УДК 532.5:539.5
ББК 24.54
066
Орленко Л. П. Физика взрыва и удара: Учебное пособие для вузов. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 304 с. - ISBN 5-9221-0638-4.
Излагаются вопросы, касающиеся закономерностей взрывных процессов и
действия взрыва в различных средах (газах, жидкостях и твердых телах). Рас-
Рассматриваются проблемы, относящиеся к детонации, ударным волнам, метанию
тел продуктами детонации, кумуляции, моделированию взрывных процессов,
высокоскоростному разгону тел с помощью взрыва и их взаимодействию с
преградами. Приведены результаты численного решения ряда задач, связанных
с взрывными процессами.
Для студентов и аспирантов специальностей: оружие и системы вооруже-
вооружения, средства поражения и боеприпасы, а также для специалистов, занимаю-
занимающихся использованием энергии взрыва и удара.
Рекомендовано УМО вузов по университетскому политехническому
образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов.
Рецензенты: В. П. Челышев, Н.А. Гладков
Учебное издание
ОРЛЕНКО Леонид Петрович
ФИЗИКА ВЗРЫВА И УДАРА
Редактор М.Б. Козинцова
Оригинал-макет: В.Е. Рокотян
Подписано в печать 15.11.05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 19. Уч.-изд. л. 20,9. Тираж 1000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90	ISBN 5-9221-0638-4
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;	"" ""	"
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
785922 106382
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221 -0638-4	© Л. П. Орленко, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 7
Введение	 8
Глава 1. Основные дифференциальные уравнения движе-
движения сплошной среды	 13
1.1.	Некоторые сведения из термодинамики	 13
1.1.1. Первое начало термодинамики A3). 1.1.2. Изохорный
процесс A4). 1.1.3. Изобарный процесс A5). 1.1.4. Второе
начало термодинамики A8). 1.1.5. Уравнение состояния ве-
вещества B2).
1.2.	Дифференциальные уравнения движения сплошной среды . . 25
1.2.1. Лагранжевы и эйлеровы координаты B5). 1.2.2. Урав-
Уравнения движения сжимаемой твёрдой среды B6).
1.2.3. Уравнения движения идеальной среды D1). 1.2.4. Ин-
Интегралы уравнений Эйлера D4). 1.2.5. Дифференциальные
уравнения одномерного движения идеальной среды E3).
Глава 2. Плоское одномерное изоэнтропическое движение
идеальной среды	 56
2.1.	Дифференциальные уравнения движения	 56
2.2.	Характеристики плоского изоэнтропического течения	 57
2.3.	Решения дифференциальных уравнений плоского изоэнтро-
изоэнтропического движения совершенного газа	 60
Глава 3. Теория ударных волн	 77
Введение	 77
3.1. Связь между параметрами на фронте ударной волны с пара-
параметрами перед фронтом ударной волны для различных сред 78
3.1.1. Соотношения на фронте ударной волны в идеальной
среде G8). 3.1.2. Соотношения на фронте ударной волны

Оглавление
в твёрдом теле (81). 3.1.3. Соотношения на фронте ударной
волны для совершенного газа без учёта процессов диссо-
диссоциации и ионизации (81). 3.1.4. Соотношения на фронте
ударной волны с учётом процессов диссоциации и иони-
ионизации (82). 3.1.5. Ударная адиабата (83). 3.1.6. Двойное
ударное сжатие (88).
3.2.	Изменение температуры и энтропии при ударном и изоэн-
тропическом процессах в совершенном газе	 89
3.2.1.	Изменение температуры при ударном сжатии (89).
3.2.2.	Изменение энтропии при ударном сжатии (90).
3.2.3.	Невозможность существования ударной волны
разрежения в веществе с нормальными свойствами (91).
3.2.4.	Толщина фронта ударной волны (93). 3.2.5. Слабые
и сильные У В в совершенном газе (93).
3.3.	Диссипация энергии на фронте ударной волны	 96
3.3.1. Определение удельных необратимых потерь энергии
на фронте ударной волны (97). 3.3.2. Определение пол-
полных необратимых потерь энергии на фронте ударной вол-
волны (99). 3.3.3. Приближённый расчёт необратимых потерь
энергии A00).
3.4.	Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел	 102
3.4.1. Определение ударных адиабат A02). 3.4.2. Опре-
Определение ударных адиабат методом торможения A07).
3.4.3. Уравнения состояния жидкостей и твёрдых тел A12).
3.5.	Косые ударные волны	 119
3.5.1. Связи между параметрами на фронте косой ударной
волны A19). 3.5.2. Отражение прямых и косых УВ от жёст-
жёсткой стенки A22).
Глава 4. Теория детонации взрывчатых вещств		128
4.1.	Некоторые свойства взрывчатых веществ		128
4.2.	Гидродинамическая теория детонации		138
4.3.	Теория детонации идеального взрывчатого газа		143
4.4.	Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ . .	145
4.5.	Термическое уравнение состояния		154
Глава 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту		157
5.1.	Разлёт продуктов детонации за фронтом детонационной вол-
волны 		157
5.2.	Отражение детонационной волны от жёсткой стенки		162
5.3.	Активная масса взрывчатого вещества		167

Оглавление
5.4. Методы теоретического изучения разлёта продуктов детона-
детонации для одномерного течения идеальной среды		170
Глава 6. Распад произвольного разрыва на границе двух
сред		172
6.1.	Отражение детонационных волн от различных сред		173
6.2.	Отражение УВ от границы двух инертных сред		182
6.3.	Соударение двух твёрдых тел		186
Глава 7. Взрыв в воздухе		189
7.1.	Физические представления о процессе взрыва в воздухе ...	189
7.2.	Определение импульса взрыва в воздухе		191
7.3.	Методы теоретического решения задачи о детонации заряда
взрывчатого вещества в воздухе		194
7.4.	Точечный взрыв		195
7.5.	Экспериментальные зависимости параметров воздушных
ударных волн при газовых взрывах		200
7.6.	Поражающее действие ударных волн в воздухе		202
Глава 8. Взрыв в воде		208
8.1.	Физика взрыва в воде		208
8.2.	Методы теоретического изучения подводного взрыва		213
Глава 9. Теория моделирования взрывных и ударных про-
процессов 		218
9.1.	Элементы теории моделирования		218
9.2.	Моделирование обычного и точечного взрыва		219
9.3.	Методы обработки опытных данных в воздухе и воде при
моделировании		223
9.4.	Теория и практика моделирования		227
9.5.	Моделирование сложных систем		228
Глава 10. Метание тел продуктами детонации		232
10.1.	Введение		232
10.2.	Приближённый метод определения скорости и закона дви-
движения оболочки заряда		234
10.2.1.	Определение скорости оболочки заряда B34).
10.2.2.	Определение закона движения оболочки заря-
заряда B39).

6	Оглавление
10.3.	Задача о метании жёсткой пластины		240
10.4.	Метание сжимаемой прочной пластины и короткой цилин-
цилиндрической оболочки		244
10.5.	Баллистика осколков		248
Глава 11. Кумуляция		251
11.1.	Физические представления о кумуляции		251
11.2.	Гидродинамическая теория кумуляции		255
11.3.	Приближённый метод расчёта параметров кумулятивной
струи		258
11.4.	Определение глубины пробития преграды кумулятивной
струей		262
11.5.	Определение глубины проникания кумулятивной струи
с учётом сжимаемости преграды и струи		266
11.6.	Определение диаметра отверстия при проникании кумуля-
кумулятивной струи в преграду		269
11.7.	Некоторые конструктивные особенности кумулятивных заря-
зарядов 		270
Глава 12. Волны напряжения в твёрдых телах		275
12.1.	Упругие волны		275
12.2.	Пластические волны в твёрдых телах		279
12.3.	Ударные волны в твёрдых телах		280
12.4.	Откол		283
Глава 13. Высокоскоростное соударение тел		287
13.1.	Введение		287
13.2.	Экспериментальные исследования высокоскоростного взрыв-
взрывного метания тел		288
13.3.	Физика взаимодействия тел с преградой		292
13.4.	Численные методы решения задач по высокоскоростному ме-
метанию тел и прониканию ударников в преграды		297
Список литературы		304

Посвящается 175-летию
МГТУ им. Н. Э. Баумана
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретической основой курса "Физика взрыва и удара" (ФВУ)
является механика сплошных сред, которая изучает движение
газообразных, жидких и твердых сред, устанавливает наиболее
общие свойства и законы движения деформируемых сред с уче-
учетом физико-механических свойств материалов этих сред. В курсе
ФВУ рассматривается взрыв, образовавшийся вследствие быст-
быстрой устойчивой химической реакции во взрывчатом веществе
(нормальная детонация).
Курс ФВУ входит в программу подготовки специалистов,
работающих в тех отраслях производства, где используется энер-
энергия взрыва и удара. Сюда, прежде всего, относится оборонная
промышленность (исследование и проектирование средств уни-
уничтожения и боеприпасов), а также горнодобывающая отрасль
(добыча полезных ископаемых с помощью энергии взрыва, сей-
сейсморазведка и др.), нефтяная (перфорация скважин кумулятив-
кумулятивными зарядами, ликвидация прихватов труб в грунте и др.),
машиностроение (штамповка, сварка и резка металла с помощью
взрыва, упрочнение металлов, взрывное прессование пористых
материалов, получение алмазов и др.), строительство (создание
плотин в горах, прокладка каналов, особенно в скальных по-
породах, разрушение сносимых сооружений и др.), космическая
(защита спутников и космических станций от удара метеоритных
частиц и осколков, образовавшихся от разрушения в космосе
ракет и спутников). Результаты физики взрыва используются
специалистами ФСБ и МВД для анализа взрывных террористи-
террористических актов.
Знания курса ФВУ облегчают изучение монографий типа
"Физика взрыва" [1]. Курс ФВУ является теоретической и физи-
физической основой курсов проектирования изделий, использующих
энергию взрыва и удара.
Автор благодарит выпускников МГТУ им. Н. Э. Баумана,
В. В. Сапрыкина, А. В. Головачева и С. А. Петровского за финан-
финансовую поддержку в издании учебного пособия "Физика взрыва
и удара".

ВВЕДЕНИЕ
В курсе "Физика взрыва и удара" (ФВУ) изучаются физи-
физические процессы взрыва и удара, происходящие в различных
сплошных средах (газах, жидких и твёрдых телах), рассмат-
рассматриваются существующие методы решения задач физики взрыва
и удара.
Курс ФВУ состоит из двух основных частей.
1.	Первая, общая часть включает в себя рассмотрение
некоторых вопросов термодинамики, дифференциальных урав-
уравнений движения в разных средах (несжимаемой, сжимаемой,
упруго-пластической), существующие аналитические решения
этих уравнений (интегралы Бернулли и Лагранжа и др.), анали-
аналитическое изучение простых волн.
2.	Вторая, специальная часть курса посвящена изучению
физики взрывных и ударных явлений: разлёт продуктов дето-
детонации (ПД), распад произвольного разрыва на границе двух
сред, метание тел продуктами детонации, взрыв в газообразных,
жидких и твёрдых средах, кумуляция, моделирование взрывных
процессов, высокоскоростное взрывное метание и соударение тел
с преградами.
Рассмотрим некоторые определения и постулаты, которые ис-
используются в курсе ФВУ.
Гипотеза сплошности
Введём понятие сплошной среды. Все тела состоят из отдель-
отдельных частиц (атомов, молекул), но так как их много в любом
очень малом интересующем нас объёме, мы абстрагируемся от
реального строения вещества и представляем среду с непре-
непрерывно меняющимися свойствами, заполняющую пространство
сплошным образом. Воду, воздух, металлы, конденсированные
взрывчатые вещества (ВВ), продукты детонации и т.д. будем
рассматривать как тела, непрерывно заполняющие некоторую
часть пространства.
Такая идеализация, в частности, позволяет нам в дальнейшем
при исследовании движения таких сред использовать аппарат

Введение
непрерывных функций, дифференциальное и интегральное ис-
исчисления.
Установившееся и неустановившееся движения.
Каждая точка среды характеризуется параметрами: давлени-
давлением р, плотностью р, температурой Г, и — вектором скорости
с проекциями на оси координат (их, иу, uz) Эти параметры впредь
будем называть газодинамическими.
Следует заметить, что в жидкости и газе р одинаково по
всем направлениям (закон Паскаля), а в металлах, и вообще
в твёрдых телах, в точке вместо р вводится тензор напряжений
dij, имеющий шесть независимых компонентов: три касательных
напряжения тц {г Ф j) и три нормальных напряжения а^ (г =
= j). Если движение установившееся (стационарное), то все
параметры меняются от точки к точке (зависят от координат), но
не зависят от времени. Такие движения, например, рассматрива-
рассматриваются в аэродинамике при полёте тела с постоянной скоростью.
Для установившегося (стационарного) движения среды:
aij = cnj(x,y,z);	p = p{x,y,z)\ p = p{x,y,z)\
T = T(x,y,z);	u = u(x,y,z).
В неустановившемся движении все параметры зависят от коор-
координаты и от времени:
aij = (Tij(x,y,z,t); p = p{x,y,z,t)\ Р = p{x,y,z,t)\
Т = Г(х, у, z, ?);	u = u(x, у, z, t).
Такие неустановившиеся (нестационарные) движения сплош-
сплошной среды рассматриваются в курсе "Физика взрыва и удара".
Траектории и линии тока. Траектория — линия, по которой
движется частица среды. Линия в пространстве, касательная
к которой в данный момент времени совпадает с направлением
скорости в этой точке, называется линией тока. Если движение
стационарное, то траектория совпадает с линией тока, если дви-
движение нестационарное, то это разные линии.
Задачей данного курса является рассмотрение в основном
неустановившихся движений, применительно к взрывным и удар-
ударным явлениям в разных средах.
Классификация сплошных сред.
В ФВУ рассматриваются два вида сплошных сред: идеальная
среда и неидеальная среда.

10
Введение
Идеальная среда. Идеальной средой называют такую сре-
среду, в которой отсутствуют внутренние силы взаимодействия
между частицами, то есть отсутствуют силы внутреннего трения
между частицами, отсутствуют касательные напряжения. Иде-
Идеальная среда не способна оказывать сопротивление изменению
формы своих частиц.
Среди класса идеальных сред будем выделять так называе-
называемый "совершенный газ", свойства которого описываются уравне-
уравнением Менделеева-Клапейрона.
Неидеальная среда. В неидеальной среде присутствуют
внутренние силы (внутреннее трение). Это вязкая жидкость —
изотропная сжимаемая (или несжимаемая) среда, сдвиговые
и объёмное сопротивления которой линейно зависят от скоростей
деформаций.
Заметим, что твёрдые тела (металлы и другие) являются
неидеальной средой. Они характеризуются наличием прочности
и сжимаемости при относительно высоких напряжениях. Для
твёрдых тел используют модели:
-	упругой среды (сопротивление которой линейно зависит от
деформаций);
-	жёсткопластической среды (учитывается только пластич-
пластичность);
-	упругопластической среды, в которых учитываются упру-
упругие и пластические свойства, а также сжимаемость среды.
Классификация сил в сплошной среде.
Различают поверхностные и массовые силы.
Поверхностные силы.Поверхностными силами, называются
силы, распределенные по поверхности некоторого объёма сплош-
сплошной среды.
Рис. 1

Введение
11
На рисунке 1 показана система поверхностных сил, действу-
действующих на поверхность выделенного объёма в идеальной сплошной
среде, где рх = ру = pz = р.
На рисунке 2 показаны поверхностные силы, действующие
в неидеальной сплошной среде (вязкой среде или твёрдом теле).
Рис. 2
Массовые силы. Силы, действующие на единицу массы, на-
называются массовыми. Это, например, гравитационные силы, ко-
которые подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона, элек-
электромагнитные силы, силы инерции и др.
Пространственная классификация движения
сплошной среды.
В общем случае имеет место трёхмерное движение. При
этом параметры газа р, р,п,Т и другие являются функциями
трёх координат x,y,z.
Стационарные (установившиеся) трёхмерные движения зави-
зависят только от трёх координат и не зависят от времени ?, а неуста-
неустановившиеся трёхмерные движения зависят ещё и от времени t.
Двумерные движения среды можно разделить на плоские
и осесимметричные (рисунки 3 и 4). В случае плоского двумер-
двумерного движения (см. рис. 3) все явления происходят в плоскости
(х,у), а движение в направлении оси Oz отсутствует. Осесим-
метричное движение имеет ось симметрии Oz (см. рис. 4). Это —
частный случай пространственного движения.
Если движение среды можно описать только при помощи од-
одной пространственной координаты, то есть все параметры среды
р,р, и,Г и т. п. являются функцией одной координаты г и време-
времени ?, имеет место одномерное движение. Одномерные движения
сред можно разделить на три вида:

12
Введение
Рис. 4
I I I
p(t)
I I I I I I
Рис. 3
а)	плоские одномерные движения;
б)	цилиндрические одномерные
движения — течения с осевой симмет-
симметрией;
в)	сферические одномерные движе-
движения, то есть течения с точечной сим-
симметрией.
Плоские одномерные движения.
В плоском одномерном движении параметры среды одинаковы
в точках, имеющих одну координату х. Обычно такое движение
заменяют движением в жёсткой трубе (см. рис. 5, стенки жёст-
жёсткой трубы выделены пунктиром).
Рис. 5
Рис. 7
Цилиндрические одномерные движения.
Цилиндрическое одномерное движение имеет место, напри-
например, при разлёте бесконечно длинного цилиндра с газом под
давлением (см. рис. 6). Это течение среды, симметричное отно-
относительно оси 0z.
Сферическое одномерное движение.
При сферическом одномерном движении имеет место точеч-
точечная симметрия. Здесь параметры среды являются функциями
только одной пространственной координаты г (см. рис. 7).
Классическим примером такого движения является детона-
детонация сферических зарядов, начинающаяся из точки симметрии.

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
1.1. Некоторые сведения из термодинамики
1.1.1. Первое начало термодинамики. Закон сохранения
энергии устанавливает, что энергия не создается, не уничтожает-
уничтожается и что одна форма энергии может переходить в другую, причём
превращение энергии из одного вида в другой происходит всегда
в строго определённых, эквивалентных количественных соотно-
соотношениях. Первое начало термодинамики представляет собой закон
сохранения энергии для тепловых явлений.
При подводе теплоты к среде, например, газу, находящемуся
под некоторым внешним давлением, газ расширяется и темпера-
температура его возрастает. При этом происходит увеличение внутрен-
внутренней энергии газа (среды) и им совершается работа.
Если элементарное количество теплоты, подведенное к среде
равно dQ, то элементарное изменение внутренней энергии среды
dE и элементарная работа dA, совершаемая при этом средой,
связаны уравнением
dQ = dE + dA.	A.1)
Внутренняя энергия газа (среды) Е имеет две составляющие:
кинетическую энергию К, которая является функцией темпера-
температуры, и потенциальную энергию П, которая является функцией
взаимодействия частиц среды, т. е.
Е = К (Г) + Я.
Для идеальной среды (без химических и физических превраще-
превращений) справедливо соотношение для единицы массы:
dA = pdv,
где v = \/ р — удельный объём.

14 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Первое начало термодинамики для единицы массы в этом
случае можно записать в виде
dQ = dE+pdv.	A.2)
Для твёрдого тела первое начало термодинамики можно записать
в виде
где &ij и ВЦ — компоненты соответственно тензора напряжений
и тензора деформаций. Член {aijdeij)/ p представляет собой пол-
полную работу при деформировании единицы массы среды.
Так как внутренняя энергия газа является функцией удель-
удельного объёма и температуры,
E = E(v,T),
то полный дифференциал внутренней энергии равен
И теперь окончательно уравнение, выражающее первое нача-
начало термодинамики для идеальной среды, запишем в виде
f) dv+pdv- (i-4)
vJT
Это уравнение является аналитическим выражением первого
начала (закона) термодинамики, который устанавливает, что при
подводе к газу (среде) теплоты одна часть его расходуется на
увеличение внутренней энергии газа, а другая — на совершение
газом (средой) внешней работы.
Очевидно, что первое начало термодинамики является выра-
выражением закона сохранения энергии применительно к тепловым
процессам.
Первое начало термодинамики находит широкое применение
как в теории, так и в практике термодинамических расчётов.
Рассмотрим частные случаи уравнения A.4).
1.1.2. Изохорный процесс. Изохорным называется про-
процесс, протекающий при постоянном объёме, т. е. v = const,
и dv = 0.

/./. Некоторые сведения из термодинамики	15
Тогда уравнение первого закона термодинамики для изохор-
ного процесса примет следующий вид:
Преобразуем это уравнение, разделив обе его части на dT
'dQ\ (8Е
По определению, для изохорного процесса
= cv.	A.5)
Величина cv является удельной теплоёмкостью для изохорно-
изохорного процесса.
Так как внутренняя энергия идеального газа при изохорном
процессе является только функцией температуры, т. е.
Е = Е(Т),	A.6)
то мы можем записать для идеальной среды (совершенного газа)
при изохорном процессе
ЩР=С	A.7)
Умножим левую и правую части на dT и получим
dE = cvdT.	A.8)
В общем случае функция cv = cv (v,T) является слабой функ-
функцией от v и Г (т. е. очень мало зависит от изменения параметров
v и Г), поэтому, принимая в некотором диапазоне температур
АГ, что cv = const, можно получить
E-E0 = cv(T-T0),	A.9)
где Eq и Tq — начальные параметры.
Если ?^о — CvTq, to можем записать
E = cvT.	A.10)
1.1.3. Изобарный процесс. Изобарным называется про-
процесс, протекающий при постоянном давлении, то есть р = const,
или dp = 0.

16 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Уравнение первого закона термодинамики A.2) можно запи-
записать, с учётом A.8), в виде
dQ = cvdT + pdv.	A.11)
Для преобразования этого уравнения воспользуемся уравнением
для единицы массы совершенного газа:
pv = RT
где R = Ryf/jL, Ry = 8,31 Дж/мольК — универсальная газовая
постоянная, /i — молярная масса.
Для изобарного процесса это уравнение имеет вид
pdv = RdT.
Тогда уравнение первого закона термодинамики A.11) можно
записать в виде:
dQ = cvdT + RdT.
Разделим левую и правую часть этого уравнения на dT и, при-
принимая во внимание, что процесс у нас изобарный (р = const),
получим:
Ш)	A.12)
Ш
Величина ср, по определению, называется удельной теплоёмко-
теплоёмкостью при изобарном процессе.
Мы получили формулу
cp = cv + R.	A.13)
Эта формула устанавливает соотношение между теплоёмкостями
газов ср и cv.
Из формулы A.13) следует, что изобарная теплоёмкость ср
больше изохорной cv на величину газовой постоянной R.
Если разделить левую и правую часть уравнения A.13) на Су,
то получим
1+ R = ср =к	A и)
Су	Су
и далее, преобразуя это выражение, можно написать
R=(k-l)cv.	A.15)
Для совершенного газа выразим температуру из уравнения
Менделеева-Клапейрона
Т= —
R

/./. Некоторые сведения из термодинамики	17
и подставим его в полученное нами выражение для внутренней
энергии A.10):
Е - с Т - vP
b-cvl - R.
С помощью A.15) получим
E-J^.	(U6,
Мы получили выражение для внутренней энергии единицы мас-
массы совершенного газа.
Поскольку v = 1/р, то
Е= Р	A.17)
p(k- 1)
для единицы объёма
Энтальпия. Если в правой части уравнения первого начала
термодинамики A.2)
dQ = dE + pdv
прибавить и вычесть vdp, то, после простейшего преобразования,
получим:
dQ = dE + d(pv) — vdp,
или
dQ = d(? + pv) - vdp.
Обозначив
E + pv = h,	A.19)
окончательно запишем:
dQ = dh-vdp.	A.20a)
Для адиабатического процесса (без обмена с окружающей сре-
средой) dQ = 0 и
dh = dp/p.	A.20b)
Величина /i, определяемая выражением A.19), зависит только
от состояния газа (среды) и не зависит от характера процесса,
в нём протекающего. Значит, она, подобно внутренней энер-
энергии, является функцией состояния газа (среды). Эта величина
называется удельной энтальпией или теплосодержанием. Она
измеряется количеством теплоты, которое необходимо сообщить
единице массы газа (среды) при постоянном давлении, чтобы
температура его повысилась от Т\ до Г2.

18 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Применим выражение dQ = dh — vdp к изобарному процессу
(р = const, dp = 0), получим
dQ = dh.	A.21)
Вместе с тем, для этого процесса, согласно A.12),
dQ = CpdT.
Следовательно,
dh = cpdT.	A.22)
Если ср = const, то
h-ho = Cp(T-To).	A.23)
1.1.4. Второе начало термодинамики. Первое начало тер-
термодинамики говорит об изменении видов энергии, об их коли-
количественных соотношениях при переходе одного вида в другой,
устанавливает постоянство энергии изолированной системы. Но
этот закон не указывает направление преобразования энергии
и не устанавливает условий, необходимых для осуществления
того или иного процесса. Как показывает опыт, переход тепла от
более нагретого тела к менее нагретому осуществляется сам со-
собою при отсутствии внешнего вмешательства, обратный процесс
сам собою не осуществляется.
Это утверждение и является одним из определений второго
начала термодинамики.
Энтропия. Введём понятие энтропии. Многочисленные ис-
2
следования показывают, что интеграл jdQ/T не зависит от
1
характера процесса, а определяется состояниями тела в точке 1
и в точке 2. Таким образом, этот интеграл является функцией
состояния тела, а, следовательно, dQ/T является полным диф-
дифференциалом некоторой функции состояния тела, называемой
2
энтропией и вычисляемой по формуле S = J dQ/T = S\ — S2,
здесь S\ — энтропия начального состояния тела, $2 — энтропия
конечного состояния тела.
Запишем изменение энтропии для бесконечно малого процес-
процесса:	тП
dS=^.	A.24)
Изменение теплоты в системе, как известно, складывается из
притока теплоты извне и тепловых потерь в самой системе, то
еСТЬ dLJ = <2ц/внеш ~г ^Употерь-

/./. Некоторые сведения из термодинамики	19
Тогда изменение энтропии можно выразить следующим обра-
образом:
^Ц/внеш ~г ^ЦГпотерь	,. ^rs
in
CLD —
Пусть наша система полностью изолирована от внешнего
мира, то есть dQBHeui = 0. Тепловые потери, как показывает опыт,
всегда больше нуля, то есть dQU0T^h > 0, и тогда для изолиро-
изолированной системы мы можем записать
dS^O.	A.26)
Таким образом, в теплоизолированной системе энтропия не
может уменьшаться.
Как видно из последнего неравенства, существуют два вида
процессов в теплоизолированной системе:
1)	dS > 0 — энтропия возрастает в результате процесса. Такой
процесс называется неизоэнтропическим и необратимым.
2)	dS = 0, то есть S = const — энтропия не изменяется (оста-
(остается постоянной). Такой процесс называется изоэнтропиче-
ским и обратимым.
Можно показать, что чем больше скачок энтропии в резуль-
результате процесса, тем необратимость процесса больше. Таким обра-
образом, энтропия является мерой необратимости данного процесса
(так как изменение энтропии в изолированной системе связано
с внутренним трением).
На основе статистической термодинамики Больцман вывел
формулу для теплоизолированной системы:
S = kBlnW,	A.27)
где S — энтропия системы, &б — постоянная, W — вероят-
вероятность равновесного состояния системы. Согласно этой формуле,
в замкнутой системе возрастание энтропии связано с переходом
системы от менее вероятного состояния (неравновесного, когда
температура в разных точках системы различна) к более вероят-
вероятному состоянию (равновесному, когда температура одинакова во
всех точках изолированной системы).
Закон возрастания энтропии в изолированной системе явля-
является следствием обобщения данных опыта для конечных систем.
Очевидно, что энтропия является функцией давления и объ-
объёма S = S(p,v). Для совершенного газа эту связь легко найти
с помощью уравнения A.11):
dQ = cvdT + pdv.	A.28)

20 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
С другой стороны:
dQ = Tds,	A.29)
где s — энтропия единицы массы среды.
Приравняем правые части последних двух уравнений и, раз-
разделив обе части на Г, получим для единицы массы:
ds = cvd^ + ^dv.	A.30)
Воспользуемся уравнением состояния совершенного газа и сде-
сделаем следующее преобразование:
dl R i	о
ds = cv— H	dv.	A-31)
Т v
Для дальнейшего преобразования воспользуемся соотношением
A.15),
R=(k-l)cy9	A.32)
и тогда получим следующее уравнение:
— + (fc-l)— j.	A.33)
Проинтегрируем это выражение и получим
5 = с^AпГ + 1п^-1) + С,	A.34)
где С — некоторая постоянная интегрирования.
Преобразовав это выражение, получим
Используя уравнение pv = RT, запишем это уравнение в виде:
s = cv]npvk + C,	A.35)
где С — новая постоянная интегрирования.
Если в каком-то данном процессе энтропия постоянна (S =
= const), тогда мы можем записать
pvk = const = A(si),	A.36)
где г = 1, 2, 3,..., ос.
Итак, мы получили уравнение изоэнтропы, где к = cp/cv =
= 1 + R/cv есть так называемый показатель изоэнтропы.
Заменив в уравнении изоэнтропы v на 1/р, получим изоэн-
тропу для Si = const в виде:
JL = A(si) = const,	A.37)

/./. Некоторые сведения из термодинамики
21
Рис. 1.1
или р = Aipk, где каждой энтропии si = const соответствует своё
уравнение Ai = const.
Это соотношение называется уравнением Пуассона или изо-
энтропой совершенного газа.
На (р-р) -диаграмме (см.
рис. 1.1) показано семейство
изоэнтроп.
Вдоль каждой кривой на этой
диаграмме энтропия постоянна.
Определим теперь связь между
давлением и температурой вдоль
изоэнтропы. Напишем уравнение
состояния газа для одной точки
изоэнтропы, назовём её нулевой
(начальное состояние газа):
Ро = PoRTq,
для какой-нибудь другой текущей точки той же самой изоэнтро-
изоэнтропы
р = pRT.
Теперь разделим второе уравнение на первое:
- = -|^.	A-38)
Ро Ро То
Для начальной точки уравнение изоэнтропы Пуассона можно
записать в виде	.
Ро = A(S0)pk0,
а для текущей точки — в виде
p = A(S0)pk.
Из этих уравнений следует, что
р_ =
Ро
Из полученного нами уравнения A.38), р/ро =
разим отношение
Р_ = р/Ро
Ро Т/То
и, подставив его в уравнение изоэнтропы A.39), получим:
Р_ = ( Р/Ро \ к
Ро \Т/То '
A.39)
, вы-
A.40)
A.41)

22 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
После некоторого преобразования получим
Ро)	=П	(L42)
и окончательно	.1П 1Л
р ^ fT\k/{k-
Й)
Это уравнение и выражает связь между давлением и температу-
температурой вдоль изоэнтропы.
1.1.5. Уравнение состояния вещества. Уравнением состо-
состояния вещества (среды) называют соотношение, связывающее
какие-либо три из термодинамических параметров среды: р —
давление, v — удельный объём, Г — температуру, S — энтропию,
Е — внутреннюю энергию и др.
Общий вид термодинамического уравнения состояния:
р = p(v,T)\ p = p(E,v)\ p = p(S,v) и т. д.
Уравнение состояния, связывающее p,v,S, или p,S,T, при
постоянном S, называется уравнением изоэнтропы.
Из теории твёрдого тела известно, что уравнение состояния
любой твёрдой среды может быть представлено в виде
р = F\{у) + Р2{у)Т + F%(y)T .	A-44)
Вид функций F\(v), F2(v), F$(v) определяется с помощью экспе-
экспериментальных данных.
Третье слагаемое в правой части этого уравнения состояния
необходимо использовать для сред при давлении более 1 мил-
миллиона атмосфер. Поэтому в диапазоне давлений до 1 млн. атм.
уравнение состояния с достаточной точностью может иметь вид
p = Fx(v) + F2(v)T.	A.45)
В общем случае можно рассматривать уравнение состояния
в виде
p = px(v)+pT(v,T)+pe(v,T).	A.46)
Здесь px(v) — давление холодного (упругого) сжатия, зависит
только от удельного объёма (или плотности вещества) и равно
полному давлению при абсолютном нуле температуры. Слагаемое
V — Рх(у) является нулевой изотермой вещества. Зависимость
р = рт(у,Т) — тепловая составляющая давления, она зависит
от интенсивности теплового движения молекул, pe(v,T) — элек-

/./. Некоторые сведения из термодинамики	23
тронная часть давления, возникающая при тепловом возбужде-
возбуждении электронов и заметная при температурах выше 104К.
Для совершенного газа уравнением состояния является урав-
уравнением Менделеева-Клапейрона для единицы массы:
Р	A-47)
Уравнение Менделеева-Клапейрона не учитывает взаимодей-
взаимодействие между молекулами и собственного объёма частиц газа.
Для реального газа широко используется уравнение:
A.48)
Здесь а и а являются постоянными для данного газа вели-
величинами, учитывающими: первая — силы взаимодействия, а вто-
вторая — размер молекул.
Член a/v2 характеризует так называемое внутреннее давле-
давление, обусловленное силами притяжения между молекулами, а вся
первая скобка (в левой части уравнения) дает полное давление
газа, равное сумме внешнего р и внутреннего a/v2 давлений.
Вторая скобка представляет объём пространства за вычетом
объёма а, называемого коволюмом и равного, как доказывается
в кинетической теории газов, учетверенному объёму собственно
молекул.
По аналогии с уравнением для давления,
P = Px(v)+pr(v,T)+pe(v,T),	A.49)
запишем уравнение и для внутренней энергии:
Е = ЕХ + Ет + Ее,	A.50)
где Ех — так же как и рх является "холодной" составляющей
внутренней энергии тела, Ет — тепловая составляющая энергии,
зависящая от интенсивности теплового движения молекул, Ее —
электронная составляющая энергии.
Установим связь между Ех и рх(у), Ет и рт(у,Т), а также
Ре(у) и Ее. Для этого воспользуемся первым началом термоди-
термодинамики A.2) и A.29):
Tds = dE + pdv.
При абсолютном нуле градусов (Г = 0) это уравнение примет
вид
dEx+pxdv = 0.	A.51)

24 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Отсюда сразу же получаем связь между Ех и рх, то есть
Рх = —-1-.	A.52)
dv
Из теории твёрдого тела известно, что
Рт = 1—,	A.53)
где 7 = 7(^0 ~~ коэффициент Грюнайзена.
Электронные составляющие давления ре и энергии Ее связа-
связаны уравнениями:
где /?о — коэффициент электронной теплоёмкости при нормаль-
нормальном объёме.
Тогда уравнение состояния A.49) запишется в следующем
виде:
Для того чтобы найти зависимость
ЕТ = ЕТ(Т),	A.56)
воспользуемся следующим выражением для изохорной теплоём-
теплоёмкости A.7):
(дЕ\ dET	п ™
Ы	(L57)
Если считать, что cv = const, то получим
Ет-Е0 = Су(Т-Т0).	A.58)
Выразим из этого уравнения Ет и подставим в уравнение состо-
ЯНИЯ!	dEx ЕТ \Ее
Р= —-1— +7	+ и —'	(L59)
dv	v 2 v
После подстановки получим уравнение состояния
р = рх + 1 [Ео + cv(T - Го)] + ^|L	A.60)
Очевидно, что для того, чтобы воспользоваться этим уравне-
уравнением, мы должны знать зависимость Ех = Ex{v) или рх = px(v),
(см. 1.53) а также коэффициент Грюнайзена 7 = iW).
Существует зависимость для совершенного газа между к и 7-

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	25
Для совершенного газа существует соотношение A.17):
F= P
р(к-\у
Уравнение состояния для совершенного газа р = pRT.
Сравнивая это уравнение с уравнением р = рх + рт, очевидно,
что для совершенного газа рх = 0, тогда
Е =
Отсюда получаем р = рт = (к — 1)Et/v, и поэтому значение
коэффициента Грюнайзена j = (к — I) для совершенного газа.
1.2. Дифференциальные уравнения движения
сплошной среды
Основные уравнения движения сплошной среды выводятся
из общих законов классической механики и термодинамики, из
уравнений, описывающих физические свойства и кинематические
соотношения для данной среды.
1.2.1. Лагранжевы и эйлеровы координаты. При описа-
описании движения среды в координатах Лагранжа за независимые
переменные принимаются переменные xq, уо, zq, t, называемые
переменными Лагранжа, и считается, что движение системы
будет известно, если известны три функции,
х = gi(xo,yo,zo,t);
o,zo,t);	A.61)
выражающие в каждый момент времени t координаты x,y,z
той частицы системы М, находящейся в движении, кото-
которая в начальный момент времени t = t$ занимала положение
Mo(xo,yo,zo). Следовательно, в некоторой задаче об определении
движения искомыми величинами будут функции д\,д2,дз-
Очевидно, что эти функции устанавливают для всех взаимно
однозначное соответствие между Мо и М. Следовательно, суще-
существует единственное решение этой системы уравнений, опреде-
определяющее XQ,yQ,ZQ как функции от x,y,z,t:
х0 = h\(x,y,z,t);
2/0 = h2(x,y,z,t);	A.62)
z0 = h3(x,y,z,t).

26 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Способ Лагранжа описания движения позволяет проследить
за движением некоторой частицы, достаточно принять xq,i/q,zq
постоянными. Исходные уравнения в этом случае определяют
траектории различных точек системы. Компоненты скорости щ
и ускорения щ выражаются частными производными по времени
от функций gi\
_ dgi(xQ,yo,ZQ,t)	_ d2gi(xo,yo,zo,t)
Ux~ dt ' ax~ dt*
dg2(zo,yo,zo,t)	d2g2(xo,yo,zo,t) (
_ dg3(xo,yo,zo,t)	_ d2g3(xo,yo,zo,t)
Uz~	dt	'	az~	dt2
Несмотря на свою простоту, способ Лагранжа описания дви-
движения не всегда бывает удобным для изучения задач механики
сплошной среды. Например, часто встречаются случаи, когда си-
силы, действующие на систему, имеют выражения, непосредствен-
непосредственно зависящие от положения системы в момент времени t. В этом
случае нецелесообразно использовать в качестве независимых
переменных начальные координаты жо,уо»^о- Тогда пользуются
способом описания движения Эйлера.
В способе Эйлера за независимые переменные принимаются
координаты х, у, z точки М в момент времени t. Рассматривается
кинематическое состояние вещества, определяемое функциями
их = ux(x,y,z,t)\
иу = uy(x,y,z,t);	A.64)
uz = uz(x,y,z,t),
представляющими собой в каждый момент времени t и в каж-
каждой точке пространства М(х, у, z) проекции вектора скорости
u(M,t).
Переменные x,y,z,t называются переменными Эйлера.
Очевидно, что если известно лагранжево описание движения,
то нетрудно перейти к эйлерову способу описания движения.
1.2.2. Уравнения движения сжимаемой твёрдой среды.
Во многих случаях при ударном и взрывном нагружении твёрдых
тел, например, при метании массивных оболочек продуктами
детонации, при соударении твёрдых тел, при отражении ударных
волн от свободной границы, при проникании тел в прочные пре-
преграды, необходимо учитывать как прочность, так и сжимаемость
твёрдой среды.

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
27
В каждой точке сжимаемой твёрдой среды напряжённое со-
состояние характеризуется симметричным тензором напряжений
(Ух
ау
ау
A.65)
где ах, ay, az — нормальные, тху = тух\ rxz = rzx\ ryz = rzy —
касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к ко-
координатным осям x,y,z.
В каждой точке такой среды существуют три взаимно пер-
перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения
равны нулю. Направления нормалей к этим площадкам образуют
главные оси тензора напряжений, не зависящие от исходной
системы координат x,y,z.
Нормальные напряжения а\, <72, <тз, которые действуют на
этих площадках, называются главными нормальными напряже-
напряжениями.
В общем случае, при воздействии сил на твёрдое тело про-
происходит как изменение формы тела, так и изменение объёма
(плотности) тела. При деформировании тела можно выделить те
компоненты напряжений и деформаций, которые связаны с из-
изменением объёма (плотности) и те, которые ответственны за
изменение формы тела.
В связи с этим можно представить тензор напряжений в виде
двух составляющих:
TH = T° + DH,	A.66)
Т® — шаровой
в точке;
тензор, соответствующий среднему давлению
-р О О
О -р О ,	A.67)
О 0 -р
где р представляет собой среднее нормальное напряжение:
Р =
A.68)
Девиатор напряжений, характеризующий касательные напря-
напряжения в данной точке
(Тт
DH =
¦р
'ху
ау
-р
A.69)
'yz
(Tz + р

28 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Для главных направлений компоненты девиатора напряжений
обозначим следующим образом:
S\ = (J\+p\
$2 = &2 + р\
#3 = ^3 + Р-
С учётом A.68) получим:
= 0.
A.70)
A.71)
Если известны главные напряжения а\, <72, о"з, то интен-
интенсивность напряжений, характеризующая сопротивление частицы
изменению её формы, равна
л/2
Если подставить сюда уравнения A.70), то получим:
V2
2
- S2
+ E2 - 53J + (S3 - S,J ,
A.72)
A.73)
Если компоненты девиатора напряжений равны нулю, то
в этом случае напряжения по всем направлениям равны, и дви-
движение такой среды описывается газодинамическими уравнения-
уравнениями.
В общем случае напряжённого состояния в каждой точке
твёрдого тела действует девять неизвестных напряжений, пере-
переменных как по координатам, так и по времени.
Деформация среды в каждой точке характеризуется симмет-
симметричным тензором деформаций Гд:
?xz
syy
A.74)
где sxx, Syy, ezz деформации соответственно в направлении осей
x,y,z. exy = еух\ eyz = ezy\ exz = ezx — деформации сдвига.
В главных осях тензор деформаций определяется тремя глав-
главными деформациями е\, 62, ^з:
?1 0 0
О ?2 О
О 0 ?ч
A.75)

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	29
Компоненты девиатора деформаций, характеризующие изме-
изменение формы элементов среды, определяются следующим обра-
образом:
]
— р 	 __ •
хх схх q '
1
3;	A.76)
где г] = ?\ + ?2 + ?з (см- 1-79).
Если рассматриваются конечные деформации, которые соиз-
соизмеримы с единицей, то они через проекции вектора перемещения
Ux,Uy,Uz определяются с помощью формул
дих 1 ( (дих\2 (диу\2 (дил2"
+ (Ы) +Ы) +Ы
= l fdux | диу\ | i /дихдих | аиудиу | duzduz
ху 2 \ ду дх J 2 \ дх ду дх ду дх ду
A.77)
Если Sij <С 1, где i = х, у, z и j = x, у, z, то
_ дих. _ auv	duz
Sxx — гл , Sin, —
ах	т/	а^
?zy ~ 2
дх,
2 \dz + ду
1	fdUx dUz
2	\ oz ox
Для главных деформаций е\, ?2, S3, когда деформации велики,
в некоторых случаях используются конечные логарифмические
деформации.
Величина конечной логарифмической деформации некоторого
элемента тела в некотором направлении определяется как сумма

30 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
последовательных малых деформаций:
dl Л lo +
l
го
где Iq — исходная длина; I = Iq + Al — длина после деформиро-
деформирования в выбранном направлении.
Если деформации малы, то
/о + А/	/ А/\ А/
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, с длиной сторон
до деформации /оь ^02> ^оз и после деформации 1\, 1^, /з- Сумма
главных деформаций равна:
Ь 1 +1П 2 +ь 3 =1п 123 =1п_<
^01	^02	^03	^01^02^03	Ч)
Если v = 1/р; г?о = 1/ро ~~ удельные объёмы, то
ех + е2 + ?з = Ь — = In ^ = г].	A.79)
VQ	Р
Если деформации малы, то
61 + 62 + ^3 = In 1 +	 «	 = А.
Интенсивность деформаций, выраженная через главные дефор-
деформации, равна
'1 ~~ е2) + (б2 — 63) + (бз — ?\)
Рассмотрим составление уравнений движения прочной сжимае-
сжимаемой среды. Для этого необходимо использовать законы сохране-
сохранения импульса, массы и энергии, физические и кинематические
соотношения.
Для составления уравнений движения выделим из объёма
деформированного тела частицу в форме параллелепипеда с реб-
ребрами, параллельными координатным осям x,y,z (см. рис. 1.2), где
представлена система сил, которая дает проекции на ось Ох.
Очевидно, что произведение массы этой частицы pdxdydz на
ускорение должно быть равно равнодействующей сил, действую-

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	31
т .
щих на эту частицу. В проекциях, например, на ось Ох получим
уравнение
7 _ _ dux дах _ _ _ дтху	drxz
pdxdydz—— = ^—dxdydz -\—^dxdydz -\—-—
dt ox	oy	dz
dxdydz.
Массовые силы (силы тяжести, центробежные силы и т.п.)
будем считать равными нулю. Аналогично получаем уравнение
движения вдоль оси Оу и Oz. Если в этих уравнениях разделить
все члены на объём частицы dxdydz, а компоненты девиатора
напряжений обозначить Sij, где
1 (i = j)
0 (i^j),
то уравнения движения могут быть записаны в виде
A.80)
dux
dS.
ху
dt
duy
du7
УУ
дх	дх
dp	dSj
ду	ду
др_	dSzz
dz	dz
ду
as,
dz
ух
дх
dSzx
дх
dz
dS,
A.81)
yz
ду
где ux, uy, uz — проекции вектора скорости и на оси координат.
Если компоненты девиатора напряжений равны нулю, то по-
получим уравнения Эйлера для идеальной жидкости.
В трёх уравнениях A.81) содержится одиннадцать неизвест-
неизвестных: р, р, Ux, Uy, Uz, охх, Ьуу, оХу, OyZ, ozz, oxz.
Четвёртым уравнением является уравнение сохранения мас-
массы, которое не зависит от физических свойств среды, и поэтому
это уравнение имеет такой же вид, как для идеальной жидкости.

32 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Масса элемента равна pdxdydz. Неизменность массы по
времени определяется законом сохранения массы, то есть
d(pdxdydz)/dt = 0. Учитывая, что dx/dt = их, dy/dt = иу,
dz/dt = uz, можно уравнение d(pdxdydz)/dt = 0 преобразовать
к виду
др_ + д(рих) + д{риу) + d(puz) = Q
dt дх	ду	dz
Перепишем это уравнение в виде
ди^_ диу_
д д
p dt дх ду dz
или с помощью A.79) можно записать
dr\ dXvtp I dp	(дих диу duz
dt dt p dt	\ дх ду д,
Это выражение представляет собой скорость относительного из-
изменения плотности, где
П = In ^ = 1пA + А) = In A + ^ - 1V A.84)
9	V 9 )
Если изменение плотности мало, то А = (ро — 9I9 ^ 1 и
A) «Д.	A.85)
К уравнениям A.81) и A.82) необходимо добавить уравнения,
которые бы учитывали как соответствующие термодинамиче-
термодинамические эффекты, связанные с адиабатическим сжатием среды, так
и прочность среды.
В теории пластичности, определяющей пространственное де-
деформирование твёрдых тел, наибольшее распространение в на-
настоящее время получили теория упругопластических деформа-
деформаций и теория пластических течений.
Наиболее полно разработана теория малых упругопластиче-
упругопластических деформаций при простом нагружении, когда все внешние
силы изменяются пропорционально общему параметру. В теории
упругопластических деформаций используются уравнения, свя-
связывающие напряжения и деформации.
Для изучения процессов, связанных со значительными пла-
пластическими деформациями (например, при пластической обра-
обработке металлов) используются конечные деформации и теория
пластического течения, в основу которой положена связь между
напряжениями и скоростями деформаций.

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	33
Эта теория рассматривает пластическую деформацию твёрдо-
твёрдого тела как состояние движения. Непосредственный опыт, при
пластической обработке металлов, когда малы деформации изме-
изменения объёма, показывает, что главные оси тензора напряжений
совпадают с главными осями тензора скорости деформаций. При
этом направление действия алгебраически наибольшего главного
напряжения совпадает с направлением наиболее быстрого удли-
удлинения частицы, направление алгебраически наименьшего глав-
главного напряжения совпадает с направлением наиболее быстрого
укорочения, а разности главных напряжений пропорциональны
соответствующим разностям главных компонентов скорости де-
деформаций.
При малых деформациях и простом нагружении уравнения
теории малых упругопластических деформаций и теории пласти-
пластического течения тождественны.
В процессе пластического деформирования большая часть
(около 90%) работы деформации переходит необратимо в тепло,
и напряжения в конечном состоянии зависят от пути деформиро-
деформирования. Поэтому уравнения, связывающие напряжения и прира-
приращения пластических деформаций, являются дифференциальны-
дифференциальными и, вообще говоря, неинтегрируемыми зависимостями. Уравне-
Уравнения теории пластического течения устанавливают связь между
бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений,
и некоторыми параметрами пластического течения:
d?ij - ^ = ^ + Siod\',	A.86)
где Sij — компоненты тензора деформаций, Бц — компоненты
девиатора напряжений, d\r — некоторый бесконечно малый ска-
скалярный множитель.
Если d\f = 0, то получим уравнения Гука в дифференциаль-
дифференциальной форме.
Уравнения A.86) справедливы для определённой частицы
среды и обобщают эксперименты по сложному нагружению при
медленном (статическом) нагружении. Они указывают на про-
пропорциональность приращений составляющих пластической де-
деформации и напряжений.
Если уравнение A.86) разделить на дифференциал времени,
то получим
ld ldS
dt
где Л = dX1 /dt.
2 Л. П. Орленко

34 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Следует отметить, что для динамических задач, связанных
с кратковременными интенсивными нагрузками, деформации,
как объёмные, так и сдвиговые, могут быть произвольными по
величине и ограниченными только предельными деформациями,
определяющими разрушение твёрдых тел. В этом случае процесс
деформирования носит сложный волновой характер: возникают
зоны разгрузки при отражении волн напряжений от свободных
поверхностей или, наоборот, зоны вторичной нагрузки при от-
отражении волн напряжений от границ более жёстких сред. При
динамических нагрузках связь между объёмными деформациями
и средним напряжением существенно нелинейна, а вследствие
ударного сжатия среды плотность после разгрузки не равна
начальной плотности. Для рассматриваемого случая нуждают-
нуждаются в доказательстве основные постулаты теории пластического
течения: изотропность среды, пропорциональность девиатора на-
напряжений и девиатора приращений пластической деформации.
Компоненты тензора скоростей деформаций обозначим как
Компоненты тензора скорости деформаций определяются через
производные от проекций вектора скорости по координатам:
дих 1 f duv дих
р —	•	р —	 [ 	^_ _i_
ох	2 у ох оу
_^у_.	_]_fduz_du^.
СУУ — о.. '	cxz — о о ^ о.. '	V1-0^
duz	1 (диу duz
р		 	•	р		 	 I 	Ё. _|_
dz	у 2\dz ду
Правые части уравнений A.88) и A.89) можно приравнять
для конечных деформаций при условии, что движение среды
изучается в лагранжевой системе координат. Если же движение
изучается в эйлеровой системе координат, то нельзя в уравне-
уравнениях A.87) величины dsij/dt заменять с помощью уравнений
A.89).
Если движение среды изучается в эйлеровых координатах, то
только в случае малых деформаций можно в уравнениях A.87)
заменить скорости деформаций на производные от компонентов
скорости по координатам по уравнениям A.89).
В случае малой деформации производные по координате от
деформаций и скоростей обычно можно считать малыми.

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	35
Например, с учётом A.78) можно написать, что
dexx дехх д (dUx\ д (dUx\ дих
dt dt dt \ дх ) дх\ dt ) дх'
Интенсивность напряжений &i и интенсивность скорости дефор-
деформаций в{ через компоненты Sij и ец определяются следующими
уравнениями:
V2
( Q Q \^ j- ( Q Q \^ j- ( Q Q \^ j-f\ { Q2 j_ C2 j_ C2 A •
\дхх — Оуу) -\- \Oyy — ozz) -\- \Ozz — oxx) -\-\j \dXy-\-oxz-\-OyZ) ,
A.90)
V2
(e -e J + (e -e J + (e -e J-\-б(е2 +р2 +р2 Г
\^xx tyy) -\- \z,yy vzz) -\- \z,zz txx) -\-v \vXy^cVxz^-VyZ) .
A.91)
Согласно первому началу термодинамики, для адиабатиче-
адиабатического процесса для единицы массы в единицу времени можно
записать уравнение
А 771	rr\ Arr\ А Л
О,	A.92)
dt (?dt* dt
где
dAc _ 1 / dexx	deyy	dezz
dT~p \
dsxy og dexz	de
+ 2b + 2b
Если необходимо определить температуру среды, то необхо-
необходимо уравнение состояния
Р = р(р,Т).	A.93)

36 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Уравнение состояния, соответствующее уравнению A.92),
должно иметь вид
Р = р(р,Е).	A.94)
В общем случае величина с^, характеризующая сопротивление
сдвигу, зависит от интенсивности деформаций Si, от интенсивно-
интенсивности скорости деформаций е^, от среднего давления р, от темпе-
температуры Г, от фазовых превращений и т.п.:
az = F(ez,ez,p,T).	A.95)
Частный вид этой функции F в ряде случаев может быть опре-
определён при простейших напряжённых состояниях, например, при
растяжении цилиндрических образцов.
В настоящее время вид функции F в широком диапазоне
изменения параметров изучен мало, особенно слабо изучено вза-
взаимное влияние различных параметров на прочность. Поэтому,
при постановке динамических задач, связанных с пластическим
течением, неизбежны упрощения при задании конкретного вида
(У % = F(ei,ei,p,T).
Интенсивное динамическое деформирование протекает при
высоких скоростях деформации (скорости деформации, как пра-
правило, более 100 1/с), что для некоторых материалов может суще-
существенно изменять механические характеристики. Поскольку при
динамическом деформировании существенно меняется плотность
тела, то на механические характеристики влияет среднее давле-
давление, которое по величине может достигать сотен тысяч атмосфер
(при ещё более высоких давлениях влиянием прочности можно
пренебречь).
При динамическом деформировании твёрдых тел, темпера-
температура повышается за счёт ударного сжатия и необратимых пла-
пластических деформаций, но этот нагрев не слишком велик для
не очень больших давлений ударного сжатия, поэтому влияние
температуры на прочность становится существенным для таких
материалов, например, как медь и сталь для давлений свыше
нескольких сотен тысяч атмосфер.
Интенсивность напряжений &i при пластическом деформиро-
деформировании твёрдых тел для многих материалов увеличивается с уве-
увеличением деформации, т. е. имеет место упрочнение.
С учётом сделанных выше замечаний, полную систему урав-
уравнений, описывающих пространственное адиабатическое движе-
движение твёрдой сжимаемой среды с деформационным упрочнением
в области нагружения, в координатах Эйлера можно записать

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	37
в следующем виде:
^^ _ , _др_ dSxx dSxy dSxz\ J_
дх дх ду dz J p'
\у LJ	\У к~/ill]	^~J b~s1J1T	^^ ^^ U 2
ду ду дх dz J р'
П.И..	I ПП I
3.
dt \ dz dz дх ду J p'
-г , -у,- -^/ !	^(Р^у)	!
1 dSTX -т„	дих 1 dp
z/i at	ox dp at
1 dS'yy т	9г^у 1 dp
O.	-z	TZ	h лЬуу = ^	r ^--rr;
III at	oy dp at
7.
2/i dt	гг 9^ 3p dt'
i^y ,Tc _ 1 fduy dux
2/i dt + xy ~ 2\dx + dy
2/л dt ' xz 2 V dx
1 ,
10.
2/i dt	уг 2 у dz dy J '
11 ^_^_Ifc e +c e
7	О 7	\^XX XX "T" ^ZJZJ ZJZJ
nt n^ nt n
12. p = p{p,E).
В уравнении 11 системы A.96) величина е^- определяется урав-
уравнениями A.89).	_
В уравнениях 5-10 системы A.96) величина Л считается
равной
Л= 3 dAPS(dAv\
2af dt \dt J'
где	.
dAp
при —f ^ 0
dt
dAP / n
при — <0.

38 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Для идеальнопластичного материала О{ = ат (предел текучести).
Величина Ар — работа пластической деформации е^-; dAp =
= Gijds^j. Компоненты тензора напряжений а^ определяются
через компоненты девиатора напряжений Sij и среднее давление
р (см. A.80)), a cfe?. = йец - dejj, где de{- — упругая деформация,
Двенадцать уравнений A.96) содержат двенадцать неизвест-
неизвестных: р, их, иу, uz, р, шесть компонент Sij, E.
Если пренебречь прочностью твёрдого тела, то уравнения
A.96) превращаются в уравнения, описывающие адиабатическое
движение идеальной среды. Если же плотность твёрдого тела
считать постоянной, то в этом случае из уравнений A.96) мож-
можно получить уравнения, определяющие движение несжимаемого
пластического вещества.
Система уравнений A.96) описывает движение прочной сжи-
сжимаемой среды при нагружении, когда Л > 0. После нагружения
в области пластичности наступает процесс разгрузки среды. За-
Закон разгрузки реальных пластичных материалов имеет нелиней-
нелинейный характер, причём его упругие свойства зависят от истории
процесса нагружения. Такой закон разгрузки должен опреде-
определяться из опыта. В первом приближении при разгрузке связь
между компонентами напряжений и компонентами деформаций
подчиняется закону Гука. После дифференцирования по времени
закона Гука получим:
&х = 2fiex
&у = 2jieyy + Л77; fyz = 2jieyz\	A-97)
&z = 2fiez
At);
Ц;
An;
7~xy
Tyz
7~zx
= 2fiexy;
= 2uezx,
или &ij = 2jieyy jj
Величина r? = ln	1 и rj =	—. Если деформации малы,
p	p dt
то, согласно A.85), r] « A = po/p — 1.
Коэффициенты Ляме /i и А в общем случае зависят от усло-
условий разгрузки (p,Si,ei,T).
Используя уравнения A.80) в области разгрузки, получим:
°х = —р + Sxx;
&у = —Р + Syy\	A.98)
&z = — р + Szz.

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	39
В области упругости
р = -Кг/,	A.99)
2
где К = А + -/i — модуль объёмного сжатия. Используя уравне-
ния A.97)—A.99), получим:
1
ЗУ
A.100)
или S'ij = 2/i (e;j - fi6ij/3).
Эти уравнения следуют из уравнений 5-10 системы A.96)
при Л = 0.
Если интенсивность напряжений в области пластичности &i
можно для данного материала считать постоянной величиной,
т.е. Gi = const, то в системе уравнений A.96) величина G{ явля-
является известной.
В более общем случае величина G{ может зависеть от дефор-
деформационного упрочнения, быть функцией среднего напряжения
G{ = Gi(p), температуры и скорости деформации.
При распространении ударных волн во многих твёрдых телах
(Fe, A1, Си и др.) при давлениях менее 0,5 млн. атмосфер давле-
давление ударного сжатия р отличается от давления при "холодном"
сжатии рх не более чем на 10%. При этом давление изотермиче-
изотермического сжатия (при Го = 300°К) или давление при изоэнтропиче-
ском процессе будут отличаться от давления в ударной волне на
ещё меньшую величину. И поэтому для ряда материалов при не
очень высоких давлениях можно приближённо считать изотерму,
изоэнтропу и ударную адиабату совпадающими.
В этом случае вместо двух уравнений 11 и 12, содержащих
внутреннюю энергию Е, в системе A.96) можно принять закон
связи между средним давлением р и плотностью р в виде
р = р(р).	A.101)
Если рассматривается двумерная или одномерная плоская зада-
задача движения сжимаемой прочной среды, то надо в уравнениях
A.96) положить все параметры, зависящие от z (для двумерной
задачи) или от z и у (для одномерной задачи), равными нулю.

