Лекции по линейной алгебре и
аналитической геометрии
В. Р. Кайгородов
КФУ, 2011
pffa * Ц« О s N ^u 9^- nt‘ 1*6ГОК> 5Cet	*
K<)5. 4i’\C.'i N ЧКвСТС’’•«•
Н«мпмтд: сроф- Пожлвк ?. Г. 0^)
проф. Ьазыдев b. I. \М lh 1
Учебное /собне представляет собой обработанные автором
аекимм, чаткмыс и <i еосм факультете Казанского госуддр-
ctbcimv о v ч ч ет . Стлмчнтельной особенностью его кв,:яет-
.сжцушетт^киое вздоженке материала по аналитической
гесантрим в векторной форме м мспальсовагне языка линейных
овераторсг- в .>.1 соре. : tM го? о<гс р<зобрсьы решения еч,
TBBM4FK1 .Ji k;*J.	лк. СМЫ.
По.об» г v госты сео«ветелуи тыке з< ьс "?y?.:>v^ • о-
транше ч.к? .-н^лмл лес хон ичшетркн и динеине •:	еЗрь д.’я
cn д:t reJ первого ayfea ^з-чес.\их н :	знческих : ецн-
лд ы»о< те < у •   * ч с * * сто в-
1>меАм*) - -л
-------------- f\f 4М« ' s4
’’ -  ••	> Чл5<шскс у ни не рент ст д. '-'•? г«
Мз ериал. «1з;агаемыи ниже, представляет собо*
годовой курс лекции, прочитанный автором на пеовоч
курсе физического факультета Казанского ун,„ерси.
тета в 1981 —.983 учеоаых годах, рассчитан как для
ау гит^рпого О), чения. ак и для самообразования.
Выпуск данного пособия обусловлен тем. что со*
гласно последним учебным планам 2 отдельных ранее
курса ^Аналитическая геометрия* и ,Высшая алгебр
объели гены в один кодовой курс с совла дением числе
учетных часов. Кроме того методы линейной алгебры
находят все большее приложение при рассмотрении
зкультета сразу же пэизтеклотсг к работе
при рассмотрении систем линейных ллгебраи-
уравнений. Все это потребовало пересмотра
?зте.1ьност i традиционного н-ложен .к члге*
риала 1 начать курс с теории систем линейных урав*
ней ввести сразу же гажде понятия из алгебры,
как атраца. детсрмыант । ред тигель! ч р.гды.
ранг матрицы и т. что позволило использовать эти
поня: ’ • при изложении ряда вопросов из курса ана-
литической геометрии.
Автор сознательно сдвинул в середину курса вве-
дение аксиоматического определения линейного ?.?<*
торного пространства, иагодволь приближая студентов
к этс му абстрактному’ понятию через вопросы, эзз-
бираемые в теории систем линейных уравнений и при
исследовании линейной ххзиснмости векторов в аналн-
тнч коА геометрии.
Необходимость подготовить маггрлз; ди про*
деиня темы #i'e^метрические в фкзмчаскве
мня слреде-теиных интегралов* в курсе математвче-
ск го ана I (за обусюзхквззг проведение исс:
> уравнения кривых второго порядка и каков*
„ ,„v гмвненмй поверхностей второго порядка
ческьх	vp прибегая к методам линейной
ал
жению этих
СКИХ	*-v—r
Геб7ыМКСб^	и Последовательному изло-
Р вопросов автор возвращается в курсе
тинейной алгебры.
Пгнный курс читается параллельно с курсом мате-
матического анализа, где на первых лекциях за, ра и-
вается теория множеств, дается определение числового
поля, подробно исследуются свойства полей веще-
ственных'и комплексных чисел. Поэтому авто[ не
останавливается на этих понятиях и под числовым
полем К подразумевается либо поле вещественных
чисел R. либо поле комплексных чисел С. На протя-
жении курса об этом будет каждый раз указываться
отдельно.
Студенты первого курса обычно испытывают за-
труднения при применении теории к решению задач.
На’ каждую тему в книге приводится решение 1—2
примеров с подробным объяснением хода рассуждений.
Лекционный материал в порядке изложения разби-
вается на следующие разделы:
I.	Системы линейных алгебраических уравнений.
II.	Векторная алгебра в трехмерном пространстве.
III.	Задачи аналитической геометрии на плоскости
и в пространстве.
IV.	Линейные пространства и линейные отображе-
ния.
V.
VI.
Билинейные и квадратичные формы.
Аффинные, евклидовы и унитарные пространства.
.Читатели, заинтересованные в
глубоком изучении курса, могут
ратуре, указанной в конце книги.
более детальном и
обратиться к лите-
Лекция 1
ТЕРМИНОЛОГИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ДЕТЕРМИНАНТ (ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ) КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ
3 первых лекциях излагаются вопросы, связанные
с теорией систем линейных алгебраических уравнений.
Все результаты справедливы как для поля веществен-
ных чисел R, так и для поля комплексных чисел С.
Ниже для числового поля употребляется общий сим-
вол К.
Под системой п линейных уравнении с п неизвест-
ными понимается т рассматриваемых в совокупности
соотношений вида
•	а •	•	•	•
Ci\ X “Г U2X	ип X — О
(1.1)
или в краткой форме
v а'-х- — Ь‘ и - 1, /и),	П Д)
гое с/ £ К — коэ цашциенты л а. е ' , ' £ К — с  б >д-
ные члены, х- £К — неизее< тные, подлежащие опре-
делению.
Таблица чисел
г- J 1	1
(21	... (-1п
(1.3)
т fi	т
(21 и 2 ••• ^л
начинается матрицей системы уравнений. Она имеет
т строк и и столбцов. Если т - п, то матрица назы-
вается киаиратней, если же т п — прямоугольной.
Числа а/ называются элементами матрицы.
Матрица, содержащая только одну строку, назы-
вается матрицей-строкой (с п элементами)
нее <i
0.
</
а’"
столбец) называется
имеем нуль-спю гбец,
(1.6)
и
п
а
а"'
ш
считаем равными (пишем A --Bi, если а' ~ b’ (i =* 1, т).
Если *отя бы одно из чисел /' (/.•— фиксировано) не
совпадает с соответствующим числом //', то столбцы
считаются различны пи (Л /?). Под суммой столбцо..
А и А’ (типом Д |- В) понимаем столбец

Нод у мн омеши м столбца Дна число а£К (пишем ..Л
понимаем столбец ни и
(1:8)
Введенные операции
ныс комбинщии
к столбцов
линги-
имеем
! инейной комбинацией столбцов
фиционтами Х|,..., Хй (пишем Л: Д
называется столбец гида
Д ,..., Д с коэф-
+ *'2 ^2 + • •• + Д)
А
/-1
(1.9)
а
k
Столбцы /1t,...,.ZIft называются линеино-зависимы-
ttt, если существуют такие числа Xft, среди
которых хотя бы одно отлично от нуля, что запол-
нено
Xj/1, -|- Х2Д2 + ••• +	= 0 (0— нуль-столбец).
Если равенство /1А1 + Х:А2 + ... + /.kAk = 0 выпол-
нено тогда н то 1Ы<о тогда, когда Х( — О, Х2=0,..., Х.Л—О,
то система матриц-столбцов (А,,..., Л4 называется
. шл ейно-неза вис tt. volt.
Например, система столбцов
толяется лииейно-лавпсцмой. так как + 2Ла— А,—О,
а система столбцов
является линейно-недавнеимой., поскольку из соотно-
ЦЦ.)1ИЯ Х:А, + X. ч- Х3Д3 = 0 на основании равенства
матриц-сголбцов еле туе г
Очевидно. если между стол( цами -А
существует линейная зависимость, то одиниз этих
столбцбб гвляется линейной кдмбин нулей других.
В самом деле. пусть выполнено Х1.414-\!Л2 + •••
i ie, например. л^О. Топа
П А
Обратно, сели какой-либо столбец есть линейная
комбинация других, то данная система ст ол'рое
шяейн '-зависи ча.
'Действительно, пусть Л =	+ ...-г **.4*» Гог ха
имеем
(— 1)	4*^2-А
rie первый коэффициент отличен от нуля.
Все приведенное выше для матриц-стотбцов три-
виальным образом переносится и «дя матриц-строк,
если ввести в рассмотрение нуль-строку 0 = [0, 0.0],
сумму ЛТЙ- |л1 у Ьх......а, + {ц|, умножение на
ЧИСЛО <4 = [a<Z| . ... , AtZj.
Вернемся к рассмотрению систем Еида (1.1). Рг-
шенив.ч ст те1' (1.1) называется матрица-столбец
с*
если после подстановки чисел с...с\ вместо ней?-
вес.ных лл....,.у соотношения в (1.1) обращаются
в тождества. При этом решения
считаются рлзличш:	если Л* ^=Х .
Система называется ипреоеленч т, если она цмеег
единственн»>с решение, и ueonpe^e.iCHH.iu. есги име-
ются но крайней st ере два различных решения. В слу-
чае о1С\гствня решений система называется
местчой. ррн наличии решений — сои иес/пк й.
F [апример, система
х1 — х2 — х = О
х1 + х2 + л* — о
является неопредел* иной. так как
— iBd различных решения указанной системы.
Система уравнений
является несовместной системой, так как правые части
обоих уравнений одинаковы, а левые отличаются
знаком.
В теории систем линейных уравненп-i рассматри-
вают три основные задачи: (1). Выяснить, является ли
система совместно!! или несовместной (2) Если си-
стема совместна, то является ли она определенной
или неопределенной. В случае определенной системы
необходимо указать способ нахождения ее единствен-
ного решения. (3). В случае неопределенной системы
описать все множество ее решении.
При решении этих задач важную роль вдрают два
понятия: (1) детерминант (определитель» квадратной
матрицы п (2) ранг матрицы.
Остановимся на нервом понятии. 'Лы сформулируем
правило, согласно которому жаждой квадратной мат-
рице А- |(2/| (./	1. п) сопоставим число, называе-
мое с ’термин и< * ч	turner i. /г-го порядка)
матрицы. Это число обозначают символом det А, а сам
определ ится в обозначают так:
Термин вычисли nib [раскрыть) определи!ель означает
указать данное число, следуя сформулированному
ниже определению детерминанта с использованием
свойств определителей, изложенных во второй лекции.
Для вне тения детерминанта используем альте рна
тор оЛЛ 1Л. -. Л »...	= Он определи-
1 2 к	I I л
ется следующими условиями:	+ если
/ , 	>, есть некоторая перестановка значений
индексов	считая, что все эти значенье
различны; при этом берется + 1, если гТерестановкл
четная, и — 1, если она нечетная. Во всех осталь-
ных случаях &* , =0 (т.7е.“ если
Л " ‘к
среди значени
, /2.пли среди значений /|,72. -«Л есть оди-
наковые, а также если среди значений it,..., ik есть
такие, каких нет среди /|.... »/* и наоборот).
7 ак, при А = 1
имеем альтернатор
называемый символом Кронекера (очень часто испольа
зуемым в последующих лекциях).
Определение. Детерминантом (определителем.
матрицы А называется число:
-	-	I
п , п
S 3	а'".
I	f 1 li ’> ••• L 1	*	•*
*•••!* "1 » I * п
Ьисьольку существует п \ перестановок, то, согласи*
определению альтернатора, определитель есть сум
ма n l произведений элементов матрицы у выбранные*
по одному из каждого столбца на различных cm pi
нах и взятых со знаком плюс в случае четной nept -
становии номеров строк и со знака и минус в случае
нечетной перестановки.
вычисления определителя второго пс
рядка	г
i 1
U\ G'j
2	2
«I (1Ч
С
а а
2
= Bi ’ al aj J 61 ?2 al й| + Щ + s.i 2
10
По определению альтернатора 8}? = О, 8^ = 0, 812 = 1,
с21 = — 1. Поэтому для любого определителя второго
порядка имеем
— ad — cb.
(1.Ю)
Пример вычисления определителя третьего порят-
ка (члени с нулевым альтернатором нс пишем)
1 1 ।
(11 а? (1:\
2	2
til Ом
3	3 Д
(11 11’2 (Ц
i J
12) I /, I
, а а 'а1
1 -• 3	12	3
•ДЗ» „1 ,2	3	.	>123 „I	3	„2	.	-12 1	,2 ,1 „3
Г>| 2 3	^2	Н3	3 2 ^1	(l -	^3	~	Ь2 1 3	^2 0Л
-I2S 2> 3	1	.	-I 23 3	1	2	,1 23	1 2 1
"l'kfJ23 1 ^1 ^2	^3	*3 1 2 ^1	^2	"I*	®32 1 ^1 ^2 11 ’ '
Используя определение альтернатора, приходи л к пра-
вилу Саррюса вычисления определителя >-го порядка
Лекии я 2
'СВОЙСТВА ОПРЕ (СЛИТ! ЛЕЙ.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
И МИНОР ЭЛЕМ! (IT\ ОПРI ДЕЛИТЕЛЯ
Рассмотрим матрицу из т строк и столбцов
г 1 1 1 -
<м
а\
т
(12
т
Eft можно сопоставить матрицу из п строк и tn столб-
цов, у которой каждая строка является столбцом
матрицы А с тем же номером. Эту матрицу
1	2	т
fll	а\ ...	а\
1	2	гп
(72	U2 ...	U2
		
•	• • •	•
1	2	
ап	Un ...	U п
называют транспонир >ванной матрицей и обозначают
символом Atr. а переход от А к В — транспонирова-
нием. В случае квадратных матриц транспонирование
можно определить как поворот вокруг главной диа-
гонали.
Элементы А/ транспонированной матрицы связаны
с элементами матрицы А соотношением oj = ai
(/ = 1, п; j 1, т).
Свойство 1. При транспонировании квадратной
матрицы значение определителя не меняется, т. с.
del АЛ' det А.
самом деле,
det А
1 о . b \
1 2 ... п 1	2
I I ... I а I 1
*12 п 1	2
>'2.../>'"==
z п
п
_	к	1 2 ... rt	J, L... (
Согласно определению альтернатора ot t t = 812t..\ •
Вследствие этого det Atr == So/J’ пп Ц ... a'ifl • Мы полу-
чили сумму п\ тех же произведений элементов (с изме-
ненным порядком перемножения) матрицы А и взятых
с тем же знаком, что при вычислении суммы
п I I I _
2^чч ...I и 1 ...a J— det А.
<—•	2 * И I 2	П 1
Это- означает, что det A'r -= det А.
Доказанное предложение позволяет формулировать
и доказывать свойства определителей с использованием
лишь столбцов определителя. Авто латнчески все пе-
реносится и на его строки.
Свойство 2. При перестановке двух столбцов
(строк) в матрице ее детерминант меняет знак.
12
Сн< чала рассмотрим тот случай, когда переставлены
соседние, столбцы (например, 5-й и ($ 4-1)-й). До пе-
рестановки имеем:
2^1 ... 3 5 + I ... П
Ч - Л
После перестановки:
а * ... as as*'... ап
I	Л 5 + 1	п
Но
5^1...$+! S ... п I
... I I , ... I CL
i J 5 + i n i
a as '...an.
S' 15	П
.J ... 5+1 5 ... П	J ... 5 5+1 ... r.
...ll I = — LI t .
I — 5*5+1	*1 -15 *5 + 1 1П
Свойство 2 для рассматриваемого случая доказано.
Обратимся к более общему случаю, когда меняются
местами s-й и /-и столбец, между которыми находится
k столбцов. Такую перестановку можно осуществить
последовательными перестановками s-ro столбца с со-
седними столбцами, двигаясь к /-му столбцу на его
место. Понадобится k 4-1 перестановок. Передвигая
после этого аналогичным образом /-й столбец на место
5-го, произведем еще /с перестановок. Определитель
получит множитель (—I)2 ’1, т. е. изменит свой'знак
на противоположный.
Следствие свойства 2. Определитель, имею-
щий 2 одинаковых столбца (строки), равен нулю.
В самом деле, переставляя одинаковые столбцы,
мы. с одной стороны, не изменим определителя,
а, с другой, в силу свойства *2, он изменяет знак на
противоположный, т. е. det А — — det Л. Следователь-
но, det А = 0.
Свойство 3. Если элементы s-ro столбца матри-
цы А представляют собой линейную комбинацию вида
хД == a\s 4-	+ ... 4- 4*, то det А = det At 4-
|- >2 det A2 4- ... 4- X*detA*. где матрицы ...Ak
получаются из матрицы А путем замены s-ro столбца
на элементы ...........им •
В самом деле,
del Л 2^6/ t t а ...а ...а =*
...	... »Л	j	s	л
13
' '-I .Л t t	t
-U ?. Gi I I a ... U* ...	‘ •
* — 4 ••• fs — *я ! ks n
Свойство 3 доказано.
Следствие свойства 3. Общий множитель
у всех элементов столбца (строки) можно вынести за
знак определителя, т. е. если = то с~*д —
— a det Л.
Свойство 4. Если какой-либо столбец (с рока)
есть линейная комбинация других столбцов (с.рок),
то определитель равен нулю.
Действительно, применяя свойство 3. мы обнарх-
жим в определителях матриц	одинаковые
столбцы, и в силу следствия свойства 2 их детерм
нанты равны нулю, что и доказывает свойство 4.
Свойство 5. Определитель не изменится, если
к элементам столбца (строки) прибавить соответствую-
щие элементы другого столбца (строки), умноженного
на какое-либо число.
В. самом деле, пусть к s-му столбцу матрицы .4
присни яем /-й. умноженный на а. Во вновь получен-
ной Матрице А s-й столбец будет состоять из эле-
ментов: als	По свойству 3 det А = del А -
-г X det Aj, где у матрицы At s-й и /-и столбцы сов-
1адам)Т. Следовательно, det А1 = и и det А = det А.
Пример. Требуется вычислить определитель
1 <71 (I .у • • •
I л, а2... a j
1 я,
1 л, а,...х„
Умножая последовательно первый столбец на
............и вычитая результат после каждого
умножения ИЗ [П.-г 1)-ГО. /1-ГО и т. д. столбцов, полу-
чим по свойству о
II О О ... О
1 A'j —о ... О
-	1 О х, —я,... о
«» “
I О О
1'.
Вычитая первую строку из всех остальных, мы при-
дем к определителю, у которого все элементы, за
исключением главной диагонали (она останется не-
изменной), нули. Из всех (п 4- 1) I произведений не
нулевым останется лишь одно произведение элемен-
тов по главной диагонали. В итоге A=(Xj—а,) (х.—а,)...
..Jxn-an).
Важную роль в теории определителей играют по-
нятия алгеб рлического дополнения и менор л соответ-
ствующих фиксированному элементу а*. Чтобы их
ввести в рассмотрение, зафиксируем 5-й столбец
и представим определитель как сумму п слагаемых,
вынося в качестве множителя элементы 5-го столбца
.	. X- I... 3 ... п t I i
det А == 21 гл ...i . i а ... а ... ап =
I 3 — *л I • з п
^J...3...n I i I	I
= a\ 2.0/ ... i.../ я ... a5 1 aJ+l... a n 4-
«	1	n 1	3—1	3+t Л
9 ЧГ* J ... 3... П I t I	I
4- a- 2.0/ <> t a1... as~' as ... a -r ... 4-
*	1..... Л	I 3—1	3*1	1	*
V» -J ••• з... n I, !_ , L , f
-г an 2/Jf ... n ... / a ... a a... a я.
Обозначим соответственно суммы, стоящие после
множителей а\,..., и" через А1. А],..., А], и назовем
их алгеб раически.ш дополнениями элементов , as,...
...
Итак,
det А = as А\ -г <G Аз +
-г а;
(2.1)
*-1
Формула (2.1) носит название рлзложени я определи-
теля по элечентлч s-го столбца.
Приведенное выше определение алгебраического
дополнения А? не имеет конструктивного характера,
удобного для вычистения. Ч.обы преодолеть эту
трудность, дадим определение ч.ло:>1 АГ. элемента а*
и установим связь между алгебраическим дополне-
нием Aj и минором Al}.
Определение. Если в определителе мысленно
вычеркнуть х-А столбец и ч-ую строку, то оставшийся
определитель (п — 1)-го порядка называется минором
элемента а} и обозначается символом АГ.
Теорем а. Имеет место следующая связь меж </у
алгебраическими (Уточнениями и соответствующие
ми миноре пи:
Д‘ = (-1)^Х.
Докажем сначала теорему для частного случая,
когда &=ss~l. С этой целью из выражения
vj2..,n г	f
йе1А = Ъ‘\12...1па; о;...аля
выберем все слагаемые, содержащие множителем а .
Вынося я* за скобки, получим, что в скобках оста-
1-2... л у I
нется следуioui.ee выражение: Д ч i2... inа~... а”.
данная сумма есть (согласно определению детерми-
нанта) определитель (// — 1)-го порядка, полученный
из исходного вычеркиванием 1-го столбца и 1-й строки,
т. с. л! .и! (или л1 = У- 1)’+,л/!).
докажем сейчас и.2) для любых к и $. Рассмотрим
элемент Ь--а& и, переставляя последовательно о-й
столбец и />ую строку, переведем его в левый верх-
ний угол определителя. Вновь полученный опредсли-
♦
'гель < б< значим через Д. Согласно свойству 2 пол^-
ч ем. что Д = (— 1)’ “1 Д = (— 1/’ ’ Д. В силу опрс-
деления минора имеем, что .4i = /И/. По вышедока-
занному Л} == Лй‘ = Ms. В силу равенства Д = (—1) Д
и согласно правилу выделения алгебраического допол-
нения 1? как суммы слагаемы* с общим множителем
а * получим, что /{ =*(—1)*+М*. и, следовательно,
имеем цепочку равенств (—1)* .1? =-• Л1 = • М\ ~ Л/.?»
откуда тотчас следует выполнение. (2.2).
Пример. Вычислить алгебраичссксн юнолнени
А (а) элемента у в определителе
О - - 1
О О
2 О
О
-1 1
(2.3)
26
Согласно формуле (2.2) имеем
1 О Q
Приме р?Рачложить определитель (2.3) по элемен
там третьего столбца и вычислить его
Наконец, приведем два следующих замечания.
Замечание 1. В силу свойства 1 имеет место
аналогичная формуле (2.1) формула разлом нич опрг-
целителя по элементам строки
ч
det I ilk Ak (/ — фиксировано:). (2.4)
к 1
Замена и и е 2. 11усть определитель имеет два
одинаковых столбца (например, у-ft и ч-и. т. е. </' л*
= 1,//)). Он, как указано выше, равен нулю. Раз-
ложим его г.о элементам ;-го столбца. Имеем
Л} 4- aj А) 4- ••• + " J?!] О (/ =r= *)•	(2.5i
Этот результат можно сформулировать так. < у им а
произведений элементов какого-либо столбца (стро-
ки} на алгебраические дополнения соответствующих
элементов другой' столбца (строки) веегда равна
нулю.
Л е к ц и я 3
ПРАВИЛО КРАМЕРА. РАНГ МАТРИЦЫ.
I I OPI МА О БА 1ИСНОМ ИИНОРЕ
Перейдем к исследованию систем линейных урав-
нений. Прежде всею рассмотрим систему п уравне-
ний с п неизвестными, когда определитель матрицы
системы отличен от нуля. Наша цель состоит в дока
зательстве, что такая система уравнений всегда сс
местна и имеет единственное решение.
п
Пусть задана система уравнений S -//
____
{i 1, д), где А = [alj ] — матрица системы и det Д о.
Покажем, что система совместна. С этой целью
рассмотрим набор чисел cs=
^5
det А
(у== гдеДл есть
.определитель вида
<zj... А1 ... ah
2	/2	2
(ц... b ... ап
ani ...bn...a?l
г. e. в матрице A s-i'i столбец заменен столбцом из
свободных членов системы. Подставим числа с5 вместо
неизвестных Xs в систему уравнений, заметив предва-
рительно, что разложение детерминанта (3.1) по эле-
ментам .s-го столбца дает следующее выражение:
п
Д,= S Ь* А?, где As — алгебраические дополнения эле-
А-1
ментов х-го столбца матрицы Д. Имеем
Вспомнив формулу (2.1) и замечание 2 в конце вто-
рой лекции, мы получим, что
det А, если i == А,
О , если i =/= А.
• (3.3)
Поэтому при суммировании по А в правой части (3.2)
останется лишь одно слагаемое, равное A'«det А, т. е
18
У ci ~ — & • det л =
A i
имеем тождественное выполнение уравнении системы.
Итак,
(З.П
есть решение системы (3.1).
Докажем, что оно единственное. Предположим»
что имеется решение л* =- с . отличное от (3.4). Имеем
п	___
п тождеств ^al<cJ^b‘ (i 1. л). Умножим каждое
/=1
тождество на алгебраические дополнения As (s— (фик-
сировано!) и просуммируем их по индексу / от I до п.
Имеем следующие тождества:
cJ^4 А. Д (s = 1. П.	(3.5)
«-• ___________________________
В силу (З.П и (2.3) вытекает, что Г del А - Д (\	\,п).
Единственное гь решения системы (3.1) доказана.
Оно всегда имеет вид (3.1) и носит название Формул
Крамера.
Исследование более общих систем линейных урав-
нений, чем системы вида (3.1), приводит нас к введе-
нию важнейшего понятия ринга матрицы.
С этой целью в матрице Л J (i 1, т\ j = 1, п)
зафиксируем р произвольно выбранных строк и р про-
извольно выбранных столбцов матрицы. Из элемен-
тов, стоящих на пересечении выбранных строк и столб-
цов, построим квадратную матрицу р-ю порядка Ар.
Определение. Детерминант матрицы А назы-
вается минором р-го порядка матрицы Д.
Например, для матрицы
имеем
еле-
О — 1
дующие миноры второго порядка:
а миноры первого порядка совпадают с элементами
матрицы.
Опре теление. Число г называется рангом ма -
онцы А (пишем ранг А = г), если у нее имеется хо
бы один минор г-го порядка, отличный от нуля, а все
миноры (г 4- 1)-го порядка (следовательно, в силу фор-
мулы разложения (2.1) (г 4- 2)-го и т. д.) равны нулю.
При этом всякий отличный от нуля минор г-го по-
рядка называется базисным^ а соответствующие столб-
цы и строки матрицы А называются базисными столо-
нами и строками.
Пример. Найти ранги матриц
О 3 — Г
О О О
'О 1 -1
0 1—1,
0 1 -1
в*	—*
"1 о
о о
1 о
-1 1
о о
Очевидно, что ранг А= 1. Ранг В = 1, так все миноры
второго порядка равны нулю. Ранг С =2, ибо суще-
1 0
ствует минор
также
О 1
1 -1
кото-
рый отличен от нуля, а все миноры третьего поря о<а
содержат нулевую строку и поэтому обращаются
в нуль. В матрице С каждый из указанных миноров
2-го порядка может быть выбран за базисный минор.
Теорема (о базисном миноре). . 7юб ш ст >лбец
{строка} матрацы А есть линейная кояэинация ее
базисных столбцов (стр ж).
Прежде всего отметим, что за счет перенумерации
строк и столбцов можно добиться того, что базис-
ный минор находится в левом верхнем углу матрицы.
Рассмотрим минор (г+1)-го порядка, полученный
окаймлением Zr-й строкой и /-м столбцом (& —1,/п;
fl} ... fl* a]
r J" ~r
fli... ar aj
fl l ... Cl r llj
Этот определитель, всег ха равен нулю, так как если
у< г, то Лг+1 со тержиг 2 одинаковых столбца; если
J г. го Аг+1 есть минор [г 4- 1)-го порядка и он ра-
вен нулю, поскольку ранг А —г. К такому же выводу
приходим, когда дело имеем с окаймляющей строкой.
Разложим ДМ1 по элементам последней строки.
Получи м
ал Cl + ... + a, С. +ajCj = 0,	(3.6)
где С|,..., Сг, Сг означают алгебраические дополнения
элементов at, ....а^.а* в определителе А,+1.
Поскольку С совпадает со значением базисного
минора и не равно пулю, то из (3.6) выводим
Придавая k значения от 1 до т, получим
Тем самым для столбцов теорема доказана. Если бы
мы разложили Дг+1 по элементам последнего столбца
I затем рассмотрели получившиеся соотношения для
/ l~i, то получили бы, что каждая строка ма ри-
цы А есть линейная комбинация ее базисных строк.
Перейдем к выводу следствии из только что дока-
занной теоремы.
('л едет вне 1. Пусть дана квадратная матрица А
и известно, что det А 0. Это означает, что ранг
i « л, и, еле ховательно, по крайней мере один из
столбцов (строк) является (на основании теоремы
о базисном миноре) линейной комбинацией осталь-
ных столбцов (строк), что говорит о линейной зави-
симости столбцов определителя. Учитывая свойство 4
21
для определителей и только что полученный факт,
можно сделать вывод: детерминант матрицы А ра-
вен нулю тогда и только тогда, когда его столбцы
(стр< к и) линейно-зависимы.
Следствие 2. Ранг матрицы равен максималь-
ному числу* линейно-независимых столбцов ('трок)
матрицы.
В самом деле, пусть ранг А —г. Базисные сюлбцы
(строки) являются линейно-неза.висимыми столбцами
(строками), так как в противном случае по следствию 1
был бы равен нулю базисный минор. Число лин'йно-
независимых столбцов (строк) не может и превысить
числа г. потому что в противном случае нашелся бы
столбец (строка), не являющийся линейной комбина-
цией базисных (см. лекцию 1 о линейной зависимости
матриц-столбцов), что противоречит теореме о базис-
ном миноре. Таким образом, максимальное люло
линейно-независимых столбцов матрицы всегда сов-
падает с максимальным числом линейно-независимых
строк матрицы и равно ее рангу.
На основании этого следствия можно дать второе
определение ранга матрицы.
Определение. Рангом матрицы называется мак-
симальное число линейно-независимых столбцов (строк)
этой матрицы.
Следствие 3. Раш матрицы не изменится, если
(1) переставить местами столбцы (строки); (2 умно-
жить столбец (строку) на число, отличное от нуля:
(3) прибавить к столбцу»’ (строке) другой столбец
(строку), умноженный на некоторый общий множитель.
Данное утверждение очевидным образом выпол-
няется для преобразований (1) и (2), Так как после
них максимальное число линейно-независимых столб-
цов (строк) не изменится. Докажем справедливость
утверждения для преобразования (3). Если основной
s-й стЬлбец. к которому прибавляются л ругне со мно-
жителем, не входит в число базисных, то во вновь
преобразованной матрице согласно теореме о базис-
ном миноре он будет линейной комбинацией базисных
и ранг матрицы не изменится. Если же основной 5-й
столбец, к которому прибавляются со множителями
другие столбцы, входит в число базисных, то опять-
таки максимальное число линейно-независимых столб-
цов остается неизменным. Действительно, если бы
22
s-ft столбец в преобразованной, матрице стал бы
являться линейной .комбинацией других базисные
столбцов, то мы сумели бы s-й столбец ВЗЯТЫЙ ДО
пр1 образования, выр.13игь как линейную комбинацию
> * х оазисных столбцов матрицы .А и прибав ien—
ного столбца.
Если прибавленный столбец базисный, то тогда
между базисными столбцами матрицы Л существует
линейная зависимость. Противоречие. Если же при-
бавленный столбец не входит в число базисных, то
он представляет собой линейную комбинацию базис-
ных, и, следовательно, опять-таки между базисными
столбцами матрицы Д существует линейная записи-,
месть. Снова приходим к противоречию.
Преобразования (1)—(3), не меняющие ранга мат-
рицы, позволяют дать следующий конструктивный
метод нахождения ранга матрицы. Пусть в матрице
Д =	=	j' = 1, п) имеется элемент 04=/= О.
Переставляя строки и столбцы, поместим его в левом
верхнем углу. Затем, вычитая из каждой строки мат-
• рицы первую строку, умноженную на соответствую-
щий множитель, обратим в нуль все оставшиеся эле-
менты первого столбца. Аналогичную операцию про-
водим и со столбцами, обращая в нуль все элементы
первой строки. Имеем
i	I	1
а\ а^...аа
о о	•>
tn
0 ... 0
0 bi...b2n
tn tn Hl
tl[ (1’2 •
_0 bT...b',"
Знак oo означает эквивалентность матриц в смысле
неизменности ранга у обеих матриц. Аналогично по-'
ступаем с матрицей В « [b*]\ (I = 2, m\j = 2, и). В итоге
мы придем к матрице вида
23
Число in равных нулю и расположённых по главной
диагонали блока элементов совпадает с рангом мат-
рицы Л.
Пример. Наши ранг матрицы
3
о
г*
о
О
О
О
/
/
Ранг матрицы А равен двум.
Лекция 4
ТЕОРЕМА KPOHEKI РА-КЛПЕЛЛИ.
УСЛОВИЯ НЕТРИВИАЛЬНОЙ СОВМЕСТНОСТИ
ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ
СИСТЕМЫ. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА
РЕШЕНИЙ
Пусть задана Система уравнений-
Если хотя би одно из чисел Ь отлично от нуля, то
систем аназывается неоднородной.. .Если все Свобод-
ные 'члены I/ равны нулю, то система называется
• юн' р)оной.
Перейдем к установлению условии Совместности
неоднородной системы уравнений. Ее можно зависать
в виде
Кроме матрицы едк емы А \а/ ] пудом рассматривать
P'icuiii! > нную матрицу системы
а\
т щ 11 fTi
ai...a„ b
Теорема (Кронекера-Капелли). Д in mm, чтобы
неоднурудная система линейных уравнений, была
совместна, необходимо и достатачно, чмГм ранг.
матрицы, системы, и рии р ссшлренной мипрщы сое-
паоа.ш.
Необходимость. Дано, что система уравнений
совместна. Следовательно, существует набор чисел
с\..., сп таких, что выполнено
с*	Г 1 " Л1 • • •	+ С2	1 - (11 • 	| Г • • •	ьсл:	- 1 - U t • •		~Ь1 '  •	•
	т J41 J		т (If •*			m -'Лг| _			
Эго означает, что последний столбец расширенной
матрицы В есть л шейная комбинация столбцов мат-
рицы -4. Ранги матриц совпадают.
Достаточность. Дано: г = ранг Л := ранг В.
В‘ силу строения матрицы В эго означает, что суще-
ствует один и тот же базисный минор как для А,
так и для В. В таком случае последний столбец мат-
рицы В (по Теореме о базисном миноре) есть линей-
ная комбинация базисных столбцов, и мы можем его
первые
представить в виде (дтя
г столбцов базисными)
простогы
считаем
откуда следует, что (набор чисел /.,....../г,	0....О,
«одета пленный в систему вместо л,...,а\ обратит
уравнения системы в тождества. Система совместна.
* Пример. Совместна ли система уравнений?
k 2xt л?» — Л'з -= 1.
25

р • ш г- я и
Pain A pani /i 2. Система совместна.^
ОбраТИМСЯ К рассмотрению однородных СИ'ТОМ
п	__
уравнений i я .•'	0 (/	!,///). Такая система B<f'.a
совместна, так как набор 0.	0 ВССГДЯ удовлетно-
ряст с истеме. II левое решение называется триви-
.. /// .</ и нас н<- интересует.
Нос таким вопрос об условиях нетривиальной сое-
v.ctпикнти однородной системы равнений. Ответ
лас т следующее- утверждение.
Т <• о р • м // /я /?/с го, чних ы ооно рооиая сг^ тема
.нпеины уравнений выла Henipueliu.ibna < (г. 4 гпна,
неейхооимо и нос таточжк нпибы ранг, матрицы
(тик мы Сыл Mtniiut час /а н< и и.с( тны с.
II« с» б х С) ди м с» < т ь. /1ано: однородная система
। '1 ри иалси) с । ме сте I. С.г дор л»*, вно, существует
набор чисел	среди которых хотя бы одно
ОТЛИЧНО С/Т нуля, 41 С) выполнено
По<.|с-днсс соотношение определяет шнейнук) зави-
сите с и. столбцов матрии!.! с истемы. По-ггом/ pani
А - //.
Достаточность. Дано, что pain А п. В та-
ком случае (< м. линию 3, следечвие I) столбцы и.н-
рипы лин<тп1(| ырлкимм. 'ею с>значас»т, что < у nice*т вуют
йене- числи	сре дн которы по крайн-и мер<
одно ОТЛИЧНО 01 нуди, что
1 
at
m
<Ll J
Следовательно, набор чисел Дя» подетавленны
вместо Xя в систему, обратит уравнения в тож-
деств*.. Система нетривиально совместна.
Как описать все множество решений системы ли-
нейных уравнений? Чтобы ответить на этот вопрос,
дадим определение общего решения для системы ли-
нейных .равнений.
Опре деление. Общим решением называется
набор функций Ф| (а; /?; сх,..., г7), •••. 4\(а: b\ с1,..., с7),
зависящих о г коэффициентов системы свободных
членов и q чистовых параметров, удовлетворяющий
двум условиям: (1) подстановка Фл,..., Фя и систему
вместо ‘х1...Xя обращает уравнения в тождества;
(2) любое решение системы может быть получено из
этого набора путем фиксирования определенных зна-
чении параметров с1,..., с7.
Как конструктивно найти общ ее р чн ;ние системы?
При лагается следующий метод.
Пусть г -ранг матрицы системы. За счет перену-
мерации переменных и уравнений можно добиться
тою, что базисный минор матрицы эквивалентной
системы уравнений будет находиться в левом верхнем
углу матрицы. Все дальнейшие рассуждения прово-
дятся для этого случая.
Рассмотрим первые г уравнении сисемы (4.1) и пе-
репишем их в следующем виде:
а[ хх + ... + djx' - a^i с'*х - ... - 4 < п
_ ...................................... Н-2
(I]	Ur X ЬГ — Ur4-1 ('	—' ... —“ Пд 6 •
Здс ь переменные х' \..., xri являются параметрами
и обозначены через с'"1’1, ... , Сп (cq £ К, q ~r+ 1, п).
Определитель А данной системы уравнений совпа-
дет с базисным минором и, применяя формулы Кра-
мера. получим
х" (р \.П.
(4.3)
27
где
a\...hx — S а^с'1 ...a.
п
0—r + 1
(4.1)
n
ar\ ... or — V a'qc ...</-
Q‘ r-i I
Из приведенных рассуждении следует. что набор чи-
д	д
сел — сг-\.... сп, подставленных вместо не-
а	д
известных, обращает в тождество первые г уравнении
системы линейных уравнений (4.1). Покажем, что это
набор обращает в тождества и оставшиеся (г — г)
у равнений рассматриваемой неоднородной системы.
С этой целью вспомним, что (г1)-я,...,/n-я строка
расширенной матрицы есть линейная комбинация пер-
вых г базисных строк. Для системы линейных уравне-
нии это означает, что каждое уравнение, начиная
с (г + 1)-го и кончай zzz-ым, есть линейная комбинация
первых г уравнений. Вследствие тождественного у юв-
летворения рассматриваемым набором первых г урав-
нений тож 1ССТШ нно удовлетворяются и оставшиеся
(zn—n уравнений системы.
Итак, матрица-столбец
есть репц-ние исследуемой системы уравнений.
Докажем, что X задает общее решение системы.
Для ат ото ним необходимо показать, что любое
решение системы содержится в X при определенных
знач< ниях параметров с'+1,..., ся.
Пусть набор с1, с2,..., сп — некоторое решение си-
стемы. Оно является также решением системы (4.2).
Зафиксируем bi parch части (4.2) значения парамет-
ров с7. положив с 1 = с .... сп = сп. Каь известно,
по формулам Крамера решение определяется н)н и-
злачным образом. Поэтому с необходимостью числа ср
--ч	К
(р = 1, г) будут совпадать с числами — , где за
обозначены определители (4.4), w которых вместо
параметров сд выступают фиксированные значения с:
(q = г 4-1, п).
Пример. Решить систему уравнении
х, 4- 2х2 — За*- = 1
Л'1 “ Х2 +	= О
. 2xt -г — л-3 = 1.
Разбирая предыдущий пример. ?. ы показали, что си-
стема согместна. Ранг основной и расширенной матриц
раген двум. Минор 2-го порядка в левом верхнем углу
является базисным.
П о с т у п а е м с о гл а с i»о
Мм( ем
разработанному ал и ри < му»
Получили (и пн е решение сиси мы.
29
При нахождении общего решения однородной
стемы линейных уравнений важную роль играют пон
тня нормальной фундаментальной системы. решена
и фундаментальной системы решений.
ч.	’	п
Пусть задана однородная система
____ .<-1
(т = 1,/п). Пусть ранг матрицы А—[«/) равен г. с
гласно предложенному выше методу решение систем
находится по формулам (4.5), где в определителях
необходимо положить Ьр = 0 (р — 1, г).
Зададимся (/г — г) наборами значений параметр.
crl...., с', фиксируя их следующим образом:
£1 г +2 С1 • • *		‘Г 0 • • •		>2+’ ’ с>2 • • 	==	‘О’ 1  • •
		.0.		№ .		0
Этим наборам, согласно (4.5), будет соответство мт
(п — г) решений
р	р
где Xi ,..., подсчитываются по
с учетом фиксированных значений
Они имеют вид
формулам (4.-.
cff (g = г + 1. 'i
ai... ( - #<+i)... а,
2	2	2
) • • • Ur
Г	/ г \ г
а\... (— Яг+1)... а,
। . „л
р
»
50
Л1 ... (— tfjr) ... Or
(4.3>

