання. Виконаємо гра-
фічну ілюстрацію до задачі
(рис. 15.4).
З умови задачі випливає, що
точка С має міститися на відрізку
МВ7 завдовжки 4 см. Тоді р =
= _4_ = 1
20 5’
Задача 15.50. Із двох дійсних чисел, сума квадратів яких не більша за 100,
навмання вибирають два числа. Яка ймовірність того, що сума квадратів цих чи-
сел буде не меншою за 49?
Розв’язання. Нехай х та у — задані числа, що задовольняють нерівність
2 2
х + у < 100. Подія А полягає у тому, що взяті навмання два числа задовольни-
2 2
тимуть нерівність х + у > 49, тобто події А сприятимуть усі пари чисел, які є
розв’язками системи:
6 см
20 см
Рис. 15.4
х* 2 * * * б + у2 < 100;
х2 + у2 > 49.
Зобразимо ці розв'язки у системі координат (рис. 15.5).
Отже, події А сприяють усі точки заштрихованого на рисунку кільця. Для об-
числення ймовірності події А потрібно знайти відношення площі кільця до площі
більшого круга: Р (А ) = — = 0,51.
100 л
Задача 15.51. У лінійному рівнянні ах = Ь параметр дє[0;8], параметр
б є [0; 10]. Яка ймовірність того, що під час випадкового вибору параметрів ко-
рінь рівняння буде не менший за 1 ?
Розв’язання. Корінь х > 1, якщо Ь>а. Зробимо графічну ілюстрацію до за-
дачі. Для цього розглянемо систему координат аОЬ (рис. 15.6).
Усі значення а і Ь вибирають із прямокутника ОАСВ. Значення а і Ь, що за-
довольняють умову (1>а, вибирають із чотирикутника ООСВ. Тоді Р(х>1) =
= <?°СВ • $олсв = 8 10 = 80; 5ОГ)СВ = 2-+1(-48.
^олсв 2
Отже. Р(іг,).|.-|.
528
Задача 15.52. Двоє приятелів домовилися зустрітися між 12 і 13 годинами по-
близу входу в університет. Той, хто приходить першим, чекає на другого упро-
довж 15 хвилин, після чого йде у своїх справах. Чому дорівнює ймовірність зу-
стрічі приятелів?
7
Відповідь. —.
1о
На особливу увагу заслуговують задачі, в процесі розв’язування яких
використовуються і теорема додавання, і теорема множення. Перш ніж
безпосередньо розв’язувати такі задачі, з учнями потрібно відпрацювати
вміння подавати подію, ймовірність якої обчислюють і яка не є елемен-
тарною, у вигляді суми або добутку (суми і добутку) інших подій, або
визначати подію, протилежну заданій. Також слід навчити учнів розріз-
няти сумісні, несумісні та незалежні події. Ці уміння набуваються в про-
цесі розв’язування таких задач.
Задача 15.53. З коробки, в якій є олівці червоного, чорного і синього кольо-
рів, навмання виймають один олівець. Події А^, А2 і А% відповідно означають
появу червоного, чорного і синього олівців. Що означає подія:
а) А] + А2і 6) Аі + 3^; в) /І2 + А^ ?
В і д п о в і д ь: а) вийнято червоний або чорний олівець; б) вийнято червоний
або синій олівець; в) вийнято чорний або синій олівець.
Задача 15.54. З коробки, в якій є олівці червоного, чорного і синього кольо-
рів, навмання витягують один за одним два олівці. Події відповідно означають
появу червоного, чорного і синього олівців. Що означає подія:
а) А\ • А2, б) А^ 3^; в) /І2 ' Зд ?
Відповідь: а) вийнято червоний і чорний олівці; б) вийнято червоний і
синій олівці; в) вийнято чорний і синій олівці.
Задача 15.55. Стрілець виконує два постріли по мішені. Події відповідно
означають влучення під час першого і другого пострілів. Записати формулою по-
дію, яка полягає в тому, що:
а) у мішень влучено два рази; б) у мішень влучено.
Розв’язання: а) подія «у мішень влучено два рази» означає, що одночасно від-
булися подія АІ і подія Л2, тобто виконується добуток подій А1 А2;
529
б) подія «у мішень влучено» означає, що відбулася подія Ар або подія А2,
або обидві пі події. Тобто справджується сума подій А, + А2.
Задача 15.56. Які пари подій несумісні:
а) навмання вибране натуральне число від 1 до 100 включно ділиться на 10;
ділиться на 11;
б) виграш у лотерею за першим білетом; за другим білетом;
в) виграш; програш у шаховій партії;
г) навмання вибране натуральне число від 1 до 25 включно є парним; кратним З?
Відповідь. Несумісні події не можуть відбутися одночасно. Отже, події
а) і в) несумісні; події б) і г) сумісні.
Задача 15.57. Подія А означає появу шести очок на верхній грані грального
кубика. Що означає подія А ?
Відповідь. А — це подія, протилежна події А. Подію А можна описати
по-різному: не випало 6 очок; випало 1, 2, 3, 4, 5 очок.
Задача 15.58. Подія А полягає в тому, що хоча б одна з наявних 15 електрич-
них лампочок нестандартна. Що означає подія А ?
Відповідь. Усі лампочки — стандартні.
Задача 15.59. Які пари подій протилежні:
а) контрольна з математики написана на 11 балів; контрольна з математики
написана на 8 балів;
б) хоча 6 одна куля під час двох пострілів влучила у ціль; жодна з двох куль
під час двох пострілів не влучила у піль?
Відповідь. Події у пункті б.
Задача 15.60. Нехай подія А, — це виграш у лото «Забава», Л2 — виграш у
«Бінго бум лото». Що означають події:
а) В = А|А2 + А|А2; 6) С = А3А2 + А3А2 + А^А2 ?
Відповідь: а) отримано виграш тільки в одній з лотерей; б) отримано ви-
граш хоча б в одній з лотерей або, інакше, виграш отримано.
Задача 15.61. Із учнів 11 класу, які складають екзамен з математики, навман-
ня вибирають одного. Нехай подія А полягає в тому, що вибраному учню вже
виповнилося 17 років, подія В — вибраний учепь відмінно навчається, С — виб-
раний учень є дівчиною. Описати іюдію^
а) АВС-, б) АВС; в) АВС; г) АВС.
Відповідь: а) вибрано 17-річпу дівчину, яка відмінно навчається; б) виб-
рано дівчину, яка відмінно навчається і якій ще немає 17 років; в) вибрано 17 річ-
ного юнака, який відмінно навчається; г) вибрано дівчину, яка не є відмінницею і
якій ще немає 17 років.
Задача 15.62. Робітник виготовив три деталі. Події Ар А2 і А3 відповідно
означають наявність дефекту в першої, другої та третьої деталей. Записати подію,
яка полягає в тому, що:
а) жодна з деталей не має дефекту;
б) тільки одна деталь має дефект;
в) тільки дві деталі мають дефект;
г) хоча б одна деталь має дефект;
д) не більше ніж дві_деталі мають дефект.
Відповідь: а) А] А2 - А3, б) А| - А2 - А3 + А| * А2 • А3 • А2 А3; в) А^ А2 х
х А3 + А( А2 - А3 + А| А2 А3; г) А| А2 А3 + А^ А2 А3 + А] А2 - А3 + А| • А2 • А3 т
+А] • А‘2 А3 + А^ А2 - А3 + А| А2 • А3, або А| + А2 + А3, або А| А2 А3; д) А| - А2 х
х А3 + А| А2 А3 + А) А2 А3 + А] А2 • А3 + А, • А2 • А3 + А( А2 А3 + А{ А2 • А3.
530
Розв’язування задач на застосування теорем додавання і множення
слід розпочинати з простіших задач на обчислення ймовірності подій,
що є результатом додавання або множення двох інших подій. Для
розв’язування таких задач стане у нагоді схема-підказка:
Задача 15.63. Екзаменаційні роботи з математики абітурієнтів фізико-мате-
матичного факультету шифрують, тобто кожній надають номер. Обчислити ймо-
вірність того, що помер навмання взятої для контрольної перевірки роботи крас-
ний 10 або 11, якщо:
а) роботи зашифровано числами від 1 до 90 включно;
б) роботи зашифровано числами від 1 до 150 включно.
Розв’язання. Нехай подія А — «номер роботи кратний 10», подія В — «помер
роботи кратний 11». Тоді подія С — «номер роботи кратний 10 або 11» — є су-
мою подій А і В.
п о
а) Р(Л) = Р(В) = ~. Події А і В несумісні, оскільки серед чисел від
1 до 90 немає такого, що одночасно кратне 10 і 11. Отже,
Р(С)=Р(Л + В) = Р(4) + Р(В) = ^ + А = 1і;
15 13
б) = Події А і В сумісні, («кільки серед чисел від
1 до 150 є число 110, що одночасно кратне 10 і 11, і Р(АВ) = Отже,
Р(С) = Р(А + В) = Р(А)+ Р(В)~ Р(АВ) =
15 ДЗ____1 _ 27 _ 9
150 150 150 150 50'
Задача 15.64. У двох коробках лежать однакові па дотик, але різні за кольо-
ром олівці. У першій коробці є чотири червоних та шість синіх, в другій — три
червоних, п’ять синіх і два зелених олівця. З кожної коробки навмання виймають
но одному олівцю. Яка ймовірність того, що обидва олівці будуть синіми?
Розв’язання. Нехай подія А — «з першої коробки вийнято синій олівець», по-
дія В — «з другої коробки вийнято синій олівець». Тоді подія С — «обидва витяг-
нуті олівці сипі» є добутком подій А і В. Р(Л) = А = 0,6, Р(В) = -^- = 0,5.
531
Події А і В незалежні, оскільки витягування олівця певного кольору з першої
коробки не впливає на те, якого кольору олівець буде витягнуто з другої коробки.
Отже,
Р(С)= Р(АВ) = Р(А)-Р(В) = 0,6 -0,5 = 0,3.
Задача 15.65. Із 20 деталей є п’ять бракованих. Навмання одну за одною бе-
руть дві деталі. Яка ймовірність того, іцо обидві деталі будуть бракованими?
Разе’ язання. Нехай подія А — «перша витягнута деталь бракована», подія В —
«друга витягнута деталь бракована». Тоді подія С — «обидві витягнуті деталі
браковані» — є добутком подій А і В,
Імовірність події В умовна.
Якщо подія А відбулася, то Рл (В) - —. Отже,
р(С) = р(лв) = р(а)рл(в) = 1.А = ±.
Зауваження. Цю задачу можна спочатку запропонувати учням розв’язати за
допомогою класичного означення імовірності. Міркування будуть такими: витягу-
вання двох деталей одна за одною можна розглядати як одночасне витягування
двох деталей (наприклад, одну деталь правою, а другу лівою руками). Дві деталі
з 20 можна вибрати С^о - 190 способами. Дві браковані деталі з 5 можна вибрати
С| = 10 способами, тобто події С — «обидві витягнуті деталі браковані» — з усіх
190 наслідків випробування сприяє 10. Отже, Р (С ) = .
190 19
Задача 15.66. Нехай Р(А) - і Р(В) = Чи сумісні події А та В?
Розв’язання. Припустимо, що ці події несумісні. Тоді
Р(Л + В) = Р(Л) + Р(В) = | +1 = |>1,
чоіо бути не може. Отже, припущення неправильне і події сумісні.
Задача 15.67. Нехай Р(ЛВ) = |, Р(Л) = |, Р(В) = |. Знайти Р(Л+В).
Розв’язання. Р(А ) = 1 - Р(л) = 1 Оскільки Р(ДВ)*0, то події А і
В сумісні, і
Р(Л +В) = Р(Л)+Р(В)-Р(ЛВ) =
= 2 1 1= 11
З 2 4 12'
Задача 15.68. Консервний завод відправляє продукцію у скляних банках до
магазинів міста спочатку залізницею, а потім — автотранспортом. Імовірність
того, що банки розіб’ються під час перевезення залізницею, дорівнює 0,002, авто-
транспортом — у 5 разів більша. Якими можуть буги втрати під час перевезення,
якщо завод відвантажив продукції па 60 000 грн?
Розв’язання. Нехай подія А — «банка розбилася під час перевезення залізни-
цею», Р(А) = 0,002; подія В — «банка розбилася під час перевезення авто
транспортом», Р(В) = 5 • 0,002 = 0,01. Втрати будуть, якщо відбувається подія С —
532
«хоча б одна з банок розбилася». Обчислимо ймовіршсть_події С. Для цього роз-
глянемо подію С — «жодна з банок не розбилася», С = АВ. Тоді
р(С)=і-р[с)=і~р[ав)= і-р(а)р(в) =
= 1 - (1 - Р(Л))(1 - Р(В)) = 1 - 0,998-0,99 = 0,01198.
Отже, ймовірність втрат дорівнює 0,01198, а самі втрати можуть становити
60 000-0,01198 = 718,8 грн.
Задача 15.69. До офісів двох фірм кур’єрською поштою відправлено кореспон-
денцію. Імовірність своєчасної доставки кореспонденції до одного офісу дорівнює
0,9, до іншого — 0,8. Яка ймовірність того, що кореспонденцію:
а) отримають вчасно обидва офіси;
б) отримає вчасно тільки один офіс;
в) отримає вчасно хоча б один офіс?
Розв’язання. Нехай подія А — «вчасна доставка кореспонденції до першого
офісу», Р(Л) = 0,9; подіяВ — «вчасна доставка кореспонденції до другого офі-
су», В (В) = 0,8. Розмірковуючи далі, матимемо:
а) нехай подія С — «кореспонденцію отримають вчасно обидва офіси». Тоді
С = АВ. Події А та В незалежні. Отже,
Р(С) = Р(ЛВ) = Р(Л)-Р(В) = 0,9-0,8 = 0,72;
б) нехай подія £) — «кореспонденцію отримає вчасно тільки один офіс». По-
дія О означає, що або перший офіс отримав вчасно кореспонденцію, а другий —
ні, або другий офіс отримав вчасно кореспонденцію, а перший — ні. Тобто
£> = ЛВ + ЛВ. Тоді
Р(£») = Р(ЛВ+ЛВ) = Р(ЛВ)+Р(ЛВ)=Р(Л)Р(В)+Р(Л)-Р(В) =
= 0,9 (1 - 0,8) + (1 - 0,9) 0,8 = 0,9 0,2 + 0,1 0,8 = 0,2;
в) нехай подія Р — «кореспонденцію отримає вчасно хоча б один офіс». Мож-
на запропонувати три способи розв’язування.
1. Подія Р означає, що або перший офіс отримав вчасно кореспонденцію, а
другий — ні, або другий офіс отримав вчасно кореспонденцію, а перший — ні,
або обидва офіси отримали кореспонденцію вчасно; Р = АВ + АВ + АВ. Тоді
р(р) = р(ав + ав + ав) = р(ав)+р(ав)+р(ав) =
= Р(Л)-Р(В)+Р(Л)-Р(В) + Р(Л)-Р(В) =
= 0,9(1-0,8) +(1-0,9)0,8+0,9 0,8 =
= 0,9 0,2 + 0,1-0,8 + 0,72 = 0,98.
2. Подія Р означає, що або перший офіс отримав вчасно кореспонденцію, або
другий офіс отримав вчасно кореспонденцію, або обидва офіси отримали кореспон-
денцію вчасно. Р = А + В. Події А та В — сумісні та незалежні. Отже,
Р(Р) = Р(Л + В)= Р(Л) + Р(В)-Р(ЛВ) =
= 0,9 + 0,8 - 0,72 = 1,7 - 0,72 = 0,98.
3. Протилежна події Р подія Р — «жоден з офісів не отримав вчасно корес-
понденцію»; Р = АВ.
533
Отже,
Р(/7) = 1-Р(г) = 1-Р(4В) = 1-0,1-0,2 = 1-0,02 = 0,98.
Задача 15.70. Контрольна робота складається з трьох задач з алгебри і трьох — з
геометрії. Імовірність правильно розв’язати задачу з алгебри дорівнює 0,8; з гео-
метрії — 0,6. Яка ймовірність правильно розв’язати:
а) усі задачі;
6) усі три задачі хоча б з одного предмета;
в) хоча б одну задачу?
Відповідь: а) 0,110592; 6) 0,145088; в) 0,999488.
На застосування формули Бернуллі можна запропонувати такі задачі.
Задача 15.71. У біатлоніста є шість патронів. На вогневому рубежі він має
влучити у чотири круги. Яка імовірність того, що завдання буде викопано, якщо
ймовірність влучення для кожного пострілу дорівнює 0.7?
Розв’язання. Нехай подія А — «влучення у круг». Умову задачі можна пере
фразувати так: «Знайти ймовірність того, що в шести незалежних випробуваннях
подія А відбудеться 4 рази, якщо в кожному випробуванні її ймовірність р - 0,7».
Тоді за формулою Бернуллі
Р4 6 =Сє (0,7)4 (1-0,7)2 =0,324135.
Задача 15.72. Численними перевірками виявлено, що 75 % продукції, яка ви-
пускається деяким підприємством, вищого ґатунку. Яка ймовірність того, що з
шести взятих навмання виробів два не будуть вищого ґатунку?
— 1 ? 1 ч
Відповідь,
Задача 15.73. Виконують п’ять незалежних пострілів у ціль. Імовірність влу-
2
З
чення для кожного пострілу дорівнює
Яка ймовірність того, що буде не менше
ніж три влучення?
Розв’язання. Подія «Буде не менше ніж три влучення» означає, що буде 3, 4,
або всі 5 влучень:
Р5<»гз)-с|(|)‘(1)\с5*
80 80 32 г 192 = 64
243 243 243 243 81
Задача 15.74. Імовірність того, що подія А відбудеться хоча б один раз під
час проведення п'яти незалежних випробувань, дорівнює 0,99757. Яка ймовірність
події А для одного випробування?
Розв’язання. Нехай р — ймовірність події А для одного випробування.
Тоді
Р5(ш>1) = 1-Р5(ш = 0) = 1-(і-р)5 =0,99757,
звідси
р = 0,7.
Задача 15.75. Імовірність влучення у ціль для кожного пострілу дорівнює 0,8.
Скільки потрібно виконати пострілів, щоб з імовірністю 0,99 було хоча б одне
влучення?