40 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
В настоящее время получен ряд численных решений, од-
одномерных, осесимметричных и трёхмерных динамических задач
(метание короткой стальной оболочки зарядом ВВ, воздействие
цилиндрического заряда на металлическую плиту и др.) при
распространении волн напряжений в твёрдом теле.
Выше рассмотрены уравнения движения для материалов,
в которых отсутствуют фазовые переходы при ударном сжатии.
При наличии же фазового перехода необходимо применять диф-
дифференциальные уравнения движения и сохранения массы каждой
фазы и всей смеси для двухфазной среды. Так, при распростра-
распространении волн в железе и малоуглеродистой стали имеет место
фазовый переход при давлении около 130килобар. Расчёты для
плоских волн в этой среде, с учётом фазовых переходов показы-
показывают существенное влияние фазовых переходов и прочности на
характер движения и затухания ударных волн.
Уравнения движения твёрдой сжимаемой среды, которые учи-
учитывают как термодинамические эффекты, связанные с адиабати-
адиабатическим сжатием среды, так и силы прочностного сопротивления,
не имеют аналитического решения даже для случая одномерного
плоского движения.
В настоящее время возможно решение как одномерных, так
и двумерных, и трёхмерных задач, с учётом термодинамических
эффектов и прочности среды, с помощью численных методов
и электронно-вычислительных машин (ЭВМ).
Многие реальные процессы, связанные с ударными и взрыв-
взрывными нагрузками, относятся к классу осесимметричных задач.
Сюда, например, относится проникновение тел вращения с за-
заданной энергией в прочные сжимаемые среды; процесс образо-
образования кумулятивной струи и её проникание в разные среды,
метание осесимметричных оболочек любой формы продуктами
детонации, распространение волн напряжения в плите и явление
откола при контактном взрыве осесимметричного заряда ВВ,
штамповка взрывом осесимметричных деталей и другие. Все эти
задачи могут быть решены численно с помощью ЭВМ.
Многие физические и механические свойства различных
сред, которые необходимы для решения осесимметричных задач,
в настоящее время в значительной степени изучены: на осно-
основе известных (определённых опытным путем) ударных адиабат
можно вычислить уравнения состояния твёрдых тел, существуют
способы определения уравнений состояния продуктов детонации
конденсированных ВВ. Имеются значительные исследования по
изучению зависимости механических свойств твёрдых тел от
различных скоростей деформации и температуры. Во многих

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	41
случаях известны зависимости прочности и пластичности от гид-
гидростатического давления. Суммарное же влияние на прочность
и пластичность скорости деформации, температуры и давления
исследовано мало. Поэтому учёт прочности в динамических за-
задачах носит приближённый характер. Но этот, хотя и прибли-
приближённый, учёт прочности существенно приближает схему расчёта
динамических задач, связанных с твёрдыми телами, к реальному
явлению.
По мере уточнения динамических механических и физиче-
физических свойств разных сред, развития численных методов и быст-
быстродействия и объёма памяти ЭВМ, теоретические (численные)
методы расчёта будут все более точно отражать динамику реаль-
реальных процессов, связанных с ударом и взрывом.
В настоящее время эти расчёты дополняют эксперименталь-
экспериментальные исследования этих процессов, а затем во многих случаях
станут основным методом исследования ударных и взрывных
процессов.
1.2.3. Уравнения движения идеальной среды. В идеаль-
идеальной среде отсутствуют прочность и внутреннее трение. В такой
среде отсутствуют девиатор напряжений, т.е. Sij = 0, а все нор-
нормальные напряжения являются главными и равны между собой:
(Т\ = G2 = ^3-
Так как среднее давление в среде равно A.68)
р =
з'
и все напряжения равны между собой, то
Для идеальной среды, если учесть, что Sij = 0, уравнения
Эйлера будут иметь, с учётом массовой силы F, следующий вид:
%Г = Х--7Г'	AЛ02)
at	р их
% = *--?¦'	AЛ03)
at	р оу
^f = Z-l-d/,	A.104)
at	p oz
где X, Y, Z — проекции вектора массовой силы на оси координат.
Так как компоненты скорости их, иу, uz являются функциями

42 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
координат и времени, то полные производные этих компонент
скорости по времени вычисляются по формулам:
dux
dt
duy
dt
duz
dt
dux
dt
duy
dt
duz
dt
dux
OX
duy
duz
dx "x
dUxu
dy y
duy
dy y
duz
dv
dux
dz Щ
1 dUyu
duz
+ dzUz
Уравнение неразрывности отражает закон сохранения массы
и поэтому для идеальной среды оно имеет тот же вид, что и для
прочной сжимаемой среды A.82):
) ^)=а
at ox	oy	oz
Закон сохранения энтропии (условие адиабатичности движения)
для идеальной среды записывается в форме
ds ds ds	ds	ds	_	.. ._.,
-тг = -^i + ^rux + -zrUy + ^-uz = 0,	A.106)
dt dt dx dy dz
или в виде A.92) с учётом того, что отсутствует член, учитыва-
учитывающий прочность.
Согласно первому закону термодинамики для адиабатическо-
адиабатического процесса для единицы массы можно записать
0.	,,.107)
dt	dt
Уравнение состояния определяется, соответственно, в виде
P = p(p,s),	A.108)
Р = Р(Р,Е).	A.109)
Система шести уравнений содержит шесть неизвестных: их,
иу, uz, p, р, Е (или s), и она описывает движение любой инерт-
инертной идеальной среды.
Рассмотрим движения для некоторых конкретных идеальных
сред.
Совершенный газ. Для совершенного газа уравнение состо-
состояния имеет вид:
р = pRT.	A.110)

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	43
Ранее нами были получены выражения для энтропии A.35)
s = cv In —г + const,	A-И1)
рк
и для внутренней энергии A.17):
Е= * 1V	A.112)
р(к- 1)
где к = cp/cv.
Для совершенного газа первые три уравнения (уравнения
Эйлера) остаются такими же, как и для любой идеальной среды,
так как они не зависят от термодинамических свойств среды:
%Г = Х--7Г'	<1Л13>
dt	рдх
% = Y-l-g;	A.114)
at	pay
^	ld/	A.115)
dt	p dz'
Уравнение неразрывности также остается неизменным:
dp | д(рих) | д{риу) | д(рщ) =()
9t 9x	9?/	9^
Условие изоэнтропичности движения записывается в виде
ds
Продифференцируем уравнение A.111) по t:
= 0.	A.118)
Так как в этом уравнении
}!—ф0, то v; J =0.	A.119)
р	dt

44 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Следовательно, Условие изоэнтропичности движения для совер-
совершенного газа можно записать в развёрнутом виде:
at	at	ox	oy	oz
A.120)
Система пяти уравнений A.113-1.115), A.116) и A.120) для
совершенного газа является замкнутой, так как в этом случае у
нас пять неизвестных: р, р, их, иу, uz.
Случай несжимаемой жидкости. В несжимаемой жидкости
плотность со временем и по координатам не меняется, то есть
р = const.
В этом случае уравнения Эйлера остаются без изменения, так
как плотность в этих уравнениях не дифференцируется:
^ = Х-1^;	A.121)
at	p ox
^ У-1^;	A.122)
p oy
at
w = zI-	<
at	p oz
Уравнение неразрывности, которое ранее записывалось в виде
др д(рих) д(риу) d(puz)
ot ox	oy	oz
ввиду постоянства плотности (р = const), для несжимаемой жид-
жидкости примет вид
^ + ^ + ^ = 0.	A.125)
ox oy oz
В этом случае четыре уравнения A.121)—A.123) и A.125) содер-
содержат четыре искомые функции их, иу, uz, p.
1.2.4. Интегралы уравнений Эйлера. Уравнения Эйлера
в двух частных случаях движения идеальной жидкости могут
быть проинтегрированы: а) если движение стационарное; б) если
движение потенциальное. Рассмотрим эти два случая.
А. Стационарное движение идеальной среды. Интеграл
Бернулли. Рассмотрим уравнения Эйлера для идеальной сре-
среды: Умножим левые и правые части уравнений Эйлера A.121)-
A.123) соответственно на dx, dy, dz. Затем сложим их.

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	45
Вдоль линии тока
dx = uxdt, dy = Uydt, dz = uzdt.	A.126)
Рассмотрим сумму левых частей уравнений Эйлера:
dux duv duz
——dx -\	г^-шу Н	— dz = uxdux + uvduv + uzduz =
dt dt dt
2uxdux 2uyduy 2uzduz
+ —~^- +
du2x du\ du\ d (u2x + u2y + u2z) du2
'
2 2 2	2	2 '
где и — абсолютная величина скорости течения:
u2 = ul + u2y + u2z.	A.128)
Над правой частью суммы проведем следующие преобразования.
Выделим отдельно сумму Xdx + Ydy + Zdz и обозначим её через
Xdx + Ydy + Zdz = -dU<p.
Здесь Ucp есть потенциал массовой силы, а X, Y, Z — коор-
координаты массовой силы. Так как потенциал массовой силы есть
функция координат, т.е. U^ = U^{x,y,z), то полный дифферен-
дифференциал массовой силы будет (знак "—" поставим для удобства
дальнейших преобразований) равен
-dUv = (^dx + ^dy+^dz) .	A.129)
^ \ дх	ду	dz )
Отсюда видно, что проекции вектора массовой силы равны
Х = -^, Y = -^, Z = -^.	A.130)
дх	ду	dz
Оставшиеся слагаемые преобразуем следующим образом:
1 /др _ др _ др _ \	1 _	/1 Ю1Ч
— [-JLdx + -fdy+-fdz\ =—dp.	1.131
р \дх	ду oz ) р
В общем случае р является функцией координат и времени,
т.е. p = p(x,y,z,t).
Чтобы выполнялось равенство необходимо, чтобы р не зави-
зависело от времени, что как раз и имеет место при стационарном
(установившемся) движении, т.е. р = р(х, у, z).

46 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
На основании уравнений A.127), A.129), A.131) окончатель-
окончательно получили уравнение
*?- = -dUv-^,	A.132)
которое называется уравнением Бернулли в дифференциальной
форме.
Проинтегрировав это уравнение вдоль линии тока, получим
уравнение Бернулли в интегральной форме:
и2
¦¦-"-¦"	-	A.133)
Следует заметить, что значение С различно для разных ли-
линий тока в случае, если движение стационарное и непотенци-
непотенциальное, и значение С одинаково для всех линий тока (для всей
жидкости), если движение стационарное и потенциальное (см.
интеграл Лагранжа). Уравнение Бернулли можно использовать,
если известна (задана) зависимость
р = р(р).	A.134)
Уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости. В слу-
случае несжимаемой жидкости плотность постоянна, т. е. р = const,
и интеграл в уравнении Бернулли вычисляется, и уравнение
принимает вид
}L + l + U Const.	A.135)
2 р
Уравнение Бернулли для изоэнтропического течения. Из
термодинамики известно соотношение (первое начало термоди-
термодинамики)
dQ = Tds = dE + pdv.	A.136)
Преобразуем это соотношение следующим образом:
Tds = dE + pdv = dE + d(pv) - vdp = d(E + pv) - vdp. A.137)
Величина, определяемая выражением в скобках, равна удельной
энтальпии h A.19), т.е.
h = E + pv.	A.138)
Так как мы изучаем изоэнтропический процесс, то в нашем
случае
s = const.

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	47
Следовательно, в нашем исходном соотношении dS = 0, и тогда
соотношение A.137) принимает вид
dh-vdp = 0.	A.139)
Поскольку v = 1/р, то получим:
d/i= —.	A.140)
9
Проинтегрировав это выражение, получим уравнение для эн-
энтальпии (теплосодержания) в изоэнтропическом процессе для
единицы массы:
h =
Р
Подставим полученное выражение в уравнение Бернулли A.133):
и2
— + h + Ucp = const.	A-141)
Полученное уравнение Бернулли для установившегося изоэн-
тропического движения идеальной жидкости является законом
сохранения энергии: первое слагаемое представляет собой кине-
кинетическую энергию единицы массы, второе — теплосодержание,
третье — работа массовых сил.
Уравнение Бернулли для совершенного газа. Для совер-
совершенного газа справедливо соотношение A.37):
р = АрК	A.142)
Вычислим дифференциал dp:
dp = Akpk~ldp.
Учитывая это соотношение, вычислим значение интеграла, вхо-
входящего в уравнение Бернулли:
fe-i	а Ли	кр
Подставив полученное выражение в уравнение Бернулли A.133),
получим для совершенного газа следующее уравнение:
fA	(u44)
При расчёте взрывных процессов, обычно принимают U^ = 0,
поскольку влияние массовых сил мало по сравнению с другими
силами.

48 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Введём местную скорость звука:
c=J ?) ¦	A-145)
Она зависит от вида функции р = р(р, s).
Для совершенного газа, так как s = const:
% Ак^ = Ъ.	A.146)
dp	p
Так как для совершенного газа р/р = RT, то мы можем написать,
что с2 = kRT, т. е. скорость звука зависит только от температуры
Т.
Интеграл Бернулли A.144) можно записать теперь в виде
AЛ47)
Отсюда видно, что при изменении скорости частиц и скорость
звука вдоль линии тока меняется по определённому закону. По-
Полезно написать ещё один вид уравнения Бернулли для совершен-
совершенного газа, которое очевидно:
и
2
kRT
и kRT
у + ^-jy = const.	A.148)
Заметим, что из интеграла Бернулли (из различных его форм)
видно, что давление, плотность и температура с ростом скорости
вдоль линии тока уменьшаются.
Определение константы в уравнении Бернулли. Для того,
чтобы можно было определить значение постоянной в уравнении
Бернулли, должны быть заданы параметры газа в какой-либо
точке линии тока. Обычно пользуются параметрами торможения,
т. е. задаются параметры в точке где и = 0. Очевидно, что темпе-
температура, давление, плотность и скорость звука в точке, где и = 0
имеют значения, максимально возможные на линии тока.
Если обозначить параметры торможения через cq, Pq, sq, Hq,
То, то константу в уравнении Бернулли можно записать как
Б. Потенциальное движение жидкости. Интеграл
Лагранжа. Движение частицы жидкости может быть разложено

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	49
на три составляющие: вращательное (вихревое), поступательное
и деформационное. Для потенциальных течений идеальной
жидкости (движения, в которых отсутствует вращательная часть
движения) как установившихся, так и неустановившихся, может
быть получен первый интеграл уравнений Эйлера.
Вращательное движение среды характеризуется выражением
2co = rotu,	A.150)
где u(ux,uy,uz) — вектор скорости течения, (o(ujx,ujy,ujz) —
вектор угловой скорости.
Компоненты вектора угловой скорости мгновенного вращения
связаны с компонентами вектора скорости течения следующими
соотношениями:
"„ = ^[^-^1; A-151)
duz
ду
дих
диу
диу
dz
duz
дих
2 \дх ду
В потенциальном движении вращение отсутствует, ю = 0;
cjx = O, оиу = О, uz = 0.	A.152)
Если движение потенциальное, то можно ввести потенциал
скоростей (р:
u =
Проекции вектора скорости выражаются через потенциал следу-
следующим образом:
d(f	dip	dip
их = ^-, иу = —, uz = —.	A.153)
ox	ay	dz
Если эти выражения подставить в соотношения для компонент
вектора скорости мгновенного вращения, то они превратятся
в нуль:
_ 1 /
Шх-{
A.154)
2 \dzdx	j
1	(Ё?. _ _^_"\ = о
2	\дхду дудх)

50 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Следовательно, если существует потенциал скоростей, то враща-
вращательная часть движения автоматически пропадает (становится
равной нулю).
Очевидно, что в потенциальном движении существует равен-
равенство производных (см. уравнение A.151)):
(\
ди^ _ диу_ ди^_ди^ диу _ дих
ду dz ' dz dx ' dx ду
Теперь напишем уравнения Эйлера:
dux дих дих	дих дих	1 dp
—гг = -ггг + -г—их + -^—иу + -^—uz = X	—;
at at ox	ay	az	p ox
dp duluz = Y_i_^
oy	oz	p oy
at at ox	oy	oz	p
duz duz duz	duz duz	1 dp
—гг = -Tvr + -7^—ux + -7^—Uy + -^—uz = Z	—.
at at ox	oy	oz	p oz
Учитывая соотношения A.155), напишем уравнения Эйлера сле-
следующим образом:
dux
dt
duy
dt
duz
dt
Далее эти
так как
dUxu
dx
dux
дих
dz Ux
уравнения
dx '
a^l
dz \
dux
dt
1 du2
2 dx
duy
dx
duy
dy
duy
1 dzu
МОЖНС
{dt)
)дду
Kdt)
_d (
dt \
dux
dx
•v
duz
дхг
duz
dy1
duz
dz l
i Y
iz — j\
i V
. у
lz — Z/
> преобразовать:
f 2
b2
i_
2
d^
dx
i 4
dx
dy
i
dz
\
pdx
pdy
pdz
d (d<p\
; dx \ dt)
duy
dv
duz
oz
1 dp
pdx'
1 dp
p dy'
1 dp
pdz'
uz.
A.157)
(M58)

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	51
Чтобы упростить уравнения Эйлера, введём единую для всего
потока функцию давления Р такую, чтобы выполнялись следую-
следующие соотношения:
1 dp дР
р dx dx'
±др дР
Ю
р dz dz'
^dp_ дР_
~p~di ~ ~dt'
Если умножить эти соотношения на dx, dy, dz и dt, соответ-
соответственно, и затем сложить, то мы получим, что
^ = dP.	A.160)
Р
При условии, что жидкость баротропна, т.е. р = р(р), функция
давления Р равна
\-	о-161)
При подстановке функции давления в уравнения A.158), они
приобретают следующий вид:
dz \dt 2
Умножив первое уравнение на dx, второе на dy, третье на dz
и сложив их, получим следующее соотношение:
z = Xdx + Ydy + Zdz,	A.163)
^dx + ^dy + ^
ox	dy	dz
где M = M{x,y,z,t) — есть выражение в скобках, т.е.

52 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Интегрируя полученное уравнение A.163) для какого-то момента
времени (t = const), получаем
M = -U(p + F(t),	A.164)
где F(t) — некоторая произвольная функция времени t.
Напишем вместо М его выражение и получим интеграл
Лагранжа для неустановившихся потенциальных движений:
(Lies,
В частном случае, когда потенциальное движение жидкости или
газа установившееся, интеграл Лагранжа имеет вид
^+ — + /7^ = const	A.166)
и совпадает с интегралом Бернулли A.133), в котором постоян-
постоянная const одинакова для всей массы жидкости, а давление зави-
зависит только от плотности р = р(р), т.е. имеет место баротропная
жидкость.
Интеграл Лагранжа для несжимаемой жидкости. Очевид-
Очевидно, что для несжимаемой жидкости интеграл Лагранжа прини-
принимает вид
=*¦(')•
Для несжимаемой жидкости вместо трёх уравнений Эйлера мож-
можно использовать интеграл Лагранжа совместно с уравнением
неразрывности A.125)
ди ди ди ^
дх ду dz
где ux,uy,uz связаны с потенциалом скоростей следующим об-
образом A.153):
fy	fy	<*P	(l m)
ох	оу	oz
В этом случае мы имеем систему двух уравнений для простран-
пространственного потенциального неустановившегося движения несжи-
несжимаемой жидкости. Напишем эту систему с использованием

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	53
потенциала скоростей:
A.170)
Из уравнения неразрывности (уравнение Лапласа) определяем
потенциал скоростей как функцию координат, т. е. <р = <p(x,y,z),
затем определяется и, т. к. известна связь
A.171)
Для того, чтобы найти функцию F(t), достаточно знать давление
p(t) в какой-либо точке потока. И тогда из первого уравнения
определяем давление р = р(х, у, z, t).
1.2.5. Дифференциальные уравнения одномерного дви-
движения идеальной среды. Теория одномерных движений среды
имеет большое принципиальное значение для выяснения физи-
физических закономерностей неустановившихся движений и в ряде
случаев позволяет решить ряд конкретных задач (простые волны,
точечный взрыв и др.).
В случае одномерного адиабатического движения (т. е. ко-
когда энтропия в каждой частице не меняется во времени, но
она различна в разных частицах среды) основные уравнения
газодинамики (уравнение Эйлера без массовых сил и уравнение
неразрывности) можно представить в следующем виде:
? = Г:	(М72)
at р or
dp д(ри) лтри ~
-WT Н	~	\-N— = 0,	A.173)
ot or	г
где и — массовая скорость для одномерного течения среды, N =
= 0 для плоских задач, N = 1 для цилиндрических задач, N = 2
для сферических задач.
Первое начало термодинамики и условие изоэнтропичности
процесса для адиабатического движения записываются в виде
dE dv	ds	. л л „ А ч
— +р— = 0, или — = 0.	A.174)
at	at	at
Уравнение состояния среды имеет вид
р = р(р,Е), или p = p(p,S).	A.175)

54 Гл. 1. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
Система из четырёх уравнений A.172)—A.175) полностью опи-
описывает одномерное адиабатическое движение.
В случае изоэнтропического одномерного движения основные
уравнения газодинамики (уравнения Эйлера и неразрывности)
имеют такой же вид, как A.172) и A.173).
Так как для изоэнтропического движения энтропия остается
постоянной, то, вместо уравнения сохранения энергии и урав-
уравнения состояния среды, в систему уравнений входит уравнение
изоэнтропы р = р(р).
Для совершенного газа это уравнение имеет вид р = Арк.
Для этого движения газа известно аналитическое решение для
плоских одномерных задач.
В случае одномерного движения несжимаемой жидкости си-
система дифференциальных уравнений ещё больше упрощается:
% = --%; ^ + iv- = o.	A.176)
at р or or r
Для этой системы известно общее решение.
Рассмотрим решение системы одномерных уравнений для
несжимаемой жидкости.
Интегрируем второе уравнение системы A.176) для фикси-
фиксированного момента времени. Для этого преобразуем уравнение
следующим образом:
— = -N-,
dr	r'
и далее
аи	аг
и	г
Проинтегрировав для какого-то фиксированного момента време-
времени, получим:
и = «')
rN
Вместо первого уравнения системы A.176) запишем уравнение
Лагранжа A.167), если U^ = 0:
Уравнение Лагранжа и есть интеграл первого уравнения систе-
системы. Так как у нас случай одномерного движения, то справедливо

1.2. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды	55
следующее выражение (см. 1.177):
д^ f(t)
и = -д- = -у-.
Проинтегрировав это выражение, получим для потенциала ско-
скоростей
Подставив выражения для потенциала скорости ip и скорости
частиц среды в интеграл A.178), получим решение системы
дифференциальных уравнений одномерного движения несжима-
несжимаемой жидкости A.176) в виде
at J r7V 2rlN p
Здесь f(t) и F{t) (см. 1.177 и 1.179) есть неизвестные функции,
которые определяются из начальных и граничных условий.

Глава 2
ПЛОСКОЕ ОДНОМЕРНОЕ ИЗОЭНТРОПИЧЕСКОЕ
ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЫ
2.1. Дифференциальные уравнения движения
В случае плоских одномерных движений основные уравнения
газодинамики (уравнения Эйлера и неразрывности) имеют вид
(см. 1.172, 1.173)
<Ы__\_др,
at р ox
| + ^ = 0.	B.2)
at ox
Замыкающим уравнением для изоэнтропических движений яв-
является уравнение изоэнтропы:
Р = р(р),	B.3)
или в случае совершенного газа
р = Арк.	B.4)
Для решения этих уравнений их удобно преобразовать с помо-
помощью скорости звука с:
?(?)	<2-5>
\dPjs
В случае изоэнтропического движения это выражение можно
записать в виде	,
c2 = d/.	B.6)
dp
С помощью уравнений B.3) и B.6) можно исключить р из
уравнений B.1) и B.2). Выполнив необходимые преобразования,
получим для общего случая, когда р = р(р), выражение
+ (M±c)=Ot B7)

2.2. Характеристики плоского изоэнтропического течения	57
а для совершенного газа, если р = Арк
U±-	г	О\и±-	:
dt
(ц±с) V * !/ =0.	B.8)
2.2. Характеристики плоского изоэнтропического
течения
Из уравнений B.7) и B.8) видно, что состояния среды, опре-
определяемые величинами и + j cdlnp, или и + 2с/(к — 1), распро-
распространяются со скоростью и + с в положительном направлении
оси х по течению среды, а состояние, определяемое величинами
и — Jcdlnp или г^ — 2с/(к — 1), распространяется со скоростью
и — с. Величины, определяющие состояние среды, когда р = р(р),
имеют вид
Г	Г
и + cdlnp = ai, и — \ cdlnp = Pi,	B.9)
где г = 1, 2, ..., ос; j = 1, 2, ..., ос, или в случае совершенного
газа, когда р = Арк,
^ + Yz\ = ^u u-^tj = Pj-	BЛ°)
Эти постоянные комбинации переменных параметров называют-
называются инвариантами Римана и представляют собой характеристики
основной системы уравнений в плоскости (и, с). Характеристики
B.10) представляют собой в плоскости (и, с) параллельные пря-
прямые линии.
В зависимости от того, распространяются ли возмущения
в положительном или отрицательном направлении х, получаем
два семейства характеристик, назовём их С+- и С_-характери-
С_-характеристиками, для которых
(dx\
Ы=и~с- BЛ1)
Направляя ось Ох в сторону потока, т. е. считая и > 0, можем
сказать, что волны первого семейства С+ в своем относительном
движении по среде распространяются в ту же сторону, что и сре-
среда, волны второго семейства С_— в противоположную сторону.
Относительная скорость распространения волн по газу равна ±
±с, где с — местная скорость звука; верхний знак относится
к семейству С+, нижний — к С_. Волны семейства С+ несут

58 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
постоянное значение инварианта щ, волны семейства С- —
инварианта f3j.
Инварианты Римана можно записать и в другом виде. Для
этого с помощью выражения
с =
преобразуем выражение, стоящее под знаком интеграла, следую-
следующим образом:
VdP Р
и, так как справедливо соотношение
Х
— = —
Р Р
А	АХ	Х
dv = а— = —„
2
можно записать, что
с d In p = л^—
И тогда инварианты Римана могут быть записаны в виде
du ± cdlnp = О,
или
B.12)
Запись инвариантов Римана в таком виде позволяет получить
уравнения
и = и{р) или и = и(р),
если известна изоэнтропа р = р(р).
Графическое представление уравнений характеристик.
Инварианты Римана представляют собой характеристики основ-
основной системы уравнений в плоскости (и, с) и представляют собой
параллельные прямые линии для совершенного газа (рис. 2.1).
Их уравнения имеют вид
2с
U +	 = OL{ = COnSl,
2с	BЛЗ)
и — -—- = /3j = const.
/ъ — 1

2.2. Характеристики плоского изоэнтропического течения
59
Рис. 2.1
Pi
Pi
Рис. 2.2
Рис. 2.3
Рис. 2.4
В плоскости (x-t) характеристики в общем случае не явля-
являются прямыми линиями (рис. 2.2):
dx
dx
B.14)
В частном случае, когда к = 3, что является справедливым для
сильно сжатых продуктов детонации конденсированных ВВ, ин-
инварианты Римана принимают очень простой вид (см. рис. 2.3):
u + c = ai u-c = /3j.	B.15)
Соответственно, и характеристики принимают вид
'dal\ =u + c = a.	(d^\ =и-с=в.	B 16)
В этом случае в плоскости (x-t) характеристики представляют
собой непараллельные прямые линии (см. рис. 2.4).
Следует заметить, что заданные состояния, определяемые
величинами и + с = щ и и — с = f3j, распространяются в среде
при к = 3 независимо друг от друга. На это указывает и то

60 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
обстоятельство, что величины щ и j3j определяются в исходных
уравнениях B.8),
Щ^ + (и±с)Щ^ = 0,	B.17)
при заданных начальных и граничных условиях независимо друг
от друга.
2.3. Решения дифференциальных уравнений плоского
изоэнтропического движения совершенного газа
Дифференциальные уравнения этого класса движений газа
имеют особые и общие решения.
Особые решения. Как мы отметили выше, в плоском изоэн-
тропическом движении газа существуют волны двух противопо-
противоположных направлений, которые в общем случае к Ф 3 взаимодей-
взаимодействуют между собой. Если газ у нас совершенный, т. е. р = Арк,
то эти волны описываются системой уравнений B.8):
о[и±	г I	д\ и
т +ia±c) ч fa -°- B18)
Для нахождения особых решений этой системы запишем первое
уравнение совместно с инвариантом Римана в следующем виде:
d(u+J^-\	д(и
B.19)
Преобразуем второе уравнение новой системы уравнений к виду
и подставим в первое уравнение системы B.19):
^)+(„ + с)^>=0.	B.20)
Очевидно, что теперь это уравнение можно привести к следую-
следующему виду:
!1

2.3. Решения дифференциальных уравнений	61
Тогда система B.19) принимает вид
ди , N ди
— + (и + с)— = 0;
dt ^ дх	B22)
и —	 = C = const.
к — 1
Решим эту систему. Для этого вспомним, что первое уравнение
системы B.22) является дифференциальным уравнением типа
Ri^ + R2^ = Q,	B.23)
дх	ду
где R\, i?2, Q есть функции x,y,z. Уравнения характеристик
уравнения B.23) записываются в виде
dx_dy__cb
Ri~ R2~ Q'	{ }
Здесь записана система из двух независимых уравнений. Инте-
Интегрируя первое уравнение при z = const,
получим решение f\(x,y,z) = С\, где С\ — константа интегри-
интегрирования.
Затем интегрируем уравнение
dy dz	dx dz
r-2 = q' или r;=q- B-26)
В результате получим
f2(x,y,z) = C2.	B.27)
Общее решение уравнения B.23) будет иметь вид
.	B.28)
Проинтегрируем первое уравнение системы B.22) аналогичным
образом:
M = _dx_ = fa
1 и + с О
Отсюда видно, что
u = Ci.	B.30)
Теперь интегрируем уравнение
dt =
и + с

62 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
с учётом, что
2
и = С\ и и —	-с = const.
/с — 1
Преобразуем полученное уравнение следующим образом:
и Т
= и + с = const.	B.31)
at
Проинтегрировав его, получим
х = (u + c)t + C2.	B.32)
Общее решение первого уравнения системы B.22) имеет вид
Су2 = F l^lj = г \U>)*	yZ.Oo)
Запишем полученное решение в виде
х — (и + c)t = F(u),
2	B.34)
и — —	-с = const.
rxi — 1
Это и есть первое особое решение системы дифференциальных
уравнений, описывающих одномерное изоэнтропическое движе-
движение совершенного газа B.18).
Аналогичным способом, решая систему
дх = °' B.35)
2
и +	-с = const,
rxi — 1
найдём второе особое решение в виде
х- (u-c)t = F(u),
2	B.36)
и +	-с = const.
rxi — 1
Полученные особые решения описывают частный случай рас-
распространения волны только одного направления. Такая волна
называется простой римановской бегущей волной. Константа
в данном случае одна для всей области течения среды.

2.3. Решения дифференциальных уравнений	63
Общие решения. В случае когда к Ф 3 система уравнений
d(u±k~~ic)	д(и±Т~\с
ц±с) V fc! ) =0
+ (ц±с)
от	ста
имеет аналитическое решение только если к подчиняется урав-
уравнению
^ ^ = 0'1--)	<2-38>
Это соответствует следующим значениям к:
Если fc подчиняется уравнениям B.38), то общее решение урав-
уравнений B.37) может быть найдено в виде
Ф
F2 (y/2BN+l)h - ) }
B.39)
где теплосодержание Л, = c2/(fc — 1) (см. п. 1.2.4),
x = ut-f, t=fh.	B.40)
аи	ah
F\ и F2 — произвольные функции, определяемые для каждой
конкретной задачи на основе начальных и граничных условий.
Наиболее интересным является случай, когда к = 3. В этом
случае величина 2/{к— 1) = 1, и система уравнений B.37) рас-
распадается на два независимых уравнения:
= 0,
дх	B 4П
^ + (,,c)p=
dt	дх
или, если обозначить и + с = а, и — с = /3,
+ * 0 1 + 0
B-42)
Решением системы в этом случае является (см. уравнения
B.23)-B.28))
( + )t
x = (u-c)t + F2(u-c),	[ }
где F\(u + c), F2(u — с) — две произвольные функции, одна
зависит от {и + с) и другая — от {и — с).

64 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
Это решение является общим решением основной системы
дифференциальных уравнений B.37) в случае к = 3.
В заключение следует сделать замечание об использовании
особых и общих решений в разных конкретных случаях. Во-
первых, конкретная задача должна быть плоской одномерной
и газ — совершенным, а движение газа изоэнтропическим; во-
вторых, движения, описываемые особыми решениями, обязатель-
обязательно должны граничить с областью покоя или, в более общем
случае, с областью стационарного движения среды, а скорость
распространения фронта простой волны можно представить как
скорость перемещения границы между двумя областями. Во всех
остальных случаях следует применять общие решения.
Приведем некоторые примеры применения особых и общих
решений.
На рис. 2.5 изображена жёсткая труба с поршнем, справа от
поршня находится газ в состоянии покоя.
На рис. 2.5 поршень покоится при t = 0. Состояние газа
характеризуется следующими параметрами:
ин = 0, сн = const, pH = const, pH = const.
Пусть поршень начинает по-
нн = о степенно выдвигаться влево, то-
тогда вправо побежит волна раз-
разрежения. Движение этой вол-
волны разрежения будет описывать-
описываться особыми решениями, т. к. об-
% = 0 ласть, охваченная волной разре-
разрежения, справа сопрягается с об-
областью покоя.
На следующем рис. 2.6 так-
также изображена жёсткая труба,
перекрытая заслонкой. Слева от
заслонки пустота, справа покоя-
покоящийся идеальный газ. Заслонка
мгновенно убирается и газ начи-
начинает истекать в пустоту. Вправо побежит волна разрежения,
которая будет описываться особым решением, т. к. справа и слева
область, охваченная волной разрежения, граничит с областью
покоя.
Если теперь поставить на пути волны разрежения жёсткую
стенку, то волна разрежения отразится от этой стенки и отра-
отражённая волна разрежения пойдёт влево (рис. 2.7).
—
1
	 X
X
Волна разрежения
Рис. 2.5

2.3. Решения дифференциальных уравнений
65
Пустота
Невозмущённый газ
Рис. 2.6
Рис. 2.7
В этом случае можно наблюдать две области: область, охва-
охваченная первой волной разрежения (область I на рис. 2.7), в ко-
которой справедливо особое решение, и область, охваченная от-
отражённой волной разрежения П. В этой области справедливо
общее решение, т. к. слева эта область граничит с областью
нестационарного движения (с простой волной).
Простые волны. Простые римановские волны описываются
особыми решениями основной системы дифференциальных урав-
уравнений в виде B.34), B.36):
х =
и ± -	-с = const,
к — 1
B.44)
где знаки выбираются следующим образом: если волна распро-
распространяется вправо в положительном направлении оси Ох, то
выбираются верхние знаки; если влево, в отрицательном направ-
направлении оси Ох, то выбирают нижние знаки.
Характеристики особых решений.Как было установлено
выше, выражение
и±-	-с = const	B.45)
к — 1
является характеристикой решений основной системы в плос-
плоскости (и, с) и представляет собой прямую линию. Так как мы
рассматриваем одно уравнение (при решении конкретной зада-
задачи), то характеристика для данного особого решения — одна
прямая линия, вдоль которой переносится постоянное значение
выражения, например (см. рис. 2.8)
и —
к- 1
с = const.
Характеристики решения системы B.44) в общем случае
в плоскости (х, t) имеют вид (для системы с верхними знаками)
dx
B.46)
3 Л. П. Орленко

66 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
- т—: с = const
Рис. 2.8
Рис. 2.9
Возьмём на характеристике в плоскости (и, с) какую-нибудь
точку г. Эта точка будет определять состояние среды с фиксиро-
фиксированными щ и q. Для данного фиксированного состояния имеем:
т — (»,. _l r)t 4- F(u Л	A Л7)
Это ^-характеристики (рис. 2.9). Продифференцируем это вы-
выражение и получим скорость распространения данного "г"-го
состояния среды:
dx
~dt=Ui+Ci-
Итак, для данного фиксированного состояния среды "г" в плоско-
плоскости и-с мы имеем в плоскости x-t определённую прямую линию
(см. "г" на рис. 2.9). Для другого фиксированного состояния "п"
мы будем иметь в плоскости х, t другую прямую линию (см.
рис. 2.9).
Таким образом, каждой точке
t = Q	характеристики в плоскости и-с со-
соответствует определённая характе-
характеристика в плоскости x-t.
Далее мы рассмотрим несколь-
несколько задач газовой динамики, которые
описываются теорией простых ри-
римановских волн.
Волны сжатия. Пусть мы име-
имеем жёсткую трубу с поршнем. В на-
начальный момент времени поршень
покоится и справа от него в тру-
трубе находится покоящийся совершен-
совершенный газ (рис. 2.10а). Затем пор-
поршень начинает вдвигаться в трубу.
От поршня вправо по газу побежит
рш ,рш,сш,иш =
///////////
Лолна сжатия
Рис. 2.10

2.3. Решения дифференциальных уравнений	67
волна сжатия. Движение в данном случае является плоским
изоэнтропическим.
Выбираем решение, пользуясь правилом: если волны идут
в положительном направлении оси Ох, выбираем систему с верх-
верхними знаками (см B.44),
х = (u + c)t + F(u),
2	+	B.48)
и —	-с = const.
/ъ	1
Величину константы определяем из граничных условий перед
фронтом волны
2
const = ин —	сн.	B.49)
к — 1
Так как ин = 0 (газ покоится) константа в нашем случае будет
равна
2
const = —	-сн.	B.50)
к — 1
Рассмотрим качественную картину движения газа перед порш-
поршнем (при любом законе движения поршня). Подставим значение
константы во второе уравнение системы B.48)
«-*Ьс=-*Ь*- B51)
С другой стороны мы имеем в простой волне B.46)
dx
+
Исключим с из этого выражения. Для этого выразим её из
уравнения B.51),
с = сн + —g— и,
и подставим её в уравнение
dx	к — 1
— = ^ + с = ^ + сн + —г— и.	B.52)
Скорость поршня нам известна (предполагаем, что нам известен
закон движения поршня), поэтому мы можем написать и = Uu:
| = * + ^..	B.53)

Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
Таким образом, любое состояние газа, которое возникает вблизи
поршня, передвигается по газу со скоростью
+ 1
и„.
Определим наклон характеристик в плоскости x-t для некоторых
фиксированных положений поршня:
dr
0.	^ =
dx
1.	- =
0	dx
2.	- =
= 0);
к+1
17
п1;
B.54)
17п2.
Наклон характеристик с увеличением скорости поршня по-
постепенно увеличивается (рис. 2.11).
С физической точки зрения это объясняется тем, что каждая
последующая элементарная волна сжатия двигается по газу, бо-
более уплотнённому предыдущей волной, и амплитуда волны будет
непрерывно увеличиваться. Характеристики в конце концов пе-
пересекаются в какой-то точке. В точке пересечения характеристик
возникает ударная волна (все параметры газа изменяются скач-
скачком), и течение становится неизоэнтропическим (в этом случае
необходимо использовать адиабатические уравнения движения
среды). Следовательно, в случае ускоренного движения поршня
волна сжатия вырождается в ударную волну (УВ).
у у у у у у у у
Рис. 2.11
Рис. 2.12

2.3. Решения дифференциальных уравнений	69
Определим теперь функцию F(u). Для этого мы должны
задать закон движения поршня.
Пусть в нашем случае поршень движется равноускоренно.
Закон движения поршня описывается уравнениями
Uu = at, хп = ^.	B.55)
2а
Выразим функцию F(u) из первого уравнения B.48):
F(u) = х-(и + c)t.
Подставим в это уравнение выражения для хн и t из B.55)
к+\тт
с учетом, что и + с = сн -\	—иц, получим выражение для
функции:
2 ) а	а	2а
Теперь мы можем записать решение нашей задачи в окончатель-
окончательном виде:
сяи ки2
сяи ки
c)t	г—,
% 2а
2а	B.57)
Определим давление и плотность в волне сжатия с помощью с =
= c(x,t). Так как газ совершенный, то
Соотношение, связывающее параметры газа перед волной сжатия
и в самой волне, записывается для скоростей звука в виде
к / \ 2к/(к-\)
(±) '.	B.59)
Теперь определим момент и координату образования удар-
ударной волны. В момент образования ударной волны производная
скорости по координате стремится к бесконечности, т. к. объём
газа, находящегося в состоянии 2, догоняет газ в состоянии 1,
(рис. 2.12)
аи
	> ос.
ах

70 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
Следовательно, мы можем заключить, что производная коорди-
координаты по скорости и определяется как
^ = 0.	B.60)
аи
Найдём эту производную и приравняем её к нулю. Для этого
используем первое уравнение B.57):
ж = сн + ~^—и )t	—.	B.61)
у	2 J а 2а
Продифференцируем это выражение по и и приравняем его к ну-
^ k+lcJLku_	B
аи 2	а а
Выразим из этого выражения время, которое и будет моментом
образования ударной волны (УВ):
2 сн + ки
tyB=
+l a
Минимальное время образования УВ соответствует и = 0. В
этот момент пересекутся две первые характеристики при и = 0
(точка А на рис. 2.11) и образуется ударная волна:
7ГХТГ-	B'64)
(к+ \)а
Координата точки, в которой образуется УВ, равна:
Следует отметить, что с момента образования ударной волны
перестают быть справедливыми уравнения, описывающие изоэн-
тропические движения, т. к. после возникновения УВ энтропия
каждой частицы изменится (см. п. 3.2). Поэтому уравнения, опи-
описывающие движение волны сжатия, справедливы для времени
t < ?уВ ИЛИ X < ХуВ.
В случае, если поршень мгновенно приобретает скорость, т. е.
а —> ос, тогда УВ возникает в момент времени ?ув = 0 и хув = 0.
Волны разрежения. Рассмотрим теперь движение газа под
действием выдвигающегося поршня. Пусть вначале покоящийся
газ с постоянными плотностью, давлением и скоростью зву-
звука рн,рн,сн занимает пространство в жёсткой трубе справа от
поршня (ж > 0). В момент t = 0 поршень начинает двигаться
влево, постепенно ускоряясь от нулевой скорости до некоторой

2.3. Решения дифференциальных уравнений
71
постоянной скорости. Вправо от поршня побежит волна разре-
разрежения (рис. 2.13).
Эта волна разрежения яв-
является простой римановской	t = 0	^ = 0
волной, т. к. зона, охваченная
волной, граничит с зоной по-
покоя. Волна разрежения описы-
описывается особым решением:
¦c)t + F(u),
-с = const,
Рш,Рш,Сш, «н =0
х =
и —
B.66)
к — 1
Волна
разрежения!
Рис. 2.13
так как волна движется о
в положительном направле-
направлении оси Ох. Определим зна-
значение константы в системе
B.66). Для этого воспользуемся граничными условиями на фрон-
фронте волны разрежения:
И тогда получим
и = 0, с = сн.
const = —
гь —
B.67)
Затем из второго уравнения B.66) получим для скорости звука
с = сн + ^— и.	B.68)
Выражение для характеристики в плоскости х, t имеет вид
dx
~di=U + C'
С учётом выражения B.68) получим
*?. = и + с = ся + ±±±и.	B.69)
(Ль	Zj
На границе с поршнем скорость газа совпадает со ско-
скоростью поршня С7н, которая отрицательна. Поэтому скорость
звука, а также давление и плотность газа у поршня мень-
меньше начальных, притом тем меньше, чем скорее движется пор-
поршень. С+-характеристики, которые являются прямыми линиями,

72 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
выходят с линии закона движения поршня (возмущения рожда-
рождаются на поршне) и имеют наклоны:
dx
—
at
k + 1
и = сн -
к+ 1
\ии
B.70)
На рис. 2.14 показаны ^-характеристики в плоскости x-t.
В области 1 между осью Ох и ^-характеристикой ОА газ не
возмущён, и характеристики представляют собой параллельные
линии. Первое возмущение от поршня распространяется по газу
со скоростью сн, и поэтому закон движения начального возму-
возмущения имеет вид х = сн?.
Далее поршень постепенно ускоряется (зона II, АОСВ на
рис. 2.14).
А
Поскольку поршень ускоряется, С+-характеристики расхо-
расходятся. Это объясняется тем, что каждое следующее возмуще-
возмущение идет по газу, уже разреженному предыдущим возмущением.
С+-характеристики, выходящие с того участка линии поршня,
на котором скорость поршня уже постоянна (область III), имеют
одинаковые наклоны и идут параллельно друг другу.
В том случае, когда поршень мгновенно приобретает какую-
то конечную скорость, образуется центрированная волна разре-
разрежения.
Центрированная волна разрежения представляет собой пре-
предельный случай, когда время переменного движения поршня
стремится к нулю (рис. 2.15). Обе С+-характеристики, соответ-
соответствующие началу движения поршня, выходят из одной точки 0.
С+-характеристики, соответствующие переменному движению
поршня, выходят веером из точки 0, (характеристики 0А и 0D
на рис. 2.15).
Представляет интерес ответить на вопрос, с какой скоростью
должен двигаться поршень, чтобы он оторвался от газа. Этот

2.3. Решения дифференциальных уравнений
73
D
Рис. 2.15
случай равносилен тому, когда поршень мгновенно убирается,
и газ начинает истекать в пустоту.
Инвариант Римана в этом случае, как и в случае волны
разрежения, рассмотренном выше, будет равен
2	2
и —
-с = —-
к-
Так как в пустоте скорость звука равна нулю, то и на фронте
волны с = 0 (р = 0, с ~ р^)/2), а скорость истечения будет
равна
B.71)
ит = —
к- 1
¦Си-
Следовательно, если поршень будет иметь скорость
и„
B.72)
то он оторвется от газа.
Одностороннее истечение ранее покоившегося газа в пу-
пустоту. Представим себе очень длинную трубу, перегороженную
перегородкой. Пусть область слева от перегородки заполнена
покоящимся газом с параметрами рн, рн, сн, ин = 0, а справа от
перегородки — пустота. Ось направим параллельно оси трубы,
начало координат пусть будет в том месте, где находится перего-
перегородка. Площадь сечения трубы постоянна и принимается равной
единице (рис. 2.16).
Теперь мгновенно уберём перегородку в момент времени t =
= 0. Сразу же газ начнёт истекать в пустоту, и одновременно
с этим возникнет волна разрежения, бегущая влево. Истечение
газа в пустоту является неустановившимся, а волна разрежения
является простой (римановской) волной, она представляет собой
волну одного направления, распространяющуюся по невозму-

74 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
Невозмущенный газ
•."•.V-.V-.•••-*."•.*•.'•.;i*'
Волна раз^
б Фронт волны
разрежения
Рис.
Пустота
////////
южения *
Пустота
Фронт истечения
2.16
щенному газу, т. е. область нестационарного течения газа грани-
граничит с областью покоя.
Следует отметить, что движущаяся вправо граница разлёта
не является волной, так как там частицы газа, сами двигаясь,
не приводят в движение никакую среду. Распределение скорости
и плотности газа по обе стороны от снятой стенки описываются
одними и теми же уравнениями.
Так как наша волна разрежения является простой волной, то
для решения этой задачи мы воспользуемся уравнениями
х = [и — c)t + F(u),
2
-с + const.
и = —
к- 1
B.73)
B.74)
Значение неизвестных F(u) и const будем искать с помощью
граничных условий. Очевидно, что для покоящегося газа и = О
и с = сн. Подставим это условие в уравнение B.74) и получим
2
const =	-сн,	B.75)
к- 1
и тогда уравнение B.74) окончательно примет вид
и = -?-Сн - /тс.	B.76)
к — 1 к — 1
Из этого уравнения видно, что максимальная предельная ско-
скорость истечения в пустоту
ит = т^тсн.	B.77)

2.3. Решения дифференциальных уравнений	75
Значение неизвестной F(u) определим из второго условия,
которое состоит в том, что в начальный момент, когда мгновенно
убирается перегородка (t = 0), значения и и с в месте нахож-
нахождения перегородки являются неопределёнными. Действительно,
в начальный момент при снятии перегородки и и с не имеют
определённых значений, так как скорость скачком возрастает от
нуля до своего предельного значения ит, определяемого урав-
уравнением B.77), а плотность, давление и скорость звука скачком
падают до нуля от своих первоначальных значений рн,рн и сн.
Покажем, что при этих условиях F(u) должна тождественно
равняться нулю. Так как движение газа в начальный момент (? =
= 0) определено в сечении х = 0, то F{u) должно быть равно
нулю. Поскольку
х= (u-c)t,	B.78)
то при t = 0 и х = 0 получаем
0
и-с=-,
то есть и и с являются произвольными (неопределёнными), что
и соответствует условиям нашей задачи.
Итак, решение окончательно запишется в виде
х = (и — c)t,
2	2	B.79)
Определим теперь закон движения фронта волны разреже-
разрежения. Этот фронт в каждый данный момент граничит с областью
невозмущённого газа в трубе, поэтому на фронте и = 0 я с = си.
Следовательно, для фронта волны разрежения первое уравнение
B.79) даёт х = —сн?, т.е. фронт волны движется справа налево
со скоростью сн, равной местной скорости звука. Само соотно-
соотношение х = — сн? является характеристикой наших уравнений.
Из полученного решения B.79) видно, что рассматриваемое
нами движение газа можно характеризовать одной переменной.
Такое движение называется автомодельным.
Покажем, что все параметры, характеризующие наше движе-
движение, являются функциями одной переменной x/t = z. Для этого
запишем уравнения B.79) в виде
х
и — с = — = z,
9	9	\Z.o\J)
u + l—\c=—ic»-

76 Гл. 2. Одномерное изоэнтропическое движение идеальной среды
Сш-t
икс
-\
Рис. 2.17
2сш
к-\
Найдём зависимость скорости газа и и скорости звука с от
переменной x/t = z:
и =
с =
к + 1 н к + 1'
2	к- 1
fc+1 fc + Г
B.81)
Из уравнений B.81) видно, что в каждый данный момент
времени распределение и и с являются линейными функциями
от х (рис. 2.17).
Далее из уравнений B.81) следует, что в сечении х = 0 всегда
^ = с=-^-тсн,	B.82)
т.е. устанавливается критический режим истечения. Очевидно,
что состояние, при котором и = с, не перемещается по газу, так
как скорость распространения этого состояния (и — с) в данном
случае равна нулю.

Глава 3
ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН
Введение
При интенсивном импульсном нагружении (типа взрыва
и удара) различных сплошных сред (газ, жидкость, твёрдое тело)
в последних возникают ударные волны (УВ), с помощью которых
осуществляется передача механической энергии вблизи источ-
источника импульсного нагружения. Ударные волны возникают перед
телом, которое движется в среде (газ, жидкость, твердое тело)
со сверхзвуковой скоростью. Торможение сверхзвукового потока
среды сопровождается появлением УВ. Во всех рассмотренных
случаях возникают области движения среды, ограниченные по-
поверхностями, на которых все параметры среды (р, р, и, Т и др.)
скачком меняют свои значения. Эти поверхности разрыва пара-
параметров среды называют фронтами УВ или "ударными волнами".
На рис. 3.1 в качестве примера показано изменение давления
в ударной волне (УВ) скачком от начального давления р\ до
давления в У В р2-
Существуют два типа УВ — прямые и косые. На рис. 3.1а,б
представлены схемы этих волн.
Если направление скорости потока среды щ перпендикуляр-
перпендикулярно к поверхности фронта УВ, то такая УВ называется прямой
(рис. 3.1а), если это направление не перпендикулярно к поверх-
поверхности фронта У В, то У В называется косой (рис. 3.16). Скорость
фронта У В D > щ, и он перемещается в газе и жидкости со
сверхзвуковой скоростью, а в твердых телах УВ могут переме-
перемещаться как со сверхзвуковой, так и с дозвуковой скоростью (см.
гл. 12). С ударной волной мы уже встречались в задаче о сжатии
газа поршнем (см. 2.3).
Мы при этом выяснили, что если поршень, который нахо-
находится в трубе с газом, сразу приобретает конечную скорость, то
в газе образуется УВ. Переход параметров газа перед фронтом
УВ к параметрам за фронтом волны происходит скачком. Далее

78
Гл. 3. Теория ударных волн
параметры газа перед фронтом У В мы будем обозначать р\, р\,
с\, Е\, щ, т.е. с индексом 1, а за фронтом УВ (или на фронте
УВ) будем обозначать р2, Р2, ?2» Е2, щ, т.е. с индексом 2 (см.
рис. 3.1).
Прямая УВ
и2
Pi,
Е2>
90°
Р2
С2
90°
Р,,1
9i»
D
4i =
Косая УВ
Е 2 , с
2' Ь2
D
Plt?i> и =0
Рис. 3.1.
3.1. Связь между параметрами на фронте ударной
волны с параметрами перед фронтом ударной волны
для различных сред
3.1.1. Соотношения на фронте ударной волны в идеаль-
идеальной среде. Пусть мы имеем длинную жёсткую трубу с пло-
площадью сечения, равной S. В трубе находится покоящаяся иде-
идеальная среда с постоянными параметрами р\, р\, с\, Е\\ слева
расположен плоский поршень. Пусть сначала поршень покоится,
а затем в начальный момент времени t = 0 поршень мгновенно
приобретает некоторую скорость щ и перемещается с этой ско-
скоростью вправо, сжимая находящийся перед ним газ. Вправо от
поршня пойдёт У В со скоростью D (рис. 3.2).
Найдём неизвестные величины: плотность р^ и давление газа
Р2 за фронтом УВ, а также скорость распространения УВ по
невозмущенной среде D и скорость среды (массовую скорость)
щ. Параметры невозмущенной среды р\, р\, с\, Е\ будем считать
известными.

3.1. Связь между параметрами ударной волны
79
* , • > *
Рь^
• • » • • . *
• . * • . • • . • •
/ / / / / / / 7/ / / / / / / / /
Рис. 3.2
К моменту времени t в трубе с сечением S движение охва-
охватывает массу среды, равную p\SDt. Но к моменту времени t
эта масса среды занимает уже объём (D — U2)tS, в котором
плотность среды равна р2, т.е. закон сохранения массы имеет
вид
PlSDt = p2{D-u2)tS.
Сократив одинаковые члены в правой и левой частях, запишем
условие, которое удовлетворяется при переходе через фронт УВ:
p\D =
-u2)
C.1)
Масса газа p\SDt приобретает импульс p\SDtu2, который по
закону Ньютона равен импульсу сил давления. Результирующая
сила, действующая на сжатую среду, равна Sp2 — Sp\, тогда
импульс силы, действующей на сжатую среду, равен (Sp2 —
-Spi)t.
Приравняем импульс массы среды, находящейся за фронтом
УВ, и импульс силы, действующей на эту массу:
p\SDtu2 = (Sp2 — Sp\)t.
Сократим в обоих частях полученного равенства площадь сече-
сечения трубы S и время ?, получим уравнение для скорости фронта
УВ:
Р2 ~Р\ = p\u2D.	C.2)
При адиабатическом сжатии среды изменение полной энергии
газа равно работе внешних сил. До ударного сжатия единица

80	Гл. 3. Теория ударных волн
массы среды имела внутреннюю энергию Е\, после ударного
сжатия энергия единицы массы стала равной Е2 + и^/2. Изме-
Изменение полной энергии всей массы ударно сжатой среды равно
[Е2 — Е\ + ^/2) p\SDt. Внешняя сила, сжимающая среду, рав-
равна p2S и действует она на пути u2t. Учитывая все это, получим
соотношение
/	„,2\
p\SDt = p2Su2t.
Преобразовав это выражение, получим уравнение для изменения
энергии единицы массы в УВ:
Е2-Е1 = — - -.	C.3)
Пользоваться этим уравнением неудобно, поэтому преобразуем
его к виду, удобному для практического пользования. Для это-
этого исключим скорость из уравнения C.3). Из уравнений C.1)
и C.2) определим D и и2:
VX-V2	C.4)
где ы = 1/pi и V2 = 1/Р2- Подставим полученные выражения для
D и и<2 в C.3):
и\ 2 ( р2
U
U
piu2D 2	\
И окончательно уравнение изменения энергии для УВ примет
вид
E2-El = (vi-v2)?Z±PL.	C.5)
Нужно ещё знать термодинамическое состояние среды за
фронтом УВ. Обычно оно задаётся уравнением
Р2 =Р2(р2,Е2).	C.6)
Система четырех уравнений C.1), C.2), C.5), C.6) связывает
пять параметров на фронте УВ р2, щ, р2, D, Е2. Для того, чтобы
решить эту систему, достаточно задать один параметр (любой из

3.1. Связь между параметрами ударной волны	81
пяти, например, D, который определяется из опыта или расчёта)
тогда остальные определяются при помощи этой системы.
3.1.2. Соотношения на фронте ударной волны в твёрдом
теле. Если в трубе (см. рис. 3.2) находится не идеальная среда,
а сжимаемое твёрдое тело, то соотношения между параметрами
до и после ударного сжатия находятся так же, как в идеальной
среде (см. п. 3.1.1). Пусть перед фронтом У В в твёрдом теле
перемещается упругая волна со скоростью с\ > D (см. гл. 12)
с параметрами а\а, Ра, иа, Еа, еа, тогда получим следующие
соотношения:
pa(D - иа) = p2{D - и2);
~Ра(щ ~ Ua)(D - Ua)\	/g 7)
ь2 ьа	,
где D, и2, а2, р2 = 1/^2» Е2 — параметры на фронте У В.
Для плоской УВ к этим уравнениям надо добавить следую-
следующие уравнения:
2	3
V2 =P2(p2,E2), Gi = ai(si), a2 = -р + 52, ?i = ^r/,	5
, ?i = ^r/, G{ = 52.
Если среда идеальная и до ударного сжатия находится в по-
покое, то в уравнениях C.7) надо положить ра = р\, а2 = — р2,
S2 = 0, а\а = —pi, и получим уравнения C.1)—C.2) и C.5).
3.1.3. Соотношения на фронте ударной волны для совер-
совершенного газа без учёта процессов диссоциации и ионизации.
В случае совершенного газа система уравнений, связывающих
параметры газа (без учёта процессов диссоциации и ионизации)
на фронте УВ, значительно упрощается. Первые два уравнения
C.1) и C.2), выражающие закон сохранения массы и закон
изменения импульса, в случае совершенного газа остаются без
изменения:	рф = p2[D - и2),	,о оч
Р2~Р\ =	D
Уравнение C.5), учитывая, что для совершенного газа справед-
справедливо соотношение A.17) Е = р/р(к — 1), запишем в виде
Р2	Р\	Р2+Р\(	ч	,опч
—п	п	п	п = —о—v^i - V2)'	C.9)
р2{к-\) pi(fc-l)	2
Уравнение C.6), связывающее давление, плотность и внутрен-
внутреннюю энергию газа р2 = р2(р2, Е2), в случае совершенного идеаль-
идеального газа не требуется, оно в виде Е2 = р2/р2(к — 1) уже входит
в уравнение C.9).

