Текст
Х.Д.ИКРАМОВ
ЗАДАЧНИК
по
ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЕ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В. В. ВОЕВОДИНА
48Я93Ч
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов, обучающихся
по специальности ^Прикладная математика*
БИБЛИОТЕКА
Ииешвкогй Окружного
бфинервь Советский Ар***^ i
а
ИЗДАТЕЛЬСТВО <НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975
517
И 42
УДК 512.8
Задачник по линейной алгебре. X. Д. И к р а-
м о в. Под редакцией В. В. Воеводина. Главная
редакция физико-математической литературы изд-
ва «Наука», М.. 1975.
Настоящее пособие предназначено для сту-
дентов 1 курса факультетов прикладной матема-
тики. Основные его отличия от существующих за-
дачников по линейной алгебре — изменение
структуры традиционной тематики (понятие ли-
нейного пространства предшествует теории опре-
делителей и систем линейных уравнений) и
включение вопросов, посвященных понятиям сов-
ременной вычислительной алгебры: нормы матриц,
число обусловленности, псевдорешеиия систем
линейных уравнений и т. д. Задачник тесно свя-
зан с учебным пособием В. В. Воеводина «Ли-
нейная алгебра» по объединенному курсу линей-
ной алгебры ц аналитической геометрии для
факультетов прикладной математики.
20204—139
И-----------
053(02)-75
10-75
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1975.
ST/
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................... 5
Глава 1, Линейные пространства............................ 9
§ 1.0 Терминология и общие замечания.................. 9
§ 1.1. Определение линейного пространства............ 15
§ 1.2. Линейная зависимость .......................... 17
§ 1.3. Линейные оболочки. Ранг системы векторов, . . 20
§ 1.4. Базис и размерность пространства.............. 24
§ 1,5. Сумма и пересечение подпространств............ 28
Глава 2. Евклидовы и унитарные пространства.............. 31
§ 2.0. Терминология и общие замечания . ............. 31
§ 2.1. Определение евклидова пространства............ 33
§ 2.2. Ортогональность, ортонормировании!! базис, про-
цесс ортогонализации................................ 36
§ 2.3. Ортогональное дополнение, ортогональные суммы
подпространств ...................................... 39
§ 2.4. Длины, углы, расстояния ...................... 43
§ 2.5. Унитарное пространство........................ 47
Глава 3. Определители.................................... 5!
§ 3.0. Терминология и общие замечания................ 51
§ 3.1, Определение и простейшие свойства определителей 56
§ 3.2. Миноры, алгебраические дополнения и теорема
Лапласа ............................................. 62
§ 3,3. Определители и объем параллелепипеда в евкли-
довом пространстве................................... 67
§ 3.4. Вычисление определителей методом исключения 71
Глава4. Системы линейных уравнений ..................... 79
§ 4.0. Терминология и общие замечания................ 79
§ 4.1. Ранг матрицы................................. 81
§ 4.2. Плоскости в линейном пространстве ............ 84
§ 4.3, Плоскости в евклидовом пррстранстве .......... 87
§ 4.4. Однородные системы линейных уравнений .... 90
§ 4.5. Неоднородные системы линейных уравнений . . 96
Глава 5. Линейные операторы и матрицы................... 105
§ 5.0. Терминология и общие замечания .............. 105
§ 5.1. Определение линейного оператора, образ н ядро
оператора .................,........................ 109
1
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§5.2. Линейные операции над операторами.......... 114
§5.3. Умножение операторов......................... 117
§ 5.4. Действия с матрицами......................... 12]
§ 5.5. Обратная матрица............................. 135
§ 5.6. Матрица линейного оператора, переход к другому
базису, эквивалентные и подобные матрицы ... ИЗ
Глава 6. Структура линейного оператора.................. 148
§ 6.0. Терминология и общие замечания............... 148
§ 6.!. Собственные значения и собственные векторы . . 149
§ 6.2. Характеристический многочлен................. 152
§ 6.3, Инвариантные подпространства................. 158
§ 6.4. Корневые подпространства, жорданова форма . . 163
Глава 7. Операторы в унитарном пространстве............. 174
§ 7.0. Терминология и общие замечания .............. 174
§7.1. Сопряженный оператор, сопряженная матрица . 178
§ 7.2, Нормальные операторы и матрицы.......... . 183
§ 7.3. Унитарные операторы и матрицы................ 187
§ 7.4. Эрмитовы операторы и матрицы................. 192
§ 7.5. Неотрицательные и положительно определенные
операторы и матрицы................................ 198
§ 7.6. Сингулярные числа и полярное разложение . . , 204
§ 7.7. Эрмитово разложение................... 210
§ 7.8, Псевдорешеция и псевдообратный оператор . . . 213
§ 7.9. Квадратичные формы.................... 217
Г л а в а 8. Метрические задачи в линейном пространстве 223
§ 8.0. Терминология и общие замечания........ 223
§ 8.1. Линейное нормированное пространство ......... 226
§ 8.2. Нормы операторов и матриц............. 231
§8 3. Матричные нормы и системы лилейных уравнений 236
§ 8.4. Матричные Нормы и собственные значения . . . 24)
Указания .......................................... . 249
Ответы и решения........................................ 262
Предметный указатель .................................. 317
ПРЕДИСЛОВИЕ
Объединенный курс линейной алгебры и аналитической геомет-
рии читается студентам факультета вычислительной математики и
кибернетики (ВИК) МГУ в течение первых двух семестров обучения
(по 2 лекции в неделю). Перед лектором, читающим этот предмет,
встают тяжелые проблемы. Чтобы пояснить их, приведем некоторые
сопоставления с программой аналогичных курсов математических факуль-
тетов и, в частности, механико-математического факультета МГУ.
В программу факультета ВМК входит большая часть курца анали-
тической геометрии, изучаемого на механико-математическом факуль-
тете МГУ (исключены лить аффинная классификация линий и поверх-
ностей 2-го порядка и элементы проективной геометрии) и полный
курс линейной алгебры. Этот последний включает и вопросы, обычно
на механико-математическом факультете опускаемые, такие, например,
как сингулярные числа оператора, псевдорешения систем линейных
уравнений и др. Специфика факультета обязывает лектора обращать
внимание студентов на неустойчивость большинства понятий класси-
ческой линейной алгебры (линейная зависимость, вырожденность,
жорданова структура и т. д.) и ее методов, а также указать пути к
устойчивому решению алгебраических задач. Реализация этой прог-
раммы требует введения в курс элементов теории линейных нормиро-
ванных пространств с тем, чтобы в дальнейшем получить конкретные
метрические результаты — оценки возмущений решения системы урав-
нений, собственных значений матрицы и т. д. И все это нужно
сделать за существенно меньшее время, чем то, которым суммарно
располагают курсы алгебры и геометрии на математических факуль-
тетах, и притом не потерять в уровне математической строгости!
Ясно, что без существенной перестройки традиционного курса
этого нельзя добиться. Попытка такой перестройки и была предпри-
нята в книге; В. В. Воеводин, Линейная алгебра, М. «Наука»,
1974. В этой книге зафиксирован опыт автора, в течение ряда лет
читавшего курс лекций на факультете ВИК.
Укажем некоторые особенности курса, построенного В. В. Воево-
диным, которые позволяют экономить лекторское время.
Понятие линейного пространства, достаточно подготовленное
примером векторной алгебры, дается в самом начале курса. Этим
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
устраняется традиционный параллелизм, когда теория линейного
пространства фактически излагается трижды — сначала в аналитичес-
кой геометрии в применении к множествам геометрических векторов,
потом для арифметического пространства с тем, чтобы описать струк-
туру множества решений системы лнцейных алгебраических уравне-
ний, а затем уже в общем случае,
И в последующих главах развитие геометрии и алгебры происхо-
дит одновременно; при этом каждое повое геометрическое понятие
мотивирует «-мерное обобщение. Так, скалярное произведение гео-
метрических векторов служит основанием для введения евклидовых
И унитарных пространств; формула для объема трехмерного паралле-
лепипеда является толчком для построения теории «-мерных объемов,
откуда возникает и теория определителя, рассматриваемого как
ориентированный объем параллелепипеда в арифметическом простран-
стве; прямые и плоскости в трехмерном пространстве дают повод
для того, чтобы внести понятие плоскости в произвольном линейном
пространстве, а геометрическая задача о пересечении гиперплоскостей
позволяет выявить устройство множества решений системы линейных
уравнений. Есть примеры и обратного рода, когда геометрические
результаты выводятся как простые следствия общих алгебраических
теорем; так обстоит, например, дело при декартовой классификации
линий н поверхностей 2-го порядка.
Перестройка лекционного курса повлекла за собой н значитель-
ную перестройку семинарских занятий. При этом оказалось, что
существующими задачниками но линейной алгебре —Д, К, Фаддеев,
И С. Соминский, «Сборник задач по высшей алгебре»; И. В. Проску-
ряков, «Сборник задач по линейной алгебре»,— можно пользоваться
лишь в очень ограниченной степени. В обеих указанных книгах
предполагается, чго при решении задач ца линейные и евклидовы
пространства студенты располагают аппаратом матричной алгебры
и систем лицейцых уравнений. Это условие, как показано выше, в
нашем случае не выполнено. Кроме того, были нужны задачи для
нетрадиционных тем курса. Все это и обусловило необходимость
создания нового задачника, сопровождающего курс В. В. Воеводина,
который сейчас и предлагается читателю.
Структура задачника полностью определяется структурой книги
В. В. Воеводина. Незначительные отклонения обусловлены особеннос-
тями учебного процесса. 'Гак, параграф, посвященный метрическим
пространствам, отнесен в главу 3, поскольку соответствующая тема
лекционного курса приходится па самый конец 1-го семестра, и семи-
нарские занятия уже не успевают своевременно ее «подкрепить».
Последовательность тем, выбранная в курсе В. В. Воеводина,
создает определенные проблемы для составителя задачника. К при-
меру, при решении вычислительных задач первых двух глав нельзя
пользоваться аппаратом матриц и большей частью результатов, отно-
сящихся к системам линейных уравнений. Но чем же тогда можно
ПРЕДИСЛОВИЕ
чпользоваться? Оказывается, однако, что для решения типичных вычис-
' лятельных задач линейного и евклидова пространства достаточно
комбинировать элементарные преобразования систем векторов и
метод Гаусса как метод проверки совместности, определенности и
нахождения какого-либо решения системы линейных уравнений (под-
' робнее об этом см. в § 1.0 и 2,0). В связи с этим в книге В. В. Вое-
водина метод Гаусса описан в главе 2, именно тогда, когда он нужен
для семинарских занятий. Задачи, использующие все решения системы
линейных уравнений, даются в задачнике лишь начиная с главы 4.
Заметим, что здесь реализован тот же принцип, что и в книге
А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры», открывающейся описанием
метода последовательного исключении неизвестных.
Читатель заметит, что первые шесть глав задачника и некоторые
параграфы главы 7 посвящены вполне традиционным темам. Но и
адесь автор, отражая специфику факультета ВИК, стремился подчер-
кнуть вычислительные аспекты рассматриваемых вопросов. Поэтому
в § 3.4 большое внимание'уделяется многочисленным вопросам, воз-
:> «икающим при численной реализации метода Гаусса. Поэтому в ряде
случаев в виде последовательности задач сформулированы вычисли-
тельные алгоритмы, эффективно используемые в практике.
Ряд параграфов двух последних глав соответствует новым раз-
делам курса В. В. Воеводина и в задачниках по линейной алгебре
появляется впервые.
Необходимое требование ко всякому задачнику состоит в том,
чтобы он содержал достаточное количество полезных и содержа тель-
ных задач для обеспечения семинаров, домашних заданий, контроль-
ных и зачетов. Автор надеется, что это требование им выполнено.
Вместе с тем он рассматривал свою задачу более широко, стремясь
предоставить наиболее сильным студентам материал для самостоятель-
ной работы и в некоторых случаях подвести их к современным
проблемам вычислительной алгебры. Так, в книгу включены гипотеза
Уилкинсона относительно скорости роста элементов в методе Гаусса
(§ 3.4), описание алгоритма Штрассена для экономного перемноже-
ния матриц (§ 6.4), результаты Уилкинсона относительно плохо
обусловленных собственных значений (§ 8.4) и т. д.
Еще несколько замечаний относительно пользования задачником.
Номер каждой задачи содержит три числа: первое указывает
номер главы, второе — номер параграфа, третье —номер задачи в
этом параграфе. Аналогичным образом нумеруются формулы, на
которые в дальнейшем возможна ссылка. При этом нумерация фор-
мул не связана с нумерацией задач.
Для удобства читателя каждая глава предваряется «нулевым»
параграфом, в котором определяются используемые в этой главе
понятия и, в некоторых случаях, методы. Ряд терминов определяется
в тексте задач. Чтобы облегчить читателю нахождение «первоисточника»
того или иного термина, в конце книги помещен предметный указатель.
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Звездочки, которыми отмечены некоторые задачи, следует воспри-
нимать как знак «Внимание!» Для задачи па доказательство это
означает, что она либо формулирует важный факт (независимо от
сложности доказательства), либо требует некоторых нестандартных
рассуждений. Вычислительная задача, отмеченная звездочкой, допус-
кает нестандартное решение, в типичном случае использующее какое-
либо теоретическое утверждение. Ко многим задачам со звездочкой
даны указания либо полные решения, и во всяком случае, ключ
к решению каждой такой задачи содержится либо в задачнике, либо
в учебнике В. В. Воеводина. Вместе с гем даны указания или реше-
ния и ко многим задачам, пе имеющим звездочки, с тем, чтобы
продемонстрировать наиболее рациональный, с точки зрения автора,
подход к таким задачам. К этому нужно добавить, что, как правило,
задачи естественным образом объединяются в группы; в каждой
такой группе «лидером» является задача со звездочкой, а прочие
являются из пее простыми следствиями. Поэтому расположение
задачи гоже содержит информацию о ней.
При составлении задачника автор пользовался многочисленными
источниками; упомянуть их все здесь нет никакой возможности.
Работа автора в огромной степени упрощалась наличием в советской
математической литературе ряда прекрасных книг по линейной
алгебре и, в частности, упомянутых выше задачников. В ряде слу-
чаев в виде задач были сформулированы утверждения, почерпнутые
из текущей специальной литературы.
Инициатива написания этой книги принадлежит профессорам
В. В. Воеводину и И. С. Березину. Автор рад случаю выразить им
свою глубокую признательность. Своим приятным долгом автор счи-
тает поблагодарить преподавателей алгебры факультета ВмК, в сот-
рудничестве с которыми создавался задачник.
X. Д. Икрамов
ГЛАВА 1
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1.0. Терминология и общие замечания
Множество V называется линейным пространство.» над число-
вым полем Р, если:
А. Для элементов этого множества определена операция сложе-
ния, относительно которой V является коммутативной (абелевой)
группой. Это означает выполнение следующих свойств:
1. Сложение коммутативно, х-|-у=у + х
2. Сложение ассоциативно, (х j) + z — хД- (у Д- z).
3. В V существует (причем единственный) нулевой элемент 0,
удовлетворяющий условию: хД0=л, для всех х из V.
4. Для всякого элемента .v в V существует (причем единствен-
ный) противоположный элемент —х такой, что х-)-(—х) = 0.
Б. Для элементов множества V определена операция умножения
на число из поля Р. При этом для любых элементов .г, у из V и
любых чисел а, 0 цз Р должны выполняться свойства:
I. cc(x-|-j) = ax-{-ay.
2. («4-0) x = ax-{-0x'.
3. (сс0) х = сс (0х).
4. 1 • х — х.
Элементы линейного пространства принято называть векторами,
а само линейное пространство называют также векторным про-
странством.
Если Р есть поле" действительных или комплексных чисел, то
линейное пространство над Р называется соответственно действи-
тельным или комплексным.
В этой книге, за исключением нескольких задач главы 1, рас-
сматриваются только действительные и комплексные линейные
пространства.
В частном случае пространство V может состоять только из
одного элемента (см. задачу 1.1.1). Такое линейное пространство
называется нулевым (или тривиальным) и обозначается в дальней-
шем О. Все прочие действительные и комплексные пространства
содержат бесконечно много элементов.
10
ГЛ. к ЛИНЕЯНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Говорят, что вектор у,
у — ajxx 4- ааха 4-,.. + а*хА,
есть линейная комбинация векторов ха, х2, ,,, , Xj,, или что он
линейно выражается через эти векторы, Множество всех линей-
ных комбинаций фиксированной системы векторов х^ .... хк назы-
вается линейной оболочкой этой системы и обозначается L (хъ .хк).
Система векторов xt, ,xk называется линейно зависимой,
если хотя бы один из векторов линейно выражается через про-
чие векторы системы, и линейно независимой — в противном слу-
чае, Этому определению эквивалентно следующее: система векторов
ха, .,., хк линейно зависима, если существуют числа at...... а*,
хотя бы одно из которых отлично от нуля, такие, что
“т-^г 4-.,,4- “*х* = 0,
и линейно независима, если указанное равенство возможно лишь
при всех нулевых а;.
В частности, линейная зависимость системы из двух векторов
х,у означает, что либо у — ах, либо х = 0у Такие векторы хиу
называют коллинеарными.
Имеет место следующая основная теорема о линейной зависи-
мости1. если каждый из векторов линейно независимой системы
_У!...yi линейно выражается через систему хп хк, то t-^k.
Линейно независимая система векторов et, ,,,, еп, через которую
линейно выражается любой вектор пространства V, называется
базисом этого пространства. Линейное пространство называется
конечномерным, если оно имеет базис, и бесконечномерным — в про-
тивном случае.
Начиная с § 1.4, мы рассматриваем только конечномерные
линейные пространства.
Все базисы конечномерного пространства V состоят из одинако-
вого числа п векторов; число п называется размерностью простран-
ства V и обозначается dim V. Само V при этом называется п-мер-
ным пространством. По определению, dim 0 = 0.
Коэффициенты' et], ,,., а„ в разложении вектора х по базису
X — OqCj
называются координатами вектора х.
Два линейных пространства, заданных над одним нолем, назы-
ваются изоморфными, если между их векторами установлено взаимно
однозначное соответствие, причем образом суммы двух векторов
служит сумма образов этих векторов, а образом произведения век-
тора на число служит произведение образа этого вектора па то же
число. Необходимым и достаточным условием изоморфного соот-
ветствия между двумя линейными пространствами является совпаде-
ние их размерностей.
ЗИк'д’’’ § 1.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И
!
у/‘‘Подмножество L линейного пространства V называется линей-
подпространством этого пространства, если оно само
удаляется линейным пространством по отношению к введенным в V
'^с.юч.чрдеряииям,
...'ih'iJir i Если Lj и L2 — линейные подпространства пространства V, то
•'^множество векторов, принадлежащих как L1t так и (,2. называется
;!ф|1г:чЯф«сечеяиел{ подпространств L, и £2 и обозначается /-ГП Ла- Сум-
подпространств Lt и £2 называется множество всех сумм
гДе A’i *2 Е2. Обозначение суммы подпространств:
Lx4-L2. Если для каждого вектора х из £ = £т+£г представление
; .и' X = -Vi-|-Дх, Х2(ЕЕ L2,
'"у.е -единственно, то L называется прямой суммой подпространств Lx и
1, и обозначается Lj4-E2.
Большинство вычислительных задач этой книги сформулировано
для двух конкретных линейных пространств. Опишем их подробнее,
.у j J. п-мерное арифметическое пространство. Элементами такого
';'у. пространства являются упорядоченные наборы по п чисел, действи-
OiL тельных или комплексных, называемые п-мерными векторами. Соот-
. ветственно этому говорят о действительном или комплексном ариф-
метическом пространстве и обозначают их А?п и С’п. Если д-мерные
векторы записывать в виде
х = (аьа21 а„), j=(Pp .... pj,
то операции над ними определяются равенствами
~(ai + Рь а2 + Ра- ал+Рл).
’kx--Qvau Ла2, .,., А.ал).
Среди базисов арифметического пространства есть такой, который
Самой природой этого пространства поставлен в привилегирован-
ное положение. Этот базис, образованный единичными векторами
<?!=(!, 0, 0....0),
es-(0, 1, 0, ,,,, 0),
^ = (0, 0, 0, .... 1),
мы'называем естественным базисом арифметического пространства.
«Привилегированность» заключается в том, что координаты вектора
лс = (<х1, а2, ... , <х„) в таком базисе вычислять не нужно —ими бу-
дут сами числа аь а2, ... , а„.
2. Пространство многочленов степени ^л. Многочлен степени k
f (t) — ао "Ь 4* а2^а Ч*... 4* (i,o.2)
мы понимаем как объект, вполне определяемый упорядоченным набо-
ром а0, ijj, ,,,, коэффициентов, а равенство двух многочленов —
12
ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
как совпадение одноименных их коэффициентов. При этом коэффи-
циенты многочлена могут быть действительными или комплексными
числами; как правило, в задачах рассматривается первый случай и
пространство многочленов степени с действительными коэффи-
циентами обозначается в этой книге Мл. Сами действительные или
комплексные числа считаются многочленами нулевой степени, за исклю-
чением числа нуль, степень которого не определяется. Это число
играет роль нулевого элемента в пространстве многочленов. Опера-
ции над многочленами сводятся к одноименным операциям, выполня-
емым над их коэффициентами.
На многочлен (1.0.2) возможен взгляд и как на функцию перемен-
ного t, действительного или комплексного. Однако определение ра-
венства двух функций отличается От принятого выше «алгебраичес-
кого» определения равенства многочленов; именно, функции считаются
равными, если равны их значения при всех значениях переменного.
Конечно, два многочлена, равные в смысле «алгебраического» опреде-
ления, будут равны и как функции от t. Обратное, однако, устанав-
ливается лишь в конце главы 4. Поэтому в первых четырех главах
выражение /(с) следует понимать как краткую запись числа а0-|-
+ ajc-f-^c2 akck, равенство f(c) — d — как краткую запись
условия, наложенного на коэффициенты рассматриваемых многочленов;
/(-0-как краткое обозначение многочлена aQ — а2/2
равенство —t) — как краткую запись условий
«1=0, д3=0, ..., и т. д-
Следующие вычислительные задачи, поставленные в арифметиче-
ском пространстве, являются типичными для настоящей главы:
1. Определить, будет заданная система векторов линейно зави-
сима или линейно независима?
2. Найти максимальное число линейно независимых векторов,
содержащихся в данной системе, которое называется ее рангом.
3. Установить, выражается ли вектор х через систему векторов
Ji, Ун, и в случае положительного ответа вычислить коэффици-
енты этого разложения
х = 14“ • • "Ь k-
Для решения задач 1 и 2 развивается «метод элементарных
преобразований^ (см. 1.2.17, 1.2.18). Суть метода в том, чтобы, не меняя
ранга, привести данную систему к системе векторов, линейная неза-
висимость или ранг которой непосредственно очевидны.
Задача 3 сводится к решению системы линейных уравнений, для
которого используется метод Гаусса или метод последовательного
исключения неизвестных. Идея метода состоит в том, чтобы, не меняя
множества решений системы, привести ее к наиболее простому виду.
Опишем метод Гаусса подробно, имея в виду его многочисленные при-
менения и в последующих главах.
§ 1,0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
13
Пусть дана система линейных уравнений
+ + а'&х, Ц-.., Ц- а '^хп — b’f,
a'iiJCiЦ-022-^2 + 0'23X3 + + а2пхп
a3[-rl 4* а32^2 4“ ЙЗЗ-^Э 4* • • • 4" а&1Хн = Ьз г 0 -0-3)
П/п 1-^1 4" 4" ОщЗХз 4- • • 4” &тпхп ~~~ Ьт -
Предположим, что aft' 0. Этого всегда можно добиться, если средн
коэффициентов а)}' есть отличные От пуля, переставляя, в случае необ-
ходимости, уравнения системы и (или) изменяя нумерацию неизвестных.
Вычтем теперь из обеих частей второго уравнения соответствующие
части первого, умноженные предварительно на a^i'/a'n, затем из обеих
частей третьего уравнения соответствующие части первого, умножен-
ные па и т- Д- В результате придем к системе следующего
вида:
aW*i + 2*2 + + - ♦ + \
^22*2 ”р^23*Э ’4“ * * “Н ==^2 г
^32*а "4” *^33*Ь -р • ’ * “4" ^Зл*л )
^/л2*2 4~ Я гп 3*3 4“ ”’4" .
Здесь «'if — aiy, /=Ъ .л; &?т = й?'; прочие элементы меняются
по формулам
|0i <01
= <$’ - &?’ =й°’ ~ЬГ, (1.0.4)
и1 I °ц
/, /^2. Первый шаг метода Гаусса закончен. Коэффициент a'f'j назы-
вается ведущим элементом первого шага.
Предположим теперь, что среди коэффициентов atf, I, j ^2, есть
отличные от нуля и, в частности, a'fy 0. Вычтем из обеих частей
третьего и последующих уравнений обе части второго, умноженные
соответственно на числа
HjV ат2
Я;Л' ’ ЙЛ' ’ " ’ aj.j
Тогда получим систему
ц п-т 14“а kx2 4"Q ft-'" з 4* • • - 4“ a‘inxп —
a2Sx2 4“ а23-Сз 4“ • • • 4" a2nxn —&2 >
й32А"э 4“ • “1“ a3nxn —bi,
^m3x3 4“ ... 4“ amnxn —" bjft
Коэффициент а?? называется ведущим элементом второго шага.
14
ГЛ. (. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
°6РЮО"' ’ Ш№Чт «стену
+“!г‘ч +-+<" «лг»
<и Ч,г~г*>-1 +4 [)г. _f.eR-p хь(Г_ц
,................................ J ,г 2 t
л -l*>-l+a*-L Гх’3- • -+eJC*/ га*л=А(/~1'
я5’л'Ч+"'+ лпГ’Ч
° xr -(-+ 0-A =i>(r-l>
r-H t
° xr +>--4-0-X =£(r-p
n m
Здесь o<~"=^0, й<Г2-»^О, ... , _t0) or-i; n 0A5>
Еыисре«н ,„M W,,..., ж "м*°я
система 1Д“), очевидно, не имеет решений ИЛЙ ые нулю. та
рить, даовлесотяа. Несовместна, следовательно ’ и эквь™’™ ГОв0'
система Несовместность системы могла обн^ ТНая ей
раньше, сли "«еле очередного этапа исключения или л'рухиться и
ной сист^е содержится уравнение ^же 6 исход-
0*!-И-*а+... 4-0>.*„==£,
Разуму получив такое уравнение, мы заканчиваем „)одесс
Если % » = 0, го система (1.0.5) £'°jCC'
для отыс^«« ее решений достаточно рассмотреть пепв№ ЛЙ И
иий, В сУ'Ж эти п уравнена образуют систем е Г уРавне‘
ноге вид треугодь-
п ‘Ч+^Г'Ч-Р-.+й^х^ч +а<«-0Хл =h(^)
^Г1Ч+-‘+4?п2\^„1 +й^-1Ч =^л-о’
. an"-t пн v т+<-4 V,. -
СЧ =4ftV
Решение гакой системы единственно из последнего voampa
значно н<одим подставляя его » предпоследнее vna ИЯ Одно*
зиачно Белден „ г. д. Сристема л„2йиы} еННе'°яно-
имеющая единственное решение, называется определи уРавнен«й.
образом,-сли систему (1.0.3) удаетс» привести к треуго^’ Таким
то она пределена. Этот случай зиедомо будет иметь Му ВИДу>
ищется {Эложение вектора по базису пространства мес™, если
При <» первые г уравнений системы (1.0 5) обпая
тРапеце^»»го вида, имеющую бесконечно много пещ /НСТему
произвол11*6 числовые значения свободным неизвестным J ' Давая
r + Ь....Х^
>S 1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА 15
у мы указанным выше способом найдем вполне определенные зна-
ченйя для неизвестных xt, ... , хг. Этим способом могут быть найдены
все решения системы (1.0.5), следовательно, и системы (1.0.3). Система
линейных уравнений, имеющая бесконечно много решений, называется
неопределенной. Итак, трапецеидальный внд конечной системы метода
М: Гаусса свидетельствует о неопределенности исходной системы (1.0.3).
y.'lif Так будет, например, если ищется разложение вектора х по линейно
:).$Даависимой системе уг, ... , у& при условии, что х принадле-
З^ЖЙТ L (;.-!, ..., vfe).
;';Х Отметим в заключение, что все преобразования метода Гаусса
/•можно выполнять над элементами расширенной матрицы, составлен-
ной на коэффициентов системы (1.0.3):
a'li' a'"i ... ain &'(”
ой' п'й' ... a'Jn №
Д/nl • • ainn
‘/Переход к последующим матрицам Л2, Ar^t производится
по формулам типа (1.0.4). Метод элементарных преобразований, пред-
лагаемый для решения задач 1 и 2, по существу, и является методом
Гаусса для матрицы, составленной из векторов заданной системы.
§ 1,1. Определение линейного пространства
О задачах параграфа. В этом параграфе приведен ряд примеров линейных
пространств, а также множеств, пе являющихся линейными пространствами.
Мы касаемся также (задачи 1.1.17, 1.1.18) вопроса об аксиоматике линейного
пространства.
1.1.1. Множество Уо состоит из одного элемента В. Операции
в Vfl определены следующим образом:
a) 04 0=0;
б) Аб —0 для любого числа X из поля р. Проверить, что
является линейным пространством над полем Р.
Для каждого из следующих множеств векторов на плоскости
определить, является ли это множество линейным пространством
относительно обычных операций сложения векторов и умножения
вектора на число. В случае отрицательного ответа указать, какие
именно свойства линейного пространства не выполнены. Предпола-
гается, что начало каждого вектора находится в фиксированной
точке О плоскости, являющейся началом прямоугольной системы
координат.
1.1.2. Все векторы, концы которых лежат на данной прямой.
1.1,3. Все векторы, концы которых лежат: а) в первой четверти
системы координат;'б) в первой или третьей четверти; в) в первой или
второй четверти. >
16
ГЛ, 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1.4. Все векторы, которые образуют с данным ненулевым век-
тором а угол гр, О-йфьСл.
1.1.5. Показать, что: а) множество действительных чисел можно
рассматривать как рациональное линейное пространство; б) множество
комплексных чисел можно рассматривать как действительное линейное
пространство; в) вообще, всякое поле Р можно рассматривать как
линейное пространство над полем Plt которое является цодполем Р.
1.1.6. В множестве положи тельных действительных чисел
определены следующие операции;
а) «сложение» х@у = ху (т. е. обычное умножение чисел х и у);
б) «умножение на действительное число» a°x = xct (т. е. возве-
дение числа .V в степень а).
Проверить, что множество с указанными операциями является
линейным пространством.
1.1.7. Пусть /?2 — множество всех упорядоченных пар действи-
тельных чисел X — (сс(, а2) с операциями:
а) если х*=(аь а2) и у = (рь р2), то хЦ-у = (а2ц.рь а2-|-р3);
б) для любого действительного числа X кх = (кар а3). Будет ли
/?а действительным линейным пространством?
1.1.8. Изменить в предыдущей задаче определение операции
умножения на число: если х — (аг ос2), то кх — (кар ка2). Вопрос
тот же.
1.1.9. Пусть Рк — множество всех упорядоченных наборов но k
элементов поляР:х— (ах, а2, ай). Операции в Рк заданы
правилами:
а) если x = (alt а2, ай) и/ = (р1, р2, ... ,₽й), то хЦ-у =
— (а1 + Р1> ^fe + P*);
б) для любого к из ноля Р
кх — (каг, ка2, .., кай).
Проверить, что Рк является линейным пространством над полем Р.
1.1.10. Пусть Zt2) — поле из двух элементов 0 и 1, а котором
операции заданы следующими табличками:
Построить линейное пространство Zp (см. задачу 1.1.9). Показать,
что для любого вектора х из Z<2> х-{-х = 0. Найти число векторов
5 ].2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
17
И8Я95Ч
1.1.11. Пусть s — множество всех бесконечных последователь-
ностей действительных чисел х = (cq, as, ап, .,В s введены
операции:
а) если x=(aj, ос2, сс„, ...), j = ф], рй. , ₽л> ...), то
JC -фуг —(ОС, > ал 4“ Рл> ' )>
б) для любого действительного X
кх — (Xab Xa2, ..., Xan, ...).
Будет ли s действительным линейным пространством?
1.1.12. Пусть F — множество всех бесконечных последователь-
ностей действительных чисел, элементы которых удовлетворяют соот-
ношению aft —а/._1Ц-ай_2, k — 3, 4, ... Операции над последова-
тельностями определены так же, как в задаче 1.1.11. Является ли
F линейным пространством?
Для каждого из следующих множеств многочленов о г одного
переменного с действительными коэффициентами проверить, будет ли
это множество линейным пространством относительно обычных опера-
ций сложения многочленов и умножения многочлена па число.
1.1.13. Множество многочленов всех степеней, пополненное нулем.
1.1.14. Множество всех многочленов степегш пополненное
нулем.
1.1.15. Множество всех многочленов данной степени я.
1.1.16. Множество всех многочленов /(Q удовлетворяющих
условиям:
а) /СО)— 1; б) /(0) = 0;
в) 2/(0)_ 3/(1) —0;
г)
1.1.17*. Привести пример множества Л1, для которого выпол-
нены все аксиомы линейного пространства, кроме аксиомы: 1 лс— х
для любого л- из М В чем состоит значение этой аксиомы в опре-
делении линейного пространства?
1.1.18*. Доказать, что коммутативность сложения векторов выте-
кает из остальных аксиом линейного пространства.
§ 1.2. Линейная зависимость
О задачах параграфа. Кроме задач, связанных с понятием линейной зави-
симости, мы даем в настоящем параграфе вычислительный аппарат, позволя-
ющий для конкретной системы векторов арифметического пространства решить
вопрос о ее линейной зависимости или независимости. Этот аппарат—элемен-
тарные преобразования системы.
1.2.1. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой век-
51 тор, линейно зависима.
1.2.2. Доказать, что система векторов, два вектора которой раз-
личаются скалярным множителем, дштейдр зависима.
А'-тщкоть (круиза:? ,!>
• -‘.КН|.'45 б V. X»'l Ду.-,
18
ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.2.3. Доказать, что если в системе векторов некоторая под-
система линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
1.2.4. Доказать, что в линейно независимой системе векторов
всякая подсистема также линейно независима.
1.2J5. Пусть система векторов xt, ,.., xm линейно независима,
а система Хр ..., хт, у линейно зависима, Доказать, что вектора
линейно выражается через векторы хг, хт.
1.2.6. Показать, что в предыдущей задаче разложение вектора
у по системе хр ..., хт единственно.
1.2.7. Пусть, напротив, разложение вектора у по некоторой сис-
теме хр ..., хт единственно. Доказать, что система хх, ..., хт
линейно независима.
1.2.8. Пусть вектор у линейно выражается через линейно зави-
симую систему х1р ..., хт. Показать, что у имеет бесконечно
много различных разложений по этой системе.
1.2,9. Пусть х, у, z ~ линейно независимая система векторов.
Будут ли линейно независимы следующие системы векторов:
а) .г, х 4~у, -V 4-J'4-z-, б) х 4-у. у 4- z, z 4- х; в) х —у, у —z, z — x?
1.2.10. Показать, что для любых векторов х, у, z и любых
чисел а, р, у система векторов <zx—ру, уу —az, Pz —ух линейно
зависима.
1.2.11. Пусть г, д, •и—различные действительные числа. Будет
ли линейно зависима следующая система многочленов:
(t — s), (t v), (t xi)?
1.2.12. Найти линейную комбинацию Зх,— 2хг4-^х3 векторов
арифметического пространства /?4:
1, — 7, 4),
х2 = (1, 5, 0, 6),
хэ = (—1, 1, 3, 0).
Обсудить полученный результат. Что можно сказать о системе век-
торов х1Р ха, ха?
1.2.13. Дана система многочленов fx (0 = 1 — t", (t) — I 4- t3,
A(0=i+'+*24- i3. Найти линейные комбинации мно-
гочленов этой системы;
а) 5Л4-Л-4Д;
б) fi 4* 'Vk-
Обсудить полученные результаты. Что можно сказать о заданной
системе многочленов?
1.2.14. Для многочлена, полученного в задаче 1.2.13, найти дру-
гие разложения по системе fi(t), /а(0- МО’
§ 1.2. линейная Зависимость
19
1.2.15. Доказать линейную независимость следующей «трапеце-
идальной» системы векторов пространства Рк (см. задачу 1.1.9):
У1=(ССц, - • • > &1р' ®1, рИ> - * > ®1 ? +1> * >
_Уа = (0, О, + ь • ••> as<p °2, $ + 1. а2. ;+i> • •.
_Уз = (0, О, 0, ., 0, a3h9 + t, ая<, а3р ^+1,..., ам),
jr = (0, ..., О, О, ..., О, 0, .,., О, аГр,+ 1,..,, агк).
(1.2.1)
Здесь a2iP + 1, «s.s + г a/p/4.i — элементы поля Р, отличные от
нуля. Хотя бы один из элементов а1ь ..., а1р также не равен нулю.
1.2.16. Доказать, что в пространстве многочленов всякая конеч-
ная система, состоящая из многочленов разных степеней а не содер-
жащая нуля, линейно независима.
1.2.17. Доказать, что линейная зависимость или линейная незави-
симость системы векторов не нарушается при следующих преобра-
зованиях системы, называемых элементарными преобразованиями:
а) перестановка двух векторов системы; б) умножение вектора системы
на ненулевое число; в) прибавление к одному вектору системы дру-
гого вектора, умноженного на произвольное число.
1.2.18. Доказать, что произвольную систему векторов арифмети-
ческого пространства элементарными преобразованиями можно при-
вести к системе векторов типа системы, указанной в задаче 1,2.16,
дополненной, быть может, несколькими векторами, равными нулю.
Как определить, была ли исходная система линейно зависима?
Выяснить, являются ли следующие системы вектороа арифмети-
ческих пространств линейно зависимыми:
1.2.19. *!==(—3, 1, 5). 1.2.20- хх = (4, — 12, 2$)
х2 = (6, —2, 15). х2 = (—7, 21, —49).
1.2.21. Xi^(l, 2, 3, 0), 1.2.22. -Vt = ( 1, 1, 2-i, 34-Z),
xs=(2, 4, 6, 1). x2=(l -1, 1-l-f, 3i,4—21).
1.2.23. *!=(!, 2, 3), 1.2.24. xt = (l, 2, 3),
л-г^(2, 5, 7), xa=(2, 5, 7),
щ3 = (3, 7, 10). x3-(3, 7, 11).
1.2.25. 2, 3), х2 = (2, 5, 7), х3=(3, 7, 104-е). Здесь е — сколь угодно малое число, отличное от нуля.
1.2.26. *! = (!, 1, 1, П 1.2.27. х1=(5, —3, 2, 1, 10),
х2 = (1, —1, —1, 1), хг = (— 1, 8, 1, -4, 7),
Хв = ( 1, —1, 1, — 1), хв = (2, 1, 9, —3, 6),
•4^(1, 1, -1, - 1). ^4“(1> 3, —5, 9, 11).
20
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.2.28* . Пусть дана система векторов арифметического про-
странства
-^1—(аН, а12г а1л).
.Vj — (а21, сс22, ®2л)>
Xs — (CCsp ®№, 1 ' * > ^м)>
где s ^п. Доказать, что если |а/; |> У | а;/1,/=: 1, ..., то дан-
1 = 1,Л-Д/
пая система векторов линейно независима.
§ 1.3. Линейные оболочки. Ранг системы векторов
О задачах параграфа. В этом параграфе мы даем задачи, относящиеся
к определениям линейной оболочки, эквивалентности систем, базы и ранга
данной системы векторов, а также ряд вычислительных задач на нахождение
ранга и построение базы системы векторов арифметического пространства.
Аппаратом решения этих последних задач остается метод элементарных пре-
образований, развитый в предыдущем параграфе.
Описать линейные оболочки следующих систем векторов про-
странства /?6:
1.3.1. Xt = (l, 0, 0, 0, 0), 1.3.2, Xi = (I, 0, 0, 0, 1),
х3 = (0, 0, I, 0, 0), лт2 = (0, 1, 0, 1, 0))
ха = (0, 0, 0, 0, 1). х3 = (0, °> 1, °, 0).
1.3.3. лтх = (1, 0, 0, 0, —1),
л*г—(0, 1, 0, 0, —1),
х3 = (0, 0, 1, 0, —1),
х4 —- (0, 0, 0, 1, —1).
Найти линейные оболочки следующих систем многочленов:
1,3.4. 1, t, <2. 13.5. 1 4-f2, ty-P, 14-/4.^,
1.3.6. I—/2, i-?, l-t-ty 13.7. 1-Z2, t-t\
1.3.8* . Рассмотреть линейную оболочку чисел 1, 3 в мно-
жестве действительных чисел, рассориваемом как рациональное
линейное пространство. Принадлежит ;и этой оболочке число j/"3?
1.3.9. Если каждый вектор системы уп есть лш^йная
комбинация векторов хь..,, .vm, то гоюрят, что система У\,...,уп
линейно выражается через систему Лд, хт. Доказать транзи-
тивность этого понятия: если система^, ...,44 линейно выражается
через систему а система 24 ..., zp линейно выражается
через уГ1, то система zlt 2? будет линейно выражаться
через лсь ..., хт.
$ 1.3. линейные оболочки, ранг системы векторов
21
1.3.10. Показать, что если система у1г уп линейно выра-
жается через систему х4, .хт, то линейная оболочка первой
системы содержится в линейной оболочке второй.
1.3.11. Система векторов zb линейно выражается через систему
У1> J2> /з. yi-
=* Ъ'1 + Уз +
z2 — .у4 — бу2 4у3 — 2у4.
В свою очередь система /1, у2> у3, _у4 линейно выражается через
систему хь х2, х3:
У1 = Xj Х2 -( х3,
у2 = Х4 х2 — х3.
Уз = х4 — ха 4- Х3,
_у4= —X] 4-х2 4-х3.
Найти выражения векторов zlt z2 через векторы х4, х2, х3.
1.3.12. Две системы векторов хь .,,, хт и _ур уп назы.
ваются эквивалентными, если каждая из этих систем линейно выра-
жается через другую. Доказать, что отношение эквивалентности
систем векторов рефлексивно, симметрично и транзитивно.
1,3.13. Показать, что две системы векторов эквивалентны тогда
и только тогда, когда их линейные оболочки совпадают.
Будут ли эквивалентными следующие системы векторов:
1.3.14. *!=(!, 0, 0), /4 = (0, 0, 1),
хг=(0, 1. 0), _у2 = (0, 1, 1),
х9 = (0, о, 1); _уа = (1, 1, 1).
1.3.15. х4 = (1, 0, 0), Ji—(1, 0, 0),
х2 —(0, 1, 0), у2 ^(0, 1, 1),
ха — (0, 0, 1); .Уз —(1, 1, 1).
1.3.16* . Доказать, что две эквивалентные линейно независимые
системы содержат одинаковое чвело векторов.
1.3.17. В системе векторов х4, ..., хт, _у(, .,,, уп векторы
Jv ..., у„ линейно выражаются через векторы х4, .,,, хт. Пока-
зать, что система хр ..., хт, уъ ..., уп эквивалентна системе
х4, ..., хда.
1.3.16* . Доказать, что в каждой системе векторов х4, хт,
содержащей хотя бы один ненулевой вектор, можно выбрать экви-
валентную ей линейно независимую подсистему. (Всякая такая под-
система называется базой данной системы векторов.)
1.3.19. Доказать, что все базы данной системы хр ..., хт
состоят из одинакового числа векторов. (Это число называется ран-
гом данной системы. Если все векторы системы нулевые, то ее ранг
считается равным нулю по определению.)
22
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.3.20. Пусть ранг системы х,......хт равен г. Доказать, что:
а) всякая ее подсистема, содержащая более чем г векторов, линейно
зависима; б) любая линейно независимая подсистема, содержащая г
векторов, является базой данной системы, Отметить, что из задачи а)
следует, что ранг системы векторов равен максимальному числу
линейно независимых вектороп в ней.
1.3.21. Доказать, что; а) любой ненулевой вектор данной системы
можно включить в состав некоторой базы этой системы; б) любую
линейно независимую подсистему данной системы векторов можно
дополнить до базы Этой системы.
1.3.22. Доказать, что если система ..., ул линейно выра-
жается через систему хь ,.,, хт, то ранг первой системы не больше
ранга второй,
1.3.23. Доказать, что если система у^......уп линейно выра-
жается через систему хр ..., хт, то ранг системы хь ,хт.
....уп равен рангу системы х1.......хП1.
1.3.24. Доказать, что эквивалентные системы векторов имеют
один и тот же ранг. Верно ли обратное утверждение; всякие две
системы одинакового ранга эквивалентны?
1.3,25* . Доказать, что если две системы векторов имеют одина-
ковый ранг и одна из этих систем линейно выражается через дру-
гую, то эти системы эквивалентны.
1.3.25. Доказать, что элементарные преобразования системы
векторов не меняют ранга этой системы.
1.3.27. Метод «приведения к трапецеидальному виду», получен-
ный в задаче 1,2.18. применить к решению следующей задачи: для
заданной системы векторов арифметического пространства опреде-
лить ее ранг.
Найти ранг следующих систем векторов;
1.3.28. х1=(1, 2, 3),
х2 = (4, 5, 6),
*а = (7, 8, 9),
- х4 = (10. 11, 12).
1.3.30. Xj==(l. —1, 0, 0),
х2~(0, 1. —1, 0),
ха = (0, 0, 1, —1),
х4 = (0, 0, 0, 1),
= —3, —4, 5).
1.3.32. Xj--= (1, Ю, 0, 0),
х8 = (0, I, 10, 0).
хэ = (0, 0, 1, 10).
х4=(10 з, 0, 0, 1).
1.3.20. хв = (1, 4, 7. 16).
л-в — (2, 5, 8, 11),
ха = (3, 6. 9, 12).
1.3.31. х4=(1, —1. 0, 0),
х2=(0, 1, -1, 0),
х3==(0, о. 1, — 1).
х4 = (— 1, 0, 0, 1).
1.3.33. х]=(1. 1, I, 1. 1),
х2 = (1, б —1. —б 1).
Ха = (1, —1, 1, —1, 1),
х4=Д1, — i, — 1, i, 1).
s 1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ. РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 23
т®+: : 1.3.34*. Применить метод задачи 1.3.27 к нахождению какой-либо
Ж?^5азы заданной системы векторов арифметического пространства.
+ Для каждой из следующих систем векторов найти какую-либо базу:
xt = (—1. 4, —3, —2),
х2 = (3. —7.
ха = (3, -2,
1.3.35.
S<:
о,
1.
3).
0),
1.3.36. х, —(0, 2.
Л*2 = (3, 7,
Л‘з = (2, О,
3).
8).
Ж
1.3.38.
+ .
1.3.30*.
1.3.37*. х1=(14, —27,
х2=+4Д —82,
ха=(—29, 55,
Xj = (85, —163, —293. 677).
х,==(3 —1-2-, —7 + 5i, 4 + 30,
х2 —(1 +3/, 1+/, —6 — 7/, 40,
xs = ( 0,
—49, 113),
— 145, 340),
96, —227),
1,
1
>
-3).
Х( „ .,, Xi, образуют
в эту базу. Доказать,
, такой, что при замене
hfero в подсистеме х(- ..., х^ вектором X/ получится новая
Заданной системы х2, .... хй. Будет ли такой вектор х^
ственным?
' 1.3.40*. Что можно сказать о системе векторов ранга г,
рна имеет: а) единственную базу; б) ровно две базы; и) ровно три
базы? Две базы, отличающиеся лишь порядком векторов, считаются
.одинаковыми.
Найти все базы следующих векторов:
1.3.41. х, = (4. —2. 12, 8).
;< xJ=+-6, 12, 9, —3),
х3 —(-10, 5,—30, —20),
х4 = (—14. 28.
V 1.3.43. xj=(l+/,
В системе
Xj.....X
векторы
МЙиу> а X/ — ненулевой вектор, не входящий
среди векторов базы найдется вектор х.
база
един-
если
Ж
к
1
г,=(1
_1
1.3.42. х,=(1, 2, 3, 0, — 1),
х,«=(0, 1. I, 1, 0),
Хз-(1, 3, 4, I, -1).
21, — 7).
2 + 30,
' 2 ).
3-20.
—4/. 10 + 21).
метод задачи 1.3.27
к решению следующей
1.3.44*. Применить
задачи: для заданных систем векторов арифметического пространства
ЗО. .... Jn и х], хт определить, выражается ли первая система
, через вторую.
24
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.3,45, Даны две системы векторов:
^ = (1, 1, 1), J1 = (I, 2, 3),
хй = (1, 0, -1), J2 —(О, 1, 2),
л-3 — (1, 3, 5); _у3 —(3, 4, 5),
j'4=(4, 6, 8).
Определить, будет ли система у1г у3, _у4 линейно выражаться
через систему jct, х2, х3.
1.3,46, Эквивалентны ли системы векторов, указанные в преды-
дущей задаче?
§ 1.4, Базис и размерность пространства
О задачах параграфа. Мы начинаем параграф с примеров конечно- и бес-
конечвомерпых линейных пространств с тем, чтобы впредь и до конца книги
рассматривать только конечномерные пространства. Мы обсуждаем далее поня-
тие базиса, Если в линей ном пространстве фиксирован базис, то задачи,
поставленные для элсмевтов этого пространства, с помощью координат сво-
дятся к аналогичным задачам для векторов арифметического пространства.
Некоторые из таких задач (нахождение ранга системы векторов, размерности
и базиса линейной оболочки и т. д.) решаются методом элементарных преоб-
разований, другие (например, разложение по базису) сводятся к решению
определенных (как наперед известно) снстем линейных уравнений, которое
целесообразно выполнять методом Гаусса. Параграф завершается задачами,
относящимися к линейным подпространствам.
Для каждого из указанных ниже линейных пространств опреде-
лить, является ли это пространство конечномерным. В случае поло-
жительного ответа найти размерность и построить какой-либо базис
пространства.
1,4,1. Иространстно (см. задачу 1.1.5).
1,4,2, Пространство Рй, векторами которого являются упорядо-
ченные наборы по А элементов поля Р (см. задачу 1.1.9).
1.4.3, Пространство s всех бесконечных действительных после-
довательностей (см. задачу 1.1.11).
1,4,4, Пространство F бесконечных действительных последова-
тельностей, элементы которых удовлетворяют соотношению tzj, =
= &!i -1 + а, ^ = 3, 4, ... (см. задачу 1.1.12).
1,4,5, Пространство Л1 многочленов всех степеней (см. задачу
1.1.13).
1.4.6, Пространство Мп многочленов, степень которых не пре-
вышает заданного неотрицательного числа п (см. задачу 1.1.14).
1,4.7. Определить размерность поля комплексных чисел, рас-
сматриваемого как: а) комплексное линейное пространство; б) дей-
ствительное линейное пространство.
1,4,6. Пусть С„ — множество всех упорядоченных наборов по п
комплексных чисел с обычным определением операций над этими
§ 1.4. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА
25
наборами (см. задачу 1.1.9), Найти размерность Сп: а) как комплекс-
ного пространства; б) как действительного пространства.
Показать, что следующие системы векторов являются базисами
пространства /?л;
1,4,9. Xi = (l, 2, 3, ..., п),
х2=(0, 2, 3, ..., я),
Л’3—(0, 0, 3, ..., я),
хп—(0, 0, 0, ..., п).
1,4,10. xt=(l, 1.... 1, 1, 1),
,гг~(1, 1, .... 1, 1, 0),
х3-(1, 1......I, 0, 0),
л-я = (1, 0, .... 0, 0, 0).
1.4.11. Jtj-(I, 1, 1, 1, ..., 1),
Х3 = (0, 1, о, 0, .... 0),
дг3=(0, 1, 1, 0, ..., 0),
х4=(0, 1, 1, 1, .... 0),
*л = (0. 1, 1, 1, 1}
1,4.12, Доказать, что в пространстве Л1„ многочленов степени
базисом является всякая система ненулевых многочленов, содержа-
щая по одному многочлену каждой степени k, А = 0, 1, 2, ,,,, п.
1.4,13. Проверить, какая из следующих двух систем векторов
является базисом пространства
a) = (1, 2, — 1, -2). б) A-J —(1, 2, -1, -2),
хг=-{2, 3, 0, х2 = (2, 3, о, - О,
х9=(1, 2, 1, П -'С —0, 2, 1, 4),
з, -I, 0); лт4=(1, 3, ~1, 0).
В дальнейшем речь идет только о конечномерных простран-
ствах,
1.4.14. Доказать, что: а) любой ненулевой вектор пространства
можно включить в некоторый базис этого пространства; б) любую
линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса
пространства.
1.4.15, В пространстве /?4 найти два различных базиса, имеющих
общие векторы ег — (1, 1, 0, 0) и е2^("0, 0, 1, 1).
1.4.16. Систему многочленов Zs4*i!J, —З/3, /5-|-2/2, tb — t допол-
нить до базиса пространства Affi,
И
ГЛ. I, ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.4.17. Доказать, что разложение вектора по любому базису
пространства единственно.
1.4.18. Пусть всякий вектор пространства V линейно выражается
через систему еп, причем для некоторого вектора х разло-
жение по этой системе единственно. Доказать, что векторы еъ .,., е„
образуют базис пространства V.
1.4.19. Пусть еь еп — произвольный баяне пространства V.
Доказать, что:
а) координаты вектора Л'+_у в базисе е,, еп равны суммам
одноименных координат векторов х и у в том же базисе;
б) координаты вектора 2.x н базисе ег, .,., еп равны одноимен-
ным координатам вектора х, умноженным на число 2..
1.4.20. В пространстве V фиксирован некоторый базис еь ...,еп.
Додому вектору х поставлена в соответствие строка его коорди-
нат в этом базисе:
^-►хв=(а1, аг,...,ап).
Доказать, что:
а) линейная зависимость (линейная независимость) системы векто-
ров х, у, z влечет за собой линейную зависимость (линейную
независимость) системы строк хе, уе, zt, рассматриваемых как
элементы соответствующего арифметического пространства;
б) ранг системы векторов х, у, .,., z равен рангу системы строк
Хе У г, • . • > ?е\
в) если вектор и линейно выражается через систему х, у, .... г,
т. е. и — Хх + ру +... + -vz, то это же верно для строк «е, х„, уе, ...
- > ze, причем Me = Xxe+(ijg4-... + vzf.
Для каждой из следующих систем многочленов определить ранг
и найти какую-либо базу:
1.4.21. 3**-|- 2* 4-1,4/* 4- 3*4-2, З*2 4-2* 4-3, **4-/4. I, 4*а4-3*-1-4.
1.4.22. /34-2*24- 3*4-4, 2/3 4.3**4-4*-|-б, 3/34-4/24-5*-|-6,
4**4-5/3 4-6* 4-7.
Проверить, что векторы е1Ф ,,,, еп образуют базис пространства
Rn, и найти координаты вектора х в этом базисе:
{•4-23. ех=(2, 2, —I), ег=(2, —1, 2), es = (— I, 2, 2); х =
1*4.24. fi = (l, 5, 3), ^ = (2, 7, 3), ₽s=(3, 9, 4); x = (2, 1, 1).
1-4.25. ₽i = (l, 2, —1, —2), е2 = (2, 3, 0, —1), e8 = (l, 2, 1, 4),
** = (!, 3, —1, 0); x = (7, 14, —I, 2).
1.4.26. ₽1=(1, 2, 1, 1), es=(2, 3, 1, 0), es = (3, I, 1, —2), et ==
= (4, 2 —I, —6); x = (0, 0, 2, 7).
1-4.27. Найти координаты многочлена *6 — t4 4-*3 — *2 — * 4- 1
B ка*дом из следующих базисов пространства Л-Д:
а) 1, t, i3, t*, t6',
6) ], *4- 1, /«4- 1, /34-1, /«4. 1, ^4- I;
в) 14-*з t3'
08%'. J 1.4. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА 27
1.4.28. Проверить, что последовательности
% ед = (2, 3, 5, 8, 13, ,..),
, ; ₽^(1, 2, з, 5, 8, ,..)
^(Образуют базис пространства F (см. задачу 1.1.12), и разложить по
йзтому базису последовательность
е = (1> 1, 2, 3, 5, 8, ...).
1.4.29. Доказать, что линейная оболочка, натянутая на произ-
вольную конечную систему векторов линейного пространства V,
^ является линейным подпространством этого пространства.
1,4.30. Пусть V—«-мерное линейное пространство. Доказать,
til что любое линейное подпространство пространства V конечномерно,
^причем его размерность не превосходит я.
1.4.31, Доказать, что если L — линейное подпространство про-
&,странства V и размерность L равна размерности И, то L совпа-
; дает с V.
iL:' 1.4,32. Доказать, что любое подпространство «-мерного про-
Яр'Странства V можно рассматривать как линейную оболочку неко-
торой системы векторов, причем можно выбрать систему, состоящую
не более чем из п векторов.
1.4,33. Доказать, что в «-мерном пространстве V можно най-
1 ти линейное подпространство любой размерности i 0<Д ^«,
1,4.34, Линейное подпространство L натянуто на систему векто-
J ров ад, ..., xh. Доказать, что размерность L равна рангу системы
лсь ..., де», а базисом может служить любая база этой системы,
Определить размерность и найти какой-либо базис линейных под-
$ пространств, натянутых на следующие системы векторов арифмети-
Ji чес кого пространства:
1.4.35. *!=(!, 2, 2, — 1), я:а — (2, 3, 2, 5), ха —(— 1, 4, 3, - 1),
х4-—(2, 9, 3, 5).
? 4.4.36. xj = (—3, 1, 5, 3,2), xs = (2, 3, 0, 1, 0), x3=r(l, 2, 3, 2, 1),
х, —(3,-3, -1, -3, — I), х6 = (3, 0, 1,0,0).
У;- 1.4,37. Найти какой-либо базис и размерность линейного под-
ii пространства L пространства Rn, если L задано уравнением
Г;., + • • + ап = 0.
% 1.4.38. В пространстве Л4Д многочленов степенней с действи-
тельными коэффициентами рассматриваются подмножества многочле-
нное, удовлетворяющих соответственно условиям: а) /(0) = 0; б) /(!) = 0;
|4в) /(а)=0, где а —любое действительное число; г) f (0)=/(1)=0.
Проверить, что каждое из указанных подмножеств является линей-
ным подпространством пространства Л-1л, и определить размерности
. -этих подпространств.
% 1.4.39. Найти размерность и какой-либо базис линейной обо-
^\.лочки, натянутой на следующую систему многочленов: /в-|~
1 4-3^-г, ^-2/*+Л F-4F-l-2t.
1
28
ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1.4.40. Пусть L — /n-мерное подпространство «-мерного про-
странства V. Доказать, что можно найти такой базис ev ,..,еп про-
странства V, в котором первые т векторов еь ...,ет принадлежат
подпространству L.
1.4.41* . Доказать, что каково бы ни было /«-мерное подпро-
странство L «-мерного пространства V, где т<^п, найдется базис К
в котором: а) не содержится ни одного вектора из L; 6) содержится
ровно k векторов из L, k<im.
1.4.42. Составить базис пространства Л15 из многочленов пятой
степени.
1.4.43. Можно ли, наоборот, найти базис пространства 7И6,
в котором бы не содержалось ни одного многочлена пятой степени?
§ 1.5, Сумма и пересечение подпространств
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы преследовали такие цели:
Дать вычислительные средства для нахождения базиса суммы и Пересече-
ния двух линейных подпространств.
Указать различные критерии «прямизвы» суммы подпространств,
Обратить внимание на то, что в общем случае разложение вектора ио
подпространствам неедицственцо. Оно будет единственным лишь в случае прд.
мой суммы. Подпространства, дающие в прямой сумме все линейное простран-
ство, играют в нем роль обобщенного базиса.
Проиллюстрировать то обстоятельство, что для любого подпространства
существует (причем нееди ветвей ное) дополнительное подпространство.
1,5.1. Доказать, что сумма и пересечение двух линейных под-
пространств пространства V' сами являются линейными подпростран-
С1вами этого пространства.
1.5.2. Рассмотреть множество всех линейных подпространств
данного пространства V с операцией сложения подпространств
Проверить, что:
а) сложение ассоциативно;
б) имеется нулевой элемент.
Будет ли указанное множество группой?
1,5.3. Рассмотреть множество .всех линейных подпространств
данного пространства V с операцией пересечения подпространств.
Показать, что:
а) операция ассоциативна;
б) имеется единичный элемент.
Будет ли это множество группой?
1.5.4. Доказать, что для любых подпространств и L3 справед-
лива формула:
dim Z.j 4-dim L3 = dim (Li 4-L^ 4- dim (Li fl L2).
Здесь и в дальнейшем через dim L обозначается размерность линей-
ного пространства L.
1.5,5. Доказать, что для любого р
dim (Lj -ф- ... -ф- Lp) «с dim Lx 4- ... 4- dim Lp,
5 1(5. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ 29
1.5.6. Пусть Li — линейная оболочка векторов лу, ..., xir La —
линейная оболочка векторов ...,У[. Доказать, что базисом
суммы Lj + L2 служит любая база системы лу. . ...Л'р, уф ...,yt-
В частности, базис можно получить дополнением базиса
Найти какой-либо базис и размерность суммы двух подпро-
странств: Lb натянутого на векторы Jfj, ...,хь и L2, натянутого
на векторы у2, ...,У[. Определить также размерность пересечения
этих подпространств.
1.5.7. xt = (0, 1, 1, 1), Х2 = (1, 1, 1, 2), х3 = (—2, 0, 1, 1); Л =
= (— 1, 3, 2, - 1), yi = (1, I, 0, - 1).
1.5.6. Х1==(2, -5, 3, 4), х2 = (1, 2, 0, -7), х3^(3, -6, 2, 5);
У1 = (2, 0, -4, 6), у2 = (1, 1, 1, 1), у3 = (3, 1, 5>
1.5.9* . Пусть -Vj.xk — базис подпространства Llt уь ...,yt —
базис подпространства L2. Пусть, далее, , хк, уг ,.., у^ —
база системы лу, ..., хк, уг .,. ,yt и векторы yJ+1. ... ,yi, не
входящие в эту базу, имеют по ней разложения:
У; = Яд Л*! + ... 4" РиЛ 4" • • 4" Pis-Vs. = s 4" 1> -. , L
Доказать, что система векторов Zj, . .,,z;_s, где
zi-s — — P/iJ'i — • • • PijJs 4<O. = s 4“ П > • • > h
или, что то же,
s=“.i*i4- 4-^ikXk, i — s+ 1, ..., I,
образует базис пересечения LiHL».
Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств,
натянутых на системы xlt...,xk и у2, ,..,ух соответственно;
1.5.10. xj = (2, 1, 0), х2 = (1, 2, 3), х3 = (— 5, —2, 1); ут = (1, 1, 2),
у2 = (-1,3, 0), у3 = (2, 0. 3).
1.5.11. *!-(!, 1, 1, 1), х2 — (1, 1, _ 1, _ 1), xs-(1, 1);
Л=(1. -b -I. О, №-=(2> -2> °- °). № = (3, -1, 1. 1>
1.5.12. Х!-(1, 2, 1, 1), Х2=(2, 3, I, 0), х»=(3, 1, I, -2);
Ут —(0, 4, 1, 3), уе = (1, 0, —2, -6), у3 = (1, 0, 3,6).
1.5.13. Для вектора х = (1, 0, 1) найти два различных разложения
по подпространствам 1Х и 12 задачи 1.6.10.
1.5.14. Доказать, что сумма L подпространств Llr ...,LP тогда
и только тогда будет их прямой суммой, когда объединение базисов
этих подпространств дает базис L.
1.5.15. Доказать, что условие, сформулированное в задаче 1.5.14,
эквивалентно следующему условию:
dim (Li 4- ... 4”L-p) = din* Lt4” • • • 4” Lp.
1.5.16. Доказать, что подпространство L =Lj 4- ... 4- Lp тогда
н только тогда является прямой суммой подпространств Llt...,Lp,
30
ГЛ. t. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
когда пересечение каждого из подпространств Lt, I с сум-
мой остальных подпространств состоит только из нулевого вектора.
1.5.17. Пусть система подпространств Ер .... Lp упорядочена. Про-
верить, что необходимое и достаточное условие, данное в задаче
1.5.16, можно ослабить: именно, пересечение каждого из подпрост-
ранств Lh 2-=^р, с суммой предыдущих подпространств должно
состоять только из нулевого вектора.
1.5.18. Доказать, что сумма подпространств Lv ..., Lp будет их
прямой суммой в том и только том случае, если всякая система
ненулевых векторов хь ..., хр, взятых по одному из каждого Lj,
/—1. р, линейно независима.
1,5.19. Доказать сочетательное свойство прямой суммы подпро-
странств: если E = Z.14-E, причем Е = Е24-А3, то L = L-^Л- L2 4- L3.
1.5.20. Проверить, что линейные подпространства Lt и Li, натяну-
тые па системы векторов хх==(2, 3, 11, 5), х.2=а=(1, 1, 5 2), х3 =
=х(0. 1, 1, 1) и J4 = (2, 1, 3, 2), j>2 = (1, 1, 3, 4), 4з = (5, 2, 6, 2)
соответственно, дают в прямой сумме все пространство R.,, и найти
разложение вектора х~ (2, 0, 0, 3) по этим подпространствам.
1.5.21. Доказать, что в пространстве Л4„ многочленов степенная:
а) множество четных многочленов /(f) (т. е. таких, что /(—/) =
= /(0) [1 множество /,г нечетных многочленов (г- е. таких, что
/(—f)~-—/(/)) являются линейными подпространствами; б) справед-
ливо равенство:
is-
1,5.22. Доказать, что для любого подпространства L, линейного
пространства Vнайдется дополнительное подпространство, г, е. подпро-
странство Еа такое, что
V-M4-L3.
Единственным ли образом определяется дополнительное подпростран-
ство для данного
1.5.23. Для подпространства L, натянутого на векторы х(=(1, 3,
0, —1), Д’а— (2, 5, 1, 2), ха=.(1, 2, 1, 3), найти два различных
дополнительных подпространства.
1.5.24, В пространстве Мп многочленов степени <L-_n найти допол-
нительное подпространство для подпространства L многочленов,
удовлетворяющих условию /(1) — 0.
1,5.25. Пространство V разложено в прямую сумму подпространств
Li,..., Lp. Доказать, что:
а) если вектор х имеет разложенце x = хр, xf & Ц,
то разложение вектора 2.x по подпространствам Lv ..., Lp имеет вид
А х=Хх14-..,4-?.хр;
б) если ^—вектор с разложением ---------+j'P, У( е Lit то для
вектора х 4-4 разложение по подпространствам , Lp будет:
х +,v= (-vi +j'i) + • + (хр +»)•
Глава 2
Ш ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Ж;
Л1. '*
§ 2. 0. Терминология и общие замечания
Действительное линейное пространство Е называется евклидовым
'./V пространством, если каждой паре векторов х, у ия Е поставлено
• т в соответствие действительное число, обозначаемое символом (х, у)
' й называемое скалярным произведением векторов х и у, причем
- выполняю.ся следующие условия:
„V? 1. (х, у), (у, х).
. 2. (х-О, г)—(х, z)+(j, z),
3. (ах, jf)=a(x, _у).
, 4, (х, х)>-0, если х ф 0.
:‘т Здесь х, у, г — произвольные векторы из Е, а — произвольное
.т? : действительное число.
>, Длиной вектора х называется (неотрицательное) число
- . /................................—
|Х|=У(Х, X).
'Ц Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным.
Для любых двух векторов х и у выполняется неравенство Коти —
.' ; Буняковского:
S'' К*'.
.Ж Векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное
'^произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональ-
лЖ’яой системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны.
:И.'' Пусть дана линейно независимая система векторов хь ха, , хк,
Ж,Мы опишем сейчас процесс ортогонализации, позволяющий перейти
яЖот этой системы к ортогональной системе у2, ...,уь, состоящей
йй;Из ненулевых векторов.
ЭД®. Положим уг = xv Последующие векторы Jj, ..., строятся
ЗЖ по формулам:
ж" ^ = ^-5 Z-2, ...,Д
.» i = t
„tn (хд т)
/= 1, ..., Z- 1.
L Базис евклидова пространства, представляющий собой ортогональ-
ную систему, называется ортогональным. Если при этом векторы
32 ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
базиса нормированы, го такой базис называется оршонормированным.
Таким образом, ортонордиропапный базис ev ,,,, <?„ характеризуется
соотношениями
. . [1, если /-=/,
(е/> €i) — (Q, ес.1И I_у_
Для ненулевых векторов евклидова пространства определяется
понятие угла- При этом косинус угла между векторами х и у нахо-
дится по формуле Л <х .
cos (х, у) = ,4У! ..
Комплексное линейное пространство U называется унитарным
пространством, если каждой паре векторов х, у из U поставлено
в соответствие комплексное число, обозначаемое (х, у) и называемое
скалярным произведением векторов х и у, примем выполняются сле-
дующие условия;
1. (х, ф) —(уГх),
2. (х+д, д)=--(х, + г),
3, (ах, j') —а(х, у).
4. (х, х)>0, если х^О,
В унитарном пространстве нс определяется угол между векторами.
Однако все остальные указанные выше для евклидова пространства
определения и результаты остаются справедливыми и в унитарном
пространстве.
Типичным примером евклидова пространства является арифмети-
ческое пространство R„t в котором скалярное произведение векторов
х — (av a2, a„) и = р2, .рп) задано правилом:
(х, j) = at pt _|~a3 ₽2 +..,+ a„ 0„. (2,0.1)
Точно так же типичным унитарным пространством является Са, в кото-
ром для векторов х и у положено:
(X, J)=al₽’l4-a2p2+ 4-aflW«. (2-0.2)
В обоих случаях естественный базис арифметического пространства
оказывается орто нормированным.
Сделаем еще несколько замечаний о вычислительных задачах
настоящей главы.
Пусть нужно дополнить ортогональную систему ,ак ненуле-
вых векторов арифметического пространства до ортогонального базиса
этого пространства. Будем искать вектор ай+1, исходя цз условий
ортогональности; (Q^
(ЙЬ44.
Записанные по правилу (2.0.1) пли (2.0.2), эти условия представляют
собой систему линейных уравнений относительно компонент вектора
ЙГ
§ a.I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
33
В качестве nfc+1 можно взять произвольное ненулевое решение
системы. Теперь вектор оА+!! находится из условий;
(^(г. и,)-о.
(а*+г. ak) — О,
(й*4-2. =
И т. Д. На каждом этапе этого процесса пополнения можно псполь-
: довать результаты предыдущих вычислений, организуя решение систем
линейных уравнений методом Гаусса,
Сходным образом решается задача о построении базиса ортого-
нального дополнения (см, 2,3.2) к линейной оболочке заданной сис-
темы векторов арифметического пространства. Метод Гаусса можно
применить также к задачам вычисления проекции вектора на заданную
линейную оболочку и построения базиса, биортогонального к данному
(СМ. 2-3.10 и 2.3.15),
§ 2,1. Определение евклидова пространства
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы ставили перед собой
следующие основные цели;
Вывести простейшие следствия из аксиом скалярного произведения.
Показать, что скалярное произведение можно ввести в любом действи-
тельном линейном пространстве, причем бесконечно многими способами, Говоря
Об арифметических пространствах Rn, мы демонстрируем конкретные способы
превращения их в евклидовы пространства.
Обратить внимание читателя из то, что не только всякое подпространство
«вкладова пространства само является евклидовым пространством, по и, наобо-
рот, скалярное произведение, заданное на произвольном подпространстве
линейного пространства, можно «продолжить» на все это пространство.
Наконец, мы хотели проиллюстрировать роль аксиомы о положительности
скалярного квадрата.
2.1.1. Доказать, что из аксиом скалярного произведения вытекают
следующие свойства:
а) (х, J’l + J’s) = (-т, J'O-H-f, J's) Для любых векторов евклидова
пространства;
б) (х, оу) = а (х, _у) для любых векторов х, у евклидова про-
странства и любого действительного числа а;
в) (хх — хг, J-) = (хь У) - (х2, j);
г) (0, х) = 0-
/ k ' I \ hl
A) S a‘Xi- S ₽/*/' = S S «.₽/(*(> J/)-
V-l /-1 / i-l /=Н
2.1.2, Доказать, что в любом действительном линейном простран-
стве можно определить скалярное произведение.
2.1.3, Ввести скалярное произведение в н-мерном арифметическом
пространстве Rn.
2 X. Д. Икрамоа
34 гл. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2.1.4. Ввести скалярное произведение в пространстве А1Л много-
членов с действительными коэффициентами степени ^п.
2.1.5. Пусть /-—евклидово пространство со скалярным произве-
дением (л, у). Показать, что если положить
<х, у> = X (х, j),
где X — фиксированное положительное число, то для (х, у) также
выполнены все аксиомы скалярного произведения. Какой геометриче-
ский смысл имеет переход от (х, v) к (.г, у) в трехмерном простран-
стве геометрических векторов?
2.1,6. Доказать, что если (х, у), и (х, у)2 — два различных ска-
лярных произведения в одном и том же линейном пространстве V,
то скалярным произведением в V будет и
а) (М)=(-мН(х-у)г;
б) У’, У) = (х> У Н (У, у)21
где X и р — произвольные неотрицательные числа, не равные одно-
временно нулю.
2.1.7. Пусть х — (а,, ос2) и j' — fpi, ра)—произвольные векторы
арифметического пространства R.,. Показать, что скалярное произве-
дение в R2 можно определить следующими способами:
а) (-^.У) = «1₽[ + «2₽г;
б) (х. » = 2aip14-5aaps;
в) (х, у) — «[PtУ °Чр2 У «грт У 2а2р2.
Вычислить скалярное произведение векторов х = (1, 1) и_у = (—3, 2)
каждым из этих способов.
2.1.8* . Доказать, что скалярное произведение в R2 можно задать
формулой
(х, j/) = а«!р 1 у Z>cx [р2 у /><хар i у саарг
в том и только том случае, если одновременно а;>0 и асу>Ь2.
2,1.9* . Доказать, что скалярное произведение в /?3 можно ввести
следующим образом: если x = (ap оу сса) и у = (рр р2, рд то
(х, _у) = 19сс(р1 у ЗсС[р2 у
У 3a2pj у 2а2р2 у tt2p3 у
У «3Р2 У «ара-
2.1.10* . Доказать, что в Rn можно определить скалярное произ-
ведение формулой
(х, J1) — й[[« [pi у в]2«[р2 у... у Д[П«1Рп У
У a21«2pl У Д22«£р2 у ... У Я2,|«грл У
У а!) 1«/1р 1 У #п2«пр2 У • • - У илп«прп>
j 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
35
при условии, что:
a) при I
б) ^ = 1’ •••»'’•
/=!
Xl.Il. г/усть а— фиксированный вектор евклидова пространства
V, а —фиксированное действительное число. Будет ли множество
всех векторов х, для которых (х, а)=-а, линейным подпространст-
вом пространства V?
2.1.12. Доказать, что всякое подпространство евклидова простран-
ства V само является евклидовым пространством в смысле скаляр-
ного произведения, заданного в V.
XI.13. Линейное пространство V разлагается в прямую сумму
подпространств Lp ...,1Г На каждом из подпространств Ц опре-
делено скалярное произведение. Доказать, что можно ввести скаляр-
ное произведение во всем пространстве V, положив: если х и у —
произвольные векторы из V с разложениями по подпространствам
Li>...,bp соответственно х = х, 4-...4- хр и у—у^ 4~.. .-f-J'p, то
(X, V) = (Хр J'1)l . Д- (Хр, 4р)р,
где скалярное произведение (хг, у^ вычисляется по правилу, задан-
ному в
2.1.14. В арифметическом пространстве R± для векторов х и у
вида х = (ар 0, 0) ₽2i о. 0)
определено скалярное произведение
(х, +
а для векторов х и у вида
х = (0, 0, Og, aj, у— (0, 0, рв, pj
— скалярное произведение
(х, = иэр3 «зрт 4- счРэ 4" 2сс4р д.
Ввести (по способу, описанному в задаче 2.1.13) скалярное произве-
дение во всем пространстве Вычислить по полученному правилу
скалярное произведение векторов х=: (I, 2, 3, 4) и j = (— 3, 1,-3, 2).
XI,15*. На подпространстве L линейного пространства V введено
скалярное произведение (х, у)- Доказать, что можно определить ска-
лярное произведение во всем V так, что для векторов х и у> из L
оно будет совпадать с первоначально заданным скалярным произве-
дением (х, у).
XI.16*. Доказать, что в неравенстве Коши — Бупяковского для
векторов х и у евклидова пространства
(х, 4)а^(х, х)(у, у)
2*
36
ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы х
и у линейно зависимы.
2.1.17. Пользуясь неравенством Коши — Буняковского, доказать
следующие неравенства:
(п \* / п \ / п \
У аД-) £ az) ( L ₽i];
;=i L v=i / /
(n 12 / n i r n ।
1 = 1 / V = [ / v = i '
Здесь a,.....an и Pi, .... pn~ произвольные действительные числа,
Xi, ^ — положительные числа.
2 .U6*. В определении скалярного произведения заменить четвер-
тую аксиому на более слабое требование: (х,х)2э0 для любого
вектора х. Доказать, что в пространстве V с таким «скалярным про-
изведением»;
а) выполняется неравенство Коши — Буняковского;
б) множество М векторов х, для которых (х, х) = 0, образует
подпространство;
в) для любого х из М и любого вектора у пространства V ска-
лярное произведение равно нулю;
г) если А/ — произвольное дополнительное к М подпространство, и
X = Xjh -|- Xff, У — у-л —|— VjV
— разложения векторов х и у по подпространствам М и А/, то знак
равенства в неравенстве Коши — Буняковского для векторов х и у
имеет место тогда и только тогда, когда xN и уя линейно зависимы,
2.1.19, В определении скалярного произведения отказаться от чет-
вертой аксиомы. Сохранится ли неравенство Коши — Буняковского
и в этом случае?
§ 2.2. Ортогональность, ортонормированный базис,
процесс ортогонализации
О задачах параграфа. Задачи настоящего параграфа сгруппированы вокруг
следующих двух основных тем:
Процесс ортогонализации, его применения к построению ортогонального
базиса пространства и выявлению линейной зависимости заданной системы
векторов.
Ортонормированвые базисы евклидова пространства, их роль при вычисле-
нии скалярного произведения. Мы хотели также показать зависимость свой-
ства ортонормировавнести базиса От способа, которым определено скалярное
произведение в данном линейном пространстве,
2.2.1. Доказать, что в евклидовом пространстве Е:
а) нулевой вектор—единственный, который обладает тем свойст--.
вом, чго он ортогонален ко всем векторам пространства;
6) если равенство (а, х) = (Ь, х) справедливо для любого век-
юра х из Е, го а — /?.
$ г.г, ортогональность, ортонормированный базис
37
2.2.2. Доказать, что если х, у, z — ортогональная система век-
fcjropoa, то для любых чисел X, р, ..,, v система векторов Хх, |ту, ...
г?.,, vz также будет ортогональна.
i: 2.2.3. Доказать, что если вектор х ортогонален к каждому из
ЖШкторов _Vj, .... уч, то он ортогонален и к любой линейной комбн-
ж^иии этих векторов.
№ 2.2.4. Доказать, что ортогональная система ненулевых векторов
Жййнейно независима.
Ж:; В дальнейшем предполагается, что в арифметическом проет-
жрачстяе R„ скалярное произведение векторов х = (а1, а2. .... ап)
Жг J = Ps. • ••> Р«) задано формулой
Ж' У) = атР1 + (“ •+ (2,2.1)
fee Применить процесс ортогонализации к следующим системам век-
Д' торов пространства Rn:
-2, 2),
2.2.5. х
2.2.6. х, = (1, 1, I, 1),
что процесс
хэ-=(— 2, 0, 6, 8).
ортогонализации, примененный
ха--=(5, -3,
2.2.7* Доказан,,
линейно независимой системе векторов х1( .,., X/,. приводит к орто-
гональной системе ненулевых векторов у^, ..,,yk.
2.2.6, Доказать, что в любом евклидовом пространстве существует;
а) ортогональный базис; б) ортонормированный базис.
2.2.9. Доказать, что: а) любой ненулевой вектор можно включить
в некоторый ортогональный базис евклидова пространства; б) любую
к
,3’Ортогональную систему ненулевых векторов можно дополнить до
. ортогонального базиса пространства.
/ . Проверить, что следующие системы векторов ортогональны.
,6iH дополнить их до ортогональных базисов:
2.2.10. *! = (!, -2, I, 3), 2.2.11. х^(1, - t, 1, - 3),
хй = (2, 1, -3, 1). хй = (-4, 1. 5, -0).
Дополнить следующие системы векторов до ортонормированных
базисов:
$ 2212 х '--П -2 2213 х, 1 - ' •* -Д
2.2.12. х1=Д 15, 15, 3^|, z.a.ia. Xj — ^2, 2, 2, 2^|.
J ' х-(-3 -14 Ц Г. = '-1 -- --Ц
15. Т5! ~Ъ)‘ - ( 2’ 2’ 2’ 2 Д
Ж 2.2.14. Доказать, что в ортонормлрованных базисах евклидова
[ф'лространства и только в таких базисах, скалярное произведение
•ждвух любых векторов х и у выражается через их координаты фор-
мулой
(х, у1)—<Х1Р1 • +
38
ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2.2.15. Доказать, что координаты вектора х в орто-
нормированием базисе еп вычисляются по формулам
ОС, = (х, е/), I = 1,
2.2.16. Найти размерность подпространства, образованного всеми
векторами х, для которых (л, х) = 0. Здесь а — фиксированный ненуле-
вой вектор евклидова пространства.
2.2.17* . Пусть ej, ..., е„ —ортонормированный базис евклидова
пространства. Найти выражение для скалярного произведения произ-
вольных векторов х и у через их координаты:
а) в базисе А2сг, ..., Алсл, где кп — ненулевые
числа;
б) в базисе cs, е3, ..., ел.
2.2.18. Пусть процесс ортогонализации применяется к произволь-
ной системе векторов хр ..., х*. Доказать, что:
а) если система xt, ..., х* линейно зависима, то на некотором
шаге процесса ортогонализации получится пулевой вектор;
б) если векторы ylt у^ (/ k), полученные в процессе орто-
гонализации, ненулевые, a yt — 0, то в исходной системе векторов
Xj, ..., xk подсистема хр ..., Х/_, линейно независима, а вектор х}
линейно выражается через эту подсистему.
Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный
базис подпространства, натянутого на заданную систему векторов:
2.2.19. Xi = (2, 3, —4, —б), 2.2.20. Xi=(l, 1, -1, — 2),
х4 = (1, 8, — 2, —16), х2 = (—2, 1,5, 11),
xs = (12, 5, — 14, 5), х, = (0, 3, 3, 7),
х4 = (3, 11,4, —7). х4 = (3, -3, -3, -9).
2.2.21. Доказать, что если система векторов арифметического про-
странства f?„
Х1 = (ссц, а12, а13, .... а1л),
Х2 = (0, ОС22, СС23, ..., Сй2л),
х3 = (0, 0, <х33, ..., сс3л),
хп = (0, 0, 0, ..,, алл)
образует ортогональный базис этого пространства, то: a) ai7 =^= О
1= 1, ..., и; б) а,7 = О, если i J.
2.2.22* . В пространстве 7?л (я;>1) имеется ортогональный базис
ер ..., еп такой, что все компоненты каждого из векторов ei прини-
мают значения 1 или —1. Доказать, что размерность пространства
Кл равна 2 либо кратна 4.
2.2.23* . Пусть даны линейно независимая система векторов х1( ...
..., xk и две ортогональные системы ненулевых векторов _ур ..., ук
(2,3. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СУММЫ 39
и Zu..., £k такие, что векторы у( и zt линейно выражаются через
X^...,Xi Доказать, что yi-v^Zt 0=1, ...> А), где
Я/ О-
2.2.24. В пространстве /Ил многочленов степени п с действи-
тельными коэффициентами произвольным образом введено скалярное
произведение. Доказать, что в полученном евклидовом пространстве:
а) существует ортогональный базис, содержащий по одному мно-
гочлену каждой степени А, 0 k «С п;
6) если /о(0, /J/), ...,Л(0 и g^t), gn(t)-nBi орто-
гональных базиса, обладающих указанным свойством, то (при соот-
ветствующей нумерации) многочлены, входящие в эти базисы, разли-
чаются лишь скалярными множителями: gt (t) = az/> (t), Z = 0,
2.2.25. Пусть ..., еп~ произвольный базис действительного
линейного пространства V. Доказать, что в пространстве V можно
ввести скалярное произведение таким образом, чтобы система векто-
ров е1г ..->еп была ортонормированиым базисом полученного евкли-
дова пространства.
2.2.26. В пространстве Мп многочленов степени определить
скалярное произведение так, чтобы базис
1, t, .
’ в!
стал ортонормированиым.
§ 2.3. Ортогональное дополнение, ортогональные
суммы подпространств
О задачах параграфа. Основные цели настоящего параграфа таковы:
Показать различные свойства очень важного в дальнейшем понятия орто-
гонального дополнения подпространства.
Дать вычислительные задачи на нахождение ортогональных дополнений и,
в частности, обратить внимание на связь этих задач с решением систем линей-
ных уравнений. Сюда же примыкает задача о перпендикуляре (см. 2.3.10—
2.3.14).
Указать такое полезное следствие из теорем об ортогональных дополне-
ниях как наличие бнортогонального базиса для любого базиса евклидова про-
странства.
Огметвть сходство между теоремами о прямых суммах подпространств
линейного пространства и теоремами об ортогональных суммах в евклвдовом
пространстве. В частности, разложение евклидова пространства в ортогональ-
ную сумму подпространств является аналогом разложения по ортонормиро-
Мнному базису в том же смысле, в каком подпространства, дающие в прямой
сумме данное линейное пространство, играют в кем роль обобщенного базиса.
Х3.1. Пусть L —A-мерное подпространство евклидова простран-
ства £, А<;«. Доказать, чю а Е найдется ненулевой вектор, орто-
гональный ко всем векторам из L (или, коротко, ортогональный
к подпространству L).
2.3.2. Доказать, что множество lA всех векторов, ортогональных
* линейному подпространству L, есть также линейное подпростран-
40 ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ство. L-L называется ортогональным дополнением подпростран-
ства L.
2,3.3. Пусть L — произвольное подпространство евклидова прост-
ранства Е. Доказать, что Е есть прямая сумма подпространств L и
Обратить внимание на связь между размерностями подпространств
L и L-1-, которая вытекает из этого утверждения,
2,3.4. Доказать, что ортогональное дополнение к линейному под-
пространству евклидова пространства Е обладает свойствами:
a) (U)1 = L;
б) если с: Llt то 1^- с: L/-;
в) (^1т^= ("I>
г) П £-s)~l==
д) £Д==О, O.L = £.
Здесь О— нулевое подпространство, содержащее лишь нулевой вектор.
2.3.5. Подпространства и L2 дают в прямой сумме евклидово
пространство Е. Доказать, что это же верно и в отношении их
ортогональных дополнений, т. е, Е — L-L L 1,
2.3.6. Найти базис ортогонального дополнения £Д линейной обо-
лочки L следующей системы векторов пространства Rp
3, 0, 2), .е2 = (3, 7, —1, 2), ха=(2, 4, —1, 0).
2.3.7, В евклидовом пространстве Е фиксирован ортонормирован-
ный базис ,,,, еп. Доказать, что:
а) если
Д1!а1 Н- 4“ 4~ й1лал = О,
а21а1 4“ «22а2 ~F • ’ 4~ «Зл^Л — 0>
amlal 4~ «тЯаЙ 4" • 4“ атпап —
— произвольная система линейных уравнений с п неизвестными, то
множество векторов г, координаты которых в базисе .,,, еп
удовлетворяют этой системе, является линейным подпространством
пространства Е. Размерность этого подпространства равна п — г, где
г —ранг следующей системы векторов арифметического пространства:
«1 ^=(«ц, «12- «!»)>
(«л, а22, Пап),
Ил1 —~ («mli П^лЗ- । - «тл)‘
б) всякое подпространство L пространства Е можно описать
некоторой системой линейных уравнений. Последнее означает, что
вектор z тогда и только тогда принадлежит подпространству L,
когда его координаты в базисе .,,, ея удовлетворяют данной
системе. Если г — размерность подпространства L, то всякая система,
i'i. j 23 ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СУММЫ 41
Йрсывающая это подпространство, состоит не менее, чем из и —г
ЙЭвнениЙ, причем существует такая система, состоящая ровно из
уравнений.
в) системы линейных уравнений, описывающие в данном базисе
ространство L н его ортогональное дополнение L-L, связаны
^1Л6ЖДУ собой следующим образом: коэффициенты системы, описываю-
й^цей одно из этих подпространств, служат координатами векторов,
%а которые натянуто другое подпространство.
2,3,8. В пространстве Мп многочленов степени с действи-
. Цельными коэффициентами скалярное произведение многочленов f(t)~
.«= й0 + а1^+- + ал/я и + +---+bnin (при этом стар-
шие коэффициенты многочленов могут быть равны нулю) определя-
ется формулой
(f, £')=й|/>04-д1/>14-„. .-|-ля/>я, (2.3.1)
Найти ортогональное дополнение:
а) подпространства всех многочленов, удовлетворяющих условию
6) подпространства всех четных многочленов пространства Мя.
2А9. Найти системы линейных уравнений, описывающие подпро-
странство L, заданное в задаче 2.3.6, и его ортогональное дополне-
ние L-L,
2.3.10. Пусть L — линейное подпространство евклидова простран-
ства Е. Доказать, что любой вектор х из Е можно представить,
причем единственным образом, в виде x=y-|-z, где у принадлежит L
и z ортогонален к L. Вектор у называется ортогональной проек-
цией вектора х на подпространство L, a z — перпендикуляром, опу-
щенным из х на L. Найти способ вычисления у и 2 для заданных
подпространства L и вектора х.
2.8.11*. Пусть хь х3, хА — произвольная система векторов
евклидова пространства Е. Доказать, что для любого вектора х из Е
система линейных уравнений
(х1Р х^ + иг, хДо^+ .. + (**, х1)ал^=(х, хД,
(хр хг)а, + (х2, х3)а2 Д-.-- + (х*, хДа* = (х, х3),
(Xj, хДа2Д-(х3, хд а24-...4-(хъ х*)а* = (х, хД
имеет хотя бы одно решение. В каком случае это решение будет
единственным?
Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр, опушенный из
вектора х на подпространство Д
2Д12. х = (14, 3, —6, —7). L натянуто на векторы =
= (—3, 0, 7, 6), у2 = (1, 4, 3, 2), v3 = (2, 2, —2, —2).
2Д13. х = (2, —5, 3, 4). Л натянуто на векторы у, = (1, 3, 3, 5),
3, —5, —3), уа=Д1, —5, 3, —3).
42
ГЛ. Э. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2.3.14. х = (—3, 0, —5, 9). /. задано системой уравнений:
Зос£ -1- 2ct3 -]- 0Сд— О,
ба£ 4a2 3a4 2ct4=O,
a£ + 2аг Д- За3 10а4 — О,
2.3.16. Две системы векторов х£, ..., и уь ..., уь евклидова
пространства называются бнортогональными, если
р, l—j,
'"'•’'‘-(о. l*j.
Доказать, что каждая из двух биортогоральных систем векторов
линейно независима.
2.3.16. Доказать, что для любого базиса евклидова пространства
существует, причем единственный, бнортогональпый базис.
2.3.17. Пусть ..., еп и /„ —пара биортогоиальных
базисов евклидова пространства. Доказать, что для любого k, 1
ортогональное дополнение к подпространству, натянутому на векторы
е£, .... совпадает с линейной оболочкой векторов ...,
Найти биоргогональрые базисы для следующих базисов прост-
ранства Ry.
2.3.18. е, = (1, 0, 0, 0),
е2=(0, 2, 0, 0),
е3 = (0, 0, 3, 0),
е^-ДО, 0, 0, 4).
2.3.20. eL — (1, 1, 1, 1),
е3=((), 1, I, 1),
«3 —<0, 0, 1, 1),
е4=(0, 0, 0, 1).
2.3.19. е, = (1, 0, 1, 0),
^2 = (0, 1, 2, 0>
е3 = (0, 0, 1, 0),
е4-(0, 0, 3, 1).
2.3.21. е1 = (1, 1, 1, 1),
₽2 = (1, 1, — 1, —1),
-h 1, -1>
еА— (1, —1, —1, 1).
2.3.22. В евклидовом пространстве Е фиксированы биортогопаль-
ные базисы еь еп и fL, ..., fn. Доказать, что;
а) если х—произвольный вектор из Е, то в его разложении по
базису е1; ..., ея : х =tzte£-|-алея, — коэффициенты щ вычисля-
ются по формулам /,), i = 1, ..., л;
б) скалярное произведение произвольных векторов х и у опре-
деляется формулой
п л
(х, £ (х, /,Ш f,-)= 2 a‘₽i’
L i — [
где Pi. p„ — коэффициенты в разложении вектора j по базису
/1, , А-
2.3.23. Линейные подпространства Lb ,.., Lp евклидова прост-
ранства Е попарно ортогональны (это означает, что любой вектор
s 2.4. ДЛИНЫ. УГЛЫ. РАССТОЯНИЯ
43
кажД°г0 из подпространств L; ортогонален ко всем прочим подпро-
странствам). Доказать, что сумма подпространств Ll, Lp будет
и прямой суммой. (Сумма попарно ортогональных подпространств
называется ортогональной суммой и обозначается /-!©...© Ьр.)
2Л.24. Доказать, что сумма /. подпространств Llt Lp тогда
н только тогда является их ортогональной суммой, когда объедине-
ние ортогональных базисов этих подпространств дает ортогональный
базис L.