534
Розв’язання. Нехай потрібно зробити п пострілів. Тоді
Рп (т > 1) = 1 - Рп (т = 0) = 1 - (1 - 0,8)" = 0,99,
звідси
2
1 + 182'
Задача 15.76. Яку найменшу кількість пострілів потрібно зробити, щоб з імо-
ОН
вірністю бути впевненим у влученні трьох з них у ціль, якщо ймовірність
2О
влучення для кожного пострілу дорівнює — /
Розв’язання. Нехай потрібно зробити п пострілів. За формулою Бернуллі
3-п " ІЗ/ ІЗ/ 243'
Звідси маємо рівняння
и(и - 1)(и-2) = 20 • З”-4.
Очевидно, шо найменше значення п, яке задовольняє рівняння, це 5.
Наприкінці вивчення розділу корисно дати історичну довідку про
виникнення та розвиток теорії ймовірностей як науки і внесок учених
у її становлення. Слід звернути увагу учнів на внесок у розвиток тео-
рії ймовірностей таких українських учених, як В. І. Глівенко (1897 —
1940, нар. у м. Києві), Б. В. Гніденко (1912 — 1995, тривалий час
працював у Києві, член-кореспондент АН України, останні роки жит-
тя працював у МДУ ім. М. В. Ломоносова), Є. Є. Слуцький (1880 —
1948, закінчив Київський університет, викладав політекономію та стати-
стику в Київському комерційному училищі, з 1934 р. працював у
МДУ ім. М. В. Ломоносова, з 1938 р. — у математичному інституті
ім. В. А. Стєклова), професори КДУ ім. Т. Г. Шевченка А. В. Скоро-
ход (нар. у 1930 р.), М. Й. Ядренко (1932—2004 р.).
15.3. Методика навчання вступу до статистики
У сучасному світі всі закономірності масових процесів, природних,
наукових, технологічних, соціально-економічних або психологічних,
підпорядковуються закономірностям, що мають статистичну, вірогід-
ну форму вираження. Високий ступінь пізнання й уміння враховувати
та застосовувати у своїй діяльності статистичний характер масових
процесів потрібний для успішної діяльності фахівців різних галузей
науки, наприклад медичної, біологічної, суспільних, керівників усіх
рангів, менеджерів на виробництві, державних і муніципальних дія-
чів, представників законодавчої та судової гілок влади. Звідси випли-
ває потреба загальної безперервної багаторівневої статистичної освіти
всього населення. Саме ці тенденції стали основою для введення
535
вступу до статистики, її елементів, початків теорії ймовірностей у
шкільну математичну освіту. Досягнення кожним випускником серед-
ньої школи розуміння статистичного характеру масових процесів та
їхніх законів у навколишньому світі — це основна мета вивчення
елементів статистики в школі. Саме ці знання є основою для усвідом-
лення необхідності та важливості методів статистики у будь-якій сфе-
рі діяльності. Впровадження відомостей про статистику в загальноос-
вітній школі відбулось і відбувається нині зі значними труднощами і
досить повільно. Якщо початки теорії ймовірностей у проекті нової
програми 1966 р. передбачалось вивчати в загальноосвітній школі, а
під час затвердження програми в 1968 р. цей матеріал було винесено
на факультативні заняття, то про потребу вивчення відомостей про
статистику навіть не згадувалося. І лише в останні п’ять років вступ
до статистики водночас із печатками теорії ймовірностей було вклю-
чено в проект державного освітнього стандарту і перехідну програму
з математики загальноосвітньої школи та шкіл і класів з поглибленим
вивченням математики. Навчальний матеріал зі вступу до статистики
було вперше розглянуто в підручниках з алгебри і початків аналізу
авторами М. І. Шкіль та ін. Методичні статті щодо вивчення відомос-
тей про статистику почали друкуватися в методичних журналах та
методичних посібниках для вчителів.
Чинною програмою з математики вступ до статистики передбачено
вивчати вії класі. Навчальний матеріал має такий зміст: статистика
та її методи; набір експериментальних даних, вибірка; наочне подан-
ня статистичного розподілу; точковий та інтервальний розподіл час-
тот; полігон і гістограма; мода і медіана; середні значення (середнє
арифметичне, середнє квадратичне); завдання математичної статистики.
Відповідно до шкільної програми в школі вводяться основні по-
няття описової статистики. Щодо математичної статистики, то на за-
вершення вивчення теми передбачено розгляд лише самого її поняття.
У класах з поглибленим вивченням математики елементи статисти-
ки включені до теми «Елементи прикладної математики», яку перед-
бачається розглядати з 8 по 10 класи. Зокрема, у 8 класі заплановано
вивчення способів подання статистичних даних, у результаті учні ма-
ють отримати уявлення про способи збирання і подання даних у різ-
них сферах людської діяльності та вміти подавати дані вказаним спо-
собом (у вигляді таблиць, діаграм, графіків). У 9 класі вивчають спо-
соби опрацювання даних, середнє значення, моду і медіану вибірки, учні
мають навчитися визначати окремі статистичні характеристики вибір-
ки. У 10 класі після розгляду застосування похідної до наближених
обчислень значень елементарних функцій передбачено вивчати саме
елементи статистики: предмет і метод статистики; генеральну сукуп-
ність та вибірку; частоту появи елемента у вибірці, властивості час-
тот; точковий та інтервальний розподіли частот; полігон частот і гіс-
тограму; відносну частоту як наближене значення ймовірності випад-
536
кової події; дискретну випадкову величину та розподіл її статистич-
них імовірностей; числові характеристики дискретної випадкової ве-
личини та її властивості; середнє арифметичне спостережених значень
як наближене значення математичного сподівання.
Для класів гуманітарного напряму вивчення теми «Вступ до статис-
тики» передбачено тільки у додатковій частині програми.
Метою навчання вступу до статистики в 11 класі загальноосвітньої
школи є введення поняття про статистику як науку, її методи і зав-
дання, способи подання даних і наочне представлення статистичного
розподілу, точкового та інтервального розподілу частот; розгляд полі-
гону та гістограми, моди і медіани, середніх значень.
Після завершення вивчення теми учні мають:
— отримати уявлення про статистику як науку, її предмет і мето-
ди; статистичні спостереження, їх види, статистичні таблиці; ряди
розподілу, наочне подання статистичного розподілу, моду, медіану,
середнє значення; завдання математичної статистики;
— знати означення середнього арифметичного спостережених зна-
чень;
— уміти наводити приклади різних наборів спостережених даних з
навколишнього середовища; обчислювати частоти для невеликих ви-
бірок (до ЗО значень); подавати статистичні дані у вигляді таблиць,
відповідних точкових та інтервальних розподілів частот; будувати
полігон розподілу частот.
Добираючи зміст навчального матеріалу, слід враховувати той
факт, що на сучасному етапі розвитку суспіл ьства статистика виконує
три основні функції: інформаційну, прогностичну й аналітичну.
Інформаційна функція статистики полягає в збиранні, узагальнен-
ні та поданні своєчасної і досить достовірної інформації про актуаль-
ні соціально-економічні процеси, що відбуваються у країні, про при-
родні умови та різні сторони діяльності людини.
Прогностична функція статистики полягає в оцінці ймовірності тих
чи інших значень важливих економічних, соціальних і природних
показників умов життя населення, діяльності виробництва, економіч-
них параметрів під час прогнозування умов розвитку суспільства,
техніки, економіки і науки.
Аналітична функція статистики полягає, по-перше, у кількісному
дослідженні тенденцій розвитку та зміни будь-яких масових природ-
них, економічних, соціальних, технологічних процесів; по-друге, у
вивченні варіації суспільних і наукових явищ у статиці та динаміці;
по-третє, у вимірюванні та моделюванні економіко-статистичних зв’язків
між явищами, чинниками науки і виробництва; по-четверте, у дослі-
дженні структурних процесів, що відбуваються в суспільстві.
Зміст навчання статистичного матеріалу у шкільному курсі мате-
матики має певного мірою розкривати освітні функції статистики. До-
бираючи зміст, важливо правильно визначити, які знання потрібні
537
сучасній людині в повсякденному житті та діяльності, які з них
знадобляться учням під час вивчення інших шкільних предметів, для
продовження освіти, який внесок можуть зробити ці знання у фор-
мування різних сторін інтелекту учнів, у засвоєні єдиної картини
світу.
Важливо реалізувати двосторонні міжпредметні зв’язки статисти-
ки, зокрема зв’язки інших навчальних предметів зі статистикою.
Наведемо приклади таких зв’язків. У хімії під час розв’язування
задач досить часто використовують показник середнього арифметично-
го простого і зваженого. Наприклад, вивчаючи поняття «ізотопи»,
розв’язують задачі на визначення «відносної атомної маси елементів» і
«відносної атомної маси окремого нукліда», які використовуються
для розв’язування задач на визначення молярної маси газової су-
міші.
Задача 15.77. Природний Хлор має два нукліди: 35С1 і 37СІ. Відносна атом
на маса Хлору 35,46. Визначити молярну частку кожного нукліда Хлору.
Розв’ язання. Складемо математичний вираз (рівняння, тобто модель) для ви
значення відносної атомної маси елемента Хлору, позначивши молярну частку
35СІ як х %, а молярну частку 37С1 як (100 - х) %. Тоді
„ 35х + 37(100 -х)
35’46 = ----їоо----’
ЗВІДСИ
X = 77 %.
Відповідь. Молярна частка 35С1 у природному Хлорі дорівнює 77 %, а
37СІ - 23 %.
У біології статистичні значення допомагають під час вивчення ге-
нетики, фізіології, екології. Нині жодна серйозна експериментальна
робота з біології, медицини не обходиться без статистично обґрунто-
ваного обсягу виконаних експериментів і довірчої оцінки отриманих
результатів.
Прикладами задач із біології можуть бути такі.
1. Скільки в середньому яєць має одна кладка?
2. Скільки у середньому мікроорганізмів міститься в 1 мм3 лісо-
вого ґрунту?
3. Яка середня тривалість життя населення в деякій області та як
вона зміниться згодом?
Розв’язування подібних задач зводиться до планування експеримен-
тів і спостережень, до аналізу їх результатів. Статистика є математич-
ним апаратом розв’язування таких задач. Введення елементів статис-
тики в шкільний курс математики істотно підвищує його прикладну
спрямованість. Справді, виникає можливість навіть за допомогою то-
го невеликого математичного апарату, яким оволодіють учні під час
вивчення вступу до статистики, розв’язувати задачі, що мають сусиіль-
538
ну цінність. Статистичний матеріал може ефективно використовува-
тись у навчанні учнів математичному моделюванню — найважливі-
шому виду математичної діяльності. Проте щоб принцип прикладної
спрямованості навчання не залишився звичайною декларацією, він
має реалізовуватися на всіх етапах планування та організації навчаль-
ного процесу: під час цілепокладання, вибору змісту, методів, органі-
заційних форм і засобів навчання.
Вивчення вступу до статистики, як і інших розділів математики,
має бути диференційованим. Найефективнішим способом диференціа-
ції є залучення учнів до індивідуальної та диференційованої творчої
роботи під керівництвом учителя. Труднощі такої роботи пов’язані
насамперед з пошуком тем досліджень, які б відповідали можливос-
тям учнів.
Пропедевтика вивчення елементів статистики в початковій та
основній школі. Формування статистичного мислення має починати-
ся в початковій і основній школі на наочному, інтуїтивному рівні. Учнів
слід залучати до проведення експериментів, реєстрування їх результатів
у вигляді таблиць. У цьому процесі учні мають коментувати свої дії,
пробувати охарактеризовувати отримані результати і формулювати
висновки. Експерименти можуть бути штучно створеними і такими,
що не залежать від зовнішнього контролю, наприклад, зміна темпера-
тури повітря упродовж дня в травні.
У 5 —6 класах таку роботу потрібно продовжувати. Вивчаючи у
5 класі тему «Дії другого ступеня», учні ознайомлюються з поняттям
діаграми, зокрема, вчаться зображувати та порівнювати величини за
допомогою спочатку лінійної діаграми, наприклад, порівнювати дов-
жини за допомогою відрізків відповідної довжини. Зазначається, що
коли замість відрізків нарисувати прямокутники, то отримаємо стовл-
цеву діаграму, яку в статистиці називають гістограмою.
Тут виникає реальна можливість провести невелике статистичне
дослідження та опрацювати його результати. Наприклад, напередодні
уроку учням пропонують удома дізнатися розмір свого одягу (запита-
ти у батьків).
На уроці учитель запитує в учнів (за списком у журналі) про роз-
мір їхнього одягу і записує відповіді на дошці. У результаті утворю-
ється, наприклад, така послідовність чисел:
38, 34, 34, 36, 36, 38, 36, 34, 36, 38, 40, 40, 38, 36, 36, 36, 38, 36,
36, 40, 34, 34, 34, 36, 38, 38, 36, 38, 38, 36.
За такою послідовністю можна легко визначити розмір одягу кож-
ного з учнів (наприклад, п’ятий за списком учень класу носить одяг
36 розміру, двадцятий учень — 40 розміру), але не можна визначити
загальні закономірності для всього класу в цілому. Учитель пропонує
учням підрахувати, як часто трапляється той чи інший розмір, ре-
зультати записати у таблицю і побудувати відповідну стовпцеву діаг-
раму (рис. 15.7).
539
і5 12-
110-
ч
2
8-
6-
4-
Рис. 15.7
Розмір одягу 34 36 38 40
Кількість учнів 6 12 9 3
Використовуючи таблицю
або діаграму, можна дати від-
повідь на запитання: «Скіль-
ки учнів у класі мають той чи
інший розмір одягу? Який
розмір трапляється частіше?
Рідше? Чи можна стверджу-
вати, що більшість п’ятиклас-
ників носять одяг 36 — 38 роз-
міру?»
Наступний крок — ви-
вчення кругових діаграм, які також дають можливість порівнювати
значення величин різної природи.
У 5 класі вводиться поняття й означення середнього арифметично-
го. До пропонованих підручником задач можна додати таку.
Задача 15.78. Відомості про оплату комунальних послуг, електроенергії та те-
лефону (в гри) сім’єю з трьох осіб за три місяці подано у таблиці.
Витрати Лютий Березень Квітень
Комунальні послуги 113,86 113,86 112,18
Електроенергія 31,20 23,40 15,60
Телефон 21,24 15,69 17,46
Разом 166,30 152,95 145,24
З
З
Обчислити середні витрати сім’ї на комунальні послуги, телефон, електроенер-
гію. Скільки в середньому щомісяця витрачає сім'я па оплату всіх послуг?
Розв’язання. На комунальні послуги сім’я в середньому витратила
2-113,86 + 112,18 , 21,24 + 15,69 + 17,46
-----2---------— = 113, ЗО гри; на телефон —--------= 18,13 грн; на
„ . 31,20 + 23,40 + 15,60 ... . .
електроенергію — -------------2— = 23,40 грн; середні витрати сім і на всі по-
166,30 + 152,95 + 145,24 ... со „
слуги ------------------—— = 154,83 грн. іакии результат можна отримати,
додавши знайдені середні значення з оплати комунальних послуг, телефону і елек-
троенергії: 113,30 + 18,13 + 23,40 = 154,83 грн.
Вивчаючи тему «Проценти» в 6 класі, учні ознайомлюються з по-
няттям процентного відношення, яке в статистиці трансформується в
поняття частки. Тут доцільно розв’язати задачу, в якій задано загальну
540
кількість сукупності та кількість її складових частин, а потрібно знати
процентну частку кожної складової частини.
Задача 15.79. У 6-А класі навчається 25 учнів, з них на «10», «11» і «12» вчаться
4 учні, на «7», «8», «9» — 12 учнів, на «4», «5», «6» — 7 учнів, на «З», «2» і «1» —
2 учні. У 6-Б класі — 20 учнів, з них на «10», «11» і «12» вчаться 4 учні, на «7»,
«8», «9» — 10 учнів, на «4», «5», «6» — 5 учнів, на «З», «2» і «1» — 1 учень.
Порівняйте успіхи у навчанні учнів цих двох класів, запишіть дані за допомогою таб-
лиць і побудуйте діаграму.
Розв’язання.
6 А клас
Бал 1-3 4-6 7-9 10-12
Кількість учнів 2 7 12 4
Кількість учнів, % 8 28 48 16
6 Б клас
Бал 1-3 4-6 7-9 10-12
Кількість учнів 1 5 10 4
Кількість учнів, % 5 25 50 20
Порівнюючи дані у третьому
рядку таблиць, можна зробити ви-
сновок, що учні 6-Б класу на-
вчаються краще за учнів 6-А кла-
су. Такий висновок також добре
ілюструє діаграма (рис. 15.8).
Під час вивчення додат-
них і від’ємних чисел у
6 класі можна запропону-
вати учням провести упро-
довж тижня статистичні
спостереження за темпера-
турою повітря вранці перед
Рис. 15.8
1-3 4-6 7-9 10-12
Бал
виходом до школи, знайти
середню температуру пові-
тря за тиждень (з точністю
до десятих) та відхилення температури (різницю між значенням темпе-
ратури у вказаний день та її середнім значенням). Результати занести в
таку таблицю (табл. 15.1).
Таблиця 15.1. Статистичні спостереження за температурою повітря
День тижня Температура, °С Відхилення, °С День тижня Температура, °С Відхилення, °С
Понеділок 5 2,7 П’ятниця 0 -2,3
Вівторок 6 3,7 Субота -1 -3,3
2,7 Неділя -2 -4,3
Середа 5 Середня
Четвер 3 0,7 температура 2,3
541
Методика введення поняття про статистику як науку та її мето-
ди в 11 класі. Формування перших основних понять теми. В 11 класі
можна запропонувати вчителю таке планування теми, як наведено у
табл. 15.2.
Таблиця 15.2. Приклад планування теми «Вступ до статистики»
Номер уроку Кількість годин Дата про- ведення Тема уроку Тип уроку Засоби навчання
1 1 Статистика та її методи. Основні поняття Урок засвоєння но- вих знань Схема
2 1 Статистичний роз- поділ та його наочне предста в л еиня Комбінований урок (засвоєння нових знань і формування навичок і вмінь) Таблиці, гі стої ра- мп, полі- гон
3 1 Мода і медіана. Середнє значення. Розв'язування вправ Комбінований урок (формування навичок і вмінь, повторення, систематизація та узагальнення)
4 1 Розв’язування вправ. Завдання математич- ної статистики. Само- стійна робота Комбінований урок (формування вмінь і контроль засвоєного з теми)
На першому уроці потрібно ознайомити учнів зі статистикою як
наукою, її методами. При цьому слід мати на увазі, що терміни
«статистичні дані», «статистичний звіт», «за даними статистики»
учні неодноразово чули у засобах масової інформації (преса, радіо,
телебачення). Ними користуються фахівці в повсякденному житті.
