ФИЗИКА
ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ
АКАДЕМИК
ИЛЬЯ МИХАЙЛОВИЧ
ЛИФШИЦ
4* we л
р4«
ШШЯЯшШ
виишша
НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ

НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ
ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ
ФИЗИКА
10/1987
Издается ежемесячно с 1967 г.
АКАДЕМИК
ИЛЬЯ МИХАЙЛОВИЧ
ЛИФШИЦ
Издательство «Знание» Москва 1987

ББК22.3г
А 38
Авторы: Александр Федорович АНДРЕЕВ —
член-корреспондент АН СССР; Сергей Андреевич ГРЕДЕСКУЛ — кандидат
физико-математических наук; Моисей Исаакович КАГАНОВ,
Леонид Андреевич ПАСТУР, Алексей Ремович ХОХЛОВ —
доктора физико-математических наук.
Составитель: Александр Юльевяч Гросберг — доктор физико-
математических наук.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 4
С. А. Гредескул, Л. А. Ластур. И. М. Лифшиц и
теория неупорядоченных систем 6
М. И. Каганов. К истории электронной теории
металлов (УФТИ, 50-годы) . 18
А. Ф. Андреев. Квантовые кристаллы — новое
состояние вещества 30
А. Ю. Гросберг, А. Р. Хохлов., Физика полимеров и
биофизика в творчестве И. М. Лифшица .... 37
И. М. Лифшиц. Квазичастицы в современной физике 48
Академик Илья Михайлович Лифшиц: Сборник
А 38 статей. Сост. А. Ю. Гросберг. — М.: Знание,
1987. — 64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Сер.
«Физика»; № 10).
11 к.
Сборник посвящен памяти выдающегося советского
физика-теоретика, академика АН СССР и АН УССР, основателя научной школы
по физике твердого тела, лауреата Ленинской премии Ильи
Михайловича Лифшица.
Авторы статей освещают основные вехи научного пути Ильи
Михайловича.
1604000000 ББК 22.3г
© Издательство < Знание», 1987, г.

. : .•.•......•:.•••...:•
В смешении событий и времен
На наше счастье — не для комплимента —
Вы нам явили трижды эталон:
Учителя, Творца, Интеллигента.
Из поздравления И. М. Лифшииа
с 60-летнем от его учеников-
3

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая читателю брошюра посвящена академику Илье
Михайловичу Лифшицу (13.1.1917—23.10.1982) — выдающемуся
физику-теоретику и очень хорошему человеку.
Свою первую научную работу Илья Михайлович выполнил уже
в возрасте 20 лет, в 1937 г., и с тех пор, не переставая, активна
работал всю жизнь. Высокая оценка его работ выразилась в
избрании его членом Академии наук УССР (1967) и АН СССР (1970),
Национальной академии наук США (1982), присуждении ему
Ленинской премии (1967). Обычные слова о «безвременной кончине
в расцвете творческих сил» в применении к нему не сводятся к
дежурной фразе: не обращая внимания на болезнь, он продолжал
работать и в больнице и умер, полный творческих планов и новых
идей. Его ученики и сотрудники по сей день продолжают черпать
вдохновение из воспоминаний...
Творчество И. М. Лифшица очень широко и разнообразно и
по тематике, и по стилю. Но все же в нем можно выделить
несколько главных направлений: неупорядоченные системы,
электронная теория металлов, квантовые кристаллы и, особенно в
последние годы, полимеры и биополимеры. Статьи данного сборника,
написанные ближайшими учениками и сотрудниками Ильи
Михайловича, посвящены именно этим темам. Как правило, это не
персоналии в обычном смысле слова; скорее, это популярные статьи
об определенных областях теоретической физики, об их истории,,
достижениях и проблемах — о тех областях, развитие которых во
всем мире до сих пор несет на себе яркий отпечаток идей й
личности И. М. Лифшица. Этот материал удачно сочетается с
приведенной в конце брошюры популярной статьей самого Ильи
Михайловича. Хотя впервые она была опубликована почти 30 лет тому
назад, сейчас звучит удивительно современно и представляет
отнюдь не только исторический интерес.
Илью Михайловича очень любили — ученики, сотрудники,
коллеги. Царившую вокруг него атмосферу доброжелательности,
воодушевления и увлеченности наукой читатель, как мне кажется,
сможет почувствовать, прочитав сборник.
4

Думаю, сборник будет интересен многим: и тем, кто знал Илью
Михайловича, и тем, особенно молодым, кто впервые узнает о era
творчестве по этой брошюре.
Мне трудно и больно писать это предисловие в той комнате
Института физических проблем, которую Илья Михайлович занимал
14 лет, где мы часто встречались, где на стене рядом с портретом
Л. Д. Ландау висит портрет Ильи Михайловича...
Академик Я. Б. Зельдович
Авторы сердечно благодарят Зою Ионовну Фрейдину,
жену Ильи Михайловича Лифшица, за большую помощь,
оказанную ею в работе над статьями сборника.