2.9.25. Доказать сочетательное свойство ортогональной суммы
подпространств: если причем L = L2@ L3, то
L = i-i ® ® i-з-
2.3.26. Подпространства ..., Lp дают' в прямой сумме евкли-
дово пространство С. Доказать, что эта сумма тогда и только тогда
будет ортогональной, когда для скалярного произведения любых век-
торов х и у из Е, имеющих ио подпространствам Еъ Lp раз-
ложения jc=-Vi + и J+. •H-J'p соответственно, спра-
ведливо равенство
(л-, у)=(дг1, _yt)+- .. + (хр, у,).
2.3.27. Линейное пространство V произвольным образом разло-
жено в прямую сумму подпространств: V= . ,-if-Lp. Доказать,
что скалярное произведение в V можно определить таким образом,
чтобы подпространства Lj были попарно ортогональны.
§ 2.4. Длины, углы, расстояния
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы хотели:
Дать ряд простых задач, относящихся к определениям длины, угла и рас-
стояния и демонстрирующих, что теоремы элементарной евклидовой геометрии
остаются справедливыми в произвольном евклидовом пространстве.
Интерпретировать задачу о разложении вектора по ортогонально дополни-
тельным подпространствам как задачу отыскания кратчайшего расстояния
от вектора до подпространства.
Определить угол между вектором и подпространством и показать, что это
определение обобщает понятие угла между вектором и плоскостью в трехмер-
ном евклидовом пространстве.
2Д.1. Доказать, что для длин векторов х и у = ссх справедливо
равенство
2.4,2. Как изменится угол между ненулевыми векторами х и у,
а) умножить вектор х [[а положительное число; б) умножить
вектор ,е на отрицательное число; в) умножить оба вектора х и у
на отрицательные числа?
В последующих задачах по аналогии с трехмерным евклидовым
пространством упорядоченная тройка векторов х, у и х—у произ-
|у|— “ *
44
ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
вольного евклидова пространства рассматривается как треугольник,
о котором говорят, что он «натянут на векторы х и у». Точно
так же считается, что параллелограмм, натянутый на векторы х и
имеет диагоналями векторы х-]-_у и х — у.
2.4.3, Доказать, что треугольники, натянутые соответственно на
векторы х, у и ах, ау, где а —произвольное ненулевое число, имеют
одинаковые углы,
2.4.4, В треугольнике, натянутом на векторы пространства f?4:
х = (2, —1, 3, —2) и у~(3, 1, 5, 1), найти длины сторон. Опреде-
лить углы между сторонами треугольника — векторами х, у и х — у.
Какие нз этих углов естественно считать внутренними углами тре-
угольника, какие — внешними?
2.4.6. Сформулировать и доказать теорему косинусов для тре-
угольника, натянутого на векторы х и у произвольного евклидова
пространства.
2,4.6. Определить, будет ли треугольник, натянутый на многочлены
/3Ц-Зг1 и 2т1-|~2?_ 1, остроугольным или тупоугольным, если ска-
лярное произведение многочленов f(i)~ аоф- и g(f) =
= ^о + ^ + ^г определено формулой: а) (/, g) — ф-а^ф. а2Ь2,
б) (f, g)=al)l>0 + 2a1bl-!ra2b2.
2,4,7. Доказать теорему Пифагора и обратную ей теорему: два
вектора х и у евклидова пространства ортогональны тогда и только
тогда, когда | х — у |s = j х )3 Ц-|у |а.
2.4,8. Доказать, что в произвольном треугольнике евклидова про-
странства:
а) длина каждой стороны не превосходит суммы длин двух дру-
гих Сторон;
б) длина каждой стороны не меньше, чем абсолютная величина
разности длин двух других сторон,
2.4.9. Доказать, что в параллелограмме, натянутом на векторы х
и у, сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин
сторон.
2.4.10. Доказать, что | х | = | у | тогда и только тогда, когда век-
торы х-|-у и х— у ортогональны. Выяснить геометрический смысл
этого утверждения,
2.4,11. Пусть eL, .,,, йп — ортонормированный базис евклидова
пространства, х — произвольный нормированный вектор. Доказать,
что координаты вектора х в базисе ег, ..., еп равны косинусам
углов аг ,ап, которые х образует с базисными векторами-
Вывести отсюда соотношение;
cosa ф- coss as ф~.,. ф- coss ~ 1.
2,4,12, Расстоянием между векторами х и у евклидова про-
странства называется число
р(х, у) — | х - у |,
S ал. длины, углы, расстояния 45
i'r '
ймкть что определенное таким образом расстояние удовлетворяет
Действу треугольника;
р (х, г) р (х, у) + р О’, 2)
«А любых трех векторов х, у и г.
Доказать, что в неравенстве треугольника для векторов
и z знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
«)«их (у—*)> 0.
Г" 34.14. В пространстве Ма многочленов степени скалярное
Произведение многочленов
f (t) = о0аг1 Ц-... + <тп/'* и g(f) —Ьй Д- bLt д.. ..Д-bntn
Определено формулой (2.3.1). Для заданных многочленов:
/1(0=^2 + ^+ 1, A(0=-'3+2f-H,
/а (f) =3f2 Д. 2/Д. 5, /4(^ = 3ta + 5t+2;
а) найти многочлен /0 (f) степени s?2, равноудаленный от /х(/),
ЛЮ.Л(0>Л(0;
.6)- определить расстояние между fa (?) и каждым из многочленов
в) доказать, что всякий многочлен вида
: ", fo(i)+^3+-.-+^n
ТЙКже равноудален от f} (t), А (/), /э (/), ft (t), и определить его рас-
стояние до этих многочленов.
2.4.15*. В евклидовом пространстве заданы подпространство L и
произвольный вектор х. Расстоянием между вектором х и под-
пространством L называется число
р (х, L)= inf р(х, у).
Доказать, что:
.Д а) расстояние р (х, L) равно длине перпендикуляра, опущенного
ивх на L;
. б) ближайшим к х вектором подпространства L является орто-
ГОЦЖЛ^ная проекция х на L;
для любого у из L
1 Р(Х+.У. t) — р (х, L).
2.4.16*. Подпространство L является ортогональной суммой под-
.Орбстранств Lj и L2. Вектор х ортогонален к подпространству Lp
’ р(х, L)^p(x, L;,).
Пусть а — фиксированный вектор евклидова пространства,
подпространство всех векторов, ортогональных к а. Доказать,
46 ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
что расстояние между произвольным вектором х и подпространст-
вом L можно вычислить но формуле
. I (х, а) |
L’= |^Г-
2.4.18. В пространстве Л'1п многочленов степени йСл скалярное
произведение вычисляется через коэффициенты многочленов по фор-
муле (2,3.1), Найти расстояние между подпространством обра-
зованном всеми многочленами степени —1, и
а) многочленом /л;
б) многочленом tn -ф. ол_^’1 + .. ф- a (f ф- оо;
в) многочленом а?"ф. йд^’^ф.. ..ф-а,/ф. а0.
2.4.19. В пространстве Мп с тем же скалярным произведением
(2.3.1) рассматривается подпространство L всех многочленов, удов-
летворяющих условию /(1)=0. Доказать, что расстояние между
произвольным многочленом g(t) и подпространством L равно
2,4.20* . В евклидовом пространстве заданы подпространство L и
вектор х. Углом между вектором х и подпространством L назы-
вается наименьший из углов, которые х образует с векторами из L.
Доказать, что угол между х и L равен углу между х и его орто-
гональной проекцией у на L Показать, что среди векторов подпро-
странства L тот же угод с вектором х образуют векторы вида ар,
а ;> 0, и только они.
2,4.21. Доказать, что углы, которые вектор х образует с про-
извольным подпространством L и его ортогональным дополнением L-,
в сумме равны лft.
2.4.22. Евклидово пространство Е разложено в ортогональную
сумму подпространств Llt , ,., Lp. Доказать, что для углов а1( аг,
которые произвольный вектор х образует с подпространствами
Lp, справедливо соотношение
cos3 cq -ф- cos2 а2 ф-... ф- cos3 ар =-1.
Сравнить эту формулу с формулой, полученной в задаче 2.4,11.
2.4.23. Подпространство L есуъ ортогональная сумма подпрост-
ранств Li и Е2. Вектор х ортогонален к подпространству Lv Дока-
зать, что угол между х и L равен углу между х и Е2.
Найти угол между вектором х и линейным подпространством L,
натянутым на векторы ф1( у3, уа:
2.4.24. х — (—3, 15, 1, —5); 2.4,25. х=(3, 1, У ft, —2);
Я~(2> 3, -4, -б), yI = (2, -1, 2, 1),
_уа~(1, 8. -‘А —16), Л~(~1, 2, -2, I),
у3^(1, -5, -2, 10). Va-(-l, 1, —1,0).
§ 2.5. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
47
g 2.5. Унитарное пространство
О задачах параграфа. Задачи настоящего параграфа являются в основном
дарениями ранее данных задач, относящихся к евклидовым пространствам,
ы повторением мы хотели показать, что основные факты, доказанные
«'-евклидовом пространстве, остаются справедливыми и в произвольных унн-
Ыпкых пространствах. Вместе с тем, мы стремились проиллюстрировать и
ЗКмчяи теории в действительном и комплексном случаях, в частности, на
Едиетряческих теоремах. В заключение мы описываем способ перехода от
^клиаова пространства к унитарному («комп.тексификация» унитарного про-
странства) и обратный переход («декомплексификация»).
2.5.1. Доказать, что из аксиом скалярного произведения в уни-
тарном пространстве вытекают следующие свойства:
а) (^> 5’1 +Уг) = (х, J't) + (х> Д’а) длп любых векторов унитарного
пространства;
6) (-V, ау) = а(х, Д’) для любых векторов х, у унитарного про-
странства и любого комплексного числа а;
)<0. ( ,
. г) IS S S S а<₽/ ул
\i= г / = г t <-’[i = i
2.5.2. Доказать, что в любом комплексном линейном простран-
стве можно определить скалярное произведение.
2.5.3. Ввести скалярное произведение в и-мериом комплексном
арифметическом пространстве Сп.
2.5.4. Ввести скалярное произведение в пространстве многочле-
нов степени с комплексными коэффициентами, рассматриваемом
как комплексное линейное пространство с обычными операциями сло-
жения многочленов и умножения многочлена на комплексное число.
2.6.5. Доказать, что в пространстве Сп можно определить ска-
лярное произведение векторов л‘ = (а1, ос2, ,,., а,() и у— (0Г р2, ,.,, рп)
формулой
(аг, .у)—а11«[Pi 4"а[2а1Рз 4~ - 4~ 4-
4” й21а2014~ а22®2рЗ 4- " -4- °2«aiP« 4“
4~ dn [Ипр 1 + • 4"
при условии, что:
а) ац — а# при всех i, j;
б) ап> J} I avi> *> • n-
/=.[
2.5.6. Доказать, что в ортонормированпых базисах унитарного
пространства, и только в таких базисах, скалярное произведение двух
векторов хну выражается через их координаты формулой
(х, у) — aiPi4' а2рз 4” - - 4- а«Р'с
48
ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2.5-7, Доказать неравенство Коши — Буняковского для унитарного
Пространства:
K-V, j)|®<(x, у).
Вывести из него соотношение
П t г П \ i П •
S «а mm
i=i \i-i / \r=i /
где аъ an и рь ..,, р„ — произвольные комплексные числа.
2,5.6. Доказать, что в произвольном унитарном пространстве
остается справедливой теорема Пифагора: если векторы х и у орто-
гональны, то |х-р2 = |х;-’_ру[г.
Показать имеете с тем, что обратное к теореме Пифагора утвержде-
ние неверно.
2,5,9, Доказать, что векторы х и у унитарного пространства
ортогональны тогда и только тогда, когда
(ахД-ру |3 = !axj2 + ltb’l2
для любых чисел а и р.
2,5.10, Доказать, что утверждение задачи 2.4.10 в случае уни-
тарного пространства не имеет места. Какое именно из двух пред-
ложений, составляющих эту задачу, становится неверным?
2.5,11, Доказать, это, напротив, утверждение задачи 2.4.9:
I х +.У 1г +! х ~У Is = 21х Is + 2 1.У I2-
— справедливо и в унитарном пространстве.
2,5.12, Доказать равенство:
4(х, У') = '| А'+у j3 - i X-у |a-p I х-р.у j3 -11 х - iy |г. (2.5.1)
2,5.13* . Пусть R —действительное пространство, С — множество,
составленное из всех формальных сумм х-4-ly, где х <= R, у Я
Доказать, что:
а) множество Г является колгплексным линейным пространством,
если линейные операции в нем определить правилами:
(хд + Лд)-}- (х’гД- + лг) i 4-Д'Д
Л (х + у»)(а + ф) (х + (у) =.(ах - ру) Д. i (ay -f, рх);
здесь X, — а-рр — произвольное комплексное число;
б) система векторов xL ..., хк пространства R линейно зависима
или линейно независима одновременно с системой векторов Xj-f-ZO,...
..., Xft-pO пространства С;
в) размерность пространства С равна размерности пространства Д.
j S.5. УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
49
Описанный прием построения по заданному действительному ли-
нейному пространству А? комплексного пространства той же размер-
ности называется комМексифпкацией пространства А?.
. > 2.5.14. Пусть R — евклидово пространство со скалярным произ-
.ведением (л*, _у)> С —комплексное пространство, полученное из А?
' комплексификапией. Доказать, что:
а) пространство С можно превратить в унитарное пространство,
'/задав в кем скалярное произведение формулой
<... (Лт + У’ь -*г + О'г/ = К*1> -М + СП Дг)1 + 0(Л> ja)j;
Ж. б) если ej, ek — ортогональная система векторов из R, то
•|$.в пространстве С с указанным скалярным произведением будет орто-
•ЭДгональна система векторов гу-НО,
‘jij в) если £j, ,ея — ортоцормированный базис А?, то ff-j-iO, ...
,й:.еп Ц-ДО— ортонормировапный базис С.
X 2.5.15. Комплексифипировать «-мерное действительное арифмети-
Жвеское пространство А?„ (с обычным скалярным произведением). Какое
Ж,комплексное пространство получится?
2,5.16. Пусть С —произвольное комплексное пространство. Дока-
зать, что множество ректоров, образующих С, можно рассматривать
то же время и как действительное линейное пространство /?,
,^‘.в котором: а) операция сложения совпадает со сложением в С; б) для
.^любого действительного числа а и любого вектора г
az = (a + ;0)z,
Жтде правая часть есть произведение вектора г на число сс-|-/О, опре-
Ж'деленное в С. Переход от комплексного пространства С к дейстын-
SJjreabHOMy пространству R называется декомп.чексификсщией про-
странства С.
i" 2.5,П*. Пусть С —«-мерное комплексное пространство, R — дей-
Ж'Атвптельное пространство, полученное из С декомилексификацией.
^Доказать, что:
Ж): а) если г1; ..., zfi — линейно независимая (линейно зависимая)
‘^«система векторов пространства С, то zT, izy ..., zk. izk линейно не-
$ Зависимая (линейно зависимая) система векторов пространства R
^(произведение iZj определяется по правилу, заданному в С, и есть
жвлемент этого пространства, следовательно, и элемент пространства R);
$1? б) размерность пространства R равна 2«; при этом всякому ба-
;h’4tacy еь ..., еп пространства С соответствует базис ег. 1ег.е,„ 1ел
^Пространства R.
Ж 2.5,18*. Пусть С —«-мерное унитарное пространство со скаляр-
.Дфым произведением (д', у), R —действительное пространство, поду-
раченное из С деком плексификапией. Доказать, что:
Ш а) пространство R можно превратить в евклидово пространство,
Ж^адав в нем скалярное произведение формулой
50 ГЛ. 2. ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
б) для любого вектора z из С векторы z и iz, рассматриваемые
как элементы полученного евклидова пространства, будут ортого-
нальны;
в) если ех, ,.,, ek — ортогональная система векторов в С, то
система векторов ех, ielt будет ортогональна в f?;
г) если ej, ,.., еп — ортонормированный базис С, то 1ех, .,.
..,, еп, ien — ортонормированный базис в f?.
2.Б.19. Доказать, что декомплексификацию п-мерного комплекс-
ного арифметического пространства Сп можно осуществить, сопостав-
ляя каждому вектору z = -ф/р^ а„4-/рл) из Сп вектор
(«!, .а„, 0Ь ..., Р„) действительного арифметического простран-
ства Какой вектор из А?ал соответствует вектору iz? Какое
скалярное произведение индуцируется в если в С„ задать обыч-
ное скалярное произведение: для ..., л„) и те = (,И1> • Ил)
полагаем (г, те) = Хлрл.
Г ЛАВ A 3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 3,0. Терминология и общие замечания
Пусть л'с, -г3, х„ — произвольная система векторов /1-мерного
евклидова или унитарного пространства. Положим;
Tq = О, Lk = L (-Vj. .< ।, -V^)*
Через уь обозначим перпендикуляр, опущенный из xh на подпро-
странство Ай._1.
Объемом параллелепипеда, натянутого на систему векторов
д-2, ,,., хЛ, называется число
Л
^(хь JC2. JQ= П l№l- (Л0-1)
Очевидно, что объем такого параллелепипеда равен нулю тогда и
только тогда, когда система х2, ,хп линейно зависима. Так
КЭК I , —, , Li
I ж* I, А=1, .... п,
то для объема параллелепипеда выполняется неравенство Адамара-.
п
V(xt, хг, -тл)ср[ |xft|, (3.0.2)
k = l
причем равенство здесь имеет место в том и только том случае,
если среди векторов хА. х2, .... хя есть хотя бы один нулевой,
либо эти векторы попарно ортогональны.
Следуя В, В. Воеводину, мы определим ориентированный объем
V-(Xi, х2, хя) параллелепипеда, натянутого па систему- векто-
ров xlf х2, - хп, аксиоматически. Именно, потребуем, чтобы вы-
полнялись следующие условия:
1. V- (х1г х3, .... хя) есть линейная функция от каждого из
своих векторных аргументов л/г, д/4, .... хп.
2. /±(хх, х2, ..., хп)~ 0, если система х2. хп линейно
зависима;
3. Vifcj. е2, ел)=1 для некоторого ортонормированного
базиса ег, .... еп.
Можно показать (см. В, В. Воеводин, Линейная алгебра,
глава 4), что ориентированный объем параллелепипеда существует и
52
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
его модуль равен объему того же параллелепипеда. В частности,
оказывается, что условие
(xi, х4, .... .v„) = 0
необходимо и достаточно для линейной зависимости системы векторов
ТС], Tfj, ..., х п.
Так как ориентированный объем определен неоднозначно, то для
выделения конкретного ориентированного объема нужно указать
ортопормированцый базис eL, <?а, ..., ел, ца котором он принимает
значение, равное единице.
Квадратной матрицей порядка п называется квадратная число-
вая таблица, состоящая из п строк и п столбцов:
|йц а1г ... ain
д - . I
Дпа апп
Элементы atJ матрицы А могут быть действительными или комп-
лексными числами; соответственно этому говорят о действительных
или комплексных матрицах.
Говорят, что элементы ап, д22ф апп составляют главную ди-
агональ матрицы А\ все прочие элементы а,у, /#= j, называют вне-
диагональными. Матрица, все внедиагональные элементы которой
равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица назы-
вается единичной, если все элементы главной диагонали этой матрицы
равны единице. Употребляют также выражение: побочная диагональ
матрицы А; ее составляют элементы д1л, д4 „.lt сл1.
Определителем матрицы А называется' алгебраическая сумма л!
членов, составленная следующим образом; членами служат всевозмож-
ные произведения и элементов матрицы, взятых по одному в каждой
строке и в каждом сюлбие, причем член а-,а,а2<Х1...берется со
знаком плюс, если перестановка аь аа, ..., ал содержит четное
число инверсий, и со знаком минус — в противном случае. При этом
инверсией чисел а, и а, называется ситуация, в которой а, > а;-,
но а; стоит в перестановке at...a„ раньше, чем 09. Для опреде-
лителя матрицы А мы используем в дальнейшем обозначения | А ।
или det А.
Если строки матрицы А рассматривать как векторы л-мерного
арифметического пространства, то определитель det А есть не что
иное, как ориентированный объем параллелепипеда в этом простран-
стве; соответствующим ортонормированным базисом является естест-
венный базис (1.0.1). Отсюда вытекает:
1) det А есть линейная функция от строк матрицы А;
2) detA = 0 тогда и только тогда, когда строки матрицы А ли-
нейно зависимы. Матрица называется вырожденной, если ее опреде-
литель равен нулю, и невырожденной — в противном случае;
§3.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ и ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
53
аП °21
а12 ц22 .,, оп2
Аг =
atn • - ann
3) определитель матрицы не меняется, если к какой-либо строке
прибавить линейную комбинацию прочих строк;
4) при перестановке двух строк определитель меняет знак.
। Транспонированием матрицы А называется такое преобразование
. этой матрицы, при котором ее строки делаются столбцами с тем же
самым номером, т. е. переход к транспонированной, матрице
(3,0.3)
। Определитель матрицы не меняется при транспонировании: det А =
= detXr. Отсюда вытекает, что сформулированные выше свойства
Определителя по отношению к строкам матрицы справедливы и по
J отношению к ее столбцам.
Выберем в матрице А произвольные k строк с номерами гь га,...
..., 1ц и k столбцов с номерами jb j.,, ..., jk. На пересечении этих
строк и столбцов сдоит матрица порядка k, определитель которой
называется минором порядка k матрицы А (или ее определителя).
В частности, минорами 1-го порядка являются элементы а!}-. Если
нужно указать положение рассматриваемого минора в матрице А, то
используется обозначение
М^А h
\11
ihf
(3.0.4)
Если при этом номера строк совпадают с номерами столбцов, будем
писать короче: A (itit ... /й).
Если вычеркнуть из матрицы А строки с номерами ..., 4
и столбцы с номерами у,, . ..,у\, то останется минор порядка и —А,
называемый дополнительным минором для минора (3.0.4). Алгеб-
раическим дополнением минора (3.0.4) называется его дополнительный
минор, взятый со знаком (—l)sMt где
Дм == 444 4~7i +7а +• • -+h-
Алгебраическое дополнение элемента а,у обозначается Ац.
Имеет место следующая
Теорема Лапласа. Пусть в матрице А порядка п произвольно
выбраны k строк (или А столбцов), — 1. Тогда определи-
тель det А равен сумме произведений всех миноров порядка А, содер-
жащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения.
Частным случаем теоремы Лапласа являются следующие формулы
разложения определителя по строке:
аи-Ац -|- ai%Ait , -|- ain Alfl = det А, _
. . (3.0.а)
ид Ат + • —1~ а:пА;я = 0,
54
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Разумеется, справедливы аналогичные формулы разложения опреде-
лителя по столбцу.
Сделаем еще некоторые замечания относительно методов вычис-
ления определителей, используемых в настоящей главе.
Как видно из описания метода Гаусса, помешенного в § 1.0, этот
метод приводит квадратную матрицу к треугольному виду. Исполь-
зуемые при этом преобразования могут в силу указанных выше
свойств 3 и 4 определителя разве лишь изменить его знак. Что ка-
сается определителя матрицы треугольного вида, то он (см. 3.1.8)
равен произведению элементов главной диагонали. В этом и состоит
применение метода Гаусса к вычислению определителей. Различные
аспекты этого метода мы подробно обсуждаем в § 3.4.
Опишем теперь метод рекуррентных соотношений, который
можно использовать для вычисления трехдиагональных определи-
телей следующего вида:
а Ь 0 ... 0 0
с а b ... 0 0
0 с а ... 0 0
0 0 0 ... а Ь
0 0 0 ... с а
(3.0.6)
Рассмотрим множество s бесконечных числовых последовательностей
X = (аь а3, ..., ая, ..,),
(3.0.7)
для определенности, комплексных. Линейные операции над такими
последовательностями определим соотношениями;
1) X.x = (Xaj, Аа3. Хая, ...);
2) если у = фь ..., ря> ...), то
л -Ьз’ = (°Чап4-Ри, )
Очевидно, что при этом $ становится линейным пространством.
Подпространством в s является множество /• всех последователь-
ностей (3.0.7), для элементов которых выполнено рекуррентное соот-
ношение или разностное уравнение 2-го порядка'.
4"л=3, 4, (3.0.8)
р, q — фиксированные числа, Легко видеть, что размерность
подпространства F равна 2. Покажем, как построить базис этого
подпространства.
По коэффициентам разностного соотношения (3.0.8) составим
алгебраическое уравнение (называемое характеристическим)
X2 —p‘k — q = 0.
? 3.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
55
Возможны два случая:
1. Корни характеристического уравнения н А^ различны. В этом
случае базис подпространства F составляют последовательности:
V. V. .... Xf,
>,-(«» 4 Ч Ч. •••)
2. Характеристическое уравнение имеет двукратный корень А„
Тогда базисом F будут последовательности:
е1 = (Х, V, X3, .... Xя, ...),
e2 = (l, 2Х, ЗХ2, .... лХ’1, ...).
Всякую последовательность (3.0.7), принадлежащую F, можно раз-
ложить по базису е1, е%.
x = cle1-!rc2ei.
В компонентах это соотношение выглядит так*.
ап-сМ + с№
для случая 1 и
ач = сДя4-= Х" 1 (cjA.-^c2n)
для случая 2. %,
Координаты tj и сг последовательности х можно определить,
пользуясь только первыми двумя ее компонентами. Они являются ре-
шением системы линейных уравнений
Ц- Х^ = сс^,
A-j с j Х^с а гХз
или
Atj с а = 0Ц,
X2c14.2Az-1=a2,
Соответственно тому, какой случай рассматривается.
Вернемся к определителю (3.0.6). Разлагая его по последней строке,
получим
Z>rt = a£>„_1 —йс£)л.2, л = 3. 4.....
т. е. рекуррентное соотношение 2-го порядка. При этом
£>1=а,
D» = а2 — Ьс,
и можно применить указанное выше построение.
56
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 3.1. Определение и простейшие свойства
определителей
О задачах параграфа. В этом параграфе представлен традиционный на-
бор задач, относящихся к определению и простейшим свойствам определителя.
Мы имеем в виду линейные свойства, инвариантность при транспонировании,
изменении знака при перестановке строк (столбцов), равенство нулю опреде-
лителя, строки (столбцы) которого линейно зависимы.
Входят ли в определитель 7-го порядка приведенные ниже про-
изведения его элементов? Если входят, то с каким знаком?
3.1,1, а07 п34
3.1.2. U23 a62 Д77 ^34 Яв1 ati а&
3.1.3. <7^3 Q35 П44.
3.1.4. яав л35 i717 aia naS лэ1.
3.1.5. Дополнить произведение элементов а1; аи д35 ам опре-
делителя 7-го порядка так, чтобы получить члеа этого определителя,
входящий в него: а) со знаком плюс; б) со зиагом минус.
3.1.6. Найти соотношение между индексами элементов определи-
теля, стоящих: а) на главной диагонали; б) выпе гланной диагонали;
в) ниже главной диагонали,
3,1.7. С каким знаком входит в определителе порядка л произве-
дение элементов главной диагонали?
3.1.8. Пользуясь только определением, вычистить определитель
0 0 . 0
°S1 а-л 0 .. . 0
°31 а33 Оад • - 0
ап»
3.1,9, Каково соотношение между индексами элементов определи-
теля порядка п, стоящих: а) на побочной диагогали; б) выше побоч-
ной диагонали; в) ниже побочной диагонали.
3,1.10. С каким знаком входит в определите.ъ порядка/г произве-
тение элементов побочной диагонали?
3.1.11, Исходя из определения, вычислить ощеделитель
О ... О О и1п
О 0 п-l "гл
“з, П-Й а». п-l а3п
flrtl ***
$ 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
57
Пользуясь только определением,
лите л и:
вычислить следующие опреде-
3.1.12. 0 1 0 ... 0 3,1,13, 0 ... 0 1 0
0 0 1 ... 0 0 ... 1 J 0
ООО... 1 1 ... 0 J 0
0 0 ... 0 0 ... 0 1 1
3.1.14*. 100... 1 0 . .000
0 1 0 ... 0 Л1а; 0 . .000
0 0 1 ... о тя; 0 . ,000
000... .000
0 0 0 ... 0 1 0 . .000
0 0 0 ... 0 т;. ь, 1 . .000
0 0 0 ... 0 та.,, , 0 . .10 0
0 0 0 ( .010
0 0 0 ... 1 «W ° .001
3.1.15,
cos ф . . t — sia ф
t-Я CTfa)Kfl
sin ф t t . cos tp
/•к строка
1
/-Й столбец iстолбец
Здесь неуказанные элементы главной диагонали равны единице, все
прочие элементы равны нулю.
3.1.16, Показать, что если в определителе порядна п более чем
п2 — п элементов равны нулю, го сам определитель равен нулю.
Пользуясь только определением, вычислить определители:
3.1.17, 0 0 0 1 3.1.18. 0 0 5 1
0 0 0 2 0 0 6 2
0 0 0 3 » 0 0 7 3
12 3 4 12 3 4
3.1.19. 0 0 5 1
0 0 6 2
5 6 7 3
12 3 4
3,1.20. Доказать, что если в определителе порядка п на пересе-
чении некоторых k строк и I столбцов стоят элементу равные нулю,
причем k 4-1 д, то определитель равен нулю.
58
гл. з. определители
Найти максимально возможное гисло ненулевых членов в опреде-
лите.те порядка п следующего вида 3.1.21. 01 0 0 ... 0 ьх ri «2 0 0 Ь2 ° “г а3 ... 0 ьа ° 0 О' W ° ° 0 ... ал 3.1.23*. “и о12 д1э ... ah„^ “ai. “22 “аз £’а.n_j ° “за “зз - й31 п_2 0 ° 0 ... а„ . „ Л-1- л- 0 0 0 ... о 3.1.22*. “з Ьг 0 ... о о <2 “2 й3 . , , 0 0 о с, а3 ... 0 0 0 0 О' .7 a^_’b’ ° °0... сл ап “1- П-1 “1л “2, Я-1 “зл °3. л-1 “Зя ад-ьл-1 0/1. Л-1 аПп
Определитель порядка п с элементами, содержащими неизвест-
ное 1, представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням t 3.1.24. -/ 0 0 ... 0 й1 “a — 1 0 ... 0 о 0 “з ... 0 о о 0 0 6 0 0 0 ... “я -1 3.1.25*. / -1 0 ... 0 о 0 / ^1 ... 0 о 0 0 t ... 0 о 0 0 о ... t _]‘ «1 “» “з ... ая + /
как многочлены от t имеют следующие определи-
Какую степень
тели порядка п:
а 1.26. “11 + “21 “12 “22 + I , • °1л
йлЗ
3.1.27. “11 -н “12 + ^ • “1Л +1
“21 “2Л+*
«Л1 “л2
3.1.28*. Всегда ли определитель следующего вида
“и +1’11^ °12 + . “tn + ^in^
“21 + b^t “22+^22! .. “in + bint
ат +^Л1^ апп~[~ bnrlt
имеет Степень я как многочлен от неизвестного /?
5 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
59
3.1.29* . Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы
определитель, указанный в предыдущей задаче, имел как многочлен
от t степень, меньшую п.
3.1.30. Найти свободный член многочлена, указанного в задаче
3.1.28.
3.1.31. Как изменится определитель с комплексными элементами,
если каждый его элемент заменить сопряженным числом?
3.1.32. Как изменится определитель порядка п, если у всех его
элементов изменить знак па противоположный?
3,1.33. Каждый элемент определителя порядка п умножили на
число а. Как изменится определитель?
3.1.34* . Как изменится определитель, если каждый его элемент aik
умножить на а'-*, где число а отлично от нуля?
3.1.35. Место элемента aik определителя называется четным или
нечетным в зависимости от того, будет ли сумма i-\-k четной или
нечетной. Доказать, что определитель не изменится, если изменить
знак у всех его элементов, стоящих на нечетных местах; если же
изменить знак всех элементов на четных местах, то определитель
не изменится, если он четного порядка, и изменит знак, если он не-
четного порядка.
3.1.36* . Определитель называется кососимметричным, если его |
элементы, симметричные относительно главной диагонали, отличаются
знаком, т. е. а,у=— для всех I, /.
Доказать, что кососимметричный определитель нечетного порядка
равен нулю.
3,1.37* . Доказать, что определитель, элементы которого, симмет-
ричные относительно главной диагонали, являются сопряженными
комплексными числами (т. е. для любых i, j), есть число
действительное.
3.1.33. Как изменится определитель порядка п, если его строки
написать в обратном порядке? Какой элемент исходного определителя
будет стоять на месте I, j нового определителя?
3.1.39. Найти элемент определителя порядка «, симметричный эле-
менту относительно «центра» определителя.
3.1.40. Как изменится определитель, если каждый его элемент за-
менить элементом, симметричным с данным относительно «центра»
определителя?
3.1.41. Найти элемент определителя порядка п, симметричный эле-
менту относительно побочной диагонали.
3.1.42. Как изменится определитель, если каждый его элемент за-
менить элементом, симметричным с данным относительно побочной
диагонали?
3.1.43* . Как изменится определитель порядка и, если его матрицу
повернуть на 90° вокруг центра?
Решить уравнения, левая часть которых записана в виде опреде-
лителя:
60
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.1,44. 12 3 4 3.1.45. 12 3 4
5-^2 3 4
2 3 5-^ 1
2 3 4 1
f-f-i 2 ?4-3 4
I 34-Z 4-Н 5 + *
1 — 3 —4 —5
Вычислить следующие определители:
3.1.46. *s'/i х1Уз % < • Ч/н
хпУ1
3.1.47. I 2 п
п + 1 Г/-1- 2 .
п (п -1)4-1 П (/1 — ) + 2 . . л*
3.1.48. Пусть ДО)....А (0 ~ многочлены степени не выше и —2.
Доказать, что определитель
/1(^11 М«и)
/..>(«[) [2(О.>] ... /.►(««!
/л («1) ... fn(an)
равен нулю для произвольных чисел п.,.........ап.
3.1.49. Как изменится определитель, если: а) из каждой строки,
кроме первой, вычесть предыдущую строку; 6) из каждой строки,
начиная со второй, вычесть предыдущую строку и в то же время
из первой строки вычесть прежнюю последнюю строку.
3,1.50. Доказать, что произвольный определитель равен полусумме
двух определителей, один из которых получен из данного прибавле-
нием ко всем элементам /-Й строки числа Ь, а другой — аналогичным
образом прибавлением числа —-Ь.
Вычислить следующие определители, представляя их в виде суммы
определителей:
3.1.51.
1+*1{Н 1+*^3 1 ~гх1!/л
1 Т“ Х2У1 I + х1У-1 1 + х'1Мп
1 + ХпУ 1 1 + ХпУ'1 1 + ХпУп
3.1.52. cos («! — Pj COS (Яг-pj) cos (а, — ₽.,) cos (а2 — ри) ... cosf»! —р„) ... со5(аг-р„)
cos (а„ — fj) cos (а„ — р^) ... cos(a„-р„)
3,1.53* х№ ...
хгУ1 >4-^2 -
1
S3,!. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
61
I — 2и>»
3.1.54.
- 2^10;
— 2ам
— 2ш ,а>,
— 2®„itij — 2ш„к|.2 ... 1 — 2ш,1
i. где 4-ас, 4-., .+«^ = 1.
'! 3.1,55. Числа 20604, 53227, 25755, 20927 и 78421 делятся на 17.
। Доказать, что
определитель
2
5
2
2
О
3
5
О
6
2
7
9
О
2
5
2
4
7
5
7
7 8 4 2 1
также делится на 17,
3.1.56. Все элементы определителя Д являются дифференцируемыми
функциями от одного переменного t. Доказать, что для производной
этого определителя, рассматриваемого как функция от t, справедлива
формула
Д' (0==
аИ (0 (0 - а'т^
агг(0 «2л(0
«П1 (0 (0 «яд (0
«11 (0 «12 (0 «м (0 «11 (0 я12 (7) .. . «ц(0
+ (7) «.(./о йзп<0 «л (0 «23 (7) «2,1 (t)
ОЯ1 (0 anS(0 . (0 «Л1 (0 «И0
3.1.57. В определении определителя отказаться от выбора знаков
перед членами определителя, т, е. рассмотреть следующую функцию
от элементов матрицы А:
/’И)= S
/ф /ф • • • >п
где индексы jt, j?, ..., jn пробегают все множество перестановок
из чисел 1, 2, л. Эта функция называется перманентом. Дока-
зать, что, как и для определителя, для перманента справедливы
свойства:
а) если все элементы произвольной строки матрицы А умножить
на число а, то и перманент умножится на это число;
б) если все элементы 7-й строки матрицы А являются суммами
«ф = Ьг4-сн /’= !> • > п<
то перманент матрицы А равен сумме перманентов двух матриц, отли-
чающихся от А только 7-й строкой: в одной из них элементы
этой строки равны числам Ь/, а в другой — числам ср,
в) перманент не меняется ири транспонировании матрицы.
Однако, в отличие от определителя,
г) перманент не меняется при перестановке строк (столбцов) матрицы.
62
ГЛ, 3, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Патроить примеры, показывающие, что перманент может быть
отличи от нуля, даже если строки матрицы линейно зависимы, и
равен нулю для матрицы с линейно независимыми строками.
§ ;.2. Миноры, алгебраические дополнения
н еорема Лапласа
О адачах параграфа. Содержание настоящего параграфа таково:
За2ачи на определение минора, дополнительного минора и алгебраиче-
ского дополнения. Здесь же определяются взаимный и ассоциированный опре-
делител! и рассматриваются некоторые их свойства.
Пр.меры использования теоремы Лапласа, включая вычислительные за-
дачи.
Упражнения на применение метода рекуррентных соотношений, описан-
ного во введении к главе, для вычисления трехдиагональных определителей.
3.2J. В определителе порядка п найти: а) число миноров поряд-
ка k, юдержащихся в фиксированных k строках; 6) число всех ми-
цоров топядка k.
3.22. Пусть А1 — произвольный минор определителя порядка п,
М" — дополнительный минор, (—l)s,w М' —алгебраическое дополнение
минора М (здесь — сумма номеров строк и столбцов определи-
теля, в которых стоит минор Л1). Показать, что алгебраическое до-
подлеще к минору М' равно (—1)SA* М.
3.2.:. Минор, стоящий на пересечении k строк и k столбцов опре-
делител, имеющих одинаковые номера, называется главным минором
порядк; k. Найти число главных миноров порядка k в определителе
поряди: п.
3.2>*. Найти выражения для коэффициентов многочлена f(t),
задан нет о определителем
«и -И «И • «1Я
«22 + ( • «м
«И «яг • &ПП +1
через мшоры определителя
«If «12 ' а1п
°Zl «22 * • а1Л
anl аП2 antl
3.2.5 Найти максимальное возможное число ненулевых миноров
порядка k в первых k столбцах почти треугольного определителя
порядка п: «п «12 «13 * * «ь л-t а1П
«и G nJ «23 «2, Я-1 а1п
0 «32 «33 * «3. Я-1 «ЗЯ
0 0 0 . • «л, л-1 «яг
§ 3.2. МИНОРЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
63
3.2.6. Пусть D — определитель порядка л(/г>-1). Определитель
D', полученный из D заменой каждого элемента на его алгебра-
ическое дополнение Ai;-, называется взаимным (или присоединенным)
к D. Определитель D", полученный из D заменой каждого элемента
ац на его дополнительный минор Aly, называется ассоциированным
для D. Доказать, что D’=D",
3.2.7. Доказать, что если определитель D — симметричный (т. е.
элементы определителя D, симметричные относительно главной диаго-
нали, равны), то и взаимный определитель D’ — симметричный. Ана-
логичное утверждение справедливо для ассоциированного определи-
теля D".
312.3. Верно ли утверждение: если определитель D — кососиммет-
ричный, то и взаимный определитель D' кососимметричен?
3.2.9* . Доказать, что определитель, взаимный к треугольному
определителю задачи 3.1.8, имеет вид
4и л1г <413 • <41л
0 Ахг 4 га ^2п
0 0 Дм . Азп
0 0 0 . An/t
3.2.10* . Найти связь между величиной треугольного определителя
порядка п и величиной его взаимного определителя,
3.2.11* . Как изменится взаимный определитель £)', если в дан-
ном определителе D порядка л:
а) умножить все элементы Z-й строки на число а;
б) переставить Z-ю и j-ю строки;
в) к j-tt строке прибавить Z-ю, умноженную на произвольное
число а;
г) транспонировать определитель D.
3.2.12. Показать, что разложение Лапласа определителя порядка п
по любым k. строкам (столбцам) совпадает с его разложением по
остальным n—k строкам (столбцам).
3.2.13. Доказать, что если в определителе порядка п все миноры
порядка k(k<jn) равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка
выше k.
3.2.14. Доказать, что в первых k столбцах квазитреугольного
определителя «и . alk д1. Л+1
Oftl ahk -
0 . . 0 ak-yr k-rl n
0 ... 0 оЛ1 ,.. аля
среди миноров порядка k только главный минор может быть отли-
чен от нуля. Найти разложение Лапласа этого определителя по пер-
вым k столбцам.
64
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.2.15*. порядка п Известно, что в первых k столбцах -лавный минор порядка k ненулевой, а все определителя d прочие миноры
порядка k равны нулю. Доказать, что d имеет вид, как в 3.2.14.
Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители:
3.2.16. 1 0 0-1 3.2.17. 3-15 2
2 3 4 7 2 0 7 0
-3459' -312 0
-4-501 5-41 2
3.2.18. 5 62 -79 4
0 2 3 0
6 183 201 5 ‘
0 3 4 0
3.2.19. 9 7 6 8 5 3.2.20. 1 2 3 4 5
30020 2123 4
53040. 0212 3 .
1 0 0 0 0 0 0 2 1 2
75460 0002 1
3.2.21. 1 0 2 0 3 3.2.22. 7 -3 9 5-4
0 2 0 3 0 4 0 0 0 3
20304. -60 1 0 8 .
0 3 0 4 0 5 0 0 0 4
3 0 4 0 3 1 8 - -2 -9 3
3.2.23. 2 3 1 2 9 8 3.2.24. 2 -3 7 1 9 1!
342753 103 0 -4 )
005331 7 4 9 -1 11-5
008575- 1 0—1 0 1 ) *
000097 9 -4 11 1 13 2
000043 401 0 -1 )
3.2.25. 1 30 94 46 14 2 3.2.26. 2 10 0 0 0
076940 1210 0 0
003500 0121 0 0
002300- 0012 1 0 •
051430 0001 2 1
2 7 47 23 15 1 0 0 0 0 1 2
3.2.27. Доказать, что:
а) яп а [2 °1. Л-1 Й1Л а1, Л+1 в1, л + 1 а1- 1Л-1 а1,2Л
#2] #23 “ #2* Л-1 0 #2. Дт-2 #2Г 1Л -1 й1. 2Л
«Л1 0 ... 0 0 0 0 ... 0 #л^ 2rt
0 ... 0 0 0 0 ... 0 2л
#2/1-1. 1 #2л-1. 2 #3*1-1. л -1 0 0 #2Л-1 и л-*-2 - #2Л 1т 2Л-1 #4*1-1.
#ЙЛ. 1 #2ЛГ 2 #2л. н-1 #£л, rt-tl #«л. Я+1 “#£ЛГ 2л-1 aSa, Зя
_ °1Л °1, П.Ц . й2. л-1 °2, Л+S | Дд1 аа. 1л
I #2ЛГ Л #ВЛ. П+1 I [ #2Д _ 1, Л-1 #2Л-1. Л+3 1 1 #Л+1, 1 1Л
5 3.2. МИНОРЫ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
65
«11 «13 «1, л-1 «1Я «1, п+1 «1, л+з •- «1. 34-1 °1, ад
0 «м «а, п-1 «2П 0 «2, Д+3 ••• «4,Зп-1 «4. зл
О 0 ... О ояя 0 0 ... О «л. ап
an+i> 1 «д+i. а «л+i, л-1 апА, п an+i. л+i «л+1,л+а «я+l.an-i «л+1,2л
О «л+2, а ••• aa+t. п-1 «л+2, и О «л+а, л+s «л+2,ал-1 «д+а. ал
0 0 ... 0 =| «Н «л+1, 1 аъп. л «1,я+ «л+1, 0 1 Л + 1 1 0 . 1 °» 1 «л+2, 2 ... 0 «2* Л+2 | «Л+2.Л+2| 1 «Зя, 2Л Д , ’
апп а2Пг п «Л. 2Л «2л- а
в) «11 0 «н 0 *** ат 0
0 бц 0 Ь1г ... о &1П «11 «12 - «1Л 6ц bit - &1Л
«21 0 0 Ьа1 о ••• «ЯЛ ... 0 и = «21 «22 • ' ^2П й ^2] t>22 . - Ьгл -
«?Ц 0 «п2 0 «пл 0 «Л1 «42 • - «ЯЛ i’nl Ьда . - Ьдп
0 b/ii о Ьда ... 0 Ьпп
Применяя теорему Лапласа, вычислить следующие определители,
предварительно преобразовав их:
3.2.28. 3 111 3.2.29. 9 7 9 7
2 111 8 6 8 6
-8 5 9 5 -9-7 9 7
-11 7 7 4 -8—6 8 6
3.2.30. 6 8-9 — 12 3.2.31. 213 186 162 137
4 6-6 -9 344 157 295 106
_3 —4 6 8 * 419 418 419 418
—2 —3 4 6 4 17 416 417 416
3.2.32. 8 10 3 1 4 3.2.33*. 12 3 4 5
7 9 4 1 6 4 7 6 7 8
1 —2 2 1 3 2 5 9 10 11
2 5—4 2 -6 5 9 1 1 1
-12 6 3 9 9 12 3 4
3.2.34. 0 1111 I 3.2.35. 2 1111 3
10 112 3 1 2 113 1
110 13 6 1 12 3 1 1
10 0 2 0 0 * 1 13 4 1 1 '
0 10 0 3 0 1 3 114 1
0 0 10 0 4 3 1111 4
3.2.36. Доказать, что для перманентов (см. задачу 3.1.57) имеет
место аналог теоремы Лапласа: если в квадратной матрице А порядка
п фиксированы k строк (столбцов) 1), то перманент
матрицы А равен сумме произведений перманентов всех подматриц
порядка k, расположенных в этих строках (столбцах), на перманенты
дополнительных подматриц (порядка n — k).
3 X. Д. Икраиов
66
ГЛ. 3. определители
Применяя метод рекуррентных соотношений, вычислить приведен-
ные ниже определители порядка л:
3.2.37. 5 2 2 S 0 2 0 ... 2 ... 5 ... 0 0 0 3.2.38. 7 6 2 7 0 2 0 6 7 ... 0 ... о ... 0
3.2.39. 3.2.40. 3.2.41. 3.2.43. 3.2.45. J 0 0 0 ... 5 3 2 0 0. 13 10. 0 2 3 2. 0 0 13. 5 3 -10 -1 - 0 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0.. 10 10.. 0 10 1.. 0 0 0 0.. 0 0 0 0.. 2-1 0 -1 2-1 0-1 2 0 0 0 [оказать раве cos а 1 I 2 cos а 0 1 0 0 ..31 . , 1 . . . 5 0 0 . 4 0 . 1 —4 . 5 1 . 0 0 . 0 0 . . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 . 1 0 ... 0 . . . 0 . . 0 . . . 2 нСтво: 0 1 2 cos а 0 1 . 3 . . . о . . о . . о' 0 . . 1 . 5 3.1 ... о ... 0 ... о 1 0 0 0 0 0 0 , -4 1 i.42. 3.2.4- 0 0 0 2 cos 0 а ... 7 0 1 1 0 0 -1 0 0 0 0 12 4 0 0 = с< 0 0... о 10... 0 0 1... 0 0 0...’ 0 0 0 ... —1 9 0 . . . 0 12 9 . . . 0 4 12 .0 0 0 ... ]2 и па. 0 0 0 I 0
3.2.46. Найти рекуррентное соотношение между многочленами
последовательности /0 (X), Д (X), (X),. •»* fn (^)i где (X) =т 1 й э мяо-
S 3.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
67
.гочлеп /)(Д.)(1 есть главный минор порядка I, расположенный
в левом верхнем углу определителя
X—о. 0 0 0
Сч X ~а2 ь3 ... 0 0
o' <=з X—й3 ... 0 0
0 0 0 X — bn
0 0 0 Сп
§ 3.3. Определители и объем параллелепипеда
в евклидовом пространстве
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы устанавливаем некоторые
свойства определителей и объемов параллелепипедов в n-мерном евклидовом
или унитарном пространстве, используя естественные связи между ними. Так.
определитель квадратной матрицы порядка п есть ориентированный объем парал.
лелепипеда, натянутого па упорядоченную систему строк (или столбцов) этой
матрицы, рассматриваемых как векторы соответствующего арифметического
пространства, а модуль определителя совпадает с объемом того же параллеле-
пипеда (см. В. В. Воеводин, Лисиная алгебра, глава 4). Это соотношение
позволяет, в частности, перенести ца определители неравенство Адамара и дать
связанные с ним оценки величины определителей, следовательно, и объемов.
Мы рассматриваем также определители Грама и находим соответствие между
ними и объемами. Наконец, мы приводим несколько задач, иллюстрирующих
устойчивость ортогонального определителя и неустойчивость определителя
в общем случае.
3.3.1. Пусть й15 й2, ..., й„ —упорядоченная система строк опре-
делителя d порядка п (эти строки рассматривается как векторы
«-мерного арифметического пространства); bb Ь2. .... bn — система,
полученная из Д1,а2, ...,ап процессом ортогонализации. Доказать,
что определитель d1, строками которого являются векторы bb b2l ,Ьп,
равен определителю d.
3.3.2* . Доказать, что определитель равен нулю тогда и только
тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.
3.3.3. Пусть d — определитель порядка п:
d =
О[[
а21
а1П
Ojj ... а.1п
Йп1 ап2 апл
Пользуясь соотношением между модулем определителя и объемом
параллелепипеда в арифметическом пространстве, доказать, что выпол-
няется неравенство Адамара:
/ п \ 1/2 / п \ 1/2 / п \ 1/2
М|< 2 IM3 S IM3 ••• S •
\/^1 / / \;Ъ| /
3.3.4. Доказать, что знак равенства в неравенстве Адамара дости-
гается тогда и только тогда, когда либо строки определителя попарно
3*
68
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ортогональны, либо все элементы хотя бы одной строки равны нулю.
Аналогичное утверждение справедливо для столбцов определителя.
3.3J5* . Доказать, что если все элементы a,j определителя d порядка п
ограничены но модулю числом AJ:
то:
| ау | Af,
а) модуль определителя d не превосходит ЛРя"/2;
б) эта оценка достигается для определителей с комплексными
элементами при любом я;
в) для определителей с действительными элементами эта оценка
достигается, если л—число вида п = 2т.
3,3,6* . Доказать, что максимум /„ модулей определителей по-
рядка я, все элементы которых суть действительные числа, располо-
женные на отрезке [— 1, 1], совпадает с максимумом gn модулей
определителей, элементы которых принимают только значения 1 и —1.
3.3,7* . Пусть hn — максимум модулей определителей порядка л,
составленных из нулей и единиц, gn имеет тот же смысл, что и
в задаче 3.3.6. Доказать, что для чисел gn и hn справедливы соотно-
шения
Vi А„ < gn_t ^gn^
Отметить, в частности, что число gn делится на 2П-1.
3,3,8. Доказать, пользуясь неравенством Адамара и неравенствами,
полученными в задаче 3.3.7, что для определителей 3-го порядка:
а) Ад = 2;
б) й> = 4-
Заметить, что из результата б) следует, что опенка величины опре-
делителя, указанная в задаче 3.3.5, а), не достигается для определи-
телей порядка 3 с действительными элементами.
3.3,9* . Усилить оценку, приведенную в задаче 3.3.7, — доказать, что
gn !•
3.3.10* . Найти число g5 и определитель с элементами 1 и —I,
равный g$. Отметить, что опенка задачи 3.3.5, а) не достигается для
определителей 5-го порядка с действительными элементами.
3.3.11* . Доказать, что если в условиях задачи 3.3.5 все элементы а^
определителя d действительны и неотрицательны, то для модуля d
справедлива оценка:
j d | sc Afn2-’’ (я + 1 )<n +
3.3.12. Результаты задач 3.3.5—3.3.11 переформулировать для
объемов параллелепипедов.
3.3.13. Определителем Грама системы векторов ..., хк
евклидова (или унитарного) пространства называется определитель
Xl> (xv X^) ... xk)
X$ (Xj. Xi) ... (X2, xk)
(Xj,
(Xi.
G(xb ..., xk)=
(*i.
*1) (XA, Xg) ... (Xi, Xt)
$ 3.3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ОБЪЕМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 69
Матрица этого определителя называется матрицей Грама системы,
вектора» хь х^ ... хк.
Как выглядит и чему равен определитель Грама, если:
а) система xt. ..., х*. ортогональная;
б) линейная оболочка векторов Ху, ..., Xj (1 Л) ортогональна
линейной оболочке векторов хг+1, ..., хл.
3.3.14. Как изменится определитель Грама системы векторов
Хх, ..., xft, если:
а) переставить два вектора хг и х/,
б) умножить какой-либо вектор системы на число а;
в) к вектору Xi прибавить вектор X/. умноженный на число ₽.
Сделать отсюда вывод, что равенство или неравенство нулю опре-
делителя Грама ие нарушается при элементарных преобразованиях
системы векторов хь ..., хк.
3.3.15* . Доказать, что система векторов хь . ,.,xft евклидова
(или унитарного) пространства линейно зависима в том и только
в том случае, если определитель Грама этой системы равен нулю.
3.3.16* . В определителе Грама G(xx, ..., xk) равен нулю некото-
рый главный минор 7И порядка т, m<Zk. Доказать, что в таком
случае равен нулю и всякий главный минор, окаймляющий минор М.
(Говорят, что минор окаймляет минор /Иц если матрица минора АГ
содержит матрицу минора Afj в хамстве подматрицы.) В частности,
равен нулю сам определитель О (Хх, ..., хк).
3.3.17. Доказать, что определитель Грама системы векторов
Хх, ..., х& не изменится, если какой-либо вектор этой системы заме-
нить перпендикуляром, опущенным из этого вектора на линейную
оболочку любых других векторов системы.
3.3,18* . Пусть хх, ..., хк — произвольная система векторов евкли-
дова (или унитарного) пространства;у1г. ..,ук— ортогональная система,
полученная применением процесса ортогонализации к векторам хг,..хй.
Доказать, что
G(xj, ..., xt) = G(^x, .... = ...
Пользуясь этим результатом, установить связь между определителем
Грама системы векторов Xj, ..., хк и объемом параллелепипеда, натя-
нутого на эту систему.
3.3.19. Доказать, что определитель Грама G(Xj, ...,хА) равен
нулю, если система векторов хь ..., хк линейно зависима, и поло-
жителен, если эта система линейно независима.
3.3.20. Пусть А — произвольная квадратная матрица порядка и, дей-
ствительная или комплексная, аь ..., ап — строки этой матрицы, рас-
сматриваемые как векторы соответствующего арифметического про-
странства, G(ax, • • •, ап) —определитель Грама этой системы (как
обычно, считается, что скалярiroe произведение векторов х = («х> •
и _у = (р1, ..., р„) задается формулой (2.2.1) в случае пространства R„
и^рмуло» (х,,)_ «/,+ ...+<₽. <3.3.1)
70
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
для пространства Сл). Доказать, что
| det А |2 = 0 («j, ..., а„).
3.3,21* . Проверить, что в доказательстве свойств определителя
Грама, установленных в задачах 3.3.13—3,3.19, можно обойтись без
использования неравенства Коши—Буняковского, основываясь лишь
на теоремах об ортогональности векторов, и вывести это неравенство
из неотрицательности определителя Грама.
3.3.22. Доказать, что элемент определителя Грама, имеющий макси-
мальный модуль, стоит tia главной диагонали этого определителя (если
таких элементов несколько, то хотя бы один из них стоит на глав-
ной диагонали).
3.3.23. Доказать, что расстояние от вектора х евклидова (или
унитарного) пространства до линейного подпространства L, натяну-
того на линейно независимую систему векторов х1( можно
вычислить по формуле.’
Л)
k ’ LG (хь ..., хк) J
3.3.24. Доказать неравенство Адамара для определителей Грама
О (Хъ . . , , Хк) sg | Xi ]г ... | хк [2.
Показать, что знак равенства здесь достигается тогда и только тогда,
когда либо векторы ..., хк попарно ортогональны, либо хотя бы
один из этих векторов ранен нулю.
3.3.25* . Доказать следующее обобщение неравенства Адамара для
объемов параллелепипедов:
V (X], .... хг, х1+1, ..., xk)^V (хъ xi). V(xlJrl, ..., Хь),
где через V (,,.) обозначается объем параллелепипеда, натянутого на
соответствующую систему векторов.
Показать, что знак равенства здесь достигается тогда и только
тогда, когда либо
(х^ Xj) — Q, i = 1, ..., I, 1, ..., k,
либо хотя бы одна из подсистем хь ..., xt н Х;+1, ..., хк линейно
зависима. Сформулировать соответствующее свойство определителей
Грама,
3.3.26. Пусть хь ,.., xk„ь xk — линейно независимая система
векторов евклидова (или унитарного) пространства. Доказать, что при
любом векторе г справедливо следующее соотношение для объемов
параллелепипедов:
Г (*i. > хк, г) ^У (хь ..., хк. ь г)
Г Об, ..., У(х3, ... , Хь-!)
Вывести отсюда соответствующее свойство главных мидОров опреде-
лителя Грама.
5 3.4, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ
3.3.27* . Пусть Xj, ..., хк — произвольная система векторов. Дока-
зать неравенство: п
V*'*(Xi, ...,§ **)< П ---------х’ 1’ х")’
/=1
Выяснить геометрический смысл этого неравенства. Сформулировать
аналогичное свойство главных миноров определителя Грама.
3.3.28* . Пусть xt, ..., хк — оргонормированная система векторов.
Доказать, что для любого вектора в, длина которого меньше 1, спра-
ведливы неравенства;
1 - | е] < V(xv .... х&1, х;> xi+t, ... хк) 1 +| в |; ^=^4-е.
3.3.29. Определитель называется ортогональным, если его строки,
рассматриваемые как векторы арифметического пространства, образуют
ортонормированпую систему. Переформулировать утверждение за-
дачи 3.3.28 для ортогональных определителей.
3.3.30* . Интерпретируя модуль определителя порядка п как объем
в «-мерном арифметическом пространстве, выяснить геометрический
смысл модулей миноров /г-г о порядка (А<я).
3.3.31. Доказать, что миноры любого порядка ортогонального опре-
делителя по модулю не превосходят единицы:
а) пользуясь неравенством Адамара для определителей (см. за-
дачу 3.3.3);
б) исходя из геометрической интерпретации модулей миноров
(см. задачу 3.3.30),
Верно ли аналогичное утверждение для произвольных определи-
телей, по модулю равных единице и уже не являющихся ортогональ-
ными?
3.3.32. Показать, что следующий определитель порядка п
i 2 0 1 0 0 0 . 2 . 1 , . 0 0 , 0 0 . 0 0 (3.3.2)
0 0 0 . . 1 2
/ 0 0 0 , , 0 i
возмущением некоторого элемента, по модулю равным 2",л-п, можно
сделать ранным пулю- Найти это возмущение. Связать этот результат
с вопросом предыдущей задачи и объяснить его геометрически.
§ 3.4. Вычисление определителей методом исключения
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы рассматриваем различ-
ные вопросы, связанные с методом Гаусса для вычисления определителей, Мы
даем здесь четыре группы задач на следующие темы:
Связь элементов определителей, получаемых на различных этапах приведе-
ния к треугольному виду, с минорами исходного определителя.
Задачи для приобретения практики н применении метода Гдусса.
72
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Вычислительные аспекты метода —число арифметических onepa.jHg> необ-
ходимость контролировать рост элементов в процессе приведения, в СоЯзИ с чем
используются различные тактики перестановок.
Применение метода Гаусса к доказательству полезной теоремы (, КрОкете.
ровом произведении определителей и некоторые следствия этого результата.
3.4.1. При вычислении определителя матрицы А методов Гаусса
не производилось перестановок строк и столбцов, т. е. (едущими
элементами отдельных шагов были элементы, стоящие в позициях
(1,1), (2,2), ...,(« —1, п —1) соответственно. Доказать, ч0 после
р —1 шагов приведения все миноры порядка р, стоящие в ]ервых р
строках матрицы, не изменились. Показать также, что эти миноры
не изменяются и на дальнейших этапах приведения.
3.4,2, Пусть А — квадратная матрица порядка и. Главньд минор
порядка г. расположенный на пересе’гении строк и столбио! с номе*
рами 1, 2.....г, называется ведущим главным минором п>рЯдка г
матрицы А. Доказать, что если ведущие главные миноры мдрицы д
порядков 1, 2.....п —1 отличны от нуля, то отличны от (ул я и все
ведущие элементы р+] при проведении метода исключения для
этой матрицы. Найти выражения для ведущих элементов че^д глав-
ные миноры матрицы А.
3.4.3*. Доказать, что для матрицы А порядка п выполненс условие
предыдущей задачи, если
I atl | > 2 I ау|, *=1. ••• «.
/=(
i^i
При этом определитель матрицы А также не равен нулю.
3.4.4*. Доказать, что для матрицы Грама линейно независмой сис-
темы векторов jfj, ..,, хк евклидова (или унитарного) проуранства
выполнено условие задачи 3.4.2. При этом все ведущие Дементы
полученные в методе Гаусса для этой матрицы, будут поло:ительны
и не превышают максимального элемента исходной матрицы
3.4.5. Доказать, что если определитель матрицы А не раьн нулю,
то перестановкой строк и столбцов этой матрицы можно юбиться
того, чтобы все ведущие главные миноры были отличны 0Т|уЛД>
3.4.6*. При проведении метода Гаусса для матрицы Аюреста-
новок не было. Найти выражения ненулевых элементов р- строки
матрицы полученной после (р—1)-го шага, через мино^ исход-
ной матрицы.
3.4.7. Пользуясь результатом задачи 3.4.6, показать, го если
в матрице А порядка п равны нулю все миноры порядка г А, окайм-
ляющие ненулевой ведущий главный минор порядка г, I — 1
(определение окаймляющего минора дано в задаче 3.3.16), топреде-
литель матрицы А равен нулю.
3.4.3*. Доказать, что если в матрице А порядка п найде^ нену-
левой минор М порядка г, 1 ^n— 1, такой, что все адмляю-
Iff. $ ЭЛ, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ 73
Т(Цие его миноры порядка г 4-1 равны нулю, то определитель мат-
рицы А равен нулю. Отметить, что для справедливости высказанного
^.утверждения достаточно даже, чтобы были равны нулю лишь все
ркаймляющие миноры, расположенные в фиксированных г 4- 1 строках
матрицы А (г из этих строк совпадают со строками, в которых лежит
: минор М).
I 3.4.9’*'. Пользуясь методом Гаусса, доказать, что соотношение
‘между определителем d порядка п и его взаимным определителем d't
d'=d*~\
установленное в задаче 3.2.10 для треугольных определителей, спра-
ведливо ‘ для любого определителя d.
Применяя метод Гаусса, вычислить следующие определители:
3.4.10. I 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 4 3.4.11. 1 1 1 - 1 - 1 г ~1 -1 1 -1 1 -1 1 —i —1 i •
3.4.12. 0 1 2 3 3.4.13. 1 2 3 4
1 0 1 2 3 6 8 11
2 1 0 1 7 13 20 26 *
3 2 1 0 31 23 55 42
3.4.14. 1 2 3 4 3.4.15, I 2 3 4
3 4 5 6 3 4 5 6
5 6 7 8 ’ 5 6 7 9 ’
31 23 55 42 31 23 55 42
3.4.16*. 30 20 15 12 3.4.17* 1/2 1/3 1/4 1/5
20 15 12 10 1/3 1/4 /5 1/6
105 84 70 60 ’ 1/4 1/5 1/6 1/7 •
168 140 120 105 1/5 1/6 /7 1/8
3.4.18. 2 1000 4 0,08 3.4.19. 128 256 384 512
1 3000 -6 0,02 1/4 3/8 1/8 1/4
3 - 2000 2 —0,02 ’ 1/64 1/6' 1/64 — 1/64
2 - 1000 2 0 2 0 —4 -12
3.4.2а 1001 1002 1003 1004
1002 1003 1001 1002
1001 1001 1001 999 ’
1001 1000 998 999
3.4.21. 1 2 — 1 —0,002
3 8 0 —0,004
2 2 -4 -0,003 ’
3000 8000 -1000 —6
74
ГЛ, 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.4.22. 0 1 1 1 1 2 3 1 2 0 1 0 0 4 3 2 I 0 5 4 3 2 1 3.4.23. 1 1 I I 1 1 0 3 1 6 4 10 10 15 20 0 0 1 5 15 0 0 0 1 6
0 0
3.4^4. 1 1 1 1 1 3.4.25. 3 2 0 0 0
1 2 1 2 1 I 3 2 C 0
1 1 3 1 1 0 I 3 2 0 -
1 2 1 4 1 0 0 1 Z 2
1 1 1 1 5 0 0 0 3
3.4.26. ] 1 1 I 1 1
1 2 i 2 1 2
1 1 3 1 1 3
t 2 1 4 1 2 ‘
1 1 1 i 5 1
1 2 3 2 I 6
3.4.27. 1 10 1 00 1000 10000 100000
0,1 2 30 400 5000 60000
0 0,1 3 60 1000 15000
0 0 0,1 4 100 2000 *
0 0 0 0,1 5 150
0 0 0 0 0,1 6
3.4.28. Найти значение многочлена f(t), записанного в виде опре-
делителя
3-/ —I 1 3-f 0 1 0 0 0 0 0 0
0 —1 3-f 1 0 0
0 0 -1 3-f I 0 г
0 0 0 —1 3-f 1
0 0 0 0 —1 3—t
при / = 2.
3*4.29* Найти число операций умножения и деления, необходимых
для вычисления определи геля порядка п методом Гаусса. Сравнить
это число с числом операций умножения при вычислении определи-
теля, исходя непосредственно из его определения.
3.4.30. В предположении, что цри выполнении метода Гаусса не
было перестановок, найти число операций умножения и деления,
необходимых для вычисления:
а) почти треугольного определителя порядка п
«и «13 cia • , «1. >1- 2 й1. л-1 «1Л
«21 «и «2, Л .? а2, Л-1 «2Л
0 а33 «3, Л-2 ЯЭ Л -1 «Зл
0 0 0 . ' ап-- , ft -2 Ид-I, rt-i »Л-|, »
0 0 0 . .. 0 ЯЛ Л-| алл I
§ 3.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ 75
б) трехдиагонального определителя порядка п
fIl i>2 0 .. . 0 0
Ь3 .. 0 0
0 «я .. 0 0
0 0 0 . нп-1 &л
0 0 0 . Сп «л
3,4.31. Пусть нужно вычислить определитель rf„ порядка п, о кото-
ром известно, что он не ранец нулю, и окаймляющий
тель rfn+1 порядка «4-1:
его определи-
Организовать вычисления в методе Гаусса таким образом, чтобы для
получения обоих определителей с£„ и d^ требовалось то же коли-
чество операций умножения и деления, что и для нахождения одного
определителя порядка дЦ-1.
3.4.32. Требуется вычислить k определителей порядка п, отли-
чающихся друг от друга лишь последним столбцом. Известно, что
все определители отличны от нуля. Организовать вычисления в методе
Гаусса так, чтобы нахождение всех k определителей потребовало бы
лишь дополнительного количества 0(kn2) операций умножения но
сравнении с числом операций, нужных для вычисления одного опре-
делителя порядка п.
3.4.33*. Найти такой способ вычисления определителя порядка п
вида
°И агг Яц • • °1. ,1-1 «1л
^21 ^22 Саз “21 • • ач. п-1 «гл
Й31 0 «31 ' ttS, п-1 «Зп
о 0 «и . * ^4, П-1
«Л_1, 1 ° 0 0 ап-1. п- 1 йл-1. п
«Л1 а>!2 апз ^Л1 т • аП, п-1 апп
(здесь диагональные элементы а22, a„_t „.у отличны от нуля),
в котором число операций зависит от п как многочлен второй степени
(а не третьей, как в методе Гаусса для определителей общего вида).
3.4.34. Рассмотреть множество Dn определителей порядка и,
удовлетворяющих следующим условиям:
а) все элементы определителя ограничены по модулю единицей;
б) имеется элемент, модуль которого равен единице;
в) все ведущие главные миноры отличны от нуля.
76
ГЛ. 3. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Последнее условие позволяет при вычислении определителя иэ мно-
жества Dn пользоваться методом Гаусса без перестановок (см. задачу
3.4.2). Показать, однако, что если k — любое целое число из после-
довательности 1, 2, ..., п— 1; любое положительное число, то
найдется определитель из множества такой, что в матрице, полу-
ченной после k шагов метода Гаусса без перестановок, будет иметься
элемент по модулю превышающий число N. Тем самым, при
любой разрядности машинного слона вычислительной машины найдется
определитель из множества Dn, вычисление которого методом Гаусса
приведет к переполнению.
3.4.35* . Рассмотреть следующую модификацию метода Гаусса,
предназначенную для того, чтобы избежать указанного в задаче 3.4.34
переполнения. После завершения k шагов приведения к треуголь-
ному виду в качестве ведущего элемента очередного (Аф-1)-го шага
берется максимальный по модулю из элементов р ,,...
..., Пусть это будет элемент ]t j k ф- 1; тогда пере-
ставляются строки с номерами Аф-1 и у, чтобы максимальный по
модулю элемент перешел в позицию (Аф-1, Аф-1), после чего выпол-
няются обычные преобразования метода Гаусса на (Аф- 1)-м шаге.
Эта модификация называется методом исключения с выбором веду-
щего элемента по столбцу. Доказать, что в этом методе;
б) если все элементы aj^, A+l, Ч+2.*-Н- --» 4%-н врущего
столбца равны нулю, то равен нулю исходный определитель;
6) для любой позиции ((', j)
| a'f. +1 > | 2 max | а<*»
в) для определителя порядка п все элементы, получающиеся
в процессе приведения к треугольному виду, не более чем в 2П-1
раз превышают по модулю максимальный элемент исходного опре-
делителя.
3.4.36*. Построить пример, подтверждающий, что в методе Гаусса
с выбором ведущего элемента по столбцу в процессе приведения
к треугольному виду возможен рост максимального модуля элемен-
тов, достигающий оценки, данной в задаче 3.4,35, в).
3.4.37, Доказать, что при применении метода Гаусса с выбором
ведущего элемента по столбцу:
а) для почти треугольного определителя порядка п максимальный
модуль элементов может возрасти в процессе приведения не более
чем в п раз;
б) для трехдиагонального определителя порядка п- рост макси-
мального модуля в процессе приведения не превышает двух, т. е.
max I 1 2 max | arS |, I k п — 1.
t, S 1 г, 8
3.4.38. Как показывает задача 3.4.36, в методе Гаусса с выбором
ведущего элемента по столбцу все же возможен быстрый рост макси-
S 3.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ 7?
мяльного модуля элементов. Следствием этого может опять-таки быть
переполнение при вычислении определителя достаточно высокого
порядка на вычислительной машине. В связи с этим иногда приме-
'• няют другую модификацию метода Гаусса: ведущим элементом (й+ 1)-го
: шага берут максимальный по модулю элемент подматрицы порядка
ft — k, стоящей в правом нижнем углу матрицы Л1*', полученной
после предыдущих k шагов. Производится перестановка строк и
.' столбцов с номерами, ббльшими k, с тем, чтобы максимальный по
модулю элемент перешел в позицию (А+ С А + 1)1 после чего (Аф. 1)-й
• шаг метода Гаусса происходит обычным образом. Эту модификацию
1 называют методом Гаусса с полным выбором (или с выбором по всей
’’ матрице). Доказать, что в методе Гаусса с полным выбором модуль
ведущего элемента (А-|-1)-го шага не более чем вдвое превосходит
модуль ведущего элемента А-го шага. Верно ли аналогичное утвер-
ждение для метода Гаусса с выбором по столбцу?
3.4.39*. Существует гипотеза, что в методе Гаусса с полным
выбором рост максимального модуля элементов для определителя
порядка п с действительными элементами не превосходит п. Поль-
зуясь результатом задачи 3.3.8, доказать эту гипотезу для л—3.
3.4.40. Из результата предыдущей задачи вывести, что при при-
менении метода Гаусса с полным выбором:
а) для действительных матриц порядка 4 рост максимального
модуля не превосходит 6;
б) для действительных матриц порядка 5 рост максимального
модуля не превосходит 9.
3.4.41*. Кронекеровым произведением определителей
порядка л и
det А— «и «S1 ®12 . °1Л
°Л2 •• &пп
612 - 61т
det В =
бдаг - бтт
порядка т называется следующий определитель порядка тп\
D —
«11*11 <711612 . д1А<п
аЛ16ц алг613 алл612 .. ап161Л1 .
ац6а1 . .. вщби O11&22 - Й1Л6И .
«Л1&а1 • - алл6я1 ал16м алл6и . ап1Ь%т * .. ЯлЯ6ат
* • а1л6/П1 • • **
1 ал1^та * * - * ** Gnnbrfirn |
78
ГЛ. S. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Таким образом, матрица определителя D состоит из тг клеток
порядка п. Эти Клетки получаются из матрицы А умножением всех
ее элементов соответственно на йн> Ьг,, .... bt/n, b31, b22.b2n„ ...
..., bml. btn-., ..., bmm. Используя метод Гаусса, доказать, что
D = (det Л У" (det В)*.
3.4.42. Доказать, что кронекерово произведение двух ортогональ-
ных определителей: d порядка п и d' порядка т, —есть ортого-
нальный определитель порядка тп.
3.4.43. Найти связь между определителем матрицы А порядка п
и определителями
образом:
а) М — А \.
\Л А '
в) (2А ЗЛ\
\ Л 2А)'
матриц порядка 2», составленных следующим
б)
Г)
/ А -А
\~ А А
! А ЗЛ\
(,2Л 5Л
ГЛАВА 4
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 4.0. Терминология и общие замечания
Прямоугольная числовая таблица, состоящая из т строк и и
столбцов,
ац а|4 • •• al/i |
А = " а2П 1
Urnl °ms • 1
называется прямоугольной матрицей с размерами тУп (или туп —
матрицей), действительной или комплексной, смотря ио тому, дей-
ствительны или комплексны элементы этой матрицы.
Минор порядка k определяется для прямоугольной матрицы так
же как это сделано к § 3.0 для частного случая Квадратной матрицы.
При этом k min (т, д). Сохраняется и обозначение минора:
А
/О
••• <*\
Наивысший порядок г отличных от нуля миноров матрицы А
называется рангам этой матрицы, а всякий ненулевой минор
порядка г — базисным минором матрицы А. Если все элементы
матрицы равны нулю (такая матрица называется нулевой), то ее ранг
полагается равным нулю по определению.
Если рассматривать строки матрицы А как «-мерные векторы,
а столбцы —как /«-мерные векторы, то и ранг системы строк, и
ранг системы столбцов равны рангу матрицы А, Отсюда вытекает,
что ранг транспонированной «X/л —матрицы Аг (см. § 3.0) совпа-
дает с рангом А.
Пусть в /г-мерном линейном пространстве V7 фиксированы век-
тор х0 и подпространство L. Множество Р всех векторов вида
№Л’о+у, y = L,
называется плоскостью, полученной сдвигом подпространства L
на вектор л‘о, и обозначается При этом .г0 называется век-
тором сдвига, a L — направляющим подпространством плоское ги Р.
80
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если представить подпространство L как линейную оболочку
£ (?t> <?2> - то можно записать параметрическое уравнение
'1оскости Р. -V = -¥0 + . + tkqkl
здесь параметры it, i2, ..., h принимают произвольные числовые
значения.
Можно показать (см. 4.2.1), что направляющее подпространство
Для данной плоскости определено однозначно. Поэтому всякой плоскости
можно приписать размерность, равную размерности ее направляющего
подпространства. При этом плоскость размерности I называется пря-
«ой линией, а плоскость размерности (п — 1) — гиперплоскостью.
Плоскости Pj=Xj + 1г и p2 = xa4-L2 называются параллель-
ными, если LtczL2 либо Lt<z.Ll.
Приведем еще некоторые определения и результаты, относящиеся
к системам линейных уравнений (вопрос о системах рассматривался
также в § 1.0).
Система линейных уравнений называется однородной, если правые
части всех уравнений этой системы равны нулю, и неоднородной —
в йротивном случае.
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных,
называется матрице# данной системы уравнений. Если к А при-
писать столбец правых частей системы, получится так называемая
расширенная матрица системы А.
Пусть в системе уравнений число неизвестных равно числу урав-
нений, Тогда матрица А системы квадратная, и условие det А 0
обеспечивает ее совместность и определенность. Единственное реше-
ние xi, • -, хп может быть в этом случае вычислено по формулам
Крамера;
det Ai , <
' det A ’ ’ ’
где А; —матрица, полученная из А заменой /-го столбца столбцом
правых частей.
Два замечания о задачах этой главы. В § 4.2 дан ряд вычисли-
тельных задач па определение взаимного расположения плоскостей
в линейном пространстве. Эти задачи могут быть решены методами
главы 1: нахождение ранга данной системы векторов, пересечения
ДВУХ линейных оболочек, и т. д.
Как показано в § 4.5, множество решений неоднородной системы
линейных уравнений можно рассматривать как плоскость в арифме-
1ИЧеском пространстве. Пусть в пространстве введено скалярное про-
изведение. Среди векторов любой плоскости имеется, причем един-
ственный, вектор, ортогональный к направляющему подпространству
этой плоскости (см. задачу 4.3.11). Он называется нормальным век-
тором. Соответствующее решение системы линейных уравнений назы-
вается нормальным решением. Это понятие используется, например,
в задаче 4 5.36,
5 4.1. РАНГ МАТРИЦЫ
81
§ 4.1. Ранг матрицы
О задачах параграфа- В настоящем параграфе мы приводим ряд задач,
иллюстрирующих различные определения ранга матрицы и их применение
к нахождению ранга конкретных матриц.
4.1.1. Доказать, что в любых г линейно независимых строках
(столбцах) матрицы найдется ненулевой минор порядка г.
4.1.2* . В прямоугольной т X «-матрице А (т5'п) имеется минор
(л — 1)-го порядка, Отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры
порядка л равны нулю. Доказать, что равны нулю все миноры
порядка я матрицы А и, следовательно, ранг А равен л—1.
4.1.3* . В матрице А имеется ненулевой минор М порядка г; все
миноры, окаймляющие минор Ж, равны нулю. Доказать, что ранг А ранен г.
4.1.4. Что можно сказать о т X «-матрице (да>л) ранга п, если
в ней имеется лишь один базисный минор?
4.1.5* . Что можно сказать о произвольной т х «-матрице, если
в ней имеется лишь один базисный минор?
4.1,6* . Доказать, что в матрице ранга г на пересечении любых г
линейно независимых строк и г линейно независимых столбцов стоит
ненулевой минор порядка г.
4.1.7. Квадратная матрица А называется симметричной, если
а.ц = ар для любых i, /. Доказать, что ранг симметричной матрицы
равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой
матрицы.
4.1,8. Показать, что утверждение задачи 4.1.7 справедливо и для
комплексной эрмитовой матрицы А, т. е. матрицы, у которой а^ =
— а» для любых г, J.
4.1,9* . Доказать, что ранг произвольной системы векторов евклидова
(или унитарного) пространства равен рангу матрицы Грама этой системы.
4.1,10. Квадратная матрица А называется кососимметричной,
если — ajt для любых l,j. Доказать, что ранг кососимметричной
матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля главных мино-
ров этой матрицы,
4.1.11. Доказать, что ранг кососимметричной матрицы — число
четное.
4.1.12. Определитель квадратной матрицы порядка п не равен
нулю. Доказать, что для любого г, — 1, перестановками
только строк можно добиться того, чтобы ведущий главный минор
порядка г этой матрицы был отличен от нуля.
4.1,13. Доказать, что перестановками только строк квадратной
матрицы с ненулевым определителем можно добиться, чтобы все веду-
щие главные миноры этой матрицы были отличны от нуля.
4.1,14. Ранг /и х n-матрииы А равен 1. Доказать, что найдутся
числа .,., Ьт и c-L,...,cn такие, что для всех I, J
ац—Ь ct.
Единственным ли образом определены эти числа?
82
ГЛ, 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4,1.15. Строки т х «-матрицы Д ортогональны как векторы «-мер-
ного арифметического пространства; при этом в каждой строке име-
ется хотя бы один ненулевой элемент. Доказать, что п^т.
4.1.16. Доказать, что ранг матрицы Д вида
л=|?" “J
равен сумме рангов подматриц Дп и Д2г (через 0 обозначены нуле-
вые подматрицы соответствующих размеров).
4.1,17, Верно ли следующее утверждение: ранг матрицы Д вида
Д __ [ Ац Д12
“||о ли||
всегда равен сумме рангов подматриц <4П и Л2г?
4,1,18. Как может измениться ранг матрицы, если изменить значе-
ние одного ее элемента?
4.1.19. Как может измениться ранг матрицы при изменении эле-
ментов лишь одной строки? А строк?
4.1,20^ . Доказать, что в и х «-матрице ранга г найдутся k элемен-
тов таких, что сколь угодно малое по абсолютной величине их изме-
нение повышает ранг матрицы до г k, 1 йТ £ <:« — г.
4.1.21, Указать возможные значения ранга матрицы вида
0 0 ... 0 а1п
0 0 ... 0 а^п
0 0 "-О ап1-Ь п
°mi от, n_i ата I
4,1.22, Доказать, что в квадратной « х «-матрице с ненулевым опре-
делителем ранг любой квадратной подматрицы порядка л — 1 це меньше,
чем « — 2.
4.1.23. Доказать, что две системы векторов арифметического про-
странства v __ ,
^1 — (я11, • • ч ali> • • • > а1/> , а1ч)>
— (а 21, ,.,, «2т> • • • > ае« • > йал),
Хк — (а*1, • , а/И, ' ' ак/, • , ййл)
и
>'1=(ан, - •. йг/> , «и, Оц),
У 2 = ( а21, - , аа/, . . > йат, • . . , й2л),
У к (aT ], “ • , ak/> • • • > ^ki’ • • г акп.)
имеют одинаковый ранг.
4,1,24, Доказать, что размерность линейной оболочки, натянутой
на систему векторов равна рангу матрицы, составленной
из координат этих векторов в произвольном базисе пространства.
$ 4.1. РАНГ МАТРИЦЫ
83
4.1.25. Доказать, что вектор b тогда и только тогда принадлежит
линейной оболочке векторов .... хк, когда ранг матрицы, состав-
ленной из координат векторов л-,,..., хк в каком-либо базисе про-
странства, равен рангу «расширенной» матрицы, составленной из
координат в том же базисе векторов Xj,..., хк, Ь.
4.1.26. Доказать, что элементарные преобразовании (см. задачу 1.2.17)
системы строк или системы столбцов матрицы не изменяют ее ранга.
4,1,27. Доказать, ч то всякую in х «-матрицу элементарными преобра-
зованиями строк и столбцов можно привести к виду
«11 °12 “ °1Г Я1П
О а22 ... а2г ...
О 0 ... агг ... агп
О 0 ... О ,., О
О 0 .,,0 ... О
где йц, «22, ..., агг отличны от нуля и г равно рангу исходной матрицы
Сравнить это утверждение с задачей 1.2.18.
Вычислить ранг следующих матриц:
4.1.28. 37 259 481 407 4.1.29. 2 5-1 4 3
19 133 247 209 -31201
25 175 325 275 41 G -1 -I
-2 3 0 4 —9
4.1.30*. 1241 134 702 381 -987 225 273 562 -1111 —165 213 । 49 1 •
4.1.31. 1 -3 2 0 1 4
— 1 5 2 3 5
6 —12 3 — 7 - -8 ‘
-3 7 9 4 15
4.1.32. -5 3 — 4 0 3 — 4
4 0 0 -1 3 0
-3 1 0 2 0 0
2 0 0 -3 0 4
-1 0 2 4 0 0
4.1.33. 9 — 12 3 - -4 12 -16
-15 21 -5 7 —20 28
18 -24 6 - 8 15 -20
-30 42 - 10 14 -25 35
4,1,34, Найти размерность линейного подпространства, натянутого
на систему векторов х1 = (73, —51, 13, 42, 15), хгв(44, —32, о, 25, 3),
х3 = (76, —52, 16, 44, 18), х4 = (—37, 27, —4, —21, —2).
84
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1.35. Линейное подпространство L натянуто на векторы х1 = (2,
4, 8, —4, 7), х2 = (4, —2, —I, 3, 1), х3 = (3, 5, 2, —2, 4), х* = (—5,
1, 7, „6, 2),
Принадлежат ли этому подпространству векторы:
а) ^ = (6, 18, 1, —9, 8);
б) ftg=(6, 18, 1, —94-8, 8);
в) Z»3 ~ (6, 18, 1, "9, 8 8),
Здесь 8 — любое число, отличное от нуля,
4,1.36* . Доказать, что ранг Лхл-матрицы А вида
1 а? ... а?-’
1 а, а® ... а?”1
1 ак ... а% ~1
где k^n и а1( й2, д* — различные числа, равен k.
§ 4.2. Плоскости в линейном пространстве
О задачах параграфа. Задачи настоящего параграфа относятся в основном
к следующим двум вопросам;
Определение плоскости в линейном пространстве, размерность плоскости.
Взаимное положение плоскостей.
В конце параграфа мы устанавливаем некоторые соотношения между пло-
скостями произвольной размерности и гиперплоскостями,
4,2.1. Доказать, что две плоскости P1 = x14-L1 и pa = x24-L2
совпадают тогда и только тогда, когда L1—L2 и xt — x2eLt. Тем
самым направляющее подпространство для каждой плоскости опре-
делено однозначно,
4.2.2. Из результата предыдущей задачи вывести, что в качестве
вектора сдвига для данной плоскости можно взять любой ее вектор,
4.2,3. Доказать, что если векторы xt и х2 принадлежат пло-
скости P = x04-L, то — x2'eL, Наоборот, если х, е Р и х2—
то х2 ЕЕ Р.
4,2,4. Доказать, что плоскость Р = х04-^ тогда и только тогда
является подпространством, когда х0 е L.
4,2.5. Доказать, что для того, чтобы плоскость p = x04-L была
подпространством, достаточно, чтобы сумма каких-либо векторов Xj
и хг из Р принадлежала L.
4.2.6. Доказать, что пересечение плоскости P = x04-L с любым
подпространством, дополнительным к L, состоит только из одного
вектора,
4.2.7. Что представляет собой плоскость размерности О?
4.2,8. Что представляет собой плоскость размерности п в «-мер-
ном линейном пространстве V?
5 4-2. ПЛОСКОСТИ Б ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
85
4,2.9. Доказать, что в пространстве многочленов степени п
множество многочленов /(/), удовлетворяющих условию —
где а и Ь — фиксированные числа, является плоскостью. Найти раз-
мерность этой плоскости.
4.2.10. Доказать, что в плоскости размерности k, не являющейся
подпространством, можно найти линейно независимую систему, состоя-
щую из АД- I векторов,
4.2.11. Доказать, что в плоскости размерности k всякая система,
состоящая из А-|-2 векторов, линейно зависима,
4.2,12. Доказать, что для любых АД-1 линейно независимых век-
торов существует, причем единственная, плоскость размерности k,
содержащая эти векторы.
4,2,13. Доказать, что плоскость размерности k, содержащая
линейно независимые векторы x6l xlt xkl может быть описана
как множество всех линейных комбинаций а0х0 Д- Д-,,. Д- а,кхк.
удовлетворяющих условию Ц-...а/, =-1,
4.2.14, Доказать, что если пересечение двух плоскостей Рг —
= х, Д- Lj и Р2— Д- L2 непусто, то оно является плоскостью
с направляющим подпространством Г1П/.г,
4,2,15. Суммой Pi-\-P2 плоскостей р1~х1-\- и Р2 —x2-|-L2
назовем множество всех векторов вида г1Д-г8, где -’jEPi,
г2 е Р2. Доказать, что сумма плоскостей Р, и Р2 также является
плоскостью. Найти ее направляющее подпространство,
4.2,16. Произведением кР плоскости р — х9-\- L на число К
назовем множество всех векторов вида 1г, где z е Р. Доказать, что
произведение плоскости Р на число 1 есть также плоскость. Найти
ее направляющее подпространство,
4.2,17, В линейном пространстве V фиксировано подпростран-
ство L, Будет ли множество Л1 всех плоскостей пространства V,
полученных сдвигом подпространства /,, линейным пространством
относительно операций сложения и умножения на число, определен-
ных в задачах 4,2,15 и 4,2,16?
4,2.18. Изменить определение операции умножения плоскости на
число таким образом, чтобы множество Л1 задачи 4,2,17 стало линей-
ным пространством. Указать нулевой элемент этого пространства,
(Полученное пространство М называется фактортространством
пространства V по подпространству L.)
4.2.19. Пусть в условиях задачи 4,2,18 L — A-мерное подпростран-
ство «-мерного пространства V. Какова размерность пространст-
ва 7И?
4.2.20, В пространстве R6 дана плоскость х —Xo-Hipi-HaP2’
где х0 = (2, 3, -1, 1, 1), pi = (3, — 1, 1,-1, 1), = 1, 1, 1, 1, - 1).
Установить, принадлежат ли этой плоскости векторы z~(l,6, 4,
4, -2) и V — (1, 6, 5, 4, -2)?
4.2.21. Доказать, что если прямая имеет два общих вектора с пло-
скостью, то она содержится в этой плоскости.
86
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4,2.22. Определить взаимное положение плоскости Р — х0_^^
где л*0 = (1, 0, 0, 1), a L натянуто на векторы у1='=(5, 2, —3,
у2"^(4, 1, — 1,0),у/3 = (—1,2, —5,3), и прямых:
a) x = xt + ^i,
б) X *=X2-^-tq2l
в) x = x3-\-tq3,
xt = (3, 1, —4, 1),
х2-=(3, 0, —4, 1),
*з = е-2, 0, - 1, 2),
?, = (-!. J> 2, 1);
?2=(— 1, 1, 2, 1);
7з-=(1, 1, —2, 1),
4.2.23. Доказать, что прямые х = х}-\- и x = x2Jrfq2i гДе
Х] = (9, 3, 6, 15, —3), 9, = (7, —4, 11, 13, —5), х2 —(—7,2,
— 5, 3), <)2 = (2, 9, — 10, —6, 4), пересекаются. Найти их переьече’
ние. Указать плоскость размерности 2, в которой лежат эти пряЧ].1е_
4.2.24* . Доказать, что прямые х = х,-|-^г и х ~х2^1д2, где
ЛД = (8, 2, 5, 15, —3), <7,=(7, —4, 11, 13, —5), хг=(—7,2,
— 5, 3), q2=?(2t 9, —10, —6, 4), ле пересекаются. Построить пл0.'
скость размерности 3, содержащую обе эти прямые.
Определить взаимное положение плоскостей Р, = х0 -f-
и Р2—уа-\- t2q2',
4.2.25. *о = (3, 1, 2, 0, 1), />,=(2, -6, 3, 1, -6),
4’о = (1, 0, 1, 1. 0), <?,-=(- 1, 1, - 1, 0, 1)’
pi— (0, 5, — 2, — I, 6),
?3 = (- 1, 3, -1, -1,2).
4.2.26. х0 = (7, —4, 0, 3, 2), pt~(— 1, 1, 1, 1, О, 1),
V0=(6, -5, -1,2,3), ?1=(1, 1, -1,1, Ра = (1, ~ 1, h 1, I), = 1, 1, -1, I).
4.2.27. хэ = (2, -3, 1, 5, 0), р! = (3, —2, 1, 0, 1), >о = (О, “1, °, 4, 1), 9i = (l, 2, 4, 0, -2), Рг~^(— L 5, — 2, 0, 3), q2 — (б, 3, 4, 0, 3).
4.2.28. It О II 7 I JN2 1 N3 JI 1, 3),
Jo=(— 1, °- 3, 3, 8), 9i = (’, Ь -3, р2 = (- 1, 2, 1, 2, -2), 9г = (0, 1, 2, 3, I). -3, 1),
4.2.29. х0 = (1, 2, 0, 2, 1), ^ = (5, —2, 6, 1, —4), у0=(1, 2, 1, 2, 1), ^ = (1, -4, 0, 1, -6), р2 = (2, 1, 3, 0, 1), 9г = (— 3, 3, —3, - 1, 5).
4.2.30. jc0 = (4, 1, 10, —3, 5), р,=(2, 1, 3, 0, 1),
уо = (— 3, 2, 1, -4, 8), 91 = (3, -3, 3, 1, Р« = (Ъ —4, 0, 1, —6), —2, 6, 1, —4). -5),
§ 4.3. ПЛОСКОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
87
4.2.31, Доказать, что если прямая x = x0-|-fy и гиперплоскость
л=.Уо4-£ не пересекаются, то <у <= /..
4.2.32. Доказать, что если гиперплоскости Л)=л0и па =
= >’о + ^-2 не пересекаются, то L^ — Lz.
4.2.33s, Доказать, что если пересечение гиперплоскостей л......
.л& в-мерного пространства непусто, то оно есть плоскость, раз-
мерность которой не меньше п~ k.
4.2.34*. Доказать, что всякую плоскость размерности k в « мерном
пространстве можно задать как пересечение п — k гиперплоскостей.
§ 4.3. Плоскости в евклидовом пространстве
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы обсуждаем различные
способы представления гиперплоскостей в евклидовом пространстве и устанав-
ливаем соответствие между плоскостями и системами линейных уравнений.