Енциклопедичний словник так тлумачить термін «статистика»: «Ста-
тистика (італ. 5ІаІиз — держава) вивчає кількісний бік суспільних
явищ і процесів у нерозривному зв’язку з їхнім якісним змістом».
Простіше кажучи, статистика — це наука, що збирає, обробляє та
вивчає різні дані, які пов’язані з масовими явищами, процесами,
подіями.
Статистику поділяють на описову та пояснювальну. Добір потріб-
ної для різних фахівців інформації — справа описової статистики. Як
приклад можна навести збір даних для медичних установ про кіль-
кість тих, хто захворів па грип у м. Києві взимку 2002 — 2003 рр.,
зокрема визначення кількості школярів, які захворіли (у різних шко-
лах міста). Описовою статистикою учні фактично займалися на з ро-
ках природознавства, коли спостерігали температуру о 9 год ранку
542
кожного дня тижня, та на уроках хімії, коли записували дані експе-
рименту під час проведення лабораторних робіт.
Якщо на основі отриманих статистичних результатів описової ста-
тистики роблять висновки, будують прогнози, приймають рішення, то
застосовують пояснювальну статистику. Наприклад, на основі описо-
вої статистики приймають рішення з приводу оголошення карантину в
школах у зв’язку з хворобою на грип.
Доцільно дати коротку історичну довідку щодо виникнення, роз-
витку і застосування статистики.
Статистика виникла з практичних потреб людей, їх господарської
діяльності, необхідності обліку земельних угідь, майна, кількості на-
селення, вивчення роду його занять, вікового складу тощо. Уже в краї-
нах Давнього світу склалися розвинені системи державного й адміні-
стративного обліку. Це відображено у священних книгах різних народів.
Наприклад, у Біблії в Четвертій книзі Мойсея «Числа» розповідається
про облік чоловічого населення, здатного носити зброю. Із часів Се-
редньовіччя залишилася унікальна пам’ятка — «Книга страшного
СУДУ». в якій подано зведення даних перепису населення Англії та його
майна. Поступово збирання відомостей про масові суспільні явища на-
було регулярного характеру.
З розвитком теорії ймовірностей удосконалювалися методи статис-
тичного аналізу та розширювалися межі їх застосування. У XX ст.
статистичні методи було запроваджено майже в усі галузі знань.
Статистику використовують під час вивчення народонаселення,
життєвого рівня різних груп населення у країнах, громадської дум-
ки з приводу оцінки подій і явищ у суспільстві, в біології, меди-
цині, агротехніці, в оцінюванні підприємницьких і фінансових ри-
зиків, у маркетингу, страхуванні тощо. У XVII ст. людей, які зай-
малися збиранням даних із суспільного життя, називали «політич-
ними арифметиками», одним із представників яких був В. Петті
(1623—1687), англійський економіст і статистик, основоположник
класичної політекономії. Він заклав основи теорії трудової вартос-
ті, досліджував проблему заробітної плати, прибутку та земельної
ренти.
Оскільки статистика будується на окремих статистичних дослі-
дженнях, то виникає потреба ввести поняття статистичного спосте-
реження та його видів, використавши таблицю, наведену в підручни-
ку [387, 266].
Взагалі, будь-яке статистичне дослідження має три етапи.
1. Збирання первинного статистичного матеріалу за допомогою ре-
єстрації масових даних про будь-які соціально-економічні чи технічні
явища або процеси. Цей перший етап статистичного дослідження на-
зивають статистичним спостереженням.
2. На другому етапі систематизують та групують дані, переходячи
від характеристики кожного елемента до узагальнення.
543
3. Третій етап полягає в аналізі результатів і оформленні вис-
новків.
Розрізняють три основні типи статистичних спостережень:
а) за часовою ознакою;
б) за способом організації;
в) за ступенем повноти охоплення одиниць.
Кожний з типів поділяють на види. Учням важко охопити і за-
пам’ятати їх усі. Тому доцільно ґрунтовніше зупинитися на найпрос-
тішому виді несуцільного спостереження — вибірковому спостере-
женні. У зв’язку з цим потрібно ввести поняття генеральної сукупно-
сті, її обсягу, вибірки, репрезентативності вибірки. Поняття «вибір-
ка» може бути розглянуто на першому уроці, проте ґрунтовно розпо-
вісти про роль вибірки в статистичних дослідженнях доцільно на чет-
вертому уроці — перед розкриттям учням поняття і завдань матема-
тичної статистики. Слід навести різноманітні приклади застосування
вибіркового спостереження.
Поняття про статистичні таблиці, ряди розподілу та наочне зо-
браження статистичного розподілу (полігон і гістограма розподі-
лу). На другому уроці доцільно розглянути способи оброблення да-
них, ввести поняття ранжування, варіанти, варіювання, частоти варі-
анти, дискретного варіаційного ряду, статистичної таблиці, частоти
значення ознаки та наочного подання статистичного розподілу —
графічного зображення варіаційних рядів за допомогою діаграм, гра-
фіків, гістограм, полігонів. Велика кількість понять і зображень, які
доводиться розглядати на цьому уроці, потребує ґрунтовної підготов-
ки відповідних таблиць для конкретних прикладів, зображення гісто-
грами, полігона.
Слід звернути увагу учнів на те, що статистичні таблиці складають
у два етапи. На першому проектують макет таблиці, на другому запов-
нюють таблицю статистичними даними.
Оформлюючи таблиці, потрібно дотримуватися певних правил тех-
нічного їх оформлення. Хоч учні раніше заповнювали таблиці, з прави-
лами їх оформлення слід ознайомити всіх.
1. Таблиця має містити лише ту інформацію, яка безпосередньо
характеризує об’єкт дослідження. Потрібно уникати зайвої, другоряд-
ної інформації.
2. Назва таблиці, заголовки рядків і граф мають бути чіткими, ла-
конічними, без скорочень.
3. У головці та бічних заголовках після коми зазначають одиниці
виміру з використанням загальноприйнятих скорочень (т, кВт, грн то-
що). Якщо одиниця виміру єдина для всіх даних таблиці, її наводять у
назві таблиці, відокремлюючи комою.
4. Рядки та графи доцільно нумерувати. У цьому разі графу з наз-
вою підмета (об’єкта дослідження) позначають літерою алфавіту, ін-
ші графи — арабськими цифрами.
544
5. Інформація, що міститься в рядках (графах) таблиці, узагаль-
нюється підсумковим рядком «Разом» або «У цілому за сукупністю».
Числа за можливості слід округлювати, причому в межах того самого
рядка чи графа з однаковою точністю.
6. Відсутність даних у таблиці позначається відповідно до при-
чин:
а) буквою «х», якщо клітинка таблиці, передусім підсумкова, не
може бути заповнена;
б) трьома крапками «...» або «н. від.», якщо відомості про явища
відсутні;
в) тире « —», якщо саме явище відсутнє;
7. Дуже малі числа записують «0,0» або «0,00».
8. Якщо потрібна додаткова інформація, певні уточнення цифро-
вих даних, то до таблиці додають примітку.
Доцільно відразу навести приклад складання таблиці до певних
задач.
Задача 15.80. Спроектувати макет таблиці, яка характеризує склад населення
регіону (тис. осіб) за працездатністю (допрацездатне, працездатне, старше за пра-
цездатне) з урахуванням поділу даних за статтю (табл. 15.3).
Додому доцільно запропо- Таблиця 15 3 Склад
населення
нувати таку задачу. за працездатністю, тис осщ
Задача 15.81. За наведеними
даними скласти статистичну табли-
цю, назвати її, визначити підмет і
присудок.
«Домогосподарства, бюджети
яких обстежують, поділяють на три
групи за рівнем сукупного доходу:
з високим доходом, середнім і низь-
ким. Відомо, що домогосподарства
витрачають відповідно 18, 52, ЗО %
свого бюджету».
Залежно від структури під-
мета статистичні таблиці поділя-
І Іаселення Чоловіки Жінки Разом
А 1 2 3
Допраце- здатне Працездатне Старше за працездатне Разом
ють на прості, групові та комбінаційні. У простій таблиці подають
перелік елементів сукупності, у груповій підметом є групування за
однією ознакою, у комбінаційній — за двома і більше ознаками. Ме-
тодику групування доцільно розглянути на прикладі бюджетного обсте-
ження 20 домогосподарств. У простій таблиці подають кількість
членів домогосподарства і загальний грошовий дохід у гривнях
(табл. 15.4).
У першому групуванні за ознаку можна взяти кількість членів у
господарстві. Групування зводиться до підрахунку кількості домогос-
подарств для кожного значення ознаки і матиме вигляд, наведений у
табл. 15.5.
545
Таблиця 15.4. Проста статистична таблиця
Порядковий номер домо- господарства Кількість членів домо- господарства Загальний грошовий дохід, грн Порядковий номер домо- господарства Кількість членів домо- господарства Загальний грошовий дохід, грн
А 1 2 А 1 2
1 2 195 11 3 516
2 3 268 12 3 374
3 4 539 13 4 450
4 2 193 14 3 603
5 3 473 15 3 229
6 3 324 16 2 368
7 4 710 17 4 313
8 3 172 18 3 346
9 4 248 19 3 447
10 2 350 20 4 392
Оскільки межі варіації доходу досить широкі — від 172 до 710 гри, то
доцільно скласти інтервальний ряд розподілу за чотирма інтервалами:
менше за 200, 200 - 399, 400 — 599, понад 600 (табл. 15.6).
Таблиця 15.5. Групування
за однією ознакою
Кількість членів домогосі юдарства Кількість домогосі юдарів
2 4
3 10
4 6
Разом 20
Таблиця 15.6. Інтервальний ряд
розподілу
Загальний грошовий дохід домогосподаїхзтва, грн Кількість домогосподарств
Менше ніж 200 3
200-399 10
400—599 5
понад 600 2
Разом 20
Зауваження. Взагалі, складають інтервальний ряд так: знаходять
розмах варіювання 7? = хтах ~ хтіп> де Хтах ~ найбільше значення
ознаки, хтіп — найменше значення ознаки; розмах варіювання ділять
на к частинних інтервалів, кількість яких вибирають з умови к ~ 4п
або обчислюють за формулою Стерджеса к = 1 + 3,3221п п, де п —
обсяг вибірки; тоді довжина інтервалу І
к
Після цього можна скласти комбінаційну таблицю за двома озна-
ками (табл. 15.7).
546
Таблиця 15.7. Комбінаційна таблиця за двома ознаками
Кількість членів домо- господарства Загальний грошовий дохід домогосподарства, грн Разом
До 200 200 — 399 400-599 понад 600
2 2 2 - - 4
3 1 5 3 1 10
4 - 3 2 1 6
Разом 3 10 5 2 20
Така комбінаційна таблиця поглиблює аналіз і дає підставу для
формулювання загальних висновків.
Поняття гістограми і полігону учні сприймають без особливих трудно-
щів. Тут тільки слід зауважити, що взагалі для побудови гістограми на осі
абсцис позначають точки х0, якими вся множина значень ознаки
поділяється на к інтервалів, і будують прямокутники з основами, які до-
рівнюють відрізкам [х^, х,-], і = 1,..., к та висотами, що дорівнюють від-
ношенню частоти до різниці хі - х^. У випадку однакових інтервалів
висоти прямокутників можуть прийматися такими, що дорівнюють частоті.
Формування вмінь виконувати відповідні побудови для конкрет-
них рядів розподілу забезпечується на уроці і вдома відповідною сис-
темою задач.
Мода і медіана. Середні значення та їх застосування до розв’я-
зування задач. До характеристик центру розподілу належать серед-
нє, мода та медіана.
У статистиці середнє — це абстрактна, узагальнювальна величина,
що характеризує рівень варіювальної ознаки в якісно однорідній су-
купності. Коливання індивідуальних значень ознаки, спричинені дією
різних чинників, урівноважуються в середній величині. Основними ви-
дами середніх є такі: середнє арифметичне, середнє гармонічне; середнє
геометричне і середнє квадратичне. Програмою передбачено ознайом-
лення учнів з поняттям середнього арифметичного. Залежно від по-
дання даних його обчислюють за формулами:
х = (15.2)
пі=1
де — дані вибірки; п — їх кількість;
п
х = ^-----, (15.3)
п
ЇГг
г=1
де хі — дані вибірки; /* — їх частота;
547
(15.4)
де X: — дані вибірки; Р — їх відносна частота (частка).
' п
Слід зауважити, що середнє арифметичне, яке ще називають
«центр розсіювання», характеризує значення, навколо якого зосере-
джуються спостережені значення деякої ознаки, причому воно може
бути таким, що не дорівнює жодному із спостережених значень. З
поняттям середнього арифметичного тісно пов’язано поняття серед-
п
2
нього квадратичного ст =
або ст =
У г~ > квад-
п V Е/ї
рат якого називають дисперсією (розсіюванням). Дисперсія характери-
зує скупченість (розсіювання) спостережуваних даних навколо середньо-
го значення. Що вона менша, то точнішим, вірогіднішим, надійнішим є
середнє значення для достатньо великої кількості спостережень.
Програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів
не передбачає обчислення середнього, моди і медіани для інтерваль-
них рядів розподілу, проте зацікавлених учнів можна ознайомити з
відповідними формулами. Для обчислення середнього арифметичного
інтервального ряду інтервали замінюють величинами, які дорівнюють
—^2—1~< і - 1. і знаходять його за формулами (15.3) або (15.4),
є час-
в які замість значень хі підставляють — 1 -
тотою (відносною) значень ознаки відповідного інтервалу. Щодо
моди і медіани, то в інтервальному ряді легко відшукати модаль-
ний і медіанний інтервали, а відповідні значення обчислити за фор-
мулами :
(41о ~4іо-1)
М° М° (41о ~ 41 о-1) + (410 " їМо+1)
де хМо — нижня межа модального інтервалу; гМо — розмір модально-
го інтервалу; ДІ0 — частота модального інтервалу; — частота
попереднього інтервалу; 4мо+| — частота інтервалу, наступного за мо-
дальним;
Ме = хМе
+ 4іе
е
2 ^Ме-1
41е
548
де хМе — нижня межа медіанного інтервалу; гМе — розмір медіанного
інтервалу; /”Ме — частота медіанного інтервалу; ^ме-І ~ сума накопи-
чених частот перед медіанним інтервалом; — півсума частот.
Наближене значення моди інтегрального ряду можна визначити за
допомогою гістограми (рис. 15.9).
Наближене значення медіани інтервального ряду також можна ви-
значити, використовуючи графік комуляти (накопиченої частоти)
(рис. 15.10).
Перший досвід доводить, що поняття моди, медіани і середніх
значень нескладні для учнів. Складніше відбувається їх обчислення
під час розв’язування конкретних задач. Тому важливим є диферен-
ційований добір системи вправ, серед яких мають бути доступні для
учнів прикладні завдання.
Особливості розв’язування системи задач. Задачі, які потрібно
розв’язувати у класі та вдома, мають бути різноманітними за змістом
і за рівнем складності.
Для закріплення поняття статистичної таблиці можна запропону-
вати таку задачу.
Задача 15.82. Визначити, яка з таблиць 15.8—15.10 е простою, груповою, ком-
бінаційною. Пояснити свій вибір.
Таблиця 15.8. Планети сонячної системи
Планета Час обертання навколо Сон- ця, земних років Час обертання навколо своєї осі (1 доба = 24 гол) Середня відстань від Сонця, млн км Маса (маса Зем- лі = 1, маса Зем- лі = 61021т) Діаметр екватора, км
Меркурій 0,24 (88 діб) 58,65 доби 57,9 0,06 2439
Венсра 0,62 (225 діб) 243,16 діб 108,2 0,82 6052
Земля 1,000 23 год 56 хв 4 с 149,6 1,00 6378
549
Продовження табл. 15.8
Планета Час обертання навколо Сон- ця, земних років Час обертання навколо своєї осі (1 доба = 24 год) Середня відстань від Сонця, мли км Маса (маса Зем- лі = 1, маса Зем- лі = 61021 т) Діаметр екватора, км
Марс 1,881 24 год 37 хв 23 с 227,9 0,11 3393
Юпітер 11,86 9 год 50 хв 778,3 317,89 71398
Сатурн 29,46 10 год 14 хв 1427,0 95,17 60000
Урап 84,01 10 год 49 хв 2869,6 14,6 26200
Нептун 164,73 19 год 4496,7 17,2 24300
Плутон 247,70 6 год 38 хв 5912,0 0,002 1125
Таблиця 15.9. Сучасне міське населення України
Міста Кількість міст
Малі (до 50 тис. жителів) 300
Середні (50—100 тис. жителів) 56
Великі (100 — 500 тис. жителів) 39
Дуже великі (500 тис. — 1 млн жителів) 6
Міста-мільйонери (понад 1 млн жителів) 5
Таблиця 15.10. Результати останнього перепису населення України
Місце проживання Кількість населення, тис. жителів
Усього Міське Сільське
Автономна Республіка Крим 2031 1237 758
Вінницька обл. 1772 818 954
Волинська обл. 1061 533 528
Дніпропетровська обл. 3560 2953 607
Доненька обл. 4843 4366 477
Житомирська обл. 1389 775 614
Закарпатська обл. 1258 466 792
Запорізька обл. 1926 1455 471
Івано-Франківська обл. 1409 592 817
Київська обл. 1828 1053 775
Кіровоградська обл. 1129 679 450
Луганська обл. 2546 2191 355
Львівська обл. 2626 1558 1068
550
Продовження табл. 15.10
Місце проживання Кількість населення, тис. жителів
Усього Міське Сільське
Миколаївська обл. 1264 838 426
Одеська обл. 2468 1623 845
Полтавська обл. 1630 957 673
Рівненська обл. 1173 549 624
Сумська обл. 1300 843 457
Тернопільська обл. 1142 485 657
Харківська обл. 2910 2284 626
Херсонська обл. 1174 705 469
Хмельницька обл. 1431 730 701
Черкаська обл. 1402 753 649
Чернівецька обл. 923 374 549
Чернігівська обл. 1236 721 515
м. Київ* 2607 2607 -
м. Севастополь* 378 357 21
Усього в Україні 48416 32538 15878
*3 урахуванням населених пунктів, підпорядкованих міській раді.