82	Гл. 3. Теория ударных волн
Если нас интересует температура, то в систему вводится
уравнение состояния вида Р2 = Р2(р2>Т2). Для совершенного газа
р2 = P2RT2.
3.1.4. Соотношения на фронте ударной волны с учётом
процессов диссоциации и ионизации. В сильной ударной
волне значительно повышается температура и внутренняя энер-
энергия газа, а благодаря развитию процессов диссоциации и иониза-
ионизации, и число частиц в среде. В воздухе процессы диссоциации до
Г = 1300 К малы, ими можно пренебречь при любых плотностях
р ^ 1О~6ро (где Ро = 1,292кг-м~3 — плотность воздуха при нор-
нормальных условиях). Заметный процесс диссоциации, т.е. распад
молекул кислорода О2 и азота N2 на атомы, начинается с 2000 К
(при нормальном давлении) и практически заканчивается при
6000 К. Заметная ионизации воздуха начинается при 6000 К, при
этом происходит отрыв внешних электронов у атомов. То есть
для каждой амплитуды ударного сжатия, характеризующейся
параметрами Г2, р2, р2, Щ, Е2, S2, состав воздуха, вследствие
процессов диссоциации и ионизации, различен. Поэтому термо-
термодинамические свойства воздуха до и после ударного сжатия не
одинаковы: различны показатели изоэнтропы, молекулярный вес
воздуха до и после ударного сжатия. В этом случае на основе
термодинамических расчётов необходимо определять состав воз-
воздуха при каждом определённом ударном сжатии. В основе расчё-
расчётов параметров УВ лежат система уравнений C.4) и уравнение
C.5):
±
U2 = \/(P2-Pl)(v\ -V2),
v\ -v2
P2 =P2(P2,E2),	p2 =
Задаваясь, например, температурой Т2, определяют осталь-
остальные параметры УВ, р2, р2, и2, D, на основе термодинамических
расчётов с учётом процессов диссоциации и ионизации возду-
воздуха и известных уравнений состояния: Е2 = Е2(р2,р2), р2 =
= р2(р2,Т2). Исходными данными для этих вычислений служат
сведения о потенциалах диссоциации и ионизации и об энерге-
энергетических уровнях частиц воздуха.
В настоящее время существуют подробные таблицы с пара-
параметрами УВ в воздухе, которыми удобно и просто пользоваться
на практике. Такие таблицы охватывают интервал температур

3.1. Связь между параметрами ударной волны	83
от 200 К и до 3 • 106К и плотности от ЗОро до 1О~6ро, и они
дают информацию об УВ в воздухе на различных высотах h над
уровнем моря от h = 0 до h = 100 км.
Ниже приведена таблица для параметров УВ при h = 0. При
пользовании такой таблицей необходимо задать один из парамет-
параметров, например Т2, или р2 или D, тогда остальные определяются
из таблицы 3.1. В таблице 3.1 приведены также эффективные
значения показателя изоэнтропы:
Для ударных адиабат предполагалось, что исходный состав воз-
воздуха не зависит от высоты (учёт необходим при высоте свыше
90-100 км).
3.1.5. Ударная адиабата. Ударной адиабатой называется
зависимость между двумя параметрами в ударной волне: р2 =
= Р2(Р2)> D = D(u2), Р2 = Р2{щ) и Т-Д- Если из уравнений для
энергии C.5) и уравнения состояния C.6) исключить внутрен-
внутреннюю энергию Е2, то получим уравнение вида р2 = Рг(Р2»РьPi)»
которое называется ударной адиабатой. Это уравнение представ-
представляет собой геометрическое место точек возможных состояний на
фронте УВ. Каждой паре р\ и р\, соответствует своя ударная
адиабата.
Ниже на примере совершенного газа рассмотрен ряд свойств
УВ, справедливых для любой среды.
Рассмотрим ударную адиабату для совершенного газа. Наибо-
Наиболее простой вид имеют формулы для УВ в случае совершенного
газа. Подставим в уравнение энергии C.5),
соотношение, справедливое для совершенного газа A.16)
Е = СуТ=-^—ру.	C.10)
к — 1
После необходимых преобразований получаем уравнение удар-
ударной адиабаты в виде
р2 = (fc+ l)v\ ~(к- l)v2	( п
pi (k+\)v2-(k-\W	'
или для отношения плотностей:
Р2	J
=
Pi P2(k-l)+Pi(k+l)'

84
Гл. 3. Теория ударных волн
со
I
V©
см
|-ч
со
1
О
см
со
1
/—
см
О
см
СМ -н
см 1 ~
^| Q.
-СМ 1 ~
Еч 1Еч
с^
см
о
|
со
со
СО
00
CD
2094
о
10,90
(Т)
CD
on
LO
^->
1~н
00
о
со
о
^н
со
1—1
о
^н
LO
00
О
см
о
|
CD
со
о
со
00
CD
2130
о
25,4
СО
CD
СМ
1—1
LO
о
со
о
^н
о
о
8
_
о
см
о
о
CD
00
CD
2865
о
on
274,
on
СО
СО
о
OJ
СМ
LO
1—-Ч
СМ
о
см
on
ОП
со
^н
о
о
8
О
О
со
|
CD
1О
со
о
CD
3598
о
СО
447,
р
LO
О
^
см
со
CD
СМ
LO
со
о
о
8
CD
О
СО
О
CD
ОП
i—i
О
4352
о
on
583,
CD
СО
о
О)
CD
00
СО
со
со
см
см
00
о
см
о
о
8
см
о
со
00
со
см
LO
о
5127
о
700,
on
LO
LO
^
1—1
О")
^->
о
см
со
см
см
см
о
о
8
00
00
со
CD
LO
LO
CO
on
5928
о
со
co~
о
00
о
CD
о
о
со
со
со
1—-Ч
00
о
см
CD
t^-
CM
о
о
1
со
00
со
о
00
LO
см
CD
см
6751
о
о
901,
о
CD
LO
о
со
LO
00
со
^
со
со
см
со
о
о
8
00
со
со
1—1
CD
СО
со
со
7592
о
1О
987,
о
<з
сО
см
о
LO
о
CD
см
CD
со
о
со
8
со
со
CD
о
8461
о
о
о
о
см
LO
со
LO
00
1~н
LO
on
LO
00
со
1—1
00
со
S
о
CD
со
CD
^J4
CD
9344
о
о
о
LO
о
LO
со
г^
CM
00
O5
о
CM
о
CM
о
LO
со
CD
CM
CD
CO
CD
о
о
со
LO
,025
о
CD
CM
CM
о
i—-4
LO
о
ОП
CO
CM
о
CM
LO
1—1
1—1
LO
CO
о
CD
CO
^
LO
CM
^
1O
O5
LO
,116
о
00
о
CM
о
LO
о
LO
s
CM
о
CD
CM
о
LO
CO
LO
on
LO
00
CD
LO
CO
CO
о
on
LO
CD
,210
о
00
CD
CO
о
CM
CD
8
CO
CD
00
CM
о
CM
о
LO
LO
LO
о
CM
LO
LO
CM
LO
CO
LO
CM
о
,305
о
LO
CO
о
LO
s
CM
^H
CO
о
CO
CO
CD
LO
1O
CM
LO
LO
LO
8
00
CO
^J4
о
со
,402
о
1—1
о
LO
о
i—-4
00
on
CD
O5
CO
CO
о
on
LO
LO
CO
O5
O5
00
LO
p
CO
о
CD
00
о
00
,501
о
CD
CD
LO
о
on
00
о
о
CD
CO
o
cO
f^.
00
LO
1O
CD
CM
CD
00
__,
CO
о
CO
00
C7>
LO
00
,601
о
00
CM
CD
о
LO
LO
о
r^
CM
CD
о
CO
о
LO
00
о
LO
CO
CO
о
LO
CD
ci

3.1. Связь между параметрами ударной волны
85
с0?
1
со
1
О
1
1-4
со
1
О
см
о
см
SI ?
см
гсм
ы
со
СО
со
LO
СО
О
о
о
00
со
^н
о
_i
см
о
см
о
см
см
о
о
о
со
со
ID
о
см
о
со
со
ГТ)
о
О")
1—1
о
о
00
^н
о
см
LO
1—1
см
о
со
со
о
00
о
ю
о
см
со
со
со
^ч
3
о
о
см
см
со
см
со
ю
со
со
оо
о
00
см
со
1—1
см
о
со
см
о
^н
о
см
см
о
со
о
LO
о
оо
со
оо
см
сч
иО
о
о
см
со
со
со
СО
00
о
со
со
см
о
S
см
о
_i
о
см
о
00
со
см
о
со
о
см
со
со
см
см
о
о
со
см
о
со
со
о
00
^н
см
00
о
с—^
со
см
о
LO
LO
см
о
со
см
LO
см
о
со
1—1
t^
со
со
о
LO
00
со
00
СО
о
о
00
см
см
о
со
оо
°
см
со
00
00
LO
00
см
о
о
со
см
см
о
LO
со
см
о
см
LO
со
о
о
о
о
о
со
со
О
см
со
°
см
О")
со
00
см
см
1—1
со
о
LO
00
со
см
о
со
см
о
00
о
00
о
оо
со
см
^
о
LO
о
о
о
см
со
00
см
LO
см
LO
оо
00
о
со
о
см
о
LO
см
о
о
00
см
о
со
00
00
о
ю
со
^
о
ст>
о
о
со
см
00
см
оо
LO
со
СО
LO
00
со
со
о
^_|
см
со
см
о
со
о
со
о
1—1
LO
со
о
о
со
со
^
о
со
ст>
см
о
о
со
со
см
о
00
^н
со
00
о
о
о
со
см
о
1—1
со
8
LO
о
о
см
LO
00
о
оо
со
о
о
00
со
00
со
см
LO
см
см
о
со
00
о
(—^
о
_|
00
см
о
00
см
со
8
см
о
LO
о
00
о
оо
00
со
о
(—^
со
см
со
со
см
со
!—-Ч
00
00
о
о
оо
CJ)
см
о
_|
1—1
со
8
00
LO
см
о
f О
со
см
00
о
LO
f^
LO
о
о
см
со
LO
см
CJ)
о
см
8
00
00
LO
1—1
LO
о
со
см
со
о
см
LO
со
8
LO
со
со
о
00
о
СО
см
LO
о
о
LO
см
LO
со
со
00
CJ)
00
.	,
LO
LO
LO
о
CM
со
о
со
со
со
8
1—1
LO
о
см
со
00
о
со
СО
о
LO
о
о
со
см
LO
со
со
00
ю
о
о
00
LO
CJ)
LO
о
о
со
со
со
о
см
о
00
со
8
см
00
LO
LO
о
^.о
00
о
ю
со
со
о
о
00
со
см
LO
со
со
CJ)
00
LO
со
со
о
00
со
о
00
см
о
со
LO
со
со
о
оо
о
о
00
о
ю
со
с^-
о
LO
00
со
см
^
со
00
!—-Ч
со
CJ)
00
со
о
о
со
со
о
см
см
см
8
00
00
см
о
о
ю
со
о
о
оо
о
о
о
о
LO
LO
со
см
LO
LO
со
оо
о
со
со
00
о
^J4
1—1
о
о
00
8
см
см
см
о
о^
см
о
о
см
см
00
о
о
(—^
со
,
со
см
со
со
CJ)
со
со
CJ)
со
со
о
о
о
LO
см
о
со
8
со
со
см
о
оо
со
о
о
ю
LO
см
о
о
LO
со

Гл. 3. Теория ударных волн
00
CM
CM
о
CM
со
00
00
00
00
О
c?>
CD
О
CM
CM
CM
LO
CO
00
о
LO
CO
*
^
о
со
О
LO
LO
CM
00
о
CO
о
о
CM
о
LO
CO
о
о
<г>
со
о
LO
LO^
о
о
об
о
LO
со
00
LO
о
LO
о
со
LO
о
см
со
о
со
о
LO
см
о
со
00
о
о
со
о
LO
LO
со
LO
"8"
см
LO
CD
со
LO
со
сг>
1
со^
LO
сг>
8
сг>
о
LO
сг>
сг>
см
LO
00
со
00
о
о
LO
00
о
00~
О5
со
о
00
со
о
i
LO
О5
о
00
1^.
о
со
00
3
о
со
о
00
LO
О5
LO
со
00
00
00
о
00
LO
00
CM
00
см
см
о
t^-
см
о
CD
см
о
00
см
о
00
сг>
°1
со
о
со
00^
со
LO
о
LO
о
об
LO
о
LO
r
со
00
LO
О5
CM

3.1. Связь между параметрами ударной волны
87
Ударная адиабата (ударная адиабата Гюгонио) представляет
собой кривую в плоскости Р2~р2, проходящую через точку на-
начального состояния р\,р\. Эта кривая изображена на рис. 3.3.
Ударная адиабата
(адиабата Гюгонио)
Изоэнтропа
Ударная
адиабата
Изоэнтропа
(адиабата Пуассона)
О Pi
Рис. 3.3
Рис. 3.4
Из уравнения C.12) видно, что при бесконечном увеличении
давления р2 за фронтом ударной волны (случай очень большой
амплитуды УВ) плотность газа не увеличивается беспредельно,
а стремится к определённому предельному значению. Это пре-
предельное значение легко вычислить, если в уравнении адиабаты
Гюгонио C.12) сделать следующие преобразования:
Р2
Р\
C.13)
Р2
Предел, к которому стремится правая часть этого выражения при
Р2 —> ос, равен
Р2
lim ^ =
к+ 1
C.14)
к- Г
Теперь мы можем подсчитать, до какой предельной плотности
можно сжать газ при однократном прохождении У В. Эта пре-
предельная плотность равна
/С ~г 1	/г» 1 г-\
Как видно из C.14) и C.15), предельное сжатие в УВ зависит
только от показателя адиабаты и равно
fc+ I
/91
fc-Г
C.16)

Гл. 3. Теория ударных волн
Для идеального газа с показателем адиабаты к = 1,4 (что
соответствует воздуху) предельное сжатие равно 6, при к = 1,2
оно равно 11 (ионизированный и диссоциированный воздух).
Сравним теперь изоэнтропическое и ударное сжатие. Уравне-
Уравнение изоэнтропы имеет вид
Р2
Pi
C.17)
Как видно из этого уравнения, при изоэнтропическом сжатии
газа его можно сжать во сколько угодно раз, т. е. можно уве-
увеличивать плотность до бесконечности (рис. 3.3 и рис. 3.4) при
беспредельном увеличении давления.
3.1.6. Двойное ударное сжатие. Пусть у нас газ уже сжат
ударной волной до плотности, близкой к предельному сжатию
PnpiJ давление газа при этом будет иметь некоторое значение р2
(рис. 3.5).
Затем по газу пропускается вторая сильная УВ. Ударная адиа-
адиабата Гюгонио для второй УВ записывается следующим образом:
Рз
P3(fc+l)+p2(fc-l)
C.18)
Предельное сжатие во второй
ударной волне (рз —> оо) будет
равно
Рпр2
к+\
—j-
fc+iy
к- 1
C.19)
Если распространить наши рас-
рассуждения на случай п-кратного
ударного сжатия, то мы получим
выражение для предельного сжа-
сжатия в случае прохождения по га-
газу п последовательных У В:
к+ 1
C.20)
Следует отметить, что двойное ударное сжатие всегда осу-
осуществляется при отражении сильной УВ от жёсткой стенки.

3.2. Изменение температуры и энтропии	89
3.2. Изменение температуры и энтропии при ударном
и изоэнтропическом процессах в совершенном газе
3.2.1. Изменение температуры при ударном сжатии.
Для совершенного газа известно уравнение состояния (см.
п. 1.1.5)
р = pRT.	C.21)
Для двух состояний совершенного газа можно записать
— = — трг>	C.22)
Р\ Р\ Т\
где параметры с индексом 1 являются первоначальными парамет-
параметрами газа, а с индексом 2 — после сжатия.
Так как для изоэнтропического сжатия совершенного газа
справедливо соотношение
\/к
= Ш,	C.23)
то, учитывая C.22), отношение давлений равно
?г,	C-24)
Р\ \Р\
или, разрешив это уравнение относительно температуры, полу-
получим	_
C.25)
Итак, при изоэнтропическом сжатии температура вдоль изоэн-
тропы р = р(р) растёт и имеет следующую зависимость от дав-
давления:	(h-\\ih
J-2 ^ Р<2	•	yo.ZO)
Если в случае ударного сжатия совершенного газа отсутству-
отсутствуют процессы ионизации и диссоциации, то показатель изоэн-
тропы к при переходе через фронт волны остается без измене-
изменения. Учитывая это, мы можем, воспользовавшись соотношением
C.22), записать адиабату Гюгонио в виде
Р2 _ P2(fc+ О +Pi(fc~ 1)Г2	( ,
РХ "й(*:-1)+Р1(*:+1)ГГ	[ ' }
Сравнивая выражения C.25) и C.27), можно заключить, что при
ударном сжатии температура растёт значительно быстрее, чем
при изоэнтропическом сжатии (рис. 3.6).

90
Гл. 3. Теория ударных волн
Pi
Изоэнтропическое
сжатие
Ударная
адиабата
2 ?i?2f
0 1
11
0 р\
Рис. 3.6
Р* Pnpl
Рис. 3.7
Более интенсивный рост температуры в частице, сжатой
ударной волной, и объясняет существования предельной плот-
плотности при ударном сжатии: давление ударного сжатия р2 стре-
стремится увеличить плотность р2, но интенсивный нагрев, который
сопровождает ударное сжатие, стремится уменьшить плотность
ударно-сжатой частицы. В результате наступает равновесие меж-
между этими противоположными процессами, которое характеризу-
характеризуется величиной предельной плотности рПр1-
3.2.2. Изменение энтропии при ударном сжатии. Пусть
у нас имеется два одинаковых объёма газа с одинаковыми на-
начальными параметрами р\,р\.
Сожмём оба газа до одинаковой плотности р*, причём первый
объём газа будем сжимать изоэнтропически, а другой — ударной
волной (рис. 3.7).
Для совершенного газа известно выражение для энтропии
единицы массы A.35):
s = Су In —г + const.
C.28)
Тогда в случае изоэнтропического сжатия имеем для точки "а"
(рис. 3.7) значение энтропии
sa = s\ = cv In —^ + const.
pi
C.29)
Для случая ударного сжатия имеем значение энтропии в точке
= Су In—т^- + const.
PI
C.30)

3.2. Изменение температуры и энтропии	91
Разность энтропии в точках "б" и "а"будет равна
As = s6 - sa = cv In (^] .	C.31)
Так как у нас Р2уд > Р2из> очевидно, что As > 0. Принимая во
внимание, что при изоэнтропическом сжатии энтропия газа не
меняется, то есть остается постоянной в течение всего процесса
сжатия газа, то
sa = si= const.	C.32)
Итак, вдоль изоэнтропы энтропия постоянна, а на ударной
адиабате энтропия возрастает и в пределе р2уд —> °° и S2 —>
—> ос, т.е. стремиться к бесконечности. Поскольку энтропия ха-
характеризует меру необратимости термодинамического процесса,
то чем больше амплитуда УВ, тем больше как энтропия, так
и необратимые энергетические потери в ударной волне.
3.2.3. Невозможность существования ударной волны
разрежения в веществе с нормальными свойствами. Если
рассматривать внутреннюю энергию единицы массы как
функцию удельной энтропии и удельного объёма, то можно
записать приращение энергии в ударной волне в виде разложения
по малым приращения независимых переменных около точки
начального состояния:
Согласно термодинамическому тождеству dE = Tds — pdv, мо-
можем записать
Учитывая C.34), запишем разложение C.33) в виде
E2-Ex = Tx{s2 - si) -py{v2 - vx) - - (-?) (v2 -

92
Гл. 3. Теория ударных волн
Подставим выражение C.35) в уравнение адиабаты Гюгонио в ви-
виде	1
h2 — h\ = fz(p2 — P\)(v2 — v\),	C.36)
где h = E + pv (cm. 1.19), и разложим в правой части её объём,
ограничиваясь в разложении давления членами второго порядка
по разности р2—р\\
C.37)
Произведя сокращения в уравнении адиабаты Гюгонио с подстав-
подставленными разложениями, получим связь приращения энтропии
с приращением давления:
C.38)
Теперь посмотрим, в каких случаях в веществе возможно
распространение УВ сжатия и в каких УВ разрежения. Схемати-
Схематические изображения УВ сжатия (а) и разрежения (б) показаны
на рис. 3.8.
Ръ'ь
*Р2
D
D
PhEhshpi
а
Р*
Рг
0
\ d2v
\ ф2
1
vl
>0
V
Рис
б
pt
Р\
0
Я?
\ Ф2
\1
Рис. 3.8
Из уравнения C.38) видно, что знак приращения энтро-
энтропии в УВ определяется знаками вторых производных, которые
рассчитываются вдоль изоэнтроп (адиабат Пуассона). Если ве-
вещество обладает нормальными термодинамическими свойствами
(большинство реальных веществ), то есть его адиабата Пуассона
на плоскости p-v изображена кривой, обращенной выпуклостью
вниз (рис. 3.9а). В этом случае энтропия растёт E2 — s\ > 0)
в ударной волне сжатия, когда Р2 > Р\, d2v/dp2 > 0, и уменьша-
уменьшается в ударной волне разрежения. Но по второму закону термоди-
термодинамики, за счёт одних только внутренних процессов в адиабати-
адиабатических процессах (без отбора тепла наружу), энтропия вещества
не может уменьшаться. Учитывая это, приходим к выводу, что

3.2. Изменение температуры и энтропии	93
в веществе с нормальными термодинамическими свойствами УВ
разрежения невозможна.
Если же вещество обладает термодинамическими свойствами
такими, что его адиабата Пуассона изображается на плоскости
p-v кривой, обращенной выпуклостью вверх (аномальные термо-
термодинамические свойства), для которой (<92г>/<9р2) < 0 (рис. 3.96),
то положение обратное: энтропия растёт в ударной волне разре-
разрежения, когда Р2 <Р\, и уменьшается в ударной волне сжатия.
Для такого вещества согласно второму началу термодинамики
УВ сжатия невозможна, но возможна УВ разрежения.
3.2.4. Толщина фронта ударной волны. Как было вы-
выяснено выше, энтропия газа, испытывающего ударное сжатие,
возрастает, причём тем сильнее, чем больше амплитуда ударной
волны. Возрастание энтропии го- __
ворит о том, что в ударной волне
идут необратимые, диссипатив-
ные процессы, связанные с су- Pi
ществованием вязкости и тепло-
теплопроводности вещества. В теории,
где вязкость и теплопроводность 	'	^—rrtr~
не учитываются, ударный фронт
представляется поверхностью с нулевой толщиной. Однако, де-
детальный анализ с учётом вязкости и теплопроводности показы-
показывает, что фронт УВ имеет некоторую толщину АХ (рис. 3.10),
которая для воздуха обратно пропорциональна давлению:
4•10~5
АХ « —	[см], Ар [атм].
Эта толщина имеет порядок длины свободного пробега молекул,
которая пропорциональна коэффициенту вязкости и теплопро-
теплопроводности.
3.2.5. Слабые и сильные УВ в совершенном газе. Ранее
мы вывели соотношения C.8), C.12), связывающие параметры
на фронте УВ для совершенного идеального газа, которые имеют
следующий вид:
P\D =
Р2-Р\ = P\u2D;
P2=P2(k+l)+Pi(k-l)	[ ' '
Pi P2(k-l)+pi(k+l)'

94	Гл. 3. Теория ударных волн
Удобно выразить основные параметры ударной волны щ, Р2 как
функции скорости звука с\ невозмущенной среды:
с? = ^-.	C.40)
Р\
Опустив все выкладки, запишем эти выражения уже в конечном
виде:
2 „* (. - ^
fc+r1	D2
P2 к + \
Эти уравнения годятся и для сильных УВ, и для слабых УВ.
Для сильных (р2 3>Pi или I 3> c\/D2) УВ (практически силь-
сильными ударными волнами будем называть волны, для которых
Р2/Р1 > 10—20) давлением pi можно пренебречь по сравнению
с Р2- В этом случае уравнения, связывающие параметры на
фронте сильной УВ, принимают особенно простой вид.
Если в третьем уравнении системы C.39), то есть в уравне-
уравнении ударной адиабаты Гюгонио, в правой части разделить числи-
числитель и знаменатель на Р2, то в пределе мы придем к выражению
^ = ?±1,	C.42)
рх к- 1
которое показывает, что плотность газа на фронте УВ действи-
действительно стремится, как мы уже выяснили раньше, к определённо-
определённому пределу, зависящему от значения величины к.
Из первого и второго уравнений системы C.39) следует вы-
выражение
которое в случае сильной УВ (пренебрегаем р\ по сравнением
с р%) будет иметь после дополнительных преобразований следу-
следующий вид:
П2	2Р2 ~Р\	Р2ХУ\	Р2ХЩ	к+ 1
D = W^ = 7Г^ = Г^^т = —
vi	k+

3.2. Изменение температуры и энтропии	95
Из этого выражения получаем, что давление на фронте сильной
УВ равно
C.44)
Из первого уравнения системы C.39), p\D = p2(D — щ) получим
Р2~	D'
Учитывая соотношение C.42), получим выражение для массовой
скорости в сильной ударной волне:
2
fc+1
¦D.	C.45)
Формулы C.42), C.44) и C.45) легко получаются из системы
C.41), если считать с /D2 <С 1.
Посмотрим теперь, что происходит с ударной волной на боль-
большом удалении от места её возникновения.
Так как в ударной волне идут интенсивные необратимые
энергетические потери, а также вследствие дивергенции (рас-
(расхождения) волны, её интенсивность с удалением от места воз-
возникновения уменьшается, то есть при г —> ос, АЕ —> 0, Ар —> О,
Ар^О.
Скорость ударной волны D, которая больше скорости звука
в невозмущенной среде, по которой распространяется УВ, в
своём пределе, когда интенсивность У В сильно падает (р2 ~pi),
становится равной скорости звука в невозмущенной среде. Это
видно из соотношения для D2 C.43), если
dp\ _ fdp\ _ 2
dv ~ (dp)~Cl'9	C.46)
Таким образом, УВ на
большом удалении в пределе D*
превращается в звуковую вол-
волну, то есть скорость УВ стре- D
миться в пределе к скорости
звука (рис. 3.11).	Cl
Уравнение Гюгонио для
УВ, имеющее вид	°
— Е\ =
Рис. 3.11
Р2 + Р\ ,	ч

96	Гл. 3. Теория ударных волн
в пределе при р2 —»р\ принимает вид
АЕ = -p\Av,
или в дифференциальной форме
dE = —p\dv.
Сравним полученное выражение с известным термодинами-
термодинамическим тождеством A-е начало термодинамики)
Tds = dE + pdv.
Очевидно, что полученное нами выражение для УВ в виде
dE + p\dv = 0
как раз и является этим тождеством, в котором ds = 0, или s =
= const. Иными словами, УВ на большом расстоянии от места
своего возникновения в пределе превращается в изоэнтропиче-
скую звуковую волну.
3.3. Диссипация энергии на фронте ударной волны
На фронте УВ наблюдается скачок энтропии, то есть энергия
направленного движения частиц частично переходит в энергию
беспорядочного теплового движения, в результате чего кинети-
кинетическая энергия соответствующего элемента среды уменьшает-
уменьшается, а внутренняя энергия его возрастает. С термодинамической
точки зрения это происходит потому, что скорость нагружения
на фронте УВ значительно превышает скорость установления
равновесного состояния в среде.
Скачок энтропии 52 — 5i яв-
является мерой необратимости по-
потерь энергии (диссипации энер-
J}	гии). Если провести аналогию
с механическими системами, то
необратимые потери энергии при
	> ударном сжатии подобны поте-
рис з 12	Рям энергии на трение при меха-
механическом движении.
Скачок энтропии (рис. 3.12) при ударном сжатии пропорци-
пропорционален третьей степени скачка давления на фронте УВ, то есть
(см. C.38))
— (Р2 — Р\) -	C.47)

3.3. Диссипация энергии на фронте ударной волны
97
Поскольку при взрывах в среде (газе, жидкости, твёрдом
теле) возникают УВ, то по мере удаления от места взрыва
энергетические потери возрастают, при этом УВ перекачивает
энергию взрыва в необратимые потери.
3.3.1. Определение удельных необратимых потерь энер-
энергии на фронте ударной волны. Пусть АЕи есть удельные
необратимые потери энергии (из расчёта на единицу массы дан-
данной среды) для заданной У В. Единица массы среды до ударного
сжатия занимает объём v\ = 1/pi; в результате ударного сжатия
объём единицы массы среды становится равным v2 = 1/р2- После
ударного сжатия эта элементарная масса среды совершает работу
изоэнтропического расширения до объёма vk = 1/рк (рис- 3.13).
D
D
до сжатия
а
процесс сжатия
б
Рис. 3.13
после сжатия
Процесс ударного сжатия и последующего изоэнтропического
расширения единицы массы среды можно представить следую-
следующим образом (рис. 3.14)
При ударном сжатии измене-
изменение внутренней энергии единицы
массы среды равно C.5)	-	||Х Ударная
адиабата
Р t
Pi
Pi
о
Рис. 3.14
C.48)	I Yv \ Изоэнтропа
что соответствует на рис. 3.14
площади 1234.
После ударного сжатия среда
совершает работу изоэнтропиче-
изоэнтропического расширения. Согласно пер-
первому началу термодинамики
Tds = dE + pdv.
Так как расширение у нас изоэнтропическое (s = const), то левая
часть этого уравнения будет равна нулю (ds = 0). Тогда получим,
что
dE = -pdv.	C.49)
4 Л. П. Орленко

Гл. 3. Теория ударных волн
Проинтегрировав это выражение вдоль изоэнтропы, получим
Ек	vK
dE = - I pdv.	C.50)
Ё2	v2
Очевидно, что в левой части интеграл равен разности энергий
единицы массы в точках К и 2, то есть
Г	Г
— Е2 = — pdv, или Е2 — Ек = pdv.	C.51)
Совершенно очевидно, что необратимые потери энергии на
фронте УВ будут равны разности работ при ударном сжатии
и изоэнтропическом расширении, то есть будут равны
VK
Ек-Ех= АЕП = ^у^-(гл - v2) - I pdv.	C.52)
Эта энергия расходуется на остаточный разогрев системы после
её расширения. Она численно равна разности площади трапеции
1234 и площади под изоэнтропой 2К (рис. 3.14).
Можно найти температуру среды после прохождения У В.
Например, для идеального газа, поскольку
C.53)
Рк
интеграл
vk
J
pdv = P^pfK,	C.54)
V2
а при рк = р\ (при этом vk > v\) получим:
длр Р2 + Р\ ( ч Р2^2 ~^1^	,о ггч
п = cvAT = —-—(^1 - v2)	д—j	,	C.55)
где vk может быть определено из соотношения
Р2 = fviA	C щ
Р\ \V2/
Из соотношения C.55) можно определить температуру среды
после прохождения У В.

3.3. Диссипация энергии на фронте ударной волны
99
Удельные необратимые потери могут быть определены, если
известна температура среды в точке К (рис. 3.14) с помощью
формулы A.23)
u = hK-hl =
C.57)
где ср\ — удельная теплоёмкость при постоянном давлении; Кк
и h\ — энтальпии, соответствующие состояниям среды в точках
К и 1 (рис. 3.14).
Поскольку h = Е + pv, то Ahu и АЕи связаны между собой
соотношением
u = AEu+pl(vK-vl).	C.58)
3.3.2. Определение полных необратимых потерь энергии
на фронте ударной волны. Рассмотрим определение полных
необратимых потерь энергии на примере взрыва сферического
заряда взрывчатого вещества радиуса tq в воздухе (совершенном
газе). Очевидно, что необратимые потери есть функция радиуса
Рассмотрим элементарный слой толщиной dr (рис. 3.15).
Тогда элементарные энерге-
энергетические потери при прохожде-
прохождении УВ через элементарный ша-
шаровой слой будут равны
D
АшАЕи =
и = AEfu,
C.59)
D
где
Am — масса данного элемен-
элементарного слоя,
р\ — плотность среды до
ударного сжатия,
Д?"п — энергетические поте-
потери в данном элементарном шаро-
шаровом слое.
Проинтегрировав это выражение по радиусу, получим полные
необратимые потери энергии в сферической ударной волне:
R	R
Рис. 3.15
Н	К /	vK
Г	о	Г / Р\ + Р2	Г
Еи = АЕи4тгг p\dr = —-—(v\ - v2) - \ j
j	j \	j
v2
pdv 4тгг2 p\dr.
C.60)

100
Гл. 3. Теория ударных волн
Для того, чтобы определить полные энергетические потери,
нужно знать:
1)	ударную адиабату данной среды (ударную адиабату Гюго-
нио)
Р2=Р2(>2);	C.61)
2)	изоэнтропы для данной среды, проходящие через разные
точки ударной адиабаты:
C.62)
3) зависимость давления на фронте УВ от радиуса:
-	C.63)
Обычно эта зависимость определяется опытным путём или по-
получается с помощью численного интегрирования уравнений дви-
движения среды.
3.3.3. Приближённый расчёт необратимых потерь энер-
энергии. Приближённый расчёт проводится по формуле
C.64)
г=1
где AEUi — удельные необратимые потери энергии в г-м шаровом
слое среды, Ami — масса i-ro слоя среды.
Расчёт проводится в следующем порядке. Сначала на мил-
миллиметровке вычерчивается ударная адиабата данной среды. На
этой ударной адиабате выбирается достаточное количество точек
и для каждой из этих точек строятся изоэнтропы (рис. 3.16)
„Ударная адиабата
Изоэнтропы
АЕщ
Рис. 3.16
Рц
Рис. 3.17

3.3. Диссипация энергии на фронте ударной волны
101
Затем по этому графику для каждых значений р2г подсчиты-
подсчитывают AEUi\
Р21
Р22
АЕи2,
P2i
АЕт,
Р2т ~
После этого строят график зависимости удельной диссипации
энергии в ударной волне AEUi от р2 (рис. 3.17)
Далее для каждого i-ro слоя подсчитывают его массу Ami
(рис. 3.18), и каждую массу умножаем на AEUi, в соответ-
соответствии с экспериментальным графиком зависимости р2 = р2{г)
(рис. 3.19) и затем по формуле
АЕигАтг = АЕ'иг
вычисляем необратимые потери энергии для каждого шарового
слоя, и, наконец, просуммировав энергетические потери в слоях
по формуле
г=1
получаем приближённое значение необратимых потерь энергии
в объёме от го до R.
Рис. 3.18

102
Гл. 3. Теория ударных волн
В таблице 3.2 приведены значения необратимых потерь энер-
энергии для разных сред. Значения энергетических потерь даны
в относительных величинах т\ = Eu/mQ на относительных рас-
расстояниях R/tq, здесь m — масса ВВ, Q — удельная теплота
плавления.
Таблица 3.2
Среда
Воздух
Вода
Песок (сухой)
RAo= 2
0,012
0,2
0,37
R/ro= 5
-
0,32
0,67
R/ro= Ю
0,23
0,37
-
Для песка учитывался процесс упаковки зёрен при ударном
сжатии
3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел
3.4.1. Определение ударных адиабат. Для совершенно-
совершенного газа ударные адиабаты находятся легко с использовани-
использованием уравнения энергии C.5) и известного уравнения состоя-
состояния A.16):
C.65)
Из этих уравнений определяется ударная адиабата р2 —
= s(p2,pi,pi), см. C.12).
Для жидкостей и твёрдых тел ударные адиабаты находят
опытным путём, поскольку для них не известны уравнения со-
состояния. Для этого используют уравнения сохранения массы
и изменения импульса:
C.66)
p\D = p2(D-
P2~Pi=
В этой системе уравнений мы имеем четыре неизвестных: D, и,
р, р. Если любые две неизвестные из них определяют опытным
путём, например D и и, остальные две неизвестные определяют
расчётом из уравнений C.66).
В результате получаем ударные адиабаты в табличной форме.

3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел
103
Из опыта:
опыт расчёт
1.	D\ ,и\ —> р\, р\\
2.	D2,U2 —v V2i P2\
На рис. 3.20 пред-	Рис. 3.20
ставлена ударная адиабата
в плоскости (D-щ) и ударная адиабата в плоскости {p2~p2)i
полученная на основе D—щ ударной адиабаты.
Рассмотрим способы экспериментального определения удар-
ударных адиабат. Имеется три способа экспериментального опреде-
определения ударных адиабат: 1) осциллографический, 2) оптический,
3) метод мгновенной рентгенографии.
Прежде чем рассматривать способы определения ударных
адиабат рассмотрим сначала способы возбуждения УВ в твёрдом
теле (мишени). Для получения плоской У В используют плоско-
плосковолновой генератор. Схема плосковолнового генератора показана
на рис. 3.21. Плосковолновой генератор состоит из линзы и из
BB-I
вв-п
мишень
Ударник
t
Мишень
Id'
Рис. 3.21
Рис. 3.22
основного ВВ. Линза состоит из двух взрывчатых веществ: BB-I,
имеющего скорость детонации D\ и ВВ-П, со скоростью дето-
детонации D2, причём D2 < D\. Угол при вершине конуса линзы /3
должен удовлетворять уравнению

104
Гл. 3. Теория ударных волн
чтобы детонационная волна одновременно подошла к линии раз-
раздела линза-основной блок ВВ.
Плоская детонационная волна позволяет получить плоскую
ударную волну в мишени, причём, чем больше фронт волны
приближается к плоскому, тем меньше ошибки в определении
скорости D и щ. Другим способом получения У В в исследуе-
исследуемом теле является высокоскоростное метание ударника. Ударник
с большой скоростью ударяется о мишень (исследуемое тело)
и возбуждает в ней ударную волну (рис. 3.22). Существует
несколько способов метания. На рис. 3.23а представлена одна из
возможных схем ускорителя для метания с помощью взрывчатого
вещества в трубе: BB-I сдерживает снаружи стальную трубу,
а ВВ-П метает массу М.
вв-п
Рис. 3.23
На рис. 3.236 показана установка: полусфера из ВВ A)
и стальная полусфера B). ВВ детонируется одновременно по всей
поверхности полусферы и метает стальную полусферу B), кото-
которая сходится к центру, и её скорость может достичь космической
скорости. Она ударяет по металлической полусфере C), из неё
УВ переходит в мишень М.
Рассмотрим разные способы измерения скоростей D и щ.
Принципиальная схема измерения скоростей D и щ методом
осциллографии, которая широко применяется для определения
ударных адиабат твёрдых тел, показана на (рис. 3.24). Для
измерения используются осциллографы, способные записывать
явления, время существования которых составляет доли микро-
микросекунды. В одной серии опытов замеряют скорость D ударной
волны в теле, а в другой — скорость ии свободной поверхности.
Измерение скорости D ударной волны производится на базе h\ =
= 5-8 мм. По осциллограмме определяют время прохождения
волной этого расстояния, а следовательно, и среднюю скорость
УВ на этом участке пути, т.е. по формуле D = h\/t\, где h\ —
база измерения, t\ — время прохождения волной базы h\.

3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел
105
Рис. 3.24
Измерение скорости свободной поверхности производят на
плите, толщина которой уменьшена на величину 0,5h\. Это поз-
позволяет замерить скорость г^п тех частиц, которые расположены
посредине участка измерения h\. Скорость ии, с которой дви-
движется свободная поверхность мишени, определяется по формуле
иц = /12Л2, ГДе ^2 ~~ база измерения, t2 — время прохождения
свободной поверхностью базы h2. Скорость свободной поверхно-
поверхности мишени складывается из двух составляющих
^п = ^р + Щ,
где г^р — скорость частиц в волне разрежения, которая движется
внутрь мишени от свободной тыльной поверхности мишени, щ —
скорость частиц в ударной волне.
Скорость щ в волне разрежения определяется уравнени-
уравнением B.12):
C.67)
Вычисления величины и?/и2 показывают, что это отношение
мало отличается от единицы (в пределах 1%). Поэтому для
большинства металлов принимают
и?жи2 = —,
что справедливо, если р/р0 < 1,4.
Кроме описанного выше способа осциллографирования, ши-
широко применяется также метод скоростного фотографирования.
В методе скоростного фотографирования применяются зер-
зеркальные фоторазвёртки, способные дать запись нескольких мил-
миллиметров фильма за 10~6с.

106
Гл. 3. Теория ударных волн
В металле фрезеруется паз под небольшим углом к поверхно-
поверхности а « 10°, в который вставляется блок из люцита (рис. C.25)).
При действии УВ люцит из прозрачного делается непрозрачным
и становится ширмой для света. Между металлом и люцитом
оставляют зазор порядка 0,1 мм, заполненный аргоном. Та часть
люцита, которая выступает из металла, покрыта тонкой полоской
@,5 мм) какого-либо металла, между этой полоской и люцитом
также сохраняется зазор, заполненный аргоном. Когда УВ дохо-
доходит до зазора, происходит многократное отражение волны в за-
зазоре, вызывающее явление люминесценции, причём аргон уве-
увеличивает свечение в зазоре. Свечение аргона перемещается по
зазору и записывается кинокамерой через щели в экране. Каме-
Камера развёртывает изображения в направлении, перпендикулярном
к цели в экране. Зная скорость развёртки и угол следа свечения
S, определяют скорость D, по которой находят среднюю скорость
УВ на участке h\ = 10 мм. Как только волна доходит до тыльной
поверхности образца, начинается движение этой поверхности со
скоростью ии = и? + щ, которая определяется с помощью угла
Р (рис. 3.25) в одном опыте совместно с определением скорости
УВ.
?
^ ?
?
?
?
?
?
?
?
и
и
и
—	—
?
?
—	—
?
?
—	—
?
?
i
а
П
/
п
п
<>
п
п
f
6
D
п
п
п
п
П D (
п
Рис. 3.25
Кроме двух выше рассмотренных методов определения пара-
параметров УВ используется, но относительно редко, метод мгновен-
мгновенной рентгенографии.
Рентгеноимпульсная техника нашла применение при реги-
регистрации увеличения плотности, вызываемой ударными волнами,
в различных материалах; она с успехом может применяться и при
исследовании оптически прозрачных веществ, в которых УВ хо-
хорошо фиксируются с помощью скоростной фоторегистрации.

3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел
107
R
ВВ
УВ
D
Рентгеновский
снимок
Мишень
i
Рис. 3.26
На рис. 3.26 приведена схема эксперимента. Делается
несколько снимков, и определяется D как средняя скорость УВ
на базе h. По интенсивности затемнения, путём сравнения её
с эталонными снимками, определяется плотность за фронтом
У В. Точность этого метода невысока (около 20%).
3.4.2. Определение ударных адиабат методом торможе-
торможения.
Мишень и ударник из одного материала. Максимальное
давление, полученное в экспериментах с применением блоков
ВВ, не превышает 50ГПа. Для получения УВ большой интенсив-
интенсивности используется соударение двух тел с большой скоростью.
Этот метод получения динамической сжимаемости называется
методом "торможения", при котором одно тело — "ударник",
с большой скоростью Uq ударяет второе тело — "мишень". От
границы раздела распространяются две УВ, скорость щ границы
раздела равна массовой скорости частиц на фронте УВ в "мише-
"мишени". Так как "мишень" тонкая A0мм), то волна считается ста-
стационарной. Скачок скорости на фронте УВ, распространяющейся
по "ударнику" равен (С/о — щ)- Из закона сохранения массы
следует, что щ = (С/о — и^) и, следовательно, щ = С/о/2, причём
это выражение точное и пригодно для волн любой интенсивности
для ударника и мишени из одинакового материала.
Измерение скорости С/о "ударника" и скорости D ударной вол-
волны в "мишени" осуществляется в самостоятельной серии опытов
(рис. 3.27).
Середины баз измерений h\ и h<i, совпадают с тем, чтобы
измерение щ и D производилось на одной и той же точке
траектории. С помощью двух уравнений,
Р2 ~Р\ =

108
Гл. 3. Теория ударных волн
Ударник
Ударник
'С/о
Мишень
t т
б
Рис. 3.27
гт
по известным значениям и2 и D определяются давление р2
и плотность р2. Меняя скорость C/q "ударника", получают дина-
динамическую кривую сжимаемости (ударную адиабату) р2 = p2(v2).
Из приведённой выше
системы уравнений C.68)
применительно к "ударнику"
можно получить
V2 =
Р\Р2
и для "мишени"
О
'Л2	Щ
Рис. 3.28
C.70)
Поскольку ударная сжимае-
сжимаемость "ударника" считается известной, т. е. Р2 — р{Р2) ~ есть
известная функция р2, то можно исключить из уравнения C.69)
Р2, в результате получим динамическую адиабату торможения
АВ "ударника" для каждой скорости удара С/о (рис. 3.28).
В этом случае необходимо экспериментально замерить только
скорость УВ D в "мишени" и скорость С/о "ударника". Для "мише-
"мишени" скорость D фиксирует положение прямой ОМ возможных со-
состояний ударного сжатия материала "мишени". Прямая ОМ имеет
уравнение р2 — P\Du2, скорость щ определяется пересечением
прямой ОМ с кривой АВ.
Координата пересечения определяет давление р2 и скорость
частиц щ в ударной волне "мишени", так как, в силу условия
неразрывности и закона Ньютона о действии и противодействии,
скорости и давления в "ударнике" и "мишени" по обе стороны
границы раздела должны быть равны; затем с помощью уравне-
уравнений
Р2 ~Р\ = P\u2D,

3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел
109
Dy
-«it-
Ударник
Мишень
P\D = P2(D-u2),
определяется плотность р2.
На рис. 3.29 показано рас-
распределение давления и массовой
скорости в "ударнике" и "мише-
"мишени" через некоторое время после
соударения.
Методом торможения полу-
получено давление ударного сжатия
около 900 ГПа в железе, для
этого железный "ударник" плав-
плавно разгонялся продуктами взры-
взрыва до 14,68 км/с (см. рис. 3.236).
"Ударник" и "мишень" из
разных материалов. Метод,
аналогичный рассмотренному
выше, может быть использован
для определения ударных адиа-
адиабат твёрдых тел (рис. 3.30) при
переходе У В из среды 1, для
которой ударная адиабата уже
известна, в среду 2, ударную
адиабату которой необходимо
определить. На рис. 3.30 изобра-
изображена схема измерения скорости
D ударной волны в исследуемой
среде 2 при детонации или ударе. Плоская детонационная
волна или ударник возбуждает У В в среде 1, ударная адиабата
которой известна. Ударная волна падает на границу раздела
обеих сред, при этом от границы раздела в среду 1 отражается
УВ, если динамическая жёсткость исследуемой среды 2 больше
динамической жёсткости среды 1. В противном случае от
границы раздела в среду 1 отразится волна разрежения.
В среде 2 всегда будет распространяться У В.
Схемы измерения D и и2: а, г — измерение D во второй
среде; б, д — измерение ии в первой среде; в, е — измерение D
в первой среде.
Согласно уравнениям C.66) на фронте УВ в среде 1 давление
равно
Роу
*
t
Рх
t
X
Рис. 3.29
V2 =
Р\Р2
-Uo>
или
Р2 ~ Р\
р2 = Plu2D.
C.71)
C.72)

по
Гл. 3. Теория ударных волн
Ударник
Ударник
t Щ
Ударник
t Щ
Рис. 3.30
Так как ударная адиабата среды 1 известна, в виде Р2 = Р2(
или D = D(u2), то уравнение C.71) позволяет построить график
ударной адиабаты в координатах Р2~Щ (кривая ОС, рис. 3.31).
Зависимость между D
и щ согласно эксперимен-
экспериментальным данным можно
представить в виде
D = с0 + \щ,
где cq и Л — постоянные.
В этом случае уравнение р2 —
= р\щО является кривой па-
параболического типа,
- Аг^)^'	C.73)
17о4 С/оз
Рис. 3.31
Uoi 
Р2 =
которая представляет собой геометрическое место точек возмож-
возможных состояний в ударной волне, распространяющейся по невоз-
невозмущенной среде 1. Скорость звука в ударно сжатом материале

3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел	111
определяется формулой
С2	^	C74)
Пусть в момент отражения от границы раздела параметры
падающей волны в среде 1 соответствуют точке а (рис. 3.31), т. е.
р2 = ра и щ = иа. Если динамическая жёсткость среды 2 больше
жёсткости среды 1, то состояние в среде 1, характеризуемое ра
и иа, перейдёт при отражении в другое состояние с большим
давлением и меньшей скоростью (точка d). По среде 2 при
этом будет распространяться УВ со скоростью D. Этой скорости
соответствует волновая прямая р2 = р\щВ в координатах р2-щ
(прямая Od).
Кривая АВ, проходящая через точку "а", представляет собой
геометрическое место точек возможных состояний в среде 1
после отражения падающей УВ от границы двух сред. Ветвь
этой кривой ad отвечает тем состояниям в среде 1, которые
возникают, если динамическая жёсткость этой среды меньше,
чем динамическая жёсткость среды 2.
Точки кривой ad соответствуют большим давлениям и мень-
меньшим скоростям частиц по сравнению с параметрами падающей
волны ра и иа. Ветвь кривой а А (изоэнтропы расширения) от-
отвечает тем состояниям в среде 1, которые возникают при рас-
распространении волны разрежения по этой среде после отражения
падающей волны от границы раздела. Уравнение кривой АВ
может быть выражено в виде
р = р\со(ии - щ) + р\Х(ии - и2J,
где ии — скорость свободной поверхности среды 1 (при отсут-
отсутствии среды 2).
Каждой падающей на границу двух сред ударной волне (с
разными амплитудами) соответствует своя кривая расширения
(торможения). На рис. 3.31 эти кривые изображены штриховы-
штриховыми линиями. Пересечение волновой прямой Od с кривой АВ
(точка d) определяет давление pd и скорость частиц щ, соот-
соответствующие одной точке ударной адиабаты среды 2, потому
что линии Od и АВ представляют собой геометрическое место
точек возможных состояний соответственно в средах 2 и 1 после
отражения падающей УВ от границы раздела.
Давление и скорости частиц по обеим сторонам границы
раздела должны быть равны согласно закону Ньютона о действии
и противодействии и закону сохранения массы.

112
Гл. 3. Теория ударных волн
Если динамическая жёсткость среды 1 больше, чем динами-
динамическая жёсткость среды 2, то на границе раздела сред реали-
реализуется состояние, соответствующее точке Ъ. Этот метод опреде-
определения динамической сжимаемости может быть использован как
при применении ВВ, так и при ударе по среде 1 ударником со
скоростью Щ (см. рис. 3.31). Для этого необходимо замерить
скорость ударной волны D в среде 2 (см. рис. 3.30, а и г),
что определяет волновую прямую 0d или 0Ь (см. рис. 3.31).
Для определения нужной кривой АВ, соответствующей данной
амплитуде падающей УВ, необходимо определить или скорость
свободной поверхности среды 1, ии = 2иа (см. рис. 3.30, б и д),
или скорость УВ в среде 1 (см. рис. 3.30, в и е), с помощью
которой можно построить волновую прямую Р2 = P\DaU2 для
среды 1 (прямая 0а, см. рис. 3.31). По величине иа = ии/2 или
Da определяется точка "а" на ударной адиабате среды 1, через
которую и проводится искомая кривая АВ. Пересечение кривой
АВ с волновой прямой среды 2 определяет точку d (или точку
Ь), которая является точкой ударной адиабаты среды 2.
Для определения других точек ударной адиабаты среды 2
необходимо менять амплитуду падающей УВ. При этом весь
процесс определения точки d (или точки Ь) повторяется для
новых значений иа (или Da) и новой волновой прямой 0d (или
0Ь).
3.4.3. Уравнения состояния жидкостей и твёрдых тел.
В п. 1.1.5 рассмотрены некоторые общие вопросы, касающиеся
уравнений состояния вещества. В этом случае полное давление
равно A.49): р = рх + рт,
а внутренняя энергия A.50):
Е = Ех + Ет, если прене-
пренебречь ре И Ее.
На рис. 3.32 представле-
представлена ударная адиабата вещества
(кривая оа), а также кривая
"холодной" сжимаемости ве-
вещества (изотерма ed при Г =
= 0К). Начальное состояние
вещества при ударном сжа-
v тии соответствует v = v\, при
"холодном" сжатии v = v\k,
где v\k соответствует Г = OK
и р = 0.
Рх
v\k vi
Рис. 3.32

3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел	113
Изменение внутренней энергии вещества на фронте УВ будет
равно
E-Ex=^^-{vx-v),	C.75)
где Е\ — начальная удельная внутренняя энергия вещества; Е —
удельная внутренняя энергия на фронте УВ.
Уравнения
P,D = p(D-u).
р-р\ = p\uD,
и C.75) определяют связь между параметрами на фронте УВ.
Общая работа, сообщаемая единице массы вещества при
ударном переходе, равна p(v\ — v); половина этой работы пре-
превращается в кинетическую энергию, согласно уравнениям C.76),
при pi = 0:
V\ — V U
Вторая половина работы затрачивается на повышение удельной
внутренней энергии. Если пренебречь значением р\ по сравне-
сравнению с р, то, используя уравнения C.75), получим
Я-Е1=Ар = ?	C.77)
На рис. 3.32 приращение удельной внутренней энергии
Е — Е\ соответствует площади треугольника abo, равной
р(у\ — v)/2. Приращение Е — Е\ можно разделить на две
составляющие: тепловую часть внутренней энергии, которая
представляет собой энергию колебания частиц (атомов, молекул)
около их положения равновесия, и упругую часть энергии Ех,
которая имеет место вследствие упругого взаимодействия между
частицами (при Г = 0К), что приводит к изменению расстояния
между ними. При Г = 0К тепловая часть энергии равна
нулю и вся внутренняя энергия имеет упругое происхождение.
Упругая часть внутренней энергии Ех, на рис. 3.32 соответствует
площади между кривой "холодной" сжимаемости ed и осью
удельных объёмов 0v (см. 1.52):
Ех = [ p*{v)dv,	C.78)
где px(v) — упругая часть полного давления р, которое воз-
возникает вследствие упругого взаимодействия между частицами
и определяет силы отталкивания, действующие между ними.

114	Гл. 3. Теория ударных волн
При Г = О К всё давление имеет упругое происхождение, то
есть р = рх. Тепловая часть внутренней энергии на рис. 3.32
соответствует заштрихованной площади. Удельная теплоёмкость
при постоянном объёме
- (<№\ _ (дЕт\
(см. уравнения C.80) и A.50)). Величину cv в некотором диапа-
диапазоне изменения температуры можно приближённо считать посто-
постоянной; тогда тепловая часть внутренней энергии, соответству-
соответствующая заштрихованной площади на рис 3.32, будет Ет — Е\ =
= cv(T — T\). Следовательно, приращение удельной внутренней
энергии Е — Е\ можно записать в виде
Е-Ех= cv(T -T{)+ I px(v)dv,
C.79)
или
E = ET + EX,	C.80)
где Ет = Е\ + cv(T — Т\) — тепловая энергия.
Давление р можно также представить в виде двух частей:
упругого давления рх и теплового давления рт (см. рис. 3.32):
p = px(v)+pT(v,T).	C.81)
Из термодинамического равенства Tds = dE + pdv, при Г =
= OK, получим
дЕх dEx
Рх = —тг- = —-г-,	C.82)
OV	CIV
так как
Ех = Ex(v).	C.83)
Тепловая часть давления рт может быть представлена выра-
выражением (на основе теории твёрдого тела)
рт = 7—.	C-84)
V
где 7 = i(y) — есть коэффициент Грюнайзена, равный отноше-
отношению теплового давления рт к плотности тепловой энергии Et/v.
Приближённое уравнение состояния вещества запишем в виде
дЕх Ет
р= —— + 7—•	C.85)
OV	V

ЗА. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел	115
На основании уравнений C.80), C.81) и C.84) получим
			 / / тр	тр \ 	 ' Тр	/О О/^* \
Дифференцируя это соотношение, найдём
' др\	(' др^
При нормальных условиях
3aKv\ f3Kv\
7 = 7W) =	=	,	C.88)
где
Р = За = — —- , К = -vi —
vx \дТ)	\8vJ
Pi	\UUJTX
а и f3 — соответственно линейный и объёмный коэффициенты
теплового расширения, К — модуль объёмного сжатия.
При нормальных условиях коэффициент 7(^1) Для металлов
имеет значение от 1 до 3.
В теории твёрдого тела устанавливается связь между коэф-
коэффициентом 7 и упругим давлением px(v) при Г = 0К:
dv
На основании уравнений C.75), C.79) и C.86), с учётом элек-
электронных составляющих давления и энергии (см. 1.60), можно
получить следующие выражения:
— +Т-Т\\+ —Tz,
cv	J \^fvv\
У	of \l/2	С3'90)
f («i - г;) = cv(T - Ti) + j ft(t;)di; + f ^J Г2.

116	Гл. 3. Теория ударных волн
Начальная внутренняя энергия Е\ может быть подсчитана
путём интегрирования кривой удельных теплоёмкостей Дебая:
= \cvdT.	C.91)
По известной ударной адиабате р = р(у) из уравнений C.89)
и C.90) можно определить значения рх, 7 и Г. Такой расчёт про-
проводится на ЭВМ. Входными данными для машинной программы
являются точки ударной адиабаты vi и pi, в результате расчёта
получаем значения 7ь Pxi, Ti, которые являются табличной фор-
формой уравнения состояния вещества.
Полученные таким образом зависимости рх = рх(р) и 7 = 7(р)
могут быть с любой точностью аппроксимированы уравнениями:
) ^E'f1^) <392)
G)
г=0 V	Г J	j=0
На основании этих функций уравнения состояния жидких
и твёрдых тел можно записать в форме C.86):
^Е-Ех),	C.93)
где (см. 3.78)
Уравнения, аппроксимирующие экспериментальные
ударные адиабаты. Полученные экспериментальным путём
ударные адиабаты в табличном виде аппроксимируются
уравнениями, которые подбираются таким образом, чтобы
кривая, соответствующая выбранному уравнению, описывала
полученные точки наилучшим образом.
Для решения некоторых технических задач эксперименталь-
экспериментальную кривую сжимаемости удобно представить в следующем виде:
+В,	C.94)
где А,п, В — постоянные, которые для ряда веществ приведены
в таблице 3.3.

