Расчет железобетонных рамных конструкций в пластической стадии. Перераспределение усилий - Тихий М., Ракосник Й.

Автор: Тихий М. Ракосник Й.
Теги: конструктивные элементы несущие конструкции железобетонные конструкции строительное проектирование
Год: 1976
Похожие
Железобетонные и каменные конструкции
Расчет сборных конструкций зданий с учетом податливости соединений
Расчет пластин
Практический расчет рам и каркасов.
Текст
                    М. Тихий, Й. Ракосник
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
РАМНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В ПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ.
ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
Перевод с чешского Б. М. СЕРГЕЕНКО
Техническая библиотека
www.serii.ru
Инв. №__________
МОСКВА СТРОИИЗДАТ 1976
УДК 624.072.33.012.35.041.2
Печатается по решению секции литературы по строитель-
ной физике и строительным конструкциям редакционного со-
вета Стройиздата.
Тихий М., Ракосник Й. Расчет железобетонных рамных
конструкций в пластической стадии. П ерераспределение усилий.
Пер. с чешек. М„ Стройиздат, 1976. 198 с.
Приведены новейшие сведения по теории расчета и прак-
тике проектирования статически неопределимых обычных и
предварительно-напряженных железобетонных конструкций с
учетом пластической работы бетона и арматуры. Теоретические
выкладки сопровождаются примерами, иллюстрирующими при-
менение различных способов решения.
Книга предназначена для инженерно-технических работ-
ников научно-исследовательских и проектных организаций.
Табл. 6, рис. 115, список лит.: 167 назв.
Ing. Miltk Tichy, DrSc.
Ing. losef Rdkosnik, CSc.
Vypocet betonovych rdmovtjch konstrukei podle plasticity
Redisiribuce sit a momenta
Praha 1969
SNTL
Nakladatelstvi
Technlcke literaiury
т
30205—539
047(01)-70
119-76
©Ing. Milik Tichy, DrSC, Ing
Josef Rdkosnik, CSc, 1968
Перевод на русский язык
(g) Стройздат, 1976.
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Милик Тихий и Иозеф Ракосник опубликовали в 1969 г. на чешском языке
книгу о расчете железобетонных рамных конструкций в пластической стадии.
Она вызвала большой интерес и была переведена на несколько иностранных
языков. Для предлагаемого русского перевода содержание книги было до-
полнено.
Авторы, хорошо знакомые с мировой (в том числе советской) литерату-
рой по рассматриваемому вопросу, много внимания уделяют изучению де-
формационной способности железобетонных конструкций, от которой зависит
возможность и обеспеченность перераспределения усилий. Это очень важно
для понимания и правильного использования методов расчета железобетонных
рам.
В основном книга ориентирована на расчет без использования современных
ЭВМ, поскольку широкое применение ЭВМ рассматривалось как задача буду-
щего. В связи с этим статический метод предельного равновесия в ней практи-
чески не использован. Не затронуто также влияние ползучести и геометриче-
ской нелинейности. Читатель, освоивший содержание книги, сможет, если
понадобится, расширить свои знания с помощью специальной литературы.
Д-р техн, наук, проф. А. А. ГВОЗДЕВ
1* Зак. 336
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проявление железобетоном пластических свойств в статически неопреде-
лимых железобетонных конструкциях известно более шестидесяти лет. Их ши-
рокое практическое использование началось не так давно, что вызвано, по-ви-
димому, двумя причинами.
Развитие знаний о пластическом поведении статически неопределимых
систем прошло несколько четко выраженных этапов. На первом этапе экспе-
риментально и без глубокого теоретического анализа констатировались изме-
нения в распределении усилий в конструкциях по мере роста нагрузки. Особен-
но это отмечалось при нагрузках, приближающихся к исчерпанию несущей
способности элементов системы или системы в целом. Второй этап характери-
зовался теоретическими исследованиями, которые привели к разработке и
развитию метода предельного равновесия. Первоначально эта методика расче-
та ориентировалась скорее на расчет стальных конструкций. Было выяснено,
что пластический шарнир в железобетонных конструкциях качественно отли-
чается от пластического шарнира в конструкции нз стали. На третьем этапе
развивались общие методы расчета статически неопределимых систем, следу-
ющие из теории пластичности. Результатами теоретических проработок
выявлена необходимость проведения специальных исследований для определе-
ния исходных данных при разработке практических методов расчета. Четвер-
тый этап, который еще не завершен, ознаменован поисками простых, удобных
для практики методов расчета. И последний этап, который наступает в бли-
жайшее время, будет характеризоваться стремлением использовать электрон-
но-вычислительные машины.
Другая причина запаздывания состоит в том, что основные концепции
проектирования бетонных конструкций были заложены на основе методики до-
пускаемых напряжений, а это не позволяло использовать пластические свой-
ства материалов.
В настоящее время почти во всех указаниях по расчету и проектированию
железобетонных конструкций в большей или меньшей степени допускается
учитывать явления перераспределения усилий. Расширению применения новых
методов способствует то обстоятельство, что в существующих международных
документах [29] рекомендуется принимать во внимание изменение в распреде-
лении усилий, вызванное возникновением трещин и пластическими свойствами
конструкций.
Пластические свойства железобетонных конструкций в расчетах учитывают
уже много лет. Различные приближенные методы оценки перераспределения
усилий в конструкции по сравнению с якобы упругой ее работой основаны на
знании того обстоятельства, что можно допустить определенные отклонения от
теоретического распределения, которые не будут неблагоприятно влиять на на-
дежность конструкции. Было бы, однако, грубой ошибкой считать, что после
внедрения расчета по стадии пластичности расчет конструкций по теории упру-
гости исчезнет из практики. Теория упругости и в будущем будет важна при
проектировании. Расчет по теории пластичности не всегда упрощает вычисли-
тельные операции, иногда, наоборот, он затрудняет решения, которые под силу
лишь современной вычислительной технике. В предлагаемой книге авторы ста-
рались показать те сложности, которые встречаются на практике при расчете
по теории пластичности. В то же время часто бывает и так, что более сложное
решение позволяет познать работу конструкции и дает в конечном итоге вы-
годные результаты.
Для активного использования знания о пластическом поведении статиче-
ски неопределимых конструкций необходимо хотя бы в общих чертах ознако-
миться с поведением обычных и предварительно-напряженных железобетонных
конструкций при высокой степени загружения и понять сущность явления, на-
зываемого перераспределением усилий. Здесь уместно напомнить слова проф.
Ф. Штусси [155], одного из главных противников внедрения в практику про-
ектирования конструкций расчета по теории пластичности: «Теоретическая
4
механика, разумеется, имеет право создавать различные определения (напри-
мер, определение постоянного объема, выравнивание моментов и т. д.), идеаль-
ные материалы и строительные элементы и теоретически их исследовать. У нее,
однако, нет права предписывать конструкторской практике выводы и заклю-
чения из таких идеализированных исследований в качестве параграфов норм
для проектирования. Конструктор вынужден работать с действительными
строительными материалами и обязан принимать ответственность за свои тво-
рения. От этой ответственности его никто не может освободить, даже теорети-
ческая механика».
Этими словами хотелось бы особо подчеркнуть необходимость ознакомле-
ния со всеми специфическими признаками перераспределения усилий в железо-
бетонных конструкциях. Авторы этой книги старались внимательно подходить
к сущности перераспределения усилий, принимая во внимание деформационные
способности железобетонной конструкции. Понимание этого явления — ключ к
уяснению всей проблемы, что позволит избежать неправильностей, связанных с
применением перераспределения усилий. Основные сведения по этому вопросу
приведены в главах 1 и 2. Значение перераспределения усилий для практики
проектирования железобетонных конструкций изложено в главе 3, последую-
щие главы книги посвящены собственно расчету. В этой работе рассматрива-
ются только неразрезные балки и рамы с прямыми стержнями. Расчет и проек-
тирование плоских систем — плит, стен и т. д — с учетом их пластических
свойств изложены в [164, 100].
Книга предназначена для проектировщиков железобетонных конструкций и
должна в первую очередь помочь им при практическом расчете конструкций.
Поэтому теоретическая часть книги дана сжато и сопровождается рекоменда-
циями по расчету и проектированию, а также типовыми примерами. Авторы
стремились к объединению существующих методик при установлении и под-
счете входящих величин небольшими переработками первоначальных форму-
лировок. Неоднозначность в определении исходных величин — одно из пре-
пятствий на пути применения новых методов В книгу не включены специаль-
ные теоретические вопросы, такие, как влияние ползучести, деформации при
достижении несущей способности и т. д Ссылки на литературу помогут чи-
тателю более глубоко изучить предмет, если ему это потребуется
Авторы считают для себя большой честью издание книги в Советском
Союзе, в стране, где А. А. Гвоздев первым сформулировал теоретические осно-
вы расчета железобетонных статически неопределимых систем и ряд других
исследователей внесли творческий вклад в развитие этой области теории конст-
рукций. Уместно вспомнить здесь работы А. Р. Ржаницыиа, С. М. Крылова и
др. Авторы надеются, что русское издание книги предоставит нашим советским
коллегам достаточно информации, а также даст стимул их дальнейшей работе.
По сравнению с чешским изданием 1969 г. текст книги значительно расширен,
дополнен новейшими сведениями и приспособлен к использованию в советской
практике.
Примеры расчетов выполнены в соответствии с нормами, принятыми в
СССР. Список литературы расширен включением ряда работ советских и зару-
бежных исследователей.
Авторы приносят глубокую благодарность всем тем, кто способствовал из-
данию книги на русском языке — д-ру техн, наук, проф. А. А. Гвоздеву, д-ру
техн, наук, проф. К. В. Михайлову, д-ру техн, наук, проф. С. М. Крылову, а
также научному редактору книги канд. техн, наук Л. Н. Зайцеву и переводчи-
ку Б. М. Сергеенко.
Авторы будут благодарны за критические замечания советских читателей.
МИЛИК ТИХИЙ, ИОЗЕФ РАКОСНИК
Прага, 1973 г.
5
Глава 1
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИИ УСИЛИЙ
1. НЕОБХОДИМОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ УСИЛИЙ
Явление перераспределения усилий в статически неопредели-
мых железобетонных конструкциях впервые наблюдал и теорети-
чески обосновал Казинчи [97]*, однако долгое время ему не
уделялось достаточно внимания. Только в тридцатые годы на-
шего столетия пробудился интерес к изучению пластических
свойств неразрезных железобетонных конструкций (примерно в
то же самое время, что и у стальных конструкций).
Перераспределение моментов не нашло в то время примене-
ния на практике прежде всего по двум причинам. Во-первых, не
были достаточно разработаны его теоретические основы, во-вто-
рых, проектирование железобетонных конструкций базировалось
на основе допускаемых напряжений, исходящей из теории упру-
гости. Этой методикой не учитывались возможности пластиче-
ского поведения железобетона. Инженеров даже предостерегали
от попыток практического использования явления перераспреде-
ления.
Переворот в общем воззрении на статически неопределимые
конструкции наступил тогда, когда перешли к проектированию
конструкций с использованием коэффициентов запаса по прочно-
сти. Начиная с сороковых годов, проблеме перераспределения
усилий уделяется повышенное внимание во многих странах. Ко-
личество научно-исследовательских работ в этой области не-
устанно растет, независимо от того, какого подхода при проекти-
ровании придерживается та или иная страна. Решение проблем,
связанных с перераспределением усилий, становится все насущ-
нее. Особенно это проявляется при внедрении новых методов
расчета, основанных на том, что свойства конструкций и действу-
ющие на них нагрузки имеют случайный характер и описываются
статистическими закономерностями.
Обосновывая необходимость учета перераспределения усилий
при проектировании статически неопределимых конструкций,
следует подчеркнуть, что при этом глубже уясняется поведение
конструкции в различных условиях работы; экономится материал
(в первую очередь арматура), снижается трудоемкость изготов-
ления конструкции и улучшается ее качество, упрощается расчет.
Более глубокое понимание поведения конструкции играет ре-
шающую роль в поисках новых конструктивных форм для сниже-
ния материалоемкости конструкции и рационального использова-
* Краткий исторический обзор проблематики провел С. М. Крылов [20].
6
ния материала. В настоящее время при подборе сечения
используют сравнительно точные методы, учитывающие деформа-
тивные свойства бетона и стали, однако распределение усилий в
конструкции определяется из предположения £е упругой работы.
Таким образом, пренебрегается пластическая работа бетона и
арматуры, которая проявляется не только в местах критических
сечений, но и влияет на обширные области конструкции. Анализ
поведения конструкций на основе использования теории пластич-
ности часто указывает на некоторые слабые места по отношению
к предельным состояниям (например, в результате снижения
жесткости рамных ригелей при высоких уровнях загружения
возрастают требования к стойкам).
Понимание работы конструкции при напряжениях, близких
к разрушающим, позволяет получить в соединении с современным
отношением к надежности конструкции значительные преимуще-
ства в оценке действительной работы конструкции (см. главу 3,
п. 2, 3). '
Экономия стали при проектировании по методике предельных
состояний, заложенной в нормах СНиП II-A.11-62 [37] и СНиП
II-B.1 (проект 1972 г.*) [38], в Международных рекомендациях
ЕКБ — ФИП [29] и т. д., будет лишь в том случае, если на кон-
струкцию действует хотя бы какая-то временная нагрузка [80]
(по данным Фурлонга, может экономиться до 20% стали в срав-
нении с вариантом, подсчитанным по теории упругости) ’. Если же
на конструкцию действует только постоянная нагрузка, то эконо-
мии стали не получается, а расход арматуры даже возрастет
(теоретически). Тем не менее выгоды от лучшего конструктив-
ного расположения арматуры могут быть значительными и здесь.
| Используя явление перераспределения, можно снизить трудо-
емкость изготовления конструкции. Распределение моментов при
этом получается более выгодным, чем следует из расчета по тео-
рии упругости. Разница между значениями моментов над опора-
ми и в пролете уменьшается. Таким образом удается избежать
чрезмерных скоплений арматуры, ее заготовка и укладка упро-
щаются. В местах, где ожидалась чрезмерная концентрация ар-
матуры, наступит ее разрежение. Благодаря лучшему уплотне-
нию бетонной смеси качество бетона в этих местах повысится, а
значит, возрастет и надежность конструкции. В сборных элемен-
тах уменьшится количество сварных арматурных стыков, i
Упрощение расчета при использовании перераспределения
усилий часто переоценивается. Бесспорно, во многих случаях его*
можно существенно упростить по сравнению с расчетом по тео-
* В настоящее время расчеты железобетонных конструкций ведут па
главе СНиП 11-21-75. (Примеч. науч. ред).
1 Термины «расчет по теории (упругости» и «расчет по теории пластично-
сти» соответственно означают расчеты стержневых систем при предположении
как линейной, так и нелинейной зависимости в сечении между напряжениями
и деформациями. (Примеч. науч. ред.).
7
рии упругости. Практически расчет по теории пластичности часто
оправдывает применение приближенных формул. Выгоды здесь
очевидны, особенно если надо, например, оценить такое неблаго-
приятное явление, как осадка опор (см. главу 2, п. 2). При рас-
чете по некоторым более точным методам, учитывающим пласти-
ческие свойства материала, решение обычно усложняется.
В случае использования даже такого простого метода расчета,
как метод предельного равновесия, вначале требуется найти рас-
пределение моментов по теории упругости, чтобы затем оценить
правильность решения с учетом деформационной способности
железобетонной конструкции. При такой оценке учитываются
факторы, являющиеся главными при определении ее предельного
состояния. Это может быть деформация или ширина раскрытия
трещин.
В настоящее время можно смело утверждать, что проблема
перераспределения усилий для обычных и предварительно-на-
пряженных железобетонных конструкций в основном решена.
Прежде всего стали известны факторы, влияющие на перерас-
пределение усилий, а также, каким образом можно воздейство-
вать на перераспределение усилий, если это требуется. Кроме
того, известны и методы расчета распределения усилий, учитыва-
ющие пластические свойства материала. С некоторыми из них,
пригодными для практического использования, знакомит эта
книга.
Сведений об исходных величинах расчета достаточно, и мы не
встречаемся с трудностями в этом направлении. Их уточнение и
дополнение происходит постоянно. Поскольку решение некоторых
вопросов требует проведения трудных и обширных эксперимен-
тов, то постоянно и во все возрастающей степени используется
международное сотрудничество.
Открытыми остаются лишь проблемы, относящиеся по своему
характеру к теории надежности. Речь здесь идет, во-первых, об
определении понятия несущей способности, во-вторых, о надеж-
ности при повторных загружениях и о практическом использова-
нии случайных свойств статически неопределимых конструкций
для их дальнейшей рационализации.
Таким образом, в настоящее время явление перераспределе-
ния усилий можно использовать практически во всех случаях,
когда это разрешает характер нагружения конструкции.
2. ПРИЧИНЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ
ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИИ.
ПРОЦЕСС ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Деформационные свойства свободно опертой балки. Прежде
чем познакомиться с перераспределением усилий в статически
неопределимой конструкции, рассмотрим вначале деформацион-
ные свойства балки из обычного или предварительно-напряжен-
8
ного железобетона,.т. е. ее поведение в ходе нагружения вплоть
до разрушения. Обычно при проектировании, как правило, ис-
пользуют лишь такие важные характеристики, как несущая
способность, образование трещин, прогибы и ширина раскрытия
трещин при эксплуатационной нагрузке и т. д. Общему же пове-
дению конструкции не уделяется должного внимания.
г)
Рассмотрим свободно опертую железобетонную балку. Ее се-
чение симметрично относительно двух осей. Тогда свойства сече-
ний при изгибе в двух плоскостях вдоль всей длины балки будут
одинаковы. Пусть на эту балку действует неподвижная сосредо-
точенная сила Р (рис. 1, а). Нагрузку от собственного веса балки
для упрощения исключим. Предположим, что нагрузка Р возра-
стает таким образом, что не оказывает на балку никаких дина-
мических воздействий. Допустим также, что балка не разрушится
от действия поперечной силы. Это предположение сохранит силу
и во всех последующих рассуждениях, если не будет сделано
оговорки.
Если ранее на балку не действовала никакая нагрузка, то
после приложения небольших значений силы Р отдельные сече-
ния балки начнут рабо-
тать упруго. Жесткость
сечения при изгибе опре-
деляется по формуле
5уп — Е(> J,
где Ео — модуль упруго-
сти бетона;
J — момент инерции
приведенного се-
чения, включая
растянутый бе-
тон.
Значение жесткости в
нашем случае постоянно
на всей длине балки. Тог-
да кривизна линии изги-
ба (обозначим ее Хул) бу-
дет прямо пропорциональ-
на изгибающему моменту
Хуп — М/Вуп. (1)
Если одновременно с
нагружением измерить
прогибы балки (напри-
мер, посередине пролета),
то окажется, что зависи-
Рис. 1. Поведение свободно опертой
балки под нагрузкой
а — схема балки; б — эпюра изгибающих мо-
ментов; в —эпюра кривизны; г — деформация,
балки
9
мость [Р, f] будет линейной до определенной нагрузки Ргр или
прогиба /гр (рис. 2). Если бы мы вычисляли еще и кривизну
линии изгиба % в сечении под грузом в зависимости от изгиба-
ющего момента, то получили бы аналогичную линейную зависи-
мость [М, х] вплоть до определенного момента ЛТгр или же кри-
визны хгр (рис. 2).
Отметим, что после возникновения трещины жесткость при
изгибе резко уменьшается. Если теперь проследить зависимость
[Л1, х] в месте возникновения трещины, то при достижении мо-
мента возникновения трещины Мт будет наблюдаться скачок в
направлении оси х. Из практических соображений не будем при-
нимать это обстоятельство во внимание и предположим, что зави-
симость [Л4, х] была установлена как средняя для определенного
участка с трещинами.
При Р>РГр прогибы растут быстрее, так как растянутый
бетон начинает деформироваться пластически, а вскоре при на-
грузке Рт возле точки приложения силы возникнет первая тре-
щина. В результате этого жесткость сечения В уменьшится из-за
исключения бетона из работы на растяжение.
При возникновении трещины бетон сжатой зоны до опреде-
ленной нагрузки ведет себя почти упруго, потом начинает плас-
тически деформироваться (эпюра напряжений уже не будет
треугольной). Арматура из некоторых видов стали при высоких
уровнях напряжений также заходит в зону пластических дефор-
маций. Там, где бетон выключился из работы на растяжение, за-
висимость кривизны х от изгибающих моментов будет нелиней-
ной (рис. 2). Изменение кривизны по длине элемента показано на
рис. 1, в. В сечениях, для которых Л1>Л1гр, к значениям кривиз-
ны, вытекающим из соотношения (1), добавляется еще пласти-
ческая (нелинейная) составляющая хПл. Отрезок ab, на котором
это имеет место (см. рис. 1, в), называется пластической зоной.
Последняя употреблена в более широком смысле слова, так как
в нее включены все те области, где работа балки нелинейна.
Значения Ргр и Рт очень близки. То же самое можно сказать и о
значениях /Гр и fT, Л4гр и Л4Т и т. д. Поэтому в дальнейшем изло-
жении будем всегда предполагать, что зависимость между усили-
ем и деформацией, справедливая для балки или ее части или же
для какого-либо сечения, линейна вплоть до момента образова-
ния трещин. Это весьма упростит наши рассуждения.
При последующем возрастании нагрузки Р момент в сечении
под нагрузкой достигнет значения Мр (разрушится бетон либо
арматура). Этому моменту будет соответствовать разрушающая
нагрузка Рр=~^. Кривизна линии изгиба в критическом сече-
нии достигнет своего предельного значения хр, так же как и про-
гиб /р.
При исследовании перераспределения усилий в конструкции
нас обычно не интересует зависимость прогибов от нагрузки,
так как последняя имеет специфический характер для опреде-
ленных статических схем и нагрузок. В отличие от этого зависи-
мость [Л1, х] относится только к сечению и из нее всегда можно
получить картину общего поведения балки или рамы при произ-
вольных статической схеме и характере нагрузки, если эти
зависимости известны для каждого сечения. При практических
же расчетах зависимость [Л4, х] непосредственно не применяется,
а, как мы увидим ниже, приходится работать с зависимостями
между моментом М и взаимным поворотом й концевых сечений
пластической области (или же сечений, примыкающих к пласти-
ческому шарниру). Покажем, что выражает такая зависимость.
Рассмотрим пластическую область ab (см. рис. 1, в), где воз-
никли неупругие деформации. Общий взаимный поворот конце-
вых сечений этой области:	%dx. Если изобразить графи-
чески зависимость й от М, то получим диаграмму [Л1, й] (см„
рис. 2). Здесь можно видеть линейный участок вплоть до точки
(Л1Гр, б’гр). Остальная часть зависимости нелинейна. Из общего
поворота -0 можно выделить пластическую составляющую йпл=
= 9, выраженную уравнением 0 = J u^dx.
а
Допустим, что поворот 0 сосредоточен в критическом сечении;
тогда получим здесь пластический шарнир. В нашем случае
(сравнить с рис. 2) шарнир воспринимает приращение изгибаю-
щего момента вплоть до разрушения. Такой шарнир назовем
несовершенным в отличие от пластического шарнира совершен-
ного, в котором предполагается, что он, начиная с определенного
изгибающего момента, будет еще в состоянии нести приращения
деформаций, но ни в коей степени не приращение моментов. Ли-
ния изгиба исследуемой балки, если предположить в ней возник-
новениеттластического шарнира, будет иметь вид в соответствии
с рис. 1, г. На участках между опорами и пластическим шарни-
ром кривизна линии изгиба задана отношением (1). При дости-
жении несущей способности пластическая составляющая по.воро-
та пластического шарнира достигнет предельного значения 0Р.
Заметим, что поворот й представляет собой деформацию, ко-
торая достигает в каждом исследуемом случае определенного
значения и зависит от статической схемы конструкции и нагрузки
в отличие от виртуального поворота 0', величина которого хотя и
сколь угодно мала, тем не менее неопределенна, а значение его в
сущности кинематическое.
Балка постоянного сечения с двусторонним защемлением
концов. Возьмем балку с двусторонним полным защемлением
концов постоянного сечения, симметричного по отношению к
двум взаимно перпендикулярным осям (следовательно, и разру-
11
шающие моменты будут постоянными в двух направлениях по
всей длине балки). Рассмотрим изменение моментов в ходе за-
гружения балки. В одном случае это будет сосредоточенная сила,
приложенная посредине пролета, в другом — равномерно рас-
пределенная по всей длине нагрузка. В обоих случаях проследим
за изменением моментов на опорах /И1=ЛГ3 и за максимальным
изгибающим моментом в пролете М2 (рис. 3).
Сосредоточенная нагрузка. Если на балку посредине пролета
действует сосредоточенная сила, то для подсчета значений изги-
Рис. 3. Перераспределение усилий в балке постоянного сечения с двусторонним
защемлением концов
а — сосредоточенная нагрузка; б — равномерно распределенная нагрузка (полное пере-
распределение усилий); в —равномерно распределенная нагрузка (частичное перерас-
пределение усилий)
бающих моментов по теории упругости будет действительно вы-
ражение
-Мх = М2 = -Л48 = 4 Pl.
О
Если нагрузку Р постепенно увеличивать, то при достижении
определенной величины во всех критических сечениях одно-
временно будет достигнут момент образования трещин ЛГТ.
В критических областях наступит уменьшение жесткости и бал-
ка начнет деформироваться нелинейно. В этом примере умень-
шение жесткости будет одинаковым для всех критических сече-
ний. Поскольку точки нулевых моментов располагаются в четвер-
тях пролета и одновременно известно, что — Afi=Af2> то можно
говорить о том, что прирост деформаций в области левой опоры
будет таким же, как и прирост деформаций влево от критиче-
ского сечения в пролете.
Аналогичная картина и на правой половине балки. Так как
отношения жесткостей и размеры пластических зон не меняются,
то сохраняются и отношения изгибающих моментов. Такое со-
стояние держится вплоть до разрушающей нагрузки Рр, при ко-
торой одновременно должны разрушиться все три критических
сечения1. Если построить зависимость моментов Afi=Af3, Af2 от
нагрузки Р (см. рис. 3, а), то их изменение будет таким же, как и
подсчитанное по теории упругости, т. е. в данном случае перерас-
пределения усилий не произошло.
Равномерно распределенная нагрузка. При равномерно рас-
пределенной нагрузке изгибающие моменты в критических сече-
ниях подсчитывают по формулам теории упругости:
-М1 = -Л43 = ЧР‘, M2=-±-qP,
12	24
поэтому |Afi: Afsl =2.
Поскольку речь здесь идет о балке постоянного сечения, то с
ростом нагрузки первые трещины возникнут в том критическом
сечении, где изгибающий момент будет наибольшим, т. е., учиты-
вая симметрию балки, это должно произойти одновременно над
обеими опорами. В опорных областях жесткость уменьшится и
дальнейшие приросты нагрузки вызовут увеличение приращения
изгибающих моментов в пролете, где жесткость все еще сохра-
нится на первоначальном уровне. Изменение моментов ЛЬ и Мг
1 В действительности же и в балках постоянного сечения не всегда проис-
ходит одновременное разрушение, если принять во внимание случайный ха-
рактер изменчивости разрушающих моментов критических сечений. Даже в
упругой стадии никогда не будет точного совпадения распределения моментов
с подсчитанными теоретически, так как жесткость сечения вдоль балки изме-
няется случайно [4, 78].
13
показано на рис. 3, б. Так как равновесие сил должно сохра-
няться постоянно, то
-№ + ^ = 4- qP.
о
С образованием первых трещин в пролете его жесткость
уменьшится, поэтому в критических областях произойдет частич-
ное выравнивание жесткостей. Ускорение приращения моментов
проявится заметнее на опорах, так как пластическая зона в про-
лете имеет значительно большую протяженность, что видно по
эпюре изгибающих моментов. Теперь предположим, что критиче-
ские сечения обладают достаточной способностью к пластической
Деформации. В приопорных областях моменты приближаются к
разрушающим Afp, что сопровождается большим уменьшением
жесткости, поэтому вновь начинается рост моментов М2. На-
конец, в определенный момент во всех критических сечениях
будет достигнут разрушающий момент Л1Р, и тогда
! ЛЛ :	! = 1.
В балке произошло полное перераспределение усилий, пос-
кольку разрушающий момент был достигнут во всех критических
сечениях. При этом перераспределение усилий началось уже в
момент возникновения трещин. Если же критические сечения не
обладают достаточными пластическими свойствами, то некоторые
из них разрушатся раньше остальных; в этом случае не во всех
из них будет достигнут момент Мр и произойдет лишь частичное
перераспределение усилий (см. рис. 3,в).
В процессе перераспределения усилий соотношение |Л41 : Л12|
постоянно изменяется. Изменяется и положение точек нулевых
моментов. Принимая же во внимание симметричность балки и на-
грузки, можно сказать, что критическое сечение будет находиться
всегда посредине пролета.
По аналогии с простой балкой в главе 1, п. 2 пластические
повороты можно сосредоточить в критических сечениях зон, где
|Л1| >?МТ, и предположить, что в них возникают несовершенные
пластические шарниры (рис. 4). Тогда возможны три шарнира,
причем полного разрушения балки еще не произойдет именно
благодаря тому обстоятельству, что здесь имеются несовершен-
ные пластические шарниры.
Простая рама. Обратимся к изучению поведения простой
рамы (рис. 5,а). Рама полностью закреплена в опорах и нагру-
жена сосредоточенными силами Р\ и Р2, которые могут быть за-
висимы или независимы одни от других. Не описывая полностью
процесс перераспределения усилий, так как в этом случае при-
шлось бы проследить развитие загружения в общей сложности в
пяти критических сечениях, рассмотрим возможное распределе-
ние пластических зон, разделенных несовершенными пластиче-
скими шарнирами.
14
Рис 4. Несовершенный пласти-
ческий шарнир в балке с дву-
сторонним защемлением концов
5)
Рис. 5. Поведение простой рамы, за-
пруженной двумя силами Pi и Рг
а — схема рамы; б, в, г — различные поло-
жения пластических шарниров
Рис. 6. Некоторые возможные случаи перераспределения усилий
а — разрушение по сечению II; б, в — то же, по сечению I; г — одновременное разру-
шение по сечениям I, II
Если преобладает вертикальная нагрузка Р% (или же если
сечения 2, 3 и 4 слабее сечений 1 и 5), то пластические зоны
возникнут в соответствии со схемой, приведенной на рис. 5,6.
Если же, наоборот, преобладает горизонтальная нагрузка Pi
(сечение 3 достаточно мощное), то распределение пластических
зон произойдет в соответствии со схемой, показанной на рис. 5,в.
Если же оба вида нагрузок, а также сечения будут взаимно
уравновешены, то распределение пластических областей про-
изойдет в соответствии с рис. 5,г. Реальность, конечно, сложнее,
15
так как у обычных конструкций пластические зоны возникают во
всех критических сечениях. Нам же надо показать, что распреде-
ление пластических зон или пластических шарниров зависит от
соотношения между отдельными видами загружения конструк-
ции, а также от соотношения между критическими сечениями,
имея в виду их механические свойства.
Возможные случаи перераспределения усилий. Изменения
моментов Л11 и М2 в зависимости от возрастания нагрузки Р или
же q, показанные на рис. 3, были взяты для примера. В действи-
тельности же перераспределения усилий могут быть различных
типов в зависимости от того, каковы свойства исследуемого эле-
мента (защемленной балки, ригеля или колонны рамной конст-
рукции и т. д.) в смысле его армирования, геометрических форм
и краевых условий, а также какой характер нагружения элемен-
та. На рис. 6 приведены четыре различные возможности измене-
ния моментов Мт и Л4ц в пролете рамной конструкции1, загружен-
ной силой Р. Критические сечения / и II обозначены таким об-
разом, чтобы при расчете по теории упругости было справедли-
вым неравенство |Afiyn : Л1пуп| ^1.
При этом моменты Afiyn и Л4цуп имеют различные знаки. Это
не искусственно законструированные схемы. Все приведенные
примеры (и многие последующие) можно обосновать экспери-
ментально.
В случае, изображенном на рис. 6,а, жесткость уменьшается
прежде всего в области сечения II. После выравнивания жестко-
стей процесс изменения моментов приближается к определенно-
му по теории упругости. Разрушение балки происходит по сече-
нию II. В то же время несущая способность сечения I еще дале-
ко не исчерпана.
В случае, изображенном на рис. 6,6, показана €алка, которая
заармирована нелогично. Ее разрушающие моменты находятся в
обратном соотношении с моментами, подсчитанными по теории
упругости. После уменьшения жесткости в сечении II наступает
примерно обратное соотношение моментов |Afj: Л4ц|. Разруше-
ние происходит по сечению I. Несущая способность сечения II не
использована. Аналогично развиваются события и в при-
мере, приведенном на рис. 6, в, с тем лишь отличием, что в
данном случае AlPn>AfpI. Наконец, в примере, изображенном
на рис. 6,г, жесткость в сечении I вначале сильно снизилась до
такого уровня, что момент в сечении оказался меньше первона-
чально действующего. При последующем загружении вследствие
появления трещин в сечении II уменьшение жесткости в сечении
1 Приведенные случаи возможного перераспределения в статически неоп-
ределимых железобетонных конструкциях относятся в основном к анализу рас-
пределения усилий непосредственно после появления трещин и имеют наиболее
существенное значение для предварительно-напряженных конструкций. (При-
меч. науч, ред.)
16
I приостановилось. Дальнейшее изменение моментов происходи-
ло примерно так, как это вытекает из теории упругости. В ре-
зультате произошло одновременное разрушение обоих критиче-
ских сечений, т. е. перераспределение усилий оказалось полным.
На всех схемах, приведенных на рис. 6, видны заметные из-
менения жесткости в процессе развития моментов при нагрузках,
вызывающих возникновение трещин. Однако такие изменения
могут быть только у конструкций с обычным процентом армиро-
вания. Если же сечения переармированы, то изменение жестко-
стей при возникновении трещин не будет столь значительным и
отклонение действительного распределения моментов от распре-
деления, установленного на основании теории упругости, ока-
жется малым [23].
Процесс перераспределения усилий хорошо описывается за-
висимостью отношения моментов | Mi: ЛГд| от нагрузки Р. Сече-
ния I и II обозначены здесь так же, как это было сделано выше,
поэтому при расчете по теории упругости |Afiyn : Л4Пуп| ^1. По-
строим эти зависимости для элементов, по которым изучалось из-
менение моментов на рис. 6.
На рис. 7 видно, что у элементов а, б, в соотношение |Afi:
: Л4п| увеличивается, в то время как у элемента г оно уменьша-
ется. В первом случае можно говорить о возрастающем перерас-
пределении усилий, во втором — об уменьшающемся. Возраста-
ние или уменьшение перераспределения усилий зависит чаще
всего от соотношения моментов трещинообразования Л4Т- Если
имеет место неравенство AfTl: ЛГтп< [Aliyn : Л1пуп|, то трещины
.возникнут вначале в сечении I и соотношение lAfj: ЛГц| начнет
уменьшаться. Обратная картина будет при AfTi  AfTn> | Allyn :
: -Miiyn | 
Экспериментальные и теоретические исследования указывают
на то, что тенденция в перераспределении усилий, которая наме-
тилась после образования трещин, обычно сохраняется вплоть до
разрушения. Поэтому соот-
ношение моментов трещи-
нообразования к исходному
соотношению моментов в
критических сечениях эле-
ментов является важным па-
раметром перераспределе-
ния усилий,особенно у пред-
варительно - напряженных
конструкций, где на момент
трещинообразования может
существенно влиять предва-
рительное напряжение (см.
главу 5, п. 2).
В некоторых случаях си-
туация может сложиться
17
Рис. 7. Диаграмма перераспределения
усилий, описываемая соотношением
а, б, в — растущее перераспределение усилий;
? — уменьшающееся перераспределение усилий
так, что после возникновения трещин во всех критических облас-
тях отношения жесткостей вернутся к первоначальным значени-
ям. Тогда распределение моментов будет таким же, как это сле-
дует из теории упругости. Последнее справедливо лишь до тех
пор, пока деформации бетона сжатой зоны не зайдут в область
пластических деформаций, так как пластические деформации не
равномерны и оказывают большее влияние на жесткость, чем са-
мо возникновение трещин. При эксплуатационных нагрузках бе-
тон сжатой зоны еще работает упруго и соотношения жесткостей
близки к подсчитанным по теории упругости. Поэтому понятно,
что многое зависит от статической схемы конструкции и схемы
загружения, а также от способа армирования. Как показали
точные решения нескольких случаев загружения и вида рамных
систем, выполненные А. И. Козачевским [17], А. И. Козачев-
ским и С. М. Крыловым [18], распределение усилий в стадии
эксплуатации (т. е. после возникновения трещин) в сущности не
отличается от распределения, подсчитанного по теории упруго-
сти. Узловые моменты увеличиваются максимально на 8%. Одна-
ко даже улучшенное размещение арматуры не влияет значитель-
но на распределение усилий. Если же уменьшить количество
арматуры в узлах на 25% по сравнению с количеством, получае-
мым из расчета по теории упругости (при соответствующем уве-
личении количества арматуры в межопорных сечениях), это не
окажет заметного влияния на распределение усилий. Только,
снизив расход арматуры на 50%, отмечается уменьшение узло-
вого момента в стадии эксплуатации на 10%.
Бракел [54], однако, обращает внимание на возможность
возникновения больших отклонений, которые могут повлиять на
надежность колонн. В сжатых элементах жесткость не уменьша-
ется из-за трещин, поэтому они относительно более жесткие и
переносят большую долю нагрузки.
Для некоторых конструкций выравнивание жесткостей в ста-
дии эксплуатации вообще невозможно. К ним относятся прежде
всего конструкции, монтируемые из предварительно-напряжен-
ных элементов / или II категории трещиностойкости, замоноли-
чиваемых дополнительно в стыках. После возникновения трещи-
ны в обычном железобетоне произойдет перемещение моментов
на предварительно-напряженные части конструкции, в которых
трещины отсутствуют. Новое распределение усилий не изменится
и при эксплуатационных нагрузках, так как при этих нагрузках
трещин в предварительно-напряженных элементах не возникает.
А. И. Козачевский [17] в своих исследованиях зафиксировал
уменьшение моментов на опоре на 32% в сравнении с величиной,
установленной по теории упругости при одновременном возра-
стании моментов в пролете на 73%. И, наоборот, было выяснено,
что с точки зрения перераспределения усилий и его конечных ре-
зультатов сборные железобетонные конструкции ведут себя так
же, как и монолитные конструкции [33, 136].
18
Г л а в a 2
ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ
НА ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
1. РАБОЧАЯ ДИАГРАММА СЕЧЕНИЯ
Кривизна линии изгиба. В главе 1, п. 2 было показано, что
перераспределение усилий зависит от деформативных свойств
критических сечений и прилегающих участков. При этом дефор-
мативные свойства сечения определяются его рабочей диаграм-
мой, за которую обычно принимается зависимость между изги-
бающим моментом А4 и кривизной линии изгиба % (см. рис. 2).
В общем же случае зависимость [М, х] имеет еще и так назы-
ваемую нисходящую ветвь (рис. 8). После достижения макси-
мального изгибающего момента Alp разрушения сечения еще не
происходит; оно еще в состоянии и дальше деформироваться од-
новременно со снижением изгибающего момента. Сечение разру-
шится только с достижением предельной кривизны хр. Нисходя-
щую ветвь рабочей диаграммы можно использовать лишь там,
где это позволяет сделать либо характер загружения, либо кон-
струкция элемента, т. е. если используется способность элемента
к деформированию. В практических расчетах учет нисходящей
ветви рабочей диаграммы наталкивается на затруднения, кото-
рые усложняют решение. А так
как помимо всего прочего влия-
ние нисходящей ветви рабочей
диаграммы на несущую способ-
ность конструкции положитель-
но, то возвращаться к таким ра-
бочим диаграммам не будем, а
условимся, что зависимость [А4,
х] и другие зависимости, вы-
текающие из нее, всегда бу-
дут иметь вид, изображенный на
рис. 2.
Рис. 8. Диаграмма зависимости
[М, х] с нисходящей ветвью А
Рис. 9. Деформация участка стержня под действием изгибающего момента и
осевой силы
а—сечение элемента; б — кривизна элемента; в —деформация полностью работающего
сечения
19
Прежде всего следует пояснить, от чего зависит кривизна
линии изгиба х. Рассмотрим участок обычного или предвари-
тельно-напряженного железобетонного стержня, нагруженного
постоянным изгибающим моментом М и осевой силой N
(рис. 9). Пусть нейтральная ось проходит на расстоянии х от
крайнего сжатого волокна. В ее уровне напряжения и деформа-
ции сечения будут нулевые, поэтому исследуемый отрезок
стержня будет иметь в этом месте ту же длину, что и перед на-
чалом загружения. Крайние сжатые волокна бетона, в отличие
от этого, сократятся на длину а'а"’, а растянутая арматура на
уровне своего центра тяжести удлинится на отрезок с'с". Длина
волокна ЬЬ' останется без изменения. Относительные деформа-
ции бетона и арматуры будут следующие:
Из геометрических соотношений вытекает, что
а' а"	х с' с" ho — х
ЬЬ'	р ’ ЬЬ' р
где р — радиус кривизны линии изгиба.
Подставив в уравнения значение х= 1/р, после ряда пре-
образований получим выражение для кривизны линии изгиба:
или после исключения х:
Относительную деформацию бетона от сжатия 8б подстав-
ляем в уравнение (1а) со знаком минус. Если рассматриваемый
участок элемента работает в упругой области, т. е. если бетон-
ная часть сечения работает полностью, включая растянутую зону,
то относительную деформацию крайнего сжатого волокна мож-
но представить так:
, Об N М Хр
6 ~ ~Eq = E6Fn ~ Е61п ’
где Ра и /п — соответственно площадь и момент инерции при-
веденного сечения; Eq — модуль упругости бето-
на; Хо — удаление центра тяжести приведенного
сечения от крайнего сжатого волокна.
20
После подстановки значения 8б в уравнение (1а) получим:
х =	(4)
хо \ Еб Fп	Е$ /п )
при этом удаление нейтральной оси от сжатого края сечения
равно:
х=х°-^-
Аналогичное выражение можем получить из уравнения (2).
После возникновения трещины установление кривизны ли-
нии изгиба формально становится более сложным делом, так
как необходимо знать деформацию сечения при исключенном
растяжении бетона. С возникновением трещины бетонная часть
сечения под нейтральной осью в месте прохождения трещины
уже не работает. На участке между трещинами, вследствие
имеющегося сцепления арматуры с бетоном, часть растягива-
ющих напряжений перейдет на бетон. В этом случае деформа-
ции сжатого бетона и растянутой арматуры не будут одинако-
выми по длине элемента. Они достигнут максимума в месте
возникновения трещины, а в промежутке между ними будут
минимальными. Поэтому для дальнейших рассуждений устано-
вим понятие средних относительных деформаций растянутой
арматуры
83.0? = % 8а	(5)
и средних относительных деформаций крайнего сжатого волок-
на бетонной части сечения
8б.ср =^бвб-	(6)
Относительные деформации sa и 8б относятся к сечению с
трещиной, коэффициенты фа^1, фб^1 учитывают неравномер-
ность продольных деформаций на участке между трещинами.
Для определения значений еа и 8б примем некоторые допуще-
ния (рис. 10):
а)	при деформациях сечение остается плоским;
Рис. 10. Распределение усилий и деформаций в сечении при эксплуатационной
нагрузке для установления кривизны х
21
б)	напряжение в сжатых волокнах бетона Об постоянно и за-
дано выражением
0б = ®б Eq;
в)	напряжение в сжатой арматуре
г)	в площадь сжатой арматуры включается только та ее
часть, которая расположена не далее чем на х/2 от сжатого
края сечения.
В этих допущениях ее — деформация крайнего сжатого во-
локна в месте образования трещины; уЕв— модуль упругости
бетона; Еа — модуль упругости стали; х — расстояние от нейт-
ральной оси до сжатого края сечения, которая устанавливается
исходя из вышеизложенных допущений. В действительности до-
пущение «а» не выполняется, так как в месте возникновения
трещины сечение не может оставаться плоским. Тем не менее в
дальнейшем будем его придерживаться, поскольку это намного
упрощает изложение. Без такого допущения требовалось бы
определять положение нейтральной оси по особым формулам
[9]. Более подробно этими вопросами занимался Я. М. Неми-
ровский [31]. Допущение «б» также не выполняется при эксплу-
атационных нагрузках, что учитывается коэффициентом v. В из-
гибаемых элементах со сжатой зоной прямоугольной формы
v=’/2; эту величину можно приблизительно принять и для
иных форм сечений. Коэффициентом v можно учесть и возмож-
ную ползучесть бетона при воздействии долговременной на-
грузки.
Следует заметить, что по экспериментальным наблюдениям
при длительном нагружении высота сжатой зоны почти не меня-
ет своего значения и остается практически такой же, как при
кратковременном нагружении. В этом случае при вычислении
длительных деформаций можно воспользоваться значением вы-
соты сжатой зоны, полученным для определения кратковремен-
ных деформаций. Так как известно, что
(7)
tfa	О'б
еа =	; eg = “ ,
то задача сводится к нахождению аа и сто*
Напряженное состояние сечения можно описать нормальной
силой N, приложенной в центре тяжести растянутой арматуры и
моментом внешних сил М3 также относительно центра тяжести
растянутой арматуры. Тогда
„	, Л •
(Уя ~~~~	Г	>
* zFa Fa
М3
z * СП
где z — плечо внутренней пары сил (см. рис. 10);
(8)
(9)
22
Реп — приведенная площадь сжатой зоны сечения, опреде-
ляемая по формуле
Еа >
Если выражения (8) и (9) подставить в (5) и (6), то получим,
что
(И)
Фа ( Мз
®acP EaFa \ z ‘
______ Фб_______Мз
Еб-СР ^б^сп 2
По аналогии с формулой (3) кривизну линии изгиба можно
выразить через средние относительные деформации:
(Ю)
% e ga-cp е1:£Р_ .	(12)
Подставляя (10) и (11) в (12), после преобразования по-
лучим
Мз / Фа , Фб ) , . N фа
Лог \EaFa + ^E6F6 c h<) EaFa '	1
Следует отметить, что в этой формуле N будет со знаком
минус, если она вызывает сжатие.
Если же в уравнении (13) ЛГ=О, то М3=М. Тогда, ис-
пользуя соотношение (1), получим выражение для определения
жесткости при изгибе
Фа Фб
EaFa + ^б^б.с
Приняв фа=1 и фб==1, можем выражение (14) перевести в из-
вестную формулу
В = EaFa z (ha -х).	(15)
Отметим, что в формулах (14) и (15) отсутствуют парамет-
ры, характеризующие прямоугольную форму эпюры напряже-
ния в бетоне. Она имеет значение лишь при определении вели-
чин х и 2. Таким образом, обе формулы для вычисления жест-
кости справедливы во всем интервале, когда бетон не работает
на растяжение. Это важно знать, учитывая возможности их
использования при высоких уровнях напряжений. Надо заме-
тить, что член Еб, который находится в формуле (14) путем
преобразования, сохраняется в величине х (15).
В случае простого изгиба (т. е. когда Л43=Л4) при опреде-
лении фа можно воспользоваться полуэмпирическим уравнени-
ем, предложенным в работе [2]
Л4бт
фа=1,3-Х-дГ-.	(16)
23
Коэффициент % учитывает длительность действия нагрузки
(при кратковременном загружении Л= 1,1, при долговременном
Х=0,8); Мб.т — момент образования трещин в неармированном
сечении.
Для сечений, подвергнутых простому изгибу:
Л16.т = «;Пт>	(17)
где —прочность бетона при центральном растяжении;
ТГб.т — момент сопротивления сечения без учета арматуры
при условии пластической работы растянутого бе-
тона.
Для прямоугольных сечений, а также тавровых и двутавро-
вых (рис. 11) можно считать, что
Гб т = 0,29 6 Л® + (0,75 Fсв + 0,15 f'cb) ,	(18)
где b и h — размеры, принятые в соответствии с рис. 11; КСв и
Fcb~ площади свесов растянутой и сжатой полок.
Если Afg.T : ‘М> 1, то это соотношение принимается равным
единице. Максимально возможное значение для фа— также
единица (фа>1 не имеет физического смысла).
Коэффициент фб зависит от распределения трещин. По дан-
ным экспериментальных исследований его значение составляет
примерно 0,9. При использовании некоторых методов расчета,
а также в теоретических работах употребляется понятие кри-
визны при разрушении хр. Ее можно вычислить по формуле
(1а), если принять, что 8б=®бр и х—хр. Тогда
Величина евр обычно известна заранее. Высота сжатой зоны
хр определяется при расчете несущей способности сечения.
Рис. 11. Схема двутаврового
сечения
24
Иногда за рабочую диаграмму сечения принимается зависи-
мость между изгибающим моментом и взаимным поворотом
концевых сечений пластической зоны или же сечений, примыка-
ющих к пластическому шарниру (см. главу 1, и. 2 и рис. 2,в).
Рабочая диаграмма в целом влияет на меру перераспреде-
ления усилий, т. е. на отношение действительной несущей спо-
собности U к несущей способности t/макс*, подсчитанной из
предположения, что произошло полное перераспределение уси-
лий. Мера перераспределения усилий будет меняться также в
зависимости от того, что принять за действительную несущую
способность конструкции. Если, например, за несущую способ-
ность U принять разрушение одного сечения, то отношение U :
: ^макс будет тем больше, чем большие пластические деформа-
ции произойдут вблизи отдельных критических сечений.
Для оценки деформативных свойств сечения удобно приме-
нить рабочую диаграмму сечения, приведенную к предельным
значениям, т. е. зависимость [(М/Мр, (х/хр) ] (рис. 12). При
идеально упругой работе сечения приведенная диаграмма будет
иметь вид прямой, проходящей через начало координат. Из
теории пластичности следует, что мера перераспределения уси-
лий зависит от площади R (заштрихованная часть на рис. 12).
Чем больше эта площадь, тем большей будет мера перераспре-
деления усилий. Очевидно, что площадь R увеличивается по
мере приближения отношения AfT/Afp к единице и соотношения
хт/хр— к нулю. Так как хт всегда больше нуля, то последнее
условие выполняется, если хр->-оо. Чтобы перераспределение
усилий было полным, достаточно, если хр окажется столь вели-
ко, что сечение сможет перенести все деформации, которые не-
обходимы данной статической схеме и нагрузке для достижения
разрушающих моментов во всех критических сечениях.
В некоторых случаях меру перераспределения усилий можно
оценивать с помощью так называемого коэффициента деформа-
тивности, который обычно характеризуется отношением
вх — 7-р/7тр»
или же
== ^р/^гр»
Чем больше значения сх, с®, тем выше мера перераспреде-
ления усилий [80]. Подробным изучением влияния различных
значений последних на коэффициент деформативности занима-
лись М. 3. Кон и С. К. Гош '[63].
Для иллюстрации приведем один из результатов, получен-
ных Ферри Боржешем с соавторами [78]. Ими исследовались
теоретические модели защемленных с двух сторон балок посто-
янного сечения, симметричного к двум взаимно перпендикуляр-
ным осям, применительно к различным приведенным рабочим
* Более подробное определение УмаКс дано в главе 5, п. 1.
25
диаграммам, состоящим из двух прямых отрезков (так называ-
емая билинеарная рабочая диаграмма). Процесс перераспреде-
ления усилий для двух рабочих диаграмм сечения, изображен-
ных на рис. 13,6, приведен на рис. 13,в.
В первом случае приведенная рабочая диаграмма прибли-
жается к линейной и будет справедлива, если предположить
упругое поведение конструкции. Во втором случае, наоборот,
она приближается к диаграмме, соответствующей полной пла-
стичности. Разница в изменении моментов очень заметна. В то
время как в первом случае практически не произошло никакого
перераспределения усилий, во втором случае моменты в крити-
ческих сечениях почти сравнялись. В первом случае действи-
тельная разрушающая нагрузка qv оказалась на 6% больше,
чем подсчитанная по теории упругости <7р.уП- Во втором случае
она больше на 28%. В табл. 1 приведены отношения, получен-
ные для конструкций различных типов с различными рабочими
диаграммами.
На определенном уровне загружения конструкции важно об-
ратить внимание, как изменяется кривизна вдоль оси элемента.
До тех пор, пока в элементе не возникли трещины и зависимость
между моментом и кривизной линейная, изменение кривизны
происходит по формуле (4). Для простой балки постоянного
сечения эпюра кривизны будет колинеарной по отношению к
эпюре моментов. Однако как только появятся трещины, дефор-
мации бетона и арматуры будут концентрироваться вблизи них.
В этих местах кривизна вырастает иногда даже в несколько раз
по сравнению со средней, что наглядно продемонстрировано на
примере балки (рис. 14), загруженной двумя сосредоточенными
грузами. Если бы трещины в балке отсутствовали, то кривизна
на отрезке между силами осталась бы постоянной. В действи-
Рис. 13. Зависимость перераспределе-
ния усилий от характера приведенной
рабочей диаграммы сечения [(М[МР),
(х/хр)]
а —схема балки; б — рабочие диаграммы
(/, 2); в — график перераспределения уси-
лий в соответствии с принятыми диаграм-
мами
Рис. 14. Изменение кривиз-
ны к на длине элемента при
определенной нагрузке
теоретическое изменение; 2—
действительное изменение
26
Таблица l.Mepa распределения U/U№SlKC для различных конструкций, ти-
пов нагрузок и приведенных рабочих диаграмм [77]
X	/ Z гр * Р					0,2	0,3	0,4
М / м гр * р					0,9	0,85	0,8
Конструктив- ная схема	с				0,91	0,86	0,83
	А				0,88	0,82	0,79
					0,86	0,78	0,75
	д — к" ’i.				0,97	0,96	0,95
	д	Е		а				0,98	0,96	0,94
	-.1.1 				0,9	0,86	0,84
тельности же она значительно меняется. Концентрация кривиз-
ны бывает тем выше, чем больше расстояние между трещинами.
При деформации внутренние силы в элементе должны проде-
лать определенную работу, чему препятствует жесткость эле-
мента между трещинами. Поэтому деформации концентрируют-
ся в местах пониженной жесткости. В момент разрушения
кривизна очень заметно возрастает в месте разрушения. Послед-
нее имеет определенные границы, которые не зависят от длины
напряженной области, а только от типа усилия.
Можно сказать, что концентрация кривизны в месте образо-
вания трещины улучшает перераспределение усилий, при этом
поведение конструкции более соответствует предположениям,
используемым в методе предельного равновесия, изложенным в
главе 5, п. 1. Из-за концентрации кривизны может случиться
так, что фактическая мера перераспределения усилий ока-
жется больше подсчитанной теоретически, поскольку при рас-
чете мы обычно имеем дело со средним значением кривизны при
27
разрушении. Последнее подтверждается и экспериментальными
данными.
