и * л
Издательство
иностранной
литературы

VORLESUNGEN
UBER THEORETISCHE PHYSIK
BAND III
ELEKTRODYNAMIK
von
ARNOLD SOMMERFELD
Professor Emeritus fur Theoretische Physik
an der Universitut Milnchen
Akademische Verlagsgesellschaft Oeest & Portig K.-G.
LEIPZIG, 1949

А. ЗОММЕРФЕЛЬД
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Перевод с немецкого
Под редакцией
С. А. ЭЛЬКИНДА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 19 58

Темплан 1958 г., № 21
Редакция литературы по физике.
Заведующий редакцией проф. А. А. СОКОЛОВ.

ОТ РЕДАКЦИИ
Выходом в свет настоящей книги заканчивается издание
на русском языке шеститомного курса „Лекций по теоре-
теоретической физике." известного немецкого физика Арнольда
Зоммерфельда, научные исследования которого сыграли
большую роль в развитии математической физики и в соз-
создании современной квантовой теории.
Издательством иностранной литературы ранее были выпу-
выпущены т. I, Механика, ИЛ, 1947, т. И, Механика дефор-
деформируемых сред, ИЛ, 1954, т. IV, Оптика, ИЛ, 1953, т. V,
Термодинамика и статистическая физика, ИЛ, 1955 и т. VI,
Дифференциальные уравнения в частных производных физики,
ИЛ, 1950. Том V вышел в Германии уже после смерти
автора (в 1951 г.) и был подготовлен к печати его уче-
учениками Боппом и Мейсснером. Настоящая книга „Электро-
„Электродинамика" является т. III этой серии. К этой серии непосред-
непосредственно примыкает известная двухтомная монография автора
„Строение атома и спектры", выпущенная в 1957 г. в Изда-
Издательстве технико-теоретической литературы в переводе с
последнего немецкого издания.
В советской литературе имеется ряд оригинальных и
переводных учебников и монографий по электродинамике.
Тем не менее можно надеяться, что книга А. Зоммер-
Зоммерфельда будет с интересом встречена читателями и окажется
полезной для научных работников—физиков, преподавате-
преподавателей, инженеров и студентов. Ценность книги обусловлена
ее методическими достоинствами и' педагогическим мастер-

fi От редакции
ством ее автора. А. Зоммерфельд умеет быстро знакомить
читателя с изучаемой областью, не задерживая внимания на
формальных подробностях и всюду подчеркивая физическую
сущность явлений. Наряду с рассмотрением принципиальных
основ электродинамики достаточное внимание уделяется так-
также ее приложениям. Этому не мало способствовало рациональ-
рациональное построение книги. В первой главе постулируются урав-
уравнения Максвелла и обсуждаются основные свойства электро-
электромагнитного поля. Электростатика, магнитостатика, постоян-
постоянный и квазистационарный ток, электромагнитные волны из-
излагаются во второй главе на основе уравнений Максвелла.
Третья и четвертая главы посвящены непосредственному
рассмотрению релятивистской электродинамики и очень су-
существенны для изучения предмета, так как при релятивист-
релятивистском подходе достигается логичное представление об элек-
электромагнитном поле и его инвариантных характеристиках.
При этом автор сокращает объем книги, опуская более
подробное обоснование постулатов теории относительно-
относительности и связанное с ним обсуждение понятий простран-
пространства и времени. В этих главах излагаются также вариацион-
вариационные принципы и законы сохранения для электромагнит-
электромагнитного поля, объясняется поведение быстрого и ускоряемого
электрона.
Изложение в книге весьма сжатое, не перегружено ма-
тематическими выкладками и во многих случаях не претен-
претендует на формальную строгость. На подобные случаи обра-
обращено внимание читателя в примечаниях к переводу; были
также исправлены ошибки в формулах для преобразования
полей в § 28 и 33.
Много места в книге уделено подробному сопоставлению
систем единиц; известно, что многообразие единиц для
измерения электрических величин нередко затрудняет изу-
изучение электродинамики. А. Зоммерфельд считает, что раз-
размерность величин должна соответствовать их физической

От редакции
природе: он критикует систему CGS, в которой, например,
заряд имеет несвойственную ему „механическую размерность",
а волновое сопротивление среды W/e оказывается вовсе
безразмерным.
Наиболее физически осмысленной он считает систему
единиц MKSQ (Джорджи), которой и пользуется в книге.
К вопросу о размерностях примыкает также последовательно
проводимое автором разделение величин на „силовые" и
„количественные"; автор подчеркивает физическую общность
„силовых" величин (например Е и В) и отличие их (а также
их размерностей в системе MKSQ) от „количественных"
величин (соответственно D и Н). Такое разделение удобно
в электродинамике движущихся сред.
Продолжая мысть о „силовых" и „количественных" ве-
величинах, автор вводит новые названия для векторов электро-
электромагнитного поля и некоторых единиц измерения; об этом
сообщается в начале первой главы. В переводе книги все же
применены общепринятые названия величин и единиц с целью
сохранения прочно установившихся традиций. Перевод от-
отличается от оригинального издания также обозначением не-
некоторых величин. Замена обозначений вызвана отказом от
готических букв, не принятых для обозначения векторов
в русской литературе. Цитируемые автором книги и статьи
дополнены • указаниями на некоторые советские работы и
издания.
В целом шесть томов „Лекций по теоретической физике"
А. Зоммерфельда могут быть весьма полезными для широ-
широкого круга физиков, математиков и механиков, желающих
не только изучить основные разделы теоретической физики,
но и овладеть методами решения наиболее типичных
проблем.
Перевод настоящего тома выполнен В. И. Котовым,
Н. Б. Рубиным (гл. I и И) и Б. В. Медведевым (гл. III
и IV).

ПРЕДИСЛОВИЕ
Образцом для моих лекций по электродинамике послу-
послужило большое сочинение Генриха Герца „Основные урав-
уравнения электродинамики покоящихся тел". Это произведение
произвело на меня впечатление еще в студенческие годы.
По примеру Герца я беру за основу изложения гл. I акси-
аксиоматически введенные уравнения Максвелла. Правда, в от-
отличие от Герца уравнения записываются не в координатной
и дифференциальной, а в векторной и интегральной форме.
В гл. II на основе этих уравнений я, как и Герц, рассма-
рассматриваю отдельные группы явлений, т. е. статические, ста-
стационарные, квазистационарные и быстропеременные поля.
С тех пор как я в 1909 г. прослушал в Кёльне доклад
Германа Минковского „Пространство и время", я с осо-
особенной любовью занялся разработкой четырехмерной формы
уравнений электродинамики, которая является вершиной
теории Максвелла и одновременно наиболее простым введе-
введением в теорию относительности. Эта четырехмерная эле-
электродинамика постоянно находила живой отклик у моих
слушателей; она будет изложена в гл. III. В связи с загла-
заглавием гл. III „Теория относительности и теория электрона"
следует заметить, что мы ограничимся здесь, с одной сто-
стороны, только специальной теорией относительности, а с дру-
другой стороны, теорией отдельного электрона. Вопросы ста-
статистики электронов в металле и в непроводниках относятся
к т. V настоящих лекций „Термодинамика и статистическая
физика". Принцип наименьшего действия Шварцшильда,
устанавливающий^фундаментальную связь между максвеллов-
ской теорией и динамикой отдельного электрона (или от-
отдельных электронов), будет рассматриваться в конце гл. III
в релятивистском обобщении и с определенными модифика-
модификациями, необходимыми с нашей точки зрения. В гл. IV

К) Предисловие
излагается электродинамика движущихся сред, также исходя
из основной идеи Минковского. В качестве важнейшего
применения материала гл. IV обсуждается вопрос о полях
униполярной индукции, и для упражнения проведен рас-
расчет по возможности простейшего примера.
Основной материал лекций содержится в гл: И. В раз-
разделе электростатики и магнитостатики я различаю задачи
с суперпозицией полей и краевые задачи. К первым отно-
относится вычисление электрического потенциала по заданному
распределению заряда, а также магнитного потенциала
по заданной намагниченности. Теория постоянного магнита
в той мере, в какой она принадлежит максвелловской, а не
атомной теории, с этой точки зрения становится простой
и понятной. В противоположность этому решение электри-
электрических и магнитных краевых задач относится, собственно
говоря, к т. VI (Дифференциальные уравнения в частных
производных физики); в данном томе рассматриваются только
важнейшие случаи. При вычислении стационарных полей
по заданному распределению электрических токов методом
векторного потенциала (§ 15) или методом магнитного
листка (§ 16) мы также имеем дело с простой суперпози-
суперпозицией полей. Из числа задач, относящихся к области быстро-
переменных полей, с некоторой полнотой разбираются те,
которые касаются распространения волн по проводам.
В качестве примера в § 22 рассматривается главная волна
(электрически-симметричного типа), распространяющаяся по
отдельному проводу. Однако в § 23 рассматриваются также
волны магнитного типа, несимметричные побочные волны
и волны вдоль непроводящих стержней. Внимание к этим
видам распространения вызвано их разнообразным техни-
техническим приложением (см., например, теорию волноводов,
§ 24), а также их ролью в теории системы Лехера. В заклю-
заключении гл. II (§ 25) дан полный расчет системы Лехера при
произвольном расположении и размерах двух параллельных
проводов и при одном только предположении, что провода
являются достаточно хорошими проводниками; расчеты для
области вне проводов проводятся в биполярных координа-
координатах, а в области, заключенной внутри проводов, применяются
обычные полярные координаты.
Везде без исключения серьезное внимание будет уде-
уделяться размерностям величин, характеризующих поле. Мы

Пюедисловие 11
не придерживаемся точки зрения Планка, согласно которой
вопрос о действительной размерности физической величины
лишен смысла; в § 7 своих лекций по электродинамике
Планк говорит, что подобный вопрос имеет не больше
смысла, чем вопрос о „действительных" названиях вещей.
Напротив, мы находим фундаментальное различие между
„силовыми" величинами (IntensitatsgroBen) и величинами
„количественными" (QuantitatsgroBen) в самих, взятых нами
за основу уравнениях Максвелла. Это различие уже было
последовательно проведено в отличных учебниках Ми.
Закон индукции Фарадея — Максвелла показывает, что си-
силовой величиной наряду с напряженностью электрического
поля Е является и магнитная индукция В; именно В, а не Н
заслуживало бы названия напряженности магнитного поля.
Величину Н, так же как и D, лучше всего было бы назвать
„возбуждением" (ErregungsgroBe). Величина div D измеряет
плотность электрического заряда, так же как divH изме-
измеряет .плотность магнетизма. Различие между „истинным"
и „свободным" электричеством, введенное Герцем, несостоя-
несостоятельно, так как соответственно своей размерности div E
выражает не заряд, а дивергенцию силовых линий. То же
можно сказать и о различии между „истинным" и „свободным"
магнетизмом, тем более, что div В равна нулю1). Наряду
с Н и D количественными величинами являются плотность
тока проводимости j, электрическая поляризация Р и на-
намагниченность М- Энергетические величины всегда являются
произведениями количественных и силовых величин, напри-
например, V2(DE); V2(HB); jE; [EH]. Общность величин В и Е,
а также Н и D однозначно объясняется теорией относитель-
относительности, где пары величин сВ и —/Е и Н и —icD объеди-
объединяются в шестивекторе (антисимметричном тензоре). Первый
шестивектор обозначим через F и назовем тензором поля
(Feldtensor), а последний, /, назовем тензором возбужде-
возбуждения (Erregungstensor). Рассмотрение, в котором внимание
!) По определению Герца распределение „истинных" электри-
электрических зарядов описывается div D, а распределение „свободных"
зарядов — divE (для магнитных зарядов соответственно div В и
div H). В настоящее время свободными называют заряды, не-
незакрепленные в диэлектриках (в отличие от связанных), свободные,
заряды ведут себя как „истинные" заряды Герца. См. И. Е. Т а м м,
Основы теории электричества, § 21.— Прим. ред.

12 Предисловие
обращено на размерность физических величин, становится пло-
плодотворным, если ввести четвертую электрическую единицу,
не зависящую от механических единиц. В качестве этой
единицы мы выберем единицу заряда Q, которая на прак-
практике может (но не должна) быть отождествлена с кулоном.
Мы отказываемся тем самым от „прокрустова ложа" еди-
единиц CGS, при использовании которых электромагнитным
величинам навязываются известные противоестественные
размерности. Оставляя окончательно всякие надежды на
механическое толкование электрических величин, будем
рассматривать заряд как первичное понятие," не сводящееся
к другим понятиям, которое, следовательно, в праве пре-
претендовать на собственную единицу измерения. Только
в отдельных местах и только по историческим причинам
мы будем упоминать об измерении зарядов в электроста-
электростатической и электромагнитной системах. В частном случае,
когда единицей заряда является Q=l кулон (к), электри-
электрический ток выражается в общеупотребительных единицах—
амперах; 1 #=1 к/сек.
Следуя предложению Джорджи, мы примем в качестве
основных механических единиц метр (ж), килограмм массы (кг)
и секунду (сек.). Единицей энергии будет тогда 1 Эрг1)
(„большой эрга)=1дж (без умножения на какие-либо
степени десяти), а единицей мощности 1 Эрг/сек = 1 em.
При выражении электрических единиц, таких, как вольт,
ом, фарада, генри степени десяти также отсутствуют
в этой системе, именно 1 в == 1 Эрг/к; 1 ом= 1 Эрг • сек/к2;
I ф^=\ к2!Эрг; 1 г«= 1 Эрг • сек2\к2. Напротив, при выра-
выражении магнитных единиц гаусса (для магнитной индук-
индукции В) и эрстеда (для напряженности магнитного поля Н),
которые употребляются в электромагнитной системе CGS,
появятся, как мы увидим в § 8, множители степени десяти.
Из размерностей уже упомянутых величин 1/г (DE), lJ2 (HB),
(JE) четвертая единица Q, очевидно, автоматически исклю-
исключается; эти величины представляют собой плотность энергии
и измеряются непосредственно в Эрг/мв. Размерность потока
энергии [ЕН] равна Эрг/м2 • сек.
*) В основном тексте книги применяются общепринятые назва-
названия единиц. См. примечание на стр. 23. — Прим. ред,

Предисловие 13
Так как мы различаем размерности силовых и коли-
количественных величин, то диэлектрическая и магнитная про-
проницаемости должны обладать размерностью. Вследствие
этого их нельзя приравнять единице и для вакуума. Выбирая
значения jx0 и е0 для вакуума и соглашаясь при этом
с данными, полученными из электротехнической практики,
мы оказываемся в благоприятном положении, потому что
можем без труда удовлетворить требованию „рациональ-
„рациональности единиц". Достаточно, согласно международному
постановлению, положить
jx0 = 4тс • 10 ' ом • сек/м,
а е0 получим из соотношения so[io= 1/с2, достоверно уста-
установленного опытами Герца. При таком выборе е и jx коэф-
коэффициент 4тг выпадет из тех выражений, где он неуместен,
например из уравнения Пуассона, или выражений для энергии,
входящих в уравнение Пойнтинга. Наоборот, коэффициент 4тт
войдет в те выражения, где его появление естественно,
например в законе Кулона или в формуле емкости сфери-
сферического конденсатора. Мы избегаем тем самым отчаянного
пути, который избрал Лоренц для получения рационали-
рационализированных уравнений в своей статье для энциклопедии.
Он включил множитель ~\f Аъ в определение единиц заряда
и магнетизма.
При нашем выборе е0 и [х0 корень из отношения [х0 к s0
будет, очевидно, иметь размерность сопротивления. Это
так называемое „волновое сопротивление вакуума" неиз-
неизменно появляется в гл. II как коэффициент (имеющий раз-
размерность ома), когда речь идет о представлении волновых
полей Е и Н формулами с одинаковой размерностью. Вели-
Величина, названная волновым сопротивлением, снова появляется
в релятивистской теории, где она входит в соотношение
между тензорами возбуждения / и поля F, которое при-
применительно к вакууму принимает для всех шести компонент
простую форму
Всем этим вопросам выбора единиц, размерностей,
рациональной записи уравнений, многократно и до ску-
скуки обсуждавшийся в последние годы, будет уделено

14 Предисловие
в дальнейшем изложении возможно меньше внимания. Но во
многих местах от читателя потребуется самому убедиться
в последовательности формул с точки зрения размерностей.
При числовых расчетах всегда оправдывает себя наша система
единиц MKSQ, поскольку узаконенные и удобные для прак-
практики единицы вольт, ампер и пр. относятся к этой системе.
Вопрос о том, можно ли рекомендовать эти единицы и для
атомной физики, мы рассматривать не будем. Чтобы облег-
облегчить переход к обычно применяемой в этом разделе физики
гауссовой системе (^о-^о^ О» МЫ уделяем немного места
(§ 8) системе Кона, которая базируетса в нашем понимании
на пяти единицах MKSQP (Р-—единица магнитного заряда).
Исключительная простота и красота уравнений Максвелла,
которые особенно ясно видны из их релятивистской форму-
формулировки для вакуума, приводят нас к убеждению, что эти
уравнения вместе с гравитационными уравнениями должны
быть истоками всеобщей мировой геометрии. В § 37 дан
обзор относящихся сюда работ, которые находятся еще
в начальном состоянии. Поразительно простое изложение
общей теории относительности в § 38 основывается на не-
несложном способе вывода шварцшильдовского линейного
элемента; об этом способе мне любезно сообщил Ленц.
Этим путем можно непосредственно без тензорного исчис-
исчисления получить три следствия теории, доступные проверке
с помощью астрономических наблюдений.
В основу этого тома положен лекционный материал
зимнего семестра 1933—1934 гг., обработанный Велькером.
В то время я впервые отказался от употребления .си-
.системы CGS и перешел к общей системе четырех единиц.
При окончательном редактировании гл. I и II я имел удо-
удовольствие пользоваться постоянными консультациями про-
профессора Яуманна, опыт и мысли которого из области
электротехники были во многом полезны при работе над
этим томом. За критические замечания и предложения по
улучшению содержания книги я благодарен Манну и Гора
и моему коллеге Боппу. В корректуре этого тома, так же
как и прежних томов, любезное участие принял д-р Беккер.
Мюнхен, апрель 1948 г.
Арнольд Зоммерфелъд.

Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ МАКСВЕЛЛА
§ 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.
ДАЛЬНОДЕЙСТВИЕ И ДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ
Чтобы вы лучше могли представить себе тот переворот
во взглядах, к которому привела теория Фарадея—Макс-
Фарадея—Максвелла, я расскажу о периоде своей учебы в 1887—1891 гг.
Мой родной город Кенигсберг был первым питомником,
где благодаря деятельности уважаемого Франца Неймана
A798—1894 гг.) начала развиваться в Германии математи-
математическая физика. Нейман преподавал в Кенигсбергском уни-
университете наряду с кристаллографией не распространенную
еще в то время в Германии теоретическую физику. Его
ученики (из них самым знаменитым был кенигсбержец
Густав Кирхгоф) распространяли идеи учителя по другим
немецким высшим школам. Нейман заботился о том, чтобы
преподаватели средних школ в Восточной Пруссии были
особенно хорошо подготовлены; для этого он совместно
с Якоби основал физико-математический семинар. Возможно,
что именно в связи с этим обстоятельством среди выпускни-
выпускников посещаемой мной гимназии в старой части города были
математик Герман Минковский и физики Мах и Вилли Вин
(они окончили гимназию незадолго до моего выпускного
экзамена), а в это же время в других школах Кенигсберга
учились Давид Гильберт и Эмиль Вихерт, которые были
не намного меня старше. Как ученый, Нейман добился наиболь-
наибольших успехов в теорли упругих световых волн и в кристалло-
кристаллофизике. В § 15 мы познакомимся с его математической
формулировкой открытых Фарадеем явлений электромагнит-
электромагнитной индукции. Одновременно с Нейманом и Якоби, почти
затмевая их, преподавал в Кенигсберге Бессель.
Годы моей учебы совпали с тем временем, когда Герц
производил свои опыты. Но нам прежде всего преподно-
преподносилась электродинамика старого стиля: вместе с законами
Кулона и Био-Савара излагался закон Ампера о воздействии
двух элементов тока друг на друга, а также конкурирующие

16 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
с ним законы Грассмана, Гаусса, Римана, Клаузиуса и
как их венец — закон Вильгельма Вебера. При этом все они
были оформлены по образцу ньютоновского дальнодействия.
Общая картина электродинамики, которая подавалась нам
в таком виде, была сложной, несвязной и отнюдь незавер-
незавершенной. Доценты и студенты прилагали все усилия, чтобы
усвоить результаты опытов Герца, которые становились все
более и более известными, и объяснить их на основании столь
же трудного для понимания оригинального изложения мак-
свелловского «Трактата об электричестве и магнетизме»1).
У меня как бы упали шоры с глаз, когда я прочитал
большое сочинение Герца „Об основных уравнениях электро-
электродинамики покоящихся тел" 2). Здесь за основу изложения
приняты аксиоматически введенные уравнения Максвелла,
„очищенные" Хевисайдом и Герцем. Вся совокупность
электромагнитных явлений дедуктивно и систематически
возникала из этих уравнений. Закон Кулона, который раньше
был основным, стал теперь необходимым следствием общей
теории. Оказалось, что электрические токи всегда замкнуты.
Элементы тока вошли в рассмотрение лишь в связи с их
участием в образовании криволинейных интегралов.
Все действия передаются через магнитное поле, кото-
которое наглядно представляется картиной силовых линий. Рас-
Рассмотрение, основанное на теории дальнодействия, заменяется
„конструктивным предложением" (постулированным еще
Гауссом 3) о пространственно-временном распространении
действия, т. е. о действии поля 4).
1) Крупный исследователь в области электролиза -Вильгельм
Гитторф, много слышавший о новом учении об электричестве,
попытался уже в преклонном возрасте изучать трактат, но не смог
пробиться через путаницу непривычных формул и понятий. Эта
трудность привела его в состояние глубокой депрессии. Мюнстер-
ские коллеги Гитторфа убедили его съездить отдохнуть в Гарц.
Но когда они перед его отъездом проверили чемодан, то нашли
в нем оба тома „Трактата об электричестве и магнетизме" Джемса
Клерка Максвелла (по рассказу Гайдвайлера).
2) Н. Hertz, Ann. d. Phys., Bd. 40 и 41.
3) В письме к Вильгельму Веберу в 1845 г. К. Gauss, Qe-
sammte Werke, Bd. V, S. 627.
4) Мы избегаем употребляемого обычно названия „близкодей-
ствие", так как это слово означает, собственно говоря, только дей-
действие на близких расстояниях. Наше название обращает внимание
на участие в передаче взаимодействия промежуточной материаль-
материальной среды (поля).

§ 1. Исторический обзор. Дальнодействие и действие поля 17
Во всех своих лекциях по теории Максвелла я придер-
придерживаюсь того же расположения материала, который принят
в этой работе Герцем. В данном случае мы также начнем
не с электростатики, как это часто делают и как сделано
в максвелловском „Трактате об электричестве и магнетизме",
а электростатику будем рассматривать как простейший
частный случай общей теории поля. От изложения Герца
мы отступим только в том, что вначале рассмотрим урав-
уравнения Максвелла не в дифференциальной, а в интегральной
форме. Само собой разумеется, что мы заменим несколько
растянутые вычисления Герца в координатном представле-
представлении векторными; векторное вычисление более приспособлено
для описания электромагнитного поля. Далее будет видно,
что такой способ описания, распространенный на четырех-
четырехмерное пространство, приведет нас непосредственно к тео-
теории относительности. Последняя позволит приступить к рас-
рассмотрению электродинамики движущихся тел, что тщетно
пытался сделать Герц во второй цитированной выше ра-
работе. Как и Герц, мы считаем уравнения Максвелла глав-
главным содержанием его теории. При этом нет необходимости
входить в сущность различных механических образов,
которыми руководствовался Максвелл при установлении
своих уравнений; одна такая картина рассматривалась в т. II
(Механика деформируемых сред, § 15) этого курса 1).
Биографические заметки
Майкл Фарадей A791—1867 гг.)
Фарадей родился в Лондоне в бедной семье кузнеца.
Семья входила в религиозную секту сандеманианцев,
которой Фарадей остался верным до своей смерти. Его
высоко нравственное отношение к жизни и большая чело-
человеческая доброта соответствовали духу семьи. Вначале
Фарадей был разносчиком газет, затем переплетчиком.
В науке и литературе он был самоучкой. Большую
роль в развитии Фарадея сыграли лекции Хемфри Деви
1 Здесь и в дальнейшем ссылки даются на переводные издания
томов настоящего курса теоретической физики (см. выше преди-
предисловие от редакции). — Прим. ред.
2 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

18 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
в Королевском институте, которые он тщательно обработал
и представил великому химику. Фарадей стал его лаборантом
в Королевском институте. Первыми значительными работами
Фарадея были исследование вращения тока вокруг магнита,
и вращения магнита вокруг тока, а также получение жидкого
хлора. Благодаря этим работам Фарадей был избран членом
Королевского общества и позднее стал как бы преемником
Деви в Королевском институте 1). С 1832 г. Фарадей начал
публиковать свои „Экспериментальные исследования". Его
открытия распространялись на самые различные области
физики, электрохимии и материаловедения. Отметим работы,
имеющие для нас наиболее существенное значение. Это—-
открытие закона электромагнитной индукции A831 г.),
введение диэлектрической проницаемости, открытие пара-
парамагнетизма и диамагнетизма, введение представления об
электрических и магнитных силовых линиях. О его магнето-
оптических открытиях см. т. IV (Оптика). Фарадей страдал
ослаблением памяти, это вынуждало к частым перерывам
в его работе и к повторению проведенных уже экспери-
экспериментов. Остается невыясненным, было ли это следствием
чрезмерного умственного напряжения или, как теперь часто
считают, это объясняется ртутным отравлением в плохо
проветриваемом подвальном помещении Королевского ин-
института. Несомненно, что чисто индуктивный метод работы
Фарадея, избегавшего всех вспомогательных математических
методов, требовал чудовищного напряжения мысли. В по-
последние годы жизни Фарадею предоставили по распоряже-
распоряжению принца Альберта спокойное летнее помещение в-Коро-
в-Королевском замке Хемптон Корт. Когда Фарадей умер, нашли
95 почетных дипломов различных ученых обществ, соб-
собственноручно им переплетенных.
Джемс Клерк Максвелл A831—1879 гг.)
Максвелл происходит из аристократической шотландской
семьи (фамилия отца была Клерк, фамилию Максвелл он
унаследовал от матери). Максвелл получил наиболее полное
для своего времени образование как в области гуманитар-
1) Фарадей получил в Королевском институте кафедру, которую
в свое время занимал Деви. — Прим. ред.

§ 1. Исторический обзор. Дальнодействие и действие поля ii)
ных, так и в области естественно-математических наук. Уже
в ранней работе A855 г.) „О Фарадеевых силовых линиях"
Максвеллу удалось выразить картину силовых линиЛ Фара-
дея в более доступной общему пониманию математической
форме. В предисловии к своему трактату он говорит об
этом: „Фарадей своим мысленным оком видел силовые
линии, пронизывающие все пространство. Там, где матема-
математики (как видно из предыдущего, к ним следует прежде
всего отнести Гаусса, Вильгельма Вебера, Римана, Франца
и Карла Неймана) видели центры напряжения сил дально-
дальнодействия, Фарадей видел промежуточный агент. Где они
не видели ничего, кроме расстояния, удовлетворялись тем,
что находили закон распределения сил, действующих на
электрические флюиды, Фарадей искал сущность реальных
явлений, протекающих в среде. Когда я изложил идеи
Фарадея (как я их понял) в математической форме, то об-
обнаружил, что оба метода в общем приводят к одним и
тем же- результатам, но что многие методы, открытые
математиками, могут быть значительно лучше выражены
способом Фарадея".
„Трактат об электричестве и магнетизме" появился
в 1873 г. Его самым большим достижением является от-
открытие связи между оптикой и электродинамикой. Упро-
Упрощенная форма максвелловских уравнений (восстановленная
позднее Хевисайдом и Герцем) содержится уже в третьей
части его доклада для Королевского общества в 1864 г.
Почти такими же важными работами, как и работы по
электродинамике, являются исследования Максвелла по кине-
кинетической теории газов (максвелловскиЛ закон распределе-
распределения скоростей) и по общей статистике. Сюда относится,
например, его теория колец Сатурна. Максвелл выполнил
ряд чисто математических работ (по теории циклид, по
теории волчка), исследование о цветах в связи с „цветовым
треугольником" Гельмгольца *) и важную работу по каркас-
каркасным сооружениям. После временной педагогической ра-
работы в Абердине Максвелл возглавил вновь основанную
1) Речь идет О\ цветовой диаграмме, основанной на представле-
представлении о трех видах селективных приемников в глазу. (См., например,
М а й з е л ь, Основы учения о цветах, Госгехиздат, 1946 г.) — Прим.
ред.
2*

Гл. I. Основные положения электродинамики МаксвелЛй
лабораторию имени Кавендиша в Кембридже. Максвелл умер
в сравнительно молодом возрасте.
Андре Мари Ампер A775—1836 гг.)
Мы приводим здесь описание жизненного пути Ампера
не потому, что он открыл упомянутый выше элементарный
закон и произвел классические эксперименты, позволяющие
вывести этот закон самыми простыми средствами, а потому,
что Ампер установил всеобщую связь между магнитным
полем и электрическими токами.
Ампер родился в Лионе и, будучи не по возрасту раз-
развитым мальчиком, рано начал заниматься филологическими
и математическими науками. Его отец погиб во время ре-
революции. За свои математические работы Ампер был назна-
назначен в 1804 г. профессором Политехнической школы. Здесь
вскоре он проявляет огромный интерес к химии; его работы
в области атомистической теории могут сравниться с ра-
работами Авогадро. Затем следуют пять лет, когда Ампер
большую часть времени занимался психологией и филосо-
философией, хотя и был избран в Парижскую Академию наук как
математик. Только в 1820 г., когда он услышал об откры-
открытии Эрстеда, пробудился его интерес к физике. В несколько
недель он обосновал свою точку зрения, согласно которой
магнитным действием обладает не покоящееся, а текущее
электричество. В течение 1820 —1826 гг. Ампер работал
над выяснением связи магнитного поля с электрическим
током и пришел к результату, совпадающему с одним
из уравнений Максвелла, если расширить понятие электри-
электрического тока введением максвелловского тока смещения.
Это уравнение Максвелла (записанное в интегральной форме)
мы и назовем законом связи Ампера (см. § 3). На основе
этого закона Ампер пришел к выводу, что соленоид, обте-
обтекаемый током, является эквивалентом постоянного магнита;
ему принадлежит идея усиления магнитного поля путем
помещения внутрь соленоида сердечника из мягкого железа.
Поэтому Ампера можно назвать отцом электромагнита. Мы
упомянем еще о молекулярных токах Ампера и о его изящ-
изящном расчетном методе магнитного листка.
После того как Ампер в 1826 г. получил кафедру фи-
физики в Коллеж де Франс, круг его интересов вновь изме-
изменился. Он вернулся к философии и логике и, наконец,

§ 1. Исторический обзор. Дальнодействие и действие поля 21
посвятил себя биологии и сравнительной анатомии. В це-
целом— это научная жизнь, невиданная по широте, глубине,
интенсивности и быстрой смене интересов! [Сведения об
Ампере взяты из книги Луи де Бройля „Непрерывность и
дискретность" (L. de Broglie, Continu et Discontinu,
Paris, 1941)].
Генрих Герц {1857—1894 гг.)
Герц родился в Гамбурге в семье коммерсанта. Его
отец был в более поздние годы сенатором этого свобод-
свободного города. По своей большой скромности Генрих Герц
не решился вначале встать на путь ученого, а занялся
в Мюнхенской Высшей технической школе инженерными
науками. Но вскоре он попросил у отца разрешения перейти
к занятиям чистой физикой. Герц учился в Мюнхене, потом
в Берлине и стал любимым учеником и ассистентом Гельм-
гольца. Отношения между учителем и учеником были очень
дружескими, что нашло трогательное выражение в некро-
некрологе, посвященном Герцу Гельмгольцем (напечатан в т. I
полного собрания сочинений Герца). Задание, полученное
от Гельмгольца, определило направление научной деятель-
деятельности Герца: он посвятил себя проверке теории Максвелла.
После непродолжительной работы в должности приват-
доцента в Киле Герц был приглашен в Высшую техническую
школу в Карлсруэ.
Уже в ранних работах Герц показал свое мастерство
в умении связать теорию и эксперимент. Многие из его
работ получили одобрение со стороны специалистов смеж-
смежных областей. Инженеры оценили его работу, в которой
давалось количественное определение понятия твердости
тел, метеорологи—его описание процессов конденсации
р. восходящих потоках воздуха. Годы 1885—1889, прове-
проведенные им в Карлсруэ, были замечательным периодом его
творчества. Мы особенно отметим работу Герца „Силы
электрических колебаний, рассматриваемые согласно теории
Максвелла" A888 г.). Здесь применяется характерный метод
решения, который в настоящее время называют методом
вектора Герца, а также приводятся картины силовых линий
диполя Герца, получившие всеобщую известность. Вызывает
удивление, как много предвосхитил Герц в этой работе.

22 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
из того, что получило значение в беспроволочной телегра-
телеграфии, развившейся несколько позже. Назовем еще одну
большую работу Герца—„Излучение электрической силы".
О теоретических работах („Основные уравнения электро-
электродинамики") мы уже говорили выше.
Наблюдение Герцем фотоэлектрического эффекта также
относится к этому времени. В своей последней экспери-
экспериментальной работе за 1891 г. „О прохождении катодных
лучей через тонкие металлические слои" он коснулся про-
проблемы, стоящей вне рамок максвелловской теории, и, не
зная того, проложил путь к электронной теории. Тонкие
металлические пленки, названные позднее „окошками Ле-
нарда", были описаны уже в этой работе.
В 1889 г. Герца пригласили работать в Бонн. Здесь он
написал свою последнюю работу „Принципы механики",
о которой мы говорили в т. I (Механика, § 39). Введение
неголономных связей, трактовка механической системы как
системы многих измерений с большим числом степеней сво-
свободы, принцип кратчайшего пути—все это свидетельствует
о логической проницательности и геометрической интуиции
автора. Прогрессирующая болезнь помешала его экспери-
экспериментальной работе. Он умер 1 января 1894 г. в возрасте
37 лет.
§ 2. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОСНОВНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Существование электрических зарядов мы считаем заранее
известным, имея в виду, что их можно получить, например,
трением кусочка янтаря, „крестного отца" электричества,
или обнаружить по искре, возникающей при замыкании
полюсов батареи. Непосредственно наблюдаемые при этом
явления притяжения, отталкивания, тепловые эффекты мы
рассматриваем как следствия возникновения зарядов. Мы воз-
воздержимся от намерения дать словесное определение заряда
или навязать ему какую-нибудь производную размерность,
исходя из произвольно взятых явлений. Напротив, мы при-
припишем заряду собственную размерность как понятию, выходя-
выходящему за пределы механики. Обозначим эту размерность
через Q. За единицу можно было бы взять известную уни-
универсальную постоянную—заряд электрона (независимо от

§ 2. Основные характеристики электромагнитного поля 23
того, идет ли речь о положительном или отрицательном
заряде). Однако мы будем подразумевать под Q—кулон (к)
единицу, установившуюся в практической системе мер. Заряд
электрона в этой системе равен е = 1,60 • 10~19 к. При
этом предполагается, что существует такой электрометри-
электрометрический прибор, с помощью которого можно сравнивать раз-
различные заряды между собой и с единицей заряда — кулоном.
В собственно максвелловской теории отказываются от
рассмотрения атомной структуры заряда. Заряд является
абсолютной постоянной в гораздо более широком смысле,
чем масса (см. § 27, И).
Наряду с электрической единицей к в качестве механи-
механических единиц длины, массы и времени мы используем, как
правило, м (метр), кг (килограммы), сек. (секунда) по системе
Джорджи, т. е. MKSQ, введенной по решению компетентных
международных комиссий. Эта система единиц, как уже упо-
упоминалось в т. I (Механика, стр. 14), имеет то преимущество,
что в ней единицы работы и мощности непосредственно
(без каких-либо степеней десяти) совпадают с джоулем и
ваттом, введенными ранее в практической системе. Обозна-
Обозначим их
1 Эрг =1 м2 кг • сек~~2 = 107 см2 - г • сек2 = 10-' эрг -= 1 дж,
1 Эрг/сек =1 м2 • кг - сек~3 = 10' см2 • г • ceic^ =
= 107 эрг [сек --=¦ 1 вт
и определим соответственно единицу силы — Дину1):
1 Дн =1 м • кг • сек~2 = 105 см • г • сек-2 = 105 дн2).
Удобно, что эта единица близка к технической единице
„килограмм веса", равной 9,81 • 105 дн.
Ниже мы покажем также, что практические единицы
вольт и ом также не будут содержать множителей в виде
степеней десяти в нашей системе MKSQ.
Рассмотрим теперь ряд основных понятий электромаг-
электромагнетизма. Для большинства из них речь будет идти преиму-
*) Особое название «ньютон», предложенное международными
комиссиями для этой единицы, кажется нам излишним.
2) Введенные автором названия Эрг и Дина для единиц работы
и силы в системе MKSQ представляются удобными, но они не стали
общеупотребительными. Далее в тексте применяются международ-
международные названия этих единиц джоуль {дж) и ньютон (я). — Прим, ред.

24 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
щественно об описании размерности, а не о точных опре-
определениях, поскольку такие определения можно получить
лишь при анализе взаимной связи этих понятий в основных
уравнениях теории, проверенных на опыте. В следующем
параграфе мы непосредственно перейдем к этим уравнениям,
как только закончим перечисление основных понятий.
Начнем с понятия напряженности электрического поля;
этой величине действительно можно дать строгое определе-
определение (которое общепринято). Обозначим ее через Е. Опре-
Определим напряженность электрического поля как отношение
механической силы, действующей на помещенное в электри-
электрическом поле заряженное пробное тело (возможно меньших
размеров), к заряду этого тела.
Таким образом, Е представляет собой вектор, имеющий
размерность х)
Р Сила н /"9 П
Заряд ~~ к ' v • /
Этот вектор меняется в поле от точки к точке по напра-
направлению и величине. Следуя всюду по направлению Е, мы
проведем электрические силовые линии.
Рассмотрим теперь криволинейный интеграл между двумя
точками поля А и В:
в в
J E8ds = JEds, B.2)
А А
где Es-—проекция Е на направление элемента пути ds и
вектора ds, касательного к элементу пути и равного по
абсолютной величине длине этого элемента, Е ds — скалярное
произведение.
Назовем этот интеграл напряжением V (эта буква может
напоминать нам слово Volt):
в
т/ -— j г? A%I г— - - ., 1 г\7 . z= 10^ . 1 (*У 2я^
А
*) Здесь, как и во многих других местах, используется знак
равенства в уравнениях, связывающих размерности.

§ 2. Основные характеристики электромагнитного поля 25
Приведенный здесь пересчет размерностей от системы MKSQ
к электромагнитной системе показывает, что наша единица
напряжения как раз совпадает с
1 в— 108CGS эл.-магн. ед., B.26)
если, как мы выше условились, принять
Q=l к = yq CGS эл.-магн. ед. B.2в)
Для определения напряжения необходимо, кроме задания
конечных точек А и В, задать также и путь между ними.
По теореме Стокса {т. II, Механика деформируемых сред,
уравнение C.6)] только в безвихревом поле криволинейный
интеграл не зависит от пути [см. т. I, Механика, уравне-
уравнение A8.16), и т. II, Механика деформируемых сред, стр. 186].
В этом случае вместо напряжения мы говорим о разности
потенциалов между точками А и В и обозначаем ее через Vab-
Помимо напряженности электрического поля Е, введем
другой электрический вектор D. Лучше всего называть его
электрическим возбуждением *), хотя также часто мы будем
придерживаться термина диэлектрическое смещение (макс-
велловское displacement).
Поясним введение D с помощью следующих соображений.
Понятие заряда по своему историческому происхождению
связано с теорией дальнодействия. Чтобы связать понятие
заряда jc точкой зрения теории поля, необходимо представить
себе некоторое возбуждение окружающей среды, исходящее
от заряженных центров, которое должен описывать вектор D.
В случае отдельного точечного заряда можно представить
себе, что из него исходят D-линии — прямые, равномерно
распределенные по всем направлениям с такой плотностью,
что поток индукции равен
Dndo = e, B.3)
*) По мнению автора, приводимому в этом параграфе, жела-
желательно переименовать векторы электромагнитного поля, чтобы лучше
передать их физический смысл. В остальном тексте перевода приме-
применены общеупотребительные названия: векторы D и В всюду называются
соответственно электрической и магнитной индукцией, а векторы Е
и Н — соответственно напряженностью электрического и магнитного
полей, — Прим. ред, •

26 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
где da—элемент произвольной поверхности, охватывающей
заряд е. Если выбрать ее специально в виде сферы радиуса г,
то получим
|О| = е. B.3а)
При произвольном, возможно, и непрерывном распреде-
распределении заряда B.3) перейдет в
nda = e, ё=5>, B.36)
где е— полный заряд, содержащийся внутри области, охва-
охватываемой поверхностью а, т. е. алгебраическая сумма положи-
положительных и отрицательных зарядов. В § 4 мы увидим, что
такая характеристика D при произвольном выборе а непро-
непротиворечива, хогя и недостаточна для однозначного определе-
определения D. Там же будет далее показано, что при простейших пред-
предположениях (изотропность среды, линейная зависимость между
D и Е) D-линии совпадают с силовыми линиями вектора Е.
Размерность D ясна из приведенных выше соотношений:
D===. Заряд __ к
Поверхность м2
4
Она существенно отлична от размерности напряженности
электрического поля Е [соотношение B.1)]. По поводу макс-
велловского названия „диэлектрическое смещение" заметим
еще, что оно подходит, собственно, не к самому вектору D,
а только к той его части, которая связана с присутствием
весомой материи, и позднее будет названа поляризацией Р
(см. § И, В). В наиболее важной для нас среде—вакууме эта
часть исчезает, но тем не менее и в этом случае „смеще-
„смещение" D сохраняет свое самостоятельное значение наряду с Е *).
Сравним B.4) с размерностью плотности тока прово-
проводимости j. Как известно, j определяется как количество
электричества, протекающего в проводнике через единицу
1) Вектор D и в вакууме и в диэлектрике определяется в
отличие от Е по плотности заряда, индуцированного на соответст-
соответствующей пробной поверхности (см. § ПБ); таким образом, D и Е пред-
представляют различные характеристики поля (см. также § 26Д и § 34).
Однако для описания электромагнитного поля в вакууме и в непо-
неподвижной среде с постоянными (J. и е, очевидно, достатвчно одного
электрического и одного магнитного вектора, — Прим, ред.

§ 2. Основные характеристики электромагнитного поля 27
поверхности за единицу времени. Поэтому размерность j
определяется соотношением
:_ Заряд _ * B4а)
J Поверхность • Время м1 • сек ' \ • J
В зависимости от ориентировки единичной площадки — нор-
нормальной к направлению тока или под углом к нему—мы
получим абсолютную величину j или некоторую его соста-
составляющую. Таким образом, вектор j по своему характеру
напоминает D, но размерность j не совпадает с D, а совпа-
совпадает с размерностью производной от D по времени D, полу-
получившей название тока смещения.
Для наглядности мы предполагали здесь возможность
противопоставления проводников и непроводников (диэлек-
(диэлектриков). В действительности идеальных изоляторов не суще-
существует, так как даже самый лучший диэлектрик становится
немного проводящим под влиянием, например, космического
излучения. Поэтому Максвелл ввел полный ток, дополнив
ток смещения током проводимости
c = 6+j; B.5)
обозначение С (current) введено Максвеллом. Такое понимание
равноценности D и j есть принципиально новая идея Макс-
Максвелла, только благодаря которой стало возможным единое
представление всех электродинамических явлений. В метал-
металлическом проводнике Максвелл аналогично дополняет ток
проводимости j током смещения D, хотя ток проводимости
и является преобладающим в этом случае.
Перейдем теперь к магнитному полю. На магнитный
полюс т, помещенный в магнитное поле, действует механи-
механическая сила; вначале мы предполагаем полюс т изолирован-
изолированным. Той же буквой т обозначим магнитный заряд (силу
полюса), а его пока неопределенную размерность обозначим Р.
Отношение механической силы к магнитному заряду лучше
всего было бы назвать напряженностью магнитного поля.
Но в соответствии с общепринятой терминологией мы часто,
в особенности вначале, будем называть ее магнитной индук*
цией 3; ее размерность:

28 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
= 1L
Магнитный заряд Р
Сделаем еще одну уступку привычным представлениям
и используем связь между током и магнитным полем, устано-
установленную Ампером, систематическое рассмотрение которой
будет возможно только в § 16. Магнитное поле плоского
кругового контура с током J на большом расстоянии от
него совпадает с полем прямого постоянного магнита, уста-
установленного перпендикулярно к плоскости контура в месте
его расположения и имеющего магнитный момент
M = JF, B.6а)
где F—площадь, ограниченная контуром. Это соотношение,
которое служит в системе CGS для выражения силы тока
через характеристики магнитного поля, мы используем здесь
для определения размерности магнитного заряда в нашей
системе MKSQ. Положим
М = ml B.66)
(m •—-магнитный заряд, / — расстояние между полюсами
магнита), и из B.6а) получим
m-j4 = —— = ^. B-7)
/ сек м сек v y
Соотношение размерностей B.6) перейдет тогда в
? = - —. • B.8)
км v J
Как и в случае электрического поля, для полного описания
магнитного поля необходимо наряду с В ввести еще один
вектор, который обычно обозначается через Н. Мы не согла-
согласимся с общепринятым для Н названием „напряженность маг-
магнитного поля", которое, как мы уже видели, по праву при-
принадлежит вектору В, и назовем Н магнитным возбуждением.
В этом вопросе мы присоединяемся к Ми, давшему глубоко
продуманное изложение электродинамики 1). Называя Н маг-
J) G. Mie, Lehrbuch der Elektrizitat und desMagnetismus, 2 Aufl.,
Stuttgart, 1941, а также Handbuch der Experimentalphysik, Bd. XI,
Tejl I, Elektrodynamjk,

§ U. Основные характеристики элёктромагни'гного пдАЛ 20
нитным возбуждением, мы проводим аналогию между Н и
электрическим возбуждением D. Определим размерность Н
из соотношения, аналогичного B.4), для определения раз-
размерности D,
„ Магнитный заряд Р
Поверхность м2 ' \ • /
используя B.7), получаем
Н= к . B.9а)
м • сек v '
Такое представление оправдывает название Н, используемое
в технике, где И определяют как „число ампер-витков на
единицу длины". Это определение несколько тяжеловесно,
но гораздо целесообразнее названия „напряженность маг-
магнитного поля". Подробно об этом будет сказано в конце § 4.
Направление В в магнитном поле меняется от точки
к точке и наглядно может быть представлено магнитными
линиями индукции, форма которых отображается располо-
расположением железных опилок вблизи магнита. Магнитные линии
индукции были известны гораздо раньше соответствующих
электрических силовых линий. Выразительная картина сило-
силовых линий еще и сейчас способствует пониманию основных
идей теории поля. В воздухе или в другой изотропной среде
направления Н и В совпадают, и, следовательно, идентичны
и распределения линий этих векторов.
Упомянем еще о подразделении физических величин на
величины „силовые" (IntensitatsgroBe) и „количественные"
(QuantitatsgrOBe). К первому классу относятся Е и В, ко вто-
второму— D и Н. Величины первого класса отвечают на вопрос
„сколь сильно", вторые—на вопрос „как много". Так, на-
например, в теории упругости напряжение является „силовой
величиной", а соответствующее удлинение—„количественной";
в теории газов соответствующую пару величин образуют
давление и объем. Количественный характер D очевиден; эта
величина характеризует количество протекающих электри-
электрических зарядов. В случае Н положение вещей несколько
завуалировано тем, что не существует изолированных маг-
магнитных полюсов (см. § 3). Вообще мы склонны рассматривать
силовые величины как причину, а соответствующие количе-
количественные величины—как следствие этой причины.

SO Гл. t. Основные положения электродинамики МакСвелЛй
§ 3. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
После изложения этих весьма неполных предварительных
сведений мы перейдем к аксиоматическим основаниям тео-
теории Максвелла. Аксиомы электродинамики, так же как и
ньютоновские аксиомы механики, основываются на опыте,
точнее говоря, на обобщении всего комплекса опытных фак-
фактов в упрощенной идеализированной форме. Так, напри-
например, закон инерции в механике кажется весьма отличным
от того, что мы наблюдаем в частном случае на земных
телах. Точно так же физические величины, используемые
в этих электродинамических аксиомах, являются гораздо
более абстрактными и математически более общими, чем те,
которые измеряют на опыте посредством катушек, прово-
проволок и приборов со стрелками. Однако они, как и аксиомы
механики, являются лишь обобщением разнообразных опытов.
Прежде всего установим две основные аксиомы, к кото-
которым непосредственно будем присоединять дополнительные
аксиомы. Одну из них назовем законом индукции Фарадея
и по возможности будем трактовать ее на языке силовых
линий, введенных Фарадеем. Другую аксиому необходимо
связать с именем Ампера, поскольку он впервые сформули-
сформулировал связь между током и магнитным полем. Эксперимен-
Экспериментальное основание закона Ампера вполне определенно под-
подчеркивал сам Ампер г). Однако здесь мы будем излагать обе
аксиомы в универсальной форме; возможность такого изло-
изложения впервые обнаружил Максвелл.
Рассмотрим для этой цели произвольную поверхность а,
ограниченную контуром s. Выберем определенное направле-
направление обхода контура s; будем считать положительным то
направление нормали к поверхности а, которое образует
с направлением обхода контура правовинтовую систему.
Поверхностные интегралы по области а
fBndo и fcndc C.1)
назовем соответственно магнитным потоком и электри-
электрическим током через поверхность а. Для этих интегралов
1) В заглавии к собранию его трудов: La theorie analytique des
phenomenes electrodynamiques, unlquement dedulie de ['experience.
(Аналитическая теория электродинамических явлений, единствен-
единственным образом выводимая из опыта.)

§ 3. Уравнения Максвелла в интегральной форме 31
употребляются также названия: число ланий индукции и
число линий тока. Правда, это несколько смелые названия,
так как в соответствующих пучках содержится бесконечно
много линий. Прежде всего их следует объединить в трубки
(см. т. II, Механика деформируемых сред, стр. 170), а вих-
вихревые линии — в вихревые трубки. Трубки следует строить
так, чтобы их поперечное сечение было обратно пропор-
пропорционально длинам векторов В или С в рассматриваемом
месте. Тогда подсчет количества трубок индукции или тока,
пронизывающих поверхность а, приведет к тому же резуль-
результату, что и вычисление интегралов C.1).
Далее рассмотрим криволинейные интегралы по ограни-
ограничивающему а замкнутому контуру 5
§Eds и §Hds C.2)
и назовем их электрическим и магнитным напряжением
по замкнутому контуру (Ringspannung). Первый интеграл
издавна называется э. д. с. (электродвижущая сила); причем
под этим названием иногда подразумевают, конечно, не только
э. д. с. индукции, но и другие причины, вызывающие дви-
движение электрических зарядов, например „силы" термоэлек-
термоэлектрического и химического происхождения. В этом старом
названии в слово „сила" вкладывается понятие энергии.
Второй интеграл соответственно определяет магнитодвижу-
магнитодвижущую силу.
Замечательная особенность максвелловской теории состоит
в том, что э. д. с, которая у экспериментаторов издавна
имела смысл только для замкнутых металлических провод-
проводников, здесь определяется для совершенно произвольного
замкнутого контура, безразлично, проходит ли он через
проводник или диэлектрик, или же через части того и дру-
другого. Та же самая „геометрическая свобода" имеет место
и при определении магнитодвижущей силы для замкнутого
контура. В этом полностью обобщенном смысле сформули-
сформулируем теперь обе главные аксиомы, которые связывают вели-
величины, определенные выражениями C.1) и C.2). Они гласят:
±J Bnda = — |Erfs, C.3)
C.4)

32 Гл. 1. Основные положения электродинамики Максвелла
или словами: Всякое изменение числа линий магнитной
индукции, пронизывающих произвольную ограниченную
поверхность о, вызывает в ограничивающем ее контуре s
равную этому изменению, но противоположно (в смысле
знака винтовой системы) направленную электродвижущую
силу (закон индукции Фарадея). Уравнение C.4) форму-
формулируется следующим образом.
Если линии электрического тока пронизывают произ-
произвольную поверхность а, то в контуре s, ограничиваю-
ограничивающем а, существует магнитодвижущая сила одинакового
направления {также в смысле знака винтовой системы)
с линиями тока и равная их числу (закон Ампера).
Прежде всего убедимся, что равенства C.3) и C.4) между
электрическими и магнитными величинами справедливы
в смысле совпадения размерностей. Оба поверхностных инте-
интеграла, определенные выражениями C.1) (несмотря на их не-
некорректные в отношении размерности названия: число линий
индукции и число линий тока), имеют, согласно B.8) и B.4),
размерности
н- м • сек док ¦ сек к
и соответственно
к к сек
Последняя размерность, согласно B.9а), совпадает с размер-
размерностью криволинейного интеграла C.4). Дифференцирование
по времени первого интеграла в C.1) приводит к размер-
размерности дж/к, т. е. к размерности электрического напряжения
(выражаемого в вольтах) в согласии с правой частью урав-
уравнения C.3), Из этой проверки размерностей видно, как
проявляется наше принципиально различное понимание В
и Н и как при этом невозможно избежать введения особого
символа Q для размерности заряда.
Далее необходимо остановиться на знаках в уравнениях
C.3) и C.4). Они соответствуют правилам Ленца и Ампера.
Правило Ампера — не что иное, как правило правого винта,
с помощью которого мы связываем положительное напра-
направление нормали к поверхности а с направлением обхода по
контуру, ограничивающему эту поверхность. Часто употре-
употребляемые в учебниках „правило пловца" и „правило боль-
большого пальца" являются ненужной специализированной формой
общего правила винта. Чтобы доказать правило Ленца, пред-
представим Себе, что контур 5 в C.3) имеет вид круглого витка

§ 3. Уравнения Максвелла в интегральной форме 33
проволоки, а магнитный поток, пронизывающий поверх-
поверхность а в направлении п, создается линиями индукции, исхо-
исходящими из положительного полюса m постоянного прямого
магнита, отрицательный полюс которого достаточно удален
(см. фиг. 1). Если приближать прямой магнит к контуру s,
то магнитный поток будет возрастать и, следовательно,
левая часть уравнения C.3) будет положительной. Тогда
криволинейный интеграл справа, как показывает то же самое
уравнение, должен быть отрицательным. Направления э. д. с.
Ъд.с
Фиг. 1. Схема, поясняющая правило Ленца.
и соответствующего ей индукционного тока в проводнике s
(см. фиг. 1) образуют с направлением движения стержне-
стержневого магнита левовинтовую систему. Но по правилу правого
винта магнитное поле индукционного тока имеет направле-
направление, указанное на фиг. 1 стрелкой т'. Таким образом,
положительный „полюс" этого магнитного поля указывает
на направление, откуда приближается положительный полюс т
стержневого постоянного магнита. Это означает, что оба
полюса отталкиваются, индукционный ток препятствует дви-
движению индуцирующего магнита. Такова сущность правила
Ленца, которое гласит: возникающий индукционный ток пре-
препятствует нарушению равновесия, обусловленному движением
стержневого постоянного магнита.
Выше уже подчеркивалось, что наш контур 5 может
быть проведен совершенно произвольно; то же самое отно-
относится и к поверхности а, опирающейся на заданный замкну-
замкнутый контур s. Если представить себе две поверхности rt
и з2, опирающиеся на одну и ту же кривую s, то левые
части уравнений C.3) и C.4), вычисленные для о, и а2,
Должны быть равны. Но это значит, что при едином
3 Зак. РГ.Г4. А. Зоммерфельд

34 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
определении положительных направлений нормалей (я всегда
направлено наружу) для замкнутой поверхности, составлен-
составленной из ох и а2, левые части уравнений C.3) и C.4) равны нулю.
Тот же результат мы получим и другим путем: если замк-
замкнутую поверхность будем рассматривать как поверхность,
ограничивающий контур которой стянут в точку. Действи-
Действительно, из такого рассмотрения непосредственно следует,
что криволинейные интегралы в уравнениях C.3) и C.4)
равны нулю. Обозначая интеграл по замкнутой поверхности
символом Ф, имеем, следовательно,
^&ndo=*0 и §Cnda = 0, C.5)
причем, согласно B.5), последнее уравнение можно также
записать в виде
§f§nde=,a. C.5а)
Если поверхность а находится в непроводящей среде, то
ток проводимости j = 0, и поэтому
= 0. C.56)
В интегральной форме первое уравнение C.5) и уравнение
C.56) имеют вид
®Bnda = const, Ф Dnda = const. C.6)
Второе уравнение C.5) и уравнение C.5а) свидетельствуют
о том, что полный электрический ток по теории Максвелла
всегда замкнут, т. е. притекающий и выходящий токи
компенсируют друг друга. Линии тока, пронизывающие по-
поверхность а, замыкаются где-то вне ее. Магнитные сило-
силовые линии также всегда замкнуты; как известно, при деле-
делении магнита (или электромагнита) в каждом новом куске
возникают новые северный и южный полюсы, которые ком-
компенсируются в общем магнитном потоке. Отсюда следует,
что константа в первом уравнении C.6) должна быть равна
нулю, тогда как во втором уравнении она равна алгебраи-
алгебраической сумме е зарядов, заключенных внутри поверхности о,

§ 3. Уравнения Максвелла в интегральной форме 35
и, как следует из предыдущего, в непроводящей среде
должна быть постоянной во времени. Таким образом,
nda = Q, Ф Dnda~e, е = 2 е = const. C.6a)
Первое уравнение C.6а) выражает дополнительную аксиому,
т. е. следующее из опыта дополнение к прежним основным
аксиомам. Второе уравнение C.6а) согласуется с уравне-
уравнением B.36) и выражает постоянство во времени заряда
в непроводящей среде. Силовые линии поля D и совпадаю-
совпадающие с ними по форме линии поля Е исходят от положи-
положительного и оканчиваются на отрицательном заряде. Более
общее уравнение C.5а), частным случаем которого является
второе уравнение C.6а), по аналогии с гидродинамикой
может быть названо уравнением непрерывности. Используя
определение е из C.6а), получаем
т. е. количество электричества, заключенное в пространстве,
ограниченном замкнутой поверхностью о, может убывать,
вытекая через металлическую проводящую часть а.
Смысл первого уравнения C.6а), согласно Герцу, выра-
выражается словами: истинный магнетизм не существует х).
При этом исходят из предположения, казавшегося ранее
очевидным, что В является магнитным аналогом D. Но,
с нашей точки зрения, аналогом D является не В, а Н.
Поэтому мы будем связывать определение магнетизма,
в частности определение магнитного заряда т (см. § 7),
не с В, а с Н.
Применим теперь первое уравнение (З^ба) к области,
представляющей собой окрестность поверхности раздела
двух тел с различными магнитными характеристиками
(например, железо и воздух). В качестве замкнутой поверх-
поверхности а выберем поверхность очень низкой призмы (фиг. 2),
высота которой Ah очень мала по сравнению с линейными
размерами основания Д/. Пусть нижнее основание призмы
расположено, например, в железе, а параллельное ему верх-
верхнее основание—в воздухе. Тогда, поскольку Ah может
') Ср. примечание на стр. 11.
3*

36 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
быть сколь угодно малым, из C.6а) следует справедливое
с любой степенью точности соотношение
= 0, C-7)
где В' относится, например, к железу, В—к воздуху; нор-
нормали {п' в железе, п в воздухе) к обоим основаниям А/
направлены наружу. Из C.7) получаем, что
В'п> = —Вп и поэтому также В'п<=Вп, C.7а)
если п указывает теперь в обеих средах одно и то же
направление. Таким образом, установлено первое граничное
условие для магнитного поля: при переходе через границу
Воздух
ш....
Железо
Ф и г. 2. К доказательству не-
непрерывности Вп на границе
Воздух.
Ф и г. 3. К доказательству не-
непрерывности Н8 на "границе
двух сред из условия ф Bnda = 0. двух сред из условия ф(Н ds) = 0.
между двумя средами с различными магнитными характе-
характеристиками нормальная составляющая индукции В непре-
непрерывна.
Покажем, что тангенциальная составляющая напря-
напряженности магнитного поля Н также непрерывна. Для
доказательства рассмотрим очень узкий прямоугольный
контур s (фиг. 3), высота которого АЛ перпендикулярна
к поверхности раздела, а сторона As параллельан этой
поверхности; причем Д/г<^Д^, и в пределе при АЛ—>>0
площадь контура \а = АЛ • As стремится к нулю. Восполь-
Воспользуемся уравнением C.4), предположив, что плотность тока
(направленная в данном случае параллельно поверхности
раздела) не становится бесконечно большойх). Тогда по-
1) Этот предельный случай имеет место (даже как правило) для
токов высокой частоты в хороших проводниках. Тогда Яь. терпит
разрыв, а нормальная составляющая вектора В исчезающе мала.

§ 3. Уравнения Максвелла в интегральной форме 37
лучим
O = (H'a>-\-Ha)bs, C.8)
т. е.
Hs> =—Hs, откуда также H8 = HS, C.8а)
где s опять означает одинаковое направление в обеих сре-
средах.
Используя точно такой же контур и проводя те же
рассуждения, но только для сред с разными электриче-
электрическими характеристиками, из закона индукции Фарадея C.3)
получим, что вдоль поверхности раздела обеих сред тан-
тангенциальная составляющая электрической напряжен-
напряженности Е непрерывна, т. е.
Е'а = Е„. C.9)
Отсюда нельзя, однако, сделать никакого вывода о по-
поседении нормальной составляющей вектора Е. Из соот-
соотношений C.6а) не следует даже, что нормальная соста-
составляющая D (в противоположность В) должна быть непре-
непрерывна. Именно если Dn обнаруживает разрыв на поверхности
раздела двух сред с различными электрическими свойствами
(например, стекла и воздуха) или на любой другой поверх-
поверхности, то это будет означать, что на данной поверхности
находится поверхностный заряд. Обозначая поверхностную
плотность электрических зарядов через со (размерность
к/м2), можно записать количество электричества, содержа-
содержащееся в призме (см. фиг. 2) при предельном переходе
А/г—>0, в следующем виде:
ё"=и>Д/. C.10)
Тогда из второго соотношения C.6а) но тем же соображе-
соображениям, которые приводились при выводе уравнений C.7) и
C.7а), получим
(D^+DJA/=coA/. C.10a)
Если перейти к единому направ!ению нормали п, то это
уравнение примет вид
Dn — D't^w. C.11)

38 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
Разрыв нормальной составляющей D на некоторой гра-
граничной поверхности означает, что рассматриваемая по-
поверхность несет на себе поверхностный заряд; величина
скачка непосредственно дает поверхностную плотность
заряда.
В заключение из уравнения C.66) и принимая во вни-
внимание фиг. 2 и соотношение C.10), получим следующее
выражение, относящееся к поверхности раздела между про-
проводником и диэлектриком:
?+/. = 0. C.12)
Таким образом, если в проводнике возможен электрический
гок, то поверхностный заряд уменьшается. В электростати-
электростатическом случае поле внутри проводника отсутствует (D —0,
j=0), поэтому уравнение C.12) тождественно выполняется,
а C.11) преобразуется к виду
o> = Dn. C.12а)
В статическом поле проводники имеют поверхностный
заряд, который является функцией координат м_ опре-
определяется нормальной составляющей вектора D.
§ 4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ФОРМЕ И МАТЕРИАЛЬНЫЕ КОНСТАНТЫ ТЕОРИИ
Мы перейдем теперь от интегральной формы уравне-
уравнений к дифференциальной; для этого будем считать, что
используемый в интегральной записи контур s, а следова-
следовательно, и опирающаяся на него поверхность а могут быть
сделаны сколь угодно малыми. Обозначая такие поверх-
поверхности через Да, в пределе можно положить
J Bnda = \aBn, j"Cnda = baCn. D.1)
Напомним, далее, определение векторной операции «ротор»
(rot) как предел интеграла по замкнутой кривой [(см. т. II).
Механика деформируемых сред, уравнение B.21)]. Согласно
этому определению, для бесконечно малого контура получим
& E8d8=ka rot^E, & Н8 d§ = Да rotnH. D.2)

§ 4. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 39
Продиференцируем по времени обе части первого соот-
соотношения D.1). При этом будем предполагать поверх-
поверхность Да фиксированной, что вполне естественно для
покоящейся среды, рассмотрением которой мы пока огра-
ограничимся. В этом случае имеем
B = -^-. D.3а)
В то же время второе соотношение D.1), согласно B.5),
можно записать в виде
ад, 6=-^-. D.36)
Используя соотношения D.2), D.3а), D.36), из двух основ-
основных аксиом C.3) и C.4) после сокращения на общий для
всех членов множитель До получаем два векторных (общий
индекс п нами просто опускается) дифференциальных урав-
уравнения *).
В^ — rotE,
D.4)
D-fj = rotH. V
Необычайно важное значение, обширная, как мир, область
применения и изумительная красота этих уравнений побу-
побудили Больцмана2) процитировать; «War es ein Gott, der
diese Zeilen schrieb .. .» 3)
x) Второе уравнение D.4) называют обычно «первой тройкой
уравнений Максвелла», а первое уравнение — «второй тройкой».
Мы предпочитаем придерживаться той последовательности, которая
принята в этом тексте, так как, с нашей точки зрения, «силовые»
величины Е, В, как более наглядные, следует ставить на первое
место. Преимущество нашей нумерации отмечается также в § 7,
в котором показано, что электростатика представляет собой особый
случай первого, а магнетостатика—особый случай второго уравне-
уравнения D.4). Поскольку было бы нецелесообразным излагать магнето-
статику раньше более простой электростатики, то и нумерация
уравнений Максвелла, отличная от нашей, кажется нам также
нецелесообразной.
2) Эпиграф к его второму тому «Vorlesungen fiber Maxwells
Theorie der Elektrizitat und des Lichtes», Mfinchen, 1893. Применен-
Примененный здесь способ записи, несколько отличающийся от избранного
Больцманом (векторная форма вместо координатной), очевидно,
только подчеркивает красоту и простоту уравнений,
3) «То был бог, кто написал эти строки...»

40 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
К этим уравнениям присоединим дополнительные аксио-
аксиомы: первое соотношение C.6а), относящееся к В, и второе
соотношение C.6а), выражающее связь D с зарядом.
Согласно дифференциальному рассмотрению, к которому
мы перешли, представим себе, что заряд распределен не-
непрерывно. Именно, -будем говорить не о зарядах е, скон-
сконцентрированных в точке, а о конечной объемной плотности
заряда р, так что элемент объема Дт, стремящийся к пулю,
содержит бесконечно малый заряд
Де =— рДх.
Вспомним теперь о векторной операции «дивергенция» (div)
и ее определении в виде предела пространственного инте-
интеграла *) [т. II, Механика деформируемых сред, уравне-
уравнение B.20)]. Для наших целей запишем это определение
в виде
lim -г- ф Вп da = div В \iin: Л) Dn do ~ div D
и из уравнений C.6а) и C.66) после сокращения на мно-
множитель Дх получим дополнительные дифференциальные
х) Введенная здесь пространственная дивергенция может быть
сопоставлена с поверхностной дивергенцией. Под этой операцией
подразумевается результат интегрирования по поверхности призмы
с основанием А/ и произвольно малой высотой, деленный на А/
(см. фиг. 2). Согласно уравнению C.7) и определенным там направ-
направлениям нормалей, поверхностная дивергенция какого-либо вектора,
например А, равна
Ап'+Ап- <4.4г)
Следовательно, согласно уравнениям C.7а) и C.10а), поверхност-
поверхностная дивергенция от В равна нулю, а поверхностная дивергенция
от D равна поверхностному заряду.
Аналогично можно сопоставить пространственный ротор с опе-
операцией поверхностного ротора. Под этой операцией понимается
результат интегрирования [см. фиг. 3 и уравнение C.8)] но прямо-
прямоугольнику с основанием As и с исчезающе малой высотой, деленный
на As. Следовательно, согласно уравнению C,8), поверхностный
ротор любого вектора А есть
Л'+Лг D,4 д)
Он равен скачку А на рассматриваемой поверхности.

§ 4. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 41
условия:
divB=O, D.4а)
divD = p, D.46)
~+divj=-O. D.4в)
Уравнения D.4), D.4а)—D,4в) представляют собой основ-
основную «раму», в которую вписываются все электродинами-
электродинамические явления. Однако в эти уравнения входят пять векто-
векторов Е, D, j, В, Н, т. е. всего 15 неизвестных функций
пространства и времени (скаляр р сводится с помощью D.46)
и D.4в) соответственно к векторам D и j). Для определения
этих функций у нас есть только два векторных уравне-
уравнения D.4), т. е. всего шесть дифференциальных уравнений.
Наша рама оказывается слишком широкой; мы должны ее
ограничить, чтобы суметь разглядеть в ней связную электро-
электродинамическую картину. С этой целью необходимо привлечь
материальные электромагнитные константы. Мы рассмо-
рассмотрим их в такой последовательности: проводимость, диэлек-
диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость.
А. Проводимость и закон Ома
Плотность тока j зависит от величины напряженности
электрического поля Е, действующего в проводнике. Мы
допустим, что эта зависимость линейна
j=oE D.5)
и назовем действительную положительную постоянную а
электрической проводимостью. Уравнение D.5) выражает
закон Ома для единицы длины проводника, по которому
течет стационарный ток. Чтобы убедиться в этом, выразим j
через полный ток J=gj (q—сечение проводника) и умно-
умножим D.5) на длину проводника. Тогда получим
I /?=• = Сопротивление,
| 4° v
RJ=V\ ~ i D.5a)
I V-~ IE = Г Е ds —- Напряжение.

42 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
Понятие «напряжение» ввел еще Вольта, а понятие «сопро-
«сопротивление»— впервые Ом в 1827 г. Для нас закон Ома
означает введение материальной константы а. Ее размер-
размерность, согласно D.5), равна
К2 К? /л ел
с = —о = ¦=—. D.56)
м*• сек-н м- сек• док ч '
Проводимость с можно трактовать, согласно D.5а), как
величину, обратную удельному электрическому сопротив-
сопротивлению, т. е. сопротивлению призмы длиной 1=1 м и сече-
сечением <7=1 м2. В соответствии с D.5а) и D.56) сопроти-
сопротивление имеет размерность
г, дж • сек / л с \
R=—-г D.5в)
Известно, что единицей сопротивления в практической
системе является ом; 1 ол*=109 CGS эл.-магн. ед. сопро-
сопротивления. Эта единица непосредственно совпадает с едини-
единицей сопротивления в нашей системе MKSQ, если, как
уже было условлено, заряд Q выбирать равным \к =
= Vio CGS эл-магн. ед. заряда. В самом деле, тогда
1 дж - сек/к2 = 107 эрг • сек/к2 =
= 109 CGS эл.-магн. ед. = 1 ом. D.5г)
Закон Ома справедлив лишь в макрофизике, но не пригоден
для амперовских молекулярных токов, движения электронов
в атоме, для ларморовской прецессии. Катодные лучи
в вакуумной трубке также представляют собой электрический
ток без сопротивления.
Б. Диэлектрическая проницаемость
Электрическая индукция D зависит от величины напря-
напряженности электрического поля Е. Примем эту зависимость
линейной
D = eE D.6)
и назовем действительную положительную постоянную е
диэлектрической проницаемостью. Ее размерность, согласно
B.4) и B.1), равна
л:2
е.= —%—. D.6а)
м • док к '

§ 4. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 43
Диэлектрическую проницаемость вакуума обозначим через е0.
Размерность ее также выражается соотношением D.6а).
Как уже указывалось в § 2, для вакуума справедливо соот-
соотношение
D = e0E. D.66)
Кроме того, всегда е > е0.
В. Магнитная проницаемость
Между обоими магнитными векторами Н и В также
существует зависимость, которую примем в первом прибли-
приближении линейной. Мы охотно написали бы эту зависимость
в форме
Н = jj/B,
поскольку мы рассматриваем Н как аналог D, а В — как
аналог Е. Но, к сожалению, мы должны следовать обще-
общепринятой форме записи:
B = jxH. D.7)
Постоянная вещества ja называется магнитной проница-
проницаемостью, и, согласно B.8) и B.9а), она имеет размерность
дж сек2 /л т \
ii = —s . D.7а)
Такое непоследовательное введение а по сравнению с D.6)
приводит, естественно, к тому, что в дальнейших формулах,
например в законе Кулона *), на месте е появляется не ji,
а множитель jj/ — величина, обратная ;а. Для вакуума можно
записать
D.76)
где ;j0 имеет размерность, определяемую соотношением D.7а).
Для парамагнитных тел \i > u0, для диамагнитных \i < \i0.
Соотношения D.5)—D.7) не имеют той степени достовер-
достоверности и общности, как уравнения Максвелла D.4). Уже
давно известны ферромагнитные вещества, где вместо
*) Здесь имеется в виду закон Кулона для фиктивных магнит-
магнитных зарядов. — Прим. ред.

44 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
линейной зависимости D.7) имеет место общая функцио-
функциональная зависимость
В^В(Н, Т),
где Т—абсолютная температура. Подобно ферромагнетикам
ведет себя в диэлектрическом отношении сегнетова соль 1),
в поведении которой также обнаруживаются явления насы-
насыщения и гистерезиса.
У парамагнитных тел отклонение от линейности наблю-
наблюдается лишь в чрезвычайно больших полях при крайне низ-
низких температурах. Отклонение от линейного закона Ома
следует ожидать при очень сильных электрических полях;
само собой разумеется, что этот закон не выполняется
в сверхпроводниках. Кроме того, простая пропорциональ-
пропорциональность между парами векторов в уравнениях D.5)—D.7)
справедлива только для изотропных тел. В кристаллах
вместо нее появляется общая зависимость в виде линейной
векторной функции [см. т. II, Механика деформируемых
сред, уравнение A.10)]. На этом основаны разнообразные
и привлекательные явления кристаллооптики, о которых
будет написано в т. IV (Оптика).
Напротив, общие уравнения D.4) справедливы также
для анизотропных тел. Более того, они остаются справед-
справедливыми даже при всех новейших предположениях обобщен-
обобщенной электродинамики, которые относятся к чрезвычайно
сильным полям (такие поля должны, например, иметь место
вблизи электрона). Но в конечном счете влияние этих полей
сводится опять-таки к замене линейной зависимости D.6)
более общей зависимостью между D и Е (см. предпоследний
параграф настоящего тома). Более глубокая причина исклю-
исключительной живучести открытых Максвеллом уравнений, как
мы узнаем далее, заключается в их инвариантных свойствах,
о которых будет идти речь только в гл. III.
Мы говорили о необходимости сузить рамки электро-
электродинамического рассмотрения. Теперь мы можем это сделать,
используя, в частности, простую линейную зависи-
зависимость D.5)—D.7) и считая величины с, е, и не зависящими
1) Она называется также ларошелевой солью. Соль названа по
фамилии Сегнет—аптекаря во французской крепости Ларошель.
Она представляет собой калиево-натриевую соль винной
кислоты КООС • СНОН • СНОН • COONa • 24Н2О.

§ 4. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 45
от времени t (ограничиваемся случаем покоящейся среды).
После подстановки D.5)—D.7) в D.4) получим
дН , „
и . тг\т г*
1 dt
/Л Q\
д ,
т. е. шесть совместных дифференциальных уравнений
первого порядка для шести неизвестных составляющих Е
и Н. Таким образом, перед нами возникает полностью опре-
определенная математическая задача *).
Условия D.4а)—D.4в) после подстановки соотноше-
соотношения D.5)—D.7) примут вид
divjxH = O, D.8а)
diveE = p, D.86)
0. D.8в)
Уравнение D.8а) является дополнительным ограничи-
ограничивающим условием к уравнениям Максвелла; D,86) является
уравнением для определения р, уравнение D.8в) следует
из второго уравнения D.8), если взять дивергенцию от
обеих его частей. Простейшее решение уравнения D.8в)
получим, если приравняем нулю выражение в квадратных
скобках; в этом случае решение представляется экспонен-
экспоненциальной функцией
где Ео — произвольная функция координат. Положим
7 = Тг D.9а)
и назовем Тг временем релаксации проводника". Как и сле-
следовало ожидать, эта величина имеет размерность времени,
согласно D.56) и D.6а). Значение Тг для проводников,
обладающих большой проводимостью, составляет очень
1) Конечно, уравнения D.8) можно было бы записать в виде
уравнений между Е и В или, например, между D и Н. Но форма
записи уравнений D.8), используемая в тексте, общепринята и,
вообще говоря, наиболее удобна.

4б Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
малые доли секунды. Поле в проводнике всюду убывает
со временем по экспоненциальному закону, и оно известно,
если задано Ео.
Мы могли бы присоединить сюда уже известные нам
условия на границе двух сред с различными электромагнит-
электромагнитными свойствами. Но для того, чтобы можно было исполь-
использовать дифференциальную форму максвелловских уравнений,
необходимо предположить, что переход между обеими сре-
средами осуществляется непрерывно, т. е. говорить о «погра-
«пограничном слое» вместо «граничной поверхности». Этим мы
займемся в задаче 1.1, причем убедимся, что вывод урав-
уравнений C.7)—C.12) будет в данном случае менее наглядным,
чем при использовании максвелловских уравнений в инте-
интегральной форме.
То же самое имеет место и в других задачах, отли-
отличающихся особой симметрией. Таким образом, хотя при
общем рассмотрении максвелловекой теории необходимо
исходить из дифференциальной формы уравнений, в спе-
специальных задачах может оказаться более полезным
использование интегральной формы этих уравнений.
В качестве примеров приведем следующие две фунда-
фундаментальные задачи, которые в конце книги в задачах 1.2
и 1.3 будут рассмотрены также и дифференциальным
методом.
1. По бесконечно длинному цилиндрическому проводнику
кругового сечения протекает постоянный ток, равномерно
распределенный по сечению. В обратном направлении рас-
распределенный таким же образом ток течет по проводящему
полому цилиндру, который коаксиален с первым цилиндри-
цилиндрическим проводником. Необходимо определить магнитное
поле Н внутри проводника, внутри полого цилиндра и
в пространстве между ними.
2. По бесконечно длинной катушке с плотно намотан-
намотанными витками течет постоянный ток, также равномерно
распределенный по сечению провода. Необходимо опре-
определить магнитное поле Н в любой точке внутри ка-
катушки.
К задаче 1. Пусть а—радиус проводника, b и с—внутрен-
с—внутренний и внешний радиусы полого цилиндра. Введем правую
систему координат, причем ось z направим по оси провод-
проводника. Условимся, что ток в проводнике имеет направле-

§ 4. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 47
ние, совпадающее с положительным направлением оси z,
а в полом цилиндре—с отрицательным. Пусть ток равен J
и соответственно —J:
J=Tza2jz, —J=7z(c2 — i
Из симметрии задачи следует, что
Н не зависит от <р и направлено
в сторону возрастания о. Запи-
Запишем Ну = Н и возьмем циркуля-
циркуляцию Н по окружности радиусом
г = const в произвольной плоскости
сечения проводника. Так как ток
смещения всюду равен нулю (рас-
(рассматривается стационарная задача),
то получим
О
2тш
a*J'
D.10)
J
D.11)
Фиг. 4. Магнитное поле
Ну = Н внутри провод-
проводника, в воздушном про-
пространстве между провод-
проводником и коаксиальным
полым цилиндром с об-
обратным направлением
тока в проводящей стен-
стенке цилиндра.
Ь<г<с:
Н,
J
2-кг ся—0»'
c<r:
D.12)
D.13)
Граничные условия для Н на поверхности проводника г = а
и на поверхностях цилиндра г = 6, с выражаются уравне-
уравнениями D.10) и D.13). Распределение Я наглядно представ-
представлено на фиг. 4.
К задаче 2. Выберем правовинтовую систему г, ср, z,
и ось z направим по оси катушки. При достаточной длине
катушки и при достаточной плотности витков магнитные
силовые линии вне катушки отсутствуют. Ток J направлен
в сторону возрастания ср, поле Н—в положительном на-
направлении оси z- Покажем, что Hz = H внутри катушки
имеет постоянное значение.

48 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
Для этого рассмотрим циркуляцию Н по контуру прямо-
прямоугольной формы (фиг. 5), длина которого в направлении
оси z равна /. Плоскость, ограниченная контуром, пересе-
пересекает Nxl витков, где N1—число витков на единицу длины
катушки. Поскольку Нг = 0 внутри и вне катушки,
а также Нг = 0 вне катушки, то ин-
интеграл отличен от нуля только для
одной стороны контура. Следова-
Следовательно,
Hl = NxU, Н = Ы^. D.14)
Таким образом, магнитное поле Н
внутри катушки выражается через
число ампер-витков на единицу дли-
длины Л/^У. Отсюда становится ясным
смысл определения И, используемого
обычно в технике (см. стр. 29). Со-
Согласно D.14), величина Н не зависит
от г, т. е. И постоянно во всем
внутреннем пространстве катушки.
Фиг. 5. Магнитное поле
Н внутри бесконечно
длинной катушки.
§ 5. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
И ВЕКТОР ПОЙНТИНГА
Умножая первое уравнение D.4) скалярно на Н, а вто-
второе скалярно на Е и затем складывая оба уравнения,
получаем
(НВ)-Ь (ED)-HEj) = (Е rot Н) — (Н rot E). E.1)
Преобразуем теперь правую часть E.1), используя тождество
(BrotA) —(ArotB) = div[ABJ, E.2)
где А и В — произвольные векторы.
Легче всего доказать равенство E.2), ежодя символи-
символический оператор V—„набла"
дх l J ду
и учитывая, что дивергенция некоторого вектора предста-
представляет собой скалярное произведение этого вектора на век-
вектор V, а ротор — соответствующее векторное произведе-
произведение. Тогда
div [АВ] = (V [АВ]) = (VА [АВ])+ (Ув [АВ]), E.2а)
rotB = [VB[. E.26)

§ 5. Закон сохранения энергии и вектор Йойнтинга 49
В E.2а) индексы А и В означают, что оператор V дей-
действует соответственно лишь на вектор А и на вектор В.
Если использовать правило циклической перестановки век-
векторов в двойных произведениях, то из E.2а) следует
div [АВ] = (В [VA]) + (A [BV]) = (В [VA]) — (А [V В])- E.2в)
Правая часть этого выражения, согласно E.26), равна левой
части E.2в). Таким образом, E.2) совпадает с E.2в). Это
доказательство равенства E.2) является сокращенной записью
непосредственных, но весьма громоздких вычислений в прямо-
прямоугольных координатах х, у, z.
Если теперь в E.2) положить В = Е, А = Н и обозна-
обозначить для краткости
S = [EHJ, E.3)
то уравнение E.1) примет вид
(HB)-f (ED)+(Ej)+divS = O. E.4)
Это уравнение называется уравнением Пойнтинга 1,
a S — вектором Пойнтинга. Покажем, что вектор S имеет
смысл потока энергии.
Прежде всего разберем вопрос о размерностях каждого
члена в уравнении E.4). Два первых члена E.4), согласно
B.9а) и B.8) и соответственно B.1) и B.4), имеют раз-
размерность
н дж „ .
—9 = —s = Энергия в единице объема за единицу вре-
м2 • сек м* • сек F мм ч-» v
мени. E.4а)
Третий член, как это и должно быть, имеет ту же самую
размерность [см. B.1) и B.4а)]. Вектор Пойнтинга S,
согласно B.1) и B.9а), имеет размерность
дж _
—у — Энергия через единицу поверхности за единицу времени.
E.46)
Отсюда ясно, что после операции дивергенции, кото-
которая означает дифференцирование по пространственным
г) Н. А. ,Умов получил аналогичное уравнение для передачи
энергии упругой волной в 1874 г. до того, как уравнение E.4) было
выведено Дж. Пойнтингом A884 г.).— Прим. ред.
4 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

50 Гл. 1. Основные положения электродинамики Максвелла
координатам, размерность четвертого члена в уравнении
E.4) будет определяться соотношением E.4а).
Мы видим, что электрическая единица кулон не входит
в E.4а) и E.46). Он своевременно покидает общество меха-
механических единиц м, кг, сек. С подобным обстоятельством
мы неоднократно встретимся и в дальнейшем при рассмо-
рассмотрении размерностей, когда ре 1ь будет идти о чисто меха-
механических величинах, не зависящих от выбора электрических
единиц.
Перейдем теперь к рассмотрению физического смысла
отдельных членов в уравнении E.4). Легче всего опреде-
определить его для третьего члена этого уравнения. Он харак-
характеризует работу, совершенную электрическим полем в единице
объема за единицу времени над протекающим электри веским
зарядом. Эта работа, вообще говоря, переходит в тепло и
называется джоулевым теплом. Обозначим ее через Wj,
в то время как буквой W (Work — работа), которую Макс-
Максвелл употреблял для обозначения полной энергии, будем
обозначать плотность энергии. Итак, имеем:
Wj = (Ej). E.5)
Оба первых члена в E.4), как сейчас будет показано,
являются производными по времени от плотностей маг-
магнитной и электрической энергий. Следуя Максвеллу,
дадим определение плотностей энергий:
иРт = 1(НВ), We = ±(ED). E.6)
Такое определение предполагает, что энергия локализо-
локализована в поле; каждому элементу объема dx приписывается
определенное количество электрической и магнитной энер-
энергии Wedz и Wmdx. Это является первым шагом в приме-
применении понятия энергии к кругу представлений теории поля.
Множитель х]2 в обеих формулах E.6) ясно указывает
на непрерывность процесса накопления энергии, что напо-
напоминает процесс растяжения пружины. Именно в соответ-
соответствии со схемой (Сила) X (Элемент пути) = („Силовая"
величина) X (Изменение „количественной" величины) имеем

§ S. Закон сохранения ШёргШ и вектор ПойнТиНга 51
что при линейной зависимости между Е и D действительно
приводит к E.6). Несколько иначе обстоит дело с магнит-
магнитной энергией. Здесь по уравнению Пойнтинга E.4) мы
должны написать
Wm= f(HB)dt = f(HJB). E.6a)
С точки зрения нашей общей систематики (В—^силовая"
величина, Н—„количественная" величина) было бы есте-
естественно предположить, что плотность магнитной энергии
выражается не соотношением E.6а), а скорее формулой
E.66)
При лилейной зависимости между Н и В это соотношение
приводит, конечно, снова к E.6), но при отсутствии линей-
линейной зависимости получается неверный результат, отличный
от выражения, i (H dB), вытекающего из уравнения Пойн-
Пойнтинга. Отсюда необходимо заключить, что представление ра-
работы в виде произведения („Силовая" величина) X (Изменение
„количественной" величины) необязательно.
Ми, который придерживается одинаковой с нами точки
зрения относительно трактовки В и Н, в своем превосход-
превосходном (упомянутом в § 2) учебнике ссылается на следующую
механическую аналогию. Движущееся тело обладает прихо-
приходящимся на единицу объема импульсом р („силовая" вели-
величина). Необходимая для ускорения сила, приходящаяся на
единицу объема, равна dp/dt, следовательно, работа соста-
составляет
(f4
(dpv) = (v dp).
Это — произведение типа (HdB), т. е. произведение „коли-
„количественной" величины, на изменение „силовой" величины х).
При таком рассмотрении магнитная энергия является
аналогом кинетической энергии в механике. Подобный
1) При элементарной зависимости р от v, т. е. р = Мх, и
постоянной массе всегда будет выполняться соотношение dpv — p d\.
Но если масса зависит от времени и, в частности, от скорости,
как это имеет место в релятивистской теории, то такое соот-
соотношение уже- несправедливо. В этом случае форма dpv как
выражение изменения энергии неизбежна,
4*

Ь1 Гл. 1. Основные положения электродинамики МаксвелЛй
параллелизм встретится нам в электронной теории. В ана-
аналогии Гельмгольца между вихрями жидкости и электри-
электрическим током магнитная энергия также соответствует кине-
кинетической энергии жидкости; так же обстоит дело и в нашей
квазиупругой модели эфира (см. т. II, Механика дефор-
деформируемых сред, § 15).
Поскольку при написании формул E.6) мы ссылались на
Максвелла, то необходимо, конечно, добавить, что у него
вследствие использования другой системы единиц, вместо х\г
в этих формулах стоял множитель 1/8tz, который и перешел
затем в большую часть литературы. Очевидно, присутствие
множителя Ve77 B противоположность множителю х\г не
может быть наглядно истолковано и обусловлено лишь
историческими причинами.
Далее, необходимо показать, что входящие в уравне-
уравнение E.4) выражения (НВ) и (ED) совпадают с производ-
производными по времени от плотностей энергий, определенных
формулами E.6). Из E.6) имеем
#e = |(ED) + |(ED). E.6в)
Оба члена в E.6в) равны друг другу прежде всего в изо-
изотропной среде, где D = sE. Но они равны и в анизотроп-
анизотропных кристаллах, для которых простая пропорциональ-
пропорциональность между D и Е заменяется „линейной векторной функ-
функцией" (см. стр. 44):
к
Используя эту зависимость, вычислим оба члена в E.6в)
2 Efti = 2 Е% 2 ЧкЁк,
i г к
2 EkDk = 2 Ек 2 гмЕг = 2 Ег 2 ЧгЕк-
к hi i к
Оба выражения равны друг другу, так как независимо от
симметрии кристалла должно выполняться условие 1)
eift = sfti. E.6г)
1) Это условие, накладываемое на совершенно произвольные
коэффициенты е^, является необходимым, так как только при его
выполнении работа (Е dD), произведенная в единице объема, будет
полным дифференциалом. В противном случае плотность электри-

§ 5. Закон сохранения энергии и вектор Пойнтинга 53
Поэтому из E.6в) следует, что в анизотропной среде,
так же как и в изотропной,
W; = (ED). E.6д)
То же самое справедливо для плотности магнитной энергии
как в изотропной среде (пропорциональность между Н и В),
так и в магнитных кристаллах (линейная векторная функ-
функция, для которой \iik = jj^), а именно
Wm = \ (НВ) + у (НВ) = (НВ). E. бе)
Учитывая E.5), E.6д) и E,бе), запишем теперь E.4) в виде
#ivS = —-Wj, W=We-\-Wm. E.7)
Уравнение Пойнтинга, записанное в такой форме, выражает
энергетический баланс в электромагнитном поле. Джоулево
тепло, являющееся потерей энергии, мы записываем справа.
Выражение, стоящее слева, соответствует обмену энергией
между рассматриваемым элементом объема dx и соседними
элементами. Чтобы показать это яснее, проинтегрируем
уравнение E.7) по объему. Именно, используя формулу
Остроградского — Гаусса, получим
f E.7a)
ческой энергии не была бы функцией состояния вопреки посту-
постулируемому свойству абсолютно твердых тел. (В реальных телах
возникают явления гистерезиса, при которых понятие функции
состояния становится сомнительным.) Совершенно аналогичные усло-
условия имеют место и в случае упругих тел (см. т. II, Механика
деформируемых сред, стр. 94 и 359).
В кристалле We представляет собой общую положительную
форму второй степени относительно Е{, а не простую сумму квадра-
квадратов, как в изотропной среде. Принятая в тексте запись плотности
энергии в виде скалярного произведения, очевидно, предпочтительна
для кристалла. Но она необходима для выражения We и в изотроп-
изотропной среде в случае, когда Е и D могут иметь неодинаковое напра-
направление.
В противоположность We и Wm величина Wj не является функ-
функцией состояния. Поэтому в кристаллических проводниках нельзя
гарантировать выполнение условия зг-& = a^; оно может выполняться
лишь при особой симметрии кристалла.

54 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
Отсюда очевиден смысл S как плотности потока энер-
энергии через поверхность, ограничивающую рассматриваемый
объем.
Введя это понятие, Пойнтинг вышел за рамки максвел-
ловского представления о локализации энергии. Теперь мы
можем знать не только о том, сколько энергии находится
в данном месте, но также и о том, куда она уходит и откуда
прибывает (при обратном знаке S).
В идеальном диэлектрике правая часть уравнения E.7)
исчезает и оно принимает такой же вид, как уравнение
непрерывности в гидродинамике Кем. т. II, Механика дефор-
деформируемых сред, уравнение E.4)], где W стоит вместо
гидродинамической плотности р, a S вместо pv. Если про-
продолжить дальше аналогию с гидродинамикой, то можно
сказать, что энергия в диэлектрике течет не как несжимаемая
жидкость, а как сжимаемая. В проводнике, кроме того,
энергия убывает соразмерно выделяющемуся в каждом
элементе объема количеству тепла.
В оптике S играет главную роль, как вектор излучения;
излучение и поглощение, отнесенные к данному элементу
поверхности da, отличаются знаком S (положительный и отри-
отрицательный знаки соответственно).
Из механики известно, что закон сохранения энергии
не только лежит в основе физических явлений, но также
является весьма полезным математически как первый интеграл
уравнения движения. Нечто подобное.относится и к закону
сохранения энергии в электродинамике. Из него вытекает
однозначность решения * максвелловских уравнений при
заданных начальных условиях и при соответствующих
краевых условиях на границе области.
Доказательство, как обычно, проводят от противного:
допускают, что существуют два решения, берут их раз-
разность и приходят при этом к противоречию.
Пусть имеются два решения Ех, Нх и Е2, Н2 (тогда,
согласно § 4, соответствующие векторы D и В также
известны).
Положим
E-=E! — E2 и Н*=НХ— Н2. E.8)
Поскольку уравнения Максвелла линейны, то Е и Н, так же
как Ev Ht и Е2, Н2, будут решением этих уравнений. Поэтому

§ 5. Закон сохранения энергии и вектор Пойнтинга 55
формально Е и Н удовлетворяют уравнению Пойнтинга,
записанному, например, в форме E.7а). Однако поскольку
входящие в уравнение E.7а) величины W, S, Wj представляют
собой квадратичные формы, они составляются не просто
из соответствующих величин полей 1 и 2, а содержат
смешанный член из величин 1 и 2. Покажем это на примере
величины We, причем для краткости будем предполагать
изотропность среды:
ш — J_ (FIT* — — F2 ¦ — (F FM2 (Ъ Ц\
т. е.
Последний член в правой части является смешанным,
два первых члена, как нам известно, имеют смысл электри-
электрической энергии полей 1 и 2. Однако развернутое выраже-
выражение E.9а) нам не понадобится, и в дальнейшем мы будем
ссылаться на формулу E.9). Если добавить величину Wm
и перейти к случаю анизотропной среды, то можно сказать,
что общая величина W в E.7а) является существенно поло-
положительной квадратичной формой, образованной из состав-
составляющих Е и Н, представляющих собой разности полей.
То же самое относится и к величине Wj. Наконец, величина S
(не касаясь появляющегося в развернутом выражении сме-
смешанного члена) является векторным произведением [ЕН],
образованным из векторов разностей полей.
Объем, по которому в E.7а) производится интегрирова-
интегрирование, может быть составлен из ряда областей а, Ь, ..., j, ...
с различными, вообще говоря, константами е, \х, а. Заметим,
что если W и Wj заменить через 5 W, 2Wj,to, согласно
i з
предыдущему, они никогда не могут быть отрицательными,
так же как W в отдельной области. Рассматривая выра-
выражение
э
полученное из E,7а) таким же образом, мы убеждаемся,
что в нем каждые два слагаемых, относящиеся к одной
и той м<е внутренней граничной поверхности, взаимно
уничтожаются, так как на этой поверхности Sn рати

56 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
и противоположно направлены. Последнее следует из про-
противоположного направления нормалей п, а равенство абсо-
абсолютных величин Sn обусловлено граничными условиями для
тангенциальных составляющих Et, E2 и Нх, Н2, из которых
следует равенство тангенциальных составляющих разностей
полей Е, Н и, следовательно, нормальных составляющих S
на граничной поверхности. Поэтому сумма E.10) будет
просто равна поверхностному интегралу по внешней границе
области интегрирования:
E.10а)
Для этой границы соответствующие краевые условия,
о которых упоминалось выше, должны заключаться в том,
чтобы на ней были всюду заданы тангенциальные составляю-
составляющие или электрического, или магнитного поля. Для раз-
разностей полей E.8) это означает, что тангенциальные со-
составляющие или Е или Н равны нулю. В обоих случаях будет
равна нулю и нормальная составляющая векторного произве-
произведения S, образованного из Е и Н, а следовательно, и инте-
интеграл E.10а).
Поэтому в нашем случае уравнение E.7а) принимает вид
E.11)
E.11a)
или после интегрирования по t
t t
Wdy\ ^ — f
0 0
Правая часть уравнения здесь меньше или по крайней
мере равна нулю. Левая часть обращается в нуль при
подстановке нижнего предела t = 0, поскольку для заданных
начальных значений полей 1 и 2 в каждой /-й области
как Е = 0, так и Н = 0, а следовательно, и W = 0. Напротив
при подстановке верхнего предела t левая часть E.11а)
по самому смыслу W заведомо не отрицательна и имеет
наименьшее возможное значение —нуль. Таким образом,
противоречие между левой и правой частями уравнения E.11а)

§ 6. Роль скорости света в электродинамике 57
снимается только при W = 0; но в этом случае для всех t > 0
должно быть
Е = 0, Н = 0,
т. е., согласно E.8),
Это доказательство однозначности является совершенно
строгим. Нестрогое доказательство можно провести непо-
непосредственно на основе уравнения D.8). Именно уравнения
D.8) позволяют определить изменение Е и Н во времени,
если в какой-нибудь момент известно их пространственное
распределение. Это показывает, что значения Е и Н в момент
времени t-\-dt можно определить по их значениям в момент
времени t. Такой расчет однозначен, так как максвелловские
уравнения линейны относительно Е и Н.
Выше мы ограничились случаем замкнутой конечной
области. Физически, конечно, более интересна неограничен-
неограниченная область. Однозначность интегрирования уравнений в зада-
задачах с неограниченной областью доказывается в § 9 для
статического случая. О значении вектора Пойнтинга для
однозначной формулировки задачи распространения волн
по проводам будет сказано в § 22.
§ 6. РОЛЬ СКОРОСТИ СВЕТА В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Вид уравнений D.8) приводит к мысли — установить
отдельное векторное уравнение для Е, исключив из них Н.
Для этого применим к первому уравнению D.8) операцию rot,
ко второму — операцию \idfdt. Суммируя полученные уравне-
уравнения, получаем
rotrotE F.1)
т. е. линейное дифференциальное уравнение второго порядка
с четырьмя (три пространственных и одна временная) пере-
переменными.
Приведем его к более привычной математической форме.
Для этого воспользуемся общим преобразованием [см. т. И,
Механика деформируемых сред, соотношение C.10)]
rot rot E = grad div E — ДЕ. F.2)

58 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
Необходимо оговориться, что при употреблении этой
формулы, как уже отмечалось в упомянутом месте в т. И,
следует соблюдать осторожность. Здесь оператор Лапласа А
применен к вектору, тогда как по его определению (А =
= div grad) этот оператор применяется только к скалярным
величинам, а не к векторным. Впрочем, уравнение F.2)
может быть выведено из известной векторной формулы
[А[ВС]] = В(АС)—С(АВ) F.2а)
путем подстановки в нее символического оператора у
(см. начало § 5). Положив А = В = у и С = Е, получим
(V (V Е] ] = у (у Е) — (v V) E, F.26)
что полностью совпадает с уравнением F.2). Мы вернемся
к подобным векторным формулам в задаче 1.4.
В то время как уравнение F.1) справедливо в любых,
в том числе и криволинейных координатах, в уравнении F.2)
в соответствии со сказанным выше необходимо ограничиться
декартовыми координатами х, у, z и составляющими Ех,
Еу, Ez, поскольку только с такими составляющими мы имеем
право обращаться здесь как со скалярными величинами.
При таком ограничении формулы F.1) и F.2) дают
бр-^+о,*^. = ДЕ—graddivE. F-3)
Для однородной среды с диэлектрической прони-
проницаемостью е (е = const) и в отсутствие зарядов (р = 0)
это уравнение можно упростить. Из D.46) в этом случае
имеем div D = ediv E = 0. Следовательно, последний член
в правой части уравнения F.3) отпадает и оно приобретает
формулу типичного уравнения колебаний:
д?Е , дЕ А р fR ,,
Такому же уравнению при подобных ограничениях подчи-
подчиняется, очевидно, и Н (а также D и В).
Как непосредственно видно из уравнения F.4), коэффи-
коэффициент при первом члене является величиной, обратной
квадрату скорости. Это вытекает из D.6а) и D,7а):
м-дж к*м
\сек) '

§ 6. Роль скорости света в электродинамике 59
Что означает эта скорость? Ответ Максвелла на этот вопрос
таков: она представляет собой скорость распространения
электромагнитных волн, которая в вакууме совпадает
со скоростью света
(eofVrVa = с = B,9978 ± 0,0002) • Ю8м/сек « 3 • 108м/сек.
F.6)
Уже давно скорость света с (называвшаяся ранее критической
скоростью) витала в электродинамике. Она входила в закон
Вильгельма Вебера, появлялась при многочисленных изме-
измерениях соотношения между величинами разрядного тока
конденсатора, в „электромагнитной" и „электростатической"
системах (см. § 16, Г). Но только благодаря максвел-
ловской теории света и опытам Герца прояснилась роль
скорости света в электродинамике.
Если перейти от вакуума к произвольной среде, характе-
характеризуемой величинами е и (х, то скорость (s(x)~1/a, входящая
в F.5), будет означать, по Максвеллу, скорость света
(точнее, „фазовую скорость света") в этой среде
(?{х)~^ = -у, — = п = Показатель преломления. F.7)
Соотношение F.7) не является, правда, столь же достовер-
достоверным, как соотношение F.6). Оно не дает никаких указаний
на дисперсионные явления и, следовательно, не может
объяснить разложение света в призме. Только в т. IV (Оптика)
мы увидим связь указанного явления с электромагнитной
оптикой.
Соотношение F.6) является, очевидно, полученным из
опыта дополнением к теории Максвелла. Оно устанавливает
связь между двумя константами вакуума е0 и (х0. В следующем
параграфе будет показано, как определить эти константы
в отдельности.
Перейдем теперь к интегрированию уравнения F.4) при-
применительно к вакууму
^ж=АЕ F-8)
и присоединим к нему дополнительное условие
divE = 0, F.8а)

60 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
уже использованное при его выводе F.4). Будем специально
искать такие решения уравнения F.8), которые не зависят
от у и z. При чисто периодической зависимости от времени
эти решения будут представлять собой монохроматические
плоские волны, распространяющиеся вдоль оси х. Покажем,
что они обязательно будут поперечными. В соответствии
с требованием независимости Е от у и z уравнение F.8а)
будет иметь вид
д
дл ~"-
Это вместе с F.8) дает
¦^jr = °- F-86)
Если бы оказалось, что Ех — линейная функция t, то это
было бы несовместимо с предложением о периодичности Е
во времени. Поэтому Ех должна равняться нулю. В этом
состоит существенное преимущество электромагнитной оптики
перед старой оптикой упругих волн. С точки зрения упругих
волн, как мы видели в т. II (Механика деформируемых
сред, § 45), нельзя было избавиться от продольной соста-
составляющей плоской волны; даже если бы эта составляющая перво-
первоначально отсутствовала, то она появлялась бы, вообще говоря,
при отражении или преломлении наряду с поперечной
составляющей. В противоположность этому мы доказали,
что если исходить из электромагнитной теории света,
то плоская волна должна быть обязательно поперечной.
Уравнение F.8а) можно назвать условием поперечности.
Если волна напряженности электрического поля имеет
лишь одну составляющую или, как говорят, линейно поля-
поляризована, то за направление ее колебаний1) можно выбрать
ось у, так что, кроме Ех — 0, также и Ег — 0. Тогда урав-
уравнение F.8) перейдет в
F.9)
Решением этого уравнения, чисто периодическим во времени,
будет
Еу = a cos (kx — utf-f-a). F.10)
*) Здесь речь идет о направлении колебаний электрического
поля, а не о направлении движения какого-нибудь вещества.