3.4. Ударные адиабаты твёрдых и жидких тел
117
Таблица 3.3
Значения постоянных коэффициентов А, В и п для некоторых
твёрдых и жидких тел
Материал
Сталь
Сталь
Сталь
Алюминий,
дюралюминий
Алюминий,
дюралюминий
Медь
Медь
Свинец
Свинец
Баллистиный
порох
Вода
Вода
А*,
тыс. атм.
553,00
142,50
231,00
235,00
224,00
315,00
368,00
103,00
294,00
5,42
4,30
140,00
в,
тыс. атм.
-543,00
-67,10
-310,00
-240,00
-298,00
-315,00
-580,00
-103,00
-515,00
-5,42
-4,30
-284,00
п
3,00
6,00
5,60
3,80
4,10
4,65
4,75
4,80
3,50
7,70
6,40
2,00
тыс. атм.
70-130
165-500
500-5000
40-700
700-2000
190-1000
1000-4300
200-500
1000-4250
36-130
30-115
115-450
*) 1 атм =0,98- 105Па;
**) р — диапазон давлений, в пределах которого справедливы
коэффициенты А, В, п.
Для аппроксимации кривых сжимаемости твёрдых и жидких
сред часто используется уравнение вида
P2-Pi =
А
^1 -1
C.95)
где А и п — постоянные коэффициенты, подбираемые по экспе-
экспериментальным данным; с& = л/К/'р\ — скорость звука в среде,
К = —v\ (dp/dv)T — модуль объёмного сжатия.
Для алюминия, меди, свинца в области высоких давлений —
до нескольких миллионов атмосфер, можно принять аппрокси-
аппроксимирующее уравнение для ударной адиабаты в виде
Р2
Р\
C.96)
где ctk — постоянные коэффициенты, приведённые в таблице 3.4.

118
Гл. 3. Теория ударных волн
Между скоростью частиц за фронтом УВ и скоростью фронта
в твёрдых телах существует зависимость, близкая к линейной:
C.98а)
Численные значения cq и Л для некоторых твёрдых тел представ-
представлены в таблице 3.5.
Значения коэффициента а&, ГПа
Таблица 3.4
к
1
2
3
4
5
6
7
А1
73,1
152,7
143,5
-887,0
2 862,0
-3 192,0
1 183,0
Си
137,0
271,7
224,0
1 078,0
-2 967,0
3 674,0
-1 346,0
РЬ
41,4
101,7
120,0
-43,0
547,0
-801,0
312,0
Fe
30,3
724,5
-271,2
-14,0
852,0
-
-
Таблица 3.5
Материал
Сталь
Сталь
Дюралюминий,
алюминий
Медь
Медь
Свинец
Свинец
Магний
Цинк
Серебро
Кадмий
Золото
Висмут
Берилий
Кобальт
Хром
Ртуть
Молибден
рь г/см3
7,85
7,85
2,78
8,90
8,93
11,34
11,34
1,72
7,14
10,49
8,64
19,30
9,80
1,85
8,82
7,10
13,55
10,20
с0, м/с
3800
4000
5250
3958
4000
2028
2580
4780
3 200
3 300
2 650
3 150
2 000
7 975
4 748
5 817
1 450
5 157
Л
1,580
1,580
1,390
1,497
1,480
1,517
1,260
1,160
1,450
1,540
1,480
1,470
1,340
1,091
1,330
1,465
2,200
1,238
р*, тыс.атм.
400-5000
1000-4100
40-2000
220-1470
1000-4300
200-1410
1000-4250
60-400
350-3300
460-4100
360-3500
590-5200
350-3500
144-290
246-1460
238-1400
230-473
260-1670

3.5.
Косые ударные волны
119
Никель
Олово
Титан
Талий
Ванадий
Вольфрам
Бронза
Баллиститный
порох
Кристаллический
гексоген
Литой тротил
Нитрометан
Парафин (до фазового
превращения)
Парафин (после фазо-
фазового превращения)
Кварц (до фазового
превращения)
Мрамор (до фазового
превращения)
Мрамор (после фазо-
фазового превращения)
Сплав Вуда
Люцит
Песок
Песок
8,86
7,28
4,51
11,84
6,10
19,17
-
1,58
1,80
1,62
1,14
0,91
0,91
2,65
2,70
2,70
9,70
1,18
1,66
1,65
4 646
2 640
4 749
1 859
5 108
4 005
3 760
1 760
2 870
2 980
2 000
1 810
3 320
3 710
3 390
4 010
2 310
2 590
500
1 280
1,445
1,476
1,088
1,515
1,210
1,268
1,423
1,860
1,610
1,410
1,380
2,310
1,240
1,240
2,000
1,300
1,030
1,510
2,410
1,420
240-1520
175-1400
172-1080
218-1550
207-1270
400-2110
170-1800
36-130
68-158
61-142
20-88
23-66
66-260
39-190
51-149
159-518
150-400
3-76
1-50
45-470
*) 1 атм = 0,98- 105Па
3.5. Косые ударные волны
3.5.1. Связи между параметрами на фронте косой удар-
ударной волны. Раньше мы уже рассмотрели прямые УВ, харак-
характерной особенностью которых является то, что, пересекая фронт
такой волны, газовый поток не меняет своего направления, при-
причём фронт прямой УВ располагается нормально к направлению
потока. Кроме прямых УВ, существуют и так называемые косые
УВ. Фронт косой УВ располагается наклонно к направлению
потока (рис. 3.33). Косая плоская У В получается в том случае,
когда, пересекая фронт волны, газовый поток должен изменить

120
Гл. 3. Теория ударных волн
свое направление. Такая косая волна может возникнуть при
обтекании потоком со скоростью щ > с\ тупого угла (рис. 3.34).
При движении такого потока параллельно одной стороне угла,
в точке поворота (у вершины угла 0) возникает косой фронт
УВ, и поток скачкообразно поворачивает в направлении другой
стороны этого угла и движется уже со скоростью щ < щ. При
этом угол $, на который поворачивается стенка, должен быть
меньше некоторого предельного значения.
Прямая УВ
.90'
Фронт
ударной
. волны
Косая УВ
Фронт
ударной
волны
Рис. 3.33
Фронт
ударной волны
Первоначальное
направление потока
Рис. 3.34
Если газовый поток обтекает клин, то у вершины образуются
две косые У В. Такое течение образуется как бы соединением
двух течений, рассмотренных нами выше, каждое из которых от-
отвечает углу, образованному линией тока, приходящей в вершину
клина с одной из его сторон (рис. 3.35).
Рассмотрим плоскую косую ударную волну. На рис. 3.34
изображена плоская косая УВ, у которой приходящий поток сре-
среды направлен под некоторым углом (р к поверхности фронта У В.
В дальнейшем будем обозначать индексом 1 параметры среды

3.5. Косые ударные волны
121
перед фронтом волны, индексом 2 — за фронтом, кроме того,
индексом т будем обозначать соответствующую составляющую
скорости потока в плоскости фронта УВ и индексом п — состав-
составляющую скорости потока, нормальную фронту УВ.
Основные уравнения, описы-
описывающие косую УВ, применим к
произвольной трубке тока, пере-
пересекающей фронт косой ударной
волны.
1. Закон сохранения массы
un\Sp\t = un2Sp2t, C.97)
где S — площадь поперечного се-
сечения трубки тока, t — время.
Сократив в левой и правой
части S и ?, мы получаем выра-
выражение
ип\Р\ = ип2р2.	C.98)
Рис. 3.35
2. Согласно закону об изменении импульса в проекции на
нормаль к фронту УВ
un\p\St{un\ -un2) = (р2 ~P\)St.
C.99)
Сократив S и t и перегруппировав члены, мы получим выраже-
выражение
Р2 — Р\ = ип\р\(ип\ — ип2).	C.100)
И далее, из уравнений C.98) и C.100) получим уравнение
I 2	i2	/о inn
Р\ + ип\Р\ ~ Р2 + ип2Р2-	(о.Ш1)
3.	Вдоль линии фронта ударной волны изменение проекции
импульса равно нулю,
un\p\St{uT\ - ит2) = 0,	C.102)
так как давление вдоль фронта УВ не меняется. Отсюда сразу
вытекает основное для теории косой УВ равенство
итХ =ит2.	C.103)
4.	Поскольку рассматриваемый процесс носит стационарный
характер, то вдоль линии тока должно выполняться уравнение
Бернулли A.141):
C.104)

122
Гл. 3. Теория ударных волн
Учитывая, что при прохождении потока среды сквозь фронт
УВ касательная составляющая скорости сохраняется, скачкооб-
скачкообразно изменяется лишь нормальная составляющая, мы можем
переписать уравнение Бернулли в виде
+
uz
C.105)
Частным случаем косой УВ является прямая УВ. Чтобы из
уравнений, справедливых для косой УВ, получить уравнения для
прямой УВ, необходимо положить
ит = 0, и\=ип\, Щ
В результате получим
= ЩрЪ
Pi
hi
C.106)
-j- = h2 + -j-.
To есть эти уравнения полностью совпадают с соответствующи-
соответствующими уравнениями теории косой УВ, если только под скоростью до
и после фронта подразумевать нормальную её составляющую.
В теории косых УВ рассматривается связь между скоростями
потока до и после ударного сжатия щ и щ, а также углами #
и (р. Эти вопросы рассматриваются в курсе аэродинамики.
3.5.2. Отражение прямых и косых УВ от жёсткой стенки.
При подходе УВ к преграде давление, оказываемое волной на
преграду, в ряде случаев значительно превосходит давление на
фронте УВ. Это объясняется тем,
что в этих случаях происходит
отражение У В от преграды.
Отражение прямой ударной
волны с плоским фронтом от
жёсткой стенки. Пусть фронт
волны подходит к стенке под уг-
углом а = 0 (рис. 3.36а).
Состояние газа у стенки перед фронтом характеризуется па-
параметрами: р\, р\, щ = 0. Состояние газа за фронтом УВ харак-
характеризуется параметрами р2, р2, Щ- После отражения состояние
газа за фронтом У В характеризуется значениями р$, р%, щ = 0
(так как стенка неподвижна).
Pi
D
щ=0
Pi
2 //
U2 //
//
Рис. 3.36
u3=Q
Ръ
Pi
D
Pi

3.5. Косые ударные волны	123
Используя основные соотношения для УВ, запишем уравне-
уравнение для случая подхода УВ к стенке C.4),
\	Oi -v2),	C.107)
и адиабату Гюгонио для этого случая C.12):
^1 = Р2 = p2(fc+ 1)+Pi(fc- 1)
v2 px p2(k- l)+pi(fc+l)*
Аналогично, для отражённой волны можно записать
V2 = Рз = P3(fc+1)+P2(fc-1)	C-109)
1)'
где г^з = 0 на стенке.
Если из уравнений C.107)—C.109) исключить скорость щ
и плотности р\, р2, рз, то легко получить формулу, известную
как формула Измайлова:
Рз P2Cfc- l)-pi(fc- 1)	mim
Р2 P2(fc-1)+Pi(fc+1)'	l f
Здесь параметры р\, р2 я к считаются известными.
В случае сильной падающей волны р2 3>рь после преобра-
преобразования формулы C.110),
получим
что при к =
Рз
Р2
1,4 даёт
{Зк-
(к-
Ръ
Р2
1)
1)
C
0
-(^-1)-
Р2
i /7 i 1 \Г 1
+ {к+ 1) —
Р2
fc- 1)
, то есть ц
отражённой УВ в 8 раз больше, чем на фронте падающей УВ.
На основании формул C.107)—C.109) можно прийти к урав-
уравнению для избыточного давления в отражённой ударной волне
в следующем виде:
P3-Pi= 2(P2 -Pi) + Ц^-Р24.	C.112)
Первый член в правой части определяет статическую состав-
составляющую давления, а второй член — динамическую составляю-
составляющую давления, создаваемую скоростным напором потока среды.

124	Гл. 3. Теория ударных волн
При отражении слабой волны щ —> О будем иметь
Рз ~Р\ ~ 2(р2 -Pi),
то есть приходим к результату, известному в акустике.
Выше мы определили давление на жёсткой стенке при отра-
отражении прямой УВ. Теперь рассмотрим вопрос об импульсе дав-
давления отражённой волны на стенке, если импульс в падающей
волне равен	т
i = J(p(*)-Pi)<fc.	C.113)
о
Импульс го, который УВ сообщает жёсткой стенке, больше
импульса падающей УВ.
Рассмотрим приближенное определение импульса при отра-
отражении воздушной УВ от жесткой стенки при угле падения а = 0.
Импульс на жесткой стенке го равен
го = 2(г + Д	C.114)
где г — удельный импульс давления в падающей волне, он опре-
т
деляется с помощью формулы C.113) или (9.29), a j « Jpu2dt
о
есть удельный импульс скоростного потока в падающей волне,
который аппроксимируется с помощью зависимости
^	(З.П5)
Коэффициент /3 определяется из уравнения, аппроксимиру-
аппроксимирующего импульс скоростного потока от времени для крупных
зарядов и на относительно больших расстояниях:
(З.П6)
где q2 = l
Для сферического заряда ТГ50/50 удельный импульс ско-
скоростного напора может быть рассчитан по аппроксимационной
зависимости, полученной с помощью численного решения задачи
о взрыве сферического заряда в воздухе (по расчётам В. Н.
Охитина):	2,5
^M Па-с.	C.117)
Зависимость C.117) справедлива в диапазоне 1 < г/ у/т < 10,
где г в м, т в кг.

3.5. Косые ударные волны
125
Для определения коэффициента /3 в уравнении C.116) необ-
необходимо для заданного г определить j по C.117). Затем опреде-
определяется ф(C) из C.115) по известным р2, щ и т. (см. п. 9.3).
По значению ф(C) из таблицы 3.6 определяется значение /3,
входящее в уравнение C.116).
Таблица 3.6
фф)
1
0,528
1,5
0,476
2
0,432
2,5
0,395
3
0,363
4
0,311
5
0,272
6
0,241
8
0,195
10
0,164
Отражение косых У В от жёсткой стенки. Отражение сфе-
сферической УВ от жёсткой стенки показано на рис. 3.37. В точке 0
(эпицентр) У В падает на стенку под углом падения, равным 0°,
то есть в точке 0 реализуется отражение плоской УВ от жёсткой
стенки (скорость потока перпендикулярна стенке).
Рис. 3.37
Схема отражения УВ: а — падающая волна, б — отражённая,
в — головная, г — тангенциальный разрыв.
Фронт падающей УВ образует некоторый угол а с поверхно-
поверхностью стенки, а фронт отражённой УВ образует с поверхностью
стенки угол /3. Такое отражение называется регулярным (или
линейным), причём в общем случае а ф C. Только в предельном
случае бесконечно слабых волн имеет место равенство углов
падения и отражения. Если а ^ акр, то при отражении УВ
возникает тройная ударная кофигурация, состоящая из трёх УВ:
подающей (а), отражённой (б) и головной (в), а также танген-
тангенциального разрыва (г) (рис. 3.37 и рис. 3.39), по обе стороны
которого скорости газа различны, а давления одинаковы.
На рисунке 3.38 графически представлены расчётные зна-
значения углов отражения для совершенного газа, где в качестве

126
Гл. 3. Теория ударных волн
0, град.
90
80-
70-
60-
50-
40
30
20-
10
о
л.
----4=0,98
ео8 -
:=1,0
Отраженная УВ Падающая УВ
Тангенциальный \/м
разрыв ^^,^"\
""" Головная УВ
10 20 30 НО 50 60 70 80 90
а, град.
Рис. 3.38
Рис. 3.39
параметра принято отношение ? = р\/р2, где р\ — начальное
давление в газе, р2 ~~ давление в падающей ударной волне.
Из рис. 3.38 видно, что при увеличении угла падения (для
разных давлений) кривые f3 = /(а) сближаются.
При некотором угле а = акр эти кривые пересекаются. При
а > аКр регулярное (линейное) отражение, для которого харак-
характерной особенностью является существование одной общей точ-
точки для падающей и отражённой волн, лежащих на поверхности
стенки, становится невозможным.
При углах падения а, больших акр, реализуется нерегулярное
(нелинейное) отражение. Отраженная волна, распространяющая-
распространяющаяся по возмущенной среде, догоняет падающую и, сливаясь с нею,
образует третью волну, называемую головной ударной волной,
или волной Маха (рис. 3.39).
Возникает трёхволновая конфигурация, характерной особен-
особенностью которой является существование общей точки М пересе-
пересечения волн (так называемой тройной ударной конфигурации).
На рис. 3.40 изображена зависимость критических углов па-
падения УВ на жёсткую стенку в совершенном газе в зависимости
от интенсивности падающей волны р\/р2- Для очень слабой
ударной волны р\/р2 —> 1 при любом угле падения а имеет место
режим регулярного отражения, а для сильной волны р\/р2 —> 0,
аКр = 40°. Рис. 3.40 позволяет по значению амплитуды УВ оце-
оценить области регулярного и нерегулярного отражения косой УВ.
Для определения давления при отражении косой УВ от жёст-
жёсткой стенки пользуются графиками такого типа, как на рис. 3.41.
Этот процесс отражения характерен тем, что при определённых

3.5. Косые ударные волны
127
90
70
50
30
10
о
, град
Область
нерегулярного отражения
«кр
Область
регулярного отражения
0,8
0,6 0,4
Рис. 3.40
од о
Pi
Pi
90 а,град
значениях р2/р\ и а давление при отражении косой УВ больше,
чем при отражении прямой У В (рз/рОо ПРИ а = 0-
При отражении воздушной УВ от жесткой стенки под углом
а < ak давление рз определяется (см. C.112)) из уравнения
-Pi =
-pi) +
• P2u22cos2a.
C.118)
В этой формуле учитывается нормальная составляющая массовой
скорости ип = щ - cos а, при а = 0 получим ип = щ (см. C.112)).
Удельный импульс на жесткой стенке в этом случае опреде-
определяется с помощью формулы C.114):
2	C.119)
— Р\) cos2 a
Если угол падения У В а > а^, то
cos a
(РЗ-Pl) = (P2-Pl)
В
(к +
cos а,
)
cos
где В = cos а, если а
Критический угол
ГкТ\ з
Yk, В = cosak, если а >
находим из уравнения
'l-exp{-2,3^^
C.120)
C.121)
C.122)

Глава 4
ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИИ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩСТВ
4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
Взрывчатые вещества (ВВ) под действием начального им-
импульса (накола, нагрева, ударной волны и т.д.) способны к быст-
быстрой химической реакции, фронт которой в твёрдых и жидких ве-
веществах может распространяться со скоростями до 9 км/с. Такой
быстрый процесс химической реакции называется детонацией.
При определённых условиях ВВ способны к устойчивому
горению. В этом случае скорость горения при атмосферном дав-
давлении имеет порядок сантиметров в секунду. Скорость горения
пропорциональна давлению окружающей среды. При определён-
определённых условиях горение ВВ может перейти в детонацию. Механизм
горения веществ отличается от механизма детонации. При горе-
горении процесс передачи энергии от горячего слоя вещества к дру-
другим слоям вещества осуществляется за счёт теплопроводности,
диффузии и излучения.
Общее количество энергии, которое выделяется при дето-
детонации одного килограмма ВВ относительно невелико 1000-
2000 ккал; а, например, при сжигании 1 килограмма бензина (без
учёта веса кислорода воздуха) выделяется 10000 ккал.
Но эффект действия на окружающую среду в этих обоих
случаях (детонация и горение) существенно различен.
Например, процесс выделения энергии при детонации заряда
ВВ длиной 10 см массой в 1 кг, осуществляется за время порядка
20- 10~6с (D = 5000 м/с) и, следовательно, мощность взрыва
равна 5 • 107ккал/с. Мощность горения бензина в миллионы раз
меньше и энергия сгоревшего бензина будет передаваться окру-
окружающей среде за относительно больший промежуток времени
путём теплопроводности, конвекции, излучения, а также с помо-
помощью звуковых волн. При детонации процесс передачи энергии
к среде будет осуществляться за очень малое время в основном

4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ	129
с помощью ударных волн, которые возникают при отражении
детонационной волны от среды.
Рассмотрим некоторые свойства взрывчатых веществ. Взрыв-
Взрывчатые вещества по назначению делятся на четыре группы: ини-
инициирующие (первичные), бризантные (вторичные), метательные
(пороха, твёрдые ракетные топлива) ВВ и пиротехнические со-
составы. Инициирующие ВВ (в составе капсюля-детонатора) обыч-
обычно служат для возбуждения процесса взрыва бризантных ВВ.
Инициирующие вещества (гремучая ртуть, азид свинца, ТНРС,
тетразен и др.) чувствительны к простому начальному импульсу
(нагрев, накол, удар и т. п.) и поэтому используются как средство
для детонации менее чувствительных бризантных ВВ, к которым
относятся такие ВВ как тротил, гексоген, ТЭН, тетрил, ДИНА,
октоген и др., широко используются сплавы и смеси разных ВВ,
например, тротила и гексогена в различных соотношениях: ТГ
50/50, ТГ 40/60 и т. п.; тротила и октогена, тротила и ТЭНа, ко-
которые называются пентолитами (например, 50/50), аммониты —
смеси аммиачной селитры с взрывчатыми (например, тротилом)
или невзрывчатыми (например, торфом) горючими и т.п.
Взрывчатые вещества (с точки зрения их действия) харак-
характеризуются рядом параметров: плотностью ро, теплотой взрыва
Q, скоростью детонации D, критическим dKp и предельными dnp
диаметрами, показателями изоэнтропы к.
В результате химической реакции выделяется энергия за
счёт разрыва химических связей молекул — теплота взрыва Q
(Дж/кг). Теплота взрыва Q позволяет определить энергию взры-
взрыва данного заряда Е: Е = mQ, где т — масса заряда ВВ.
Теплота взрыва Q может быть определена экспериментально,
а также путём расчёта. Наиболее распространенный метод вы-
вычисления Q основан на приближённых уравнениях химического
разложения данного ВВ. Зная теплоту образования продуктов
взрыва и теплоту образования данного ВВ, можно определить
теплоту взрыва. Расчётом также определяется приближённое
значение температур, состав и объём продуктов детонации (ПД).
В таблице 4.1 приведены экспериментальные значения теплоты
взрыва разных ВВ. Измерение тепла в калориметрической бом-
бомбе производится в момент времени, когда вода, образованная
в результате химического разложения ВВ, находится в жидком
состоянии, в момент же детонации заряда вода находится в паро-
парообразном состоянии. Поэтому для определения теплоты взрыва
при воде в парообразном состоянии измеряется количество воды,
находящееся в бомбе, и вносится поправка на испарение воды.
Значения теплот взрыва при воде жидкой и парообразной пока-
5 Л. П. Орленко

130
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
заны в таблице 4.1. Там же приведен объём продуктов взрыва vq
(л/кг) при давлении, равном 1 атм и 18°С.
Теплота взрыва, приведённая в таблице 4.1, определялась при
взрыве зарядов весом 50 г в свинцовой оболочке, весом 500 г.
В таблице 4.3 представлены соответствующие данные о влиянии
оболочки заряда на теплоту взрыва, полученные при взрыве
зарядов ВВ диаметром 20 мм и весом 50 г.
Таблица 4.1
ВВ
Тротил
Гексоген
ТГ 50/50
Пикриновая
кислота
Тетрил
тэн
PBXW-115
(гексоген 20%, ПХА
43%, А1 - 25%, связка
12%)
Нитроглицерин
Нитрометан-бензол
87,5/12,5
Аммотол 80/20
(амиачная селитра
80%, тротил 20%)
Аммотол 40/60
Гремучая ртуть
ро,г/см3
1,50
0,85
1,50
0,95
1,68
0,90
1,50
1,00
1,55
1,00
1,65
0,85
1,48
1,60
1,45
1,30
0,90
1,55
3,77
1,25
Q, кДж/кг
вода
4570
3645
5780
5740
5110
4525
4230
3940
4820
4020
6200
6200
6870
7540
5110
5070
4610
1630
1800
пар
4230
3390
5400
5320
4780
4320
4110
3810
4570
3855
5700
5700
8485
6410
7330
4150
4110
4190
1720
1590
vo, л/кг
750
870
890
950
800
900
750
780
740
840
790
790
690
—
890
890
-
—
Экспериментальные исследования показывают заметную за-
зависимость теплоты взрыва от плотности заряда и толщины обо-
оболочки. У ВВ с отрицательным кислородным балансом, теплота
взрыва линейно зависит от плотности заряда. Эта зависимость

4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
131
Таблица 4.2
для гексогена представлена в таблице 4.2. Опыты проводились
в калориметрической бомбе для зарядов весом 30-50 г и диамет-
диаметром 20-30 мм в медной оболочке, толщиной 3-4 мм.
При детонации ВВ (гексогена, тротила, сплава, ТГ, пикри-
пикриновой кислоты, пироксилина и др.) высокой плотности, заклю-
заключенных в массивную оболочку, наблюдается повышение теплоты
взрыва. Это эффект имеет место лишь для ВВ с отрицательным
кислородным балансом.
При увеличении толщины
латунной оболочки до значе-
значений, больших 3-4 мм, теплота
взрыва не увеличивается. Оче-
Очевидно, что роль латунной обо-
оболочки может играть плотная
среда (вода, грунт и т. п.), окру-
окружающая заряд.
В зарядах большой массы
следует ожидать меньшего вли-
влияния толщины оболочки заря-
заряда на теплоту взрыва по срав-
сравнению с зарядами малого ве-
веса, поскольку в центральной
зоне большого заряда будет
иметь место увеличение тепло-
теплоты взрыва независимо от наличия оболочки.
Таблица 4.3
Ро,
г/см3
0,5
0,65
0,7
1,15
1,7
1,73
1,74
1,78
Q, кДж/кг
вода
5405
5530
5570
5740
5870
6240
6240
6285
6330
пар
4990
-
-
-
5450
-
5870
-
5950
ВВ
Гексоген
Гексоген
Тротил
Тротил
Ро,
г/см3
1,78
1,78
1,6
1,6
Q[H2O]r>
кДж/кг
5320
5950
3520
4525
Условия взрыва
в стеклянной оболочке,
толщиной 2 мм
в латунной оболочке,
толщиной 4 мм
в стеклянной оболочке,
толщиной 2 мм
в латунной оболочке,
толщиной 4 мм
Опытами было установлено, что скорость детонации для за-
зарядов гексогена (р\ = 1,71 г/см3) и тротила (р\ = 1,63 г/см3)
диаметром 20 мм не зависит от массивной оболочки, в то время

132	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
как теплота взрыва заметно зависит от условий опыта (см.
табл. 4.3).
Следовательно, теплота взрыва, которая выделяется в зоне
химической реакции детонационной волны, меньше, чем полная
энергия взрыва заряда ВВ в массивной оболочке. Оболочка пре-
препятствует разбросу периферийных слоев ВВ, замедляет разлёт
ПД, что способствует протеканию дополнительных химических
реакций в ПД (за плоскостью Чепмена-Жуге, см. п. 4.2) с до-
добавочным выделением тепла. Это добавочное выделение энер-
энергии способствует увеличению механического действия взрыва.
Теплота взрыва, полученная в массивной оболочке (фугасная
теплота взрыва Qf), больше той теплоты взрыва (детонационная
теплота взрыва Qd), которая выделяется в зоне химической ре-
реакции детонационной волны, для гексогена на 11%, для тротила
на 16% (по расчётам). Экспериментально было установлено, что
фугасная теплота взрыва (теплота взрыва в массивной оболочке)
линейно зависит от плотности заряда (см. таблицу 4.2, где Qf =
= Q(H2O)r)-
Для ВВ с небольшим отрицательным, нулевым или положи-
положительным кислородным балансом (например, ТЭНа, нитроглице-
нитроглицерина) не имеет место повышение теплоты взрыва при их уплот-
уплотнении и наличии массивной оболочки у заряда.
Наряду с теплотой взрыва Q, основной характеристикой ВВ
является скорость детонации D, которая характеризует действия
ПД вблизи заряда.
Обычно эту величину определяют экспериментально с помо-
помощью скоростных фоторегистраторов или с помощью осциллогра-
осциллографов. Экспериментальные методы позволяют с большой точно-
точностью определить зависимость скорости детонации D от плотно-
плотности заряда pQ.
Для многих ВВ зависимость D = D(po) может быть представ-
представлена линейной зависимостью при изменении плотности заряда от
Ро = 1,0 г/см3 до максимальной:
po-p*), м/с.	D.1)
В таблице 4.4 для разных ВВ, имеющих плотности р*, пред-
представлены значения скорости детонации D* и коэффициента М,
которые позволяют по формуле D.1) определить скорость дето-
детонации D для любой другой плотности ро > 1г/см3. В формуле
D.1) плотности заряда выражены в г/см3.
Используя экспериментальные данные, из уравнения D.2)
можно получить связь между скоростью детонации и теплотой
взрыва (определённой в массивной оболочке):

4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
133
Таблица 4.4
вв
Тротил
тэн
Пентолит
Гексоген
Гексоген-тротил 64/36
Тетрил
Тетритол
Пикриновая кислота
Этилен динитроамин (ЭДНА)
Пикрат аммония
Нитрогуанидин
Азид свинца
Гремучая ртуть
Аммотол 50/50
ДИНА (C4H8N4O8)
НЕНО (C6H8N6O12)
Нитроглицерин жидкий
Нитроглицерин-динитротолуол
60/40
Эднатол 60/40 F0% ЭДНА
и 40%тротил)
р*,г/см3
1,00
1,00
1,00
1,00
1,60
1,00
1,60
1,00
1,00
1,00
1,00
4,00
4,00
1,00
1,00
1,00
1,59
1,50
1,60
Ас, м/с
5 010
5 550
5 480
6 080
7 540
5 600
7 300
5 255
5 910
4 990
5 460
5 100
5 050
5 100
5 950
5 530
7 800
7 000
7 510
М, м4/с-кг
3 225
3 950
3 100
3 590
3 080
3 225
3 400
3 045
3 275
3 435
4 015
560
890
4 150
2 930
3 680
-
—
3 325
>,_ 1090
для гексогена: D = 6080 + 3590 ( ^—г-	1 ] ,
для тротила:
180
D = 5010 + 3225 rQ/~!?50 -И,
D.2)
где D выражено в м/сек, a Qf в ккал/кг, ро > 1 г/см.
Следует отметить, что такая линейная зависимость D от Qf
имеет место для ВВ с отрицательным кислородным балансом
(гексоген, тротил), но несправедлива для таких ВВ как ТЭН.
Для некоторых ВВ, содержащих алюминий (например 45:30:25
гексоген-тротил-А1), зависимость скорости детонации D от плот-
плотности заряда р\ является нелинейной: с увеличением р\ скорость
растёт быстрее, чем по линейному закону.

134
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
Зависимость D от р$ для р$ ^ 1,2 г/см3 (до ро = ртдьХ) для
зарядов, имеющих диаметр больше предельного, может быть
представлена уравнением вида
D = A + Bp0.
Коэффициенты А и В для гексогена, тротила и их смесей приве-
приведены в таблице 4.5; плотность ро выражена в г/см3; погрешность
определения D = ±50 м/с.
Таблица 4.5
вв
Гексоген
ТГ 78/22
ТГ 65/35
Тротил
А, м/с
2 515
2 702
2 673
2 360
В, м4/с-кг
3 466
3 193
3 127
2 799
D
D.
Скорость детонации является константой и не зависит от
диаметра данного заряда ВВ (обычно рассматривается заряд
цилиндрической формы), если его диаметр больше некоторого
предельного диаметра du? (на начальном участке в месте ини-
инициирования скорость детонации может быть переменной). При
уменьшении диаметра заряда
меньше dnp скорость детона-
детонации будет уменьшаться и при
^_^_	некотором критическом диа-
диаметре заряда dK? скорость до-
достигнет своего минимального
значения. Для зарядов, диа-
диаметр которых меньше кри-
	^ тического, нельзя получить
устойчивой детонации. Ти-
Типичный характер изменения
скорости детонации D от диаметра заряда d показан на рис. 4.1.
Если заряд больше предельного, то скорость детонации зави-
зависит только от плотности заряда (см. таблицы 4.4, 4.5), причём
для целого ряда ВВ от плотности заряда зависит также теплота
взрыва Q (см. таблицы 4.1 и 4.2).
Если диаметр заряда находится между критическим и пре-
предельным диаметрами, то скорость детонации зависит от целого
ряда факторов: от плотности заряда, от толщины и плотно-
плотности оболочки заряда, от размеров частиц ВВ и от физического
состояния ВВ. Скорость детонации может зависеть также от
о
Рис. 4.1

4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ	135
начального импульса, который используется для инициирования
данного ВВ, от температуры и внешнего давления, при котором
находится ВВ.
Критический и предельный диаметр заряда также зависят
от химических свойств ВВ, его плотности, размера частиц, аг-
агрегатного состояния ВВ, оболочки заряда и т.д. Если размер
заряда меньше критического, то из-за разлёта ПД в сторону,
перпендикулярную оси заряда, возрастают потери энергии из
зоны реакции настолько, что детонация затухает.
Согласно современным представлениям, из-за боковых волн
разрежения, ударный фронт, входящий в структуру детонацион-
детонационной волны, искривляется, и возникает косая УВ. С учётом этого
явления критический диаметр заряда определяется выражением
(по И.Ф. Кобылкину)
D.3)
где и — массовая скорость, с — скорость звука в ударносжатом
ВВ, Qpv — изобарно-изохорный тепловой эффект, 7 — коэффици-
коэффициент Грюнайзена, W — начальная скорость разложения ВВ после
ударного сжатия, (р* — критический угол наклона фронта косой
УВ к вектору скорости набегающего потока. Угол (р* характери-
характеризует переход от дозвукового к сверхзвуковому режиму.
Критические диаметры зарядов определяются эксперимен-
экспериментальным путём при подрыве цилиндрических зарядов. Заряд
либо фотографируется, либо результат оценивается по действию
на плиту, на которой взрывается заряд. Критический диаметр
заряда определяется таким наименьшим диаметром заряда, для
которого ещё имеет место устойчивая детонация.
В таблице 4.6 приведены критические диаметры заряда для
различных порошкообразных ВВ при плотности зарядов 0,9-
1г/см3, размерах зерна ВВ от 0,05 до 0,2 мм и оболочке —
стеклянной трубке:
Зависимость критического диаметра от плотности заряда,
а также от физического состояния ВВ (литой, прессованный)
приведена в таблице 4.7.
Аналогичная зависимость dKp от плотности заряда имеет ме-
место для тротила. Так, при изменении плотности порошкообразно-
порошкообразного тротила от 0,85 г/см3 до 1,5 г/см3 (размер частиц 0,2-0,7 мм),
критический диаметр изменился более, чем в 3 раза. Жидкий
тротил имеет dKp не менее 32 мм, а тротил прессованный мелко-
мелкокристаллический той же плотности имеет dK? = 2, 1 мм. Для ряда
жидких ВВ критический диаметр приведён в табл. 4.8.

136
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
Таблица 4.6
вв
Азид свинца
тэн
Гексоген
Пикрат свинца
Пикриновая кислота
Тротил
Аммонит №6
Смесь 20% алюминия и
80% аммиачной селитры
Смесь 10% тротила и
90% аммиачной селитры
Аммиачная селитра
dKp,MM
0,01-0,02
1,0-1,5
1-1,5
2-3
6
8-10
10-12
12
15
100
Таблица 4.7
ВВ
Тротил прессованный
Тротил литой
Гексоген
Тетрил
ТЭН флегматизиро-
ванный
ДИНА
ро,г/см3
(
1,59
1,45
1,36
1,00
),80
1,62
1,72
1,59
1,00
0,90
0,95
0,95
dKV, мм
3
3
5
8
11
15
1
1
3
8
5
8
Размер
частиц, мм
0,12
0,1
0,25
0,42
0,7
Для порошкообразных ВВ (тротил, ТЭН, гексоген, пикри-
пикриновая кислота, пикрат калия, пикрат свинца) на величину dKp
существенно влияет размер частиц ВВ.
Чем меньше частицы ВВ, тем меньше критический диаметр.
Так, для тротила при изменении размера частиц от 0,05-0,01 мм
до 0,07-0, 2 мм критический диаметр возрастает более, чем в 3
раза, при плотности заряда 0,85 г/см3 (см. таблицу 4.9). По

4.1. Некоторые свойства взрывчатых веществ
137
Таблица 4.8
ВВ или смесь
Тетранитрометан-бензол (87,5/12,5)
Азотная кислота-нитробензол G2/28)
Нитроглицерин
Азотная кислота-метиловый спирт G0/30)
Тротил жидкий при 81 °С
Тротил жидкий при 240° С
dKp,MM
<0,1
0,5
2
>10
62
6
опытным данным (опыты проводились в тонких целлофановых
оболочках) при изменении размера частиц от 0,08 до 0,45 мм
критический диаметр увеличивается от 2,4 мм до 5,5 мм (для
гексогена при р0 = 1 г/см3), для тетрила (р\ = 1 г/см3) меняется
от 4 мм до 12,5 мм при изменении размеров частиц от 0,08 мм до
0,72 мм, для ТЭНа (ро = 1 г/см3), dKp увеличивается от 1,5 мм до
5 мм при увеличении размера частиц от 0,1 мм до 0,45 мм.
Наличие оболочки у заряда уменьшает разлёт ПД, что спо-
способствует существенному уменьшению критического диаметра
заряда у ВВ.
В первом приближении наличие инертной оболочки эквива-
эквивалентно увеличению диаметра заряда.
Например, для аммиачной селитры dKp = 100 мм, а в стальной
оболочке, толщиной 20 мм, аммиачная селитра детонирует при
диаметре 7 мм. Свинцовая оболочка сильнее влияет на дето-
детонационную способность ВВ, чем стальная оболочка, поскольку
в данном случае основным является инерционное сопротивление
оболочки.
Таблица 4.9
ВВ
Тротил
Пикриновая
кислота
Гексоген
б?кр, ММ
10,5-11,2
4,5-5,4
8,9-9,25
1-1,15
dnp, мм
30
10
16
3-4
ро, г/см3
0,85
0,85
0,95
1
Размер
частицы, мм
0,2-0,07
0,05-0,01
0,75-0,1
0,025-0,15
Предельный диаметр заряда duv, при котором достигается
максимальная постоянная скорость детонации, зависит от тех же

138
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
факторов, что и критический диаметр заряда. Размеры предель-
предельного и критического зарядов приведены в таблице 4.9.
Скорость детонации быстро нарастает с увеличением диамет-
диаметра заряда у ВВ, имеющих малый критический диаметр. Взрыв-
Взрывчатые вещества, имеющие большую чувствительность к началь-
начальному инициирующему импульсу, имеют меньший предельный
и критический диаметры.
Для малочувствительной к взрыву аммиачной селитры (в
виде гранул) предельный диаметр более 300 мм, а для аммотола
50/50 предельный диаметр равен около 120 мм, для гексогена же
он равен примерно 3-4мм (см. таблицу 4.9).
4.2. Гидродинамическая теория детонации
Гидродинамическая теория детонации была создана Чепме-
ном, Жуге, Зельдовичем и др. Согласно этой теории фронт дето-
детонационной волны представляет собой ударную волну, в которой
ВВ сжимается ударно как инертное вещество.
Энергия, которая выделя-
выделяется за фронтом УВ в ре-
результате химической реакции
ВВ поддерживает параметры
ударной волны на постоянном
уровне, т. е. эпюра давлений
в детонационной волне не ме-
меняется по мере её движе-
движения по заряду (см. рис. 4.2).
В зоне же ПД имеет ме-
место нестационарный разлёт
газа, т. е. все параметры ме-
меняются со временем (зона 3,
рис. 4.2).
Таким образом, стацио-
стационарная зона (зоны 1 и 2,
рис. 4.2) граничит с обла-
областью 3 нестационарного те-
течения газа (областью вол-
волны разрежения). Стационар-
Рис. 4.2	ная зона должна двигаться
относительно ПД со звуковой (или сверхзвуковой) скоростью,
в противном случае волна разрежения догонит стационарную
зону (зону химической реакции), что приведёт к расшире-
расширению вещества в зоне химической реакции, падению давления
рн\
(D "я
зона
Ро
i
ио=О®
в

4.2. Гидродинамическая теория детонации	139
и температуры, и процесс стационарного распространения дето-
детонационной волны будет невозможен. Чепменом и Жуге было
постулировано, что детонационная волна распространяется от-
относительно продуктов детонации со звуковой скоростью. Это
положение носит название условия Чепмена-Жуге.
Параметры детонационной волны (плоскость Н-Н, рис. 4.2)
связаны с параметрами исходного покоящегося ВВ с помощью
законов сохранения массы, изменения импульса, энергии, усло-
условия Чемпмена-Жуге и уравнений состояния ПД:
1.	p0D = pH{D -ин)\
2.	Ph-Po
^ ' ^
3.
/I
5.
6.
Ен - (Eo -f
fdp\
\dv)H
Ен = ^{рн
рн = F(pH
¦Q)
Vh -
. Рн);
, TH),
-Po.
где po — V^O' P0' ^o ~~ плотность, давление и удельная внут-
внутренняя энергия в исходном ВВ; D и Q — скорость детонации
и теплота взрыва, выделяющаяся в детонационной волне; рн, Рн,
ин, Ен, Тн — плотность, давление, массовая скорость, удельная
внутренняя энергия и температура ПД в конце зоны химической
реакции (точка Жуге). Это же обозначение относится и к произ-
производным, таким как (dp/dv)H-
Эти уравнения получаются аналогично соответствующим
уравнениям на фронте ударной волны в инертном веществе (см.
гл. 3) с той лишь разницей, что в уравнении энергии появляется
теплота взрыва Q и прибавляется условие устойчивой детонации
D-е уравнение). Его физический смысл рассмотрен ниже.
Из первого и второго уравнений системы D.4) можно полу-
получить соотношение
D2
Рн =Ро + -^-(щ ~ vh)-	D.5)
vo
Прямая, соответствующая уравнению 4.5, называется прямой
Михельсона. Для устойчивого стационарного режима детонации
скорость является постоянной величиной.
В плоскости p-v уравнение D.5) представляет собой пря-
прямую для переменных рн, vh- Угловой коэффициент этой пря-
прямой равен D2/vq, и проходит эта прямая через точку 1,

140
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
соответствующуюначальному состоянию ВВ (ро, щ)- Проследим
процесс детонации ВВ в плоскости p-v (рис. 4.3).
Рис. 4.3
На рис. 4.3 изображены две ударные адиабаты: 1) ударная
адиабата \ВВ\ исходного ВВ, которая представляет собой гео-
геометрическое место точек возможных состояний ударного сжатия
исходного ВВ как инертного вещества. Давление рв и удельный
объём г?в на границе между фронтом ударной волны и зоной
химической реакции (рис. 4.2), должны лежать на этой кривой.
2) ударная адиабата продуктов детонации, EDMLHC, соот-
соответствующая полному выделению химической энергии в зоне
химической реакции. Очевидно, что состояние рн, vh, соответ-
соответствующее границе между зоной химической реакции и зоной
ПД (рис. 4.2), должны лежать на этой кривой. Ударная адиабата
ПД (EDMLHC) лежит выше ударной адиабаты ОВВ\ исход-
исходного ВВ, поскольку при химической реакции выделяется тепло,
вследствие чего происходит расширение ПД.
Процесс детонации происходит следующим образом. Взрыв-
Взрывчатое вещество из исходного состояния (ро, щ) ударной волной
сжимается до состояния (р#, vb)- В этом состоянии химическая
реакция ещё не началась. Параметры этого состояния ВВ (дав-
(давление, температура) достаточны для интенсивного протекания
химической реакции за фронтом ударной волны. Поскольку в
зоне химической реакции должны выполняться законы сохране-
сохранения массы и импульса, то состояние в зоне химической реакции

4.2. Гидродинамическая теория детонации	141
должно меняться вдоль прямой D.5). При выделении теплоты хи-
химической реакции давление уменьшается от рв до рн (по прямой
1НВ), которое соответствует полному выделению химической
энергии Q. Поскольку в зоне химической реакции выделяется
теплота, то энтропия реагирующей смеси возрастает, так как
Точка Н (точка Жуге) соответствует окончанию химической
реакции и, следовательно, полному выделению тепла, равному
Q для единицы массы ВВ. Прямая D.5) и ударная адиабата ПД
должны иметь общую точку, поскольку после выделения тепла
химической реакции Q, параметры состояния ПД должны нахо-
находиться на прямой D.5), а также и на кривой ударного сжатия
ПД. Можно доказать, что прямая D.5) должна касаться в точке
Щточка Жуге) ударной адиабаты ПД.
Энтропия в зоне химической реакции достигает максимума
на прямой D.5) в точке касания этой прямой с ударной адиабатой
ПД (точка Н). Вблизи точки касания прямой 1В к ударной
адиабате ПД энтропия остаётся постоянной как на прямой 1В,
так и на ударной адиабате ПД.
В окрестности точки касания (точка Жуге) ударная адиабата
ПД EDMLHC и изоэнтропа разгрузки ПД НК имеют общую
касательную, т. е.
,dvJs
Условие касания (условие Чепмена-Жуге) прямой D.5) к удар-
ударной адиабате ПД в точке Н (см. четвертое уравнение D.5))
может быть записано в виде
dp\ Рн-Ро
dv J H \ dv
или	/	N
¦W =PH-pQvjI = 4I,	D.6)
dv J H vq — vh
где сн — скорость звука в ПД в точке Жуге.
Используя первое уравнение D.4), D.5) и D.6) получим усло-
условие Чепмена-Жуге в виде
D-uH = сн,	D.7)
т. е. скорость детонации D относительно продуктов детонации
равна скорости звука в продуктах детонации сн- Поэтому ни

142	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
одно возмущение из зоны ПД не может догнать зоны химиче-
химической реакции. В самой же зоне химической реакции скорость
возмущений больше скорости ударной волны, т. е. ударная вол-
волна относительно реагирующего ВВ в зоне химической реакции
имеет дозвуковую скорость, благодаря чему происходит влияние
выделяющейся энергии на ударную волну.
Гидродинамическая теория доказывает, что из всех возмож-
возможных режимов устойчивой детонации осуществляется тот, ко-
который соответствует условию D.7), т.е. прямая \В (уравне-
(уравнение D.5)) должна касаться ударной адиабаты ПД в точке Н
(рис. 4.3). Очевидно, что прямая D.5) не может проходить ни-
ниже касательной прямой 1В, поскольку в этом случае ударная
адиабата ПД и прямая D.5) не будут пересекаться, а состояние
ПД после химической реакции должны принадлежать и адиабате
ПД, и прямой D.5). Это условие не нарушается, если прямые
Михельсона провести выше прямой так, чтобы они пересекали
ударную адиабату ПД AВ\ на рис. 4.3).
Тангенс угла наклона прямой D.5) равен tg/3 = —D2/vq или
tga = D2/vq потому что, если /3 < 90°, то tg/З = — tga. Поэтому
для процессов детонации реальное значение имеет ветвь ударной
адиабаты ПД слева от линии \М. Если /3 < 90°, то получается
мнимое значение для скорости детонации. Скорость детонации
зависит от угла а (рис. 4.3); чем больше этот угол, тем больше
скорость D. Следовательно, прямая 1В\ соответствует большей
скорости детонации, чем прямая 1В. Если, например, осуществ-
осуществляется режим, соответствующий прямой \В\, то ВВ будет ударно
сжато до давления рв\ (точка В\), затем химическая реакция
будет протекать на участке прямой В\С. Этот режим детонации
называется пересжатым. Точка лежит на ударной адиабате ПД
и поэтому соответствует полному выделению теплоты химиче-
химической реакции Q. Можно доказать, что в точке С выполняется
неравенство D < ее + ис, т.е. скорость детонации меньше, чем
сумма местной скорости звука в ПД и массовой скорости ПД
(в точке С). Скорость ее + ис представляет собой скорость воз-
возмущений относительно неподвижного ВВ. Поскольку зона ПД
представляет собой волну разрежения, то возмущения догоняют
фронт ударной волны и уменьшают её амплитуду, т. е. в этом
случае режим устойчивой детонации невозможен. Если сильным
ударом создать в ВВ состояние, соответствующее точке В\,
то под действием волн разрежения быстро установится режим
устойчивой детонации, соответствующий прямой 1В.

4.3. Теория детонации идеального взрывчатого газа	143
Если бы химическая реакция закончилась в точке L, то D >
> cl + ul, т.е. детонационная волна будет уходить от волн
разрежения, что не противоречит устойчивому режиму дето-
детонации. Но при переходе из состояния ПД, соответствующего
точке С, в состояние ПД, соответствующее точке L, необходимо
добавочное выделение тепла, сверх того количества тепла Q,
которое выделилось во время химической реакции (участок В\С,
рис. 4.3). Поскольку эту добавочную энергию взять негде, то ре-
режим детонации, соответствующий точке L, осуществить нельзя
при ударно волновом режиме детонации. Детонация на участке
ML называется недосжатой.
При устойчивом режиме детонации всегда осуществляется
условие Чепмена-Жуге (см. четвертое уравнение D.4) или D.7)).
4.3. Теория детонации идеального взрывчатого газа
Относительно полно теоретически и экспериментально иссле-
исследована детонация взрывных газов (например, в гремучей смеси
водорода и кислорода, или в смесях углеводородов с кислородом
и в топливно-воздушных смесях — ТВС).
Топливно-воздушные смеси — это смеси горючих газов или
паров топлива с воздухом, а также аэровзвеси мелких жидких
капель или твердых частиц горючих материалов. В качестве
горючего, обычно углеводородного, могут использоваться газы
(метан, этан, пропан, ацетилен, природный газ и др.), либо пары
жидкостей (бензин, керосин, ацетон и др.).
Существуют две формы взрывчатого превращения ТВС —
горение и детонация. Для возникновения горения ТВС необхо-
необходимы два условия: перемешивание горючего с воздухом в опре-
определенном соотношении и наличие источника воспламенения (до
температуры 400° и выше). При воспламенении ТВС в замкнутом
объёме (дома, гаражи и т. п.) повышается давление, и скорость
фронта горения может достигать сотен м/с, т. е. имеет место
взрывное горение, называемое дефлаграцией. При этом макси-
максимальное давление может достигать нескольких атмосфер, что до-
достаточно для разрушения окон, дверей, а иногда и стен строений.
Для детонации ТВС необходим детонатор, в качестве кото-
которого служит взрыв конденсированного ВВ (от сотен граммов до
нескольких килограммов) или мощный искровой разряд.
Скорость детонационной волны в ТВС составляет 1500-
1800 м/с, давление 15-20 атм, массовая скорость 600-800 м/с.
При детонации ТВС удельная теплота взрыва для углеводоро-
углеводородов составляет 10000-12000 ккал/кг, что в 10 раз больше, чем

144	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
у тротила. А температура в детонационной волне составляет
2000-3300 К.
Давление детонационной волны в ТВС в 104 раз меньше дав-
давления при детонации конденсированных ВВ, но время действия
ударной волны при детонации ТВС в тысячи раз превышает
время действия ударной волны конденсированного ВВ вблизи
от заряда. В замкнутых объёмах при определенных условиях
(необходимая ТВС, эффективный детонатор, прочное замкнутое
помещение) тротиловый эквивалент при детонации 1 кг горючего
может быть равен 5 кг тротила.
В результате исследований детонации взрывных газов была
создана гидродинамическая теория детонационной волны в газо-
газовых взрывчатых системах. Основные закономерности этой тео-
теории справедливы и для конденсированных ВВ.
Наиболее простым случаем является рассмотрение взрывного
газа, как совершенного газа, подчиняющегося уравнению pv =
= RT с постоянной теплоёмкостью ПД. В этом случае внут-
внутренняя удельная энергия Е = р/р{к — 1), где к — показатель
изоэнтропы (адиабаты Пуассона), р = А(г.
Полная система уравнений D.4) для совершенного взрывча-
взрывчатого газа запишется в следующем виде:
PoD =
Рн ~Po = poDuH;
Рн	Po	ph+Po ( 1 1
+ Q; D.8)
pH(k-\) po(k-l)	2 \p0 pH
, Рн -Po
крнрн = ~x	j-;
Ро рн
Рн = PhRTh-
Эта система может быть также записана с помощью уравне-
уравнения D.7). Для этого вместо четвертого уравнения следует писать
уравнение D.7):
Т\	\	(А С\\
LJ ^ U TJ \ С TJ •	( т: У )
Поскольку прибавилось новое неизвестное сн, то с помощью
уравнения с2н = {dp/dp)s и уравнения изоэнтропы ПД, р = Арк,
получим шестое уравнение
<& = —¦	D.Ю)
Рн

4.4. Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ 145
Считая в системе D.8) известными р$, р$, Q, к из пяти уравне-
уравнений можно определить пять неизвестных рн, рн, ин, D,Th. Из
уравнений D.8) для сильной волны (ро <С Рн) можно получить
D.11)
DЛ2)
а также уравнения для давления, плотности и скорости:
PoD2	D	к+1
Для этого необходимо в 4-м уравнении D.8) положить р0 =
= 0, в результате получим рн = ро(к + l)/fc, затем подставляем
это выражение в 3-е уравнение D.8); при ро = О получаем рн =
= 2ро(к — \)Q. Из 1-го уравнения D.8) при рн = р${к + \)/к
получим ин = D/(k +1), затем, исключая рн, придём к D.11).
При детонации взрывчатых газов свойства исходного газа
и свойства продуктов детонации различны (различные уравне-
уравнения состояния), что требует для точного расчёта рассматривать
вопросы, связанные с химической реакцией взрывчатого газа
в детонационной волне.
4.4. Теория детонации конденсированных взрывчатых
веществ
Система уравнений для детонационной волны. В конден-
конденсированных ВВ (жидких и твёрдых) всегда можно считать, что
(й) ^Рн)- В этом случае система уравнений D.4) может быть
записана в следующем виде:
vq — vh
2.	u2H =pH(v0-vH);
3.	Eh — (Q + E) = -рн(щ — vh)\	D.13)
p\ = Ря
dv I и vq — vh '
5. рн =Рн(рн,Ен)-
Для того, чтобы воспользоваться этой системой для расчёта,
необходимо знать уравнение состояния ПД в точке Жуге. Этот
вопрос рассмотрим ниже, а сейчас выведем некоторые полезные
уравнения, которые не зависят от уравнения состояния.
Изоэнтропа НК выходит из точки Жуге и является каса-
касательной к ударной адиабате ПД в точке Н (рис. 4.3). Любое

146	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
уравнение изоэнтропы можно представить в дифференциальной
форме:
к = ~ (wF) = -- (*)•	D14)
\omvj р \ovJ
где показатель изоэнтропы к в общем случае есть к = к(р).
Из D.14) производная (dp/dv)s в точке Н равна
.	D.15)
vH
Подставим эту производную в 4-е уравнение D.13), в результате
получим
РК = Щ±1,	D.16)
Л)	кн
Исключая из 1-го уравнения D.13) vh = 1/рн, получаем
Р„ = ^.	D.17)
кн+ 1
А с помощью 2-го уравнения D.13) найдём уравнение для ско-
скорости:
ад = тг^Т-	D.18)
кн+ 1
Уравнения D.16)—D.18) не зависят от вида уравнения состоя-
состояния и имеют поэтому одинаковый вид как для конденсированных
ВВ, так и для совершенного взрывчатого газа (см. уравнение
D.12)).
На основе современных опытных данных известно, что пока-
показатель изоэнтропы в точке Жуге для конденсированных ВВ кн ~
« 2, 5-3,5, среднее значение fc#Cp ~ 3. В этом случае уравнения
D.16)—D.18) примут вид
рн 4	РоР2	D
— = о' Рн = —j—, ин = -г-	D.19)
Л) 3	4	4
Для определения рн, рн к ин при к = кн, в этом случае
надо пользоваться формулами D.16)—D.18).
Уравнения состояния и изоэнтропы ПД конденсирован-
конденсированных ВВ. По современным представлениям уравнения состояния
ПД могут быть представлены в такой же форме как уравнения
состояния твёрдых и жидких инертных тел (C.80), C.81)):

4.4. Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ 147
На основе этих уравнений и некоторых допущений, как известно,
уравнение состояния твёрдой или жидкой среды может быть
представлено уравнением C.86):
р = Рх + 1(Е-Ех).	D.21)
Такой вид уравнения состояния ПД удобно использовать в си-
системе дифференциальных уравнений движения (см. гл. 1).
Представим уравнение D.21) в виде
р = а(р) + Ъ(р)Е,	D.22)
где
а{р) = Рх{р)
Ъ(р) =
Прежде чем рассматривать определение функций а(р) и Ъ(р)
для ПД определим уравнение изоэнтропы, соответствующее
уравнению состояния D.22).
Согласно первому началу термодинамики при dS = 0:
pdp	dE p
(jjJ-j — pClи — ^ , ИЛИ	~ — ^z.	It.Zt )
p2	dp p2
Для определения уравнения изоэнтропы ПД выразим Е из
D.22):
Е = Р^.	D.25)
Найдём производную dE/dp от этого выражения и подставим
её в уравнение D.24):
dE I f dp da\ p — a db p
dp b \dp dp) b2 dp p2'
или
dp f I db b\ a db da
1	P TT~ + ~9 = ~TT~ + 1~-	D-26)
dp \b dp pz J	b dp dp
Это уравнение представляет собой изоэнтропу ПД в диф-
дифференциальной форме. Если известны функции а(р) и Ь(р), то
уравнение D.26) может быть проинтегрировано, а полученное
при этом уравнение р = р(р, С) является изоэнтропой, где С —
константа интегрирования, определяемая из начальных условий,
согласно которым изоэнтропа должна проходить через точку
Жуге, т. е. при р = рн, р = рц.