Система полученных решений образует -линейно-неза-
висимую систему матриц-столбцов, так как в матрице»
содержащей п строк и п — г столбцов
“>} Л\> ... Лп-г
•	в	•
»	•	
•	•	•
•	XI Х2 . • • Хп— г
1 о ... о
О 1 ... о
 • •
• * •
• • •
_0 О ... 1
*
имеется минор и — rl-ro порядка
1 0 ... (’
О 1 ... О
• • •
• • •
О 0... 1
отличный от нуля.
Определение. Система решений (4.7) однород-
ной системы линейных ураьнении, соответствующая
(zz — /) наборам (4.6} параметров (</ = г + 1, п), на-
зывается нормальной фун. аменталбной ст темой
pt u. t HUli .
Теорема. < >7 /л < • решение однородной системы
уравнении есть линейная комбинация с произволь-
ными постоянными нормальней сруноамента 1вной
но темы р< тений.
В самом деле, рассматривая общее решение (4.5),
где в определителях постоянные Ь1 (I - 1, ni) равны
нулю, используя cioiitiEO 3 определителей, получим
31
С учетом (4.7), (4.8) общее репмиис (1.10) может бы; >
записано в виде
X cr*lXl сг гХ2\\-... + сх11_г,	(1.1b
»
по и доказывает теорему.
Зададимся сейчас (/д — г) напорами парам
<сг ‘ *,... , с'\ фиксируя их произвольным обрати
74.12
I.'
32
u v^obhpu, чтобы детерминант
одним лишь условием,
Г *r4-l	*r+l	zr + -
С[	С2	•••	СП-г
i\r	:	•
С?	С2	--СИ-г
матрицы
Хит отличен от нуля.
Наборам (4.12) отвечает п
(иД detV^O) решений
“ *1
линейно-независимых
(4.13)

Система решений (4.13), отвечающая наборам (4.12)
параметров с'и...сп при условии det.V^O, пазы-
вается фундаментальной системой решений.
Как и выше» можно доказать, что общее решение
обН'родной, системы линейных у равнений есть линей-
ная не гбинация с произвольные постоянны и/4 фун-
даментальной системы решений.
Доказательство проводить не будем, заметив толь-
ко, что каждое из Хк (s — 1. п —- / ) по доказанной
выше теореме есть конкретная линейная комбинация
нормальной фундаментальной системы решений.
Из-за линейной независимости систем (X} и {XJ
каждое из Xt также представляет собой фиксирован-
ную линейную комбинацию матриц-столбцов X (ее
кош тный вид может быть получен по формулам
Кра* ра). Подстановка этик комбинаций в (4-11) при-
вед<‘ нас к желаемому результату.
1 включение вернемся к неоднородным системам
шейных уравнений	. Ь1	Система
Л
гп} с той же матрицей А = [а/]
33
называется однородно А системой, соответству юще
рассматриваемой неоднородной системе.
Теорема. Общее решение неоднородной систем
есть сумма частного решения неоднорооной сист
мы и общего решения соответствующей однородна
системы.
В самом деле, пусть
— частное решение неоднородной системы
2 alj xl = Ь1 (I = 1. т) I.
Вместо неизвестных xJ в неоднородной системе вв<
дем новые неизвестные у;, положив xJ — х^ + уЛ Имес
S«/(•*• + у;) = 2 а1].^ -Г S a'jy1 = b‘ (1 = 1, т).
/-1	1-1
Поскольку ^alixl==b, то получаем, что
J-i
5а*У = 0 (2= 1,/л).
у-i
Неизвестные yJ являются неизвестными для :оот
ветствуюгцей однородной системы. Пусть У — О' ще
решение этой системы уравнений, найденное г.о фор
муле (4.11). Тогда для неоднородной системы обще
решение имеет вид
Я—Г
х=х0+2с'+,х4.	(4.14
3-!
где ;А - образуют нормальную фундаментальную сн
стему решений (фундаментальную систему решений*
На этом мы заканчиваем рассмотрение теории а
стем линейных алебраических уравнений и переходя
к вопросам векторной алгебры в трехмерном евкл!
довом пространстве.
34
Отметим, что в этом курсе мы ие останавливаемся
на численных методах (с использованием ЭВМ) реше-
ния систем уравнений, так как эти вопросы для сту-
дентов физических факультетов вынесены в отдельный
учебный курс.
Лекция 5
ВЕКТОРЫ. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ
ЛЕКТОРА НА ЧИСЛО. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
ВЕКТОРОВ В ТРЕХМЕРНОхМ ПРОСТРАНСТВЕ
С этой лекции мы переходим к изложению вопро-
сов аналитической геометрии на плоскости и в про-
странстве. заметив, что ареной действия является
трехмерное евклидово пространство. Строгое аксио-
матическое определение /i-мерного евклидова про-
странства будет дано позднее (в курсе линейной ал-
гебры), а сейчас мы будем опираться лишь на те
г ^метрические понятия евклидова пространства, что
ассмотрены в школьном курсе элементарной гео-
метрии.
Хотя содержание аналитической геометрии концен-
трируется вокруг понятия координат, целесообразно
i ачать ее изложение с понятия вектора и аксиомати-
чески ввести операции с векторами, а затем уже пере-
чить к координатной записи. Отметим, что физика
механика дают нам многочисленные примеры исполь-
'вания векторных величин, как, например, скорость,
• корение тела, сила и т. д. В геометрии абстрагиру-
сям от конкретного физического содержания век-
рных величин и говорят просто о векторе. Отметим,-
то- в лекциях 5 — 14 в качестве числового поля высту-
‘.т п ле вещественных чисел.
। Определен не 1. Если для двух точек А, В ука-
о, какая из них является начальной и какая конеч-
. то говорят об упорядоченной игре точек (А, В)
— начальная точка. Я —конечная точка).
f
Рис. 1. а) —вектор AB] 6) — коллинеарные
векторы.
векторы; в) —равные
Определение 2. Всякую упорядоченную пару
точек называют направленным отрезком или геомет-
рическим вектором и обозначают символом АВ. I |
На вектор можно смотреть как на оператор сдвига
точки А в точку В. Его обозначают обычно малой латин-
•	—♦ —►	—
скоп буквой со стрелкой (чертой) сверху: а, Ь,, т....
Поэтому вектор АВ можно записать в виде а(А) = В.
Но такую громоздкую запись обычно не используют,
оставляя лишь первую букву со стрелкой (чертой^ 
наверху.
Определение 3. Расстояние между точками
А и В называют длиной вектора АВ и для^обозначе-
ния длины пользуются символом модуля (абсолютной
величины): | АВ |, | а |, •••
Определение 4. Векторы называются Kt.iiu-
неарными, если они лежат на одной прямой лабо^а
параллельных прямых.
Определение 5. Вектор называется нулевым
(пишется 0 либо просто 0), если ею начало « конен,
совпадают. Очевидно, что длина нулевого век I
равна нулю, а направление не определено (можно сл г
Рис. 2.
тать, что его направление какое угодно). Вследствие
этого нулевой вектор коллинеарен с любим векто-
ром пространства.
Определение 6. Два вектора считаются равны-
ми. если их длины равны и они имеют одинаковые
направления (сонаправлены). Пишем: а = Ь (рис. 1).
Из последнего определения следует, что каковы
бы ни были точка Р и вектор а, всегда найдется такая
точка Q, что PQ = a. Это означает, что точка при-
ложения вектора а может быть выбрана произвольно
—♦
(оператор сдвига а одновременно действует на все
точки пространства). Такие векторы называются сво-
бодными. В дальнейшем мы будем рассматривать
»олько свободные векторы, хотя в статике твердого
тела используют скользящие векторы. Для них опре-
деление равных векторов состоит в том. что два век-
тора г читаются ранными, если их длины равны, они
сонаправлены и лежат на одной прямой.
опЖ^®°^ЫХ вект,°Р°в две линейные
рации (пришедшие из физики) и укажем их свойства.
и р с д е л е н и е. j уммой векторов .....ak
взывается вектор
а (пишем
Рис. 3.
который замыкает ломаную линию, построенную из
данных векторов так, что начало каждого последую-
щего вектора совмещается с концом предыдущего.
Замыкающий вектор а направлен из начала первого
вектора к концу последнего (см. рис. 2).
Операция сложения векторов обладает следующими
свойствами.
Свойство 1 (коммутативность). Для любых век-
торов a + b = b -а. В самом деле, для коллинеарных
векторов свойство 1 очевидно. В случае не‘колли-
неарных векторов (рис. За) AD — л == ВС, DC = b — АВ.
Поэтому а 4- b = АС = b 4- л. '
Свойство 2 (ассоциативность). Для любых
векторов (а -г Л) + с = а 4- (Ь + с). Действительно
(см. рис. 36), AD=AC-vCb и AD = AB + BD. По-
этому (а + Ь) + с — а + (Ь -г с).
Свойство 3. Нуль-вектор является нулем ело-
— —*
женин: а 4- 0 = а.
Прежде чем переходить к формулировке четвер-
того свойства, дадим определение противоположного
вектора.
Определение. Вектор 'а' (обозначается также
символом — а)
называется п роптвоположныя по
отношению к вектору а, если длины векторов а и а
равны, а направления противоположны.
Поскольку для любых точек выполнено АВ +
+ /М = АА, то можно сформулировать
Свойство 4. Для любого вектора а существует
противоположный, вектор а\ такой, что а+а' = 0.
Перейдем к следующей операции — умножению
вектора на вещественное число.
Определение. Произвеоенце.ч вектора а на
число X называется вектор (символ Ха) такой, что
(1) | ка [ =. | х|»| а I; (2) векторы а и *сонаправлены,
если X > 0, и противоположно направлены, если X < О,
и ка = 0. если X = 0.
Операция произведения вектора на число обладает
следующими четырьмя свойствами, доказательства
которых просты и предоставляются читателю.
Свойство 1. 1-п = а для любого вектора
Свойство 2. (X + и) а = адля любых X, и £ R
и любого вектора а.
Свойство 3. (Хр.) а = X (ра. для любых p£R
и любого а.
Свойство 4. X (а +	= Ха -г X/ для любого л £ R
н любых векторов а и /к
Из определения операции умножения вектора на
число следует, что противоположным вектор а' может
—<*
быть получен путем умножения вектора а на — 1:
л'=(—l).<z. Отсюда и обозначение — <z, принятое
для противоположного вектора.
39
Определение. Разностью векторов а и b на-
зываем сумму вектора а и противоположного векто-
ра Ь'. Обозначаем разность символом а — Ь. Итак,
Рис. 4.
Пользуясь .операцией
умножения вектора на
число, выведем формулу
для нахождения орта век-
тора.
Определение. Ор-
том вектора а называ-
ется вектор единичной
длины, имеющий то же
направление, что и вектор а. Орт вектора обозна-
чают символом а3 (либо е).
По определению a° = ).a, где /->0. Но | а° | == 1.
Поэтому |/.а| = >.-|а| — 1. Следовательно, множитель
1 гк
> =	. Окончательно можно записать, что
1-1
(5.1»
Обе линейные операции позволяют нам рассматри-
вать шнейные ком'акации вектороз а,...., а, с коэф-
фициентами л,,.... Z
/	. 4.... -}. ).	.	0 2)
Определение. Система векторов а ,... ,а на-
.Ви: ... .. - •: ,л j..авасим й, если существ ют так  •
числа д,, среди которых хотя бы одно не рав-
но нулю, что выполнено	1
+ М, +
-Г = 0.
(5.3)
40
Если же (5.3) для системы Л|,...ла, выполнено тогда
и только тогда, когда асе то система векторов
называется линейно-нез иаокяой/
Приводимые ниже теоремы полностью разъясняют
геометрический смысл линейной зависимости векто-
ров.
Теорема 1. Для того, чтобы система, состоя-
щая из одного вектора, была линейн ‘-завис г й,
необходимо и достаточно, чтобы он был нулево й
вектором.
В самом деле, пусть система а состоящая из
одного вектора, линейно-зависима. Следовательно.
= 0, где X 0. Вектор а —- нулевой. Пусть, обратно,
вектор а есть нуль-вектор. Очевидно, что при любом
а=~0 имеем да = 0.
Вывод из этой теоремы можно сформулировать
1 так: кажоый не нулевой вектор есть линейн ^не-
зависимый вектор.
Теорема 2. Для того, чтобы систем, сосп я-
щая. из двух векторов, была линейно-зависим уй, н.-
обхооимо и достаточно, чтобы векторы были кол-
линеарны.
Действительно, если система а, на двух век-
торов линейно-зависима, то ла - jx/? — 0» где Х=/=0 или
*л=г-0. Если X —0, то	—- Ь и векторы коалине-
\ X /
грны. Если н=/=0, то Ь — 1—- о- Имеем коллинеар-
\ И /
ные векторы.
Пусть, обратно, векторы а и b коллинеарны ме ду
собой. Если хотя бы один из них нулевой (например,
а = 0), то очевидным образом выполняется да +0-^ = 0,
где . =/=0. Система линейно-зависима. Если же ни
один из векторов не нулевой, то согласно определе-
ниям операции умножения вектора на число и орта
—*
вектора а получим д == =.| 61, где в =4-1, когда
направления векторов а и b совпадают, г —	1, когда
направления векторов а и 6 противоположны. Обо-
значив £•—='•• получим Ха — b — П. где а=^0. Ли-
1л|
нейная зависимость имеет место.
Вывод из доказанной теоремы может быть сфор-
мулирован следующим образом. Любая пара не кол-
линеарных векторов образует систему линейно-не-
зависимых векторов.
Определение. Векторы, расположенные в одной
плоскости или параллельные одной и тон же плоскости,
называются компланарными.
Теорема 3. Лгя птго, чтобы система, состоя-
щая из трех векторов, была линейно-зависимой, не-
обходимо и достаточно, чтобы тройка векторов
была компланарной.
Необходимость. Дано, что [а, Ь, с} — линейно-
зависимая тройка. Это означает, что выполнено
/л ^.Ь — < = 0, где хотя бы один из коэффициентов
отличен от нуля. Например. /.=^=0. В таком случае
г =/ — — ib 4- ( — — 1г — вектор а есть диагональ па-
/ Г
раллелограмма, построенного на векторах!----jo и
с. Это означает
в силу коллинеарности векто-
ров b и I— — р, с и I—-и], что тройка векторов
\ у I \ * / /
с* -♦	*•
(п, Ь, с) лежит в плоскости указанного параллело-
грамма и, следовательно, компланарна. В случае, когда
хотя бы один из тройки векторов нулевой, доказа-
тельство становится очевидным.
Достаточность. Пусть тройка а,Ь.с} ком-
планарна. Если хотя бы один из векторов нулевой
(например, а = 0), то имеет место равенство
— 0-6 —0-с —0, где /• =/=(), и в данном случае тройка
является линейно-зависимой. Пусть ни один из век-
42
/
ч
торов не является нулевым. Приведем их к общему
началу 0 (см. рис. 5) и спроектируем конец вектора а
(проектирующие прямые строим параллельно векто-
рам b и г) на прямые, на которых лежат векторы
b и с: а = ОВ == О А -г АВ. Но О А - ).с (О А коллинеа-
рен с), АВ — pb (АВ коллинеарен Ь). Таким образом,
имеет место равенство а—лг ——0. Тройка век-
торов линейно-зависима. Данные рассуждения спра-
ведливы, когда b и с — не коллинеарные векторы <что
и отражено на рис. ГЛ. Если же b и с коллинеарны,
то в силу теоремы 2 b— /<г + 0а = U —имеем линейно-
зависимую систему векторов.
Вывод из теоремы 3 таков: всякая не компланар-
ная тройка векторов есть линейно-независимая си-
стема векторов.
Теорема 4. Всякая четверка векторов {в трех-
мерном пространстве} линейно-зависима.
Если все четыре вектора компланарны, то в силу
теоремы 3 они линейно-зависимы. Пусть векторы
а. ЬУ с не компланарны, а л — произвольный четвер-
тый вектор. Приведем четверку к общему началу
(рис. 6). Из конца вектора ОВ = х проведем прямую,
43
Рис. 6.
параллельную вектору с, до встречи в точке А с пло-
скостью векторов а и Ь. Из точки А проведем пря-
мые, параллельные а и А, до пересечения с прямыми,
на которых лежа г а и Ь. Имеем, что	+ АВ.
Ио ОА аг/ | рЛ, АВ=-ус и, следовательно,
х «= ка +	-I- ус,	(5.4)
что и доказывает линейную зависимость четверки
векторов.
Л е к ц и я 6
БАЗИС И АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ.' ПРОЕКЦИЯ
ВЕКТОРА НА ОСЬ. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА
КООРДИНАТ. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
НА ПЛОСКОСТИ
Попользуем результаты теорем 3 и 4, доказанных
в конце пре (.идущей лекции, для введения базиса и
аффинных координат в пространстве и на плоскости.
о п р с д е л е и и о 1. Тройка (пара) (7,, 72,7,) ({7,, 72})
линейно-независимых векторов называется базисом
в врос гране тве (на плоскости), если 1юбой вектор л
может быть пре гавлен в виде линейной комбинации:
А л,;', . tsc. 4 л/, (.г rt<’rl a\<\). Числа (л*,, л2, л3)
44
(на плоскости (xt, х2)) называются координатами х
в указанном базисе.
Из этого определения на основании теоремы 3 вы-
текает, что всякая пара не коллинеарных векторов
об разует базис на плоскости* а на основании тео-
ремы 4 — всякая тройка не компланарных векторов
образует базис в пространстве.
Определение 2. Упорядоченная тройка не ком-
планарных векторов	называется правой
(левой) тройкой, если, будучи приведенной к общему
началу, кратчайший поворот вокруг е3 от гд к е2 со-
вершается против часовой стрелки (по часово стрел-
ке) (см. рис. 7). Соответственно базис в пространстве
называется правым (левым).
Определение 3. Упорядоченная пара не колли-
неарных векторов {<\, г2} называется правой (левой),
если, будучи приведенной к общему началу» кратчай-
ший поворот на плоскости от г, к е2 происходит про-
тив часовой стрелки (по часовой стрелке). Соответ-
ственно базис на плоскости называется правым (ле-
вым).
Теорема 1. Координаты вектора в данном ба-
зисе определены однозначны и образом.
Действительно, если предположить, что это не так
л ==	+ д'3<’3 и Л' =	+ у2е2 + у3е3, то при
вычитании векторов получим
(xt — >’i) <?I + (Л2 — Уг) ег + (х3 — Уз) е3 = 0.	(6.1)
45
He iH ireftKK лнпсйпо-незавнснмых гектороз равен-
< Рсн».П имеет месте лишь тогда, когда все коэф-
фнциспты равны пулю. Таким образом, х, - _v(. -X у»,
\« у в I СОРСМ.1 доказана.
1’ео ч’иа ? /Z/“	векторов их коор-
Ж. ЧЛ г * < Л- <«<"Ш* * Л п А* У•* *(ении
хи число его координаты умножаются ни это число.
К c.ivom деле, пусть о	*
Г^\
-i	<-i
илеыию (о,	Ujt Ч Л$)
е\ . Согласно опрс-
еегь коорлини ы
на число X. Имеем
вектор,- и 4- й. У * ножнм вектор а
• *
♦	-4	*	Яо?
••	2£я1'*т ^Г“з?»’г-
;«1	.-1
Числи р.и4, Хл2,ллч) есть координаты вектора Хл.
Обе еоремы имеют место и для нектороп пло-
скости.
О п ре ; е л е н и е 4. Д,га\. к ч л. с..сл;ел/о.< ло/\ ..-
«иж в и ?стр.шспн' {0.	. е5> <\,} (на плоскости
С. <’|, с ; ) нманнается сонокх скос гь некоторой тояьжи О
н бинси .е,}	приведенного к общему
кгчллу н »тон точке.
О Uре е л е н н ? 5. Лочгинч • м ч\н?/\к.ч.г-.л .7
точки «И в пространстве (на плоскости) в данной
аффминей сне емс коо:пт-л |O.^.7'a>7’J GO. л!)
шасКнзю^сч кеортлка ы вектора ОЛ! относительно
базиса {<ц. <\, < ( ч w etJ) (рис S).
"4 • •'	*'• как пок.-.здко ванн, опое, 4c.iei ы
ожаезкачным образом в данном базисе. Тем самым
вокаеамо чю ка> очке .4 однозначным спосо-
бом <о ос - .де'-с рн числа— ез гфф кнъи\координаты.
•ли.дм, что	акали г г. чес кс л геометр: ш vnorpec-
ааютса jo ько правые системы координат,, т. о тройка
Рис. 6-	— аффинная система координат б пространстве;
6) — аффиннае система координат на z.'.cckoctm.
(пара) Л>с':-га ({<\ ‘ в системе координат
{О, е . <. с\ ({0, е , ej) есть правая тройка векторов.
Прежде чем переходить к инболее кспользуе» ым
г приложениях прямоугольным системам координат,
являющимся частным случаем аффинных, остановимся
на свойствах проекция вектора на ось.
Пусть задана премия с помощью орта на ней.
указано направление. Такая прямая называется осью.
Определение 6. Проекцией вектора А8 на
ось ( х называете длина отрезки Д£’ этой осн за^
ключенног между осно изня н« пер ?енд куляров5 опу-
щенных из Л д В на ось взятая со знаком !юс. если
направление А*В cos л -зет с сражением н ззя-
О Т А’

Рис. 9.
тая со таком минус, если направления векторов .4 В'
и i противоположны. Символически записываем сле-
дующим образом:
ПрО1 АВ — i
|Л'В'|. если сонаправлены векторы i
и АЪ'.
— |А/?'|, если направления i и А'В’
противоположны.
J глом вектора АВ (= А/?,) с осью О.г называется
mix л з (рис. 9). на который нужно кратчайшим спосо-
бом повернуть ось Ох около точки Д', чтобы сов-
местить с вектором A Bt (0о<*).
Теорема 3. Проекция сектора на ось раина
— ине вектора, умноженного на косинус угла з.
Пусть а —острый угол. Из треугольника ABtB'
(рис. 9а) имеем:
Г 1ро, АВ =- | А В I = | АВ^ | со$ а = | АВ | cos з.
Пусть а —тупой угол (рис. 96). Из треугольник/ B'BtA'
нахе д:;м:
Рис. 10.
ПрОг АВ = - | А'В' | = - | Я Д | cos (--*) =
== | А'В} | cos а = | АВ | cos 2.
Если длина вектора АВ равна единице (имеем
орт-вектор), то ПрОг Я/? = cos а. Косинус угла а назы-
вается направляющим косинусом единичного вектора
с осью Ох.
Т е о рем а 4. При умножении вектора на число а
его проекция умножается на то же число.
Пусть вектор а составляет с осью Ох угол а и
к > 0. В таком случае вектор Ха с осью Ох состав-
ляет тот же угол, а вектор (— '^4 — угол а). Со-
гласно теореме 3 имеем
ПрСг (да) = | м? | cos а = л |а | cos а = а ПрОх а
и
П Pt t (— Art) = I — • a I COS (» — a) = — A I a I cos a =
-xnpo_, u.
Теорема 5. Проекция суммы двух екторов на
сь равна сумме пр< акции этих векторов на ту же
ось.
Рассмотрим сумму двух векторов АС = АВ — ВС.
Для доказательства теоремы спроектируем точки
Я. В, С Ни ось Ох и получим три точки Л', ВГ1С' на
оси. В общем случае возможны следующие 6 случаев
расположения в направлении штрихованных точек на
оси: (1) .4'. В', С': (2) А', С', В'; (3) В', А', С'; (4) В', С', Д';
(5) С', Д', В'; (6) С', В'. Д'.
Доказательство проведем для случая (2) (рис. 10).
Имеем
ПрОг (АВ + ВС) = ПрОл. АС = | ДЧ?' I] >
ПрОд Д5+ ПрОл.5С=|Д7С'|-|2ГС'| = |Д7С'|,
Из сравнения соотношений вытекает, что
ПрОг (АВ + ВС) = ПрОд. АВ + ПрОд. ВС.
Аналогично доказываются остальные случаи. Тео-
рема 5 по индукции распространяется на любое число
слагаемых векторов.
Определение. Система координат {0, i,j,h\
в пространстве (на плоскости (0,I, j}) называется де-
картовой прямоугольной системой координат, если
'базисные векторы {i,j,k} (пара {/,/}) попарно ортого-
нальны и имеют длину, равную единице.
Базисные векторы k соответственно называются
ортами координатных осей Ох, Оу, Oz (на плоскости
Ох, Оу).
Определение. Декартовыми прямоугольными
координатами точки М в пространстве (на плоскости)
относительно выбранной прямоугольной системы коор-
динат называются координаты вектора ОМ в орто-
нормированием базисе {/,/, k\ (на плоскости {/,_/}).
т. е.
ОМ — xi 4- yj + zk => М (х; у, z).
Из определения проекции вектора на ось следует
геометрический смысл прямоугольных координат точ-
ки М
х=ПрОж<Ж у = ПрО),ОМ 2 = ПрОгОМ
Для плоскости имеем буквальное повторение ска-
занного.
Некоторые задачи аналитической геометрии на
плоскости целесообразно решать используя не пря-
моугольную систему координат на плоскости, а по-
лярную систему координат, которая строится сле-
дующим образом. Выбираем точку О на плоскости
(полюс) и ось с ортом I (полярная ось) (рис. 11). Лю-
бой точке плоскости можно однозначно сопоставить
(за исключением полюса) пару чисел (полярные коор»
динаты) г — |ОЛ1| и ф — угол между ОМ и полярной
осью. При этом считаем ф>0, если поворот от i
—>
к ОМ совершается против часовой стрелки. Полюс
задается одним числом г — 0. Когда 0<г<оо и
О < < 2^ (пли — - < <р < -), мы пробегаем все мно-
жество точек плоскости. Из определения проекции
вектора на ось и с учетом геометрического смысла
прямоугольных координат точки следует связь поляр-
ных' и прямоугольных координат
л' = г cos ®
у = г sin <р,
(6.4)
51
Замечание. R задачах, связанных с перемеще-
ние'- материальной точки на плоскости, часто тре-
буют. чтобы переменная у менялась в пределах
— ос <С *	4*
Лекция 7
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Определение 1. Углом а между векторами
1=4=0 и г=0 называется наименьший угол между
этими векторами, приведенными к общему началу.
Его обозначение а = (л, '>). Очевидно, что 0 < s <
Определение 2. Скалярным произведением двух
векторов и и (пишем (л-.’i) называется число, рав-
ное произведению длин этих векторов на косинус
мгла между ними
- •
(=. '’) = |а||5| cos (а, Г).	(7.1)
Обращаясь к формуле, по которой вычисляется проек-
вектора на ось. можно Г.1) записать в виде
(а). (; М = |ц|Пр. S; (б), (а Т) = |7|Пр_~. (7.2)
а	b
Таким образом, ска .н; ч е произведение двух век то-
г равно длине одного из них% умноженной на
п? ес.;и*о второго вектора на ось, направление ко-
торой определяется первым вектором.
Свойство 1. Для любых а и Тимеем (а b)~(ba).
3 самом деле, из равенства cos (а, £) = cos (fr, а)
следует коммутативность скалярного произведения.
Свойство 2. Для любого а : (ц л) = а2 =
= |а|*>0.
52
Скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и
только тогда, когда а есть нуль-вектор.
Свойство 3. Для любого X£R и любых векторов
с-НИ	**	—e.
а и Ь ((ка) b} = к (а Ь).
Действительно, ((Ха) b) = | b | Пр_ (Ха) = | b | X Пр_* а =
ь	ь
—* —♦
= ' (а Ь).
Свойство 4. Для любых векторов а, Ь, с выпол-
нено (а (Ь — с)) = (а Ь) — (а с).
На основании (7.2 а) имеем
ia (b — cj) = | а | Пр_ (Г-г с) = а | (Пр_ — Пр_ с) =
а	а	а
= (a »>) 4- (л с).
Теорема. Два вектора ортогональны друг другу
тогда и только тогда, когда их скалярное произве-
дение равно нулю.
 Пусть векторы а и b не нулевые л ортогональны
между собой: (а, Ь) = -£. Так как cos (a, b} = cos — = О,
-Г
то (а Ь) = 0. Если же один из векторов нулевой, то
его длина разна нулю и (а&) = 0.
Обратно, если (<??) = и| I 7,cos .	= 0, то хотя
бы один из множителей равен нулю. В случае равен-
ства нулю одного из первых двух множителей один
из векторов нулевой, который всегда можно считать
ортогональным к любому вектору. Если cos(a. t») = 0»
то (а» £) = ~ — векторы ортогональны между собой.
Все перечисленные выше определения и свойства
установлены безотносительно к какой-либо системе
координлт — они инвариантны относительно выбора
системы координат.
Введем сейчас прямоугольную систему координат
к установим, как вычисляется скалярное проазэедение
векторов, заданных своими координатами з базисе
[i,j, к . Все приводимые ниже формулы выведены для
пространства (,ля плоскости во всех формулах третью
координату следует положить равной нулю*.
Учитывая, что базис Л/, £} есть ортонормирован-
ны.1 базис, получим
(75 = 1, (775 = о, (7л) = о, (77) = ь (;^ = о,
(к к) -1.	(7.3)
Если а =-- х, I + У1/ 4- zx k, Ь = л\ I 4- y2j - - z2k. то. вос-
пользовавшись свойствами 3 и 4. имеем
(а 7>) = хгг2 (I i) 4- xLy2 (z j) + xxz2 (i k) - - у (/ i) 4-
+ yiJ’H//) + yi-J/7) - z^-.ik i) 4- z^^kj) - д.д, (к к).
С учете л (7.3) и свойства 1 окончательно получим
(а Ь) = л\х2 + у, v2 + ziz2.	(7.4)
Итак, ска гярное пр извещение векторов в ортонор-
мированном базисе равно сумме произведений одно-
именных координат этих векторов.
На основании (7.4) могут быть тотчас получены
вычислительные формулы для длины вектора, орта
вектора, проекции вектора, косинуса угла между век-
торами и другие геометрические приложения.
Длина вектора a (xt,	, zj
Орт вектора а(хх,	,z,) (а^О)
Поэтому для направляющих косинусов вектора а имеем
Проекция вектора b (л’3. у,, г,) на ось с направле-
нием a (xt. у,. zt) (а ¥= 0)
Косинус угла между векторами (а—0, 6=?=0)
Г Л П
cos (а, Ь) = ———
|а| |Ь|
(7.9)
На основании доказанной выше теоремы получаем,
что необходимым и достаточным условием ортого-
нальности двух векторов является следующее условие:
хгс3 -г У1 У г +	= 0.	(7.10)
Пример 1. Найти орт вектора а (1, —1,5).
Согласно (7.6) имеем
Пример 2. Дан вектор а (6. —18, Найти г,
если |а| = 21.
В силу (7.5) имеем
21 = ) 6г + (—18)2 4- А г=-1 441 —360= ±9.
Понятие скалярного произведения векторов пришло
из физики, и мы остановимся на одном из физических
Рис. 12.
приложений скалярного произведения для подсчета
работы силы.
Пусть требуется вычислить работу U” силы Л по
перемещению материальной точки из точки А в точ-
ку В по прямолинейному пути (рис. 12).
Если бы материальная точка двигалась по- направ-
лению действия силы /* (угол а = 0). о, по определе-
нию, работа силы равна произведению величины силы
на длину перемещения: U | /*’| | АВ | = ('	. Если
же точка движется под углом а к направлению силы,
то работает только составляющая АС', направленная
по линии перемещения АВ. Перпендикулярная состав-
ляющая силы уравновешивается сопротивлением. По-
этому
IV’ = (Пр^ /7) | АВ | = (A/W).	(7.11)
АВ
Другие физические приложения скалярного про-
изведения векторов мы находим в курсе „Общей фи-
зики", читаемом параллельно с данным курсом.
Переходим к определению векторного произведения
двух векторов.
О и ре де ле н не. Векторным, произведением век-
торов <7 и Ь называется вектор х, который: (1) пер-
пендикулярен к плоскости векторов а и Ъ\ (_ |х| =
= |а | Р|sin (а, Ь); (3) направлен так. что тройка
{<2. 1\ л} — правая (рис. 13).
Векторной произведение обозначается символом
”• —• —•	~
х = [<; Ь] (либо А- = а X М.
Приведенные условия (1)—(3) однозначно опреде-
ляют векторное произведение, если сомножители —
ненулевые векторы. Если хотя бы один из множите-
лей нуль-вектор, векторное произведение, по опреде-
лению, есть нулевой вектор.
Отметим также, что из условия (2) вытекает: модуль
векторного произведения численно равен пл щади
п,.р..л.елограмма, построенного на векторах - и .
Рассмотрим свойства векторного произведения.
Свойство 1. Для любых а и b\ [аГ[ = — [& а[.
Действительно, для л, = [Л я] выполнены условия (1),
(2). Но, чтобы тройка {Ь, а, л,} была правой, вектор л,
должен быть направлен в сторону, противоположную
вектору х = [а&[.
Свойство 2. Для любого X£R и любых а и b
имеем
|(Ха) Г[ = Х[а /Г] = [a (Х&)[.	(7.12)
При Х = 0 справедливость равенства очевидна. Пусть
X > 0. Тогда Ха имеет то же направление, что и век-
тор а. Длины векторов [(Ха) Л] и X [а Z>] совпадают, так
как | [(Ха) £[ | = 1 Ха| | b | sin (а, Ь) — [ а | | b | sin (а, Ь) =
= |Х[а г] . Направления их также совпадают (ориен-
тация тройки не меняется). Аналогичные рассуждения
имеют место и при X < 0.
57

стрелке можно записать» что О А < -А В '== ОВ*. Обра-
щаясь к высказанному замеч нию. заключаем, что
справедливо равенство (7.14h а после умножения етэ
*
на а = ’г убеждаемся в выполнен ин равенства (7.13).
Теорема. Необходимым и достаточным уело*
вием к'сл ’.<ь'<хдвух ее кт т -я явлч. л* я рз-
?с~. лг. кулю их векторного произведения.
Пусть векторы а п h коллинеарны. Следовательно,
либо л. £1-^=0. либо ^а. д) =-. В обоих случаях
sin (а. г) = 0. Это означает, что J' . j =0. Век-орное
произведен]*? есть нуль-вектор.
Пусть, обратно, i>| = 0. Тогда f[d Z>J | = |a||bj X
Обращаясь к свойству разложения определителя
элементам строки* окоячательн /олтчим**^. ®°
вычисления векторного произве л? векторов/
вых своими коор^иявтамв в ортонормированием*^
змее
Заметим, что хотя в первой строке определителя стоят
векторы <а не числа!), запись (7.17) законная,
. и умножения вектора на число и суммы лек-
торов подчиняются тем же правилам, что в числовш
элементы.
Поскольку условием коллинеарности двух век то
ров является равенство нулю их векторного произ*
деяия, то, приравнивая определитель в правой части
нулю и учитывая ляиейную независимость век-
торов г, у,
равен 1 и,
:^г.чии, что ранг матрицы
следовательно.
Асловие
нес бхо о и мы и
"2 л
осстатонным услое с
является
коллинеарности векторов а и b.	1
Одним из геометрией них приложений векторного
Вронзведения якляе.са вычисление с его
площади треугольника с вершинами в точка::
о, ч лошадь треугсльмнкв равна половине пло-
ади пара. ..^лограмма, построенного на век^ :х
1
1
Л|Л2, Л:Л3, получим
£
2
(7.19)
€0
с	И лет о площади треугол*»
Если **	* ого своими вершинами
скости, задам м	Люпы/ле (7.191
элементам
Одним из физических приложений является подсч
момента силы с помощью векторного произве
Пусть твердое тело закреплено в точке Лив точ-
ке В приложена сила F. Вращающий момент, во -
каюший в этом случае, вычисляется по с..едуюш.еи
формуле (так показывает опыт):
(7.21>
Лекция 8
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Зная операции скалярного и векторного умножения
двух векторов, что можно сказать о комбинирован-
ных произведениях трех векторов? Имеются следую-
щие возможности для комбинированного произведения:
(1) М)с; (2) flail с); (3) (a [2 rJJ. В первом сл тчае
ответ ^простой—получаем вектор, коллинеарный век-
РУ с. Случаи (2) и (3) требуют более подробного
рассмотрения.	к
Определение. Смешанным произведением трех
векторов a, "b, с называется число, получаемое от
умножения вектора^ £ajj скалярно на с. Оно обозна-
чается символом (abc), т. е. (a b с) ( [а 7] с).

х=[а 6 J
а)
Рис. 15.
Выясним геометрический смысл смешанного произ-
- 1ения, считая, что {а, 6, с]— не компланарная трой-
ка векторов. читывал, что вектор х=|л£] имеет
длину» р< иную чнемецно площади параллелограмма,
построенного на а и Ь, и перпендикулярен к плоскости
параллелограмма. из равенства
•> •
(р £| с) = (л 4) — |л| Пр. с -= ± h-S (81)
X
выводим, что в случае правой тройки смешанно^
произведение росно объему I параллелепипеда^ по-
строенного на векторах a. tn с, а вс гучае левой
тройки — объему параллелепипеда, взятому со зна-
ком минус (рис. 15).
Теорема. Тройка векторов сп Ь. с} ком планарна
тогда и только тогда, когда их смешанное произ-
ведение равно нулю.
Необходимость. Пусть тройка la, tn с| ком-
планарна. Это может осуществиться в трех случаях:
(1) один из векторов есть нуль-вектор, (2) пара век-
торов коллинеарна. (3) векторы лежат или параллельны
одной плоскости. Во всех трех случаях в соотноше-
ниях (8.1) либо |а*| = 0 либо Пр^с = 0 и, следова-
х
тельно. смешанное произведение равно нулю.
Достаточность. Пусть (а&с) = 0. Это ка-
чает, что I [а я] | Пр_>с == 0. Если первый сомножитель
V
равен нулю, то векторное произведение [а £] равно
нулю, векторы а.Ь — коллинеарные, а. следовательно,
тройка {я, In с| — компланарная. Если Пр^ t — U, то
вектор с ортогонален к вектору x=[a/>j и. следова-
тельно» параллелен плоскости параллелограмма, по-
строенного на векторах а и tn Имеем компланарную
тройку векторов. Теорс ма доказана.
Свойстве 1. Операции скалярного и векторного^
умножении в смешанном произветении- можно поме-
нять местами, т. е.
«♦ —• **
(|« ‘ )
(<1 РФ <р‘!г>.