С. А. Г Р Е Д Е С К У Л,
Л. А. П А С Т У Р
И. М. ЛИФШИЦ И ТЕОРИЯ
НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ
Теория неупорядоченных систем занимает в научном
творчестве Ильи Михайловича Лифшица совершенно
особое место. В самом деле, эта новая и бурно
развивающаяся область физики твердого тела, одна из
«горячих точек» современной физики, возникла и
сформировалась в значительной стейени под его влиянием. И. М.
Лифшиц прошел адесь все этапы создания новой области
науки; от выработки многих основных понятий, четкой
формулировки фундаментальных принципов и создания
адекватных методов исследования до получения
основополагающих конкретных результатов. Его первая работа
на эту тему вышла в 1937 г., а последняя опубликована
в посвященном его памяти выпуске Журнала
статистической физики (Нью-Йорк).
Неупорядоченными системами принято называть
конденсированные среды, в которых расположение атомов
не характеризуется пространственной периодичностью.
Таковыми являются кристаллы с дефектами, стекла
разнообразной природы (магнитные, диэлектрические,
металлические, сверхпроводящие), аморфные и островко-
вые пленки, многие биополимеры, наконец, все
биологические объекты, в том числе и мы сами. Именно
неупорядоченные системы являются, если можно так
выразиться, системами общего положения, а упорядоченные
структуры типа совершенной кристаллической решетки
представляют собой, строго говоря, идеализированные
объекты. Однако построенная к настоящему времени
теория упорядоченных конденсированных систем
существенным образом использует идеальность их структуры
и поэтому не может быть без серьезных изменений
перенесена на неупорядоченные системы. В самом деле
хорошо известно, какую роль в электронной теории
металлов или в динамической теории кристаллической
решетки играет представление о трансляционной
симметрии. Это представление позволяет описывать низколе-
жащие возбужденные энергетические уровни
макроскопической системы в терминах тех или иных квазичастиц.
Соответствующая систематика состояний имеет доста-
6

точно простую и универсальную структуру и делает
очень наглядными статистическую картину
элементарных возбуждений и механизм кинетических явлений,
которые описываются в терминах столкновений
квазичастиц и длины их свободного пробега.
Энергетический спектр низколежащих состояний
неупорядоченной конденсированной системы имеет более
сложный характер. В такой системе всегда существуют
ветви спектра, отвечающие одночастичной картине, т. е.
аналоги квазичастиц. Однако в силу отсутствия
трансляционной симметрии систематика даже одночастичных
состояний в неупорядоченных системах оказывается
менее наглядной, а структура спектра — более
разнообразной, чем в упорядоченном случае. Так, кроме
состояний, амплитуда которых имеет один и тот же порядок
величины во всем объеме кристалла (делокализованных
состояний), существуют локализованные состояния.
Доля их при достаточной степени неупорядоченности
может быть весьма велика (так, в одномерном случае
локализованы все состояния), и тогда они оказывают
существенное влияние на картину кинетических явлений.
Одна из самых простых моделей неупорядоченных
систем описывает движение «лишнего» электрона в
твердом теле в поле случайно, хаотически расположенных в
точках rj одинаковых примесей
U (г) =2u(r-rj),
где и (г)—поле* создаваемое одной примесью,
помещенной в начало координат. В тако*й системе все
физические характеристики электрона также являются
случайными, и поэтому, как отмечалось уже в первой
работе И. М. Лифшица, речь должна идти об отыскании
их вероятностных «распределений в кристалле
переменной структуры исходя из представления об
определенном механизме ее возникновения» (1937).
В следующей работе явно введена общепринятая в
настоящее время классификация типов беспорядка в
неупорядоченных системах: «Мы будем рассматривать два
рода отклонений от идеальной решетки: первый род
отклонений заключается в неупорядоченном
распределении атомов с различными рассеивающими
способностями; второй род отклонений заключается в искажении
пространственного распределения узлов решетки»
7

(1938). В нашем примере в случае отклонений первого
рода точки rj выбираются из узлов упорядоченной
решетки; такой беспорядок сейчас называют беспорядком
положения. Во втором случае на расположение точек
rj не накладываются никакие дополнительные условия,
это так называемый структурный беспорядок.
В 1941 г. в возрасте 24 лет Илья Михайлович
защитил докторскую диссертацию на тему «Оптическое
поведение неидеальных кристаллических решеток». В трех
работах, составивших содержание диссертации, изучены
колебания изотопически неупорядоченных решеток*.
Этот цикл работ производит чрезвычайно сильное
впечатление и содержит целый ряд фундаментальных
положений теории неупорядоченных систем.
Все знавшие Илью Михайловича хорошо помнят,
что всякий раз, приступая к обсуждению какой-либо
работы, он прежде всего спрашивал: «А какой у Вас
малый параметр?» — имея в виду, что в подавляющем
большинстве «решаемых» теорфизических задач
непременно используется малость той или иной величины.
В теории колебаний изотопически неупорядоченной
решетки таким параметром может быть, как показано в
диссертации, либо концентрация изотопических
примесей, либо относительное изменение массы при замене
основного атома его изотопом: «Малые возмущения
могут быть двух принципиально различных родов:
(I) значительный процент, узлов занят «чужими»
атомами, однако эти «чужие» атомы ма^о отличаются от
«своих»...
(II) «чужими» атомами занято сравнительно малое
число узлов, однако эти атомы существенно отличны от
«законных»...»
В физике неупорядоченных систем крайне важнук>
роль играют самоусредняющиеся величины, т. е.
величины, которые становятся неслучайными, достоверными
в макроскопическом пределе. Их важность обусловлена
тем, что результаты измерений таких величин в
образцах достаточно большого объема совпадают, несмотря
на различные расположения примесей или, как принято
говорить, на различные реализации беспорядка в этих
образцах. В диссертации впервые сформулировано это
положение и ггоказано, что свойством самоусредняемо-
* Атомы, расположенные в узлах решетки, могут сильно
отличаться друг от друга только массами.
S