В следующих главах книги будет рассмотрено влияние ряда
факторов на рабочую диаграмму сечения, т. е. и на меру пере-
распределения усилий. В основном эти сведения получены из
экспериментов. Подробные теоретические исследования влияния
отдельных факторов на деформативные свойства железобетон-
ных сечений Кон и Гош [63] выполнили с помощью ЭВМ.
Бетон. В формуле (13) свойства бетона учтены модулем де-
формативности vE&=E^3i, который помимо всего прочего влия-
ет на плечо внутренней пары сил z и на приведенную площадь
сжатой части сечения FCn- Чем меньше модуль деформативно-
сти на данной стадии загружения, тем большей будет кривизна
х. Обычно это верно для всей зависимости [Af, х], а не только
для той ее части, которая соответствует эксплуатационным на-
грузкам. Модуль деформативности задан рабочей диаграммой
бетона (рис. 15), его величина уменьшается с ростом напряже-
ния. Модуль деформативности непосредственно зависит от
модуля упругости £б, т. е. в конечном счете от прочности бетона.
В случае долговременного загружения конструкции коэффи-
циент v зависит от влажности среды, окружающей конструкцию.
Таким образом учитывается влияние ползучести бетона. Коэф-
фициент фб практически не зависит от свойств бетона.
Проанализируем далее формулу (19) для подсчета кривизны
хр. Из нее следует, что значение хр зависит от предельной де-
формации бетона 8б.р. Если рассматривать предельную относи-
тельную деформацию бетона ев.р как величину, соответствую-
щую призменной прочности бетона /?Пр, не принимая во внима-
ние нисходящую ветвь рабочей диаграммы, то можно с некото-
рым приближением считать, что при данных условиях предель-
ная относительная деформация бетона не зависит от прочности
Рис. 15. Рабочая диаграмма
бетона
Рис. 16. Зависимость [Л1, •&] для же-
лезобетонной балки
/—слабое армирование (хомуты с навив-
кой и без нее); 2— переходное армирование
(хомуты). 3—то же, с навивкой в сжатой
эоне; 4— сильное армирование (хомуты);
5— то же. с навивкой
28
бетона. Зарубежные нормы дают для еб.р значения от —0,0020
до —0,0035, которые можно считать относительно низкими.
В действительности же в элементах с обычным поперечным
армированием относительные деформации оказываются в сред-
нем несколько большими и достигают примерно —0,004. Ис-
пользуя мощное поперечное армирование сжатой зоны, напри-
мер, в виде спиральной арматуры, при необходимости можно
искусственно повысить предельные относительные деформации
бетона, как это рекомендует А. Бейкер [44], вплоть до —0,01.
Значение спирального армирования скажется лишь в том слу-
чае, если на несущую способность будет влиять прочность
бетона на сжатие, т. е. у изгибаемых переармированных эле-
ментов и сечений с переходным армированием, когда предел
текучести в арматуре наступает одновременно с исчерпанием
прочности бетона, а у внецентренно-сжатых элементов при слу-
чае II разрушения. В сечениях, разрушающихся от растяжения
(случай I), спиральное армирование не имеет практического
значения. Это подтверждается результатами испытаний железо-
бетонных балок, выполненных Г. Д. Бейзом и И. Б. Ридом [49].
На графике зависимости [ (-М/Мпл), Ф] (рис. 16) видно влияние
спирального армирования бетона сжатой зоны. Момент Л1Пп,
с которым соотносятся изгибающие моменты, соответствует в
слабо армированных сечениях моменту достижения арматурой
предела текучести, а в сильно армированных сечениях — нача-
лу отслаивания бетона.
В работе [138] даются результаты испытаний предваритель-
но-напряженных балок таврового и двутаврового сечений. На
рис. 17 показаны диаграммы зависимости прогиба в момент
разрушения /р от степени поперечного армирования бетона
сжатой зоны прямоугольными спиралями. Степень армирования
„ объем спиральной арматуры
определена соотношением ц = ----------------------——-----.
объем бетона внутри навивки
Диаграмма 5 на рис. 16 показывает, что обмотка бетона
сжатой зоны может благоприятно воздействовать на несущую
способность элемента. На практике, однако, спиральное арми-
рование бетона сжатой зоны почти не применяется из-за конст-
руктивно технологических трудностей, за исключением некото-
рых случаев особо ответственных конструкций.
Как уже указывалось, форма эпюры напряжений бетона
сжатой зоны не влияет существенно на разрушающий момент
Afp. Так, с изменением величины хр, вызванным изменением
формы эпюры напряжений, будет другим и плечо внутренней
пары сил. Для упрощения расчета по определению несущей
способности элемента используется эпюра напряжений прямо-
угольной формы. В формуле для вычисления %р плечо внутрен-
ней пары сил отсутствует, поэтому при использовании прямо-
угольной эпюры' напряжений значение кривизны при разруше-
нии получается большим, чем, к примеру, при использовании
29
Рис. 17. Зависимость прогиба
/р образца от степени армиро-
вания сжатой зоны навиваемой
арматурой при его разрушении
параболической эпюры. Ниже бу-
дет показано, как это учитывать
при расчете.
В общем можно сказать, что ме-
ра перераспределения усилий будет
большей для бетона низкой проч-
ности, имеющего пониженные моду-
ли деформативности и относительно
большие предельные относительные
деформации. Однако при использо-
вании явления перераспределения
усилий не следует ограничиваться
только бетонами низкой марки.
Свойства бетона могут быть учтены
в расчете различными способами
(см. главы 4, 5).
Арматура. Влияние рабочей диа-
граммы арматуры. Для армирова-
ния железобетонных конструкций
используется в основном сталь двух
типов с физическим пт и условным
<То2 пределами текучести. К первому
типу можно отнести также стали с
высокой пластичностью, условный
предел текучести которых <тоа мож-
но считать одновременно и физиче-
ским (рис. 18). Сталь первого типа
используется в основном как нена-
прягаемая арматура, но иногда ее
могут применить и как напрягаемую. Сталь второго типа при-
меняется практически только как напрягаемая арматура. Сталь
каждого из двух типов в связи с различиями в диаграммах рас-
тяжения неодинаково влияет на перераспределение усилий.
Рассмотрим вначале обычные железобетонные изгибаемые
элементы или сжатые с большим эксцентрицитетом по случаю
I разрушения1. Сечение элемента должно быть запроектировано
так, чтобы при исчерпании несущей способности разрушение
происходило одновременно от раздробления бетона сжатой
зоны и чрезмерных деформаций арматуры. Начало разрушения
совпадает с достижением в арматуре предела текучести, что
вызывает рост деформаций в бетоне вплоть до его раздробле-
ния (это зависит от степени армирования сечения). В силу
пластичности стали сечение, перед тем как разрушиться, спо-
собно выдержать значительные деформации. Площадь 7? под
Рис. 18. Рабочая диаграмма
стали
1— сталь с условным пределом теку-
чести (Т02; 2—сталь с предполага-
емым пределом текучести; 3— сталь
с физическим пределом текучести
1 В сжатых сечениях с малым эксцентрицитетом (случай II разрушения)
пластические свойства арматуры не будут использованы и поэтому не окажут
никакого влияния на перераспределение усилий.
30
приведенной рабочей диаграммой увеличивается, а мера пере-
распределения усилий возрастает. У полностью растянутых се-
чений несущая способность зависит только от свойств арматуры.
Практически же при решении проблемы перераспределения
усилий в рамных конструкциях с такими сечениями встречаться
не приходится1.
Если в предварительно-напряженных элементах в качестве
напрягаемой арматуры использовать сталь с физическим преде-
лом текучести, то мера перераспределения усилий будет приб-
лизительно такой же, как и в обычных железобетонных конст-
рукциях. При использовании стали с условным пределом теку-
чести <То2 все зависит от вида разрушения. При заданных меха-
нических свойствах стали решающим окажется степень армиро-
вания сечения. При разрушении от раздробления бетона сжатой
зоны высота ее хр относительно большая, поэтому кривизна мр
при разрушении окажется малой. Площадь R будет меньше,
чем в случае с элементами из обычного железобетона, что не-
благоприятно повлияет на меру перераспределения усилий. При
разрушении от растяжения (разрыва арматуры) ради упроще-
ния будем считать, что одновременно произойдет и раздробле-
ние бетона. Относительная высота сжатой зоны при разрушении
будет примерно такой же, как и у обычного железобетонного
сечения одинаковой несущей способности. В этом случае кривиз-
на при разрушении получит более благоприятные значения.
Мера перераспределения усилий будет при этом теоретически
такой же, как у простых железобетонных конструкций. В то же
время необходимо помнить, что на практике почти не встреча-
ются сечения предварительно-напряженных статически неопре-
делимых конструкций, разрушающиеся от растяжения.
Влияние поверхности арматуры. В дополнение к рабочей ди-
аграмме важной характеристикой арматуры является ее поверх-
ность, а точнее говоря, способность ее передавать усилия на
бетон посредством сцепления. Поверхность арматуры непосред-
ственно влияет на частоту расположения трещин. Чем более
эффективна с точки зрения сцепления ее поверхность, тем мень-
ше расстояние между трещинами. Расстояния между трещинами
при использовании горячекатаной стержневой арматуры перио-
дического профиля или гладкой, а также гладкой проволоки
(при равенстве всех остальных условий) находятся примерно в
отношениях 0,7 : 1 : 1,25.
Как было показано в главе 2, п. 1, с ростом расстояния
между трещинами продольные деформации концентрируются в
областях, примыкающих к трещинам, или же вблизи критиче-
ских сечений. Концентрация деформаций (поворотов) подтверж-
дает предположение, что концентрация пластических зон
1 Тем не менее при расчете статически неопределимых ферм зависимость
между продольной деформацией стержня и действующей в ней осевой силой
может найти применение.
3i
происходит вблизи действительных пластических шарниров.
В результате потери или уменьшения сцепления увеличивается
свободная длина арматурного стержня, от которой прямо зави-
сит поворот пластического шарнира.
Из вышеизложенного ясно, что арматура с гладкой поверх-
ностью более выгодна с точки зрения использования деформа-
тивных свойств конструкции. Тем самым у напрягаемой
проволочной арматуры частично компенсируются недостатки,
связанные с формой рабочей диаграммы. Однако такой вывод
имеет ограниченную действенность. Нельзя утверждать, что с
точки зрения перераспределения усилий полезно было бы стре-
миться к нарушению сцепления или, например, обойтись без
инъецирования пучков в каналах конструкций с натяжением
арматуры на бетон. Исключение сцепления привело бы к чрез-
мерной концентрации деформаций, воспринять которую бетон
был бы не в состоянии, а перераспределение усилий произошло
бы лишь в ограниченной мере. Кроме того, исключение сцепле-
ния окажет неблагоприятное влияние на статическую работу
конструкции и ее долговечность.
Виды арматуры. Из разъяснений, изложенных выше, выте-
кает, что для конструкций, с точки зрения перераспределения
усилий, наиболее выгодна арматура с гладкой поверхностью,
имеющая физический предел текучести. На основании прове-
денных исследований, [21, 88, 25] было сказано, что неблаго-
приятное влияние других видов арматуры (обычной или на-
прягаемой) не столь значительно, чтобы можно было говорить о
практическом отсутствии перераспределения усилий. При ис-
пользовании сталей с ярко выраженным пределом текучести
(т. е. классов A-I, А-П и А-Ш) можно при расчете конструкции
воспользоваться методом предельного равновесия, изложенным
в главе 5, с учетом принятых ограничений главы 5, п. 2. При ар-
мировании элемента сталью более высокого класса, не имею-
щей физического предела текучести, следует воспользоваться
методом, изложенным в главе 4, хотя в статически ясных слу-
чаях не исключается и применение метода предельного равно-
весия с учетом ограничений, изложенных в главе 5, п. 2.
Степень армирования сечения продольной растянутой арма-
турой ц оказывает решающее влияние на форму диаграммы за-
висимости [Л4, %]. Это воздействие начинает проявляться уже
при нагрузках, предшествующих моменту образования трещин.
С увеличением степени армирования момент инерции приведен-
ного сечения также растет. Влияние степени армирования ста-
новится наиболее заметным после возникновения трещин.
Формулу (13) для сечения при простом изгибе можно перепи-
сать в следующем виде:
х = —~	। Фе
/io z \ Eq Fa	v Efi Fсп
где М = Мз — изгибающий момент, действующий в сечении.
(20)
32
Из уравнения следует, что с увеличением площади сечения
арматуры Fa уменьшается х (одновременно растет и Fcn). По-
добную картину получим и для сжатой арматуры. Результаты
испытаний, полученные Г. Д. Бейзом и И. Б. Ридом [49] и изо-
браженные на рис. 16, наглядно демонстрируют влияние степени
армирования сечения.
Аналогичные заключения получаются, если речь идет о кри-
визне «р при исчерпании несущей способности. Для железобе-
тонных сечений с одиночной арматурой получим выражение
где —предел текучести арматуры; Rn?— призменная проч-
ность бетона; а — характеризует величину равнодей-
ствующей усилий в сжатой зоне сечения.
Если теперь в уравнение [19] подставить значение хр, то по-
лучим
еб.р ^~пр
7р = — а-------.
11 2 <
Из этой формулы следует, что увеличение степени армирова-
ния р, уменьшает хр. Таким образом, выводы о влиянии степени
армирования на характер зависимости [Л4, х] справедливы и
для предварительно-напряженных элементов. На рис. 19 пока-
заны экспериментально установленные рабочие диаграммы се-
чений серии предварительно-напряженных балок прямоуголь-
ного сечения с различной.степенью армирования. Балки арми-
ровались свитыми высокопрочными проволоками '[158].
Из вышеизложенного следует, что с ростом степени армиро-
вания площадь 7? под приведенной рабочей диаграммой умень-
шается; одновременно уменьшается и мера перераспределения
усилий. Эти соображения подтверждены результатами опытов
на неразрезных балках со слабо или же сильно армированными
сечениями [20, 23]. При этом влияние степени армирования
всегда проявлялось уже на ранних стадиях перераспределения
усилий. Последнее обстоятельство необходимо учитывать при
расчете. В главе 5, п. 2 будет показано, какие условия в части
степени армирования необходимо выдержать, чтобы мера пере-
распределения U: £/Макс была достаточной и при расчете конст-
рукции можно было бы использовать метод предельного равно-
весия.
Осевая сила, усилие предварительного напряжения и его
эксцентрицитет. Влияние осевой силы на кривизну х учтено в
формулах (4) и (13). Сжимающая осевая сила N вызывает
уменьшение кривизны1. Это справедливо и для кривизны при
1 Подробный анализ этого влияния применительно к железобетонным кон-
струкциям выполнен в работе М. Ямады, X. Кавамуры [166].
2 Зак -’3©	33
Рис. 19. Зависимость [М, х] в
предварительно-напряженных бал-
ках различной степени армирова-
ния, полученная экспериментально
/— разрушение от сжатия бетона 2—
разрушение от разрыва арматуры; 3—
одновременное разрушение бетона и ар-
матуры
Рис. 20. Зависимости кривизны от
действия моментов и нормальных
сил
а — нормальные силы, приложенные с
эксцентрицитетом; б — то же, по оси
Рис. 21. Влияние осевой силы
на приведенную рабочую диа-
грамму прямоугольного сечения
со степенью армирования ц =
=0,01; n=N/bhoR*p
Рис 22. Зависимость [М, х] для дву-
таврого сечения при различном экс-
центрицитете вн усилия предваритель-
ного напряжения
разрушении сечения, так как под воздействием сжимающей осе-
вой силы увеличивается высота сжатой зоны. В предельном
случае при центрально-сжатом сечении хр->оо, а кривизна хр->0.
Если осевая сила растягивающая, то соотношения будут по-
добные.
Неблагоприятное влияние сжимающего усилия проявится
только в зоне разрушений от сжатия (т. е. при случае II разру-
шения). В зоне разрушений от растяжения (случай I разруше-
ния) разрушающий момент с ростом Np будет увеличиваться
(рис. 20,а), вследствие чего почти полностью будет сглажено
неблагоприятное воздействие уменьшения кривизны при разру-
шении (рис. 20,6). Приведенная рабочая диаграмма сечения
34
остается примерно такой, как и при Np—0. Лишь после того как
изгибающий момент достигнет максимального значения Мр,
площадь 7? под приведенной рабочей диаграммой начнет умень-
шаться (рис. 21). Однако это не повлияет значительно на меру
перераспределения усилий, так как осевая сила вызовет увели-
чение длины пластической зоны /Пл-
Под предварительным напряжением сечения будем подразу-
мевать любую внешнюю силу [например, в формуле (13)]
независимо от того, вызвана ли она внешним загружением или
усилием от предварительного напряжения арматуры. Влияние
предварительного напряжения на рабочую диаграмму сечения
будет таким же, как у сжимающей осевой силы. Выражаясь фи-
гурально, предварительное напряжение съедает часть деформа-
ционной способности сечения. Тем не менее окончательный
результат зависит от эксцентрицитета усилия предварительного
напряжения.
На рис. 22 изображены рабочие диаграммы двутаврового
сечения, в котором усилие предварительного напряжения имело
разный эксцентрицитет ен [96]. В большинстве случаев на из-
менение характера диаграммы [М, х] влияют изгибающий мо-
мент МИ и кривизна хн, вызванные усилием предварительного
напряжения NH. А так как предварительное напряжение осуще-
ствляется с таким расчетом, чтобы благодаря ему сечение
работало упруго, то влияние эксцентрицитета можно пояснить
исходя из схемы, представленной на рис. 23. Для ненапряжен-
ного сечения (т. е. при Аы=0) можно построить зависимость
[Л1*, х*], относящуюся к системе координат 1. Здесь значения
моментов и кривизн измеряются начиная с момента, когда в изу-
чаемом сечении М*=0 и х*=0. Предположим теперь, что после
создания в арматуре усилия предварительного напряжения фор-
ма зависимости останется прежней, а изменится лишь положение
системы координат, начало которых сместится вдоль соответст-
вующих осей на величину Мп и хн. Таким образом получим но-
вую зависимость, относящуюся уже к новой системе координат 2.
Поскольку речь идет об упругой стадии работы, то разумеется,
что значения Мн и хн прямо пропорциональны эксцентрицитету
ен. С точки зрения работы конструкции, находящейся под дейст-
вием внешней нагрузки, решающей является не исходная, а
действительная зависимость, отнесенная к системе координат 2.
Из характера рабочей диаграммы сечения далее следует, что
|А4В : Afp| > |хн : хр|, т. е. предварительное напряжение больше
влияет на моменты, чем на кривизны.
Форма диаграммы [Af, х] зависит и от предварительного на-
пряжения в арматуре. Если предварительное напряжение мало,
то деформативные свойства арматуры нельзя использовать пол-
ностью. Кроме того, чтобы обеспечить надежность конструкции
по трещиностойкости, потребуется компенсировать недостаточ-
ный уровень предварительного напряжения большим процентом
Заве 336
35
Рис. 23. Смещение начала системы
координат рабочей диаграммы се-
чения при действии усилий от
предварительного напряжения,
приложенных с эксцентрицитетом
1— система координат при ЛА =0, 2—
система координат для сечения, обжа
того с эксцентрицитетом ен
Рис. 25. Концентрация пластиче-
ских деформаций балки в зоне на-
клонной трещины
Рис. 24. Влияние поперечной силы
на поворот в пластическом шарнире
армирования, о неблагоприят-
ном влиянии которого на пере-
распределение усилий говори-
лось выше. Поэтому рекомен-
дуется максимально использо-
вать напрягаемую арматуру
и обеспечивать качественное
заполнение каналов при инъе-
цировании [20]. Необходимо
обратить внимание на влияние
добавочных моментов, возни-
кающих от предварительного
напряжения в статически неоп-
ределимой конструкции, но их
в целом, а не для
воздействие оценивается с позиций системы
каждого сечения.
Поперечная сила. Влиянию поперечной силы на рабочую диа-
грамму сечения и вообще ее влиянию на перераспределение уси-
лий в конструкции начали уделять повышенное внимание только
в последние годы. Это связано с исследованием несущей способ-
ности конструкций при действии поперечной силы. Учитывая при
этом характер разрушения и поведение зоны, в которой возникла
наклонная трещина, в опытах вместо кривизны х измеряется •&,
т. е. взаимный поворот сечений, примыкающих к пластической
зоне. Проведенными теоретическими и экспериментальными ис-
следованиями [43, 72, 119, 142] подтверждается благоприятное
влияние, которое оказывает на предельный поворот сечений ком-
бинация среза с изгибом. Наглядно это видно из рис. 24 (опыты
Бахмана) [43]. В соответствии с этой схемой поворот в пла-
стическом шарнире опорного сечения неразрезной двухпролет-
ной балки, загруженной сосредоточенными силами, оказался в
36
3 раза больше, чем в случае загружения только изгибающим
моментом. К подобным выводам пришел и Дилгер, который со-
проводил их теоретическим анализом. .Из последнего следует, что
составляющая поворота в пластическом шарнире, вызванная
поперечной силой, зависит также от размещения поперечной ар-
матуры. Значение 9<?, характеризующее прирост пластического
поворота от воздействия поперечной силы, например, для балки
с вертикальными хомутами, нагруженной сосредоточенными си-
лами, равно:
0Q =	7’ПЛ^0>
а при наклонных хомутах (под углом 45°)
^пл^о,
о
где ho — полезная высота сечения; хПл — пластическая составля-
ющая кривизны при воздействии только изгибающего
момента без поперечной силы.
Монье [119] теоретически определил увеличение предель-
ной кривизны при наличии поперечной силы примерно на 15% по
сравнению со случаем чистого изгиба. В противовес этому
В. Крэнстон и Г. Рейнольдс [70] не наблюдали никакого
увеличения деформации от воздействия мощных поперечных сил-
Иногда даже, наоборот, отмечалось незначительное ее уменьше-
ние. Возрастание поворота в пластическом шарнире при действии
поперечной силы можно объяснить концентрацией деформаций в
месте возникновения наклонной трещины (рис. 25).
Положение наклонной трещины в конструкции с обычным ар-
мированием почти всегда определено точно, в то время как рас-
положение трещин в зоне постоянного изгибающего момента слу-
чайно; трещин всегда бывает несколько и концентрация дефор-
маций не так интенсивна (максимально проявляется лишь перед,
разрушением). На концентрацию деформаций, наконец, влияет и
депланация сечений, происходящая в зоне действия поперечной
силы.
Количественных данных о благоприятном влиянии попереч-
ной силы пока что сравнительно мало, поэтому в расчете оно &о
сих пор не учитывается. Сделаны попытки включить в формулы
для подсчета пластических поворотов влияние поперечных сил,
но выполнено это на основании экспериментальных данных, при
которых воздействие поперечных сил не выделялось самостоя-
тельно. По мнению некоторых авторов (Л. Н. Зайцева и
И. А. Гороховой [15]), благоприятного влияния, поперечных сил
на повороты концевых стержней не наблюдалось, в то время как
их влияние заметно сказалось на прогибах. В общем можно счи-
тать, что поперечные силы не оказывают неблагоприятного влия-
ния на деформационные свойства конструкции, а следовательно,.
37/
й на перераспределение усилий. Поэтому при установлении па-
раметров деформаций, необходимых для расчета, влиянием по-
перечных сил можно пренебречь1.
2. СТАТИЧЕСКАЯ система
Эпюра моментов и краевые условия. В главе 1, п. 2 анализи-
ровалось поведение балки постоянного сечения, симметричного
по отношению к двум взаимно перпендикулярным осям, с дву-
сторонним защемлением концов. Балку загружали сосредоточен-
ными силами или равномерно распределенной нагрузкой. В пер-
вом случае перераспределения усилий не происходило, во втором
же случае отношение моментов в критических сечениях менялось
значительно. Причина этого скорее всего в том, что соотношения
моментов в критических сечениях в начале загружения отлича-
лись от соотношения разрушающих моментов или моментов тре-
щинообразования. В общем, можно сказать, что здесь определя-
ющую роль играет расположение эпюры моментов по отношению
к основной стороне. Большое значение имеет и величина пласти-
ческих зон вблизи критических сечений, которая зависит от фор-
мы эпюры моментов.
Анализируя влияние обоих факторов, для упрощения ограни-
чимся рассмотрением конструкций из элементов постоянного се-
чения, симметричного по отношению к двум осям. Если бы
сечение было переменным, то потребовалось бы еще иметь в виду
расположение и форму эпюры разрушающих моментов или же
эпюры моментов образования трещин (см. главу 2, п. 2).
Расположение эпюры моментов в исследуемом пролете не-
разрезной балки или рамы задается краевыми условиями, напри-
мер степенью заделки, длиной прилегающих пролетов неразрез-
ной балки, жесткостью стоек рамной конструкции и т. д. Крае-
вые условия зависят также от загружения прилегающих частей
конструкции, которые могут вносить в исследуемый пролет зна-
чительные отрицательные моменты. Чтобы показать значение
краевых условий, рассмотрим балку с частичной двусторонней
заделкой концов (как бы представляющей внутренний пролет
неразрезной балки), загруженную сосредоточенной силой посре-
дине пролета и равномерно распределенной нагрузкой. Исследу-
ем различные соотношения моментов
Случай в соответствии с рис. 26, а. Соотношение моментов
| МфМ21 < 1. Момент трещинообразования здесь будет достигнут
прежде всего в межопорном сечении, жесткость в нем умень-
шится и абсолютные значения опорных моментов начнут отно-
сительно возрастать. С образованием трещин на опорных участ-
ках соотношение моментов вернется частично к первоначальной
1 К такому выводу можно прийти при рассмотрении конструкций с l/h0>
>8, при меньших значениях ljh0 влиянием поперечных сил на деформации
пренебречь нельзя. (Прпмеч. науч, ред.)
38
величине. Пластическая же зона в пролете будет постоянно
относительно большей, чем вблизи опор, поэтому опорные мо-
менты с ростом нагрузки будут увеличиваться быстрее, чем мо-
менты в пролете. Если сечения обладают достаточными пласти-
ческими свойствами, то может произойти полное перераспреде-
ление усилий.
Случай в соответствии с рис. 26,6. Соотношение моментов
>1. Характер перераспределения усилий будет обрат-
ным по сравнению с предыдущим случаем, поэтому рассматри-
вать его подробнее не будем.
Случай в соответствии с рис. 26,в. Моменты над опорами и
в пролете равны по абсолютной величине. В этом случае тре-
щины возникнут во всех критических сечениях одновременно.
Пластическая зона в пролете, учитывая форму эпюры моментов,
должна расширяться быстрее, чем у опор. Поэтому соотношение
|ЛГ]/Л12| вырастет. Естественно, что приопорные участки зайдут
в область больших пластических деформаций и соотношение
снова станет равным единице или окажется еще
меньше.
Случай в соответствии с рис. 26,г. Образование трещин на-
чнется прежде всего в пролете. Большая протяженность плас-
тической зоны приведет к постоянному росту отношения
JAlx/Afa).
Произойдет ли в последних двух случаях полное перераспре-
деление усилий или не произойдет, будет зависеть от деформа-
тивных свойств сечений.
Обобщая сказанное выше, можно констатировать, что началь-
ное положение эпюры моментов, так же как и ее форма, одно-
значно влияют на начальную фазу перераспределения усилий в
балках постоянного и симметричного сечения. Однако этого не-
достаточно, чтобы получить ответ на вопрос, наступит ли полное
перераспределение усилий или нет.
Следует упомянуть и о влиянии так называемого распора
элементов, который также зависит от краевых условий и часто
существенно увеличивает 'несущую способность. Распор возни-
кает из-за того, что элемент (например, рамный ригель, плита)
Рис. 26. Различные положения и формы
симметричной эпюры моментов
Рис. 27. Сущность распора в
элементе
/—линия сжатия; 2— жесткие связи;
//—горизонтальная сила
3»
заделывается в жестких ‘связях (колоннах, краевых балках и
т. д.). При загружении элемента в нем начинает работать скры-
тая арка (рис. 27), горизонтальные реакции от которой воспри-
нимаются заделкой. Таким образом, в элементе возникает осевое
усилие, увеличивающее несущую способность. В случае плит
такой распор называется мембранной работой на сжатие. На
практике в рамных системах это явление пока не используется,
во-первых, из-за того, что оно недостаточно изучено и обобщено,
во-вторых, из-за сложностей, связанных с внедрением его в
практический расчет1. От его использования можно ожидать
довольно значительную экономию арматуры. Более подробно
вопросами распора занимались А. А. Гвоздев [5, 6, 7],
Г. С. Григорян [12], И. Гийон [83], Л. Н. Зайцев [15], А. Ли-
бенберг [105], С. М. Крылов, А. И. Козачевский [22] и др.
Элементы переменного сечения. До сих пор иами рассматри-
вались элементы постоянного сечения. Практически же элемен-
ты обычных и предварительно-напряженных железобетонных
конструкций имеют преимущественно переменное сечение. Под
этим подразумевается не только изменение геометрической фор-
мы сечения, но и степени армирования, эксцентрицитета усилия
предварительного напряжения и т. д. Последние обычно имеют
большее значение, так как, например, степень армирования
влияет на пластическую зону вблизи критического сечения. Как
правило, нас больше всего интересуют не изменение сечения по
длине элемента, а характеристики критических сечений (момен-
ты трещинообразования, разрушающие моменты, кривизны при
разрушении и т. д.) и отношения между ними. Характеристики
сечений и их .взаимные отношения совместно с эпюрой моментов
дают достаточное представление о возможностях перераспреде-
лений усилий. Иногда достаточно знать лишь некоторые из них,
чтобы определить, произойдет ли в конструкции перераспределе-
ние усилий и в какой степени. В ряде случаев для этого нужно
знать лишь степень армирования. Практическое использование
этих данных приведено в главе 5, п. 2.
Чтобы понять процесс перераспределений усилий, рассмот-
рим балку с двусторонней заделкой концов, загруженную сос-
редоточенной силой посредине пролета. Пусть эта балка имеет
постоянную жесткость вплоть до возникновения первой трещи-
ны. Тогда на этой первой стадии работы |	= 1.
Пусть несущая способность Л1р каждого сечения будет оди-
наковой для положительного и отрицательного изгибающих мо-
ментов. Рассмотрим два случая. В первом случае пусть Л1Т1 <
<AfT, • При некоторой нагрузке Рт появятся трещины на при-
опорных участках. Жесткость при изгибе этих участков умень-
шится, а рост моментов в пролете ускорится (рис. 28,а). После
1 В «Руководстве по расчету статически неопределимых железобетонных
конструкций» (М., Стройиздат, Т975) дан приближенный метод учета воздей-
ствия распора на железобетонные конструкции (Примеч. науч, ред)
40
Рис. 28. Перераспределение усилий в
балке переменного сечения с двусторон-
ним защемлением концов
а - МТ1<М т2; б - Мт1,>Мт2
Рис. 29. Критические сече-
ния в балке с вутами при
двустороннем защемлении
концов
а — балка, запруженная равно-
мерно распределенной нагрузкой!
б, в — возможные схемы появле-
ния пластических шарниров
Рис. 30. Типы узлов рам и их затру- Рис. 31. Расположение трещин в уз-
жеиие	лах рам, изображенных на рис. 30.
возникновения первых трещин в зоне балки непосредственно
под нагрузкой отношение жесткостей частично выровняется.
При нагрузке Рр в сечении 2 изгибающий момент достигнет зна-
чения Мр и балка разрушится. В то же время несущая способ-
ность сечения 1 не будет исчерпана. Положение эпюры момен-
тов показано на схеме загружения. Пример можно было бы сос-
тавить и так, чтобы достигалось полное перераспределение уси-
лий (т. е. одновременное разрушение обоих критических сече-
ний) или же чтобы разрушение произошло по сечению 1. Нужно,,
однако, уяснить, что нельзя всегда точно судить о результате пе-
рераспределения усилий, если известны лишь некоторые харак-
теристики сечений. Во втором случае пусть будет Л4Т1>-Мт2.
Предоставим здесь читателю возможность самому разобрать
процесс перераспределения усилий. Возможен, например, ва-
риант в соответствии с рис. 28, б.
41
Отметим, что у конструкции с элементами переменного сече-
ния критические сечения не обязательно будут располагаться
в местах действия максимальных изгибающих моментов, под-
считанных по теории упругости. Ими могут оказаться и проме-
жуточные сечения, вблизи которых возникнут пластические де-
формации. Последние могут служить причиной перераспределе-
ния усилий. На практике такие случаи не встречаются, так как
соответствующее им армирование оказалось бы нелогичным и
противоречило бы принципам конструирования, ведя к перерас-
ходу арматуры. Некоторые методы расчета исключают такие
случаи уже на стадии основных предпосылок (см. главу 4, п.З).
При расчете по теории упругости большое влияние на рас-
пределение усилий в конструкции оказывают вуты. Повышен-
ная жесткость элемента в области вутов вызывает сдвижку из-
гибающих моментов, ведущую к разгрузке участков без вутов.
Как только, однако, конструкция перестает работать упруго,
вуты теряют свое значение с точки зрения перераспределения
усилий и решающими становятся области вблизи критических
сечений. Теоретически возможны три случая размещения крити-
ческих сечений в зоне вутов: в сечениях с минимальной жест-
костью, максимальной жесткостью и в каком-либо промежуточ-
ном сечении (см. пример балки с заделкой по обоим концам,
загруженной равномерно распределенной нагрузкой, рис. 29).
Чаще всего при обычной конструктивной схеме встречается
случай, изображенный на рис. 29, б. Если деформационная спо-
собность зоны максимальных моментов достаточна, то вуты
практически никак не повлияют на перераспределение усилий в
конечных фазах, что подтверждают эксперименты М. 3. Кона и
В. А. Петку [65]. Они влияют лишь на деформации конструкции.
Особый случай элемента переменного сечения — конструк-
ция, монтируемая из предварительно-напряженных балок с по-
следующим замоноличиванием опор и добетонировкой из обыч-
ного железобетона.
Рамные узлы. При расчете рамных конструкций важно объ-
яснить поведение узлов рамы при нагружении после возникнове-
ния трещин. На практике встречается несколько возможных
случаев, которые схематически изображены на рис 30 (показа-
ны только преобладающие моменты). Отдельные случаи качест-
венно отличаются один от другого в зависимости от того, как
в них располагаются трещины. Допустим, что на узел не дейст-
вуют моменты, кроме показанных на рис. 30. Трещины в эле-
ментах будут располагаться в соответствии со схемами, пред-
ставленными на рис. 31. У случаев al, а2, 61 и 52 моменты од-
ного знака, и развитию трещин в узле ничто не препятствует.
Можно предположить, что пластические зоны начинаются в те-
оретическом узле.
Случаи el и в2, наоборот, отличаются тем, что трещины не
проходят через узел, а возникают лишь в месте заделки. В слу-
42
чае el это объясняется влиянием нормальной силы, действую-
щей перпендикулярно нагруженному стержню. Если бы этой
силы не было, то трещины возникли бы и внутри узла, несмот-
ря на теоретическое увеличение сечения. В случае в2 появлению
трещины препятствует конфигурации узла и характер действу-
щих моментов. В связи с тем что в теоретическом узле изгиба-
ющий момент меняется скачкообразно, то в нем должна была
бы возникнуть наклонная трещина. Однако это невозможно.
Макки [114], а также Е. Барнет и Р. Тренберт [55] выяснили,
что в случае el кривизны в месте заделки на начальной стадии
оказываются меньше, чем это получилось из опытов с простыми
балками. Объяснить это можно тем, что область внутри узла
не влияет на деформативность. Однако с ростом нагрузки раз-
ница уменьшается. Влияние этого явления на общий поворот в
пластической зоне настолько мало, что им можно пренебречь.
Тогда для случаев el и е2 следует предположить, что плас-
тическая зона начинается от лицевой грани узла, что имеет зна-
чение для расчета.
При расчете с учетом перераспределения усилий можно ис-
пользовать все преимущества, которые связаны с действитель-
ной работой конструкции, по сравнению с теоретическим пред-
положением, заложенным, например, в нормах. Здесь имеются в
виду прежде всего сглаживание опорных моментов в неразрез-
ных балках, уложенных на широкие опоры, и редукция опорных
моментов у лицевой грани опоры, используемые у рамных конст-
рукций.
В любом случае не имеет значения, каким методом были
подсчитаны опорные моменты, так как и сглаживание и редук-
ция моментов определяются местными условиями работы кон-
струкции.
Осадка опор и другие воздействия. Добавочные моменты.
Осадку опор, влияние температуры, усадку бетона и другие по-
добные воздействия обычно называют побочными. Существуют
также добавочные моменты от предварительного напряжения
арматуры, которые проявляются прежде всего на упругой ста-
дии работы конструкции. При этом, естественно, моменты, осе-
вые и поперечные силы, возникающие в конструкции, еще до
приложения внешней нагрузки частично уменьшают ее деформа-
ционную способность.
У обычных железобетонных конструкций, как показано в
главе 2, предельная пластическая деформация оказывается
большей, чем у предварительно-напряженных конструкций. Поэ-
тому приведенные выше побочные воздействия не влияют столь
неблагоприятно на надежность такой конструкции с точки зре-
ния ее несущей способности. Возможно полное перераспреде-
ление усилий и при значительных побочных воздействиях, что
соответствует теоретическим предпосылкам при расчете мето-
дом предельного равновесия. Экспериментально этот факт прове-
43
рил ж. Эрнст [76] на двухпролетных балках (рис. 32), а позд-
нее подтвердил расчетом А. И. Козачевский [18]. Первую се-
рию балок, испытываемых Эрнстом, запружали сосредоточен-
ной нагрузкой в обоих пролетах. С самого начала загружения ,
одна балка опиралась на все три опоры, а у второй балки в со-
ответствии со схемой, показанной на рис. 32,6, внутренняя опора
подводилась после достижения арматурой предела текучести в
зоне между грузами. Далее нагружение велось вплоть до разру-
шения. Последнюю балку вначале загружали без крайних опор
(рис. 32,в) вплоть до достижения арматурой предела текучести
над внутренней опорой. После этого подводили крайние опоры
и увеличивали нагрузку. Во всех трех случаях была определена
несущая способность, которая соответствовала полному перерас-
пределению усилий. Аналогичные испытания проводились при
несимметричном запружении балок (рис. 32,а). Полученные ре-
зультаты не должны вести к переоценке деформационной спо-
собности конструкции в тех случаях, когда побочные воздейст-
вия значительны (конструкции горячих цехов, конструкции на
подрабатываемых территориях и т. д.). Нужна также осторож-
ность при оценке надежности железобетонной конструкции по
деформациям и ширине раскрытия трещин.
Предварительно-напряженные конструкции по сравнению с
конструкциями из обычного железобетона имеют меньший ре-
зерв пластических деформаций, что может неблагоприятно дей-
ствовать на меру перераспределения усилий. Наглядная ил-
люстрация этому — влияние добавочных моментов, возникаю-
щих при передаче усилия натяжения арматуры на конструкцию
вследствие статической неопределимости последней. Эти мо-
менты иногда существенно могут повлиять на рабочую диаг-
рамму критических сечений и прилегающих областей.
Рис. 32. Схемы испытаний неразрезиых ба-
лок с опускаемыми опорами
а, г — неподвижные опоры; б — осадка средней
опоры; в, д — осадка крайних опор соответствен-
но двух и одной
Рис. 33. Влияние вторичного
момента от усилий предвари-
тельного напряжения на харак-
тер зависимости i[Mf х]
44
Предположим, что зависимость [Л4, и] имеет вид в соответ-
ствии с рис. 33 (включая влияние предварительного напря-
жения). Если теперь на сечение будет действовать доба-
вочный момент от предварительного напряжения Л4н.доб того
же знака, что и момент от внешней нагрузки, то он исключит
часть момента трещинообразования Л4Т и, возможно, даже часть
разрушающего момента Мр, на что необходимо обратить серь-
езное внимание. При этом добавочные моменты, меняющиеся
линейно в некоторых пролетах конструкции, могут иметь на
всем протяжении, пролета одинаковый знак. Поэтому, например,
момент Л4н.доб в пролете погашает часть моментов Мг, Мр и, на-
оборот, увеличивает эти моменты над опорами.
Аналогично нужно оценивать и значение линейной транс-
формации напрягаемого пучка для перераспределения усилий.
С помощью линейной трансформации положение пучка (или
равнодействующей нескольких пучков) выбирается так, что оно
не меняется по форме, но эксцентрицитет его изменяется пря-
мо пропорционально с удалением сечений от опор. В местах
простого опирания концов или шарнирного соединения стерж-
ней эксцентрицитеты сохраняются без изменений. Линейная
трансформация меняет форму рабочей диаграммы сечения и
картину распределения добавочных моментов, а те, в свою оче-
редь, влияют на меру перераспределения усилий, что было вна-
чале теоретически доказано в работах М. Тихого [456], С. Ка-
уфмана и Дж. Мэймса [96] и затем экспериментально подтвер-
ждено М. Тихим [158].
Приведем результаты решения С. Кауфмана, Д. Мэймса. Не-
разрезную трехпролетную балку (см. рис. 34,а) нагружали со-
средоточенными силами посредине пролета. Арматурные пучки
имели параболическое очертание, как это показано на рис. 34.
Несущая способность конструкции была подсчитана методом
предельного равновесия, затем по общей теории пластичности
и теории упругости. На рис. 34 несущая способность сечения
над внутренней опорой дана в зависимости от эксцентрицитета
пучка еНь Подобные результаты получены и при испытании
двухпролетных балок в опытах Невилла [124].
Рассмотрим внимательнее рис. 34. Из него видно, что при
расчете методом предельного равновесия несущая способность
конструкции при линейной трансформации пучка изменяется
мало. Это вызвано тем, что изменение эксцентрицитета влияет
на напряженное состояние рабочей арматуры при исчерпании
несущей способности, а следовательно, и на разрушающий мо-
мент. Если предположить, что при разрушении сечения напря-
жение в арматуре при любом эксцентрицитете одно и то же, то
обнаружится, что линейная трансформация не влияет на несу-
щую способность конструкции вообще (см. главу 5, п. 2). Од-
нако при расчете по теории пластичности нельзя проходить ми-
мо влияния добавочных моментов. Особенно недопустимо про-
45
изводить распределение усилии, не оценив при этом предельно-
го состояния по трещинообразованию. На неправильность та-
кого подхода в связи с указаниями АС1 318—71 [41] обращали
внимание Т. Лин и К. Торнтон [107].
Явление устойчивости. Прежде всего необходимо уяснить, с
какими видами устойчивости можно встретиться у рамных кон-
струкций. Это достижение предела устойчивости в результате
поперечного выпучивания элемента конструкции при его изгибе.
Так выглядит явление, при котором происходит выпучивание
сжатой части элемента из
плоскости конструкции, вслед-
ствие чего сечения элемента
взаимно поворачиваются.
Встречается это и у «балок с
большим соотношением высо-
ты сечения к ширине, если
они недостаточно раскрепле-
ны, например при монтаже. В
статически неопределимых сис-
темах с этим случаем обычно
не приходится сталкиваться.
Следующая возможность
достижения предела устойчиво-
сти возникает при местной по-
тере устойчивости отдельного
сжатого элемента, например
стойки в рамной системе (рис.
35,а). В общем случае это мо-
жет быть внецентренно-сжа-
тый элемент, а его выпучива-
ние возможно в плоскости и из
плоскости рамы. Для предела
устойчивости элемента дейст-
вительны те же общие по-
ложения, что и для случая
его самостоятельной работы
Рис 34. Влияние линейной транс-
формации пучка на несущую способ-
ность неразрезной трехиролетной
балки
1— расчет по методу предельного равнове-
сия, 2— расчет по общей теории пластич-
ности: 3— расчет по теории упругости (се-
чение балки см. на рис. 22)
Рис. 35. Достижение предела устойчивости конструкции
а — при потере устойчивости стойки /, б — при полной потере устойчивости конструк
ции, в— при частичной потере устойчивости в случае горизонтального закрепления
верхнего угла 2 (в приведенных схемах показаны деформации, вызванные лишь откло
иением элементов из плоскости)
46
вне конструкции. Необходимо остановиться на следующем. При
выпучивании пластические деформации в элементе могут воз-
никнуть в тех местах, где при расчете ‘конструкции без учета
устойчивости их возникновение не ожидалось. Тем самым
уменьшается общая жесткость элемента, а при выпучивании
возможно ее уменьшение до нуля, что ведет к перемещению
усилий, например изгибающих моментов, на участки элементов,
которые сохранили жесткость, т. е. на ригели, или же происхо-
дит изменение положения пластических шарниров в самом эле-
менте. В этом случае могут увеличиваться узловые моменты и
изменится положение эпюры моментов.
И, наконец, последняя возможность — э'то потеря устойчи-
вости конструкции в целом (в плоскости ее или из плоскости).
При этом происходит или внезапное нарушение состояния рав-
новесия (у симметричных конструкций с симметричной нагруз-
кой), или же потеря устойчивости при постепенном росте де-
формаций конструкции (например, загруженных горизонталь-
ной нагрузкой). И в этих случаях происходят изменения в рас-
пределении усилий.
До сих пор при практическом определении предела устойчи-
вости предполагалось, что конструкция работает вплоть до пре-
дела устойчивости. И лишь при более точных решениях учиты-
вался модуль деформативности Кармана — Энгессера. При этом
общий подход к решению оставался прежним. В действитель-
ности же с точки зрения проблем устойчивости изменяющиеся
деформативные свойства конструкции существенно влияют на
ее поведение. Следует обратить внимание на два основных фак-
тора : а) снижение жесткости при изгибе после трещинообра-
зования; б) возникновение пластических зон или же пластичес-
ких шарниров.
Для внецентренно-сжатых элементов с большим эксцентри-
цитетом первый фактор увеличивает их гибкость и снижает та-
ким образом критическую нагрузку. У изгибаемых элементов
(например, рамных ригелей) снижается их общая жесткость, а
следовательно, и их раскрепляющая способность по отношению
к сжатым элементам системы.
Второй фактор изменяет расчетную длину сжатых элемен-
тов, действуя в благоприятном направлении, если длина умень-
шается, либо, наоборот, его влияние отрицательно, если рас-
четная длина увеличивается. Не претендуя на формулирование
общего правила, можно сказать, что первый случай встречается
у конструкций со смещаемыми узлами, а второй — у конструк-
ций с несмещаемыми узлами. Многое, конечно, зависит от вза-
имных отношений между жесткостями колонн и ригелей, а
также от развития пластических зон во всей системе.
При расчете рамной конструкции, у которой возможна по-
теря устойчивости, необходимо делать различие между конст-
рукциями со смещаемыми и несмещаемыми узлами [98]. Так как
47
на практике почти ии одна рама не гарантирована от переме-
щения узлов под воздействием жестких опор, следовало бы всег-
да рассматривать узлы как смещаемые. Этого не требуется, ес-
ли конструктивное выполнение здания обеспечивает жесткость
в горизонтальном направлении, особенно при наличии стен
жесткости и т. д., удовлетворяющих условию
где S (ЕГ)ж — суммарная жесткость при изгибе элементов,
раскрепляющих конструкцию;
S(£/)h0.n — суммарная жесткость при изгибе колонн.
Жесткости EI определяются для полных действующих се-
чений.
Критерий того же назначения дается в нормах DIN 1045 [73j.
Жесткость конструкции считается удовлетворительной, если
н ТТеТж	^22>
где Н — общая высота конструкции; SN— сумма всех верти-
кальных нагрузок, действующих на конструкцию;
2(£7)ж — имеет то же значение, что и в формуле (21).
Значение а зависит от числа надземных этажей п:
при 1^п<4 а=0,2+0,1 и;
при п^4	а=0,6.
Обоими критериями можно пользоваться при расчетах по
теории упругости и теории пластичности.
Перед достижением конструкцией предела устойчивости, а
также накануне исчерпания ее несущей способности не из-за
потери устойчивости происходит развитие пластических зон.
При этом наблюдается тесное взаимодейтвие между явлениями
устойчивости и перераспределением усилий. Нельзя с опреде-
ленностью утверждать, что одно или другое явление преобла-
дает над остальными, поэтому невозможно решение устойчивос-
ти конструкции заменить соответствующей переработкой реше-
ния перераспределения усилий и наоборот.
В принципе можно сказать, что при изучении устойчивости
конструкции с учетом ее пластических свойств можно исходить
из тех же предположений и использовать те же методы, что и
при расчете по теории упругости [79].
В главе 4, п. 3 указано одно из возможных решений, однако
следует признать, что теоретическое изучение явлений устойчи-
вости железобетонных конструкций с учетом пластических
свойств материала только начинается, хотя к настоящему вре-
мени накоплено много данных об устойчивости отдельных эле-
ментов. Речь идет о задаче, решать которую на практике весь-
ма затруднительно. Поэтому при проектировании временно не-
обходимо пользоваться приближенными методами и конструк-
48
тивными мероприятиями, приводимыми в нормах. Этим в прин-
ципе должно обеспечиваться превышение предела устойчивости
над несущей способностью конструкции, подсчитанной без уче-
та возможной потери устойчивости. Собственно, ход решения
зависит от метода расчета, который используется. Если же в
конструкции встречаются ярко выраженные гибкие сжатые
стержни (с соотношением /о/^>6О), то, учитывая недостатки
более точной теории, следует при проектировании исходить из
перераспределения усилий, подсчитанных по теории упругости.
Устанавливая расчетную длину элемента, необходимо также
принимать во внимание работу конструкции после возникнове-
ния пластических зон.
В последнее время проблеме устойчивости рам в пластичес-
кой стадии работы уделяется все большее внимание. Краткий
анализ работы стальных рам приведен в [91 и 106]. Исследо-
вания работы железобетонных рам ( с учетом деформативных
свойств конструкций) проводились в 1970 г. Бейкером и М. Ти-
хим [160]. Можно полагать, что в ближайшие несколько лет
будут получены удовлетворительные практические результаты.
3. НАГРУЗКА
Однократная кратковременная и долговременная нагрузки.
Нагрузка действует на перераспределение усилий двумя спосо-
бами: с одной стороны, своим расположением, влияние которо-
го сказывается на форме и расположении эпюры моментов, с
другой стороны — длительностью своего действия или же его
повторением. Изучением влияния нагрузки по первому способу
мы уже занимались в главе 2, где выяснилось, что эпюра мо-
ментов зависит от выбранной статической системы конструк-
ции.
В обычных железобетонных конструкциях при эксплуатаци-
онных нагрузках всегда имеются трещины, поэтому при них
уже частично происходит перераспределение усилий. Распреде-
ление усилий в этом случае не соответствует теории упругости.
Это обстоятельство необходимо учитывать при оценке деформа-
ции конструкции. Эксплуатационная нагрузка складывается из
кратковременной и долговременной. К долговременной составля-
ющей относятся не только все постоянные нагрузки, но также
некоторые временные. Соотношение кратковременных и долго-
временных нагрузок у железобетонных конструкций различно.
Оно меняется в зависимости от типа конструкций и ее предназ-
начения.
Для оценки влияния кратковременной и долговременной на-
грузок воспользуемся. формулой (13). Длительность действия
нагрузки учитывается в ней модулем деформат,ивности бетона
vEq и коэффициента фа. При долговременной нагрузке. у£’б бы-
вает меньше, чем при кратковременной (при этом играют роль
49
гигрометрические условия при эксплуатации конструкции).
Коэффициент фа растет с увеличением продолжительности дей-
ствия нагрузки. Результирующая кривизна х при долговре-
менной нагрузке всегда больше, чем при кратковременной. Это
справедливо и для кривизны хр при разрушении.
Таким образом, можно сказать, что долговременная нагруз-
ка может благоприятно влиять на перераспределение усилий.
Практическое же значение от использования этого фактора не-
велико, так как перегрузки при долговременных нагрузках
встречаются реже, чем в случае с кратковременными нагрузка-
ми. В то же время влияние долговременных нагрузок оказыва-
ется неблагоприятным с точки зрения уменьшения прочности
бетона, возрастания прогибов и т. д. По этим соображениям
при проектировании не учитывается влияние длительности дей-
ствия нагрузок на перераспределение усилий.
На процесс и результаты перераспределения усилий влияет
также последовательность приложения нагрузки на конструк-
цию. Пусть, например, имеется балка с защемленными конца-
ми. Если эту балку загрузить вначале равномерно распреде-
ленной нагрузкой, которая вызовет изменение жесткостей в об-
ластях критических сечений, а затем приложить к ней сосредо-
точенное усилие, то, начиная от места приложения сосредото-
ченной нагрузки, распределение усилий будет соответствовать
жесткостям, получившимся при загружении балки равномерно
распределенной нагрузкой. Решение этой проблемы возможно,
но лишь при использовании некоторых более точных методов
общей теории пластичности [52]. В обычных условиях значение
их практического применения невелико. В будущем вследствие
усложнения конструкций можно ожидать, что иногда при оцен-
ке надежности их работы это явление придется учитывать.
Повторные нагрузки. На конструкцию могут действовать
повторные нагрузки двух типов. К первому типу относятся та-
кие, число повторения которых за время жизни конструкции
мало. Обычно предполагается, что они не влияют на механиче-
ские свойства материала. Ко второму типу относятся нагрузки,
часто повторяющиеся, сопровождаемые иногда динамическим
воздействием. Ожидается, что они неблагоприятно влияют на
свойства материала, поэтому если такие нагрузки встречаются,
то требуется оценивать выносливость конструкций. Такая клас-
сификация нагрузок исходит из свойств материала без учета
поведения самой конструкции как единого целого.
Неблагоприятными могут оказаться и нагрузки первого ти-
па, как только их величины превысят значения, с которыми
обычно встречаются при эксплуатации. При этом необходимо
различать два основных случая.
Если нагрузки знакопеременные, т. е. если они могут дейст-
вовать в некоторых частях или на всей длине конструкции по-
переменно навстречу одна другой (рис. 36), то некоторые эле-
50
Рис 36. Конструкции,
подвергающиеся деист
вию знакопеременных на-
грузок (на конструкцию
действуют силы Pi или
Л)
Рис. 37 Конструкция под
циклической нагрузкой
Сечение Л в простой раме
подвергается действию пере
менкой нагрузки
Рис. 38. Зависимость полной деформации / образца от числа циклов нагруже
ния п и зависимость деформации Afoo от нагрузки Р (Ртр— нагрузка на гра-
ни упругой работы конструкции; Рд ст—нагрузка на пределе стабилизации
работы конструкции)
менты конструкции могут оказаться загруженными так, что
в них будут происходить пластические деформации сечения по-
переменно для изгибающих моментов противоположного знака.
В результате в некоторых сечениях наступит разрушение. В
принципе здесь имеют место процессы, природа которых близка
по характеру к усталости материала. Разница лишь в том, что
усталость материала проявляется после большого числа повтор-
ных нагружений (порядка миллиона), в то время как описы-
ваемый процесс наступает уже после нескольких повторных
нагружений в пластической стадии. Это явление называют
прочностью при немногократно повторных нагрузках1.