§ 6. Роль ckopocfu Cdeta в Ыёктродинамикё 61
Введенные здесь волновое число k и круговая частота со
связаны между собой, как следует из F.9), соотношением
?=с. F.10а)
Эти величины, как известно, выражаются через длину волны X
и период колебаний г:
&= —, ш = —. F.106)
Для последующего более удобно записать F.10) в виде
ikilot, A = aeia, F.11)
Символ Re, обозначающий использование действительной
части этих выражений, мы всегда будем опускать. Это до-
допустимо, поскольку мы будем иметь дело с линейными
соотношениями, такими, как диффгренциальные уравнения
Максвелла. Напротив, когда речь будет идти об энергети-
энергетических величинах, выражающихся квадратично через компо-
компоненты поля,-необходимо, очевидно, переходить к действи-
действительным выражениям типа F.10).
Мы перейдем теперь к магнитной компоненте плоской
волны. Запишем первое уравнение D.8) для вакуума
дП
1^о-^" = —rot E.
Отсюда при Ex=-Ez = 0, djdy = d/dz = O
Нх = Ну = 0,
а для Нг получаем уравнение
{1о^ = _^ = _^Ле«*л;-*и>*. F.12)
При чисто периодической зависимости от времени интегри-
интегрирование этого уравнения по t не представляет труда и
сводится к делению правой части на —/ш. Последовательно
получаем
Aeikx~itat== — Aeikx
или, учитывая F.6),
Ня=л/ ^~Ле«*-*-*«*. F.13)

62 Гл. 1. Основные положения электродинамики Максвелла
Множитель (so/^oI^2' входящий в это выражение, имеет размер-
размерность обратной величины сопротивления, т. е. ом. Дей-
Действительно из D.6а), D.7а) и D.5в)
дж - сек2/к2
•_M_ / *2 \2
'к2- м \ док• сек )
ом1'
F.14)
Величину ({J-o/so)^a называют обычно „волновым сопротив-
сопротивлением вакуума". В § 18,Г мы увидим, что в телеграфном
уравнении эта величина играет роль сопротивления (напря-
(напряжение/ток).
Фиг. 6. Взаимное расположение векторов Е, Н,
S в плоской световой волне, распространяющейся
по направлению оси х.
На фиг. 6 показано взаимное расположение векторов Е
Н и вектора Пойнтинга S в данный момент времени. В этой
последовательности они образуют право винтовую систему.
С ростом t эта конфигурация смещается в положительном
направлении оси х со скоростью света. По-видимому, не
излишне подчеркнуть, что Е и Н в одном и том же месте
проходят через нуль, и их максимумы также совпадают.
Здесь, следовательно, дело обстоит не так, как при коле-
колебаниях маятника в механике, когда энергия попеременно
является то кинетической, то потенциальной.
В опытах Герца и во многих других оптических опытах
воздух можно трактовать как вакуум. Различать воздух и
вакуум необходимо только в случае особенно точных опре-
определений длин волн.
Мы здесь все время используем слово „вакуум" вместо
другого, часто употребляемого слова „эфир" („световой
эфир"). Нам кажется, что такое негативное слово, как
„вакуум", все же имеет больше содержания, чем схоласти-
схоластическое слово „эфир", которое может привести лишь к не-

§ 6. Роль cKopOctu ceeta в электродинамике 63
верному представлению, несовместимому с теорией относи-
относительности.
Для тел, характеризуемых константами е и ja, можно
ввести относительные величины (по отношению к вакууму)
?отн. и jj-отн.» если положить
е = еотн. • е0, ji = {хотн. • \i0. F.15)
Здесь еотн. и {хотв. — отвлеченные числа, которые в большинстве
случаев не намного больше единицы. Если перейти от
вакуума к диэлектрику, то вместо уравнения F.10а) в соот-
соответствии с F.7) будем иметь
и вместо F.13)
Яг= у — Ае*кх~ш. F.17)
В поглощающей среде (а ф 0) также возможны плоские
поперечные волны. Выражение F.11) будет удовлетворять
общему уравнению колебаний F.4), если k и ш будут под-
подчиняться следующему условию, представляющему собой
обобщение соотношений F.16) &
*.2 = ejxuJ + /ojxu), k = Y7pu>, e/ = e-f- —. F.18)
Через г' обозначена величина, часто употребляемая в оптике
поглощающих сред и получившая название „комплексной
диэлектрической проницаемости". Если воспользоваться
введенным соотношением D.9а) временем релаксации, то
При Тг^>х мнимая часть, входящая в k, будет являться
лишь поправочным членом; в случае Тг<^х действительная
и мнимая части k равны между собой (это следует из соот-
соотношения Yi = A 4-0 lV^)- В обоих случаях волна, рас-
распространяющаяся вдоль положительного направления оси х,
будет экспоненциально затухать.

64 Гл. I. Основные положения электродинамики МаксвблМ
§ 7. КУЛОНОВСКОЕ ПОЛЕ
И ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ ВАКУУМА.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ОБЫЧНЫЕ ЕДИНИЦЫ
По характеру зависимости полей от времени будем
подразделять их на статические, стационарные, квазиста-
квазистационарные и быстропе ременные.
В случае статических полей отсутствует не только
изменение поля и плотности зарядов, но также электри-
электрический ток и поток энергии. Отсюда следует требование:
В = 0, Ь = 0, р = 0, j = 0, S = 0.
Эти условия будут выполнены, если в соответствии с урав-
уравнениями D.4), D.4а), D.46) положить:
А. В электростатике
rotE = 0, divD=p в диэлектриках,
D = E = 0 в проводниках G.1)
Н = 0 повсюду.
«Б. В магнитостатике
rot Н = 0, div В = 0 повсюду, )
\ G.2)
div Н = рт, Е = 0 повсюду. J
Ниже [при рассмотрении уравнения G.9а)] будут даны
необходимые объяснения по поводу введенной здесь „плот-
„плотности магнитного заряда" рт.
В случае стационарных полей условия В = О, D = О,
р = 0 сохраняются, но предполагается, что в проводниках
существуют токи, т. е. поля вектора j. Последние в соот-
соответствии с уравнением D.4в) не должны иметь истоков.
Для электрического поля как внутри, так и вне проводни-
проводников с токами остается справедливым уравнение rot E = 0.
Напротив, уравнение rotH = 0 справедливо лишь в областях,
где токи отсутствуют.
Расчет квазистационарных полей мы будем проводить
так же, как и в стационарном случае, но будем учлты-

§ 7. Кулоновское поле и постоянные вакуума 65
вать в первом приближении их зависимость от времени.
Только при быстропе ременных полях применяется полная
система максвелловских уравнений.
А. Электростатика
Здесь мы не будем касаться задач, требующих исполь-
использования особого математического аппарата. К числу их от-
относятся электростатические краевые задачи, в которых
рассматриваются находящиеся в поле проводники или
диэлектрики с различными диэлектрическими постоянными.
Вначале речь будет идти исключительно об однородном
диэлектрике, так что можно положить s = const. В этом
случае мы будем иметь дело не с краевой задачей, а с за-
задачей суммирования полей (определения полей по задан-
заданному распределению заряда).
Уравнения G.1) теперь упрощаются и приобретают вид
rotE = 0, " G.3)
divE = -?-. G.3a)
Из уравнения G.3) вытекает, что вектор Е может быть
представлен в виде градиента скалярного потенциала
Е = —grad<jj, G.4)
что уже значительно упрощает задачу интегрирования.
Этот потенциал, согласно G.3а), должен удовлетворять
уравнению Пуассона
Дф = —f. G.4а)
Название безвихревое поле (rotE = 0) имеет тот же смысл,
что и потенциальное поле (Е = — grad ф). Поверхности
постоянного потенциала ф = const разделяют поле на слои,
к которым перпендикулярны силовые линии. Поэтому назва-
название ламинарное (слоевое) поле равнозначно названию по-
потенциальное поле. Криволинейный интеграл
в
sds = tyA—tyB G.46)
5 Зик. 'J6M. А. Зоммерфельд

66 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
не зависит от пути интегрирования; этот интеграл по лю-
любому замкнутому контуру (В = А) равен нулю. Напряже-
Напряжение Vа.в совпадает с разностью потенциалов
Задача суммирования, о которой говорилось выше, со-
состоит в интегрировании уравнения G.4а). Теорема Грина
позволяет провести интегрирование непосредственно. Со-
Согласно т. II (Механика деформируемых сред) § 20, п. 1а,
получаем
4тсеф = J -?- dx, r = rPQ, G.5)
где Р—точка, в которой вычисляется потенциал ф; Q —
точка интегрирования. Левая часть этого равенства полу-
получается путем интегрирования по сфере малого радиуса,
окружающей точку г = 0, Q = Р. Интеграл по поверхности-
сферы, ограничивающей область интегрирования снаружи,
равен нулю, если величина полного заряда, сосредоточен-
сосредоточенного в этой области, конечна.
Если заряд не распределен в пространстве, а сконцен-
сконцентрирован на поверхности или вдоль линии, то аналогично
получим
4тсеф = С у da, G.5а)
4таф = (yds; G.56)
здесь ш — поверхностная плотность заряда, X — линейная
плотность (заряд на единицу длины). Последним шагом
в этом направлении является переход к случаю заряда е,
сконцентрированного в точке:
-1, G.6)
Мы получили выражение кулоновского поля. Это выра-
выражение можно вывести и непосредственно из уравнения G.3а),
если проинтегрировать его по объему шара радиусом г,

§ 7. Кулоновское поле и постоянные вакуума 67
в центре которого находится заряд е, воспользовавшись
теоремой Остроградского — Гаусса. Таким путем получим
В левой части этого соотношения в силу сферической сим-
симметрии задачи мы приняли En = Er-= const. Полученное
в результате выражение совпадает с формулой G.6а).
Из G.6) и из определения напряженности поля следует,
что для кулоновской силы F, с которой отталкиваются
друг от друга два равных заряда е, находящиеся на рас-
расстоянии г, имеем
ё1
F ~Fr = eEr = ~—?. G.7)
Издавна вместо G.7) (в частности, для вакуума) пишут
ё2
F — f— и полагают /= 1, G.8)
причем F измеряют в динах, г—в сантиметрах. Но при
этом рушится все построение нашей системы единиц. В этом
случае следует отказаться от применявшейся нами до сих пор
системы единиц и переходить к так называемой электро-
электростатической х) системе единиц CGS. Заряд е в этой системе
имеет, согласно G.8), очень неестественную и непривлека-
непривлекательную размерность
е = У дн • см2 = см"?* • г1?* • сек, G.8а)
а единица заряда определяется как количество электри-
электричества, которое действует в воздухе на равное ему коли-
количество электричества, находящееся на расстоянии 1 см,
с силой в 1 дн.
Исходя из соображений размерности, мы должны отка-
отказаться от введенного Герцем различия „плотности истинных
зарядов" divD и „плотности свободных зарядов" div E2).
1) С принципиальной точки зрения нам кажется, что систему
единиц, обычно называемую электростатической, правильнее
было бы назвать электрической, поскольку применение этой системы
не ограничивается только равновесными состояниями, а может
распространяться и на электродинамические процессы (см. § 16, Г).
2) См. примечание на стр. 11. — Прим. ред.

'58 Гл. I. Основные положения электродинамики МаксвелЛй
Так как div D является мерой плотности заряда, то div E
не может иметь размерность плотности зарядов. Введем
для этой величины более корректное название — „дивер-
„дивергенция силовых линий". В предыдущем изложении мы не
пользовались этим определением, а писали просто p/s.
Б. Магнитостатика
Обычно подчеркивается аналогия между электростатикой
и магнитостатикой, но, с нашей точки зрения, следует
выявить и различия, существующие между ними.
Как видно из G.2), безвихревой в магнетостатике
является не „силовая" величина В, а „количественная"
величина Н. Обозначим опять соответствующий скалярный
потенциал через ф, а в случае необходимости будем раз-
различать <|>е и <]>т. Итак,
Н = —gradip. G.9)
Величину рт, введенную выше в уравнении G.2), станем
для краткости называть „магнитной плотностью". Ввиду
соответствия D и Н ее можно трактовать как непосред-
непосредственный аналог электрической плотности р.
Каким образом можно совместить существование рт,
т. е. условие div Н ф О, с уравнением div В = 0, которое
всегда справедливо?
„Магнитная плотность" не равна нулю только в тех
местах, где имеется локальное изменение магнитной про-
проницаемости. Это следует из соотношений
divB = ixdivH-f (Hgradjx) = O, |
Pm = div Hs=(H grading), j G-9a)
В дальнейшем (§ 12) путем введения „намагниченно-
„намагниченности" М мы выясним физический смысл такого несколько
формального объяснения понятий количества магнетизма и
магнитной плотности. У нас нет оснований различать
„истинный" и „свободный" магнетизм, как это делал Герц.
После того как мы приняли, что div H представляет собой
магнитную плотность, мы уже не можем называть магнит-
магнитной плотностью также и div В, так как последняя имеет

§ 7. Кулоновское поле и постоянные вакуума 69
размерность, не совпадающую с размерностью div H. Кроме
того, повсюду divB = 0.
Вернемся теперь к уравнению G.9). Образовав дивер-
дивергенцию векторов, стоящих в левой и в правой частях
уравнения, получим уравнение Пуассона для магнитостатики
Дф=^=— pm. G.96)
Если считать, что плотность р.ш является повсюду заданной,
то по. аналогии с G.5) можно проинтегрировать это урав-
уравнение:
4*ф=Г-^-Л. G.10)
Точно так же по аналогии с G.5а) при заданной поверх-
поверхностной плотности заряда ште будем иметь
Tdo- G.10а)
Назовем магнитным зарядом величину
Если магнитный заряд сосредоточен в точке полюса (при
этом предполагается, что противоположный полюс нахо-
находится в бесконечности), то из G.10) следует
-^-, G.106)
Это выражение определяет кулоновское поле изолиро-
изолированного магнитного полюса. Кулоновская сила, с которой
отталкиваются два равных одноименных полюса, не равна отН,
а, согласно определению силовой величины В, выражается
так:
^ G.11)
Здесь {х входит в числитель, тогда как в соотношении G.7)
? стоит в знаменателе. Это вызвано, как уже отмечалось
при написании уравнения D.7), непоследовательностью вве-
введения у по сравнению с г. (Еще раз напомним, что

70 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
в качестве магнитной константы мы охотно ввели бы величину,
обратную [), т. е. 1/{х!) В соотношении G.11) ja является
магнитной проницаемостью среды, окружающей магнитный
полюс пг; для воздуха (вакуума) jx = {x0.
В связи с соотношением G.8) мы ввели в рассмотрение
электростатическую систему единиц и определили единицу
заряда в этой системе. Аналогично этому вводится магнит-
магнитная система единиц и соответствующая единица магнитного
заряда от. Вместо G.11), в частности для вакуума, пишут
(здесь можно дословно повторить замечания, начиная с G.7)
и далее)
F=f? G.12)
и полагают /= 1, причем F измеряют в динах, г—в сан-
сантиметрах. При этом нам опять приходится отказаться от
нашей системы единиц и перейти к электромагнитной си-
системе CGS. Магнитный заряд m в этой системе имеет,
согласно G.12), такую же „безотрадную" размерность, как
и заряд е в электрической системе [см. G.8а)]. Два равных
одноименных магнитных заряда считаются в этой системе
единичными, если они, находясь на расстоянии 1 см друг
от друга, отталкиваются с силой ъ \ дн (имеется в виду,
что взаимодействие происходит в воздухе).
В. Рациональные и обычные единицы
Теперь следует разобраться с вопросом о числовом
коэффициенте 4тс в законе Кулона. Этот вопрос является
гораздо менее глубоким, чем тот, который касается раз-
размерностей и связан с последним не по существу, а только
исторически. Исторически форма записи законов Кулона
в виде G.8) и G.12) связана с тем обстоятельством, что
этим законам стремились придать обычную форму закона
Ньютона. Запись закона Кулона без коэффициента 4тс будем
называть обычной, а применяемую нами запись с сохране-
сохранением этого коэффициента—рациональной. В самом деле,
множитель 4тс, очевидно, уместен, когда условия задачи,
как в кулоновском случае, обладают сферической симметрией
[это видно особенно наглядно из формулы G.66)]. Однако
записывать закон Кулона без коэффициента 4тт, jo

§ 7. Кулоновское поле и постоянные вакуума 71
уравнение Пуассона G.4а) необходимо видоизменить, а именно
записать второе уравнение G.1) в виде
Д<Ь = —4те-1, divD = 4rcp. G.13)
Коэффициент 4тг вошел бы тогда в основные уравнения
теории Максвелла, где он неуместен. Далее, очевидное вы-
выражение плотности энергии E.6) исказилось бы и приняло
вид
(ED). G.14)
Хевисайд в течение своей жизни боролся за рациональ-
рациональные единицы. Он ссылался при этом в особенности на по-
понятие емкости конденсатора (подробно об этом см. в § 10,
где будет устанавливаться связь емкости с плотностью
энергии). Емкость плоского конденсатора (поверхность F,
расстояние между пластинами а) в рациональной и в обыч-
обычной системах соответственно равна
с С р G.15)
Емкость сферического конденсатора (радиус сферы г, вто-
вторая обкладка считается расположенной в бесконечности)
равна
С = 4тгбг и соответственно C = sr. G.15а)
Мы видим, что в рациональной системе единиц коэффи-
коэффициент 4тг входит в формулу сферического конденсатора,
где он уместен; в обычной системе единиц он отсутствует
в формуле емкости сферического конденсатора и входит
в выражение емкости плоского конденсатора, что не-
неуместно.
Хевисайд проводит следующее убедительное сравнение:
в геометрии при переходе от измерения длин к измерению
площадей можно было бы установить в качестве единицы
площади круг с радиусом, равным единице. Логически это
было бы возможно, но привело бы к странному выводу,
что квадрат со стороной, равной 1, имеет площадь, рав-
равную 1/те, и, конечно, всякий сказал бы, что присутствие тс
в выражении площади квадрата неуместно. То же самое
можно сказать о коэффициенте 4тс во вторых выражениях
G.15) и G.15а).

72 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
Г. Определение фундаментальных постоянных {i0, s0
в системе MKSQ
Если исходить из рациональных единиц MKSQ и потре-
потребовать, чтобы такая система единиц находилась в согласии
с системой единиц CGS, то это приведет нас к однознач-
однозначному определению фундаментальной постоянной вакуума \ь0.
Уравнение G.11), которое с точки зрения размерностей
является корректным (в нашем смысле), мы приведем в соот-
соответствие с уравнением G.12), если потребуем выполнения
размерностного равенства
дж • сек* tr,rr^<? ^ / и.^
5 = [/JCGS эл.-магн. ед.; G.1b)
к2 • м lJ J v '
Г [х0 "]
НгЧ
здесь [/] означает численное значение / в электромагнитной
системе CGS, которое мы хотим сохранить равным 1. Выра-
Выражение, стоящее в квадратных скобках слева, представляет
собой численное значение величины ^0/4тг в нашей си-
системе MKSQ. Размерность этой величины [см., например,
D.7а)] написана рядом. Пересчет этой размерности к элек-
электромагнитной системе CGS следует из определения
Q =_ 1 к —-- -— CGS эл.-магн. ед; м = 102 см; дж = 10- эрг.
Отсюда
1 дж • сек2/к2 ¦ м = 107 CGS эл.-магн. ед.
Подставив это в G.16) и приняв [/] = 1, после сокращения
на множитель, содержащий размерности, получим
-^-1=10~7.
Принимая во внимание размерность и0, получим, со-
согласно G.16),
|х0 = 4тг • 10~' дж • сек2/к2 • м = 4тг • 10"' ом ¦ сек/м. G.16а)
По поводу единицы сопротивления ом, используемой здесь,
см. соотношение D.5г).
Таким образом, мы дали определение одной из двух
фундаментальных постоянных вакуума, которое удовлетво-
удовлетворяет поставленным выше требованиям. Полученное соотно-
соотношение определяет численное значение р0 с точностью до

§ 7. Кулоновское поле и постоянные вакуума 73
любого десятичного знака. Это ясно указывает, что опре-
определение ^0 не путем непосредственных измерений, а с по-
помощью выбора единицы измерения Q является правильным
и эквивалентно отысканию р-0 путем непосредственных изме-
измерений :). Вторая фундаментальная постоянная вакуума г0
определяется из соотношения F.6), подтвержденного сово-
совокупностью опытов Герца:
1 10" . ,„ ,„.
м ом • сек. G.17)
Приняв для с приближенное значение с =- 3 • 108 м\сек,
получим
10~9
?о~ ^575— сек/ом • м. G.18)
Соотношение G.17) можно также записать в виде
4те2г0= 10- м/ом • сек. G.18а)
Поделив G.16а) на G.18) и извлекая квадратный корень,
получим „волновое сопротивление вакуума" (в омах), вве-
введенное в соотношении F.14),
ом. G.19)
Выше мы не учитывали небольшое различие между
действительной величиной скорости света с и ее приближен-
приближенным значением 3 • 108 м/сек, также как и различие между
интернациональным и абсолютным (или иначе идеальным)
омом. Эти различия, касающиеся только десятичных знаков
достаточно высокого порядка, имеют, естественно, очень
большое значение для прецизионных измерений. В устано-
установлении соотношения между омом и первоначальной едини-
!) „Точное" значение |х0 получено здесь путем пересчета единиц
из электромагнитной системы CGS, в которой исторически было
принято условие (хо=1, а единица магнитного заряда Р и, соот-
соответственно, единица поля Н экспериментально определены из G.12)
так, чтобы выполнить это условие; затем из опытов по измерению
поля тока были определены единицы тока и заряда. Физически
равноценным явился бы и обратный путь: можно было, например,
принять за единицу некоторый эталонный заряд и, используя соот-
соответствующую единицу тока, узнать \х0 из измерения силь! взаимо-
взаимодействия между токами. — Прим. ред,

74 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
цей — сименсом1) соревновались лучшие экспериментаторы
(Кирхгоф, Релей, Кольрауш и др.). однако в общей теории
эти различия не играют никакой роли.
В заключение можно констатировать, что наша форма
уравнений Максвелла определяется рациональным выбором
системы единиц MKSQ [правда, для определения значения
\i0 G.16а) мы воспользовались также электромагнитной си-
системой CGS]. В дальнейшем численные значения G.16а),
G.18), G.19) будут применяться лишь при числовых рас-
расчетах и не будут вводиться (как это часто делают в тех-
технической литературе) в общую теорию. Напротив, что
касается размерности всех величин, включая также размер-
размерности е0 и \H, то мы постоянно будем держать их в поле
зрения и не будем зависеть от специального выбора единицы
Q-1 к.
§ 8. ЧЕТЫРЕ, ПЯТЬ ИЛИ ТРИ ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ?
А. Дополнительно о принятой системе
четырех единиц
Цель, которую мы преследовали при выборе наш^х
четырех единиц MKSQ, состояла только в том, чтобы выра-
выразить идею Джорджи (введение собственной электрической
единицы) в форме, наиболее удобной для теории. При этом
довольно безразлично, использовать ли в качестве электри-
электрической единицы заряд Q или стандартное сопротивление R,
как иногда предлагал Джорджи, исходя из удобства изме-
измерений. Так как к = а • сек, то мы могли бы, естественно,
считать ампер четвертой единицей. Менее удачно, с нашей
точки зрения, применять в качестве системы Джорджи
систему, основанную на единицах MKSVA. Эти единицы не
являются независимыми, так как
дж
в • а = вт
сек
Мы хорошо понимаем, что единицы вольт или ампер, по-
получившие широкое распространение, кажутся более удоб-
*) Сопротивление серебряной нити длиной 1 м с поперечным
Сечением 1 мм2 при 0° С; J сименс — 0,937 ОМ,

§ 8. Четыре, пять или три основные единицы? 75
ными, чем единица заряда Q. Все же из двух размерностей
Е=— и Е-—
к м
первая, пожалуй, естественнее. Система четырех единиц
Калантарова MSQO (Ф—магнитный поток), хотя и является
логичной, однако представляется несколько неестественной,
так как среди основных единиц отсутствует единица массы.
С нашей точки зрения, необходимо приветствовать тот
факт, что интернациональным соглашением введены различ-
различные названия для единиц векторов магнитного поля В и Н:
для В — гаусс, для Н—эрстед. Исходя из исторических
соображений, также можно сказать, что гаусс—удачное
название для единицы В. Действительно, применявшиеся
Гауссом методы определения магнитного момента основы-
основываются на измерениях силы и относятся, следовательно, к В,
а не к Н. Неудачного названия Н „напряженность магнит-
магнитного поля" необходимо по возможности избегать. Нам
кажется, что начало заблуждению положил не кто иной, как
сам Максвелл, который в п. 625 „Трактата об электричестве
и магнетизме* написал, что сила, действующая на магнит-
магнитный полюс m со стороны поля, равна тй.
Мы много раз подчеркивали преимущество системы MKSQ,
состоящее в том, что в ней отсутствуют докучливые мно-
множители в виде различных степеней десяти, которые входят
в расчеты по системе CGS. Это справедливо как для элек-
электрических, так и для механических величин, однако для
магнитных величин имеет место обратное положение вещей.
Единица магнитной индукции В—гаусс является (по опре-
определению) единицей в электромагнитной системе CGS. При
переводе этой единицы в нашу систему, появятся, очевидно,
множители в виде степеней десяти. Это можно установить
следующим образом. Пусть [В]—численное значение неко-
некоторого заданного поля в нашей системе, тогда ¦
В = [В\ н - сек/к • м = [В] дж • сек/к • м2. (8.1)
Снова сделаем замену '
\ дж=\07эрг, 1 м=\02см, 1 /c = t^CGS эл^-магн, ее).

76 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
Если, в частности, мы положим [В]=\, то из (8.1) полу-
получим соответствующее значение этой величины В в электро-
электромагнитной системе CGS:
В=\.^ CGS эл.-магн. ед. = 1 • 10' гаусс (8.2)
и, обратно,
1 гаусс = 10~4дж • сек/к ¦ м2 = 10~в • сек/м2 :). (8.3)
Необходимо сделать следующее замечание по поводу
этих соотношений: для практических целей единица гаусс
слишком мала, поэтому не только в технике, но также и
в „чистой" физике, за исключением вопросов, связанных
с земным магнетизмом, в большинстве случаев следует
использовать при расчетах килогауссы (например, при эф-
эффекте Зеемана); таким образом, единица нашей системы,
которая в 10 000 раз больше гаусса, оказывается практи-
практически предпочтительнее.
Чтобы найти соотношение между эрстедом и единицей Н
в системе MKSQ, будем исходить из связи Н и В:
Н = -?-. (8.4)
го
Положим здесь Н = 1 эрстед, В = 1 гаусс, т. е. в соот-
соответствии с (8.3)
В= 10-*дж • сек/к- м2
и в соответствии с G.16а)
а0— 4тг • 10~7 дж • сек2/к2 • м;
найдем из G.4)
. .. 10~4 дж • сек/к ¦ м%
эрстео — 4п ^ ш_7 дж сек2^2 м.
Итак,
1 эрстед — ^ • 103 к/сек - м = j- • 103 а/м. (8.5а)
Б. Система MKSQP из пяти единиц
Вообще говоря, рассмотрение, основанное на сопоста-
сопоставлении размерностей, будет тем более успешным,2) чем
!) В системе MKSQ 1 гаусс = 10~4 ееffep/м2, где единица магнит-
магнитного потока 1 вебер = 1 в • сек. — Прим. ред.
2) На существование верхней границы числа независимых еди-
единиц, превышение которого бесполезно, указал Фуес ГЕ. F ц е s
Zs. f. Phys., 107, 662 A937)].

§ S. Четыре, пять или три основные единицы"? 77
больше будет использовано независимых единиц. С этой
точки зрения применение принятой нами системы четырех
единиц являетсч более плодотворным, чем применение трех
единиц в абсолютной системе, в которой стирается разли-
различие размерностей основных векторов поля1). Еще более
плодотворным с общетеоретической точки зрения является
применение пяти независимых единиц, к рассмотрению ко-
которых мы теперь перейдем.
В § 2 была введена размерность магнитного заряда Р,
которая затем в соответствии с гипотезой Ампера была
выражена через заряд Q [соотношение B.7)]. Но сохраняет
ли силу представление Ампера при сегодняшнем состоянии
науки, когда открыт нейтрон, являющийся наряду с про-
протоном равноправным строительным материалом всех ядер
атомов вещества? Нейтрон обладает магнитным моментом,
который, однако, не связан с наличием заряда, как в слу-
случае протона и электрона. К этому следует добавить, что,
несмотря на равенство зарядов (с противоположным знаком)
протона и электрона, магнитные моменты этих частиц со-
совершенно различны. Во всяком случае, обоснованной и
поучительной была бы попытка ввести независимую пятую
размерность Р, не принимая во внимание утверждения
Ампера. Величину Р мы пока определять не будем.
Сопоставим следующие выражения размерностей величин,
которые теперь полностью соответствуют друг другу:
г. Н
Т"
Р
ГП
н
к
к
D
Е ~
н
м*
к*
~ дую ¦ м
дую
м*
_L — JL — р2
;j. ' В дую ¦ м
13 Г! ~~ —н~ == ^-*
(8.6)
Приведенные выражения для Е, D, В и Н совпадают
с соотношениями, полученными ранее, например с B,6) и
B.9). В качестве аналога е [см. замечания к соотношению
D.7)] в формулах (8.6) взята обратная величина \i, т. е. 1/(х.
г) Здесь имеется в виду абсолютная система единиц Гаусса, в
которой размерности Е, D, В и Н совпадают. —Прим. ред.

78 Гл. 1. Основные положения электродинамики МаксвелЛй
Величины, стоящие в последней строке формул (8.6),
не зависят от Q и Р и имеют размерность плотности
энергии. Наоборот, произведение (скалярное или векторное)
Е и Н имеет размерность, зависящую от Р и Q
Pi,_ Р « Р сек дж ,й „
Q ж2 Q м м*--сек v '
Здесь последний множитель выражает размерность потока
энергии (вектора излучения). Его сомножитель обозначим
через 1/Г, т. е. положим
Г = 4г— (8-8)
Р сек v '
и напишем (8.7) в виде
Это соотношение размерностей позволяет предположить,
что поток энергии 5 определится теперь через Г [ЕН].
Вычислим далее из (8.6) размерность произведения еа
(8.9)
Отсюда можно предположить, что скорость света с выра-
выразится теперь не через (зо^о)~й^, а через Г(е0а0)-й/2.
Тот же множитель Г войдет теперь также в уравнения
Максвелла. А именно, мы зададимся следующим видом урав-
уравнений:
В = — TrotE, b-fj = Г rot H. (8.10)
Исходя из уравнений (8.10), перейдем к уравнению Пойн-
тинга тем же путем, что и в § 5, т. е. образовав скаляр-
скалярное произведение первого уравнения с Н и второго с Е.
При этом получим
Отсюда, согласно определению плотностей энергии и джоу-
лева тепла [соотношения E.5) и E.6)], а также из опре-
определения потока энергии [соотношение (8.8а)] вытекает закон
сохранения энергии
divS = 0. (8.11)

§ 8 Четыре, пять или три основные единицы? 79
С другой стороны, если проинтегрировать уравнения (8.10)
точно таким же образом, как и в § 6 для случая волны,
распространяющейся по оси х в вакууме, то получим урав-
уравнение колебаний в форме
еоиоЁ = — Г2 rot rot E = Г2 АЕ. (8.12)
Так как это уравнение должно описывать процесс, распро-
распространяющийся со скоростью с, то оно подтверждает пред-
предположение, сделанное нами, исходя из соотношения (8.9):
с, y eo\io — ~. (8.12а)
с
Общая форма (8.10) уравнений Максвелла не нова. Она
была введена Э. Коном, другом еще со студенческих
лет Г. Герца, и положена в основу его труда „Электро-
„Электромагнитное поле" г). Величину, обозначенную у нас буквой Г,
Кон обозначал через V. Мы отказались от такого обозна-
обозначения, поскольку эта буква была уже нами иначе использована.
Кон не приводит выражения, связывающего эту константу
с нашей единицей магнитного заряда Р; кроме того, он
не ставит на первый план соотношения размерностей, как это
сделано у нас. Его ученики, в частности Зеннек, прежде
охотно употребляли общую систему Кона.
Когда Лорентц в 1902 г. составлял свои две большие
статьи о максвелловской и электронной теории для „Энцикло-
„Энциклопедии математических наук", он ясно сознавал преимущества
точки зрения Кона. Он писал об этом: „Система Кона имеет
то преимущество, что с ее помощью легко переходить к дру-
другим системам путем конкретного выбора значений V, е0, р0.
Окончательный выбор единиц можно было бы сделать на
основе возможных дальнейших успехов в понимании физи-
физических явлений. Но все же мы не можем решиться оставить
неопределенные величины в уже и без того сложных фор-
формулах".
Говоря о „возможных дальнейших успехах в понимании
физических явлений", Лорентц, по-видимому, имел в виду то
время, когда будет создана теория элементарных частиц,
которая является теперь самой большой проблемой атомной
г) Cohn, Elektromagnetische Feld, Leipzig, 1900. Имеется также
издание 1927 г.

80 Гл. 1. Основные положения электродинамики Максвелла
физики. Эта теория должна будет разъяснить не только
вопрос о магнитных моментах, но и о возможных массах и
зарядах элементарных частиц. Но уже теперь можно из-
нлечь пользу из той особенности системы Кона, что она
оставляет свободу для той или иной специализации.
В. Гауссова система трех единиц
Чтобы снова перейти к нашей системе четырех еди-
единиц MKSQ и к форме D.4) уравнений Максвелла, необхо-
необходимо, очевидно, положить
Г^-1. (Я. 13)
Тогда, согласно (8.8), Р будет иметь размерность
Р = Q • Скорость, (8.13а)
что соответствует утверждению Ампера [см. соотноше-
соотношение B.7)]. Далее, наша специализация величин ji0 и ?0 в G.16а)
и в G.17) согласуется, очевидно, с (8.12а) при значениях Г
и Р, принятых выше.
Другую, также очень простую форму уравнений Макс-
Максвелла мы получим, если положим
Г = с. (8.14)
В этом случае, согласно (8.12а), произведение ео[хо должно
быть отвлеченным числом. Заманчиво считать каждую из вели-
величины е0 и [х0 в отдельности отвлеченным числом. Для этого
просто положим
^=1, ео=1. (8.14а)
Таким образом, перейдем к гауссовой системе единиц CGS.
В силу (8.14)-, уравнения Максвелла (8.10) для диэлектрика
(вначале ограничиваемся этим случаем) запишутся в виде
±В = — rotE; -D = rotH. (8.15)
с с v '
Из (8.8) следует, что размерности Р и Q теперь совпадают.
Поэтому векторы Е и В, так же как D и Н, имеют одинако-
одинаковые размерности, что видно из (8.6). То же самое, впрочем,
непосредственно следует и из уравнений (8.15). Размерности
этих пар векторов тоже совпадают, так как теперь s и [х,

§ 8. Четыре, пять или три основные единицы? 81
так же как и е0 и [а0 в (8.12), являются отвлеченными числами
и равны соответственно еотн. и [аОтн., введенным в F.15). Таким
образом, в гауссовой системе единиц теряется различие
в размерности четырех основных векторов поля Е, D, В, Н,
тогда как в системе Кона это различие ясно выражено.
Оба выражения для закона Кулона G.8) и G.14а) были
записаны в обычной форме {без коэффициента 4тг). Вслед-
Вследствие этого коэффициент 4тг, хотя и не войдет в максвел-
ловские уравнения (8.15) для диэлектрика, однако снова
появится при интегрировании этих уравнений. Из уравне-
уравнений (8.15) обычным способом, путем образования дивергенции
и интегрирования по t, получаем
div В = const, div D = const.
Первая константа, как уже известно, равна нулю, вторая же
теперь равна не р, а 4тгр, т. е.
divD = 47rP. (8.15а)
В случае если заряд е== | р^т сосредоточен в точке, то,
проинтегрировав (8.15а) по шару с центром в точке распо-
расположения заряда, мы получим уравнение, в котором множи-
множитель 4т: будет присутствовать как слева, так и справа и
сократится. Таким образом, мы получим выражение напря-
напряженности электрического поля Ег = е/ег2, соответствующее
кулоновской силе F, записанной в обычной форме. Отсюда
непосредственно следует, что электростатический потен-
потенциал ф = е/е/\ Это выражение не совпадает с G.6), где
в левой части в соответствии со смыслом стоит множитель 4тг.
Поэтому вместо G.5) и G.4а) появляются менее естественные
выражения
fjdz, Дф = ^Р-. (8.156)
Используя форму G.12) закона Кулона для магнитных
зарядов, получим выражения для магнитного заряда рт и
магнитного потенциала фт в аналогичном виде
-Л, Д'^= — 4*Pm. (8.15b)
Обобщим теперь уравнение (8.15) на случай присутствия
проводников. Для этого добавим к D член ^j» где j — плотность
б Зак. 2614. А. Зоммерфельд

82 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
тока проводимости, а -у—некоторый множитель, который
вскоре будет определен. Итак, вместо (8.15) напишем
B tE |(D + j) tH (8.16)
Образовав div второго уравнения (8.16) и воспользовавшись
определением р в (8.15а), получим
47r-^+Tdivj = 0. (8.16а)
Чтобы это уравнение выражало закон сохранения заряда или,
иными словами, тот факт, что полный ток С не имеет истоков,
необходимо положить -у = 4тг. Только в этом случае уравне-
уравнение (8.16а) переходит в уравнение D.4в) или C.66),являющееся
аналогом гидродинамического уравнения непрерывности.
Подставляя это значение -у в (8.16), найдем (тем же
путем, что и в начале § 5) уравнение Пойнтинга в системе
Гаусса. Умножив первое уравнение (8.16) скалярно на Н,
а второе на Е и, воспользовавшись преобразованием E.2),
получим
l i (Ej) + di[EH] O. (8.17)
Сравним это с уравнением Пойнтинга E.7), полученным ранее,
Wm-hWe-t-divS = — Wj. (8.17а)
Поскольку закон Ома не зависит от системы единиц, то Wj
по-прежнему будет выражаться (Ej). Поэтому, чтобы при-
привести в соответствие (8.17) и (8.17а), необходимо разде-
разделить (8.17) на 4тг/с. Сравнивая члены уравнения (8.17)
с соответствующими членами уравнения (8.17а), будем иметь
^ (НВ) # ^(ED) (8.176)
Величина Wj остается неизменной, а именно
[EH] (8.17в)
Интегрирование (8.176) по t (как в § 5 для изотропной
и анизотропной среды) дает
± L (8.17r)

§ 8. Четыре, пять пли tpu основные единицы'? 83
Полученные соотношения выражают плотность энергии
в обычных единицах. Ранее [при написании формулы G.14)]
мы уже отмечали, что множитель 1/8тг производит безотрад-
безотрадное впечатление, чего нельзя сказать о множителе */г при
рациональной записи уравнений E.6). То же самое относится
и к множителю cJAtz в выражении (8.17в) для потока энергии.
Неудачное устранение множителя 4тг „отомстило за себя"
даже в основных уравнениях Максвелла (8.16), которые
теперь в общем случае наличия диэлектриков и проводников
будут иметь вид
J_B = — rotE, — D + —j = rotH. (8.18)
С С С
Дополнительными к ним соотношениями в случае изотропной
среды будут
D = eE, B = [xH, j = oE. (8.18а)
Сопоставление уравнений было приведено здесь с целью
по возможности облегчить читателю трудности, связанные
с переходом между следующими системами единиц:
MKSQ (рациональные) <Х CGS (гауссовы, обычные).
Исторические причины возникших трудностей обсуждались
в конце § 7. Эти трудности неизбежны при современном
состоянии вопроса о применении единиц в электротехнике,
в экспериментальной и теоретической физике. Попробуем
пояснить это следующими замечаниями.
Приступая в 1902 г. к работе над статьей для энцикло-
энциклопедии, Лоренц, так же как и Герц, взял за основу гауссову
систему единиц. Он постулировал: электрические величины
(в том числе и электрический ток) будут измеряться в элек-
электрических (электростатических) единицах, магнитные вели-
величины— в магнитных единицах. Однако в процессе работы
над статьей он, изменив свои первоначальные планы, решил
(в отличие от Гаусса и Герца) модифицировать гауссову
систему с тем, чтобы воспользоваться рациональными еди-
единицами. Благодаря этому теоретические зависимости стали
нагляднее, и в уравнениях Максвелла коэффициенты 4тг не по-
появились. Фундаментальные постоянные вакуума Лоренц
положил равными единице (ео = [Ао=1), что соответствует
нашему соотношению (8.14а). Чтобы сохранить при этом
6*

84 Гл. /. Основные положения электродинамики МаксвёЛЛй
рациональную запись закона Кулона, Лоренцу пришлось
ввести коэффициент 4-п в определение единиц электрического
и магнитного заряда. Этот несколько искусственный переход
к рациональным единицам не укоренился, несмотря на авто-
авторитет Лоренца.
В тех местах этой книги, где употребляется гауссова
система, мы решили использовать (также вопреки нашим
прежним намерениям) обычные единицы вместо рациональных.
Это вызвано тем, что с 1902 г. важнейшей отраслью наших
знаний стала атомная физика. Все вычисления в этой
области производятся, как правило, в обычных единицах.
Например, заряд электрона е = 4,80 • 10~10 берется в электро-
электростатических единицах CGS; электрический потенциал (скажем,
для атома водорода) записывают в виде <b=efr (а не ф=е/4тг/-).
Нам кажется, что теперь нецелесообразно всюду переходить
в этой области к описанию с помощью рационизированной
гауссовой системы единиц и даже с помощью системы четырех
единиц MKSQ.
Напротив, для макрофизических проблем, рассматриваемых
в этой книге, рациональная система Джорджи MKSQ, не со-
содержащая множителя 4тг, является самой подходящей. Выбор
такой системы соответствует международным соглашениям;
эта система используется в технике, а также, в частности,
в упомянутом уже учебнике Ми и в учебнике Поля х). Догму
о превосходстве с научной точки зрения системы, основанной
на трех чисто механических единицах {см, г, сек.), которую
защищал Кольрауш о своей книге „Практическая физика),
мы считаем устаревшей.
Г. Дополнительно о других системах единиц
Мы ограничились двумя системами единиц—гауссовой
в обычной форме и MKSQ, так же, как это сделано в пре-
превосходном учебнике Йоза3). Гауссова система (безразлично
в рациональной или обычной форме записи) является смешан-
смешанной системой и состоит из электрических (электростатических)
и магнитных (электромагнитных) единиц CGS. Но, как
1) R. W. Р о h I, Elektrizitatslehre, Berlin, 1943. (См. переЕод:
Р. Поль, Введение в учение об электричестве, М., 1939.)
2) F. Koh lr ausc h, Praktische Physik, Leipzig—Berlin, 1944.
3) G. Joos, Lehrbuch der theoretischen Physik, 6. Aufl. 1945.

§ 8. Четыре, пять или три основные единицы?
85
известно, имеются также чисто электрическая и чисто маг-
магнитная системы, причем последняя особенно важна, поскольку
от нее происходят практические единицы: в, а, ом, и т. д.
В основе установления особой электрической системы
единиц лежит определенное количественное различие между
электростатикой и электрокинетикой: в электростатике имеют
дело с большими напряжениями и малыми количествами элек-
электричества, в электрокинетике—с умеренными напряжениями
и большими количествами электричества. Приведем гидро-
гидродинамическое сравнение: электрическая искра при разряде
Напряжение
Напряжение
¦ ~Мам5~напряжецуе^
Большой тон
¦Ток
Большое напряжение
Малый ток
Ток
Река или стационарный тон Водопад или разряд конденсатора
Фиг. 7. Гидродинамическая аналогия стационарного элек-
электрического тока и разряда конденсатора.
конденсатора напоминает водопад, а электрический ток —
относительно медленно текущую реку (см. фиг. 7). Поэтому
для задач электростатики нужна такая система единиц, в ко-
которой единица заряда была бы малой, а единица напряжен-
напряженности— большой. Таковой является электростатическая
система CGS, базирующаяся на законе Кулона для электри-
электрических зарядов. Заряд электрона, измеренный в этих малых
единицах, имеет сравнительно большую величину, равную
4,80 • 10~10 CGS эл.-стат. ед. Единица заряда в электро-
электромагнитной системе (эта единица в 10 раз больше кулона)
в с раз превышает соответствующую единицу в электроста-
электростатической. Заряд электрона, измеренный в электромагнитной
системе, будет в с раз меньше и составляет
1,60- 10~20 CGS эл.-магн. ед. = 1,60- 10~19 к. Напротив,
единица напряженности поля в электромагнитной системе
в соответствии с определением вольта равна 10~8 в!см, тогда

86 Гл. I. Основные положения электродинамики Максвелла
как в электрической системе она в с раз больше, т. е.
равна 300 в/см. К этому вопросу мы вернемся в § 16, Г.
Этими двумя видами единиц для заряда и напряженности
поля (два вида превращается в четыре, если наряду с обыч-
обычными системами единиц ввести и рациональные) запугивались
поколения учеников. Нам кажется, что основное преиму-
преимущество введения четвертой единицы заряда к, не зависящей
от других единиц, заключается в том, что в этом случае мы
будем иметь дело с зарядами, которые всегда вполне опре-
определенным образом выражаются через к, т. е. равны к, помно-
помноженному на некоторое отвлеченное число.
В заключение мы проведем здесь поучительную аналогию
с той двойственностью при измерении заряда, которая воз-
возникла в связи с двумя системами единиц—электростатической
и электромагнитной. Этот пример взят из статьи Валлота 1),
которому мы благодарны также за многие разъяснения
в вопросе о единицах. Предположим, что кто-то пришел
к мысли описывать механические процессы только двумя не-
независимыми единицами: см и сек. Он исключит при этом
из рассмотрения единицу массы—г, исходя из того, что для
эталонного вещества (например, меди) он будет считать без-
безразмерной величиной и произвольно приравняет единице либо
плотность о, либо модуль упругости Е. Масса m медного
стержня выразится тогда либо через объем стержня, либо
через скорость распространения продольных волн.
В первом случае вычисление можно произвести по формуле
откуда в силу условия о = 1 получается m = ml = V.
Во втором случае используется соотношение, известное
из опытов с продольными волнами
о E__EV
6 ~~ о ~~ m '
которое в силу условия Е=\ дает m-= m2 = V/c2. Раз-
Разделив теперь одно найденное значение т на другое, он
получит, может быть к своему удивлению, что это отноше-
отношение равно квадрату с — скорости распространения волн
упругости в меди. Аналогия с положением в электродина-
электродинамике меткая и пояснений не требует.
1) J. Wallot, Phys. Zs., 44, 17 A943).

Глава II
ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
§ 9. ПРОСТЕЙШИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ
После того как мы установили в начале § 7 основные
уравнения электростатики и рассмотрели вытекающее из них
для однородной среды определение потенциала по задан-
заданному распределению зарядов G.5), обратимся теперь к крае-
краевым задачам, обусловленным присутствием проводников или
диэлектриков с различными диэлектрическими проницае-
мостями.
Представим себе простейшие электростатические опыты:
а) к металлическому проводнику произвольных размеров и
формы, первоначально изолированному, прикладывается
некоторое определенное напряжение V (относительно земли);
б) этому проводнику сообщается заряд, величина которого
каким-либо образом (например, с помощью пьезокварца,
см. конец § 11) определена. Нужно найти поле вне про-
проводника. Мы будем описывать это поле потенциалом ф,
который соответствует напряженности поля Е = — grad ф.
Как в случае „а", так и в случае „б" мы будем считать,
что потенциал нормирован в бесконечности к нулю. В обоих
задачах вне проводника выполняется уравнение Дф = О,
а на поверхности, равно как и внутри проводника, ф=ф?=сопз1.
В случае „а" потенциал tyL = V задан, в случае „б„ ф?
надо определить. Согласно C.12а), поверхностная плот-
плотность заряда для каждого элемента da поверхности про-
проводника L равна
(^) , (9.1)
где е —диэлектрическая проницаемость окружающей провод
ник среды, а п —направленная наружу нормаль к поверхности

88 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
проводника L. Из (9.1) определяется полный заряд провод-
проводника L:
(9.2)
В случае „а" полный заряд необходимо определить, в слу-
случае „б", когда полный заряд задан, (9.2) служит для
определения ф
Для специального случая шара радиусом а искомое
решение дифференциального уравнения Аф = 0 можно сразу
записать в виде
. а .„ о\
Отсюда в случае „а", поскольку фх~ V, получаем
ф = 4-У. (9.3а)
а в случае „6" из (9.2) и (9.3) следует
42 4
4-иеа т г
(9.36)
Итак, заряд е, равномерно распределенный по сфере, дей-
действует на большом расстоянии от нее как точечный заряд,
сконцентрированный в ее центре. Можно „отгадать" также
и поле проводника, имеющего форму вытянутого эллип-
эллипсоида вращения. Для этого нужно только, так сказать,
„растянуть" центр сферы, в котором, согласно последнему
соотношению (9.36), сосредоточен заряд, превратив его
в линию, соединяющую фокусы эллипсоида, и распределить
заряд е равномерно, вдоль этой линии. Если мы обозначим
расстояние каждого из фокусов, от центра эллипсоида
через с, то рассматриваемая линейная плотность заряда
составит е/2с, и для потенциала в соответствии с G.56)
получим
л . е С dt
1С V** + У2 + (-г ~~ ^2
^ е ^z + c + Y^Ty^iz^)*
2с z — c+Yx* + y*+{z — cf'
В задаче 11.1 мы покажем, что это выражение принимает
постоянное значение ф -- ф? на поверхности любого из кон-

§ 9. Простейшие краевые задачи электростатики 89
фокальных эллипсоидов с заданным расстоянием между
фокусами и, следовательно, представляет собой решение
рассматриваемой задачи для каждого из этих эллипсоидов.
Так как в (9.4) входит только расстояние с фокуса от центра,
то эта формула справедлива для всех конфокальных эллип-
эллипсоидов семейства в том смысле, что среди эквипотенциаль-
эквипотенциальных поверхностей заряженного эллипсоида с полуосями а
и Ь содержатся и все эквипотенциальные поверхности кон-
конфокальных эллипсоидов с а2 >• at и Ъ.г >• Ъх. К рассматри-
рассматриваемому семейству относится и эллипсоид с а = с, Ь = 0,
вырождающийся в отрезок прямой длиной 2с. В задаче II.2
исследуется и предельный случай параболоида вращения,
а Также соответствующий ему вырожденный случай: поле
неограниченной с одной стороны стеклянной палочки, равно-
равномерно заряженной трением.
Индуцированные заряды и метод обратных радиусов.
Более сложными, чем рассмотренные выше, являются задачи
об индуцировании, к которым относится, в частности, задача
с одним индуцирующим точечным зарядом. Мы опять можем
различать здесь два случая: а) проводник L (имеющий
произвольную форму и размеры) заземлен и б) проводник
изолирован. При этом в соответствии с установившейся
терминологией „заземленный проводник" означает провод-
проводник, связанный проводящим соединением с бесконечно уда-
удаленной поверхностью, имеющей потенциал ф = 0, а „изоли-
„изолированный проводник" означает проводник, суммарный инду-
индуцированный заряд которого остается равным нулю, если
проводник первоначально не был заряжен (епр. = 0).
Задача „а" решается с помощью функции Грина G (Я, Q),
точнее, „функции Грина для уравнения потенциала для
внешнего пространства проводника /.". Пусть Q — „источ-
„источник", который будет предполагаться „единичным", а Я —
„точка наблюдения". Тогда G будет определяться условиями:
AG = 0 для всех точек Я, не совпадающих с Q вне L,
G—>--т при P—>Q (определение единичного
'PQ
источника),
G = 0 на поверхности L,
G —^ 0 при удалении точки Я в бесконечность.
(9.5)

90 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Функция Грина будет занимать центральное место не только
в теории потенциала, но и во всей теории линейных диф-
дифференциальных уравнений, которая излагается в т. VI
(Дифференциальные уравнения в частных производных физики).
Сейчас мы должны ограничиться тем, что укажем ее зна-
значение для нашей частной задачи. Оно состоит в том, что
если понимать под Q точку, в которой расположен инду-
индуцирующий заряд е, то решением нашей задачи „а" будет
выражение
)=-fO(P,Q)I (9.6)
а для задачи „б" —выражение
ф (Л Q) = -f
при этом ф означает здесь решение нашей задачи „а" для
того же проводника L, а а — параметр, который, согласно
(9.2) нужно определить так, чтобы выполнялось условие
1а = 0. (9.66)
дп " ~~ w"
В качестве примера мы опять рассмотрим частный слу-
случай шара радиусом а, для которого можно выписать функ-
функцию Грина в явном виде с помощью найденного молодым
Вильямом Томсоном (позднее лордом Кельвином) гениального
метода, который подробно рассматривается в т. VI, § 23.
Если обозначить через Q источник, а через Q' — «электри-
«электрическое изображение Q в шаре радиусом а», то эта функ-
функция Грина будет иметь вид
rPQ P rPQ' '
где p = OQ — расстояние источника Q от центра шара,
a p' = OQ' — то же для изображения Q'. Эти расстояния
связаны условием „обратных радиусов"
рр' = я2, (9.8)
поэтому метод Томсона называют „методом обратных радиу-
радиусов". Непосредственно видно, что (9.7) удовлетворяет пер-
первому, второму и последнему условиям (9.5). На основании
элементарных геометрических соображений легко показать,
что выполняется также и третье условие (9.5).

§ 9. Простейшие краевые задачи электростатики 91
Из (9.7) следует, согласно (9.6), что в случае зазем-
заземленного шара
2) е' е
rPQ rPQ' Р
(9.8а)
а в случае изолированного шара, согласно (9.6а), (9.66) и
(9.36),
) /+/ Т <>
rPQ rPQ' rPO P
Последний член в этой формуле соответствует дополнитель-
дополнительному члену a«J>! в (9.6а). Благодаря наличию этого члена
мы получаем, что потенциал изолированного шара У=ег/4ъеа
и что полный заряд поверхности шара епр. = 0.
Проводящий шар в однородном поле. Почти неисчер-
неисчерпаемые возможности приложения метода изображений в шаре
к различным задачам теории потенциала рассмотрены в уже
упоминавшемся т. VI. Здесь мы рассмотрим только простой
случай шара в однородном поле, силовые линии которого
могут быть направлены, например, параллельно оси х.
В отсутствие проводящего шара однородное поле задается
выражениями
ф = —F*. Ex = -fx=F, Ey = Ez = 0. (9.9)
Представим себе, что это поле является суперпозицией двух
полей, созданных бесконечно удаленными источниками Q и
Q (фиг. 8), с зарядами ±е, координаты которых x = z±:p
(р—>оо), y = z — 0. (Источники расположены на оси х.)
При суперпозиции этих полей потенциал будет равен
¦ рх * . рх \ Чех
(9.9а)
Итак, мы действительно получаем однородное поле того же
вида, что и (9.9), если будехМ считать, что заряды е растут
пропорционально р2 по мере удаления в бесконечность.

92 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Чтобы получить количественное согласие с-(9.9),.мы должны
положить
Ц-+-ЬъР. (9.96)
На фиг. 8 представлен шар радиусом а и зеркальные изо-
изображения Q' и Q' источников Q и Q, полученные относи-
относительно поверхности шара; положение их определяется коор-
координатами р', 0, 0 и —'у, 0, 0. По мере того как заряды ± е
Q(PAO)
-е
P(x,y,z)
Фиг. 8. Два удаляемых в бесконечность заряда
±г и их электрические изображения по отноше-
отношению к проводящему шару радиуса а; при этом
имеет место суперпозиция однородного поля и
поля диполя, расположенного в центре шара.
раздвигаются в бесконечность, эти изображения стремятся
друг к другу и образуют в пределе электрический диполь
с моментом
p = 2pV. (9.10)
Мы должны положить здесь р' = «2/р, согласно (9.8), и
е' = еа/р, согласно (9.8а) и (9.86). Тогда из (9.10) при
учете (9.96) мы видим, что в пределе при р—>оо момент р
принимает конечное значение:
~ a
п w
р
(9.10а)
Отсюда мы заключаем, что для решения нашей краевой
задачи в однородном поле следует поместить в центре шара
мнимый электрический диполь с конечным моментом р. Тогда

§ 9. Простейшие краевые задачи электростатики Ш
однородное поле превратится в возмущенное диполем неод-
неоднородное поле *):
<9Л1>
Так как г означает теперь расстояние от центра шара, то
следовательно,
дх г ~~ г* '
и уравнение (9.11) переходит в
Если подставить сюда значение /? из (9.10а), то получим
(9.116)
На поверхности шара г = а потенциал б принимает постоян-
постоянное значение ф^ = 0. Таким образом, полученное методом
обратных радиусов соотношение (9.10а) определяет значе-
значение р для проводящего шара.
Диэлектрический шар в однородном поле. Мы хотим,
однако, убедиться в том, что выражение (9.11) при соот-
соответствующем выборе р удовлетворяет условиям более общей
задачи, в частности оно может удовлетворять краевым
условиям и в случае непроводящего шара с произвольной
диэлектрической проницаемостью. Если обозначить области
вне и внутри шара индексами 1 и 2, то эти граничные
условия запишутся следующим образом (ср. фиг. 9):
Ф1 = 'Ь и е1^г = е^ ПРИ г = а- (9Л2>
Первое из этих условий гарантирует непрерывность тан-
тангенциальных составляющих Е, а второе означает требова-
требование непрерывности нормальной составляющей D. Последнее
эквивалентно тому необходимому требованию, что на поверх-
поверхности первоначально незаряженного непроводящего шара
х) Знаменатель 4UE добавлен здесь из тех же соображений, что
и множитель 4тсе в левой части (9.9а).

94 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
не должно быть поверхностных зарядов [ш = 0, см. соот-
соотношение C.11)]. Мы утверждаем, что уравнения (9-. 12) будут
удовлетворяться, если мы примем, что <Ь1 (потенциал вне
шара, г > а) описывается выражением (9.11а), тогда как ф2
(потенциал внутри шара, г < а) представим как потенциал
однородного поля того же направления, что первоначаль-
первоначальное, но с другой напряжен-
ностью.
Итак, полагая x=rcosB
(В — широта на шаре, отсчи-
отсчитываемая от направления поля),
предположительно напишем
4>2 = — F2r cos B.
(9.13)
Согласно (9.12), мы должны
теперь потребовать, чтобы
при г = а правую и левую
части обоих соотношений (9.12) можно сократить [на
cos в!]:
Фиг. 9. Диэлектрический шар
в однородном электрическом
поле. Линии электрической
индукции внутри и вне шара.
2р
1 \ '2 р
(9.13а)
Вводя относительную диэлектрическую проницаемость
e = e2/slf мы получаем из (9.13а)
.3
Р _
¦к^Р
?— 1
(9.14)
Это соотношение подтверждает наше допущение об одно-
однородности поля внутри шара. Поле F2 будет слабее перво-
первоначального внешнего поля F, если s>l, что наверняка
имеет место, если шар расположен в воздухе. Силовые
линии проникают внутрь шара (фиг. 9); если снаружи они
искривлены действием (мнимого) дипольного момента, то
внутри шара они располагаются прямолинейно параллельно
оси х.

§ 9. Простейшие краевые задачи электростатики 95
Для правильного понимания фиг. 9 следует отметить,
что на ней представлены не силовые линии поля Е, а линии
индукции D.
Обе системы линий имеют как внутри, так и вне шара
одинаковые направления, однако различные плотности (см.
на стр. 125 относительно магнитных силовых линий, или, луч-
лучше сказать, силовых трубок) и ведут себя поэтому по-разному
на его поверхности. Линии D не только вне и внутри шара,
но и на поверхности раздела не имеют источников,
поскольку поверхностная дивергенция для них равна нулю
(Dn непрерывно); для линий Е это не имеет места (Е не
непрерывно). Фиг. 9 действительно представляет линии D.
Это видно из того, что через каждую точку поверхности
шара проходит одна линия. В случае линий Е к поверхности
снаружи должно подходить больше линий, чем выходить
из нее внутрь шара.
Рассмотрим теперь два предельных случая 6—>оо и
s —»¦ 0. Первый из них оказывается идентичным случаю про-
проводящего шара. В самом деле, соотношения (9,14) дают
тогда
р = — 4-кг^а3, F2 = 0 (9,14а)
в соответствии с (9.10а) и тем обстоятельством, что внутри
проводящего шара поле отсутствует. Последнее, казалось бы,
противоречит фиг. 9а, где внутри шара изображено конеч-
конечное поле. Но тут следует опять подчеркнуть, что эта
фигура, как предельный случай фиг. 9, изображает линии
индукции и что условие D = sE, где D — конечная величина,
совместно с предельным переходом 6 —»¦ сю, Е^-0.
Предельный случай 6—>0 нельзя реализовать в электро-
электростатике *), однако он реализуется, если рассмотреть непровод-
непроводник, находящийся в стационарном поле тока в некотором
проводнике. Магнитным аналогом был бы сверхпроводник
(см. стр. 44); в гидродинамике этот случай соответство-
соответствовал бы твердому шару, обтекаемому свободным от вихрей
!) Если только не предполагать, что е2 <^ еь т. е. не рассма-
рассматривать сферическую полость, окруженную диэлектриком с весьма
высокой диэлектрической проницаемостью. Но и в этом случае
можно говорить лишь об относительном отсутствии линий индук-
индукции внутри шара; см. фиг. 96.

96 Рл. It. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
потоком несжимаемой жидкости, параллельным на беско-
бесконечности. В отличие от (9.14а) теперь
±
(9.146)
Несмотря на это конечное значение /\>, линии магнитной
индукции в случае сверхпроводника или соответственно
гидродинамические линии тока не проникают внутрь шара
(фиг. 96); они выталкиваются из него, поскольку они должны
быть расположены тангенциально к поверхности.
Фиг. 9а. Проводящий шар в Фиг. 96. Линии потока жидко-
однородном электрическом поле; сти, обтекающей твердый шар.
Тот же чертеж изображает
линии магнитной индукции во-
показаны линии индукции. В отли-
отличие от линий индукции та часть
силовых линий электрического
поля должна была бы оканчивать-
оканчиваться на зарядах, индуцированных на
поверхности шара. #
круг сверхпроводящего шара.
В другом предельном случае, 6 —»¦ сю, силовые линии
направлены нормально 1) к поверхности, как это должно
быть в случае проводника. В задаче II. 3 мы установим
1) Исключение составляют силовые линии в верхнем и нижнем
полюсах шара (в пространственном рассмотрении на пересечении
поверхности шара, проходящей через эти полюсы диаметральной
плоскостью). Эти силовые линии образуют с поверхностью шара
угол в 45° (см. фиг. 9а), следовательно, друг с другом они обра-
образуют угол в 90°. Такой вывод следует, например, из того, что
в указанных точках ряд Тейлора для потенциала <Ь, определяемого
соотношением (9.116), начинается с членов второго порядка. Макс-
Максвелл называет такую точку „точкой равновесия" (point of equilib-
equilibrium), ср. п. 112 „Трактата об электричестве и магнетизме".

§ Р. Простейшие краевые Задачи электростатики
органическую связь между фиг. 9 и 9а. В § 11 мы вер-
вернемся к рассмотренным важным формулам и фигурам.
Отражение и преломление силовых линий на границе
двух диэлектриков. Для полноты рассмотрим здесь сравни-
сравнительно тривиальную задачу
о поле в диэлектрике, ог-
ограниченном плоскостью
(фиг. 10); в правом полу-
полупространстве (х > 0) в точ-
точке х = а расположен элек-
электрический заряд е. Он по-
поляризует левое полупро-
полупространство (х < 0); через 6
обозначим относительную
диэлектрическую проницае-
проницаемость левого полупростран-
полупространства по отношению к пра-
правому. Аналогично (9.12)
граничные условия запи-
запишутся так:
T1 lZ дх
для
" дх
¦ = 0. (9.15)
Для решения служит про-
простой, заимствованный из
оптики метод отражения:
представим себе мнимый за-
заряд противоположного зна-
знака е', находящийся в точке
х = — а. Действие этого
одиночного заряда нужно
Фиг. 10. В правом полупростран-
полупространстве (воздух) в точке Q располо-
расположен точечный заряд, поляризую-
поляризующий левое полупространство
(заполненное диэлектриком). Изо-
Изображены линии индукции. В пра-
правом полупространстве они искри-
искривляются; их продолжения в левое
полупространство (изображены
пунктиром) проходят через элек-
электрическое изображение ф'точки Q.
В левом полупространстве линии
индукции являются прямыми, про-
продолжения которых в правое полу-
полупространство попадают в точку Q.
учитывать только для р
ды 1 и не принимать во внимание для среды 2, поскольку
во всех без исключения точках последней поле должно
быть конечным; следует считать, что поле в среде 2 соз-
создается только первоначальным зарядом. Вводя два пара-
параметра е''/е и е"]е, запишем
(9.16)
7 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

98 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
На плоскости раздела х = 0 расстояние г = rpQ совпадает
х -\- а
с r' = rpQ, a
дх г
х — а
г*
И \дхг' ~~
отличаются только знаком и равны zta/r3. Тогда, согласно
условиям (9.15),
(9.16а)
Вводя в нашу задачу оптическую терминологию, можно
было бы назвать е" „преломленным" зарядом; „отражен-
„отраженный" заряд ег при 6=1 (однородный диэлектрик, нет раз-
разрывов при д: = 0) обращается, естественно, в нуль. В пре-
предельном случае s -> оо (проводник) е' = — е, е" = 0,' откуда
Фиг. 10а. В предельном слу-
случае е -*• со левое полупрост-
полупространство является проводни-
проводником.
Фиг. 106. Предельный случай
е -»- 0; этот случай может осуще-
осуществиться, если диэлектрическая
проницаемость е правого полупро-
полупространства очень велика по сравне-
сравнению с е левого.
ф2 = 0, что отвечает требованию постоянства потенциала
для х < 0. В предельном случае s —> 0 второе из условий
(9.15) принимает вид ^/^ = 0, откуда е' ~-{-е;см. фиг. 10
(произвольное s> 1), фиг. 10а (б—>оо) и фиг. 106 (з —>0,
Т. е.

W. Ёмкость й ее связь с Шёрёией ПОЛЯ
§ 10. ЕМКОСТЬ И ЕЕ СВЯЗЬ С ЭНЕРГИЕЙ ПОЛЯ
Рассмотрим два проводника Lx и L2 произвольных раз-
размеров и формы (фиг. 11) и допустим, что им сообщены
заряды ~\-е и —е. Такую систему называют конденсатором,
поскольку в пространстве между проводниками плотность
силовых линий возрастает так, что поле, по существу, сосре-
сосредоточивается в этой области. Силовые линии идут от Lt к L2,
не попадая в бесконечность.
Пусть на Lt и L2 потенциал ф
имеет постоянные значения фх
и ф2. Тогда напряжение между
проводниками Lx и L2 будет
равно
V
= <К — ф2 = J (E ds). A0.1)
В этом криволинейном инте-
интеграле мы можем не опреде-
определять путь интегрирования, по- фиг- и- ПаРа проводников^
- и L~> с зарядами ± е и потен-
скольку, как мы знаем, в без- циа*ами ? и ^ образующая
вихревом электростатическом электрический "конденсатор,
поле интегрирование по лю-
любому пути, ведущему от Lt к L2 (этот путь отнюдь не должен
специально совпадать с какой-либо силовой линией), дает
одно и то же значение напряжения.
Отношение e/V называется емкостью', она характеризует
способность системы принимать заряд. Мы используем для
ее обозначения букву С:
С = -рг. A0.2)
Единицей емкости является фарада (ф):
1ф=1 к/в=1 Ф\дж, A0.3)
т. е. в нашей системе единиц она опять определена без
введения каких-либо степеней десяти. Напротив, в электро-
электромагнитной системе CGS мы получим далее из A0.3)
эл.-магн. eo. = l\j LGS эл.-магн. ед.
A0.3а)
7*

100 Гл. П. Описание Явлений на основе уравнений Максвелла
Следовательно, в электромагнитной системе CGS единица
емкости равна 109 ф. Чаще, чем фарада, употребляются ее
дробные части—микрофарада (мкф) = 10~6 ф, равно как
и пикофарада, т. е. микромикрофарада (мкмкф>У= 10~12 ф.
Согласно A0.3) и D.6а), диэлектрическая проницаемость
вакуума имеет размерность ф/м, а ее численное значение,
согласно G.18), равно
10~9 10~s
Ф1 МФ1 (Ю.Зб)
Наряду с этим емкость охотно выражают также и
в электростатических единицах CGS, в результате чего изме-
изменяется не только численное значение емкости, но и ее раз-
размерность (в этой системе-—сантиметр) и положение вещей
совершенно запутывается. Рассмотрим несколько простей-
простейших примеров.
А. Плоский конденсатор
Такой конденсатор состоит из двух проводящих пластин
большой площади F, расположенных параллельно друг
другу на (малом) расстоянии а (фиг. 12). Пусть заряды zte
этих пластин распределены на F с постоянной поверхност-
поверхностной плотностью со. Следова-
Следовательно, для х = zb a/2 полу-
F yf , чаем:
» = =й^; (Ю.4)
Фиг. 12. Плоский конденса- с другой стороны, согласно
тор; поле Е (и D) между пла- C.12а),
стинами считается однородным. }* о
to = Dn.
Поле между пластинами мы будем считать однородным,
т. е. не будем учитывать возмущений, вносимых краями,
как это уже нами сделано в A0.4). Тогда силовые линии
всюду перпендикулярны к пластинам; учитывая значение D
на пластинах, определяемое C.12а) и A0.4), мы получаем

§ 10. Емкость и ее связь с энергией поля 101
Отсюда следует
+а/2
Exdx^^. A0.46)
-а/2
С помощью A0.2) сразу же получаем
С = —, A0.5)
т. е. полученное уже ранее [соотношение G.15)] „рацио-
„рациональное" значение нашей емкости.
Если мы примем, например, F— 20X20 см2, а=\ мм
и г = 2г0 (наполнение парафином), то, используя значение г0
в нашей системе [соотношение A0.36)], получим
C = J?-. 1СГ9 ф = ?-- 10~8 ф = ^- Ю~2 мкф. A0.5а)
Son Ул ^ 9л учу
Следовательно, чтобы получить емкость порядка одной
микрофарады, надо соединить очень много конденсаторов
указанного вида.
К рассмотрению краевых эффектов, которыми мы пре-
пренебрегли и обусловленных ими неоднородностей поля, мы
вернемся в задаче II.4.
Б. Сферический конденсатор
Пусть сферический конденсатор (фиг. 13) состоит из
внутреннего шара радиусом гх и внешнего шара радиусом г2.
Шары не должны быть сплошь проводящими—вполне
достаточно, чтобы внешняя поверхность внутреннего и
внутренняя поверхность внешнего шара были бы „оклеены
станиолью" (то же относится и к плоскому конденсатору).
Пусть внутренняя поверхность несет заряд -\- е, а внешняя
— е. Поле сферически симметрично; Е и D зависят только
от г и направлены по радиусам. Кроме того, для любого-г
между гх и г2
^ ^ A0.6)
По найденному полю Е вычисляем
* === I Edr = j—\ — —) = -т— —— , (Ю.7,

102 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
откуда следует
Пусть г2 —> со, тогда
С = A-Kzrv
A0.8)
A0.8а)
Эта величина указывалась ранее G.15а) как „рациональное"
значение емкости такого вырожденного сферического кон-
конденсатора. Если мы будем счи-
считать, что в соотношении A0.8)
оба радиуса стремятся к бес-
бесконечности, но так, что их раз-
разность гз — гг = а остается ко-
конечной, и рассмотрим только
конечные сегменты F из поверх-
поверхностей Аъг2х и 4т:г2 обоих шаров;
то, согласно A0.8), емкость этого
сегмента составит
C = c —
Фиг. 13. Сферический кон-
конденсатор; поле Е (и D) —
радиальное, напряжение
A0.86)
что, естественно, совпадает с
выражением A0.5) для емкости
плоского конденсатора.
Цилиндрический конденсатор (лейденская банка *)) будет
рассмотрен в задаче II.5.
В. Емкость эллипсоида вращения
и прямого куска проволоки
Выше [соотношение (9.4)] мы получили потенциал ф эл-
эллипсоида, несущего заряд е. Если мы подставим в найден-
найденное выражение вместо координат х, у, z координаты про-
произвольной точки поверхности эллипсоида, например коор-
1) Известная так же как бутылка Клейста, по имени померанского
священника фон Клейста, впервые продемонстрировавшего ее
в 1745 г. во вновь основанном тогда Данцигском обществе испыта-
испытателей природы. Несколькими месяцами позже о ней стало известно
в Лейдене, после чего она завоевала международную известность
под названием лейденской банки.

§ 10. Емкость и ее связь с энергией поля 103
динаты х=у = 0, z = a одного из концов его большой
оси, то ф примет значение V, где под V мы понимаем на-
напряжение относительно бесконечно удаленной земли (ф = 0).
Если мы введем одновременно вместо входящей туда вели-
величины с (половина расстояния между полюсами) длину Ъ
малой полуоси, то с = \^а2—Ъ2. Тогда соотношение (9.4)
примет вид 1)
Х=1_= J in Q+V^^2 _
е С Ятге Т/"/;2 Л2 п т/"/72__ /,2
4тсе У я2 —
In "f у а ~и . (Ю.9)
Если выполнить в этом выражении предельный переход
/;—>¦«, то из него следует, как это и ожидалось, формула
A0.8а) для емкости шара. Аналогичным путем можно было
бы получить и формулу для эллипсоидального конденса-
конденсатора, состоящего из внутреннего и наружного эллип-
эллипсоидов конфокального семейства.
Если теперь мы примем, что Ь^г+0, то наш эллипсоид
выродится в отрезок прямой длиной / = 2с (расстояние
между фокусами). Можно считать, что к этому случаю
относится прямой кусок проволоки 2) радиусом Ь —> 0. Со-
Согласно A0.9), емкость такого отрезка составит
с <10-9а>
Аналогичную логарифмическую формулу мы получим
ниже (§ 15) и для самоиндукции прямого куска проволоки.
Г. Энергетическое определение емкости
Обычное элементарное определение емкости A0.2)
могло бы показаться несколько формальным. Мы достигнем
более глубокого физического понимания этого определения,
если рассмотрим энергию электростатического поля.
г) Множитель 4и здесь отсутствует (практическая система еди-
единиц). Последнее выражение A0.9), очевидно, получается из пред-
предпоследнего путем устранения иррациональности в знаменателе. (Ср.
у-Кбльрауша: Kohlrausch, Praktische Physik, Leipzig — Berlin,
1944, S. 631.)
2) Строго говоря, не цилиндрический, а утоньшающийся к кон-
концам кусок проволоки.

104 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Обратимся к теореме Грина
J(grad U • grad V)dx-}~ f U bVdx = f U ^da, A0.10)
где U и V—две произвольные непрерывные функции [см.
т. II, Механика деформируемых сред, формула C.16)].
В левой части интегрирование выполняется по произвольной
области пространства, в правой—по ограничивающей ее
поверхности, а п обозначает нормаль к этой поверхности,
направленную из рассматриваемой области во внешнее про-
пространство. Если мы положим ?/ = У = ф, то в силу Дф = О
и Е = — grad ф получим из A0.10)
J* (grad ф • grad ф) d-z = J E2 rfx = j ф Ц da. A0.10а)
В левой части интегрирование должно теперь выполняться
по всему пространству вне обоих проводников Lx и L2
(фиг. 11), а в правой — по поверхностям обоих проводников
и по поверхности шара К очень большого радиуса r = R.
При этом последний интеграл по поверхности К обращается
в нуль 1). Следовательно, из A0.10а), заменяя grad ф на — Е,
получаем
/ = ф1/Ц^а-|-ф2/^-^. A0.106)
In L2
*) Действительно, согласно теореме Гаусса, для любой системы п
проводников Z.J, Z-2, •••> Ln B силу divD = 0
п
0 = { Dn do + f Dnda -f ... + J Dn da = J Dn do -|- ^ eL.
XL, Ln К i=l
Если потенциал, ф выбран так, что на поверхности К он равен ф^ ,
то отсюда вытекает
J ^^^а = т J Dnda = —r
к к
В рассматриваемом случае это выражение обращается в нуль, по-
поскольку ег = е и e<L = —e. В общем случае, когда ^ е* ?= 0. Для
сохранения нижеследующих формул для такой не нейтральной си-
системы достаточно положить фет ~ 0, т. е. нормировать потенциал
к нулю на бесконечности. Указанное обстоятельство следует иметь
в виду при чтении раздела Д.

§ 10. Емкость и ее связь с энергией поля 105
Умножая на е/2, мы можем написать
1/ (ED) dx = - lAh f Dn do + ф2 / Du *Л =
В левой части этого многократного равенства стоит полная
энергия рассматриваемого пространства, которую мы будем
обозначать через Кр:
где We—плотность электрической энергии, ~ИР—полная
энергия внешнего пространства. Тогда, используя опреде-
определение A0.2) емкости С, получим
7tc = ±eV = ?v* = ±e*. A0.11)
Это фундаментальное соотношение напоминает связь кине-
кинетической энергии прямолинейного движения со скоростью v
и с импульсом p = mv:
7F=4^ = |^|V. A0.11a)
В обоих случаях A0.11) и A0.11а) энергия разделяется (см.
стр. 51) на два множителя, представляющих собой „коли-
„количественную" величину и „силовую" величину, или может быть
выражена через квадрат одной из этих величин. „Количе-
„Количественной" величиной является в одном случае е, в другом —v,
а „силовой"—V и соответственно р. Сравнивая соотношения
A0.11) и A0.11а), мы видим, что емкости С соответствует
обратная масса Ijm, которую мы могли бы назвать „по-
„подвижностью" (в противоположность „инертности" пг). Эта
аналогия не является, конечно, слишком глубокой и будет
уточнена в § 33.
Мы можем рассматривать A0.11) как энергетическое
определение емкости, так же как A0.11а) может служить
для энергетического определения подвижности.
Д. Емкости в произвольной системе проводников
Перейдем теперь от двух проводников Lx, L2 с заря-
зарядами ±«к произвольному числу проводников Lx, L2, . .., Ln
с зарядами ev e2, . . ., еп, причем будем считать, что

106 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
и теперь суммарный заряд 2 е% равен нулю. Тогда из теоремы
i = l
Грина A0.10а), A0.106) непосредственно следует, что пол-
полная энергия 70° системы распадается на п членов, согласно
формуле
п
ЦА- 00.12)
Здесь ф| означает постоянное значение потенциала на по-
поверхности проводника Lim Однако теперь потенциал <J^ зави-
зависит не только от одного eit но и от всех ej, и при том —
линейно. Последнее следует из общего представления по-
потенциала G.5).
Чтобы убедиться в правильности этого утверждения, перей-
перейдем в G.5) от пространственной плотности р к поверхностным
плотностям Wj, распределение которых по поверхности
каждого из проводников будем считать известным, и поло-
жим Wj=eji»j, где теперь ш^- означает распределение еди-
единичного заряда по поверхности Lj (в присутствии остальных
проводников!). Тогда вместо G.5) получим
Входящие сюда коэффициенты
<|0ЛЗ>>
являются чисто геометрическими величинами, зависящими
только от расположения проводников Lj относительно друг
друга и относительно Lit но не от выбора начальной точки
векторов rij на Li3 поскольку ф$ имеет одно и то же зна-
значение при любом выборе этой точки. Таким образом, A0.13)
и A0.13а) действительно устанавливают линейную зависи-
зависимость между ф4- и ej.
Решая систему A0.13) п линейных уравнений относи-
относительно п зарядов ер получаем

§ 11. Общие исследования электростатического поля 107
Здесь Д^-— алгебраическое дополнение элемента i, j
в детерминанте я-го порядка Д, составленном из h^. Коэф-
Коэффициенты htf Максвелл называет в п. 87 своего «Трактата
об электричестве и магнетизме» „потенциальными коэффи-
коэффициентами" системы, a Qy—„коэффициентами емкости".
Подстановка соотношений A0.13) и A0.14) в A0.12)
приводит к обобщению нашего прежнего двойного ра-
равенства A0.11):
A0Л5)
Так как W является функцией состояния системы (работа,
произведенная при перемещении зарядов в системе не должна
зависеть от „пути", т. е. от последовательности элементар-
элементарных процессов сосредоточения заряда), то для С и h должны
выполняться соотношения:
С^ = СзЧ, hij^hji. A0.15а)
В электротехнике слабых токов, где часто приходится
иметь дело со сложными системами взаимодействующих друг
с другом проводников, коэффициенты емкости и потенциаль-
потенциальные коэффициенты играют важную роль. Их теоретическое
определение является весьма сложным, поскольку оно тре-
требует предварительного решения задачи определения потен-
потенциала для рассматриваемой комбинации многих проводников.
Как мы видели, даже для двух проводников соответствующую
задачу удается решить только в случае проводников особен-
особенно простой формы (плоскость, шар, эллипсоид). Поэтому в
общем случае приходится прибегать к приближенным способам.
В задаче II. 6 мы обсудим не совсем тривиальную связь
только что введенных коэффициентов с элементарным опре-
определением емкости A0.2).
§ 11. ОБЩИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Утверждения и понятия, которые будут развиты в этом
параграфе, применимы не только к электростатическому
полю, но и к полям, произвольно меняющимся во времени.

108 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
А. Закон преломления силовых линий
Граничные условия на границе двух диэлектриков с раз-
различными диэлектрическими проницаемостями имеют вид
Et и Dn непрерывны 01-0
[последнее в отсутствие поверхностных зарядов C.11)].
Отсюда непосредственно следует, что для силовых линий
электрического поля „угол падения" ах и „угол прелом-
преломления" а2, отсчитываемые оба от нормали к поверхности
раздела и задаваемые формулами
связаны друг с другом соотношениями
-^1 = -^. A1.2)
Этот «закон преломления электрических силовых линий»
отличается от оптического не только появлением тангенсов
вместо синусов, но и направлением отклонения при прелом-
преломлении: электрические линии при переходе в электрически
более плотную .среду удаляются от нормали. При этом
мы будем считать электрически более плотной ту из двух
сред, которая обладает большей диэлектрической прони-
проницаемостью. Считая такую среду второй, получим из A1.2)
tg a? > tg a,.
Примерами могут служить фиг. 10 (преломление на плос-
плоскости) и фиг. 9 (преломление на шаре). Проводник (пре-
(предельный случай ег/е1 = оо) подчиняется закону преломления
в том смысле, что для него в общем случае выполняется
соотношение аг = 0 (силовые линии перпендикулярны нор-
нормали к поверхности раздела).
Б. К определению векторов Е и D
Мы отнюдь не стоим на «позитивистской» точке зрения,
согласно которой в теоретической физике допустимо исполь-
использовать только наблюдаемые величины, но полагаем, что вве-

$ П. Общие исследования электростатического поля ioQ
дение не наблюдаемых непосредственно величин может быть
оправдано всегда, когда вытекающие из этого следствия
совпадают с опытом (пример—кинетическая теория газов).
Мы требуем, однако, чтобы гипотетически вводимые поня-
понятия могли бы быть обоснованы по крайней мере мыслен-
мысленным экспериментом, т. е. принципиально возможным, хотя бы
и невыполненным практически наблюдением.
В § 2 мы определили напряженность электрического поля
динамически как силу, действующую на единичный пробный
заряд. Но эту силу можно измерить по вызываемым ею
механическим действиям только в воздухе или, в более
общем случае, в жидкостях. К твердым телам, следовательно,
наше определение неприменимо.
Чтобы, несмотря на это, определить составляющую
вектора Е-в произвольном направлении s в произвольной
точке твердого тела, поступим следующим образом. Про-
Просверлим в твердом теле в окрестности интересующей
нас точки цилиндрическую полость, ось которой направлена
по s. Пусть эта полость будет столь узкой и короткой,
что она не будет заметным образом искажать электрическое
поле в теле; внутри она может быть пустой или наполнен-
наполненной воздухом. Внутри такой полости, согласно граничным
условиям A1.1), будет существовать тоже поле Е8, что
и в окружающем ее твердом теле, т. е. то же поле, кото-
которое имелось в месте нахождения отверстия до удаления
диэлектрика. Следовательно, поле Е можно измерить
внутри полости, введя в нее пробное тело. Если поле
не стационарно, а меняется со временем, то измерения
должны производиться быстрее, чем успеет измениться
поле.
Еще больше нуждается в дополнении наше сформули-
сформулированное в § 2 определение взктора D. В § 2 соотноше-
соотношением B.4) мы определили D как количество электричества,
которое протекает в некотором месте через некоторую
поверхность F за время возникновения поля, отнесенное
к площади этой поверхности F. Точнее говоря, таким обра-
образом мы определяем составляющую Dn вектора D в напра-
направлении нормали п к F. Такое определение неудовлетвори-
неудовлетворительно, поскольку оно не дает указаний о процессе
измерения. Чтобы представить себе такой процесс, рассмо-
рассмотрим следующий мысленный эксперимент.

ПО Гл. 11. Описание явлений На основе уравнений МаксвеЛЛй
Поместим в интересующую нас точку плоский конден-
конденсатор 1), обкладки которого (площадью F) перпендикулярны
к п; пусть пространство между пластинами конденсатора
заполнено окружающим диэлектриком. (Если здесь идет речь
о твердом теле, то мы должны сделать в нем щель, в кото-
которой как раз помещается конденсатор.) В силу граничного
условия A1.1) индукция Dn в конденсаторе будет теперь
совпадать с Dn в окружающем диэлектрике, следовательно,
и с тем значением Dn, которое имелось в исследуемой точке
до внесения в нее конденсатора. Мы можем измерить
теперь Dn непосредственно как поверхностную плотность
заряда ш на обкладках конденсатора, точнее, на той обкладке,
на которую указывает заданное направление п.
Таким способом и индукция D становится, так сказать,
«наблюдаемой величиной».
В. Электрическая поляризация.
Формула Клаузиуса—Мосотти
Мы оставим теперь чисто феноменологическую точку
зрения теории Максвелла и попробуем построить молеку-
молекулярную модель диэлектрика. Молекула вещества состоит
из положительных и отрицательных зарядов (протонов и
электронов), однако в целом в отсутствие поля электрически
нейтральна. При наложении поля заряды будут отделяться
друг от друга, образуя диполь2). Его электрический
момент р, пропорциональный внешнему полю, является ве-
величиной, характерной для данного сорта молекул.
Электрический момент молекул - имеет размерность:
заряд X плечо = к • м. Переходя от одной молекулы к сумме
!) Если поле неоднородно, то конденсатор должен быть доста-
достаточно малым. Правда, металлические обкладки конденсатора иска-
искажают поле, но они не мешают измерению Dn между пластинами.
2) Мы имеем при этом в виду неполярные молекулы. Поляр-
Полярные молекулы, теоретическое и экспериментальное исследование
которых было особенно успешно проведено Дебаем, обладают диполь-
ным моментом и в отсутствие поля. Для случая полярных молекул
формулы, приведенные в тексте, следовало бы несколько изменить,
в частности, в них вошла бы зависимость от температуры. Подроб-
Подробнее см. P. D e b у е, Polare Molekeln, Leipzig, 1929. (См. перевод:
Дебай, Полярные молекулы, М., 1931. — Прим. ред.) По аналогии
с парамагнетизмом полярные молекулы можно было бы назвать
параэлектрическими.

§ 11. Общие исследования электростатического поля 111
молекулярных моментов, на единицу объема получим раз-
размерность
к • м к
м1 м2'
Последняя совпадает с размерностью B.4) индукции D.
Отношение 2 Р Для некоторого объема к самому объему
мы будем обозначать через Р и называть поляризацией х).
Разложим индукцию D на две части: одну, которая
имела бы место и при отсутствии молекул, и вторую,
обусловленную наличием этих молекул. Первая составляющая
соответствует случаю вакуума и равна D0 = e0E, где под Е
мы подразумеваем приложенное макроскопически измеримое
поле; вторая совпадает с поляризацией Р. Мы полагаем,
следовательно,
A1.3)
Здесь D означает макроскопически измеримую индукцию и,
следовательно, равна еЕ. Итак, из A1.3) получаем
Р = (е —ео)Е. A1.4)
С другой стороны, мы хотим определить Р из рассмот-
рассмотрения поведения молекул в электрическом поле. Используя
обозначения, применявшиеся в (9.9) и далее, обозначим это
поле через F в отличие от макроскопического поля Е.
Разность между обоими полями обусловлена действием
поляризованных молекул и определяется формулой
F = E+lf. A1.5)
«j ?о
Чтобы не прерывать здесь хода рассуждений, мы докажем
эту формулу ниже, в разделе Г. Момент р каждой отдель-
отдельной молекулы пропорционален полю F. Положим
A1.6)
*) Направление каждого отдельного момента совпадает с напра-
направлением вектора, соединяющего входящие в него заряды. Таким
образом, чтобы определить направление Р, нужно произвести гео-
геометрическое сложение всех заключенных в-элементе объема момен-
моментов и провести затем предельный переход к достаточно малому
объему.

И 2 Гл. //. Описание явлений На основе уравнений МаксвеЛЛй
где а — характерная для рассматриваемой молекулы постоян-
постоянная. В соотношении A1.6) содержится допущение об изо-
изотропности молекулы, в противном случае мы не могли бы
говорить о совпадении направлений векторов р и F.
Если число молекул в единице объема равно TV, то
из A1.6) и A1.5) получим
) (H.7)
здесь сумма берется по всем молекулам в единице объема.
Если мы подставим сюда выражение A1.4) для Р и сокра-
сократим все члены на общий множитель Е, то получим
или, переходя к относительной диэлектрической прони-
проницаемости е/е0,
3 }
Эта формула известна под названием формулы Клаузиуса —
Мосотти. Если применить ее к оптике и положить еотн. рав-
равной квадрату показателя преломления, то получим формулу
Лоренц—Лорентца.
Чтобы раскрыть физическое содержание соотноше-
соотношения A1.3), введем в числитель и знаменатель правой части
множитель т, равный массе отдельной молекулы. Тогда
произведение Nm будет представлять собой массу единицы
объема диэлектрика, т. е. его плотность р; с другой сто-
стороны, отношение а/т представит собой новую постоянную,
характерную для молекулы. Таким образом, левая часть
соотношения A1.8) пропорциональна плотности. Это
обстоятельство можно непосредственно проверить для сжа-
сжатых газов, для которых еотн. заметно отлично от единицы.
Для сильно разреженных газов, для которых еотн. я^;1,
т. е. еотн.-{-2я^ 3, формула A1.8) дает
Р т ' \ ¦ )
В связи с историей вопроса можно упомянуть, что Мосот-
Мосотти в работе, появившейся в 1850 г., исходил из предположе-
предположения, что молекулы представляют собой проводящие шарики,

§ 11. Общие исследования электростатического поля 113
распределенные некоторым образом в неподвижном «эфире».
Из § 9 мы знаем, что в таком шарике внешнее поле F
индуцирует момент р', равный, согласно (9.10а),
р' = 47reoa3F.
В этом случае молекулярная постоянная а, определенная
выше соотношением A1.6), была бы равна
(П.9)
Подставляя это значение в A1.8), получим в правой части
¦jcW. A1.9а)
Эта величина представляет собой отношение суммы объемов
шариков, содержащихся в элементе объема, к этому эле-
элементу объема (она имеет, как это и должно быть, нулевую
размерность).
Подведем итоги того, что удалось нам узнать относи-
относительно понятия электрической индукции, ^которое не было
достаточно ясно определено в § 2. Вектор D состоит из
двух частей: вакуумной составляющей D0 = e0E и соста-
составляющей Р, обусловленной наличием вещества:
A1.10)
Величину Р мы назвали поляризацией материи; она равна
электрическому моменту единицы объема диэлектрика.
В соответствии с этим диэлектрическая проницаемость также
распадается на две части — на вакуумную составляющую s0
и составляющую, обусловленную наличием вещества, so7j:
f tj). A1.11)
Материальную постоянную 7j, которую мы ввели как без-
безразмерную величину, мы будем называть электрической
восприимчивостью. Благодаря рациональному характеру
выбранной нами системы MKSQ из соотношений A1.10) и
A1.11) выпал коэффициент 4тс, который стоял бы в них
при Р и 7j. При вычислении Р и if] нам пришлось учитывать
различие между напряженностью поля F, действующего на
отдельную молекулу, и макроскопической напряженностью
поля Е; отличие между ними обусловлено влиянием поля
соседних молекул.
g Зак. 2614. А. Зоммерфельд

il4 Гл. И. Описание явлений на основе уравнений Максбеллй
Как мы уже отмечали выше, название «диэлектрическое
смещение» (для вектора D) подходит, собственно говоря,
только к поляризационной составляющей Р вектора D.
В вакууме не существует никаких смещающихся зарядов и
тем не менее электрическая индукция D не равна нулю.
Г. Дополнение к вычислению поляризации
Перейдем к доказательству формулы A1.5). Рассмотрим
некоторую произвольную молекулу, опишем вокруг нее
малую сферу, радиус которой b должен, однако, быть
большим по сравнению с радиусом молекулы а, и удалим
из этой сферы все вещество, за исключением рассматри-
рассматриваемой молекулы, которая, таким образом, окажется в ва-
вакууме. На нее действует тогда поле Е, соответствующее
первому члену в правой части A1.5). Удаление молекул из
области внутри сферы не изменит поля, обусловленного
наличием вещества, если эти молекулы были распределены
беспорядочно, точнее, если они не были каким-либо образом
упорядоченно расположены относительно рассматриваемой
молекулы. Мы можем сделать такое предположение, по-
поскольку мы ограничиваемся изотропными диэлектриками х).
После того как мы исключили область внутри сферы,
мы вправе рассматривать весь оставшийся диэлектрик как
континуум, т. е. отвлечься от его молекулярной структуры
и применить к нему феноменологическую теорию Максвелла.
Заменим действие оставшегося диэлектрика действием по-
поверхностных зарядов плотностью ш, находящихся на эле-
элементах da поверхности нашей полости радиусом Ь, однако
при этом определим величину ш не по полному вектору D,
а только по его молекулярной составляющей Р в соотно-
соотношении A1.3). Поскольку Р отлично от нуля только
при г > b (при /" < ? в вакууме Р = 0), то ш будет пред-
представлять собой не разность двух значений Р [аналогично
соотношению C.11), где ш является разностью двух зна-
значений D], а определится как ы = Рп. Учитывая, что век-
*) Лоренц доказал справедливость такого предположения и для
кристаллов кубической симметрии; для других видов симметрии,
равно как и для ассоциированных жидкостей, наше предположение
не доказано.

§ И. Общие исследования электростатического поля 115
тор Р направлен так же, как первоначальное поле Е, кото-
которое можно считать направленным по оси х, находим, что
«> = />„ = />„cos В, A1.12)
где в равно углу между п и х.
Согласно закону Кулона G.7), элемент ш da создает сле-
следующую напряженность поля, действующую на нашу мо-
молекулу в точке г = 0 в направлении радиус-вектора:
a, A1.13)
а составляющая этой напряженности по оси х, которая нас
только и интересует,
dFx = Pa:.cosl® do. A1.13a)
Полагая da = b2sin'fy dB do, интегрированием по всей сфере
получаем
it
/7„=^-2тг fcos2Bsinerf0=4--. A1-14)
W 4ti?0 J 3 ?0 V '
0
Это выражение совпадает со вторым членом правой части
формулы A1.5), которая, таким образом, доказана.
Д. Постоянная поляризация
До сих пор мы принимали всегда, что поляризация вызы-
вызывается внешним полем Е и исчезает вместе с ним, однако
такое положение имеет место не во всех случаях. Мы уже
указывали (примечание 2 на стр. ПО), что молекулы иногда
обладают постоянным электрическим моментом. Правда, вслед-
вследствие неупорядоченности, обусловленной тепловым движением,
эти моменты (особенно в жидкостях или газах) взаимно
компенсируются в каждом конечном объеме, так что и
внутри диэлектрика результирующая поляризация обращается
в нуль вместе с внешним полем. Если, однако, поместить
такое построенное из полярных молекул вещество (например,
воск, смолу) в сильное электрическое поле, предварительно
разогрев его до легко текучего состояния, то большая часть
молекулярных диполей ориентируется в направлении поля.

116 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Если теперь дать такому веществу затвердеть, то оно
сначала сохранит свою поляризацию и после выключения
поля. Если бы это вещество было окружено полностью
изолирующей средой, то оно представляло бы собой
вещество с макроскопически постоянным электрическим
полем.
Допуская некоторую натяжку, Хевисайд назвал вещества,
обладающие такими свойствами, электретами, по аналогии
с постоянными магнитами. Однако предположение о пол-
полностью изолирующей среде никогда не может быть выпол-
выполнено. Даже чистый, в высшей степени разреженный воздух
всегда в какой-то степени ионизован вследствие наличия
радиоактивных веществ и особенно под действием космиче-
космического излучения и, следовательно, является проводящим.
Поэтому действие электрета прекращается через несколько
дней или даже часов.
Существуют и природные тела с такими же свойствами.
Их следует искать среди несимметрично построенных кри-
кристаллов (кристаллов с полярными осями). Наиболее известным
их представителем является турмалин. Вообще если кри-
кристалл построен из положительно и отрицательно заряженных
ионов, то при недостаточной симметричности структуры
каждая элементарная область будет иметь электрический
момент. В зависимости от вида решетки кристалла такие эле-
элементарные моменты могут суммироваться, создавая микроско-
микроскопический момент, который вызовет тогда появление элект-
электрического поля вокруг кристалла.
Такое поле можно действительно обнаружить у свежих
изломов турмалина. Однако так как окружающая среда, как
мы уже отмечали, никогда не бывает полностью изолирую-
изолирующей, то и это поле спадает в течение нескольких часов.
Поверхностные заряды в местах входа и выхода силовых
линий образуют при этом токи проводимости, которые
компенсируют поле внутренних электрических моментов во
внешнем пространстве. Разница между электрическим и маг-
магнитным постоянными моментами состоит только втом, что в маг-
магнитном случае не существует такого тока проводимости.
Поэтому у стального магнита в течение десятилетий не
происходит заметного изменения поля. Это различие между
электретами и магнитами является только количественным,
но не принципиальным.

§ 12. Поле постоянных стержневых магнитов 117
Полярную асимметрию, которой обладает турмалин, можно
вызвать и у некоторых менее асимметричныхх) кристаллов
искусственно, путем их деформации, которая искажает кри-
кристаллическую решетку и создает электрический момент, про-
пропорциональный деформации. Такие кристаллы называются
пьезоэлектрическими. Типичным представителем кристаллов
с указанными свойствами является кварц, который был ис-
использован Пьером Кюри как „пьезокварц" для получения
электрических зарядов точно известной величины. Конечно,
и в этом случае электрические заряды исчезают за опреде-
определенное конечное время релаксации вследствие недостаточных
изолирующих свойств окружающей среды. Еще большее
значение имеет применение колеблющегося кристалла кварца,
создающего переменное электрическое поле, частота кото-
которого совпадает с его собственной механической частотой.
Наоборот, путем приложения электрического переменного
поля этой частоты можно в течение длительного времени
поддерживать постоянной амплитуду собственных колебаний
кварца. На этом способе основана идеальная шкала времени,
которая играет важную роль в современной радиотехнике.
Во всех этих случаях (электрет, турмалин, пьезокварц),
рассматривая внутренний момент как заданный, можно вы-
вычислить обусловленное им электрическое поле. Мы не будем,
однако, заниматься этим вычислением, поскольку оно совер-
совершенно аналогично вычислению внешнего поля постоянного
магнита, которым мы займемся _ниже.
§ 12. ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ МАГНИТОВ
Силы, свойственные определенным сортам железа, с древ-
древнейших времен занимали воображение народов. Греки назы-
называли носителей этих сил магнитами2). Китайцы первые
!) Степень требуемой асимметрии можно точно вычислить заранее
с помощью общих правил Фойгта. (См. т. II, Механика деформи-
деформируемых сред, § 40.)
3) Кроме стали, сохраняющимися магнитными свойствами обла-
обладают также родственные железу металлы, кобальт и никель, далее,
гейслеровы сплавы, содержащие расположенный в периодической
системе рядом с железом марганец. Магнетитом называется кристал-
кристаллизующаяся в кубической решетке железная руда Fe2O3-FeO,
пирротином — гексагональный FeS (с примесью Fe2S); оба последние
соединения также обладают сохраняющимися магнитными свойствами
и характеризуются особенно сильной магнитной анизотропией.