Відповідь. Перша таблиця є простою, оскільки у підметі наведено пере-
лік одиниць сукупності (сукупність — сонячна система, одиниці сукупності —
планети); друга — групова, оскільки у підметі одиниці сукупності (міста Украї-
ни) згруповано за однією ознакою (кількість жителів); третя — комбінаційна,
оскільки у підметі одиниці сукупності (жителі України) згруповано за двома
ознаками (регіон проживання і тип поселення).
Формування навичок і вмінь будувати ряди розподілу та їх наочне зображення
здійснюється під час розв'язування таких задач.
Задача 15.83. Методом опитування отримано такі відомості про вік (кількість
повних років) 25 студентів першого курсу: 17, 16, 17, 18, 20, 17, 17, 22, 16, 17,
17, 18, 18, 17, 21, 20, 17, 16, 19, 19, 18, 17, 19, 17, 18. Побудувати варіаційний
ряд, дискретний ряд розподілу частот, полігон частот.
Розв'язання. Для побудови варіаційного ряду запишемо дані у порядку зро-
стання: 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 18, 19, 19,
19, 20, 20, 21, 22. Знайдемо частоту кожної варіанти і побудуємо дискретний ряд
розподілу частот.
Вік, х. 16 17 18 19 20 21 22
Частота, Д 3 10 5 3 2 1 1
551
Рис. 15.11
За даними дискретного ряду будуємо
полігон (рис. 15.11).
Задача 15.84. Результати 20 спосте-
режень подано у такому вигляді:
Варіанта л. 2 6 10 12 14
Частота 1 5 7 3 4
Побудувати статистичний розподіл
частот.
Розв’язання. Для побудови статис-
тичного розподілу потрібно для кожної
варіанти обчислити відповідну статистич-
ну частоту (частку) Г’- = —:
Варіанта х(- 2 6 10 12 14
Частка Рі 1 20 5 20 7 20 3 20 4 20
Зауваження. Слід пам’ятати, що =1.
Задача 15.85. Дані вимірювання частоти серцевих скорочень старшокласників
подано у такому вигляді:
Частота скорочень х. 65 69 70 71 72 73 74 75 76 77
Кількість учнів 5 10 15 16 20 14 5 5 5 5
Потрібно:
а) побудувати графічне зображення даних таблиці;
б) згрупувати частоту серцевих скорочень у чотири групи і побудувати її іи-
тервальний ряд розподілу; виконати відповідне графічне зображення.
Розв’язання: а) наведена таблиця є дискретним рядом розподілу частоти сер-
цевих скорочень. Його графічним зображенням є полігон (рис. 15.12);
у у _0| 2
б) визначимо величину інтервалу: хтах = 77, хтіп =65, / = —-— = — = 3.
Будуємо інтервальний ряд розподілу:
Частота скорочень Д- 65-68 68-71 71-74 74-77
Кількість учнів 5 25 50 20
Зауваження. В усіх інтервалах, крім останнього, нижню межу вважають
«включно», а верхню — «виключно». Наприклад, учні з частотою серцебиття 74
потрапляють у четверту групу.
Графічним зображенням інтервального ряду є гістограма (рис. 15.13).
Для формування навичок і вмінь знаходити медіану та моду вибірки, обчис-
лювати середнє значення доцільно розв’язати такі задачі.
552
Рис. 15.13
Задача 15.86. Результати контрольно| роботи подано в такому вигляді:
Оцінка, бал 12 10 8 6 4 2 Разом
Частота 1 3 7 5 13 3 42
Медіана дорівнює & = 7. Отже, із 42 оці-
Таблиця 15.11. Опитування жінок
щодо бажаної кількості дітей, %
Кількість дітей А В с
0 - 1,0 0,5
1 8,8 35,3 28,4
2 22,1 53,5 38.2
3 48,2 9,4 22,6
4 13,7 0,8 8,2
5 і більше 7,2 - 2,1
Разом 100 100 100
Як можна оцінити рівень навчальних досягнень учнів?
Розв язання. Медіана ділить ран^(Ований ряд на дві, однакові за чисельністю,
частини. Якщо ряд має парну кільК|СТЬ членів> то медіана дорівнює середньому
арифметичному двох значень, розміц{еиих усередині ряду. Двадцять перший член
дорівнює 8, двадцять другий
нок 21 не перевищує 7 балів,
тобто половина оцінок дорівнює
6, 4 і 2 балам, що виявляє почат
ковий і середній рівні навчаль-
них досягнень. Крім того, мода
дорівнює 4 балам, а це означає,
шо більшість учнів засвоїли
матеріал розділу на середньому
рівні.
Задача 15.87. Унаслідок опи-
тування жінок країн А, В, С що-
до бажаної кількості дітей от-
римали відомості, відображені у
табл. 15.11.
Визначити модульну та меді-
анну кількість бажаних дітей у
кожній країні.
Відповідь. А — ЗіЗ;
В та С — 2 і 2.
Задача 15.88. Щорічний видобуІОК Ііафти упродовж п’яти років становить
(млн т): у 1992 р. - 7,0; у 1993 р._ 6,4; у 1994 р. - 6,1; у 1995 р. - 5,9; у
1996 р. — 5,6. Визначити середньорі\нид видобуток нафти.
тз • 7,0 + 6,4 + 6,1 + 5,1) + ч б 34
Відповідь. —--------!---т----У + ° = ц ч
5 5 ’
18 Слзпкань 3. І.
553
Задача 15.89. П’ять експертів оцінювали якість трьох аналогічних товарів балами
від 1 до 4 (табл. 15.12). Знайдіть середню оцінку кожного товару і зробіть висновки
стосовно якості товару, якщо відомо, що за х < 2,5 якість вважається критичною.
Таблиця /5.12. Експертна оцінка товарів
Товар Експерт
1 2 3 4 5
А 1,6 2,0 1,8 2,2 1,4
В 3,8 4,2 3,9 3,7 4,0
С 2,7 2,0 2,2 2,4 1,9
Розв’язання.
1,6 + 2,0 + 1,8+2,2+1,4 , „
~-----------5-----------= 18;
- _ 3,8 + 4,2 + 3,9 + 3,7 + 4,0 Оп.
Л В “ ” З, У2,
2,7 + 2,0 + 2,2 + 2,4 + 1,9 _
-С=-------------5-----------= 2,24.
Висновок: за оцінкою експертів вимоги щодо якості задовольняє тільки
товар В.
Задача 15.90. Ціни на сільськогосподарську продукцію, зафіксовану на рин-
ках міста, подано в табл. 15.13.
Таблиця 15.13. Ціни на сільськогосподарську продукцію, грн
Продукт Ціна на ринку
А В С О Е
М’ясо (за 1 кг) 15,0 14,5 14,0 15,0 15,5
Масло (за 1 кг) 7,5 8,0 8,5 8,0 9,0
Молоко (за 1 л) 1,0 1,2 1,1 0,9 0,8
Яйця (за 10 шт.) 2,5 2,6 2,4 2,3 2,7
Знайти максимальну, мінімальну і середню ціну кожного з продуктів. На яко-
му ринку вигідніше купувати весь набір продуктів? З’ясувати, на скільки процен-
тів відрізняється ціна на кожному ринку на м’ясо, взявши за основу ринок з міні-
мальною ціною.
Розв’язання. На м’ясо максимальна ціна 15,5 грн на ринку Е, мінімальна —
14 грн на ринку С; на масло максимальна ціпа 9 грн на ринку Е, мінімальна —
7,5 грн на ринку А; на молоко максимальна ціна 1,2 грн на ринку В, мінімальна —
0,8 гри на ринку Е; на яйця максимальна ціна 2,7 грн на ринку Е, мінімальна —
2,3 грн на ринку В.
15,0 + 14,5 + 14,0 + 15,0 + 15,5 .. о
*м’яса =--------------Е------------— = 14.8 грн;
554
7,5+ 8,0 + 8,5+ 8,0+9,0 я
'масла = ’---г-----------= 8>2 ГР«;
5
1,0+ 1,2+ 1,1+0,9+ 0,8 <п„„.
молока = -ВРН-
5
2,5 + 2,6 + 2,4+2,3 + 2,7
яєць = ----!----ІЕ--1----~ = 2>5 ГР«-
5
Середня вартість усього набору продуктів дорівнює 14,8 + 8,2 + 1,0 + 2,5 =
= 26,5 грн. Визначимо, скільки коштує весь набір продуктів на кожному з ринків:
А: 15,0 + 7,5 + 1,0 + 2,5 = 26 грн;
В: 14,4 + 8,0 + 1,2 + 2,6 = 26,3 грн;
С: 14,0 + 8,5+1,1 + 2,4 = 26 грн;
П: 15,0 + 8,5 + 0,9 + 2,3 = 26,2 грн;
Е: 15,5 + 9,0 + 0,8 + 2,7=28 грн.
Отже, краще купувати весь набір продуктів на ринку А чи С.
Під час вивчення на уроках хімії поняття «ізотопи» усвідомленню
відмінностей між поняттями «відносна атомна маса елемента» і «від-
носна атомна маса окремого нукліда» сприяють задачі певного типу,
під час розв’язування яких обчислюється середнє арифметичне з ви-
користанням часток.
Задача 15.91. Визначити відносну атомну масу бору (В), якщо відомо, що мо-
лярна частка нукліда 10В у природному борі становить 19,6 %, а нукліда 11В —
80,4 %.
Розв'язання. За умовою задачі відомо, що х[ 10в) = 19,6 % (0,196), х^"в^ =
= 80,4 % (0,804).
Потрібно знайти АЧ(В).
Найперше потрібно з’ясувати питання, чому відносна атомна маса елемента є
дробовим числом, а відносна атомна маса окремого нукліда — цілим; як обчислю-
ється середнє значення.
Згідно з висновком, що відносна атомна маса елемента є середнім значенням
відносних атомних мас нуклідів, а також враховуючи їхні частки у природному еле-
_ п ,
менті, знаходимо відносну атомну масу бору за допомогою формули х = ^х^ :
і=1
Ач (В) = 10 - 0,196 + 11 • 0,804 = 10,8.
Задача 15.92. Наприкінці останнього місця навчання зібрали відомості про
кількість пропущених уроків математики учнями випускного класу за цей мі-
сяць. Отримали такі дані: 2, 5, 0, 1, 6, 3, 0, 1, 5, 4, 0, З, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 2, З,
6, 0, 3, 0.
Визначити, яку кількість уроків пропустив у середньому кожен учень.
Розв’язання. Запишемо варіаційний ряд 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1,2, 2, 2, З,
З, З, З, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6.
555
Елемент *! = 0 трапляється Д = 7 разів, х2 = 1, /2=4, ....елемент х7 = 6
трапляється /7 - 2 рази. Отже, частотна таблиця матиме такий вигляд:
Варіанта т. 0 1 2 3 4 5 6
Частота 7 4 3 5 2 2 2
Побудуємо полігон частот (рис. 15.14).
Кількість членів ряду становить 25. Ме-
діана — це середній елемент варіаційного
ряду за умови непарності кількості його
елементів. Отже, Ме = 2. За цією число-
вою характеристикою робимо висновок, що
половина учнів випускного класу пропус-
тила в останньому місяці не більше ніж два
уроки математики.
Мода — це елемент, який трапляється
найчастіше, Мо = 0, оскільки саме цей еле-
мент має найбільшу частоту.
Висновок: для учнів цього випускного
класу є модним не пропускати уроки мате-
матики.
Для обчислення середнього арифметичного скористаємося формулою
Звідси
55 _ 11 ч
25 5
Висновок: кожен учень у середньому пропустив 2,2 урока.
Задача 15.93. Використовуючи отриманий у задачі 15.83 дискретний ряд роз-
поділу частот, знайти моду і медіану вибірки. Обчислити середнє значення віку
студентів. Які висновки можна зробити з отриманих значень?
Розв’язання. Мода (варіанта, яка найчастіше повторюється) дорівнює 17. Ме-
діана (варіанта, що ділить варіаційний ряд на дві, однакові за чисельністю, час-
тини) дорівнює 17.
Середнє значення віку обчислимо за формулою
Тому
- _ 16-3 +17 10 + 18-5+ 19-3+ 20-2+21 +22 _ 448 _ 17
Х~ 25 ~
556
Таблиця 15.14. Попит на взуття
Розмір Продано пар для
дівчаток хлопчиків
18 22 -
18,5 33 12
19 20 18
19,5 18 20
20 6 34
20,5 1 16
Разом 100 100
Із отриманих значень мож-
на зробити висновок, що пе-
реважна частина першокурс-
ників закінчила школу в цьому
році.
Задача 15.94. За наведе-
ними у табл. 15.14 даними про
попит на взуття для молод-
ших школярів визначити ок-
ремо для дівчаток і для хлоп-
чиків модальні розміри взут-
тя, порівняти ці значення з
медіанами та середніми.
Розв* язання. Для дівча-
ток:
Мо = 18,5;
Ме = 18,5;
- 18-22+ 18,5-33+ 19-20+ 19,5-18+20-6+20,5 7Й
х =----------------------—-----------------------= 18,78.
Для хлопчиків:
Мо = 20; Ме = 19,75;
_ 18,5 • 12 +19 18 + 19,5-20 +20-34 +20,5 16
х =--------------------—---------------------= 19,62.
Задача 15.95. За даними опитування 300 жінок індивідуальні оцінки умов
життя загалом розподілилися так: «нестерпно» — 9, «погано» —- 66, «посеред-
ньо» — 135, «добре» — 72, «дуже добре» — 18.
Скласти таблицю, знайти частки відповідних частот відповідей, визначити мо
ду, медіану. Скласти шкалу оцінок (оцінка 1 означає відповідь «нестерпно», оцін-
ка 2 — «погано» і т. д.), знайти середню оцінку рівня життя.
Розв’язання. Складемо шкалу оцінок у такому вигляді:
Умови життя X, 1 2 3 4 5
Частота 9 66 135 72 18
Частка Рі 0,03 0,22 0,45 0,24 0,06
Частку знаходимо за формулою
рІ
п
де п — обсяг вибірки (перевірка правильності обчислення часток — = 1).
Визначимо моду та медіану:
Мо = 3 і Ме = З,
отже, умови життя посередні.
п
Середню оцінку життя обчислимо за формулою X = ^хірі
г=1
х = 1 0,03 + 2-0,22+ 3 0,45+4 0,24+ 5 0,06 = 3,08.
557
Задача 15.96. Розподіл емігрантів за віком характеризується даними табл. 15.15.
Таблиця 15.15. Розподіл емігрантів за віком, %
Вік, років Виїхали до країн Вік, років Виїхали до країн
А В А В
До 10 4,0 2,2 41-50 9,4 9,0
11-20 16,3 И,4 51-60 4,2 2,1
21-30 23,5 38,2 Понад 60 2,4 0,3
31 40 40,2 36,8 Разом 100 100
Визначити середнє, моду і медіану віку емігрантів до кожної з країн.
Розв'язання. У цьому інтервальному ряді перший і останній інтервали нази-
вають відкритими. Для обчислення середнього інтервали замінюють значенням
середнього арифметичного його кінців. У випадку відкритих інтервалів їх величи-
ну приймають такою, що дорівнює величині сусіднього з ним інтервалу.
А: х =
5,5 - 4,0 + 15,5 16,3 + 25,5 23,5 + 35,5 40,2 + 45,5 - 9,4 + 55,5 -4,2 + 65,5-2,4
100
= 31,19.
Моду обчислимо за формулою
Мо гМо
(/мо /мо~1 )
(/мо /мо-і) + (/мо /мо+1)
де хМо — нижня межа модального інтервалу; іМо — розмір модального інтерва-
лу; /мо — частота модального інтервалу; /мо-1 — частота попереднього інтерва-
лу; /мо+і ~ частота інтервалу, наступного за модальним.
40,2-23,5
М° = 31 + 9 (40,2 -^75); (40,2-9.4 Г
Медіану обчислимо за формулою
X/ е
°Ме-1
Ме — ,
/Ме
де хМс — нижня межа медіанного інтервалу; іМс — розмір медіанного інтерва-
лу; /мс — частота медіанного інтервалу; Здое-і — сума накопичених частот пе-
У/
ред медіанним інтервалом; — півсума частот.
Ме = 31 + 9 50 /7 8 = 32,39.
40,2
558
В: х =
5,5-2,2 + 15,5 11,4 +25,5 -38,2+35,5 -36,8 +45,5 -9,0 + 55,5-2,1+65,5-0,3
100
= 30,15.
« 38,2-11,4 с<-
М° 21 + 9 (38,2 - ! 1,4 ) + (38,2 - 36,8 ) 29,55‘
Ме = 21 + 95°~ ч— = 29,58.
оо,/
Задача 15.97. Опитано 200 домогосподарств щодо рівня забезпечення житлом.
Після зведення статистичних даних отримали результати, які наведено в таблиці:
Житлова площа на одного 2 члена домогосподарства, м До 5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 Понад 15
Кількість домогосподарств 17 39 42 51 29 15 7
Визначити моду, медіану, середнє значення, середнє лінійне та середнє квад-
ратичне відхилення, дисперсію.
Розв’язання. Модальним інтервалом є інтервал 9 11 м2, оскільки найбільша
частота 51 припадає на цей інтервал. Моду визначимо за формулою
Мо = г + ; ________(/мо~/~Мо-і)_______
1 1О + 2Мо / г г \д. ( Г £ V
имо “/Мо-1> + ЧМо /Мо+І?
Тобто
М° 9 * 2 (5.-42) ПІ -29) ~ 9,58 "г-
2
Отже, в більшості опитаних домогосподарств на одного члена припадає 9,58 м
житлової площі. Наближене значення моди можна визначити за допомогою гісто-
грами (рис. 15.15).
2
Медіанним інтервалом також є інтервал 9—11 м , оскільки він містить соте
домогосподарство. Медіану визначаємо за формулою
559
Тобто
Ме = 9 + 2 100 98 = 9,08 м2.
51
Медіану також можна визначити із графіка комуляти (рис. 15.16).
Для обчислення значень середнього, середнього лінійного, середнього квадра-
тичного і дисперсії замінимо інтервали точками, які є серединами інтервалів. Для
проміжних обчислень складемо таблицю (табл. 15.16).