Мы вводим затем понятие нормального вектора плоскости н рассматриваем
некоторые геометрические задачи, связанные е определением расстояний,
В заключение мы считаем важным отметить, что описание плоскостей систе-
мами линейных уравнений, получен ное нами для ортоцормированпых базисов
евклидова пространства, на самом деле имеет место в любом базисе линейного
Пространства.
4,3.1* . Доказать, что множество всех векторов еиклидова (упи-
тарного) пространства И, удовлетворяющих условию (я, х) = 6, где
л —фиксированный ненулевой вектор, а Ь~ заданное число, есть
гиперплоскость этого пространства. В каком случае эта гиперпло-
скость является подпространством?
4.3.2. Показать, что гиперплоскость, заданную условием (л, х) = Ь,
можно описать и условием (п, х — хо) = О, где — произвольный
вектор этой гиперплоскости.
4.3.3* . Доказать, что всякую гиперплоскость евклидова простран-
ства можно задать условием вида (л, х) = 6.
4.3,4. Доказать, что если условия (л,, x) — bt и (л2, х) — Ь2 опре-
деляют одну и ту же гиперплоскость, то для неко-
торого ненулевого числа а.
4.3.5. В пространстве многочленов степени скалярное произ-
ведение определено формулой (2.3.1), Для гиперплоскости, заданной
условием /(<.’) = (/, найти запись вида (n,f)~b. Указать соответст-
вуюгций многочлен п (t).
4.3.6. Всякую лп гиперплоскость пространства многочленов
(см. предыдущую задачу) можно задать условием вида /(r) = rf?
4.3.7. Доказать, что в каждом ортонормированием базисе прост-
ранства всякая гиперплоскость может быть описана уравнением пер-
вой степени
tai 4“ jl^2ct2 4" •. Ц-=Ь
относительно координат аь а2......ал векторов этой гиперплоскости,
88
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.3.8* . Доказать, что если пересечение гиперплоскостей «-мерного
пространства {Яь =
(п2, х) = Ь,,
(nk, x) = bk
непусто, то оно представляет собой плоскость, размерность которой
равна п — г, где г — ранг системы векторов пь nk.
4.3.9, В евклидовом (унитарном) пространстве Е фиксирован орто-
нормированный базис <?1( еп. Доказать, что:
а) если
а11«1 + + • • • + а^п = Ьг,
йг1а1 4“------------h йзпал =
aml&l 4“ • • • 4" — Ьт
—произвольная совместная система линейных уравнений с п неизве-
стными, то множество векторов z, координаты которых в базисе
elt...,e„ удовлетворяют этой системе, является плоскостью прост-
ранства Е. Размерность этой плоскости равна п — r, где г —ранг
матрицы
«12 -• «in
«21 «22 .. Ощ,
«та
б) всякую плоскость Р пространства Е можно описать некоторой
системой линейных уравнений. Последнее означает, что вектор z
тогда и только тогда принадлежит плоскости Р, когда его коорди-
наты в базисе еь ..., еп удовлетворяют данной системе. Если г —
размерность плоскости Р, то всякая система, описывающая эту пло-
скость, состоит не менее, чем из п — г уравнений, причем существует
такая система, состоящая ровно из н — г уравнений.
4.3.10. Найти систему линейных уравнений, описывающую пло-
скость p=x0-|- L, где х0 = (1, I, 1, 1), a L натянуто на векторы
У1 = (1, 3, 0, 2), уа = (3, 7, - 1, 2), у3 = (2, 4, - 1, 0).
4.3.11. Доказать, что среди векторов любой плоскости Р имеется,
причем единственный, вектор z0, ортогональный к направляющему
подпространству этой плоскости. Вектор z0 называется нормальным
вектором плоскости Р.
4.3.12. Показать, что среди всех векторов плоскости Р нормаль-
ный вектор z0 имеет наименьшую длину.
4.3.13. Показать, что нормальный вектор z0 плоскости Р равен
перпендикуляру, опущенному из произвольного вектора этой плоско-
сти на направляющее подпространство.
4.3.14. Найти нормальный вектор z0 для гиперплоскости, заданной
условием (п, х) = Ь.
BL $ 4.3. ПЛОСКОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 89
К: 4.3.15. Пусть z0 — нормальный вектор плоскости Р (не совпадаю-
И'щей со всем пространством). Доказать, что плоскость Р содержится
Кв гиперплоскости (д0, х) = (<о, ~о)-
В. 4.3.15. В пространстве многочленов степени гСд со скалярным
В произведением (2.3.1) определить нормальный вектор для плоскости,
В веданной условиями /(0)=1, /(1) = 1.
К 4.3.17. Расстоянием между вектором х и плоскостью р =
В = ^о4-Г называется число
К Р (•*, P)= inf р(х, а).
В не?
К Доказать, что расстояние р(х, Р) равно длине перпендикуляра, опу-
К щенного из вектора х~ха на подпространство L.
ш 4,3.18. Подпространство L натянуто на линейно независимую
№< систему векторов ylt ..., yk. Используя результат задачи 4.3.17
Н и свойства определителей Грама, доказать, что расстояние от вектора
Е!; х до плоскости p = xc-\-L равно
|: о(х r>}-(G
I \ G(yt, ....у*) j '
К 4.3,19. Найти расстояние от вектора х = (5, 3, —1, — 1) до пло-
К- скости р — хаL, где х0 —(О, 0, —3, 6), a L натянуто на систему
К1 векторов _У1 —(1, 0, 2, —2), >'а — (0, 1, 2, 0), у3==(2, 1, 6, —4).
|; 4.3.20. Расстоянием между двумя плоскостями p1 = jc1_|_L1
№. и ра = х2-|-£г называется число
I Р (Pi. Рг) = inf Р («! «а)-
р: а, еР>, ^еР,
в Доказать, что расстояние р(Рь Р2) равно длине перпендикуляра, опу-
В' щенного из вектора лу — А‘а на подпространство L = Li-|-L2.
И 4.3.21. Доказать, что квадрат расстояния между прямыми =
L и = равен:
I а) ps(A, (q '~q 7 1 если пРямые и не параллельны;
I б) рг(4, ^г)— , если пРяМЫе и 4 параллельны.
| Найти расстояние между прямыми lJ = x1+tq1 и Za = х2tq2:
4.3.22. Xi = (5, 2, 0, 3), ^ = (1, 2, -4, 1); х2=(3, -1,3, 1),
' 9г~(Ь 0, - 1, 0).
L 4.3.23. ^ = (6, 4, 3, 2), ?] = (1, 1, -1, -1); хг = (2, 1,4,3),
? ?s = (— 3, — 3, 3, 3).
Г Найти расстояние между плоскостями Pi-xf)-\-t1pl-irt2p2 и Р2 =
। = 5'о Ц- 4"
4.3.24. х0 = (39, 37, 111, 13, 54), ^ = (1,1,0, -1, -1),
_Уо = (42, - 16, -39, 71, 3), ?i = (l, 1, 0, 1, 1),
г р2=(1, -I, 0, -1, 1),
I ^=(1, -1, 0. 1. -1).
90
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.3.25. х0 = (5, О, -1, 9, 3), ^ = (1. 1, 0, -1. -1).
Jo=..(3, 2, 7, 5), <л = (1, 1. О, 1, 1),
/>3 = (1, — 1, С, — 1, 1).
9а = (0, 3, О, 1, -2).
4.3.26. х0 = (4. 2, 2, S. 0), = 2. 2. - 1. I).
>« = (-’, 1, -1,0,2), <7i = (S. 7* ~2. -1).
1. -2 1, - 1),
?з = (-б. -S 2, -1, 1).
4.3,27. Доказать, что в любом базисе линейного пространства
всякая гиперплоскость дожет быть описана уравнением первой сте-
пени относительно коорхинат векторов этой гиперплоскости (ср. с за-
дачей 4.3.7).
4.3.23. Доказать, чтс в любом базисе линейного пространства
всякая плоскость размерности г может быть описана системой л —г
линейных уравнений относительно координат векторов этой плоскости.
4.3.29. Пусть Р — насогорая плоскость линейного пространства,
не являющаяся подпространством; х —произвольный вектор этой пло-
скости. Показать, что в пространстве можно ввести скалярное про-
изведение таким образен, чтобы х был нормальным вектором пло-
скости Р,
§ 4.4. Однородные системы линейных уравнений
О задачах параграфа, Задачи, относящиеся к однородным системам линей-
ных уравнений, мы сочли ум<суным выделить в отдельный параграф: в отличие
от неоднородного случая, ;десь пе возникает вопроса о совместности, да
и алгебраическая структура множества решений иная — подпространство для
однородной системы и плосклсть для неоднородной.
Основное внимание удетено двум традиционным задачам—нахождению
общего решения и построенио фундаментальной системы решений. Мы хотели
подчеркнуть связь между этими двумя способами описания подпространства
решений однородной системы-задача 4.4.13. показывает, что формулы общего
решения, по существу, сов1адают с описанием этого подпространства через
специальную фундаментальною систему.
В конце параграфа мы указываем некоторые приложения однородных
систем линейных уравнений к задачам линейного пространства —нахождению
базиса и размерности подпрсетранства, проверке эквивалентности двух систем
векторов и т, п.
4,4.1. Показать, что множество решений произвольной однород-
ной системы линейных уравнений является подпространством. При
этом решения рассматривгются как векторы соответствующего ариф-
метического пространства,
4.4,2. Две однородные системы линейных уравнений
+^хл = 0,
\
S 4.4. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 91
И
... -{-Ь1пхп = 0,
I -\-!}inxn = ^
Е называются эквивалентными, если они имеют одно и то же мно-
L жество решений. Доказать, что указанные системы эквивалентны
I тогда и только тогда, когда эквивалентны системы векторов
«1=(«п......а1я),
Е — (^ml> • • > ®тп)
I И
......ьы),
I ‘vt=(btl...^1п)-
4.4,3. Однородная система из т уравнений с п неизвестными
। имеет матрицу коэффициентов при неизвестных, ранг которой равен г.
I Доказать, что размерность подпространства решений этой системы равна
[ п— г.
4.4.4. Указать все значения параметра X, при которых система
I уравнений
г (8 — X) х4 4- 2л'., 4* Зх3 4~ X х4 = 0.
l Xi (9 — X) х3 4х3 4- X х4 = 0,
f х44- 2х2 4- (10 — X) х3 4- X х4 = 0,
; х, 4- 2х2 4- Зх3 4- X х4 = 0
i не определена.
Найти размерность подпространства решений системы в зависи-
мости от значения параметра X:
4.4.5. (1 — X) хг4- Хх2 4- 2Хх3 4-2Х х4 = 0,
(-14- X)Xj4- (2 — 2Х) х3 - 2Хх3 — 2Х х4 = 0,
(I — X) х4 4~ X х2 4- (2 4~ X) х3 4- 0 4- 2Х) х4 О,
(— 1 4- Х)х4 — Хх2 — 2Хх34-(2 — ЗХ) х4= 0.
4.4.6. — 4xt 4- (2 4- хг + 2Х х3 Д- 2Х х4 = 0,
X х4 4- 0 + Х)х24-Хх34-Хх4 = 0,
X х4 4- 4- X) х3 — 2х3 4“ X х4 = 0,
— X х4 — (1 4-X)х2 — Xх3 — (^4”2Х)х4 --0.
4.4.7. Пусть однородная система уравнений имеет ранг г. Дока-
зать. что перестановкой уравнений и изменением нумерации неизве-
стных можно добип.ся, чтобы в матрице системы миноры порядков
1, 2.......г, стоящие в левом верхнем углу, были отличны от нуля.
ГЛ, 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В задачах 4.4.8.—4.4.15 рассматривается однородная система
Уравнений
an^i"b -^яЧ- ->• ~Ь а1п Хп
Й!1 ^-1 Ч" -^2 Ч" ••• + й2д x>i 0,
(4.4.1)
°ml*lЧ" атг-^2 Ч" • • • Ч" атпхп '— 0.
^эедполагается, что ранг этой системы равен г и угловые миноры
^рядков 1, 2, ..,’Г в матрице системы отличны от нуля (согласно
даче 4.4.7 этого всегда можно добиться изменением порядка урав-
няй и неизвестных).
С1 4.4.8. Доказать, что при проведении метода исключения для си-
,-мы (4.4.1) в качестве ведущих элементов отдельных шагов можно
-?ать й11( а^1, ..., а(гг~причем в результате будет получена си-
;ма уравнений вида
Ч-Й12ЛД Ц--------Ч + а1, r+l-^r+l Ч" • -Ч" aUixn—0>
a^rxr а Lr+i-*7+i Ч- ---Ч- а2л-*л— 0, (4 4 2)
arr l,Jt7 Ч" ar, r+'l-^r+l 4“ --1- а'Г» 1 Хя — О
Равнения, все коэффициенты которых равны нулю, опущены).
4.4.9. Показать, что из системы (4.4.2) можно найти выражения
Известных Xj........хг через свободные неизвестные лг+1, .... ха
СЛкдующего вида:
йН-^г+1 Ч~ C12J-r+-2 Ч" ' “Ч" fl. п-гХПг
-V2 = с21.сл+1 -|- с^хг+2 Ч” . -Ч- с 2, n-r-Xfti (4.4.3)
Хг---^rl-^r+l Ч" Ч" •- • Ч” ^г, п-гхп-
Ф°РМулЫ называются общим решением системы (4,4.1). Смысл
нег.Ва1,ИЯ В ТО!И’ чт0’ задавая произвольные значения для свободных
ни!ЭВеСТНЫХ’ п0 Ф°РмУлам (4-4,3) найдем первые г компонент реше-
по; СИСтемы (4-4.1), и обратно, всякое решение этой системы можно
Н(1Л'ЧИТЬ тяким путем при соответствующих значениях свободных
неЕзвестных.
4.4.10* . Доказать, что решения системы (4.4.1):
у1=(х11......xlr, xl r+i, ..., х1я),
=(X2J, ..., Х2л Х^ .......^2л)>
Ук (^-ЛЬ • ч xkn хк, Г4-1- * * * t
$ 4.4. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
93
линейно
зависимы
тогда
(л—г)-мерные векторы
и только тогда, когда линейно зависимы
21 — (Ху г+1, . .., Х]Я),
*2 = 0*4 Г+1.......
r+l> • * * >
4.4.11. Доказать, что базис подпространства решений системы
(4.4.1)можно получить следующим образом; фиксировать некоторый не-
нулевой определитель порядка л —г и, задавая поочередно его строки
в качестве значений свободных неизвестных ..., хп, найти по
формулам (4.4.3) соответствующие значения неизвестных Xj, ..., хг.
Построенные п — r решений и образуют базис. Всякий базис под-
пространства решений однородной системы уравнений называется
фундаментальной системой решений этой системы уравнений.
4,4.12. Показать, что всякая фундаментальная система решений
системы (4.4.1) может быть построена указанным в задаче 4.4.11 спо-
собом при подходящем выборе определителя.
4.4.13. Показать, что векторы
^1=(С1Ь <21......<rl, 1, 0....0)>
У2 = (С14, С21, сг1’ 1, ..., 0),
Уп-г — (с1, п-п п-г’ • > cr, n -rt 0. 1)
образуют фундаментальную систему решений системы уравнений
(4.4.1). Здесь Су — коэффициенты формул (4.4.3).
Дополняя формулы (4.4.3) тождествами
^г+1---*7+1,
-*7+2 = -*7+2,
Хт
интерпретировать общее решение как представление любого реше-
ния системы (4.4.1) линейной комбинацией решений у1( у2, ..., у?,
коэффициентами которой являются значения свободных неизвестных.
4,4.14* . Доказать, что ранг г х (и— г)-матрицы С, составленной
из коэффициентов формул (4.4.3), равен рангу подматрицы
г+1 ®t, Г+2 «М
^2, г+> Г+2 агп
°т,г+2 атп
матрицы коэффициентов системы (4.4.1),
94
ГЛ. 4, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4,4.15. Доказать, что в формулах (4.4.3) все коэффициенты при
свободном неизвестном xk (r<Z k^n) ранцы нулю тогда и только
тогда, когда равны нулю все коэффициенты при этом неизвестном
в исходной системе (4.4.1).
Найти общее решение и фундаментальную систему решений для
систем уравнений:
4.4.16. О л'! 4-0 • х2-|-0 а-34-0 = 0.
*4.4.17. 9хх 2 Jх2 — 15х3 -|- 5х4 = О,
1 2а-j 4- 28х2 - 20х3 4- 7х4 = 0.
> 4,4.18. 14х14-35х2 — 7х3 — 63х4=0,
—Юх4 —25х3_(_ 5х3 4- 45x1=0i
26л-! 4- 65х2 - 1 Зх3 - 11 7х4 = 0.
4.4.19. 2хх — 5х2 4~ 4х3 4-Зх4 = 0,
Зх4 — 4х3 4- 7х3 4- 5х4 = 0,
4х, — 9 х 3 4- 8х3 4- 5х4 = О,
За’х 4“ 2х2 бд-g 4~ 3 А’4 = 0.
4.4.20. 2л’х4- х3 4-+ х4 = 0t
Зх4 ф- 2х2 х3—-6х4^=0,
7 хх 4- 4х2 4“ ^х3 —• 5х4 = О,
ас4 4“ 8*з 4" ~ 0.
>*4.4.21. xx4-4x34-2x3 -Зх5=0,
2Х| 4* 9д'3 4- 5х3 4- 2х4 4- х6 = 0,
х, — Зх, - а*3—2х4•—9х^^г0.
4.4.22. 2х4— 2х,ф- Зхаф- 6х4ф- 5xfi = D,
4ххф- — 7х3— Зх4 4* 8х3 = 0,
8хх — 9х2 4- 1 Зх3 4* 1 5х4 4- 2х6 = 0,
lox, - 12х,-[- 17х34- 12х4 — 11х6 = 0,
—6xj4- 7Х;~ 10хэ- 9х44* Зхв=0,
— 14х, 4- 17х. — 24х3— 15х44- 19х6 = 0.
4.4.28. 2хх— х2— х3— х4- а?5 = 0,
лг14"2а"2— х3— а"4~ х5=0,
4X14“ х2—5х3 — 5х4 — 5х3=^0,
x'i 4~ -*44*2х34- л‘44~ хё = о,
Х4 4- Ха 4" х34-2х44- х5 — 0.
4.4.24. Зхх4- 6х24-10ха4-4х4 - 2х5^-0,
6х4 4- Юхг4-1 7а’3 4- 7х4 — Зхь—О,
9хх 4- Зха 4- 2х4 4- Зх5—- 0,
12хх 2х34- х3 8х4 5х6 0.
J 4.4. ОДНОРОДНЕЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 95
4.4.25. X] 4-2л-2Зх.)4- 2х4 — 6х5 —О,
2х, 4- Зх, 4* 7х3 4- 6х4 — 1 8х5 = О,
Зх, 4^5х, 4- 11х34* 9х4 —27х5 = 0,
2х4 — 7хг4- 7х34- 16х4 — 48хй= О,
л । 4~ 4х3 4- 5х3 4“ 2х4 — 6хй 0.
4,4.26. Проверить, что система
2х4 4- 4хг 4- 6х3 4- 5х4 4- Зх6 = 0,
бх4 4“ бх2 4- 7х3 4- 9х4 4“ 6хй 0,
4хг 4- 6х2 4- 8х3 4- 7х4 4- 5х6= 0,
5х4 4- бх2 4- бх3 4- 8х4 4- 6х5 = 0,
Зхj 4“ 4х3 4~ бх3 4~ 6х4 4- 4х3 = О
имеет бесконечно много решений, причем в каждом ее решении х4 =
= х6 = 0. Объяснить эти факты в терминах линейной зависимости и
линейной независимости столбцов матрицы системы.
4.4.27. Указать все группы неизвестных, которые могут быть
объявлены свободными неизвестными системы:
7х, — 4х2 4- 9х3 4- 2х4 4- 2хй = 0,
бхj 4“ 8х3 4~ 7х3 4х4 4“ 2х3 0,
Зх4 — 8хг 4- 5х3 Ц- 4х4 4- 2хй == 0,
7х4 — 2хв 4-2х3 4- х4 — бхй = 0.
4.4.28. В пространстве многочленов степени п определить раз-
мерность подпространства многочленов f(t), удовлетворяющих усло-
виям f (а^=/(а2) — ... .=/(«*) =0, где а4, ak— различные числа.
4.4.29. В пространстве многочленов степени sg 5 найти базис ли-
нейного подпространства многочленов f (/), для которых выполнены
условия /(О)=/(1)=/(2)=/(3) = О.
4.4.30. Найти однородную систему линейных уравнений, состоя-
щую; а) из двух уравнений; б) из трех уравнений; в) из четырех урав-
нений,—для которой система векторов
у1 = (1, 4, -2, 2, -1),
_у2 = (3, 13, —1, 2, 1),
л = (2, 7, —8, 4, -5)
является фундаментальной системой решений.
4.4.31. Можно ли найти систему линейных уравнений, для кото-
рой системы векторов
^=(2, 3, 1, 2),
_Уа = (1> 1, —2, —2),
>а~(3, 4, 2, 1)
96
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
И
.?! = (!, О, 2, —5),
^ = (0, 1, 8, 7),
z3=(4, 5, —2, 0)
являются двумя фундаментальными системами решений?
4.4.82*. Ранг однородной системы линейных уравнений, состоя-
щей из в—1 уравнений с п неизвестными, равен л —1. Доказать,
что ненулевое решение этой системы можно построить по формулам
хг=(— iyxf, ..............п,
где А{—минор, полученный вычеркиванием из матрицы коэффициен-
тов системы i-ro столбца. Показать также, что любое другое реше-
ние системы коллинеарно указанному.
4.4.88. Пользуясь результатом задачи 4.4.32, найти вектор, орто-
гональный к системе векторов
z1 = (2, —1, 3, 1),
Z3 = (I, 0, 2, —3),
z3 = (2, 3, 1, 4).
4.4.34*. Доказать теорему: для того чтобы две линейно незави-
симые системы векторов .........хп., и уч, yn-i «-мерного ли-
нейного пространства были эквивалентны, необходимо и достаточно,
чтобы в любом базисе этого пространства все и миноров я—1-го
порядка, составленные из координат векторов Xj, ..., А'л1, были
пропорциональны соответствующим минорам, составленным из коор-
динат векторов yt, уп~г.
4-4.85. С помощью результата задачи 4.4.34 определить, эквива-
лентны ли системы векторов задачи 4.4.31.
§ 4.5. Неоднородные системы линейных уравнений
О задачах параграфа. Основные вопросы, обсуждаемые в этом параграфе,
таковы:
Критерии совместности неоднородных систем уравнений, исследование на
совместность конкретных систем.
Нахождение общего решения системы. Кроме чисто вычислительных задач,
мы приводим в задачи, связанные с определением общего решения. Как и
в однородном случае, мы подчеркиваем то обстоятельство, что формулы общего
решения по существу дают параметрические уравнения плоскости решений
данной системы линейных уравнений (см. задачу 4.5,9). Заметим, что в число-
вых задачах мы демонстрируем к некоторые приемы, используемые в практи-
ческнх вычислениях — изменение нумерации и масштабирование уравнений
и неизвестных, использование специфики системы, например, свойство ее рас-
падаться на несколько систем меньшего порядка или трехдиагональный вид
матрицы коэффициентов.
В заключение мы даем ряд задач, относящихся к определенным системам
линейных уравнений. В частности, мы указываем некоторые приложения фор-
мул Крамера,
§ 4.5. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
97
4.5.1. Доказать, что неоднородная система из т линейных урав-
нений, у которой матрица коэффициентов при неизвестных имеет
ранг т, совместна.
4.5.2. Доказать, что для совместности системы
Й11Х1 И" 4" ‘ ' '4" ^1’
4“ • • • 4" ainxn = (4 5 1)
........................
amlx 1 4" amtxt 4" • •' 4" атпхп ~ Ьт
необходимо и достаточно, чтобы вектор
= (blt l)2, . •. >
принадлежал линейной оболочке векторов
й1 — (й11, й21> ЙП11)>
аа— (а 1а, а2а, ..., о,пз),
ЙЛ^(Й1П> й2ч, ЙЯ1п)‘
4.5.8. Доказать теорему Фредгольма: для того чтобы неодно-
родная система (4.5.1) была совместна, необходимо и достаточно,
чтобы /«-мерный вектор
ft = (&i, Ь2, ..., 1>м)
был ортогонален ко всем решениям сопряженной однородной системы;
а11Д’1 4“ й21^2 4“ • • 4“ апП.Ут — О,
Й1! V1 4“ aa2,V2 4“ 4* ат2Ут ~ Д
а1п _У1 4- а2г1.У2 4- ‘ • - 4- атпУт — О-
4.5.4. Неоднородная система из т уравнений с п неизвестными
совместна, и ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен г.
Доказать, что множество решений этой системы есть плоскость
в к-мерном арифметическом пространстве, размерность которой равна
п — г и направляющим подпространством которой является множество
решений соответствующей приведенной системы, т. е. однородной
системы с той же матрицей коэффициентов при неизвестных.
4.5.5. Две неоднородные системы линейных уравнений
4" • • - 4“ ainxn~bi,
4" • ' • 4” а1ЯПХП =~-Ьт
4 X. Д. Ыкрамов
98
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
И
Qi-Vi Ч- • 4- =
*71-^1 4" • • • 4" Clnxn —- di
называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или
обе совместны и обладают одним и тем же множеством решений. До-
казать, что указанные системы, если они совместны, эквивалентны
тогда и только тогда, когда эквивалентны системы векторов
,?i = (ап, ..., д1я, bi),
и
Мт — (^rnii • 1 ^m)
T'l ~ (cll> clfi> di),
^=(СП, .... Cln, di).
Исследовать систему на совместность и указать размерность пло-
скости решений в зависимости от значения параметра А:
4.5.6. (5 — A) х4 — 2хг — х3 = I,
—2хг -ф (2 - А) х., — 2х3 = 2,
— х4 — 2х24-(5— А)х3 = I.
4.5.7. —х4 -ф(I 4" А) х2 -ф(2—- А) х3 Ц- Ах4 = 3,
4- (2 — А) х3 + Ах4 = 2,
-ф(2 — А) хэф- Ах4 = 2,
j | - A^2 Д- (2 — А) х3 — х4 = 2.
В задачах 4.5.8—4.5.11 рассматривается совместная неоднородная
система уравнений (4.5.1) ранга г. Предполагается, что уравнения и
неизвестные занумерованы таким образом, что в матрице системы
миноры порядков 1, 2.......г, стоящие в левом верхнем углу, отличны
от нуля.
4.5.8. Применяя метод исключения неизвестных, показать, что из
системы (4.5.1) можно найти выражения неизвестных х4........х, через
свободные неизвестные хг+4, ..., хл следующего вида:
х4— с10 Ц- с14х/.+1 ^20 ^21^г-Ы 4’ciaJ>+s4-- Ч~ Ч* • Ч~ с1, п-гхт • 4~ ^4. п-гхп> (4.5.2)
хг — сго 4- Сг1Хг+1 Ч~ Сг2Хг+г -ф - к Сг, я-гхп‘
Эти формулы называются общим решением системы (4.5.1). Формулы
(4.4.3) являются частным случаем формул (4.5.2).
S 4.5. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
99
4.5.9. Показать, что вектор
-^о = (еЮ1 сгО1 cr0’ Of 0, 0)
является решением системы (4.5.1), а векторы
<л(, crl, 1, 0, ..., 0),
_Уз = (<.’1+, с22, ..., 0, 1, 0),
Уп-Г = (^1, п-п С2, Л -Г» • • > ^Г, П п 0, 0, ‘ , 1 )
образуют фундаментальную систему решений соответствующей приве-
денной однородной системы.
Дополняя формулы (4.5.2) тождествами
•^/4-1 =
*л,
интерпретировать полученные соотношения, как параметрические урав-
нения плоскости решений системы (4.5.1).
4.5,10. Доказать, что ранг матрицы
Сц ^1» п-г
С<л Coj, п-г I
: а
1 CfQ СГ1 СГ- п-г I]
составленной из коэффициентов формул (4.5.2), равен рангу под-
матрицы
<h, r+i ain I
1 °2. г + 1 а2П i>2 !
I у । 1 &ГПП ^ГН I
расширенной матрицы системы (4.5.1).
4.5. П. Доказать, что вектор
ar = (Ci;, с21, <У,), !=1, .... п-г,
является решением системы уравнений
atixi ~Ь • • ~Ь =
а вектор
Ori-Xi яггхг = — ari,
^0— (<Ч0- ^201 сю)
4*
100
ГЛ. 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
— решением системы уравнений
^’14'’1 4’ * ' 4” @ГГ^'-^г*
Исследовать совместность и найти <бтее решение систем урав-
нений:
4.5.12. 88x4 — 74х24- 46х3+ 8‘Х-^90,
— 95-Tj + 1 85х2 - 115х3 - 21 tx'4 =—225,
57х1-111хг4- 6йх3Ц-12(х4= 135.
4.5.13. 105x4- 175х,—315х84-24сг4= 84,
90х, — 1 50х, — 270х3 4- 21Сх4 = 72,
75xj — 125ха — 225_г3Ц- 175х4 —59.
*4.5.14. 7xt — 5х-, — 2.v3 — 4х^~ 8,
Зх^4'2.т,гЦ- х34*3,
--х j _v 2 х з 2_v4 — {,
-*-i 4* -*4 4* 2х4 = I ,
-^2 4" 4" 2jc4 = з.
4.5.15. Xj4- 2x2-4 Зл-аД- 4т1 = 0,
7xx 4- 1 4x2 20x3 4- 27x4 = 0.
6x4 4- 1Ox, 4- 16xs 4.1 9x4 = —2,
3jcj4- 5x.j4- 6x3-4 13x4 = 5.
4.5-16. XJ4-X.J =1,
л: 14- Д: n 4- JCg = 4,
4-^3 4* "^4 — —3,
"*‘з4"Х44"*"5^2,
x4 4- x5=—i.
4.5.17. 12xt- 18л-,4-102х3-174л:4-216л5=132,
14Xj — 21л, 4- I19x3- 203^-252x5=154,
_x3 4“ 2x4 4- Зл*3= — 1,
4x3 -p 5x4 4- 6x5 = —2,
7x34- 8x44- 9x5 = — 3.
4.5.18. 24.Vj 4- 9хй4-33ха — 15x4 —21,
Зхj 4~ 3x, 4~ 11 -V3 — 5л*4 ^=7 7,
40xj 4- lux's4- 55x3 — 25x4 4- 213x5 = 35,
56xj 4-21x3 4. 77jc4 — 35x4 4- 197Xj = 49.
§ 4.5. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
101
4.5.19. * 2000^4-0,003 х3-0,3 х34- 40х4- 5,
3000^4-0,005 х3 —0,4 х34- Э0х4 = 8,
500xj 4-0,0007X2 - 0,08х3 4- 8х4 = 1,3,
60000x44-0,09 х3-9 х34- 1300х4= 190.
4.5.20. Xj-j-^Xo— ^Xg 4” 4х4 4” х3^=
3xj4-7x2— х3 — Зх44-2х6= 10,
— х3— 13х3— 2х44- -^6 ~—"14,
х3 — 16х44-2ха = —И,
4.5.21. 8xj4- 12х3=20, 14х, 4- 21х3 — 35, 9ХдИх4= 0, 16х34-20х4= 0, Юх34- 12хв —22, 13х54- 18ха-=33. 2х44-5х3— 12. 4.5.22. х 1 — 5хд 4” 2х3 6, 2х34” ^4 4" Зх5 = 6, 2х£ — 7х3 4- Зх3 — 4, Зх3 4- 2х4 4- 4х5 — 7, 2Xj — Хд 4- ха= —12, 4х34-5х44” 5х3 9.
Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от
значения параметра X'.
4.5.23. 3x!4-2xs4- х3 — , 4.5.24. Xxj-|- "^-4" х3 —— 0,
7xj 4- 6х3 4- 5ха — X, 5x4 4- х3 —2х3 = 2,
5х, 4” 4х3 Зх3 2. - 2X4'—2х34- х3 .——3.
4.5.25. 24xj— 38ха4- 46х3 = 26, 4.5.26. х44- х34-Хх3=1,
60X14- Хх3 4- 115х3 — 65, Xj-|-Xx2 4- -^3 = 1,
84xj— 133хг4- 161х3 = 91. XXj4- х24- х3=1.
4.5.27.
4.5.29.
4.5.30.
Х4 Х3 4” ХХд 2,
X14- Хх 2 4” 3.— 1,
Xxi 4” Х34” Л’а — 1*
(3 — 2А,)Х14-(2-А.) х24-
(2- Х)х14-(2-Х)хг4-
4.5.28. Х14- х34-Ххэ=3,
Х^Хх^ Х3 - 0,
ХХд 4” 4Г3 4” -^3 “— 6.
Хд = Л,
х3=1,
Х4 -j- Хд 4” (2 — X) х3 - 1.
(3 4-2Х)х,+(1 4-ЗХ)х3 + Хх34-(Х- 1)х4=3,
ЗХ х4 4- (3 4~ 2 X) х3 4” Хх3 4” (X — 1) х4 I,
ЗХ Xi 4” 3 Хх2 4” Зх3 (X — 1) х4— 1,
ЗХ х4 4” 3 Хх3 4” Хх3 4-(X — 1) х4 = 1.
4,5.31. Проверить, что во всех решениях системы уравнений
2xi4-3x34- -^з 4"-*гз = 6.
Xi4”2X2 4” -Г31- ^4 z= 6,
—х 14* х‘3 4" 4~ 5х4 4* *^о —
2xi— хз 4* хз — 8х4 4- 2х6 = —6
102
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
значения неизвестных х3 и х5 постоянны и равны соответственно 1
и 0, Объяснить эти факты в терминах линейной- зависимости и ли-
нейной независимости столбцов расширенной матрицы системы.
4.5.32. Могут ли формулы
х4 х. 4- 2ха + Зх3 4~ 4хв,
Xj 2х- 4“ Зх3 4“ -X;-]- ?Х8,
Х3 X*, ф- Xg —Х3 — Xg,
х4 — x^ — 2х7 — 6ха
и
х5 = 21х4 — 6х2 — 26х34~ 17х4,
х4 - 17xj -j- 5х2 4- 20х:) 1 Зх4, g
х7 —- ‘ х4 4- 2х3 х4,
ха = 4хх— х2 — 5х34- Зх4
описывать общее решение одной и той же системы линейных урав-
нений с 8 неизвестными?
4.5,33. В формулах (4.5.3) задачи 4.5,32 заменить первое соотно-
шение на
х6 = 22х4 — 6х3 — 2бхэ 4- 1 7х4
и снова ответить на вопрос задачи,
4.5.34. Доказать, что множество многочленов /(?) степени ^гг,
удовлетворяющих условиям f(ai) = b1,f(a2) = b2, ,.., f(ate)=bk (где
А л 4-1 и а4, .,,, aft, й4, ^—произвольные числа, причем все
ah различны), непусто и представляет собой плоскость.
Определить размерность этой плоскости.
4.5.35. Найти три линейно независимых Многочлена f(f) степени
^5, удовлетворяющих условиям у(0)= I, /(1) = 0, /(2) =—5,
/(3) = — 20.
4Л.35*. Проверить, что система уравнений
х 4 X 2 4” Хд 2х4 — 2,
8х4 4-7х3 4-7х3 — 9х4— 3,
бхх4- 5ха4-5ха — 5х4= 7
совместна и найти нормальное решение этой системы,
4.5.37. Доказать, что для того, чтобы неоднородная система
линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неиз-
вестных, была совместна, достаточно, чтобы приведенная однородная
система имела единственное решение,
4.5.38. В системе, состоящей из п линейных уравнений с п неиз-
вестными, столбцы qb q2, ,,,, q„ матрицы коэффициентов образуют
ортоцормированную систему. Доказать, что эта система определена
Н ее решение можно вычислить по формулам
х; = (^, qi), 7=1, ,.., л.
4.5. НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯ
103
Здесь Ь — n-мерный вектор, составленный из правых частей системы,
а скалярное произведение вычисляется ио обычному правилу ариф-
метического пространства.
4.5.39. Доказать, что утверждение задачи 4.5.38 имеет место и
для совместной системы, у которой число уравнений не равно числу
неизвестных (условие ортонормированносги столбцов сохраняется).
4.5.40. Пользуясь результатом задачи 4.5.38, решить систему
уравнений: , , ,
ахг 4- 4- сх3 dxi = р,
— Ьхг 4- а х2 4- dx3 — сх^ — q,
— CXj — dXi 4- йх3 4- = г>
.— dxj 4- еды — Ьх3 + s,
в предположении, что А = яа4-/?а4- сг -\-d2 /= 0.
4.5.41. Из результата задачи 4.5.34 вывести, что если значения
двух многочленов f(f) и g(t) степени совпадают при более
чем п различных значениях аргумента, то эти многочлены равны
(т. е. одноименные коэффициенты многочленов совпадают). Сделать
отсюда вывод, что принятое нами определение равенства многочле-
нов равносильно их равенству как функций (т. е. совпадению значе-
ний при всех значениях неизвестного).
4.5.42. Найти многочлен f(t) 3-й степени, для которого /(1) =
= ~2. /(2) = -4, /(3) = -2, /(4) = 10.
4.5.43. Найти многочлен /(f) степени а^4, для которого /(—2) =-
= 10, /(I) = 4, /(-3) = 60, ----10, /(—!) = —4.
4.5.44* . Доказать, что многочлен /(f) степени удовлетво-
ряющий условиям /(<z()= /(—a,), f = 1,.,., k, где а^,..., —различ-
ные числа, не равные нулю, обязательно четный, т. е. справедли-
во равенство /(—f) =/(/).
4.5.45. Доказать, что многочлен /(f) степени ^2^—1, удовлет-
воряющий условиям /(«;) = —/(—^г), С •., А, где af, ...
4 —различные числа, не равные нулю, обязательно нечетный, т. е.
справедливо равенство /(—f) = —/(f).
4.5.46. Доказать, что, каковы бы ни были числа а, Ьй, Ьг....Ьп,
существует, причем единственный, многочлен /(f) степени п такой,
что / (а) = Ьа, f (а) = bv ..., /(л) (а) = Ь„.
4.5Д7. Найти многочлен /(f) степени <^4, для которого /(2)=:5,
f (2) — 19, /<3’ (2) = 40, fW (2) = 48, /<*> (2) = 24.
4.5.43* . Доказать, что, каковы бы ни были числа аь а2, ba, blt ...
.со (Я1 =/= существует, причем единственный, многочлен
jf(f) степени ^Zn такой, что /(«1) = ^о, /(п-1(ат)—
~ У(^з) Сф.
4.5.49. Найти многочлен /(f) степени ==^4, для которого /(1) =
= -3, /'(!) = —3, (1)= 12, /<«(1) = 42, /(-1) = 3.
4.5.50* . Доказать, что, каковы бы ни были числа аь а2, ba, Ь1Л ...
..., bk, са, с„ .... с, (аг=£а£ = 1), существует, причем
104
ГЛ. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
единственный, многочлен степени ^н, удовлетворяю гний условиям
f (“i) = 41, .... fw(a1) = bb, f(a,) = c0, f (о2) = сг, ...
4.6.51. Найти многочлен f(t) степени *?c5, для которого /(1) =
= — 2, / (l) = — 7, /«»(1 )= — 14, /(3) (1) = 24,7(2) = —4, / (2)^ 25.
4.6.52. Правые части bt определенной системы из п линейных
уравнений с п неизвестными являются дифференцируемыми функциями
переменного /; коэффициенты ац при неизвестных — постоянные числа.
Доказать, что компоненты хх, хя решения также являются диф-
ференцируемыми функциями t, причем
«и <0 «1Ц
anl...^(f) ... адп
°Н > > аН а1п ’
“л I - - - “лГ • • апп
г — 1, , «.
4.5.53*. Пользуясь
водной функции
соотношение:
формулами Крамера,
вывести для п-й произ-
4(0 0 0 > g (О
Ь’ К) 4(0 0 g'(0
fl(О 2/Г (0 4(0 £:2i(0
4-'” (0 QAO.-i>(0 g:r" (0
W й (О
4.6.54. Найти значение 5-й производной функции
/ (Ч 37i° —6М5 + 13гг — 74t + 25
при t = 1.
4.5.65. Доказать, что решения ..., xk определенных систем
линейных уравнений с одной и гой же матрицей коэффициентов при
неизвестных и правыми частями bt, ..., Ьк соответственно линейно
зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы правые части.
ГЛАВА 5
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
§ 5.0. Терминология и общие замечания
Пусть заданы два линейных пространства X и У, оба действи-
тельных или оба комплексных. Линейным оператором А из X в У
называется соответствие между элементами этих пространств, кото-
рое всякому вектору х X сопоставляет вполне определенный век-
тор у е У, называемый образом вектора х и обозначаемый Ах,
пРиче|'1 A рх2) = а.4хх 4- рАх2
для любых векторов туих и любых чисел а и р. Так как в даль-
нейшем рассматриваются только линейные операторы, мы позволяем
себе иногда опускать слово «линейный» н названии оператора.
Множество всех векторов Ах, xe.V, называется областью зна-
чений или образом оператора А и обозначается Г А. Множество всех
векторов х, для которых Ах = 0, называется ядром оператора А
и обозначается А/д. Образ и ядро линейного оператора являются
линейными подпространствами (см. § 5.1); при этом размерность под-
пространства ТА обозначается гА и называется рангом оператора А;
размерность подпространства ЙА обозначается пА и называется де-
фектом оператора А.
Множество всех линейных операторов, действующих из X в К,
обозначим <ах^. На множестве <оХу можно определить структуру
линейного пространства. Именно, положим
1. (Ах — Ахfix;
2. (АА)х=А(Ах);
здесь х — произвольный вектор из X. Определенные этими соотно-
шениями операторы А-\-В и Z.A называются соответственно суммой
операторов А и В и произведением оператора А на число X
Нулем линейного пространства «у/ будет нулевой операцию из Д'
в У, т- е. оператор1 который всякий вектор из X переводит в нуль
пространства У.
Пусть теперь А е В е Произведением оператора В на
оператор А называется оператор C = fiA, действующий из X в Z и
определяемый соотношением
Сх В (Ах).
Для того чтобы произведение ВА имело смысл, необходимо и доста-
106
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
точно, чтобы образ оператора А содержался в области определения
оператора В. Это условие заведомо выполнено, если рассматри-
ваются операторы из идх. О всяком таком операторе А будем гово-
рить, что он действует в пространстве X.
Для оператора А из шА-х можно определить натуральную степень
Д* как произведение k операторов, равных .4. По определению, для
любого оператора А полагаем
Д° = £,
где Е —тождественный, или единичный оператор (т. е. оператор,
который каждому _v е X ставит в соответствие этот же вектор Д').
Если
f (f) = До + a-J + аА2 + - + ahtb
— произвольный многочлен, то многочленом /(Д) от оператора Д
называется оператор
/(Д) = a<iE Д- ахД Д- «2Д2 4-4- akAk.
Оператор Д, действующий в н-мерном пространстве X, назы-
вается невырожденным, если дефект этого оператора равен нулю
или, что то же самое, если ранг равен п. Для невырожденного опе-
ратора Д существует, причем единственный, линейный оператор В
такой, что
АВ=ВА = Е.
Оператор В называется оператором, обратным к оператору Д, и
обозначается Д-1.
С помощью обратного оператора можно определить целые отри-
цательные степени невырожденного оператора А. Именно, если k —
натуральное число, полагаем
д-‘=(,4-у
или, что все равно,
Д-* = (Д*)-*.
Суммой тхп-матриц А и В называется т х «-матрица С = Дд-5
такая, что
ciJ = aij + bij, '=1, т, J=}, • n-
Произведением туп-матрицы А на число к называется тУп-
матрипа Г) = кА такая, что
dij — ка^-, i = 1, ,.., т, j — 1, .... п.
Для единичной матрицы (см. § 3-0), как и для тождественного
оператора, принято обозначение Е. Если нужно явно указать поря-
док и единичной матрицы, используется обозначение Еп. Матрицы
вида кЕ называются скалярными.
§ 5.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
107
Произведением ВА р хш-матрицы В и т хя-матрииы А назы-
вается рхл-матрииа С такая, что
Cij= S i= L .... р, j= *< «
ь = ।
Для того чтобы произведение ВА имело смысл, необходимо и доста-
точно, чтобы число столбцов матрицы В равнялось числу строк
матрицы А. Это условие заведомо выполнено, если обе магрииы —
квадратные одинакового порядка.
Для невырожденной, матрицы А (т. е. квадратной матрицы, опре-
делитель которой не равен нулю; см. § 3.0) существует единствен-
ная обратная матрица Д’1, удовлетворяющая равенствам
АД l = A-ia = E.
Если положить /?=Д-1, то элементы Ьц матрицы В могут быть
вычислены по формулам
A,i
(5.0.1)
о det А ’ '
Ал — алгебраическое дополнение элемента а7-;.
Если квадратная п х «-матрица С есть произведение АВ двух
прямоугольных матриц А и В с размерами соответственно nxi« и
их«, причем туп, то для определителя матрицы С справедлива
формула Бине — Коши-.
detC= У Д^,1 Ч. (5.0.2)
Aj ... k„j \ 1 2 ... п / 7
В частности, если А и В также квадратные, то
det АВ = det Д det В. (5.0.3)
Пусть Д—Оператор из шА1-. и пусть сь ..., ея и qb ..., qm —
фиксированные базисы соответственно пространства X и простран-
ства К. Разложим векторы Д^, ..., Дсл по базису qu ..., qm-
Де1 = 4- й2[?2 4“ • • • 4"
ДС; = 4- Огй?й + 4- атч4т,
Аел —-a^q^ 4_ а-лКА 4~ - 4
Из коэффициентов этих разложений составим их «-матрицу
А
Че
°11 я12
Й22
°ГЛ1 at>VL
Д1Л
а2П
аГЛЯ
(5.0.4)
Говорят, что А1/е есть матрица оператора А в паре базисов elt..., ец
и 41, 4т, иди что Аче задает оператор А в зтой паре базисов.
108
ГЛ. Б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
Матрицу с размерами т X1 будем называть w-мериым вектор-
сгполбцом, матрицу с размерами I хл—л-мерной вектор-строкой.
Сопоставим каждому вект ору х е X « мерный вектор-столбец хе,
составленный из координат этою вектора в базисе еь .еп. Ана-
логично, каждому вектору у е 1’ сопоставим эт-мерный вектор-стол-
бец у9, составленный из координат этого вектора в базисе qt, ..., чт-
Тогда связь между координатами вектора х и вектора = Ах можно
записать матричным соотношением:
Уд = Адехг. (5.0.5)
Для описания оператора А из достаточно фиксировать один
базис ег ..., е„. При атом векторы Ае,, ..., Ае„ нужно разложить
по этому базису. Составленная из коэффициентов разложений матрица
обозначается Ае и называется матрицей оператора А в базисе
₽i> .... Говорят также, что Ае задает оператор А в этом базисе.
Формула (5.0,5) переходит в
уе—Аехе. (5.0.6)
Пусть в пространстве X фиксированы два базиса: <?г ..., е„ и
fi, fn- Разложим векторы Д........./л по базису ..., ел:
Л=/’|1е1+/’г1ез + “4~ Ртеа,
ft--
матрицу
(5.0.7)
от базиса еъ ел
координат вектора х
f,i “FPtn^z i*. A"Pfi,А,г
Из коэффициентов этих разложений составим
Рч Pit “ Pin
Р „ рц Рю Pin
Pnl Pnt - Pan
Матрица Р называется матрицей перехода
к базису fi, .... /я. Если хе w Xf — столбцы
в указанных базисах, то Связь между ними дает равенство
хе = Рхр ' (5.0.8)
С помощью матрицы перехода можно записать и связь между
матрицами Ае и Ау оператора А, действующего в пространстве А':
Ау — Р^Р. (5.0.9)
Если А е (охг и в каждом из пространств X и У фиксировано по
два базиса, соответственно еь ..., ел; fn и 4i.......Чт,
ii, tm, то матрицы Аче и Atf связаны соотношением
Atf~Q-'Aqt,P, (5.0.10)
где Р —матрица перехода от elf ..., еП к /ь ..., f„, a Q — матрица
перехода от qlt ..., qm к /ь .... tm.
§ &.[. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА, ОВРАЗ И ЯДРО 109
Рели элементы арифметического пространства записывать в виде
пектор-столбнов, то формула (5.0.5) позволяет' отождествить опера-
торы из Rn в Rm (или из Сл в Cffl) с/и хя-мат ринамп, соответственно
действительным!! или комплексными (см. об этом подробнее в за-
даче (5,6.7)). Имея в виду это замечание, кпд говорим в дальнейшем
об образе матрицы, об ее ядре, и у. д,
§ 5.1. Определение линейного оператора,
образ и ядро оператора
О-задачах параграфа. Помимо примеров операторов в конкретных линей-
|[ых пространствах, мы приводим ряд задач, слизанных с определением линей-
ного оператора. При этом основное внимание мы обращаем на то, как дей-
ствие линейного оператора отражается па основных отношениях линейного
пространства (таких, как линейная зависимость, эквивалентность систем век-
торов, сумма подпространств и т. д.).
В конце параграфа мы обсуждаем важные понятии ядра и образа линей-
ного оператора.
Для каждого из следующих операторов в трехмерном евклидовом
пространстве геометрических векторов определить, является ли этот
оператор линейным. Все операторы описываются своим действием
на произвольный вектор х, При этом л и b обозначают фиксиро-
ванные векторы пространства, а —фиксированное число.
л 5.1.1. Ах = а. 5.1.2. Дх-=х-|-а. 5.1.3. Дх = ах.
! 5.1.4. 4х — (х, а) а. '5.1.5. Лх-=(а, x)b. 5.1.6. Дх = (а, х) х.
5.1.7. Дх = [х, а]. 5.1.8. Дх —1«, [х, &]].
Проверить, какие из указанных ниже отображений трехмерного
евклидова пространства геометрических векторов в множество дей-
ствительных чисел являются линейными операторами. Все отображе-
ния описываются своим действием на произвольный вектор х; а и
Ь— фиксирова....ле векторы пространства; а —фиксированное число-
s.1.9. /(х)^а. 5.1.Ю. /(х)=(х, я). 5.1.11. /(x) = cos(x, а).
5.1.12. /(х) —(х, х). 5.1.13. /(х) — ([а, х], &).
5.1.14. /(х)=-(х, [а, х|).
Выяснить, какие из следующих преобразований трехмерного ариф-
метического пространства являются линейными. Каждое преобразова-
ние описывается своим действием на произвольный вектор х; при
этом компоненты вектора-образа заданы как функции компонент век-
тора х.
5.1.15. Дх = (хх, х2, .цф. 5.1.16. Дх=(х3, хь х.2).
5.1.17. Дх_-(х9, хь х2— 1).
5.1.18. Дх = (хх ф-2х9 — Зх3. Зх। — л*2ф- Зх9, 2х—[- Зх9 ф 2х3).
Найти, какие из приведенных ниже преобразований простран-
ства Л1П многочленон степени от действительного переменного t
являются линейными операторами па этом пространств. Каждое ирс*
образование описывается своим действием па произвольный много-
член /(/).
110
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
5.1.19. Af(f)=f(— 0- 5.1.20. Af(t)=f(t + 1).
5.1.21. Af(t)—f(al-\-b)t где а и b — фиксированные числа, при-
чем а 4= 0,
5.1.22. Af(t)=f (t). Этот оператор в дальнейшем называется
оператором дифференцирования.
5.1.23. Af(t)=f[k}(t). Этот оператор в дальнейшем называется
оператором k-кратного дифференцирования.
5.1.24. Af(ty=f{t+
5.1.25. Af(t) = f(t4-1) — g[t\ где ^(1) —фиксированный ненуле-
вой многочлен.
5.1.26. Af(i)=~tf(t). 5.1.27. 4/(Q=/(^),
5.1.28. Показать, что; а) преобразование, указанное в задаче 5,1,22,
можно рассматривать как линейный оператор из А1Л в б) пре-
образование, указанное в задаче 5.1.26, является линейным операто-
ром из А1Л в Л1Лк1; в) преобразование, указанное в задаче 5.1.27,
будет линейным оператором из Л1л в М2п.
5.1.29. Линейное пространство X является прямой суммой под-
пространств Lj и Ь2. Доказать, что оператор Р, который каждому
вектору х пространства X с разложением
X = ЛЦ -4 хг,
где L,. е L„, ставит в соответствие вектор -Vj этого разло-
жения, будет линейным. Оператор Р называется оператором проекти-
рования пространства X на параллельно Ь2.
5.1-30 . Линейное пространство X является прямой суммой под-
пространств Lj и Ь2. Доказать, что оператор R, который каждому
вектору л пространства X с разложением
х = х, 4--Ч,
где луе L,, х2^Ь2, ставит в соответствие вектор _y = Xj —а-.„
является линейным. Оператор R называется отражением простран-
ства X в Lt параллельно 1.2,
5.1.31. Выяснить геометрический смысл ортогонального отраже-
ния трехмерного евклидова пространства в двумерном подпростран-
стве L.
5.1.32. В линейном пространстве X фиксирован базис е1г ..., еп.
Доказать, что соответствие, относящее каждому вектору х простран-
ства его 1-ю координату в этом базисе, будет линейным оператором
из X в пространство чисел, действительных или комплексных. Ли-
нейный оператор, отображающий пространство X в соответствующее
числовое поле, называется линейным функционалом на X.
5.1.33. Доказать, что всякий линейный оператор, действующий
в одномерном пространстве, сводится к умножению всех векторов
пространства на фиксированное (для данного оператора) число.
5.1.34. Описать все линейные операторы пространства R+ (см. за-
дачу 1.1.6).
§ 5.[. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА, ОБРАЗ И ЯДРО
III
5.1.35. Доказать, что всякий линейный оператор линейно зависи-
мую систему векторов переводит снова в линейно зависимую,
5.1.36. Верно ли утверждение; линейно независимая система век-
торов переводится линейным оператором снова в линейно независи-
мую систему?
5.1.37, Верно ли утверждение: если системы векторов хк
и _yf, ..., эквивалентны, то для любого линейного оператора А
эквивалентны системы векторов Д-Vj. Ахк и Ayt, Ау^
5.1.38. Пусть А е к» ат и L — произвольное подпространство про-
странства X. Множество векторов Дх, где х е называется обра-
зах подпространства L и обозначается AL. Доказать, что AL есть
подпространство, пространства У.
5.1.39. Доказать, что размерность подпространства AL не превы-
шает размерности подпространства L.
5.1Д0. Пусть! —сумма подпространств Lt и Lo— их пересе-
чение. Верно ли, что для любого линейного оператора Д:
a) AL = ДА। -j- Д
б) Д!о = Д!,ПД/-2?
5.1.41. Привести пример линейного оператора, для которого фор-
мула задачи 5.1,40, б) не имеет места.
5.1.42. Показать, что действие линейного оператора А на любой
вектор пространства X определяется единственным образом, если
известны образы Дс(....... Аек векторов еь еП, составляющих
базис пространства X-
5.1.43. Пусть ..., ел —базис пространства X, у,, ..,, у„ —
произвольная система векторов пространства У. Доказать, что су-
ществует, причем единственный, оператор Д из у такой, что Дс, =
= У1, i — 1 п.
5.1.44. Пусть х1г .... xh — произвольная система векторов про-
странства X. _У1....Ук~ произвольная система векторов простран-
ства У. Верно ли утверждение: существует линейный оператор Д
из Юху, переводящий векторы х; в векторы _yf, i = I, ..., Л?
5.1.45. В условиях задачи 5.1.44 дополнительно предположить,
что система векторов хг, ..., хк линейно независима. Верно ли тогда
утверждение задачи?
5.1.46. В пространстве X фиксирован базис et. .... ел. Показать,
что действие линейного функционала f на произвольный вектор х
пространства можно определить по формуле
/(х) = с1а14-.,. + сла,„ (5.1.1)
где aJ; .... «„ — координаты вектора х, сг. с„ — образы базис-
ных векторов. Обратно, формула (5.1.1) определяет линейный функ-
ционал на X при любых числах с,, .,,, сл.
5.1.47. Показать, что формула
112
ГЛ. О. ЛИНЕЙНЫЕ операторы и матрицы
залает в пространстве многочленов степени линейттый функ-
ционал тр. Здесь /—произвольный многочлен из Л1„, а0 — фиксиро-
ванное число. Верно ли обратное утверждение: всякий линейный
функционал <р на Мп можно задать таким образом при подходящем
выборе числа а0?
5.1.48. Пусть L — подпространство пространства X, А —произволь-
ный оператор из (i)yj'. Показать, что действие оператора А на под-
пространстве /. можно рассматривать как: а) линейный оператор
из Л в У; б) линейный оператор из L в AL.
5.1.49. Пусть L — подпространство пространства X, А—линейный
оператор из L в некоторое пространство Y, Показать что найдется
линейный оператор из X в У, действие которого на подпростран-
стве L совпадает с оператором А.
5.1.50. В пространстве Мп многочленов степени -О построить
два различных линейных оператора, совпадающих па подпростран-
стве М„_1 с оператором дифференцирования.
5.1.51. Пусть пространство X есть прямая сумма подпространств
.... Lk. Показать, что действие линейного оператора А на любой
вектор пространства определяется единственным образом, если известно
действие этого оператора на каждом из подпространств > ^h-
5.1.52. Пусть А —линейный оператор в действительном линейном
пространстве R, С — комплексное пространство, полученное из Р
комплексификанией (см. задачу 2.5,13). Определим оператор А в С
следующим образом; для произвольного вектора z~xA-ty из С,
где х, у е R, полагаем
Az — Ах iAy.
Показать, что оператор А является линейным.
Всякий ли линейный оператор пространства С может быть полу'-
чеп подобным образом?
5.1.53. Может ли линейный функционал на комплексном линей-
ном пространстве принимать только действительные значения?
5.1.54. Показать, что ядро ХА произвольного линейного опера-
тора А из «х/ является подпространством пространства X.
5.1.55. Верно ли, что любое подпространство пространства X
является ядром некоторого линейного оператора из X в К?
5.1.56. Согласно задаче 5.1.38 образ ТА произвольного линейного
оператора А из есть подпространство пространства У'. Верно ли,
что любое подпространство пространства У является образом неко-
торого линейного оператора из А’ в У?
5.1.57. Доказать, что множество всех прообразов вектора у из ТА
является плоскостью пространства X с направляющим подпростран-
ством Na.
5.1.58* . Для оператора А нз голк построить взаимно однозначное
соответствие между ГА и плоскостями пространства X вида Р —
= A-Q-f-А/д.
$ Г,.[. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА, ОБРАЗ И ЯДРО ИЗ
5.1.59. Множество М всех плоскостей пространства X вида Р =
= А-0-фЛ'д является согласно задаче 4.2.18 линейным пространством.
Доказать, что соответствие между плоскостями из Л1 и векторами
из 7д, построенное в задаче 5.1.58, является линейным оператором
(из Л1 в Тд). Найти ядро и дефект этого оператора.
5.1.50* . Доказать, что для любого оператора А из wxr сумма
ранга и дефекта равна размерности пространства А'.
5.1.51. Привести пример линейного оператора из нтХА- такого,
что пространство А’ не является прямой суммой образа и ядра этого
оператора.
5.1.62. Пусть М — любое подпространство, дополнительное
к ядру Na оператора А. Доказать, что:
а) любая линейно независимая система векторов пз Л1 перево-
дится оператором А в линейно независимую (сравнить это утвержде-
ние с задачей 5.1.36);
б) подпространство А1 отображается оператором А взаимно одно-
значно на его образ Тл.
5.1.53. Доказать, что для любых двух подпространств — N в «-мер-
ном пространстве X и Т в пространстве У,— таких, что dim/V-|-
-j-dlmT'— п, найдется линейный оператор А из <вх1/ для которого
ядро совпадает с N, а образ с Т.
5.1.64. В пространстве Мп построить два различных линейных
Оператора, имеющих одни и те же образ и ядро.
5.1.65. Пусть А —оператор из X в У, и подпространство L удов-
летворяет включению: L с: Г д. Доказать, что множество векторов х
пространства X, образы которых принадлежат L (называемое полным
прообразом подпространства L), также является подпространством, и
его размерность равна dim L-ряд.
5.1.66. Найти дефект линейного функционала f на «-мерном про-
странстве X.
5.1.57. Для каждого из линейных функционалов трехмерного
евклидова пространства /i(a) —(-V, а) и /2(-v)==-([а, х], Ь) найти
ядро.
5.1.68. Найти образ к ядро линейного оператора в трехмерном
евклидовом пространстве, заданного формулой дф
5.1.59* . То же задание для оператора Ах = («, [Д’, й|ф
Для указанных ниже линейных преобразований трехмерного ариф-
метического пространства определить дефект и ранг, а также по-
строить базисы ядра и образа. Каждое преобразование описывается
своим действием на произвольный вектор х; при этом компоненты
вектора Ах заданы как функции компонент вектора х.
5.1.70. А а = (х£ л*2 -ф *з. А| -ф -Ь‘2 -ф- а3, -ф- “ф а3).
5.1.71. Ах = (2д- £ — A^ — Ag, V] — 2а3 —ф Х3, А £ —ф До-- 2 а 3).
5.1.72. Ах =(— .Vj -ф- А", -ф АТ], А'£—-А.3-фА*з, A*J-ф А*О — А:а).
5.1.73. Оцисать образ и ядро оператора дифференцирования в про-
странстве Мп.
114
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
5.1.74. В том же пространстве Л1„ рассмотреть разностный опе-
ратор Ah
где Л — фиксированное число, отличное от нуля. Найти его образ и
ядро.
5.1.75. Рассмотреть следующее отображение пространства /И„
в арифметическое пространство:
Z(0^c/(«0.......
где а,, ..., ak — различные числа. Найти дефект этого оператора.
5.1.76. Найти образ и ядро оператора проектирования (см. за-
дачу 5.1.29).
5.1.77. Доказать, что при комплексификании действительного
пространства ранг и дефект оператора А из сохраняются при
переходе к оператору А (см. задачу 5.1.52).
§ 5.2. Линейные операции над операторами
О задачах параграфа. В настоящем параграфе множество щху всех линей-
ных операторов, действующих из А в У, рассматривается как линейное
пространство. Основное внимание уделяется следующим вопросам;
1. Размерность пространства <о^у.
2. Некоторые классы подпространств пространства (£>Ху. Здесь мы под-
робно прослеживаем, как связаны свойства линейной зависимости операторов
из <оху со взаимным расположением образов этих операторов.
3. Ранг суммы операторов, условия, при которых он равен сумме рангов
слагаемых.
5.2.1. Доказать, что множество гоАу всех линейных операторов,
действующих из пространства X в пространство у, является линей-
ным пространством относительно операций сложения операторов и
умножения оператора па число.
5.2.2. Доказать, что пространство всех линейных операторов,
действующих в одномерном линейном пространстве, само одномерно.
5.2.3. Линейное пространство X* всех функционалов, действующих
в пространстве X, называется сопряженным с пространством X-
Доказать, что сопряженное пространство А'* изоморфно простран-
ству X-
5.2.4. Показать, что для любого подпространства L пространства
А’ справедливы соотношения:
a) (A A^L— AL. если X 0;
б) (А 4-й) L d AL -ф BL, где А и В — операторы из озАу.
Показать, что в соотношении б) равенство, вообще говоря, не
имеет места.
§ 5.2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ОПЕРАТОРАМИ
11 5
5.2.5. Доказать, что ненулевые операторы А и В из шху, образы
которых различны, линейно независимы.
5.2.6. Пусть qm — базис пространства К, -V — ненулевой
вектор пространства X. Доказать, что операторы В,,..,, Вт такие,
ЧГ° т, (5.2.1)
линейно независимы.
5.2.7* . Доказать, что для всякого оператора А из <оА-к найдутся
операторы В„ ..., Вт такие, что А = Вт, причем;
а) ранг каждого из операторов В; не превосходит единицы;
б) образ ненулевого оператора натянут на вектор q-, где
qlt , qm ~~ фиксированный базис пространства У.
5.2.8. Пусть е„ .еп — базис пространства X, у — ненулевой
вектор пространства у. Доказать, что операторы At, .... А„ такие,
линейно независимы.
5.2.9. Доказать, что всякий оператор ранга 1, образ которого
содержит вектор у», есть линейная комбинация операторов А(, ..., Ая
предыдущей задачи.
5.2.10* . Пусть в пространствах У и У фиксированы базисы
е и соответственно. Используя результаты задач
5,2.7 и 5.2.9, показать, что всякий оператор из ыАу есть линейная
комбинация операторов Ап, Атп, удовлетворяющих соотношениям;
А;:ек- | q" ~J, i= 1, .... Ш, / —1, (5.2.2)
" k \ 0, k ф j '
5.2.11. Пользуясь результатами задач 5.2.6 и 5,2.8, показать, что
система операторов, определенных соотношениями (5,2.2), линейно
независима. Вывести отсюда и цз задачи 5.2.10 размерность простран-
ства соАу.
5.2.12. Будет ли линейным подпространством пространства <t>Xy
множество всех линейных операторов, имеющих; а) один и тот же
образ Г? б) одно и то же ядро А?
5.2.13. Показать, что если Т — подпространство пространства У,
то множество ША7- всех линейных операторов, отображающих прост-
ранство X в Т, является подпространством пространства wXy. Найти
размерность этого подпространства, если с(йпА' = н, Ф'п1Г = А.
5.2.14. Показать, что если N— подпространство пространства X,
то множество KN всех линейных операторов из шху, ядро которых
содержит подпространство N, является подпространством пространства
шху. Найти размерность этого подпространства, если dint
djmN=f, dim У—trt,
I И) гл. г.. JTJ11-1 гйцIJГ ОПЕРАТОРЫ J, МА1Тт1тЫ
5.2.15* . Пусп, и Lz — произвол (,пыс подпространства проси
pafiCiTia }, Л -|- Z-2- j Q А-Докахиъ следующие соошощения:
*') w ц[д. + G) v
б)
5.2.16. Пусп, upocrpanCi во У разложено в прямую сумму под-
пространств L2. .... I*. Показать, что
ЫЛу--=<иА-£14ИЛ£г + .-- + ^-
5.2.17. Доказал,, что ранг сум мм операторов А и В из tovv не
превосходит суммы рангов этих операторов.
5.2.18. Пусп, операторы И и В из g>va. таковы, что
л + 1 в -j-
Показать, что ранг оператора A-\-R равен сумме рангов операторов
А и В.
5.2.19. Из задачи 5.2.17 вывести неравенство
г /1 ; в ' гл — гs i
5.2.20* . .'Доказать, что любой оператор А из ©х имеющий
ранг г, может быть представлен в виде суммы г операторов рапса 1.
но не может быть представлен в виде суммы менее чем г таких
операторов.
5.2.21* . Найти условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы сумма двух Операторов .4 п В ранга 1 была оператором ранга
. 1.
5.2.22* . Пространство А' имеет размерность n(> 1). Доказать,
что в пространстве шХЛ всякое подпространство L размерности
«4-1 содержит хотя бы один оператор ранга > 1.
5.2.23. Пусть операторы Л к В из <и . у таковы, что для любого
вектора л- цз ZY векторы ,4 л и Вх коллинеарны. Значит ли то о,
что сами операторы .А п В коллинеарны?
5.2.24* . В условиях задачн 5.2.23 предположить дополнительно,
что оператор В имеет ранг п (где /izxdimA). Коллинеарны ди в этом
случае операторы А и В?
5.2.25. Доказать, что операторы А и В ранги 1, имеющие один
и 'гот же образ Т и одно п то же ядро ,V, коллинеарны.
5.2.26. Доказать, что для любого оператора проектирования Р
оператор В— В также является оператором проектирования. Найти,
как связаны ядро и образ оператора IS — Г1 с ядром и образом Р.
5.2.27, Доказать, что для операторов Р и выполняющих
соответственно ।[роокгирола।pie и отражение пространства Л в /ч
параллельно L-j, Справедливо соотношение; Д-|-К = 2Р.
§5.3. УМНОЖЕНИЕ О|Н:РЛ торов 11?
5,2,28, Показать, что при комнлсксифпкапин действительного
пространства AJ:
а) оператору .4 Ц-Л соотстсгвуст оператор .4 -ф/i (см. 5.1.52);
б) оператору а .4 соответствует оператор сс.4, а — .'idle i ин тель-
ное число.
§ 5,3, Умножение операторов
О задачах параграфа. В настоящем параграфе разбираются л основном
следующие вопросы, связанные с операцией умножения операторов:
1. Образ и ядро произведения операторов.
2. Многочлены от оператора.
3. Перестановочность операторов.
4. Невырожденные- операторы.
Всюду в дальнейшем, говоря о произведениях операторов, действующих,
быть может, и разных пространствах, мы предполагаем, что эти произведения
|1.\[СЮГ смысл.
5.3,1, Доь-азатъ, что для произведения /М операторов А и В
Справедливы неравенства:
а) Gu^min(r л, т;1);
б) «в..1Й:т«.4,
Если операторы А и В действуют в одном пространстве, то
ь) «вл «в-
5.3.2. Доказать, что для произведения В А операторов А и В вы-
полняются следующие соотношения:
а) с— гг1 — dim (7 л р Л/д);
б) «дд — «а + dim(7A П М'в).
Ог.мет ить, что из б) следует неравенство;
llIlA 4" п!1-
5.3.3* . Доказать неравенство Фробениуса-.
г ИА 4 ‘г ас!«. г л 4 - г л ас-
5.3.4. Пусть А и /3 — операторы из <длА-, причем /3.4—0. Следует
ли отсюда, что Дй —О?
5.3.5. Привести пример двух опера горой А и В, таких, что ЛВ —
- ДД-^0.
5.3.6. Доказать, что множество всех линейных операторов В из
Чу.у, которые при фиксированном операторе А удовлетворяют усло-
вию АЛ = 0, является подпространством пространства тАХ. Найти
размерность этого подпространства, если dim.Y = ?r и ранг опера-
тора .4 равен г.
5.3.7, Гог же вопрос для множества операторов С из ыАд-, удов-
летворяющих условию UА =0 при фиксированном операторе А
раита г.
5.3.8. Пусть X — «-мерное пространство, и .4 —оператор ранга г
из »охх. Посредством опера юра А построим преобразование
118
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
пространства которое всякому оператору В ставит в соответствие
оператор АВ. Доказать, что это преобразование является линейным.
Найти его ранг и дефект.
5.3.9. Пусть А — произвольный оператор из и пусть N{ и 7~{
обозначают соответственно ядро и образ оператора А'. Доказать,
ЧТО’
a) A7j с <V2 с А'а с ...
б) Т, го ts->. ..
5.3.10* . Доказать, что если в последовательности подпространств
7V], Л'2, Аг3. ... (см. задачу 5.3.9) для некоторого q впервые 1У, —
г=А'?г], то Nq=Alq4l для любого kp^-A.
5.3.11. Оператор А из называется нильпотентным, если
существует натуральное число q такое, что А? = 0. Паименыпее такое
число q называется индексом нильпотентности оператора А Дока-
зать, что индекс всякого нильпотентного оператора, действующего
в «-мерном пространстве, не превосходит п.
5.3.12, Показать, что оператор дифференцирования многочленов
в пространстве является нильпотентным. Найти его индекс ниль-
потентности.
5.3.13. Пусть А — нильпотентный оператор индекса q, и пусть
вектор х таков, что А^~*х=^=0. Доказать, что система векторов х,
А х, А2х, .... Ач Лх линейно независима.
5.3.14* . Доказать, что для всякого оператора А из шхх, рзпг кото-
рого равен 1, найдется число а такое, что А2 = ссА.
5.3.15. Показан-, что всякий оператор отражения удовлетворяет
соотношению В2 = Е.
5.3.16. Показать, что всякий оператор проектирования Р удов,
летворяет соотношению Р2~р.
5.3.17* . Доказать, что, наоборот, всякий оператор Р, удовлетво-
ряющий условию Р2 — Р, является оператором проектирования.
5.3.18. Показать, что из условий Р]-фР1! = £, PLP2 = Q следует,
что;
a) Р2 —операторы проектирования;
б) Р2Р1 = 0.
5.3.19. Доказать, что в пространстве ЛД оператор А, который вся-
кому многочлену /(/) ставит в соответствие многочлен -]- 1),
является многочленом от оператора дифференцирования.
5.3.20. Говорят, что f(f) (/(r)^Oj — многочлен, аннулирующий
оператор А если /(Д) = 0. Доказать, что для любого линейного
оператора А действующего в «-мерном пространстве, существует
аннулирующий многочлен степени -йДн2.
5.3.21. Пусть т (0" многочлен наименьшей степени среди всех
многочленов, аннулирующих оператор А. Доказать, что m(t) является
делителем любого другого многочлена, аннулирующего оператор А
5.3.22. Доказать, что многочлен tuff) задачи 5.3.21 определен опе-
ратором А единственным образом с точностью до умножения на не-
5 5,3. УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ
119
нулевое число. Нормированный условием, чтобы старший коэффициент
был равен единице, многочлен m(t) называется минимальным мно-
гочленом оператора Д.
5,3.23* . Найти минимальный многочлен:
а) для оператора проектирования;
б) для оператора отражения;
в) для нильпотентного оператора индекса q.
5.3.24. Показать, что для оператора ранга 1 минимальный много-
член имеет степень 2.
5.3.25. Операторы А и В из (Дух называются перестановочными,
если АВ^ВА. Пусть А перестановочен с. В, & В перестановочен с С.
Следует ли отсюда, что /1 перестановочен с С?
5.3.2S. Показать, что любые два многочлена от одного опера-
тора А перестановочны.
5.3.27. Показать, что если операторы .4 и В перестановочны, то
перестановочны и любые многочлены /(Л) и g(B} or этих опера-
торов,
5.3.28. Доказать, что для перестановочных операторов А и В
(л+5)'1=лл+лАл]д + п(га~]) Д'12/?г+... + Яп.
5.3.29. Доказать, что операторы ранга 1, имеющие одинаковое
ядро и одинаковый образ, перестановочны.
5.3.30. Операторы Ап В перестановочны. Доказать, что BNA cz /Уд.
5.3.31* . Доказать, что если операторы проектирования Р, и
перестановочны, то их произведение также является оператором про-
ектирования. При этом:
а) 7 р,рг =-- Тр, И Ср.;
б) ==• Хр, + Хр,.
5.3.32* . Доказать, что сумма операторов проектирования Рг и Р2
тогда и только тогда является оператором проектирования, когда
plpz = PiPj = 0. При этом:
a) CP[_l ?>,= / р, -j- ТР-
б) Л'р, + pt = XPl П №\-
5.3.33* . Доказать, что если оператор Л перестановочен с каждым
оператором из то AL cz L для любого подпространства 1. из Л'.
В частности, для любого вектора х из X векторы х и Лх колли-
неарны.
5.3.34. Пользуясь результатом задачи 5.3.33, доказать дельцу
Шура: если оператор Л перестановочен с каждым оператором из
то ок—скалярный, т. е. А — аВ для некоторого числа а.
5.3.35. Показать, что если А — невырожденный оператор, то для
любого подпространства L имеет место равенство ditn L --^dirii AL.
5.3.36. Пространство X является прямой суммой подпространств
Lj........Lk. Пусть Ai — невырожденный оператор, заданный на под-
пространстве Lb i^-1, ..., #. Показать, что оператор А из шА-А,
120
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
совпадающий па каждом из подпространств Д с соответствующим
оператором А(, будет невырожденным.
5.3,37. Проверить, что оператор дифференцирования:
а) является вырожденным в пространстве М„ многочленов сте-
пени si д;
б) является невырожденным на двумерном линейном пространстве,
натянутом на функции /^cos^ и /2™sin^ (с обычными определе-
ниями сложения функций и умножения функции на число).
5.3.38. Найти обратный оператор для оператора дифференциро-
вания в задаче 5.3.37, б).
5.3.39. Найти обратный оператор для оператора отражения R.
5.3.40. Показать, что для невырожденного оператора А и любого
числа а, отличного от нуля,
(аД)-1=-4лЛ
5.3.41* . Доказать, что если А — оператор ранга L, то хотя бы один
13 операторов Е-ф.4 и Е — А невырожден.
5.3.42. Доказать, что если оператор А певырожден, то для лю-
бого оператора В
г ан — гиа = г в-
5.3.43. Доказать, что произведение операторов А и В тогда
и только тогда будет невырожденным оператором, когда каждый
из операторов А и В невырожден. При этом
(АВ) -1 = В“М-'.
5.3.44. Доказать, что для невырожденного оператора А и произ-
вольного оператора В справедливо тождество:
(.4 + В) А -1 (А - В) = (А - В) А 1 (А -ф В).
5.3.45. Пусть А — нильпотентный оператор индекса <?. Доказать
что оператор Е—А невырожден и
(Е__А)-1 = Е-ф.4-ф.4й-ф...-ф.4’?].
5.3.46. Операторы А и В связаны соотношением АВ-ф A -J-£'-=().
Доказать, что А — невырожденный оператор, причем А-1 ——Е — В.
5.3.47. Доказать, что если у многочлена f(t), аннулирующего
оператор А, свободный член отличен от нуля, то оператор А невы-
рожден.
5.3,48. Доказать, что у минимального многочлена m(t), аннули-
рующего невырожденный оператор, свободный член отличен от нуля.
5.3.49. Доказать, что для невырожденного оператора А, дейст-
вующего в л-мерпом пространстве, обратный оператор А-1 представ-
ляется многочленом от А степени не выще п~ — L.
5.3.50. Показать, что иереегаподочиы любые два многочлена f(A)
п £(А-1), где А — невырожденный оператор.
5 6,4. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
121
5,3,51. Пусть А — оператор из ©уу, причем существует оператор И
из тух такой, что ВА = ЕХ (тождественный оператор пространства А’).
Значит ли это, что Ай=--йу?
5.3.52, Пусть А" — линейная оболочка многочленов t, t'2, .
У — пространство многочленов степени s^it — 1. Рассмотреть диффе-
ренцирование многочленов как оператор А из А' в К, а также ин-
тегрирование (т. е. преобразование, ставящее в соответствие каждому
многочлену его первообразную) как оператор й из У в X. Показать,
1[Т0 ВА = ЕХ, АВ'-=Еу.
5,3.53. Пусть в условиях задачи 5,3.51 dim P2>dimA'. Доказать,
что оператор АЙ будет оператором проектирования в пространстве У.
5.3.54, Показать, что при комплексцфикации действительного про-
странства А1:
а) оператору Ай соответствует оператор АЙ;
б) невырожденному оператору А соответствует невырожденный
оператор А;
в) если А певырождеп. то обратному оператору А1 соответст-
вует обратный оператор .1 *.
5.4 . Действия с матрицами
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы рассматриваем различ-
ные свойства операций, определенных над матрицами, и прежде всего, ко-
нечно, операции умножения. Из затронутых здесь вопросов основное внимание
уделено следующим:
1. Формальные свойства операции умножения— размеры сомножителей
и произведения, число элементарных арифметических операций н г. д.
2. Матрицы элементарных преобразований.
3. Перестановочность матриц,
4. Классы матриц, замкнутые относительно умножения,
5. Ранг произведения матриц.
6. Действия с матрицами, разбитыми на клетки, —клеточными матрицами.
7. Кронекерово произведение матриц.
Найти произведения Ай и ЙА, где:
Найти произведение Ай, где
5,4.3. А =
83 —29 —52
— 15 97 78
38—4 69
46
-112
85
:| 1
I. о
122
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
83 —29 - -52 46 '
5.4.4. А = || 0 1 0 ,, В = — 15 97 78 — 112 j .
38—4 69 85
,5 2 —3 — 3 ! I
_ , _ 1—7—2 4 2 1
5.4.5. А = 2 ! li- й = 1
2 —2 —3 4 | ; 1
II 5 2 —3 1
5.4.6. А =' 1 1 1 11, В-. —7 —2 -1 2 4 1 2 ] ’
j 2 — 2 -3 4 .
[ 923 2115 0 0 1 0 0 0 0 I
„ . _ , 1097 518 0 0 „ 0 0 0 0
5 4.7 А = । ' 652 769 0 0 : 47ь 372 150а 882
841 134 0 0 1 795 999 400 |
5.4.8*. Вычислить произведение АВС, где
991 992 993 || л
994 995 996 1 12 — 6 —2
/ =1 997 998 999 I ’ В—~- 18 — 9 — 3
1000 1001 1002 1 24 —12 —4
5.4.9*. Вычислить произведение ABCD, где
С=| 1 1 1 2
3 0
А=5
В= ;,213 510
128 С =
3
3
7
D = 1 1 —2 1
5.4.10. Показать, что систему линейных уравнений
яплт + апх2 + -J- ainxn = &tr
а21Х1 а22Х2 -J- • • -J- ‘‘2пХп = ^2>
@mjXJ “b ^Л12Х2 + * . . Ч” @гппХ.1---
можно, вводя матрицы
£?ц Л12 Я1В
^21 °22 /1
1
&=:
записать в виде матричного уравнения Ах = Ь.
5.4.11. Показать, что, наоборот, решение матричного уравнения
АХ = В, где А и И —заданные матрицы с размерами /a/я и тур
соответственно, сводится к решению р систем линейных уравнений
с одной и той же матрицей коэффициентов А и различными пра-
выми частями.
§ 5.4. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
123
Решить матричные уравнения:
5.4.16. Л'| 2
i3
8l|
6,1'
II1 1
5.4.17. h °
1
1
I
]
О
4 3!
3 2|
1 °1
2 1
О О
5.4.18. Показать, что если оба произведения АВ и ВА имеют
смысл и А — т хп-мЗтрица, то В — матрица с размерами пхт.
5.4.19. Подсчитать количество операций умножения и сложения
при перемножении тхп матрицы А и «Хр-матрииы В.
5.4.20. Пусть А, В к С —матрицы с размерами тхп, пХр, pxq
соответственно. Поясни гаи, количество операций умножения при
вычислении произведения АВС. Отметить, что это количество опе-
раций зависит от расстановки скобок в произведении АВС.
5.4.21. Проверить, что для квадратных матриц Л и В порядка 2
указанная ниже организация вычисления матрицы С = АВ требует
7 операций умножения (в то время как при обычном алгоритме пост-
роения АВ используется 8 умножений):
tXj — (й] 1 -J- «зз) (&j j -f-
а,2 = (а21 а22) Ьи,
«з — аи (Ри ^2й)>
«4— «23 (^21 — ^11),
СС5 = (dji ~J- «ja) ^2:r>
«С = («21 — «14 (^11 + bii)’
а,- -.г (а12 — Ягг) (Ьц
«11 =* -J- " «С 4"
«13^03 4-a5,
C2l = CC34-a4l
«si — <&i 4- ®з — oc2 4~ «^e-
Этот алгоритм предложен Штрассеиом.
5.4.22. Следом квадратной матрицы называется сумма элементов
ее главной диагонали. След матрицы А обозначается tr А.
124
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
Доказать, что выполняются следующие свойства;:
a) tr (А В) = tr А + tr В;
б) tr (а.4)= а tr А;
в) tr (АВ) — tr (ЙА).
Последнее равенство справедливо и для прямоугольных Д и В, если
оба произведения ДВ и В А имеют смысл.
5.4.23. Матрицы А и В с размерами этхя и «Хр соответственно
обладают тем свойством, что для каждой из них суммы элементов,
стоящих в одной строке, одинаковы для нсех строк; и равны г у мат-
ривы А и s у матрниы В. .Доказать, что тем жсе свойством обла-
дает произведение А В, причем соответствующие сулимы для матрицы
ДВ равны rs‘. Сформулировать и доказать аналогичное утверждение
для столбцов.
5.4.24. Показать, что элементарные преобразования строк мат-
рицы А (см. задачу 4.1.26) равносильны умножению этой матрицы
Слева па матрицы специального вида, так называемые матрицы эле-
ментарных преобразований:
а) перестановке i-й и у'-й строк соответствует умножение на мат-
рицу Рч
I
О . . . 1
1 . . .0
(не указанные элементы главной диагонали равны I, все прочие эле-
менты, кроме элементов (/, у) и (/, i), равны 0);
б) умножению г-й строки на число а соответствует умножение
на диагональную матрицу D{
1
§ 5.4. ДНИСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
125
в) прибавление к Z-й строке у'-й, умноженной на число «, равно-
сильно умножению на матрицу
1
(нее внедиагональные элементы этой матрицы, кроме элемента (Z, J),
равны нулю).
Сформулировать и доказать аналогичные утверждения для эле-
ментарных преобразований столбцов матрицы А.
5.4.25. Определить, как изменяется матрица А при умножении
слева: а) на матрицу N/
1
I
ai+1.£
б) на матрицу S)
1
ani 1
«1£
a<_i, I
1
«н1.£
Не указанные внедиагональные элементы обеих матриц равны нулю.
Аналогичное задание для умножения матрицы А справа на мат-
рицы И jVj.
126
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
5,4,26, Доказать, что: а) матрица Л\ предыдущей задачи есть
произведение матриц Lki, А = гД-1......п (см. задачу 5.4.24, в);
б) матрица S, есть произведение матриц Lhil k= I,I — L, / + Ц n;
в) нетривиальные элементы сомножителей Lhi совпадают с соответ-
ствующими нетривиальными элементами матрицы Д',(5;); г) порядок
сомножителей в произведении в обоих случаях может быть произ-
вольным.
5,4.27, Доказать, что произведение NtNj матриц N; и Nf имеет
при i <j следующий вид:
NiN, =
L
“i+l, I
а/, I ।
a/+l.i a/rl, j
L
«п/ а,(/ ‘ 1
(не указанные внедиагональные элементы равны нулю).
5.4,28*. Матрицей перестановок Р называется квадратная мат-
рица, у которой в каждой строке и в каждом столбце ровно один
элемент отличен от нуля и равен L Доказать, что всякая матрица
перестановок есть произведение матриц Р;/ (см. задачу 5.4.24, а).
Вычислить выражения (если порядок .матрицы не указан явно, Од
равен п):
5.4.29. Г: । 1 !|" 5,4.30. [. I 1||*
||0 1,| ’ || ] 0|
5.4.31.
О
5.4.32.
(все элементы, кроме
= 1, ..., и — L, равны
(все внедиагональные элементы равны
пулю).
элементов, стоящих на местах (/, /Д- L), i =
нулю).
s 5.4. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
127
5.4.34.
О I
О |
о
I
о
(все элементы матрицы, кроме элементов, стоящих на местах (L, 2),
(2, 3), (3, 4), ..., (л—1, в), (д, L), равны нулю).
5,4.35* . Доказать, что для ц х «-матрицы
Л 1
А I
- 1
• Л
матрица Jx имеет вид
Ate
О
u''-1 ... c"-2??-"+2
a" • • cTV"^3
A*'
Матрица J;, называется жорданоеой клеткой, отвечающей числу К-
5.4.36. Пусть D — диагональная матрица порядка н, у которой
все диагональные элементы различны. Доказать, что: а) всякий мно-
гочлен от матрицы D будет диагональной матрицей; б) всякую
диагональную матрицу можно представить многочленом f(U) от мат-
рицы D; в) можцо выбрать многочлен f (t) так, чтобы его степень
це превосходила и — L.
5,4.37. Доказать, что для всякой диагональной матрицы порядка п
минимальный многочлен имеет степень, не превосходящую д. Опре-
деление минимального многочлена матрицы аналогично определению
минимального многочлена оператора. Последнее дацо в задаче 5.3.26.
5.4.38. Показать, что минимальный многочлен диагональной мат-
рицы порядка п с попарно различными диагональными элементами
имеет степень п.
5.4.39. Доказать, что матрица, перестановочная с диагональной
матрицей, имеющей попарно различные диагональные элементы, сама
будет диагональной.
5,4.40* . Квадратная матрица А называется скалярной, если опа
диагональная и все ее диагональные элементы равны между собой.
Пользуясь результатом задачи 5.4,39. доказать лет .чу Шура:, если
128
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
квадратная матрица А перестановочна со всеми квадратными матри-
цами того же порядка, то она скалярная (ср, с задачей 5.3.34),
5.4.41. Показать, что для любой матрицы А множество матриц,
перестановочных с А, является: а) подпространством; б) кольцом.
Найти общий вид матриц, перестановочных с матрицей;
5.4.42. 0 1 0 5.4.43*. 0 1
0 0 1 0 1
ООО 0 1
• 'И
О II
(матрица имеет порядок и).
5.4.44. Доказать, что всякая матрица, перестановочная с матри-
цей А, перестановочна и с матрицей А— при любом числе X.
Вывести отсюда, что множество матриц, перестановочных с жорда-
новой клеткой одинаково для всех X и, следовательно, совпадает
с множеством, полученным в задаче 5.4.43. Согласно задаче 5.4.41 эго
множество является подпространством. Определить его размерность.
5.4.45. Квадратная матрица .4 называется верхней (или правой)
треугольной, если д,у-=0 при iy> j. Аналогично, квадратная матрица А,
у которой Д;;-=-0, если i </, называется нижней (или левой) тре-
угольной. Доказать, что произведение верхних (нижних) треуголь-
ных матриц одинакового порядка само будет верхней (нижней) тре-
угольной матрицей,
5.4.46. Найти количество операций умножения, необходимых для
вычисления произведения двух треугольных матриц порядка п одного
вида (г. е. обе матрицы или верхние треугольные, или нижние тре-
угольные).
5.4.47. Квадратная матрица А называется строго верхней (ниж-
ней) треугольной, если Лц—А) при iAsj (i-^/). Доказать, что для
произведения /? двух строго треугольных матриц и А2 одного
вида й,у — 0 при I j — 1 (/ -=5 j Д- 1).
5.4.48. Доказать, что для строго треугольной матрицы А порядка п
степень с показателем п равна нулевой матрице.
5.4.49. Квадратная матрица А порядка л-(~ 1 называется тепли-
цевой, если она имеет следующую структуру:
«с *1 «2 * - - ДП-1
“.1 «о «1 &П-2 ап -1.
А-— Д-2 Л-! «о • ал-з °Л -2
П^Л-Д О-П-2 в-В+З «О а1
Л-га а-л+1 й-л+2 а-1 а<1
Тем самым такая матрица полностью определяется 2л 1 числами
S 5.4, ДЕЙСТВИЯ с МАТРИЦАМИ
129
Доказать, что верхняя треугольная матрица А тогда и только
тогда будет теплпневой, если она является многочленом от жордэ-
новой клетки Jq.
5.4.50. Из результата задачи 5.4.49 вывести: а) произведение
верхних треугольных теплицевых матриц само является матрицей
того же класса; б) любые две матрицы этого класса перестановочны.
5.4.51. Доказать, что произведение двух матриц перестановок
само является матрицей перестановок.
5.4.52. Квадратная матрица А порядка л 4-1 называется цирку-
лянтом, если она имеет следующую структуру:
at Де . • ал~1
«я По «ц ая_» Пл-1
ал-1 °о . «я_3 «й-а ।
Оз До «I
а. °э . • «я По
Таким образом, матрица этого класса полностью определяется л4~1
числами.
Доказать, что матрица С тогда и только тогда будет циркулян-
том, когда она является многочленом от матрицы перестановок Р
задачи 5.4.34.
5.4.53. Из результата задачи 5.4.52 вывести: а) произведение
циркулянтов само является циркулянтом,- б) любые два циркулянта
перестановочны.
5.4.54. Какое количество операций умножения достаточно для
того, чтобы вычислить произведение двух циркулянтов порядка л?
5.4.55. Квадратная матрица А порядка п называется ленточной,
если для некоторою числа т (<«) все элементы Ду такие, что
/|>/и, равны нулю. Число 2дг4* 1 называется шириной ленты.
Доказать, что произведение ленточных матриц само является лен-
точной матрицей. Определить минимальную ширину ленты для про-
изведения, если для сомножителей ширина равна 2дгх4-’ 11 1
соответственно.
5.4.56. Квадратная матрица А с неотрицательными элементами
называется стохастической, если а каждой строке этой матрицы
сумма элементов равна 1. Если при этом и в каждом Столбце сумма
элементов равна 1, то матрица называется дважды стохастической.
Доказать, что;
а) произведение стохастических матриц является стохастической
матрицей;
б) произведение дважды стохастических матриц является дважды
стохастической матрицей.
5.4.57. Исходя из правила умножения матриц, доказать, что ранг
произведения АВ не превосходит ранга каждого из сомножителей
А я В.
б X. Д, Икраыов
130
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
5.4.58. ихл-магрииа С является произведенном прямоугольных
матриц Л н В с размерами соответственно пхт и шХи. причем
Доказать, что определи гель матрицы С равен нулю.
5.4.59. Доказать, что т х/г-матрииу А ранга 1 можно предста-
вить в виде произведения А = ху, где х-л/хП а_у — 1х«-мат-
рппы. Единственно ли такое представление?
5.4.60. Пусть А = ху — п хд-матрина ранг? I. Доказать, что най-
дется число а такое, что А2 — аА. Найти выражение для числа а
через элементы матриц х и у.
5.4.61. Найти количество операций умножения, необходимых для
вычисления произведения двух матриц А и В ранга 1, если известны
представления А = ху и B-^uv этих матриц.
5.4.62* . Доказать, что пгхл-матрипу Л ранга г можно предста-
вить в виде произведения А*=--ВС, где В— nt'xr-: а С —г х «-мат-
рицы, Единственно ли такое представление?
11редставлецие матрицы А, полученное ц задаче 5.4.62, называется
скелетным разложением этой матрицы. Найти скелетные разложе-
ния следующих матриц;
4 2 2
2 2 0
2 0 2
5.4.63.
5.4.64.