Второй тип повторных нагрузок составляют циклические на-
грузки. Так называют нагрузки, которые не действуют попере-
менно навстречу одни другим, однако повторяются с одним
знаком в регулярных или нерегулярных циклах (рис. 37).
1 В оригинале — малоцикловая усталость. (Примеч. переводчика.)
51
Иногда некоторые сечения могут нагружаться по очереди.
Пусть, например, имеются две нагрузки. При действии одной
из них могут возникнуть либо пластические зоны, либо пласти-
ческие шарниры вблизи некоторых критических сечений, но при
этом конструкция не разрушается. После снятия первой нагруз-
ки приложим вторую, которая сама по себе также не вызовет
разрушения конструкции, но создаст в ней другие пластические
зоны. Если теперь вернуться к первоначальной нагрузке, то она
будет действовать на конструкцию с большим числом пласти-
ческих зон, чем это было раньше. Деформации конструкции
намного возрастут, и она разрушится. Такое разрушение (кото-
рое, однако, не должно наступить сразу же при первом- цикле)
называют деформационным исчерпанием несущей способности'.
Если подсчитать значение деформационной несущей способ-
ности, то оно всегда оказывается меньше, чем несущая способ-
ность, установленная из предположения полного перераспреде-
ления усилий.
В ряде случаев, когда отдельные нагрузки еще не достигли
определенного значения, нарастание длительных деформаций при
действии переменных и циклических нагрузок приостанавлива-
ется. В конструкции устанавливается остаточное состояние на-
пряженности и каждое последующее повторение нагружения
вызывает лишь упругие деформации (рис. 38). В этом случае
говорят о стабилизации работы конструкции. Нагрузки, соот-
ветствующие пределу стабилизации, явно меньше тех, которые
соответствуют прочности при немногократно повторных нагруз-
ках или деформационному исчерпанию несущей способности.
Обе нагрузки на пределе стабилизации нельзя установить
прямым расчетом. Для их определения необходимо выполнить
довольно трудоемкие вычисления. Решение разработано пока
только для случая самых простых стальных конструкций, рабо-
чую диаграмму которых можно заменить билинеарной упруго-
пластической зависимостью ![32]. Как только рабочая диаграм-
ма приобретает общенелинейный, характер, решение становится
очень сложным.
Для железобетонных конструкций проблематика повторных
нагружений еще более усложняется, так как при повторных за-
гружениях, близких к несущей способности, изменяется стати-
ческая система конструкций (например, простая балка начинает
работать, как арка с затяжкой и т. п.). Эти изменения могут
весьма заметно (иногда даже благоприятно) влиять на поведе-
ние конструкции. Данных по этому вопросу пока еще недо-
статочно, но тем не менее последние работы [52, 82] показы-
вают, что ключ к решению проблемы — в изучении совместной
работы арматуры с бетоном (сцепления).
При повторном загружении уменьшается сцепление армату-
1 В оригинале — деформационный коллапс. (Примеч. переводчика.)
52
ры с бетоном, особенно у стержней периодического профиля
(учитывая расклинивающее воздействие последнего), что всег-
да снижает жесткость конструкции. На несущую же способ-
ность это заметно не влияет, если обеспечена достаточная анке-
ровка арматуры. Далее выясняется неблагоприятное воздейст-
вие усадки и ползучести бетона, которые нарушают остаточное
напряженное состояние, необходимое для стабилизации конст-
рукции. Если остаточная напряженность теряется, то деформа-
ции конструкции приобретают вновь неупругий характер и нас-
тупает деформационное исчерпание несущей способности.
В практике проектирования обычно не встречаются с проб-
лемой повторного нагружения первого типа, характеризующего-
ся малым числом повторений (см. главу 3).
О повторных загружениях второго типа предполагается, что
они не превосходят обычных эксплуатационных значений наг-
рузок. При проектировании вводим их в расчет в виде норма-
тивных значений и оцениваем по ним несущую способность на
усталость. Загружение конструкции многократно повторной на-
грузкой, вызывающей разрушение, происходит на уровне экс-
плуатационных нагрузок и ни в коем случае не выше (напри-
мер, при расчетных нагрузках). Имеющиеся теоретические дан-
ные не указывают на отсутствие перераспределения усилий
вследствие предшествующего многократно повторного загру-
жения. В то же время известно, что такое загружение вызывает
в конструкции напряженное состояние, характер которого изу-
чен недостаточно и которое может оказать неблагоприятное
влияние на меру перераспределения усилий. Эксперименталь-
ных данных по этому вопросу не имеется. Поэтому для 'конст-
рукций, работающих на усталость, нельзя рекомендовать ис-
пользование перераспределения усилий.
Подвижная нагрузка. При оценке влияния подвижной наг-
рузки на перераспределение усилий необходимо прежде всего
знать, как она влияет на деформативные зависимости [М, х] и
[М, б].
Если пренебречь тем, что подвижная нагрузка обычно явля-
ется повторным запружением, то невозможно доказать теоре-
тически, что подвижная нагрузка каким-либо образом действу-
ет на характер зависимости [М, х]. Пока что это подтвержда-
ют только результаты испытаний простых железобетонных ба-
лок, выполненные Мак Грегором и др. [116].
Несколько иначе обстоят дела с зависимостью [М, б]. В
этом можно легко убедиться на примере простой балки (рис.
39). Загрузим ее сосредоточенной силой Р в точке 1 и начнем
увеличивать эту нагрузку до значений, при которых возникнут
трещины в зоне приложения силы на длине ь Переместим
теперь нагрузку в точку 2. В процессе перемещения вправо от
нагрузки начнут возникать дополнительные трещины. Длина
пластической зоны вырастет до значения /Пла Если нагрузка
53
Рис. 39. Развитие пластиче-
ской зоны в конструкции при
действии подвижной нагруз-
ки
а — загружение в точке Л б —
загружение в точке 2, в — сум-
марное при подвижной нагрузке
Рис 40. Диаграмма зависи
мости [ЛЦ -О'] ири нагруже-
нии конструкции сосредото-
ченными грузами
/— неподвижными, 2— подвиж-
ными
Р переместится из конца в конец
балки, то длина зоны, в которой
вследствие возникновения трещин
понизится жесткость, будет равна
/пл. Она окажется больше пластичес-
кой зоны балки при неподвижной
нагрузке. Если же движущийся груз
остановить посредине пролета и на-
чать его увеличивать вплоть до
разрушающей силы Рр, то взаимный
поворот О’* концевых сечений плас-
тической зоны будет, очевидно, ббль-
шим, чем поворот v для балки с
неподвижной нагрузкой. Это, разу-
меется, скажется и на характере за-
висимости [М, О] (рис. 40). Соотно-
шение (О*—-й) /О с ростом момента
М уменьшается, так как при более
высоких его значениях вблизи от
действующего груза начинается раз-
витие пластических деформаций. Их
влияние на изменение характера за-
висимости [М, О] является решаю-
щим в конечной стадии. Прибли-
женно разность О* — -0 можно счи-
тать постоянной. Разрушающий мо-
мент Мр в критическом сечении под
действием подвижной нагрузки не
меняется.
Аналогичное влияние подвижная
нагрузка оказывает во всех крити-
ческих областях статически неопре-
делимой конструкции, увеличивая
их деформативную способность,
утверждать, что подвижная нагруз-
Таким образом, можно
ка благоприятно влияет на меру перераспределения усилий. Эти
выводы справедливы только в том случае, если в конструк-
ции могут возникнуть трещины. Поэтому для предваритель-
но-напряженных конструкций воздействие подвижной нагруз-
ки на степень перераспределения усилий будет менее благо-
приятным, чем у обычных. В расчетах железобетонных конст-
рукций благоприятное влияние подвижной нагрузки пока не
учитывается.
54
Г л а в a 3
НАДЕЖНОСТЬ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
1.	ПОНЯТИЕ О НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Характеристика конструкции. Разрушение статически неоп-
ределимой рамной конструкции при спокойном загружении мо-
жет произойти разными способами, а именно:
а)	одно или несколько сечений разрушаются или от чрез-
мерных деформаций, или от разрыва арматуры, или от раз-
дробления бетона;
б)	какой-либо элемент разрушается по наклонному сечению
от потери сцепления арматуры с бетоном;
в)	конструкция либо ее часть или элемент теряют устойчи-
вость.
В последующих рассуждениях будем подразумевать, что
разрушения типа «б» и «в» полностью исключаются конструк-
тивными мероприятиями (выбором методов проектирования
и т. п.) и всегда имеется разрушение только одного типа «а».
Чтобы в дальнейшем объяснить понятие несущей способнос-
ти или же дать ему прямое определение, нужно составить об-
щее представление об отдельных фазах работы конструкции.
Допустим, имеется произвольная статически неопределимая
железобетонная конструкция, на которую действует определен-
ного вида нагрузка. Если эта нагрузка постепенно возрастает
от нуля, то в конструкции начнут появляться изменения, кото-
рые могут повлиять на возможность ее дальнейшей эксплуата-
ции. Эти изменения описываются каким-либо удобно выбран-
ным масштабом разрушения. Зависимости между нагрузкой S
и степенью разрушения Г можно изобразить графически (рис.
41).
При нагрузках, не превышающих
SH,степень разрушения Г незначительна,
тях конструкции уже и возникли
трещины. Если же значение 5Н бу-
дет превышено, то ширина раскры-
тия трещин или деформации превы-
сят допускаемые значения ат.Доп,
/доа. В такой ситуации необходимо
или разгружать конструкцию, или
ее реконструировать. При еще боль-
ших перегрузках станут заметны
признаки начинающегося разруше-
ния (отслаивание бетона в одном
или нескольких критических сече-
ниях вследствие достижения услов-
ной несущей способности 17б), что
часто ведет к прекращению эксплу-
нормативное значение
хотя в некоторых час-
Рис 41 Характеристика конст-
рукции
/—стадия нагружения, после кото-
рой необходимы восстановительные
работы. 2—стадия нагружения, пос-
ле которой необходима разгрузка
конструкции; 3— стадия нагруже-
ния, при которой конструкция раз-
рушается
55
атации объекта Если при последующем загружения будет до-
стигнуто значение нагрузки t/i, то произойдет разрушение пер-
вого сечения конструкции. Далее при нагрузке S=t/K разру-
шится k сечений И, наконец, при максимально возможной на-
грузке S= t/макс произойдет полное исчерпание несущей спо-
собности, вследствие чего конструкция обрушится. Таким обра-
зом, будет достигнута максимальная степень разрушения При-
веденная зависимость называется характеристикой конструкции.
На оси нагрузок, показанных на рис 41, обозначены некото-
рые значения нагрузок, которые можно обобщенно назвать
сопротивлениями конструкции. К ним относятся нагрузки, вы-
зывающие высокую степень разрушения, которые соответству-
ют Несущим СПОСОбнОСТЯМ Уб, Уц UK, t/макс.
Для некоторых обычных и для большинства предваритель-
но-напряженных железобетонных конструкций представляют
интерес нагрузки, при которых возникают первые трещины (так
называемый предел образования трещин Т). Отдельные сопро-
тивления зависят от механических свойств конструкции и вида
загружения, которое на нее действует. Если же меняется вид
нагрузки, длительность ее действия, повторяемость и т. д., то
значения сопротивлений будут другими, так как они относят-
ся уже к другим сечениям. Таким образом, для каждого воз-
можного вида нагрузки существует своя характеристика конст-
рукции.
Определение несущей способности. Характеристика конст-
рукции, показанной на рис. 41, наводит на мысль, что действи-
тельной несущей способности соответствует нагрузка, при кото-
рой конструкция полностью разрушается, так как именно она
является наивысшим достигнутым пределом. Нагрузка t/Mabc
определяется методом предельного равновесия (см. главу 5)
Однако намного раньше, при более низких значениях нагруз-
ки, конструкция уже перестает быть пригодной к эксплуатации,
так как при этом чрезмерно возрастают ее прогибы или же яв-
но просматриваются некоторые признаки начинающегося раз-
рушения, вызывающие у потребителя неуверенность в надеж-
ности конструкции С точки зрения эксплуатационной пригод-
ности конструкции за несущую способность следовало бы при-
нимать нагрузку Уб, при которой в каком-либо критическом се-
чении начиналось бы отслаивание бетона.
Определение несущей способности Уб через нагрузку, ей со-
ответствующую, наталкивается на препятствия методического
характера. До сих пор не существует однозначного математи-
ческого способа ее установления. Напротив, несущая способ-
ность t/i, соответствующая разрушению первого сечения, опре-
деляется относительно точно. Она получается очень близкой к
значению Уб, если, конечно, подсчеты вести в соответствии с
теорией пластичности.
56
Иногда случается, что одновременно с первым может разру-
шиться одно или несколько других сечений. Тогда
t/j = t/ц =	(22а)
и т. д., и можно сказать, что несущая способность статически
неопределимой железобетонной конструкции достигнута, если
разрушится хотя бы одно ее сечение. В дальнейшем изложении
примем именно это определение несущей способности. В неко-
торых случаях оно может быть справедливо лишь для какой-то
части конструкции (пролет неразрезной балки, сопряженной
рамы и т. д.). Если, например, в многоэтажном здании рамной
конструкции разрушается лишь один пролет, то это не всегда
ведет к полному прекращению эксплуатации здания, так как
оставшаяся часть конструкции может служить и далее, а раз-
рушенная часть не угрожает надежности всего объекта.
Из практики проектирования нельзя, однако, исключать и
определения полного исчерпания несущей способности, приво-
дящего к обрушению конструкции. Для многих случаев значе-
ния Ui и t/макс очень близки, при сохранении определенных ус-
ловий их можно считать тождественными, не опасаясь при
этом допустить большой ошибки в оценке надежности конст-
рукции. Из этого исходит методика предельного равновесия,
согласно которой в общем случае не принимаются во внима-
ние деформативные свойства материала (см. главу 5). Подсчет
несущей способности Имакс почти всегда значительно проще,
чем Ui.
Здесь уместно обратить внимание на различие понятий пол-
ного исчерпания несущей способности для железобетонных и
стальных конструкций. В то время как для железобетонных
конструкций это понятие непосредственно связывается с разру-
шением отдельных критических сечений, внешним признаком
полного разрушения стальной конструкции является ее чрез-
мерная деформация. Благодаря свойствам стали в конструкции
произойдет упрочнение материала и она окажется в состоянии
воспринимать дальнейший прирост нагрузки. А между тем
чрезмерные деформации сделают ее непригодной к эксплуата-
ции аналогично тому, как отслаивание бетона делает непригод-
ной к использованию железобетонную конструкцию.
Из рис. 41 видно, что несущую способность можно найги
также через нагрузку UK, при которой разрушится k сечений.
Но такой способ оказался бы неудобным из-за различной сте-
пени статической неопределенности отдельных конструкций
Кроме того, он был бы просто излишним.
Из определения (22а) исходят те методы расчета, которыми
учитываются деформативные свойства конструкции (см. главу
4). Его используют и тогда, когда при проектировании конст-
рукции не учитывается перераспределение усилий, а состоя-
ние напряженности определяется исходя из теории упругости.
57
За несущую способность Uya в этом случае принимается та на-
грузка, при которой в некоторых критических сечениях дости-
гается разрушающий момент. Из рассуждений, приведенных в
главах 1, 2 и далее в главе 5, следует, что всегда должно
быть справедливым неравенство
Цуч^^макс-	(23)
Однако отношение между t/уп и Ui уже не такое однознач-
ное В своей работе [156] М. Тихий обращал внимание на то,
что может быть неравенство
< t/yn,	(24)
т.	е что действительная несущая способность может оказаться
меньше подсчитанной по теории упругости. Впоследствии М. Ти-
хий подтверждает это экспериментально [159], а Кауфман и
Мэймс [96] теоретически В настоящее время возможность су-
ществования неравенства (24) признается повсеместно и счи-
тается само собой разумеющимся [111], хотя ранее считалось,
что нижней границей несущей способности является именно зна-
чение (7уп- Выражение (24) может быть справедливым и для
предварительно-напряженного железобетона, в то время как у
обычных железобетонных конструкций несущая способность
меньше (7уп практически не встречается
Изложенное выше доказывает многозначность понятия не-
сущей способности у статически неопределимых конструкций1.
Вычислить несущую способность статически определимых кон-
струкций, где всего лишь одно критическое сечение, значитель-
но проще. За несущую способность здесь можно считать значе-
ние t/б, но обычно приходится иметь дело с несущей способ-
ностью, соответствующей полному разрушению сечения, т. е. с
(Л При этом, конечно, Ui=Um&kc, так как при разрушении од-
ного сечения наступает полное исчерпание несущей способности
(обрушение).
2 НАДЕЖНОСТЬ СТАТИЧЕСКИ
НЕОПРЕДЕЛИМЫХ КОНСТРУКЦИИ
Понятие надежности и случайный характер поведения конст-
рукции и нагрузки. Долгое время в практике проектирования
понятия надежность и экономичность рассматривались как вза-
имно противоречащие. Считалось, что обеспечение надежности
конструкции непременно ухудшает ее экономические показате-
ли. И наоборот, любое снижение расхода материала уменьша-
ет размеры конструкции, а следовательно, и снижает ее надеж-
ность. Вследствие этого конструкция рассматривалась как пас-
1 Понятие «несущая способность», исходя из принципа расчета по пре-
дельным состояниям, вполне однозначно В советских нормах понятие «несу-
щая способность» относится к расчету конструкций по первому предельному
состоянию (Примеч науч ред)
58
сивный экономический фактор. В действительности она пред-
ставляет собой часть определенного объекта или системы и ак-
тивно влияет на их экономичность. Это свойство конструкции
проявится, если включить в расчет экономической оценки опре-
деленную вероятность возможного ущерба. Если увеличивать
надежность конструкции, то вероятность возникновения такого
ущерба будет уменьшаться. Последнее обстоятельство зачастую
многократно компенсирует повышенные расходы (увеличение
геометрических размеров сечений, расхода стали), необходи-
мые для обеспечения надежности конструкции.
Само понятие надежности имеет существенный недостаток,
состоящий в том, что оно 'преимущественно субъективно. И, на-
против, экономичность, или, точнее говоря, экономическая эф-
фективность конструкции,— понятие объективное, так как его
можно удовлетворительно выразить в финансовом масштабе.
Не будем в дальнейшем заниматься этими вопросами, так как
они выходят за рамки предлагаемой книги, а отошлем читателя
к соответствующей литературе [162]. Необходимо лишь обра-
тить внимание на некоторые свойства конструкции и нагрузки,
которые оказываются решающими при оценке ее надежности
или экономической эффективности. Ниже рассмотрим надеж-
ность конструкции в соответствии с используемым в настоящее
время подходом к проектированию.
Если изучать на большой серии образцов некоторые из соп-
ротивлений конструкции, скажем, несущую способность, то вы-
яснится, что ее величина будет колебаться около определенного
среднего значения. Такие изменения обычно очень хорошо опи-
сываются статистическими закономерностями. Причиной этою
является случайный характер изменчивости механических свойств
материала, размеров сечений, значения усилия предваритель-
ного напряжения и т. д. Аналогичная картина изменчивости
наблюдается и у нагрузок, которая по форме часто весьма
отличается от характера изменчивости сопротивления конструк-
ции. Нельзя забывать и о статическом расчете, который сам
по себе может служить источником случайных отклонений в
действительном поведении конструкции от предполагаемого.
Все три упомянутых фактора имеют место и при оценке надеж-
ности статически неопределимых конструкций.
Надежность конструкции контролируется с помощью так
называемых условий надежности, которые представляют отно-
шение между действующей нагрузкой или другими воздействи-
ями S, с одной стороны, и некоторым из сопротивлений конст-
рукции— с другой. В главе 3, п. 3 будут рассмотрены условия
надежности при различных методах проектирования и их связь
с перераспределением усилий. При этом важно уяснить, какие
методы проектирования позволяют непосредственно использо-
вать выгоды от перераспределения усилий или же каким обра-
зом перераспределение усилий может влиять на надежность
59
конструкции. Необходимо заранее обратить внимание на не-
которые моменты, важные с точки зрения надежности стати-
чески неопределимых конструкций, и при выполнении самого
расчета.
Одновременное воздействие неблагоприятных факторов.
Многозначность определения понятия несущей способности v
статически неопределимых конструкций объясняется случайным
характером их работы и действующей нагрузки. Кроме того,
статически неопределимые конструкции имеют и другие специ-
фические свойства, которые отличают ее от статически опреде-
лимых систем.
В главе 2 было доказано, что несущая способность стати-
чески неопределимых конструкций, а также мера перераспре-
деления усилий в них, независимо от того, каким способом их
подсчитали, определяются свойствами большого количества
критических сечений и прилегающих к ним участков. Число та-
ких критических сечений пкр различно и зависит от конструк-
тивной схемы и характера загружения. По меньшей мере, икр
равно степени статической неопределенности конструкции п.
Свойства критических сечений не одинаковы. При перерас-
пределении усилий и при достижении несущей способности кон-
струкции далеко не все ив них используются в одинаковой ме-
ре. В то время как предел трещинообразования наступает во
всех критических сечениях, разрушающий момент может быть
достигнут максимум в «+1 сечениях. Аналогично обстоит дело
и с кривизнами при разрушении. Свойства сечений в некото-
рых критических зонах можно считать случайно переменными,
что обусловливает случайный характер перераспределения
усилий, и несущая способность конструкции будет также слу-
чайной величиной. Сам процесс перераспределения усилий не
оказывает большого влияния на надежность конструкции. С не-
сущей способностью дело обстоит несколько иначе. Рассмотрим
поэтому последствия случайного характера изменчивости раз-
рушающего момента (роль кривизны при разрушении не менее
важна, однако выводы для нее будут те же самые).
Тан как отдельные критические сечения взаимоотстоят отно-
сительно далеко и характер изменчивости свойств материала
случаен, то можно предположить, что свойства сечения, а зна-
чит, и разрушающие моменты взаимонезависимы. (Более под-
робно эта тема изложена в работе М. Тихого и М. Ворличека
[162]. Это значит, что, к примеру, в одном сечении отклоне-
ние действительного значения разрушающего момента от сред-
него будет положительным, в другом оно вообще не будет от-
личаться от среднего значения и т. д.
Наименее благоприятным с точки зрения надежности кон-
струкции представляется такой случай, когда во всех нерити-
ческих сечениях разрушающие моменты относительно неболь-
шие и их отклонение от предполагаемого среднего значения
60
отрицательно. Если принять предположение о том, что моменты
Мр взаимонезависимы, то вероятность одновременного возникно-
вения неблагоприятных разрушающих моментов во всех сечениях
очень мала. Обозначим вероятность получения неблагопри-
ятного значения ЛГр.МИн через рмр- Для упрощения предполо-
жим, что эта вероятность в каждом критическом сечении оди-
накова. Далее из общего числа вероятностей вытекает вероят-
ность того, что для всех пКр сечений будут справедливы выра-
жения
Мр^Мр.мини Р*Мр = (РмрУ,кР.	(25)
В действительности же вероятность во всех сечениях неоди-
накова, однако в наших рассуждениях это ничего не меняет’.
Из выражения (25) следует, что с ростом числа критичес-
ких сечений значение рмр уменьшается. Это очень выгодно с
точки зрения надежности.
Другим важным свойством статически неопределимой конст-
рукции, связанным со случайным характером ее работы, явля-
ется возможность ее разрушения различными способами при
данном загружении. Поясним сказанное на примере простой
конструкции, изображенной на рис. 5. Из главы 1, п. 2 следует,
что при заданном загружении Р\, Р% расположение пластичес-
ких зон, а следовательно, и схема разрушения зависят от
свойств критических сечений. Так как эти свойства имеют слу-
чайный характер изменчивости, то и образование определенной
схемы разрушения будет явлением случайным. Поэтому при
заданном загружении разрушение может произойти по какой-
либо одной из схем а, б или в рис. 5. Каждой из них соответст-
вует определенная вероятность; отдельные вероятности взаимо-
различаются. При большом числе возможных схем разруше-
ния некоторые из вероятностей могут оказаться пренебрежи-
тельно малыми. При статическом решении необходимо прини-
мать в расчет несколько схем. При точном решении следует
учитывать то, что некоторые схемы разрушения зависят одни
от других, так как некоторые критические сечения могут реа-
лизоваться в различных схемах.
В настоящее время при проектировании статически неопре-
делимых конструкций по общепринятым методам изложенные
выше свойства таких конструкций еще не используются. Только
после внедрения в практику проектирования более точных ста-
тистических методов (см. ниже) появится возможность их при-
менения.
Еще одно важное свойство статически неопределимых кон-
струкций — это малая вероятность одновременного действия не-
1 Не следует заменять р*Мр вероятностью разрушения рр. Последнее зна-
чение определяют другими путями [162].
61
благоприятных нагрузок на все пролеты конструкции, загруже-
ние которых предполагается в рассматриваемом случае. Здесь
'Можно было бы провести анализ, подобный рассмотрению не-
благоприятных свойств сечения, но данная проблема более об-
ширна. Рассмотрим рамную конструкцию, изображенную на
рис. 42. Чтобы в выделенном межопорном сечении получить
максимальный момент от временной нагрузки, конструкцию
нужно загрузить в шахматном порядке. Практически вероят-
ность такого загружения очень мала. Если, например, а — чис-
ло пролетов, которые должны быть загружены, а Ь — число
пролетов, свободных от нагрузки, и если рнаг — вероятность по-
явления нагрузки в пролете, то вероятность того, что схема за-
гружения будет иметь шахматный порядок, равна
Рнаг ~ (Рнаг)° (1 Рнаг)&-
Загрузка же отдельных пролетов —величина случайно пере-
менная. Учитывая в расчете неблагоприятное значение равно-
мерно распределенной нагрузки <7макс, получим, что <7><7макс с
вероятностью pq. Тогда вероятность максимально неблагопри-
ятного воздействия будет следующей:
Pq ~ (Pq)a Риас ~ (Pq Рнаг)й (1 Лиг)*-
При проектировании малая вероятность одновременного
воздействия нагрузки обычно учитывается снижением расчет-
ных нагрузок в многоэтажных зданиях. Влияние случайного
характера изменчивости нагрузки в отдельных пролетах не учиты-
вается, так как предполагается, что максимальное значение на-
грузки во всех рассматриваемых пролетах достигается одновре-
менно. Если же учесть пластическое поведение конструкции, то
решение упростится благодаря тому, что нагрузка обычно дей-
ствует вблизи исследуемого пролета конструкции.
Проблема случайного характера изменчивости нагрузки го-
раздо сложнее, чем проблема несущей способности конструк-
ции, хотя уже сегодня ясно, что ее решение позволит осущест-
вить экономию материала.
Повторные загружения. В главе 2, п. 3 были введены поня-
того загружения рамы при изу-
чении работы межопорного се-
чения, обозначенного крестиком
тия прочности при немногократно
повторных нагрузках, деформатив-
ного исчерпания несущей способно-
сти и соответствующие им понятия
нагрузок при достижении предела
устойчивости конструкции, связан-
ные с переменным или циклическим
характером загружения. Попытаем-
ся выяснить необходимость более
глубокого изучения этой проблемы.
При этом не обойтись без выполне-
ния статистического решения.
62
Так как <в предлагаемой книге не рассматриваются вопросы
статистической теории конструкций и нагрузок, то приведем
здесь лишь главные выводы, полученные Хорном [90] и не-
сколько позже Савье [152]. Проанализируем прочность конст-
рукции при немногократно повторных нагрузках и соответствую-
щие этому нагрузки Рмст на пределе устойчивости. Типичный
пример переменного загружения, при котором возможна пере-
грузка,— ветровая нагрузка. И обратный пример, когда вре-
менная нагрузка на перекрытие не может действовать с об-
ратным знаком. Назовем соотношение
«М.ст = ^м.ст/«Н
коэффициентом загружения на пределе устойчивости перед дос-
тижением прочности при немногократно повторных нагрузках,
(Sa — нормативная нагрузка, однако это может быть и дру-
гое значение нагрузки). Соотношение
Чма к с = CMaKC/SH
назовем коэффициентом нагружения, при котором наступает
полное исчерпание несущей способности, предполагая, что на-
грузка действует однократно и только в одном направлении.
Для всех этих коэффициентов подразумеваются нагрузки одного
и того же типа.
Допустим, что в течение всего времени существования кон-
струкции на нее действует v порывов ветра, из которых т по-
рывов имеет коэффициент загружения n—SMaKC/Sa, который
больше, чем пм.ст, следовательно, возможно достижение проч-
ности конструкции при немногократно повторных нагрузках.
Пусть за все время существования конструкции общая вероят-
ность того, что п>пм.ст равняется ррм, а вероятность полного
исчерпания несущей способности от нагрузки одного знака рав-
на рр.макс- Нас интересует такое значение пм.Ст = Пм.ст, при ко-
тором выполнялось 1бы условие рр.м=Рр.макс, т. е. чтобы была
обеспечена одинаковая надежность конструкции в обоих сл\-
чаях разрушения.
Подобное математико-статистическое решение указывает,
что при т=10 (что является предполагаемым числом неблаго-
приятных превышений нагрузки) и при v= 1000, если одновре-
менно принять рр.м=Рр.макс = 10“6, соотношение и,*.ст/пмакс полу-
чится равным 0,508, а при v=10 000 соответственно 0,557.
Теоретический анализ и экспериментальные исследования
железобетонных конструкций показывают, что соотношение
п“ ст получается всегда больше 0,6 и пм.СТ ft м.ст* Поэтому
ямакс
проблемой переменного загружения при практических расчетах
с точки зрения перераспределения усилий заниматься не сле-
дует.
Аналогичные рассуждения можно провести и для случая
63
деформационного исчерпания несущей способности и соответст-
вующего ему предела устойчивости /’д.ст. Обозначив .коэффици-
ент загружения через Пд.ст, получим, что при загружении пере-
крытий временной нагрузкой и циклической ветровой нагруз-
кой соотношение Пд.стМмакс будет больше 0,64, что подтвержда-
ется на практике. Кроме того, экспериментальные исследова-
ния, выполненные Герстлом и Тулиным [82], показали, что
при циклических нагружениях рост пластических деформаций
приостанавливается даже при нагрузках, близких к полному
исчерпанию несущей способности при однократном загружении.
Поэтому в реальных условиях не приходится ожидать деформа-
ционного исчерпания несущей способности железобетонных
конструкций. По этой причине при практических расчетах, с
точки зрения перераспределения усилий, проблемой цикличес-
кого загружения также заниматься не следует.
Оба вывода справедливы для конструкций, запроектирован-
ных в соответствии с требованиями современных норм и приня-
той на сегодня степенью надежности. Если же в будущем сте-
пень надежности будет понижена (что вполне возможно), то
потребуется еще раз вернуться к этим выводам для их проверки.
3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
И ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИИ
Расчет по допускаемым напряжениям. Перед началом рас-
чета конструкции обычно формулируются условия надежности,
которые различаются по методу расчета. В зависимости от вы-
бранного метода расчета представляется возможность исполь-
зовать выгоды от перераспределения усилий. Рассмотрим су-
ществующие в настоящее время методы расчета.
Методом допускаемых напряжений оценивается состояние
конструкции, находящейся под эксплуатационной нагрузкой. По
условиям надежности требуется, чтобы для любого волокна кон-
струкции выполнялось неравенство
СТ <7доп,
где ст — напряжение, возникающее в исследуемом волокне;
Стдоп — допускаемое напряжение.
Напряжение ст подсчитывается по формулам теории упру-
гости. При вычислении изгибающих моментов от эксплуатаци-
онной нагрузки предполагается, что жесткости при изгибе рас-
пределяются по длине элемента в соответствии с его геометри-
ческой формой (что иногда соответствует действительности,
как это было показано в главе 1, п. 2). Определяя эпюру нап-
ряжений в сечении железобетонного элемента, исходят из допу-
щения, что бетон на растяжение не работает. У предваритель-
но-напряженных конструкций с полным или частичным пред-
варительным напряжением предполагается, что работает все се-
чение.
64
Допускаемое напряжение одоп определяется непосредственно
свойствами самого материала. Обычно это часть 'прочности бе-
тона или физического предела текучести арматурной стали от
.или же условного предела текучести стог напрягаемой армату-
ры. Наконец, это может быть часть временного сопротивления
напрягаемой арматуры.
Из вышеизложенного следует, что при определении о и оДОп
никогда не используются пластические свойства конструкции, а
также ее несущая способность, каким бы способом ее не нахо-
дили. Так как перераспределение усилий проявляется лишь на
конечном участке диаграммы характеристики конструкции (см.
рис. 41), то ясно, что при расчете методом допускаемых напря-
жений нельзя воспользоваться выгодами от такого перераспре-
деления Теоретически конечно можно увеличить допускаемые
напряжения для статически неопределимых .конструкций, но
это потребовало бы создания непрактичной и сложной системы
величин. Кроме того, такой подход явно бы противоречил духу
метода и вел бы к нарушению его логики.
Расчет по стадии разрушения/ТГотличие от метода допускае-
мых напряжений, основанного на отношении между напряжени-
ем и механическими свойствами материала, современные мето-
ды исходят из условий обеспечения надежности, основанных
на отношении между нагрузкой и одним или более сопротивле-
ниями конструкции (допустимой деформацией /доп, пределом
трещинообразования Т, несущей способностью U и т. п.). Дос-
тижение конструкцией одного из указанных сопротивлений обоз-
начается как предельное состояние, а метод проектирования,
основанный на таком отношении, обобщенно называется мето-
дом расчета по предельному состоянию.
Самый старый из этих методов — расчет по стадии разруше-
ния1 * 3. По этому методу рассматривается отношение между на-
грузкой либо ее воздействием 5 и несущей способностью U.
Этот метод требует, чтобы выполнялось условие безопасности
SH0M дцом	(26)
В этом выражении k — коэффициент запаса; нагрузка Shom
приблизительно соответствует эксплуатационной нагрузке, а
обычно бывает несколько больше; несущая способность (уНОм
определяется на основании какой-либо функциональной зависи-
мости, где за исходные величины принимаются значения меха-
нических свойств материала, близкие к его средним значени-
ям (для бетона) либо к так называемым гарантируемым (для
стали). Значения 5НОм и называют центральными, так как
они близки к средним. Это или средние арифметические из ста-
тистического распределения, или нормативные величины (на-
1 В современной практике методом проектирования по предельному со-
стоянию считают только такой метод, о котором пойдет речь ниже
3 Зак 336
65
пример, нормативная нагрузка), или так называемые номи-
нальные значения, или же, наконец, действительные величины,
установленные при изучении опытной конструкции и оценке ее
надежности.
Условие (25) должно выполняться в каждом сечении конст-
рукции независимо от того, является ли она статически оп-
ределимой или неопределимой. Экономичное проектирование
требует, чтобы условие (25) перешло в равенство, чего, конечно,
невозможно достичь во всех сечениях. Однако предполагается,
что у статически неопределимых конструкций этого можно до-
битася^яотя бы для критических сечений.
^Метод проектирования по стадии разрушения можно вы-
годно использовать для демонстрации того значения, которое
имеет перераспределение усилий с точки зрения экономии ар-
матуры. Независимо от того, каким методом расчета устанав-
ливается распределение моментов, для каждого элемента кон-
струкции действует правило, что эпюра моментов, построенная
на основной стороне, должна по форме и величине всегда со-
ответствовать изменению эпюры моментов на простой балке.
Рассмотрим для примера защемленную по обоим концам бал-
ку, загруженную равномерно распределенной нагрузкой <7ном
(рис. 43). Умножим эту нагрузку на коэффициент запаса К.
Тогда для середины пролета разрушающий момент будет
равен:
,. 4ном
Теоретический расход арматуры определяется общей пло-
щадью эпюры действующего момента (заштрихованные участ-
ки на рис. 43). Понятно, что теоретический расход зависит от
соотношения |Afi:Af2|. Более подробный расчет показывает,
что минимальный теоретический расход арматуры при |Afi:
: Afal =3. Действительный же расход арматуры в натуре зави-
сит от других факторов и прежде всего от конструктивных
требований. Их можно приблизительно учесть с помощью пря-
моугольников, описанных возле отдельных частей эпюры момен-
тов (см. рис. 43). В этом случае оптимальное соотношение мо-
ментов |Л11:Л12| будет равно 1,7. Аналогичные рассуждения
можно провести и для загрузки сосредоточенными силами, при
которых оптимальное соотношение между теоретическим и
практическим расходами стали равно единице.
Если же теперь для балки с двусторонним защемлением
концов и двухосной симметрией сечения, загруженной равно-
мерно распределенной нагрузкой или сосредоточенными сила-
ми, построить график соотношения теоретического либо же
фактического расхода арматуры D к теоретическому или же
фактическому расходу арматуры при упругой работе балки
Dyn в зависимости от соотношения (AIiiAfzl, то получим кри-
66
Рис. 44. Теоретический и
примерный фактический ра-
сходы арматуры на балку,
изображенную на рис. 43, в
зависимости от соотношения
моментов
1 — равномерно распределенная
нагрузка (D/Dyn)Teop; 2—то же
(П/°уп>практ; 3 - сосредоточен-
warnvsKa в середине про-
н
Рис. 43. Равномерно рас-
пределенная нагрузка, дей-
ствующая на балку с дву-
сторонним
концов,
примерный
расходы рабочей
защемлением
Теоретический и
фактический
арматуры
Рис. 45. Разрушающие мо-
менты на балке с двусторон-
ним защемлением концов,
получаемые при расчете по
теории упругости
а — схема загружения балки;
б-мро=7 Чои
о
^ро = ~ Арном 1
ная нагрузка в середине
лета	(DID уц)теор
(DID уп*практ
здесь
пере-
вую в соответствии с рис. 44. И
выясняется, что использование
распределения усилий может привести
к увеличению расхода арматуры, если
конечно не учитывать конструктивных
выгод, которые вытекают из более пра-
вильного ее расположения (устранение
концентрации стержней арматуры и
в —
талл. Проиллюстрируем
ме-
Такой вывод справедлив лишь в
том случае, если в исследуемом эле-
менте может встретиться эпюра мо-
ментов только одного вида (к примеру,
параболического). Если же возможны
различные виды эпюры моментов, то
использование перераспределения уси-
лий, наоборот, может сэкономить
это опять на примере. Рассмотрим за-
щемленную по концам балку, загруженную вначале только рав-
номерно распределенной нагрузкой </ном, а затем сосредоточен-
ной силой посредине пролета Рном (рис. 45,а). Эти нагрузки дол-
жны быть такой величины, чтобы на простой балке при ее раз-
рушении моменты при обоих видах нагружения оказались оди-
наковыми, т. е. чтобы
1	,	1
О	‘‘<7ном^2—	.	^РномЛ
о	4
(27)
3* Зак 336
67
и при этом
Р ном__1_
<7ном I 2
Назначим вначале (без учета возможного перераспределе-
ния усилий) разрушающие моменты в критических сечениях,
соответствующие равномерно распределенной нагрузке, предпо-
ложив, что распределение моментов произошло в соответствии
с теорией упругости. Разрушающие моменты в заделке Mpi =
=Л4рз в этом случае в 2 раза больше разрушающего
момента в пролете Л4Рг (см. рис. 45,6). Аналогично устано-
вим значения разрушающих моментов, соответствующие дейст-
вию сосредоточенной силы. Получим, что Л4Р1=Л4Р2 (см
•рис. 45,в). Так как из уравнения (27) следует, что
м^ + м^м^ + м^,
то
3	3
Л4£1 =— м’, и М’,=~М’2.
Поскольку опорные сечения, запроектированные на момент
от равномерно распределенной нагрузки, выдержат и момент
от сосредоточенной силы, то разрушающий момент в пролете,
а следовательно, и количество продольной арматуры увеличат-
ся на 50%. Предположим теперь, что в балке возможно полное
перераспределение усилий при каком угодно виде нагрузки.
Запроектируем разрушающие моменты, например в таком со-
отношении: Afpi:Afp2=2 (аналогично случаю равномерно рас-
пределенной нагрузки в предыдущем примере). Так как при
полном перераспределении усилий во всех критических сечени-
ях достигается разрушающий момент, то окажется, что балка
в состоянии нести нагрузку k Ряом и при этом не потребуется
увеличивать разрушающий момент в пролете. По сравнению с
вариантом, запроектированным по теории упругости, расход
арматуры уменьшится.
Можно поступить и иначе, предположив, что AfPi:Afp2= 1 и
что перераспределение усилий произойдет при действии равно-
мерно распределенной нагрузки. Практически выбирают именно
этот способ, так как здесь получается более выгодное с точки
зрения производства работ расположение арматуры. К анало-
гичным выводам можно прийти, если форма эпюры моментов,
которая может встретиться у исследуемого элемента конструк-
ции, будет одинакова, но ее расположение различно. Это мо-
жет произойти в том случае, если на элемент рамной системы
или неразрезной балки воздействуют постоянная и временная
равномерно распределенные нагрузки, причем одна эпюра мо-
ментов от постоянной нагрузки, действующей во всех пролетах,
а другая — от постоянной и временной нагрузок. При этом
временная нагрузка действует, естественно, лишь в некоторых
68
пролетах. В обоих случаях соотношения моментов в критичес-
ких сечениях будут разные.	г___
Поэтому в общем можно констатировать, что [при проекти-
ровании по стадии разрушения использование явления перерас-
пределения усилий позволяет экономить арматуру в тех случаях,
когда на конструкцию могут действовать случайные нагрузки;
если же действуют только постоянные нагрузки, то эпюры мо-
ментов не меняются и перераспределение усилий не приносит
никаких выгод (если не учитывать выгоды, связанные с более
удачным конструктивным расположением арматуры).
Метод коэффициентов надежности. В настоящее время метод
отдельных коэффициентов надежности положен в основу ряда
норм проектирования железобетонных конструкций, например
СНиП П-В. 1 (проект 1972 г.), а главным образом в Между-
народных рекомендациях [29] и СТ 76-74. Он применяется во
многих вариантах, различие между которыми чаще всего фор-
мальное.
С точки зрения теоретических принципов метод проектирс*
вания1 * учитывает случайный характер изменчивости нагрузок
и свойств конструкции. Не будем разбирать его сущность, так
как это выходит за рамки книги, а сошлемся на соответствую-
щую литературу. С формальной точки зрения отличие его от
метода, изложенного выше, незначительно и состоит в том, что
различным видам нагрузок приписывается неодинаковое вли-
яние на надежность конструкции. Так, условия безопасности се-
чения можно записать так:
S(nqG*, ПрРн)<U (Ra, /?пр, Ь, ho...).	(2)
Левая часть этого уравнения является функцией коэффици-
ентов перегрузки nq, пр и нормативных нагрузок GB, Рн; при
этом nq и GH относятся к постоянным нагрузкам, а пр и Ря— к
временным. Произведения nqGB, прРИ—есть расчетные нагрузки
Gp, Рр. Нормативные нагрузки, относящиеся к группе цент-
ральных значений нагрузок, часто совпадают с нагрузками,
принимаемыми в расчете по стадии разрушения, или близки
к ним. Что касается значений расчетных напряжений /?а,
/?пр или же подобных, то предполагается, что это определен-
ные минимальные величины механических свойств материалов.
Геометрические размеры сечений b, h0 и другие также могут
считаться минимальными. Обычно же в расчете используются
их номинальные значения, а случайный характер изменения
размеров сечения и положения арматуры учитывается соответ-
ствующим коэффициентом. Правая сторона условия (28) пред-
ставляет какую-то оговоренную минимальную несущую спо-
собность.
1 Метод относится к первой группе статистических методов проектирова-
ния конструкций, т. е. к группе методов экстремальных значений [162].
69
Для статически неопределимых конструкций условие (281
можно было бы переписать в следующем виде:
S(n9G«, npP*)<U (МРр М₽2....М₽„; х’р х₽2......х₽я), (29)
где /Ир; — расчетные разрушающие моменты; хр/ — рас-
четные кривизны при разрушении в п критических
сечениях (i=l, 2............... п).
С правой стороны условия (29) можно было, бы указать и
другие величины, которые влияют на перераспределение уси-
лий. Однако будет достаточно, если мы ограничимся двумя
приведенными выше или же одними моментами Мр/.
В соответствии с духом метода коэффициенты пР больше 1,
в то время как коэффициенты nq могут быть больше и мень-
ше 1. Это зависит от того, какое воздействие оказывает посто-
янная нагрузка q на исследуемое сечение конструкции. Рассуж-
дая строго теоретически, нужно всегда учитывать, что у рам-
ных конструкций постоянное загружение одних пролетов дейст-
вует на исследуемое сечение благоприятно, а зарружение дру-
гих действует отрицательно. В этом случае потребовалось бы
коэффициенты nq назначать в шахматном порядке, что услож-
нило бы расчет. Кроме того, предположение об изменении ко-
эффициента в шахматном порядке не подтверждается
практикой, так как свойства конструкции, связанные со спосо-
бом ее изготовления, по всей длине обычно одинаковы и откло-
нения постоянной нагрузки будут либо в положительную (ча-
ще всего), либо в отрицательную сторону. Поэтому правильнее
считать коэффициент загружения nq определенной величиной,
зависящей от того, будет ли воздействие постоянной нагрузки
в данном сечении благоприятным или неблагоприятным. Напри-
мер, у неразрезной трехпролетной балки (рис. 46) при опре-
делении площади сечения нижней арматуры центрального про-
лета при отрицательном значении момента Mq (ом. рис. 46,а),
действующего в этом пролете, пд<1, а при положительном
Mq (рис. 46,6) коэффициент п0>1.
В соответствии с некоторыми методами расчета эпюры мо-
ментов М о для отдельных пролетов системы строятся как
для простой балки. В этом случае шахматное распределение
коэффициента nq не вызывает затруднений, так как здесь раз-
мещаются эпюры моментов М^+Мор, подсчитанные из
предположения, что nq>l и пр>1, или же эпюра моментов
Л1о?> подсчитанная при п9<1 и «Р=0.
Расчетные значения Afpz, xpz устанавливаем с исполь-
зованием расчетных напряжений, номинальных размеров сече-
ний и т. д. с учетом коэффициента условий работы, так что
вновь возвращаемся к условию (28). Более подробный анализ
может показать, что включение расчетных (т. е. минимальных)
70
значений механических свойств материала в формулы для про-
ектирования статически неопределимых конструкций не всегда
может быть самым безопасным шагом. Иногда наоборот, более
целесообразно принять во внимание максимальные значения
(например, максимальные кривизны при разрушении и т. п.
[112]).
Символ S(nqGa, прРп) в левой части условия (28) обозна-
чает нагрузку (например, изгибающий момент). В соответствии
с Международными рекомендациями [29] при неблагоприят-
ном воздействии постоянной нагрузки nq~np = n расчетные
воздействия определяются из выражений Sp=.[воздействие
(nGH, иРн)] или S?=n {воздействие (GH, Рн)].
Оба подхода считаются равноценными, но они дают одина-
ковый результат лишь в том случае, если конструкции в иссле-
дуемой области работают линейно. У железобетонных конст-
рукций данное условие не выполняется, поэтому результаты ре-
шений отличаются. Поясним это на примере.
Требуется запроектировать сечение конструкции, на которую
действует изгибающий момент М. Зависимость момента М от
нагрузки Р нелинейная (рис. 47). Если применить первый спо-
соб, то мы попадем в точку Dlt при втором способе получим
точку D2, которой соответствует больший момент М₽. Если бы
в результате перераспределения усилий момент М увеличился,
то все бы оказалось наоборот.
В настоящее время предполагается, что воздействие способа
включения коэффициента п
в расчет не влияет сущест-
венно на надежность конст-
рукции, тем не менее этому
уделяется большое внима-
ние '.
°)	I рн
Рис. 46. Коэффициенты загружения ng
и пп для межопорных сечений неразрез-
ной трехпролетной балки
а — при отрицательном значении момента М”;
б — при положительном значении момента М™
Рис. 47. Нелинейная диа-
грамма зависимости i[M, Р]
1 В настоящее время этой проблемой занимаются комиссии EKB VI (Se-
curite) и XI (Hyperstatiques). Подробный анализ выполнен Леви [104].
71
Рассматривая условие (29) можно заметить, что его левая
часть представляет общее силовое воздействие. Для него будет
правомерным то же рассуждение, что и для левой части усло-
вия (28).
Дифференцирование коэффициентов загружения в левой
части условия безопасности приведет к тому, что все рассужде-
ния о перераспределении усилий следовало бы относить только
к временным нагрузкам, в то время как постоянные нагрузки
следовало бы считать скорее за исходные свойства конструк-
ции по аналогии со вторичными моментами от усилий предва-
рительного напряжения. Если рассмотреть последовательность
воздействия отдельных видов нагрузок на конструкцию (внача-
ле постоянные, затем временные нагрузки), то можно заметить,
что такая точка зрения будет логичной. На этом принципе осно-
ваны некоторые оптимальные способы решения (см. главу 5).
Теоретически же более правильно всегда оценивать надежность
конструкции при суммарном воздействии определенной группы
нагрузок. В этом случае с левой частью условия (28) или же
(29) оперируют точно так же, как и с левой частью условия
(26). Экономический эффект от использования явления пере-
распределения усилий в данном методе должен быть таким
же, как и у метода, изложенного в главе 3.
Рассуждения о потребном количестве арматуры в главе 3,
п. 3 будут в сущности справедливы и для метода отдельных
коэффициентов надежности. Необходимо только помнить, что
цело усложняется, во-первых, из-за дифференциации коэффици-
ентов загружения, а во-вторых, вследствие ограничивающих
условий предельного состояния по деформациям и трещинам.
Поэтому поиски оптимального решения становятся исключи-
тельно сложными [10].
Новейшие статистические методы расчета. В настоящее вре-
мя уже разработаны новые статистические методы расчета,
включая и изложенный выше, позволяющие запроектировать
более экономичную конструкцию с использованием преиму-
ществ от перераспределения усилий. Ограничимся здесь толь-
ко описанием основных принципов и приведем некоторые выво-
ды. Более подробную информацию читатель сможет получить
из других источников [162].
При практическом проектировании наиболее важным явля-
ется метод функциональных экстремумов. Его сущность лучше
всего выразить с помощью условия безопасности. Напишем его
непосредственно для статически неопределимой конструкции.
Для упрощения предположим, что несущая способность конст-
рукции определяется только разрушающими моментами в п
критических сечениях (т. е. речь пойдет о несущей способности,
независимой от деформаций). Тогда имеем
^макс (б, Р) ^мин (Мр1, Alps, .. • , Л1рп).	(30)
72
Величины G, Р, а также Afpb Мр%,..Мрп — случайно пере-
менные. Значит, общая нагрузка S и несущая способность кон-
струкции U должны быть случайно переменными. Для них ме-
тодами математической статистики можно найти значения
5макс, t/мин, чтобы неравенство 5>5макс было справедливо С
вероятностью ps, а неравенство	— с вероятностью ру.
Величины ps, ри очень малы (обычно порядка от 10-2 до 10~4).
’ Важнейшей особенностью метода функциональных экстре-
мумов является то, что с его помощью можно легко выявить
благоприятные свойства статически неопределимых конструк-
ций с точки зрения их надежности)(см. главу 3,п. 2), в то вре-
мя как методы, описанные в главе' 3, п. 3, не позволяют этого
сделать. До сих пор при анализе методов расчета, учитывающих
деформации конструкции, а также методов, основанных на
предположении об идеально пластической работе конструкции,
основное внимание уделялось рассмотрению правой части усло-
вия безопасности. Выводы для обоих методов расчета полу-
чились одинаковые, однако для первого случая они не носят
общего характера, хотя во всех практических ситуациях реше-
ние на их основе получается удовлетворительным.
Подробные теоретические исследования [162], предполагаю-
щие возможность неограниченных пластических деформаций
критических сечений, показывают, что в любом случае
^мнн ^р.мин
* Мр	‘ ’
где ЛГрср, Мрмин — соответственно средние и минимальные раз-
рушающие моменты; Ucp — средняя несу-
щая способность.
Так как несущая способность статически определимой кон-
струкции зависит исключительно от разрушающего момента, то
из соотношения (31) следует, что отношение минимальной не-
сущей способности статически неопределимой конструкции к ее
среднему значению будет относительно больше, чем отношение
минимальной несущей способности статически определимой
конструкции к ее среднему значению. Этот вывод можно непос-
редственно использовать в практике проектирования.
Основываясь на статистическом анализе [162], авторы
предложили использовать при проектировании статически неоп-
ределимых конструкций коэффициент повышения безопасности
у, на который необходимо умножать правую часть условия (26)
[при проектировании по стадии разрушения] или же условия
(29) [при проектировании по полувероятностному методу пре-
дельных состояний]. Коэффициенты повышения безопасности
для неразрезных балок и подобных систем при вероятности
Pt7=10~2 и 10-3 в зависимости от вариационного коэффициента
прочности бетона приведены в табл. 2. Разница в коэффици-
73
ентах v для внутреннего и крайнего пролетов неразрезной
балки определяется неодинаковым числом критических сече-
ний. Чем большим будет количество критических сечений, тем
больше у. Величины, приведенные в табл. 2, действительны для
наименее благоприятных случаев, когда имеются два или три
критических сечения. Тем не менее и при этом экономия про-
дольной рабочей арматуры будет ощутимой, по крайней мере
на 5%.
Таблица 2. Коэффициент повышения безопасности у для неразрезных
балок [162]. Верхние значения для рр = 10-2, нижние — для/?р = 10-3
Коэффициент вариации прочности бетона, %	10	15	20	25
Внутренний пролет	1,07 1,09	1,08 1,10	1,08 1,11	1,09 1,12
Наружный пролет	1,04 1,05	1,04 1,06	1,05 1,06	1,05 1,07
Из табл. 2 ни в коей мере не следует, что с точки зрения
надежности выгодно производить бетон с высоким вариацион-
ным коэффициентом прочности, т. е. менее качественный. Нель-
зя забывать, что плохое качество бетона имеет неблагоприят-
ные последствия с другой позиции, а именно недостаточное
сцепление с арматурой, малая долговечность и т. д.
Последняя ступень статистических методов проектирова-
ния— так называемый экзактный (точный) метод. При этом
методе ни нагрузка, ни несущая способность не рассматривают-
ся как самостоятельные случайные переменные величины. В
этом методе оперируют случайным переменным соотношением
U :S или же разностью U—S.
Понятно, что для конструкций с известными свойствами,
загруженной известной нагрузкой, должно выполняться не-
равенство UfS>[ или же U—S>0, если мы хотим, чтобы кон-
струкция не разрушилась. Так как в действительности и свой-
ства конструкции и свойства нагрузки имеют случайный харак-
тер изменчивости, и мы никогда точно не знаем, какие значе-
ния решающих величин встретятся в проектируемом объекте,
то точный метод требует, чтобы выполнялось следующее усло-
вие безопасности:
/ и \
V > 1 ИЛИ же (£/ —5)мин>0.
\ /МИН
Минимальная величина соотношения U:S или же их разни-
цы U—S устанавливается методами математической статисти-
ки с назначаемой вероятностью pus. Значение вероятности Pus
при этом отличается от значений ри, Ps применяемых в методе
функциональных экстремумов. Обычно она бывает порядка
1,0-4—Ю-6.