148	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
При известных функциях а(р) и Ь(р) уравнение D.26) явля-
является линейным дифференциальным уравнением, и его решение,
представляющее изоэнтропу р = р(р, С), имеет вид
р = ехр|- \ф<1р\ ^Qexp jUdpjdp + c) ,	D.27)
/	D.28)
a do da
b dp dp'
Рассмотрим ряд способов определения функций а{р) и Ъ{р)
для ПД конденсированных ВВ.
1. Задаём уравнение состояния в простейшей форме:
р = 4 + -Е,	D.29)
уП	у
где а = Арп, Ь = 7оР-
Считаем 70 — const. В уравнении D.29) необходимо опреде-
определить три константы А, п, 7о- По уравнению D.29) определяем
изоэнтропу D.27) в виде
= Врп + Ср70+1	D.30)
D.31)
Неизвестные константы А, п, 7о> С определяются из следующих
условий:
а) уравнение изоэнтропы должно проходить через точку
Жуге,
Ъ %+1	D.32)
б) в точке Жуге должно выполняться уравнение
4 = (т) = Впрпн~1 + СЫ + 1Н°;	D.33)
в)	в точке Жуге справедливо уравнение состояния D.29)
Рн = 4г + — Ен;	D.34)
г)	константа 7о определяется из условия, что при большом
расширении ПД р —>¦ 0 уравнение состояния D.29) должно

4.4. Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ 149
стремиться к уравнению совершенного газа, т. е. р —> (fc —
— \)рЕ. Поэтому примем 7о — к — 1 = 0,2-0,3. Из трёх
уравнений D.32), D.33), D.34) определим три неизвестных
константы А, п, С.
2. Если в предыдущей задаче в качестве исходных данных
использовались параметры в точке Жуге, то более точное урав-
уравнение состояния может быть получено, если кроме точки Жуге,
известна изоэнтропа ПД, определённая экспериментально.
В этом случае по параметрам точки Жуге и опытной изоэн-
тропе р = р(р) определяются уравнения состояния. Рассмотрим
алгоритм решения этой задачи:
Уравнение состояния берут в виде
Ех).	D.35)
Значение 7 меняется обычно в пределах от 7я = 0,7-1 в точке
Жуге до 7о — 1/5—1/3 при малых плотностях (идеальный газ).
Закон для 7 = 7(р) может быть определен на основе динамиче-
динамической сжимаемости и уравнений состояния отдельных компонен-
компонентов ПД. Например, в простейшем виде
7 = 7о + Ср,
7о = 1/5—1/3, С — константа, которая определяется при условии
р = Рн, 7 = 7я- Затем задаётся уравнение для рх, например,
ВВИДе	п	,	х%
ft = E«i(l"^)-	D-36)
Коэффициенты щ подбираются так, чтобы удовлетворить экс-
экспериментальному уравнению изоэнтропы р(р). Причём давления
Рх(р) и р(р) связаны между собой уравнением D.27), D.23),
а величина рх = —dEx/dv.
3. Уравнение состояния р = р(р, Е) может быть также опре-
определено путём согласования численного решения одномерной га-
газодинамической задачи с опытными данными с помощью какого-
либо параметра. Например, уравнение состояния задаётся в виде
р = ЪРЕ + Вр4 + Сехр |-^| ,	D.37)
где 7о = 1/5-1/3.
Коэффициенты В я С определяются из следующих условий:
а)	уравнение D.37) должно удовлетворяться в точке Жуге;
б)	в точке Жуге с2н = {dp/dp)s.
Это даёт два уравнения:

150	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
Рн = ЪРнЕн + Вр4н + Сехр \	I ,
Р"\	D.38)
4 = ЪЕН + 4Вр*н + Ц- ехр {-Ц + ™*,
Рн I Рн) Рн
EH = Q + Pf(v0-vH).
Константа f3 определяется путём сравнения экспериментальной
зависимости давления на фронте ударной волны в воде с анало-
аналогичной зависимостью, полученной при численном решении этой
задачи.
4. Для моделирования детонационных процессов широко ис-
используется полуэмпирическое уравнение состояния продуктов
детонации Джонса-Вилкинса-Ли (JWL):
^, D.39)
где V = ро/р', А, В, С, R\, i?2, и — эмпирические константы,
Е — внутренняя энергия в единице объёма. В детонационной
волне:	ю
Ен = ро (Щ + Q) + tf(v0- vH) •
Уравнению D.39) соответствует изоэнтропа продуктов детонации
ps = Aexp{-R{V} + Bexp{-R2V} + CV~^+UJ\ D.40)
где С — константа.
Для определения констант А, В, С, R\, R2, oj используются
экспериментальные параметры рн, рн, Ен, что даёт два уравне-
уравнения ps = рн и Es = Ен- Третье уравнение получается из условия
касания прямой Михельсона D.5) изоэнтропы D.40) в точке "Н"
(?н — (dp/dp)sII (см. уравнения D.32-4.34). Эти три уравнения
решаются относительно констант А, В, С. Затем подгоночные
константы R\, R2, и подбираются так, чтобы численное решение
двумерной задачи по метанию медной цилиндрической оболочки
совпадало с экспериментальным законом движения этой оболоч-
оболочки.
Константы А, В, С, R\, R2, oj для ряда взрывчатых веществ
приведены в табл. 4.10.

4.4. Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ 151
cd
I
s
Д
Ds
О
Е-
CJ
О
О
S
Д
<v
д
PQ
ей
Рн
>
Е-
Д
CD
S
S
о
I
ей
Д
CD
С
CD
3
Рн
CD
ей
Рн
ей
С
, 1
яния JW
о
E-
CJ
О
CJ
cc;
К
CD
X
РЭ
Oi
Oh
CD
Oh
I
С
I-H
1
cu
CD
С
Oh
h
c\3
Oh
CJ
CD
Д
к
к
к
PQ
PQ
3
CSI
Ич
m
E-"
о
о
CJ
C\3
[—1
C\3
u
C\3
n
u
CJ
u
u.
со
CJ
I-H
О
CM
CO CO
о
о
о
о
CM CM
8
CO
CO
о
о
00
CO
о
о
CM
00 00
о
LO
CD
(""}
CO
_|
1—-4
CD
o^
CM CM
о
LO
^	~
00
CTi
00
о
CO
00 00
•ь
CD
о
о
CO CO
LO LO
00
о
H
CD
CO
1
<
d.
p
о
о
00
CD
CM
CM
LO
CD
о
CM
о
LO
00
00
LO
CM
Oh
p
о
LO
CM
о
о
LO
CO
о
LO
CD
00
LO
со
о
о
о
со
LO
о
см
со
CD
__,
CO CO
00
CM
о
t^-
CM
-о
о
см
со
о
LO
см
00 00
о
оо
см
CD
в
1
и
ci
о
и
о
см
со
LO
со
см
1^.
0T0J
я
о
со
о
о
со
о
LO
^^
(—^
о
00
LO
см
см
00
см
-о
о
см
CD
о
CD
ъ
оо
о
LO
LO
<
о
о
со
о
о
оо
со
CD
со
00
со
со
см
LO
см
-о
сз
о
^
о
см
-о
LO
о
см
о
00
<
506
1
щ
о
со
о
о
см
о
LO
00
о
см
LO
о
со
у--Ч
см
-о
о
см
CD
о
о
-о
LO
1—1
о
00
CD
о
LO
1
| 1
щ
LO
00
со со
о
о
см
о
о
со
<з
(""}
со
LO
см
¦^
LO
о
LO
CD
о
CD
см
о
и
PQ
Е-
с;
CD
С1)
PQ
о
о
см
о
LO
со
CD
CD
см
о
см
о
о
о
со
^^
со
LO
00
о
о
со
о
о
00
8
со
CD
о
1—1
о
со
00 00
00 LO
со
00
?^.
LO
см
сз
о
00
о
LO
о
LO
см
LO
в
о
е
(X)
0
см
О"}
о
со
о
см
о
СО LO
—Г
о
^t4
см
CD
о
1
X
—Г
^н
ел
ъ
см
—'
00
д
CD
о
н
о
LO
см
о
о
о
LO
о
LO
CD
о
см
00
CM
LO
CO CO
о
о
LO LO
CO CO
CO
CD
о
LO
CD
LO
CM CD
CD CD
00
CD
CO
__,
00
LO
LO
CO
'—1
CO
00
00
^H
CO
CD
о
00 00
CM CM
о
LO
LO
o
о
о
CD
CO
CD
CM
LO
CO
о
LO LO
^t4
1—1
о
X
CM
LO
CD
и
X

152
Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
Я"
S
\о
(D
О
Рн
С
, 1
ния JW
О
О
о
о
ее;
к
CD
РЭ
р,
Он
Е-н
CD
с\3
Он
С
и,
1
CU
CD
Е
CD
Он
о,
о
CD
НС
К
К
PQ
PQ
3
СМ
о
oq
Ич
PQ
Е-"
О
Q
О
С\3
1—1
С\3
U
[—i
С*
о
1	]
[—i
Г)
|>|
о
1-Н
LO
со
о
о
г
о
LO
со
о
1—1
со
^-
о
_|
!—-Ч
со
_
см
-о
о
СО
00
со
LO
LO
О
СО
СМ
о
1
X
см о
о о
LO LO
см см
о
о
LO
см
СМ 00 00
СО LO LO
-н 00 00
^ о
о
^ со со
00 О
см о-
о
'—1
СО 00 00
со ^
00 00
LO ^н
со см
о о
см см
S*
LO ^
"^ СО
00 00
^н
00
^н
со
00
см
LO
^н
00
00
О LO LO
^ LO
со со
LO LO
сО ^О
00 00
1 в
о о
1 1
XX
f^.
со
^н
00
в
1
S
1
X
00
со
о
см
со
см
СО
СО
см
СО
со
00
о
оо
00
о
со
о
LO
о
LO
^
LO
00
00
о
оо
СО
о
00 00
00
см
см
00
СО
00
см
-о
о
см
со
00 00
LO
о
со
со со
LO LO
СО
00
1
о
1
X
00
1
X
00
со
о
см
со
LO
LO
СО
см
см
СО
см
00
__,
00
см
со
о
со
о
LO
00
со
СО
о
со
о
со
со
о
СО
оо
LO
см
?-8
о
00
00
о
со
LO
со
00
в
о
1
1
X
со
о
о
о
со
<з
(""}
в
о
1
1
X
о
со
о
о
см
о
о
о
00
ю
см
о
CN
оо
со
LO
см
00
LO
о
00
со со со со
о
о
см
о
LO
^
СО
^^
о
00
со
со
СО
00
о
со
00
см
-о
LO
00
см
со
LO
см
00
см
(П
н
оме
Он
н
X
о
00
00
см
^t4
со
^н
см
00
см
см
о
CJ
о
о
о
^t4
со
см
о
1—1
о
^
,—1
оо
LO
о
о
о
о
см
см
о
00
О5
ui
t>-
о
о
со
LO
LO
о
см
см
о
00
см
СО LO
СО
см см
8
о
со
-о
00
о
LO
00 00
см
^t4
со
f^.
оо
в
о
о
1
X
Он
о
^t4
со
о
о
1
X
Он
00
_
LO
00
см
3,20
^н
о
00
00
о
со
о
00
в
о
¦^I4
1
X
Он
см
со
о
о
S
о
о
см
о
со
со
00
со
?^.
LO
со
LO
см
S
00
-о
LO
со
см
з
со
о
1
X
Он

4.4. Теория детонации конденсированных взрывчатых веществ 153
о
^'
ЯГ
S
\о
ей
Е-
S
1
I
О
Рн
С
•-э
К
Г
ее;
о
н
о
о
о
к
д
CD
Д
СО
р,
Он
Е-н
CD
ей
Он
ей
1-н
1
си
%
С
CD
и*
Он
н
Он
CD
д
К
К
К
PQ
PQ
3
СМ
^н
•о
oq
Ич
ей
PQ
ей
С0С1
ей
а
и
ей
О
ей
и
и.
со
г/с
см
СО
О
о
^^
о
LO
со
го
о
^н
сг>
см
со
о
о
LO
00
см
о
00
со
LO
LO
LO
см
о
н
S
о
Пен
^нн 00 00 LO
см см см см
о о о
о о о
О (Xj <sO
СМ ^н ^н
оою
о о см
t>- ^О LO
-н t^. СМ
"^ С?) LO
О5 СМ -н
о —< —i
00 О О
оо сг> С5
СМ ^н СМ
-н СМ СМ
СГ> -н СО
00 СО LO
"^f t>- СМ
о
о
00
см
о
о
CM CM
о
о
cr>
CM
о
16,
о
СО LO СГ> <Г>
00 ^н 00
сг> со оо
сг> оо t^-
о
^o
см см см см
-о -о -о
см о сг>
О -н ю
LO t^- 00
t^- Tf LO
*—i LO "^
LO C?) О-
о о
CM ^ ^
сг> -л см
ooo
00 (?> О
00 CM LO
О -H -H
'—ч
\ Я Я Д
о ^ ^ ^
lo H H H
о
—Г
^н
о
со
00
^н
о
о
,__!
'01
00
оо
LO
оо
О5
см
о
см
00
о
со
о
LO
о
о
LO
LO
о
1—1
со
см
см
со
см
см
о
со
LO LO
со
со
о
1^
Тэн
оо
см
о
со
L^
я
Тет
о
см
о
со
г ,
н
I
й
\О
ей
S
ей
ей 2
ей
со
а,
ей О
00 ^
О
PQ
О
О а)
g

154	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
4.5. Термическое уравнение состояния
Согласно теоретической термодинамике, если известно урав-
уравнение состояния в виде р = р(р, Т), то получить с его помощью
уравнение р = р(р, Е) можно только с точностью до произ-
произвольной функции Т. Поэтому приходится определять уравнение
р = р(р? Т) независимо от уравнения р = р(р, Е). Для расчё-
расчёта температуры в детонационной волне Тн необходимо иметь
уравнение состояния ПД виде рн = рн(рн> Тн). Температура
в детонационной волне Тн существенно зависит от выбранного
вида уравнения состояния ПД рн = Рн(рн, Тн).
На основании экспериментальных данных уравнение состо-
состояния ПД конденсированных ВВ можно записать в виде (по
Воскобойникову):
Тн = 48-pHvH(vH - 0,2)Мср,	D.41)
где Тн — абсолютная температура, Мср — средняя молярная
масса ПД в г/моль, которая может быть вычислена по формуле
м
Мср = ——,
где М — молярная масса ВВ, ^щ — сумма молей компонен-
компонентов газов, входящих в ПД, которая определяется по уравнению
реакции взрывчатого превращения ВВ, рн выражено в ГПа, vh
в см3/г.
Приближённые значения рн,Ун в уравнении D.41) могут
быть определены с помощью уравнений D.16)—D.18).
В общем случае определения параметров детонационной вол-
волны в конденсированных ВВ рн, рн, D, ин и Тн требуется
знать рн = Рн(рн, Тн) и зависимость внутренней энергии Ен =
= Ен\ри, Тн), которая входит в уравнение 5 системы D.13). На
основе уравнения D.41) полуэмпирическая система уравнений
для определения параметров рн, рн, D, ин, Тн в конденсиро-
конденсированных ВВ может быть записана в следующем виде:
I РН
V0-VH
2. ин =
3. \
То

4.5. Термическое уравнение состояния
155
4. vH =
О. 1 и =
к
к+ 1
где cv — средняя молярная теплоёмкость при постоянном объёме
ПД в идеальном газовом состоянии — может быть рассчитана по
формуле
Су — У fl^Cyi,
где щ — число молей i-го продукта детонации, cvi — средняя мо-
молярная теплоёмкость i-го продукта детонации в рассматриваемом
диапазона температур (определяется по таблицам). Расчётные
и экспериментальные значения приведены в таблице 4.11. Тепло-
Теплота взрыва Q, выделяющаяся в детонационной волне, вычисляется
с помощью приближённых уравнений реакции взрывчатого пре-
превращения. Расчёты параметров в системе D.42) производятся с
использованием единиц системы СГС — [см, г, с].
Сравнение экспериментальных значений скорости детонации
D и температуры Тц с их расчётными значениями по D.42) для
различных жидких и твёрдых смесевых ВВ показало хорошее
совпадение экспериментальных и расчётных значений D и Тн
(таблица 4.11).
Таблица 4.11
ВВ
Нитро-
Нитроглицерин
Нитро-
гликоль
Метил-
нитрат
Нитро-
метан
Гексоген
тэн
Тротил
Тетрил
ДИНА
— "—
ро,
г/см3
1,60
1,50
1,21
1,14
1,80
1,77
1,62
1,70
1,67
1,48
Д м /с
опыт
7 650
7 500
6 750
6 300
8 850
8 600
7 000
7 860
8 000
7 400
расчёт
7 700
7 450
6 800
6 300
8 600
8 400
7 050
7 850
8 000
7 450
Рн, ГПа
опыт
25,8
—
—
13,3
39,0
35,0
21,2
26,3
-
-
расчёт
25,5
22,5
15,0
12,5
36,0
34,0
21,5
26,5
29,0
21,5
опыт
4 000
4 400
4 500
3 700
3 700
4 200
2 950
3 700
3 450
расчёт
4 250
4 300
4 550
3 600
3 750
4 150
2 350
2 940
3 500
3 550

156	Гл. 4. Теория детонации взрывчатых вещств
Рассмотрим ещё одно полуэмпирическое уравнение состояния
(по Чистяковскому-Вильсону):
),	D.43)
Мср
где х = рк{Т + @)~а, R — газовая постоянная.
Коэффициенты для тротила равны:
fc = 12,69; /5 = 0,096; 6 = 400; а = 0,5.
Для гексогена:
fc =10,9; /5 = 0,16; 6 = 400; а = 0,5.
Эти коэффициенты для гексогена можно использовать для лю-
любого другого ВВ, имеющего формулу Ca

Глава 5
РАЗЛЁТ ПРОДУКТОВ ДЕТОНАЦИИ В ПУСТОТУ
5.1. Разлёт продуктов детонации за фронтом
детонационной волны
Процесс детонации и разлёта продуктов детонации (ПД) мо-
может быть довольно точно описан уравнениями газовой динамики,
так как единственное допущение, которое делается при изу-
изучении этого процесса, заключается в пренебрежении потерями
на трение, теплопроводность и теплообмен. При чрезвычайной
быстроте процесса эти потери действительно исчезающе малы.
Рассмотрим плоскую детонационную волну. Пусть детонаци-
детонационная волна возникает в начале координат в момент времени
t = 0 и распространяется слева направо ((рис. 5.1) и (рис. 5.2)).
t=0
х = 0
пустота!
Рис. 5.1
Для ПД давление р, плотность р, скорость звука с, массовая
скорость и являются функциями х и t.
Изучим процесс изоэнтропического разлёта ПД (совершен-
(совершенный газ), для него справедлива следующая система уравне-
уравнений B.1), B.2) и B.4):
du 1 dp
dt рдх'
dp д(ри)
~dt+ дх
P = Apk,
= 0;
E.1)

158
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
или B.8)
д и±
2с
dt
{и±с)-
д и±
2с
к- 1
дх
= 0.
На фронте детонационной
волны, как мы знаем, эн-
энтропия возрастает по сравне-
сравнению с невозмущённой средой
(рис. 5.3). Существенно, что
всюду на фронте (для любо-
любого момента времени) энтропия
постоянна, а за фронтом вол-
волны начинается изоэнтропиче-
ское расширение газа, поэто-
поэтому необходимо решать систе-
систему уравнений для изоэнтро-
пического течения. Поскольку
параметры газа на фронте де-
детонационной волны постоянны, то область разлёта ПД пред-
представляет собой простую волну. Поэтому воспользуемся особым
решением основных уравнений газодинамики B.34):
Рис. 5.3
х = [и ± c)t ¦
2
и = ±
к- 1
F(u),
с + const.
E.2)
Так как детонационная волна распространяется слева напра-
направо, и ось Ох направлена слева направо, то мы в уравнениях E.2)
выбираем верхние знаки. Поскольку движение в момент времени
t = 0 определено в точке х = 0, то F(u) = 0. На фронте сильной
детонационной волны имеем D.16)—D.18)
D
kD
ин =
сн =
Рн =
рн =
+ 1
Л). E.3)
; i 1 ' п j i 1 ' i п ; i 1 ' гп	т
к + 1	к + 1	к + 1	к
Подставляя значения ин и с# во второе уравнение системы E.2),
находим значения постоянной:
D	2 к
или
к+ 1
const = D
k-lk+l
(к- l)-2fc
D + const,
D
к- Г
E.4)

5.1. Разлёт продуктов детонации за фронтом детонационной волны 159
Таким образом, разлёт ПД описывают уравнения
2с	D
х = [и + c)t; и —
E.5)
к-1 к-Г
В общем случае к = к(р) при расширении ПД, и тогда задачу
надо решать численно. В случае, когда к = 3, имеем:
х = (и + c)t,
D
и-с=- —.
Разрешая уравнения E.6) относительно и и с, получим:
х D	х D
E.6)
E7)
Таким образом, графики распределения скорости и и ско-
скорости звука с за фронтом детонационной волны изображаются
прямыми линиями в интервале —Dt/2 ^ x ^ Dt (рис. 5.4а).
х = -Dt/2
^D/2
При распространении волна будет
как бы растягиваться подобно са-
самой себе, т. е. мы имеем в данном
случае автомодельное движение га-
газа, поскольку х и t можно заменить
одной переменной z = x/t.
Формулы E.7) определяют и и с
как функции х и ?. Определим р и р
как (p(x,t).
На фронте волны мы имеем:
Рис. 5.4
рн =
к+ 1
РН =
к ги' "л fc+Г
где ро — плотность взрывчатого вещества.
E.8)

160
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
Так как задача изоэнтропическая и р = Арк, то известно, что
с2 = (dp/dp)s=consi и поэтому с2 = Акрк~х = fcp/p.
Для любого х справедливо
Акрк~
Для fc = 3 имеем
Р2н
или
E.9)
E.10)
Давление можно определить из следующего соотношения (для
E.11)
JL = (JL)'=(±)\
РН \PHJ	\ChJ
Подставив в уравнения E.10) и E.11) значения c(x,t) из системы
уравнений E.7), получим выражения для р и р:
з
Р =
сн
х
D
Р=
Рн
X
D
E.12)
Зная теперь уравнения E.7) и E.12), можно построить графики
распределения параметров газа за фронтом детонационной волны
для t = to (рис. 5.4а), а также характеристики в плоскостях (x-t)
и (и-с) (рис. 5.46, рис. 5.4в).
Разлёт продуктов детонации от жёсткой стенки. Для этой
задачи справедливо всё то, что мы рассматривали в предыду-
предыдущей задаче. Пусть детонационная волна начинается в начале
координат в момент времени t = 0 у стенки и распространяется
слева направо (рис. 5.5). Для решения задачи воспользуемся
уравнениями E.2), в уравнениях вновь берём знак плюс.
/ У У //////// /'////
У У У У У У .
' / // у у у /
Рис. 5.5
Проделав выкладки аналогично тому, как это было сделано
в предыдущей задаче, получим
2	D
х
и + с = -;
и —
к- 1
с = —
к- Г
E.13)

5.1. Разлёт продуктов детонации за фронтом детонационной волны 161
ри к = 3 следует:
х D	х D
5.1. Разлёт продуктов детонации за фронто
Из уравнений E.13) при к = 3 следует:
х D	х D	/г- i .ч
EЛ4)
На фронте волны имеем х = Dt. Очевидно, существует такая
линия, вдоль которой и = 0. Уравнение такой линии имеет вид
х = Dt/2, и на ней с = D/2. Таким образом, графики распре-
распределения скорости и и скорости звука с за фронтом детона-
детонационной волны изображаются прямыми линиями в интервале
Dt/2 < ж < ?>?.
В интервале 0 < х < Dt/2, и = 0, с = D/2, т.е. скорость
везде равна нулю, а скорость звука постоянна.
Так же, как и в предыдущей задаче, определяем давление
и плотность E.12) в интервале Dt/2 < х < Dt:
iT
E.15)
где	о
fc1	fc	D2
P0D2
рн	р0> CH ?TiD; №fcTT-
Определим параметры в зоне покоя ип = 0, сп = D/2. Для зоны
покоя справедливо
Рп сп Д/2 2
= =	=
рн сн 3D/4 3'
Отсюда можно определить плотность в зоне покоя:
2	24	8
Рп = дРя = здРо = дРо-
Давление определим через плотность
Рн \рн) W 27'
Отсюда имеем, что
Графики распределения параметров за фронтом детонационной
волны при к = 3 изображены на рис. 5.6.
6 Л. П. Орленко

162
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
р>р
и, с
D/2
ро8/9
\
//////у/ //
3D/4
D/4
х = Dili
x=Dt
Рис. 5.6
5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой
стенки
1. Точное решение задачи об отражении детонационной
волны от жёсткой стенки. Рассмотрим случай отражения де-
детонационной волны от жёсткой стенки. Пусть детонационная
волна начинается в начале координат в момент времени t = О
и распространяется слева направо по заряду ВВ с постоянной
скоростью D (рис.5.7).
В момент времени t = l/D детонационная волна отражается
от жёсткой стенки. При отражении образуется ударная волна
в продуктах детонации, её фронт перемещается со скоростью D^
(рис. 5.8).
х=0
х = !
Пустота
t>l/D
/
х = 0
х = 1
Рис. 5.7
Рис. 5.8

5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой стенки	163
Для области 1 справедливы соотношения E.7) при к = 3:
х D	х D	/г пч
«1 = 2г-Г Cl = 2t + T	EЛ8)
Область 2 является областью отражённой волны. Необходимо
определить изменение параметров в этой области.
Это задача одномерная, адиабатическая. Для совершенного
газа р = Арк в области 2 справедлива следующая система (гл.1
п- 1-2-5):	du __±др.
dt р дх'
др_ д{ри) _
dt+ дх -U'	E.19)
at	' дх
Для идеальной среды в области 2 справедливо:
du	I dp
dt	р дх'
dp	д(ри)
dt	дх (o.zuj
d?;	dv .
р = р(р, Е).
Для области 2 справедливы граничные условия:
/
2) при х = хуф выполняются соотношения на фронте
ударной волны C.1), C.2) и C.5).
В такой постановке задача решается численно с помощью
ЭВМ. Но существует приближённое решение в области 2.
2. Аналитическое приближённое решение задачи в обла-
области отражённой волны. Это приближённое решение является
решением в акустическом приближении.
Сделаем следующие допущения.
1.	Отраженная ударная волна считается изоэнтропической,
т.е. энтропия остается постоянной как в области 1, так и в
области 2, т.е. S\ = 52.
2.	Считаем справедливым на фронте ударной волны соотно-
шение	Щ+С1=щ + С2	E.21)
вместо обычных соотношений на фронте ударной волны.

164	Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
Область 1 представляет собой нестационарное движение газа,
поэтому движение газа в области 2 описывается общим решени-
решением основных уравнений газодинамики (при к = 3) (см. B.43)):
х = (и2 + с2) t + F\ (и2 + с2),
E.22)
х = (и2 - с2) t + F2 (и2 - с2).
Надо определить функции F\ и F2. Они определяются из
следующих условий D.7): щн + с\ц = D — когда детонационная
волна ещё не дошла до стенки. В момент отражения детонацион-
детонационной волны от стенки справедливо соотношение: и\н + с\н = D =
= щ + с2, при t = l/D, x = /, u2 = 0, т. к. стенка жёсткая. Тогда
в момент отражения детонационной волны от стенки D = с2 при
t = l/D, x = I. Подставляя в E.22) значения с2, t и х, находим
F\ и F2:
l = @ + D) + Fl9
l = @-D)± + F2.
Отсюда
Fx =0, F2 = 2/.	E.23)
Окончательно получаем решение:
х = (uo + со) t,
E.24)
х = (u2 -c2)t +21
Систему E.24) можно разрешить относительно щ и с2:
щ = ^, с2 = 1-.	E.25)
Это решение неавтомодельно, т. к. щ и с2 не зависят от парамет-
параметра z = x/t. На рис. 5.9а для фиксированного момента времени t
приведены графики зависимостей щ и с2 от х.
Полученное решение совпадает в пределах 10% с точным
численным решением уравнений E.19) и E.20).
Определим закон движения фронта отражённой ударной вол-
волны D2. Для акустического приближения
Щ-С1+Щ- С2
D2 =	g	'	E.26)
т. к. по E.21) щ + с\ = щ + с2, то щ — с2 = щ — с\.

5.2. Отражение детонационной волны от жёсткой стенки	165
Тогда, с учётом E.18) и E.25),
х D I
Так как Do =
t, то
х2 D
E.27)
E.28)
dt 2? 4 t
Интегрируя уравнение E.28) при следующих начальных услови-
условиях: t = l/D, x = 1, получаем:
dx2 Х2 D I
~dt ~ Yt~ ~\~ ~t
E.29)
E.30)
,„Л
и, с
21 t
Рис. 5.9
Скорость звука с и массовая скорость и имеют разрыв на
фронте отражённой ударной волны (рис. 5.9а). На рис. 5.96
представлены характеристики для этой задачи в плоскости (x-t).
Область 0123 — простая волна (характеристики С+), 234 —
область отражённой волны (характеристики С+ и С_).
3. Определение импульса при отражении детонационной
волны от жёсткой стенки. Удельный импульс давления на
жёсткой стенке определяется следующим соотношением:
оо
г = | Р2 (t) dt.
l/D
E.31)

166	Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
Здесь р2 if) — давление при отражении волны.
Для к = 3 справедливо равенство
E.32)
Рн \Рн/
В свою очередь
Ъ- = Л?-.	E.33)
сн Рн
Тогда давление р2 (t) (c учётом 5.25) определяется соотношением
Рн [Iх3
сн \L
Подставляя E.34) в E.31), получаем при интегрировании
оо
г=	 -¦¦ |/d 42
1 ID2
2t2
l/D
Таким образом, удельный импульс г определяется следующим
соотношением:	^
г = 27 А)Ш.	E-36)
Полный импульс на жёсткую стенку равен
где 5 — площадь трубы, М — масса заряда ВВ.
При отражении волны от жёсткой преграды давление равно:
о	О
() ^	E.38)
Это значение давления завышено для реальных преград. Если
преграда металлическая, то с учётом сжимаемости преграды
давление отражения равно:
-	E.39)
С учётом сжимаемости преграды значение удельного импульса
будет меньше: для стали на 10%, для воды на 20% по сравнению
с импульсом на жёсткой стенке E.37).

5.3. Активная масса взрывчатого вещества
167
5.3. Активная масса взрывчатого вещества
При взрыве заряда ВВ на поверхности плиты не вся энергия
заряда передаётся плите. Масса той части заряда ВВ, которая
передаёт энергию плите, называется активной массой. Активная
масса заряда действует в данном направлении, остальная часть
заряда разлетается вверх и в сторону (рис. 5.10).
V
45° у
^^ч yv
Ж
го
/
J
газ
активная масса
Рис. 5.10
Ма	\
Рис. 5.11
Методы определения активной массы
1.	Детонацию заряда считаем мгновенной, т. е. D —> ос. Этим
методом можно определять активную массу заряда для
любых случаев.
2.	Расчёт активной массы с учётом конечной скорости дето-
детонации заряда. Учет конечной скорости детонации сильно
усложняет определение активной массы.
Определение активной массы ВВ при мгновенной детона-
детонации. Мгновенная детонация означает, что в объёме заряда ВВ
мгновенно сдетонировало и из твёрдого состояния перешло в га-
газообразное. В этом же объёме мгновенно установилась среднее
давление, определяемое по следующей формуле:
E.40)
плотность ПД при мгновенной детонации р = pQ.
Этот газ начинает расширяться, какая-то его часть разлета-
разлетается в интересующем нас направлении; этот объём газа и опре-

168
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
деляет объём, занимаемый активной массой ВВ при мгновенной
детонации (рис. 5.11).
Для мгновенной детонации активная масса для цилиндриче-
цилиндрического заряда, у которого высота / ^ 2го (го — радиус заряда)
определяется следующим образом (рис. 5.11):
Ма = ^тггдРо-	E.41)
Определение активной массы ВВ с учётом конечной ско-
скорости детонации. Рассмотрим определение Ма для цилиндри-
цилиндрического заряда без боковой оболочки (рис. 5.12а). Разобьём эту
задачу на две задачи. Сначала рассмотрим задачу о детонации
заряда ВВ в жёсткой трубе (рис. 5.126). Бокового разлёта ПД
нет.
D
Детонация начинается сверху. Когда детонационная волна
достигнет нижнего конца заряда, то вверх по продуктам дето-
детонации пойдёт волна разрежения. Когда эта волна разрежения
догонит фронт разлёта ПД, по ПД вниз пойдёт новая волна
разрежения. Разлёт ПД в этих волнах разрежения описывается
решением уравнений газодинамики. За время t —> ос ПД полно-
полностью разлетаются вверх и вниз по трубе. Если решать эту задачу
в такой постановке, то можно определить, что вверх разлетается
5/9 массы заряда, а вниз — 4/9 массы заряда. Таким образом,
активная масса в этом случае равна
Ма = -
E.42)
Теперь учтём только боковой разлёт ПД. Заштрихованная
часть заряда на рис. 5.13 разлетается в направлении,
перпендикулярном оси заряда. В конусе а /?7 движение ПД
осуществляется только по оси ж, бокового разлёта нет.

5.3. Активная масса взрывчатого вещества
169
Рис. 5.13
Рис. 5.14
Волна разрежения достигнет оси заряда за время t =
— средняя скорость фронта волны разрежения. За это же
время детонационная волна пройдет расстояние Ь = Dt, поэтому
справедливо соотношение
? ^	E.43)
E.44)
Скорость волны разгрузки равна свр ~ D/2. Тогда
Ъ = 2г.
Определим длину заряда, для которого при данном диаметре
активная масса была бы максимальной (рис. 5.14). С учётом
бокового и осевого разлёта, активная масса равна
1	2
= -тгго2г/9О = g
При этом Ь = 4/Пр/9 = 2го, тогда
9
2'
E.45)
E.46)
Формула E.46) определяет связь длины заряда / с его ра-
радиусом при максимальной активной массе. Если ещё увеличить
длину заряда, то активная масса всё равно остается постоянной.
Если брать длину заряда / < /пр, то активная масса будет
равна массе ВВ в усечённом конусе, высотой 41/9 (рис. 5.15).
В этом случае

170
Гл. 5. Разлёт продуктов детонации в пустоту
Ма =
16 I2
E.47)
В заключение отметим, что
определение активной массы при
мгновенной детонации носит гео-
геометрический характер и может быть
осуществлено практически для за-
зарядов ВВ любой формы. Но точ-
точность определения Ма этим мето-
методом низкая.
Сравним активную массу ци-
цилиндрического заряда, определён-
определённую двумя методами (см. формулы
E.41) и E.45)). Мы видим, что это
различие достигает 100%. Опреде-
Определение активной массы с учётом конечной скорости детонации
возможно только для простейших случаев.
5.4. Методы теоретического изучения разлёта
продуктов детонации для одномерного течения
идеальной среды
Выше был рассмотрен разлёт ПД для плоского одномерного
движения совершенного газа и найдено соответствующее анали-
аналитическое решение.
Уравнение изоэнтропы ПД использовалось в виде р = Арк.
При разлёте ПД в пустоту такое уравнение не является доста-
достаточно точным, и необходимо использовать уравнение изоэнтропы
ПД более сложного вида р = р(р) (см. п. 4.4). Но в этом случае
нельзя найти аналитическое решение даже для плоского одно-
одномерного разлёта ПД. Нельзя найти аналитическое решение и для
разлёта ПД для одномерных сферической и цилиндрической
задач, а также для неодномерного разлёта ПД при любом виде
изоэнтропы ПД.
При современном развитии ЭВМ эти задачи могут быть ре-
решены численно. В качестве примера рассмотрим математическое
описание разлёта ПД в пустоту для одномерного разлёта с то-
точечной симметрией (сферическая задача). Детонация начинается
в точке (центре заряда) и распространяется с постоянной скоро-
скоростью детонации к поверхности заряда, радиусом tq. До момента
времени t ^ tq/D задача будет изоэнтропической, по той же

5.4. Теоретическое изучение разлёта ПД	171
причине, что и в плоской задаче. Затем в период времени t >
> tq/D начинается разлёт ПД в пустоту.
Этот разлёт так же является изоэнтропическим движением;
на границе пустоты и ПД все параметры р, Т, р, с, кроме
скорости, равны нулю.
Движение ПД как за фронтом детонационной волны, так
и при разлёте описывается одной и той же системой уравнений
(см. п. 1.2):
аи 1 up
dt p <9r'
Эр 8{ри) 2ир = 0	E.48)
dt dr	r
р = р(р).
Уравнение изоэнтропы р = р(р) имеет любой вид. Для
t ^ tq/D используются начальные и граничные условия.
Начальные условия: при t = 0, р = pq, р = р$, и = 0 для
г0 > г ^ 0.
Граничные условия: при г = 0 и = 0 и при г = Dt, p =
= ря, ^ = ин, р = рн\ здесь ря, ин, рн — параметры в точке
Чепмена-Жуге.
При t > tq/D вместо условия на фронте детонационной волны
появляется новое граничное условие на границе ПД-пустота,
т. е. при г = гпд, р = р = 0.
В настоящее время для изучения разлёта ПД для одномер-
одномерных, двумерных и трёхмерных задач существуют программы для
численного интегрирования системы дифференциальных уравне-
уравнений (типа E.48)) с начальными и граничными условиями.

Глава 6
РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА НА
ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД
При распространении ударных волн параметры среды перед
фронтом УВ связаны с параметрами среды за фронтом УВ урав-
уравнениями, соответствующими законам механики (см. гл. 3).
Но существуют поверхности разрыва параметров среды, в ко-
которых параметры по обеим сторонам поверхности разрыва не
связаны между собой. Эти поверхности разрыва называются про-
произвольными. Такие поверхности возникают, например, при отра-
отражении детонационной волны от границы ВВ-среда и при соуда-
соударении двух тел. Возможны следующие комбинации ударных волн
и волн разрежения после распада произвольного разрыва: две
ударные волны, ударная волна и волна разрежения и две волны
разрежения. Ниже рассмотрены первые два случая распада про-
произвольного разрыва, возникающего в ряде практически интерес-
интересных случаев. Аналитическое определение параметров ударных
волн после распада произвольного разрыва позволяет определить
("мгновенные") значения параметров УВ на границе двух сред.
Поскольку начальные параметры определяются в начальный мо-
момент времени (? = 0) распада произвольного разрыва, то они не
зависят от геометрии границы двух сред (плоская, сферическая,
цилиндрическая границы), где возникает произвольный распад.
Во многих случаях, например, при отражении детонацион-
детонационной волны от плотной среды, при переходе УВ из одной среды
в другую, при соударении с большой скоростью твёрдых тел, на
границе раздела двух сред возникают ударные волны или УВ
и волны разрежения. Начальные параметры УВ, возникающие
при этом на границе раздела двух сред, могут быть определены
с помощью закона действия и противодействия и условия нераз-
неразрывности среды, в силу которых давления и скорости на границе
двух сред должны быть одинаковыми в обеих средах:
Pl=P2=PX,
щ = щ = их,

6.1. Отражение детонационных волн от различных сред	173
где р\, щ — давление и массовая скорость в первой среде;
Р2, щ — давление и массовая скорость во второй среде.
Поскольку давление и скорости на границе двух сред в рас-
рассматриваемом случае должны быть равны, то решение всех част-
частных задач при определении начальных параметров волн на гра-
границе двух сред сводится к тому, что необходимо найти зависимо-
зависимости р = р{и) (ударные адиабаты или изоэнтропы) в обеих средах,
и их совместное решение и определяют искомые значения рх
и их.
Возможны различные конкретные задачи о распаде произ-
произвольного разрыва.
При детонации заряда ВВ в контакте с плотной средой (на-
(например, с металлом) происходит удар ПД о плотную среду,
в которой возникает ударная волна; по ПД при этом будет
распространяться ударная волна. При ударе же детонационной
волны о среду с малой плотностью (например, воздух) в ПД рас-
распространяется волна разрежения. Значения начальных парамет-
параметров УВ зависят от свойств ВВ (плотности, скорости детонации
и т.п.) и плотности, а также сжимаемости среды, на которую
падает детонационная волна.
При отражении УВ от границы двух сред во второй среде
всегда возникает УВ, а в первой среде распространяется отра-
отражённая УВ или волна разрежения. При соударении двух твёрдых
тел с большой скоростью будут распространяться УВ в обоих
телах.
Во-первых, рассмотрим отражение детонационной волны от
границы двух сред: ВВ и произвольной среды. Во-вторых, рас-
рассмотрим определение начальных параметров при отражении УВ
от границы двух плотных сред. В-третьих, определим начальные
параметры У В при ударе двух твёрдых тел.
6.1. Отражение детонационных волн от различных
сред
1. Рассмотрим случай, когда давление рх на границе "ВВ-
произвольная среда" больше, чем давление рн на фронте детона-
детонационной волны. Распределение давлений до и после отражения
детонационной волны от границы произвольной среды представ-
представлено на рис. 6.1. Скорость ПД за фронтом детонационной волны
будет равна (см. D.18))
DH
UH = 1——г,
к + 1

174
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
где Dh — скорость детонации, а к — показатель изоэнтропы
продуктов взрыва. В результате отражения детонационной волны
от преграды возникает отражённая УВ в ПД, за фронтом этой
УВ скорость равна щ. Давление за фронтом отражённой волны
равно рх. За начальные параметры У В в среде принимают рх
и их, а перед фронтом волны давление равно рн, следовательно,
скорость (см. 3.4)
~ Рн) 0# -
F.2)
где vh = ^1 рн — удельный объём ПД на фронте детонацион-
детонационной волны;
vx = \/рх — удельный объём ПД на фронте отражённой
волны.
отраженной УВ
Рис. 6.1
Очевидно, что скорость границы раздела
их = ин — щ.	F.3)
Так как для ПД справедлив изоэнтропический закон р = Арк,
где для конденсированных ВВ к = 3, то с помощью уравнения
C.12) можно получить ударную адиабату для ПД в следующем
виде:
Vx_= (fc+ l)pH + (k- \)px = (fc- lOT+(fc+ 1)
vH " (k
+ (fc+ l)Px (fc 4- 1) 7Г + (fc — 1)'
где 7г =рх/рн.
Уравнение F.2) преобразуем к следующему виду:
F.4)
(тг - 1) 1 -
vH
F.5)
Подставим в это уравнение значение vx/vh из уравнения F.4):
тг- 1

6.1. Отражение детонационных волн от различных сред	175
Так как для сильной детонационной волны справедливы соотно-
соотношения (см. 4.16, 4.17)
к + 1	PbbD2
h
где рвв — начальная плотность ВВ, то
DH
V2k.
к+ 1
Следовательно, формулу для скорости щ можно записать в виде
щ =
Уравнение F.3) теперь можно представить в следующей форме:
y/(k+l)ir + (k-l)Ju
С другой стороны, при отражении детонационной волны от
границы раздела, по произвольной среде будет распространяться
У В с давлением на фронте рх; скорость же частиц за фронтом
этой волны равна скорости границы раздела их, следовательно,
согласно уравнениям C.4),
их = \/{Рх ~ Ро) Ы ~ vx),	F.7)
где ро ~~ начальное давление в произвольной среде;
г^о — удельный объём невозмущённой произвольной среды;
vx — удельный объём произвольной среды за фронтом УВ.
Пренебрегая р0 по сравнению с рх и приравнивая уравнения
F.6) и F.7), получаем
Для определения давления рх на границе раздела необходимо
знать динамическую сжимаемость рассматриваемой среды.
Если динамическая сжимаемость произвольной среды может
быть выражена уравнением вида C.94),
— ) +В,	F.8)

176
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
то давление рх следует определять из следующего равенства:
ит =
Рн
k+l
7Г —
\
Po \ \Px- В I
F.9)
Рис. 6.2
Параметры А, В и п для ряда
твёрдых тел приведены в гл. 3 (см.
табл. 3.3).
На рис. 6.2 графически пред-
представлены уравнения F.9). В
табл. 6.1 приведены значения рх для
различных твёрдых сред, причём
при расчётах были использованы
данные табл. 3.3. В качестве ВВ
использовался гексоген: рвв =
= 1,65 г/см3, D = 8, 35 км/с.
Таблица 6.1
Параметры Воздух
рх, МПа
их, км/с
Ас, КМ/С
82,5
7,75
8,52
Вода
1,91-104
2,92
6,4
Дюралюминий
3,57-104
1,665
7,56
Титан
4,02-104
1,39
6,29
Сталь
4,63-104
1,06
6,29
Медь
4,8-104
1
5,29
Расчётные и экспериментальные значения рх и их для дюра-
дюралюминия различаются не более чем на 6%.
Для контроля величины рх может служить уравнение, полу-
полученное на основе C.2) и C.98а):
Рх = PoDxux = ро (со +
их
2. Определим теперь начальные параметры УВ в плотной сре-
среде при отражении детонационной волны от её поверхности, если
давление на границе "ВВ-среда" рх < рн (см. рис. 6.3). Этот слу-
случай, например, имеет место при отражении детонационной волны
от поверхности воды, если рвв > 1 г/см3. Поскольку рх < рн, то
по продуктам взрыва будет распространяться волна разрежения.
Скорость их границы раздела "ПД-среда" будет равна скорости
пц ПД за фронтом детонационной волны плюс скорость в волне

6.1. Отражение детонационных волн от различных сред
177
разрежения uv, определяемая выражением (см. B.12))
F.10)
где v — удельный объём ПД.
Рн
л
Граница /
раздела /
«о = О
Р0
X
Волна
У разрежения
Рн
\ Граница
\ / раздела
Рх
Ux
^ \ Фронт УВ
Щ = 0
^0
X
Рис. 6.3
Если связь между давлением и плотностью определяется со-
соотношением р = Арк, то, используя F.10), получаем
2сн_
к- 1
1- *
F.11)
где с2н = крн/рн-
Следовательно, скорость границы раздела будет равна
к- 1
Рн
ин,
F.12)
(при истечении ПД конденсированных "ВВ-воздух" это соотно-
соотношение не верно, т. к. для ПД до давления pk > 0, 2 ГПа прибли-
приближённо справедлив закон р = Вр^, а для р < Рк закон р = Ар1^,
причём в воздухе рх < 0, 1 ГПа).
Определим из F.12) рх:
Рх = РН ( 1 - (их ~ UH)
F.13)

178	Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
Давление в ударной волне (в воде), возникшей при отражении
от воды детонационной волны, равно
Рх = PoDxux,
F.14)
где ро ~~ начальная плотность среды.
Для воды экспериментальная ударная адиабата имеет вид
Dx = 1483 + 25306 lg {1 + ^ } м/с.
F.14а)
Так как давление рх и скорость их на границе раздела ПД
и среды равны, то
/
Рх = Рн ( 1 - (их -
2сн
= PoDxux =ф А = В.
F.15)
Графики зависимостей F.13) и F.14) представлены на рис. 6.4.
Для конденсированных ВВ при к = 3 D.19)
Рн =
Dh	3
= —, cH = -DH.
Для ВВ при плотности рвв = 1,65 г/см3, давление рх в воде
равно около 19,1 ГПа (табл. 6.1).
в
и,
i
\
1
к i
их
4 X
X
Pi
——1
к \
\
\
V
1
1
1
1
1
1
1
1
k 1—^ ^
' °
к X
Рис. 6.4
Рис. 6.5

6.1. Отражение детонационных волн от различных сред
179
3. Рассмотрим отражение детонационной волны от границы
"ВВ-воздух". Эпюры скоростей и давлений для этого случая
показаны на рис. 6.5.
Определим связь между скоростью и и давлением р в волне
разгрузки, которая распространяется в ПД с помощью инвари-
инварианта Римана B.12): du = ^—dpdv ,
- uH = yj-dpdv = / (ux).
F.16)
VH
Если известна изоэнтропа ПД р = p(vx), то, исключая из
уравнения F.16) vx, получаем
их-ин = <р(рх) •	F.17)
Ударная адиабата воздуха в форме рх = рх (их) с учётом
процессов ионизации и диссоциации в табличной форме задана
в табл. 3.1 (гл. 3).
Пересечение изоэнтропы F.17) и ударной адиабаты воздуха
Рх = Рх {цх) определяет искомое значение параметров УВ в воз-
воздухе рх и их (см. рис. 6.6). На рис. 6.6 нанесены две ударные
адиабаты воздуха A и 3), соответствующие двум различным
начальным давлениям в воздухе, 2 — изоэнтропа ПД F.17).
Рис. б.б
Рис. 6.7
Теперь рассмотрим приближённое решение этой задачи. Изо-
энтропу F.16) аппроксимируем двумя простейшими уравнения-
уравнениями р = Арк и р = Ахр1 (см. рис. 6.7). В этом случае уравнение
F.16) примет вид их = ин + и^\ + Щ2, где г^Р1 — это скорость,
соответствующая разгрузке от рн до рь a uV2 — от pk до рх.
2	2
Величины г^р1 = j—j(CH~Ck^ uv2 = —Tj(Ck~Cx^ CM'
B.76).	7

180	Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
Так как с
к\\ \р)	I 7 1 \ \Рк)
F.18)
Ударная адиабата воздуха, согласно C.44) и C.45), может быть
представлена в виде
Можно принять следующие приближённые значения парамет-
параметров: рк ^0,2ГПа, fc = 3, 7= 1,3, кэ= 1,18.
Уравнения F.18) и F.19)
Рн>
D
определяют параметры рх
и их.
4. Теперь определим
вв	начальные параметры УВ
в плотной среде (в воде,
металлах), если скорость ПД
\УВ Среда в направлении плотной среды
равна нулю. Этот случай,
ис' '	очевидно,	соответствует
скольжению детонационной волны вдоль поверхности плотной
среды (см. рис. 6.8). Начальное давление в газе (ПД) пусть
равно рн, скорость звука сн, плотность рц. Под действием
мгновенно приложенного давления граница раздела "газ-плотная
среда" начнет перемещаться в сторону плотной среды. По газу
при этом пойдёт волна разрежения, а по плотной среде — УВ
(рис. 6.9).
Скорость частиц в волне разрежения щ = их определяется
выражением F.11)
где сх и рх — скорость звука и давление, соответствующие
скорости их.
Определим рх из этого уравнения:

6.1. Отражение детонационных волн от различных сред	181
к и
Рис. 6.9
Давление рх в ударной волне в плотной среде будет равно
рх = PoDxux.	F.22)
Следовательно, скорость их и давление на границе раздела сред
рх можно определить из следующих уравнений:
Рх = Рн ( 1 -
к- 1
Ux\
сн)
2к/(к-\)
= p0Dxux.
F.23)
Вид функции Dx = Dx (ux) для многих веществ приведен
в табл. 3.5 (гл. 3). Например, если плотная среда — медь (Dx =
= 3958+ 1,497их) и характеристики ВВ будут таковы: рвв =
= 1,6 г/см3, Dh = 6960 м/с, то рх = 15,6ГПа. Если же имеет
место отражение детонационной волны от медной плиты, то дав-
давление на границе "ВВ-медь" почти в два раза больше давления
в рассмотренном случае (см. табл. 6.1).
Если детонационная волна скользит вдоль газовой среды
(например, воздуха), то ударная адиабата воздуха определяется
уравнением F.19), а изоэнтропа ПД либо уравнением F.17) при
ин = 0, либо уравнением F.18) при пц = 0.

182
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
6.2. Отражение У В от границы двух инертных сред
1. Пусть из первой среды во вторую среду переходит У В
с известными параметрами (рис. 6.10).
Если динамическая жёст-
жёсткость второй среды, т. е. про-
произведение плотности на ско-
скорость волны, больше динамиче-
динамической жёсткости первой среды, то
от границы этих сред будут рас-
распространяться две УВ:
отражённая и проходящая.
Если же динамическая жёсткость второй среды меньше дина-
динамической жёсткости первой среды, то отражённая волна будет
волной разрежения, а проходящая волна во второй среде будет
ударной.
В первом случае на фронте УВ имеем следующие соотноше-
соотношения:	2
Он - Ux) = [рх - рн) Он - Vlx)
l (	) (	)
Рис. 6.10
ul = (Рх ~ Р20) (V20 ~
Первое уравнение относится к первой среде, а второе — ко
второй среде, причём в этом случае рх > рн.
Распределение давлений и скоростей в двух средах изобра-
изображены на рис. 6.11. Параметры падающей волны имеют индекс
"н", начальные параметры второй среды — индекс 0", а первой
среды 0". В силу законов сохранения импульсов и массы,
давления рх и скорости их частиц за фронтом отражённой волны
в первой среде и проходящей волны во второй среде должны
быть равны.
Рш
t
Ux
Рис. 6.11
Плотность за фронтом отражённой волны р\х = \/v\x и за
фронтом проходящей волны р^х = 1/^2х- Из уравнений F.24)

6.2. Отражение У В от границы двух инертных сред	183
получим соотношение для определения рх\
ия ~ \/{Рх - Рн) Он - Ух) = \/Рх (^20 - У2х) •	F-25)
Начальным давлением р2о> обычно равным 105Па, по сравнению
с рх можно пренебречь.
Для определения рх необходимо знать динамические сжима-
сжимаемости первой среды рх = f (v\x) и второй среды рх = ip(y2X).
Удобно представить эти соотношения аппроксимирующими урав-
уравнениями: для первой среды надо использовать ударную адиабату
двойного сжатия
/ v \
= Ai — )
пх
F.26)
Поскольку ударная адиабата двойного сжатия лежит между
ударной адиабатой однократного сжатия и кривой "холодного"
сжатия, то для металлов при р < 50ГПа можно в первом прибли-
приближении использовать вместо ударной адиабаты двойного сжатия
ударную адиабату однократного сжатия (см. гл. 3).
Для второй среды ударную адиабату однократного сжатия
px = A2(V-^ Y + В2.	F.27)
\V2xJ
Подставим эти выражения в формулу F.25):
\
1/пГ
\
С помощью уравнения F.28) графическим методом или мето-
методом подбора определяется начальное давление на границе двух
сред.
Если ударная адиабата задана в форме D = cq + Аг^, то ско-
скорость их на границе раздела определяется из квадратного урав-
уравнения. В этом случае для первой среды получим для двукратного
ударного сжатия уравнение
Рх-Рн = ря Он - их) (сО1 + Ai Он - их)),	F.29)
для второй среды уравнение
Рх ~ Р20 = P20Ux (сО2 + Х2их) •	F.30)

184	Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
Из этих двух уравнений найдём соотношения для определе-
определения их и рх:
Рх=Ри + ря (ин - их) (сО1 + Ai (ин - их)) =
х (с02 + А2г^). F.31)
Рассмотрим случай, когда волна, падающая на границу двух
сред, слабая. Введём обозначения а\ = v\x/vH, а2 = Щх1щъ- То-
Тогда из уравнения F.24) получим
9	(о. 61)
()A )
РнОн ~uxf = {рх -рн)A -
р20их = (рж-Р2о)A -а2).
Скорость звука слабой волны определяется выражением
о	о Ар	А г; Ар
С = — V -т—, ИЛИ
Это выражение можно переписать в виде 1 — а = —jr.
pcz
Если положить ai = v\x/vu, Ар = рх — рн, р = ря? с = сн, то
с помощью уравнения F.32) получим
Рх ~ Рн = РнСн (глн - их).	F.33)
Аналогично из второго уравнения F.32) найдём рх, пренебрегая
начальным давлением р2о по сравнению с рх,
Рх = P2OC2OUX-	F.34)
Поскольку плотность и скорость звука при похождении сла-
слабой волны меняется мало, то с большой точностью можно по-
положить ря « piQ, сн « сю- Например, для углеродистой стали
Рн/р\о = 1,004 при р = 1, 17ГПа согласно экспериментальным
данным.
Из уравнений F.33) и F.34) получаем скорость их и давле-
давление рх:
2/92оС2О	,п on
рх =	¦	рн.	F.35)
PC + Р^
2. Теперь рассмотрим отражение УВ от границы двух сред
в том случае, если динамическая жёсткость второй среды
меньше динамической жёсткости первой среды, при этом
отражённая волна будет волной разрежения. В этом случае
Рх < Рн (см. рис. 6.12). Скорость частиц в волне разрежения

6.2. Отражение У В от границы двух инертных сред
185
в первой среде будет определяться с помощью соотношения
B.12) du = ^/—dpdv .
Р1
Up
н
и l
У
'-г
I
I
I
Рис. 6.12
Следовательно, скорость границы раздела
Рх
Ux = Uu+ л/^С
F.36)
Скорость во второй среде определяется вторым уравнением
F.24). Если пренебречь р2о в уравнении F.24) относительно рх,
то из сравнения с формулой F.36) получим
F.37)
Для определения интеграла в этом выражении положим, что
изоэнтропа расширения совпадает с ударной адиабатой, которая
определяется выражением F.26), тогда уравнение F.37) можно
привести к виду
А = В. F.38)
Это уравнение, при известных уравнениях F.26), позволяет
определить начальное давление рх и скорость их в проходящей
волне. Графически эти уравнения представлены на рис. 6.13.

186	Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
Р*
щ
Рис. 6.14
6.3. Соударение двух твёрдых тел
Пусть твёрдое тело 1 падает со скоростью Щ на неподвижную
преграду 2 (рис. 6.14). Определить параметры У В в первом
и втором телах — значит определить давление рх, возникающее
при ударе, и скорость их границы раздела (см. рис. 6.15).
До соударения
и.
>р
\
t
X
к и
	!»>
После
соударения
®
©
Pig
X
Рис. 6.15
Примем те же обозначения, что и в предыдущем случае,
различие состоит лишь в том, что перед фронтом отражённой
волны в первом теле параметры будут иметь значения Щ, рю,
Рю, где рю и рю ~~ давление и плотность несжатой среды. Тогда

6.3. Соударение двух твёрдых тел
187
для первого и второго тел (см. F.24))
(Щ - uxf = {рх - р10)
^х = (Рх ~ Р20) (^20
При составлении этих уравнений принято, что по обе стороны
границ раздела скорости и давления равны вследствие условия
непрерывности среды и закона о действии и противодействии.
Используя уравнения динамической сжимаемости сред в виде
F.26), можно из равенства F.39) получить соотношение
ux = U0-
\
Рх -Р\0
Р\0
Ax
Px -
\
Рх ~ Р20
F.40)
При больших скоростях удара начальными давлениями р10
и р20 можно пренебречь по сравнению с рх.
Если первая и вторая среды состоят из одного и того же
материала, то из выражения F.40) сразу следует, что скорость
границы раздела их = Uq/2. В этом случае рх можно так же
определить по формуле
Рх = PaUxD = Ра^
Если ударные адиабаты первого и второго тел представлены,
соответственно, уравнениями
F.42)
= С02
для одинаковых тел
Рх = р\о (Щ - их)
—,
рх = p2ouxD2, D\ = D2, u
то при ударе этих тел давление рх равно
Рх = Рю (Uo ~ их) (coi + Ai (Uo - их)),
( \ \ \
Рх = P20ux (С02 + Л2их) .
Исключив отсюда рх, получим уравнение для определения их:
\ЬА6)
Ux
= 0. F.44)

188
Гл. 6. Распад произвольного разрыва на границе двух сред
Если первое и второе тела состоят из одного материала (рю =
= р2а, Ai = A2, cqi = C02), то получим, что их = Uq/2.
В таблице 6.2 приведены данные о начальных давлениях рх,
скоростях границы раздела их, определённых по формуле F.40)
и скоростях УВ во второй среде D^x = рх/р20их в зависимости
от скорости удара Щ для различных комбинаций соударяющихся
тел.
При расчёте использовались динамические уравнения сжима-
сжимаемости из гл. 3.
Если скорость соударения двух тел небольшая, т. е. имеет
место упругое соударение с некоторой скоростью Uq, то можно
записать уравнения F.33) и F.34) применительно к соударению
двух тел в виде
Рх ~ Р\0 = РяСя (U0 - Ux) ,
Рх - Р20 =
F.45)
Таблица 6.2
Начальные параметры двух сред при соударении со скоростью Щ
Первая
среда
сталь
сталь
сталь
сталь
сталь
сталь
Вторая
среда
сталь
сталь
сталь
дюраль
дюраль
дюраль
км/с
2,5
5
10
2,5
5
10
Рх ¦ Ю-5,
МПа
0,585
1,590
4,750
0,354
0,907
2,620
м/с
1250
2500
5000
1640
3280
6550
D2x,
м/с
5840
7950
11800
7620
9750
14100
Разница заключается в том, что мы приняли рн = рю, так
как ударяющее тело перед фронтом отражения волны находится
в невозмущенном состоянии с давлением рю-
Полагая, что давления невозмущенных сред равны, т. е. ра =
= Рю = Р20, а также р10 = рн, с\а = сн, из уравнения F.45)
получим:
их = 	Р10СЩ	^	рх_ра= Р10Й0Р20С20 U(j_ F46)
Р20с20 + Р\0сЮ	Р20с20 + Р\0с\0
Эти соотношения устанавливают связь между скоростью уда-
удара и начальными параметрами акустических волн, возникающих
при ударе двух тел.