О
— 1 2 0
2 __3 1
I —1 I
5.4.65. Прямоугольная матрица Л, разбитая па подматрицы гори-
зонтальными и вертикальными линиями, называется клеточной. Сами
эти подматрицы называют клетками и обозначают Ац. Например,
если матрица А разбита на три «клеточные строки^ и два «клеточ-
ных столбцах, ее записывают в виде
-4ц
421
Дм
А 22
^.32
Показать, что;
а) умножение клеточной матрицы па число равносильно умноже-
нию на это число каждой цз ее клеток;
б) сложение двух прямоугольных матриц с одинаковыми разме-
рами, одинаковым образом разбитых на клетки, сводится к сложешцо
одноименных клеток;
в) если А и В— две прямоугольные клеточные матрицы с разме-
рами тхп и пхр соотвегствсчшо, причем
§ 5.4. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
|3|
и число столбцов в каждой клетке Ду равно числу строк в клетке В/к,
то матрицу С = АВ также можно представить в клеточном виде
||Си С,г ... Су
q__ С21 ... С±,
сп сп...сн
где
S
/-1
Указанное условие можно сформулировать и так: число столбцов Л,
входящих в каждый ее клеточный столбец, равно числу строк В,
нходящих в одноименную клеточную строку;
г) если А и Я —квадратные матрицы одинакового порядка, оди-
наковым образом разбитые на клетки, причем диагональные клетки
Лц и Вц, i—1, ..., г, — квадратные, то матрицу С—АВ можно пред-
ставить в таком же клеточном виде и
С;к— У AijBjfa /, 1, .г.
| = |
5.4.66. Квадратная матрица D, разбитая на клетки, называется
квазидиагоназьной, если ее диагональные клетки квадратные, а вне-
диагональные клетки — нулевые подматрицы. Показать, что операции
над квазидиагопальпыми матрицами одинакового клеточного строения
приводят к квазидиагональпым матрицам того же строения, Отметить,
что при перемножении квазидиагональных матриц Ли/? диагональ-
ные клетки матрицы С = АВ равны произведениям АцВц одноимен-
ных диагональных клеток сомножителей. Вывести отсюда, что ква-
зидиагонадьные матрицы Ли/? одинакового строения перестановочны
тогда и только тогда, когда перестановочны их одноименные диаго-
нальные клетки,
5.4.67* . Найти общий вид матриц, перестановочных с квазидиа-
гонацьцой матрицей
О
Va,
0 ’
(X; =В При 1ф])-
5.4.68. Квадратная матрица Л, разбитая на клетки, называется
квазир/реугольнон, если ее дна гонады щи клетки квадратные, а вне-
диагональные клетки Лу, 1~У> j (/</) —нулевые подматрицы. Пока-
зать, что операции над кв? ин треугольным и матрицами одинакового
клеточного строения, верхними или нижними, приводят к квазитрв-
5*
132
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
угольным матрицам того же строении. Отметить, что при перемно-
жении верхних (нижних) квази треугольных матриц Д и В диаго-
нальные клетки матрицы С —АВ равны произведениям АцВц одно-
именных диагональных клеток сомножителей.
5,4,69* . Используя алгоритм Штрассена (см. задачу 5.4.21), ука-
зать способ вычисления произведения С —АВ квадратных матриц Д
и В порядка 4, требующий лишь 49 операций умножения (по срав-
нению с 64 операциями при обыкновенном способе).
5.4,70. Пусть Д — комплексная матрица порядка п. Представим Д
в виде Д = /?4-/С, где В и С —действительные матрицы, и сопоста-
вим ей действительную матрицу D порядка 2и:
л /В -С\
° = \с в)-
Показать, что если Aj и Д= — комплексные я х «-матрицы, а Д, и
Д3 — составленные указанным образом действительные матрицы удво-
енного порядка, то произведению Д(Д3 соответствует произведение
Отметить, что в частном случае при п =
ветствие между комплексными числами z = x-\-iy
матрицами
I получается соот-
и действительными
порядка 2, имеющими вид
Пусть комплексный вектор-столбец z0
системы линейных уравнений Az~bt где А — комплексная
S.4.71.
решением
/я X«-матрица, Ь — комплексный вектор-столбец порядка /к. Предста-
вим Д, b и z0 в виде Д —Z?4-zC, b— fA-Ч, —
С— действительные матрицы, / g х01
столбцы. Показать, что действительный
порядка п является
Л'о + О'о> где В и
уй — действительные вектор-
вектор-столбец
»о =
цз 2j« уравнений с дсйствц-
порядка 2п является решением системы
тельными коэффициентами Du = d, где
Hlc-sl ЧП
5.4.72. Показать, что операция транспонирования связана с дру-
гими операциями над матрицами следующими свойствами:
а) (аД)г — аДг;
б) (Д4-В)Г=ДГ 4-В^;
В) (АВу = ВтАт>
5.4.73* . Пусть А и В -- прямоугольные матрицы с размерами туп
и р X q соответственно, Кронекеровым произведением Ах В матриц
$ S.4. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
133
Л и В называется тр X ^-матрица С, которую в клеточном виде
можно изобразить так:
ЧцВ «1,2В . .. ЧщВ I
£ __ 0^21 В 0^2В . .. 1
amaB ... 0JlrfiS ;
Доказать, что для кронекерова произведения матриц выполнены
свойства:
а) (аА)хВ= AX(aS) —а(АхВ);
б) (Д4-/?)хС = ЛхС+ВхС;
в) А х(В + С)~АхВ+АхС;
г) если имеют смысл произведения АВ и CD, то
(АВ)Х(СО) = (ЛХС)(ВХО);
д) матрицу Ах В перестановками строк и столбцов можно при-
вести к матрице ВхА; при этом, если А и В квадратные, то строки
и столбцы подвергаются одинаковым перестановкам.
5.4,74. Показать, что представление матрицы А ранга 1 произве-
дением А = ху (см. задачу 5.4.59) можно интерпретировать как пред-
ставление А в виде кронекерова произведения
А=_уХ.г.
5,4.75* . Пусть ет— базис в пространстве вектор-столбнов
порядка т (т- е. т X 1-матриц), Д, —базис в пространстве век-
тор-строк порядка п (г. е. 1х«-матриц). Доказать, что кронекеровы
произведения //Х^ образуют базис в пространстве т хя-матрип.
5.4.76. Доказать, что кронекероно произведение квадратных мат-
риц А и В, быть может, разных порядков, является:
а) диагональной матрицей, если А и В — диагональные;
б) верхней (нижней) треугольной матрицей, если А и В —верх-
ние (нижние) треугольные;
в) стохастической (дважды стохастической) матрицей, если А и
В — стохастические (дважды стохастические).
5.4,77* . Пусть А и В — квадратные матрицы порядков т и п
соответственно. Доказать, что:
a) tr (A xZ?)=(tr A) (tr В);
б) det (А х В) = (det А У1 (det Bf1-
5.4,78. Пусть А, В и С —прямоугольные матрицы с размерами
myn,px.q и т%<} соответственно. Рассмотрим матричное уравнение
АХВ — С относительно яхр-матрицы X как систему mq линейных
уравнений относительно пр неизвестных коэффициентов Этой матри-
цы, занумерованных в следующем порядке:
134
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
Уравнения системы нумеруются в соответствии с аналогичной («по-
строчной*) нумерацией коэффициентов матрицы С:
^1 р > • ’ ^2Ъ ^22, ***> ^2q^ * * * > mb С m2* * * * > mq‘
Доказать, что указанная система линейных уравнений имеет матрицу
АхВт. Ес^и же занумеровать коэффициенты матриц X и С по
столбцам:
^11, ^21. * * * > -^«1» ^12i -^22, * * * . ^л2, - * * > ^1р> ^2р, - -1, ~^”лр'>
Сц, С^р Cmi, Cj2, ^22j ‘--j Eib, ***, ^Iqt ^2qt '*.j
то система имеет матрицу BT хЛ.
5.4.79. Показать, что если матричное уравнение
ЛХ + ХВ = С,
где A — mxm-, В-пхп-, С — m х «-матрицы, рассматривать как сис-
тему линейных уравнений относительно коэффициентов мх «-матри-
цы X, то матрицей этой системы будет:
а) АхЕп-\-ЕтхВт, если коэффициенты матриц X и С зануме-
ровать по строкам;
б) Еах А + Вт хЕт, если коэффициенты матриц X и С зануме-
ровать по столбцам.
5.4.80. Элементы тх. «-матрицы А суть действительные дифферен-
цируемые функции действительного переменного t. Производной мат-
рицы А называется «ixn-матрица dAjdt-.
I da1t da12 daln
dt dt " ‘ di
dA dan da^ da2n
dt ~ dt dt “ ‘ dt
da/rii dam2
di dt ' dt
Доказать, что для определенного таким образом дифференциро-
вания матриц выполнены следующие свойства:
ч d . . dA
а) ..-(аЛ)=а_.;
,ч d . . . dA , dB
б) -(Д + 5)=-+-:
в)
о 4^г)=йГ-
$ 5.5. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
135
§ 5.5. Обратная матрица
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы указываем различные
способы вычисления обратной матрицы и вид обратных матриц для некоторых
часто встречающихся классов матриц. Как ц в § 5.4, большое внимание уде-
лено матрицам элементарных преобразовании и клеточным матрицам. В конце
параграфа мы даем задачи, связанные с применением формулы Бине — Коши.
Пользуясь явными выражениями элементов
вычислить обратные для следующих матриц:
5.5.2. I cos a
|| sin a
5.5.4. I| a 61
5 -41|
—8 6,1*
5.5.3. lie — fr.i ,
II6 all’
3 1'1
6 2 .
2 11,1
-3
7
2
5.5.5. 1 -2
; 3
5.5.7. i| 1
-2
3
- 1
2
-4
5.5.9.
5.5.11.
5.5.13.
5.5.6.
5.5.8.
2
2
1
1
1
0
А 1 через элементы Л,
— sin <х II
cos a |f
ad — be 0.
-1
2
2
3
7
0
0
2
5
0
0
1
0
- 1
„ i
1
2
9
Н
0
— 1
2
5
4 '
5
1 I
1 |
0.1
5.5.12* : я
—ь
Доказать,
что
5.5.10.
-d
1
- 1
1
0
b
а
d
—с
с
-d
а
b
множество матриц вида
0
0
О
3
di
с, + +
—Ь l-J-c2 -J-cl2 ^0.
а
2
— 1
2
0
— 1
2
3
2
4
0
— 1
— 2
1
0
11 cos a —sin a |i
|| sin a cos a |] ’
где a —любое действительное число, образует коммутативную группу
по умножению.
5.5.14. Доказать, что множество действительных матриц вида
К
имеет структуру поля по отношению к обычным операциям сложения
и умножения матриц. Показать, что соответствие между такими
матрицами и комплексными числами,
является взаимно однозначным и сохраняет операции.
136
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
5.5.15*. Доказать, что множество действительных матриц вида
I а 6 с d j
— а — d с
—с d а —Ь
— d —С b а
имеет структуру кольца по отношению к обычным операциям сложе-
ния и умножения матриц.
Доказать, что ненулевые матрицы указанного вида образуют
группу по умножению, причем некоммутативную.
5.5.16*. Может ли быть группой по умножению множество мат-
риц, в котором:
а) все матрицы вырожденные?
б) есть как вырожденные, так и невырожденные матрицы?
5.5.17*. Доказать, что матрица, обратная к верхней (нижней)
треугольной матрице, сама будет верхней (нижней) треугольной. Вы-
вести отсюда и из задачи 5.4.45 следствие: множество невырожденных
треугольных матриц одного вида образует группу по умножению.
5.5.18*. Доказать, что матрица, обратная к теплицевой треугольной
матрице, сама будет теплицевой треугольной того же вида. Вывести
отсюда и из задачи 5.4.50 следствие: множество невырожденных тепли-
цевых треугольных матриц одного вида образует группу по умножению.
5.5.19*. Доказать, что матрица, обратная к циркулянту, сама будет
циркулянтом. Вывести отсюда и из задачи 5.4.53 следствие: множе-
ство невырожденных циркулянтов образует группу по умножению.
5.5.20*. Невырожденная матрица А обладает тем свойством, что
суммы элементов, стоящих в одной строке этой матрицы, одинаковы
для всех строк. Доказать, что тем же свойством обладает обратная
матрица Д-1; при этом, если для А строчные суммы равны числу
г ф 0, то для Д-Х они равны 1/г.
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для столбцов.
5J5.21. Доказать, что группу по умножению образует:
а) множество невырожденных стохастических матриц;
б) множество невырожденных дважды стохастических матриц.
Найти обратные матрицы для следующих матриц порядка л:
5.5.22. »ч 0 5.5.23. Il Q
0
(все к,- отличны ОТ нуля).
5.5.24. 1 - 1 0 . . . 0
0 1 — 1 . . . 0
0 0 I . . . 0
0 0 0 , . . I
5.5.25. I _2 0 . .
0 1 — 2 , . 0:1
0 0 1 . . 0
. . _ _ 1 ’
0 0 0 . > и
5 5.5. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
137
5.5.26. [1 ! 0 0 ... 0 0 a I 0 ... 0 0 0 а 1 ... 0 0 5.5.27*. а 1 0 ... 0; 0 а 1 . . . 0' 0 0 а ... 0
0 0 0 ... а 1; 5.5.28. [1 2 3 ... л 0 1 2 . . . п-1 0 0 I ... п-2 0 0 0 . . . aj
0 0 0 ... 1
5.5.29. Для матриц элементарных преобразований Р,у, Ц и Ltl
(см. задачу 5.4.24) найти обратные матрицы.
5.5.30. Как изменится обратная матрица Л-1, если в матрице Л:
а) переставить бю и у-ю строки?
б) z-ю строку умножить на число а, отличное от нуля?
в) к бй строке прибавить у-ю, умноженную на число а?
Аналогичные вопросы решить в отношении столбцов А.
5.5.31. Найти обратные матрицы для матриц и <$) (см. зада-
чу 5.4.25).
5.5.32. Доказать, что для невырожденной матрицы А вида:
1° !о 0 0 ... 0 • • a2.n-i ^2Л
А = 10 ал] ал_1.а «ла ~ ~ - ЙЛ-1гЛ-1 - - - аЛгЛ--] _[г Л алп
обратная матрица В — А-1 имеет вид
&г1 Ьгг
• bi.n-t
- л-I 0
Ьл-1.1 &П-1.2
bni 0
. . о о
. . о о
5.5.33. Доказать, что матрица, обратная к матрице перестановок,
сама будет матрицей перестановок. Показать, что множество матриц
перестановок данного порядка п образует группу по умножению, и
найти число элементов в этой группе.
5.5.34. Показать, что вычисление матрицы, обратной к п X л-мат-
рице А, можно свести к решению п систем линейных уравнений,
каждая из которых состоит из п уравнений с п неизвестными и имеет
матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу А. Сравнить
число арифметических операций при решении этих систем методом
Гаусса с нахождением обратной матрицы посредством явных выра-
жений ее элементов через элементы А.
138
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
Указанным в задаче 5.5.34 методом найти обратные матрицы для
следующих матриц:
5.5.35. 2 3 4 5 5.5.36. 1 — 2 2 -4:
1 2 3 4 — 2 3 — 4 6
1 1 2 3 * 3 -6 5 -10
1 1 1 2 — б 9 - 10 15
5.5.37* . Все ведущие главные миноры п X н-матрины А отличны
от нуля. Доказать, что с помощью метода Гаусса можно матрицу А
представить в виде произведения нижней треугольной матрицы L
в верхней треугольной матрицы R: A = LR. Диагональные элементы
одной из этих матриц можно положить равными единице.
5.5.38. Показать, что представление матрицы А в виде произве-
дения A = LR, полученное в задаче 5.5.37, единственно, если диаго-
нальные элементы матрицы L выбирать равными единице.
5.5.39. Доказать, что всякая невырожденная матрица А может
быть представлена в виде произведения A = PLR, где Р —матрица
перестановок, Г —нижняя треугольная, R— верхняя треугольная мат-
рица.
5.5.40* . Доказать, что всякую невырожденную матрицу А эле-
ментарными преобразованиями строк и столбцов можно привести
к единичной матрице.
5.5.41. Показать, что утверждение задачи 5.5.40 сохранится, если
допускаются элементарные преобразования только строк (только
столбцов) матрицы.
5.5.42. Пользуясь результатом задачи 5.5.40, доказать, что всякая
невырожденная матрица может быть представлена в виде произведе-
ния матриц элементарных преобразований.
5.5.43. Показать, что если элементарные преобразования строк,
которыми данная невырожденная матрица А приводится к единичной
матрице, в том же иорядке применить к строкам единичной матрицы,
то в результате получится обратная матрица Л’1.
Указанным в задаче 5.5.43 методом найти обратные матрицы для
следующих матриц:
5.5.44. 2 3 2 2 5.5.45. |2 3 4 5
- 1 — 1 0 — 1 3 3 4 5
— 2 —2 — 2 -1 (4 4 4 5
3 2 2 2 |5 5 5 5
5.5.46. Пусть Jn —матрица порядка п, все элементы которой
равны единице. Доказать, что
5.5.47. Пусть В — матрица ранга 1. Согласно задаче 5.4,60 =
для некоторого числа а. Предполагая, что а — 1, доказать, что
(Д-Ь5)-‘ = Д - ₽В,
§ 5.5. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
139
где р =
т~—. Показать, что
I + «
задача
5.5.46 является частным случаем
этого утверждения.
5.5.48, Показать, что если матрица А невырождена, то матрицы
ЛВ и £-|-Л_:|£> одновременно вырождены или ггевырождены.
5.5.49* Пусть А — невырожденная матрица, для которой известна
обратная матрица А1; пусть, далее, Li~xy — матрица ранга 1. Дока-
зать, что если матрица ,4-j-B невырождена, то обратная к ней может
быть найдена ио формуле
(А 4-/3) РА-1В/1-1,
где P=-j-~^ а—уА ’дт. Таким образом, если к матрице А приба-
вить матрицу ранга 1, то н к обратной матрице прибавится мат-
рица ранга 1.
5,5.50. В задаче 5.5.49 подсчитать количество операций умноже-
ния и деления, необходимых для перехода от А-1 к (Аф-Д)-1, пред-
полагая, что известны матрицы х и у в представлении матрицы В.
5.5.51. В невырожденной матрице- А к элементу прибавляется
число ф, при этом полученная матрица А также не вырожден а. Найти
выражение для А 1 через )> и элементы матрицы А-1.
5.5,52. В невырожденной матрице А порядка п к элементам по-
следней строки прибавляются числа у,, ..., так, чтобы невырож-
денность матрицы сохранилась. Найти выражение для матрицы,
обратной к полученной матрице А, через элементы А-1 и числа
5.5.53. Ко всем элементам невырожденной матрицы А прибавля-
ется одно и то же число а. Полученная матрица А по-прежнему
невырождена. Найти выражение для А 1 через элементы А-1 и число а.
Найти обратные матрицы для следующих матриц порядка «:
5,5.54. a b b . . . b f Ь а Ъ . . . b b b а . . . b । 5.5.55. JO 1 1 ... 11 . . ! 1 0 1 ... 11 ’ “Лл г 1 1 0 ... Г а ф b (1 — «). !
5.5.58. Ь b b . ..а 1 1 1 ... 1 1 0 1 ... 1 1 1 0 ... 1 5.5.57. 1 1 1 ... 0 14” щ 1 1 ... 1 i 1+йй 1 ... 1 1 1 1 +а3 ... 1
1 1 1 . . . 0 1 1 1 ... 1ф-ал
(все й; отличны от нуля).
5.5.53. Доказать, что матрица, обратная к невырожденной квази-
диагональной матрице D, сама будет кваэиднагоналыюй, причем имеет
то же клеточное строение, что и D. Отметить, что диагональные
клетки О-1 будут обратными матрицами для одноименных диагональ-
ных клеток D.
140
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
5.5.59. Доказать, что матрица, обратная к невырожденной верхней
(нижней) каазитреугольной матрице Д, сама будет верхней (нижней)
квазитреугольной, причем имеет то же клеточное строение, что и А.
Отметить, что диагональные клетки Д-1 являются обратными матри-
цами для одноименных диагональных клеток Д.
5.5.60. Найти обратную матрицу для матрицы А порядка А-}-/
л--||о* ?,!
5.5.61* . Пусть в квадратной клеточной матрице
Нс л
подматрица Д квадратная и невырожденная. Доказать, что для опре-
делителя матрицы М справедливо соотношение:
| М | = | Д | • | D - СА~1В |.
5.5.62* . Для матрицы Дл_, порядка и — 1 известна обратная мат-
рица Дл!_]. Найти обратную матрицу для окаймленной матрицы Дя
порядка п |1Дл-1 Un.U
Ля —ll^-т * II’
предполагая ее невырожденной.
5.5.63. Подсчитать число операций умножения и деления, необхо-
димых при реализации формул для вычисления Дя\ выведенных
в задаче 5.5,62.
5.5.64. Проверить, что для квадратной клеточной матрицы М
порядка k Z: ] Д в i
ЛМ,С Dp
где Д и D — квадратные клетки соответственно порядков k и I,
обратную матрицу ЛН можно построить также в клеточном виде
где Р = (Д-В£Н1С)-1, Q = — PBD~\ Rr------D^CP, S = D^~D~lCQ
или 5 — (О — С Д-i В) -1, R = — SC Д-1,
Р = Д-1 - Д-i В R, Q = — Д-i В S.
Предполагается, что указанные здесь обратные матрицы существуют.
Эти формулы Фробениуса позволяют свести вычисление обратной
для матрицы порядка k Д-1 к обращению одной матрицы порядка k
и одной матрицы- порядка I.
5.5.65. Пусть Д и В—квадратные невырожденные матрицы соот-
ветственно порядков т и п. Доказать, что кронекерово произведе-
ние этих матриц также невырождено и
(Д X-В)-1 = Д~1 X В-1.
S 5.5. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
141
Найти обратные матрииь для следующих матриц:
5.5.66. 1 000 0 5.5.67. 0 0 0 1 -1 !
0 10 0 0 0 0 10 2
83 —47 1 0 0 0 10 0 2 !
—55 04 0 1 0 1 0 0 0 1
62 —71 0 0 1 1 —2 4 1 5
5.5.63. 1 0 3 9 5.5.69*. 1 21 32 9 12
0 17 21 40 56 15 21
—3 —12 1 0 15 20 6 8
1 4 0 1 25 35 10 14
5.5.70. Пусть А = В + 1 С — комплексная матрица порядка п, А"*=
= F -\-10 — обратная к матрице Д. Доказать, что действительные
матрицы порядка 2д
/В ~С\
\С в)
и
/Л — G\
\G F)
взаимно обратны.
5.5.71. Доказать, что операции транспонирования и обращения
матрицы перестановочны, т. е. (Д7)-1 = (Д-1)г.
5.5.72. Элементами квадратной матрицы Д являются действитель-
ные дифференцируемые функции действительного переменного t. Пред-
полагая, что матрица Д невырождена при данном значении t, дока-
зать формулу:
5.5.73. Показать, что решение системы линейных уравнений Ах — Ь
с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов Д равно х —
= А'1!?. Вывести отсюда формулы Крамера.
5.5.74. Пусть в условиях задачи 5.5.73 коэффициенты матрицы А
и вектор-столбпа ^ — действительные дифференцируемые функции
действительного переменного t. Доказать формулу:
dx — _ Д luM-r । д-i db.
dt~ Л ~dt + dt ‘
5.5.75. Пусть Д и В — прямоугольные матрицы с размерами т\п
и п хр соответственно. Доказать, что для миноров матрицы С—АВ
справедливы выражения:
р Bi ч • •• — V л Ft !z *<Л r Mi кг ... kq\
Vt /а " !<з) ~ \^1 \ji jz ig)
...
-<kq<n
(1 . .. 1 •• Cjq^P)*
142
ГЛ. К. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ц МАТРИЦЫ
5.5.76. Доказать, пользуясь формулой Бине — Ко щи. что ранг
каждой из матриц АЛТ и АГА ранен ращу матрицы А Предпола-
гается. что Л — действительная матрица.
5.5.77. Доказать, что для прямоугольных матриц Л и Д с разме-
рами соответственно п пхт сумма всех главных миноров дан-
ного порядка k (1 Л’=йт iriin («, т)) для матриц АН ц НА одинакова.
5.5.73. К надратцая матрица А называется вполне неотрицатель-
ной (вполне положительной). если все миноры любых порядков
этой матрицы неотрицательны (положительны). Доказать, что произ-
ведение вполне неотрицательных (вполне положительных) мат-
риц само будет матрицей вполне неотрицательной (вполне положи-
тельной).
5.5.79*..... Пусть А — квадратная матрица порядка п. Для задан-
ного натурального числа р, \^р^п, упорядочим все jV="=C„ соче-
таний из п чисел 1, 2. .... п по р чисел йг < 1ог < ... < kp в лек-
сикографическом порядке. Последнее означает, что сочетание А, <
< А <Д .. < йр предшествует сочетанию /г[ < < ... < если
l.'i — k'f j. но <С й/. Составим квадратную
матрицу Ар = (Ujj-p) порядка N следующим образом;
если номер сочетания iL < /2 <...< 1? равен /. а номер сочетания
71 <7а < - • • <-Jp равен j. Полученная матрица Ар называется р-й
ассоциированной с А матрицей. В частности, Д1~--А, Ап — [А[.
Доказать, что;
а) (£’п)р = ДЛ';
б) ассоциированная матрица для диагональной матрицы D сама
будет диагональной;
н) ассоциированная матрица для верхней (нижней) треугольной
матрицы А сама будет верхней (нижней) треугольной;
г) (АВ)р = АрВр-
д) если А — невырожденная матрица, то (А1)/> = (АР)-1.
5.5.80*. Пусть А — невырожденная матрица порядка н. Доказать,
что миноры любого порядка обратной матрицы Z?—А 1 связаны
с минорами матрицы А соотношениями;
2G (*\+М /k' k’ ... k' „\
£ (11 <1 (/Л ____________Сt .>• гп_р/
'A /гг ... kp) | A | ’
где /» < ... < ip вместе c i't <i)< .., < r'i-p и < A < . - < kp
вместе c k\ < k’.t < .,. < k'n.. p составляют полную систему индексов
1, 2, .... п.
6 Б.6. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
143
§ 5.6. Матрица линейного оператора,
переход к другому базису,
эквивалентные и подобные матрицы
О задачах параграфа. Задачи настоящего параграфа сгруппированы □ три
раздела соответственно темам, указанным в заглавии.
5.6.1. 11а евклидовой плоскости Д2 принята правая ориентация
(т. е. положительным направлением отсчета углов считается направ-
ление прогни часовой стрелки). Пусть —правая декартова
система координат на плоскости Е.2. Составить для базиса еь щ
матрицу линейного преобразования, заключающегося в повороте Е2
па угол а вокруг начала координат.
5.6.2. Пусть еь щ, е3 — правый ортонормированный базис трех-
мерного енклпдопа пространства Е3 геометрических векторов. Рас-
сматривается следующий линейный оператор А пространства Es:
Ах = [х, а].
Здесь а — фиксированный вектор, координаты которого в базисе
е2[ <’3 равны ос, р, у. Найти матрицу оператора А в этом базисе.
5.6.3. Для базиса 1, t, f2t t’1 пространства Мп многочленов
степени -En записать матрицы: а) оператора дифференцирования;
б) разностного оператора At.
5.6.4. Рассматривая оператор дифференцирования как оператор
из АД в h записать его матрицу в паре базисов 1, t, t2, , in
и I. t. f2, . ,., tn *. В этой же паре базисов найти матрицу опера-
тора интегрирования как оператора из Мп , в Мп.
5.6.5. Найти матрицу оператора дифференцирования в двумерном
линейном пространстве, натянутом на базисные функции:
а) /г(0 = cos/, A(0 = sin^
б) gt {t) = eaC cosbt, &{{) = e^sin bt,
5.6.6. Пространство А является прямой суммой подпространств
Z-i и L3. Базис ер ..., еп выбран таким образом, что векторы еь ...
..., ег образуют базис подпространства а векторы еГ|], ..., еп~
базис подпространства L2. Для базиса et, ..., еп составить:
а) матрицу оператора проектирования на Zx параллельно Z.2;
б) матрицу оператора проектирования па i2 параллельно i±;
в) матрицу оператора отражения в /.! параллельно 12.
5.6.7. В д-мерном арифметическом пространстве А', действитель-
ном или комплексном, и соответствующем w-мерном арифметическом
пространстве Y фиксированы «естественные» базисы, составленные
из единичных векторов этих пространств. Сопоставим каждой отХд-
матрипе А оператор А из А’ в У, определенный следующим образом:
з
х - -у = Ах,
т. е. состоящий в умножении каждого вектор-столбиа х из А' из
матрицу А. Доказать, что; а) это соответствие между от х «-матрицами
144
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
и операторами из X в У является взаимно однозначным; б) матрица
оператора А в паре естественных базисов совпадает с матрицей
А. Таким образом, операторы, действующие в арифметических
пространствах, можно отождествить с прямоугольными матрицами
соответствующих размеров.
6-6.8. Оператор А, действующий в трехмергюм арифметическом
пространстве, переводит линейно независимые векторы alt я2, аа
в векторы Ьь Ь2, Ь3, где
5
ат =! 3
—
1
—3
—2
1
2
1
Найти матрицу этого оператора; а) в базисе аь а2, я3; б) в есте-
ственном базисе elt е2, е3.
5.6.9. В пространстве квадратных матриц порядка 2 фиксирован
базис, состоящий из матриц
li 2|. IS Г 21' !2 21
(в указанном порядке). Записать в этом базисе;
а) матрицу оператора транспонирования, т. е. оператора, который
каждой матрице X ставит в соответствие транспонированную матрицу;
б) матрицу оператора Олв, который каждую матрицу X перево-
дит в матрицу АХВ, где А и В —заданные матрицы;
в) матрицу оператора F аи> определенного соотношением
Х-+АХ А-ХВ.
Как изменятся эти матрицы, если в базисе поменять местами матрицы
5.6.10. Пусть в пространстве т Хп-матрии фиксирован базис
^12, г . ., ^1д, ^22» > * -. ^йл. - . г * 1 Етп (в ука-
занном порядке), где Etj — nt Хи-матрипа, у которой единственный
отличный от нуля элемент стоит на месте (Z, J) и равен 1. Пусть,
далее, А и В — заданные квадратные матрицы соответственно поряд-
ков т и п. Рассмотрим операторы ОЛЙ и Fab> определенные соот-
ношениями;
X—- АХВ,
Х—!± АХА-ХВ.
Доказать, что в указанном базисе:
а) матрица оператора Gab есть кронекерово произведение Ахйг;
б) матрица оператора Fлп есть /1 х£п-}- Ет \ВТ.
Найти матрицы тех же операторов в базисе Еи, Е21) ..., Ет1,
Вц, Е22, ..,, Ет2, ,.Е^п, Е2п, ,.., Етп.
5 5,6. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
145
5.6.11. Пусть Л— оператор из шА-у- Доказать, что все матрицы,
задающие оператор А в различных парах базисов пространств Д’ и
Y, имеют один и тот же ранг, равный рангу А.
5.6,12. Найти ранг оператора FAS:
Mi !)
5.6.13. Доказать, что оператор Far задачи 5.6.12 нильпотентный,
и найти индекс нильпотентности этого оператора.
5.6.14. Что можно сказать о матрице оператора А ранга г, если
в базисе еь еп пространства Л векторы р/+1, еп принадле-
жат ядру этого оператора?
5.6.15*. Оператор А из Шхг имеет ранг г. Доказать, что в нро-
странствах Л' и У можно выбрать базисы .... е„ и qb qm
соответственно таким образом, чтобы матрица А7г оператора А имела
такой вид:
0
О
О О
О О
1 О
О 1
О 0 ... 1 0 ... О
(5.6.1)
о о ... о о ... о
Число ненулевых столбцов в матрице Аде равно рангу г оператора.
5.6.16. Показать, что всякую невырожденную матрицу порядка «,
действительную или комплексную, можно рассматривать как мат-
рицу, задающую в я-мерпом пространстве X, соответственно дей-
ствительном или комплексном, переход от одного базиса еь ..., ея
к другому Д, при этом один из базисов можно выбрать
произвольно.
6.6.17. Пусть матрица А задает переход от базиса ..., еп
к базису /ь .... а матрица В —переход от /Р ./л к базису
gi....gn- Показать, что: а) матрицей перехода ог /ь .,,, /„ к с1(.,.
.еп будет Д-1; б) матрицей перехода от et, .... ея к gb ..., g„
будет С = АД.
5.6.18. Как изменится матрица перехода or е{, ..., еп к flt ...
• ••, /«. если:
а) переставить векторы <?, и е7?
б) переставить векторы fb и /;?
5.6,19. В базисе 1, t, F пространства М2 оператор А задан мат-
рицей
О О I
О 1 О
I О О
Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном многочле-
нами 5/2-}- 3£-]~ 1, 1F Д- 5г1+ 3.
5.6,20. В пространстве Л1а заданы два оператора. Оператор А
всякий многочлен <?й + a3i:i переводит в многочлен ий -р
Д- Оператор В многочлены Z3-H3, ^Ч-1. ^3-На +
146
ГЛ. 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
] переводит соответственно в ДД П Iя + 1 11
пулевой многочлен. В базисе 1, f, f2, f3 составить матрицы операто-
ров АВ и ВЛ.
5.6.21, Пусть Р и Q—невырожденные матрицы соответственно
порядков тип. Показать, что матрицы Blb Вг,, Вар
В22, .... Fmn, где Рц— PPijQ’ a Ptj— матрицы, определенные в 5.6,10,—
образуют базис в пространстве т хя-матрии. Найти матрицу пере-
хода к этому базису от базиса, составленного матрицами Ец,
а также матрицу обратного перехода.
5.6.22. Найти матрицы операторов Одд и Вдд задачи 5,6,10
в базисе BF], Вр, Ртп (см. задачу 5.6,21).
5.6.23. Пусть — оператор, заданный квадратной пх«-матри-
цей А в базисе е(, .... еп пространства А'; .ы — оператор, заданный
той же матрицей в базисе /„ .... /л. Доказать, что
Дг-РД^р-1,
где Р — оператор, переводящий векторы ер .,,, е„ в векторы
/р .... fn.
5.6.24. Прямоугольные т хп-матрища А и В называются эквива-
лентными, если существуют невырожденные матрицы R и S такие,
что B = RAS. Показать, что Отношение эквивалентности па множе-
стве прямоугольных матриц с фиксированными размерами тх,п реф-
лексивно, симметрично и транзитивно,
5.6.25. Квадратные матрицы Д и В называются подобными, если
существует невырожденная матрица Р такая, что В — Р 1АР. При
этом говорят, что матрица Р трансформирует А в В, Показать,
что отношение подобия на множестве квадратных матриц данного
порядка п рефлексивно, симметрично и транзитивно.
5.6.26. Доказать, что всякие две эквивалентные (подобные) мат-
рицы имеют одинаковый ранг.
5.6.27. Пусть X и Y— соответственно «-мерное и m-мерное про-
странство, Доказать, что любые две эквивалентные тх «-матрицы А
и В можно рассматривать как матрицы, задающие один и тот же
оператор из (ojYy в некоторых парах базисов е,, еп; дь ..., qm
и /г fn', *т этих пространств. Одну из пар базисов
можно выбрать произвольно,
5.6.28. Доказать, что всякие две подобные матрицы порядка п
можно рассматривать как матрицы, задающие один и тот же опера-
тор «-мерного пространства X в двух базисах е„ ,.,, ел и
этого пространства. Выбор одного из базисов произволен,
5.6.29* . Доказать, что всякая матрица А эквивалентна матрице
вида (5.6.1),
5.6.30. Доказать утверждение, обратное утверждению задачи
5,6,26; две тх«-матрицы А и В, имеющие одинаковый ранг, экви-
валентны,
§ 5.5. МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
147
5.6.31. ПусТЕ. матрицы A П В подобны: В = Р 1ЛР. Однозначно
ли определена траЕгсформггрующая матрица Р?
5.6.32* . Показать, что скалярная матрица аЕ подобна лишь
самой себе. Доказать, чго этим сиойстпом обладают только скаляр-
ные матрицы.
5.6.33. Пусть А — фиксированная квадратная матрица. Доказать,
что множество всех матриц Р, трансформирующих А в А, является
группой по умножению.
5.6.34. Пусть А и В— подобные матрицы. Доказать, что если
Ро — некоторая матрица, трансформирующая А в В, то все множество
трансформирующих матриц получается из множества матриц, трансфор-
мирующих А в А, путем умножения этих матриц справа на матрицу Ро,
5.6.35. Показать, что матрица А переходит в подобную, если
с пей выполняются следующие преобразования:
а) i-я строка умножается па ненулевое число а, а затем i-fl стол-
бец умножается па число 1/ос;
б) к /-й строке прибавляется /-я, умноженная на число а, а затем
ия У-го столбца вычитается Ml, умноженный на а;
в) переставляются /-я и у-я строки, а затем ьй и /-Й столбцы,
5.6.36* . Показать, что зеркальное отражение квадратной матрицы
в ее центре является подобным преобразованием этой матрицы,
5.6.37. Доказать, что подобные матрицы А и В пЬтсют одинако-
вый след и определитель.
5.6.38. Доказать, что если хотя бы одна из двух квадратных
матриц А и В одинакового порядка новы рожден а, то матрицы АВ
и ВА подобны. Привести пример вырожденных матриц А и В, для
которых АВ ц ВА цс будут подобны,
5.6.39. Показать, что если матрицы А и В подобны, то:
а) подобны матрицы А2 и В2;
б) подобны матрицы Ak и Вк для любого натурального числа k\
в) подобны матрицы /(А) и /(В) для любого многочлена f(t),
5.6.40. Если п X «-матрицы А и В эквивалентны, значит ли это,
что эквивалентны А2 и В2 (ср, с задачей 5.В.39, а))?
5.6.41. Показать, что подобные матрицы А и В имеют один и
тот же минимальный многочлен.
5.6.42. Матрицы А и В порядков /л и п соответственно подобны
матрицам С и В. Доказать, что;
а) матрица АхВ подобна матрице C\D\
б) матрица А X ВлЕ,л X Вт подобна матрице Сх Еп-\- ВтХ Вт-
5.6.43. Доказать, что если подобны матрицы А и В, то подобны
и ассоциированные с ними матрицы Ар и Вр.
5.6.44. Показать, что если комплексные матрицы Д1 = В1-]~/С1 и
Д2 = В24-/С2 подобны, го подобны и действительные матрицы В2 и В2:
ГЛАВА 6
СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
§ 6,0. Терминология и общие замечания
Пусть А — оператор из Число Л называется собственным
значением оператора А, если существует ненулевой вектор х такой,
470 Ах = Хх. (6.0.1)
Всякий вектор -V 0, удовлетворяющий (6.0J), называется собствен-
ным вектором оператора А, относящимся к собственному значе-
нию X.
Если Ае — матрица оператора А в произвольном базисе ...,₽п
пространства X, то многочлен det (ХС — А) не зависит от выбора
базиса и называется характеристическим многочленом оператора А.
Собственными значениями оператора являются корни харак-
теристического многочлена (лежащие в данном поле), и только они.
Согласно основной теореме алгебры, всякий многочлен степени п
(п'у^ 1) с комплексными коэффициентами имеет в поле комплексных
чисел ровно п корней (если каждый считать столько раз, какова
его кратность). Если алгебраической кратностью собственного
значения назвать его кратность как корня характеристического мно-
гочлена, то;
в комплексном линейном пространстве размерности п всякий
оператор имеет п собственных значений (с учетом кратности).
При этом существует хотя бы один собственный вектор.
Подпространство L называется инвариантным относительно
оператора А, если из х е L следует, что Ах е L, Оператор А,
рассматриваемый только для векторов из инвариантного подпростран-
ства L, называется индуцированным оператором и обозначается A/L.
Если пространство X является прямой суммой подпространств
и L2, инвариантных относительно оператора А, то для любого век-
тора х с разложением
х — xy + xj, X, е Lb xgL2,
имеем
Ах Ах * Ах 2 =^: (А/Е j) х j (А/ L%) х2.
Вследствие этого говорят, что оператор А есть прямая сумма
индуцированных операторов А/Е, и А/Еа. Эту же ситуацию описы-
вают словами; оператор А приводится парой подпространств Ej и L2,
§ 6.]. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
149
Для всякого оператора А, действующего в комплексном про-
странстве, существует базис этого пространства, называемый кано-
ническим базисом Жордана, в котором матрица оператора имеет
квазидиагональный вид:
где каждая из диагональных клеток Л есть жорданова клетка,
относящаяся к одному из собственных значений оператора А Ма-
трица J называется жордано&ой формой оператора А
Выражения «собственный вектор матрицы», «инвариантное под-
пространство матрицы», и т. и,, употребляемые в настоящей главе,
следует понимать в том смысле, как это определено в копне § 5,0,
При этом, например, собственный вектор п х «-матрицы мы рассмат-
риваем как «-мерный вектор-столбеп, и т. д.
§ 6,1. Собственные значения и собственные векторы
О задачах параграфа. В настоящем параграфе приведены задачи на соб-
ственные значения и собственные векторы оператора, которые могут быть
решены без использования характеристического многочлена. Эти задачи отно-
сятся в основном к следующим вопросам:
1, Определение собственных значений и собственных векторов,
2. Теорема о линейной независимости собственных векторов, относящихся
к различным собственным значениям, и следствия из нее.
3. Операторы и матрицы простой структуры.
6,1.1. Доказать, что для невырожденности оператора А необхо-
димо и достаточно, чтобы оц не имел собственного значения нуль.
6.1.2, Показать, что: а) собственные векторы оператора А отно-
сящиеся к собственному значению нуль, и только они, лежат в ядре
этого оператора; б) собственные векторы, относящиеся к ненулевым
собственным значениям, лежат в образе оператора.
6,1.3. Доказать, что если оператор А невырожден, то А и Д-1
имеют одни и те же собственные векторы. Найти связь между соб-
ственными значениями этих операторов.
6.1.4. Показать, что при умножении оператора на ненулевое число
собственные векторы не меняются, а собственные значения умно-
жаются на это число.
6.1.5. Показать, что оператор А —при любом числе имеет
те же собственные векторы, что и оператор Л. Найти связь между
собственными значениями этих операторов.
6.1,6. Доказать, что если х — собственный вектор оператора А
относящийся к собственному значению X, то х будет собственным
вектором и для оператора: а) Л2; б) А4 при любом натуральном А;
150
ГЛ. 6. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
в) /(А), где fit) — любой многочлен. Найти соответствующие соб-
ственные значения этих операторов,
6.1.7. Верно ли следующее утверждение! если х — собственный
вектор для некоторого многочлена /(А) от оператора А, то х
является собственным вектором и для самого оператора А?
6.1 Л. Доказать, что нильпотентный оператор не имеет отличных
от пуля собственных значений.
6,1.9. Доказать, что оператор поворота евклидовой плоскости на
угол а, не кратный л, не имеет собственных векторов.
6.1.10, Найти собственные значения в собственные векторы опе-
ратора А трехмерного евклидова пространства: Ах = [л-, а], где а —
фиксированный векгор.
6.1.11. Найти собственные значения и собственные векторы опера-
тора дифференцирования и пространстве многочленов А4Л.
6,1.12. Найти собственные векторы оператора дифференцирования
па пространстве, натянутом па (Z) = cosZ, (П~sin t-
6.1.13. Доказать, что собственные значения диагональной матрицы
совпадают с се диагональными элементами.
6.1.14. Доканать, что стохастическая матрица имеет собственное
значение единица. Найти соответствующий собственный вектор.
6.1,15* . Найти собственные значения матрицы А — ху, имеющей
ранг единица.
6.1.16. Найти собственные значения и собственные векторы п/я-
матрицы J„: j ( ।,
l 1 ... I
jl 1 1
6.1,17. Найти собственные значения и собственные векторы пхп-
мЗтрипы А: \а b b Ь'-
\b а I) ... Ь
А — b b а ,.. by
b b b ... а
6.1.18, Доказать, что если матрицы А и В подобны, то всякое
собственное значение А является собственным значением и для Д.
и обратно- Найти связь между собственными векторами матриц А и В,
6,1.19* . Доказать, что собственные векторы оператора, относя-
щиеся к различным собственным значениям, линейно независимы.
6.1.20. Из результата задачи 6.1.19 вывести, что оператор А,
действующий в n-мерном пространстве X, не может иметь более п
различных собственных значений. Если различных собственных зна-
чений ровно п, то существует базис пространства X, состоящий из
собственных векторов оператора А.
6.1.21. Доказать, что множество всех собственных векторов опе-
ратора А, относящихся к данному собственному значению %0, если
5 6.1. СОБСТВЕНГ1Ь[Е ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 151
его пополнить нулевым вектором, является подпространством. Оно
называется собственным подпространством оператора А, соответ-
ствующим собственному значению Хо,
6.1.22. Пространство Л является прямой суммой подпространств
Li и Найти собственные значения и собственные подпространства:
а) оператора проектирования на параллельно
б) оператора отражения в параллельно Кг,
6.1.23. Размерность собственного подпространства оператора А,
соответствующего собственному значению %0, называется геометри-
ческой кратностью собственного значения Ло. Показать, что геомет-
рическая кратность равна дефекту оператора А —
6,1.24. Доказать, что сумма собственных подпространств опера-
тора А является прямой суммой.
6.1.25. Доказать, что все отличные от нуля векторы пространства
тогда и только тогда являются собственными векторами оператора А,
когда А —скалярный оператор.
6.1.26* . Доказать, что сумма геометрических кратностей всех
собственных значений оператора А из (оХх не превосходит размер-
ности пространства X. При этом равенство указанной суммы размер-
ности пространства X необходимо и достаточно для того, чтобы
в пространстве X существовал базис, составленный из собственных
векторов оператора А.
6.1,27. Оператор А, для которого в пространстве существует
базис, состоящий из собственных векторов этого оператора, назы-
вается оператором простой структуры. Выяснить геометрический
смысл такого оператора. Как выглядит матрица оператора А в базисе
из собственных векторов?
6.1.23. Квадратная матрица называется матрицей простой струк-
туры, если она подобна некоторой диагональной матрице. Доказать,
что оператор А из тогда и только тогда будет оператором про-
стой структуры, когда его матрица в произвольном базисе простран-
ства является матрицей простой структуры,
6Д.29. Доказать, что у оператора простой структуры: а) образ
есть линейная оболочка собственных векторов, относящихся к нену-
левым собственным значениям; б) пересечение ядра и образа состоит
только из пулевого вектора.
6.1 ДО. Показать, что операторы проектирования и операторы
Отражения имеют простую структуру,
6.1.31. Доказать, что среди нильпотентных операторов только
нулевой оператор имеет простую структуру,
6.1.32. Доказать, что всякий многочлен /(А) от оператора про-
стой структуры сам имеет простую структуру, В частности, если А
невырожден, то А-1 имеет простую структуру,
6.1.33. Доказать, что если оператор А «-мерного пространства
является оператором простой структуры, то минимальный многочлен
этого оператора имеет степень, пе превосходящую л.
J 52
ГЛ. 6. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
в. 1.34. Оператор А, действующий в «-мерном пространстве X,
имеет п различных собственных значений. Доказать, что всякий опе-
ратор В, перестановочный с А, является оператором простой структуры.
6.1.35. Показать, что в условиях задачи 6.1.34 оператор В можно
представить многочленом От оператора А.
6.1.36. Пусть А —оператор действительного пространства R, А —
оператор, полученный из А при комплексификапии пространства R.
Показать, что если х — собственный вектор оператора А, соответ-
ствующий собственному значению X, то вектор хф-10 -—собственный
для оператора А с тем же собственным значением.
6.1.37. Показать, что в условиях задачи 6.1.36 оператор А имеет
простую структуру, если А —оператор простой структуры.
6.1.38, Согласно определению для матрицы А простой Структуры
существует невырожденная матрица Р такая, что РЛАР — Л есть
диагональная матрица. Доказать, что диагональные элементы матрицы Л
суть собственные значения, а столбцы матрицы Р —- собственные
векторы матрицы А. Наоборот, невырожденная матрица Р, составлен-
ная (по столбцам) из собственных векторов матрицы А, трансформи-
рует эту матрицу к диагональной.
6.1.39. Доказать, что если матрица А имеет простую структуру,
то это же верно в отношении транспонированной матрицы Ат,
6.1.40. Пусть X и х — собственное значение и соответствующий
собственный вектор от х/«-матрицы А; р и у — собственное значе-
ние и соответствующий собственный вектор — матрицы В. Дока-
зать, что кронекероио произведение хх_у является:
а) собственным вектором матрицы АхД;
б) собственным вектором матрицы АхД^Д- ЕтхВ.
Найти соответствующие собственные значения.
6.1.41. Доказать, что если в условиях задачи 6.1.40 матрицы А
и В имеют простую структуру, то это же верно в отношении матриц
Ах В и АхЕл + ЕтХВ.
6.1.42. Вывести из задачи 6.1.41 следствие: если матрицы А и В
имеют простую структуру, то операторы САВ и FAB задачи 5.6.10
являются операторами простой структуры.
6.1.43. Доказать, что если А является матрицей простой струк-
туры, то это же верно для всех ассоциированных матриц Ао.
§ 6.2. Характеристический многочлен
О задачах параграфа. В этом параграфе мы хотели проиллюстрировать
следующие вопросы, относящиеся к характеристическому многочлену:
1, Определение характеристического многочлена, выражение его коэффи-
циентов через миноры матрицы, связь коэффициентов с собственными значе-
ниями.
2. Характеристический многочлен как средство вычисления собственных
значений.
S 6.2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
153
3. Сопровождающая матрица многочлена.
4. Характеристические многочлены специальных классов операторов
и матриц.
Как и в предыдущем параграфе, большое внимание уделяется операторам
к матрицам простой структуры. Критерий, установленный в задаче 6.1.26,
только здесь, при наличии способа вычисления собственных значений, приоб-
ретает свое полное значение.
6.2,1. Выписать явные выражения для характеристических много-
членов матриц порядка: а) 1; б) 2; в) 3.
6*2.2*. Доказать, что в записи характеристического многочлена
|%Е—Д| матрицы А по степеням X:
| — A j = Xя дл 14"... 4" ^1% *} а0,
— коэффициент аь равен взятой со знаком (—1)“‘* сумме всех глав-
ных миноров порядка я — k матрицы Д.
Составить характеристические многочлены для матриц:
6.2.3. »i.Vi «t.Vs ... ххуп 6.2.4. 0 0 ... 0 6,
Ьг.У1 х.,уг ... х.гу„ ! 0 0 ... 0 5а I
wj 0 0 ... 0 5„_il
1^1 ** СЛ-1 а ।
6.2.5. Доказать, что характеристический многочлен транспониро-
ванной матрицы Ат совпадает с характеристическим многочленом
матрицы Д.
6.2.6. Доказать, что если каждый коэффициент комплексной
матрицы А заменить сопряженным числом, то и коэффициенты харак-
теристического многочлена матрицы заменятся сопряженными числами.
6.2.7* . А и В —квадратные матрицы одинакового порядка. Дока-
зать, что матрицы АВ и ВА имеют одинаковый характеристический
многочлен.
6.2.8. Доказать, что характеристические многочлены /(X) матрицы
Д и g(X) матрицы А — %аЕ связаны соотношением
£(%) = /Ч^- + %о)-
6.2.9. Пусть п хл-матрииа А невырождена. Доказать, что харак-
теристические многочлены /(X) матрицы А и h (%) матрицы А 1 свя-
заны соотношением
/.(Ч^с-хгу^./(').
Вывести отсюда связь между суммами всех главных миноров данного
порядка матриц А и Д-1. (Другой способ получить эту связь дает
задача 5.5.80.)
6.2.10. Доказать, что подобные матрицы имеют одинаковый харак-
теристический многочлен. Привести пример, показывающий, что обрат-
ное утверждение: матрицы, имеющие одинаковый характеристический
многочлен, подобны,—неверно.
154
ГЛ. G. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
6.2.11* . Доказать, что следующая функция от элементов матрицы А:
т(д)= У апаГп
Л / -1
— не меняется при подобном преобразовании этой матрицы.
6.2.12. Предполагая, что в задаче 6.2.11 матрица А —комплекс-
ная, написать выражение функции т(А) через собственные значения
этой матрицы.
6,2.13. Обобщая утверждение задачи 6.2.11. доказать, что функция
п п п п
От/(А) — Е Е Е ... Е aik ah /г2 • ' akt kfbp
i =1 *1 = I -^1 к(,|
не меняется при подобном преобразовании матрицы А.
6.2.14. Известны п собственных значений Л,..........матрицы А
порядка п-J-l. Как найти еще одно собственное значение Ля+1?
6.2.15. Найти характеристический многочлен и собственные зна-
чения треугольной матрицы
О Л.,., + +,
° 0 апп\
6.2.16. Доказать, что характеристический многочлен матрицы
— «ял 1 — П.7-2 •• 0 . —Я1 0 — Оо 0
С(/(М) = 0 1 . 0 0
0 0 1 0
равен f (Л) = V-f- ая_1Ля 1-ф.. ,ф- а^Ц-ао. Матрица С (/(X)) назы-
вается сопровождающей матрицей многочлена f (X) (иди матрицей
Фробениуса).
6.2.17. Пользуясь задачей 6.2.16, доказать, что всякий многочлен
степени п со старшим коэ(|?фициентом, равным единице, может быть
характеристическим многочленом некоторой квадратной матрицы
порядка н,
6,2.18. Найти характеристический многочлен оператора попорота
евклидовой плоскости на угол а.
6.2.19. Найти характеристический многочлен оператора А трех-
мерного евклидова пространства; Ал* = [л*. й|, где а — фиксирован-
ный вектор.
6.2.20. Найти характеристический многочлен оператора дифферен-
цирования в пространстве Мп.
6.2.21. Найти характеристический многочлен произвольного ниль-
потентного оператора, действующего в л-мерном комплексном прост-
ранстве.
§ G.S. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
155
6.2.22. Доказать, что ранг оператора проектирования равен его
следу.
6.2.23. Пусть оператор R осуществляет отражение «-мерного про-
странства Л’ относительно подпространства L. Доказать, что размер-
ность L связана со следом оператора R соотношением
tr R — 2 dim L — n.
Вычислить собственные значения и собственные некторы следу-
ющих матриц;
6.2.24. II2 ОН 6.2.25. ||
1|о 2 • 1 2£ 1-1 |г
6.2.26. 4 ~1 -21| 6.2.27. 4 1 1||
2 1 - 2 , 2 4 1
1-1 1 0 1 4||
6.2.28. 1 2 -з --3 6.2.29. I1 4 - 4 2[|
! —1 - 2 _.з . I 2-2 J
3 [5 12 -_4 4 -2||
6.2.30. о j о о; 6.2.31. 1 0 1 0 i
1.3 0 2 0 1 1 0 d
10 2 0 3;' 1 0 1 о/
1; 0 0 1 0| 0 1 1 г
6.2.32. 11 2 0 3 6.2.33. з -1 о о;
: —1 -2 0 —3 0 3 0 0
0 0 2 0 1 0 3!'
| 1 2 0 3 1о 10 3
6.2.34. Доказать, что в действительном пространстве размерности
n — 2k-\- \ всякий оператор имеет по крайней мере один собственный
вектор.
Найти собственные значения следующих матриц-, а) в поле дейст-
вительных чисел; б) в поле комплексных чисел.
6.2.35. 1 2 6.2.36. 1 1 Oh
-2 llf 0 1 1.
1 о 1|
6.2.37. 1 0 2 0: 6.2.36. 1 1 0 0
0 10 2' 10—1—2
4 0 3 0 0 0 1 1
0 —1 0 3[ 12 10
6.2.39. Показать, что характеристический многочлен квазитреутоль-
ной (квазидиагональной) матрицы равен произведению характеристиче-
ских многочленов диагональных клеток,
6.2,40. Используя задачи 6.2.8 и 6.2,9, показать, что алгебраиче-
ские кратности соответствующих собственных значений операторов А
и А — АуЕ одинаковы, так же как и соответствующих собственных
значений операторов А и А-1,
156
ГЛ. в. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО оператора
6.2.41* . Доказать, что для произвольного оператора А геометри-
ческая кратность любого собственного значения X не превосходит
его алгебраической кратности.
6.2.42, Доказать, что оператор А, действующий в комплексном
пространстве, тогда и только тогда является оператором простой
структуры, когда для каждого собственного значения этого оператора
геометрическая кратность совпадает с алгебраической. Верно ли ана-
логичное утверждение в случае действительного пространства?
Для каждой из приведенных ниже матриц выяснить, имеет ли эта
матрица простую структуру. В случае положительного ответа найти
матрицу, трансформирующую данную к диагональному виду, и ука-
зать этот вид.
6.2.43. 0 0 0 1 6.2.44, 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0 10
0 3 0 0 0 2 0 0
4 0 0 0 3 0 0 0
6.2.45. 112 3| 6,2.46. 112 3
0 2 2 4: 0 112
0 0 1 — 2 0 0 2 0
!0 0 0 2 0 0 0 2
6.2.47. 0 1 0 0 6.2.48. 1 1 0 0
0 0 1 0 3 0 1 0
0 0 0 1 —10 0 1
-6 1 7 — 1 —2 0 0 0
6.2.49* . Может ли сопровождающая матрица многочлена /(X)
иметь простую структуру, если у этого многочлена есть хотя бы
один кратный корень?
6.2.50. Доказать, что матрицы А и В простой структуры подобны
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характеристи-
ческий многочлен.
6,2.51. Доказать, что .комплексная матрица, все собственные зна-
чения которой различны, подобна сопровождающей матрице своего
характеристического многочлена.
6.2.52. Найти характеристический многочлен матрицы Р порядка п:
0 1
0 1
0 1
1 0
6.2.53* . Для матрицы Р предыдущей задачи найти собственные
значения в поле комплексных чисел и соответствующие им собствен-
ные векторы.
$ 0.2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН
157
6.2.54. Исходя из результата задачи 6.2.53, показать, что всякий
циркулянт в поле комплексных чисел является матрицей простой
структуры. Найти выражения собственных значений циркулянта через
его элементы.
6-2,55*. Пусть ?.!, ..., Х,„ —все различные корни многочлена /(X).
Найти собственные векторы сопровождающей матрицы этого много-
члена.
6.2,56* . Результат задачи 6.2.53 вывести из задачи 6.2.55.
6.2.57* . Пусть матрица А имеет простую структуру. Доказать,
что для любого числа %0 ранг матрицы А — Х0Д равен наивысшему
порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
6.2.58. Доказать, что всякий оператор простой структуры анну-
лируется своим характеристическим многочленом.
6.2.59. Пусть А — оператор простой структуры, действующий
в «-мерном пространстве, и пусть Xj, .... —все различные соб-
ственные значения оператора А. Найти минимальный многочлен этого
оператора.
6.2.60* . Пусть А и В — прямоугольные матрицы с размерами соот-
ветственно mxtt и пу,/п. Доказать, что для характеристических
многочленов матриц АВ и ВА выполняется соотношение:
Г j - АВ | = %™ | - В А |.
В частности, при т — п отсюда получается результат задачи 6.2.7.
6.2.61* . Доказать, что характеристический многочлен матрицы
в
А ’
где А и В —квадратные матрицы одинакового порядка, равен про-
изведению характеристических многочленов матриц A-f-B и А —В.
6.2.62. Доказать, что при комплексификации действительного
линейного пространства оператор А переходит в оператор А с тем
же характеристическим многочленом.
6.2.63. Показать, что результат задачи 6.2.21 справедлив и для
нильпотентного оператора, действующего в «-мерном действительном
пространстве.
6-2.64. Доказать, что характеристический многочлен действитель-
ной матрицы D порядка 2«;
равен произведению характеристических многочленов их «-комплекс-
ных матриц А —ВД-rC и A=R—IC,
158
ГЛ. 6. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
§ 6.3. Инвариантные подпространства
О задачах параграфа. Первая часть настоящего параграфа посвящена
задачам па инвариантные подпространства и индуцированные операторы. Во
второй части мы рассматриваем теорему о возможности приведения матрицы
оператора к треугольному виду и следствия этой теоремы.
6.3.1. Доказать, что сумма и пересечение подпространств Lj и
12, инвариантных относительно оператора А, также инвариантны
относительно А.
6.3.2, Показать, что ядро и образ оператора А из ихх инвари-
антны относительно А.
6.3.3. Доказать, что если оператор А вырожден, то любое под-
пространство, содержащее его образ, будет инвариантно относи-
тельно А
6.3.4. Выяснить геометрический смысл одномерных инвариантных
подпространств оператора и показать, что в комплексном простран-
стве всякий оператор имеет цо крайней мере одно одномерное инва-
риантное подпространство,
6.3.5. Что можно сказать об операторе А из юхх, относительно
которого любое подпространство пространства X является инва-
риантным?
6.3.6* . Доказать, что если в n-мерном пространстве X всякое
подпространство размерности Л, где А — фиксированное натуральное
число, 1 гС/г < п. инвариантно относительно оператора А, то А —
скалярный оператор,
6.3.7. Доказать, что линейная оболочка любой системы собствен-
ных векторов оператора А инвариантна относительно А. В частности,
собственные подпространства оператора А инвариантны относительно
этого оператора.
6.3.8. Доказать, что операторы А и А — кВ, где Л — любое число,
имеют одни и те же инвариантные подпространства.
6.3.9* . Доказать, что всякий оператор, действующий в я-мерном
комплексном пространстве, имеет инвариантное подпространство раз-
мерности п— 1.
6.3.10. Доказать, что если оператор А невырожден, то А и Д'1
имеют одни и те же инвариантные подпространства.
6.3.11. Показать, что всякое подпространство, инвариантное отно-
сительно оператора Д инвариантно и относительно любого много-
члена от этого оператора. Верно ли обратное утверждение?
6.3.12. Доказать, что ядро и образ любого многочлена f(A) от
оператора А инвариантны относительно А.
6.3.13. Пусть операторы А и В перестановочны. Доказать, что
ядро и образ оператора В инвариантны относительно оператора Д.
6.3.14. Доказать, что всякое собственное подпространство опера-
тора Л инвариантно относительно любого оператора, перестановоч-
ного с А.
$6.3. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
159
6.3.15. Доказать, что если оператор А действующий в л-мерном
пространстве, имеет п различных собственных значений, то любой
оператор В, перестановочный с А, является оператором простой
структуры. При этом все собственные векторы оператора А будут
также и собственными векторами оператора В.
6.3.16. Найти все инвариантные подпространства оператора А
трехмерного евклидова пространства; Дх = [х, а], а — фиксированный
вектор. Для каждого инвариантного подпространства L определить
индуцированный оператор A/L.
6.3.17* . Найти все инвариантные подпространства оператора диф-
ференцирования в пространстве многочленов Л1я.
6.3.18. Пространство X размерности л является прямой суммой
подпространства размерности А(>0) и подпространства L., раз-
мерности л — k. Пусть базис .... еп пространства выбран таким
образом, что векторы еь ..., ек принадлежат Lt, векторы ...
.... еп — подпространству Z.2, Матрицу оператора А в базисе су, ...
.,,, представим в клеточном виде;
а _1|лп Ли |1
с ЛИ||’
где и А22 — квадратные подматрицы порядков соответственно А
и л —А. Доказать, что;
а) Д21 = () тогда и только тогда, когда инвариантно относи-
тельно оператора А;
б) Д21 —0 и Д12 = 0 тогда и только тогда, когда оба подпрост-
ранства и Ьг инвариантны относительно оператора А.
6.3.19. Показать, что всякая комплексная квадратная матрица А
порядка л подобна матрице В, имеющей вид
где Й22 — подматрица порядка л—1. Указать способ построения
трансформирующей матрицы Р такой, что В~Р1АР.
6.3.20. Доказать, что если оператор А действует в комплексном
пространстве, то всякое подпространство, инвариантное относительно А,
содержит по крайней мере один собственный вектор этого оператора.
6.3.21. Пусть L — подпространство, инвариантное относительно
оператора А. Доказать, что;
а) характеристический многочлен индуцированного оператора A/L
является делителем характеристического многочлена оператора А;
б) минимальный многочлен индуцированного Оператора А/L явля-
ется делителем минимального многочлена оператора А,
6.3.22. Подпространства и инвариантны относительно опера-
тора А, причем Li cz Ls. Доказать, что характеристический много-
член оператора A/Lj является делителем характеристического много-
160
гл. 6. СТРУКТУРА ЛИНКИНОГО ОПЕРАТОРА
члена оператора A/L2. Аналогичное утверждение справедливо для
минимальных многочленов.
6.3.23. Подпространства и £2 инвариантны относительно опера-
тора А. Доказать, что характеристический многочлен оператора
A/(£j-|-L2) и характеристический многочлен оператора A/(Lj Q £«)
являются соответственно общим кратным и общим делителем харак-
теристических многочленов операторов A/Lt и A/L2. Аналогичное
утверждение справедливо дли минимальных многочленов.
6.3.24* . Доказать, что оператор простой структуры А на каж-
дом своем инвариантном подпространстве L индуцирует также опе-
ратор простой структуры A/L.
6.3.25. Вывести из задачи 6.3.24 следующее следствие: всякое
нетривиальное инвариантное подпространство оператора А, имеющего
простую структуру, натянуто на некоторую систему собственных
векторов этого оператора.
6.3.26. Доказать, что для перестановочных операторов простой
структуры А и В существует базис пространства, составленный из
общих собственных векторов этих операторов.
6.3.27. Доказать, что любые два перестановочных оператора ком-
плексного пространства имеют общий собственный вектор.
6.3.28. Доказать, что для любого (хотя бы и бесконечного) мно-
жества G, состоящего из попарно перестановочных операторов ком-
плексного пространства, найдется вектор, собственный для всех опе-
раторов из G.
6.3.29. Пусть оператор А приводится парой подпространств
и L3. Доказать, что:
а) ранг оператора А равен сумме рангов операторов A/Lt и A./L^
б) характеристический многочлен оператора А равен произведе-
нию характеристических многочленов операторов A/L^ и A/L&
в) минимальный многочлен А есть наименьшее общее кратное
минимальных многочленов А/1г и А/£.3;
г) оператор А1* при любом целом числе k является прямой сум-
мой операторов (A/L^ и (A/L3)fr;
д) для любого многочлена f(t) оператор /(А) есть прямая сумма
операторов f(A/£х) и f{A/LB.
6.3.30. Доказать, что оператор дифференцирования в простран-
стве Л1П не приводится никакой парой подпространств.
6.3.31. Пусть R— действительное линейное пространство, С—
комплексное пространство, полученное из R комплексификацией.
Пусть L — подпространство в /?, инвариантное относительно опера-
тора А; ..., еА — базис L. Показать, что линейная оболочка векто-
ров вх-(-гО, ..., в пространстве С является инвариантным
подпространством оператора А, соответствующего оператору А.
6.3.32* . Используя комплексификацию, доказать, что всякий опе-
ратор действительного линейного пространства имеет инвариантное
подпространство размерности 1 или 2.
S 0-3. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА
161
6.3.33. Найти двумерное и (тарпан гное подпространство матрицы
4 -6 41
1 ° о!,
0 1 (?’
рассматриваемой как оператор действительного арифметического
пространства /?3.
6.3.34. Пусть н-мерные вектор-столбпы .... zh, zs~Xj-\~ly;,
образуют базис А’-мерного инвариантного подпространства комплек-
сной матрицы А =5 + 1С, Доказать, что 2л-мерные действительные
вектор-столбпы ult ut, s/p .vk, где
"С
образуют базис 2^-мерного инвариантного подпространства действи-
тельной матрицы
6.3.35. Векторы Cj, ..., ек образуют базис A-мерного инвариант-
ного подпространства т« х///-мат рицы А, векторы Л...., Д —базис
/-мерного инвариантного нодпространстна п х «-матрицы Д. Доказать,
что линейная ободочка кроиекеровых произведений 1, ...
..., k, /=1, ..., I, является И-мерным инвариантным подпростран-
ством;
а) матрицы АхВ;
б) матрицы А X Еп -ф В!Я X В.
6.3.36* . Доказать, что для любого оператора А, действующего
в «-мерном комплексном пространстве Л", найдется последователь-
ность инвариантных подпространств Lit L^, ..., Ln_b }_п таких, что
размерность подпространства Lk равна k и
Li с L2 с ... с L„_j с L,, = Х.
Показать, что и базисе eit ..., е„ пространства, составленном так,
что et е Li, матрица оператора А — верхняя треугольная; если же
порядок векторов базиса изменить на еп, .,., е1г то матрица опера-
тора примет нижний треугольный вид. Выяснить смысл диагональных
элементов этих матриц.
6.3.37. Из задачи 6.3.36 вывести такое следствие: всякая комплекс-
ная квадратная матрица подобна верхней (нижней) треугольной
матрице.
6.3.38* . Доказать утверждение предыдущей задачи независимо от
задачи 6.3.36.
6.3.39. Доказать неединственность треугольной формы данной
комплексной матрицы А- Именно, каково бы ин было заранее задан-
ное упорядочение собственных значений >,ь .,., л„ матрицы А, суще-
ствует подобная ей верхняя (нижняя) треугольная матрица, на глав-
ной диагонали которой числа ip ..., Лп стоят в нужном порядке.
6 х. Д. Пирамов
162
ГЛ. 6. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Принести подобным преобразованием к треугольной форме сле-
дующие матрицы (указать полученные треугольные формы и транс-
формирующие матрицы);
6.3.40.
6.3.41. 5
—8
2 1
—3 —2
4 3
| 1
— 1
О
о
—1
I
1
—1
о
7
6.3.42*. Пусть 7ц, —все различные собственные значения
комплексной нхл-матрииы A, kb .... km — алгебраические кратности
ьтих собственных значений. Доказать, что матрица А тогда и только
тогда имеет простую структуру, когда она подобна матрице В сле-
дующего клеточного строения;
г 0 ХоЕjfca Дз ! Вгт
В^ 0 0 - ^зт
ООО...
6.3.43. Доказать, что оператор комплексного пространства тогда
и только тогда будет нильпотентным, когда все собственные значе-
ния агою оператора равны нулю.
6.3.44*. Доказать, что перестановочные матрицы А и В можно
привести к треугольной форме одним и тем же подобным преобра-
зованием.
6.3.45. Что означает утверждение задачи 6.3.44 для перестановоч-
ных операторов А и £??
6.3.46*. Доказать, что всякая действительная квадратная матрица
подобна верхней (цижцей) квазитреугольной матрице, у которой ди-
агональные клетки имеют порядок 1 или 2.
6.3.47. Из результата задачи 6.3.46 вывести следующее следствие:
в «-мерном действительном пространстве всякий оператор имеет инва-
риантное подпространство размерности п— 1 или л —2.
6.3.48*. Пусть Aj, .... — собственные значения комплексной
дгх/«-матрицы А, ..., рп — собственные значения комплексной
«X «-матрицы В (в каждой из последовательностей могут быть оди-
наковые члены). Доказать, что:
а) тп произведений 7,;ру, 1= 1, ..., W, /=1, ..., «, дают в сово-
купности все собственные значения матрицы Ал В и оператора Олд
(см. задачу 5.6.10);
б) тп сумм [Ту, 1= 1, ..., /и, J=l, .,,, п, дают в совокуп-
ности все собственные значения матрицы А л Е:1^ Ет л В и опера-
тора BAii.
6.3.49. Доказать, что матричное уравнение
АУ-|-ХЙ=С,
где А, В и С —заданные комплексные матрицы с размерами соответ-
ственно ихи, «х« и идя, имеет, причем единственное, решение,
S в.4. КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА. ЖОРДАНОВА ФОРМА
163
если среди собственных значений X,- матрицы А и матрицы В нет
ни одной пары, для которой X,- 4- р;- = 0.
6.3.50*. Пусть оператор А комплексного пространства приводится
парой подпространств и Ь2, причем индуцированные операторы
A/Li и A/L2 не имеют одинаковых собственных значений. Доказать,
что этой же парой подпространств /_г и L2 приводится всякий опе-
ратор В, перестановочный с А. Распространить что утверждение на
случай любого конечного числа подпространств.
6.3.51. Пусть Xlt ..., — собственные значения комплексной
лХД'матрицы А (средн чисел могут быть одинаковые). Доказать,
что всевозможные произведения по р из чисел /.rt дают в со-
вокупности все собственные значения р-й ассоциированной матрицы Ар.
§ 6.4. Корневые подпространства, жорданова форма
О задачах параграфа. Задачи этого параграфа расположены в такой по-
следовательности:
Корневые подпространства. Основными инструментами здесь
являются теорема о возможности разложения комплексного пространства на
прямую сумму корневых подпространств оператора Л и характеризация кор-
невого подпространства Кц, соответствующего собственному значению Л;, как
ядра некоторой степени оператора А—Лгб. Мы даем следствия из теоремы
о разложении, вычислительные задачи на построение корневых подпространств
и обсуждаем понятие высоты корневого вектора.
Структура корневого подпространства. Здесь изложение
ведется поэтапно. Мы начинаем с наиболее простого случая, когда максималь-
ная возможная высота корневого вектора совпадает с размерностью корневого
подпространства. Далее ситуация постепенно усложняется, пока, наконец, не
рассматривается самый общий случаи. На каждом этапе мы показываем
устройство канонического базиса и даем вычислительные примеры. После того
как структура отдельного корневого подпространства уяснена, становится воз-
можным
Построение жордановой формы! произвольного опера-
тора. Кроме вычислительных задач, мы предлагаем здесь и ряд задач теоре-
тического характера, использующих жорданону форму. В частности, выводятся
формулы, позволяющие рассчитать Жордэнову форму, минуя построение кано-
нического базиса, Параграф завершается .задачами на
Связь между подобием матриц п жор даровой формой.
Всюду в этом параграфе, если это не оговорено особо, мы рассматриваем
только операторы, девствующие в комплексном пространстве, в комплексные
матрицы,
6.4.1. Используя задачи 5,3,9 и 5.3.10, доказать, что для всякого
оператора А. действующего в и-мерном действительном или комплекс-
ном пространстве .¥, существует разложение пространства X на пря-
мую сумму подпространств:
А'=Л^-[-7’1 (6.4.1)
где N— ядро, а ‘Г—образ оператора А4 для некоторого натурального
числа q. При этом для наименьшего такого числа q справедливо не-
равенство; q^zn.
6*
164
гл. е, структура Линейного оператора
Показать, что на подпространстве Аг оператор А индуцирует ниль-
потентный, а на подпространстве Т — невырожденный оператор. Таким
образом, утверждение задачи можно сформулировать и так: всякий
оператор ,4 является прямой суммой нильпотентного и невырожден-
ного операторов.
6.4.2* . Доказать, что разложение оператора А на прямую сумму
нилыютешного и невырожденного операторов единственно.
6.4.3. Доказать, что размерность подпространства N в разложе-
нии (6,4.1) равна алгебраической кратности собственного значения
пуль оператора А.
6.4<4* . Доказать, что для любого оператора А существует разло-
жение пространства А' па прямую сумму подпространств К} ,К^.
Х = КА]+К,.з + ... + К,.„, (6.4.2)
где Xlt .... Х/я—все различные собственные значения оператора А
с алгебраическими кратностями соответственно ..., km, каждое из
подпространств Кц иццариантно относительно оператора /5 и инду-
цированный на нем оператор А/Кц имеет характеристический мно-
гочлен
6.4.5. Доказать, что разложение (6,4.2)г обладающее указанными
в задаче 6.4,4 свойствами, для данного оператора А единственно.
6.4.6. Подпространство в разложении (6,4.2) называется кор-
невым подпространством, соответствующим собственному значе-
нию Показать, что из задач 6,4,1—6.4,5 следует, что:
а) подпространство К)., можно описать как множество всех век-
торов х, для которых (А — А,,-Д)’х = 0; здесь s — любое натуральное
число;
б) подпространство /<?J можно описать как ядро оператора
(А — А,(£)"‘, где qt — некоторое натуральное число, не превосходя-
щее k'
в) собственное подпространство соответствующее собствен-
ному значению Л,-, содержится в корневом подпространстве
6.4.7. Показать, что для того, чтобы оператор А был оператором
простой структуры, необходимо и достаточно, чтобы для каждого соб-
ственного значения этого оператора собственное подпространство
совпадало с корневым подпространством К~,
6.4.3. Доказать, что если Ki — корневое подпространство опера-
тора А, соответствующее собственному значению X;, то:
а) К),, есть корневое подпространство оператора А — л0Л', соот-
ветствующее собственному значению — Ло;
б) К), есть корневое подпространство оператора А1, соответст-
вующее собственному значению 1/А,;.
$ 6.<, КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВ А. ЖОРДАНОНА ФОРМА
165
6.4.9. * Доказать, что всякое корневое подпространство оператора А
является инвариантным подпространством любого оператора В, пере-
становочного с А.
6.4.10. * Доказать теорему Кэм —Гамильтона. всякий опера-
тор А аннулируется своим характеристическим многочленом,
6.4.11. Доказан., что если оператор А «-мерного пространства
невырожден, то обратный оператор А 1 можно представить много-
членом степени и — 1 от А.
Построить корневые подпространства следующих матриц;
6.4.12. -1 1 1 6.4.13. 1 1 0
—3 2 2 1J —4 —2 1
|-1 1 1 4 1 —2
6.4.14. | 2 3 0 3 6.4.15. 2—3 4—6
-1 0 1 2 1—2 2—4
1 0 3 2 3 0 0 2 —3
j 1 2 -1 0 0 0 1—2
6.4.16, Всякий вектор корневого подпространства К} оператора А
называется корневым вектором этого оператора, относящимся к соб-
ственному значению Высотой корневого вектора х из Kj.t назы-
вается натуральное число h такое, что (A— х — 0, но
(.4-Х(Е)А1.с АО. Высота нулевого вектора считается равной нулю
по определению.
Показать, что;
а) высота всякого вектора из /С;. не превосходит алгебраической
кратности собственного значения А,г;
б) высота собственного вектора равна 1;
в) множество Hk всех векторов из высота которых не пре-
восходит заданного натурального k, является подпространством.
6.4.17* . Пусть х —корневой вектор оператора А, относящийся
к собственному значению Л, и имеющий высоту ft (>0), Доказать,
что;
а) вектор (А—Х;Д)х имеет высоту ft — 1;
б) вектор (А —Л/Д)х, где А,,—собственное значение оператора А,
не равное имеет высоту ft;
в) если 1; — корень многочлена f(t) кратности /, где то
вектор /‘(А)х имеет высоту Л — Z;
г) вектор А-1х имеет высоту h:
д) если Л —оператор, перестановочный с А, то высота вектора
Вх не превосходит
6.4.18. Показать, что корневой вектор х оператора А будет кор-
невым вектором той же высоты: а) для опера гора А — XqZj; б) для
оператора А \
6.4.19. Доказать, что система ненулевых векторов из АД., имею-
щих попарно различные высоты, линейно независима.
166
ГЛ, 6, СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
6.4.20. Пусть х — вектор из имеющий высоту h.
Показать, что:
а) система векторов (А—А,гЕ)л_1 -V, (А — А,гЕ)л‘2.г,..., (А— х,
х линейно независима;
б) линейная оболочка этой системы является инвариантным под-
пространством оператора А.
В задачах 6.4.21—6.4,62 рассматриваются операторы «-мерного
пространства и матрицы порядка п, имеющие только одно собствен-
ное значение Ло алгебраической кратности п. Это обстоятельство
в дальнейшем специально не оговаривается. Конечно, все полученные
результаты справедливы и для произвольного оператора, рассматри-
ваемого только на корневом подпространстве.
6.4.21. Оператор А я-мерцого пространства X называется одно-
клеточным, если максимальная возможная высота корневого вектора
совпадает с размерностью п пространства. Доказать, что:
а) всякий базис пространства X содержит по крайней мере один
вектор высоты п;
б) если х — вектор высоты и, то система векторов (А — А-оЕ)"-1 х,
(А — Х0Е)п~2х.....(А—1,0Е)х, х является базисом пространства X;
в) матрица оператора А в этом базисе есть жорданона клетка
порядка п, относящаяся к числу Zo. Пункт в) объясняет смысл наиме-
нования — «одноклеточный оператор».
Таким образом, в случае одноклеточного оператора канонический
базис есть система (А — Х0Е)п ** х, ,.., (А —А0Е)х, х, называемая
серией, построенной исходя из вектора х, а жорданова форма со-
стоит из одной клетки порядка п.
6.4.22. В условиях задачи 6.4,21, б) найти матрицу оператора А
в базисе х, (А — л0Е)х, ..., (Д — ^Еу-1 х.
Построить канонический базис и найти жорданову форму следую-
щих матриц;
6.4.23. 11 4 I 6.4.24. 5 -9 —4
-4 3 ! 6 —11 —5
—7 13 6
6.4.25. 3 1 0 01 6.4.26. 5 —10 10 - 1
0 2 1 0 1 0 0 0 0
0 0 2 1 0 1 0 0 0
—1 1 _1 1 0 0 1 D 0
0 0 0 0
Найти жорданову форму следующих матриц порядка я:
6.4.27. _1 —1 0 0 ... 0 0
0 —1 —1 0 ... 0 о!
0 0 —1 —1 ... 0 о:
0 0 0 0 ... —1 _1
0 0 0 0 ... 0 —1
$ 6.4. КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА. ЖОРДАНОВА ФОРМА
167
6Д.28.
1 <х 0 0 . , 0 0
0 1 а 0 , . 0 0
0 0 1 а . . 0 0
0 0 0 0 . . 1 а
0 0 0 0 . . 0 1
6.4.29.
. . О О
. . о о
. . о о
9
6.4.30.
6.4.32.
О 0 0 0 ... 1
а °12 °13 -
0 а агп
0 0 а . . * аЗЛ
0 0 0 ... а
3 4
2 3
О 2
О О
5 ... л+ 1
4 ... п
3 ... д-1
О ... 2
<*12^23 . Й„-1, п О.
6.4.33. Найти канонический базис и жорданову форму оператора
дифференцирования в пространстве многочленов Л1п.
6.4.34. Доказать, что если А —одноклеточный оператор с собст-
венным значением то одноклеточными будут также: а) опе-
ратор А2; б) оператор А1 для любого натурального числа Z; в) опе-
ратор А’1.
6.4.35. Показать, что если А—одноклеточный оператор с собст-
венным значением 0, то А2 уже не будет одноклеточным операто-
ром (предполагается, что размерность пространства больше 1).
6.4.36. Доказать, что для одноклеточного оператора А подпро-
странство Л/* — ядро оператора (А — А,0Е)\ — имеет размерность
k, 0 < £ ^п.
6.4.37. Доказать, что одноклеточный оператор А не имеет нетри-
виальных инвариантных подпространств, отличных от подпространств
Нк (см. задачу 6.4.36).
6.4.38. Пусть А и S —перестановочные одноклеточные операторы.
Доказать, что инвариантные подпространства этих операторов сов-
падают.
168
гл. в. структура линейного оператора
6.4.39. Доказать, что минимальный многочлен одноклеточного опе-
ратора А совпадает с его характеристическим многочленом.
6.4.40* . Пусть максимальная высота вектора пространства X
равна t. Векторы л*,, .... хр линейно независимы и имеют высоту t\
при этом пересечение линейной оболочки векторов и под-
пространства /УЛ ] состоит только из пулевого вектора. Доказать, что
при любом натуральном £, 0 < k <Zt, векторы (А — X0£")ft JC(. .,.
.... (Д —X0£)fcA’p линейно независимы и пересечение линейной обо-
дочки этих векторов с подпространством состоит только из
нулевого вектора (напоминаем, что подпространство Нк является
ядром оператора (А — >.0£)ft).
6.4.41. Обозначим через titk дефект оператора (A —Xo£)fe. Из ре-
зультата задачи 6.4.40 вывести неравенства
п — т, i — itii — nif-г —Wjt-i,
где 0 <;/;<; f. w0 0.
6.4.42* . Доказать, что в условиях задачи 6.4.40 серии, построен-
ные исходя из векторов ..., хр. образуют в совокупности ли-
нейно независимую систему.
6.4.43. Показать, что если в условиях задачи 6.4.40 выполнено
соотношение й = (я — mt(где п— размерность пространства X), то:
а) серии (А — Х0Е)'-1 х,.(А — Z0E) лу, т,....(А — Х0£)(_1хг,...
.... (А — Х0£)хр. хр образуют в совокупности базис пространствах
(здесь положено р = п —
б) матрица оператора А в этом базисе имеет следующий квази-
диагональный вид:
А о
0
где каждая из матриц Jlt , Jp есть жорданова клетка порядка f,
относящаяся к числу Хо.
Таким образом, в указанном случае канонический базис опера-
тора А состоит из нескольких серий максимальной возможной длины,
а жорданова форма —из нескольких жордановых клеток одинакового
порядка.
Построить канонический базис и найти жорданону форму следую-
щих матриц:
6.4.44.
I 1—20,
2 1 0 2 1
I 0 111
0-1 2 I[
6.4.45.
99
0
0
0
0
99
101
0
0
0
99
0
101
0
0
99
6 6.4. КОРНЕВЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА. ЖОРДАНОВА
ФОРМА
169
6.4.46.
’ —3 1 0 0 0 0 6.4.47. 2 0 0 0 0 0
: —3 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0
0 0 0 0 0 —1 0 —3 0 2 0 0
! о 0 0 1 0 —3 —1 0 0 0 2 0
! ° 0 0 0 1 —3 0 0 —5 0 0 2
6.4.48. Найти канонический базис и жорданову форму оператора
двукратного дифференцирования в пространстве многочленов /И„,
предполагая, что —1, k — целое число.
6.4.49. Максимальная высота вектора пространства X равна Л
Линейно независимые векторы хь хР1 имеют высоту t, причем
пространство X является прямой суммой подпространства Л/, , и ли-
нейной оболочки, натянутой па эту систему векторов, Доказать, что
если дли чисел тк (см. задачу 6.4.41) выполняется неравенство
Р1, не обра-
то:
а) серии, построенные исходя из векторов хр
зуют в совокупности базиса пространства %;
б) серии, построенные исходя из векторов (А —Х^Хр ...
..., (А — Aof) хР1, не образуют в совокупности базиса подпростран-
ства
в) если линейно независимые векторы хр, .... хР,, имеющие
высоту t— 1. таковы, что линейная оболочка, натянутая на систему
векторов (A —AflEjJCj, .(A —X0E)-vP1, хР1 + 1, хр., в прямой
Сумме с подпространством X/;_s дает подпространство Нг1, то серии,
построенные исходя из векторов Xj......хР1, х,,, ь ,.., xPt, обра-
зуют в совокупности линейно независимую систему;
г) для чисел тк справедливы соотношения
6.4.50. Найти соотношение междуг размерностью п пространства
X, максимальной высотой t вектора и числами mk, которое обеспе-
чивает. что серии, построенные в задаче 6.4.49. и), образуют базис А'.
Построить для этого случая жорданову форму оператора А
Построить канонический базис п
щих матриц:
найти жорданову форму следую-
6.4.61. 4 1 1 ) 6.4.52. 1 5 ! -1 — 1
о 1 - -2 i- 1 5 —1 — I
1 1 4 1, , 1 1 3 — I
I 1 i -1 3
6.4.53. —2 0 3 4 5 6.4.54. 1 -I 0 —1 0
0 —2 0 6 7 2 -2 0 —1 0
0 0 —2 0 8 1 - -1 — 1 0 0
0 0 0 —2 0 2 -I 0 —2 0
0 0 0 0 —2 2 - -I 0 „1 —1
170
ГЛ. 6. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
6.4.55. Найти канонический базис и жорданову форму оператора
двукратного дифференцирования в пространстве многочленов Л1Я,
предполагая, что « = 2А, Л —целое число.
6.4.56. Показать, что в общем случае базис пространства можно
составить из pt серий максимальной длины t. p2 — pi серий длины
t — I, вообще, из pt k-ri — Pt-k серий длины k, 0<A<;f. Здесь
рк = mt-k+i - mt-i>
Найти для этого случая жорданову форму оператора.
6.4.57. Ил результата задачи 6.4.56 вывести такое следствие: числа
mk должны удовлетворять неравенствам
— — ms
при г >5.
6.4.58. Может ли в пространстве размерности 8 существовать
нильпотентный оператор А, для которого числа г*, где гк обозна-
чает ранг оператора составляют последовательность 6, 4, 3, 1, 0?
Построить канонический базис и найти жорданову форму сле-
дующих матриц.'
6.4.59. 1 1 1 0 : 6.4.60. —3 1 —3 —2 —2
-1 3 01. 0—2 1 0 0
-1 о -1 1! 10 0 11
0-1-1 1, ;| 1 0 1 0 1
1| 1 0 1 1 0 j
6.4.61. 3 6 1 0 0 I
0 0 4 ( ) 1 0 1
— [ „2 —3 3 о 1 .
ООО 3 6 1 i *
ООО 3 0 4 :
0 0 0 — - -2 -3
6.4.62.* 2 0 10—1 0
0 2 0 0 0 0
0 0 10 1 0
0 0 0 5 0 -9
2 0 10 3 0
[0001 0 -1
Используя процесс построения канонического базиса в корневом
подпространстве, описанный в предыдущем разделе, и разложение
пространства на прямую сумму корневых подпространств, найти кано-
нический базис и жорданову форму следующих матриц:
6.4.63. || -2-1 li
5-141
|| 5 1 2 Ц
6-4.64. [3—1 1
| —2 4—2
1—2 2 0
S ал. Корневые подпространства, жорданова форма
171
6.4.65.
6.4.67.
6.4.69.
—4 4
-1 I
—5 4
О О
О О
—5 3
-3 1
6.4.66. । з о
I — 2 1
3 —I
—2 4 0 0
— 12 0 0
—2 4—1 0
3—6 0—1
6.4.70.
—1
I ,
— 1
4 3 15
1 0 5
0—3—3
0 2 2
4 1 1
-1 2-1
6 1 -1
—6—1 4
М
1 \
3 I
6.4.71. Векторы канонического базиса оператора А занумеровали
в обратном порядке. Как изменится матрица оператора?
6.4.72. Зная жорданову форму оператора А, найти жорданову
форму оператора; а) .4 — ХйЕ', б) ДА
6.4.73. Показать, что если .... ^„ — собственные значения опе-
ратора А /г-мерного пространства (среди этих чисел могут быть рав-
ные), то собственными значениями многочлена /(Д) будут числа
/(М)> >.., f Ал)’
6.4.74. Доказать, что всякий оператор комплексного пространства
является прямой суммой одноклеточных операторов.
6.4.75* . Зная жорданову форму оператора Д, найти жорданову
форму оператора А2.
6.4.76. Доказать, что всякий оператор комплексного пространства
можно представить в виде суммы оператора простой структуры
и нильпотентного оператора.
6.4.77* . Доказать, что оператор А, удовлетворяющий условию
А2 = Е и не являющийся скалярным, есть Оператор отражения.
6.4.78. Доказать, что оператор Д, удовлетворяющий условию
А* = Е для некоторого натурального k, является оператором простой
структуры.
6.4.79* . Доказать, что в любой жордановой форме оператора А
число жордановых клеток, относящихся к собственному значению
равно дефекту оператора Д — Х0Д
6.4.80* . Доказать, что в любой жордановой форме оператора Д
число жордановых клеток, относящихся к собственному значению л0 и
имеющих порядок, больший или равный А, определяется формулой
S^k = mk-mk~x,
где т0~0, a mk— дефект оператора (A — %0E)k.
6.4.81. Из результата задачи 6.4.80 вывести соотношение;
— тк .j,
где Sfc — число жордановых клеток, относящихся к собственному зна-
чению и имеющих порядок k.
172
гл. 6. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Таким образом, жорданова форма всякого оператора определяется
единственным образом с точностью до расположения жорлановых
клеток на диагонали.
Не вычисляя канонического базиса, найти жорданову форму сле-
дующих матриц:
6.4.62. 3 10 0 0 6.4.63. 0 I 0 0 0
—20100 0 0 10 0
—20010 0 0 0 10
3 0 0 0 1 0 0 0 0 1
—I 0 0 0 0 I -1-2 2 1
6.4.64. 5 0 6 7 9 14 6.4.85. 2 0 0 0 0 0
0 5 0 8 10 15 0 2 0 ООО
0 0 5 0 11 16 I -1 -4 0 0 0
0 0 0 5 12 17 3 2 1- -4 0 0
0 0 0 0 13 18 —2 2 5 7—4 0
0 0 0 0 0 19 4 3 8 6 0-4
6.4.86*. 0 0 110 J 6.4.67.* 0 0 1 — 1 0 1
10—301 0 I 0 —3 1—1—3
0 1 3 0 0 I 0 1 3 0 I 2
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 10 3 0 0 0 I 0 -3
'00 0 0 1 3 0 0 0 0 1 3
6.4.68. В пространстве многочленов M найти жорданову форму
разностного оператора АР
6.4.69. В пространстве многочленов Л1Й найти жорданову форму:
а) оператора трехкратного диф(реренциронания; б) оператора А*. где
Aj— разностный оператор.
6.4.90. Показать, что в каждом классе подобных матриц имеется
жорданона форма, причем единственная с точностью до перестановки
жордановых клеток на диагонали.
Определить, являются ли подобными заданные матрицы А, В
и С:
— 3 2 5 i j 59 — 63 52
6.4.91. A*—( -.12 8 20 | -147 159 — 132
1 3 —2 — I il -244 263 -219
—63 52
159 —132
263 — 218 j
] 59
С= -147
| -244
3
1 —I
—1 3
—2 4
(I 5 5—2
£ = -2 -I 1
Il -I -1 2
6.4.92.
1 6 0 8
C — ! 3 2 6
04 1 0 —2
$ S.4. КОРНЕВЫГ ПОДПРОСТРАНСТВА, ЖОРДАНОВА ФОРМА
173
— 1 — 1 2 I । _. 8 12 — 6 !