Справедливость этого равенства iтедует из того,
что ориентация троек {<!.&,< и Ь, с, а} не меняется,
а параллелепипед для об< их троек один и тот же.
Свойство 2. Круговая перестановка сомножите-
лей не меняет величины смешанного произведения.
Перестановка местами двух соседних сомножителей
изменяет знак произведения на противоположный, т. е.
(a be) = (Ь с а) = (с а. Ь) = — (b'a <•) = — (л с Ь) =
= — \cb а).
(8.3)
В самом деле, в силу коммутативности скалярного
произведения и свойства 1 имеем
(а7> с) = (fa Ь] с) = (<[« £|) = (с а7>)
(а Ь с)'= (а р с|) = (|£ с] а) -= (Л с а) ,
В силу антикоммутативности век горного произведения
и равенств (8.4) получим
(a Vc) = ([d b\ с) = - ([ba\ с) = - (b а с).	(8.5)
Г Пусть выбрана прямоугольная система координат.
6 ортонормированием базисе |Л/, А’[ векторы a. Ь, с
имеют координаты (xt,	, zj, (л% , у2, с2), (х3, у3.г3).
Согласно определению смешанного произведения как
* скалярного произведения векторов [л и с и выра-
жению (7.16) для [б?/?] получим
Правая часть (8.6) с учетом свойств определителей
представляет собой разложение определителя третьего
порядка по элементам последней строки. Поэтому
__ xi У1
(а b с) ~ у 2
(8.7)
Получили компактное выражение смешанного произве-
дения через координаты векторов-сомножителей.
Переходим к рассмотрению третьей возможности
комбинированного произведения трек векторов.
€4
Определение. Двойным векторным произведе-
нием векторов а. с называется выражение вида
[а [7 с|].
Рассмотрим это произведение в прямоугольной
системе координат, когда векторы а, /?, с заданы свои-
=•»»	•»	» *	—♦	—е
ми координатами: а = х, I 4- J'i/ + zxk, b = x2i 4- y2j 4-
Раскрывая определитель по элементам первой строки,
вычисляя определители второго порядка и добавляя
в сомножителях при /,у, /г соответственно нули в виде
( J’l Jr2 Jr3	J’l У 2 Уз)» •
получим
Поскольку (Л^Л’З 4- \4 J’3 4- ^г3) = (a c), (xvv2 j- v1 y2 4-
4- ZjZo) = (a /?), то окончательно имеем
[a[Sc]]=?(ac)-7(^^).	(8.8)
Формула (8.8) носит название формулы раскрытия
двойного векторного произведения по векторам-со-
множителям внутреннего векторного произведения.
5 Б<»91
65
Очевидно, что, используя определен не смешан-
ного произведения векторов и (8.8), можно рассмат-
ривать различные комбинированные произведения че-
тырех и т. д. векторов.
Пример 1. Компланарны ли векторы а -= (2, 3, —1),
&«=(!. -1.3). с (1,9. 11)?
Вычислим определитель
2 3-1
1-1	3
1 9 -И
2(11-27) -З(-П-З) - 1 (9 1-1)» 0.
Векторы компланарны.
Пример 2. Проверить справедливость равенства
||<т />| с] 4- |[/> <] «] -- [|с «] = 0.
Переставим сомножители во внешних векторных
произведениях и воспользуемся формулой (8.8). Имеем
|с [н £|| - а (с IO — Ь(с а).
[« [Ь с]] = b (а с) — с (а Ь).
|/7|Л7ц
с {Ь а) — а (Ь с).
Сложим все три равенства и учтем коммутативность
скалярного произведения нары векторов. При сложе-
нии правые части взаимно уничтожаются и справед-
F ливость написанного равенства доказана.
----В заключение лекции остановимся на вопросе о пе-
реходе от одной декартовой прямоугольной системы
координат к другой. Сначала рассмотрение проведем
.для плоскости. Пусть О, i.j\ — некоторая прямоуголь-
пая система координат на плоскости и пусть	—
другая прямоугольная система координат (рис. 16а).
Координаты 10чки Л1 в первой системе координат
есть координаты O.U в базисе {/,у| (ОА1 lx \ i \*Y
Координаты точки .И во второй системе координат
есть координаты вектора f/AI в базисе [/',/} (О'А1 -
x!i' -г у'/)- Установим связь координат (дч у) с ко-
ординатами (д'; у) точки М. С этой целью заметим
(рис. 166). что
U>
Рис. 16.
••• *	—*»	*4 •	• —•
i' (Пр.. /') / + (I Ip. V) j = i cos Ct. i') + j cos (j, i)
‘ 1
**	“♦ —♦ —•	«—s* •=»	•>	—♦ ««
/'= (Hp_,/ )i 4-(Пр_,/')/—i cos (/,/') 4-/cos (/,/')
1 ]
(8.9)
Если обозначить через а угол меж ту осью < >х и осью
О'.С, то (8.9) примет вид
С = i cos л + у sin я
/' = — г sin я -> / cos з .
Радиусы-векторы точки Af в первой
координат связаны соотношением
(S.1O)
и второй системе
О. W OO' + O'Af.	(8.11)
Если (а; Л) координаты нового начала С>, то (8.11)
примет ниi
л / + у а ! + Ы + л- Г 4- у'/'.	(8.12)
Подставив в (8.12) вместо Г, j’ их выражении (8.10).
окончательно получим
.V/ , у/ ai bj-С х (/cos а ; jsin i) -r
-• у (- / sin a 4 /cos a).	(8.13)
67
В си iv линейной независимости векторов i и J коэф*
фш ленты при них в левой и праной частях (8.13) равны
между собой. Мы п мучаем связь координат не штри-
хованной системы координат с координатами штрихо-
ванной системы координг
X = х' COS 7. — v' Sill а 1- Cl
-
у = х' sin а 4- у' cos а -j- b ,
(8.14)
Пели (8.11) разрешить относительно У, у', то полу-
чим выражение для новых (штрихованных) координат
х' JCCOS а ->• у sin о. 4 а'
у' — — хSin а 4* У COS а |- //
(8.13)
где a — a cos а — b sin а, // == a sin 7 — b cos 7. есть
координаты точки О относительно штрихованной си-
стемы координат.
Очевидно, что если а = 0, то совершен лишь парал-
лельный перенос начала координат без вращения осей
координат. Полагая а = 0 в (8.14), (8.15) и выражениях
для а' и />', получим
х =- х! 4- а
У = у' 4- b
(8.16)
Если а — b — 0, а =/= О, то перенос начала координат
ш  овёршается, происходит лишь попорот осей. Для
него имеем
х - х’ cos а — у' sin а 1
у = х' sin 7 4- у' cos а j
х' х cos а 4' у sin а •
у' — — х sin а 4- j cos а
(8. ГЛ,
Осуществил сейчас переход в пространстве от
одной прямоугольной системы координат \O,i,j,k}
к другой прямоугольной системе координат (О',	k'}
без переноса начала координат. (ОО'==0) и с сохра-
нением ориентация (обе тройки векторов — правые).
Очень часто в приложениях формулы перехода,
связывающих штрихованные и нештрихованпые коор-
динаты, тр буется записать через три независимых
параметра — углы Эйлера.
Рис. 17.
4)
С этой целью переход от первого ортонормиро-
ванного базиса ко второму разобьем на три этапа
(рис. 17).
Первый этап (рис. 17а). Повернем вокруг оси
()z на угол 7 оси Ох и Оу. Новые оси обозначим
через Oxi, Oy'i, Oz,. Согласно формулам (8.17) пово-
рота осей на плоскости Р имеем
л — х, cos 7 — у( sin 7
у = х, sin -р -|- yt cos 7 
(8.18J
Второй этап (рис. 176). Повернем вокруг оси
(>х1 оси Oj'(, Ozt на угол 0. Новые оси обозначим
через Ох2, Оуг, Ozt. Имеем
69
v, = v. cos 0 — sin 0 .
г, - v..shi 0 ч- г. cos 0 ,
I * —
(8.19)
Третий этап (рис. 17в). Повернем вокруг оси
( <- в плоскости Q оси Ох., Оу. на угол О. Получим
оси Ox’. Ov\ Oz . Формулы перехода следующие:
х' cos 6 — у' sin и
х sin б + у' cos б
(8.20)
Подставляя сейчас (8.20) в (8.19), а затем получен-
ный результат в (8.18). получим следующий переход
от одной прямоугольной системы координат в про-
странстве к другой прямоугольной системе без пере-
носа начала координат:
( х = (cos 7 cos б — sin 7 cos 6 sin б) х' —
(cos y sin б + sin c cos 0 cos б) у' 4- z' sin ? sin 0,
 у ~ (sin c cos 6 4- cos y cos 0 sin 6) x' —
— (sin □ sin б — cos z cos 6 cos 6) y' — z' cos v sin 0,
z = x sin 0 sin 6 4- y' sin 0 cos 6 4- ~ cos 0.
(8.21)
Чтобы получить выражение x', у', z' через „старые**
координаты х, у, г, необходимо в (8.21) заменить с
на — 7. О на —0, на — б, штрихованные координаты
на нештриховапныс.
В случае, если осуществлен и перенос начала коор-
динат (ОО' = al + bj 4- с/е), то к правым частям соот-
ношении (8.21) нужно добавить соответственно сла-
гаемые а, Ь, с.
На этом подготовительный материал (играющий
также значительную самостоятельную роль в прило-
жениях совершенно независимо от излагаемого ниже)
окончен, и мы можем перейти к непосредственным
вопросам аналитической геометрии на плоскости и
в пространстве..
Лекция 9
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.
ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ.
КАНОНИЧЕСКОЕ И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
НА ПЛОСКОСТИ
Как нами установлено ранее, при помощи системы
координат устанавливается взаимно-однозначное соот-
ветствие между геометрическими образами — точками
и алгебраическими объектами — числами. Показано,
что каждой точке плоскости в прямоугольных и по-
лярных координатах соответствует пара чисел, взятых
в определенном порядке, и обратно, каждой паре
чисел соответствует единственная точка плоскости.
Взаимно-однозначное соответствие между точками
и их координатами сводит изучение геометрических
свойств различных объектов к изучению аналитиче-
ских соотношений между координатами точек мно-
жеств, задающих рассматриваемые геометрические
объекты.
Прежде чем переходить к установлению соответ-
ствия между линиями на плоскости и уравнениями
с двумя переменными а- и у или г и <?, остановимся
на трех простейших фактах, знание которых необхо-
димо при решении задаче аналитической геометрии на
плоскости.
Согласно определению 3 из 5-й лекции расстояние
между точками /И, (д*,; vj и Л1. (х2:у2) равно модулю
вектора МХМ2, т. е. d (Л^ . Л f2) = d (Л L , Л/J = | Л/, Л/21.
Поскольку
то согласно (7.5) имеем
| (л'2~ Xj)2-j (у2—v,)2.	(9.1)
Пусть задан, далее, отрезок как упорядоченная
пара точек Л (х,; yj, В (х2; v2). 11усть задана также
трегья точка С(х; у), лежащая на прямой, соединяю-
щей точки А и /3, и не совпадающая с концом В отрезка
71
(тачка Сможет находиться как внутри отрезка, так
и ане его). Рассмотрим векторы АС и СВ. Они кол-
линеарны. так как находятся на одной прямой. По-
этом)
АС =
(9.2/
Определение. Число >. в (9.2) называется отно-
шением, в котором точка С оелит отрезок АВ.
Отметим, что поскольку точки А и В не совпадают
между собой, то л=И= —1. В координатах (9.2) имеет
вид (Л- — X.) / O.j ( у — У[) = А ((х, — X) I 4- (у2 — У)]).
В сил}-линейной независимости векторов I и j получим
а так/ке
у — У1
У 2 — У '
(9.3)
(9.4)
При>.-=1 точка С делит отрезок пополам. Согласно
(9.4) координаты середины отрезка имеют вид
2
(9.5)
Наконец, часто приходится иметь дело с формулой
вычисления площади треугольЦукд, заданного своими
вершина ли А1 х ; у’/), А2(х,;у2), А3(х3;у>3). Она быта
выведена нами в конце 7-й лекции. Приведем ее
(9-6)
Исполы; л свойства определителей, выражение (9.6)
часто записывают и следующей эквивалентной форме:
(9-7)
В самом деле, вычитая первую строку из второй и
третьей строк и понижая порядок определителя, ври*
ходим к соотношению (9.6).
Следующим этапом является установление между
линиями на плоскости и уравнениями с двумя перемен-
ными х и у (г и ъ) определенного соответствия, что
позволяет свести изучение геометрических свойств
линий к изучению аналитических свойств соответ-
ствующих уравнений. В аналитическом геометрии вся-
кую линию рассматривают как геометрическое место
точек, обладающих общим свойством. Гак например,
пусть задана прямоугольная декартова система коор-
динат и требуется вывести уравнение окружности
радиуса R, центр которой находится в точке С(а; Ь).
Определение. Окружностью с центром в точ-
ке С называется геометрическое место точек (ГМТ),
находящихся на одном и том же расстоянии R от
центра.
Пусть х, у — координаты произвольной точки
окружности {текущая точка М окружности). Тогда
iCMI — R и. следовательно. |СЛ/|2 —А2. Последнее
равенство в координатах запишется в виде
(х — а)2 4- (у — Ь2 = R2.	(9.8)
Ясно, что данное соотношение выполняется для всех
точек окружности и только для них. Равенство (9.8)
называется у равнением окружности в прямоугольной
системе координат. Если центр окружности совпадает
с началом координат (й = 6 = 0), то ее уравнении
принимает вид
л2 + у2 ==/?-’.	(9.9)
В полярной системе координат уравнение окруж-
ности с центром в полюсе имеет наиболее простои
вид: г — R.
В общем случае посредством уравнения, связываю-
щего координаты х, у (или г, <р) переменной точки .И,
выражаем общее свойство точек линии.
О п р е де л е н и с. Уравнение F(х, у) = О (Ф (г,	=0)
в прямоугольной системе координат (в полярной си-
стеме координат) называется уравнением линии L. если
этому уравнению удовлетворяют координаты любой
точки линии и не удовлетворяют координаты ни одной
точки, не лежащей на ней.
Если уравнение имеет вид у = / (х), то оно назы-
вас ся явным в отличие от неявного уравнения
/ (х,
73
5)

Рис. к. а) —окружность г = а, б) —спираль Архимеда r—a-s.
Отметим, что множество точен плоскости, коор-
динаты которых удовлетворяют некоторому уравне-
нию. может обладать особенности <и л не составлять
линии на плоскости в том смысле, который придается
этому слову. Перечислим наиболее часто встр -
чающиеся особенности: (1) уравнение у) = О,
(<1 г, у = 0) не определяет ни рдной точки пло-
скости (например, х~ — у2 — 1 = 0); (2) уравнение
задает одну или несколько точек (например, л^-Ьу^О)»
(3) левая часть уравнения F(x, у) = 0 распадается на
штук сомножителей: F(x, у) = f. (х, у) j, (х, у)...
...Д(х, у) и тем самым выделяется k ветвей линии
с уравнениями J, (х, у) = 0,..., fk(x, у) = 0. Например,
л —у* = 0 представляется в виде двух ветвей (ж—у)=0
и (х -г у) == 0-
Рассмотрим конкретные примеры часто встреча ю-
ц 1 х в прил• дни. х уравнений линий в полярной
си _ геме координат.
Окружность'. г = а (а >0 —cons;) (рис. 18а).
Спирам Архимеиа: г — (а — положительная кон-
станта) 0<?< оо (рис. 186).
ЛotapudpMUHеl кая спираль', г — ае** (ci, k — положи-
тельные константы), —оо<ф< ю (рис. 19а).
ару.. г. г = а(1 + cose) (а>0 —const),
0 < у < 2- (рис. 196).
Пересечением двух (трех и т. д.) линий называется
F.V.T. координаты которых одн  емеино тдивлетво-
ри,- .• Уразненяям ,беих ли-.ни
(9.10)
Рис. 19- а) — логарифмическая спираль г ае
6) Kajдиолида r = a(l + cos
Часто линию на плоскости удобно (особенно при
рассмотрении движения материальных точек в меха-
нике) задавать системой уравнений, в которой кажд
текущая коордииа-а есть некот г	функция одной
переменной t (например, в механике времени /), назы-
ваемой параметром- В данном случае урав чя вида
х х(
;' = у
-.т>
(9.11)
называются параметрическими уравнениями линии
на плоскости-. При фиксированном значении
(9.11) определи ют координаты х, =» х (/,). у, = у (t0)
ТОЧКИ Mrj линии.
Исключив из (9.11) параметр t. мы получим ’/ра -
нение F(x. у) = 0 (либо у = у(х)). задающее ту же
линию на jckocth, что и уравнения (9.11).
Например.
уравнеиия
' • t ' 2~	; -
деляют окружность с центром в 0 (0; 0) и радиуса
так как. возводя в квадрат уравнения и складывая,
получим уравнение х2 -г у3 = R2, описызающе ' ,‘ж-
ность с центром в начале координат. Параметр / в рас-
сматриваемом случае есть угол между осью Ох и г •
дн\с-вектором текущей точки окружности.
В качестве еще одного примера выведем парамет-
рические уравнения циж определяемой как тя
ектория точки .И окружности радиусе а при ее -л.
Рис 20.
I
нии по прямой линии без скольжения (рис. 20). За
параметр / выберем увеличивающийся при качении
угол t — £ACxM.
J1 >'ее м
ОМ= О А + АС. + C.AL
Поэтому
Л' = Пр0> ОА + ПрОх АС. + ПрОд. С.М =
= a(t —slnt)
У == пРо>- 0А + ПРо>- ACi + ПРо, С1Л/ =
= а (1 — cos /)
(i е [0.
Если линия задана в полярной системе координат
явным способом r = r(f), то, используя связь декар-
товых и полярных координат (6.4), легко получить ее
параметрическое представление
х = г(ь)cos с
у = r(s)sln ?
(9.12)

Если задано неравенство Г(х. у)>0 или F(x, _у) <<),
ю его геометрический смысл легко устанавливается,
.'акие неравенства определяют в прямоугольной си-
стеме координат множество точек плоскости—область
плоскости, границей которой является линия с урав-.
пением С(х, у) = 0. Аналогично и в полярной системе
координат. Так, например, неравенство л2 + у2 < R2
определяет множество точек, находящихся внутри
окружности х2 4-у2 = Л?2, называемое открытым кру-
гом радиуса R.
ГВ заключение лекции остановимся на выводе кано-
нического и общего уравнения прямой линии на и io-
скости в прямоугольной системе координат.
Прямую на плоскости можно задать, если фикси-
ровать некоторую точку Л10(л’0;у0) (опорная точка
76
прямой) и направляющий вектор р{1, т) (рис. 21а).
Пусть г (л\ у)—радиус-вектор текущей точки искомой
прямой линии. Тогда векторы г — rQ и р суть колли-
неарные векторы (г—г0 = /р), и мы имеем
r^=rQ + tp (—со < z < + оо).	(9.13)
Получили параметрическое у равнение прямой в век-
торном виде. В координатной записи (9.13) имеет вид
(— со < t < + со).
(9.14)
Коллинеарность векторов г — г0 и р согласно (7.18)
может быть выражена и так:
а — го у — 'Л
I	т
(9.15)
Имеем каноническое уравнение прямой на плоскости.
'Если / = 0(/п = 0). то соответствующее уравнение
прямой имеет вид л = х0 (у = у0).
Прямую на плоскости можно задать другим спосо-
бом. Зафиксируем некоторую точку прямой 310 (х0; у0)
и вектор Л (А, В), ортогональный к искомой прямой
(он носит название нормального вектора прямой).
«»«•
Пусть г(х; у)— радиус-вектор текущей точки прямой.
Тогда (рис. 216)
(/V(7-7o)) = O	(9.16)
77
суть рчос уд.^ение прямой с
вектором.
В координатах имеем
нормальным
,4 (л — л'о) — В (у — у0) = 0.
Чтобы описать все множество прямых на плоскости.
мы должны произвольным образом задавать .V и .Д ,
т. е. считать .4. В и С — — .4а'о — Ву0 произвольными
параметрами, пробегающими множество вещественных
чисел.
Таким образом, уравнение
Ar - By 4- С = 0
(9.18)
называется общим уравнением прямой на плоскости.
Геометрический смысл коэффициентов при х и у сле-
дующий*. коэффициенты .4 и В суть координаты
в ортонормированием базисе { l,j\ нормального век-
тора прямой. Геометрический смысл параметра С
будет выяснен ниже. Этот параметр связан с расстоя-
нием от начала координат до прямой. В частности,
при С=0 имеем Ах А- By = 0— уравнение прямой,
проходящей через начало координат.
Обратно, если в прямоугольной системе координат
на плоскости имеем уравнение 1-й степени вида (9.18),
то это будет уравнение прямой линии. Действительно.
(9.Г) как уравнение с двумя неизвестными всегда
имеет решение. Пусть (х0 ; у0) — некоторое решение,
т. Ах0 Ду04- С = 0. Вычитая это тождество из (9.18),
получим эквивалентное ему уравнение А (х — х0) +
— В(у —уо) = О, которое может быть записано в виде*
(Л ,г — г01) = 0, где Л — Al + Bj, г — xi A- yj—перемен-,
ныи радиус-вектор, r0 ~ xoi + yoj — фиксированный
вектор, задающий точку Л10(л0; у0). Очевидно, что
данно лу уравнению удовлетворяют координаты любой
точки прямой линги, проходящей через Л1 и имею-
щей нормальный вектор Л, и не удовлетворяют коор-
динаты ни одной точки с радиусом-вектором г', не
• ^жащей на прямой, так как г' — ги и /V не ортого-
нальны между собой.
Лекция 10
РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМОЙ
НА ПЛОСКОСТИ И ИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ
•ДО ПРЯМОЙ/ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ДВУХ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ.
/УРАВНЕНИЕ ПУЧКА ПРЯМЫХ
Остановимся на трех видах уравнении прямой,
имеющих наибольшие приложения.
Уравнение в отрезках. Пусть в общем уравнении
прямой Ах + By -j- С = 0 коэффициенты А 0, В 0.
С 0. Тогда это уравнение можно переписать в виде
— -----I---— = 1. Обозначив а — — — , Ь——— .
/_ С |	/ С_	АВ
\ AJ \” В 1
получим уравнение прямой в отрезках
(Ю-1)
Видим, что точки с координатами (<z; 0) и (0: Ь)
удовлетворяют уравнению (10.1), и. следовательно,
уравнение (10.11 описывает прямые, отсекающие от
осей координат отрезки длиной |п| и |6|.
Уравнение с угловым коэффициенлюм.. Канониче-
ское уравнение (9.15) может быть записано в виде
у ~ Уо — ~ (х — ло)> гДе I Q- Вспомйим, что
I = Пр . р --1 р\ cos т — Пр_ р = | /?| sin р,
и поэтому коэффициент
(10.2)
где у (рассматриваемый в пределах <?£ 0
yi >л между векторами i и р (угол наклона прямой
к оси Ох), на бываем угловым коэффициентом. Если
79
Рис. 22.
обозначить b = v0 — у xQ , то уравнение прямой с угло-
вым коэффициентом примет вид
у = kx + b.	(10.3)
Легко убедиться в том, что точка с координатами
(0; Ь) удовлетворяет уравнению (10.3), и, следователь-
но, прямая (10.3) отсекает от оси Оу отрезок дли-
ной | b | (рис. 22а).
Если в общем уравнении прямой В^=0 (прямая нс
параллельна оси ординат), то его можно привести
80
к виду у—— —х —— . Обозначив /г — — —, Ь — — 7-,
J л	В В	В	В
приходим к уравнению прямой с угловым коэффици-
ентом.
Используя геометрический смысл углового коэф-
фициента /г, легко получить выражение для тангенса
угла между двумя прямыми.
О и р е д е л е и и е. У глом 0 между прямыми, задан-
ными уравнениями с угловыми коэффициентами, будем
называть угол, на который надо повернуть против
часовой стрелки первую прямую вокруг точки 5 до
совмещения со второй прямой	(рис. 226).
Пусть заданы прямые y = kxx-rbx и у — k2x + Ьг.
Поскольку ?2 = <?1 + 0 (рис. 226), то tg6 = tg(®2— о,).
Учитывая, что tg'-?1==^1, tg»2 = £2, и применяя фор-
мулу для тангенса разности углов, получим
tg0^AT.*U (Ц-Мг^О);	(10-4)
Если прямые заданы общими уравнениями Да + 5^*+
4
+ Сх ~0, Д2л* + 5оу-г Со = 0 то, так как кх = -‘-±-,
Вх
к2 — — — , из (10.4) имеем
В >
tg0 = z>|g<-%1- , (Л.А, + ВхВ.,^0).	(10.5)
Последняя формула годится и в том случае, когда
одна из прямых параллельна осн ординат. Формула
(10.4) этот случай не затрагивает.
Теорема 1. Для того, чтобы прямые были па-
раллельными, необходимо и достаточно, чтобы
kx — k2 (АХВ2 = ВхА-д-
Пусть прямые параллельны. Угол 0 = 0 (либо 9 == г.),
и, следовательно, tgO = 0. Из (10.4) вытекает, что
кх — к2, а из (10.5) — /IjZ?., = Д(Л2. Необходимость
доказана.
Пусть обра гно kx — к2 (АХВ2 = BtA.,). Тогда tgO = 0.
Следовательно, прямые параллельны. Достаточность
доказана.
Теорема 2. Для того, чтобы прямые были пер-
пендикулярны между собой, необходимо и доста-
точно, чтобы к2 = — -L (д1У42 + В1В2 = 0).
6 Б-5<М
81
В самом деле, если прямые ортогональны друг
другу, то ортогональны и их нормальные векторы,
имеющие для прямых с угловым коэффициентом вид:
= k/i —J, Л; = А’г/ —а Для прямых с общим урав-
нением V, = A, i + BJ, Л’2 = A,i + B.2j. В силу ра-
венства (Л'.Л'Л = О получим, что А’Д2 + 1 = О и соот-
ветственно Д А, + ВХВ2 — 0.
Пусть обратно, J:2 =----. Это значит klk2 + 1=0.
Ад
Поскольку для прямой у — A’j.v + b{ нормальный век-
тор Л\ имеет координаты (А’,,— 1). а для прямой
y — k2x + b2 N2 = k.,i.—j, то равенство кхк2 + 1 = 0
эквивалентно (Л’(Л’2) -- б. Следовательно, нормальные
векторы у прямых opi огоиальны. Ортогональны и пря-
мые. Аналогичное рассуждение проводится в случае
выполнения условия AtA2 + ВКВ2 — 0, если вспомнить,
что ,V, = АД + Вх j, ,V2 = A2i + B2 j.
 \Hopмированное уравнение прямой. Рассмотрим
прямую, не проходящую через начало координат,
опустим из начала координат перпендикуляр на пря-
мую (рис. 23а) и обозначим через Q точку пересечения
перпендикуляра и прямой. Пусть п — орт вектора
OQ = q. Для любой точки М прямой вектор (г — у)
ортогонален к п, т. е. ((г — </)/л) = 0. Поскольку п—
орт-вектор, то и. = i cos а +/sin а, где а = (/,//), и
(Я п) ~ IЯ11111 cos (7, п) = р (длина перпендикуляра, рав-
ная расстоянию от начала координат до прямой). По-
этому равенство ((г — </) п) == (г п) — (у п) == 0 в коорди-
натах имеет вид
х cos а + у sin а — р = 0.
(10.6)
Уравнение (10.6) носит название нормированного {нор-
мального) уравнения прямой.
82
I
Пусть прямая задана общим уравнением Лх + By +
+ С О или (гЛ ) + С 0. Найдем выражение для
единичного вектора //, коллинеарного с Л. Получим,
Д'	л г в ~Г
что fl ----— =------ I Ч--------	•	/, Поэтому нор-
6|Д’| е] Ла + В2 el А2 + В2'
мированное уравнение имеет следующий вид:
— — X-----------•-----------—.	(10.7)
< | А3 - В3 • У JP + & И -V - В3
где £ = — 1. если свободный член С< 0 и е = — 1.
ли С>0. Такой выбор знака перед корнем опреде-
ляется тем. что в (10.6) свободный член — р всегда
отрицателен.
Пример. Пронормировать уравнение прямой
х— v — 1—0. Так кзк свободный член положителен,
то нормирующий множитель будет равен
1	1
I F _ j/ )Т‘
Поэтому нормированное уравнение имеет вид:
Используя нормированное уравнение прямой, легко
вывести формулу вычисления расстояния d от точки
до прямой.
Пусть Л^(х$; yj — точка вне прямой xcosa —
-г ; < I n z — р == 0.
Определение. Отклонением 5 точки -Ис от пря-
мой называется число, разное 4- d, если Af0 и начало
координат доходятся по разные стороны прямой, и
разное —если .И и начало координат находятся
по одну сторону от прямой.
1 - орем г. Для вычясления отклонения 8 точки
°т прямой xcos ft + у sin а.— р = 0 нужно
в левую часть уравнения вместо х и у подставить
коорjинаты х0 и у. точки Л1о, т. в.	к
— x0cos а -г- ус sin 2 — р.	(1 0.8)
Для вычисления расстояния от точки до прямей
получаем формулу
-1xfJ’cos а 4- уsin а — р\.	(10.9)
Докажем теорему. Доказательство проведем для слу-
чая. когда на . л координат . V находятся по раз-
ные стороны прямой (рис. 236). В другом случае все
повторяется буквально. Для рассматриваемой ситуации
8 == Пр^ ЛГ Af» = Пр . QR.	Но	(Пр_, ОМЛ п-
п	п	п
~ рп= (г^п) п — рп. Поэтому г = (QA? • п) = (гоп> — р.
так как = Формулы (10. "Ч. а. еле.то за-ель и о,
и 110.91 доказанtjU-L
Пример. Найти расстояние от точки Р (1, — 2)
до прямой 2х -j- у — 3 = 0.
Нормируем согласно (10.7» данное равнение:
Подставляем координаты точки Р(1, —2). Получим, что
Гв качестве приложения формулы для отклонения
(10.8) выступает вывод уравнений б. лектрис углов,
образованных при пересечении прямых Alx-rBlу — Сг =0
и Лу-By+ Q = 0. Так как биссектриса есть ГМТ
равноудаленных от сторон угла. то. учитывая знак
отклонения текущей точки биссектрисы .И(.¥: }'» от
перво:’ и второй прямой, пол учим уравнения биссек-
трис. А именно
для угла, где отклонения
совпадают по знаку, а также
А, \ v
для угла, где отклонения разнятся знаком.
35
Пример. Панги уравнения биссектрис углов, обра
чованных пересечением прямых л 2у г 1 = О и
2л- + у - 2 - 0.	j
Решение. Нормируем прямые. Имеем--— л- ’г
1 °
’	1	2	1	2 а п
+ ’ v * »0и	=л+-7=у-т^ =0. Для
I 3 ' 1г.э	I	I •• I •’
3 v .	1
одинаковых знаков о получим, что-—л !- -у== 2 у
л—= 0 или К = ЗА' — 1.
15	1.3.
Зля разных знаков о полечим, ч го Л г —— Ь
-----=0, т. е. А -ЬЗГ — 3 О или >'	-- Д' л ].
| 5	3
L ^Взаимное расположение двух прямых /З.у г
4-^ = 0 и Д2л* -I- В2у + С2 0 па плоскости описы-
вается тремя ситуациям!!: (1) прямые пересекаются:
(2) прямые параллельны, ио не совпадают; (.3) прямые
совпадают. Рассмотрение системы уравнений
0
О
(10.10)
х уравнении
если on ре де-
имеет един-
с привлечением теории систем линейны
приводит нас к следующим выводам: (1)
литель
=Н=0, то система (10.10)
ственное решение — прямые пересекаются; (2) если
равен двум,
= 0, а ранг матрицы
то система не совместна — прямые параллельны и
равен 1. то
не с овпадают; (3) если ранг
прямые совпадают.
Перейдем к описанию пучка прямых.
Определение. Множество всех прямых пло-
скости, проходящих через точку 3/и(л0;у0) плоскости
(называемую центром), называется пучком прямых.
Как задать пучок прямых? Первый способ состоит
в задании центра пучка Л/о(А'о^Уо)« В таком случае
множество всех прямых, проходящих через эту точку,
опишется соотношениями
I x x0
Второй способ состоит в задании двух фиксирован-
ных пересекающихся прямых: /IjX-p/^y Q О и
v -|- В.,у 4- С» О (^В.» А7Л / ^)-
Теорема. Уравнение пучка прямых с центром
в точке пересечения прямых Л{х + ^{у + Сх 0 и
А »х 4- /Ву 4- С» = U (без определения координат точ-
ки пересечения) описывается соотношением вида
/ (Лх4-/М’ 4- С\) 4’ |ь(Д,х + й2у -г С2) = 0, (in. 12)
где X, il — произвольные вещественные числа.
Действительно, (10.12) относится к уравнению вида
Ах^Ву I С = 0 и, следовательно, есть уравнение
прямой (при ч = 0 имеет первую базовую прямую
сучка, при X 0 имеет вторую базовую прямую). Пря-
мая. описываемая уравнением (10.12), проходит через
точку пересечения базовых прямых, ибо координаты
точки пересечения обращают в нуль как первую скобку,
гак и вторую и, следовательно, удовлетворяют (10.12).
Наконец, (10.12) описывает все прямые пучка, т. е.
какова бы ни была наперед заданная прямая, прохо-
дящая через центр пучка, она будет описываться урав-
нением (10.12) при некоторых значениях параметров
л и 4. В самом деле, наперед заданная прямая пучка
однозначно определяется заданием еще одной точки
Р(Х\^У\) (перез 2 точки проходит единственная пря-
мая’). Если мы покажем, что найдутся такие X и р,
что координаты точки Р удовлетворяют (10.12), то
доказательство теоремы будет закончено. Все эти
условия соблюдаются, так как, взяв
> Л । 4- В > v 1 4 С
Л = — ——-----—-----— • а
Лрг, 4- Вх 4- Ct
мы получим
X (Д1х1 4- Р\Уi 4~ CJ + Ji (AjXj д 52у( + G) = 0.
Пример. Через точку пересечения прямых х — у 4-
4-1=0 и 2х 4- у 4- 1 = 0 проходит прямая, параллель-
ная прямой 3x4-у 4-1=0. Написать ее уравнение.
Решенис. Имеем X(х — у + 1) -р и(Од- 4- у 4- 1)=0
пли (X + 2р.) xt4- (— X 4- |i) у 4- \ 4- и = 0. Условие парал-
лел ьности: X 4- 2р. = 3 — X + |i =3 1 ? т е X == А и = -i
3 ’ f 3
Cj
Ответ: Зх р v 4- ~- = 0.
. 1 е к ц и я II
ПРИВЕДЕНШ' ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ
ВТОРОГО ПОРЯ 1К\ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ.
•.I.1HHC. ЕГО ФОРМА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА
В преды гущей лекции мы изучали па плоскости
геометрический образ. описываемый в декар i оной
прямоугольной системе координат уравнением первой
< тетки: Ах i By + О — прямую .iiiuirK). Сл йчас
мы перейдем к исследованию линий на плоскости,
координаты точек которых в прямоугольной системе
координат удовлетворяют уравнению второй степени
Мы отступаем от традиционного изложения теории
кривых второго порядка, как ГМТ, обладающих опре-
деленным свойством, и начинаем с классификации
кривых второго порядка, приведя общее у равнение
к каноническим видам. Полное и последовательное
изложение этого вопроса для //-мерного евклидова
пространства будет представлен^) в линейной алгебре
(лекция 25). Здесь же проводится хотя И строгое, но
с учетом двумерною случая специфическое нссле ц -
ванне без привлечения аппарата линейной ;1Л1 ебры.
Затем с использованием канонических уравнений уста-
навливаются геометрические свойства кривых, поло-
женные в основу их определения как геометрического
места точек.
Определение. Линия, определяемая в прямо-
угольной системе координат уравнением
Ах3 + 2Вху ь Су1 ь 2Пл + 2Еу Г /•’ = 0,	(11.1)
где .4, В, С одновременно не. обращаются п нуль, на-
зывается кривой второго порядка, а уравнение (11.1)—
ее общи ч уравнением.
Совершенно очевидно, что всякая окружность
(X а) 4- (у Ь} —/<2 есть кривая в торого порядка
(11.11 при А С, В О, так как после возведения
в квадрат имеем х2 + у2 - 2ах — 2by + а2 ft2 — /?2 = 0.
Обратно» ес.ш в (ЦД) А — С. В=--0, ~<0, то
л
(11.1) есть уравнение окружности. В самом деле,
умножив (11.1) на у, получим л1 I у2-2«л 2Ау-
Л
-с-0 [а	~Х'6	~/>П)’ К(УГОРОе
может быть записано в виде (х а)2 (V —Ь)2 с+а2 1 Ь3.
Нашей целью является выбор такой новой прямо-
угольной системы коорднна i |б) ,/,/,/ }< отно< и
тельно которой уравнение кривой (11.1) имеет наи-
меньшее число числовых параметров (каноническое
уравнение). Переход осуществляется по форму-
лам (8.1 1)
д- д' cos а — у' sin а |- а	(112)
у. д 'sin а I у COS а 4-/;
Подставив вместо х и у в (11.1) их выражения (11.2),
получим
i (X'5 Cos'' Z | у 2 sin2а 4- а2 — 2х'у' cos а sin а 4-
in.zx'cosz 2«y'sina) | 2В(х *COS а sin аД-х'у'COS2 а
।	• b v' cos i — x'y’ sin2 а — у'" Shi a cos а — by’ sin а 4-
l (. v’shi'! чу’ cos a -!• ab) I C(x' sin2a4-yz COS2a-r
I 4- b2 I 2x' y' cos a sin а 4- 2bx' sin а 4- 2by' cos a) +
4 ix' cos a — y' sin a I a) |-2/: (x'sin a 4-
4 y' cos a I- b) I- /'— 0.
Приведя подобные члены, имеем
. Vx'? 4- 2/Гх'у' 4- С'у’2-I 2/J'x' 4- 2Е'у' + Е' = 0, (11.3)
где новые коэффициенты выражаются следующим
образом:
Д' = A cos2 a 4- 2В cos a sin a 4- C’sln2a
B'==B cos 2y. 4- 7- (C — A) sin 2a
«
С’ = Л sin2 a — 2B sin a cos a 4- Ceos2 a
ГУ -- а (Д COS a4-B sin a) 4- b (B cos a4-Csln a) 4- .
+ D cos a 4- Esin a
/•' — a (B cos a—Л sin a) 4- b (Ceos a—В sin a) —
— D sin a + Ecos a
p> Да2 4- 2Bab 4- Cb2 4- 2Da 4- 2Eb 4- E
(11.4)
Отметим слс iviomiifi факт: опр< делитель A =
В С
составленный из коэффициентов при второй степени,
есть инвариант относительно преобразований коор-
динат (11.2). В самом деле, подставив в выражение
Л ГС —/Г2 значения А,В,С из (11.4), получим
Д' = А’С — В'2 = (АС— В2) sin4 а -Г (АС — В2) cos4 а 4-
4 2 (ЛС — Е2) sin2 а cos2 а — (АС—В2) (sir.2 а 4- cos2a)2=A.
(11.5)
Если в уравнении B^Q, то в преобразованиях
(11.2) угол а подберем таким, чтобы коэффициент В'
в (11.3) обратился в нуль. Для этого достаточно, что-
бы В cos 2а + Т (С—zl)sin2a = 0, т. е.
Clg-?a==.-i^-Q.
(11.6)
Распорядимся сейчас выбором параметров а и b для
упрощения вида уравнения (11.3), где В' = 0. С этой
целью дальнейшее рассмотрение разобьем на 2 случая
в зависимости от тою. отличен от нуля определитель
Д =	— /г в уравнениях (11.1) или он равен нулю.
<Д| Пусть А = АС—В2 0. Заметив, что опредс-
литель, составленный из коэффициентов при а и Ь ыя
D' и Е' в (11.4)
Д cos а + В sin a flcosa+Csina
В COS а - Д Sin a Ccosa — В sin a АС~Ь
г	,	<1Ь7)
выберем а и b таким образом, чтобы D' 0 и £' = 0.
Для этою, согласно (11.4), необходимо решить сн-
’j '	}равнений относительно неизвестных а и b
(значение а фиксировано равенством <11.6))
a (A cos a + В sin a) 4- b (В cosa | Cslna) -)
•	~= — Deos a — Esin a
a (B cos a — Д sin a) 4- h (Ceos a — В sin a) =
D sin a — /; cos a
90
В силу (И-7) для а и /' по формулам Крамера имеем
единственное решение.
Подставив найденные значении а, а, b в А', С', /'
из (11.4), мы получим в штрихованной системе коор-
динат с началом в точке О'(а; Ь) следующее уравнение:
(11-8)
Покажем, что начало координат (У (а\ Ь) является
центром симметрии кривой (11.8), а штрихованные
оси координа г — осями симметрии. В самом деле., если в
уравнение (11.8) вместо координаты х' подставить — х',
то уравнение не измени гея. Не изменится оно и после
замены у' на — у'. Это значит, точка О (пересечение
осей О'х' и О'у') есть центр симметрии кривой (11.8).
Линию второго порядка, имеющую единственный центр
симметрии, называют центральной, остальные носят
название нецентральных.
Если г=/=0, то центральная кривая называется не-
вырожденной, при г = 0 — вырожденной.
(А.1) Невырожденные центральные правые. Пред-
V” V”
ставив уравнение (11.8) в виде -----F — = 1 (ради уп-
г	г
р	q
рощевия записи штрихи у переменных опустим) и обозна-
чив — = с^2. — == S2^2 (Я, О > 0,	± 1» s2 = ± 1), по-
р
лучим
(11.9)
При е1 1, е, 1 имеем каноническое уравнение
эллипса
(11.10)
Ког ш а - Ь, эллипс представляет собой окружность.
При £| —1, е.» - — 1 имеем каноническое уравнение
гиперболы
При = —
в ко гопом
“У”1-	0l.ll>
П -2	1 ошг 1, имеем уравнение гиперболы,
котором по сравнению с (11.11) роль переменной л
играет у и наоборот. Этот случай принципиально не
отличается от предыдущего.
При е, =— 1, е2 — — 1 вещественных точек не су-
ществует (мнимый залит). Очевидно, что первый
и четвертый случай соответствуют ситуации, когда
А > О. второй и третий, когда А < 0.
(Л.2) Вырожденные центральные кривые. Прит- о
уравнение (11.8) записывается в виде
.-2
= 0 fe, а2 — — , e.Z? = —
\ Р *	9
При е1 == 1, е2 = 1 (А > ()) имеем одну точку О' (0,0).
При £| = 1, е2 =— 1 (А < 0) левая часть (11.12) распа-
дается иа два сомножителя — + — \{-— -) = 0. По-
\ л b ] \а b /
этому имеем пару пересекающихся прямых
. ^ + ^-- о,
a b b Ь
(11.13)
При ej = — 1, е2== 1 (Д < 0) ситуация та же самая. Этот
случаи ничем принципиальным от предыдущего не
отличается.
Наконец, при = — 1, г2= — 1 (Д > 0) возвраща-
емся к первой ситуации.
(В). Пусть Д==ЛС-В2 = 0. Взяв а = 0, b == 0
в (11*2)» после выбора угла поворота осей а в виде
(!!.(>) мы получим, что В'= 0. Из-за инвариантности А
имеем Д'= Д'С' 0. Пусть А' = (I (если С' = 0, то
все рассуждения повторяются буквально, только рольх
будет играть у), и. следовательно, С'^О. Уравнение
(11.3) принимает после умножения на — следующий
вид:	С
v 2 + 2рх' 4- 2<7у' + г = 0.
(11.14»
После переноса начала координат в точку
(случай р = 0 будет рассмотрен ниже) имеем
у"2 ^1рх\	(11.15)
Получили каноническое уравнение не центральной
невырожденной, кривой второго порядка — параболы.
Если в (11.14) p — Q, то после переноса начала
координат в точку О" (0; —q):x" — x', у" — у'-У q
имеем каноническое уравнение вырожденной нецен-
тральной кривой второго порядка
(у")2==еа2 (гп2 = ^2 —г, е=±1).	(11.16)
При е— 1 уравнение (11.6) описывает пару параллель-
ных прямых (при а — Q слившихся), при s = — 1— пару
мнимых параллельных прямых.
На этом классификация всех возможных алгебраиче-
ских линий второго порядка закончена.
/перейдем к рассмотрению свойств и установлению
формы эллипса (11.10). При этом мы будем предпо-
лагать, чго Ь<а (при ’о > а роли переменных х и у
меняются местами), и называть а — большой полуосью
эллипса, b — малой полуосью эллипса.
Введем параметр с > 0, определив его из равен-
ства с2 = а2— /Л и рассмотрим на оси Ох две точки
/\ (— с, 0) и /-2(с;0) так, что начало координат делит
отрезок /’/'г пополам. Вычислим сейчас расстояния
rt и г2 от точек Ft и F„ до произвольной точки эллипса
.VI (х; у): г, = ]/(х + с)2 4- у2, г2 = (х — с)2 + у2. 11з
уравнения (11.10), подставив вместо Ь2 его выражение
909	9	° О 9 С О
Ь — а —с , получим у — а~— с~ — х -|—х и вне-
а2
сем его под корни дл > г, и г2
Из уравнения (11.10) следует, что |х|<</, и так как
с а, го —х <<7. Таким образом, а + —х>0 и
93
iz — — л* > 0. Поэтому для г( и г2 окончательно имеем
rt a -j ex, - а — сх,	(11.17)
где параметр е — — < 1 называют эксцентриситетом
а
эллипса. Складывая равенства (11.17), получим, что
г, 4- г2 = -а Д;,я любой точки эллипса. Это свойство
позволяет определить эллипс как геометрическое
место точек плоскости. сумма расстояний от ко-
торых оо двух данных точек /\ и Г2 (называемых
фокусами эллипса) есть величина постоянная (боль-
шая чем расстояние между фокусами).
Числа гх п г2 из (11.17) часто называют фокаль-
ными радиусами эллипса.
Исследуем форму эллипса по его каноническому
уравнению. Нами уже установлено, ч го оси коорди-
нат являются осями симметрии, а начало координат—
9	О
гт	Л 1 V* . .
центром симметрии. Поскольку —<1 и — <1, то эл-
липс расположен в прямоугольнике | х | < а, | у | < Ь.
Для исследования формы эллипса в силу симметрии
достаточно рассмотреть ту его часть, что лежит в пер-
вой координатной четверти: у —— | я2—х2. Получив
а
график этой линии и достроив ее симметрично в осталь-
ных четвертях, получим линию эллипса (рис. 24а).
При изучении эллипса особую роль играют две
прямые, перпендикулярные к оси Ох, с уравнениями
х = 4 — (рис. 246) — ди рект рисы эллипса. Для эллипса
е
е<1, —>«, и, следовательно, директрисы располо-
е
жены вне эллипса. Дли директрис имеет место теорема,
которую можно взять за новое определение эллипса.
Т е о р е м а. Отношение расстояния от любой
точки э 1липса оо фокуса к расстоянию се до соот-
ветствующей директрисы есть величина пос тоянная.
равная эксцентриситету эл гипса.
Действительно, пусть Л/(.с; у) — точка ллшв а.
и д2 — расстояния до соответствующих директрис.
В силу симметрии достаточно доказать теорему дл 1
одного из фокусов (например, для /Д.
94
Рис. 24.
11оэ тому </., =-= | Л Г I)21 = — — л*. Поскольку r2 ~ <7 — ex,
В заключение остановимся на параметрическом
уравнении эллипса. С этой целью рассмотрим окруж-
ность х I у ==и3 и произведем точечное сжатие пло-
ckoci и вдоль ординат точек
(11.18)
Подставив в уравнение окружности, получим
ние эллипса 4-2—	1. Пусть окружность
У ра вне-
за дана
в параметрической форме: x = acos/, у as|
(/£{<>, >-)). Из (11.18) находим X = acos/,
— Zjcos/ (/£(0. 2~)). Поэтому параметрическое упав
пение эллипса с полуосями а и 1> имеют вид ’
a cos t
b sin t
(0 < / < 2-).
(11.19)
В следующей лекции мы изучим гиперболу и пара-
болу.
Лекции 12
ГИПЕРБОЛА, ЕЕ СВОЙСТВА И ФОРМА.
ПАРАБОЛА, ЕЕ СВОЙСТВА И ФОРМА.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ
И ПАРАБОЛЫ. УСЛОВИЯ КАСАНИЯ ПРЯМОЙ
И КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Перейдем к установлению геометрических свойов
и формы гиперболы
(a,b>0).	G2-D
а2 №
Введем параметр с>0 с помощью
с2 = а2 + ^2» так что с > а> 11 рассмотрим
две точки /\ (—с
равенства
на оси Ох
lib! ЧИСЛИМ
расстояния |/',Л41, \I\M\ до произвольной точки гни j
болы А/ (А" У): | Z7!/И I == П' ’ К (* + СУ + У1'	1 j*
= |/(Х —с)г4 / Из (12.1) находим у2	" *
__t2 (22 л подставляем в выражения для 'i
Имеем
90
£ -параметр. называемый
(I
(12.2)
жцентриситепо.
1, так кзк
равенствами
Поэтому в
'	“	“	Заметим, что М» пшерволы <*
nitieiСОЛЫ» > 111 
,1|ные возможности, представляемые
Исследуем различные воз.л	л- . т е
(12.2). Из (12.1) следует Ь
зависимости от
lymOCKOCTII (А Д> О/ или
ля (12.2) различные.
. ох ,0 и а—ех<1). так -ак
«.Поэтому в правой полуплоскости
е > 1, >
выполнено
Если х<0, то а 4- сх < 0, так как \ех\ а. и
- ех > 0. Поэтому в левой полуплоскости выпол-
нено
г, = — а — ех, г2 = а — ех.	(12.4)
Из этих рассуж 1,ений вытекает, что гипербола состоит
из двух симметричных ветвей, расположенных соот-
ветственно в правой и левой полуплоскостях. Из (12.3).
(12.4) для обеих ветвей выводим инвариантное ра-
венство
новое определение
• -новации (12..)) можно дать новое определение
(./н</' .''тйЫ Как	плоскоспи1> модуль разности рас-
!' Г и°!" l'’onioPhLX до двух таксированных точек
гипероны, есть вели-
“ия между фокусамц|PdBHa$l НУЛ'° " меыьшая расстоя-
01 и ' ’л‘ it о,'’п'нрг,111еРб°лы отметим, что
Иоскодьку	PML (чентр гиперболы).
(Х| >rt)- то вет»и гиперболы лежат
&7
на плоскости вне полосы — а<х<а. Точки пересе-
чения ветвей с осью Ох (у = 0, Д (— а; 0). А Ла; 0))
называются вершинами гиперболы. Для гиперболы,
заданной уравнением (12.1), ось Ох называется
ствительной осью гиперболы, а ось Оу — мнимой осью
гиперболы .пересечения нет из-за равенства
В силу симметрий достаточно исследовать форму
гиперболы в первой четверти, у =	] х2 —а\ а затем
распространить на всю плоскость. Наряду с указан-
ной ветвью гиперболы целесообразно рассмо~р-ть
луч. исходящий из начала координат, с уравнением
* ь*
Y = — х.
а"
Пусть .И—точка гиперболы с абсциссой х. Д' —
точка указанной прямой с той же а'сциссой. Для
нос"и ординат имеем
При неограниченном возрастании х данная таэность
монотонно стремится к нулю, так на?;
!lm (Y — у) = — Jim (х — ]/ х? — а~) =
J-.OQ	& Х-^ОС
Поэтому прямые у = ± — х являются асимптотам
а
X» н
гиперболы — — — = 1. Для построения асимптот строим
-
прямоугольник со сторонами л«=? ± а, >*= д: Асимп-
тоты-прямые, содержащие Д1;а гона л и прямоугольника.
При построении гиперболы удобно построить СЖММВ
асимптоты, а затем ветви гиперболы (рис. 25а).
Для гиперболы вводятся две прямые, перпендику-
лярные к оси Ох. с уравнениями х— ± —, и называв-
мые директрисами гиперболы. В силу неравенства
е > 1 директрисы лежат между вершинами гиперболы-