118 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
использовали их взаимодействие с большим магнитом —
Землей для географической ориентировки на обширных
равнинах их страны. В XVIII столетии было принято сводить
все загадочные процессы в человеческом теле к „животному
магнетизму" (Месмер). В настоящее время значение есте-
естественных или постоянных магнитов далеко уступает значе-
значению электромагнитов. Тем не менее мы хотим начать
здесь с рассмотрения некоторых свойств постоянных магни-
магнитов; тогда в § 13 мы сможем кратко изложить общие осо-
особенности магнитостатического поля по аналогии с электро-
электростатическим.
Правда, существование постоянных магнитов выпадает
из той области явлений, где применима теория Максвелла;
оно может быть понято лишь на основе атомной физики.
Оно связано с наличием у электрона спина и магнитного
момента, о чем теория Максвелла, естественно, ничего не
говорит. Впрочем, то же самое имеет место в конечном
счете и для электромагнитов: источником электрическх токов,
создающих магнитные поля, являются (если только эти токи
не создаются электродинамически путем электромагнитной
индукции) электрохимические процессы, которые чужды
максвелловской теории; последняя может описывать только
вызываемые этими токами магнитные поля. Точно таким же
образом и магнитные поля, создаваемые постоянными магни-
магнитами, могут найти свое место в теории Максвелла.
Мы начнем с понятия намагниченности, которую будем
обозначать через М или сначала М* и которая представляет
собой аналог электрической поляризации Р, определяющейся
соотношением A1.13):
A2.1)
Аналогом этого соотношения было бы, с нашей точки
зрения, собственно соотношение
Н = -!-В+М* A2.1а)
(Н и М* — „количественные" величины, как D и Р; В —
„силовая" величина, как и Е; величине 1/[а0, как мы отме-
отмечали после соотношения D.7), соответствует е0). Уравне-
Уравнение A2.1а), решенное относительно В, дало бы
М*). A2.16)

§ 12. Поле постоянных стержневых магнитов 119
Однако общепринятое определение намагниченности основано
на соотношении
A2.2)
Мы присоединимся в дальнейшем к последнему определению,
а к A2.16) вернемся ниже, в § 13, Г, при обсуждении диамаг-
диамагнетизма. Но и написанная в форме A2.2) намагниченность М
также означает обусловленную наличием вещества часть
магнитного поля и равна взятой для единичного объема
сумме моментов элементарных магнитов, так же как Р
представляла собой соответствующую сумму элементарных
электрических моментов. В дальнейшем мы будем считать,
что распределение М в магните задано некоторым произ-
произвольным образом, и вычислим из уравнений Максвелла
соответствующие поля В и Н.
Из § 7 мы знаем, что Н всюду свободно от вихрей, а В —
от источников. Благодаря отсутствию источников у В из
приведенного выше соотношения A2.2) следует условие
divH = — divM. A2.3)
На поверхностях разрыва М вместо выполнения уравнения
divB = 0, справедливого только при условии непрерывности
и дифференцируемости В, должна обращаться в нуль „по-
„поверхностная дивергенция" В, т. е. должно выполняться
условие
Я„-|-Яя,=0, A2.3а)
где п и пг означают, как и в C.7), нормали к поверхности
разрыва, направленные в одну и другую сторону. На поверх-
поверхности магнита, при переходе через которую М изменяется
скачком от внешнего значения М = 0 до некоторого, вообще
говоря, отличного от нуля значения М, A2.3а) вместе
с A2.2) дает
= — Мп. A2.36)
Если подставить теперь в A2.3) и A2.36)
Н = — grad<]j,
то получим дифференциальное уравнение рассматриваемой
задачи:
A2.4)

120 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
а также граничное условие
!* + !*, = Л!я. A2.4а)
Мы добавим к ним еще и
ф = 0 A2.46)
в качестве условия на бесконечности.
Так как правые части обоих уравнений A2.4) и A2.4а)
следует рассматривать как заданные, то имеем дело не с ре-
решением краевой задачи, а с простой задачей определения
поля по заданному распределению М, аналогично соотно-
соотношениям G.10) и G.10а). Решение имеет вид:
4Tzty = — J-——dT — J -2 do. A2.5)
Первый член в правой части этого выражения представляет
собой сумму всех пространственных магнитных плотностей рт
внутри магнита, а второй — сумму всех поверхностных
плотностей шт на его границах. Отрицательные знаки
объясняются тем, что, согласно A2.4) и A2.4а),
Рт = — div М, шт = — Мп.
(Если бы мы продолжали вычисления с нашим М* = —М,
то знаки оказались бы, как в электростатике, положитель-
положительными). Мы рассмотрим два частных случая: а) стержневой
магнит намагничен однородно параллельно оси магнита и
б) намагниченность, параллельная оси магнита, возрастает
от нуля на концах магнита до конечной величины его на
середине. В случае „а" в правой части A2.5) обращается
в нуль первый интеграл, поскольку divM = 0; в случае
„б"—второй, поскольку Мп = 0.
а) Из поверхностного интеграла в A2.5) нужно рассмат-
рассматривать только интегралы по обоим основаниям магнита,
поскольку на его боковой поверхности Мп исчезает по
условию задачи. Поэтому можно сказать, что „магнитные
заряды" распределены тогда равномерно по обоим основаниям
стержня; если понимать под F площадь основания, то каж-
каждый из полных магнитных зарядов будет равен ±m = z*z

§ 12. Поле постоянных стержневых магнитов
121
Выполняя в A2.5) приближенное интегрирование, полу-
получаем для точек, расположенных на больших расстояниях
от магнита (фиг. 14),
4 * (/
где qxrx и г2 означают расстояния точки наблюдения соот-
соответственно от оси магнита или от центров его оснований,
z — координата точки наблюдения в направлении, параллель-
параллельном оси магнита, отсчитываемая от
его середины, а 21 — длина магнита. Z
Разлагая в ряд, получаем ¦
.'1
где го =
расстояние от
точки наблюдения до середины стержня.
Подстановка в A2.6) дает
] X
= — 2lm
— = 21т .
A2.6а)
Фиг. 14. Стержневой
магнит, намагничен-
намагниченный вдоль своей оси.
Точка наблюдения —
вне магнита.
Следовательно, снаружи, на расстоя-
расстояниях, значительно больших 21, магнит
действует как диполь длиной 21 и
с магнитными зарядами m = MF, как
можно было предвидеть.
Внутри магнита также остается справедливым описание
с помощью поверхностного интеграла в A2.5), который
теперь необходимо вычислять более аккуратным образом.
Для краткости мы ограничимся здесь рассмотрением средней
линии стержня и примем, что его сечение имеет форму круга
(а — радиус круга, р — расстояние точки интегрирования
от центра основания). Тогда получим
A2.7)
i i о лл I Г Р "Р Г Р ^р I
кф=-4-2тгМ -—-— -—- ,

122 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Вычисление с учетом того, что
Л 1 " -. - ¦ " - 1 л
— z
^+
приводит к
A2.7а)
=~2}.
A2.76)
Так как I всегда много больше, чем а, то получаем
М дН М \
для z =
О,
Полученные соотношения поясняются фиг. 15, на которой
видно быстрое падение —Н по мере удаления от концов
I
Фиг. 15. Распределение поля и намагниченности однородно
намагниченного стержня.
стержня и почти полное исчезновение в середине стержня.
Знак Н противоположен знаку М, как говорят, Н действует
„размагничивающей Последнее видно и из кривой для В:
хотя В и достигает в середине стержня почти полного
значения jj-0M, но на концах стержня В составляет только
половину этого значения; такую же величину, естественно,
имеет Вив непосредственной близости от концов.

§ 12. Поле постоянных стержневых магнитов 123
б) Пусть теперь М постоянно по сечению стержня, но
зависит от2 и притом так, что на концах z = ±l обра-
обращается в нуль и возрастает параболически по мере при-
приближения к середине:
divM <128)
Тогда, как уже отмечалось выше, интеграл по поверхности
в A2.5) пропадает и нам остается вычислить только инте-
интеграл по объему.
Пусть С, р, 6—координаты точки интегрирования, a z,
q, <p — координаты точки наблюдения. Тогда A2.5) даст
нам
?///7-Л*.
os (<?— 6), do = pdpdQ. A2.9)
На больших расстояниях действие магнита сводится, есте-
естественно, как и в случае „а", к полю диполя. Если вычис-
вычислить из A2.8) среднюю по длине стержня намагничен-
намагниченность М и положить, как в случае „a", MF = /«, то полу-
получим, как и в A2.6а), момент диполя, равный 21т.
Для области внутри стержня (мы опять ограничиваемся
вычислением для оси стержня, # = 0) МЬ1 получим из A2.9)
после выполнения интегрирований по р и б
+1
С
-г
+i
-г
+г
-I
-I

124 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Знак абсолютной величины в последнем интеграле указы-
указывает, что квадратный корень, как и ранее, должен быть
взят с положительным знаком.
Мы хотим теперь показать, что, как и в случае равно-
равномерной намагниченности, Н везде, исключая концы стержня,
близко к нулю (имеет величину порядка alt). При этом
слова „исключая концы стержня" означают: для всех z, для
которых а мало по сравнению с I — \z\. Действительно,
тогда в A2.11) можно вычеркнуть а; таким образом, по-
получим
-1- / 1 у
т. е. действительно нуль (точнее, малая величина того же
порядка, что и Call). Правда, в точках 2 = ±/, т. е. на
концах стержня, само Н также представляет собой малую
величину того же порядка, но иначе обстоит дело с
dHldz. Именно х)
*?_±?A+ ...)• A2.12)
Итак, Н принимает заметно отличные от нуля отрицатель-
отрицательные значения только в малой области вблизи обоих концов
стержня. Это поясняется фиг. 16. И теперь Н действует
„размагничивающе", т. е. направлено противоположно спон-
спонтанному моменту М. Величина В/;х0 достигает полного зна-
значения М во всей средней части стержня и несколько умень-
уменьшается только на его концах.
То, что во всех случаях (при произвольном распреде-
распределении намагниченности и произвольной форме магнита)
Н действует размагничивающе, можно показать следующим
образом. Линии индукции В являются в силу условия
l) Дифференцируя A2.11), получаем строго выполняющуюся эле-
элементарную формулу
dti С / z {Z i.f i ч- «. \г- i ¦¦/ i •*¦ , п \
dz 2Z2 V VI? _ Л2 л- пъ yiz — n%-L.ci? ) '
от которой легко перейти к A2.12). Многоточие в A2.12) означает
члены порядка а/1. Верхний положительный знак в A2.12) отно-
относится к z = +1 и положительному dz; следовательно, градиент И
по направлению внутрь стержня (отрицательное dz) отрицате-
отрицателен, так же как и для другого конца стержня.

§ 12. Поле постоянных стержневых магнитов
125
divB = O замкнутыми и располагаются частично вне, ча-
частично внутри магнита. Построим криволинейный интеграл
вектора Н вдоль такой замкнутой линии В и выберем на-
направление обхода вдоль положительного направления век-
вектора В. В силу потенциального характера поля Н мы
Фиг. 16. Распределение поля и намагниченности
стержня, намагниченного по закону
М = С/2[2 — (г2//2)].
получим при этом, как и при интегрировании по любому
замкнутому пути, значение
Н8 ds = 0.
A2.12а)
Но интеграл по части кривой, лежащей вне магнита, где
направления векторов Н и В совпадают, должен быть поло-
положительным. Поэтому интеграл по части кривой, лежащей
внутри магнита, должен быть отрицательным:
) H8ds<.0 (внутри магнита). A2.12 6)
Напротив, интеграл по той же части кривой от вектора В
будет, естественно, положительным по определению. Со-
Согласно A2.2), это тем более будет справедливо для

126 Гл. It. Описание явлений на основе уравнений МаксвелЛй
интеграла по той же части кривой от вектора М:
[ Msds = — \ Bsds— Г Hsds>0 (внутри магнита)
A2.12b)
Сопоставление обоих неравенств A2.12 6) и A2.12 в) для Н
и для М показывает, что вдоль каждой линии индукции
внутри магнита средние значения тангенциальных соста-
составляющих Н и М для этой линии имеют противоположные
знаки.
Мы рассмотрели так подробно предыдущие, несколько
произвольно выбранные примеры, поскольку в большинстве
учебников приводится очень мало количественных сведений
относительно поведения векторов В, Н и М внутри магнита.
Мы выяснили, что если М известно, то Н можно в прин-
принципе получить путем простого интегрирования по правилам
теории потенциала, после чего В также оказывается изве-
известным. Конечно, предположение о том, что распределение
намагниченности М может быть произвольно задано, в дей-
действительности не выполняется. Поэтому стержневые магниты
мало удобны для практического изучения ферромагнетизма;
ниже мы вернемся к этому обстоятельству.
Наши вычисления были ограничены средней линией
стержневого магнита. Количественное представление о рас-
распределении полей В и Н внутри однородно намагниченного
стержневого магнита можно составить по фиг. 17 и 18 х).
Как видно из фигур, линии В втягиваются внутрь магнита,
тогда как линии Н выталкиваются из него. Вне магнита оба
семейства линий, конечно, совпадают, поскольку В = jj0H-
Более простым и практически более важным, чем стерж-
стержневой магнит, является кольцевой магнит с узким зазором.
В таком магните мы можем, в силу равноправности всех
поперечных сечений считать намагниченность однородной,
так что div М = 0 и М направлено всюду параллельно сред-
средней линии кольца. Магнитные заряды располагаются тогда
только на поверхностях зазора, в котором образуется маг-
*) Эти чертежи были любезно выполнены проф. Яуманом с по-
помощью графического метода, выработанного Максвеллом для полу-
получения картин расположения силовых линий, приведенных в конце
его трактата* и часто применяемого электротехниками; см. п. 123
„Трактата об электричестве и магнетизме".

Фиг. 17. Линии индукции однородно намагниченного стержневого
магнита; линии индукции втягиваются внутрь.
Фиг. 18. Линии магнитного поля однородно намагниченного стер-
стержневого магнита; силовые линии выталкиваются из магнита.

128 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
нитное поле той же структуры, что и электрическое поле
в плоском конденсаторе. Последнее справедливо не только
для постоянных кольцевых магнитов, но и для кольцевых
электромагнитов с железным сердечником.
Обращаясь снова к соотношению A2.12а), рассмотрим
криволинейный интеграл от магнитного поля Н, взятый
вдоль средней линии кольца. Путь интегрирования в этом
интеграле распадается на две части — короткий отрезок,
пересекающий зазор шириной а (мы выберем направление
обхода нашего контура так, чтобы этот отрезок прихо-
приходился бы в направлении, совпадающем с направлением маг-
магнитного поля в зазоре конденсаторного типа), и длин-
длинный путь /, проходящий через весь кольцеобразный же-
железный сердечник (направление обхода этого пути должно,
естественно, продолжать направление, выбранное в зазоре).
Обозначим величину магнитного поля в зазоре через Н=НЪ,
а в железном сердечнике—//= Нж. Тогда, согласно A2.12а),
получим
1НЖ = — аНв.
Таким образом, одновременно с намагничиванием воздуш-
воздушного зазора происходит „размагничивание" железного сер-
сердечника. Мы видим здесь ту же картину, что и на фиг. 15
и 16, только в гораздо более простом и обозримом виде.
Вернемся еще раз к стержневым магнитам и к опреде-
определению сосредоточенных в них магнитных зарядов т. С на-
нашей точки зрения, эти заряды представляют собой „коли-
„количественную" величину, задаваемую выражением
m = §Hndo, A2.13)
где замкнутая поверхность о начинается в середине стержня
и охватывает произвольным образом одну или другую по-
половину магнита вне стержня. Такое определение т нахо-
находится в соответствии с определением G.2) объемной маг-
магнитной плотности pTO = divH; оно означает, что т равен
сумме всех имеющихся в рассматриваемой половине стержня
магнитных зарядов pmdx.
В противоположность этому в литературе часто опре-
определяют магнитные заряды как „силовые" величины и выра-
выражают их через магнитный поток. Определенные таким обра-

§ 12. Поле постоянных стержневых магнитов 129
зом магнитные заряды мы обозначим через m и напишем
nda. A2.14)
Естественно, что теперь поверхность о не может быть
замкнутой, так как m в силу условия div В = 0 обрати-
обратилось бы тогда в нуль. Наоборот, теперь следует исклю-
исключить из поверхности интегрирования сечение а', проходя-
проходящее через середину стержня, или, что сводится к тому же,
проводить интегрирование только по этому сечению, изме-
изменив знак нормали п:
m— I Bnda'. A2.14a)
На основании A2.13) и A2.14) легко убедиться, что тогда
будет приближенно выполняться равенство
т = jao/w, A2.15)
где fx0 означает магнитную проницаемость окружающей
среды *). В самом деле, выше мы убедились в том, что
в среднем сечении магнитное поле Н почти отсутствует,
так что в A2.13) можно заменить интегрирование по замк-
замкнутой поверхности интегрированием по незамкнутой поверх-
поверхности, как в A2.14), и положить при этом Hn~Bn/\i0.
Определения A2.13) и A2.14) были бы практически равно-
равнозначащими и при наличии плоскости симметрии (что имеет,
например, место и для подковообразного магнита). Однако
при несимметричной форме или несимметричном распреде-
распределении намагниченности магнита соотношение A2.14) теряет
смысл, так что сохраняет силу только определение A2.13).
В пользу последнего определения говорит и то, что оно
полностью аналогично определению электрического заряда
ч
Dn da.
1) В то время как, согласно A2.13), о т можно говорить как
о внутреннем свойстве магнита, т зависит, согласно A2.15), также
и от окружающей его среды. Это обусловлено, очевидно, тем, что
всякая отличная от вакуума окружающая среда в свою очередь
•содержит магнитные моменты, которые, конечно, влияют и на
величину т. См. также Phys. Zs. 36, 424 A935).
9 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

130 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
§ 13. Общее рассмотрение магнитостатики
и ее краевых задач
Если в § 12 мы рассматривали исключительно собствен-
собственное поле постоянных магнитов, то теперь мы займемся по-
поведением произвольных тел во внешнем магнитном поле
независимо от того, создано ли оно постоянными магнитами
или электромагнитами. Действующие здесь законы в значи-
значительной степени аналогичны законам электростатики; при
этом соответствующими друг другу величинами оказы-
оказываются Н и Е, с одной стороны, и В и D — с другой,
в противоположность разделению этих векторов на „коли-
„количественные" и „силовые" величины, принятому в нашей
классификации. Указанное обстоятельство следует из уже
известных нам основных уравнений G.2), G.9), G.9а)
A3.1)
A3.2)
и граничных условий на поверхностях раздела сред 1 и 2
Нп = Нп,
В -Я <13'3>
Интеграл от магнитного поля по какому-либо контуру,
который, согласно A3.1), не зависит от пути и опреде-
определяется, следовательно, только начальной и конечной точ-
точками А и В, мы будем называть магнитным напряжением и
по аналогии с введенным в § 2 обозначением Vав обозна-
обозначать через UАВ- Таким образом, магнитное напряжение
связано с магнитным потенциалом соотношением
^^A—^B. A3.4)
Магнитная циркуляция поэтому равна
sds^0 A3.5)
независимо от того, как проходит замкнутый путь интегри-
интегрирования— через магнитные материалы или через воздух.

§ 1$. Общее рассмотрение магнитостатики 131
Магнитный поток через участок поверхности о произ-
произвольной формы мы будем обозначать, как обычно, буквой Ф
пс1а. A3.6)
Согласно A3.2), поток Ф зависит только от ограничиваю-
ограничивающей поверхность о кривой и одинаков для всех поверхно-
поверхностей с, опирающихся на эту кривую. При распространении
интегрирования на замкнутую поверхность этот интеграл,
естественно, обращается в нуль
с1с = 0. A3.6а)
Перечислим теперь кратко все рассмотренные в § 9, 10
и 11 вопросы в применении к магнетостатике.
А. Закон преломления магнитных силовых линий
Закон преломления A1.2) силовых линий электрического
поля Е непосредственно переносится и на линии магнит-
магнитного поля Н, а в силу совпадения направлений векторов Н
и В он справедлив и для линий магнитной индукции В;
при таком же обозначении углов о.х и а2, как в § 11, этот
закон гласит:
Jg^ J^L. A3.7)
Мы предпочитаем говорить здесь о линиях магнитной
индукции, так как в отличие от магнитных силовых линий
поля Н только они переходят из одной среды в другую
с сохранением числа линий. Мы можем, следовательно, ска-
сказать, что при переходе в магнитно более плотную среду
(jx2 > jxj) каждая из В-линий удаляется от перпендикуляра
к поверхности раздела.
Б. Определение векторов Н и В в твердых телах
Чтобы с помощью мысленного эксперимента измерить
магнитное поле Н в некотором заданном месте и в некото-
ром определенном направлении, нужно просверлить в маг-
магнетике узкое и короткое цилиндрическое отверстие, а для
9*

132 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
измерения индукции В сделать узкую щель. В образовавшейся
полости (пустой или наполненной воздухом) можно измерить
величину отклонения пробного тела 1) и по найденной таким
образом силе получить значение В и соответственно
В. Намагниченность М произвольной среды,
исключая ферромагнетики
Как и в A2.2), определим М соотношением
B = jxo(H + M) A3.8)
и положим
М = *Н, A3.8а)
где % является константой вещества, называемой магнитной
восприимчивостью единицы объема вещества. В физике
большее значение имеет молярная восприимчивость
х = —. A3-86)
где о/И — вес одного моля, или так называемый молекуляр-
молекулярный вес, а р—плотность вещества. (Как мы знаем, в фер-
ферромагнетиках пропорциональность между М и Н не сохра-
сохраняется.) Из соотношений B = jxH, A3.8) и A3.8а) получаем
rt A3.9)
1+> .
Но Но
При обычном (нерациональном) способе записи формулы
A3.8) и A3.9) „обезображиваются" добавлением множителя
4тг к М и %; см. соответствующее замечание относительно Р
и г\ после соотношения A1.11). Поэтому при использовании
экспериментальных данных, записанных в нерациональной
системе единиц, нам следует добавлять множитель 4тг. Это
иллюстрирует небольшая таблица в следующем разделе.
1) Например, магнитной стрелки, провода с током или, воз-
возможно, висмутовой спирали. С нашей точки зрения, при таком
опыте сначала определяется „силовая" величина В; исходя из этого
значения В можно с помощью опыта с отверстием судить и о зна-
значении количественной величины Н (см. также § 11, Б).

§ 13. Общее рассмотрение магнитостатики 133
Г. Диа- и парамагнетизм
Диамагнетизм соответствует „диэлектрическим" свой-
свойствам', как и последние, диамагнитные свойства являются
общими для всех магнетиков и не зависят от темпера-
температуры. Происхождение диамагнитных и диэлектрических
свойств связано со строением вещества из электронов
(и ядер). Парамагнетизм проявляется только у веществ из
магнитно полярных молекул, т. е. у таких, которые обла-
обладают собственным магнитным моментом. (Об электрически
полярных молекулах речь шла на стр. 111.) Парамагнетизм
зависит от температуры, следовательно, имеет статисти-
статистическое происхождение. Он, так же как и ферромагнетизм,
чужд максвелловской теории. Парамагнитная восприимчи-
восприимчивость подчиняется закону Кюри—Ланжевена
Х = у. A3.10)
где С — постоянная Кюри, Т—абсолютная температура.
Отсюда видно, что усиление теплового движения мешает
молекулярным магнитным моментам установиться по полю,
а ослабление теплового движения способствует этому.
В случае диамагнитных веществ
\>-<Ро* х<0. A3.11)
Здесь наблюдается кажущееся отличие от диэлектриков, для
которых
е>е0, 7j>0. A3.11а)
Это объясняется теми же соображениями, которые уже были
высказаны при обсуждении соотношения D.7): величиной,
аналогичной е, является собственно не ц, а 1Да. Следова-
Следовательно, для магнитных явлений соотношением, аналогичным
неравенству е > е0, в соответствии с A3.11) будет
С указанным обстоятельством связан и отрицательный знак
у М* в A2.16). Именно если положить М* = х*Н, то для
определенной таким образом восприимчивости х* в силу со-
соотношения М* = — М = — *Н получим для диамагнетиков

134 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
что соответствует условию т\ > 0 в A3.11а). Следовательно,
предложенное нами выше введение величины М*, от кото-
которого, правда, мы вначале отказались, действительно соот-
соответствовало внутреннему родству диэлектрических и диа-
диамагнитных свойств.
Напротив, в случае парамагнетиков в отличие от A3.11)
jx>jx0, x>0. A3.116)
Как для парамагнетиков, так и для диамагнетиков числен-
численные значения % очень малы. Предельными значениями
являются:
Для парамагнетиков Для диамагнетиков
• 1,8 • 10" дляО2, х = — 4тг. 0,007-10""
. Ю~6дляРA, % = — Ак • 160 • 10~6 для Bi,
причем для парамагнетиков приведены значения при 18° С.
Зависимость проницаемости от плотности и в этом слу-
случае выражается законом Клаузиуса — Мосотти A1-8), в ко-
котором е заменено на jx.
Д. Мягкое железо как аналог
электрических проводников
С известными ограничениями мягкое железо можно от-
отнести к парамагнитным телам. Начальное значение прони-
проницаемости (по отношению к вакууму) составляет для него
в зависимости от сорта несколько тысяч; по мере роста Н
индукция В стремится к насыщению, которое достигается
примерно при 21000 гаусс. Следовательно, соотношение
B = jxH следует заменить уже упоминавшейся на стр. 44
функциональной зависимостью В = В(Н).
Поскольку мы видели на стр. 96, что в электростати-
электростатических краевых задачах электрические проводники соответ-
соответствовали предельному случаю диэлектрика с е —> оо, то мы
могли бы рассматривать мягкое железо с р.—*оо как магнето-
статический аналог электрических проводников. Действи-
Действительно, A3.7) показывает, что силовые линии магнитного
поля располагаются нормально к поверхности мягкого
железа (из jx2 —> оо следует at —> 0). Если поместить два
таких куска железа Fex и Fe2 в места с различными маг-

§ 13. Общее рассмотрение магнитостатики 135
нитными потенциалами (например, положить их на полюса
подковообразного магнита), то линии Н расположатся ана-
аналогично линиям Е на фиг. 11. Полученную таким образом
систему можно назвать магнитным конденсатором.
В технических расчетах применяют понятие „магнитного
сопротивления", которое является весьма полезным, и опе-
оперируют с „магнитным законом Ома".
Е. Частные краевые задачи
Методы решения, развитые в § 9, непосредственно пе-
переносятся в магнетостатику. Так обстоит, например, дело с
отражением в плоскости, поскольку нет существенной разницы
между индуцирующим влиянием на левое полупространство
(фиг. 10) электрического монополя или же магнитного ди-
диполя, расположенного в правом полупространстве. То же
справедливо и для применения метода обратных радиусов
к шару (который в электростатике мы считаем проводящим,
а здесь — состоящим из мягкого железа).
Особенно следует отметить случай шара в однородном
магнитном поле. Внутри него возникает однородное маг-
магнитное поле F2, а внешнее поле становится неоднородным,
поскольку к первоначальному полю F добавляется поле
мнимого магнитного момента М, который мы представляем
себе расположенным в центре шара так, что его ось на-
направлена по полю (под словом „поле" следует понимать
поле Н). Из (9.14) можно сразу получить значения F2 и М
^ ^±F. A3.12)
Здесь а — радиус шара, р. = ^2/!ао — относительная прони-
проницаемость шара по отношению к внешнему пространству
(воздуху). Для диамагнетиков F2 больше F, для парамаг-
парамагнетиков— меньше. Внутри мягкого железа, аналогично слу-
случаю электрического проводника, Н^О.
Ж. Однородное поле внутри эллипсоида вращения
Если переписать найденное выше для шара решение (9.13)
для магнитного случая, подставляя в него значения A3.12),
то получим
^^ ^. A3.13)

136 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Эти выражения удовлетворяли граничным условиям
благодаря тому, что обе части каждого граничного условия
можно было бы сократить на меняющийся вдоль поверх-
поверхности шара множитель cos в. Мы хотим показать, что при
соответствующем выборе координат аналогичный прием при-
приводит к цели и в случае эллипсоида.
При переходе от шара к эллипсоиду нам нужно заме-
заменить прежде всего сферические полярные координаты а и в
соответствующими эллиптическими координатами, которые
мы назовем и и v. Мы будем исходить при этом из из-
известного параметрического представления семейства эллип-
эллипсов (введение к задаче II. 1), в котором мы подставляем для
главных полуосей а и Ъ\
а = cchu; b = cshw, с = \ а2— Ъ2 (с не зависит от и). A3.14)
Вращением таких эллипсов вокруг большой оси (ось z, угол
поворота ср) мы получаем семейство конфокальных вытяну-
вытянутых эллипсоидов вращения [см. т. II, Механика деформи-
деформируемых сред, уравнение A9.17а)]
г2 у2 _|_ V2
Пусть среди них содержится и рассматриваемый нами эллип-
эллипсоид, которому соответствует значение параметра и = иь.
Координаты х, у, z связаны с эллиптическими координа-
координатами и, v и ср следующим образом:
х = с sh и sin v cos cp,
у = с sh и sin v sin cp, A3.15)
z = cch ucosv.
Из A3.15) мы получаем выражение для элемента длины ds
~ds2 = (ch2u— cos2v)(du2-\-dv2)-\-sh2usin2vdy2. A3.15a)
В соответствии с приведенным в т. II правилом C.96) урав-
уравнение потенциала Дф = 0 примет в этих координатах при

§ 13. Общее рассмотрение магнитостатики 137
отсутствии зависимости от круговой координаты <р вид
-^— (sh и sin v ^—) -+--3- (sh и sin v ~) = 0. A3.16)
ди \ ди) ' dv \ dv } v J
Одним из решений последнего уравнения является однород-
однородное поле, параллельное большой оси,
•ф = — = chttcost/. A3.17)
С
Мы будем искать теперь второе решение такого вида, чтобы
при построении граничных условий можно было бы сокра-
сократить их на меняющийся вдоль поверхности эллипсоида мно-
множитель cost; (который соответствует множителю cos В на
поверхности шара). Итак, мы попробуем найти второе
решение в виде
A3.17а)
и получим из A3.6) дифференциальное уравнение для /
^ [sh «/'(«)]—2 sh «/(«) = 0. A3.176)
Это уравнение, естественно, удовлетворяется для однород-
однородного поля /=chtt. Согласно общему правилу1), будем
искать второе решение в виде произведения известного пер-
первого решения и неизвестной функции U (и):
f(u)^chuU(u). A3.18)
Тогда получающееся для U (и) дифференциальное уравнение
ha и -f I ^y/ =_ q
~*~ sh и ch и
можно сразу проинтегрировать, что дает
v ' 2
1
-l
A3.18а)
(Л и В—постоянные интегрирования). В последней из этих
формул мы опустили член, содержащий В, так как он
1) Это правило аналогично известному способу решения алгеб-
алгебраического уравнения, один из корней которого известен.

138 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
возвращает нас к уже известному решению для однородного
поля.
Распространим теперь принятое выражение A3.17) и на
внешнее поле, добавив к нему A3.18а) и сохраняя для
внутреннего поля выражение A3.17)
+4fi|n
Постоянную F, входящую в выражение для внешнего поля,
мы будем считать заданной; постоянные А и F2 нужно
определить из граничных условий. Эти условия совпадают
с A3.13а), где нужно только заменить dr на du или, точнее
говоря, на элемент длины dsu в направлении нормали
к эллипсоиду, который, согласно A3.15а), равен
dsu = Y ch2 и — cos2 v du.
Однако квадратный корень, входящий в последнее выраже-
выражение, все равно сократится в обеих частях второго из усло-
условий A3.13а). Таким образом, согласно граничным условиям
при и = и0, должно быть
4)''. <1319а>
i"v <13-19б>
Вычитая эти равенства, получим несколько более простое
соотношение
A = chuosh2uo(p—l)F2. A3.19b)
Подстановка последнего в A3.19а) дает
Таким образом, напряженность поля F2 внутри эллипсоида
выражается через напряженность первоначального однород-
однородного поля F во внешнем пространстве.
Если мы используем теперь (Г3.14) и будем понимать
под а, Ъ и с полуоси и фокальное расстояние нашего
эллипсоида u = uQ, то мы сможем переписать A3.20) в виде
Ь17 <13-20а>

§ 13. Общее рассмотрение магни тостатики 139
или если выразим результат через эксцентриситет е = с{а
и магнитную восприимчивость ч/ = |х—1, то получим
Заметим, что
а) для х = 0, естественно,
F2 = F; A3.21а)
б) для е—>0 получаем, разлагая A3.21) в ряд,
F2=—F—. A3.216)
Для парамагнитных веществ поле внутри слабее, чем сна-
снаружи, а для диамагнитных — сильнее.
в) То же справедливо и для е—> 1. Если положить
77=1—е, то из A3.21) получим
^A3.21b)
^-н г.
iH-7-rjhn—— 2J
В одном предельном случае („б") эллипсоид вырождается
в шар, и действительно формула A3.216) совпадает с вы-
выражением для шара A3.12); в другом предельном случае („в")
эллипсоид вырождается в тонкий стержень.
Изложенную задачу обычно рассматривают как следствие
частного случая знаменитой формулы Дирихле для гравита-
гравитационного потенциала трехосного эллипсоида с равномерным
распределением массы. Математически такой путь выглядит
изящнее нашего, однако является в некоторой степени
обходным. Мы предпочли прямой путь рассмотрения маг-
магнитной краевой задачи, поскольку нам представляется, что
таким образом мы достигаем более глубокого проникнове-
проникновения в физический смысл рассматриваемой проблемы.
Конечно, наше решение магнитной задачи можно без
изменений перенести на соответствующую электростатиче-
электростатическую проблему.

140 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
3. Так называемый размагничивающий фак.тор
Эллипсоид вместе со своими предельными случаями (шар,
стержень) представляет собой стандартную форму тела для
магнитных измерений, поскольку только в телах такой
формы внутреннее поле, возникающее при внесении их
в первоначально однородное внешнее поле, является одно-
однородным и легко поддается расчету. При других формах
тела вычисление внутреннего поля приводит к практически
неразрешимой краевой задаче, которой соответствовало бы
меняющееся от точки к точке, ни в какой мере не одно-
однородное внутреннее поле.
Однако ясно, что все вопросы, относящиеся к магнитным
свойствам вещества, зависят только от внутреннего поля Fj
в нем. Последнее непосредственно воздействует на моле-
молекулы, из которых построено вещество, тогда как внешнее
поле F на них никак не влияет. В соответствии с этим
введенное выще соотношение A3.8а) следует уточнить
и писать
М = у-Рг. A3.22)
Такие вопросы особенно существенны в случае фер-
ферромагнитных материалов, для которых различие между
внешним и внутренним полем (как мы теперь говорим,
между F и F^) чрезвычайно велико, тогда как для пара-
и диамагнитных веществ это различие вследствие малости -/
практически исчезает. Так как для ферромагнитного, как
и для парамагнитного, вещества /^ < F, то мы напишем,
понимая под N численный коэффициент:
F; = F — Л/М A3.22а)
или, учитывая A3.22),
F* = F— -хЛ/Fi, A3.226)
Fi(l + *N) = F. A3.22b)
Численный коэффициент N является мерой ослабления внеш-
внешнего поля за счет наличия магнитного материала и поэтому
называется размагничивающим фактором. Его значение
можно найти, сравнивая A3.22в) и A3.21)
• A3-23)

§ 14. О ферромагнетизме 141
Он имеет чисто геометрическую природу. В предельных
случаях A3.216) и A3.21 в) получаем
для шара: при е —>¦ О
W = i;
для стержня: при tj—>-0
Промежуточные значения легко вычислить из A3.23); они
табулированы Кольраушем J).
Ясно, что множитель N имеет строгий смысл только
для эллипсоидов (или вырожденных эллипсоидов), поскольку
здесь идет речь о простом пересчете от одного однород-
однородного поля к другому. Решение краевой задачи для тел
другой формы никак нельзя обойти путем введения каким-то
образом угаданного численного коэффициента. На практике
приходится экспериментально определять В (с помощью
индукционной катушки) в отдельных характерных точках
(например, посредине пробного тела).
§ 14. О ФЕРРОМАГНЕТИЗМЕ
В этом параграфе мы не ставим перед собой цели дать
введение в многогранную область учения о ферромагнетизме,
а хотим лишь перечислить некоторые существенные пункты;
заниматься глубоким их обоснованием мы не будем, поскольку
они чужды собственно предмету нашего рассмотрения,
а ограничимся лишь отдельными указаниями. Теория ферро-
ферромагнетизма, как мы уже отмечали в начале § 12, основы-
основывается не на феноменологической теории Максвелла, а на
лежащих гораздо глубже выводах атомной физики и ста-
статистического рассмотрения совокупностей электронов.
1) F. К о h 1 г a u s с h, Praktische Physik, Leipzig — Berlin, 1944,
S. 540. Следует заметить, что множитель 4tl, которым отличается
уравнение D) в книге Кольрауша от нашего уравнения A3.23),
входит у нас по определению в ¦*; см. выше замечание после
соотношения A3.9).

142 Гл. It. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
А. Области Вейсса
Знак ферромагнитной восприимчивости и ее температур-
температурная зависимость указывают, что она, как и парамагнитная
восприимчивость, обусловлена ориентацией элементарных
магнитов в магнитном поле. Однако по порядку величины
она резко отличается от парамагнитного случая; это пока-
показывает, что в данном случ*ае мы имеем дело не с изолиро-
изолированными, свободно движущимися магнитами, а с целыми
группами таких магнитов. Различные группы имеют различные
преимущественные направления, тогда как все магниты одной
группы ориентированы одинаково. Каждая группа „насыщена"
сама по себе и в отсутствие внешнего поля, тогда как
в макроскопическом куске ферромагнитного материала насы-
насыщение имеет место только при напряженности поля от 10
до 1000 эрстед.
Такое понимание ферромагнитного состояния можно
проиллюстрировать с помощью модели, предложенной Эвин-
гом. На доске устанавливается решетка из магнитных стрелок,
магнитное поле Земли компенсируется петлей с током.
В такой системе стрелки ориентируются определенным
образом — они устанавливаются группами (или чаще рядами)
параллельно друг другу, причем система оказывается ста-
стабильной по отношению к внешним воздействиям (покачивание
доски). Слабое внешнее магнитное поле вызывает лишь
незначительный поворот установившихся групп, поскольку
внутреннее ориентирующее поле магнитных стрелок сначала
оказывается гораздо сильнее слабого внешнего поля. Чтобы
все стрелки установились в направлении внешнего поля,
т. е. чтобы достичь насыщения всей системы, нужны зна-
значительно большие поля. Такое толкование ферромагнетизма
было как теоретически, так и экспериментально разработано
Вейссом и углублено термодинамически Вейссом и Ланже-
веном. Отдельные группы называют областями Вейсса.
Их средние линейные размеры составляют примерно 10~5 см,
что соответствует около 5 • 108 атомов железа. Однако
самые малые области, еще обнаруживающие ферромагнитные
свойства, имеют значительно меньшие размеры и содержат
менее 100 атомов железа*). Возникает мысль идентифици-
1) См. Н. Кб nig, Naturwiss., 34, 76 A946).

§ 14. О феррома&неттмё 143
ровать эти области с теми отдельными кристалликами,
из которых, как показывает микроскопическое исследование,
построен поликристалл железа. Однако приходится допу-
допустить, что и макроскопические монокристаллы состоят из
отдельных областей Вейсса, так как качественно они ведут
себя так же, как и поликристаллы (отличия в количествен-
количественном отношении мы обсудим ниже; у монокристаллов значи-
значительно упрощается форма кривой гистерезиса: кривая ста-
становится прямоугольной).
Б. Спин электрона как элементарный магнит
Все металлические ферромагнетики являются проводниками
электричества, следовательно, содержат свободные элек-
электроны *). Имеются весьма существенные основания коли-
количественного характера считать, что именно ориентация
электронов обусловливает ферромагнетизм. Мы имеем в виду
так называемые „гиромагнитные эффекты": намагничивание
стержня из материала группы железа при вращении
(Барнетт, 1914 г.) и вращение подвешенного на крутильных
весах ферромагнитного стерженька при перемагничивании
(Эйнштейн и де-Гааз, 1915 т.). В обоих случаях измеренное
отношение механического момента к магнитному оказалось
равным только половине того значения, которое следовало бы
ожидать, если бы эффект был обусловлен обращением
электронов вокруг атомных ядер. Из этого следует заклю-
заключить, что определяющим является не заряд обращающегося
электрона и создаваемое им магнитное поле, а внутренняя
структура самого электрона. Именно, кроме заряда, элек-
электрон обладает и собственным механическим моментом, „спи-
„спином" и собственным магнитным моментом, который вдвое
меньше спинового магнитного момента, подсчитанного в клас-
классической теории. Эта гиромагнитная аномалия, обнаружи-
обнаруживаемая электроном, является общим результатом, который сле-
следует из всего экспериментального материала по аномальному
г) Почему ферромагнитными оказываются именно атомы гр>ппы
железа, этого атомная теория пока еще не может полностью
объяснить. (Изложение современных данных о ферромагнетизме
см. в монографиях: Вонсовский, Современное учение о ферро-
ферромагнетизме, М., 1953; Бозорт, Ферромагнетизм, ИЛ, 1956.—
Прим. ред.)

144 Гл. II. бписйние делений на осковё уравнений Максвелла
Зееман-эффекту (Уленбек и Гаудсмит, 1925 г.). С ее
помощью можно непосредственно объяснить результаты
двух измерений гиромагнитного отношения. Одновременно
полученные данные показывают, что именно спин электрона
играет роль магнитной стрелки в модели Эвинга.
На основании такого представления Гейзенбергу *) в 1928 г.
удалось с помощью методов квантовой статистики достичь
действительного физического понимания природы ферро-
ферромагнетизма и качественно оценить необычайно большую
величину внутреннего магнитного поля в областях Вейсса.
Отсюда видно, как далек путь, ведущий от теории Мак-
Максвелла к действительной теории ферромагнетизма, и понятно,
почему мы здесь не могли по нему последовать.
В. Петля гистерезиса и обратимое намагничивание
Кривая, представляющая зависимость намагниченности М
ферромагнитного вещества при возрастающем и убывающем
поле Н от величины /7, хорошо известна. Если образец
первоначально не был намагничен, то мы получим „девствен-
„девственную кривую намагничивания", начинающуюся в начале коор-
координат при 77=0, Ж = 0 и достигающую при достаточно
больших //горизонтальной асимптоты М = Ms — насыщения.
Если теперь снова уменьшать поле /7, то кривая пойдет
выше девственной кривой и при /7=0 отсечет на оси
ординат отрезок длиной Ж = Жд, характеризующей оста-
остаточную намагниченность. Если теперь продолжать умень-
уменьшать /7, т. е. накладывать поле противоположного направ-
направления, то мы достигнем области, где Н и В направлены
противоположно. Железный образец становится „постоянным
магнитом". При дальнейшем уменьшении Н кривая гистере-
гистерезиса пересечет ось абсцисс в точке /7 = — Нс, Ж = 0,
которая соответствует полному уничтожению остаточной
намагниченности. Поле Нс называется коэрцитивной силой.
При дальнейшем уменьшении /7 мы будем приближаться
к насыщению М = — Ms в противоположном направлении.
Если теперь снова увеличивать поле, то соответствующая
1) W. Heisenberg, Zs. f. Phys., 49, 619 A928). [Несколько
ранее объяснение ферромагнетизма было дано Я. И. Френкелем
(Zs. f. Phys., 49, 31 A928)). — Прим. ред.]

§ 14. О ферромагнетизме 145
возрастающая кривая расположится как под ветвью, соот-
соответствующей убывающему полю, так и под девственной
кривой. Она не попадет в начало координат, но опять
пересечет ось абсцисс, теперь в точке H = -\-Hq, Ж = 0.
Возрастающая ветвь будет расположена центральносим-
метрично по отношению к убывающей и в конце концов
опять сольется с соответствующей насыщению асимптотой
М = + Ms.
Как правило, Mr составляет примерно половину Ms-
Чтобы магнит сохранял остаточную намагниченность в при-
присутствии возможных посторонних полей, существенно, чтобы
коэрцитивная сила Нс была бы по возможности велика. Это
имеет место для твердых сталей (для вольфрамовой стали
HCtt 70 эрстедI). Ветви, соответствующие возрастающему
и убывающему полям, образуют петлю гистерезиса, пло-
площадь которой равна работе магнитных сил фНйВ, совер-
совершаемой над материалом за один цикл. Если при прохождении
девственной кривой остановиться, не доходя до насыщения,
например при Нх < Hs, и затем уменьшать поле вплоть
до И = —Hv после чего снова увеличивать его до Н=~\-Нх,
то получится меньшая петля гистерезиса, расположенная
внутри только что описанной. Для очень малого НХ — ЪН
петля вырождается в дважды пробегаемый отрезок и -ее
площадь обращается в нуль; процесс становится обратимым.
Отношение ЬМ/ЬИ определяет начальную восприимчивость у-0.
Такой обратимый процесс можно провести не только в на-
начале координат, но и в любой другой точке цикла; ука-
указанным путем для каждой точки цикла определяется обра-
обратимая восприимчивость хОбр.-
При обратимом намагничивании элементарные магниты
лишь немного поворачиваются от своих исходных положений
к направлению внешнего поля. Наоборот, при необратимом
намагничивании наряду с поворотами происходит и перево-
переворачивание элементарных магнитов. В обоих случаях проис-
происходят изменения структуры областей Вейсса, которые можно
рассматривать как смещение границ областей; они малы
для обратимых, но существенны для необратимых процессов.
Эти процессы можно обнаружить акустически как шумы
!) В настоящее время имеются специальные магнитные сплавы,
обладающие коэрцитивной силой в тысячи эрстед. — Прим. ред.
Ю Зак. 2614. А. Зоммерфельд

146 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
в телефоне, присоединенном к обмотке индукционной ка-
катушки, или увидеть на экране осциллографа в форме так
называемых скачков Баркгаузена. Действительно, при доста-
достаточной чувствительности осциллографа восходящая ветвь
петли гистерезиса, которая при обычном наблюдении кажется
непрерывной, разбивается на последовательность малых
скачков.
Итак, кривая намагничивания характеризует элементарные
процессы различного рода. Они зависят от состава желез-
железного образца, от его микрокристаллической структуры,
а в случае монокристалла —и от его ориентации относительно
магнитного поля. Найги подходящий сплав (пермаллой, пер-
минвар, кобальтовую сталь и т. д.) для каждого случая
применения (для сердечников электродвигателей, для аппа-
аппаратов в технике слабых токов и т. д.) и является задачей
металлургов.
Г. Термодинамическое рассмотрение
Ферромагнитные свойства еще сильнее зависят от тем-
температуры, чем парамагнитные. Выше некоторой определен-
определенной критической температуры ферромагнетизм исчезает и
вещество превращается в обычный парамагнетик. Критиче-
Критическая температура обозначается обычно буквой ft и носит
название точки Кюри. Она составляет, например,
Для железа Для кобальта Для никеля
ftoC в в = 360°С
Для Г>в вместо закона Кюри A3.10) имеет место
закон Кюри — Вейсса:
Было бы естественным предположить, что между пара- и
ферромагнетиками не существует принципиального различия
и что только для первых точка Кюри лежит очень близко
к абсолютному нулю. Тогда следовало бы ожидать, что и
обычные парамагнитные вещества будут обнаруживать фер-
ферромагнитные свойства вблизи абсолютного нуля, и можно
попытаться распространить на ферромагнетики статистико-

§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле 147
термодинамическую теорию парамагнетиков, разработанную
Ланжевеном.
Действительно, Вейсс достиг таким путем в основном
удовлетворительного описания всего комплекса ферромаг-
ферромагнитных явлений. Однако в представлении Вейсса широко
используются понятия, которые мы сможем обсудить только
в т. V (Термодинамика и статистическая физика). Существен-
Существенную, роль играют здесь также такие тонкие вопросы атом-
атомной физики, как вопрос об атомной единице магнитного
момента (магнетоне Бора в противоположность предложенному
Вейссом, примерно в 5 раз меньшему магнетону Вейсса)
или о том, в какой мере следует наряду со спиновым мо-
моментом свободных электронов учитывать также и вдвое
большие орбитальные моменты электронов, связанных в ато-
атомах. Полный ответ на все относящиеся сюда вопросы можно
найти в книге Беккера и Доринга1).
§ 15. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ И ИХ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ.
МЕТОД ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА
В соответствии с предположением о стационарности полей
все производные по времени должны обращаться в нуль, и
уравнения Максвелла D.4) сводятся в этом случае к двум:
0, j = rotH. A5.1)
Из второго из них следует
divj = O, A5.2)
а на поверхности проводника с током должно выполняться
условие
У„, = 0. A5.2а)
Из уравнения A5.2) следует, что электричество в провод-
проводниках ведет себя как несжимаемая жидкость (усиление или
ослабление тока при сужении или расширении проводника).
На уравнении A5.2) и на факте существования электриче-
электрического потенциала (см. ниже) основываются в конечном счете
так называемые законы Кирхгофа для линейных проводников;
J) R. В е с к е г, W. D б г i n g, Ferromagnetismus, Berlin, 1939.
10*

148 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
эти законы Кирхгоф получил, решая задачу, предложен-
предложенную Ф. Нейманом на семинаре.
Из уравнения A5.1) следует, что электрическое поле Е
всюду обладает потенциалом Е = — grad фе, тогда как маг-
магнитное поле Н обладает скалярным потенциалом Н=—grad фто
только вне несущих ток проводников. Им мы займемся
в § 16. Здесь мы дадим такое определение В (а следова-
следовательно, и Н), которое справедливо как вне, так и внутри
проводников. Мы хотим напомнить в связи с этим гельмголь-
цевское представление поля скоростей v при заданном вих-
вихревом распределении ш [т. II, Механика деформируемых сред,
формула B0.13)]. В аналогии Гельмгольца последнему соот-
соответствовало *) распределение плотности электрического тока j,
а полю v — магнитное поле Н. Как и в гидродинамике, вве-
введем векторный потенциал А, полагая2)
В = rot A. A5.3)
Тогда второе из уравнений A5.1) перейдет в
rot— rot A = j. A5.4)
При постоянном JX мы можем написать вместо него
rotrotA = [jj. A5.4а)
1) С точностью до множителя V2» см- по ЭТОМУ поводу т. II, Ме-
Механика деформируемых сред, § 2.
2) Обычно вместо этого полагают Н = rot А,, что, однако, осно-
основано на допущении о полном отсутствии источников у поля Н, ко-
которое не выполняется в точках с неравной нулю плотностью маг-
магнитных зарядов рт. Наше выражение A5.3) является более удобным,
поскольку div В всюду равна нулю; кроме того, оно приведет в ряде
случаев, особенно в гл. III, к упрощению формул. Впрочем, в силу
предположения о всюду постоянной величине ц, которое мы сде-
сделаем, уже преобразуя A5.4) в A5.4а), оба способа написания прак-
практически совпадают. В случае непостоянной проницаемости ц.
к задаче определения поля по заданному распределению тока, раз-
разрешаемой формулой A5.7), добавилась бы еще и магнитная краевая
задача (нахождение разрывов Bf на границах сред с различной
магнитной проницаемостью при нашем способе введения А или
нахождение возникающих там же поверхностных магнитных плот-
плотностей при обычном способе введения А). [В русской, а также
в новой переводной литературе является общепринятым способ
введения векторного потенциала, примененный автором. — Прим.
ред.]

§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле 149
Используем общее преобразование F.2), учитывая под-
подчеркнутое там ограничение случаем декартовых координат,
и получим вместо A5.4а) более удобное для интегрирования
уравнение
АА— graddivA = — jjlJ - A5.46)
Его можно упростить, наложив на А дополнительное усло-
условие
divA==0, A5.5)
благодаря которому A5.46) переходит в
Мы можем наложить на векторный потенциал усло-
условие A5.5), поскольку при заданной индукции В потенциал А
определяется уравнением A5.3) лишь с точностью до градиен-
градиента некоторой скалярной функции, которую как раз и можно
использовать для того, чтобы удовлетворить A5.5). Именно
если Аг представляет собой некоторое решение A5.3), то
решением будет и
A = A1-r-grad/. A5.6а)
Если выбрать теперь / так, чтобы
divgrad/—Д/ = —divAlf A5.66)
что всегда возможно сделать с помощью известного метода
интегрирования уравнения Пуассона, то будет выполняться
условие divA = 0.
Тот же метод интегрирования сразу же дает решение
уравнения A5.6)
k
rPQ
Точка интегрирования Q (?, v\, С) пробегает здесь всю область
внутри проводников; точка Р(х, у, z)—точка наблюдения,
в которой мы хотим найти декартовы составляющие Ах, Ау,
Аг векторного потенциала. При отсутствии источников [урав-
[уравнение A5.2)] у плотности тока j и при постоянстве ^ по-
полученное выражение удовлетворяет одновременно и допол-
дополнительному условию A5.5), что было показано в т. II, Меха-
Механика деформируемых сред, § 20, п. 2а. Интегрирование

150 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
в A5.7) должно выполняться по всему полю замкнутых
токов (аналогично тому, как в т. II мы интегрировали по
замкнутым вихревым кольцам).
Входящую в A5.7) плотность тока j в свою очередь
можно найти как решение задачи определения потенциала.
Поскольку j = оЕ, то при постоянной о плотность тока j
подчиняется так же, как и электрическое поле Е, уравне-
уравнению потенциала
Aj = O. A5.8)
В случае переменной о уравнение A5.8) принимает несколько
более сложную форму. Полный ток J получается из j ин-
интегрированием по какому-либо сечению проводника
J^fjndc A5.9)
Величина тока не зависит от положения и формы сечения.
Этот известный результат можно получить, интегрируя
уравнения A5.2) по куску проводника, ограниченному двумя
произвольными сечениями, аналогично тому, как это сделано
при выводе пространственного закона сохранения в теории
вихрей (т. II, Л'еханика деформируемых сред, фиг. 24).
Перейдем теперь к некоторым выводам из выражения A5.7).
А. Закон Био и Савара
Разобьем всю внутреннюю область проводника на трубки
тока с поперечным (перпендикулярным к оси) сечением dq
и длиной ds. Текущий через такую трубку ток Jn dq, имею-
имеющий ту же размерность, что и полный ток J, будем вре-
временно обозначать той же буквой J. Точнее, мы напишем
jdx — Jds, где векторной записью ds мы хотим отметить
направление плотности тока j. Согласно A5.7), вклад на-
нашего элемента тока в величину А составляет
л j * v-J ds
Aizd A = -
и соответственно в В, согласно A5.3),
A5.10)

§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле 151
Мы сократим дальнейшие вычисления, если введем символи-
символический вектор V
^!) = ivii^] = [gradlliydsj. A5.11)
Действительно, J ds не зависит от х, у и z, но зависит
от направления; 1/г зависит от х, у и z, но не зависит от
направления (является скаляром). Далее (см. фиг. 19),
~=^~ ~, A5.11а)
где г означает вектор, проведенный от элемента тока к точке
наблюдения, а е — единичный вектор того же направления.
Подставляя A5.11), A5.11а) в A5.10), по-
получаем j
A5.12) /
& к > Ф и г. 19. К вы-
выводу закона Био
где U означает угол между векторами е и Савара из век-
и ds, а направление вектора dB, согласно торного потен-
r r » циала элемента
смыслу векторного произведения с учетом тока.
отрицательного знака A5.12), составляет
с векторами е и ds левую систему. Если мы представим себе,
что в точке наблюдения расположен единичный магнитный
заряд, и перенесем в нее вектор dB, то dB будет означать
действующую на этот заряд со стороны элемента тока Jds
силу Био а Савара; соответствующая силовая линия огибает,
естественно, как это видно из фиг. 19, элемент тока, об-
образуя правовинтовую систему. Очевидно, первое из выра-
выражений A5.12) нагляднее, поскольку оно проще и естествен-
естественнее выражает характерную для магнитного поля зависимость
от направления; второе из выражений A5.12) мы привели
лишь постольку, поскольку оно представляет исторический
интерес.
Б. Энергия поля двух проводников
Используя выражение E.6) для плотности W магнитной
энергии, мы получаем следующее выражение для полной
энергии, проинтегрированной по пространству, которую мы

152 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
обозначим через Tif\
J J A5.13)
Для вычисления этого интеграла мы воспользуемся выведен-
выведенной из теоремы Пойнтинга векторной формулой E.2), ко-
которая перепишется в обозначениях этого параграфа (А и Н
вместо U и В) в виде
(HrotA) = (ArotH)+div[AH]. A5.14)
Мы утверждаем, что при интегрировании по бесконечному
пространству второй член в правой части обращается в нуль.
Действительно, согласно теореме Гаусса, этот член дает
Jdiv[AH]rfx = J[AH]wrfa, A5.14а)
где интегрирование в правой части выполняется по замкну-
замкнутой поверхности, ограничивающей пространство на очень
больших расстояниях, например по сфере радиусом R.
Предположим, что оба проводника, общую магнитную энер-
энергию которых мы хотим определить, целиком расположены
в конечной области пространства. Тогда можно считать,
что расстояние от любой точки проводников до любого эле-
элемента da бесконечно удаленной граничной сферы равно
постоянной величине R. Согласно A5.7), на этой поверх-
поверхности А стремится к нулю, как 1/R, а Н, согласно закону
Био и Савара, — как 1/R2. Так как da = R2 dQ (dQ— телес-
телесный угол, под которым виден элемент поверхности da), то,
следовательно, правая часть A5.14а) действительно стремится
к нулю, как R2/R$.
Из A5.14) и A5.13) при учете A5.1) получаем
= J (A rot H) dx = J (Aj) dx. A5.15)
Теперь интегрирование можно ограничить лишь проводни-
проводниками 1 и 2, поскольку вне их плотность тока j равна нулю.
Обозначим точку интегрирования в A5.15) через Р (заме-
(заменив dx на dtp) и подставим туда А = Ар из A5.7), тогда
вместо однократного мы получим двухкратный интеграл
по пространству:

§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле 153
При выполнении последнего интегрирования мы можем
различать четыре случая в зависимости от того, лежат ли
точки Р и Q на проводниках 1 или 2:
а) Р и Q лежат на проводнике 1; б) Р и Q лежат на
проводнике 2; в) Р лежит на проводнике 1, Q — на про-
проводнике 2; г) Р лежит на проводнике 2, Q — на проводнике 1.
Однако два последних случая совпадают друг с другом,
поскольку Р и Q входят в A5.16) совершенно симметрично.
Результат вычисления мы запишем в виде
) A5.17)
'\dx*dx2
A5.17а)
<15Л7б>
Множитель 2 в члене, содержащем произведение токов
в A5.17), обусловлен совпадением случаев „в" и „г"; по
той же причине L21 определяется тем же выраже-
выражением A5.176), что и L12, т. е. L21 — L12. Символы Jx и J2
означают полные токи в проводниках 1 и 2, не зависящие,
как мы отмечали в связи с A5.9), от положения места
сечения в проводнике; 1 и 1' означают два положения
проводника 1; 2 и 2' — два положения проводника 2. На-
Наконец, поделив плотности тока \х, j2 на полные токи Jlt J2,
мы ввели чисто геометрически определенные «векторы плот-
плотности линий тока»:
«1 = ^. «2 = ?. 05.17b)
Коэффициенты L называются коэффициентами индукции,
а именно, коэффициенты Ln и L22—коэффициентами
самоиндукции (или индуктивностями), а L12 — коэффициен-
коэффициентом взаимной индукции. Максвелл вместо L12 использует
обозначение М.
Коэффициенты L (или М) измеряются в единицах генрих).
В соответствии с A5.17) определим эту единицу как по
1) Джозеф Генри A792—1878 гг.) — американский физик,
открыл почти одновременно с Фарадеем возникновение э. д. с.
в катушке при изменении магнитного поля в ней.

154 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
размерности, так и по численной величине, положив
1 гн = 1 дж/а2 = 1 дж • секЩ\ A5.18)
При переходе к электромагнитным единицам CGS мы по-
получаем для генри, поскольку 1 k=1/iqcmi's • г1'5 • дж —
= 10' см2 • г ¦ сек~2,
1 2Н=109 см — 1}^ земного меридиана. A5.18а)
По нашему мнению, нельзя, однако, придавать какого-либо
значения такой простой размерности единицы индукции и
ее связи с окружностью земного шара, поскольку получен-
полученный результат зависит от произвольно выбранного опреде-
определения электромагнитной системы единиц. Но мы охотно
отметим связь между нашей единицей — генри и магнитной
проницаемостью вакуума G.16а)
ц0 = 4ге • 10~7 дж • сек2/к2 • м = 4те • 107 гн/м. A5.186)
Это соотношение межно сравнить с аналогичным соотноше-
соотношением между диэлектрической проницаемостью вакуума и
фарадой A0.36).
В. Потенциал Неймана
как коэффициент взаимной индукции
В A5.176) можно перейти к предельному случаю линей-
линейного проводника, т. е. бесконечно тонкой проволоки.
Этого нельзя сделать в A5.17а), так как тогда при сбли-
сближении обеих точек интегрирования расстояние гп (или г22)
обратилось бы в нуль и, следовательно, нарушилась бы
сходимость интеграла.
Мы положим в A5.176)
dxy — dqt dslt dx2 = dq2 ds2 A5.19)
и объединим dqx с i, и dq2 с i2. Тогда, согласно A5.17в),
произведения lldql и i2dq2 по абсолютной величине будут
равны единице и при скалярном перемножении дадут как
раз косинус угла й12 между направлениями обоих провод-
проводников dst и ds2. Следовательно,
//*!!?d. (.5.20)

§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле
155
/ ч
Это удивительно красивое и простое представление было
найдено еще в 1845 г. Францем Нейманом. Оно называется
потенциалом Неймана; согласно A5.17), оно выражает
ту часть магнитной энергии, которая обусловлена взаимо-
взаимодействием обоих колец тока. Поэтому относительное смеще-
смещение или поворот колец тока при не-
неизменной величине самих токов Jx и J2 yf yr
приводит к приращению энергии ЪТР
oW = JtJ2bLl2. A5.20а)
Чтобы провести такое перемещение
или поворот, необходимо затратить
работу; эта работа в свою очередь
определяется силой и моментом силы,
с которыми действуют" друг на друга
оба кольца тока.
Несмотря на простоту выражения
A5.20), действительное вычисление
коэффициентов взаимной индукции
оказывается несколько неудобным.
Мы рассмотрим здесь лишь один фор-
формальный пример, именно два прямых
провода каждый длиной /, располо-
расположенных на расстоянии а друг от
друга. Требуемое соотношением A5.7)
условие замкнутости токов при этом
не выполняется. Однако оно пока
несущественно; оно понадобится нам
только при обсуждении формулы
A5.24). В обозначениях, приведенных
вместо dsx, ds2, cosfI2 —1), получаем
—\2b\~--
Фиг. 20. Коэффи-
Коэффициент взаимной индук-
индукции двух прямых, па-
параллельных друг дру-
другу отрезков провода
длиной /. В нижней
части фигуры схема-
схематически указано на
конечность диаметра
проводов.
на фиг. 20 (dylt dy2
г=^==%-- A5.21)
о о
Формула, уже использовавшаяся при вычислении (9.4),
дает для внутреннего интеграла
I
A5.22)

156 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Следующая формула
2
которую легко доказать дифференцированием, дает для
интеграла от первого члена в правой части A5.22)
и для интеграла от второго члена .
i
— fdyi\n(— yx + Va>2+y\) =
Складывая их, получаем после простых преобразований под
знаком логарифма
^ f A5.23)
Предположим, что 1^>>а. Тогда в первом приближении
получим
±L?12 = 2/(in^ —l). A5.24)
Примечательно, что в этом результате мы не получили про-
простой пропорциональности между коэффициентом взаимной
индукции и длиной проводов /, поскольку скобка содержит
еще и дополнительную логарифмическую зависимость. Итак,
мы не можем говорить о коэффициенте взаимной индукции
двух наших проводов на единицу длины.
Причина этого заключается в том обстоятельстве, что
наш вывод, как мы неоднократно подчеркивали, предпола-
предполагает наличие двух замкнутых токов, тогда как в примере
речь идет о двух отрезках тока. Несмотря на это, наш
результат A5.24) имеет определенный смысл. Так, например,

§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле • 157
на основе его можно составить выражение для взаимной ин-
индукции двух параллельных друг другу прямоугольников
с током, фигурировавших в основном опыте Ампера. В та-
такой" паре прямоугольников (можно представить себе, что
один прямоугольник получен из другого параллельным сдви-
сдвигом в направлении, перпендикулярном к его плоскости)
взаимодействуют только соответственно параллельные пары
сторон, поскольку для двух перпендикулярных друг к другу
сторон входящее в A5.20) скалярное произведение (dslt ds2)
обращается в нуль. Следовательно, взаимная индукция двух
таких прямоугольников равна сумме четырех членов
вида A5.23).
Г. Коэффициент самоиндукции
Тут мы уже не можем перейти, как это уже отмечалось
выше, к предельному случаю линейного проводника, а дол-
должны вернуться к двойным интегралам A5.17а). Легко убе-
убедиться, что тогда мы действительно избежим каких-либо
трудностей со сходимостью. В самом деле, если при произ-
произвольном положении точки 1 мы введем полярные коорди-
координаты г, ft, ср с полюсом в этой точке, которые будут ука-
указывать положение точки 1', то элемент объема будет равен
dxf = г2 dr sin Ь db d<p и знаменатель гп> = г сократится
с одним из множителей г в dx^. Что же касается практи-
практического выполнения требуемого интегрирования, то оно,
естественно, оказывается еще более затруднительным, чем
в разделе В.
Мы ограничимся поэтому и теперь чисто вычислительным
примером и рассмотрим прямолинейную проволоку большой
длины / и малого, но конечного сечения д. Рассмотрим
в. этой проволоке две трубки тока, параллельные ее
оси (оси у) и будем опять пользоваться фиг. 20, в кото-
которой, однако, теперь оба линейных тока следует считать
принадлежащими одному и тому же проводу сечением q.
Пусть dqi и dq2 представляют собой поперечные сечения
обеих трубок тока; их взаимное расстояние, обозначавшееся
ранее через а, назовем теперь р, поскольку оно меняется
с изменением положения обеих трубок тока внутри q.
Элементы объема будут теперь опять задаваться выраже-

158 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
ниями A5.19), в которых dsx~ dyv ds2^=dy2, векторы,
определяемые соотношением A5.17в), примут вид
Тогда из определения индуктивности A5.17а) получим
L= Г С1яф_Г f__rfyitfyB A525)
±L
Внутренний двойной интеграл имеет здесь как раз прежнюю
форму A5.21). Мы можем и теперь использовать для него
приближенное выражение A5.24) и написать
4тт: 2/ Г Г , . Л 2/
2/ ( г г о г г
== —^-ч I I dq1dq2(\n2l—1) — J I dqx dq2 In p
В первом члене правой части интегрирование по dqx и dq2
можно выполнить непосредственно. Во втором члене рас-
расстояние р = р12 между трубками тока является переменной
величиной, поэтому мы обсудим это выражение более по-
подробно. В качестве промежуточного результата отметим,
что
— L — 2/ (In 2/ — 1 — In p),
A5.26)
Введенную здесь величину р Максвелл х) называет средним
геометрическим расстоянием элементов dqx и dq2 внутри
сечения q. Вместо прямого вычисления величину р можно
1) См. «Трактат об электричестве и магнетизме», п. 691 и ел.
Для разъяснения обозначений отметим, что подлежащий вычисле-
вычислению в A5.26) интеграл означает арифметическое среднее всех
встречающихся на нашей поверхности q значений In p. Однако, согласно
соотношению,
; = 1пП pi,
это арифметическое среднее логарифмов равно логарифму геоме-
геометрического среднего всех pj.

§ 16. Стационарные токи и их магнитное поле 159
получить более изящным способом с помощью вспомога-
вспомогательного электростатического рассмотрения.
Запишем двухмерное уравнение потенциала в полярных
координатах
ЛФ » + «»•> p<»+-V!*=0. (.5.27)
дхг ' ду* р dpv dp ' р2 ду* v '
Как известно, его решением, не зависящим от ср, является
с точностью до аддитивной постоянной и постоянного
коэффициента «логарифмический потенциал»:
Ф = 1п р.
Последнее выражение в двухмерном случае имеет смысл ре-
решения для отрицательного заряда, сконцентрированного
в точке р = 0. Если заряд распределен по поверхности q
с положительной плотностью /, то, обозначая элемент по-
поверхности q через dq2, мы получаем, согласно теореме
Грина, следующее выражение для потенциала такого распре-
распределения в точке наблюдения 1:
2теФ1= — ff\npl2dq2. A5.28)
Q
Это выражение является двухмерным аналогом хорошо зна-
знакомой нам формулы G.5). Если мы положим теперь
в A5.28) /= — 2тг, то получим как раз входящий в A5.26)
внутренний интеграл
/ A5.28а)
и наше искомое среднее геометрическое расстояние можно
будет записать в виде
1п~р = Л ГФ1^1- A5.286)
Интеграл A5.28а) легко вычислить в том специальном
случае, когда поверхность q является кругом, скажем,
радиусом Ь, и точка 1 совпадает с его центром. Действи-
Действительно, тогда р12 = р, т. е. совпадает с уже применявшейся
ранее полярной координатой, a dq2 = pdpdy. Если мы

160 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
обозначим это специальное значение Фг через Фо, то
A5.28а) примет вид
2ic b
Фо— Г dy I dp pin p. A5.29)
Интеграл по р легко вычислить интегрированием по частям,
что дает
О 0 0
Таким образом, из A5.29) следует
) A5.29а)
С другой стороны, Фх представляет собой потенциал
зарядов, распределение которых известно, и для произволь-
произвольного положения точки 1 его можно вычислить, исходя из урав-
уравнения Пуассона. В двухмерном случае, по аналогии с G.4а),
оно имеет вид
где/—поверхностная плотность. В нашем случае (/ =— 2тг;
поверхность q—круг радиусом Ъ\ Фх зависит только от р)
оно принимает вид
±?^21с. A5.30)
р dp ^ dp
Отсюда двухкратным интегрированием получаем
Чтобы это выражение для Фх при р = 0 переходило в выра-
выражение A5.29а) для Фо, мы должны положить
А = 0, В = Ф0, т. е. Фх^т^{\пЬ—1 + 1^). A5.31)

§ 16. Стационарные токи и их магнитное поле 161
Если мы подставим теперь это выражение для <Dt в A5.286),
то получим
p3dp = \nb -. A5.32)
0
Тогда для самого р получим своеобразное значение
Р = Т^-. A5.32а)
V*
То обстоятельство, что геометрическое среднее пропорцио-
пропорционально радиусу Ь, является в известной степени самооче-
самоочевидным, однако числовой множитель можно получить только
путем сложного анализа, что мы и показали здесь с помощью
рассуждения, основанного на теории потенциала. В своих
выкладках мы следовали Максвеллу; между прочим, нужно
заметить, что Максвелл проводит аналогичное рассуждение
даже и для случая поперечного сечения произвольной формы.
Чтобы перейти к собственно интересующей нас цели —
вычислению индуктивности L—вернемся к выражению A5.26)
Используя A5.32), получаем
х~"т)" A5-33)-
Эта формула подтверждает, что, как мы и предвидели
вначале, при вычислении коэффициента самоиндукции переход
к линейному проводнику (Ь-+0) невозможен.
По поводу зависимости от / нужно сделать то же заме-
замечание, что и в конце раздела В: мы не можем перейти путем
деления на / от A5.33) к индуктивности единицы длины
бесконечно длинного провода, однако вполне можем соста-
составить из выражений типа A5.33) формулу для индуктивности
замкнутого кусочно прямолинейного конгура.
Мы хотели бы еще отразить возражение, которое мож-
можно было выдвинуть против сравнительно сложного вывода
соотношения A5.33). Действительно, магнитное поле беско-
бесконечно длинного провода известно нам из фиг. 4 и связанных
с этой схемой формул D.10)—D.13). Разве нельзя было
11 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

162 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максбеллй
несравненно более прямым путем сразу вычислить из них
энергию и индуктивность прямолинейного провода?
Полагая силу тока равной J, мы нашли бы (мы пишем
теперь b вместо прежних а, Ь)
Для r<b: И=^^,
j A5.33а)
Для г > Ь: Н = -н— .
Следовательно, внутренняя область провода вносила бы сле-
следующий вклад в величину энергии на единицу длины:
о о
тогда как соответствующая величина для внешней области
с с
2 J 4ти J г 4ти b
b Ь
Согласно энергетическому определению A5.17), мы нашли бы
отсюда для индуктивности на единицу длины
A5.33b)
Однако при с -> ос, т. е. при переходе к одиночному проводу
без обратного проводника, это выражение логарифмически
расходится. Итак, наше намерение упростить вывод, разу-
разумеется, рухнуло вследствие иефизической постановки задачи:
мы получили бы в пределе при с -> со, что на каждую еди-
единицу длины приходится бесконечно большая энергия во внеш-
внешнем пространстве.
Д. Индуктивность двухпроводной линии
Система из двух параллельных проводов, по которым ток
течет в противоположных направлениях, играет важную роль
при передаче электрической энергии и при проведении опы-
опытов с высокочастотными волнами Герца; она называется обычно
системой Лехера. Мы хотим определить (конечно, ограничи-
ограничиваясь, как и всюду в этом параграфе, случаем постоянного

§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле 163
тока) индуктивность такой системы, приходящуюся на еди-
единицу длины.
Чтобы снова использовать фиг. 20, обозначим (очень
большую) длину проводов через /, расстояние между ними —
через а, а их радиус — через Ь. Будем исходить из фор-
формулы A5.17) для энергии, положив в ней
J - .—_ J ^ ,/g . J ^ Li¦% * 22 ' *-**
Тогда получим
\ Ln-=2(L—L12). A5.34)
Введенную здесь величину Ln естественно назвать индуктив-
индуктивностью двухпроводной линии (рассматриваемой как единая
системаI). Подстановка выражений A5.33) и A5.24) дает
J n \ b 4 a ' /
При объединении логарифмических членов члены :±:1п2/
сокращаются и мы получаем простую формулу
Величина Ljjjl представляет собой искомую индуктивность на
единицу длины для двухпроводной линии и, как мы видим,
не зависит от /. Таким образом, в рассматриваемом случае
можно осуществить предельный переход / -> оо, чего нельзя
было сделать в выражениях A5.33) и A5.24) для Ljl и L12//
как раз вследствие наличия члена In 21. Указанное обстоя-
обстоятельство связано, конечно, с тем, что двухпроводная линия,
по которой текут равные токи противоположных направлений,
образует хотя и бесконечный, но замкнутый контур. Наоборот,
предельный переход к линейному двойному проводу (Ь -> 0)
в данном случае невозможен, тогда как в выражении для
взаимной индукции его можно было провести.
1) В электротехнике вводят аналогичное определение и для
многопроводной системы—так называемую „индуктивность сети",
если по условиям нагрузки токи во всех проводах однозначно опре-
определяются током в одном из них.
11*

164 Гл. //. Описание явлений на оскове уравнений Максвелла
Е. Общая теорема о переносе энергии
стационарными токами
Рассмотрим кусок провода произвольной формы, ограни-
ограниченный двумя сечениями Ft и F2. Будем считать, что внутри
него расположена „нагрузка", в которой происходит превра-
превращение электрической энергии в работу или другую форму
энергии, например лампа накаливания. Зададимся вопросом
о подводимой к нагрузке мощности (выделяющееся в нашем
куске провода джоулево тепло следует также отнести. к
нагрузке).
Дополним сечения Fu F2 до замкнутой поверхности F и
вычислим мощность N как направленный внутрь поток энергии
через эту поверхность. Согласно теореме Пойнтиига E.7а)
и по смыслу определения джоулева тепла, мы получим в пред-
предположении условий стационарности
N
J Sn dF= J Ej dV, A5.36)
где V — объем, ограниченный поверхностью F. В стационар-
стационарном состоянии всюду внутри V
rotE = 0, Е = — grad ф, следовательно, (Ej)=—(grad ф • j)
Преобразуем последнее выражение с помощью непосред-
непосредственно очевидного и всегда справедливого тождества
div [ф • j] = (grad ф • j) + ф div j,
где j — произвольный вектор, ф — произвольный скаляр. При
рассматриваемых условиях divj = O и последний член
тождества пропадает. Поэтому из A5.36) следует
N = — fdiv[ty-j]dV A5.37)
или, используя теорему Остроградского —Гаусса,
fndF. A5.38)
Но последний интеграл достаточно распространить только
на поверхности Ft и F2, через которые подводится и отво-
отводится ток, так как только на них плотность тока j отлична

§ 16. Метод двойного слоя Ампера 165
от нуля. Удобнее всего выбрать в качестве Fx и F2 экви-
эквипотенциальные поверхности с ф = ^ и ф = ф2. Тогда из A5.38)
получим
f fndF2. A5.39)
Но, согласно выбранным выше направлениям нормалей п,
fjndF1=
и поэтому в силу A5.39)
Л/ = (^ —-!;2)y=W, A5.40)
где V—падение напряжения между сечениями Ft и F2
(в вольтах), а У—сила притекающего или утекающего тока
(в амперах).
Эта фундаментальная формула, выражающая мощность
непосредственно в ваттах (дж/сек), выведена здесь для ста-
стационарных состояний, но в § 18 мы покажем, что она приме-
применима и для „квазистационарного" случая. Чтобы предупре-
предупредить недоразумения, следует заметить, что в использованном
выше примере с лампой накаливания A5.40) ничего не гово-
говорится о силе света лампы или излучаемой ею энергии.
Последние процессы лежат вне области компетенции теории
Максвелла и основываются на атомных явлениях, которые
становятся возможными лишь за счет джоулева тепла, выде-
выделяющегося в нити накала, но энергетический баланс которых
не имеет отношения к формуле A5.40). Формула A5.40)
описывает превращения энергии лишь до образования джоулева
тепла, но не более.
§ 16. МЕТОД ДВОЙНОГО СЛОЯ АМПЕРА
Чтобы получить представление о магнитном поле вне и
внутри проводника с током, в предыдущем параграфе мы
должны были ввести понятие векторного потенциала. Если
ограничиться рассмотрением, справедливым лишь вне провод-
проводника с током, то можно обойтись обычным скалярным маг-
магнитным потенциалом ф.
Действительно, согласно A5.1), вне проводника справед-
справедливы уравнения
0 = rotH, Н = —grad<]>. A6.1)

166 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Если присоединить к ним условие div/3 = 0 и предположить,
что магнитная проницаемость однородна во всем пространстве
вне проводника, например ц. = ц.о, то получим
div grad ф = Дф = 0. A6.2)
Однако в отличие от случая магнитостатики этот потен-
потенциал ф не является однозначной функцией координат. Его
значение при каждом обходе вокруг проводника с током J
изменяется на величину J, которая не зависит ни от формы,
ни от длины пути, т. е.
ф1 — ф2 = ф Н8 ds = zt J. A6.3)
Здесь ф! и ф2 — значения ф в начальной точке I и в совпа-
совпадающей с ней конечной точке 2 контура, по которому произ-
производился обход вокруг проводника, причем верхний знак J
соответствует случаю, когда направление обхода и направление
тока образуют правовинтовую, а нижний знак — левовинтовую
систему. Напротив, при обходе по любому замкнутому кон-
контуру, не охватывающему проводник,
fsds = O. A6.3а)
Справедливость обоих соотношений A6.3) и A6.3а) непосред-
непосредственно следует из A5.1). Действительно, если построить
произвольную поверхность о, опирающуюся на рассматривае-
рассматриваемый контур интегрирования, то в первом случае эта поверх-
поверхность пересечет проводник с током, а во втором случае всегда
можно построить поверхность таким образом, чтобы она
не пересекала проводник. Если для каждого элемента по-
поверхности da образовать нормальные составляющие векторов,
входящих во второе уравнение A5.1), и проинтегрировать
по всем do, то получим
fjnda = Jrot^Hrfo.
Левая часть, согласно A5.9), представляет собой полный
ток, проходящий через поверхность с, и равна соответ-
соответственно J или 0 для соотношения A6.3) или A6.3а). Пра-
Правая часть преобразуется по теореме Стокса в криволиней-
криволинейный интеграл по замкнутому контуру s.

§ 16. Метод двойного слоя Ампера 167
При многократном обходе вокруг проводников как
в одном, так и в другом направлении изменение ф равно,
очевидно, алгебраической сумме изменений, соответствую-
соответствующих обходам вокруг отдельных проводников, а именно
<W — <Ь = 2 »лЛ.
где пк — число обходов вокруг /г-го проводника. Таким
образом, ф является многозначной функцией с бесконечным
числом значений. Две какие-либо „ветви" ф отличаются
лишь на константу, которая состоит из произведений то-
токов J на целочисленные коэффициенты пк.
А. Магнитный листок линейного тока
Несмотря на эту многозначность, можно дать опреде-
определенное правило для однозначного вычисления ф, если огра-
ограничиться предельным случаем линейных проводников, т. е.
проводов, поперечное сечение которых стремится к нулю;
кроме того, достаточно сначала рассмотреть одиночный
провод, который обозначим через А. Проведем через Л
„ условную перегородку" —поверхность 5' (ее краем является Л,
а в остальном это произвольная поверхность) и запретим
переход через нее. Благодаря этому из многозначной функ-
функции потенциала мы выделим одну „ветвь". Перенося не-
несколько рискованную даже для римановых поверхностей
терминологию на пространство, мы можем также сказать:
из „риманового пространства", бесконечное множество „ли-
„листов" которого имеет общую линию ветвления А и пере-
переходят один в другой в сечении ветвления 5, мы отделяем
один „лист". Этот лист и будет в дальнейшем рассматри-
рассматриваться как физически отдельно существующий; он становится
таким образом „односвязным" 1).
Теперь расчет ф производится просто путем применения
формулы Грина:
f(d^. A6.4)
!) Путем построения условной перегородки, „закрывающей"
контур с током, пространство, содержащее этот контур, делают
односвязным. Эту геометрическую операцию автор по аналогии свя-
связывает с выделением одного листа многолистной поверхности Ри-
мана (неоднозначной аналитической функции комплексного пере-
переменного). — Прим. ред

168 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Подставим сюда
и = ф, v=y, r = rpq A6.4а)
и распространим левый пространственный интеграл на все
точки Р нашего телесного листа, за исключением точек,
лежащих внутри сферы радиусом р -> 0, окружающей точку
источника Q, и точек, лежащих за пределами сферы радиу-
радиусом R-+oo, которую можно построить вокруг произволь-
произвольной точки О, лежащей, например, на поверхности 5. Соот-
Соответственно этому мы должны распространить правый поверх-
поверхностный интеграл на обе сферические поверхности /С и Кп
и на оба „берега" перегородки 5. Интеграл по сфере /С.
благодаря соотношению
dv , ( d \\ 1 ,
равен, очевидно,
Щд. A6.5)
Интегрирование по сфере Kr дает
По закону Био и Савара Н уменьшается с ростом R как XJR2.
Поэтому второй из вышестоящих интегралов остается ко-
конечным и исчезает после умножения на 1/R. Первый инте-
интеграл соответственно пропорционален величине R и тоже
исчезает при умножении на \jR2. Таким образом, интеграл,
взятый по Kr, равен нулю. Результат, который мы полу-
получили здесь, основываясь на законе Био и Савара и, следо-
следовательно, используя метод векторного потенциала, можно
было бы подтвердить также и с помощью метода, развитого
в этом параграфе.
Наконец, остается рассмотреть оба берега (/ и 2)
условной перегородки 5. Благодаря противоположному на-
направлению п на обоих берегах получаем
(?)(). A6.6)
\дп/1 \дпJ v
Поскольку
ди д'Ь j,
~дп ~ Ш ~~ ~~ п

§ 16. Метод двойного слоя Ампера
169
представляет собой физическую величину, не имеющую ни-
ничего общего с математической фикцией — сечением ветвле-
ветвления, то справедливо также соотношение
dJL\ =
дп J1
дп)'
A6.6а)
Теперь сумму интегралов, взятых по обоим берегам, ко-
которая входит в правую часть A6.4), можно записать
в виде
Здесь г>! — v2 исчезает, поскольку v=l/r, J
однако ил — и2 не исчезает. Напротив, согласно
соотношениям A6.3) и A6.4а), иг— м2=
Таким образом, A6.66) переходит в
J 3 da.
Фиг. 21.
A6.7) Циркуляция
магнитного
поля вокруг
проводни-
проводника Л.
Чтобы определить знак, рассмотрим фиг. 21,
согласно которой / является тем берегом
поверхности 5, на которой нормаль п1г на- интеграл бе-
правленная к 5, образует правовинтовую га / до берега 2
систему с направлением тока. Изображенный сечения ветвле-
на фигуре обход от / к 2 образует с направ-
направлением тока левовинтовую систему. Следовательно, сог-
согласно правилу A6.3), нужно выбрать в A6.7) отрицатель-
отрицательный знак. Таким образом, написав в A6.7) п вместо пх и
вынося постоянный для всех пар точек /, 2 множитель J за
знак интеграла, получаем
~~ da.
A6.7а)
Совместно с A6.5) это дает значение правой части A6.4)
Ti к как левая часть A6.4) исчезает благодаря соотноше-
4 1 ю Дм = Дг> = 0. то окончательное выражение для ф

170 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
получается в виде
Интеграл, стоящий справа, имеет очень простой геомет-
геометрический смысл. Он представляет собой телесный угол й,
под которым контур тока Л виден из точки Q. Действи-
Действительно, подынтегральное выражение в A6.8)
dn
da = -х cos (п, r) da = —^ = df
r r2 v ' r* J
представляет собой элемент поверхности сферы единичного
радиуса, описанной вокруг Q, который вырезается конусом
лучей, опирающимся на элемент da; dan есть соответствую-
соответствующий элемент поверхности сферы радиусом г. Согласно этому,
G= f df A6.8a)
является полной поверхностью, вырезанной на сфере единич-
единичного радиуса конусом лучей, проходящих через границу 5,
т. е. представляет собой упомянутый телесный угол.
Теперь скачок потенциала ^t — ф2 на условной перего-
перегородке обретает наглядный смысл. Действительно, при пере-
переходе точки Q на берег / поверхности 5 наш конус лучей
вырождается в плоский веер, а угол 2 становится равным 2ti;
наоборот, при переходе точки Q на берег 2 угол 2 = — 2ti.
Записывая соотношение A6.8) для каждого из этих случаев
и вычитая одно из другого, получаем
т. е. действительно скачок потенциала, который должен иметь
место, согласно соотношению A6.3).
Наряду с рассмотрением геометрического смысла соот-
соотношения A6.3) остановимся на „магнитной" трактовке этого
выражения. Мы будем говорить о поверхности 5 как о двой-
двойном слое с поверхностными плотностями магнитных заря-
зарядов zto)TO. При этом предположим, что слои с противополож-
противоположными магнитными зарядами расположены на расстоянии dn
друг от друга с разных сторон поверхности S и параллельны

§ 16. Метод двойного слоя Ампера 171
ей. Ток J представим как момент этого магнитного двойного
слоя
J=*omdn; A6.9)
теперь соотношение A6.8) можно переписать в виде
mdn^-da. A6.9а)
Если под г+ подразумевать расстояние точки Q соответ-
соответственно от слоя с положительным и с отрицательным маг-
магнитными зарядами, то будем иметь
дп г r+ r_ Y J r+ J r_
Таким образом, соотношение A6.8) в сущности представляет
потенциал магнитного двойного слоя, момент которого имеет
постоянное значение J на всем слое. Следуя Амперу, мы
назовем поверхность, на которой находится этот двойной
слой, магнитным листком; линейный проводник Л обра-
образует его границу.
Здесь будет уместно привести общую теорему из тео-
теории потенциалов о простом и двойном слое: при прохожде-
прохождении через поверхность, на которой находится простой слой
типа G.5а)
потенциал ф остается непрерывным, а нормальный градиент
потенциала терпит разрыв
\dnji \дп /г
в противоположность этому при прохождении через двой-
двойной слой типа A6.8)
4тпЬ = I J -r da
7 J дп г
потенциал терпит разрыв, а его градиент остается не-
непрерывным. Действительно, в этом случае

172 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Б. Магнитная энергия и магнитный поток
Особенно просто рассчитать этим методом магнитную
энергию линейного проводника, окруженного средой с одно-
однородной магнитной проницаемостью, т. е. произвести инте-
интегрирование выражения, определяющего эту энергию:
J(HB)tf| JH2d A6.10)
Воспользуемся так называемой „второй формой теоремы
Грина" [см. т. II, Механика деформируемых сред, фор-
формула C.16)], которая после подстановки одинаковых функ-
функций вместо входящих в нее и и v примет вид
\и?шA1-\- Г (grad и grad и) dx — Г u^—da. A6.11)
Подставим и = ф и распространим интегрирование в левой
части равенства на все внешнее по отношению к нашему
линейному проводнику пространство, имея в виду, что по-
потенциал ф стал однозначным после введения условной пере-
перегородки .S. При этом стоящий справа интеграл нужно брать
по обоим берегам (/ и 2) поверхности S. От интегрирова-
интегрирования по поверхности, ограничивающей пространство на бес-
бесконечности, мы можем отказаться, поскольку нам известно
поведение ф на бесконечности.
Первый член в левой части A6.11) исчезает, так как
Дф = 0, второй член равен 2Ж°/^, так как grad ф = — Н.
Интеграл в правой части A6.11), взятый по обоим берегам
сечения с учетом противоположных знаков dty/dn на / и 2,
имеет вид
f ^Jnda. A6.11а)
При этом было принято во внимание изложенное ранее пра-
правило выбора знака в зависимости от ориентации нормали п
относительно направления тока. Итак, из A6. И) получаем
W= ^JjHndo= ^УФ. A6.12)
Здесь Ф — поток индукции через наш проводник Л.

§ 16. Метод двойного слоя Ампера 1?3
Из A6.12) следует чрезвычайно простое определение
коэффициента самоиндукции L. Именно, сравним A6.12)
с определением A5.17), переписанным для одного проводника:
7^ = i-ZJ2. A6.13)
Тогда непосредственно найдем
Ф = и, L=j. A6.14)
Перейдем теперь от одного линейного проводника, рас-
рассматривавшегося до сих пор, к двум линейным проводни-
проводникам Лх и А2. Чтобы пространство в этом случае стало „одно-
связным", необходимо ввести две поверхности Sx и S2,
обтекаемые токами Ух и J2. Обозначим через пх и п2 нормали
к этим сечениям; п1 и п2 ориентированы так, что образуют
с направлениями токов правовинтовую систему. Магнитные
поля токов Jt и J2 накладываются друг на друга и образуют
общее поле Н = Нх-|-Н2. При интегрировании по Sx и S2,
которое производится так же, как в A6.11а), встречаются
выражения
f {Ht
Поэтому для энергии вместо A6.12) получается выражение
в форме четырехчлена, который мы запишем в таком же
виде, как и A5.17):
\ \Lnj\
) J,J, -f- L22jl], A6.15)
Hlnidol3 L22 = ^-f HM3da2, A6.15a)
H2nid3, L21 = -$- f Hlllsdo2. A6.156)
l s
При таком определении также выполняется соотношение
12 " 21*
в чем можно убедиться, выразив Н через ф и представив ф
в виде A6.18). Тогда получим
°2-5^Г^> A6.16)

174 Гл. II. Описание явлений На основе уравнений Максвелла
где г12 — расстояние между двумя произвольными точками,
одна из которых выбрана на сечении Sv а другая — на
сечении S2. Так как правая часть A6.16) симметрична по
отношению к индексам 1 и 2, то L2X выражается той же
формулой.
Используя A6Л5а) и A6.156), можно выразить оба по-
потока индукции Фх и Ф2, пронизывающие сечения S1 и S2:
12J2,
AС. 17)
= I* J
da2 =
Следовательно, при наличии двух линейных проводников
магнитный поток записывается в виде двучлена и выражается
через два тока. При наличии п линейных проводников маг-
магнитный поток записывается в виде многочлена (состоящего
из п членов) и выражается через п токов.
В. Вычисление самоиндукции двойного провода
Как и в § 15, Д, будем рассматривать два провода
с противоположно направленными токами как единый замк-
замкнутый контур тока и обозначим расстояние между прово-
проводами через а, радиус проводов — через Ь. Так как мы
не можем перейти к- b —* 0, то наш метод скалярного по-
потенциала, собственно говоря, не пригоден, поскольку он
относится только к линейным проводникам. Однако мы
можем считать, что соотношение A6.14) независимо от его
происхождения является непосредственным определением
самоиндукции L, точнее говоря, той части L, которая обу-
обусловлена полем вне провода (фиг. 22).
На фиг. 22 рассматриваемая нами часть S условной
перегородки выделена штриховкой. Она простирается в пло-
плоскости ху (в которой лежат оси обоих проводов) от края
одного провода до края другого и имеет в направлении у
длину, равную 1. Магнитное поле Н является суперпозицией
магнитных полей Wx и Н2 обоих проводов, которые склады-
складываются, вообще говоря, векторно. Однако на участке по-
поверхности 5 поля Hj и Н2 направлены в одну сторону, так
как J1 = — J2, и проходят перпендикулярно к сечению S.

§ 16. Метод двойного слоя Ампера
Обозначая расстояние рассматриваемой точки, лежащей
в поверхности S, от одного проводника через х, а от дру-
другого соответственно через а — х, получим
~ 2я \х ' а — х)'
и
Отсюда с помощью A6.14) найдем, что для единицы длины
двойного провода
(^К <16-18>
Индекс а указывает на то, что имеется в виду „внешняя
самоиндукция". Произведя интегрирование в A6.18), будем
иметь
— Ь . Ь
L, n o I 1П * • ¦ 1П j I -—
a 2тс \ b a—b)
i 1 ^ 1 / 1 ?! 1 O\
71 ' Ь 71 О
Последнее следует из неравен-
неравенства b<<^a. Сравнивая это вы-
выражение с A5.35), мы видим,
что первая часть прежней фор-
формулы соответствует нашей внеш-
внешней самоиндукции, и из этого
заключаем, что вторая часть долж-
должна означать „внутреннюю" само-
самоиндукцию /.?.
Это подтверждается следую-
следующим образом. На основании энер-
энергетического определения само-
самоиндукции A5.17) положим
1
"ЦР _ / /2 (\(\ О(\\
Фиг. 22. К определению
самоиндукции двухпровод-
двухпроводной линии по магнитному
потоку через сечение вет-
ветвления S.
где 7//Oi означает магнитную энергию, заключенную внутри
единичного элемента длины нашего двойного провода. Маг-
Магнитное поле внутри одного провода определяется, согласно
D.10), формулой
1 L
Ь 2-кЪ '

176 Гл. И. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
поскольку мы не учитываем слабое магнитное поле от дру-
другого провода. Тогда энергия, содержащаяся в единице
длины одиночного провода, равна
7 l
[ 7
J J
? [ 7 Wrdrdy^^ n
2 J J T J \ b
oo о
Эта величина представляет собой половину входящей в A6.20)
энергии Ж0^. Из A6.20) следует также
A6-20а>
что совместно с A6.19) подтверждает наш прежний резуль-
результат A5.35).
Г. Электромагнитное измерение тока по Веберу
Возвратимся к соотношению A6.8) и предположим сна-
сначала, что поверхность S, опирающаяся на контур с током J,
представляет собой плоскость. Вычислим потенциал ф
в точке, находящейся на большом расстоянии от S. Тогда
для всех элементов da поверхности S1 направление dn и
величина \\г будут одинаковы. В этом случае сразу удается
провести интегрирование по поверхности S; в результате
получаем
4^ = JS^1. A6.21)
С другой стороны, вспомним уравнение G.106) для по-
потенциала одиночного магнитного заряда т. Из него можно
получить выражение потенциала диполя с очень малым рас-
расстоянием / между полюсами и направлением оси п:
4Ц; = Л|_— —, M = ml—момент диполя. A6.22)
Сравнение A6.21) и A6.22) показывает, что магнитное
поле тока J, обтекающего поверхность S, на большом
расстоянии равно магнитному полю диполя, или, иначе
говоря, равно полю короткого стержневого магнита,
установленного перпендикулярно к поверхности S и
имеющего момент М = JS.

§ 16. Метод двойного слоя Ампера 177
Если контур с током не является плоским, то его можно
спроектировать на три взаимно перпендикулярные плоскости
и сопоставить соответствующим плоским контурам тока
эквивалентные им стержневые магниты. Сложив векторно их
моменты, получим наклонно ориентированный диполь, кото-
который на больших расстояниях снова дает такое же маг-
магнитное поле, как и исходный контур с током. Эта экви-
эквивалентность тока и магнита положена в основу знамени-
знаменитой работы В. Вебера „Электродинамические измерения".
На этой эквивалентности, т. е. на соотношении
JS = M, A6.23)
основана электромагнитная система единиц, связанная с именем
Вебера. Электрическая величина J становится, таким обра-
образом, магнитной величиной. Вернее, электрическая вели-
величина J заменяется величиной M/S, имевшей первоначально
другую физическую сущность. Это возможно лишь в том
случае, если размерность магнитного заряда, которую мы
обозначили через Р, и размерность электрического заряда Q
находятся в определенном соотношении. Согласно A6.23),
это соотношение таково:
о Поверхность
g Bp^i =
Итак,
р п Длина п
PQQ
Таким образом, мы приходим к гипотезе Ампера, согласно
которой магнетизм представляет собой не что иное, как
движущееся электричество. Однако, как мы уже отмечали
на стр. 77, при сегодняшнем состоянии науки, после от-
открытия нейтрона, являющегося одним из основных элемен-
элементов ядра, гипотеза Ампера не кажется столь достоверной,
как сто лет тому назад. Как мы уже упоминали в § 8, Б
в системе единиц Кона эта гипотеза не используется, что и
составляет преимущество указанной системы.
Наша система четырех основных единиц MKSQ своеоб-
своеобразно связана с электромагнитной системой CGS, введенной
Вебером. Наша единица Q = 1 к = 1 а • сек равна, как мы
знаем, 1/10 электромагнитной единице заряда. Согласно
этому, фундаментальные константы вакуума выражаются
12 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

178 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
следующим образом (при этом учитывается также экспери-
экспериментальный факт ео[Ао = с~2):
ji0 = 4тг • 10
дж
1
ja0c2
• сек2\к2
= 4- - 10
107
4tic2 '
1см. G.
пс - 10"'
[см. G
• м =
~' гн/м
х2 ¦ м/дж
17) и A0
дж ¦ сек2!
.19) и D.
[см.
¦ см2;
¦ 36)],
'к2 • л
5в)].
A5.186)],
- 10~9 Aim
- 3671 ^
? ?5г! 1 20 7Г ОЛ
A6.
A6.
1
A6.
24)
25)
26)
Наряду с электромагнитной системой CGS, к сожале-
сожалению, употребляется также, как мы знаем, электростати-
электростатическая система. В ней имеется следующее произвольное
определение, которое можно оправдать лишь исторической
традицией G.8):
/=4*80=1, A6.27)
откуда определяется электростатическая единица заряда
CGS еэл.-ст. Вычислим, как выражается кулон через эту еди-
единицу, т. е. чему равна величина л:/еЭл.-ст.» если мы приняли,
что заряд, равный 1 к, связан с электромагнитной едини-
единицей заряда CGS еэл.-магн. соотношением
'эл.-магн.
Согласно A6.25) и A6.27),
4 1 W
0 ~
С2 107 эрг .сек2
Из этого равенства и из A6.28) следует
СМ\сеК. A6.29)
Единица заряда в электромагнитной системе в 3 • 1010
раз больше единицы заряда в электростатической си-
системе. Это соответствует нашей наглядной картине „реки"
и „водопада" на стр. 85. Конечно, соотношение между
числами, выражающими некоторый данный заряд в соот-

§ 17. Некоторые выводы о поле прямого провода и катушки 179
ветствующей системе, будет обратным. Например, заряд
в 1 л; выражается в электростатических единицах заряда
CGS числом, равным
1 л; = —с = 3 • 109 CGS эл.-cmam. ед.
В связи с этим можно вспомнить также данные о заряде
электрона: заряд электрона равен 4,80 • 10.~10 электростати-
электростатических или 1,60 - 10~20 электромагнитных единиц CGS. Если
в нашей системе MKSQ произвольный заряд равен е единиц,
то соответствующие числа еэл.-магн. и еэл.-ст. связаны с е сле-
следующим правилом пересчета:
A6.30)
MKSQ эл.-магн. эл. ст. ^ )
\ 4™0 /MKSQ эл.-магн.
Так как отношение D/e, с одной стороны, и произведение
Ее—с другой, не зависят от нашей четвертой единицы, то
формула A6.30) применима также для пересчета D в О8л.-магн.
и в 6эл.-ст.» тогда как пересчет Е, согласно A6.30), должен
производиться по формуле
^ A6.31)
На этом можно считать законченным скучный раздел, посвя-
посвященный электрическим единицам.
§ 17. НЕКОТОРЫЕ ВЫВОДЫ О ПОЛЕ ПРЯМОГО ПРОВОДА
И КАТУШКИ
Рассмотрим, казалось бы, тривиальный случай бесконечно
длинного прямого провода, по которому течет постоянный
ток. Пусть обратный ток течет по окружающему провод
полому коаксиальному цилиндру. Обозначим радиус провода
через а, внутренний радиус цилиндра через Ь, наружный
радиус через с (с —> оо). Симметрия задачи позволяет непо-
непосредственно найти магнитное поле и плотность тока.

180 Гл. И. Описание явлений на основе уравнений МаксбелЛй
А именно, как и в § 4 [см. соотношения D.10)—D.13)],
получаем
„ г J . J
г < а, //=_-—, /=—-
a<r<b, H = -?-, / = 0, A7.1)
Н всюду направлено по азимуту: Н=Ну.
Электрическое поле внутри провода направлено вдоль
оси и, согласно закону Ома, равно
Е=Ег = ± = -^-, ..., /-<я. A7.2)
По закону Ома найдем также поле в стенке полого цилиндра
(проводимость ох)
E = J- = O, .... ^<л<оо. A7.3)
CTi
Остается определить поле в пространстве между проводом
и полым цилиндром, которое описывается дифференциаль-
дифференциальными уравнениями
Дф = О A7.4)
с краевыми условиями
I
{
ДЛЯ Л =
АЛ, Iп Д ,
4? = —?,= { «^ A7.5)
{ 0 для r = b.
Так как эти условия не зависят от z и ср, то можно искать
решение уравнения Д(|) = 0 в виде
ty = b(r)z. A7.6)
Член ф2(г)« не зависящий от z, мы можем здесь не доба-
добавлять, так как с помощью решения, записанного в виде A7.6),
можно удовлетворить всем условиям задачи. Далее, из A6.5)
следует
^ Ф10) = О. A7.7)

§ 17. Некоторые выводы о поле прямого провода и катушки 181
Согласно дифференциальному уравнению A7.4),
d d?/i r. . . . . __,
dr dr Tl '
Совместно с A7.7) это дает
t,W---^?. A7.8)
T1 v ' In (ajb) v '
Теперь поле Е в пространстве а < г < Ъ между проводни-
проводниками известно. Согласно A7.6) и A7.8), оно имеет следую-
следующий вид:
^^ A7.9)
A7.9a)
v J
Таким образом, здесь в отличие от области внутри провода
поле совсем не направлено вдоль оси; его радиальная соста-
составляющая имеет по крайней мере тот же порядок величины,
что и аксиальная.
При переходе через поверхность проводника имеет место
скачок Ег, а также скачок соответствующей составляющей D,
что указывает на существование поверхностного заряда
о) = Dr = eEr = ' . A7.10)
r r In (a/b) v J
Этот поверхностный заряд линейно спадает вдоль провода
по направлению тока от положительных значений до отри-
отрицательных, или, говоря схематически, от —|— оо до —со.
Он слабо, а именно логарифмически, зависит от радиуса b
внешнего провода. Точка, в которой поверхностный заряд
равен нулю, остается неопределенной, так как положение
точки 2 = 0 может быть выбрано произвольно. Мы можем
лишь отождествить эту координату с „серединой" провода,
которая при бесконечной длине, конечно, также является
неопределенной.
Порядок величины этого заряда можно оценить следую-
следующим образом. Диэлектрическая проницаемость, входящая
в соотношения A7.10) и относящаяся, собственно говоря,
к пространству вне провода, мало отличается от диэлектри-
диэлектрической проницаемости, правда, несколько гипотетической у
металлов внутри провода. Поэтому и отношение s/a мало

182 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
отличается от определенного соотношением D.9а) времени
релаксации Тг, которое зависит от вещества провода и по
порядку величины лежит в пределах микросекунд. Поэтому
входящее в A7.10) произведение sj/a, которое имеет раз-
размерность заряда, по порядку величины равно не а • сек = к
а а • мксек = 10~ь к. Таким образом, поверхностный заряд
провода и соответствующая ему радиальная составляющая
напряженности поля очень малы. Это и является причиной
того, что на них обычно не обращают внимания ни в экспе-
экспериментах, ни в теории, хотя они, как мы увидим, необходимы
для понимания электропроводности.
Такое же значение, как существование радиального элек-
электрического поля, имеет и наличие напряжения между прово-
проводом и цилиндром, по которому течет обратный ток. Согласно
A7.9а), оно определяется формулой
^ A7.11)
Найдем соотношение между этим напряжением и зарядом
е = 2тша), приходящимся на единицу длины провода (или
равным ему по величине и противоположным по знаку заря-
зарядом на единицу длины коаксиального цилиндра). Мы получим
*=:-г-??1т. A7.11а)
V In (bid) v '
Полученная величина представляет собой емкость единицы
длины цилиндрического конденсатора, образованного внут-
внутренним коаксиальным ему цилиндром (см. задачу И. 4).
В этом и в аналогичных ему случаях говорят о „распре-
„распределенной емкости".
На фиг. 23 изображены эквипотенциальные линии
ф== const в ч плоскости z, г, уравнение которых, согласно
A7.6) и A7.8), имеет вид
z\n— = C. A7.12)
Для С = 0 получаем z ¦= 0 и r = b, чему соответствуют
на фиг. 23 ломаные линии ABC и ABD. В пространстве,
ограниченном ломаными ABC и ABD, расположены эквипо-
эквипотенциальные линии, для которых С> 0- Угол, под которые

§ 17. Некоторые выводы о поле прямого провода и катушки 183
они подходят к поверхности провода, отличается от прямого
угла тем больше, чем дальше от А отстоит точка пересече-
пересечения с проводом. Семейство линий, ортогональных к эквипо-
эквипотенциальным линиям, образует семейство силовых линий.
Поставленные на них стрелки указывают направление от
положительного поверхностного заряда к отрицательному.
К этому семейству кривых относятся две граничные кривые,
сходящиеся к „точке равновесия" В (см. примечание на
стр. 96). В то время как эквипотенциальные линии, со-
согласно A7.12), удовлетворяют дифференциальному уравнению
1 b , dr Л
In — dz — z — — О,
г г
ортогональные к ним силовые линии определяются уравнением
z dz -\- г In — dr = 0
(это уравнение получается из предыдущего заменой dz/dr
на— dr/dz). Отсюда для окрестности точки В получим
zdz—prfp = O,
где р = #—г. Согласно этому уравнению, через точку В
проходят две силовые линии, направления касательных к ко-
которым (z = zt p) образуют между собой угол в 90°. По мере
удаления вверх и вниз от этих граничных кривых направле-
направление силовых линий между поверхностью провода и наружным
проводником все более приближается к радиальному.
Эквипотенциальные линии являются одновременно линиями,
вдоль которых распространяется поток энергии S. Поста-
Поставленные на них стрелки указывают направление S. Действи-
Действительно, по формуле S = [EH], S и Н перпендикулярны; таким
образом, S лежит в плоскости чертежа, так как Н напра-
направлено перпендикулярно к этой плоскости. Кроме того, S и Е
перпендикулярны, и, следовательно, S действительно всюду
совпадает с направлением семейства кривых ф = const. Ука-
Указанное направление векторов Е, Н, S определяется прави-
правилом правого винта.
Внутри провода, согласно соотношению E=-|-j/a, сило-
силовые линии имеют аксиальное направление \т фигуре не
показаны); поэтому вектор S направлен внутрь провода
нормально к его поверхности. Здесь он также совпадает

Фиг. 23. Эквипотенциальные линии, или линии потока энергии
(сплошные), и электрические силовые линии, или линии электриче-
электрической индукции (пунктирные), в окрестности прямого провода, по
которому течет постоянный ток; обратным проводом служит
коаксиальный цилиндр.
Линии электрической индукции выходят из поверхности одного провода и окан-
оканчиваются на поверхности другого. Линии, относящиеся к единичному заряду,
образуют трубки. Число трубЪк на единицу длины провода характеризует плот-
плотность поверхностного заряда и свидетельствует о ее линейном росте по мере
удаления от А. Плотность заряда на проводе" положительна при z <0 и отрица-
отрицательна при ? ^> 0.