сти обладает дипольный момент единицы объема. Лк>
бопытно, что Илья Михайлович совершенно забыл об
этом, хотя и не был, разумеется, безразличен к своим
результатам и один раз даже сослался по этому
поводу на работу Кона и Латтинжера, фактически
повторивших через 15 лет доказательство, данное им еще в
диссертации.
Во многих случаях неупорядоченную систему можно
построить путем некоторого изменения, или, как
говорят, возмущения, исходной идеальной системы. В
рассмотренных примерах примесного кристалла или изото-
пически неупорядоченной решетки такое возмущение
было связано либо с введением примесей в некоторые
точки кристалла, либо с заменой атомов в некоторых
узлах решетки изотопами. Такие возмущения
сосредоточены в определенной области пространства (в
некоторой окрестности точки, где расположена примесь, в
первом случае и в фиксированном узле решетки — во
втором) и поэтому называются локальными.
Примером точечного локального возмущения
является вакансия, линейного — дислокация, плоского —
поверхность кристалла или границы зерен.
В цикле работ 1945—1952 гг. И. М. Лифшиц
построил последовательную теорию локальных возмущений.
В этих работах впервые четко и в совершенно общих
терминах поставлена и, по существу, полностью решена
проблема анализа спектра квазичастиц при
вырожденных возмущениях и получены эффективные формулы
для измененных спектральных характеристик
микроскопического кристалла.
Работы этого цикла продемонстрировали редкую
способность И. М. Лифшица глубоко понимать аппарат
современной теоретической физики, уметь извлечь из
него не только богатую физическую, но и
математическую информацию вплоть до постановки новых
содержательных и оригинальных математических задач.
Теория локальных, возмущений положила начало целому
направлению исследований в математике и
математической физике. Полученные в его рамках так называемые
формулы следов, позволяющие найти, например,
изменение любой термодинамической величины, вызванное
локальным возмущением, широко используются в
спектральной теории операторов и в теории точно
интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений.
9

Итогом этих работ явилось создание общего
аппарата теории локальных колебаний, ставшего в наши дни
неотъемлемой составной частью формализма теории
твердого тела, с помощью которого впоследствии был
рассчитан ряд важных физических эффектов (в
частности, предсказано существование квазилокальных
колебаний).
Одним из наиболее важных объктов применения
теории локальных возмущений является кристалл с
примесями. Естественно поэтому, что результаты этой
теории послужили отправным пунктом и важным
техническим средством разложения термодинамических величин
примесного кристалла по степеням концентрации
примесей, выполненного в 1955—1957 гг. В статьях этих
лет основные понятия теории неупорядоченных систем,
такие, как замороженный беспорядок произвольной
статистической природы, самоуередняемость аддитивных
величин теории, возможность разложения таких величин
по степеням концентрации примесей и методы
нахождения коэффициентов этого разложения, выступают во
вполне сформировавшемся и современном виде и
эффективно применены для решения интенсивно
обсуждавшейся в научной литературе того времени задачи о
структуре и свойствах твердых растворов отвердевших
газов.
Впервые употреблен термин «неупорядоченная
система» в том смысле, в котором мы его сейчас понимаем,
и четко сформулировано свойство самоусредняемости
плотности состояний: «Для достаточно большого
кристалла фактическое значение спектральной плотности
совпадает с ее математическим ожиданием». Показано,
что концентрационное разложение является более
общим, чем разложение по степеням возмущения.
Полностью количественно понята тонкая структура
дискретного спектра в примесной зоне при малой концентрации
примесей, обнаруженная впоследствии как при
теоретическом анализе одномерных моделей, так и при
численных расчетах плотности состояний.
В 60-х годах метод разложения по степеням
концентрации стал основой разнообразных самосогласованных
методов, как «одночастичных», т. е. использующих
приближение первого порядка по концентрации, так и
«многочастичных». В настоящее время этот метод и его
модифицированные и самосогласованные варианты
nolo