74
Теоретические основы точного метода применительно к ра-
боте рамных конструкций в пластической стадии разрабатыва-
лись рядом авторов (Йоргенсен-Голдберг i[95], Стевенсон-Мо-
зес [154]). Однако до сих пор этот метод не нашел практичес-
кого применения. Препятствие тому — отсутствие разработан--
ных общих методов расчета и проектирования. Поэтому указан-
ным способом можно пользоваться лишь при решении некото-
рых индивидуальных конструкций. Широкого применения точ-
ного метода можно ожидать при проектировании типовых конст-
рукций. С позиций общей теории надежности рамными конструк-
циями занимался Гейбауэр [81].
Ранее уже указывалось, что из новых статистических мето-
дов проектирования наибольшее развитие получил метод функ-
циональных экстремумов, разработанный настолько, что его
уже можно применять при проектировании или непосредственно
или же только использовать выводы из него В ближайшее
время пока еще не планируется использовать преимущества,
которыми с точки зрения надежности обладают статически не-
определимые конструкции. Отмечается лишь, что такие конст-
рукции имеют определенный резерв надежности [151].
Надежности конструкций в связи с уменьшением расхода
материалов уделяется повышенное внимание. Одной из причин,
по которой не спешат с практическим использованием резервов,
является то, что до сих пор остается открытым вопрос о назна-
чении вероятностей ри, ps или же pus- Существует несколько
способов установления их величин. Большинство из них исхо-
дит из эмпирических соображений. Окончательным решением
будет скорее всего то, которое исходит из использования мето-
дов современной экономики. Другая причина — преобладающая
до сих пор концепция надежности статически непределелимых
конструкций. В ней делается упор лишь на обеспечение безо-
пасности от разрушения отдельных сечений или, наконец, гаран-
тии от достижения арматурой предела текучести. Последнее
обстоятельство собственно и служит аргументом в вопросе об
использовании перераспределения усилий вообще i[147].
Г л а в а 4
РАСЧЕТ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАТИВНЫХ
СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИЙ
1 ТЕОРИЯ РАСЧЕТА
Общее уравнение совместности. При изучении статически не-
определимых конструкций, сечения которых работают упруго-
пластически, можно в принципе воспользоваться теми же мето-
дами, что и при расчете по теории упругости (деформативные
75
методы, методы Кросса и т. д.). В данном же, случае решение
всегда получается более сложным, так как жесткости отдель-
ных элементов зависят исключительно от напряженного состоя-
ния конструкции, а оно, в свою очередь, зависит не только от
нагрузки, но и от ее расположения. При этом выполнить точ-
ный расчет практически невозможно и приходится пользовать-
ся способом итерации.
Решение можно облегчить, используя ЭВМ. В принципе
для решения применяют методы двух типов. Так называемые
прямые методы состоят в том, что все исходные величины, опи-
сывающие деформативные свойства конструкции (например, ко-
эффициенты жесткости стержней), устанавливаются с учетом
их упругопластического поведения {22, 40, 53]. Хотя эти мето-
ды в общепринятой практике проектирования не используются,
тем не менее они очень удобны с точки зрения теоретического
анализа. Для практического применения при расчете более при-
годны сепарационные методы, хотя и они достаточно сложны. В
сепарационных методах пластические, или, точнее говоря, нели-
нейные свойства конструкции, отделяются от упругих. Дальней-
ший разбор их произведем исходя из силового метода, основные
принципы которого применительно к конструкции с упругим по-
ведением хорошо известны. Используем при этом принцип вир-
туальной работы [45].
Рассмотрим п раз статически неопределимую плоскую си-
стему. После высвобождения п связей получим основную ста-
тически определимую систему. Предположим, что достичь это-
Рис. 48. Схема рамной системы 9 .раз статически неопределимой
76
го 'можно только введением шарниров, а не каким-либо дру-
гим способом. Обычно оказывается достаточно вести п шарни-
ров. Например, 9 раз статически неопределимую сопряженную
раму (рис. 48,а), запруженную вертикальной и горизонтальной
нагрузками, можно перевести в статически определимую вве-
дя 9 шарниров (ом. рис. 48,6). Пусть в каждом шарнире i или
k действуют навстречу один другому два равных по величине
момента Хг или Хь, заменяющие влияние ликвидированных свя-
зей. Взаимный поворот сечений, примыкающих к шарниру, при
одновременном воздействии внешней нагрузки должен равнять-
ся нулю. Значение этих моментов пока что неизвестно. Таким
образом, в шарнире 6 сопряженной рамы (см. рис. 48, в) бу-
дут действовать два момента Х6.
Допустим, что на некоторых элементах исследуемой системы
будут возникать пластические зоны. По методическим сообра-
жениям разделим их на две группы. К первой группе отнесем
зоны, прилегающие к шарнирам основной статически опре-
делимой системы, а ко второй группе — зоны, лежащие в
местах, где никакого шарнира не предполагается (для их отли-
чия во второй группе введем над цифрой штрих). Пластичес-
кие составляющие кривизн хПл, возникающие в этих зонах, вы-
несем ня сторону растянутых волокон (ом. рис. 48,6). Посколь-
ку распределение моментов заранее неизвестно, то просто наз-
начим направление действия моментов Xi, Xk и размещение
эпюры пластической составляющей хПл. В этом нам поможет
имеющийся опыт расчета по теории упругости.
Рассмотрим теперь шарнир i, когда на основную систему
действуют все принятые внешние нагрузки, включая пару мо-
ментов Xi ,Xk, в то время как в зонах критических сечений воз-
никают пластические деформации. По известному принципу
виртуальная работа внешних сил должна быть равна виртуаль-
ной работе внутренних сил. Поэтому, пренебрегая влиянием
нормальных и поперечных сил на деформации, можно запи-
сать, что
j M^ds,	(32)
где Хг — момент в шарнире i, М* — изгибающие моменты, выз-
ванные моментом Хг в рассматриваемой основной сис-
теме; О— взаимный поворот сечений, примыкающий
к шарниру i ^вызванный внешней нагрузкой совмест-
но с моментами Хг, Xk); nds— взаимный поворот кон-
цевых сечений отрезков стержней длиной ds.
Кривизна линии изгиба х вызвана внешней нагрузкой,
включая и моменты Xi, Xk. Для сохранения в каждой точке i
плавности линии изгиба необходимо, чтобы прилегающие к ней
сечения не поворачивались относительно друг друга, т. е. что-
бы угол б равнялся нулю. Это значит, что и виртуальная рабо-
та внешних сил в левой части уравнения (32) будет равна ну-
77
лю. Тогда и виртуальная работа внутренних сил должна рав-
няться нулю и для исследуемой системы можно записать, что
=	(33)
Примем Xi=l. Этот единичный момент вызовет в основной
системе изгибающий момент Mi. Из принципа пропорциональ-
ности следует, что
§М1 = ХгМ/,	(34)
поэтому вместо уравнения (33) можно записать
X, jMzxds = 0,
или
J М( id s — 0.	(35)
Кривизна и в каждом сечении складывается из упругой
составляющей хул и пластической хПл. Упругую составляющую
можно далее разложить на слагаемые от воздействия отдель-
ных сил: кривизна Хуп.о, получающаяся от воздействия внешней
нагрузки на основную систему; кривизна ХуП/—от воздействия
момента X, на основную систему; кривизна ХуП*—от воздей-
ствия момента X* (причем &=1, 2 i—1, i+1, n).
Уравнение (35) можно записать в следующей форме:
J Mi\n.ods + J ^/xynZds + 2 J M'Xyn.*ds + J =
k+i
В соответствии с главой 2, п. 1 далее следует, что
М
ЪП~ Е61а 
Тогда
Мд х < х
Хуп'0' Еб1п ’	Е61в ’ Хуп* Еб1а ’
где Мо — изгибающий момент в основной статически определи-
мой системе от внешней нагрузки; Mf и Мь— изгиба-
ющие моменты от пары моментов Xi, Хк.
Используя соотношение (35), которое действительно и для
индексов k, получим после преобразования, что
Обозначив
s = 0.

Mj Mo
E^Ia
M/Mk
ds =	(36)
E6In
78
получим
+ 2 6z*x* +j M/xnjlds—0.
k+i
(37)
Интеграл J МгХплс/s распространяется на все пластические
зоны исследуемой системы, т. е. на зоны, примыкающие к 'шар-
нирам, и на зоны, лежащие за их пределами. Его величину
можно назначить еще до решения с различной степенью точно-
сти в зависимости от того, насколько известен характер рабо-
чей диаграммы [Л4, х], и от возможностей ЭВМ. Приведем уп-
рощенное решение, основанное на некоторых приближениях.
Вычертим для произвольной пластической области i', кото-
рая не примыкает к шарниру I, эпюру кривизны х=Хул+хПл
(рис. 49,а). Так как момент изменяется по длине элемента
линейно, то можно записать, что
j Mt хпл ds = Л4« Я’,'.
i’
где /И — момент в центре тяжести эпюры пластической кри-
। визны; ip/ — угол взаимного пластического поворо-
та концевых сечений пластической зоны i', опреде-
ляемый по формуле
'Ф/,= ( Хдд d s.
Аналогично и для пластической зо-
ны i, примыкающей к шарниру i (см.
рис. 49,6), можно записать, что

где 9, — угол пластического поворота
концевых сечений данной
пластической зоны, для кото-
рой справедливо выражение
в/= JxnjIds.	(38)
Так как пластическая зона i рас-
полагается вблизи шарнира г, то мож-
но с некоторым приближением при-
нять, что
Рис. 49. Эпюры пластических
составляющих кривизны хпл
а — на участке, где действуют
шарниры основной системы; б —
на участке, примыкающем к
пластическому шарниру i; 2 —
центр тяжести эпюры Хпл
М? = X/ = 1
и уравнение (37) переписать в следу-
ющей форме:
79
б/о + б«Х/ + 2	^4-2^4“ + ^ = °-	(39)
k+i
Подобное уравнение можно составить для каждого шарни-
ра основной статически определимой системы. Таким образом,
получим систему п уравнений, 'решая которые можно опреде-
лить неизвестные Xi, Х2, • • •» Хп. Понятно, что при упругой рабо-
те конструкции, т. е. если фг =0; 0i=O, получим систему кано-
нических уравнений силового метода.
Обратим внимание на знаки деформативных величин. Для
коэффициентов 6д> и 6<ь действует правильно, применяемое в
силовом методе. Построим на отдельных элементах системы эпю-
ры моментов на стороне растянутых волокон. Если эпюра мо-
ментов Mj и Мо или же Mi и Mk расположена по одну сторону
элемента, то интеграл, представляющий на исследуемом участ-
ке соответствующий коэффициент, будет величиной положи-
тельной. Если же эпюры моментов окажутся по обе стороны
элемента, то интеграл будет величиной отрицательной. Зна-
чение бн будет всегда положительным. Значения 6io, 6ii, 61Л
можно определить несколпкими методами.
Аналогично найдем знаки углов поворота фг, 0,. Если
эпюра пластической кривизны хПл расположена с той же сторо-
ны, что и эпюра момента Mi, то углы поворота будут положи-
тельного знака, если же картина обратная, то знак утла пово-
рота будет отрицательным. Момент М* подставляется в фор-
мулы в абсолютной величине. Поворот 0< всегда положитель-
ный. Установление углов пластических поворотов всегда более
трудоемко, чем определение значений 6<0, 8ц, 8ik, так как фг
и Qi являются функциями нагружения данной зоны.
Углы поворотов ф£-' .и 0{ имеют одно и то же физико-меха-
ническое значение и различаются здесь лишь по методическим
соображениям. Поэтому ниже будем говорить только об угле
пластического поворота 0, или же об общем угле поворота б1,
причем наши выводы будут распространяться и на ф . Здесь
важно уяснить, что фг представляет всегда пластическую де-
формацию между шарнирами основной системы.
Для иллюстрации запишем уравнение (39) для шарнира 6
рамной системы рис. 48:
+ ёввХв	4- i|y, • 1 — ф2, —— — ф5, • 14-Фб' ~z~	= 0.
Уравнение (39) (речь идет о системе уравнений) можно
считать основным уравнением расчета статически неопредели-
мых железобетонных конструкций в пластической стадии рабо-
ты. С его помощью можно вычислить распределение усилий
в конструкции для любой стадии нагружения, а не только при
достижении ею несущей способности. Недостатком его являет-
80
ся сложность решения системы уравнений, так как углы пово-
рота -ф/- и 0i представляют собой функции неизвестных Л,.
Решение осуществимо лишь методом итерации, и оно достаточ-
но сложно, так как неизвестно заранее, какая коррекция потре-
буется для отдельных углов пластического поворота. Поэтому
использование общих уравнений целесообразно лишь для кон-
струкций с низкой степенью статической неопределимости (ес-
ли, конечно, имеется в виду конструкция, для которой тючный
способ расчета оправдывает себя) и еще в том случае, когда
необходимо проверить какой-то упрощенный метод расчета или
же проконтролировать экспериментальные результаты.
Уравнение типа (39) можно составить для пространственной
системы. Обычно в расчетах не требуется учитывать жесткость
на кручение или пластические повороты в шарнирах, подвер-
гающихся кручению, так как жесткость на кручение железо-
бетонных сечений резко падает сразу же после возникновения
трещин и становится значительно меньше жесткости при изгибе.
Влияние кручения нужно учитывать лишь тогда, когда это не-
обходимо, чтобы обеспечить равновесие сил. Исследованием
работы пространственных рам с помощью собственного метода
занимался А. Бейкер {44, 48]. Используя этот метод, А. Морей-
ре да Роха [121] изучал работу решетчатых конструкций.
В инструкции по расчету статически неопределимых желе-
зобетонных конструкций ([16] рекомендуется применять уравне-
ние (39) для расчета сборных и сборно-монолитных конструк-
ций в стадии эксплуатации [26]. В местах расположения сты-
ков в конструкции предполагаются упругие шарниры, в кото-
рых под действием моментов Xi происходит поворот
где В — жесткость сечения в месте расположения шарнира
(при исключенном растяжении); ZT — расстояние меж-
ду трещинами.
В областях между шарнирами возникновение трещин не
ожидается, поэтому всюду ф/=0.
Решение, аналогичное описанному выше, разработал»
Н. А. Бородачев и С. М. Крылов {1]. Оно также исходит из
общих уравнений совместности, которые, однако, построены так,
чтобы из них можно было получить не только неизвестные Xi,
но и деформации конструкции (например, прогибы под грузом).
Эти авторы применили смешанный метод расчета, предложен-
ный А. А. Гвоздевым i[5], дополнив его членами, учитывающими
нелинейность деформации конструкции.
На условиях совместности построил свои решения и Р. Рэ-
бих [140]. Чтобы определить кривизны х при однократном
81
загружении (а также и другие деформации), он применил вы-
ражение
М ДМ
х “ в, + В1П ’
где М — общий изгибающий момент; ДМ — приращение изги-
бающего момента после возникновения трещин; Bi—
жесткость полного сечения; Вщ — жесткость, соответ-
ствующая приращению ДМ.
Приняв рабочую диаграмму сечения билинеарной, полу-
чим, что Вщ— величина постоянная. Метод Р. Рэбиха можно
использовать при различных способах расчета рамных конст-
рукций, но и здесь необходим итерационный подход.
Поперечные силы. Под влиянием пластических деформаций
изменяется также и характер распределения поперечных сил.
Известное выражение Q = dMfdx остается справедливым и в
дальнейшем, поэтому поперечная аила легко определяется для
любого сечения X. Можно также записать, что
М3 уп Mj уП
Q = Qo +	7	+ Д Q»
(40)
где Qo — поперечная сила в простой балке; Miyn и Мзуп —
опорные моменты (или моменты в заделке), подсчи-
танные по теории упругости; AQ — изменение попе-
речной силы, вызванное пластическими деформа-
циями.
Для последнего справедливо выражение
Д М3 — Д Mi.
д<? =------—,
где ДМ! и ДМ3 — отклонения моментов от значений М1уп п
Мзуп, возникающие в результате перераспре-
деления усилий.
Значение XQ— постоянное на длине исследуемого элемента,
поэтому в некоторых сечениях в результате перераспределения
усилий поперечные силы будут больше, а в других меньше по
сравнению с соответствующими величинами, подсчитанными по
теории упругости. Рассмотрим, каким образом это может ска-
заться на проектировании.
С ростом нагрузки все три составляющие поперечной силы
в уравнении (40) изменяются. Соотношение между первыми
двумя составляющими является постоянным и с ростом нагруз-
ки поперечная сила, подсчитанная по теории упругости, увели-
чивается. Если учесть, что значение составляющей AQ, возни-
кающей одновременно с образованием пластической зоны, бу-
дет мало по сравнению с двумя первыми составляющими, то
изменение зависимости поперечной силы от нагрузки вплоть до
момента разрушения окажется монотонным, т. е. поперечная
82
Рис. 50. Элемент конструкции под
равномерно распределенной на-
грузкой
Рис. 51. Диаграмма зависимости [At х]
а — действительная: б — заменяющая линейно-
параболическая; в— из трех отрезков прямых
линий (трилинеарная); г — билннеарная
Рис. 52. Диаграммы зависимости {At х]
а — для определения 0 [95]; б, в, г —схемы для подсчета значения пластических пово-
ротов сечений ® изгибаемых элементах
сила достигнет своего максимума в момент исчерпания несу-
щей способности. Это утверждение справедливо для сечений, в
которых действуют большие поперечные силы. Напротив, там,
где поперечные силы малы (к примеру в зоне максимального
межопорного момента в элементах под равномерно распреде-
ленной нагрузкой), решающее влияние будет оказывать сос-
тавляющая AQ, а сила Q при растущей нагрузке может даже
поменять знак. С точки зрения надежности элемента при дей-
ствии поперечных сил важны лишь области действия боль-
ших Q.
83
При назначении поперечной арматуры важна общая попе-
речная сила QHn, т. е. результирующая скалывающих нап-
ряжений, которые действуют в нейтральной плоскости элемен-
та (н. п). Сила QHn выражает объем фигуры скалывающих
напряжений т (рис. 50). Для определения суммарной попереч-
ной силы у левой опоры можно воспользоваться выражением
ои.п _ АЛ*л
«л - г .
где ДЛ4Л — сумма абсолютных значений моментов на опоре и
в пролете; z — плечо внутренней пары сил.
Аналогично, чтобы определить суммарную поперечную силу
у правой опоры, имеем (см. рис. 50)
лн.п А
п г
Плечо z меняется по длине элемента, но незначительно,
поэтому для наших рассуждений можно принять, что сила
QHn пропорциональна величине г.
Предположим теперь, что при определенной нагрузке над
левой опорой образовался совершенный пластический шарнир.
При дальнейшем увеличении нагрузки постоянно будет
|Л11|=Л1р1, однако моменты М2 и Af3 должны возрастать, так
как равновесие сил должно сохраняться. Будут возрастать в
этом случае и значения АЛ4Л, А7ИП, а вместе с ними и суммар-
ные силы фл'п, Qnn. Зависимость силы (?л'п	или
Q”'n от нагрузки будет монотонной, если не изменится ха-
рактер распределения нагрузки по конструкции. Из сказанного
следует, что при назначении поперечной арматуры по пер-
вому предельному состоянию нужно исходить из характера
распределения поперечных сил, которые соответствуют распре-
делению моментов при исчерпании несущей способности конст-
рукции. Этот вывод справедлив и в том случае, когда пласти-
ческие шарниры не являются совершенными или же когда в
конструкции не возникает пластических зон. Короче говоря,
этот вывод можно использовать для всех методов расчета, опи-
санных в этой главе, а также в главе 5.
Пластические повороты. Из уравнения (38) следует, что угол
поворота 9 (или ф) можно установить, если для данного расп-
ределения усилий и моментов известно изменение пластической
кривизны Хпл по длине пластической зоны, т. е. если в данной
зоне для каждого ее сечения известен характер зависимости
[7И, х). В общем случае необходимо считаться с тем, что сече-
ния пластической зоны неодинаковы, хотя бы из-за различного
процента армирования и т. д. Для заданной формы эпюры мо-
ментов можно постепенно, точка за точкой построить полную
зависимость [М, 0], причем за М принимается здесь или мак-
симальный момент в рассматриваемой пластической зоне или
84
момент в ее центре тяжести и т. п. (сравнить с главой
1, п. 2).
Действительную зависимость [М, х] (рис. 51, а) очень труд-
но выразить аналитически. Если бы это было просто, то прак-
тической пользы мы бы не извлекли, так как сложность самой
функции не позволила бы произвести какой бы то ни было ра-
зумный подсчет распределения усилий. Поэтому ищут подходя-
щие приближенные формулы, упрощающие решение. Зависи-
мость [М, х], например, заменяется гиперболической функцией,
прямой и параболой (ом. рис. 51,6) и т. д. Практическое значе-
ние имеют лишь зависимости, составленные из отрезков пря-
мых линий, скажем, из трех {трилинеарных (см. рис. 51,в) ],
предложенных Ф. Леви [102]. В общей форме решение дано
у С. Рика Лопеса [144]; вариант из двух отрезков прямых [би-
линеарных (см. рис. 51,г)] предложен Л. Джонсоном, X. Сойэр
[94] и М. Тихим [156]*. Для билинеарной зависимости [АГ,
х] с участком упрочнения (обозначения в соответствии с рис.
52, а) Л. Джонсон и X. Сойэр [94] дают формулы для опреде-
ления углов пластических поворотов при некоторых видах
эпюр моментов.
Выведем вначале общую формулу для подсчета угла пово-
рота 0. Из заменяющей рабочей диаграммы (рис. 52,а) следу-
ет, что для определения х при 7Игр<7И<А1р можем записать
следующее выражение:
* =	= 1*(М-Мгр)+М].
Мгр
Ее пластическая составляющая будет
ХПЛ  	.. (М	Мгр) .
Мгр
Если на рабочей диаграмме известны значения (хгр, 7Игр) и
(хр, Л4Р), то из простых геометрических зависимостей получим
выражение для подсчета коэффициента k
Ь — (ХР : ХП>) Мгр —Мр	,...
Мр-Мгр ’	( }
Кривизна на пределе упругой работы конструкции опреде-
ляется по формуле
где Ед /п — жесткость полного приведенного сечения.
Подставив (42) в уравнение (41), получим
_ %ГР	Мр
МР Мгр
(43)
* В настоящее время назначением и унификацией зависимостей [Af, х],
[М, О] и [AJ, 0] занимается комиссия ЕКБ IVc «Deformabilite des Structures».
85
Далее, подставив значения хПл и хгр в уравнение (38), полу-
чим
трег/-
AC	k
6= " — ] (М — Mrp)ds или 6=	-—[площадь эпюры (М—Мгр)]. (44)
^бI	мт
4 пл
У изгибаемых элементов встречаются эпюры моментов в
пролетах трех основных типов (см. рис. 52,6—52,а). Для
гольной эпюры моментов в соответствии с рис. 52,6 имеем
1 *
в == п р ,	(44— Мгр) (/плх+^пл*)'
* 'п
(45)
при этом
М — Мгр	М — Л4гр
‘ПЛ 1 ~	7	> ‘ПЛ 2 ==	п •
41	42
где Qi, Qa — поперечные силы слева и справа от силы Р.
Для параболической эпюры в соответствии с рис. 52, в
k
в= 1,89 -е-г~
3
(46)
при этом длина пластической зоны
Сл — 2,83
т/ М—Мгр
' ' Я
Для эпюры моментов в соответствии с рис. 52,г получим,
что 0 = ei+02; угол поворота сечения слева от силы Р подсчи-
тывается по формуле
fli = V (м-АЧ+ ^~-фпл1,	(47)
* ^б*п \	Ь /
где
у + г^-Мгр) _
Составляющую 62 подсчитаем по формулам (47) и (48),
подставив /пл 2 вместо /Пл i и Q2 вместо Qi.
В случае равномерно распределенной нагрузки параболи-
Рис. 53. Схемы для расчета пла-
стических деформаций
а — над опорой неразрезной балки; б —
внецентренно сжатого элемента
ческие участки эпюры моментов
над опорами и в заделке можно
заменить отрезками прямой (рис.
53,а).
У внецентренно сжатых эле-
ментов форма эпюры моментов
может иметь вид, подобный изо-
браженному на рис. 53,6. По ана-
логии с примером, приведенным
на рис. 53, б, получим, что
® = ~2	~ 4*г₽) liu'
86
Угол Поворота 0 в углах рам определяется как сумма углов
поворота прилегающих участков стойки и ригеля.
В некоторых методах расчета зависимость [М, О] использу-
ется непосредственно. К ним прежде всего относится билинеар-
ная зависимость Бейкера (см.главу 4).
При решении некоторых задач, особенно связанных с иссле-
дованием статически неопределимых систем, выгодно работать
с двумя билинеарными зависимостями [7И, х] или же [М, х].
Одна из них действительна при работе конструкции в стадии,
близкой к разрушению, а другая — на стадии возникновения
трещин. Таким способом частично учитываются различия в де-
формативных свойствах системы, меняющиеся в ходе нагру-
жения.
Н. А. Бородачевым и С. М. Крыловым [1] предложена фор-
мула для определения угла пластического поворота
6z = fez(Xz-AfT),
где Xi ~ момент в несовершенном пластическом шарнире;
kt, М*— зависят от формы эпюры моментов и процента
армирования. Эта формула была получена из
решения балки, загруженной приведенной наг-
рузкой в виде сосредоточенных сил величиной
atlh0 каждая, где ат — ширина раскрытия тре-
щин, a h0 — полезная высота сечения.
Подробности читатель найдет в указанной работе.
Исходные данные для расчета. В зависимости от того, какие
цели мы преследуем при проектировании конструкции, в рас-
чет вводится та или иная нагрузка. При проектировании
используются расчетные нагрузки в соответствии со СНиП
П-А.11-62*. При оценке работы реальной конструкции, анализе
результатов испытаний и т. п. берутся реальные значения нагру-
зок, полученные в результате изучения на месте или измерен-
ные в ходе эксперимента и т. д. При подсчете деформаций по
общему методу обычно пользуются нормативной нагрузкой.
Жесткость Eq 1а устанавливается в соответствии с указания-
ми, приведенными в главе 4, п. 1. Предполагается, что в рабо-
те участвует полное приведенное сечение. Возникновение тре-
щин или пластическая работа сжатого бетона учитывается в
уравнении (39) углами поворота фг, 0г, определяемыми для об-
ластей, где |7И| >А1гр в соответствии с требованиями главы 4,
п. 1.
Момент на пределе упругой работы Л4гр определяется для
железобетонного сечения при известных моментах трещинооб-
* В настоящее время в СССР при проектировании конструкций исполь-
зуется СНиП II-6-74. (Примеч. науч. ред.).
87
разования Мт и несущей способности Мр по эмпирической
формуле
Л*гр- 3
\	2
2 Л4Т I q Мр.
/
(49)
Момент образования трещин для простых изгибаемых эле-
ментов вычисляется по формулам (17) и (18). Более точно мо-
мент сопротивления пластически работающего сечения можно
найти по формуле
^пл=(0,29+ 1,5рл)М’ + (0,75fn+0 15^),	(50)
в которой учитывается степень армирования сечения растянутой
арматурой.
В формуле (50) ц= ——-;—,	&o, h, ha — размеры се-
»о «0
чения в соответствии с рис. 11, а Fn, Fn—площади сечений
свесов растянутой и сжатой полок.
Для внецентренно-сжатых элементов момент трещинообра-
зования Мт равен
Мти
Мт =----(51)
Момент Мт.и определяется из уравнения (50), е — эксцент-
рицитет осевой силы. Ради упрощения значения W и F можно
находить без учета арматуры.
Для сечений предварительно-напряженных конструкций при-
нимается
3
Мгр= 1,1	/Ир.	(52)
и
При определении значения Мт исходят из предположения,
что сечение работает упруго и напряжение в крайнем растяну-
том волокне равно 2/?Р (Рр— прочность бетона на растя-
жение) .
Разрушающий момент Мр устанавливается из соотношений,
используемых при расчете по предельному состоянию (по не-
сущей способности). При анализе экспериментов можно при-
менить и другие, более точные решения.
Кривизна хр при разрушении вычисляется из уравнения
(19).
Значение хр, т. е. высота сжатой зоны сечения при разруше-
нии принимается такой же, как при определении Мр. При этом
необходимо обратить внимание на форму эпюры напряжений в
сжатом бетоне. Если форма используемой эпюры напряжений
параболическая, параболически-прямоугольная [29, 73] или
прямоугольная высотой 0,8 хр [29], то в этом случае в уравне-
ние (19) можно непосредственно подставить значение хр, полу-
ченное при вычислении несущей способности. При прямоуголь-
88
ной форме эпюры напряжений высотой хр необходимо получен-
ную величину хр увеличить на 25% (заметим, что в общем слу-
чае положение нейтральной оси определяется нулевой относи-
тельной деформацией).
Те или иные характеристики механических свойств материа-
лов и геометрические размеры сечений подставляются в форму-
лы для нахождения Еб, In, Мгр, Мт, Afp в зависимости от того,
каковы цели расчета. При проектировании используются вели-
чины, заложенные в соответствующие нормы. При анализе экс-
периментов имеют дело с действительными значениями механи-
ческих свойств, геометрических размеров и т. д., полученных
на испытываемой конструкции. Если же эти величины нельзя
определить непосредственно, то их можно вычислить, зная дру-
гие, с которыми они находятся в известной зависимости (нап-
ример, модуль упругости бетона Еб можно найти, зная проч-
ность бетона Кб)- В том случае, когда требуется знать пре-
дельные относительные деформации бетона ео.р, точная величи-
на которых неизвестна, рекомендуется принимать их порядка
—0,0035.
Если в конструкции могут возникнуть нагрузки, вызываю-
щие потерю устойчивости, то это необходимо учесть. До обра-
зования пластических шарниров жесткость ригеля рамной кон-
струкции способствует уменьшению расчетной длины сжатой
стойки. При этом предполагается возникновение дополнитель-
ных моментов в месте заделки ригеля в стойку. После появле-
ния пластических шарниров эта возможность отпадает и жест-
кость конструкции снижается. Если на устойчивость конструк-
ции не влияет вся система, а лишь отдельный сжатый стер-
жень, то наиболее удобно учесть снижение жесткости сжатого
стержня, увеличив его расчетную длину. Это допустимо в том
случае, если мы работаем (например, при оценке существую-
щей конструкции) с центральными значениями нагрузок и ме-
ханических свойств материалов.
При установлении доли долговременной и кратковременной
составляющей нагружения сечения можно исходить из пример-
ного предположения, что эта доля равняется доле долговремен-
ных и кратковременных вертикальных нагрузок, действующих
на конструкцию.
2.	МЕТОД ВЫНУЖДЕННЫХ ПОВОРОТОВ
(МЕТОД МАККИ)
Некоторые недостатки решения общей системы уравнений
(39) устраняются методом, предложенным Макки [109, 110].
Он основан на принципе независимости действия сил (распре-
деления моментов от внешней нагрузки и моментов, вызванных
пластическими поворотами сечений). Оба эти распределения
подсчитываются исходя из теории упругости.
89
Если применить метод сил, то распределение моментов от
внешней нагрузки можно определить из системы уравнений
(для 1=1, 2,	п).
о +	Хд. = 0.	(53)
k+i
Аналогично найдем распределение моментов, возникшее в
результате пластических поворотов сечений, решив последова-
тельно систему уравнений
X/	0	(54)
kii	l*
лишь для одного угла пластического поворота (или для двух
углов пластического поворота, если случай симметричен), в то
время как остальные приравниваются к нулю. Потребуется ре-
шить столько систем уравнений (54), сколько в конструкции
пластических зон, а кроме того, также и систему уравнений
(53). Следует помнить, что углы поворота гр, и 0г являются
пластическими и поэтому они не вызывают в основной стати-
чески определимой системе никаких изгибающих моментов.
Так как углы пластического поворота заранее неизвестны,
то решается система уравнений (54) для единичных вынужден-
ных углов поворота (отсюда и название метода). Для этого
вначале в уравнения подставляется значение ф1 = 1, а осталь-
ные углы поворота принимаются равными нулю и т. д., затем
ф,' = 1 ит. д., потом 01 = 1 и т. д. Таким образом, получается
всего п'-\-п распределений моментов от единичных поворотов.
Если бы были известны действительные значения углов пласти-
ческого поворота, с их помощью можно было бы скорректиро-
вать моменты, и полученные таким способом распределения
сложить с распределением, вытекающим из системы уравнений
(53) по формуле
М = Л1уп+ =	=	(55)
г	i
где Муп — составляющая момента, подсчитанная из системы
уравнений (53).
В действительности углы поворота фг и 9i заранее неиз-
вестны, поэтому при выполнении расчета приходится применять
метод итерации, т. е. последовательного приближения. Для
этого:
а)	подсчитывается распределение моментов по теории
упругости [например, решая систему уравнений (53)];
б)	подсчитываются углы пластического поворота фг, 0г для
такого распределения;
в)	определяется распределение моментов от единичных вы-
нужденных углов поворота, решая систему уравнений (54);
90
г)	устанавливается новое распределение с помощью урав-
нения (55);
д)	уточняются значения ф/-,	0„ а по ним и распределение
моментов;
е)	итерация прекращается, как только разница в моментах
в двух следующих одно за другим распределениях не будет
превышать допустимой ошибки статического расчета.
Характер зависимости [7И, О] в пластической стадии (де-
формация растет быстрее, чем момент) ведет к тому, что схо-
димость наступает быстро и обычно бывает достаточно двух
циклов итерации. Диапазон практического использования мето-
да единичных углов поворота такой же, как и при прямом ис-
пользовании общих уравнений совместности. Метод найдет
применение прежде всего при решении ответственных конструк-
ций с низкой степенью статической неопределимости, где часто
можнс вместо решения системы уравнений (53) применить за-
ранее разработанные таблицы. Однако ничто не препятствует
тому, чтобы с помощью этого метода проектировать и оцени-
вать другие конструкции.
3.	МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ УГЛОВ ПОВОРОТА
(МЕТОД БЕЙКЕРА)
Принципы метода. Если исходить из определения несущей
способности (22), приведенной в главе 3, п. 1, то потребуется
уточнить, когда же сечение можно считать разрушенным. При
анализе статически определимых систем бывает достаточно
считать сечение разрушенным после того, как в нем будет
достигнут разрушающий момент Мр. Такая формулировка бу-
дет неудовлетворительной при исследовании статически неопре-
делимой системы с учетом ее упругопластического поведения.
В данном случае необходимо принять определение, учитываю-
щее происходящие деформации. Сечение считается разрушен-
ным, если примыкающая к нему пластическая зона достигнет
предельных деформаций, т. е. если взаимный пластический по
ворот концевых сечений достигнет значения 0Р. Если заменить
пластическую зону в месте критического сечения пластическим
шаршром, то 0Р будет относиться к взаимному повороту сече-
ний, примыкающих к этому шарниру. Максимальный угол
поворота в шарнире наступит тогда, когда нарушится макси-
мальное число лишних связей в конструкции, т. е. когда она
станет статически определимой. Лишние связи при этом будут
нарушаться по мере возрастания нагрузки и в связи с после-
довательным возникновением пластических шарниров в крити-
ческих сечениях. Поэтому определение (22) можно теперь сфор-
мулировать следующим образом:
конструкция исчерпает несущую способность, если в ходе
загружения она станет статически определимой вследствие воз-
91
никновения в ней пластических шарниров и если в каком-либо
из этих шарниров будет достигнут угол пластического поворота
при разрушении 0Р.	(55а)
Разумеется, что для установления несущей способности та-
кое определение позволяет использовать общую систему урав-
нений (39). За основную статически определимую систему при-
нимается та, в которую конструкция будет трансформировать-
ся по мере возникновения пластических шарниров. При реше-
нии общей системы уравнений возникнут трудности, которых
можно избежать, приняв два допущения, предложенных А. Бей-
кером [44]: а) зависимость [М, О] без участка упрочнения яв-
ляется билинеарной (имеет вид в соответствии с рис. 56); б) от-
дельные стержни конструкции запроектированы так, что ни в
одном из сечений между шарнирами основной статически опре-
делимой системы не произойдет развития пластических зон.
Первое допущение означает, что после достижения опреде-
ленного угла поворота изгибающий момент в критическом сече-
нии уже не будет увеличиваться, а сохранит величины Мр. В
то же время угол пластического поворота 0 будет возрастать
(начиная от нуля). Это справедливо для всех критических сече-
ний г, в которых происходят пластические деформации. В шар-
нирах основной статически определимой системы в этом случае
вместо неизвестных- величин будут действовать известные
моменты A4pi. Поэтому в системе уравнений (39) для всех
г можно принять
Х( = Мр /.	(56)
Второе допущение можно выразить для всех Г условием
4^ = 0.	(57)
Однако у железобетонных конструкций оно никогда не выпол-
няется, так как перед достижением несущей способности в них
всегда происходит накопление пластических деформаций бето-
на. В частично сжатых стержнях появляются трещины, и, сле-
довательно, во всех критических сечениях развиваются пласти-
ческие зоны. Оба эти обстоятельства можно учесть, вводя в рас-
чет вместо жесткости Еб /п, соответствующей полной и одновре-
менно упругой работе, сечения, жесткость В, соответствующую
тому состоянию сечения, в котором оно действительно находит-
ся. Тогда для коэффициентов	будут справедливы
следующие выражения:
»-<=)<“>
Если теперь в систему уравнений (39) подставить значения
А’,- и то из уравнений (56) и (57) получим п уравнений та-
кого вида:
в/о + в//Л4р/+	(59)
k+i
92
в каждом из которых будет встречаться теперь лишь одно не-
известное, а именно угол упругого поворота 0<. Значение 0j за-
висит от геометрии исследуемой системы и несущей способнос-
ти критических сечений, включая и сечение i, т. е. от величин
постоянных.
Система уравнений для вычисления неизвестного момента
Хг в этом случае заменяется на п самостоятельных уравнений
для 0<. Из определения (55а) вытекает условие надежности ис-
следуемой конструкции: конструкция останется целой, если ни в
одном из сечений угол пластического поворота 0 не превысит
предельного значения 0Р, т. е. если для каждого i будет выпол-
няться условие
6/<6р/-.	(60)
Одновременно должно быть
б/>0.	(61)
Если бы эти условия не выполнялись, то при подсчете коэф-
фициентов влияния при единичном моменте в сечении i мог бы
ошибочно получаться обратный знак или же было бы непра-
вильно назначено положение пластического шарнира либо мог-
ло получаться, что при данной нагрузке шарнир еще не возни-
кает.
Если на конструкцию действует несколько различных, неза-
висимых одна от другой нагрузок, то может оказаться, что рас-
положение пластических шарниров для нагрузки каждого вида
будет другим, поэтому потребуется исследовать условия (60) и
(61) три каждом возможном случае их расположения. Иногда
можно и отказаться от некоторых решений, если выбрать из
всех вероятных случаев расположения шарниров такие, при
которых условия деформаций будут наиболее неблагоприятные.
Поясним сказанное на примере нераэрезной трехпролетной
балки (рис. 54), загруженной временной равномерно распреде-
ленной нагрузкой рр. Теоретически нам бы следовало проверить
условия (60) и (61) для всех четырех схем загружения и рас-
положения пластических шарниров, однако известно, что плас-
тические зоны в пролетах (в местах закругления эпюр момен-
тов) имеют большую протяженность, чем зоны на опорах. Тог-
да и предельные углы пластического поворота 0Р будут больше.
Кроме того, повороты шарниров 0 в этих зонах относительно
меньше, чем в шарнирах над опорами. Поэтому иногда доста-
точно исследовать лишь случаи с пластическими шарнирами
над опорами. При этом решающей будет нагрузка в соответст-
вии с рис. 54,в, при которой угол поворота сечения над опорой
0 достигнет максимальной величины. Подобными соображения-
ми можно руководствоваться и в других случаях. Все зависит
от типа и возможного вида размещения нагрузки, действующей
на конструкцию. Например, сопряженную раму (рис. 55) мож-
но оценивать в соответствии с приведенными схемами.
93
liiiiiinimHi
jHimjTRL
s)
л-
ДТП птиц mi i
IHHHIIIIIIPIHIHIII
mej.
г)

Рис 54 Неразрезная трехпролет-
ная балка; возможное размещение
пластических шарниров
а, б, в, г — различные схемы загруже-
ния балки
Рис. 56. Заменяющая диаграмма
зависимости i[Af, О] по Бейкеру и
пределы и L2
Рис. 55 Сопряженная рама под
действием вертикальной и го-
Рис 57. Пределы L\ и L2 на ра-
бочих диаграммах бетона и
стали
а — рабочая диаграмма, б — пре-
дельная относительная деформация
еа ; /— сталь с физическим преде-
лом текучести; 2— сталь с условным
пределом текучести
Метод применяется также при изучении устойчивости рам-
ных систем с подвижными шарнирами (см главу 4, п. 3) и при
проектировании решетчатых конструкций i[ 121].
Зависимость [Л4, -0-]. Для определения угла пластического
поворота 9Р необходимо более точно знать зависимости [Л1, О].
А. Бейкер уточнил ее диапазон с помощью двух пределов Ц и
^2 (рис. 56). Эти пределы выведены не из действительной зави-
симости [М, &], а получены из рабочих диаграмм бетона и ста-
ли. В идеальной рабочей диаграмме бетона мож-
но определить предел L ° после которого рост относительной
94
деформации ео происходит без прироста напряжения, и предел
1$, при котором наступает предельная относительная дефор-
мация 8б.р. Для бетонного элемента без поперечного армирова-
ния (навивки или хомутов) А. Бейкер рекомендует принимать
рабочую диаграмму в соответствии с Рекомендациями ЕКБ-
ФИП [29] (рис. 57,а).
При наличии навивки следует учитывать степень поперечно-
го армирования |[см. формулы (39) и (40)]. На рабочей диаг-
грамме стали можно отыскать аналогичный предел Lf, соответ-
ствующий достижению предела текучести (у стали с физичес-
ким пределом текучести) либо получению относительного ос-
таточного удлинения 0,001 (у стали с условным пределом те-
кучести). Предел 7-2 в соответствии с Рекомендациями ЕКБ-
ФИП однозначно определяется достижением в стали предель-
ной относительной деформации, равной 0,01 (см. рис. 57,6).
Пределы Li и в зависимости [Л4, Ф] соответствуют та-
кому изгибающему моменту или углу поворота сечения, при
которых в одном из материалов достигается соответствующий
предел его рабочей диаграммы. Ясно, что предел L\ располага-
ется всегда несколько ниже предела La-
Заменяющая рабочая диаграмма и порядок ее построения
показаны на рис. 56. Соответствующая ей жесткость будет
меньше той, которая присуща упруго работающему сечению
(или же сечению, в котором исключается работа бетона на
растяжение). Здесь имеется в виду жесткость самого критичес-
кого сечения и участков вблизи «его.
Жесткость сечений, располагающихся на участке между
пластическими шарнирами, будет большей. Она будет прибли-
жаться к жесткости при эксплуатационных нагрузках. Таким
образом, жесткость, соответствующая заменяющей рабочей
диаграмме, нигде не потребуется. Что касается пластической
деформации 0Р при разрушении, определяемой по формуле
6р = в£2-в2.„
то для ее подсчета можно применить полуэмпирические фор-
мулы, о которых будет сказано позднее. Таким образом, для
расчета нам потребуется знать только момент Ml, (см. главу
4, п. 3).
Чтобы определить угол пластического поворота 0Р, в свое
время был выведен ряд простых, частично эмпирических фор-
мул, основой которых является выражение
6р = С Д Хр/пл>	(61а)
где С — постоянная, зависящая от различных факторов;
Дхр — пластическая составляющая кривизны, определяе-
мая из уравнения Дхр=хр— хгр; /Пл—-длина пласти-
ческой зоны.
95
Л Хр =
В соответствии с формулами (1) и (9) можно записать:
еб.р	®б.гр I
ХР	*гр I
Приближенно примем Хгр=хр (это допущение в пользу надеж-
ности, так как получающееся 0Р будет меньше). Подставив в
уравнение (61а) хгр вместо хр, получим
0 _С _18б-Р~еб.гр |
°р — Ь Хр	<пл-
Значения ее.р и еб.гр заранее известны, хр получается при
подсчете несущей способности сечения. Остается установить
длину /Пл и коэффициент С.
До сих пор понятию пластическая зона придавался более
широкий смысл. Считалось, что это часть элемента, в которой
образовались трещины. Для полностью сжатых сечений это бы-
ла часть элемента, где |ев| > |еб.гР|. Если же учесть возникно-
вение трещин уже при определении жесткости В, то при вы-
полнении расчета придется иметь дело с концентрированными
пластическими зонами в окрестностях критических сечений.
На рис. 58 схематически показано изменение кривизны по дли-
не простой балки, загруженной равномерно распределенной
нагрузкой в стадии, близкой к разрушению. В этом случае под
длиной пластической зоны /пл подразумевается отрезок элемен-
та, на котором кривизна будет больше той, что соответствует
жесткости, подсчитанной при исключении работы бетона на
растяжение. Длина /пл зависит от способа загружения элемен-
та, т. е. от формы эпюры моментов (сравнить с главой 2, п. 2),
а в ряде случаев от осевой сжимающей силы, увеличиваю-
щей зону пластических деформаций. Далее /пл зависит от ме-
ханических свойств элемента, которые при заданной нагруз-
ке определяют размер неупругих деформаций.
Смысл коэффициента С также ясен — это коэффициент пол-
ноты эпюры пластических кривизн, зависящий от формы эпюры
моментов и характера зависимости
{М, %]. Обычно коэффициент С вклю-
чается в формулы уже при определе-
нии длины /пл*
Приведем ниже без подробного
объяснения некоторые выражения, по-
лученные из экспериментальных иссле-
дований для определения 6Р. Так,
А. Бейкером и А. Амараконе [48]
предлагаются известные выражения,
которыми, однако, не учитывается вли-
яние поперечного армирования в виде
навивки на бетон. Для частично сжа-
тых сечений (т. е. у которых нейтраль-
ная ось проходит внутри сечения)
имеем
............л..................
jriiiiiiiiiiiiiHiiiiniiiiiiiiiiii.^
Рис. 58 Характер изменения
кривизны простой балки, за-
груженной равномерно рас-
пределенной нагрузкой
/— при полной работе сечения;
2— при исключении бетона из
работы на растяжение, 3— в зо-
не критического сечения
96
й — ' 8б'Р Ёб гР I ,
ор- Хр 'пл-
Для полностью сжатых сечений
а _ 16бр ~Еб-гр । /
0р-	до	«пл.
В обоих случаях /цЛ вычисляется по формуле
1
/	1 W \/ t \“
1пл = Са Сб 11 ы II I h0
\	* **р.цс.ср / \ «о /
(62)
(63)
(64)
где N— осевая сила, действующая в (элементе (с отрицатель-
ным знаком); Л(р.цС.ср— средняя несущая способность сечения
при центральном сжатии (в абсолютной величине); t — удале-
ние критического сечения от инфлекционной точки (точки нуле-
вого момента).
Коэффициентом Са учитывают вид арматуры и принимают
его ратным 0,7 для горячекатаной стали и 0,9 для 'проволоки.
Коэффициентом Сб учитывается влияние марки бетона; Сб=
= 0,8 для бетона со средней кубиковой прочностью 7?куб.ср^
^200 кгс/см2 и Сб=0,6 при
табл. 3). Значения Сб для
промежуточных величин
Якубср берут по линейной
интерполяции. На практике
получающаяся длина /пл ко-
леблется в пределах 0,4...
...2,4 h0. Формула (64) не
учитывает формы эпюры
моментов, что упрощает рас-
чет, но может привести к
неточностям.
Если же пластические зо-
^куб.ср^400 кгс/см2 (см. также
Таблица 3. Коэффициенты v и С6
«0
Бетон марки
Предельные сос-
тояния группы II
200
300
1
Предельные сое 0,3
тояния группы I
0,4
Сб
I 0,8 0,7
0,5
0,6
ны располагаются по обеим сторонам пластического шарнира
(обратите внимание на шарнир 8 в рис. 48,6), то в этом случае
нужно, пока не меняется значение хр, подсчитать для каждой
зоны длины /ПЛ1 и /Пл2 по формуле (64), а при подсчете 0Р при-
нять (пл===^пл1 +/пл2- При различных значениях хр следует опре-
делить по формуле 0p=i0pi+0p2-
На практике нередки случаи, когда обе зоны, примыкаю*
щие к пластическому шарниру, имеют неодинаковые свойства
(например, в углах рамы). В соответствии с принятыми здесь
положениями при подсчете угла поворота 0Р следовало бы учи-
тывать лишь те пластические зоны, в которых изгибающий мо-
мент достиг значения Мр. В действительности же пластические
деформации возникают еще до наступления Л4Р.
Обозначим части пластических зон цифрами 1 и 2 таким об-
разом, чтобы выполнялось неравенство Мрг>Л!Р1. В дальнейшем
3ак 336
97
частичную пластификацию зоны 2 можно учесть, если уменьшить
определенный для нее предельный угол пластического поворо-
та 0Р2, умножив его на соотношение
Мр1 Мтг
Мр2 Л1т2
В этом отношении ЛГР1 — разрушающий момент в критичес-
ком сечении зоны 7; Мр2 — разрушающий момент в зоне 2;
Л1Т2— момент образования трещин в зоне 2. Таким образом,
Мр1 -Мт2
6р-вр1+ М __М	0Р2 •
/ир2 /ит2
Чтобы определить момент трещинообразования Л4Т простых
изгибаемых элементов, можно воспользоваться формулой (17).
Для внецентренно-сжатых элементов Л4Т можно приближенно
подсчитать по формуле
(65)
=	W6,	(66)
где N — нормальная сила, действующая в сечении; Fa— пло-
щадь сечения; W$— момент сопротивления бетонной
части сечения (арматура здесь не учитывается).
В соответствии с изложенным в главе 2 длина пластических
зон в узлах рамных конструкций измеряется от сечений, в ко-
торых определяется разрушающий момент (см. рис. 30), т. е
от теоретических центров узлов либо от лицевых сторон стоек.
Из формулу (64) видно, что осевая сжимающая сила N бла-
гоприятно влияет на протяженность пластической зоны. В осо-
бенности это важно для полностью сжатых сечений, у которых,
как это видно из формулы (63), угол поворота 0Р при разруше-
нии будет меньше, чем у изгибаемых элементов.
Выявление положительного ‘влияния осевой сжимающей си-
лы позволяет применить методы расчета с работающими плас-
тическими шарнирами и для проектирования конструкций со
сжатыми элементами. Такая возможность подтверждена экспе-
риментально (см. работы А. Е. Кузьмичева [27], В. Б. Кран-
стона [70], В. Г. Васильева, С. П. Фесика [3]). Имеются и дру-
гие предложения по определению предельных углов поворота,
изложенных в работах [48, 58, 1, 75, 165, 126, 56].
Последовательность операций при проектировании. Метод
предельных поворотов теоретически можно использовать при
проектировании. Тогда выбор параметров конструкции склады-
вается из двух фаз: предварительного назначения этих пара-
метрон и оценки правильности предварительного решения. Рас-
смотрим вначале принципы, на которых основывается проекти-
рование в первой фазе.
Помимо геометрической формы исследуемой системы обыч-
но задаются, хотя бы приблизительно, формой сечений и их раз-
мерами, исходя из практических соображений или эстетичес-
98
Рис 59 Распределение разрушающих моментов в рамных конструкциях на
стадии предварительною проектирования
а — моменты на опорах и в пролете одинаковые; "б — моменты в сечениях стоек в край-
них узлах равны в — распределение моментов горн нулевых значениях посередине
высоты этажа
Рис 60. 27 раз статически
неопределимая рамная си-
стема, размещение в ней
пластических шармиров при
действии вертикальной и го-
ризонтальной нагрузок
А — узлы, обеспечивающие ус
тойчивость системы
Рис. 61 Этаж рамной конструкции,
находящейся под действием внешнего
изгибающего момента Мр, осевой си-
лы N от вышележащего этажа и го-
ризонтальной силы Н
ких требований, предъявляемых к конструкции. Остается уста-
новить количество необходимой арматуры. Для этого строят
эпюры моментов от расчетной нагрузки на каждый элемент кон-
струкции. Эти эпюры располагаются примерно в соответствии
со следующими правилами:
1)	во внутренних пролетах неразрезных балок и рам эпю-
ру моментов от вертикальной нагрузки (например, равномерно
распределенной) располагаем так, чтобы моменты на опорах и
в пролете были одинаковыми (рис. 59,а). Если окажется, что
пролеты неодинаковой длины, то будем стремиться выровнять
разрушающие моменты и в первую очередь в больших проле-
тах;
2)	в крайних пролетах неразрезных балок эпюру моментов
согласуем с первым внутренним пролетом, если он той же или
несколько большей длины, чем крайний пролет В противном
4* Зак 336
99
случае разместим эпюры так, чтобы моменты оказались при-
мерно равными;
3)	В крайних пролетах рамы эпюру моментов от вертикаль-
ной нагрузки разместим так, чтобы в крайних узлах моменты в
сечениях стоек были равны (рис. 59,6):
для нижней колонны
МР = у Мро --------,----7кол//Кол----------.	(67)
( ^кол ‘ ^кол)	(^кол• ^кол )+(/блк: ^блк)
для верхней колонны
Мр0	.	(68)
(^кол'^кол) <7 КОЛ-/КОЛ ) + (7блк’^блк)
В заделке ригеля искомый момент будет равен:
<лк=<ол + <л;	(69)
4)	момент от воздействия горизонтальной нагрузки разде-
лим между стойками исследуемого этажа рамной конструкции
пропорционально их жесткостям или же (при двустороннем за-
щемлении стоек) разместим эпюру моментов так, чтобы нуле-
вые моменты приходились на середину высоты этажа (рис.
59,в). Одновременно в отдельных пролетах ригеля нулевые мо-
менты окажутся посредине их длины;
5)	разрушающие моменты, требующиеся для погашения от-
рицательных моментов на незагруженных пролетах, установим,
разместив эпюры изгибающих моментов от постоянной нагруз-
ки так, чтобы использовать разрушающие моменты на опорах,
назначенные в соответствии с пи. 1—3. По конструктивным со-
ображениям это не всегда возможно. В этом случае необходи-
мо увеличить межопорные разрушающие моменты в полностью
загруженных пролетах.