§ 17. Некоторые выводы о поле прямого провода и катушки 185
с эквипотенциальными поверхностями ф = const. Поток энер-
энергии проникает внутрь провода, где он уменьшается до нуля
при г = 0, поскольку Н = 0. Указанное обстоятельство от-
отражено на фиг. 23 тем, что стрелки около А не доведены
до оси; такие стрелки нужно представить себе вдоль всей
поверхности г = а. Подведенная к поверхности энергия пре-
превращается внутри провода в джоулево тепло.
Величина потока энергии для г = я, согласно A7.9) и
A7.1), равна
S=EИ= J J
Следовательно, энергия, приходящая со всех сторон к еди-
единице длины провода, равна
I
2тсй«$ = J2R R == —— п = тсс2 A7 13")
Здесь Rx—омическое сопротивление единицы длины провода.
Соотношение A7.13) действительно определяет джоулево
тепло, выделяющееся на единицы длины провода.
Таким образом, мы пришли к следующей общей энерге-
энергетической картине: энергия, поступающая в пространство
между проводами от электродов, расположенных при
z = ± сю, входит внутрь провода со всех сторон через
его поверхность. Войдя внутрь провода, она течет вдоль
радиусов по направлению к его оси, превращаясь при этом
в тепло. Внутри провода энергия вдоль его оси не рас-
распространяется.
Эта картина существенно отличается от распространен-
распространенных популярных представлений об энергетическом балансе
при протекании по проводнику тока. Однако с точки зрения
теории Максвелла не возникает никаких сомнений в правиль-
правильности нашей картины. Действительно, теория Максвелла
приводит к фундаментальному различию между понятиями
„проводник" и „непроводник" (диэлектрик). Проводники
являются непроводниками энергии. Только в непроводниках
электромагнитная энергия может распространяться без
потерь. В проводниках происходило поглощение, т. е. пре-
превращение энергии. Названия „проводник" и „непроводник"
отражают лишь поведение тел по отношению к зарядам;
эти названия могут ввести в заблуждение при рассмотрении
их. поведения по отношению к энергии,

186 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Следовательно, в результате наш простой пример ока-
оказался все же не таким тривиальным, как это могло бы пока-
показаться вначале.
Следующий простой случай кругового проводника не
удается рассмотреть столь же элементарными методами.
Даже в предельном случае линейного проводника геометри-
геометрическая формула для телесного угла приводит к эллиптиче-
эллиптическому интегралу. Действительно, используя полярные коор-
координаты
г, ср, z
для рассматриваемой точки и
р, a-f-cp, О
для точек интегрирования получим из соотношения A6.8)
о
iu/2
^г ./ тА^г -I- dV2 -I- ^2 J Vi -
где R — расстояние между точкой интегрирования и точкой
наблюдения. Интеграл по Р представляет собой „полный
эллиптический интеграл первого рода в нормальной форме
Лежандра", k — его „модуль". Конечно, мы не можем здесь
заниматься дальнейшим рассмотрением этой формулы.
Еще сложнее был бы точный расчет катушки из провода
конечной толщины при конечной величине шага .обмотки.
Поэтому мы перейдем сейчас к предельному случаю очень
малого шага обмотки и очень малой толщины провода, т. е.
к амперовскому соленоиду, магнитное поле которого было
описано, правда поверхностно, соотношением D.14). Сравним
теперь поле соленоида с полем однородного намагниченного
стального стержня, имеющего те же размеры, что и катушка.
При этом мы будем считать пространство внутри катушки
и вещество, из которого изготовлена обмотка, немагнитными
(^ = Но)-
Покажем, что поле Н катушки совпадает с полем В
такого стержневого магнита. Для доказательства сопоставим

§ 17. Некоторые выводы о поле прямого провода и катушки 187
соответствующие краевые условия и дифференциальные урав-
уравнения для катушки и магнита
Катушка Стержневой магнит
(На - Пд* = NiJ, (Ва - B;)s = t*0 (На — Н{ - M)s = - ^M,
(На-Н,)п = 0, (Ва— В,)п = 0,
Дф = О, div В = {х0 div Н = —иоДф = 0.
Первая строка относится к боковой поверхности. Левая
часть первой строки, согласно терминологии, введенной
в связи с соотношением D.4д), означает, что на боковой
поверхности катушки rot Н равен N^, где Л^ — число витков
на единицу длины. В правой части первой строки использо-
использовано соотношение В = {х0 (Пг-f- M) для пространства внутри
стержневого магнита, которое для внешнего пространства
переходит в В = {J-0Ha. Правая часть первой строки означает,
что циркуляция вектора В по контуру, прилегающему с двух
сторон к боковой поверхности стержня, равна — jj-0M. Срав-
Сравнение первых строк слева и справа показывает, что току J,
текущему в катушке, соответствует в стержневом магните
величина \i0M/Nv
Вторые строки относятся главным образом к обеим тор-
торцевым поверхностям. На этих поверхностях в случае соле-
соленоида непрерывно не только В, но и Н, а в случае стерж-
стержневого магнита непрерывно только В. Впрочем, в силу нашего
предположения jj- == jx0 эти же соотношения справедливы и
для боковой поверхности.
Третья строка в обоих случаях относится как к внутрен-
внутреннему, так и к внешнему пространству. При этом, рассматри-
рассматривая стержневой магнит, следует помнить, что, согласно нашему
предположению, его намагниченность считается однородной,
так как в противном случае нужно было бы к члену {х0 div H
добавить член <JodivM, и сходство обоих случаев было бы
нарушено.
Отсюда следует, что фиг. 17, на которой представлено
поле 3 стержневого магнита, изображает также и поле Н
соленоида. Следовательно, фиг. 17 графически дополняет
прежнее соотношение D.14), справедливое лишь для беско-
бесконечно длинной катушки; фиг. 17 дает исчерпывающую кар-
картину рассеяния линий магнитной индукции на концах катушки
и на выходе их из ее боковой поверхности,

188 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Что касается представления поля катушки с помощью
потенциала ф, то очевидно, что в этом случае будет иметь
место известное нам разветвление потенциала; условная
перегородка S, которая приводит однозначности потенциала,
представляет собой винтовую поверхность, состоящую из
листков, бесконечно плотно расположенных один над другим,
и следующую за расположением витков. В связи с этим
соотношение
= О,
всегда справедливое для стержневых магнитов, теряет силу
для катушки, если путь интегрирования охватывает несколько
витков или все витки. Поэтому полученный нами вывод
о размагничивающем характере поля Н в стержневых магни-
магнитах не относится к катушке. Мы пришли к такому выводу
(см. стр. 128), выбрав в качестве контура интегрирования
путь, который внутри стержня идет вдоль его оси, а вне
стержня возвращается к ней. Однако в случае катушки
такой путь пересекает только что упомянутую винтовую
поверхность, поэтому интегрирование по нему производить
нельзя.
Можно сказать и так: поле Н стержневого магнита
всегда безвихревое, что, однако, не имеет места для
катушки. В случае катушки на ее витках rotH отличен от
нуля и равен J. Для катушки везде div H = 0, так как
повсюду справедливо уравнение В={х0Н, но это не отно-
относится к стержневому магниту; на концах ^-однородного нама-
намагниченного стержня сконцентрированы магнитные заряды и
существует значительная распределенная по плоскости по-
полюсов дивергенция (div H). Вследствие пропорциональности
между В и Н для катушки график фиг. 17 изображает,
конечно, не только поле Н, но и В катушки; в противопо-
противоположность этому поле Н стержневого магнита, изображенное
на фиг. 18, сильно отличается от поля фиг. 17.
Как видно из фиг. 17, внутреннее поле катушки в высо-
высокой степени однородно. Это обстоятельство подсказывает
нам, что магнитную энергию 'W катушки следует вычислять
по формуле
A7.14)

§ IS. Квазистационарные тоШ „ 189
где V — каЧ—внутренний объем катушки. В силу соотно-
соотношения Hl = NJ [см. D.14)], где N— полное число витков
на всей длине катушки, A7.14) переходит в формулу
7P = ^fx/V2-^. A7.14а)
Сравнение этой формулы с энергетическим определением
самоиндукции D5.17) приводит к следующему выражению
для последней:
L = ^jx/V2. A7.15)
Конечно, полученная формула, как это можно заметить
на1 основании фиг. 17, справедлива только для очень длин-
длинной катушки и едва ли применима к встречающейся на
практике форме катушек. Однако она применима в том
случае, когда катушка изогнута в кольцевой электромагнит
благодаря тому, что поле внутри такой катушки в высокой
степени однородно. При этом в A7.15) существенную роль
будет играть множитель {х, поскольку пространство внутри
катушки в данном случае заполнено сердечником из мягкого
железа. Из формулы A7.15) видно, что это устройство,
впервые предложенное Ампером, обладает во много раз боль-
большей самоиндукцией, чем электромагнит без сердечника,
и поэтому в нем осуществляется во много раз более сильная
концентрация энергии при одинаковой величине тока в обоих
устройствах.
Качественно это увеличение концентрации энергии отно-
относится, конечно, и к прямой катушке с сердечником из
мягкого железа. Однако в этом случае количественный
расчет поля и энергии значительно усложняется, так как
здесь к рассмотренной нами задаче суммирования действия
тока разных витков добавляется краевая задача, связанная
с рассмотрением выхода магнитных силовых линий из железа
в воздух.
§ 18. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ
Большая часть проблем электротехники и лабораторной
физики относится к области медленно меняющихся полей.
На вопрос о том, по сравнению с чем поля меняются
медленно, трудно ответить несколькими словами. В случае
периодических колебаний, в том числе и затухающих, ответ

190 Гл. И. Описание явлений На основе уравнений МаксвёЛЛа
на этот вопрос сведется к требованию,, что путь, проходи-
проходимый светом за период колебания х, должен во много раз
превышать размеры прибора /
сх^>1. A8.1)
Тогда можно пренебречь запаздыванием полей, которое
вводится в § 19. Но в конце настоящего параграфа речь
будет идти также об очень длинных линиях, для которых
сформулированное выше условие не выполняется. Однако,
произведя разделение линии на небольшие отрезки, мы
с успехом рассмотрим этот случай как квазистационарный.
Вообще говоря, приближенный метод, основанный на
представлении о квазистационарности, состоит в том, что
расчет полей ведется так же, как и при стационарных
процессах. Поэтому представляется возможным выразить
линейными соотношениями связь между выражениями, вхо-
входящими в уравнения Максвелла, записанные в интегральной
форме. Здесь идет речь о таких величинах, как магнитный
поток Ф через поверхность, ограниченную замкнутой кривой,
ток J через сечение, напряжения V^ вдоль отрезков пути
интегрирования, которые при суммировании дают общее
напряжение V замкнутого контура:
2
J=fjnda, Vl2=JEsds,
Как мы знаем, в стационарном случае между ними существуют
зависимости
здесь Ф1-—магнитный поток через замкнутый контур 1
с током J, J=V}R (закон Ома), J=V-C (зарядный ток
конденсатора). Индуктивность L, сопротивление R и емкость С
зависят только от констант вещества и от геометрии поля
и получаются в результате интегрирования по простран-
пространственным координатам. Остается лишь провести интегри-
интегрирование по времени. Благодаря этому получается значитель-
значительное математическое упрощение; если точное рассмотрение
быстропеременных полей требует интегрирования максвел-
ловских дифференциальных уравнений в частных произ-

§ 18. Квазистационарные токи 191
водных, то в случае медленно меняющихся полей большей
частью приходится интегрировать обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, которые
для периодических процессов сводятся даже к алгебраическим
уравнениям.
Этот метод был развит Кирхгофом (см. начало § 15)
и применен к неразветвленным замкнутым цепям с током,
протекающим по металлическим проводам, а также к состав-
составленной из них разветвленной цепи. Здесь наиболее целесо-
целесообразно провести замкнутый путь интегрирования вдоль
проводов, однако рассмотрение не изменится, если отдельные
участки пути будут образованы не металлическими проводами,
а диэлектриками (т. е. при наличии в цепи конденсаторов).
Случай тонкого провода особенно удобен, так как поле
внутри него почти однородно.
Из первого уравнения Максвелла, записанного в инте-
интегральной форме, получим тогда в случае выбранного
замкнутого пути интегрирования
— Ф = \/^э. д. с. (напряжение по замкнутому контуру).
A8.2)
Второе уравнение Максвелла связывает возникновение
магнитного поля с наличием токов, и в этом смысле оно
было использовано при вычислении коэффициентов индук-
индуктивности. Это же уравнение Максвелла связывает возникно-
возникновение токов с электрическими полями, что было использовано
при вычислении сопротивлений и емкостей.
В простейшем случае неразветвленной замкнутой цепи
с током обе части соотношения A8.2) можно выразить через
общий для всех сечений цепи ток J:
^1 A8.3)
Отсюда видно, что коэффициенты самоиндукции всех
участков цепи, создающих магнитные поля, можно объеди-
объединить в одно выражение, которое можно рассматривать как
коэффициент самоиндукции некоторой фиктивной катушки,
расположенной в любом месте нашей цепи. То же самое
относится и к сопротивлениям и емкостям. Величина $ пред-
представляет собой напряжение между клеммами, к которым
подводится и от которых отводится ток, т. е. так

192 Гл. И. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
называемое напряжение на клеммах (мы рассматриваем его как
заданное). Введение напряжения S является наиболее удобным
способом, позволяющим избежать распространения пути
интегрирования на участок, содержащий прибор, рассмотре-
рассмотрение действия которого выходит за рамки максвелловской
теории (имеются в виду гальванические элементы, термо-
термоэлементы, фотоэлементы, электронные трубки). Это позво-
позволяет избавиться также от ненужного усложнения задачи,
к которому может привести конструкция включенных в цепь
„машин", и в том случае, если в основе действия „машин"
лежат явления, полностью описываемые теорией Максвелла.
Связав несколько замкнутых неразветвленных цепей таким
образом, чтобы образовалась сеть, можно представить себе,
что полученная разветвленная цепь построена из участков,
заключенных между ее узлами. По /г-му участку этой цепи
протекает от узла к узлу ток Jn.
Так как мы еще не знаем направлений токов, то, произ-
произвольно обозначив на данном участке какое-либо направление
стрелкой, будем считать ток положительным, если он течет
в сторону, указанную этой стрелкой. Ввиду того, что токи
не имеют истоков, алгебраическая сумма токов, притекающих
к узлу, равна нулю:
2-4=0. A8.4)
Для каждого замкнутого контура, состоящего из произ-
произвольно выбранных участков цепи, соотношение A8.2) запи-
записывается в форме
2^» + 2^ = -Ф(=э.д.с). A8.5)
Соотношения A8.4) и A8.5) называют первым и вторым
законами Кирхгофа; они были установлены еще до того
времени, когда появилась теория Максвелла. В работе
Кирхгофа с правой стороны A8.5) стоит не —Ф, а вели-
величина, соответствующая более старому понятию электродви-
электродвижущей силы (э. д. с.) всех „источников тока", которые
включены в рассматриваемый замкнутый контур. Если речь
идет о токах, создаваемых по закону индукции Фарадея,
например в катушках электрической машины, то э. д. с.
в точности совпадает с — Ф, и введение специального
лонятия становится излишним. Но это понятие оказывается

$ 18. Квазистационарные токи 193
и полезным, поскольку оно охватывает действия других
источников тока (элементов и т. д.) и позволяет не входить
более подробно в существо процессов, происходящих внутри
этих источников.
А. Энергетическое рассмотрение уравнения колебаний
л Остановимся отдельно на рассмотрении замкнутой нераз-
ветвленной цепи тока, состоящей из индуктивности, емкости
и омического сопротивления, которые в соответствии с отно-
отношением A8.3) будем считать сконцентрированными в не-
некоторых определенных местах цепи. Иными словами, вместо
сопротивления, распределенного по всему проводу, введем
магазин сопротивлений, вместо распределенной индуктивности
(с которой мы познакомились при рассмотрении индуктивности
двухпроводной линии в § 15, Д) введем катушку; распре-
распределенную емкость замкнутой цепи также заменим емкостью
плоского конденсатора, расположенного в каком-либо месте
цепи.
Особгнно простой подход к рассмотрению такой системы
основан (так же как и в механике при изучении механических
колебаний) на законе сохранения энергии. Запишем этот
закон в форме уравнения E.7а):
nda; A8.6)
Wm— магнитная энергия, сосредоточенная в катушке само-
самоиндукции; согласно соотношениям A7.14 а), A7.15), она равна
"We — электрическая энергия, сконцентрированная внутри
плоского конденсатора; согласно соотношению A0.11), она
иыражается следующим образом:
We^~e\ A8.66)
где :±:? — изменяющиеся во времени заряды обкладок кон-
конденсатора; при этом имеет место соотношение
J=-%; A8.6в)
13 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

194 Гл. //. Описание явлений на ochoee уравнений Максвелла
Q — джоулево тепло, выделяющееся в магазине сопро-
сопротивлений
A8.6г)
Поток энергии S поступает из источника тока. Энергия,
поставляемая источником тока, запишется, согласно A5.40),
в виде
Snda = $J (в ¦ а —вт); A8.6д)
здесь $ — напряжение на клеммах источника тока, о котором
уже говорилось выше.
Из A8.6а), A8.66), A8.6в) получаем
Wm = LJJ, Же=^~её = ~ eJ. A8.бе)
Подстановка A8.6г), A8.6д) и A8.бе) в A8.6) и сокраще-
сокращение на общий множитель J приводит к выражению
Т ] \ D / 1_ о ф /1 О 7\
lj —(— /\j—|—pr e = &?, ^lo./j
а вторичное дифференцирование этого уравнения по t дает
уравнение колебаний
LJ—\-RJ—\—¦^rJ::==b' A8.7a)
Если воспользоваться терминологией, используемой в меха-
механике точки, то й будет соответствовать возбуждающей силе,
L — инерции, в частности массе колеблющейся частицы,
R—коэффициенту „трения", 1/С — коэффициенту возвра-
возвращающей силы. Как и в механике, мы будем различать
свободные и вынужденные колебания.
а) Свободные колебания. Приняв &=:0, будем решать
однородное уравнение
LJ-\- RJ+^-J—Q. A8.8)
Можно было бы воспользоваться тригонометрической формой
записи, но, как известно из механики точки, гораздо удобнее
употреблять экспоненциальную форму и переходить к дей-

§ 18. КвазистационйрШё тоКи 195
ствительным выражениям только после интегрирования урав-
уравнения. Положив *)
J=J0eio>J, A8.8а)
мы получим квадратное уравнение для круговой частоты
(Oq = 27г/т0 свободных колебаний
4--^- = 0. A8.86)
Для случая, когда затухание отсутствует, получаем
e>!«^, z = 2kV~CL. A8.9)
Полученное соотношение представляет собой формулу Кирх-
Кирхгофа— Томсона. Если необходимо учитывать затухание,
то A8.86) дает
Процесс будет апериодическим или периодическим в зави-
зависимости от знака неравенства
-^->^L или -^-<-7Ц=. A8.96)
2L YCL 2L YCL J
В апериодическом случае ш0—чисто мнимая величина, и
ток A8.8а) монотонно спадает. В обычном для цепей
с конденсатором периодическом случае круговая частота
равна
Так как омическое „трение" является здесь лишь поправкой
второго порядка [этого нельзя сказать о первом члене справа
в формуле A8.9а)], то в большинстве случаев вместо A8.9в)
можно пользоваться формулой A8.9). Аналогичное положение
вещей имеет место и в случае математического маятника,
для которого наличие сопротивления воздуха и другие
*) Здесь в экспоненте временно принят употребляемый обычно
положительный знак перед I, хотя вообще мы предпочитаем исполь-
использовать экспоненциальные выражения с отрицательным знаком
перед I (см. примечание на стр. 234).
13*

196 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвеллй
факторы лишь незначительно нарушают формулу х = 2-л:
Поэтому чаще всего вместо A8.8а) можно писать
J=J0e-Bt/2Le±2Kit/x°, A8.9г)
где х0 — период колебаний A8.9) при отсутствии затухания.
При окончательном переходе к действительной части двойной
знак A8.9г) не будет играть никакой роли. Однако этот
двойной знак дает возможность учесть наряду с произволь-
произвольной амплитудой и произвольную фазу колебания. Это дости-
достигается тем, что берется суперпозиция обоих решений.
б) Вынужденные колебания. При рассмотрении выну-
вынужденных колебаний лучше всего исходить из уравнения A8.7)
и положить
где ш — круговая частота переменного напряжения источника
тока. По такому же закону будут происходить и колебания
тока в цепи после того, как затухнут собственные колеба-
колебания, обусловленные некоторым начальным состоянием си-
системы. Таким образом, имеем [см. A8.6в)]
J = J0eio3t, j= wJ, e — -j^.
Тогда A8.7) дает
л+-гаг)'=«•"
Для краткости напишем
ZJ=$. A8.10)
Формула A8.1.0) является законом Ома для переменных
токов', вместо омического сопротивления R сюда входит
комплексное сопротивление
Z =#+/(«>? — ~\. A8.10а)
Если положить
Z = |Z|e*a, A8.106)
то, очевидно,
V
A8.10в)

§ 18. Квазистационарные токи
197
Для фигурирующих здесь величин введем следующие -назва-
-названия: R — активное сопротивление; («L—1/шС — реактивное
сопротивление (реактанс); ш? — индуктивное сопротивление;
1/шС—емкостное сопротивление; \Z\ — полное сопротивле-
сопротивление (импеданс) гК Поясним формулу A8.10) с помощью изо-
изображения на комплексной гауссовой плоскости (фиг. 24).
Двухмерный „вектор" J отстает от
двухмерного „вектора" & на по-
постоянный угол а. Физический смысл
имеют, разумеется, лишь действи-
действительные части $ и У.
• В технике такое представление
называют вращающейся векторной
диаграммой; в самом деле, следует . о. „
r J Фиг. 24. Представление
подразумевать, что диаграмма вра- комплексных векторов g
щается с угловой скоростью to; и J на гауссовой пло-
проекции двухмерных векторов & скости.
И J На Действительную ОСЬ даЮТ Вектор g „опережает" вектор
* «7 на угол о..
мгновенные значения этих величин. J
Установим теперь, как расходуется энергия, поступающая
в систему; для этой цели умножим уравнение A8.7) на J,
подразумевая в данном случае под / и I действительные
выражения. При этом получим
2
A8.11)
Если усреднить это выражение по периоду колебаний
т = 27с/(о, то окажется, что
4/
т. е.
A8.11а)
Члены уравнения A8.11), содержащие L и С, не влияют на
величину этого выражения,, так как являются полными произ-
производными по времени. Таким образом, средняя величина
D Обычно в электротехнике это название употребляется для
обозначения самого оператора сопротивления Z, а не для | Z J. —
Прим. ред.

198 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
мощности, поступающей в систему, полностью тратится на оми-
омическом сопротивлении R. Мнимая часть полного сопротивле-
сопротивления Z оказывает влияние на напряжение, однако является
безваттным сопротивлением, т. е. в среднем не потребляет
энергии. Непосредственно вычисляем
х
J2 = \ J4cos2((^ — a)dt=YJo* A8.116)
о
Лфф. =--j=.Iq и соответственно $э$$. = —f=.Se. A8. Ив)
Величину Лфф. называют „эффективной силой тока",
&эфф.— „эффективным напряжением". Для средней мощности
получим выражение
— 1 С
$J = — I $0J0 cos art cos (int — a) dt =
о
{ x x \
= — &o^o ^ I cos2 ш^ cos udt-\- \ cos («^ sin Ы sin adt } =
lo о J
= " ^o^o cos a = Лфф.^эфф. cos a. A8.12)
Аналогия: работа равна пути, умноженному на проекцию
силы на путь. В нашем случае проекция берется на ком-
комплексной плоскости. Эта аналогия относится только к сред-
средним по времени величинам, когда второй интеграл во вто-
второй строчке формулы A8.12) равен нулю. Последнее обстоя-
обстоятельство отражает тот факт, что энергия накапливается
попеременно то в резервуаре энергии (С, L), то в источ-
источнике тока ($).
Б. Мостик Уитстона
Мы отличаем четыре ветви (плеча) мостика а, Ь, с, d
(см. фиг. 25) от ветви, содержащей э. д. с, и ветви с галь-
гальванометром /. Последний с помощью скользящего кон-
контакта S (в данном случае с помощью обоих скользящих
контактов S и Т) устанавливается таким образом, чтобы тюк
в цепи (S, Т) гальванометра отсутствовал. В этом состоит
так называемый нулевой метод, широко употребляемый при

§ 18. Квазистационарные токи
199
физических измерениях. Геометрические связи в мостике
лучше всего могут быть охарактеризованы расположением
ребер тетраэдра, изображенного на фиг. 26. Шесть ветвей
мостика могут быть представлены без нарушения их связи
шестью ребрами тетраэдра. Обе ветви е и / будут при
этом изображаться противолежащими ребрами тетраэдра;
то же самое относится и к ветвям a, d и Ъ, с. Ветви а, Ъ
Л\ т. д. оказываются прилежащими ребрами.
Фиг. 25. Мостик Уитстона.
а — d — плечи с магазинами со-
сопротивлений и с последовательно
соединенными катушками индук-
индуктивности и, возможно, емкостью,
включенной параллельно; f и е —
ветви, содержащие гальванометр
и источник э. д. с; S и Т — сколь-
зяшие контакты.
Фиг. 26. Пространст-
Пространственное представление
схемы мостика Уитстона
в виде прилежащих и
противолежащих ребер
тетраэдра.
Из большого числа возможных применений мостика
Уитстона рассмотрим два характерных особенных случая;
побочным результатом рассмотрения будет тривиальное приме-
применение мостика для сравнения двух омических сопротивлений
на постоянном токе.
а) Сравнение двух индукпшвностей. Пусть катушки
самоиндукции La и Lb включены, как показано на фиг. 26,
в прилежащих плечах мостика после омических сопротивле-
сопротивлений а и Ь. Чтобы на участке / ток отсутствовал, напряжения
на концах участка должны быть одинаковыми, что дости-
достигается соответствующей установкой скользящих контактов
«S и Т. Начиная от точки А, потребуем в соответствии
с формулами A8.10) и A8.10а), чтобы выполнялось следую-
следующее соотношение:
(а -Ь mLa) Jr =: cJz. A8.13>

200 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Начиная от точки В, получим
{Ь -ЬmLb) Jx = dJ2. A8.1 За)
Отсюда
(а + iuLu) d = (b-\- mLb) с. A8.14)
Чтобы это равенство выполнялось, должны быть равны как
действительные, так и мнимые части, входящие в выражения,
стоящие слева и справа. Итак,
Первая половина последнего двойного равенства относится
вместе с тем и к случаю равновесия мостика, не содержа-
содержащего индуктивностей, независимо от того, подводится ли
к схеме постоянный или переменный ток.
б) Сравнение индуктивности и емкости. Пусть индук-
индуктивность и емкость находятся в двух противоположных пле-
плечах мостика, например в плечах а и d, и при этом так, что
индуктивность L и омическое сопротивление а соединяются
последовательно, а емкость С и омическое сопротивление
d — параллельно друг другу. Согласно уравнению Кирхгофа
(см. стр. 192), падение напряжения между концами двух
параллельно соединенных омических сопротивлений R' и R",
по которым протекают токи У и J", равно, как известно,
RJ, где У=УЬЛ
В случае переменных токов, очевидно, имеют место анало-
аналогичные выражения:
ZJnJ=J'-\-J», -^ = ^7 + ^,. A8.15)
Общий ток на концах плеча d есть J2 (см. фиг. 25); поло-
положим в соответствии с A8.15)
и вместо A8.13а) будем иметь
bJx = ~b: . A8.15а)

§ 18. Квазистационарные токи 201
Комбинируя это с уравнением A8.13), которое остается не-
неизмененным, получаем
Jx с с d
и; отделив действительную и мнимую части, приходим к соот-
соотношению
ad = bc = ~. A8.16)
Последний член этого двойного равенства в соответствии
с обозначениями на стр. 196 представляет собой произведе-
йие индуктивного и емкостного сопротивлений. Соотношение
A8.16) показывает, что установление равновесия мостика
дает возможность измерить емкость, если известны омиче-
омические сопротивления и коэффициент самоиндукции катушки
(или обратно, определить коэффлциент самоиндукции, если
известна емкость и омические сопротивления).
В наших примерах мы ограничились случаями, когда
условия равновесия A8.14а) и A8.16) не зависят от ш. При
этом равновесие мостика получается не только при строго
периодиче:ки меняющемся токе, а также и для произволь-
произвольного закона изменения тока, получающегося, например, при
использовании прерывателя в источнике тока. Имеются и
другие случаи, когда условие равновесия мостика зависит
от ю; тогда равновесия можно добиться только при синусо-
синусоидальном изменении тока.
В. Связанные колебательные контуры
Для вывода уравнения колебаний системы с одной сте-
степенью свободы оказалось достаточным использовать закон
сохранения энергии. Чтобы получить дифференциальные,
уравнения системы, состоящей из двух колебательных кон-
контуров (две степени свободы Jx и У2)> точно так же как и
в механике, использование закона сохранения энергии уже
не достаточно. В противоположность этому закон Кирхгофа
A8.5) сразу приводит к цели:
\ ~h ~r~ — &i>
e A8.17)

202 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Путь к обобщению на большее число контуров оче-
очевиден.
С помощью A8.17) можно рассмотреть, с одной сто-
стороны, свободные колебания в нашей связанной системе,
с другой стороны, вынужденные колебания под действием
внешней э. д. с. В первом случае положим S1 = §2 = 0 и,
использовав выражения
сведем получившуюся систему однородных уравнений после
исключения величины, равной отношению А2 '• А1г к биквад-
биквадратному уравнению для со0. Мы можем сократить обсужде-
обсуждение получающихся результатов, так как подобная задача
уже обстоятельно рассматривалась нами в т. I, Механика,
§ 20, и наглядно пояснялась там на фиг. 34—36. Характер-
Характерные явления биений, наблюдаемые у симпатических маятни-
маятников при резонансе, происходят в нашем случае, если (пере-
(переходя к проблеме, рассматриваемой теперь) периоды колеба-
колебаний в несвязанных контурах равны друг другу, к чему
приводит соотношение ClLn = C2L22, и, кроме того, если
равны между собой также оба „коэффициента связи" L12/Ln
и L2ljL22. Последнее условие приводит к равенству Ln = L22,
так как равенство Ll2 = L2l выполняется всегда. Особенно
сильно биения симпатических маятников проявляются при
незначительном трении, чему в нашем случае соответствует
При рассмотрении вынужденных колебаний также можно
использовать пример, приведенный в т. I. При совпадении
частоты вынуждающей „силы" и частоты свободных коле-
колебаний со = со0 затухание начинает играть существенную роль;
оно влияет и на максимум амплитуды (фиг. 33 в т. I) и
также на отставание по фазе.
В начале отмеченного выше § 20 т. I, Механика, уже
указывалось, что при зарождении беспроволочной телегра-
телеграфии связанные механические колебания часто служили моделью
связанных электрических колебаний, которые возникают
в первичном разомкнутом контуре антенны и во вторичном
контуре, настроенном на первичный. Вообще говоря, в этом
случае быстрых колебаний рассмотрение, основанное на пред-
представлении о квазистационарности процессов, является лишь

§ 18. Квазистационарные токи 203
грубым приближением. Удовлетворительное представление
об этом может дать только полное интегрирование уравне-
уравнений Максвелла (см. § 19).
Г. Телеграфное уравнение
Рассмотрение длинной двухпроводной линии, где усло-
условие A8.1) не выполняется, можно все же проводить на
основе представления о квазистационарных процессах путем
разделения линии на короткие участки. Если длина этих
участков будет стремиться к нулю, то обыкновенные диф-
.ференциальные уравнения перейдут в дифференциальные
уравнения в частных производных. Первоначально, еще
до Максвелла, они были установлены Томсоном при разра-
разработке вопроса о распространении телеграфных сигналов по
кабелю, проложенному по дну моря. При изменении напря-
напряжения между любыми двумя расположенными друг против
друга и противоположно заряженными участками двухпро-
двухпроводной линии между ними протекает зарядный ток, поэтому
в данном случае не только напряжение V(x), но также и
ток J(x) непрерывно меняется вдоль провода. Оба эти
изменения в соответствии со вторым законом Кирхгофа A8.5)
связаны соотношением
где L и R — самоиндукция и сопротивление, приходящиеся
на единицу длины двухпроводной линии. Далее, из условия
непрерывности тока, т. е. из первого закона Кирхгофа
[соотношение A8.4)], следует
%+cw+GV=°- <18Л8а>
Здесь ради полноты учитывается наряду с током, заряжаю-
заряжающим емкость C(dV/dt), также и ток проводимости GV, обу-
обусловленный тем, что диэлектрик может быть в какой-то
мере проводящим. Сюда же можно отнести и возможные
потери на гистерезис в диэлектрике. Величина G называется
коэффициентом „утечки" („leakage") двухпроводной линии
на единицу длины; С—емкость на единицу длины,

204 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Исключая V из A8.18) и A8.18а), получаем дифферен-
дифференциальное уравнение в частных производных
J=Q. A8.19)
Такое же уравнение справедливо и для V. Если, в част-
частности., коэффициенты R и G, связанные с поглощением энер-
энергии, положить равными нулю, то уравнение A8.19) приобре-
приобретает простую форму дифференциального уравнения колеблю-
колеблющейся струны
г д2 д%
В случае процесса, распространяющегося в положительном
направлении оси х, интегрирование этого уравнения дает
J—af{x—ct), с = у-щ. A8.20)
Соответствующее выражение для V в этом специальном слу-
случае, согласно A8.18) или A8.18а), имеет вид
V = Lcaf(x — ct) = y ~-J. A8.21)
Отношение между V и У не зависит от х и t и равно вели-
величине (L/C)'2, которая имеет смысл сопротивления. Эту вели-
величину называют волновым сопротивлением.
Формула A8.21) приводит к практически важному след-
следствию: если двухпроводную линию конечной длины замкнуть
омическим сопротивлением, равным волновому сопротивлению
(L/C)'2, то это не нарушит непрерывности распространения
напряжения и тока, т. е. в этом случае в линии не будет
отражений.-
Из соотношений A8.20) следует, что волна тока, а сле-
следовательно, и волна напряжения распространяются вдоль
линии без искажения и затухания. Найдем условие, при
котором волна тока распространяется без искажения, но
с затуханием, т. е. решение уравнения A8.19) имеет сле-
следующий вид ^:
]_ n — ax-f(v rf\ (ЛЯ. ОО\
J = tr J \Х LZ). ylo.ZZ)
1) Вместо A8.22) можно написать также выражение
которое лишь внешне отличается от A8.22),

I 18. квазистационарные тот 205
Подставив A8.22) в A8.19) и положив коэффициенты при
f", /', /, равным нулю, получим
LC 2 У LC
A8.23)
Скорость распространения волны с здесь та же, что и
в A8.20). Величина еа должна одновременно равняться ариф-
арифметическому и геометрическому среднему величин R/L и G/C.
Это двойное требование непосредственно дает
? = ?• ' A8.23а)
Это означает, что „постоянные времени" затухания „чи-
„чистого" тока смещения [описываемого уравнением A8.18а)
при J = const, т. е. CV-\~GV = 0] и „чистого" тока прово-
проводимости [описываемого уравнением A8.18) при V= const,
т. е. LJ-\-RJ=0] равны между собой. Согласно A8.23)
и A8.23а), наш коэффициент затухания a — R~\fCjL.
В общем случае форма тока искажается при распростра-
распространении вдоль линии. В этом случае необходимо считать, что
процесс описывается периодически во времени,, но затухаю-
затухающими в пространстве парциальными волнами вида ei^Xwt^
с комплексной зависимостью k от частоты. Картина про-
процесса при этом искажается.
Мы приблизимся к идеальному случаю незатухающих
плоских волн, если представим себе, что оба провода ра-
растянуты в широкие ленты, пространство между ними—вакуум,
а материал, из которого сделаны ленты, является идеальным
проводником. Тогда в промежуточном пространстве (помимо
областей вблизи краев лент) электрическое и магнитное поля
однородны. Вектор Е направлен перпендикулярно к плоско-
плоскостям лент, Н параллелен им. Ток будет равен J-=Hb
(b— ширина ленты), напряжение V =^Ed (где d — расстоя-
расстояние между лентами), заряд на единицу длины е = е0ЕЬ и
емкость С = e/V = s0 b/d. Магнитный поток на единицу длины,
т.. е. через прямоугольник со сторонами, равными 1 и d,
дается выражением Ф = ja() Hd, поэтому индуктивность на
единицу длины L — <b/J=\>odlb. Воспользовавшись этими

206 Гл. It. Описание явлений на основе уравнений МаксвелЛй
выражениями для С и [, получим из A8.20) и A8.21) ско-
скорость распространения волны
1 1
и волновое сопротивление
J
Здесь опять появилась величина (fJ<0/e0)/2, которая была вве-
введена в § 6 как волновое сопротивление вакуума при распро-
распространении плоской волны. (Чтобы получить полное совпаде-
совпадение, нужно в рассматриваемом случае отнести волновое
сопротивление к квадратному участку поверхности волны Е, Н,
т. е. положить d = b.)
Эти очень беглые замечания по поводу телеграфных
уравнений были приведены частично для того, чтобы пояс-
пояснить историческое происхождение понятия волнового сопро-
сопротивления, а также для того, чтобы подготовить переход
к рассмотрению быстропеременных полей в следующих па-
параграфах.
§ 19. БЫСТРОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛЯ,
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
В этом параграфе мы первый раз применим полную,
неукороченную систему уравнений Максвелла. Мы приведем
общую схему интегрирования, ограничившись, правда, слу-
случаем однородной среды, например вакуума. Итак, положим,
что во всем пространстве е = е0, <л = у0. Кроме того, будем
считать заданными плотность зарядов р и плотность токов j
во всем пространстве в какой-то момент времени t > t0
(tQ — момент времени, в который производится наблюдение).
При такой постановке задачи мы уже имеем в виду связь
с электронной теорией, с которой, однако, ближе познако-
познакомимся в гл. III. В основу рассмотрения положим уравнения
.V аксвелла в форме D.4) с дополнительными условиями D.4а),
D.46) и D.4в). Эти уравнения в соответствии с принятыми

19. ЁыстрдпеременНые пбЛя
значениями s = so = const, jx = ;jo = const могут быть запи-
записаны в виде
В = — rotE, A9.1)
^ J = rotB, A9.2)
divE=-^, A9.3)
divB = 0, A9.4)
| = 0. A9.5)
Уравнение A9.4) будет удовлетворяться, если, как и
прежде [соотношение A5.3)], положить
В = rot A. A9.6)
Внося это в A9.1), получаем
rot(E + A) = 0.
Отсюда с необходимостью следует, что вектор, стоящий
под знаком rot, является градиентом некоторой функции.
Следовательно,
Е = — gradcp— A. A9.7)
Будем называть ср скалярным потенциалом, А — векторным
потенциалом.
Подставив A9.6) и A9.7) в A9.2), получим
— 4-(A + grad 9L-[A0j = rotrotA = — ДА + graddivА.A9.8)
При этом опять использовано преобразование rot rot, выпи-
выписанное, например, в § 6 [формула F.2)], которое, правда,
как мы уже знаем, применимо только в том случае, если
разложение вектора А на компоненты производится в декар-
декартовой системе координат.
Упростим последнее уравнение, разделив его на два век-
векторных уравнения следующим образом:
grad ( div A + -^ <Р ) = 0. A9.9а)

208 Гл. И. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
На основании A9.9а) можно написать
divA + ^cp* =0, A9.10)
При этом мы опускаем не имеющую особого смысла
функцию от t, являющуюся, так сказать, „постоянной инте-
интегрирования".
Наши исходные уравнения A9.1), A9.2) и A9.4) при
этом выполняются; следовательно, если сначала отвлечься от
уравнения A9.5), то останется использовать уравнение A9.3).
Подставив A9.7) в A9.3), получим
Дср-J-div А = —,
или, принимая во внимание A9.10),
Таким образом, оба потенциала А и ср подчиняются диффе-
дифференциальным уравнениям, имеющим одну и ту же форму.
Будем называть их „волновыми уравнениями". Правые части
этих уравнений являются (см. выше) заданными функциями х,
у, z, и „предшествующего времени" t < t0. Искомые реше-
решения волновых уравнений связаны друг с другом уравне-
уравнением A9.10).
То, что это условие является естественным, выясним сле-
следующим образом: обозначим левую часть уравнения A9.10)
через X и образуем сумму дивергенции от A9.9) и произ-
производной по времени от A9.11), умноженной на ?0[х0; тогда
получим
Правая часть этого уравнения исчезает в силу написанного
выше уравнения A9.5), которое, наконец, в этом равенстве
также находит себе применение. Таким образом, X удов-
удовлетворяет однородному уравнению, которое описывает вол-
волновой процесс без внешнего возбуждения, т. е. не вынужден-
вынужденные, а свободные колебания. В связи с этим уже выясняется,
что надлежащая интеграция дифференциальных уравнений
для А и ср, при которой исключается появление свободных
колебаний, приводит не только к выполнению уравнения

§ 19. Быстропеременкые поля 209
A9.12) для Ху но также и к Х=0, т. е. к выполнению
уравнения A9.10). Все же это уравнение не является излиш-
ним или само собой разумеющимся, так как разделение ура-
уравнения A9.8), т. е. переход от A9.8) к A9.9) и A9.11)
основывается на вполне определенном предположении о том,
что уравнение A9.10) выполнено.
А. Запаздывающие потенциалы
Мы лишь кратко коснемся вопросов, связанных с инте-
интегрированием волновых уравнений A9.9) и A9.11), так как
надлежащий подход к ним может быть разработан лишь на
основе материала, изложенного в следующей части. Напи-
Напишем сразу результат интегрирования:
*. A9.13а)
4тт— A = M*L. A9.136)
Здесь ср и А относятся к точке наблюдения х, у, z и мо-
моменту времени t, для которого мы хотим определить вели-
величины ф и А; координаты ?, т], С определяют точку интегри-
интегрирования dz — d^dvidL Интегрирование ведется по всему
бесконечному пространству, и
Величины, обозначенные через [р] и [j], представляют собой
плотности заряда и тока, которые рассматриваются, однако,
не в тот момент времени, когда производится наблюдение,
а в предшествующий момент
f=t — — , A9.13b)
где г /с — время, в течение которого „свет" проходит путь
от точки интегрирования до точки наблюдения. Поэтому
выражения A9.13) называют запаздывающими потенциа-
потенциалами. Для их вычисления используются те значения плот-
плотностей заряда р и тока j, которые эти величины имели не
в момент наблюдения, а в более ранний момент, отстоя-
отстоящий от момента наблюдения на интервал времени, равный г/с.
14 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

210 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Результаты интегрирования A9.13а) и A9.136) будут
математически однозначны, если при этом, исходя из физи-
физических соображений, исключить опережающие потенциалы,
которые также являются решениями наших уравнений и соот-
соответствуют будущему моменту времени
*" = * + 7". A9.13г)
Однако следует отметить, что Дирак попытался ввести эти
потенциалы в электронную теорию и что в работах послед-
последнего времени они играют существенную роль (см. § 37).
Применяя метод интегрирования с помощью запаздываю-
запаздывающих потенциалов к уравнению для X и принимая во внима-
внимание, что правая часть уравнения A9.12) равна нулю, непо-
непосредственно получаем
Л"=0.
Последний результат также математически однозначен при
исключении „опережающих" решений, так как совокупность
опережающих и запаздывающих решений привела бы к воз-
возникновению свободных колебаний. Это показывает, что усло-
условие A9.10) действительно автоматически выполняется при
интегрировании дифференциальных уравнений для А и ср,
о чем и говорилось выше. В заключение отметим, что пол-
полное представление о структуре применяемого здесь метода,
включая роль запаздывающих и опережающих потенциалов,
можно составить только на основе релятивистской теории.
Преобразования, которые до сих пор могли казаться произ-
произвольными и имеющими несимметричную форму, возникнут
тогда с необходимостью и примут симметричный вид.
Б. Диполь Герца
Поясним способ интегрирования с использованием выра-
выражений A9.13а) и A9.136) на одном специальном случае —
случае диполя Герца. Мы получим диполь Герца, если
объединим движущийся заряд с находящимся вблизи него
покоящимся зарядом —е и будем рассматривать их как
систему с изменяющимся со временем моментом p(?) = el,
где 1 — расстояние между обоими зарядами.
Положим в формуле A9.136) j = pv (под р понимается
здесь пространственная плотность движущегося заряда, под

§ 19. Быстропеременные поля 211
V — его скорость) и, произведя интегрирование, при кото-
котором г и v можно считать постоянными, получим
гЦИ^М Сodx= gM= e rdll= l \др]
J r r J F r r [dtj r [dtj'
Принимая во внимание смысл символа [ • ], указанный
перед соотношением A9.13в), получим из A9.136)
По сложившейся традиции общепринято и вместе с тем
удобно вместо векторного потенциала А применять вектор
Герца П, который вводится посредством выражений
A9.15)
Этот вектор впервые ввел Герц *) в своей большой работе
„Силы электрических колебаний с точки зрения теории Мак-
Максвелла", о которой уже говорилось, в § 1.
Во всем пространстве, за исключением начала координат,
вектор П, согласно A9.9), удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
что легко можно проверить подстановкой выражения A9.15)
для П. Соответствующая величина ср вычисляется с помощью
соотношения A9.10)
ео« = —divIL A9.16а)
Тогда из A9.6) и A9.7) получаем следующие выражения
для векторов электромагнитного поля:
Н = rot П,
1 #д A9.17)
sftE = grad div II r, -^s-.
с ot
Для примера рассмотрим случай, когда заряд е движет-
движется прямолинейно, и примем направление его движения, ко-
которое одновременно является направлением вектора П,
1) Hertz, Ann. d. Phjs., 36,1 A888); Gesammte Werke, Bd. II, 147.
14*

212 Гл. II. Описание явлений На основе уравнений Максвеллй
за направление оси 0=0 некоторой сферической системы
координат г, 0, ср. Тогда *)
nr = cos0II, П& = — sinftll, Щ = 0.
Как видно из A9.15), П зависит только от t и от г и,
следовательно, не зависит от 9- и ср. В этой системе коор-
координат (см. т. II, Механика деформируемых сред, задача 1. 3)
имеет место
dr '
cos & д , о?Тч 1 д , . 9отг\ о дН
-^ w {г*Щ - j^ ш (an* ОП) = cos П -^,
grad,. div II = cos ft -^ , grad& div П = —-— -^,
grad,p div П = 0.
Отсюда, согласно A9.17), следует
Hr = Hb = E9 = Q A9.18)
и, принимая во внимание A9.15),
sin % I д • 1 • \
p+ppj A9.19)
1 д 1
Из уравнений A9.18) следует, что силовые линии магнитного
поля представляют собой окружности, расположенные в пло-
плоскостях, перпендикулярных к направлению вектора р, а элек-
электрические силовые линии лежат в меридиональных плоскостях,
проходящих через это направление.
1) Положительное направление г составляет угол 0 с направле-
направлением вектора П, положительное направление 0 составляет с напра-
направлением вектора П угол & -\- и/2, поэтому в выражение для Иг вхо-
входит множитель cos Ф, а для П§ — множитель cos [0 -\- тс/2] = — sin 0.

§ 19. Быстропеременные поля • 213
Поскольку аргументом р является выражение ? — г 1с диф-
дифференцирование по г в A9.19) можно заменить дифференци-
дифференцированием по t, а именно
дг ~ с р' дг* с2 у'
Поэтому в формуле A9.19) для Ег члены д2р/дг2 и —1/с2р
взаимно уничтожаются. Ограничимся рассмотрением полей
в „волновой зоне" (на большом расстоянии от начала коор-
координат), т. е. при г —> оо. Точный смысл этого понятия будет
сейчас пояснен для случая периодически колеблющегося
диполя. Итак, пренебрегая в A9.19) всеми членами, содержа-
содержащими 1//- в степени выше первой, получим
A9.20)
47Г?о/:» — ~~Wp Y~
Векторы Н и Е взаимно перпендикулярны, а также пер-
перпендикулярны к радиус-вектору г, проведенному из начала
координат. На оси, т. е. при ft = 0 и О = тг, как Н, так
и Е равны нулю. В экваториальной плоскости @ = тг/2) Н
и Е имеют максимальную величину.
Из A9.20) найдем
Такой же результат получается из соотношений F.11) и F.13)
для отношения EyIHz. Структура излучаемого электро-
электромагнитного поля совпадает со структурой излучения
плоского светового источника. Вместо этого в обоих слу-
случаях обычно говорят, что Е и И равны друг другу, что,
естественно, * не имеет смысла с точки зрения размерностей.
Величина энергии, излучаемой в единицу времени через
единицу поверхности, равна

214 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Отсюда путем интегрирования по сфере радиусом г вычи-
вычисляется полная энергия, излучаемая в единицу времени:'-
= Г 5 do = 2tw2 f
sin ft d$ =
A9.23)
Так как p = el A—расстояние между движущимся и покоя-
покоящимся зарядами), то р = ем, p = ev, причем в соответствии
со смыслом величина р, которая вычисляется в момент вре-
времени t—г\с, ускорение v также должно относиться к этому
моменту времени. Из A9.23), таким образом, получаем
A9.24)
В атомной физике это выражение записывается обычно
электростатической или электромагнитной системе CGS
A9.24a)
или
^2^,A9.246)
о С
что, согласно A6.30), сов-
совпадает с A9.24). В фор-
форме A9.246) этот фунда-
фундаментальный закон излуче-
излучения впервые встречается
у Лармора1).
На фиг. 27 изобра-
изображена зависимость плот-
плотности потока энергии
излучения 5 от угла 0,
которая представляет со-
собой не что иное, как полярную диаграмму функции sin2&. Она
очень часто встречается в теории беспроволочной телеграфии
(см. т. VI, Дифференциальные уравнения в частных произ-
производных физики, гл. VI) при рассмотрении лине-йной антенны,
свободно излучающей энергию в пространство. Действительно,
Фиг. 27. Угловое распределение
плотности энергии излучения элек-
электрона, ускоренного в направлении
0 = 0.
Нижняя кривая построена по формуле Герца
A9.22) при v <^ с, верхняя кривая получена
с учетом релятивистской поправки, т. е.
при v, сравнимом с с.
1) La г mor, Phil. Mag., 512A897). На связь своей работы
с работой Герца за 1888 г. Лармор указал в книге: L а г m о г, Aether
and Matter, Cambridge, 1900, p. 225.

§ 19. Быстропеременные поля 215
такая антенна не излучает энергии в собственном направле-
направлении; максимальное излучение энергии происходит в попереч-
поперечных направлениях.
Вместо отдельного диполя р можно, очевидно, рассмот-
рассмотреть также дискретную или непрерывную последовательность
диполей. В последнем случае вместо A9.15) можно записать
A9.25)
о
где теперь интегрирование производится по некоторой задан-
заданной кривой С, причем учитывается различие в направлениях
векторов dp.
Сравнение вышеизложенного с расчетом Герца, выпол-
выполненного в декартовых координатах, показывает преимущество
использованного нами векторного представления, в частности
преимущество применения сферических координат. Но еще
более важным, на наш взгляд, является то обстоятельство,
что в нашем представлении ясно показаны размерности всех
величин, характеризующих поле, тогда как в гауссовой си-
системе единиц, применяемой Герцем, размерностный характер
этих величин не выявляется.
В. Случай периодических процессов
Простейшая модель светового источника получается, если
принять, что электрический момент р гармонически изме-
изменяется с круговой частотой ш. Положим, например,
р (t) = A cos Ы = A Re e~iiot,
L) A9.26)
Если ввести, как и в F.10а), F.106), волновое число & = ш/с
и отбросить знак действительной части, что допустимо в слу-
случае всех величин, характеризующих поле, кроме квадратич-
квадратичных S, а?, то получим
^)A^e-™t. A9.27)
Это выражение представляет собой сферическую волну [см.
т. II, Механика деформируемых сред, соотношение A3.18)].

216 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Мы можем опустить в нем множитель, зависящий от времени,
что и будем делать в дальнейшем. Из соотношений A9.20)
получим тогда следующие выражения для величин* векторов
электромагнитного поля:
E = Ee = __sin»
И = НО = -.— sin п
Они, как уже отмечалось при получении соотношений A9.20),
справедливы в „дальней", или „волновой зоне", причем теперь
мы в состоянии более точно определить это понятие. Круго-
Круговой частоте ш соответствует длина волны
2
— с.
Волновая зона охватывает область пространства, для которой
A9.29)
В эту область, следовательно, не попадает только непосред-
непосредственная окрестность светового источника. В случае аперио-
апериодических процессов неравенство A9.29) заменится нера-
неравенствами
l|p|^>i?if
A9.29а)
.LlPl^M^lzL. ,
С помощью этих неравенств будут обоснованы те приближе-
приближения, которые мы сделали при переходе от A9.19) к A9.20).
По сравнению с естественным источником света наша модель,
кроме монохроматичности, отличается и особым распределе-
распределением интенсивности. Она не излучает энергии в направле-
направлениях в = 0 и Я-= и, т. е. вектор излучения S описывается
теперь фиг. 27 и соотношением A9.22). При усреднении
этого соотношения по времени временной и фазовый множи-
множители выпадают. В самом деле, согласно A9.27),
— = —— cos (kr —cat)',

§ 19. Быстропеременные поля 217
среднеквадратичное значение этой величины по времени
равно
Так как k ¦=-- 2тг/Х, то это выражение обратно пропорцио-
пропорционально четвертой степени длины волны.
Подставив A9.296) в A9.22) или A9.23), получим знаме-
знаменитый закон Релея, объясняющий голубой цвет неба. Попадая
на частицы воздуха, солнечное излучение возбуждает в них
переменные электрические моменты, вследствие чего эти
частицы сами начинают излучать свет. Их излучение в голубой
части спектра имеет гораздо большую интенсивность, чем
в красной. Поскольку Хкраон.^2Хгол., то отношение1) интен-
сивностей равно приблизительно 24. Этим же законом объяс-
объясняется также красный цвет Солнца и Луны при восходе и
заходе. Свет, посылаемый Солнцем или Луной, проходит
в этом случае особенно длинный путь через атмосферу. Голу-
Голубые лучи „отсеиваются" из прямого пучка гораздо сильнее,
чем красные. Поэтому до наших глаз доходит в основном
красный свет Солнца или Луны. Мы не "обсуждаем вопрос
о том, играет ли здесь роль известная избирательность, обу-
обусловленная водяными парами, содержащимися в атмосфере.
Г. Собственные колебания металлического
шарового вибратора
Проблема электромагнитных собственных колебаний
стала актуальной после опытов Герца. Вибратор Герца пред-
представляет собой металлическое тело, состоящее из двух
противоположно разряженных половин, которые разряжаются
искрой и излучают в бесконечность экспоненциально затухаю-
затухающие колебания. Как вычислить частоту и затухание этих
колебаний? В случае шара, который можно представить себе
разделенным на два близко расположенных противоположно
заряженных полушария, ответ на эти вопросы можно дать
1) При этом предполагается, чтоЛкраон = АГ0Л, т. е. принимается,
что амплитуда возбужденных моментов не зависит от длины волны
возбуждающего света. Это легко можно доказать, однако здесь при-
приводить доказательства мы не будем.

218 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
на основе уже известных нам формул. При этом мы не можем
исходить из соотношений A9.20) для волновой зоны, а должны
использовать общую формулу A9.19), так как ясно, что
длина волны возникающих собственных колебаний должна
быть того же порядка, что и радиус шара. Следовательно,
поверхность шара принадлежит к „ближней зоне", или
„зоне индукции". Если предположить, что шар является
идеальным проводником, то на его поверхности, т. е. при
любых О- при г = а (а — радиус шара) Еь = 0. Тогда, со-
согласно A9.19), будет иметь место краевое условие
Вектор р также определяется соотношением A9.27),
в котором, однако, нужно считать k не действительным, как
до сих пор, а известным комплексным числом. То же самое
относится тогда и к ш = с&. Из уравнения A9.30) получаем
уравнение для k:
?^ . A9.31)
Решением этого квадратного относительно ka уравнения
является
ka = ~l\^~* • A9.31а)
Мнимая часть оказывается отрицательной, как это и можно
было ожидать, поскольку речь идет о затухающих коле-
колебаниях. Чтобы длина волны и частота были положительными,
необходимо выбрать положительный знак у действительной
части. Таким образом, получаем
2тш У . 4гс
I 2 ' уз
Итак, длина волны действительно имеет величину того же
порядка, что и радиус шара. Затухание является очень
сильным; действительно, из A9.31а) непосредственно сле-
следует, что после одного колебания амплитуда убывает в

§ 19. Быстропеременные поля 219
Таким образом, характер основных колебаний шарового
вибратора рассмотрен. Однако имеется также бесконечное
число высших гармоник, соответствующих разбиению шара
не на два полушария, а на 4, 6, ... попеременно заря-
заряженных зон. В то время как основное колебание соответ-
соответствует диполю Герца, высшие гармоники не могут быть
непосредственно получены из выражения для вектора Герца П.
По этому вопросу мы должны сослаться на т. VI (Диф-
(Дифференциальные уравнения частных производных физики),
в частности на дополнение II к гл. V.
Случай удлиненного эллипсоида вращения, который
ближе к вибратору Герца, чем шар, был рассмотрен Максом
Абрагамом *) после того, как проблема шарового вибратора
была в общем случае еще в 1884 г. рассмотрена Томсоном.
Д. Применение к теории рентгеновских лучей
Первичные рентгеновские лучи возникают при попада-
попадании катодных лучей на антикатод. Говоря классическим
языком, электроны при этом тормозятся, т. е. их перво-
первоначальная скорость уменьшается; иными словами, электроны
испытывают замедление —v. В соответствии с фиг. 27
следует ожидать, что в направлении распространения катод-
катодных лучей, с которым совпадает направление v, энергия
излучаться не будет. Это удалось доказать Куленкампфу и
его ученикам, используя очень тонкие антикатоды (фольги
толщиной порядка нескольких микрон), через которые про-
проходили рентгеновские лучи. В случае толстых металли-
металлических антикатодов торможение происходит на зигзаго-
зигзагообразных участках пути, вследствие чего излучение ра-
равномерно распределяется по различным направлениям.
Максимум излучения лежит не при Ь = к/2, как это
должно быть согласно фиг. 27, а напротив, с увеличе-
увеличением жесткости катодных лучей (т. е. при больших v)
все более и более приближается к 9- = 0. Это будет
показано в § 30 [соотношение C0.10)] с помощью тео-
теории относительности. Коротковолновая граница непре-
1) См. статью в Encykl. math. Wiss., Bd. V2, Teil II, art. 18,
S. 498.

-V
220 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
рывного спектра или „спектра торможения", о котором
идет речь, объясняется квантовой теорией, которую мы здесь
рассматривать не можем. То же можно сказать и о законо-
закономерном росте жесткости и интенсивности ре'нтгеновского
излучения при увеличении жесткости катодных лучей.
Мы обсудим только доказательство поперечности рент-
рентгеновского излучения, которое было приведено Баркла
в 1905 г., через 10 лет
2 после открытия Рентгена.
\t _ Первичный _ \%Z, Придумывая свой опыт,
~ТЧ A) \\ Баркла предположил, что
! излучение поперечно, сде-
! ^ лал из этого соответствую-
B)^Вторичнъш щие выводы и проверил их
! на опыте.
! Рассмотрим три прямо-
прямому ч' Z? линейных перпендикуляр-
igb--*-- ных друг к другу участка
C)ч^Третичный пути рентгеновских лу-
^фзлучение чей: первичный, вторичный,
отсутствует) третичный> представленных
Фиг. 28. Схема опыта Баркла на фиг. 28. Вдоль первого
для доказательства поперечности распространяется первичное
рентгеновского излучения. рентгеновское излучение,
г„ z2 - рассеиватели, представляющие 0 поляризации КОТОРОГО МЫ
собой шарики из парафина. r r
не будем делать никаких
предположений (при очень тонких антикатодах оно было бы
частично поляризованным). Разложим напряженность элек-
электрического поля рентгеновского излучения на направле-
направления 2 и 3 двух других участков пути. Первичное излучение
попадает на первый рассеиватель Zx и возбуждает в нем
колебания электронов. Те электроны, которые колеблются
параллельно направлению 2, для второго участка значения
не имеют, те же электроны, которые колеблются по напра-
направлению 3, создают полностью поляризованное вторичное
рентгеновское излучение, направление поляризации которого
параллельно направлению 3. Это излучение, попадая на рас-
рассеиватель Z2, возбуждает в нем колебания электронов
в направлении 3, что приводит к возникновению третичного
рентгеновского излучения, интенсивность которого в на-
направлении 3 равна нулю и наоборот, интенсивность макси-

§ 20. Общие сведения о Цилиндрических волнах 22 i
мальна в направлении первичного участка пути. Такое рас-
распределение интенсивности третичного рентгеновского из-
излучения доказывает поперечность первичного излучения
и полную поляризацию вторичного рентгеновского излу-
излучения. Рассеиватели Zx и Z2 представляли собой шарики
из парафина; использование более тяжелого материала
могло бы привести к неверным результатам вследствие
возникновения „характеристического излучения".
§ 20. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНАХ;
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ И СКИН-ЭФФЕКТ
В следующих параграфах мы будем заниматься преиму-
преимущественно поверхностными, волнами, распространяю-
распространяющимися вдоль тел цилиндрической формы. Допустим, что
существуют условия для возбуждения периодических по вре-
времени колебаний с круговой частотой ш. Тогда задача со-
состоит главным образом в вычислении распространения и
затухания волн при движении вдоль оси цилиндра, кото-
которую мы примем за направление оси х. Сечение цилиндри-
цилиндрического проводника (или диэлектрика) оставим пока неопре-
неопределенным. Распространение и затухание волн будем харак-
характеризовать комплексным волновым числом h, которое
отличается от действительного волнового числа для вакуума
k = ш/с. Итак, рассмотрим некоторый тип волны с фазовым
множителем
где h в силу предполагаемой цилиндрической структуры
волнового поля имеет равные значения вне и внутри веду-
ведущей поверхности (то же самое, конечно, относится к ш).
В плоскости, перпендикулярной к оси, определим орто-
ортогональную систему координат и, v, пусть dx, du, dv
в названной последовательности образуют правовинтовую
систему. Элемент длины в пространстве, согласно фор-
формуле B.22) из т. II (Механика деформируемых сред), за-
запишем в виде
ds2 = dx2 + g2 du2 + gl dv2. B0.1)
Здесь gu и gv — заданные функции и и v. Сечение, которое
постоянно в каждом проводнике, т. е. не зависит от х,

222 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
для разных проводников может быть различным. Координаты
и и v выбираются в зависимости от формы сечения; они
представляют собой или обычные полярные координаты
в случае отдельного провода, или биполярные координаты
в случае системы двух проводов, или декартовы в случае
полупространства (предельный случай отдельного провода
с бесконечно большим радиусом).
Наша задача состоит в том, чтобы выразить поперечные
компоненты Еи, Ev, Hu, Hv через продольные компоненты
Fx и Нх. Это возможно сделать без каких-либо оговорок
относительно поперечного сечения цилиндрического провод-
проводника, вдоль которого распространяется волна, без введения
соответствующих краевых условий и без предположения
о том, что в волновом уравнении можно произвести разде-
разделение переменных и и v. Получаемая таким образом общая
структура волнового поля будет относиться не только
к пространству вне проводника, но при соответствующем
выборе материальных констант вещества и к пространству
внутри него.
А. Продольные и поперечные составляющие
Продольные составляющие Ех и Нх, которые будем
обозначать общей буквой X, удовлетворяют как декартовы
составляющие простому волновому уравнению F.4)
В такой форме уравнение записывается для внутренней
области проводника, но оно справедливо и вне проводника,
где а = 0, е = е0, \i = \l0. Мы положим
где Дда означает преобразованный к криволинейным коор-
координатам и, v двухмерный оператор Лапласа. Учитывая
зависимость фазового множителя от х и t, уравнение B0.2)
можно записать в следующем виде:
(Д^-Ь k2 — h2)X=0, /52 = e^oJ-f /цош. B0.3)
Вне проводника волновое число k действительно и равно
= ш/с, внутри проводника k является комплексной

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах 223
величиной." Если ввести комплексную диэлектрическую про-
проницаемость г' из соотношения F.18), то можно использовать
одну и ту же форму записи k в обоих случаях, а именно
B0.3а)
и в дальнейшем считать, что
е = е0, ^ = ^о вне проводника,
, B0.36)
е = е , \l = \l внутри проводника.
Чтобы проинтегрировать уравнение B0.2), необходимо
перейти к конкретной системе координат и, v, согласую-
согласующейся с формой проводника. Вначале мы будем этого избе-
избегать, поскольку для последующего изложения можно просто
рассматривать продольные компоненты Еж и Нж как извест-
известные функции координат.
Чтобы выразить поперечные компоненты через продоль-
продольные, используем определение rot произвольного вектора А
в любых криволинейных координатах р1г р2, р3 [см. соот-
соотношение B.26) из т. II, Механика деформируемых сред]:
rot, А = -1-- (*ЩА* ~ difA*]). B0.4)
Согласно B0.1), положим в B0.4)
Циклической перестановкой индексов 1, 2, 3 и координат
х, и, v можно из B0.4) получить составляющие всех рото-
роторов, входящих в уравнения Максвелла.
Таким образом, из первой и второй троек уравнений
Д'аксвелла, учитывая зависимость фазового множителя от х, t,
мы получаем
, — rot,, Е = ihE,, —
дЕх
gu ди '
шеЕи = rotMH = — ihHv
gv
Принимая во внимание B0.3а) и B0.36), положим здесь
слева ш = k/Ye\i; тогда получим

224 Гл. II. Описание явлений На основе уравнений Максвеллй
Отсюда простым исключением можно найти Еи и Hv:
gu da gv\ . at, '
2 h2)v — H = — дБа} — 1/ —
Г e v gu ди gv V e
gu ди gv У е dv
Итак, мы решили поставленную задачу для поперечных со-
составляющих Еи и Hv, поскольку в правую часть входят
лишь продольные составляющие, которые мы считаем из-
известными.
Точно таким же образом определяются Ev и Ни. Для их
вычисления используем уравнения Максвелла
gu ди
и заменим в них опять ш в соответствии с B0.3а) и B0.36).
Исключая одно из двух неизвестных — Ни или Ev, получаем
u gv dv gu
Результаты приведенного здесь краткого и абстрактного
рассмотрения окажутся полезными в последующих пара-
параграфах (§ 21—25), где обобщенные координаты и, v
в одних случаях будут заменяться полярными, в других —
биполярными. Но уже это рассмотрение непосредственно
показывает, например, что в полярных координатах г, ср
в случае независимости поля от ср обе, вообще говоря,
связанные между собой пары уравнений B0.5) и B0.6)
распадаются на две несвязанные пары, одна из которых
содержит только Ех, Ег, #„, а другая — Нх, Нг, Ег
В настоящем параграфе прежде всего займемся еще
более простым случаем прямоугольных координат и =у,
v = z при отсутствии зависимости поля от z. Этот случай
соответствует предельному переходу при неограниченном
увеличении радиуса провода (см. фиг. 30).

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах 2'2Ь
Во всех упомянутых конкретных случаях приведенные
выше общие соотношения принимают простой вид, причем,
как мы увидим, они поддаются непосредственной проверке.
Независимо от выбора и, v можно сделать еще один
существенный вывод, справедливый для всех цилиндрических
проводников: скорость распространения электромагнит-
электромагнитных волн вдоль них всегда равна скорости света. Мы
замечаем прежде всего, что электрические силовые линии
перпендикулярны к поверхности проводника, т. е. что здесь
?'ж = 0. Далее, поскольку поток энергии не имеет состав-
составляющей, направленной внутрь проводника, то должно быть
также Нх — 0. Это справедливо прежде всего на поверх-
поверхности проводника. Однако мы сделаем предположение, что
продольные составляющие равны нулю всюду в диэлектрике.
(Такое предположение не противоречит уравнениям Макс-
Максвелла.) Тогда из B0.5) и B0.6) следует (отбрасывая три-
тривиальное решение Еи = Ev = Ни = Hv = 0), что должно
выполняться соотношение h = k. Поэтому волновое урав-
уравнение B0.3), справедливое для каждой декартовой состав-
составляющей электрического и магнитного полей, переходит
в уравнение для потенциала. В специальном примере (§ 25, А)
мы используем этот вывод.
Б. Волновое поле и скин-эффект в полупространстве
Пусть полупространство, заполненное металлическим
проводником, ограничено плоскостью у = 0. Положительная
ось у направлена вверх в пустое (или заполненное воздухом)
полупространство у > 0. Пусть волна распространяется
вправо (положительная ось х). Из двух возможных соотно-
соотношений B0.5) и B0.6) выберем первое, так как оно соот-
соответствует случаю, когда по проводу протекает переменный
ток. Поэтому мы делаем вполне очевидное допущение
) )
\ eHhx-<°t)Hgg } =0.
J Ну\
B0.7)
Тогда дифференциальное уравнение B0.3) для Ех примет вид
у!-Ь(&2 — /*2)? = 0, й2 = е^ш2-|-^аш. B0.8)
15 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

226 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Его решением является следующее выражение:
Е^^Ае^ъ^У + Ве-^&^У. B0.8а)
Для у < 0 квадрат волнового вектора № является комплекс-
комплексной величиной, для у > 0 — действительной. Сначала мы
будем и в области у > 0 считать с > 0 (но очень малым)
и лишь позднее перейдем к пределу с -> 0 *).
Знак перед
КЛ будем выбирать всегда так, чтобы
корень имел положительную мнимую часть.
Так как решение при y-+z±zco должно оставаться ко-
конечным, положим в B0.8а)
для у > 0 В = 0,
для у < 0 Л = 0.
С другой стороны, поскольку Ех при д/ = 0 должно быть
непрерывным, в полученном решении B0.8а) следует поло-
положить В = А. .
В дальнейшем обозначение k мы сохраним лишь для
волнового числа при у > 0, переходящего в пределе (а -> 0)
в действительное. В отличие от этого значение k для про-
проводника обозначим через &?. Тогда B0.8а) окончательно
запишется в виде
Из соотношения
gu= gv— 1 и d/
{ Ae
B0.5),
у>о,
у<о.
B0.9)
учитывая,
получаем
что и=у, v — z,
flA
i Vk^h3 у
У>0,
-Л2 у
kA Л Vk*-h* у
kLA
-h2 у
B0.9а)
.У>0,
B0.96)
!) Таким образом, мы обходим здесь принципиальные вопросы,
относящиеся к области вне провода, которые впервые будут изло-
изложены в § 22.

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах 227
Множители, стоящие слева перед О, означают „волновые
сопротивления". Верхний множитель, как и на стр. 62,
представляет собой действительное волновое сопротивление
вакуума, нижний — определенное соответствующим образом
комплексное волновое сопротивление нашего проводника.
Мы уже видели ранее, что размерности Н и Е должны
отличаться как раз на множитель, имеющий размерность
сопротивления.
Учитывая теперь непрерывность Hs при д/ —0 и принимая
во внимание B0.3а) и B0.36), получаем
^Yv-h^ v-Vkj-h* B0
Отсюда
B0Л0а)
Эта величина симметричным образом зависит от констант
обеих сред (воздуха и металла) \ь0, & и [*., &&. В частности,
при р. = ^о получим
?- = }* + ?¦ B0Л0б)
В случае хорошо проводящего металла ток проводимости
(член сов ki) преобладает над током смещения (член с е).
Следовательно, можно положить
1
\ B0.11)
% - 2 * J
Вместе с тем также х^>&; следовательно, в соответствии
с B0.106)
httk. B0.11а)
В этом случае фазовая скорость просто равна
О) О)
15*

228 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
как уже отмечалось в конце раздела А. Из B0.9) и B0.9а)
в предположении B0.11а) следует:
Вне проводника:
\e\<:\f\
Внутри проводника:
Итак, электрические силовые линии вне проводника в основ-
основном направлены по оси у, внутри него — в основном по
оси х.
Определим теперь такую координату у внутри провод-
проводника, для которой \ЕХ\, а, следовательно, также \JX\
уменьшаются в е раз по сравнению со значениями этих ве-
величин на поверхности проводника. Обозначим это значе-
значение у через —d. В силу наших предположений B0.11)
и B0.11а) имеем
\ h2^ kLw(l—i)х. B0.116)
Таким образом, потребуем следующего условия:
• 1 С-
у--й
Отсюда следует, что
B0.12")
k '
и поскольку & = 2тг/Х, то d — малая величина по сравнению
с длиной волны X, соответствующей частоте ш.
Таким образом, ток концентрируется в тонком слое
проводника у его поверхности, тогда как вся внутренняя
часть проводника почти свободна от тока,- Это явление,
называемое скин-эффектом, играет, как известно, важную
роль во всей технике переменных токов. Толщина слоя тем
меньше, чем больше частота ш (х, согласно B0.11), воз-
возрастает как]Лш). Примеры значений d для Си [а = 5,75 X
X №''ом~1-м~1, ^=^0=4тг' 10~7 ом-м*1-сек (см. стр.72)]
приведены в следующей таблице.

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах
229
Технический
переменный ток
чм 2,11
Х = 6-103 км
х = 105 л*
d = 9,5 л*л*
Телефон
1000 2^
300 лгл*
4,7 • 102 м~1
2,1 ^^
Радиотелеграфия
3• 105 гц
1 км
8,15-Ю8^
0,13 лш
Волны
Герца
109 гц
30 см
4,7 • 10б л
2,1 • 10~3 мм
Поясним это с помощью фиг. 29, хотя она и не отно-
относится к полупространству, а представляет практически инте-
интересный случай провода с сечением круговой формы. Прямая
линия ОО для постоянного тока или технического перемен-
переменного тока E0 гц) переходит в слабо вогнутую кривую АА
В
Фиг. 29. Распределение ампли-
амплитуды переменного тока по сече-
сечению провода.
ОО — постоянный ток, АА — телефонный
ток, ВВ — ток высокой частоты.
г+у
2 а
Фиг. 30. Предельный
переход от провода кру-
кругового сечения (коорди-
(координаты х, г, <р) к полупро-
полупространству (координаты
х, у, z).
для частоты, употребляемой в телефонии A000 гц); высокой
частоте в обычном понимании (например, длина волны 1 км)
соответствует кривая ВВ, которая обнаруживает ясно выра-
выраженный скин-эффект. Три кривые ОО, АА, ВВ начерчены
для одного и того же полного тока J.
На фиг. 30 поясняется предельный переход от системы
координат х, г, ср, выбранной для провода, к системе коор-
координат х, у, z, выбранной для полупространства.

230 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
В. Сопротивление полупространства
переменному току
Вырежем из проводящего полупространства прямоуголь-
прямоугольную призму, бесконечно длинную в направлении у и огра-
ограниченную сверху плоскостью у = 0. Пусть в направле-
направлении z длина ее стороны равна 1, а в направлении х
равна X — длине распространяющейся в этом направлении
волны. Если в дальнейшем пренебречь мнимой частью h
(малое затухание в направлении х), то Х = 2тг//г. Полный
ток, протекающий через призму, равен
1 -оо
./= // Jxdzdy. B0.13)
о о
Сопротивление призмы опреде-
определим из энергетических сообра-
соображений по количеству тепла,
выделяющегося в призме, кото-
которое определяется, как джоу-
лево тепло Q, проинтегриро-
проинтегрированное по призме и усреднен-
усредненное по времени. Согласно
Фиг. 31. Схема к расчету со-
сопротивления прямоугольной
призмы поверхностной волне,
й
B0.13а)
распространяющейся в напра- уравнению Пойнтинга, имеем
влении х. для призмы
Призма расположена в полупростран-
стве у < 0, заполненном металличе- If
ским проводником, и ограничена
плоскостью у=0 и двумя парами пло-
плоскостей х—0, х—\ и s—0, г—1.
При усреднении по времени оба первых члена слева исче-
исчезают вследствие периодичности процесса во времени. Вектор
Пойнтинга, стоящий в B0.13а) справа, пронизывает лишь
плоскость xz (заштрихованную на фиг. 31) , так как часть
потока через плоскость ху равна нулю, поскольку Нх —
= Ну=0, а части потока через плоскости _у? взаимно уни-
уничтожаются вследствие периодичности no x (если пренебречь
незначительным затуханием в направлении оси х, т. е. мни-
мнимой частью h).
Отсюда следует
IX ,Х
= — f dz f Sydx= ]
ExHzdx.

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах 231
Если использовать выражения для Ех и Нг в металле
(эти выражения при у = 0, как известно, имеют тот же
вид, что и для полей в воздухе, и упрощаются благодаря
тому, что h<^\kb\) то, принимая во внимание B0.7), из
B0.9) и B0.96) получаем
Csnda = A2 f Re{e-iwt^ihx} - Re l лГ— e-iwt+ihx\dx.
J 0J l У V- )
Подставляя здесь вместо е' достаточно близкую к ней ве-
величину ic/io и вместо |Л' его значение (l-J-O/V^. можно
вынести из-под знака интеграла множитель (а/2^ш)''г; тогда
под знаком Re останется множитель (l-f-г). Если сделать
еще замену переменных
, , du \du
то предыдущее соотношение перейдет в следующее:
Г о . ХЛ2.. / о" "г
I Sn da =-н— 1/ 2"-^ I cos и (cos и — sin и) du =
Так как эта величина не зависит от ?, то она представляет
усредненную по времени величину Q, которая нам нужна
для определения сопротивления. Если усреднить энергети-
энергетическое соотношение A8.6г) по времени и тем самым рас-
распространить понятие сопротивления на случай переменного
тока, то мы можем определить R, положив
<20Л4>
Чтобы, наконец, получить входящую сюда величину У2,
воспользуемся выражением для циркуляции вектора Н, на-
например, по контуру, ограничивающему призму в плоскости
х = 0 (на фиг. 31 обозначено жирными стрелками). Поскольку
поле Н направлено лишь вдоль ребра призмы у = 0,

232 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
0<?<1, циркуляция будет отлична от нуля только на
этом участке
1 Г~
= Г Hzdz = tts = G@)e~i(ut = у —
-А{\-\-1)е-^К B0.14а)
Прежде чем определять отсюда среднее квадратичное, необ-
необходимо перейти к действительной части
/= у —— A (cos Ы + sin lot).
Тогда получим
7* = 2^ Л2. B0.146)
Подстановка этого выражения в B0.14) дает [см. B0.11)]
7=Т- ' B0.15)
Смысл этой формулы будет понятен, если внести сюда
из соотношения B0.12) толщину слоя d. Тогда из B0.15)
следует
« = А. B0.16а)
Здесь X является „длиной" выделенного участка провод-
проводника, измеренной в направлении распространения волны.
Если сравнить B0.15а) с элементарной формулой, опреде-
определяющей сопротивление постоянному току,
#о = 7"' B0.156)
то видно, что сечение q в случае переменного тока равно
площади прямоугольника
d* I (d в направлении 3;, 1 в направлении z). B0.15в)
Вместо предоставленного ему в распоряжение бесконечно
большого сечения (yz— поверхности выбранной призмы)
переменный ток как бы использует только прямоугольник
B0.15в); иначе говоря, если судить о сопротивлении про-

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах
233
водника, то переменный ток, амплитуда которого спадает
экспоненциально в проводнике, ведет себя равносильно по-
постоянному току, распределенному равномерно в поверхност-
поверхностном слое d.
Г, Релеевское сопротивление провода
Применим теперь формулу B0.15), которая определяет
сопротивление переменному току проводника с плоской гра-
границей к случаю цилиндрического провода кругового сече-
сечения радиусом а. При этом будем считать
так что на поверхности провода сохранится такая же, как и
в плоском случае, картина скин-эффекта, а внутренняя часть
его останется свободной от тока. Но теперь будем рассма-
рассматривать призму, ширина которой равна не 1, а 2па, и пред-
представим, что ее проводящий слой согнут в поверхностный
проводящий слой провода ра-
радиусом а. Вследствие этого д
определенное в B0.15в) сече-
сечение q=^d-l заменится на
q = d - 2na и найденное в
B0.15а) сопротивление R —
на Ra:
"а == nZZ — о-лтЛ ' B0.16)
Если еще ввести сопротивле-
сопротивление провода постоянному току
B0.16а)
Фиг. 32. Зависимость актив-
ного и внУтРеннего реактив-
ного сопротивления перемен-
переменному току от частоты.
По оси абсцисс отложена величина,
которое определено для той
Же СаМОЙ ДЛИНЫ ПрОВОДНИКа X пропорциональная квадратному кор-
и проводимости а, как R и Ra,
то получим просто
^ = — — — — % B0
До 2 d ~~ 2 *' lZ{J-
ню из частоты. О А— биссектриса угла
между осями. Кривая индуктивного
сопротивления асимптотически при-
приближается к ней, а кривая активного
сопротивления асимптотически при-
принимает направление,параллельное ОА.
Эта формула представляет релеевское сопротивление
провода переменному току высокой частоты. Фиг. 32
поясняет границы ее применимости; Для малых ш

234 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
(стационарные и квазистационарные токи) в противополож-
противоположность соотношению B0.17) сопротивление Ra= Ro. Поэтому
при ш = 0 изображенная на фигуре кривая касается (касание
высокого порядка) горизонтальной прямой, отстоящей от
оси абсцисс на величину, равную 1. Лишь для достаточно
больших ш эта кривая совпадает с кривой, отвечающей
приближенной формуле B0.17). Благодаря выбору масштаба
по оси абсцисс направление кривой, соответствующее воз-.
растанию ш, совпадает с направлением асимптоты ОА, на-
наклоненной к осям под углом 45°. Промежуточная область
между малыми и большими ш требует подробного аналити-
аналитического рассмотрения (см. конец этого параграфа, стр. 237).
Д. Индуктивное сопротивление переменному току
Изложенный выше метод дает возможность определить
лишь активное сопротивление. Чтобы определить анало-
аналогичным образом реактивное сопротивление, необходимо
вычислить магнитную энергию Wm в зависимости от тока J
W = — У2
'* т 2
причем не только для проводника (внутренняя самоиндук-
самоиндукция Lit см. стр. 157), но также и для окружающего воз-
воздушного пространства (внешняя самоиндукция La). Однако
нельзя просто перенести предыдущий анализ внешнего поля
на случай проводника цилиндрической формы, поэтому
в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением внутреннего
поля и внутренней самоиндукции Ьг.
Для этого воспользуемся имеющимся в нашем распоря-
распоряжении общим и одновременно простым методом, а именно
оператором сопротивления из уравнения A8.10)
ZJ=$, Z = R — wt1). B0.18)
Положим S равным напряженности поля Fx (напряжение на
единице длины проводника) на поверхности проводника
1) Мы изменили знак перед мнимой единицей по сравнению
с § 18, чтобы можно было непосредственно использовать предыду-
предыдущие формулы для J и §,. В них множитель, зависящий от времени,
записывается в виде e~iiat, в то время как в § 18 он в соответ-
соответствующих формулах имел вид e+iuit-

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах 235
у = Ог тогда, согласно соотношению B0.9), не учитывая
фазовый множитель, будем иметь ?, = А, причем R и L
в этом случае также будут относиться к единице длины
проводника. Величину J найдем из B0.14 а), отбрасывая
опять множитель, зависящий от времени
У 2аы
•+'> = г; Л A+0.
Разделив S на J, получим
4-О-От-
и, следовательно, по B0.18) и B0.6)
Z = -^ = (l—/)-?-, # = и>?4 = у. B0.19)
Полученный результат согласуется с формулой B0.15)
для R, если заменить там длину X используемой теперь
единицей длины; одновременно он показывает, что внутрен-
внутреннее индуктивное сопротивление a>Li равно активному со-
сопротивлению R. Вообще говоря, соотношение. B0.19) спра-
справедливо для проводника с плоской границей, но при доста-
достаточно большой частоте в релеевском предельном случае
оно справедливо также и для цилиндрического провода кру-
кругового сечения.
Е. Дальнейшие сведения о поле переменного тока
в цилиндрическом проводе кругового сечения
Чтобы завершить круг вопросов, рассмотренных в этом
параграфе, необходимо остановиться на некоторых форму-
формулах, которые будут систематически разобраны только в § 22.
Прежде всего речь будет идти о продольной составляющей
поля переменного тока в проводе радиусом а:
Ex = CJ0(kr). B0.20)
Здесь Jo означает функцию Бесселя нулевого порядка, не-
непрерывную при г = 0. (Фазовый множитель, как и прежде,
подразумевается.) Через k будем обозначать здесь комплекс-
комплексное волновое число для внутренней части провода, а не
волновое число для воздуха, как это было прежде. Коэф-
Коэффициент С в B0.20) можно определить по плотности тока,

236 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
протекающего по проводу, j = оЕх, и общему току J, исполь-
используя соотношение B2.Зг):
С ^B0.20а)
j0 (ka)
Для плотности тока j из B0.20) и B0.20а) получим сле-
следующее выражение:
j___ ka Jo (kr) B0 21)
Jo 2 j'0(ka)'
где уо = У/тга2—плотность постоянного тока.
Соотношение B0.21) может служить для проверки
фиг. 29. Для малых частот аргументы kr и ka имеют ма-
малую абсолютную величину. В этом случае можно использо-
использовать ряд B2.3 в) и его производную:
Принимая во внимание B0.11), из B0.21) получаем
B0.216)
Отсюда следует
I
B0.21в)
Таким образом, по сравнению с прямой ОО (фиг. 29)
для постоянного тока имеет место уменьшение плотности
тока на оси провода (г = 0) на величину (/аL/48 и увели-
увеличение на поверхности провода (г = а) на величину, в 5 раз
большую.
Для больших частот, согласно B2.7) и B2.7а), будем
иметь асимптотические выражения

§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах 237
Jo (Лг) = Bn&r)-I/2 е~Шг+Н1\ B0.22)
Следовательно, вся внутренняя часть провода почти сво-
свободна от тока; величина j на поверхности провода в %а^ 2
раз больше, чем в случае постоянного тока.
Из тех же самых формул можно получить в явном виде
зависимость сопротивления Z от Ro в уравнении B0.18).
А именно, из B0.20) и B0.20а) получим
Z _.?*_- Ь Jo {ka) _ ka Jo {ka) „ C20 23)
j 2naaj'0{ka) 2 i'^ka) °* '
где /?0 означает опять сопротивление постоянному току
единицы длины провода, т. е. /?0=1/тга2а. Таким образом,
"для малых частот, согласно B0.21а), получаем, разлагая
по степеням ха,
^—^-=1—4(^J + 48^L-
Разделяя действительную и мнимую части, имеем
!1+<>4 f (>2 B
С другой стороны, для очень больших частот из B0.22) и
B0.22а) следует
R_ /wZ, . ka п ..ъа
Ъ 5~ — 1 ~о~ — \l l) "о"»
° \ г B0.236)
^о ~~" Ло ~~ " *
Это согласуется с ранее полученными результатами B0.17)
и B0.19) для проводника с плоской границей.
По приближенным формулам B0.23а) и B0.236) мы
можем теперь проверить кривые на- фиг. 32 и провести
интерполяцию на промежуточную область между малыми и
большими частотами. Согласно B0.23а), кривая сопротивле-
сопротивления для малых частот касается прямой R — Ro как парабола
четвертого порядка, а для больших частот приближается
сверху, к прямой ОА (см. фиг. 32). Кривая внутреннего

238 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
индуктивного сопротивления при малых частотах предста-
представляет собой параболу второго порядках) и для больших
частот приближается2) к ОА снизу, что согласуется с § 16,В.
§ 21. КАТУШКА С ПЕРЕМЕННЫМ ТОКОМ
После того как мы в § 17 должны были отказаться от
математически слишком сложной задачи по определению
поля постоянного тока, протекающего по одному круговому
витку проволоки, было бы безнадежным пытаться провести
строгое рассмотрение поля длинной катушки с переменным
током. Поэтому мы будем решать задачу приближенно (как
и на стр. 186), а именно, заменим катушку, состоящую из
плотно намотанных витков проволоки и предполагаемую
вначале однослойной, бесконечно длинным полым цилиндром
из однородного металла. Допустим, что ось цилиндра на-
направлена вертикально и цилиндр обтекается в горизонтальных
плоскостях круговыми токами, распределение плотности
которых мы хотим определить. Положим внутренний радиус
полого цилиндра равным а, а внешний — a-\-d.
А. Поле катушки
Как и в случае постоянного тока, предположим, что
магнитное поле вне катушки равно нулю, а внутри ее одно-
однородно 3) и направлено параллельно оси, т. е. положим
Н = 0 для r>a+rf, И = #ж = Не-**»* для г<с. B1.1)
1) Это высказывание относится к представленной на фиг. 32
кривой для произведения u>L; само L в соответствии с значением
г? = [ласо/2 при со -*- О имеет отличную от нуля величину
_ JRp раа2 _ _?_
Т 2 ~~8тс*
й) В этом приближении при со -> оо будет иметь место точное
касание: уточняя апроксимацию B0.236), можно показать, что кри-
кривая сопротивления для со -> оо проходит выше О А на конечную
величину /?о/4.
3) Такое предположение, общепринятое при бесконечной длине
катушки, но едва ли необходимое, строго говоря, недопустимо по
теории Максвелла. Оно противоречит уравнению D = rot H, кото-
которое справедливо для непроводящего внутреннего пространства ка-
катушки и, следовательно, в силу соотношения rot H = 0 сводится
к пренебрежению током смещения D.