Так же, как и для эллипса, имеет место утвержде-
ние- Д=Д = ('. где rf. и d. — расстояния от точки
d; rf,
гиперболы до соответствующих директрис (рис. 2об).
Доказательство совершенно аналогично тому, что
проведено для эллипса, и поэтому мы приводи, ь его
не будем. Приведем лишь формулировку теоремы,
которая является фактически еще одним определением
гиперболы.
Теорема. Отношение расстояния от любой
тонки гиперболы оо фокуса к расстоянию ее чо
соответствующей директрисы есть величина п кто-
янная, равная эксцентриситету гиперболы е > 1.
Отметим, что гипербола — =1 называется
Ь~ С.‘
сопряженной по отношению к гиперболе (12.Г). Дей-
ствительной осью сопряженной гиперболы является
ось Qy. асимптоты остаются прежними.
Перейдем к установлению геометрических свойств
и вида формы параболы
у? = 2рх (р>0).	(12-6)
Прежде всего отметим, что кривая лежит в правой
полуплоскости (.г > 0) и проходит через начало коор-
динат. Рассмотрим точку F Оу, называемую фоку-
сам параболы, и прямую, перпендикулярную к оси Ох,
с уравнением х = —называемую директрисой па-
рабо. ы. Пусть v) — произвольная точка пара-
болы. Вычислим расстояние
поде га вив из соотношения (12.6). Получим
Расстояние d от Л1 до директрисы л==— ~ также
равно х + ~ . Поэтому для параболы — = 1. Таким
100
образом, парабола есть ГМТ, для которых расстоя-
ние оо фиксированной точки F (фокуса параболы)
равно расстоянию до фиксированной прямой (дирек-
трисы параболы).
Так как для эллипса и гиперболы отношение —
есть постоянное число, равное е — эксцентриситету,
то и для параболы отношение — — е называют эксцен-
d
триситетом. т. е. для параболы 1.
Из приведенного рассуждения следует, что эллипс,
гипербола и парабола обладают общим геометриче-
ским свойством: отношение расстояния г от любой
точна Л/ каждой из этих кривых ао фокуса к рас-
стоянию d от этой точки Л1 до соответствующей
директрисы есть величина постоянная, равная экс-
центриситету е кривой.
Форма параболы легко устанавливается с исполь-
зованием симметрии относительно оси Ох и монотон-
ного возрастания функции у = з 2рх (рис. 26а).
Для вывода единого уравнения эллипса, гиперболы
и параболы в полярной системе координат восполь-
зуемся установленным единым для этих кривых свой-
ством — = е.
d
Пусть задана какая-либо из перечисленных кривых.
Поместим полюс полярной системы координат в фо-
кус Л а полярную ось — по перпендикуляру от дирек-
трисы к фокусу (рис. 266
Пусть В —точка пересечения кривой с перпендику-
ляром к полярной оси, исходящим из фокуса F,
и р —длина вектора IB. называемая фокальным пара-
л
метром. Согласно свойству — — е имеем, что ——
d	I СВ I
=	Поэтому	также
|£Л|	е
д - |£)Л1| = |£V| = |f/'| г cos & — — + г cos ®.
Поде а в. 'яя данное выражение в отношение — =
получим	а
101
откуда следует полярное уравнение для
ваемых кривых второго порядка (с<_1—элл
гипербола, е 1 — парабола):
102
r~-----S.---.	(12.8)
.	1 — e cos /
Отметим, что при е>1 из-за условия г>0 урав-
нение (12.8) описывает только одну ветвь гиперболы,
внутри которой лежит фокус.
Эллипс, гиперболу и параболу называют кониче-
скими сечениями, потом}’ что их можно получить
путем сечения плоскостями кругового конуса. Если
плоскость пересекает только одну полость конуса и
параллельна одной из образующих конуса, то получим
параболу. Если секущая плоскость пересекает только
одну полость конуса и не параллельна ни одной обра-
зующей конуса, то коническое сечение будет эллип-
сом. Когда секущая плоскость перпендикулярна осп
конуса, получаем окружность.
Наконец, если секущая плоскость не проходит
через вершину и параллельна оси конуса, то получим
гиперболу.
В заключение лекции остановимся на условиях
касания прямой и кривой второго порядка, заданной
своим каноническим уравнением. Рассмотрение под-
робно проведем для эллипса. Для гиперболы и пара-
болы все повторяется буквально, и для них мы при-
ведем лишь результат.
Пусть заданы прямая Аг 4-5у + С = О и
.2	«2
— у— == 1. Считаем	так как прямые,
а- Ь2
ЭЛЛИПС
перпен-
дикулярные к оси Ох (В = 0) н касающиеся эллипса,
известны (х = ± а). Совместное рассмотрение системы
уравнений
приводит к квадратному уравнению
корни которого должны совпадать (прямая Дх + By +
+ С— 0 касается кривой). Поэтому дискриминант
103
[)•— лгС* _ /£ и -1' ) [ с — I) = 0, откуда следует
к.юте касании прччоЛ Лх+fly + C — 0 и эллипса
>+4 = 1
<1: №
А2 а2 + В2 Ь2 = С2.	(12-9)
Аналогично рассуждая, получим условие касания
прямой и гиперболы (12.1)
А2 а2 -В2 Ь2 = С2.	(12.10)
а также прямой y = kx-\-b и параболы уг = 2/’л
(А — р}2 — A2 b2.
Пример. Написать уравнение касательной к эл-
липсу ^ + ^=1, которая быта бы перпендикулярна
• 35	16
к прямой 2х — 3v+ 1=0. •
Решение. Условие перпендикулярности прямой
Ах 4- 5у -г С = 0 и прямой 2х — Зу + 1 = 0 записыва-
ется в виде 2А-ЗВ = 0 (А = 7^1, а условие каса-
ния: 25.V+ 16В2 = С2. Решая совместно данные усло-
вия, получим ^254- 16уВ- = С2, т. е. С—+-В-
Подставляя в уравнение прямой значения параметров
А = ^В, С= + ~В и сокращая на общин множитель
±-В, получим два решения задачи: Зх 4-2у ± 17 =0.
Лекция 13
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
аналитической геометрии ;в пространстве.
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИ И
В ПРОСТРАНСТВЕ. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ
ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Переходим к аналитическому рассмотрению гео-
метрических образов в пространстве относительно
прямоугольной системы координат {0, i,/, Л). Нредва-
104

рительно остановимся на трех простейших понятиях
аналитической геометрии в пространстве, лежащих
в основе решений прикладных задач.
Определение. Под расстоянием г/ (Mt, М2) меж-
ду двумя точками AJt (xt; у,; z,)t Af.(x2; у2; zs) пони-
мается модуль вектора A/t./W2, т. е.
d (Л^ , Л/2) = d (гИ2, MJ = | .ИиИ21 =
= ]/ (x, — xj2 + (y2 — y,)2 4- (z2 — zj2.
(13.1)
Пусть задана упорядоченная пара точек
; УН^),
В (х2; у 2;
Z,).
Проведем прямую линию, проходящую через точки
А и В. и выберем на прямой точку С (х; у; z), не сов-
падающую с точкой В. Рассмотрим векторы АС и СВ.
Они коллинеарны, и мы можем записать
АС = \СВ.	(13.2)
"Число X в (13.2) называется отношением, в кото-
ром точка С оелит отрезок АВ.
В координатах (13.2) имеет вид
х — х, =[Х (х2 —|х), у'— у, = X (у2 - у). z - z, = X (z2—z),
откуда^находим
а также
. (13.3)
делит отрезок попо-
В частности, при Х=1 точка С . "
лам. Координаты середины отрезка будут иметь вид
(13.4)
2
1асто в приложениях участвует формула для пло-
щади треугольника, заданного своими вершинами
Л] (х,, У]; z,), А <х2; у2; z2), А3 (х3; у3; z3). Напомним
ее (см. лекцию 7)	3
105
Перейдем к выяснению геометрического смысла
уравнения с тремя переменными. Целесообразно начать
с примера. Пусть нам задана сфера с центром в точке
(?(л: г)	R. Сферу можно определить как
ЛИГ ".ростран, тва, отстоящих от центра сферы
на одном и том же расстоянии R. Если Л/(х: v;z)
произвольная точка сферы, то |С.И| = R или |С.И|2 = R\
R координатах это равенство называется уравнением
сферы и выглядит следующим образом:
(х _ (7)2 + (у 1	4- (Д - И2 - R2.	(13.6)
В частности, если центр сферы находится
координат, уравнение будет иметь вид
2	2 т	Г)2
д -г v -Г с* = R .
в начале
(13.7)
В аналитической геометрии поверхность рассмат-
ривают как множество точек пространства, обладающее
определенным свойством. Поэтому, если ЛЦх; у; z)—-
произвольная точка поверхности, то посредством со-
отношения. связывающего 3 переменные х, у, z, выра-
жают их общее свойство.
Определение. Соотношение /Цх, у. г) = 0 назы-
вают неявным уравнением поверхности в простран-
стве (z = / (д, у) — явным уравнением), если ему удов-
летворяют координаты любой точки поверхности и не
удовлетворяют координаты ни одной точки, не при-
надлежащей поверхности.
Заметим, что уравнение F{x, у, с) = 0 может иметь
особенности и множество точек, координаты которых
удовлетворяют ему. может быть пустым, составлять
конечное или счетное множество, распадаться на
ветви и т. д.
Например, множество действительных точек, удов-
летворяющих уравнению x2-by:+z2+1 =0, есть пустое
множество, уравнение л2 -ус2 —0 определяет одну
точку О (0; 0; 0). уравнение х2 — л2 = 0 может быть
представлено в виде (л* — z)(x,-rz) = 0 и поверхность
распадается на две ветви: х— z==0, x-rZ = 0.
106
Пусть в уравнение поверхности не входит одна
из переменных. Какую поверхность определяет такое
уравнение? Чтобы ответить на этот вопрос, дадим
определение цилиндрической поверхности.
Определение. Цилиндрической поверхностью
(цилиндром) называется поверхность, полученная дви-
жением прямой, перемещающейся параллельно некото-
рому вектору и пересекающей во время движения
фиксированную линию. Движущаяся прямая называется
образующей цилиндрической поверхности (рис. 27а).
Пусть, например, уравнение не содержит z и имеет
вид А(л\ у) = 0. На плоскости хОу уравнение опреде-
ляет линию (рис. 276). Но этому уравнению удовле-
творяют также координаты точек пространства,
у которых первые две координаты совпадают с коор-
динатами точек А, а координата z произвольна, т. е.
координаты точек всех прямых, перпендикулярных
к плоскости хОу в точках кривой L. Данная поверх-
ность получена движением прямой вдоль L параллель-
но вектору k. Итак, уравнение F(лг, у) = 0 определяет
цилиндрическую поверхность с образующей парал-
лельной оси Oz. Аналогично, F(x. г) — 0 задает цилин-
дрическую поверхность с образующей параллельной
оси Оу, a F(y\ г) = 0—цилиндр, образующие которого
параллельны оси Ох.
Методы аналитической геометрии и линейной алгебры
позволяют выяснить свойства поверхностей, левая
часть уравнения которых представляет полиномы пер-
вой и второй степени (поверхности, описываемые
llTl я
более сложными уравнениями, изучаются методами
математического анализа и дифференциальной геомет-
рии). В связи с этим дадим определение алгебраиче-
ской поверхности.
Определение. Алгебраической поверхностью тл-го
порядка называется поверхность, левая часть уравне-
ния которой представляет полином ап-й степени отно-
сительно переменных х, у, л, т. е. сумму слагаемых
вида Агу' У. где р 4- q 4- г < т \p,q,r> 0).
Например. Av -t- By 4- Cz -г D = 0 — общее уравне-
ние алгебраической поверхности первого порядка,
а Лк2 + 2Вху - 2Cxz 4- Dy2 4- 2Eyz 4- Fz2 4- 2Gx4-2A/y-r-
— 2A г 4- L — 0 общее уравнение алгебраической по-
верхности второго порядка.
107
Рис. 27.
Линию в пространстве
можно рассматривать как
пересечение двух поверх-
ностей
(13.8)
г. е. линия есть ГМ1\
координаты которых удов-
летворяют системе двух
уравнений с тремя неиз-
вестными.
Линию в пространстве
в классической механике
рассматривают как след
движущейся материальной
точки, координаты которой
есть функции времени t
(параметра /)
X = X (/) '
№У(<) 
Z = Z (/) ,
Рис. 28.
(^П-	(13.9)
В аналитической геометрии от временного смысла
параметра отказываются, и t может иметь смысл пе-
ременного угла и др.
Уравнения (13.9) носят название параметрических
уравнений линии в пространстве.
Пример. Пусть отрезок О А длины а равномерно
вращается и равномерно движется вдоль оси Oz
(рис. 28). Точка Д описывает линию, находящуюся на
поверхности цилиндра. Она носит название винтовой
линии. Если за параметр t выбрать угол поворота
отрезка, то параметрические уравнения винтовой линии
имеют вид
л* — a cos /’
v = asliU
z — bt
(— со < t < + со).
(13.10)
109
Обратимся сейчас к исследованию алгебраической
поверхности первой степени. С этой целью рассмотрим
некоторую плоскость в пространстве. Ее можно зафик-
сировать, если задать точку Л/о(л0; j'o; z0) [опорная
точка плоскости) и нормальный вектор /V (.4, В, С) о
(вектор, ортогональный к плоскости).
Пусть точка .П(.г; у \ z) — текущая точка плоскости
(рис. 29а). Вектор г— г0 ортогонален к Л, Поэтому
уравнение
(.V (7 - 70)) = о
(13.11)
есть векторное уравнение плоскости с опорной точ-
кой и нормальным вектором Л. В координатной за-
писи имеем
_ А (л — л0) + В (у - у0) + C(z-z0) = 0.	(13.12)
Если раскрыть скобки и обозначить D- — Л.г„ —
— Bv0 — Cz0, то приходим к алгебраическому уравне-
нию первого порядка
Лл* 4- By + Cz + D = 0.
(13.13)
Обратно, если в прямоугольной системе координат
имеем уравнение (13.13), то это будет уравнение неко-
торой плоскости. В самом деле, уравнение 13.13)
есть линейное уравнение с тремя неизвестными. Оно
всегда имеет решение. Пусть (x0, у0, г0) — некоторое
решение (13.13), т. е. Лл0 + Вуа + О0 + 0 = 0. Вычитая
это тождество из (13.13), получим Л (х—х^+В (у—уй)+
-rC(z — z0) = Q. На левую часть этого соотношения
можно смотреть как на скалярное произведение век-
тора Л (Л, В, С) и вектора г — г0, где г — ix + jy + А’д—
переменный радиус-вектор, г0 = 1х0 + Jy0 + kzQ — фик-
сированный вектор, задаюш.ий точку М(,(ху, yo;ioi, т.е.
(А'(г—rj) = 0. Очевидно, что данному уравнению
удовлетворяют координаты любой точки плоскости,
проходящей через УИ0 и имеющей нормальный век-
тор А, и не [удовлетворяют координаты ни одной
точки Р с радиус-вектором г', не лежащей на пло-
НО
Рис. 29.
скости, так как г' — г0 не ортогонален Л; и, следова-
тельно, (Л' (г' — г0)) =/= 0.
Определение. Уравнение (13.13) называется
общим у равнением плоскости в пространстве.
В зависимости от того, какой из параметров Д, В,
С, L равен нулю или отличен от нуля, расположение
плоскости относительно системы координат будет
обладать (>пределенным свойством (параллельность
111
координатной оси. координатной плоскости и т. д.).
Например, Дх + By + Cz = 0 есть уравнение плоскости,
проходящей через начало координат. Исследование
других частных случаев предоставим читателю и оста-
новимся лишь на видах уравнения плоскости, имею-
щих наибольшие приложения.	D г
Уравнение в отрезках. Пусть Д=$=0. й = 0. О,
/Э==0. Тогда общее уравнение (13-13) можно перепи-
сать б виде ——г 	~ ^б03Н2чив
/ — '	I— — I	i — ~
\ а)	\ В ). \ с)
а = — Ь = —- . с — ——, ‘имеем уравне.чие^пло-
скости в отрезках
1(13-14)
Плоскость отсекает от осей координат отрезки дли-
ной (a . |ft|. |с|, поскольку уравнению (13.14) удов-
летворяют координаты точек^ Р, |й; 0; 0), Р2(0: 6; 0),
Р3(0;0;с).
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Заданы три точки A),(xt; yt; zt), не лежащие на одной
прямой. Пусть .Щх; у; z) — текущая точка плоскости.
(—►	— —>
Векторы AI,A1. AtAl,, AfjAf3 компланарны, и, следова-
тельно. смешанное произведение этих векторов равно
нулю (рис. 296)
в
(V — •’’i) (Г2 — г,)(г3 —Jr,)) = 0.-	(13.15)
Имеем векторное уравнение плоскости, проходящей
через 3 точки. В » рдинатной записи (13.15) имеет^вид
Нормированное (нормальное) уравнение плоск^ети-
Пусть плоскость нс проходит через начало координат.
Опустим перпендикуляр из начала координат на пло-
скость и рассмотрим вектор ОР^'р. Пусть п== хсоь^-г
112
Рис. 30.
8 Б э$4
+ Jcos ? + ^cosv — орт век юра р. М(х; v: z) ~ 'вку-
шая точка плоскости (рис. 30а). Видим, что (г - рп)
ортогонален вектору п и, следовательно, ((r-рп) «)=0.
Раскрывая скобки, имеем
{гп) — р — 0 (Р>0).	(13.17)
Получили нормированное {нормальное} уравнение
плоскости в векторном виде. В координатной записи
(13.17) имеет вид
xcosa + ycos? + CCOSf — р = 0 (р > 0). (13.18)
Если уравнение плоскости задано общим уравне-
нием Ахг + Ву + Cz + 0 = 0, то его можно пронорми-
ровать, учитывая, что
~ Л’	А "Г .	в	. I
п ------------- ~ I Ч--------------	------j л-
k,
е
где е = + 1, когда D < 0, и е = — 1, когда D > 0.
Итак,
Лх . By j Cz
s V А* + В2 + С- £ V л2 + Л2 + С2 е /д2 + В2 + С2
е 1 А2 + В2 + С2
(13.19)
— нормированное у равнение плоскости, полуденное из
общего у ранения.
Определен не. Отклонением В точки Л10 (х0; у0; zQ)
от плоскости называется число, равное + d. где d—рас-
стояние от точки Л1о до плоскости, если Л1о и начало
координат находятся по разйые стороны Плоскости,
и равное d, если /Ио и начало координат находятся
по одну сторону плоскости.
Поскольку й==Пр_ОЛ/0,-р (рис. 306), то
о — (О.Иц./г) — р (Го _ р'
•’.14
В координатной записи ишем
S = Л'о cos а + yQ cos 3
+ -Ocosv~ p.
Из (13.20) следует, что для расстояния от
плоскости имеет место формула
г/ == |ус0 cos х + yQ cos ? 4- zQ cos 7 — p |.
(13.20)
точки до
(13.21}
Пример. Найти расстояние от точки Л) (1, — 1,2’
до плоскости За' —- у + г + 1 = 0.
Решение. Нормируем уравнение плоскости:
По (13.21) получаем
___з______1____2______1 г _ _7_
J J П Ин ИП ГП| J П
Наконец, остановимся на условиях параллельности
и перпендикулярности двух плоскостей .^\х + Вх у +
+ Cxz 4- Dj = 0, А2х + В2у + C.z + D2 = “Посколку
параллельность плоскостей означает коллинеарность
нормальных векторов плоскостей, то в силу необхо-
димых и достаточных условий коллинеарности двух
векторов мы имеем следующее утверждение.
ч^Георема 1. Необхоиимым и оостаточным усло-
вием параллельности двух плоскостей является
условие
[Л j Л 2] = 0 -<=> ранг
(13.22)
Перпендикулярность двух плоскостей эквивалентна
ортогональности их нормальных векторов. Поэтому
имеем еще одно утверждение.
Теорема 2. Необходимым и достаточным усло-
вием перпендикулярности двух плоскостей является
условие	ф
(A , Л 2) = 0 -$=> Л(Ла + ВХВ. + С,С2 = 0.	(13.23)
Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходя-
щей через точку Мо (1, 2, —2) и параллельно пло-
скости Зх 4- 2у — г 4- 1 == 0.
Решение. Нормальный вектор имеет коорди-
на ы (3, 2» —-1). За нормальный вектор искомой
I
плоскости можно взять (ряди простоты решения) век-
с-
тор. совпадающий с Х\. Поэтому имеем 3(х —1)4-
+ 2 (v — 2) — (z + 2) = 0 или Зх 4- 2у — z — 9 = 0.
Пример 2. Найти уравнение множества плоско-
стей. проходящих через точку /Ио (1; 2: —2) и перпен-
дикулярных к плоскости Зх 4- 2у — z 4- 1 = 0.
Решение. Из (13.23) следует ЗА24-252 С2 = 0.
•Находим С2 = 34,4-25, и подставим в уравнение
,Д„ (х — 1) + 5, (v — 2) + С, (z + 2) = 0. Окончательно
имеем: А,х + 5,у + (ЗА, + 25,) z •= 5А, — 2£2—парамет-
рическое семейство плоскостей.
* г»
Лекция 14
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. ИССЛЕДОВАНИЕ
ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
ПО КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ
Прямая в пространстве полностью определена, если
>на ней задана точка Мо (х0; у0; z0) (опорная точка
прямой) и направляющий вектор р(1,т,п). Пусть
jW(x;y;z) — текущая точка прямой. Тогда векторы
Л1иМ и р коллинеарны, и мы можем записать г — r0 — tp
•(— оо < t < + оо) (рис. 31а), т. е. для радиус-вектора г
текущей точки имеем
г==г0 + /р (— оо < t < 4- оо). (14.1)
 Уравнение (14.1) есть векторное параметрическое
у равнение прямой в пространстве. В координатной
записи (14.1) выглядит следующим образом:
(U.2)
.Исключим t из уравнений (14.2), разрешив их сначала
•относительно I, а затем приравняв правые части ра-
венств, имеем:
.116
Рис. 31.
v — у — у0 Z — Zo
I т п
Уравнении (14.3) носят название канонических урав-
нений прямой в пространстве. Заметим, что если
сакая-либо координата направляющего вектора равна
н}лю, то равен нулю и числитель дроби. Например,
117
выражение -—~~~ понимают условно, оно означает ра-
венство Z — -о = 0.
На основании (11.3) легко написать уравнение пря-
мой, нрохо гящей через 2 точки A1t (Л"|.	. zt) и
М (л-,,; у2; г2). Первую точку, например, мы принимаем
за опорную, а за направляющий вектор р 0 зозьмем
вектор Л|Л1г = (х2 —Х|, у2 —У|, ~i — Zj). Поэтому
уравнение прямой. через 2 точки примет вид
(14-4)
Прямая в пространстве может быть задана также
как пересечение двух плоскостей
(14.5)
Плоскости пересекаются, если их нормальные зекторы
не коллинеарные векторы (иначе плоскости параллель-
ны). Поэтому за направляющий вектор р прямой мо-
жет быть взят вектор, полученный от перемножения
V, и .V2 векторным способом (рис. 316). Итак,
р = |/VpV2|. За опорную точку искомой прямой можно
взять любую тройку чисел, удовлетворяющую системе
(14.5). Если
Л, Д,
л2 в2
-/=0, то положив в
(14.5) ~’ = 0 и
решая оставшуюся систему двух уравнений с двумя
неизвестными, находим х0 и у0. Точка с координатами
(^o ’^olO) и будет опорной точкой прямой.
Тем самым от уравнения прямой в виде (14.5) мы
переходим к каноническим (или параметрическим)
уравнениям той же прямой.
Пример. Прямая задана в виде
Написать ее канонические уравнения.
Решение. Положив z = 0, решаем систему
118
3
Находим, что х -= — ~
Игак, опорная точ-
ка имеет координаты
. Найдем направ-
ляющий вектор р
I
Канонические уравнения
прямой имеют вид
—5
В механике часто уравнение прямой записывают
— * — •
в виде момента вектора р, Поскольку векгор г — г0
коллинеарен с р, то их векторное произведение
[(г — г0) р\ = 0. Обозначив |rG/>] = а, получим вектор-
ное уравнение прямой в виде „момента “
[г/?] = «.	(14.6)
Используя сведения из векторной алгебры, легко
вывести значение косинуса угла между прямыми, по ура-
зумевая под ним угол (в преде лах от нуля до к) между
направляющими векторами прямых <р = (р{, р2). Поэтому
COS <р = -(АЛ)	=----(14 7)
I Р. I I Л I 1 G + '«1 + Л1 1 12 + т2 + «2
Гео рем я 1. Необходимым и достаточным усло-
вием пара iлсльнести прямых в пространстве Явля-
емо I \'с ювие
Доказательству теоремы совпадает дословно с дока-
зательством теоремы о необходимых и достаточных
условиях коллинеарности двух векторов. Аналогично
имеет место также следующая теорема.
119
Ti орема 2. Необходимым /. <7ос/ял/ночлы.«1 уело-
нем п< гпендикулярности двух прямых является
условие (/’i/'2) ==	11'2 яцШя 4- л= 0).
Как узнать, являются ли две данные прямые скре-
щев; ющнмнся? Если прямые не являются скрещиваю-
щимися (т. е. пересекаются пли параллельны), то они
лежат в одной плоскости и векторы 31,31.. Р{.р..
где 31, и 312—опорные точки прямых, компланарны, т. ё.
1
- 1
Л1
= 0.
(14,8)
2
т2
являются скрещивающимися.
Пример. .Лежат ли
прямые
о
9
—= в одной плоскости?
о
Решение. Проверим равенство (14.8). Вычисли ы
определитель
73-2	7
«
4  36 0.
Прямые являются скрещивающимися и в одней
глоскости не лежат.
Перейдем к рассмотрению ряда задач на взаимное
расположение прямой и плоскости. Используя дока-
занные в векторной алгебре теоремы, приведем
3 утверждения.
г Теорема 3. Необходимым и достаточным усло-
вием перпендикулярности прямой и плоскост: 'явля-
ется условие |.\‘ г] = 0 I или — — — =|— ,
\	/ т ’{П j
Теорема 4. Необходимым и достаточным усло-
вием параллельности прямой и плоскости является
условие (Nр) = 0 (или А1 4- Вт 4- Сп = 0).
Теорема 5. Необходимым и достаточным усло-
вием принадлежности прямой плоскости является
одновременное выполнение условий'. А1 4- Вт 4- Сп — 0,
Агс 4- By, 4- Cz. 4- b = 0.
120
В самом (деле, первое условие выполнено в силу
теоремы 4, а второе условие означает, что опорная
точка прямой принадлежит и плоскости и, следова-
тельно, ее координаты удовлетворяют уравнению
плоскости.
на плоскости 2л 4- Зу 4- z — 4 = О?
Решение. Проверяем первое условие: 2-(—1)4-
-г 3*0 4-1-2 авО. Проверяем второе условие: 2-14-
4- 3 (—1) — 5 — 4 == 0. Прямая принадлежит плоскости.
Задача 1. Написать уравнение плоскости, прохо-
-V — Vrt V — \’о Z — 2л
дчщеи через прямую -------—— =— и точку
/	/72	П
.Ц (Х|; у,: jJ, не лежащую на прямой.
Пусть М(х\у\z)—текущая точка плоскости. В таком
случае векторы MQM (Д, —опорная точка прямой),
М .Ив и г компланарны. Это значит
х — У “ У<*
•1-^0 У1-{Уо
/	th
(14.9)
Это и есть уравнение искомой плоскости.
Задача 2. Написать уравнение плоскости. прохо
дящей через прямую
и парал-
лельной прямой —^1==^—и = :—~ (|РЛ| =£0).
Л "И
За нормальный вектор плоскости можно взять
вектор, равный векторному произведению р и :
Л'=|рр |. За опорную точку плоскости можно взять
опорную точку прямой, через которую прокодит пло-
скость. Поэтому искомое уравнение имеет вид
([PPi] (г — г(0) == 0. В координатах имеем
У ~ У о
т
= 0.
(14.10)
3» .. ча 3. Написать уравнение плоскости, кото-
рая перпендикулярна плоскости Лх 4- Вху -f- C{z +
-г £>, = 0 и проходит через прямую -—— —	=
*
п
За нормальный вектор искомой плоскости возьмем
N— |д\ ). а за опорную точку искомой плоскости—
опорную точку прямой, так как плоскость проходит
через нее. Имеем, что ([/?Л J (г — г,)) — 0 или в коор-
динатах
(14.11)
Задача 4. Найти координаты точки пересечения
прямой -----='---— =------ и плоскости Ах А- Вх~
I т п
-Cz-v D = 0.
Решение. Запишем параметрические уравнения
прямой: x — Xg + li, у = у0 — mt. z—z9-rni. Подста-
вив в уравнение плоскости зти значения, получим
А(xt — It) — В (у mt) — C(zQ — nt) — b = 0, откуда
при Al- Вт — Сп^С) найдем значение параметра
/ = t', которое iудовлетворяет данному уравнению.
Тогда х' = х* 4- It', у' — у0 4- mi', z' ----- z(1~ nt' есть коор-
динаты точки пересечения. Если А1 — Вт 4- Сп - 0,
то прямая параллельна плоскости.
Задача о. Найти расстояние от точки до прямой
в пространстве.
Решение. Пусть прямая задана векторным пара-
метрическим уравнением г — г0 — /р с опорной точкой
(Хф; у0: ze) и точка Л4. (х,; у,; zj вне прямой. Опу-
стим из точки Мх перпендикуляр .ЦЛ-// (рис. 32аI.
Совместим начало направляющего вектора с опорной
точкой jVf,, и построим параллелограмм на векторах р
к .’у	а ра стояние d от точки Л1, до прямой
мы можем найти, разделив площадь параллелограмма
а д>1ииу основания |р|.
122
Площадь параллелограмма. как известно, совпадает
с модулем векторного произведения Л1йЛ/ р. По-
этом)
123
II ри м ер. Требуется найти расстояние от точки ЛТ,
t	•• -v 4-1 v — 1 г — 3
<1» — 1, 2) до прямой —-— = —- = — .
Имеем
1) [<Г1 - г0)р] =
V9+ 16 + 4 = 3/29;
2)	11(7. - Го)7>] I =
3)	|р| = / 02 + 12 + 22 = 1Z5;
4)	„ _ | '? .
Задача 6. Найти расстояние между прямыми
в пространстве. Если прямые пересекаются или парал-
лельны (условие (14.8)). то в первом случае расстояние
равно нулю, а во втором—расстояние между прямыми
равно расстоянию от опорной точки первой прямой до
второй прямой и вычисляется по формуле <14.12).
Пусть прямые
скрещивающиеся. Для них определитель (14.8) отличен
от нуля. Кратчайшее расстояние между ними равно рас-
стоянию между параллельными плоскостями, проходя-
щими соответственно через первую и вторую прямые.
Очевидно, за нормальный вектор V к плоскостям мо-
жет быть выбран вектор l/^./^l- Опорные точки
Л1. (Л*.; у.; г.), Л12(х2; у2; z2) прямых могут быть взяты
за опорные точки плоскостей, Уравнения плоскостей
будут иметь вид
Искомое расстояние будет равно модулю проекции
—►
вектора ня и ~ —— (рис. 326). Окончательно
НМ
имеем
124
(i = I np_ л i^i21 = I ({Z2 - G) /7) I=^.L.
n	I [a Al I
(14.13)-
Заметим, что в числителе дроби (14.13) стоит объем-
па раллелепипеда, построенного на векторах рхр2,
МХЛ12, а в знаменателе — площадь параллелограмма,
лежащего в основании параллелепипеда. Поэтому крат-
чайшее расстояние совпадает с длиной перпендикуляра,
опущенного из вершины параллелепипеда [р1э р2, 7ИгЛ/2}
на основание {рх, /?2).
Материал по аналитической геометрии в простран-
стве мы закончим исследованием формы поверхностей
второго порядка методом параллельных сечений но
их каноническим уравнениям. Изложение этого мате-
риала вызвано потребностями математического анализа.
Строгая классификация поверхностей второго порядка
будет дана ниже с использованием методов линейной!
алгебры.
1. Эллипсоид'.

Псскольк} из (14.14) следует, что |л|<д, | у | < Ь.
|д|<с, то эллипсоид заключен в прямоугольном па-
раллелепипеде со сторонами 2а, 2Ь, 2с. Координатные
плоскости являются плоскостями симметрии. Рассечем
поверхность плоскостями h (|/z|< с). Получим
• г2	v2	л-
кривые с уравнениями-----р — =1 — _ z = h Это
а-	Ь2	сг
эллипсы с полуосями а 1	1 —- 11 н М/1____— Пон
’ г с- у с2 ’ и
//- 0 эллипс имеет наибольшие полуоси. Когда I h I
растет, то полуоси эллипсов уменьшаются и при I h |=£
эллипсы вырождаются в точки И! (0; 0; с) и Л2 (0; 0; —с)
(рис. ооа . Аналогичная картина возникает, если рас-*
4'PVHTR Q ГТ ТП1ЛРЛ11 ч	_ ’
PUonnhflC 1 , CV.lJt! UUC-*
I7 '1"/ л"'*’С0,|Д “лоскостями, перпендикулярными.
К ОСИ < 'Л И C/V.
125.