Окончательное распределение разрушающих моментов при
одновременном действии нескольких нагрузок получим, сложив
эпюры моментов. При предварительном назначении парамет-
ров конструкции можно также исходить из распределения уси-
лий, определенного в соответствии с принципами, изложенными
в главе 5. Оценивая результаты предварительного проектиро-
вания, рекомендуется поступать следующим образом:
а)	определить степень статической неопределимости п всей
конструкции или же только исследуемой части. За исследуе-
мую часть можно, например, считать пролет неразрезной балки
или рамы, этаж рамы, состоящий из ригеля и подпирающих его
стоек, и т. д. При рассмотрении рамных конструкций следует
идти от верхнего этажа вниз;
б)	назначить положение п пластических шарниров. Послед-
ние будут одновременно и шарнирами основной статически оп-
ределимой системы. При назначении положения шарниров не-
ЮО
обходимо руководствоваться опытом расчета по теории упру-
гости. Предположим, что шарниры возникнут в сечениях, где в
соответствии с теорией упругости получаются наибольшие (по
абсолютной величине) моменты. В большинстве случаев выгод-
но предположить возникновение пластических шарниров в се-
чениях, примыкающих к узлам. На рис. 60 жирными точками
обозначены положения пластических шарниров на типовой рам-
ной конструкции. Здесь можно воспользоваться методом пре-
дельного равновесия (см. главу 5);
в)	построить эпюры моментов на основной статически опре-
делимой системе вначале от внешней нагрузки, затем от еди-
ничных моментов ^=1 и Л\= 1, действующих в шарнирах.
Знак единичных моментов выбирают так, чтобы в сечениях,
примыкающих к шарнирам, они вызывали усилия того же зна-
ка, что и моменты при окончательном распределении. И здесь
следует опять же руководствоваться опытом применения теории
упругости. Если 'же исследуется этаж рамной конструкции (см.
рис. 60), то необходимо, чтобы на него продолжали действовать
не только внешняя нагрузка, но и изгибающие моменты М=МР
и осевые силы N, приложенные в пластических шарнирах над
исследуемым этажом, а также результирующие горизонтальных
усилий;
г)	вычислить значения 610, би, бнС,
д)	определить значения Мр{ и 9Рг для всех I сечений;
е)	из уравнения (59) найти углы пластических поворотов 9,;
ж)	проверить, выполняются ли условия (60) и (61) и во
всех ли шарнирах. Если да, то конструкция удовлетворяет
предъявляемым требованиям. Одновременно во всех сечениях
между шарнирами должно выполняться основное предположе-
ние (б) из главы 4, п. 3.
Если условие (60) не выполняется, то можно поступить тре-
мя способами:
1)	увеличить предельные углы пластических поворотов 9Р в
тех сечениях, которые не прошли. Это можно сделать, повысив
поперечное армирование сжатой зоны.
Действовать подобным образом рекомендуется лишь в осо-
бых случаях. Увеличение количества поперечной арматуры ве-
дет к трудностям при бетонировании, что уменьшает выгоды от
использования перераспределения усилий;
2)	коэффициент в уравнении (59)—положительный, мо-
мент Mpi также положительный. Если увеличить Mpi, то тем
самым уменьшится 9г В дальнейшем значение Mvi будет ис-
пользовано в некоторых других уравнениях, в частности для
определения пластического угла поворота. Так как при этом ко-
эффициент Sift часто бывает отрицательным, может получиться,
что увеличение Mpi одновременно вызовет рост поворота в дру-
гих шарнирах. Однако коэффициенты 6<л по абсолютной вели-
101
чине обычно бывают меньше коэффициентов 6ц. Приближенно
приращение момента ДЛ4р{ можно подсчитать по формуле
б/ - во f
ДЛ1р.= _С_Р^;	(70)
O/Z	z
3)	третий способ, обратный второму; уменьшить моменты
MPk, встречающиеся в данном уравнении. В связи с упомянутой
зависимостью между коэффициентами 6ц и 8ik такой способ не
оправдывает себя.
Если условие (61) не выполняется, то можно или изменить
положение пластического шарнира, или увеличить угол поворо-
та 0i вплоть до положительного значения способом, противопо-
ложным тому, который описан в пп. 2 и 3, т. е. уменьшить, на-
пример, момент МРг. Иногда можно повлиять на 0,, изменив
знак какого-либо из остальных моментов Мр. Если же при этом
рассматриваемый момент Мр отрицательный, то и угол поворо-
та 0 в соответствующем шарнире должен тоже иметь отрица-
тельный знак. В этом 'Случае требуется выполнить условие
101 10р I, аналогичное условию (60).
Вблизи узлов рамных конструкций длина пластической зо-
ны измеряется от сечения, для которого определяется Мр (см
рис. 31), т. е. или от теоретического центра узла, или же от ли-
цевой поверхности стойки. Это зависит от общего напряженно*
го состояния узла, т. е. от того, участвует ли его ядро в пласти-
ческих деформациях или нет. Макки указывает [113], что нор-
мальная сила в стойках влияет на степень участия ядра в ра-
боте.
Рассмотрим, каким образом обеспечивается выполнение ос-
новного предположения (б) из главы 4, п. 3. По методу Бейке-
ра это положение будет выполнено, если изгибающий момент
ни в одном из сечений между пластическими шарнирами не
превысит значения Мьъ соответствующего пределу Llt на заме-
няющей рабочей диаграмме [М, $] рис. 56. Для этого требуется
найти значения моментов ML1 для промежуточных сечений, ко-
торые определяются несколько иначе, чем разрушающие мо-
менты Мр=Л1ь2- Тем самым усложнилось бы практическое ре-
шение. Поэтому для железобетонных конструкций можно при-
нять MLi=ML2—Мр, если одновременно будут выполнены пра
вила о максимальной и минимальной степенях армирования
приведенные в главе 5, п. 2 [правило (1) и (2) стр. 142]. Для
предварительно-напряженных железобетонных конструкций
можно с некоторым приближением принимать Мы —0,95 Л1Р=
= ML2, если MLl нельзя установить точно.
При оценке конструкции, на которую действует заданная
нагрузка, поступаем так, как уже описывалось ранее. Если же
требуется найти несущую способность 11 при заданном типе на-
грузки, то с помощью известных величин Мр, 0Р, 6ц, бщ по фор-
муле (59) можно найти для каждого / значение 6г0, а через
102
нее — значение Ut. В общем случае значения £7{ неодинаковы,'
решающей будет наименьшая из определенных несущих способ-
ностей, т. е. £7 = мин UЭтот способ оценки применяют в слу-
чае, когда необходимо установить возможности конструкций,
например, при реконструкции и т. п.
При назначении или оценке поперечного армирования следу-
ет руководствоваться выводами, изложенными в главе 4, п. 1,
т. е. исходить из распределения усилий, полученного при расче-
те на прочность.
Исходные данные расчета. Расчет конструкций. В соответст-
вии со СНиП II-B.I (проект 1972 г.) проектирование конструк-
ций ведут с помощью расчетных исходных значений.
Расчетные нагрузки принимают по СНиП П-А.11-62. Жест-
кость В можно определить различными методами. Причем ре-
зультаты получаются не слишком отличающимися, если при-
держиваться основного предположения об исключении работы
бетона на растяжение. С точки зрения расчета распределения
усилий абсолютная точность не важна, так как имеют значение
прежде всего взаимные соотношения жесткостей. Поэтому бу-
дет достаточно, если жесткость В определить, предположив су-
ществование прямоугольной эпюры напряжений в сжатой зоне
(глава 2, п. 1, рис. 10). Необходимо обратить внимание на то,
что при больших нагрузках пластическая работа бетона интен-
сивнее и, следовательно, модуль деформации бетона vE§ ока-
жется ниже, чем для нагрузок, при которых обычно оценивают-
ся деформации. В расчете по методу Бейкера рекомендуется
значение v принимать по табл. 3. При кратковременных эксплу-
атационных нагрузках v=’/2, а при длительном действии на-
грузки можно принять
___1_ 1
2	1 +<р ’
где ср — коэффициент, характеризующий ползучесть бетона
(при обычном расчете v задается в зависимости от гиг-
рометрических условий эксплуатации конструкций).
При исчерпании несущей способности модуль деформации
бетона обычно бывает меньше, чем при эксплуатационных на-
грузках. В данном случае длительность загружения учитывать
не следует, так как перегрузку конструкции всегда можно рас-
сматривать как кратковременное явление (критические пере-
грузки возникают от действия временной нагрузки). Кроме то-
го, при исчерпании несущей способности принимается фа=1 и
фб = 0,9. Подробный анализ изменения значений коэффициентов
v, фа и фб, а также и модуля упругости арматуры Е& для ста-
дии, близкой к разрушению, был выполнен в 1968 г. О. А. Ко-
ковиным [49]. Необходимо только помнить, что участки конст-
рукции, располагающиеся между шарнирами, в большинстве
случаев не столь сильно загружены, поэтому при расчете не ис-
103
пользуются экстремальные значения приведенных коэффициен-
тов. Предполагается, что растянутый бетон между трещинами
уже выключен из работы и по длине элемента наступает вырав-
нивание деформаций бетона сжатой зоны.
Для частично сжатых сечений (нейтральная ось располага-
ется внутри сечения) жесткость можно подсчитать по общей
формуле
В = М/*,	(71)
где М — изгибающий момент по отношению к центру тяжести
сечений; и — кривизна линии изгиба, подсчитанная по
формуле (13).
При решении по формуле (71) предварительно требуется
установить напряженное .состояние сечения. Поэтому удобнее
воспользоваться выражением (14). Последнее справедливо
лишь для сечений, на которые действует изгибающий момент.
Однако для случая, когда осевая сила является сжимающей,
получаемое значение В будет с запасом. Чем меньшее значение
В вводится в расчет, тем большим получится угол пластическо-
го поворота 0{.
В выражениях (13) и (14) фигурирует плечо внутренней па-
ры сил z. Чтобы установить его величину, необходимо найти
высоту сжатой зоны	Формулу для определения относи-
тельной высоты сжатой зоны £ легко вывести, если исходить из
основных предпосылок расчета, приведенных на стр. 20. Если
в изгибаемом элементе нейтральная ось проходит через ребро
сечения, т. е. если х>Лп, то ^>hn/h0. Тогда для подсчета £
можно использовать квадратное уравнение
I	о I
В — «о I Р + Р' т- 1=0,
\	«о /
Fa , F'a
	-— t u,' =	 ,
bo--------------&o ho
(72)
где Fn—площадь свесов полки (см. рис. 11); b0 — ширина
ребра.
Если же при решении уравнения (72) получается, что
<Zh'n/hQ .(г. е. нейтральная ось проходит в сжатой полке), то
значение £ нужно определять, решая следующее квадратное
уравнение:
/ а' \
£2-)-л0 (р + р')£ —п0 (р + р' — 1 = 0,	(73>
при этом
Fa . F'a
р = —;— ; р = —;----------->
ьп h0	bn ha
где ЬП — общая ширина сечения.
104
Для внецентренно-сжатых элементов прямоугольного сече-
ния относительная высота сжатой зоны £ вычисляется из куби-
ческого уравнения
(	е?	? \	еР	/	+
hr =
\	п0	I	Л0	\	по	I \	«0 /
= 0,	(74}
где ера—эксцентрицитет нормальной силы от расчетной на-
грузки по отношению к центру тяжести растянутой
арматуры.
Уравнение (74) лучше всего решить методом итерации. При
первом приближении значение £ можно определить исходя ив
предположения, что второй и третий члены в левой части урав-
нения равны нулю.
.Относительное плечо внутренней пары сил zh0 вычислим,,
используя уравнение (72), из выражения
_________________ho_______bp hp h0
F'
2 (£ + п0 p.' 4-	)
bp hp
(75)
Если применяется уравнение (73), то в уравнении (75) не-
обходимо принять
г"=Ои1,' = ^;
Предположим, что жесткость В отдельных стержней иссле-
дуемой системы есть величина постоянная и наименее благо-
приятная. Для упрощения расчета у полностью сжатых сечений
можно пренебречь работой сжатой арматуры и учитывать лишь
бетонную часть сечения (т. е. принять 1а=1б). Разрушающий
момент ЛГР по СНиП II-B.I (проект 1972 г.) устанавливают с
учетом расчетных сопротивлений материала, коэффициентов
условий работы, номинальных размеров и т. д. При расчете
конструкций в соответствии с Международными рекомендация-
ми ЕКБ [29] разрушающий момент Л4Р определяют как м(оменг
A4l2 (рис. 56), при котором достигаются или предельные отно-
сительные деформации бетона 8бР или относительные удлине-
ния в стали еа=:0,01.
Предельные пластические повороты подсчитывают из урав-
нения (62), (63). При этом принимают, что
|8б.р —8б.гр | = 0,0015.
Высоту сжатой зоны хр, встречающуюся в уравнении (62),
берут из расчета, определяющего разрушающий момент Мр.
Для упрощения подставляем в уравнение (64) значение осевой
силы N, получающееся от расчетной нагрузки. В данном случае
105
было бы правильнее принять значение осевой силы от нор*
мативной нагрузки, так как перегрузка не может наступить од-
новременно на всех этажах рамы. Это усложнило бы расчет, по-
поэтому выбирают более простой способ.
Среднюю несущую способность сечения при центральном
сжатии Л^р.цс.ср, фигурирующую в уравнении (64), подсчитыва-
ют от нормативных нагрузок. Константу С&, имеющуюся в фор-
муле (64), для горячекатаной арматуры принимаем равной 0,7,
а для холоднотянутой проволоки—0,9. Постоянную Сб берем в
соответствии с данными табл. 3 стр. 97 в зависимости от проч-
ности бетона. Расстояние t от точки нулевого момента до сече-
ния, в котором определяется 9Р, задается.
Оценка конструкции. При оценке существующей конструк-
ции в расчет вводят исходные данные с учетом характера иссле-
дуемого сечения. Рекомендуется по возможности использовать
действительные характеристики, полученные при исследовании
конструкции.
Устойчивость рам. В главе 2, п. 2 говорилось о том, что по-
теря устойчивости рамной конструкции может наступить по
двум причинам: в результате изолированной потери устойчи-
вости одного из сжатых стержней и из-за потери устойчивости
всей конструкции в целом или же ее части (рис. 35). Можно
предположить [79], что между двумя способами потери устой-
чивости нет взаимодействия, т. е. допустимо потерю устойчивос-
ти конструкции для каждого ее вида оценивать самостоятельно.
Изолированная потеря устойчивости. Рассмотрим номиналь-
но центрально-сжатый стержень с двусторонним защемлением
концов (рис. 62,а). Строго говоря, центрально-сжатых стерж-
ней в природе не существует. Ось стержня по разным причинам
отклоняется от теоретического положения, поэтому в стержне
возникают изгибающие моменты. В данном примере критичес-
кими будут оба сечения в заделке, а также сечение на половине
высоты элемента. При определенной осевой силе в критических
течениях (в заделке или на половине высоты элемента) возник-
нут пластические шарниры (см. рис. 62,6, в) ,в которых будут
действовать изгибающие моменты Л4Р. Для упрощения расчета
и с точки зрения надежности правильнее предположить '[161],
что шарниры не пластические, а натуральные. При этом расчет-
ная длина равняется высоте этажа независимо от того, какой из
случаев, приведенных на рис. 62, а или 62,6, рассматривается.
При таком предположении получается более безопасное реше-
ние и им обычно пользуются при расчете конструкции по теории
упругости.
Рассмотрим зависимость между усилиями и деформациями
при изолированной потере устойчивости. С учетом имеющего-
ся начального эксцентрицитета е0 критические сечения сжатых
элементов всегда следует рассматривать как внецентренно-сжа-
тые. Кривая зависимости [Л1Р, Np] для несущей способности
106
Рис. 62. Поведение стойки при изолированной потере устойчивости в плоско-
сти рамы
д —схема стойки; б, в — возможное расположение пластических шарниров; г —заменя-
ющий вариант; д — модель элемента
Рис. 63. Диаграммы зависи-
мостей
а — между усилиями; б — меж-
ду деформациями при изолиро-
ванной потере устойчивости
внецентренно-сжатого сечения имеет вид в соответствии с
рис. 63,а. Загружение сечения в начальной стадии задано мо-
ментом М и нормальной силой N, между которыми существует
зависимость
M/N = е0 4- е,
где е — эксцентрицитет, полученный без учета устойчивости.
Если бы соотношение М/N при возрастании нагрузки не
менялось, то такое нагружение можно было бы отразить на
рис. 63, а прямой О. Однако с ростом нагрузки сжатый стер-
жень прогибается и эксцентрицитет в половине высоты элемен-
та получает приращение на значение прогиба f (см. рис. 62, в).
Поэтому в сечении на половине высоты стержня M/N=e0-{-
Далее возможны два основных случая:
1) с увеличением прогиба f нормальная сила будет расти
вплоть до разрушения сечения [т. е. когда линия 1 пересечется
с кривой зависимости (см. рис. 63, а)]. Этот случай называют
разрушением по материалу;
107
2) при определенном прогибе fKp нормальная сила начнет
уменьшаться (кривая 2 на рис. 63, а); сечение, однако, разру-
шится только после достижения прогибом значения fv. В это
время стержень будет в состоянии нести лишь часть приходя-
щейся на него нагрузки. Остальная часть нагрузки должна бу-
дет распределиться на другие сжатые стержни (если это вооб-
ще возможно). В этом случае говорят о так Называемом стаби-
лизационном разрушении1.
Общая потеря устойчивости. Чтобы выявить отдельные за-
висимости, рассмотрим простой случай симметричной рамы,
опирающейся на шарниры (рис. 64, а). Пусть над левой стой-
кой рамы действует вертикальная сила Р, а в уровне ригеля—
горизонтальная сила Н. Вначале загрузим раму лишь горизон-
тальной силой Н, от воздействия которой ригель сдвинется го-
ризонтально на длину fK. Если теперь начнем увеличивать о г
нуля силу Р, то стойки рамы под влиянием Изгибающего мо-
мента Pf/2 будут деформироваться и сдвиг fH вырастет до зна-
чения f=fH+fp.
Сдвиг ригеля на значение f можно получить, если прило-
жить к нему горизонтальную силу Н'У>Н. Составляющая fp
возникает от действия силы Р. Если пренебречь искривлением
стоек, то из уравнении равновесия (учитывая симметричность
рамы) получаем составляющие реакции Л и В:
горизонтальные
Ha = Hb- 2 + 2Л ^1- ;	- 2	—
и вертикальные:
1 Практическая информация о поведении тонких железобетонных стержней
собрана и рассмотрена в работах Мак-Грегора, Брина, Фраига 1[115], Корди-
ны, Кваста [98].
108
If II Pf H li
Горизонтальная сила H' в данном случае равна:
Н'= НаНь = В ,	(76)
(76а)
а моменты распределяются в соответствии с рис. 64, б.
Теперь подсчитаем деформацию рамы исходя из условия ее
упругой работы. Сделаем систему статически определимой,
введя шарнир в сечение 2. Далее приложим к ней силу Н=\,
которая вызовет в новой системе моменты М*о. Горизонталь-
ное перемещение можно определить из известного выражения
С М М*п
М —dx’
где М — момент в статически неопределимой системе от дейст-
вующей нагрузки; В—жесткость сечения при изгибе.
. Интеграл распространяется на все стержни системы. Ис-
пользуя значения интеграла J ММ*0 dx, приведенные в различ-
ных практических таблицах, получим выражение для подсчета
перемещения от силы Н':
Н'h2 / h I \
f= ----- 2-----+------ ,
12 В КОЛ \ Д<ол ®блк /
где Вкол и Вблк — соответственно жесткости при изгибе сече-
ний стойки и ригеля.
Примем
&кол
У = ---- ~ .
Вблк h
(77)
тогда
Н' А3
------- (2 + Y)>
1Z Orqji
Подставив сюда значение Н' из уравнения (76), получим
//А«	Р/А2
--- (2 + Y) + т~~ (2 + Y).
£>КОЛ	1Z ° кол
После некоторых преобразований имеем
Я А2
]9 п (2 +у)
14 Пкол
1 - Т2 Д. (2 + Y)
#кол
Если сила Р достигнет определенного значения РКр.уп, т. е.
такого, при котором
р А2
1—“---------- (2 + Y)=0,
14 £>КОЛ
(78)
(79)
(80)

то в этом случае прогиб f будет расти неограниченно, т. е.
/->оо. Из выражения (80) получим критическую силу при упру-
гой работе рамы
12 Вкол
= (81)
Следует отметить, что сила Т’кр.уп не зависит от горизонталь-
ной силы Н.
Теперь вместо выражения (79) можно записать
Н
.______кр.уп
/—	1—PIP	“•
1 'кр.уп
Выражение (79) или (82) можно приспособить и для слу-
чая, когда рама имеет начальную деформацию f0- Тогда прини-
мается
(82)

Предположим, что при определенной нагрузке в сечении 2
возникнет пластический шарнир, после чего нагрузка, харак-
теризуемая силой Н', сможет возрастать и далее, а моменты
распределятся в соответствии с рис. 64,г. В сечении 2 момент
не изменится и будет равен разрушающему моменту Л4р2. В се-
чении 1
M1 = Hah,
причем, исходя из условия равновесия, имеем
Мр
h ‘
На = Н’
(83)
Применив уравнение (76а),
ления перемещения:
1	I	I h
//„ft —
3	1	\ “кол
получим выражение для
вычис-
Подставив
1 Мр'1.
Вблк /	2 BgЛК J
(77) и (83) в уравнение (84), получим
1 №
f = -Г ---- [2H'h (1+Y)-MP (2 + 3у)].
О ^кол
это выражение подставить Mp=H'h/2, то
(78). Подставим снова в уравнение (85)
(84)
(85)
Если в
уравнение
Н из (76). После преобразования имеем:
Н й2	Moh
---------- (1+Y)--^----- (2 + Зу)
р о £>кол-о £*кол
f =-----------pjp--------------h.
(1+Y)
° ° кол
получим
значение
(86)
I
Критическую нагрузку Р=Ркр.пл при пластической работе
110
рамы (характеризуемой наличием пластического шарнира в
сечении 2) получим из условия, когда f->oo, т. е.
Р h2
-------- (1+ у) =0.
« а кол
Тогда
р____________3 5Кол
кр.пл - h2 (1 +у)
(87)
В этом случае РКр.пл также не зависит от силы Н. Не зави-
сит она и от разрушающего момента Л4р2. Критическая нагруз-
ка определяется жесткостью конструкции, а также тем обстоя-
тельством, что в конструкции имеется пластический шарнир.
Использовав выражение (87), можно уравнение (86) преобра-
зовать следующим образом:
/Ир 2-|-3 у \ Н
~НТ 2 (Ц-у)/ ^кр.уп
3 2-4-у Р
12	1 у Т’кр уп
(88)
Отношение между критическими нагрузками при упругой и
пластической работе следующее:
Ркр.пл _ 3	2 + у
Т’кр.уп ' 12 ' >+Y 
Рис. 66. Диаграммы зависимости горизонтального перемещения f от силы
Р для рамы, представленной на рис. 63.
Ill
Например, при у=1 отношение РКр.пл/^кРуп==0,375, т. е.
пластический шарнир заметно уменьшает критическую на-
грузку.
Из графика, приведенного на рис. 65, видна зависимость от-
носительного прогиба f/h от соотношения Р/Ркр.уп для случая,
когда Я/РКр.уп=0,01, и для различных соотношений Mp/Hh и у.
Рассмотрим теперь несущую способность рамы, выражаемую
через Рр и Яр в соответствии с определением (55а). Найдем си-
лу Нр = Нр-[-Рр1р/Н, от воздействия которой конструкция раз-
рушится. После приложения этой силы в пластическом шарни-
ре наступит предельный пластический поворот 0Р. Значение fp
характеризует горизонтальное перемещение рамы в момент раз-
рушения. Уравнение (59) получит следующий вид:
бго -р б2а Мр2 = — 6г.	(89)
В соответствии с определением (55а) несущая способность
будет исчерпана при 02=0р2.
Для подсчета коэффициентов б2о и б22 можно использовать
следующие формулы:
Рблк 2	5КОЛ 3
Подставив в уравнение (89) значения 02, б2о, б22 и выполнив
некоторые преобразования, получим выражение для горизон-
тальной силы
Рр f? _ 9 ;Цр2 ,
h h +
_	6 2?КОЛ
р2л2 (1-4- ЗУ)
Назначив величину Нр и используя уравнение (88), найдем
нагрузку в момент разрушения
2Л*р2+ д(Г+з7)'~Яр/г
лл /о । 1 । 12 6Р2 Вкол (1 + Y)
<2 + V)+~4(1+3t)...
6 ^кол
h
(90)
или
Рр- 2
9рг ^кр уп
2 ZZpfe + 1 + у Нр
, Lfl 2 +3Y + Y2 Ркр.Уп
Hh (2 + y)-HP3 i _|_ з у н
Следует обратить внимание на некоторые зависимости. Если
в уравнении (90) принять Яр=0 и 0р2=О, то после преобра-
зования
'р Мср.уп •	(91)
Если же, наоборот, Яр=0, Л1р2=0, то получим
Нр = Яр +
Рр=
112
р = р
* р кр.пл •
Если Нр—О, 0Р2>О и ТИр2>0, то уравнение (90) можно пе-
реписать в следующем виде:
Мр2 6 Вкол
р  6 5Хрл ________9Р2	(1 4~ 3 у)___	,
₽	/г2	Мр2 12 SK0JI (1 +у)
(2 + Y) 0^ +	M1+3Y)
Встречающееся здесь соотношение Afp2/0p2 указывает на то,,
что их значения оказывают противоположное влияние на вели-
чину Рр.
Полученные результаты (которые справедливы лишь для
рам без горизонтальной нагрузки) на первый взгляд кажутся
парадоксальными, так как из них следует, что с ростом 0р2
уменьшается Рр. Однако все находится в полном соответствии
с характером устойчивости конструкции. Если, например,
0Р2=О, то это означает, что возникновение пластического шар-
нира невозможно и, следовательно, вплоть до своего разруше-
ния рама будет работать упруго. Наоборот, при воздействии
только силы Р, когда Afp=O, не имеет значения, каков пласти-
ческий поворот 6р2. Важно то, что в углу рамы имеется пласти-
ческий шарнир.
При действии на раму горизонтальной силы Н=НР при
6р2>0 способность рамы к деформации увеличивается, а
вместе с нею возрастает и несущая способность. В любом слу-
чае должно быть справедливым неравенство
р р
' Р 1 кр.пл •
На графиках зависимостей [Р/Ркр.У11, /7«], показанных на
рис. 65, нанесены точки, соответствующие предельным поворо-
там 0Р—10~3, 5-10_3 и <10~2. Проанализируем соотношения меж-
ду усилиями и деформациями в исследуемой раме (при
Н/Рнр.уп—0,01). В соответствии с рис. 65 возможны два случая:
1) в сечении 2 при нагрузке Р<РКр.пл наступает исчерпа-
ние несущей способности при моменте Мр2. В этом случае де-
формации вначале идут по линии, соответствующей упругой
работе рамы, а от точки А, т. е. когда jW2=jWp2, по линии, соот-
ветствующей работе рамы с пластическим шарниром. По мере
возрастания нагрузки Р при значении Р=Рр наступает пре-
дельный пластический поворот 0Р2 и рама разрушается (подо-
бие разрушения по материалу при изолированной потере устой-
чивости). Если бы 0Р2—>-оо, то РР=РкР.пл и рама разрушилась
бы из-за чрезмерных деформаций;
2) в сечении 2 возникает разрушающий момент Afp2. лишь
при нагрузке Р>РКр.пл- При этом произойдет мгновенная по-
теря устойчивости, так как с возникновением пластического
шарнира конструкция изменилась и перешла в новое состояние.
В этом случае можно говорить о подобии стабилизационного
разрушения.
из
В дальнейшем важно уяснить, какую роль играет увеличе-
ние разрушающего момента Л1Р2. При MP2/Hph=0,5 сразу же
после приложения силы Н=НР в конструкции возникнет плас-
тический шарнир. Если теперь увеличить Afp2 на 4Оуо, то плас-
тический шарнир 'возникнет при соотношении усилий г’/РкР.уп=
=0,29. При этом сила Рр бу-
Таблица 4. Влияние увеличения	дет возрастать в ЗЭВИСИМОС- разрушающего момента Л412 на значение ти ОТ значения 0р2 в соответ- „II .,1,1	Р	- ствии с данными табл. 4. Р2 ’ Р2	j	J	Таким образом, увеличе- способности Рр при Л1р2 ///р/Кол=0,5 ние разрушающего момента		
Угол пласти- ческого пово- рота 0^ при разрушении	окажется пиленым лиши 	Р	 тогда, когда значение 0рг в 0,5	1	2	критическом сечении будет п I	низким. рр1 рр	Однако с увеличением	
IO"2 5-10-3 io-3	1,36 1,77 5,12	разрушающею митипа ра 1,8	ма как бы охрупчивается, 2^65	так как небольшое прира- 9>72	щение силы Р повлечет за собой увеличение деформа-
ций.
И наконец, отметим здесь важное отличие от случая изоли-
рованной потери устойчивости. Обычно в конструкции рам
сила Р уменьшиться не может, в то время как в случае изоли-
рованной потери устойчивости такое уменьшение возможно, ес-
ли при этом прилегающие части конструкции в состоянии сох-
ранить равновесие сил.
Из анализа поведения простой рамы следует важный вывод:
возможность возникновения пластических шарниров снижает
предел устойчивости рамы. Его можно распространить и па бо-
лее сложные виды конструкций и нагрузок. Поэтому при рас-
смотрении конструкций, у которых возможна полная потеря
устойчивости, требуется выяснить, не наступит ли в результате
корректировки перераспределения усилий большого снижения
предела устойчивости. Пока же еще не представляется возмож-
ным дать общее правило, в каких случаях следует проводить
оценку устойчивости заданной системы. При решении вопроса
о том, следует ли при расчете по теории пластичности обра-
щаться к более точному решению, рекомендуем руководство-
ваться соображениями, изложенными в главе 2, п. 2.
Способ решения, показанный на примере простой рамы
(рис. 61), можно с некоторым приближением использовать и
при изучении работы многоэтажных рам [123]. Каждый этаж
такой рамы можно рассматривать самостоятельно как защем-
ленный в нижнюю часть конструкции. При этом влияние выше-
лежащих этажей заменяется осевыми силами и изгибающими
моментами, приложенными к верхним узлам.
114
Гл а в а 5
РАСЧЕТ МЕТОДОМ
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
1.	МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Исходные предпосылки. Рассмотрим железобетонную п раз
статически неопределимую конструкцию, находящуюся под оп-
ределенной нагрузкой. О свойствах этой конструкции сделаем
следующие пять предположений:
1)	сечения конструкции, в которых изгибающий момент
меньше разрушающего Мр, работают упруго;
2)	если в каком-либо сечении конструкции будет действо-
вать разрушающий момент Мр, то в этом сечении возникнет со-
вершенный пластический шарнир;
3)	взаимный поворот сечений, прилегающих к пластическо-
му шарниру, после достижения моментом значения Мр будет
неограниченно расти (т. е. фр-^-оо) без какого-либо дальнейше-
го увеличения изгибающего момента;
4)	осевые усилия, возникающие в стержнях системы при из-
гибе (в результате сводчатого или мембранного воздействия)
будут пренебрежительно малы;
5)	перед обрушением не произойдет полной потери устойчи-
вости конструкции либо ее части.
- -Первые три предположения можно обобщенно выразить с
помощью рабочей диаграммы [А4, О], представленной на
рис. 66. С первыми двумя предположениями мы уже встреча-
лись при рассмотрении метода Бейкера (сравнить с рис. 56).
Поэтому их не следует относить к специфическим особенностям
метода предельного равновесия. Четвертое предположение ис-
пользуется и при расчете по теории упругости. В данном случае
его следует отметить особо, так как при достаточно больших
деформациях конструкции перед ис-
черпанием несущей способности
влияние осевых сил второго поряд-
ка может быть значительным (см.
влияние распора в главе 2, п. 2).
Рис. 67. Простая балка и меха-
ьиз I ее разрушения
а
Рис. 66. Диаграмма зави-
симости [Л1, Ф] при ра-
счете методом предель-
ного равновесия
115
.Подобным образом обстоит дело и с пятым предположением.
{Необходимо далее помнить, что у железобетонных конструкций
(в 'отличие от стальных) при изгибе в противоположных
направлениях разрушающий момент Mg в сечении обычно бы-
ваетразным
Г По мере возрастания нагрузки изгибающие моменты в раз-
личных сечениях достигают значений Мр (обычно отличных од-
ни от других) и в каждом из них образуется пластический шар;
нир. Если возникнет п шарниров, то конструкция становится
"Етатически определимой, однако при этом она остается несущей,
так как повороты в шарнирах не ограничиваются. То есть в этом
случае, in отличие от метода Бейкера, еще (нельзя говорить о раз-
рушении конструкции. И только с возникновением очередного
пластического шарнира конструкция преобразуется в ста-
тически неопределимую по форме, превращаясь в кинематиче-
ский механизм (обычно с одной степенью свободы), и разруша-
ется при малейшем возрастании нагрузки. Происходит исчер-
пание несущей способности конструкции. Отсюда следует, что
конструкция, отвечающая всем 'вышеизложенным предположе-
ниям, не может считаться разрушенной до тех пор, пока не
возникло п + 1 шарниров, так как теоретически до этого момен-
та не существует никаких признаков, которые сигнализировали
бы о разрушении.
Несущая способность при использовании метода предельно-
го равновесия характеризуется нагрузкой ИЫЛКС.
По мере последовательного высвобождения в конструкции
отдельных связей ее деформации растут. При этом растут де-
формации как части конструкции (например, прогибы), так и
всей конструкции в целом (перемещения). В результате конст-
рукция может стать непригодной к эксплуатации задолго до
возникновения всех п+1 шарниров даже в том случае, когда в
соответствии с первым предположением в сечениях, для кото-
рых |М| <МР, не возникнут пластические деформации. У желе-
зобетонных конструкций предельное состояние по деформациям
оценивается при эксплуатационных, а не при расчетных нагруз-
ках, когда еще и речи нет о возникновении каких-либо шарни-
ров. Поэтому в дальнейшем изложении деформации конструк-
ций рам при нагрузках, близких к исчерпанию несущей способ-
ности, рассматриваться не будут.' С ростом нагрузки равнове-
сие внутренних и внешних сил должно’'' п‘остЗянно сохраняться.
По мера возникновения новых шарниров изменяется и распре-
деление внутренних сил, на что указывает изменение положе-
ния эпюры моментов. Непосредственно перед исчерпанием не-
сущей способности наступает предельно возможный случай рав-
новесия—отсюда и произошло название метода. Иногда его еще
называют расчетом в пластической стадии или расчетом по тео-
рии пластических шарниров.\Х\ока эти понятия довольно широ-
кие и недостаточно точные.
116
Все, что здесь говорилось о конструкции, остается в силе и
для отдельных ее частей, если, конечно, в них самих может нас-
тупить исчерпание несущей способности, т. е. если они могут
превратиться 'в кинематический механизм. Это, например, мо-
жет быть отдельный пролет неразрезной балки или рамы, ко-
торый сам по себе дважды статически "неопределимый. После
возникновения трех пластических шарниров элемент преобра-
зуется в кинематический механизм (при этом выполняется пер-
вое предположение). Здесь можно говорить о частичном исчер-
пании несущей способности, при котором исключается из рабо-
ты лишь часть конструкции, но этого уже достаточно, чтобы по-
будить нас принять меры для обеспечения безопасности, если
конечно рост деформаций не сигнализировал об опасности уже
раньше.
Методу предельного равновесия в общей форме были посвя-
щены многие работы (А. А. Гвоздев [8], А. Р. Ржаницын [34],
В. Прагер i[139], П. Ходж [89], Ч. Массоне и М. Савье [117],
Б. Г. Нил [32]). Поэтому в дальнейшем не будем подробно его
излагать, а ограничимся лишь освещением самых важных тео-
ретических выводов и остановимся подробнее на особенностях
метода применительно к железобетонным конструкциям.
Статический и кинематический способы установления несу-
щей способности. Поясним некоторые основные положения ме-
тода предельного равновесия на примере простой балки, загру-
женной посредине пролета силой Р (рис. 67). Простая балка —
конструкция статически определимая. По аналогии с вышеиз-
ложенным сочтем балку разрушенной после возникновения од-
ного шарнира. В этом случае балка не будет в состоянии вос-
принимать нагрузку.
Из статики нам известен характер эпюры моментов. Извест-
но, что под действием силы момент будет равен— Р1. Если из-
4
вестей разрушающий момент Л4Р в этом сечении (предположим,
что это как раз критическое сечение), то разрушающую на-
грузку Рр можно найти из уравнения
Рр/ = Л4р,
4
откуда
Нагрузку Рр в приведенном случае устанавливают статиче-
ским способом. Существуют и другие пути определения несу-
щей способности. С ростом нагрузки Р от нулевого значения
возрастают изгибающие моменты и кривизны по длине балки,
и последняя деформируется. Непосредственно перед достиже-
нием в балке разрушающего момента Л1Р .в сечении под силой
117
линия изгиба будет иметь форму 1 рис. 67. Как только в сече-
нии под силой возникнет пластический шарнир, балка превра-
тится в кинематический механизм. На определенной стадии
полного исчерпания несущей способности линия изгиба балки
будет иметь форму 2. В соответствии с третьим предположени-
ем предыдущего пункта в процессе кинематической работы ме-
ханизма момент Мр в шарнире не изменится, а следовательно, и
эпюра моментов на примыкающих участках при полном исчер-
пании несущей способности останется той же. Поэтому не из-
меняется и энергия деформации, накопившаяся в балке. Изме-
нения в прогибах и взаимных поворотах шарниров (включая и
действительные шарниры на опорах) можно изобразить схема-
тически (см. рис. 67). В соответствии с принципом виртуальных
работ, работа, выполняемая силой Р при виртуальном переме-
щении механизма, равняется работе внутренних сил, т. е. толь-
ко работе момента Л4Р, так как остальные моменты никакой ра-
боты не выполняют (в обоих реальных шарнирах моменты от-
сутствуют). Если обозначить виртуальные повороты в опорных
шарнирах через 9', то их величина, как это вытекает из геомет-
рии механизма виртуальных поворотов в пластическом шарни-
ре, должна равняться 29', а виртуальная работа момента Л4Р=
— Мр29'. Работа силы Рр равна Ppf', где f'—виртуальный прогиб
посредине пролета. Так как угол 9' очень мал, то
Запишем уравнение виртуальных работ1
Рр6' у = Л4Р2 6',
откуда
Несущая способность Рр, найденная кинематическим спосо-
бом, приводит к тому же результату.
Оба способа определения несущец_способности применимы
и к более сложным конструкциям.[Сущностьэтих методов мож-
но выразить следующим образом.’ В исследуемой системе из- ’
вестей или предполагается определенный механизм разруше-
ния. При использовании статического способа устанавливается
такое распределение моментов, положение и величина которых
определяется моментами Мр в местах ожидаемых пластических
шарниров, а форма распределения задана характером нагруз-
1 Виртуальная работа в пластическом шарнире всегда имеет знак плюс,
так как направление действия момента Mr, совпадает с направлением вир-
туальных поворотов. У виртуальной работы внешних сил отрицательный знак
будет тогда, когда перемещения или повороты в точках приложения сил на-
правлены против действия этих сил.
118
Рис. 68. Примеры конструкций и
нагрузок с одним механизмом
разрушения
а — балка с двусторонним защемлением
концов; б — рама, загруженная гори-
зонтальной нагрузкой; в — то же, вер-
тикальной нагрузкой
Рис. 69. Механизм
разрушения балки
переменного сече-
ния с двусторон-
ним защемлением
концов
Рис. 70. Простая рама, загружен-
ная сосредоточенными грузами Р,
Н и механизм ее разрушения
ц — расчетная схема; б, в, г — механиз-
мы разрушения соответственно Л II, III
1
“Пг J ч
ки, действующей на конструкцию. Для такого распределения мо-
ментов устанавливается нагрузка UM!iKc=U.
При использовании кинематического способа нагрузку <
иЫажс=У вычисляют из равенства виртуальных работ, выпол-
ненных ею и моментами Л4Р в пластических шарнирах известного
или предполагаемого механизма разрушения. В большинстве
случаев кинематический способ решения нагляднее и поэтому
удобнее при выполнении расчетов. Его можно применить
при расчете конструкций различных типов и краевых условий!
как это будет показано в дальнейшем изложении и в примерах
расчета.^Статический способ чаще всего используют лишь для
контролярасчета.
Расчет не представляет никаких затруднений для тех конст-
рукций и нагрузок, у которых механизм разрушения задан од-
нозначно. Например, у балки постоянного сечения с двусторон-
ним защемлением концов (рис. 68, а) шарниры могут возник-
нуть только под грузом и в заделках. У рамы со стержнями
постоянного сечения (рис. 68, б, в) механизм разрушения опре-
деляется видом нагрузки и геометрией конструкции.
Существует ряд систем «конструкция •— нагрузка», для кото-
рых возможно существование нескольких видов механизма раз-
рушения. Например, у балки переменного сечения с двусторон-
ним защемлением концов (рцс. 69) в зависимости от располо-
119
жения шарниров у опор возможны три разновидности таких ме-
ханизмов. Иным примером может служить конструкция рамы
(рис, 70, а), у которой могут встретиться I, II или III виды ме-
ханизмов разрушения. Образование того или иного механизма
при полном исчерпании несущей способности зависит, во-пер-
вых, от геометрических и механических свойств конструкции,
во-вторых, от вида нагрузки. Для балки, показанной на рис. 69,
основной вид механизма разрушения определяется геометрией
и нагрузкой. На расположение пластических шарниров влияют
свойства сечений балки. У рамы, изображенной на рис. 70, а,
решающим будет соотношение между вертикальной и горизон-
тальной нагрузками^
Рассмотрим подробнее последний случай. Предположим,
что критическими будут сечения с первого по пятое (см.
рис. 70, а). Пусть их разрушающие моменты будут одинаковы
в обоих направлениях изгиба и равны Л1Р. Влияние нормальной
силы не учитываем. Допустим, что между Р и Н существует ли-
нейная зависимость Р—аН. Найдем несущую способность ра-
мы, например Яр, допуская возможность всех трех видов разру-
шения конструкции. Используем кинематический способ рас-
чета.
В механизме разрушения вида I при полном исчерпании не-
сущей способности работу совершает только сила Рр=аЯр, в
то время как точка приложения силы Яр не перемещается. Ра-
боту внутренних сил выполняют моменты Л1Р, действующие в
сечениях 2, 3 и 4. Из геометрии системы вычислим перемеще-
ния и повороты, указанные на рис. 70 (I). Для виртуальной ра-
боты будет справедливым уравнение
а/7р0'	= Мр0' + Мр2 6'4-Мре',	(92)
из которого получаем
. Мр
яр = 8^Т
Для механизма разрушения вида II можно записать анало-
гичное уравнение
тг I
НрО' — == Л4р 0'4-Л1р О' + Л1р0'+Мр6',	(93)
в котором сила Р^-аН^ отсутствует. Для несущей способнос-
ти получаем следующее выражение:
В механизме разрушения вида III виртуальную работу вы-
полняют оба вида внешней нагрузки:
f/p" О'У+ а//р 1 о'у =Мр6'-ЬМр20' + Мр2 0' 1-Мр6',	(94)
120
оимосги 1[/7р, а] для кон-
струкции, представленной
на рис 70 при Л4р//=1
Рис. 72. Диаграмма
взаимодействия разру-
шающих усилий в
конструкции, показан-
ной на рис. 70 а
откуда
Для заданного соотношения Мр11 (примем его, например,,
равным 1) можно построить диаграмму зависимости несущей
способности от а (рис. 71), из которой видно, что каждому зна-
чению а соответствуют три различных значения несущей спо-
собности. Каждое из них соответствует одному определенному
виду механизма разрушения. Требуется решить, какой из них
может быть в действительности. Напрашивается вывод, что
решающей всегда является наименьшая из величин несущей
способности. Например, при а=0,25 несущая способность И™,
если а=1, то Нр\ а при а—5 несущая способность В
действительности так оно и есть, что можно теоретически до-
казать с помощью одного из двух основных положений метода
предельного равновесия.
Иногда бывает выгодно выразить несущую способность кон-
струкции через диаграммы взаимодействия, такой, как, напри-
мер, на рис. 72. Это зависимость между двумя составляющими
несущей способности (в нашем случае это Нр и Рр). Она скла-
дывается из стольких отдельных зависимостей, сколько может
быть механизмов разрушения. Учитывая характер уравнений
виртуальной работы при действии отдельных сосредоточенных
усилий, можно сказать, что такие зависимости обычно линейные.
Рис. 73. Механизм раз-
решения балки с ча-
стичным двусторон-
ним защемлением кон-
цов
а — схема загружения,
б — механизм разруше-
ния; Л 2, 3— сечения
121
АВ излагаемом методе не учитывалось влияние нормальных
сил, хотя в рамной конструкции нормальные силы всегда при-
сутствуют. Их влияние при использовании метода предельного
равновесия учитывается двумя способами: 1) разрушающие
моменты Мр являются функциями нормальных сил; 2) нормаль-
ные силы изменяют положение линии сжатия в конструкции и
таким образом влияют на геометрию механизма разрушения.
А. Рыжиньски [149] экспериментально, а Т. Нонака [125]
теоретически доказали, что с точки зрения практики влияние
нормальных сил на несущую способность конструкции несу-
щественно и, следовательно, в обычном расчете его можно не
учитывать^ Поэтому в дальнейшем изложении всегда подразу-
мевается,“что момент Л4р заранее известен и не зависит от рос-
та нагрузки. В примерах, приведенных в главе 7, п. 3, будет по-
казан ход решения с учетом влияния нормальной силы. Отме-
тим здесь, что нормальная сила влияет на деформативные
свойства конструкции, что учитывается методами, изложенны-
ми в главе 4.
На примере балки с двусторонним частичным защемлением
концов покажем, как можно учесть влияние краевых, условий
при использовании кинематического метода. Предположим, что
балка, показанная на рис. 73,а, имеет постоянное сечение с
одинаковым разрушающим моментом в обоих направлениях из-
гиба. При достижении несущей способности Рр балка транс-
формируется в кинематический механизм с виртуальными пово-
ротами 01, 02 = 201, 9з=01 (см. рис. 73,6). Предположим,
что поворот 01 складывается из двух частей
01 = 01 А + 01 В’
где часть Oim — действительно виртуальная, так как ее возник-
новение, связано с воздействием нагрузки на конструкцию;
часть 01В'—лишь результат изменения геометрии системы (не-
зависимо от того, какова причина этого изменения).
Если 0ib=O, 01=014, то в сечении 1 имеется полное за-
щемление. Если же, наоборот,
01 а =	01 = 0i в >
то в данном случае — шарнирное опирание. Примем
014 = <Р01>
где <р — степень защемления (0^ф^1).
Запишем уравнение виртуальной работы (в котором «невир-
туальный» поворот 01 в отсутствует):
Pvf'— Alp <р 6] + Мр 2 0[ -|- Мр <р 9].
122
Так как f'=6i 1/2, то после некоторых преобразований по-
лучим, что
Мр
Рр = 4(1+<р)-г 
При <р—1 (полное защемление концов 'балки) имеем
Мр
Рр = 8 —,
а при ф=0 (обыкновенная балка)
Мр
Рр=4 -г-
В этом случае при исчерпании несущей способности на кон-
цах балки при их частичном защемлении не может действо-
вать полный разрушающий момент Afp, а только его часть <pAfp.
В противном случае не обеспечивалось бы равновесие сил. Из
этого соображения можно исходить прн
ческого метода для определения несущей
способности конструкций с частично за-
щемленными концами.
Рассмотрим коротко случаи загруже-
ния распределенной нагрузкой. В соот-
ветствии с изложенным в главе 1, п. 2 в
пролете, загруженном распределенной
нагрузкой, нельзя заранее определить по-
ложение сечения, соответствующего мак-
симальному изгибающему моменту, так
использовании стати-

Рис. 74. Определение рас-
стояния у0
пролета до
симального
от середины
сечения мак-
момента
Рис. 75. Многоэтажная однопролетная рама с двумя ригелями и механизм ее
разрушения
123
как распределение моментов неизвестно. Чтобы точно устано-
вить несущую способность UMaKC при ожидаемом возникновении
пластического шарнира именно в пролете, загруженном распре-
деленной нагрузкой, необходимо также точно установить и по-
ложение шарнира Если положение шарнира будет найдено не-
точно, то несущая способность, подсчитанная кинематическим
способом, окажется больше ее теоретической величины
В случае равномерно распределенной нагрузки q, зная мо-
менты в заделках Afi и Мз, можно легко вывести формулу для
определения расстояния у0 от сечения максимального момента
до середины пролета (рис. 74):
I Mi I - I Мз '
У о =----;----
qi
При назначении размеров сечений элементов, загруженных
равномерно распределенной нагрузкой, часто требуется вычис-
лять максимальный момент в пролете Л42
м2 = q I2 +-77- [(Ml -L/Из) / —2 (Mi —М3) </0].
V Основные правила. Ниже излагаются основные правила ме-
тода предельного равновесия. Авторы книги не ставили перед
собой задачу заниматься здесь их выводами. Последние подроб-
но изложены в работах [8, 32, 34 и др.].
В общем случае для загружения рамной системы заданного
вида существует несколько различных способов распределения
моментов, отвечающих условиям сохранения равновесия сил.
Такие распределения называют статически допустимыми'1 А
£ Кроме того, все распределения, для которых в каждом сече-
нии |Af|sg:Afp, будем считать безопасными. Пусть каждому та-
кому виду распределения соответствует определенная нагрузка
U В этом случае можно сформулировать .статическое правило,
если для данной конструкции рамы и нагрузки данного вида
можно найти статически допустимое и безопасное распределе-
ние моментов, то нагрузка U, соответствующая такому распре-
делению, будет максимум равна нагрузке, соответствующей пол-
ному исчерпанию несущей способности [7манс-
Иначе говоря, если попытаться отыскать все возможные в
рассматриваемом случае значения U статическим способом, то
наибольшее из них и будет искомой несущей способностью
^'макс. и, наоборот, если выясняется, что при данной нагрузке 3
1 Кроме того, некоторые распределения можно обозначить, как допусти-
мые по деформациям Они вытекают из общих уравнений совместности В то
время как для определенной нагрузки 5<£/Маьс можно отыскать бесконечное
множество статически допустимых распределений моментов, для нагрузки
указанного вида существует лишь одно распределение моментов, допустимое
по деформациям (предполагается, что устойчивость конструкции в данном
случае не играет решающей роли)
124
не существует никакого статически допустимого и безопасного
распределения моментов, то 5>(7макс.
1 Важным выводом, следующим из статического правила, яв-
ляется то, что любое усиление конструкции не может уменьшить
ее первоначальной несущей способности UM&KC. Если же конст-
рукция разрушается при нагрузке С/Макс, то для последней
должно существовать по крайней мере одно статически допусти-
мое и безопасное распределение моментов. Это распределение
должно оставаться статически допустимым и безопасным и тог-
да, когда мы в одном или нескольких сечениях увеличим разру-
шающие моменты. Условия равновесия от этого не изменятся, а
значение Л4Р также нигде не будет превышено. Нагрузка, соот-
ветствующая полному исчерпанию несущей способности, или
увеличится или ее первоначальное значение останется без изме-
нения.
Аналогично для исследуемой системы можно найти несколь-
ко механизмов разрушения, каждому из которых соответствует
определенная несущая способность U, подсчитанная с помощью
принципа виртуальной работы. Кинематическое правило форму-
лируется следующим образом: если для данной конструкции ра-
мы, вида нагрузки и предполагаемого механизма разрушения
можно найти значение U, то оно всегда будет по меньшей мере
равно нагрузке UMhkc> соответствующей полному исчерпанию не-
сущей способности конструкции.
Если теперь кинематическим способом определить несущую
способность U, соответствующую предполагаемому механизму
разрушения, то наименьшая из них и будет искомой несущей
способностью конструкции (/макс.
Из комбинации обоих правил можно вывести объединенное*
правило1: если для данной конструкции рамы и вида нагрузки
можно отыскать по крайней мере одно статически допустимое и
безопасное распределение моментов и если при таком распре-
делении разрушающий момент достигается в стольких сечениях,
сколько их требуется для создания из конструкции кинематиче-
ского механизма, то соответствующая этому нагрузка и будет
искомой, соответствующей полному исчерпанию несущей способ-
ности конструкции [/макс-
В дальнейшем изложении будет показано, что объединенное
правило имеет важное значение для проектирования железобе-
тонных конструкций.
Многоэтажные рамы. Многоэтажные рамы, подвергающиеся
вертикальным и горизонтальным нагрузкам, обычно являются
многократно статически неопределимыми конструкциями с
многочисленными вариантами возможного механизма разруше-
ния. Для примера рассмотрим многоэтажную раму на рис. 75.
1 Это понятие включает в себя принцип существования точного решечия.
(Примеч. науч, ред.)
125
Если предположить, что все ее стержни имеют в обоих направ-
лениях изгиба постоянные сечения и что пластические шарниры
могут образоваться только в критических сечениях, то несущая
способность этой конструкции может быть достигнута при воз-
никновении в общей сложности 16 различных вариантов меха-
низмов разрушения. По сравнению с аналогичной рамой с од-
ним ригелем число таких механизмов будет в 5 раз больше, хо-
тя количество статической неопределимости выросло лишь
вдвое.
Число шарниров в отдельных механизмах окажется разным
и будет изменяться от 3 до 7. Для определения несущей способ-
ности 17макс следовало бы проанализировать все механизмы
разрушения, что довольно трудоемко. В случае реальной желе-
зобетонной конструкции, где сечения элементов различны, число
возможных механизмов разрушения увеличится во много раз и
практическое решение станет чрезмерно трудоемким и гораздо
более сложным по) сравнению с расчетом в упругой стадии ра-
боты. Поиски механизмов .разрушения до сих пор не удается ав-
томатизировать, а следовательно, и использовать для этого
ЭВМ. И, наконец, для систем с высокой степенью статической
неопределимости поиск возможных механизмов разрушения во-
обще оказывается невыполнимой задачей. На рис. 76 и 77 пока-
заны некоторые из возможных механизмов разрушения много-
этажных рам с тремя ригелями и тремя пролетами.
Рассматривая возможности одновременного воздействия не-
благоприятных факторов, можно прийти к выводу, что вероят-
ность возникновения определенного механизма разрушения
уменьшается с ростом числа шарниров, которые требуются для
его образования. Если вероятность возникновения одного шар-
нира будет р, то вероятность одновременного возникновения п
шарниров равна рп. Вероятность возникновения механизмов V
и I на рис. 76 будет тогда равняться соответственно р22 и р8*.
Появления механизма разрушения V практически нельзя
ожидать, если не обеспечить, чтобы вероятности возникновения
шарниров в критических сечениях были равны или больше р.