лучили существенное дальнейшее развитие и
применяются как эффективный инструмент анализа широкого
круга явлений и эффектов в неупорядоченных системах
различной природы — электронных, колебательных,
магнитных.
С 1957 по 1963 г. И. М. Лифшиц не публиковал
работ по теории неупорядоченных систем. По-видимому,
это было прежде всего связано с его интенсивной
работой в области электронной теории металлов, приведшей
к созданию широко известной «фермиологии». Тем не
менее он, безусловно, продолжал размышлять над
вопросами теории неупорядоченных систем. Свидетельство
тому — появление в 60-х годах ряда фундаментальных
работ, сыгравших в развитии теории чрезвычайно
важную роль.
Как рассказывал Илья Михайлович, его
первоначальной целью при написании статьи «О структуре
энергетического спектра примесных зон...» (1963) было
«распространение результатов, полученных для фононов, и
методов, использованных для их получения, на
электроны в кристалле». В итоге теория обогатилась новой
«базисной» моделью и было показано, что при малой
концентрации примесей все состояния в примесной зоне
этой модели локализованы.
Исходя из определения плотности состояний р(£) и
ее самоусредняемости p(E)dE можно трактовать как
вероятность того, что наугад взятый энергетический
уровень попадает в интервал (Е, E + dE). Отправляясь от
этого наблюдения, И. М. Лифшиц разработал
чрезвычайно эффективный метод нахождения плотности
состояний, заметив, что существует ряд интересных
случаев, когда в рассматриваемой области спектра
плотность состояний формируется за счет весьма узкого,
оптимального класса реализаций. При этом каждому
уровню энергии Е в этой области соответствует практически
единственное (с точностью до пространственного
сдвига) расположение примесей (оптимальная флуктуация),
порождающее этот уровень, и единственная волновая
функция. Другими словами, сама энергия в этой
области спектра является, как говорят, хорошим квантовым
числом: Эффективность этой общей концепции была
продемонстрирована при изучении спектра примесной зоны
в определенной модели структурного беспорядка,
называемой сейчас мрделью Лифшица.
11

Простейшей реализацией локальных возмущений в
электронной системе являются точечные рассеиватели
(6-функционные в одномерном случае). Случайно
располагая их в пространстве, мы получим модель Лифши-
ца — одну из самых содержательных моделей
структурного беспорядка. Если один рассеиватель приводит к
появлению локального уровня Е0у то при малых
концентрациях примесей вокруг него формируется примесная
зона электронного спектра, подробно исследованная
Ильей Михайловичем. Оказалось, что вдали от
локального уровня, т. е. на хвостах примесной зоны,
оптимальные флуктуации представляют собой пары примесей,
расстояние между которыми существенно меньше
среднего. Вероятность таких флуктуации, а следовательно,
и плотности состояний пропорциональна квадрату
концентрации примесей. В непосредственной окрестности
Е0 оптимальными являются конфигурации, в которых
одна из примесей удалена от всех остальных на
расстояние существенно больше среднего. При Е-+Е0 это
расстояние неограниченно растет, вероятность такой
флуктуации стремится к нулю, и поэтому плотность
состояний в центре примесной зоны должна иметь
провал.
Модель Лифшица является чрезвычайно
содержательной и реалистичной. В то же время она весьма
сложна, и этим, вероятно, объясняется то
обстоятельство, что ее изучению до настоящего времени было
посвящено гораздо меньше работ, чем, например, другой,
широко распространенной одночастичной «базисной»
модели теории неупорядоченных систем — модели
Андерсона, моделирующей беспорядок замещения.
Представляется, однако, что по мере развития теории
неупорядоченных систем модель Лифшица будет играть все более
важную роль.
Следующая фундаментальная работа 60-х годов —
широко известный обзор (1964), опубликованный в
журнале «Успехи физических наук». Здесь была
сформулирована программа анализа спектра элементарных
возбуждений в неупорядоченных системах. Основной
акцент ставился на изучение спектра вблизи так
называемых особых точек — спектральных границ, локальных
уровней, границ спектра исходной идеальной системы,
где происходит кардинальная перестройка старых или
появление новых квантовых состояний.
12

В рамках реализации этой программы в обзоре
содержится большое число новых результатов, так что он
может быть назван обзором лишь условно. Среди них
прежде всего следует отметить введение понятия
истинных границ спектра и построение физически прозрачной
и содержательной картины спектра вблизи тех истинных
границ, которые были названы флуктуационными.
Окрестность такой границы является еще одним и,
по-видимому, гораздо более содержательным, чем примесная
зона, примером участка спектра, где оказывается
чрезвычайно эффективным подход, основанный на изучении
оптимальных конфигураций. И. М. Лифшиц показал, что
плотность состояний во флуктуационной области E-+Q
(энергия отсчитывается от границы спектра) с
логарифмической точностью имеет вид:
- In р (Е) ~ £-3/2
(сингулярность Лифшица). Оптимальные флуктуации
представляют собой области с максимальной
концентрацией примесей и объмом ~ Е~г/2> на которых и
локализованы соответствующие состояния*.
Сотрудники теоротдела ХФТИ, руководимого И. М.
Лифшицем, хорошо помнят, как писался обзор. Илья
Михайлович продолжал работу над ним в течение
нескольких месяцев уже после того, как первый вариант
рукописи был напечатан. Буквально каждый день Илья
Михайлович получал новые результаты либо решал
несколько иначе скомпоновать материал или расставить
акценты. Обзор одновременно был послан в УФН и
выходил в виде препринта ХФТИ (1963). Уже после
выхода препринта Илья Михайлович несколько раз
переделывал текст обзора в «Успехах».
Подводя итог, можно сказать, что выход в свет
этого обзора наряду с известным обзором Мотта и Туза
ознаменовал собой начало современного этапа развития
теории неупорядоченных систем, приведшего во второй
половине 60-х годов к огромной вспышке интереса к
этой тематике и потоку работ, характер и результаты
которых, безусловно, несли отпечаток идей и методов
И. М. Лифшица (например, во второй половине 1966 г.
в ЖЭТФ было опубликовано сразу 6 статей — число по
* Математически строгое обоснование картины флуктуационно-
го спектра, указанной И. М. Лифшицем, было дано лишь в
последние годы Ю. Фрелихом и Т. Спенсером.
13