§ 21. Катушка с переменным током 239
В металлическом проводнике поле Н мы также должны счи-
считать тогда параллельным оси цилиндра. Запишем его в виде
Н=Нх = Н{г)е-м для a<r' <
Величина Нх должна удовлетворять общему волновому урав-
уравнению B0.2), которое в нашем случае приводится к следую-
следующему дифференциальному уравнению:
B1.2)
Это уравнение, записанное в полярных координатах х, г, о,
интегрируется в функциях Бесселя. Но здесь мы не будем
рассматривать частное решение J0(kr), как в B0.20), а при-
приведем общее решение с двумя постоянными, которое лучше
всего записать в форме
CiHj (kr) + C2Ho (kr); B1.2a)
здесь Н1 и Н2 — цилиндрические функции Ханкеля, предва-
предварительные сведения о которых будут изложены в следующих
параграфах. В частности, там будет рассмотрено их асимп-
асимптотическое поведение при больших значениях аргумента
р = kr —> со:
^/"| *(р~«М. B1.26)
Так как для быстропеременных токов всегда \k\a^> I, то
при интегрировании уравнения B1.2) можно ограничиться
этими асимптотическими выражениями и положить
-*<*'1-*/4>). B1.3)
Из соотношения B1.1) вытекают следующие граничные усло-
условия:
H(a-\-d)=0 и //(«) = //.
Они будут удовлетворены, если путем соответствующего
выбора С1г С2 выражение B1.3) будет преобразовано к виду
-¦ После того как таким способом найдена функция Нх
от г (а также можно сказать функция полярных координат

240 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
х, г, <р), в дальнейшем можно ссылаться на § 20, А. Правда,
теперь речь будет идти не о волне, распространяющейся
вдоль оси х, как там, а об обычном (установившемся) пере-
переменном токе, для которого волновое число /г = 0. Действи-
Действительно уравнение B1.2) переходит в ранее полученное B0.3),
если в B0.3) положить Х=НХ и /г = 0. Кроме того, теперь
должны использоваться не уравнения B0.5) для волны элек-
электрического типа, как в предыдущем параграфе, а уравне-
уравнения B0.6) для волны магнитного типа. Они позволяют выра-
выразить поперечные составляющие Нг, Е9 через продольную
составляющую Нх. Нас особенно интересует выражение
для ?9. При gu=l, gv~r, h = 0 из B0.6) следует
Если теперь продифференцировать по г лишь множитель
sink(a-\-d — г) (множитель под корнем является „медленно
меняющимся") и обозначить величину j с внутренней сто-
стороны катушки через ja, то получим
/ — / лГЕcosk(a-j-d-r) __ ГТ coskd imt
J—Ja\ r coskd > Ja — lQVBs n sinkd
B1.6)
Переходя к обсуждению результатов, рассмотрим два
случая:
\\ и |&[tf<:L B1.6а)
причем, конечно, остается в силе сделанное вначале предпо-
предположение, что
а) Быстропеременный ток в катушке, толщина кото-
которой не слишком мала. Так как мы приняли, что k имеет
положительную мнимую часть, то
а также вблизи внутренней границы катушки
I e-ih (a+d-r) I -^5> I eik (a+d-r) |e
На основании этого для г?йв из B1.4) следует
H(r)ttHeik<?~a\ B1.7)

§ 21. Катушки с переменным током
241
т. е. //(/") вблизи внутренней стороны катушки круто спа-
спадает по экспоненциальному закону. Согласно B1.6), плот-
плотность^ тока
а), B1.7а)
Не~ш B1.76)
также круто спадает по экспоненциальному закону. Следо-
Следовательно, вблизи внутренней стороны катушки наблюдается
ярко выраженный скин-эффект.
б) Ток не слишком большой частоты в катушке, тол-
толщина которой мала. В этом случае B1.4) и B1.6) можно
a+d
Фиг. 33. Магнитное поле Н = Нх = Н(г)
(слева) и распределение тока j — Д, = j (r)
(справа) в однослойной катушке.
Кривые 0 и 2 соответствуют предельным случаям
постоянного тока и быстропеременного тока; кри-
кривые J соответствуют промежуточной области (сред-
(средняя частота) между обоими предельными случаями.
Величина тока во'^всех трех случаях одинакова.
разложить по степеням kd и, в частности, по степеням
k(a-\-d—г) в окрестности г = а. Приведем лишь первые
члены соответствующих разложений. Тогда
а-\- d — г
B1.8)
На фиг. 33 это поясняется графически. Слева предста-
представлен ход кривых //(г), справа — ход кривых j. Кривые О
соответствуют предельному случаю „б", кривые 2 — слу-
случаю „а", кривые / — промежуточному случаю. Все три пары
16 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

242 Гл. П. иписание явлений на основе уравнений Максвелла
кривых относятся к одному и тому же значению Н внутри
катушки и, следовательно, к одинаковому общему току J,
протекающему по катушке.
Б. Активное сопротивление
и внутреннее индуктивное сопротивление катушки
Вычислим теперь эти величины, отнесенные к единице
длины катушки. Для этого прежде всего определим общий
ток, приходящийся на единицу длины. Выражение для него
получается путем интегрирования соотношения B0.5) по г:
d+d
г dr = С \Н(а-\- d) И(d)} e~iwt = CHe~iwt
а
где
Чтобы свести этот общий ток к току J, протекающему по
одному витку, положим его равным NJ, где N означает число
витков, приходящихся на единицу длины катушки. Отсюда
следует, что
J= — ^He-iwt. B1.9)
Подставим теперь это значение J в соотношение
где напряжение $ мы должны положить равным напряжен-
напряженности поля на внутренней стороне катушки, т. е. jjo.
Отсюда, учитывая B1.6) и B1.9), получаем
R HS)L-= —-r-J=l r~- Г7-;. B1.10)
a sin&rf a егЫ_ e-ikd v '
Чтобы обсудить полученный результат, положим, как и
в B0.11), /г = (Г-{-/)х (хорошо проводящий материал). Тогда
знаменатель в B1.10) будет иметь вид
Если умножить числитель и знаменатель на комплексно-
сопряженную величину этого выражения, то их можно выра-

§ 21. Катушки с переменным ТокдМ 243
зить через тригонометрические и гиперболические функции
аргумента 2v.d. Тогда получим
п ¦ г /1 .. N% sh 2*d-\-l sin 2*d /O1 11Ч
R— noL — (l—i) . o ' o—7. B1.11)
v ' a ch 2 %d — cos 2хй? v '
Разделяя действительную и мнимую части, будем иметь
sin 2xrf
. TVx sh 2%d — sin 2%d ,ni 1, ЛЧ
(»L = . о . pr—r . B1.116)
a ch 2xcf — cos 2rd v 7
В случае постоянного тока (yd-+0) из B1.11а) следует
Яо=-^; B1.12)
это соответствует сопротивлению постоянному току единицы
длины проводника прямоугольного сечения шириной d, рав-
равной толщине нашей катушки (не следует путать с толщиной
слоя d, см. стр. 228), и высотой 1//V. Далее, имеем:
щ ;. B1.12а)
/?0 ch 2xrf — cos 2xrf» v '
«z: _ sh2xrf-_sln2*rf 21 19
^o — yrfch2*rf-cos2*rf- B1.126)
Рассмотрим, в частности, оба предельных случая „а*
и „б", указанные на стр. 240 и 241:
а) yd ^>> 1» sh 2xd = ch ЧуЛ —> оо,
б) yrf <с 1.
Разлагая по степеням ЪЛ и обрывая на первом неравном
нулю члене из B1.12а) и B1.126), получаем
!='+*(* ¦sHfw- B1ЛЗб)
Качественно результаты B1.13а) и B1.136) снова соот-
соответствуют кривым фиг. 32. При малых частотах R/Ro теперь
также совладает с точностью до четвертого порядка с пря-
прямой R/Ro = 1, соответствующей постоянному току, а кривая
v)L/R0 касается оси абсцисс в начале координат как
16*

244 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
парабола второго порядка. Для больших частот обе кривые
также асимптотически приближаются к прямой линии, про-
проведенной под углом 45° к осям координат. Конечно, мас-
масштаб по оси абсцисс, который теперь определяется вели-
величиной v.d, будет отличаться от прежнего, вследствие одно-
одностороннего скин-эффекта, наблюдающегося в данном случае
лишь вблизи внутренней стороны стенки катушки.
Гораздо важней внутренней самоиндукции, рассмотрением
которой мы здесь ограничились, является, конечно, внешняя
самоиндукция катушки. В § 17 [соотношение A7.15)]
в случае катушки с постоянным током нас интересовала
только внешняя самоиндукция. При ограничении, рассмот-
рассмотренном в примечании 1 на стр. 238 (пренебрежение током
смещения), можно непосредственно перенести найденную
в § 17 величину на случай переменного тока.
Вследствие того, что задача нами идеализирована (рас-
(рассматриваются замкнутые круговые токи в горизонтальных
плоскостях), можно избежать отыскания электрического поля
внутри катушки и не принимать во внимание граничных усло-
условий, накладываемых на него. В действительности благодаря
некоторому, хотя и малому шагу обмотки (по высоте) токи
будут течь не строго в горизонтальных плоскостях. Поэтому
от витка к витку появляется внешнее электрическое поле
сложного вида и преимущественно аксиального направления.
Для определения этого поля, очевидно, недостаточно нашего
элементарного рассмотрения.
В. Многослойная катушка
Представим себе п отдельных слоев, плотно наложенных
друг на друга. Каждый слой заменим полым цилиндром
толщиной d/n. Слои один за другим обтекаются переменным
током одинаковой силы J. Будем считать, что изоляция
между слоями является полной, несмотря на то, что по на-
нашему предположению она должна быть бесконечно тонкой;
то же относится и к изоляции между витками проволоки
внутри каждого слоя.
Магнитное поле уменьшается от слоя к слою на вели-
величину NJ (N — число витков на единицу длины оси катушки),
как это можно показать, вычисляя для каждого слоя цир-
циркуляцию Н по контуру прямоугольной формы с высотой 1

§ 21. Катушки с переменным током 245
и шириной dfn. Следовательно, на границах следующих
друг за другом, изнутри наружу, слоев будем иметь
Н0=Н, HX = H — NJ,
С21 14}
H2=H—2NJ,...,Hn=H—nNJ=0, K ' '
причем здесь и в последующем мы опускаем множитель е~ш.
В v-м слое магнитное поле удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению и граничным условиям
B1.15)
Решение дифференциального уравнения снова представляется
в виде суперпозиции двух функций Ханкеля, которые бла-
благодаря большой величине kr можно заменить их асимптоти-
асимптотическими выражениями B1.26). Далее, можно считать, что
знаменатель ~\fkr у этих выражений меняется медленно по
сравнению с экспоненциальной функцией, и поэтому его
вместе с константами е~ы^ и У~2/к можно включить
в амплитуды Сх и С2. Вследствие этого соотношение B1.3)
упрощается и принимает вид
Отсюда получим следующее выражение для магнитного поля
в v-м слое катушки, удовлетворяющее граничным условиям
B1.15):
и
cos k
— а — v — ) —
2л
— NJ ^—. . _. . ^. B1.16)
sin k (dfn) v '
В частности, для первого слоя а < г < a-{-(dfn), v=l
имеем
COS /t I Г ¦" CL ~zz I , * * ч
\2л/ T .s\nk(r — a)
NJ
NJ sink (dfn) • B1Л6а>

246 Гл. II. Описание явлений*на основе уравнений Максвелла
Теперь, чтобы определить электрическое поле Е на вну-
внутренней стороне стенки катушки и через него вычислить
полное сопротивление Z многослойной катушки, мы должны
рассматривать лишь это выражение.
Прежде всего из B1.5) находим выражение для плот-
плотности тока у'(р, величину которой необходимо определить
лишь при г = а:
Ja~ \dr)a — \ "R cos k (d/2n) ^1VJA sin k {d/n) ) '
Полагая здесь H—nNJ [см. соотношение B1.14)], после
простых тригонометрических преобразований получаем
n cos k (d/n) — (п — \)
sink (d/n)
Отсюда следует
1 Еу Nk n cos k (d/n) ~(n—\)
E Z
Ev = IT** И Z = ~T 1 sin k (d/n) '
Выразим Z через Ro — сопротивление постоянному току,
для чего перейдем к пределу со-* 0, т. е. k—>0,
и, разделив на Ro, получим
z = ^.t^-ji-o/h)! B, ,
/?0 sin k (dfn) v
что для /г=1 согласуется с уравнением B1.10).
Разделение действительной и мнимой частей в B1.17)
связано с несколько громоздкими вычислениями. Если поло-
положить, как и раньше, & = A-{-/)х, то будем иметь
/?o
sh2x — ±
n
d Л \\( . d d , , d t d\
I 1 1 shx—cosx — dzchx—sinx—)
n \ n/\ n n n n)
ch 2x cos 2% —
n n
Таким образом, благодаря сильной (может быть', слишком
сильной) идеализации задачи мы получили здесь также до-

§ 22. Задача о распространении волн по проводам 247
вольно простую окончательную формулу. Диапазон частот,
для которых справедлива формула, ограничен сверху соб-
собственной частотой катушки; при приближении к этой частоте
наше представление об одинаковом токе во всех витках,
очевидно, теряет силу. Необходимо еще подчеркнуть, что
¦формула предполагает правильное следование слоев друг за
другом, т. е. не включает тот случай, когда витки спле-
сплетаются по спирали, что часто применяется по практическим
соображениям (подавление скин-эффекта).
§ 22. ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН
ПО ПРОВОДАМ
Опыты Генриха Герца, как известно, относились не
только к „пространственным волнам" распространяющимся
в свободном воздушном пространстве, но и к „поверхност-
„поверхностным волнам", бегущим вдоль проводов. Герц предполагал,
что скорость распространения поверхностных волн также
равна с, но не мог это вначале обосновать ни эксперимен-
экспериментально, ни теоретически. Причиной его экспериментальной
неудачи было влияние стен лаборатории, причиной же тео-
теоретической неудачи была слишком сильная идеализация
задачи: он считал провод бесконечно тонким и поэтому не
мог установить электромагнитных граничных условий, кото-
которые, как мы увидим, необходимы для рассмотрения задачи
распространения волн. Эти условия приводят к значению
скорости, почти равному с, вернее немногое меньшему с.
При этом существенно, что мы будем исключать фазовую
скорость, превышающую с, используя условия на бесконеч-
бесконечности. Экспериментальные трудности были преодолены Ле-
хером (см. § 25), применившим двухпроводную линию.
В настоящем параграфе мы ограничимся задачей Герца для
отдельного провода^
А. Поле внутри и вне провода
Если в предыдущих параграфах мы неполно использо-
использовали уравнения Максвелла, пренебрегая током смещения не
только в проводнике, но отчасти и в воздушном простран-
пространстве, то теперь мы должны строго придерживаться этих
уравнений. Задача является симметричной относительно оси

248 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
провода. Примем ее за ось х цилиндрической системы
координат х, г, ср. Тогда для всех компонент д/дср —О,
и лишь компоненты
Ех, Ег, Щ * B2.1)
отличны от нуля. Аналогично тому, как было сделано в § 20,
будем считать, что они равны произведению общего множителя
е-ш+гь* B2.1а)
на какую-либо функцию, зависящую только от г. Пусть
зависимость от времени будет чисто периодическая, т. е.
со —действительное. Примем также, что распространение
фазы происходит в положительном направлении х, т. е.
действительная часть h должна быть положительной.
Прежде всего займемся декартовой продольной соста-
составляющей Ех. Она удовлетворяет уравнению B0.3), в кото-
котором необходимо положить и~г, г>=ср. Если вместо г
ввести безразмерную переменную величину
4 B2.16)
и положить
Ex = F(p)e~ *">'+ Ьх, B2.2)
то для F получим дифференциальное уравнение
Г^0 B2.3)
^=°. B2.3а)
(р
р dp у dp
или после дифференцирования
dp2 ' p dp
Это уравнение, так же как и более общее уравнение
называется дифференциальным уравнением Бесселя, с кото-
которым мы уже имели дело в т. П, Механика деформируемых
сред, § 27. Там же [см. B7.7)] было дано непрерывное
решение в окрестности р = 0 в виде ряда
1 / р \п 1 / р \п+2
^(р) = 7ТШ ""• 1!(л + 1)! (7 +

§ 22. Задача о распространении волн по проводам 24 9
Во всем последующем изложении можно считать п целым.
Для п = 0 получается уже использованное в § 20 выраже -
ние J0(p) B0.21а), из которого непосредственно следует
р
Ji (Р) = — | Jo <Р). / Р^о (Р) dp = pJt (p). B2.3г)
о
Внутри провода г < а (а—радиус провода) Ех нигде
не должно обращаться в бесконечность, и поэтому функ-
функция F определяется из дифференциального уравнения B2.3)
с точностью до постоянного множителя
f = CJ0(p)..., 0<r<a. B2.4)
Вне провода (воздух) о = 0, е = е0, [а = [а0, т. е. & = ю/с
действительное. Внутри провода k — комплексное. Чтобы
отличить действительное волновое число от комплексного,
будем обозначать, как и в § 20, комплексное волновое число
через &?. Поскольку условие непрерывности при г = 0 не
относится к решению вне провода, то следует использовать
здесь общее решение уравнения B2.3). Оно выражается
через обе уже упомянутые на стр. 239 „функции Ханкеля
нулевого порядка":
Hj(p) и HS(p).
Эти и общие функции Ханкеля /г-го порядка подробно раз-
разбираются в т. VI (дифференциальные уравнения в частных
производных физики), § 19. Здесь же достаточно перечис-
перечислить некоторые основные свойства этих функций.
а) Функции Но и Но при р —> 0 стремятся к бесконечности
по логарифмическому закону, именно при малых р
3^)+... B2.5)
Величина у связана с постоянной Эйлера
im (l 4-4 + 4-+... +-^г — Inn) = 0,5772...,
> оо \ '
Lim
именно
In Т = 0,5772 .... 7=1,781 .,,

250 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
б) Функции Ханкеля, точно так же как и логарифм,
в комплексной р-плоскости многозначны. Чтобы сделать их
однозначными, необходимо разрезать р-плоскость вдоль отри-
отрицательной мнимой оси. Это означает, что если положить
р = | р | е^, то значения угла & будут заключены в пределах
— -^ < w < —. В этом смысле мы говорим о главной ветви
функции Ханкеля точно так же, как говорят о главной
ветви логарифма.
* в) Функции Ханкеля /г-го порядка Нп(р) и Нп(р) как ре-
решения дифференциального уравнения B2.36) определены
таким образом, что их выражения при р—>0 также содержат
логарифмический член, т. е. для них имеет место указанная
выше многозначность. Но характер их особенности здесь
определяет не логарифмический, а наиболее быстро стремя-
стремящийся к бесконечности член: *
Из суммы обоих функций Нп логарифмическая особен-
особенность и многозначность выпадают. Следовательно, регуляр-
регулярное решение дифференциального уравнения B2.36) имеет вид
К (Р) = \ [Нп (Р) + Нп (р)]. B2.6а)
г) При р —> оо справедливы асимптотические выраже-
выражения для обеих главных ветвей
B2.7)
т. е. Нп при больших р стремится к нулю в той р-полупло-
скости, где мнимая часть положительна, Нп стремится к нулю
в р-полуплоскости, где мнимая часть р отрицательна; обе
вместе сремятся к нулю лишь на действительной оси. Со-
Согласно B2.6а), Jn бесконечна всюду в бесконечности, кроме
действительной оси. В бесконечности на р-полуплоскости,
где мнимая часть р положительна, из B2.6а) и B2.7) следует
?тт = + 1 B2.7а)

§ 22. Задача о распространении волн по проводам 251
После этого отступления, которое, к сожалению, необ-
необходимо для всего последующего, вернемся к самой задаче.
Условимся выбирать знак квадратного корня в B2.16) всегда
так, чтобы его мнимая часть была положительной. Это
относится к случаю, когда сам корень комплексный. Но
также необходимо учитывать возможность, что h может быть
меньше k и корень может быть действительным.
В первом случае единственно возможным решением вне
провода является
F (р) = ЛНо (р), а < г < оо, А = const, B2.8)
так как, согласно B2.7), Но(р) при г—»-оо становится бес-
бесконечно большим.
Во втором случае возможным решением является
/?(р) = ЛН2(р) + БН?(Р), а<г <оо, B2.9)
поскольку теперь при действительном р обе функции Хан-
келя Н, согласно B2.7), убывают как р-1/*. Здесь А и В
являются пока произвольными постоянными.
Какой смысл имеет этот случай? Так как фазовая ско-
скорость волны, согласно B2.2), равна со//г и поскольку со/&
равно с, то в этом с луча г фазовая скорость больше ско-
скорости света.
К полученному выражению для Ех присоединим выраже-
выражения для поперечных составляющих Ег и Н^\ их проще всего
получить из общих уравнений B0.5), в которых член с Их,
разумеется, выпадает. Если временно обозначить выходящие
в Ег и Др функции от р через G(p) и Е(р), то из B0.5)
получим
'» ду *Р(е), B2.10)
ЦгF'^- 'B2-U)
h2
h2
Б. Граничные условия на бесконечности
Как и в случае поверхностных волн, рассмотренных
в § 20, теперь речь будет идти о процессе, в котором
энергия поступает с конца провода х = — оо. Поэтому по-
потребуем, чтобы общий поток энергии через боковую

252 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
поверхность коаксиального к проводу цилиндра радиусом
r — R был равен нулю:
5 = 2тг[г.5г]г=л = 0. B2.12)
Если сокращенно обозначить фазу hx — со/1 через Ф, то
Rc
Ке
4ф] Rc f l/~E°- ~ ik dF{-?) е1ф
} Ке | |/
^yw^lfi dp }
Рассмотрим второй случай, когда h, \fk2 — /г2 и р—дей-
р—действительные числа. Тогда для F(p) справедливо соотноше-
соотношение B2.9). Если обозначить многоточием все несуществен-
несущественные множители и использовать асимптотическое разложение
B2.7) при /г == 0, то получим
B2.12а)
Существенным обстоятельством здесь является то, что мно-
множитель r/р для сколь угодно больших г = R остается ко-
конечным и что фаза Ф может принимать любые действитель-
действительные значения. В таком случае требование B2.12) будет
выполнено лишь при
Но это означает, что во втором случае не могут суще-
существовать волны, распространяющиеся по проводу; их
должны были бы поддерживать специально расположен-
расположенные на бесконечности источники энергии, что противоре-
противоречит физическому смыслу процесса.
Иначе обстоит дело в первом случае, где р имеет по-
положительную мнимую часть. Здесь, согласно соотношениям
B2.8) и B2.7), поле вне провода при г—>¦ оо убывает экспо-
экспоненциально; таким же образом убывает поток энергии 5.
Мы будем в дальнейшем иметь в виду лишь этот случай.
Поле вне и внутри провода мы будем определять по соот-
соотношениям B2.2), B2.4), B2.8), B2.10), B2.11). При этом
мы будем отличать комплексное ki внутри провода от дей-
действительного k вне провода, а также комплексную вели-
величину е'/ц внутри провода от действительной величины ео/ио
вне провода, как это было сделано ранее [соотношение

§ 22. Задача о распространении волн по проводам
253
B0.9а) и B0.96I.. Далее удобно умножить все составляющие
внутри провода на Уk2L
yw
h2jih, а вне провода — на
/г2//7г, что можно сделать, изменив постоянные коэф-
коэффициенты С и А. Таким образом, получим следующие ре-
результаты:
Ех ~
V
ih
-i-Я — ^ Г! ftrt
, л<р — bJovp;
а < г < со, р =
ЛН0(р)
?г= ЛН0(р)
B2.13)
Здесь Но означает Н^; штрих у Jo и Но означает дифферен-
дифференцирование по аргументу р.
В. Граничные условия на поверхности провода
При г = а должно выполняться условие непрерывности
для Ех и //„. Следовательно, необходимо потребовать вы-
выполнения следующего равенства:
B2.1.4)
) = |Л^о kAHo (p),
h2a.
Исключая амплитудные множители Л, С, получаем транс-
трансцендентное уравнение
B2.14a)
Это уравнение служит для определения пока неизвестного
волнового числа h. Его можно значительно упростить, если
принять во внимание, что в проводниках, обладающих боль-
большой проводимостью, pL является комплексным числом

254 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
с большой положительной мнимой частью и, следовательно,
справедливо соотношение B2.7а). С помощью этого соотно-
соотношения правую часть B2.14а) можно переписать в виде
B2.146)
Абсолютная величина B2.146) мала по сравнению с 1, так
как | е' | ^> е0. Кроме того, можно упростить и левую часть
B2.14а). А именно, в соответствии с оценкой правой части
B2.146) левая часть также должна быть малой, что воз-
возможно лишь при малых р. В последнем случае можно исполь-
использовать соотношение B2.5); тогда в левой части B2.14а)
получим
р2 In g. = — -^ и In и, где и = Щ . B2.14в)
Сравнивая с B2.146), получаем окончательно трансцендент-
трансцендентное уравнение в виде
и1пи = г>, где v = — ^ Л/ ^- ka . B2.15)
Для его решения можно избрать своеобразный метод,
похожий на образование непрерывных дробей. Он основы-
основывается на том, что In и изменяется медленнее, чем и. Таким
образом, если найдено п-е приближение ап, то (лг-f- 1) = е
приближение получим по формуле
un+1\nun = v. B2.15а)
Начинают обычно с uo = v и полагают по B2.15а)
Это первое значение является неточным, и его постепенно
исправляют следующими приближениями:
и т. д. B2.15в)
In ux In (tyln v)'
In
In
В качестве примера рассмотрим медный провод радиусом
а=1 мм при частоте 109 гц, такой же, как в последнем
столбце таблицы на стр. 229; этой частоте соответствует

§ 22. Задача о распространении волн по проводам 255
длина волны 30 см и значение ka = 2,1 • 10~2. Используя
соответствующее значение х из той же таблицы, по B2.15)
определим
г> = —A+0-7,2. ЮЛ
Начнем со значения
и1 = A+0-3,6- 10~8, A2.16)
где входящий в B2.156) \nv мы заменили приблизительно
равной ему величиной —20. Затем по B2.15а) получим
и2 = D,1+4,50- Ю~8, и3 = D,2+4,50- Ю"8. B2.16а)
Здесь мы уже близки к пределу, к которому сходится рас-
рассматриваемая „непрерывная дробь".
Подставляя это значение и в B2.14в), получаем
р2 = ._~и = — E,3 + 5,70 • Ю"8 B2.166)
и, следовательно, по B2.16)
/г2 = /г2 + E,3 + 5,70- 10~6, h = k[\ +F,0+ 6,4/) 10~5].
B2.17)
Отсюда следует, что
Х = Т-[1— (М + 6,40- Ю-5], B2.17а)
и поскольку u>[k = c, то распространение фазы отстает
от с лишь на 6 • 10~5с. С другой стороны, из рассмотре-
рассмотрения множителя eihx находим, что амплитуда поля умень-
уменьшается в е раз лишь после прохождения расстояния х,
которое определяется соотношением
Л-6,4. 10~5jc=1, x = 770 м. B2.176)
Это полностью соответствует обычно ожидаемому резуль-
результату: распространение волн происходит почти без зату-
затухания с фазовой скоростью, приблизительно равной с.
Но имеют место и такие условия, при которых аналогич-
аналогичного результата не получается. Возьмем, например, волла-
стонову нить из платины, скажем, радиусом а = 2- 10~4 см

256 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
(проводимость платины в 8 раз меньше проводимости меди);
пусть длина волны в воздухе равна 1 м. Тогда
^ = (l—0-0,34. Ю~4,
Аргумент Jo в B2.14) в этом случае уже не является боль-
большим, так что вместо B2.7а) необходимо использовать B2.Зв)
и B2.Зг), из которых получим
= — A — 05,0,
Jo
а также найдем, что в правой части соотношения B2.15)
при том же выражении для и будет стоять число v = — / X
X 7,0 • 10~9. Таким образом, трансцендентное уравнение
имеет вид
u\nu = v, v = — I • 7,0 • 10~9.
Если снова взять их = — -у/20, то по схеме B2,15в) будем
иметь
и2 = (—0,29 + 3,5/)- 10~9^tt3.
следовательно,
р2=~ 4"и=(°»32—з»85/) • * °~9»
т. е. р имеет тот же самый порядок величины, как и раньше
[соотношение B2.166)]. Однако дальнейший ход расчета
будет совершенно другим вследствие малости а — 2- 10~ ,
а именно вместо B2.166) получим
№ = k2 — 0,008 + 0,096/;
теперь корень больше нельзя извлекать по формуле бинома,
так как к2 = Bтг/ХJ = 0,044. Вычисление дает
Л = 0,26+0,18/.
Отсюда получим ту длину провода, после прохождения ко-
которой значение амплитуды волны уменьшится в е раз:
Х — 018 '*

$ 23. Общее решение задачи о распростран. волн по проводам 257
а также получим значение фазовой скорости, равное со/0,26.
Если взять отношение фазовой скорости к скорости света u>/k,
то будем иметь
0,26 0,26 U> '
т. е. скорость распространения на 20% меньше скорости
света.
Причиной этих аномальных соотношений является, оче-
очевидно, предельная малость сечения провода, что увеличивает
сопротивление переменному току и препятствует проявлению
нормального скин-эффекта. Внутреннюю часть провода уже
нельзя считать свободной от тока; распределение-тока теперь
соответствует не кривой ВВ (см. фиг. 29), а кривой ЛА.
Вследствие этого поле уже не может предохранить себя от
потерь на джоулево тепло; затухание и распространение
отличается от нормального случая.
§ 23. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН ПО ПРОВОДАМ
В предыдущем параграфе было рассмотрено частное ре-
решение, которое связано с исходной герцевской задачей рас-
распространения волн по проводам. Возникает вопрос, имеются ли
более общие решения? Этот вопрос был предложен Гондросу
в качестве темы для его диссертации х). Тогда казалось, что
эта тема представляет чисто теоретический интерес и далека
от практического применения. Однако позднее выяснилось,
что теория, разработанная в диссертации, имеет близкое
сходство с теорией волноводов [§ 24], которая лежит в ос-
основе широко разработанной в настоящее время техники связи.
Кроме того, выяснилось, что эта теория с успехом может
быть использована в теории двухпроводной линии Лехера,
с введением которой, как известно, отдельный провод, перво-
первоначально применявшийся Герцем, был заменен безупречно
функционирующим устройством. Теория, связанная с про-
проблемой распространения волн вдоль диэлектрических стер-
стержней, примыкающая к проблеме одиночного провода, также
нашла техническое приложение.
1) D. Hondros, Ann. d. Phys., 30, 905 A909).
17 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

258 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
А. Основная волна и электрические побочные волны
Решение, полученное в § 22, мы назвали основной вол-
волной; в этом решении | р | было мало и, следовательно, I pL I
велико. Если имеет место обратный случай (| р | велико), то
мы говорим о побочной волне. В этом случае, согласно B2.7),
левая часть B2.14а) равна—/р, т. е. также велика по абсо-
абсолютному значению. Знаменатель в правой части B2.14а)
тогда должен быть приблизительно равным нулю. Следова-
Следовательно, pL должно приблизительно совпадать с одним из бес-
бесконечного числа действительных корней уравнения *)
причем особо отметим
^ = 3,83. B3.1а)
Как видно из B2.Зг), гг/ идентичны с корнями уравнения
J1(p) = O (обозначение wv мы оставляем для корней уравне-
уравнения Jo(p) = 0). Тогда, принимая во внимание значения pL,
из B2.14) приближенно получаем
^] B3.2)
Таким образом, hv для проводника из хорошо проводящего
металла приблизительно равно kL, и, следовательно, мы можем
положить для всех не слишком больших v [см. B0.11)]
/zvc-(l-f /)x. B3.2а)
Используя уже применявшийся множитель для выражения
фазы и затухания e~iwt+if>x, можно сделать следующие вы-
выводы: все побочные волны при распространении вдоль про-
провода чрезвычайно сильно 'затухают, их амплитуда умень-
уменьшается на коротком отрезке пути 1/х в е раз. Фазовая
скорость побочных волн ш/х мала по сравнению со ско-
скоростью света с = со/&, а именно отношение скоростей
равно k/y..
!) Значения корней табулированы и приводятся во многих изда-
изданиях по специальным функциям; см., например, Г. В а т с о н, Тео-
Теория бесселевых функций, т. II, ИЛ, 1949.— Прим. ред.

I 23. Общее решение задачи о распростран. волн по проводам 259
Характер поля побочных волн также прямо противопо-
противоположен характеру поля основной волны: вне провода по B3.2а)
имеем
и по B2.7)
для а < г < оо.
Это, согласно B2.8), означает, что имеет место скин-
эффект вне провода1). Внутри провода, напротив, аргумент
J0(p) — действительный, так как
v a
(w[ — действительное число), и поэтому 10(р) для 0^r<^a
имеет величину порядка единицы.
Во всем сечении провода есть ток. Следовательно, выде-
выделяется значительное джоулево тепло, что объясняет быстрое
затухание волны при распространении вдоль провода и делает
сомнительной возможность всякого наблюдения побочных волн.
Б. Магнитные волны
Если при рассмотрении электрических основной и побоч-
побочных волн мы исходили из общих уравнений B0.5), то маг-
магнитные волны получим из уравнений B0.6). В этом случае
положим Яд, —0; Нх с точностью до постоянного множи-
множителя равно функции Бесселя Jo внутри провода и соответ-
соответственно первой функции Ханкеля Но вне его. Находя из B0.6)
соответствующие поперечные составляющие при и = г, v — ср,
?"« = 1» gv = r* получаем
0<r<a, 9 = Ytf~^*r
th
DJ0(P)
a < r < oo, p =
h2r
^Нг^ВН'0(р)
B3.3)
!) To есть концентрация внешнего поля около поверхности про-
провода.— Прим. ред.
17*

2б6 Гл. //. Описание явлений На основе уравнений МаксвёЛЛй
Из условия непрерывности для Нх и Е9 следуют теперь
граничные условия:
= kBH'0(P), B3.4)
где, как и в B2.14), положено р = ]/#2—И2а, р^ =
= Vk2L — h2 а. Следует, впрочем, убедиться, что вторым из
этих условий гарантируется необходимая непрерывность Вг,
если принять во внимание соотношение &2 = еоцосо2, которым
в последующем мы также будем пользоваться.
Из B3.4), исключая В и D, получаем трансцендентное
уравнение
^L/^±^M B3.5)
правая часть которого существенно (как по виду, так и по
порядку величины) отличается от правой части соотноше-
соотношения B2.14а). Спрашивается, имеет ли B3.5) решение в-виде
основной волны, т. е. такое, для которого httk и, стало
быть, р<<^1. В этом случае левая часть, согласно B2.5),
имела бы величину порядка р2 In p, т. е. по абсолютной вели-
величине была бы гораздо меньше единицы, тогда как правая
часть в силу B2.7а) приблизительно была бы равной
(ef\).ofeo\i.y2 ka, поскольку pLc^ikLa. Таким образом, правая
часть по абсолютной величине была бы гораздо больше еди-
единицы, так как |e'|;^>|eo|. Это относится к случаю мягкого
железа, где jx значительно больше, чем у0. Таким образом,
предположение httk приводит к противоречию. Магнитной
основной волны не существует', магнитные волны имеют
исключительно характер побочных волн'.
Все сказанное раньше об электрических побочных вол-
волнах переносится при этом без изменения на случай магнит-
магнитных побочных волн. Вне провода также имеет место скин-
эффект, а внутри провода магнитные побочные волны быстро
затухают вследствие выделения джоулева тепла.

§ 23. Общее решение задачи о распростран. волн по проводам 261
В. Несимметричные волны электромагнитного типа
Рассмотрим теперь процессы, которые не обладают ци-
цилиндрической симметрией относительно оси провода, и исполь-
используем для Ех вместо функций J0(p) и Н0(р) более общие
решения уравнения Бесселя
Jn(p)cosmp и Н„ (p)cosmp. B3.6)
Тогда легко убедиться, что прежних трехкомпонентных
решений Ех, Ег, Н^ или Нх, Нг, Е^ теперь уже недостаточно
и в решение должны входить все шесть компонентов Е и Н.
А именно, теперь необходимо комбинировать с соотноше-
соотношениями B3.6) для Ех соотношения
n (p)
sin щ
B3.6a)
для Нф, чтобы все члены в B0.5) приобрели общий множи-
множитель cosmo, а в B0.6)—множитель sin тр. Таким образом,
из B0.5) и B0.6) для внутренней части провода
(р = V k\ — h2 r) получим
Vk2h2
in
С Jn (p) cos щ,
Er =
Vk2h2
Их = Jh D Jn (ti Sitl /lCP'
*г Hr = | j^C Jn(p)+ D fn(p) j sin
= {irCJ'
B3.7)
Фазовый множитель e~iiot+iha> опять подразумевается. Постоян-
Постоянные множители у Ех и Нх выбраны так, что B2.7) при
D=0 и /1 = 0 переходит в B3.13), а при с = 0 и /г = 0
после допустимой замены cos на sin переходит в B2.3),

262 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Если проделать аналогичные выкладки для области вне
— h2 r), то будем иметь
провода (р =
У ?2 fti
-—др— ^Hn (p) cos no,
,. = | АН'п (p) -f ^ 5Hn (p) | cos щ
9={j- AUn (p) -|- ^ 5Hn }
sin
sin
B3.8)
cos/гср.
Граничные условия мы получаем, приравнивая решения вне
и внутри провода при г = а. Из условия непрерывности Ех
и Нх следует
B3.9)
B3.9а)
где
pLDJn (p^) = qpBUn (р),
Затем из условия непрерывности Е^ и /Уф получаем еще два
уравнения:
, B3.10)
Иэ этих четырех уравнений B3.9), B3.9а), B3.10), B3.10а)
необходимо исключить постоянные А, В, С, D, что нагляднее
всего можно сделать с помощью детерминанта четвертого,

§ ^3. Общее решение задачи о распрострем, волн по проводам 263
порядка. Разделив столбцы детерминанта соответственно
на Нп и —Jn, найдем
Рг О
р
0
п
V
' К
0
ЯР
k Н
7ГН
qn
Р
0
Pi
Pl
= 0
B3.11)
Это трансцендентное уравнение служит для определения
волнового числа h, которое входит сюда не только явно,
но и неявно через величины р, pL, IT/H и J'fJ. Уравнение
B3.11) связывает электрические и магнитные составляющие
волны друг с другом. Эта связь отсутствует лишь в сим-
симметричном случае /г = 0, когда B3.11) распадается на произ-
произведение:
5-Ир**?-М*х4] = О. B3.11а)
Приравнивая каждую скобку по отдельности нулю, полу-
получаем выражения, которые в точности совпадают с трансцен-
трансцендентными уравнениями для симметричных магнитного
и электрического случаев, т. е. с приведенными выше уравне-
уравнениями B3.5) и B2.14а).
Далее используем только B3.11), чтобы ответить на
вопрос, возможно ли в несимметричном случае состояние
в виде основной волны. Именно предположим
*«*. Р«0, |P|»l ?
где два последних соотношения следуют из соотношений
B2.6) и B2.7а). Тогда в первых двух строках B3.11) можно
пренебречь не только qp, но и р по сравнению с р?. Ввиду
этого детерминант B3.11) распадается на произведение двух
детерминантов второго порядка
0
2 /
= р\ и —4\j
1 —т
aW '
B3.12)

264 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла '
которое равно (h2—k2A(qn2lh2). Приравнивая это произве-
произведение нулю, получаем /z = A>if если /г ^ О, что противоречит
требованию h^nk. Таким образом, несимметричной основ-
основной волны не существует. Поскольку решение трансцен-
трансцендентного уравнения для несимметричных побочных волн
несколько сложно, мы ограничимся ссылкой на уже упомяну-
упомянутую диссертацию Гондроса*).
Г. Распространение волн
вдоль диэлектрических стержней
Затухание побочных волн в металлическом проводе
вследствие выделения джоулева тепла наводит на мысль,
нельзя ли наблюдать побочные волны в „проводе" из ди-
диэлектрика? Согласно Гондросу и Дебаю2), на этот вопрос
следует дать положительный ответ.
Речь будет идти о „водяном проводе", который мысленно
можно представить окруженным стеклянным цилиндром с бес-
бесконечно тонкими стенками. Ввиду отсутствия поглощения
h—действительное, т. е. ~\/ k2—h2 либо действительное,
либо чисто мнимое число. Первая возможность (h < k, т. е.
распространение с фазовой скоростью, превышающей скорость
света) исключается вследствие условия, запрещающего излу-
излучение, как указано в § 22, Б. Следовательно, ~\fk2—h2
и p = ~[/~k2 — h2 а будут чисто мнимыми. Напротив,
pL=.~\fk2L—h2 а будет действительным. Так как а = 0,
имеем
k I = е^аJ == Jji e0w2 = n2k2,
где теперь п по закону Максвелла [см. уравнение F.7)]
означает показатель преломления (а не индекс функций
Бесселя, как было до сих пор). Для воды в области высоких
частот (дециметровые волны) п = 9.
Введем две действительные величины
B3.13)
i) D. Hondros, Ann. d. Phys., 30, 905 A909).
a) D. Hondros, P. D e b у e, Ann. d. Phys., 32, 465 A9l0)f

§ 2&. Общее решение задачи о распростран. волн по проводам 265
которые при графическом построении будем в дальнейшем
откладывать по осям прямоугольных координат.
Все предыдущие формулы, в частности, для симметричных
волн, остаются в силе и для настоящего случая действитель-
действительных ?, ч\, если только в них
приближений. Соотношение
B2.14а) имеет теперь вид
1 JgM. B3.14)
не содержится каких-либо
" Hj (*?-) «ajj
Согласно B2.5) и B2.7), левая
часть этого выражения при
?—>0 и ? —>оо имеет соответ-
соответственно вид
w:
ю.
Щ
Таким образом, она одновре-
одновременно с ? стремится к нулю или
бесконечности. Поэтому правая
часть B2.14) при ? = 0 также
должна равняться нулю; это
не выполняется при у\ = 0
(в таком случае правая часть
принимает значение — 2//г2),
а выполняется только тогда,
когда
Фиг. 34. Определение корней
уравнения, описывающего рас-
распространение волн вдоль ди-
диэлектриков.
Корни уравнения B3.14) определяются
с помощью корней wit го2, .. уравне-
уравнения B3.15) и корней го^, го^, ... урав-
уравнения B3.15а). По осям координат
отложены действительные перемен-
ные i = Vh3 — ft2 а и ^ = VnW — h*a.
Jo(t]) = O. B3.15)
Вместе с тем правая часть B3.
ность при
14) обращается в бесконеч-
(т])=0. B3.15а)
Поясним теперь графически .в плоскости ;, г\ зависимость,
описываемую соотношением B3.14) (фиг. 34). По оси ординат
будем откладывать корни уравнений B3.15) и B3.15а),
которые чередуются друг с другом. Обозначим последова-
последовательность точек, как и на стр. 258:
w
z,
и соответственно w
¦^ = 2,40,
B3Л5а)

266 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Через точки y\ = wf. и ? = 0 проведем прямые, парал-
параллельные оси абсцисс. Точки ч\ = wit ? = 0 являются исход-
исходными точками искомых кривых, которые при % —> оо должны
асимптотически приближаться к проведенным горизонтальным
т] = w'v
Однако между I и ч\, согласно B3.13), существует еще
одно соотношение:
p-\-vf = (n2—l)kZaZ=(n2—l)(~y. B3.16)
Это означает, что искомые решения уравнения B3.14) также
должны лежать на окружностях с центром в нулевой точке
?, -^-плоскости и радиусом
/¦х = 2тгул/^Лу, B3.16а)
где X—длина волны в воздухе для данного колебательного
состояния. Таким образом, нужно найти пересечение постро-
построенных кривых с окружностями B3.16).
В зависимости от величины X число точек пересечения
будет равно: 0, 1, 2 и более. Как непосредственно видно
из фиг. 34,
для Гу <С wx нет ни одной точки пересечения,
для wx < r} < w2 имеется одна точка пересечения,
для w2 < /\ < w3 имеются две точки пересечения и т. д.
Первый корень J0G]) = 0, согласно B3.156), есть <а>1 = 2,40.
Этому наименьшему значению /\, при котором еще возмож-
возможна волна, согласно B3.16а), соответствует наибольшее допу-
допустимое значение X:
^макс. == о 40 ^ ^'
откуда для „водяного провода" радиусом а=1 см полу-
получим
. 27iV80 0„ .
'-макс. 2 40 ?Ъ,*\ СМ.
Более длинные волны по такому проводу распространяться
не могут. Таким образом, мы находимся в области деци-
дециметровых волн, которая, в настоящее время представляе.т
большой интерес.

§ 24. Некоторые сведения по теории волноводов 267
При уменьшении X имеется сначала одна возможность
распространения волн, соответствующая на фиг. 34 первой
точке пересечения S^, при дальнейшем уменьшении X, т. е.
при соответственном увеличении гх до гх < 5,52, имеют
место две возможности, соответствующие на фиг. 34 двум
точкам пересечения S2 и S3. Первая из них соответствует
малому ? и дает h^k (скорость распространения по про-
проводу приблизительно равна с); для второй точки ? велико
(h существенно больше k, а скорость распространения
значительно меньше с) и ч\ приблизительно равно первому
корню Jl(rj) = O, который, согласно B3.1а), есть ^ = 3,83.
В первом из этих двух случаев электрические силовые линии
приблизительно перпендикулярны к поверхности провода,
уменьшение поля вне провода происходит медленно (асим-
(асимптотический спад по закону е~^г достигается лишь при
больших /*). Во втором случае, так как ? значительно, имеет
место скин-эффект вне провода, как и в случае побочных
волн в металлическом проводе. В первом случае вне про-
провода распространяется волна, имеющая характер основной
волны, но с той разницей, что во всем сечении диэлектрика
есть ток G]—-действительно и невелико). При еще меньших X
существует много возможных состояний колебаний, которые
также являются промежуточными между граничными случаями
основной и побочной волн. Одновременно фазовая скорость
волны изменяется в пределах от скорости с в вакууме до
скорости в „воде".
Наиболее успешная проверка приведенных выше резуль-
результатов, предсказанных Гондросом и Дебаем, была проведена
Саутвортом в лаборатории фирмы „Белл телефон компани".
Волны, распространяющиеся вдоль диэлектрических стер-
стержней, с успехом стали применяться в технике связи также и
в Германии.
§ 24. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ТЕОРИИ ВОЛНОВОДОВ
В предыдущем параграфе мы видели, что электромаг-
электромагнитные поля удерживаются поверхностью непроводящего
стержня и могут распространяться вдоль него и что излу-
излучению наружу препятствует скин-эффект. Излучение элек-
электромагнитного поля будет полностью отсутствовать, если
прместить диэлектрик в металлическую трубу. В этом случае

268 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
отпадает также условие достаточно большой диэлектриче-
диэлектрической проницаемости, так что диэлектриком внутри трубы
может быть воздух. Таким образом, мы приходим к устрой-
устройству волноводов, которые играют важную роль в высоко-
высокочастотной технике.
Рассмотрим специально цилиндрический волновод, так
как в этом случае можно непосредственно пользоваться
предыдущими формулами. Пусть а— радиус м&таллической
оболочки, которую пока можно считать идеальным провод-
проводником, h — волновое число распространяющейся волны.
Поскольку затухание вследствие излучения и выделения
джоулева тепла отсутствует, то h — действительное число.
Существуют электрические и магнитные волны как симме-
симметричного, так и несимметричного типа.
Симметричные электрические волны имеют вид
B4Л)
Г- ь
l/ Нои « i'/гЛ
где, как и в B2.13), опущены амплитудный множитель С
и подразумевающийся фазовый множитель e~iu>t+ihJB. В том
случае, когда Ех известно, эти соотношения также непо-
непосредственно следуют из зависимости между поперечными и
продольными составляющими в B0.5). Граничные условия
сводятся к единственному соотношению ?ж = 0 при г = а,
так как условие непрерывности для Н^ будет выполняться
благодаря индуцируемому на поверхности металлической
трубы поверхностному току. • Таким образом, при
р = \^k2 — h2a имеем
Jo (p) = 0, р = wx, w2, w3, . . ., w.t при wx = 2,40. B4.2)
Отсюда при подстановке значения p = j/r&2 — h2a следует
^)\ K<k, l>j = c B4.2a)
Следовательно, фазовая скорость ш//г., волны, распростра-
распространяющейся вдоль трубы, больше скорости света. Как и
в случае непроводящего стержня, существует нижняя гра-
граница для волнового числа k и, стало быть, верхняя граница

$ 24. Некоторые сведения по теории волноводов -269
для соответствующей этому волновому числу первичной 1)
длины волны Х = 2тг/«. Первичная длина волны соответствует
значению h = hx = Q (фазовая скорость равна бесконеч-
бесконечности) и по B4.2а) равна
\ 2гс 2я 2% _
и _
«мин. —
Лмин.
Поскольку а имеет величину порядка сантиметров, то все
последующее рассмотрение будет относиться к области
сантиметровых волн. Число возможных типов волн B4.1)
зависит от частоты ш или, что то же самое, от первичного
волнового числа k = a>/c. А именно число типов волн,
согласно B4.2а), равно числу корней w^, которые по своему
численному значению меньше ka.
Магнитные симметричные волны описываются, согласно
B3.3), соотношениями
B4.4)
что соответствует общей схеме уравнений B0.6). При этом
должно выполняться единственное граничное условие: Е^ = 0
при р = |Л«2—h2a. Отсюда следует
Jo(p) = O, p = wu w<i ^v при t<y1=3,83. B4.5)
В этом случае, как и в B4.2а), получаем значения Л„, мень-
меньшие k. Верхняя граница для первичной длины волны здесь
несколько ниже, чем для первичной длины волны электри-
электрического типа. А именно:
2я 2я ,п л г- \
—а = -—а. B4.5а)
1Юл 6,оо
!) Под первичной длиной волны мы понимаем длину волны
возбуждающего колебания, которое, конечно, имеет ту же самую
частоту со, что и возбужденное им колебание в волноводе. Эта
первичная длина волны является привычной для практика и удоб-
удобной с точки зрения размерности мерой частоты со; длина волны
в волноводе является однозначно определенной лишь в аксиальном
направлении и равна X = 2тс/Л, тогда как первичная длина волны
равна 2тс/& = 2яс/со. В случае Хперв = ^макс длина волны для акси-
аксиального направления бесконечно велика, так как h ?tJ hi = 0.

270' Гл. //. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Переходя к несимметричному типу, начнем с уравне-
уравнений B3.7). Однако поскольку число граничных условий
в этом случае меньше, то одну из двух необходимых там
постоянных С и D можно положить равной 0, а другую —
равной 1. Благодаря этому формулы значительно упрощаются
и разбиваются на два типа, один из которых соответствует
несимметричным электрическим волнам (D = 0), другой —
несимметричным магнитным волнам (С = 0).
Тогда для несимметричных электрических волн получим
Ех = Vk]h №К(Р)cosmp, Нх = 0,
Er=Jn(9)cosmp, |/~ptfr=A-^Jn(p)sin/icp, B4.6)
Др = — j *п (Р) sin щ, у ~Н^= А 4 (р) cos щ.
Для несимметричных магнитных волн, если ради удобства
заменить щ на лгср—[— (тг/2), будем иметь
~Т7 Jn(p)sinn(?t Vh Hr = J"(p)cosn(?t B4>7)
При /i = 0 B4.6) и B4.7) переходят в B4.1) и B4.4;.
Граничные условия при r = a, p = ~\/rk2— h2a имеют вид
В случае B4,6)
t^x — *-"?> '=~= "I т. е. Jп\р) == О.
В случае B4.7)
Др = О, т. е. J^(p) = O.
Корни этих обоих уравнений обозначим, как в B4.2) и B4.5),
снова через w4 и те/. Когда потребуется отличить их от
прежних, будем вводить аргумент п, т. е. будем различать
iso (л) и w @), и тг/(/г) и даЧО).

§ 24. Некоторые сведения по теории волноводов 271
О распределении значений корней w и wf, характе-
характеризуемых двумя индексами, дает представление следующая
таблица:
Ji = 0 Jo = 0 Уо = Jx = О
вд/1A)=1,84 ^@)^=2,40 г^@) = 3,83 = ^A)
та?A) = 5,34 да2@) = 5,52 ^ @) = 7,02 = т, A)
Эта таблица показывает, что наименьший корень против
ожидания соответствует не электрической симметричной
волне с п = 0, а магнитной несимметричной волне с п = 1.
То же самое имеет место для второго корня («j = 2, вторая
строка таблицы), т. е. эти волны следуют в той же после-
последовательности, как и в случае первого корня (v=l). Тре-
Третий .столбец показывает, что за электрической симметричной
волной следует магнитная симметричная волна с п = 0,
которой в силу соотношения Jo = — Ji соответствует тот же
самый корень, что и электрической несимметричной волне
с индексом /1=1.
Отсюда ясно, что указанная в B4.3) длина волны Хмакс.
не является абсолютной верхней границей для всех волн,
которые могут распространяться в трубе. Напротив, тако-
таковой является длина волны
^MaKo. = Yg4«- B4.8)
Таким образом, при непрерывном повышении частоты (пере-
(переход к все меньшим первичным длинам волн) и при соответ-
соответствующем пространственном расположении возбуждающего
элемента первой появляется не электрическая симметричная
'волна, а магнитная несимметричная волна с л=1. Лишь
после нее появляется электрическая симметричная волна и
позднее—магнитная симметричная волна одновременно с пер-
первой электрической несимметричной волной (/г=1). Это
поясняется на фиг. 35.
До сих пор речь шла лишь о цилиндрических трубах,
имеющих точно круговое сечение. Всякое отклонение в форме
трубы от формы кругового цилиндра означает, очевидно,
нарушение симметрии картины возбуждения и поэтому вызы-
вызывает появление новых парциальных волн другой симметрии,

272 Гл. //. Ьписанйё явлений на основе уравнений Максвелла
что приводит к трудности при практическом использовании
колебаний желаемых форм.
Используя общий метод, изложенный в § 20, А, можно
также непосредственно рассмотреть случай трубы с эллип-
эллиптическим поперечным сечением, так как волновое уравнение
2.05
Фиг. 35. Поперечные составляющие поля в цилиндрическом волно-
волноводе, расположенные в порядке убывания критической длины вол-
ны ^макс./Я-
Электрические силовые линии нанесены сплошными, а магнитные — пунктирными
стрелками, причем как те, так и другие изображены в сечениях, где располагаются
пучности колебаний. Свободное начало или конец силовых линий означает, что
они направлены вдоль оси к нам или от нас. Использованы обозначения, обычно
применяемые в технике: Н— волна магнитного типа; В — волна электрического
типа. Первый индекс —число периодов поля при обходе по азимуту. Второй
индекс —число полупериодов поля, умещающихся на диаметре.
в эллиптических
переменные (см.
задача IV.3). В этом случае нужно положить Ех, //ж рав-
координатах и, v позволяет разделить
т. II, Механика деформируемых сред,

§ 24. Некоторые сведения по тедрии волноводов 2Т6
ными функции Матье F(tu) или равными произведению
двух таких функций F{tu)' F{v) и тогда поперечные соста-
составляющие Еи, Hv, Hu, Ev можно будет непосредственно
определить из уравнений B0.5), B0.6).
Коротко остановимся еще на волноводах прямоугольной
формы. В случае прямоугольной формы (стороны прямо-
прямоугольника b и с направлены соответственно по осям у и z)
не может быть и речи о симметричных волнах. Поэтому
вместо соотношений B4.6) и B4.7) мы приведем общие
формулы:
Е,. — ih -?¦ cos nit —¦ sin тп —, l/ — H.. = r Ez,
v О О С f En a II
1 B4.9)
E ih—sin/iit-^-cosffiTt—, 1/ — Я, = — т^ы>
с V e0 2 h »
b
i/~ii0 w = —/Л -^ sin /wt ^- cos otic —, ^„=4-1/"^
B4.10)
Здесь w и п — любые целые числа. Амплитуды Ех в B4.9)
и Нх в B4.10), так же как в B4.6) и B4.7), приведены
к виду, удобному для дальнейшего изложения. Фазовый
множитель e'CkB-cof^ как и раньшеэ подразумевается. Вол-
Волновое число h определяется в обоих случаях из дифферен-
дифференциального-уравнения Au-\-k2u — 0, которое справедливо для
любых декартовых составляющих Е и Н. Подставляя из
B4.9) и B4.10) значения составляющих Е и Н в это уравне-
уравнение, легко получаем
где \—длина первичной волны. Чтобы при данных тип
найти максимальное значение X, ограничивающее сверху
18 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

274 Гл. П. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
область длин волны, при которых волновод может возбу-
возбуждаться, положим h = 0; это дает
X __ 2
макс- Y
Если Ъ > с (что мы можем принять), то абсолютное макси-
максимальное значение X получается при n=l, т = 0; оно равно
Как указал Бриллюэн, для возбуждения в волноводах коле-
колебаний такого типа можно использовать изящный и простой
метод наложения обыкновенных плоских пространственных
волн, интерферирующих на стенках волновода.
Эта мысль также приводит нас непосредственно от рас-
рассмотренных выше бегущих волн к стоячим собственным
колебаниям независимо от того, имеется ли в виду прямо-
прямоугольный волновод или круговой цилиндр конечной длины.
По существу, следует только заменить волновое число h
целым кратным величины т.\а (а — длина третьей грани
прямоугольной призмы или длина цилиндра). Подробнее
этот вопрос будет рассмотрен в задачах П.7 и П.8;
в задаче П.9 речь будет идти также о радиально-симметрич-
ных собственных колебаниях в сфере. Собственные колеба-
колебания в прямоугольной призме применяются, в частности,
в технике волноводов для определения частоты первичного
возбуждающего колебания на принципе резонанса.
Более сложные вопросы возникают при практическом
использовании волноводов, где уже нельзя пользоваться
предположением об идеальной проводимости стенок трубы,
а необходимо принимать во внимание реальную проводимость
металла и тепловые потери в нем; вследствие потерь
на джоулево тепло до сих пор невозможно осуществить
распространение волн на большие расстояния. Кроме того,
концам трубы часто придают форму конусообразного или
раструбного отверстия; это также ставит вопросы, которых
мы здесь касаться не можем 1».
1) Мы отсылаем читателя к широко распространенному в Америке
учебнику S. A. Schelkounoff, Electromagnetic Waves, New York,
1943, и к книге L. d е В г о g 1 i e, Problemes de propagation guidees
des ondes elecktromagnetiques, Paris, 1941. (См. перевод: Луи де-
Б р о й л ь, Электромагнитные волны в волноводах и полых резона-

§ 25. Лехеровская двухпроводная линия 275
§ 25. ЛЕХЕРОВСКАЯ ДВУХПРОВОДНАЯ ЛИНИЯ
С математической точки зрения теория лехеровской двух-
двухпроводной линии является обобщением рассмотренной в § 18, Г
теории двухпроводной линии с квазистационарными токами
на случай переменных токов высокой частоты. Преимуще-
Преимущество лехеровской двухпроводной линии по сравнению
с отдельным проводом, по которому протекает переменный
ток, состоит в том, что поле вне проводов убывает быстрее,
чем в случае отдельного провода, так что устраняется влия-
влияние окружающей среды, о котором говорилось на стр. 247.
Фаза переменного тока в обоих проводах распростра-
распространяется одинаково, скажем, в положительном направлении х.
Однако направление тока в них противоположно, как и
в § 18, Д. Можно сказать, что при одинаковых значениях х
через поперечное сечение одного провода протекает положи-
положительный, а через поперечное сечение другого — отрииатель-
рый заряд; заряды, собирающиеся на поверхности проводов,
также могут иметь противоположные знаки при равных х.
В этом случае мы говорим о противофазном возбуждении.
Кроме того, возможен случай, когда в обоих проводах про-
протекает заряд одного знака (или соответственно на поверх-
поверхности проводов собираются заряды тоже одного знака).
Этот случай мы назовем синфазным возбуждением. Какой
из двух случаев возникает, зависит от условий возбужде-
возбуждения. Всякая несимметрия возбуждения обусловливает появле-
появление волн обоих типов. Однако лишь устройство с противо-
противофазным возбуждением мы назовем „системой Лехера".
В синфазном случае, как мы увидим, поведение системы
совершенно аналогично случаю отдельного провода (§ 22)
и приводит к тем же самым экспериментальным трудностям.
Полную теоретическую разработку задачи Лехера дал
Ми *) еще в 1900 г. Приводимое здесь несколько упрощен-
упрощенное и дополненное изложение 2> отличается больше по форме,
торах, М., 1948; см также Г. В. К и с у н ь к о, Электродинамика
полых систем, Л., 1949; Л. А. Вайнштейн, Электромагнитные
волны, М., 1957. — Прим. ред.).
)) G. Mie, Ann. d. Phys., 2, 201 A900).
2) Это изложение основывается на обстоятельном исследовании
проблемы, выполненном И. Яуманом, который также познакомил
меня с приведенным в следующем разделе изящным рассмотрением
предельного случая с->со, принадлежащим его покойному отцу,
известному физику Г. Яуману. •
18*

276 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
чем по существу, от изложения Ми. Так же как и Ми,
введем биполярную систему координат, к координатным
кривым которой принадлежат оба контура, ограничивающие
сечения провода и имеющие, по предположению, форму
окружностей. Эти координаты были бы идеальным матема-
математическим вспомогательным средством, если бы в волновом
уравнении, записанном в них, можно было бы разделить
переменные. Но, к сожалению, это не так (см. т. II, Меха-
Механика деформируемых сред, задача IV. 1). Поэтому мы укажем
приближенные методы, основанные на замене волнового
уравнения уравнением для потенциала в плоскости _у, z.
Однако это приближение допустимо лишь в случае хоро-
хорошей проводимости материала проводов и только вне про-
проводов. Внутри них мы вынуждены пользоваться-обыкновен-
пользоваться-обыкновенными цилиндрическими координатами. Приравнивая выраже-
выражения для полей поверхности провода, получаем очевидное
уравнение для определения волнового числа h, которое
в противофазном случае даже проще, чем в случае отдель-
отдельного провода, так как оно оказывается не трансцендентным,
а алгебраическим. В синфазном случае оно очень похоже
на уравнение для отдельного провода.
Метод, отличный от излагаемого здесь и от метода Ми,
предложил Жентиль гК Следуя общей схеме теории возмуще-
возмущений, он прибавлял к симметричной волне, распространяю-
распространяющейся в первом проводе, совокупность несимметричных волн"
отдельного провода (см. § 23), каждая из которых умно-
умножалась на соответствующий коэффициент. С помощью этих
коэффициентов он пытался удовлетворить граничным усло-
условиям на поверхностях первого и второго проводов, причем
для этого он должен был использовать обобщенную тео-
теорему сложения функций Бесселя и Ханкеля. Отсюда полу-
получалась бесконечная совместная система линейных уравнений
для определения коэффициентов. Однако приближенного
решения этой системы Жентилю и его сотруднице Магри
получить не удалось. Напротив, метод, используемый нами,
дает возможность непосредственно и точно опреде-
определить вводимые коэффициенты, число которых бесконечно
велико.
1) О. Gentile, Nuovo Cimento, 1, 161, 190 A943).

§ 25. Лехеровская двухпроводная линия 277
А. Предельный случай бесконечной проводимости
При а—>оо, как можно заключить из соотношения B2.15)
для случая отдельного провода, скорость распространения
волны равна с, т. е. h = k. В связи с этим трехмерное
волновое уравнение для каждой декартовой составляющей
поля B0.3) переходит в двухмерное уравнение для потен-
потенциала. Это уравнение можно решить методом конформных
отображений при произвольной форме контуров, ограничи-
ограничивающих сечения проводов (они не обязательно должны
иметь форму окружностей • и даже не обязательно быть
одинаковыми для обоих проводов). Метод применим также,
если возбуждение не является строго периодическим (моно-
(монохроматическим), т. е. если фазовый множитель ei^hx~wt'> за-
заменяется произвольной функцией f(x — ct).
В самом деле, продольные составляющие Ех, Нх, о ко-
которых прежде всего шла речь в уравнении B0.3), в пределе
h-^>-k исчезают, потому что при бесконечной проводимости
электрические силовые линии перпендикулярны к поверх-
поверхностям обоих проводов и магнитные силовые линии также
располагаются в плоскостях лг = const. Поэтому для про-
продольных составляющих в первом приближении справедливо
?* = 0, Яж = 0. B5.1)
Но декартовы поперечные составляющие Еу, Ez, Hy, Hz
можно почти непосредственно определить из того условия,
что они как решения двухмерного уравнения для потенциала
образуют соответственно электростатическое и магнетоста-
тическое поля. Наиболее наглядно их можно объединить
с помощью векторной формулы 1)
Е -f iy ^ Н = grad w, w = u-\-iv. B5.2)
Здесь w=w(Q — функция комплексной переменной
?—y-{-iz, получаемая путем конформного отображения;
поперечные составляющие Е и Н равны соответственно гра-
градиентам действительной (и) и мнимой (v) частей этой ком-
комплексной функции.
l) Множитель (р-оЛо)^*» как и ранее, добавляется к Н из сооб?
ражений размерности.

278 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Конформное отображение для нашего случая двух подоб-
подобных круговых сечений рассмотрено в т. II, Механика де-
деформируемых сред, § 19. Фиг. 36 представляет собой
повторение приведенной там фиг. 26 с той лишь разницей,
что обозначения изменены соответственно рассматриваемому
теперь случаю. Обе системы силовых линий являются окруж-
окружностями, причем электрические силовые линии (v = const)
представляют собой семейство окружностей, исходящих из
фиксированных точек Qlt Q2; центры магнитных окружно-
окружностей (и = const), представляющих силовые линии, расположены
на действительной оси плоскости С, на которой лежат также
точки Qt и Q2. Средняя точка М между Qt и Q2 выбрана
в качестве начала координат (С = 0). Функция w задается
приведенным в т. II соотношением A9.10), которое в при-
принятых здесь обозначениях (и, v, С, ^ вместо р, <р, z, с) и
при более удобном выборе постоянной А имеет вид
да1п B53>
где ±^о — соответствующие (действительные) значения
величины L, в точках Qx и Q2, действительная и и мни-
мнимая v части w имеют тот же смысл, что и параметры р и <р
биполярной системы координат, определенные в т. II
соотношением A9.106). Из магнитных силовых линий на
фиг. 36 более жирными линиями показаны две силовые
линии, соответствующие окружностям радиуса а, ограни-
ограничивающим сечения проводов. Их центры Ог и О2 не совпа-
совпадают с точками Qlt Q2. Так как электрические силовые
линии исходят из точек Qlt Q2, назовем их точками источ-
источников электрических силовых линий (в пространстве это
будут линии источников, параллельные осям проводов).
Точки Qt и Q2 являются электрическими изображениями
друг друга [в смысле соотношения (9.8)] относительно обеих
окружностей, ограничивающих сечения проводов, т. е.
с помощью «преобразования обратиэго радиуса» переходят
друг в друга. Вводя обозначения
О^! = O2Q2 = /, OtQ2 = O2Qt = F, ОХМ = О2М = Ь,
запишем
= 2bt F—/=2V B5.3a)

—V--0-
-F-~
+A2
0,2
V-~0,2tt
¦Фиг. 36. Пучки окружностей биполярных координат и = const, v = const с фиксирован-
фиксированными точками Qj, Q2 (точки источников).
Контуры, ограничивающие сечения обоих проводов и= ± ti0, показаны жирными линиями; а —радиус проводов.
Точка М является началом координат Z.-0 плоскости комплексной переменной Z.—i

280 Гл. 11. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Отсюда, решая простое квадратное уравнение, получаем
f=*b—VW^&* Ъ = У?^&- B5.36)
Б. Поле вне проводов
Элемент длины в биполярных координатах имеет вид
(см. т. И, Механика деформируемых сред, задача IV. 1)
^h- B5-4)
В противоположность общему соотношению B0.1) для эле-
элемента длины в любой ортогональной системе здесь имеет
место особый (изометрический) случай, когда gv — gu = g.
Электрические силовые линии на фиг. 36, представ-
представляющие собой семейство окружностей v = const, направлены
в сторону возрастания и, магнитные силовые линии, пер-
перпендикулярные к электрическим и представляющие собой
семейство окружностей и = const, направлены в сторону
увеличения v. Для элементов длины dsu и dsv в каждой из
систем силовых линий B5.4) получаем
*b^ B5.4а)
du dv s
Запишем уравнение B5.2а) отдельно от направления и и
направления v:
ди
Разделяя действительную и мнимую части, получаем
cos v
Г * g { '- B5.5)
Последнее соотношение совершенно очевидно, так как
электрические силовые линии направлены вдоль и, а магнит-
магнитные— вдоль v. Для последующего изложения нам необхо-
необходимо найти более точную апроксимацию и для продольных

§ 25. Лехеровская двухпроводная линия 281
составляющих Ех, Нх\ они выражаются в виде решений двух-
двухмерного уравнения потенциала, причем сохраняется усло-
условие B5.1), согласно которому в первом порядке они равны
нулю. Это уравнение в координатах и и V имеет вид
А«»*>" ~Ъ~Ф ~^~ ~д%Р === °'
Частные решения этого уравнения можно записать в виде
sh пи \ ch пи
ch пи
ch аш ]
cos иг/, \ smnv. B5.5а)
sh пи J
Здесь п — положительное целое число. При я = 0 вместо
B5.5а) появляется линейная функция
аи. . B5.56)
Добавление члена bv недопустимо, так как Ех и Нх должны
быть однозначными функциями координат, тогда как коор-
координата v при обходе одного из проводов меняется на ± 2тг,
т. е. многозначна. С другой стороны, к B5.56) нельзя до-
добавить постоянную с, так как Ех и Нх на бесконечности
(к = v = 0) должны равняться нулю. Учитывая симметрию
задачи, запишем Ех как нечетную функцию и и четную v,
а Нх, наоборот, как четную функцию и и нечетную v:
Ех = Еои -f- Et sh и cos г/ + Е2 sh 2« cos 2г/ -f- ....
B5.6)
Для обоснования этого рассмотрим две симметрично распо-
расположенные точки и, v и —и, v (справа и слева на фиг. 36).
В противофазном случае, который прежде всего нас интере-
интересует, токи в обоих проводах текут в противоположных
направлениях; то же самое относится к х — компонентам
токов смещения вне проводов. Поэтому Ех в обеих выбран-
выбранных точках равньг, но противоположно направлены, а Нх
в этих двух точках также равны, но одинаково направлены,
так как взятые точки расположены с разных сторон отно-
относительно обоих проводов. Рассмотрим далее две точки (к, v)
и (и, —v) на фиг. 36, расположенные выше и ниже
прямой v= I .В этих точках Е равны и одинаково.

282 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
направлены, а Нх также равны, но противоположно направ-
направлены. Таким образом, соотношение B5.6) выполняется.
Относительно коэффициентов Ео, Et Ни . . . уже
известно по B5.2), что они в первом порядке при h-±k
стремятся к нулю. Чтобы рассмотреть это подробнее, обра-
обратимся лучше всего к общим соотношениям B0.5) и B0.6),
которые ранее использовались для определения поперечных
составляющих по продольным. Эти соотношения можно
теперь использовать, чтобы в первом приближении опреде-
определить продольные составляющие по поперечным, известным
в нулевом приближении. Подставляя B5.5) и B5.6) в B0.5)
и B0.6), а также учитывая, что gu = gv = g, получаем
)
u — cosv-4- ... (
— {kE 1~\-hH^)ch и cos v-\- ... j B5.7)
0= (l + J+
ИЗ B0.6).
0 = —
Отсюда следует, что
Е^Ш^^Ш^-^щн-к), B5.8)
Н^^Е^ — ^Е^ — Еу B5.8а)
Знак я^ означает при этом „равно с точностью до членов
более высокого порядка относительно h — /г". Легко видеть,
что для Н2, Нг, . . . справедливы те же соотношения,
что и для Hv Таким образом, мы определили Ео и Hlt
Н2, . . ., Нп. Величины Е1г Ег Еп отсюда не опреде-
определяются и будут установлены в дальнейшем.
Чтобы закончить рассмотрение поля вне проводов, вы-
выпишем также выражение для Hv на поверхности первого
провода, приближаясь к нему извне. Так как окружность,
ограничивающая сечение провода, является магнитной сило-
вой линией, то и = const, например и= —«0.

§ 25. Лехеровская двухпроводная линия 283
Вводя обозначение
р = еги°, B5.9)
из B5.5) будем иметь
) « = —«о- B5.9а)
В. Поле внутри проводов
Поскольку здесь, как и в предыдущих параграфах,
вместо k будет применяться величина
kb = у еаш2 -f- /ааш = у г'\ь <м
и так как | kj, | ^> h, то мы не достигнем цели, применяя
решение уравнения для потенциала в биполярных координатах,
а должны поэтому использовать истинные решения волнового
уравнения в обычных цилиндрических координатах. Итак,
введем новую комплексную переменную т] = rei<f с началом
отсчета, совпадающим, например, с центром первого про-
провода О1г и произведем преобразование наших систем коор-
координат (цилиндрической и биполярной) друг в друга, в част-
частности, для поверхности проводов. Это можно осуществить
с помощью соотношения B5.3), заменив в нем С новой
переменной у\. Принимая вэ внимание фиг. 36 и соотноше-
соотношения B5.3а), B5.36), положим
и тогда по B5.3) будем иметь
е е
Отсюда следует, что
f u+iv _ F
J^Y' B5Л0а>
Таким образом, координаты г, <р можно выразить через
координаты и, v и наоборот.
Например, для поверхности первого провода, где должно
быть « = — «о и г = а, взяв обратную абсолютную величину

284 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
выражения B5.10) и возведя ее в квадрат, получим
g-2«_ga = ae**-f шГ** - f ^ a* + P-2af cos у
— 2а/7 cos <j> "
Так как р не зависит от ср, то это уравнение может выпол-
выполняться лишь в том случае, если после приведения к общему
знаменателю будут равны множители при cos ср с обеих сто-
сторон, т. е.
или, принимая во внимание соотношение инверсии B5,3а),
получаем
/"'. = .?L = 2.. B5.11)
Из того же соотношения B5.10) при г = а, учитывая, что
р < 1, найдем
eb—F/a pei<f—l
_р)е~2Ц_^_ шу B5.11а)
и, следовательно,
cosv = р-\-(р2— l)cos<? -\-р(р2— I)cos2cp +
-hP2(P2— I)cos3<p+... . B5.12)
Далее, по B5.9) имеем
ио = _1п/; = 1п —; B5.12а)
с другой стороны, из B5.10а) при г = а, имея в виду B5.11),
определим
1 —ре
.....-, ein't = (p — e-iv)n(l—pe-™Yn B5.13)

§ 25. Лёхёровская двухпроводная линия 285
и отсюда, переходя к действительной части для п = 1, 2, 3,
получаем
cos<p =р — A —p2)cosv—(р — /?3) cos 2г/-f-
-j- (p2 — /?4) cos 3 v -\- . . . ,
cos2<p = /?2 — 2(p — p3)cosv-{-
+ A —4p2-j-3p4)cos2<y-f •¦-. ' V°-lV
cos З'-р = pz — 3 (p2 — p4) cos v -f-
-j- (Ър — 9/?3 -j- 6ръ) cos 2-y -f- . . .
В качестве общего выражения для поля внутри первого
провода используем суперпозицию системы парциальных
волн B3.7). При этом нам нужно выписать лишь выраже-
выражения для Ех и Ну.
B5.15)
THv= 2jlT"CnJn^)+7"DnJn^Hcos/l'P-
n = 0 J
Беря сумму всевозможных несимметричных волн отдельного
провода, мы неявно учитываем наиболее общим способом
одностороннее влияние „второго провода" на внутреннюю
область „первого", что как раз и обусловливает несим-
несимметрию.
Г. Граничное условие Hv==ffv
При рассмотрении отдельной парциальной волны ампли-
амплитуды Сп и Dn выбирались произвольно. Теперь мы должны
рассматривать не отдельную парциальную волну, а их супер-
суперпозицию, причем амплитуды Сп, Dn каждой парциальной
волны нужно будет определять из условия непрерывности
на поверхности провода.
Прежде всего сравним выражение B5.9а) для Hv, заме-
заменим в нем cos?/ рядом B5.12) с выражением B5.15) для //ф.
Учитывая B5.11), видим, что множитель перед cosn<p
в B5.9а) имеет вид

286 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
Выпишем также соответствующий множитель в B5.15):
— lA— С kLj'()\l\h П Dn Зп] B5
** L kL Vk2L—h2a Cn Jn J
Здесь Jn/j'n имеет величину порядка единицы, как это отме-
отмечалось в B2.7а); два первых множителя перед JnJ/n очень
малы; то же самое относится к Dn/Cn, как будет показано
позднее. Таким образом, сравнение B5.16) и B5.16а) непо-
непосредственно дает
п = —1/ -7--Г-~/77* B5.17)
Случай п =0 необходимо будет рассмотреть особо ввиду
наличия постоянного члена, входящего в выражение B5.12)
для cost/. Вместо B5.16) и B5.16а) здесь будем соответ-
соответственно иметь
~в т I р ~~т~ ~
* fj. h ° °^"''*
Отсюда
Следовательно, при этих значениях Сп и Со удовлетворяется
условие непрерывности Hv=-Ha.
Д. Граничное условие для ?"а, и закон распространения
фазы
Подставляя B5.17), B5.17а) в B5.15), получаем
/~~ т/Тг ТЪ. /со \
B5.18)

I 25. Лехеровская двухпроводная линия 287
Ввиду того что | &? | ;Э> | h | и JJj'n = i, это выражение
можно упростить:
p)- B5Л8а>
Подставим сюда мысленно ряд Фурье B5.14) для cos/гср,
после чего сравним B5.18а) с выражением B5.6), относя-
относящимся к области вне проводов, полагая в нем и = — и0.
Это дает
— Еоио — Е1 sh и0 cos v — Е2 sh u0 cos 2v — ... . B5.186)
Приравнивая соответственно множители при cos'У, cos2t>,
cos 2>v, получаем
...}, B5.19)
Полученные соотношения непосредственно определяют остав-
оставшиеся до сих пор неизвестными коэффициенты для п > О,
входящие в выражение для внешнего поля. Их можно до-
дополнительно упростить, используя соотношения
sheo = ^-(l— p2), sh2«0 = — (I— p*)
Но как, обстоит дело с коэффициентом Ео, который
мы уже определили соотношением B5.8) и поэтому уже
не можем использовать для выполнения граничного условия?
К счастью, этот коэффициент содержит еще неизвестную
величину h. Следовательно, оставшееся граничное условие,
содержащее Ео, служит для окончательного определения
постоянной распространения И, которая здесь, как и в слу-
случае отдельного провода, представляет для нас основной

288 Гл. //. Описание явлений на основе уравнений МаксвелЛй
интерес. Искомое уравнение мы получим, приравнивая не
зависящие от v члены в B5.18а), B5.186):
Подставив вместо Ео и и0 их значения из B5.7) и B5.12а)
и выполнив суммирование, будем иметь
»? Ю+*)«'-<*>. B5.20)
' jxq a In A/p) v '
Таким образом, Л определено простым и элементарным
путем, тогда как в случае отдельного провода для определе-
определения h требовалось решать трансцендентное уравнение.
Далее, в случае идеально проводящего материала (ео/е'-*О)
h, как и следовало ожидать, равно k. При конечной прово-
проводимости е' является существенно положительной мнимой вели-
величиной, т. е. }/V с точностью до положительного множителя
равен величине ein^2, а (го/е'у2 — величине
Следовательно, поправочный член в B5.20) равен положи-
положительному множителю, умноженному на 1-f-i. Таким образом,
действительная часть h будет больше k\ это означает, что
распространение будет происходить со скоростью, мень-
меньшей с. В то же время действительная часть ih будет
отрицательной, что, согласно выражению е1 (л^-а)*), соот-
соответствует затуханию волны, распространяющейся в поло-
положительном направлении оси х. Таким образом, действи-
действительная и мнимая части поправочного члена имеют) ясный
физический смысл.
Чтобы, наконец, проверить зависимость поправочного
члена от геометрических размеров системы Лехера, а именно
от радиуса провода а и от расстояния между проводами 2Ь,
мы можем F заменить на 2Ь, если 2Ь^>а. Тогда, согласно
B5.11), имеем
2Ъ <^ l' in A/р) ~ In

§ 25. Лехеровская двухпроводная линия 289
Поправочный член при этом лишь логарифмически зависит
от расстояния [между проводами и обратно пропорционален
радиусу провода.
Напротив, если b только немногим больше а, скажем
Ь = а(\-\-а) и сс<^1, то из B5.3а) и B5.11) получаем
, In —
fl 7") - L~ ^X?0 ¦=-" — ¦ B0-206)
A/р) а у 2а аа Ь — а '
Мы произвели этот небольшой расчет, чтобы показать
справедливость нашей конечной формулы B5.20) также и
в случае близко отстоящих друг от друга проводов, когда
взаимное влияние проводов очень сильное, так что скин-
эффект является односторонним. Это показывает также, что
наше рассмотрение справедливо при любых геометрических
соотношениях. Оно ограничено лишь требованием высокой
проводимости материала проводов, введенным уже в раз-
разделе А.
Е. Дополнения, касающиеся других граничных условий
Чтобы решить вопрос о полноте и непротиворечивости
нашего решения, скажем немного об оставшихся граничных
условиях. Это, с одной стороны, условие непрерывности
для Нх, с другой стороны, граничное условие E^ = EV.
Выражение для внутреннего поля, получаемое из B3.7)
суммированием по п, содержит при Нх коэффициенты Dn,
которые мы пока не рассматривали. С помощью граничных
условий их можно связать с постоянными Нп внешнего поля,
которые входят в B5.6) и, согласно B5.8), противоположно
направлены и равны уже известным постоянным Еп. Таким
образом, граничное условие для Нх служит для опреде-
определения постоянных Dn внутреннего поля. Отсюда можно
получить неравенство
которое мы не будем здесь численно проверять и которое
было уже использовано в B5.17). Наконец, остается гра-
граничное условие
Др (внутри) — Ev (вне),
19 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

290 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
которое уже нельзя удовлетворить путем подбора коэффи-
коэффициентов, так как все коэффициенты уже использованы. Но
из нашего приближенного расчета следует, что для внеш-
внешнего пространства и, в частности, для поверхностей прово-
проводов ?^ = 0. Следовательно, нам необходимо убедиться, что
внутри провода сумма всех Е^, определяемых соотноше-
соотношением B3.7), будет много меньше, чем другие составляющие
поля. Это действительно имеет место, а именно, сумма
всех Еу имеет величину, на несколько порядков меньшую,
чем другие составляющие. Однако доказательство здесь
можно опустить.
Ж. Синфазный и противофазный случаи
Приведенный выше метод относится исключительно к
случаю противофазного возбуждения. В синфазном случае
поперечные компоненты выводятся не из выражения для
потенциала B5.3), а из выражения
o) = lnG— ;>) + 1п(С-ЬСо). B5.21)
причем рассмотрение справедливо лишь для достаточно
тонких проводов [а <<^ Ь; иначе линии постоянного уровня
B5.21) нельзя будет приближенно считать окружностями!].
Биполярные координаты теряют при этом свое значение,
так как они больше не совпадают с системой линий по-
постоянного уровня B5.21). В частности, электрические сило-
силовые линии, которые совпадают теперь по знаку, проходят
не как на фиг. 36 от Qx к Q2, а взаимно отталкиваются
и по отдельности идут от Qx и Q2 в бесконечность. По-
Поэтому в этом случае вне проводов мы также будем приме-
применять обычные цилиндрические координаты г, ср с центром
на оси одного провода и г, ср с центром на оси другого.
Поле представляет теперь суперпозицию полей обоих про-
проводов, взятых с одинаковыми знаками. Именно их необхо-
необходимо V считать решениями волнового уравнения, в чем раньше
не было никакой необходимости ввиду незначительной об-
Поскольку теперь существенную роль играет требование, отно-
ся к излучению при г -> оо '
ного провода сформулировано в §
сящееся к излучению при г -> оо (требование, которое для отдель-
22).

§ 25. Лехеровская двухпроводная линия 291
ласти действия поля. Таким образом, и для области вне
проводов теперь необходимо применять соотношение B3.8),
в котором (правда, при ограничении тонкими проводами)
нужно принять во внимание лишь члены нулевого порядка.
Тогда в формуле для Ех появится выражение, представляю-
представляющее суперпозицию полей обоих проводов:
Vk*~h2 [Но (/Л8— h2r) + Но<У&=& 7)\.
На поверхности первого провода г = а, rzn 2b, учитывая
малую величину ^k2— h2 (и, предполагая, разумеется,
большую проводимость), согласно B2.5), получаем
h Л1п 21 fl+lnJLS/ 2&jB5.21a)
Так обстоит дело в области вне проводов. Внутри проводов
необходимо использовать указанное выше совершенно общее
выражение B5.15) для Ew. Входящий в это выражение
коэффициент Со можно найти из условия непрерывности
для Ну. Таким образом определяется и продольное поле Ех
внутри провода, в частности его нулевая парциальная волна.
Выражение для этой волны должно совпадать с членом
B5.21а), описывающим внешнее поле при г = а. Отсюда-
получается уравнение вида
(k2~h2) (\п т v 2i п а + In т v R2. 2b ) = const, B5.22)
правая часть которого известна. Оно должно выполняться
при соответствующем выборе h и является трансцендентным,
как и в случае отдельного провода [очевидно, его можно
сделать аналогичным уравнению B2.15), если объединить
оба логарифма]. Теперь понятна причина того, почему
соответствующее уравнение для h в лехеровском случае
стало не трансцендентным, а элементарным: оба лога-
логарифма в B5.21) и B5.22) входят в лехеровском случае
с разными знаками; поэтому при объединении под знаком
логарифма множитель -уУ^2 — h2 /2i сокращается и остается
лишь \п(а/2Ь), как и в уравнении B5.20а). Кроме того,
ясно, что этот кратко изложенный здесь расчет, выполнен-
выполненный без введения биполярных координат, привел бы к цели
19*

292 Гл. II. Описание явлений на основе уравнений Максвелла
и в лехеровском случае, но он был бы значительно сложнее,
особенно если не вводить требование о достаточно малой
толщине проводов.
Сходство между волной в противофазном случае и вол-
волной в случае отдельного провода имеется не только
в математических выражениях, их описывающих, но и в
физической структуре вэлн. В синфазном случае волна вне
провода убывает значительно медленнее, чем волна в про-
противофазном случае, поэтому для нее влияние окружающей
среды будет сказываться сильнее. Без пояснений очевидно,
что на большом расстоянии два одинаково направленных
переменных тока синфазной волны должны создавать та-
такое же поле, как и переменный ток, протекающий по отдель-
отдельному проводу.
При эксперименте необходимэ стремиться получить
чистое возбуждение противофазной волны, чтобы избавиться
от влияния окружающей среды. Но при не совсем симмет-
симметричном расположении могут возбуждаться также и синфаз-
синфазные волны. Они обусловливают размытие узлов, по кото-
которым определяются длины волн.
Поэтому уже при постановке эксперимента важно учесть
процессы, связанные с возможностью возникновения син-
синфазных волн, т. е., в частности, иметь в виду также тео-
теорию отдельного провода, которая была изложена в § 22,
несмотря на то, что она имеет лишь второстепенное прак-
практическое значение по сравнению с теорией системы Лехера.

Глава III
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОНА
§ 26. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ МИРЕ
Путь, которым шел Эйнштейн при открытии специаль-
специальной теории относительности в 1905 г., был крут и утоми-
утомителен. Чтобы пройти его, потребовался глубокий анализ
понятий пространства и времени и некоторые остроумней-
остроумнейшие мысленные эксперименты.
Путь, который мы собираемся избрать, будет широк
и удобен. Мы будем исходить из всеобщей применимости
уравнений Максвелла и огромного экспериментального
материала, лежащего в их основе; наш путь окончится
почти внезапно преобразованиями Лоренца со всеми их
релятивистскими следствиями1).
А. 4-потенциал
Вернемся к электродинамическим потенциалам, которые
при их введении в § 19 были еще окутаны туманом
неудовлетворительного формализма. Я хочу внушить моим
читателям, что действительная математическая природа
этого образования только теперь сможет выступить во всей
своей красоте, как выступает горный ландшафт, когда
рассеивается туман.
В левых частях обоих дифференциальных уравнений A9.9)
и A9.11), которым удовлетворяли А и ср, стоял оператор
!) Для знакомства с теорией относительности целесообразно
обратиться к изложению ее физических оснований. См. А. Эйн-
Эйнштейн, Сущность теории относительности, ИЛ, 1955, В. Паули,
Теория относительности, Гостехиздат, 1947; П. Бергман, Введе-
Введение в теорию относительности, ИЛ, 1947 Л. Л а н д а у, Е. Лифшиц,
Теория поля, Гостехиздат, 2-е изд., 1948; В. Фок, Теория простран-
пространства, времени и тяготения, Гостехиздат, 1955. — Прим. ред.

294 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Мы введем вместо координат х, у, z и t новые координаты
хх—х, х2-=у, xA — z, x± — ict, B6.2)
причем необходимые замечания относительно мнимой единицы
в лг4 мы сделаем позже. Мы назовем эти Xi мировыми
координатами, с помощью которых все события в мире
определяются в пространстве и времени. Тогда в операторе
B6.1) легко узнать четырехмерное обобщение оператора
Лапласа А; для него можно ввести обозначение х)
Так же, как и независимые координаты хь мы объеди-
объединим потенциалы А и ср в одно четырехмерное образование —
4-потенциал Ф с компонентами
*i = A,. Ф2 = А,, Ф3 = Л. ф4 = Т?" B6>
Множитель i при Ф4 понятен из определения л:4; множитель
1/с добавлен для получения одинаковой размерности всех
четырех компонент Ф. Тогда дифференциальные уравнения
A9.9), A9.11) перепишутся в виде
B6.5)
Введенная здесь величина Г будет называться плотностью
4-тока. Из B6.4), A9.9) и A9.11) следует, что его четыре
компоненты равны
1*1= Л,, Гг=Уу. Г8=Л, Г4 = /ср B6.6)
и имеют размерность плотности тока к/м2 • сек.
Перейдем теперь к связывающему потенциалы А и ср
уравнению A9.10). Согласно B6.4), второй член в его левой
части будет теперь иметь вид
L " L аФ* дФ*
С* ' 1С dt дх4 '
!) Некоторые далее развитые теории Эйнштейна и Калюца
используют и пятимерный символ
5

§ 26. Инвариантность уравнений Максвелла 295
Следовательно, вместо услозин A9.10) будем иметь
дФЛ . дФ2 . дФч . дФ4 _Q
дхх ' дх2 ' dxs ' дх±
Мы запишем это выражение кратко в виде
4
B6.7)
Оператор Div мы будем называть 4-дивергенцией (он не
имеет, конечно, ничего общего с обозначающейся так же,
введенной на стр. 40 поверхностной дивергенцией). Его
четырехмерная симметрия указывает на изотропию мировых
событий в пространстве и времени. Та же изотропия про-
проявляется и в операторе ?.
В связи с этим наш 4-потенциал Ф и плотность 4-тока
Г мы можем рассматривать как векторы в четырехмерном
пространстве, короче, 4-векторы. Такое обозначение заклю-
заключает в себе определенное утверждение относительно пове-
поведения величин Ф и Г при изменении координат х^. Как
было установлено в т. II (Механика деформируемых сред),
§ 2, обыкновенным 3-вектором является такая величина,
которая ведет себя при ортогональных преобразованиях
координат х, у, z как радиус-вектор г = (х, у, z). В соот-
соответствии с этим мы будем только тогда называть четырех-
компонентную величину 4-вектором, если она будет преоб-
преобразовываться при всяком ортогональном преобразовании
в пространстве х1з . . ., хА как четырехмерный радиус-вектор
R z=(x1, x2, х3, х4). Тем самым 4-вектор получает само-
самостоятельное, не зависящее от употребляемой координатной
системы значение в четырехмерном мире. В том же месте
т. II мы определили скаляр как величину, остающуюся инва-
инвариантной относительно ортогональных преобразований;
с помощью простого вычисления мы показали там, что,
.в частности, этой особенностью отличается дивергенция
3-вектора. Проведенное там вычисление непосредственно
переносится на четырехмерный случай и показывает, что
определенная формулой B6.7) дивергенция, примененная
к произвольному 4-вектору, является скаляром, т. е. четы-
четырехмерным инвариантом.

296 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Сведя уравнения Максвелла к уравнению для 4-вектора Ф
с инвариантными операциями ? и Div, мы сделали тем
самым очевидной их всеобщую справедливость независимо
от выбора координатной системы. Изотропия трехмерного
пространства нашла себе адекватное выражение в обычном
векторном исчислении, использованном в I и II частях. Теперь
вследствие изотропии мира на его место должно встать
четырехмерное векторное исчисление. Оно утверждает,
что при переходе к „штрихованной" координатной системе
Xi уравнения Максвелла останутся инвариантными, т. е.
будут выглядеть в „штрихованных" полевых величинах и
координатах точно так же, как и в первоначальных „нештри-
хованных". Эта инвариантность является не чем иным,
как принципом относительности в электродинамическом
понимании. Уравнения Максвелла с самого начала удовлет-
удовлетворяют постулату относительности; они не нуждаются, как
уравнения механики (ср. § 32), в последующей подюнке
к нему.
Б. Два шестивектора поля
Перейдем теперь к представлению компонент элект-
электрического поля Е. Согласно A9.7), например,
Р <*Р_ дАх
х дх dt '
В силу B6.4) и B6.2) выражение для Ех можно запи-
записать в виде
дФ дФ / дФ дФ \ /пс оч
B6-8)
Эта связь побуждает нас ввести в рассмотрение 4-ротор
**-.<¦>-.fk—g*- B6.9)
Последний, как величина с двумя индексами, имеет шесть
компонент (трехмерный ротор тоже было бы лучше [ср. т. II,
Механика деформируемых сред, формула B.17)] снабжать
двумя индексами, а не одним). Очевидно, что
= — Rotnm. B6.9a)
Величину Rot<D называют шестивектором, или из-за выра-
выраженных в B6.9а) свойств симметрии более точно анти-

§ 26. Инвариантность уравнений Максвелла 297
симметричным шеститензором. Употребляется для него
и название „поверхностный тензор" *). Его шесть отличных
от нуля и друг от друга компонент распадаются на три
пространственно-временных и три пространственно-прост-
пространственно-пространственных компоненты соответственно со схемой индексов
1 4, 2 4, 3 4 и 2 3, 3 1, 12. B6.96)
Первые три относятся, согласно B6.8), к электрическому
вектору, вторые три — к магнитному. Однако мы не можем
связать „количественную" величину Н с „силовой" величи-
величиной Е в одно четырехмерное образование; мы должны
использовать для этого „силовую" величину В или, вернее
сказать, величину сВ, имеющую ту же размерность, что
и Е. Итак, мы напишем, например,
*?) B6. Ю)
Если мы объединим теперь B6.8) и B6.10) и распространим
их циклической перестановкой на другие компоненты, то
для шестивектора поля F получим следующее представ-
представление;
B6.11)
где скобки указывают лишь на объединение двух трехмер-
трехмерных векторов в одну четырехмерную величину. Этот шести-
шестивектор поля F, так же, как и шестивектор Rot<D, нужно
снабдить двойными индексами, согласно схеме B6.96).
У нас остались еще неиспользованными векторы Н и D.
Мы построим второй шестивектор, шестивектор возбужде-
возбуждения /, объединяя в нем имеющие одинаковую размерность Н
и icD. Так как
Н = —=l/~-^-cB и cD = ce0E =
= — Rot<D. B6.12)
то из B6.11) мы получим просто
1) В современной литературе величину вида B6.9) принято на-
называть антисимметричным 4-тензором второго ранга. Однако
в переводе сохранена терминология автора. — Прим. ред.

298 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Таким образом, получаем соотношение
F* B6ЛЗ)
в' которое, что представляется весьма удовлетворительным,
входит геометрическое среднее обоих трехмерных вакуумных
постоянных е0 и jj/ = 1/jj-o- Действительно, еще при введении
магнитной проницаемости в § 4 мы подчеркивали, что, по
существу, аналогом диэлектрической проницаемости е является
не {л, а обратная величина jj/=1/jj,. Во всяком случае B6.13)
объединяет симметричным образом трехмерные соотношения
между вектора!ми Е, В и D, Н. Одновременно наши настоя-
настоящие представления B6.11) и B6.12) переводят в полностью
симметричную и гармоничную форму использовавшиеся
ранее столь не похожие ,друг на друга представления A9.7)
и A9.6).
Чтобы нагляднее представить себе структуру антисим-
антисимметричного тензора, выпишем все компоненты /в виде матрицы
О /18 Лз /и 0 Нг -Н„ ~icDx
/21 0 Лз /2* = —Hz 0 . Нх —UDb
/31 /32 О /м НШ —НЯ О —UDt
/и Л2 Лз 0 icDx icDy icDz 0
B6.14)
Соответствующие компоненты для F получатся тогда,
согласно B6.13), умножением на Y \^о1го ПРИ одновременной
замене Н на сВ и cD на Е. Отдельные компоненты векто-
векторов Н и D мы отмечаем при этом, следуя трехмерному напи-
написанию, индексами х, у, z; с нашей настоящей четырехмерной
точки зрения, их было бы предпочтительнее отмечать* двой-
двойными индексами B6.96), как и в матрице /. Порядок расста-
расстановки индексов, связь трехмерных индексов с четырехмерными
и знаки очевидны из вида формулы B6.14).
В. Уравнения Максвелла в четырехмерном виде
Мы хотим переписать теперь в четырехмерном виде и
первоначальные уравнения Максвелла. Исходя из уравнения
dHz dHv
х ду ' dz Jx

§ 26. Инвариантность уравнений Максвелла 299
и вспоминая определение B6.6) плотности 4-тока Г, мы
получаем из первой строки B6.14)
Соответственно можно преобразовать и две другие соста-
составляющие этой тройки максвелловских уравнений. Итак, мы
получаем в общем виде для m=l, 2, 3
<26Л5>
Если мы распространим это уравнение и на значение m = 4,
то получим, согласно B6.14) и B6.6),
Итак, наше прежнее определение плотности заряда р D.46)
оказывается четырехмерным завершением второй тройки
уравнений Максвелла D.4).
Введенная в B6.15) операция ^j(d/dxn) называется
в общем тензорном анализе (ср. т. II, Механика деформи-
деформируемых сред, стр. 78) „дифференцированием с последующим
свертыванием". Эта операция превращает 4-тензор в 4-век-
тор. Мы будем обозначать ее Div в отличие от введенного
соотношением B6.7) оператора Div, который относил 4-век-
тору скаляр. Итак, мы напишем вместо B6.15)
<26-16)
Для каждого антисимметричного тензора Т выполняется общее
соотношение
Div Div 7^ = 0, B6.16а)
непосредственно следующее из Tnm=Tmn. Отсюда мы можем
заключить, что дивергенция 4-тока должна обращаться
в нуль:
Div Г = 0, B6.166)

300 Гл. HI. Теория относительности и теория электрона
что является „облагороженной" четырехмерной формой урав-
уравнения непрерывности D.4в).
Посмотрим теперь, как будет обстоять дело с другой
тройкой уравнений Максвелла D.4), например с л:-компо-
нентой:
дЕг dEv
В+^^0
х ' ду dz
Запишем наш тензор поля F аналогично B6.14),
OFF
u r12 r13
i 01 v/ i oq
F =
0 cBz —cBy —
— cBz 0 сВж —
Г 32 " * 4yi Cjd,i Ct5^, U
/Е„ Ш2 О
О
B6.17)
тогда последнее уравнение перепишется в виде
B6.17а)
Такое распределение индексов сначала приводит в замеша-
замешательство, однако это распределение становится совершенно
очевидным, если ввести „дуальный" к F шестивектор
/=* = (—/Е, сВ), B6.176)
получающийся из F перестановкой действительной и мнимой
частей. Нахождение отдельных составляющих F* опреде-
определяется правилом:
F*mn^=Fkl, B6.17b)
где последовательность индексов
k, I, m, n B6.17г)
должна образовывать четную перестановку индексов 1, 2,
3, 4. Согласно этому правилу, получаем
F23 = Fu, FM=^F\2, Fi2^=FU B6.17д)
тогда B6,17а) примет вид

§ 26. Инвариантность уравнений Максвелла 301
Но отсюда видно, что B6.17а) является первой компонентой
уравнения
DivF* = 0, B6.18)
две другие составляющие второй тройки уравнений Максвелла
переходят в две следующие компоненты уравнения B6.18).
В чем будет состоять смысл четвертой компоненты B6.18)?
Прежде, всего мы имеем условие
. I __| ¦ Q
dxj ' дх% ' дхв
Согласно B6.176) и B6.17), это условие принимает вид
дх ^ ду ^ dz
Таким образом, оно совпадает с хорошо знакомым нам усло-
условием отсутствия источников у магнитной индукции В.
Теперь с четырехмерно-релятивистской точки зрения оно
появляется как необходимое завершение первой тройки урав-
уравнений Максвелла, в то время как ранее, в D.4а), мы должны
были специально постулировать его как особый опытный
факт.
Таким образом, мы сформулировали теперь теорию Макс-
Максвелла для вакуума в утверждениях
/~^-/, B6.19)
е0
выступающих равноправно с нашими утверждениями относи-
относительно потенциала
ПФ = —1*оГ, Div<?=0,
B6*20)
Все фигурирующие в обеих формулировках величины и опе-
операторы имеют законное право на существование в четырех-
четырехмерном мире и поэтому удовлетворяют принципу относи-
относительности.
В этой связи нам хотелось бы подчеркнуть, что теория
относительности не оставляет никаких сомнений в том, что

302 Гл. 111. Теория относительности и теория электрона
векторы Е и В, с одной стороны, и векторы D и Н — с дру-
другой, связаны взаимно друг с другом, поскольку они являются
составными частями одного из высших образований F или /.
Это было очевидно нам с самого начала, отчасти из сообра-
соображений размерности, отчасти из-за различного смысла этих
двух пар, как величин „силовых" и „количественных". В ча-
частности, теория относительности не оставляет никаких сомне-
сомнений в том, что это различие столь же необходимо в вакууме,
как и в любой материальной среде х>; следовательно, и в вакууме
необходимо одновременное использование обоих шестивекто-
ров F и / (т. е. четырех 3-векторов Е, В, D и Н).
Г. Геометрическая природа шестивектора
и его инварианты
Всякий 4-вектор, естественно, представляется отрезком
в четырехмерном пространстве (пространством Rt с заданной
ориентацией). Шестивектор хотелось бы наглядно предста-
представить геометрически двухмерным куском плоскости, т. е.
его площадью, и двухмерным направлением в четырехмерном
пространстве (пространством R2, одна из сторон которого
считается положительной). Однако такое представление
было бы слишком частным: такой кусок плоскости опреде-
определяется только пятью независимыми параметрами, именно одним,
определяющим его величину (форма не может играть роли)
и четырьмя2), определяющими его положение (с точностью
до параллельных перенесений), в то время как шестивектор
имеет шесть параметров. Чтобы дать геометрическую
интерпретацию для шестивектора, заметим, что в четырех-
четырехмерном пространстве каждому R2 однозначно соответствует
*) При данном определении шестивекторов Р и / получаются
инвариантные уравнения B6.16) и B6.18), не зависящие от постоян-
постоянных среды. В теории относительности это особенно важно, потому
что е и [х не сохраняются при переходе от одной инерциальной
системы к другой (см. § 34). — Прим. ред.
2) Если мы будем представлять себе положение плоскости опре-
определенным двумя лежащими в ней 4-векторами (пусть с общим нача-
началом), то каждый из них будет задаваться тремя числами — отноше-
отношениями его четырех компонент. Однако каждый из этих 4-векторов
можно еще произвольным образом поворачивать в пространстве /?2,
что уменьшает число параметров от 2X3 до 2X3 — 2 = 4.

§ 26. Инвариантность уравнений Максвелла 303
одно ортогональное ему1) R2. Если задать кусок плоскости
и на этом ортогональном R2, то в нашем распоряжении ока-
окажется еще один параметр (двухмерное направление вто-
второго R2 уже определено заданием первого), т. е. всего
будет как раз необходимое число независимых параметров,
а именно 6. Итак, шестивектор можно представить геомет-
геометрически не одним куском плоскости, а двумя ортогональ-
ортогональными друг другу кусками плоскости произвольной площади.
Компоненты шестивектора будут тогда равны суммам проек-
проекций обоих кусков плоскости на шесть координатных плоско-
плоскостей (хп, хт). Если мы поменяем друг с другом площади
обоих кусков, то перейдем от первоначального шестивектора F
к дуальному ему шестивектору F* и подтвердим соотноше-
соотношения B6.17в) между их компонентами.
Всякий 4-вектор обладает лишь одним инвариантом —
квадратом его длины, равным сумме квадратов его четырех
компонент (квадрат четвертой компоненты в силу ее мнимого
характера входит, естественно, с отрицательным знаком).
Напротив, шестивектор F обладает двумя инвариантами
(F, F) и (F, F*),
каждый из которых образуется, согласно правилу построения
скалярных произведений, суммированием по шести компонен-
компонентам с одинаковыми индексами. Рассмотрим подробнее случай
электродинамики. Согласно схемам B6.17) и B6.176),
получаем
(F, F) = Fbhllll V2
+Fl = cVE,
OF, F*) = Fl2F3i+F23Fu + F3lFu+ • • • = -»c (BE),
где многоточие означает повторение трех предыдущих произ-
произведений с измененным порядком множителей, т. е. приводит
просто к удвоению результата. В случае световой волны
в вакууме оба инварианта B6.21) равны нулю; действительно,
тогда, согласно § 6, В J_ E и сВ = Е2>.
t) Одно из этих пространств /?2 можно назвать „осью" другого,
поскольку одно может произвольно вращаться вокруг другого, не
теряя совпадения с самим собой. Соотношение обоих /?2 является,
конечно, взаимным, или „дуальным". Следовательно, для R%, поме-
помещенного в Rit ось вращения является двухмерным многообразием, а
не одномерным, как при помещении в Rs,
2) Согласно F.13) и F.11), Н = У"ео/(лоЕ, откуда В -= Y*ofro E=E/c

304 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Эта особенность в силу ее инвариантного характера со-
сохраняется для световой волны в любой системе отсчета
в 4-мире. Естественно, что второй шестивектор / обладает
теми же инвариантами
(/ /) = Н2— c2D2,
Смешанные инварианты
(/» *) = /12' 12 I /23* 23 ~~Г / 31*31 ~Г
Ч-Л^н Ч-ЛЛ + ЛЛ = с (НВ) - с (DE) B6.22)
и
\J> л J J\2l 12 1/23* 23 1/31 31 ~
Г
24 i /зг 34
= — i (EH) —/с2 (DB) = — 2i (EH) B6.23)
отличаются от B6.21) и B6.21а) только постоянным числен-
численным, множителем г). Будем называть инвариант
Л = 4с~ # F> = У ^НВ> - Т(DE) B6-24)
плотностью функции Лагранжа (лагранжевой функцией
движущегося электрона на единицу объема поля). Напротив,
плотность энергии W, представляемая выражением 1/2(НВ)-|-
+ 1/2(DE), оказывается компонентой мирового тензора;
следовательно, взятая сама по себе, она не обладает каким-
либо не зависящим от выбора системы координат значением.
Если вернуться к геометрическому представлению шести-
вектора, то наши инварианты можно следующим образом
выразить через площади а и Ъ соответствующих шести-
вектору двух взаимноортогональных кусков плоскостей:
(F, F) = a2-\-b2, (F, F*) = 2ab, A = е0(а2 + Ь2). B6.25)
!) „Инвариант" B6.23) [равно как и „инварианты" (F, F") и (/, /*)
из B6.21), B6.21а)], строго говоря, следует называть „псевдоинва-
„псевдоинвариантом"— он ведет себя как инвариант по отношению к 4-враще-
ниям, но при 4-отражениях меняет знак. Это связано с тем, что
„дуальный" шестивектору Р шестивектор F* является не тензором,
а псевдотензором, закон преобразования которого отличается от
тензорного дополнительным изменением знака при отражении.
Последнее обстоятельство непосредственно видно из B6.17в) и
B6.17г). — Прим. ред.

§ 26. Инвариантность уравнений Максвелла 305
Отсюда следует, что частный случай шестивектора с й = 0
отличается от общего условием (F, /7*) = 01>.
Д. Релятивистски инвариантные 3-векторы
Мы поставим перед собой вопрос, каким должен быть
3-вектор, чтобы он имел право на существование в 4-мире.
С этой целью рассмотрим шестивектор, дуальный самому
себе2). Мы можем записать его в виде
F = F -4- F* = F -4— Fjtj. B6 26)
Этот шестивектор обладает в действительности лишь тремя
существенно различными компонентами. Мы назовем их
С С С 1 С
аи = FM = FM = Fn+F*. B6.26a)
и получим, согласно B6.27), следующие выражение для
специального тензора, определяемого этим 3-вектором а:
/ 0 а, — аи а„\
/ z у х\
х v . B6.266)
ау —ах 0 аг I
!) Это условие является основным в линейчатой геометрии трех-
трехмерного пространства, где каждой прямой относят шесть однород-
однородных координат, которые, согласно схеме B6.17), определяются
шестивектором, удовлетворяющим этому условию.
2> В отличие от правил обычного тензорного анализа здесь про-
производится сложение величин, различным образом ведущих себя
при преобразованиях координат (отражениях). Однако сложение
в B6.26) и B6.27) носит, по существу, символический характер:
при его проведении различным образом преобразующиеся величины
входят одна в действительную, а другая в мнимую части образую-
образующихся комплексных шестивектора или 3-вектора. Более подробно
см., например, Ю. Б. Румер, Спинорный анализ, М. — Л., 1936,
стр. 59. — Прим. ред.
20 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

306 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
В частном случае электродинамического тензора F мы по-
получим из B6.17) и B6.26а) для соответствующего 3-вектора
ax = — i (Ех + icBx), ay = — i (Ey + icBy),
azr= — i{Ez+icBz).
Итак, комплексный 3-вектор
ia B6.27)
можно представить как дуальный самому себе 4-тензор
вида B6.26).
С другой стороны, мы могли бы образовать вместо B6.26)
Г z== г rim * mn T== * mn * kl •
Последний шестивектор антидуален самому себе и приво-
приводит к схеме, аналогичной B6.266) и 3-вектору:
Е — /сВ = — ib. B6.27а)
Еще задолго до возникновения теории относительности было
замечено, что комплексные образования EztzicB, равно как
и аналогичные \i±icD, обладают известными преимуще-
преимуществами при интегрировании уравнений Максвелла.
Теперь мы можем узаконить с четырехмерной точки
зрения и вектор Герца П. В § 19 он появился как 3-век-
3-вектор, однако в действительности является замаскированным
шестивектором со структурой, аналогичной структуре
шестивектора электростатического поля ЕСТат.- Для
такого шестивектора ВСТат. = 0, а ЕСТат. составляет 3-век-
3-вектор, который мы будем временно обозначать через Рх, Ру, Рг.
Тогда, согласно схеме B6.17), мы получаем
B5-28)
Путем дифференцирования этого шестивектора с последую-
последующим свертыванием мы получим 4-вектор, который мы хо-
хотели бы обозначить той же буквой Ф, что и 4-потенциал:
ф = Div Fotbt., - B6.28a)

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности^!
и который обладает компонентами
1.2, з — 1 дх± ~ с х' У'2'
Если мы перейдем теперь от составляющих Ф123>4 с по-
помощью B6^4) к электромагнитным потенциалам А и ср, то
получим
А = —-Р, cp = cdivP. B6.286)
С
Теперь, если положить Р = — \iocH, то уравнения B6.286)
перейдут как раз в A9.15), A9.16а), с помощью которых,
был первоначально определен вектор Герца. Следовательно,
3-вектор П можно, так же как и Р, свести к шестивектору
типа B6.28). Однако этот щестивектор связан с той спе-
специальной системой координат, в которой диполь Герца
находится в покое. Переход от этой „покоящейся системы"
к любой другой системе отсчета можно совершить с по-
помощью правил, которые будут развиты в следующих пара
графах.
§ 27. ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛОРЕНЦА
И КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
В своей „эрлангенской программе" Феликс Клейн про-;
извел классификацию различных геометрических дисциплин,
исходя из допустимых в них групп преобразований. Проек-
Проективная геометрия считает одинаковыми все фигуры, кото-
которые могут переходить друг в друга при проективных пре-
преобразованиях, т. е. центральных проектированиях трех-
трехмерного пространства 1К Аффинная геометрия фиксирует
бесконечно удаленную плоскость, поэтому в ней считаются
допустимыми только аффинные- преобразования, т. е. парал--
лельные* проектирования. Для элементарной геометрии
существенны .также и 'форма фигур, их углы и отношения
1) F. К 1 е i n, Vergleichende Betrachtungen fiber neuere geomet-
rische Forschungen, Erlangen, 1872. [См. Перевод, Ф. Клейн,
Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований
(Эрлангенская программа). Сборник „Об основаниях геометрии %
М-.,; 1956,] - . . ¦ • ¦ _
20*

308 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
их длин. Соответствующей элементарной геометрии группой
является группа ортогональных преобразований в трех-
трехмерном пространстве, дополненная преобразованиями по-
подобия. Она оставляет неподвижной не только бесконечно
удаленную плоскость, но и содержащийся в ней мнимый
шаровой круг. Геометрия общих точечных преобразований
в состоянии преобразовать каждую поверхность в любую
другую, однако подвергает каждую бесконечно малую
область в пространстве лишь линейным (проективным) изме-
изменениям. Группа контактных преобразований не сохраняет
более существования поверхностей в пространстве и остав-
оставляет неизменным только факт соприкосновения точки на по-
поверхности и касательной плоскости.
То, что здесь речь шла не об отдельных преобразова-
преобразованиях, а только о группах преобразований, очевидно уже
из того, что вместе с любыми конкретными преобразова-
преобразованиями необходимо рассматривать на равных основаниях и
преобразования, возникающие при их комбинировании и
последовательном применении. Если сосредоточить основное
внимание не на изменениях геометрических образований,
а на особенностях, остающихся неизменными, то следует
говорить не о группе преобразований, а о соответствующей
ей теории инвариантов.
Группой преобразований классической механика является
группа преобразований Галилея (см. т. I, Механика, стр. 18).
Она распадается на группу ортогональных преобразований
пространства и смещения временной шкалы в соответствии
с ньютоновскими представлениями об абсолютном простран-
пространстве и абсолютном времени. Ее инвариантами являются
квадрат расстояния в пространстве и разность времен.
Группой максвелловской электродинамики является, как
мы видели в предыдущих параграфах, группа ортогональ-
ортогональных преобразований в пространственно-временном маре.
Эйнштейн назвал эти преобразования в честь великого гол-
голландского физика Хендрика Антоона Лоренца (Hendrik
Antoon Lorentz) преобразованиями Лоренца. Подобно тому,
как существо различных геометрий характеризуется их
специальными группами, так и существо теории Максвелла
заключается в ее инвариантности относительно группы
Лоренца. Основным инвариантом этой группы является
интервал между двумя мировыми точками, в частности

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительностиЗОЯ
четырехмерный элемент длины, т. е. интервал между
двумя бесконечно близкими пространственно-временными
точками.
А. Общие и специальные преобразования Лоренца
Общую схему преобразований Лоренца мы уже приво-
приводили в т. I, [Механика, формула B.10)]. Эти преобразова-
преобразования выражаются формулами
= 2
Zj
j—X
Л =1.2, 3,4, B7.1)
@, 1фк,
ifc = | i ,__ь B7.2)
У1' I **¦•
Их подгруппу образуют ортогональные преобразования
3-пространства, его вращения в себе. Соответственно общие
преобразования Лоренца называют пространственно-вре-
пространственно-временными вращениями. Мы уже выводили [т. I, фор-
формула B.14)] также и специальное преобразование Лоренца,
при котором две пространственные координаты остаются
неизменными. Если мы выберем в качестве последних коор-
координаты у и z, то схема преобразования Лоренца примет
вид
B7.2а)
Согласно B7.2), должны выполняться соотношения
^i + ^'-^+^-^+^-fli + fli^l. B7.3)
следовательно,
aL = *L * = «?• B7.4)
Положим
аи = а44 = а B7.5)
х'
к
хг
хг
хх
аи
0
0
аи
х2
0
1
0
0
*з
0
0
1
0
X,
«14
0
0

310 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
и получим, снова используя B7.2),
«u«u 4" a4iau = a («u + a«) = 0. B7.6)
Следовательно, мы можем записать, вводя новую постоян-
постоянную ?,
au^ —att = tap. B7.7)
Введенный здесь множитель i нужен из-за мнимости л:4
и х[, чтобы содержащиеся в нашей схеме уравнения
приводили бы к действительным значениям для д:^ и ху.
Если мы подставим, наконец, B7.5) и B7.7) в B7.3),
то будем иметь
а2A —В2)=1, д= * -, B7.8)
и наша схема B7.2а) примет вид
B7.9)
или в действительной записи
С
B7Л0)
Если мы проведем в B7.10) предельный переход
с—>-оо, [3—>0,
то, поскольку [Зс = г>—конечная величина, получим
x'=-x — vtt y'=y, z' = z, t' = t. B7.10а)
Следуя Эйнштейну, назовем эти соотношения преобразова-
преобразованием Галилея.
С точки зрения группы преобразований B7.10а) про-
пространство и время стали „абсолютными". Эта группа пре-

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 311
образований становится на место группы Лоренца, только если
следовательно, [3<<^ 1. B7.106)
Общепринятое обозначение $ = v/c может служить напоми-
напоминанием о C-лучах, обладающих скоростями, сравнимыми
со скоростью с, для которых, следовательно, также непри-
неприменима группа Галилея.
Физический смысл преобразований B7.10) состоит в том,
что обе системы (х, f) и (x't f) движутся относительно
друг друга со скоростью v = (Зе. Если мы назовем, напри-
например, систему (х, t) „покоящейся" и будем следить за опре-
определенной точкой xr = const в „движущейся" системе, то,
согласно B7.10), будет также и
х — $ct = х — vt = const.
Следовательно, движущаяся система перемещается по на-
направлению вдоль оси х (совпадающему с направлением оси х')
в положительном направлении со скоростью v, две другие
оси у' и z' перемещаются, грубо говоря, параллельно
осям у и z в том же направлении и с той же скоростью v.
При ? = 0 движущаяся и покоящаяся системы совпадают.
Несколько более общий случай, отвечающий относитель-
относительному движению обеих систем не в направлении оси х,
а в некотором другом, например лежащем в плоскости х, у,
направлении, мы рассмотрим в задаче III. 1 в конце книги.
Б. Относительность времени
Из уравнений B7.10) и B7.10а) видно, что протекание
времени происходит абсолютно только при с—»-оо, в то
время как при конечном с оно зависит от точки зрения
наблюдателя: „штрихован шй" наблюдатель измеряет не то
время, чго „нештрихованный".
Эго обсгоятетьство полностью проясняется, если мы
вернемся от действительного представления B7.10) к мни-
мнимому B7.9), однако, несмотря на это, будем считать входя-
входящие туда величины действительными. Мы можем-воспользо-
можем-воспользоваться тогда обычными в аналитической геометрии спосо-
способами изображения (фиг. 37) и записи
х\ = cos tjc, -f- sin rx.,
1 J i^ » 4' B7.11)
х'^ = — sin yxt -f- cos ух3,

312 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
где
cos т =
Sin Y =
— &2
= i3. B7.11a)
Как хорошо известно, первое из уравнений A2.11) означает
проекцию ломаной линии OPQ на ось х[, второе—на ось х^.
Однако в нашем случае угол
относительного поворота
обеих систем является мни-
мнимым,' поэтому то же спра-
справедливо и для sin '[ и tg y"»
cosy является в действи-
действительности гиперболическим
косинусом, и поэтому он
больше 1, поскольку [3 <С 1.
Тогда непосредственно
из фиг. 37 видно, что два
„события" (пространствен-
(пространственно-временные точки) Q и R,
одновременных в нештрихо-
ванной системе, в штрихо-
штрихованной системе уже не
одновременны. Это исчез-
исчезновение одновременности
должно теперь удивлять
нас не в большей степени,
чем аналогичное исчезнове-
Ф и г. 37. Преобразование системы
координат х1? х± в систему xv х±
вращением на мнимый угол f-
Два явления R и Q, одновремен-
одновременные в системе х, t получают при
этом различные координаты х±
точно так же, как два события Р
и Q, „одноиксовые" в системе х,
t, получают при этом различные
координаты xv
ние „одноиксовости" для
обоих событий Q и Р.
Использованное нами на
фиг. 37 псевдодействитель-
псевдодействительное представление будет использоваться нами и в дальнейшем
и едва ли может привести к недоразумениям. Мы отступаем,
правда, тем самым от великого образца, данного Германом
Минковским, который применял в своем классическом до-
докладе „Пространство и время", прочитанном в 1908 г.
в Кёльнском обществе испытателей природы, исключительно
действительные величины. То, что мы назвали бы единичным
кругом лг^-f-д^= 1, является у него гиперболой л:2—сЧ2= 1;
две прямые, которые мы представляем ортогональными

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 313
друг другу, были бы у него сопряженными диаметрами
этой гиперболы. Едва ли стоит подчеркивать, что мы,
несмотря на это внешнее различие, уже в предыдущих
параграфах фактически опирались на работы Минковского
и будем и в дальнейшем следовать его пониманию теории
относительности.
В. Сокращение Лоренца
Представление о сокращении было выдвинуто X. А. Ло-
Лоренцем еще до создания теории относительности в качестве
введенной ad hoc гипотезы для объяснения отрицательного
результата опыта Майкельсона. Оставляя обсуждение этого
опыта для т. IV (Оптика), мы сформулируем здесь гипотезу
Лоренца следующим образом; если стержень „собственной
длины" 10 движется в направлении своей длины с посто-
постоянной скоростью v, то он представляется наблюдателю,
находящемуся в покое, сократившимся до длины
Пусть стержень находится в движущейся системе х'', tr
и пусть координаты его концов в этой системе будут ха
и хъ\ их разность равна собственной длине стержня /0 =
= хь — ха. О моментах ta, tb измерения здесь вообще нет
речи. Иначе обстоит дело для покоящегося наблюдателя.
Он должен произвести измерения координат обоих концов
стержня таким образом, чтобы они происходили, с его точки
зрения, одновременно, т. е. в один и тот же момент вре-
времени ta = tb; тогда он находит координаты концов стержня
ха и хъ и рассматривает их разность, как длину стержня
1 = хъ — ха. Из первого из уравнений B7.10) следует
и, следовательно, поскольку ta-=tb, хь — ха = 1 и
г г ,
Xf) Ха — 'о»
10 = —г^=-, 1 = 1OV\— В2. B7.12)
0 Y\ Б2
Итак, гипотеза Лоренца о сокращении является непосред-
непосредственным следствием преобразований Лоренца.