6 .4.93. А = ' 3 —5 6 13-= —10 18 -10 1
2 —2 2 / |j —12 24 -14
0 6 6 1
с=\ -2 16 12 :
4 —28 —20 '
6.4.94. Доказать, что всякая комплексная матрица .4 подобна
транспонированной матрице Ат.
6.4.95. Что можно сказать о жорданоном форме матрицы А, если
А подобна обратной матрице А-1?
6.4.96. Доказать, что жорданова клетка подобна сопровождающей
матрице своего характеристического многочлена (матрице Фробениуса).
6.4.97. Доказать, >ио всякая комплексная матрица подобна квазндиа-
говальной матрице, у которой все диагональные клетки являются
матрицами Фробениуса.
6.4.96* I 1айщ условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы минимальный многочлен комплексной матрицы совпадал с ее
характеристическим многочленом.
6.4.99. Пусть ..., А.т —все различные собственные значения
комплексной п х и-матрицы А. Доказать, что матрица А тогда и
только тогда имеет' простую структуру, когда многочлен (л — A<i)...
...(А,—k„,) является для А минимальным многочленом.
6.4.100* . Квадратная матрица А порядка т имеет простую струк-
туру; известна жорданова форма J п х «-матрицы Я Найти жорда-
нову форму матрицы; а) А X В; 6) А х £’Я4-Дга х В.
Применить полученные результаты к операторам Од^ и FA!i за-
дачи 5.6.10.
6.4,101. Найти жорданову форму магртшы порядка п
где в — положительно и стоит на месте (н, 1), а не указанные вне-
диагональные элементы раины пулю.
6.4.102* . В жордановой форме матрицы А заменим внедиагональ-
ные элементы, равные единице (если таковые имеются), произволь-
ным числом е=^=0. Доказать, что полученная матрица подобна мат-
рице А.
ГЛАВА 7
ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 7.0. Терминология и общие замечания
Пусть X и Г —два пространства, оба евклидовых или оба уни-
тарных. Рассмотрим динейиый оператор А из оу0. Линейный опера-
тор А* из Шух называется сопряженным по отношению к опера-
тору А, если для любою вектора х е X и любого вектора у е= У'
выполняется равенство
(Ах, у)=(х, А*у). (7.0.1)
Для всякого оператора А сопряженный оператор А* существует
п единствен.
Пусть А — комплексная т х л-матрина. Матрица А* с размерами
п х т называется сопряженной по отношению к матрице А, если
а*/ = aJt
для всех i, j,
В каждой паре Ортонормированиях базисов унитарных про-
странств А' и У сопряженному оператору соответствует сопряженная
матрица, и обратно. В случае евклидовых пространств X п У таким
же образом устанавливается соответствие между сопряженными опе-
раторами и транспонированными матрицами.
Рассмот рим теперь операторы, действующие в унитарном простран-
стве X, Имеет место следующая теорема.
Теорема Шура. Для всякого оператора А найдется ор/по-
нормированный базис пространства X, в котором матрица этого
оператора — треугольная.
С помощью понятия сопряженного оператора выделяется ряд
важных классов операторов, действующих в унитарном пространстве X.
Оператор А называется нормальным, если
А*А —АА*. (7.0.2)
Оператор U назьщается унитарным, если
U*Ur=UU* = E. (7.0.3)
Оператор Н называется эрмитовым, если
Н* = 7/. (7.0.4)
Оператор К называется косоэрмитовым, если
АГ* - - К- (7.0.5)
S 7.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
175
Эрмитов оператор Н называется неотрицательным {положи-
тельно определенным), если для всякого ненулевого вектора х
(Нх, х) - 0 (у> Оу (7.0.6)
Точно так же определяются нормальные, унитарные, 'эрмитовы,
косоэрмитовы, неотрицательные, положительно определенные мат-
рицы. В последних двух случаях матрицы, как обычно, отождест-
вляются с операторами арифметического пространства.
Для указанных выше классов операторов справедливы следующие
результаты;
Оператор А тогда и только тогда будет нормальным, когда для
него существует ортонормировапный базис из собственных векторов.
Нормальный оператор А тогда и только тогда будет унитарным,
когда все собственные значения этого оператора но модулю равны
единице.
Нормальный оператор А тогда и только тогда будет эрмитовым,
когда все собственные значения этого оператора действительны.
Эрмитов оператор Н тогда и только тогда будет неотрицатель-
ным (положительно определенным), когда все собственные значения
этого оператора неотрицательны (положительны).
Для всякого оператора Д из и>хх справедливо представление
A^H^ + iH., (7.0.7)
где Н1 п Н,, — эрмитовы операторы, называемое эрмитовым разло-
жением оператора Д. При этом
=4 И + Д*), (Д - Д*).
В евклидовом пространстве X соотношения (7.0.2) — (7.0.6) также
выделяют классы операторов, называемых соответственно нормаль-
ными, ортогональными, симметричными, кососимметричными,
неотрицательными, положительно определенными. Так же опре-
деляются одноименные классы действительных матриц.
Последующие определения и результаты справедливы как для уни-
тарных, так и для евклидовых пространств.
Пусть А — оператор ранга г, действующий из X в К. Тогда нену-
левые собственные значения операторов А*А и АД* совпадают (с уче-
том кратностей) и положительны.
Если п и т— размерности соответственно пространств X и Y, то
кратность собственного значения нуль равна п — г для оператора Д*Д
и т —- г для оператора ДА*.
Положим S— min (я, т) и обозначим через а,, .... а$ (а;/гэ0)
общие собственные значения операторов А*Л и ДА*. Числа <хь ..., as
называются сингулярными числами оператора Д.
Аналогично определяются сингулярные числа матрицы.
176
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ Н УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Во всех случаях для оператора А существуют ортонормированные
базисы еп и fi. fm (если А ЕОх.х, то т — л), такие, что:
1) векторы е{, еп — собственные для оператора А*А;
2) векторы /j, ..., fm — собственные для оператора ЛЛ*;
3) если е1г..., ег и fb ..., fr отвечают ненулевым числам а;,..., а;,
то
f^-~Ae{, ( = 1, .... г.
<Xj ’’ ’ ’
Каждая пара базисов ev .е„ и flt .... /^.обладающих указанными
свойствами, называется парой сингулярных базисов оператора А.
Для всякого оператора .4. действующего, в пространстве У, имеет
место представление в виде произведения неотрицательного и уни-
тарного (ортогонального) операторов:
(7.0.8)
называемое полярным разложением оператора А-
Пусть А — оператор из ид- b — фиксированный вектор простран-
ства У. Рассмотрим равенство
Ах~1> (7.0.9)
как уравнение для определения векторов х из Л. Это уравнение бу-
дет совместно тогда и только тогда, когда b ее Тл. В этом случае
решениями (7.0.9) будут все прообразы вектора Ь, Если же Ь Т А,
то и в этом случае имеет смысл искать векторы х, для которых
вект°Р у=Ь—Ах
имеет наименьшую возможную длину. Всякий такой вектор х назы-
вается псевдорешением уравнения (7.0.9). 1 Гсевдорешепие с наимень-
шей длиной называется нормальным псевдорешением уравнения (7.0.9).
Оно всегда существует и единственно.
Рассматривая уравнение (7.0.9) для всех векторов Ь из У и со-
поставляя каждому вектору b нормальное псевдорешенне соответ-
ствующего уравнения, полупим линейный оператор из У ц Л", кото-
рый называется псевдообратным для оператора А и обозначается .4+.
Квадратичной формой К от п действц гельных переменных
хр ..., хП называется функция вида
п л
S aHxixi- (7.0.10)
i *-1 1 = 1
где aij — действительные числа, причем можно считать, что a;j=^ait.
Если составить симметричную матрицу А из коэффициентов «;у
(называемую матрицей квадратичной формы) и вектор-столбец х
из переменных х(, ..., хп, то определению квадратичной формы
можно придать вид
(Лх, х).
(7.0.11)
S 7.0. ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
177
Скалярное произведение здесь определяется обычным правилом (7.1.4).
Рангам квадратичной формы р называется ранг ее матрицы А
При замене переменных
х^--Ру (7.0.12)
форма Р переходит в квадратичную форму от нощах переменных
_ур..., уя, причем матрица В этой формы связаин с матрицей А
соотношением В — РТАР. (7.0.13)
Преобразование переменных (7.0.12) называется невырожденным,
если матрица Р невырождена. При невырожденных преобразованиях
переменных ранг квадратичной формы не меняется.
Всякую квадратичную форму Р ранга г иены рожденным преоб-
разованием переменных можно Привести к виду
Р = M.VI + j’i 4-... -j- Лг у г, (7.0.14)
называемому каноническим видом формы Р. Здесь Xj, Х.>, ..., К,
отличны от нуля.
Канонический вид данной квадратичной формы, вообще говоря,
определен пе одтюзначно. В частности, всегда можно добиться, чтобы
ненулевые коэффициенты канонического вида были равны I или
— 1. Такой канонический вид называется нормальным видом квадра-
тичной формы. Несмотря на неоднозначность канонического вида, имеет
место следующее утверждение.
Закон инерции квадратичных форм. Число положительных и
число отрицательных среди коэффициентов Х(. ..., Кг одинаково в лю-
бом каноническом виде, к которому может быть приведена данная
квадратичная форма невырожденным преобразованием переменных.
Указанные числа называются соответственно положительным и
отрицательным индексами инерции, а разность между ними — сиг-
натурой квадратичной формы.
Заметим, иго всякую квадратичную форму Р можно принести
к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных
(т. е. преобразованием с ортогональной матрицей коэффициентов).
Для этого достаточно в формуле (7-0.12) в качестве Р взять орто-
гональную матрицу, столбцами которой являются собственные векторы
матрицы А- Тогда коэффициентами полученного канонического вида
будут собственные значения А.
Квадратичная форма (7.0.11) называется положительно опреде-
ленной, если (.,Uj л)>0
При Нормальным видом положительно определенной формы Р
будет А-У[+^4----+К (7-0-15)
Две квадратичные формы Р и G от одних и тех же переменных
можно привести к каноническому виду одним преобразованием, если
178
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
хотя бы одна из форм (например, F) положительно определена.
В этом случае выполняется вначале преобразование х = Ру, которое
приводит форму F к нормальному виду (7.0,15). Форма G при этом
переходит в некоторую форму от переменных j-j, .у„. На втором
этапе производится ортогональное преобразование y = Qz, которое
приводит О к каноническому виду; форма F сохраняет свой нормаль-
ный вид и переходит в форму — г; -ф- + ,.- + 2'h.
Отметим в заключение, что используемое в настоящей главе обо-
значение с'111 следует понимать как краткую запись комплексного
числа г^созфЦ-/sinip.
§ 7.1. Сопряженный оператор; сопряженная матрица
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы останавливаемся на сле-
дующих вопросах:
Определение и алгебраические свойства сопряженных операторов в сопря-
женных матриц.
Примеры сопряженных операторов.
Соответствие между сопряженными операторами и сопряженными матри-
цами, имеющее место в ортопормироваипых базисах пространства.
Соотношения между геометрическими характеристиками оператора А и со-
пряженного оператора Д’*, такими, как ядро, образ, собственные значения
и т- Д.
Всюду мы подчеркиваем, что свойство двух операторов быть сопряжен-
ными зависит от способа, которым в данном линейном пространстве введено
скалярное произведение.
7.1.1. Из определения сопряженного оператора вынести следующие
свойства:
а) (Д*)*=Л;
б) (А + В)* = Л* + В*;
в) 0* = 0;
г) (ссА)* ^аД*;
д) (АВ)*=В*А*;
е) Е;?=Г;
ж) если оператор А цевырожден, то (Д-1)* =(А*)"1;
з) (Дт)* =(А*)т для всякого целого неотрицательного т\
и) если оператор А невырожден, то свойство з) имеет место для
любого целого числи пг,
к) если f(t) — ао4*ait + ••+ amtm — произвольный многочлен, то
[/(Д)]*^/(А*),
где fit)=&о -f- <4^ 4~ • 4* апАт-
7.1.2. Доказать, что свойства, перечисленные в предыдущей за-
даче, выполняются и д.тя сопряженных матриц.
7.1.3. Показать, что для нильпотентного оператора А с индексом
нильпотентности q сопряженный оператор А* также нильпотентный
и имеет тог же индекс нильпотентности.
§ 7.1, СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР, СОПРЯЖЕННАЯ МАТРИЦА
179
7.1.4. Показать, чю если операторы Л и В перестановочны, то
перестановочны и сопряженные операторы А* и В:’.
7.1.5. В унитарных (евклидовых) пространствах Л' и Y фиксиро-
ваны некоторые базисы е}, ,c,L и qm соответственно. Пусть
для линейных операторов А и В выполнены соотношения
(Ае;, ^7) = (еЛ Bq-), /=1, «; / = 1, .... пк
Доказать, что в таком случае А* = В.
7.1.6. Пусть еп — ортогональный (по нс ортонормироцан-
ный!) базис пространства X. Найти связь между матрицами в этом
базисе оператора А из <оАх и сопряженного оператора А*.
7.1.7* . Пусть в некотором базисе е,, ..., е„ унитарного (евкли-
дова) пространства X оператор А имеет матрицу Ле, Доказать, что
в базисе Д, .,., Д, бпортогональном к базису ..., еп, сопряжен-
ный оператор А* имеет сопряженную матрицу (Аг)*.
7,1.8. Пусть оператор А действует в одномерном унитарном
(евклидовом) пространстве. В чем состоит преобразование А*, сопря-
женное по отношению к А?
7.1.9. Найти сопряженный оператор для поворота евклидовой пло-
скости на угол а.
7.1.10* . Найти сопряженный оператор для оператора трехмерного
евклидова пространства Ах = [х, а |, а — фиксированный вектор-
7.1.11. В пространстве многочленов Мг задано скалярное произ-
ведение; , , л . , , , ,
(/> ь) =аФй 4~ «1^1 + й2^2, (7.1.1)
где /(/) = аоф- a\t a.,J2, £({) = Ь0А~Ь^ + ^72- Найти матрицы опе-
ратора дифференцирования А и сопряженного оператора А* в ба-
зисе: а) 1, t, t2; б)1/2-4-Л ь) 1,
7.1.12. В пространстве АС введена скалярное произведение
(/, 1)S'(-1) + /(°)S'([))+/(1)^(1> (7.1.2)
Найти матрицу оператора, сопряженного к оператору дифференциро-
вания, в каждом из базисов, указанных в задаче 7.1,11. Сравнить по-
лученные матрицы с соответствующими матрицами задачи 7.1,11,
7.1.13. Н пространстве М2 введено скалярное произведение
(/. g)- (7.1.3)
— i
Найти матрицу оператора, сопряженного к оператору дифференциро-
вания, ц каждом из базисов, указанных в задаче 7.1.11.
7.1.14. В //-мерном арифметическом пространстве, элементами ко-
торого являются вектор-с голбцы, введено естественное скалярное
произведение
(лг, _у) -. «101 -ф-,,. ф- ап0п’
(7.1,4)
180
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Здесь
(знак комплексного сопряжения в действительном случае опускается).
Показать, что если п х «-матрицы отождествить с опера горами
этого пространства в смысле задачи 5.6.7, то сопряженным операто-
ром для матрицы .4 будет'.
а) транспонированная натрина Ат в случае действительного про-
странства 7?п;
б) сопряженная матрица 4* в случае комплексного простран-
ства Сл,
7.1.15. Доказать, что для кронекерова произведения АхВ сопря-
женная матрица имеет вид А* X В*.
7,1.16. Доказать, что если А —квадратная матрица, то для ассо-
циированных матриц выполняется соотношение
(А*)р = (А,)*.
7.1.17. Обозначим через Rnx„ и Слх„ соответственно простран-
ство действительных и пространство комплексных « X п-матрии, в ко-
торых скалярное произведение задано формулой
Л
(А, В) =
f, ; = i
(7,1.5)
(в действительном случае знак комплексного сопряжения опускается).
Показать, что
(A, B) = tr(B*A) = tr(AB*), (7.1.6)
7.1.18. Показать, что в пространствах /?ЛУ„ и С’пхп сопряжен-
ными для oiiepaiopoB QAli и ВАВ задачи 5,6.10 являются операторы
7.1.19. Пусть Аь Ап — фиксированные действительные п х п-
матрицы. Рассмотрим следующий оператор А из Цп в /?„хп:
I il
х=1| 1 — A-r^oqAtA-...-|~аяАп.
Il l|
Скалярное произведение в R.t задано согласно (7.1.4), Показать, что
сопряженным для оператора А будет оператор
tt(BTAt)^B (а? в),
Перенести этот результат на комплексный случай.
§ 7.1. СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР. СОПРЯЖЕННАЯ МАТРИЦА 181
7.1.20. Показать, что всякий линейный функционал /(.•) унитар-
ного (евклидова) пространства Л’ можно задать как скалярное про-
изведение
7(л-)--=(л-, /),
где f— некоторый фиксированный (для данного функционала) вектор
пространства.
7.1.21. Показш к, что оператор, сопряженный к оператору проек-
тирования, сам является оператором проектирования.
7.1.22. Показать, что оператор, сопряженный к оператору отра-
жения, сам является оператором отражения.
7.1.23. Показать, что ранг сопряженного оператора Л* равен
рангу оператора Л.
7.1.24. /.(оказать, что ядро оператора .4* совпадает с ортого-
нальным дополнением к образу оператора 4.
7.1.25. В трехмерном евклидовом пространс тве фиксирована декар-
това система координат О Дуг. Пусть А —оператор проектирования
на координатную плоскость Оху параллельно прямой, задаваемой
уравнениями х^=у=-г. Найти сопряженный оператор А:,:.
7.1.26. Найти ядро и обр^з оператора пространства М„, сопри-
; женного к оператору дифференцирования, если скалярное произведи -
1 ине в Л-12 введено формулой: а) (7.1,1); б) (7.1,2); в) (7.1.3),
7.1.27. Доказать теорему Фредгольма1, для того чтобы неоднород-
' ная система линейных уравнений Ах = Ь была совместна, необходимо
и достаточно, чтобы вектор-столбец b был ортогонален ко всем реше-
ниям сопряженной однородной системы Ayv=^0 (ср. с 4.5,3).
7.1.28. Доказать следующую альтернативу Фредгольма', или
система уравнений Ах — b совместна при любой правой части Ь, или
Сопряженная однородная система А¥_у — 0 имеет ненулевые решения.
7.1.29. Доказать, что ядро оператора А*А совпадает с ядром опе-
. ратора А.
7.1.30. Доказать, что образ оператора А*А совпадает с образом
оператора А*,
7.1.31. Пусть операторы Ан В таковы, что 5*А = 0. Доказать,
г', что образы этих операторов суть ортогональные подпространства.
; Т.иЗа*. Доказать, что если АД:|; = 0 и В-'Л-^О, то ранг опера-
тора А -(-А равен сумме рангов операторов А и В. При атом ядро
йператора АД-Д есть пересечение ядер операторов А и В.
7.1.33. Доказать, что если подпространство L унитарного (евкли-
jjioaa) пространства инвариантно относительно оператора А, то его
ортогональное дополнение L1 инвариантно отпосигелвно сопряжен-
ного оператора А*.
7.1.34! (:, В пространстве Мп многочленов степени скалярное
у произведение задано формулой
• • я
(7.1.7)
Т-[
182
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЕ, В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
где f(!) = + +... + V". .?(O=&o4-^/ + --- + W". Описать все
инвариантные подпространства оператора, сопряженного по отноше-
нию к оператору дифференцирования.
7.135. Скалярное произведение в Мп введено формулой
п
(Л g)-^f(^g^). (7.1.8)
Найти «-мерное инвариантное подпространство оператора, сопряжен-
ного по отношению к оператору дифференцирования.
7.1.36. Аналогичное задание для случая, когда скалярное произве-
дение в Мп определено формулой
(/- g)— $ f(t)g(t)dt. (7.1.9)
— I
7.1.37. Доказать, что в унитарном пространстве размерности п
всякий оператор имеет: а) инвариантное подпространство размерности
п — 1; б) инвариантное подпространство размерности k, 0 < k <; п
(ср. с 6.3.9 и 6,3.36),
7.1.38. Доказать следующую теорему Шура: для всякого опера-
тора А, действующего в унитарном пространстве, существует орто-
нормированный базис, в котором матрица оператора А — треугольная
(ср. с 6.3.36).
7.1.39. 1 !айти базис Шура для оператора дифференцирования
в пространстве Л1.,, если скалярное произведение в ЛД введено фор-
мулой; а) (7.1.1); б) (7,1.2); в) (7.1.3).
7.1.40* . Доказать, что перестановочные операторы А и В, дейст-
вующие в унитарном пространстве, имеют общий базис Шура, в кото-
ром матрицы &ТИХ операторов треугольные одинакового вида,
7.1.41. Найти связь между собственными значениями оператора
А, действующего в унитарном пространстве, и сопряженного опера-
тора А*.
7.1.42. Пусть х — общий собственный вектор сопряженных опера-
торов А и А®, Доказать, что соответствующие вектору х собст-
венные значения л и р операторов А и А* являются сопряженными
числами.
7.1.43. Пусть х — собственный вектор оператора А, относящийся
к собственному значению А, у — собственный вектор оператора А*
с собственным значением р, причем р К Доказать, что векторы х
и у ортогональны.
7.1.44* . Пусть К-,_ н — корневые подпространства операторов
А и А*, отвечающие соответственно собственным значениям X и р,
причем р -/ 7.. Доказать, что подпространства п ортогональны.
7.1.45. Как связаны жорданоны формы сопряженных операторов
А и А*?
§ 7.2. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
183
7.1.46. В пространстве многочленов Л12 со скалярным произведе-
нием (7.1,1) найти канонические базисы Жордана для оператора диф-
ференцирования и сопряженного к нему оператора.
7.1.47* . Доказать, что базис Шура оператора Л определен неод-
нозначно. Именно, для любого заранее заданного расположения соб-
ственных значений А], оператора А найдется ортонормирован-
ный базис унитарного пространства, в котором матрица этого опера-
тора— верхняя (нижняя) треугольная, причем п,ч главной диагонали
стоят собственные значения А; в указанном порядке.
§ 7.2. Нормальные операторы и матрицы
О задачах параграфа. В этом параграфе мы обсуждаем различные свой-
ства нормальных операторов и нормальных матриц. Важнейшим из них явля-
ется, конечно, наличие у таких операторов и матриц ортонормиров а ин ого
базиса, составленного из собственных векторов, чему и посвящена большая
часть задач. Вместе с тем мы старались пояснить следующее важное положе-
ние; среди всех операторов простой структуры нормаль: о .к* операторы выделя-
ются по о1нО|Нению к заданному в пространстве скалярному произведению;
именно, базис из собственных векторов у них нс произвольный, а ортогональ-
ный. Но если в том же линейном пространстве изменить скалярное произве-
дение, то операторы, ранее бывшие нормальными, ими, вообще говоря,
перестанут быть, и наоборот, другое подмножество операторов просгон струк-
туры станет классом нормальных операторов.
7.2.1. Показать, что всякий скалярной оператор унитарного
{ (евклидова) пространства является нормальным,
7.2.2. Показать, что если А — нормальный оператор, то нормаль-
ними будут также операторы:
" а) а.4 для любого числа а;
6) Afc при любом натуральном А;
в) f(A) для любого многочлена /(/);
./ г) А-1, если А невырожден;
Д) Л*.
' 7.2.3. Привести примеры, показывающие, что сумма А-J-/? и про-
)' изведение АВ нормальных операторов Л и В в общем случае уже
$• не будут нормальными операторами.
7.2.4. Показать, что во всяком ортонормированием базисе прост-
; ранства матрица нормального оператора сама является нормальной.
‘ Наоборот, любая нормальная матрица задает в таком базисе нормаль-
ный оператор.
7.2.5. Привести примеры, показывающие, что в неортогоналыюм
базисе матрица нормального оператора: а) может не быть нормаль-
ной; б) может быть нормальной-
' 7.2.6. Показать, что всякий лиПейный оператор, действующий
в одномерном унитарном (евклидовом) пространстве, является нор-
ij;. мальпым оператором,
ж. ‘ 7.2.7. Показать, что оператор поворота евклидовой плоскости
Ж является нормальным оператором,
184
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.2.8. Показать, что оператор трехмерного евклидова простран-
ства Ах = [х, п] является нормальным.
7.2.9. Показать, что в пространстве многочленов Мн со скалярным
произведением (7.1.7) следующие операторы являются нормальными:
а) /(0->/(- 0:
б)
7.2.10. Доказать, что всякий циркулянт является нормальной мат-
рицей.
7.2.11. Пусть А =-/? -\-iC — комплексная нормальная матрица
порядка п. Доказать, что действительная матрица D порядка '2п
-Св) (7.2.1)
также является нормальной.
7.2.12. Доказать, что если строки и столбцы нормальной матрицы
рассматривать как векторы арифметического пространства с естест-
венным скалярным произведением (7.1.4), то:
а) длина /-Й строки равна длине z-ro столбца;
б) скалярное произведение бй и j-й строк равно скалярному
произведению у-го и l-го столбцов (в указанном иорядке).
7.2,13. Доказать, чуо квазитреугольная нормальная матрица обя-
зательно является квааидиагонадьной.
7.2.14. Доказать, что если А—нормальная матрица, то ассоцииро-
ванная матрица Ар также нормальная.
7.2.15. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров
порядка А, выбранных из строк нормальной матрицы А с номерами
..., lk, равна аналогичной сумме для столбцов с теми же номерами-
7.2.16. Показать, что кронекерово произведение нормальных мат-
риц .4 и Д, имеющих, быть может, разный порядок, само является
нормальной матрицей.
7.2.17. Пусть А и В—нормальные гаXя-мятришя. Доказать, что
операторы ОЛЙ и Глв (см. 5.6.10) являются нормальными оператора,чн
пространства СпХя(ЯяХл)-
7.2.18. Доказать, что если А — нормальный оператор, то для вся-
кого вектора х справедливо равенство
|Ах| = |А*х[. (7.2.2)
7.2.19. Доказать, что ядро нормального оператора является орто-
гональным дополнением к его образу.
7.2.20* . Доказать следующее утверждение: для того чтобы опе-
ратор А, действующий в унитарном пространстве, был нормальным,
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа Л образ и ядро
оператора А —ЛД были ортогональны. Верно ли аналогичное утверж-
дение в евклидовом пространстве?
7.2.21. Доказать, что оператор проектирования Р тогда и только
тогда является нормальным, когда образ и ядро этого оператора
5 7.2. НОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
185
: ортогональны. В этом случае Р напивается оператором ортогональ-
" «ого проектирования.
7.2.22. Пусть А и £?—нормальные операторы и АВ — 0. Следует
•..ли отсюда, чю ВА = 0?
7.2.23. Докапать, что всякий собственный вектор нормального
оператора А является собственным вектором и для сопряженного
.Оператора А*.
Р 7.2.24*. Доказать утверждение, обратное 7.2.23: если каждый
,..Собственный вектор оператора А, действующего в унитарном иросг-
(Одинстве, является собственным вектором и для сопряженного оцера-
. тора А*, ю оператор А — нормальный.
'• 7,2.25*. Доказать, что каждое инвариантное подпространство нор-
Аильного оператора А является инвариантным и относительно А*.
Д’ 7.2.26, Доказать, что оператор, индуцированный нормальным опе-
<-Датором на произвольном инвариантном подпространстве, сам явля-
Ч-Ьтся нормальным-
7.2.27. Показать, что собственные подпространства нормального
^оператора попарно ортогональны.
7.2.28. Доказать, что оператор R отражения в Lt параллельно
тогда и только тогда нормален, когда подпространства Ll и L2
ФФ/рртогоиальпы. В этом случае р называется оператором ортогональ-
Жлого отражения.
7.2.29. Может ли нормальный оператор иметь неортогональный
й^базис, составленный из собственных векторов?
Ici1,'1 Проверить, что указанные ниже матрицы являются нормальными.
ж.и для каждой из них найти ортонормцрованный
" "базис из собственных векторов:
О
— 2
: —1
О
₽
7.2.30. ||1 1 !| 7.2.31.
Ж I*’ l|’
Ж: 7.2.32*.
|Ж».
2-1
(в смысле (7.1.4))
ш,
О
-1
1-1
1
2-1
яГ 7.2.34. Можно
ли
2
О
2
-оГ
7.2.33.
I
1
— 1
- 1
1
— 1
1
-1
1
— 1
ввести скалярное произведение в пространстве
^[Многочленов ЛД (bJSs 1) таким образом, чтобы оператор дифферен-
КМяровапия был нормальным оператором?
Ж; 7.2.35. В пространстве многочленов ЛД I) рассматривается
ЖОператор: f(t) ~+f(t -ф- а), где а —некоторое фиксированное число.
«Можно ли задать скалярное произведение в Л1Л так, чтобы этот
Император был нормальным?
7.2.36. Пусть /V — произвольное линейное пространство. Доказать,
Жйто, каков бы ни был оператор А простой структуры, действующий
[А А', можно задать в Д скалярное произведение таким образом,
у1тобы А был нормальным оператором.
186
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.2.37* . Оператор А арифметического пространства Ra в естест-
венном базисе имеет матрицу
11 1
0 0 1 _
0 0 — I |
Ввести скалярное произведение в R3 так, чтобы оператор А был
нормальным оператором.
7.2.38* . Доказать, что оператор А тогда и только тогда будет
нормальным оператором, когда сопряженный оператор А* представ-
ляется многочленом от А.
7.2.39. 11ус гь А — нормальный оператор и А перестановочен
с некоторым оператором Я. Доказать, что; а) А* перестановочен с В;
б) А перестановочен с Я*.
7.2.40. Доказать, что перестановочные нормальные операторы А
и В имеют общий ортонормировапный базис из собственных векторов.
Проверить, что указанные ниже матрицы А и В~ нормальные
и перестановочные, и построить для них общий ортонормированный
базис из собственных векторов:
7.2.41. А = 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 -1 0 1 — 1 0 I-
7.2.42. 1 -1 2 - 1II 1 2 ’ 2 21| в । 14-5; 1 6 — 1 + * 3 т -1-н 1—1 ] 3 6 2Д( -14-1 3 3 — 1 + 1 1 +51 I 3 6 ||
7.2.43. Доказать. что в условиях задачи 7. 2.40 вместе с опсрато-
рами А и В нормальными будут и операторы А А-В, АВ и ВА.
7.2.44* . Доказать следующее частичное обращение утверждения
7.2.43: если А, В и АВ — нормальные операторы и хотя бы один из
операторов А или В имеет не только простые, но и различные по
модулю собственные значения, то А и В перестановочны.
7.2.45* . Доказать следующее усиление утверждения 7.2.44: пусть
А, Я и АВ — нормальные операторы и хотя бы один из операторов
А или В не имеет различных собственных Значений одинакового
модуля. Тогда А и В перестановочны.
7.2.46. Привести пример нормальных операторов А и В, для
которых операторы АВ и ВА нормальны и различны.
7.2.47. Спектральным радиусом р (А) оператора А называется
максимальный из модулей его собственных значений ?ч, .,.,ЛЛ:
р (А) =шах | Xj |.
$ 7,3. УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
187
Доказать следующую экстремальную характеристику спектрального
радиуса нормального оператора А:
. Лх М*, X) j
Что можно сказать о векторах, для которых достигается этот мак-
симум?
7.2.48. Доказать, что справедлива следующая опенка для Спект-
рального радиуса нормальной их «-матрицы А:
рИ1э=1
У «„
7.2.49. Доказать, что для спектрального радиуса нормального
оператора А справедлива формула
, I Ах1
p(A) = max 1—?.
, х^о I * '
Всякий ли вектор х, реализующий указанный максимум, будет соб-
ственным вектором оператора А?
7.2.60* . Пусть R —евклидово пространство, С —унитарное прост-
ранство, полученное из Я комплекснфцкацией (см. 2.5.14). Показать,
что соответствие между операторами А пространства R н операто-
рами Л пространства С (см. 5.1.52):
а) сопряженному оператору А* относит сопряженный оператор А*;
б) нормальному оператору А сопоставляет нормальный оператор А.
Используя б), показать, что если —собственное значение нор-
мального оператора А, то его геометрическая кратность совпадает
С алгебраической.
§ 7.3, Унитарные операторы и матрицы
О задачах параграфа. Первая часть параграфа посвящена унитарным опе-
раторам. Среди их свойств мы особенно выделяем следующие два: спектраль-
ную характеристику (унитарный оператор — это нормальный оператор, вес
собственные значения которого по модулю равны единице) и сохранение ска-
лярного произведения.
Во Второй части параграфа рассматриваются унитарные матрицы. Обсудив
ИХ формальные свойства, мы затем вводим понятие об унитарном подобии
матриц и формулируем матричные аналоги ряда уже известных утвержде-
ний об операторах. Наконец, мы показываем важные вычислительные прило-
жения некоторых унитарных матриц специального вида.
7.8.1. Показать, что множество всех унитарных операторов из тхх
образует группу по умножению.
7.3.2. Показать, что сумма унитарных операторов в общем слу-
чае уже не будет унитарным оператором.
188
ГЛ. 7, ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.3.3. Показать, что произведение унитарного оператора на
число а тогда и только тогда является унитарным оператором, когда
7.3.4. Описать все унитарные операторы, действующие в одно-
мерном пространстве.
7.3.5. Показать, что оператор поворота евклидовой плоскости
является ортогональным оператором.
7.3.6. Будет ли ортогональным оператор трехмерного евклидова
пространства Ах = [х, а]?
7.3.7. Показать, что операторы задачи 7,2.9 являются ортогональ-
ными.
7.3.8. Пусть в пространстве (п^1) скалярное произведение
задано формулой (7,1.9), Будут ли операторы задачи 7.2.9 ортого-
нальными и таком евклидовом пространстве?
7.3.9. Пусть А —нормальный оператор, действующий в трехмерном
унитарном пространстве. Доказать, что если собственные значения
?-=, ?-э этого оператора, рассматриваемые как точки комплексной
плоскости, не лежат на одной прямой, то оператор А можно пред-
ставить в виде
А -- аЕ -j- р77,
где унитарный оператор, а— комплексное число, р> О,
7.3.10. Может ли оператор проектирования быть унитарным?
7.3.11. Показать, что оператор ортогонального отражения является
унитарным оператором.
7.3.12. Показать, что операторы задачи 7,2,9 являются операто-
рами ортогонального отражения. Halim собственные подпространства
каждого нз них.
7.3.13* . В базисе 1, t. 1г пространства Л1а оператор А имеет
матрицу з _2 _2
2—1 —S
2 —2 —I
Показать, что А —оператор Отражения, Ввести в М2 скалярное про-
изведение так, чтобы А был ортогональным оператором.
7.3.14. Доказать, что нормальный оператор А, удовлетворяющий
условию Ак = Е при некотором целом k^=0, является унитарным
оператором.
7.3.15. Доказать, что определитель унитарного оператора по мо-
дулю равен единице.
7.3.16* . Ортогональный оператор Q пространства многочленов '/И,
со скалярным произведением (7,1,1) переводит многочлены l-|-/-|-/s
и I—/2 соответственно в —1—и 1—6 Определитель этого
оператора равен —I. Найти его магрщгу в базисе I, t, I2,
7.3.17. Доказать что если U — унитарный оператор, то для лю-
бых векторов х и у
(Ux, Uy)=~(x, у),
V 6 7.3, УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ 189
riif, ё. унитарный оператор сохраняет скалярное произведение, Обратно,
:,1!1еслн некоторый линейный оператор О' сохраняет' скалярное произве-
дение любых двух векторов, то U — унитарный оператор,
7.8.18. Оператор арифметического пространства /?4 со скалярным
Произведением (7.1.4) переводит векторы 2, 2, 2), х2 =
:es\2, 0, 2, 2), л3 —(2, 2, 0, *2), х(г.- (2, 2, 2, 0) соответственно
'> векторы j) = (4, 0, 0, 0), у3 = (3, —1, I, |). — (3, 1, _ 1, 1),
. д^ии(3, 1, 1, —1). Будет ли этот оператор ортогональным?
7.8.19. Доказать, что для того, чтобы линейный оператор, дей-
ствуюший и пространстве X, был унитарным, достаточно, чтобы он
рСохранял скалярные произведения векторов некоторого базиса цро-
у.'странства X. В частности, оператор будет унитарным, если он не-
.который ортонормированный базис переводит снова в ортонорми-
роваиный.
7.8.20* . Доказать, что для унитарности линейного оператора U,
; действующего н пространстве X, достаточно, чтобы (J сохранял
длины всех векторов из X.
7.3.21* . Доказать, что линейный оператор, сохраняющий оргого-
ИйЛЬность любых двух векторов, лишь числовым множителем отлц-
чается от некоторого унитарного оператора.
г 1 7.3.22. Доказать, что условие унитарности матрицы (J равносильно
.требованию, чтобы столбим (строки) U, рассматриваемые как векторы
Арифметического пространства со .скалярным пропив едением (7.1.4),
образовывали ортоцормиропаннын базис этого пространства,
7.3.23. Доказать, что всякая матрица перестановок является
, унитарной матрицей.
7.3.24. Доказать, что каждый элемент унитарной матрицы равен
.ПО модулю своему дополнительному минору.
7.3.25. Пусть U~P-\- iQ — комплексная унитарная матрица по-
рядка л. Доказать, что действительная матрица порядка 2д
Не Ч
является ортогональной.
7.3.26. Доказать, что если ^’ — унитарная матрица, то ассощшро-
йЯниая матрица Г/р также унитарная.
7.3.27. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров по-
рядка А, выбранных из произвольных А строк (столбцов) унитарной
МЯтрииы, равна единице.
7.3.23. Пусть ведущий г.тавпый минор порядка А ушиарной матрп-
пы U по модулю ранец единице. Доказать, что в таком случае U
имеет кваз[|диагопзл11[|ый вид
Чо" °.,II'
\где Un — клетка порядка А.
190
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.3.29. Доказать, что кронекерово произведение унитарных
матриц U и V, имеющих, быть может, разный порядок, само является
унитарной матрицей.
7.3.30. Пусть U и V —унитарные «X «-матрицы. Показать, что:
а) оператор Qyv (см. 6.6.10) является унитарным;
6) оператор Fyv, вообще говоря, це является унитарным.
7.3.31. Доказать, что матрица перехода для пары ортонормиро-
ваппых базисов унитарного пространства является унитарной матрицей.
7.3.32. Матрицы А и В называются унитарно подобными, если
существует унитарная матрица U такая, что B^U'FAU. Показать,
что отпО|Нсние унитарного подобия на множестве квадратных матриц
данного порядка п рефлексивно, симметрично и транзитивно.
7.3.33. Доказать, что всякая комплексная матрица унитарно подобна
треугольной матрице.
7.3.34. Доказать, что верхняя треугольная матрица унитарно по-
добна некоторой нижней треугольной матрице.
7.3,35. Показать, что при унитарно подобном преобразовании
нормальная матрица переходит в нормальную.
7.3.36. Показать, что комплексная нормальная матрица унитарно
подобна диагональной матрице.
7.3,37. Найти условие, при выполнении которого матрица вида
I стр.
cos <р
(7.3.1)
I
sin ip е‘*-’
является унитарной (це указанные внедиагональные элементы равны
цу.'цо). Полученная унитарная матрица называется элементарной уни-
тарной матрицей и обозначается н дальнейшем Т^.
7.3.38. Пусть А — квадратная матрица порядка и («Уэ2). Выбрать
элементарную унитарную матрицу 7'17 так, чтобы в матрице В = ?рА
элемент (/, г) был равен нулю- При этом можно положить (см. 7.3.37)
7,3.39. Как для заданной матрицы А порядка п выбрать последо-
вательность элементарных унитарных матриц 7”(1\ Т^2\ ... такую,
чтобы в произведении .7'<2,7'1[,Д все ноддиагоцальные элементы
первого столбца были равны нулю?
$ 7,3. УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
191
7.3.40й . Основываясь tja 7.3.38 и 7.3.39, построить метод разло-
жении квадратной матрицы в произведение унитарной и верхней тре-
угольной магриц.
7.3.41. Доказать, ито всякая унитарная матрица разлагается в про-
изведение элементарных унитарных матриц и, быть может, диаго-
нальной унитарной матрииь|.
7.3.42. Пусть A^UiR^ и A = t/2R2 —два разложения невырож-
денной матрицы .4 в произведение унитарной и верхней треугольной
матриц. Доказать, что
Ug=-UtQ, Ri^^QRs,
где Q —некоторая диагональная унитарная матрица.
73.43. Как применить метод, построенный в 7.3.40, к решению
системы линейных уравнений Ах=Ь с квадратной невырожденной
матрицей коэффициентов?
7.3.44. Найти условие на вектор-с годбеи w, при выполнении ко-
торого матрица вида
Н=Е~ ivw* (7.3.2)
будет унитарной,
7.3.45. Пусть те’ — нормированный вектор-столбец. Доказать, что
Соответствующая ему натрина (7.3.2), рассх1атрцваемая как оператор
арифметического пространства, задает в нем ортогональное отраже-
ние. Такая матрица Н называется матрицей отражения.
7.3.46. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы
отражения.
7,3.47. Найти определитель матрицы отражения.
7.3.48. Показать, чТо всякая унитарная матрица, все собственные
значения которой равны -{-1 и —1, причем —1 является простым
собственным значением, может быть представлена в виде (7.3.2).
7.3.49. Показать, что матрица
7 _ Il cos f sin ‘Р I1
sin ср — cos cp
есть матрица Отражения. Найти соответствующий вектор те>.
7.3.50. Пусть И—матрица отражения с известным вектором те?.
Как вычислить произведение матрицы Н ца вектор-столбец х таким
образом, чтобы это вычисление требовало лишь (2«_|-1) операций
Умножения?
7.3,51. Выбрать вектор те? так, чтобы порожденная им матрица
Отражения переводила заданный вектор -t в вектор, коллинеарный
Единичному столбцу (предполагая, что сам вектор х це коллинеа-
рен е1)-
7.5.52й . Использовать результат Задачи 7.3.51, чтобы построить
алгоритм разложения квадратной матрицы в произведение унитарной
верхней треугольной матриц.
192
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ Б УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.3.53. Пусть Ах =Ь — система линейных уравнений с квадратной
пев и рожденной матрицей А. Описать метод решения этой системы,
основанный на процессе, построенном н 7.3,52.
7-3.54*. Пусть А — квадратная матрица порядка п (п > 2), Как
выбран, матрицу отражения Л/ так, чтобм матрица В~НАНХ имела
пулевые элементы на всех местах первого столбца, начиная с третьего?
7.3.55. Квадратная матрица В называется верхней (нижней) почти
треугольной, если Лу = О дня i > j -|- I (J> I + *), С помощью
результата задачи 7.3,54 доказать, что всякая квадратная матрица
y’tiH'i зрно подобна верхней (нижней) почти треугольной матрице, Дать
операторную формулировку этого утверждения.
§ 7.4. Эрмитовы операторы и матрицы
О задачах параграфа. В первой части параграфа обсуждаются простейшие
свойства эрмитовых онер,поров ц матриц. Обсуждение проводится по тому те-
плину, что я в предыдущих параграфах. Во второй части собраны задачи,
относящиеся к собственным значениям эрмитовых операторов. Особое внима-
ние уделяется цх замечательные экстремальным свойствам. На применении
этих свойств основан один цз самых эффективных вычислительных методов
нахождения собственных значений зрмпТОВЬ|Х матриц—метод бисекции, кото-
рый описав в задачах 7.4.43 — 7.4,48.
7.4.Т. Показать, что множество всех эрмитовых операторов из Шхх
образует группу' по сложению.
7.4.2. Показать, что в линейном пространстве (&хх всех линейных
операторов, действующих в евклидовом пространстве А’, множество
всех симметричных операторов является линейным подпространством.
Аналогичное утверждение справедливо для множества всех кососим-
метричных операторов из отАА-.
7.4.3. Показать, что произведение ненулевого эрмитова оператора
па число а тогда и только тогда будет эрмитовым оператором,
когда а— действительное число.
7.4.4. Показать, что оператор Д' тогда и только тогда является
косоэрмитовым, когда оператор /К — эрмитов,
7.4.5. J доказать, что произведение эрмитовых операторов Wj н
/7а тогда и только тогда является эрмитовым оператором, когда /Ут
и Н» перестановочны.
7.4.6. Показать, что оператор, обратный к невырожденному эрми-
тову оператору, сам является эрмитовым.
7.4.7. Описать все эрмитовы операторы, действующие в одномер-
ном пространстве.
7.43. Линейный оператор А действует в двумерном евклидовом
пространстве, причем для некоторой пары неколлинеарных векто-
ров х и у
(Ах, у) = (х, Ау).
Доказать, что А — симметричный оператор.
§ 7,4. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
193
Д'? 7.4.9. Показать, что оператор трехмерного евклидова простран-
'([’летва Ах = {аг, я] является кососимметричным.
Д" 7.4.10*. Доказать, что всякий кососимметричный оператор К трех-
. верного евклидова пространства можно представить в виде Кх =
«ь (х> я] при соответствующем выборе вектора а.
7.4.11. Оператор арифметического пространства Я4 со скалярным
'(произведением (7.1.4) переводит векторы х]=(0, 1, 1, 1), х2 =
—1, 0, 1, 1), х3=х(—I, —1, 0, 1), х4 = (—I, —I, — 1, 0) соот-
дШегственно в векторы J’t = (3, —1, —1, —1), дг_(I, —3, —1, —I),
—3, —1, 1), д4 — (—3, —1, —1, 1). Будет ли этот опе-
> ратор симметричным?
Дт1’: 7,4.12. Показать, что операторы задачи 7.2.9 являются симмет-
ричными.
Ж 7,4.13. Показать, что всякий оператор ортогонального отражения
$$ймяется эрмитовым. В частности, матрица отражения (7.3.2) является
$4".’ 7.4.14. Показать, что оператор, одновременно унитарный и эрмитов,
ЙЙДИ равен ± Е, или является оператором ортогонального отражения.
7.4.15* . Симметричный оператор S пространства многочленов Л12
t скалярным произведением (7.1.1) переводит многочлены 2д.2( — tz
2 — f-j~2T2 соответственно a Ъ — t—t2 и ЗД-З/Д-З^2. След этого
ератора равен 3. Найти его матрицу в базисе 1, t, t2.
7.4,16. Пусть Нг и Hi — комплексные эрмитовы матрицы одина-
кового порядка. Доказать, что след матрицы НУН2 есть число дей-
, ствительное.
< । 7.4.17. Пусть эрмитова матрица Н представлена в виде H=S-[~IK,
' где S и К — действительные матрицы. Показать, что 5—симметрич-
ная, а К— кососимметричная матрица.
7.4.18. Доказать, что
натрина
в условиях задачи 7.4.17 действительная
если Н — эрмитова матрица, то ассоцииро-
также эрмитова.
что
является симметричной.
'Дд 7.4.19. Доказать, что
• Данная матрица Н.,
7.4.20. Доказать, что кронекерово произведение эрмитовых
(ГЙЫатриц Hi и Н^. имеющих, быть может, разный порядок, само является
'• Эрмитовой матрицей.
7.4.21. Пусть Ht и Hi — эрмитовы п х л-матриш-ь Показать, что
^Операторы Gh,hs и ^я,/тг задачи 5Д.10 являются эрмитовыми.
4.Д- 7,4.22. Доказать, что для эрмитова оператора Н скалярное про-
И'ЙЙведение (Нх, х) есть число действительное при любом векторе х.
7,4.23. Пусть Л'— кососимметричный оператор евклидова про-
‘Странства X Доказать, что (Ах, х) — 0 для любого вектора х из X.
< 7.4.24. Что можно сказать об эрмитовом операторе Н, если
•{Нх, х) = 0 для всех векторов х?
1 7 X. Д. Икрамов
1
194 гл. 7. операторы в унитарном пространстве
7.4.2Б . Показать, что если для эрмитовых операторов Hj и 77а при
любом векторе х выполняется равенство (Htx, х) = (Н,х, л), то
Ъ-Н*
7.4.26. Доказать утверждение, обратное 7.2.18: если для линей-
ного оператора А при любом векторе х справедливо равенство (7.2.2),
то А — нормальный оператор.
7.4.27. Собственные значения нормального оператора А, действую-
щего в унитарном пространстве, лежат на одной прямой комплекс-
ной плоскости. Доказать, что оператор А можно представить в виде
А = аЕ+^Н,
где 77—эрмитов оператор, а и а — комплексные числа. |а!==1.
7.4.26. Показать, что собственные значения косоэрмитова опера-
тора суть чисто мнимые числа.
7.4.29. Показать, что оператор ортогонального проектирования
является эрмитовым оператором.
В задачах 7.4.30 — 7.4.37 предполагается, что собственные значе-
ния Xj....?,л эрмитова оператора (или эрмитовой матрицы) Н за-
нумерованы так, что
5-s-5s... 5s ?.л. (7.4.1)
Если наряду с собственными значениями рассматривается ортонорми-
рованный базис ег. .еп из собственных векторов оператора Н,
то считается, что нумерация векторов в нем соответствует упорядо-
чению (7.4.1).
7.4.30. Доказать справедливость следующих представлений макси-
мального и минимального собственных значений эрмитова оператора И:
— max
(Нх. х)
(X, X) ’
Z,„ = min
(Их. х)
(х, х)
(7.4.2)
Показать, что векторы, для которых достигаются указанные экстре-
мумы, являются собственными векторами оператора И.
7.4.31. Показать, что для экстремальных собственных значений
эрмитовой матрицы Н справедливы оценки:
5а max ha, min ha-
i i
7.4.32. Пусть для эрмитовой матрицы Н имеет место равенство
11=АИ. Доказать, что все внедиагональные элементы 7-й строки и
г-г о столбца матрицы 77 суть нули.
7.433. Доказать, что для линейного подпространства 7, натяну-
того на собственные векюры eift (г\<...<;/*) эрмитова опе-
ратора 77, выполняются соотношения;
Л|, -=тах
L
(fix, X)
~(Х, х)
Ъ — min
k х^О
(fix, х)
(X, X}' •
(7.4.3)
J 7.4. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
195
7.4.34* . Доказать следующую теорему Куранта — Фишера: для
собственного значения 7,к эрмитова оператора И, действующего
в rt-мерном пространстве А', справедливы представления".
ХА = 1вах min
(fix, х}
(х, х) ’
hk = min
Ln-k±l
max
х£0
xe.L
(fix. x)
(*, x)
rt-ft-i-l
(7.4.4)
(7.4.5)
В равенстве (7.4,4) максимум берется по всем ^-мерным подпростран-
ствам Lk пространства Д’; аналогично, в (7.4,5) (,я_д,т1 обозначает
произвольное подпространство размерности п —
7.4.35*. Пусть Ня t—произвольная главная подматрица эрмито-
вой матрицы Н порядка л. Используя теорему Куранта — Фишера,
доказать, что собственные значения fin_1 матрицы /Уп-г зану-
мерованные в порядке убывания, разделяют собственные значения
матрицы Н, Последнее означает, что
-J? Pj ' Xl; ' Pu ' . . . ‘ 1 ’ рЛ-1 Ап-
7.4.36. Не вычисляя собственные значения матрицы Н порядка я;
О О
О О
О О
! 2
О 1
О 2
О п — 1
п — 1 п
указать число ненулевых собственных значений и их знаки.
7.437. Пусть раце эрмитовой матрицы И на две единицы превы-
шает ранг главной подматрицы Доказать, что у матрицы Н
' на одно положительное и на одно отрицательное собственное значе-
• ние больше, чем у
7 7.4.36. Пусть собственные значения эрмитовых операторов Нъ Н2
, и занумерованы в порядке убывания:
771 — аг _5г а2 : .. _ 7% ая,
К ° — Pi Р-j Э- . • • Рл>
/71 + Нг — у! у2.3=,.. у„.
(7,4.6)
Пользуясь теоремой Куранта — Фишера, доказать,
неравенства (А = 1, 2, ...я);
Yk ‘-S -|- pft> Уд. «ё tXfe -|- Pi,
Уй 5; an +Р*> У» «д. + ₽«•
что справедливы
7.4.39. Показать, что при унитарно
эрмитова матрица переходит в эрмитову.
7*
подобном
преобразовании
Н —
196
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.4.40. Ленточная матрица называется трехдиагональной, если
ширина ленты у нее равна 3. Из задачи 7.3.55 вывести следующее
следствие: всякая эрмитова матрица унитарно подобна трехдиагональ-
ной матрице. Дать операторную формулировку этого утверждения.
7.4.41. Назовем трехдиагональную матрицу С неприводимой, если
су уЬ 0 при | / ~у | = ]. Доказать, что если трехдиагональная эрмитова
матрица имеет собственное значение X кратности г, то она квази-
диагональцая, причем на диагонали стоят по крайней мере г непри-
водимых подматриц меньшего порядка.
В нижеследующих задачах 7.4.42—7.4.49 для заданной трехдиаго-
нальной неприводимой эрмитовой матрицы С порядка п рассматри-
вается последовательность многочленов fQ (X), Д (X), ..., /я (X), где
/0(Х)=1, а /((X) —характеристический многочлен ведущей главной
подматрицы С; матрицы С (так что мночлеи ft (А) имеет степень <). Рекур-
рентные соотношения, связывающие многочлены этой системы, были полу-
чены в 3.2.4У(в рассматриваемом эрмитовом случаес^—Ь^ и в дальней-
шем используются без дополнительных ссылок. Корни многочлена
/г(А), т. е. собственные значения подматрицы C[t обозначаются ...
.,., Z,!') и занумерованы в порядке убывания, так что
(см., однако, 7.4.43, б)); при этом Х<.Л1=Х/, /=1, ..., и.
7.4.42. Составить последовательность многочленов /0(Х), /1(Х), ...
•' •> А (А) Для матрицы
0 10 0 0
10 10 0
0 10 10
0 0 10 1
0 0 0 I о
(7.4.7)
7.4.43. Доказать, что в системе многочленов /0(?,), Д(Л),
а) соседние многочлены не имеют общих корней;
б) корни многочлена. fL (А), 1 ^l^n— I, строго разделяют корни
многочлена /i+1(A):
А/ +1» > ?.(/> > V‘ i-1 > > А<;' > ... > А« + П > > V/+1 >;
в) если t<n, — корень многочлена /;(Д,), то числа /-j
и имеют разные знаки.
7.4.44* . Действительное число р. не является корнем ни одного
из многочленов /;(Z,). Доказать, что число перемен знаков в числовой
последовательности
/о(Ю. А(Ю< -../„(Р)
(7-4.8)
равно числу собственных значений матрицы С (т. е. корней много-
члена /„(X)). которые строго больше, чем ц.
7.4.45* . Пусть теперь число ji может быть корнем многочленов
системы /0 (?,)), /j(А-), ...,/„(Л). Будем но-ирежнему подсчитывать
число перемен знаков в последовательности (7.4.8), приписывая каж-
§ 7.4. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ
197
Додому нулевому значению /Др) тот же знак, что имеет число /^(р),
Доказать, что утверждение 7.4.44 остается справедливым и в этом
.случае-
7.4.46* . Известно, что собственное значение кк матрицы С лежит
.интервале (а, Ь). В этом случае говорят, что локализовано
(а, Ь). Как, используя результат задач 7.4.44—7.4.45, локализовать %*
•ЙЖинтервале вдвое меньшей длины?
/Ж’'" 7.4.47. Пусть все собственные значения матрицы С лежат в ннтер-
Основываясь на результате задачи 7.4.46, указать спо-
W. нахождения чисел \ с заданной точностью е.
7.4.48. Показать, что вычисление последовательности (7.4.8) можно
jlrajjrавизовать таким образом, что потребуется выполнить лишь 2 (л — 1)
Ййшраштй умножения (предполагая, что числа | Ь, |2 в рекуррентных
-''^Формулах, связывающих многочлены ./(X), вычислены заранее).
7.4.49. Способ вычисления собственных значений трехдиагональной
^армитовой матрицы, полученный в задаче 7.4.47, называется методом
Провести метод бисекции для вычисления наибольшего
Ж1е5бстиенног° значения матрицы (7.4.7) с точностью е= 1/16.
JW/ 7.4.50*. Опираясь на результаты задач 7.4.40, 7.4.41, 7.4.47, опи-
Жпъ метод приближенного вычисления собственных значений произ-
'©Жйьной эрмитовой матрицы.
7.4.51* . Трехдиагональная неприводимая матрица А называется
оби^вой, если а/,; > 0 для всех Z. Показать, что для яко-
®рвневых матриц с действительными диагональными элементами спра-
ЖМвДливы результаты задач 7,4.43—-7,4.47.
ЭД''' 7.4-52. Пользуясь соответствием между операторами евклидова
^пространства R и унитарного пространства С, полученного из R
ЛфцЙрмплексификацией, доказать, что:
Tw'' а) симметричному оператору 5 пространства AJ отвечает эрмитов
Ж&ератор 5 пространства С;
б) для всякого симметричного оператора пространства AJ найдется
ортонормировацный базис, в котором матрица этого оператора
ышагональная.
Переформулировать утверждение б) для матриц.
“ 7.4.53. Пусть Zj...z„, zy = xy +О), — оргонормированный базис
собственных векторов эрмитовой лхл-матрипы /7 = S /К, Хь ...
., Хл —соответствующие собственные значения. Доказать, что 2«-мер-
действительные вектор-столбны ut, vb ип, vn, где
w,-=d XJ IL ^=4 II,
.Ж'СЙразуюг ортонормированный базис из собственных векторов дей-
Жг^твительной матрицы
С D
S
;;соответствующие собственные значения суть Хр X,, Х2, .... Хп, Хл.
198
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 7.5. Неотрицательные и положительно определенные
операторы и матрицы
О задачах параграфа. Основные вопросы, которые обсуждаются в этом
параграфе, таковы:
Формальные свойства неотрицательных и положительно определенных опе-
раторов, которые вытекают непосредственно из их определения.
Положительно определенные матрицы и матрицы Грама. Здесь мы показыва-
ем, что положительно определенные матрицы являются в некотором смысле
универсальным средством введения скалярного произведения в данном линей-
ном пространстве.
Неотрицательность (положительность) собственных значений неотрицатель-
ного (положительно определенного) оператора (матрицы).
Различные критерии положительной определенности эрмитовых матриц,
в частности, диагональное доминирование (см. 7.5.24). критерий Сильвестра
и др. Мы даем и числовые задачи на их применение.
Отношение частичной упорядоченности на множестве эрмитовых операторов.
Квадратный корень из неотрицательного оператора, числовые примеры на
извлечение квадратного корня.
Приложения важной теоремы о действительности собственных значений
оператора ffS, где // и 3—эрмитовы операторы и S — положительно определен,
7J5.1. Может ли положительно определенный оператор /7 перево-
дить ненулевой вектор х в вектор_у, ортогональный к х?
7.5.2. Из определения положительно определенного оператора
вывести его невырожденность.
7.5.3. Пусть Н — положительно определенный оператор евклидова
пространства X. Показать, что для любого ненулевого вектора х из
X его образ образует с х острый угол.
7.5.4. Пусть Н и S — неотрицательные операторы. Показать, что
для любых неотрицательных чисел ot и 0 оператор а/7-|- pS является
неотри цательн ы м.
7,5.5. Пусть Н и S—неотрицательные операторы, и пусть для
некоторых действительных чисел Од и ри оператор Д- ро5 поло-
жительно определен. Показать, что в таком случае положительно
определены все операторы af/+ PS, где а и р — произвольные поло-
жительные числа.
7.5.6. Доказать, что оператор, обратный к положительно опреде-
ленному оператору, сам является положительно определенным.
7.5,7. Показать, что всякий оператор ортогонального проектиро-
вания является неотрицательным оператором.
7.5.8. Пусть Н — комплексная положительно определенная матрица.
Доказать, что транспонированная матрица Нт также положительно
определена.
7.5.9, Доказать, что любая главная подматрица неотрицательной
(положительно определенной) матрицы сама неотрицательна (положи-
тельно определена).
7.5.10* . Пусть Х(, ..., хк~ произвольная система векторов уни-
тарного (евклидова) пространства X. Доказать, что матрица Грама
системы х1п ..., xk является неотрицательной матрицей. Эта матрица
;• $ 7.5. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ 199
"положительно определена, если система xh .... xk линейно неза-
висима.
7JJ. 11. Пусть et, .... еп — произвольный базис унитарного (евкли-
дова) пространства X. Доказать, что скалярное произведение любых
:двух векторов .г и у из X можно вычислить по формуле:
(х, _у) = (ГХе, Ye). (7.5.1)
Здесь Гг —матрица Грама системы е1г . ,.,ел; Хе, К, — я-мерные
„ вектор-с тол б цы, составленные из координат векторов х и у в базисе
<1, скалярное произведение в правой части (7.5.1) берегся по
?обычному правилу (7.1.4).
j. 7.5.12. Пусть еъ .еп — произвольный базис линейного простран-
ства Х\ Г —произвольная положительно определенная матрица. Пока-
зать, что формула (7.5.1) определяет в X скалярное произведение.
При этом матрица Гг будет матрицей Грама системы eir ..., е„
в смысле полученного скалярного произведения.
Таким образом, формула (7.5.1) (как и способ задачи 2.1.2) дает
обозрение всех возможных способов введения скалярного произведе-
ния в данное линейное пространство X.
7J5.13. Пусть (х, y/)j и (х, _у)2 —два различных скалярных произ-
ведения арифметического пространства. Доказать, что:
а) найдется невырожденная матрица А такая, что
(*. У)2^(Ах, y)t;
б) из а) вытекает, что
(-*, ^^(Д-’х, j)2.
7.5.14. Пусть А — произвольный линейный оператор, действующий
из унитарного (евклидова) пространства X в унитарное (евклидово)
.-'пространство К. Показать, что произведение А*А является неотрица-
тельным оператором пространства X, а произведение ДД* — неотри-
цательным оператором пространства Г. Соответственно, для любой
прямоугольной матрицы А матрицы Д*Д и ДД* неотрицательны.
7.5.15. Пусть Н— комплексная положительно определенная мат-
рица. Доказать, что в представлении матрицы Н,
где S и К— действительные матрицы, матрица 5 положительно опре-
делена.
7.5.16. Пусть Н— неотрицательный оператор и (7/х, х) = 0 для
некоторого вектора х. Доказать, что:
а) х принадлежит ядру оператора Н',
б) оператор НГГИ, индуцированный на образе Тв оператора Н,
является положительно определенным.
7.5.17. Показать, что положительно определенный оператор можно
Определить как невырожденный неотрицательный оператор.
200
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.5.18. Показать, что эрмитов оператор И тогда и только тогда
будет неотрицательным (положительно определенным), если для вся-
кого положительного (неотрицательного) числа е оператор Н-\-еЕ
не вы рожден.
7.5,19. Эрмитов оператор И называется неположительным (отри-
цательно определенным), если для всякого ненулевого вектора х
скалярное произведение (Нх, х) неположительно (отрицательно).
Аналогично определение неположительных и отрицательно опре-
деленных матриц.
Доказать, что всякий эрмитов оператор можно представить в виде
суммы неотрицательного и неположительного операторов.
7.5.20* . Комплексная квадратная матрица А называется устойчи-
вой, если для любого собственного значения X этой матрицы выпол-
няется условие ReX<;0.
Доказать, что если матричное уравнение Ляпунова для дхл-мат*
Рицы А А*Х-(-ХА^С,
где С — некоторая отрицательно определенная матрица, имеет поло-
жительно определенное решение В, то А —устойчивая матрица. Вы-
вести отсюда, что В —единственное решение указанного уравнения.
7,5,21, Что можно сказать о неотрицательном операторе Н, если
его след равен нулю?
7.5.22. Показать, что определитель положительно определенного
оператора положителен, Вывести отсюда, что в положительно опре-
деленной матрице все главные миноры положительны.
7.5,23. Показать, что в положительно определенной матрице мак-
симальный по модулю элемент стоит на главной диагонали.
7.5.24* . Доказать, что эрмитова п X «‘матрица Н положительно опре-
делена, если
п
2 IЙ//1, п. (7.5.2)
/=1
7,5,25. Пусть Н ~S-\-lK— комплексная положительно определен-
ная матрица. Доказать, что действительная матрица
Нк -л
положительно определена.
7.5.26* . Пусть Н — положительно определенная матрица. Дока-
зать. что ассоциированная матрица Нр также положительно определена.
7.5.27. Доказать, что среди всех миноров А-го порядка положи-
тельно определенной матрицы Н наибольшим по модулю является
некоторый главный минор.
7.5.28. Доказать, что кронекерово произведение положительно
определенных матриц Hj и Н2, имеющих, быть может, разный поря-
док, само является положительно определенной матрицей.
s 7.5, ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ 201
7J5.29*. Пусть А и В— квадратные матрицы одинакового порядка п.
произведением Шура матриц А и В называется их «-матрица С
акая, что для всех /, j
Сц—а{^ц.
'оказать, что произведение Шура положительно определенных
атриц и Н.г также является положительно определенной мат-
ицей.
7.5.30. Пусть Н — положительно определенная матрица порядка п.
Доказать, что и X «-матрица S такая, что Sy = |ft(y|2 при всех i, j,
1кже положительно определена.
7.5.31. Пусть Н и S —эрмитовы операторы, причем разность И — S
аляется неотрицательным (положительно определенным) оператором,
удем писать в этом случае H^S(HZ>S}- Показать, что для огно-
:ения 5г справедливы свойства;
a) H^S,
б) 5г 5г S2 a,Ht + 3s aSt -|- pS2, где аир— любые
^отрицательные числа;
в) Н 5г 5 => А*НА Д*5.4 для любого оператора А.
7.5.32. Пусть Н и S —эрмитовы операторы, причем Дока-
1ть, что собственные значения оператора 5, упорядоченные по убы-
тию. не превосходят одноименных (при таком же упорядочении)
Иктвецных значений оператора Н.
7-5.33. Положительно определенный оператор Н удовлетворяет
•равенству Н^Е. Доказать, что Н^^Е.
7.5.34. Матрицы Н и S положительно определены, причем H^S
оказать, что;
а) шах | йу ( Ssmax j s,y |;
i. ) i. i
б) главные миноры матрицы S не превосходят одноименные миноры
(ггрицы Н\ и частности,
в) det Н det S.
7.5.35. В положительно определенной матрице Н увеличили диаго-
дльный элемент /у,-. Доказать, что определитель полученной мат-
“ины Н больше определителя матрицы Н.
7J5.36*. Доказать следующий критерий Сильвестра по лож ц-
(льной определенности: для того чтобы эрмитова матрица Н
ыла положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все
пбдущие главные миноры этой матрицы были положительны.
|' 7.5.37. В неотрицательной матрице Н ведущий главный минор
“ рядка k равен нулю. Доказать, что равны нулю все ведущие глав-
ie миноры порядка выше k.
7.5.38. Доказать, что в отрицательно определенной матрице Н все
авные миноры нечетного порядка отрицательны, в то время как
е главные миноры четного порядка положительны.
202
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Для каждой из указанных ниже трехдиагональных матриц по-
рядка я определить, является ли эта матрица положительно опреде-
ленной или неотрицательной
7.5.39.
л— I 1
1 п — 2 .
7.5.40.
7.5.41.
п-2
7.5.42*. я 1
‘.31
'12 1
1 t
7.5.43.
л- 1
1 (л-1)- .
• • 4
1
7.5.44.
7.5.45*. Доказать, что для всякого неотрицательного (положи-
тельно определенного) оператора Н найдется, причем единственный,
неотрицательный (положительно определенный) оператор К такой,
что № — Н. Оператор К называется (арифметическим) квадратным
корнем из оператора Н и обозначается Н1^2.
' 2 1
1 1 1
I О
л — 1
1
п
4
3
1
2
1 1
1 2 1
1 2 .
2 1
1 1
5 7.5. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И МАТРИЦЫ 203
Найти квадратные корни для следующих матриц:
7.5.46. м -=|| 7.5.47. 2 1 111 1 2 1 1. Г 1 9 !|
7.5.48. i 24 6 -’2' 7.5 i.49. till
1 6 33 6 till
1 —12 6 24 tilt 1 t t t
7.5Л0*. Пользуясь существованием квадратного корня, доказать,
что для определителя положительно определенной матрицы Н порядка п
справедливо неравенство
det Н fiц!<22 • Алл.
Знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда Н —
диагональная матрица.
7.5.51*. Положительно определенная матрица Н представлена в кле-
точном виде:
.где и Н™ — квадратные подматрицы. Доказать, что
' det Н sgdet • det
/'•причем равенство Достигается тогда и только тогда, когда — 0.
7.5.52. Пусть Н и S—эрмитовы операторы, причем S—неотрица-
£ тельный. Доказать, что если Н и S перестановочны, то перестано-
Й вочны Н и
7.5.53*. Операторы Н и S положительно определены и H^-S.
ц.'Доказать, что H~l ^S~l.
7.5.54. Показать, что произведение HS перестановочных неотрица-
,,г; тельных операторов Н и S также является неотрицательным опера-
2' .тором.
.ly.' 7.5.55. Пусть /-/;>-5 и Г —неотрицательный оператор, переста-
ii-ковочный с W и 5. Доказать, что HT^ST.
7.5.56*. Пусть Н и S—эрмитовы операторы, причем S— положи-
Дтельно определен. Доказать, что собственные значения оператора HS
/' суть действительные числа; при этом сам оператор имеет простую
структуру.
V 7.5.57. Пусть в условиях задачи 7.5.56 оператор Н неотрицателен.
- Показать, что все собственные значения оператора HS неотрина-
? тельцы.
7.5.58. Показать, что справедливо утверждение, обратное 7.5,57:
если операторы Н и —эрмитовы, 6”—положительно определен и
все собственные значения оператора HS неотрицательны, го Л/—не-
отрицательный оператор.
204
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.5.59*. Пусть А/ и S— эрмитовы матрицы порядка п, причем
S—положительно определена. Доказать, что:
а) левая часть уравнения
det (AS- W)=0 (7.5.3)
представляет собой многочлен от А степени п, старший коэффициент
которого равен определителю матрицы S;
б) уравнение (7.5.3) имеет п действительных корней, если каж-
дый считать столько раз, какова его кратность.
7.5.50. Пусть Н и S —положительно определенные операторы,
наибольшие собственные значения которых равны соответственно аг
и Pj. Доказать, что наибольшее собственное значение Vi оператора HS
удовлетворяет неравенству Yi^aiPi-
7.5.61*. Доказать, что и условиях задачи 7.5.15 справедливы
такие утверждения:
а) собственные значения матрицы /S1К действительны и по
модулю меньше единицы;
б) detS^detf/, причем равенство имеет место тогда и только
тогда, когда Н == S;
в) det S> det Д'.
7.5,52*. Пусть А — оператор ранга г, действующий из «-мерного
пространства X в /«-мерное пространство У, и пусть .... е„ —
ортонормированный базис из собственных векторов неотрицательного
оператора А*А, причем векторы .... ег соответствуют ненулевым
собственным значениям aj, ..., а?г (cc/>0, !— I, ..., г). Доказать,
что:
а) векторы ег+ь ..., е„ образуют базис ядра ХА оператора <4;
б) векторы еъ ..., ег образуют базис образа ТА* сопряженного
оператора А*;
в) векторы Аег, .... Аег ортогональны и образуют базис образа
ТА оператора А;
г) длина вектора Де/ равна a/, Z = l, ,г;
д) каждый из векторов Ае-, является собственным для оператора
ДА*, причем отвечает собственному значению а/;
е) если положить
А/?,.,
у * а/ р J , J J
то
Д*Л —а/<?(.
§ 7.6. Сингулярные числа и полярное разложение
О задачах параграфа. Говоря о сингулярных числах, мы главное внима-
ние уделяем различным способам, позволяющим в конкретных случаях облег-
чить их вычисление или оценку. Основные приложения сингулярных чисел
связаны с Метрическими задачами и будут даны в § 7.8 в следующей главе.
Здесь же мы приводим лишь некоторые неравенства, связывающие сиигуляр-
s 7.G. СИНГУЛЯРНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 205
.ше числа с собственными значениями оператора. Подробно обсуждаются син-
,'^улярвое разложение произвольной прямоугольной матрицы и полярное раз-
^жевве оператора из и>хх в квадратной матрицы.
Во всех задачах сингулярные числа аь ..., предполагаются зануме-
рованными в порядке убывания:
в порядке убывания:
а, :?= ... zfs- а,.
Зная сингулярные числа оператора А, найти сингулярные
оператора А*; б) оператора аА, а —произвольное комп-
i„ со скалярным произведе-
оператора дифференцирования,
оператора дифференцирования
скалярное произведение задано
с результатом задачи 7.6.8.
г«Х«-матрица ранга г, дей-
& 7.6.1.
•Числа; а)
жженое число.
г'А 7.6.2. Доказать, что сингулярные числа оператора не изменяются
tape умножении его на унитарные операторы.
7.6.3. Пусть оператор А действует в пространстве X. Показать,
А тогда и только тогда будет ненырожден, когда все сингуляр-
&е числа этого оператора отличны от нуля.
(А--7.6.4. Показать, что модуль определителя оператора равен произ-
ведению его сингулярных чисел.
7.6.6. Предполагая, что оператор А невырождеп, найти связь
!^ежду сингулярными числами операторов А и А \
If,.' 7.6.6. Доказать, что сингулярные числа, нормального оператора
Совпадают с модулями его собственных значений.
' 7.6.7. Доказать, что оператор А унитарного пространства тогда
ф,только тогда будет унитарным, когда все сингулярные числа этого
фнератора равны единице.
7.5.8* . В пространстве многочленов АТ
днем (7.1.7) найти сингулярные числа
7.6.9* . Найти сингулярные числа
Я Пространстве многочленов М2, если
формулой (7.1.2). Сравнить результат
if 7.6.10*. Пусть А — прямоугольная
£твнгельная или комплексная. Доказать, что матрицу А можно пред-
тавить в виде A = UXV, (7.6.1)
де U и V — ортогональные (унитарные) матрицы соответственно
Ьрядков т и п, А — т х «-матрица такая, что ?.и А3а As ... X? Мг >
>0, а все остальные элементы равны нулю. Представление (7,6.1)
взывается сингулярным разложением матрицы А.
7.6.11. Показать, что матрица А в разложении (7.6.1) однозначно
оределяется самой матрицей А. Именно, числа Хп, ..., Хгг суть ненуле-
we собственные значения матрицы (А*А)^2 (как и матрицы (АА*)1/?).
[ft- 7.6.12. Выяснить смысл матриц U и V в сингулярном разложе-
нии матрицы А.
7.6.13. Прямоугольные тх «-матрицы А и В называются уни-
Ътарно эквивалентными, если существуют унитарные матрицы U и
сУ такие, что B = UAV. Доказать, что отношение унитарной эквива-
Дентности на множестве тх «-матриц рефлексивно, симметрично и
J Транзит ив но.
206
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.6.14. Доказать, что /«хя-матрины А и В будут унитарно экви-
валентны в том и только в том случае, если они имеют одни н те
же сингулярные числа,
7.6,15, Показать, что матрицы А и В унитарно эквивалентны
тогда н только тогда, когда матрицы А*А и В* В подобны.
7.6.16. Зная сингулярное разложение A—UAV матрицы А, найти
сингулярные разложения и сингулярные числа матриц: а) Аг; б) А*;
в) А1, если А — квадратная нивы рожденная матрица,
7.6.17. Показать, что для всякой /«хл-матрииы А найдется уни-
тарная матрица W-' порядка w такая, иго у матрицы tt"A строки
ортогональны. Аналогично, существует унитарная матрица Z порядка л
такая, что столбцы матрицы AZ ортогональны.
7.6.18, Строки матрицы ортогональны, Доказать, что сингуляр-
ные числа этой матрицы равны длинам ее строк.
7.6.19, Найти сингулярные числа /wxw-матрицы А, имеющей ранг
единица.
7.6,20, Пусть А — клеточная матрица вида
где А, и А2 — не обязательно квадратные. Доказать, что ненулевые
сингулярные числа клеток At и А2 дают в совокупности все нену-
левые сингулярные числа матрицы А. Такое же утверждение верно
в отношении клеточной матрицы вида
/° АЛ
Ч О/’
7.6.21. Из утверждения 7,6,20 получить такое следствие: если
пара ортогональных подпространств L и М приводит оператор А,
то сингулярные числа операторов А/L и А/М дают в совокупности
все сингулярные числа оператора А,
7.6,22. Доказать, что сингулярное разложение (7.6,1) матрицы А
можно переписать в виде
А =ДЛЛ’
(7.6.2)
ортонормированиями столбцами, V—rxn-
где U — т у г-матрнпа с
матрица с ортоцормнрованными строками, Лг — диагональная матрица
с положительными диагональными элементами. Представление (7.6.2)
также называется сингулярным разложением матрицы А.
7.6.23. Доказать, что для сингулярных чисел at, .,,, а„ опера-
тора А справедлив следующий вариант теоремы Куранта — Фишера:
со,---max min J ।
Lk АГ
I Ат I
max J—Г ,
min
s 7.6. СИНГУЛЯРНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
207
Здесь, как и в 7,4.34, Lk и Ln — произвольные подпространства
соответственно размернопей k и n~k-]-l «-мерного пространства Д'.
В частности, верны соотношения:
: Ах , . i Ах I
a. — max-----, а_ =mni Д—1.
Л/6 !* Х+й Х!
7.6.24, Доказать, что спектральный радиус оператора не превос-
ходит его наибольшего сингулярного числа.
7.6.25. Доказать, что для минимального ио модулю собственного
значения и минимального сингулярного числа ап оператора А
выполняется соотношение;
(Хп.
7.6,26. Пусть Стр а,г—сингулярные числа «Хп-матрииы А
Доказать, что сингулярными числами ассоциированной матрицы Af,
являются всевозможные произведения ио р из чисел Лр .... а„.
7.6.27. Собственные значения ? ь . ., , п X к-матрины Д
упорядочены так, .по ; X ।:., z-j । л„Доказать, что спра-
ведливы следующие неравенства Пейая:
| М 4-11 I М 5= +1 .. ая, 1 k iAti,
обобщающие 7.6.24 и 7.6,25,
7.6.28, Доказать, что для наибольшего и наименьшего сингуляр-
ных чисел п X «-матрицы А имеют место оценки:
( / п \1/2
atXs max J max [ V
I 1 '/=i / '
( ; П \!Х'
a(I <; min biiin | У, ' |21
I 1 / -1 /
/ п \ 1/2-
max I V [ аи }ъ\
i 7=1 / .
t " \I/2j
I
/1=1 > J
7.6.29* . Для оператора А цынолняется равенство ]?.[]=«].
Здесь —собственное значение А с наибольшим модулем. Дока-
зать, что операторы А н А* имеют общий собственный вектор,
относящийся к собственному значению %} (Z.J.
7.6,30* . Доказатв утверждение, обратное 7,6.6: если для опера-
тора А сингулярные числа совпадают С модулями собственных
значений, то А — нормальный оператор.
7.6.315г , Пусть А — прямоугольная т X «-матрица, А — произволь-
ная подматрица матрицы А. Доказать, что сингулярные числа мат-
рицы А не превосходят одноименных сингулярных чисел А.
7,6.32. Пусть А — произвольная квадратная подматрица нормаль-
ной матрицы А. Доказать, что спектральный радиус А не превосхо-
дит спектрального радиуса А,
208
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.6.33. Доказать что для сингулярных чисел ccft, у* операто-
ров А, В и Д-|-В выполнены неравенства:
+ Y*<a* + Pi,
Yi^ — cCj+Pi, T*Ss=«A —pt,
7.6.34*. Операторы А и В действуют в n-мерном пространстве
X. Доказать, что для сингулярных чисел ak, рА, операторов
А, В и АВ справедливы соотношения:
&ь <сс*0!,
7.6.35. Пусть А и В — положительно определенные операторы.
Доказать, что собственные значения оператора АВ равны квадратам
сингулярных чисел оператора All2B1!2.
7.6.36. Известны сингулярные числа ссх, ..., а„ и рь ,,., рт
матриц А и В соответственно порядков пит. Найти сингулярные
числа кронекерова произведения А X В.
Найти сингулярные числа следующих матриц:
7.6.37.
7.6.39.
7.6.41.
7.6.43.
7.6.45.
2 0 0
0 I О
0 0—2
4—2 2
4 4-1
-2 4 2
4-3; 0
— Зг 4 0 .
0 0-3
7.6.38. I 0 2
!0 0
7.6.40. U 4
2
II -4
=
-1
!
0
О
1
1
I •
1
4
4
2
2
7.6,47. Во что переходит полярное разложение матрицы порядка п
при п— 1?
7.6.48. Показать, что в полярном разложении A — HU оператора А
неотрицательный оператор Н определен единственным образом.
7.6.49*. Пусть А = НН— произвольное полярное разложение опе-
ратора А. Показать, что оператор U переводит ортонормированный
и
$ 7.5, СИНГУЛЯРНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛЯРНОЕ
РАЗЛОЖЕНИЕ 209
в подобный же базис
полярное разложение
^Йэис из собственных векторов оператора А*А
^оператора .4.4*.
7.6.50. Показать, что, каково бы ни было
= оператора А, унитарный оператор U переводит подпрост-
^KiftHCTBo Та* в Та и подпространство в NA*.
Ж. 7.6.51*. Пусть А = HU — произвольное полярное разложение опе-
(Ишвтора А. Доказать, что действие унитарного оператора U на под-
^Виространстве Та* однозначно определяется оператором А.
№: 7.6.52. Доказать, что невырожденный оператор имеет единственное
ЯЕмолярное разложение.
7.6.53. Доказать, что всякий оператор А, действующий в унигар-
Жром (евклидовом) пространстве, можно представить в виде
A — UiHy,
:ЖЯ&е. {71 —унитарный (ортогональный), а Нг — неотрицательный опера-
'шЙбр. Показать, что оператор Нг в этом представлении определен
;л минственным образом.
7.6.54*. Доказать, что оператор А тогда и только тогда будет
!»'(Юрмальпым, когда в его полярном разложении А — HU операторы Н
U перестановочны.
Ш' 7.6.55. Пусть А — невырожденный нормальный оператор унигар-
Дрного пространства, и пусть его собственные значения .,,, Л„ запи-
Жханы в Тригонометрической форме:
.К. Л-! = Pi (cos ср! 4-Z sin <р5), ..., А.я=рл (cos ф„ ДД sin фп).
ЖДоказать, что операторы Н и U полярного разложения оператора А
Яшмеют собственные значения соответственно pj, ..., рл и cos<px4-
И|&4- l sin (pt, ..,, cos (p„ Д- i sin (p„.
№.: 7.6.56. Оператор S отрицательно определен. Найти его полярное
ВкВазложение.
ТИр 7.6.57. Найти полярное разложение оператора дифференцирования
Я» пространстве многочленов Л4п со скалярным произведением (7.1.7).
•Им'.' 7.6.58. Зная полярное разложение A = HU матрицы А, найти
мЕЦЬлярное разложение ассоциированной матрицы Ар.
акт' 7.6.59. Даны квадратные матрицы А и В, быть может, разных
^шрядков. Пусть A = HU и B—KV— их полярные разложения. Найти
ЯпЬЙЯрное разложение кронекерова произведения А X В.
Ир Найти полярные разложения следующих матриц:
Д 7.6.60. ‘1-1
Д I
7.6.61.
«$: 7.6.62*.
О
О
— 5г
2
2
— 4
— 4
4
4
2
2
-2
2
— I
1
— 1
2
— 2
3
4
О
— 1
2
О
210
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.6.63* Используя полярное разложение, доказать утверждение,
обратное 7.5.56: если А ~ п X «-матрица простой структуры, собст-
венные значения Aj, ,.., которой суть действительные числа, то А
можно представить в виде A = HS, где Н и эрмитовы и S—поло-
жительно определена. Для действительной матрицы А сомножители /7
и 5 также можно выбрать действительными.
7.6,64*. Доказать, что для суммы сингулярных чисел а1г ..., а„
п X n-матрины А справедливы представления:
_|_.. .ц- ап — max I tr (Д W) j — max Re tr (Д lVr),
IV IV
где IF пробегает все множество унитарных матриц порядка «.
§ 7.7. Эрмитово разложение
О задачах параграфа. Цель настоящего параграфа — показать, что, несмотря
на свою просготу, эрмитово разложение является очень полезным орудием.
Именно, с помощью эрмитова разложения во многих случаях удается свести
решение задачи, поставленной для произвольных операторов, к решению ана-
логичной задачи для операторов эрмитовых, что обычно бывает значительно
проще.
В конце параграфа мы указываем аналог эрмитова разложения для опе-
раторов евклидова пространства (см. задачу 7.7.23).
7.7.1. Во что переходит эрмитово разложение матрицы порядка п
при п= 1?
7.7.2. Что можно сказать о линейном операторе Д, если (Дх, л) 0
для всякого вектора .г?
7.7,3. Что можно сказать о линейных операторах А и В, если
для всех векторов х:
а) (Ч.г, .t) = (/?x, Д’)?
б) (^-v, х) = (_г, Дх)?
7.7,4. Доказать утверждение, обратное 7Д.22: если для линейного
оператора А скалярное произведение (.4х, .г) есть число действи-
тельное, каков бы ни был вектор х, ю А — эрмитов оператор.
7.7.5. Показать, что в определении положительно определенного
оператора унитарного пространства требование, чтобы этот оператор
был эрмитовым, является излишним.
7.7.6. Пусть /7 и эрмитовы операторы. Показать, что скаляр-
ное произведение (77-х, Sx) будет действительным числом для любого
вектора х в том и только в том случае, если /7 и S перестановочны.
7.7.7. Что можно сказать о п х «-матрице Д, если она ортогональна
любой эрмитовой матрице в смысле скалярного произведения (7.1.5)?
7.7.8. Пусть п X /t-матрипа А такова, что для любой эрмитовой
матрицы Н след произведения АН есть действительное число. Дока-
зать, что в таком случае матрица А эрмщова.
7.7,9. Пусть А = Нг -j- 1Нг ~ эрмитово разложение оператора А.
Найти эрмитово разложение сопряженного оператора А*.
$ 7.7. ЭРМИТОВО РАЗЛОЖЕНИЕ
211
.ОД. 7.7.10. Доказать, что оператор А тогда и только тогда будет
'етЬормальным оператором, когда в его эрмитовом разложении А = -|- 1Нг
•Чгаператоры Нг и перестановочны.
Ж 7.7,11. Показать, что для нормального оператора А собственные
Янцначения операторов Ну и Н2 его эрмитова разложения совпадают
ДЕрМтгветственно с действительными и мнимыми частями собственных
ЧтИчений оператора А.
к5.'.' 7.7.12. Показать, что всякий ортонормированный базис из собст-
Женных векторов нормального оператора А является в то же время
$£довисом из собственных векторов и для операторов /Ух и Н2 его
митова разложения.
7,7.13. Пусть А и В—перестановочные нормальные операторы,
AfiS = Sx-)-!5,2 — их эрмитовы разложения. Доказать, что
jte операторы Ях, Н2, St, перестановочны.
7.7.14. Пусть А ~ оператор «-мерного пространства с эрмитовым
разложением A —-/7х-|-//7.2. Доказать, что множество значений огно-
“цения (Ял А)
(л л) ’
де х— произвольный ненулевой вектор, заключено в прямоугольнике
,>«омп леке ной плоскости с вершинами (ах, р,), (ах, ря), (ал, рл), (а„, рх).
{Здесь аь ая и рь р„ — соответственно наибольшее и наименьшее из
^^собственных значений матриц Ну и Н2.
7.7.15. Вывести из 7.7.14 следующую теорему Бендиксона: Дейст-
вительные (мнимые) части собственных значений оператора А заклю-
£$чены между наибольшим и наименьшим из собственных значений опе-
ЖГратора его эрмитова разложения.
7.7.16. В эрмитовом разложении оператора А оператор Ну поло-
Длительно определен. Доказать, что оператор А невырожден.
7.7.17* . В эрмитовом разложении матрицы А матрица /7Х отри-
цательно определена. Доказать, что:
. $ а) матрица .4 устойчива (см. 7,5.20);
•£... б) произведение матрицы А на любую положительно определен-
ие кую матрицу Н также является устойчивой матрицей.
7.7.18*. В комплексной трехдиагоцальной матрице А диагональ-
^ные элементы я(7 суть действительные числа; внедиагональные эле-
& йенты удовлетворяют неравенствам (+1 «;+1j < 0, i = 1,2, 1.
Доказать, что собственные значения матрицы А заключены в полосе
'('Комплексной плоскости
1 min аа s^Re г -тс max ati.
у,' i I
It'.
Д , 7.7.19*. Квадратная действительная матрица А называется турнир-
, ной, если все диагональные элементы ajt равны нулю, а для виедиа-
Тональных элементов выполняется условие а^-]~ал~ 1 при всех г, j<
} Доказать, что собственные значения турнирной .матрицы А,
212
ГЛ, 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
рассматриваемой над полем комплексных чисел, лежат в полосе
комплексной плоскости
- 4 «й Re z (п - 1),
где п — порядок А.
7.7.20* . Доказать, что в условиях задачи 7.7.16
| det А | det Нх.
Когда достигается равенство в этом соотношении?
7.7.21* . Пользуясь теоремой Шура, доказать, что в условиях зада-
чи 7.7.16 имеет место следующее соотношение между собственными
значениями ..., и <хъ ..., ал операторов А и Нг соответственно:
Re Xi Re Хг ... Re ос^а.. ... а„.
Знак равенства здесь достигается тогда и только тогда, когда Re =
= а;, /=1, ...,д. при соответствующем упорядочении собственных
значений.
7.7.22. Показать, что для наибольшего сингулярного числа «1
оператора А справедливо неравенство
ai^p(f/i) + p(W2).
Здесь р(771) и р (ЛЛ) — спектральные радиусы операторов и
эрмитова разложения.
7.7.23. Показать, что всякий линейный оператор А евклидова
пространства можно представить, причем единственным образом, в виде
A^S + A",
где S—симметричный, а К— кососимметричный операторы.
7.7.24. Доказать, что пространство (см. 7.1.17) является
ортогональной суммой подпространства симметричных матриц и под-
пространства кососимметричных матриц.
7.7.25. Что можно сказать о линейном операторе А евклидова
пространства, если (Ах, х) = 0 для всякого вектора х? Сравнить
результат с результатом 7.7.2.
§ 7.8. Псевдорешення и псевдообратный оператор
О задачах параграфа. В первой части параграфа обсуждаются свойства
псевдорешений и нормального псевдорешення уравнения Ах = Ь, где А — в общем
случае оператор из сохг, Ь — фиксированный вектор пространства У, Указаны
также некоторые способы вычисления псевдорешений, основанные на предва-
рительном нахождении ортоиормнрованных базисов из собственных векторов
операторов А*А или АА*. Напомним, кстати, что эти базисы et, ..., еп и
А- fm называются сингулярными базисами оператора А (к оператора А*),
если векторы et, ег и ......fr, соответствующие ненулевым собственным
значениям aj, ..., связаны между собой соотношениями:
fi— ~' Aet, i= 1, ..., г.
$ 7.8. ПСЕВДОРЕШЕННЯ И ПСЕВДООЕРАТН ЫЙ ОПЕРАТОР
213
Сингулярные базисы играют основную роль при доказательстве различных
ств псевдообратного оператора, которому посвящена вторая часть пара-
>а. Вопрос этот мы трактуем более широко, чем этого требуют непосредст-
[ые учебные цели, учитывая, что в педагогической литературе по линейной
бре псевдообратпый оператор практически обойден Вниманием, а в спе-
шной литературе можно встретить совершенно различные иа первый
яд (хотя, конечно, эквивалентные) интерпретации этого понятия. Мы при-
IM ряд таких определений и предлагаем доказать их равносильность,
азано также, что ряд классов операторов, действующих и унитарном про-
бстве (нормальные, эрмитовы, неотрицательные оцераторь')- замкнут отно-
Льно операции нсевдообращения.
7.8.1. Пусть Ьр — проекция вектора b ца образ 7'д оператора Л.
казать, что всякое псевдорешение уравнения Ах — b есть прообраз
сюра Ьт-
’ 7.8.2. Показать, что множество всех псевдорешений уравнения
', — Ь есть плоскость, направляющее подпространство которой — ядро
оператора Л, Эта плоскость является подпространством тогда
только тогда, когда b принадлежит ядру NA* сопряженного опе-
Тора Д*.
7,8.3. Показать, что нормальное псевдорешение уравнения Ах — b
ясно определить как псевдорешение этого уравнения, ортогональное
ядру оператора А, или, что все равно, как псевдорешецие, при-
цлежащее образу сопряженного оператора Д*.
7.8.4. Пусть А — оператор дифференцирования в пространстве
огочленов со скалярным произведением (7.1,7), g(t) — заданный
огочлен из А1„. Найти все псевдорешення и нормальное псевдоре-
«ие уравнения Af=g-
7.8.5. Как связаны между собой псевдорешення и нормальные
!вдорешения уравнения Ах = Ь и уравнении: а) аДх — Ъ; б) Ах — аЬ;
аьАх^аЬ, где а —число, отличное от нуля?
7.8,6. Как связаны между собой нормальные псевдорешення урав-
1ия Ах — b и уравнений: a) UAx = Ub-, б) AVx — b? Здесь U
V—унитарные операторы.
7.8.7. Пусть А — нормальный оператор, и пусть известен орюнор-
юванный базис ег......ел, составленный из собственных векторов
го оператора. Как найти псевдорешення и нормальное псевдоре-
вие уравнения Ах = Ь?
7ЯЯ*. Пусть А — оператор ранга г, действующий из «-мерного
ктранства X в /«-мерное пространство У. Известен ортонормиро-
4ный базис ..., е„ из собственных векторов оператора А* А
соответствующие собственные значения а*, ..., а« (а, > 0, Z — 1,...