В соответствии с кинематическим правилом это требование
будет выполнено лишь тогда, когда каждое критическое сечение
будет запроектировано с учетом возникновения хотя бы одного
механизма разрушения. После того как для некоторого сече-
ния будут подсчитаны необходимые разрушающие моменты при
различных механизмах разрушения, их необходимо будет сло-
жить и запроектировать сечение на их суммарную величину. Од-
нако и этот способ достаточно трудоемок. Поэтому целесообраз-
но при проектировании железобетонных конструкций применить
объединенное правило. По методическим соображениям ниже
* Это утверждение приблизительно, в действительности соотношения но-
сят более сложный характер.
126
и)
Рис. 76. Некоторые возможные меха-
низмы разрушения многоэтажной ра-
мы, на которую действует горизон-
тальная нагрузка
а — расчетная схема; б, в, г, д, е ~ меха-
низм разрушения соответственно I—-V
Рис. 77. Некоторые возможные меха-
низмы разрушения многоэтажной ра-
мы, на которую действуют горизон-
тальная и вертикальная нагрузка
а — расчетная схема; б, в, г, в, е — меха-
низм разрушения соответственно I—V
приводятся принципы решения
для случаев раздельного дейст-
вия горизонтального и верти-
кального загружений.
Горизонтальное загружение.
Механизмы разрушения I, II,
III, IV и V (см. рис. 76) типич-
ны для многоэтажных рам при
действии горизонтальной на-
грузки. Соответствующие вир-
туальные повороты можно лег-
ко вычислить исходя из гео-
рамы
метрических параметров само-
го механизма. При высоте этажа h уравнение виртуальной рабо-
ты для отдельных механизмов разрушения можно последова-
тельно записать следующим образом:
//3 в'/г = 8 Мр 6';
(Нг + Яз) 6'/г = 8 Мр1 6';
Н2Ъ' й + Я32 6' /1= 16MpV О';
О' Л + Я3 2 6' h + Н3 3 6' h = 22	6'.
Из приведенных уравнений определим моменты Alp
Если какой-либо из шарниров встретится в нескольких механиз-
мах разрушения, то параметры этого сечения назначают исходя
127
из суммарных разрушающих моментов. Например, сечение в ме-
сте заделки стойки в фундамент рассчитывают на момент
Если принять Н\ — Н2 = Нз = Н, то необходимый разрушаю-
щий момент в защемлениях будет
Данное решение не является оптимальным, так как некото-
рые сечения будут'запроектированы с большим запасом,но оно
надежно и просто. Однако в нем не учитывается вероятность
возникновения того или иного механизма рузрушения. Это весь-
ма сложная задача, решение которой выходит за рамки пред-
лагаемой книги.
Вертикальная нагрузка. Наметим последовательность реше-
ния -кинематическим способом для теоретического -случая загру-
жения (И. Гийон [83] решил эту задачу статическим способом).
На отдельных стадиях решения введем некоторые упрощающие
допущения, во-первых, для того, чтобы облегчить понимание из-
лагаемого -материала, во-вторых, из-за невозможности дать об-
щее решение, пригодное для любого вида рам и натруэо|к. Здесь
важно прежде всего продемонстрировать сам ход мысли.
Обратимся к конструкции рамы (рис. 78), на 'некоторые -про-
леты которой действуют вертикальная постоянно действующая
равномерно распределенная нагрузка g и временная р. Рас-
смотрим три составные части конструкции: во-первых, самостоя-
тельный пролет г, затем окрестности узла Л, включающие в се-
бя части стоек под и над узлом и части обоих прилегающих про-
летов i и i+1, и часть конструкции, примыкающую к узлам Ji и
+ Вначале определим эпюру разрушающих моментов в
ригелях, противостоящих положительным и отрицательным из-
гибающим моментам (в соответствии -с правилом знаков рас-
сматриваем абсолютные значения разрушающих моментов). На
рис. 79 -схематически показаны типовые случаи распределения
разрушающих моментов в ригелях и одновременно их знаки (по
И. Гийону [83]). Пусть разрушающие моменты для сечени^ всех
стоек в обоих, направлениях изгиба имеют значение Ур (для ни-
жележащих сечений) и Ур (для вышележащих сечений). При
подсчете Ур и Ур необходимо учесть влияние осевой силы, дей-
ствующей в сечении.
Ради упрощения предположим, что при вертикальном загру-
жении узлы остаются неподвижными. Вполне понятно, что такое
предположение не всегда выдерживается, однако возможные не-
точности у обычных конструкций очень малы [92], и не стоит
уделять им внимание.
Займемся вначале раюсмюггрением пролета I. Чтобы устано-
вить положение эпюры моментов в пролете, необходимо знать
значения двух моментов, допустим, в местах защемления. Та-
128
Рис. 79. Примерное распределение
разрушающих моментов по ригелю
при обычном армировании
Рис. 80. Механизм разрушения проле-
та рамы от действия равномерно рас-
пределенной нагрузки
ким образом имеется дважды
статически неопределимая
часть конструкции, которую в
соответствии с главой 5, п. 1
можно считать разрушенной,
если в ней возникнут три плас-
тических шарнира. Самое не-
благоприятное воздействие на
ригель в пролете возникнет от
суммарной нагрузки gp+Pp не-
зависимо от загруженности ос-
тальных пролетов конструкции.
Схема механизма разрушения
показана на рис. 80. Если раз-
рушающие моменты будут та-
кими, как это показано на
Рис. 81. Механизмы разрушения мно-
гоэтажной рамы от действия верти-
кальной нагрузки (временная нагруз-
ка действует через пролет)
рис. 79, то можно записать сле-
дующее уравнение, выражающее равенство виртуальных работ
внешних и внутренних сил:
2 (£₽ + />₽) у =2Л)р1в' + Мр22в',
из которого после преобразования получим
(£Гр + Рр) $ = Л)Р1 + Мрг-	(95)
Рассмотрим далее узел с примыкающими к нему участка-
ми конструкции (рис. 81). Чтобы определить распределение мо-
ментов в узле, необходимо знать величины трех изгибающих
моментов. Таким образом, это трижды статически неопредели-
мая часть конструкции, в которой на момент разрушения
должны возникнуть четыре пластических шарнира. При этом,
чтобы узел смог поворачиваться, необходимо, чтобы в каждом
из отходящих от него стержней возникло по одному шарниру. В
>29
5 (0,5) Зак. 336
зависимости от характера загружения конструкции в ней могут
возникнуть различные механизмы разрушения, соответствую-
щие данному условию. На рис. 81 показаны две схемы (верх-
ние) механизма, при котором временная нагрузка прилагается
таким образом, чтобы при расчете по теории упругости в проле-
те i возникали максимальные моменты. Чтобы подчеркнуть са-
мостоятельность части конструкции в окрестностях узла и с уче-
том характера последующего изложения, шарниры в пролетах
изображены сдвоенными. Общий виртуальный поворот двойного
шарнира в 2 раза превышает виртуальный поворот узла. Дру-
гой возможный вариант переменной временной нагрузки и соот-
ветствующий ей механизм разрушения показан на рис. 81 (две
нижние схемы).
В этой схеме (Предполагается, что в результате воздействия
отрицательных изгибающих моментов шарниры возникнут по-
средине незагруженных пролетов. Если же теперь на картину
распределения разрушающих моментов (см. рис. 79) наложить
эпюру моментов от нагрузки gp+pp, а затем отдельно от нагруз-
ки gp в их крайних неблагоприятных положениях, то выяснится,
что пластические шарниры в полностью загруженном пролете
возникнут в соответствии со схемой, показанной на рис. 80. При
отсутствии временной нагрузки шарниры будут образовываться
в четвертях пролета.
Запишем теперь уравнение виртуальной работы для случая
загружения, изображенного на двух верхних схемах рис. 81.
Обозначение моментов примем в соответствии с рис. 79 и схемой,
показанной на рис. 82, а
„ *'+' П' //+1	„ li+l П' f'+1
(£р + Рр) 2 9 4 —	4 9	8 — gp 4 “	4 =
' = Мрз 0' -f- Кр -f-/Ирг 6Л -|- Гр 0Л.
Знаки виртуальной работы, выполняемой нагрузкой gp в npot-
Лйте f-f-1, будут отрицательными, так как предполагаемые пе-
ремещения точки приложения результирующих нагрузки gp бу-
дут направлены навстречу действию самой нагрузки. Приняв,
что 3/з2='/ю и произведя некоторые преобразования, получим
следующее выражение:
.	(#р + Рр) $ —	gp tf+i = Мра + трг -р Ур + Ур .	(96)
Для механизма разрушения, показанного на двух нижних
схемах на рис. 81, поворот в пластических шарнирах стоек будет
в 2 раза больше угла поворота в тех же шарнирах при наличии
механизма разрушения в соответствии с двумя верхними схема-
'ми^'рис. 81 (см. рис. 82,6). Остальные виртуальные перемещения
меняться не будут. Поэтому по аналогии с уравнением (96)
можно записать, что
*	"в"	jo £р = Мр« + mps + 2 (Ур + Ур).
Ч‘эо
Рис. 82. Механизм разрушения узла У, и примыкающих к нему частей элемен-
тов при нагружении в соответствии с рис. 81.
а — распределение моментов, б — механизм раарушення
Рис 83. Механизм разрушения многоэтажной рамы при концентрации нагруз-
ки вблизи узла У, (остальная нагрузка располагается через пролет, постоян-
ная нагрузка не изображена)
Понятно, что, решая уравнение (97), мы должны получить’
большую несущую способность, чем это следует из уравнения
(96). Поэтому при расчете конструкции на восприятие усилий
от данной нагрузки gP и рР геометрические размеры сечений по-'
лучались бы большими при использовании уравнения (96). На-’
дежность конструкции в этом случае обусловлена нагрузкой в
соответствии с двумя верхними схемами рис. 81.
Рассмотрим части конструкции, примыкающие к узлам и
(/+1)1. При этом система ,пусть будет загружена так, чтобы в
узле Л возникло самое неблагоприятное воздействие, т. е. чтобы
5» (0,5) Зак. 836	131
Рис. 84. Механизм раз-
рушения части конструк-
ции, примыкающей к
узлам Л и (/+!).-, при
загружения в соответст-
вии с рис. 83
Рис. 85. Диаграмма вза-
имодействия разрушаю-
щих усилий в конструк-
ции рамы, изображенной
на рис. 78
изгибающий момент в нем был минимальным. Механизм разру-
шения, соответствующий такому загружению, показан на
•рис. 83. На этот раз в стойке i не возникнет никаких пластиче-
ских шарниров. Исследуемая часть конструкции симметрична
относительно оси стойки, поэтому можно рассматривать только
одну ее половину. Как и в предыдущих двух случаях, составим
•уравнение виртуальных работ (виртуальные повороты в пласти-
ческих шарнирах показаны на рис. 84):
h h	^’4-1	^’4-1	^+1
2 (gP + Pp)T8'-T-gp -у-0- ~T--gP
виртуальная работа нагрузки, действующей на ригель /,
432
Ц h h	^+1 . ^z+i
— 2gp	6' -g* —gp -g- вл “f + (gp 4- Pp) 2 ®	4 =
виртуальная работа нагрузки, действующей на ригель /4-1,
= Л/pi в' 4* 2 Л4рз д' 4- /Яра д' 4* Ур д' 4- Ур д' -f-
виртуальная работа внутренних сил в ригеле /ив прилегающих
сечениях стойки t'4-l
4- ntpi 0'4-2nip2 О' 4- Мр10' 4- Ур 0' 4- Ур 0'
виртуальная работа внутренних сил в ригеле /4-1 и в прилегаю-
щих сечениях стойки t'4-l.
После преобразований получим
(ёр 4- Рр) (21} 4*	) — — &p(2/;4-^4-i) = 2Mpl4-2Alp2 4-
4" mpi 4* 3/пР2 4-2 (Ур 4-Ур) •	(98)
В уравнениях (94) — (97) примем Zi=Zf+i = Z; тогда получим,
что
V (?p4-Pp)/’=A4pi4-A4p2;	(99)
(ёр 4- 5 рр) Р = Мрг 4*тр2 4* Ур 4* Ур:	(190)
з	,
(ёр 4*Рр) 1*=2 (Mpi 4* Alps) 4* mpi 4*3mP2 4* 2 (Ур 4- Ур). (101)
Введем следующие обозначения:
8
~ р (Afpi 4~ Alps);
40
Си = — (Alps 4* mp2 4* Ур 4* I'p);
СШ =	[2(Л4р1 4* Alps) 4* mpi 4*3mp2 4* 2 (yp4-yp)j
и можем записать, что
Sp 4* Рр = Cj ;
ёр 4* 5 Рр = Сц;
ёр 4* Рр — Сщ .
(102)
(103)
Уравнение (103) определяет несущую способность исследуе-
мой многоэтажной рамы при вертикальном загружения. Графи-
чески это можно выразить с помощью трех отрезков прямой
(рис. 85).
6 Зак. 336
133
Отметим, что возможность образования механизма разруше-
ния в соответствии со схемой, приведенной на рис. 84, в связи с
большим количеством шарниров весьма маловероятна (см. гла-
ву 3, п. 2) и, собственно, им не следовало бы заниматься во-
обще.
Комбинированное загружение. При одновременном воздей-
ствии горизонтальной и вертикальной нагрузок критические се-
чения следует рассчитывать на восприятие разрушающих мо-
ментов
Мр = Л1р^ + Л1рЬ
где Alp-» — момент от воздействия только горизонтальной на-
грузки, Alpj — момент от воздействия вертикальной нагрузки.
^Последовательность операций при проектировании. Рассчи-
тывая конструкцию методом предельного равновесия, можно ре-
шить обе задачи, встающие перед проектировщиком. При этом
в зависимости от типа системы будет легче или рассчитать сече-
ния конструкции, или их назначить, чтобы затем оценить их не-
сущую способность. Определяя параметры конструкции, необхо-
димо всегда руководствоваться выводами, сделанными в главе
5, п. 2, и действовать следующим образом:
построить эпюры моментов для отдельных стержней системы
от нормативной или какой-либо другой центрально приложен-
ной нагрузки (в зависимости от используемого метода проекти-
рования). При этом стержни считаются статически определимы-
ми элементами (простыми балками или консолями);
эпюры моментов вписать в осевой полигон системы таким
образю|м, чтобы выполнялись условия равновесия сил по отноше-
нию к внешней нагрузке и .в отдельных узлах. Если на конструк-
цию действует независимо одна от другой несколько нагрузок
различных видов, то эпюру моментов следует расположить так,
чтобы хотя бы в некоторых критических сечениях моменты от
этих нагрузок совпадали по величине, т. е. чтобы эти сечения
можно было бы использовать для двух или более типов нагрузки
одновременно;
сечения стержня рассчитать на полученный вышеуказан-
ным способом момент (точно так же, как если бы распределе-
ние моментов было подсчитано по теории упругости).
Проверить, возможно ли в каждом пролете вписать в эпюру
разрушающих моментов эпюры моментов от отдельных видов
нагрузок или же от их комбинации. Далее необходимо прове-
рить, выполняются ли условия равновесия в узлах, а также по
этажам.
При назначении поперечной арматуры необходимо руковод-
ствоваться указаниями, данными в главе 4, п, 1.
При оценке несущей способности конструкции заданных раз-
меров, имеющей определенное армирование и загруженной из-
вестной нагрузкой, поступают таким образом:
134
устанавливают степень статической неопределенности систе-
мы или ее отдельных частей, в которых могут возникнуть само-
с гоятельные механизмы разрушения;
'выявляют по возможности все механизмы разрушения. При
этом предполагается, что пластические шарниры возникнут в
местах максимальных абсолютных значений изгибающих мо-
ментов. Если на конструкцию действует распределенная нагруз-
ка, то при некоторых механизмах разрушения место расположе-
ния пластических шарниров нужно назначить;
зная свойства сечения, вычисляют разрушающие моменты;
для каждого механизма разрушения устанавливают несущую
способность U (например, кинематическим способом). В слу-
чае необходимости при действии распределенной нагрузки про-
веряют правильность расположения пластического шарнира;
наименьшая несущая способность U (при использовании для
ее нахождения кинематического способа) и будет искомым зна-
чением 1/макс’,
если нет уверенности в том, что не возникнет еще какой-либо
дополнительный механизм разрушения, не рассматривавшийся
во втором пункте, то следует проверять безопасность распре-
деления моментов t/макс. Если безопасность не обеспечена, сле-
дует откорректировать решение.
2. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫМ КОНСТРУКЦИЯМ
Применение объединенного правила. При изучении и исполь-
зовании выводов ряда работ, перечисленных в главе 5, п. 1, не-
обходимо помнить, что большая часть их посвящена исследова-
нию работы стальных конструкций. Особенно это касается об-
щих выводов, где часто забывают о специфических особенностях
железобетонных конструкций. Теоретически сечения можно за-
армировать так, чтобы они могли работать вплоть до требуемо-
го разрушающего момента. Возможность осуществить это на
практике зависит от размеров конструкции, способа ее армиро-
вания и т. д.
Указанное свойство железобетонных конструкций позволяет
запроектировать сечение таким образом, чтобы его можно было
максимально использовать. Вернемся к рассмотрению рамы, по-
казанной на рис. 70,а, сечения которой имеют одинаковую несу-
щую способность Afp. При а=1,5 решающим будет механизм
разрушения типа III (в соответствии с диаграммой на рис. 71),
а это значит, что несущая способность сечения 2, в котором пла-
стический шарнир не возникнет, не будет использована полно-
стью ни при положительном, ни при отрицательном повороте.
Поэтому сечение 2 не нужно рассчитывать на полный момент
АГр, а, следовательно, несущую способность его можно снизить.
Если обобщить полученные сведения, то станет ясно, что для
6* Зак 336
135
обеспечения максимальной экономичности конструкции момен-
ты Мр в отдельных сечениях следует назначать так, чтобы при
данной нагрузке и любых возможных механизмах разрушения
несущая способность конструкции была бы одинаковой.
Пусть теперь читатель еще раз обратится к тексту объеди-
ненного правила (стр. 125). Допустим, что нам известны стати-
ческая схема проектируемой конструкции, схема загружения и
нагрузка при исчерпании несущей способности UMaKC. Тогда для
данной нагрузки можно подобрать любое допустимое распреде-
ление моментов М. Запроектируем каждое сечение так, чтобы
для него |Л4|=Л4Р. В этом случае распределение моментов бу-
дет безопасным, но при этом в каждом сечении может одновре-
менно образоваться пластический шарнир, а следовательно, воз-
никнет бесчисленное множество механизмов разрушения. В со-
ответствии с объединенным правилом каждому из этих механиз-
мов разрушения будет соответство|вать одна и та же несущая
способность Пмакс.
Другими словами, если при данной нагрузке 1/Макс необходи-
мо полностью использовать несущую способность каждого се-
чения конструкции, то их следует запроектировать так, чтобы
распределение разрушающих моментов Мр было статически до-
пустимым. Разумеется, по конструктивным соображениям не-
вю|зможно выполнение равенства М—Мр для каждого сечения
даже в том случае, когда на конструкцию действует нагрузка
всего лишь одного вида. Поэтому обычно определяют парамет-
ры только критических сечений. Армирование остальных сече-
ний выполняют с учетом конструктивных требований в обще-
принятом порядке.
Объединенное правило используют и при расчете самой си-
стемы. При проектировании не обязательно определять разру-
шающие моменты из уравнения виртуальных работ. Можно
разместить эпюру моментов от нагрузки t/макс так, чтобы выпол-
нялись условия равновесия сил, и затем рассчитывать конструк-
цию на такое распределение моментов.
Правомерность этого метода можно легко доказать на при-
мере балки с двусторонним защемлением концов, загруженной
силой Рр посредине пролета (рис. 86). Запроектируем балку с
помощью объединенного правила. Эпюра разрушающих момен-
тов при этом должна соответствовать условию равновесия сил,
т. е.
Л4р14~ Л4р3 1
Л4ро = Alps-p 2	= 4 /’ре-
форма эпюры моментов по отношению к линии основания
должна быть такой же, как у простой балки. Положение линии
основания может быть произвольным.
Как уже указывалось ранее, пластические шарниры могут
образоваться в любом из трех сечений а, b и с. Убедимся, что
136
при этом несущая способность балки будет всегда равна Рр
независимо от того, где возникли шарниры. В соответствии с
обозначениями, принятыми на рис. 86, разрушающие моменты в
сечениях а, b и с будут следующими:
а
Мра — Mpi — (Мр! + Мрг);
b ...
Мр ь — Мр» — ^2 (Мрз 4* Л4ра)«
[с	1
Мр» —	(Мрз 4- Мр2) .
//2	J
Виртуальные повороты в шарнирах а, b и с будут соответст-
венно равны:
„<	/ — с— а	, 1 — с~а\ .
’ 8* “ , _ h ®а ’ 6с — (1 + „ _ а ) ®а >
е— Ь "а ’ ’е 1 с — Ь
а виртуальное перемещение под силой Р
/р = ®а
Уравнение виртуальных работ для механизма разрушения
будет следующим:
Рр fp = Мр а 0О 4- Мр с 0г 4- Мр ь в*-
После подстановки в него значений fp, Mva, Mpb, Л1рс, 0д,
6ь и 0 с получим,что
= Mpi	(Mpi 4- Мр^) ГЛ4р»	(Мрз 4- Мра)1 X
\ J	L	J
Рис. 86. Распределение разру-
шающих моментов в балке с
двусторонним защемлением
концов, определенных по объ-
единенному правилу
Рис. 87. Возможное распределение разру-
шающих моментов, определенных по
объединенному правилу, в простой ра-
ме, загруженной горизонтальной силой
а — расчетная схема; б, в, г — распределение
моментов
137
(.	1 — с — а\ Г b	1 l~c — a
I+ c — b J +	(Mp3 + Mp2)j ,
откуда
2
Рр —	(Mpi 4- 2 Л1р2 4- Л4Рз).
Таким образом получается, что несущая способность данной
балки вообще не зависит от расположения шарниров. Похожее
доказательство можно провести и для случая произвольного
расположения силы либо нагрузки другого вида.
Рассмотрим простую раму с защемленными стойками, на
которую в уровне ригеля действует горизонтальная сила /Ур
(рис. 87). В соответствии с объединенным правило|м для этой
рамы можно назначить какое угодно распределение разрушаю-
щих моментов, лишь бы выполнялось условие
Z/p й = Л4Р14* Л/р2 4- Mp3’4- ZWP4
и чтобы его изменение в отдельных стержнях системы было ли-
нейным. Этим* условиям отвечают распределения, указанные на
рис. 87,6, в, г. Из их сравнения видно, что расход арматуры по
рис. 87,в будет значительно больше по сравнению с расходом
по рис. 87,а. Кроме того, в начале загружения в защемлении
должен образоваться шарнир, что нежелательно с тонки зрения
пригодности конструкции к эксплуатации в предельном состоя-
нии. Аналогично обстоит дело и с распределением по рис. 87,а.
Отсюда следует, что объединенное правило, несмотря на его
исключительную выгодность для железобетонных конструкций,
невозможно использовать в полном объеме. Деформативные
свойства железобетонных конструкций накладывают определен-
ные ограничения, которые необходимо учитывать в расчете.
Объединенное правило можно использовать описанным выше
способом, если оценивать конструкцию методами, изложенными
в главе 4, или если придерживаться ограничений, о которых
пойдет речь в дальнейшем. Практическое применение объеди-
ненного правила предусматривает метод, предложенный Р, Фур-
лонгом [80].
Ограничения для железобетонных конструкций. В главе 2
подробно рассматривались факторы, влияющие на перераспре-
деление усилий. Были показаны значения рабочей диаграммы
сечения, статической системы и, наконец, влияние характера
нагрузки. Эти, а также некоторые другие факторы необходимо
учитывать, принимая решение о том, в какой степени при проек-
тировании можно использовать метод предельного равновесия.
Бетон и арматура, используемые в настоящее время для из-
готовления железобетонных конструкций, таковы, что в общем
случае позволяют осуществить в конструкции полное перерас-
пределение усилий, если при этом соблюдаются некоторые огра-
138
Рис. 88 Напряженное состояние и деформации сечения железобетонного изги-
баемого элемента при исчерпании несущей способности
ничивающие условия. Пос-
ледние распространяются на
степень армирования крити-
ческих сечений, а также на
распределение моментов при
полном перераспределении
усилий и на его отношение
к распределению, подсчи-
танному по теории упру-
гости.
Степень армирования
критических сечений. Учи-
тывая влияние рабочей ди-
Рис 89. Максимальнее значение от-
носительной сжатой зоны сечения, при
котором еще можно попользовать вы-
годы от перераспределения усилий
аграммы на перераспреде-
ление усилий, желательно исключить из конструкции те сечения,
у которых перед разрушением пластические деформации отно-
сительно малы и одновременно мала протяженность пластиче-
ской зоны. Этим отрицательным свойством обладают сечения,
разрушающиеся по случаю II (из-за раздробления бетона сжа-
той зоны) в элементах, эпюра моментов которых имеет две ну-
левые точки (обычно это непосредственно загруженные эле-
менты) .
Сечения с малыми пластическими деформациями можно
исключить, ограничив относительную высоту сжатой зоны при
разрушении сечения lv=xv/h0. Для этого лучше всего поставить
условие
1Р<£р,	(104}
где gp — максимально допустимое значение gp, при котором
обеспечивается полное перераспределение усилий.
Для определения значения £Р не существует никаких спе-
циальных формул, поэтому более или менее эмпирически прини-
мают
gp — k grp,
13%
где grp — отвдоительная высота сжатой зоны на границе между
случаями разрушения I и II, при которой происходит одновре-
менное раздробление бетона сжатой зоны и достигается предел
текучести в арматуре.
Коэффициентом k учитываются разброс свойств сечения, а
также прочие неясности в работе конструкции. На основании
имеющегося опыта рекомендуется принимать й=0,7*.
Если предположить, что сечения конструкции при исчерпа-
нии несущей способности останутся плоскими (что в определен-
ной степени оправдано), то на основании рис. 88 можно вывести
формулу для подсчета значения grp:
Е __ __________
_ ат
£. _еб ”
Если отойти от гипотезы плоских сечений, то формула для
вычисления grp намного усложнится. Опираясь на анализ ре-
зультатов испытаний изгибаемых железобетонных элементов,
СНиП II-B.1 (проект 1972 г.) рекомендует использовать для
подсчета grp следующее выражение:
_ 1000— 1.5 ^пр
6гр ~ 850 + 0,1/?.
(105)
(106)
где /?пр — призменная прочность бетона; /?а— расчетное сопро-
тивление стали на растяжение, кгс/см2.
В случае, когда /?пр<140 кгс/см2, принимают 7?пр=
= 140 кгс/см2. Приведенная формула справедлива лишь для
сталей с физическим пределом текучести, т. е. для стали классов
А-I, А-П и А-Ш. Диаграмма зависимости (106) для бетона
марки 300 и ниже при различных k изображена на рис’ 89.
Для прямоугольных сечений, а также для тавровых и дву-
тавровых с нейтральной осью, проходящей в сжатой полке,
можно найти формулу для непосредственного установления
максимальной степени армирования. Предположим, что эпюры
напряжений и деформаций в сечении будут такими, как это
показано на рис. 88. Если а'^хр/2, то напряжение в арматуре
сжатой зоны ст. можно принять примерно равным Ra.c (расчет-
ное сопротивление арматуры на сжатие). Запишем уравнение
равновесия
Л5.е*пр + О..с = ^>	(Ю7)
откуда	,	„ Я. , /?...
bxp-Ft	. R^ .	(108)
* Исследования перераспределения усилий, проведенные в СССР, показа-
ли другие ограничения, что нашло отражение в «Руководстве по расчету ста-
тически неопределимых железобетонных конструкций» М., Стройиздат, 1975.
(Примеч. науч. ред.).
140
В тавровых и двутавровых сечениях за ширину b ,поднимают
ширину сжатой полки, т. е. Ь = ЬП. Согласно условию (104)
подставим в уравнение (108) вместо хр значение хр. Так как
(it®)
то после выполнения некоторых преобразю|ваний получим фор-
мулу для подсчета предельной разности в степени армирования
р
(н-И* = Vp-^-,	(но)
Аа
где
F. , F'a
На рис. 90 показана зависимость (р,—р/)* от значения Кщ> и
7?а при 6=0,70.
В сжатых элементах обычно имеется одна точка нулевого
момента, расстояние от которой до критического сечения бывает
относительно больше, чем в изгибаемых элементах, где таких
точек две и располагаются они вблизи опор. Из уравнения (64)
следует, что увеличение рас-
стояния t от критического
сечения до точки нулевого
момента благоприятно влия-
ет на пластический поворот
0р при разрушении, а следо-
вательно, и на меру пере-
распределения усилий.
С учетом возможного
хрупкого разрушения изги-
баемых малоармированных
элементов, а также прини-
мая во внимание условия
эксплуатации конструкции,
рекомендуется также уста-
новить и минимальную сге-
Рис. 90. Максимальная степень армиро-
вания, при которой еще можно использо-
вать выгоды от перераспределения уси-
лий
!> Максимальная степень армирования ц* при средней кубиковой прочно-
сти бетона 200 кгс/см2 хорошо совпадает с экспериментальными данными,
полученными М. Коном и В. Петку [66, 135]. В соответствии с теорией,
предложенной этими авторами, полное перераспределение усилий возможно,
если ни в одном из критических сечений степень армирования не превысит
0,024 (в пересчете на нормативное напряжение 7?”=2600 кгс/см2; для иного
нормативного напряжения максимальная степень армирования устанавливает-
ся ее умножением на соотношение 2600/Я в). это значение справедливо для
бетонов средней прочности порядка 200 кгс/см2 и выше. Помня о предельной
ширине раскрытия трещин, в первой из работ рекомендовано в обычных слу-
чаях принимать степень армирования не более 0,02 (для R ”=2600 кгс/см2)'.
141
пень армирования. М. Кон и В. Петку [66] принимают ЦмИи=
= 0,006 (при =2600 кгс/см2). Полное перераспределение
усилий наблюдалось исследователями и при более низких сте-
пенях армирования. При этом образуются трещины с чрезмер-
ной шириной раскрытия и возникают нежелательные деформа-
ции.
Если попытаться обобщить все сказанное о степени армиро-
вания, то можно сформулировать два правила:
1) сечения изгибаемых элементов статически неопределимых
железобетонных конструкций, в которых предполагается исполь-
зовать перераспределение усилий, следует проектировать так,
чтобы выполнялось условие
(И — н')<(н — И*.
где Ср—р')* — величина, полученная из графика на рис. 90.
Это условие распространяется только на элементы, в кото-
рых изгибающий момент равен нулю по крайней мере в двух се-
чениях’,
2) если статически неопределимая конструкция, запроекти-
рованная по прочности, не оценивается по жесткости и ширине
раскрытия трещин, то степень армирования ее сечений растяну-
той арматурой не может быть меньше цМин= 16/2? ”, где R а —
нормируемый предел текучести арматуры, кгс/см2.
Распределение моментов. Конструкции, встречающиеся на
практике, обычно соответствуют требованиям двух сформули-
рованных выше правил. Следуя этим правилам, проектировщик
исключает случаи разрушения конструкций при малых пласти-
ческих деформациях. При выполнении расчета необходимо
выяснить возможность использования данной конструкцией
пластических свойств. При этом многое зависит от того, на-
сколько отличается распределение скорректированных момен-
тов М от распределения моментов Л4уп, полученных из расчета
по теории упругости. В настоящее время не существует мето-
да, позволяющего произвести такую оценку. Поэтому прихо-
дится исходить из эмпирических правил, проверенных опытом
и подтвержденных практикой применения.
Руководствуясь общим правилом, теоретически можно на-
значить любое распределение моментов, соблюдая при этом ус-
ловие предельного равновесия. Тем не менее, чтобы обеспечить
полное перераспределение усилий, а следовательно, и полнее ис-
пользовать несущую способность конструкции, требуется огра-
ничить такую произвольность при определении положения эпю-
ры моментов. При этом исходят из двух принципов: 1) распре-
деление моментов при предполагаемом полном перераспределе-
нии усилий не должно намного отличаться от распределения,
подсчитанного по! теории упругости. Что это означает количест-
венно, разъясним несколько позднее; 2) отклонение в распре-
делении моментов при полном перераспределении усилий от
142
подсчитанного по теории упругости должно быть логичным, т. е,
должно привести к более выгодному распределению арматуры с
точки зрения изготовления конструкции и быть направлено ско-
рее к выравниванию значений разрушающих моментов в от-
дельных критических сечениях, чем наоборот.
Смысл первого положения легко объяснить, если учесть одно
простое обстоятельство, а именно, что начальное распределение
моментов в конструкции задано теорией упругости. Допустим,,
что нам известно распределение моментов при исчерпании кон-
струкцией своей несущей способности U№&KC. Чем большим бу-
дет отклонение такого распределения от распределения, подсчи-
танного по теории упругости, тем более значительным пласти-
ческим деформациям должна противостоять пластическая зона.
Понятно, что при больших отклонениях может случиться так,
что некоторые критические сечения окажутся не в состоянии пе-
ренести возникающие деформации.
(Второе положение, помимо теоретического обоснования, ана-
логичного приведенному выше, имеет и практическое значение.
Хотя его нельзя выразить количественно, все же в некоторых
работах и в ряде норм имеются правила, позволяющие в опре-
деленных рамках корректировать распределение моментов1.
Самым простым является правило, предписывающее огра-
ничивать изменения моментов, подсчитанных по теории упруго-
сти, определенной постоянной величиной. Это ограничение рас-
пространяется лишь на опорные или узловые моменты (при со-
блюдении условий предельного^ равновесия, что достигается
одновременным увеличением момента ,в пролете или же измене-
нием других моментов в узле) либо на какие-то другие момен-
ты. Так, например, утверждается, что:
1)	опорные или узловые моменты, использованные при про-
ектировании, не могут отличаться от опорных или узловых мо-
ментов ЛТоп.уп, полученных упругим расчетом с учетом работы
бетона на растяжение {118];
2)	распределение опорных или узловых моментов, исполь-
зованное при проектировании, ни при какой нагрузке не должно
отличаться более чем на ±0,17 Л40п.уп от моментов Л10П.уп, опре-
деленных упругим расчетом, с учетом работы бетона на растя-
жение. Кроме того, ни в одном критическом сечении нельзя
уменьшать расход арматуры более чем на 50% по сравнению с
ее ко|личеством, необходимым по упругому расчету [79];
3)	абсолютные значения изгибающих моментов в критиче-
ских сечениях, использованные при проектировании, должны
быть не менее 70% от абсолютного значения изгибающих мо-
ментов, определенного упругим расчетом с учетом работы бе-
1 В СССР при расчете конструкций корректировка усилий производится в
соответствии с требованиями расчета по предельным соотношениям (Примеч.
науч, ред)
143
тона на растяжение. В сечениях, на которые действует осевая
сила, моменты берут по отношению к центру тяжести сжатой
зоны [16];
4)	изгибающие моменты в критических сечениях, использо-
ванные при проектировании, не должны отличаться от момен-
тов, подсчитанных для конструкции с трещинами, более чем на
±20% [16].
Правила третье и четвертое справедливы для моментов от
расчетной нагрузки. А.. М. Розенблюмас [35] предупреждает,
что они были получены по результатам испытаний балок, имею-
щих средние, а не расчетные свойства, и что в третьем правиле
можно было бы допустить отклонение до 47% первоначальной
величины. Представляется, однако, что для обычного случая это
значение будет завышенным, так как здесь необходимо учиты-
вать не только случайный характер поведения нагрузки и само-
го сечения, но также и случайный характер распределения мо-
ментов.
Другие правила ставят корректировку моментов в зависи-
мость от других факторов, особенно от степени армирования.
Приведем некоторые из них:
5)	корректировка моментов в соответствии с третьим пра-
вилом разрешается лишь в том случае, когда проектные момен-
ты М в критических сечениях уменьшаются по сравнению с мо-
ментами Л!уд, полученными упругим расчетом. При этом выпол-
няется условие
-^-+«^0,6,	(111)
Йо
где	_
. I МуП I — I Af |
|МУП|
Для рамных конструкций в четыре и более этажа, у которых
возможна потеря устойчивости, поправка б не может превы-
шать 0,1 (проект новых английских норм 1969 г.);
6)	распределение опорных или узловых моментов, исполь-
зованное при проектировании, не должно отличаться от момен-
тов ЛТоп.уп упругого расчета более чем на ±бмакс Afon.yn. Коэф-
фициент бмакс определяют по формуле
аи«с = 0,2(1-^^'\	(112)
\ Игр /
где р и ц' — степень армирования сечения соответственно рас-
тянутой и сжатой арматурой; Цгр — предельная степень армиро-
вания, при которой одновременно происходит разрыв армату-
ры и раздробление бетона сжатой зоны.
При этом должно быть иеравенствд
р — ц'<0,5ргр.
144
Предельную степень Армирования вычисляют по формуле
Л „ Хр 6117
Ц,р ,7	6117+ ат ’
где пр — призменная прочность бетона; От — предел текучести
арматуры [41].
Уравнения (111) и (112) кроме констант в сущности одина-
ковы. Перепишем уравнение (111) в несколько иной форме:
<5макс = О,6-^ .	(113)
ft#
Из условия равновесия сил в сечении для относительной вы-
серы сжатой зоны можно записать следующее выражение (см.
уравнение (108):
? =	•	(П4)
*пр
Из уравнения (110) имеем
Считая величину gp константой и приняв в соответствии t
рис. 89 6=0,7, получим, что
Ер = 0,5.	(116)
После подстановки уравнений (114) — (116) в (112) и выпол-
нения некоторых преобразований имеем
бмакс = 0,6 6 — 0,85 tL),	(117)
причем р* имеет здесь то же значение, что и предельная сте-
пень армирования grp.
Можно легко убедиться в том, что правила 5 и 3 допускают
использование перераспределения усилий в большей степени,
чем правило 6. Для полноты освещения этого вопроса приведем
еще правило из шведских норм [42]. Оно распространяется на
сплошные, опертые по контуру плиты, но было проверено и на
балочных плитах [163];
7)	опорные моменты в плитах, использованные при проекти-
ровании, можно уменьшить на значение бМакс -Моп.уп
бмакс =	.	>
g + P
где g и р — соответственно проектная постоянная и временная
нагрузки, а коэффициент 61 равен 0,5 для конструкции внутри
здания и 0,25 — для наружных конструкций.
Приведенные правила были сформулированы на основании
анализа экспериментальных данных различного характера
145
[118, 148] и др. В особых случаях указанные правила не позво-
ляют использовать перераспределение усилий вообще или же
допускают это в ограниченном размере. Подобное может быть
в случае, если изменение опорного или узлового момента при
сохранении равновесия сил приводит к изменению момента на
то же значение.
В последнем случае (например, при ветровой нагрузке) сле-
дует исходить из наименьшего момента в узле. Если он равен О,
то допустимое отклонение в этом узле будет нулевым, поэтому и
в остальных узлах моменты .корректировать нельзя.
Если изгибающие моменты возникают вследствие вынужден-
ных деформаций (скажем, от температурных воздействий), то
приведенные правила позволяют уменьшать все моменты на ве-
личину допустимого отклонения.
Практическое использование этих правил можно показать на
примере неразрезной двухпролетню(й балки, загруженной вре-
менной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 91). Наибо-
лее неблагоприятное воздействие на сечение в пролете получим,
если загрузить переменной нагрузкой лишь один пролет. В за-
груженном пролете эпюра моментов будет параболической, а в
незагруженном изменение момента будет иметь линейный ха-
рактер (пунктир). В соответствии с правилом 1 изменим абсо-
лютное значение момента на опоре, увеличив его на 25%. К
этому новому опорному моменту приспособим распределение
всех остальных моментов (сплошная линия). Чтобы получить
неблагоприятное воздействие на опорное сечение, загрузим оба
пролета (пунктирная линия эпюры моментов). Абсолютное зна-
чение опорного момента уменьшим на 25% и получим новое рас-
пределение (сплошная линия). Зная оба распределения, полу-
ченные после корректировки опорных моментов, построим линии
максимальных и минимальных моментов (жирные сплошные ли-
нии). Видим, что с помощью корректировки нам удалось умень-
шить разрушающий момент на опоре на 25%, а в пролете при-
мерно на 12%. Ориентировочно суммарные разрушающие мо-
менты уменьшатся на 18%, что позволит реализовать экономию
арматуры. Приведенный пример показывает преимущества рас-
чета, в котором используется перераспределение усилий при
действии временной нагрузки.
Р пшшшшппшш
^ттттгп и 111 гтпт^_
---------/7/7	---------//7
Рис 91 Неразрезная двухпролетная
балка с рспределением моментов по
теории упругости (УП) и со скоррек-
тированным распределением, учитыва
ющим происходящее перераспределе-
ние усилий (ПЛ)
146
В основу правил 1—Хр 5—7 положен один тот же принцип:
'корректировке подвергаются моменты, полученные упругим рас-
'чето|м. Однако допустимые отклонения в распределении момен-
тов заметно отличаются одни от других, а дополнительные огра-
ничения будут самые различные. G позиций практического рас-
чета необходимо отдать предпочтений правилам 1, 6 и 7, нежели
правилам, контролирующим все критические сечения.
Наиболее удобным при этом представляется правило 1, при-
менение которого, однако, требует ,выпю|лнения дополнительного
контроля значения деформации и ширины раскрытия трещин.
Использование правила 4 неоправданно усложняет расчет. Если
определять распределение моментов с учетом уменьшающейся
жесткости элемента при изгибе вследствие возникновения в нем
трещин, то распределение моментов при исчерпании несущей
способности конструкции можно рассчитать прямо) без всяких
дополнительных коррекций.
Обобщая вышесказанное, можно сформулировать такое пра-
вило: 8) изгибающие моменты от расчетных нагрузок М, исполь-
зованные при расчете критических сечений (с использованием
перераспределения усилий), могут отличаться от моментов Муп,
полученных из упругого расчета (предполагается, что все сече-
ния работают полностью, включая растянутый бетон), для каж-
дого исследуемого вида нагрузки максимум на величину
±бмакс Afyn. При этом должно быть соблюдено условие равнове-
сия между внешними и внутренними силами, а также условие
равновесия в узлах конструкции. Коэффициенты бмакс приведе-
ны в табл. 5. Моменты от ветровой нагрузки либо от других по-
добных воздействий в расчет не берутся.
Таблица 5. Коэффициент б макс по правилу 8
Вид напряженного состояния в критическом сечении			Случай I	Случай II
Рамы с очень гибкими стойками, Zq/t>60			0	
Рамы с обычными стойками Zo/r^6O	Подвижные узлы	п^4	0,1	0
		п—3	0,2	0,1
		п^2		
	Неподвижные узлы		0,3	0,2
Неразрезные балки				
Примечание, п — число надземных этажей.
Если же значение
получится больше 0,2 для тех критических сечений, где
147
|2Л4] cjSAlynl, то потребуется, чтобы^ля изгибаемых и внецент-
ренно-сжатых или растянутых с большим эксцентрицитетом эле-
ментов выполнялось условие
~Р+д*<0,6.	(119)
В уравнениях (118) и (119) 2/Wyn есть сумма моментов,
подсчитанных по теории упругости, a — сумма скорректиро-
ванных моментов от воздействия неблагоприятных нагрузок;
хр — высота сжатой зоны сечения, вычисляемая для стадии
разрушения при определении несущей способности сечения.
Отказ от корректировки моментов, вызванных ветровыми
воздействиями, объясняется причинами теоретического плана
(проблемы устойчивости), а также практическими соображе-
ниями (трудности при расчете). Чтобы скорректировать такие
моменты, необходимо провести подробнейший расчет в соот-
ветствии с рекомендациями главы 4 и возможным учетом поте-
ри устойчивости. Таким образом, теория упругости останется и
в будущем важным инструментом при расчете железобетонных
рамных конструкций. Практическое использование перераспре-
деления тесно связано с этой теорией.
Ограничения для предварительно-напряженных железобетон-
ных конструкций. Результаты различных теоретических и экспе-
риментальных исследований [84, 156, 159] показывают, что в
статически неопределимых предварительно-напряженных желе-
зобетонных конструкциях нельзя ожидать полного перераспре-
деления усилий. Не исключено, что действительная несущая
способность конструкции окажется меньше, чем это следует из
теории упругости, что объясняется специфическими осо-
бенностями предварительно-напряженных конструкций, на ко-
торые обращалось внимание в главе 2. Перечислим их основ-
ные отличия от обычных железобетонных конструкций.
Прежде всего нужно помнить об отличиях в работе напряга-
емой и обычной арматуры, вытекающих из их рабочих диаграмм.
Известно, что сечения предварительно-напряженных железобе-
тонных конструкций разрушаются преимущественно вследствие
раздробления бетона сжатой зоны и лишь в некоторых случа-
ях — вследствие разрыва арматуры. Наконец, усилие предвари-
тельного напряжения влияет на характер зависимости [Л4, х] и
вызывает в статически неопределимых конструкциях вторичные
моменты.
Так как в предварительно-напряженном железобетоне невоз-
можно исключить случаи разрушения от сжатия, то и ограниче-
ния степени армирования теряют смысл и могут лишь ослож-
нить процесс проектирования. Вместо этого следует обратить
внимание на ограничивающие условия другого типа, распро-
страняющиеся на отдельные пролеты конструкции, а не на се-
чения При этом можно легко учесть влияние усилия предвари-
148
тельного напряжения и вторичных моментов. К сожалению, не-
возможно сформулировать общее правило, следуя которому,
можно было бы обеспечить полное перераспределение усилий.
К тому же это чрезмерно ограничило бы возможности конст-
руирования. Тем не менее можно поставить условия, чтобы со-
отношение U: t/макс не опускалось ниже определенного преде-
ла и чтобы всегда (/ было больше Uyn-
Теоретические исследования некоторых типовых случаев
[156], подтвержденные результатами экспериментальных иссле-
дований [108], доказывают, что соотношение U: 1/макс не быва-
ет ниже 0,9, если в непосредственно загруженных пролетах ко-
эффициент диспропорции несущей способности фр соответствует
условию
Фр <2.	(120)
Коэффициент фр определяют по формуле
ФР =
Л*Р1
/Ир и
/И) уп
Мц уп
(121)
где в числителе — соотношение разрушающих моментов в кри-
тических сечениях, а в знаменателе — соотношение моментов от
внешней нагрузки, подсчитанное по теории упругости.
Сечения I и II обозначены так, чтобы соотношение | /Ихуп:
:Mnyn| было меньше единицы. Моменты Afjyn и /Ипуп должны
иметь обратные знаки. Если в исследуемом пролете возможно
существование двух значений коэффициента фр, то условие (120)
распространяется на каждое из них. В формуле (121) отсутст-
вуют вторичные моменты, так как предполагается, что в соот-
ветствии с известными положениями о влиянии линейной транс-
формации пучка на несущую способность t/MaKC, подсчитанную
по методу предельного равновесия (см. главу 2, п. 2), их влия-
ние при исчерпании несущей способности не проявится, хотя
U t/макс-
Правило для проектирования будет следующим:
9) если при расчете предварительно-напряженной железобе-
тонной конструкции не используется более точный способ реше-
ния, изложенный в главе 4, то ее следует проектировать так,
чтобы выполнялось условие (120), предполагая значение несу-
щей способности U—0,9 t/макс, но не менее значения Uya, опре-
деленного расчетом по теории упругости.
Формулируя условия, обеспечивающие выполнение неравен-
ства t/^t/yn, необходимо различать два случая, отличающиеся
характеро|м перераспределения усилий (возрастающее или
уменьшающееся перераспределение усилий, см. главу 1, п. 2).
149
Это зависит от коэффициента диспропорции моментов трещино-
образования фт.
Ki
(122)
Мц уп
Моменты Mjyn и МдуП здесь означают то же самое, что и в
формуле (121). MTi и Мтп есть заменяющие моменты обра-
зования трещин в сечениях / и II, определяемые по формулам
Л1Т I I i I ^н.доб I I’ II И -1- I ^н.доб II I'
Знак плюс перед абсолютными значениями- вторичных мо-
ментов |Мн.доб1| и |Мн.добп| принимают в том случае, если они
увеличивают момент образования трещин, а знак минус — в об-
ратном случае. В одном и том же пролете конструкции вторич-
ные моменты могут в одном сечении действовать благоприятно,
а в другом отрицательно, так как часто на всем протяжении
пролета они имеют один знак, в то время как момент Мт в одном
случае относится к нижним, а в другом — к верхним волокнам
элемента.
Опыты показывают, что перераспределение усилий будет воз-
растающим, если
Фг>0,8.	(123)
Теоретические соображения, проверенные также экспери-
ментально, приводят к заключению, что для выполнения усло-
вия и>и^л должно быть
1|т>1,2.	(124)
Одновременно должно быть справедливым соотношение
^/^<1,2.	(125)
Из этих условий следует, что для несущей способности будет
выгоднее, если разрушающие моменты в конструкции распреде-
лить не так, как это следует из расчета по теории упругости.
Поэтому далее можно утверждать, что:
9) при использовании правила 8 в непосредственно загру-
женных пролетах предварительно-напряженной железобетонной
конструкции должны удовлетворяться условия (123)—(125).
Если же в некоторых исключительных случаях это невыполни-
мо (например, в балках с прямыми пучками) и
1рт<0,8,	(126)
то необходимо, чтобы и
фр<0,85.	(127)
Приведенные правила носят преимущественно эмпирический
150
характер, поэтому при проектировании ответственных предвари-
тельно-напряженных конструкций рекомендуется пользоваться
более точными методами, изложенными в главе 4.
Моркио еще раз проверить утверждение, что линейная транс-
формация пучка при использовании метода предельного равно-
весия не влияет на несущую способность конструкции (глава 2,
п. 2). Покажем это на примере балки с односторонним защем-
лением, «а которую посредине пролета действует сила Р. Балка
заармирована криволинейным пучирм сечением FH (рис. 92,а).
Механизм ее разрушения имеет два шарнира, в каждом из ко-
торых возможен виртуальный поворот в соответствии с рис. 92,6.
Обозначив через Л4р1 и МР2 разрушающие моменты соответст-
венно в сечениях над опорой и в пролете, можем записать урав-
нение виртуальных работ:
РрО ~ = МР16Z -f- Мр2 2 0Z,
откуда выведем формулу для определения несущей способности
балки
2
Рр = у (Мр1 + 2Мр2).	(128)
Если предположить, что в момент разрушения напряжение в
рабочей арматуре обоих сечений будет одинаковым (он), то для
разрушающих моментов можем написать следующие уравнения:
МР1 = Гн °и ^oi
Мр2 — Л, ^02
Из предположения равенства напряжений он в обоих сечени-
ях следует, что
Рис. 92. Балка с односторонним защемлением конца
а _ дополнительно подвергнутая предварительному напряжению и запруженная сосре
доточенным грузом, б — механизм разрушения
151
Тогда выражение в скобках уравнения (128) получит такой
вид:
Afpi + 2Л1рг = Тн <тн +	Хр^.	(129)
Если же теперь линейно трансформировать положение пуч-
ка, изменяя его эксцентрицитет в заделке на значение День то
его эксцентрицитет в пролете изменится на ’/г День Полезная
высота сечения ЛОг меняется в обратном направлении по сравне-
нию с Лоь так как значение ho2 замеряем от верхней, a h01 от
нижней грани балки. Полезную высоту сечений после линейной
трансформации пучка можно подсчитать следующим образом:
fyji = ^oi — А ен1> ^02 = ^02 ”1" A eHi.
Найдем теперь сумму Ло1+2Лог. Получим, что
^01	2 Йд2 — ^01 + 2 Йв2.
откуда следует, что сумма Л01+2/102 при линейной трансфор-
мации пучка не меняется. Не меняется и сумма моментов Afpi+
Н-2Л4р2, что свидетельствует о том, что линейная трансформация
пучка не влияет и на несущую способность Рр, вычисленную из
уравнения (128).
Показанное выше на примере балки с односторонним защем-
лением одного конца будет справедливым и для других статиче-
ски неопределимых конструкций, в чем можно легко убедиться
при использовании метода предельного равновесия. Точное ре-
шение покажет, что линейная трансформация пучка изменит
несущую способность конструкции, так как предположение об
одинаковости напряжений в рабочей напрягаемой арматуре при
разрушении не оправдается. Кроме того, линейная трансформа-
ция пучка изменит картину распределения вторичных моментов,
которые в свою очередь повлияют на перераспределение уси-
лий в начальной фазе. Несмотря на это, на стадии предвари-
тельного проектирования предварительно-напряженных конст-
рукций можно использовать приведенные выше заключения.
Порядок выполнения расчета. Рассчитывая конструкцию ме-
тодом предельного равновесия с ограничениями, принятыми в
главе 5, п. 2, поступаем в сущности так же, как и при расчете
по теории упругости. В большинстве случаев требуется запроек-
тировать сечения. Покажем, в какой последовательности необ-
ходимо поступать при использовании правил (6), (7), (8):
а)	определяют распределение моментов от действия отдель-
ных нормативных нагрузок методами теории упругости;
б)	устанавливают расчетные значения усилий (моментов,
нормальных сил) в критических сечениях умножением значений,
полученных в пункте «а», на коэффициенты перегрузки;
в)	корректируют моменты от воздействия отдельных видов
нагрузок. При этом должны выполняться условия правил (6),
(7) и (8);
152
г)	устанавливают моменты от действия неблагоприятной ком-
бинации нагрузок, полученные из расчета по теории упругости,
а также от нагрузок, перечисленных в п. «в». На эти усилия ве-
дут расчет сечений;
д)	в случае необходимости проверяют выполнение условия
(119);
е)	проверяют ширину раскрытия трещин в первую очередь
в тех сечениях, где скорректированные моменты более всего
отличаются от подсчитанных по теории упругости;
ж)	при необходимости проверяют величины деформаций.
Если вместо правила (8) будет использовано какое-либо из
правил (1—3) или (5—7), то порядок действий будет тот же
самый.
В пп. «а» и «б», если это выгодно, возможны следующие
вариации: вычисляют значения расчетных нагрузок; определяют
распределение моментов в соответствии с теорией упругости от
воздействия отдельных видов расчетных нагрузок.
Так как в пп. «а», «б», а также в вышеперечисленных воз-
можностях еще не учитывается нелинейный характер работы
конструкции, то результат решения будет практически одина-
ковым. Отличие сводится лишь к введению в расчет постоянных
нагрузок с коэффициентами перегрузок (см. главу 3, п. 3). В
настоящее время отсутствуют теоретические обоснования, в ко-
торых бы отдавалось предпочтение одному из описанных выше
способов.
При оценке несущей способности существующей конструк-
ции (например,, при воздействии нагрузки, на которую она не
рассчитывалась) ход решения будет тот же самый, за тем толь-
ко исключением, что в этом случае отпадает необходимость наз-
начать параметры сечений. Распределение разрушающих мо-
ментов здесь также будет известно.