314 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Не будет излишним проиллюстрировать этот результат
графически. Совокупность последовательных положений
стержня в штрихованной системе показана на фиг. 38 за-
заштрихованной параллельно оси хх полоской. Наблюдатель,
% находящийся в покое,
производит сечение этой
полоски осью хх. Длина
такого сечения состав-
составляет, согласно чертежу,
х
sin y
В нашем псевдодействи-
псевдодействительном представлении
она кажется длиннее соб-
собственной длины /0, однако
в действительности она
короче, поскольку
cos7 = ,г- .
Как следствие сокра-
Фиг. 38. Заштрихованная полоска щения Лоренца движу -
изображает стержень, покоящийся щийся шар радиуса а
в штрихованной системе и движу-
щийся относительно нештрихован-
ной. Его длина / в нештрихованной
ф
сплющивается в эллип-
COH* вращения с малой
ной. Его длина / в нештрихованной
системе представляется на фигуре осью (в направлении дви-
удлиннившейся, однако в действитель- жения) Ь = a~\f 1 В2 и
ности в силу мнимости т она сокра- -- „. н „„, ,п „ п ^J~
щается по сравнению с его собствен- большой осью а. Лзренц
ной длиной /0 в штрихованной си-
системе (сокращение Лоренца).
основывает на этом свою
гипотезу деформируе-
деформируемого электрона, впер-
впервые высказанную в 1903 г. в вид г заключительного заме-
замечания в его большой статье о теории электроновх).
Часто задают вэпрос, является ли сэкращение Лэренца
„действительным" или „кажущимся". Естественно считать
его столь же праздным, как и вопрос о том, движется ли
тело „в действительности". Столь же беспредметным и произ-
й Encykl. der Math. Wiss., Bd. V2. Положения, выдвинутые на
стр. 277—279 этой работы, являются предвестниками теории отно-
относительности.

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 315
вольным является и различие между покоящейся и движу-
движущейся системами, которое использовалось в предыдущем
изложении исключительно ради краткости.
Г. Эйнштейново растяжение времени
Пусть в штрихованной системэ покоятся часы, маятник
которых отмечает последовательные моменты и промежутки
времени:
tu t-z, tz, . . ., t% — ti = h — h = • • • = t'-
В нештрихованную систему они проектируются в точки и
промежутки
^1» '2» ^3» • • • » 2 ^1 === ^3 ^2 === • • • == <с#
Фиг. 39. Период колебаний г' движущихся
часов воспринимается покоящимся в си-
системе Xi, х± наблюдателем в виде отрезка
времени г, который кажется на фигуре со-
сокращенным по сравнению с г', однако в дей-
действительности в силу мнимости т он удлинен
{эйнштейново растяжение времени).
На фиг. 39
сравнению с
скольку
интервал х представляется сокращенным по
х', однако в действительности х длиннее, по-
по<27-13)
Аналитически это можно увидеть проще всего, если обра-
обратить уравнения B7.10), причем, как можно подтвердить

316 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
выкладкой,меняется лишь знаку v. Мы получаем на этом пути
B7.14)
и поскольку х' = const, то из второго из этих уравнений
путем образования последовательных разностей t2 — tu
t3 —12, ..., t2— tu ts —12, ... опять находим
Такие часы реализуются в виде быстро движущегося
атома, испускающего монохроматическую спектральную
линию, например в виде каналовых лучей водорода.
Эйнштейн видел в ожидавшемся красном смещении ехре-
rimentum crucis для теории относительности и говорил
о „поперечном эффекте Допплера", имея в виду на-
наблюдение под углом 90° к направлению каналовых лу-
лучей. Однако Айвз показал, что наблюдение может быть
проведено с тем же успехом под любым углом, причем
лучше всего под малым, когда можно сравнить прямой свет
от каналовых лучей с отраженным в зеркале светом от лучей,
распространяющихся в противоположном направлении. Тогда
при наблюдении, например, водородной линии На, кроме
сдвинутой в голубую сторону первичной линии, видна
также и сдвинутая в красную сторону линия отраженного
света. Арифметическое среднее длин волн обеих линий не
совпадает, однако, с длиной волны несдвинутой линии На
покоящегося атома водорода, но отличается от нее на ве-
величину релятивистского красного смещения, не зависящего
от направления наблюдения. Эксперимент *) полностью под-
подтвердил ожидания Эйнштейна.
1) Н. I. I v e s, G. R. S 1111 v e 11, Journ. Opt. Soc, 28, 215 A938);
Н. I. Ives, Journ. Opt. Soc, 29, 183, 294 A939); G. Otting, Diss.
Munchen; Phys. Zs., 40, 681 A939).
В теоретической трактовке результатов между американскими
работами и немецкой диссертацией имеется парадоксальное, если
учитывать время их написания A939 г.!), противоречие: американ-
американские авторы пытаются сохранить представление об абсолютном
эфире, в то время как немецкая работа с самого начала стоит
на релятивистской точке зрения.

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 317
Собственное время х' задается каким-либо радиоак-
радиоактивным препаратом, обладающим определенным средним
временем жизни. Следовательно, двигаясь в виде каналовых
лучей, такие атомы должны были бы распадаться медленнее,
чем если бы они находились в поког. Подходящие условия
для такого эксперимента (j3s^l) реализуются при распаде
мезонов в космических лучах.
Для времени жизни ^.-мезонов, задержанных в поглоти-
поглотителе и, следовательно, находящихся практически в покое,
Разетти получил, определяя промежуток времени между
попаданием мезона в поглотитель и вылетом возникающего
при его распаде вторичного электрона, значение х' ^
^1,5« 10~6 сек. С другой стороны, из измерений погло-
поглощения свободных мезонов космических лучей можно найти
значения „пробегов распада", которые имеют чаще всего
значения около ,20 км. Этому пробегу в (нештрихованной)
шкале времени неподвижного наблюдателя соответствует
время жизни х^:20 км/с?а7 • 10~б сек.1). Растяжение вре-
времени происходит, следовательно, в огромное число раз,
я именно в
г 7-10-5
~ 50
Для скорости мезонов отсюда получилось бы значение
Д. Теорема сложения скоростей
В теории относительности две одинаково направленные
скорости vt и v2 складываются не по правилу
я дают
Здесь v2 означает скорость, с которой движется точка 2
относительно некоторого тела 1, которое в свою очередь
перемещается со скоростью vt в том же направлении. Когда
i W. Heisenberg, Vortrage iiber Kosmische Strahlen, Berlin,
1943, S. 78 и далее.

318 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Эйнштейн выдвинул в 1905 г. эту формулу, она вызвала
понятное изумление. Однако дело полностью проясняется,
если учесть, что фактически здесь речь идет о сложении
двух преобразований Лоренца, каждое из которых означает,
согласно фиг. 37, некоторое вращение1). Пусть 7г и Ti—
углы, соответствующие, согласно B7.11а), скоростям v2 и
vx. Результат последовательного проведения этих вращений
есть поворот на угол
Следовательно, складываются углы поворота, а не их
тангенсы. Для последних выполняется тригонометрическое
тождество
Но согласно B7.11а), отсюда следует,
p = _?d_E2 B7.15а)
что совпадает с B7.15). Итак, теорема сложения скоростей
является, собственно, не чем иным, как элементарной фор-
формулой сложения для тангенса.
Не представляет труда получить и аналитическое под-
подтверждение этого результата, если рассмотреть последова-
последовательное проведение двух преобразований Лоренца. Дейст-
Действительно, записывая их в форме B7.14):
I/ 1 Q v" —¦ - v I R rt
г х И2 1 " ^2 Г" Н2 2*
B7.156)
мы получим, исключая из них л^ и tlt формулы
B7.15в)
Оба вращения ^i и уг. равно как и их результирующее вра-
вращение f, происходят вокруг одной и той же оси, именно вокруг
ортогонального к плоскости хь х± пространства R2 (ср. стр. 302).

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 319
для прямого перехода от х и t к х2 и t2. Но легко видеть,
что последние формулы опять имеют вид преобразований
Лоренца B7.14) со значением
Первая из этих формул совпадает с B7.15а), а вторая по-
получается из нее как следствие.
Для малых скоростей (vt <^с или v2<^с) формула B7.15)
переходит, естественно, в элементарное соотношение для
суперпозиции скоростей.
Е. Скорость с как верхний предел всех скоростей
Если в результате многократного сложения скоростей
результирующая скорость возрастает почти до скорости
света, то дальнейшее добавление произвольной скорости не
меняет результата. Действительно, согласно B7.15а) при
Pi ~ 1 будем иметь
1+fe
К скорости света можно только приблизиться, но
никогда нельзя ее перешагнуть. Даже и циклотрон и бета-
бетатрон, при работе которых происходит беспрерывное нара-
нарастание скорости, не могут дать сверхсветовой скорости.
Теперь мы хотим придать только что сделанному утвер-
утверждению более точный смысл. Прежде всего под „скоростью"
следует понимать „относительную скорость". Но такого
уточнения еще недостаточно. Представим себе препарат
радия, который испускает электроны со скоростями, близ-
близкими к скорости света. Два электрона, улетающие одновре-
одновременно в противоположные стороны, обладают с точки зре-
зрения наблюдателя, находящегося в лаборатории относительной
скоростью, равной примерно 2с. Однако для того, чтобы
правильно определить их относительную скорость в смысле
сделанного утверждения, мы должны наблюдать один элек-
электрон с другого. Тогда и только тогда выполняется, так
сказать, парадоксальное равенство е-\-с = с. Итак, в нашем
утверждении речь идет об относительной скорости дви-
движущейся точки и. трансформированной к покою системы

320 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
отсчета. При этом движущаяся точка не обязательно дол-
должна быть материальной точкой; это может быть также и
процесс, который может вызвать материальные измене-
изменения. Такой процесс называют сигналом и говорят в таком
случае о скорости сигнала. Если бы скорость сигнала
оказалась когда-либо больше с, то произошло бы полное
расстройство всех соотношений временной упорядоченности
(см. ниже). В качестве сигнала радиотелеграфа или радара
служит пакет электромагнитных волн. Напротив, монохро-
монохроматическая волна не может служить сигналом, поскольку
у нее нет ни начала, ни конца. Поэтому для явления распро-
распространения такой волны наше утверждение не имеет места.
И в самом деле, в § 24 мы видели, что в волноводах
могут распространяться волны с фазовыми скоростями ш/Л,
большими с. Равным образом, в т. IV (Оптика), мы узнаем,
что фазовые скорости, большие с, могут встретиться при
аномальной дисперсии света. Можно указать и на совер-
совершенно тривиальные примеры процессов, могущих распро-
распространяться со сверхсветовой скоростью, которые, конечно,
нельзя было бы, однако, использовать в качестве сигналов.
Например, если мы рассмотрим линейку, пересекающую пря-
прямую линию под очень малым углом, и будем перемещать
линейку перпендикулярно к самой себе со вполне умерен-
умеренной скоростью, то при достаточно малом угле пересе-
пересечения точка пересечения будет перемещаться со сверхсве-
сверхсветовой скоростью.
Формальное указание на запрет скоростей v > с дают,
конечно, уже выражения B7.10) для преобразований Лоренца,
так как при этом в них стали бы мнимыми корни ~\/~1 — (З2,
а следовательно, х' и t''.
Ж. Световой конус, времени-подобные и
пространственно-подобные векторы, собственное время
Для метрики преобразований Лоренца является харак-
характерным четырехмерное образование:
0, или в действительной записи г2—с2,.2 = 0.
B7.16)

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 321
С трехмерной точки зрения это выражение означает расши-
расширяющийся со скоростью света шар, а с четырехмерной —
конусообразную поверхность R3 с осью t в качестве оси
симметрии. Мы назовем ее, следуя Минковскому, световым
конусом. Лежащую внутри нее 4-область называют конусом
абсолютного будущего (Nachkegel) (для t > 0) или конусом
абсолютного прошлого (Vorkegel) (для t << 0).
Все 4-векторы, начинающиеся в начале координат,
которые расположены вне светового конуса, называются
пространственно-подобными, лежащие же внутри —вре-
—времени-подобны ми. Пространственно-подобным будет, напри-
например, вектор г в экваториальной плоскости конуса, времени-
подобными будут все начинающиеся в начале координат
допустимые векторы скорости.
Под мировой линией мы будем понимать совокупность
всех четырехмерных положений, занимаемых движущейся
материальной точкой. Мировая линия покоящейся точки
параллельна оси t. Все проходящие через начало координат
мировые линии расположены внутри светового конуса, пере-
переходя из его нижней половины для t < 0 в верхнюю для
t>0.
Рассмотрим элемент длины в 4-мире {бесконечно малый
интервал)
ds= I/ У, dx\.
Он должен быть как расстояние между двумя соседними
точками (ср. стр. 295) инвариантным относительно преоб-
преобразований Лоренца. То же справедливо и для собственного
времени Минковского:
—-?==<« КПЙР. B7-17)
]Чы хотим определить теперь 4-вектор скорости движе-
движения вдоль мировой линии. Выражение
Idx dy dz
\W of- Ж'
21 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

322 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
не было бы удачным определением, поскольку dt неинва-
неинвариантно. Иначе обстоит дело, если определить
dx dy dz . dt\ dt
rfx rfx rfx
. dt\ dt , . ч
IC-7-) = -r-(v, ic). B7.18)
rfx / rfx v ' v '
Тогда квадрат длины 4-скорости
(V,V) = ^ + W*3-^=_c2 B7Л8а)
действительно будет инвариантом, который к тому же имеет
одно и то же значение для всех векторов V. Аналогично
4-вектор ускорения надо определить как
rfx \ rfx2 rfx^ rfx2 ' rfx2 / v '
Он ортогонален в 4-пространстве вектору 4-скорости. Дей-
Действительно, дифференцируя B7.18а) по х, получаем
(V, W) = 0. B7.18b)
3. Теорема сложения
различно направленных скоростей
Скорости одинакового направления комбинировались у нас
таким образом, что соответствующие им углы просто скла-
складывались. Поскольку с элементарной точки зрения углы
определяются дугами единичного круга, то их сложение озна-
означает также последовательное откладывание этих дуг на круге,
в нашем случае, правда, не на круге радиусом 1, а на круге
радиусом /. При этом последовательном откладывании дуг
действуют формулы плоской тригонометрии.
Для сложения скоростей различных направлений мы
должны перейти от круга к шару, т. е. от формул плоской
к формулам сферической тригонометрии, правда, опять
на сфере радиусом /, а не 1. Поэтому сложение двух ско-
скоростей vx и v2 в результирующую скорость v означает то же,
что сложение двух углов поворота Ti и ^2 в результирую-
результирующий угол у или» иными словами, построение сферического
треугольника со сторонами "fi> Тг и Т- Если обозначать
через а угол между скоростями v2 и •у1, то в сферическом

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 323
треугольнике а появится как внешний угол между сторо-
сторонами Yi и Тг- Согласно формуле косинусов, получим
cos 7 = cos Yi cos Y2 — sin Tisin T2 cos a- B7.19)
Это и есть искомая обобщенная теорема сложения. При
а=0 из нее следует cos y = cos(Yi+ Y2); Т^ТгН^Тг»
т. е. предыдущее равенство B7.15а). При подстановке
coS7'=l/V"l — Р2 и т. д. B7.19) совпадает с полученной
еще Эйнштейном менее обозримой формулой
a
B7.19a)
Она будет доказана аналитически в задаче III. 2 в конце
книги путем рассмотрения преобразований Лор.нца.
Введение нашего шара радиусом / могло бы произвести
впечатление произвольного искусственного приема; это
является, однако, только другим выражением мнимости скла-
складываемых нами дуг Yi и Тг- Дуги Yi и Тг> согласно B7.11а),
мнимы, что глубоко обосновано метрическими соотношениями
геометрии мира. Метрика евклидовой геометрии простран-
пространства определяется известным образом с помощью уже упо-
упомянутого на стр. 308 мнимого шарового круга
через который проходит каждый шар радиусом R. Метрика
четырехмерного мира определяется соответственно фунда-
фундаментальным образованием
Х2 ^_у2 _+_ Z2 _ С2?2 = 0.
Упомянем еще одно интересное следствие, которое можно
непосредственно видеть из фиг. 40. В теории относитель-
относительности нельзя изменять порядок различно направленных
скоростей; результат сложения vx и v2 отличается от ре-
результата сложения v2 и vx. Хотя длина результирующих
скоростей и будет одинакова, их направления будут раз-
различны. Различие обоих направлений тем больше, чем больше
скорости; как мы покажем далее, это различие совпадает
со сферическим избытком сферического треугольника, ко-
который строится по нашему способу.
21*

324 Гл. lit. Теорий относительности и Теорий электрона
На фиг. 40 угол а между vx и v2 выбран из соображе-
соображений наглядности чертежа равным тг/2, а соответствующая vx
дуга Yi отложена по экватору шара. Тогда продолжение
дуги Y2 пройдет через север-
северный полюс N. Но если мы от-
отложим от той же начальной
точки А сначала дугу ^2 (обо-
(обозначенную на фигуре через Y2),
которая пройдет перпендику-
перпендикулярно к экватору и попадет
своим продолжением на север-
северный полюс, то мы должны
будем построить в конечной
точке В' дуги Y2 большой
круг, причем (поскольку сс =
= тг/2) перпендикулярный к
большому кругу долготы АВ',
и отложить на нем Yx = ~~ Ti ==3
= В А. Получаемая таким обра-
образом точка А' не совпадет с
то шой С, а дуги АС и С А',
соединяющие их с точкой
А = С', образуют определен-
определенный угол е. При этом в силу
конгруэнтности треугольников
ABC и А'В'Сг 1_В'С'А' =
= 1_ ВАС и l_ ACB =
= /_ А'С'В'. Если обозначить
эти углы через ч\ и ft, то мы
увидим, что построенный в
точке А прямой угол образуется из углов г\, •) и е
следующим образом:
Фиг. 40. Сложение двух раз-
различно направленных скоростей
vx и v2 в результирующую ско-
скорость v; на поверхности шара
единичного радиуса им соот-
соответствуют углы Yii Y2 и Т» при-
причем для удобства чертежа для
угла а между чх и у2 выбрано
специальное значение а = л/2.
Фигура иллюстрирует непе-
неперестановочность слагаемых
„, „. ARC —f-4i 41 С1Rr A1-
U-jI/O — *\D О =^ и<?их — С D /\ ,
угол е между АС и С А' равен
сферическому избытку тре-
треугольника ABC (или конгруент-
ного ему А'В'С).
Итак,
B7.20)
Поэтому s действительно является сферическим избытком
нашего прямоугольного сферического треугольника ABC,

§ 27. Группа Лоренца и кинематика теории относительности 325
равно как и конгруентного ему треугольника А'В'С (то же
справедливо и для косоугольных сферических треугольни-
треугольников).
Особенно нагляден предельный случай fi = Тг = ^/2,
когда оба треугольника ABC и А'В'С оказываются равными
одному и тому же октанту сферы. Легко видеть, что тогда
обе результирующие будут перпендикулярны и в силу
т] = ft = тс/2 сферический избыток будет равен также ти/2.
И. Принцип постоянства скорости света
и инвариантность заряда
Эйнштейн выдвинул в 1905 г. принцип постоянства ско-
скорости света наряду с принципом относительности в качестве
основного опытного постулата. Этот принцип утверждает,
что распространение света не зависит от того, находится ли
в покое или движется излучающее тело. Мы уже использо-
использовали этот принцип в нашем понимании геометрии мира и
в определении временной координаты x± = ict. Так же как
и скорость света, инвариантным при переходе от хх, . . ., х4
к х'х, ..., х? является „сферическое расширение" света;
при преобразовании Лоренца сфера волнового фронта
не превращается в эллипсоид, а остается сферой. Иначе
обстоит дело для длины волны света, которая не инвариантна,
а, как известно, зависит от точки зрения наблюдателя
(эффект Допплера).
В старых, давно уже оставленных теориях универсаль-
универсального эфира понять независимость скорости света от движе-
движения источника было легко: однажды переданный эфиру свет
распространяется в соответствии со свойствами носителя
(упругими или электромагнитными). Постоянство скорости
света означает при такой точке зрения то же, что и перенос
взаимодействий через поле. Иначе обстоит дело с точки
зрения механической эмиссионной теории, как представлял
ее себе Ньютон1). В этом случае едва ли можно избежать
1) То, что ньютонова эмиссионная теория смогла пережить неко-
некоторое возобновление в современной теории световых квантов, свя-
связано релятивистским законом сложения скоростей, согласно которому,
так сказать, с -\- v — с (с —¦ скорость светового кванта, v — скорость
излучающего тела).

326 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
представления о переносе скорости от излучающего тела
на излучаемые световые корпускулы. Мы можем сказать,
что постоянство скорости света—это единственный сохра-
сохранившийся до сегодняшнего дня остаток представлений
об эфире. Если мы захотели бы сегодня говорить об эфире,
то мы должны были бы приписать свой собственный эфир
каждой системе отсчета, т. е., например, говорить о штри-
штрихованном и нештрихованном эфире. „Праэфир" („Urather")
Ленарда мы можем рассматривать сегодня скорее как курьез
или схоластическую „квинтэссенцию" Аристотеля (пятый нема-
нематериальный элемент наряду с огнем, водой, воздухом и зем-
землей), чем как историческую достопримечательность. Поэтому
мы в гл. I и II почти нигде не говорили об „эфире", но
предпочитали употреблять вместо него более нейтральное
слово — „вакуум".
Не менее важным, чем принцип постоянства скорости
света, является и принцип инвариантности заряда. В лю-
любой системе отсчета величина заряда остается одной и той же.
Это обстоятельство не является само собой разумеющимся,
но следует из уравнений Максвелла, если допустить их все-
всеобщую применимость ко всем системам отсчета. Напротив,
представлявшийся прежде самоочевидным принцип неизмен-
неизменности массы при переходе к другой системе отсчета не
остается справедливым, как это мы вскоре увидим. Заряд
является по отношению к преобразованиям Лоренца
абсолютным инвариантом; для массы и, как мы опять
вскоре убедимся, для энергии это не так.
Резюмируя содержание этого и предыдущего параграфов,
мы могли бы сказать, что с точки зрения уравнений Мак-
Максвелла теория относительности является самоочевидной. Ма-
Математик, обученный по эрлангенской программе Клейна,
смог бы усмотреть в уравнениях Максвелла их группу пре-
преобразований со всеми вытекающими кинематическими и опти-
оптическими следствиями.
§ 28. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРОНА
Максвелл перенес основное внимание в учении об элек-
электричестве с зарядов на силовые линии. Со времени откры-
открытия электрона и предшествующего, замечания Гельмголь-

§ 28. Предварительные замечания к теории электрона 327
ца1) об атомизме электричества основное внимание снова стало
уделяться источникам силовых линий — электронам и ионам.
Надежные математические основы для этой новой электро-
электродинамики (которую можно было бы назвать электронодина-
микой) были созданы X. А. Лоренцем2). Достойно удивле-
удивления, с каким тактом действует он при этом, вводя только
такие понятия, которые сохранили свое значение и в поздней-
позднейшей теории относительности. Чтобы сократить дальнейшее
изложение, мы изменим исторический порядок вещей и бу-
будем строить теорию электрона на основе теории относи-
относительности.
В отличие от Максвелла Лоренц не рассматривает многих
электрически и магнитно различных сред; все происходит
в одной-единственной среде—в вакууме. Различные особен-
особенности отдельных веществ возникают только за счет различ-
различных связей и движений электронов и ионов в них. В диэлек-
диэлектриках электроны и ионы связаны, в проводниках—более
или менее подвижны, в магнетиках нам приходится иметь
дело с электронами, которые благодаря их спину опреде-
определенным образом ориентируются магнитным полем.
При таком объяснении электромагнитных особенностей
веществ речь идет о взаимодействии очень многих электро-
электронов, т. е. статистике электронов. Этот вопрос мы сможем
рассмотреть в т. V (Термодинамика и статистическая физика).
В настоящей книге нам придется ограничиться теорией
одного электрона. Правда, основной вопрос о природе
электрона останется при этом невыясненным. Как сказал
однажды Эйнштейн, „электрон является чужаком в элек-
электродинамике". Электродинамически мы не можем понять,
!) В его фарадеевской лекции 1881 г.: „Если мы принимаем атомы
химических элементов, то мы не можем избежать дальнейшего
заключения, что электричество, положительное и отрицательное,
делится на определенные элементарные кванты, ведущие себя как
атомы электричества".
2) В его книге: Н A. L о г е n t z, Versuch einer Theorie der elek-
trische und optische Erscheinungen in bewegten Korpern, Leiden, 1895
(имеется стереотипное переиздание: Teubner 1906). Ср. также более
позднюю его книгу Н. A. Lorentz, Theory of Elektrons. Teub-
Teubner, 190Э. Независимо от Лоренца и почти одновременно с ним при-
пришел к тем же представлениям и формулам и Вихерт (Е. W i e -
chert, Abhandlungen der Physikalisch-okonomischen Gesell-schaft
zu Konigsberg, 1896, E. W i e с h e r t, Die Theorie der Elektrodynamik
und die Rontgensche Entdeckung),

328 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
как может конечный заряд электрона е, точечный или скон-
сконцентрированный в очень малом объеме, сохраняться в виде
стабильного образования, несмотря на действующие между
его элементами кулоновы силы отталкивания. На решение
этой проблемы мы можем надеяться лишь в общей теории
элементарных частиц: электрона, протона, нейтрона, ней-
нейтрино, позитрона, мезона (и других еще не открытых эле-
элементарных частиц). Однако сегодня мы еще очень далеки
от подобной теории.
А. Преобразование электрического поля.
Предварительные замечания о силе Лоренца
Согласно нашему прежнему определению напряженности
электрического поля Е', электрическая сила, действующая
на покоящийся электрон, равна еЕ'. Пусть, кроме поля Е',
действует еще и поле В'. Пусть система отсчета, в которой
покоится электрон, движется относительно нештрихованной
системы со скоростью v в положительном направлении оси х.
Зададимся вопросом о поле Е' в штрихованной системе.
Чтобы провести вычисления максимально просто — это
значит, действуя только с 4-векторами,—вернемся к 4-по-
тенциалу Ф, который преобразуется как радиус-вектор.
Используем B7.11); перенесенные на Ф, эти соотношения
примут вид
Ф; = С05ТФ1 + яптФ4, Фг=Ф2, Фз = Ф3.
, B8.1)
Ф4 = — sin 7Ф1 -|- cos тФ4-
Те же уравнения B7.11), разрешенные относительно х, дают
xt = cos ^xr — sin ^x^, x2 = x'2, x3 = Xg,
, , , B8.2)
x4 = sin fx[ -j- cos -rx?. '
Займемся сначала составляющей Еу и в соответствии с B6.9)
построим
дй>'. дФ'
д дх

§ 28. Предварительные замечания к теории электрона 329
Используя B8.1) и B8.2), получаем
дФг. дФ\ дФЛ дФ.
= —- = — sin т -—- + cos т —-, B8.3а)
ox2 dx2 0-Х2 длг2
<ЭФ2 дФ2 дхх дФ2 дх< дФ2 дФ2
—г = т~\ г = —-sin у I-cosy
B8.36)
и, вычитая правые части B8.3а) и B8.36),
(<ЭФ4 дФЛ . . /<ЭФо дФЛ
= cos у Rot24 Ф -f- sin у Rot12 Ф. B8.4)
Но последнее выражение должно совпадать с правой
частью B8.3). Итак,
Ro-4 Ф' = cos 7 Rot24 Ф + sin т Rot12 Ф. B8.5)
Отсюда, согласно B6.11), мы заключаем
— IEy = cos y (— iEu) + sin -rcBz. B8.6)
Вспоминая B7.11а), мы можем написать вместо этого
Ey = -^F=J. B8.6a)
Совершенно аналогичное вычисление дает
, Я, + $сВ„
B8.66)
Вычисление х-компоненты несколько сложнее, поскольку
оно приводит сперва к восьми членам, 4 из которых содер-
содержат множитель sin 7 cos у, а две оставшиеся пары — sin2 -f
или cos2f. Первые четыре члена взаимно компенсируются,
а вторые четыре объединяются в
дФх <ЭФ4
дх± дхх
и дают просто
Е'Х = ЕХ. B8.7)
Чтобы избежать выделения оси х, обозначим значками ]]
и J_ направления, соответственно параллельные и перпеи-

330 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
дикулярные к относительному движению обеих систем.
Тогда уравнения B8.6а), B8.66) и B8.7) примут вид
р/ р р/ __ /E + [vB]
Е11=Ен' E±-(yT=P
Так как векторное произведение [vB] ц = 0, то последние
формулы можно переписать также в виде
Автоматически возникшая здесь величина E+lvB]1) после
умножения на заряд е будет иметь размерность силы (ньютон);
она называется силой Лоренца:
K=e(E + [vB]). B8.9)
Сформулировав выражение для этой силы (точнее, для плот-
плотности силы к, которую мы вскоре введем), Лоренц положил
конец бесплодным обсуждениям вопроса о пондермоторных
силах, действующих на движущийся заряд на основе старых
теорий. Уравнение B8.9) представляет, несмотря на его
потрясающую простоту, полную силу, возникающую под
действием произвольного электромагнитного поля. Опыт
Вина 2) с каналовыми лучами водорода непосредственно дока-
доказывает его справедливость. После того как Штарх обна-
обнаружил эффект Допплера у ускоряемых электрическим полем
каналовых лучей, Вин смог получить тот же самый эффект,
действуя вместо электрического соответствующим магнитным
полем, т. е. заменил Е эквивалентным, согласно B8.9),
произведением [vB].
Заметим, что в B8.9) обычно пишут произведение [vHJ
вместо [vB], что, конечно, является совершенно невозмож-
невозможным при нашей точке зрения на размерности.
!) Здесь рассуждение прерывается. Далее можно, воспользо-
воспользовавшись B8.8), выразить силу еЕ', действующую в системе х', у', г',
через составляющие Е и В, и это выражение для силы преобразо-
преобразовать к системе х, у, г. Тогда получим формулу B8.19).— Прим.ред.
2) W, WI е л, Preufi. Akad. Januar, 1914.

§ 28. Предварительные замечания к теории электрона 331
Б. Магнитный аналог силы Лоренца
Нам нужно теперь вычислить В', т. е. пространственно-
пространственные составляющие ротора Ф' вместо вычислен-
вычисленных пространственно-временных. Это очень просто для ком-
компоненты в направлении движения. Име шо из B8.1) и B8.2)
имеем
дФ' дФ2 <ЭФ, дФ2
ф
дх2 oxs дх2 дх3
Согласно B6.11), отсюда непосредственно следует
В'Я^=ВЯ. B8.10)
Вычисление Ву производится аналогично Еу:
дФ' <ЭФ' д дФч
ф'=ц-ц=ъ(cos т Ф'+sin т Ф<) ~ Л •
следовательно,
п и л /^Ф1 дФЛ . . (дФл дФЛ
Rot' Ф, =cos т (з-1—^-^H-s111!!^—^-J) =
= cos у Rot31 Ф + sin у Rot34 Ф.
Согласно B6.11) и B7.11а), отсюда следует
tfy = —==JL=-. B8.10а)
Аналогично получаем
/ Вг—ТЕУ
?z= r—^=-. B8.106)
В векторном виде формулы B8.10) можно переписать, как
В^=(в — — [vE]) , В', = —- с% B8.11)
Входящая в B8.11) величина В—A/c2)[vE] дает как раз
пондермоторную силу, действующую на единичный магнитный
полюс, т. е. является магнитным аналогом лоренцевой
силы, с которой поле действует на единичный заряд.

332 Гл. 111. Теория относительности и теория электрона
В. Собственное поле
равномерно движущегося электрона
В системе координат х', у'', z'', принимающей участие
в движении электрона, его собственное поле носит электро-
электростатический характер; имея в виду, что г = ~\/~xf2-\-y'2-\-zf'2,
можно написать
Е'= —-j^-grad - и В' = 0. B8.12)
Тогда, согласно B8.6а), B8.66), B8.7), B8.10), B8.10а)
и B8.106), для наблюдателя, находящегося в покое, мимо
которого электрон пролетает в положительном направлении
оси х, будем иметь
е = е' е = f! е = е'
х ху v /г=Л2" уг z yr^w z'
B8.12а)
Мы выразим эти нештрихованные значения поля через нештри-
нештрихованные координаты х, у, z некоторой рассматриваемой
точки поля, которые мы будем, так же как и координаты х',
у', z1', отсчитывать от месторасположения электрона, и учтем
лоренцево сокращение координаты х:
v l/~1 R2 v' л, л/ г/ -у' /Ой 1 ^
Л/ у 1 М Л/ , У • У , А/ ' А/ . I ^О • 1 О I
Одновременно введем обозначение s(x, у, z) ^ г(х', у', z')\
для s (х, у, z) имеем
* = /"bT^H-/+^. B8ЛЗа)
Тогда из B8.12) и B8.12а) получим
Еа» Еу, Ez = J - Х' У; Z , B8.14)
4ue0 у 1 — 6^ ss
Вх, By, Bz = evr °' ~г'-У . B8.14a)
Итак, наш наблюдатель, в отличие от наблюдателя, дви-
движущегося вместе с электроном (штрихованная система),
устанавливает наряду с электрическим полем наличие также

§ 28. Предварительные замечания к теории электрона 333
и магнитного поля. Согласно B8.14а), силовые линии
последнего представляют собой описанные вокруг направле-
направления движения окружности; если мы заменим еос'2 в знамена-
знаменателе B8.14а) на ;j0 в числителе и перейдем от индукции В
к напряженности магнитного поля Н = В/[х0, то величина
этого поля составит •
//= ^L=-^, sin9 = -^Z±Z B8.146)
Эту формулу можно сравнить с выражением A5.12)
закона Био и Савара, от которого B8.146) отличается лишь
релятивистскими поправками второго порядка по C. Итак,
движущийся в пучке катодных лучей электрон в некоторой
степени реализует часто использовавшийся, но нереальный
элемент тока старо"! теории; при этом вместо Jds появ-
появляется ex.
С другой стороны, силовые линии электрического поля
представляют собой в штрихованной системе, как и в не-
штрихованной, прямые, выходящие из точки расположения
электрона (в силу пропорциональности компонент Е в B8.14)
соответствующим координатам х, у, z), однако теперь
они уже не распределены с равной плотностью по всем
направлениям. Они сосредоточиваются в основном в мери-
дианальной плоскости л; = 0. Именно, согласно выраже-
выражению B3.13а), при Р —>¦ 1 величина s —>¦ оо, следовательно,
Е—>(), если только не выполняется условие л; = 0. Таким
образом, в этом предельном случае электрическое поле
было бы полностью сосредоточено в меридианальной пло-
плоскости. Итак, в предельном случае v-^-c не только сам
электрон (о ечо форме здесь вообще не идет речь), но и
его поле сжимается в диск.
Проведенные выше вычисления показали нам, что в теории
относительности задача определения поля при равномерном
движении сводится к проведению чисто алгебраического
преобразования, в то время как в прежней электродинамике
она требовала обязательного выполнения интегрирований.
Рассмотрение поля при ускоренном движении мы отложим
до § 30.
Мы хотели бы подчеркнуть еще раз то общее обстоя-
обстоятельство, что электрическое и магнитное поля представляют
собой единое образование, распадающееся только относи-

334 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
тельно используемой системы координат. Они объединены
в шестивектор. При изменении координатной системы его
электрические компоненты добавляются к магнитным и на-
наоборот. Мы имеем здесь дело с эффектом перспективы
в четырехмерном пространстве. Трехмерным аналогом
может служить вид куба: при специальном выборе точки
наблюдения мы будем видеть только („электрическую") пе-
переднюю грань, при наблюдении сбоку—только („магнитную")
боковую грань.
Г. Инвариантный путь к выводу силы Лоренца.
4-вектор плотности силы
Из 4-вектора xv . . ., х± можно образовать как разность
положений двух соседних мировых точек 4-вектор:
dxv dx2, dx.A, icdt. B8.15)
С другой стороны, четырехмерный элемент объема
dxx dx2 dxs ic dt, B8.15a)
так же, как и элемент объема dxtdx2dx3 в случае трех
измерений, не зависит от выбора системы координат. Пос-
Поскольку соответствующий этому объему заряд Ь.е (число
электронов в четырехмерном элементе объема) так же, как
и сам е, инвариантен, то путем деления he на B8.15а)
мы опять получаем инвариантный скаляр; умножая его
на 4-вектор B8.15), мы снова получаем 4-вектор. Мы назовем
его, как и в B6.6), плотностью 4-тока и обозначим через
= p(v,ic), B8.16)
Г = [, г^гг,
dx1dx2dxs\ dt dt dt '
где p—обычная трехмерная плотность заряда. Сравнивая
это определение Г с предыдущим определением B6.6),
видим, что при переходе к электронной теории плотность
тока j электродинамики переходит в плотность pv конвек-
конвекционного тока и, далее, что 4-вектор Г направлен одина-
одинаково с определенной в B7.18) 4-скоростью V в силу
соотношения
B8.16a)

§ 28. Предварительные замечания к теории электрона 335
Перемножим теперь 4-вектор Г с шестивектором F и,
выполняя, как и при операции Div в B6.16), свертывание,
получим снова некоторый 4-вектор. Назовем его (поделив
предварительно из соображений размерностей на с) плот-
плотностью силы и обозначим через к; следовательно, его
п-ю компоненту обозначим через kn:
1 4
ckn = ^TmFnm n=l, 2, 3, 4. B8.17)
I2'12
Выписывая компоненты, получаем
r.F28 + ГЛ,
Если перейти к трехмерным величинам, то найдем
K = kx = p (vyBz — vzBy + Ех) ]
bt^by^pivJBn — vJB^Ey) [ = P(E4-[vB]). B8.176)
k3 = К = P (^a^tf — ^a» + Ez) )
Стоящий справа трехмерный вектор—это как раз тот век-
вектор, с которым преимущественно оперировал Лоренц в своей
прежней теории.
Мы, естественно, интересуемся и его четвертой состав-
составляющей. Согласно B8.17а), она равна
ск4 = ф (VgjEg,4- VyEy 4- ъгЕг) == /р (vE) = /pL. B8.17в)
Введенная здесь буква L указывает на мощность (Leistung);
L есть мощность работы, совершаемой электромагнитным
полем над движущимся со скоростью v единичным зарядом.
Из представления B8.17а) легко получить, что 4-вектор к
направлен нормально к мировой линии заряда. Именно,
перемножая к и V скалярно, получаем в силу пропорцио-
пропорциональности B8.16а) 4-векторов Г и V и антисимметрии F
(Vk) = 0. B8.17г)
Перейдем теперь от плотности силы к самой силе.
При этом мы не имеем, однако, права просто превратить р

336 Гл. III. Теория относительности и теория электрбнй
в заряд электрона е интегрированием по пространству,
поскольку трехмерный элемент объема не является реляти-
релятивистским инвариантом, а представляет собой произвольное
сечение (выполненное ортогонально к направлению оси вре-
времени, выбранному в такой же мере произвольно) описываю-
описывающей электрон „мировой трубки". Значительно правильнее
было бы провести сечение нормально к мировой линии
электрона (не зависящей от направления оси t). Если обозна-
обозначить угол между мировой линией и осью t через -у» т0
проекция трехмерного элемента объема dx dy dz на сечение
„мировой трубки" будет равна
dx dy dz cos г = «*«y_^±_ B8.18)
-^ ' у ] (jjj v '
[здесь использовано значение B7.11а) для у]. Интегрируя
по этому сечению, получаем
fpdxdy dz cos у— _f -. B8.18a)
Из этой формулы и представления B8.176) для плот-
плотности силы непосредственно находим
kdxdydz = _е_(р К B8Л9
"¦ / 1 Г_<*> /1 Cj *J 1/1 (Li**
где К — лоренцева сила, определенная формулой B8.9).
Лоренцева сила не является составляющей 4-вектора,
однако становится таковой после деления на |/"l —(З2.
Соответствующая этому вектору четвертая энергетическая
компонента, согласно B8.17в), равна
el_ elL_^
cYi P cY\ p
Дополненный таким образом 4-вектор силы мы обозначим
через F; мы можем наглядно объединить его компоненты
в следующей записи:
Р = 1ттД^. -тт$=Л. B8.196)

§ '2S. предварительные замечания к теории электрона 337
По своему построению из плотности к силы Лоренца и
согласно соотношению B8.17г) этот вектор направлен
перпендикулярно к мировой линии электрона, т. е.
(VF) = 0. B8.19b)
Д. Общие ортогональные преобразования
тензоров второго ранга
Обобщая введенное ранее понятие антисимметричного
тензора F, рассмотрим теперь произвольный (симметричный
или асимметричный) тензор второго ранга Тпт, т. е. такой,
для которого компоненты Тпп не обязаны обращаться в нуль,
равно как и не должно выполняться равенство Гм = —Ттп.
При этом мы определим тензор как такую величину, компо-
компоненты Тпп и Тпт которой преобразуются при ортогональных
преобразованиях B7.1) как квадраты х2п или произведе-
произведения хпхт четырехмерных координат. Итак, вытекающее
из B7.1) правило для преобразования произведений хпхт
переносится на Т следующим образом:
4 4
' пт === Zj .Zj ^ni^mk 'ikw (aO.aO)
Симметричный тензор встретится нам в § 31. Он остается
симметричным и при преобразовании координат.
Для антисимметричного тензора преобразование B8.20)
можно переписать в виде
Т' _viV/ \т "W ani апк т
' пт ¦— ¦^J-^J yP-ni&mk ^mi^nk) * ik — ^-J^Zj * ik-
i > к i > к ^mi ^mk
B8.20a)
Здесь компонента Tki^= — Tik уже объединена с компонен-
компонентой Tik. Поэтому двойную сумму в B8.20а) нужно вычислять
так, чтобы i пробегало бы все значения от 1 до 4, а к при-
принимало бы только значения, меньшие /; значение k = i можно
не рассматривать, поскольку Ти, так же как и все
детерминанты в B8.20а), обращаются при этом в нуль. Из этой
22 Зак. 2014 А Зоммерфельд

338
Гл. III. Теория относительности и теория электрона.
формулы видно, что антисимметричный тензор остается
антисимметричным при ортогональном преобразовании, по-
поскольку при перестановке пит меняется знак всех детер-
детерминантов в B8.20а).
Вернемся теперь опять от общего рассмотрения к поведе-
поведению шестивектора при специальном преобразовании Ло-
Лоренца B7.2а). Легко убедиться, что тогда все детерминанты
второго порядка в B8.20а) обращаются в нуль, за исключением
«11 «12
а21 «22
«11 «13
«31 «33
«12 «14
«22 «24
«22 «23
«32 «33
«13 «14
«33 «34
«22 «24
«42 «44
«11 «14
«41 «44
«21 «22
«41 «42
«33 «34
«43 «44
1 .
«31 «33
«41 «43
1
V 1 - Р
-ф
У 1 —^
отличных от нуля в силу определенных соотношениями
B7.5), B7.7), B7.8) значений aik. Поэтому шестичленные
суммы из B8.20а) вырождаются в одно- или двучленные.
Именно, мы находим
1
12
— 62
(Г
12
23
23!
Если теперь подставить для Tik значения, соответствующие,
согласно B6.17), тензору электромагнитного поля Fik,
то легко видеть, что приведенный выше закон преобразова-
преобразования совпадает с задаваемыми соотношениями B8.8) и B8.11).
Этот новый вывод соотношений B8.8) и B8.11) может быть
несколько сложнее прежнего, однако достаточно элементарен
и, во всяком случае, является более общим, поскольку он
охватывает произвольные тензоры второго ранга.

§ 29. Интегрирование дифференц. уравнения для 4-потенциала 339
§ 29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ 4-ПОТЕНЦИАЛА
Вернемся к дифференциальному уравнению B6.5)
—}10Г, B9.1)
т. е. обратимся к рассмотрению задачи четырехмерной
теории потенциала. В качестве образца нам послужит
трехмерная теория потенциала [уравнение G.5)]. Прежде
всего нам нужно найти четырехмерный аналог ньютонова
потенциала 1/г. Таким аналогом служит
u ** &
— xj\ B9.2)
Для доказательства вычислим
d€4 R* Ь
откуда следует, что
4
i R
B9.3)
для всех точек, исключая „источники", т. е. точки со зна-
значениями ci = Xj, /= 1, . .., 4. Аналогично доказывается, что
в пространстве /?—|— 2 измерений центрально симметричный
потенциал представляется выражением U=lfRp при соот-
соответственном обобщении определения R2.
Определим теперь в виде подготовки к дальнейшему
„поверхность" сферы R = const, т. е. трехмерного обра-
образования в четырехмерном пространстве. Если обозначить
через о) поверхность такой „единичной" сферы, то поверх-
поверхность любой сферы составит
и>#3, где ю = 2тс2. B9.4)
Для доказательства рассмотрим интеграл
+оо
/ ехр | — 2 Й | <Й1 d\2 d%z d'4. B9.4a)
( J
22*

Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Если выполнять в нем интегрирования независимо по каждой
координате и использовать известное значение интеграла
Гаусса, то получим для него четвертую степень У-к, т. е. тс2.
Если же, с другой стороны, ввести полярные координаты
с г"=2^г> т0 получим
оо
./ = о, J e-r*r* dr = ^. B9.46)
о
Сравнение значений B9.4а) и B9.46) доказывает утвержде-
утверждение B9.4). Точно так же для пространства р-\-2 измерений
получаем
о I ' '
B9.4в)
Г ' '
(можно проверить справедливость этой формулы также и
в трех- и двухмерном случаях, т. е. при р=1 и р = 0).
А. Четырехмерный вид потенциала Ф
Обратимся теперь к теореме Грина для двух потенциа-
потенциалов Ф и U:
/(^||). B9.5)
Интегрирование в левой части следует распространить на
все бесконечное четырехмерное пространство, но источник
xi = 1г нужно при этом исключить из области интегрирова-
интегрирования, вырезав его сферой К радиусом R—*-0. В правой части
интегрирование распространяется на эту сферу К и сферу
радиусом R —> оо, которая, однако, как и в трехмерном
случае (ср. стр. 168), не дает вклада в интеграл. Тогда,
используя дифференциальные уравнения B9.1) и B9.3), по-
получаем из B9.5) (Г означает теперь не Г-функцию, а плот-
плотность 4-тока)
к

§ 29. Интегрирование дифференц. уравнения для 4-потенциала 341
Поскольку, согласно B9.4), Г da = 2тг2/?3, то второй инте-
интеграл в правой части исчезает при R~—>0. Первый же инте-
интеграл правой части будет, поскольку dti = — dR (положи-
(положительное направление нормали должно быть направлено из
области интегрирования, следовательно, внутрь сферы К),
равен
где Ф — значение нашего потенциала для /? = 0, т. е. для
U — Xi- Таким образом, из B9.5а) мы получаем
Р-о
Г р <%t • • • ^4 ^29 6)
в полной аналогии с G.5). С помощью B9.6) 4-потен-
циал Ф в произвольной мировой точке xlt ..., х4 выра-
выражается четырехмерным интегралом по известному рас-
распределению 4-тока Г. Однако плотность 4-тока Г известна
только для действительных времен т, меньших времени t
наблюдения (т < t); мы могли бы сказать, что она известна
только для моментов т < 0, если бы предположили временно
(это возможно без ограничения общности), что в момент наблю-
наблюдения ? = 0. Поэтому Г известна нам на комплексной
плоскости переменной ?4 не вдоль действительной оси, как
мы молчаливо до сих пор допускали, а только для отрица-
отрицательных мнимых значений
?4 = /ст = — /с|-с|. B9.6а)
Поэтому мы деформируем путь интегрирования в плоскости ?,
перейдя от интегрирования вдоль действительной оси
— оо<?4<-}-оо к петле вокруг отрицательной мнимой
полуоси, которая идет от —too, проходит через окрест-
окрестность точки 0 и идет далее опять в —/со (фиг. 41).
Такая деформация пути интегрирования ничего не изменит
в нашем представлении B9.6) и не изменит того обстоя-
обстоятельства, что B9.6) удовлетворяет дифференциальному урав-
уравнению B9.1).
Убедимся еще в том, что представление B9.6) приводит
к автоматическому удовлетворению дополнительного усло-
условия B6,7) Div Ф = 0. Это следует из того обстоятельства.

342 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
что Г удовлетворяет уравнению непрерывности B6.166)
DivT = 0. Действительно, обозначая дифференцирование
по Xi и по ц нижними индексами и выполняя их под зна-
знаком интеграла, получаем
= — f ГGrad6 -jpdb... d^, B9.7)
следовательно, после выполнения интегрирования по частям
47Г2Div *_ = ГDiVeГ &1 '¦¦ <%* = о, B9.7а)
что и требовалось доказать.
Плоскость
Мнимая ось
Действительная
ось
Фиг. 41. Интегрирование четырехмерного урав-
уравнения потенциала ? Ф = 0. Деформация пути
интегрирования, первоначально совпадавшего с
действительной осью С4, в замкнутый контур,
окружающий лежащую на мнимой отрицательной
полуоси „световую точку" L.
Для дальнейшего рассмотрения представления B9.6) мы
можем выполнить в нем интегрирование или по ?4, или по
?i» ?г» ^з- Сначала изберем первый путь.
Б. Запаздывающие потенциалы
Найдем те точки на комплексной плоскости ?4 (ср. фиг. 41),
р которых обращается в нуль знаменатель R2. Напишем
— У8, B9.8)

§ 29. Интегрирование дифференц. уравнения для 4-потенииала 343
где мы обозначили через г трехмерное расстояние между
точкой интегрирования ?lt ?2, ?3 и точкой наблюдения xlf
х2, х3 и оставили наше временное условие jc4 = 0, служив-
служившее только для удобства описания фиг. 41.
Величина R2 может обратиться в нуль в двух точках,
именно при
х± — Ъ = -{-1г, B9.8а)
и
*4 — ^ = — //-. B9.86)
Первую из этих точек мы обозначим через L и будем на-
называть, следуя Минковскому, „световой точкой"; вторую г)
обозначим через V'.
В окрестности L, согласно B9.8) и B9.8а),
R2 = (x4— ^ — if) (х4—Ъ + /г)~ 2/г(л:4 — &4+ */•)• B9.8в)
Мы можем преобразовать теперь интеграл по охватываю-
охватывающему отрицательную мнимую полуось контуру (см. фиг. 41)
в силу теоремы Коши в интеграл по контуру, окружающему
точку L; для значения этого интеграла с помощью теоремы
о вычетах получаем
^# + -/; B9.9)
здесь Tl означает значение Г в световой точке L. Множи-
Множитель (-(- 2та) возникает здесь (хотя в знаменателе и стояло
— ?4) за счет того, что путь интегрирования проходится по
часовой стрелке, т. е. с точки зрения теории функций в от-
отрицательном направлении.
При подстановке B9.9) и B9.6) возникает
4тг — = I —d\xd\zd\». B9.10)
Расписанное в компонентах это соотношение дает в силу
B6.4) и B6.6)
~ ^d^d^d^- B9.10а)
!) Деформирование первоначального пути интегрирования в
петлю, окружающую Z/, привело бы вместо запаздывающих к „опе-
„опережающим" потенциалам (ср. стр, 209),

344 Гл, III. Теория относительности и теория электрона
Но эти выражения как раз и есть запаздывающие потен-
потенциалы, фигурировавшие в A9.13). Действительно, наши j7
и pL имеют теперь тот же смысл, что и [j] и [р] в § 19.
Именно, если мы обозначим, как в B9.6а), время точки на-
наблюдения по отношению к световой точке через т, то,
согласно B9.8а),
lct = lcz-\-lr, x = t—-. B9.106)
С
Но это как раз есть тот момент времени, определенный
в A9.13в), для которого нужно было брать значения [j]
и [р] в § 19. Тем самым мы пришли теперь естественным
математическим путем к представлению A9.13), которое было
раньше несколько неоправданным. Примечательно, что
Херглоц х) придумал изложенный здесь элегантный метод
еще до создания теории относительности исключительно из
соображений математической симметрии.
В. Приближение Льенара — Вихерта
Теперь мы хотим последовать второму из упомянутых
выше путей, выполняя сначала интегрирование по ?lt ?2, ?3.
При этом мы будем представлять себе ток и заряд не рас-
распределенными по пространству, как до сих пор, а сконцен-
сконцентрированными в одной точке, в электроне. Для Г мы будем
использовать выражение B8.16) теории электронов, сводя-
сводящее ток проводимости j к конвекционному току, и образуем
из него
J3 = e(v, /c) = — ek, B9.11)
где е — заряд электрона.
В последней формуле R — радиус-вектор, проведенный
от электрона к точке наблюдения, a R—его производная
по времени t при фиксированной точке наблюдения
-<».*>• B9.11а)
1) О. HergJotz, Got. Nachr., 1904.

§ 29. Интегрирование дифференц. уравнения для 4-потенциала 345
Тогда после выполнения трех первых интегрирований из
B9.6) получаем
?§?^ B9-12>
Интегрирование следует проводить здесь, так же как и
в B9.9), по контуру, охватывающему световую точку (см.
фиг. 41). Однако координаты точки ^, ?2, ?3» в которой
расположен электрон, не являются теперь, как ранее, неза-
независимыми переменными, а зависят от переменной интегри-
интегрирования ?4. Итак, нужно рассматривать мировую линию
электрона в окрестности световой точки L и, чтобы
иметь право воспользоваться теоремой о вычетах, применить
для R2 разложение вида
Здесь
Поэтому для разложения R2 получим
Я8 = (Е4—&4i)-|r(R, R); B9.13а)
тогда формула B9.12) примет вид
Ф __
~ 2
_? __i^_ ? ^к_ . B9.136)
2 2fRR^ J Е. -Е.т
Оставшийся интеграл равен теперь —2тг/ (из-за противо-
противоположного по сравнению с B9.9) знака у ?4 в знаменателе).
Итак, мы получаем
4^ = ???_. B9.14)
{Ао (RR)
Согласно B9.8а), временная составляющая 4-вектора R
равна lr, a его пространственная часть (радиус-вектор, про-
проведенный из световой точки в точку наблюдения) — г; вре-
временная и пространственные компоненты 4-вектора R равны,
согласно B9.11а), —ic и —V. Поэтому
(R, R) = rc — vr = rc(l—?) = rc(l --?¦). B9.14a)

346 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
где vr означает проекцию v на направление г. Подставляя
этот результат в B9.14) и отделяя действительную часть
от мнимой, получаем необычайно простые формулы Льенара
A898 г.) и Вихерта A900 г.):
{Л-0 1 _ г 1 __ г
с с
Из нашего вывода видно, что не только г, но и vr и vr/c
следует брать для запаздывающего времени (времени свето-
световой точки). Интересно отметить, что множитель 1—(vr/c)
в знаменателе опять встретится нам при рассмотрении
эффекта Допплера (см. т. IV, Оптика).
Для дальнейшего изложения больше нужны не проинте-
проинтегрированные формулы B9.15) или B9.10а), а первоначаль-
первоначальное представление 4-потенциала в виде четырехмерного
интеграла B9.6).
§ 30. ПОЛЕ УСКОРЕННОГО ЭЛЕКТРОНА
Преимущество представления B9.6) состоит в том, что
в нем координаты xlt . . ., х± точки наблюдения входят
только в знаменатель R2. Поэтому только этот знаменатель
и придется нам дифференцировать, если мы зададимся целью
найти поле произвольным образом движущегося электрона.
Из B9.6) мы прежде всего получим
Но
_ о
Хп —
дхп Я2 Я* Я* '
и поэтому выражение в скобках в C0.1) равно
2 2
Здесь мы перенесли обычные значки трехмерного векторного
произведения [ ] на произведение двух наших 4-векторов,
являющееся, конечно, шестикомпонентной величиной х). То же
1) Последнее справедливо не для любого произведения двух
4-векторов, з только для антисимметризованного, — Прим. ред.

§ 30. Поле ускоренного электрона 347
справедливо и для левой части (ЗОЛ), поскольку, согласно
B6.12), обозначение Rotnm<P означает я«г-составляющую
шестивектора [х0/. Итак, из (ЗОЛ) получаем
2^2/штг = / ^г [rR]nm d^ ... d^. C0. la)
Только теперь мы проведем интегрирование по q, ?2» ?з»
в результате которого Г преобразуется, согласно B9.11),
в —еЯ; координата ?4 будет относиться теперь к точечному
электрону. Получаем
-^-^4. C0.2)
где путь интегрирования следует выбрать, как на фиг. 41,
вокруг световой точки. Отличие этого интеграла от уже
вычислявшихся состоит только в том, что теперь знамена-
знаменатель имеет в световой точке нуль второго порядка, благо-
благодаря чему в разложениях числителя и знаменателя нужно
будет взять членом больше. Полагая для краткости
мы можем написать вместо B9.13а)
R* = Аи* (RRJ (l + u (^R) f
' V ' V (RR)
и, учитывая, что
С помощью этих соотношений мы получаем из C0.2), пере-
перенося часть членов из числителя в знаменатель и опуская
индекс L\
4(RRJ J «2 u J^ »\ (RR) /
В этом выражении мы можем сохранить только члены с и~г,
так как только они дадут вклад в вычет, и поэтому можем

348 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
опустить члены с и~2, и°, и1. Получаем
* { [RR] - [RR] Ш±Ш \.
{ (RR) J
/ ^ { [RR] [RR]
- 4 (RRJ J а { (RR)
Так как интегрирование состоит, согласно фиг. 41, только
в добавлении множителя —2та, то получаем
JRR)+(RR) 30.3)
ее (RRJ (RR)
Выражения в правой части следует еще специализировать
для значений
R = (r, /r), R = —(v, /с), R = (—v, 0) C0.3а)
[ср. B9.8а) и B9.11а)]. Мы исследуем прежде всего полу-
полученное общее выражение в частном случае равномерного
движения электрона.
А. Равномерно движущийся электрон
В силу R = 0 будем иметь
^ |^ f* , C0.4)
ее (RRK C)
Согласно C0.3а), шестивектор [R,R] можно представить
в матричном виде
V .), C0.5)
vx vy vz icj
из которого его пространственно-пространственные и про-
пространственно-временные компоненты получаются как ми-
миноры этой матрицы. В обозначениях обычного трехмерного
векторного исчисления получаем
( [vrj пространственно-пространствен-
! ные компоненты,
[RR] = { .. . C0.5а)
j i(rv—сг) пространственно-временные
( компоненты.
Если подставить эти значения в правую часть C0.4) и рас-
расщепить также пространственно-пространственные и про-

§ 30. Поле ускоренного электроне.
349
странственно-временные компоненты в левой части C0.4)
Н и — icD, то получим
¦ = [vrb
C0.6)
Эти выражения представляются на первый взгляд совершенно
отличными от выражений B8.14) и B8.14а), которые описы-
описывали ранее поле равно-
равномерно движущегося элек-
электрона (обозначавшееся
нами ранее через Н' и Е'),
однако в действительно-
действительности первые можно при-
привести ко вторым элемен-
элементарными геометрическими
преобразованиями. Мы
покажем это в задаче
III. 3 в конце книги.
При этом мы будем ссы-
ссылаться на фиг. 42, кото-
которая как раз поясняет
различные точки зрения
настоящего и проведен-
проведенного в § 28 рассмотре-
рассмотрения: в настоящем рас-
рассмотрении гиг отно-
относятся к световой точке L,
в которой электрон находился в момент t—r\c, где
t—время, соответствующее точке наблюдения Р; в § 28,
наоборот, имелось в виду положение электрона в момент t,
которое обозначено на чертеже точкой О; обозначение х',
у', z' используется, как и в B8.14), для координат точки
наблюдения относительно О.
Фиг. 42. К вычислению поля равно-
равномерно движущегося электрона.
Электрон движется вдоль оси х со скоро-
скоростью v; точка 0 —положение электрона в
момент наблюдения в точке Р, L — световая
точка, следовательно L0 = *k, где т —время
запаздывания для светового сигнала, иду-
идущего из L в Р.
Б. Ускоренный электрон
Если исключить из C0.3) поле C0.4) равномерно движу-
движущегося электрона, то мы получим „чистое поле ускорения",
т. е. добавочное электромагнитное поле, обусловленное

350 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
только ускорением электрона,
W = [RK] [RRJ (RR) C07)
ее (RRJ (RRK
Чтобы исследовать последнее выражение, отметим, что, со-
согласно C0.3а),
( —[rv] пространственно-пространственная
[RR] = { часть, C0.7а)
I irx пространственно-временная часть,
равно как и
= —rv. C0.76)
Тогда при учете C0.5а) и B9.14а) получаем из C0.7)
[rv] [rv] (r'v)
c ' - - C0>8)
rv , (cr — rv) (rv)
СЛГ4 I —
Отсюда непосредственно заключаем, что
r.il--=[rD] и [rD]=0. C0.8a)
С
Итак, векторы Н, D и г или, как мы могли бы также ска-
сказать, векторы Н, Е и г расположены ортогонально по
отношению друг к другу. Далее, если взять абсолютную
величину от обеих частей первого из равенств C0.8а) и
учесть второе, то получим
^H=D; C0.86)
это соотношение можно также записать в виде
Я=|/~-^-Е. C0.8в)
Итак, мы приходим к типичному поперечному полю, такому
же, как и для рассмотренной в соотношениях F.11), F.13)

§ SO. Поле ускоренного электрона 351
плоской световой волны. Амплитуда этой волны убывает по
мере роста г, как \jr [действительно, все члены в C0.8)
содержат в знаменателе на одну степень г больше, чем
в числителе, а не на две, как для равномерно движущегося
электрона в C0.6)]. Следовательно, на больших расстоя-
расстояниях можно пренебречь полем, описываемым выражением
C0.6) по сравнению с величиной C0.7), которая представ-
представляет поле, обусловленное только ускорением электрона.
Б. Продольно ускоряемый электрон
Если мы предположим, в частности, что v и v напра-
направлены одинаково (прямолинейное движение, продольно уско-
ускоряемый электрон), то легко увидеть, что
v (rv) = v (rv)
и поэтому также
[rv] (rv) = [rv] (rv).
Если привести теперь правые части C0.8) к общему знаме-
знаменателю и подставить туда эти выражения, то два члена из
трех взаимно уничтожатся и выражения C0.8) упростятся
следующим образом:
ее ? •> /1 "r
С*Г' ( 1 —
[rvl 4тгП rv -4- Ti)
Если мы выберем здесь совпадающее направление векто-
векторов v и v в качестве оси 0 = 0 сферических полярных
координат г, ft, cp, то получим
г;г —i;cosft, v$ = — г» sin ft, г;ф = 0,
г;г —i;cosft, vb~ — г; sin ft, vv = 0,
[rv] = [rv[(p, Н = /4, D = D»
и найдем из C0.9)
. и ev sin Ь л r\ ev sin^ /on 1Л\
4тсЯш = — Гл т, jr-., 4тс Да = Тл ъ ^-т.. C0.10)
? сг A—pcosft)Jt № сг A—р cos ft)* v '
Эти выражения совпадают с полученными ранее A9.20),
к которым добавился теперь только релятивистский

352 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
знаменатель A — р cos ftK, отсутствовавший, естественно, при
прежнем нерелятивистском подсчете. В самом деле, фигу-
фигурировавший ранее множитель p(t — г/с) совпадает с нашим
множителем ev, взятым в световой точке. Соответственно
вместо излучения «S A9.22) мы получим теперь
_ ё& sin«» Ш1П
° ~~ 16u2e0c?2 A — р cos 0)в • wu* ;
Итак, максимум излучения лежит теперь не при ft = тс/2;
он смещается по мере приближения 8 к 1 от тс/2 к ft = 0 *).
Мы уже указывали на эту существенную для рентгеновского
излучения особенность на стр. 220.
§ 31. МАКСВЕЛЛОВСКИЕ НАТЯЖЕНИЯ
И ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА2)
Мы имели до сих пор дело только с кинематикой
электрона, предписывая ему его движение и интересуясь
только возникающим при этом полем.
Обратимся теперь к статике и, далее, к динамике
электрона. Из статики электрона нам известна пока только
лоренцева сила, действующая в точке расположения заряда.
Однако при подходе с полевой точки зрения мы не можем
удовлетвориться этим и должны исследовать также и пере-
перенос силовых взаимодействий через вакуум, где нет никаких
зарядов. Именно это обстоятельство имел в виду Фарадей,
когда он говорил о силовых линиях как об упругих труб-
трубках, переносящих натяжение и давление. Максвеллу удалось
и здесь придать догадкам Фарадея ясную математическую
!) В качестве условия максимальности 5 мы получаем диффе-
дифференцированием C0.11) по Ь квадратное уравнение относительно
cos Ь, которое приводит для малых р к
cos& = 3p, Ь = — — Зр,
а для р, близких к 1, к
1 &2
2) У автора Spannungs-Energie-Tensor. — Прим. ред.

§ 31. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса 353
форму. Так возник тензор натяжений Максвелла, реляти-
релятивистским обобщением которого является тензор энергии-
импульса.
Будем исходить из плотности силы Лоренца B8.17)
4
к = 4 (Г,/3), cK^^Tfnr C1.1)
и заменим в этом выражении 4-ток Г с помощью уравне-
уравнения Максвелла B6.16) на второй шестивектор поля /.
Тогда из C1.1) получим
4 4 4
ckn = ^ (Dlvr/, Fnr) = ]g 2 ^ /
Покажем, что к можно представить как четырехмерную
дивергенцию некоторого тензора 7", а именно, что
4
kw = X -ч— 'миг» C1.3)
4
4
' пт г== ~ Zj '' nrfmr \~ °
где Л означает плотность функции Лагранжа B6.24). По-
Поскольку мы вступаем здесь в область тензорных величин,
то дальнейшие не слишком наглядные преобразования
с двойными индексами оказывается невозможным обойти.
Для преобразования правой части C1.2) используем
тождество ,, А ,
OJrm р О / f р \ f ОГщ /qi с\
Яг * пг' а у \J rm1 nrJ Jrm Лу • yjy.u)
Согласно предписанному в C1.2) суммированию, перзый
член правой части C1.5) после изменения порядка сумми-
суммирования дает
fF 2 2 fF C1-6)
Второй же член правой части C1.5) после выполнения сум-
суммирования с учетом отрицательного знака будет иметь вид
dFnr
mr дх
г т
23 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

354 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Выпишем это выражение еще раз, переменив обозначения
переменных суммирования г и m и порядок индексов у /
и F:
V V f dFmn •
LZJmr дхг~'
если теперь взять полусумму двух последних выражений,
то получим
1 (dFmn . dFn
Используем теперь уравнение Максвелла B6.18), согласно
которому
dF vF j dFrm ~
dFmn
дхг ' i ...
(три входящих сюда члена получаются один из другого при
циклической перестановке индексов т, п и г). Поэтому мы
можем написать вместо C1.7), заменяя появляющийся знак
минус перестановкой индексов у F, также и
2
г т
Это выражение является результатом суммирования второго
члена правой части C1.5), в то время как для первого
члена соответствующий результат дается выражением C1.6).
Поэтому окончательно из C1.2), C1.6) и C1.7а) получаем
iVYf dF^r /oi оч
2 Zl ZdTmr дх ' К }
V f F f
дх,п ZdImr пг^ 2 Zl ZdTmr дхп
m r r m
Первый член в правой части совпадает здесь с первой по-
половиной содержащегося в C1.3), C1.4) выражения для Т.
Чтобы закончить доказательство, нам нужно еще убедиться
в том, что второй член в правой части C1.8) равен
jLJ nm дхп дхг
т—\.
Но это действительно имеет место согласно B6.24). Итак,
утверждение C1.3) доказано.

§ 31. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса 355
Наше выражение для Т представляет собой симметрич-
симметричный тензор второго ранга. Его симметрия усматривается
непосредственно из пропорциональности обоих шестивекто-
ров / и F и из значения Ьпт; тензорный характер этой
величины в том смысле, о котором шла речь на стр. 337,
очевиден из поведения шестивекторов / и F при преобра-
преобразованиях Лоренца. Только что проведенное нами преобра-
преобразование, несколько формальное и перегруженное инде-
индексами, ведет, как мы сейчас увидим, к далеко идущим
физическим следствиям.
Вычислим из C1.4) значения отдельных компонент Т,
начав с диагональных элементов соответствующей матрицы,
которые содержат общий член Л. Получаем
1
М.1 = 7" l/l2^12 I J13* 13 ~\~fu*U) I Л —
где W означает плотность энергии. Точно так же находим
^22 ~ HyBy ~\~ DyEy W,
Г33 = HZBZ -f DZEZ — W
и отличающееся от остальных выражение для
>X+ DyEy+ DZEZ + 1(НВ) —I (DE) =
Теперь перейдем к недиагональным элементам и прежде
всего к содержащим индекс 4:
Ти ~ ^41 ~ ^ \f42^12 I /43^1з) ;==
23*

356 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Точно так же получаем
^ О *Т* *Т* I
24 ~ У 42 == ^Г °4» У 34 У 43
Остальными недиагональными элементами являются
^12 — ^21 — ^~ (Аз^23 Н~
где равенство последних четырех выражений опять следует
из пропорциональности D и Е, Н и В. Точно так же
Итак, полную матрицу Т можно записать сокращенно в виде
±
a
t_ §
c ' C1.9)
W
где a — трехмерная матрица так называемых максвелловых
натяжений
y yy yy ^ , C1.10)
^ DXE2,
Матрица а означает в своей электрической части натяжение
ра ное Wb направлении силовых линий'и такое же давление
в перпендикулярных направлениях. Это можно сразу увидеть,
если считать, например, ось х направленной вдоль Е и поло-
положить В = 0. Именно, мы получим тогда
ахх =  (°« Е)» °уу = azz = — ^ (D, E), aifc = 0.
То же можно показать и для магнитных силовых линий,
если ось х направить по силовым линиям и положить Е = 0.
Мы возвращаемся, таким образом, к представлениям, создан-
созданным в свое время Фарадеем чисто интуитивно.

§ 31. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса 357
Однако этот тензор натяжений а, взятый сам по себе,
не является „законной" физической величиной в реляти-
релятивистском смысле. Он становится таковой только после
„окаймления" энергетическими величинами S и W, т. е.
только после его дополнения до тензора энергии-импульса Т.
Характерной особенностью последнего является обращение
в нуль его шпура (суммы четырех членов, стоящих на глав-
главной диагонали). Действительно, получаем
Возвратимся теперь к выражающейся соотношением C1.3)
связи между Т и плотностью силы Лоренца к и остановимся
сначала на четвертой строке этого соотношения. Учиты-
Учитывая C1.9), ее можно записать как
1 1 а- с . dW
к. = di v S -4- -х—.
4 с ' дх
Если мы подставим сюда для к4 его значение ipL/c из B8.17в),
то получим, учитывая, что x± = ict,
0, L = vE. C1.11)
dt
Но это не что иное, как теорема Пойнтинга E.7), в которой
только на месте стоявших ранее потерь энергии на джоулево
тепло стоит теперь работа, совершенная над движущимся
зарядом р.
Если, с другой стороны, рассмотреть пространственную
составляющую соотношения C1.3), например его первую
строку,
1 х х с дх±
то в более подробной записи ее можно будет изобразить как
toxa> , двух dasx I dSx
Если мы опустим здесь последний член в левой части, т. е.
ограничимся для начала рассмотрением стационарного состоя-
состояния, то придем к типичному условию упругого равновесия
[см. т. II, Механика деформируемых сред, формула (8.11)].
Подобно тому как там напряжения, поскольку они действо'

358 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
вали в ^-направлении, воспринимались и уравновешивались
объемной силой Fx, так и в нашем случае натяжения aik
могут полностью заменить плотность силы Лоренца. Эти
натяжения определены во всех точках поля с помощью
тензорной схемы C1.10), й том числе и там, где по при-
причине отсутствия зарядов нет никакой лоренцевой силы.
Поставленная в начале этого параграфа цель — последова-
последовательное проведение представления о перенесении силы через
вакуум — тем самым достигнута.
Как обстоит, однако, дело в нестационарных состояниях
и что означает возникающий тогда в C1.12) дополнительный
член dS/dt? Ответ на этот вопрос дает уравнение A4.1)
в т. II (Механика деформируемых сред), где соответствующий
член, обозначавшийся там через — p(d2s/dt2), выражал силу
инерции единицы объема упругого тела или, с противопо-
противоположным знаком, изменение его импульса. Мы заключаем
отсюда, что и электромагнитное поле обладает (отнесенным
к единице объема) импульсом G, величина и направление
которого определяются соотношением
G = ^S. C1.13)
То, что электромагнитное поле обладает энергией, равно
как и ее распределение в пространстве, известно нам уже
давно. Теперь мы видим, что электромагнитному полю нужно
приписать также и импульс, непрерывно распределенный
по всему пространству, где имеется поток энергии S, и
направленный так же, как последний.
В соответствии с этим световая волна также переносит
с собой импульс и оказывает давление на неотражающее
(твердое) тело, на которое она падает, — открытое Максвел-
Максвеллом световое давление. С другой стороны, если какое-либо
тело испускает световую волну, то оно испытывает отдачу,
равную по величине и противоположную по знаку унесенному
волной импульсу. Назовем последнее тело „излучателем",
первое—„приемником" и допустим, что при ^<0 оба они
находились в покое. В момент времени ^ = 0, когда излу-
излучатель испускает световую волну, он испытывает отдачу.
Поэтому центр тяжести излучателя и приемника приходит
в движение и продолжает двигаться в течение времени
0 < t < Т. В момент t=T свет поглощается приемником

§ 31. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса 359
(будем, ради простоты, считать, что без отражения) и по-
последний получает от световой волны равный толчок вперед.
Начиная с этого момента, центр тяжести обоих тел снова
находится в покое, однако за время Т он сместится на
некоторый отрезок в направлении отдачи, полученной излу-
излучателем. Это противоречие с законом движения центра
тяжести удается разрешить, только если приписывать самой
световой волне в течение времени Т ее существования
импульс. Тогда вообще не возникает и не пропадает ника-
никакого импульса ни при испускании, ни при поглощении и
центр тяжести все время находится в покое1).
Определение светового давления в лаборатории составляет
очень трудную задачу. Конструируемые для этой цели
радиометры показывают зачастую только конвекционные
токи остатков газа, испускающихся из деталей прибора
под действием облучения2). Тем с большей грандиозностью
проявляется световое давление в небесных явлениях — наблю-
наблюдается отклонение хвостов комет от Солнца (ЛебедевK),
а также колебание светящихся частиц в солнечной короне,
которые поддерживаются световым давлением и давлением
излучения на высотах вплоть до солнечного радиуса. Вну-
Внутреннее строение Солнца и светящихся неподвижных звезд
также управляется в основном совместным действием давле-
давления света и термодинамического газового давления (рас-
(рассмотрение для поверхности Солнца проведено Шварцшильдом,
для общего случая—Эддингтоном). Здесь мы должны,
однако, ограничиться лишь рассмотрением некоторых общих
соотношений между импульсом, энергией и давлением
света.
1) Учет импульса световой волны достаточен для доказательства
сохранения центра тяжести системы. Но, чтобы следить за положе-
положением масс излучателя и приемника в данном примере, необходимо
иметь в виду, что при излучении и приеме импульса масса излу-
излучателя уменьшается, а масса приемника увеличивается на величину,
соответствующую энергии импульса. Об общей связи массы и энер-
энергии см. § 32.— Прим. ред.
2) Эти трудности были преодолены в опытах П. Н. Лебедева
в 1901 г., когда он впервые обнаружил и измерил давление света.—
Прим. ред.
3) Поведение хвостов комет было изучено Ф. А. Бредихиным;
расчеты в этой области были проведены П. Н. Лебедевым. —
Прим. ред.

360 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Из определения S для плоской поперечной световой
волны (Н_1_Е» Н=Уч1\1оЕ) получаем
* P-o
Отсюда, согласно определению C1.13) импульса G, следует
О——. C1.14)
Итак, падающий на некоторый экран импульс совпадает
по абсолютной величине с деленной на с плотностью энер-
энергии перед экраном (справедливо не только для вакуума,
но и для любой непоглощающей среды).
Рассмотрим пучок параллельных лучей, „волновой пакет",
длины Z и поперечного сечения q. Пусть 7^°—содержащаяся
в нем энергия, а $ — его импульс:
TV/Э 71V7 t?t 1 /""* в W vv /Q 1 1 С\
С С
последнее согласно C1.14). Мы говорим об „одном фотоне",
или „одном световом кванте", если энергия W2 пучка
равна hv (h — постоянная Планка, v — число колебаний
в 1 сек.). Согласно C1.15), импульс такого пучка равен
#=*-у-. C1.15а)
Итак, в теории световых квантов давление света проявляется
в виде „фотонного града", в который каждый фотон вносит
вклад /zv/c.
Докажем приведенные утверждения еще раз, исходя
из выражения C1.10) для тензора натяжений а. Пусть волна,
которая будет считаться плоской, падает в положительном
направлении оси х на нормальную к этому направлению
пластину. В силу поперечности света Ех, Dx, Вх и Hw
будут равны нулю и первая строка C1.10) примет вид
= 0.

§ 32. Релятивистская механика 361
Если речь идет об описываемом C1.15) пучке света, то
на пластину будет в течение времени Т~1/с действовать сила
интеграл от которой по времени даст переданный пластине
импульс. Вычисление приводит к
что совпадает с C1.15).
Если световая волна падает на пластину не нормально,
а под углом а относительно нормали, то из квадратичного
характера коэффициентов тензорного закона преобразова-
преобразования B8.20) следует, что
aXJ>—W cos"'2 a.
Чтобы понять такую зависимость от угла, нужно учесть,
что, с одной стороны, световой пучок попадает теперь на
большую поверхность qjcosa, а с другой — что для давле-
давления света существенна теперь только составляющая импульса
в направлении оси х.
§ 32. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
В противоположность электродинамике, с самого начала
как бы приспособленной к удовлетворению требований тео-
теории относительности (поэтому мы смогли использовать ее
даже для обоснования последней), классическую механику,
чтобы привести ее в согласие с теорией относительности,
необходимо подвергнуть радикальнейшим изменениям. Уже
для одной материальной точки эти изменения проявятся
в определении ее импульса (ее „количества движения") как
4-вектора. В согласии с т. I (Механика), § 2 будем считать
его пропорциональным 4-вектору скорости V B7.18) и обо-
обозначим снова через
Здесь множитель пропорциональности m0 — масса покоя
рассматриваемой частщы3 9 4t = УI"— р2 dt — дифферен-

362 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
циал собственного времени. Поэтому мы можем написать
вместо C2.1) также и
Gtttr\ , • \ / &JC Ну A2, \ /ол \ \
= ¦ , —(v, ic), v = (-—•, —, — . C2.1а)
Y\ — ^ \dt dt dt)
Выражение
m= im° - C2.2)
дает зависимость массы от скорости. Масса не постоянна, как
в классической механике, но возрастает до бесконечности
при р —>¦ 1, v —> с, следовательно масса зависит от системы
отсчета и не является правомерной величиной в 4-мире.
Это обстоятельство имеет место не только для электрона,
но и для любых тел; различие состоит лишь в том, что
тело большой массы практически затруднительно ускорить,
как электрон, до скорости, близкой к с. Зависимость массы
от скорости явно сказывается в случае обладающих огром-
огромными энергиями тяжелых и полутяжелых частиц, входящих
в состав космических лучей (протонов и мезонов) 1).
Закон инерции — первый закон Ньютона — в реляти-
релятивистском случае будет гласить
G = const. C2.3)
Соответственно второй закон мы запишем сначала в виде
четырехмерного векторного равенства
-^ = F, C2.4)
где F означает дополненную до 4-вектора внешнюю силу.
Как мы знаем, для одного электрона таким 4-вектором
является плотность силы Лоренца к, но не сама лоренцева
сила К- Последняя становится 4-вектором, только если
поделить ее на у\—р2 и тем самым поставить фор-
формулы B8.19) и B8.19а) в инвариантное соответствие с к.
!) Современные ускорители позволяют „разгонять" заряжен-
заряженные^ элементарные частицы до таких скоростей, при которых со
всей очевидностью подтверждается закон C2,2) зависимости „массы"
от скорости, _ Прим. ред.

§ 32. Релятивистская механика 363
Это обстоятельство побуждает определить 4-силу F для
одного электрона с помощью К следующим образом:
F4-=-«vE. C2.4а)
Тогда при подстановке в C2.4) множитель У 1 —З2 в пра-
правой части сократится с таким же множителем, содержа-
содержащимся в dz левой части, и вместо трех первых компонент D)
получается
— mv = —,- ° - = К- C2.5)
dt dt Y1 ?2
В таком виде это уравнение движения совпадает с D.6)
из т. I (Механика). Лоренцева сила К выступает здесь,
как впервые отметил Планк *), на месте классической ньюто-
ньютоновой силы. В отличие от нее 4-силу F в C2.4) называют
силой Минковского.
В т. I (Механика), § 4 уже было выведено, что при
продольном (К || v) или поперечном .(KJ_v) направлении
силы соотношение C2.5) принимает вид
т0 dx ., т0 dx ..
тг = 1\ ИЛИ 77 === К1
A —pa)"/f dt (l_p2)V« dt
В том же месте т. I (Механика) были обсуждены и
подвергнуты критике* названия продольная масса и попе-
поперечная масса для
или
A — ра) ¦'*
Дополним уравнение C2.5) вытекающей из C2.4) и C2.4а)
четвертой его компонентой
d mnc%
dt у 1 — В2
C2.6)
Постулированное здесь равенство произведений evE и vK
следует в электродинамике просто из того, что v[vB] = 0.
При перенесении на произвольное силовое поле это равен-
равенство означает, что 4-сила Минковского должна быть орто-
ортогональна к мировой линии материальной точки (ср. стр. 335).
1) М. Planck, Verhandl. d, deiitsch. phys. Ges,, 4, 136 A906).

364 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Произведение vK представляет собой работу, совершен-
совершенную в единицу времени силой К над движущейся материаль-
материальной точкой, т. е. равно dA/dt. Поэтому левая часть C2.6)
является не чем иным, как вызванным силой К изменением
кинетической энергии Т. Итак, получаем
Т=—^=-.-Аг const. C2.6а)
В задаче III. 4 в конце книги мы убедимся, что урав-
уравнение C2.6) можно получить также и из уравнения движе-
движения C2.5) обычным для получения закона энергии в эле-
элементарной механике приемом, т. е. скалярным умножением
на v. Так как при v—>0 кинетическая энергия Т должна,
по определению, обращаться в нуль, то постоянную в C2.6а)
следует положить равной —тос2. Поэтому с учетом C2.2)
будет
( ) Cn-m0)c^ C2-7)
Классическое выражение T=mv2/2 получается отсюда при
предельном переходе с —>• сю, что уже отмечалось в конце
т. I (Механика), § 4.
А. Эквивалентность массы и энергии
Так же, как одновременно с зависящей от скорости
массой m нам пришлось рассмотреть массу покоя т0, мы
введем, кроме энергии $ *), энергию покоя |0. Тогда можно
будет записать Т=$> — $0 и вместо C2.7) получим
$ — &0 = (m — m0)c2. C2.7а)
Мы усилим последнее уравнение утверждением
$ = тс2 C2.8)
и следующим из него утверждением
§0 = т0с2. C2.8а)
1) В оригинале используется термин „энергия движения" (Energie
der Bewegung). В русской научной литературе этот термин не при-
применяется. — Прим. ред.

§ 32. Релятивистская механика 365
Это утверждение предстлвляет собой закон инертности
энергии, являющийся, по мнению Эйнштейна, важнейшим
результатом (специальной) теории относительности. При-
Приведем дословную цитату: „Масса тела является мерой
содержания в нем энергии; если энергия меняется на Д$,
то в ту же сторону меняется и масса на величину Д$/с2.
Не исключено, что на телах, у которых содержание энер-
энергии может меняться в сильной степени (например, на солях
радия), удастся произвести проверку теории 1)в.
С тех пор такая проверка произошла в грандиозных
масштабах. В последнее время были открыты и для боль-
большинства легких элементов подробно исследованы превращения
атомов; благодаря использованию принципа эквивалентности
это привело к неожиданному уточнению химических атом-
атомных весов 2). В 1938 г. Отто Хан открыл деление урана,
точнее, изотопа урана с атомным весом 235; одним из про-
проявлений этого процесса, связанным с происходящей при
этом убылью массы, являются ужасающие разрушения,
вызываемые атомной бомбой. Мы займемся здесь, и то лишь
крайне кратко и поверхностно, только вторым примером.
Атом U236 приобретет после захвата одного нейтрона
(атомный вес 1) атомный вес А = 236, но сохраняет атом-
атомный номер Z = 92 первоначального атома урана. Он может
распасться, например, на криптон с Z = 36 и барий с Z = 56
или hi ксенон с Z = 54 и стронций с Z = 38 (обе эти воз-
возможности наблюдались на опыте). Закон сохранения заряда
при этом выполняется, поскольку
92 = 36 + 56 = 54+38.
!) Эйнштейн в своей работе „Зависит ли инерция тела от содер-
содержания в нем энергии?" [A, Einstein, Ann. d. Phys.,17 A905)]
поясняет перехэд от C2.7а) к более сильному утверждению C2.8)
рассмотрением мысленного эксперимента: движущееся тело излу-
излучает свет, и этот процесс наблюдается из покоящейся системы.
[Перевод статьи Эйнштейна имеется в сборнике „Принцип относи-
относительности" (Лоренц, Пуанкаре, Эйнштейн, Минковский) ОНТИ,
1935. — Прим. ред.]
2) Н. В е t h e, Phys. Rev., 47, 633 A935); Rutherford, Proc.
Roy. Soc, 149, 406 A935). Почти одновременное появление обеих
этих работ с одной и с другой стороны Атлантического океана еще
раз показывает, сколь принудительным является прогресс физи-
физического познания, всегда обусловленный имеющимся эксперимен-
экспериментальным материалом.

366 Гл. 111. Теория относительности и теория электрона
Масса, однако, при этом не сохраняется. Наоборот,
избыток массы (атомного веса) по сравнению с целым
числом 236 (так называемый „дефект массы") освобождается,
т. е. превращается в энергию. Если мы примем, что этот
избыток составляет единицу первого десятичного знака
(для тяжелых элементов атомные веса еще не. известны
с достаточной точностью), то для энергии, освобождаю-
освобождающейся на один грамм-атом, мы получим
0,1с2 = 9- 1019 г • см2/сек2 = 9 • 1012 дж.
Пересчитанное на килограмм разделившегося U236, это коли-
количество составит 9- 1012 A000/235) дж = Ъ8- 1012 дж. Если
перевести его в тепловые единицы (одна большая калория
равна примерно 4,2 • 103 дж), то получим
ОС
• 1012 ккалжЮ10 шал.
4,2 •
Вспоминая, что при обычных молекулярных процессах вы-
выделение энергии составляло обычно величину порядка
100—1000 ккал, видим, что наш урановый процесс при-
приводит к выделению энергии во много миллионов раз боль-
большему. Отсюда можно понять, как страшно действие атом-
атомной бомбы, и как благотворно действие урановой машины
(т. е. контролируемого непрерывно продолжающегося про-
процесса деления урана), которое могло бы разрешить все
хозяйственные нужды времени. Здесь мы можем не касаться
того, что практическое проведение процесса деления урана
отличается от рассмотренного выше, а именно в нем полу-
чдется также и трансурановый элемент (плутоний), однако
это не отражается на полученных выводах.
Б. Связь между импульсом и энергией
•В классической механике составляющие импульса являются
производными от кинетической энергии по соответствую-
соответствующим компонентам скорости, например, для одной материаль-
материальной точки в декартовых координатах:
„ • дТ „ m Г2 ,  , \ ,
Gk = mxk = —г- , Т== — {xi-\- х2-\-Хз), где m = const.
oX 2.

§ 32. Релятивистская механика об7
В релятивистской механике это обстоятельство нэ имеет
более места. Однако можно непосредственно убедиться в том,
что релятивистские составляющие импульса C2.1а) являются
производными по х от величины
К = — тос2 V1 — Р2 + const. C2.9а)
Согласно Гельмгольцу *), функцию, обладающую таким свой-
свойством, называют „кинетическим потенциалом"; если норми-
нормировать величину К так, чтобы она обращалась в нуль
для р = 0, то постоянную нужно выбрать равной т0с2;
тогда получим
/С= тос* (l — /T^Tpi). C2.96)
Итак, вмгсто C2.9) мы получаем теперь для импульса
одной материальной точки определение
C2.10)
согласующееся с определением C2.1а). Для с—>-оо вели-
величина К переходит, конечно, в Г и C2.10) в C2.9).
В. Принципы Даламбера и Гамильтона
Какие следствия будут вытекать из измененного опре-
определения C2.10) импульсов для общих принципов механики?
Обсудим сначала принцип Даламбера. Введенные Далам-
бером силы инерции [ср. т. I, Механика, формула A0.1)]
будут и теперь задаваться выражениями—Gk. (Наглядное
определение как произведения мяссы на ускорение более,
конечно, не справедливо). Тогда формулировки принципа
Даламбера, приведенные в т. I, § 10, сохраняются дословно:
„силы инерции находятся в равновесии со „сторонними"
силами физического происхождения". „Совокупность дей-
действующих на систему потерянн >ix сил находится в равно-
равновесии" (т. I, Механика, стр. 84). В качеств; определения
слов „механическая система" может служить тогда требо-
требование: „виртуальная работа реакций внутри системы равна
нулю" (т. I, Механика, стр. 73).
В его общих исследованиях принципа наименьшего действия.

368 Гл. 111. Теория относительности и теория электрона
Из принципа Даламбера можно вывести принцип Гамиль-
Гамильтона по образцу т. I, § 33. При этом нужно только заме-
заменить Т на К, и мы получим для сил, обладающих потен-
потенциалом V, вместо формулы C3.12) в т. I уравнение
и
O. C2.11)
Варьирование следует осуществлять здесь так ж г, как и
в т. I: варьируются координаты при закрепленных концах
пути и постоянном времени его прохождения.
Рассматривая одну материальную точку, получаем
= bjm0c2(l— |Л — p2)dt = —bj moc2|Л — ^dt.
C1.11a)
Мы уже учли здесь, что времена t0 и tl не должны варьи-
варьироваться, т. е. что §(tl- to) = 0. Тогда из C2.11) следует
Ъ j (moc2 \r\ — р2-Ь V) dt = 0. C2.12)
и
Легко убедиться, что это вариационное предписание
находится в соответствии с нашими уравнениями движе-
движения C2.5) и притом не только для случая лоренцевой
силы К. которой ограничена применимость C2.5), но и для
произвольно заданной потенциальной энергии и произвольной
получающейся из нее силы К = — grad V.
При варьировании следует подставить x-f-8x, у-\-Ъу
и z-\-bz вместо х, у и z. Тогда находим
s dx dbx <>,, dV
где многоточия означают соответствующие выражения для у
и z. Нужно также образовать
dx dbx
2_\ / dx_ dbx
c4\dt~dl

I $U. Релятивистский, механика 369
и поэтому
8 I m0c2 у 1 — ?i2 dt = I { ° ¦ ( 1- . . . ) I rff.
^ ^ V VI —pVrf* Л У)
C2.12а)
Интегрирование по частям, при котором проинтегрирован-
проинтегрированные члены (поскольку 8л: = 0 для t = t0 и t = tt) по усло-
условию обращаются в нуль, переводит это выражение в
«1
г d ( m0 dx\ ¦> ,, . /оо Л СЛЧ
— ( , _—)ох dt-4- . . . C2.156)
m0 dx\ ¦>
dt\Y
Тем самым окончательно C2.12) приводит к требованию
J \ldt\Yl — pdt) x] ^ f K J
В силу независимости вариаций Ьх, Ьу и bz множитель
при 8л:, равно как и при 83; и bz, должен самостоятельно
•обращаться в нуль. Но из последнего требования мы дей-
действительно получаем в точности наши прежние уравнения дви-
движения для произвольного К; эти уравнения справедливы,
впрочем, и в тех случаях, когда К нельзя вывести из какой-
либо потенциальной энергии.
Если внешние силы отсутствуют (V = const), то C2,12)
можно сократить до условия
Ъ f Y\—$*dt = b f d-z = O. C2.13)
to tB
Это условие составляет принцип скорейшего прихода
Ферма, который относится, однако, теперь не к условному
времени t, а к собственному времени, инвариантному относи-
относительно преобразований Лоренца. Поскольку dx совпадает
с точностью до множителя 1с с четырехмерным элементом
длины ds, то мы можем написать вместо C2.13)
8 Jds = O. C2.13а)
24 Зак 2614 А Зоммерфельд

370 Гл. 111. Теория относительности и теория электрона
Это условие представляет собой принцип кратчайшего
пути или, как мы говорили также в т. I [Механика, фор-
формула C7.14)], принцип геодезической траектории, конечно
четырехмерно-обобщенный и лоренц-инвариантный. Поэтому
мы предпочтем называть C2.13а) принципом кратчайшей
мировой линии.
Г. Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа
В нашей формулировке C2.11) принципа Гамильтона на
месте классической функции Лагранжа [т. I, Механика,
формула C3.13)] LKJI = Т — V появилась релятивистская
функция Лагранжа:
L^. = K-V. C2.14)
Подобно тому как это было проделано в т. I, § 34 для LKJf,
мы можем вывести теперь из /.рел. общие уравнения Лаг-
Лагранжа для произвольного выбора координат и скоростей,
выполняя в C2.11) предписанные варьирования. Получаем
l??fb o. C2.14а)
dt dqk dqk
При применениях к частным случаям эти уравнения приво-
приводят, несмотря на их сходство с соответствующими уравне-
уравнениями классической механики, к существенно другим резуль-
результатам. Так, например, при решении задачи Кеплера для
атома водорода они приводят (по причине релятивистской
зависимости массы от скорости) к эллипсам с вращающи-
вращающимися перигелиями вместо замкнутых эллипсов (см. также
сказанное в § 38 относительно перигелия Меркурия).
Д. Принцип наименьшего действия Шварцшильда
Шварцшильд1) ввел в своей фундаментальной работе
„К электродинамике" величину
L = cp — vA, C2.15)
!) R. Schwarzschild, Got. Nachr., 1903. Обозначение L то же,
что и у Шварцшильда. Обратите внимание на год публикации —
1903! Шварцшильд вывел, следовательно, правильный постулат тео-
теории инвариантов за шесть лет до Минковского.

§ 32. Релятивистская механика
названную им „электрокинетическим потенциалом". Пока-
Покажем, что эта величина, будучи умноженной на плотность за-
заряда р, образует релятивистский инвариант. Для этого до-
достаточно образовать скалярное произведение 4-вектора
тока Г B8.16) и 4-потенциала Ф B6.4). Получаем
Мы назовем—(ГФ) инвариантом Шварцшильда. Согласно
C2.15),
(ГФ)= —PL. C2.16)
Шварцшильд добавляет этот инвариант к плотности
функции Лагранжа А из B6.24), которая, как мы знаем,
также является инвариантной относительно преобразований
Лоренца и образует величину
Т— Л — pL, C2.17)
где Т—кинетическая энергия. Мы заменим C2.17) на
К = Г — 2Л — pL = Г — 2х\ + (ГФ). C2.17а)
Здесь Т' означает релятивистское выражение C2.7) для
кинетической энергии, но только с массой покоя т0, заме-
замененной на плотность массы покоя ;j0. [Ведь и другие члены
в C2.17а) являются плотностями, отнесенными к единице
объема.] Итак,
Hi] C2Л7б)
Что же касается появления множителя 2 у Л в C2.17а), то
он произошел из-за проводимого нами принципиального раз-
различения „количественного" и „силового" тензоров / и F;
Шварцшильд, который полагает D = E и В = Н и поэтому
пишет в B6.24) Н2—Е2 вместо нашего НВ—DE, получает
при варьировании лишний множитель 2, который нам при-
пришлось добавить в C2.17а). Итак, наше допущение C2.17а)
имеет в подробной записи вид
==щ — i] — 2Л + СГФ) • C2.18)
В дальнейшем мы будем следовать примеру Шварцшильда.
Он интегрирует C2.17) по произвольной пространственно-
24

&7'2 ]Гл. ill. Теория относительности и теория эЛекТрбнй
временной области и строит таким обрлзэм функцию дей-
действия W, которую он подчиняет условию oW = 0. Образуем
в соответствии с этим
W= Г ( С Г K'dxdydzdt C2.19)
и потребуем также
oW = 0. C2.19а)
Согласно Шварцшильду, это варьирование следует произ-
производить следующим образом: компоненты Фх, Ф2, Ф3, Ф4
4-потенциала (вариация „а") и координаты хх, х2, х3, хА
электрона (вариация „б") подвергаются произвольным сколь
угодно малым изменениям; эти изменения должны обращаться
в нуль на границах области интегрирования. Вариации „а"
и „б" независимы1) друг от друга и могут быть совершены
по отдельности, например для каждой составляющей Ф.
Если имеется много электронов, то мы можем ограничиться
одним из них, поскольку действия других электронов на него
будут содержаться в потенциале Ф. То, что мы используем
в качестве основной величины, описывающей поле, введенный
первоначально как чисто вспомогательное вычислительное
образование 4-потенциал Ф, а не шестивектор поля F,
является переходом на существенно новую точку зрения,
к которой мы еще вернемся в § 37.
а) Поскольку первый член в правой части C2.18) не
зависит от Ф, то мы должны подвергать такому варьиро-
варьированию лишь Л и (ГФ). Если мы ограничимся вариацией 8Ф1:
то будет
8 Г18Ф1. C2.20)
6 выражении B6.24) для Л, с другой стороны, нужно рас-
рассматривать / как искомую величину, a F заменить, согласно
B6.11), на е1^Ф. Поэтому для приведенной выше частной
1) Шварцшильд не ставил дополнительного условия Div Ф = 0,
которое автоматически выполняется при нашем методе интегриро-
интегрирования в § 29. В этом вопросе мы также следуем изложению Шварц-
шильда.