тем временам весьма значительное — реализующих в
тех или иных направлениях программу,
сформулированную в обзоре).
Развивая далее концепцию флуктуационных уровней,
И. М. Лифшиц в 1967 г. построил их последовательную
количественную теорию, где «оптимальная» идеология
уже была использована, в полной мере. Отметим, что эта
теория как по своему духу (существование единственной
с точностью до сдвига оптимальной флуктуации), так и
по используемому аппарату (метод перевала)
напоминает теорию Ландау фазовых переходов II рода.
Существенно новым моментом, дополнившим эту идеологию,
явилось макроскопическое описание оптимальной
флуктуации в терминах сглаженной, зависящей от
координаты концентрации примесей, ставшее возможным в
предельном случае так называемых примесей малой
интенсивности. Это позволило И. М. Лифшицу написать
самосогласованные уравнения, из которых удалось найти
форму оптимальной флуктуации, волновую функцию и
плотность состояний при различных энергиях.
Идея макроскопизации позволила существенно
расширить область применимости метода оптимальной
флуктуации и — что, пожалуй, даже более важно —
придать этому методу большую универсальность.
Именно эта черта подхода И. М. Лифшица оказалась
решающей при распространении метода оптимальной
флуктуации на другие классы рассеивателей (экранирован-
ные, кулоновские примеси), на другие классы объектов
(биополимеры) и при разнообразных и эффективных его
применениях (например, в теории сильно легированных
полупроводников).
Довольно скоро стало ясно, что истинным большим
параметром теории флуктуационных уровней является
избыточное число примесей на оптимальной
флуктуации. Но вблизи границы спектра этот параметр
стремится к бесконечности при любой интенсивности прцме-
сей, а ее малость лишь расширяет флуктуационную
область, которая в этом случае доходит почти до среднего
значения потенциала. Эта идея послужила отправным
пунктом развитого позднее подхода к вычислению
плотности состояний во флуктуационной области,
основанного на своеобразном вариационном принципе.
Применимость этого принципа уже не ограничивалась,
требованием макроскопического описания, и поэтому, в его
14

рамках удалось получить единым образом как все ранее
известные результаты, так и ряд новых асимптотик
плотности состояний во флуктуационной области.
В 70-е годы программа, сформулированная в обзоре
1964 г., была уже в значительной степени реализована.
Илья Михайлович решил написать книгу по теории
неупорядоченных систем и привлек нас в качестве
соавторов. Первое время мы приезжали в Москву раза два
в год, обсуждали план книги, ее структуру, отбирали
материал.
В 1974 г. мы приезжали к Илье Михайловичу в
Узкое, он тогда не совсем еще оправился от инфаркту, но,
как всегда, интенсивно работал. Прогуливаясь по
знаменитому парку, посаженному Трубецким и воспетому
Пастернаком, мы обсуждали тонкую структуру
примесной зоны, характер состояний вблизи
перенормированной границы спектра и другие вопросы, а Зоя Ионовна,
жена Ильи Михайловича, внимательно следила за тем,
чтобы продолжительность беседы не вышла за разумные
рамки. Эта предосторожность была совершенно не
лишней — все, кто вел с Ильей Михайловичем научные
дискуссии, хорошо помнят, с каким жаром и увлечением
ott всегда делал это. Наши встречи в Институте
физических проблем начинались около 11 часов утра, а
заканчивались, как правило, в 6—7 часов вечера, когда
Илья Михайлович вдруг охал, посмотрев на часы: «Я и
не думал, что уже так поздно!..»
Об эмоциональности и увлеченности Ильи
Михайловича говорит следующий эпизод. Как-то раз во время
одного из почти ежедневных междугородных телефонных
звонков он заявил (речь шла о структуре спектра в
примесной зоне): «Все не так!!! Все неправильно, все
совершенно иначе!» Сначала мы находились в состоянии,
среднем между ужасом и недоумением, но потом все
выяснилось. Оказалось, «все не так» значит, что в
окрестности провала в плотности состояний, о котором речь
шла выше, приближения, использованного Ильей
Михайловичем в работе 1963 г., недостаточно, а «все
совершенно иначе» — что Илья Михайлович уже понял,
как продвинуться дальше*.
В последние годы внимание И. М. Лифшица привлек
* Это была последняя работа И. М. Лифшица, она была
направлена в печать, когда его уже не стало.
15