Таблиця 15.16. Обчислення статистичних показників
Варіанта хі Частота 4 Добуток Відхилення хг- ~х Добуток Квадрат відхилення (х,-х)2 Добуток (Хі-*)2/,
4 17 68 - 5,09 86,53 25,91 440,47
6 39 234 - 3,09 120,51 9,55 372,45
8 42 336 - 1,09 45,78 1,19 49,98
10 51 510 0,91 46,41 0,83 42,33
12 29 348 2,91 84,39 8,47 245,63
14 15 210 4,91 73,65 24,11 361,55
16 7 112 6,91 48,37 47,75 334,25
Для обчислення середнього значення застосуємо формулу
де к — кількість варіант.
Отже,
2
тобто середнє забезпечення житлом наближено дорівнює 9 м .
Середнє лінійне відхилення обчислимо за формулою
Тоді
7 505,64
= 2,53 м2.
560
Для обчислення середнього квадратичного відхилення спочатку знайдемо дис-
нерсію за формулою /~і І=1
Матимемо 2 _ 1846,66 _ „ „ ° “ 200 ’
Тоді о = 7^23 =3,04 м2.
Середні відхилення невеликі, тому можна стверджувати, що середнє забезпе-
чення житлом у розмірі 9 м2 на одну особу є типовим для цієї сукупності.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ
ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Закон України «Про внесення змін і доповнень до Закону Української РСР
«Про освіту»: Прийнято 23.03.96 № 190/96-ВР.
2. Державна національна програма «Освіта» («Україна XXI століття»): Затв.
Постановою Кабінету Міністрів України від 03.11.93 № 896. — К.: Радуга,
1994. - 61 с.
1 3. Національна доктрина розвитку освіти України у XXI столітті П Освіта України. —
2001. — 18 лип.
4. Закон України «Про загальну середню освіту»: Прийнято 13.05.99 № 651-Х1У.
5. Авдеева Н. Н. О статпстическом образованнн в школо // Математика в шк. -
1973. - № 3. - С. 4- 8.
6. Авраменко М. І. Таблиці з геометрії для 7 класу. — К.: Рад. шк., 1988.
7. Лйзснштат Я. Й., Білоцерківська Б. Г. Розв’язування задач з математики в
середній школі. — К.: Рад. шк., 1957. — 320 с.
8. Лгапов Г. И. Задачник по теорій вероятностей. — М.: Вьісш. шк., 1986.
9. Алгебра: Учсб. для 7 кл. еред. шк. / ІО. Н. Макарьічев, Н. Г. Миндюк, К. И. Неш-
ков, С. Б. Суворова; Под рсд. С. А. Тсляковского. — 3-є изд. — М.: Просвещс-
нис, 1993. — 240 с.
10. Алгебра: Учеб. для 8 кл. еред. шк. / ІО. Н. Макарьічев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нсш-
ков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Тсляковского. — 2-е изд. — М.: Просвещс-
ние, 1991. — 238 с.
11. Алгебра: Підруч. для 9 кл. серед, шк. / ІО. М. Макаричсв, Н. В Миндюк,
К. Л. Пешков, С. Б. Суворова; За рсд. С. О. Тсляковського. — К.: Рад. шк.,
1991. - 288 с.
12. Алгебра і початки аналізу. Підруч. для 10 11 кл. серед, шк. / А. М. Колмого-
ров, О. М. Абрамов, ІО. П. Дудніцин та ін.; За рсд. А. М. Колмогорова. — К_:
Освіта, 1992. — 350 с.
13. Ллексюк А. М. Загальні методи навчання в школі. — 2-гс вид., переробл. і
допов. — К.: Рад. шк., 1981. — 206 с.
14. Лллан Р., Вилльямс М. Математика на 5. Пособнс для 1—3 кл. начальної! шк.:
Пер. с англ. — М.: АСТ-Прссс, 1996. — 384 с.
15. Анастази А. Психологпческое тсстнрованис: Пер. с англ. І Под рсд. К. М. Гу-
ревнча. — М., 1982. — Кн. 1. — 320 с.
16. Андерсон Дж. Думай, питайся, развивайся: Пер. сангл. — СПб.: Азбука, 1996. —
92 с.
17. Апостолова Г. В. Планимстрия в опорних схемах. — К.: ФАКС, 2002. — 64 с.
562
18. Лпостолова Г. В. Стереометрія в опорних схемах: Посів, для 10—11 кл. — К.:
Оракт, 1999. — 68 с.
19. Лпостолова Г. В. Хитроумний модуль: Посів, для 6—11 кл. — К.: Поліграф-
сервіс, 2001. — 252 с.
20. Лтанов Г. А. Дсятсльностньїй подход в обучении. — Донецк: ЕЛИ-Пресс,
2001. - 160 с.
21. Ашкинузе В. Г., Шоластер Н. Н. Алгебра и злемснтарньїс функции. — М.:
Просвещенис, 1964. — 543 с.
22. Бабанський Ю. К. Методи обучения в соврсменной общеобразоватсльной шко-
ло. — М.: Просвещение, 1985. — 208 с.
23. Бабанский Ю. К. Оптимизация учсбно-воспитатсльного ироцссса. — М.: Пс-
дагогика, 1982. — 192 с.
24. БалкМ. Б., БалкГ. Д. Математика после уроков. — М.: Просвещение, 1971. — 254 с.
25. Балк М. Б., Балк Г. Д. Поиск решения. — М.: Дет. лит., 1983. — 143 с.
26. Балк М. Б., Балк Г. Д. Реальніше применения мнимих чисел: Для ст. шк.
возраста. — К.: Рад. шк., 1988. — 254 с.
27. Балл Г. А. Теория учебньїх задач: Психолого-псдагогический аспект. — М.:
Псдагогика, 1990. — 184 с.
28. БараболинМ. П. Методичсские основи развивающего обучения. — М.: Висш.
шк., 1991. — 232 с.
29. Башмаков М. И. Ми учим и учимся математико в нашем общем доме-Европс //
Математика в шк. — 2002. — № 1. — С. 3—6.
30. Башмаков М. И. Теория и практика продуктивного обучения. — М.: Нар.
образование, 2000. — 248 с.
31. Башмаков М. 14. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 — 11 кл. еред. шк. —
2-е изд. — М.: Просвещение, 1992. — 350 с.
32. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Математика: Проб, підруч. для 7 кл. серед, шк. — К_:
Освіта, 1994. — 176 с.
33. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Математика; Проб, підруч. для 7 кл. серед, шк. — К.:
Освіта, 1994. — 176 с.
34. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Гсомстрпя: Учеб. для 7 — 11 кл.
еред. шк. — М.: Просвещение, 1992. — 352 с.
35. Бевз Г. П. Методика викладання математики: Навч. посіб. — К.: Вища шк.,
1989. - 367 с.
36. БевзГ. П. Методика розв’язування алгебраїчних задач. — К.: Рад. шк., 1975. —
240 с.
37. Бевз Г. П. Методика розв’язування стереометричних задач. — К.: Рад. шк.,
1988. - 190 с.
38. Бевз Г. П. Математика, 6 кл. — К.: Вежа, 2002. — 224 с.
39. Бевз Г. П. Алгебра: Підруч. для 7—9 кл. — К.. Освіта, 2001. — 303 с.
40. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрія: Проб, підруч. для 10 —
11 кл. загальноосвітніх навч. закл. — К.: Вежа, 2002. — 223 с.
41. Бевз Г. П. Геометрія: Підруч. для 10—11 кл. шк. з поглибл. вивченням мате-
матики. - К.: Освіта, 2000. — 218 с.
42. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владимирова Н. Г. Геометрія: Проб, підруч. для 7 —
9 кл. — 2-ге вид. — К.: Вежа, 2004. — 312 с.
43. Бевз Г. П. Таблиці з математики для 8 класу. — К.: Рад. шк., 1978.
44. Бесполько В. П. Слагаемьіе педагогичсских технологий. — М.: Псдагогика,
1989. - 119 с.
45. Бех І. Д. Особистісно зорієнтоване виховання: Наук.-метод, посіб. / Ін-т зміс-
ту і методів навчання. — К., 1998. — 204 с.
563
46. БілоцькийМ. М., Субботін І. Я., ХільченкоЛ. О. Про викладання математи-
ки в школах США // Математика в шк. — 2000. — № 3. — С. 37 — 39.
47. Блонский П. П. Избранньїе псдагогпчсскис и пспхологические сочинения:
В 2 т. — М.: Педагогика, 1979. — Т. 2. Развитие мьішления школьников. —
С. 5-117.
48. Боголюбов А. Н. Математика. Мсханика: Библпогр. справ. — К.: Наук, думка,
1983. - 640 с.
49. Богоявленский Д. Н., Менчинская Н. А. Психология усвоения знаний в шко-
ло. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. — 347 с.
50. Бондар В. І. Теоретичні основи і технологія аналізу навчально-виховного процесу
на уроці І Київ. дсрж. псд. ін-т ім. М. П. Драгоманова. — К., 1993. — 72 с.
51. Бородин А. И., Бугай А. С. Вьідающнеся математики: Бногр. слов.-справ. —
К.: Рад. шк., 1987‘. - 653 с.
52. Брадіс В. М. Методика викладання математики в середній школі. — К.: Рад.
шк., 1954. — 484 с.
53. Брунер Дж. Процесе обучения: Пер. с англ. — М.: АПН СССР, 1962. — 84 с.
54. Бурда М. І., Савченко Л. М. Геометрія: Навч. посіб. для 8 — 9 кл. шк. з по-
глибленим вивченням математики. — К.: Освіта, 1996. — 240 с.
55. Бурда М. І. Розв’язування задач на побудову в 6 — 8 класах. — К.: Рад. шк.,
1986. - 112 с.
56. Бурда М. І. Вивчення геометрії в 7 кл.: Метод, посіб. — К.: Рад. шк., 1984. —
112 с.
57. Бурда М. І. Вивчення геометрії у 8 кл.: Метод, посіб. — К.: Рад. шк., 1984. — 112 с.
58. Бурда М. І., Савченко Л. М., Совко М. С. Геометрія: Експерпм. навч. посіб.
для 8 кл. шк. з поглибл. тсорст. і практ. вивченням математики. — К.: Освіта,
1992. - 98 с.
59. Бурда М. І., Савченко Л. М., Собко М. С. Геометрія: Експерим. навч. посіб.
для 9 кл. шк. з поглибл. теорет. і практ. вивченням математики. — К.: Освіта,
1992. - 144 с.
60. Бурда М. /., Дубинчук О. С., Мальований Ю. 1. Математика: Підруч. для
10—11 кл. закл. освіти гуманіт. профілю. — К.: Освіта, 2001. — 224 с.
61. Бурда М. І., Бевз В. Г., Проконенко Н. В. Програма факультативного курсу
з математики для 7 — 9 класів загальноосвітніх навчальних закладів 11 Матема-
тика в шк. — 2003. — № 3. — С. 7 — 8.
62. Бьічкова Л. О., Селютин В. Д. Обученис ве]Х>ятности и статистики в школе //
Математика в шк. — 1991. — № 6. — С. 7 —9.
63. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969. — 328 с.
64. Виленкин Н. Я., Шварцбурд С. И. Матсматичсский анализ. — М.: Просвсщс-
нпс, 1973. — 512 с.
65. Вейц Б. В., Демидов И. Т. Алгебра н начала анализа: Проб. учеб. 9 кл. / Под
ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещснис, 1969. — 264 с.
66. Вивальнюк В. М. Математика: Посіб. для 10 кл. шк. з поглибл. вивченням
математики. — К.: Освіта, 1998. — 301 с.
67. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Конкурсні задачі з
математики: Навч. посіб. для 10—11 кл. — К.: Вища шк., 2001. — 430 с.
68. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Мальований Ю. І. Алгебра 7 клас: Підруч.
для серед, загальноосвіт. закл. / За ред. ІО. І. Мальованого. — Т.: Навч. кн. —
Богдан, 2002. — 192 с.
69. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Мальований Ю. І. Алгебра: Підруч. для 8 кл.
загальноосвіт. навч. закл./Заред. ІО. І. Мальованого. — Т.: Навч. кн. — Богдан,
2003. - 164 с.
564
70. Возняк Г. М., Литвиненко, Г. М., Мальований Ю. І. Алгебра: Підруч. для
9 кл. загальноосвіт. навч. закл. / За ред. ІО. І. Мальованого. — Т.: Навч. кн. —
Богдан, 2003. — 184 с.
71. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Маланюк М. П. Математика: Підруч. для
5-го кл. — К.: Освіта, 2002. — 271 с.
72. Возняк Г. М., Литвиненко Г. М. Математика: Підруч. для 6-го кл. — К.:
Освіта, 2001. — 240 с.
73. Вьіготский Л. С. Собрание сочинений: В 6 т. — М.: Псдагопіка, 1982. — Т. 1. —
487 с.
74. Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению гсомстрических задач. —
К.: Рад. шк., 1985. — 193 с.
75. Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Геометрія — цс нескладно... Стереометрія
(довідник-задачник для 10—11 кл.). — X.: Магістр-8, 1998. — 104 с.
76. Гайштут А. Г. Математика в логических упражнениях. — К.: Рад. шк., 1985. —
192 с.
77. Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Розв’язування алгебраїчних задач. — К.:
Рад. шк., 1991. — 128 с.
78. Геометрия: Учсб. для 7—9 кл. еред. шк. І Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
С. В. Кадомцев и др. — М.: Просвешенис, 1992. — 206 с.
79. Герасимова Т. П., Грюнберг Г. Ю., Неклюдова Н. П. Фізична географія:
Підруч. для 6-го кл. серед, шк.: Пер. з рос. — 2-ге вид. — К.: Освіта, 1993. —
160 с.
80. Гсрманович П. Ю. Вопросьі и задачи на соображсние: Алгебра, геометрия и
тригонометрия. — М.: Учпедгиз, 1957. — 150 с.
81. Гильбух Ю. 3. Критериально-ориснтированньїй нормативний тест умственного
развития (КОНТУР) — К.: Перспектива, 1998. — 72 с.
82. Глейзер Г. И. История математики в школо (VII —VIII кл.). — М.: Просвсщс-
ние, 1982. - 240 с.
83. Глейзер Г. И. История математики в школо (IX —X кл.). — М.: Просвеще-
ние.1983. — 351 с.
84. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теорни вероятностей. — М.:
Вьісш. шк., 1985. —272 с.
85. Гмурман В. Е. Тсория вероятностей и матсматичсская статистика: Учеб. посо-
бис для студ. вузов. — М.: Вьісш. шк., 2001. — 479 с.
86. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1983. — 320 с.
87. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире: Книга для внеклассного чте-
ния7 — 10 кл. — М.: Просвещснис, 1980. — 128 с.
88. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире п математичсскос образование //
Математика в шк. — 1991. — № 1. — С. 2 — 4.
89. Гнеденко Б. В. Развитие мьішления и речи при изучении математики // Мате-
матика в шк. — 1991 — № 4. — С. 3—9.
90. Гончаренко С. У. Український педагогічний словник. — К.: Либідь, 1997. — 376 с.
91. Горский Д. П. Обобщсние в познании. — М.: Мьісль, 1985. — 208 с.
92. Горчакова І. А. Роль і місце моделювання та наочності у формуванні евристич-
ної діяльності учнів // Математика в шк. — 2002. — № 1. — С. 37—39.
93. ГрицаєнкоМ. П. Математичні диктанти для 6—8 кл. — К.: Рад. шк., 1983. —
143 с.
94. Гришина Т. В. Рівнева організація роботи над теоремою Н Математика в шк. —
2001. - № 6. - С. 17-20.
95. Груденов Я. И. Изучение опредслснпй, аксиом и теорем: Пособие для учителей. —
М.: Просвещснис, 1981. — 123 с.
565
І
96. Груденов Я. И. Психолого-дидактичсскис основи методики обучсния матема-
тики. — М.: Педагогика, 1987. — 158 с.
97. Груденов Я. И. Совершенствование методики работьі учителя математики: Кн.
для учителя. — М.: Просвсщсние, 1990. — 223 с.
98. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справ, материальї. — М.: Просве-
щение, 1990. — 416 с.
99. Гусев В. А., Орлов А. И., Розенталь А. А. Внсклассная работа по математико
в 6—8 классах. — М.: Просвсщсние, 1990. — 228 с.
100. Гусев В. А., Иванов А. И., Шаболин О. Д. Изучсние величин на уроках
математики и физики в ередней школе. — М.: Просвещенис, 1991. — 79 с.
101. Давьідов В. В. Види обобщения в обучении. — М.: Просвещение, 1972. —
423 с.
102. Давьідов В. В. Теория развивающего обучсния / Мсждунар. ассоц. «Развива-
ющсе обучснис». — М.: Интср, 1996. — 544 с.
103. Дементій О. Г, Дементій С. В. Навчаючі задачі з геометрії: Посіб. для 7 —
9 кл. — К.: Торгсин, 1998. — 210 с.
V Ю4. Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в шк. —
2004. - № 2. - С. 2-5.
105. Дидактика ередней школи: ГІособис для учитслей / НИМ педагогики УССР;
Под ред. В. А.Онищука. — К.: Рад. шк., 1987. — 350 с.
106. Дидактика ередней школи. Нскоторьіе проблеми соврсмснной дидактики:
Учсб. пособие по спецкурсу / Под ред. М. Н. Скаткина. — М.: Просвсщсние,
1982. - 319 с.
107. Дорофеев Г. В. Строгость опрсдслсний матсматических понятий с мстодичес-
кой точки зрення // Математика в шк. — 1984. — № 3. — С. 56 -60.
108. Дорофеев Г. В., КузнецоваЛ. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. Диффсрснциа-
цня в обучении математико II Математика в шк. — 1990. — № 4. — С. 15 — 21.
109. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания математичсского образоваиия
// Математика в шк. — 1990. — № 6. — С. 3 — 5.
110. Дорофеев Г. В., Маракова Т. Н. О предназначении математики // Математи-
ка для каждого: Сб. Вьпт.4. — М.: УМЦ «Школа 2000», 2002. — 272 с. —
(Об астетичсском воспитании при обучении математики).
111. Дробьішева И. В. Мотивация: Диффсрснцированньш подход // Математика в
шк. — 2001. — № 4. — С. 46 — 47.
112. Дубинчук О. С. Математика в 4 — 5 кл. — К.: Рад. шк., 1986. — 168 с.
113. Дубинчук О. С., Мальований Ю. Л., Дичек Н. П. Методика викладання
алгебри в 7 — 9 кл. — К.: Рад. шк., 1991. — 252 с.