1 О- Доказать, что:
а) псевдорешення уравнения Ах=Ь описываются формулой
х = Р1^1 +. - - + Ри?г + Vr+ I е, + J +... 4- 7„еп,
Е ‘ й 7_ _ (А*ь>ед ,, г
1 (Aeit Aef) а’ ’
Fr-f-b ..., yn — произвольные числа;
214
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
б) нормальное псевдорешенне есть вектор
-vo = Рл Д-... Д- pzez.
7.8.9. Для оператора А предыдущей задачи известен ортонорми-
рованный базис /р ..., fm из собственных векторов оператора ДД*
(при этом а< > 0, 1, .... г). Доказать, что нормальное псевдоре-
шение уравнения Дх — b можно найти по формуле
х0=М*Л4-..-+М*Л.
Найти нормальные псевдорешения следующих систем линейных
уравнений, считая, что скалярные произведения в соответствующих
арифметических пространствах введены согласно 7.8.10. 279х, Д- 362х» — 408х3 0, 515xt — 1 87х2 Д- 734а*з = 0. 7.8,11*. 27х,— 55хг~1, — 13х4Д- 27л-. =-.1, — 14^! Д- 28хг — 1. (7.1.4);
7.8.12. 7.8.14. 7.8.15. 7.8.16. 7.8.17. 7.8.18* Д-х2 Д—х3 Д—х4 —. 2, 7.8* 13. х4Д— х2г=2, •Ч Д~ -г2 + л'э Д~ -Ч = 3, хх — х2 — 0, А'-| Д-А’.> л‘а— 4. 2xt Д- а'2 2. — A’j — 2Л’2 1, 2ххД-4хг —0, хх Д-2х2 = 0, Злд Д-6х2 — 0. 2х4 — х2 =1, —— х । -Д х 2 Д— х3 0, Д- 2х3 ~ 1. 2Х] — х2 =1, — *1 + 0 +е)-^+ Л’а = 0, (е=^0), х2Д-2хэ - 1, 2xj — а'2 —1, Х[ Д-х2 Д- хэ =0, •<2 + (2 + Е) Л’э =1, (е¥=0)- 5хх — Зх4 — 2, 4х2 Д- 2х3 Д- 2х5 = 3, 2хгД-2х3 =0, — ЗххД- х4 =-^2, 2хгД- 2х5™3.
S 7.8. ПСЕВДОРЕШЕНИЯ И ПСЕВДООБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР
2!5
7.8.19. Найти псевдообратный оператор для пулевого оператора
is X в Y.
7.8.20. Доказать, что для невырожденного оператора псевдообрат-
[ый оператор совпадает с обратным.
7.8.21. Найти псевдообратный оператор для оператора дифферен-
тированияв пространстве многочленов Л1„ со скалярным произведе-
[нем (7.1.7). Сравнить полученный оператор с сопряженным (см. 7-1.34).
7.8.22. Доказать, что для всякого оператора А и числа а, не рав-
[ого нулю,
(аД)* = Ад+
7.8.23. Доказать, что для любых унитарных операторов U и И;
а) (СС4) + — Д+С/*;
б) (ДУ)-=17*Дт.
7,8.24. Показать, что образ и ядро псевдообратного оператора Д+
:овпадают соответственно с образом и ядром сопряженного опера-
юра Д*.
7.8.25. Рассмотрим оператор Д как оператор из Т д* в Т д, а псевдо-
>братный оператор Д+ как оператор из Тд в Тд». Показать, что на
гтой паре подпространств операторы А и Д^ взаимно обратны. Послед-
нее означает, что для любого вектора х из Т д> и любого вектора у
в ТА
ДтДх = х, АА+у —у.
7.8.26. Показать, что свойства псевдообратного оператора, указан-
ное в 7-8.24 и 7,8.25, при дополнительном предположении о линей-
юсти равносильны определению псевдообратного оператора.
7.8.27. Пусть е„ и /р fm — сингулярные базисы one-
>атора Д. Найти матрицу псевдообратного оператора Д+ в этой паре
5азисов.
7.8.28. Показать, что сингулярные базисы оператора Д являются
(инсулярными и для псевдообратного оператора Дн, При этом ненулевые
!йнгулярные числа операторов А и Д+ взаимно обратны.
' 7.8.29. Показать, что (Д+)ч ~д.
7.8.30, Показать, что (Д*)+ — (Д+)*.
7.8.31. Показать, что оператор, псевдообратный для эрмитова
Итератора, сам будет эрмитовым.
7.8.32. Доказать, что оператор Д+, псевдообратный для нор-
Йльного оператора Д, также нормальный. Найти связь между собст-
венными значениями операторов А и Д+.
7.8.33. Доказать, что для нормального оператора А при любом
йтуральном k выполняется соотношение: (Д*)^— (Д+Ут
7.8.34. Доказать, что оператор, псевдообратный для неотрицатель-
Юго оператора, также неотрицателен.
7.8.36. Пусть A—HU и Д = — полярные разложения опера-
ГОра Д. Найти полярные разложения оператора Д+.
216
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.8,38. Доказать, что для того, чтобы оператор А совпадал со
своим псендообратиым оператором, необходимо и достаточно выпол-
нение следующих условий:
а) образ Та и ядро NA ортогональны;
б) индуцированный оператор А/Тд удовлетворяет равенству
(А/Та)-1-А/Та.
В частности, эти условия выполняются для оператора ортогонального
проектирования.
7.8.37*. Пусть операторы А и В таковы, что А* В— 0 и ВЛ* = 0.
Доказать, что (Д -j- 5)+ = А+
7.8.38*. Для операторов А и В выполнено соотношение Та~Т&*.
Доказать, что (ВД)+ —
7.8.39. Доказать равенство:
ДД+Д = Д.
7.8.40. Показать, что геометрический смысл уравнения
ДЛ'Д = Д (7.8.1)
относительно линейного оператора X состоит в том, что операторы
Д н X должны быть взаимно обратными па паре подпространств
ХТа и 7'д в том смысле, как это определено в 7.8.25.
7.8.41. Доказать, что псевдообратный оператор Д+ можно опре-
делить как линейный оператор, удовлетворяющий уравнению (7.8,1)
и имеющий тот же образ и то же ядро, что и сопряженный опера-
тор Д*.
7.8.42* . Доказать, что каждое из указанных ниже определений
эквивалентно определению псевдообратного оператора:
а) оператор X, удовлетворяющий уравнению (7.8.1) и такой, что
Х—А*В — СА*
для некоторых линейных операторов В и С;
б) оператор X, удовлетворяющий уравнению (7.8.1) и такой, что
X=A*DA*
для некоторого линейного оператора О;
в) оператор X, удовлетворяющий уравнению Д*ДЛ'=Д* и такой,
чт0 X—A*AF
для некоторого линейного оператора F.
7.8.43. Доказать, что ранг оператора (Д+)3 равен рангу опе-
ратора Д3.
7.8.44. Оператор Д действует из пространства X в пространство
Y- Доказать, что оператор Д+Д эрмитов и его действие состоит
в ортогональном проектировании пространства X на подпростран-
ство ТА*.
$ 7.9. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
217
7.8.45. Описать геометрический смысл требований, налагаемых
оператор X системой уравнений
(7,8.2)
АХА = А,
(ХА)* = ХА.
7.8.46. Доказать равенство А+АА+=А+.
7.8.47. Оператор X удовлетворяет системе (7.8,2). Какое новое
бование на этот оператор накладывает уравнение
XAX=Xf
7.8.48. Доказать, что для оператора А задачи 7.8.44 оператор
+ эрмитов и его действие состоит в ортогональном проекты*
,ании пространства Y на подпространство Тд.
7.8.49. Доказать, что условия
АХА = А, ХАХ=Х,
(ХА)* —ХА, (АХ)* = АХ
юзначно определяют псевдообратный оператор. Эти условия назы*
этся уравнениями Пенроуза, по имени английского математика,
горый ими одним из первых ввел псевдообратный оператор (точ-
!, псевдообратную матрицу).
§ 7,9. Квадратичные формы
О задачах параграфа. Основные вопросы, обсуждаемые в этом параграфе;
. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным
^образованием неизвестных.
; Закон инерции, отношение конгруэнтности матриц, определение индексов
брции с помощью главных миноров.
'/Одновременное приведение лары квадратичных форм.
Метод Лагранжа приведения к каноническому виду, который рассматри-
вая только в применении к положительно определенным формам. Вытекаю-
W отсюда нозможносгь разложении положительно определенной матрицы
^произведение дяух взаимно транспонированных треугольных матриц лежит
Основе одного из самых эффективных методов решения систем линейных
Мнений с матрицами этого класса. Этому методу и его вычислительным
Сектам мы уделяем большое ннимание.
^ Отметим, что все матрицы, рассматриваемые в настоящем параграфе, пред-
лагаются действительными.
Для каждой из указанных ниже квадратичных форм найти орто*
^Ййльное преобразование неизвестных, приводящее эту форму к кано-
«ескому виду, я записать полученный канонический вид;
7.9.t. 2х] -ф 5х* -ф 2щ“ — 4x^2 — 2д- tx3 -ф 4л*.,л*а.
7.9. 2. — -ф 4ххл2 -ф 1 Ол-[ХЭ — 4х2х3.
7.93. — х “ -ф xj — 5х3 -ф 6xxxs -ф 4x2.v3.
218
гл. г. операторы в унитарном пространстве
7,9,4, 2х4х44- 6x2x2.
7.9.5. xj 4х| 4- х| 4~ ^х4 4~ 4х2х2 Ч- 2х4хя 4~ 4х4х4 4~ 4х2хэ 4“
4- 8х2х4 4- 4хэх4.
7.9,6* , Пусть квадратичная форма F(xlt ..., хя) каким-либо,
быть может, вырожденным преобразованием неизвестных приведена
к виду
F=ji4----+ji —Я+1 — —уь+1-
Доказать, что положительный индекс инерпии формы F не превос-
ходит Л, а отрицательный индекс инериии не превосходит I.
7.9.7. Доказать, что для распадения квадратичной формы в произве-
дение двух линейных форм необходимо и достаточно, чтобы ранг
формы не превосходил двух, а при ранге два сигнатура была равна
нулю,
7.9.8, Показать, что ранг и сигнатура квадратичной формы имеют
одинаковую четность,
7,9.9. Действительные л х «-матрицы А и В называются конгру-
энтными, если существует невырожденная матрица Р такая, что
В = РТАР. Показать, что отношение конгруэнтности на множестве
квадратных матриц данного порядка рефлексивно, симметрично и
транзитивно,
7.9.10. Доказать, что матрица А тогда и только тогда конгру-
энтна диагональной матрице, когда она симметрична,
7.9.11. Доказать, что симметричные матрицы А и В конгруэнтны
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число положи-
тельных и одинаковое число отрицательных собственных значений.
7.9.12* . Пользуясь свойствами собственных значений симметрич-
ных матриц и их главных подматриц (см, 7,4,35), доказать следую-
щее утверждение: пусть А —матрица квадратичной формы F от п
неизвестных, и пусть все ведущие главные миноры матрицы А от-
личны от нуля. Тогда положительный (отрицательный) индекс
инерции формы F равен числу совпадений (перемен) знака в числовой
последовательности
1 > -01, Ой ,,,, Dn,
где Di — ведущий главный минор порядка I. Это правило для опре-
деления индексов инерции принадлежит Якоби.
7.9.18* . Пусть в обозначениях задачи 7,9,12 минор Dk, k<Z.n,
равен нулю, но миноры Dk_x и Dkrl отличны от нуля. Доказать,
что D*-iD*u<0.
7,9.14* . Пусть в последовательности 1, Оъ Dn определитель
Dn 0, но при k<^n минор Dk может быть равен нулю. В каждом
таком случае предположим, что Вк_г и Dk+i отличны от нуля. Нуле-
вым значениям Dk произвольным образом припишем знаки. Показать,
что правило Якоби для подсчета индексов инерции сохраняет силу.
Это дополнение к правилу Якоби принадлежит Гундельфингеру.
S 7.9. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
219
7.9.15, Вывести утверждения 7.4.44 и 7.4.45 из 7.9.12 и 7.9.14.
Для указанных ниже квадратичных форм вычислить индексы
яерции:
7.9,16. х4х2 4~4~ *4*
7.9.17. х^х2 —|— 2x4x3 —|— 3 x^x 4~ XjX3 )- 2at,,at। 4- x3x4.
7,9,18. x j 4~ 2 a*4- 3x3 —|— 4 a*4 4~ 2a"j а* о —j— 2аг jA"3 —2 x j x —|— 4 A",x3 4-
f- 4x2X4 4" 6X3X4.
7.9,19, Пусть в квадратичной форме F(xy ..., хп) коэффициент
!И>- 0. Каков будет результат следующего преобразования неиз-
бежных:
Ji = тт= (anxi +••• + Д1Л),
I «и
y-t = xb 1=2..........п.
7.9.20* . Доказать, что положительно определенную квадратичную
Юрму можно привести к нормальному виду треугольным преобра-
ованием неизвестных, т, е. преобразованием вида
== Sii^i -j- sI2xa 4-... 4-^1Пэс„,
Л = + • + s2A, z7q1.
Уп~ snnxn,
де Sy, S22, , . . , 8ЛП отличны от нуля.
, Привести к нормальному виду треугольным преобразованием неиз-
вестных следующие квадратичные формы:
7.9.21, а-]4- 2x14-3x5-4- 2Х1А-2Ц- 2а-,хя4- 4х,х=.
7.9,22, xi4-2x^4-2x3-|-2xix,4-2xsx3,
7.9.28. xJ4-4xj4- 11х|-|-24х4 —2xtx3 — 4xIx44-4xix3-|- 16х3х4.
7,9,24. Доказать, что для всякой положительно определенной
гатрипы А существует так называемое треугольное разложение,
'. е. представление вида
A^S7^, (7.9.2)
Де S— верхняя треугольная матрица.
7.9.25. Показать, что диагональные элементы матрицы S в тре-
Тольном разложении (7.9.2) и ведущие главные миноры Ц матрицы
1 связаны соотношениями:
Эго же относится к диагональным элементам формул (7.9,1).
7.9.26. Доказать, что треугольное разложение (7.9.2) положительно
определенной матрицы А единственно, если дополнительно потребо-
вать, чтобы диагональные элементы sfi были положительны.
220
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
7.9,27. Показать, что элементы матрицы S в разложении (7.9.2)
можно вычислять последовательно в порядке Хц, spt, 5гз,
•••, 5пл по формулам:
/ I
aij Xi shiskf
k = 1 . . ..
s.. = . . (j > ,).
stt
Используя формулы (7.9.3), найти треугольные разложения сле-
дующих матриц:
7.9.28. 4 2 -2 7.9.29. 9 —3 4 0
2 5 1. —3 5 —4 .
—213 0—4 5
7.9.30. 12 3 4
2 5 8 11
3 8 14 20 '
4 11 20 30
7.9.81. Положительно определенная матрица А имеёт ленточную
структуру, т. е. а,, = 0 при | i — /1 > 0. Используя формулы
(7.9.3), показать, что в этом случае и х;/ = 0 при j —
7.9.32. Найти треугольное разложение следующей трехдиагональ-
ной матрицы порядка и:
I К2
К 2 3 )<2
У2 3 /2
3 /2
Г 2 3
7.9.33. Показать, что если матрица 5 дает треугольное разложе-
ние матрицы А, то ее главная подматрица 5* дает треугольное раз-
ложение подматрицы А* в матрице А.
7.9.34. Используя результат задачи 7.9.30, найти треугольное раз-
ложение матрицы
1 2 3 4 5
2 5 8 |1 14
3 8 14 20 26 ,
4 11 20 30 40 "
5 14 26 40 55
S 7.9. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
221
i'i 7.9.35. Доказать, что для элементов матрицы 5 треугольного раз-
^Кения (7,9.2) выполняется неравенство:
О’)
(дести отсюда, что если для матрицы A max | = 1, то max | 1,
: ". / >. !
г Таким образом, при вычислении треугольного разложения поло-
цельно определенной матрицы не происходит (в указанном смысле)
Ста элементов,
7.9.36. Найти число операций умножения, деления и извлечения
дратного корня при вычислении матрицы треугольного разложе-
по формулам (7.9,3).
7.9.37. Пусть известно треугольное разложение положительно
^деленной матрицы А. Предложить метод решения системы линей-
it уравнений Ах = Ь.
jj, 7.9.38. Найти суммарное число операций умножения и деления,
рбходимых для решения системы линейных уравнений Ах — Ь
^положительно определенной матрицей А посредством вычисления
^угольного разложения этой матрицы но формулам (7.9.3) и после-
jiouiero решения систем линейных уравнений с треугольными матри-
Ми (см. 7.9.37). Сравнить это число с количеством операций умно-
|^ния и деления, необходимых для реализации метода Гаусса.
! Указанный метод решения системы линейных уравнений с положи-
ьно определенной матрицей называется методом квадратных корней.
7.9.89. Доказать, что положительно определенную матрицу А
но представить и в виде произведения
А - 5^,
Si — верхняя треугольная матрица.
' 7.9.40. Пусть А— положительно определенная матрица, А — мат-
полученная из А зеркальным отражением в ее центре, и А =
—треугольное разложение матрицы А, Доказать, что пред-
^авление (7.9.4) для матрицы А можно получить, отражая каждую
к матриц 5^ и 5 в ее центре,
J], 7.9.41. Доказать, что две квадратичные формы F и G от одних
lex же неизвестных можно одновременно привести к каноническому
ИДУ невырожденным линейным преобразованием, если хотя бы одна
в форм F и G положительно определена.
к; 7.9.42, Даны квадратичные формы F и G от одних и тех же
Иязвестных, причем форма О невырождена. Доказать, что если cyme-
ИУет невырожденное линейное преобразование, приводящее обе
Юрмы к каноническому виду
£ f — + . ,.Ц-Хпуй,
L °=Hiji+... 4- Уп,
(7.9.4)
222
ГЛ. 7. ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
го для всякого такого преобразования совокупность отношений
’ J4 ’ ' " 1 Ил
одна и та же, Именно, зти отношения являются корнями так назы-
ваемого z-уравнения пары форм F и О; |Д —гВ| = 0, где А и
Я — соответственно матрицы форм F и G.
7.9.43. Квадратичные формы F и G положительно определены.
Рассмотрим два невырожденных линейных преобразования. Одно
из них приводит форму F к каноническому виду ф-. • • + ^пУп<
а форму G — к нормальному виду; другое — форму F к нормальному
виду, а форму О —к каноническому виду щгЦ- |-Цлгп- Как свя-
заны между собой коэффициенты ..., и щ, |тп?
7,9.44. Доказать, что формы F и G можно одновременно привести
к каноническому виду невырожденным линейным преобразованием,
если матрицы этих форм перестановочны.
Для каждой из указанных ниже пар квадратичных форм найти
невырожденное линейное преобразование, которое приводит эти формы
к каноническому виду. Указать полученные канонические виды:
7.9.45. F= .г;-)-2.г| Ц-З.г-i— 2.k-jA’3,
О = 2х; ф- 8лф ф- Злф ф- 8х4х2 ф- 2ххх3 ф- 4х2х3.
7.9.46. F = xj ф-Зхзф-Х;] ф-ЗлуХа ф- 6XjX3 ф-2х2х3,
О — х; — 2лф ф_ лф ф- 4л1л*.2 — 1 ОлфХз ф- 4х2х3.
7.9,47. F _ — х; — — 14х£ ф- 4хгх2ф- блфАф — 8х2х3,
G * х; — 14х2 — 4х3 ф— 8х 4х2 — 2х4х3 ф— 4х2х3.
7.9.48. F -^x'i ф-Зх^ ф_ лф — xjf — 2xxx2 — 4х2х3 ф-2х3х4,
О — xf ф_ 2х3 ф_ 2лф ф- 2х4 — 2xjX2 — 2х3х3 — 2хэх4.
7.9.49. F = х; ф- х2 ф- X;] ф_ xi ф_ 2х1х2 ф_ 4л гхэ ф_ 2xiX4 ф- 2х2ха ф-
ф- 4х2х4 ф- 2х3х4,
G = 2х, ф- 2х2 ф- 2x1 ф- 2xi — 2х4х2 ф- 2х4х3 — 2х 4х4 —
2х2х3 ф— 2х2х4 — 2л3х4.
7.9,50. Пусть F и Q — квадратичные формы от одних и тех же
неизвестных хр .,,, х„, причем О положительно определена. Зану-
меруем корни г-уравнения пары форм F и G в порядке убывания:
зу г4 5= . 5= -гл- Доказать, что для наибольшего корня и
наименьшего корня zn справедливы представления:
max
И-
min
F (*i. , *я)
G (хр ... , хл) ’
(*1. , 4t)
С(А1, ХЯ)‘
7,9.51, Сформулировать и доказать аналог теоремы Куранта —
Фишера для пары форм предыдущей задачи.
! ГЛАВА 8
' МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 8,0, Терминология и общие замечания
„ Множество X называется метрическим пространством, если
каждой паре его элементов хну поставлено в соответствие неот-
рицательное число р (х, _у), называемое расстоянием между х иг,
причем выполнены следующие аксиомы;
1, р(х, ^) = 0 тогда и только тогда, когда х—у;
2, р(х, j) = p(v, х);
3. р(х, z)<p(x, »4-p(j, г).
Пусть — подмножество метрического пространства X. Мно-
жество всех элементов хе X, не принадлежащих Mv называется
дополнением множества Мг Если Afb Л12, — подмножества А', то
их объединением: называется множество всех элементов, каждый из
которых принадлежит хотя бы одному из множеств Afp .
Пересечением Aflf называется совокупность всех элементов, вхо-
дящих в каждое из множеств Allt Л12, ,,,
Шаром S(a, г) называется множество всех элементов х из А’,
удовлетворяющих условию
р (а, х) < г.
Элемент а называется центром шара, положительное число г— ра-
диусом шара.
Окрестностью элемента х называется любой шар с центром
и х. Множество Ж в метрическом пространстве X называется откры-
тым, если вместе с каждым своим элементом х оно содержит неко-
торую окрестность этого элемента.
Элемент хеЛ' называется предельной точкой множества М,
если любая окрестность этого элемента содержит хотя бы один эле-
мент из Л/, не совпадающий с х. Множество, полученное присоеди-
нением к всех его предельных точек, называется замыканием
Множества Л! и обозначается /И. Множество Л! называется замкну-
тым, если Л1— М
Замкнутым шаром с центром а и радиусом г называется мно-
жество 5 (а, г) всех элементов х из А, удовлетворяющих условию
р (х, a) г.
224 ГЛ. 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Элемент х0 метрического пространства X называется пределом
последовательности {хя} элементов хь х2, ха, ... из X, если
р(хв, х„) —>-О при л-»-оо. В этом случае пишут
Хп —> X
либо
lim хп — хй.
п
Последовательность {хл}, имеющую предел, называют сходящейся
(к х0).
Последовательность {хп} элементов метрического пространства
называется фундаментальной, если для любого числа е>0 най-
дется номер А/(е) такой, что р(хя, хт)<е при п, otSsW(e).
Если в метрическом пространстве X всякая фундаментальная
последовательность сходится к некоторому пределу, то простран-
ство X называется полным.
Действительное или комплексное линейное пространство X назы-
вается линейным нормированным пространством, если каждому
вектору х е= X поставлено в соответствие действительное число ]' х ||,
1|азываемое нормой вектора х. причем выполнены следующие аксиомы.
1. |!X |)0, причем |':Х|; = 0 лишь при Х = 0;
2. || х Ц-_у || || х |j +11 у || (неравенство треугольника);
3. j|Xxl| = |X]jlx|l. ' (8.0.1)
Нормированное пространство можно рассматривать как метриче-
ское, если положить
Р (-V. v)M -v — .У J-
Сходимость последовательности относительно такою расстояния назы-
вается сходимостью по норме.
Множество Ж в линейном нормированном пространстве X назы-
вается ограниченным, если найдется положительное число С такое,
что i|x||sg;C для всех х из Ж.
Единичным шаром (единичной сферой) нормированного прост-
ранства X называется множество всех векторов х, для которых
IMif1 (И1=1)-
Множество Ж в нормированном пространстве называется выпук-
лым, если вместе с любыми двумя своими векторами х и у оно
содержит весь отрезок Хх-|~(1 — Х)_у, OsgXxcI.
Всякое конечномерное линейное нормированное пространство X
является полным метрическим пространством. При этом огра-
ниченность множества Ж из X равносильна тому, что в любом базисе
пространства Л' координаты всех векторов х из Ж ограничены.
Точно так же сходимость последовательности {хА.} к вектору х0
равносильна тому, что в любом базисе пространства X координаты
векторов хь сходятся к соответствующим координатам вектора х0.
§ 8.0, ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
225
Примером нормированного пространства является к-мерное эриф-
ютическое пространство, в котором норма вектора х = (ах с^...^)7"
определена равенством:
Ц^,,|р = (|«1!₽Ч-,|аа|₽Ч-...Ч-|а„;Р)1^, р^1. (8.0,2)
4еравенство треугольника для этой нормы называется нвравенст-
ом Минковского, Его вывод опирается на следующее неравенство
"ёльдера*.
л /л \\/р / п \ l/q . .
I. (8-0-3)
t = l V = 1 j \b-l / p q
Пусть А' и К — нормированные пространства с нормами соответ-
ственно ||х]х и || у ||у. Говорят, что норма ||.4!| в пространстве опера-
торов сох г согласована с векторными нормами в пространствах
X и Y, если
’ рх||у<||А|! ^Цх (8-0.4)
для всех х е X и любого оператора А е шхю
Если Д' —нормированное пространство с нормой || х |], то норма
в пространстве сохх, определяемая равенством
И л II=SuplLd^JLj (8.0.5)
хУ-0 J II
’ называется подчиненной векторной норме |jx||. Кроме обычных
аксиом (8.0.1), подчиненная норма обладает еще специальным свой-
ством по отношению к умножению операторов
" И1- (8-°-«)
Определения согласованной и подчиненной норм непосредственно
„распространяются на пространства матриц, рассматриваемых как
^операторы в арифметических пространствах. Если, в частности,
арифметическом пространстве введена норма || х ||р (см. (8.0.2)), то
Г соответствующая подчиненная норма обозначается ;| А ||р. Особенно
[ часто рассматриваются нормы |] А 1| А [|3,
| Даже и в том случае, если рассматриваемая норма матриц не
В является подчиненной, мы будем предполагать для нее выполненным
Б свойство (8.0.6).
F Пусть матрица А имеет вид Д = где ]|В||< 1 для некото-
[ рой матричной нормы. В таком случае А невырождена и для нормы
Ь обратной матрицы справедлива оценка
| p-4«T^Vl- (8-0.7)
Пусть рассматриваются система линейных уравнений
Ах = Ь
8 X. Д Икрамов
226 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ДИНЕИНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
с квадратной невырожденной матрицей А и возмущенная система
(Д + ел) -v = i’+ei-
Относительно матрицы предполагается, что ЫКИТ.
Это условие обеспечивает ПОЛОЖИТЬ „ ' „ я.. II*—*11 1И ’ то имеет место оценка невырожденность матрицы А-|-ел. Если ха д.Нь II ьь~ цьц ’
б-«т4^т^и<6А+6н (8-°-8)
Здесь предполагается, что норма матриц [| А[| подчинена векторной
норме ЦхЦ.
Произведение || A J || А-1|| называется числом обусловленности
матрицы А и обозначается cond (А). Если нужно явно указать мат-
ричную норму, относительно которой берется число обусловленности,
мы будем писать condj (A), conda (А) или сопбд, (А).
Как видно из опенки (8.0.8), число обусловленности характеризует
чувствительность решения системы линейных уравнений Ах=Ь
к возмущениям ее коэффициентов. Матрицы с большим значением
числа обусловленности принято называть плохо обусловленными.
Пусть А — п х «-матрица простой структуры с собственными
значениями Хт,..., Х„, X — невырожденная матрица, столбцы которой
суть собственные векторы матрицы А. Тогда все собственные значе-
ния матрицы А 4- заключены в области комплексной плоскости,
являющейся объединением п кругов
| z — XJ cond (X) || ел Л- л. (8.0.9)
Под нормой матриц здесь подразумевается одна из норм ЦА^, [|А[|а,
II А ||а>
§ 8.1. Линейное нормированное пространство
О задачах параграфа. Кроме упражнений ва основные метрические поня-
тия, мы останавливаемся в этом параграфе еще на двух вопросах: эквивалент-
ности норм в конечномерном линейном пространстве и отношении двойственности
норм относительно скалярного произведения. Факты, связанные с двойствен-
ными нормами, позволят ввм в следующем параграфе ввести отношение частич-
ной упорядоченности на множестве норм операторов,
8,1.1. Показать, что для длины вектора в евклидовом (унитарном)
пространстве выполнены все аксиомы нормы.
8.1.2. В «-мерном пространстве X фиксирован базис eb.,,t е„,
Пусть х — произвольный вектор из X с разложением по базису
х — «1 <?i 4- еа 4-... 4- ая е„.
5 8.1, ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
227
>' Показать, что норму в X можно определить равенством:
( г) вообще, для любого положительного числа р, р>1,
!•’ 8.1.8. Пусть т(х) и л(х) —две нормы линейного пространства X.
Показать, что нормами этого пространства будут и;
" а) р(х) = тах (т (х), я(х));
1; б) q (х) =а т (х) + р п (х), где а и р—фиксированные неотрица-
тельные числа, не равные одновременно нулю;
Г в) г (х) — (/лг(х)Ц-лг(х))!''г.
V 8.1.4. Пусть Р —линейный невырожденный оператор линейного
‘1ормиронанного пространства X с нормой 1|х||. Доказать, что нормой
тространства X является и от(х), где
, м(х)~ ||Рх||. (8.1,1)
8.1.5. Линейное пространство X является прямой суммой подпро-
странств Li и L... При этом на введена норма т (х), на L2 —
корма л (х). Пусть х —
произвольный вектор из X, причем х =
хг е £.г, Положим
; || х ||=т (хО + п (х0.
((Показать, что этим способом вводится норма на пространстве X.
ч 8.1.6. Откажемся в определении нормы от требования, чтобы норма
(была равна нулю только для нулевого вектора. Полученная функция
От вектора называется полунормой. Таким образом, полунорма ||х||
(Определяется аксиомами;
г Доказать, что если в линейном пространстве X введена полу-
Люрма || х ||, то:
а) множество векторов, для которых полунорма равна нулю, явля-
ется линейным подпространством L пространства X;
;; б) все векторы плоскости x0-|-L имеют одну и ту же полунорму;
i в) сопоставляя каждой плоскости х0 -|- L общее значение полунормы
te векторов, получим норму на фактор-пространстве пространства X
Ж> подпространству L.
f 8.1.7. Доказать, что для любых четырех векторов х, у, д, и
формированного пространства выполняется неравенство;
i|! 8.1.8. Доказать, что шар Цх —х0||<г является открытым мно-
жеством.
е е«
228 ГЛ. В. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
размерности
множеством,
размерности
8.1.9, Доказать, что объединение открытых множеств в любом
числе есть открытое множество.
8.1.10. Показать, что всякий шар является ограниченным мно-
жеством.
8,1,11, Показать, что всякая плоскость положительной
не является ограниченным множеством.
8,1.12. Показать, что всякий шар является выпуклым
8,1.13. Показать, что всякая плоскость положительной
есть выпуклое множество,
8.1,14. Доказать, что шар || а— x0J-й г является замкнутым мно-
жеством.
8,1,15. Доказать,
множеству, является
8.1.16. Доказать,
множеству, является
8,1.17, Показать, что -пересечение
числе есть замкнутое множество.
8.1.18, Показать, что объединение конечного числа замкнутых
множеств является замкнутым множеством. Привести пример, показы-
вающий, что объединение бесконечного числа
может уже не быть замкнутым множеством.
8.1.19. Доказать, что если yfe->yc,
что множество,
замкнутым.
что множество,
открытым.
дополнительное к открытому
дополнительное к замкнутому
замкнутых множеств в любом
замкнутых множеств
то:
а;
6) |'а> — а [|~> |х0 Ц-д || для любого вектора
и) a.xk Ц-0 ка0 АР Уо для любых чисел а и р;
г) если последовательность чисел сходится к числу Хо,
8.1.20. Доказать, что если всякая нетривиальная подпоследователь-
ность последовательности сходится, то сходится и сама последова-
тельность Тривиальной мы называем подпоследовательность, совпа-
дающую с исходной последовательнее |'ью, начиная с некоторого члена.
8,1.21. Доказать, что если х0 — предельная точка множества А/,
то найдется последовательность JxJ, х^ е /И, сходящаяся к х0.
8,1,22. Доказать, что замыкание выпуклого множества также есть
выпуклое множество.
8.1.23. Доказать, что из всякой ограниченной последовательности
векторов нормированного пространства можно выделить сходящуюся
подпоследовательность.
8.1,24. Доказать, что у всякого бесконечного ограниченного мно-
жества имеются предельные точки.
8.1.25. Расстоянием онг вектора х до множества Л1 называется
величина
Показать, что если AJ — замкнутое множество, то найдется у0 е /И
такой, что р(А, Л1) =Л х —уД,
S 8.1, ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО
229
8.1.26. Расстоянием между множествами ML и М2 называется
. величина
p(Afj, AJ2) = inf|’ х-у||.
х <= мь у & лп
^Доказать, что если множества АД и замкнуты и ограничены, то
Найдутся хое /И, и у0 е М, такие, что р (Alp AJ2)=||х0 — у0||,
г 8,1,27. Показать, что результат задачи 8,1,26 сохранится, если
снять требование ограниченности одного из множеств Alj и АД. При-
вести пример, показывающий, что утверждение задачи теряет силу,
если оба множества Afj и А1г не ограничены.
8.1.28. Однозначно ли определены векторы х0 и _у(, в формули-
ровках задач 8.1,25, 8.1.26, 8,1.27?
8.1.29* . Пусть А1 — выпуклое множество евклидова (унитарного)
пространства и в качестве нормы рассматривается длина вектора.
Доказать, что вектор у0 в формулировке задачи 8,1.25 определяется
в этом случае единственным образом-
8.1.39. Пусть и АП — замкнутые ограниченные множества.
Доказать, что множество N, составленное из всех векторов вида
хЦ-у, где х е А1Ь у е= Л12, замкнуто н ограничено,
8.1.31. Множества АД и AI, замкнуты; при этом АД ограничено.
Доказать, что утверждение задачи 8,1,30 относительно замкнутости
множества V справедливо и в этом случае. Привести пример, пока-
зывающий, что для замкнутых неограниченных множеств Alt и М3
множество Дг может не быть замкнутым.
8.1.82* . Пусть Х~ действительное или комплексное линейное
пространство. Отображение пространства X в множество действитель-
ных, соответственно комплексных, чисел называется функционалом
на X. Пусть пространство X — нормированное. Функционал F (х)
называется непрерывным в точке х0, если из xk —х0 следует
р (х^) —> F (х0). Функционал F (х) непрерывен на множестве Л1.
если он непрерывен для любого х0 из Л1. Функционал, непрерывный
для всех х из X, называется непрерывным.
Доказать, что:
а) всякий линейный функционал на пространстве X является
непрерывным:
б) если || х || — норма, введенная па X, то всякая другая
норма т (х) пространства X является непрерывным функционалом
относительно |fx||.
8.1.83* . Пусть А1 — замкнутое ограниченное множество, и пусть
функционал F (х) непрерывен иа множестве Л4. Доказать, что най-
дется положительное число с такое, что |Л(х)[^с для всех х
из Л4.
8.1.34* . Доказать, что в условиях предыдущей задачи в множестве
М найдется вектор х0 такой, что [ F(х0) | = max I F (х) [.
xG ЛГ
230 гл. 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
8.1.85* . Доказать, что для любых двух норм т(х~) и л(х)
линейного пространства X найдутся положительные числа гг и с2
такие, что т (8.1 .2)
Как выбрать наибольшее из возможных чисел сх и наименьшее из
возможных чисел с3?
8.1.36. Для каждой пары из трех норм; |]x|jb |jx|:3, |jx[;XS (см. 8.1.2)
найти наилучшие возможные числа Q и с2 в неравенствах (8,1.2).
8.1.87* . В и-мерном арифметическом пространстве рассматрива-
ются нормы Мг= (I «11® + • • +1 «л 1®)1/г
и
от(х) = ЦРх Us,
где Р — невырожденная п X «-матрица. Как вычислить для этой пары
норм наилучшие возможные константы с1 и с2 в неравенствах (8.1.2)?
8.1.88. Доказать, что множество Л4, лежащее в пространстве X и
открытое относительно нормы т (х) этого пространства, является
открытым и относительно любой другой нормы.
8.1.39. Доказать, что множество М, замкнутое относительно какой-
либо нормы пространства Х> замкнуто и относительно любой дру-
гой нормы этого пространства.
8.1.40. Доказать, что всякая плоскость в нормированном прост-
ранстве X является замкнутым, но не является открытым множеством
(за исключением самого пространства Д’).
8.1.41* . Пространство X является прямой суммой подпространств
I, и L2. Замкнутое множество А1Х лежит в Lb а замкнутое множество
М2 —в Доказать, что множество составленное из всех сумм
х~^-у, где х е AJX, у е М2,— замкнуто. Отметить, что, в отличие от
8.1,31, здесь не требуется ограниченности ни одного из множеств
Mj и М2.
8.1.42. В евклидовом (унитарном) пространстве X, кроме длины
вектора, рассматривается еще норма т{х). Для любого у из X
положим । (г ,л ,
<8-и)
Показать, что это выражение всегда конечно и от* (у) удовлетворяет
всем аксиомам нормы. Полученная норма т* (у) называется двойст-
венной к норме т (х) относительно скалярного произведения (х, у).
8.1.48. Показать, что определение двойственной нормы эквивалент-
но каждому из следующих выражений:
а)от*(у) = sup |(х, j)|; б) от* (j) = max 1 1;
m (xl=si jc о И?
в) от*(_у)=д= max |(х, j)l; г) от* (jy) = max ;
mW — I х ^0 т W
д) от* (у)=2 max Re (у, х).
ж (Л) = I
S 8.2. НОРМЫ ОПЕРАТОРОВ И МАТРИЦ
231
! 8.1.44. Показать, что для любых двух векторов х и у в условиях
Задачи 8,1.42 справедливо неравенство
( | {х, у) 1 т (х) т* (у). (8.1.4)
[При этом для любого у найдется вектор .v0 такой, что
;• (-vo. J) = т (хо) от* (j).
8.1.45. Найти двойственную норму для длины вектора.
S 8.1.46. В «-мерном арифметическом пространстве со скалярным
(рроизведепием (7.1.4) найти двойственную норму для нормы =
= max | а,-1.
I 8.1.47*. Обобщая 8.1.46, доказать, что двойственной к норме
.. hUp=(i«xip+'p>i,
[является норма
f ||^Ив=(1«1 !’+•••+!«№. 4 + T=1-
Жто представляет собой для этой пары норм неравенство (8.1.4)?
j 8.1.48. Для норм w (х) и п(х) евклидова (унитарного) простран-
ства X при любом векторе х выполняется неравенство; т (х)^ л (•*)
‘ Показать, что для двойственных норм т* (у) и к* (_у) имеет место
[обратное соотношение: т* (у) <;«* (у) для любого вектора у.
8.1.49*. Доказать, что для всякого вектора х найдется вектор у
такой, что неравенство (8.1.4) обращается в равенство,
? 8.1.50. Показать, что норма /«** (д-), двойственная к двойственной
норме /«* (у)> совпадает с исходной нормой т (х).
г
§ 8.2. Нормы операторов и матриц
О задачах параграфа. В настоящем параграфе мы рассматриваем почти
1 исключительно нормы в пространстве матрвц, имея в виду приложения, ука-
занные в последующих параграфах. Разумеется, асе утверждения можно оче-
видным образом сформулировать ва языке операторов, Подчеркнем, что мат-
? рнчвон мы называем норму, которая помимо трех обычных аксиом имеет еще
[ следующее свойство, связанное с операцией умножения матриц:
i |Ц|В||.
I Мы рассматриваем различные классы матричных норм и, в частности,
I свойства спектральной в евклидовой нормы. В последнем случае мы приводим
: ряд любопытных метрических соотношений, аналогичных тем, которые имеют
[[место на комплексной плоскости. В заключение анализируются свойства под-
['чиненных норм и свойство согласованности между векторной и матричной
[ нормами, Этот анализ приводит к отношению частичной упорядоченности на
(множестве норм,
i 8.2.1. Доказать, что всякий линейный оператор ограниченное мно-
жество переводит в ограниченное.
( 8.22. Верно ли, что открытое множество переводится всяким
[линейным оператором снова в открытое множество?
232 ГЛ. 8- МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
8,2.3, Верно ли, что замкнутое множество переходит в результате
линейного преобразования в замкнутое множество?
8.2.4. Доказать, что замкнутое и ограниченное множество под
действием произвольного линейного оператора переходит в замкнутое
множество.
8.2.5* . Пусть М — замкнутое множество, А —линейный оператор.
Доказать, что полный прообраз множества М (г. е. множество всех х,
для которых Ах е А1) также является замкнутым «рожеством.
8.2.6* . Пусть { Аа} — последовательность линейных операторов,
дейс твующих в нормированном пространстве X, и пусть для каждого
х из X последовательность {Аах} схоа,и гея. Положим
Ах — Нт А^х.
ft -* СО
Показать, что:
а) оператор А, определенный этим равенством, является линейным;
б) >-А, какова бы ни была норма в пространстве операторов.
8,2,7. Показать, что последовательность матриц At = (af*>) схо-
дится (в любой норме) к матрице A — (atj) тогда и только тогда,
когда -* а;у для всех I. /.
8.2.8, Показать, что пределом последовательности нормальных
матриц может быть только нормальная матрица. Аналогично, после-
довательность унитарных матриц может сходиться только к унитар-
ной матрице, последовательность эрмитовых матриц — к эрмитовой
матрице, положительно определенных матриц — к положительно
определенной матрице.
8,2.9. Показать, что какова бы ни была норма в пространстве
матриц, норма единичной матрицы не меньше единицы.
8,2.10, Пусть |]А||—норма в пространстве яхя-матриц. Показать,
что матричными нормами будут и:
a) Af(A) = a|'|Al;, а> 1;
б) L(A) = ||A*1|;
в) W(A)=(P’1APfl, где Р —невырожденная матрица порядка п.
8.2.11, Показать, что если All А) и L (А) — матричные нормы, го
матричной нормой будет и АГ(А)== max {Af (A), L (А)}.
8,2,12. Доказать, что следующат функция от «хи-матрицы:
S (S * * 8-2л)
i, > = I
является матричной нормой.
8,2.13. ПустЬ f,у — матрица порядка п, у которой единственный
ненулевой элемент стоит на месте (7, /) и равен единице. Показать,
что если матричная норма |] А |[ длг всех I, j удовлетворяет неравенству
$ 8.2. НОРМЫ ОПЕРАТОРОВ И МАТРИЦ
233
ТО
IM1^=W),
где К(А) — норма, определенная формулой (8.2.1).
8.2.14, В //-мерном арифметическом пространстве введено естест-
венное скалярное произведение (7.1.4), Норма матриц, подчиненная
длине вектора в таком пространстве, называется спектральной нор-
мой и обозначается jl A ||2. Доказать, что спектральная норма матрицы
ранца ее наибольшему сингулярному числу.
8.2,15. Как вычислить спектральную норму: а) диагональной
матрицы? б) квазидиагоналыюй матрицы?
8,2.16, В пространстве «X «-матриц введем скалярное произведе-
ние согласно (7.1.5). Длина матрицы в полученном евклидовом (уни-
тарном) пространстве выражается формулой
и называется евклидовой нормой матрицы. Показать, что для любых
матриц А и В
I! АВ ||Е || А ||£ [| В ||Е.
8.2,17. Найти евклидову норму унитарной матрицы порядка п.
8.2.18* . Вывести выражение для евклидовой нормы лхл-матрицы
А через ее сингулярные числа ар ..., ая.
8.2,19. Доказать, что спектральная норма матрицы А равна ее
евклидовой норме тогда и только тогда, когда А —матрица ранга 1.
8.2,20. Доказать, что для любых унитарных матриц U и V
||УАИ2-ЧА|’2, =
8.2.21* . Доказать неравенства:
а) || А ||Е Vп || А (|2;
б) |'AS||E<|| A'J2'|Z?I|E;
в) || АВ'^<11 A|iiE|! В||2.
8,2.22, Пусть матрица А имеет эрмитово разложение А = НХ + 1Нй-
Доказать, что:
a) im<|Mk || ^ Ila IM;
б) ||^ + р2]|Ь-=||А|Гд.
8-2,23, Доказать, что для любой эрмитовой матрицы Н
(lA-T^IIA-TAb
Таким образом, матрица Нг из эрмитова разложения А является
эрмитовой матрицей, ближайшей (в смысле евклидова расстояния)
к матрице А. Аналогично, матрица — ближайшая к А косоэрми-
това матрица. Указать аналог этого свойства на комплексной плоскости-
234 ГЛ. 8, МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
8.2.24. Пусть А = АД/— полярное разложение матрицы А Пока-
зать, что
Какому свойству комплексных чисел соответствует это равенство?
8,2.25*. Доказать, что для всякой положительно определенной
матрицы Н ближайшей в смысле евклидова расстояния унитарной
матрицей является единичная матрица Е, наиболее далекой — мат-
рица— Е, Что изменится, если Н — неотрицательная матрица?
8,2.26. Пусть A =HU~ произвольное полярное разложение
матрицы А. Доказать, что для любой унитарной матрицы V спра-
ведливы неравенства
И-А +
Указать соответствующее свойство комплексных чисел.
8.2.27*. Пусть А —«хи-матрица с сингулярными числами oq, ...
.,,, art. Положим
S(A) = a1 + . (8.2.2)
Доказать, что S(A) является матричной нормой.
8.2.28, Доказать, что для любых неотрицательных матриц А и В
и любых неотрицательных чисел аир
S (аА Ц-fit?) — aS (А)£ S (В),
Норма 5(A) определена равенством (8.2.2).
8.2.29*. Показать, что в определении подчиненной нормы
знак sup можно заменить на знак шах,
8.2,80. Найти подчиненные нормы матриц для следующих норм
«-мерного арифметического пространства:
3) ||-di=i»i;+ +|ал|;
б) || х k = inax [ а, |.
Найти значения полученных норм на диагональной матрице D.
8,2.31. Доказать, что для всякой tt X «-матрицы А справедливо
равенство:
, । В А х 1[оо
шах «,7 =тэх8 „ “ •
8,2,32. Нормы т(х) и я(х) арифметического пространства тако-
вы, что для любого вектора х wt (х) = с «(х), где с —фиксирован-
ное число. Показать, что соответствующие подчиненные нормы
совпадают.
8.2,33. Пусть М (А) — норма матриц, подчиненная векторной
норме т(х). Найти матричную норму, подчиненную норме п(х) =
= т(Рх), где Р —фиксированная невырожденная матрица.
$ 8.3. НОРМЫ ОПЕРАТОРОВ И МАТРИЦ
235
8,2,34. Пусть А — матрица ранга 1, представленная в виде про-
изведения А = хд>*, где х ид/ —«-мерные вектор-сголбпы. Для любой
нормы т(х) арифметического пространства и соответствующей подчи-
ненной нормы матриц М (А) доказать равенство
М (А) = т (х) т* (у), (8.2.3)
где от* (_у) — норма, двойственная к от(х) относительно скалярного
произведения (7,1.4).
8.2,85. Найти значение нормы ЦА^ па матрице ранга I с извест-
ным представлением А~ху*.
8.2.36. Пусть Л4 (А) —подчиненная матричная норма. Доказать, что
для М (А) справедливо представление:
М(ЛВ)
(8.2.4)
8,2.87, Доказать, что представление (8.2.4) остается в силе
и в том случае, если рассматривать не все ненулевые матрицы В,
а только матрицы ранга I.
8,2.88* . Доканать, что для подчиненной матричной нормы /И (А)
справедливо и такое представление:
... .v |1г(АВ)|
Л1(Л) = тах 4^-- (8.2.5)
й
Здесь В пробегает множество матриц ранга 1.
8.2.39. Пусть М (А) и N (А) — подчиненные нормы матриц и пусть
Л4 (.4) 5? ЛДА) для всех А. Доказать, что в таком случае A4(A)=/V(A).
8.2.40* . Пусть т(х) и от* (х)— двойственные нормы арифмети-
ческого пространства, А4(А) и Л4* (А) — подчиненные им нормы мат-
риц. Доказать, что для всякой матрицы А
Л4(А)^А4* (А*).
8,2.41* . Доказать, что всякая норма матриц согласована с некоторой
нормой арифметического пространства.
8.2.42. Показать, что если матричная норма |] А |; согласована
с векторной нормой от (х), а Л1(Д) подчинена от (х), то || А ]2=s А4 (А)
.для всех матриц А. Таким образом, подчиненная норма Л4(А) явля-
ется наименьшей среди всех норм, согласованных с векторной нор-
;.мой от (х).
8.2.43* . Доказать, что всякая подчиненная норма матриц согласо-
вана с единственной (с точностью до умножег|ия на число) вектор-
ной нормой.
8,2.44. Показать, что всякая подчиненная матричная норма /И (А)
jявляется минимальной в том смысле, что не существует другой мат-
' ричной нормы L(A). для которой
L(A)^Af(A)
При любой матрице А.
236 ГЛ. 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
8.2.45* . Пусть матричная норма ||А|| согласована с векторной
нормой т (-V), для которой Л1 (А) является подчиненной. При этом
|| А || совпадает с Л1 (А) на множестве матриц ранга 1. Доказать,
что т (х) — единственная (с точностью до умножения на число)
векторная норма, с которой согласована ||А||.
8.2.46. Показать, что евклидова норма матриц, а также норма
5(A) (см. (8.2.2)) согласованы только (с точностью до умножения
на число) с нормой ]! х ||s==( ] |2 + ... +1 ал ;2)1/2.
8.2.47. Матричная норма М (А) равна единице на единичной мат-
рице Д. Значит ли это, что М (А) — подчиненная норма?
§ 8.3. Матричные нормы и системы линейных уравнений
О задачах параграфа. В этом параграфе обсуждаются приложения матрич-
ных норм к решению определенных систем линейных уравнений (неопределен-
ные и несовместные системы были рассмотрены в § 7,8). Основными здесь яв-
ляются следующие вопросы:
Критерии невырожденности матриц.
Оценки норм обратных матриц.
Обусловленность системы линейных уравнений, свойства чисел обуслов-
ленности.
Оценка возмущения решения системы при заданном возмущении ее коэф-
фициентов.
Приближенное решение системы с оценкой точности полученного решения.
8.3,1. Доказать, что матрица АЦ-В, где А невырождена и || А-1В|| <; 1,
также невырождена.
8.3.2. Доказать, что если матрица А невырождена, а матрица А-|-В
вырождена, то для числа обусловленности матрицы А имеет место
оценка
cond(A)^X__
8.3.3. Найти
матрицы
оценку снизу для числа обусловленности condco(A)
1 -1 1 [
А = -1 е Е i
1 Е е ;
е^О.
8.3.4. Доказать, что матрица UВ, где U — унитарная матрица
и спектральная норма матрицы В меньше единицы, — невырождена.
8.3.5* . Пусть ал —минимальное сингулярное число «Хл-матрипы А.
Доказать, что расстояние (в смысле спектральной нормы) от мат-
рицы А до множества М вырожденных матриц равно
Рг(А, Л1) = а„.
8.3.6* . Доказать, что минимальное сингулярное число матрицы
определителя (3.3.1) не превосходит й1»-1’.
8.3,7* . Матрица А порядка п имеет сингулярные числа
...55 0сл. Доказать, что расстояние (в смысле спектральной нормы)
s 8.3. МАТРИЧНЫЕ НОРМЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 237
от матрицы А до множества Мг матриц, ранг которых меньше г,
' равно
П.
ре(А, Л1г) = а„ г = 1, 2, ...
8.3.8. Матрица А порядка п называется диагонально доминирую-
щей (по строкам) матрицей, если
п
1, ..., n.
м;
Доказать, что диагонально доминирующая матрица невырождена.
Сформулировать аналогичный критерий для доминирования по столбцам.
8.3.9* . Пусть А—клеточная матрица вида
А» А1г ... AIfc I
An А22 --- А2* I
а=
। А А ^2 । A и
: где все клетки А,у —квадратные и имеют один и тот же порядок ш;
диагональные клетки AJ; невырождены. При этом для всех /, I
выполнены неравенства
Доказать, что матрица А невырождена. Сформулировать утверждение,
которое получится, если м = 1.
8,3.10. Будет ли невырождена матрица
а =
0
1
0,4
-0,5
1
О
0,5
0,4
0,1
-0,1
2
1
—0,2
0,1
1
1
?
доминирующая матрица порядка п,
8.3.11* . Пусть А—диагонально
причем для некоторого положительного числа <х, меньшего единицы,
п
f=l, ..., Н.
Доказать, что для нормы обратной матрицы А-1 справедливы оценки:
1 1 „ „ , , „ _ 1 1
min (ati ।
(8.3.1)
min | ait | I—a
8.8.12, В условиях задачи 8.3.11 оценить снизу и сверху число
обусловленности cond^, (А) через диагональные элементы матрицы А
и число а.
238 ГЛ. 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
8.3.13. Оценить снизу и сверху число обусловленности cond™ (А)
«X «-матрицы
1 10-т 10-2
КГ1 2 10’2
1Q-2 1<Г* 3 Ю_,я-Т1
Ю~<я-и 1(Ггл-и 10” гл-1> . п
8.3.14. Пусть R — треугольная матрица порядка л, для которой:
а) j гij j 1 при всех I, j\
б) Г;,-= 1 при всех i.
Найти максимальное возможное значение числа обусловленности
condo, (/?).
8.3.15. Пусть дана последовательность матриц Аа фиксированного
порядка п, причем ][Л*||= 1 и cotid (А^) со при k-*-cc. Доказать,
что del Ай —>-0 при k—>-оо.
Таким образом, при фиксированном порядке матрицы увеличение
числа обусловленности связано с уменьшением величина определи-
теля. Однако, как показывает 8.3.14, при достаточно большом п число
обусловленности матрицы может быть очень велико, даже если ее
определитель равен 1.
8,3.16, Показать, что число обусловленности всякой матрицы огра-
ничено снизу числом 1.
8.3.17. Показать, что число обусловленности cond(A) не меняется
при умножении матрицы А на ненулевое число.
8.3.18. Найти выражение для спектрального числа обусловленности
невырожденной нормальной матрицы А через собственные значения
..........Кг-
8.3.19. Найти выражение для спектрального числа обусловленно-
сти невырожденной лхл-магрицы А через ее сингулярные числа
«та„.
8.3.20. Доказать, что равенство conda (А) = 1 имеет место тогда
и только тогда, когда А = а£7, где U — унитарная матрица, а —нену-
левое число.
8.3.21. Показать, что числа обусловленности condlt ai00, ₽(А) не
меняются при перестановке строк и столбцов матрицы А.
8.3.22. Показать, что спектральное и евклидово числа обусловлен-
ности матрицы А не меняются при умножении этой матрицы слева и
справа на произвольные унитарные матрицы U и К
8.3.23. Доказать неравенства
шах {Sw - C0Ild cond cotl<i
8.3.24. Для невырожденной 2 х 2-матрицы А дать явное выраже-
ние евклидова числа обусловленности condj= (А) через элементы этой
матрицы.
<5 в.З. МАТРИЧНЫЕ НОРМЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 239
8.3.25. Показать, что матрица
ИОО 9911
I! 99 98
среди всех невырожденных 2 х 2-матриц, элементы которых суть не-
отрицательные целые числа, не превосходящие 100, имеет наиболь-
шее евклидово число обусловленности.
8.3,26. Решению системы двух линейных уравнений с двумя неиз-
вестными
ЙЦ-V 4" а12У ” Й1> Ч~ = ^21
матрица А которой действительная и невырожденная, соответствует
геометрическая задача отыскания точки пересечения днух прямых,
заданных уравнениями системы. Доказать, что угол <х между этими
прямыми удовлетворяет неравенству
I cig а [ sS у condf (А).
8.3.27. Пусть А — положительно определенная матрица. Доказать,
что спектральное число обусловленности матрицы Аф-аД есть моно-
тонно убывающая функция от а при а >• 0.
8.3.28. ’
Пусть А — положительно определенная матрица, Aft —про*
извольная главная подматрица матрицы А. Доказать, что
conda (Aj.) condo (A).
8.3.29. Пусть A =5TS — треугольное разложение действительной
положительно определенной матрицы А. Как связаны спектральные
числа обусловленности матриц А и 5?
8.3.30. Оценить снизу спектральное число обусловленности мат-
рицы системы линейных уравнений:
19 д-2-}-10 х24-30 х3~—б,
0,1 Xi + 0,5 х2ф- 0,1 х8 = 0,55.
|: 9,03.^ ф- 0,01 хг + 0,01 хэ = 0,045.
Указать способ уменьшить число обусловленности так, чтобы в полу-
; ченной системе Ах=Ь было conda(A) = 3. Найти решение этой
! системы.
8.3.31* . Дать Оценку снизу для спектрального числа обусловлен-
; иости матрицы системы
д-j -j- 20 хг — 400хэ — 1,
| 0,2 xi- 2 х2- 20хэ=0,2,
—0,04х!— 0,2xs-f- хэ-=0,05.
Указать способ уменьшить число обусловленности так. чтобы в
240
ГЛ. 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
полученной системе Ау = Ь было сопс!3(Л) = 2. Найти решение этой
системы.
8.3.32. Пусть |[х||— норма в арифметическом пространстве, ||Л||—
подчиненная ей норма матриц. Показать, что при изменении правой
части системы линейных уравнений Ах — Ь на вектор с нормой, рав-
ной числу £> 0, решение системы может измениться на вектор, имею-
щий норму е ||Л-111
8.3.33. Оценить возможное возмущение решения системы
х — 2у — —lt
—2х + 4,01у= 2
при изменении компонент правой части на 0,0L Найти решение ука-
занной системы и системы с той же матрицей н правой частью
8.3.34. Найти число обусловленности condo, (Л) матрицы системы
5х—3,3 lj= 1,69,
6х- 3.97j = 2,03.
Указать изменение решения этой системы при переходе к системе
с той же матрицей и правой частью
Нз 7|-
8.3.35. Найти приближенное решение системы
2,503xt4- 0,002х2 — 0,004х3-|~0,001х4 = 5,
0,006хг — 3,002х= + 0,001х3 — 0,001х4= 3,
—0,002хг + 0,002х2 -ф 4,998х3 + 0,004х4 = 10,
0,005xi-0,001х2 +3,997х4= 4, .
так, чтобы ошибка в каждой компоненте не превосходила 0,01.
8.3.36. Найти приближенное решение системы
0,501 х t — 0,499х2 + 0,001 х3 =0,5,
0,498х! + 0,502ха - 0,001 х4 = 0,5,
0t006xt-|-0,007хг-|-3,008х3 — 1,991х4 = 0,
—0,001xt — 2,001ха+ 1,000х4 = 0,
так, чтобы ошибка в каждой компоненте не превосходила 0,06.
8.3.37. Доказать неравенство
ПВ-1-Л-Ч] ....
I l^condH)^^.
§ 8.4. МАТРИЧНЫЕ НОРМЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
241
§ 8.4. Матричные нормы и собственные значения
О задачах параграфа. В этом параграфе мы хотели продемонстрировать
некоторые из многочисленных приложений, которые имеют матричные нормы
в задачах, связанных с собственными значениями комплексных матриц.
Сначала рассматриваются некоторые неравенства между собственными зна-
чениями и нормами матриц. Эти неравенства можно использовать для указа-
ния области на комплексной плоскости, содержащей все собственные значе-
ния матрицы. Для этой же цели можно применить теорему Гершгорнна
(см. 8,4.20), а также теорему о возмущении собственных значений (см. § 8.0).
Пользуясь свойствами собственных значений эрмитовых матриц, теорему
о возмущении удается для этого случая модифицировать таким образом, чтобы
получить оценку для каждого собственного значения н отдельности (см. за-
дачи 8.4.25—8.4.32).
Если заданы приближение к хорошо отделенному собственному значению
Xi и соответствующий приближенный собственный вектор х нормальной мат-
рицы, то отношение Рэлея, составленное для вектора j, дает приближение
к значительно более высокой точности. Этот вопрос мы обсуждаем в зада-
чах 8.4.33—8.4.39.
В заключение мы исследуем связь между наличием у матрицы близких
собственных значений и плохой обусловленностью матрицы из собственных
векторов, Легко показать, что в малой окрестности матрицы, имеющей близ-
кие или кратные собственные значения, найдется матрица жордановой струк-
туры, Последнюю можно рассматривать как предельный случай матрицы
с плохо обусловленными собственными векторами. Как отметил Уилкинсон,
имеет место и обратное соотношение: если для матрицы Л (даже с хорошо
разделенными собственными значениями) матрица из собственных векторов
плохо обусловлена, то в малой окрестности А найдется матрица с кратным
кор цем.
8.4.1*. Доказать, что для спектрального радиуса матрицы А
выполняется неравенство
р(Л)<И|, (8.4.1)
какова бы ни была матричная норма 1|Л[|.
8.4.21 Указать круг на комплексной плоскости, который содержит
все собственные значения матрицы
— 1 0 !-|-2(
0 2 i-н’ .
1 + 2/ l-1-i 0
8.4.3. Доказать, что все собственные значения матрицы
1—234
2 1—1 0
1—2 0 1
I 12—1
лежат в круге комплексной плоскости |z [ s; б.
8.4.4. Доказать, что наибольшее собственное значение Д-i и наи-
меньшее собственное значение симметричной матрицы
6 2 —3 0'
2 9 5 I
—3 5 13 —2
0 1—2 20
242 ГЛ, а. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ГРОСТРАНСТВЕ
удовлетворяют неравенствам
О < Х( • 6.
8.4.5. Доказать, что все собственные значешя стохастической
матрнпы по модулю не превосходят единицы,
8.4.6. Доказать, что собственные значения трехдиагональной
матрицы
Яд
Яд-1
удовлетворяют неравенству
IX! max {| а,-1 +1 &i + 11 + j Q I Cj =6nqJ == 0.
Как использовать этот результат для вычисления собственных значе-
ний эрмитовой матрицы методом бисекции?
8.4.7, Доказать, что все корни многочгеца /(г) — апхпА-
+ ап. 1^л-1 + . + aiz + “о. ап¥=0> содержатся в каждом из следую-
щих кругов на комплексной плоскости:
a)|,|«;max{1,|^| + ... + |b| + |i|},
8.4.8*. Пусть Ло —матрица простой структуры. Доказать, что
найдется матричная норма для которой в соотношении (8.4.1)
при Л = Л0 достигается равенство.
8.4.9*. Пусть Ло — произвольная матрица. Доказать, что для
любого положительного числа в найдется матршная норма || А для
которой || Л © | < р (Ло) + е.
8.4.10. Доказать, что для нормальной матрицы Ло j| Ло j|3 7И (Ло)
для любой матричной нормы Л4(Л).
&4.П. Доказать, что для произвольной марицы Ло и любой
матричной нормы 7И(Л) |[ Ао|1г У 7И (Дв) М. (ДJ.
8.4.12*. Пусть Л —матрица порядка м с собсиенными значениями
Хр ..., Хл. Доказать следующее неравенство LLypa-,
i=l
(8.4.2)
$ а.4. МАТРИЧНЫЕ НОРМЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 243
8.4.13*. Пусть в условиях задачи 8,4.12 а„ ап и ............р„
суть действительные и мнимые части собственных значений Лх,
Доказать, что:
п п
a) 4S + б) 4 £ р?<1!Л~Л*||ге. (8.4,3)
<=1 т-1
8.4.14*. Доказать, что равенство в (8.4.2) достигается тогда и
только тогда, когда Л —нормальная матрица. Это же верно для
каждого из соотношений (8.4.3).
8.4.15*. Пусть Л — п X «-матрица с собственными значениями
Xlt .Р —произвольная невырожденная матрица. Доказать, что
р i=\
Для каких матриц Л указанная нижняя грань достигается?
8,4.16*. Используя 8.4.14, доказать, что из нормальности мат-
риц Л, В и АВ вытекает нормальность ВА.
; 8.4.17*. Пусть нормальная матрица Л разбита на клетки Л,у,
так что
4ц 41г ... 4tm
Ли Ли ... Л^,,,
Лиц Лтэ ... Лтт]
i При этом диагональные клетки Ац квадратные, быть может, разных
: порядков. Пусть, далее, известно, что собственные значения матрицы Л
совпадают с совокупностью собственных значений матриц А1г. Дока-
зать, что в таком случае все внедиагональные клетки Лу—нулевые,
8.4.18*. Пусть А1( ..., ^„ — собственные значения, а а„ ..., а„ —
сингулярные числа матрицы Л. Доказать, что
I М | + • • • + 1 а1 + • • • + ал-
8.4.19*. Используя 8.4,18, доказать, что для всякой матрицы Л
? порядка п
Ё
I— i i, j~ 1
8.4.20*. Доказать следующую теорему Герщгорина-. все собствен-
! ные значения «хл-матрицы Л лежат в области комплексной плоско-
сти, являющейся объединением п кругов
И
I < X 1М •••’”•
/=1
244 ГЛ. 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
8.4.21. Указать область на комплексной плоскости, содержащую
все собственные значении матрицы
1,23 0,03 0,04
0,03 2,17 0,01
0,02 0,04 3,06
8.4.22, Для матрицы Л выполнены неравенства
Re a;i < — У, | a-j [, i = 1, ..,, п.
ii
Доказать, что И —устойчивая матрица.
8.4.23. Пользуясь теоремой о возмущении собственных значений,
указать область на комплексной плоскости, содержащую все соб-
ственные значения матрицы
2,001 1,499 0,001
0,499 1,001 —0,001
—0,001 0,001 0,999
8.4,24. Пусть
[—2 —1 21 —1 1 -1
Л = I 2 10 В—1 1 -1 1
1 0 0 1 -1 1 —1
Найти область на комплексной плоскости, заключающую все соб-
ственные значения матрицы Л-Де/З- Воспользоваться для этого тео-
ремой о возмущении собственных значений.
8.4.25*. Пусть Л и В — эрмитовы матрицы, и ..., ^ — соб-
ственные значения матрицы Л. Доказать, что в каждом интервале
— /==1, п, (8.4.4)
содержится по крайней мере одно собственное значение матрицы
АН- В.
8.4.26. Пусть X,, и pt, р2, р3 — собственные значения соот-
ветственно матриц Л и В, где
2 3 —2 1 2.’ 2,9 -2 |
А~ 3 1 0 2,9 0,9 ОД L
—2 0 —1 —2 0,1 —1 !*
Доказать, что для каждого
8.4.27*. Для матрицы
X; найдется ру такое, что j Х^ — д, | 0,3.
2. 10-* —3 4 9991
—3 10-а I 10-т —0,4993 —6. 10-4
4 . КГ8 —0,4993 2 10* —2 . 10-*
0,9991 Ю'4 —6 10 4 —2 IO”4 I . 10“4
найти приближенно собственные значения так, чтобы ошибка в каж-
дом не превосходила 0,002.
§ 8.4. МАТРИЧНЫЕ НОРМЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
245
8.4.28. Пусть в условиях задачи 8.4.25 \ — собственное значение
кратности k. Доказать, что в таком случае интервал
содержит по крайней мере k собственных значений матрицы А-)-19.
8.4.29*. Найти приближения к собственным значениям матрицы
1,01 — 1,99 0,01 0,01
— 1,99 1,01 —0,01 -0,01
0,01 —0,01 —0,01 -0,99
0,01 —0,01 —0,99 —0,01
так, чтобы ощибка в каждом собственном значении не превосхо-
дила 0,02.
8.4.80. Пусть в условиях задачи 8.4.25 область D, составленная
интервалами (8.4.4), распадается на области (т, е. интервалы), не
имеющие общих точек. Доказать, что в каждой такой области Dk
содержится столько собственных значений матрицы А + /?, сколько
интервалов системы (8.4.4) ее составляют. При этом если ^ — крат-
ное собственное значение А, то соответствующий ему интервал счи-
тается столько раз, какова кратность
8.4.31. Эрмитова матрица А разбита на клетки
Мн л1а11
1,^ -м
таким образом, что Ап и А2.> — квадратные и ||Л1г!|а = е. Пусть
..., — собственные значения матрицы А, занумерованные в по-
рядке убывания;^......^ — собственные значения Ац; T)t, ..., т)я_г —
собственные значения А22 и, наконец, р,,, .... ря —числа множе-
ства gt, .Т)1, .г)„_Г1 также занумерованные в порядке убы-
вания. Доказать, что |Х,—-р(-[^е, / = 1, «•
Таким образом, собственные значения диагональных клеток можно
принять за приближения, имеющие точность е, к собственным значе-
ниям самой матрицы А.
8.4.32*. Доказать, что следующая матрица А порядка 8
1
1/N
0
1/N
I
2/tf
0
2/N
1
1/AZ
2 1/ЛГ
1/N 2
—0,5
0,1
-0,2
0,1
— 1
0
—0,2 1
0 I
2 I
(с точностью до элементов, стоящих в позициях (1,8) и (8,1), мат-
рица А — квазидиагональная):
246 ГЛ. 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
а) при любом N;> 0 имеет до крайней мере одно собственное
значение в интервале
У'2
N
Г 2
N
б) для Ю
вале
имеет ровно три собственных значения в интер-
3
N
. _3
= jV ’
В задачах 8.4.33 — 8.4.35 предполагается, что А — нормальная
матрица, х — век тор-с го л бе и, нормированный так, что || х|[2 = 1.
8.4.33. Пусть ||Лх||3-=е. Доказать, что матрица А имеет собст-
венное значение X, для которого |Х|^е.
8.4.34. Для произвольного числа р положим е = || Ах — рх|2.
Показать, что в круге комплексной плоскости |z — p|s^s содержится
хотя бы одно собственное значение матрицы А.
8.4.35*. Пусть Xi —собственное значение матрицы А, лежащее
в круге 1г—р0|=еСе (относительно е—см. 8.4.34), и пусть для всех
других собственных значений ?.<>, выполняется условие
j — Ро | a в.
Обозначим через eY нормированный собственный вектор, относящийся
к собственному значению Zlt и пусть
х=«<?! +г, (8.4.6)
где z I еъ Доказать, что;
a) IjAs-pqzllsSsflpHs;
б) ||Az — p02е, 'Jге/а'>
в) | а | |'Л 1 — ей/£Т2;
г) [ Иг, z) - ра 1| z | ег/д.
Таким образом, если е достаточно малб по сравнению с а, то х
можно рассматривать как приближение к
8.4.36. Пусть А—матрица порядка п, х — произвольный ненуле-
вой п-мерный вектор-столбеп. Число
называется отношением Рэлея, соответствующим вектору х. Дока-
зать, что для любого числа р справедливо неравенство
II Ах - г (х) х Цг <[| Ах - рх ||2.
8.4.37. Доказать, что для нормальной матрицы А и любого нор-
мированного вектора х круг
Р-г (х)|<(||Ах^-| г (х)
содержит собственное значение матрицы А.
5 8.4. МАТРИЧНЫЕ НОРМЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
247
8.4.38*. Предположим, что и условиях задачи 8.4.35 ц0 есть
Отношение Рэлея, соответствующее вектору х. Доказать, что в таком
случае имеет место оценка:
-J)"'- (8Л6)
8.4.39. Для симметричной матрицы А
1 0,001 0,002 0,002
0,00! 2 0,002 0,002
0,002 0,002 3 0,001
0,002 0,002 0,001 4
а) найти собственные значения с точностью 0,005, пользуясь
8.4.25;
6) показать, что диагональные элементы матрицы А можно рас-
сматривать как отношения Рэлея, указав соответствующие им век-
торы;
в) доказать, что диагональные элементы являются приближениями
к соответствующим собственным значениям с точностью 10~5.
8.4.40. Пусть асе собственные значения А1( ..., Хя матрицы А
различны и с? = min (Л/ — Л/|. Доказать, что найдется матрица В, для
которой fl В Jg d/2 и матрица А В имеет кратное собственное
значение.
8.4.41*. Доказать, что в условиях задачи 8.4.40, для любого
числа е>0 можно найти матрицу Се такую, что ||СЕЦ1< 2" + е и
матрица А-|-Се не является матрицей простой структуры.
8.4.42*. Все собственные значения Хр .... Х„ матрицы А раз-
личны. Пусть — собственный вектор матрицы А, относящийся
к yt — собственный вектор матрицы А*, относящийся к Xj. Поло-
жим
s,-= i = l....п.
Для действительных х, и yt число s, есть косинус угла между эти-
ми векторами. Очевидно, что |s(| не зависит от выбора конкретной
пары векторов xt, уt (для данного Х;).
Доказать, что;
а) для любой матрицы А', составленной из собственных векторов
матрицы А,
cond2(A) 2s —U, /=1, ..., п;
б) матрицу X можно выбрать так, что
condg(Л"Хcondfi(А) = У г—.
-ей 1
248 ГЛ. В. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Таким образом, величина чисел ] | может служить мерой обус-
ловленности матрицы из собственных векторов наряду с ее числом
обусловленности.
8.4.43. Пусть С — треугольная матрица:
Xj Сщ ... |
О Х^
С=
О О
Х„
и пусть у некоторого собственного вектора у сопряженной матрицы С*,
относящегося к собственному значению Xj, первая компонента fJj
равна нулю. Доказать, что Xi —кратное собственное значение С.
8.4.44. Матрицы А и А* имеют собственные векторы х и у,
относящиеся соответственно к X, и X;, причем (х, j’)=0. Доказать,
что Xt —кратное собственное значение А.
Матрицу С в условии задачи 8.4.43 запишем в клеточ-
С=|| о'сл_1 |г
Собствепный вектор у матрицы С*, относящийся к собственному
значению Хь будем считать нормированным и вместо ₽t = 0 потре-
буем, чтобы Р1™е, |е[<1. Представим вектор у в виде
8.4.45*.
ном виде
с,
Доказать, что Xi является собственным значением матрицы
8
1-18?
задачи 8.4.45 найдется матрица С
zc.
8.4.46. Доказать, что в условиях
такая, что:
значение Xv
d) II Ь ||2 1ь
k 1 — | е ;3
б) С имеет кратное собственное
8.4.47. Пусть х н у — нормированные собственные векторы
матриц А и И*, относящиеся соответственно к Xi и Хг При этом
| $ | = | (х, _у) | = е 1. Доказать, что найдется матрица А такая, что:
а> IIй - к
б) А имеет кратное собственное значение Xj- Тем самым, наличие
у сопряженных матриц пары почти ортогональных собственных век-
торов, относящихся к сопряженным собственным значениям, свиде-
тельствует о наличии близкой матрицы с кратным собственным зна-
чением.
УКАЗАНИЯ
1.1.18. Пользуясь только дистрибутивностью и существованием противопо-
ложного элемента, доказать, что 0 х = 0 для любого вектора х. Вывести
отсюда, что (— 1)-х= - х. Наконец, используя ассоциативность сложения,
доказать, что x-f-j»=j> + x.
1.2.28. Записать линейную комбинацию Хр*.-p^xs векторов х,, ... , xs.
Если предположить, что среди коэффициентов Л(, ... . X- есть ненулевые и Ху —
максимальный по модулю нз них, то показать, что j-я компонента вектора
X.jXj-1-... + Xj.Xj отлична от пуля.
1.3.16. Использовать теорему 15.1 (В. В.. Воеводин, стр. 50).
1.3.25. Использовать 1.3.17 и 1.3.19.
1.3.26. Показать, что каждое из элементарных преобразований приводит
к эквивалентной системе векторов.
1.3.34. Пусть ранг системы векторов х,, .... xs ранен г. Тогда в матрице,
полученной в результате приведения к трапецеидальному виду (см. решение
задачи 1.2.18), первые г строк будут ненулевыми. Пусть в исходной матрице
им соответствуют Строки с номерами i ... , |ф. Доказать, что векторы х^, ...
..., х( составляют базу заданной системы.
1.3.36. Организовать приведение таким образом, чтобы нулевые элементы
располагались в правом нижнем углу матрицы.
1.3.37. Прежде чем начинать приведение, уменьшить величину координат
векторов элементарными преобразованиями.
1.3.39. Если x^ = aixi -)- a/.xi то в качестве вектора х^ можно
взять любой вектор, для которого коэффициент а( в этом разложении отличен
от нуля.
1.3.44. Использовать 1.3.23.
1.4.41. Произвольный базис подпространства L дополнить до базиса ...
.... еЛ пространства И. Элементарными преобразованиями системы е(. ... , е,г
получить базис, удовлетворяющий требованию задачи.
1.5.16. Использовать 1.5.14. 1.5.18. Использовать 1.5.16.
2.1.2. Пусть е,..е„— базис данного линейного пространства. Для про-
извольных векторов х^а^ + .-. + а^ и у = 0^-ф...4-положим
(х. у) =«1р1 + ... + а,1Рп-
Проверить, что все свойства скалярного произведения будут выполнены.
2.1.8, Необходимость условия ас > Ья получить, рассматривая скалярный
квадрат (х, х) вектора вида х = (а,, 1) как квадратный трехчлен от av
2.1.9. Для скалярного квадрата вектора х = (аь аг, аа) получить пред-
ставление
(х, x) = a^ + (3al + a2)24-(a2+aJ)2.
2.1.10. При проверке 4-й аксиомы скалярного произведения воспользо-
ваться неравенством; 2 | atj j | CQ | [ а/ | < | ац | | а, '2-Ь | йу; | aj 2.
2.1.15. Ввести произвольным образом скалярное произведение на подпро-
странстве, дополнительном к L, и использовать 2.1.13.
2.1.16. См. В. В. Воеводин, теорема 27.2, стр. 96.
2.1.18, г) Использовать 2,1.16.
250
УКАЗАНИЯ
2,2.23. При каждом i, 1 векторы^, .... у, и ... , z( образуют
ортогональный базис линейной оболочки, натянутой на векторы хь х-г
Поэтому (_Уг, — ® ПРИ I т-
2.2.25. См. указание к задаче 2.1.2.
2.3.7. а) Интерпретировать каждое из уравнений системы как условие
ортогональности вектора z = (at, ...,а/() и вектора, составленного коэффици-
ентами уравнения.
2.3.9. Использовать базис ортогонального дополнения, найденный в 2.3.6.
2.3.11. См. решение задачи 2.3,10,
2.3.14. Коэффициенты уравнений системы дают координаты векторов, на
которые натянуто I1. Способом задачи 2.3.10 найти перпендикуляр г, а затем
у как разность а —г.
2.3.27. Составить базис V как объединение базисов подпространств Ln ...
Lp и ввести в V скалярное произведение согласно 2.2.25.
2.4.16. Показать, что в разложении вектора х: х=у ф- г, где у ад L, г ± L,
вектор у е £г и, следовательно, перпендикуляр из х на La совпадает с пер-
пендикуляром z из х на L.
2.4.17. Перпендикуляр г из вектора х на L коллинеарен вектору л,
2.4.19. Использовать 2.4.17.
2.4.20. Прн вычислении косинуса угла между х и произвольным вектором
и подпространства L воспользоваться разложением х=у-рг, где у е L, г L.
2.4.23. См. указание к 2.4.16.
2.5.2. Как н а задаче 2.1.2 (см. указание), фиксируем базис ej....еа
и для произвольных векторов х V. у полагаем (х, у) _ 4-... 4-ал^я.
2.5.5. См. указание к 2.1.10.
2.5.13. в) Если .....еп — базис пространства R, то показать, что любой
вектор из С есть линейная комбинация векторов -f-tO, , е„ + 10.
3.1.21. Для числа тя ненулевых членов в определителе порядка п ука-
занного вида получить рекуррентное соотношение; тп-=тп 4 1. При этом
wtt = 1.
3.1.22. Для числа тл ненулевых членов в определителе порядка п ука-
занного вида получить рекуррентное соотношение: тл = тг[..1 + тл_а. Общее
/ [ _1_ ',я / ( 1/ g'' л
решение такого уравнения (см. § 3.0): — +й(—<г-— .
Константы cj н cs определяются из условий; mt=l, п^ = 2.
3.1.23. Для числа тп ненулевых членов в определителе порядка п ука-
занного вида получить рекуррентное соотношение; mn = 2mn_L. При этом
m, = 1.
3.1.25. Пусть Ря (()—определитель порядка п указанного вида. Получить
следующее рекуррентное соотношение; Рп (i) =tPn1
3.1.34. Показать, что заданное преобразование определителя равносильно
умножению его строк соответственно на а, а2, ...,ап и столбцов соответст-
венно на а~1, а'а, .... а“я.
3.1.35. Использовать 3.1.34 . 3.1.36. Транспонировать определитель.
3.1.37. Транспонировать определитель. 3.1.40. Использовать 3.1.38.
3.1.42. Транспонировать определитель и использовать 3.1.40.
3.1.43. Указанное преобразование определителя можно заменить транспо-
нированием относительно главной диагонали и перестановкой строк в обратном
порядке.
3.1.44. Многочлен 4-й степени имеет не более четырех различных корней.
3.1.56. Продифференцировать общий член определителя.
3.2.6, Использовать 3.1.35.
3.2.20. Заданный определитель имеет почти треугольную форму. При раз-
ложении этого определителя по первым двум столбцам сумма состоит только
из трех членов.
УКАЗАНИЯ
251
3.2.26. Разложить определитель по первым трем столбцам.
3.2.33. Вычесть первую строку из второй, третьей и четвертой.
3.2.45. Показать, что для определителя ап указанного вида выполняется
рекуррентное соотношение dn = 2 cos a drl_1 — dn2- При этом dj — соэа, d2 =
— 2 cosa а — 1 = cos 2а.
3.3.1. Вектор bi получается вычитанием из аг линейной комбинации
векторов aL.......
3.3.15. См. В. В. Воеводин, теорема 41.2, стр. 141.
3.3.16. Всякий главный минор определителя Грама сам является опреде-
лителем Грама для подсистемы данной системы векторов.
3.3.17. Использовать 3.3.14. 3.3.18. Использовать 3.3.17 и 3.3.13.
3.3.23. Использовать 3.3.17 и 3.3.13. 3.3.24. Использовать 3.3.18.
3.3.25. Длина перпендикуляра, опущенного из вектора xi+1 на линейную
оболочку векторов xt, ..., jq, не превосходит длины самого этого вектора;
длина перпендикуляра, опущенного из вектора лу, /+1</^Л, на линейную
оболочку векторов ..., x/_i, не превосходит длины перпендикуляра, опу-
щенного из того же вектора на линейную оболочку векторов лу+1, у v
3.3.32. Элемент в позиции (п, 1) заменить на (— 1)л - 2"''• я*.
3.4.3. Использовать 1.2.28.
3.4.4. Для доказательства последнего утверждения задачи использовать
3.3.25 н 3.4.3.
3.4.8. Перестановками строк и столбцов перевести минор М в левый верх-
ний угол и применить метод Гаусса.
3.4.9. Использовать 3.2.11, упитывая, что метод Гаусса состоит из после-
довательности элементарных преобразований строк и столбцов определителя.
3.4.16. Прежде чем проводить метод Гаусса, уменьшить величину элемен-
тов определителя элементарными преобразованиями,
3.4.17. Привести элементы каждой строки к общему знаменателю и исполь-
зовать 3.4.16.
3.4.19. В каждой строке вынести общий множитель элементов.
3.4.20. См, указание к 3.4.16.
3.4.24. Определитель получен окаймлением определителя задачи 3.4.10.
3.4.26. Определитель получен окаймлением определителя задачи 3.4.24.
3.4.35. б) Использовать формулы (А-|-1)-го шага метода исключения, учи-
а(<0
тывая, что отношения 1 , i>A-f-l, По модулю ограничены единицей.
k -f. |
3.4.41. Выполнить над каждой из п групп по п строк определителя D
преобразования, которые приводят матрицу А к треугольному виду. Получим
определитель, матрица которого состоит из т- треугольных клеток. Этот опре-
делитель можно разложить, пользуясь теоремой Лапласа, аналогично 3.2.27, б).
4.1.2. Доказать, что ранг системы столбцов равен n—1.
4.1.3. Доказать, пользуясь 4.1.2, что столбцы матрицы А, содержащие
минор М, составляют базу сисгемы Столбцов.
4.1.4. Использовать 1.3.39.
4.1.6. Рассмотреть подматрицу, образованную заданными г линейно неза-
висимыми столбцами. Показать, что Строки, в которых расположен заданный
минор, являются в ней базисными.
4.1.9. Ранг матрицы Грама равен наивысшему порядку отличных от нуля
главных миноров этой матрицы. О главных минорах матрицы Грама см. 3.3.16.
4.1.11. Использовать 3.1.36.
4.1.12. В первых г столбцах содержится хотя бы один ненулевой минор
порядка г.
4.1.26. Указанного повышения ранга можно добиться за счет изменения
элементов минора, дополнительного к базисному.
4.1.22, Использовать 4.1.19. 4.1.29. Строки матрицы ортогональны.
252
УКАЗАНИЯ
4.1.30. См. 1.2.28.
4.1.36, Доказать, что минор порядка 1г, стоящий в левом углу, не равен нулю.
4.2,5, Использовать 4,2.4. 4.2,9, См. 1.4.38.
4.2.19, Установить изоморфизм между Л1 и произвольным подпространст-
вом, дополнительным к L.
4,2.33. То, что пересечение есть плоскость, следует из 4.2.14. При этом
если Lt.....Lh — направляющие подпространства заданных гиперплоскостей, то
dim = (Atр.,.flLiA
Теперь по индукции доказать, что в л-мерном пространстве размерность пере-
сечения k (п — 1)-мерных подпространств не меньше n — k.
4.3.3. Если л = х0-|-L„_t — заданная гиперплоскость, то при записи ее
в виде (л, х) = & в качестве вектора п можно взять любой ненулевой вектор
из L±__При этом Ь = (п, х0),
4.3,9, а) следует нз 4.3.8, б)— из 4.2.34 и 4.3.7,
4.3.U. Использовать 4.2.6.
4.3.17. Расстояние в евклидовом пространстве, очевидно, обладает свойст-
вом р (.Г, й) =р (Л' — Ary,, U — Xf,).
4.3.20, См. указание к 4,3.17.
4.3,24. Заметить, что L (рь рг, qlt qi) можно описать уравнением а3 = 0.
4.3,25. Вектор ха—у<, ортогонален к подпространству L (рг, р2, g[r
4.3.27, Ввести в пространстве скалярное произведение таким образом,
чтобы заданный базнс стал оргоцормированным,
4.3.28, См, указание к 4.3,27.
4.3,29. Пусть С], ..., —базис направляющего подпространства пло-
скости Р. Линейно независимую систему векторов е(, ... , еь, х дополцнть до
базиса пространства и затем ввести скалярное произведение с помощью этого
базиса.
4.4.2. Должны совладать подпространства L (ut, .,,, ит) и L ,.., п/).
4,4.11. См. 4,4.10 н 4.4.3. 4.4.12, Использовать 4,4.10,
4.4.24. Сделать замену переменных 7, =_3хг, ^ = 2х2.
4.4.28, Использовать 4,1.36.
4.4,30. Найти базис ортогонального дополнения к L(yt, у,2, _у3),
4.4.32. Если к матрице системы произвольным образом приписать п-ю
Строку, го в полученной квадратной матрице числа (—1 )’ А; являются (с точ-
ностью до знака, одинакового для всех п чисел) алгебраическими дополнени-
ями элементов п-й строки. 4,4.34. Использовать 4,4.32. 4.5.3. Использовать
4.5.2, 4.5.10. См. 4.4.14.
4.5.18, Сделать замену переменных ^ = 6xt, '«=3/,,, (э=11х3, f4 = -—5х4.
4.5.19. Умножить третье уравнение системы па 10, четвертое — на 10 >,
после чего сделать замену переменных; = 1000.т4, ^ = 0,001*2, = 0,1хэ,
(4 = 10х4.
4.5.34. См. 4.4.28,
4.5.36. Построить общее решение данной системы уравнений и цайти
фундаментальную систему решений для приведенной однородной системы.
i честь, что нормальное решение должно быть ортогонально этой фундамен-
тальной системе.
4-5-48. Разложить многочлен f (0 по базису 1, —«р (t — оД2, .,., (/—й1)л.
4,5.50. Доказать, что соответствующим однородным условиям удовлетво-
ряет только нулевой многочлен,
4-5,52- Использовать формулы Крамера и 3.1.56,
5,1- 8- Ах — (а, Ь)х — (а, х)Ь, 5,1.49. Использовать 5.1.43.
5,1.56. Использовать 5,1.43.
5.1,58. Каждому вектору из ТА поставить в соответствие плоскость его
прообразов.
УКАЗАНИЯ
253
5.1.60. Согласно 5.1.59 подпространство ТА изоморфно фактор-простран-
ству пространства X 1ю подпространству N А,
5.1.63. Использовать 5.1.43.
5.1.65. Пусть у1 = Лл:1....yh Ах/; — произвольный бааис подпростран-
ства L. Показать, что полный прообраз L есть прямая сумма подпространств
NA и L (xv ..., Xh). 5.2.3. Использовать 5.1,46.
5.2.9. Множество всех операторов, отображающих п-мернос пространство X
в одномерное пространство, имеет размерность п (см. 5.2.3).
5.2.14. Показать, что если М — произвольное подпространство, дополни-
тельное к N, то пространства и>му и Kv изоморфны.
5.2.15, а) Пусть еь , еп — некоторый базис X, Для данного оператора А
нз <aXL фиксируем какие-либо разложения векторов Л<’1.....Аеп по подпро-
странствам и Ае, =-фУ;, и; е Llr s А2. Тогда А —А1-\-А2, где
^ie/ = ufr i — 1, п. 5.2.16. Использовать 1.5,16,
5.2,17. Использовать 5.2.4.
5.2,18. Доказать, что ТА,1} = Х,
5.2.24, Из условий следует, что Ах — f.xBx н Ау—Х,В,, для любых иену,
левых векторов х и j>. Показать, что Xv = Xjr.
5,2.25. Использовать 5.2.14.
5.3.1. а) Использовать соотношения: ТрА с: Т;1 и Т^А = ВТА<
5.3.2, а) Использовать равенство; {ВА)Х-—ВТа.
5.3.3. Использовать соотношения:
глдс = гас^'-,т (Лтс Л гм~га —dim(ТАn NB),
5.3.8. Использовать 5.3.6. 5.3.11. Использовать 5.3,10.
5,3,14. Если Л2 = 0, то а=0. При Д2=?ь0 использовать 5.2.25.
5,3,17. Показать, что пересечение Np и Тр состоит только из нулевого
вектора, причем РТр — Тр,
5.3,18. а) Использовать 5.3.17.
5,3.20. Операторы £’, А, А2, Апз линейно зависимы.
5.3.23. Использовать 5.3.16, 5.3.15, 5.3.24. Использовать 5.3.14.
5.3,29. См. 5.2.25. 5.3.33. Использовать 5.3.30.
5.3.34. Использовать 5.2.24.
5,3,47. Если х- ненулевой вектор из Л'д, то f (Л) х #= 0 вопреки условию,
что f (0 —аннулирующий многочлен,
5.3,48, Если свободный член равен нулю, то можно найти многочлен
меньшей степени, также аннулирующий данный оператор.
5.3.49. Использовать 5,3.20,
5.4.8. Вычислить вначале ВС. 5,4.9. Вычислить вначале ВС.
5,4,28, Использовать теорему о том, что всякую перестановку можно раз-
ложить в произведение транспозиций.
5.4.35, Представить матрицу J} в виде J;-=--кЕ_|_А, где А — жорданова
клетка, отвечающая числу 0, и использовать результат задачи 5.4.33,
5,4.36. б), в) Для заданной диагональной матрицы Л построить интерпо-
ляционный многочлен f (t) так, чтобы /(dj;) = X;;. 1 - L "•
5.4.40. Использовать 5.4.39. 5,4,49, Использовать 5.4.33. 5.4,52. Исполь-
зовать 5,4.34. 5.4.56. Использовать 5.4.23.
5.4.57. Столбцы АВ суть линейные комбинации столбцов А, строки АВ—
линейные комбинации строк В.
5,4.59, См, 4,1.14,
5.4.69. Разбить матрицы А и В на четыре квадратные клетки 2-го порядка
И применить формулы Штрассена к этим клеткам, Для вычисления произве-
дений клеток использовать алгоритм Штрассена,
254
УКАЗАНИЯ
5.4.73. г) Использовать умножение клеточных матриц.
5.4.77. б) См. 3.4.41.
5.5.12. Используя свойства (косой) симметрии относительно главной
и побочной диагоналей, можно ограничиться вычислением четырех миноров.
Для вычисления определители воспользоваться орто гон эль и остью его строк.
5.5.15. Использовать результат задачи 5.5.12.
5.5.17. Можно, например, воспользоваться утверждением задачи 5.3,49,
согласно которому обратная матрица Л"1 есть многочлен от матрицы А.
5.5.18. Использовать 5.4.49. 5.5.19. Использовать 5.4.52. 5.5.20. В про-
изведении Л-1Я=£ найти двумя способами сумму элементов 1-й строки.
5.5.27. Представить матрицу в виде а (е + и использовать 5.3,45;
здесь Jo — жорданова клетка, относящаяся к числу 0.
5.5.28. Согласно 5.5.18 достаточно вычислить лишь элементы верхней
строки обратной матрицы.
5.5.32. Если Р —матрица перестановок следующего вида:
Р =
то РА — верхняя треугольная матрица.
5.5.39. Перестановками строк добиться, чтобы все ведущие главные миноры
стали отличны от нуля,
5.5.46. Показать, что Д = п7я.