интересный со многих точек зрения вопрос о
прохождении частиц и волн через слои неупорядоченных сред.
Нетрадиционность задач о прохождении обусловлена
прежде всего сложной статистической природой
прозрачности слоя, которую мы поясним на следующем
простом примере. Пусть слой представляет собой пучок
М невзаимодействующих нитей длины L. На каждой из
нитей реализуется- своя конфигурация примесей и,
следовательно, свой коэффициент прохождения.
Наблюдаемая прозрачность слоя равна среднему арифметическо1-
му коэффициентов прохождения отдельных нитей. В
задаче о прохождении всегда есть два макроскопических
размера — продольный (толщина слоя L) и
поперечный (число нитей М). При неограниченно растущей
площади слоя и фиксированной его толщине прозрачность
слоя самоусредняется, т. е. становится достоверной.
В работе 1982 г., где подробно обсуждены эти вопросы,
показано, что в случае пучка нитей, число которых
экспоненциально велико по сравнению с их длиной, М =
= exp(qL), и больших L декремент наблюдаемой
прозрачности становится достоверным. Подчеркнем, что это
свойство декремента обеспечивается большой длиной
нитей L, а самоусреднение прозрачности происходит при
большом числе нитей М. Действительно этот декремент
совпадает с декрементом средней прозрачности лишь
при q, большем некоторого q0y т. е. когда число нитей
«достаточно» экспоненциально велико по сравнению с
их длиной. Образцы с числом нитей M>exp(q0L) по
отношению к прозрачности являются
макроскопическими. Напротив, при q<qo декремент наблюдаемой
прозрачности больше, чем декремент средней прозрачности,
а образцы с M<exp(qoL) являются, как принято, сейчас
говорить, мезоскопическими. Таким образом, здесь
впервые проведен тщательный анализ влияния конечных
размеров образца на статистические свойства его
физических характеристик. Илья Михайлович еще успел
просмотреть корректуру этой статьи...
В настоящее время эта тематика весьма
интенсивно развивается — появился целый ряд работ, в которых
обсуждаются самые разнообразные аспекты явлений,
связанных с конечностью размеров образца, в том
числе возникающих при прохождении частиц через
неупорядоченные слои.
Идеи и работы И. М. Лифшица играют важную и об-
16

щепризнанную роль во многих областях физики
конденсированного состояния. Представляется, однако, что его
роль в теории неупорядоченных систем особая. И. М.
Лифшиц, бесспорно, является одним из создателей
современной теории неупорядоченных систем, и ее
поразительные успехи во многом обязаны его идеям и
энтузиазму. От его пионерских работ берет начало целый
ряд активно развивающихся разделов этой теории. Это
связано с замечательной чертой научного творчества
И. М. Лифшица: в его работах не только содержались
фундаментальные положения и результаты, строились
новые эффективные методы, но и формулировались
программы изучения обширных комплексов вопросов и
намечались пути реализации этих программ.
В настоящее время физика неупорядоченных систем
располагает глубокими и общими теоретическими
концепциями и разработанным аппаратом, большим числом
неожиданных и разнообразцых экспериментальных
результатов и чрезвычайно быстро развивающимся полем
приложений. И хотя теория неупорядоченных систем в
ее настоящем виде сформировалась в результате усилий
международного сообщества ученых, Илья Михайлович
Лифшиц, несомненно, является одним из самых
выдающихся исследователей, превративших ее в крупный и
важный раздел современной теоретической физики.
* * *
В этой статье мы попытались отразить, так сказать,
документально зафиксированный вклад И. М. Лифшица
в создание и развитие теории неупорядоченных систем.
Однако существовал и другой вклад, состоящий -из его
выступлений, обсуждений работ на семинарах и в
личных беседах. Этот вклад, размеры и роль которого
невозможно переоценить, связан с хорошо известными всем
замечательными личными качествами Ильи
Михайловича — страстной одержимостью наукой, высокой научной
принципиальностью, сочетавшейся с искренней
доброжелательностью и безграничным человеческим
обаянием.
1496—2
17

М. И. КАГАНОВ
К ИСТОРИИ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ
(УФТИ*, 50-е ГОДЫ)
Обстановка и люди. Глядя на обложки современных
учебников по физике твердого тела, украшенных
вычурными изображениями поверхностей Ферми металлов,
очень трудно представить себе время, когда слова
«поверхность Ферми» отпугивали большинство физиков, а
удивление первооткрывателей сложных геометрических
конструкций проявилось в том, что одна из таких
конструкций получила прозвище «монстр» — чудовище — и
под таким названием вошла в современную
электронную теорию металлов. Понятия «давно» и «недавно»,
конечно, относительны. Для бурно развивающихся
областей физики двадцать — тридцать лет тому назад —*
plusquamperfectum, давно прошедшее время. Физика
твердого тела при взгляде извне — сравнительно
консервативная наука, исторические этапы развития
которой продолжаются десятки, а иногда и более сотни лет.
Но и для физики твердого тела последние тридцать
лет — период общепризнанных успехов. Период
качественных изменений, особенно для теории металлов.
Наверное, у каждого человека есть ощущение
главного периода своей жизни. У научного работника этот
период выделяется либо собственным взлетом,
получением лучшего результата, либо тем, что «его наука», то,
чем он занимается, оказывается модной, попадает в
центр внимания научной общественности... В 50-е годы
была модна физика металлов. Одним из центров, где
она создавалась, был Харьков, точнее, УФТИ (как
тогда говорили). В 1949 г., окончив Харьковский
университет и защитив дипломную работу под руководством
И. М. Лифшица, я был принят к нему в отдел.
Первая работа по электронной теории металлов,
выполненная с моим участием, вышла из печати в 1953 г.;
конечно, главную роль в этой работе сыграл Илья
Михайлович Лифшиц. С тех пор — много лет подряд —
моя научцая жизнь связана с электронной теорией
металлов. Пятидесятые годы я считаю главным периодом
* Физико-технический институт АН УССР.
18