§ 32. Релятивистская механика 373
вариации выражение о( — 2Л) сводится к следующим трем
членам:
(остальные члены ротора, образуемые из Ф2, Ф3 и Ф4,
в этом случае выпадают). Многоточие в последней строке
означает полные частные производные по координатам, ко-
которые обратятся в нуль при последующем интегрировании
по нашей мировой области (поскольку 8Ф = 0 на ее гра-
границах). Объединяя последнее выражение с C2.20), получаем
в качестве множителя при оФг под интегралом C2.19)
В силу oW = 0 это выражение должно обращаться в нуль.
Если мы подставим в него для fik его выражения из B6.14)
и для Г его значение из B8.16), то получим
Но это как раз первая компонента тройки уравнений Макс-
Максвелла D-|-j = rotH, в которой для рассматриваемого слу-
случая вакуума плотность тока j заменена плотностью конвек-
конвекционного тока pv. Точно так же получаются, конечно,
вторая и третья составляющие при варьировании Ф2 и Ф3
и соответственно условие divD=p при варьировании Ф4.
Естественно, что мы не можем ожидать получения на таком
пути второй тройки уравнений Максвелла или условия
divB — О, поскольку мы уже предположили существование
потенциала.
Тем самым становится понятным употребленное- нами
ранее B6.24) название „плотность функции Лагранжа" для
Л- — в нашем электродинамическом вариационном принципе Л
выступает на месте прежней функции Лагранжа L или ?рет
в C2.14).
б) Теперь потенциал Ф не варьируется; поэтому 8Л=0.
Напротив, теперь производится сравнение мировой линии
электрона с соседними мировыми линиями, следовательно,

374 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
варьируются первый член в правой части C2.18) и инва-
инвариант Шварцшильда (ГФ). Займемся сперва членом (ГФ).
При этом удобно заменить мировой элемент объема dx rfyX
Xdzdt=dQdt в C2.19) на dQndt, где dQn должно обо-
обозначать трехмерное сечение, нормальное к мировой линии.
Так как входящая в Г плотность электрического заряда р
сконцентрирована на мировой линии электрона, то при ин-
интегрировании по dQn (но не по dQl) получается заряд элек-
электрона е.
Одновременно мы перейдем в выражениях для Г и Ф от
координат х1г . . ., х4 к координатам q, . . ., ?4 рассматри-
рассматриваемого элемента мировой линии (dq^ — icdz, где dx—эле-
dx—элемент собственного времени), причем на место dxj/dt вступят
dzj/dx. Тогда получим
(ГФ) dQn dx = е I 2 ^Г Ф* dx- <32-22>
i
При варьировании следует учесть, что не только Zj меняются
на bc,j, но вследствие смещения мировой линии и Ф^ меняется
на
(заряд е не претерпевает, естественно, изменений). Поэтому
из C2.22) мы получаем
C2-22а)
Первый из двух членов в правой части можно проинтегри-
проинтегрировать по частям, и он даст
(поскольку на границах нашей мировой области 8<^ = 0).
Благодаря этому C2.22а) после перемены индексов i и j

§ 32. Релятивистская механика 375
в двойной сумме примет вид
i>r <32-23>
В скобках здесь стоит Roty^, т. е. с точностью до мно-
множителя с [ср. B6.11)] компонента поля Fjt. Ранее мы по-
получили [см. B8.17)]
(FT) = dk C2.24)
(к—плотность силы) и, согласно B8.19),
к^п = ^==-
(К — сила Лоренца). Итак, наше выражение C2.23), полу-
полученное интегрированием по Qn, означает просто
jOQjCll. \OZ.ZO)
Далее, из первого члена правой части C2.18), если по-
положить в нем dQdt^=dQndrz и проинтегрировать по попе-
поперечному сечению мировой линии, получаем
0 J lYi-p J
= mQc4/A — V'\ — P2)dt=bj Kdt.
Но варьирование К в этом интеграле мы уже проводили
в формулах C2.11а) и далее; результат, переписанный
в употребляемых сейчас обозначениях ^ для координат ми-
мировой линии, показывает [ср. C2.126)]:
%<"• C2.26)
Это выражение вместе с выражением C2.25) дает для вариа-
вариации всего интеграла действия
)Лм'- <32-27>

376 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Согласно нашему требованию, этот интеграл должен обра-
обращаться в нуль для любых вариаций b*j, но это возможно,
только если фигурная скобка в C2.27) обращается в нуль
для _/=1, 2, 3, 4. Но тем самым мы вывели наше преж-
прежнее уравнение C2.5), включая и его четвертую компоненту
и при том в более сильном виде: наш настоящий вывод
дает нам не только это уравнение движения, но и действую-
действующую на электрон со стороны поля силу Лоренца. Итак,
принцип наименьшего действия Шварцшильда действи-
действительно объединяет электродинамику Максвелла и тео-
теорию электронов Лоренца в единую четырехмерную инва-
инвариантную теорию.
Касаясь истории вопроса, следует сказать, что Шварц-
шильд, исходя из своего кинетического потенциала C2.17),
получил как уравнения Максвелла, так и уравнения движе-
движения для электрона, включая и выражение для лоренцевой
силы; однако он не смог, естественно, получить зависимости
массы электрона от скорости, поскольку в C2.17) исполь-
использовалось классическое выражение для кинетической энергии.
С нашей точки зрения, его вывод уравнений Максвелла не
является вполне корректным из-за отсутствия множителя 2
у Л, что исправляется у Шварцшильда равенством шести-
векторов /и F(D = E и Н = В). В нашем представлении
пропорциональность между / и F также содержится в прин-
принципе Шварцшильда—нужно только исключить величину Г
из уравнений C2.21) и B6.5), которые мы можем записать
в виде
Принцип наименьшего действия Шварцшильда 1в высшей
степени плодотворен. Можно было бы поставить его во
главу угла теории и рассматривать уравнения Максвелла
г) Пропорциональность между f w P B6.13) представляет собой
уравнение для среды (вакуума). Поскольку в функции действия
Шварцшильда участвуют независимые тензоры F и f и не учиты-
учитываются никакие свойства среды [см. соответственно определения
B6.4), B6.11), B6.14) и B6.16), входящих в W величин Ф, F, f и Г],
то B6.13) не может следовать из принципа C2.19а). Поэтому для
вывода уравнения B6.13) автор привлекает здесь уравнение B6.5),
которое содержит в себе соотношения Е = ео?> и В = [j.q/7 для ваку-
вакуума, [ср, также A9,1) — A9.11)]. — Прим. ред.

§ 33. Электромагнитная теория электрона 377
как его следствие*). Одновременно возникла бы соблазни-
соблазнительная возможность модифицировать путем обобщения ки-
кинетического потенциала C2.18) и сами уравнения Максвелла
(добавление других инвариантов поля, учет взаимодействия
между двумя электронами, их магнитных моментов, спинов
и т. д.). Мы займемся этими вопросами в § 37.
§ 33. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОНА
На рубеже двух столетий зависимость массы электрона
от скорости стояла в центре интересов физиков. Модель
твердого электрона, которая представлялась естественной
в теории абсолютного эфира, приводила к другому, значи-
значительно более сложному закону зависимости от скорости
(Абрагам), чем лоренцева модель деформируемого элек-
электрона, вскоре нашедшая надежное основание в теории отно-
относительности 2). Определению этой зависимости от скорости
были посвящены опыты Кауфмана, Бухерера, Неймана и
многих других. Теоретическое рассмотрение этого вопроса,
в том числе и для твердого электрона, упирается в опре-
определение C1.13) электромагнитного импульса. Не вдаваясь
здесь глубоко в теорию твердого электрона, покажем, что
и эта модель при релятивистском вычислении импульса
C1.13) приводит к тому же закону C2.2) зависимости массы
от скорости, что и теория относительности, которая рас-
распространяет, однако, его на каждую произвольную массу т.
В качестве побочного результата мы получим при этом
интересную формулу для массы покоя т0 электрона..
В дальнейшем мы будем понимать под G полный им-
импульс поля во всем бесконечном пространстве; обозначав-
обозначавшуюся в C1.13) через G плотность импульса (импульс еди-
единицы объема) будем называть теперь g. Тогда, обозначая
через dQ трехмерный элемент объема, получаем
C3.1)
1) С таким построением теории поля можно познакомиться
в книге: Л. Ландау, Е. Л и ф ш и ц, Теория поля, изд. 2-е, М.—Л ,
1948. — Прим. ред.
2) Лучше сказать, что гипотеза Лоренца о деформации электрона
при ускорении не противоречит теории относительности. — Прим.ред.

378 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
Чтобы быть в состоянии выполнить предполагаемое здесь
интегрирование, воспользуемся обозначениями, введенными
в связи с формулой B8.12). Величины х'', yr, z' будут озна-
означать координаты в системе отсчета, движущейся вместе
с электроном, а х, у, z—-координаты в покоящейся си-
системе, относительно которой электрон движется в рассма-
рассматриваемый момент со скоростью v в направлении х. В си-
системе х'', у', z', естественно, G'= 0, поле — чисто электро-
электростатическое, следовательно Н' = 0 и S' = 0. Нас интересует
импульс G, в частности его лг-составляющая:
<зз-2>
Выразим, согласно B8.12а), нештрихованные величины через
штрихованные:
** = ** Еу-у^ЩЕ'*> Е* = 7Т^Е/> C3а)
Я=0, Н=-^
=0, Н
У Р-о jxoca -|Л 1 _ pa
dQ. = dQ'y 1— P2 (сокращение Лоренца). C3.26)
Тогда из C2.2) получим
Gv = v7 Г {E'l + Е'Ъ dQ'. C3.3)
В системе х', у', z' электрическое поле Е' сферически сим-
симметрично, следовательно
( Е'* dQ'=j Б'* dQ' = J E'ldQ' = ^f E/2 dQ'. C3.3a)
To же справедливо и для распределения заряда. Проще
всего представить себе заряд е равномерно распределенным
по поверхности сферы радиуса а („радиуса электрона").
Тогда [ср., например, G.6а)] будем иметь
С 0 для г < а,
\ C3.36)
ДЛЯ г^>а

§ S3. Электромагнитная теория электрона 379
откуда
оо
E'4Q' = 4tz JE'2rr2dr = -^ J ^. = -f_r-. (ЗЗ.Зв)
ueo 0 nEoa
Тогда из C3.3) и C3.3а) будет следовать
It 9 P'i /?2 ?l
Gx= t^==--—-Y-= a д 9_ . C3.4)
Легко убедиться и в том, что
0^ = 02 = 0, C3.4а)
как и следовало ожидать при сферической симметрии в
штрихованной системе х'', yf, z'. Именно, если образовать
аналогичное C3.2) выражение
1 г 1 г
и снова использовать C3.2а), C3.26), то получим
поскольку в случае сферически симметричного поля ком-
компоненты Ех' и Еу пропроциональны х' и у', а произведение
х'у' обращается в нуль при интегрировании по сфере.
Мы можем объединить выражения C3.4) и C3.4а)
ч записи
= mv, m= лП &.. C3.5)
Итак, мы обнаруживаем, что введенная здесь масса m за-
зависит от скорости по уже известному нам из § 32 закону.
Для массы покоя т0 мы получаем из C3.4) значение
Заметим, что эта формула правильна с точки зрения раз-
размерностей, т. е. не зависит от выбора единиц заряда Q
и длины L. Множитель е0, полагаемый в гауссовой системе
равным 1, с нашей точки зрения, опустить нельзя: если бы

380 Гл. III. Теория относительности и теория электрона
мы исключили его, то пришли бы к формуле, бессмысленной
с точки зрения размерностей.
Однако прежде чем переходить к численным значениям,
нужно обсудить смысл выражения C3.5). Легко понять, что
смысл этого выражения состоит в сохранении полного им-
импульса в системе „электрон~\-поле.и Действительно, пока
электрон покоится, его поле не обладает импульсом. Следо-
Следовательно,
"электрона ~| "поля — U /¦ уоо.1)
По мере того как электрон приводится в движение, он по-
получает импульс в направлении движения; в окружающем
его поле возникает при этом равный, но противоположно
направленный импульс. Итак, соотношениеC3.7) сохраняется,
поскольку G в C3.5) означает то же, что и-f-ОЭЛектрона
в C3.7). Таким образом, импульс электрона получает чисто
электромагнитное объяснение. Релятивистская механика
и релятивистская электродинамика смыкаются друг
с другом.
Из C3.6) непосредственно видно, что предельный пере-
переход а —> 0 невозможен: он привел бы к т0 —> оо и к е[т0 —> 0.
Чтобы определить численную величину а, нам нужны экспе-
экспериментальные значения е и е/т0. В системе MKSQ (Q = 1 /с)
они составляют:
е= 1,60 • КГ19*, — = 1,76 • 1011 к/кг, C3.8)
т0
откуда
wo^O,9- 1(Г30 кг. C3.8aj
Тогда C3.6) приводит при использовании G.18а) к величине
2 Ф 2 е* м-кг 2 A,60 • 10~19J о 1n-i3
а = = —— ^г-м^2-\0 см.
3 4тсе0с2/и0 3 Wm0 к2 3 0,9.10э
C3.9)
Итак, мы получили субатомную длину того же порядка
величины, что и размеры ядер.
1) Здесь автор имеет в виду внешнее электростатическое поле.
Очевидно, что в системе, где электрон ранее не покоился G^eKTp0Ha +
+ °внеш. поля = const =? °- — Прим. ред.

§ S3. Влектромагкитая теория элёкгрона 381
Допущение о поверхностно-заряженном электроне в пре-
предыдущем изложении было, конечно, совершенно произвольным;
с равным правом мы могли бы принять какое-либо другое
распределение заряда, например допустить, что заряд элек-
электрона е равномерно распределен по объему шара.
Если бы мы обозначили его радиус снова через а, то
получили бы1) вместо C3.36)
[ er
ДЛЯ
(зз.ю)
для г>а-
а вместо C3.Зв)
(а
| Г
г» |
C3.10а)
При вычислении G в C3.4) возник бы тогда дополнительный
множитель 6/б, так что мы получили бы вместо C3.6)
^. C3.106)
При этом порядок величины найденного в C3.9) значения,
конечно, не меняется.
Более важным является следующее замечание. Кто
гарантирует нам, что уравнения Максвелла можно экстра-
экстраполировать вплоть до поверхности или даже внутренних
точек электрона? Не обусловлена ли их линейность и про-
простота тем, что они справедливы лишь для слабых полей,
а в непосредственной близости к концентрированным заря-
зарядам должны быть исправлены добавлением высших членов,
подобно тому, как обстоит дело для теории разбавленных
растворов в физической химии? Мы вернемся к такой по-
постановке вопроса в § 37. Здесь же будет достаточно отме-
отметить, что во всяком случае вычисленная зависимость массы
от скорости, поскольку мы смогли вывести ее в § 32 из
1) Верхняя строка C3.10) следует просто из того, что элементы
заряда, расстояние которых от центра г <^а, можно объединить
мысленно в центре шара, в то время как те, для которых /¦>().
ничего не вносят в значения напряженности поля.

382 Гл. 111. Теория относительности и теория электрона
общих принципов релятивистской механики, не может быть
поколеблена подобной критикой и что последняя может
относиться поэтому лишь к проведенному вычислению значе-
значения ш0, которое все равно не может быть проверено на
опыте вследствие того, что в него входит гипотетический
радиус электрона. Проведенный в § 32 вывод зависимости
массы от скорости связан, как и все результаты специаль-
специальной теории относительности, исключительно с тем предпо-
предположением, что участвующие в рассмотрении относительные
движения близки к равномерным. В нашем случае мы выра-
выразим это требованием, чтобы движение электрона было бы
квазистационарным. Под этим мы будем иметь в виду то
условие, что изменение скорости электрона за малое время,
которое требуется свету, чтобы пересечь электрон (т. е.
за время 2а/с), должно быть малым по сравнению с v.
Иными словами, мы требуем, чтобы
юЦ<^ю. C3.11)
Этому условию удовлетворяют электронные трубки всех
конструкций.
Возвращаясь к формуле C3.6) для массы покоя, отметим
еще, что ее можно получить следующим совершенно эле-
элементарным способом. Рассмотрим медленно движущийся
электрон. Его масса равна массе покоя т0, а кинетическая
энергия
T^^v2. C3.12)
Если мы хотим приписать ей электромагнитную природу,
то мы должны приравнять ее магнитной энергии поля,
поскольку электрическая энергия поля для малых скоростей
постоянна, т. е. не пропорциональна v2. Итак, полагаем
Т=Ц j U2dv. C3.12a)
Для Н мы можем использовать его значение A5.12) из за-
закона Био и Савара:
Иev

§ 33. Электромагнитная теория электрона . 383
Тогда для поверхностного заряда получаем
оо те 2к
О О
Три последних интеграла равны соответственно
—, — и 2тг.
а 3
Таким образом,
7=§^!. C3.13)
Сравнение с C3.12) приводит к
0 6я а
что при ео[лос2=1 действительно совпадает с C3.6).
После того как энергия движущегося электрона оказа-
оказалась таким образом сведенной к магнитной энергии окру-
окружающего поля, мы могли бы, быть может, ожидать, что
его энергия покоя будет отвечать электростатической
энергии кулонова поля. Мы получим для нее, опять ис-
используя простейшую модель поверхностного заряда,
оо
? — -^ Г F2 dv — ^- 4тг Г F2r* И г
г = а
или, согласно C3.Зв),
^стат. =F-g~-• C3.14)
Вопреки этому результату и согласно принципу эквивалент-
эквивалентности, энергия покоя нашего электрона
Итак, только 3/4 этой энергии электростатического
происхождения; остающаяся 1/А должна быть обусловлена
взаимодействиями, лежащими за пределами теории Макс-
Максвелла.
Электрон, как мы уже говорили на стр. 327, является
чужаком в электродинамике. Силы, препятствующие его

384 fn. Hi. Теория относительности и теория s
взрыву под действием кулоновых сил, неизвестны нам,
как и вообще теория элементарных частиц. Пуанкаре *) уже
в 1906 г. ввел поверхностное давление неизвестного проис-
происхождения, которое должно было действовать на электрон
со всех сторон, как равномерно натянутая пленка; в этом
давлении должна была скрываться недостающая четверть
энергии покоя. Гипотеза твердого электрона теории абсолют-
абсолютного эфира могла перенести это давление на движущийся
электрон. Однако ей не удалось достигнуть чисто электро-
электромагнитного описания электрона, поскольку уже допущение
недеформируемости противоречит теоретико-групповой при-
природе электродинамики Максвелла, требующей, как мы знаем,
со своей стороны деформируемого электрона Лоренца.
Вообще мы не должны скрывать от себя, что наша
электродинамическая теория электрона является весьма не-
неполной. Уже в продолжение 20 лет мы знаем, что, кроме
заряда, у электрона есть еще и вполне определенный
спин и вполне определенный магнитный момент. Обе эти
величины недоступны классической электродинамике и под-
поддаются лишь квантовомеханическому определению. Тайна
спина была впервые раскрыта при тщательном анализе
эффекта Зеемана; тайна магнитного момента лежала, соб-
собственно, как мы знаем теперь, совершенно на поверхности
и, как на ладони, проявлялась в явлениях ферромагнетизма.
Весьма знаменательно, что практическая электроника совер-
совершенно не затрагивается этими двумя фундаментальными
обстоятельствами и вполне удовлетворяется представлением
о заряженных материальных точках.
Этими практическими применениями электронной теории
мы займемся в задачах III.5—ШЛО в конце книги. Разно-
Разнообразные траектории электронов в электронных вакуумных
приборах были использованы в опытах по определению ejm,
которые привели к первым выводам относительно природы
электрона; эти траектории являются в некотором роде про-
простейшим и наиболее ясным примером механики отдельной
материальной точки.
1) Н. Poincare, Rendiconti di Palermo, 21, 129 A906).

Глава IV
ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ
И ДРУГИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
§ 34. УРАВНЕНИЯ МИНКОВСКОГО
ДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД
Обобщение теории Максвелла с покоящихся на движу-
движущиеся среды составляло основную проблему прежней элек-
электродинамики. На этой проблеме потерпел крушение Герц,
пытавшийся последовательно стоять на точке зрения клас-
классической теории („преобразований Галилея"). Его другу
Эмилю Кону *) удалось продвинуться несколько дальше,
однако и он не владел еще (в 1902 г.!) могущественным
оружием преобразований Лоренца. Сам Лоренц в своей
статье в энциклопедии A903 г.) еще не придал теории
окончательной формы, в особенности для магнетиков. Эйн-
Эйнштейн назвал свою работу 1905 г. „К электродинамике
движущихся тел", желая выразить основную цель построен-
построенной им теории относительности; однако в этой работе он
не вдается в общую структуру уравнений для весомых тел,
ограничиваясь скорее вопросами, относящимися к одному
электрону. Только Минковский 2) в 1908 г., т. е. после
победы принципа относительности, полностью разрешил эту
проблему.
Ход рассуждений Минковского очень прост. В лаборатор-
лабораторной системе справедливы уравнения Максвелла для неподвижной
среды. Рассмотрим некоторую пространственно-временною точ-
точку движущегося 3) относительно лабораторной системы, отно-
1) Е. Cohn, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 74 A901); Ann. d.
Phys., 7, 29 A902).
2) G. M i n k о w s k i, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 53 A908);
Ges. Werke, Bd. II, S. 352.
3) Движение может быть переменным в пространстве и времени
и должно лишь быть квазистационарным в смысле C2.9). Скорость v
не должна также быть скоростью чистой трансляции и тело не
обязано быть твердым. Для дальнейших преобразований Лоренца
существенно лишь одно значение скорости v в пространственно-
временной точке Р.
25 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

386 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
сящуюся к моменту времени t (измеренного в лаборатории);
пусть скорость этого тела равна v. Теперь трансформируем
точку Р к покою, т. е. вводим для описания процессов
в окре:тности Р, t координаты x',y',z',t'. В этой системе
для величин Е', В', D', Н', У и р' снова должны выполняться
уравнения Максвелла для покоящейся среды:
divD' = p/, divB' = 0,
однако с материальными постоянными, отличными от ваку-
вакуумных:
D' = eE', В' = уН', j' = oE'. C4.2)
Эти постоянные должны иметь те же значения, что и в
случае, если бы тело покоилось в лаборатории, поскольку
оно ведь „ничего не знает" о своем движении. Обозначения
rot и div C4.1) относятся, естественно, как и время t',
к штрихованной системе. Теперь надо совершить обратное
преобразование, которое перевело бы штрихованную систему
обратно в первоначальную лабораторную. В этой системе,
согласно основному свойству уравнений Максвелла — их
ковариантности относительно преобразований Лоренца,—
снова будут справедливы уравнения C4.1); в которых
у всех величин будут опущены штрихи. Однако мате-
материальные уравнения C4.2) принимают при переходе к не-
штрихованной системе другую форму.
Из уравнений B8.8а) и B3.11) м,[ знаем связь между
Е' В' и Е В:
b;=(b->ei)u,
где значки || и J_ означают, как и ранее, „параллельно"
и „перпендикулярно" к направлению скорости v. Установим
соответствующую связь между D', Н' и D, Н. Согласно
определению шестивекторов
/=(Н, —icD) и . F=(cBf —/Е),

§ 34. Уравнения Минкдвского для движущихся сред 387
искомые соотношения получаются из C4.3), если заменить
в них Е на cD и В на Н/с. Мы имеем
-L V Yl-P /± C4.4)
h;=(h-[vD])u, Н'^
и v J/ii L
Подстановка C4.3) и C4.4) в C4.2) приводит не только
для продольных, но и для поперечных компонент (для кото-
которых знаменатели |/"l — (З2 с обеих сторон сокращаются)
к соотношениям
1 C4.5)
В— i[vE] = |i(H—[vD]).
С
Здесь можно еще исключить, например из первого уравнения,
величину В, воспользовавшись вторым уравнением, и выра-
выразить тем самым D только через Е и Н 1) или, наоборот,
получить выражение для В путем соответствующего исклю-
исключения D. Возникающие уравнения упрощаются, если написать
их отдельно для продольных и поперечных составляющих:
Dl=eEyf BB=fiH||, C4.5a)
Нам нужно дополнить теперь оба первых уравнения C4.2)
третьим уравнением—„законом Ома для движущихся сред".
Как связаны друг с другом У и j? Из B6.6) мы знаем,
что j представляет собой пространственную часть 4-век-
тора Г, временная часть которого есть /ср. С другой сто-
стороны, мы знаем, что каждый 4-вектор преобразуется как
1 1) При этом нужно воспользоваться преобразованием [А [ВС]] =
= В (АС) — С (АВ) и соотношением eo[J-oC2 = 1. Заметим, что, согласно
C4.5а) и C4.56), совпадение направлений между D и Е и между
В и Н не имеет более места даже в изотропных средах.
25*

388 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
радиус-вектор х1г х2, х3, xv Итак, при специальном преоб
разовании Лоренца (v || х)
Поэтому при произвольном направлении движения
1 ' '
второе из этих уравнений можно переписать также в виде
J1 = 0 — pv)^, C4.6а)
поскольку по определению vj^ = 0.
При таком значении j' и при Е' из C4.3) наш закон
Ома принимает вид
Эти два уравнения также можно объединить вместе, правда,
путем несколько искусственного приема. Мы используем
при этом обозначения, встречающиеся в литературе, которые
пригодятся нам и в дальнейшем 1):
E* = E + [vB], H* = H — [vD]; C4.8)
тогда мы сможем написать вместо C4.7)
Действительно, поперечная составляющая этого уравнения
совпадает, если учесть, что у^ = 0, непосредственно со
*) Здесь звездочка не имеет, конечно, ничего общего с анало-
аналогичным обозначением, которым мы пользовались ранее для дуальных
шестивекторов.

§ 34. Уравнения ЬЛинковдкого для движущихся сред 389
вторым из уравнений C4.7). С другой стороны, поскольку
vE* = vE\ , продольная компонента C4.9) дает
и
° Е*,A—В*),
что опять-таки совпадает с первым из уравнений C4.7).
Мы будем называть
Ji=J — pv C4.9a)
„током проводимости".
Уравнение C4.9) указывает на то обстоятельство, что
конвекционный ток pv и ток проводимости ]г перепле-
переплетаются друг с другом и что различие между ними зависит
от точки зрения наблюдателя. Основой этого является,
конечно, четырехмерное объединение j и pv в 4-вектор Г.
Точно так же, как для шестивектора F различие между его
электрической и магнитной частями зависело от „направления
взгляда" наблюдателя (ср. стр. 334), так и теперь при
изменении точки зрения к току проводимости }г добавляется
временная компонента icp 4-тока Г и связанный с ней кон-
конвекционный ток pv. Этот последний вызывает такое же
магнитное поле, как и ток проводимости.
Это утверждение следует уже из открытого еще в 1878 г.
эффекта Роуланда. Так как в этом эффекте речь идет
только о движущемся заряде и член проводимости в C4.9)
поэтому пропадает, то здесь магнитные действия оказывает
только конвекционный ток, который один стоит на месте j
в соответствующем уравнении Максвелла.
Это побуждает нас спросить, оказывают ли магнитное
действие „свободные заряды" *), возникающие на поверхности
однородного диэлектрика при помещении его в электриче-
электрическое поле, если диэлектрик приводится в движение? Это
!) Мы избегали пока этого термина (как избегал его и Рентген,
определенно называвший свою диэлектрическую пластинку незаря-
незаряженной), поскольку „свободный заряд" является с точки зрения
размерностей не зарядом, а дивергенцией напряженности поля
(ср. стр. 67); в нашем случае он является поверхностной диверген-
дивергенцией напряженности электрического поля. [Автор применяет здесь
термин „свободный заряд", который в нашей литературе имеет
другой смысл (см. примечание на стр. 11). В этом параграфе он
переводится словами «индуцированный заряд >.— Прим, ред.]

390 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
побудило Рентген! к постановке его фундаментального опыта1).
Диэлектрическая пластина помещается в плоский конденсатор
параллельно его обкладкам и перемещается перпендикулярно
к силовым линиям электрического поля (в осуществленном
опыте пластинка вращается вокруг перпендикулярной к об-
обкладкам оси). Вызывает ли такое движение появление ма-
магнитного поля? Рентген смог ответить на этот вопрос
положительно, что дало Лоренцу повод назвать эквивалент-
эквивалентный такому движению ток „током Рентгена". Его величина,
согласно позднейшим опытам и вычислениям Эйхенвальда 2),
составляет при описываемых условиях опыта
R = v(e —so)?o = vP0. C4.10)
При этом предполагается, что пластина сделана из нема-
немагнитного материала (и = }х0) и что ее движение можно рас-
рассматривать как параллельное перемещение со скоростью v;
Ео означает напряженность поля в заряженном конденсаторе,
Ро — соответствующую поляризацию пластины, причем ин-
индекс 0 указывает, что обе эти величины относятся к покоя-
покоящейся пластине. Поскольку индуцированный заряд сконцен-
сконцентрирован на поверхности диэлектрической плктины, то и
ток Рентгена R является поверхностным током — он не
течет ни в воздушной щети, ни внутри пластины, а только
на их границе. Как и у тока Роуланда, его направление
совпадает с направлением скорости v.
Mj хотим показать, что C4.10) следует из C4.5а) и
C4.56), если пренебречь в этих соотношениях C2 = (и/сJ
(что, естественно, полностью оправдано для реально воз-
возможных условий наблюдения) и положить и = {х0, а также
использовать в правой части значения Е и Н для покоящейся
1) W. С. R б n t g e п, Ann. d. Phys., 35, 264 A888). В качестве
дополнения к этой работе Рентген сообщает об отрицательном
результате опыта с укрепленным на вращающемся подвесе конден-
конденсатором, который ориентировался им относительно движения Земли
таким образом, чтобы „эфирный ветер" проходил бы сквозь обкладки
конденсатора. Вызывает ли этот эфирный ветер магнитное поле,
которое должно было бы привести к отклонению конденсатора?
С нашей сегодняшней релятивистской точки зрения отрицательный
результат опыта самоочевиден; Более тонкая постановка того же
опыта стала впоследствии известна как знаменитый опыт Траутона
и Нобла.
2) А. Эйхецвальд, Ann. d. Phys., H, 1, 241 A903).

§ 34. Уравнения Минковского для движущихся сред 391
пластины, т. е. Е | =Е0, Е,,=0, Н =
чаем D ц = В и =0,
О = О. Тогда полу-
полуD = D± = еЕ0, В = В± = у0 (e0 — в) [vE0].
Рассмотрим схематический чертеж (фиг. 43), на котором
нижняя заштрихованная часть означает диэлектрическую пла-
пластинку, а верхняя — воздушный зазор конденсатора; пло-
плоскость чертежа перпендику-
перпендикулярна к скорости v (на Обкладка конденсатора
фиг. 43 вектор v направлен
за плоскость листа). Вычис-
Вычислим интеграл от Н = В/
по изображенному стрел-
стрелками прямоугольному кон-
контуру; ориентация последне-
последнего относительно v соответ-
соответствует правому винту. Век-
Вектор Н направлен как вектор-
векторное произведение [vEq], так
же, как ориентирована верх-
верхняя сторона прямоугольни-
прямоугольника а, однако обращается в
нуль на этой стороне, равно
как и на боковых сторонах Ь,
вследствие е = е0. Таким образом, остается только инте-
интеграл по нижней стороне контура, где направление обхода
противоположно направлению Н:
= — a(e0 — e)|[vE0]|.
Эта циркуляция вектора Н должна быть равна протекающему
сквозь контур поверхностному току, изображенному на схеме
жирной средней линией прямоугольного контура. Если мы
назовем плотность поверхностного тока через R, то ток
через наш контур составит #R. Следовательно,
Диэлектрическая пластинка
Фиг, 43. К объяснению тока Рент-
Рентгена. Плоскость чертежа перпенди-
перпендикулярна к направлению движения
диэлектрической пластинки и об-
обкладкам конденсатора. Ток Рент-
Рентгена локализован на поверхности
пластинки; часть этой поверхности,
окруженная контуром a, b, a, b,
изображена жирной линией.
R = (в — в0) \Е0 =
C4.10а)
где запись через вектор v указывает на положительное на-
направление плотности тока R (на фиг. 43 этот ток также

392 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
направлен за плоский лист). Тем самым выражение C4.10)
подтверждено.
Особый интерес представляют собой те опыты Эйхен-
вальда, в которых диэлектрическая пластина и обе обкладки
конденсатора вращались как целое вокруг нормали к ним,
так что к току Рентгена мР на пластине добавлялся кон-
конвекционный ток обкладок конденсатора (поверхностная плот-
плотность w = .D), задаваемый выражением vD. Поскольку
векторы D и Р отличны друг от друга, то и в этом слу-
случае, несмотря на противоположные знаки токов Рентгена и
Роуланда (знак заряда на обкладке конденсатора противо-
противоположен знаку индуцированного им поверхностного заряда
на пластине), сохраняется некоторое результирующее маг-
магнитное поле. (Такой вывод расходится с прежней теорией
Герца.) Относительно этого остаточного магнитного поля
Эйхенвальд определенно говорит: „Магнитное действие не
зависит от материала диэлектрика" (см. стр. 331 в упомя-
упомянутой выше работе Эйхенвальда). Действительно D — Р =
= е0Е совпадает с вакуумной частью D, для которой соб-
собственно не подходит название „диэлектрическое смеще-
смещение", но которая особенно характерна для теории Макс-
Максвелла и ее оптических приложений.
Упомянем теперь о своего рода обращении опыта Рент-
Рентгена -¦—опыте Вильсона1): между обкладками незаряженного
плоского конденсатора располагается диэлектрический ци-
цилиндр, помещенный в однородное магнитное поле, которое,
как и ось цилиндра, ориентировано параллельно обкладкам
конденсатора. Если привести теперь цилиндр во враще-
вращение, то конденсатор заряжается.
Мы точно следовали пока Минковскому и надеялись сде-
сделать при этом еще прозрачнее и нагляднее превосходное
изложение Паули в статье в Энциклопедии2). Теперь мы
хотим воспользоваться методом, примененным в статье
Лоренца (также в Энциклопедии), математические фор-
формулировки которого близки работам Герца A891 г.)
1) Н. A. Wilson, Phylos. Trans. Roy. Soc, London, 204, 121
A904); ср. также H. A. W i 1 s о n, M. Wilson, Pros. Roy. Soc, 89,
99 A913).
2) W. P a u 1 i, Relativitatstheorie, Encykl. d. math. Wiss., Bd. V2,
Heft. IV, Art. 19 A921). (См. перевод: В. Паули, Теория относи-
относительности, М. — Л., 1947.—Прим. ред.)

§ 34. Уравнения Минковского для движущихся сред 393
и более старым работам Гельмгольца. Для этого мы введем
в относящихся к нашей лаборатории, т. е. написанных без
штрихов, уравнениях C4.1) в правой части вместо Е и Н
введенные в C4.8) величины Е* и Н* и получим
¦^ = —rotE*H-rot[vB],
C4.11)
Последние члены в правых частях мы перенесем налево и
учтем дополнительные условия C4.1):
divB = 0, divD = p. C4.11a)
Мы сможем написать тогда вместо C4.11)
rot[vB]= — rotE*,
C4.116)
¦ + v div D — rot [vD] -\-J — pv = rot H*.
Стоящие в левых частях последних формул комбинации уже
встречались нам в т. II (Механика деформируемых сред),
формула A8.7в). Мы нашли там в качестве „потока век-
вектора А через элемент поверхности do" (где А — произволь-
произвольный вектор, a do — элемент поверхности, который движется
с меняющейся от точки к .точке скоростью v и может при
этом и сам меняться по форме и величине) выражение
A (Ande) = d-h _j_ v div A — rot [vA]n do.
Мы используем теперь введенное Лоречцем сокращенное
обозначение1)
А =-^4-vdiv A— rot[vA]. C4.12)
Тогда предыдущее выражение перейдет в
4-AAnda) = Anda, C4.12a)
dt -—
!) Ср. Н. Lorentz, Encykl. d. math. Wiss,, Bb. Ys, 75, урав-
уравнение E).

394 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
или, если переписать его для конечной поверхности а,
nda. C4.126)
Мы получим тогда избранную Лоренцем и Паули вместо
C4.116) основную форму уравнений Максвелла — Мин-
ковского в движущихся (однако наблюдаемых из нашей
неподвижной лаборатории) телах
В= —rotE*. j
- } C4.13)
_D + J—pv = rotH*. j
Преимущество такой формы записи состоит в возмож-
возможности непосредственно перейти к интегральным соотношениям:
С Bnd? = — |(E*ds),
J Cndo = — (p (H*rfs), ^=D + j —pv.
В левой части интегрирование выполняется по движущейся
со скоростью v поверхности, в правой части — по ее гра-
границе s, причем направление обхода контура s и направление
нормали п к о связаны правилом правого винта. Вспоминая
примечание 3 на стр. 385, согласно которому скорость v
могла быть произвольной, видим, что а и s можно считать
соединенными с произвольно движущимся и деформируемым
телом. Мы пришли, таким образом, к формулировке, теснее
всего связанной с предыдущими аксиомами C.3) и C.4) из
§ 3 и являющейся их непосредственным обобщением. Только
теперь, в этом обобщенном смысле, они будут применимы
к обсуждавшимся еще в § 3 явлениям индукции при движе-
движении проводников или магнитов.
Из уравнений C4.14) следуют (и притом таким же обра-
образом, что и в § 3 для покоящихся сред) граничные условия
для движущихся тел. Эти условия требуют непрерывно-
непрерывности тангенциальных компонент Е* и Н*, равно как и
нормальной компоненты В. При этом следует заметить,
что входящую в Е* и Н* скорость v следует рассматривать
как постоянную, характеризующую преобразование Лоренца
(с помощью которого мы преобразуем к покою точку Р
движущегося тела). Поэтому следует считать, что v

§ 34. Уравнения Минковского для движущихся сред 395
принимает одинаковые значения по обе стороны поверхности
раздела или в крайнем случае изменяется при переходе через
границу раздела, но с сохранением непрерывности.
Иначе обстоит дело, когда v терпит разрыв, переходя
от значения 0 в лаборатории к значению v в движущемся
твердом теле. В частности, мы рассмотрим важный для
объяснения явления униполярной индукции случай, когда
поле стационарно (d/dt = O), а поверхность тела скользит
сама по себе со скоростью v(v = v8). Покажем, что тогда
должны сохранять непрерывность при переходе границы
раздела не тангенциальные компоненты векторов Е* и Н*,
а непосредственно тангенциальные компоненты (измерен-
(измеренные в лаборатории) векторов Е и Н.
Заметим предварительно, что оба сопоставляемых усло-
условия приводят к одному результату для тангенциальных
компонент Е и Н, параллельных скорости v [в силу смысла
векторного произведения в C4.8)], но для всех других тан-
тангенциальных компонент, особенно для перпендикулярных
к скорости, эти условия действительно противоречат друг
другу.
Рассмотрим теперь, как и на фиг. 3, прямоугольный
контур Д^Д/г, который первоначально расположен перпен-
перпендикулярно к поверхности раздела. Теперь он будет иска-
искажаться, так как его параллельная поверхности раздела сто-
сторона, лежащая внутри тела, будет перемещаться, в то время
как расположенная в вакууме противоположная сторона
останется на месте. Тогда В (поскольку dB/dt = 0 и div В = 0)
будет, согласно C4.12), равна—rot[vB] и интеграл в левой
части уравнения C4.14) можно будет преобразовать с по-
помощью теоремы Стокса
— / rotn [vB] do = — (J) [vB] rfs,
так что он, вообще говоря, не будет равен нулю, как это
имеет место для постоянного или непрерывно меняющегося v.
С другой стороны, интеграл в правой части того же
уравнения, взятый по тому же искаженному контуру, в силу
значения Е* будет равен
— ф Е rfs — ф [vB] ds.

396 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
Приравнивая оба эти выражения, получаем условие
ds = 0. C4.15)
Это есть условие непрерывности Es, как и в нашем преж-
прежнем результате C.9).
Та же выкладка, примененная ко второму из уравне-
уравнений C4.14), приводит (поскольку dD/dt = 0 и div D = р) к
С = vp — rot [vD] + j — pv = — rot [vD] + j;
тогда для интегралов в левой и в правой частях второго
уравнения C4.14) мы получаем
— ф [vD] rfs + Г jnda и Ф Н ds — ф [vD] ds.
Приравнивая эти выражения, находим
J /„ do = J H ds.
Если избавиться здесь, как и при получении C.8), от поверх-
поверхностного интеграла от j, выполняя предельный переход
Д/г —>0, то получим
&ds = 0, C4.15а)
т. е. условие непрерывности Н8.
На этом можно закончить рассмотрение граничных усло-
условий для выбранного нами частного случая, когда поверх-
поверхность раздела скользит сама по себе.
То, что излагаемая теория оказывается существенной не
только для больших скоростей, специфических для теории
относительности, видно уже из существования токов Роу-
ланда и Рентгена. То же выясняется и при рассмотрении
знаменитой еще со времен Араго и Фарадея проблемы уни-
униполярной индукции. Посвященная ей литература чрезвы-
чрезвычайно обширна и ни в коем случае не свободна от проти-
противоречий, поскольку мы имеем тут дело с точными законами
электродинамики движущихся тел. Мы ограничимся здесь
качественным рассмотрением, откладывая количественное до
решения задачи IV. 1 в конце книги. Кроме того, мы будем
интересоваться в основном возникающими при этом полями,

§ 34. Уравнения Минкоёского для движущихся сред 397
следовательно пропустим вытекающие из них движения,
которые реализуются в многообразной аппаратуре и пред-
представляют основной интерес при экспериментальном изу-
изучении.
Если вращать магнит, закрепленный так, что он может
поворачиваться вокруг своей оси, то, вообще говоря (это
значит при не вполне однородной намагниченности), в нем
возникают индукционные токи („вихревые токи"). Их можно
отвести на неподвижную в пространстве проволоку, при-
присоединив, например, один из ее концов с помощью щетки
к середине магнита, а второй—к подшипнику, на котором
покоится один из концов оси магнита. Так как при этом
действует только ближайший к этому концу полюс магнита,
то говорят об „униполярной индукции". Такое расположе-
расположение использовалось не только в лабораторных опытах, но
в течение некоторого времени и в больших масштабах для
создания динамомашин.
Мы упростим постановку вопроса, если отделим провод-
проводник тока от создающего магнитное поле тела. Можно пред-
представить себе, например, медный диск, расположенной между
полюсными наконечниками электромагнита. Известно, что
такой „диск Фарадея" можно раскалить джоулевым теплом
вихревых токов, если поддерживать его вращение; если же
дать ему просто вращательный импульс, то он очень быстро
затормаживается магнитным полем. Однако так обстоит дело
только в случае неоднородного поля, что обычно и имеет
место на опыте, когда диск выходит за пределы внутрен-
внутренней однородной части поля полюсных наконечников. Мы
предположим, чтобы иметь дело с вполне определенной и
легко разрешаемой задачей, что магнитное поле однородно
повсюду и что в него помещен металлический стержень, ось
которого перпендикулярна к направлению поля, и будем
считать, что он равномерно движется в направлении своей
оси. Это приведет к тому, что поверхность стержня заря-
зарядится, но внутри него не будет выделяться никакого джоу-
лева тепла, поскольку ток проводимости всюду равен нулю;
при этом, естественно, равен нулю и полный заряд поверх-
поверхности. Внутреннее и наружное поля будут непрерывно пере-
переходить друг в друга, однако нормальная составляющая
градиента в соответствии с наличием поверхностных зарядов
будет претерпевать разрыв. Внутреннее поле направлено

398 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
перпендикулярно к оси стержня; его легко определить для
любой конкретной формы поперечного сечения.
В противоположность внутреннему полю поле вне стержня
нельзя найти непосредственно; его определение требует ре-
решения краевой задачи, поскольку потенциал вне стержня
должен непрерывно переходить в известные из решения
внутренней задачи значения на поверхности стержня. В ча-
частном случае круглого стержня краевая задача легко решается
(см. задачу IV. 1 в конце книги).
Одновременно с внутренним полем определяется и напря-
напряжение между двумя произвольными точками поверхности.
Если мы используем это напряжение с помощью скользящих
контактов для получения тока во внешней цепи, то внутренность
стержня не будет более свободной от тока; описанное здесь
внутреннее поле тогда ослабевает.
Кроме электрического поля, возникает также и статическое
магнитное, обусловленноетокамиРоуланда на поверхности стер-
стержня, но оно оказывается, естественно, очень слабым по сравне-
сравнению с первоначальным индуцирующим полем, и им можно
пренебречь.
Наше описание относится, конечно, к наблюдателю, по-
покоящемуся в лаборатории; для наблюдателя, движущегося
вместе со стержнем, электрическое поле внутри стержня
равно нулю. ,
При действительном осуществлении эксперимента стер-
стержень заменяется металлическим телом вращения и посту-
поступательное движение заменяется вращением вокруг его оси
симметрии. Связанная с этим математическая трудность будет
также отмечена в задаче IV. 1.
§ 35. ПОНДЕРбМОТОРНЫЕ СИЛЫ И
ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Мы возвратимся к § 31 и обобщим теперь введенные
там для вакуума понятия на тела с произвольными е и [i,
которые мы будем, однако, считать однородными и изот-
изотропными, хотя для изучения электро- и магнитострикции
как раз анизотропные тела и представили бы наибольший
интерес. Кроме того, мы можем предположить его „покоя-
„покоящимся", поскольку для вопросов, которые мы собираемся
обсудить, всегда можно воспользоваться системой отсчета,
движущейся вместе с этим телом.

§ 35. Пондеромоторные силы и тензор энергии-импульса 399
Введенные нами ранее в § 26 определения
F = (cB, —/Е), /=(Н, —icD), Г = (У. ^Р), C5.1)
равно как и уравнения Максвелла в использовавшейся там
дифференциальной форме
Div/* = 0, Div/=r, C5.1a)
сохраняют свою справедливость. Действительно, легко убе-
убедиться в том, что фигурирующие в C5.1) множители с воз-
возникают не из вакуумных постоянных е0 и ;j0, а из соотношения
между четвертой координатой и временем x4:=^ict, которое
является универсальным релятивистским соотношением, спра-
справедливым для всех материальных сред.
Однако соотношение
между двумя шестивекторами поля следует заменить теперь
на соотношение
f^l Г-
I e0 J
в котором верхняя строка относится к пространственно-про-
пространственно-пространственным, а нижняя—к пространственно-временным
компонентам / и F.
I» Действительно, только при условии такого изменения мы
получим требуемые соотношения между напряженностями
полей и индукциями, поскольку сравнение C5.1) с C5.2а)
дает
Н = —|/ — сВ, следовательно, Н = —
и
— icD = — т/ 3. (— /Е), следовательно, D == еЕ.
Из C5.2а) мы видим, что простая пропорциональность C5.2)
между / и F, которая была свойственна вакууму, переходит
для весомых тел в зависимость типа своего рода вектор-
функции с двумя различными множителями пропорциональ-
пропорциональности для пространственно-пространственных и простран-

400
Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
ственно-временных компонент. Для анизотропных же тел
здесь появится гораздо более общая вектор-функция (ср.
стр. 52), содержащая 12, вообще говоря, различных ма-
материальных постоянных.
Исходя из применимого во всех случаях представле-
представления C1.1) для силы Лоренца, мы можем убедиться, рассмат-
рассматривая критически каждый последовательный шаг, что все
преобразования вплоть до C1.8) сохраняются и при пере-
переходе к материальным средам, в частности, что на них не влияет
возникновение в C5.2а) различных множителей пропорциональ-
пропорциональности для электрических и магнитных величин. То же спра-
справедливо и для диагональных элементов тензора Т, так что
его шпур сохраняет свое прежнее значение
2ГПИ = О. C5.3)
То же справедливо и для недиагональных элементов Тпт,
пока пит отличны от 4. Напротив, для оставшихся эле-
элементов, например для элементов 14 и 41, мы получаем
из C1.4)
= — tc (BeDy — ByD8) =
= - ±-(EyHz-EzHy) = C5.4)
= — —S
Если заменить здесь индекс 1 на 2 или 3, то получим та-
такой же результат, в котором только Sx заменено на Sy
или Sz.
Это различное поведение двух групп элементов Тпт
(спи тф 4 по сравнению с п или т — 4) приводит к тому,
что трехмерный тензор натяжений а по-прежнему можно
писать в виде C1.10), но полный четырехмерный тензор Т
принимает несимметричную форму
о
--As
С
С е0Ц0
W
C5.5)

§ 35. Пондеромоторные силы и тензор энергии-импульса 401
Эта несимметрия приводит к опаснэШ следствиям. Из гидро-
ди (амики и теории упругости ме знаем, что несимметрич-
н ли тензор напряжений привел 6j к появлению вращатель-
н .IX моментов, недопустимых с опытной точки зрения (ср.
т. II, Механика деформируемых сред, § 8 и 10). И в слу-
случае электродинамики наш несимметричней относите 1ьно глав-
главной диагонали тензор Т приводит к вращательным момен-
моментам. Хотя они и должна быть очень мал е и практически
едва ли наблюдаемы, но их существование маловероятно.
Поэтому Абрагам предложил для тензора Т симметричное
выртжение, отличное от выражения Минковского, и Лауэ *)
присоединился к этому предложению. Оба выражения срав-
сравниваются Паули в его статье в энциклопедии (стр. 157—164
русского издания упомянутой выше книги Паули „Теория
относительности" —Ред.) с точки зрения их физических след-
следствий.
Присоединяясь снова к точке зрения Минковского, заклю-
заключаем из схемы C5.5), что четвертая составляющая прежнего
уравнения C1.3) остается неизменной и соответствует и
в материальных средах теореме Пойнтинга. Однако три
первые составляющие того же уравнения, в которое входит
измененный правый верхний угол схемы C5.5), приводят теперь
к отличному от C1.13) выражению для плотности электро-
электромагнитного импульса. В то время как в вакууме мы нахо-
находили
l
C5.6)
теперь получаем новое (но, конечно, имеющее ту же раз-
размерность) выражение
IiL C5.6а)
это следствие из теории Минковского также не является обще-
общепринятым.
Мы могли ограничиться в этом параграфе, как уже отме-
отмечалось однажды, случаем покоящихся сред. Однако с помощью
известного нам из B8.20) поведения мирового тензора Т
!) В его превосходном учебнике М. L a u e, Die Relativitatstheorie,
Bd. I Das Relativitatsprinzip der Lorentztransformation; Bd. II, Die
allgemeine Relativitatstheorie und Einsteins Lehre von der Schwer-
kraft, Braunschweig, Vieweg.
26 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

402 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
при преобразованиях Лоренца наши формулы прямо пере-
переносятся и на движущиеся тела; проблема пондеромоторных
сил была бы решена и для этого случая, если бы был уста-
установлен окончательный вид тензора Т для покоящихся сред.
Однако, как мы видим, это не удается сделать однозначным
образом; здесь проявляется недостаток математической гиб-
гибкости теории, но ни в коей мере нет повода для существен-
существенного возражения против теории относительности. С нашей
сегодняшней точки зрения, основанной на электронной теории,
можно считать, что все физические процессы протекают
в вакууме и именно при таком рассмотрении, исходя из тен-
тензора энергии-импульса, введенного в § 31, получаются
достаточно удовлетворительные и об'щие решения. Тела, под-
подверженные действию пондеромоторных сил С постоянными
значениями материальных констант е и jx, с этой точки зре-
зрения являются лишь удобными абстракциями, не имеющими
физического смысла.
§ 36. ПОТЕРЯ ЭНЕРГИИ УСКОРЕННОГО
ЭЛЕКТРОНА НА ИЗЛУЧЕНИЕ И ОБРАТНОЕ ДЕЙСТВИЕ
ИЗЛУЧЕНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА
Как мы знаем, ускоренный электрон в отличие от рав-
равномерно движущегося излучает. При движении с малой по
отношению к скорости света с скоростью v энергия, излу-
излучаемая в единицу времени, составляет, согласно A9.24),
Эту потерю энергии нужно, естественно, учитывать в урав-
уравнении движения для электрона. Чтобы учесть ее в этом
уравнении, заменим ее эквивалентной силой. Здесь речь идет
о действии ускорения в течение краткого промежутка вре-
времени от tx до t2\ до и после этого интервала, равно как и
на его границах, будем считать движение равномер ным,
т. е. v равным нулю. При краткости промежутка времени
скорость меняется лишь незначительно, так что можно по-
положить PjP^j C2рй C. Будем называть искомую силу силой
„реакции излучения" и обозначать ее через R. (Да извинит
нас читатель за использование в предыдущем изложении той

§ 36. Потеря энергии ускоренного электрона на излучение 4(K
же буквы R для тока Рентгена и еще ранее для оператора
сопротивления!). Она должна удовлетворять тому условию,
чтобы произведенная ею за промежуток времени от tx до t2
над электроном работа равнялась бы взятой с обратным
знаком потери энергии на излучение, т. е.
JKds = —fSdt. C6.2)
На основе тождества
v2 = — (v v) — vv
и нашего допущения v (tx) = v (t2) = 0 получаем
/* \t Г" Г "
v2dt = vv |(а — I vv dt = — I v as
и, следовательно, благодаря C6.1) и C6.2)
C6.3)
Отсюда в качестве простейшего выражения получаем
кроме того, можно показать, что другие совместные с
C6.3) выражения могут отличаться от C6.4) только чле-
членами меньшего порядка величины [ср. дискуссию после фор-
формулы C6.27)].
В электромагнитной системе CGS эта сила выражается,
согласно A6.30), как
О pZu
[ср. также с формулой Лармора A9.246)].
Изучим действие силы реакции излучения на простейшем
примере колеблющегося около положения равновесия элек-
электрона. Эта система, как и в § 19, может служить нам
идеализированным источником света. Будем считать, что
колебания совершаются вдоль прямой; вследствие реакции
излучения они будут затухать. Назовем мгновенную коор-
26*

¦101 Гл. iV. Теория Максвелла для движущихся Чел
динату электрона относительно положения равновесия через \
и поюжим
5 = 5о*-'»', "> = «оA + а), C6.5)
где шо = 2тс/х— круговая частота при отсутствии затуха-
затухания, х — соответствующий период колебаний, а а — компле-
комплексное число. Это число должно быть очень малым по мо-
модулю и при нашей записи выражения для I должно иметь
отрицательную мнимую часть; мы убедимся ниже в выпол-
выполнении обоих требований.
Уравнение движения для электрона принимает вид
/иЛ+Д = Я, C6.6)
где мы обозначили квазиупругую силу, каким-либо образом
прс исходящую из сил атомной связи, через—-/? и перенесли
ег налево. Мы поделим это уравнение на т0 и обозначим
— = а>2 C6.7)
и
— = -1. C6.7а)
Первое из этих обозначений следует из C6.5), согласно
которому ш0 означает собственную частоту колебаний для
R= 0, а а в C6.7а) означает, согласно C6.4), длину, рав-
равную радиусу электрона в C3.6). Уравнение C6.6) перехо-
переходит тогда в
5+<•& = -??. C6.8)
Подставляя в это уравнение выражения C6.5) и сокращая
члены шо?, находим
где X — длина волны излучаемого света; она даже в рент-
ге ювской области очень велика по сравнению с радиусом
электрона а. Поэтому в правой части можно пренебречь а.
по сравнению с 1, а в левой — а2 по сравнению с 2а. Тогда
получаем
а = —тс/у. C6.10)

§ 36. Потеря энергии ускоренного электрона на излучение 105
С точки зрения знака полученный результат согласуется
с высказанным выше предположением. В нашем приближе-
приближении а оказалось чисто мнимым, это значит, что периот.
колебаний не меняется заметно за счет реакции излученля,
аналогично тому как из A8.9г) следовало, что период
квазистационарных колебаний тока не зависел заметным
образом от сопротивления.
При подстановке C6.10) в C6.5) получаем
=е х х . C6.11)
Следовательно, амплитуда убывает в е раз за время, изме-
измеренное в периодах колебаний, равное
Л C6.12)
Тому же равно и расстояние х\\, на котором убывает
в е раз амплитуда излучаемой световой волны, если измерять
его в длинах волн X. Полагая в C6.12) Х== 4 • 10"~° см,
1Q
1Q
а-=2 • 10 см, получаем
-? = 10-', х = 400 см = 4 м. C6.12i)
Примерно того же порядка величины и так называемая
„когерентная длина" света, измеренная для избранных,
особенно резких (особенно монохроматических) линий. Абсо-
Абсолютно резких спектральных линий не существует. Каждый
прерванный или отклоненный цуг волн приводит при ана-
анализе Фурье [ср. т. VI, Дифференциальные уравнения в част-
частных производных физики, задача 1.4] к конечной спектраль-
спектральной ширине (точнее, полуширине). К тому же приводит, ес-
естественно, и эффект Допплера, вызываемый тепловыми дви-
движениями излучающих частиц и зависящий поэтому от тем е-
ратуры.
Классическая, собственная ширина линии определится
как обратная величина вычисленного в C6.12) времгни за-*
тухания t- Обозначая D-=\jt и х = ),/с, получаем
Г)- О-т-2 пС

406 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
или, если использовать значение а из C3.6),
~ * е2 !?. C6.126)
Эта классическая ширина представляет собой нижний предел
наблюдаемых ширин спектральных линий при наиболее низких
температурах (выключение эффекта Допплера) и при весьма
малых давлениях (исключение уширения из-за соударений).
Если мы используем обычно применяемые в спектроскопии еди-
единицы CGS [согласно A6.30) е2/е0=4тгс2е2 CGS эл.-магн. ед.],
то получим
Ь?е е2 Im f *«-«™- = 1>QO ' 10°' с== 3 ' 1°1°'
О = эл.-магн./ О I
3 А2 • эл.магн. __ j jq _ JQ7
I /«О
C6.12в)
Если мы положим, в частности, как это было сделано выше,
X == 4 • 10~J см, то найдем
D = 7 -\07 сек.-1. C6.12г)
Эта величина очень мала даже по сравнению с крошечной
разностью частот дублета первой бальмеровской линии
водорода
здесь Re — частота Ридберга, а. — постоянная тонкой
структуры.
Действительная ширина отдельных спектральных линий
значительно превышает, как известно, вычисленную здесь
классическую ширину; она существенным образом зависит
как от температуры и давления в разрядной трубке, так и
от времени жизни квантового состояния, из которого проис-
происходит излучение.
Сила реакции R играет важную роль в планковской
теории теплового излучения (ср. т. V, Термодинамика и
статистическая физика); здесь она определяет амплитуду,
до которой раскачивается осциллятор в состоянии равнове-
равновесия с тепловым излучением, чтобы он мог испустить квант
Света,

§ 36. Потеря энергии ускоренного электрона на излучение 407
Мы говорили пока только о медленно движущемся элек-
электроне, иными словами, определили реакцию излучения только
с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с элек-
электроном. Однако теория. относительности позволяет нам
переменить теперь точку зрения и получить выражение для
силы реакции сколь угодно быстро движущегося электрона.
То, что при этом получится результат, существенно отлич-
отличный от полученного выше выражения C6.4), видно хотя бы
из того, что уравнение C6.1) более не справедливо; напротив,
поток энергии на единицу площади за единицу времени,
излучаемой под углом 8 к направлению движения, составляет,
согласно C0.11),
cos $)вР <• D Л)
В последнем выражении предполагается, что ускорение
продольно (по направлению движения электрона). Далее,
нужно заметить, что C6.13) относится к единице времени
наблюдателя, находящегося в покое, в то время как для
определения R мы нуждаемся в выражении для излучения
за единицу времени в системе координат, связанной с элек-
электроном. Оба времени (t — для покоящегося наблюдателя,
х — для движущегося электрона, т. е. его „собственное
время") связаны „запаздывающим" соотношением B9.106)
d dtA^dx #1 — i^=i — Bcosft.
С r
т=*, dx = dtAdx, #=1 =
С ' С rfx С
Следовательно, чтобы отнести 5 к единице времени движу-
движущегося электрона, мы должны умножить C6.13) на
j| = l—Bcosft. C6.14)
Чтобы перейти теперь от 5 к полному излучению ?Р, нужно
проинтегрировать по поверхности сферы радиусом г с эле-
элементом угла dm = 27rsin9- db. При этом, если обозначить
u=l—Ccosft, получаем
г sin^ ft sin Ь d& __ 2л г ( / 1 — и \2 \ du
l7Z J A - ? COS 9M — Т J \ \~~T~) )"^'
о х-е

408 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
Этот интеграл берется элементарно и дает
8-п 1
Поэтому
^^e^Ti^W' C6Л5)
Искомое значение R (мы будем обозначать ее через R')
должно быть (при продольном ускорении) связано с C6.15)
неявным соотношением C6.2). Поскольку, однако, она еще
не определяется одним этим требованием (нужно было бы,
следуя предложению Абрагама, добавить к требованию
сохранения энергии еще и условие сохранения импульса),
и чтобы не ограничиваться случаем продольного ускорения,
мы предпочтем исходить из релятивистского уравнения дви-
движения, которое приведет нас к получению явного выраже-
выражения для R'.
Следуя C2.4), мы запишем это уравнение, добавляя
к нему силу реакции R', в виде R'
,n0W = FH-R'. C6.16)
Здесь W — введенное в B7.186) 4-ускорение, a F—всегда
действующая 4-сила, связанная в электромагнитном случае
с силой Лоренца с помощью B8.196):
F = 7jK, -/; = -—J ;. C6.17)
Что касается 4-векторов W и F, то они ортогональны
в четырехмерном смысле к мировой линии электрона, т. е.
(V, W) = 0 и (V, F) = 0 C6.18)
[ср. B7.18в) и B8.19в)]. Поэтому из C6.16) следует, что
мы должны потребовать, чтобы направление R' также
было *бы перпендикулярно к мировой линии:
(V, R') = 0. C6.18а)
Проще всего было бы определить R' по аналогии с C6.4) как
^ C6.19)

§ 36. Потеря энергии ускоренного электрона на излучение 409
(в дальнейшем точки будут всегда означать дифференциро-
дифференцирование по собственному времени). Действительно, это было бы
лоренц-инвариантным определением силы R', и при этом
таким, что при переходе к собственной системе электрона
пространственные составляющие этой силы непосредственно
переходили бы в C6.4). Однако такое определение проти-
противоречило бы требованиям C6.18а), поэтому мы несколько
изменим его. Напишем
R' = &(W + aV) C6.19а)
и определим входящую сюда постоянную а из требования
выполнения условия C6.18а):
(V,W) + *(V,V) = 0, a=__^W)_. C6.20)
Это выражение для /?' удовлетворяет, как и C6.19), тре-
требованию соответствия с C6.4) в собственной системе отсчета
электрона, поскольку три первые составляющие V обра-
обращаются в этой системе в нуль; если пренебречь, как это
делалось в C6.4), поправками высшего порядка малости,
то это выражение будет однозначным.
Значение C6.20) для а можно подвергнуть дальнейшему
упрощению. Прежде всего, согласно B7.18а), (V, V) = — г2;
далее из (V, W) = 0 дифференцированием по х получаем
(V, W)-+- (V, W) = 0, (V, W) = — (V, W) = — (W, W),
и мы можем, следовательно, написать
а = —-4-(W, W) C6.20a)
С
и
R' = Ь (W — (W^2W) v) . C6.21)
Итак, мы получили весьма простое выражение для
силы реакции, справедливое в любой системе отсчета.
Простота и наглядность теряются, если переписать это
выражение в трехмерном виде, чтобы его можно было
сравнить с другими известными из литературы выражениями
для реакции излучения. Будем исходить из B7.18) и B7.186)
у= (nv, icri), W = V = (ijv + tjv, icri) C6.22)

410 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
и вычислим, пользуясь введенной выше величиной -ц, сле-
следующие выражения:
tf-jV ЧЧ—<пЫ»-? = ?™' |=?vv. C6.22а)
Тогда из C6.22) получим
W = vj{ ^-(vv)v + v, -^tj2vv},
4 9 2 4 C6.226)
(W, W) == 1,» {? (VVJ V2 + -^ (VVJ+ V2--^ (VVJ } .
Первый и последний члены в фигурных скобках во второй
формуле C6.226) можно объединить
последнее выражение можно в свою очередь объединить
со вторым членом в фигурных скобках второй фор-
формулы C6.226). Получаем
(W, W) = 7!*(?(vu*+v«), C6.23)
v, .... C6.23a)
В последнем соотношении мы выписали только три про-
пространственные компоненты 4-вектора. То же сделаем и при
вычислении W, т. е. при дифференцировании C6.226) по х
Если теперь учтем C6.22а), то получим
W = ^(vvJ v + J {v2v -+- (vv) v + 2 (vv) v} + tjv. C6.24)
Вычитая C6.24) и C6.23а), находим
^ ^^ C6.25)
Перейдем, наконец, от собственного времени электрона,
дифференцированием по которому получались v и v, к шкале

§ 36. Потеря энергии ускоренного электрона на излучение 411
времени t неподвижного наблюдателя; соответствующие
производные мы обозначим через V и v". Именно, положим
dv dv
= ¦? <vv/)v'
Тем самым из C6.25) получаем
-у- = 1Г (W)8« + -? (vO v + -^ (vvO v' + 7j3v". C6.25a)
Это значение R' нужно использовать в уравнении движе-
движения C6.16). Если мы хотим переписать его в обычной
форме C2.5), производной от импульса, то нужно будет
заменить m0W на dG/dt = mo(Wly]) и F на K = F/tj, сле-
следовательно и R' на R* = R'/tj. Тогда из C6.25а) получим
для R* после подстановки значений Ь и т\ выражение
?2 1
D * ГIу
C6.29)
Для малых скоростей ф->0) отсюда получаем, естественно,
R* = R, т. е. значение из C6.4). Формула C6.26) была
выведена впервые Абрагамом из электродинамических сообра-
соображений и Лауэ из теории относительности. Использованный
нами вывод предложен Паулих).
Нам осталось еще выяснить вопрос о границах приме-
применимости выведенных здесь формул. Используя релятивистские
преобразования для равномерного движения, мы предполо-
предположили тем самым, что ускорение „мало", в то время как
скорость могла быть произвольной. Следовательно, наш
вывод содержит приближенный прием—обрыв ряда. Такое
разложение проводит последовательно Лоренц2), когда он
!) В. Паули. Теория относительности, М., 1948, § 32, стр. 146. —
Прим. ред.
-) Н. A. Lor en tz, The Theory of Electrons, Teubner, 1909,
примечание 18. (См. перевод; Г. А. Лоренц, Теория электро-
нов, М- 1953,)

412 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
выражает запаздывающие потенциалы в виде ряда по запазды-
запаздывающему времени t—(г/с) и вычисляет механическую силу, дей-
действующую со стороны собственного поля. Первый член такого
разложения выражает инерцию электрона и имеет для малых
скоростей (когда v', v", . . . совпадает с v, v, . . .) вид
^?m C6.27)
В качестве второго члена выступает сила реакции излуче-
излучения R из C6.4):
« <3
Лоренц подчеркивает, что R является единственным членом,
не зависящим от а, т. е. „от формы и размеров электрона".
Дальнейшие члены, которые мы не будем здесь вычислять,
имеют вид
(j {^J",.... C6.276)
Отношение а/с равно времени, которое затрачивает свет,
чтобы „пересечь электрон". Член реакции излучения C6.27а)
также можно привести к такому виду, записывая его как
Чтобы ряд сходился (имел бы практическую ценность), его
члены должны убывать. Следовательно, если отвлечься
от знаков, должны выполняться неравенства
v<~ v, v<—v, C6.23)
а ^ a v '
Однако ясно, что в процессах весьма высокой энергии,
например при пролете электрона вблизи атомного ядра,
могут встретиться не только очень большие ускорения,
но и очень большие изменения ускорений. Тогда обрывание
ряда на члене R уже не было бы более законным. То же
справедливо и для процессов ускорения в бетатроне (ср.
задачу III. 10) и в синхротроне. Вопрос о том, что пред-
представляет добой допротивление излучения в подобных пре,-

§ 37. Попытки обобщения уравнений Максвелла 413
дельных случаях, является еще нерешенной проблемой,
которая дала повод для многочисленных дискуссий (Бессель,
Дирак, Бопп, ШтюкельбергI).
§ 37. ПОПЫТКИ ОБОБЩЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
И ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Первый шаг в этом направлении совершил в 1912 г.
Ми в его важной работе „Основы теории материи" 2). Он
поставил перед собой грандиозную задачу — найти такое
обобщение уравнений Максвелла, которое включало бы
в себя существование электрона. Чтобы такое обобщение
не потерялось бы в безбрежных возможностях, оно с самого
начала ограничивается требованиями принципа относитель-
относительности и выводится из „мировой функции", которая может
зависеть только от инвариантных относительно преобразо-
преобразований Лоренца величин. При этом, по-видимому впервые
в последовательной форме, проводится различие „силовых"
и „количественных" величин, т. е., если пользоваться нашими
обозначениями и единицами, различие между
F = (cB, — /Е) и Ф = (а, —
1) Новейшие воззрения по этому поводу можно найти в рабо-
работах W. Heitler, H. W. Peng, Proc. Cambr. Phil. Soc, 38,
296 A942); N. Ни, Proc. Roy. Irish Acad., 57, 87 A947) (с точки
зрения последних работ Эйнштейна). [Последовательное рассмотре-
рассмотрение такого рода вопросов возможно лишь в рамках квантовой
электродинамики. В последнее десятилетие в этом направлении
были достигнуты весьма существенные успехи, однако исчер-
исчерпывающей ясности еще не получено. См. книги: „Сдвиг уров-
уровней атомных электронов», Сборник статей, ИЛ, 1950; „Новейшее
развитие квантовой электродинамики", Сборник статей, ИЛ, 1954;
А. И. Ахиезер и В. Б. Берестецкий, Квантовая электро-
электродинамика, М., 1953; Н. И. Боголюбов и Д. В. Широков,
Введение в теорию квантованных полей, М. — Л., 1957. Что же
касается рассмотрения в рамках неквантовой теории, то здесь
наиболее последовательным является, по-видимому, представление
о точечном электроне, хотя оно и связано с трудностями типа рас-
расходимости электромагнитной массы C6.27). — Прим. ред.]
2) G. M i e. Grundlagen einer Theorie der Materie, Ann. d. Phys.,
37, 511; 39, 1; 40, 1 A913). Третье сообщение касается гравитацион-
гравитационной теории и, естественно, как написанное до создания общей
теорш относительности, потеряло всякое значение.

414 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
с одной стороны, и
/ = (Н, — icD) и Г = (pv, icp),
с другой. Ми исследует инварианты, которые можно обра-
образовать из „силовых" величин, с одной стороны, и из
„количественных" — с другой. Из первых мы выпишем
следующие три*):
Л = -|-(с2В2 — Е2), C7.1)
~~Т В )• C7.2)
Ф2 = А2 — ^ C7.3)
[ср. B6.24), B6.21) и B6.4)], причем ненужные с точки
зрения размерностей постоянные множители мы опустили.
Ми находит, что для описания квазистационарного движения
существенны только инварианты C7.1) и C7.3), и строит
мировую функцию2) W так, что на больших расстояниях
от электрона имеют место обычные уравнения Максвелла,
а в месте его расположения и в ближайшей окрестности —
измененные уравнения. Величины „количественного" типа
получаются дифференцированием мировой функции по соот-
соответствующим „силовым" величинам. Мировую функцию сле-
следует, как и в методе Шварцшильда, интегрировать по
произвольной 4-области и соответственным способом варьи-
варьировать.
1) Вейль показал в своей книге (С. Н. W е у 1, Raum. Zeit.
Materie, § 28), что существует еще и четвертый инвариант, по-
построенный из F и Ф. [Из F и Ф можно построить не один, а два
инварианта: квадрат скалярного произведения {F, Ф) и квадрат
скалярного произведения (/***, Ф) (см. цитированную выше книгу
Паули, § 64, стр. 274). Что же касается выражения C7.2), то оно
является не инвариантом, а псевдоинвариантом; инвариантом будет
только его квадрат. —Прим. ред.]
2) Сам Ми называет построенную из „силовых" величин функ-
функцию „функцией Гамильтона" и оставляет название „мировая
функция" для функции, построенной из „количественных" величин.
Мы разрешили себе, чтобы достичь возможно большего соответ-
соответствия с функцией действия Шварцшильда W, переставить эти
обозначения. Величины „силового" типа получались тогда из ори-
оригинальной „мировой функции" Ми дифференцированием по „коли-
„количественным" величинам.

§ 37. Попытки обобщения уравнений Максвелла . 415
Как должна выглядеть мировая функция W, чтобы она
приводила на достаточных расстояниях от электрона
к обычным уравнениям Максвелла? Согласно нашим иссле-
исследованиям принципа наименьшего действия Шварцшильда,
для этого должно быть W = A. Действительно, в чистом
вакууме (Г = 0 и кинетическая энергия материи отсутствует)
кинетический потенциал К' C2.18) сводится к одному сред-
среднему пропорциональному А члену и при варьировании при-
приводит к уравнениям Максвелла для вакуума. С другой
стороны, в окрестности электрона мировая функция должна
измениться таким образом, чтобы, исходя из нее, возможно
было получить определенное значение для заряда электрона е
(или по крайней мере для отношения elm). С полной уве-
уверенностью можно сказать, что это не будет иметь места,
если мы выберем линейную суперпозицию обоих инвариан-
инвариантов Л и Ф2, поскольку соответствующие дифференциальные
уравнения для компонент поля или потенциала тогда будут
линейными и их решения можно будет умножать на произ-
произвольный множитель. Напротив, обоим требованиям можно
будет удовлетворить выбором
\Р = А-\-а\Ф\п, C7.4)
где п — достаточно большое число. В самом деле, на
достаточно больших расстояниях от электрона вторым членом
можно пренебречь, поскольку он убывает как г~п, в то
время как в месте расположения электрона он оказывается
сильно сингулярным. Из вычислительных соображений Ми
выбрал я = 6; он пришел при этом к сильно сконцентри-
сконцентрированному в пространстве распределению заряда, которое,
однако, перестает быть стабильным в присутствии другого
электрона.
Но ведь было бы просто удивительным, если бы основ-
основную проблему теории элементарных частиц можно было
разрешить путем остроумных выдумок! Сейчас мы знаем,
что для этого скорее нужно подготовить еще много экспе-
экспериментального материала. Несмотря на это, проложить
первый путь к этой задаче было, конечно, очень большой
заслугой; это видно хотя бы из того, что все последующие
исследователи данной проблемы следуют по следам Ми.
Уже Паули (в цитированной выше книге, § 64) подчер-
подчеркивает, что главные трудности для теории Ми возникнут

416 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
из-за ее зависимости от абсолютной величины электродина-
электродинамического потенциала. Поэтому авторы попыток (мы обсу-
обсудим их ниже) избегают использовать инвариант C7.3).
В частности, Борн и Инфельдх) кладут в основу своей
теории мировую функцию, зависящую лишь от инвариан-
инвариантов C7.1) и C7.2). Нелинейность электромагнитного поля,
которую они также требуют, достигается за счет того,
что W выбирается в виде нелинейной функции А и М.
Вместе с потенциалом Ф выбывает и сопряженная ему плот-
плотность 4-тока Г, которую приходится, как и в электронной
теории Лоренца, добавлять к полю как чуждый элемент.
Функция W выбирается таким образом, чтобы предотвра-
предотвратить всякую возможность обращения поля в точке располо-
расположения электрона в бесконечность. Тогда для собственной
энергии электрона удается получить конечное значение,
следовательно избавиться от той трудности классической
теории, что при а-+0 (точечный электрон) его собственная
энергия обращается в бесконечность. Для квазистационарных
процессов, когда еще нет необходимости в присоединении
инварианта C7.2), мировая функция Борна — Инфельда
имеет вид
W = eob4V l+-^_il C7.5)
Введенная здесь универсальная константа b имеет размер-
размерность напряженности электрического поля, поскольку, со-
согласно C7.1), А имеет размерность е0Е2.
Введение тахой мировой функции основывается на ана-
аналогии с функцией действия в классической и в релятивистской
механике. В классической механике свободной материальной
точки под интегралом при формулировке принципа Гамиль-
Гамильтона стоит кинетическая энергия
T=-^v2. C7.6)
В релятивистской механике на ее месте выступает „кине-
„кинетический потенциал" C2.96)
/~ ^) C7.6а)
1) М. Born, Proc. Roy. Soc, A143, 410 A933/1934); М. Born.
L. Infeld, Proc. Roy. Soc, A144, 425 A934); M. Born, Ann. de
l'lnst. Henri Poincare, Tome VII.

§ 37. Попытки обобщения уравнений Максвелла 417
который для v<^c переходит в C7.6) и становится не
зависящим от с. Точно так же для А<^е0Ь2 C7.5) пере-
переходит в отвечающее теории Максвелла значение 1F = A и
становится не зависящим от Ь. Выражение C7.6а) уста-
устанавливает для скоростей v верхнюю границу с, в то время
как C7.6) не налагает на v никаких ограничений. Точно
так же в электростатическом случае (В=0,Л=—е0Е2/2)C7.5)
устанавливает верхнюю границу Ъ для напряженности поля Е,
в то время как допущение W = A разрешает неограниченное
возрастание напряженности поля.
Уравнения Максвелла для вакуума для векторов Е, В
и D, Н сохраняются в теории Борна — Инфельда. В элек-
электростатическом случае, которым мы ограничимся в даль-
дальнейшем, для центрально-симметричного поля с точечным
зарядом в точке г = 0 в этой теории, как и в обычной,
получаем
O <377>
С другой стороны, D можно получить из мировой функции
по общим правилам теории Ми:
D, —1?. C7.7а)
Согласно C7.5), при В = 0 это дает
Dr*= ^?l=== % C7.8)
откуда следует
80gr=s^_^-=p. C7.9)
Если подставить C7.7) в C7.9), то получим
Величину г0 можно рассматривать как радиус электрона-
Поле Ег оказывается теперь всюду конечным, именно
для г = 0 теперь будет Er = b = е/4тгеог2; рассматриваемое
как функция г поле Ег достигает при г ==¦ 0 максимума.
27 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

418 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
Поле D, напротив, становится в той же точке бесконечно
большим. Для г > г0 напряженность поля Ег лишь очень
мало отличается от кулоновского значения е/4тгеог^. Электро-
Электростатический потенциал будет равен
Je^(?) C7.11)
Г
при
У 1 + у4
as
В начале координат мы получаем
^, /@)= 1,854.
Функция Гамильтона ??6 получается из нашей мировой
функции W по общему правилу
Поэтому в электростатическом поле будет
)г. C7.12)
Если исключить здесь Ег с помощью C7.8) и C7.9), то
получим
Н—212— 1 • C7.13)
Полная энергия поля
о
подстановка значения D из C7.7) дает окончательно
C7-
Численное значение этого интеграла составляет 1,2361. Если
теперь величину C7.14) принять равной собственной энергии

§ 37. Попытки обобщения уравнений Максвелла 419
электрона тос2, то [ср. численные значения в C3.7)] для г0
получим
е2
го~ 1»236 . 2, C7.15)
т. е. значение, приблизительно равное классическому радиусу
электрона C3.9). Для значения b из .C7.10) тогда имеем
е C7.16)
Таким образом, мы получили для радиуса электрона пра-
правильный порядок величины, а для чрезвычайно большого
критического поля Ъ значение, равное классическому полю
„на краю электрона". Аналогично можно получить одно-
однозначное выражение и для поля многих точечных зарядов.
Итак, теория Борна — Инфельда приводит к разумным
результатам, хотя положенное в ее основу выражение C7.5)
могло претендовать только на эвристическое значение.
Мы обсудим в заключение проблему „рассеяния света
на свете". Эта проблема возникла в связи со сделанным
Дираком теоретическим открытием позитрона и образова-
образования пар. (Образование пар, т. е. одновременное возникно-
возникновение электрона и позитрона под действием жестких у-лучей,
было, как известно, вскоре после этого экспериментально
обнаружено супругами Жолио-Кюри, а позитрон был наблю-
наблюден в космических лучах Андерсоном, а также Блеккетом
и Оккиалини.) Ясно, что и эта проблема сводится к неко-
некоторому изменению уравнений Максвелла для вакуума —
к „нелинейной теории электромагнитного поля" х). Линейные
уравнения Максвелла не могли привести к такому рассея-
рассеянию; из них следовала бы простая суперпозиция полей двух
проникающих одна в другую электромагнитных волн.
Квантовомеханическое рассмотрение этой задачи было
выполнено Эйлером и Коккелем 2) под руководством
*) Это — заглавие цитированной выше (на стр. 416) работы Борна.
2) Н. Euler, В. Kock el, Naturwiss., 23 A935); Euler, Diss.
Leipzig, Ann. d. Phys., 26, A936); W. Heisenberg, H. Euler, Zs.
Phys., 98 A936). Ср. также более простое изложение в последней
работе Борна (примечание на стр. 416). Проблема образования пар
рассматривалась одновременно с другой точки зрения в работе
R. S е г b е г, Е. A. Uhling, Phys. Rev.. 48 A935). (См. также лите-
литературу, указанную в примечании на стр. 413. — Прим. ред.)
27*

420 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся Тел
Гейзенберга и поэтому полностью выпадает из рамок нашего
изложения. Мы можем указать только путь к ее решению.
Мировая функция выбирается здесь таким образом,
чтобы для слабых полей она совпадала с плотностью Лаг-
ранжа А. Во втором приближении ее можно рассматривать
как квадратичную функцию от А и М, при этом М может
входить только в четных степенях, поскольку при переходе
от правой системы координат к левой В, а тем самым и М
меняют знак (в терминологии Эйлера М не „зеркально-
инвариантно"). Итак, следующий член разложения должен
иметь вид
aA2~f рМ. C7.17)
Чтобы аир были бы безразмерными числами и этот вто-
второй член имел бы ту же размерность, что и первый член А,
разделим C7.17) на е0 и на квадрат критического поля,
которое мы будем, как и раньше, обозначать через Ь. Здесь
оно будет определяться как поле „на краю электрона",
т. е. на расстоянии r = a от его центра, и будет, кроме
того, дополнено его множителем 1/137 — „постоянной тон-
тонкой структуры".
Мы получаем, таким образом, для W выражение
W = А -А -
Как и у Ми, „количественные" величины D и Н получаются
из этой мировой функции как частные производные по соот-
соответствующим „силовым" величинам Е и В:
D_—. • Н .. — . (*Х*7 1 Q\
Теперь, согласно C7.1) и C7.2),
д_А____„Е. дМ_ R-— 2R—-Ё-^1 F_ E
и отсюда в силу C7.19)
тг (аАЕ — рМсВ) -\- . . . |,
C7.20)
1 г 2 / Е\ 1

§ 38. Общая теория относительности 421
Наиболее сложным является определение численных множи-
множителей а и 3 из дираковской теории образования пар; по этому
вопросу мы отсылаем читателя к оригинальным работам.
Окончательный результат состоит в следующем. Уравне-
Уравнения Максвелла для вакуума для пары В, Е и для пары D,
Н остаются без изменений. Однако индукция D, как уже
было сказано у Борна и Инфельда, не пропорциональна
более полю Е: в выражениях для D и Н появляются попра-
поправочные члены, зависящие от Е, В, Л и М, которые в сла-
слабых полях малы по сравнению с главными. При этом
не делалось никаких произвольных предположений, заранее
была допущена лишь возможность разложения в ряд
по последовательным степеням поля, обозначенным в C7.18)
и C7.20) многоточиями. В цитированной ранее работе Гей-
зенберга и Эйлера в разложении учитываются и высшие
члены, а результат дается в замкнутой форме. Во всяком
случае представляется, что этими работами доказана необ-
необходимость дополнить уравнения Максвелла даже для вакуума
в случае чрезвычайно сильных полей.
§ 33. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ.
ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЕЙ
И в этом параграфе нам придется ограничиться в основ-
основном намеками и описаниями. Полное изложение предмета
само потребовало бы целого учебника, причем написание
его, пожалуй, преждевременно, поскольку многие относя-
относящиеся сюда вопросы находятся еще в процессе становления.
В дальнейшем мы будем следовать первоначальному
изложению Эйнштейна, которое особенно удалось в прин-
стонских лекциях х). Оно очень близко по духу к эрланген-
ской программе Клейна: классическая физика относится
к группе элементарной геометрии (однородность и изотро-
изотропия пространства), дополненной возможными смещениями
шкалы времени. Специальная теория относительности
!) A. Einstein, Vier Vorlesungen uber Relativitatstheorie, gehal-
ten im Mai, 1921 an der Universitat Princeton. Braunschweig, Vieweg.
(См. перевод четвертого переработанного издания этих лекций:
А. Эйнштейн, Сущность теории относительности, ИЛ, 1956,
Прим. ред,)

422 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
основывается на группе линейных ортогональных преобразо-
преобразований четырех координат в мире xv х2, х3, х^ = Ш (одно-
(однородность и изотропия четырехмерного мира, преобразова-
преобразования Лоренца). К общей теории относительности мы при-
придем, если положим в основу общую группу точечных пре-
преобразований, которая была охарактеризована в начале т; I
(Механика) формулами
*й =/*(*!. *2. *з. *4>. ?=1,2,3,4. C8.1)
Тем самым мы считаем допустимыми любые системы отсчета,
а не только такие, которые движутся относительно друг
друга с постоянными скоростями v < с. „Пространство и
время окончательно теряют постулированный Ньютоном
характер и становятся исключительно наглядной схемой для
физических явлений". Это положение было высказано еще
Махом в качестве программы, однако он застрял на утвер-
утверждениях отрицательного характера (названных им диковин-
диковинным образом „позитивизмом") и до конца жизни был про-
противником теории относительности. Эта последняя избрала
позитивный путь, задавшись вопросом о таких простран-»
ственно-временных соотношениях, которые сохраняются при
любых точечных преобразованиях. Общую теорию относитель-
относительности можно рассматривать в сущности как теорию инва-
инвариантов и коеариантов этой группы преобразований.
Основные идеи для этого были заложены еще Гауссом х)
в его теории поверхностей и Риманом в его диссертации 2).
Гаусс исследовал внутренние свойства поверхности,
отвлекаясь от ее внешней формы и положения в трехмер-
трехмерном пространстве. Для этой цели он представляет элемент
длины ds—расстояние между двумя соседними точками
поверхности — с помощью формулы
C8.2)
х) Gauss K-, Disquisitiones generales circa superficies curvas,
Gesammte Werke, Bd. IV, 1927. (См. перевод: К. Ф. Гаусс, Общие
исследования о кривых поверхностях, Сборник „Об основаниях
геометрии", М., 1956. — Прим. ред.)
"-) Riemann, СПЬег die Hipothesen, welche der Geometrie zug-
runde Hegen, Gesammte Werke, 2 Aufl., 1854, S. 272. (См. перевод:
Б.' Р и м а н, О гипотезах, лежащих в основании геометрии, Сбор-
цик „Об основаниях геометрии" М„ 1956. — Прим. ред.)

§ 38. Общая теория относительности 423
где р и q параметры двух (необязательно взаимно орто-
ортогональных) семейств кривых на поверхности, а ?, F и G —
определенные функции от р и q. При чистом изгибании
поверхности (без растяжений и разрывов) сохраняется сово-
совокупность элементов длины, а поэтому сохраняются коэф-
коэффициенты Е, F и G.
Гаусс показывает, что введенная им кривизна
к=ъъ C8-3)
(Rt и R2— „главные радиусы кривизны" поверхности''
выражается через Е, F, G и их первые и вторые производ-
производные по р и q. Так он приходит к своей „замечатель-
„замечательной теореме": Если поверхность в результате изгибания
(без растяжения!) принимает другую форму, то кривизна
в каждой точке остается инвариантной. Итак, кривизна
выражает внутреннее свойство поверхности, хотя из опре-
определения кривизны C8.3), которое кажется зависящим от
внешней формы поверхности, невозможно усмотреть инва-
инвариантность кривизны.
Сам Гаусс рекомендует свой способ — рассмотрение
внутренних свойств поверхности—как „весьма достойный
того, чтобы его прилежно воздвигли геометры". Мы увидим,
что это приглашение было принято и исполнено Риманом и
Эйнштейном.
Естественно, что при изгибании сохраняются также и
геодезические, т. е. кратчайшие линии, поскольку они
определяются исключительно экстремальными свойствами
интегралов от элементов длины. Упомянем еще и об аппрок-
аппроксимации поверхности одной из ее касательных плоскостей,
хотя последняя и не относится собственно к внутренним
свойствам поверхности; тогда положение точки на поверх-
поверхности можно характеризовать не криволинейными коорди-
координатами р, q, а обычными декартовыми координатами на
касательной плоскости.
Рассмотрим теперь, следуя Риману, «-мерное многообра-
многообразие самой общей структуры. Для элемента длины в нем
можно, обобщая C8.2) и используя сразу обозначения Эйн-
Эйнштейна, написать
^^ g?, = gv:> n.v+i,.... п, C8.4)

424 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
где g^—заданные функции совершенно произвольно
выбранных параметров xt х2, .. ., хп. Риман изучает вну-
внутренние инвариантные (с большей общностью лучше было
бы сказать ковариантные или контравариантные) свойства
такого многообразия.
Мы, наоборот, сначала выясним простой вопрос: сколько
измерений N должно иметь эвклидово пространство, чтобы
в него можно было бы вложить такое я-мерное многообразие?
Пусть в некотором эвклидовом пространстве используются
декартовы координаты Хх, ..., Х^. На я-мерном много-
многообразии их можно представить как функции я параметров
х^, ..., хп.
Хх = Fx (xlt ..., хп); . . .; XN = FN (xv .... *„)• C8.5)
Если мы образуем теперь эвклидов элемент длины
то в него войдут первые производные функций Fu .... Fn. ,
Чтобы на вложенном «-мерном многообразии элемент длины
мог принять форму C8.4) с произвольно предписанными g"xv,
число N функций F, которым можно придать произвольные
значения, должно быть достаточно велико, чтобы их хватило
для определения произвольно задаваемых g^, т. е. должно
быть равно числу [п(п-\-1)/2] различных gxv. Итак1),
n(n + D C8.6)
N=z ш
В случае четырехмерного мира Эйнштейна
N = 1^=10, C8.6а)
в гауссовом случае двухмерной поверхности, естественно,
А/ = ^ = 3. C8.66)
1) Ср., например, В. Н. Lang, Ann. d. Phys., 61 A919) (Мюнхен-
(Мюнхенская диссертация). Насколько я знаю, теорема C8.6) была сформу-
сформулирована Шлефли еще в 1871 г. [ Н. Schlafli, Ann. Mat. pura
appl., 5, 190 A871)], однако до сих пор еще не доказана с необхо-
необходимой математической полнотой. [Высказанная Шлефли теорема
C8.6) была доказана в 1926—1927 гг. Жане и Картаном (М. Janet,
Ann. Soc. Polonaise Mathem, 5, 38 A926), E. Cart an, Ann. Soc.
Polonaise Mathem., 6, 1 A927). — Прим. ред.]

§ 38. Общая теория относительности 425
В каждой точке л-мерного многообразия можно построить
„плоское" (эвклидово) многообразие, которое, выходя за
пределы первоначального многообразия, играет роль каса-
касательной плоскости в трехмерном эвклидовом пространстве.
К внутренним свойствам я-мерных многообразий отно-
относится прежде всего свойство минимальности геодезических
(кратчайших или прямейших) линий. Как и на двухмерной
поверхности, они совпадают с траекториями свободной ма-
материальной точки. Для наглядности рассмотрим один пример.
Пусть поверхность плоского стола покрыта скатертью, под
которую случайно попал камень. Геодезические траектории
будут, вообще говоря, прямыми, но вблизи камня будут
искривляться. Движущаяся при отсутствии внешних сил
(следовательно, и сил тяжести) материальная точка будет
отклоняться тогда от прямой в меру имеющейся кривизны.
Этот пример является простейшей моделью эйнштейновской
теории тяготения (камень — Солнце, материальная точка —
планета).
Риман исследовал обобщение гауссова понятия кривизны
на я-мерное многообразие. Кристоффель, следуя Риману,
ввел свои трехиндексные символы, а Эйнштейн — совпадаю-
совпадающие с ними величины Г?„ [см. т. II, Механика деформируе-
деформируемых сред, приложение 1, формула C)]. Они зависят только
от составляющих g „фундаментального тензора" и их про-
производных по координатам и поэтому являются понятиями
внутренней геометрии многообразия. Из величин g, Г и их
производных конструируется риманов „тензор кривизны";
обращение в нуль всех его компонент является условием
того, чтобы многообразие стало „плоским" (эвклидовым).
Путем „свертывания" (суммирования по одной паре индексов)
из него получается симметричный риманов тензор R^. Таким
же образом из тензора кривизны R получается „риманов
скаляр" R; он является обобщением 'гауссовой кривизны К.
Как мы видели на нашем примитивном примере покры-
покрытого скатертью стола, наличие кривизны отражается на траек-
траекториях в остальном свободной материальной точки: оно дей-
действует на нее как силы физического происхождения. Эйн-
Эйнштейн, придавая количественное выражение одной из идей
Маха, усмотрел в этом причину тяготения. Он сводит
только тяготение как наиболее общее, стоящее выше всех

426 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
остальных физических агентов силовое взаимодействие к свой-
свойствам кривизны пространственно-временного континуума.
Чем определяются свойства кривизны? Они определяются
распределенными в пространстве и времени энергиями. Про-
Пространство и время существуют только через посредство физи-
физических процессов, которые в них разыгрываются. Только
от последних получают они свою структуру. Здесь можно
было бы вспомнить величественное „видение матерей" из
второй части Фауста (соответствующее примерно идеям
Платона, существовавшим по его учению до создания реаль-
реального мира)
Gottinnen thronen hier in Einsamkeit,
Um sie kein Raum, noch wen'ger eine Zeit.
Von ihnen sprechen ist Verlegenheit.
Nichts wirst du sehn in ewig leerer Feme,
Den Schritt nicht horen, den du tust, i
Nichts Festes finden, wo du ruhst.г)
Возможно, что излагаемый сейчас подход к понятиям
кривизны мира Эйнштейна вызовет у читателя такой же страх
перед неизвестным, как и путешествие к матерям у Фауста;
менее необычный и менее неприятный путь мы покажем чи-
читателю позже.
Как показывает Эйнштейн, тензор кривизны R следует
связать с тензором энергии-импульса 7^ вещества и элек-
электромагнитного поля системой десяти уравнений (\i, v = 1,2,3,4)
Я.,,—5-^ = —*V C8.7)
Добавленный сюда множитель пропорциональности х является
по существу постоянной G закона Ньютона; именно
* = 5°' C8-7а>
Поскольку R и R можно выразить через Г и g, а Г
со своей стороны —опять через g и его производные, то C8.7)
Богини царят здесь в одиночестве.
Вокруг них нет пространства, еще меньше времени.
Даже говорить о них затруднительно.
Ничего не увидишь ты в вечно пустой дали,
Не услышишь шага, который ты делаешь,
Не найдешь ничего твердого, чтобы отдохнуть.

§ 38. Общая теория относительности 427
является системой дифференциальных уравнений для g v.
Общее решение этой системы было бы, конечно, необычайно
громоздким. Эйнштейну удалось, однако, показать, что для
слабых полей и соответственно для g лишь немного от-
отличающихся от эвклидовых значений специальной теории отно-
относительности (собственно псевдоэвклидовых ввиду отрица-
отрицательного знака dx'f\, они переходят в утверждения теории
тяготения Ньютона1). Уже это первое приближение, т. е.
голый факт наличия ньютонова притяжения, выдает неэвкли-
дову структуру мероопределения. Во втором приближении
возникают отступления от закона Ньютона, которые, конечно,
яснее всего проявляются поблизости от больших скоплений
энергии. Отсюда возникают аномалии в орбите ближайшей
к Солнцу планеты—Меркурия, отклонения (наблюдаемые
только при солнечных затмениях) световых лучей, проходя-
проходящих у края Солнца, и красное смещение спектральных линий
белых карликов, обусловленное их очень большой плотностью.
Тяжелая и инертная массы. Мы изложили пока
абстрактно математические основы теории тяготения. Однако
1) Эйнштейн писал автору 28 ноября 1915 г.:
„За последний месяц я пережил один из наиболее волнующих,
наиболее напряженных периодов моей жизни и, во всяком случае,
один из плодотворнейших. О том, чтобы писать, я не мог и думать.
Именно, я понял, что мои прежние уравнения для гравитацион-
гравитационного поля были полностью беспочвенны. Для этого оказались сле-
следующие основания...
После того как всякое доверие к прежней теории было таким
образом подорвано, я увидел ясно, что удовлетворительное решение
может быть найдено только путем перехода к общековариантной
теории, т. е. к коварианту Римана /?jj.v. Последние сомнения в этой
борьбе я увековечил, к сожалению, в академических работах, которые
я вскоре смогу Вам послать. Окончательный результат состоит
в следующем: — Надо рассматривать символы Кристоффеля I J
как естественное выражение для „компонент" гравитационного
поля...
Самое прекрасное, что я пережил,— это получение не только
теории Ньютона в первом приближении, но и смещения перигелия
Меркурия D3// в столетие) — во втором. Для отклонения светового
луча Солнцем получился результат, вдвое больший прежнего".
8 февраля он замечает в открытке:
„В справедливости общей теории относительности Вы убедитесь,
когда Вы ее изучите. Поэтому я не защищаю ее перед Вами ни
единым словом".

428 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
еще значительно раньше1), именно почти немедленно после
открытия специальной теории относительности, Эйнштейн
установил ее конкретную физическую основу в виде экви-
эквивалентности гравитации и ускорения. В движущемся вверх
с постоянным ускорением g лифте, который мы будем пред-
представлять себе освобожденным от действия тяжести, разы-
разыгрываются в точности те же самые процессы, которые про-
происходили бы в той же системе, если бы она находилась под
действием силы тяжести в состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения. В обоих случаях брошенное тело
описывает параболу; покоящаяся на полу масса т давит
на него с силой mg, маятник одной и той же длины будет
качаться одинаковое число раз в секунду. Наоборот, сво-
свободно падающий в поле тяготения лифт оказывается осво-
освобожденным от тяжести: давление на пол прекращается,
период маятника становится бесконечным, брошенный пред-,
мет описывает прямую линию. Такая падающая система
реализует мир, свободный от тяжести, т. е. неискривленный
мир, в котором имеет место псевдоэвклидово мероопреде-
мероопределение, и который соответствует поэтому касательной плоскости
к риманову пространству, о которой мы говорили выше.
При этом предполагается, что тяжелая и инертная
массы существенно равны друг другу, что мы уже выра-
выразили в т. I (Механика), § 3, уравнением
тТяж. = тЯИ.. C8.8)
Только после такого допущения „вес" mraXi.g оказывается
равным „силе инерции" mmug и только тогда период коле-
колебаний будет для всех маятников одинаковой длины одним
и тем же. Действительно, подробно записанная формула
для этого периода имеет вид .
Что здесь скрыта глубокая физическая проблема, видел
уже Ньютон; Бессель2) подошел к этой проблеме, когда он
1) A. Einstein, Jahrbuch. f. Radioakt. u. Elektronik, 4 A907),
дальнейшее развитие см. в Ann. d. Phys., 35 A911).
2) F. W. В e s s e 1, Опыты над силой, с которой притягивает
Земля тела различного состава, Abh, preufi. Akad. Wiss., phys.-math.
Kl., 1830; Исследования длины секундного маятника, Abh. preufi.
Akad. Wiss., phys.-math. J^I. A826),

§ 38. Общая Теория относительности 429
провел с исключительной тщательностью измерения с маят-
маятниками из различных веществ. Очень большой точности
(на несколько порядков выше) удалось достигнуть Этвешу
(R. Eotvos) с его крутильными весами. Но только Эйнштейн
интерпретировал формулу C8.8) в ее действительном смысле:
Тяжесть = Инерция ( = Кривизна мира).
Покажем, что этого принципа эквивалентности оказы-
оказывается достаточно, чтобы в одном частном случае провести
вычисления g^ совершенно элементарным способом, т. е.
разрешить задачу, которая бьпа сформулирована в общем
виде в уравнениях C8.7), но оставлена, как слишком трудная.
Речь будет идти 1) о центрально-симметричном гравита-
гравитационном поле, например о поле Солнца массы М, которое
можно принять покоящимся. Пусть из бесконечности по ра-
радиусу на Солнце падает ящик Кт- Поскольку Коо падает
свободно, то он никак не чувствует гравитационного поля
и поэтому все время несет с собой справедливую на беско-
бесконечности псевдоэвклидову метрику. Пусть измеряемые в нем
координаты будут хм (продольная, т. е. в направлении дви-
движения), у^о, Zx, (поперечные) и tM. Расстояние г от Солнца
ящик Коо достигает со скоростью v. Будем считать, что v
и г измеряются в системе К, связанной с Солнцем и под-
подверженной действию гравитационного поля; в качестве коор-
координат в этой системе будем использовать г, 0, ср, t. Тогда Коо
и К будут связаны специальным преобразованием Лоренца,
в котором Коо будет играть роль системы, „движущейся"
со скоростью v — фс, а К—„покоящейся". При этом будут
выполняться соотношения
dXco~——==¦ (сокращение Лоренца),
dtoo = dt^\—(З2 (эйнштейново растяжение времени),
(инвариантность поперечных длин).
i) Мы следуем здесь неопубликованной работе Ленца, содержа-
содержание которой он дружески сообщил автору в 1944 г. В этой работе
он собирался уточнить некоторые из приводящихся здесь аргу-
аргументов. Он намеревался также распространить это рассмотрение,
следуя Шварцшильду (см. ниже), на внутреннюю часть заполнен-
заполненного несжимаемой жидкостью шара.

430 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
Поэтому эвклидов элемент длины
ds* = dx*0-\-dy*o0 + dz*o — c*d%0 C8.9)
переходит в
ds2 = j-f^-p- -f r'z (rffJ-|- sin2 f) rfcp2) — с2 Л2 A — (З2). C8.9а)
Смысл входящего сюда 2 раза множителя A—(З2) ясен
для нас пока только по отношению к частному случаю опыта
с ящиком. Чтобы выяснить его значение для системы, свя-
связанной с Солнцем, напишем уравнение сохранения энергии
для /Ссо, как оно выглядит с точки зрения систе'мы К. Если
обозначить через m массу ящика Кю, а через т0—его массу
покоя, то можно написать
, > ., GmM ~ уог. 1лч
(т — то)сг = 0. C8.10)
В левой части стоит сумма кинетической энергии C2.7) и
(как известно отрицательной) потенциальной энергии в поле
тяжести. Полную энергию в правой части мы положили
равной нулю, поскольку на бесконечности т — т0 и г = сю.
Потенциальную энергию мы написали, исходя из закона
Ньютона, который мы намереваемся считать первым при-
приближением. Разделив C8.10) на тс1, получим, поскольку
[см. также C8.7а), C8.10)] m = mo/Yl-—$'*,
ПоДСТавЛЯЯ СЮДа М = 3,3- ЮбЖземли И g
где /? = 2/тс« 107 м — радиус Земли, находим
a =3,3- 1 №g(-^ "з^8J=== 13«2- Ю2л*^1 км.
Из C8.10а) следует
y\ZIf=\—yt 1_^~1—^, C8.11)
откуда, согласно C8.9а),
ds2 = dr\a -\-r*(d№-\- sin2 ti rfcp2) — c2 (l — y-) dt*. C8.12)
r

§ 38. Общая теория относительности 431
Это выражение совпадает с элементом длины, полученным
Шварцшильдом *) из уравнений Эйнштейна C8.7). В изложе-
изложении Эддингтона 2) для его доказательства вычисляются 40 ком-
компонент Fjlv гравитационного поля, и C8.12) получается как
строгое решение содержащихся в C8.7) десяти уравнений
поля. Наш вывод претендует только на получение прибли-
приближенного решения, поскольку в нем используется закон
Ньютона в качестве первого приближения и производится
пренебрежение членом (а/гJ во втором из уравнений C8.11);
несмотря на это, наш результат является, как показали
Шварцшильд и Эддингтон, точным с точки зрения теории
Эйнштейна.
Здесь мог бы возникнуть вопрос: что является реляти-
релятивистски точной формой закона Ньютона? Этот вопрос поста-
поставлен неверно, если при этом имеется в виду закон в век-
векторной форме. Гравитационное поле не является векторным
полем, однако оно имеет несравненно более сложную тен-
тензорную структуру. Для случая одной материальной точки
оно полностью описывается четырьмя составляющими g v
в элементе длины C8.12) и остальные обращаются в нуль.
Наблюдаемые следствия общей теории относительно-
относительности. Прежде всего мы получим из элемента длины C8.12)
аномальное смещение перигелия Меркурия; общий формализм
тензорного исчисления для этого нам не понадобится.
Геодезические линии получаются из требования
C8.13)
Из четырех координат г, 0, ср, t в C8.12) выберем в каче-
качестве „независимой переменной" ср и напишем вместо C8.13)
C8.13а)
—2y\, C8.14)
X — ? ——
C8.14а)
i)K. Schwarzschild, Abh. Preufi. Akad. Wiss., Sitzungsber.,
189 A916).
2) Ср. превосходную книгу A. S. E d d i n g t о n, The mathema-
mathematical Theory of Relativity. (См. перевод А. С. Эддингтон, Теория
относительности, Л.— М.„ 1934.)