Глава 7
ВЗРЫВ В ВОЗДУХЕ
7.1. Физические представления о процессе взрыва
в воздухе
Рассмотрим процесс детонации заряда в воздухе на примере
сферического заряда.
Пусть детонация заряда начинается в центре О (рис. 7.1). От
поверхности заряд-воздух при отражении фронта детонационной
волны в воздух пойдёт ударная волна (УВ), а в продукты дето-
детонации (ПД) — волна разрежения (ВР) (рис. 7.2).
Рис. 7.1
Рис. 7.2
В момент, когда ПД расширяются до сферы некоторого пре-
предельного радиуса гпр, давление в ПД будет равно давлению
в окружающей среде, т.е. рпд — Ро- Эпюра давлений для этого
момента представлена на рис. 7.3.
Оценим величину предельного радиуса, при котором давле-
давление в ПД (рпд) равно давлению в окружающей среде ро-
Для сферы Кр/% = (Vnp/Vo) , где Vu? — предельный объём
ПД, Vo - объём ВВ.

190
Гл. 7. Взрыв в воздухе
Известно, что для типичных ВВ значение
Vo = 0, 625 л/кг, тогда гпр = г0 ^/1000/0,625
C0
1000 л/кг, а
^	12г0.
Для цилиндрического заряда гпр « C0—40) го, т.е. после
расширения ПД до гпр, У В уже не поддерживается ПД, и её
интенсивность уменьшается за счёт образования отрицательной
фазы давления (рис. 7.4).
Рис. 7.3
Рис. 7.4
По инерции ПД проскакивают границу равновесия давлений
гпр, и образуется волна разрежения. Затем ПД начнут сжимать-
сжиматься обратно к центру за счёт давления в окружающей среде ро-
Для момента, когда ПД достигнут границы гпр, распределение
давлений показано на рис. 7.4. Продукты детонации по инерции
продолжают двигаться к центру и проскакивают положение рав-
равновесия и постепенно сжимаются. Распределение давления в мо-
момент образования волны сжатия выглядит следующим образом
(рис. 7.5). Максимальное давление Ар достигается в тот момент,
когда радиус ПД достигает минимума гпдшт (рис. 7.5).
ВС
/"од "Т
Рис. 7.5
Рис. 7.6
Сжавшись до гпдтт» ПД начинают вновь расширяться. Рас-
Распределение давления в момент, когда гпр = гпд выглядит сле-
следующим образом (рис. 7.6). В этот момент времени в воздухе
распространяется ударная волна (УВ), волна разрежения (ВР)
и волна сжатия (ВС).

7.2. Определение импульса взрыва в воздухе
191
7.2. Определение импульса взрыва в воздухе
Удельный импульс взрыва на единицу площади определяется
следующим образом:
г =
—po)dt, для г = const.
G.1)
Давление p(t) для г = const можно измерить пьезодатчиком или
определить из численного решения на ЭВМ. В каждой области
зоны У В имеется р(?), а также определённый импульс J2rniui
(рис. 7.7). Здесь Ш{ — масса %-й частицы среды, щ — массовая
скорость г-й частицы среды.
Общий импульс при взры-
взрыве (вектор) равен нулю. Нас
же интересует импульс, получен-
полученный путём сложения абсолют-
абсолютных значений mi \щ\.
Общий импульс можно опре-
определить через удельный импульс:
где S — площадь, на которую
воздействует импульс взрыва.
Общий импульс можно также
рассчитать, используя импульсы
отдельных частиц:
Исключая щ, получаем
Для системы частиц:
п
Рис. 7.7
i=\	i=\
Возникает вопрос, можно ли написать:
J = V2ME , где М =
2 '
G.2)
G.3)
G.4)
G.5)
г=1

192	Гл. 7. Взрыв в воздухе
Такое равенство нестрого, но если число частиц велико (п —> ос),
то
J = H2ME.	G.6)
Для газа: # « 0, 83, М = Мвв + Мс для любой среды; Мс —
масса среды, вовлекаемая в движение; Е = MbbQ — энергия
взрыва.
Таким образом, общий импульс равен
J
Удельный импульс
Для сферы
1 ¦
= # V2 (^вв
г =
Зл/2 (МВв
+
7
и
5
+
Мс
Мс
:)MBBQ.
)MbbQ
G.7)
G.8)
4 3
где Мвв = дТг^
Определим массу среды Мс, при этом будем рассматривать два
периода:
7 период: гпд ^ гпр,
Мс = ^тгг3 - ^7гг03) рс,	G.10)
где рс — плотность среды;
2 период: гПд > гпр,
Мс= f^r3-^тт (г-\АРс,	G.11)
где Л — ширина зоны сжатия ударной волны (рис. 7.8), равная
А = Ao + clnr.	G.12)
Зона сжатия растёт пропорционально In г, т. к. D > с, еж
^ cq — скорость звука.
Для сферического взрыва в воздухе считаем приближённо,
что
А = Ао^ A0-12) г0.	G.13)
С помощью датчика можно замерить давление p(t) на опре-
определённом расстоянии от места взрыва (рис. 7.9) и определить
удельный импульс взрыва:

7.2. Определение импульса взрыва в воздухе
193
УВ
Pit)
Рис. 7.8
Рис. 7.9
Давление р(?) зависит от потенци-
потенциальной энергии сжатия, а кинети-
кинетическую составляющую мы никак не
фиксируем датчиком. В общем слу-
случае энергия есть сумма потенциаль-
потенциальной Еи и кинетической Ек энергии:
Е = Еи + Ек.
УВ
В формуле G.8)
. J -ду/ШЁ
G.14)
я
ло ^
УВ
Рис. 7.10
считаем Е = MQ.
В некотором диапазоне расстояний УВ от места взрыва Еи «
« ?^к- Формула G.14) даёт значение импульса проходящей вол-
волны, завышенное в 1,4 раза.
Точно такой же подход справедлив и для цилиндрического
заряда (рис. 7.10).
Удельный импульс
г =
G.15)
7 Л. П. Орленко

194
Гл. 7. Взрыв в воздухе
S = 2тггЯ,
Боковая поверхность
Масса среды
Мс = тг (г2 - го) Нрс,
Мс = тг (V2 - (г - ЛJ) Нрс,
Л = Л0^ C0-40) г0.
г < г
пр,
г > г
пр,
G.16)
G.17)
G.18)
G.19)
G.20)
7.3. Методы теоретического решения задачи
о детонации заряда взрывчатого вещества в воздухе
Рассмотрим состояние вопроса об аналитическом расчёте по-
поля взрыва в воздухе. В настоящее время с помощью численных
методов решаются одномерные, двумерные и трёхмерные задачи.
На примере взрыва сфериче-
сферического заряда рассмотрим мате-
математическую модель этого явле-
явления. Пусть детонация начинает-
начинается в центре заряда (рис. 7.11).
Сначала возникает движение
ПД за фронтом детонационной
волны (рис. 7.11). В области 1
за фронтом детонации движение
ПД описывается системой урав-
уравнений, описывающих изоэнтро-
пическое движение ПД A.172) и A.173):
du I dp
Заряд ВВ
Рис. 7.11
dt
рдг
д{ри)
— уравнение Эйлера;
2ир
= 0 — уравнение неразрывности;
— уравнение изоэнтропы.
G.21)
т дг 1
р = р(р)
Начальные условия:
при t = 0, O^r^ro: р = ро^ Р — Ль ^ — 0.
Граничные условия:
при г = 0: г? = 0;
при г = Dt: р = ря, ^ = ин, р = №?
где индекс "Я" относится к параметрам в детонационной волне.
Они считаются известными величинами.

7.4. Точечный взрыв
195
После выхода детонационной волны на границу раздела ВВ-
воздух, в ПД возникает волна разрежения (ВР), а в воздухе
ударная волна (см. рис. 7.12).
В области волны разрежения в ПД (область 2, рис. 7.12)
остаются справедливыми уравнения G.21). При этом на границе
ПД-воздух должны быть равны давления и скорости:
РПД = Рвозд,
= ^
возд-
Область УВ в воздухе 3 является адиабатическим течением.
Воздух считается идеальным газом р = Арк. Для области 3
справедливы уравнения A.172), A.173), A.119):
1)
2)
3)
du
dt ~
dp д
dt +
»($)
\Pk)
I dp
p dr'
(pu) !
dr
d{
\
1
2up
r
'?.)
\PhJ
dt
дг
= 0,
= 0.
G.22)
Граничные условия:
а)	на границе ПД-воздух при
г = гПд (рис. 7.12): рПд =
— Рвозд? ^ПД — ^возд?
б)	при г = R выполняются соот-
соотношения на фронте УВ в воз-
воздухе C.39).
Численное совместное решение
систем G.21) и G.22) с учётом на-
начальных и граничных условий поз-
позволяет определить поле взрыва, т. е.
определить параметры р, р, и как
функции г и t.
Рис. 7.12
7.4. Точечный взрыв
Эта задача является имитацией ядерного взрыва. Она форму-
формулируется следующим образом. В среде совершенного газа мгно-
мгновенно выделяется конечная энергия Eq (рис. 7.13). Отсутствует
зона ПД. Есть только движение воздуха. Эта задача проще
общей постановки задачи о взрыве заряда ВВ в воздухе.

196
Гл. 7. Взрыв в воздухе
Существуют два варианта ре-
решения задачи о точечном взрыве:
1)	с противодавлением, т.е.
начальное давление не рав-
равно нулю: ро ф 0. Такая за-
задача решается численно.
2)	ро ~ 0, т. е. без противодав-
противодавления. Такую задачу мож-
можно решать аналитически.
1. Рассмотрим точечную за-
Рис. 7.13	дачу для ро Ф 0 с учётом про-
противодавления. Для воздуха спра-
справедлива система уравнений G.22):
др
dt
_]_др
р дг'
д (ри) Nup
= 0,
G.23)
dt
dr
N = 2 — для сферического взрыва, N = 1 — для цилиндриче-
цилиндрического взрыва, N = 0 — для плоского взрыва.
Начальные условия:
г = 0, t = 0, Е = Е0.
G.24)
Граничные условия:
на фронте волны при г = R соблюдаются соотношения C.41)
РФ
Ро
2D
к+ 1
P4>(fc+ I) +Po(fc~
' Рф(к- l)+po(fc+l)'
G.25)
Эта задача решается численно. Если ро — 0, т.е. рф 3> ро, то
это сильная ударная волна. Граничное условие для G.25) в этом

7.4. Точечный взрыв	197
случае на фронте УВ будет следующее: при г = R
2	2D рф к+
рф к+1
* ТТТ * kTv у0 = к^- G'26)
Для этого варианта существует аналитическое решение, найден-
найденное Л. И. Седовым в 1945 г. Эта задача автомодельная, поскольку
две независимые переменные г и t можно заменить одной неза-
независимой, являющейся комбинацией г и t (см. G.27) при Ро = 0).
Метод решения этой задачи. Необходимо преобразовать
уравнения к безразмерным величинам, для этого используют
теорию размерности и подобия.
1.	Выписываем все константы (размерные и безразмерные)
в общем случае и добавляем независимые переменные к,
Ро, ро, Е$, r,t — это есть система определяющих парамет-
параметров (см. гл. 9).
2.	Согласно тг-теореме из этих п определяющих параметров
можно составить (п — ш) независимых безразмерных ком-
комбинаций, где m — число независимых единиц измерения
в данной задаче (например: м, с, кг).
В данной задаче п = 6, m = 3, (п — ш) = 3.
Составим независимые безразмерные комбинации. В эти ком-
комбинации должны входить все параметры:
3"^/З1/2'
где Ai, A2 — безразмерные независимые комбинации, Аз = О,
если ро = О. В этом случае г и ? заменяются одной переменной
А2 = А.
Введём U, Л, Р — безразмерные скорость, плотность и дав-
давление	2
U=-U, р = роХ р = рО^2 R	G-28)
Тогда все безразмерные величины U, R, Р являются функциями
Аь А2.
U = U(XU А2), Я = Д(АЬ А2), Р = Р(АЬА2). G.29)
Подставляя систему G.28) в общую систему дифференциальных
уравнений G.23), можно преобразовать уравнения к обыкновен-
обыкновенным дифференциальным, где все функции будут зависеть от
одной переменной А2 = А. Эта новая система дифференциальных
уравнений решается аналитически.

198	Гл. 7. Взрыв в воздухе
Закон движения фронта УВ при точечном автомодельном
взрыве R = R(t) может быть найден независимо от общего
решения задачи. Для этого примем Е$ = аЕ, где а — пока
неизвестная постоянная безразмерная величина, зависящая от к
(при к = 1,4, а = 0, 85; при к = 1,2, а = 1, 75). Рассмотрим, как
меняется безразмерная комбинация Л, записанная через Е:
x-Et2
Для фиксированного момента времени t распределение Л
показано на рис. 7.14.
На фронте УВ, г = R(t) — существует связь между Rut.
Для любого 0 ^ г < Д, г и t меняются произвольно, они не
связаны между собой. Наличие связи между R и t на фронте УВ
возможно при условии, что Л = Лф = const, полагаем: Лф = 1.
Это обстоятельство учтём при выборе а. Тогда для фронта
УВ можно записать:
Ро
или	,/,
-) t2/5.	G.30)
Скорость УВ есть производная радиуса по времени,
)"%-ф	(,зо
j
в
dt 5
Выражая t из G.30), подставляем его в G.31), получаем:
LR.	G.32)
5 у р
Для сильной УВ имеем C.44)
2P0D2
G.33)
Подставляя D из G.32), получаем
8 Е
25(k+l)R3'
G.34)

7.4. Точечный взрыв
199
2-
1-
R г
1,2
Рис. 7.14
Рф
80-
60™
40-
20™
10-
2,2	3,2
Рис. 7.15
I I I I Г
I I Г
ОД 0,2 0,4 0,6 0,8 1	2 4 6 8 10
Рис. 7.16
R
Плотность в автомодельной задаче не зависит от радиуса, поэто-
поэтому имеем
р = Л)?—[•	G.35)
Температура определяется из соотношения
РФ = Рф_Тф
Ро Ро То'
G.36)
Считая, что полная энергия взрыва Eq = const, имеем

200
Гл. 7. Взрыв в воздухе
R
Ьо = \ \ ——
к- 1
о
= const.
G.37)
С другой стороны: если р и р выразить через Л из G.28), то
выражение G.37) можно представить в виде
оо
Ео = Е \ / (Я (А), U (Л), Р (A)) d\ = Ea (к),
Таблица 7.1
r/R
1
0,9913
0,9773
0,9622
0,9342
0,9080
0,8747
0,8359
0,7950
0,7493
0,6788
0,5794
0,4560
0,3600
0,2960
0,2000
0,1040
0,0000
u/иф
1
0,9814
0,9529
0,9237
0,8744
0,8335
0,7872
0,7397
0,6952
0,6496
0,5844
0,4971
0,3909
0,3086
0,2528
0,1714
0,0892
0,0000
р/рф
1
0,8379
0,6457
0,4978
0,3241
0,2279
0,1509
0,0967
0,0621
0,0379
0,0174
0,0052
0,0009
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
р/рф
1
0,9109
0,7993
0,7078
0,5923
0,5241
0,4674
0,4272
0,4021
0,3856
0,3732
0,3672
0,3656
0,3655
0,3655
0,3655
0,3655
0,3655
где к — входит в инте-
интеграл как параметр.
Расчёт интеграла опре-
определяет зависимость а (к) с
учётом Лф = 1 (рис. 7.15).
Задачу можно считать
автомодельной при давле-
давлениях р ^ 1 МПа.
Для давлений р >
> 4 МПа численное и ав-
автомодельное решения сов-
совпадают, а при р = 1 МПа
расхождение составляет
20% (рис. 7.16).
В таблице 7.1 представ-
представлены данные о распреде-
распределении плотности р, давле-
давления р и массовой скоро-
скорости и для заданного момен-
момента времени или координа-
координаты фронта УВ R, которая
определяется по заданно-
заданному значению энергии Е =
= Е0/а. (см. 7.30).
7.5. Экспериментальные зависимости параметров
воздушных ударных волн при газовых взрывах
На основе обработки экспериментальных данных при де-
детонации сферических газовых зарядов из топливно-воздушных
смесей (пропан, метан и ацетилен), а также из смеси метана
и пропана с кислородом, Когарно, Адушкиным и Ляминым бы-
были получены формулы, позволяющие рассчитать давление Арф,

7.5. Зависимости параметров воздушных ударных волн	201
удельный импульс г и время действия положительной фазы дав-
давления т в воздушной УВ при детонации газовых зарядов.
Для зарядов из топливно-воздушных смесей:
0610-1^
при 0,08^—^^0,3,
%
г = 9,5- 10=у—,	при 0, 1<^тт,
= 0,35Е(;/6г1/2)	при О.К-^з.
G.38)
Для зарядов из топливно-кислородных смесей:
% при
при 0,05 ^—^
Е2/г
г = 12 • 10-2-5-,	при О, К-^,
Г
т = О,35?;E/6г1/2,	при О, К
° G.39)
В формулах G.38) и G.39) Ео — полная энергия взрыва
в ккал; г — расстояние от центра заряда в м; Арф — макси-
максимальное избыточное давление на фронте УВ в атм; г — удельный
импульс избыточного давления фазы сжатия в кГс-с/м2; т —
длительность фазы сжатия в мс.

202	Гл. 7. Взрыв в воздухе
Экспериментальные зависимости параметров воздушных УВ
при взрыве конденсированных (жидких и твердых) ВВ приведе-
приведены в разделе 9.3.
7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе
Критерии поражающего действия воздушных ударных
волн. Результаты воздействия ударных волн (УВ) при взрывах
конденсированных ВВ, ядерных зарядов, топливно-воздушных
смесей и т.п. на различные объекты определяются избыточным
давлением Арф, удельным импульсом фазы сжатия г в волне,
длительностью фазы сжатия в УВ — т. Для УВ, длина кото-
которой намного больше характерных размеров объекта, нагружение
носит "статический" характер (мгновенное приложение постоян-
постоянного давления), а деформации и смещение объектов определяют-
определяются максимальным избыточным давлением. При очень короткой
волне реакция объектов на нагружение определяется удельным
импульсом фазы сжатия ("импульсное" нагружение).
Выбор характера нагружения при оценке поражающего дей-
действия взрывных волн связан с соотношением длительности фазы
сжатия в волне т и периода собственных колебаний объекта Г.
Если длительность фазы сжатия т < 0, 25Г, то нагрузку мож-
можно считать импульсной и условие разрушения объекта записать
в виде критерия по удельному импульсу:
г > гк.	G.40)
При т ^ ЮГ нагружение становится статическим и критерий
разрушения записывается через избыточное давление:
Арф^ Арк.	G.41)
Соотношения G.40, 7.41) называются частными критериями
поражения в результате фугасного воздействия взрывных волн,
а величины iK и Дрк — критическими значениями удельного
импульса и максимального избыточного давления в волне.
В области 0, 25Г < т < ЮГ на поведение объекта оказывают
влияние как максимальное избыточное давление, так и удельный
импульс в волне. При этом, как показывают эксперименты и тео-
теоретические решения модельных задач, совместное воздействие
указанных параметров может быть учтено с помощью обобщен-
обобщенного критерия поражения, который записывается в виде
(АРф-АРк)(г-гк) = К,	G.42)

7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе	203
где К — некоторая константа; Ар^, ik — критические параметры
волны.
Из обобщенного критерия нетрудно получить частные кри-
критерии фугасного действия взрывных волн. Так, при Арк = К =
= 0 из G.42) следует критерий по удельному импульсу G.40),
а при iK = К = 0 — по максимальному избыточному давлению
G.41). Критические параметры и константа К G.42), как прави-
правило, определяются экспериментально для каждого объекта и вида
его поражения.
Действие ударных волн на здания. Во многих зданиях при
относительно небольших взрывных нагрузках разрушаются окна.
Стекло представляет собой хрупкий материал, который рассыпа-
рассыпается, как только напряжение в нем достигает предела упругости.
Окна обычно имеют небольшие горизонтальные размеры между
опорами и поэтому первыми откликаются на взрывные нагрузки,
и чаще всего разрушаются в режиме статического нагружения.
Для таких случаев вполне оправданно применение частного кри-
критерия по максимальному избыточному давлению.
Критическое избыточное давление, при котором начинает раз-
разрушаться остекление зданий, связано с площадью поверхности
оконного стекла S (м2), его толщиной h (мм), и соотношением
максимального и минимального размеров, А = L/B, следующей
зависимостью:
ДЛ = 1 . 10@,175/1+0,0634А-0,1939)^	G 43)
о
При скольжении длинной УВ вдоль поверхности стекла зна-
значение, вычисленное по G.43), сравнивается с Арф, а при нор-
нормальном падении волны — с избыточным давлением нормального
отражения C.110).
Для зданий и других объектов различают четыре степе-
степени разрушений: полное, сильное, среднее и слабое. При пол-
полном — обрушивается большая часть стен, колонн и перекры-
перекрытий. Сильное — характеризуется частичным повреждением стен,
колонн и перекрытий; легкие элементы (двери, перегородки,
крыши) разрушаются полностью или частично. При среднем —
основные ограждающие и несущие конструкции деформируют-
деформируются (прогибаются), а разрушаются, в основном, второстепенные
конструкции. Слабое — характеризуется повреждением или се-
серьезными деформациями отдельных легких элементов огражде-
ограждения (окна, двери, крыши домов). При полном разрушении се-
сетей коммунально-энергетического хозяйства выходят из строя

204
Гл. 7. Взрыв в воздухе
значительные участки трубопроводов, разрывается кабель, обру-
обрушиваются опоры воздушных линий электропередач.
Периоды собственных колебаний зданий Г с жесткой кон-
конструктивной схемой, как правило, находятся в диапазоне 0,1-1 с.
Опытные значения Г для различных типов зданий приведены
в табл. 7.2.
Таблица 7.2
Периоды собственных колебаний зданий
Здание
Жилое с несущими
каменными стенами
Жилое крупнопанельное
Жилое сборное
каркасно-панельное
Административное каркасное
с кирпичным заполнением:
железобетонный каркас
стальной каркас
Административное каркасное
Число
этажей
3
5
8
4
5
6
9
14
16
12
12
22
TI, с
0,15
0,26
0,43
0,16
0,30
0,36
0,40
0,86
1,20
0,69-0,96
1,17
1,10
ТП, с
0,16
0,22
0,43
0,15
0,22
0,32
0,76
0,76
0,62-0,89
1,12
1,16
Т\ — поперечные колебания;
ТП — продольные колебания.
При длительности взрывной волны т > ЮТ, то есть при
взрыве крупномасштабных зарядов, степень разрушения объек-
объектов можно оценить по критическому избыточному давлению,
значения которого приведены в табл. 7.3.
Для оценки совместного воздействия избыточного давления
и удельного импульса взрывной волны на типовые здания и про-
промышленные сооружения можно воспользоваться данными о раз-
разрушениях от бомбардировок во второй мировой войне, которые
для кирпичных зданий аппроксимируются уравнением
г =
К\ - m
1/3
C180V
1™/
1/6'
G.44)

7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе
205
где г — расстояние от места взрыва, м; т — масса заряда ВВ
(тротиловый эквивалент), кг; К\ — коэффициент C,8 — полное
разрушение зданий; 5,6 — здания разрушены наполовину; 9,6 —
здания непригодны для обитания; 28 — умеренные разрушения,
повреждения внутренних малопрочных перегородок; 56 — здани-
зданиям нанесен небольшой ущерб, разбито более 10% стекол).
С помощью G.44) для каждого вида разрушений можно по-
построить предельные диаграммы в плоскости Арф-i, которые име-
имеют характерный гиперболический вид с двумя асимптотами —
Арк и гк, значения которых вместе с константой К в обобщенном
критерии G.42) приведены в табл. 7.4.
Таблица 7.3
Критическое избыточное давление УВ для некоторых объектов
Объект
Давление Арк, кПа,
соответствующее степени разруше-
разрушения
полное
сильное
среднее
слабое
Жилые и промышленные здания
кирпичные многоэтажные
кирпичные малоэтажные
деревянные
Промышленные с тяже-
тяжелым металлическим и же-
железобетонным каркасом
промышленные бескаркас-
бескаркасной конструкции и с лег-
легким металлическим карка-
каркасом
30-40
35-45
20-30
60-
100
60-80
20-30
25-35
12-20
50-60
40-60
10-20
15-25
8-12
40-50
30-40
8-10
8-15
6-8
20-40
20-30
Таблица 7.4
Значение константы К i
Кх
Арк, кПа
гк, Па- с
К, кПа-Па-с
3,8
77,50
743,00
921,00
5,6
38,10
504,00
346,00
з формуле G.42)
9,6
16,40
294,00
106,00
28
4,21
101,00
11,50
56
1,96
50,40
3,00
Действие ударных волн на человека. Поражение чело-
человека связано с травмированием различных частей тела. При
этом отдельные органы могут по-разному реагировать на воз-
воздействие УВ. Например, барабанные перепонки имеют очень
маленький период собственных колебаний, поэтому их реакцию

206
Гл. 7. Взрыв в воздухе
на воздействие УВ можно оценивать по критерию максимального
избыточного давления в волне.
Связь между максимальным избыточным давлением в волне
Арф, кПа, и вероятностью повреждения барабанных перепонок
человека W описывается зависимостью
- 1,323.
G.45)
Умножив вероятность G.45) на сто, получим процент поврежде-
повреждения барабанных перепонок в группе людей, одинаково удаленных
от места взрыва. Граница временной потери слуха соответствует
давлению Арф = 1,5—2кПа, нижний порог повреждения бара-
барабанных перепонок 34-45 кПа, а 50% вероятности разрыва пере-
перепонок — примерно 100 кПа.
Наиболее чувствительны к поражающему действию УВ ор-
органы человека, отличающиеся большой разницей в плотностях
соседних тканей, в первую очередь легкие и органы слуха (см.
табл. 7.5).
Таблица 7.5
Характерные виды поражения человека ударной волной
Повреждение
Баротравма легких средней тяжести
Контузия внутренних органов
и центральной нервной системы
Разрыв барабанной перепонки
Временная потеря слуха
Ар, кПа
150-200
450-500
35-45
>2
R*,M-Kr~1/3
< 2,2
< 1,4
< 4,5
-
R* — приведённое расстояние.
Приведённое расстояние R* =
Существенное влияние на поражение человека оказывает его
ориентация относительно падающей волны и окружающих объ-
объектов. Наибольшие повреждения при минимальных значениях
давления и импульса приходящей УВ получает человек, который
стоит или лежит вблизи плоской отражающей поверхности, по
нормали к которой набегает взрывная волна. В этом случае
на него действует не только давление в проходящей УВ, но
и давление в волне, отраженной от жесткой стенки.
Например, критический уровень давления (первые признаки
поражения человека) равен в проходящей волне 80кПа, если
время действия ударной волны т = 40 мс. Для человека, распо-
расположенного у жесткой стенки, этот кризисный уровень давления

7.6. Поражающее действие ударных волн в воздухе
207
в падающей УВ равен всего 33 кПа, поскольку при отражении
УВ от стенки избыточное давление равно 80кПа.
При взрывах крупных зарядов, человека можно рассмат-
рассматривать как единый объект и в качестве критерия поражения
использовать критическое давление в УВ, значения которого
в зависимости от вероятности летального исхода приведены
в табл. 7.6.
Таблица 7.6
Критическое давление поражения человека ударной волной
Вероятность летального исхода
Арк, кПа
0,99
500
0,75
370
0,5
320
0,25
280
0,1
250
Действие взрыва заряда ВВ на грунт. При взрыве сосредо-
сосредоточенного заряда ВВ на поверхности грунта в воздухе диаметр
воронки в грунте можно рассчитать по формуле
d = 0,763 [^г
1/3
где d — диаметр воронки, м; т — масса заряда
коэффициент удельного расхода ВВ (табл. 7.7).
G.46)
ВВ, кг; Кг -
Таблица 7.7
Значение удельного расхода взрывчатого вещества КТ
Наименование грунтов и скальных пород
Свеженасыпанная, рыхлая земля
Растительный грунт
Супесок
Суглинок
Песок плотный или влажный
Глина
Сыпучий песок
Крепкие глины, лёсс, мел
Крепкие песчаники и известняки
Бетон строительный
Кг кг/м3
0,37-0,47
0,47-81
0,80-
0,97-
1,19-
1,17-
1,51-
1,28-
1,10
1,19
1,27
1,28
1,69
1,5
1,36-2,0
2,0-2,6
Следует учитывать, что для мерзлых глин, суглинков, су-
супесей и других связанных грунтов значение удельного расхода
взрывчатых веществ Кг(кг/м3), определяемое по табл.7.7, уве-
увеличивается в 1,5 раза.

Глава 8
ВЗРЫВ В ВОДЕ
8.1. Физика взрыва в воде
Процесс взрыва заряда ВВ в воде связан с распространением
различных волн (ударных, сжатия и разрежения) в воде и в ПД.
Рассмотрим на примере сферического заряда систему волн
в координатах (r-t) для начальной стадии процесса, получен-
полученную на основе численного решения соответствующей задачи (см.
п. 8.2) - рис.8.1.
Детонация начинается в цен-
центре заряда "О" и распространя-
распространяется к границе ВВ-вода (точ-
(точка О'). Линия ОО' — закон
движения фронта детонационной
волны. Область ОО'Е — область
щ\ и^/>^7 /с\ /	нестационарного движения ПД,
ОЕА — область стационарных
параметров ПД. При отражении
детонационной волны от воды
возникает УВ в воде, её закон —
линия OfDDf, граница ПД-вода движется по закону О'СС1'. По
ПД начинает распространяться волна разрежения О'Е. Вслед
за волной разрежения О'Е начинается образовываться волна
сжатия О'Е', поскольку ПД имеют более высокие скорости, чем
граница раздела ПД-вода О'СС и, налетая на эту границу, ПД
уплотняются и волна сжатия О'Е' трансформируется в ударную
волну Е'В, которая, отражаясь от центра симметрии (точка В),
распространяется по ПД, догоняет границу ПД-вода в точке С
и распадается на две ударные волны CD — в воде и С В' в ПД.
Затем этот процесс повторяется (см. В'С и CD').
При дальнейшем движении граница раздела ПД-вода тормо-
тормозится и наконец останавливается, а УВ продолжает движение,
АВ	В1
Рис. 8.1

8.1. Физика взрыва в воде
209
и её скорость на расстоянии г > Юго {г о — радиус заряда)
стремится к скорости звука в воде cq = 1500 м/сек.
После остановки границы газового пузыря (ГП) среднее дав-
давление в нём меньше, чем гидростатическое давление в воде, под
влиянием которого граница газового пузыря начинает двигаться
к центру взрыва, но по инерции проскакивает положение стати-
статического равновесия и продолжает сжиматься, а давление в ПД
становится больше гидростатического. На рис. 8.2 изображён
закон движения газового пузыря в координатах (r-t). Линия
0а — это закон расширения газового пузыря до радиуса гпр,
соответствующего равенству давления в ПД ргп и гидростати-
гидростатического давления ро- После достижения максимального радиуса
гт\ газовый пузырь начинает схлопываться до г\. Весь этот
процесс 1-й пульсации занимает время Т\, с момента времени
t = T\ начинается вторая пульсация газового пузыря в течение
времени Т^. Таких пульсаций может быть 10 и более. При этом
минимальный радиус (п, Г2,...) увеличивается от пульсации
к пульсации, а максимальный радиус
' ТП\
, Г
777-2 '
уменьшается
(см. рис. 8.2).
Время tab движения газового пузыря, когда ргп < Ро» состав-
составляет большую часть (около 80%) от полного времени пульса-
пульсации Т\.
ж2
7ПЪ
Ро
в
Ы
2-я водна /
/сжатия /
/ 7,5% mQ /
Ъ%%>^^^
60%
1-я волна
/сжатия
V 25% mQ
А/
mQ J
7
/
а
УВ

—>
Рис. 8.3
Движение газового пузыря в фазе разрежения (ргп < Ро)
служит источником возникновения в воде волн разрежения, где
р <ро- Этот процесс показан на рис. 8.3. Когда радиус газового
пузыря (ГП) г > гпр, в воде появляется зона давления, меньше
чем ро, это разрежение нарастает, затем оно начинает умень-
уменьшаться при движении ГП к центру. Когда радиус ГП уменьша-
уменьшается от гь до гь давление в воде становится больше ро, и в воде
возникает волна сжатия (см. рис. 8.3). Максимум этой волны
возникает в воде, когда радиус ГП достигает г\.

210	Гл. 8. Взрыв в воде
Расчёты показывают, что, например, для тротила (ро =
= 1,6г/см3) за время 1-й пульсации (Т\) в ударную волну пе-
переходит около 60% mQ, а в ПД, когда они имеют радиус г\,
остаётся 40%mQ, затем в первую волну сжатия излучается 25%
mQ, а в точке 2 (рис. 8.2) остается 15% mQ, а в точке 3 —
7,5% mQ (рис. 8.3).
Для оценки ряда параметров подводного взрыва получены
полуэмпирические формулы на основе опытных данных и теории
несжимаемой жидкости (см. п. 8.2).
Так, максимальный радиус ГП определяется формулой
=aUJ [м]>
где т в [кг], ро в [атм], для ТЭНа а = 1,76.
Время пульсации в неограниченном пространстве
т1/з
Тх = к	гш [с],
(Я+10,3M/6
где Н — глубина взрыва в [м], для тетрила, тротила и пентолита
к = 2, 1.
Закон движения пузыря (гщ < 0, 6rmi)
где го — радиус заряда ВВ, с$ — скорость звука в воде, т\ = 2
для тротила и ТЭНа.
При гГп > 0, 6rmi
7Г
где ^ = 0, 36 (тротил), /? = 0,42 (ТЭН).
Газовый пузырь под действием силы Архимеда всплывает
вверх. За время Т\ ГП всплывает вверх на расстояние
11/24
h= 13,2	-, [м].
(Я+10,3M/6
Эмпирические формулы для давления и импульса в воде приве-
приведены в гл. 9 (п. 9.3).
Благодаря всплытию ГП под преградой, расположенной выше
места взрыва, действие 1-й волны сжатия на преграду может
быть соизмеримо с действием УВ.

8.1. Физика взрыва в воде	211
Свободная поверхность воды или жёсткая стенка в воде ис-
искажают движение ГП. Так свободная поверхность отталкивает
от себя ГП, а жёсткая поверхность, наоборот, притягивает ГП
к себе.
Это явление можно объяснить следующим образом. В случае
жёсткой поверхности присутствие границы нарушает радиаль-
радиальный поток воды вблизи поверхности вне зависимости от его
направления. Первоначально, когда давление в пузыре превы-
превышает гидростатическое, вода со стороны поверхности пузыря,
обращенной к преграде, труднее поддаётся смещению, и пузырь
отдаляется от преграды. Однако этот эффект невелик из-за того,
что избыточное давление положительно только для небольшой
части периода расширения, когда пузырь мал. Когда давление
ПД падает ниже гидростатического, то ускорение потока по
направлению к поверхности пузыря со свободной стороны про-
происходит не так быстро, как со стороны, обращенной к стенке.
Вследствие этого поток должен быть таким, чтобы поверхность
пузыря приближалась к жёсткой стенке. Таким образом, при
взрыве вблизи жёсткой поверхности значительная часть импуль-
импульса сообщается большей массе воды в тот момент, когда размеры
пузыря велики. По мере сжатия пузыря приобретённый импульс
сосредотачивается в меньшей массе воды вблизи пузыря, и ско-
скорость потока в этом районе возрастает. Тогда поверхность пузыря
должна двигаться по направлению к преграде со все возраста-
возрастающей скоростью, как если бы пузырь притягивался к ней. Это
явление проявляется настолько более значительно по сравнению
с явлением отталкивания, что преобладающим движением пузы-
пузыря является притяжение.
Свободная поверхность оказывает противоположное влияние
на перемещение пузыря, в этом случае вода вблизи поверх-
поверхности может свободно перемещаться. Когда пузырь начинает
расширяться, то движение воды по направлению к свободной по-
поверхности встречает меньше препятствий, и поверхность пузыря
перемещается вверх.
Однако, когда давление газа становится меньше гидроста-
гидростатического, возникает движение воды от свободной поверхности.
Как и в случае взрыва вблизи жёсткой поверхности, значитель-
значительная часть импульса, сообщаемая воде при расширении пузыря,
перераспределяется в большие скорости движения незначитель-
незначительной массы воды вблизи поверхности сжимающегося пузыря. Пу-
Пузырь отталкивается от свободной поверхности по мере сжатия.
Выше мы рассмотрели основные физические явления при
взрыве заряда ВВ в безграничной воде и при наличии свободной

212	Гл. 8. Взрыв в воде
и жёсткой поверхности. На практике обычно встречаются случаи
взаимодействия ударных волн с податливыми преградами. При
этом закон движения преграды влияет на поле взрыва.
Давление на преграде в разных точках р (?) может иметь
сложный характер. Так, например, при взаимодействии взрывной
волны с преградой, сначала идет процесс отражения УВ, и в слу-
случае тонкой преграды за весьма короткое время t = О (постоянная
времени), пластина разгоняется до такой скорости, что в воде
возникают отрицательные напряжения, которые могут привести
к разрыву в жидкости около пластины. В этом случае давление
р практически падает до нуля. Но затем пластина тормозится
за счёт сопротивления пластическому деформированию, и поток
воды догоняет её и тормозится на поверхности пластины.
Было показано, что при взаимодействии УВ с тонкой пре-
преградой (заготовкой) в воде в подавляющем большинстве случаев
в окрестности заготовки наступает нарушение сплошности жид-
жидкости — кавитация.
Основные этапы процесса воздействия взрыва сосредоточен-
сосредоточенного заряда на плоскую заготовку показаны на рис. 8.4. После
образования кавитации за счёт разгона заготовки D) ударной
волной B) от взрыва заряда A), действие давления практически
прекращается, но вслед за заготовкой движется поток диспер-
диспергированной жидкости в зоне кавитации F), ширина которой
возрастает до некоторого момента времени. Волна сжатия E),
образовавшаяся при отражении УВ от заготовки, распростра-
распространяется в направлении газового пузыря ПД. Отражение её от
границы раздела вода-ПД C) может вызвать появление второй
зоны кавитации Fа), ликвидация которой обеспечивается за счёт
остаточного давления в ПД.
Торможение заготовки силами сопротивления деформирова-
деформированию ведёт к оседанию на ней жидкости из зоны кавитации,
при этом давление на заготовке начинает возрастать, а граница
осевшей жидкости G) продвигается вглубь зоны кавитации. Од-
Одновременно движущаяся в направлении заготовки вода с проти-
противоположной стороны оттесняет зону кавитации (8). В результате
этого происходит соударение слоев жидкости, осевшей на заго-
заготовку и движущейся от пузыря ПД, и образуется волны сжатия
(9) и A0).
Волна сжатия A0) догоняет заготовку и обеспечивает её
дополнительное нагружение. При этом снова могут образоваться
зоны кавитации A1), A2), т.е. весь процесс качественно повто-
повторяется.

8.2. Методы теоретического изучения подводного взрыва
213
1 3
5 9
Рис. 8.4
Таким образом, воздействие взрыва на заготовку носит слож-
сложный многоэтапный характер. Заготовка, как правило, неодно-
неоднократно подвергается интенсивному разгону. Характер кавитаци-
онных явлений определяется не только инерционными свойства-
свойствами заготовки, но и зависит от её прочности, способа закрепле-
закрепления, исходной формы, а также положения заряда ВВ и др.
8.2. Методы теоретического изучения подводного
взрыва
При взрыве заряда в воде образуется газовый пузырь и У В.
Для теоретического изучения поля взрыва необходимо изучать
две области: 1) разлёт ПД, 2) движение воды между ГП и фрон-
фронтом УВ.
В начальной стадии взрыва (когда радиус фронта ударной
волны R < 1Ого) существенное влияние имеет сжимаемость сре-
среды. Процесс подводного взрыва имеет в этом случае нелинейный
характер. Движение воды при этом надо рассматривать как адиа-
адиабатическое течение.
Для последующего периода времени (R > IOtq и давление
на фронте УВ рф < 100 МПа) скорость УВ равна практически
скорости звука в воде cq.
Задача о движении воды в этом случае описывается линеа-
линеаризованной системой уравнений.

214	Гл. 8. Взрыв в воде
Теория несжимаемой жидкости широко используется при изу-
изучении движения газового пузыря в воде, когда УВ отходит от
ПД на достаточно большое расстояние.
Рассмотрим изучение движение воды как несжимаемой жид-
жидкости и полную математическую постановку задачи о сфериче-
сферическом взрыве в воде.
1. Уравнение движения несжимаемой жидкости для сфериче-
сферической симметрии имеет вид A.176)
ди ди 1 др _.
dt дг р0 дг	/о п
or г
Решение этих уравнений A.177) и A.179) имеет вид
2
r2u = (p{t) = ишгш>	(8-2)
p-<p(t) _ ldf(t) fit)
Л)	г dt 2ггп '
(8.3)
где 'Urn и ?Тп — скорость и радиус газового пузыря, (р it)
и f it) — произвольные функции времени.
Поскольку при г —> ос, р —> ро (гидростатическое давление),
то из (8.3) следует, что ро = ^(*)- На основании (8.2) и (8.3)
получаем поле давлений:
Р = Ро+ (Ргп-Ро + ^Ш I-	2 W J '
Для границы газового пузыря из (8.2) и (8.3) следует:
ргп - Ро 3 ujn
=
dt	рогш 2 ггп
Решение этого уравнения можно найти, если задано среднее
давление ПД в газовом пузыре (см. п. 10.2.2),
(8.6)
а начальная скорость пузыря иуп = Щ, где индекс " относится
к параметрам газового пузыря, когда ударная волна отходит на
достаточное расстояние от ПД.

8.2. Методы теоретического изучения подводного взрыва	215
С учётом этих условий решение (8.5) имеет вид
2	f 2 , _2_Р1 2ро
V 3(к~ 1)Ро Зро
Поле скоростей определяется уравнением (8.2). Уравнения
(8.4) и (8.7) описывают поле давлений.
Из уравнения (8.7) можно найти зависимость для максималь-
максимального расширения ГП — rm\. При г^гп = 0, и пренебрегая членами,
малыми по сравнению с единицей, получаем
гь	(8.8)
•У
Используя (8.7) и (8.8), получаем
drm
ит =
dt
\
(8.9)
Интегрируя это выражение от го до грп, получаем закон
движения газового пузыря:
(8Ш)
При го <^ rm\ этот интеграл можно взять:
или, используя (8.8):
1/3
/Г	\ 1/3	1
tml=0,915p;/2n (-рЛ -jj,.	(8.12)
V^ / Ро
При соответствующем подборе ri, формулы (8.8) и (8.12)
дают хорошее совпадение с опытом.
2. Рассмотрим математическую постановку задачи о взрыве
в воде в первый период, когда задача существенно нелинейна

216	Гл. 8. Взрыв в воде
и необходимо учитывать как механические, так и термодинами-
термодинамические эффекты.
В этом случае движение воды между границей газового пу-
пузыря и фронтом УВ при взрыве сферического заряда описывается
системой дифференциальных уравнений A.172)—A.175):
уравнение Эйлера
ди ди 1 др .	/о „оч
— + ^— + -/ = 0,	(8.13)
at or р or
уравнение неразрывности
др др ди 2ир Л	/Л ^ .ч
-? + и-?- + р^- + —^ = 0.	(8.14)
at or or r
Условие адиабатичности движения записано через энтропию,
или через внутреннюю энергию Е:
дЕ дЕ р (др др\
-7гг + и—	Н- + и— = 0.	(8.16)
dt дг р2 \dt дг)
Уравнение состояния
р = р(р, s), или р = р(р, Е).	(8.17)
Для решения задачи необходимо знать конкретный вид этого
уравнения. В настоящее время известен ряд полуэмпирических
уравнений состояния воды.
В качестве начальных условий выступает распределение па-
параметров ПД к моменту выхода детонационной волны, распро-
распространяющейся от центра заряда к границе раздела ВВ-вода. Т. е.
предварительно должна быть решена задача о детонации заряда
ВВ (см. гл. 5), когда определяются функции в ПД:
Рпд = Рпд (г), uy\jx = uy\jx (г), Pyijx = pYijx О) • (8-18)
При отражении детонационной волны от границы ВВ-вода
необходимо определить параметры УВ в воде. На границе ПД-
вода скорости и давления должны быть равны для любого мо-
момента времени:
Рпд =Рн2о, uy\jx = ВД2о-	(8.19)

8.2. Методы теоретического изучения подводного взрыва	217
Но плотность, энтропия и внутренняя энергия терпят разрыв
на этой границе. На фронте УВ в воде должны соблюдаться
следующие условия (см. гл. 3):
DPo = РФ [D - иф);
w w Рф+Ро / 1 1 \	(8.20)
^ф - ^о = —^—	;
рф =РфОф,?ф).
Вместо двух последних уравнений можно использовать экспери-
экспериментальную ударную адиабату воды F.14а).
Кроме этих граничных условий должно выполняться в центре
симметрии при г = 0 условие
= 0.	(8.21)
Решение системы уравнений (8.13)—(8.17) при начальных
условиях (8.18) и граничных условиях (8.19)—(8.21) возможно
с помощью численного интегрирования с использованием ЭВМ.
В настоящее время эта задача решена различными численны-
численными методами для разных ВВ. Результаты расчётов в плоскости
r-t показаны на рис. 8.1.

Глава 9
ТЕОРИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЗРЫВНЫХ
И УДАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
9.1. Элементы теории моделирования
Экспериментальное исследование процессов взрыва и удара
часто представляет собой дорогую и сложную задачу. Поэтому
возникает вопрос: как изучить явление взрыва с помощью отно-
относительно небольших моделей?
Для этого необходимо воспользоваться теорией моделирова-
моделирования процесса взрыва. Алгоритм процесса моделирования заклю-
заключается в следующем.
1.	При моделировании надо начинать с составления систе-
системы определяющих параметров для данного явления. В систему
определяющих параметров входят все размерные и безразмерные
параметры, от которых данный процесс существенно зависит,
а также независимые переменные: х, у, z, t. Есть два способа
получения определяющих параметров:
а)	составление математического описания данного явления,
адекватно отображающего реальную действительность с учётом
начальных и граничных условий;
б)	определение определяющих параметров без составления
математического описания (для этого необходимо хорошее зна-
знание физики процесса).
2.	Из имеющейся системы определяющих параметров при
помощи тг-теоремы составляется (п — га) безразмерных, незави-
независимых комбинаций:
AbA2,...,An_m,	(9.1)
где п — число определяющих параметров, т — число независи-
независимых единиц измерения, например: кг, м, с.

9.2. Моделирование обычного и точечного взрыва	219
3. Если в модели (М) и в натуре (Н) все безразмерные
комбинации равны, т. е.
Aim =
А2М = А2Н,	(92)
\п-т)Ж = \n-
то все искомые безразмерные параметры в модели и в натуре
будут равны (совпадают в безразмерной форме):
(9.3)
(Л = (?-) =F(\l,...,\n-m) и т.д.
VPo/m \PoJh
Достаточно из модельного опыта получить значение F, а затем
его можно использовать для пересчёта данных опыта на нату-
натуральное явление.
Все безразмерные комбинации (9.2) разделяются на две ча-
части: первая часть из них включает только безразмерные и раз-
размерные постоянные параметры, а вторая часть включает в себя
также и независимые переменные х, у, z, t.
Вторая часть безразмерных параметров Л^, включает в себя
х, у, z, ?, которые являются безразмерными независимыми пере-
переменными.
9.2. Моделирование обычного и точечного взрыва
Рассмотрим ряд конкретных примеров моделирования явле-
явления взрыва:
Пример 1. Точечный взрыв.
1.	Составляем систему определяющих параметров (см. п. 7.4):
Eo,po,po,k,r,t.	(9.4)
2.	На основе тг-теоремы составляем безразмерные комбина-
комбинации (п — т = 6 — 3 = 3):
, A3 = ^h/2-	(9-5)
Рог5

220	Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
3. Если
{E0t2\ /E0t2\
Н = М'	^5	= Т^5 ) '
\Рог /м \Рог /н
то искомые параметры для натуры и модели будут равны в без-
безразмерной форме:
PoJm \PoJh
-) =(
)
Ро/н
=^(ЛьЛ2)Л3),
(9.7)
Функции F, if, ф получаем из опыта на моделях, что позволяет
определить давление р, плотность р и скорость и и т. д. в натур-
натурном явлении.
Рассмотрим случай автомодельной задачи. Здесь Аз = 0. То-
Тогда:
Р\ =(Р\ =
Ро/м \Ро/н
Flk,
рог5
и т.д.
(9.8)
Например, из опыта на модели получаем зависимость р (?)
(рис. 9.1).
Рис. 9.1
Рис. 9.2

9.2. Моделирование обычного и точечного взрыва
221
Приведя данные к безразмерной форме, получим зависи-
зависимость, справедливую для модели и для натуры (рис. 9.2).
Ро
Пример 2. Моделирование
взрыва заряда ВВ в воздухе.
Имеем сферический натурный
заряд с радиусом гон (рис. 9.3).
Необходимо определить крите-
критерии моделирования взрыва этого
заряда.
Согласно общей схеме моде-
моделирования необходимо:
1. Определить систему опре-
определяющих параметров
7*0, Рвв, D, Q, Ро> ро, к, г, t, (п = 9).
Рис. 9.3
ВВ
воздух
(9.9)
2. Составить (п — т) безразмерных комбинаций (п — т = 6)
Л, =
Рвв
D
7Q
(9.10)
3. Приравнять в модели и натуре Aj. Если Ajm = \н (* =
= 1,...,6), то все параметры модели и натуры равны в безраз-
безразмерной форме:
Геометрическое моделирование. В модели и в натуре берём
одинаковые размерные и безразмерные параметры, кроме геомет-
геометрических размеров. Это геометрическое подобие.
1. В этом случае
Ром — Л)н>
Рввм = Рввн,
Ром=Рон>
= Qh-
(9.12)

222	Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
2. Из безразмерных комбинаций (9.10) остаются только та-
такие, в которые входят независимые переменные
i , А2	^ (9.13)
го	г0
3. При геометрическом подобии	(п — геометрический мас-
масштаб моделирования), если
п=Г-) =Г-) , (Щ =(^] , (9.14)
Vro/м Vro/н V го /м
то
РМ = РН = / —, 	 , ^М = иц = (/9 —, 	 ,
РРА = РН=Ф [—, 	 I •
(9.15)
Следовательно, все искомые параметры модели и натуры равны
в сходственных точках (т. е. при выполнении условия (г/го)м =
= (гДо)н) и в сходственные моменты времени (при выполнении
условия (ty/Q/ro)pA= (ty/Q/го)н).
Определение импульса при геометрическом подобии.
Удельный импульс силы взрыва с помощью формул (9.15) может
быть определен в следующей форме (рис. 9.4):
-)• (9Л6)
о
Для модели и натуры импульс выражается следующим обра-
образом:
^.
(9.17)

9.3. Методы обработки опытных данных при моделировании
223
Очевидно, что отношение импульсов в натурном и модельном
экспериментах равно геометрическому масштабу моделирования:
То есть
= п.
(9.18)
(9.19)
— = const
т
Рис. 9.4
Рис. 9.5
9.3. Методы обработки опытных данных в воздухе
и воде при моделировании
Для геометрического подобия импульс и давление определя-
определяются следующим образом:
(9.20)
В момент прихода УВ в любую точку время приложения
давления в этой точке отсчитывается от нуля, т. е. при t =
= 0 и р = Рф', давление на фронте У В при этом определяется
соотношением
(9.21)
Если взять для примера сферический заряд с радиусом tq, to для
него радиус г$ и масса т связаны очевидным соотношением
4
т = —
(9.22)

224	Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
где ро ~~ плотность ВВ, одинаковая в модельном и натурном
экспериментах. Тогда
^К	(9.23)
Для данного примера давление на фронте УВ и импульс будут
определяться следующими соотношениями:
Рф = (р(^-\ г=^ф(^.\	(9.24)
V т )	V т )
Функции (риф определяются экспериментально. Затем подби-
подбирается кривая для давления на фронте УВ, например, вида рф =
= (р (<§/га/г), которая удовлетворяла бы результатам эксперимен-
эксперимента (рис. 9.5).
Причём функции (риф одинаковы для модельных и натурных
опытов и поэтому для их определения могут быть использованы
результаты модельных и натурных испытаний.
А. Экспериментальные формулы для воздуха. Примером об-
обработки натурных испытаний с помощью формул (9.24) является
формула Садовского
2	/ я,— \ 3
. (9.25)
В формуле (9.25) коэффициенты А, В, С зависят от типа ВВ.
Для ТГ 50/50, по уточнённым данным Адушкина и Коротко-
ва, эти коэффициенты равны: А = 0,085; В = 0, 3; С = 0, 8.
Размерности: [рф] = МПа; [т] = кг; [г] = м.
Диапазон расстояний, где эта формула справедлива, опреде-
определяется соотношением
1 м/кг1/3 < ^— < 10м/кг1/3.	(9.26)
лУга
Формула (9.25) справедлива для взрыва заряда ВВ в безгранич-
безграничном пространстве для зарядов практически любой массы.
Если взрыв происходит у поверхности твёрдого тела, то энер-
энергия взрыва распределяется на полусферу, а не на всю сферу.
Чтобы получить в первом случае поле взрыва, необходимо для
взрыва в контакте с твёрдой средой брать вместо т в (9.25)
величину 2г]тэ, где г\ = 1 (сталь), т\ = 0, 9 (гранит), т\ = 0, 75
(глина), т\ = 0,6 (вода).
Если при взрыве используется новое ВВ, то в формулу (9.25)
необходимо подставлять значение эквивалентной массы ВВ:
^	(9.27)

9.3. Методы обработки опытных данных при моделировании 225
где: тх — масса используемого ВВ, Qx — теплота взрыва исполь-
используемого ВВ, Qjy — теплота взрыва ТГ50/50 (Q = 1140ккал/кг).
Рассчитывая давление по формуле (9.25) для используемого
ВВ с учётом эквивалентной массы, можно использовать значения
коэффициентов А, В, С, определённые для ТГ 50/50.
Для зарядов с большим критическим диаметром надо под-
подставлять в формулу та — активную массу ВВ. Для мощных ВВ
(гексоген, октоген и т.п.) формула (9.25) даёт удовлетворитель-
удовлетворительные результаты и для зарядов малой массы (десятки грамм).
Для зарядов типа тротила, для аммонитов и др. надо подстав-
подставлять в формулу та — активную массу ВВ, которую приближенно
можно определить по формуле
[кгЬ
где dK? — критический диаметр данного ВВ, tq — радиус заряда
ВВ. Если заряд ВВ массой га, находится в оболочке массой М
(обычно стальной или алюминиевой), то часть энергии взрыва
уходит на деформацию, разрушение и разгон осколков. С другой
стороны, снижаются химические и энтропийные потери.
По имеющимся экспериментальным данным, если коэффици-
коэффициент наполнения а = га/(га + М) > 0,4, то влиянием оболочки на
ударные волны можно пренебречь.
Формула (9.25) справедлива для сосредоточенных зарядов
(шар, куб, короткий цилиндр и др.).
При взрыве зарядов, после прохождения УВ через данную
точку пространства (г = const), давление уменьшается. Этот
закон спада давления может быть аппроксимирован уравнением
P(t) ~ Ро = (Рф - Ро) • ехр I --
где t — время, $ — время, в течение которого давление в ударной
волне упадет в е = 2, 71 раз.
Формула для p(t) справедлива при tjyfm < 50 • 10~6с/кг1/3,
где т — масса заряда ВВ.
Величина $ зависит от расстояния: $ = 1О~6(г/гоI'6, если
1 < г/г0 < 35.
Импульс при взрыве ВВ в воздухе для падающей волны равен
(см. 9.24)
(М\	(9.28)
г
Для ТГ 50/50: 7=200, а = 1, тогда
8 Л. П. Орленко

226	Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
2/3
(9.29)
г
Размерности: [га] = кг; [г] = м; [г] = Па-с. Если берется другое
ВВ, то надо в формулу импульса подставлять
тэ = гпх
х——.
Qtt
Время положительной фазы действия давления
т= l,2fymy/r, мс.	(9.30)
Определим параметры на фронте УВ при взрыве заряда ВВ
в воздухе. Значение всех параметров на фронте УВ являются
функциями расстояния г.
Из теории ударных волн известны следующие соотношения
C.4) и C.12):
-Ро
T^n (v n	(9-31)
j)(fc+ l)po(fc- 1)
Рф(к-1)+ро(к+1)'
Определив по формуле (9.25) давление на ФУВ рф для разных г,
можно по вышеприведённым формулам определить все парамет-
параметры для УВ, а именно: скорость УВ ?)ф, массовую скорость г^ф,
плотность рф, температуру Гф как функции расстояния г..
Если рф > 1 МПа, то для определения параметров УВ надо
использовать таблицы 3.1, рассчитанные с учетом процессов
диссоциации и ионизации воздуха при ударном сжатии. В этом
случае по формуле (9.25) рассчитывается рф = Рф(г), а затем для
каждого рф = Р2 (интерполяцией из таблицы 3.1) определяются
параметры D, иф = щ, Рф = Р2, Тф = Г2 и др в зависимости от г.
Б. Экспериментальные формулы для воды. Давление в воде
определяются следующим соотношением:
АРф = E (^Х ¦ 105,	(9.32)
согласно формулам (9.24).