Исходные данные для расчета. При расчете методом предель-
ного равновесия приходится в сущности оперировать разруша-
ющими моментами /Ир, которые приравниваются к моментам,
соответствующим исчерпанию несущей способности конструк-
ции. Способ вычисления значений Л4Р зависит от принятой при
проектировании методики. По аналогии с главой 4 при проекти-
ровании используют методы отдельных коэффициентов надеж-
ности для расчетных нагрузок или коэффициенты условий воз-
действия. В других случаях в расчет вводят соответствующие
центральные значения отдельных величин. Например, при уста-
новлении несущей способности существующей конструкции ис-
пользуют данные, полученные при ее обследовании, и т. д.
Аналогично поступают при проверке степени армирования
или при вычислении момента образования трещин Л4Т, необхо-
димого для оценки выполнимости условий, изложенных в гла-
ве 5, п. 2.
Если нагружение конструкции может привести к потере
153
устойчивости, то следует применять решение, изложенное на>
стр. 106. Расчетная длина 10, представляемая в расчет, должна
быть не меньше расстояния между предполагаемыми пластиче-
скими шарнирами.
3.	МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
С ОГРАНИЧЕНИЕМ ПОВОРОТОВ
Принцип метода. Метод предельного равновесия позволяет
оценивать способность к деформациям критических сечений, в
которых образовались шарниры. Эта идея, высказанная Е. Бен-
нетом, Н. Куком [50], проста, однако, несмотря на свое практи-
ческое подтверждение, она до сих пор не использовалась. Вер-
немся к исходным предпосылкам главы 5, п. 1. Оставим без из-
менения предположения «1», «4», «5», а оставшиеся два изме-
ним следующим образом: 2) в момент разрушения п раз
статически неопределимой конструкции в ней будет п-|-1 шар-
нир; 3) в одном из шарниров (обозначим его, например, циф-
рой 1) произойдет разрушение сечения, т. е. в нем
Mi = MpiJ Oj = Opi,
а в шарнирах под номером 2 до п-(-1 будет
и 0/ = Ор/,
причем между Mi и 0, существует зависимость
=	(130)
Как и в предшествующем изложении, символом Л4Р обозна-
чим разрушающий момент, а 0 и 0Р будут иметь те же значения,
что и в главе 4.
Зная поворот 0pi в сечении 1 и геометрию предполагаемого
механизма разрушения, можно вычислить повороты 02 ... On+i,
а затем из функциональной зависимости (130) определить мо-
менты в шарнирах	Несущую способность конструкции
определим из уравнения равновесия сил.
Метод предельного равновесия с ограничением значения по-
воротов представляет собой комбинацию методов, изложенных
в главе 4, п. 1 и главе 3, п. 1, причем первый из них несколько
упрощается благодаря введению допущения об абсолютной же-
сткости участка конструкции между шарнирами (деформации
концентрируются в шарнирах). Во втором методе производится
более сложное ограничение значений виртуальных поворотов.
Таким образом, можно утверждать, что в данном случае ис-
пользуются преимущества обоих методов.
К настоящему времени (1973 г.) разработка метода еще не
закончена, но возможности использования его в будущем весьма
широки. Особенно выгоден этот метод при проектировании пред-
варительно-напряженных конструкций.
Зависимость [М, 0]. Функциональную зависимость между
изгибающим моментом и пластическим поворотом в шарнире
154
Рис. 93. Диаграммы
зависимостей
а - [М, Э]; б - 1М, 0]
[М, 0] можно вывес-
ти из зависимости
величины момента от
общего поворота се-
чения [Л4, й]. Пред-
положим, что эта за-
висимость имеет
форму, изображен-
ную на рис. 93,а.
Тогда зависимость
[/И, 0] получит вид
в соответствии с рис.
93,6. По аналогии с
зависимостью [М,
х] (см. рис. 12) мож-
но построить приве-
Рис. 94. Приведенная
диаграмма зависимо-
сти [(М/Мр, (0/0р)]
Рис. 95. Заменяющая
приведенная диаграм-
ма зависимости [(М/
/Мр), (0/0р)]
/—для обычного железо-
бетона; 2—для предварн-
тельно-налряженного же-
лезобетона
денную диаграмму
зависимости [/И, 0] (рис. 94). Математически эту диаграмму вы-
ражает следующее равенство:
41 == /Игр /_0_\
/Ир /Ир^ЦОр/’
* (131)
где /Игр/Л1р — величина постоянная;	—обычная непре-
рывная функция.
Зависимость (131) для железобетонных конструкций можно
считать линейной (отрезок прямой на рис. 95). В аналитической
форме ей отвечает соотношение
-^-=0,8+ 0,2 у-.	(132)
/Ир	6р
При этом момент /Ир в отдельных критических сечениях оп-
ределяют так же, как в главе 4, п. 1, а поворот 0Р — в соответ-
ствии с указаниями главы 4, п. 3.
Е. Беннет, Н. Кук и Л. Нотой [50], анализируя результаты
многочисленных испытаний, пришли к выводу, что у предвари-
тельно-напряженных балок свойства сечения не влияют на ха-
рактер зависимости (131). Так как у сечений предварительно-
напряженных железобетонных конструкций значение 0Р относи-
тельно меньше, чем у обычных, то представляется полезным
155
общую зависимость (131) заменить двумя отрезками прямых,
а именно:
0	м	0
при — <0,25— = 0,5+1,4 — |	(133)
Vp	Мр	“р
0	М	0
при	>0,25	— =	0,8+ 0,2 —	.	(134)
8р	Л4р	0Р
Для значений Мр и 0Р	остается	в	силе	все	сказанное ранее.
4.	МЕТОДЫ, ДОПОЛНЕННЫЕ УСЛОВИЯМИ
ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ СПОСОБНОСТИ
Принцип методов. Обычно при пользовании объединенным
правилом, изложенным в главе 5, п. 2 сталкиваются с тем, что
отсутствуют какие-либо указания относительно размещения
эпюры моментов. При этом руководствуются косвенными ука-
заниями, содержащимися в главе 5 или 6. С одной стороны, это
выгодно, так как при расчете на прочность имеется свобода, с
другой же — всегда нужно помнить о том, что должны выпол-
няться отдельные ограничивающие условия. Этот недостаток
пытаются устранить методами, в которых в дополнение к имею-
щимся условиям предельного равновесия добавляют другие, так
называемые условия применимости. Теоретические основы тако-
го решения сформулированы С. М. Крыловым, В. Г. Назаренко
и Л. И. Яриным [24,1]. В них авторы исходят из условий от-
дельных предельных состояний1. Другая группа методов осно-
вывается на коэффициентах безопасности, назначение кото-
рых— гарантировать эксплуатационную пригодность конструк-
ции (что характеризуется, например, возникновением первого
пластического шарнира), а также обеспечить необходимую не-
сущую способность конструкции. Этими методами обычно рас-
считывают только критические сечения конструкции, а не все
сечения, как это требуется в случае использования объединенно-
го правила (см. главу 5, п. 2).
Разработкой этих методов занимались многие авторы:
В. Петку [132, 134], М. Кон [59, 60, 61, 62], А. Ружиньский
[149], М. Кон, Д. Грирсон [64, 65], Д. Манро, Ю. Кришнамур-
ти [120]. Рассмотрим здесь лишь основные принципы. Если чи-
тателя заинтересуют подробности, он сможет найти их в цити-
руемых работах.
При установлении необходимых разрушающих моментов
исходят обычно или из назначаемых критериев надежности, пре-
пятствующих наступлению предельного равновесия, или из
назначаемых критериев, гарантирующих обеспечение эксплуата-
1 Обе работы [1, 24] предназначены для более глубокого теоретического
изучения с учетом возможности практического применения. Отсылаем к ним
читателя, желающего получить более подробную информацию о проблемах
оптимизации.
156
ционной пригодности конструкции. Кроме того, эти критерии мо-
жно дополнить оптимальными условиями, обеспечивающими,
например, минимальный расход арматуры. В расчете условий
совместности в прямой форме нет, однако, как будет показано
позднее, их учитывают отдельно.
Критерии надежности могут быть различные. Это зависит
от того, в скольких механизмах разрушения требуется обеспе-
чить одинаковую надежность. При различных механизмах раз-
рушения (балочные, сдвиговые и т. д.) желательно знать, ка-
кие именно критерии нам потребуются. Критериев, гарантиру-
ющих эксплуатационную пригодность конструкции, также мо-
жет быть несколько, но все они исходят из отношения нагрузок,
при воздействии которых образуется первый пластический шар-
нир, к нагрузкам, соответствующим исчерпанию несущей спо-
собности конструкции. При этом не учитываются ширина рас-
крытия трещин или деформации при действии эксплуатацион-
ных нагрузок. Здесь важно одно — будет ли обеспечена эксплу-
атационная пригодность конструкции при соблюдении опреде-
ленной степени надежности и гарантии возникновения первого
пластического шарнира.
В зависимости от того, каким образом прикладываются по-
стоянная и временная нагрузки, а также от предполагаемого
характера зависимости [/И, х] М. Кон [62] различает четыре
основных способа решения. Рассмотрим здесь метод, который
ближе всего к способу проектирования, заложенному в Между-
народных рекомендациях [291.
Методы FRD и LRD1. По М. Кону [60] для каждой конст-
рукции можно отыскать два различных распределения разруша-
ющих моментов, которые взаимно отличаются характером пред-
полагаемого разрушения, т. е. наступит ли одновременно во
всех частях конструкции полное исчерпание несущей способ-
ности или же механизм разрушения возникнет только в одной
из них. На примере неразрезной балки покажем, каким образом
можно прийти к обоим оптимальным решениям. Используем те
же предположения, что и при рассмотрении метода предельного
равновесия.
Рассчитывая неразрезную балку, обычно определяют разру-
шающие моменты во всех ее критических сечениях. В данном
случае критическими будут сечения над опорами в пролетах.
Общее число критических сечений пКр в неразрезной балке под-
считывают по формуле
Пкр = m + п = N + п,
где пг — число механизмов разрушения (равно количеству про-
летов AQ; п — степень статической неопределенности конструк-
ции.
1 Сокращение FRD обозначает full redistribution design, LRD — limited
redistribution design. Первоначально эти методы имели обозначение OLD —
optimum limit design.
15?
Чтобы определить параметры пкр критических сечений,
необходимо иметь в общей сложности пкр уравнений, из которых
т представляют уравнения предельного равновесия, поэтому
потребуется п дополнительных условий. Если на неразрезную
балку будут действовать постоянная нагрузка G и временная
Р, то момент Mi в критическом сечении можно подсчитать по
формуле теории упругости:
Mi = aiGl + biPl,	(135)
где a.i и bi — константы; I — длина исследуемого пролета.
В последующих рассуждениях будем предполагать, что в
ходе нагружения изменяется только временная нагрузка, т. е.
что постоянная нагрузка с самого начала нагружения равна
GP=ngGH, а вре'менная нагрузка возрастает от нуля до своего
расчетного значения PP=npPH(ng и пр— коэффициенты пере-
грузки). Здесь необходимо обратить внимание на важное разли-
чие в понимании того, что считать причиной разрушения кон-
струкции. Условно забудем все сказанное по этому вопросу в
предыдущих главах. В данном случае причиной разрушения счи-
тается перегружение конструкции временной нагрузкой. Такое
положение не лишено логики, но оно противоречит концепциям,
заложенным в существующих методах проектирования, кото-
рые предполагают одновременный, хотя и не всегда равномер-
ный рост нагрузки обоих видов вплоть до полного исчерпания
несущей способности конструкции.
Если в сечении i образуется первый пластический шарнир,
то расчетный момент в нем определяют по формуле
Mi = aiGv I+ binpliPv I,	(136)
где прн<пр — отношение нагрузки Р при возникновении пер-
вого шарнира к ее нормативному значению Рн. При этом одно-
временно должно соблюдаться условие
где Мр — разрушающий момент в сечении i. При запроектиро-
ванном оптимальном варианте оба момента должны быть рав-
ны, поэтому при полном исчерпании несущей способности иссле-
дуемого пролета
Р = рР ==ппРН
Теперь для момента Mi=MPi должно быть справедливо вы-
ражение	_
Mpi = alG'P l + btnpPH I.	(137)
Так как по предположениям метода предельного равновесия
момент MPi — величина постоянная, то
bi пр = bi tiPi I,
что следует из уравнений (136) и (137). Обозначим
bi = bi ^--bixi
Пр
158
и подставим значение bi в формулу (136):
Mz = azG₽/ + bzxznpP>4.	(138)
Выражения (136) и (138) отличаются одни от других лишь
вторыми членами правой части. Величина х; — единственная не-
известная в уравнении (138). Таким образом, всего будет пкр
неизвестных значений хг-, которые нужно определить.
Для несущей способности неразрезной балки будет лучше
всего, если обеспечить одинаковую меру безопасности против
разрушения для каждого основного механизма разрушения (т. е.
для каждого пролета). Что касается пригодности балки к нор-
мальной эксплуатации, то лучше всего обеспечить одинаковую
надежность всех критических сечений в части достижения в них
разрушающего момента МРг. Добиться полного выполнения обо-
их этих пожеланий обычно невозможно, так как первое дает
т уравнений, второе пКр+1, т. е. всего пг+пкр+1 уравнений, в
то время как число неизвестных всего лишь пкр. Поэтому тре-
бования нужно переработать так, чтобы задача решалась одно-
значно. В зависимости от того, на что делается больший упор,
различаем два метода — FjRD и LRD.
Метод FRD. В этом методе требуется, чтобы при всех меха-
низмах разрушения обеспечивалась одинаковая гарантия про-
тив полного исчерпания несущей способности конструкции.
Уравнение предельного равновесия для {г-го основного механиз-
ма разрушения запишем так:
U МР z = <р* (GP/ + npPM).
г
Коэффициенты Xi характеризуют положение пластического
шарнира в пролете (рис. 96), а коэффициент <рк определяет мак-
симальный момент Мо на простой балке (здесь для упрощения
Рис. 96. Значение коэффициентов
Хг И Xt
Рис. 97. Установление значений
хг. Отрезки прямой соответ-
ствуют различным механизмам
разрушения
159
предполагается, что нагрузки G и Р одного типа). Подставив в
данное уравнение вместо MPi значение из уравнения (138),
получим, что
У (в/ Ье GPI + Ь{ xt прР« I) = <рА (GPI + пр /).	(139
i
Если в исследуемом пролете действует только постоянная
нагрузка, то
GPl = <(kGPl
i
и уравнение (139) упростится, приняв следующий вид:
О*»)
i
относящийся к й-му механизму разрушения. Обычно в неразрез-
ных балках в каждом пролете имеется три критических сечения,
которым соответствуют три значения параметра х». Рассмотрев
рис. 96, можем записать, что
А7—1 =1	А^; А/ = 1; Az_|_t = А*
и уравнение (140) перепишется в такой форме:
fy-!*/-! (1—А,*)+&/х; + &/.+1х/+1Аа = ф*.	(141)
Всего будет т уравнений данного типа. Недостающие п
уравнений получим, потребовав, чтобы для максимального чис-
ла критических сечений (т. е. для пКр — ш-|-1) обеспечивалась
определенная минимальная гарантия от достижения в них зна-
чения разрушающего момента. Обозначив в определенном по-
рядке критические сечения, можем записать, что метод FRD
требует, чтобы
(а)	= х0 при i = 1, 2..п + 1,
(б)	Xi^>xt при «=п 4-2, ... , пкр.
Можно доказать [59], что параметр х0 есть наименьший из
параметров Xk, который подсчитывают из отдельных уравнений
(141), если в них принять
\_1 = Xi = х£+1 = хк.
Тогда
*о = мин хк = мин
Параметр х0 относят ко всем сечениям над опорами _и к од-
ному сечению в пролете (к тому, для которого значение хл_будет
наименьшим). Если теперь подставим в уравнения (141) х0 вме-
Ф*
рл
/
160
сто Xi-i и xi+b то в т—1 уравнениях останется по одному не-
известному Xi и задача будет решена.
Метод LRb. Здесь требуется сделать так, чтобы во всех кри-
тических сечениях была обеспечена одинаковая гарантия от
достижения в них разрушающего момента. Тогда для всех i
х{ = хв.	(142)
Уравнение (141) перейдет в неравенство
fy—1 •*/—! (1 — ^*) +&/*/ +	Фа- (143)
Понятно, что решение системы неравенств (143), соответст-
вующих одновременно требованию (142), трансформируется в
соотношение
хй = макс Xh = макс
Фа
(144)
Более подробный анализ показывает, что выдерживание это-
го соотношения не всегда ведет к более выгодному решению, по-
этому требования метода LRD рекомендуется преобразовать
следующим образом:
сохранить определенную минимальную надежность при каж-
дом механизме разрушения, хотя не обязательно, чтобы она бы-
ла одинаковой для всех механизмов;
все сечения над опорами должны иметь одинаковую гаран-
тию от достижения в них разрушающего момента; то же самое
относится и к сечениям в пролете. При этом надежность сечений
в пролетах должна быть большей, чем сечений над опорами;
при эксплуатационной нагрузке в конструкции не должны
образовываться пластические шарниры.
Если значения на опорах обозначим нечетными индексами
(1, 3, ... 2/-J-1), а в пролетах — четными (2, 4,... 2/), то сформу-
лированные выше условия можно записать в аналитической
форме:
^1—1 xl—1 (1 —	Xi -|-	X* > <р*;	(145)
Xj = Xg = ... = Хо; I 1 = Xl, ]
/+	_	>	(146)
x2 = x4 = ... = x21 = x2;	]
Xi<x2,	(147)
*!>— 	(148)
Пр
После преобразования уравнения	(145)	получим для А-го
механизма разрушения следующее выражение:
(1 — М + ^+Лл]	(149)
Формулы (147) — (149) можно проиллюстрировать графиче-
161
CKH,j<ai£3T0 сделано на схеме, представленной на рис. 97. Точ-
ка (хь х2) должна находиться внутри заштрихованной области.
Наиболее экономное расходование материала получается, если
некоторые точки расположатся на отрезке прямой АВ.
М. Коном был выполнен тщательный анализ {60], на осно-
вании которого рекомендовано при расчете неразрезных балок
с_одинаковыми пролетами пользоваться коэффициентами Xi и
х2, взятыми из табл. 5.
Условие совместности. Для методов FRD и LRD М. Коном
[61] были выведены условия совместности, обеспечивающие вы-
полнение исходных предпосылок расчета. Разрабатывая эти
условия, которые здесь для краткости изложения не приводятся,
М. Кон рассмотрел пластический поворот сечения балки с од-
ним защемленным концом, как пример наиболее неблагоприят-
ный.
Исходное условие
/пЛ Г 6Л г. 1 ------------------- (Xm/An) 1
г < 1 - 3 с	>;Р / + 1 ,	(150)
где г — коэффициент перераспределения усилий, определяемый
из соотношения
ор + Рр 1
брН_Рр.макс
(151)
где Gp — постоянная расчетная нагрузка; Ppi— временная на-
грузка в момент возникновения первого пластического шарнира;
Ррмакс — временная нагрузка при полном исчерпании несущей
способности конструкции.
В уравнении (150) с — постоянная, характеризующая форму
эпюры пластических кривизн; 1ПЯ — длина пластической зоны;
I — длина исследуемого пролета; ео.р — предельная относитель-
ная деформация бетона (со знаком минус); от и
ЕЛ —соответственно предел текучести и модуль упругости ар-
матуры; хр и Хгр — высота сжатой зоны сечения соответственно
при разрушении и при достижении в арматуре предела текуче-
сти.
Значение /Пл можно вычислить из уравнения (64), учитываю-
щего полноту эпюры пластических кривизн, где с=1. Значение
Хр определим при подсчете момента Мр, а значение Хгр получим
из расчета упруго работающего сечения, бетон которого
исключен из работы на растяжение. Наконец, значения ебР и от
принимают в зависимости от используемого метода расчета. Так
как коэффициент перераспределения усилий для определенного
соотношения постоянной и временной нагрузок ограничивается,
например, величиной коэффициента перегрузки, то выполнение
условия (150) ведет к ограничению степени армирования. Любо-
пытно, что из этого условия следует благоприятное влияние по-
вышения марки бетона, что противоречит смыслу диаграммы, по-
162
казанной на рис. 90. В итоге в сред-
нем максимальные значения степени
армирования выходят одинаковы-
ми '.
Попытаемся весьма кратко оха-
рактеризовать еще один эмпириче-
ский метод, предложенный И. Гийо-
ном [86]. По аналогии с эпюрой
разрушающих моментов для иссле-
дуемого пролета рамы можно по-
Рис. 98. Разрушающие (Л1р) и
эксплуатационные (2Иэко) мо-
менты в пролете рамной конст-
рукции
Рис. 99. Размещение эпюры
моментов, при котором удов-
летворяется условие пригодно-
сти конструкции к эксплуатации
строить моментов эксплуатационной
пригодности Мэкс (рис. 98). Если
загрузить пролет так, чтобы произо-
шло полное перераспределение уси-
лий, то на участках, для которых
|Л1| >ЛГЭкс, возникнут пластические
зоны. У. Гийон рекомендует разме-
ры этих зон максимально ограничи-
вать. Прежде всего должно выпол-
няться условие
Mpi + Мр2Х1,0бмро.макс,
где Afpi — разрушающий момент в
заделке; МР2— разрушающий мо-
мент в пролете; Afpo, макс — макси-
мальный момент от действия данной
нагрузки на простую балку (с уче-
том меры надежности либо другого
коэффициента).
Далее И. Гийон рекомендует размещать эпюру моментов от
эксплуатационной нагрузки так, чтобы она в предельном случае
лишь касалась эпюры моментов эксплуатационной пригодности
(рис. 99). Для определения моментов эксплуатационной пригод-
ности им предложено воспользоваться следующим выражением:
Мэкс = 0,8Л1.
При таком значении Af3KC и центральном значении меры на-
дежности, равном 1,6, допустимое изменение момента над опо-
рой или в пролете составляет примерно 26% максимального
значения при мере надежности от 2 до 41 %.
Метод Гийона прост, чем и выгоден, однако его применение
ограничено кругом конструкций, для которых он специально раз-
рабатывался.
1 При проектировании все-таки рекомендуется придерживаться диаграм
мы, изображенной на рис 90.
163
Г л а в a 6
ДЕФОРМАЦИИ И ШИРИНА
РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИН
1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Деформации и ширина раскрытия трещин с позиций перерас-
пределения усилий. В предыдущих главах отмечалось, что неко-
торые проведенные в определенных рамках изменения в распре-
делении арматуры не влияют существенно на несущую способ-
ность конструкции. Однако нельзя утверждать, что такие изме-
нения не воздействуют на деформации и ширину раскрытия тре-
щин. Наоборот, изменения в армировании могут влиять осо-
бенно на ширину раскрытия трещин, чего нельзя не учитывать
при оценке работы конструкции.
При корректировке армирования в некоторых критических
сечениях количество арматуры снижается, а в других — увеличи-
вается.
Вытекающие из этого изменения в распределении мо-
ментов при эксплуатационных нагрузках незначительны (см.
главу 1, п. 2). Можно даже сказать, что, несмотря на такое пере-
распределение арматуры, моменты в критических сечениях ос-
танутся приблизительно теми же. Но так как в некоторых мес-
тах площадь сечения арматуры будет все же меньше, чем это
следует из расчета по теории упругости, то жесткость их при
изгибе уменьшится, а напряжения в арматуре вырастут.
Уменьшение жесткости одних сечений компенсируется ее уве-
личением в других, поэтому обычно изменение в армировании
не влияет заметно на деформации. Оно может даже способство-
вать большей надежности конструкции. Поэтому можно сказать,
что деформации в конструкциях, рассчитываемых с учетом пе-
рераспределения усилий, нужно оценивать в том случае, когда
такую же оценку следовало бы производить и при расчете по те-
ории упругости.
Ширину раскрытия трещин в конструкциях, рассчитываемых
с учетом перераспределения усилий, следует" проверять чаще,
но обычно лишь для тех критических сечений, где в результате
произведенной корректировки площадь сечения арматуры умень-
шилась.
Условия надежности. Чтобы обеспечить пригодность конст-
рукции к эксплуатации на протяжении всего времени ее сущест-
вования, требуется выполнение двух условий надежности:
для деформаций
Оя<Омакс;	(152)
для ширины раскрытия трещин
°т ат.макс"
(153)
164
В условии (152) £>“ есть наиболее неблагоприятное значе-
ние деформаций (например, наибольший угол наклона касатель-
ной к линии изгиба, наибольший прогиб и т. п.) при действии
нормативной нагрузки, а £>макс— максимально допустимая ис-
следуемая деформация, диктуемая конструктивными, эксплуа-
тационными, эстетическими или физиологическими соображени-
ями. В условии (153) а, — наибольшая ширина раскрытия тре-
щин при нормативной нагрузке, ат.макс— максимально допусти-
мая ширина раскрытия трещин, зависящая от условий эксплуа-
тации конструкции.
Допустимые значения Омаке и йт.макс мало зависят от свойств
конструкции или не зависят вообще. Иногда они прямо устанав-
ливаются нормами, чаще же от проектировщика требуется, что-
бы он назначил их сам в ходе проверки величины деформации
или ширины раскрытия трещин.
Производя оценку деформации, условие (152) выгоднее за-
писать в следующем виде:
аИ'Самакс,	(154)
где а — обычно самый большой угол наклона касательной к ли-
нии изгиба (в некоторых случаях это угол наклона касательной
под действующей силой и т. п.).
Преимущество условия (154) состоит в том, что угол а вы-
числить значительно проще, чем прогиб, так как по правилу Мо-
ра а есть не что иное, как поперечная сила на балке, загружен-
ной фиктивной нагрузкой М/В, в то время как прогиб есть изги-
бающий момент от этой нагрузки.
Так как расчет деформации и ширины раскрытия трещин
процесс довольно длительный и при этом исходят из других
предпосылок, чем при определении несущей способности сече-
ния, то в некоторых нормативных документах делаются попытки
заменить условия (152) — (154) более простыми, позволяющими
производить необходимый контроль гораздо быстрее.
При оценке деформации таким условием будет неравенство
Г) •	(155>
где I*—условная длина пролета, зависящая от характера опи-
рания; h0 — полезная высота сечения.
Соотношение Z*/7i0—коэффициент продольного изгиба—дает-
ся в нормах в зависимости от различных параметров (степени
армирования, влажности окружающей среды и т. п.). При этом
в некоторых нормах условие (154) является определяющим для
всех случаев, в других его рекомендуют использовать лишь тог-
да, когда требуется проверить значение деформации. В случае
невыполнения этого условия разрешается применять более точ-
ные решения [29, 73]. При оценке ширины раскрытия трещин
условие (153) заменяется следующим:
4<4акс,	(15б>
165
где d — наибольший диаметр стержня растянутой арматуры;
^макс — максимально допустимый диаметр.
Величина t/макс приводится в нормах и задается в аналити-
ческой, графической или табличной форме обычно в зависимос-
ти от степени армирования растянутой зоны сечения, вида бето-
на, арматуры, напряжения в арматуре или же от других пара-
метров [29, 73]. Иногда в определенной степени допускается ис-
пользование дополнительно закладываемой арматуры. В этом
случае зависимостью с?макс от напряжения в арматуре не поль-
зуются. Приведенный способ нельзя применять, если в расчете
учитывается перераспределение усилий.
Жесткость и ширина раскрытия трещин при эксплуатацион-
ной нагрузке. При расчете деформаций железобетонных конст-
рукций обычно пользуются жесткостью сечений, ослабленных
трещинами. Работу растянутого бетона между трещинами учи-
тывают различными способами — поправочными коэффициента-
ми (см. метод, изложенный в главе 2, п. 1) или включением в
расчет деформаций частичной жесткости полного приведенного
сечения (см. метод расчета прогибов простых балок [29]).
Жесткость сечений, ослабленных трещинами, подсчитывают по
формуле
S = EaFaz (й0-х).	(157)
Прежде чем приступить к определению плеча внутренней
пары сил z и высоты сжатой зоны сечения х, потребуются неко-
торые допущения. При этом можно поступить так же, как это
сделано в главе 2, п. 1 (прямоугольная эпюра напряжений в
бетоне, уменьшенный модуль упругости и т. д.) или же приме-
нить другой проверенный способ, воспользовавшись полуэмпи-
ричеокой формулой для подсчета относительной высоты сжатой
зоны
g =______________________nFa____________________
1,8 п Fa -|- 0,1 Ьо ha 4-
1,5 Ьд hg -
2п
Мд
«р

(158)
М3 , А
---4- йл
Nc 0
5 Ьд ^2,
где п—Еа/Еб; п0 = Еа1уЕб; zn—расстояние от центра тяжести
свесов сжатой полки до центра тяжести растянутой арматуры;
уИ3 — момент внешних сил от нормативной нагрузки по отноше-
нию к центру тяжести растянутой арматуры; Nc — нормальная
сила от внешней нагрузки (при сжатии будет со знаком минус);
/?"р— нормативная призменная прочность бетона1.
1 Формула (158) является модифицированной формулой СНиП П-В.1-62
для определения £ (см. [9]).
166
Кривизну линии изгиба в стадии эксплуатации изгибаемых
или внецентренно-сжатых элементов, которые чаще всего встре-
чаются в конструкциях рам, можно вычислить по формуле, пред-
ложенной Я. М. Немировским, В. В. Фигаровским и Л. Л. Лемы-
шем [31]:
Мз- кр
* = k, Е F h2
К1 кр ^а гa nQ
М3 дл — ^2 ДЛ	^ЗДЛ^С (ео "1“ 0 > 8 Гя )
+-----------------5,	(159)
^1 дл йо
где индексы «кр» и «дл» означают кратковременность или дли-
тельность действия нагрузки; 7?р—нормативное сопротивление
бетона на растяжение; е0 — расстояние от центра тяжести растя-
нутой арматуры до центра тяжести приведенного сечения; гя —
расстояние от центра тяжести приведенного сечения до яд-
ровой точки, относящейся к грани, растянутой от действия внеш-
ней нагрузки. Коэффициенты /г2, /г3 зависят от формы сечения
и степени его армирования, а также от длительности действия
нагрузки (табл. 6 и 7).
Существует также ряд формул для вычисления ширины
раскрытия трещин, в которых главным образом фигурирует
значение напряжения в арматуре при эксплуатационной нагруз-
ке. Проанализировав различные методы и оценив результаты
проведенных испытаний, Ю. П. Гуща {13] предложил свою
формулу для определения максимальной ширины раскрытия
трещин ( в мм):
С	3
«т.макс = 50 - Cg Г) — (3,5 - 100IX) /5,	(160)
где с — расстояние от центра тяжести растянутой арматуры до
крайнего растянутого волокна; ho — полезная высота сечения;
d — диаметр арматурного стержня в мм.
Соотношение с/й0 берут в пределах
с
0,4<-<1.
Далее
>=А'<°’°2:
&о Л
Cg =	(161) ,
аа
где Fa, Ьо, й0 — значения, смысл которых ясен из рис. 11; с"—
напряжение в арматуре от действия всей нормативной нагрузки;
оач — напряжение в арматуре от часто встречающейся части
нагрузки.
167
Коэффициент т| учитывает характер поверхности арматуры
и принимается равным: т) = 1—для стержней арматуры перио-
дического профиля, я = — для гладких стержней. Напряже-
ние в арматуре подсчитывают из выражения (8):
°а = -~+у£»	(162)
Га 2 'а
где Л1а —момент внешних сил по отношению к центру тяжести
растянутой арматуры; Nc — внешняя нормальная сила (при сжа-
тии будет иметь знак минус); z— плечо внутренней пары сил.
Плечо внутренней пары сил определяется так же, как и при
расчете жесткости (его значение зависит от принятой для дан-
ного сечения формы эпюры напряжений и деформаций).
В практике проектирования для вычисления г используют
достаточно простую формулу
2=СЛ#,	(163)
где t,— коэффициент, который зависит от соотношения площа-
дей сжатой и растянутой арматуры Fa/Fa и принимается по
табл. 6.
Таблица 6. Коэффициент £
F.'Fa	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
Прямоугольное сечение	0,75	0,81	0,83	0,85	0,86	0,87
Сечения тавровые, двутавровые и т. п.	0,8	0,84	0,85	0,86	0,87	0,88
Таблица 7. Коэффициент г
для определения предельного значения
^м«кс (по нормам DIN 1045/1971)
Вид арматуры	Допустимая ширина рас- крытия тре- щин» мм		
	0,3	0,2	0.1
Гладкие стержни и про- волока	60	40	25
Холоднотянутая профи- лированная проволока с улучшенным сцеплением для сварных сеток	80	60	36
Стержни периодического профиля с улучшенным сцеплением (одиночные, в сварных сежах или решетках)	120	80	50
При оценке элемента с
использованием условия
(156) требуется найти вели-
чину dMaKc. В DIN 1045 [73]
эту величину (в мм) пред-
лагается определять по фор-
муле
</Макс=100'	,	<164>
где г — константа, которую
берут по табл. 7; цр— сте-
пень армирования растяну-
той зоны сечения; <та— нап-
ряжение в арматуре (в
тс/см2) из уравнения (8).
При этом положение ней-
тральной оси и плечо внут-
ренней пары сил могут быть
168
те же самые, что получились при вычислении несущей спо-
собности.
2. РАСЧЕТ
Точный метод расчета деформаций1. Точный расчет деформа-
ций (прогибов или поворотов) производится в двух случаях.
Во-первых, для тех конструкций, где требуется знать распреде-
ление моментов при нормативной нагрузке на следующей ста-
дии проектирования, т. е. когда определяются размеры сечений
и экономичность конструкции. Во-вторых, такой расчет необхо-
дим, если на основании предварительного расчета не выполня-
ется условие (152) и есть основания полагать, что точный рас-
чет докажет выполнение этого условия.
К первому случаю относятся предварительно-напряженные
железобетонные конструкции, в которых при действии норма-
тивной нагрузки трещины отсутствуют или возможность их воз-
никновения маловероятна. Чтобы определить ширину раскрытия
трещин в таких конструкциях при действии нормативной на-
грузки, следует знать распределение моментов. Предполагается,
что сечения в этот момент работают целиком (т. е. включая и
растянутую бетонную часть).
Ко второму случаю относятся конструкции, в которых при
действии нормативной нагрузки возникают трещины. Если эти
конструкции статически неопределимы, то обычно при их проек-
тировании определяющую роль будет играть несущая способ-
ность. Распределение моментов при исчерпании несущей способ-
ности будет, конечно, отличаться от распределения моментов при
действии нормативной нагрузки. Поэтому в общем случае при
выполнении точного расчета деформаций необходимое распре-
деление моментов требуется определять особо, учитывая сни-
жение жесткости элементов после возникновения в них трещин.
При выполнении точного расчета лучше всего зарекомендовал
себя способ итерации (т. е. последовательного приближения),
предусматривающий следующую очередность выполнения опе-
раций;
устанавливают распределение моментов в соответствии с тео-
рией упругости;
вычисляют жесткости сечений, соответствующие полученному
распределению моментов. При этом с некоторым приближением
можно принять, что жесткость элемента между двумя точками
нулевых моментов будет постоянной и равной наименьшему зна-
чению на данном промежутке. Значение жесткостей можно оп-
ределить, руководствуясь указаниями главы 2, п. 1;
устанавливают новое распределение моментов, соответствую-
щее новым редуцированным значениям жесткостей;
1 Понятие «точный метод расчета» является относительным п может быть
принято.
Зак. 336
1 69
Рис. 100. Действительное (Л)
и безопасное (В) положение
эпюры моментов при подсчете
деформаций
1, 2, 3— критические сечения
, ЦЦЦ51
f--------
Рис. 101. Вычисление углов поворота сече-
ний
° — при одном грузе; б — при нескольких грузах
6)
Ц2321\
Рис. 102. Размещение нагрузки
при подсчете максимального уг-
ла наклона касательной к линии
изгиба в сечении под грузом в
подкрановой балке
а — простая балка цри одном кра-
не; б — простая или неразрезная
балка при двух кранах; в — нераз-
резиая балка и один кран
снова вычисляют жесткости и
операции повторяют до тех пор, по-
ка два установленных одно за дру-
гим распределения моментов не
совпадут;
определяют искомую деформа-
цию, соответствующую окончатель-
ному распределению моментов.
Естественно, что использование
этого способа требует много време-
ни, хотя теоретически при примене-
нии для выполнения указанных опе-
раций ЭВМ не должно возникать
серьезных затруднений [18].
Отметим, что при исследовании
оптимальных вариантов конструкций рам может встретиться
следующая задача: найти для заданной предельной деформации
максимальную нормативную нагрузку, которую конструкция мо-
жет воспринять, не разрушившись и не нарушая условия надеж-
ности по деформациям [1].
Приближенный метод расчета деформаций. Для упрощения
расчета нормами обычно разрешено оценивать статически неоп-
ределимые конструкции по жесткости и ширине раскрытия тре-
щин, опираясь на распределение моментов, полученных из пред-
положения упругой работы конструкции. Однако и такое облег-
чение не всегда бывает выгодным, так как в ряде обычных слу-
чаев при расчете конструкции по прочности распределение мо-
ментов в упругой стадии не определяется (особенно для конст-
170
рукций второй группы), поэтому известно лишь распределение
моментов при исчерпании несущей способности. Попытаемся
при выполнении приближенного решения опираться на это из-
вестное нам распределение. В данном случае потребуется
узнать, в каком случае в исследуемом пролете значение дефор-
маций получится большим, чем это следовало бы из точного
расчета. Произойдет это тогда, когда: 1) отношение абсолют-
ных значений моментов над опорами Mi и Ме, в исследуемом
пролете к максимальному моменту в пролете М2 будет меньше,
чем есть в действительности ( рис- 100); 2) жесткости сечений
будут меньше, чем есть в действительности.
Если будет выполнено первое условие, то это приведет к ча-
стичному выполнению второго условия для сечений в пролете,
так как по мере увеличения изгибающего момента жесткость В
будет уменьшаться. И наоборот, жесткость сечений над опорой
в этом случае увеличится.
Выполняя первое условие, тем самым увеличим жесткость
сечений над опорой. Это не повлияет на решение, так как в соот-
ветствии с рекомендациями главы 6, п. 1 потребуется оценить
наклон касательной под грузом или же максимальный имею-
щийся угол наклона касательной к линии изгиба, т. е. в лю-
бом случае речь пойдет об области положительных моментов.
А так как определяют только значение поворота сечений, то
достаточно будет рассмотреть только участок положительных
моментов, т. е. часть пролета между точками нулевых момен-
тов. В нашем случае потребуется установить необходимую попе-
речную силу от нагрузки М11/В для балки пролетом /пер, равным
расстоянию между точками нулевых моментов ii и i2.
В первом случае (когда ищут максимальный поворот под
силой РИ) вычисляют поперечную силу Q* от действия нагрузки
MnjB в месте ее приложения на простой балке пролетом /пер
(рис. 101,а). Если пренебречь собственным весом балки, то эта
поперечная сила будет равна искомому углу наклона ан. Место
приложения нагрузки Рп определяется так, как это указано на
рис. 102. Оно будет отличаться от места приложения наиболее
неблагоприятной расчетной нагрузки Рр, которую выбирают так,
чтобы получить самые неблагоприятные воздействия на опорные
сечения и сечение посредине пролета. Поэтому в рассматривае-
мом случае нельзя будет воспользоваться распределением мо-
ментов, полученным при определении несущей способности кон-
струкции. Необходимое распределение моментов нужно или
примерно назначить, или действовать более точно в соответствии
с рекомендациями главы 6, п. 2.
Во втором случае (т. е. когда требуется отыскать максималь-
ный угол наклона касательной к линии изгиба) вычисляют по-
вороты цн и ан', которые являются реакциями в простой балке
с пролетом /пер (см. рис. 101,6), загруженной сплошной фиктив-
ной нагрузкой величиной Мя/В. Для этого прежде всего потре-
7* Зак. 336
171
буется определить распределение моментов от действия нор-
мативной постоянной нагрузки GH и временной Ра. Так как нас
интересует максимальное воздействие, то найдем значение де-
формации от воздействия обеих составляющих нагрузки, дей-
ствующих одновременно, но при этом их влияние следует рас-
сматривать в отдельности, так как нагрузка GH действует в те-
чение длительного времени, а Рн—обычно лишь кратковремен-
но (иногда нагрузка Рн может действовать длительное время,
частично или в полной мере.)
Найдем вначале максимальное значение Мг в критическом
сечении пролета от действия суммарной нагрузки GH4-PH, т. е.
в том сечении, для которого при расчете на прочность устанав-
ливался разрушающий момент Мр2. Момент МР2 соответствует
действию расчетной нагрузки Gp-)-Pp. Можно предположить, что
Л1“ GH +РН
Gp + Pp
Обычно между расчетной и нормативной нагрузками
ствует зависимость типа
Gp+ Рр = ngG" +прР* ,
где rig и пр — коэффициенты перегрузки.
Примем PH=pGH. Тогда после подстановки значения
уравнение (165) получим следующее выражение для М2:
(165)
суще-
Дя в
(166)
GH+
Найдем теперь эпюру моментов от действия нагрузки
бы вершина эпюры (или точка, соответствующая сечению О)
+РН (действующей на простую балку) и разместим ее так, что-
имела ординату величиной Mg (рис. 103). Для полученной
эпюры моментов определим повороты сечений в точках нулевых
моментов I] и z2. Затем момент М2 разобьем на две составляю-
щие Mgo и Мро
/И!)
^o = TTF; Mpo = PMgo-	<167>
Если бы в ходе проектирования принималось, что
Mpi I	М] уп
мР2 |	м2 уп
то получаемые при расчете деформации были бы несколько за-
вышены. Если соотношение
Mj уп
М2уп
точно не известно, то момент М2, полученный из уравнения
(166), следует несколько увеличить, руководствуясь при этом
172
инженерной интуицией (вплоть до 30%). Повороты ан и ан' вы-
числяют довольно просто. Например, при постоянной жесткости
для значения ан будет справедливым равенство
«'* = — ( dx
В	х
о
Можно также записать, что
1 /пер х
) Л2НЛ4 dx,	(1о8>
где Мх — изгибающий момент от действия единичного момента
Х=1 на опоре (рис. 104). Ясно, что
v Л1ер х
Л/х =---~--- .
Значение интеграла в уравнении (168) можно легко найти
с помощью таблиц.
Инструкция по расчету статически неопределимых железо-
бетонных конструкций [16] рекомендует устанавливать распре-
деление моментов, необходимое для расчета деформаций в не-
разрезных балках, с помощью поправочных коэффициентов,
учитывающих неравномерность в распределении жесткостей.
Не будем здесь детально излагать данный способ решения, с
которым можно ознакомиться, прочитав указанную работу.
Точный и приближенный методы расчета ширины раскрытия
трещин. Ширину раскрытия трещин определяют только у желе-
зобетонных конструкций, и знание распределения моментов от
действия нормативной нагрузки требуется именно^ для этой це-
ли. При точном способе решения оно устанавливается расчетом
в соответствии с указаниями главы 6, п. 2.
При использовании приближенного решения опять же исхо-
дят из значений разрушающих моментов. Необходимо только
Рис. 103. Эпюра моментов" Л1Е и тео-
ретическая эпюра разрушающих мо-
ментов Л1р
Рис. 104. Действие единичного
момента .¥=1 на опоре про-
стой балки
173
помнить, что вычисленная ширина раскрытия трещин будет за-
вышена, если в расчет ввести больший изгибающий момент от
действия нормативной нагрузки, чем это бывает в действитель-
ности, т. е. все зависит от соотношения моментов /Wpi/Mp2
по отношению к | М iyn/Af2yn|, вычисленных по теории упругости,
а также от места расположения сечения.
Формулу (166) можно переписать в общем виде:
1 4- в
1М"! =---Мр.	(169)
ng + пр р
Таким способом можно установить значение Л4Н для любого
сечения Если же теперь полученную с учетом перераспределе-
ния усилий эпюру моментов расположить так, чтобы момент
Мр в исследуемом сечении оказался больше, чем это следует из
расчета по теории упругости, то ширину раскрытия трещин сле-
дует определять исходя из предположения, что в сечении будет
действовать момент Мн, подсчитанный по формуле (169). Если
этого не будет и момент Л1р окажется относительно меньше, то
необходимо несколько увеличить (опять же интуитивно) вычис-
ленное значение |Л4Н|. Такое увеличение обычно не превышает
30%.
Г л а в а 7
ПРИМЕРЫ
1. МЕТОД ВЫНУЖДЕННЫХ ПОВОРОТОВ
Неразрезная двухпролетная балка. Требуется с помощью метода пре-
дельных поворотов установить распределение изгибающих моментов для диух-
пролетной неразрезной балки, загруженной в каждом пролете четырьмя со-
средоточенными грузами Р по 5000 кгс каждый Размеры балки и ее попереч-
ных сечений, а также способ армирования показаны на рис. 105. Бетон балкн
имеет кубиковую прочность 1?б=350 кгс/см2 Арматура из стали Ст5 с преде-
лом текучести ат=3800 кгс/см2 (соответствует по своим механическим свой-
Рис 105 Неразрезная двухпролетная балка
а —схема загружения, б — сечение
174
ствам стали класса А-Ш). Балка в свое время подвергалась эксперименталь-
ному исследованию, выполненному С. М. Крыловым [20] Поэтому представ-
ляется возможность сравнить результаты теоретического решения с опытными.
Призменная прочность бетона
Я*р = 0,8	= 0,8-350 = 280 кгс/см2.
Сопротивление бетона растяжению определим в соответствии с Между-
народными рекомендациями [29]
Я* =0,59	/?*р = 25 кгс/см2.
По СНиП П-В.11 (проект 1972 г.) модуль упругости бетона
= 310 000 кгс/см2.
Значение Еб, найденное в соответствии с Международными рекомендация-
ми [29] с учетом длительности проведения испытаний (коэффициент 0,9), по-
лучается близким:
£б = 0,9-21 000 ]/>’р =315 000 кгс/см2.
Модуль упругости стали по СНиП II-B.1 (проект 1972 г.)
Еа = 2 000 000 кгс/см2.
Геометрические характеристики сечения, необходимые для выполнения
расчета:
полная высота сечения А=22 см;
полезная высота сечення Ло=2О ом;
расстояние от центра тяжести растянутой арматуры до нижнего края
сечения а=2 см;
площадь бетонного сечения 5в=374 см2;
момент инерции бетонного сечения /в=15 084 см;
площадь поперечного сечения арматуры Fa=Fa =4,02 см2;
соотношение модулей упругости п=£а/£б‘=6,45;
площадь приведенного сечения £п=417,8 см2;
момент инерции приведенного сечения /п=18630 см4;
жесткость при изгибе £с/п = 577 500 кгс-м2
Вычислим разрушающий момент (без учета в расчете сжатой арматуры):
Мр = 5аат |Ч- -5-
\	2 6 *пр
Высота сжатой зоны (увеличенная на 25% с учетом формы эпюры на-
пряжений в бетоне в соответствии с указаниями 1лавы 4, п. 1)
хр = 1,25 	= 4 см.
Момент трещинообразования (без учета арматуры)
/Ит= — R* йй2 = 514 кгс-м,
4 р
а граничный момент (т. е. на грани упругой работы), подсчитанный по фор-
муле (49), будет
1	2
Мгр = —- (2Л4Т + Л4Р) = 1280 кгс-м < — /Ир.
о	о
= 2810 кгс-м.
175
Предельную кривизну вычислим по формуле (19), приняв е0.р=—0,0035,
т. е.
еб.Р °'0035	,
X₽ = -"V“ 0,04 = °.0875 м •
Коэффициент k определим по формуле (43):
Далее методом сил установим распределение моментов в соответствии с
теорией (упругости. Данная балка один раз статически неопределимая. Вве-
дением шарнира в сечение над внутренней опорой создадим основную стати-
чески определимую систему (рис. 106, а). Опорный момент Xi вычислим из
•уравнения совместности
^20 “И 622 ^2 = 0.	(170)
Коэффициент б22 Для обоих пролетов, учитывая их симметричность, под-
считаем по формуле (36):
у '
<%, =2	~— dx.	(171)
g Н5 ‘П
За положительное направление оси х в первом пролете будем считать на-
правление вправо от крайней опоры, а для второго пролета — влево от нее
/рис. 106, а). Для определения изгибающего момента Мг в обоих пролетах,
«возникающего от действия на основную систему единичного момента Аг=1,
-можно в ^пользоваться одним и тем же выражением
= х/1,
тогда
л 2 Г / х \«	2 I
22 £б'п J W J dx 3 £б/п ’
После подстановки значений i и Ef>la получим
622 = 0,000231 кгс~1.см’'1.
С учетом симметрии балки
е М2Мо .
6ао = —2 1 “~д—~ dx.
б’ Еб1а
Рис. 106. Балка после образова-
ния основной статически опре-
делимой системы
а —основная система; б —эпюра
момеииов от единичного момента в
надопорном сечении статически оп-
ределенной системы; в — эпюры мо-
ментов на простых балках; /, 2.
3— ОПОРЫ
176
Чтобы упростить решение, заменим эпюру моментов на простой балке
Мо от воздействия сил Р/2 параболой с ординатой в вершине Л40, макс=Р//4.
Заменяющая равномерно распределенная нагрузка для такого случая будет"
gp=5000 кгс/м. Тогда
М0 = Рх
И
,	2 Р (•	! х \
а20 = —. - X 1— — \dx.
Ец1п \	1 /
После подстановки в эти выражения известных величин получим, что Р—
5000 кгс, а б2о = —57,7. Далее, решая уравнение (170), определим опорный
момент Хуп2’.
ЛуП 2 = 2500кгс-м
и максимальный момент в пролете:
Муп г = -Ч-п.з' = 1405 кгс м-
Вычислим углы поворота =i|>2' при Р=5000 кг, воспользовавшись
уравнением (46) (gp = 5000 кгс-м)
ip =1,89 р ,	1/ (M^Mrp)3 = 2,015- 10~3.
т	£б'п '	gp
Прежде чем приступить к вычислению пластического угла поворота
определим границы пластической зоны, зная, что
М = Л4гр = 1280 кгс-м.
Тогда для величины /плi влево от средней опоры будет
Мгр = Хг Q2i ^пл 1 gp ^пл 1= 1280;
2500 /Зл j + 6250 /пл 1 — 1220 = 0,
откуда следует, что
1пл 1 = 0,182 м.
Ради упрощения предположим далее, что момент над опорой на отрезке?
<Л/Гр, Хг> изменяется линейно. Тогда из уравнения (45) получим, что-
1	k
®2 — П р .	(2^2 А1Гр) (/Пл 1 + Л1Л 2) — 12- 10
2	/п
Теперь вычислим распределение моментов от единичных поворотов. Урав-
нение (54) получит следующий вид:
б22 Х% -р-	^21 ' ”1” ^2 ^22'	®2 = 0.
Решим его вначале для ipi' =—1, ip2'=0 и 02=О. Знак минус перед зна-
чением ip, < появляется потому, что эпюра пластических кривизн располагается
по другую сторону основания эпюры моментов М2 (рис. 106). В итоге имеем!,
что
М2Г
177
где момент M2i 'относится к сечению в пролете, имеющему максимальный
момент. Значение М21' подсчитывают следующим образом:
Тогда
0,375
Х2 (ф,, = — 1) = -	•= 1630 кгс-м.
1	0,000231
Точно так же
Х2 ('Фг' = — 1) = 1630 кгс-м.
Далее для 02=1, фг =ф2' =0 вычислим
х’(ва=1)=-^ = -о^Ьг = -434Окгс-м-
Воспользовавшись уравнением (55), получим, что момент на опоре
Х2 = Хуп 2 + <1’1- %2 (<|’и = — 1) + Фг' -^2 ('1’2' = — О 4" ®2 %2 (02 — 1) ,
Х2:=.2500 4-2-0,002-0,15-1630 — 0,0120-4300 = 2455 кгс-м <2500 кгс-м.
, В ходе дальнейших циклов итерации (т. е. последовательного приближе-
ния) был найден опорный момент Х2 При Р — 5000 кгс, Х2=2070 кгс-м, а мо-
мент в сечении пролета, отстоящего от опары на расстояние х=0,793 м,
=1570 кгс-м.
С. М. Крыловым [20] (ом. рис. 49 указанной работы) для данной на-
грузки получено значение Хоп2=1990 кгс-м и Moni'==Моп2/ = 1 650 кгс-м
Совпадение экспериментальных и теоретических результатов здесь очень
хорошее
2. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНЫХ ПОВОРОТОВ
Балка с двусторонним защемлением концов. Пусть требуется запроекти-
ровать балку с двусторонним защемлением концов, используя для этого ме-
тод предельных поворотов. Пролет балки имеет длину /=6 м (рис. 107),
постоянная равномерно распределенная нормативная нагрузка £н = 760 кгс-м,
а временная ря=900 кгс-м (коэффициенты перегрузок ns = l,l, пр = 1,2).
Конструкция выполйена нз бетона М200	(Рпр=95 кгс/см2, Ее —
=240 000 кгс/см2), а для армирования использована сталь класса А-I (Ра =
= 2 100 юс/cm2, £4=2 100 000 кгс/см2).
Расчетная нагрузка
gv = 1 , 1 g" 4- 1 >2р“ = 1915 кгс-м.
Изгибающие моменты в критических сечениях примем равными одни дру-
гим, а именно:
,-Ир = | Мр | = М% = | М% I = -j~ gp P = 4310 кгс-м.
При сечении шириной 20 и высотой 40 см подберем для данного момента
армирование, состоящее из 4014 (Fa=6,16 см2). Чтобы проверить выполнение
условия (60), потребуется знать высоту сжатой зоны сечения при разрушении
(рис. 108)
Ра г. с
хр —	-— = 6,8 см.
* КПр
178
Теперь попытаемся определить, идет ли речь о первом случае напряжен-
ного состояния. Предположим, что в растянутой арматуре было достигнуто
расчетное напряжение. Найдем по формуле СНиП II-B.1 (проект 1972 г.)
величину £Гр.'
t *гр  ЮОО—kj Rnp  
ErP = V" 850-Ь^Од -u’z
т е в соответствии с формулой (172) |гр=0,7.
Получим, что
_ 1000- 1,5-95 _
^гр- 850 + 0,1 • 2100 - ’
(172)
т е в соответствии с формулой (172) £гр=0,7.
Далее определим значение
6,8
37,3
= 0,182,
которое будет меньше |гр=0,7.
Таким образом, условие выполнено и
мы действительно имеем дело с первым
случаем напряженного состояния.
Вычислим разрушающий момент
Мр = Fa Ra \h0 —	4380 кгс• м >М₽=
=4310 кгс-м.
Далее вычислим жесткость при изгибе
для сечений, располагающихся между плас-
тическими шарнирами, которые должны об-
разоваться вблизи концов балки в местах
защемления. Жесткость В вычисляют по
формуле (14). При этом предполагается,
что бетон не работает на растяжение. В со-
ответствии с указаниями главы 4, п. 3 счи-
таем, что фа=1, 'фб=0,9 и v=0,3. Тогда
Рис. 107. Балка с двусторонним
защемлением концов
1, 2, 3— критические сечения
Рис. 108. Сечение балки
а — армирование; б — напряженное
щин; в — напряженное состояние
состояние и деформации после возникновения тре-
при достижении изгибающим моментом значения М _
и
179
В =
1
	ftp г	
1______________ ,_0,9
£аАа ' 0,3£бГбс
(173)
Обратимся теперь к формуле (73), в которой примем
£а 2 100 000
«о =----— = ------------ =29,2;
0,3 Еб 0,3-240 000
6,16
и =-----------= 0,00828;
и 20-37,3
и вычислим высоту сжатой зоны сечения х=£йо=14,3 см. .