2. Однополостной гиперболой/г.	~	1.
к'лоолинатные плоскости являются плоскостями
симметрии (при замене х на -х. у на -у. z на -z
гпчвненз’е не меняется). Рассекаем плоскостями на-
раллельными плоскости xOy:z=h. Получим лини»
сечения с уравнениями — -г = 1 4- - . ~ = Л (— оо<
< д < л. ос). Это эллипсы, полуоси которых
а \ f1	7* ’ b 1/"1 ~
p-CTVT вместе с ростом |Л|- Наименьший эллипс имеем
при Л = 0 (плоскость д-Оу). Он носит название горло-
вого эллипса (рис. 336). Сечения плоскостями х=0.
у «=- 0 дают нам гиперболы --— = 1,-------=1- Точ-
J	b* с* а~ с-
ки этих гипербол являются вершинами эллипсов, полу-
чаемых при сечении поверхности плоскостями z = т.
। 3. Двуполостной гиперболоид'.
х2__yf — £1	__]
** ~ с2 ~~
* Координатные плоскости являются плоскостями
симметрии. Сечения z — ii дают линии с уравнениями
—	=-----1. z^=h. При | А | < с имеем мнимые
«Г tr С2
эллипсы. Следовательно, поверхность расположена
выше плоскости z=c и ниже плоскости z = — с. При
|А[> с получаем вещественные эллипсы, полуоси ко-
,	hr	-t	h'
торнха! -------1, А] — —1 раст\т вместе с гос-
}	с2	>	с2
том |/||. При сечении плоскостями х = 0 и у = Оиме ^-<
сопряженные гиперболы -------— = — 1, -------— —_____ \
в точках которых лежат вершины э.тлипсов, получае-
мых сечениями z^h (|А|>0 «рис. 34а).
4.	Эллиптический параболоид’, z = — -у —
метоииС nSV°Z " X°Z являются алоскост*я.ми свм-
. - ..^в-рхность проходит через начало коорли-


наг и гсиоложсна над плоскостью \'>у. так как
Сечекия z — h дают эллипсы ~г + "4	/z- полуоси ко-
торых <z//Г, //Г растут с ростом // (р«С. 346). При
сечении плоскости ми -V = 0 и у-= О имеем параболы
?х_ -А з :	точки которых Являются вершинами
Ь’ а1
сказ; л ных выше, эллипсов.
v У4
5.	ПшерОолилескшь паМаболоисК z=- —---------- .
а Ь-
Плс< кости yOz п xOz являются плоскостями сим-
метрии. Рассечем поверхность плоскостью г — О- В Пло-
скости xOz полечим параболу z -= - -. Сечение пло-
U’
скостью х~ 0 лает нам в плоскости yOz параболу
z , ветви которой направшны вниз. Сечение
координатной плоскостью z = 0 есть пара пересекаю-
U”	v’	/	b	\	х-'»
тихо прямых-------— -О у --= ± —-V . Сечение пло-
а-	Ь1	\	а	/
скосгь-лп z—h дает гиперболы с уравнениями
1——	1, причем при h >0 ветви расположены
па hi-
вдоль си Ох, а при h <0 ветви расположены, вход
оси Построив соогветствующме сечения мы полу-
чим вид гиперболического параболоида (рис. 35а).
Ь. l.l!innVl4CCKU!l KOHVCZ---к—-----= О.
; -	’	' а- ь2 с
Пс гсрхность симметрична относи го льно всех коор-
Д н гМых плоскосге.й. Сечения плоскостями z ~ Л даюа
нам чипсы ~ -1- ~ = — с полуосями —— , ’ALL п0,
и- }>- с'	с с
луОСн -.-л тисов растут с ростом |4| . При Л = 0 имеем
точку (начало координат). Сечения плоскостями х « О
дают соответственно пары прямых ^ - = -г-А у
г	ь
И2 ±7Х’ Вмд ’ ‘ ииы ического кощ са ;ан на
рис. 356.
9
I» -*4'1
120

7. Цилиндры второго порядка. Для примера при-
ведем лишь цилиндры с образующими, параллельными
осп Oz:
(а)	эллиптический цилиндр:-----h — =!’•
Г2 V2
(б)	2ипериолический цилиндр'. ---~ — I:
л2 /г
(в)	параболический цилиндр', у2 — 2рх.
Поскольку кривые второго порядка изучены нами
ранее и в лекции 13 подробно рассмотрен вопрос
о цилиндрических поверхностях с образующими, парал-
лельными оси Oz, то вид цилиндров устанавлива-
ется легко (рис. 36). Аналогично обстоит дело, когда
отсутствует какая-либо другая переменная.
Если нужно получить уравнение общей цилиндри-
ческой поверхности с образующими, параллельными
вектору /;(/, /?/.. п) и прохо тящими через точки линии Л:
( Л, (л v, z) = О
{	, то поступаем следующим ооразом.
1Л2(х,у,г)^0
Напишем уравнение образующей - — -v — } —- =?
/	т
Z — 2
=-----» где х, у, z — коорРинаты переменной точки
п
линии L. Затем из четырех уравнении
(х, у, z) -= О
Л (х. у. с) = О
V — у	г —у	z— z
I	т	п
исключим переменные
х равнение искомой
<4*. /,£) -0.
л*, у, В результате получим
цилиндрической поверхности
На этом материал по авали гическои геометрии
исч«‘г ан, и мы переходим к курсу линейной алгебры.
131
Рис, 36.
Лекция 15
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ
Пусть задано некоторое множество /., элементы
которого будем называть gckihoрамп (независимо от
природы элементов множества). В каждом конкрет-
ном случае они приобретают определенный смысл.
Например, направленные отрезки, если речь идет о век-
торах евклидова пространства, матрицы-столбцы (мат-
рицы-строки). если речь идет о множестве решений
однородной системы линейных уравнении, или ^-функ-
ции в квантовой механике и т. д.
Наряду с множеством векторов будем рассматри-
вать числовое поле К, под которым подразумевается
поле комп юксных чисел С либо поле вещественных
чисел R, о чем в случае необходимости будем огова-
ривать особо. Элементы L будем обозначать в даль-
нейшем латинскими малыми буквами, а элементы мно-
жества К — греческими малыми буквами.
Определение. Нара X = (Z. К) называется ла-
нейным. пространством', если (.1) задай закон, по
которому любой паре векторов л\ у(:Л сопоставлен,
вектор, называемый их суммой и обозначаемый сим-
причем для любых
z^L выполнено:
('%) для любого х
с у щсс т в у ст п ро т и в оно i ожны й
= 0; (В) задан закон, по кото-
। любого числа X р К соностав-
рому для любого x^L и
лен век гор Хд\ называем!
Когда речь идет
Стичу " 1ь идет 0 конкретных линейных и ростра н-
вегтп’п-. ° ,операции вожения векторов и умножения
Нацрнмеп*1 *1Щ‘1 риобретают свой конкретный смысл.
ье ‘чРХо..н :,П " качест»е L рассмотреть множество
м-“РнЦ-строк вида а~ ь. .	, А rq 8г
(I '
я
11 термин „некторм	пространство* употребителен
133

то7^ + b = [а, + р,,.... ал + pj, \а == [Xaj ,..., Аал|. Легко
убедиться в том. что все аксиомы (Д), (Z?/) выпол-
нены, если за нуль-вектор взять 0 = [0, 0,.... 0], а за
противоположный а' == [— >х, — а2..... — а„].
На основании определения линейного пространства
следуют 3 утверждения.
Теорема 1. Нуль-вектор единственен.
В самом деле, если существуют два пуль-вектора
0j и 02, то по (Л3) Oj-rOo — O!, 02 + 0t — 02 - Но
0, + 02 == 02 4- 0! (по (Д)) и, следовательно, 0(=^02.
Теорема 2. Если любой вектор х умножить на
нуль-число^ то получим нуль-вектор.
Действительно, рассмотрим х + 0-х — (1 4- 0) х
(по (53)). Поэтому х4-0-х=1-х = х (ио (Z2J). Срав-
нивая равенства х 4- 0 = л? и х 4- 0 • х = х, выводим
равенство 0-х —0. '
Теорема 3. От умножения вектора х на — 1
получим противоположный вектор а'.
Доказательство: х 4- (— 1)х = (1 4~ (— 1))х =
= 0-х=0. Сравнивая равенства х4~х'~0 и х Ь(— 1)х-=0,
выводим равенство х == — 1 -х.
Операции сложения векторов и умножения на число
позволяют ввести в рассмотрение линейные комбина-
ции векторов
а — /4Xt 4-	+ ••• + ^'kxk •
(15.1)
Определение. Система векторов ...aj на-
зывается лине//но-зависимой, если существуют числа
среди которых хотя бы одно отлично от
нуля, что выполнено
•S
+ ••• I- А//, — 0.	(15.2)
Если соотношение вида (15.2) выполнено
только тогда, когда все >.* = 0, то система
называется линейно-независимой.
pH мер. В пространстве матриц-строк
тогда и
векторов
векторы
п* |U..0] (А-	|я//) образуют лнненно-незави-
симую систему векторов, так как’, составив ппкм н ю
комбинацию векторов с произвольными (априотП
ползаем * " 1,,,"ра"1,Пиая НУЛЮ> " иидробной записи
134

Xrl +Х2.0+... + кл-0 = 0’
Xr0 + X2-l +... + x„-o = o
Х,-0 + Х2.0+... + Хл-1 = 0.
откуда следует равенство нулю всех коэффициентов Хд
(/с =1,п).
Докажем ряд утверждений, касающихся линейной
зависимости системы векторов.
Теорема 4. Если какая-либо подсистема систе-
мы векторов линейно-зависима, то и вся система
линейно-зависима.
Действительно, если подсистема {а. ,	,..., а*р\,
где У,, У2, • •• ,УР •— фиксированные индексы из набора
1,'2,..., 5, линейно-зависимая, го существуют числа
X, , ...,Х. , среди которых, например, X 0, что вы-
полнено X, а. + ... + X. а. =0. Очевидно, выполнено
также 0-я. +...+ 0-af . + X а. +...+ X a, 0-af t +
'	1	A”1 A A	jp Jp
... -i-	= 0, где. X, 0. Система векторов
(П|,. aj ,, a ,... , av}
л	Jp
линейно-зависима.
- Те орем a 5. Д./я того, чтобы система {«,,.... а$}
бы./а линейно-зависимой, необходимо и достаточно,
чтобы хотя бы один из векторов бы./ ./инейной комби-
нацией других.
В самом деле, если система векторов линейно-за-
висима, то выполнено условие (15.2), где, например,
X, =/= 0. Поэтому из (15.2) следует, что
at=-(— —Ln, 4 ...  /— — ]« .
\	А>/	\	>|/
Необходимость доказана.
Пусть, обратно, какой-либо вектор из системы
есть линейная комбинация остальных. На-
пример, первый вектор at — с2а2 + ... -| 0/г . Это ра-
венство эквивалентно следующему равенству (—
, i ... + о4<1? -- 0, где первый коэффициент отли-
чен от нуля.
1.35
1
Определение. Система векторов
называется базисоч в пространстве <~.
нейн '-независима и любой вектор
А ' С -..^Г.}
если она ли-
пространства
?€ вставим в виде
ч
ч -
п' .
называются координатами (компонен-
в данном базисе.
обозначении это выглядит в задании
3 матричном
трицы-столбца
п
Теорема 6. Координаты вектора в зг^анн (
с^за.'е определяются однозначно.
Действительно, если предположить, что это не
л	п
одновременно л*-- 2 и л* , ; л . то
Jt=l	А ’
i с

пли
01 и ли-
НСТЕ Д ; е = 2. : А
*=Л	»=1 
:ой независимости векторов с;.......е„ следус!
;? С -=1.п).
чевидным является у т в е р и: д е и и е, что линей
комбинации векторов х, и х соответствует ли
ая кс нацик с теми же коэффициентами матриц
?до- из координат этих вектооов. так как
ж л
- =
Л=!
= 7
V-1
tLk
1 л- ।а
«о существует п линейн -
конечномерным
можно
числа
векторов, то говорят, что поо-
и > |Г , и,.	•	Г
Определение. Если в £ существует п линейнс-
.-:взг;исимых эекторов. а любая система из (« — 1 i-го
вег-эра линейно-зависимая, то натуральное число л
га., вается разчерностью пространства (dim<Z = ni.
— пространство it называется
и с означается символом itn. Если
с"стем>’ !!3 произвольного конечного
г,-:.-аНс-1. зависимых г —
I'-Tri ,£ бесконечномерно.
Понятия базиса пространства и размерности про-
странства тесно связаны между собой.
Теорема 7. В пространстве Zn любая сов куп-
ноешь из п линейно-независимых векторов есть базис
г рос транс шва.
Доказательство. Пусть а,..........аг\—некото-
рая линейно-независимая система векторов в простран-
стве л',.. Согласно определению размерности про-
странства система векторов {л\ а}..ап\ при лг бом
векторе л* есть линейно-зависимая система и, слепо-
те ельно. выполнено условие
7Л- -: 31671 + ... - 3„<7Я О.	(15.5)
Число а необходимо отлично от нуля, так как при
а о в силу линейной независимости векторов ....аа
после ювало бы 0.........Зя о, что привел< бы
! противоречию о линейной зависимости векторов
i-v. </j.ап . Пол-ому из (15.5) для любого вектора х
следует
«
а 1
Эго означает, что система линейно-независимых век-
торов <т1....иа есть базис пространства </ .
Теорема S. Вели в пространстве Z существует
Сазру iii п векторов, то dim..5 п.
,[ о к а з а т с л ь с т в о. Пусть .....£я} — базис
в <Т. Рассмотрим произвольную систему из (я —1)-го
п
вектора д-;......г. . хя }, где х,- = Z d ek (i = 1.Л-Н)-
£-<l
Построим матрицу из (/z4-l) столбцов-координат век-
торов X;
- Д _1 л -
;1 • • • zn -1
2	2	2
• ;п	in--1
•	• • •
•	•	•
.1	.т
-1	-Л-*-1
—	—.
Ранг этой матрицы г</г, так как число строк мат-
рицы равно п. Поскольку столбцов п -J- 1, то в силу
теоремы о базисном миноре по крайней мере один
137
из столбцов является линейной комбинацией базисных
(следовательно, и остальных) столбцов рассматривае-
мой матрицы. Это означает, что но крайней мере
один из векторов есть линейная комбинация других.
На основании теоремы 5, доказанной выше, система
из векторов {Л-,..х„ , хя+|| линейно-зависима. В силу
произвольности рассматриваемой системы векторов
теорема доказана.
Пример 1. Задано множество положительных
вещественных чисел, которые будем называть векто-
рами. Под „суммой*1 двух векторов понимаем обыч-
ное произведение чисел ab. Под „произведением*4
вектора а на число лб R понимаем возведение в сте-
пень X числа а. Будет ли данное множество с введен-
ными операциями линейным пространством?
Решение. Проверяем аксиомы группы (Л). По-
скольку ab bay (ab) с = а (Ьс), то (Л|) и (Л2) выпол-
нены. В качестве „пуль-вектора" нужно взять 1, так
как ((• 1 -=а- В качестве противоположного вектора
необходимо взять так как п»— = 1. После этого
а	а
аксиомы (Л3) и (Д4) также будут выполнены. Перей-
дем к группе (В). Так как ах = а, (ли)А = а|1К, o' 11 =
(ab) -—ab\ то все аксиомы группы (В) вы-
полнены. Искомое множество с введенными опера-
циями есть линейное пространство. За базис в введен-
ном линейном пространстве может быть взято любое
фиксированное число р=£1, так как любое положи-
тельное число может быть представлено в виде:
X , In л , ,
а — р, где >< = —. Пространство является одномер-
ным (теорема 8).
Пример 2. Множество решений однородной си-
стемы линейных уравнений S <4е*==0 (z' = T.zwj с вве-
k i
денными в лекции 1 операциями сложения столбцов и
умножения на число есть линейное пространство раз-
невийСТИ П~Г' Tlifi г~рапг матРицы системы урав-
В самом деле, на основании того, что линейная
комбинация решений есть снова решение системы
138
уравнений, все восемь аксиом для матриц-столбцов,
являющихся решениями однородной системы, выпол
йены. В силу теоремы, что общее решение .(любой
вектор множества решений) есть линейная комбина-
ция нормальной фундаментальной системы решений,
которые являются линейно-независимыми, заключаем:
пространство решений однородной системы есть
линейное (п— г)-мерное пространство.
Лекция 16
ПОДПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ.
ТЕОРЕМА О ПОПОЛНЕНИИ БАЗИСА.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ И СУММА ПОДПРОСТРАНСТВ.
ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ КАК ПОДПРОСТРАНСТВО
ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦ-СТОЛБЦОВ
Определение. Множество векторов t/C2 для
которых при любых x.y^U и любых <х, fi£K выпол-
нено (ал + ?у) С называется подпространством ли-
нейного пространства Само пространство и мно-
жество, состоящее только из нуль-вектора. являются
тривиальными подпространствами пространства
Примером нетривиального подпространства является
множество всех векторов, коллинеарных данному век-
тору е в трехмерном евкли юном пространстве, так
- ..	а -	•	-
как |х = >е, у ffi и. следовательно, ал + ру = а?е +
4	= (as + р7() е — снова коллинеарный вектор при
любых a, PCR. Вектор е в данном примере играет
роль базиса в рассматриваемом подпространстве, раз-
мерность которого, согласно теореме 8 из предыду-
щей лекции, равна единице.
Другим примером подпространства .Z является
линейная оболочка, натянутая на систему векторов.
Определение. Линейной оболочкой, натянутой
на систему векторов {а(,...,ал} (s — любое фиксиро-
ванное натуральное число), называется множество
139
не-1 проз вида I + Vz2 + ••• + asas» W’ 7i.....7;—
числовые параметры, пробегающие независимо друг
от друге вес числовое иоле К.
t	л
Пусть /,	, /2»= S ₽*«л. —.произвольные
к 1	* 1
л
векторы оболочки. Пилим, что a/j + /ЛI
V	(,7Л* к —снов, вектор линейной
А I	к I
о . ючки при любых а и р из К. 1 аким образом,/тд/г-
ОП. ’ WHCUHCl Г OOO.H'CKU 1 ?*'• ЛИНСй •'  ИОдП/ П /
enwo. ('орагио, если 6/ —линейное подпространство
размерности т п и А|,.^,Л7П} ба ’< и ю; ир<
стране пв /Л то любой вектор х /' представил в ви 
л З1//, -| ... 4 Таким образом, каждое подпро-
странство есть линейн ая оболочка, натянутая на
гнет чу с воих базисных векторов.
> определении линейной оболочки векторы ал,..., с?
не обязательно лииейнб-не. авнеилы (.s’ может быть и
больше п размерности пространства <Z). Поэтому
необходимо решить вопрос о базисе и размерности
1ннейно| оболочки. С л ои целью из системы {flp...,
Выделим максима ня^ое число линейно-независимых
векторов н обозначим их с,,..., ег. За , ... , ег можно
взять а базисных столбцов магрины, которую можно
построить и мптрвц-счолбцов координат векторов
а,...с . Векторы ех,..., ег и являются базисными
век горами оболочки, так как любой вектор оболочки
есть линейная комбинация векторов	, кото-
рые. в свою очередь, линейным образом выряжаются
н’рез линейно-независимые векторы с1э...,сг.
Итак, ралиершм!ш линейной обо / чип равна
чаксича гьному числу шнеина нг lueucti мых вскт >-
ров, содержащих, к среди векторов а^...,а (равна
<1 Н V матрицы ИЗ S координатных столбцов IP кторов
eo...,rtv).
Иус । ь з<1д<1по подпространство U и базис на нем
Гео рема 1. (О пополнении, оазиса подпростоан’
нг до базиса «сего пространства). Вбкпюры базт.
транстба мом н.у попе шить в. век-
140
торами et, е2,..., еп_т так, что cat тема {/,,..., /л,
. еп-т} Образует базис пространства .
Действительно, в f£n существуют векторы, которые
нс являются линейной комбинацией векторов j\ ,	,
пик как в противном случае /\ , ... , /„ образовывала
бы Оазис «7Л и тогда т п. Обозначим через в лю-
бой вектор, не принадлежащий (/. Ясно, что система
векторов {/\ ,... . (т , е?.} есть линейно-независимая
сис тема векторов, потому что, составив линейную
комбинацию их с произвольными коэффициентами и
приравняв ее нулю: '4/i +-•• + Лгп/т + Н =0» полу-
чим, что Pj -= 0, иначе вектор et можно было бы вы-
разить как линейную комбинацию векторов у\ ,..., fm .
Но если Рд =0. то и все >. = 0 (i = l. т) н силу ли-
нейной независимости векторов базиса подпростран-
ства. Итак, {/j,..., fm , cj —линейно-независимая си-
стема векторов. Если любой вектор есть линей-
ная комбинация данных векторов, то они составляют
базис Хп, и, следовательно, п = т 4- 1. Наше построе-
ние на этом будет закончено.
Если же т + 1 < п, го. рассуждая подобным же
образом, найдем вектор е2 такой, чго {/\ ,...,/’м.
будет линейно-независимой системой векторо! .
При т + 2 < п продолжаем наш процесс. Через (/I — т)
шагов мы получим систему векторов {/\ ,... , /Г1,
е{, е2,..., составляющею оазис .
Практически пополнение осуществляется следуй>-
щим образом. Матрицу, состоящую из т координат-
ных столбцов векторов	m, расширяем новыми
столбцами так, чтобы ее ранг каждый раз увеличи-
вался на единицу.
Опре хеленме. Совокупность векторов, принад-
лежащих одновременно подпространствам U{ и (/2,
называется пересечением подпространств и обознача-
ется символом 4/j
Покажем, что	лилейное подпространство.
Действительно, если х	то (7А‘ Е?У)€^Л
(поскольку с, у £	и (lx 4-1у) £ U2 ^поскольку х, у £ (72).
Следовательно, (xv + Зу)(	(]U2 при любых а,
Отметим, что пересечение—линейное подпространство
подпространства Ux и подпространства U2 •
О н редел ен не. Совокупность векторов вида
д л +х2, где х пробегает все множество векторов
U1
Если при этом
только
подпространства I л, х2- все множество векторов под-
пространства 6/2, называется суммой подпространств
и обозначается символом (\	U*.
пересечение подпространств их |1 с/2 состоит
из нуль-вектора, то сумма называется прямой и обо-
значается символом UX®U2.
Покажем, что	—линейное полпро< 1,4  во
(может быть совпадающее со всем прост ране зом icn},
_	I	.< _ «•	_!_ \» _ jniZ'7'.Лру
ТО
Z,.
из суммы подпространств. Но если -^yit^j
(7X1 4- By.) G(Jlt и если х2, у2 £ U2, то (ах2 + ^у2) £
В таком случае ах 4- ^у — а (х, -г -г2/ * с О i л* У 2) ~ -
= (ад-j + ру,) + (ах2 + ру2) принадлежит сумме подпро-
странств при любых а, 3£К.
Теорема 2. Размерности подпространств пере-
сечения и суммы связаны соотношением
dim (//] + U-.) == dim Ui + dim(/2 — dim	(ld.l)
Доказательство. Пусть dim U} = mx, dim 62=m2,
dim (i/| f|f/2) — //i3. Пусть	I — базис пересе-
чения	Поскольку пересечение являетст под-
и векторы |/
Аналогично найдутся
> Л,Л 1
/72j ’
пространством подпространства , то по теореме
о пополнении базиса базис пересечения можно допол-
нить до базиса и векторы	fm _ ,
...) составят базис Ux.
векторы	, что {At
составят базис U2.
ли аы сейчас покажем, что система векторов
/7i — W,
образует базис суммы Ut + U2, то теорема будет до-
казти, гак как число векторов в системе (16.2) равно
'«з	("б	т3) + [in., — /йз) — nii _ т ддя того
базисом,г1СНИ|Ь’ явл>1етси ',н система векторов (16.2)
бои hpJt ;уммы’ надо пРе>кДе всего показать что лю-
ров (16.2) Рн зате^мс-Ь лиией|1ая комбинация векто-
всктопАи ио 91 ldH0Blrib линейную независимость
векторов (1G.2).
Пусть д = х '
Vi + U2. Заметив,
произвольный вектор суммы
х1 = а1/1 + ... + а / Д-
Кольку Л-, вектор из {/,) ц
bn.

тг—/п, гп,
142
(поскольку х,£6А), получим
I "Ь	J Шу —	т^—м^	11) ' t
1	1 Ьп>) ^гтц •	4" • • • । Jfn;—гл,	—m3 *
Итак, любой вектор из суммы Ux 4- U2 представлен
линейной комбинацией векторов (16.2). Осталось до-
казать, что (16,2) линейно-независимая система век-
торов. Допустим противное, что существует линейная
комбинация
rrii~ mz J тх—mt ; Р*1^1	••• P'm>	.
4-	+ ... +	= 0,	(16.3)
где по крайней мере один из коэффициентов отличен
от нуля. Вектор t =	4- ... 4-	принадле-
жит U2- Но из (16.3) вытекает, что Z = — Х^ — ...—
“ fmx-mz - Mi “ Р^ hmi и, следовательно.
Это означает, что	и может быть
представлен в виде линейной комбинации лишь век-
торов
z = 9 /i + ... л- б h .
1 1 1	‘ тг тг
Поэтому имеем
vtfii 4-... + v„ „ р „ — 6.h. + ... -г 0„ й
•	ZTLj—/Пз - /П. — ГЛ,	*	*	/711	/71g
или
v.£. + ... + V е _ о h — " — й й = о. (1G.4)
В силу линейной независимости векторов базиса U.,
из (16.4) следует, что v^O.........°i = 0,...
...,0 =0. Условия (16.3) принимают вид
*1 /1 + ... 4-_ fm m + PtAt + ... + Н/п Л == 0. (16.5)
1- 1	/П|~/Пз	1*1	* ZTZj /72|
В силу линейной независимости векторов базиса Ux
получим, что наряду с коэффициентами у, все коэф-
фициенты \р (p—\,niy — /?z3), |i7 (q = 1, т3) также ну-
левые. Пришли к противоречию. Таким образом, си-
стема векторов (16.2) линейно-независима и образует
базис суммы подпространств. Теорема доказана.
Обратимся к пространству решений однородном
п	____
системы линейных уравнений S <4^ = 0 (4 = 1,ап) и
143
выясним геометрический смысл этого простонет л.
С этой целью рассмотрим множество магри^-ч-толо-
цов, составленных из п чисел. Гели ввести о.-рации
сложения матриц-столбцов, умножения на число мат-
рицы-столбца, нуль-столбец и противоположны стол-
бец. как это сделано в лекции 1. то мы мучим
выполнение всех аксиом (.1), (В). I ем самым л .
навливаем. что множество матриц-столбцов с :д н-
ными операциями образует линейное прост.?алс! >.
Базисом его будет совокупность линейно-всзазисимы.с
матриц-столбцов вида
так как любая матрица-столбец есть их линейная ком-
бинация
Полученное /z-мерное линейное пространство обо-
линейное простран-
Т*. В предыдущей
значают обычно символом Тп ,
ство матриц-строк — символом
лекции (пример 2) нами показано, что пространство
решений однородной системы уравнений образует
(п — И-мерное линейное пространство, векторами ко-
торого ЯВЛЯЮ1СЯ мат рицы-столбцы, а базисом служит
нормальная фундаментальная (либо просто dr ндамен-
liiKii.M ооразом. можно
41 и пространство решении одн родной
'1.!.Н,1?1-гЫХ У1>авн,‘нца сеть подпространство
‘:i‘‘ размерность равна п — г, гое
Вспоминая
може:. также
однородной си-
линейна я < оолочкл
п, натянутая на векторы фунои-
тальная) система решений,
заключить,
системы .
пространства Т,.
г — ранг матрицы системы уравнении.
определение линейной оболочки, мы
сказать, что пространство решений
с темы линейных уравнений есть
в пространстве Т
ментальной системы решений.
Если решения системы уравнений записывать в виде
матриц-строк. то в предыдущем абзаце необходимо
символ Тп заменить на символ 7*.
Обратимся к иллюстрирующим материал лекции
примерам.
1 ример 1. Найти размерность и указать базис
линейной оболочки, натянутой на векторы
а} |1 JJ.-1. 2]. а2 [2. 1. 1, 11.	--14. 1, -1. 5].
Составляем матрицу из матриц-строк, находим ее
ра и г
Ранг Л ~ 2. Первая и вторая строка являются базис-
ными. Следовательно, размерность оболочки равна
двум, базис составляют векторы 1о1 . пЛ.
i I р и м е р 2. Найти размерность и указать базис пе-
ресечения подпространств Ц\,и2. являющихся линей-
ными оболочками, натянутыми на следующие системы
векторов:
Решение. Согласно примеру 1 dim С , —2 и ба-
зис {а, , а-,]. Поступаем так же. как и в тримере 1,
с системой векторов ЬХ,....Ь4.
Заключаем, чго diin (А =-^ 2. Его базис — \ЬХ, &2].
Ищем векторы, принадлежащие одновременно как
Ut. так и U,
3) [1 0 -1 2)--з>|2 1 1 1| —а3[—2 0 2 -4] +
+ ач[0 U 1 1].
10 Б-'94
14
Получим систему линейных уравне ним i 1 1 * 1 ими
а, . аг, а . , 7Ч
а(+2а,4 2« О
а, = О
*
— а. + а2 — 2ал — а4 = О
2а, + а2 + 4-7. — а. О
а3 =» с
= О
(< — произволь-
ная постоян-
ная)
Лекторы пересечения -v имеют вид.-
пресечение о июмерно, е - базис
с— 2г 11 0 -1 2].
г = [1 0 —1 2J.
Лекция Г
ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
И ИХ МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ.
ДЕЙСТВИЯ НАД ОПЕРАТОРАМИ И МАТРИЦАМИ
Пусть зя (аны линейные пространства и Л1,л.
Пусть А — отображение пространства £п в простран-
ство Ww. Образ вектора з’£.<л будем обозначать
символом U (Ах£ Мт).
Опре деде в ие. Отображение А : ббп —♦ Л4л назы-
вается	отображение м (иначе морфиз моз ),
гсли выполнено A (х, + х2) = Ах, + Ах2 и А (Хх) = ХАх
для любых векторов х:.х2,х из £п и любого Х£К.
В дальнейшем все линейные отображения обозна-
чаем большими прописными латинскими буквами.
Если А отображает векторы £л на все множество
.екгоров то отображение называется эпи морфиз-
к м<. Если же А задает отображение на часть мно-
жества векторов ?И,л, по отображение взаимно-ооно-
значнос (х--*Ах), то А называется мономорфизмом»
Отображение А, являющееся о (повременно эпимор-
физмом и мономорфизмом, называется изоморфизмом.
В случае, когда пространство Л4,л является /i-мер-
ным. как и гп {т^п\ линейное отображение А : >Л1л
называв ъу.г 'чордэи> умом или линейным операт^
ром.
’ Сейчас мы докажем теорему, на основании кото-
рой /Ил можно отождествить с Хп н считать, что
эн юморфнзм (линейный оператор) задаст отображе-
ние ^л в самого себя. Поэтому для эндоморфизма А
вето употребляют символ А = Ет1£л.
14Ь
Теорема. Любы< два к- черных пространства:
Хп и Мп (над полем К) изоморфны между собой-
Действительно, п\ ст ь в Лп выбран базис {^1,..., еп},
а в Л/„ —базис |#i», £л}- Построим отображение
п
А : «7Л—*Мп но следующему правилу. Каждому х=2 Геь
л-1
п
сопоставим у = S * т. коор хипаты образа Ar—v
л- 1
в базисе	те же самые, что и у вектора х
в базисе \ei,..., еП . Это отображение линейное. гак
как вектору
П	*1	п
соответствует, согласно правилу, вектор
Л	п	п
X («;* + В;2 ) А’й = а X Q* A’fc + е 2 ;2 gfc =- ьАх^ 4- 3 Ах. .
А—1	А«=1	А«=Л
Построенное отображение — мономорфизм, потом;, что
при	имеем различные координатные матрицы-
столбцы, построенные из ;* и =*♦ а, еле цжательно.
векторы Av, и Ау2 также различны между собой.
Построенное отображение в го же время и эли-
п
морфизм, гак как для любого v —V существует
к J
п
прообраз а: = X с* - тля которого Лх у. Теорема
доказана.
Тем самым все /^-мерные линейные пространства
(ec.ni учитывать только линейную структуру) не раз-
личимы меж iy собой. Поэтом} символ /И для другого
линейного пространства можно не употреблять и пи-
сать Ул,	. ,, и т. д.
Пусть Л—линейное отображение из в . Из
линейности А следует .4 (ал^ + р.г2) = аЛх, 4- рЛх2
л	.9
и вообще Л X алх*) = X «л ЛхА. Пусть 'elt... .et} —
k 1	A—I
'азис_..еш!—базис	Векторам базиса е,
(/.•=!.«) соответствуют отрази Аек^^,т, которые
мы можем разложить по векторам базиса {g.,..., т» |
10*
147
Acr. «i ft + °* ft + - +
Записывая координаты векторов Aet.	> Ae„ в вила
столбцов, получим .матрицу
которую кратко будем записывать в виде /4 = [^
/верхний индекс — номер строки, нижний индекс —
номер столбца) и называть матрицей линейного ото-
'ражения A:£n-+Zr в данных базисах ,..., еп].
tel ••••»&,/•
Если А — эндоморфизм (линейный оператор), то его
матрица необходимо квадратная.
Если координаты вектора х заданы: x=2;*te*. то
как найти координаты образа Ах? Используя линей-
ность отображения Л, получим
п г т	т п
; I 2 У к 211 = 2 I 2 'J-k ; I gi •
k 1 /I	I 1	1	'
Если обозначить координаты вектора у через т/. то
и меем
г.
(П.З)
Формула (17.3) служит для нахождения координат
образа Ах, если известны матрица отображения и коор-
динаты вектора х.	<	‘
Итак, каждому линейному отображению А соот-
ветствует (в фиксированных базисах} прямоуголь-
ная матрица А = [4] (i = 1, да; k = ТГп».
Обратно, пусть задана некоторая матрица А — [я( J
(7 — 1, т\	и заданы базис {е1,..., в ^,п и
{ .... trr’ * Z,. . Зададим отображение A:Z, —
п
пс следующему закону. Каждому вектору х—ZE ;
к ’
т
сопоставим вектор v = 5 V&» гДе числа т/ определи-
' t .1
ются с помощью матрицы А по формуле (17.3).
Заданное отображение линейное, так как вектору
п
их, — У (ан* т- 3^*) ek по 117.3) соответствует век-
л-=л
тор с коор шпатами
Н	ЧП
v 1 / .* с Л \ v * с. V 1 -* t Q 1
2. ik ~ /;2 ) = а 2.	_ ** -- = IT.t -г ?т,2 ,
k *1	Jfe=l
откуда следует, что A (ouq -г ;х ) = ?Ах, ~ ЗАх 2. Вос-
пользовавшись формулой (17.3). подсчитаем коорди-
наты векторов Aet...Агп.
У вектора е. первая координата равна 1. осталь-
ные равны нулю. Поэтому из (17.3) следует, что век-
тор Дв| имеет координаты / . т ...., aj4—первый стол-
бец матрицы А. У вектора е2 вторая координата равна 1.
а остальные равны нулю. Поэтому из (17.3) следует,
что вектор Ае2 имеет координаты А2. з~...., х7 — вто-
рой столбец матрицы Д. Аналогично получим, что
остальные столбцы матрицы А есть координаты век-
торов Ае3....Аеп. Таким образом, матрица построен-
ного отображения А совпадает с заданной матрицей Д.
Тем самым, каждой матрице (при фиксированных
«базисах \ех..ел|. .....gm]) оОнозначно сопостав-
ляется линейное отоорлжение А. .‘Ложно заключить,
что межоу множеством всех линейных отображе-
ний ( тераторов} и мн )Ж4 те всех прнм ^угольных
(кваоратных) матриц существует взаимно-оонознаи-
ное соответствие.
Приме р. Найти матрицу оператора, переводящего
векторы —[1.0. —1|. л*2^[0, 1, —2). л‘3=[1, 1, 1|
в векторы yt—[(‘. 1. —1[, y2 = [l,U, 2]. Уз ==[0,0, —1].
Решение. Используем (17.3) для определения 9
•кизвестных	(Л k -= 1, 2, 3)
149
Данная система уравнений распадается на 3 подвис <е-
мы каждая с тремя неизвестным
матрицы оператора
Решая их, находим вид
3
о
л*
Среди множества отображении выделим 3 отображе-
ния. играющие важную роль в теории линейных опе-
раторов.
Определение. Нулевым морфизмом называется
отображение О:	которое любой вектор пе-
реводит в нуль-вектор пространства . т. е. Ох = 0
для любого <£л.
Легко найти вид матрицы нулевого морфизма. По-
скольку Oek — Q, то все <4 = 0 (I = !,/«; к=1. п.) н
матрица имеет вид
0 0...0
О 0... 0
* • •
 • •
0 0...0
(17.4)
Определение. Отображение А' называет с 1 -ipu-
тивополоясным по отношению к отображению .4 если
для любою х££я выполнено Ад-= —Аг.
Пусть матрица отображения А есть ^4 = [я^]
(i = 1, m; k = 1, /ы. Поскольку А гек -- — .4еь =
'«те	"	*
I	I .
~	то матрица противополож-
ного оператора составлена из чисел а* умножен-
ных на —1, т. е. Д' = |— а11	4
1 -о
Определение. Эндоморфизм (оператор) 8 назы-
вается тождественным\ если он оставляет на месте
все векторы пространства,
.v£.Zn.
Поскольку 8ек ек. то
т. е. £х = х для любого
I л
= bk =
1, i == k
. О, i k
— сим-
вол Кронскра (L к — 1, п). Матрица
оператора имеет вид
Г1 0...0”
0 1 ...О
тождественного
(17.5)
Lo 0...1J
и носит название единичной матрицы.
Перейдем к рассмотрению действии на i отобра-
жениями и построим соответствующие действия для
матриц.
Определение. Если для любого х££л Ах=Вх9
то отображения считаются одинаковыми {равными).
I 1оскольку Аек = Век , то <4 = $1к (I = 1, яг, k = 1, /П.
1оэтому две матрицы А и В считаются совпадающи-
ми (пишем I — Z?), если их элементы на соответствую-
щих местах равны друг другу.
Опр е д е л е и и е. Суммой линейных отображений
.4 и В называется такое отображение С= А + В. что
для любого х££п Сх = Лх + Вх. Покажем, что С—
линейное отображение. Действительно. С(хх, +
- A (ах + px.J ~ В (xvt 4- Вх3) = аДл^ 4- ₽Лх2 + хВхх 4-
4- ЗВх2 = а (Лх, - Вх{) 4- 81 Дх 4- Z?x3) = aCxt 4- £Сх2,
т. е. при любых Л4 . х2 £ и любых а, £ , К С (aXj 4-рх2) =
=| аСх! 4- 0Сх.2. Отображение С — линейное отобра-
жение.
Поскольку
п
то, обозначая элементы матрицы отображения С че-
рез 7^, мы получим
= 4 + 4 (д -= Т77й; k = Г7г).	(17.6)
Поэтому под суммой lampun А = (41 - В = 141
нимаем матрицу C=[4J, э. ементы которой связа-
ны соотношением (17.6).
101
Легко проверить, что как для отображен; I, так
и для матриц выполняются следующие чет е у ловил
(записываем только тля матриц):
(11 Я В В	А; (2) (А А-В) А-с—A-t-(Г< + С -,
(3)Л + О А; (4) А-г А' 0.	(17.7)
Оп ределеяме- Если для любою х££я выпол-
нено (/-Я).1'	> (Лх). то отображение ' A ia:i наст< .>
/;poti'tncoi наем числа > на оточраж ен * < Д'
операция умножения на число  пилорам • hwi *).
т	:я t
Поскольку (/A)ek^cAek	7/)> »
/1
то элементы матрицы оператора /.Л получаются путем
умножения на /. всех элементов матрицы Л [?’ ]. По-
этому под произведением числа /. и матрицы А пони-
мается матрица с элементами [/.?*| (/	1,/я; /г 1./г).
Легко убедиться, что выполнены условия
(1) 1 •/! Л;	(2) ('^) А — /чуЛ);
(3) (/. + и) 7 + М; ( 0 7 (А + />) - • М । //?-
(17,э)
Введенные операции и выполнение свойстз (17.7)
для суммы матриц и свойств (17.8) для опсраце умно-
жения матрицы на число приводит нас к выводу
(см. аксиомы группы (/) и группы (/?) для лилейных
иррстранств): совокупность всех матриц ио п ц
преостивияет собой линейное векторное пр стран-
ство, ifh роль векторов играют иряАюугольныс мат-
рицы. имеющие т строк и и столбцов.
Какова размерность введенного линейно! » про-
странства? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмот-
рим тп матриц вида
(17.))
где на пересечении Ли строки и /г-ю столбца стоит 1,
а остальные элементы матрицы—пули. Эти матрицы
линейно-независимы, так как, составив линеину ij ком-
1 _
биняцню ?>. . г 'i.ikeik с произвольными коэффициента-
£-1
ми и приравняв ее нулевой матрице (нуль-вектору),
из р; । енст . матриц получим, что ли = 0 (I -\^т\
/ = 1, •:)*
Км м \	). любая матрица А =[’-И может быть
прел <ь. . как линейная комбинация матриц etk:
Т. 1
А х S > £ . Поэтому матрицы (17.9) играют роль
i . k =-
базисенх ь орон в линейном пространстве матриц
т X п. Таких матриц тп. Поэтому размерность рас-
сматоеза :м о линейного пространства равна тп.
Я' >.	- все изложенное выше для отображений
А:УГ - / и прямоугольных матриц имеет место для
опера >р (эндоморфизмов) и квадратных матрицяХл-
Разы*. н с*ч .шнейног, > пространства операторов
равна
Лекция 1 ч
КОМПОЗИЦИЯ ОТОБРАЖЕНИИ
И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ.
ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР И ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
ОБРАЗ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Пусть Д—.пшенное отображение из в В—
линейно i отображение из в х р. т. е. 3£п —*	•
Тогда в зннкает отображение С: £я—• л;/> которое
назнрг ется композицией отображений .4 и В и обо-
значается символом С = В ° Л (при композиции после-
дова а и,т >сть действий пишется справа налево). Дру-
гими юзами, для любого имеем Сх -/?(4х).
I |<жаж что С—линейный оператор. Этот факт лег-
ко ироверя пси, так как	-Ь )х,) - Н (А	=
- /: (г .4л ;. Ia\) jB( 4-V|) +, (Лх,) = т.Схх + ЗСх..
К; к записать композицию отображений в матрич-
ном продета злении?
Пусть [f,....<’71.	;	79 >•••♦ hp\ — базисы
в hj ( ст;\;?ствах .Z,.	а соответствующие
матрицы отображений — А —	1 _(i	1>	1> л),
(5-й). cH'dl (Ss=1’/;;	Мож-
но напнса (bv‘СтоЗуюшую цепочку преобразований:
/п	п т t Р \ Р f т .\
Д<’S1>
I 1	f-=l 4 5-1	' S-l
С другой стороны имеем
C<?ft=S^V	(18.2)
5=1
Сравнивая (18.1). (18.2) и учитывая линейную незави-
симость векторов Л(,..., hj,, получим
т
= 2 ?М-.	(18.3)
т. с. элемент матрицы С, стоящий на пересечении
s-и строки и А’-го столбца представляет собой сумму
произведений элементов s-й строки матрицы В с со-
ответствующими элементами (т. е. стоящими под
теми же номерами, что и элементы s-п строки) k-го
столбца матрицы Л.
Построенную таким способом матрицу С называют
произведением матриц В, А (пишут С = ВА\ а пра-
вило умножения матриц (18.3) называют правилом
„строка на столбец14. Из этого правила вытекает, что
не любые матрицы В и А могут быть перемножены,
а только такие, когда число столбцов матрицы В сов-
надас  < числом с г рок матрицы Л. В результате по-
лечится маiрица, имеющая число строк, равное числу
строк матрицы В, а число ее столбцов совпадает
г числом столбцов матрицы А.
Пример. Найти произведение АВ. если
На этом примере ви iho, что произведение АВ суще-
ствуем, а произведение В А не существует.
Если речь идет об операторах А, В, то соответ-
ствующие матрицы квадратные и. следовательно.
С—ВА — снова квадратная матриц.!.
В общем случае для квадратных матриц AS ^ВА,
в чем легко убедиться на следующем примере:

Когда AS=£SA. то этот факт отмечают словами:
матрицы А и В не коммутируют между собой. Если
же матрицы А и S таковы, что AS = SA, то они
на&ыва ются ком мутирующими.
Для всякон квадратной матрицы А вводится поня-
тие не отрицательной степени матрицы, если но опре-
делению считать, что
A°==S, А1 А, А2 =А-А,, Ал+1 -А-Ал,...,	(18.4)
где S—единичная матрица (17.5). Используя (18.4),
тотчас получим, что Ар-А7 = А ,/--А7-А/’, так как
ЕА = А = АВ для любой матрицы А.
В дальнейшем нам понадобится факт из теории
матриц, который мы приведем без доказательства.
Теорема, ^етерлимшнлп пр мпведения квадрат-
ных матриц равен прлилвеоению детерминантов со-
множителей, т. е.
det ( AS) = det A-detS.	(18 5)
Доказательство призе teno, например, в книге Г. Е. (Ни-
лова (см. литературу в конце лекций).
Перейдем к более подробному рассмотрению эндо-
морфизмов пространства Zzi, называемых далее опе-
раторами.
О предел е и и е. Оператор В называется о }рат-
нь и ш отношении к он ритору А, если выполнено
В о А = Г, где £ — тож явственный оператор.
В матричном пре оставлении данное условие имеет
вид SA==/f, г ic —единичная матрица (17.5).
Поэтому можно • цкгь аналогичное определение
обратной матрицы по отношению к матрице А.
155
Определение. .Матрица .4 1 называется oGpim-
ной к матрице .4. если выполнено уеловн-
д-’Дс=£.	(18.6)
Какие из матриц .4 имеют обратные? Чтобы ответить
на этот вопрос, воспользуемся соотношением (
Из (18.61. учитывая, что det/--=E следует (detл )
• (det Ml- 1. Следовательно, детерминант матрицы А
непременно оолжен быть отличен от нуля. Если
матрица А вырожденная (det А =• 0). то .снятие оо
обратной матрице для нее отсутствует. Этот факт
выряжают словами. что всякая вырожденная ма*ри-
да Л обратной матрицы не имеет.
Пусть матрица Л =»= [?{]— невырожденная (det Л^О).
Как найти элементы матрицы Л . зная элементы мат-
рицы Л? Обозначим элементы Л" через где
неизвестные пока числа. Запишем условие (18.6) через
элементы матриц
Придадим индексу / значение 1. а индекс я заставим
меняться w 1 до п. В рез}льтате получим систему п
уравнений с п неизвестными Z1 ;
(18Л)
z' • •	я : /\ 2п - /2 2п — ... -у- /1 £	|
Поскольку det И - то применяем формулу Крамера
Д... о... х?
. I	det Д ’
(18.9)
‘^е ] алгебраическое дополнение элгмо1
рице .4. Заметим, что элемент 71. етп11Т
дополнение подсчитывается
а ал "[>аич ч кот
эле.мен \ сто < дего
на пересечении первого столбца /-й строки. Есл?
сейчас индексу i придать «качение, равное 2, индекс fc
заставить меняться от 1 до п и разрешить по форму-
лам Крамера соответствующую систему уравнений.
. 2
то получим, что /.«	——. Аналогично имеем
det А
Таким образом, элементы А определены одно
Ak
смачным образом /1 = —-— и, следовательно, А
det zl
имеет вид
18.10>
где 'еще раз напоминаем) /Ц — алгебраические допол-
нения элементов матрицы А.
Пользуясь формулой разложения определителя ко
алгебраическим дополнениям своей и чужой строки
(столбца) (лекция 2)
легко проверить выполнение следующих равенств:
tn) А.V 1 ZF: (б> .	А 1;)	(181*
(О (А”1)-1 Л.	।
На основании (1Ч.6) и <14.Па) заключаем, что
А ’Л	Л Л ’
Определив о рнцател» г ю степ» и ь матрицы А
в виде А~л А~\1 ‘...А формулу АРА7 = А*'Т'' мы
распространим i<ni ам.< 1 на >се лно/кеств л . х
чисел /1 и /.
Пример. Найти обратную матрицу для
2
1
0„
Решение. Вычисляя определитель и алгебракщ
ские дополнения, находим: det Д = —- зэ д{ __
Л1 = 2. Л? = - 3, Л' - 0. Л? = 0, Л? = - 3, Л« = -
Лз= —1, Л|=«0. Поэтому
Вернемся к рассмотрению линейных отображены
*-tm н установим, что представляет собой миг
лестно векторов Ах из .
'предел он не. Совокупность всех векторов пре
странегва ,Zm у — Лх. где х пробегает все множеств
век *ров Лп. называется обпило ч отображения А
обозначается символом Im Л.
п
Пусть х	Тогда
k I
Вспоминая определение линейной оболочки, заклк
чаем: одра шнекного отображения А есть линел
ная оболочка, натянутая ни olpiui. ба тсных век
mof в (Л<’(., Лгп|. Нам известно, что координат
векторов Ле* составляют столбцы матрицы Л -I?
Поэтому рл’.черно, ть Ini А совпадает, с чикса чал1
чым числом .iiiHeiiHo-нешвисииык ет>л'щов uunpt
цы 4. т. е. с рангом Л.
11так. dim Im Л ранг А.
Еще одной важной характернсгикон отобраг
ння Л является понятие я ipa отображения.
О н р с д е л е н и с. Ядро ч линейн )го ото >pj жени я
(символ Кег Л) называется множество всех вектор»
J58
ИЗ которые А отображает в нуль-вектор про-
странства т. е. совокупность х££п таких, чтс
4х = 0.
Покажем, что Кег А есть линейное подпростран :тво
пространства Zn. В самом деле, пусть х,, х,£ Ker .4
т. е. Ахх — 0, Axz = 0. Видим, что А (ах + 8х )
-=0/*%! + ₽Лх2 = а.о ?'0 = 0, и, следовательно, век-
тор (“Xi + ₽х2) £ Кег /I при любых а, 9 £ К.
Какова размерность ядра отображения? Чтобь
ответить йа это вопрос, запишем в координат ix
условие Ах = О
Из-за линейной независимости векторов
имеем
п
*=1
(18.12;
— однородную систему линейных уравнений, матрица
которой совпадает с матрицей Л. Следовательно,
вектор х принадлежит пространству решении систе-
мы (18.12), и ядро отображений Я совпадает с про-
странством решений оонородней системы уравнений
е матрицей Я. Нам известно, что размерность про-
странства решений равна n—i\ где г—ранг матрицы Я.
Подводя итоги, можно заключить, что яоро (Кег .4)
есть подпространство п рострам тва :.'п размерности
п — г.
Теорема. Если. В АГ (и.ш если /	1). где
Т—нсвырожденная матрица. то ранг В =» ранг А-
Доказательство. Имеем, что Вх=А(.^/ х)
для любого л . Но line?7’	поскольку ранг
Т /г (Г—невырожденная матрица). 11о »гом\ dim Im
— dliiihn 4 Ранги матриц В и Л совпадают.
Отметим, что систем} уравнений (18.12) в матрич-
ном представлении можно записать в виде Я [х] = 0„
где [л'| — матрица-столбец с неизвестными коэффици-
ш амн. Если через |/>| обозначить матрицу-столбец
ИЗ свободных членов b'Jr..Ьт неоднородной си-
стемы, то неоднородная система линейных уравнений
в .матричной форме примет вид А |.г] - [/?].
1 5
Поэтому нахождение oouij решения однородной
системы уравнений можно всегда интерпретировать
как отыскание ядра отображения, задаваемого матри-
цей системы, а нахождение об iero решения неодно-
родной системы у равней и ff — как отыскание множества
всех векторов пространства которые отобража-
ются с помощью А в фиксированный вектор b про-
ст рзн тва £,Г(.
’ г н сти. когда имеем систему A Ix| = [£] и z
уравнений с п неизвестными и с det Л то формулы
Крамера приобретают ни
И -л-’р|.
(18.13)
Для .юказапъчь :тва достаточно умножить равенство
Alt] -pj слева на i 1 н ’ i: г ., что Д-1.4 .—
5I.CJ чп
Лекция 19
СОЬСТ BI ИНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРА.
П1 .РЕХОД К НОВОМУ БАЗИСУ.
ИНВАРИАНТЫ ОПЕРАТОР
Очей' хн .*> роль в теории линейных операто-
ром и в фямчсскях приложениях играют попятят
собственных векторов и собственных значений опе-
ратора Л
:ениг. Подпространство U называется
>и>1Н!пиич ' ельмо оператора А, если тля
любого x'U образ Ax£U. те. A((J}cQ.
Нис будут интересовать одиомерныТинвариантны^
яодлроетранст  казываечые соб тченн»: tu. напрь
-> "Я-' ч >- .ра ;
Опр !еиие. Вектор х (х <= Ч) называется
<'и ^.•''1/Р/7М оператора Л. :сли Л - f z.
ЧйГЛ'м	' ^еннич значением чп-:?ци-,
* ’	1 1 : i х- об< твенный лектор опер
7t 'Г i А. пю o.iH ,1юь *го 7^ К еекя&ор ах тик же
шлется собственным век/порои А с тем же сб-
етеенны ч ^нФсением. что и вс : р х.
В самом деле,пусть /х. Тогда А(ах) =
7 (* Г е= / (XXJ.
Теорема 2. Множество всех собственных век-
тор отвечающих одному и то же собственному
значению. образует линейное инвариантное подпро-
ст[ 1Н тво.
Действительно. если Ах{ — Ух . Лх2 -= Ух2. то
А (а.г. - вхУ х/1х. - \Axt •= А ( иг* 4- ?х,). Теорема до-
КЗ /с. <•
рема 3. С >быпвенные векторы хх.........х,
с п . рно различными с < иве иными значениями
' •..(>/ . ! у I r j) образуют линейно-независимую
с ис т с ну вег. торов.
дбказате. ьства теор : tu применим мето i инд\ к-
ции. При s 1 теорема выполнена, так как собствен-
ный вектор не нуль-вектор. Пусть теорема верш дли
любой системы из k собственных векторов. Докажем»
что ома верна и для системы из (4-{- 1) собственного
вектора. Составим линейную комбинацию с произволь-
ными коэффициентами
7;Л'1 -J- ... + аЛ + аЬ|.сЬ1 - а
09.1)
Действуем оператором А. учитывая, чти Ах fgx1,
П олу чаем
ГПг; =,j-	(19.2
И бствеииыл ЧИС 1 / ...., / хотя бы одно отлич-
но от нуля, так как собственные значения попарно
ра< И1НЫ. *>а счет перенумерации всегда можно счи-
тать что	J множив (19.1) из 'и вычитая
пол . иное соотношение из (19.2), получим
?! ( /1 z>. i) Xj -г _ ।', — >* J- ... »
-	(^-'ч 1» хд е.	(19.3,
Пос тьку для любых k собственных менторов тео-
рема верна, то векторы ...., х* линейно-независимы
< н .ив 1 I ч , л >.
М'> '•».> о.	о....2„ /4-о.
Эт< качает. ЧТО	0,«««0 «» —0, так как
'1 '	' м.......А* '-к : • В та . с.т qae и $
(19.1) следует рявевегво а,.	= <j. Но х.как
собственный вектор не является нуль-вектор, >м. i )-
этому коэффициент также равен нулю. Теорема
доказана.
Как практически находить собственные значения
и собственные векторы оператора?
Пусть ,..., еп] — базис в Хп, Л =	1 — матрица
оператора. Равенство Ах = лл* можно записать в виде
(Л —Х£)л = 0, где £ —тождественный оператор
(£л = х). В матричной форме приведенное оператор-
ное равенство выглядит следующим образом:
п
(/—>./:) |л] = 0’или Z (4 —=
А’«®1
Подробно расписывая последнее равенство, получим
систем}' и линейных уравнений
Из теории систем линейных уравнений следует, что
данная система имеет не нулевое решение тогда и
только тогда, когда определитель матрицы системы
равен нулю (ранг (Л — к£) < «.).
Приравнивая det (И — i.E) к нулю, мы получим ха-
рактериепшческое уравнение
(19 5)
Полином n~ii (тепени, стоящий в левой части равен~
ства (19..i), называется характеристически.и полино-
мом матрицы .4. Корни .этого полинома суть соб-
ственные значения оператора.
Итак, для того, чтобы, оператор А имел соб> твен-
ные векторы, необходимо и достаточно, чтобы, ха-
рактеристический полином его матрицы Л был равен
нулю, причем сортвстствующие собственные значе-
ния оператора совпадают < корнями характеристи-
ческого полинома.
1Ь2
Если мы рассматриваем комплексные линейные
пространства (К = С), то согласно основной теореме
алгебры (о наличии корней полинома) имеем tt корней
(включая кратные)
Л । , ... . L ’ ^'2 » • • • , ^*2 ♦ • • • » L ’ • • • 1 ^'5 •	(19.6)
-------»	_______I	।______J
Г1	Г2	Г3
Тем самым мы найдем s попарно различных соб-
ственных значений оператора. Подставляя /.Л в си-
стему (19.4) вместо параметра X и составляя нормаль-
ную фундаментальную систему решений, мы находим
базис подпространства собственных векторов, отве-
чающих данному собственному значению опера-
тора 4.
Если мы рассматриваем вещественные линейные
пространства (K = R), то ситуация складывается не-
сколько сложнее, чем в предыдущем случае. Когда
вещественные корни у характеристического полинома ‘
отсутствуют (корни только комплексные), то мы гово-
рим. что вещественных собственных векторон опера-
тор не имеет. Пусть ........а, ;... ; 7.frl...., z.w — веще-
-------j	_j
/’1	r'm
ствениые корни полинома, а а1 + /3j ,...,	±	;
I_______________Li
...; а, 22	,..., j ±- комплексные и комнлексно-
i----------------1
сопряженные корни полинома (вспомним, что у поли-
нома с вещественными коэффициентами наряду с ком-
плексным корнем а 4- /3 непременно присутствует
корень а —причем рх +• ... |- Рт -г 2</i Ь ••• +
В вещественном линейном пространстве т веществен-
ным собственным значениям ........кП1 будут отвечать
вещественные собственные векторы (процедура нахож-
дения базиса оболочки собственных векторов, отве-
чающих фиксированному вещественному собственному
значению, полностью совпадает с указанной выше
для комплексных пространств, только коордпнагы
^—вещественные числа), а комп ickchwm собственным-
значениям б\ iyr отвечать комп щксиые собственные
векторы (их координаты ^’—комплексные числа).
.Пример. Панги собственные значения и собствен-
ные векторы опера гора, заданного матрицей
!!♦
163
о
-1
о
О -1
1 1
О —2 — 1
Составляем характеристическое уравнение
Имеем 2-кратный вещественный корень >,=—1 и комп-
лексные корни н==/, ц2= —z. Подставляем вместо >.
в систему вида (19.4) Xj = —1. Имеем
откуда следует, что f = 0, а --i *,	7 (с1, . —
произвольные вещественные параметры). Строим нор-
мальную фундаментальную систему решений, пол и ли
сначала J = l, г = 0, затем с1 = 0, с* I. Получим
два базисных собственных вектора
для оболочки собственных векторов, отвечают» х соб-
ственному значению X, = - 1 Любой другой собствен-
ный вектор х, отвечающий Х^ = — 1, есть линейная
комбинация векторов х, и г
Подставляя
ный корень
нений:
вместо X в систему вида (19.4; иомплекс-
•л> z, получим следующую систему уран-
161
о-е1 + о-е2 + <1 — ое1 -н4 - о
о-е' + о• е2 — 2;3 ч (— 1 — о V “ о,
откуда находим, что
где f — произвольный комплексный параметр. Фиксируя
значение г, полагай, например, с = 2, получим базис-
ный комплексный собственный вектор для одномер-
ного ин нарван i hoi о подпространства, отвечающего
собственному значению =- /
i с ли про вес 1 и аналогичные рассмотрения с сопряжен-
нь м ^корнем —/, то при соответствующем выборе
г базисный гобсл венный вектор, отвечающий соб-
ственному значению ;с2 =• — /, будет комплексно сопря-
женным к вектору yt
Что можно сказать о размерности инвариантного
пространства собственных векторов, отвечающих крат-
ному собственному’ значению?
Теорема 4. Размерность подпространства соб-
ственных векторов, отвечающих кратному собствен-
ному значению, не превосходит кратности этого
значения.
Пусть £7—подпространство собственных векторов,
отвечающих собственному значению кратности г{,
имеет размерность т (dim U= т). Пусть \/х, ..., /т} —
базис в U. Поскольку-	— собственные век-
торы, отвечающие собственному' значению , то
АЛ = х, Л, 3/2 = X, /2,..., Afm = X,. (19.7)
злса векторами c/;;+t > •••. < л •
ри действии оператора Л есть
знойные комбинации векторов
<’пН ।
т »
ti
т
s
1
Л—Hl f
1
(19.8)
/Л
п
s *
1 I
ЛАатрица /1 в базисе | /1. 
(19.7), (19.8), имегт вид
“X, о ...о
о Xt...O
согласно
• » Jnt • С// + !’•••» ^П\ >
|г >>
•	( I • • • п
т т
’ &//1 | 1 • • •
(19.9)
Л - . О О
. 4	/. т 4 1 m | I
О ...0 • aWl I ... a/z
• •	•
•	х •	•
/I	ft	ft
I ... О ’ G.tn । ] ... 7.z/
Составляя чаракгерисni’iecKiii: полином dcti 1 — 7/:),
получим
del (И -л/:)	(\ - 7 )"1 Q (X),	(19.10)
« де Q (X) — полино'! степени п — т.
Пл (19.10) с.ц iyer. очевидно, что кратное гь г.
корпя л === Xj нг меньше, т (/. .может быть и кор-
пел шпома Q(a)). Итак, /л - г, . Теорема доказана,
юм, ч ! о размерное«л> подпространства собствен-
ных векторов бывает меньше кратности соогвегствк ю-
|цего корня, легко убедиться на следующем примере.
О (I 1
,	101-1
о о о	о
О () 0	1
1(н)
— матрица оператора. Ее характеристический полином
имеет ви i
—X	0	1-1
О О О 1-Х
Первый корень Х1 — о имеет кратность 3, второй ко-
рень Х.? ~ 1 однократен. В случае первого, собствен-
ного значения получаем
— V - о, - V V - о. С == о,
откуда следует, что	- 0, V — <’ (с— произ-
вольный вещественный параметр). Таким образом,
подпространство собственных векторов, отвечающих
собственном)- 3-кратному значению Х1 =- (), имеет раз-
мерность, равную единице. Его произвольный вектор-v
имеет вид
' 0
0
В /г-мериом линейном пространстве любая си-
стема из линейно-независимых векторов служит бази-
сом пространства, т. е. базисы в <п могут быть вы-
браны различным образом. Возникают следующие
вопросы: (1) как задать переход от одного базиса
к другому? (2) как при этом меняются координаты
вектора л? (3) как меняется матрица оператора при
переходе к повомх базису? (4) какие величины, свя-
занные с матрицей оператора, остаются неизменными
или, как говорят, являются инвариантами преобразо-
вания базисов? Ответим на эти вопросы.
Пусть (С|...., гп} - оазис в . % и ,..., са,} — но-
вый базис в «2„. Разложим векторы е (/ ~ 1. л) нового
базиса по векторам базиса {fj..
п	____
et	’I”/).	(19.11)
£ 1
Координаты ev запишем, как обычно, в виде столбцов
и получим матриц)7
167
О ч
...
(19.12)
которая называется матрицей перехода от иештрц.
Рванного базиса к штрихованному. Ясно, что det 7>0<
так к;.к векторы et, как веь.'оры базиса являются
линейно-независимыми и ранг матрицы Т полны!..
Итак, матрица перехода есть невырожденная мат-
Г Соотношения (19.11) могут быть записаны в мат-
личной форме, если ввести в рассмотрение матрицы-
строки |с/ = Pi-. <>...L fd ~ Iei ’ r2 • ••• > сл1- со-
ставленные из векторов штрихованного и нсштрихо-
ванного базисов. Тот та (19.11) эквивалентно следую-
щему соотношению:
(19.13)
Поскольку Г — невырожденная матрица, то всегда
существует Г-1. Умножая (19.13) на Т~х справа и по.ть-
зуяС: равенствами ТТ~Х — [•’и [cjZ:’= p’J, получим
[t'Hpl'r *.	(19.14
Итак, переход от штрихованного оазиса к нештри-
хованному осуществляется с помощью обратной
матрицы.
ля люб л Хп мы имеем д>= ^с в оазисе
*
п
...f«' 11	;* б в базисе о........ еп,}. Под-
ставив е, из (19.11), получим, что д--=ч	=
/-И	4- 1
л
” — 1 — t.. Поэтомv
А . lEl
В сил\ лннейнои независимости лекторов базиса
...., t\ вытекает равенство
(19.15)
которое в матричной форме имеет вид
09.16)
г ie по I [л*| и |л*|' подразумеваются матрицы-столбцы,
составленные из координат и ;* вектора д'. Умно-
жая (19.16) слева на Г мы получим, как „новые14
<оори1нагы вектора л* выражаются через „старые*:
|л|' Т 1 |.v],	(19.17)
Таким образом. сбор.чу.гы (19.16). (19.17) задают
законы, связывающие чез/соу собой координаты зек-
тора л* в ииприхованно и и нештрнхованно ч базисах.
Пусть Я | — матрица оператора в базисе
:....ея}. Через А = I обозначим матрицу того
же оператора в базисе t*,......ел.}.
.•I	n
Заметив, что - 4 и At\. ~ У а* г. под-
; {	4 •	m«=»l
'	П
ставив согласно (19.11) е.	t’ < , Л et
s I	I л
в левую и правую части второго равенства, получим
I	п	п
1	ш=»1 I I
или
п ч	:	i
> V I , v т' X' J
"k	4 I	'fn I *
s^l I I	*2 :	. i
В силу линейной независимости векторов базиса
{< .	имеем равенство
(19.18)
Л - I
которое и матричной форме принимает вид
ЛТ-~ ГА'.	(19.49)
откуда следует, что
(а) 4' = Г''АТ;	(б) .4 = ГДТ-1.	(19.20)
169
—	законы. согласно которым.
^'ы («д. ..................
1^’ = -"<N	v. ,ialtuloMV для физических
ь "почием сейчас к	’	,,.1|1ТНх линейных опе-
Ржея-'Л	отмстим. что ранг А есть
np nt» Прежде Bi си <> 6а:тсов. так как ранг
Ратор‘ ,нт преобрамт^ А на невырожденные
инваР1Ь]Н\ из-за у множа ния
Д' Р:1И‘ '	'	качения оператора
мЛТТ''р р е М а Г).	базисов.
\пиан’пны относит'" .	7собственное значение
"Н°П самом деле. »У< 1 > .» гор. отвечающий дан-
В v ., .- — собственный	имеет место еле-
““^“ое ч W, ,
„е л _ М»Ч»«»	‘ У
7—матрица ш р<л < ц вставцВ между А и |х|
жив (19.21) на J получим
множитель /	'
/-'//’/-‘[л] = а07’-'1 [х|.
(19.22)
С учетом (19.17) и (19.20а) равенство (19.22) имеет в;п
Л'М'-Х0[дф.
Собственное значение собственного вектора .V в штри-
хованной системе координат осталось неизменным.
Теорема доказана.
Отметим также, что матрица тождественного пре-
образования при переходе к новому базису' не меняет
своего вида и остается единичной, так как Е'—Т~ХЕТ—
Рассмотрим характеристическую
для оператора А — /.£. Согласно
(Д - YE)' = Т~1 (Л - >./:) Г = T~lA Т
Но
матрицу (Д —Х£)
(19.20а) имеем:
- ).Т~'Е Т^А'-^Е.
<1е((Д >•£)' = det 7' ‘-ОеЦД — XZ?)-det Т —
det г ‘ljet И ~ А/:) • det del (Д — ).Е).
В силу равенства (Д — И-»'— д/
Дующее равенство:	’ "Л ~)'Г 110-»УЧ1Ш сле'
170
det (Л — / /?) — det (Д'
f 19.23)
9
выполняющееся при любом значении параметра а, т. е.
характерисптчеекий полимом оператора есть инва-
риант преобразования базисов.
В (19.23) слева и справа стоят полиномы n-й сте-
пени
Известно, что полиномы тождественно равны друг
Др\ту, если равны их коэффициенты при соответствую-
щих степенях а. Итак, коэффициенты характеристи-
ческого починами (уть инварианты относительно
преобра ювания. ба.икон.
Каким образом они связаны с элементами матрицы
оператора? Раскрывая определи те и, n~io порядка
del (Л а/:) и собирая члены при соответствующих
степенях а, мы полечим, что

I >")	(-If-’Sp.l, (19.24)
п
где символом ЗрЛ (либо tr Л) обозначают у\ и на-
i i
5ЫВ.1Ю1 r.ieUOM. матрицы Л [шпуром Л).
Анало1ичпо /, есть (у.и ио всех оиагонаиьных ми-
норов второго и.ор я ока, взятая со множителем ( —1)‘“2,
/3 сумма всех oiai опальных миноров третьего по-
рядка, взятая со множителем ( — 1)" ’ и т. о Наконец,
Ia det Л, поскольку минор /а-го порядка совпадает
с определителем матрицы. Тот факт, что определитель
ма грицы оператора есть ипвариант преобразования
базисов, может быть получен и из (T9.20а), поскольку
det Л7 det Г 1 det Л det Г det 1.
' НЫЕ ФОРМЫ И СОПРЯЖЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ
ПРОСТРАНСТВО. БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ БИЛИНЕННОЙ
ФОРМЫ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА
И ЕЕ ИНВАРИАНТЫ. СИММЕТРИЧНЫЕ
И АНТИСИММЕТРИЧНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
На числовое поле К. под которым мы подразу’
ваем С или R. если иметь в виду лишь операции
сложения чисел и умножения их на числа из того ж
поля К. можно смотреть как на одномерное линейш
пространство (комплексное в случае С и веществ. •
ное s случае R), векторами которого являются чис.
из множества К.
- О п р еде л е н и е. Линейное отображение » :	/
называется линейной формой.,заданной на векторах .
т. е. для любого сопоставлено число ф(х)-/
причем ~ (ох, - £х2) = аз> (х,) — 3? (х,) для любых а, £ £ К.
Например, если в трехмерном евклидовом про-
странстве зафиксировать вектор с и рассмотреть ск
лярное про:,введение (сх), где л- пробегает все мн
жество век. >ров пространства, то мы получим линек
ную~ форму е(х) = (сх), так как (ё(ах, — 3xj>
= « (cxt) - ; (С Х_.) = ее (х,) -р (х2).
Пусть .......еп —базис в . Найдем матрш
отображения вычислив с на векторах базиса. Имев •
—	(k==l,n). Матрица |ф] имеет одну строк*
поскольку одномерно. Поэтом V
тп
название коэфф.щиен-
легко найти
Элементы этой матрицы носят
тов линейной форм i. Зная матрицам
значение фор лы^на любом векторе
деле, если х = V. ^eki то
(20.1)
в матричной форме это выражение имеет простой вид
?(х, = [?Пх],	120.2)
где под [х) подразумевается матрица-столбец из коор-
динат вектора х.	н
Мы знаем, что относительно операции сложения
и умножения на число совокупность* всех линейных
форм (как линейных отображении, образует свое ли-
нейное пространство размерности \-п = п.
Определение. Линейное «-мерное пространство,
векторами которого являются линейные формы, назы-
вается сопряженным линейным пространством (по
отношению к пространству .in) и обозначается сим-
волом <£’ .
Базис в &.‘п будем обозначать той же буквой е. но.
ставя индексы наверху {е1, ег,..., е’|, в отличие от
ба Mica ,<?t,..., еп\ в .
Всякая линейная форма » как вектор из рас-
кладывается пи векторам базиса а1,..., ел}: э =
п
= 2 еггде Ofc — координаты линейной формы о
А = 1
в базисе {е ,..., е |.
Удобно выбрать базис в < * таким образом, чтобы
линейные формы е* на векторах базиса ,.... ej
принимали наиболее простые значения. А именно
(20.31
Такой базис в Ji* называется качучи чески к или вза-
имным к базису 'tet,..., е,} в «J,.
Почему целесообразно выбирать в д’ канониче-
ский (взаимный) базис? Чтобы ответить на поставлен-
ный вопрос, находим
л	п f п \ п
? (х) = £ 0fc е* (х) = S Ofc 2 Г е,) = 2	(е<) =
£ = 1	Z. Л—1
п	п
где вл—координаты формы. С другой стороны, ранее
л
нами получено выражение ?(х) = 2 где кеэф-
173
финне»™ лни<
А>
0Л
п
21 1ЛЯ	1Н‘кТ< -).| v
А I
е"

....iiiiivm «, OV >«»
и о.ччис ;
С’ В ./
ч
П
В’Тн меняются коэффициенты .iiiiieiiHOii форм.. . если
от базиса .........-	«» в „ ut рей i и к баэисх .............е* }
П
С помощью матрицы перехода Г? Пусть <	- <,.
п	V	V
Тогда г\. »(«*•) г1 - Ч'“J	Г
11 \tarpiMinoli формб. если черед |<| обо ня мл-
рНЦУ’ТТра!.^ .‘11! пси нон формы в III I рихов.нпюм I .
I10C.lt1 (I.CC COOT II OllIC II ПС МОЖСТ 014 I I» НЛЮНК)
Умножая справа на Г
рицЫ-ст.рокп |г| в цр|11гри\ованио\1 6.мисс
, получим Bhlp.i KOHIh I. мят-
Мы нн him. что iiiKOH преобразовплип коэффициентов
.тнейнпй формы ('oenuonef/i по форме < шконо чи
п/\ < бралования башеов в /ърос/прансгпве .<г
мотренню лпнемных скалярных
не от одного векторною ;1ргу-
в случае ли иен пых форм, л от
аргументов. С Этой целью 6\ дем
функцмй. н1вигя1ц;1\
секта, как это было
двух векторных
г
’ п
a-/.к-ь1хл-:; г
А ~ о. ^‘имнено: (1)	4. , у) //, v. 5
•ищи функция линейна
ром у арI у ме н ту.
у), г. е. чис-
тик II но вто-
>; ll* К (*/. У к)
Л I
П ПОЭТОМУ» ССЛИ {<*1 , ... , С 0.1 пи В J п , то
। и‘ числа *р;. называются коэффициента чи би мн ей-
н й <’ >рчы. Из них мы можем построить матрицу (пер-
 ин деке номер строки, второй — номер столбца)
(20.7)
? 11 ? 12 • • • I п
?21 ?•.»•>
которая носит название матрицы билинейной ф >рмч
вносите 1ьно данном базиса.
Как преобразуется матрица билинейной формы,
если мы перейдем к Штрихованному базису? (акне
можно указать инварианты игл билинейных форм?
п
Пусэь	векторы нового базиса. ТогДа
* /-1 ‘
л	П	п
п- *• п (('i‘ • е0 =	~	ег • -	е J = 2	4 Ь. 
. /» •) У )	р. ч «л
Чтобы записать полученное равенство в матричной
форме, запишем последнюю двойную сумму в раз-
дельном виде
Внутренняя сумма кает нам элементы у г матрицы/ГГ.
п
Из равенства =.S tv'Cv следует, что перемножа-
V 1
югся соответствующие элементы столбцов матрицы
175
u ПТ и складываются. Правило умножения матриц
-ток " на столбец) иарушено. Ч-гооы правило умно-
жения матриц не нарушалось,
роваиную Т,г. полученную из
столбцы и столбцов на строки. Тогда £
п
W бУДет
давать элементы матрицы, полученной от перемноже-
ния Т" и ВТ. Таким образом, равенство. (20.8) в мат-
ричном виде имее ^ви
В' = т!гВТ.	(20.9)
Поскольку матрица В слева и справа умножается на
невырожденные матрицы, то заключаем: ранг патри-
цы билинейной формы есть инвариант преобразова-
ния базисов. В силу того, что det Т" — det Т (первое
свойство определителей), имеем
det#' (det Г)2det#,	(20.10)
откуда заключаем, что знак детерминанта, матрицы
би тнеччой формы есть инвариант преобразования
6и.tui ов.
13 приложениях чаще всего находят себя симмет-
ричные и антисимметричные (кососимметричные) били-
нейные формы.
Прежде чем переходить к их рассмотрению, дадим
определение симметрической и антисимметрической
матри цы.
Опре юление 1. Матрица Z? называется си.чм.ст-
ричелкой, если при транспонировании она не меняется,
т. с. В1г В.
( пределен не 2. Матрица В называется анти-
симметрической (кос остчмет ричёскоаУ сел и при
транспонировании меняет знак на противоположный,
т. е. Вг — В.
Ьсли элементы
тп \грп/.	матрицы В обозначить через 3/а-,
венство 7|еич\ММС1рИЧ11<)СГИ 03иачает следующее ра-
нено во между элементами матрицы:
— га/ 0, /г= 1, п)у	(2U.H)
2 УСЛ0ВНе ^‘Симметричности означает, что
'‘ik' ' ?м О, к — 1, и).	(20.12)
176
Условия (20.12) при i = k дают, что	» все
элементы по главной диагонали матрицы нулевые,
/ НрИ / =£ /г элементы совпадают но модулю, но раз-
нятся знаком.
Переходим к рассмотрению симметричных и анти-
симметричных билинейных форм.
О п ред ел е и и е 3. Билинейная форма В (х, у) на-
зывается симметричной, если для любых х.
выполнено В (х, у) ~ В (у, х).
Пусть в б_п задан базис .... eftl. По определе-
нию 3 имеем, что B(eiye^) B(ek.Ci). Это означает,
что коэффициенты билинейной формы 3tk удовлетво-
ряют условию 3/Л	3Л/. т. е. матрица симметричной
билинейной формы необходимо симметрическая.
Обратно, пусть у билинейной формы В (х. у) матрица
симметрическая, т. е. 3ik - Зц. Гогда
//	п
В (Л-, у) 2' 3,k V С = ?w •<?' В (у, Л-)
I, Аг=1	Д’. 1-1
для любых х и у из . Билинейная форма с сим-
метрической матрицей непременно симметрия нал
билинейная форма.
О и р с дел е н и е 4. Билинейная форма В (х, у) на-
зывается антисимметричной. если ьля любых х, \’£
:/?(х,у) - —(у, .V).
Если в <£п задан базис О......c.J, то согласно
определению 4 B{ei.ek} -—B(ek.et} и. следователь-
но, 3,Л. =-• — Зд;. Итак, матрица антисим иетричной
билинейной формы е необходимостью является анти-
симметрической матрицей. Обратно, если у били-
нейной формы В(х. у) матрица В антисимметрическая,
то форма Z?(x, у) является антисимметричной, гак как
В (х. у)
п
ЗЛС;' = -Й(У,Л-).
11оскольку определения симметричности п анти-
симметричности не связаны с каким-либо базисом
и носят инвариантный характер, то условия симмет-
ричности и антисимметричности матриц симметричной
и антисимметричной билинейных форм носят также
инвариантный характер и не зависят от выбора ба-
зиса в <Zn.
12 Б-594	•	177
Вернемся к р;к
R(x, у). Построим
по правилам
Совершенно очевидно
С) или н е й н а я фо р м а,
О '	'
1 (В (х,
, что Bt (х, у) — си.м.метричНая
так как
(20.13)
7Г (У> х) +
(В (у, х) ~
— В (х, у)) = — #2 Й’ у)'
Если сейчас сложить оба равенства из (20.13), то
получим
в (л, у) = В' (х, у) 4- в2 (х, у).	(20.14)
Итак, любая билинейная фор ма может бить всегда
представлена как сумма некоторой симметричной
ч некоторой антисимметричной билинейных форм.
Пример. Задана билинейная форма В (л, у) = .
2л У(« _ I- 3;%* - w - w + е-41 + ev+
I Представить ее в виде суммы симметричной
и антисимметричной билинейных форм.
Решение. Составляем матрицу билинейной фор-
мы, а затем но правилу (20.13) построим матрицы
•форм В\ {х. у) и В2{х, у). Итак,
Поэтому матрицы
форм имеют вид.
дисимметричной
симметричной и ан
(сами билинейные формы выписывать не будем).
Проверка решения проста. Сложив о, и
получаем В.
Лекция 2I
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ МЕТОДОМ ЛАГРАНЖА.
ТЕОРЕМА ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ.
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Опре io л е и и е. Квадратичной формой В (л\ х)
называется числовая функция, полученная из били-
нейной формы В(х, у) путем замены аргумента у на
аргумент л\
Для установления вида ква фатичной формы вос-
пользуемся соотношениями (20.14) и заменим в них
аргумент у на л\ В этом случае Я,(л\л)=0 (см. (20.136))
в В (л*. V) /?] (.г. д ).
Итак, всякая квааратична я форма, построенная
на основе ои./инейной формы В (х, у). совпадает
• кнаирап/ичнои формой. построенной на основе сим-
метричной части /}.(л". v) общей, би./инейной формы
В(х.у).
В силу установленного факта матрица всякой квад-
ратичной формы (понимаемая как матрица соответ-
ствующей симметричной билинейной формы) есть
симметрическая матрица
в cava квадратичная форма в некотором базисе имеет
Поскольку матрица квадратичной формы совпадает
с матрицей симметричной билинейной формы, то, как
л для любых билинейных форм, имеем, что (1)
ранг матрицы квадрат мной формы (называемый
просто рангом квад ратин нои формы) есть инвариант
л ^образования базисов, 1'2) знак детерминанта мат-
рицы квадратичной формы сохраняется при преобра-
зованиях базисов. (3) при переходе от одного базиса
к другому закон преобразования матрицы кваора-
тичной формы имеет вид В = Т 'ВТ.
Отметим, что если ранг квадратичной формы пол-
ный (ранг2? = //). то квадратичная форма называется
невырожденной. Их рассмотрением мы займемся ниже,
а сейчас зададимся вопросом, нельзя ли перейти в £*
к такому базису, в котором квадратичная форма пред-
ставляет сумму квадратов новых координат, умно-
женных на некоторые коэффициенты?
Если такое возможно, то базис называется кано-
ническим и матрица квадратичной формы в нем будет
лметь диагональный вид.
Теорема 1. В пространстве £п всегда суще-
ствует канонический базис [ег...., еп,}, в котором
квадрат ’ чая форма примет вид
(21.2)
?де к,...., a.t фиксированные числа {некоторые из
чих, может сыть, и равные нулю).
оказа ельства применим метод Лагранжа.
Предварительно отметим, что если Зн = 0 и какое-
либо из чисел >-0, то, проведя замену координат
по правилу	1
180
н новом базисе получим
1 '* ПЛ \2
В новом базисе ?гг = 2^¥=0. Поэтому, не о. рл
т‘е о об1 мости рассуждений, применяем м( )Д
Z"paT»a°°“°АР»тЛной форме, где
. ПО 1.1-2 ,	| ОС *Кп
Н(Х, х) = Рп (;)'+	‘ •••-t-1я-.	t.*_2
n
Запишем (21.3) в следующем виде:
I к=2
где В(х, х) — квадратичная форма, в которую входят
>2
лишь переменные. - , •••» ; •
Делаем замену координат
после которой В (х, х) = —	(х, х), где В (х, х)—
hi
= 2. ri • Предложенный алгоритм применяем
*=2*
кВ(х.х) и после конечного числа шагов приходим
к (21.2). ЧтО‘-ы найти матрицу перехода от начальных
координат t1..t" к каноническим ,..., сл\ доста-
точно перемножать матрицы промежуточных перехо-
дов (вспомним, что . если М = Т’Г1 [х] и [С| = 7'j>1 [-*}),
то [Ц = ТТ'ТТ1 (х| и т. д.).
Пример. Методом Лагранжа привести к канони-
ческому виду квадратичную форму В(х, х) = х^ 4г
4* 4Х|Х.> -|- '<5 “Ь 3XgX.|.
Решение. Первый шаг: В (х, х) = (х, + 2х2)2 —
Зх| + Зх3х( После замены координат yt = х, + 2х2,
у2 — х2, у3 = х3 — х,, у4 = Xj 4- х, ^эквивалентно отно-
181
П1ИЧ1.1Ю < 1ЯрЫ\	hOHp.llfll.il	\’|	-V.» Л3	у2>
V, ’ (v, I V,). V.	(у. У,)) пм.-м	//(г. Л )	у;
LZ	*
Jv,7 '? у‘ ’* V*.	At’i I |>И П,.1 III [N’.Vi 111	7 (,| lh‘plH)||,j-
Mj.ll.lloro 6.43HC.I	к	КШ1ОН11ЧСГКОМУ	(ПОМНИМ,	ЧН)
| \|	/ |v|) НМСГ1 1И1 I
I 2	и ()
(I I	И и
I I
Г 0	. о •
<	л. *•
I I
(I II
•» • >
В<’С. ЧТ<» и 1.1.*11.4.НК* I. IO СНХ пор о I IKK II I v. 1 |>||() к и;|
p.T 1 II Ч ИI •! X । |)О р М, II М < ’* ‘ I Ml Ч I О к «I к .1.1 Я Bl 111,1 I I I ИНЫХ,
l.lk II ДЛЯ КОМП .'I (‘ к <’111.1 \ kll.lip.ITIinill.IX форм, ’l.-un.iirn-
пнч' ночевие кна Ip.i । ПЧП1.1Х форм мы про io?! каем
го.п.ко для вещ( I твснны.х .iiiiiciinijx прост ране гв и для
ММ I р.1 1 В Ч и <‘II формы /» (.V. V) кО )фф|| 1(11011 I Ы фд. и Ко-
орчи|.1.ны ,А г нюохо IHMOI-ГЫО Bi'iiieCT венные uiic.ia.
HycTi. ква ipa । ичпа । форма приведена к канопиче-
гьомх вн i\ (?!.?), не д...........веннм1 гвенные числа.
I |оско.п.к\ pain ква ipa 111ЧНОП формы инвариант пре-
оор ион.чннн он щеов. то сре т.н чисел \.............ап имеется
ронно чисел, отличных о г нуля, i ie г pain />\
a oi |.кпл1ые равны нулю. 1 ели среди crux /* чисел х*
чн(‘1.1 поломи! । ельцы, а остальные (/* х) о грица гель-
ны. । о, ироне ui сю । ветству lomyio перси \ м с рацию
переменных, ирннстем />(.г, д ) к внд\
Г? 1.3)
ine л,...а - нолоИчИ гельные числя.
Ясно, чго после нреооразованин координат
ми» три । ipiii.'iM форма ирпмег иаиоо iee npocioii вид
hoiopi.in н называется	tk:i и веществен*
ьых к	\	рассматриваемых’ в про-
•rfHHCTHc X. при этом число s — положительным
'индексом инерции, (г — s)—отрицательным индексом
инерции, разность 5 — (г — ,s) при полном ранге г = и—
сигнатурой квадратичной формы.
Легко .заметить, что ни канонический базис, ни
канонический вид квадратичной формы не определены
однозначно, так как числа а, , ..., ап в (21.2) после
различных линейных преобразований, сохраняющих
диагональную форму, принимают различные значения.
Ясно, что число г (как ранг матрицы квадратичной
формы) при изменении канонического базиса остается
неизменным. А что можно сказать о числах $, г_si
Теорема 2 {инерции квадратичных форм). По-
юлен тельный индекс инерции s и отрицате гьный.
индекс инерции г — s являются инвариантами квад-
ратичных форм.
Доказательство. Пусть квадратичная форма
Вычитая из (21.6)
Л £ получим
Для любого
Предположим.
условию >(г 0. V
условию 7’ + l 0...
ствует, п он нс пул
для координат вокзч
-V, коор-
О, а в базисе , еп.\
Такой вектор х суще-
-----------
»