9.4. Теория и практика моделирования	227
Для пентолита E0% ТЭНа, 50% ТНТ): C = 555; /i = 1, 13 (по
Коулу).
Размерности: [рф] =Па; [га] = кг; [г] = м.
Формула справедлива для диапазона давлений: 7 • 105Па <
<рф < 1800- 105Па.
Импульс при взрыве заряда ВВ в воде, удовлетворяющий
формуле (9.24), определяется следующим соотношением:
(9.33)
Для пентолита: bi = 9260, а\ = 1,05 (по Коулу).
Размерности: [г] = Па-с; [га] = кг; [г] = м.
Если берётся другое ВВ, то в обе формулы надо подставить
значение эквивалентной массы гаэ (см. 9.27).
Зная Арф при взрыве в воде из формулы (9.32), можно
определить все остальные параметры на УВ в зависимости от г
по следующим соотношениям:
РФ - Ро = Ро^фПф,	(9.34)
?>ф = 1500 + 2, Ьф.
Последнее соотношение соответствует экспериментальной удар-
ударной адиабате волны; это соотношение справедливо для давлений
рф < ЗГПа.
9.4. Теория и практика моделирования
Рассмотрим замеченные опытным путём отклонения от пра-
правил теории геометрического моделирования:
1.	На больших расстояниях (г/tq > 10) можно нарушать
правила геометрического моделирования. Заряд может быть не
сферическим, но обязательно сосредоточенным (куб, короткий
цилиндр и т.п.). Формула (9.25) справедлива для сосредоточен-
сосредоточенных зарядов.
2.	Так как экспериментируют часто на зарядах небольшого
диаметра ^м> а Для малых зарядов скорость детонации зависит
от величины диаметра заряда, то необходимо, чтобы выпол-
выполнялось соотношение ^м > ^пр, где dnp — предельный диаметр
заряда (рис. 9.6).
3.	Для ряда ВВ с большим критическим диаметром (TNT,
аммотолы, аммониты и т.д.) часть массы заряда не детонирует,

228
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
D
разбрасывается. В этом случае надо учитывать не полную массу
заряда, а его активную массу.
Энергетическое моделирова-
моделирование. Энергетическое моделирова-
моделирование позволяет моделировать взрыв-
взрывной процесс с различной физиче-
физической природой, например: ядерный
взрыв, обычный взрыв, землетрясе-
землетрясение, электроразряд и т. п.
Для примера рассмотрим взрыв
двух зарядов с одинаковой энерги-
энергией, но разной плотностью (по тео-
теории плотность при геометрическом
Рис. 9.6
подобии должна быть одинаковой). Согласно опытам для взрыва
в воздухе графики давления для обоих зарядов будут совпадать
при г/го > 10, для взрыва в воде при г/tq > 100 (рис. 9.7).
Взрыв в
воздухе
Взрыв
в воде
Диапазон энергетического
моделирования
Диапазон энергетического
моделирования
Рис. 9.7
9.5. Моделирование сложных систем
Примером сложных систем являются: заряд-среда-преграда;
летящее тело-преграда. Решение задач с такими системами

9.5. Моделирование сложных систем	229
очень сложно, современные ЭВМ не справляются с решением
таких задач в полной постановке для ассиметричных случаев.
Рассмотрим способы решения задач для сложных систем:
1.	Моделирование.
2.	Проведение натурных опытов.
Второй способ — дорогой, поэтому широко используется мо-
моделирование.
Рассмотрим правила моделирования сложных систем: заряд-
среда-преграда (например, заряд-воздух-конструкция).
1.	Выписываем систему определяющих параметров для:
а)	заряда — рвв, A Q, г0;
б)	воздуха — ро, ро, к;
в)	конструкции — Е, v — упругие константы конструкции,
c"sd> ?р, ?Ср — пластические параметры материала конструкции,
L — характерный размер;
г)	переменные — х, у, z, t.
2.	Используя тг-теорему, составляем (п — т) безразмерных
комбинаций: п = 17, т = 3, п — т = 14. В результате получим
величины Л1, Л2,	, \\а-
3.	Если Л^м = \н> где 2=1, 2, 3,..., 14, то все безразмерные
напряжения в сходственных точках в сходственные моменты
времени равны:
=?>(Ab...,A
i4),
Wh
где Lp определяется из опыта.
В каждой точке конструкции таких напряжений 6.
Все деформации в сходственных точках в сходственные мо-
моменты времени равны, а все перемещения в натурном опыте
будут в п раз больше, чем в модельном.
Приближённый способ моделирования (геометрическое
моделирование).
1.	Все физические параметры берутся одними и теми же
в модельном и в натурном опытах.
2.	Меняется только геометрический масштаб явления.
Тогда исчезают все постоянные Л^ и остаются только безразмер-
безразмерные переменные:
\x\y\z\tD
\\ = —, Л2 = —, Аз = —, М = 	•
г0	г0	г0	г0
Если Л^м = А^н, где i = 1,2,3,4, то во всех сходствен-
сходственных точках в сходственные моменты времени все напряжения

230
Гл. 9. Теория моделирования взрывных и ударных процессов
и деформации равны, а все перемещения в натурном опыте будут
в п раз больше, чем в модельном.
При геометрическом моделировании модель оказывается
прочнее, чем натура.
1. При геометрическом подобии имеем соотношение характер-
характерных размеров, равное геометрическому масштабу моделирования
Lh/Lpa = п. Для скоростей деформаций справедливо следующее
соотношение:	. Л
1
так как ?н = ^м^, т. е. ем = ёнп, где de^/dt = ем» de\\/dt = ё\\.
В этом случае диаграммы нагружения модели и натуры явля-
являются разными (рис. 9.8). Известно, что с увеличением скорости
af
Рис. 9.8
Рис. 9.9
деформации повышается предел текучести материала конструк-
конструкции. Таким образом, модель оказывается более прочной, чем
натура.
2.	Разрывающие напряжения зависят от времени приложения
нагрузки ар = ар (?).
Так как ?н = t^n, то напряжения, требующиеся для разрыва
конструкции, разные в модели и в натуре, а именно: в модели
они больше (рис. 9.9). Модель вновь оказывается более прочной,
чем натура.
3.	Прочность всей конструкции зависит от её размеров. Ве-
Вероятность технологических дефектов больше у натуры, чем у
модели, и, следовательно, вероятностная (статистическая) проч-
прочность модели выше (сгрв)м > (с"рв)н-
Все эти причины существенным образом увеличивают проч-
прочность модели.
Для примера рассмотрим опытный процесс разрыва сталь-
стальной сферической оболочки зарядом ВВ. Геометрический мас-
масштаб моделирования изменялся в пределах значений п = 3-25.
Согласно теории геометрического моделирования, если модель

9.5. Моделирование сложных систем
231
то натура должна разрушаться заря-
заряНатура
Оболочка
Модель
разрушается зарядом
дом Шн = П3Шм-
Для того, чтобы получить ре-
реальную картину процесса при
моделировании натуры моделью,
необходимо соотношение масс
ВВ модели и натуры по опытным
данным выбирать из следующего
соотношения шн = пAM)8'шм,
вместо теоретической формулы
шн = п3тм (рис. 9.10). Это по-
последнее соотношение позволяет
определить только верхнюю границу. Чтобы определить нижнюю
границу, необходимо производить натурный опыт.
Рис. 9.10

Глава 10
МЕТАНИЕ ТЕЛ ПРОДУКТАМИ ДЕТОНАЦИИ
10.1. Введение
Рассмотрим основные теоретические методы, используемые
для изучения процесса метания оболочек продуктами детонации.
Эти методы можно разделить на два класса:
А. Определение закона метания оболочки путём интегриро-
интегрирования дифференциальных уравнений движения ПД и оболочки.
Решение этих задач в свою очередь осуществляется либо чис-
численно (более сложные задачи), либо аналитически (задачи более
простые).
Б. Приближённые (инженерные) методы, когда для реше-
решения задач используются интегральные законы (закон сохранения
энергии и массы). Эти методы позволяют определить конечные
интегральные параметры (скорость оболочки), но не позволяют
определить закон движения оболочки во времени и простран-
пространстве. В этом случае дифференциальные уравнения не использу-
используются. К этому классу относятся также эмпирические и полуэм-
полуэмпирические уравнения, полученные на основе обработки опыт-
опытных данных.
Наиболее мощным современным теоретическим методом ре-
решения задач о метании оболочек является численное интегри-
интегрирование системы дифференциальных уравнений, описывающих
движение ПД и оболочки. Рассмотрим те задачи, которые в на-
настоящее время могут быть решены с помощью численного ин-
интегрирования. К их числу относятся одномерные, двумерные
и трёхмерные задачи. Рассмотрим принципиальные схемы этих
задач.
Одномерное метание (плоское, цилиндрическое, сфериче-
сферическое). Если изучается закон движения плоской пластины в тру-
трубе, в сферической или очень длинной цилиндрической оболочке,
то все параметры зависят от г и t. Любые такие задачи могут

10.1. Введение
233
быть решены численно. На рис. 10.1 и 10.2 изображены схемы
сферической и цилиндрической задач метания оболочки.
Рис. 10.1
Рис. 10.2
Для одномерных и более сложных процессов метания оболо-
оболочек используются две основные модели:
а) учитываются только инерционные свойства метаемой мас-
массы. В этом случае масса оболочки М входит только в граничное
условие. Например, для одномерной задачи это условие является
законом Ньютона:
где U — скорость оболочки, S — площадь поверхности оболочки,
р — давление на оболочку.
б) метаемая оболочка рассматривается как сжимаемая, или
как сжимаемая и прочная среда. В этом случае необходимо
составить две системы дифференциальных уравнений — одну
для ПД, а другую для материала оболочки.
На рис. 10.3 для плоской одномерной задачи показаны ре-
результаты, полученные для инерционной массы A) и сжимаемой
пластины B). В последнем случае пилообразная кривая набора
скорости объясняется отражением волны в пластине.
Для решения задач о метании численными математическими
методами надо иметь:
1)	информацию о ВВ;
2)	уравнение состояния ПД;
3)	уравнение состояния материала оболочки;
4)	динамическую прочность оболочки (если учитывается
прочность оболочки).

234
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
U
Рис. 10.3
Рис. 10.4
Двумерное метание. При двумерном осесимметричном мета-
метании все параметры зависят от z, r, t (рис. 10.4).
Такие задачи решаются на ЭВМ. Физическая информация
нужна та же, что и для одномерных задач, но здесь больше
уравнений, чем в одномерном случае, и по объёму вычислений
двумерная задача на порядок сложнее.
В этом разделе мы рассмотрим ряд типичных конкретных
задач, решённых различными методами: определение скорости
метания инженерными методами, определение закона метания
пластины путём аналитического решения дифференциальных
уравнений движения и алгоритмы тех задач, которые требуют
применения численных методов.
Используются модели для оболочек: а) инерционная масса;
б) несжимаемая жидкость; в) сжимаемая жидкость; г) сжимае-
сжимаемая упруго-пластическая среда.
10.2. Приближённый метод определения скорости
и закона движения оболочки заряда
10.2.1. Определение скорости оболочки заряда. Метание
оболочки заряда, её разрушение и разлёт осколков происходят за
счёт энергии, выделяющейся при детонации заряда ВВ. Если ВВ
заключено в оболочку, масса которой существенно превосходит
массу ВВ, то при расчёте скорости оболочки можно, в первом
приближении, пользоваться гипотезой мгновенной детонации,
поскольку отражение волн происходит несколько раз, прежде
чем оболочка разрушится, и осколки начнут разлетаться.
Максимальная скорость метания оболочки одинаковой тол-
толщины для закрытого со всех сторон заряда (например, шара или
длинного цилиндра) можно определить из уравнения
= mQ,
A0.1)

10.2. Приближённый метод определения скорости оболочки заряда 235
где U — максимальная скорость оболочки, М — масса обо-
оболочки, т — масса ВВ, Ек — кинетическая энергия ПД, Еи —
внутренняя потенциальная энергия ПД, Q — теплота взрывного
разложения, Еф — энергия формоизменения, затрачиваемая на
упруго-пластическую деформацию оболочки и её разрушение,
Ес — энергия, которая передаётся среде (воздуху, воде, грунту)
окружающей оболочку.
Найдём формулы для приближённого расчёта энергий Ес, Ек,
Еи, Еф. Верхнее, максимальное значение энергии Ес, передавае-
передаваемое в УВ, распространяющуюся в среде, окружающей метаемую
оболочку, может быть получено, если известна максимальная
скорость оболочки, определяемая из опыта, либо расчётным пу-
путём без учёта энергии Ес. В этом случае массовая скорость
за фронтом УВ в среде равна максимальной скорости оболочки
и, следовательно, давление на оболочку снаружи будет равно:
р = pcUD(U), где рс — начальная плотность среды, D — ско-
скорость ударной волны в среде, которая может быть определена
по известной скорости U (см. гл. 3). Давление на оболочку со
стороны среды будем считать постоянным. Тогда передаваемая
в среду энергия равна работе, которую совершает оболочка про-
против сил противодавления со стороны среды:
где R — внешний радиус оболочки, соответствующий полному
разгону оболочки, Ro — начальный внешний радиус оболочки.
Для сферы Vhq = 4ttRq/3, N = 3; для цилиндра V^o — ttR^H,
N = 2, где Н — высота цилиндра; для плоского случая V^o —
= S0R0, So = const, N = 1.
Если снаружи оболочки находится воздух, то, принимая его
за совершенный газ, для сильных УВ получаем
„„,,
Здесь величина R = i?p соответствует моменту разрушения обо-
оболочки — получения ею максимальной скорости. Значение i?p
определяется по опытным данным, либо расчётным путём. Так,
например, для цилиндрической медной оболочки, когда детона-
детонация расположенного внутри оболочки заряда ВВ распространя-
распространяется вдоль его оси, величина i?p = 2,24i?o, гДе ^о — начальный

236	Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
наружный радиус оболочки. При достижении радиуса Щ обо-
оболочка разрушается.
Для воды, грунта, если D = cq + XU (см. гл. 3), то
.	(Ю.4)
Приближённо кинетическая энергия ПД (Ек) просто вычис-
вычисляется при одномерном метании сферической, цилиндрической
и плоской оболочек, если известны зависимости скорости и плот-
плотности ПД от координаты.
В качестве примера найдём Ек при метании ПД сферической
оболочки. Пусть скорости ПД от центра до оболочки определя-
определяются уравнением и = (p(t)rn, где (p(t) — произвольная функция
времени, п — числовой показатель. Плотность ПД р = /(?) не
зависит от координаты; тогда полная кинетическая энергия ПД
в каждый фиксированный момент времени будет равна
Г)	Г)
и2dm Г (p2r2n47rr2pdr 2тг R3 pip2 R2n 3mU2
Г
2	2n + 3	2 Bn + 3)'
о	о
A0.5)
4 о
где U — максимальное скорость оболочки, т = —irRp — масса
ПД, г = R — координата оболочки, соответствующая скорости
U.
При метании сферической, цилиндрической и плоской оболо-
оболочек формулу для кинетической энергии можно записать в следу-
следующем виде:
?к = ^,	(Ю.6)
где для сферического разлёта ф = 2Bп + 3)/3, для цилиндриче-
цилиндрического ф = 2п + 2 и для плоского ф = 2 Bп +1).
Из A0.6) следует, что можно рассматривать кинетическую
энергию ПД Ек, как кинетическую энергию определённой массы
ПД гп\, движущейся с постоянной скоростью U, т.е. Ек =
= m\U2/2. Эта часть массы ПД для сферического, цилиндриче-
цилиндрического и плоского случая, например, соответственно равно (п =
3	m	m	/щ-74
mi = -, mi = —, mi = —.	A0.7)
Определим внутреннюю потенциальную энергии ПД по формуле
Еи = гпЕ, где Е — внутренняя потенциальная энергия единицы

10.2. Приближённый метод определения скорости оболочки заряда 237
массы ПД, с помощью уравнения dE = —pdv A.2) при dQ = 0:
оо
Е = - \pdv,	A0.8)
где v — удельный объём, который занимают ПД к моменту
полного разгона оболочки. Величину v можно определить по
опытным данным, либо на основе численных расчётов процесса
метания оболочек ПД.
Уравнение изоэнтропы, при расширении ПД от объёма v
до ос, можно представить в различном виде (см. гл. 1). Если
приближённо принять р = Арк, причём к = const, то удельная
энергия, рассчитанная на единицу массы ПД, определяется урав-
уравнением A.17)
к — 1 р(к — 1)
Отсюда внутренняя потенциальная энергия ПД
^ 4Fty	(ia9)
р(к- 1)
где р и р соответствуют моменту полного разгона оболочки.
Энергия разрушения (формоизменения) оболочки Еф опреде-
определяется уравнением
м г	м
Еф = —\ aidei = —Ai>,	A0.10)
0
где М/рм = Ура — объём метаемой оболочки, М — её масса,
рм — плотность оболочки, Ар — энергия разрушения единицы
объёма материала, ai, si — интенсивность напряжений и интен-
интенсивность деформаций, ер — интенсивность деформаций, соответ-
соответствующая разрушения материала.
Численные значения Ар для некоторых материалов следую-
следующие: СТ.З — Ар = 0, 2 (ГПа • см)/см, нержавеющая сталь — Ар =
= 0,35(ГПа-см)/см.
Следовательно, полное уравнение энергии A0.1) при метании
в воздухе можно записать в виде

238	Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
MA,

Рм
^\ -l\=mQ. A0.11)
Очевидно, что при плоском метании Еф = 0. Скорость метаемой
оболочки, если пренебречь Ес будет равна
U =
(о Ар
V /Зргл
р(
Р
к- 1)
\ 2/3
/ 2^
Ф
где C = тп/М.
Далее для удобства будем пользоваться формулой D.11)
D = J2(k2—\)Q. Следует заметить, что эта формула, спра-
справедливая для идеальных газовых систем, является теоретиче-
теоретически необоснованной для конденсированных ВВ. Для многих ВВ
большой плотности, рм = 1,6-1,8 г/см2, эта формула даёт за-
завышенные значения скорости детонации на 10-15% при к =
= 3. В этом случае D = A^fQ. В ряде случаев более точное
значение скорости детонации получается при к = 2,7, при этом
D = 3,5^/^- При уменьшении плотности данного ВВ скорость
D всегда уменьшается, а величина Q для ряда ВВ не зависит
от начальной плотности ВВ (см. раздел 4.1). Использование
формулы D.11) в этом случаи теряет свой смысл.
Формула A0.12) не учитывает истечения ПД вдоль оси за-
заряда для цилиндрических оболочек конечной толщины и исте-
истечения ПД при разрыве оболочки, не учитывает взаимодействие
детонационной волны с оболочкой. Затем следует заметить, что
эта формула предполагает толщину оболочки вдоль образующей
постоянной, в противном случае скорости различных частей обо-
оболочки будут разными. Зависимость A0.12) выведена для плоско-
плоского и шарового заряда, или для цилиндрического заряда бесконеч-
бесконечной протяженности. Для различных других случаев эта формула
либо не годится (например, в случае короткого цилиндра без
днищ), либо она определяет некоторую среднюю скорость.
В уравнении энергии A0.11) во многих случаях можно пре-
пренебречь энергией разрушения Еф и энергией ударных воздушных

10.2. Приближённый метод определения скорости оболочки заряда 239
волн. В этом случае скорость разлёта оболочки равна
U =
\
(Q - Еп)
A0.13)
т
ф
Поскольку численно Q — En ~ D2/l6, то
\
2 1 + ^
ф
Для плоского случая ф = 6, для цилиндра ф = 4, для сферы
ф = 10/3. Соответственно, имеем скорости:
3/?
A0.14)
Если в уравнении A0.1) считать, что вся энергия mQ рас-
расходуется на метание оболочки, то MU2/2 = mQ. При условии
D = A\fQ получим
c/=f\/f-	A0Л5)
Это верхний теоретический предел скорости метания оболочки.
Запишем уравнение A0.11) для цилиндрической оболочки:
mQ =
ми2
м
mU2
тЕ + irpH [Щ - Щ\ . A0.16)
Сравним все составляющие этого уравнения с соответствующи-
соответствующими опытными данными при метании медной трубки зарядом ТГ-
36/64, для которой /3 = т/М = 0, 5.
ТЛ	»	М Л
Расчет показывает, что величина —А составляет менее
р
l%mQ, величина тЕ по расчёту (определённая по точной изоэн-
тропе) составляет l5%mQ, величина тгрН (El — Rfy составляет
(по расчётам) менее l%mQ, величина MU2/2 (по опыту) —
63%mQ, величина mU2/4 (по расчётам) — 14%. Скорость обо-
оболочки U ^ 1,6 км/с.
10.2.2. Определение закона движения оболочки заряда.
Рассмотрим закон движения инерционной массы М для случаев

240	Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
плоской, цилиндрической и сферической оболочки при следую-
следующих допущениях:
— мгновенная детонация, когда рм = PoD2/8, и равновесное
расширение ПД: р = рм (го/г) » гДе N — 1 Для плоской оболоч-
оболочки, N = 2 для цилиндрической, 7V = 3 для сферической.
Например, для цилиндра высотой Н имеем при к = 3:
или C/dC/ = Ar 5dr, где А = р^г^2тгН/М, отсюда
Пш\
A dr
A0.17)
Из уравнения A0.17) получаем закон движения г = г(?). При
Г = 2го СКОрОСТЬ обоЛОЧКИ U ~ f/max-
Для плоской и сферической оболочек задача решается анало-
аналогично.
10.3. Задача о метании жёсткой пластины
В трубе находится пластина, масса которой М, она метается
зарядом ВВ, длиной / и массой m (рис. 10.5). Эта задача реша-
решается при определённых допущениях аналитически. Для момента
времени t ^ 1/D мы имеем разлёт ПД в пустоту (рис. 10.5).
В этом случае решение в области разлёта газа определяется
следующими уравнениями при к = 3 (см. раздел 5.1):
, \±	х D
х = [и + c)t, или и =	;
D	* D	<10'18>
u-c = -j, или с= —+ —.
Для t ^ //?) начинается движение тела, а по ПД пойдёт
отражённая УВ со скоростью D^ (рис. 10.6).
Необходимо найти закон движения тела и изменение пара-
параметров ПД в области отражённой волны.
Строго говоря, течение в этой области является адиабатиче-
адиабатическим, потому что отражённая УВ оставляет за собой частицы
с разной энтропией. Такая задача может быть решена только
численно. При некоторых допущениях эту задачу можно решить
аналитически.

10.3. Задача о метании жёсткой пластины
241
////////////////////////////у
пд
D
I
///////////////////,
С/
Рис. 10.5
Рис. 10.6
1.	Будем считать, что энтропия всех частиц в зоне отражён-
отражённой волны постоянна.
2.	На фронте отражённой волны вместо ударных соотноше-
соотношений можно использовать равенство (и + с)\ = {и + сJ, т.е. мы
будем задачу рассматривать в акустическом приближении, здесь
это допустимо, т. к. волна D2 вторично сжимает среду ударно,
а при этом энтропия меняется мало.
Область 2 не будет простой волной, так как эта область гра-
граничит с областью нестационарного течения, поэтому используем
общее решение при к = 3 B.43):
х = (и — c)t + F2.
Граничные условия:
1)	для границы областей 1 и 2 справедливо равенство
{и + с)х = (и + сJ,	A0.20)
2)	Для границы области 2 и тела закон движения тела имеет
вид
= pS.
A0.21)
Положим U = и, т. е. частички газа, которые примыкают к те-
телу, движутся по тому же закону, что и тело. Используем условия
A0.20) для определения F\ и F2. Согласно A0.18) и A0.20),
[u + c)i = - = {u + cJ.	A0.22)
Чтобы выполнялось это равенство необходимо, чтобы F\ = 0.
Следовательно, первое уравнение A0.19) можно записать
в виде
х = (u + c)t.	A0.23)
Для того чтобы найти F2, надо проинтегрировать уравнение
A0.21). Выразим в нем и = U и р через с.

242	Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Согласно A0.23) и = x/t — с,
^__^ + «_^-_^_^	A024)
dt~ t* + t dt~ t df	( '
Для изоэнтропического процесса при к = 3, р/рн = (с/сн) •
Это следует из того, что:
2 dp	о	з	I °3\
с =—, р = Ар, с~р, р~с, Р = Рн[ — ),
dp	\ с"
где рн = poD2/4, сн = C/4)?). Таким образом
я
Теперь уравнение A0.21) приведём к следующему виду:
(Ю.26)
\ t at) 27 Dc
где 5^
Обозначим г] = A6/27) (m/М). Тогда получим следующее
уравнение:
§ + f + ^ = 0.	A0.27)
at t ?)/
Получили закон движения тела, записанный через скорость зву-
звука газа в слое, примыкающем к телу. Уравнение A0.27) интегри-
интегрируется разделением переменных, для чего обозначим
с =4--	A0-28)
Тогда уравнение A0.27) примет вид dZ/dt + Z/2t + rjZ3/lDt = 0.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
\nZ2 - In (l + ^zA = -lnt - In С*.
С помощью A0.28) решение уравнения A0.27) можно предста-
представить в виде
сч = 1Р + т	A029)
где С* — константа интегрирования для определения которой
используем начальные условия в момент удара: t = l/D, с = D.
Подставляя эти значения в уравнение A0.29), с учётом
A0.28), получим

10.3. Задача о метании жёсткой пластины	243
Решение A0.29) представим в виде
c=-J,	A0.31)
где	(	( I \\/2
^^JJ .	A0.32)
Определим закон движения тела. Согласно A0.19),
=х =dx
t	at
причём с = -I?, поэтому
^ = ---#.	A0.34)
dt t t
Получили дифференциальное уравнение движения тела. Инте-
Интегрируем его при таких начальных условиях: t = l/D, x = I.
expjlnt} = t.
Интегрируя, получаем закон движения тела или газа, примыка-
примыкающего к телу:
ЛiZiV	A0.36)
Для момента t ^ 1/D
и=^- = --с.	A0.37)
dt t
Используя A0.31) и A0.36), получим, учитывая что и = U,
При t —> со
U = Um =

244	Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Определение F2. Уравнение A0.23) представим в виде
х	х	х 1 п х — 2W
х	ж	х I
-с=--с-с=--2с=-- 2-1? =
V	V	7/7/7/
и
то есть
F2 = 2/i?.	A0.39)
Окончательно разлёт газа в области отражённой ударной
волны 2 описывается следующими уравнениями:
Х = ^ + С\г;	(Ю.40)
х = (и — c)t + 2ш.
Предельный случай. Пусть М —> ос. Получаем отражение
детонационной волны от жёсткой стенки: т\ = 16ш/27М —> 0.
Т°ГДа	\\/2
'Dt)) ~" 1
и F2 ^ 21, то есть для отражения от жёсткой стенки в области
2 справедливо (см. E.24)):
lZt.-t+2l.	(W41)
10.4. Метание сжимаемой прочной пластины
и короткой цилиндрической оболочки
Применение ЭВМ для численного решения задач по метанию
оболочек и пластин позволило использовать более сложные фи-
физические модели для исследования этих процессов. Рассмотрим
две задачи такого типа.
1. Пусть заряд ВВ длиной /, расположенный в жёсткой тру-
трубе, детонирует в сечении х = 0 и метает сжимаемую прочную
пластину, находящуюся в сечении х = 1.
В этом случае одна система дифференциальных уравнений
описывает движение ПД и другая — движение материала пла-
пластины.
Дифференциальные уравнения, описывающие движение ПД,
имеют вид
аи 1 up
;'	A0.42)

10.4. Метание сжимаемой пластины и цилиндрической оболочки 245
До момента времени t ^ 1/D движение ПД будет изоэнтро-
пическим:
р = р(р).	A0.42а)
На фронте детонационной волны параметры постоянны и из-
известны: рн, ин, рн\ на границе разлёта с пустотой р = 0, р = 0.
После отражения детонационной волны от метаемого тела
возникает область отражённой ударной волны, где течение будет
адиабатическим. В этом случае вместо уравнения A0.42а) необ-
необходимо записать
dE dv
~dt+P~dt+ '	A0.43)
р = р(р,Е).
Граничные условия: а) на фронте отражённой ударной волны
должны соблюдаться ударные соотношения (см. гл. 3); б) на
границе ПД-тело давление и скорости должны быть равны.
Движение материала пластины может быть рассмотрено с по-
помощью разных физических моделей. Например, этот материал
можно считать сжимаемой баротропной жидкостью. В этом слу-
случае движение волн в пластине описывается уравнениями A0.42),
A0.42а).
Более точная модель должна учитывать и сжимаемость,
и прочность пластины.
В этом случае для фиксированной частицы и идеальной
пластичности а^л = const, на основе системы A.96)), получим
следующие уравнения:
ди _ dp dS\
p~di = ~lfr + lk]
dp ди _
-^ + р—= 0;
dt dr
дЕ р др ди
m P*dt dr	A044)
р = р(р,Е);
dt r\dr ' 3Pdt
dS9 „ (u lc
dt r\r ' 3Pdt

246
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
Ml
N
О
Рис. 10.7
Главные компоненты девиатора напряжений S\ и $2 = $з так
2
корректируются, чтобы выполнялось условие 2S| + Sf ^ -<т| .
Граничное условие — на
тыльной поверхности пластины
напряжения равны нулю (р =
= 0,Si =0).
На рис. 10.3 представлены
результаты расчётов для инерци-
инерционной массы A, рис. 10.3) и ме-
метание сжимаемой, прочной пла-
пластины B, рис. 10.3). Во втором
случае пластина движется скач-
скачками за счёт отражения волн
в пластине. На рис. 10.7 изобра-
изображены волны в пластине в коор-
координатах x-t, где ADEM — траектория движения границы разде-
раздела ПД-пластина, CNK — закон движения свободной поверхно-
поверхности пластины. На пластину толщиной ho падает детонационная
волна ОА, от пластины отражается ударная волна в ПД — АВ,
а в пластине возникает ударная волна — АС. При выходе УВ
на свободную поверхность, в точке С возникает центрированная
волна разрежения CDE, которая отражается от границы раздела
ПД-пластина (точка D) и происходит её ускорение, что слу-
служит источником образования волны сжатия в пластине DNKE.
Свободная поверхность в точке С получает мгновенно некото-
некоторую скорость, затем идёт торможение этой поверхности за счёт
волны разрежения; после выхода волны сжатия на свободную
поверхность (в точке N) свободная поверхность снова получает
ускорение, затем от точки N начинает распространяться волна
разрежения и т. д. Полная скорость пластины устанавливается
в этом случае на расстоянии C-5)/iq ot пластины, то есть набор
скорости идет интенсивно.
2. Математическая модель двумерной задачи. Рассмотрим
математическое описание двумерной осесимметричной задачи
о метании оболочки как инерционной массы. Имеем короткий
цилиндр, заполненный ВВ, детонация начинается одновременно
с двух торцов заряда. Ось 0z совпадает с осью заряда, а точка
z = 0 расположена посередине заряда (рис. 10.8).
Система уравнений газовой динамики (см. п. 1.2.3) для про-
продуктов детонации в эйлеровых переменных для этого случая

10.4. Метание сжимаемой пластины и цилиндрической оболочки 247
имеет следующий
dp
dt +
dur
duz t
dt
dE
dt +
и др +
^r dr
dur
dr
duz
Ur dr
dE
r dr
вид:
dp
Uzd~z+P
dur
dz
duz
Uz dz
dE
VUz dz +
/dur
\dr '
I dp
pdr
1 dp
p dz
p fdur
p\ dr
duz\
dz ) "
- U,
- u,
duz\
1 dz )
pur
r
( 0- 5)
pur
pr '
Здесь p, ur, uz, E, p — плотность, радиальная и осевая компонен-
компоненты массовой скорости, внутренняя энергия и давление продуктов
детонации, соответственно. Система замыкается уравнением со-
состояния ПД, р = р(р, Е).
Уравнение движения оболочки выглядит следующим образом:
^ =pdSn.	A0.46)
(lib
Здесь U — вектор скорости элементарной массы оболочки; п —
единичный вектор, нормальный к оболочке; dS — площадь по-
поверхности, соответствующая массе dM.
В проекциях на оси координат, имеем:
dM^ =pdS cos 6, dM^=pdS sin 6,	A0.47)
at	dt
где Ur и Uz — радиальная и осевая компоненты скорости эле-
элемента оболочки, 5 — угол между вертикалью и нормалью к
поверхности оболочки.
Граничное условие на оболочке имеет вид
un = Un,	A0.48)
где пп и Un — проекции векторов скоростей продуктов детона-
детонации и оболочки, соответственно, на нормаль к оболочке.
Граничные условия на фронте истекающих продуктов детона-
детонации имеют вид: р = 0, р = 0. В силу осевой симметрии задачи
радиальная составляющая скорости продуктов детонации на оси
равна иг = 0.
Граничные условия на фронте детонационной волны имеют
вид
Р = Рн, р = рн, uz = uH,	A0.49)
где рн, рн, ин — давление, плотность и массовая скорость
продуктов детонации в точке Чепмена-Жуге. Поскольку

248
Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
рассмотренная задача симметрична относительно плоскости z =
= 0, то решение можно искать только для правой части заряда.
Граничное условие на оси симметрии: иг = 0.
Фронт разлета ПД р = 0,
0
2,0
Рис. 10.8
Рис. 10.9
На рис. 10.8 показаны заряд взрывчатого вещества, с радиу-
радиусом го, длиной /q и массой га, расположенный на жёсткой стенке,
и ситуация после начала детонации. На рис. 10.9 показано рас-
распределение скорости оболочки (инерционная масса — М) вблизи
жёсткой стенки для случая т/М = 2, /оЛо = 2, рассчитанное по
формулам A0.45-10.49). Сплошная линия на рис. 10.9 рассчи-
рассчитывалась для уравнения состояния D.37), а штрих-пунктирная
линия линия для уравнения D.29). Использовалось ВВ — пенто-
лит E0% ТЭНа и 50% тротила), р0 = 1,65 г/см3, D = 7655 м/с.
При численном расчёте разлёта прочных оболочек необходи-
необходимо учитывать как их инерционные свойства, так и прочность,
и сжимаемость (см. гл. 13).
10.5. Баллистика осколков
При взрыве заряда ВВ в оболочке последняя разгоняется до
скорости Щ. При этом оболочка разрывается на осколки разной
массы и формы. Если оболочка состоит из готовых осколков
(шарики, ролики и т.д.), то масса и форма осколков одинако-
одинакова, кроме тех готовых осколков, которые были разрушены при
взрыве. При полёте в воздухе осколок тормозится и его скорость
уменьшается.
Если пренебречь силами тяжести, плотность воздуха ро счи~
тать постоянной, а площадь миделя осколка считать равной
среднему значению Sc, коэффициент лобового сопротивления

10.5. Баллистика осколков	249
сх = const , то уравнение движения осколка с массой М в воз-
воздухе можно записать в виде
где А= p0Sccx/2M.
Уравнение A0.50) представим в другой форме:
dU dx dUТТ Лтт2	dU лтт	/mn\
— — = —[/ = -AU2 или — =-AU.	A0.51)
dx dt dx	dx
Интегрируя это уравнение, получаем
In— = -Ах, или U = Uoexp{-Ax}.	A0.52)
По этим формулам можно определить скорость осколка U
на любом расстоянии. Если для осколка заданной массы и фор-
формы задается U = Uy — скорость, необходимая для пробития
заданной преграды, то из уравнения A0.52) определяется так
называемый убойный интервал:
ху = ^-Ы^.	A0.53)
л иу
Параметр А можно представить в виде
2/3с ф	о
А = н° х , или A=—Uz,	A0.54)
где рм — плотность осколка, Ф — параметр формы осколка, В —
баллистический параметр, его значение В « 0,03 для осколков
естественного дробления (ЕД), если размерности: [А] = 1/м,
[М] = г. Для шара Ф=1,21, для короткого цилиндра — 1,38,
для куба 1,5, для осколков ЕД принимают Ф= 2. Коэффициент
лобового сопротивления существенно зависит от формы осколка.
Так сх = 0,47 для шара; сх = 1,05 для куба, грань которого пер-
перпендикулярна вектору скорости; сх = 0, 8 для куба, если скорость
направлена по диагонали куба; сх = 0,82-1,2 для цилиндра
с учетом разного положения цилиндра в потоке воздуха; сх =
= 2 для пластины, плоскость которой перпендикулярна вектору
скорости; для осколков ЕД в среднем сх = 1,21.
При более точных расчетах баллистики осколка необходимо
учитывать силу тяжести, зависимость сх = cx{U) и переменную
величину площади поперечного сечения осколка.

250	Гл. 10. Метание тел продуктами детонации
При попадании осколка в преграду толщиной h, он может
её пробить или застрять в ней. Эта задача требует численного
решения двумерной или трёхмерной задачи (см. гл. 13). Для
приближенной оценки пробивной способности осколка (короткий
цилиндр: высота к диаметру 1:1) до скоростей U < 2 км/с можно
использовать формулу h = 4,1JJ • М1/3 (осколки и пластина —
среднеуглеродистая сталь): h = 9, 7С7 • М1/3 (осколок — сталь,
преграда — дюраль), где h — толщина пробиваемой пластины:
[h] = мм, [М] = г, [U] = км/с. Скорость U у преграды определя-
определяется по формуле A0.52), в зависимости от начальной скорости Щ
и расстояния х, измеряемого от заряда с оболочкой до преграды.

Глава 11
КУМУЛЯЦИЯ
11.1. Физические представления о кумуляции
Кумулятивный заряд (КЗ) является взрывным устройством,
которое приобрело большое значение в практике применения ВВ
как для военных, так и для промышленных целей. Суть куму-
кумулятивного эффекта иллюстрирует рисунок 11.1. Кумулятивный
заряд обязательно должен состоять из кумулятивной воронки —
KB A), взрывчатого вещества — ВВ B), и детонатора C).
Если монолитный заряд ВВ,
имеющий осевую симметрию,
при взрыве на поверхности
стального блока оставляет
лишь неглубокую коническую
вмятину (случай "а"), то
заряд с конической выемкой,
содержащий к тому же меньшее
количество ВВ, выбивает
кратер, глубина которого в 5
раз больше (случай "б").
Когда в том же заряде выемка
облицована металлом, а заряд взрывается на некотором рассто-
расстоянии от преграды, (равном 1-6 диаметра заряда), получается
значительное отверстие, глубиной до 12 диаметров заряда
(случай "в"). Явление кумуляции носит чисто местный характер.
Общее воздействие на преграду в случае V наибольшее, но
местное воздействие будет наибольшим в случае "в".
Кумуляция представляет собой существенное повышение дей-
действия взрыва в определенном направлении. Этот эффект до-
достигается благодаря концентрации энергии в единице объема
в нужном направлении. Кумуляция энергии может осуществ-
осуществляться различными способами. Классическим примером это-
этого явления могут служить сходящиеся сферические ударные
Рис. 11.1

252
Гл. 11. Кумуляция
и детонационные волны. В этом случае в центре симметрии
возникают давления порядка миллиона атмосфер. Чаще всего
в практике используется осесимметричный вид кумуляции. Этот
эффект получается при использовании зарядов, имеющих на
одном из своих концов кумулятивную выемку. Эффект резко
возрастает, если эта выемка покрыта металлической облицовкой.
Инициирование кумулятивного заряда (КЗ) должно производить-
производиться со стороны, противоположной кумулятивной выемке.
Теоретические исследования и современные эксперименталь-
экспериментальные методы (импульсная рентгенография, оптические и осцилло-
графические методы и др.) позволили получить достаточно пол-
полное представление о процессе образования кумулятивной струи
(КС).
Фронт детонационной волны в КЗ начинает распространяться
от детонатора со скоростью D (см. рис. 11.2 и 11.3). Затем
он отражается от поверхности воронки, на которую при этом
действует максимальное давление в 20-60 ГПа. Его величина за-
зависит от материала воронки, угла подхода фронта детонационной
волны к поверхности облицовки и свойств ВВ.
Рис. 11.2
Рис. 11.3
Разогнанная продуктами детонации тонкая металлическая
воронка двигается со скоростью 1-2,5 км/с к оси КЗ, что сопро-
сопровождается последовательным уменьшением ее диаметра в раз-
различных сечениях. В струю переходит внутренняя часть кумуля-
кумулятивной воронки (рис. 11.2).

//./. Физические представления о кумуляции	253
После схлопывания г-й элемент находится под всесторонним
давлением (кроме внутренней поверхности), которое возникает
от соударения кумулятивной воронки на оси заряда. В результате
образуется тонкая металлическая струя, двигающаяся вдоль оси
заряда (см. рис. 11.3).
Различные части КС летят с разной скоростью, поскольку
верхние элементы кумулятивного конуса, толщиной Дж^ имеют
небольшой радиус и малую массу Mi по сравнению с массой
элементов у снования конуса, а масса ВВ, прилегающая к разным
элементам воронки tj, и в основном определяющая его скорость,
убывает от вершины к основанию конуса. Распределение скоро-
скорости частиц вдоль КС показано на рис 11.4. Головные частицы
(для Си, Fe, A1) имеют скорость и = 6-12 км/с, а хвостовые и =
= 0, 5-1 км/с.
Рис. 11.4	Рис. 11.5
Из-за градиента скорости струя со временем растягивается
и разрывается на несколько десятков частиц (при свободном
полете в воздухе, пустоте), каждая из которых летит как целое
тело с постоянной скоростью.
Кумулятивные воронки делают из различных материалов
в зависимости от той задачи, которую должен решить КЗ. Ши-
Широко используются тяжелые, пластичные металлы, такие как
медь (марки Ml), которые образуют сплошные струи с большим
удлинением (примерно в 10 раз); плотность в струе снижается
не более чем на 10% по сравнению с плотностью исходного мате-
материала. Разрыв этих струй происходит на относительно больших
расстояниях от места их образования.
Кумулятивные струи из таких металлов, как железо или
малоуглеродистая сталь, цинк, раньше разрываются, меньше рас-
растягиваются и проникают в преграду на меньшую величину по
сравнению с медными струями.
Малопластичные, хрупкие металлы (титан, вольфрам и др.)
не образуют сплошных струй. В этом случае сразу формируется
струя из отдельных частиц относительно большого диаметра.
Такие дискретные струи проникают на меньшую глубину, чем

254	Гл. 11. Кумуляция
сплошные струи, но, как правило, образуют в преграде отверстие
большего диаметра.
Для получения КС без песта широко используются куму-
кумулятивные воронки, прессованные из вольфрамого порошка (до
75%) и медного порошка с добавлением связующих добавок.
Порошковые струи не разрываются на частицы, как, например,
медные струи, но при растяжении их плотность уменьшается.
КЗ с такими воронками способны пробить малоуглеродистую
стальную плиту толщиной \2d (где d — диаметр заряда ВВ).
Существуют и такие материалы (например, биметаллические
соединения меди и цинка, пластмассы), которые песта не образу-
образуют из-за малой прочности материала, способности к испарению
и сгоранию.
Формирование струи зависит от угла раствора кумулятивной
воронки. Если этот угол 2а меньше некоторого критического
угла 7кр, то КС не образуется. Образование её происходит только
в том случае, если в окрестности точки схлопывания воронки
создается дозвуковой режим течения. При сверхзвуковом же
течении в этой области ударные волны препятствуют образова-
образованию КС. Верхний предел скорости струи, соответствующий 7кр,
близок к удвоенной скорости звука в материале воронки. Но
и при дозвуковом режиме течения не всегда создаются необхо-
необходимые условия для формирования струи, поскольку при неболь-
небольших углах раствора воронки существенную роль в процессе
струеобразования играют пластичность и прочность материала
кумулятивной облицовки.
Струя по массе составляет меньшую часть металла облицовки
(для медных воронок 10-20%). Большая же часть массы воронки
образует пест, который для таких материалов, как Си. Fe, A1,
летит как целое компактное тело.
Исследования показывают, что температура КС ниже темпе-
температуры плавления: для таких материалов,, как медь и железо,
она равна 600-1000°С. Нагрев КС зависит от нескольких при-
причин: 1) при взаимодействии детонационной волны с облицов-
облицовкой в последней возникают ударные волны, затем происходит
изоэнтропическая разгрузка, причём облицовка нагревается до
150-200°С вследствие необратимых потерь на фронте ударной
волны; 2) нагрев еще на 400-700°С достигается за счёт пласти-
пластического деформирования металла воронки и струи; 3) нагрев от
взаимодействия струи с воздухом и от взаимодействия оболочки
с продуктами детонации за счет теплопроводности охватывает
лишь незначительную поверхностную часть металла.

11.2. Гидродинамическая теория кумуляции	255
Кумулятивный эффект такого типа как на рис. 11.16, изве-
известен давно. Так, в России военный инженер М.М. Боресков
использовал этот эффект ещё в 1864 г. для разрушения гор-
горных пород. В СССР первые систематические исследования га-
газовой кумуляции (см. рис. 11.16) проведены М.Я. Сухаревским
в 1923-1926 г.г. Первые кумулятивные боеприпасы с металли-
металлической воронкой были созданы в период второй мировой войны
A939-1945 г.г.) в СССР и Германии.
11.2. Гидродинамическая теория кумуляции
Гидродинамическая теория кумуляции создавалась в соро-
сороковые годы XX века отечественными и зарубежными учеными
(М.А. Лаврентьев, Г. И. Покровский, Г. Тейлор, Г. Биркхофф
и др.). В основе этой теории лежат элементы теории струй
несжимаемой жидкости. Задача ставится так. Сходящийся поток
с известными параметрами — углом а, скоростью Щ, и массой
то (масса, проходящая через единицу площади в единицу време-
времени), образует на оси два потока, растекающихся в противополож-
противоположных направлениях вдоль оси Ох с параметрами U\, m\, U^, 1П2
(рис. 11.6). Так как задача симметрична, можно рассматривать
только одну половину схемы (рис. 11.7).
Считаем, что поверхность симметрии абсолютно гладкая, то
есть при движении жидкости по поверхности нет трения.
Для данной схемы можно записать следующие основные со-
соотношения.
1.	Закон сохранения массы:
то = ГП\ + 7712-	A1-1)
2.	Закон сохранения импульса.
Так как трения нет, то вдоль оси импульс сил равен нулю
и изменение импульса также равно нулю:
(mxUx cosO° + m2U2co8 180°) - [/0m0cosA80o + а) = 0,
или	A1.2)
m\U\ — 1712U2 = — UorriQ cos a.
3.	Закон сохранения энергии.
Так как процесс стационарен, а жидкость несжимаема, то
закон сохранения энергии выражается уравнением
| rn2UJ

256
Гл. 11. Кумуляция
Uo, т0
Рис. 11.6
Тогда из уравнений A1.1) и A1.3) имеем:
Un = U}= С/о.
Рис. 11.7
A1.4)
Теперь с учётом уравнения A1.4) можно записать уравнения
A1.1) и A1.2) в следующем виде:
то = т\ + ГП2, —rriQ cos a = m\ — т^.
Решим эту систему относительно т\ и т^:
2т\ = тоA — cos а), или гп\ =
zrri2 = mo(\ + cos а), или rri2 =
1 — cos a

1 +cosa
2 а
—,
2
= mo cos —.
A1.5)
Справедливость применения описанной модели несжимаемой
жидкости основана на том, что давления, возникающие при
детонации, намного превышают прочность металлов, но, с другой
стороны, они не настолько велики, чтобы сжимаемость металлов
могла играть существенную роль.
Теперь перейдем от схемы со-
соударения струй (рис. 11.7) к схе-
схеме схлопывания кумулятивной
воронки (рис. 11.8).
Допустим, что кумулятивная
воронка получает скорость UB,
нормальную к своей поверхно-
сти.
Разложим вектор UB на две
составляющие: вдоль стенки во-
воронки Uq и вдоль оси симметрии
U& (рис. 11.8). Вдоль оси при столкновении струй со скоростью
С/о, согласно теории соударения двух струй, возникнет две струи:
одна со скоростью U\, а другая со скоростью С/2, причём U\ =
= [/2 = Щ. Но направления U\ и С/2 разные. Эти две струи будут

11.2. Гидродинамическая теория кумуляции	257
сноситься вправо со скоростью Uk- При этом скорость струи Uc =
= U\ + Uk, а песта Uu = Uk — Щ.
Составляющие Uk и Щ равны (см. рис. 11.8):
sm a	tga
Uk — скорость точки соударения элементов облицовки.
Согласно вышесказанному, скорость струи равна
uc = ul + uk = u0 + uk,
ИЛИ
ТТ _ UB UB _TT 1+cosa _TT 2cos2f _ UB
tga since	since	9ч1п-тч- fa —
11 Fh.6)
Скорость песта:
Uu = Uk-U2 = Uk- C/o,
или
= UB	:	 = U
,	.	— ^ в	.	— ^B	ry	ry — UB bb n '
tga sin a	sin a	2 sin-cos-	2
Определим энергию струи и песта:
?,	(П.7)
2 " 2tg2^
Ztg 2
^ Gn2m2 moGB2tg2^^
T^l 		11	^ 		^	^ 	 Tp * Z	/^11 й^
причём Eq = Ec + Eu.
Рассмотрим предельный случай:
а —> 0,	mi -^ 0,	т2 -^ то, С/п —> О,
С/с —^ ос,	?"с —> ?"о>	EJU —> 0.
Отсюда должно было бы следовать, что можно достичь беско-
бесконечно большой скорости струи при а —> 0. В действительности,
однако, этого не происходит. Скорость струи практически имеет
верхний предел, зависящий от сжимаемости материала облицов-
облицовки.
9 Л. П. Орленко

258	Гл. 11. Кумуляция
Имеется некоторый критический угол ак. Если а ^ ак, то ку-
кумулятивная струя не образуется, а летит поток частиц. Скорость
струи, соответствующая ак, равна
+ [/в2,	A1.9)
где с — местная скорость звука в точке 0 (рис. 11.7). Это
максимальная скорость струи для данного кумулятивного заряда.
11.3. Приближённый метод расчёта параметров
кумулятивной струи
Процессы детонации кумулятивного заряда, схлопывания во-
воронки и образования кумулятивной струи относятся к классу
двумерных осесимметричных задач. Эта задача требует исполь-
использования машинной программы, реализуемой на ЭВМ.
В настоящее время существует несколько приближённых (ин-
(инженерных) методов расчёта параметров кумулятивных зарядов.
Рассмотрим один из таких методов.
Весь кумулятивный заряд разбивается на п элементов, п ^ 10
(рис. 11.9). На рисунке обозначено: 1 — детонатор, 2 — взрыв-
взрывчатое вещество, 3 — кумулятивная воронка, 4 — корпус, 5 —
преграда. Рассчитывается часть заряда высотой Н.
Рассмотрим г-й элемент заряда, помещённый в корпус, массой
Mm, масса ВВ i-го элемента т^ а масса кумулятивной облицов-
облицовки Мг (рис. 11.10).
Для данной схемы запишем уравнение сохранения энергии
(см. п. 10.2):
^ !^	(,,.,0)
Из уравнения A1.10) видно, что энергия активной массы ВВ т^
преобразуется в кинетическую энергию движения элементов во-
воронки и в кинетическую энергию движения газов, образующихся
при взрыве активной массы ВВ.
Активная масса рассчитывается по следующему соотноше-
соотношению [1]:
, МНг-Мг

11.3. Приближённый метод расчёта параметров кумулятивной струи 259
Рис. 11.9
Корпус (Мя.)
Рис. 11.10

260	Гл. 11. Кумуляция
Рассмотрим несколько более простых случаев нагружения, сле-
следующих из A1.11):
1. Мг = МНг; таг = ^;
2. Mm^>Mi\ т^ = тп1\	A112)
2
т2
3. Мш = 0;	гаа; =	г
Обозначим: /3i = mai/Mi, где /3i — коэффициент нагрузки г-го
элемента.
Известно, что D = A\[Q, где D — скорость детонации ВВ
D.11).
Уравнение A1.10) преобразуем к следующему виду:
A1.13)
Определим скорость струи для i-го элемента с помощью
уравнения A1.6):
Значение угла щ вдоль облицовки изменяется, в процессе со-
соударения воронка схлопывается от вершины к основанию со все
увеличивающимся углом щ. То есть, угол щ надо определять
конкретно для каждого i-го элемента облицовки.
Вследствие того, что процесс детонации имеет конечную ско-
скорость D, точка а в течение времени AU = Axi/D будет дви-
двигаться, а точка Ь ещё будет неподвижной (рис 11.11). Возникает
перекос, изменение угла щ.
Величина Axi задана делением заряда на элементы, линия
аЪ — начальное положение образующей воронки.
Согласно рис. 11.12
a!d = cb = а! а + ad,
afa = пгАи,
ad = tgaoiAxi.
Точка "а" лежит на границе i-ro и (г — 1)-го элементов,
поэтому её скорость можно определить как полусумму скоростей
этих элементов:	тт . тт
пг=и°'г-'+и°г.	A1.15)

11.3. Приближённый метод расчёта параметров кумулятивной струи 261
1
Ах,
/
/
/
а
\
У
\
\
-А
\
D
\
>
Ах,
у
я'
i i
a
\
\\
d
Oi
b
Рис. 11.11	Рис. 11.12
Для данного этапа можно определить угол ац (рис. 11.12):
cb UjAti + tg aQi Axj Ui
A1.16)
Угол наклона линии а'Ь
дополнительно изменится ,
когда точка Ь начнёт дви-
двигаться, так как точки аг и Ь
будут иметь разные скоро-
сти.
Обозначим: ti — время,
в течение которого точка
аг переместится в точку а"
Рис. 11.13
(рис. 11.13):
Тангенс искомого угла определяется из уравнения
_ уг - U
A1.17)
Необходимо определить величину у^\ (см. рис. 11.13)
С учётом A1.17), отсюда получим
- уг - Т1г
Окончательно на основе A1.18) будем иметь:
^ Л. _ Уг+\ иг+
Axj
A1.18)
A1.19)
где Аи =

262
Гл. 11. Кумуляция
Формула A1.19) определяет истинный угол схлопывания об-
облицовки для i-ro элемента кумулятивной облицовки.
Масса кумулятивной струи определяется с помощью форму-
формулы A1.5), если т\ = MCi, rriQ = Mi, а её кинетическая энер-
энергия — с помощью A1.14):
Mci = Mi sin2 ^, MKC = V Mci;
n
Ек
A1.20)
г=1
Показатель г] характеризует КПД кумулятивного заряда.
Угол ol{ определяется по формуле A1.19).
Диаметр i-го элемента кумулятивной струи определяется по
формуле
Мсг =
Отсюда следует, что
A1.21)
то есть dCi зависит от \{. Определение k дано в п. 11.4.
11.4. Определение глубины пробития преграды
кумулятивной струей
Преграда
Рис. 11.14
Скорости КС, наблюдаемые
в действительности, составляют
B-12) км/сек. Если такая струя
встречается с преградой, состоя-
состоящей также из плотного материа-
материала, то возникает давление тормо-
торможения, намного превосходящее
прочность металла. Таким обра-
образом, и в этом случае оказывается возможным применить гидро-
гидродинамическую модель.
Рассмотрим кинематическую схему проникания i-ro элемента
КС в преграду (рис. 11.14).
При проникании в преграду со скоростью Ux, элемент
струи срабатывается, подобно струе воды, проникающей в глину
(рис. 11.15).

11.4. Определение глубины пробития преграды кумулятивной струей 263
Рис. 11.15
Рис. 11.16
Перейдем к системе координат, в которой точка х покоится
(рис. 11.16).
Элемент КС проникает на
глубину Li (рис. 11.17).
Время пробития отверстия
равно времени срабатывания
струи:
,
Н
Отсюда
Рис. 11.17
A1.22)
Величина UXi зависит от свойств преграды и струи.
Самую простейшую гипотезу для определения глубины про-
пробития предложил М. А. Лаврентьев. По этой гипотезе материал
преграды и струи считается несжимаемой жидкостью, так как
скорости большие, и прочность большой роли не играет.
В общем случае струя и преграда имеют разную плотность.
Для центральной линии тока (в точке х) справедливо уравнение
Бернулли:
для струи :
для преграды :
Рхс =
Рхи =
Поскольку в точке х давление справа и слева одинаково:
Рхс =Рхи,
то
сг - ихгJ,

264	Гл. 11. Кумуляция
или
Решая совместно это уравнение и A1.22), получим формулу
Лаврентьева:
[^	A1.23)
Анализ формулы Лаврентьева.
1. При выводе формулы A1.23) длина k считается постоянной
величиной. Но её длина меняется в процессе полёта элемента
до преграды, поэтому надо рассчитывать k для каждого i-ro
элемента.
Величина \{ определяется по формуле
к — hi + Д^Ь
где /ог = ab — длина образующей i-ro элемента кумулятивной
воронки до её схлопывания (рис. 11.12). Поскольку головная
и хвостовая части i-ro элемента имеют разные скорости, то
элемент за время U полёта от места его образования до дна
пробитого отверстия в преграде на расстояние Z{ увеличивается
на величину (см. рис. 11.9)
А/- - t-AU- - Z% (C7c'i~1 ~Uc^
После разрыва кумулятивной струи \{т = к^щ. Если г-й элемент
КС в период полёта на расстояние Z{ не разорвался, то его длина
определяется из формулы
/ / i Zi (^	^)
h +
т-
На рис. 11.18 показаны опытные значения к{ для кумулятив-
кумулятивных зарядов для перфораторов, используемых при добыче нефти.
Коэффициент к{ предель-
предельного удлинения i-го элемента
.8-12 КС определяется с помощью
экспериментального уравне-
4-6
ния:
к = А + В^ gradt/
12 3	in
Рис. 11.18	где dCQi — начальный диаметр
i-ro элемента КС (см. 11.21),если k = lOi; АяВ — коэффициен-
коэффициенты, определяемые из опыта.

11.4. Определение глубины пробития преграды кумулятивной струей 265
Величина градиента равна
grad[/ci = сг~121 °>г+1-
В таблице 11.1 приведены числовые значения коэффициентов А
и В.
Таблица 11.1
Материал
Алюминий
Медь
Никель
Ниобий
Сталь 20
Тантал
Цирконий
А
1,5
1,8
1,8
2,4
1,6
2,2
1,5
В, (с/км)
12,2
15.2
14,0
17,7
8,0
18,0
25,9
2.	Формула Лаврентьева не отражает зависимость глубины
проникания струи от ее скорости, то есть Li не зависит от UCi,
что справедливо для стальных преград при UCi ^ 4 км/с.
3.	Головные элементы кумулятивной струи движутся со ско-
скоростями F-12) км/с, а хвостовые элементы — со скоростями
@,5-1) км/с. Формула Лаврентьева это никак не учитывает, в то
время как для хвостовых элементов струи прочность уже играет
существенную роль. Получаются ошибки, которые надо учиты-
учитывать при расчётах. Если, например, прочность первой преграды
в три раза больше прочности второй, то L\ < L^ на 20%.
4.	Формула Лаврентьева не учитывает сжимаемости прегра-
преграды и струи.
Формулу A1.23) с учётом указанных факторов можно запи-
записать в виде
A1.25)
где 7г — (Ud — UK)/UK учитывает влияние скорости на Li, UK —
критическая скорость, определяемая экспериментально (см. таб-
таблицу 11.2).
Если Uci < UK, то 7г = 0, если UCi ^ 4 км/с, то л = 1. Коэффи-
Коэффициент к§ учитывает прочность преграды, к$ = 1-0,75 (от стали 3
до высокопрочной стали); кр = 1 для z = F (см. рис. 11.23
и 11.24), при z ^ F, кр < 1 и определяется по опытным данным
(см. рис. 11.25); кт = 1,...,2 и зависит от уровня технологии

266
Гл. 11. Кумуляция
изготовления кумулятивного заряда (КЗ), от традиционной B0-
летней давности) до современной прецизионной технологии; к^ =
= 1-0,5 учитывает вращение КЗ от 0 до 20000 оборотов в ми-
минуту. Величина еи/ес учитывает сжимаемость материалов струи
и преграды (см. A1.32).
Зависимость критической скорости струи Uk от твёрдости
преграды и материала кумулятивной облицовки представлена
в таблице 11.2
Таблица 11.2
Материал преграды
Сталь закаленная, HRC 50
Сталь, НВ= 125
Сталь, НВ=125
Дюралюминий, НВ=115
Сталь прочная
Бетон
Песок
Мрамор
Известняк
Песчанник
Бетон
Лед
Грунт мерзлый
Материал КС
Сталь
Сталь
Дюралюминий
Дюралюминий
Медь
Медь
Медь
Медь
Медь
Медь
Сталь
Медь
Сталь
UK, м/с
2200
2050
3300
2900
3000
1500
1000
1600
1500
1300
1900
1800
1000
В настоящее время существуют двумерные численные про-
программы для определения параметров кумулятивного заряда UCi,
ECi, dCi, MCi, но численный расчёт проникания струи в пре-
преграду практически не может быть достоверно осуществлен из-
за сильной зависимости глубины проникания струи от уровня
технологии изготовления заряда, зависящего от случайного рас-
расположения допусков в каждом кумулятивном заряде.
11.5. Определение глубины проникания кумулятивной
струи с учётом сжимаемости преграды и струи
1. Нестационарная теория. Эта теория основана на теории
соударения двух тел (см. п. 6.3).
Элемент КС подлетает к преграде со скоростью Uc и внед-
внедряется в неё с ударом со скоростью Ux. От границы соударения
идут ударные волны в преграде и в элементе струи (рис. 11.19).