114. Дубинчук О. С., Слепкань 3. І. Алгебра і елементарні функції. — К.: Рад.
шк., 1968. — 580 с.
115. Дубинчук Е. С., Слепкань 3. 14. Прсподаванис математики в ередних ПТУ:
1-й год обучсния. — К.: Вища шк., 1985. — 216 с.
116. Дубинчук Е. С., Слепкань 3. И. Прсподаванис математики в ередннх ПТУ:
2-й год обучсния. — К.: Вища пік., 1988. — 198 с.
117. Дубинчук О. С., Слепкань 3. І., Філіпова С. Н. Методичні особливості
навчання геометрії в середньому ПТУ. — К.: Вища шк., 1992. — 271 с.
118. Дусавицкий А. К. Формула интсрсса. — М.: Педагогика, 1989. — 172 с.
119. Єріна А. М., Пальян 3. О. Теорія статистики: Практикум. — К.: Знання,
2002. - 235 с.
120. Епишев О. Б., Крупич В. И. Учат школьников учиться математико: Форми-
рованис приемов учебной дсятсльности: Кн. для учителя. — М.: Просвеще-
нис, 1990. - 126с.
566
121. Жалдак N. І. Комп’ютер на уроках математики: Посів, для вчителів. — К.:
Техніка, 1997. — 303 с.
,122 . Жалдак N. І., Вітюк О. В. Комп’ютер на уроках геометрії: Посіб. для вчите-
лів. - К.: РННЦ ДУМТ, 2004. -168 с.
123. Жалдак N. І., Грохольська А. В., Жильцов О. Б. Математика (Алгебра і
початкп аналізу) з комп’ютерною підтримкою: Навч. посіб. для підготовч.
від-нь. - К.: МАУП, 2003. - 304 с.
124. Жалдак N. І., Кузьміна II. N.. Берлінська С. Ю. Теорія ймовірностей і
математична статистика з елементами інформаційних технологій. — К.: Вища
шк., 1995. — 322 с.
125. Жлуктенко В. І., Наконечний С. І. Теорія ймовірностей і математична статис-
тика: Навч.-метод, посіб. — К.: КНЕУ, 2002. — 303 с.
126. Зак А. 3. Как определить уровень развитпя мьішления школьника. — М.:
Знанис. — 1982. — 96 с.
127. Занков Л. В. Избранньїе педагогическис труди. — М.: Педагогика, 1990. —
424 с.
128. Запобігання математичним помилкам учнів: Метод, рск. І Уклад. Г. М. Воз-
няк. — К.: Рад. шк., 1989. — 88 с.
129. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри для 9 кл. І За
ред. 3. І. Слепкань — X.: Гімназія, 2003.
130. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: Алгебра і
початкп аналізу. 11 кл. / За ред. 3. І. Слепкань. — X.: Гімназія, 2003. —
176 с.
131. Збірник завдань для державної підсумкової атестації: Геометрія. 11 кл. — X.:
Гімназія, 2004. — 160 с.
132. Завдання з математики для екзаменів за курс спеціалізованих фізико-матема-
тичних шкіл, ліцеїв і гімназій. — К.: Освіта, 1994. — 75 с.
133. Зенкевич И. Г. Зстетика урока математики: Пособис для учителей. — М_:
Просвсщсние, 1981. — 79 с.
134. Ігнатенко N. Я. Методологічні та методичні основи активізації навчально-
пізнавальної діяльності учнів старших класів при вивченні математики: Авто-
реф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02 / УДПУ ім. М. П. Драгоманова. — К.,
1997. - 47 с.
135. І стер О. С. Комбінаторика, біном Ньютона та теорія імовірностей у школі.
11 кл. — X.: Гімназія, 1999. — 180 с.
136. Избранньїе вопросьі математики: 9 кл. Факультативний курс / Сост.: О. А. Бо-
ковнев, В. В. Фирсов, С. И. Шварцбурд. — М.: Просвсщсние, 1979. — 191 с.
137. Избранньїе вопросьі математики: 10 кл. Факультативний курс / Под ред.
В. В. Фирсова. — М.: Просвсщение, 1980. — 191 с.
138. Иржавцева В. ГІ., Федченко Л. Я. Спстсматизация п обобщснис знаний учащих-
ся в процсссс изучения математики: Пособис для учителя / Под ред. Н. Л. Ко-
ломенского. — К.: Рад. шк., 1989. — 208 с.
139. Кабанова Г. II. Мой опит нзготовлепия и применения пособші по гсомстрии. —
М.: Учпедгпз, 1958. — 160 с.
140. Каляьїкова 3. И. Продуктивнеє мьішление как основа обучаемостп. — М.:
Педагогика, 1981. — 200 с.
141. Каляьїкова 3. И. Психологичсские принципи развивающего обучсния. — М.:
Знанис, 1979. — 48 с.
142. КарнацевичЛ. С., Nартьінова N'. П., Нєменко В. А/. Кабинет математики в
школс. — К.: Рад. шк., 1978. — 127 с.
143. КарнацевичЛ. С. Уроки гсометрии в 9 классе. — К.: Рад. шк., 1979. — 167 с.
567
144. Карнацевич Л. С. Уроки гсометрии в 10 классс: Учеб.-метод. пособие. — К.:
Рад. шк., 1980. — 159 с.
145. Карнацевич Л. С., Грузин О. І. Вивчення геометрії в 6 кл. І За ред. І. Ф. Теслен-
ка. — К.: Рад. шк., 1983. — 120 с.
146. Кисельов А. П., Рибкін М. О. Геометрія: Підруч. і зб. задач для 8 і 9 кл. —
8-ме вид. — К.: Рад. шк., 1972. — 100 с.
147. Хлопський В. М., Скопець 3. А., Ягодовський М. І. Геометрія: Навч. посіб.
для 9—10 кл. серед, шк. — 6-те вид. — К.: Рад. шк., 1980. — 248 с.
148. Коваленко В. Г., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра: Зксперим. учеб.
пособие для 8 кл. шк. с углубл. изучением/матсматики и специализир. шк.
физ.-мат. профиля. — К.: Рад. шк., 1990. — 288 с.
149. Коваленко В. Г., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра: Експерим. навч.
посіб. для 9 кл. шк. з поглибл. вивченням математики і спеціалізов. шк. фіз.-
мат. профілю. — К.: Освіта, 1992. — 272 с.
150. Коваленко В. Г., Следзінський І. Ф. Математична символіка: Посібник для
самоосвіти вчителів / За ред. І. Ф. Тсслснка. — К.: Рад. шк., 1981. — 80 с.
151. Коваленко В. Г., Мальчевська Л. В., Михайленко В. М. Геометрія. Початко-
ві відомості стереометрії. 9 кл. — К.: КІМО, 2002. — 43 с.
152. Кованцов Н. И. Математика и романтика. — К.: Вища шк. Головнеє изд-во,
1980. - 95 с.
153. Колмогоров А. Н. Математика — наука и профсссия. — М.: Наука, 1988. — 285 с.
154. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкассов Р. С. Геомстрия: Учеб. посо-
бие для 6 — 8 кл. еред. шк. — М.: Просвещение, 1982. — 383 с.
155. Колмогоров А. Н. Научньїс основні школьного курса математики // Математика в
шк. - 1969. - № 3. - С. 12-15; № 5. - С. 8-12; 1970,- № 2. - С. 27-32.
156. Колягин Ю. М. Задачи в обученип математико: В 2 ч. — М.: Просвещение,
1977. — Ч. 1. Математические задачи как средство обучения и развития учащих-
ся. — 110 с.; Ч. 2. Обучение математико через задачи и обучение решению
задач. — 144 с.
157. Конфорович А. Г., Андрущак Г. Г., Грунина К. О. Математичні вечори у
восьмирічній школі. — К.: Рад. шк., 1974. — 199 с.
158. КонфоровичА. Г. Визначні математичні задачі. — К.: Рад. шк., 1983. — 189 с.
159. Конфорович А. Г. Добрий день, Архімедеї: Цікаві задачі, ігри, головоломки. —
К.. Рад. шк., 1988. — 150 с.
160. Конфорович А. Г., СорокаМ. О. Дорогами Унікурсалії: Математики мандрів-
ники: Для серед, шк. віку. — К.: Веселка, 1988. — 310 с.
161. Конфорович А. Г., Андриевская А. М. История развития математики: Аль-
бом: Учеб. нагляд, пособие. — К.: Рад. шк., 1987. — 94 с.
162. КонфоровичА. Г. Колумбії математики. — К.. Рад. шк., 1982. — 223 с.
163. КонфоровичА. Г. Математика лабиринта. — К.: Рад. шк., 1987. — 130 с.
164. Конфорович А. Г. Математика служить людині: Для ст. шк. віку. — К.: Рад.
шк., 1984. - 167 с.
165. КонфоровичА. Г. Математичні софізми і парадокси. — К.: Рад. шк., 1983. —
207 с.
166. Конфорович А. Г. У пошуках інтеграла: Для учнів серед, шк. — К.: Рад. шк.,
1990. - 250 с.
167. Кочетков Є. С., Кочеткова К. С. Алгебра і елементарні функції: Навч.
посів, для учнів серед, шк.: Пер з рос. / За ред. О. М. Головіна. — 7-ме вид. —
К.: Рад. шк., 1973. - Ч. 1. - 336 с.; Ч. 2. - 280 с.
168. Кравчук В. Р., Янченко Г. І. Алгебра. Підруч. для 7 кл. / За ред. 3. І. Слєп-
кань. — Т.: Підручники і посібники, 2003. — 192 с.
568
169. Кравчук В. Р., Підручна М. О., Янченко Г. і. Алгебра: Проб, підруч. для 8 кл. /
За ред. 3. І. Слєпкань — Т.: Підручники і посібники, 2002. — 216 с.
170. Кравчук В. Р., Підручна М. О., Янченко Г. І. Алгебра: Проб, підруч. для
9 кл. / За ред. 3. І. Слєпкань. — Т.: Підручники і посібники, 2003. — 240 с.
171. Кравчук В. Р. Алгебра: Підруч. для шк. (кл.) з поглибл. вивченням матема-
тики. 10 кл. — Т.: Підручники і посібники, 1997.
172. Крутецкий В. А. Психология матсматпчсских способностей школьников. —
М.: Просвещение, 1968. — 431 с.
173. Кужєль О. В. Контрприклади в математиці: Для серед, та ст. шк. віку. — К.:
Рад. шк., 1988. — 96 с.
174. Кужсль О. В. Логічні основи шкільного курсу математики // Математика в
шк. - 1999. - № 1. - С. 3-6.
175. Кушнір І. А. Методи розв'язання задач з геометрії: Кн. для вчителя. — К.:
Абрис, 1994. — 464 с.
176. Куитир И. А. Векторньїс методи решения задач. — К.: Оберіг, 1995. —
328 с.
177. Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах. — К.: Рад. шк., 1991. — 192 с.
178. Куитир И. А. Шедеври школьной математики: Задачи с решениями. — К.:
Астарта, 1995. — Кн. 1. — 574 с.
179. Куитир И. А. Шедеври школьной математики: Задачи с решениями. — К.:
Астарта, 1995. — Кн. 2. — 511 с.
180. Лабораторньїе и практические работьі по методико преподавания математики І
Под ред. Е. И. Лящснко. — М.: Просвещение, 1988. — 223 с.
181. Ланков О. В. До історії розвитку ідей в російській методиці математики. —
К.: Рад. шк., 1953. - 176 с.
182. Латі Д. Искусство помнить и забивать / Пер. с англ. М. Куренной. — СПб.:
Питср, 1999. - 216 с.
183. Ланда Л. Н. Алгоритмизация обучении. — М.: Просвещение, 1966. — 576 с.
184. Ларичев П. А. Сборник задач для 6 — 8 кл. — 23-е изд. — М.: Просвещение,
1971. - 388 с.
185. Лебег А. Об измерении величин: Пер. с фр. — М.: Учпсдгиз, 1966. — 204 с.
186. Лебединцев К. Ф. Прсподавание алгебри и начал анализа. — К.: Рад. шк.,
1984. — 247 с.
187. Лейфура В. М. Математичні задачі евристичного характеру. — К.: Вищашк.,
1992. - 91 с.
188. Лейфура В. М., Мітелгман І. М., Радченко В. М., Ясінський В. А. Мате-
матичні олімпіади школярів України. 1991—2000. — К.: Техніка, 2003. —
453 с.
189. Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознанис. Личность. — М.: Политиздат, 1975. —
304 с.
190. Лсрнер И. Я. Дидактичсские основи методов обучения. — М.: Псдагогика,
1981. - 186 с.
191. Лиман Ф. И. Математична логіка і теорія алгоритмів: Навч. посіб. — Суми:
Слобожанщина, 1998. — 152 с.
192. Лисенко В. І., Мальований Ю. І., Хмара Т. М. Таблиці з математики для
4 і 5 класів. — К.: Рад. шк., 1987.
193. Литвиненко Г. М., Федченко Л. Я., Швець В. О. Збірник задач з математи-
ки за курс 7 — 9 класів загальноосвітніх шкіл, ліцеїв, гімназій: Ч. 1. Алгебра;
Ч. 2. Геометрія. - К.: ББН, 2000. - 125 с.
194. Литвиненко Г. М. Дидактичний матеріал з математики: Для 5 кл.: Метод,
посіб. — К.: Рад. шк., 1987. — 110 с.
569
195. Литвиненко Г. М., Собко М. С. Розв’язування екзаменаційних завдань з
математики. — К.: Рад. шк., 1989. — 128 с.
196. Литвиненко Г. М., Капіносов А. М. Математика. Основна школа: екзамена-
ційні завдання для тестової перевірки умінь і навичок. — Д., 1994. — 84 с.
197. Лобачевский Н. И. Научно-педагогическос наследие. Руководство Казанским
университстом. Фрагмент письма / Под общ. ред. П. С. Александрова и др. —
М.: Наука, 1976. - 664 с.
198. Лоповок Л. М. Виховна робота на уроках геометрії в 6 — 8 класах. — К.: Рад.
шк., 1985. — 112 с.
199. Лоповок Л. М. Сборник задач по геометрии для 6—8 классов / Под ред.
И. Ф. Тсслснко. — К.: Рад. шк., 1985. — 104 с.
200. Лоповок Л. М. Збірник задач для 9—10 класів: Дидактичні матеріали для
вчителів. — К.: Рад. шк., 1984. — 120 с.
201. Лоповок Л. М. Математика на досуге: Кн. для учащихся еред. шк. возраста. —
М.: Просвещснис, 1988. — 159 с.
202. Лукавецький В. І., Маланюк М. П., Литвиненко Г. М. Завдання з алгебри
для 6 класів: Навч.-метод, посіб. — К.. Рад. шк., 1980. — 104 с.
203. Лютикас В. С. Факультативний курс по математико. Тсория вероятностей?
Зто интерссно! — М.: Мир, 1993. — 216 с.
204. Маєргойз Д. М., Дубинчук О. С. Методика викладання арифметики. — К.:
Рад. шк., 1966. — 395 с.
205. Маркова А. К., Матис Т. А., Орлов А. Б. Формированис мотивацни учення. —
М.: Просвещснис, 1990. — 192 с.
206. Маркуиіевич А. И., Сикорский К. П., Черкасов Р. С. Алгебра н злементар-
ньіс функцпи. — М_: Просвещснис, 1968. — 503 с.
207. Мариянський І. А. Про мотиваційний фактор на уроці математики П Матема-
тика в шк. — 2002. — № 1 — С. 14-17.
208. Математика. Алгебра Функцпи. Аналнз данньїх. 9 класе: Учсб. для общс-
образоват. учсб. заведений / Г. В Дорофссв, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович
и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева. - 2-е изд. — М_: Дрофа, 2000. — 352 с.
209. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данньїх. 7 класе: Учсб. для
обпісобразоват. учсб. заведений / Г. В. Дорофссв, С. Б. Суворова, Е. А. Бу-
нимович и др., Под ред. Г. В. Дорофеева. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1998. —
288 с.
210. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данньїх. 8 класе: Учсб. для
общеобразоват. учеб. заведений / Г. В. Дорофссв, С. Б. Суворова, Е. А. Бу-
нимович и др.; Под ред. Г. В Дорофеева. — 2-е изд — М.: Дрофа, 1999.
288 с.
211. Математика в поняттях, означеннях і термінах: У 2 т. / О. В. Мантуров,
ІО. К. Солицсв, ІО. 1. Сорокін, М. Г. Фсдіп. — К.: Рад. шк., 1986. — Т І: А—
Л. - 383 с.
212. Математика в поняттях, означеннях і термінах: У 2 т. / О. В. Мантуров,
ІО. К. Солнцсв, ІО. І. Сорокін, М. Г. Фсдін. — К.: Рад. шк.. 1986. — Т. 2:
М-Я. - 360 с.
213. Математика в школо // Науч -тсорст. п метод, журн М-ва образования Рос
Фсдсрацип. — 1960 — 2005.
214. Математика в школі // Наук.-метод, журн. Мін-ва освіти і науки Украї-
ни, Акад. псд. наук України. — К.: Вид-во «Педагогічна преса», 1998 —
2005.
215. Математика: Підруч. для 5 кл. / За ред. Г. М. Янчснко. — Т.: Підручники
і посібники, 2003. — 272 с.
570
216. Математика: Підруч. для 6 кл. І За ред. Г. М. Янченко. — Т.: Підручники
і посібники, 2003.
217. Математика: Посів, для факультат. занять у 7 кл. / Г. П. Бевз, А. Г. Конфо-
рович, 3. О. Резничснко, Є. О. Чснакал. — К.: Рад. шк., 1982. — 152 с.
218. Математика: Посів, для факультат. занять у 8-му кл. / Л. М. Вивальнюк,
В. Н. Боровик, І. Ф. Тесленко та ін. — К.: Рад. шк., 1981. - 207 с.
219. Математика: Посіб. для факультат. занять у 9 кл. / За ред. В. А. Зморови-
ча. — К.: Рад. шк., 1972. — 190 с.
220. Математика: Посіб. для факультат. занять у 10 кл. І За ред. І. Є. Шиман-
ського. — К.: Рад. шк., 1970. — 295 с.
221. Математика: Учсб. для 5 кл. срсд. шк. І Н. Л. Виленкин, А. С. Чесноков,
С. И. Шварцбурд и др. — 2-е изд. — М.: Просвещснис, 1992. — 304 с.