(21.10)
t • !
1
0
(m = /»4- 1. i)-
Число уравнений в (21.10). равное s (п - р) п —
— (/? —. <), меньше п из-за нашего предположения
\ поэтому система всегда имеет нетривиальное реше-
ние. Выбрав такой вектор д* (для этого достаточно
взять любое частное решение системы (21.1< •). мы
полечим из (21.9) для его канонических координат
соотношение
откута следует, что С = 0,..., 7” = 0. <xl == 0...., т/=*0.
т. е. вектор .г таков, что в базисе .....о. его
координаты с1 == 0.; = 0.	-- 0...Z1 ~~ 0. По-
лучается. что вектор а* нулевой. Пришли к противо-
речию. Остается предположить, что s >/\ Однако
в силу симметрии чисел s и л предположение л<х
также приводит к противоречию. Следовательно, s = р.
Теорема доказана.
Сейчас более подробно рассмотрим положительно
определенные квадратичные формы.
Определение. Квадратичная форма В (д*. л) на-
зывается положительно определенной, если для лю-
бого л-=^0 fi(A*. л) > 0.
Теорема 3. того. чтобы кваоратичная
Pop на была положительно определенной. необхрди-
м и оостаточно. чтобы положительный индекс инер-
ции был равен п.
Необходимость. Дано, что_ В (.у. .vj > Q для
..юйою д -т= ц. Предположим, что $<//. Приведем
£/(л*. л-| к каноническому виду
fi(.v. Л-|=	)- - ... Д.	г, (21 П)
tc At п, о. ь^яв век ор л'о, у которого координаты
в каноническом базисе имеют вид :1 —• q,	. r—i _
п
i2n^41te ^TSR*.я^т. е. всякая положите.!ьно
^р^-,ен>!йя1лКба,'Р^1ичне.ч Форма является невы-
рожденной. Пусть «. •	•. Рассмотрим тот же век-
тор  У которого координаты в каноническом базисе
имеют ви д =' =-=0,.. V 1 ==0, f = 1. Из (21.11), где
г   п. получим, что В IЛ-О. х0) = — 1 < О. Противоречие.
Иеооходимость доказана.
д v с т а т о ч и о с т ь. Дано, что у = д_-"Это озна-
чает. что в каноническом базисе В(х.х) имеет вид
откуда следует, что для любого ,v=#0
Имеем положительно определенную квадратичную
форму-
Отметим, что соответствующая положительно опре-
деленной квадратичной форме симметричная билиней-
ная форма в каноническом ба nice имеет вид
В (Л-. у) =	V.1'	< - ... ф	: (21.13)
Ее матрица является единичной.
Если квадратичная форма записана в произвольном
(не каноническом) базисе, то как узнать, является ли
она положительно определенной или не является?
Теорема 4 (Сильвестр). Квадратичная фjp.ua
п
В(х, л» =	положительно определенная тогда
I, *=i
и только тогда, когда главные миноры матрицы В
строго положительны:
о - з
ГН .	‘ ’ * iта !
Для доказательства представим квадратичную форму
в виде
х) _ квадратичная форма.
Главные миноры
матрицы В совпа-
исключлть из рас-
менные ........
дают с минорами матрицы В, если
смо рения последний, совпа ающнй с .. 5. Дате
б\ ем чоименять метод индукции. При п 1 теорема
1 S-J
верна ('-тот факт очевиден). Предположим, что тео-
рема нерва для квадратичной формы от (п — 1) пере-
менных. Необходимо доказа ь теорему для случая и
переменных.
Необхо. им ость. Дано, что Д (л, х) — положи-
тельно определенная квадратичная форма. Требуется
доказать неравенства (21.14). Из соотношения (21.15)
тотчас следует, что Z?(x, х) также положительно опре-
деленной квадратичная форма, гак как иначе суще-
ствует такой вектор х„, у которого первые л — 1 коор-
динат отличны от нуля, а £" = (), что Zl(x(l,x0) =
В(х„ . х0) - О. Следовательно, в силу индуктивного
рассмотрения нее главные миноры в (21.14); кроме
последнего, строго положительны. Докажем, что и
последит минор, равный det5, строго положителен.
Поскольку А (х, х) положительно определенная квад-
ратичная форма, то в каноническом базисе ее матрица
1 -- / (см. (21.12)) к det В —1. По мы знаем, что
<«е(/>’ — (det /) det В. Поэтому detZ? = —-— >0. Не-
(det 7)2
обходим ость доказана.
Д о с т а т о ч н ост ь. Дано, что выполнены условия
(21.14). Доказать, что В(х,х> положительно опреде-
ленная кватрагичная форма. Поскольку выполнены
условия (21.14), то согласно индуктивному подходу
квадратичная форма В(х, х) положительно определен-
ная. Не меняя но' гедней переменной (;л = 7(л) за счет
невырож генных линейных пр< образований, связываю-
щих канонические координаты v/1-1 и коорди-
па1ы ......£л_|, приведем В(х, х) к каноническому
виду. В результате получим
Положив /( 4 7Мгл (г^= !,/t- 1),
п -1
1Ь6
имеем
л—1
B(X,.VI= 2 (;' )2 + a )г.	(21.16)
t »=1
Из (21.16) следует, что det В' = а. На основании извест-
ной нам формулы deiSz = (det Г)2 det В и того факта,
что deiB>0 (условия (21.14) выполнены), выводим
о. « 0. Следовательно, В (л, л) но (21.16) строго поло-
жительна для любого Хт^О. Достаточность также
доказана.
В заключение лекции отметим, что если бы мы
рассматривали квадратичные формы в комплексных
линейных пространствах, то не получили бы таких
дополни тельных свойств ква тра гичных форм, как
в вещественном случае, потому что за счет комплекс-
ных невырожденных линейных преобразовании из (21.2)
следует единственный канонический вид квадратичной
формы	^4
В (Л-. Л-) = (С)-’ + (г-)- 4- ... X х (21.17)
где г /4 для вырожденных ква гратичных ф »рм и г п
для in вырожденных квадратичных форм.
Свойства, установленные выше тля вещественных
квадратичных форм, позволяют нам перейти в следую-
щих лекциях к рассмотрению вещее гневных евклидо-
вых пространств.
Лек ц >1 я 22
ЛИНЕЙНЫ! BI КТОРНО-ТОЧЕЧНЫЕ (АФФИННЫЕ)
ПРОСТРАНСТВА. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННОЙ
СИСТЕМЫ координат. собственно;евклидовы
:и ПСЕВДОЕВК.Ш 1ОВЫ ПРОСТРАНСТВА.
IIPI 4>РАЗОВАНИЕ|*ПРЯ МОУ ТОЛЬНОЙ. СИСТЕМЫ
к< И ФДИНАТ
Ц ucii laibHeiiiacii ц‘..ью ив 1я • геи шущни • швей-
пых операторов в вклидовом нрогтраис: Kt*, и мы
могли бы ограничиться рассмотрением только вектор-
ных енклнтовых пространен в, но физические прило-
жения ребхют рассмотрение bcki орно-гоче шых соб-
187
сгпенно евклидовых и п(:евдоевклпдовых пространен).
Ilosunn мы начинаем с определения аффинных «.-мер-
ных пространств, на основе которых строится понятие
vuk.hi ювых пространсгн.
liven. (/..К) //-мерное линейное векторное
пространство, a .11 некоторое множество, элементы
которого назовем точками.
Определен не. Нара (/.. ЛЛ называется //-.мерным
ijiihvnнкч пространсгном, если выполнено. (I) для /.
имеют место 8 аксиом линейного векторного про-
странства (г. е. (/..К)— //-мерное линейное простран-
ство); (II) для множества .1/ имеют место аксиомы;
(IIJ любой упорядоченной паре точек (Л, />’) соответ-
стнует один и только (чин вектор ид <<л. (обозначае-
мый символом 1/>: (II.) дли любой точки А(ДП и лю-
бого вектора л существует такая единственная
точка /< что АЛ л*: (113) если С/Х то AC BD
(аксиома параллелограмма).	* •
Аффинное //-мерное пространство является вектор-
но-точечным п обозначается символом Ап. Для А.:
с применением аксиом линейного пространства и аксиом
Iруины (И) ле!ко получить (декадагельства просты
и мы их опускаем), что (1) векторы АД и ВВ для лю-
бых точек равны между собой и представляют нуль-
вектор, (2) вектор ЛА есть противоположный вектор
по отношению к АЛ.
I con поле К С, то имеем тело с 'комплексным
аффинным пространством, если K=zR, го речь идет
Beu(e< .венных аффинных пространствах.
На протяжении последующих лекции (до рассмот-
рения унитарных пространств) мы будем иметь дело
только < вещее таенными аффинными и евклидовыми
пространс гвлмн.
и ре д ел е н и е. Совокупность точки () и снеге-
мы линейно-независимых векторов (базиса .....<•_ ):
. • < i. •••. в Лл называется аффинной системой

любой,
т, >
_л
Поэтому, если ОЛ/=2 то говорим, что точ-
k -* 1
кл Л/ имеет аффинные координаты (f; V;...; £л).
Если начало координат О осталось прежним,
п
a ek, = X —векторы нового базиса, то мы полу-
чим новую аффинную систему координат с прежниа^ч
началом {О, е1..... еп }. В новой системе координаЪ^
радиус-вектор х — О М имеет новые координаты (г. е-
и точка Л/ имеет новые координаты), которые под-
считываются (см. лекцию 18) по правилу
(а) [л]'= /-'[лф (б) |л]=--Г|л-]’.	(22.1)
В координатной записи преобразование (22.1) аффнн-
ной системы координат с сохранением начала коор-
динат имеет вид
где л/ — элементы обратной матрицы Г-1.
Более общее преобразование аффинной системы
координат затрагивает и перенос начала координат.
Пус гь (О.	,..., с?л} и {О . сг.еп J — аффинные си-
стемы координат. Поскольку ОМ = 00 4- О М, то
__л	л
ОЛ1 = 21 а гк + 2S » где а1,... .а — координаты но-
fr.«i	f-i
вого начала координат С относительно Hi штрихо-
ванной системы координат. Поэтому имеем следую-
•	п	п п	л
V * .	V J V Л , V А
щее равенство: 2 ;	2 $ 2. ч сл—'2. *	откуда
А i	1 л	А 1
следует

Соотношения (22.3) в матричной форме приобретают
вил
[л] - Г И' 14	(22.4)
где |д] — матрица-столбец, построенная из координат
начала О .
184
умножив слева на (22.-1). получим
И = г-'М-г-Ч*]
яли в координатной записи
п
-к' = LS '* + 2* •
f-са и
(22.3)
(22.6)
. п .
О.	»	I
е за з обозначены числа (	_ -< я
Формулы (22.3) и (22.6) но.шестью исчерпывают
вопрос об общем преобразовании аффинной системы
координат.
Определение. Аффинное пространство .4, назы-
вается евклидовы и. если в .4., зафиксирована симмет-
ричная невырожденная бч тяейтя форма р(х. у),
называемая метрической би пшенной формой (или
просто метрикой}.
Из этого опре течения cieiyer. чго если внекого-
п
роы базисе {*t,..., е„} р(х, у) = 2 го (0
I.
(симметричность). (2) Jet [¥= 0 (невырожденность).
Метрическую билинейную форму принято называть
скалярным произведением век и iров х и у и обозна-
чать просто (х. у), опуская ради простоты" букву у —
символ метрической билинейной формы.
Зная свойства симметричных билинейных форм,
установленные нами ранее, запишем их для скалярного
произведения векторов
(а) (х. у) = (у. л-); (б) (х 4- z, у) =J(x, у) + (с, у);
(в) (Zx, у) = /.(х, у).	(22.7)
В аффинной системе коорршаг скалярное произ-
в .сине (х, у) подсчитывается, согласно определению
шлинеинои ф >рмы. следующим образом:
п
(22.8)
(с’(, С).} — ска тарные
оазиса.
ирэизведения векторов
Как известно,
форма однозначно
190
всякая симметричная билинейная
определяет квадратичную форму.
.Метрической билинейной форме однозначно соответ-
ствует невырожденная квадратичная форма
Л
(А. а)=А2 = V
(22.9>
называемая квадратом длины вектора х.
Длина вектора обозначается символом |х| и, сле-
довательно, в аффинной системе координат вычис-
ляется по формуле
I п
И=1/	(22.10}
* t, А=1
Определение. Евклидово пространство назы-
вается собственно евклидовым. и обозначается сим-
волом Z:п» если невырожденная квадратичная форма
п
л" = ZS V является положительно определенной,
I. А'=-1
и называется //.< евд< есклисоеым. если невырожденная
квадратичная форма не является положительно опре-
деленной.
В силу данного определения и определения для
положительно определенных квадратичных форм сле-
дует. что для собственно евклидовых пространств
к свойствам (22.7а. б. в) скалярного произведения при-
бавляется еще одно
л- = (л-, л) > 0	(22.11)
ДЛЯ любого л ^0 и (а, л) =• 0 тогда и только тогда,
когда д' является нуль-вектором.
Для псевдоевклидо) ых пространств условие (22.11)
выполняется только для части векторов и (а, а) может
обращаться в нуль и для не нулевых векторов (в фи-
зике они называются свеп.onodi оными или изотроп-
ными).
Классическая физика базируется на рассмотрении
3-мерных собственных евклидовых пространств (они на-
зываются в физике как и в школьной геометрии просто
евклидовыми пространствами), а релягивистская физика
базируется ни рассмотрении определенного класса
4-мерных псевдоевКлндовых пространств. с)тот класс
псевдоевклидовых пространств пост название иро-
стронете Минковского и 6} дет нами определен ниже.
191
В предыдущей лекции нами показано, что всегда
существует такой базис {/j, /2......./„}	(называемый
каноническим), в котором положительно определенная
для собственно евклидовых пространств невырожден-
ная квадратичная форма .с имеет вид
+	(22.12)
Для псевдоевклпдовы.х пространств л" может быть
приведена к следующей канонической форме:
л2 = ($’)’ 4-... + (=')2 - (Г иг. (22.13)
, /„} для собственно
Это означает, что в базисе
евклидовых пространств коэффициенты метрической
формы A’/ft==S(ft =
и
матрица имеет вид
и =
а для псевдоевклпдовы.х
(22.15-
Разность между числом положительных слагаемых
и числом отрицательных слагаемых в (22.13) называется
сигнатурой псеидоевклндова пространства. Все псев-
1,0 вклидовы пространства разбиваются на классы
в зависимости от сигнатуры пространства. Иногда
сигнатуру обозначают символически следующим обра-
зом: (-г ... т —... —1
-__________- ।_____।
5	H—S
Определение. Пр остр i нс тс о ч. Минковского
называется 4-мерное псевдоевклидово пространство
сигнатуры (т ), которая носит название сигна-
туры. Лоренца.
192
Часто в псевдоевкли говых пространствах вместо
квадратичной формы х? рассматривается квадратичная
форма —х2, и в этом случае пространство Минков-
ского имеет сигнатуру вида (----F-г+). Вследствие
этого в учебниках но физике можно встретиться как
с одной, так и с другой формой сигнатуры.
К псевдоевкл вдовым пространствам в этом курсе
мы обращаться далее не будем, вернемся к рассмот-
рению собственно евклидовых пространств, которые
будем называть евклидовыми (как это сделано зо всех
учебниках по линейной алгебре), и дадим определение
ортогональных векторов (используемое также в случае
псевдоевклиговых ирис грапств).
О и р е д с л с и и с. Век горы х, у называются орто-
гональными между собой, если их скалярное произве-
дение равно пулю: (.v, у)--0.
Обратившись к каноническому базису ,..., /’„}
н зная, что коэффициенты метрической билинейной
формы суть скалярные произведения векторов базиса,
из (22.11) заключаем
(22.16)
т. е. векторы канонического базиса взаимно оргого-
нальны друг к другу и имеют длины, равные единице.
Каждый такой базис называется о р ненормированным-
или олтсрепе ром). 11 гак. согласно (22.11) в евклиоо-
вом пространстве Еп всегда существует ортон >рм.и-
: овинный базис, в котором матрица метрическ >й
формы совпадает с единичной- матрицей.
Определение. Система координат {О, i,,, i,,}
в / называется прямоугольной системой к юр >инат.
В прямоугольной системе координат все формулы,
связанные с вычислением скалярного произведения
(метрических величин), сильно упрощаются, и в этом
смысле пря.моуго гьная система координат1 является
пре (почтительной. Например, скалярное произведение
лекторов и (лина вектора имеют вид
(а) (х, у)
п
(б) | X | =
(22.17)
13 1-594
193
I ля того чтобы внести понятие угла междМ зек.
тппчми в докажем предварительно следуЮ1Це,
^’те^ре’ма. В простран шве Ел для любых
ров Х.у имеет лесто неравенство Коши-Буняков-
ск 'га
|(л. yi| <|л-||у|.	.	(22.18,
В самом деле, для любого /. £R и любых л, у со-
гласно (22.111 выполнено: Г'-х — у. >л — у) == ла (л х) —
— 2/. (л. у > — (у. у) > U. т. е. квадратный трехчлен отно-
сительно а не может иметь различных вещ -с.
корней. Поэтому его дискриминант D -- (л, у,2 _
— (л. х)(у, у)< 0. откуда следует неравенство (22.18).
Неравенство Коши-Буняковского позволяет ввести
понятие угла между векторами.
Определение. Углом ') между не нулевыми
векторами х.у .мы будем называть угол (в предела.
от 0 до
осинус которого равен
ной системе, координат он подсчитывается по форму.-.
Л
. В аф: -ин-
cos 6 —
21 m i
i. *=!
(22.19)
В прямоугольной системе координат (22.19) при-
нимает более простой вид
cos 5 =
\(22.20)
Поставим вопрос о переходе в ЕП от одной пря-
моугольной системы координат к другой прямоуголь-
ной системе координат. Предварительно дадим* опре-
деление ортогональной матрицы.
Определение. Матрица Д = [а{ ] называется
ортогональной, если она удовлетворяет условию
Л:'А=^Е,	(22.21)
которое в подробной записи имеет вид
Л, .	I 1, k = т.
= '**« = | 0> k ф т	(22.22)
Из (22.22) заключаем, что у еякой ортогональной
матрицы сумма произведений элементов сто / ла на
самого себя равна 1, а сумма произведений элементов
разных столбцов равна нулю. Это правило легко по-
зволяет отличить ортогональную матрицу от неорто-
гональной. Его можно было бы взять за новое опре-
деление ортогональной матрицы, поскольку оно озна-
чает выполнение (22 22).
Из (22.21) следует, что (det Л*)* (det Д) = det£ или
(det-Ai2^ 1. и.|^едователъно, если zl — ортогональная
матрица, то
deM=-±I. /	(22.23)
Это означает, что ортогональная матрица обязатель-
но невырожденная, и если (22.21) умножить справа
на -А-1, то получим эквивалентное (22.21) условие
А‘г=* А~\	(22.24)
Условие (22.24) можно было бы взять еще за оде
определение ортогональной матрицы.
Пусть О, ii.....Е и О, iv......1Я\ — две прямо-
угольные системы координат в Еп с общим началом,
т. е. совершается переход от одного ортонормирован-
ного базиса к другому. Обозначим матрицу перехода
от нештрихованного базиса к штрихованному ^ерез
п
Q — [у™ ], так что ik. =	Ввиду того, что
*	rj=»l
I.....i —единичные взаимно ортогональные век-
торы, имеем
Итак, элементы матрицы перехода связаны соотно-
шением
п
13*
из
которое совпадает С (22.22) и показывает, что мт-
паци перехода от одною ортонор мированного оазиса
к другому необходимою является ортогональной мат-
риц t /7.
Обратно, если задана некоторая ортогональная
•латрнпа	то, как известно» она нсвырожд,ен~
нам и с ее помощью можно осуществить переход от
одного базиса к другому. Пусть |/| ...., in} ортонор-
мированный базис в £„. Построим векторы
п
т 1
>
т *
। >ни линейно независимые (deM^Oflpi мы можем
построить базис	Вычислим скалярное
произведение векторов нового базиса. Имеем
I
fl
fl
’ r/f]
*—' 41
‘I =1
fl
k ill P<]
n
Поскольку A — ортогональная матрица, то в силу
(22.22) (ek , ег„,)=ькЛ1, и, с тедовательно, базис {<?,,,.... еп,}
является также ортонормированиым базисом.
Таким образом, установлено взаимно-оонозначное
соответствие между ортогона иными матрицами
'' вращениями базиса (репера} в пространстве Еп.
Если детерминант ортогональной матрицы перехода
рав^н + 1, то вращения называются собственными
(ориентация репера сохраняется. Например, в /?, пра-
вая тройка переходит в правую), если же детерминант
ортогональной матрицы перехода равен —1, то вра-
щения называются несобственными (ориентация репера
меняется. Например, в £?3 правая тройка переходит
в левую».
Примером собственных вращений в трехмерном
евклидовом пространстве Е3 являются вращения, за-
даваемые углами Эйлера, изученные нами в лекции 11.
Применяя сейчас формулы преобразования коор-
динат (22.3), (22.6) в произвольном случае, мы можем
написать формулы преобразования от одной прямо-
угольной системы координат к другой прямоугольной
си<теме координат, когда перенесено и начало коор-
динат
196
(a)
(6)	;*
n
n
m~\
I
k' лл
ГП ’
или в матричной форме	<
(а)	|х] — Q (x]z|а|
(б)	[х]'	Q"1 [х] г |а|'	(22-26)
где Q	ортогональная матрица и, следователь-
но, в (22.266) Q 1 .может быть заменено на Q‘r со-
гласно (22.24).
Лекция 23
ИЗОМЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР.
САМОСОПРЯЖЕННЫЙ (СИММЕТРИЧЕСКИЙ)
ОПЕРАТОР И ЕГО МАТРИЦА.
СВЯЗЬ СИММЕТРИЧЕСКОЙ БИЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ
С СООТВЕТСТВУЮЩИМ ЕЙ САМОСОПРЯЖЕННЫМ
ОПЕРАТОРОМ
Перехо дим к изучению свойств некоторых ^опера-
торов в Ег1, играющих важную роль в приложениях
(в теоретической механике и квантовой механике).
Определение. Оператор А в Еп называется изо-
метрическим. (изометричным). если >н сохраняет
скалярное произведение векторов, т. е. (Ах, Ду) -
== (х» у) для любых х, у£Еп.
Другими словами, изометричный оператор .сохра-
няет метрику пространства и соответственно все
.метрические свойства пространства Еп.
Пусть Д ~	]—матрица изометричного оператора
в произвольном базисе {^,...,6’,,}. Согласно опреде-
лению имеем (Aek . Д^ш) = (ck, ет). Рассмол рим по-
дробнее левую часть этого равенства и учтем, чго
- цкт .
п	п
(Аек, Ает} '	21	У
/-=1	р-^1
197
П	К'* I
S аЬ;(<(,< .4 = ( A.
I, р-»1	*
т. е элементы матрицы 1 юметричного * п epaijbpg
коэффициента метрической формы связаны с<и)Гно,
шепнем
п
% к Е i ;>	t£krh
1.Г 1
(-’3.1)
или в матричном представлении
где через g = обозначена матрица метрической
илинеинои формы.
Если в Еп выбрана прямоуюльная система коорщ.
нат и {zt./„} — ортонормированный базис, то в цс.,
с Е и (23.2) переходит в соотношение А" А - Е.
Эго значит, что у всякого изометрии наго оператора
ег^ матрица невырожденная и в орпюнормированнам
базисе есть ортогональная матрица.
Обратно, пусть в ортонормированием базисе ма -
рица А некоторого оператора А является ортогональ-
ной Тогда А — июметричный оператор.
В самом деле.
Af,„)
n
к. m 1
£ ^niQ
?=i
п
- 2 fr,m(Aik,
k. Hl >1
t.k tn
; 'i
II
V т
к. ш -1
n
V -P в '
A Q ’1
п
Г1 J(ctn
k, tllt=i\
определение, оператор /; называемся
жс.нным. к оператору А относительно операции ска
лярного произведения» если (/<v, у) (х, Лу) пялю-
был л\ v££,..
Пусть .4 Ь^.] — заданная матрица оператора Л
в произвольном OJSMCV {с ....e,J. Какова матрица
оператор,. Р в этом базисе? Пусть /> i? I J ie & нока
неизвестные числа. И 1 определения следует:
** * ' т) ИЛИ в ИО хробмой записи
198
п
р-1
  ( ek
п
|/-=л
«	п
2^	l а9
л 1 •* РП1	'
(23.3)
[Последнее равенство в матричном виде записывается
следующем образом (учтем, что слова стоят элементы
с индексами А\ т. а справа с индексами w. Л):
I	gB ("A)tr.	(23.4)
По при транспонировании произведения матриц необ-
ходимо перемножать транспонированные матрицы
в обратном порядке, т. е. (Ч’А)A J . Поскольку
для метрической билинейной формы*/ g (форма—
симметричная), то (23.4) эквивалентно соотношению
i	В -g~xArg.	(23.5)
Условие (23.5) и есть то условие которому удовле-
творяет матрица сопряженного оператора в произ-
вольном базисе.
Если базис ортонормированный. то g Я. jC1 Е
и из (23.5) следует, что В = Итак, ес.ш в орто-
норма рованно и базисе А—матрица некоторого опе-
ратора Л. то матрица Л опре ляет пряжен-
ный ему оператор. Сопряженный к Л оператор обыч-
но обозначают символом Л (или А ), и. еле юва-
тельио, в ортонормированием базисе его матрица
Ас -Atr.
Определение. Оператор Л называется ctwoco-
пряженным (симметрическим). если А Д, т. е.
(Ах. у) —- (л*. Л у) для любых л\ у
Согласно (23.5) матрица А самосопряженном) опе-
ратора в произвольном оазисе удовлетворяет условию
U Г1 А	C23.G)
а в ортонормированном базисе, когда g /:, имеем
А /V •
(23.7)
Итак, у всяк го самосопряженного оператора
в ортомрмпроваяном ба тее матраца н чюхоичмо
Ид
/ и чет pirn гтсоч (от< 10ДЯ и еще одйо НЭзвинЧС у само
с.ОПряжс М0го оператора -симметрический оператор)
Наоборот, пусть в ортонормированием базису
матрица некоторого опер;'гора Л с'пмметрич/т|<ия
т. е. 7/ 7а . Покажем, что Л самосолриженпыи
оперят ор.
В самом д< ;е,
'*	i ц	{	"
Ay (х '/’.v")'! - 4*гри ... । ( >. /С'Гр,,.
т 1	>н 1	!Ч I
Toi да
Ц //	П П
(Лк, у) X ( х W	X ( > 4 <")>'' (х. Ау).
tn 1/1	k I ' т I
Тем самым мгжОу чно бегством вСвХ симметрич-
ны л \ нриц п множветсои самосопряженных опе-
ри торос существуй т взпи шо-однозначное соответ
I ПОЛИ .
Но i аждаи симметрическая матрица однозначно
определяет (’цмыетрцчную билни :iir/io форму и cooi
нем Тп ющук) пня ipai ичпую форму. Поэтому устано-
вим moi и> Ч('лс<!у самосопряженными one роторе чн
и ( О I/ 1/7//рпч.иы 411 OU IIIIIOI H!,l \' 7 (pop ночи (ЭКВИ !и-
.КЧИПО к!ШО /Л онпч п 7 •,/// ///у/ . О\П().
11 (II, /1 С8 4рСОНрЯЖ«.-В!1ЫЙ орс-ратор, Л {/' i
<ч'о матрица в opi опор тированном базисе. Введем
обозначение 'h/l r/elt и пог i роим < иммегрнчную 611,111-
. иейну4£> форму /|(л-, у) .	а„,л и?, за
//. /п I
симмеч рнчвос । и Ma'ipnii.H Л IT,!)- ’1|п опа собой
прг ici.ii; i-u’C'i’.-•* JI ।и otbc'i i на вопрос HOjciniaeM ска-
гарное нроггии leniie (х, Яу). Пмюм
(V. .1?)
/I
А-
гСп
///
'I
Л (л, у).

Таким образом, мы доказали, что ниждому самого
и ре поенному < н> ритору оОпо ni<i4но сопостпг. гнСпи я
.’(И)
( и и матричная чи шт Спа, форма, которая пред'
(танляст собой скалярное произведение вектора к
и образа вектора у при самосопряженном эноомОР’
фаз не А.
Отмстим, что из-за < амо< опря/re и и ости (х. Лу)
Мх, у), И поэтому симметричную билинейную фор-
иу А (х,у) мол но задать и таким скалярн! м произве-
дением (Их, у) А(х,у).	Ш
Л оки/ком сейчас обратное., чтЬ оо.Р/?/ t и мла три-
ческой дияиюаноч Форме ч ясно однозначно сои -
f та вить е.амоеоп ряженный оси ратор.
п
Дей< твитсльно, пусть /Их, у) \ \т'* Ч сим-
k. т I
мс i ричния билинейная форма (3 н	а, анная
в ортонормированием базисе. Вве.ц м в рассмотрение
элементы матрицы А |?J, онр*• делив их равенством
л/ . I Г:-зя симметричности билинейной формы
получим, что А А г. Но н таком случае матрица Л
определяет но свойству, доказанному нами выше, са-
о( опряженньн! онер, л ор.
£ I т я к, че жду множен тио .и с Q мосопряжсн ны х one-
раторов и < им четрически ми Си линейны ми формами
{квадратичны ми формами} lymecmuytin в ти мно-одно-
им« ет очень важное лпач<—
иачнос соответс твие.
11олученный результат.
нис при решении вопроса о |рнв( «• и t ортогональ-
ными преобрззоваияямн к ганонич чкому виду «о ал
рагичпых форм (или что то самое симметричных
билинейных форм).
В самом дев, пусть (} матрица переходи От
одного opi онормированною базиса к другом opi >-
puna, и пут 11
МЫ ( 7,п б/,/г
М( ИНЫХ (|юрх
А пр<‘Обр83уетСЯ по
ООЩ( й гео
вания для
и самосопря/кенпый он» рзгор А. Согла *но
рин линейных опсраторо! закон предюразо-
млгтш опта горок п<ов: А’ 7	^7- И°
Тс АО /
201

uiера тора при переходе к новому ортонорми рован-
ному базису совпадает с законом преобразования
матрицы квадратичной формы. Из этого факта тот-
час следует вывод: если удастся ортогональными
преобразованиями привести к диагональному виду
матрицу самосопряженного оператора, то тем
самым будет указан канонический вид квадратичной
формы, ибо матрица квадратичной формы будет в но-
вом оазисе иметь тот же диагональный вид, что и
матрица оператора. /
Нам известно, что наиболее простой вид матрица
оператора имеет в базисе, где векторы базиса явля-
ются собственными векторами оператора. Поэтому
необходимо выяснить все свойства собственных зна-
чений и собственных векторов самосопряженного опе-
ратора.
( Теорема 1. Все собственные значения самосо-
пряженного one panto pa-вещественные числа.
В самом деле, пусть Хо—корень характеристиче-
ского уравнения det (а* — Xoj.) = 0, где [а^] —матрица
самосопряженного оператора в ортонормированием
базисе (для доказательства теоремы достаточно огра-
ничиться рассмотрением ортонормированиого базиса,
так как собственные значения оператора—инварианты
преобразования базиса). Из системы алгебраических
уравнений
п	___
(/>=1,0	(23.8)
47=1
определяются координаты собственных векторов,
отвечающих собственному значению л0. При этом мы
не знаем пока, вещественные, или комплексные числа
л0 , £1.... Будем предполагать, что имеет место
общий случай —эти числа комплексные, потому что
вещественные числа есть частный случай комплекс-
ных. Умножим равенство (23.8) на комплексно-сопря-
женные числа и просуммируем по р от 1 до и.
Имеем
п	п
v ? = Хо V	.
р, (/“1	р 1
п
Выражение X — вещественное число, так как каж-
р 1
дое слагаемое ^^ — вещественное число. Если мы
202
покажем, что и левая часть равенства (23.9) веще-
ственна, то а0 вещественное число и теорема будет
доказана.	1
» левой части равенства (23.9) слагаемые, для ко-
торых р — q являются вещественными числами. Те
члены, где р и. будем рассматривать попарно, объ-
единяя. например, члены при р s. q — i и при p — t,
q~s (s./ —фиксированные индексы). Тогда такая
пара слагаемых представляет собой (af fЛ- £5lf).
Но в силу самосопряженности оператора — а? , и.
следовательно. рассматриваемая пара слагаемых равна
Ч- £	В скобках стоит сумма
комплексного числа и сопряженного ему комплексного
числа, т. е. скобка есть вещественное число. Итак,
левая часть равенства (23.9) — вещественное число.
Теорема доказана.
Теорема 2. Собственные векторы самосопря-
женного оператора, отвечающие различным соб-
ственным значениям, ортогональны м.ежОу собой.
Действительно, пусть Av — Z.v, Ду = jiy (X и).
Тогда (Av, у) a(.v, у) и (л\ Дм) = и• (л\ у). Ио опера-
тор Л самосопряженный, и. следовательно. (Да*, у)
= (л, Ду). Это означает, что у) = u-(.v, у) и ш
(X jjl) • (л*, у) ~ 0, откуда следует, что (.v, у) = б. Соб-
ственные векторы ортогональны между собой.
Доказанные теоремы позволяют нам иерейгп к воп-
росу о каноническом вп ie матрицы самосопряженного
оператора и соответственно каноническом виде ква 1-
ратичной формы, полученном с помощью ортогональ-
ных преобразований. К решению поставленного вопроса
мы перейдем в следующей лекции, г
Лекция 24
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНО-НЕЗАВИСИМЫХ ВЕКТОРОВ.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ДИАГОНАЛЬНОМ ВИДЕ
МАТРИЦЫ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА
И КАНОНИЧЕСКОМ ВИДЕ КВАТРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
Взаимно-однозначное соответствие между симмет-
ричными билинейными формами и сам х оиряженными
операторами в Еп, установленное в предыдущей лек-
ции, позволяет решить один из наиболее важных ия
физических приложении вопросив о приведении орто-
гональными преобразованиями к главным ооям сим-
метрических матриц, описывающих физические харак-
теристики тон или иной физической системы (в лоха-
ни ке и электродинамике сплошных сред). •
Предварительно решим задач} о построении орю-
нормировапного базиса для линейной оболочки в .
натянутой на систему векторов {/,, f2.. к} (£ < //),
причем, не ограничивая общности рассуждений, будем
считать эти векторы линейцо-независимыми (в про-
тивном случае из системы векторов выделяем макси-
мальное число линейно-независимых и процесс орто-
гонализации будем осуществлять только для них).
Рассмотрим вектор , пронормируем его и обо-
значим gj =	. Рассмотрим далее вектор Лу «j£i+ f 2
I /11
с неизвестным коэффициентом =4 и выберем его так.
чтобы . 2' был ортогонален к . т. е. , /7 > О-
Последнее равенство означает, что од • I + (gt,/2) б,
откуда следует
«I = — (gl < /)•
Пронормируем вектор /.' и обозначим	. Зя-
1/Ь1
тем строим вектор /3 = >j£t + 3.. 2 + j с неизвест-
ными коэффициентами 32, которые определим из
условий ортогональности /3’ к #| и к а;» : (&, > /д)
==Рг 1 + (£1 * А) = 0. и /з) 4V 1 -г (&» .Л) =0,
ci — (Aj » /з’’ г2	(а? » А)-
г
Пронормируем вектор /' и обозначим g3 —— . Про-
IЛ ।
должая процесс, мы построим систему единичных
взаимно ортогональных векторов , g,. ..., д'л|, кото-
рую можно взять за базис рассмаi ривасмоп оболочки,
так как система построенных векторов будет инейно-
независима. 11 осле дн и г. факт нуждается в юказа гель-
20 I
стве. Действительно, составим линейную комбинацию
векторов £|. •••.£* с произвольными коэффициентами
11 приравняем ее нулю
- >•* git 0.
Умножая (24.1) скалярно на вектор gj и учитывая
ортогональность к / векторов я
g*. получим
/ч. 1 = о. Аналогично умножая (24.1) скалярно па
g2... , £а. , получим 1.» О, /.,—() '•* 0. что и до-
казывает линейную независимость построенных век-
торов.
Если нам необходимо перейти от ортонормнроваи-
ного базиса tzl....t/n|. относительно которого были
заданы векторы д. 2..... /*♦ к Другому ортонормя-
рованному базису в Еп. первыми векторами которого
служили бы векторы	то поступаем следую-
щим образом.
V-r	X? •
ПУСТЬ g| = ... ;l lm...... *
Ищем мно-
жество всех таких векторов A=LY»m. которые
были бы ортогональны одновременно к • ••• •. • Л 111
этого строим нормальную систему решений хля си-
стемы линейных уравнении
п I
Тоге совокупность векторов л* будет образовывать
линейную оболочку, натянутую на векторы нормаль-
ном фундаментальной системы р лиспи л. Поскольку
ранг матрицы системы уравнении (244) равен й (век-
торы .....£* линеино-пе авнеимы). то имеем {H-k}
векторов нормальной фун ^ментальной системы реше-
нии. (ля них применим процесс ортогонализации и
обозначим полученные е циничные взанмноортогональ-
2иа
ные вектор!.! через At,	.... , 7Я k. Система векторов
(gi,.... ел. , //(.ЛЯ_А.} И будет служить новым ирТ(.
нормированным базисом в Еп. Ортогональная матриц »
перехода от базиса {/tк базису {£1э... о
/Zj...hn_k\ строится очень просто. Ее столбцам г
служат матрицы-столбцы из координат векторо
U'l*...?*•
Пример. задана оболочка, натянутая и
линейно-независимые векторы
	1“		“0“		0~	
	-1		1		0	
/1 —	0	, /2^=	•7	’ / 3	1	•
	0		и		-1	
	0_		Ч)_		0_	
Построить ортонормированный базис	, £3) обо-
лочки и перейти к новому ортонормированному базис}
в /:5. первыми тремя векторами которого служили бь
£i. к < & •
Решение. Пронормируем J\. Имеем I./J
= ]	— 1)2 == I 2. Тогда = j-=- (Л ~ ^)- Haxo-
/2	1
£2 ~	~ ~ « 1/-7 (4 Ь <2 "г 4Z3).
I/21	3/2
Далее находим, чтс
?I “ fel 1 /3) — 0, р-2 "	(-2 » J 3) — о ту '
•J J
^з) И
Поэтому /?з = - {Л + '2 - *3 + 4'4-
2о6

сие гему
ij 10
Векторы нормальной фундаментальной си< гемы реше-
ний имеют ви I, - — 2/ j — 2/2 Н 1з ~ 1 л * Л'г = *5 • По-
этому /ц ~	+ hi '— is-
Ортогональная матрица перехода от базиса ;/lt /’5}
к базису къ&’А'з» Л1’Л21 имсст В»Л
2	9	0	•
31 10	1 То		
2	2	0	
зи То	i То		
_1	 зИТо	1 К io	0	. (24.3)
3	1	0	
И1о	]/ТГ)		
0	0	1	
Перейдем к формулировке и доказательству основ-
ной теоремы.
Теорема 1. У каждого самосопряженного опе-
ратора в Еп существует п единичных взаимноорто-
гональных собственных векторов. Матрица операто-
ра относительно ортонормированного базиса, по-
строенного на указанных собственных векторах
оператора, имеет диагональный вии
207
(24.4,
где и ? диагонали стоят собственные значения он
ратора, повторенные столько раз, какова их крап
ноешь в характеристическом уравнении.
Доказательство. Пусть — собственное зна-
чение самосопряженного оператора А. заданного в
котором ортонормированием базисе .,/n| cbg
симметрической матрицей А = Рассмотрим со
ствснный вектор \ (для этого достаточно взять не
выи вектор из нормальной фундаментальной сисю
решений системы однородных уравнений
п