432 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
Совокупность всех „зависимых переменных" г, ft, t обозна-
обозначим одной буквой q. Методы вариационного исчисления,
использованные нами в т. 1 (Механика), § 34, для вывода
уравнений Лагранжа, приводят к „эйлеровой производной"
(ср. первое замечание в § 34 указанного тома):
X — = 0. C8.15)
d<p dq dq
Для <7 = ft из C8.14) получаем
dv r%% dv г2 sin & cos &
$v v db r
откуда, согласно C8,15),
d r2b г2 sin 0 cos &
rf<P v v
Последнее уравнение выполняется для ft = const = тг/2; дру-
другая возможность ft = const = 0 приведет не к планетной
орбите, а к метеору, прямолинейно падающему к центру
Солнца. То, что плоскость планетной орбиты соответствует
у нас выбору. ft = 7г/2, означает, конечно, просто удобный
выбор системы полярных координат.
Для q~t из C8.14) и C8.15) получаем
dv_ _ V г) > dv_ _ 0
di v ' dt '
следовательно,
Отсюда мы заключаем, что
= const. C8.16)
Поскольку t действительная, a v (как и ds) чисто мнимая
величина, то чисто мнимой должна быть и константа. Пола-
Полагая ее равной Ik, получаем, согласно C8.16),
C8.17)
—2-=-
г

§38. Общая теория относительности 433
где k является первой постоянной интегрирования, опре-
определяющей планетную орбиту.
Полагая q-=r, из C8.15) получаем дифференциальное
уравнение для г, интегрирование которого привело бы ко
второй постоянной интегрирования рассматриваемой задачи.
Однако будет проще использовать общую теорему, выве-
выведенную нами в т. I (Механика) для произвольной вариацион^
ной задачи и соответствующую в случае механики закону
сохранения энергии [см. т. I, формула D1.14а)]. В соот-
соответствии с рассматриваемой задачей заменим фигурирующую
там величину L на v, а стоящую там в правой части
постоянную на ih [численное значение функции Гамильтона
из формулы D1.1) указанного тома, одновременно вторая
постоянная интегрирования нашей задачи]. Получаем
-дj — v = ih C8.18)
i
или после умножения на v,
3
Левую часть можно преобразовать с помощью C8.14), при-
причем все члены с г, Ь и t пропадают; она сводится тогда к
r2sin2ft = — г2 из-за *> = у
Тогда из C8.18а) будет следовать
38.17) перейдет в
/= *_^— C8.20)
Г
а C8.14), если положить 8- = тс/2, даст
г*
7*2— а ' Л2 a' ^O.ZIJ
Л 1—2- 1—2—
г г
28 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

434 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
Это соотношение является дифференциальным уравнением
для г, которое выступает у нас вместо (один раз проинте-
проинтегрированного) уравнения Эйлера C8.15) для зависимой пере-
переменной q=r. Его можно упростить, если ввести новую за-
зависимую переменную #=1/г и умножить обе части на
1 — 2 (а/г) = 1 — 2аи,
и2-\-и2(\ — 2сш)Ч ?г = О,
что можно будет переписать также в виде
* C8.22)
Продифференцируем теперь еще раз по независимой пере-
переменной ср и сократим уравнение на и = dujdv. Получим
il-\-u = ~-{-3auz. C8.23)
Для сравнения рассмотрим ту же задачу с точки зрения
теории Ньютона. Будем исходить из уравнения сохранения
энергии (W будет означать сумму кинетической и потен-
потенциальной энергий)
Если мы обозначим интеграл площадей через he, то, со-
согласно теореме площадей, получим
r^^ — hc. C8.24а)
С помощью этого соотношения мы исключим из C8.24)
(d®jdfJ — h2c2lr*, положим снова «=1/г и получим после
деления на h2c2
1 i • о , „л GM W
и =
Это уравнение мы опять продифференцируем по ср, после
чего можно будет сократить снова на а, и, учитывая C8.10а),
найдем
•• , GM а /оо о-.

§ 38. Общая теория относительности 435
Релятивистское уравнение C8.23) отличается от C8.25)
лишь поправочным членом Зад2. Он не оказывает заметного
влияния на размеры и форму орбиты, однако сказывается на
положении перигелия. Чтобы показать это, поступим следую-
следующим образом. Пусть ось ср = О совпадает с направлением на
перигелий; это направление определяется условием и = «макс,
т.е. и = 0. Тогда и будет четной функцией о. Поэтому мы
можем, если начать с рассмотрения решения C8.25), раз-
разложить его в ряд Фурье по одним косинусам:
u = A + Bcosy-\- ... C8.26)
При этом выяснится, что обозначенные многоточием стар-
старшие члены обратятся в нуль. Для решения уравнения C8.23)
мы напишем *)
u = A-\-Bcosiy-\-Ccos2-(o-\- • • • C8.26а)
и из C8.23) получим для определения введенной постоян-
постоянной y уравнение
A-\-(l— <p2)?cos-rcp + (l — 4y2) С cos 27?+ . . . =
аАВ cos 79 -f -i aB2 (i _|_ COs2 7®).
Здесь мы сразу опустили высшие члены ряда в поправочном
члене. Сравнение коэффициентов дает
Л^+ЗоЛа + уЯ8.
A— ^)В = 6аАВ, C8.27)
1 Аналогично исследованию тонкой структуры в атоме водорода;
дальнейший вывод, пожалуй, нагляднее обычного астрономического
(Эддингтон). Следовало бы подчеркнуть, что всякое отступление от
законов Ньютона или Колона приводит к движению перигелия кеп-
лерова эллипса. Однако отступление, обусловленное изменчивостью
массы, значительно меньше (примерно в 6 раз) вызываемого поправ-
поправками к закону тяготения.

436 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
Коэффициент В выпадает из среднего уравнения, поэтому
оно может служить для определения у
1—Т2 = 6аЛ, y^I—ЗаЛ, 1— у^ЗаД. C8.28)
Постоянную А можно определить геометрически через рас-
расстояния перигелия и афелия (а и е означают большую полуось
и численный эксцентриситет эллипса):
«макс =т ^ИЪ ?Г==л + 5+--- для Т? = 0.
'мин. а V1 Е/
следовательно,
fl(l-Ea)'
Тогда из C8.28) будет следовать
За
1—Т
а A — Е»
Тем самым можно выразить геометрически и прецессию усо
перигелия за один оборот, именно используя соотношения
TBic-fto) = 2icf Зш = 27г1=1^^^, C8.29)
верные в пренебрежении членом а2. Отсюда для Меркурия
получаем смещение перигелия на 43", что совпадает с наблю-
наблюдениями.
Предыдущие вычисления можно использовать, чтобы рас-
рассмотреть и второе экспериментальное подтверждение общей
теории относительности—• отклонение света у края Солнца.
Траекториями световых лучей являются геодезические линии,
для которых ds = 0. В специальной теории относительности
это были образующие светового конуса ^dx\ = Q; теперь
они будут задаваться уравнением Ц5)^й^^ = 0) сле-
следовательно в нашем случае—уравнением C8.14) с г/ = 0.
Поэтому в C8.19) следует выбрать h= со. Уравнение C8.23)
перейдет благодаря этому в
и-\-и = Зам2.

§ 38. Общая теория относительности 437
При интегрировании оказывается достаточным действовать
несколько иным путем, именно устремить у к 1. Тогда из
C8.27) следует
аА+0, С+~
(последнее при учете h = со), следовательно, согласно C8.26а),
^fL«). C8.30)
Для ср = 0 световой луч должен коснуться края Солнца,
т. е. должно быть
= ?в\в
я 1i ±
+ R
поскольку а я^ 1 клх очень мало по сравнению с R. Поэтому
из C8.30) после умножения на rR, и если положить х = г cos ср»
_y = rsincp, получаем
К~ 2 R V X ^У ^Х 2 R
Траектория света имеет гиперболический характер, так же
как траектория планеты имела эллиптический. Для асимп-
асимптот | у | ^>> х получаем
г-, .За . ,1а i 2a /оо oi\
^ = —  F>y + X~YRy:==X:±Z~Ry- C8-31)
Угол между обеими асимптотами, равный углу отклонения
света от своего первоначального направления, составляет
4а//? = I",75 и вполне удовлетворительно совпадает с резуль-
результатами экспедиций по наблюдению солнечного затмения. Он
вдвое больше того угла, к которому приводил прежний прими-
примитивный расчет Зольднера и Эйнштейна (до 1915 г.; ср. при-
примечание на стр. 427).
В связи с этим мы заметим, что гравитационное поле
меняет не только направление, но и скорость света. Именно,
при распространении, например, в радиальном направлении

438 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
вдоль луча 9 = 0 она составляет, согласно C8.12), с уче-
учетом ds = 0
% = (l—2^)с. C8.31а)
Наконец, красное смещение спектральных линий в гра-
гравитационном поле—-третью из упомянутых возможностей
опытной проверки — можно определить без всяких вычи-
вычислений. Выберем некоторую точку в искривленном мире и
построим в ней (свободную от тяжести) эвклидову касатель-
касательную плоскость. Пусть направления бесконечно малых сме-
смещений, обусловленных приращениями координат в касатель-
касательной плоскости dXlf ..., dX±~icdT, совпадают по напра-
направлению со смещениями координат в искривленном мире,
обусловленными приращениями dr, ..., dxi = icdt. Тогда,
в силу равенства обоих элементов длины для покоящейся
испускающей свет частицы будем иметь
?2. C8.32)
Итак, промежутки времени dt и dT оказываются различными,
поэтому будут различными и частоты v и v0 (в отсутствие
гравитационного поля), которые относятся как обратные
промежутки времени. Тогда, согласно C8.32), получим
= |/ 1—2— vo«(l — |-)v0,
C8.33)
Частота уменьшается под действием гравитационного поля.
В силу значения а из C8.10а) величина красного смещения
равна
^ = 1?. C8.34)
где V [ср. C8.10)]—гравитационный потенциал. Экспери-
Экспериментальные доказательства: спектр Сириуса В и других
белых карликов или спектр Сверхновой, 1937 г.
Единая теория гравитационного и электромагнитного
полей. Следуя Гауссу и Риману, Эйнштейн выдвинул на

§ 38. Общая теория относительности 439
первое место метрику и потребовал тем самым, чтобы ds2
был инвариантом, a g^v имела тензорный характер. „Весы,
масштаб и часы" были теми основными средствами, кото-
которыми он пользовался как в общей, так и в специальной
теории относительности. С их помощью он смог геометри-
зоватъ тяготение.
Однако максвеллова электродинамика вакуума также
является комплексом явлений, стоящих над материальными
процессами. Поражающе простой вид, который она прини-
принимает в специальной теории относительности и сохраняет без
существенных изменений в общей теории относительности,
т. е. при переходе к произвольным системам отсчета, также
вызывает стремление к геометризации. Однако метрика ока-
оказывается для этого слишком узкой. Эйнштейн *) пытался
ослабить возникающие ограничения, требуя вместо инвари-
инвариантности ds2 только инвариантности для интервалов ds2 = О
(для элементов длины светового конуса). Тогда вместо g^,
как таковых, он приходит только к их отношениям.
Уже несколько ранее Вейль выяснил, что будет проще
и естественнее отказаться от метрики в качестве исходного
пункта и строить теорию, исходя непосредственно из эйн-
эйнштейновских F°v. Возникающая таким образом схема была
названа аффинной геометрией мира. Она приводит к уста-
установлению правила для „параллельного переноса", т. е. дает
предписание, как нужно двигаться по некоторой мировой
линии, чтобы не потерять однажды избранного направления.
В эту схему, естественно, включаются как гравитация, так
и электродинамика. Величины F°v считаются при этом сим-
симметричными в индексах [л. и v. Результаты этой теории изло-
изложены в классической книге Вейля 2).
Однако такая схема поддается еще и дальнейшему обоб-
обобщению— можно выбрать F°v, отличными от Г^. Таким об-
образом, возникает несимметричная аффинная теория,
в которой может быть построен новый антисимметричный
!) A. Einstein, Ober eine naheliegende Erganzung des Funda-
mentes der allgemeinen Relativitatstheorie [„К естественному расшире-
расширению фундамента общей теории относительности", Preufi. Akad., 2G1
A921), равно как и позднейшие работы по единой теории поля:
Preufi. Akad., 414 A925); 3 A928) и 3 A929).]
2) Н. Weyl, Raum. Zeit. Materie, Berlin, 1918.

440 Гл. IV. Теория Максвелла для движущихся тел
тензор. Пути ее построения намечены Шредингером ') ив на-
настоящее время он продолжает ее построение в дружеском
соревновании с самим Эйнштейном.
Поводом для этого послужило то обстоятельство, что
рядом с атомной физикой теперь возникла, как ее младшая
сестра, физика ядра. В то время как атомная физика, рас-
рассматриваемая с корпускулярной точки зрения, основывается
на электродинамических взаимодействиях между электронами
и протонами, силы ядерной физики нужно отнести между
тем к предсказанным теоретически и открытым эксперимен-
экспериментально мезонам. (Название мезон обусловлено, как известно,
тем, что эта элементарная частица обладает массой, проме-
промежуточной между массами протона и электрона.) Итак, фи-
физика ядра означает мезонную теорию. Эта теория требует
существования некоторого, отличного от электродинамиче-
электродинамического антисимметричного тензора. Но как раз к такому
тензору и приводит несимметричная аффинная геометрия
мира, которая привела бы, следовательно, к тройному союзу
гравитации, электродинамики и теории ядра. Однако как
будет она выглядеть в подробностях, пока еще ни в коей
мере не выяснено. Когда эта теория будет окончательно
разработана, только тогда теория Максвелла может быть
представлена в своей полной красоте и завершенности.
*) Ср. его заметку в „Nature" от 13 мая 1944 г., к которой при-
примыкают многочисленные сообщения в трудах Ирландской Академик
в течение 1944—1949 гг., последнее под заглавием The gene'ral affine
Field Laws, 51, стр. 41.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
1.1. Граничные условия теории Максвелла. Вывести
уравнения C.7а)—C.12) для Е, В, Н и D с помощью диф-
дифференциального метода. При этом следует предположить,
что переход от среды 1 к среде 2 происходит не скачком,
а непрерывно („пограничный слой" вместо „поверхности
раздела"). Использовать прямоугольную систему координат л:,
у, z, причем направить ось z нормально к поверхности раз-
раздела, которую в предельном случае можно считать плоско-
плоскостью. Чтобы эти уравнения имели смысл, фигурирующие
в D.8) производные должны всюду в пограничном слое (тол-
(толщиной /г->0) сохранять непрерывность.
1.2. Магнитное поле внутри и вне бесконечно длинного
прямого провода. Доказать справедливость соотношений
D.10) — D.13), исходя из диффе- с
ренциальных уравнений.
1.3. Магнитное поле внутри
бесконечно длинного соленоида.
Доказать соотношение D.14), исхо-
исходя из уравнений Максвелла.
1.4. Теорема косинусов сфе-
сферической тригонометрии как ча-
частный случай одного общего век-
векторного соотношения. Доказать
векторное соотношение
[АВ] [CD] =
= (AC)(BD) — (AD) (ВС)
Фиг. 44. К теореме ко-
косинусов сферической три-
тригонометрии. Три выходя-
выходящих из начала координат
единичных вектора D=A,
В и С растягивают на
единичной сфере сфери-
сферический треугольник.

442 Задачи
и вывести из него, учитывая фиг. 44, для специального слу-
случая D = А теорему косинусов
cos a = cos Ь cos с -j- sin Ъ sin с cos а.
К ГЛАВЕ II
II. 1. Потенциал проводящего эллипсоида вращения.
Пусть а и Ь — большая и малая полуоси эллипсоида, а
2с (с =У~а2 — Ь2) расстояния между фокусами. При по-
постоянном значении с и переменном а уравнение
представляет семейство конфокальных эллипсоидов с рас-
расстоянием между фокусами, равным 2с. Показать, что на
каждом из них приведенное в (9.4) выражение для ф по-
постоянно (не зависит от х, у и z).
II.2. Полубесконечный заряженный трением стеклян-
стеклянный стержень и его сравнение с проводящим параболоидом
вращения. Вычислить потенциал равномерно заряженной
полупрямой "и показать, что линии уровня будут такими же,
как и для проводящего параболоида вращения, который полу-
получается из (9.4) предельным переходом с —> оо, а—»оо.
Н.З. Сравнение диэлектрического и проводящего шаров.
Каждому диэлектрическому шару с г = а, помещенному
в первоначально однородное электрическое поле, всегда можно
сопоставить концентрический проводящий шар с г = & < а,
внешнее поле которого совпадает для г > а с полем ди-
диэлектрического шара, а для а^> г >> Ъ представляет не поле
диэлектрического шара (здесь однородное), а аналитическое
продолжение внешнего поля диэлектрического шара. Именно
эти поля и приведены на фиг. 45. Доказать, что
b^aV 7+2'
Фиг. 45. показывает, как в „точках равновесий" (ср.
примечание после фиг. 9а) на поверхности проводника

К главе II
443
возникают особенности, сменяющие регулярное поведение
силовых линий в случае диэлектрика.
Точка равновесия
Фиг. 45. Если добавить к полю
диэлектрического шара радиу-
радиусом г = а, помещенного в пер-
первоначально однородное внеш-
внешнее поле, его аналитическое
продолжение внутрь шара, то
получится поле, совпадающее
с полем проводящего шара
радиусом г — Ь<^а, помещен-
помещенного в то же первоначально
однородное поле.
Н.4. Поправка на краевые эффекты в плоском конден-
конденсаторе по Кирхгофу. Доказать, что поле рассеяния ограни-
ограниченного с одной стороны конденсатора, изображенное на
фиг. 46, описывается соотношениями
¦ = x + ly,
При этом уравнение ф = const будет описывать линии уровня
потенциала на плоскости х, у, а уравнение ср = const —
силовые линии. Убедиться, что приведенные на фиг. 46 пунк-
пунктирные линии правильно передают качественное поведение
обоих семейств кривых, и показать, что силовая линия <х> = 0

444 Задачи
(сплошная) является дугой циклоиды, соединяющей обе крае-
краевые точки х = 0, у = 0 и л; = О, у = а.
•X
\
\
\
\
I
I
Фиг. 46. Расположение линий уровня потен-
потенциала ф = const и силовых линий у = const у
края плоского конденсатора.
Н.б. Емкость лейденской банки (цилиндрический конден-
конденсатор). Пусть размеры банки составляют: высота /г=20 см,
внутренний радиус гх = 5 см, толщина стенок d = 1 мм-.
Пусть диэлектрическая проницаемость е для стекла равна 6е0.
Краевыми эффектами пренебрежем. Вычислить емкость в ми-
микрофарадах.
Н.б. К определению емкости двух проводников, заря-
заряженных равными и противоположными зарядами. Под-
Подставляя в A0.15) ех = — е2 = е и V = <J>1 — ф2» получаем
2W = Ve = (ftu + h22 — 2А12) е2 =
= Cn$+C2S-{-2CMz. A)
Показать сравнением с A0.11), что коэффициенты hy и
Сij связаны с элементарно определяемой емкостью С соотно-
соотношениями
Л'
2С
12
. B)

К главе II 445
Н.7. Собственные колебания и собственные частоты
внутри прямоугольного параллелепипеда с идеально про-
проводящими стенками. Исходя из B4.9) или B4.10), найти
всюду непрерывные выражения для поля внутри прямоуголь-
прямоугольного параллелепипеда со сторонами а, Ъ и с, удовлетворяю-
удовлетворяющие на трех парах граничных плоскостей
0 @ @
* ' 10' [с
граничному условию Е.гаиг. = 0.
Н.8. Собственные колебания и собственные частоты
внутри идеально проводящего кругового цилиндра конеч-
конечной длины. Исходя из B4.6) и B4.7), найти всюду непре-
непрерывные выражения для поля внутри кругового цилиндра
радиусом а и длиной /, удовлетворяющие условию ЕТанг.=0
как на боковой поверхности г = а, так и на основаниях
х = 0 и х — 1.
11.9. Собственные колебания в сферической полости
с металлическими стенками. Исходить, как и в § 19, из
вектора Герца (П), который направлен по диаметру шара,
0
периодически зависит от t, а в остальном зависит только
от г. В отличие от § 19 теперь вектор II должен оставаться
непрерывным и в центре шара. Рассматриваемое теперь со-
состояние будет соответствовать не расходящейся из этой
точки сферической волне, а суперпозиции расходящейся
и (отраженной от поверхности шара) сходящейся волн. Найти
возможные собственные волновые числа k и относящиеся
к ним собственные частоты ш = с/г, исходя из действующего
на поверхности шара при г ¦== а граничного условия Етанг.=0.
Н.10. Вычислить постоянные распространения для
волн вдоль проводов, исходя из телеграфного уравнения
Кельвина и релеевского сопротивления для переменного

446 Задачи
тока; а) для системы Лехера; б) для случая, когда обрат-
обратным проводом служит земля (прямой провод считать идеально
проводящим).
К ГЛАВАМ III и IV
Ш.1. Преобразования Лоренца для относительного
движения, направленного не по оси х.
Пусть а — угол между направлением скорости относи-
относительного движения v и осью х в „покоящейся" системе.
Пусть плоскость ху этой системы совпадает с плоскостью,
проходящей через ось х и v. Введем в рассмотрение „про-
„промежуточную систему" хх, ух, zx, tx, ось хх которой совпа-
совпадает с направлением v и плоскость ххух— с плоскостью х, V.
Переход
х, у, z, t^xx, ух, zx, tx, zx = z, tx = t A)
является обычным поворотом на угол а в плоскости х, у.
Введем теперь движущую систему хх, уи zx, t\, оси х[ и
ух которой совпадают в момент ? = 0, /" = 0 с осями хх и
ух промежуточной системы. Переход
*i> У\> zi> *i-»-*i. Уи z[, tx; /1=^1» z[ = zx B)
будет тогда частным случаем преобразования Лоренца и,
следовательно, будет описываться соотношениями B7.10).
Ьсли повернуть теперь, наконец, систему хх, ух, zx, tx
на угол — а в плоскости хх, ух, т. е. сделать переход
х'х, /и z[, t[^x', у', z', t'\ z[ = z'; t[ = tft C)
то мы получим результирующее преобразование
х, у, z, t^x', у, z', t', D)
значительно упростив получение выражающих его соотноше-
соотношений. Убедиться, что полученное преобразование будет (что
очевидно) четырехмерно ортогональным и (что не очевидно)
его можно переписать в векторной форме.
Ш.2. К теореме сложения двух различно направленных
скоростей. Доказать формулу Эйнштейна B7.19г), исходя
из преобразований Лоренца.

К главам III и IV 447
Ш.З. Поле равномерно движущегося электрона. Пре-
Преобразовать представление C0,6) с помощью основанных на
фиг. 42 элементарных понятий в представление B8.14) и
B8.14а),
IH.4. К релятивистскому уравнению энергии для элек-
электрона. Вывести выражение C2.7) для кинетической энергии
и уравнение энергии C2.6) из уравнений движения C2.5)
с помощью обычного метода (скалярное умножение на ско-
скорость).
Ш.5. Электрон в однородном электростатическом
поле. Электрон влетает со скоростью v под углом а в кон-
конденсатор (вакуум), верхняя обкладка которого проницаема
для электрона. Расстояние между обкладками d, разность
потенциалов верхней и нижней
обкладок V в (фиг. 47).
-ЛОе Какую кривую опишет элек-
электрон при нерелятивистском дви-
движении? Насколько приблизится
он к нижней обкладке?
При какой скорости электрон
Фиг. 47 Электрон описы- ДОСТИГНет нижней обкладки?
вает в однородном поле /rt _ irvK ,
параболу. (Пример: г/ = 5-106 м/сек;
rf= Ю-2 м; У=110 в).
С каким потенциалом должен пройти первоначально по-
покоящийся электрон поле, чтобы достигнуть скорости
г;=5.106 м/сек?
К каким изменениям приведет релятивистский расчет?
Ш.6. Электрон в однородном магнитостатическом
поле. Если начальная скорость электрона направлена перпен-
перпендикулярно к полю, то получается движение по окружности.
Вычислить ее радиус. Если имеется составляющая, направ-
направленная вдоль силовых линий, то получается движение по
винтовой линии с круговым основанием. Это справедливо
как в нерелятивистском, так и в релятивистском случаях.
Ш.7. Электрон в параллельных однородных электри-
электрическом и магнитном полях. В опытах Кауфмана, по-
поставленных для измерения отношения elm, испускаемые

448
Задачи
препаратом радия, В-лучи (фиг. 48) проходят сначала через
узкую диафрагму D, а затем пересекают однородное электриче-
электрическое поле ±Е и параллельное ему магнитное поле В (± Е
указывает на перезарядку конденсатора). Оба поля начинаются
у диафрагмы D и простираются вплоть до фотопластинки,
поставленной на расстоянии а от D поперек направления
полета частиц. Какая кривая запечатлеется на этой пластинке
если В-лучи испускаются со всеми возможными скоростями v?
Фото-
Фотопластинка^
L
У
Фиг. 48. Схемы опытов Кауфмана для измерения е/т.
Слева— вид сбоку. Справа —возникающая на фотопластинке картина
при использовании обладающих непрерывным спектром скоростей
Р-лучей препарата радия.
Пренебречь небольшими изменениями полной скорости в поле
по сравнению с большой начальной скоростью v и пред-
представить координаты точек встречи лучей с пластинкой как
функцию параметра v.
Ш.8. Электрон в перпендикулярных однородных элек-
электрическом и магнитном полях. Траекторией является ци-
циклоида; обусловленное магнитным полем круговое движение
превращается под действием электрического поля в движе-
движение, аналогичное движению некоторой точки катящегося
колеса. При каких начальных условиях возникает обычная
циклоида?
Движения такого типа возникают в электронных лампах,
называемых „ магнетронами".
Ш.9. Характеристика накаленного катода по Ленгмюру
иШоттки. Практические большинстве случаев используется

к главам IJJ и IV 449
цилиндрическое расположение: катод в виде раска-
раскаленной проволоки на оси цилиндра, поверхность которого
образует анод. Математически проще линейное расположе-
расположение: катод при лг = О и анод при х = 1, образованные пло-
плоскими кругами и удерживаемые соединяющим их изолирую-
изолирующим цилиндром. Пусть потенциал на расстоянии х от катода
будет V(x) [на катоде V@) = 0; на аноде V(/) = V]. Будем
считать, что число вылетающих в 1 сек. из катода электро-
электронов столь велико, что можно проводить вычисления с не-
непрерывно распределенной плотностью заряда — р. В про-
пространстве между катодом и анодом должно выполняться
уравнение Пуассона
Плотность конвекционного тока j = pv не зависит от х;
скорость v определяется из соотношения mv2j2 = eV(x).
Проинтегрировать уравнение Пуассона, задавшись степенной
зависимостью от х, и получить так называемую характери-
характеристику лампы (выражение для J в функции от приложенного
напряжения V).
Убедиться, что то же предположение о степенной зави-
зависимости приводит к цели и для цилиндрической геометрии.
III. 10. Ускорение электрона в бетатроне. В бетатроне
электроны „впускаются" в плоскости симметрии между двумя
аксиально-симметричными полюсными наконечниками элек-
электромагнита, питаемого переменным током. Магнитное поле
вынуждает их двигаться по круговой орбите. При пульса-
пульсациях магнитного поля возникает вихревое электрическое
поле, ускоряющее электроны на их орбите. Существует
радиус г = г0 круговой орбиты, который остается неизмен-
неизменным при пульсирующем магнитном поле и возрастающей
скорости электронов. После бесчисленных оборотов элек-
электроны могут достигнуть скорости, весьма близкой к ско-
скорости света, после чего они становятся подобными [3-лучам
радиоактивных элементов (откуда название „бетатрон").
Будем считать, что задано аксиально-симметричное, моно-
монотонно убывающее по мере удаления от оси симметрии рас-
распределение поля В (г, t) (точнее, его аксиальной составляю-
составляющей) между полюсами и начальная тангенциальная скорость
электронов vА.
29 Зак- 2614. А. Зоммерфельд

450 Задачи
Определить:
1. Максимально достижимый импульс mv электронов,
их скорость, массу и энергию в эв.
2. Радиус г0 равновесной окружности.
3. Частоту обращения в конце ускорения и полное число
оборотов.
4. Силу реакции возникающего излучения.
IV. 1. Поле униполярной индукции. Пусть в однородное
поле В поперек его силовых линий помещен стержень, кото-
который движется с постоянной скоростью в направлении
своей оси.
Вычислить:
1. Электрическое поле внутри стержня и его потенциал.
2. Напряжение между противоположными сторонами
стержня.
3. Внешнее поле, в частности, для специального случая
стержня круглого сечения.
4. Поверхностный заряд.
5. Как изменится положение вещей, если перейти от рав-
равномерного перемещения стержня в направлении его оси
к равномерному вращению тела вращения вокруг его оси
симметрии?
КРАТКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.1. В выражения для .^-составляющих уравнений D.8)
входят производные
к. и е.
дг дг
Они должны остаться конечными при предельном переходе
/г->0, чтобы избежать обращения в бесконечность левых
частей соответствующих уравнений, что привело бы к обра-
обращению в бесконечность Вх и Dx. В силу ^-составляющих
уравнений D.8) то же справедливо и для производных
дЕх дН„
Отсюда следует непрерывность тангенциальных составляю-
составляющих Ех, Еу, Нх и Ну [ср. C.9) и C.8а)].

Краткие решения задач 451
В уравнении D.4а) div В—0 участвует производная dBJdz,
которая также должна оставаться конечной и непрерывной
в пограничном слое. Отсюда вытекает требование непре-
непрерывности нормальной составляющей Bz [формула C.7а)].
Из анализа одной только ^-составляющей уравнений Мак-
Максвелла Bz — — го*г Е такой вывод сделать нельзя, так как, хотя
в правую часть уравнения и входят только тангенциальные
составляющие Ех и Еу и дифференцирование выполняется
только по тангенциальным направлениям х и у (почему пра-
правая часть конечна и непрерывна), но следующая из этого
непрерывность левой части может существовать совместно
с разрывом у Bz, не зависящим от времени. Отсюда видна
необходимость нашего дополнительного требования div B=0.
Те же выкладки, примененные к уравнению D.46) для
непроводников div D = р, приводят в пределе h -> 0 к р -> оо.
Это следствие ни в коей мере не является недопустимым;
оно указывает просто, что на границе двух непроводников
может существовать поверхностный заряд оо, который соот-
соответствует как раз бесконечно большой пространственной
плотности заряда и равен скачку нормальной составляющей
индукции D. Из выражения для z составляющей уравнения
Максвелла D = rot H следует, что этот скачок не должен
зависеть от времени. В общем случае на границе раздела «про-
«проводник—непроводник», согласно уравнению D.4г) или z-
составляющей уравнения Максвелла D-f-j = rotH, также
может возникнуть поверхностный заряд, который не должен,
однако, быть теперь постоянным, но может меняться в зави-
зависимости от плотности тока jz.
1.2. Мы займемся только магнитным полем. Относительно
электрического поля, которое будет исследоваться подроб-
подробнее в § 17, нам будет достаточно знать, что в проводе при
О < г < а ему соответствует однородное поле тока jz,
а в обратном проводнике при b<^r<^c — также однород-
однородное поле тока j_z, относящееся к тому же самому, но про-
противоположно направленному полному току
У= icflV, = — * (с8 — t>2)J-z- A)
Используем полярные координаты г, ср, z с осью г = 0 на
оси провода. В силу симметрии задачи для всех трех
29*

452
Задачи
составляющих Иг, Н^ и Нг
JL
dz
Тогда, если воспользоваться таблицей в задаче 1.3 в т. II
(Механика деформируемых сред), уравнение Максвелла rot H=j
сводится к уравнениям для составляющих ср, z\
= 0,
1 d rr
— —- rHo =
r dr т
dr
jz для
О „
J — z »
О „
0 </"< а
a<r<b -
Ь<г<с |
с < г < оо j
B)
C)
в то время как г-составляющая того же уравнения прини-
принимает форму тождества: 0 = 0.
Из B) получается
Hz = const = 0,
поскольку Нг должно обращаться в нуль для г = оо. То,
что должна обращаться в нуль и составляющая Нг, видно
из условия divH = 0. Итак, линии магнитного поля Н == Н^
являются, следовательно, концентрическими окружностями
с центрами при г = 0. Напишем Н^ — Н и представим инте-
интегрирование уравнений C) в виде таблицы
Дифференциальное
уравнение
Решение
Определение постоянных
a<r<b
~dr
и . r , A
я=т
A = 0 в силу конечно-
конечности H@)
В
¦ = -7Г- из-за не-
непрерывности Н при
г = а и соотноше-
соотношения A)

Краткие решения задач
453
Продолжение
Дифференциальное
уравнение
Решение
Определение постоянных
Ь<г<с
И I Г
/ C2
С<Г<ОС
из-за не-
непрерывности H при
г = b и соотноше-
соотношения A)
D = О из-за .непрерыв-
.непрерывности Н при г = с и
соотношения A)
Это решение совпадает с выражениями D.10)—D.13).
1.3. Выберем систему координат г, ср, z. Симметрия
поля d/dcp = d/cte = O, как в 1.2; а и ? — внутренний и
внешний радиусы соленоида. Тогда
, _/=0 /-fy» для а<г<ь>
Jr h ' J \ 0 для г < а и г >г>.
Уравнение rotr H = 0 удовлетворяется тождественно в силу
симметрии, уравнение rot^H = 0 требует d(rHy)}dr = 0,
Н^-=А\г, А = 0 в силу конечности Н для г = 0. Также
Яг=0, поскольку divH —0. Как получить Hz, показывает
следующая таблица:
о<го
Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение
dHz _0
dHz
Решение
Hz — const
Hg = — \ jydr+A
й
т_т г>
Определение постоянных
const = Н (внутреннее
поле)
А = Н из-за непрерыв-
непрерывности перехода во
внутреннее поле
В = Н— I jydr из-за
а
непрерывности при

454 Задачи
Однако Hz = 0 при г = со и поэтому В должно быть равно
ь
нулю, следовательно Я= Г j\dr, что совпадает с H^N^
а
Ь
в D.14), поскольку I j^dr имеет смысл полного тока, прохо-
а
дящего через сечение соленоида толщины Ъ — аи длины 1
в^-направлении. Этот ток равен А/1У, где Nt — число витков
на единицу длины соленоида.
1.4. Доказательство векторного соотношения получается
немедленно, если ввести сокращенное обозначение Р = [АВ]
и использовать правило круговой перестановки Р [CD] =
= C[DP] и формулу F.2а).
Для доказательства теоремы косинусов положим D = А.
Если векторы А, В, С являются радиусами единичного
шара, то
АВ = cos с, . . ., | [АВ] | = sin с, ... .
Угол между направлениями [АВ] и [АС] равен углу а, растя-
растянутому на векторах А, В, С сферического треугольника.
II.1. Из заданного в задаче уравнения эллипсоида
получаем
±cf = а24- -J z2 =±= 2cz = (adz ~
Чтобы получить стоящие в (9.4) под логарифмом
числитель и знаменатель, нужно извлечь отсюда корень*
таким образом, чтобы он был положительным для всех
| z | <Га. Таким образом, получаем
c-\-a-{-~ =
z-\-c-\-Vx2-\-y2-\-(z-\-cJ =
-cJ=z — c-\-a a

Краткие решения задач 455
Отношение этих выражений равно (а-\-с)(а—с), следова-
следовательно, постоянно для каждого из конфокальных эллипсо-
эллипсоидов. Тем самым (9.4) доказано.
Правда, эта постоянная меняется, если вместо эллипсоида
с полуосями а, Ь, с исходить из эллипсоида с полуосями
аг >а, Ъх > Ь, сх > с. Это не нарушает, однако, совпадения
полей вне второго эллипсоида, поскольку нумерация эквипо-
эквипотенциальных поверхностей не имеет физического смысла.
II.2. Пусть в результате трения стеклянная палочка
несет одинаковый заряд X на единицу длины; пусть толщина
ее исчезающе мала. Тогда, согласно G.56), ее потенциал
будет равен
-\Г
= \ 1 n (z -f Vx2 + У2 + z2 ) + const;
«постоянная» будет при этом бесконечна, именно
«равна» —XlnO.
С другой стороны, то же значение получается и из
(9.4), если положить там z' = z-\- с, e = 2ck в пре-
пределе с —>¦ со (с z' вместо z). Естественно, что поверхности
уровня параболического проводника совпадают с нашими
только вне его, поскольку внутри него всюду ф = const.
Н.З. Согласно (9.13) и (9.14), потенциал диэлектрического
шара для г > а (е — относительная диэлектрическая прони-
проницаемость шара и окружающего пространства) равен
То же выражение является одновременно и аналитическим
продолжением внутрь шара. Для г = Ь <^а оно приводит к
Если положить здесь
е —1

456 Задачи
то (^ перестанет зависеть от 0; именно будет ф1 = 0, как
и следовало бы требовать для заземленного проводящего
шара.
II.4. Эта задача математически родственна задачам на
отображения из § 29—31 в т. II (Механика деформируемых
сред) и опирается на выясненную в § 19 того же тома
фундаментальную связь двухмерной теории потенциала
с теорией функций комплексного переменного z — x-\-iy.
Там же мы уже обсуждали смысл объединения потенциала ср
и функции тока ф в одно комплексное переменное Се, как
это сделано в настоящей задаче. То, что мы приводим не
выражение С,Е как функции z, а, наоборот, z в функции С#,
обусловлено тем, что z зависит от ?# однозначно.
Вид отображающей функции /(С) определяется сле-
следующим образом. Если мы положим
то
откуда
О
а,- ^. . , Для —°° < ср < +оо.
Итак,
(нижняя V Г 0 |
} обкладка конденсатора у = { },
верхняя ) { а }
находится при потенциале
О
ф="
Плоскость симметрии конденсатора также является экви-
эквипотенциальной поверхностью. Действительно, если поло-
положить ф = У/2, то будет /(С) = ти-|-1 — $-\-е~ъ, откуда
j/==a/2, х=[а/2т:A—^-|-е~8)], однако теперь х^О,
когда 0 меняется от — оо до -f- oo. Следовательно, теперь
речь идет о прямой, а не о полупрямой.
Краевые точки х = 0, у = 0 и х = 0, у —а, которым
соответствуют ф = 0, ср = О и ф = У, ср = О являются

Краткие решения задач 457
точками разветвления отображения. Силовая линия ср = О,
соединяющая обе эти точки, представляется параметрически
(положим 0 = 2тгф/У) как
х = |-A— cos 6), ys=±.(B — sin 6).
Это—уравнение обыкновенной циклоиды, ср., например,
совершенно аналогичное представление A7.2) в т. I (Меха-
(Механика).
Силовые линии внутри конденсатора на большом рас-
расстоянии от краев соответствуют значениям параметров
; 0<6 <2тс.
Поскольку теперь е*б-8 обращается при растущем & в нуль,
то мы получаем просто
а а
iv = ¦„- A -f- 0—9-)> следовательно х = ^- A — 8^);
Ha каждой из этих силовых линий в силу ср = const выпол-
выполняется также и & = const, а потому и х = const; с другой
стороны, ф меняется на каждой из этих линий между 0 и V,
следовательно, 0 между 0 и 2тг и потому у между 0 и а.
Итак, силовые линии все более и более приближаются
к прямым, перпендикулярным к обкладкам конденсатора,
как и следовало ожидать.
II.5. Дифференциальное уравнение для потенциала в
цилиндрических координатах г, ср, z при отсутствии зависи-
зависимости от ср и z имеет вид
г rfr dr
Оно приводит к
//ilj Л с Л
Т Е7 "^ 7^ *"•-**
* — — С* v ' —— 7 Уу ¦ -» в
rfr г г г г
Поэтому поверхностная плотность на внутренней и внешней
обкладке составит
— гА вА

458 Задачи
а заряд на единицу длины в направлении оси z
ех = 2тгг1ш1 = —¦ 2тгеЛ; е2 = 2тгг2<о2 = 2тгеЛ = — ег.
В результате нового интегрирования получается
следовательно,
6! = — = емкость на единицу длины.
V , /"«>
/
Для
и, пренебрегая краевыми эффектами,
„ „ , 2ъглЫ Поверхность , „
С = С,п = ±— = -=г— X Диэлектр. проницаемость.
1 d Расстояние
В единицах MKSQ:
rlh= 100 см2 =10~2 м2, d=l мм = 10~ м'
е = 6ео= ^- • 10~9 к21дж • м, С ¦=¦ -~ • 10~8fl6=^« 10 мкф.
D7C О О
II.6. Первое из приведенных в уравнении B) задачи
соотношений является очевидным в силу A). Второе полу-
получается следующим образом:
Согласно A0.14),
откуда
0 = (Си + С12) ^ + (С21 + С22) Фа- B)
Кроме того, фх и ф2 связаны линейным соотношением
Из B) и C) получаем
у. л. ?ц ~Ь Q2 у

Краткие решения задач 459
Подстановка в A) дает
Си + 2С12 -f- C22
Множитель при V является емкостью в обычном смысле.
Тем самым доказано и второе утверждение задачи.
II.7. Если заменить подразумеваемый в B4.9) фазовый
множитель eihx на
sin
где / — целое число (стоячие волны вместо бегущих) и про-
произвести выбор cos или sin с учетом наложенных на отдель-
отдельные составляющие Е граничных условий, то мы получим
частные электромагнитные собственные колебания парал-
лелепипедообразной полости, для которых Нх = 0. Точно
так же, исходя из B4.10), мы придем к собственным
колебаниям с Ех = 0.
Но, как видно из специальных значений Нх = 0 или
Ех = 0, мы не получаем еще таким образом общего вида
собственных колебаний нашей полости. Общая схема, кото-
которая только и учитывает полную симметрию всех трех осей,
имеет вид
т? л 1 X . У . Z
Е„ = А cos тг/ — sin тся -J- sin тгт —,
х a b с
F =5 sinn/— cosTcn^-simxm— , A)
xv z
Е„ = С sin тс/ — sin тс/z^j-cosnm —;
z a b с '
I/ — Н„ = А' sin тс/ — cos теп -— cos tcw —,
r e0 x a b с
ГпГ X У Z
}/ — И,. = В' cos тс/—sin тс/г -у- cos tcw—, B)
t0 у a b с v '
^ Hr — Ccosrd — cos тс/г ~ sin Tztn — .
a b с

460 Задачи
Постоянные А, В, С должны в силу соотношения div?" =
удовлетворять условию
постоянные А', В', С' определяются из А, В, С с помощью
уравнений
D)
^A
а о
Эта схема будет играть важную роль в вопросе о равно-
равновесном излучении в т. V (Термодинамика и статистическая
физика), так же как общая схема упругих собственных
колебаний из т. И, § 44 имела большое значение для воп-
вопроса о теплоемкости.
II.8. Из B4.6), если положить там h = Tzmjl (m—целое
cos
число, / — длина цилиндра), заменить снова eihx на . hx
г sin
и позаботиться путем подходящего выбора между cos и sin
о выполнении граничных условий ^танг. =0, получается
= У® — h2
jn (р) Cos ncp cos hx; l/ ^ Hx = 0;
= — /n (p) cos ncp sin hx; l/ ^ Hr~ --j-^-Jn(p) siting cos hx;
w ?q lib p
= —Jn(p)smn<psmhx; Л/ — H— — J'n (p) cos ncp cos hx;
P r ?q * III
A)
здесь, как и в B4.6), р = |/г/г2 — h2r, a
один из бесконечного числа корней функции уравнения
Jn(w) = 0. Тогда собственное волновое число k и собствен-
собственная частота ш задаются выражениями
w
—; ы = кс, B)
где с — скорость света.

Краткие решения задач 461
Представленная выражениями A) система функций трижды
бесконечна и нумеруется числами п, v и содержащимся в h
целым числом т. Можно убедиться, что A) удовлетворяет
не только граничным условиям, но и требуемой уравнениями
Максвелла связи между Е и Н.
Точно так же из B4.7) получаем с тем же смыслом
для h\
у ^- Hx = у —^— Jn (p) cos яср sin hx;
j/ ?$- Нг = /п (р) cos rccp cos hx;
. = — -тт. ~ ^п (p) si" яф sin Лл:; C)
V
— H-= Jn (p) sin яср cos /гх;
f? = — тд Jn (p) cos rccp sin hx.
Теперь собственное волновое число и собственная частота
равны
/¦2
ЙГ, ш = А;с, D)
где да^ — один из бесконечного числа корней уравнения
уи(<йУ) = О. Серия собственных частот C) снова трижды
бесконечна.
Составляют ли A) и C) полную систему собственных
колебаний цилиндрической полости?
II.9. Интересующее нас непрерывное при г = 0 решение
дифференциального уравнения A9.16) равно с точностью
до постоянного множителя
П= sinkr c-i(ot
г
Разложение
демонстрирует упомянутую в задаче суперпозицию расхо-
расходящихся и сходящихся сферических волн. Из соотношений

462 Задачи
A9.17) и следующих получаем, опуская временной множитель,
г- « / d? i
e0Er = cos П (^ 4-
Sitl
d . , sin kr \.
sinfcrJ
Граничное условие ?"8 = 0 требует, чтобы при г = а
cos /ta — ^^ [1 — (kaJ] = 0.
Получаем отсюда трансцендентное уравнение
tg x = ^ ^.2; x = ka.
Его графическое решение приводит к первому корню х1г
несколько меньшему тг, и к бесконечному ряду дальнейших
корней, асимптотически стремящихся к значениям atv = vtt.
Кроме этой однократно бесконечной системы собствен-
собственных функций, при которых электрические силовые линии
расположены в меридиальных плоскостях ср = const, а маг-
магнитные направлены ортогонально к ним, существует еще со2
менее симметричных собственных функций, которые зависят
от Ь и ср через шаровые функции.
11.10. Телеграфное уравнение A8.19) после подстановки
и при условии, что в нем G = 0, дает
A)
Для больших ш, точнее для u>L^>|Z|, отсюда следует
Л~&=4у, B)
где
k = со j/cZ Ba)
есть волновое число для линии без сопротивления, а
Р = "|/~Г B6)

Краткие решения задач 463
— ее волновое сопротивление. Наконец, Z—оператор
сопротивления из B0.19), складывающийся из действитель-
действительной части—-сопротивления R и (равной ей при сильном
скин-эффекте) мнимой части—внутреннего индуктивного
сопротивления о)^:
Z = tf — i(oLi = (\— i)R. Bв)
Заметим, впрочем, что Z можно заменить в A) просто на R,
если понимать под L не внешнюю самоиндукцию Le, как это
имело место при выводе телеграфного уравнения, а сумму
Le~\-Li—внешней и внутренней самоиндукции (при этом мы
предполагаем, что частота ш так велика, что наблюдается
полный скин-эффект). Тогда, согласно B0.12), глубина про-
проникновения скин-эффекта составит
Д=-. C)
Предположим для дальнейшего, что амплитуда волны мед-
медленно меняется вдоль окружности провода, чтобы не нару-
нарушилась справедливость решения из § 20, Б, относившегося
к плоскому случаю. Тогда, согласно B0.15а), сопротивление
переменному току куска поверхности длины 1 и ширины 1
(измеренной в направлении обхвата провода) будет равно
« <4>
Ток, проходящий через эту (а не через лежащие ниже)
полоску металла, равен линейному интегралу от магнитного
поля Н вокруг этой полоски, который сводится в нашем
случае к значению Н на поверхности. Тогда при учете D)
для выделяющегося в этой полоске Джоулева тепла получаем
и для тепла, выделяемого на всей единице длины проводника,
= / Н ds\, E)

464 Задачи
где ds— элемент длины окружности проводника, ф—ин-
ф—интеграл по окружности проводника. Здесь R и J—сопро-
J—сопротивление и полный ток этой единицы длины. Из E) полу-
получаем также
R
(ун
Величину Н следует определять из квазистационарного
поля в диэлектрике. Им же определяется и внешняя само-
самоиндукция Z.e элемента длины линии и ее емкость К, равно
как и, согласно B6), ее волновое сопротивление р.
а) Двухпроводная система Лехера. а — радиус прово-
проводов; 2Ъ — расстояние между проводами; 2!^ — расстояние
между линиями источников (ср. фиг. 36); и и v — биполяр-
биполярные координаты для поля в диэлектрике; и = const — маг-
магнитные силовые линии; v = const—-электрические силовые
линии:
-r^ ;
ch и — cos v '
a2. G)
На окружности провода и — и0, ch uo — b/a.
Так как биполярная координата v непосредственно сов-
совпадает с магнитным потенциалом, то искомая составляющая
магнитного поля на поверхности провода будет равна
„_rft^_J__J_ , 8
ds g Co
Отсюда при вычислении входящих в F) интегралов получаем
ф Н ds = Г — g dv = 2тт,
о
Г г 1 1 г
ф H2ds— j -r.gdv=~ j (ch u0—cosv)dv =
о о
2тг , 2тг b
—~* ь L<11 t*O * с
0) " Cn a

Краткие решения задач 465
и, согласно F) [добавленный к F) множитель 2 обусловлен
наличием двух проводов],
__ _
ad Cn a \
Поскольку, с другой стороны, биполярная координата и
совпадает с электрическим потенциалом, то напряжение
между проводами будет равно
Отсюда для емкости и самоиндукции единицы длины полу-
получаем
С (-'¦о 2тс
а для ее волнового сопротивления
1 ""- ом. A1)
Тогда из (9) и A1) с учетом Bв) для постоянной распро-
распространения B) получаем
' 9 » ¦• ~^~и п
Это выражение совпадает со значением B5.20). Чтобы убе-
убедиться в этом, нужно только подставить в A2) значение d
из C) и выразить при этом проводимость а через комплекс-
комплексную диэлектрическую проницаемость е' = е-{-(/с/ш)^/(с/ш),
а также, с другой стороны, учесть смысл введенного в B5.20)
сокращенного обозначения р [1/р = (Ь-\-?0)/а\.
б) Обратный провод — земля. Теперь роль плоскости
симметрии биполярных координат и — О играет поверхность
Земли. В формуле F) для R нужно опустить множитель 2,
поскольку следовало предположить, что прямой провод
SO Зак, 2614. А. Зоммерфельд

466 Задачи
не обладает сопротивлением и вся величина R относится,
следовательно, только к обратному проводу — земле. С дру-
другой стороны, С следует теперь удвоить, L и р вдвое
уменьшить; Ъ означает теперь высоту провода над землей,
a ?q — высоту линии источников над землей, которая несильно
отличается от Ъ. Таким образом, из (9), A1) и A2) получаем
A3)
A4)
In —
a
Числовой пример: частота из области ВЧ связи по
о
проводам: 108 сек.; проводимость а (земля) = от 10
до 10~4 ом • м, Ь—10м, а=1 мм. Из C) получаем, что
d принимает значения от 35,5 до 3,55 м и, следовательно,
согласно A3) и A4), R принимает значения от 6,7 до
0,67 ом/м, (h — k)—от 56 до 5,6- 10~4 ле". Для низких
частот глубина проникновения столь велика по сравнению
с обычной высотой провода Ь, что примененный метод
вычисления (в отличие от использованного в § 25) стано-
становится совершенно незаконным.
В случае одиночного провода без обратного внешнее
поле уже нельзя более считать квазистационарным, и по-
поэтому рассмотренный приближенный метод не дает никаких
преимуществ по сравнению с методом, описанным в § 22.
На нашем числовом примере видно, между прочим, сколь
сильно искажается поле одиночного провода при наличии
даже неметаллического обратного проводника; ср. в связи
с этим замечание в начале § 22 относительно неудачи
первых опытов Герца с проводами и относительно влияния
стен лаборатории.
III. 1. Рассматриваемое в задаче преобразование D) сле-
следующим образом складывается из преобразований A), B)
и C).
(а)

Краткие решения задач 467
где U и L—-преобразования Лоренца, D — вращение, а
D~l — обратное вращение, именно:
D: jc1 = .x:cosa-|--y sina, zi — z>
L: x'=
i
Z):
sin a +Vj cos a, ?' =
Последовательно комбинируя эти преобразования и исполь
зуя обозначение
1
получаем для U матрицу
х у z ict
х' /1+(^—l)cos2a (у\—- 1) cos a sin a 0 /C-yjcosa^
У' I С7] — 1) cos a sin a 1 -\-(y\—l)sin2a 0 /p
z' 1 0 0 10
ict' \ —/^Tjcosa —^8-yjsina 0 ч\
Она является ортогональной в четырехмерном смысле (как
для строк, так и для столбцов суммы квадратов равны 1,
а суммы произведений элементов разных строк или столб-
столбцов— нулю), и поэтому ее с равным успехом можно читать
как сверху вниз, так и слева направо.
Направленная под углом а скорость v преобразования B)
обладает в системе х, у, z составляющими г; cos a, г; sin а, 0.
Поэтому, если обозначить г = (х, у, z) и х'' = (/, у', z')t
то
— г = х cos a -\-y sin a; — г' = х1 cos a -\-y' sin a.
30*

468 Задачи
После такого упрощения наша матрица при чтении слева
направо дает
а при чтении сверху вниз
(B)
С V
В то время как (б) произошло из преобразования (а), выра-
выражение (в) соответствует обратному к (а) преобразованию
L = D~lL'D. (г)
Дифференцированием (б) по f или (в) по t находим
трехмерные скорости qf — (drf/df) или соответственно
q = dr/dt:
III.2. Задачу можно сформулировать следующим образом.
Система х, t движется относительно системы х1г t± со ско-
скоростью ргс в направлении оси х. В системе xlt tt движется
точка Р со скоростью р2с, направленной под углом а к оси хх
(направление которой совпадает с направлением оси х).
Какова результирующая скорость точки Р относительно
системы х, t?
Движение точки Р в системе xlf tlt если отвлечься от
аддитивных постоянных, описывается уравнениями
х1 = р2 ctx cos а; Ух = ^ictl sin а. A)

4 Краткие решения задач 469
С другой стороны, для всякой точки в системе xv ti спра-
справедливы соотношения преобразований Лоренца:
t— ° л-
Исключая из A) и B) хх и tlf получаем
х — fat = р2с cos a U — ^-
или, если собрать вместе члены с х и с t,
х A -f- ргр2 cos а) = (^ + Р2 cos a) с^.
следовательно,
^ __ h + Р2 cos д _
rf/ ~" 1 + PP °s а
Далее, из B) и A) следует
В«>с sin a
dy 62с sin а /1 Pt ^-^ \
и, согласно C),
rfy Р2С sin a I Pi 4" Р1Р2 cos а \ Ргс s*n а У 1 — Pi
dt ~\f 1 в2 ^ ^ ~^" ^Р2 cos а ' ' ^ ~1~ ^2 cos а
Величина результирующей скорости в системе х, t составляет
Если положить теперь q/c = р, то получим
R2 __ (h + h cos aJ + P2 A ~ f 1) si a
i2 4- 2S.S0 cos a -+- р9—BtBo sin а
Ъ? , E)
что и требовалось доказать.
31 Зак. 2614. А. Зоммерфельд

470 Задачи
Ш.З. В C0.6) г означает вектор LP, следовательно
г— одна из сторон треугольника LOP на фиг. 42. О — точка,
в которой расположен электрон в момент времени, совпа-
совпадающий с моментом наблюдения поля в точке Р. Пусть
скорость электрона направлена, как и в § 28, по оси х,
что дает возможность упростить формулы § 30. Длина LO
будет тогда равна vx при т = г/с, т. е.
Длина ОР есть расстояние между электроном и точкой
наблюдения в момент наблюдения; г' можно обозначить
через
r'=W2-f-/2+z'2,
где х'', yf, z'—координаты точки Р по отношению
к точке О; Ь и 0'—углы при вершинах L и О (см. фиг. 42).
Тогда
г'cos &' — *', г cos » = x'-f- pr. A)
Далее, по теореме Пифагора,
/-2 = /-'2-KP/-J-|-2/-'p/-cos&/, B)
следовательно,
/¦2A— р2) — 2ргх'= г'2.
Решение этого квадратного уравнения относительно г дает
Входящий сюда квадратный корень обозначим, как и
в B8.13а), через
/91 na \ 9 .9
и получим тогда в силу C)
Но vr = vcos$ и, учитывая A), находим
г — = pr cos 8 = рх' -j- P2/",

Краткие решения задач 471
откуда, согласно D),
Тем самым для входящего в B9.6) отношения
jx_lrY F)
получаем
1—62 !
A — 62K S3 '
Теперь, поскольку направление v известно, перемножаемые
с этим отношением векторные множители можно немедленно
расписать в компонентах:
= 0, z'v, —y'v; G)
Gа)
г ^ — rx = /f — г cos fl = /f — х' — г? = — *',
г-^-—rM = —V, г г- = — г.
Если подставить теперь все эти выражения в C0.6), то
получатся как раз уравнения B8.14) и B8.14а) с точностью
до несущественного общего множителя A—р2)8/я.
Уравнение 5 = const определяет семейство подобных друг
другу, сплющивающихся при движении „эллипсоидов Хеви-
сайда" (ср. § 28, В). В пространстве х\ у', zr электрические
, силовые линии являются ортогональными траекториями этого
семейства.
III.4. Умножая левую часть C2.5) скалярно на v, получаем
/ d тпгХ \ w . „ d 1
I V 1 = mn — -I ШЛI
Второй член в правой части последнего выражения равен
0 A—р?)я/. °r (I —pa)'/.
31*

472 Задачи
Вместе с первым членом он дает
VV /, . В2 \ iVV d ТПф2 ,1Ч
т0 -( I -] с—)= т0 57- = ° (I)
°Yi — p\ i —pv (i — ^)/а dtY\ — p w
В правой части C2.5) после скалярного умножения на v
получается
vK = vE + v[vB] = vE-l-B[vv] = vE. B)
Приравнивая (I) и B), получаем
dtY* — P
т. е. искомое уравнение C2.6).
III.5. Траектория является, конечно, параболой свобод-
свободного падения с ускорением
= ——
& т d '
Расстояние ее вершины от верхней или нижней обкладки
составляет соответственно
d v2 sin2 a
И dA
Для достижения нижней пластины необходима скорость v,
такая, при которой имело бы место равенство
г; sin a = 1/ —2V.
г т
При скорости V — 5- 106 м/сек этого не происходит даже
для a = тс/2. Напротив, при значении е/т0 из C3.8) получится
d — h __ t 25 . lfflg
d "~ 2-110-1,76- 10ti " '
Напряжение, требующееся для достижения скорости v,
получается из eV = mv2j2:
1 25-10t2
у.
2 1,76-1011
Электронвольт (эв) является употребительной единицей
для измерения энергии в атомной физике, особенно часто

Краткие решения задач 473
используется в 106 раз большая единица Мэв. В наших еди-
единицах е=1,60- КГ19 к и
= 106- 1,60- 1(Г1в-дэ/е=1,60. Ю~13 дж.
Половина этой единицы почти в точности равна энергии
покоя электрона, а именно:
= 0,80 • 10~13 дж, то = О,9О • 10~30 кг.
Если скорость испытывает в конденсаторе изменения,
сравнимые с с, то из постоянства х-составляющей импульса
(ось х параллельна обкладкам) следует, что составляющая
скорости vx не может быть постоянной, следовательно
х не может быть пропорциональным времени. Соответственно
из з;"С0СтавляЮ1Деи уравнения движения видно, что вели-
величина у не пропорциональна t2. Поэтому траектория не будет
более параболой, но станет трансцендентной кривой (цепной
линией). Это совершенно аналогично полученному в § 32, Г
результату, что кеплерова орбита (предельным случаем ко-
которой, отвечающим бесконечно удаленному центру, является
парабола свободного падения) становится в релятивистском
случае уже не эллипсом, а трансцендентной кривой(эллипсом
с перемещающимся перигелием).
В случае сверхвысоких скоростей, когда энергия соста-
составляет несколько (пусть z) Мэв, для расчета можно исполь-
использовать уравнение энергии:
1 . Мэв
Y 1 — Р2 ~~ Z тос* '
Например, встречающейся в космических лучах энер-
энергии 200 Мэв соответствует
= 1-4-400 — 4- 10.12, 3=1 —J_ 10~4-
г. ¦ = 14400 ~ 4 10., 3=1 —J_
/1 —р» ' 32
Ш.6. Рассмотрим сейчас случай больших скоростей
(хорошо известный случай v<^c содержится в нем).
Пусть В направлено по оси z. Пусть в ортогональной
к этой оси плоскости 5 означает проекцию направления дви-
движения, а п—перпендикулярное к 5 направление, причем s, n
и z образуют правый репер. Тогда все время
^n = 0, [vB]3 = 0, [vB]s = ^nS = 0, [vB]n = — vaB.

474 Задачи
Поэтому импульсы в 5- и ^-направлениях постоянны:
у 1 — р2 у 1 — [j2
Возводя эти равенства в квадрат, складывая их и учитывая,
что vn=0, получаем Р2/A—Р2) = const, следовательно
постоянными будут также и {3, vs и vz.
Уравнение движения в «-направлении приводит к уравнению
7 №]aa
dt У1-р У1-^2 m0 Jn m0 8
(заряд электрона отрицателен!), следовательно
7) • ' Р — - 79 R 7) Fi'
Vn e mQ V*D m s '.
vn—является центростремительным ускорением и поэтому
должно равняться v*/p, где р—радиус кривизны проекции
траектории на плоскость s, п. Следовательно,
р т v8 '
Та же формула справедлива и при нерелятивистском расчете,
только т = т0 — const. Кривизна 1/р обращается в нуль
в нерелятивистском случае только для <ys=oo, а в реляти-
релятивистском— для р= 1, т. е. для v2 -J- v2z = с2. Произведение рВ
(обычно записываемое как рН) является экспериментальной
мерой „жесткости" катодных лучей.
Ш.7. Если ось х направлена по совпадающему напра-
направлению электрического и магнитного полей, а ось z—по
направлению C-частиц, летящих из D, тогда уравнения дви-
движения для ^-частиц, при использовании выражения для силы
Лоренца F = — e(E-|-[vB]) (знак минус из-за отрицатель-
отрицательного заряда электрона) запишутся в виде
d Уев еЕ
d Vy e [vBL evzB d vz evvB
Поскольку составляющими vx и vy можно пренебречь по
сравнению с v2ttv, то $2 = v2/c2 и, согласно третьему

Краткие решения задач 475
уравнению в том же приближении, v ^ const. Таким образом, два
первых дифференциальных уравнения можно немедленно про-
проинтегрировать, и вели мы будем отсчитывать время t от
момента прохождения электрона через D и поэтому положим
момент достижения фотопластинки равными t= afv, то полу-
получим выражения для координат:
еЕ / г/2
а* еВ [
yV l с2 v
Эти формулы дают параметрическое представление для
обоих получаемых при переключении электрического поля
ветвей искомой кривой.
Если пренебречь здесь v2 по сравнению с с2, то, исключая
параметр v, мы получим две ветви параболы
р Я2 а2
v2 — т-Са; Г — — — —
•* -1- > m0 E 2
Они соприкасаются в точке х =у = 0 с вертикальной каса-
касательной. Эта точка отвечает значению параметра v = оо.
Если же сохранить релятивистский множитель у\—{v2/c2),
то при исключении параметра v мы придем к кривой четвер-
четвертого порядка
(С имеет прежнее значение), которая объединяет обе нереля-
нерелятивистские ветви параболы. В точке х=у — 0, относящейся
теперь к значению параметра v = c, эта кривая имеет угло-
угловую точку, две касательные в этой точке имеют различные
направления
dy _^ С ___ + Вс
т. е. образуют друг с другом конечный угол 2а (ср. схему
на фиг. 48 справа). В фотографиях Кауфмана этот угол
совершенно ясно выражен. Однако выяснить, выполняется ли
закон зависимости массы от скорости, данный Лоренцем
или данный Абрагамом (что составляло цель работы и в прин-
принципе должно было быть выполнимым из рассмотрения всего
хода кривой), не удалось с достаточной надежностью, по-
поскольку поля не были в достаточной степени однородными

476 Задачи
и их структуру можно было установить лишь эксперимен-
экспериментально, путем многочисленных и трудоемких дополнительных
измерений.
Ш.8. Оба перпендикулярные друг к другу поля Еу = Е
и Вг~В вызывают силу Лоренца
Для не слишком больших скоростей (т = т0) уравнения
движения будут иметь вид
d?x . dy d л
tti —— р /? — pF
dP dt KC"
Если умножить второе из них на I и положить ^ = х-\-1у,
то, складывая эти уравнения, мы получим
у. . -г _ • е р е в
"* т "' т
Общим интегралом последнего уравнения будет
D
Момент времени t = 0 можно выбрать так, чтобы в этот
момент dy/dt = 0, следовательно, С10 = х0 было бы действи-
действительным. Тогда мы получим
Е
откуда
* "°~~ а V ° В}{ е } ^ В
После отделения действительной и мнимой частей и введения
сокращений
^8 И
Е_
В~
получается
х — х0 = aro -\- b sin cp,
У—Уо = ь(\ — coscp).

Краткие решения задач 477
Это—уравнение обобщенной циклоиды (гипоциклоида при
а > b или эпициклоида при а < Ь). Для х0 = О (следова-
(следовательно, Ь = а) наши уравнения дают параметрическое пред-
представление обычной циклоиды, совершенно совпадающее
(включая обозначения) с встречавшимся нам в т. I [Механика,
формула A7.1)] при рассмотрении циклоидального маятника
(отличие только в том, что там было положено хо=уо = О
и 9 имело противоположный знак).
Ш.9. Поскольку здесь речь идет о стационарном состоя-
состоянии, то j постоянно как во времени, так и в пространстве,
так как
Скорость v и плотность р, хотя и не зависят от времени,
но не постоянны в пространстве, поскольку
<2>
Уравнение Пуассона будет иметь вид
C)
Е°У ж
Его можно проинтегрировать, если положить
V(x) = Axa, D)
где А и а — постоянные, которые нужно будет соответ-
соответственным образом подобрать.
Согласно C), при этом нужно требовать, чтобы выпол-
выполнялось соотношение
As/aa(a— l)xT+°-2=C,
следовательно,
E)

478 Задачи
Для х = 1 из D) и, имея в виду значение C) для С,
получаем
Полный ток J—izcPj (a—радиус катода и анода) будет
равен
Это и есть искомое уравнение характеристики. Убедимся,
между прочим, в том, что благодаря нашему множителю е0
оно написано правильное точки зрения размерностей,—пра-
размерностей,—правая часть также имеет размерность к/сек. Подчеркнем, что
в силу C) и D) V не возрастает линейно по мере увеличе-
увеличения х и что у катода dV/дх обращается в нуль. Согласно A),
здесь р — оо и v — 0. Последнее связано с тем обстоятель-
обстоятельством, что мы уже в постановке задачи пренебрегали (малыми)
скоростями, с которыми вылетают электроны из катода, по
сравнению со скоростью, сообщаемой им полем.
Для цилиндрической геометрии (радиус раскаленного
катода г = 0, радиус цилиндрического анода г = а, длина
цилиндрического анода —/) предыдущие уравнения изменяются
следующим образом:
=Const = ^; A0
B0
v / —~P '
2rJry 2~V(r)
C0
D0
dr — ^' ~— /7'

Краткие решения задач 479
для г ==. а будет
j = ^4lfV. (8)
9 и г те a v '
На поверхности катода dVfdr будет теперь обращаться
в бесконечность вследствие того, что г= О, в отличие от
поведения dV/dx при плоской геометрии. Несмотря на это,
предельное значение заряда на нити обращается при г = О
в нуль; этим обусловливается то, что обычно возникающая
для заряженного провода логарифмическая особенность теперь
отсутствует, и, более того, V обращается, согласно D'),
в нуль при г = 0. В связи с этим выражение (8') справед-
справедливо не только для г = 0, но приближенно выполняется и
для тонких, но не бесконечно тонких нитей.
III. 10. Магнитный поток через орбиту электрона ради-
радиусом г
г
= 2тг J В (г, t)rdr,
отсюда
t) и -^t = 2tz Г В (г, t)rdr. A)
or j
о
Согласно закону индукции,
2тг J В (г, t)rdr=— 2кг0Е (/"о, t). B)
о
Отсюда умножением на абсолютную величину заряда
электрона получаем для ускоряющей силы на орбите г = г0
— eE(r0, t) = -?r Г B(r, t)rdr = ~^. C)
/ О J ZW г, (JI

480 Задачи
Уравнение для изменения импульса электрона оказывается
тогда возможным проинтегрировать по t, и мы получаем
mv — (mv)A = JL. (Ф _ Ф^), D)
где Ф^—магнитный поток в начальном состоянии v = vA,
т = ша- Тем самым мы можем рассматривать mv при
заданном начальном импульсе как известную величину.
Отсюда в ответ на первый вопрос получаем
== , m = mn 1/ 1
1 +
m?v2
V = (m — mJc2. E)
Численный пример. При диаметре орбиты 2го =
—- 10 м амплитуда магнитного потока ФмаКс.г= Ю~2 в-сек
легко достижима технически. Пусть начальный импульс
очень мал, Ф^я^О. Мы можем положить также и vAtt0,
поскольку малая начальная скорость не имеет значения по
сравнению с конечной. Тогда, согласно D),
1,6-108 1(Г2
^ 0,9- 10~зо-3-108 ' '
1 188
/«макс.— tn0 = 17,8w0, еКмакс. = 17,8т0с2.
F)
Поскольку т0с2, согласно выводам задачи III. 5, равна при-
примерно -я-• 106 зв, то мы получаем
9. 106 5б. G)
К вопросу 2. До сих пор мы считали круговую орбиту
г — г0 известной. Теперь нам нужно определить ее радиус.
На каждой круговой орбите должно установиться равно-
равновесие между центробежной силой и силой Био и Савара:
— =~evB(r). . (8)

Краткие решения задач 481
Согласно первому из уравнений A), это приводит к
е дФ
mv = -——-.
2те дг
Подстановка сюда v из D) с Ф^ =0 и vA = 0 дает
Для графического решения изобразим на графике 5 в функ-
функции от г\ это монотонно убывающая функция и по необхо-
необходимости получаемая только экспериментально. Согласно A),
умножая на 2ттг, из нее получим кривую для дФ/дг,
а в результате интегрирования последней—кривую для Ф.
Ординаты этой кривой нужно поделить на г и найти точку
пересечения вновь получаемой кривой с кривой для дФ{дг.
Абсцисса этой точки и даст как раз искомое значение г = г0.
Чтобы эта траектория была устойчивой, распределение
поля должно удовлетворять определенным условиям *).
К вопросу 3-. Из значения рмакс получаем для частоты
обращения
В с 1
г макс. 1 Ло 1 /• 1 1 ч
2лг ~Y' Сек. A1)
Чтобы проще сосчитать число оборотов, мы примем, что
поток Ф возрастает от начального значения Ф^=0 до
конечного Фмакс. не по синусоиде, а линейно. При пита-
питании 'обмоток электромагнита 500-периодным переменным
током время этого возрастания A/4 периода) составит
тогда 1/2000 сек. Отсюда получаем
— = 2000Фмакс. S~l = 20 в. A2)
Поскольку, согласно C), ускоряющая сила при этом также
будет постоянной, то A2) дает как раз возрастание ско-
скорости (в электронвольтах) за один оборот. Поскольку
в силу G) максимальная энергия составляет 9 • 106 (в тех же
единицах), то мы находим для числа оборотов
R. Gans., Zs. d. Naturforsch., 1, 485 A946).

482 Задачи
К вопросу 4. Состояние с максимальной частотой вра-
вращения будет достигнуто при Ф = Фмако.1 т. е. при дФ/д? = 0.
Согласно C), тогда ?"(го) = О, следовательно, и г> = 0.
Из комплексного уравнения
г = г pivot
тогда следуют выражения для скорости и направления про-
производных от г:
v = mroeiuit, v = — w2roeitD*, v = —m3r0eftDf. A4)
Отсюда заключаем, что v направлено противоположно v,
V = OJV И ЧТО VV = О И VV = — iiJV2.
Тогда из C6.26) следует для силы реакции излучения
(штрихи в этой формуле имели тот же смысл, что и точки
теперь):
R-|=
Для нашего численного примера получаем, полагая
р = 1—1/710:
Отсюда при подстановке 2г0 =10 * м и 36тао= 109 к2[дж-м
G.18) следует
о* 6G10L _ _ _ ., f _ , о _ 1А, , /|ЛЧ
/?==—-—— е2 = 6 • 7,14 • 1,6 5в/л^ — 2,5 • 104 эв м. A6)
10~"
Эта величина необычайно велика по сравнению с силой
вихревого электрического поля, составляющей, согласно A2),
только
20 , 200 ,
75 ЭВ/М = ЭВ М.
Поэтому возможность успеха бетатрона кажется часто иллю-
иллюзорной. Нужно, однако, отметить, что наш расчет

Краткие решения задач 483
относился к одному электрону. В действительности же на
окружности радиуса г0 находится очень много электронов;
если бы они были распределены, как в случае обычного
Кругового стационарного тока, всюду плотно, то излучение,
а следовательно, и сила реакции обратились бы точно
в нуль. Итак, вычисленное значение R* дает только верх-
верхнюю, чрезвычайно завышенную границу для силы реакции
излучения.
Основное назначение бетатрона состоит в создании рент-
рентгеновских лучей исключительно высокой жесткости. Поскольку
их коротковолновая граница /zv определяется максимальной
энергией электронов в бетатроне, то она зависит, согласно E),
от достижимого импульса mv. Уравнение D) определяет
последний с помощью отношения Ф/г0. При пропорциональ-
пропорциональном увеличении всех размеров магнита (?макс., а тем самым
и Вор, лимитируются насыщением железа) Ф растет квадра-
квадратично, а, следовательно, Ф/г0— линейно. При нашем диа-
диаметре 2r0—10 м мы нашли, что
е^макс. = 9- 10° эв = 9- 1,602- 1(Г6 эрг =14,5- 10~6 эрг.
Отсюда получаем для рентгеновских лучей
14,5- 10~6 зрг = Ь = ^-~2. Ю6 эрг ¦ см/1,
Х=1,4- 10 п см= 1,4Х.
Введенная здесь Х-единица, равная 10~п см, является еди-
единицей длины, обычно употребляемой в рентгеновской спек-
спектроскопии; /С-серии самых тяжелых элементов обладают
длинами волн около 100 Х-единиц. Итак, с нашим бета-
бетатроном весьма скромных размеров мы оказываемся далеко
за пределами обычных рентгеновских спектров, а также и
за границей длин волн естественных ^-излучателей, которая
достигается для ThC и составляет примерно 4,7 Х-единиц.
Увеличивая размеры бетатрона, можно еще дальше про-
проникнуть за эту границу и соответственно повысить найден-
найденную выше энергию 9 Мэв.
IV. 1. Будем исходить из того, что поле внутри стержня
для наблюдателя, движущегося вместе с ним, свободно

484 Задачи
от источников и токов: j/ = 0 и р'=:0. Тогда из C4.6) при
использовании определения C4.9а) тока проводимости сле-
следует с точностью до членов —р2:
J* = J — PV = 0, p = 0. A)
Следовательно, и для наблюдателя, покоящегося в лаборато-
лаборатории, стержень не обладает ни током проводимости, ни объем-
объемным зарядом. Напротив, он будет обладать поверхностным
зарядом о) и (как раз и обусловленным требованием jj = O)
током Роуланда j = o>v.
Поле, опять с точки зрения лабораторного наблюдателя,
представляет собой суперпозицию стационарного электри-
электрического и магнитного поля, к последнему из которых
добавляется поле, вызванное током Роуланда j = («v. Итак,
rotE = 0, E = —gradcp, rotH=j. B)
Легко убедиться, что эти выражения совпадают с общими
выражениями C4.13), если подставить в них значения Е*
и Н* из C4.8) и В и D из C4.12). Действительно, если
положить в них dJdt==Q и учесть дополнительные условия
C4.11а), то они примут вид
— rot[vB] = — rot(E4~[vB]), следовательно, rotE = 0,
pv — rot[vD]-{-j—pv=rot(H—fvD]), следовательно, rotH=j.
Из jj = O заключаем, согласно C4.7), что Е* = 0, следова-
следовательно с достаточной степенью точности
E = — [vbo] = —vBo, <f = vBox-i-C C)
(В = В0 — первоначальное поле), при этом мы допустили,
что Во направлено по оси z, v — по оси у и координаты х,
у, z образуют правую систему. Наконец, С—постоянная
интегрирования, не зависящая от л; и в силу симметрии
также и от у и z. Ответ на первый вопрос тем самым
получен.
К вопросу 2. Речь идет о двух точках хх и х2 на гра-
границах стержня; пусть, например, хх — точка, где в стержень

Краткие решения задач 485
входит ось х, а х2— где она выходит. Согласно C), напря-
напряжение межну ними равно
V=<Pl — 92 = ^0 (*l —*г)- D)
Поскольку речь идет о системе, обладающей потенциалом,
то это напряжение не зависит от пути (по замыкающей
проволоки бесконечно высокого сопротивления), который,
как мы можем представить себе, соединяет точки 1 и 2;
этот путь может с равным успехом проходить как внутри,
так и вне стержня.
К вопросу 3. Перейдем к внешнему полю. При этом
вступают в действие граничные условия C4.15), согласно
которым должны быть непрерывными тангенциальные ком-
компоненты Е (не Е*); эти условия равносильны требованию
непрерывности потенциала на поверхности стержня; при
этом остается открытым вопрос о его нормальной произ-
производной. Поскольку ср внутри стержня известно в силу C),
то тем самы'м нам известны и поверхностные значения ср
потенциала ср- Итак, для внешнего пространства нам надлежит
разрешить краевую задачу, к условиям которой нужно
добавить еще требование ср = О на бесконечности. Решение
возможно для любой формы стержня; его можно провести
элементарно для стержня кругового сечения, к которому
можно свести задачу о стержне любой другой формы путем
конформного отображения с сохранением граничных значе-
значений. Поэтому достаточно рассмотреть случай кругового
сечения.
Если обычные полярные координаты обозначить через г, ft,
поместить центр кругового сечения в точке г = 0, а радиус
его взять равным а и отсчитывать ft от оси х, то, согласно C),
для внутренности круга и его границы
Е = Ед, = — vB0, Ег = Ех cos 0 = —
Еъ = — Exsinb = vBosin ft. E)
Общее выражение для потенциала во внешнем пространстве
можно записать в виде ряда Фурье
cos пЬ + В" sin

486 Задачи
из которого, однако, в силу граничного условия может
войти только член с Ах. Итак,
ср = А —cos^, E» = -55" =А1 — sinO F)
и, следовательно, в силу условия для г = а
?0 Л \\
Л = — \~
. G)
К вопросу 4. Для нахождения поверхностного заряда
нужно будет перейти от Е к D. Внутри стержня для этого
может служить уравнение C4.5), правая часть которого
обращается в нуль вследствие того, что Е* = 0. Следова-
Следовательно, внутри стержня мы получим не D = еЕ, а
0 = ~^[уН] = -ео[Ао[уН]^ —eo[vBo] = eoE. (8)
Поскольку величина е возникла из универсального соотно-
соотношения ео[Ао= 1/с2, то е0 означает диэлектрическую прони-
проницаемость вакуума и, вообще говоря, не совпадает с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью окружающего пространства. Весьма
характерно и в высшей степени отрадно, что при строгом
применении теории Минковского в выражении (8) не появляется
в некоторой степени проблематичная и едва ли поддающаяся
измерению диэлектрическая проницаемость металла, но в него
входит не вызывающая никаких недоразумений диэлектри-
диэлектрическая проницаемость вакуума.
Согласно (8), мы заключаем прежде всего, что всюду
внутри стержня (в силу того, что Е = const)
divD = p = 0,
что согласуется с (I). Итак, внутри стержня при наблюдении
из лабораторной системы зарядов нет.
Согласно E) и F), на поверхности стержня, если под-
подходить к ней изнутри, будет выполняться следующее условие:
Dn = г0Еп = — г0Ег = -\- eovBo cos f>,

Краткие решения задач 487
где п означает направленную внутрь нормаль. Если мы
примем, простоты ради, что диэлектрическая проницаемость
внешнего пространства (воздух) также равна е0, и будем
теперь подходить к поверхности снаружи, то, согласно G),
при г = а мы получим
Dn = — е0 -^- = eovBo cos 8,
где теперь п означает направленную наружу нормаль. Сумма
этих обеих Dn дает поверхностную дивергенцию D на по-
поверхности стержня, т. е. поверхностный заряд:
со = 2eovBo cos Ь. (9)
Он меняется от точки к точке и принимает наибольшие
значения dt 2eovBo при 0 = 0 и 0 = тт.
Электрические силовые линии, которые внутри стержня
являются отрезками прямых, перпендикулярными к оси
стержня, изгибаются вне его таким образом, чтобы по
возможности короче соединить положительные поверхност-
поверхностные заряды с отрицательными, в особенности вблизи точек
0 = тг/2 и 0 = 3 (тс/2). Только в точках & = 0 и 0 = тг
силовые линии перпендикулярны к поверхности и теряются
в бесконечности.
К вопросу 5. Если согнуть прямолинейный стержень
в круговое кольцо и привести это кольцо во вращение
относительно перпендикулярной к его средней плоскости
оси симметрии,то каждый малый отрезок этого кольца при-
приближенно находится в тех же условиях, что и рассмотренный
отрезок прямого стержня, если предположить, что радиус
кривизны кольца велик по сравнению с радиусом стержня.
То же будет справедливым и для дискообразного кругового
кольца, если только радиус ограничивающего его изнутри
цилиндра не слишком мал. Поскольку, однако, скорость в части
сплошного диска, исключаемой этим условием, будет мала,
а все явление униполярной индукции при малых скоростях
вообще перестает наблюдаться, то можно без дальнейших
сомнений отвлечься от этого условия и распространить
наши результаты сначала на полный диск, а затем и на

486 Задачи
из которого, однако, в силу граничного условия может
войти только член с Av Итак,
ср = Л— cos», ?» = — — |Sr =A1 — sinO F)
и, следовательно, в силу условия для r = a
A^avBo, cp=^?0cos», fF = — (~J vB0cos 0. G)
/С вопросу 4. Для нахождения поверхностного заряда
нужно будет перейти от Е к D. Внутри стержня для этого
может служить уравнение C4.5), правая часть которого
обращается в нуль вследствие того, что Е* = 0. Следова-
Следовательно, внутри стержня мы получим не D = sE, a
D = — ^[vH] = — eo[Ao[vH]^— eo[vBol = eoE. (8)
Поскольку величина е возникла из универсального соотно-
соотношения eoij.o=l/c2, то е0 означает диэлектрическую прони-
проницаемость вакуума и, вообще говоря, не совпадает с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью окружающего пространства. Весьма
характерно и в высшей степени отрадно, что при строгом
применении теории Минковского в выражении (8) не появляется
в некоторой степени проблематичная и едва ли поддающаяся
измерению диэлектрическая проницаемость металла, но в него
входит не вызывающая никаких недоразумений диэлектри-
диэлектрическая проницаемость вакуума.
Согласно (8), мы заключаем прежде всего, что всюду
внутри стержня (в силу того, что Е = const)
что согласуется с (I). Итак, внутри стержня при наблюдении
из лабораторной системы зарядов нет.
Согласно E) и F), на поверхности стержня, если под-
подходить к ней изнутри, будет выполняться следующее условие:
Dn = е0Еп = — е0Ег = -+- eovBo cos 0,

Краткие решения задач 487
где п означает направленную внутрь нормаль. Если мы
примем, простоты ради, что диэлектрическая проницаемость
внешнего пространства (воздух) также равна е0, и будем
теперь подходить к поверхности снаружи, то, согласно G),
при г = а мы получим
дэ
Dn = — е0 -^- = zovBo cos &,
где теперь п означает направленную наружу нормаль. Сумма
этих обеих Dn дает поверхностную дивергенцию D на по-
поверхности стержня, т. е. поверхностный заряд:
w = 2eovBo cos 0. (9)
Он меняется от точки к точке и принимает наибольшие
значения zt 2sovBo при 0 = 0 и 0 = тт.
Электрические силовые линии, которые внутри стержня
являются отрезками прямых, перпендикулярными к оси
стержня, изгибаются вне его таким образом, чтобы по
возможности короче соединить положительные поверхност-
поверхностные заряды с отрицательными, в особенности вблизи точек
в = тс/2 и 0 = 3 (я/2). Только в точках » = 0 и 0 = я
силовые линии перпендикулярны к поверхности и теряются
в бесконечности.
К вопросу 5. Если согнуть прямолинейный стержень
в круговое кольцо и привести это кольцо во вращение
относительно перпендикулярной к его средней плоскости
оси симметрии,то каждый малый отрезок этого кольца при-
приближенно находится в тех же условиях, что и рассмотренный
отрезок прямого стержня, если предположить, что радиус
кривизны кольца велик по сравнению с радиусом стержня.
То же будет справедливым и для дискообразного кругового
кольца, если только радиус ограничивающего его изнутри
цилиндра не слишком мал. Поскольку, однако, скорость в части
сплошного диска, исключаемой этим условием, будет мала,
а все явление униполярной индукции при малых скоростях
вообще перестает наблюдаться, то можно без дальнейших
сомнений отвлечься от этого условия и распространить
наши результаты сначала на полный диск, а затем и на

490
Обозначения
Продолжение
Обозна-
Обозначение
b
с
V
н
в
и
ф
А
S
W
Ееличина
Ток смещения
Полная плотность то-
тока = j + b
Электрическое напряже-
2
/•
ние = 1 Е ds
Напряженность магнит-
магнитного поля
Магнитная индукция
Магнитное напряже-
2
ние= 1 Н ds
1
Магнитный поток =
= J Bnda
Электрический потен-
потенциал, Е = —grad <\>e
Магнитный потенциал,
Н = — grad <bm
Векторный потенциал,
В = rot A
Вектор Поинтинга (плот-
(плотность потока энергии)
Плотность энергии,
Размерность, определение
к/м2 • сек = а/м2
к/м% • сек = а/м2
кг • м2/сек2 • к = дж/к = в; 1 дж
(джоуль) = 107 эрг
к/м • сек = а/м; 1 эрстед =
а/ж, Ujv п — рт,
кг/к • сек ~ в • сек/м2; div В = 0;
1 гаусс = 10~4 в - сек/м2
к/сек = а
м? • кг/к ¦ сек = в • сек
кг • м2/сек2 • к — дж/к = в
к/сек = а
м • кг/к - сек = в • сек/м
кг/сек3 = вт/м2 1 вт = дж/сек
дж/м^кг/м-сек2 We=-^(DE);

Обозначения
491
Продолжение
Обозна-
Обозначение
Wj
W
е
Ь1-
?оГАо
а
е' =
ш
У?
Z.
Z
с
р
м
*1
Величина
Джоулево тепло на еди-
единицу объема, Wj — Ej
Полная энергия в за-
заданном объеме
Диэлектрическая прони-
проницаемость
Магнитная проницае-
проницаемость
|
Постоянные вакуума {
|
1
Проводимость
Комплексная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость
Сопротивление
Коэффициент индукции
Импеданс (оператор со-
сопротивления) Z = R-\-
+ '(•*—5")
Емкость
Электрическая поляри-
поляризация
Намагниченность
Электрическая восприим-
восприимчивость
Магнитная восприимчи-
восприимчивость
Размерность, определение
вт/м* — кг/м • секЛ
дж = кг ¦ м2/сек2
к2/дж • м=к2- сек2/кг-м'*=ф/м
м ¦ кг/к2 — гн/м
1 Kl 1111 И 1 h i.riti 1 П .М.Ц,КП.
1/ -i-^- — волновое сопротивле-
t e0
ние ом; кг • м2/к2 • сек = ом
1/ом • м = к2 • сек/м* • кг
к2 ¦ сек2/кг • м* = ф/м=сек/м • ом
кг • м2/к2 • сек —- в/а = ом
кг-м2/к2 = ом-сек = гн (генри)
ом
к2 • сек2/кг • м2 = к2/дж —
сек/ом — ф (фарада)
D = е0Е + Р, к/м2
B = \>-o (Н + М), к/м - сек
число; Р = е0^ E'i e = ?о A +"¦*))
число; М — т,Н; р. = ,а0 A -f -л)
32*

492
Обозначения
Обозна-
Обозначения
Величина
Круговая частота
Волновое число в вакуу-
вакууме
Волновое число в про-
проводнике
Волновое число поверх-
поверхностных волн при
распространении вдоль
цилиндра
С § 20 до 25 для пере-
переменных токов %=
Размерность, определение
l/сек; ш = 2-и/х, где г — период
колебаний
l/м; k — 2-и/к, где л. — длина
волны
1/х = d — глубина проникнове-
проникновения при скин-эффекте
Обозначения, используемые в гл. III и IV
is
н
1
R
W
Ф
Мнимая временная ко-
координата
Элемент длины в 4-мире
Элемент собственного
времени
Мнимый угол поворота
при преобразовании
Лоренца
4-радиус-вектор
t-векторы скорости и
ускорения
4-вектор-потенциал
(-4)
х4 = let
4
de = Vl — ^dt; § = —
С
tg •( - if
M\ = (Xi, X%, X§, Хд)
dt ' dx
в•сек/м

Обозначения
493
Обозна-
Обозначения
Г
F
f
ps у*
Л
м
к
К
и
г
т
G
Ео
К
-(ГФ)
Е*
Н*
А
h
Величина
Плотность 4-тока (j, icp)
Шестивектор поля
Шестивектор возбужде-
возбуждения
Дуальные шестивекторы
Плотность функции Ла-
гранжа
Второй инвариант поля
Плотность силы
(-7")
Трехмерная сила Ло-
Лоренца
4-сила* (FV) — 0
Тензор энергии-импульса
Импульс материальной
точки
Энергия покоя
Кинетический потенциал
Инвариант Шварцшиль-
да
Сокращенные обозна-
обозначения в уравнениях
движущихся сред
Символ Лоренца
Плотность тока прово-
проводимости
Размерность
Продолжение
определение
к/м2 • сек; в вакууме = р (v, ic)
в/м; F = сЪ, —
/Е = с Rot Ф
a/M;f=H,~icD = \/ ^о1Ф
р* ??? cg-
A-lc-«F)-
М _ -g- (/,/•)-
К 2 3=Р(Е +
K = ?(E + [vB
F К
4
Tnm=^lS
G — пг (v, Ic);
Ео = тос*
д^= Ш()С2A — "
(ГФ) = р (vA -
в/м; Е = Е -J-
а\м; Н* = Н -
[_ v div A
h = 3 - pv
/* = _fcD, H
НВ DE
" 2 2
= ЕН
'Р р
])
. р t'g (vE)
] Fnrf,nr-\-bn,n^
т°
Ш г
Л/ 1 В^
f 1 — fl2)
[vBJ
-[vD]
— rot[vA]

191
Обозначения
Обозна-
Обозначения
R
Величина
Сила реакции излучения
(в § 36)
Продолжение
Размерность, определение
В зависимости от системы от-
отсчета обозначается также
через R' и R*
4
т т
4
-У
'пт' пт
п<Ст т = 1
s
И=1
дхг
Div*F=
дхп
Равенство Div* F = О
Равенство Div Div /?= 0
— ПФ;
Скалярное произведение двух
4-векторов приводит к скаляру
Скалярное произведение 4-векто-
ра и шестивектора приводит
к 4-вектору
Скалярное произведение двух
шестивекторов приводит к ска-
скаляру
Векторное произведение двух 4-
векторов приводит к шестивек-
тору
Дивергенция 4-вектора приводит
к скаляру
Ротор 4-вектора приводит к ше-
стивектору
Векторная дивергенция (произ-
(произвольного или антисимметрич-
антисимметричного) тензора приводит к 4-век-
4-вектору
Дуальная дивергенция шестивек-
шестивектора
Имеет следствием F = rot Ф
Верно для любого шестивектора
dxi

Численные значения некоторых констант (приближенные
результаты измерений или определения)
с Скорость света в вакууме = 3,00-108 м/сек (измерение)
[х0 Магнитная проницаемость вакуума=4те-10~7 ом-сек/м~
— 4те • 10~7 м • кг/к2 (определение)
— Волновое сопротивление^20,0те ом= 120,0текг-м2/к2-сек
0 (следствие)
107
е0 Диэлектрическая проницаемость вакуума = -^—^м/омХ,
10~9 10~9
X сек = dr ал— сек/ом • м = АА— к2 ¦ сек?/кг • м3
36,00 тс ' 36,00 те '
(следствие)
е Заряд электрона = 1,60-10~ 9 к (измерение)
?
Удельный заряд электрона = 1,76 • 1011 к/кг (измерение)
то
т0 Масса покоя электрона = 0.90-10"0 кг (следствие)
eV Электрон-вольт (эв) = 1,60-10" 9 дж (следствие)
т0с2 Энергия покоя электрона =-„- Мэв — 0.80-10~13 дж
(следствие)

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От редакции 5
Предисловие 9
Глава I
Основные положения и основные понятия
электродинамики Максвелла
§ 1. Исторический обзор. Дальнодействие и действие поля 15
Биографические заметки 17
Майкл Фарадей A791—1867 гг.) 17
Джемс Клерк Максвелл A831—1879 гг.) 18
Андре Мари Ампер A775—1836 гг.) 20
Генрих Герц A857—1894 гг.) 21
§ 2. Предварительные сведения об основных характеристи-
характеристиках электромагнитного поля 22
§ 3. Уравнения Максвелла в интегральной форме 30
§ 4. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме и
материальные константы теории 38
A. Проводимость и закон Ома 41
Б. Диэлектрическая проницаемость 42
B. Магнитная проницаемость * . 43
§ 5. Закон сохранения энергии и вектор Пойнтинга .... 48
§ 6. Роль скорости света в электродинамике 57
§ 7. Кулоновское поле и фундаментальные постоянные ва-
вакуума. Рациональные и обычные единицы 64
A. Электростатика 65
Б. Магнитостатика " 68
B. Рациональные и обычные единицы 70
Г. Определение фундаментальных постоянных ;j.o, e0 в
системе MKSQ 72
§ 8. Четыре, пять или три основные единицы? 74

Оглавление 197
A. Дополнительно о принятой системе четырех единиц 74
Б. Система MKSQP из пяти единиц 76
B. Гауссова система трех единиц 80
Г. Дополнительно о других системах единиц 84
Глава II
Описание явлений на основе уравнений Максвелла
§ 9. Простейшие краевые задачи электростатики ... 87
§ 10. Емкость и ее связь с энергией поля . . . .99
A. Плоский конденсатор 100
Б. Сферический конденсатор 101
B. Емкость эллипсоида вращения и прямого куска про-
проволоки 102
Г. Энергетическое определение емкости 103
Д. Емкости в произвольной системе проводников . . 105
§11. Общие исследования электростатического поля .... 107
A. Закон преломления силовых линий 108
Б. К определению векторов EhD 108
B. Электрическая поляризация. Формула Клаузиуса—
Мосотти НО
Г. Дополнение к вычислению поляризации . .... 114
Д. Постоянная поляризация 115
§ 12. Поле постоянных стержневых магнитов 117
§ 13. Общее рассмотрение магнитостатики и ее краевых
задач 130
A. Закон преломления магнитных силовых линий ... 131
Б. Определение векторов Н и В в твердых телах ... 131
B. Намагниченность М произвольной среды, исключая
ферромагнетики 132
Г. Диа- и парамагнетизм 133
Д. Мягкое железо как аналог электрических провод-
проводников 134
Е. Частные краевые задачи 135
Ж. Однородное поле внутри эллипсоида вращения ... 135
3. Так называемый размагничивающий фактор . . . 140
§ 14. О ферромагнетизме 141
A. Области Вейсса 142
Б. Спин электрона как элементарный магнит 143
B. Петля гистерезиса и обратимое намагничивание . . 144
Г. Термодинамическое рассмотрение 146

498 Оглавление
§ 15. Стационарные токи и их магнитное поле. Метод век-
векторного потенциала 147
A. Закон Био и Савара 150
Б. Энергия поля двух проводников 151
B. Потенциал Неймана как коэффициент взаимной
индукции 154
Г. Коэффициент самоиндукции 157
Д. Индуктивность двухпроводной линии 162
Е. Общая теорема о переносе энергии стационарными
токами 164
§ 16. Метод двойного слоя Ампера 165
A. Магнитный листок линейного тока 167
Б. Магнитная энергия и магнитный поток 172
B. Вычисление самоиндукции двойного провода .... 174
Г. Электромагнитное измерение тока по Веберу .... 176
§ 17. Некоторые выводы о поле прямого провода и катушки 179
§ 18. Квазистационарные токи 189
A. Энергетическое рассмотрение уравнения колебаний 193
Б. Мостик Уитстона 198
B. Связанные колебательные контуры 201
Г. Телеграфное уравнение 203
§ 19. Быстропеременные поля, электродинамические потен-
потенциалы ' 206
A. Запаздывающие потенциалы 209
Б. Диполь Герца 210
B. Случай периодических процессов 215
Г. Собственные колебания металлического шарового
вибратора 217
Д. Применение к теории рентгеновских лучей 219
§ 20. Общие сведения о цилиндрических волнах; сопротив-
сопротивление переменному току и скин-эффект 221
A. Продольные и поперечные составляющие 222
Б. Волновое поле и скин-эффект в полупространстве . . 225
B. Сопротивление полупространства переменному току 230
Г. Релеевское сопротивление провода 233
Д. Индуктивное сопротивление переменному току . . . 234
Е. Дальнейшие сведения о поле переменного тока в
цилиндрическом проводе кругового сечения .... 235
§ 21. Катушка с переменным током 238
А. Поле катушки 238

Оглавление 499
Б. Активное сопротивление и внутреннее индуктивное
сопротивление катушки 242
В. Многослойная катушка 244
§ 22. Задача о распространении волн по проводам 247
A. Поле внутри и вне провода 247
Б. Граничные условия на бесконечности 251
B. Граничные условия на поверхности провода .... 253
§ 23. Общее решение задачи о распространении волн по
проводам 257
A. Основная волна и электрические побочные волны 258
Б. Магнитные волны 259
B. Несимметричные волны электромагнитного типа . . 261
Г. Распространение волн вдоль диэлектрических
стержней • 264
§ 24. Некоторые сведения по теории волноводов 267
§ 25. Лехеровская двухпроводная линия 275
4 А. Предельный случай бесконечной проводимости . . . 277
Б. Поле вне проводов 280
В. Поле внутри проводов 283
Г. Граничное условие Hv — Нс 285
Д. Граничное условие для Еж и закон распространения
фазы 286
Е. Дополнения, касающиеся других граничных условий 289
Ж. Синфазный и противофазный случаи ........ 290
Глава III
Теория относительности и теория электрона
§ 26. Инвариантность уравнений Максвелла в четырехмер-
четырехмерном мире 293
A. 4-потенциал 293
Б. Два шестивектора поля 296
B. Уравнения Максвелла в четырехмерном виде .... 298
Г. Геометрическая природа шестивектора и его инва-
инварианты 302
Д. Релятивистски инвариантные 3-векторы 305
§ 27. Группа преобразований Лоренца и кинематика теории
относительности ; 307
A. Общие и специальные преобразования Лоренца . . 309
Б. Относительность времени 311
B, Сокращение Лоренца 313

500 Оглавление
Г. Эйнштейново растяжение времени . 315
Д. Теорема сложения скоростей 317
Е. Скорость с как верхний предел всех скоростей . . 319
Ж. Световой конус, времени-подобные и пространст-
пространственно-подобные векторы, собственное время .... 320
3. Теорема сложения различно направленных скоростей 322
И. Принцип постоянства скорости света и инвариант-
инвариантность заряда 325
§ 28. Предварительные замечания к теории электрона .... 326
A. Преобразование электрического поля. Предваритель-
Предварительные замечания о силе Лоренца 328
Б. Магнитный аналог силы Лоренца 331
B. Собственное поле равномерно движущегося электрона 332
Г. Инвариантный путь к выводу силы Лоренца. 4-век-
тор плотности силы 334
Д. Общие ортогональные преобразования тензоров вто-
второго ранга 337
§ 29. Интегрирование дифференциального уравнения для
4-потенциала 339
A. Четырехмерный вид потенциала Ф 340
Б. Запаздывающие потенциалы 342
B. Приближение Льенара—Вихерта 344
§ 30. Поле ускоренного электрона 346
A. Равномерно движущийся электрон 348
Б. Ускоренный электрон .¦ 349
B. Продольно ускоряемый электрон 351
§ 31. Максвелловские натяжения и тензор энергии-импульса 352
§ 32. Релятивистская механика 361
A. Эквивалентность массы и энергии . 364
Б. Связь между импульсом и энергией 366
B. Принципы Даламбера и Гамильтона 367
Г. Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа 370
Д. Принцип наименьшего действия Шварцшильда . . . 370
§ 33. Электромагнитная теория электрона 377
Глава IV
Теория Максвелла для движущихся тел и другие дополнения
§ 34. Уравнения Минковского для движущихся сред .... 385
§ 35. Пондеромоторные силы и тензор энергии-импульса , , 398

Оглавление 501
§ 36. Потеря энергии ускоренного электрона на излучение
и обратное действие излучения на движение элек-
электрона 402
§ 37. Попытки обобщения уравнений Максвелла и построения
теории элементарных частиц 413
§ 38. Общая теория относительности. Единая теория грави-
гравитационного и электромагнитного полей 421
Задачи
К главе I 441
К главе II 442
К главам III и IV . 446
Краткие решения задач ... . . 450
ч Обозначения
Обозначения, используемые на протяжении всей книги, и
размерности величин 489
Обозначения, используемые в гл. Ill и IV 492
Численные значения некоторых констант (приближен-
(приближенные результаты измерений или определения) . . . 495

А. Зоммерфельд
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Редактор С. А. ЭЛЬКИНД
Технический редактор И. Я- Думбре
Корректор П. С. Лейвич
Сдано в производство 7/ХИ 1957 г.
Подписано к печати 30/IV 1958 г.
Бумага 84хЮ87з2=7,9 бум. л.
25,8 печ. л.
Уч.-изд. л. 24,3. Изд. № 2/2476.
Цена 19 р. Зак. 2614.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29

ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Книги по физике
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ
Вустер В. Практическое руководство по кристал-
кристаллофизике. Перевод с английского.
Майер М. и Иенсен Г. Элементарная теория
ядерных оболочек. Перевод с английского.
Умэдзава X. Квантовая теория поля. Перевод с
английского.
Успехи в области ядерной энергии. Сборник статей.
Перевод с английского.
Деформация атомных ядер. Сборник статей. Перевод
с английского.
Нильс Бор и развитие физики. Сборник статей под
ред. В. Паули. Перевод с английского.
Электромагнитная структура ядер и нуклонов.
Сборник статей. Перевод с английского.

ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Книги по физике
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ
Основные формулы физики. Составлено группой
авторов под ред. Д. Мензела. Перевод с англий-
английского, 1957, 658 стр., цена 35 р. 40 к.
Райт Д. Полупроводники. Перевод с английского,
1957, 158 стр., цена 7 р. 40 к.
Эндрю Д. Ядерный магнитный резонанс. Перевод
с английского, 1957, 298 стр., цена 12 р. 55 к.
Грошковский Я. Технология высокого вакуума.
Перевод с польского, 1958, 539 стр., цена 20 р.
35 к.
Месси Г. и Бархоп Е. Электронные и ионные
столкновения. Перевод с английского, 1958,
604 стр., цена 36 р. 85 к.

ОПЕЧАТКИ
Стр.
96
272
408
409
492
493
Строка
В подписи к фиг.
В подписи к фиг.
16 св.
3, 9, 13 и 25
9, 12 св.
3 столбец, 2 и
3 столбец, 7
9 св.
9а 4 св.
35 2 сн.
св.;
3 сн.
св.
Напечатано
та часть
по азимуту
реакции R'
R'
V
V, W, R
к*
Следует читать
часть
по кругу-
реакции R'
R'
V
V, W, R
к
F
Зак. 2614.