5.5.49. Использовать 5.5.47.
5.5.54, Использовать 5.5.53,
5.5.56. Применить к матрице 5,5.55 результат задачи 5.5,51,
5.5.57. Использовать 5.5,53.
5.5.61. Представить матрицу М в виде произведения
М 0 lip A~lB ||
||с Efllp D-СЛ-^вЦ’
где k — порядок матрицы A, k-j-l—порядок матрицы .44.
5.5.65. Использовать 5.4.73, г). 5.5.66. См. 5.5.60.
5.5.67. Воспользоваться формулами задачи 5.5.62.
5.5.68. Воспользоваться формулами задачи 5.5.64.
5.5.69. Использовать 5.5,65.
5.5.72. Продифференцировать равенство АА^^Е.
5,5.77. Использовать формулу задачи 5.5.75.
5.5.79. г) Использовать формулу задачи 5.5.75.
5.8.12. Использовать 5,6,9, в). 5.6.27. Использовать 5.6.16.
5.6.29. Рассмотреть оператор, который матрица А задает в произвольной
паре базисов пространств X и У. 5.6.SO. Использовать 5.6.29.
5,6,82. Пусть для матрицы А при любой невырожденной матрице Р
Р~1А Р — А, или А Р = РА
Проверить, что лемма Шура (см. 5.4.40)-остается справедливой и в том слу-
чае, если предположить перестановочность А только со всеми невырожден-
ными матрицами.
5.6.36. Показать, что зеркальное отражение матрицы в ее центре есть
подобное преобразование с матрицей Р (см. указание к 5.5.32).
5 6.37. Равенство следов подобных матриц можно вывести на 5.4.22, в).
5:6.42. Использовать 5.6.22.
УКАЗАНИЯ
255
6.1,17, Матрица А есть многочлен от матрицы Jn задачи 6.1,16.
6.1.19. См. В. В. Воеводин, теорема 65.1, стр. 222.
6,1.24, Использовать критерий прямой суммы 1.5.18,
6.1.25. Для доказательства необходимости использовать 6.! .24.
6.1.33. См. 5.4.37 , 6.1.34. См. 5.4.39. 6.1.35. См. 5.4.36.
6.1.38. Переписать условие Р 1 А Р — Л в виде А Р = Р Л, а это послед-
нее записать по столбцам.
6.1.40, Использовать свойство кронекерова произведения 5,4.73, г).
6.1.41. См. 5.6.42. 6.1.43. См. 5.6.43. 6.2.2, См. 3.2.4.
6.2,3. Ранг матрицы ранен единице,
6.2.4. Ранг матрицы равен двум. 6.2.7. Использовать 5.5.77,
6.2.13. Показать, что mt (А) = tr (А1).
6.2.19. Использовать матрицу оператора, построеццую в 5.6.2,
6.2.20. Использовать матрицу оператора, построенную в 5.6,3, а).
6.2.21. См. 6_1.8.
6.2.41. Рассмотреть матрицу оператора в базисе, первые векторы которого
образуют базис собственного подпространства, соответствующего X. С помощью
этой матрицы вычислить характеристический Многочлен оператора.
6.2.49. Показать, что для всякого собственного значения Ха ранг матрицы
ХМЕ — С (f (X)) равен л — 1.
6.2.56. Матрица Рт — сопровождающая для многочлена f (X) = Хл — 1.
6.2,60, Использовать матричное равенство:
|IX£m-AB А ||||Ет 0 Ц_||Ет О Ц I! X Ет А
0 ХЕ„НВ £л|| —|в Е„|||| 0 ХЕЛ-ВА
6.2.61, Использовать матричное равенство;
|| Е Е||||Х£-А -В II EXE - (А 4-В)
|о е|И-в хе-а|| В-в
6.2,64. Использовать матричное равенство:
IE i Е II Ц X Е - В С I] II X £ - А
0 Е —С ХЕ-В “ -С
° IP
ХЕ-0 -В) И ||0 E|j'
Л-л||о£ 'Я-
, А =В 4-iC, А = В—i С.
6.3.5. См. 6.1.25.
.! 6.3,6. Всякое подпространство размерности k — 1 Можно представить как
пересечение двух подпространств размерности k. Тем самым всякое подпростран-
ство пазмервостн k — I также инвариантно относительно А.
| бСЗ.9. Применить 6.3.3 к оператору А — Х0Е, где Хо — собственное зна-
чение А.
i 6.3.21. Использовать 6.3.18, а).
I 6.3.26. Использовать 6.3.14 и 6.3.25. 6.3.27. Использовать 6,3.14,
' 6.3.28. Если п — размерность пространства, то в G не более л2 линейно
!•; независимых операторов, поэтому утверждение достаточно доказать для конеч-
кого числа перестановочных операторов, например, индукцией по этому числу,
| 6,3,30. В каждой паре инвариантных подпространств оператора дифферец-
! цирования одно аложено в другое.
|' 6.3.32. Пусть все корни характеристического многочлена оператора А ком-
плексные; каждый из них является собственным значением соответствующего
! оператора А. Показать, что если X — произвольное собственное значение А, г —
! = х 1 у — собственный вектор А, относящийся к X, то подпространство, натя-
Ё путое на действительные векторы х и у, имеет размерность 2 и инвариантно
’ относительно А,
256
УКАЗАНИЯ
6.3.36. Использовать 6.3.9. 6.3.38. Использовать 6.3.19.
6.3,39, Использовать 6.3.19.
6.3.42. Показать, что для каждого из собственных значений ... ,
дефект матрицы В — к; В равен
6.3.46. Повторить построение задачи 6.3.38 с учетом задачи 6.3.32.
6.3.49. См. 6.3.48, 6).
6.4.1. Доказать, что для числа q, указанного в 5.3.10, подпространства
Л'(/ н Тч пересекаются только по нулевому вектору.
6.4.2. Пусть Л' = X J- Т— разложение, полученное в 6.4.1, где N — ядро,
а Г — образ оператора А’>. Если X = Nt j- — любое другое разложение,
такое, что A/N, — нильпотентный, а Д/Г1 — невырожденный, то показать, что
Nt <=N, Л с Т.
6.4.3. Характеристический многочлен оператора А равен произведению
характеристических многочленов операторов A/N и Д/Т.
6.4.4. Применить 6.4.1 к оператору А — £ и показать, что в разложе-
нии X = IVt -j- 7\ подпространство Л\ обладает всеми требуемыми для свойст-
вами. Затем разложить подпространство 7\, исходя из оператора А — Х^Е. и т. д.
6.4.5. Использовать 6.4,2 и 6.3,43. 6,4.9. См. 6.3.50.
6.4.10. Использовать разложение (6.4.2). 6.4.И. Использовать 6.4.10.
6.4.14. Для нахождении собственных значений матрицы использовать 6.2.61.
6.4.37. Сравните с 6.3.17. 6.4.38. Использовать 6,4.17, д) и 6.4.37.
6.4.41. Выбрать дирейно независимые векторы ..., хр так, чтобы их линей-
ная ободочка в прямой сумме с давала все пространство X.
6.4.49. г) m/_t —=
6.4.57. Согласно 6.4.56 последовательность чисел pt...р( неубывающая.
6.4.62. Матрица одинаковыми перестановками строк и столбцов приводится
к квазидиагональцому виду.
6.4.72. Использовать 6.4.18. 6.4.75. Использовать 6.4.34, 6.4.48, 6.4.55.
6.4.76. Использовать жорданову форму оператора.
6.4.80. Возвести матрицу J — Х,£ в квадрат и подсчитать прирост дефекта;
матрицу (2 — Х0Е)2 умножить ifa J — Е и снова подсчитать Прирост
дефекта, и т- д.
6.4.86. Заметить, что для матрицы
— 1
1
0
В =
0 I
-I -3
I 2
справедливо равенство: В3 = 0. При возведении в степень матрицы А — £
воспользоваться тем, что матрица квази треугольная.
6.4.87. См. указание к 6.4.86. 6.4.88. Дефект оператора равен единице.
6.4.91. Проверить равенство рангов и следов матриц Д. В ц С.
6.4.98. Использовать 6.4.39.
6.4.100. Пусть Д = Р _А Р 5, где А — диагональная матрица. Тогда матрица
АхВ подобна матрице Лх J, а Д X Еп + £m X В подобна Л X £п + Ещ X. J.
6.4.102. Использовать 6.4.3'2,
7.1.9. Рассмотреть матрицу оператора в декартовой системе координат-
7.1.12. Заметить, что базис б) задачи 7.1.11 является ортонормированиым
в смысле скалярного произведения (7.1.2).
7.1.13. Проверить, что базис в) задачи 7.1.1 [ яаляется ортогональным
в смысле скалярного произведения (7.1.3), н использовать результат 7.1.6.
7.1.22. Использовать 6.4.77.
7.1.23. Использовать соответствие между сопряженными операторами и
сопряженными матрицами.
7.1.34. Использовать результат задачи 6.3.17.
УКАЗАНИЯ
257
7.1.40. Использовать существование общего собственного вектора у переста-
новочных операторов А* п Ве щ слсловдтсльцо. общего инвариантного под-
пространства размерности п - -1 у операторов А и В. Здесь п —размерность
пространства.
7.1.41. Использовать теорему Шура- 7.1.45. Использовать 7.1.7. 7.2.8. См.
7,1,10, 7.2.9. Составить матрицы операторов в ортонормированием базисе 7,7,
Р, .... 1Л.
7.2.10. Использовать 5.4.52. 7.2.14. Использовать 7.Ц6. 7.2.16. Исполь-
зовать 7.1.15. 7.2.19. Показать, что ,V А = .V 1 + .
7.2.20. Из указанного условия вывести, что корневые подпространства
оператора А совпадают с его собственными подпространствами п попарно орто-
гональны. 7.2.23. Использовать 7.2.18.
7.2.24. Доказать существование ортоиормировднного базиса из собственных
векторов у оператора А. повторяя процесс построения базиса Шура.
7,2.25. Использовать 6.3.25. Другое возможное решение использует 7.2.13.
7.2.26. Использовать 7.2.25.
7.2.32. Данная матрица отличается от действительной слагаемым — IE.
7.2,36. Ввести скалярное произведение с помощью ба:щса из собственных
векторов оператора А.
7.2.38. При доказательстве необходимости построить интерполяционный
многочлен / (А) так, чтобы для каждого собственного значения X; оператора
А выполнялось условие / (л-) = л(.
7.2.40. См. 7.1.40.
7.2.47. Использовать разложение вектора х но ортоцормнрованному базису
собственных векторов оператора А.
7.2.48. Применить 7.2.47 к вектору х — (I I ... 1) Г-
7.2.50. Для доказательства последнего утверждения показать, что в собст-
венном под прост р а истце оператора А, относящемся к собственному значению К,
можно выбрать базис, состоя щи?: из «действительных» векторов, т. е, векторов
вида х + 10,
7.3.9. Рассмотреть матрицу оператора в ортоцормироваццом ба.щее из соб-
ственных лекторов п использовать то, что через точки комплексной плоскости
Xlt ^-2. можно провести окружность.
7.3.13. Проверить, то А‘~Е.
7.3.16. Из условий задачи можно определить действие оператора на Много-
член I — 21 4- ортогональный к двум зздшщыч Многочленам 1 i -J- п
1 — А Составив матрицу оператора Q в бчлнее, образованном этими многочле-
нами, перейти затем к нужному базису I, i, t*.
7.3.18. См. 7.3.19.
I I у 2 ___ 12
7,3.20. Исцользопать соотношение (х, у) —---'----' -----— для дей-
Ixj-t/,- — : х — I/ '- -)-/ j- II/4-i;x — ty Г2
сгвительцого случая и (х, у) = 1—---------1---------------1——-----;----
— в случае комплексного пространства,
7.3.39. Рассмотреть последовательность матриц Т 1:. Ур, .... Г1п, для каж-
дой из которых параметры выбираются в соответствии с 7.3.38.
7.4.8. Векторы х и у принять за оазис пространства.
7.4.10. Кососимметричный оператор трехмерного пространства вырожден.
Рассмотреть матрицу оператора К в орто нормированном базисе, одни из век-
торов которого принадлежит ядру К.
7.4.11. Проверить, что (jq, yj) = (yit xj) при i=rj.
7.4.15. Найти многочлен 7з (0. ортогональный к заданным многочленам
(f) 2 — 2t — 1‘‘ и /.j ft) = 2 -- t 4- 2/2 и имеющий ту же длину. Из условий
задачи можно определить матрицу оператора <8 в ортогональном базисе /,((),
ft), f3fi), после чего перейти к нужному базису 1, t, i-.
9 X. Д. Икрамоз
258
УКАЗАНИЯ
7.4.27, Рассмотреть матрицу оператора А в ортонормированием базисе из
его собственных векторов. Через собственные значения Хь ,,,, Х„ провести
на комплексной плоскости прямую.
7.4.32. Согласно 7.4.30 r-й единичный столбец е; является собственным
вектором, относящимся к собственному значению X,.
7,4.41. Покатать, что собственные значения неприводимой эрмитовой мат-
рицы нс могут быть кратными.
7.4.43. а) Общий корень многочленов , (X) и Д (X) будет и корнем много-
члена , (X), н т. д. Но многочлен ft, (X) ~ 1 не имеет корней; б) использовать
а) и 7.4.35; в) использовать рекуррентные соотношения.
7.4.48. Вычисление последовательности (7.4.8) проводить по рекуррентным
формулам, связывающим многочлены (X). 7.4.51. Понизать, что матрица А
подобна трехдиагонзльпой неприводимой эрмитовой матрице.
7.4.52. При доказательстве б) использовать 7.2.50.
7.5,9. Без ограничении общности, можно считать, идо рассматриваемая
главная подматрица порядка fe расположена в левом верхнем углу данной
матрицы Н. В таком случае нужно рассмотреть скалярное произведение (Нх, х)
для тех векторов-столбцов х, у которых лишь первые k компонент могут быть
отличны от нуля.
7.5.10. Пусть Г -- матрица Грпми, х (а..., — произвольный fe-мер-
ный вектор-столбец- Показать, что (Гл\ х) = [ а,х, 4- а^х^ ;.
7.5.16. а) Использовать разложение вектора х по собственным векторам
оператора Н.
7.5,23. Использовать 7.5.22. 7.5.24. Использовать критерий 7.5.18.
7.5.25. Использовать 7.4.53.
7.5.27. Рассмотреть ассоциированную матрицу Н^.
7.5.29. Показать, что произведение Шура матриц Hi и Н, является глав-
ной подматрицей кронексрова произведения Hi х Н„.
7,5.32. Использовать 7,4 38.
7.5.33. Использовать разложение по собственным векторам оператора Н.
7.5.34. а) Использовать 7.5.23; б) использовать 7.5.312.
7.5,36. При доказательстве достаточности условия использовать 7.4.35,
7.5.41. Воспользоваться 7.5.24. 7,5.43. Использовать 7,5.30.
7.5.44. Применить критерий Сильвестра.
7.5.45. См, В, В. Воеводин, стр, 268. 7.5.49. Н- ~ Ь Н.
7.5.50. Для квадратного корпя из матрицы Н использовать неравенство
Адамара (см. 3.3.3).
7.5.51. Использовать 3.3.25. 7.555. Использовать 7.5,52.
7.5.56. Показать, что оператор HS имеет те же собственные значения, что
и эрмитов оператор S1/2//S1/2.
7.5.82. См. В. В. Воеводин, § 78.
7.6.8. Рассмотреть матрицы оператора дифференцирования н сопряженного
к нему оператора в ортонормированием базисе 1, I, tii ... , /я.
7,6.9. Использовать для вычисления сингулярных чисел матрицу сопряжен-
ного оператора в базисе I, t, F, полученную в 7,1.12.
7.6.10. Пусть X н У — произвольные евклидовы (унитарные) пространства
соответственно размерностей н и т. Рассмотреть оператор, порожденный мат-
рицей Л в произвольной паре ортонормированных базисов пространств X и
У, и использовать наличие у этого оператора сингулярных базисов,
7.6.17. Если А — сингулярное разложение матрицы А, то U* и У*—
подходящие матрицы.
7.6,26. Использовать 6.3.51, 7.6.27. Использовать 7.G.2G.
7.6.29. Пользуясь 7.6.28, доказать, что в форме Шура оператора А равны
нулю все внедиагональные элементы тон строки я того столбца, на пересече-
нии которых стоит Xj.
УКАЗАНИЯ
259
7.8.30. Используя 7.6.29, доказать наличие общего базиса из собственных
векторов у операторов А и А*.
7.6.33. Доказательство аналогично доказательству 7.4,38.
7.6.39. Столбцы матрицы ортогональны.
7.6.40. Ранг матрицы равен единице. 7.6.42. Использовать 7,6.20.
7.6.43. Матрица симметричная.
7.6.45. Проверить, что матрица с точностью до числового множителя 2
является унитарной.
7.6.46. Использовать 7.6.36. 7.6.50, См. решение 7.6.49.
7.6.51, Использовать равенство А/Т А* = (Н/ТА)(U;TА*) или {Н/Тд'Г,Х
X (А/Гд*) = U/ Т А *.
7,6.62. Использовать 7,6.59. 7.7.2. Использовать 7.4.24.
7.7.8. Использовать 7.4.16.
7.7.13, Использовать наличие общего ортонормированного базиса из соб-
ственных векторов у перестановочных нормальных операторов (см. 7.2.40),
7.7.17. б) АН подобна матрице /Л/-AH1/- -= НЧ’2Н,ИЙ- i НИ-Н2НУ-,
7.7.18. Выполнить подобное преобразование А DAD~'t гдь D — диаго-
нальная матрица с положительными диагональными элементами, подобранными
тац, что в матрице А для i ---1, 2, ..., n — 1 справедливо; «ь i-ч = ~ “i+p Z-
После этого применить теорему Беидиксона (см. 7.7.15).
7.7.19. Применить теорему Бенди ксоца.
7.7.20. Рассмотреть равенство Ат/, 1 = Е iИ-,Н( 1 и показать, что
|de‘< (АД; ‘)Н=! I.
7,7.21. Рассмотреть эрмитово разложение матрицы оператора А в базисе
Шура и использовать 7.5.50.
7.8.8. Использовать 7.5.62.
7.8.11. Вектор b = (l 1 1)г ортогонален 7’д.
7.8.15. Матрица системы неотрицательная.
7.8.18. Система распадается па две — относительно хт, и хг. х3, хй.
7.8.22. иИепольловать 7.8.5. 7.8.23. Использовать 7.8.6 7.8.32. Использовать
7.8.7. 7.8.37. Использовать 7.1.32 и 7.8,26.
7.8.38. Из условия следует, что 7’Л1 — 7Д. WВд --- N А. Для доказатель-
ства нужного соотношения использовать 7.8.26.
7.8.39. Покачать, что действие обоих операторов па векторы сингуляр-
ного базиса с(, ... , еп одинаково.
7.8.42. а), б). Использовать 7.8.41; в) показать вначале, что оператор X
имеет тот же образ и то же ядро, что и оператор А*, а затем Нз ураиисиия
А*АХ = А* вывести, что действие X на паре подпространств ТА и Тд* обратно
действию оператора А.
7.8.43. Использовать 7.8.42, а).
7.9.6. Доказательство проводится так же, как для закона инерции.
7.9.11. Использовать закон инерции.
7.9.14. Заметить, что при переходе от к D;.-^ число совпадений и
Число перемен знака увеличиваются каждое на единицу, независимо от знака,
приписанного £Д. При этом число положительных и число Отрицательных
собственных значений подматрицы Aftd1 каждое на единицу больше, чем соот-
ветствующее число для подматрицы А*..,,
7.9.39. См. 7.9.40. 7.9.40. Использовать 5.6.36.
7.9.42. Показать, что корни г — уравнении не меняются при невырожден-
ном преобразовании обеих форм.
7.9.44. Использовать 7.2.40.
7.9.50. П усть А и В — матрицы квадратичных форм F и G, и
пусть В = S1 S --треугольное разложение матрицы В. Корни г уравнения
[А — гВ | =_ 0 являются собственными значениями симметричной матрицы
(S_’),AS’1, поэтому можно использовать 7.4,30.
9*
260
УКАЗАНИЯ
8.1.2. г) Использовать неравенство Минковского.
8.1.20. Показать, что все подпоследовательности имеют одитн и тат же
предел а и что а является пределом всей последовательности,
8.1.22. Использовать 8.1.21,
8.1.23. При фиксированном базисе пространства координаты ву,ех векторои
данной последовательности ограничены.
8.1.32. Воспользоваться эквивалентностью сходимости по Л1юбо^ иопме
и координатной сходимости.
8.1.35. Рассмотреть значения каждой из норм на единичном ппаре другод
нормы. и *
8.1.38. Использовать 8.1.35. 8.1.50. Использовать 8.1.49.
8.2.6. Доказать утверждение б) для подчиненной оператор,[[0^ ![Ормь1
а затем воспользоваться эквивалентностью норм. ' ’
8.2.18. Использовать 7.1.17. 8.2.21. б), в), Использовать 7.6.34.
8.2.22. Использовать соотношения
И+Д*), Н„ = -2!-.(Д-Л*).
8.2.27. Использовать 7.6.64 и 7.6.34.
8.2.28. Показать, что для неотрицательной матрицы Я справе;11иво
ство: 8(Д) = 1гЛ. "
8.2.29. Использовать 8.1.34, 8.2.37. Использовать 8.2.34.
8.2.39. Использовать представление подчиненной нормы из 8 2 38
8.2.41. Для заданной нормы ,41 (Л) положить т(х)-—М(Х)1 yJC' мат-
рица, первым столбцом которой является х. а прочие столбцы — t[VbijeBbJe р0.
казать, что w (ж) —норма в арифметическом пространстве п что и М(Х\
согласованы. 1
8.2.44. Использовать 8,2.42 и 8.2.39.
8.2.46. Использовать 8.2.45.
8.3.3. Использовать 8_3.2.
8.3.5. Использовать 7.6.33,
8.3.6. Использовать 3.3.32 и 8.3.5,
8.3.7. Использовать 7.6.33. Penicnire аналогично решению 8.3 g
8.3.8. Представить Л в виде А = D (F, -\-D ’i /?), где D-диаг01!алЬ(!ая
матрица, составленная из диагональных элементов Я.
8.3.10, Применить критерии задачи 8,3.9 к транспонированной U1,nv„_ д т
8.З.Ц. См. указание к 8.3.8, матрице я .
8.3.25. Проверить, что 'deMi = l. Поэтому (см. 8,3.24) У”сЛи1!ение
ла обусловленности возможно лишь за с'Кт увеличения т*орijbJ матр ы
Показать, что матрицы с большей евклидовой нормой, УДОВлеув(3ряю Jelt J ’
ловиям задачи, имеют меньшее число обусловленности. у
8.3,27. Использовать выражение соц(1г (Л +«К) через собсттСн[[Ь1е Зна
пня матрицы Л,
8.3,28. См, 7.4.35,
8.3.30. Для опенки числа обусловленности использовать иерзч^стла эала.
чи 7.6-28. Если умножить первую строку системы на ll.)’1, в'ц:р 1[0 _ н' jq
третью —на 100, то матрица полученной системы будет снмметрир[а а
8,3,35. Показать, что в качестве приближения к точному peileiniI0 задан-
ной системы можно взять решение системы D (х) = t>, где д
f 2.0 000]
Jo -3 0 0|
^“’„0 0 ,5 О1
110 О О 41
УКАЗАНИЯ
261
8.3,36. Показать, что в качестве приближения к точному решению задан-
ной системы можно взять решение системы Вх ~ Ъ, где
0,5 — 0,5 0 О' (0,5
D 0,5 0,5 0 0 к 0,3
0 0 3 -2 р — 1 1°
0 0 -2 1 , |0 .
8.3.37. Воспользоваться тождеством В-1 — J'1 — .4“’ (Л — В) В~>.
8.4.1. См, 8.2.41, а также В. В. Воснодип, стр- 283.
8.4.4. Доказать, что матрица положительно определена.
8.4.7. Применить 8.4.1 к сопровождающей матрице многочлена /
8.4.9. Использовать 6.4.102.
8.4.12. Использовать теорему Шура.
8.4.15. Использовать 6.4.102.
8.4.17. Использовать неравенство Шура и утверждение 8.4.14.
8.4.23. Рассмотреть данную матрицу как возмущение матрицы
2 1,5 0
0,5 1 0
0 0 1
8.4.25. Использовать неравенства задачи 7.4.38.
8.4.27. Данная матрица подобна симметричной матрице
2.10-J —3.10-4
3< 10-4 1 . 10-4
4 . [0-4 _0,4993
0,9991 —6- 10“’
4 IO-’ 0,9991
—0,4993 -6 - 10-1
2-10-4 —2.10-1
—2.10-4 [.10-4
Которую можно рассматривать как возмущение симметричной матрицы В такой,
что &l4 = i>4, = I, i>2a 1>м — — 0,5, а прочие элементы 6,у равны нулю.
8.4.28. Использовать неравенства задачи 7.4.38.
8.4.29. Рассмотреть данную матрицу как возмущение симметричной матрицы
В такой, что &|i == Ьът — I, — ^21 — — 1, Я прочие эле-
менты b-j равны нулю.
8.4.30. Использовать 7.4.38, 8.4.33. См. 7.6.23,
8.4- 34. Из нормальности матрицы И вытекает нормальность А—^Е.
8,4.35. а) На ортогональном дополнении к вектору <=г, собственные значе-
ния нормальной матрицы Л — р.0В но модулю на меньше, чем и; б) использовать
условие: II Ах — рд.т ||г = е; г) использовать неравенство Коши — Бунчковского.
8.4.37. См. 8.4 34.
8.4.39. в) Использовать оценку (8.4.6).
8.4,40. Использовать теорему Шура. 8.4,41. Использовать теорему Шура.
8.4.46. Прибавить к Ся_, матрицу Д„_г — , _Ь... л гс 11 отпить || A,,_t ife.
8.4.47. Это утверждение выводится из 8.4.16 так же, как 8,4.44 из 8.4.43.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1,1.2. Да, если прямая проходит через точку О; нет—в противном слу-
чае. 1.1.3. Нет. 1.1.4. Нет.
1.1.7. Нет. 1.1.8. Да.
1.1.10. 2*.
1,1.11. Да. 1.1.12, Да.
1.1.13. Да. 1.1.14. Да. 1.1.15. Нет. 1.1.16. а) Нет; б), в), г) да.
1,1.17. Пусть G — абелева группа но сложению, содержащая более одного
элемента. Фиксируем некоторое поле Р и для любого х s (i и любого А. <= Р
полагаем Ах = 0.
Таким образом, смысл аксиомы 1х--.г заключается в том, чтоб[Ч при
умножении векторов данного пространства на произвольные числа можно было
получить все векторы.
1.2,9, а) Да; б) да; в) пет.
1.2.11. Система линейно независима.
1.2,12. Система линейно зависима.
1.2,13. 5Р — 5Р — 4Z-I 6 в обоих случаях. Система линейно зависима,
1,2,18. Пусть х,......X., —Произвольная система векторов арифметического
пространства, Из координат этих векторов составим матрицу
Pit р,а - IW
Psi Ра-2 Р'Лс
Р.Я Р>г Р.*Л I
Пусть т — первый из столбцов этой матрицы, в котором есть отличные от нуля
числа. Перестановкой етрок матрицы, что соответствует перестановке векто-
ров системы, можно добиться, чтобы р|т;?ьО. Вычитая теперь из строк, на-
чиная со второй, надлежащие кратные вервей строки, добьемся, чтобы па всех
местах m-го столбца, кроме первого, стояли нули. Проведенные преобразова-
ния строк матрицы, очевидно, равносильны последовательности элементарных
преобразований типа в) системы векторов х......... xs. Рассматривая теперь
все строки матрицы, кроме первой, повторяем указанный процесс, и т. д.
1,2,19. Система линейно независима. 1,2.20. Система линейно зависима.
1.2.21. Система липепцо независима. 1.2.22. Система линейно зависима.
1.2.23. Система линейно зависима. 1,2.24. Система линейно независима.
1.2.25. Система линейно независима. 1,2,26. Система линейно независима.
1.2.27, Система линейно независима.
1,3.1. Все векторы вида (тс, 0, f>, 0, у). 1.3.2. Все векторы вида
(a. Р, V, Р, аТ 1-3.3. Все векторы (aj, a.1P a3, «j, a5), удовлетворяющие усло-
вию 2 CQ —0-
i = 1
1.3.4. Все многочлены степени l<2 и нулевой многочлен. 1.3.5, Т<?т же
ответ, что п в 1.3.4. 1.3.6. Все многочлены степени S;2, у которых сумма
коэффициентов равна нулю, и нулевой многочлен. 1.3.7. То же, что и в 1.3,6,
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
263
1.3,8, Нет.
1.3.11, г4 = 6х2 + 4хя. г2= 2х, -- Юх, д8х3.
1.3.14. Да. 1.3.15. Нет.
1.3,28, 2. 1.3.29. 2. 1,3.30. 4. 1.3.31. 3. 1.3,32. 3. 1.3.33, 4.
1.3,35. Например, х,, х2. 1.3,36. Например, хн х2, *! 1.3.37. Например,
xt, х2, х4. 1.3.38, Например," х|р х«.
1.3,40. а) В системе ровно г векторов отличны от нуля; б) в системе г 4- 1
векторов отличны от ну.тя, причем два из них коллинеарны; в) либо в системе
г + 2 вектора отличны от нуля, причем три из них коллинеарны, либо
'в системе отличны от нуля г-f-l векторов и существует тройка линейно за-
висимых векторов, в которой никакие два не коллинеарны,
1,3.41, х4, х,3; х4, х,; х2. хя; х;), х4,
1,3.42. Любые два вектора. 1,3.43. х,, х2; х2, х3; х2, х4,
1.3.45. Да. 1,3,46, Да,
1.4.1. Пространство одномерно, сто базисом является любое число, отлич-
ное от 1. 1,4.2. Размерности пространства равна k, 1.4.3. Пространство веско-
нечномерное. 1,4,4. Размерность пространства равна 2. 1.4,5, Пространство
бесконечномерное. 1.4.6. Размерность пространства равна и 4- I,
1,4,7, а) I; б) 2. 1.4.8, а) л; б) 2л.
1,4,13. Базисом является система б).
1.4.21. Базу составляют, например, 1-й, 3-й, 4-й многочлены. 1.4.22. Базу
составляют например, 1-й и 2-й многочлены.
1.4.23. 1/3, 1/3, 1/3. 1.4,24, 0, —5,4. 1.4.25. 0, 2, 1, 2. 1,4.26. G7, —51.
—3, И.
1.4.27. а) 1, —1, -1,1, -1,1; б) 2, -1, —1,1, -1,1; в) 1, —1, —1,2, —1,1.
1.4.28, е =- г4 —е2,
1.4.35. X), xa, х3, X}. 1.4.36. Например, х,, х2, х3,
1.4.37. Размерность L равна п — 1,
1.4.38. а). б), в) л; г) n— 1.
1.4.39. Базис составляют, например, 1-й, 2-й и 3-й многочлены.
1.4,43. Нет.
1.5.2. Нет. 1.5,3, Нет.
1.5.7, L2 <= Lt. Векторы х4, Xj, хя линейно независимы. 1.5.8. Базис суммы
образуют, например, векторы хн х2, х3, 34. Размерность пересечения равна 2.
1.5.10, Базис суммы образуют, например, векторы х,, х2, у,. Базис пере-
сечения — вектор г = (3, 5, 7). 1,5.11. Базис суммы, например, векторы х.. х..,
Хл, у,. Базис пересечения, например, ?,=(!. —I, 1, —I), 0, 2, 0).
1.5.12, Базис суммы, например, х(, х2, х3, уг. Базис пересечения, например,
2х = (0, 4, 1, 3), г2=(2, 0, 1, —1),
1,5.20, х--(—1, —2, —6, —3)4-(3, 2, 6, 6),
1,5.23. Подпространство L двумерно. В качестве дополнительного под-
пространства можно взять например, линейные оболочки векторов et —
:=(1, 0, 0, 0). е, — (0, 1, 0,'0) и е3 = (0, 0, 1, 0), е4 = (0, 0, 0, 1).
1.5.24. Напр'имер, множество многочленов вида с-/".
2.1.5. Изменение масштабной единнць! для измерения длън,
2.1.7, а) —1; б) 4; в) 0,
2.1.11. Да, если а —0; нет, при а=А0,
2.1.14. 0.
; 2.1.19. Нет.
2.2,5. _Vi = x1 = (l, —2, 2), у2 = ^ — -3 , — ,j-, Уз = (6, —3, —6).
2.2.6. _у|=х, = (1, 1, 1, 1), у,г = (2, 2. -2, -2), у3==(-1, I, - 1. 1).
2,2.10. Например, векторами х3 = (1, 1, I, 0) и х4•=( —1, L 0, 0-
. 2.2.11. Нарример, векторами х3—(2, 3, 1, 0) и х4 = (I, —I. I, I),
! 2,2.12. Например, вектором х3 = (2/3, —-1/3, 2/3).
2.2,13. Например, х3 = ( 1/2, 1/2, 1/2, 1/2), х4 =(1/2, 1/2, — 1/2, — 1/2).
264
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
2,2,16. л~1, где размерность данного евклидова пространства.
2,2,17. а)
-V) ' “1“ «I Р’2 Т" “I- (^2^3 -ф^ЗрЗ ~Е - - - -ф
Здесь «j, ,.., ал и р|, ---, р(1 — координаты векторов х и у в соответствую-
щих базисах.
2.2.19. у, ^х{ = (2, 3, —4, —6), у2 = (-3, 2, р, -4), уя = (4, 6, 2, 3).
2.2.20. у, п= д-, „(], I, -1, —2), у2 = (2, 5, I, 3). у3 = (2, — 1, 1,0).
2.2.22. Пусть п. 3. Составим по строкам матрицу из координат векторов
с,, ..., Заметим, что если изменить знак у всех элементов произвольного
столбца этой матрицы, то ее строки дают координаты новой системы векто-
ров, по-прежнему ортогональной. Поэтому можно считать, что первая строка
Матрицы состоит только из единиц, и в первых трех строках возможны стол-
бики лишь одного из следующих видов!
1111
1, I, -1, -1-
1-1 1-1
Число столбиков каждого из указанных видов обозначим соответственно х, у,
г, а>. Тогда очевидно, что
x-}-y-{-Z-t-s>=*n.
Из условий ортогональности первых трех векторов следует:
х-|-у —z —а)=0,
х— у -фа — а> = 0,
х— у— z-\~w — 0.
Из этой системы уравнении получаем: х =у = Z — а>~п/4. Таким образом,
п должно быть Кратко 4.
2.2.26. Если / (0 -фа^ + й2/2-ф...-фи,^", g (0 =6ц-ф£>^ + Ьа^ ф-
• • +
(/, В) = ФФо + -ф (21)2 -ф- —Е апЬя-
2.3.6. Например, у, =(—3, 1, —2, 0), y2 = (l, —-I, —2, 1),
2.3.8, а) Одномерное подпространство многочленов, все коэффициенты ко-
торых равны; б) подпространство всех нечетных многочленов.
2.3.9, Например,
За, — а2-|-2«, =0,
а( _ аа _ 2а3 -ф а4 = 0
для подпространства I. и
а, -ф За„ 2а4 -О,
За, -[-7а2 —а3 ф2а4 =0
для его ортогонального дополнения.
2.3.10. Пусть L является лилейной оболочкой системы векторов а,, ..., а*,
не обязательно линейно независимой. Искомый вектор у можно представить
линейной комбинацией у = «,«,-ф...Так как (г, л;)=0, ( = 1, ..., k,
то для определения коэффициентов аь ..., ctj. можно получить систему ли-
нейных уравнений
(а,, а,) а,_(а;, at) а., -ф... ф(^, al}ak~(x, cirf,
(и।, <?2) - (гы, а3 -ф... -ф Фа. о2) = (х, о2),
(О;, + u*)^i + .-. + (n*, aft)a* =i(x, йА).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
265
‘Для построения вектора у можно использовать любое решение этой системы.
Вектор г находится как разность х — у.
! 2.3.11. Если система х,, .... хк линейно независима.
! 2.3.12. у = (5, 2, —9, —8), 2—^(9, —5, 3, 1).
2.3.13. у-= (0, — 3, 5, 2), г=;(2, -2, -2, 2).
I 2.3.14. _у = (1, 2, —5, 1), 2 —(—4, —2, 0, 8).
I 2.3.16. Пусть ея —заданный, а /ъ ..., /„ — искомый биортого-
Овальный базисы. Условия
1 (е,, М = 0, 1 = 1, ,..,/- 1, /+ I, п,
показывают, что вектор // должен принадлежать ортогональному дополнению
к линейной оболочке векторов ,>(, е/+,, ..., еп. В этом одномерном
подпространстве условие (с/, /J — 1 определяет вектор /;- единственным обратом.
2.3.18. /, = (1, 0, 0, 0), /3 = ( 0, 0, 0j, /я=(о, 0, 3-, 0\,
‘/4 = (о. о.о. -[)•
! 2.3,19. /,=(1,0, 0, 0), /г = (0, 1, 0,0), /я = (-1, —2, ], -3), /,^(0, 0, 0, 1).
2.3.20, /1 = (1, 0, 0, 0), /..=(-1, 1, 0, 0), /3^(0, -I, 1, 0), /,=(0,0, -I, 1).
! 1 I I ' 1 \ „ /1 I I 1 \
2.3.21. /, Y- Т> 4 ;> ’ ~4' ~Т’ ~ 4
/ 1 1 1 _ J_\ _ 1 I I _ 1 1 \
/з = |./4“’ - S ’ 4 > 4 у ’ —4" ’ — 4~’ 4“’ 4
2,4-2* а) не изменится; б) заменится на дополнительный (до л); в) нс изме-
нится.
2.4.4. >',=3/2, |_у |^6,
л
равнобедренный, х, (х — V) —
и является внутренним
л
4
|х—у|—3/2. Таким образом, треугольник
так что треу,ольцик прямоугольный, х, у
3;i
углом треугольника. у, (х — у) — , поэтому
внутренним углом треугольника является у, (у—х),
2.4.6. а) ./|*=I0, |g‘---^9, |/-gia=3; j / р <', g |'2+!/-g / следова-
тельно, треугольник остроугольный; б) / pj— Ю, !gp = 13, ,/ — g ‘=4;
| f р > |g г-|~ / — gp, треугольник тупоугольный-
2.4.10. Для параллелограмма условия равенства длин сторон и перпепди-
кулярпости диагоналей эквивалентны.
2.4.14. а) /а 4-314-3; б) 3; в) (3-|-шз4-...-|-т'п}'^-
2.4.18. а) I; б) 1; в) а.
2.4.24. “ 2.4.25. =.
4 3
2.5.8. Равенство ] х — у 2 --»| х р 4*' У I2 означает, что скалярное произведе-
ние векторов г и у есть число чисто мнимое.
2.5.10. Из того, что длины векторов х и у равны, ,;е следует ортогонал,.-
ность векторов x-f-y и х—J».
2.5.15. Комплексное арифметическое пространство Сг1.
2.5.19. Вектору (г соответствует вектор (— р,. .... «„).
В /?э„ индуцируется естественное скалярное .произведение (2-2-1).
3.1.1. Входит со знаком плюс. 3.1.2. Не является членом определителя.
3.1.3. Входит со знаком минус 3.1.4. Не яипяется членом определителя-
3.1.5. а) £13^24^35^46^7061^2; б) И [iPa-4 3'
3.1.6. а) / = /; б) i < /; н) i > j
3.1.7. Со знаком плюс.
266
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.1.8. О j j ^22 ' ' ' '
ЗЛА a) i — n-l-I; б) i-\~ j <rt+l; в) ^ + />л+Ь
3.1.10. Co знаком (_ 1)" (ft “ 1 >/2.
3,1.11. (-1 )л(n “ 1 >''2 а1паг, n^... anl.
3.1.12. (—I)”-1. 3.1,13. (—1)(л-2) (ft~ 11/2. 3.1,14, 1. 3.1,15. 1.
3.1,17. 0. 3.1.18. 0. 3-1,19. 16.
3.1.21, n.
3.1.22, Если положить
1 +l;5 l-]r5
fi — 2 , r2 — 2
то число ненулевых членов в определителе порядка п указанного вида равно
3.1,23. 2“-i.
3-1-24. (—I)'1 (1" — ... п„).
3.1.25. 1л + в„р-1+вя 1Г"3 + .,, + о21 + а,1-
3.1.26. п. 3.1.27.
3.1.29. Должен быть равен нулю определитель
l’it /’та ... Ь1Л
(121 i>22 . . .
f’ni frria Ьпп
3.1.30. Свободным членом будет определитель
«и <т12 ... а1г!
^2- * 1 k ^2/1
unl ann
3.1.31, Полученный определитель будет комплексным числом, сопряжен-
ным с исходным определителем.
3,1.32. Определитель умножится на (— 1)л. 3.1,33. Определитель умно-
жится на а", 3.1.34. Определитель не изменится.
3.1.38. Определитель умножится на (—!)л <л~ На месте (/. /) преоб-
разованного определителя стоит элемент anii исходного определителя.
3.1.39. ипч.1 j.
3,1,40. Определитель не изменится.
3.1.41. ап , 1 _j, я + j - г
3.1.42, Определитель не изменится.
3.1- 43. Определитель умножится на (—1)л(л~D/2.
3.1.44. Корнями уравнения будут числа —2. —1, I, 2,
3.1.45. Корнями уравнения будут числа Он —1.
3.1.46. j.'iJ.'t при п=1, 0 при п>1. 3.1.47. I при л = 1, —2 при п = 2,
0 при п > 2.
3,1.48. Многочлены /1(0. • fni*) линейно зависимы. Пусть, для опреде-
ленности. /Г1 (1) => GC1/1 (0 -г- -J-tCfl-i/,,-!. (1). Тогда для любого числа а /,((а) --
= <Х]/1(«)-; (-“rt-i/n-i (а)- Поэтому в указанном определителе строки ли-
нейно зависимы.
3,1,49- а) Определитель не изменится; б) определитель станет равен нулю.
3.1.51. 1 +Х1У1 при й-|, (х2 — Xi) (у2 — уч) при п = 2, 0 при п > 2.
3.1.52. соэ(«1 — pi) при п=1, sin (tzx — txs) sin (pi — [У при n = 2, 0 при
n > 2.
ОТВЕТЬ! И РЕШЕНИЯ
267
3.1.53- 1 -р -45'1 + *04 4* + хпУп •
3.1.54. 1 — 2(W;-|-KJ;.+ ..._|_aiy’)= —
3.1.57. Перманент матрицы
нравен 2, хотя ее строки линейно зависимы. В то же время перманент матрицы
линейно независимыми строками V, 1 i равен 0.
3.2.1. а) С*; б) (С*)г. 3.2.3, Ск
3,2.4. Пусть рл—сумма всех главных миноров порядка i определителя
а11 йИ > °1л
°21 °®* .. ам
ani апг апп
Тогда f -f- Р4'1"1 Ч---------HP,
3.2,5. *4-1.
3.2.8. Если D — нечетного порядка, то D' — симметричный; если £>—чет-
ного порядка, то D' —кососимметричный.
3,2.9. Пусть ! > j. Тогда в первых j строках минора Мц. дополнитель-
ного к элементу а,стоит подматрица, состоящая только из нулей, в которой
п — j столбцов. Так как —/) = /»> л— 1, то согласно 3.[.20 М^ — 0.
3.2- Ю. £>' = />-1.
3.2.11. а) i-н строка D' не изменится, все остальные умножатся на а.
Весь определитель D' умножится на a* i; б) в D' переставляются f-и и j-я
строки, после чего все строки умножаются на (— I). Тем самым, общее изме-
нение определителя состоит в умножении на (— 1)л^1; в) все строки D', кроме
t-й, не изменятся; из элементов i-й строки вычитаются соответствующие эле-
менты /-и, умноженные на а. Определитель D' не изменится; г) £)' транспо-
нируется .
3.2.116. 216. 3,2.17. —106. 3-2-18, 1. 3,2.19. 120. 3.2.20. —И. 3.2.21. -2.
3.2.22. —13. 3.2.23. 1. 3,2.24. 15. 3.2.25. 3. 3,2.28. 7.
3.2.28. —12. 3.2.29. 16. 3.2.30. ]. 3.2.31. —400. 3.2.32. —36 . 3.2.33. 0.
8.2.34- 8. 3.2.35. —1.
3.2.37. -L (4'”т —1). 3.2,38. 4rt±t — 3',+1- 3.2,39. 2лп_ р 3.2.40. 5".
О
8.2.41. -|1 + (-!)'’] 3.2.42. ~ [ 1 +(-1 )Л1. 3.2,43. l-j-n. 3,2.44. 6п(1-|-п).
3,2.46. ,
3.3.2, 5 казанным свойством обладает ориентированный объем параллеле-
пипеда в любом евклидовом или унитарном пространстве.
З-З-З, а) Следует из неравенства Адамара; 6) пусть в —корень n-й степени
из единицы: в =cos2л;д-|-4 sin 2п/п. Тогда оценка, указанная в а), дости-
гается та определителе
11 1 ... 1
1 е е» ... t'1 л
1 t:~ и1 ... i:
[ gH-“i £Й1’»Г“ ill
268
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
в) для п = 2 оценка достигается на определителе
Пусть для п = 2'1 оценка достигается па определителе матрицы А/с; тогда для
г^2''4 нужно взят!, определитель следующей матрицы порядка 2/ц
3.3.6, Если в данном определителе dn для некоторой пары индексов i, j
элемент в,у но модулю меньше I, то увеличится при замене ац на 1, если
Лгу>о, и при замене на —I, если Д(у<0. Наконец, если Л,у = 0, оцре-
делитель не изменится при замене а;/ любым из этих значений. Аналогичное
рассуждение, проведенное в отношении минимума определителя, показывает,
что одним из определителей данного порядка е максимальным значением мо-
дуля является определитель, составленный из 1 и — 1.
3.3.7. Для доказательства неравенства й/() £- h„ достаточно окаймить
определитель dlt л порядка л — 1, составленный из 0 и L и равный по модулю
йп_,. следующим образом:
О ... О 1
так что получаем определитель порядка п, также из 0 и I, равный по мо-
ду.'цо
Для доказательства неравенства , t возьмем экстремальный опре-
делитель dn, составленный из 0 и I; переставим его строки так, Чтобы на
месте (I, 1) стояла единица, и вычитанием из последующих строк добьемся,
Чтобы все остальные элементы перв>го столбца были равны нулю. Тогда в пра-
вом нижнем углу получим определитель порядка п — 1, составленный из 0, 1,
— I. р;:[ВТ|ЫЙ по модулю hn- Согласно 3.3.6, модуль такого определителя не
Превосходит £,!_!
Д.тя док я затея ьст в а неравенства g„ достаточно окаймить экстре-
мальный определитель d„_1( составленный из I и —1, так же как при дока-
зательстве первото неравенства, а затем использовать 3.3.6.
Чтобы доказать последнее неравенство, возьмем экстремальный определи-
тель г!„из 1 и —1. Умножая, в случае необходимости, строки и столбцы
этого определителя па —1. добьемся, чтобы все элементы цервой строки были
равны 1, а все элементы первого столбца, начиная со второго элемента, —1.
Прибавляя теперь первую строку ко всем остальным, полупим в правом циж-
нем углу' определитель порядка л—1, составленный из 0 и 2 и равный по
модулю gn. Вынося из каждой строки 2, видим, что этот определитель яв-
ляется произведением 2“ i и некоторого определителя порядка п — 1, состав-
ленного из 0 и [, откуда и следует нужное неравенство.
3.3.8. Согласно 3.3.7, /!3=s;g, = 2. То. чтойа = 2, показывает, например,
определитель
1 0 1
110.
0 1 1
Так как, очевидно, 7^—1, то, согласно 3.3.7. =£ 4. Так как g3 2 и g3
кратно 4, то £3 = 4.
3.3.9, Пусть dn i — экстремальный определитель порядка п— 1. составлен-
ный из 1 и —1. Обозначим столбцы этого определителя через
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
269
и составим следующий определитель порядка п, также содержащий только 1
И —1;
ai Q- ”' I I ,!1
& -1 1 ... 1 1
Среди миноров (л—1)-го порядка, расположенных в первых и— 1 строках
определителя, то.тько два отличны от пуля, поэтому разложением по послед-
ней строке получим d — 2dn_1.
3.3.10. Согласно З.З.о, 3,3.7 и 3.3.9, кратно 16 и g57.;- 2g4 = 32. С дру-
гой стороны, по неравенству Адамара,
Яз (lz5)“ = 25 р'Г1<64.
Следовательно. g5 равно либо 32 либо 48. Способ окаймления экстремального
определителя 4-го порядка, указанный р решении задачи 3.3.9, позволяет по-
лучить для определителя 5-го порядка лишь значение 32. Поэтому окаймим
этот определитель иначе:
1—1-1 1
1 1 -1 —i
1-1 1—1
1111
1
— 1
1
1
-1 1—1-1 1
Этот определитель равен 48. Итак, Яр, =-48.
3 3.11, Булем ечнтмь, что ,14 = 1. Окаймим
дующим образом;
1 I I
определитель d порядка п сле-
2 2
Очевидпо, что полученный определитель d порядна » +1 равен d!2. Вычтем
теперь в 4 первую строку из всех остальных. Тогда все элементы определи-
теля по модулю не будут превосходить 1/2 и, согласно 3.3.5, а),
d/2 ss(1/2)”+ ' -(л+1/'1+1,/2,
что и требовалось.
3.3,13. а) определитель G (х(, ..., х*) имеет диагональный вид и равен
| х, г1 । х211... х*;-; б) определитель С (хт, .... хА) имеет «кво [Диагональный
вид» Н равен С (х,, ... , X/) С (x(j_|p ... , х*).
3,3.14. а) определитель не изменится; б) определитель умножится на , а ,2;
в) определитель не изменится.
3.3.20. Согласно 3.3.18 С1-'2 (стд, .... ап) есть объем параллелепипеда, на-
тянутого на векторы at, ..., а„; тот же смысл имеет модуль det Л.
3.3.25. Определитель Грама не превосходит произведения двух своих
взаимно дополнительных миноров и равен ему в том и только том случае,
когда хотя бы один из них равен нулю либо равны нулю все элементы опре-
делителя, стоящие вне этих миноров.
3.3.27. При — 3 неравенство принимает вид
V3(Xj, X.J, х3) :£. 5 (X,, jyi'fj,. All J's)-
Таким образом, квадрат объема параллелепипеда, натянутого на векторы х1р
х1р ха, не превосходит произведения площадей его граней.
210
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
3.3.29, Если все элементы некоторой строки ортогонального определителя
п
изменить ;:а числа i~ 1, , п, так, что t--= , Hj /- < I, го для полу-
i =-1
Ч1;ви|егося определителя d' справедливы неравенства
1-; е | \d' р.= 1 -s-je р
3,3.30, Модуль мипор.т, Стоящего на пересечении строк е номерами i....
..., ih и cto.'iCiidii с номерами /*, есть объем параллелепипеда, полу-
ченного тюоектированием указанных строк на координатное подпространство
векторов e,j, ..., , где е,, ..., е,( — естественный базис арифметического
пространства.
3.3.32. Если основанием соответствующего п-мерного параллелепипеда П,(
считать (и — 1)-адрнып наралледанииед Нп ,, натянутый на первые п— I строк,
очень большом объеме основания
то И,, ii’icer очень малую высоту при
34 2 А(1........р)
л1[--Р- 1 Р\
3 4 6 Л—1’ ' //
ТО <4 (1, ... , Р— I)’
3.4.10. 4. 3.4.11, —16/. 3.4.12.
р^: п.
— 1'2. 3.1.13. 5. 3.4.14. 0. 3.4.15. 80.
3.4.10, 3. 3.4.17, 2-а-З J 5 1 Т *. 3,4.18. 240. 3.4,19. —1/2. 3,4,20. —18 016.
3.4.21. 2. 3,4.22. -1. 3,1.23. 5. 3.4.24. 16. 3.4.25. 63. 3.4.26. 32. 3,4,27. 1.
3.4.28. 13.
3.4,29, Это число — многочлен от п, старший член которого равен п3/3.
3.4.30. д) Старший член чне.ча операций ранец пРр; б) старший члец ра-
вен 3/1.
3.4.31, Нужно проводить вычисление определителя dn^ таким образом.
Чтобы Д. оставался ведущим главным минором в Накопление определи-
теля треугольной Матрицы нужно проводить, начиная с верхнего угла.
3.4.32. Условие невырожденности позволяет добиться неравенства нулю
всех ведущих главных мвцоров лишь перестановками Строк; допустимы также
перестановки первых п — 1 столбцов. Далее проводится метод Гаусса, вклю-
>1Э(ОЩпй последние столбцы всех fe определителей.
3.4.33. Например, первую Строку поставить на последнее место н то же
сделать е первым столбцом.
3.4,36. Например, определитель
I 0 0 ... 1
-I' I 0 ... 1
-I -1 I ... I .
, I _[ । ... ]
3,4,38. Для метода Гаусса с выбор-/М г,ц столбцу утверждение неверно;
пример —
I 1 1000 (
I I 2000 I'
3.4.39. Будем считать, что max ! а,у ; = 1. Обозначим; а = ]в/в [, р = [аЛ:|.
'< i
Тогда [1 йД2а, Откуда |5^2|'2<3.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
271
3.4.42, Определитель равен 1 ц длина каждой его строки равна 1; согласно
3.3.4 строки определителя попарно ортогональны.
3.4.43. а) 2 ‘ - (det Л)-; б) 0; в) (det Л)’; г) (-1)" - (det Л)А
4.1,4. Все элементы матрицы, не входящие в базнсныц минор, — нули.
4.1.5. См. ответ задачи 4.1.4.
4,1.14. Если &j, /,т, <.., сч — подходящий
любого ди еда ct, я -А 0, подходящим будет также и
иабгф чисел, то для
набор «(.ц, ..., abHI,
4.1.17, Нет. Контрпример —
А
(0 1\
'(О oj-
4.1,18, Ранг либо це меняется, либо изменяется на единицу.
4,1.19, Ранг 1-[:’.ьгс|-1Ясгея це более, дим ца едипниу; не более, чем на k.
4.1.21. 0, 1, 2.
4,1,28, I. 4.1.29, 4. 4.1.30, 3, 4.1,31, 3. 4.1.32. 4. 4.1,33. 4.
4.1-34 , Размерность равна трем.
4,1,35, я) Да; б) да; в) нет-
4,2.7, Такая плоскость состоит из единственного пектора.
4.2.8, Такая плоскость совпадает со всем пространством.
4.2.9. п.
4.2.12. Если х.......... х* — заданная система векторов, то в качестве
вектора сдвига искомой плоскости можно взять х(1. а направляющим подпро-
странством—линейную оболочку векторов xL—Хц, ,.., х& —х(,.
4.2.15. L,+L2.
4.2.15, А, если л =/- 0; О, если 1 = 0.
4.2.17. Да, если L = O; н этом случае М совпадает с V. Нет, если I. -70,
так как операция умножения на число, как она определена в 4.2.16, выводит
за пределы Л1.
4,2.18. Сохранить определение операции умножения ца число для чисел?.,
отличных от пуля. Для ВСЯКОЙ ПЛОСКОСТИ Р = х(1 -\-L положить O-P---L,.
Тогда /. будет нулевым элементом пространства М.
4,2.19. <1 ini ,44 — п — k.
4.2,20. Ука:’Я|шаи плоскость содержит вектор г. по не содержит вектор о.
4,2,22. а) 11р51Х|Я$| ца пересекается с плоскостью; б) прямая имеет с пло-
скостью единственный общий вектор а,,(2. 1, —2, 2); в) прямая лежит в пло-
скости.
4.2.23, Прямые имеют один общий вектор г(, = (—5. 11, —16, —И, 7).
Плоскость, проходящая через этот вектор и имеющая споим направляющим
подпространством линейную оболочку векторов <7, и <?г, содержит обе заданные
прямые.
4.2,24. Провести плоскость через х( параллельно линейной оболочке
векторов х-, — х,, г<}, q„.
4.2.25. Плоскости имеют единственный обпшй вектор z,, -’- (I, 2. I, 0, 1).
4.2.26. Плоскости не пересекаются. При этом их направляющие Подпрост-
ранства пересекаются только по нулевому вектору.
4,2.27. Плоскости не пересекаются. При этом их направляющие подпро-
странства пересекаются по одномерному подпространству, натянутому ца вектор
4-р3‘-<7а- <?; (5. I, 0. 0. 5).
4.2.28, Плоскости пересекаются гщ прямой X = г,а ч^1, те гп =
(—2, —1. 6, 6, 7).
4,2.29. Плоскости не пересекаются. При этом они имеют одно н то же
направляющее подпространство.
4.2.30. Плоскости совпадают
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.2.34. Пусть P = x0 + Zf( и et, efi —базис Lb. Дополним его до ба-
зиса всего пространства: г,, е^, е&+1, , е;1. Тогда в качестве искомых
гиперплоскостей можно взять:
Л1 = Л'оф-Z, (£]. • •., CftT2, eh,з....efi),
л 2 — Ai “T (- (Ci. . C£. <?/,..л, .... <>„),
Лд-ft “-Co (Cl. , C*. Cfr+1> Cft,2. > Cn..-|).
4.3.1. Если x0 —произвольный вектор, удовлетворяющий условию (л, х„)=Ь
(в качестве х(-( можно взять, например, вектор апп, <Хп=Ь>(п, л)), то дан-
ное Множество представляет собой гиперплоскость векторов вида хл — у, где у —
любой вектор, ортогональный к п. Эта гиперплоскость является подпростран-
ством тогда и только тогда, когда t=0.
4,3.5. п (Z) = I -|-с/-|-сЧ- ... рс'7я. b----d,
4.3.8.' Пусть х„ — произвольныii вектор пересечения. Перепишем уравнения
гиперплоскостей в виде
(Hi, х-х(|)^0,
(п,2, к — ХО)=О,
[Пй. Х -Хо)=0.
Отсюда видно, что пересечение зашитых гиперплоскостей есть плоскость Р =
= хоф-/.. где L —ортогональное дополнение к липСппой оболочке векторов
/ф, , "ft-
4.3. Ю. Ортогональное дополнение к I. натянуто ца векторы г, --
= (—3, I, —2, 0), г2- (I, —I, —2, ) (см. 2.3.6). Поэтому Р можцО описать,
например, системой уравнений
(г,, х) =(zt, хв),
(?т, x)=-(z2, х0),
т. с,
—Зое t -1-гх„ — 2я3 --—4,
ОСТ — а., — 2czrl _|_rxj = — [.
4.3.14. z(1 = a(tn, где aa = b,;(n, и).
4,3.16. /(/) де 1.
4.3.19. 5.
4.3.22. 2. 4.3.23. 2.
4.3.24. 150. 4.3.25. 5. 4.3.26. 5.
4.4.4. 0, 7.
4.4.5. При Л I, 2 система имеет единственное решение; при Х = 1—одно-
мерное, а при X = 2 — двумерное подпространство решений.
4.4.6. При X =/-— 1. —2 система имеет единственное решение; при X =
= —I — одномерное, а при X = — 2 — трехмерное подпространство решении.
4.4.8. Ведущие эдементЬ] равны отношениям угловых миноров.
4.4.10. Ид линейной зависимости векторов у,. .... у* очевидным обратом
следует линейная зависимость векторов г,. .... zk- Пусть, теперь, обратно,
в равенстве a|Zt-|-... =0 есть коэффициенты, отличные от нуля. Тогда
два решения системы (4.4.1)—нулевое и ar уйф-ад-Уд.,— имеют одинаковые
значения последних п — г компонент, следователь ho, a, vt ф-------|~а&У(. = 0, т. е. с
векторы у,, ..., _vft линейно зависимы.
4.4.14. При проведении метода Гаусса и последующем получении формул
общего решения над Строками указанной подматрицы выполняются только
элементарные преобразования. Конечным результатом будет матрица С (нуле-
вь,е строки от (г-[-1)-н До m-н отброшены), 1
ответы и решения
273
4.4.16. Любой вектор 4-мериого арифметического пространства является
решением системы-
4.4.17. Например, общее решение: х., =— „ х2-|--^ ха, х4 —0. Футщамен-
О Q
тальиан система решений: у1 = (—7, 3, 0, 0). у2^-(5, 0, 3, 0).
4.4.18. Общее решение: x3^2x.-^5x.; —9хт. Фундаментальная система ре.
шениц: у,= (1, 0, 2, 0), у-2 = (О, I, 5, 0), у3-.= (0, 0, —9, 1).
4.4.19. Система имеет только пулевое решение.
4 4.20. Общее решецие: х, =rx1t xs =х,, x3-~ — х<- Фундаментальная система
решений состоит из единственного вектора, например, у = (l, I, — I, I).
4.4.21. Общее решение; х, — 2х34-8хг х„ = — х3 — 2xt. а'з-__0. фундамен-
тальная система решений: у,=(2, —I, I, 0, 0), j’a-:
4.4.22. Обшсе решение; х4 “ — -% х3 — 12х., —
(8, _2, 0, ], 0).
х5, х2 -_2 г, — 9х4 — 18х5.
Фундаментальная система решений: у, =(—1, 2, 2, 0, 0), у„-_ (12, 9, 0, — I, 0),
у3-Ч4|. 36. 0, 0, -2). [
4-4.23. Общее решение: х1 = х2 = ух3, х-^х, = — х5 Фундамшгга.ть.
ная система решений состоит из единственного вектора, например, у =
= (1, I, -3, -3, 7).
4 11 3 1
4.4.24. Общее решение: х, = — ^ х, — — х3, х, = _ -% хэ _ х3, х1 = 0.
фундаментальная система решений: у, ~(2, 9, -6, 0, 0), у., =( —2. 3, 0, 0. 6).
4.4.25. Общее решение: х.--- — х„ = х;, — — х., - Эх.. Фундаментальная си-
стема решений: yt — ( — 1, I, —1, I, 0), Уг~(3. —3, 3, 0, 1).
4.4.26. Первые три столбца матрицы системы линейно зависимы; четвер-
тый столбец не выражается линейно Через остальные, поэтому xj —0; это же
верно в отношении пятого столбца, поэтому х3—0.
4.4.27, х„ х< х,. х4; х3. х4; х2, хл; х,, х2; х2, х3.
4.4.28, л н--1 -k.
4.4.29. Базис подпространства образуют, цапримср, Многочлены Д (/) =
=_62-*+ 11?а —6/ и /а(0 =^-25i3 J-60(S-36/.
4.4.30. а) Например,
70х, — 16х3 -р 4х, -|- х4 “ 0,
—бх4+ х3— х3-|-х6=0.
Чтобы получить ответ б) (и)), можно прибавить к а) любую линейную комби-
нацию (две линейные комби на пи и) у равнений а).
4.4.31. Нет. Заданные системы не эквивалентны.
4.4.33. (44, -11, “31, -6).
4.5.6. При 0,6 система определена; ири с = 0 она несовместна; при
Л=^6 система имеет двумерную плоскость решений..
4.5.7. При Л.=^ —I, 2 система определена; при она несовместна; при
1— —1 система имеет двумерную плоскость решений.
45 37 23 42
4.5.12. Например, общее решение: xt = - 4- х2 - [g х3 — j-g хг
4,5.13. Система несовместна.
4.5.14. Например, общее решение: х, -~= — 1 -[ х;1 •• -2л ,, х; — — 34-ха — 2х3,
4.5.15. Система имеет одно решение: х(“1, с —1. Хг— — С -»'j — 1-
4.5.16. Общее решение: х.^б —х5, гг--»4г3, х:, - !, х,——1— х3.
3 3 39 1 ,
4.5.17. Общее решение: xt = — 2‘ — 2 .2 *3 = "3" ' *5’ А4 “
274
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
4.5.18. Общее решение: X; = -g- — g ju — g x3 -g x,, xs— 0.
4.5.19. Система несовместна,
4.5.20. Система имеет единственное решение: х, = х2 = х:! = х( —1, х5 = 2.
л 5 3 „ 11 6
4.5.21. Общее решение: х, = — <> *з. + —о, х3 “ У У Хя'
4.5.22. Система несовместна.
4.5.23. При 7. + 5 система несовместна. При К — 5 система совместна и ее
общее решение, например, таково: хт = —4+х3, л2 =— 2ха.
4.5.24. При 7. + —3 система нмсет единственное решение:
1 4Л.+ Н Л+ П
л'2~3<Х-|-3) 3(А4-3)’
При X — — 3 система несовместна.
4.5.25, Систем;, совместна при любом значении X. Г[рц —<15 общее
13 23
решение имеет вид ха ~0, д-, = '; — тхх3. При Х = —95 общее решение таково:
1 1Z
13 19 23
** ^F2 + 'i2Yi- 12 *3’
4.5.26. При Л + 1, —2 система имеет единственное решение:
Прн 7,^-1 общее решение: хт — 1 — x., — x3. При 7.== -2 система несовместна.
4.5.27. При 7. + 1, —2 система имеет единственное решение
1 2
хг х2 _ х __ J , х„ - х _ J
При Х=-1 система несовместна. Прн 7,=^— 2 система совместна, н ее общее
решение: xt— 1-',-х3.
4.5.28. При 7. =# I, —2 система нмсет единственное решение:
3 3(М-1)
- (Х_ ц (Х + 2) ’ = (X— 1) (К + 2)'
Прн 7,^=1 и Ъ — —2 система несовместна.
4.5.29. При X --*= 1, 3 система имеет единственное решение:
Прн Х = 1 общее решение: х1 = 1 — х2 — хэ, При Х = 3 система несовместна.
4.5.39. При Х + 1, 3 система имеет единственное решение
2 „ 3--77,
*т=ЗТТ’ А'==^ = 0’ =^--))0_А) •
При Л=1 система несовместна. При 7. 3 общее решение:
17 1 2 „
^ = " 9 ~ =
4.5.31. Третий столбец матрицы системы не выражается линейно через ее
остальные столбцы; пятый столбец не выражается линейно через остальные
столбцы расширенной матрицы системы.
4-5.32. Нет. Формулы не эквивалентны.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 2?5
| 4.5.33. Да.
К- 4.5.34. п _|_ 1 — k.
г 4.5.35. Указанные условия определяют двумерную плоскость. Если (t) —
i какой-либо многочлен этой плоскости, то многочлены /ч (О + Д (1), fo(0 4-
! 4" МО, где f, (0 и f2 (0 образуют базис направляющего подпространства, ли-
нейно независимы. В качестве f, (t) п Л (/) можно ваять многочлены задачи
4.4.29,
4.5.36. х|=2, —I, хя — 1, х1=3.
4.5.40. х, a-P_^L-£L^l i Х2 ~ + ,
(' ср + dq + ar — !is dp — cq br + as
С *3-— *4“= А - -
; 4.5,42. /(0 = Р-^ + 3;—2.
I' 4.5.43. f (/)=—3f»+7t
| 4.5.47. f = —4^ + 3/_1.
г 4.5.49. f (1)=2P —13-312-2/-|-1.
4.5.51. f (t) = 2(s — 4i4 — 3(--f-5/— 2.
_ 4.5.53. Для функции f и ее производных напишем систему уравнений;
hf =g.
! fty-J-lif' =g',
h'2'/4 2/i7'4-/if(2> =gM
7'4- с=Л(Я~®:712Ч-...Ч-^('’1 =g‘n|.
Пользуясь формулой Крамера для fin’t получим нужное соотношение.
4.5.54. f'v (1)--— 2.
5.1.1. Да, если <т~0. Нет, если атйО. 5.1.2. См. ответ 5.1.1. 5.1.3. Да.
5.1.4. Да. 5.1.5. Да. 5.1.6. Нет. 5.1.7. Да. 5.1.8. Да.
5.1.9. Да если а=0. Нет. если а^О. 5.1.10? Да. 5.1.11. Нет- 5.1.12. Нет.
5.1.13. Да. 5.1.14. Нет.
5.1.15. Нет. 5.1.16. Да. 5.1.17. Нет. 5.1.18. Да.
5.1.19. Да. 5.1.20. Да. 5.1.21. Да. 5.1.22. Да. 5.153. Да. 5.1.24. Да. 5.1.25.
Нет. 5.1.26. Нет. 5.1.27. Нет.
5.1.34. Всякий оператор пространства /?*" состоит в возведении всех чисел
этого пространства в степень с фиксированным (для данного оператора) дей-
ствительным показателем.
5.1.36. Нет. 5.1.37. да.
5.1.40. а) Да; б) нет.
5.1.44. Нет, если система хг ... xj, линейно зависима.
5.1.45. Да.
5.1.47. Для того чтобы линейный функционал <р пространства Л1гд можно
было задать формулой ф 1 7) =f (n<j, необходимо и достаточно, чтобы для чисел
С; = ф(1‘), 1 = 0, 1,..., л,
выполнялись соотношения;
с0= 1, -£i±l_ = const., 1 = 0 1,,.., n — 1.
ci
5.1.52. Нет. Всякий оператор пространства С. полученный указанным обра-
зом, -;лепспИ[|ельные» векторы (г. е. векторы вида х-{-10) переводит снова
в действительные.
276
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.1.53. Нет, если этот функционал не равен тождественно нулю.
5.1.55. Да, если din, VE-diin X; пет, если dim / < dim X.
5.1,56. Нет, если dim У > dim Х‘ да, если dim У dim X.
5.1.59. ,\'л; О,
5.1.66. п, если /—О; и—I, если /^0.
5.1.67. Двумерное подпространство пскторон. ортогональных к а; двумер-
ное подпространство векторов, компланарных с а н о,
5.1.68. Л’j—прямаи, натянутая па вектор а; Т А —плоскость, перпендику-
лярная к вектору а.
5.1.69. Если (а, ?))—0, то — плоскость, перпендикулярная к вектору а;
Г,—Прямая, натянутая на вектор й. Если же (а, Ь) тр. 0. то Луд — прямая,
затянутая на вектор ft; ТА — плоскость, перпендикулярная к вектору а.
5.1.70. . = [, базис образа— ;/==(I, [, |);нд—2. базис ядра —Z,—(1,
- 1, О). У-1Г (I, 0, — |).
5,1.71. т., — 2, базис образа — = (2, 1, I), уа = (— |,—2, 1); пА = i,
базис ядра— Z=(|, I, 1),
5.1.72. гА =3; В/]=0.
5.1.73. Образ — Л1Ч_1'. ядро — Ма.
5.1.74. См. ответ 5.1.73.
5.1.75. и 1 —если ft С n-|- 1; 0 если k 2s «+ 1.
5.1.76. Np = L„; Te =1.,.
5.2.7. Пусть f,,... , с,, — некоторый банис пространства X, и пусть для задан-
ного оператора А из од.,;.
de1] =“ 71Ч-Ч-*' “Ьг Ятt
— л,; 7| -|- fl-ja 7'2 Ч- + 7пи
— а,п +... -yamn. qm.
Положим
। Д-гС] - (fat fa, > Qni,
2^,02 — <1; 2 7l, ~ Й-2-2 fa, , ^mt:2 — farA 7 m,
Byfa =“ ^2.cn fanfa, ... ,
Очевидно, что операторы В;, i — 1, ... , ш, удовлетворяют условиям задачи.
5.2.11. dim а>ху=тп.
5.2,12. а) Нет. если TtfaO; б) нет, если N-А X.
5.2,13. dun ахт — кп.
5.2.14. dim Xv = m (» — /)
5.2.20. Пусть Cff (d -- n — г) — какой-либо базис N A;
i/ij.,,... , cB — базис X. Тогда векторы г/, = • /1г:,/.4_|, .,. , yr = Ae/t составляют
базис ТА. Искомое представление оператора А дают операторы
определенные равенствами
„ ( 0, k^d + i,
{y\,kZd+i.
5.2.21. Или NА = Nr. иля Тл =Тв.
5.2.22. Пусть в L все операторы имеют ранг I, и пусть А — произволь-
ный оператор ранга 1 из L. Рассмотрим в L подмножество всех операто-
ров /3, для которых и подмножество L,t всех операторов С. для
которых Тс ТА, Согласно 5.2.13. 5.2.14 эти подмножества являются под-
пространствами L размерности п. Поэтому £,^7., существует one-
ОТПЕТЫ И РЕШЕНИЯ
277
ратор D из L такой, что D ф L,, D ф Ь2, т. е. ТD фТА, .V& 7^ .Vд. Но тогда
(см. 5.2,21) A-\-D имеет ранг 2.
5.2.23. Нет (см. 5,2.8).
5,2.24. Да.
5,2.26. NP_P = Тр, ТЕ_р Np.
5.3.4. Нет.
5.3.6. п (п — г), 5.3.7. п (п — г). 5,3.8. Ранг равен п г, дефект равен п (п — г).
5.3.10. Пусть х<=Л'¥гк. Тогда
/1'^* х = 0 — /1'4+’ (,4fc-’ х).
Так кэц то
Л7 (Д*-< х) =0 = Л'1 + к~1 х,
т. е, л- е= N Следовательно, .Vry + fc — Л'7[ j_t- Продолжая таким образом,
получим
Nq + lt = Л + fi _ , = Л/7 + fe„a = - “ 'V i) j. 1 = ,'V q-
5.3.12.
5.3.19. Если D—оператор дифференцирования, то
г°+4 *>•+ +-«,-D>-
5.3.21. Пусть tp(A)--=:O и <р (/) = q (4) m (I) + г (0, где степень г (?) меньше
степени m (t), либо г (4)а0. Если г (?) — ненулевой многочлен, то г (Л) = (р (Д) —
— q (Л) m (А) = 0, что противоречит определению многочлена m(t),
5,3.22. Пусть mL (!) и два аннулирующих многочлена наименьшей
степени. При" этом можно считать, что старшие коэффициент^ обоих Многочле-
нов равны |. Если р (^ = (0 — m2 (/) —ненулевой многочлен, то оц также
аннулирует оператор А.
5.3,23, a) m (J) — Р — 4, если Р ф 0, Е; m (4) = I для Р == 0; гс (4) = 4— I
для Р = Б; б) иг (4) = Р — I; в) гс (4) = 4'4.
5.3.25, Нет.
5.3.31. То, что Ру Р2 является оператором проектирования, следует (см.
5.3.17) из равенства:
(Ру Р,,)= Ру Л, Р, Ра Р'у Р1 =. Ру Рг.
Из перестановочности Pf и Р2 вытекает также, что с 7’Р| А
Если, обратно, те ГР| Q Тр^, то Ру х = Р2 х = х и Pt Pz х = х, т, е. х е TPi Pj.
Снова используя перестановочность Р, и Р-i, получаем, что NPt cz Л’
и Xp^ch'p р т. е, Np 4-1V;,,, сЛ'р, р.- Пусть теперь xeNp^. Тогда
P^x^-Nj,^ а а(Е — Р2) х <= Кря. "Тождество х = Р2 *+ (Е — Pz) х доказывает
обратное включение: ArPj?
5.3,32, Легко проверяется, что' из Ру Р2 — Р2 Pt =0 следует: (Pi + Т’г)2 —
р,-|-р.,, т. е. Ру +Р2 — оператор проектирования. Пусть, обратно, (Рр-рР^ =
Умножая это равенство слева и справа на Ру, получим
Pi PzPi+PyPz.^^,
Р.Ру-рРу Р2РУ =0,
что дает
PzPl-Л Р3=И)
и, следовательно.
P1P2 = PS Pi^O-
278
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Включение TPt + Pt <= TPj + TPt очевидно. Из условия PjP3=0 следует,
что Тр cz Np . Так как сумма Тр А-Мр прямая, то это же верно для суммы
Тр -\-Тр . Пусть телер ь х е Тр Тр , т, е. х = х{ -|- т,, где е TPi, х, е
е TPt. Тогда
(Р [ Р.,) х = (Р, 4- Р2) + (Pi ~h РУ) х2 — (Рт 4- Ра) Pi*i “I- (Pi 4- Ps) Pj.fi =
— P;*| -L- P— *[ 4~ *s ' Xt
t. e. TPt + TPacz TPi^_Pi.
Так как TPt П Тра=-О, то из х е Nр +pt, т. е. Рух-~— Р-х, вытекает:
х (= NPi П NPi.
5.3.38. Оператор, ставящий в соответствие каждой функции ее (единствен’
ную) первообразную, принадлежащую данному пространству.
5.3.39. Р 1^-Р.
5.3.41. Ядро каждого из операторов £4-Л и Е — А в случае их вырож-
денности должно совпадать с образом оператора А. Но для ненулевого век-
тора х одновременное выполнение равенств —Ах — х и Дх = х невозможно.
5.3,51. Да, если dim У = dim X; нет, если diml^>dimX. Случай
dim Y < dim X невозможен.
(8 -12 О
5.4.1.
5.4.2.
5.4.3.
5.4.4.
5.4.5.
5.4.6.
5.4.7,
5.4.8.
5.4.12,
5.4.14.
5.4.16.
Лй = —1. вл =1 6 — 90
2 — 3 0
—4 6 0 2
ПО 0 —3 2 —2 2
АВ = , ВА =
|0 0 4 —1 4 —3
1 6 6 —2
1—52
АВ = 78
| 69
АВ = (-15 97 78 -112).
ДВ = (-1 О
10 0 0 0 0 0 0 0
АВ =
10 0 0 0
Io 0 0 0
1° °:
0 0
АВС-- = о о
0 0
1 2|
t 1 —1 1 '
Х =
«)
»..з. X-]’ “||.
s.4.,5. х-|; ;ц.
О 1 I
3
5
7
О I I
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
27!)
5.4.19. Умножений — шрл, сложений — тр (л— 1).
5.4.20. Для произведения (АВ)С требуется mp(n-\-q) умножений, для
произведения А (ВС) — nq (тр) умножений.
5.4.25. а) К строкам А, начиная с прибавляется i-я строка,
умноженная соответственно на tz;i31i, .... ani‘, б) ко всем строкам А,
кроме <-Г1, прибавляется <-я, умноженная соответственно на ...........о
Для умножения справа; а) к i-му столбцу А прибавляется каждый из
последующих, умноженный на число ац, k=m -г- I, .... л; б) к i-му сго.чбцу А
прибавляется каждый из остальных столбцов, умноженный на соответствую-
щее число стд.,, k^i.
5.4.29. '1 М
|0 If
5.4,30. | C/j _з
11’
Ci — числа Фибоначчи: с_]=0, с0 = 1, с* =Q_i + еЛ-г.
5.4.31.^
X*
0
при k — 2т и
npii k = 2т д-1
5.4.33. Если обозначить заданную матрицу через А, то для В—Л* при
k<n имеем: = ! = 1, .... Л-4; прочие элементы равны пулю.
Если k -г и, то В = 0.
5.4.34. Если обозначить заданную матрицу через А, то для В-Дя при
k < п имеем: Ь;, ,.,-k =1, ' 1, - - - , п —I, < =я — й + 1, , п; про-
чие элементы 0,/ равны нулю. Для k = n получим А^ — Е, Если же k !> м, то,
представляя k в виде А = пр-[-/н, имеем Ak = Am.
280
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.4.42. |j и b c | 5.4.43. a b c . . , h.
Io a b a b *
;,0 0 a a '
t t c
0 b
a
5.4.44. n, где n- -порядок жордановой клетки.
5.4.46. "(”+1Н»+2)
6
5.4.54. п-. Требуется вычислить лишь п элементов, которые полностью
определяют пиркудяцт.
5.4.55. 2 (щ, + mJ + 1.
5.4.60. а =х1и1 +-тд/,^-,. .4- х„уя.
5.4.61. п(« |-2), если исходить из представления матрицы АВ в виде
4S = ([U) г. где р — У1И, -|-...-Н1/,(ия. Тогда потребуется п умножений для
вычисления р, и для вычислен ид вектор-столбца p.v, п- для вычисления (рх) о.
5.4.62. Матрицу В составим из какой-либо системы базисных столбцов А,
столбцы В составим из коэффициентов разложений соответствующих столбцов Д
по этой системе.
I' 2 2 'i
5.4.63. Например В — I 2 О,
||о 2|
5.4.64. Например, 8 =
0
5.4.67. Произвольная квазидиагональпая матрица с диагональными клет-
ками соответственно порядков &а, ..., kr.
tn Bl
5.4.75. Пусть ^ijff X c;=0. Отсюда
i=li=i
Ввиду линейной независимости системы
... , ет получаем
fl
2 1=1,
; = i
откуда oi;/ —0 для всех I, j.
5.5.1.
5.5.3.
5.5.5.
5.5.7.
_ I .16 4;
2 ,|й 5 |,-
‘ II а м
а-А-Ь".\~Ь а ||
5.5.2. II C0Sa Sina'|.
|| — ssri a cos a I
ad — be I,
32 14 -I I
2 I О
25 11 -L|
5.5.8. - ' !| _5 3
2 —1 1
-1 2|
2 2.
-1
1
— I
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.5.16. а) Да. Пример: множество матриц вида
где а 0; б)
пет; уравнение Ах = R,
где А — вырожденная матрица
a fi-
невырожденная. неразрешимо.
5.Q.22. 1| 1 (J -|
1 ' 1 I
1
5.5.23.
° i!
5.5.24. | 1 I 1 ... I || 5.5.25.
О I 1 ... 1
О о I ... I .
о 0 0 ... 1||
5.5.26. I| i О
1 -а I
и- — а
— а3 а-
(_ «)л-1 (_ а)'1(
5.5.27. £ 1 а- 1 1 <А 1
0 1 1 1
~а a;i
0 0 1 _ 1
а а-
ll 2 4 8 ... 2'‘-' :
I О 1 2 4 ... 2"--
0 О I 2 ... 2П
1|о 0 0 0 ... 1 1|
О О ...0 0]
О О ... О О I
[ 0 ... О О I
-й I О 0:
. (— а)'1 “ 1 ... — а 1
1
( — 1у>-1 - -
(-D"’ 2 -^ГТ:
о о о о ...
282
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5.5.28. |1 1 —2 1 0 ... О
|;'О 1—2 1 ... О
]о О 1—2 ... О
,0 0 0 0 ... 1
5.5.29. Р-'^РТ^Р^
5.5.30. В обратной матрице: а) поменяются местами i-й и /-П столбцы;
б) <-й столбец умножится на число 1/а; в) из /го столбца аычтется i’-й, умно-
женный на число и.
1 -Йц-
5.5.33. л!
5.5.35.
-2
1
— I
1
1 О
—2 1
1 -2
О 1
5.5.35, |: 15 ' 10 —6 —4
10 5—4 —2
; —9 —6 3 2
! —6 —3 2 1
5.5.37. В условиях задачи приведение матрицы А к треугольному виду
можно выполнить лишь элементарными преобразованиями типа в). Тогда
каждый шаг метода Гаусса Можно интерпретировать как умножение текущей
матрицы слева на последовательность матриц или, что все равно, на соот-
ветствующую матрицу ЛГ,-. В итоге получим:
N,t_i Ni ... МгА =Р,
где R — верхняя треугольная матрица. Отсюда
... А'-[ ... Л-2-0
Все матрицы нижпие треугольные с единицами на главной дпаго
нали, и 310 же верно в отношении их произведении.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
283
5.5.40. Методом Гаусса приводим А к верхней треугольной матрице с еди-
ницами на главной диагонали. Затем подходящие кратные последней строки
вычитаем из предыдущих строк с тем, чтобы обратить в нуль все внедиаго-
нальные элементы последнего столбца. Так же поступаем с предпоследней
строкой и т- д.
5.5.43. Если — матрицы элементарных преобразований, участвовавшие
в процессе приведения А к единичной матрице, то
... MtA ~Е,
т. е.
Л"1==Л4* ... Л4,.
5.5.44, -1 -1 _] 0 5.5.45. -1 1 0 0 ।
0 —1 —1 —1 1-2] 0
13^1 0 1-2 1
2 У 2 "2 4
0 0 1 —
112 1 5 i
5.5.50. Будем производить вычисления в таком порндке: 1. А~1х. 2, уЛ-1.
3. а = у(А~'х). 4. р_у-1_. 5. р (Л“1х). 6. рЛ-1В.4 '> = (рЛ-1х) (уЛ“|).
7. (Л + В)-1, Тогда потребуется Зп3 + 2п+1 операций умножения и деления.
Здесь (-j, — элемент (/, г) матрицы С = Л-1, — i -й столбец, а х/ — ря строка Л-1.
5.5.52. Обозначим: с—(у, ... у;1), №оЛ“1, г,t-последний столбец Л1.
Тогда
д-i = Л-i
а
5.5.53. Пусть е —вектор-столбец (того же порядка, что и Л), все эле-
менты которого равны единице, Положим / = Л-1е, и~етАТогда получим;
Л-i = л-j-
где 5—сумма всех элементов А~1
а 4
l+oS iu'
а — й — h ... — Ь
— b а — Ь ,,. — I,
— b — Ь а ... — I)
~Ь ~Ь — & ... а
5.5.54.
_______________1________________
(а — й) (а + й (п — ]))
а = я + Ь (п— 2).
2 —л 1 1 ... 1 1 2 — п 1 ... 1
5.5.55, п — 1 1 1 2- -л ... 1
5.5.56. 2 —л 1 1 1 1 1 1 ... 1 —1 0 ... 0 0 —1 ... 0 ... 2 — п
1 0 0 ... —1
284
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
1 - att 1 1
а-[ aL<4 nLaa «тЯ.ч ।
1 1 — аЛ 1 1
Oi«3 л- «Лт a2<i„
5.5.57. - - 1 1 1 — ая1 1
OjG;! «3%
1 1 ) 1-<V
«А <Wn аИ |
5.5.60. ||Efe -В;
li О М‘
5.5.62. Ищем Ап1 В клеточном разбиении;
где P„-L — квадратная матрица порядка л—1. Из условия АпАп'=ЕГ1 имеем;
14П-1 Рп -1 H'un _’1<7п — 1 —Й/1_п (Ct)
.4;/ _ '/ц _ [ "I'-^'Al _ 1 — 0> ф)
Bn-i^n-i + a^ -[“°. (?)
Из (0) следует; в«-10;-t +°* ” 1 (6)
ГЧ-1 = — 64,;L lU/;.,. O’)
Подстав.чяя в (6), находим b :
Теперь из (е) определяется
Выражение для Ра1, подученное из (а);
Рrt =: /111 — 1 -4 ,1 —I Un |/7rt _ [,
подставим в (’,1):
Т',1 _ |,4 п —! — i‘,1 — -1*7/1 - [ ~!~аЯл -1 =®-
Отсюда:
V„ -./bi-I l л-*
; “j---------=- —_/«-!•
- 1 ,Jbi— I tt/i - j
Наконец, находим Рп_, :
Pn _) — ;1 n—~ i -|- A*.4и _ itijL _ jB/j _tA n — i-
5.5.63. Будем проводить вычислении в таком порядке; 1. An1— l и„
2. v„ .Ди-1 3. вп. lCV- l«n -1) 4. b. a. rn _ г 6. 7n _ t rn -i Ьгг-Ин” [)
8- Pn-r Тогда потребуется in-— 3n-|- 1 операции умножения ft деления.
5.5.66. 1 0 0 0 °li 5.5.67. I 4 —2 2 -’1
0 i 0 0 o| - 2 8 —3 2 —2
—83 47 I 0 Oll 1 2 9 —4 2 —2
55 -04 0 1 o I 0 —4 2 - И I
—62 7l 0 0 Ц |-1 —4 2 - -1 1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
285
5.5.68. i ] 0 —3 —9 5.5.69. 14 — 8 -21 !2|
0 1 —7 — 21 -10 6 15 — 9
!| 3 12 —92 —279 —35 20 56 — 32'
i'-l -4 31 94 25 — 15 —40 24,
5.5.80. Рассмотрим равенство
(а)
как систему уравнений относительно элементов матрицы Вр. Э|а система
являете») определенной.
Применим к определителю матрицы Д теорему Лац-ласа:
л м; ... =
'-ч <;... <;_₽/
р
I А если У (js —
р
0. если У (7а. - ksy- Ф 0.
5— [
Сопоставляя указанные разложения для всех наборов f,. ... , /„ и ...
.... таких, что 1 =£ Л < ;2 <...< Л, -й-1 п, I еп kL < Л, < ... <Л;, •?- п, видим,
что числа
являются решением системы (os).
5.6.1. । cos а ; silt а — sih к. j. cos а , 5.6.2. || 1 1' 0 — 7 & У 0 — а а' oji
5.6.3. а) 0 10 0.. . 0 ' 6) 1(° 1 1 1 ... 1
0 0 2 0.. . 0| 1° 0 2 3 ... п
0 0 0 3.. . 0 '1; 10 0 0 3-
0 0 0 0. - «ii 1.0 0 0 0 ... п
1 0 0 0 0. 0.! !io 0 0 0 ... 0 |
5.6,4. а) । 0 10 0. . 0-
;|о 0 2 0. • о!
'0 0 0 3. . 0
‘ 0 0 0 0.. п'л
286
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Матрица имеет размеры ex(»+D-
б) 10 0 0 ... О 1
1 о о ... о
о Л о ... о
о о ... О ;•
0 0 о ... - I
п i
Матрица имеет размеры (гг-^1) хп.
5“а>Ц ill-. б)Ш ill-
5,6.6. а) Первые г элементов главной диагонали равны единице; все
остальные элементы равны нулю; 6) последние п~г элементов главной диагонали
равны единице; все прочие элементы равны нулю; в) матрица диагональная,
причем первые г элементов главной диагонали равны 1, а остальные —(—I).
5.6.8. а) ’ — 5 —10 -7 6) 1 5 —20 33:
; 6 13 -10 7 -24 38
! 17 36 —27 ООО'
5.6.9. а) '1 0 0 0! б) Д х в в) Д X Е-\-Е х Вт
;о о j oi
iO 1 0 0
ООО 1
При перестановке базисных матриц; матрица а) нс изменится; матрица
б) заменится на SrX/l; матрица в) заменится на f хЛ-|-ВГХ Е.
5.6.10. а) Вт X /1; б) Еп X АА~ВТ х Еп. 5.6.12. 2. 5.6.13. 3.
5.6.14. Последние л—г столбцов матрицы оператора — нулевые, в то
время как первые г линейно независимы.
5.6.18. Поменяются местами: а) !-я и /-я строки; б) fe-ii и /-Й столбцы.
5.6.19.
5,6.20.
5.6.21.
5.6.22.
О О
-4 -5
3 4
О
— 1
_ L
г А
О 0 0 0 р
а) Р X б) p-i X (Q 1)Г.
В базисе Г , 1'пш оператор GA8 имеет матрицу
О
О
О
о
1
т
9
_ *. -А
2 2 2
(Р~1АР) х
а оператор /;дв —матрицу
(P-iAP) х Ея - Е,п х (Q/iQ-i/.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
287
5.6.31.
вого числа
5.6.38.
Нет; если Я = Р-1.4Р,
а.
Например, для матриц
то
S = (aP) 1Д (аР) для любого неиуле-
имеем
о'!
Я 1° 0!1
й=;о 1
-4? i!
-4
ВА =4° °J
5.6.40. Г ” ' ................. . ‘ ".
дачи 5.6.3S, Д- = 0, В'-—В, хотя А и В эквивалентны.
Нет. Например, для матриц А и В, приведенных в решении за-
Если X........ ХГ1 — собственные значения оператора А, то:
6.1.3. Оператор Д“| имеет собственные значения J/Xj, ... , 1/Хл.
6.1.5. Оператор Д — ХаЕ имеет собственные значения X, — Xtl, ... , Хл —Х,-
Вообще,
6.1,6. в) Оператор /(Л) имеет собственные значения /(X,). ,.. , f(ka).
6.1,7. Нет.
6.1.10. Собственными будут векторы, коллинеарные а. Соответствующее
собственное значение — нуль.
6.1.11. Собственные векторы —многочлены нулевой степени; соответствую-
щее собственное значение—нуль,
6,1.12, Собственных векторов нет.
6,1,14, (1 ] ... ]/,
6.1.15. Матрица Д=ху всегда имеет собственное значение X = xly[j----р.
-\-хпуп. Если порядок матрицы больше единицы, то имеется также собствен-
ное значение нуль.
6.1.16. Ненулевое собственное значение — п, соответствующий собствен-
ный вектор — (1 1 .,. 1 j7". Для компонент собственных векторов, относя-
щихся к пулевому собственному значению, получаем уравнение:
К1 + К2+ ••• +ая = 0-
6.1.17, Собственные векторы те же, что у матрицы Jn задачи 6,1.16, Соб-
ственные значения: о4-5(«—I), а— Ь.
6.1.18. Если B = T~LAT к х—-собственный вектор матрицы -4, относя-
щийся к собственному значению X, то Т^х — собственный вектор матрицы В
с тем же собственным значением,
6.1.22. а) Оператор проектирования имеет собственные значения 1 и 0;
при этом L, —собственное подпространство для Х=1, — собственное под-
пространство для X = 0; б) оператор Отражения имеет собственные значе-
ния I и —1; при этом L, — собственное подпространство для Х= 1, соб-
ственное подпространство для X = — 1.
6.1.27. Оператор простой структуры «растягивает» пространство по п
линейно независимым направлениям (п—размерность пространства). В базисе,
составленном из собственных векторов, матрица этого оператора диагональная.
6.2.1. а)Х— Oj,; б) X3—(а,!+ «2») X Л-(n.ju.,., —а]2о21); в) X3 — (вц +^гг +
+ Озз) Х¥ -р 4- 4-ai2^33 — а1зи3| — X ; А ।.
6.2,3, Хп —(*,(6 4-^34- +^/1) Х”-1'
6,2.4. Xя-«X"-’ — (6]cl+t2c24- +6я_1сл_1) X" 2.