, ДЛЯ которого А?1 л, ,.
и пронормируем его. Получим единичный собственны,
вектор = Л'.
Рассмотрим далее множество всех векторе
п	п
х =	ортогональных к ", =	Для этого
Ш —I	П1=*\
необходимо построить векторы нормальной фунда
ментальной системы решений для системы уравнении,
состоящей лишь из одного уравнения
Таких векторов будет /7—1. Применим к ним процесс
ортогонализации и получим (// — 1) единичных взаимно-
ортогональных векторов {//2, Ай,..., //J, каждый из
которых также ортогонален и к вектору , . Очеви ою,
что искомые векторы х принадлежат к линейной обо-
лочке, натянутой на векторы {//.}, а сама она пред-
ставляет {и—1)-мерное векторное пространство
ортогональное к ц} (т. е. любой вектор из £z/_, орто-
гонален к g,). Покажем, что векторы из /£н_, под
действием самосопряженного оператора А переходят
208
векторы того же Вп_х (другими словами Вп_х явля-
ется инвариантным подпространством для А). В само*4
Келе, используя самосопряженность Л, имеем (Ах, gt) =
Г (*, Л£!) = (х. Xlgl) = Xl(jc, ^0 = 0, т.е. Ах£Еп_{. От
рртонормированного базиса {/t,..., in\ перейдем к орто-
нормированному базису {gt , Л2,..., fin}. Поскольку
е, = \ gi, Ah - (s = 2,/I), то матрица само-
£	* А	«	•
~Х, о ... О -
о (4... £
(21.5)
п
п __
_0 ?2-..?
В силу вышесказанного матрица В -=	(г, s - 2. п)
кть матрица самосопряженного оператора А, дей-
:тв7ющего па векторах пространства £„_!. Затем весь
* эассмо.репный нами процесс повторяем уже для
i матрицы В, А именно, находим корни характернсти-
L веского уравнения det (В — ХЕ) = 0. и если, например,
Г Ц корень уравнения det (А — ХЕ) = 0 кратности rx > 1,
L го X непременно будет корнем уравнения det (В—ХЕ)=О,
юскольку характеристический полином оператора
вместе с ним и собственные значения) есть инвариант
феобразования базисов, а характеристический поли-
юм матрицы (24.5) имеет вид 7. (X) = (л, — X) det (В — ХЕ).
4з системы уравнений S (3J — Х/4)	(если Х:—одно-
:рагнкй корень уравнения det (.4 — ХЕ) = 0. го в си-
стеме вместо Xj стоит другой корень уравнения
et(E —Х£) = 0) определяем собственный вектор /*2»
ормируем его и получим 'единичный собственный
ектор g2 (Ag2 --= Xtg2\ ортогональный к единичному
собственному вектору gj . Как и выше, в Еп_{ строим
подпространство Еп_2, ортогональное к g2 (автомати-
чески и Kgt), с ортонормнрованным базисом {/i3,..., ZtJ.
Перейдя от базиса {gt, /z2,, hn\ к базису {gj.	,
Аз’*--* мы получим следующий вид матрицы само-
сопряженного оператора в новом базисе: *
I • 14 б-ъ<н	209
г
”>ч О О ... О’
О /ч о ... о
О О 7з-Й .
........ J
_О 0 7з-Т^ ;
<
(24.6)
Заметим, что если /ч — однократное собственное
значение, то в матрице (24.6) на пересечении 2-й стро-
ки и 2-го столбца будет стоять не >ч , а другой корень
характеристического уравнения dei (А — /.£) = 0.
Продолжая предложенный алгоритм построения
ортогональных друг другу единичных собственных
векторов оператора, через п — 2 шага мы придем
к ортонормированному базису (gj, £2...., gn}, состоя-
щему из собственных векторов оператора Д в котором
матрица оператора примет вид (24.4).
Важнейшим следствием доказанной теоремы явля-
ется тот факт, что г-кратному собственному значению
самосопряженного оператора соответствует г-.чер-
ное инвариантное подпространство собственных сек-
торов оператора, отвечающих данному собственному
значению, в чем мы убедились, применяя конструк-
тивный метод доказательства основной теоремы.
Это следствие дает практический способ построе-
ния того ортонормироваиного базиса в котором мат-
рица оператора имеет диагональный вид. Пусть
/i,..., fr — линейно-независимые собственные векто-
ры, отвечающие собственному значению X, кратности г,
(для их нахождения достаточно построить векторы
нормальной фундаментальной системы решений д. я
п
однородной системы } равнений 2 (р% — 7Ч %) - о.
<7-1
Согласно следствию будет таких векторов). Далси
совершим их ортоюнализацию и получим г} единич-
ных взаимноортогональных собственных векторог
— »£л1- Поскольку различным собственным ка-
чениям отвечают ортогональные собственные векторы,
то достаточно проделать такую же процедуре с соб-
ственным значением ).5 кратности г2 и г. д. В итоге
мы имеем п единичных взаимно ортогональных с об
ственных векторов ....,	; Л/,..., // ;...;	.
210
(ri _	+ r5 = /th служащих базисом, в котором
матрица оператора имеет диагона1ьный ви i (24.4).
Координаты собственных векторов 1^/.......>,
записанные в виде столбцов, будут составлять орто-
гональную матрицу перехода от первоначального орто-
нормир 'ванного базиса к каноническому ортонорчи-
рованному базису.
Но заданной в ортонормированием базисе матрице
самосопряженного оператора однозначно сопоставля-
ется симметрическая билинейная форма (квадратичная
форма), причем .матрицы оператора и формы при пере-
ходе в другой ортонормировании») базис преобразуются
по одному и тому же закону. Поэтому теорему 1 мож-
но записать в. следующей эквивалентной форме (она-
то и играет в приложениях главную роль).
Т е о р е м а 2. Любую квадратичную ф)ряу В (х. х)«=
— __ (at* = орт >г>нальн ни i е У а а-
ниями всегда можно привести к следующему кан >-
нанес ко му виду:
В(х, х) = Х1 «)* f ... + X, (<•)» 4. ... + X,(iV, Г-4.7)
где ,..., \ — корни характеристического уравнения
7. (М = 3et (*ik — встречающее ч спимьк ра <, ка-
кова их кратн четь.
Пример. Привести ортогональными преобразова-
ниями к каноническому виду квадратичную форму:
2х1эх2 -У 2.^X3 — 2XJ.V, — 2хчх + 2 х х< 4- 2х х< и пайгк
матрицу перехода от данного базжеа к каноническому.
Решена е. Hart дем характеристический полином
матрицы квадратичной формы
(24.8)
1з (24.Я) следует, что Д имеет Собственное шаче-
ни Xj Ь кратности 3 и о днократное собственное
значение —3. Согласно теореме 2 по (24.7) имеем
следующий канонический вид квадратичной формы:
Цх, х) yj у v 3v?.	(24.9)
.11
Найдем ортогональное преобразование, осуще-
ствляющее приведение квадратичной формы к кано-
ническому виду. С этой целью нам необходимо ука-
зать четыре единичных взаимно ортогональных соб-
ственных вектора матрицы Л.
4
При X. = 1 система уравнений 21 (ар/ — X, Ър^ = о,
соответствующая данному примеру, выглядит так:
(24.10)
' .
;2 + е-е4 = о
Jl_f + f< = 0
+ s4==o
-е + г-к3-^==о
Ранг матрицы системы равен 1 (уравнения 2, 3, 4 сов-
падают с первым). Поэтому
Л .2 I ^3	„4 >2	. „2
с2,	= с\ ? = с\
Строим нормальную фундаментальную систему реше-
ний. Имеем
Применяя процесс ортогонализации и нормировки,
придем к следующим единичным взаимно ортогональ-
ным векторам:	г
При Х2. — 3 система уравнений
£	0
212
тяпиио РаНГ’ Равный трем, и нормальная фундамен-
тальная система решений состои/ из одного вектора
Нормируя собственный вектоо f
ный собственный
так как А] ~/= ),2
получим едннич-
вектор, ортогональный к
Таким образом, ортогональная матрица, переходя >т
старого базиса к каноническому имеет следующий iv, д:
Лекция 25
ПРИВЕДЕНИЕ В Еп ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ
'ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И НЕЦЕНТРАЛЬНЫЕ
ПОВЕРХНОСТИ. ЦИЛИНДРЫ
В этой лекции мы вернемся к рассмотрению век-
торно-точечных пространств Еп. В предыдущих двух
лекциях мы ограничивались в основном рассмотрением
векторных евклидовых пространств, поскольку теория
операторов затрагивает лишь векторную структуру
пространства.
Определение. Поверхностью второго порядка
в Еп называется геометрическое место точек 7И, пря-
моугольные координаты V которых удовлетво-
ряют уравнению вида
п	п
(25.1)
п
где А(х, х) = S — квадратичная форма от ра-
I, k—i
п
диус-вектора х, <?(х) =	— линейная форма от х,
7 — постоянная, ранг =£0.	- •
Нашей задачей является выбор в ЕГ1 новой прямо-
угольной декартовой системы координат, в которой
поверхность второго порядка описывалась бы наиболее
простым уравнением, называемым каноническим.
По каноническому уравнению легко изучать свой-
ства этих поверхностей.
П е р в ы й э т а и. Совершим ортогональное преобра-
зование базиса, оставляя начало координат на месте,
и перейдем к базису, в котором квадратичная форма
/1(х, х) принимает канонический вид. Пусть ранг фор-
мы равен г и ,..., ^ — собственные значения матрицы
~ [atJ> отличные от нуля (среди них совпадающие
также занумерованы). В результате получим новое
уравнение поверхности
214
X1 ('I1)2 + ... + х, (О2 + 2 s r‘ + = о, (25.2)
Z«=I
которое может быть записано в следующем виде:
L^(y'+92+2	+	(25.3)
Р«=Г+1	Joi
Второй этап. Совершим перенос начала коор-
динат в точку О'(—	0;... (Л
\ >1 /
V = г/ +	(S = Т7).	= г/' (р = г+ 1,и). (25.4)
После этого уравнение поверхности примет следую-
щий вид:
>v(<)2 + ^+lVJ1 +... + 2Мл -Н^О.
(25.5)
Определение. Поверхность называется цен-
тральной, если в ее уравнении (25.5) коэффициенты
линейной формы рг41 равны нулю, причем —
невырожденной центральной, когда г= н и вырож-
денной центральной, когда г < л. Если же хотя бы
одно из чисел (р=г-г1,/Л отлично от нуля, то
поверхность называется нецентральной.
‘Такое определение связано с тем. что точка О'
является единственным центром симметрии для поверх-
ностей с уравнением
Х| (7 )2 +... + >.,(< )2 + т = о,
(25.6)
поскольку отражения 7,^ —♦ — v, не меняют вида дан-
ного уравнения.
Для нецентральных поверхностей продолжим про-
цесс выбора новой прямоугольной системы координат
с целью дальнейшего упрощения вида уравнения
нецентральной поверхности (вместе с этим объяснится
и тот факт, почему поверхность названа нецентраль-
ной).
Третий этап. (Для нецентральных поверхностей).
Начало координат О' оставляем на месте и совершим
215
следующее предбрз oi.ание (новые коор Ринаты об на-
чни б дивой Q:
(25.7)
подобрав числа qr+\
.qnp (Р = г + П я) так,
чтобы
матрица преобразования бы ia ортогональной. Пока-
жем, что это всегда может быть осуществлено.
Действительно, матрицы-столбцы ['] из новых коор-
динат и [И/ из старых к^орзинат связаны с матрицей
перехода 7’ « «^отношением [^] = Гт1 [ti]z. Но для орто-
гональных преобразований 7р"1 = Г/',*и поэтому для
(25.7) ма рица Г’ имеет вид
~1 0...0 • О
о 1	...	о	:	О
♦	•	*	•
•	•	•	•	•
•	►	•	•
0 0...	I	'	о
11 0	-	О	“0Г+1
о о...	о	•	</;J
• •	•
ли ...о: /; ,
о	...	о -
о	...	о
•	
•	•
•	
о	...	о
7/' + 2 ••• J)fi
4?+ 2 ••* 7Л
•	•
•	•
(25.8)
(др ^2, в о, qn (р «> г -t- 1, п) — неизвестные пока >л -
М€ягы матрицы.
Очевидно, дли того, чтобы матрица Г бы ы орго-
необходимо к , найти (п - г — 1) еди-
нич1 . ; взаимпо-ортогоиальных векторов, ортогональ-
ных *. вектору .vu с координата мв /1.	, и и-.
216
координаты подставить вм< го qr 2,...,	..., q* (,...
• Для этого строим векторы нормальной фунда-
мен ильной системы реш< ний для снс емы уравнений
ХС10Ящей из одного уравнения
(х0,4 'i-JV о.
р '1-1
Таких векторов будет (// — г— 1) пиук. Хатем ыя
них проводим процесс ортог она ли ыции'и нормировка.
Тем самым неизвестные чис ли 2.....q (/ г Г. Г*
г,удут определены. и ортогональное нрс <»т р. омине
25.7) принимает конкретный ни b После нреобраюг -
ния (25.7)* уравнение (25.5) поверхности не рей у» в с го-
дующее:
ii(C‘)2 ...-г7 0-	v-'-9>
Четвертый ^Tdii состоит в переносе начав ы
координат
после которого канонически уравнение нецентраль-
ной поверхности примет окончательный вид
Atf;*')2,	) j?.f .	>
г ле ? I >; , ... J- ?;.
Если в 425.10) г 1 п. то нецентральная поверх-
ность называется нсш]* .ч’м< hhiесли ке г 4- 1 • п —
то вырожденной.
Переходим к конкр< гной кльсенфикацмн кодмрож«
leiiHbix центральных и нецентральных поверхнос Й
второго порядка, учнтынаюшей знаки собственных
лна‘1ении.
//< -ныраЖлк hhni цен i	п лерхнеепш.
Каноническое уравнение имеет к (2 >.ьь где г д.
В зависимоеги от тою. равен и аю свободный член
him отличен от нуля, все певырожд нны центральные
поверхности разбиваются на 2 нпя Рассмотрим каж-
дый II 0 1 имьностн.
217
(I)	7=^0. Поделим левую часть уравнения (25.6
на 7 и переобозначим переменные так, чтобы сначала
шли те. у которых коэффициенты положительные,
а затем те. у которых коэффициенты отрицательные.
В результате получим для первого типа следующий
вид уравнения центральной поверхности:
Имеем п различных классов невырожденных цен-
тральных поверхностей первого типа при k = 1,2......
(при k = 0 имеем мнимую поверхность 2-го порядка).
Ограничимся рассмотрением частных случаев /1 = 2
и а = 3. При /1 = 2 (на плоскости) имеем 2 централь-
ные кривые второго порядка
*у 2
Л’»	А о
Л = 1: —------ = 1 (гипербола)
Л j il 2
При л = 3 (в пространстве) имеем 3 центральные
поверхности 2-го порядка
2	2	2
Л'1	Л 2	л3
k = 1: —------—----т = 1 (двуполостной гипербо-
а\	а2	а3	лоид)
X2	х?	х2
k = 2: —J--;— -----7 = 1 (однополостной гипербо-
а\	а1	аз	лоид)
2	2	2
= 3: -7 4- ~ —г = I (эллипсоид).
Jj-	а2 • а3
Вид приведенных кривых и поверхностей подробно
изучен нами в аналитической геометрии, и на этих
вопросах мы не останавливаемся.
(II)	7 = 0. Нумеруя переменные так, чтобы сначала
шли переменные с положительными коэффициентами,
а затем с отрицательными, мы получим уравнения для
центральных невырожденных поверхностей втором
типа
218
(25.12)
Такие поверхности относятся к коническим, так как
наряду с точкой A/(Xj;...; хп\ этому уравнению удов-
летворяют точки с координатами rx,. txz  х. при
любом т. е. точки, лежащие на прямой, прохо-
дящей через Л/ и начало координат. Сколько ра лич-
ных классов конических поверхностей описывает урав-
нение (25.12)? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим,
что k достаточно менять лишь в пределах от 0 до~,
так как при
умножая уравнение (25.12) на — 1.
придем к уравнению, в которое положительных сла-
гаемых меньше Кроме того, при *	0 имеем мни-
мую поверхность с одном вещественной точкой
(О, о,.... 0). Итак,	прл этом мы должны
учитывать, что k — целое число.
Опять-таки ограничимся рассмотрением ч ных
случаев п = 2 и // = 3. Согласно нашим оценкам »ля k
имеем лишь по одному классу в каждом случае.
А 7	V1
При п — 2: —	-у
Д1 а2
0 или	Р -I о
\ jj jj. .
(пара пересекающихся прямых).
2*2
При п = 3:	-------~== 0 (эллиптический конус
;	*2 ‘Jj
с центральной ОСЬЮ X,).
Невыр< жженные неъент:	т> ерхности.
Как и выше, поделив на о и перенумеровав пере-
менные в (25.10), получим уравнение вн/.а
2хя.* (25.13)
Число различных классов поверхностей зависит гг
числа значений принимаемых индек ом . Очевидно,
219
что 0 < k < ~—
, п — 1
гмк как если к > —— , то, умножая
£
(25.13)	на — 1 и обозначая — хп через хп , мы придем
опять же к уравнению вида (2э.13), в котором поло-
жительных слагаемых (квадратичных) меньше .
Обратимся к конкретным случаям п = 2 и п==3.
При п = 2 имеем 1 класс нецентральных кривых 2-го
порядка:
о
k = 0:------- — '2х, (парабола).
"1
При п = 3 (А = 0, k — 1) имеем 2 класса нецентраль-
ных поверхностей второго порядка
,.2	,2
A i Аа
* =	----~2х3
а\ а7.
>2	А2
Т-’Т===2^
"1	*2
(эллиптический парабо-
лоид)
(гиперболический пара-
болоид).
Форма параболы и формы указанных поверхностей
подробно изучались нами в аналитической геометрии,
и на их построении мы не останавливаемся.
Сейчас остановимся на рассмотрении вырожденных
центральных и нецентральных поверхностей 2-го по-
рядка.
Поскольку поверхность вырожденная, то в кано-
нических уравнениях (25.11), (25.12), (25.13) отсутствует
хотя бы одна переменная, например, переменная .
В этом случае все сечения рассматриваемой поверх-
ности гиперплоскостями xL — const представляют собой
одну и ту же поверхность в пространстве Еп_{ . Это
означает, что каждая вырожденная поверхность обра-
зуется за счет поступательного движения поверхности
2-го порядка, заданной в Еп_х , вдоль оси х,, перпен-
дикулярной к Еп_х . Следовательно, исследуемая по-
верхность необходимо содержит прямолинейные обра-
зующие параллельные оси . Поэтому вырожденные
поверхности второго порядка часто называют цилин-
дрическими.
Перейдем к конкретным частным случаям п = 2 и
п — 3.
220
При №2 согласно (25.11) и (25.12) все централь-
ные вырожденные кривые описываются уравнением
(25.14)
а2
где е = — 1, 1,(1.
При е ==— 1 вещественных геометрических образов
не существует. Когда е= 1, имеем пару параллельных
прямых. При е==0 — пару слившихся прямых.
Согласно (25.13), когда п == 2, нецентральных вы-
рожденных кривых второго порядка не имеется.
Чтобы построить все цилиндрические поверхности
в необходимо подвергнуть поступательному дви-
жению вдоль оси х3 все кривые 2-го порядка, лежа-
щие в плоскости ХуОх,.
Учитывая приведенную выше классификацию всех
невырожденных и вырожденных кривых 2-го порядка,
получим следующие вещественные цилиндрические
поверхности второго порядка:
а-2	х2
(1)	— 4—-=1 (эллиптический цилиндр)
.	:	«?	л2
V2	Л?
(2)	—	- = 1 (гиперболический цилиндр)
а\	а2
(3)	—1 = 2х2 (параболический цилиндр)
"i
2 v2
0) _1 _ — = о (пара пересекающихся плоскостей)
Л? «2
2
(5) —1 = 1 (пара параллельных плоскостей)
п 	Л,2
(6) —1 = 0 (пара слившихся плоскостей).
«I
В заключение проведем подробный разбор примера,
связанного с приведением к каноническому виду общего
уравнения кривой второго порядка на плоскости.
221
Пример. Требуется” привести к каноническому
виду сравнени кривой 2-го порядка З-v -у lOxy — Зу --
— 2л — 14у — 13 = 0 и указать преобразование коор-
динат.
Решение. Найдем собственные значения матриц i
квадратичной формы
dei (Л —	—
=_ 6Х - 16 = 01
>ч-8,	- 2.
Соответствующие им собственные век горы из-за л =у=л.
ортогональны между собой, и их остае.ся >лькс
hp©нормировать. Имеем
Следовательно. после преобразования координат, инду-
цированного переходом к базису с векторами
мы причем к уравнению 8 (л'у — 2 (у')* — 81 2х -
- 6) 2 у' — 13 = 0. Его можно преобразовать к сле-
дующему виду:
> • - рД г / - 21V ' + pv )2 - 13 - 4 ! 9
•п	1
После хереноса начала координат: Л“' = А’ — _ .
• V 3
у ? — —=-, получим еле гующееГ сравнении:
8№-2Г2- 8.
которое
канонической записи примет вид
(2‘i.r)

Преобразование, связывающее кооодинаты х, у и
JV. К. легко устанавливается
х == Xcos — — У sin — v 2
4	4
<
у = Asin — 4- У cos — — 1.
I	4	4
Таким образом, в новой системе координат, кото-
* рая получена из старой .поворотом на угол — (против
часовой стрелки) и переносом начала координат в точ-
ку О' (2; мы имеем гиперболу (25.15) с веществен-
ной осью ОХ и асимптотами Х = ± 2 Y.
На этом мы закончим рассмотрение вещественных
евклидовых пространств и перейдем к изучению спе-
циальных комплексных линейных пространств, свойства
которых очень близки к свойствам вещественных
собственно евклидовых пространств. Такие простран-
ств! называются унитарными. Теория операторов
в указанных простр шствах находит широкое прило-
жение в квантовой механике.
Лекция 26
ЭРМИТОВЫ И ЭРМИТОВО-КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
В КОМПЛЕКСНОМ ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
УНИТАРНОЕ п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО.
J ННТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СВОЙСТВА
На протяжении ганной лекции мы будем рассмат-
ривать комплексные линейные пространства (К С).
Нашей целью является введение таких комплексных
линейных пространств, которые были бы близки по
своим свойств iM к собственно евклидовым неществен-
пым пространствам. Евкллчоны комплексные линейные
пространства длй этой цеш не годятся, так ка\ для
них скалярное произведение (х. х) может обращаться
в нуль не только хля нулевые векторов, в то время
как для собственно евклидовых вещественных про-
странств (X. X) > О ДЛЯ ЛюбОГО С О И (Х, X) -=0 ТОГ VI
И ТОЛЬКО ГО! и, КОГДА X 0. Чтобы ПОДОЙТИ f
нию поставлю иной за ачи. в Линейном ко*и .
дросфанс ве мы буде м помимо билинейных ф
Сма ривать зрмгпокы формы.
Определение. Числовая функция /У(х, у) на /-
веется эрмитовой формой, если для любых х. у, z£
и любого т С выполнено
.1/
где а — компл< ксно-сопряукенное число по оти чине
к а.
Очевидно. что первые 3 условия из (2GJ) эвпа-
дают с условиями для билинейных форм, а ч ,т»н
условие лля эрмитовых форм отличается от чет; ртог,
условия для билинейных форм (там Д (х, ту) >7	у)).
Из (26 1) тотчас слвдуез (по индукции)
ДЛЯ любых XA,y,w£.Z 11 -1*ббых	С.
Пусть с,,..., гя} — базис <Z„ и
.»	п
<0 ‘ >  ~;Ч-у -
k I	nt 1
Тог а, .огласки (26.2), имеем
В	п
//< - .yi 1	2. Аа„,Г< -	'^.3)
*. tn 1	Л, п 1
г .л- hKai ч1ачсн!! эрмитовой формы на вект< -р »х ба-
зиса. называемые коофанщигниш ни »рмм.ии)вой аюрмы
относительно данною базиса. III них можно построить
по обычном^ правилу ккадра ную матрицу // ч*
называемую патрицей	ipopsoi.
п
Если перейти к дру| лгу базису е ,	4	< м.п-
* II
рицей нергхо а / р. ], то
м _	'
!	Ц{е, ет.)	L /Це., с ) i. h
В матричном представлении равенство (26.4) имеет вид
//'	7 НТ.	.	(26.5)
В силу невырожденности матрицы перехода и очевид-
ною равенства del Г det Г из (26.5) следует. что
ранг г матрицы эрмитовой а	ль инвариант
преоб разувания базисов. Если г п. .<> эрмитова
форма называется невырожденной.
Чля приложений нам необходи * и» общие эрми-
товы формы, а имметр* vw' ьр.цитнны формы.
Опр е делени е. Эрмитова форма называется им-
метричн >и, если 1(хчу\	На \xi.
Исходя из этого определения мы иолучиУ, что
й*,„ Н(ск,ет}	Шеп,е,} h„„.	126.6)
и. следовательно, матрица чсян ч т•*
эрмитовой фбрмы ониоает свойствам Н
Опре* ел с н и е. ЛАатрица, которая после Операции
транспонирования и замены элементов на комплексно-
щряжснные переходит в себя, называется эрмитовой
ап! ицей.
Для ’сокращения записи обе проводимые операции
обозначают символом „ >• *. и поэтом; эрмитов
рина может быть определен.:
обладающая свойством Л .4*.
। 1
Например, матрица .1
товой, в чем легко убедиться,
и заменить строки столбцами.
В силу 0$.6) матрица симметричной ттовчй
фармц необходимо Эрмитова. /
Обратно. е< ш матрица	и р >рмч a '".i-
тона, то оанная эрмитива фн*рча яваяепи я • лцмет-
ричн, hi В самом и те.
Н(х. V» S Лн;‘ ?	- **< л
t.t I	I.* 1
как
!
л
являете »рм.1-
I
ес
in /
заменить на —t
' k -I
Таким оориюм. r«y ip uiiin ^.t. ни патрица > i и
симметричными 'ч'иипиты ии фории чи у< тан‘ ’син<
 ли ин '-'.к юзначное > uorfin mcmi.ue.
1 J Ь -и
Отметим» что в вещественном случае эрмитов
форма переходит в билинейную вещественную форму,
симметричная эрмитова форма—в симметричную били-
нейную форму, а эрмитова матрица —в симметриче-
скую матрицу. Эти факты автоматически следуют
из (26.1), (26.3), (26.6). Но в отличие от вещественного
линейного пространства в комплексном линейном про-
странств* можно определить 2 вида квадратичных
форм — эрмчтово-квадратччную форму и симметрич-
ную эрмитов э-квадратччную форму.
Опре д е л е н и е. Эрмит )во-квадратичной формой
в комплексном пространстве называется функция
аргумента x£<Z, получаемая из эрмитовой формы//(х, у)
заменой у на х.
Ее общий вид следует из (26.3)
п
Л/(х,х) = -2
А.
(26.7)
Определение. Сим метричной эр штово-квадра-
тинной формой называется эрмитово-квадратичная
форма, полученная на основе симметричной эрмито-
вой формы.
Ее общий вид дается формулой (26.7), но с усло-
вием—матрица Н— \йЬ1П\ должна быть эрмитовой.
Учитывая взаимно-однозначное соответствие между
эрмитовыми матрицами и симметричными эрмитовыми
формами, мы можем заключить, что между симмет-
ричными эрмитово-квадратичны чч формами и эрми-
товыми матрицами также существует взаимно-
однозначное соответствие. Для приложений основную
роль играют симметричные эрмитово-квадратичные фор-
мы, поскольку по своим свойствам они близки к квадра-
тичным формам в вещественном пространстве X. По-
этому в дальнейшем под символом //(х, х) понимается
только симметричная эрмитово-квадратичная форма.
Пер’ ое свойство, которое мы сразу же отметим,
заключается в том, что симиетричналэрмитово-квад-
ратичная форма арина чает только вещественные
значения. поскольку из равенства Л7(х, у) «=//(у, х)
тотчас следует
/7(х, х) == /7 (V, х).
(2G.8)
226
Для симметричных эрмитово-квадратнчныу я
имеют место теоремы, аналогичные теопемям ? ₽М
ванным для квадратичных форм в впгпаД.,1 ’ ДОка*
нейном пространстве. 1 вещественном ли*
Теорема 1. /у комн leif, и ,,,,
существует базис. в котором си к кет гичке и™
товоквабратичкая форма имеет какокиТскиаР^
// (х, х) ==	7 | >*' I-’
1 ’	(26.9)
k -1
где — вещественные числа. epeeju которых г часе г
отлично от нуля (г = ранг //).
Доказательство этой теоремы совпадает почти
дословно с доказательством теоремы о привечеРин
вещественной квадратичной формы к каноническому
виду методом Лагранжа (необходимо только \читы-
вать эрмитовость матрицы А/-|АЛгп]. у которой из-за
условия !ik,n~ hmk диагональные элементы (£==/и) не-
обходимо вещественные числа).
В самом деле, симметричную эрмитово-квадратич-
ную форму можно всегда представить в виде (считаем
не ограничивая общности рассуждений, что oj
+ (й12-^12);2+-+(в1л-/Ал)«л1Х
^Ul<hi + («и + ibn)C + ... + (tju +	+
п
к, т—2
где ли==//и- вещественное число. +
^1з	=	* ••• ’ «и “Ь ib\n = h\n •
В качестве первою тага совершаем преоираЗ' ла-
ние координат
+	Г + ••• "Ь
z' (Р 2.//),
после которого форма Н {X, х) записывается следую-
щим образом:
•	п
H(.V.A)	±:’Г	V	(26.10)
Л11 .
15*
22:
Применяя хинный алгоритм к форме У,
k. т -2	4 ’ * С'
рез конечное чисЛо шагов придем к каноническими
виду (26.9).	У
Теорема 2. Число s положительных 'коэффици-
ентов и число (г — 5) отрицательных коэффициентов
в наборе а,...ая •//.? (26.9) нс зависит от выбора
канонического базиса.
Доказательство теоремы полностью повторяет до-
казательство теоремы инерции квадратичных форм
в вещественном случае.
•Определение. Симметричная эрмитово-квадра-
тичная форма называется положительно определен-
ной. если /7(х, х)>0 для любого х=£0.
Из канонического вида (26.9) и теоремы 2 вытекает,
что. си чметричная эр читово-кваоратичная фор на
положительно определена тогда и только тогда,
когда s = г « п. Таким образом,- положительно опре-
ла генная симметричная эрмитово-квадратичная фор-
ма всегда является невы рожденной формой.
Заметим, что детерминант любой эрмитовой мат-
рицы есть вещественное число, поскольку из равенства
А =» А" следует, что det Л = det A'r = det А. Из закона
преобразования (26.5) для эрмитовой матрицы имеем
det//'=4 det 7Т det /7.
Поскольку det/7 и del//' — вещественные числа, то
знак детерминант i матрицы симметричной эрми-
тово-квадратичной формы есть инвариант преобра-
зования базисов. Вследствие этого факта мы можем
доказать критерий Сильвестра для положительно
определенных симметричных эрмитово-квадратичных
форм, повторяя из слова в слово доказательство кри-
терия Сильвестра в случае вещественных квадратич-
ных форм: форма fl(x.x) положительно определена
тогда и только тогда, когда все г швные миноры.
^\п ^2п ••• ^пп
строго положительны.
228
Для положительно определенной формы Н (х, х)
кан<
o-k > °
Я(х, J
& »
онический вид (26.9) упрощается, поскольку все
>q (/==!, я). За счет преобразования — J'"а
л) примет окончательный канонический вид
п	п
(26.П)
I, А-*1

т е в каноническом базисе матрица положительно
определенной симметричной эрмитово-квадратичной
формы совпадает с еоиничной матрицей. <
Сейчас мы можем перейти к определению унитар-
ного пространства, которое является обобщением
собственно евклидова пространства на случаи линей-
ных комплексных пространств.
На первый взгляд кажется естественным в качестве
скалярного произведения векторов с комплексными
координатами £1, ... , ;л и	взять обычное вы-
п
ражение S В определенных случаях так и посту-
пают. Пространство, которое при этом получается,
называется комплексным евклидовым пространством.
Оно в этом случае, как уже выше указывалось, теряет
ряд свойств, и среди них важнейшее свойство (х. л) О
для любого л-у=0. По этой причине комплексное евкли-
дово пространство по своим свойствам отстоит очень
далеко от вещественных евклидовых пространств, изу-
ченных нами в предыдущих лекциях. Поэтому в ком-
плексном линейном пространстве необходимо так ввести
операцию скалярного произведения, чтобы свойство
(х, х) > О (для любого л‘7^0) сохранилось в данном
случае.
Но таким свойством, как нами установлено, обла-
дает симметричная положительно определенная эрми-
тово-ква трагичная форма. В связи с »тнм мы примем
следующее о пре юление.
Пирс тс л е н и е. Комплексное линейное простран-
ство У называется унитарным, если в . зафиксирована
некоторая симметричная эрмитова форма такая, что
соответствующая ей си.•матричная эрмитово-квадра-
тичная форма является положительно определенной.
При этом щипая симметричная эрмитова форма назы-
вается ск мирным произведением векторов х, у и обо-
значается символом (х. у).
229
Учитывая свойства симметричных эрмитовых
мы получим, что скалярное произведение обладает
следующими свойствами:
(а) (л, у) = (уД); (б) (х, у -J- х) = (х, у) + (д-, гу;
(в) (Хд-, у) = X (л-, у); (г) (д, л) > 0 (Vx =А 0). (26.12)
Если в унитарном пространстве выбран общий
базис ...., <?„}, то
(х,у) = 2 (для 2	> о). (26.13)
к, т=Л	к. т**Л
Длиной вектора л\ как и в вещественном случае, на-
зовем величину |х| == ]/(л. х). Вектор, длина которого
равна единице, называется нормированным (или еди-
ничным). Очевидно, каждый вектор х=^0 в унитарном
пространстве можно нормировать, ум ножа? его на
Опре делением Говорят, что вектор ,v ортого-
нален к у, если (л-, у) = 0.
По свойству (26.12аТ в этом случае и (у,х)«=0,
т. е. у также ортогонален к х.
Теорема.# любом п-мерном у ни тар	про-
странстве существует ортонормированиибазис.
Действительно, согласно (26.11) для положительно
определенной симметричной эрмитово-квадр этичной
формы (л*, л) существует такой канонически , базис
п
в котором (х, х) — 2 <4.,,, t'?', >Де =
А-, //z=ld
— 0*> 1тУ- Поэтому симметричная эрмитова форма (х, у)
в этом базисе \ix , ... , in\ будет иметь вид
и	п'
(X, у) = 2 6А„, Mr=)2 М?,	(26.14)
A’,$7/Z-»l	£=1
' I 1, k = III _
где <zA ,/„,) = оДт =	. Теорема доказана.
10, кф т	"
я
Отметим, что процесс ортогонализации системы
векторов полностью повторяется как и в веществен-
ном случае.
Определение. Линейное преобразование в л-мер-
ном унитарном пространстве, соответствующее пере-
ходу от одного ортонормированного базиса к другому
* г *	---------- называется унитарным
in,\ — ортонирмированные
*ортонормироваиному батису,
преобразованием.
Если {Л . ••• • <ni 11 -и ’ ••• ’
базисы в унитарном пространстве с матрицей пере-
хода U =	1
п
т -1
то в силу единичности и ортогональности векторов
h.....»меем •
= S 11 k а-т’ (ip 1 т„) — — ,1к‘ ит' — 21 Uk Um' 	(26.15)
р, 7«-1	•	/7=1
Равенство (26.15), если ввестив рассмотрение транс-
понированную матрицу Z7zr_=p4rtb может быть запи-
сано в виде
U*U = E.	(26.16)
Всякая матрица U, удовлетворяющая условию (26.16),
называется унитарной.
Таким образом, в унитарном пространстве пере-
ход от одного ортопормированного базиса к другому
ортонор мированному базису совершается всегда с по-
мощью унитарной матрицы перехода.
Обратно, если задана унитарная матрица U = \и™\,
то в силу (26.16) она невырожденная (I det 12 = 1)>
и она может служить матрицей перехода. Пусть
п
ek.= У un'i:n — векторы нового базиса. Очевидно, что
/71 = 1
с учетом (26.16) имеем
п	п	п
^eie » еп^~ ( 5,^/ lP ’ S Um’ iq ) ~ iLk’ 1^п' ~	*
/7=1	qr«»l z /7=1
Новый базис {ег,, £л,} — ортонормированный базис.
Другими словами, меоюду вращениями базиса
в унитарном пространстве и унитарными матри-
цами установлено взаимно-однознаиное соответствие.
231
Легко заметить, что унитарные матрицы об Гм
понятие ортогональных матриц в веществепн м |п
странстве Еп. Из условия (26.16) тотчас следуй
вален।ное равенство
которое част<; принимают hi новое оцреаеаен / :1{.
тарной матрицы. Унитарный оператор, как и изо 1(
рическнй в Еп. сохраняет скалярное пропзн
векторов в унитарном пространстве. В самом -и
согласно определению унитарного нреобра • (ц-/
имеем:
П _	Л
(t/л, £/у) = 1'	Ui,„) - 1	fm>.
к, in 1	к. rn 1
поскольку унитарное преобразова-
ние. перевозит ортонормированный’ базис в opi нор-
мированный. Таким образом
п	н
Поэтому унитарный оператор называют также и to-
ла трическа ч.
* Опре телеки е. Самосопряженный оператор Л,
действующий в унитарном пространстве, называется
эрмитовы ч оператором.
Какова матрица самосопряженного оператора в орто-
нормированием базисе? Согласно определению само-
сопряженности ((Дд\ у) (.V, /1у) для любых векторов
л
л л у), учитывая, что lAik,im)	i,„) п
s 1
п
11	i )	^,i, имеем	. Ilia c,
Л 1
в ортонормировании ч tja чы е матрица
минного оператора яванется эрмитовой матрицей.
Образно, с’с /// оператор А в ортонормировании ч
базисе имеет эрмитову матрицу, то он необходимо
(и чо( оцряженный оператор. В самом д<ме,
232
п .	\	.
v (V 4 7," $' = (Ду. X) - (Л-, Ду).
1-1' *-i
т..и-им образом, между эрмитовыми, операторами и
Лотовыми матрицами существует вэаи мно-одно-
шачн« соответствие.
Этим свойством и объясняется термин .эрмитов
оператор” для самосопряженного оператора в унитар-
ном пространстве.
В т > же время
существует взанмно-о (позначное
соответствие между эрмитовыми матрицами и симмет-
ричными эрмитовыми формами (эквивалентна симмет-
ричными эрмитово-квадратичными формами). Поэтому
между эрмитовыми операторами и соответствующими
симметричными эрмитовыми формами также может
быть установлено взаимно-однозначное соответствие.
Действительно, пусть .{/,....т„|	— ортонормнр-
ванный базис в унитарном пространстве. Пусть
п
Н(х, v).—3 — /iA	симметричная эрмитова форма
k. in -1
(//. . 7i,nk). I 1остроим матрицу .A |x*f|, положив a*, hmk
(г.о. A //"). Из-за условия hkm -= hinlt матрица A
эрмитова, и она соответствует эрмитову опера юру А.
Подсчитаем далее (х. Ау) и устанавливаем следующую
связь оператора и формы //(х.у):
/7 (х. у).	‘	(26.18)
Л. гл—1
Эрмитовы операторы, как и симметричные операторы
в вещественном Еп, обладают ря дом замена гельвы у
свойств.
Т е о р е м а I. Собственные течения эр читала
огн ритора — вещее таенные чч ? ш.
В самом деле, если — собственное nianenuc эрми-
това оператора А и х —соответствующий собствен-
ный вектор оператора, го (Ах, х) (Х^х, х) -= %(х, х)
и (V. Ax) (X, )vv) Х0(х, х). В сил) самосопралхиносги
а0(л, х) Х0(х. л), откуда следует, чю	Тео-
рем.1 доказана.
213
Теорема 2. Собственные векторы эрмитова спе-
ротора. прина< .ежащие различным собственны и
значениям, ортогональны между собой.
Действительно. из равенств (Дх, у) = X (х. «•)
(х, Ду) = р <-*. у) = н (х, у) вытекает, что (X —	(х, у)=г п.
При > = н следует утверждение теоремы.
Поскольку метод ортогонализации системы в< кто-
ров и их нормировки в унитарном пространстве пол-
ностью совпадает с аналогичным методом в Е. . тс
имеет место
Теорема 3. В унитарном пространстве с ?
яал w ' штоса епсрат :а существует канони-
веский ортокормяроеанный базис, построенный из
единичных за: - - ’п г^наль-ь х с бственных век-
тор в one pt -о г носите, ъно кт: го матрица
one ратера имеет диагона лъш й вид
где .....еяньл значенья эрмит -а опе-
ратора, взятые ст лък раз, как еа их кратность
' ха/ акте ртти^еск .и у/< • яс н. г.
Учитывая, что матрица А эрАПТОьа оператора
за на с матрицей симметричной эрмитовой формы (сим-
метричной эрмитовоч вадратичь cP. фор^ы) соотноше-
нием А = Н*\ то из закона' (26.5) г.ресбразоьагия м^ -
рицы эрмитовой формы следует Н гТ*Н' 1
а переход от одного ортонормированного
к другому совершается с помощью унитарной ма~[
цы Т = LE для которой 1	мы можем на осно-
вании и .19) сформулировать рдедуюшнй рез>.
Теорема 4. Для всякей эрмитовой матр
суще , плуст такая унитарная мал ; ика . W мат-
рица L~*AL имеет еещественный оиаг ниле-ый 0^
Ив s'OM МЫ закончи ! изучение унитарных, про-
" с-е'н свойств Эрмитовых и унитарных операторов,
СТиАГй- 5з котооых переносятся на бесконечномерные
“жнейные пространства и находят сзое приложение
В р'с^зНТОВОЙ мвхэникс.
ЛИТЕРАТУРА •
и линеииол алгебры.
2.	Бе ч ле ии ле в
линейно алгебры,- 51
3.	В 1и ч о в Н. В.
М-: Наука, 1975-
4.	И л ь и н В. л »
М/ Наука, 1971.
5.	Иль 1 н В. X ,
Наука, 19791
1. В. Курс аиалитическо
Нау. а, 1 >76.
раткий курс а«л т гческо •
аналоги «ес-о ' геометрии
геометрии и
геометрии.—
г* .детр <1.—
На’»ка, 1978.
" 6. Каетеник Д. В. Сборник зпач по ан и нт иле: кол гео-
w ;г .— Мл Наука, 19,5.
• I. Мальцев А. И. Основы лннейиод алгебры.-51.: Науке.
метрик.
I 75-
8.	Проскуряков И. 3. Сбор u»:xuw по хине ыоЯ hi >-
—	; Havrtj, 1ч* 'S.
9.	Цубёрбид i е р О. Н. Зад ;и и упр^к. н х» И;
ческой геометрии.—М.: На- а. 1 "0.
10.	Шилов Г. Е. Коиенэмерные линейные гтранства.—
М.: Нау и а, 1969.