своей научной жизни... Главным не только конкретными
результатами. В эти годы сложились мои отношения с
Ильей Михайловичем Лифшицем. Каждый день я
ощущал его внимание и поддержку. Возможность задать
вопрос и получить доброжелательный,
квалифицированный ответ создавала уверенность, облегчала
преодоление трудностей, которых так боится каждый
начинающий научный работник.
ИРЭ и УФТИ в те годы еще не были разделены. Зал,
в котором ныне собирается семинар лаборатории
низких температур и совет по физике твердого тела
(УФТИ), был занят радиооборудованием, а
низкотемпературный семинар проходил в административном
корпусе. Обстановка на семинаре была свободная, веселая
(например, каждое 1-е апреля устраивался шуточный
доклад*). Для харьковских теоретиков (во всяком
случае, для меня) семинар, руководимый Борисом
Георгиевичем Лазаревым, был не только источником
информации об экспериментальной ситуаций, но и — главным
образом — верховным судилищем: чему можно верить,
я чему нельзя, что интересно, а что — случайность; из
неорганизованной, неупорядоченной массы работ
формировалась линия развития определенных областей
физики — в те годы физики металлов и физики
сверхтекучести.
У теоретиков был свой семинар — общегородской,
который собирался в длинной и узкой комнате (скорее,
широкой и короткой, так как доска располагалась на
длинной стене) в библиотеке Института математики
университета — на Пушкинской улице. Теоретиков
было немного: все усаживались за двумя рядами (а
может быть, за одним рядом?) столов. Потом семинар
перебрался в Дом ученых, но это значительно позже. На
этом семинаре (им руководили И. М. Лифшиц и А. И.
Ахиезер), по примеру семинара Ландау, можно было
докладывать что угодно — работу из любой области
теоретической физики. На одном из семинаров впервые
на доске появилась формула
со я =еН/т*с,
* Иногда совсем шуточный (о мухе внутри эвакуированного от
газа сосуда), а иногда такой, что «розыгрыш» обнаруживался
только в конце доклада (например, об осцилляциях, с магнитным
полем теплоемкости не пошю какого металла — предсказанный, но
трудно наблюдаемый эффект).
19

где га* — эффективная масса электрона проводимости,
и было сказано, что это циклотронная частота —
частота обращения электронов со сложным законом
дисперсии в магнитном поле. (И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель,
М. И. Каганов, 1956.) Немногие обратили внимание на
фразу, оброненную Л. Н. Розенцвейгом —
обязательным посетителем этого семинара: «Значит, должен быть
циклотронный резонанс...»
Каждую работу, которую авторы считали хорошей,
они везли к Ландау. Если работа принималась Л-андау,
то докладывалась на его семинаре. Все работы по
электронной теории прошли через семинар Ландау.
Орир снабдил свою книгу эпиграфом: «Физика это
то, чем физики занимаются после работы — дома». Это,
конечно, правильное, но суженное определение. Физика
это и то, о чем говорят физики на работе, если они
работают... (я задумался, как окончить фразу, и понял,
что ее нет необходимости кончать; надо только
правильно поставить ударение: если они работают). В те годы
экспериментальными исследованиями металлов
занимались три экспериментальные группы в лаборатории
Б. Г. Лазарева: Евгения Станиславовича Боровика,
Бориса Иеремиевича Веркина и Александра
Александровича Галкина. Боровик занимался гальваномагнитными,
Веркин — осцилляционными, а Галкин —
высокочастотными явлениями. Уверен: нет случайности в том, что
первые, а по существу, и главные работы по
электронной теории металлов были «уфтинскими»:
«К теории эффекта де Гааза — ван Альфвена для
частиц с произвольным законом дисперсии» (И. М.
Лифшиц, А. М. Косевич, 1953 и 1955);
«К теории гальваномагнитных явлений в металлах»
(И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов, 1956;
И. М. Лифшиц, В. Г. Песчанский, 1958);
«К теории аномального скин-эффекта» (М. И.
Каганов, М. Я. Азбель, 1955);
«Теория циклотронного резонанса в металлах»
(М. Я. Азбель, Э. А. Канер, 1956).
Первые две — под руководством и при
непосредственном участии Ильи Михайловича.
Поверхность Ферми. Свойства любых объектов
можно определять таким образом, чтобы подчеркнуть их
общность («металлы суть блестящие тела, кои
куются». — М. В. Ломоносов), а можно специально находить
20