11.5. Определение глубины проникания
267
Для струи и преграды
справедлива следующая система
уравнений (см. главу 3):
Рх = Pc(Uc - UX)DC,
Рх = puUxDu.
Отсюда
UX	PqUq
Uc-Ux = ^Д/
С учётом уравнения A1.22) по-
получаем
Li = U^.	A1.26)
Рис. 11.19
Относительная сжимаемость определяется формулой
Р '
Для ударной волны справедливо равенство (см. гл. 3)
p0D = p(D-U),
тогда	тт
1 Ро U
x-~p=v
то есть
U
Для КС и преграды будем иметь
pc(Uc - UX)DC = puUxDu,
или
PuUxDl c(Uc - Ux)Dl
В этом уравнении
поэтому
Dc
их _ ис-их _
JT~Sn' n ~?с'
A1.27)
A1.28)
A1.29)
A1.30)

268
Гл. 11. Кумуляция
Теперь уравнение A1.26) перепишем в следующем виде:
U = I
A1.31)
С помощью A1.30) произведем замену в уравнении A1.31)
и получим окончательное выражение для определения глубины
проникания КС с учётом сжимаемости:
A1.32)
При одинаковой сжимаемо-
сжимаемости струи и преграды из выра-
выражения A1.32) получаем формулу
Лаврентьева A1.23).
2. Стационарная теория. По
этой теории элемент КС сраба-
срабатывается в преграде, проникая
в неё с постоянной скоростью Ux.
В результате возникают ударные
волны в преграде и в струе, ко-
которые располагаются на посто-
постоянном расстоянии от места кон-
контакта струи и преграды. Карти-
Картина проникания во времени не
меняется, так как проникание идет с постоянной скоростью
(рис. 11.20).
Используем уравнение Бернулли для центральной линии тока
(для сжимаемой жидкости), которое записывается в следующем
виде:
U2 , [dp
-— + — = const.
2 J P
Должно быть задано р = р(р).
Отсюда можно получить:
Рис. 11.20
A1.33)
Формулы A1.32) и A1.33) противоречивы: при увеличении
ес по A1.32) Li уменьшается, а по A1.33) увеличивается. Оче-
Очевидно, что чем больше сжимаемость преграды и меньше сжима-
сжимаемость струи, тем больше глубина проникания струи в преграду
Li (см. 11.32).

11.6. Определение диаметра отверстия в преграде
269
11.6. Определение диаметра отверстия при
проникании кумулятивной струи в преграду
Будем считать, что вся кинетическая энергия струи расхо-
расходуется на образование отверстия, то есть кинетическая энергия
струи Екс равна энергии пластической деформации преграды Еф.
На рис. 11.21 изображена схема
плиты с отверстием, пробитым КС.
Если известна (из опыта)
удельная работа вытеснения объ-
объёма материала преграды в г-м се-
сечении Ayi, то диаметр отверстия
в преграде di и глубина пробития
Li связаны уравнением сохранения
энергии:
Рис. 11.21
—LiAyi = -
Отсюда определяем величину d{\
A1.34)
4ЕС
тг Li
A1.35)
Для медной кумулятивной воронки и стальной преграды со сред-
средней твёрдостью
и
-^-, при: 0 ^ -— ^ 10,
/г	dd
о,б- юш^,	при:Т> 10'
A1.36)
Уравнение 11.35 можно представить в виде:
(П.37)
где ECi в Дж, a Li и di — в мм.
Коэффициент А для ряда материалов преграды приведен
в таблице 11.3.

270
Гл. 11. Кумуляция
Таблица 11.3
Материал
Конструкционная сталь
Алюминиевый сплав
Титан
Медь
Свинец
Лед
Бетон
Тяжелый суглинок
рп, г/см3
7,81
2,7
4,5
8,9
11,3
0,95
2,4
1,75
А, Дж-^мм3/2
0,575
0,7
0,44
0,9
2,2
2,7
0,8
4,0
11.7. Некоторые конструктивные особенности
кумулятивных зарядов
1. Формы кумулятивных воронок. В зависимости от ха-
характера технических задач, решаемых с помощью кумулятивных
зарядов, используются кумулятивные облицовки различной фор-
формы. На рис. 11.22 представлены кумулятивные облицовки разной
формы, используемые на практике. Чаще всего в кумулятивных
зарядах используются простейшие геометрические формы обли-
облицовок (рис. 11.22а—д). Цилиндрические облицовки применяют
в тех случаях, когда надо получить безградиентную кумулятив-
кумулятивную струю, у которой все элементы имеют постоянную скорость
(рис. 11.22а). Конические облицовки используют для получения
максимальной глубины пробития преграды (рис. 11.226, к). Угол
2а обычно изменяется в пределах 30°-60°, оптимальные значе-
значения угла составляют 40°-50°.
В конических облицовках часто используют переменную тол-
толщину стенок облицовки (рис. 11.22к). Это позволяет увеличить
градиент скорости и увеличить длину кумулятивной струи (см.
A1.24). Сферические облицовки используются в тех случаях,
когда надо получить увеличенный диаметр пробитого в преграде
отверстия, но при меньшей глубине пробития преграды по срав-
сравнению с конической облицовкой.
Облицовки с большими углами 2а = 130°-150° или сфериче-
сферические сегменты (рис. 11.22г, д) используются не для образования
кумулятивной струи, а для формирования компактного тела из
облицовки, которое называется ударным "ядром". Скорость ядра
обычно 2-3 км/с. Они могут поражать цели на расстоянии до
нескольких десятков метров.

11.7. Конструктивные особенности кумулятивных зарядов	271
Рис. 11.22
Рупорообразные и тюльпанообразные облицовки (рис. 11.22е,
ж), имеющие криволинейные образующие, расширяют возмож-
возможности управления длиной струи. Их недостаток — сложность
в изготовлении.
Для решения специфических задач используются комбиниро-
комбинированные облицовки (рис. 11.22з, и).
2.	Применение линз. Линза увеличивает КПД заряда, она
разворачивает детонационную волну на воронку. Без линзы во-
воронка обжимается скользящей детонационной волной, а с лин-
линзой — падающей волной (рис. 11.23).
Линзы обычно имеют цилиндрическую форму или форму усе-
усеченного конуса. Материалом для линзы может быть пенопласт,
текстолит, дерево и т. п. Обычно её толщина подбирается такой,
чтобы детонация не передавалась через линзу. Основной путь де-
детонации должен проходить в обход линзы сбоку (см. рис. 11.23).
3.	Выбор фокусного расстояния. Для кумулятивных за-
зарядов существует оптимальное расстояние z = F от заряда до
преграды, называемое фокусным расстоянием (рис. 11.24). При
срабатывании заряда на фокусном расстоянии бронепробитие
максимально по сравнению с другими вариантами. Для кониче-
конических зарядов старой технологии обычно F = B—3)d, где d —
диаметр взрывчатого вещества. Для прецизионных зарядов F =
= F— lO)d. Зависимость глубины пробития от расстояния до
преграды имеет вид, показанный на рис. 11.25, где линия 1 для

272
Гл. 11. Кумуляция
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ У
Рис. 11.23
Рис. 11.24
КЗ с технологией 20-летней давности, линия 2-е прецизионной
технологией, 3 — идеальная технология (с нулевыми допусками),
4 — идеальная технология с учётом торможения струи в воздухе.
Для современных прецизионных зарядов L/d = 10-12.
L/d
2 4 6
10 12 14 16 18 20 22 24 F/d
Рис. 11.25
Наличие фокусного расстояния объясняется рядом причин:
после схлопывания элементов кумулятивной воронки и образо-
образования элементов струи, последние продолжают растягиваться,
и длина струи увеличивается до тех пор, пока не разрывается
на части, вследствие наличия градиента скорости вдоль струи.
То есть фокусное расстояние F из этих соображений должно
определяться тем минимальным расстоянием заряда от преграды,
при котором КС растянулось до своего предельного значения. Но
такое определение фокусного расстояния справедливо для абсо-
абсолютно точно изготовленных зарядов. В этом случае все элементы
не получают боковых импульсов и летят один за другим точно
по оси. В реальном заряде все детали КЗ изготовлены с опреде-
определённым допуском, и элементы струи получают боковые скорости,

11.7. Конструктивные особенности кумулятивных зарядов	273
в результате струя перемещается не строго по оси, а в некотором
конусе (см. рис. 11.5). Это обстоятельство требует уменьшать
фокусное расстояние по сравнению с F, в противном случае раз-
разные элементы будут попадать в разные места преграды, площадь
поражения увеличится, а глубина пробития будет уменьшаться.
Поэтому реальное фокусное расстояние меньше, чем F, и КС
в этом случае частично пробивает преграду в разорванном состо-
состоянии, а частично сплошной, ещё не разорванной струей. Зави-
Зависимость фокусного расстояния от точности изготовления заряда
заставляет определять фокусное расстояние опытным путём.
Когда расстояние z > F, то глубина пробития преграды
уменьшается (см. рис. 11.25). Это происходит по той причине,
что КС летит в рамках некоторого конуса с углом 7 (рис. 11.5).
Чем больше z — расстояние КЗ от преграды, тем больше по-
поперечное сечение этого конуса. В результате всё большее число
элементов КС попадает в преграду несоосно, что ведёт к умень-
уменьшению величины L. При достаточно больших значениях z все
элементы КС попадают в преграду несоосно и глубина L равна
той глубине, которую пробивает отдельный элемент. Например,
для 140 мм КЗ значение L « 20-30 мм, если z = 20 м.
4. Зависимость кумулятивных параметров от технологии
и сборки заряда. На действие КЗ сильное влияние оказывают
технологические факторы. К ним в первую очередь относятся:
а)	точность изготовления воронки и качество её материала,
её разностенность и соосность с линзой и зарядом ВВ. Недо-
Недостаточно точное изготовление воронки приводит к тому, что
у кумулятивной скорости появляются составляющие скорости,
перпендикулярные к оси заряда, в результате различные части
струи расходятся в сторону, и эффект действия уменьшается;
б)	неодинаковая плотность ВВ в сечениях, перпендикуляр-
перпендикулярных оси заряда. Так, например, при обычном литье заряда ВВ,
в горизонтальных сечениях заряда сплавов типа ТГ детонация
в разных точках отличается на 150 м/с (или около 2% от скоро-
скорости детонации), пористость — 3-5%, плотность ВВ равна A,675-
1,705) г/см3, а специальный вид вибрационного литья позволяет
снизить разброс в скорости детонации в горизонтальном сечении
до 20м/с (около 0,3% от скорости детонации), снизить пори-
пористость до 1-2% и увеличить плотность ВВ до 1,78 г/см3;
в)	разнотолщинность ВВ в сечениях, перпендикулярных оси
заряда;
г)	точность сборки всех изделий: воронка, линза, детонатор,
наружная оболочка. Отклонение размеров элементов реального
изделия от оси должно быть минимальным. Глубина проникания

274
Гл. 11. Кумуляция
кумулятивной струи в стальную преграду для прецизионной тех-
технологии составляет L = (8—10)d, в перспективе до I2d, а для
обычной технологии L = C—5)d.
7, град.
12-
10-
6 -
4 -
2 -
10 20 30 40 50 60
-г Л6/6,%
80
14
10 20
30 40 50
Рис. 11.26
60 80
На рис. 11.26 представлены экспериментальные данные за-
зависимости угла 7 (рис. 11.5) от точности изготовления ряда
параметров КЗ. На этом рисунке линия 1 показывает зависи-
зависимость угла 7 от разностенности AS воронки; линия 2 — от
разностенности А^вв слоя ВВ; линия 3 — от смещения точки
инициирования. Наибольшее влияние из этих трёх параметров
оказывает разностенность кумулятивной воронки AS. Величина
7 определяет уровень технологии изготовления КЗ.
Влияние погрешностей на глубину пробития различно, поэто-
поэтому допуски на отдельные параметры существенно различаются.
Так, допуск на разностенность облицовки может быть в 6 раз
меньше, чем допуск на разностенность ВВ и в 12 раз меньше
допуска на корпус КЗ.
Существенное влияние на величину L оказывает допуск на
разноплотность ВВ, размер зерна медных кумулятивных обли-
облицовок и несоосность облицовки и заряда ВВ, а также зазоры
и перекосы отдельных элементов КЗ.

Глава 12
ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЯ В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ
В телах, имеющих прочность, могут распространяться следу-
следующие типы волн под действием взрывных и ударных нагрузок:
упругие, пластические, ударные. Рассмотрим специфические осо-
особенности этих волн.
12.1. Упругие волны
Распространяются с постоянной скоростью, не зависимой от
амплитуды волны. Напряжение в волне не должно выходить
за предел упругости материала данного тела. Скорость самих
упругих волн зависит:
а)	от геометрии тела,
б)	от типа приложенной нагрузки.
Упругие волны изучаются в таких науках, как сейсмология,
акустика.
Основные типы упругих волн.
1. Рассмотрим бесконечное упругое пространство, в котором
могут распространяться продольные волны и волны сдвига. В ди-
динамической теории упругости эти волны описываются следую-
следующими уравнениями:
Продольные объёмные волны (волны расширения) описыва-
описываются волновыми уравнениями типа:
д2в 2fd2e , д2в , д2в\	,1ОП
dt2	\ дх2 ду2 dz2)
где G = [dv — dvo)/dvo — относительное изменение объёма, G =
= dUx/dx + dUy/ду + dUz/dz, c\ — скорость распространения
продольных волн, Ux, Uy, Uz — перемещения по осям.

276
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
Скорость продольной волны с\ определяется через упругие
константы материала:
= \
A2.2)
где К — модуль объёмного сжатия, G — модуль сдвига.
Можно ввести вместо К и G для изотропной среды величины
Е — модуль Юнга и v — коэффициент Пуассона:
Е	„	Е
G =
К =
2A+»/)' " 3A-2и)'
Волны сдвига описываются уравнениями вида
d2wx 2 /d2wx d2wx d2wx
dt2
ду2
dz2
A2.3)
A2.4)
где Wx — проекция вектора вращательного движения частицы
как твёрдого тела на ось Ох:
W.-1
duz
ду
диу
где uz и иу — проекции вектора скорости и по осям Oz и Оу.
Аналогично A2.4) два уравнения имеют место для Wy и Wz.
Скорость волны сдвига равна
A2.5)
Уравнения для продольных волн A2.1) и волн сдвига A2.4)
решаются независимо друг от друга методами, которые изучают-
изучаются в курсе "Уравнения математической физики".
2. Рассмотрим бесконечное упругое полупространство со сво-
свободной поверхностью.
Если объёмная волна выхо-
выходит на поверхность, то вдоль
поверхности распространяются
волна Рэлея (поверхностная вол-
волна) со скоростью сз (рис. 12.1).
Скорость волны Рэлея равна
Рис. 12.1	c3 = a(v)c2	A2.6)
Для сталей v « 0, 29 и а = 0, 95.
Для каждого определённого v величина а = ag = const < 1.

12.1. Упругие волны
277
Тогда сз = «ос2> сз < С2, то есть волны Рэлея распростра-
распространяются со скоростью, меньшей скорости сдвига. Волны Рэлея
наибольшую амплитуду имеют на поверхности, которая быстро
затухает с глубиной (рис. 12.2).
Амплитуда
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Упругие волны в стержне. При приложении продольной ди-
динамической нагрузки к торцу стержня вдоль него будет распро-
распространяться, если нагрузка не велика, упругая волна (рис. 12.3).
Скорость упругой волны в стержне меньше, чем в упругом
пространстве из одинакового материала. Для упругой волны
в стержне справедливо уравнение
д2их
dt2
= С л
дх2
где
С4 = -
р
1 da
A2.7)
A2.8)
Здесь а и е — напряже-
напряжение и деформация в стержне,
Ux — смещение частиц вдоль
оси стержня относительно их
положения равновесия.
Определим производную
da/de. Зависимость а{е) по-
показана на рис. 12.4, откуда
следует, при а < а\, что
da
Рис. 12.4
Известно, что в пределах упругости а = Ее, тогда
Е

278
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
Скорость продольной волны равна
A2.9)
Приведем значения скоростей с\, С2, с\ для некоторых материа-
материалов.
Таблица 12.1
Материал
Сталь
Алюминий
Резина
с\, м/с
5940
6320
1040
С2, м/с
3220
3100
27
С4, М/С
5190
5090
46
В стержне, кроме продольных волн, могут распространяться
волны сдвига.
Если ударом закрутить стержень, то вдоль стержня будет
распространяться поперечная сдвиговая волна (рис. 12.5).
Удар
-Е
3
Рис. 12.5
Рис. 12.6
Скорость волны сдвига в стержне определяется следующим
образом:
In
A2.10)
т. е. скорость сдвига не зависит от конфигурации упругого тела
и она одна и та же в стержне и в полупространстве.
Если ударом нагрузить тонкий стержень так, как это показа-
показано на рисунке 12.6, то в стержне возникнут волны изгиба.
Скорость волны определяется следующим уравнением:
2тгс4М
Л
A2.11)
где с\ = у/Е/р, Л — длина волны, М = ^'Jzz/F , z-z — ось,
относительно которой происходит изгиб, F — площадь попереч-
поперечного сечения, Jzz — момент инерции площади F относительно
оси z.

12.2. Пластические волны в твёрдых телах	279
Упругие волны в пластинах. Рассмотрим пластину, беско-
бесконечную в двух измерениях, толщиной /i0 (Рис- 12.7).
Для волн, у которых дли-
длина волны Л 3> ho, скорость
, У//////////////////////////////Л
распространения в пластине	'
Рис. 12.7
A2.12)
Если же Л <С ho, то возникает в пластине волна со скоростью
(волна Рэлея)
In
A2.13)
12.2. Пластические волны в твёрдых телах
В пластических волнах напряжения превосходят предел упру-
упругости. Известно аналитическое решение только одной задачи:
распространение пластической волны в стержне.
Стержень нагружается с торца, напряжения находятся за
пределом упругости (рис. 12.3). Эту задачу аналитически решил
в 1945 г. Х.А. Рахматулин. Для такого процесса справедливо
уравнение A2.7)
д2их^ 2
dt2 Си д
Скорость пластической волны равна
Си = А ~
где da/de = tg/З определяется из зависимости а(е) (см.
рис. 12.4).
Характерной особенностью пластичной волны в стержне
является то, что состояние с большой амплитудой (точка 2
рис. 12.4) распространяется с меньшей скоростью, чем состоя-
состояние с меньшей амплитудой (точка 1 рис. 12.4). Впереди такой
волны будет двигаться упругая волна со скоростью с\ = л/Е/р =
= \АёА)/р (УпРУгий предвестник).
Поскольку чем меньше амплитуда волны, тем больше её
скорость, то волна со временем будет растягиваться.

280	Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
12.3. Ударные волны в твёрдых телах
На фронте УВ имеется разрыв параметров. В общем слу-
случае эта задача неизоэнтропична, хотя энтропия меняется сла-
слабо для не очень больших давлений. При больших давлениях
(р > 50ГПа) энтропия меняется сильно, но здесь прочность
не играет большой роли. В общем случае задача описывается
уравнениями, где учитываются прочность, сжимаемость среды
и термодинамические соотношения. На фронте УВ в твёрдом
теле справедливы следующие уравнения (см. C.7)):
pa(D -ua) = P2(D-u2);
(D-ua);	A2 и)
— а Л
771	\^ Z	^ia/V^Z	UCLJ
Ьа =
а
где v2 = 1/р2, va = \jpa.
В данном случае, если а2 < а*, впереди УВ перемещается
упругая продольная волна со скоростью с\ = <yj(k + D/3)G) /р >
> D. Для стали а* « 50ГПа.
В газе или жидкости такая ситуация невозможна, там всегда
скорость УВ больше скорости звука в невозмущенной среде.
Чтобы понять, почему УВ в твёрдом теле могут распространяться
со скоростью, меньшей скорости упругой волны, рассмотрим
принципиальную связь между прочностью, которая характери-
характеризуется кривой (Ji—Si (интенсивность напряжений-интенсивность
деформаций) и сжимаемостью, определяемой кривой а2—е2, где
а2 — напряжение в направлении движения фронта УВ, а е2 =
= 1 — ро/р — относительная сжимаемость среды.
На рис. 12.8 изображена кривая <Ji-Si, характеризующая
прочность. Участок 05 определяет закон Гука, 51 — пластиче-
пластическое деформирование при нагружении. После того как напря-
напряжение достигло точки 1, начинается упругая разгрузка A-2 на
рис. 12.8). Эта разгрузка, как правило, носит нелинейный ха-
характер. На рис. 12.8 принят линейный закон упругой разгрузки.
Если после полной разгрузки (точка 2 рис. 12.8) начинается
новое нагружение (растяжение или сжатие), то процесс нагру-
жения следует по кривой 2,3,4. Местный предел текучести (точ-
(точка 3) вследствие эффекта Баушингера уменьшается по сравне-
сравнению с исходным напряжением в точке 1. Величина &i > 0 и si > О
как при растяжении, так и при сжатии. Такая диаграмма ai-ei
зависит от скорости деформаций, среднего напряжения ас и от

12.3. Ударные волны в твёрдых телах
281
температуры. Получить такую диаграмму при существующем
уровне знаний можно только опытным путём.
Рис. 12.8
Рис. 12.9
На рис. 12.9 изображена ударная адиабата в плоскости а2-?2^
которая получается опытным путём на основе измерения скоро-
скорости УВ D и массовой скорости щ в прочных телах. Напряжение
о по направлению совпадает с направлением движения волны,
а а\ = <тз, деформация е\ = 1 — ро/р, а е\ = е% = 0. Прямая 0а
(рис. 12.9) характеризует упругое сжатие среды, а кривая al
является ударной адиабатой твёрдого тела.
Все состояния твёрдого тела, соответствующие точкам диа-
диаграммы О{—Е{ (рис. 12.8) находятся во взаимной связи с состоя-
состояниями среды в плоскости a^—^i- Для определения связи между
диаграммами ai—si и (i2-e2, в пределах упругости необходимо
использовать соотношения теории упругости. Эти соотношения
позволяют связать предел текучести as (точка 5 рис. 12.8)
и предел упругости на ударной адиабате о^а через коэффициент
Пуассона v (точка а рис. 12.9):
1 -V
A2.15)
Если бы в твёрдом теле отсутствовала прочность, то ударная
адиабата определялась бы кривой ас = ас(е2) (рис. 12.9), где
A2.16)
= 02(?2)- Для
Найдём связь между кривыми ас = сгс(^2) и °2
напряжённого состояния в УВ:
A2.17)

282
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
На основе уравнений A2.16) и A2.17) получим
G2 = &с+ оаЬ
A2.18)
Эти уравнения определяют связь между G2, сг\ и О{ при нагрузке.
При разгрузке от точки 1 до точки 2 (на рис. 12.8), разгрузка
в плоскости G2-^2 осуществляется по линии 1-2 (рис. 12.9), при
этом значение &i на кривой ас равно нулю. При изменении знака
нагружения в плоскости О{-Е{ (от 2 до 3, рис. 12.8), соответ-
соответствующая разгрузка в плоскости (i2-e2, отвечает участку 2-3
(рис. 12.9), затем разгрузка происходит в пластической области
(З-А-4-5, рис. 12.9).
Сложный вид кривой разгрузки в плоскости (о~^2) опреде-
определяет две скорости разгрузки: одна соответствует наклону линии
1-3, а другая наклону линии А-3. Эти обе волны были опреде-
определены экспериментально.
Скорость УВ в твёрдом теле определяется тангенсом накло-
наклона линии а-1, а скорость продольной упругой волны наклоном
линии Оа (рис. 12.9). Если наклон линии а-1 меньше наклона
линии Оа, то впереди УВ будет распространяться упругий пред-
предвестник со скоростью
^23
Система УВ в ста-
стали усложняется также за
счёт полиморфных пре-
превращений, в результа-
результате чего ударная адиаба-
адиабата о = (T2(v) имеет из-
излом в точке п при 02 ~
« 13ГПа (на рис. 12.10).
В этом случае, в зави-
зависимости от давления &2
в У В, по твёрдой среде
будет распространяться сложная система волн.
1.	Если напряжения в У В &2 > ^24 > то по твёрдой среде будет
распространяться одна УВ.
2.	Если G22 < &2 < о4 (рис. 12.10), то впереди УВ пой-
пойдёт упругий предвестник со скоростью с\ и давлением
(рис. 12.11).
1 V
Рис. 12.10

12.4. Откол
283
3. Если on < о < о2> то в твёрдом теле будут распростра-
распространяться две У В, а впереди упругий предвестник (рис. 12.12).
с
bj
/
У
-+D2
а2а
Рис. 12.11
Рис. 12.12
Рис. 12.13
12.4. Откол
При взрыве ВВ на поверхности металла и ударе тела может
произойти откол массы металла с тыльной стороны (рис. 12.13).
С тыльной стороны при о\ ^ <jp от-
отрывается кусок металла со скоро-
скоростью C/q, где ар — разрывающее на-
напряжение.
При нагружении происходит
сжатие материала, при подходе УВ
к тыльной стороне металла проис-
происходит отражение волны, и по ме-
металлу от тыльной стороны идет
волна растяжения. Условие откола
а\ ^ ар, где а\ — растягивающее
напряжение.
Рассмотрим принцип образования растягивающих напряже-
напряжений на простейшем примере соударения двух пластин из упру-
упругого материала (рис. 12.14). На рис. 12.14 изображён процесс
столкновения двух пластин толщиной Sq и 5\ из одинаково-
одинакового упругого материала. После соударения по первой и второй
пластинам пойдут волны сжатия (On и Оа). Эпюра напряжений
и скоростей изображена на рис. 12.14F), в момент t\. В момент
времени t\\ и ?щ произойдет отражение этих волн сжатия от сво-
свободных поверхностей. Эпюра напряжений и скоростей в момент
t\\ приведена на рис. 12.14F). В этом случае на участке 1-2
второй пластинки напряжений нет, а скорость равна скорости
удара и, на участке 2-3 вторая плита сжата и имеет скорость

284
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
Рис. 12.14
и/2, участок 3-4 находится в покое и не напряжён. В точке
"С" сойдутся две волны разрежения, и с этого момента возник-
возникнет растягивающее напряжение. Эпюра напряжений и скоростей
изображена в момент ?ш на рис. 12.14F). На участке 2-3 имеют
место напряжения растяжения. Если эти напряжения а\ ^ ар,
где ар — критическое напряжение на разрыв, то возникает откол.
В более сложных случаях, чем рассмотренный выше, процесс
образования откола, в принципе, происходит точно также, на-
например, для системы заряд-преграда, но с тем различием, что
напряжение и скорости переменны по х и во времени ?, впереди
УВ может перемещаться упругий предвестник, УВ и волны раз-
разрежения имеют переменные скорости движения.

12.4. Откол
285
Рассмотрим различные типы откола:
Первый тип откола. Пластина летит со скоростью Щ и уда-
ударяет по плите.
При определённых h\, h^,
Uq происходит распыление слоя
Ah\, и плита распадается на два
куска (рис. 12.15). Рассмотрим
объяснение этого явления.	^i ]^////////////////w///////////\ h2
При динамических нагрузках
величина разрывающего напря-	Рис. 12.15
жения ар зависит от времени его
действия (рис. 12.16). Так, например, если напряжение растяже-
растяжения действует в материале время t\, то только при достижении
напряжения а\р и больших напряжений начнётся разрыв мате-
материала. При определённых условиях h\, h^, Щ в плите может
возникнуть целая зона, где действует определённое время раз-
разрывающие напряжения, в результате происходит разрыв (распы-
(распыление) всей этой зоны.
Второй тип откола. Схема опыта показана на рис. 12.17.
При определённых значениях D, H, h имеет место следующий
откол:
Поверхность I гладкая (гладкий откол). Поверхность II менее
гладкая.
Н
ВВ
Образец
СТ20
< 0D >
Рис. 12.16
Рис. 12.17
Наличие гладкого откола (отполированная поверхность отко-
откола) объясняется наличием УВ разрежения в железе и в углеро-
углеродистой стали. Диаграмма о*} = o^iv) с фазовым переходом для
этих материалов при 13ГПа показана на рис. 12.18.
В точке "с" происходит фазовый переход и диаграмма а^[у)
на участке а-с-Ь имеет отрицательную кривизну d2a2/dv2 <
< 0, а в этом случае возможны, согласно второму началу тер-
термодинамики, УВ разрежения (см. п. 3.2). Эпюра напряжений
в образце толщиной Н, с ударной волной разрежения показана

286
Гл. 12. Волны напряжения в твёрдых телах
13ГПа
\ У
^sl/ У
\ ^
> /
V
J
_JD2
z>yBP
/
Л!
Н
\w\
/г
1
7^
Рис. 12.19
Рис. 12.18
на рис. 12.18. Если максимальное напряжение достаточно вели-
велико, о > сгс, то при отражении от тыльной поверхности может
возникнуть ещё одна УВ разрежения, которая пойдёт навстречу
первой У В разрежения (УВР). Встреча двух УВР и образует
гладкий откол.
От точки а до точки Ь суще-
существует УВ разрежения. При от-
отражении волны от свободной по-
поверхности может возникнуть та-
такой же вид импульса, где в хво-
хвосте получается ещё одна УВ раз-
разрежения. При встрече двух УВР
происходит гладкий откол.
Третий тип откола. Это
обычный откол. Получается от-
откол с очень неровной поверхностью (рис. 12.19).
Варьируя размеры заряда d и h для данной плиты, можно
изменять скорость откола Щ и массу откола Mq. При опреде-
определённых условиях масса М$ может не отделиться от плиты, но
в плите возникнет трещина, перпендикулярная оси заряда.
Расчёт явления откола, имеющего явно выраженный волно-
волновой характер, проводится приближёнными (инженерными) мето-
методами, в которых используются, обычно, интегральные соотноше-
соотношения.
При современном уровне вычислительных методов и ЭВМ
явление откола может быть рассчитано путём численного ин-
интегрирования. В этом случае для материала плиты необходимо
учитывать как сжимаемость, так и прочность, а также знать
критерии разрушения материала при отколе.

Глава 13
ВЫСОКОСКОРОСТНОЕ СОУДАРЕНИЕ ТЕЛ
13.1. Введение
В связи с развитием космической техники возникла пробле-
проблема защиты космических аппаратов от воздействия высокоско-
высокоскоростных частиц (осколков разрушенных космических объектов
и др.), массой от долей грамма до десятков грамм, летящих от-
относительно защищаемого объекта со скоростью от 3 до 16 км/с,
а также от метеорных частиц (доли грамма), имеющих скорость
до 30-70 км/с. Для исследования и создания эффективной защи-
защиты космических аппаратов необходимы экспериментальные ис-
исследования их взаимодействия с высокоскоростными частицами
на полигоне или в лабораторных условиях. Но для решения этой
задачи необходимо научиться разгонять частицы, как правило,
металлические, до высоких скоростей. Этой проблемой во многих
странах занимаются уже несколько десятилетий. Достигнуты
определённые результаты, но в нужной мере эта проблема не
решена.
Разрабатываются два основных экспериментальных направ-
направления решения проблемы высокоскоростного метания твёрдых
частиц. Во-первых, используются легкогазовые пушки, позволя-
позволяющие метать частицы до десятка грамм со скоростью до 7,5 км/с.
Во-вторых, для разгона металлических частиц широко применя-
применяются различные устройства, использующие энергию взрыва. Эти
устройства делятся на две группы. Первая из них использует ку-
кумулятивный эффект, позволяющий разгонять длинные металли-
металлические струи (Al, Mo, Ni и др.) до скоростей 11-12 км/с. Но при
этом возникает проблема получения компактной частицы путём
отсечения части кумулятивной струи. Другая группа устройств
использует для разгона сегментные исходные элементы, как пра-
правило, части сфер, которые сворачиваются затем в компактные
частицы. Для увеличения скорости частиц используются разные
методы кумуляции энергии взрыва на поверхности метаемого

288	Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
элемента. Для взрывного метания используются однокаскадные,
двухкаскадные и трёхкаскадные устройства. Наибольшие скоро-
скорости достигнуты в трёхкаскадных устройствах, с помощью кото-
которых удалось разогнать алюминиевую пластину, массой около 2 г,
до скорости почти 14 км/с.
Из-за высокой стоимости устройств для взрывного метания
широко используется математическое моделирование процесса
функционирования таких устройств. Это позволяет с помощью
расчётов на компьютере находить рациональные схемы и опре-
определять их параметры, что является необходимым этапом разра-
разработки устройств для метания частиц заданной массы с задан-
заданной скоростью. Слабым звеном математического моделирования
работы устройств для взрывного метания является отсутствие
надежных критериев разрушения метаемых частиц. Эта про-
проблема с необходимой надежностью может быть решена только
экспериментально.
13.2. Экспериментальные исследования
высокоскоростного взрывного метания тел
Кумулятивные ускорители частиц. При разгоне металли-
металлических частиц взрывными ускорителями учитываются четыре
параметра: скорость, масса, плотность и форма частицы. Прин-
Принципиальное значение имеет скорость частиц, она ограничивается
энергетическими возможностями взрывных ускорителей. Масса
метаемой частицы при определённой скорости зависит от разме-
размеров взрывной установки, то есть от технологических и экономи-
экономических факторов. Что касается формы частиц, то она зависит от
конкретной конструкции взрывной установки, размеров её дета-
деталей и применяемого типа установки (многокаскадные или куму-
кумулятивные). Численное моделирование функционирования взрыв-
взрывных установок позволяет с удовлетворительной точностью вы-
вычислять скорость частиц. Масса, плотность и особенно оконча-
окончательная форма частиц определяются с недостаточной точностью,
что прежде всего связано с недостаточным уровнем знаний пове-
поведения материалов и его разрушения при динамических нагрузках
с учётом больших деформаций, скоростей деформаций, темпера-
температуры, среднего давления и др.
Экспериментальные взрывные ускорители позволяют разго-
разгонять кумулятивные металлические струи (сплошные или разо-
разорванные) в широком диапазоне скоростей 7-90 км/с. Для этого
используются разные схемы взрывных кумулятивных ускори-
ускорителей (см. рис. 13.1-13.5). На рис. 13.1 представлена схема

13.2. Экспериментальные исследования метания тел
289
кумулятивного устройства для разгона части кумулятивной
струи. Она состоит из детонатора A), стальной верхней встав-
вставки B), взрывчатого вещества C), кумулятивной воронки D),
нижней вставки E). Для выделения компактного элемента из
кумулятивной струи используется взрывное устройство, состоя-
состоящее из металлической пластины F) и взрывчатого вещества G).
В таких установках бы-
были получены: для алюмини-
алюминиевых частиц массой @,13-
1,15)г — скорости A1-
11,28) км/с, для молибдено-
молибденовых частиц массой B,5-
4) г, — скорости A1,68-
11,81) км/с, и для никеле-
никелевых частиц массой A,11-
1,94) г, — скорости A0,75-
10,85) км/с. Такой метод раз-
разгона металлических частиц
позволяет получить устойчи-
устойчивые значения скоростей ме-
метаемых частиц, но при этом
от опыта к опыту существен-
существенно меняются массы элемен-
элементов — в 1,5-3,7 раза, а отно-
отношение длины элемента к его
диаметру составляют l/d =
= 5-9. При ударе кумулятив-
кумулятивной струи пластиной F) при
отсечке элемента струи он
произвольно вращается, что
существенно меняет глубину
пробития элементом преграды (до 2-х раз). Получить в этом
методе разгона компактный элемент с соотношением размеров
менее чем l/d = 3 при отсекании части кумулятивной струи
сложно.
С помощью эффекта кумуляции были экспериментально по-
получены металлические кумулятивные струи со скоростями до
20 км/с. На рис. 13.2 представлена схема метательного устрой-
устройства, состоящая из линзы A), заряда взрывчатого вещества B),
металлической плиты D) и полости C) в плите. В этом случае
детонационная волна, отражаясь от плиты, возбуждает ударную
волну а-Ь в плите D), которая подходит к полости C) и метает
частицы плиты, лежащие на свободной поверхности полости.
Рис. 13.1
10 Л. П. Орленко

290
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
Рис. 13.2
Из углов полости "с" и "сГ
образуется коническая
кумулятивная пелена Е-
Е, головная часть которой
движется со скоростью
Ur (рис. 13.3а). Затем эта
пелена сходится к оси
метательного устройства
(рис. 13.36). В результате
образуется в начальный
момент струя с большим
градиентом скорости —
1 км/с на сантиметр. Диа-
Диаметр заряда равен 150 мм. Головная струя быстро разрушается
на частицы (доли грамма). Схема образования высокоскоростной
струи со скоростью Uy по существу воспроизводит схему
"струй несжимаемой жидкости", лежащей в основе инженерных
методик расчёта параметров кумулятивных струй (см. п. 11.2).
Но данные эксперименты противоречат этой теории. Ведь
согласно этой теории должно быть Ur = Uy, но скорость Ur
много меньше скорости С/г- При этом скорость Ur = 6 км/с,
a Uy = 20 км/с. Возникает вопрос, откуда возникает скорость
[/г? Теория плоских струй несжимаемой жидкости на этот
вопрос не отвечает, но численный расчёт с учётом сжимаемости
даёт удовлетворительное совпадение скоростей, полученных
численным расчётом и в эксперименте.
ю
Рис. 13.3
С помощью кумуляции были достигнуты экспериментально
скорости распыленных кумулятивных струй до 90 км/с. Схема
экспериментов показана на рис. 13.4. Кумулятивное устройство
состоит из детонатора A), взрывчатого заряда B), линзы C)
и трубки D), из которой формируется кумулятивная струя (поток

13.2. Экспериментальные исследования метания тел
291
частиц). Наибольшая скорость кумулятивной струи составляла
90 км/с. Она была достигнута при использовании трубок из
бериллия с удельной плотностью 1,8г/см3.
Рис. 13.4
Рис. 13.5
На рис. 13.5 представлена схема цилиндрической кумуляции
для получения компактного элемента из алюминия, массой около
одного грамма, со скоростью до 11км/с. Взрывное устройство
включает в себя детонатор A), взрывчатое вещество B), корпус
C), линзу D), алюминиевую трубку E) для образования кумуля-
кумулятивной струи, отсекатель F) и опорную плиту G) с отверстием.
Двух- и трёхкаскадные взрывные ускорители. На
рис. 13.6 представлена схема двухкаскадного взрывного
ускорителя. Первый каскад состоит из взрывчатого вещества
A) и плоской стальной пластины B). Второй каскад включает
взрывчатое вещество C) и стальной элемент D), который
метается в вакуумную камеру E). С помощью этой установки
масса @,8-3) г разгонялась до скорости F,8-8) км/с. Плотность
метаемого элемента составляла B-4,8) г/см3 при начальной
плотности 7,8 г/см3, то есть материал элемента разрыхлялся
в процессе разгона.
Эксперименты показы-
показывают, что плотность ма-
материала метаемого элемен-
элемента относительно мало вли-
влияет на глубину кратера
в мишени. Так, при ско-
скорости 6,6 км/с и одинако-
одинаковой массе элемента, умень-
уменьшение плотности материа-
материала с 7,8 г/см3 до 2 г/см3 и 4,8 г/см3 приводит к уменьшению
глубины проникания в алюминиевую мишень, соответственно,
на 25% и 10%.
Рис. 13.6
10*

292
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
Увеличение скорости элемента до значений выше 10 км/с
возможно при использовании трёхкаскадного ускорителя. На
рис. 13.7 представлен такой ускоритель, имеющий три каскада
(I, II, III). Каждый каскад имеет поддерживающую пластину
B, 5, 8), метаемые плоские элементы (пластины 3, 6, 9), слой
взрывчатого вещества A, 4, 7).
Между метаемыми пла-
пластинами и слоями взрыв-
взрывчатого вещества имеются
воздушные зазоры. Диа-
Диаметр заряда взрывчатого
вещества первого каскада
составлял 150 мм, его мас-
масса равна Зкг. В экспери-
Рис. 13.7	ментальных исследованиях
в первом каскаде для мед-
медной пластины, толщиной 2,5 мм и массой 98 г, была получена ско-
скорость 5,6 км/с, во втором каскаде скорость была равна 9,2 км/с
для стальной пластины, толщиной 0,5 мм и массой 8,9 г. Мак-
Максимальная скорость, полученная в третьем каскаде, составляла
13,8 км/с для алюминиевой пластины, толщиной 0,5 мм и массой
1,75 г.
13.3. Физика взаимодействия тел с преградой
Баллистическая предельная кривая. Для защиты косми-
космических объектов используются специальные легкие разнесенные
преграды (около 20кг/м2). Они состоят из первой преграды,
которая обычно включает пластину из алюминиевого сплава,
толщиной 1-2 мм или из стальной сетки. Вторая защитная пре-
преграда состоит из нескольких слоев бронежилетной ткани (типа
некстел, кевлар). Общая ширина преграды составляет не более
110 мм. Оценка эффективности конкретной защиты космических
аппаратов производится экспериментально. Для этого защита об-
обстреливается шариками из алюминия разного диаметра d с раз-
различными скоростями U. На основе этих экспериментов строится
баллистическая предельная зависимость (БПЗ), которая состоит
из точек (d, U), характеризующих границу пробития-непробития
преграды.
На рис. 13.8 показана типичная БПЗ для космических объ-
объектов защиты (первая преграда — пластина АМГ-6, вторая — из
бронежилетной ткани). По вертикальной оси откладывается диа-
диаметр алюминиевого шарика, а по горизонтальной — его скорость.

13.3. Физика взаимодействия тел с преградой
293
d, мм
28
24
20
16
12
1
1
1
V
а =60°
/
/
а -45°
а=0°
6 I
Рис. 13.8
10
12 U9 км/с
Угол а измеряется от нормали к преграде. До скорости удара
U = 3 км/с диаметр шарика уменьшается. В этом случае идет
пробитие преграды за счёт больших пластических деформаций
как преграды, так и шарика. При скоростях U ^ 3 км/с физика
процесса меняется. Чем больше скорость удара, тем большую
роль начинают играть УВ и волны разрежения, возникающие
при ударе. При ударе в шарике возникают сильные УВ. После
их выхода на свободную границу шарика возникают волны раз-
разрежения в шарике. Они разбрасывают материал шарика во все
стороны.
Это хорошо видно на рис. 13.9, где представлены рентге-
рентгеновские снимки соударения алюминиевого шарика (d = 6,35 мм,
[/ = 4, 16 км/с) с никелевой, медной и кадмиевой пластинами
толщиной около 1мм (рис. 13.9а), а также снимки соударения
стального шарика (d = 3,2 мм, U = 7,06 км/с) с этими же пла-
пластинами (рис. 13.96). Часть материала шарика и преграды выбра-
выбрасывается вверх, а часть летит вниз. При этом шарик разрывается
на мелкие частицы, облако которых расширяется. В этом случае
вторая преграда улавливает это облако мелких частиц. При
скоростях удара U > 7 км/с основную роль в рассматриваемом

294
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
Экран
Никель
Медь
Кадмий
Рис. 13.9
процессе играет волновой механизм, и предельный диаметр ша-
шарика практически не зависит от скорости удара.
При ударе шарика (алюминиевого и стального) по преграде
(Ni, Cu, Cd) в последней возникает отверстие, диаметр которого
D может быть вычислен по формуле:
2/3
+ 0,9
A3.1)
где h — толщина преграды, U в км/с.
Диаметр отверстия в преграде (D) при заданной скорости
удара практически не зависит от материала преграды, но зависит
от толщины преграды.
На рис. 13.10 представлена экспериментальная зависимость
суммарной толщины разнесенных преград h^ из алюминиевых
сплавов, пробиваемых одним и тем же стальным компактным
ударником, от скорости удара U. Эта зависимость хорошо кор-
коррелирует с зависимостью на рис. 13.8. Четко различаются три
диапазона скоростей. С увеличением скорости до 2 км/с вели-
величина h^ увеличивается, затем при росте скорости до 3,5 км/с
h^ уменьшается A на рис. 13.10), а при росте U до 8 км/с h^
медленно увеличивается B на рис. 13.10). Кружки на рисун-
рисунке 13.10 — экспериментальные точки.
Влияние формы и плотности ударника на его проникание
в преграду. На рис. 13.11 приведены результаты экспериментов,
исследовавших удар шариков с одинаковой массой @,32 г), но из

13.3. Физика взаимодействия тел с преградой
295
, ММ
3	4
Рис. 13.10
U, км/с
разных материалов с разной плотностью: пластик (р = 1,2 г/см3),
алюминий (р = 2,7 г/см3 ) и сталь (р = 7,8 г/см3). Скорость
шариков была одинакова, U = 6,6км/с.
0 2 4 6 8
Плотность ударника р, г/см3
б
Рис. 13.11
В качестве преграды использовалась толстая (полубесконеч-
(полубесконечная) преграда из сплава алюминия. На рис. 13.11а показаны
размеры кратеров, образовавшихся в преграде при ударе пласти-
пластиковым, алюминиевым и стальным шариками. На рис. 13.116 по-
показана зависимость глубины проникания B) и объёма кратеров
A) от плотности шарика. Так, при изменении плотности шарика
в 4 раза D00%) глубина проникания меняется всего на 34% при
одинаковой кинетической энергии шариков.

296
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
б	l/d
Рис. 13.12
На рис. 13.12 представлены результаты удара по толстой
алюминиевой преграде ударников разной формы (см. рис. 13.12а)
из алюминиевого сплава одинаковой массы @,32 г) при U =
= 6,6 км/с.
На рис. 13.126 представлены зависимости глубины проника-
проникания кривая B) и объёма кратера A) от отношения l/d для этих
трёх случаев, I — длина ударника, d — диаметр ударника.
Вычисление глубины L проникания в полубесконечную пре-
преграду может определяться из приближённого уравнения сохра-
сохранения энергии:
MyU2/2 = Мтет,
где Му, U — масса и скорость ударника, Мт — масса преграды
(мишени) в объёме кратера, образованного ударником, ет —
удельная энергия, необходимая для выброса из кратера единицы
массы преграды (определяется из опыта).
Если ударник шар диаметром d, а объём кратера — полусфера
с радиусом R = L, то глубина кратера L в преграде определяется
на основе предыдущего уравнения по формуле
A3.2)

13.4. Численные решения	297
где рт,ру — плотности преграды и ударника, U — скорость
в км/с. Величина ет равна 0,31; 0,43; 0,5; 0,75км2/с2, соот-
соответственно, для алюминиевых преград (АД-1, АМГ-6, Д16) и
нержавеющей стали (по данным Л. В. Зинченко и В. П. Роман-
ченкова). Величины ет справедливы для U > 2км/с. При ско-
скоростях удара больше 10-18 км/с (в зависимости от материалов
ударника и преграды) глубина L растёт медленнее, чем радиус
кратера R, то есть энергия ударника более интенсивно расхо-
расходуется на разрушение преграды вдоль ее поверхности, при этом
происходит частичное испарение ударника и преграды в объёме
кратера.
Полуэмпирическая формула для определения предельной тол-
толщины монолитной преграды h из алюминиевых сплавов (типа
АМГ-6, Д16), пробиваемая компактным ударником, имеет вид
(см. [9])
fca(l + l,55(E/-0,8L/3)'
щека = 1,21 + {кр- l,21H,8/C7,fc/9= 1,21; 1,39; 1,5 — коэффи-
коэффициент формы ударника (шара, короткого цилиндра, куба), U —
скорость ударника в км/с, Му в г, ру — плотность ударника в
г/см3, h в см. Формула справедлива для скоростей ударника от
2,0 до 8,0 км/с.
13.4. Численные методы решения задач по
высокоскоростному метанию тел и прониканию
ударников в преграды
Математическое описание процессов высокоскоростного
метания и проникания ударников в преграды. Система урав-
уравнений двумерных упругопластических течений в цилиндриче-
цилиндрической системе координат z, r, (z — ось симметрии) включает в
себя:
— уравнения движения (для трёхмерного движения см. си-
систему 1.96):
dur dcrr dcrz <jrr — &$$
p—j- = —z	\~ -^	1	,
at or oz	r	A3 4)
duz dazz darz arz
P	!	!	'
dt dz d
r r
где p — плотность; ur — скорость в направлении г; uz —
скорость в направлении z; t — текущее время; (arr = Srr —
- Р, &zz = Szz - р, а## = S## - p, arz = Srz - р) — компоненты

298	Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
тензора напряжений; Szz, Srr, Srz, ?W ~ компоненты девиатора
напряжений; р — гидростатическое давление;
— уравнение неразрывности:
dp (диг duz
— уравнение энергии:
dE	\р)	(диг	и
dt	dt	\ or	r
duz	ur\	fdur ди
+ brZ [ ^7^
dz r J	\ dz or
(lob)
где l/p — удельный объём; Е — внутренняя энергия единицы
начальной массы;
— компоненты девиатора скоростей напряжений:
= 2/х err + —— , Srr = ^—
\	op dt J	dt
о (	1 dp\ o 8SZZ
bzz = 2[ji [ezz + ——- , bzz =
V	3dtJ
, bzz = r
3PdtJ	dt	A3 7)
7Г7	"JT \Orr	bzz) ,
где uo = (duz/dz — диг/дг) — скорость вращения; /i — модуль
сдвига;
— скорости деформации:
/D —
&ZZ
err =
erz -
dz
du7
dr
.4
¦("
— уравнение состояния
P
' dur
^dz
dp
pdt
диЛ
f dr)'
- {err — ezz)
в общем виде:
¦ = P(P,S);
A3.8)

13.4. Численные решения
299
— для твёрдых тел уравнение состояния в форме Ми-
Грюнайзена (см. раздел 3.4):
Р =
Ро
A3.9)
где В — коэффициент; р0 — начальная плотность материала; 7 —
постоянная Грюнайзена;
— для продуктов детонации уравнение состояния в форме
Джона-Вилкинса-Ли (Jones-Wilkins-Lee) — см. D.39):
J
exp{-RiV}
+ В 1-
R\V
где А, В, J, R\, i?2 — коэффициенты; V = ро/р — отношение
плотности непродетонировавшего ВВ к плотности ПД.
Для описания перехода из упругого состояния в пластическое
используется условие текучести Мизеса:
S
S2rz
S\z
+
- | (УJ = 0,
A3.11)
где Y — динамический предел текучести материала, зависящий
от скорости деформации, среднего давления и температуры.
В случае, когда отсутствуют сходящиеся детонационные вол-
волны, можно применить простую модель детонации, в которой ско-
скорость детонации D постоянна. Таким образом, в каждый момент
времени t возможно геометрически определить поверхность и,
которая является фронтом детонационной волны.
Для точечного иницииро-
инициирования — это сфера с радиусом
го (см. рис. 13.13), который
определяется как
A3.12)
На самой границе и, ча-
частицы приобретают парамет-
параметры Чепмена-Жуге (п. 4.4):
при (r,z) Euj.	Рис- 13ЛЗ
К уравнениям A3.4)—A3.12) добавляются начальные и гра-
граничные условия.

300	Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
Для областей Q\, занятых конденсированными взрывчатыми
веществами, до прихода детонационной волны считается, что
давление, скорости и энергия в них равны нулю. В областях 02 >
занятых твёрдыми материалами для времени t = О задавались
следующие начальные значения:
р = ро, и = щ, Е = О, аг = az = arz = <х## = О,
при (r,z) G O2, где ро — начальная плотность вещества, щ —
начальная скорость движения среды.
Граничные условия имеют следующий вид:
при (r,z) G uj\ — свободная поверхность;
Опп = -Р, Опт = 0, U
1
п
при (г, z) G U02 — контактная граница (граница раздела конден-
конденсированной A) и газообразной B) среды);
а\ = а2	= о и1 =и2
при (r,z) G CJ3 — контактная граница (граница раздела двух
конденсированных сред ^ и B));
при (r,z) G 0J4 — контактная граница (граница раздела двух
газообразных сред W и B^);
п„ = 0, §1 = 0, а„ = 0,
ОТ
при (r,^) G 6^5 — ось симметрии;
ип = 0, сггг = 0,
при (r,z) G ojq — жёсткая стенка, где апп и апт — нормальная и
касательная составляющие вектора напряжений, действующего
на площадку границы с нормалью п; ип — значения нормальных
компонент вектора скорости граничных точек контактирующих
сред.
Некоторые результаты численных расчётов. Программа,
созданная на основе безсеточного численного метода SPH, для
решения системы уравнений A3.4)—A3.12) с соответствующи-
соответствующими начальными и граничными условиями позволяет исследовать
работу взрывных ускорителей, а также проникание высокоско-
высокоскоростных тел в различные преграды.

13.4. Численные решения
301
В табл. 13.1 представлены значения скоростей головных
струй, полученные экспериментально и при численном рас-
расчёте для алюминиевых и медных плит, для диаметра заря-
заряда ВВ 150 мм (скорость детонации 8,8 км/с, плотность заряда
1,84 г/см3) для кумулятивного ускорителя (рис. 13.2)
Таблица 13.1
Материал
плиты
А1
Си
d,
мм
20
20
30
30
К
мм
20
20
30
30
R,
мм
1
10
15
3
Uq, км/с
(эксперимент)
21,5
9,7
5,3
15,5
Uq, Км/с
(расчёт)
19,9
9,5
6,0
15,9
На рис. 13.14 представлена последовательность формирова-
формирования и структура метаемого элемента, полученная при численном
моделировании. Хорошо видно, что формируется струя A), утол-
утолщённый элемент B) и головная струя C), что удовлетворительно
совпадает с экспериментальными данными.
1 2 3
3 мкс
12 мкс
20 мкс
Рис. 13.14
Рассмотрим влияние геометрических, кинематических и фи-
физических характеристик ударника на глубину его проникания
в преграду.
Для сравнения результатов численного моделирования с экс-
экспериментальными данными было рассчитано проникание удар-
ударников различной плотности в алюминиевую полубесконечную
мишень со скоростью 6,6 км/с. Ударники были изготовлены из
пластика с плотностью ро = 1,20 г/см3, диаметром 8,0 мм из

302
Гл. 13. Высокоскоростное соударение тел
алюминиевого сплава с плотностью ро = 2, 70 г/см3, диаметром
6,1мм и из стали с плотностью ро = 7,80 г/см3, диаметром
4,3 мм. Сравнение экспериментальных и расчётных данных по
глубине проникания представлено на рис. 13.15
-ф- Эксперимент
-¦- Расчет
2 4 6 8 10
Плотность ударника, г/см3
Рис. 13.15

d >
h
¦43-
у
Рис. 13.16
Исследование влияния формы, скорости проникания и мате-
материала ударника на глубину кратера проводилось для полубес-
полубесконечной преграды из алюминия. Рассчитывались ударники из
стали с плотностью ро = 7,80 г/см3, алюминия с плотностью
р0 = 2, 70 г/см3 и ВНЖ с плотностью ро = 18, 69 г/см3. Иссле-
Исследования проводились для ударников массой Юг. Геометрические
размеры ударников вычислялись из условия равенства их масс
(рис. 13.16). Начальные скорости ударников принимались рав-
равными 3, 10 и 14 км/с. Для расчёта давлений бралось уравнение
состояния в форме Ми-Грюнайзена A3.9):
Ро
Таблица 13.2
где В — изотермический модуль сжатия, 7 ~~ коэффициент
Грюнайзена, Е — энергия. Коэф-
Коэффициенты этого уравнения при-
приведены в таблице 13.2.
Расчётные данные представ-
представлены на рис. 13.17 для алю-
алюминиевых ударников (шар, ко-
конус и цилиндр). На рис. 13.18
представлены результаты расчё-
расчётов проникания шара, конуса и цилиндра из стали в алюминие-
алюминиевую преграду для различных скоростей.
На рис. 13.19 аналогичные результаты показаны для удар-
ударника из ВНЖ. Результаты расчётов показывают, что глубина
проникания слабо зависит, при одинаковых скорости и массе
Алюминий
Сталь
ВНЖ
Б, ГПа
79
176
300
7
2,1
1,7
1,6

13.4. Численные решения
303
й 70
«Г 60
&50'
I 40
&30'
Шар
Конус
Цилиндр
10
? 0	5	10	15
Скорость алюминиевого ударника, км/с
Рис. 13.17
-+- Шар
¦*¦ Конус
- Цилиндр
СО	5	10	15
Скорость ударника из ВНЖ, км/с
Рис. 13.19
8 70
«Г 60'
&50'
I40'
&30'
S ш
i§ ю-
^ Шар
¦*¦ Конус
^^ Цилиндр
0	5	10	15
Скорость стального ударника, км/с
Рис. 13.18
-ф- Алюминий
-¦- Сталь
-+- ВНЖ
80
170-
«гбо-
&50'
Й 40-
й о
5	10
Скорость ударника, км/с
Рис. 13.20
15
ударников, от формы ударника, при условии равенства отноше-
отношения длины и максимального диаметра. На рис. 13.20 представле-
представлены результаты расчётов для шара из различных материалов. Из
этого рисунка видно, что глубина проникания при одинаковой
скорости и массе ударников зависит от плотности материала
ударника. При этом при увеличении скорости удара зависимость
глубины проникания от плотности материала заметно уменьша-
уменьшается. Так при скорости удара 3 км/с глубина проникания ударни-
ударника из ВНЖ на 45% больше глубины проникания алюминиевого
ударника, а при скорости 14 км/с — всего на 12%.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Физика взрыва. /Под ред. Л. П. Орленко. — 3-е изд, ис-
исправленное. — В 2 т. - М.: Физматлит, 2004. — 1488 с.
2.	Высокоскоростное взаимодействие тел. /Под ред. В.М. Фо-
Фомина. — Новосибирск: Издательство СО РАН, 1999. — 600 с.
3.	Кобылкин И. Ф., Селиванов В. В., Соловьев В. С, Сысо-
Сысоев Н.Н. Ударные и детонационные волны. Методы исследования.
— 2-ое изд., перераб. и дополн. — М.: Физматлит, 2004. — 367 с.
4.	Ударные волны и экстремальные состояния вещества. /Под
ред. В. Е. Фортова и др. — М.: Наука, 2000. — 425 с.
5.	Свойства конденсированных веществ при высоких давле-
давлениях и температурах. /Под ред. Р.Ф. Трунина. — Арзамас-16:
Изд. ВНИИЭФ, 1992. - 398 с.
6.	Высокоскоростные ударные явления. /Под ред. В. Н. Нико-
Николаевского. - М.: Мир, 1973.
7.	Капель Г. И., Разоренов СВ., Уткин А. В., Фортов В.Е.
Ударно-волновые явления в конденсированных средах. — М.:
Янус-К, 1996, -407 с.
8.	Методика определения параметров взрывного устройства
по разрушениям окружающей обстановки... /Под ред. В. А. Хи-
мичева. М.: НПО "Специальная техника и связь", 2002, — 106 с.
9.	Степанов Э. С, Соломонов Ю. С, Сычев М. П. и др. Кине-
Кинетическое воздействие на летательные аппараты. / — 4.1, — М.:
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005 - 112с.