222. Математика: Учсб. для 6 кл. сред. шк. І Н. Я. Виленкин, А. С. Чесноков,
С. И. Шварцбурд и др. — 2-е изд. — М.: Просвещснис, 1991. — 256 с.
223. Математика: Учеб.-собессдник для 5 —6 кл. срсд. шк. / Л. Н. Шсврин, А. Г. Гсйн,
И. О. Коряков и др. — М.: Просвещснис, 1989. — 495 с.
224. Математика: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учсб. заведений І Г. В. Доро-
феев, С. Б. Суворова, Е. А. Буннмович и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева,
И. Ф. Шарьігина. — 3-є изд. — М.: Просвещснис, 1997. — 233 с.
225. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учсб. заведений / Г. В. Доро-
фесв, С. Б. Суворова, И. Ф. Шарьіпін и др.; Под ред. Г. В. Дорофеева,
И. Ф. Шарьігина. — 3-є изд. — М.: Дрофа, 1998. — 416 с.
226. Математична хрестоматія: Для 6 — 8 кл. — К.: Рад. шк., 1968. — 319 с.
227. Математична хрестоматія: Для ст. кл. — К.: Рад. шк., 1970. — 383 с.
228. Математическая знцпклопедия: В 5 т. — М_: Сов. знцикл., 1977 — 1985. —
Т. 1-5.
229. Математическое просвсщенис: Математика, ес преподаванис, приложение и
история. — М.: Наука, 1957 — 1961. — Вьіп. 1—6.
230. Математика и сстсствознанис: Сб. ст. / Сост. С. И. Шварцбурд. — М.:
Просвещснис, 1970. — 448 с.
231. Математика, се содержанис, мстодьі и значснис. — М.: Изд-во АН СССР,
1956. - Т. 1. - 296 с.
232. Матюшкин А. М. Загадки одарснностн: Проблемні практичсской диагности-
ки. — М.: Школа-Прссс, 1993. — 128 с.
233 Матюиікин А. М. Психологичсская структура, динамика и развитис познава-
тсльной активности // Вопр. пспхологии. — 1982. — №4. — С. 5—17.
234. Машбиц Е. И. Психолого-псдагогическис проблемні компьютеризации обучс-
ния. — М.: Псдагогпка, 1988. — 191 с.
235. Медяник А. Г. Учителеві про шкільний курс геометрії: Кн. для вчителя: Пер.
з рос. — К.: Рад. шк., 1988. — 156 с.
236. Мельничук Т. Й., Фока Л. І. Математичні диктанти для 4 — 5 кл. — К.: Рад.
шк.. 1976. — 60 с.
237. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Збірник задач і контрольних робіт
з математики для 5 класу. — X.: Кімо, 2000. — 87 с.
238. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Збірник задач і контрольних
робіт. Алгебра. Геометрія. Для 6, 7, 8, 9, 10, 11 кл. — X.: Гімназія, 1999. —
125 с.
239. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Збірник задач і контрольних
робіт з математики для 5 — 6 класів. — X.: Гімназія, 2000. — 112 с.
240. Метельский Н. В. Психолого-псдагогическис основи дидактики математики. —
Минск: Вьішзйш. шк., 1977. — 160 с.
571
241. МетельскийН. В. Дидактика математики. — Минск: Изд-во Бслорус. ун-та,
1982. - 256 с.
242. Методика викладання математики: Практикум / За ред. Г. П. Бевза. — К.:
Вища шк. Головне вид-во, 1981. — 199 с.
243. Методика викладання математики: Наук.-метод, зб. / За ред. І. Є. Шимансь-
кого, Г. П. Бевза. — К.: Вища шк., 1964—1983. — Вип. 1 — 14.
244. Методика викладання математики і фізики: Респ. наук.-метод, зб. — 1984 —
1990. - Вип. 1-6.
245. Методика прсподавания математики в ередней школе: Общая методика /
В. А. Оганесян, ІО. М. Колягин, Г. Я. Луканкнн, В. Я. Соминський. — 2-е
изд., перераб. идоп. — М.: Просвсщсние, 1980. — 367 с.
246. Методика прсподавания математики в ередней школо: Частньїе методики:
Учсб. пособпе для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / ІО. М. Колягин, Г. Я. Лукан-
кпн, Е. Л. Макрушин и др. — М.: Просвсщсние, 1977. — 480 с.
247. Методика прсподавания математики в ередней школе: Общая методика. І
Сост.: В. С. Чсркасов, А. А. Столяр. — М_: Просвещенис, 1985. — 336 с.
248. Методика прсподавания математики в ередней школе: Частная методика /
Сост. В. И. Мишин. — М.: Просвещенис, 1987. — 414 с.
249. Методика розв’язання задач на побудову / За ред. О. М. Астряба, О. С. Смо-
горжевського. — К.: Рад. шк., 1962. — 387 с.
250. Методика стереометрії І За ред. О. М. Астряба, О. С. Дубинчук. — 3-тє вид. —
К.: Рад. пік., 1956. — 580 с.
251. Методика факультативних занятті в 7 —8 кл. Избранньїе вонросьі математи-
ки: Пособис для учителей / Сост.: И. Л. Никольская, В. В. Фирсов. — М_:
Просвсщсние, 1981. — 160 с.
252. Місюра Т. В., Зарецька І. Т., Владимирова М. В. Математика: Проб, під-
руч. для 5 кл. серед, загальиоосвіт. шк. — X., 2001. — 256 с.
253. МіщенкоЛ. І., Ушаков Р. II. Дидактичні матеріали з математики, 5 кл. — К.:
Техніка, 2002. — 85 с.
254. Монахов В. М., Орлов В. Н., Фирсов В. В. Диффсрснциация обучсния в
ередней школе // Сов. педагогика. — 1990. — № 8. — С. 42 — 47.
255 Мостпаллер Ф. Пятьдссят заннмательньїх всроятностньїх задач с решениями /
Пер. с англ. под. ред. ІО. В. Мснника — М : Наука, 1975. — 111 с.
256. Мостпаллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Всроятность / Пер. с англ. В. В. Фпр-
сова. — М.: Мир, 1969. — 431 с.
257. Муравин К. С., Муравин Г. К., Дорофеев Г. В. Алгебра: Учеб. для 8 кл.
общеобразоват. учсб. заведений. — М.: Дрофа, 1997. — 208 с.
258. Мьішкис С. Д., Сатьянов П. Г. О развптии матсматичсской иптуицни учащих-
ся /І Математика в шк. — 1987. — № 5. — С 18 — 22.
259. Навчальні програми з математики для профільного навчання: Програми фа-
культативів, спецкурсів, гуртків. 7 — 11 кл. — К.: Навч. кн., 2003.
260. Нагибин Ф. Ф., Канин Е. С. Матсматпческая шкатулка. — 6-е изд. — М.:
Просвсщсние, 1988. — 160 с.
261. Нечугівська Л. І. Про вивчення елементів статистики // Математика в шк. —
2001. - № 6. - С. 25-28.
262. Никольский С. М., Попіапов М. К. Алгебра: Пособис для самообразования. —
М.: Наука, 1990. — 412 с.
263. Новоселов С. II. Спецпальньїй курс злементарнон алгсбрьі. — 7-е изд. — М.:
Вьісш. шк., 1965. — 552 с.
264. Новоселов С. II. Спецпальньїй курс тригономстрни. — 5-е изд. — М.: Вьісш.
шк., 1967. — 536 с.
572
265. Нуракова Л. С. Модульная структура компьютерной поддержки обучсния
математико в школе: Дис. ... канд. пед. наук / Рос. гос. пед. ун-т им. А. И. Гср-
цена. - СПб., 1993 - 212 с.
266. Нурк Е. Р., Тєльгмаа А. Е. Математика: Підруч. для 5 кл. серед, шк.: Пер.
з рос. — К.: Освіта, 1993. — 288 с.
267. Нурк Е. Р., Тєльгмаа А. Е. Математика: Підруч. для 6 кл. серед, шк.: Пер.
з рос. — К.: Освіта, 1990. — 222 с.
268. Оборудование кабинета математики: Пособис для учителей І В. Г. Болтян-
ский, М. Б. Волович, 3. ІО. Красо и др. — 2-е изд., нспр. и доп. — М.:
Просвещенис, 1981. — 191 с.
269. Обучение в матсматичсской школе І Сост.: С. М. Шварцбурд и др. — М.:
Просвсщсние, 1965. — 339 с.
270. Олійник Г. Ф. Виготовлення динамічних планіметричних моделей: Посів,
для вчителя. — К.: Освіта, 1992. — 63 с.
271. Олійник Г. Ф. Таблиці з алгебри і початків аналізу для 9 класу. — К.: Рад.
шк., 1980.
272. Олійник Г. Ф. Таблиці з алгебри і початків аналізу для 10 класу. — К.: Рад.
шк., 1981.
273. Онищук В. А. Типи, структура и методика уроков в школе. — К.: Рад. шк.,
1976. - 184 с.
274. Орач Б. І. Необхідні і достатні умови // Математика в шк. — 1999. — № 2. —
С. 22; № 3 - С. 28-30.
275. Осинская В. Н. Активпзация познавательной дсятельности учашихся на уро-
ках математики в 9—10 классах. — К.: Рад. шк., 1980. — 143 с.
276. Осинская В. Н. Формироваиие уметвенной культурні учашихся в процсссс
обучсния математико. — К.: Рад. шк., 1989. — 188 с.
277. Павлович В. С. Анализ ошибок абитуриснтов по матсматике. — К.: Вища шк.
Головнеє пзд-во, 1975. — 232 с.
278. Педагогический попск І Ш. А. Амонашвпли, С. Н. Льісснкова, В. Ф. Шаталов
и др. — М.: Педагогика. 1988. — 557 с.
279. Педагогическая зішиклопедия: В 4 т. / И. А. Каиров (гл. ред.) и др. — М.:
Сов. знцикл., 1964—1968. — Т. 1—4.
280. Пеньков А. В. Педагогічний програмний засіб СКАЛ: Метод, рск. — К.: КДПІ,
1991. - 48 с.
281. Перелюбська А. М., Попова Я. М. Збірник задач з геометрії. 7 кл., 8 кл.,
9 кл. - К., 2002. - 203 с.
282. Перельман Я. И. Занимательная гсомстрия. — М.; Л.: Физматпіз, 1959. — 303 с.
283. Перьиикин А. В., Родина Н. А. Физика: Учсб. для 6 — 7 кл. еред. шк. — 7-е
изд., перераб. — М.: Просвещенис, 1985. — 319 с.
284. Петраков Ті. С. Матсматпчсскнс олпмпиадьі школьппков. — М.: Просвеще-
нис, 1982. — 96 с.
285. Ниаже Ж. Речь п мьішлснис ребенка. — СПб.: СОЮЗ, 1997. — 256 с.
286. Пиаже Ж. Психология интеллекта // Избранньїе пспхологичсскис трудьі. —
М.: Просвсщсние, 1969. — С. 55 — 231.
287. Пиговский А. П., Миронюк М. П. Прсподаванис математики в условиях
кабинстной системні. — М.: Просвещенис, 1981. — 48 с.
288. Пидкасистьій П. И. Самостоятсльная познавательная дсятельность школьнп-
ков в процсссс обучсния: Теорстико-зкспсримснтальньїе псслсдования. — М.:
Педагогика, 1980. — 240 с.
289. ПлоцкиА. Всроятность в задачах для школьнпков. — М.: Просвещенис, 1996. —
196 с.
573
290. Погорєлов О. В. Планіметрія: Підруч. для 7 — 9 кл. серед, шк. — 3-тє вид. —
К.: Освіта, 1998. - 223 с.
291. Погорєлов О. В. Стереометрія: Підруч. для 10—11 кл. серед, шк. — 3-тє вид. —
К.: Освіта, 1997. — 128 с.
292. Подмазин С. М. Личностно-ориентированное образованис: Социально-фило-
софское исследование. — Запорожье: Просвещение, 2000. — 250 с.
293. Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. — М.: Учпедгиз, 1959. — 207 с.
294. Полонський В. Б. Вчимося розв’язувати задачі з геометрії: Посів, для 7 —
9 кл. — X.: Магістр-8, 1998.
295. ГІономарев Я. А. Знание, мьішление и уметвенное развитиє. — М_: Просвеще-
нис, 1967. — 264 с.
296. Преподавание алгсбрьі в 6 — 8 классах. — М.: Просвещение, 1980. — 270 с.
297. Придатко М. О. Виготовлення стереометричних моделей: Метод, посів. І За
ред. Г. Ф. Олійника. — К.: Рад. шк., 1986. — 64 с.
298. Проконенко Н. С., Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Збірник
задач для тематичного оцінювання знань: Для 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 кл. — X.: Кімо,
2001.
299. Процай В. Ф., Новикова І. В. Комбінаторика і теорія ймовірностей. — X.:
Каравела, 1997.
300 Програма для вечірніх (змінних) загальноосвітніх шкіл, 9—11 кл. // Матема-
тика в шк. — 2004.
301. Програма для класів гуманітарного напрямку, 10—11 кл. // Математика в шк. —
2003. - № 6. - С. 14- 16.
302. Програма з математики для загальноосвітніх навчальних закладів, 5 — 11 кл. //
Математика в шк. — 2003. — № 6. — С. 1 — 14.
303. Програма з математики для початкової школи (1 —4 кл.). — К., 2003. — 36 с.
304. Програма поглибленого вивчення математики в 10—11 профільних класах II
Математика в шк. — 2003. — № 7. — С. 19 — 25.
305. Програми з методики навчання математики, елементарної математики та істо-
рії математики. — К.: МОН України. НПУ ім. М. П. Драгоманова, 2001. —
48 с.
306. Програми СКЛИ 1, СКЛХ 2, СКЛАІ 3 для вивчення математики в школі і вузі:
Метод, рек. І Уклад.: М. І. Жалдак, ІО. В. Горошко. — К.: КДПУ, 1992.
52 с.
307. Програми факультативів та курсів за вибором з математики для загальноосвітніх
навчальних закладів 7—11 кл. — К.: Навч кн., 2002. — 28 с.
308 Психологичсскис проблеми неуспсвасмости школьников І Рсд. Н. А. Мсичин-
ская. — М.: Псдагогика, 1971. — 272 с.
309 Психологія: Підручник / ІО. Л. Трофімов, В. В. Рибалка, П. А. Гончарук та
ін.; За ред. ІО. Л. Трофімова. — К.: Либідь, 1999. — 558 с.
310. Рабінович Ю. М. Геометрія. 9—10 кл. Задачі і вправи на готових креслен-
нях. — X.: Кімо, 2000. — 52 с.
311. Развитие творческон активності! школьников / А. М. Матюшкин, М. С. Аве-
рина, Г. Д. Чистякова н др.; Под ред. А. М. Матюшкина. - М.: Псдагогика,
1991. - 155 с.
312. Раухман А. С., Сени Я. Г. Усні вправи з геометрії для 7 11 класів. — К.:
Рад. шк., 1989. - 160 с.
313. Репета В. К. Задачі з параметрами (навчальний посібник). 10 — 11 кл. — Т_:
Підручники і посібники, 2001. — 264 с.
314. Рогановский Н. М. Методика преподавания математики в ередней школе:
Учеб. пособие для пед. ин-тов. — Минск: Вьішзйш. шк., 1990. — 226 с.
574
315. Рибкін М. О. Збірник задач з геометрії. — К.: Рад. шк., 1971. — Ч. 1. —
128 с.; Рибкін М. О. Збірник задач з геометрії. — К.: Рад. шк., 1973. — Ч. 2. —
88 с.
316. Рубинштейн С. Л. О мьішлении и путях его исследования. — М.: АН СССР,
1985. - 148 с.
317. Рузавин Г. И. О природо математического знання. — М.: Мисль, 1968. —
302 с.
318. СавельевЛ. Я. Комбинаторика и вероятность. — Новосибпрск: Наука, 1975. —
423 с.
319. Саврасов С. М., Ястребицкий Г. А. Упражнения по планпметрии на готових
чертежах: Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1987. — 112 с.
320. Савченко В. М. Изображенис фигур в математико. — К.: Вища шк. Головнеє
изд-во, 1978. — 133 с.
321. Саркисян А. А., Колягин Ю. М. Познайомитесь с топологисй: Книга для
внеклассного чтения, 8— 10 кл — М.: Просвещение, 1976. — 76 с.
322. Сєлєвко Г. К. Соврсменнис образовательнме технологии: Учеб. пособие. —
М.: Нар. образование, 1998. — 256 с.
323. Сергеев 14. Н., Олехник С. 14., Гашков С. Б. Примсни математику. — М..
Наука, 1989. — 240 с.
324. Сікорський П. І. Теорія і методика диференційованого навчання. — Л.: Спо-
лох, 2000. — 422 с.
325. Сериков В. В. Образование и личпость: Теория и практика проектирования
педагогических систем. — М.г Логос, 1999. — 271 с.
326. Скафа О. І. Сучасні технології навчання і місце евристичної діяльності в них //
Наука і сучасність. — К.: Логос, 2001. — Т. XXIX. — С. 141 — 146.
327. Скафа Е. 14. Звристпчсское обучение математико — теория, методика, техно-
логии. - Донецк, 2004. — 439 с.
328. Скобелев Г. Н. Контроль на уроках математики: Пособие для учителя. —
Минск: Нар. асвета, 1986. — 104 с.
329. Сливин М. Б. Математическин аппарат для решсиия биологичсских задач //
Бнология в шк. — 2000. — № 2.
330. Слєпкань 3. И. Методика преподавания алгсбрьі и начал анализа. — К.: Рад.
шк., 1978. — 224 с.
331. Слєпкань 3. 14. Психолого-педагогическпе основні обучения математико: Ме-
тод. пособие. — К.: Рад. шк., 1983 - 192 с.
332. Слєпкань 3. І. Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей: В 2 кн.:
Математика: Посіб. для факультат. занять у 10 кл. / За рсд. І. Є. Шимансь-
кого. — К.: Рад. шк., 1970. — Кн. 1. — С. 3 — 51.
333. Слєпкань 3. І., Грохольська А. В., Волинська О. Є. Збірник задач з алгебри
і початків аналізу: Навч. посіб. — Т.: Підручники і посібники, 2003. — 249 с.
334. Слєпкань 3. І. Проблеми особпстісно орієнтованої математичної освіти учнів
середньої школи // Дидактика математики: Проблеми і дослідження: 36. —
Донецьк, 2003. — Вип. 19. — С. 3 — 9.