6.2.9. Сумма всех главных миноров порядка k матрицы A L равна сумме
всех главных миноров порядка n — k матрицы А, поделенной на определи-
тель |Д (ft = l, ... t п~ 1). Определитель | А~ i, есть число, обратное опре-
делителю ; А ,.
288
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
6.2.10. Например, матрицы
А =
12 23.
не являются подобными,
И
6.2.12. «(,4) = УЗ A?; hL. ... , А„ — собственные значения матрицы А.
I— 1
6.2.15. Собственными значениями являются диагональное элементы a1]t ...
» Oftrt'
6.2.18. А'1—(2 cos а) А-|-1 ~ 0.
6.2.19. А= -I-: а 0.
6.2,20. A"1 I.
6.2.21. V.
6.2.24. А, = А<> = 2. Собственными векторами являются все ненулевые дву-
мерные вектор-столбцы.
6.2.25. А, = ?..; = 2. Собственные векторы имеют вид ct (1 1-Н)Т, « Ф 0.
6.2.26. X, == С А2 —2, Х3 — 3. Собственные векторы для А — 1 имеют внд
а {1 1 I)7 . для А = 2 — вид а (I 6 1 )т, для X 3 вид а (1 1 0)г; а 0_
6.2.27. А, — L, = 3; Х;> = 6. Собственные векторы для ). = 3 имеют вид
а (0 1 — 1)1, ди я i, = 6 вид а (3 4 —2)7; а 0.
6.2.28. л, ==^ К, ™ 3; Ал ™ 6. Собственные векторы для А _ 3 имеют вил
а ( — 7 5 — 6)7 fi (6 — 3 З)7 (а и (3 не равны нулю одновременно), для А = 6
вид а (1 I — 3)', где а -£ 0.
6.2.29. ?., = А. — Аа = 0. Собственные векюры имеют вид а(1 I 0)т —
+ Р(0 1 ‘1)т, где « и р не равны нулю одновременно.
6.2.30. А, = —3, ?.,2 = —1, л,— 1, Ад = 3. Собственные векторы для
А = — 3 имеют вид а (I — 3 3 — 1)г. для А = — 1 вид а (1 — I — 1 1)т.
для А =~ 1 вид а (1 I — I _ I)7 , для А — 3 вид а (1 — 3 3 — 1)т; а ф 0.
6.2.31. л( = А,2=0; A3^Aj —2. Собственные векторы для А = 0 имеют
вид а(0 1 0 — 1)г, ДЛЯ А =2 вид а (0 1 0 I)7; <хт^0.
6.2.32. А. = А, = 0; Аг = Ат --- 2. Собственные векторы для X = 0:
а (2 - 1 () О/-гр (3 0 0 - 1/, для А = 2: а (1 - 1 О 1)7' + Р (° 0 I 0)Г;
а и р нс равны нулю одновременно -
6.2.33. А, = А2 = А3 = ?_,=: 3. Собственные Викторы имеют такой вид:
а (] 0 0 — 1)7->-₽(0 0 1 ()), а и р не равны нулю одновременно.
6.2,35. а) Нет собственных значений; б) А; = 1 -|-2i, А^ = 1 —21.
6,2.36. а) А, = 2; б) А| = 2, А^ == у- Ц- i , А3 = — i .
6.2.37. a) At = — I, А, =-5; б) А, = — 1, А2 = 5, А3 — А4 —.2 — 1.
6.2.38. а) Нет собственных значений; б) А, = i. к. =• — г. Аэ = I + <, А4 [ — i.
6,2.42. В комплексном случае сумма алгебраических кратностей собствен-
ных значений оператора равна размерности пространства. В действительном
случае это может быть неверно.
6.2.43. 1 1 0
0 0 1
0 0 И
> _ 2 0
О II ',Г2 0 0 0 ||
1 II ! О - 2 О О I
- |Я Ь 0 Гб о ||-
О II jil) о о
6.2.44. Матрица не имеет простой структуры.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
289
6.2.45. 1 0 1 1 10 0 0
0 2 1 0 0 10 0
0—10 2 t 0 0 2 0
0 0 0 —1 0 0 0 2
6,2.46. Матрица не имеет простой структуры.
6.2.47. .jl 1 1 i : 1 0 0 0
i — 1 2 — 3 0 -1 0 0
I I 4 9 0 0 2 0
1 -1 8 — 27 । 0 0 0-3
6.2.48. 6.2.52. Матрица Xя —I. не имеет простой структуры.
6.2.53. Пусть е —произвольное собственное значение Р, т. е. произволь-
ный корень л-й степени из единицы. Собственный вектор, соответствующий в.
с точностью до коллинеарности имеет вид (1 е е'2... в"“)т.
6.2.54. Согласно 5.4.52 всякий циркулянт есть многочлен от матрицы Р
задачи 6,2.52. Циркулянт порядка п характеризуется п числами: оо, olt ...
... . a„_t. Если составить многочлен /(0 = а(1 -фati -J- а2Р йя..1/ято
собственными значениями циркуляра будут числа /(sj, ..., /(ея), где еь ...
...,ея —нее корни n-ii нелени из единицы.
6.2.55. Собственные векторы для Л((< = 1, . т) имеют такой вид:
а^’-1 Ь?-2 ... ?., а^О.
6.2.57. В доказательстве нуждается лишь случай, когда Хо — собственное
значение А. Пусть его кратность равна й. Тогда ранг А — \,Е равен n — k
(матрица имеет простую структуру!}; так как характеристический многочлен
матрицы А — ЛоЕ имеет й-кратпый корень, равный нулю, то коэффициент при
Л* этого многочлена отлпчеи от нуля, следовательно, среди главных миноров
порядка n — k. найдется ненулевой.
6.2.59. (Х-Х,)...
6.3.5. Л—скалярный оператор.
6.3.11. Обратное учверЖдение неверно,
6.3.16. Нетривиальные инвариантные подпространства — прямая с напра-
вляющим век|Ором а (па ней индуцируется нулевой оператор) и плоскость,
ортогональная к а. Оператор, индуцированный на этой плоскости, есть опера-
тор поворота па 90°.
6.3.17. Пространства Al*, н нулевое подпространство.
6.3.19. Переписывая условие В — Р~'ЛР в виде РВ = АР и приравнивая
в полученном матричном соотношении первые столбцы, видим, что £>,, есть
собственное .значение А. а первый столбец Р — соответствующий ему собствен-
ный вектор. Отсюда вытекает способ построения трансформирующей матрицы Р:
найти какой-либо собственный вектор Л, а затем дополнить его произвольным
образом до невырожденной матрицы.
6.3.24. Выберем базис пространства t\, ..., ся таким образом, чтобы
первые векторы этого базиса ... , составляли базис L. Тогда матрица
оператора А имеет вид
причем Аа является матрицей индуцированного onepaiopa А/L в базисе
. . Q, Предположим, что Л,, не имеет простой Структуры и для некоторого
собственного значения X этой матрицы, имеющего алгебраическую кратность
р. r,=r. >k — p. Пусть X имеет алгебраическую кратность q как
11 k
Ю X. Д. Икрами»
290
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
собственное значение AS2; тогда ,'2~га!><, —ее 5s (n — k) ~ q. Таким обра-
д — fr
зон, Л — собственное значение 4^ кратности /? + аг но
гДг-ХБл^г1 + г2>*“ Р+ (П —— q = И — (р + q),
вопреки тому, что Ае~ матрица простой структуры.
6.3.33. Двумерное инвариантное подпространство натянуто на векторы
х = <0 1 1)т и у-(2 1 0)г.
б.З.Зб. На диагонали матрицы стоят собственные значения оператора.
6.3.40. 0-1 1 0
( 0 — I! 0 1
С 0 () — ] 1
6.3.41. 2 0 1- 1 0 Of
0 1 о1 1 — 2 1 0
9 0 2 1 — 2 1
0
О
I
6.3.44. В соответствии с задачами 6.3.19. н 6.3.38 будем строить матрицу
Р, трансформирующую А к треугольной форме, в о — 1 этапов. При этом
на первом этапе в качестве первого столбца трансформирующей матрицы
возьмем общий собственный вектор матриц А и В. Тогда А*11 = (Р
и В1’ = [P’t>Y,BPa' имеют вид
Ал_! и Вп_1 — квадратные подматрицы порядка л —I. Матрицу Р1*1:
строим так, чтобы первый столбец Pn_i был общим собственным вектором
(перестановочных) матриц Ап_., и Вл_,. Продолжая таким образом, найдем
Р как произведение Р^’Р... Р1""1', причем обе матрицы: Р~1АР и Р~'ВР, —
верхние треугольные.
6.3.45. Для перестановочных операторов А и В найдется базис простран-
ства, в котором матрицы обоих операторов треугольные одинакового вида.
6.3.48, Пусть матрица А подобна верхней треугольной матрице /?, а
матрица S—верхней треугольной матрице Г. Тогда А х В подобна R X Т;
эта последняя — также верхняя треугольная, причем на ее главной диагонали
стоят всевозможные произведения Х;ру. Аналогично, матрица А X Еп -|- £т х В
подобна верхней треугольной матрице 7? х £л + Ет хТ, на главной диагонали
которой стоят всевозможные суммы X; -j- р,-.
6.3.50. Выберем базис пространства е,, ... , так, что et, ... , г* обра-
зуют базис е*+1 ... . ея — базис £2. Тогда матрица оператора А квази-
диагональная:
U
Соответственно разобьем матрицу Ве оператора В:
Из условия AfBe — ВеАе — 0 имеем
А 11В|2 — ^(2^22 = 0, ^23821 — Bai А и = 0.
Теперь из 6.3.49 следует, что 79,2 = 0, В-д=0.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
291
6.3.51. Если А подобна треугольной матрице /?, то Ар подобна треугольной
матрице Rp.
6.4.12. Базнс корневого подпространства для X = 0 — вектор (0 1 — 1)
Базис корневого подпространства для X—] образуют векторы (! О ])г
и (0 1 0)г,
6.4.13. Единственное собственное значение — X = 1. Корневое подпростран-
ство совпадает с трёхмерным арифметическим пространством.
6.4.14. Базис корневого подпространства для Х = 2 составляют векторы
(2 — [ 0 0)г, (I 0 1 0)т, (2 0 0 1)т. Базис корневого подпространства
для Х— — 2 — вектор (О I 0 — I)
6.4.15. Базис корневого подпространства для X — — I составляют векторы
(1 I 0 О/, (0 0 1 1)г. Базис корневого подпространства для А. = I составляют
векторы (3 1 0 О/, (0 —23 1)г
6.4.17. б) Предположим, что вектор (Я — f.jE)x имеет высоту fc, ft < h.
Тогда
(Я - (Я - ХуЕ) х=0 = (Я - ХуЕ) (Я - Х;Е)*х.
Тем самым, ненулевой вектор (Я — Х;Е)*х является собственным вектором для
собственного значения Ху, Ху=#Х;, что невозможно, так как корневые подпро-
странства пересекаются только по нулевому вектору;
в) аналогично б), покажем, что для любого числа а, отличного от Х;,
высота вектора (Я — аЕ)х та же, что у вектора х.
6.4.22. Транспонированная клетка Жордана порядка п для числа Хо.
6.4.23. Канонический базис составляют, например, векторы ^ = (4 3) ,
ея=(0 1)7\ Жорданова форма:
-и I
О
! 0
0 I
0 0
7=0
6.4.24. е,=(1 1 — 1)г.
еа=( —4 -5 6/,
«-3=^(0 о ))г;
6.4.25. е,=(1 -1 0 0/,
ег=-(0 1 -1 0)г,
ej=(0 0 1 -1/,
е4 = (0 о о 1)г;
2 10 0
0 2 10
0 0 2)
0 0 0 2
6.4,26. е[ = (1 ег = (3 ея-(3 е4 = (1 е5=(0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1)г> -1)г. 1/. о7; 7 =
6.4.27. -1 1 0 0 ... 0 0|
0 -1 1 0 ... 0 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 ... - 1 1
0 0 0 0 ... 0 -1
110 0 0
0 110 0
0 0 110
0 0 0 11
0 0 0 0 1
6.4.28. 1 0 0 1 i 0 0 1 1 0 . 0 . 1 . . 0 .. 0 . 0 0 0 0
0 0 0 0 . . 1 1
0 0 0 0 . . 0 1
0
10
292
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
6.4.29. 9 1 0 0 . . 0 0 6.4.30. 1 1 0 0 .. . 0 0
0 9 1 0 . . 0 0 0 1 1 0 .. . 0 0
0 0 9 1 . . 0 0 0 0 1 1 .. . 0 0
0 0 О 0 . . 9 1 0 0 0 0 . . 1 1
0 0 0 0 . . 0 9 0 0 0 0 . . 0 1
6.4.31. 2 1 0 0 . . 0 0 6..4.32. а 1 0 0 . .. о 0
0 2 1 0 . . 0 0 0 а 1 0 . . 0 0
0 0 2 1 . . 0 0 0 0 а 1 . .. о 0
0 0 0 0 . . 2 1 0 0 0 0 . >> (X 1
!0 0 0 0 . . 0 2 0 0 0 0 . .. о СС
6.4.33. Жордановой формой будет жорданова клетка порядка пД-1. отно-
сящаяся к числу 0. Каноническим ящляется базис 1, (, i-. ... , in.
6.4.39. Оба равны (к—^)л, где п — р азмер кость Пространства.
6.4.40. Если
«1 (А — Хц£),( дтД-...-|-ар (Д — а-,, = 0,
т° (А -к^Е)*1 (а1х1-Ь-... + адр) = 0,
откуда (так как fee/)
адД-...д-архр = 0,
т. е. cq = ... =ар = 0.
Пусть теперь у = aL (А — к^)1* х,-|- -рар (Д — куЕ}к е= H/Jt-i, тогда
° — (Л “к)Е}’~к'1У = (А — кцЕ)1^ ----------ф«рХр);
следовательно,
ад_|_,,.-ра хр = о
И «!=... =«р =0.
6.4.42. Применяя к обеим частям равенства
ct|XL Д- etpXp Д- Pi (Д кпЕ) xL (Д крЕ) Хр Д-. .
•• - + ?1 И - крЕ)1-! *!Д-1-Ур (Д — крЕУ"1 Хр =0 («)
оператор (Д — крЕ)1-1, получим
(Д — Xoe)'-i рд -Д-... _ф арХр) = 0,
откуда а, =... = ар = 0. Аналогичным образом, применяя к (а) оператор
(А —крЕ)' '1, покажем, что ₽[ = = ₽/> --=0, и т. д.
6.4.44- Канонический базис, ианримиер; жорданова форма;
?t-(-2 2 1 2/,
?, = ( 0 0 [ 1/,
ад( 1 2 I -1)г,
е1 = ( I I 0 0)г;
6.4.45. е1 = ( 0 0 101 0)т,
с2-( 0 1 0 0/,
еа=.-(101 0 0 0/,
ej==( 0 0 0 1/;
|1 1 0 0
0100;
7 — '0011
0 0 0 1
99 1 0 0
0 99 0 О
/ = 0 0 99 1
0 0 99,
293
ответы и решения
6.4.46.
Р]=( 1 2 10 0 0)г,
fJ = (_2 -3 —10 0 0)г,
е3 = ( 1 О О О 0 0)т, j
?^.-( 0 0 0 12 1)г,
е. _,( О О Oil Of,
е^. (0 о 0 10 о/;
6.4.47.
eL^(0 0 0 0 -] Of,
^__ц1 0 0 0 0 of,
рз^(0 0 0 -3 0 Of,
е1= (О 1 О О О Of,
е. ^(0 0 0 0 0 -5)г,
е6 = (0 0 10 0 of;
||-1 1 О о О о II
I О -1 1 0 о оЦ
II 0 0-1 о О 0|
0 0 0 -1 1 0 ’
1| О 0 0 0 -1 In
|| 0 0 0 о О — 1 ||
|| 2 1 о О О О!]
। 0 2 О О О 0!
!|0 0 2 1 0 o|j
J~ Io О О 2 О 0|!’
। 0 0 0 0 2 1 !::
|,о о о о о з'|
6.4.48. Жорданова форма состоит из двух жордановых клеток порядка й,
относящихся к числу 0. Каноническим является, например, базис
4i/2’ 4f/J’ Л Л 3’f!’ 5^’...........(2k — 1)1
6.4.50. п = (>п< — /ipj) I -> 2 (тп,_, — tn, — (i — 1) = Pii' + (р? —pt) (i — 11-
Жор да нова форма состоит из р, клеток порядка t и р2 — клеток порядка t - I.
6.4.31. ei_.(] -2 if,
д^=(1 О of,
е3 —(О [ -if.’
6.4.52. >т^(1 I I if,
еи = (1 О О 0)т,
еа^(0 1 1 О/.
е4.-=(0 О 1 -if:
6.4.53. Pl.^(24 ООО Of,
е2=_(3 7 8 0 Of,
т3^( 0 0 0 0 1)г,
₽4=( 4 6 0 0 Of,
е6=--( 0 0 0 1 Of;
6.4.54. ^ = (1 1 1 I 1)г,
е2=(0 -I О О Of,
е3-(1 10 1 if,
С1 = (0 0 0 -1 of,
£Ь=(0 оо о i)r;
1 О':
3 О I
о з|
|| 4 1 О 0!|
J0 4 О 0|’
|)0 0 4 0 Il-
li О О О 41
I; —2 1 о 0 01|
' 0-2 [ О О 'I
у^-1. О 0 • 2 0 01.
। О 0 0-2 I |
1| О о О О — 2 i1,
-1 1
О - 1
о о
о о
II о о
о о о:.
О О 0|
-1 I О'.
о -1 о!
о о - 1 |'|
J
з
J~\ о
294
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
6,4.55, Жорданова форма состоит из двух жордановых клеток, относя-
щихся к числу 0; одна имеет порядок й-ф 1, другая — k. Каноническим является,
например, базис
'•и'.-в*.......-ет***. '• Я'•я11..
6.4,56, Жорданова форма состоит из р, клеток порядка t, P-i~Pv клеток
порядка t— 1, вообще, Pf-k+i — Pt_k клеток порядка kr 0<Zk<Zt.
6.4.58. Нет; иначе было бы
т4 — т3 = 2 > та — вц = 1.
6.4.59. Cl = (2 2 -2 -2) г, 1 1 0 0
е2 = (0 1 1 О)7, J — 0 I 1 0
е3 = (0 0 0 1)г, V 0 0 1 0
е4=(1 0 0 1)7; j 0 0 0 1
6,4.60. е1 = (_3 1 1 1 1)7> f — 1 1 0 0 Oi
еа = (—2 0 1 1 1)г, 0 - -1 1 0 0
г8 = ( 1 0 0 0 О)7, 0 0 - 1 0 0
е4 = ( 1 0 0 -l 0)r, 0 0 0 -1 0
es = ( 10 0 0 -I)7; 1 0 0 0 0 -1
6.4,61. e1 = (24 -12 0 0 0 0>г, 0 1 0 0 0 0
e2 = ( 6 0 -2 8 -4 О)7, 0 0 1 0 0 0
'Ъ ф I» 4*> 11 о — о о о о — W о о о L J = 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0
£>- = ( 3 0 -1-8 4 О)7, 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
е,=( 2 0 0 -3 0 ])г;
6.4.62. е1=(~2 0 2 0 2 0/, ,2 1 0 0 0 0|
е4^( 0 0 0 0 2 О)7, 0 2 1 0 0 0
е3^( 1 0 0 0 0 О)7, е4 —( 0 0 0 3 0 1)7, J - 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 10
е5 = ( 0 0 0 10 О)7, 0 0 0 0 2 01
е, = ( 0 10 0 0 О)7; 0 0 0 о о a|
6.4.63. е1 = (_2 2 2)7, —2 1 °l
е2 = ( 1 1 -1/, 7 = 0 —2 o|
е8 = ( 0 1 I)7; 0 0 3|
6.4.64. е1=( 1 ] 0)7, 2 0 01
0 1 I)7, J = 0 2 0;
е3^,(_1 2 2)7; 0 0 з|
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
295
6,4.65. (, = (-4 -3 -4/, 1' 1 1 0
е4=( 2 2 -I)7, J =|о 1 0
Сз = ( 1 0 1/; 11° 0 -2
6.4.66. ,,-(1 - -1 2)Г. 1 0|
е5.-(0 0 -1/. 0 1
ря = (° 1 о/; 1 0 с 11
6,4.67, Ё)=( 3 3 -3 —З)7, 2 1 0 0
ег = ( 1 0 -1 О)7, J = 0 2 0 о|
е3 = (—3 .3 -3 - З)7, 1 0 0 -2 11
е4 = ( 1 о 1 0)г; о 0 0 -2,
6,4.68. ₽т=( 2 1 0 0)т, 11- -1 1 с 01
^2—( — 21 -10 0 О)3', J 0 -1 0
ея = ( 0 0 3 —2)7, * — 1 г 0 0 —1 0.
ет = ( 8 з -1 1)г; II 0 0 с °|
6.4.69. е, =(—2 1 0 0)Г 1 0 1- 0 О'
е2 = ( 1 ?., = ( 0 0 -2 3)г. 0 1 О)7, 1 0 0 0 0 0 -1 0 ol
е-4=-( 0 0 0 I)7; 1 0 0 0 —1 1
6,4.70. «1 = (2 - -2 2 —2)г, !| 3 1 0 0:
С2 = (1 0 1 О)7, J = J 0 3 0 0
е3 = (0 - -1 о I)7, 0 0 3 0
е1 = (0 0 1 -1)7; 0 0 0 -2
6,4.71. Каждая клетка заменится па транспонированную; сами клетки
будут стоять па диагонали матрицы в обратном порядке.
6,4.72. В жордановой форме оператора А диагональные элементы At, ,,.
Am заменятся на: а) Аг —Ао, Ат — Ао; б) 1/Хц \fEm-
6.4,75. Жорданову форму оператора Д2 можно получить из Жордановой
формы оператора А следующим образом.' в каждой клетке, относящейся
к 5.^0, заменить А на А-; каждую клетку порядка fe, относящуюся к 0, заме-
нить двумя клетками порядка I, если k=^2l, и двумя клетками порядков
соответственно /-|-1 и I, если А’ = 2/-|-|.
6.4,77. Из условия = £ следует, что собственными значениями опера-
тора А могут быть только числа I и — ]. Проверяя равенство J- — E для
жордановой формы J оператора А, находим, что J — диагональная матрица,
т. е. Я—оператор простой структуры. При этом оба числа, 1 и —1, должны
быть собственными значениями А, иначе А = — Е или А~Е. Обозначая через
А( и l-s собственные подпространства оператора А, относящиеся к I н — I
соответственно, получим, что Л есть оператор отраженна в Af параллельно А.,
6.4.79. Дефект оператора А — А„£ можно определить с помощью матрицы
J —Ао£, где J —жорданова форма оператора Д. При этом каждая клетка 7,
относящаяся к Ао, переходит в клетку 7 — каЕ, относящуюся к 0; дефект
296
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
послед ней равен I, Прочие клерки J — Ао£ невырождены, так что дефект
J — J-ijE равен числу жор да новых клеток J, относящихся к Ац.
6.4.82. 110 0 0 6.4.83. " i 10 0 0
0 110 0 1 i' 0 110 0
0 0 1 1 0 1, 0 0 1 0 0
0 0 0 I 0 0 0 0-1 1
0000-1 !i il 0 0 0 o—l
6.4.84. 5 10 0 0 0 6.4.85. 12 0 0 0 0 0
0 5 0 0 0 0. 0 2 0 0 0 0
0 0 5 1 0 О' 0 0—4 1 0 0
0 0 0 5 0 °i ,0 0 0 —4 I 0
0 0 0 0 13 0 0 0 0 0 —4 0
• 0 0 0 0 0 19: :0 0 0 0 0 -4
6.4.86 II 1 J0 0 0 0 1 6.4.87. : I I 0 0 0 0
I 0 1 0 0 0 0 0 1 I 0 0 0
; 0 0 1 1 0 0 i 0 0 10 0 0
;о о о 1 io 0 0 0 1 1 o‘
0 0 0 0 1 1 •j [0 0 0 0 1 1
[00000 1 1 5° 0 0 0 0]
6.4.88. Жорданова форма состоит из одрои клетки порядка rc-f- I, отно-
сящейся к числу 0.
6.4.89. Жордацовы формы обоих операторов совпадают и состоят ил трех
Жордановых клеток порядка 3, огиосяпшхся к числу 0.
6.4.91. Никакие дне ил матриц А, В и С не являются подобными.
6.4.92. Л и С подобны между собой и не подобны В.
6.4.93. А и В подобны между собой и ие подобны С.
6.4.95. Если А — собственное значение А. отличное от 1 к —I, то 1/А
также собственное значение, причем к обоим относится одинаковое число
жордановых клеток с соответственно равными порядками.
6.4-98. Каждому собственному значению в жпрдацовоц форме матрицы
должна отвечать только одна жорданова клетка.
6.4.100. Напищем квязиднягоналнпую матрицу порядка тп, у которой на
диагонали т рад повторена матрица J. Тогда жорданова форма соответственно
матриц АхВ н А х B,t ~ £П1 X 8 получается тан: а) для каждого собственного
значения А; матрицы <4, не равного нулю, умножаем диагональные элементы
i-ii клетки J па X,; если же А,=0. то соответствующую клетку J заме-
няем нулевой матрицей; б) ко всем диагональным элементам i-j клетки J
прибавляем А;. Триода же жорданова форма соответственно операторов
вАН и FАН-
6.4.101. Если я— первообразный корень л-й степени из единицы, г = у е ,
то жорданова форма А будет такова:
'+' 0:|
1 — та
Н-га3
||
|| ) + га-1 1
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
297
7.(.6. Если Л — диагональная матрица такая, что = то
(A*)e = A-i (ЛР)*Л,
где (Д,,)*—матрица. сопряженная к Л,. В частности, если длины всех векто-
ров й; одинаковы, то (Д*)(, = (Д(.)*.
7.1.7. Для элементов матрицы ЛР оператора Л должны выполняться
равенства
а17 = СЧ, fiY.
аналогично, для элементов матрицы А? сопряженного оператора .4* спра-
ведливо:
41-
Поэтом у __
“0 = а/Г
7.1.8. Всякий оператор одномерного пространства есть умножение каждого
вектора пространства на фиксированное (для данного оператора) число а. Если
пространство унитарное, то сопряженный оператор есть умножение на сопря-
женное число ос. В евклидовом одномерном пространстве всякий оператор сов-
падает со своим сопряженным.
7.1.9. Поворот на угол а в противоположном направлении.
7.1.10. А* = — А.
7.1- 1!), В комплексном случае |1; ^1г
7.1.29. Если с,. ..., i?1( — орго^орлшровацнып оазис пространства X. то
в качестве исктора / берем вектор, координаты которого в этом базисе суть
числа fU’i), . fМ-
7.1.25. А* есть оператор проектирования на плоскость х-]~_V г = 0 парал-
лельно оси Ог.
298
ОТВЕТЫ и решения
7.1.26. а) Базис ядра — многочлен I2; базис образа — многочлены t, i2;
б) базис ядра — многочлен 3Z- — 2; базис образа — многочлены t, ЗВ—2;
в) базис ядра — многочлен 3Z- — 1; базис образа — многочлены Л 3Z2 — I.
7.1.32. Включение ТА^В выполняется всегда. Покажем, что
в условиях задачи Т'a-l.b = TА + Тв, для чего достаточно показать, что
ТА<~ТА-\-В и А + В‘
Пусть л'ее Гв*; тогда Ах = 0 (согласно условию АВ*=0) и (А-\-В)х=Вх.
Если х пробегает Тв., то Вх пробегает Тв\ тем самым, ТвсТл . в. Ана-
логично, переписывая условие А,В*=0 в виде £А*=0. выводим, что
Т л ^А — В •
Согласно второму условию задачи и задаче 7.1.31 сумма Т = ТА -ф ? в
ортогональная, поэтому
гаа-в ~тл+'в-
Аналогично можно показать, что = ГД. + Т'в», откуда, передо-
дом к ортогональным дополнениям, получаем второе утверждение задачи.
7.1.34. Нулевое подпространство и линейные оболочки систем многочле-
нов 7*. /А+1, .... tn (А = 0, 1, ..., л)
7.1.35 Искомое подпространство задается условием
£ / № =0.
k=o
7.1.36. Искомое подпространство задается условием
I
— I
7.1.39. a) I, t, f2; б) 1/|'3", 11^2, {ЗВ — 2)/|<б; в) 1/^2, /ЗАП!,
F'О (ЗВ - )).
7.1.41. Если Хь /.„—собственные значения оператора А, го собст-
венными значениями оператора А* будут At, Л„.
7.1.44. Пусть k — размерность К-к. Тогда для любого вектора х из
справедливо; (А—х — 0. Если у — произвольный вектор из К*, то
О = ((А - ХЕ)* х, у) = (х, (А * -7.Е)ку).
На инвариантном подпространстве /(* оператор А* — ХЕ невырожден, Поэ-
тому полученное равенство означает, что К; 1 KjJ.
7.1.45. Жорданова форма оператора А* получается из жордановой формы А
заменой диагональных элементов сопряженными комплексными числами.
7.1.46. Канонический базис для оператора дифференцирования составляют,
например, многочлены 2, 21, В. Канонический базис для сопряженного опе-
ратора— многочлены Z-, 7'2, 1/2.
7.1.47. Пусть заданный порядок собственных значений — Xjj, Х;2>...,
и пусть нужно построить верхнюю форму Щура. Тогда в качестве вектора еп
возьмем нормированный собственный вектор оператора А*, относящийся к соб-
ственному значению Х,-,;. На ортогональном дополнении к еп, которое будет
инвариантно относительно А, рассмотрим индуцированный оператор Аг н
сопряженный к нему оператор AJ. В качестве берем нормированный
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
299
собственный вектор А*, относящийся к X/ р после чего рассматриваем орто-
гональное дополнение к линейной оболочке векторов и ел, и т. д. Можно
проводить построение и «в обратном направлении»: в качестве вектора eL
взягь нормированный собственный вектор А, относящийся к ; рассмотреть
ортогональное дополнение к et, инвариантное относительно А*, нт. д.
7.2,20, В евклидовом пространстве указанное утверждение неверно. Контр-
примером может служить любой оператор, не имеющий собственных значений
и не являющийся нормальным.
7,2.22. Да, следует.
7.2.29, Нет, если все собственные значения оператора простые; да,
хотя бы одно кратно.
7.2.30. X, = 1 + (, I
Xa = 3i,
1 г
(4-31 2 4-6i 5)г,гэ —
3)'1О 3
Г, ^2 — 2 — Г. Х3
1
гЭ = -^(-1 I
At = 2, Х.> = — 2, Ха = 2 I,
1 , 'Г
гт(1 ”
7,2.31. Xj = 0,
1(2 1 -2/ , е3 =
3
7.2.32.
fj =
Г. Базис составляют, например, векторы
,,7
если
et =
X.
О 1) т
Ха = — Зг. Базис — например, векторы
—1^(4 4-31 2 — 6f 5)г.
3) 10 ^
= 3-i. Базис -et= -J- (I 2 — if,
F о
Д =
If.
Ь4 = —2i. Базис —et = — (i I 0 0)1
т
7
2
’ /2
7.2,33,
ез = pl(0 О I -1/, = “I ' О
7.2.34. Нет. Оператор дифференцирования не является операторам простой
структуры.
7.2.35. Нет, если а=/=О. При а —0 получим тождественный оператор,
7.2.37. Если х = (а1( а.2, аг1) и у = (fj,, f/ fl3) — произвольные векторы из 7?3,
то скалярное произведение можно задать формулой:
(х, У) = ai^i + ai fh + «г + а2 fit + -aa + 2а3[(= 4" За., fj3.
7.2.41.
, Ы.
«4 =
е3 = - -
I 3 у
7.2,42.
1 Л ’
ЙП1 ~
i'll
3 I
2 2’
2
* 2 2
Например, st =
-1(1-2 1)1 fj = -1(1 О-I/.
Г 6 Г 2
I 3
7.2.44, Пусть все собственные значения оператора А различны по модулю:
|Х11>]Х5|>- ... > Хл!, и пусть С[, .... ел — соответствующий ортонормиро-
ванный базис из собственных векторов. Матрица оператора АВ в этом базисе
нормальная и равна произведению матриц А? и Ве. Приравнивая (в соответ-
ствии с 7.2.12) суммы квадратов модулей элементов первой строки и первого
столбца матрицы АеВе, получим
At:2 (: t’n 2 + 2 + * + |!’1т “) = Л1,".1
Так как и Вг — нормальная матрица, то
.11 2 + li ;2 + - “Г , '!лг :2 — '
'21
Эти равенства одновременно возможны лишь в том случае, если
— ... = Ьщ = —-... = 0.
300
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ан алогично показываем, что раины пулю и прочие внедиагональные элементы
матрицы Л,,. Таким образом. Вг — ли атональна я. и следовательно, операторы
А и В перестановочны.
7,2,45. Рассуждая так же. как при доказательстве 7,2.44, покажем, что
в орто нормированном базисе из собственных векторов оператора Я (если для
пего выполнено условие задачи) матрица оператора В квазидиагональиая,
причем ее диагональные клетки порядка >- I соответствуют кратным собствен-
ным значениям оператора А. Отсюда следует, что матрицы операторов пере-
становочны.
7,2.47. Всякий вектор, для которого достигается этот максимум, является
собственным вектором оператора А, относящимся к собственному значению
с Максимальным модулем.
7.2.49, Нст. Например, для унитарного оператора U отношение Ux । /; х |
равно единице для любого ненулевого вектора ,т.
7.3,4. Операторы умножения на число, по модулю равное единице,
7.3,6. Нет. Оператор А вырожден.
7.3,8. а) Да; б) нет,
7,3,10. Нет, ес.1|1 оператор не является тождествен ним.
7.3.12. а) Собственное подпространство для л = I совпадает С множеством
всех четных многочленов; собственное подпространство для А, — 1—с мно-
жеством всех нечетных многочленов; в) собственное подпространство для Л=1
натянуто на систему многочленов Zn + 1, tn"1 4-1, ... ; собственное подпростран-
ство для ?. = — 1 натянуто на многочлены 1!‘ — |, 1п л — Если п = 2 k — I,
То -би подпространства имеют размерноегь ft; если же п--= 2k, то размерность
первого — k + 1, второго — k.
7,3.13. Скалярное произведение многочленов f(f) >= а„ 4-о,/4- a^t2 к g(t} =
= Ь0-|-йаГ можно вычислять по формуле:
(7, g) = 3 ar,fia — 2а„&1 — 2а„&2
— 4~ 2й
— 2й4>„ -}- а.,'); 4- 2cjii3.
7.3.16, Q, =
2_ 2
3 3 "з
7,3.18. Да, будет,
7.3.21. Пусть А—заданный оператор и пусть et, ..., еп— произвольный
ортонормировантщп базис. По условию, векторы Ае;.........Ан„ попарно орто-
гональны. Покажем, что они имеют одинаковую длину. Если, например,
ar-- Ai\ zjt а2Аг4 , то векторы ег4-е> и ег—е7 ортогональны, а векторы
А (И 4-С.) и A кет:
(А (т\4 е2), A Iq-Clj-H'’!, А^) —(Ле2, Ap2)=<Xj— aj.
Поэтому ' Ае;\--а для всех 1=1, .й, а тогда А =«17, где U — унитарный
оператор, переводящий векторы е; в векторы (1/а)Аег-.
7.3.34. Перестановка строк и столбцов матрицы в обратном порядке
является унитарно подобным преобразованием.
7.3.37. ф1— ф2 = (фЕ— тф4) ! 2Ал-
7.3.38. фт =— 'Фа :=arg — arg о,;,
I aii t . | a/i I
cos <p = — -— sth <p=------------------—,
I- lar'i i2'+|4i i2’ V '.аи 27-1 aji
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
301
7.3.40. Умножим ладанную матрицу А слева ца последовательность эле-
ментарных унитарных матриц Т|;, Тр, ..., Тщ, Т\3. ..., Г,,..,, а с тем, чтобы
последовательно обратить в нуль все поддиагона.чьиые элементы. Получен-
ная верхняя треугольная матрица есть один из сомножителей Искомого разло-
жения, а другим является произведение 7’*37’*1 Г*_ьл,
7.3.44. Длина вектора to должна быть равна единице.
7.3.46. Собственные значения равны I и — I- При этом >.=— I — простое
собственное значение, и соответствующие ему собственные векторы коллинеар-
ны иь Собственные векторы для л=Ни нулевой вектор) составляют ортогональ-
ное дополнение к tn.
7,3.47. Определитель
7.3.49.
7.3.50,
/ Ч5
® = ЯП +-
Произведение
Скалярное
равен —1.
<р \7
сов-*-) ,
Нх нужно находить по формуле:
//х = х— 2 (х, w) w.
произведение (х. ю) вычисляется согласно (7.!.4).
W —----—
। х — j
бор k произволен.
7.3.52. По заданной матрице Л порядка п выберем, в соответствии с 7.3.511
матрицу Д[ так, чтобы матрица Аг = Й1А имела такой вид:
lx — A’f’J, где ! k |—(х; = (х, х);1, в остальном, вы-
Лг =
k
0
А
И^ = \ о
.4j — подматрица порядка п — !. Строим теперь матрицу Нг:
о I 1 о ... О!
/7 Л = , а. •,
: 0 ।
где Н2— матрица отражения порядка л — I, выбранная так, что в матрице Да4г
все поддн а тональные элементы первого столбца равны нулю. Тогда у матрицы
Н„Н}А первые два Столбца совпадают со столбцами треугольной матрицы.
Продолжая таким образом, после к — ! шагов получим верхнюю треугольную
матрицу.
Унитарным сомножителем искомого разложения является произведение
H,Ht ... ЯЛ_Р
7.3.54. Если обозначить через ot вектор-столбец (О21 оэ1 ... ап1)г, то в ка-
честве Н нужно взять матрицу вида '
ГЛ
где Н—матрица отражения, переводящая а, в вектор, коллинеарный единич-
ному столбцу et порядка п — I. При этом сама Н также будет матрицей отра-
жения.
7.3.55. Для всякого оператора существует ортотюрмировацный базис про-
странства, в котором матрица этого оператора верхняя (нижняя) почти тре-
угольная.
7.4.7. В комплексном случае это операторы умножения на действительное
число. Все линейные операторы, действующие в одномерЕюм евклидовом про-
странстве, являются симметричными.
7.4.11. Да.
17
5 -I
—7 5
9
302
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
7.4.24. Я = 0.
7.4.34. Пусть /* —произвольное /i-мерное подпространство. Наряду
с L/, рассмотрим линейную оболочку векторов е^, .... еп. Пере-
сечение I к и Л1л_*т1 по крайней мере одномерно; пусть ха — ненулевой век-
тор из этого пересечения. Тогда согласно (7.4.3)
поэтому
(Wx0, хй) ,
--------—Г“ AjL,
(*о, х0)
(fix, х) ,
пип 1---------с X*,
X л (^, х)
так
Что и
(fix, x) ,
max mm s-—=S X*.
l (x, x)
равенство в соотношении (7.4.4) достигается, показывает ^-мерная линей-
оболочка векторов еъ ..., ек.
Аналогично доказывается (7.4.5).
7-4.35. Без ограничения общности, можно предположить, что подматрица
fi n,i находится в левом верхнем углу матрицы Н. Пусть Jlt — ортб-
нормированный базис собственных векторов матрицы па~\, относящихся соот-
ветственно кр(, рЯ1, где щ =г [ъ =г...3= pn_j- Согласно (7.4.3) .
(Нп^У, У} (fin_>y, У)
— = 14 = ГП1П ---------Г--
(У, У)
>'еА*
Mn._h~на fn,[. Сопоставим теперь
у п-мерный вектор-столбец х такой, что
Что
нал
max ----------
г у. о (У, У)
где Мк натянута на ... , [л, а
каждому (п — 1)-мерному столбцу
Тогда
(Ал-1У, У) (Нх, к)
(У, У) = (х, х)
для соответствующих векторов у и х. Подпространствам ^п_* и АД будут
соответствовать в п-мерном пространстве Л4п_* и Mk той же размерности.
Поэтому из теоремы Куранта — Фишера вытекает, что
На ‘-Г. Х&.
7.4.36. Одно положительное и одно отрицательное собственное значение.
7.4-40. Для всякого эрмитова оператора найдется ортонормированный ба-
зис пространства, в котором матрица этого оператора трехдиагональная.
г п?-*А2, = Х’ = Х3- *’ h (X) = Х<- ЗХ= + 1,
ft, (Х) = ХЬ_ 4X3-f-3X.
7.4.44. Проводим индукцию по числу многочленов в системе fa (X),
А (М, /д(Х). Пусть й=±1. Тогда Д (р) больше или меньше нуля в соот-
ветствии с тем, больше или меньше число р, чем единственный корень X/'
многочлена ft (X). В нервом случае последовательность
foW=l, Jt(p)
не имеет перемен знаков, а во втором — имеет.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
303
Пусть утверждение доказано для всех 1г г. Значения многочленов fr (к)
и fr+t(fy в точке [г можно вычислить по формулам;
МИ)=П (и-*/'’). Мг(н)-П
/=г т=|
Отсюда видно, что знак каждого из чисел fr (р), (ц) определяется числом
отрицательных скобок в соответствующем произведении Число корней, лежа-
щих правее точки fr, у многочлена /г+1Р-) иля равно или на единицу больше,
чем у многочлена f, (А) (см, 7.4,43,6}. В первом случае знак f,+l (р) совпа-
дает со знаком I, (ц), и последовательность
/о (Н), МН)....fr ()*), ffTi (И)
имеет то же число перемен знаков, что и последовательность
/о (р). Л (И). . ММ-
Во втором случае знаки fr+r(fi) и (р) противоположны, и в первой после-
довательности на одну перемену знаков больше, чем во второй.
7.4.45. Доказательство, как и в 7-4.44, будем проводить по индукции.
Пусть вначале k = l. Если то нулевому значению fj (р) приписывается
тот же знак, что и /0(р) = 1, и в последовательности
fa (М), fi(P)
нет перемен знаков-
Пусть теперь утверждение установлено для всех k •?- г- Если р не является
корнем многочленов /, (А) я Дл (М- то индуктивный переход выполняется
так же, как и при доказательстве 7.4,44. Рассмотрим две остающиеся возмож-
ности:
а) [I является корнем многочлена fr (А). Согласно 7.4.43, б) в этом случае
число корней многочлена fr+l (к), лежащих правее р, на единицу больше, чем
у f,(k). Числа (р) и /r_t (Р-) имеют разные знаки, и в последовательности
fa (Ц), fi (Р).fr-i Д). fr-iW
на одну перемену знаков больше, чем в последовательности
faW, Л(р). . fr—Л (Н),
б) [I является корнем многочлена (X). В этом случае по нашему правилу
приписывания знака нулевому значению в обеих указанных выше последова-
тельностях одинаковое число перемен знаков. В то же время оба многочлена,
[г (А) и fr4.. {>,), имеют одно и то же число корней, лежащих правее ji.
7.4.4Н. Обозначим через 3 (х) число перемен знаков в числовой последо-
вательности
fo(x), ft(x)...fn(x).
Согласно условию 3(a) 3 (t>) < k. Положим с =—и составим после-
довательиость
/и (с), fi (О..fn(c).
Если Sfcpsfe, то кц лежит в интервале (с, 5). Если же 3(c) <fe, то либо
kh—c, либо At лежит в интервале (а, с).
7.4.49. Искомое приближение к А, есть 27/16.
7-4.52. б) Всякая действительная симметричная матрица ортогонально
подобна диагональной матрице.
7.5.1. Нет,
304
ответы и решения
7.5.20. Пусть X—любое собственное значение матрицы А, х—соответс-
твующий собственный вектор. Тогда
0>(Cx, х)-_-(А*Вх, х)А-(ВАх, х)=(Вх, Дх)-|-(Лх, Вх) =
(A-j-X)(Sx, x)=2ReX(Bx, х),
откуда ReX<0. Теперь единственность решения уравнения Ляпунова для
матрицы А вытекает из 6.3.49.
7.5.21. Н=-0.
7.5.26. Утверждение задачи вытекает из 7.4.19 и 6.3.51.
7.5.28. Утверждение задачи вытекает из 7,4.20 и 6.3,48,
7.5.30. Матрица S является произведением Шура положительно опреде-
ленных матриц И и Нт.
7.5.36. Необходимость условия вытекает из 7.5.9. Пусть теперь для
Матрицы И выполнено условие критерия Сильвестра, Докажем по индукции,
Что ведущая главная подматрица Ик положительно определеЕщ.
Для /?—1 это очевидно. Если, далее, И/, положительно определена, то
собственные.значения рj:П =.., Si-ц* этой подматрицы положительны. Из 7.4.35
следует, что среди собственных значений Xj 4-.,. X* 4- подматрицы
по крайней мере Х1( .... Х& положительны. Но в силу условия detWj+r>-0
положительно и Х^+г, так что И^г —положительно определенная.
7.5.39. Матрица не является неотрицательной. 7.5.40, Матрица не является
неотрицательной. 7.5.41. Матрица положительно определена. 7.5.42, Для лю-
бого е > 0 матрица Н 4 е£‘ удовлетворяет условию (7.5 2), поэтому И по край-
ней мере Неотрицательная. Однако определитель матрицы И положителен. Что
можно показать, проводя его вычисление но рекуррентным формулам, связы-
вающим главные миноры, расположенные в правом нижнем углу, Поэтому И
положительно определена.
7.5.43, Матрица неотрицательная. 7.5.44. Матрица неотрицательная.
7.5.46. -L I 3 , 7.5.47.-- |4 1 1 '14 1
У 2 1-1 з 3 1 1 4
ill 14 2 ~4
7.5.48. J 2 17 2
|- 4 2 14
Р 1 1 | | 41 1 с
7.5.49. 2Р 1 1
7.5.53. Из И^5' следует 1/гЯ5“ 1/2 где 5“ 1/2 (5'.
Тогда согласно 7.5.33 S^~H~ [8|; ’ Е, или 1 4-S-1.
7.5.60. Пусть х — нормированный собственный вектор оператора HS,
относящийся к собственному значению уг. Тогда
\\ = (ИЗх, х) = (Sx, Их) 44 Sx j ! Их j =4 «!₽!-
В последнем переходе использовано соогпощение (7.4.2).
7.5.61. а) Из следует: (S-'Д = S-!Я— Е. Так как собствен-
ные значения матрицы положительны, то собственные значения мат-
рицы (5”’|К действительны и больше, чем —1- Заметим, что S~XK, подобна
кососимметричной матрице ]l'2KS~1''2, поэтому ее собственные значения рас-
положены симметрично относительно пуля, Отсюда следует, что собственные
значений iS~lK меньше 1;
б) для доказательства достаточно проверить, что del (5—1Д)-4 |. Из а)
следует, что собственные значения матрицы S~lH лежат в интервале (0,2)
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
305
симметрично относительно его середины. Произведение каждой симметричной
пары собственных значений 1 — х не превосходит единицы, откуда н
следует нужное неравенство. В случае det S—-det// матрица S'iH paeira еди-
ничной матрице;
в) из а) следует, что det (5~1/С) I < 1. откуда clet К < det S.
7.6.1. Если «j..... ols—сингулярные числа оператора Д, то: а) А*
имеет те же сингулярные числа; 6) аЯ имеет сингулярные числа |а;а1(...
, а as.
7.6.5. Сингулярные числа А~< обратны сингулярным числам А.
7.6.8. п, п-1, ... , 2, 1,0. 7.6.9. 2| 3, , 0.
7.6.12. Столбцы U составляют ортонормированную систему собственных
векторов матрицы ЯЛ*, столбцы V*—ортонормированную систему собствен-
ных векторов матрицы Я*Я.
7.6.16. a) Af^Vr\U’, б) A*=-V*AU*; в) Я'Л =(Р1/)*РЛ л? (UP)*, где
Р — следующая матрица перестановок:
о
р--=
1
о|
7*бЛ9н Единственное ненулевое сингулярное
/ т п \ 1 /2
IS S iav:*f *
1 = 1 I I
число равно
7.6.28. Эти оценки получаются из 7.6.23, если в качестве х брать еди-
ничные вектор-столбцы.
7.6.31. Без ограничения общности считаем, что Я стоит в левом верхнем
углу Я, так как дтого можно добиться перестановками строк и столбцов,
очевидно, не меняющими сингулярных чисел. Пусть Л имеет следующий
клеточный вид:
Тогда матрица г.= .-Ы‘-Й£‘ является главной подматрицей в ЯЯ*, и се
собственные значения, ар нумерованные в порядке убывания, не превосходят
одноименных собственных значений ЯЯ*. Так как ВВ* — неотрицательная
матрица, то в свою очередь собственные значения ЯЯ* не превосходят одно-
именных’ собственных значений F. Отсюда вытекает нужное утверждение.
7.6.34. Пусть L'i — подпространство в Л такое, что
. 1ЯРх[
Оц~ m(n -т
Так как
то
| ЛВх | _ [Ях|
о*. min
х -j. о
I Вх j
t*.
Вх\
И х~ ~ аг₽А
306
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Если в подпространстве Lk найдется ненулевой вектор х такой, что 8х=0,
то 6* —0 н неравенство ой «tPi очевидно, (Отметим, что в этом случае н
Р„ — 0, так что четвертое неравенство тоже выполняется.) В противном'случае
подпространство В Li имеет размерность k и для всех ненулевых векторов из
справедливы соотношения:
|АВх' 1 АВх \ \Вх' {А (Вх)'
|*1 \Вх~ ‘ |Х( ^₽L \Вх\ ’
Отсюда
. „ I А (Вх) I „ Au I | Ах1
д* pt mm —- Pi • min —г й ₽i - max min L— = p^.
r^O I t>x | I у 1 L X:£C 1*1
ie(.J fiEBLg xe-Lk
Аналогично доказываются два других неравенства.
7,6,36, Всевозможные произведения а .А/, f = 1, , я, ! =• L т-
7.6.37, «I —аа = 2, аа~-1. 7.6,38. а,=:3, а. = 2, а, = 1. 7,6,39.^ = ^ =
= 6, а3 =3. 7,6.40. at =.9, а3 =а3 = 0. 7,6.41, at = а. =-5, аэ = 3. 7,6.42, оц —
— 2]/ 2, аа = Г 2, а4 — 0. 7,6,43. сц = а3 = 3, в, = а,-1. 7.6,41 = 4,
а2 = аэ а4 = 0. 7.6,45. = а3 = а4 = 2. 7,6.46, <zt =- а3 = 2/ 10, аэ =
~ а. = И Гб.
7.6.47. При п = 1 получим тригонометрическую форму комплексного числа.
7.6.48, Н = (Д*Д)|/3.
7.6.49. Из полярного разложения A —HU следует; ДА* =Н~, A*A ^U*H-U.
Пусть А* А г, = U*H-‘Uei aUi- Тогда № ((Л?;) = а} ((А?Д, что и требовалось.
7.6.53, Я1 = (Л*Д)'/2,
7,6.54. Если Н и U перестановочны, то А*А —=Д*А — № и оператор А —
нормальный. Пусть, наоборот, А — нормальный оператор, т. е. Д*А=ДД*,
н пусть г., ... , еп ~ ортонормироваиный базис из собственных векторов опера-
тора ДА*. Так как АА*=Н'\ то те же векторы <4, ...( будут собствен-
ными и для оператора Н, поэтому
(Uff)ei ~ U (Не) = (XjUei, i— п. (а)
С другой стороны, из 7.6.49 следует
Н'! (Deft i = 1, ... , п,
иди
(HU) et = И (Ufj) = а^, i = 1, ...,л. (Р)
Соотношения (а) и (В) Показывают, что UH = HU.
7.6.56, S, U = -Е.
7.6.57. Если рассмотреть матрицу оператора дифференцирования в базисе I.
i, Р, , 1п, то в этом же базисе оператор п имеет диагональную матрицу с
диагональными элементами I, 2, 3, ... , п, 0, а оператор U — матрицу
О I 0 ... 0;
00 1 ... 0
О 0 0 ... 1
:.t 1 0 0 ... О
Тем самым, U есть либо оператор циклической перестановки: 1 (я,
I3Е ..., tn-> tn~l, либо оператор циклической перестановки с отражением;
I - > - ;я.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
307
7.6.58. 7.6.59. Ар — НpUg. А аВ =(ЯхК) (t/> <V).
II 5 — 5|1 , 1 II з — 411
7.6.60. «=|-5 5!1’ У-5 4 зг
Л 1 1 II
о _ .— 1
2/2 /2 0 1 2 J 2
7.6.61. н = /2 3/2 0 . и = 0
0 0 5 /2 /2
о о;
3 1 0 0 ;| 1-12-2
„ /10 1 3 0 0 111 12 2
7,6.62. "=т- 0 0 3 1 ’ " = KToi—2 2 i -1
6 0 1 3 1-2 -2 1 1
7.6.83. Пусть А = РЛР~1, где Л — диагональная матрица, и пусть Р —KU —
полярное разложение матрицы Р. Тогда
А = KUXU*K~i = (№Л[/*Ю (К-i)"-.
Полагая H = Kt/A(7*K, S=(K ’)s. получим требуемое представление.
7,6,64, Пусть А = UAV — сингулярное разложение матрицы А. Тогда
tr (ЛIV} = tr (4/AVIV) = tr (AVIVU) = tr (AZ),
где Z = VIVL/ и вместе с IV пробегает все Множество унитарных матриц. Оче-
видно, что
j 1г (AZ); cxt 4-... 4-
Равенство здесь достигается, например, при Z=Et т. е. IV =V*t7*.
7.7,1, При п= I получим обычную запись г = а 4- it> комплексного чз)Сла г.
7.7,2, А =0. 7,7,3. а) А = В; б) А*=В.
7,7.7, А -0.
7,7,9. Л * = — а//а.
7.7.20, Равенство j det А 1 = det HL имеет место тогда н только тогда, когда
A=HV
7.7.23. S= ‘ (A-f-A*), K-l(A-A’).
7.7.25. A—кососимметричный оператор.
7.8.4. Если представить многочлен g (I) в виде f{0=e^'’+gn~! (0, гДе
£л_( (0— многочлен степени йп-i, то псевдорешения уравнеция Af=:g
суть прообразы многочлена g„_i (t), т. е. все его первообразные. Нормальное
Псевдорешение есть первообразная со свободным членом, равным нулю.
7.8.5. Если плоскость псевдорешенин уравнения Ах=Ь записать в виде
х=х04-Л'д, где х((—нормальное псевдорешение, то для а), б), в) соответствую-
щие плоскости будут: а) х = - *О + АД; б) х=ак0+АЛ; в) х=1=хь + Кд.
7,8.6. Пусть ха— нормальное псевдорешение уравнения Ах = Ь. Тогда: а)
х0 —нормальное псевдорешение уравнения UAx=Uli‘, б) Е*те —нормальное
псевдорешение уравнения AVx—b.
7.8.7. Пусть г— ранг оператора А, и пусть собственные векторы г,.ег
отвечают ненулевым собственным значениям ......Хг. Если
Ь = a^i -f-... 4 arer 4. ar t ter +14-... 4 апеп,
308
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
то псевдо решения уравнения Ах—Ь суть векторы вида
а. а,
х= ?ь q+---+ / ^+₽г^г+1-;--..-+₽чеч,
где ₽г-г.-...₽п — произвольцыя числа. Нормальное псевдорешеине;
аг , ,
7.8.10, х„-(0 0 0)т. 7.8.11. хо=(0 0)т.
7.8.12. *«-= -3 () I ] 1/, 7.8.13. х0-^-(1 2)г.
7.8.14. х0=у (5 6)г. 7.8.15. x0=-g (1 0 1)г,
7.8.16. х0^2'(1 0 1)т. 7.8.17. xll = (l i 0)7,
7.8.18. х0 = (1 - - J 1 [).
7.8.19. Нулевой оператор из Y в X.
7.8.21. На подпространстве Д4П г псевдообратный оператор действует как
оператор интегрирования. Многочлены вида ain образуют ядро псевдообрат-
ного оператора.
7.8.27. Пусть B=^(A r)ef. Тогда В—п X т —матрица, у которой
(ig-l/a* .... b/.r=l/ar, а все прочие элементы равны нулю.
7.8.32. Ненулевые собственный значения операторов А и A f взаимно обратны.
7.8.35. А' —и^Н -^щи*.
7.8.45, Операторы ,4 н Л' взаимно обратны на паре подпространств
Л* и Ль
7.8.47. Оператор X должен иметь тот же ранг, что и А. Следовательно,
подпространство Тл, является образом этого оператора.
7.8.49. В дополнение к условиям задачи 7.8.47 уравнение (АХ)*=-/1Х
показывает, что ядро оператора X должно быть ортогонально к подпростран-
ству Тл. Итак, образ и ядро X совпадает соответственно с образом н ядром
А*, причем на паре Подпространств ТА, и 7Д операторы А я X взаимно
обратны. Согласно 78.26 X = /Tf.
В задачах 7.9.J—7.9.5 преобразование неизвестных определено не одно-
значно.
7.9.1. + + ^=-тЛ^-|--^ у3,
J' 2 р и | 3 | о р о
^Й^Й^Й*-
7.9,2. - ^-7^4-5^ хг = ~; 7 й + тт^з- ха = —
1 I .6 |' 3 |- 2 |- б Г 3
^’“Й^'п^+Й^
2 13 12
7.9,3, —7 г/? -^2у'7 Xj — у. -|- —- -I—:г у,, Хд --—-у.-'-——
' 1 । 21 г । 6 Г Н ' I- Г 6
2 4,11
— / —- //я. Аэ -г— /Л -Н Vi “I- ~ ,
| 21 V б !4’ 3
7.9.4. Р’ + Зу.; Зу ;—у:; х, =ут^ Уг “1“ р~^ Уь xi—Ks + ^а’ Хз =
11 II
= —Г- Уч — у3, Хд - -Т-— у, — ~7~=. Уч-
|- 2 Г 2 I 2 ' 1 2
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
309
7.9.5. IO(Z; хг =——— Vi-г—/Уэ + “—~~У^л2'-=~—“7,
| К) | Ю | 10 | 10 |. Ю
1 2 I 1,2 1 2
ГюПо1,3’ПоУ1’ л'3=гтаУ1 +По "'110Рз~ГЙу" х'
2 1 2 1
| 10 У1“ | ;0 У"“ | 10 | 10Vr
7.9.12. Проведен доказательство индукцией по числу п. При и—1 утвер-
ждение очевидно. Пусть оно справедливо для н = й. Рассмотрим форму от £-|- 1
неизвестных, и пусть А/, , -ее матрица. ЛА—ведущая главная подматрица
порядка 1г. Так как и Аь иевырождены, то согласно 7.4 35 у матрицы -4& । г
либо па одно положительное либо на одно отрицательное собственное значение
больше, чем V матрицы А&. В первом случае г имеет тот же знак, что и
r>h, н в последовательности I, Dl...Dl-, на одбе, совладение знака больше,
чем в последовательности I, D„ ... , D*. Во втором случае D(1,_r имеет .знак, проти-
воположный знаку и мы получаем дополнительную перемену знака.
7.9.13, Так как Г>((г4=0, то 7.-= 0 является простым собственным значением
|1Е'ДУ1||.С1'| главной подматрицы А*. Пусть I — число ес отрицательных собственных
значении. Тогда согласно 7.4.35 число отрицательных собственных значении
ранги > для All_l и I 4- I для 4*.л. Поэтому ,.j < 0.
7.9,16. Каждый на индексов инерции равен 2. 7.9.17. Положительный
индекс иперцин— I, отрицательный индекс ицерции -3.
7.9.18. Форма положительно оцределеца.
7.9.|9 , Форма F приведется к виду /' .У; -| ’'Л где О' — квад рати., пая форма
уже только от переменных у>2, .... у„.
7.9.21. Например, у, =хг-г-*5-|--И. Л <>-i- хз- ,\'з = *ч-
7.9.22. Например, у>„ — лс,х3, у3-х3.
7.9.23. Например, J’i-=xr — *д— 2*i- А =2х^-|-ха, ,v3=.3x34-2x4, у4=4х4.
2 1 — 1 ! II3 -1 0]
7.9.28. 3-= 0 2 >1, 7.9.29. S-||0 2 -2 .
0 0 ill II о 0 1 1
1 г 2
1 2 3 4| 1 V2 (J
0 1 2 3 _ Л 1 < .
7,9.30. S-— 0 0 1 2 7.9.32. S-, *
0 0 0 1 ° ' 1 |''2
1 1
11 2 3 4
0 I 2 3 4 f
7.9.34. S=. 0 0 1 2 3 .
0 0 0 1 2
0 0 0 0 1
7,9,36. п извлечений квадрат|ЮГо корня. Число операций умножения
и деления выражается многочленом от л, старший член которого есть л:|/й.
7.9.37. Решение системы Ах = Ь своднтся к решению двух треугольных
систем уравнений: S!y-~b И Sx=y.
7.9.38. Решение двух треугольных систем требует О (п-) операций умно-
жения и деления. Учитывая 7.9.36, видим. что метод квадратных корней при-
мерно вдвое экономичнее метода Гаусса.
7.9.13. Ilpii подходящей нумерации —1, ш-1, ..., п.
310
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
311
7.9.45. Форма F положительно определена. Преобразование неизвестных
1,2 1 1,2 2 1
г1~ ~T~Z -----*iH- *з. ?г = XT -р-—- X----— х3, г3 = —- х, —
I 3 I 3 I 3 I 6 | 6 I 6 I 2
— к 2 -Ti приводит форму F к нормальному виду, а форму G —к канониче-
скому виду 5г;Ц-2г;.
7.9.46. Матрицы форм F и G перестановочны. Ортогональное преобразова-
111 11
вне неизвестных у. =—- х,-----х» 4-^^ хъ и, — х,---------- хч, уя =
'* |/ 3 | 3 Е 3 S V 2 1 F 2 Л
12 1
— —X) 4- — Xs_|_.---- х, приводит форму F к каноническому виду Зу’ —
6 р 6 ]' 6
— 2^+6уз, а форму G —к каноническому виду (— 6) -f-6,vs.
7.9.47, форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных
1 4 2 5 2 2
Xi — х4 g х^4_Хз, g х, х3 2х3, z$ — Xj—— x..— Зх3 приводит
форму F к нормальному
~2й + г^.
виду, а форму G — к каноническому виду (— 5) г; —
7.9.48. Форма G положительно определена. Преобразование неизвестных
З'г^х,—х2. .р2~хг — х3. у’з = х3 — xit у4 = х4 приводит форму й к нормальному
виду, а форму F — к каноническому виду -|-2у; — у>=.
7.9.49. Матрицы форм F и G перестановочны’ Ортогональное преобразова-
ние неизвестных ?1 = 1 + ~ ха + xs-f-lx4. j,a= J х, - | х„ + А х3 -
1 1 I
_ — х4> у:, = —— X.--------------X
2 |'2 1 к 2
ническому виду 5y,p-f-jrj — у-
у4 х2 — х4 приводит форму F к кано-
_Vj, а форму G —к каноническому виду _у; ф.
8.1.29. Пусть р(х, /И) =|| х—_уо;| —||х—у; if. Тогда
Р(Х, М)^|х_-^|
следовательно,
II х— Ь
2 (|! X У’о |1 + || х — у>' р) = р (х, М),
Согласно 2.4,13
2
х—у;
2
2
где X > 0. Отсюда
х-уи=Х(х-у-Д,
z^hx-yui, = i
и 3'о=Ун-
8.1.33. Если указанного
ность jxk}, x* s Д4, такая, ч4и ; к- отделим из jx^; подпоследова-
тельность {xft сходящуюся к некоторому хц s= М. Тогда, по непрерывности
функционала F, должно выполняться соотношение; F (xt ) -> F (х0), что про-
тиворечит предположению F (xk .) -> со.
8.1.34. Положим 1
С= sup ] Г (х) |.
числа с не существует, то найдется последователь-
что 'F(Xfi) \>k. Выделим из {хА| подпоследова-
Согласно 8.1.33 число С конечно. Если ин для какого х из Д( эта граница
не достигается, то функционал
G “ 6 -1 (х) I
должен быть непрерывен на Л4, а его значения ограничены, что противоречит
определению числа С.
8.1.35. c.i= шах п (х), сг= max m(x).
i»(x) I л (х) I
X ;^0 хфО
8.1.36. || х 2 xg । х 'r J rcil х'|2,
llxl^; ixiij^Mx'U
||Х||Х, ;Хl2 =g |z Ц|'х'1я.
8.1.37. Положить С; равным наименьшему, а сг — наибольшему сингуляр-
ному числу матрицы Р-
8,1.41. Введем скалярное произведение в X так. чтобы Lt и £,г были орто-
гональны. Пусть г,, — предельная точка для А' и {г*|- — последовательность
векторов из А, сходящаяся к г,,. Если aft = xfcH-y*, х^е-И,, уд е АД, и гс —
= х,|Ц-у.|)—разложение вектора г(1 по подпространствам /4 в Lit то
I - г,, а = 1 х* - х0 yk -уп
откуда хй^х(| и yfc - -,уп. Ввиду замкнутости Л14 и ;V1.4 имеем х^с-М;, уп—
е Л/г, г„ (= N.
8.1.45. Длина вектора двойственна к себе относительно порождающего ее
скалярного произведения.
8.1.46. ш* (X) =: I х ||, = I а, I 4-... +1 а„ |.
8.1.47. Неравенство (8.1.4) для пары норм || х |'р и |[ х ,17 представляет собой
неравенство Гёльдера.
8.1.49. Достаточно рассмотреть векторы х3, для которых л; (х,-) =1. Каж-
дый из таких векторов является граничной точкой единичного шара нормы
т(х). В курсах выпуклого анализа доказывается. что для всякой граничной
точки х,, выпуклого множества Л1 существует так называемая «опорная гипер-
плоскость», задаваемая равенством Re (х, у) = с (где у —фиксированный вектор)
и обладающая тем свойством, Что Re(x„.yl=c и Re(x, у)^~с для всех про-
чих х из Й. Применяя эту теорему к рассматриваемому случаю, построим
для дапнеч о вектора х,, опорную гиперплоскость Re (х. У)=с. Вектор у, опре-
деляющий эту гиперплоскость, и будет искомым.
8.2.2, Да. если оператор невырожден. Нет, если он вырожден.
8.2.3. В случае вырожденного оператора утверждение может быть неверно.
8.2.5. Пусть М1 = МП7’Л. Как пересечение замкнутых множеств, Л1 само
замкнуто- Введем в рассматриваемых пространствах скалярные произведения.
Полный прообраз ,И (или, что все равно. Д4,) есть множество плоскостей х -|-
-|- (V (, где х пробегает множество Д ЛЦ. Так как оператор А~, рассматривае-
мый лишь [ia Тд, певырождеп, то Д |,Д41—замкнутое множество (см. 8.2.3).
Теперь нужное утверждение вытекает из 8.1.41.
8.2.15. а) Спектр а,у г, пая норма диагональной матрицы равна наибольшему
из модулей ди а [ опальных элементов; б) спектральная норма к вазиди а тональной
матрицы равна наибольшей из спектральных норм диагональных клеток.
8.2.17. Е п. 8.2.18. || А | -^а’’ н-.. + %.
8.2.23. Действительная (мнимая) часть комплекс кого числа г является
ближайшей к г точкой действительной (мнимой) оси.
8.2.24. Это равенство аналогично формуле для модуля комплексного
числа « = x-|-fy.
8.2.25. Пусть U — произвольная унитарная матрица. Тогда
| Н - U !pt- = tr ((Д-УП (/f-t7))^tr /Р+п-2 Re tr(tfG).
Согласно 7.6.64
— 1г Д «с Re fr (HU) <- 1г Н,
причем равенство справа достигается лишь при U — Е, слева —лишь при
G = —£.
312
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
В случае, если Н — неотрицательная матрица, утверждение остается спра-
ведливым, однако наиболее близкая и наиболее далекая унитарные матрицы
могут быть определены нс однозначно.
8.2.2G . Для ненулевого комплексного числа z — р (cos <р-[-i sin <р) число
гr =cos tp -|~i sin ср является ближайшей, а число г.;=—(cos гр-p f sin <р)— наибо-
лее удаленной точной единичной окружности,
Л II
8.2.30. a) |^Л |1=max i aif-б) || А =тах \ 'a,j'. Значения обеих
/ j I j j
норм на диагональной матрице D равны наибольшему из модулей диагональ-
ных элементов d;,.
8.2.33. N (А)^-М (PAP-’).
8.2.35. Если х=(аь ... , а„)т, у = (₽г. > ₽Ч)Г > то
/ Л \
|^^=l'max[a,:'..i X 1 М‘
' г \г - I /
8.2.38. Так как всякую матрицу В ранга 1 можно представить в виде
произведения уу*, где х и к — вектор-столбцы. то, используя (8.1.4), получим
max
гв =
j tr (АВ) [
Л! (В)
max
*. > f- о
1 1г (Лхз>*>! _ тах I (Лх, у) t
М (ху*) ,.^0 т(х) т* (у)
т (Лх) т* (v)
щах —---т2-— / /
х. У -л 0 т W ™ (V)
— щах
X./: о
т (Ах)
т(х)
=гМ(Л),
Согласно 8J.49 для фиксированного вектора х можно найти вектор у так, что
’ (Лх, v) |=т (Лх) т* (у).
Выбирая подходящие х. у, обратим записачнью выше соотношения в равенства.
8.2.40. Доказательство дает следующая цепочка равенств:
Л1* (А *) = max га‘ (А *у*) = max max I (Л *_у, х)' =;
П1‘ (y)--l Iii,(i')=l m(.i) = |
= max пщ.х | (Лх, у) = щах т (Ах) ~М (А).
Ill (X) - I Д1* (у) = I in Ы) I
Здесь использовано утверждение 8.1.50: ,п (х) совпадает с нормой, двойствен-
ной к т* (уг).
8.2.43. Пусть заданная норма • Л [i согласована с векторными ,।лрмами
' 11 г i-ч Ич R 9 49 и 39 шг/.иж'т tfl<j ) A i; должка быть подчинена к
т (Лх)
т (х) >|ьц(х). Иы 8.2 42 и 8.2.39 вытекает,
щ(х), нтл(х), так чго
и 11- щах 2_.— —
" л до « №
(ГХ)
1[Л щах
х =0
п(Лх)
П (X)
Ф>
Предположим, что нс синеегвует клг|ета1|ты с такой, что щ (х) (<т для
ЛЮбОЕ'О пг г !', pa X. Умноженном ОДНОЙ г(3 норм на Г|ОД ХГ1ДЯ; ИГО ЧИСЛ'Г со-
гласно 8.2.32 tre меинет Коччиненнон нормы) агоЖцо jooriibcH. чтобы fv(x)-..-
=;-,У(х) при всех х, причем т (х0) =ri (х„) для пскоторситт вектора х,,. Ты к как
нормы m (х) и п (х), по нпедгголожс!гп1|О, ко совка да ют, существует вектор х,
такой, что щ (Х[) < п (л-j). Можно считать, что 1>1 (х,,) щ (х,) •— 1.
Согласно 8.1,49 найдется вектор у такой, что
(Х.„ y)=4ti (Xt,)m* (у) -^т* (У).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
313
Вектор у также можно нормировать условием т* (у) — 1. Теперь для матрицы
Д=.тгу* имеем
' Ахи ^xty *ха ^(ха. y)Xj=xt,
(y*) = i.
Если, однако, для вычисления Л || воспользоваться представлением (р), то
получим:
J А 5Г77Г=”(Х1) > т (Xl)”1 ‘
Это противоречие доказывает, что нормы т (х) и п (х) должны быть пропор-
циональны,
8.2.45. Если || А |[ согласовала егце и с нормой п (х) И Аг (Л) —соответст-
вующая подчиненная норма, то М (Л) А' (Л) на множестве матриц рацга 1.
Используя представление (8.2.5), получим, что М (A) = <V (Д) для всех А,
откуда следует (см. 8.2.43), что нормы т(х) и п (х) пропорциональны.
8.2.47. Нет. Например, условию задачи удовлетворяет норма
А1 (Д) — шах J, А |>г, |: Д i^.},
однако она не может быть подчиненной, так как согласована с двумя непро-
цсрционАльпы ми нормами: '[ х '!г и
8.3.3. соцс!^ (Д) =й -g- к 1,
8.3.5. Из 7.6.33 следует, что если |[Я[!а<ая. то матрица ДЦ-В невырож-
дена. Построим теперь матрицу В такую, что |[В[г'--ал Н А 4-В—вырожден-
ная матрица. Пусть А — UAV — сингулярное ра.тложение матрицы Д; как
обычно, АГ| -Ч-.;?-... -r.-Anrt и 7.,^Тогда матрица В «мест вид: В =-
- UAV, где: 7ц . ।. = я.. г — О, Алч з-- — ап,
8.3.9. Пусть Д вырождена и Ах— 0 для ненулевого вектора х. Разобьем
вектор х соответственно разорению матрицы 41
[:м
Х = Л<
;Х*'
Предположим, что Ц х-'! =тах { .[xr !l, || хаii, ,.., |txA Тогда из равенства
_ Л(.;х( = Д;1х14---- + -^!, /гл;-t + Ai. l^!^ + "- + Aikxll
получаем
k ! * / k \
i|X;-^-: Др-1 5] AjtXj 1| Ar,‘ ii |, A ij || |l Xj" -й r. A a’ i| )Д,,|1 j ;| xi ;| <' [, x,-
; / - i i i ~ i I (‘ 1 I
,! /-/г' I /A‘ \ l’=‘ I
Полученное противоречие доказывает, что А левы рождена.
При ffl- l получается критерий диагонального доминирования по строкам.
8,3.10. Матрица А невырождера.
8.3.12. Если D - диагональная матрица, составленная цз диагональных
элементов матрицы А, то
[ 1 J-
coml^ (D) coild^ (Л) cond^ (D) .
8,3.13. Если использовать неравенства, выведенные в 8.3.12, то подучим
0,9/i copd^ (Д) 1,25л.
314
ОТВЕТЫ И
8.3.14. Максимальное значение числа обуслсшлегпюсти достигается Ira мат-
рице
ДЛЯ которой
I I I 2 4 ... 2"-^ 2я -
| 0 1 ] 2 ... 2’1 ч 2'i :i
1 0 0 1 I ... 2"-* 2,1'J
10 0 0 0 ... ] I
|| О О О О ... О I
Поэтому cond (/?„) = л2п
8.3. lii. Так г;ак ,<4,;,|:=1, го элементы всех матриц Л* ограничены по
абсолютной величине, ограничены, следовательно, я все миноры порядка п—I
этих магргш. Поэтому увеличение числа обусловленности возможно лишь за
счет стремления det Ak к нулю.
8.3.18. Если а, а- •... а, , то
corid., (Д) — _L2lL_L _
| >'П I
8.3.19. eoTid2 (Л) =-^ .
8,3.24, соц.Ь М) -- |Д11 ~ + 1пт-2 2+ са!:±__Д1^
i del А | и 11 о.,.-,— ;
8.3.29. condu (zl) — соп'1з (S).
8.3.30. Для исходной системы мравнепий Cond„ (.4)-и 1000. Решение: х, -
= 1,5; хг = I; а-, = -1.
8.3,31. Для мртрнпы Л исходной системы уравнений можно, пользуясь
неравенствами задачи 7.6.28, получить оценку: сощ.!,, (zl) >-363. Чтобы умень-
шить число обусловленности, умножим второе уравнение системы на 10,
а третье на 100, после чего сделаем замеру переменных: Vj-x,. _у„=10хг,
Уз — 100-Xri- Получится система с симметричной матрицей, решение которой:
У)-- — 1: Vz” — 1; J’:l — I. Поэтому решение неходкой системы: х, --1; х., --
—0,4; х3 = —001.
8.3.33, Компоненты решепия могут изменитьсн па 6,01. Решение исходной
системы: х~ — 1; _у-'-0. Решение возмущенной системы: „у —1.
8.3.34. соп<1 с (Л) = 10967. Решение исходной системы: х=1; у>=1. Реше,
ние возмещенной системы: —12 9; jz = — 20. Возмущение решения: х — х =
= 13,9; у-у-21.
8.3.35. Например, х,-- 2, х2 ™ — 1. х3 = 2, х, ^=. 1.
8.3.36, Например, Xj = |, х3 = х3 = х., 0,
8.4.2. Например, круг z | 5_|_| 2.
8.4,6. Это неравенство дает интервал локализации собственных значений,
с которого можно начинать метод бисекиии.
8,4,8. Пусть Р~'Л0Р = Л, где Л—диагональная матрица, составленная из
собственных значении матрицы Ао. В качестве искомой нормы ' ,4 ,, можно
взять любую па норм j.T’ izIP 'j.j.oe (см. 8.2.10, в)).
8.4.13- Пусть z1 =//|-j-jH-z —Эрмитово разложенце, а В ™ IP A U — форма
Шура для матрицы А. Тогда эрмитово разложение матрицы В будет:
B = U*HtU + iHi-
ответы И РЕШЕНИЯ
315
На главной диагонали у матриц и //., стоят соответственно числа и,, ...
" 1
.... и р,, , ₽rt. поэтому У s.-=,!L/*H|yr^ = iH1i5;^ 4-I, Л + А * । j-t и
I—]
аналогично для чисел ........
л
8.4.14. По поводу соотношении (8-4.3); равенство 4 V aj =’| Л + Л * Ifj
означает (см- решение 8.4.13), что — диагональная матрица. Так как
/7, =' 2 (#+^*) и В~треугольная матрица, то из равенства нулю внедиа-
гональных элементов /Л следует, что это же верно для В. Поэтому Л —нор-
мальная матрица.
8,4.15. Для матриц Л, имеющих простую структуру.
8.4.16. Согласно 6.2.7 матрицы АВ н ВА имеют одинаковые собственные
значения ?,,, ,.., ?.я. Так как А В — нормальная магрица, то
г^ = £ |А Г-’-
1 — 1
Покажем, что । /ЗЛ 'р=!| АВ |у-, откуда и будет (в силу 8.4.]4) вытекагь нор-
мадьпоегь матрицы В А. В самом деле,
|| BA |£. =tr (ВА (еЛ)*) = 1г (/5ЛЛ*В*)==Лг
= tr (Л *АВВ*) = tr (В:|:Л*ЛЯ)^ tr ((.4S)* АВ)АВ
Здесь использованы нормальность матриц А и В и равенство fr (,¥)') = 1г (И.¥).
8.4Л8. В 7.6.64 было получено представление: а, ~р...-р a,, = max tr (ЛИ7) ,
где JF — произвольная унитарная матрица. Пусть В - U*AU — форма Шура
матрицы Л. Тогда tr (ЛW) =tr (L>BU*W) = tr (RU*WU). Определим IP|( Co.
отношения U*WdU == D, где D —диагональная унитарная матрица такая, чтг>
b-d^ = , - А; . Для матрицы IP,, (определенной нс однозначно, если среди
чисел \ есть равные нулю) 1г (.4117,,) =. л, _ . . . Х;[ откуда и следует
нужгЮе неравенство.
8.4.19. Утверждение вытекает из 8.2.13, 8.2.27 и 8.4.18.
8.4.20. Если
I ? — , > У. ; Д'/ 4 i= t, .... п,
I
то матрица г£ — Л — диагонально доминирующая и, следовательно, невы-
рожденя. Поэтому г ire может быть собственным значением .матрицы А.
8.4.21. Эта область состоит из трех кругов; г— ! ,23 ; 0,07; г —2,17 । л:
„<0,04; г-3,06 0,06.
8.4.23. Например, область, состоящая из трех кругов: г — X;, 0,012,
|=_- 1, 2, 3, где Xi 1=0,3; ?.г_ 1; Х3 = 2,5.
8.4-24. Например, область, состоящая из грех кругов: г —45е, i =
= 1, 2. 3. где л, = -IJ^ = 0; л3= I.
8,4.27. Наггример^ J., = л,= —I; л., —0,3; ?'( = 1.
8.4.29. Нгнгримср, л, —л- -1, =1, Х|=3.
8.4.31.1. Для .тг>каз;гг('.гг,ггв;, и) заменим элементы i^.,. н2] и и,я, ли нулями.
Спектьалрпнн норма соответствуюнЦчг мдгртшы возмущения равна I 2/.V,
откуда и следует а).
316
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Для доказательства б) рассмотрим матрицу А как возмущение квазидваго-
на.тьной матрицы D с диагональными клетками
!
D
О О
1 О
О I
О
10
D===||o
г. —0,5
£^1з=}| 0,1
II -0.2
0J —0,2
-1 О
О 2
Для матрицы возмущения
В=А — D В $л<‘ В |ж = 3/ i'V . Поэтому в интервале
ЗА'-/.-!;. 3/W
(а)
содержатся по крайней мере три собственных значения матрицы А, Чтобы
показать, что их рчвно три, докажем, «|то при Л';.-10 интервал (а) не пере-
секаеггя с другими hi: ^риалами системы \х—X; | 3/,V, t = 1, ..., n; X; — соб-
ственные значения матрицы D.
Это ясно для интервала х — 2 3/,V ОД Заметим теперь, что со-
гласно теореме Гсршгоринл собствен nine значения Х6, л7, ?.н матрицы лежат
в интервалах | —1,3; —0,7|, (—ОД; —0,2], |1,7; 2,3]. Поэтому при Л’ -ж 10
интервалы ' л ~ X . 3 .V 0.-i, I — 6, 7,8, остаются отделенными от интер-
вала (а).
8.4.36. Вектор г (х) х есть проекция вектор;, 4.x на L(x).
8.4.38. Так как : а - 4-1 z , т 1, то и,,— р0 ,а гД р01; г !|.у. С другой сто-
роны, рс = (/1.г, -С)=Х, а:--|- (/1г, г). Отсюда вытекает, что ' — [i(i|]'x|2 =
=с| (Аг, г) — р.о || г е2,а. Так как : а \ '. > 1 — ег./сР, то отсюда получается
нужная опенка.
8.4.39. д) Например, ^ = 1, Х.2=2, Ха —3, ?ч==4; б) единичные вектор-
стсябцы.
8.4.42. а) Если 2 — X'1 и г, —;-я строка матрицы Z, то г-‘ =у. —собствен-
ный вектор матрицы /Г', относящийся к собственному значению Х-. При этом
из матричного равенства XZ — E следует, что (х;, _у,-) = 1 и s; I-1 = '[ х, [, '• v( |а.
Теперь из 7.6.28 выводим: cond.2(X) =.j| X |ij|| А"’> '|2ГД--|[х,-1'2 [Д, ]2^ 1/ Sj ‘
б) выберем векторы X; так, чтобы xf !'2 = ]/]/' rsf;. Тогда для строк г; мат-
рицы Л""1 также покутим | ]|.,= |/|/ | s, . Поэтому
И
СОП<1С (X) =|' X IlfT J X 1 !|й — || х ||£ = V -—Г .
I
I
8.4.44. Без ограничения общности можно считать, что векторы х и у—
нормированные. Пусть С— Q'AQ — верхняя форма Шура матрицы А, выбран-
ная так, что clt= Х(. Согласно 7.1.47 такую форму можно построить, причем
в качестве первого столбца матрицы Q можно взять вектор х. Тогда вектор
будет собственным для С* и (plt z) = (Q*x, Q*j,)=(x, у)_0. Такны
образом, первая компонента вектора г равна пу.тю, и нужное утверждение
вытекает из 8.4.43.
8.4.45. Из условия C*jt=X1_v получаем ы:* ДС* 1г=л1г, или
г*? / <-
Сп-,г + ес* ТДдтт-,5-т+т^т?-
Отсюда следует утверждение задачи.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара неравенство 5], 67
Алгебраическое дополнение мм лора 53
Аннулирующий многочлен И8
Арифметическое пространство 11
База системы вактороо 21
Базис 1 О
— ортогональный Зг
— ортонормнровалный 32
Базис о Ь|й минор 53
Бенднксоов теорема 2|Г
Бине __ Коши формула |07
Биоргогоналыгые системы векторов 4 2
Ведущий главный минор 72
— злемент Ш методе Гаусса) 13
Вейли неравенство 207
Вектор Я
Вектор-столбец 1 08
Вектор-строка 108
Векторное пространство 9
Векторы коллтгпеариые 10
— ортогональные 31
Высота корневого вектора 163
Гельдсра неравенство 225
Гершгоркип теорема 244
Гиперплоскость 80
Главный Минор 62
Двойственная норма 230
Деком плсксифп к ami и 49
Длина вертпрэ 3|
Дополнение множества 223
Дополнительное подпространство 30
Доро.пантсльпый минор 53
Евклидова норма 233
Евклидиво пространство 3[
Единичная сфера нормированного про*
стряистэа 2’24
Ед1]Н||Ч( |ые векторы ар]|фмет1]4ц'СК0|’р» про-
странства 11
Единен ши шар нормированного прост*
paficTBri' 224
EciестliQiiiiыii базис арифметического про-
странства 1 1
Жорданона клетка 127
Закон {цсерцин [77
Иинерспя 52
Индекс нильпотентности 118
Квадратичная форма !76
— — положительно определенная 177
Квадратичной формы индексы инерции 177
— — канонический вид 177
— — Матрпм* 176
— — нормальный вид 177
— — ранг 177
— — cipPptaiypa 177
Квадратный корень цз оператора 2D2
Клетка ПО
Комплсксиф|)кацин 48
Координаты всктори 10
Корневое подпространство 165
Kopneiioil ректор >65
Кошц — Бусиновского перанеосiво 3[
Крамера формулы 80
Кронскероео про^лредс।гне- нагрей. [32
““ — определителей 77
Куранта — Фишера теорема 1 95
КэлГ} — Гамрльтопа теорема [65
Лапласа теорсча 53
/1 rifirn'inaя комГ,п]]вц{|Я 10
— оболочка [0
Л|1||СП i(OC 1ЮД11 рост ране гво 11
— пространство [действительное) 9
— — бесконечномерное |0
— —комплексное 9
— — конечномерное 10
— — пулевое 0
Лпнейпне пространства изоморфные j(j
JlHHcftnый оператор 105
- Фупкщюпал 110
Л)|ИС)й)ЫК подпространств пересечение 11
— — су мма [1
>>'1 я ну нова матричное уравнение 200
Матриц произведение ,07
— сумма [06
Матрицу ассоциированная 142
— верхняя (правая) треугольная [28
— вполне неотрицательна^ 1 |'J
— вполне положительная 112
— )Иd рожДйи на ч 52
— Грама 69
— дважды ст»’ха ст ii чес к а я 1 29
— диагональная 52
— диагонально доминирующая 237
— единичная 52
— квадратна!) 52
— кваэидпагональпая 130
— кцаэитрсутольнал 130
— клегочнА|| 1'10
— косоерммстрпЧнац 8|
— лепточная 129
— невырожденная 5^
-- неотрицательна!) [75
— неположительная 2DQ
ГТ!
31S
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Матрица нижняя (левая) треугольная 128
— нормальная 175
— нулевая 79
— обратная 107
— окаймленная 140
— ортогональная 175
— отражения 191
— отрицательно определенная 200
— прямоугольная 79
— перестановок 126
— перехода 108
— twioxo обусловленная 226
— [юложительно определенная 175
— почти треугольная 192
— простой структуры 151
— симметричная 8|
— скалярная 106, 127
— сопряженная 174
— Стохастическая 129
“ строго треугольная 128
— теплнцева 128
— транспонированная 53,.79
— трехдиагоналкная 196
— — неприводимая 196
— турнирная 2lI
— устойчивая 20Q
— Фробениуса 154
— элементарная унитарная 190
— элементарного преобразования 124
— эрмитова (самосопряженная] 8|
— якобиева 197
Матрицы внедиагональные элементы 52
— главная диагональ 52
— конгруэнтные 218
— определитель 52
— побочная диагональ 52
— подобные 146
— — унитарно |90
— произведение на число 106
— производная 134
— ранг 79
— сингулярное разложение 205
— сингулярные числа 175
— скелетное разложение 130
— след 123
— унитарно эквивалентные 205
— число обусловленности 226
Метод бисекцин 197
— Гаусса 12 /
— квадратных корней 221
— рекуррентных соотношений 54
Метрическое иростраггство 223
— — полное 224
Минимальный многочлен 118
Mheikohckoto неравенство 225
Минор 53
Множеств объединение 223
— * пересечение 223
Множества замыкание 223
— предельная точка 223
Множество выпуклое 224
— замкнутое 223
— ограниченное 224
— открытое 223
Непрерывный функционал 22$
Норма вектора 224
Нормированное пространство 224
Образ подпространства 111
Общее решение системы линейных урав-
нений 92. 98
Объем параллелепипеда 51
— — ориентированный 5]
Окаймляющий минор 69
Окрестность элемента 223
Оператор дифференцирования НО
— — А-кратного 110
— индуцированний 148
— кососимметричный 175
— косоэрмцтОв Р4
— невырожденный 106
— неотрицательный 175
— неположительный 200
— нильпотентный 118
— нормальный Р4
— нулевой 105
— обратный 106
— одноклеточный 166
— ортогональный 175
— отражения 110
— _ ортогонального 185
— отрицательно определенный 200
— положительно определенный 175
— проектирования 110
— — ортогонального 185
— простой структуры 151
— псендообратный 176
— разностный Н4
— симметричный 175
— скалярный | 19
— тождественный (единичный) 106
— унитарный 174
— эрмитов 174
Оператора дефект Ю5
— жорданова форма 149
— инвариантное подпространство 148
— канонический базис Жордана 149
— матрица 107, 108
— область значений (образ] 105
— полярное разложение 176
— произведение на число 105
— ранг 105
— сингулярные базисы 175
— — числа 175
— собственное значение 148
— — подпространство 151
— собственный лектор 148
— характеристический многочлен Н8
— зрмитоно разложение 175
— ядро 105
Операторов Произведение 105
— сумма 105
Операторы перестановочные 119
Определитель ассоциированный 63
— взаимный (присоединенный! 63
— Грама 68
— квазнтреугольиый 63
— кососимметричный 59
— ортогональный 71
— почти треугольный 62
— симметричный 63
— трехдкагональный 54
Определители разложение по строке
(Столбцу! 53
Ортогональная проекция вектора на под-
пространство 41
“ сумма подпространств 42
Ортогональное дополнение 40
Ортогональные подпространства 42
Основная теорема алгебры I48
— — о линейной зависимости Ю
Пенроуза уравнения 217
Перманент матрицы 61
Псрнснднкулмр нз вектора на подпро-
cipattc-tiio 41
[1лоскос[ей сумма 85
Плоскости вектОр-сдвига 79
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
319
Плоскости нэпраил яющее подпространств
во 79
'— нормальный вектор 80, 88
— параллельные 80
— параметрическое уравнение 80
— произведение на число 85
— размерности 156
Плоскость 79
Подчиненная норма 225
Полный прообраз множества 232
— — подпространства 113
Полунорма 227
Последовательность сходящаяся 224
— фундаментальная 224
Предел последовательности 224
Преобразованио переменных невырож-
денное 177
* - — ортогональное 177
— — треугольное 2|9
Прямая в линейном пространстве 80
“ сумма операторов 148
Скалярное произведение 3L 32
Собственного значения алгебраическая
кратность 148
— — геометрическая кратность 151
Согласованная норма 225
Сопровождающая матрица многочлена 154
Сопряженное пространство 114
Спектральная Норма 233
Спектральный радиус 186
Треугольное разложение положительно
определенной матрицы 219
Угол между Вектором и подпростран-
ством 46
Унитарное пространство 32
2‘уравненнс пары кВаДрзтнчкых форм 222
Рзяг системы векторов 21
Расстояние между Викторами 223
— — — евклидова Пространства 44
— — вектором н множеством 228
— — — — плоскостью 89
— — — — подпространством 45
— — множествами 229
— — плоскостями 89
Рэлея отношение 247
Фактор’Простракство 85
Фредгольма альтернатива 181
— теорема 97, |81
Фробениуса неравенство Ц7
— формулы 140
Фундаментальная система решений 93
Циркулянт 129
Серия 16G
Сильвестра критерий 201
Система ректоров линейно зависимая 10
— — — ме?ат|исимая 10
— — ортогональная 31
— линейных уравнений неоднородная 80
— — — неопределенная 15
— — — несовместная 14
— — — однороднаи 80
— — — определенная 14
— — — приведенная 97
— — — совместная 14
— — — тРапеЦендзлькогс вида 14
— — — треугольного вида 14
Системы линейных уравнений матрица 80
— — — — расширенная 15, 80
— — — нормальное решение 79
«— — — свободные неизвестные 14
Шар метрического пространства 223
— — — замкнутый 223
UJapa радиус 223
— Центр 223
Ширина ленты 129
Шура лемма 119, 127
— неравенство 243
— произведение 201
— теорема 174
Эквивалентные матрицы 14б
— системы векторов 21
— — линейных уравнений 9L 98
Элементарные преобразования системы
векторов 19
Якоби правило 2|Э
Икрамов Хаким Дададжановнч
ЗАДАЧНИК
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
М.т 1975 г,, 320 стр.
Редактор И, Л/. Оечинникма,
Техн, редактор С. >?. Шкляр.
Корректор Я. 5.
Сдано а ни бор 12/V -1975 г.
1/X IS475 г. Бумага ikiX^J'/is
20. Условн. цен. ,т. 20.
раж 34000 экз, Т-17312.
Заказ № 21).
Подписано к печати
тли. К- 2, Фнз. печ. л.
Уг7.-1|?.д. л. 21,97. TlT-
Цена книги 91 коп
Издательство «Наука»
Главная редакция
фцз1[1со-митематнческон литературы
117071. Москва. D-7L Леин нс к и А проспект. 16
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград*
слое процз₽юдстаенно-технн'|еское объединение
«Печатный Двор* имени А. М, Горького Союз*
полнгрэфлрома при Государственном комитете
Соната Министром СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197136. Ленин-
град, П-13о. Гатчинская ул.. 2ti