Далее определим плечо внутренней пары сил z и площадь Во.с.
£
z==h0 — ~ =37,3 — 7,15 = 30,15 см;
F6 с = bx = 20-14,3 = 286 см2.
Подставляя вычисленные значения в сравнение (173), получим, что же-
сткость В = 0,928-1010 кг-см2.
Запишем теперь уравнение (59) для подсчета поворотов в пластических
шарнирах. Так как сама балка и ее загружение симметричны, то достаточно
исследовать повороты, происходящие в одном пластическом шарнире, составив
единственное уравнение:
^10 + 6ц Мр1 ~г 613 Мрз — — 01,
где Мр1=Мр3=Мр, откуда
01 = —Мр (6Xi 613) — 61Q.	(174)
Коэффициенты б.ь зависят от характера изменения отдельных моментов
<см. рис. 107)
б10 = V f Ml = - Y 4 мр макс ;
Dm	О D
о
, I	,	.
6ц =— С М? d х = — ~ ;
В J 1 ЗВ
о
t 1 <• J 1 I
О1з — „ I Mi М3 d x —	,
D V	О D
0
где (Мо.макс —момент при простом опирании балки от расчетной нагрузки,
который равен:
<MaKC = V gp(2 = 8610 кгс-м.
Подставив его значение в приведенные выше уравнения, получим:
би = —18,54-ю~3;
бп = 21,56-10—9 кгс-1 - см-1;
б1з= 10,78-10—9 кгс-*-см-1.
Из уравнения (174) (М₽ = 0,438- 10е кгс-см) получим, что. 61 = 4,37-10~3>
>0.
180
Положительное значение поворота подтверждает правильность выбора
положений пластических шарниров [условие (61) выполнено].
\ Предельные углы поворота пластических шарниров вычислим по форму-
лам (62) и (64). В нашем случае использована горячекатаная арматурная
сталь, поэтому значение Са = 0,7. Для бетона М 200 коэффициент Со в табл. 3
равен 0,7. По эпюре моментов определим расстояние от заделки до точки ну-
левого момента. Это расстояние t получается 88 см.
Из «уравнения (64) получим, что
1
/ 88 \ 4
/пл = 0,7.0,7( — |	37,3 = 22,6 см.
Далее по формуле (62) при [8б.р—сб,гр| =0,0015 получим-
6р1 = /Пл 16б Р Вб'ГР =5-10~3 >0р = 4,37-10—3 .
к	лр	к
Предельный поворот пластического шарнира 0Р1 оказывается больше зна-
чения 01 расчетного «пластического поворота, т. е. условие надежности (60)
в данном случае будет соблюдено.
3. МЕТОД ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
Неразрезная трехпролетная балка. Пусть требуется установить сосредо-
точенную нагрузку Рр, вызывающую разрушение нераэрезной трехпролетной
балки, загруженной постоянной равномерно распределенной нагрузкой gp —
= 3,5 тс-м. Статическая схема балки, схема ее загружения, разрушающие мо-
менты н их обозначение приведены на рис. 109.
В нашем случае в момент полного исчерпания несущей способности кон-
струкции могут образоваться механизмы разрушения четырех типов (см.
Гис ’.09) Рассмотрим вначале тип I. Уравнение виртуальных работ запишет-
ся следующим образом:
1 1
gp х ~ х 03 -I- gp (l — x) — (I — х)б5 +Рраез =
= Мрз flj + Mp4 4* Alps 85.
При Мр3 = Л1р4 = Мр5 = Мр получим:
Рр=—(63 + 64 + 85) — -у gp [X2 83 + (/ —х)2^^.	(175)
а 63	(	z	J
Если принять что 03='1, то для шарниров 4 и 5 величины
/	х . х
64 = 1 + ----; б5 = ---- •
I — х I — х
Положение шарнира 4 заранее неизвестно. Эту задачу можно решить
прямым определением минимального значения Рр, однако проще поцти путем
последозательного приближения. Вначале предположим, что х—а (т. е. что
шарнир 4 возникнет в сечении под грузом). Подставив отдельные значения
в уравнение (175), получим Рр 1 =12,78 тс.
Расстояние х определим исходя из того, что в месте действия максималь-
ного изгибающего момента поперечная сила будет нулевой. Для сечения
х (если только х>а)
1	/ — а	«Моз — Mpg
<2(^=— gpl+Pp —у— -gpx-Pp + - Р8 у р5 .
181
Рис. 109. Неразрезная балка (длины даны в м, моменты — в тс-м)
а — загруженне неразрезной балки; б —предельные моменты (тс-м); в — обозначение
моментов
Рис. НО. Простая рама с защемленными стойками
а—исходные данные и значения предельных моментов; браспределение моментов
при механизме разрушения III; в — механизм разрушения /V; г распределение и
ментов прн механизме разрушения IV. Длины даются в метрах, моменты —- в тс-м
182
' В данном случае последний член уравнения равен нулю. Если теперь при-
нят^, что Q(x)=0 и соответствующим образом преобразовать уравнение, то
получим выражение для определения к:
При Рр' = Рр х=5,09 м>а, т. е. в месте приложения сосредоточенной
нагрузки шарнир не возникнет. Из «уравнения (175) имеем Рр 2=8,36 тс, чему
соответствует значение х=5,4 м. Следующий цикл итерации покажет, что
Рр,3=8,44 тс. Разница между Рр’3 и Рр 2 будет менее 1% от значения Рр
поэтому не имеет смысла продолжать дальше эту операцию.
Теперь рассмотрим возможность возникновения механизмов разрушения
типов II, III или IV. В случае их возникновения линия эпюры моментов в се-
чении 2 или 6 должна была бы проходить через точку с ординатой — тр2=
=—3 тс-м, удаленную от первой внутренней опоры на 4 м. Можно легко убе-
диться, что в этом случае разрушающий момент в сечении над опорой должен
быть не менее 59 тс-м А так как значение Afp3 всего лишь 38 тс-м, то воз-
можность возникновения механизмов разрушения типов II—IV полностью
исключается. Таким образом, Рр = Ро, = 8,44 тс-м.
Простая рама с защемленными стойками Пусть требуется установить
несущую способность рамы, форма и размеры которой, а также распределение
разрушающих моментов и схемы загружения показаны на рис. ПО. И пусть
соотношение обоих внешних усилий будет постоянным, а именно У/Я=3
Предположим вначале, что при полном исчерпании несущей способности
может образоваться один из трех показанных на рис 70 механизмов разру-
шения. Для каждого из них можно составить уравнение виртуальных работ
и вычислить несущую способность Vp или Нр Такие уравнения будут иметь
следующий вид:
в случае механизма разрушения типа I:
V* -30'= 8 0' 4-8-2 0' 4- 8 0';	(176)
*	32
V* =-----= 10,67 тс, т. е. ffl = 3,56 тс;
Р, 3	Р ’	’
в случае механизма разрушения типа II:
Я^'-3 6' = 40'4-4 0' 4-8 0'4-4;	(177)
11	20	..
Я*,1 =--- = 6,67 тс, т. е. V" = 20 тс;
Р 3	’ - ’ Р
в случае механизма разрушения типа III:
Vp 3 0'4-Яр11 3 0'= 4 0' 4- 8-2 0' 4- 8-2 0' 4-4 0'-	(178)
ЕЖг5’’"3""	_ _
Если принять, что V “ =ЗЯр , то выйдет, что
Vp1! = 10 тс, т. е. я”1 = 3,33 тс.
Сравнение показывает, что наименьшая несущая способность будет при
механизме разрушения типа III. Попробуем, однако, выяснить, допустимо ли
соответствующее распределение моментов. Устанавливая его, мы принимали
моменты в сечениях с пластическими шарнирами (т. е. в сечениях 1, 3, 4, 5)
равными разрушающим моментам. Момент в узле 2 определим, опираясь на
известные значения моментов в сечениях 3 и 4, а также на то, что в сечении
под сосредоточенной нагрузкой
Мор = 4- Vp’ 1 = 4 ю-6=15тс-м.
г 4 р 4
183
Известно, что
-Wq — .Ио р! 2Из = ТИрз; /Щ = — Mp4,
откуда следует, что Л1г=6 тс-м.
После построения эпюры моментов увидим, что в нижней половине левой
стойки разрешающий момент превышен и таким образом распределение мо-
ментов для третьего типа механизма разрушения типа III опасно. Vp 1 и Н? 1
не будут являться искомыми величинами несущей способности рамы. Поэто-
му обратимся к рассмотрению других механизмов разрушения с пластическим
шарниром в сечении 6' (см. рис. 110, е).
Чтобы определить виртуальные повороты в шарнирах, отыщем центры
вращения ригеля между шарнирами 3 и 4. Часть 623 виртуально повернется
вокруг шарнира 6, точка 3 переместится перпендикулярно соединяющему от-
резку 63. Стержень 45 виртуально повернется вокруг шарнира 5, а точка 4
переместится перпендикулярно оси стержня 45. Центр вращения части 34
должен находиться на пересечении соединяющего отрезка 63 и оси 45. Если
теперь принять, что в шарнире 5 виртуальный поворот имеет величину 6', то
исходя из рис. 110, в легко получить виртуальные повороты и в остальных
шарнирах.
Запишем уравнение виртуальных работ для механизма разрушения
типа IV:
V’v3- 2 9' + Н™ 3 6' = 4-2 9' + 8-4 6' + 8-3 9' + 4 0'.	(179)
При VpV =3HpV получим, что VpV =9,72 тс, а Н ™ =3,24 тс.
Несущая способность рамы при механизме разрушения типа IV бу-
дет минимальной, и, следовательно, искомая несущая способность рамы
Vp=VpV и 7fp=HpV. Соответствующее распределение моментов будет до-
пустимым и безопасным (см. рис. НО, в). Выполним еще дополнительную
проверку в горизонтальном направлении. При этом должно быть равенство
	« =	ЗрИкол+Кол)- ♦кол
где Л4Нол и Л4 кол	— моменты на концах стоек. Получается, что
— —2 ^кол	,	, , ! 2,84 — 5,16 + 4 + 8 \ (Мкол-^кол -	О	-3,23 тс, \	О	j
что почти равно величине Нг (если исключить небольшую ошибку, возникаю-
щую при округлениях).
Точное решение. Найдем теперь несущую способность конструкции с уче-
том действия нормальных сил. Кривые взаимодействия при исчерпании несу-
щей способности сечения изображены на рис. 111. Кривая 1 построена для
сечения, в котором Л4р.и = 4 тс-м, кривая 2 — для сечения, в котором Л4Р.И=
= 8 тс • м (Л1р.и — разрушающий момент при чистом изгибе).
Рассмотрим вначале механизм разрушения, приведенный на рис. 70. В
механизме разрешения типа I нормальные силы отсутствуют, так как V?=
= 10,67 тс. При Wp= Vp/2=5,33 тс, Л4р>Л4р.и, и поэтому шарниры возникнут
в сечениях ригеля. При механизме разрушения типа II Vp1 =20 тс (без учета
влияния нормальной силы). Хотя сила V р1 не входит в уравнение виртуаль-
ных работ, тем не менее силу ,Wp=Vp/2=10 тс необходимо учитывать при
рассмотрении сечений в заделке (шарниры вновь возникнут в сечениях риге-
184
ля, примыкающих к углам рамы). Запишем уравнение виртуальных работ:
//”• 3 0' = Л4р1 6-' + 4 9' 4- 8 6' + Л4р5 6'.	(180)
Для параболической части кривой взаимодействия 1 (при Vp<(20 тс) зна-
чение Аг = 2,4 Л4р=—38,4 тс, тогда
-1/48Л
Л4р= у = 4,49тс-м,
Подставив значение Mj> в уравнение (180), получим
V’1,1 = 20,98 тс и = 6,99 тс.
После проведения последующих циклов итерации1
VpI,2 = 21,02 тс и Я”’2= 7,01 тс.
Аналогично для механизма разрушения типа III найдем
И”1 = 10,14 тс и Яр11 = 3,38 тс,
а для механизма разрушения типа IV
VpV = 9,81 тс и Я^ = 3,21 тс.
Для несущей способности решающим оказывается опять механизм раз-
рушения типа IV. По сравнению с результатом приближенного расчета несу-
щая способность, подсчитанная с r/четом влияния нормальной силы, больше
на 0,9%.
Кольцо. Допустим, что требуется установить значение поверхностного
сжатия р, которое может выдержать железобетонная труба (рнс. 112).
Рассмотрим отрезок трубы произвольной длины I, предположив, что это
замкнутая круговая рама постоянного сечения, загруженная силой Р=р1
(рис. 112).
Рама будет трижды статически неопределимой. Для превращения ее в
кинематический механизм потребуется образование четырех шарниров. Из
теории упругости известно, что максимальный абсолютный изгибающий мо-
мент в таких конструкциях бывает в верхнем и нижнем сечениях, а также в
Рис. 111. Диаграмма взаимо-
действия разрушающих усилий
в сечении рамы
Рис. 112. Железобетон-
ная труба, подвергаю-
щаяся внешнему сжатию
1 Несущую способность можно вычислить и непосредственно.
185
Рис. 113 Кольцо, сжимаемое диаметральными силами
а —схема загружения; б — механизм разрушения; в — геометрия виртуальных переме-
щений
Рис 114 Механизм разрушения решет-
ки
боковых сечениях кольца. Имен-
но в этих местах и можно ожидать
появления пластических шарни-
ров.
Рассмотрим геометрию меха-
низмов разрушения. Линия,
соединяющая точка А и В, вслед-
ствие виртуальной деформации
повернется на угол О'. На этот
же угол повернется и касатель-
ная в точке А по отношению к
вертикали. Аналогично и каса-
тельная в точке В повернется на
угол 0' по отношению к горизон-
тали (в квадрате АВ). В ходе де-
формации точка приложения сил
Р сместится на величину f'. Общее
смещение точки В будет равно
B1S2 (рис. 113, в).
Вертикальная его составля-
ющая
/' = (Bj В2) cos 45*.
Так как
то имеем
(Bi В2) = (Л1 Bi)9'=2-e',
f'— г 1^2-6' cos 45° = г 0'.
Полный поворот в каждом шарнире будет равен 20'.
Приближенное решение. Предположим, что нормальные силы никак не
влияют на разрушающий момент Мр и этот момент во всех сечениях будет
постоянным в обоих направлениях изгиба. Подставив в уравнение виртуаль-
ных работ значение f, получим
2 Рр у 9' = 4 Л4р 2 О',
1Я6
\отюуда
„ л МР
Рр = 4 —.
р г
' В данном случае каждую половину рамы можно рассматривать как бал-
ку с двусторонним защемлением концов постоянного сечения и длиной про-
лета 2г.
Точное решение. В действительности разрушающий момент неодинаков по
длине рамы. В каждом сечении действует нормальная сила, которая в кри-
тических сечениях А и В в момент исчерпания несущей способности соответ-
ственно равна:
*л=у Рр; Л1в = о.
Сила Na представляет собой одновременно и осевую разрушающую^ си-
лу. Известно, что зависимость [Мр, Мр] для железобетонных конструкций не
является линейной (см. рис. 20), поэтому для сечения А (в зависимости от
степени армирования) обычно
MpA = fM (Мр) ^Мр.И)
где fw(Np)—функция нормальной силы (а также другие параметры, напри-
мер прочность, геометрические размеры и т. д.), а Мр.и — разрушающий мо-
мент при простом изгибе (т. е. когда М|=0).
Для сечения В Мрв=Мр.и-
Поэтому уравнение виртуальных работ запишется в следующем виде:
2РрГ9' = 2МрЛ 26' + 2МрВ20',
а после подстановок и преобразования
2 '
Рр= Ъ
Из этого уравнения нельзя
непосредственно определить
несущую способность. Однако
если характер кривой взаимо-
действия для несущей способ-
тости известен (см. рис. 20),
решение не вызовет никаких
ватруднений.
Решетка.
дельного
воспользоваться
чете плоских стержневых
стем, нагрузка
осуществляется
лярно их плоскости. Такие сис-
темы называют решетками. В
предлагаемой книге не рас-
сматривалась подробно проб-
лема пластической работы же-
лезобетонных решеток, по-
этому рекомендуем читателю,
интересующемуся этим вопро-
сом, обратиться к новейшим
работам последнего времени
А. Морейры да Роха [121],
3. Петку [133] (совместная
работа решетки с плитами),
С. В. Смирнова [36]. Здесь же
на двух примерах покажем по-
рядок выполнения расчета
несущей способности решетча-
той системы.
А>
‘р.и т!м I 2
Методом пре-
равновесия можно
и при рас-
си-
на которые
перпендику-
Рис. 115. Механизм разрушения
I, II, III — механизмы разрушения
решетки
187
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 114, состоящую из двух ба-
лок 1 и 2, загруженную в узле сосредоточенной нагрузкой Р. Разрушающие/
моменты для балок будут соответственно Л4Р1 и Л1р2. Найдем несущую спо-/
собность решетки Рр. В данном случае существует всего лишь один механизм
разрушения, шарниры которого примыкают к узлу. Из рассмотрения геомет-
рии механизма следует, что
11	, 12
f =в, — =е9 — ;
1 2	2 2
, f , f
0, =2	; е9 =2— .
Zi	12
Напишем уравнение виртуальных работ:
Рр — A4pi 6( 2 + /И р2 02 2;
подставив в него значения и 02, после некоторого преобразования полу-
чим, что несущая способность
Определим несущую способность системы, изображенной на рис. 114, на
которую в узле В действует сосредоточенная нагрузка Р. Разрушающий мо-
мент для продольной балки / будет Alpi в обоих направлениях изгиба, разру-
шающий момент для всех поперечных балок 2, 3 и 4 будет Л1Р2. Кроме того,
для всех поперечных балок необходимо знать разрушающие крутящие момен-
ты Мкр. Предположим, что все опоры поперечных балок п состоянии воспри-
нимать крутящие моменты. Легко определить, что в данном случае сущест-
вует в общей сложности три механизма разрушения (рис. 115).
Механизм разрушения I. Для него
, 4f ,	2 Г
в‘=^;в2 = Т’
а уравнение виртуальных работ будет следующим:
Рр f' = Л4р1 6 j + Л4Р1 6 ( 2 -f- Л4р( 6; -|- МР2 02 2.
После подстановки значений 9 j и 9 2, получим
4 =
Механизм разрушения II. Предположим, что в шарнирах возле узлов А
и С (в поперечных балках 2 и 4) кроме изгибающих моментов А4Р2 будут
действовать еще и крутящие А4кр, которые также выполняют виртуальную ра-
боту. «Скручиваемые» шарниры могли бы, конечно, возникнуть и в других се-
чениях поперечных балок, однако это не повлияло бы на результаты реше-
ния. Из геометрии механизма разрушения следует, что
f LfB. 0- 2 . е- а
А 2	,01- I, ’ 02Д-2 /2 -
fe . , fe
T’'!S=T
11
Уравнение виртуальных работ
Рр fв = Мр1 0(2-)- Л4р2 62 А 2-2 + Л4р2 02 в -2-}- Л4кр 9] 2-2,
•откуда
„11-4 / ЛЕ!. , 2 (^£1
к л “г2
Мкр
/1
188
Механизм разрушения III. В данном случае кручение отсутствует. Ес-
ЯИ| бы шарниры в продольных балках возникли с противоположных сторон
узлов А и С, тогда пришлось бы иметь дело с кручением. Число «изгибае-
мых» шарниров от этого бы не изменилось, зато выросла бы виртуальная ра-
<бот£, выполняемая внутренними силами. При таком механизме разрушения
получается большее значение Рр, поэтому данный случай не рассматривается.
Из геометрии механизма разрушения следует, что
Запишем уравнение виртуальных работ:
РрЧ'= Мр1 612 + Мр2 Оз 2-3,
откуда
рш
р
МР1
~ + 3
12 /
= 4 2
На омовании общего решения нельзя сказать, который из трех механиз-
мов разрушения даст наименьшую несущую способность. Это зависит от со-
отношения отдельных величин. Предположим, что
Mpi = Mp2 = Mp; Мкр>0, /1=2/2, тогда
Р'=24^; рИ = 20-^ + 8^-;
р 11 р 11	11
рШ
Мр
=32-г
Л1Р
При Л4кр< —
решающим окажется механизм разрушения И, а при
JWnp>
Мр
2
- — механизм разрушения
I.
189
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Бородачев Н. А., Крылов С. М. Расчет и проектирование стерж-
невых статически неопределимых железобетонных конструкций по стадии экс-
плуатации—В кн.: Воздействие статических, динамических и многократно по-
вторяющихся нагрузок на бетон и элементы железобетонных конструкций. М,
Стройиздат, 1972.
2.	Васильев Б. Ф., Богаткин И. Л., Залесов А. С., Паньшин
Л. Л. Расчет железобетонных конструкций по прочности, деформациям, обра-
зованию и раскрытию трещин. М., Стройиздат, 1965.
3.	Васильев В. Г., Ф е с и к С. П. О несущей способности железобетон-
ных рам. — «Бетон и железобетон», 1968, № 11.
4.	Ворличек М., Тихий М. Влияние изменчивости жесткости при из-
гибе на распределение моментов в неразрезных балках. — «Строительная ме-
ханика и расчет сооружений», 1962, № 5.
5.	Гвоздев А. А. Общий метод расчета статически неопределимых си-
стем. М., 1927.
6.	Гвоздев А. А. Определение величины разрушающей нагрузки для
статически неопределимых систем, претерпевающих пластические деформа-
ции. — В кн..- «Труды конференции по пластическим деформациям». М.—Л.,
АН СССР, 1938.
7.	Гвоздев А. А. Обоснование § 33 норм проектирования железобетон-
ных конструкций. — «Строительная промышленность», 1939, № 3.
8.	Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия. М.. Стройиздат, 1949,
9.	Гвоздев А. А., Н о ф а л ь М. Ш., Белобров И. К- Влияние сжа-
тых полок тавровых и других сечений на деформации (прогибы) элементов
железобетонных конструкций. — В кн.: Расчет и конструирование элементов
железобетонных конструкций. М., Стройиздат, 1964.
10.	Гликин И. Д., Гречановская Д. Т., Козачевский А. И. Оп-
тимальное армирование железобетонных конструкций в случае многих загру-
жений.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1972, № 1.
11.	Глушков Г. С., Егоров И. Р., Ермолов В. В. Формулы для ра-
счета сложных рам. М., «Машиностроение», 1966.
12.	Григорян Г. С. Распор в изгибаемых элементах статически неопре-
делимых систем. — «Изв. АН Армянской ССР», 1946, № 6, 1947, № 3 и 5.
13.	Гуща Ю. П. Исследование ширины раскрытия нормальных трещин.—
В кн.: Прочность и жесткость железобетонных конструкций. М., Госстрой
СССР, НИИЖБ, 1971.
14.	Зайцев Л. Н. Влияние распора на распределение усилий, несущую
способность и деформативность статически неопределимых железобетонных
балок. — В кн.: Трещиностойкость и деформативность обычных и предвари-
тельно-напряженных железобетонных конструкций. М., Стройиздат, 1965.
15.	Зайцев Л. Н., Горохова И. А. Исследование влияния наклонных
трещин на деформации изгибаемых железобетонных балок.—В кн.: Прочность и
жесткость железобетонных конструкций. М., Госстрой СССР. НИИЖБ, 1971.
16.	Инструкция по расчету статически неопределимых железобетонных
конструкций с учетом перераспределения усилий. М,., Госстройиздат, 1961.
17.	Козачевский А. И. О перераспределении усилий в стержневых си-
стемах.— «Строительная механика и расчет сооружений», 1968, № 6.
18.	Козачевский А. И., Крылов С. М. Исследование перераспреде-
ления усилий ,в сложных стержневых системах с учетом неупругих свойств же-
лезобетона. — В кн.: Совершенствование расчета статически неопределимых
железобетонных конструкций. М., Стройиздат, 1968.
19.	Коков ин О. А. Деформации изгибаемых и внецентренно-сжатых эле-
ментов при кратковременно действующей нагрузке в стадиях, близких к раз-
рушению.— В кн.: Прочность и жесткость железобетонных конструкций. М.,
Стройиздат, 1968.
190 ‘
20.	Крылов С. М. Перераспределение усилий в статически неопредели-
мых железобетонных конструкциях. М., Стройиздат, 1964.
21.	Крылов С. М., Икрамов С. И. Влияние профиля и пластических
свойств арматуры на перераспределение усилий в статически неопределимых
железобетонных конструкциях. — «Бетон и железобетон», 1958, № 5.
22.	Крылов С. М., Козачевский А. И. Расчет на ЭВМ железобетон-
ных рам и защемленных балок с учетом трещинообразования и распорности.—
В кн.: Особенности деформаций бетона и железобетона и использование ЭВМ
для оценки их влияния на поведение конструкций. М., Стройиздат, 1969.
23.	Крыло® С. М., М а н г у ш ев А. И. Экспериментальные исследования
работы неразрезных сильно армированных железобетонных балок при наличии
трещин. — В кн.: Особенности деформаций бетона и железобетона и использо-
вание ЭВМ для оценки их влияния на поведение конструкций. М., Строй-
издат, 1969.
24.	Крылов С. М., Назаренко В. Г., Ярин Л. И. Оптимальное про-
ектирование статически неопределимых железобетонных рам с учетом требо-
ваний трех предельных состояний. — В кн.: Теория железобетона. М., Строй-
издат, 1972.
25.	Ку Д з и с А. П. Применение высокопрочной проволоки в неразрезных
предварительно-напряженных железобетонных балках. — «Бетон и железобе-
тон», 1959, № 6.
26.	Кузьмичев А. Е. Исследование влияния пластических деформаций
сжатого бетона на перераспределение усилий в железобетонных рамах.—
В кн.: Исследования по теории железобетона. М., Госстройиздат, 1960.
27.	Кузьмичев А. Е. Особенности работы несущих конструкций из сбор-
но-монолитного железобетона в многоэтажных промышленных зданиях — «Бе-
тон и железобетон», 1963, № 1.
28.	Мангу ш ев А. И., Крылов С. М. Влияние марки бетона и насы-
щения арматурой на способность статически неопределимых балок к перерас-
пределению усилий. — В кн.: Трещиностойкость и деформативность обычных и
предварительно-напряженных железобетонных конструкций. М., Стройиздат,
1965.
29.	Международные рекомендации для расчета и осуществления обычных
и предварительно-напряженных железобетонных конструкций (Европейской
комитет по бетону ЕКБ. Международная федерация по предварительно-на-
пряженному железобетону). Пер. с фр. М., НИИЖБ, 1970.
30.	Немировский Я. М. Исследование напряженно-деформированного
состояния железобетонных элементов с учетом растянутого бетона над трещи-
нами и пересмотр на этой основе теории расчета деформаций и раскрытия
трещин. — В кн.: Прочность и жесткость железобетонных конструкций. М.,
Стройиздат, 1968.
31.	Немировский Я. М.. Фнгаровский В. В., Лемыш Л. Л. К
расчету деформаций по проекту новых норм. — «Бетон и железобетон»,
1971, № 5.
32.	Нил Б. Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств мате-
риалов. М., Госстройиздат, 1961.
33.	П а р ш и н Л. Ф. Перераспределение усилий в сборных предварительно-
напряженных неразрезных балках. — В кн.: Совершенствование расчета ста-
тически неопределимых железобетонных конструкций. М., Стройиздат, 1968.
34.	Р ж а н и ц ы н А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов (изд. 2-е, перераб,). М., Госстройиздат, 1954.
35.	Розенблюмас А. М. Построение огибающих эпюр моментов в не-
разрезных балках с учетом образования в них пластических шарниров. «Же-
лезобетонные конструкции». Труды Вильнюсского инженерно-строительного
института, 1971, Ns 4.
36.	Смирнов С. В. Расчет покрытий из перекрестных железобетонных
балок в пластический стадии. «Бетон и железобетон», 1969, № 2.
37.	СНиП П-А.11-62 Нагрузки и воздействия. Нормы проектирования. М.,
Стройиздат, 1962.
191
38.	СНиП II-B.1 (проект 1972 г.). Бетонные и железобетонные конструк-
ции. Нормы проектирования.
39.	Тихий М., В о р л и ч е к М. Статический расчет конструкций иэ
обычного и предварительно-напряженного железобетона. — «Бетон и железо-
бетон», 1962, № 9.
Сокращения:
ACI American Concrete Institute
AIPC Association Internationale des Ponts et Charpentes
ASCE American Society of Civil Engineers
CCA Cement and Concrete Association
CEB Comite Europeen du Beton
CSAV Ceskoslovenska akademie ved
FIP Federation Internationale de la Precontrainte
ICJ The Indian Concrete Journal
ITBTP Institut Technique du Batiment et des Travaux Publics
40.	A b s i E. Essai de resolution des systemes hyperstatiques dans le domai-
ne elasto-plastique. Annales de 1’Institut Technique du Batiment et des Tra-
vaux Publics, 1961/158.
41.	ACI 318—71. Building Code Requirements for Reinforced Concrete. Ame-
rican Concrete Institute. Detroit. 1971.
42.	В 7. Bestammelser for betongkonstruktioner. Allmana konstruktionsbe-
stammelser. Statens Betongkomite. AB Svensk Byggjanst. Stockholm, 1969.
43.	Bachmann H. Plastisches Verhalten von statisch unbestimmten
Stahlbetonbalken. Schweizerische Bauzeitung, 1966/41.
44.	Baker A. L. L. The Ultimate-Load Theory Applied to the Design of
Reinforced and prestressed Concrete Frames. Concrete Publications Ltd. Lon-
don, 1956.
45.	Integrating into a general theory papers discussed at Rome and
Stockholm, including proposals by Mr. Y. Guyon and Dott. Ing. G. Macchi. Bull,
d’inf. du CEB, 1961/30.
46.	A general equation for frame analysis. Concrete and Constructional En-
gineering, 1961/3.
47.	The Inelastic Space Frame. Concrete Publications Ltd. London, 1967.
48.	Baker A. L. L., Amarakone A. M. N. Inelastic hyperstatical fra-
mes— Analysis and application of the international correlated tests. Bull. dTnf.
du CEB, 1965/52.
49.	В a s e G. D., R e a d J. B. The effectiveness of helical binding in the
compression zone of concrete beams. CCA Technical Report, TRA/379, 1966.
50.	Bennett E. W., Cooke N., Naughton L. P. Deformation of con-
tinuous prestressed concrete beams and its effects on the ultimate load. Proc, of
the Institution of Civ. Engs., 1967/V.
51.	В e r t e г о V. A note of the effects of different loading paths on inelastic
deformations. Bull, d’inf. du CEB, 1966/55.
52.	Bertero V. V., McClure G. Behaviour of reinforced concrete frames
subjected to repeated reversible loads. Jour, of ACI, 1964/10.
53.	Bl a auwendr aad J. Realistic analysis of reinforced concrete framed
structures. Heron, 1972/4.
54.	В r a k e 1 J. Berekning van statisch onbepaalde gewapend — betongon-
structies. Cement, 1970/8.
55.	Burnett E. F. P., T r e n b e r t h R. J. The influence of the column
load on the reinforced concrete beam-column connection. Report No. 76, Solid
Mechanics Division. University of Waterloo, 1971.
56.	Carneiro F. L. L. B. Note sur les rotations non elastiques ultimes
des poutres en beton arme. Bull. d’Ing. du CEB, 1965/52.
57.	CCBA 68. Regies techniques de conception et de calcul des ouvrages et
constructions en beton armA Paris, 1968.
58.	C h a 11 e г j i A. K. The behaviour if prestressed concrete frames with
and without lateral binders under ultimate load. Magazine of Concrete Research,
1970/72.
192
59.	Cohn M. Z. Limit design of reinforced concrete structures for maximum
vield safety. ICJ, 1962/6.
60.	Cohn M. Z. Optimum limit design for reinforced concrete continuous
beams. Proc, of the Institution of Civ. Engs., 1965a/lV.
61.	Rotation compatibility on the limit design of reinforced concrete beams.
Flexural Mechanics of Reinforced Concrete. Proc, of the Intern. Symp. (Maiami,
Fla), ASCE —ACI, 1965b.
62.	Limit design solutions for concrete structures. Proc, of ASCE, Jour, of
the Structural Division, 1967/ST1.
63.	С о h n M. Z., Ghosh S. K- The flexural ductility of reinforced concrete
sections. Report No. 100, Solid Mechanics Division, University of Waterloo, 1971.
64.	Cohn M. Z., Grierson D. E. Optimal design of reinforced concrete
beams and frames. Huitieme Congres de 1’AIPC (New York), Rapport final, 1968.
65.	Further results on the equilibrium method of limit design. Proc, of the
Institution of Civ. Engs., 1970/VII.
66.	С о h n M. Z., P e t с u V. A. On the influence of steel percentage on the
plastic adaptibility of redundant reinforced concrete beams. Bull, de 1’Acad. Po-
lonaise des Sciences, Serie des sciences techniques, 1960/11—12.
67.	С о 11 i n s M. P., Lampert P. Redistribution of moments at cracking —
The key to simpler torsion design? Publication No. 71—21, University of Toronto,
Department of Civil Engineering, 1971.
68.	CP 110. 1972. The Structural Use of Concrete. British Standards Insti-
tution. London, 1972.
69.	С r a n s t о n W. B. Tests on reinforced concrete frames — 1: Pinned por-
~tal frames. Cement and Concrete Assoc., Technical Report, TRA/392, 1965.
70.	Cranston W. B., Reynolds G. C. The influence of shear on the
rotation capacity of reinforced concrete beams. CCA, Technical Report, TRA/439,
1971.
71.	Dahl L., Spaethe G. Sicherheit und Zuverlassigkeit von Bauwerken.
Schriftenreihen der Bauforschung, Reihe Technik und Organisation, Nr. 36,
Deutsche Bauinformation, Berlin, 1970.
72.	Dilger W. Veranderlichkeit der Biege-und Schubfestigkeit bei Stahl-
betontragwerken und ihr Einfluss auf Schnittkraftverteilung und Traglast bei
•statisch unbestimmter Lagerung. Deutscher Ausschuss fur Stahlbeton, Heft 179.
Berlin, 1966.
73.	DIN 1045. Beton-und Stahlbetonbau. Bemessung und Ausfiihrung. 1971.
74.	DS 411. Dansk Ingeniorforenings Normer for Bygningskonstruktioner.
2.-— Beton-og jernbetonkonstruktioner. Dansk Standardiseringrad. Kobenhavn,
1949.
75.	E i f 1 e r H., P 1 a u к G. Zwei Verfahren zur Berechnung der Drehfahig-
•keit plastischer Gelenke in biegebeanspruchten Stahlbetonkonstruktionen. Mate-
rialprfifung, 1972/8.
76.	Ernst G. C. Moment and shear redistribution in two-span continuous
reinforced concrete beams. Jour, of ACI, 1958/XI.
77.	FerryBorgesJ., ArgaeLimaJ., TeixeiraCoelhoA., M on-
t e i г о V. Analytical results concrening the nonlinear bhaviour of reinforced
concrete structures. Bull. d’Inf. du CEB, 1966/53.
78.	Ferry Borges J., Butler D. J. Computer experiments concerning
random nonlinear structural behaviour. Symposium on Concepts of Safety
(London, 1969), Final Report, IABSE. Zurich, 1969.
79.	Franz G. Konstruktionslehre des Stahlbetons. Zweiter Band-Trag-
werke. Springer—Verlag, Berlin, 1969.
80.	Furlong R. W. Design of concrete frames by assigned limit moments.
Jour, of ACI, 1970/4.
81.	Gehbauer F. Zuverlassigkeit von System und die Anwendung auf
cine Rahmenkonstruktion. Die Bautechnik, 1972/11.
82.	G e r s 11 e К. H., Tulin L. V. Shakedown of continuous concrete be-
ams. International Symposium on the Effects of Repeated Loading of Materials
and Structures RILEM, vol. V. Mexico, 1966.
£3.	Guyon Y. Etude des Phenomenes de reformation elastique revetant
193
Гаррагепсе plastique avant fissuration. Cinquieme Congres de ГА1РС (Lis-
bon— Porto). Publication preliminaire, 1956.
84.	The strength of statically indeterminate prestressed concrete structures.
Proc, of a Symp. on the Strength of Concrete Structures (London, 1956), CCA.
London, 1958.
85.	Note sur la dimensionnement a rupture d’une ossature a cadres en beton
arme. Bull. d’Inf. du CEB, 1961/30.
86.	Calculs d’ossatures et serviceabilite . Septieme Congres AIPC (Rip de
Janeiro, 1964), Publication preliminaire. AIPC, Zurich, 1964.
87.	HA 68. Instruction para el proyecto у la ejecucion de obras de hormigon
en masa о armado. Madrid, 1968.
88.	Hajnal — K6nyi K-, Lewis H. E. Moment redistribution in con-
tinuous beams reinforced with plain and deformed bars. Proc, of a Symp. on the
Strength of Concrete Structures (London, 1956), CCA. London, 1958.
89.	Hodge P. G. Plastic Analysis of Structures. McGraw-Hill, New York,
1959.
90.	H о r n e M. R. The effect of variable repeated loads in Building structu-
res designed by the plastic theory. Memoires de ГА1РС, vol. XIV, 1954.
91.	Horne M. R., Merchant W. The stability of Frames. Pergamon
Press. Oxford, 1965.
92.	Hyperstatique. Compte. rendu de la session pleniere de Monaco, 13 jan-
vier 1961. Bull, d’inf. du CEB, 1961/34.
93,	Instrukcja stosowania i przykady obliczeA do projekty normy PN/B —
03264. Warszawa, 1970.
94.	Johnson L. P., Sawyer HS. Elasti-plastic analysis of conti-
nuous frames and beams. Proc, of ASCE, Jour, of the Structural Division,
1958/ST8.
95.	Jorgenson J. L., Goldberg J. E. Probability of plastic collapse
failure. Proc, of ASCE, Jour, of Struct. Division, 1969/ST8.
96.	Kaufman S., M a m e s J. The ultimate load-carrying capacity of
prestressed continuous structures. Bull, de 1’Acad. Polonaise des Sciences, Serie
des sciences techniques, 1961/8.
97.	К a z i n c z у G. Kiseeletek befalazott tartokkal. Betonszemle, 1914/4, 5, 6.
98.	Kordina K., Quast U . Bemessung von schlanken Bauteilen —
Knicksicherheitsnachweis. Beton — Kalender, I. Teil, W. Ernst & Sohn. Berlin,
1971.
99.	К u c z у й s к i W. Podsrawy hipotezy liniowych zmian sztywnosci belki
zelbetowej podczas jej obciazenia. Archiwum Inzynierii Ladowej, 1961/1.
100.	Leonhardt F. Shear and torsion in prestressed concrete. Procee-
dings of the Sixth Congress of the FIP, Prague, 1970.
101.	Leonhardt F.. Walther R. Wandartige Trager. Deutscher Aus-
schuss ffir Stahlbeton, Heft 178. Berlin, 1966.
102.	Levi F. Analisi di fenomeni anelastici proseguita fine a rottura.
Giornale del Genio Civile, 1954/3.
103.	Le facteur de s6curitfc dans les problemes structurels non lineaires.
Annales de ПТВТР, 1972/292.
104.	L’introduction gradu6e des coefficients de correction semiprobabilistes.
Costruzioni in cemento armato — Studi e Rendiconti, 1970/7.
105.	Liebenberg A. C. Arch action in concrete slabs. National Building
Research Institute, Bull. No. 40 (CSIR Research Report 234). Pretoria, 1966.
106.	Lighenberg F. K- Stability and plastic design. Heron (English
edition), 1965/3.
107.	Lin T. Y., Thornton K- Secondaty moment and moment redisttibu-
tion in continuous prestressed beams. Jour, of PCI, 1972/1.
108.	Macchi G. Etude ecperimentale de poutres continues precontraintes
dans le domaine plastique et й la rupture. Second Congress of the FIP, Amster-
dam, 1955. Session Illa, Paper No. 2.
109.	Proposition de calcul bas6e sur la theorie des rotation imposees. Bull.
d’Inf. du CEB, 1960/21.
194
110.	Note pour la discussion A la session de Monaco. Bull. d’Inf. du CEB,
1961/30.
111.	Elastic distribution of moments on continuous beams. Elexural Mecha-
nics oz Reinforced Concrete. Proc, of the Intern. Symp. (Miami, Fla), ASCE —
ACI, ГО65.
112.	Sur certains problSmes de securite poses par l’application, des Recopi-
mandations pratiques du CEB aux structures hyperstatiques composees de pieces
lineaires. Bull. d’Inf. du CEB, 1966/55.
113.	Resistance et deformation des noeuds des ossatures en beton arme.
Atti de 1’Ist. di Scienza della Costruaioni, Pubbl. 15. Editrice Cluva. Venise, 1970.
114.	Methode des rotations imposees. Expose de la methode et example de
calcul. Edite par associazione Italiana Tecnico Economica del Cemento, Rome,
1971.
115.	MacGregor J. G-, Breen J. E., P f r a n g E. O. Design of slender
concrete columns. Jour, of ACI. 1970/11.
116.	Ma c G r e g о r J. G., S i e s s С. P-, S о z e n M. A. Behaviour of prest-
ressed concrete beams under simulated moving loads. Jour, of ACI, 1966/8.
117.	Mas sonnet Ch., Save M. Calculs plastiques des constructions.
Centre Belgo — Luxembourgeois d’Information de 1’Acier. Bruxelles, 1961.
118.	Mattock A. H. Redistribution of design bending moments in rein-
forced concrete continuous beams. Proc, of the Institution of Civ. Engs. 1959/V.
119.	Monnier Th. The behaviour of continuous beams in reinforced con-
crete. Heron, 1970/1.
120.	Munro J., К r i sh n a m о о r th у C. S., Yu C. W. Optimal design of
reinforced concrete frams. The Structural Engineer, 1972/7.
121.	Moreira da Rocha A. Le dimensionnement ideal des ponts en
grille de beton arme. Septieme Congres AIPC (Rio de Janeiro, 1964), Publica-
tion preliminaire. AIPC. Zurich, 1964.
122.	MSz 15022. Epitmenyek teherhordo szerkezetinek erotani tervezese.
Vasbetonszerkezetek. Budapest, 1972.
123.	Nah has U„ Yu C. W. The elastic-plastic design of reinforced con-
crete sway frames against instability. Proceedings of the Institution of Civil
Engineers, 1972/VI, Part 2.
124.	Neville A. M. Shear strength of continuous reinforced and prestres-
sed concrete beams. Septieme Congrgs AIPC (Rio de Janeiro, 1964), Publication
preliminaire. AIPC, Zurich, 1964.
125.	Non aka T. A. kinematical approach to the plastic collapse load of a
rectangular frame with consideration of exial forces. Symposium on Plastic Ana-
lysis of Structures, Ia$i. Rumania, 1972.
126.	Okada K-, Koyanagi W. Studies on the yield of plastic hinges in
concrete beams. Memoirs of the Faculty of Engineering, Kyoto University,
vol. 26, Part, 1. January, 1964.
127.	On son go W. M., Collins M. P. Longitudinally restrained beams
in torsion. University of Toronto, Department of Civil Engineering, Publication
No. 72—07, 1972.
128.	Petcu V. The plastic hinge in the plastic design of reinforced concrete
structures. Mechanique applique, 1964/1.
129.	Sarcina de rupere a grinzilor static nedeterminate de beton armat cu
sectiunea variabila. Studii si cercetari de mecanica aplicata, 1961/4.
130,	The optimum redistribution principle. ICJ, 1961/7.
131.	Les conditions de service dans le calcul plastique des structures hyper-
statiques en beton arme. Archiwum Inzynierii Ladowej, 1962a(l).
132.	Optimum plastic moments of reinforced concrete continuous beams.
ICJ, 1962b/3.
433.	Plastic design of reinforced concrete grid floors. Rev. Roumaine Sci.
Tech,. Serie de Mec. Appl., 1968/4.
134.	Minimum moment redistribution theory of reinforced concrete continuous
structures. Rev. Roumaine Sci. Tech., Serie de Mec. Appl., 1969/4.
135.	P e t c u V. А., С о h n M. Z. On the moment redistribution in redundant
195
highly reinforced concrete beams. Bull, de 1’Acad. Polonaise des Sciences, Serie-
des Sci. Tech., 1961/10.
136.	Petcu V., Pfrvu A. Capacitatea portanta a unei grinzi continue de
beton armat realizata prin monolizarea a dona grinzi prefabricate. Revista con-
strucfiilor §i a materialelor de construct, 1968/9.
137.	P f r a n g E. O., S i e s s С. P., S ozen M. A. Load — moment — curva-
ture characteristics of reinforced concrete cross section. Jour, of ACI, 1964/7.
138.	P о t у о n d у J. G., Nawy E. G. Deflection behaviour of spirally con-
fined prestressed concrete flange beams. Jour, of PCI, 1971/3.
139.	Prager W. An introduction to plasticity. Addison — Wesley Publi-
shing Company, London, 1959 (перевод швейцарского издания: Probleme der
Plastizitatstheorie, Birkhauser Verlag, Basel, 1955).
140.	R a b i c h R. Beitrag zur Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke
aus Stahlbeton unter Beriicksichtigung der Rissbildung. Aus Theorie und Praxis
des Stahlbetonbaues (Festschrift G. Franz). W. Ernst & Sohn. Berlin, 1969.
141.	Rang as ami K. S., Mai lick S. K. Degrees of freedom of plane
and space frames. The Structural Engineer, 1966/3.
142.	Rao P. S. Die Grundlagen zur Berechung der bei statisch unbe-
stimmten Stahlbetonkonstruktionen im plastischen Bereich auftretenden Umlage-
rungen der Schnittkrafte. Deutscher Ausschuss fur Sthatbeton, Heft 177. Berlin,.
1966.
143.	Reba. Regulatento de Estruturas de Betao Armedo, Lisboa 1967.
144.	Rica Lopez S. Analisis elastoplastico de estructuras hiperestaticas.
Facultad de Arquitectura у Urbanismo, Universidad de Chile. Santiago, 1970.
145.	Richards R., Lazaro A. L. Limit analysis of a reinforced concrete
frame. Jour, of ACI, 1971/10.
146.	R о с k e у К- C., Preece В. W. The degree of redundancy of structu-
res. Civil Eng. and Public Works Review, 1961/665.
147.	Rusch H. Zur Frage, in welchem Umfang das Verhalten im plasti-
schen Bereich bei der Schnittkraftvermittlung beriicksichtigt werden kann. Bull.
d'Inf. du CEB, 1966/55.
148.	Ryzynski A. Doswiadszalne granice nieprawidowoSci w ukladzie
149.	Ryzynski A. Praca zelbetowego przegubu plastycznego sciskanego*
uzbrojenia ram zelbetowych. Archiwum inzynierii ladowej, 1963/2.
przy duzym mimosrodzie. Archiwum inzynierii Iqdowej, 1964/2.
150.	Obliczanie dopuszczalnego obciqzenia uzytkowego iistrojow zelbetowych
na podstawie teorii przegubow plastycznych. Achiwum inzynierii Iqdowej, 1966/4.
151.	Safety in hyperstatic structures. Conclusions, Bull, d’lnf. du CEB,
1966/55.
152.	Sawyer H. A. An elastic criterion for plastic design. Proc. c-f ASCE,
Jour, of the Structural Division, 1958/ST2.
153.	STAS 8000—67. Le calcul des elementsen beton, beton arme et beton
precontract (en roumain). Bucarest, 1967.
154.	Stevenson J., Moses F. Reliability analysis of frame structures.
Proc, of ASCE, Jour, of Struc. Division, 1970/ST11.
155.	S ttissi F. Zum Traglastverfahren. Sixieme Congres de ГА1РС
(Stockholm, 1960), Rapport final. Zurich, 1961.
156.	Tichy M. Redistribution des moments dans les poutres continues
d’apres la theorie des deformarions limitees. Acta technica CSAV, 1959a/3.
157.	Teoreticke stanoveni zavislosti momentu a krivosti ohybove багу u
nosnikii z pfedpjateho betonu. Zpravy UTAM— CSAV, 1959b/10.
158.	Zavislost ohyboveho momentu a krivosti ohybove cary u nosnikii
predem pfedpinanych. Zpravy UTAM — CSAV, 1960/21.
159.	Criteres de redistribution des moments dans les constructions en beton
precontract. Acta technica CSAV, 1961/4.
160.	^Novy vypofiet pfetvoteni zelezobetonovych nosnikii. Stavebnicky Caso-
161.	Instability of reinforced concrete in plastic domain. Acta technica CSAV,
1973/2.
196
f 162. Tichy M., VorlfCek M. Statistical Theory of Concrete Structures.
Academia. Prague, 1972.
163.	Wastlund G-, Hallbjorn L. Der Einfluss der begrenzten Deh-
nungseigenschaften von Baustahlgewebe auf die Bruchlast von kontinuierlichen
Betonplatten, die nach der Grenzlasttheorie berechnet werden (Stahlbetonbau —
Festschrift H. Riisch). W. Ernst. Berlin, 1969.
164.	Wood R. H. Plastic and Elastic Design'd Slabs and Plates. The Ro-
nald Press Company. New York, 1961.
165.	Yamada M. Drehfahigkeit plastischer Geienki in Stahlbetonbalken.
Ein Beitrag zum Traglastverfahren. Beton-und Stahlbetonbau, 1958/4.
166.	Yamada M., Kawamura H. Elasto-plastische Biegeformanderun-
gen der Stahlbetonsaulen und — balken (einseitige Biegung unter Axiallast).
Memoires de ГА1РС, vol. XXVIII — 1, 1968.
167.	Zellerer E. Durchlauftrager-Schnittgrossen. W. Ernst. Berlin —
Miinchen, 1965.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию...................................... 3
Предисловие........................................................  4
Глава 1. Основные сведения о перераспределении усилий ....	6
1. Необходимость исследования перераспределения усилий ....	6
2. Причины, вызывающие перераспределение усилий. Процесс пере-
распределения ................................................... 8
Глава 2. Факторы, влияющие на перераспределение усилий ....	19
1.	Рабочая диаграмма сечения ..................................  19
2.	Статическая система......................................... 38
3.	Нагрузка	  49
Г лава 3. Надежность и методы расчета ............................. 55
1.	Понятие о несущей способности...............................  55
2.	Надежность статически неопределимых конструкций ............. 58
3.	Методы расчета и перераспределение	усилий .................. 64
Глава 4. Расчет с учетам деформативных свойств конструкций ...	75
1.	Теория расчета .............................................. 75
2.	Метод вынужденных поворотов (метод Макки) ................... 89
3.	Метод предельных углов поворота (метод Бейкера).............. 91
Глава 5. Расчет методом предельного равновесия ................... 115
1.	Метод предельного равновесия ............................... 115
2.	Метод предельного равновесия применительно к железобетонным
конструкциям	.......................................... 135
3.	Метод предельного равновесия с ограничением поворотов . . .	154
4.	Методы, дополненные условиями эксплуатационной способности 156
Г лава 6. Деформации и ширина раскрытия трещин ................... 164
1. Общие принципы ............................................. 164
2. Расчет	  169
Г лава 7. Примеры ................................................ 174
1.	Метод вынужденных поворотов ................................ 174
2.	Метод предельных поворотов ................................. 178
3.	Метод предельного равновесия ............................... 181
Список литературы ................................................ 190
МИЛИК ТИХИЙ
ИОЗЕФ РАКОСНИК
РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
РАМНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В ПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИИ.
ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ
Научный редактор Л. Н. Зайцев
Редакция литературы по строительным материалам
и конструкциям
Зав. редакцией И. А. Рабинович
Редактор Л. И. Круглова
Мл. редактор Л. А. Козий
Внешнее оформление художника
Технический редактор Г. В. Климушкина
Корректоры В. М. Залевская, Г. А. Кравченко
Сдано в набор 1.VI. 1976 г.	Подписано к печати 12.VIH. 1976 г.
Формат издания 60X90'/](1 Д. л.	Бумага типографская № 2
12,5 печ. л. (уч-изд 13,08 л)
Изд. № AVI—4660	Зак. № В36	Цена 1 руб. 7 коп.
Стройиздат
103006, Москва, Каляевская, 23а
Подольская типография Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли
г. Подольск, ул. Кирова, 25
СТРОЙИЗДАТ ГОТОВИТ к ВЫПУСКУ В СВЕТ:
Нелинейные задачи расчета оболочек покрытий. 10 л. с ил.
(Центр, науч.-исслед. ин-т строит, конструкций им. В. А. Кучерен-
ко), 3000 экз. Авт.: Милейковский И. Е., Райзер В. Д., Доетано-
ва С. X. и др.
Рассмотрены задачи расчета на прочность и устойчивость боль-
шепролетных оболочек покрытий с учетом больших перемещений.
Приведены результаты исследования устойчивости оболочек двоя-
кой кривизны и напряженного состояния ребристых большепролет-
ных оболочек, а также расчет несущей способности железобетонных
сводов-оболочек и складок, выполненный статическим методом пре-
дельного равновесия с применением линейного программирования.
Книга предназначена для научных работников и инженеров-
проектировщиков.
Скоробогатов С. М. Теория расчета выносливости стержневой
арматуры. 8 л. с ил., 5000 экз.
Дана классификация основных причин усталостного разруше-
ния в стержневой арматуре периодического профиля. Приведены
математическое описание элементов поверхности периодического
профиля, основы «технической» теории напряженного состояния
стержневой арматуры и характер взаимодействия элементов пери-
одического профиля с сердечником стержня. Сформулированы ос-
новные принципы проектирования стержневой арматуры с повы-
шенным пределом выносливости, дана методика проектирования
более эффективных периодических профилей. Показаны перспекти-
вы применения метода электрогидродинамических аналогий
(ЭГДА) при решении сложных задач теории упругости для выясне-
ния концентрации напряжений.
Книга предназначена для научных и иженерно-технических ра-
ботников научно-исследовательских и проектных организаций.
Шадурский В. Л. Таблицы для расчета упругих прямоуголь-
ных плит. 10 л. с ил., 10000 экз.
Приведены таблицы для расчета строительных конструкций,
главным образом железобетонных прямоугольных плит. Изложены
расчетные данные для нагрузок и граничных условий. Рассмотре-
но влияние коэффициента Пуассона на расчетные величины, даны
•формулы для пересчета.
Книга предназначена для инженерно-технических работников
проектных организаций.
железобетонных
рамных конструкций
В' пластической стад и
МОСОЛ СТРОЙИЗДАТ 1976