335. Слєпкань 3. І. Ще раз про диференціацію навчання і роль в ній освітнього
стандарту // Математика в шк. — 2002. — № 2. — С. 29 — 30.
336. Слєпкань 3. І. Обчислення на мікрокалькуляторах. - К.: Рад. шк., 1985. —
192 с.
337. Слєпкань 3. /. Формування творчої особистості учня в процесі навчання ма-
тематики // Математика в шк. — 2003. — № 1. — С. 6 — 9: № 3. — С. 7 — 13.
338. Соколовська І. С. Така нова стара проблема // Математика в шк. — 1998. —
№ 1. - 32-35.
575
339. Соминский И. С., Головина Л. И., Яглом И. М. О математической индукции. —
М.: Наука, 1967. - 144 с.
340. Сохор А. М. Логическая структура учсбного материала. — М.: Псдагогика,
1974. - 192 с.
341. Статистика: Підручник / За ред. С. С. Герасимснка. — К.: КНЕУ, 2000. —
467 с.
342. Столяр А. А. Псдагогика математики. — 3-є изд. — Минск: Вьішзйш. шк.,
1986. - 409 с.
343. Столяр А. А. Мстодьі обучения математики. — Минск: Вьішзйш. шк., 1966. —
191 с.
344. Суворова С. Б., Леонтьева М. Р. Упражнсния в обучении алгсбрс. — М.:
Просвещснис, 1986. — 128с.
345. Тадеєв В. О. Шкільний тлумачний словник з математики. — Т.: Навч. кн. —
Богдан, 1999. — 160 с.
346. Тальїзина Н. Ф. Управление процсссом усвоения знаний. — М: Изд-во Моск.
ун-та, 1975. — 343 с.
347. Тарасенкова Н. А. Використання знаково-символічних засобів у навчанні
математики. — Черкаси: Відлуння-Плюс, 2002. — 400 с.
348. Тарасенкова Н. А. Диференційовані завдання за готовими малюнками. 7 кл. —
К.: Фенікс, 2002.
349. Тарасенкова Н. А. Диференційовані завдання за готовими малюнками. 9 кл. —
К.: Сіяч, 2002.
350. Тарасенкова Н. А. Елементи стереометрії в основній школі. Диференційовані
завдання за готовими рисунками для 9 кл.: Навч. посіб. для учнів та вчителів
загальноосвіт. навч. закл. — X.: Всста: Вид-во «Ранок», 2002. — 80 с.
351. Телігіна Л. Математика сприяє засвоєнню хімії // Біологія і хімія в шк. —
2000. - № 3.
352. Тернопільський В. Г., Васильченко В. Г. Елементи теорії ймовірностей. —
К.: Рад. шк., 1992. — 86 с.
353. Тесленко И. Ф., Чашечников С. М., Чашечникова Л. И. Методика препода-
вання гсомстрии. — К.: Рад. шк., 1986. — 169 с.
354. Тихонов А. Н., Костомаров С. П. Рассказьі о прикладной математико. — М:
Наука, 1979. - 206 с.
355. Тюрин Ю. Н. Что такое математическая статистика. — М.: Знанис, 1975. — 62 с.
356. У глубленное пзученне курса алгебри и математичсского анализа: Метод, рск.
и дидакт. материальї: Пособис для учителя / М. Л. Галицкий, М. М. Мошко-
вич, С. И. Шварцбурд. — М.: Просвещснис, 1986. — 349 с.
357. Урок математики в школі / За ред. Г. П. Бсвза. — К.: Рад. шк., 1977. — 158 с.
358. У світі математики: 36. наук.-попул. ст. для учнів 7 — 11 кл. — К_: Освіта,
1968-1992. - Впп. 1-20, 1993-2004. - Внп. 21.
359. Фрейденталь Г. Математика как псдагогичсская задача: В 2 ч.: Пер. с нсм. —
М.: Просвещснис, 1982—1983. — Ч. 1. — 208 с.; Ч. 2. — 204 с.
360. фридман Л. М. Психолого-псдагогическис основні обучения математики в
школо. — М.: Псдагогика, 1983. — 160 с.
361. Фридман Д. М., Турецкий Е. Н., Стеценко В. Я. Как научиться решать
задачи: Бсссдн о решении математичсских задач: Пособис для учащпхея. —
М.: Просвещснис, 1979. 160 с.
362. Фуиіе Л. Псдагогика математики: Пер. с фр. — М.: Просвещснис, 1969. —
128 с.
363. Факультативньїе занятия в ередней школс: Сб. ст. / Под ред. М. П. Кашина,
Д. А. Єшптсйна. — М.: Педагогика, 1976. — Вьш. 2. — 176 с.
576
364. Фрейтег К. Математическис доказатсльства и обосновання // Математика в
шк. - 1984. - № 4. - С. 71-73.
365. Финкельиїтейн Л. П. Домашний репетитор: Избранньїе главк конкурсной
математики в методах и задачах: В 4 кн. — К.: Европндекс, 1995. — Кн. 1 — 4.
366. Фридман Л. М. Логико-психологичсский анализ школьньїх учебньїх задач. —
М.: Педагогпка, 1977. — 207 с.
367. Харламов И. Ф. Как активнзировать учснис школьников / Дидактические
очерки — 2-е изд., доп. и перераб. — Минск: Нар. освета, 1975. —207 с.
368. Харламов И. Ф. Псдагогика: Учсб. для студ. псд. спец, вузов — 6-е изд. —
Минск: Унивсрситзцькос, 2000. — 560 с.
369. Хинчин А. Я. ІІсдагогичсские статки. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963. —
128 с.
370. Хмара Т. М. Навчання учнів математичної мови: Метод, посіб. — К.: Рад.
шк., 1985. — 95 с.
371. Хмара Т. М. Створюємо особпстісно-орієнтовану систему навчання матема-
тики // Математика в шк. — 2001. — № 5. — С. 4.
372. Хміль В. П. Аналогія як засіб здобування нових знань з математики // Рад.
шк. - 1980. - № 11. - С. 43-47.
373. Хоменко І. В., Алексюк І. А. Основи логіки: Підруч. для студ. вищ. пед.
закл. — К.: Золоті ворота, 1996. — 256 с.
374. Хуторской А. В. Соврсмснная дидактика: Учсб. для вузов. — СП6.: Питср,
2001. - 544 с.
375. Хуторской А. В. Развитис одарснности школьников. Методика продуктивно-
го обучения: Пособис для учителя. — М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС,
2000. - 320 с.
376. Черкасов Р. С. К вопросу о роли обобщений в прсподавании гсометрии //
Математика в шк. — 1996. — № 4. — С. 23 — 26.
377. Шарьігин И. Ф. Задачі! по гсометрии (стсреометрия). — М.: Наука, 1986. —
160 с.
378. Шарьігин И. Ф. Задачи по гсометрии (планимстрпя). — М.: Наука, 1984. —
222 с.
379. Шаталов В. Ф. Куда и как исчезли тройки. — М.. Псдагогика, 1997. — 134 с.
380. Шаталов В. Ф. Педагогнческая проза: Из опнта рабстві школ г. Донецка. —
М.: Псдагогика, 1980. — 94 с.
381. Шаталов В. Ф. Точка опорьі. — М.: Педагогпка, 1987. — 160 с.
382. Шаталов В. Ф. Зксперимснт продолжастся. — М.: Псдагогика, 1989. — 336 с.
383. Шеварев П. А. Обобщенньїс ассоциацип в учебноп работс школьника. — М.:
Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 304 с.
384. Шимановська Ф. Г. Екранні засоби на уроках математики в VI —VIII класах. —
К.: Рад. шк., 1977. — 119 с.
385. Шкіль М. І. Слєпкань 3. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу:
Навч. посіб. для проф.-техн. закл. освіти. — К.: Техніка, 2003. — 283 с.
386. Шкіль М. І., Слєпкань 3. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу:
Підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл. — К.: Зодіак-Зко, 2002. —
272 с.
387. Шкіль М. І., Слєпкань 3. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу:
Підруч. для 11 кл. загальноосвіт. навч. закл. — К.: Зодіак-Зко, 2002. —
384 с.
388. Шкіль М. І., Колосник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Під-
руч. для учнів 10 кл. з поглибл. вивченням математики в серед, закл. освіти. —
К.: Освіта, 2000. — 318 с.
577
389. Шкіль М. Л., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і печатки аналізу:
Підруч. для учнів 11 кл. з „оглибл. вивченням математики в серед, закл.
освіти. — К.: Освіта, 2001. — 311 с.
390. Шляхи математики (хрестоматія). Для 5 — 9 кл. / Упоряд. Т. М. Хмара — К.:
Педагогічна преса, 1999. — 482 с.
391. Шунда Н. М. Збірник задач з алгебри для 7 —9 класів — К.: Техніка, 2001. —
338 с.
392. Шунда Н. М. Функції та їх графіки. — К.: Рад. шк., 1976. — 192 с.
393. Щукина Г, 1-І. Активизация познавательной деятельностп учашихся в учеб-
ном процсссс. — М.: Педагогика, 1979. — 178 с.
394. дсаулов 9. Ф. Психология решения задач. — Минск: Вьішзйш. шк., 1972. —
216 с.
395. Зрдниев П. М., дрдниев Б. П. Укрупнснпс дидактнчсских единиц в обуче-
ніш математикс. — М.: Просвещенис, 1986. — 225 с.
396. Юзбашев М. М. Концспция всеобщсго непрерьівного статистпчсского обра-
зования // Волр. статистики. — 2000. - № 1.
397. Якиляшек В. И. Вивчення елементів теорії ймовірностей і математичної ста-
тистики в шкільному курсі математики // Педагогіка і психологія. — 1996. —
№ 5. - С. 32-48.
398. Якиманская II. С. Развивающсс обучение. — М.: Педагогика, 1979. — 144 с.
399. Якиманская И. С. Развитис пространствснного мьішлсния школьников. —
М.: Педагогика, 1980. — 240 с.
400. Якиманская II. С. Разработка технологии личностно-орпснтированного обу-
чения // Вопр. психолопш. — 1995. — № 2. — С. 31—42.
401. Якиманская II. С., Корнфельд С. Г. Развитис пространствснного мьішлсния
учащихся на уроках гсомстрии: Діідактпчсскис материальї. — М.: Просвеще-
нис, 1989. — 256 с.
402. Ясінський В. А. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язування. —
Вінниця: Вінниц. держ. ун-т, 2000. — 266 с.
403. Яценко С. Є. Рівнсва диференціація в класах з поглибленим вивченням мате-
матики в основній школі // Математика в шк. — 1999. — № 2. — С. 13— 15.
404. Бевз Г. П., Бевз В. Г. Математика: Підруч. для 5 кл. загальноосвіт. навч. закл. —
К.: Зодіак-Еко, 2005. — 352 с.
405. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С. Математика: Підруч. для 5 кл. —
X. Гімназія, 2005. — 288 с.
406. Слепкань 3. І. Психолого-псдагогічні та методичні основи розвивального на-
вчання математики. — Т.: Підручники і посібники, 2004. — 240 с.
407. Янченко Г. М., Кравчук В. Р. Математика. Підруч. для 5 кл. — Т.: Підруч-
ники і посібники, 2005. — 264 с.
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
А
Абстрагування 41
Аксіоми планіметрії 263
— стереометрії 443
Алгебра і початкп аналізу 332
Аналіз 39
— Евкліда 80
— задачі 39
— Паппа 82
Аналогія 42
Астролябія 107
В
Вектори в просторі 480
— па площині 312
Величина кута 322
— обернено пропорційна 244
— прямо пропорційна 243
Вечір математичний 143
Вибірка 544
Вимірювання відрізків 327
— кутів 327
Вирази 210
— дробові 212
— із змінними 210
— ірраціональні 213
— раціональні 212
— цілі 212
— числові 210
Виховання 9
— екологічне 9
— економічне 9
— естетичне 9
— наукового світогляду 9
— трудове 9
Відповідність 237
Відрізок 262
Вікторина математична 144
Вірогідна подія 513
Г
Геометрія 251
Гістограма 549
Гомотетія ЗОЇ
Границя послідовності 388
— функції 391
Графік функції 239
Гурток математичний 143
д
Діяльиісний підхід 36
Е
Ефективність уроку 117
З
Загальна методика математики 8
Задачі па доведення 94
— на дослідження 96
— на обчислення 94
— па побудову 95
— па проценти 174
Закони дій 154 — 58
Закріплення 113
579
Заліки 120
Засоби навчання 103
— наочності 104 — 106
— обчислення 107
Зв’язки внутрішпьопредметні ЗО
— міжпредметні 31
Зміст поняття 64
Змістові лінії курсу алгебри 19
— — — геометрії 19, 27 — 30
І
Імовірність умовна 519
Індукція математична 45
— неповна 44
— повна 45
Інтеграл 423
К
Кабінет математики 106
Кінофільми математичні 107
Класифікація 66
Кодопозитиви математичні 107
Кодоскоп 107
Комбінаторика 490
Комбінації 494
Комплексний підхід 47
Конспект уроку 115, 116
Коптрприклади 73
Корінь арифметичний квадратний
220
— п-го степеня 354
— рівняння 223
Круги Ейлера 286
Кути багатогранні 460
—двогранні 460
Л
Ламана 254
Логарифми 359
М
Математика як освітня галузь 13
Методи доведень і розв’язування
задач 80
— апалітико-сиптетичиий 82
— аналітичний 80
— векторний 84
— відповідності 464, 466
— геометричних місць 279
— диференціального числення 80
— доведення від супротивного 83
— інтегрального числення 80
— координатний 309
— математичної індукції 83
— навчання 54
— повної індукції 45
— подібності 80
— рівнянь 96, 99
— синтетичний 81
— слідів 464, 466
Мода 547
Н
Навчання диференційоване 49
— індивідуальне 50
— проблемне 55
— програмоване 61
Неперервність функції 398
Нерівності зі змінними 230
— числові 224
Нумерація 22, 146
О
Об'єми 484
Облік успішності 20, 131
Обчислення наближені 197
— письмові 22
— усні 22
Одночлени 211
Ознаки подільності 155
Означення ймовірності геометричне
517
— — класичне 511, 515
- — статистичне 516
Олімпіади математичні 143
Особпстісно орієнтований підхід
47
Оцінювання знань 20, 131
П
Паралельність площин 449
— прямих 447
— прямих і площин 448
580
Первісна 421
Перетворення виразів 208
— геометричні 293
— формул 213
Перестановки 494
Перпендикулярність площин 450
— прямих 450
— прямої і площини 450
Півплощина 255
Підготовка до уроку 114
Підручники 103
Піраміда 462
Плани календарні 115
— навчальні 17
— тематичні 14
Площина 444
— координатна 238
Подібність фігур 299
Подія 513
Позакласпа робота 143
Полігон 544
Помилки в означеннях 73
— в розв'язуванні вправ 159
— за аналогією 43
Поняття видові 64
— означувані 65
— первісні 65
— родові 64
— , що вводяться описово 65
Порівняння 40
Посібники методичні 113, 114
— наочні 103
Похибки абсолютні 201
— відносні 201
Похідна 402
Правила дій 203
— наближених обчислень 205
— тотожних перетворень 213
Практичні роботи 75
Призма 461
Прилади вимірювальні 107
Принцип Кавальєрі 487
— математичної індукції 83
— навчання математики 52, 53
Програма шкільного курсу матема-
тики 21
Проміле 175
Пропедевтика 26, 258
Професійно-технічне училище
середнє 140
Проценти 174
Пряма координатна 307
— числова 307
Р
Радіан 338
Реформа шкільної математичної
освіти 11, 12
Рівняння 221
— диференціальні 432
— дробові раціональні 226
— ірраціональні 383 — 87
— квадратні 225
— лінійні 25
— логарифмічні 378- 83
— показникові 373, 374
— тригонометричні 363—73
Розв’язок задачі 95
Розв’язуваїпія задачі 95
— — , групова форма 91
— — самостійне 62
— — , фронтальна форма 91
Розміщення 494
С
Середнє в статистиці 547
Симетрія осьова 295, 296
— центральна 295
Синтез 39
Система аксіом векторного простору
(Всйля) 312
— планіметрії 254, 255
— стереометрії 255
Системний підхід 45
Сполуки 494
Спостереження вибіркове 544
Статистика 542
Степені 355, 356
Стінна газета математична 143
Стохастичний експеримент 543
Сукупність генеральна 544
— рівнянь 222, 223
Сфера 469
Т
Таблиці статистичні 544, 545
Твердження 77
581
Теорема 77 — додавання ймовірностей 518 — множення ймовірностей 521 — обернена 77 — Піфагора 257 — про три перпендикуляри 451 — пряма 77 Теорія ймовірності 513 Тестування 123 Типи уроків 112 Тотожність 208 — логарифмічна 359 — тригонометрична 337 — логарифмічна 35 — обернена тригонометрична 345— 49 — парна і непарна 334 — періодична 335 — показникова 357 — спадна 334 — степенева 360 — тригонометрична 339 — 41 — числова 333 ц Циліндр 470
У Цілі виховання 18 — навчання 18
Узагальнення 41 Умова достатня 78 — задачі 93 — необхідна 78 — необхідна і достатня 79 — теореми 79 Уроки геометрії перші 260 Уява 18 Уявлення 18 — — математики 18 — розвитку 18 Ч Частково-пошуковий метод 56 Частота статистична 544 Числа 21 — від’ємні 23 — дійсні 23
Ф — додатні 23 — дробові 23
Факультативні курси 148 Фігури в геометрії 258 Форма навчання 112 групова 117 Формування понять 64 Формула бінома Ньютона 411 — Ньютона —Лейбніца 428 — Сімпсопа 484 Функція 239 — зростаюча 334 — квадратична 245 — лінійна 241 — ірраціональні 195 — комплексні 197 — натуральні 150 — раціональні 194 Ш Школа вечірня 139 — з поглибленим теоретичним і практичним вивченням математики 136, 137 — загальноосвітня 7
Навчальне видання
Слєпкань Зінаїда Іванівна
МЕТОДИКА
2-ге видання, доповнене і перероблене
Видано за рахунок державних коштів.
Продаж заборонено
Оправа і титул художника В. С. Жиборовського
Художній редактор Г. С. Муратова
Технічний редактор А. І. Омоховська
Коректори: Н. М. Мельник, Н. Г. Потаніна
Комп’ютерна верстка С. В. Дьоїтєвої