и формулировать свойства — различия, свойства,
специфические для каждого из объектов. Для объяснения
«общеметаллических» свойств металлов (линейного
хода теплоемкости при низких температурах, конечной
проводимости при Т = 0, закона Видемана—Франца,
парамагнетизма Паули, термо- и холодной эмиссии, скин-
эффекта и т. п.) достаточно было рассматривать
«безликий» металл, содержащий вырожденный газ
свободных электронов (модель Друде — Лоренца — Зоммер-
фельда). К 50-м годам и в 50-е годы накопился
огромный экспериментальный материал о свойствах,
отличающих один металл от другого. К примеру,
сопротивление одних металлов при низких температурах во много
раз возрастает с увеличением магнитного поля, других—
изменяется сравнительно немного; периоды магнитных
осцилляции* различных металлов отличаются на много
порядков и т. д. По-видимому, главное достижение
современной электронной теории металлов — ликвидация
противоречия между «безликим металлом теоретиков»
и всей совокупностью экспериментальных данных,
понимание того, чем электроны одного металла
отличаются от электронов другого. «Лицом» металла, его
«визитной карточкой» стала поверхность Ферми — изоэнерге-
тическая поверхность, отделяющая занятые состояния от
свободных.
Эффект де Гааза — ван Альфена. Открытая де-Га-
азом и ван-Альфеном (1931) на монокристаллах
висмута осциллирующая (периодическая) зависимость
магнитного момента от магнитного поля оказалась не
странностью висмута, вообще не похожего на другие
металлы, а общеметаллическим свойством. Соревнуясь друг
с другом, это продемонстрировали харьковские (Б. И.
Веркин, Б. Г. Лазарев...) и кембриджские (Д.
Шенберг... ) физики-экспериментаторы. Накопление
экспериментального материала явно опережало теорию,
которая сводилась к одной работе Л. Д. Ландау,
опубликованной в виде приложения к статье Д. Шенберга
(1939) о висмуте. В работе Ландау было показано, что
период осцилляции Л~77~ обратно пропорционален
плотности а числа электронов в степени 2/3'
* Речь идет об эффектах де Гааза — ван Альфена, Шубнико-
ва — де Гааза и им аналогичных.
21

J _2|g[ 1
Д Я Ас (Зя2я)2/3 *
Поскольку у большинства металлов осцилляции
оказались весьма сложными — наряду с большими
периодами обнаруживались и малые, в обиходе появились
группы электронов проводимости, и среди них особое
место занимали группы с аномально малым числом
носителей.
В 1950 г. И. М. Лифшиц на сессии АН УССР
доложил работу, в которой показал, как квантуется
движение электрона со сложным (произвольным) законом
дисперсии в магнитном поле*, а в 1954 г. была
построена полная теория эффекта де Гааза — ван Альфена,
по-видимому, первая теория, исходившая из
представлений об электронах проводимости как об идеальном
ферми-газе из заряженных частиц со сложной
анизотропной зависимостью энергии от квазиимпульса (И. М.
Лифшиц, А. М. Косевич, 1953, 1955). Конечно, эта
работа не объяснила, почему у одних металлов периоды
большие, у других — малые, а у третьих — и большие,
и малые. Но она сформировала алгоритм объяснения:
постройте поверхность Ферми данного металла
(скажем, используя более или менее адекватную модель),
проведите семейство сечений, перпендикулярных
магнитному полю, найдите экстремальные сечения
(максимальные и минимальные) — каждое из экстремальных
сечений поверхности Ферми продуцирует период, обратно
пропорциональный площади сечения:
1 2л\е\Н 1
А7Г"="-т с •
Л С Oextr
Работа Лифшица и Косевича была важным этапом
в создании современной электронной теории металлов.
Во-первых, она показала, что за словами «электрон с
произвольным законом дисперсии» скрывается
возможность расчета (оказалось, что можно, не прибегая к
конкретизации, получить вполне определенные
предсказания о поведении наблюдаемых физических величин:
их зависимости от температуры, магнитного поля
и т. д.); во-вторых, впервые была сформулирована (и в
том же 1954 г. И. М. Лифшицем и А. В. Погореловым
* Аналогичное условие квантования было получено Онсагером»
Его часто называют условием квантования Лифшица—Онсагера.
22

решена, во всяком случае, в принципе) задача об
определении электронного энергетического спектра,
понимаемая как задача об определении формы поверхности
Ферми и скоростей электронов, имеющих энергию,
равную фермиевской. Эта работа оказалась первой в целом
ряду работ, в которых итогом теоретического
рассмотрения считалась формулировка спектроскопических
возможностей изучаемого явления: какую характеристику
электронного энергетического спектра можно
непосредственно определить, используя данное явление —
диаметры поверхности Ферми, среднюю гауссову кривизну,
эффективные массы, скорость в опорной точке и т. д.
Гальваномагнитные явления. Исследование
гальванических свойств металлов в постоянном магнитном поле
на протяжении многих десятилетий — классическая
область физики низких температур. К 50-м годам нако-
цился огромный экспериментальный материал. Хотя
существовали важные эмпирические и полуэмпирические
обобщения, переход к исследованию
монокристаллических образцов создал ощущение бесконечного
многообразия, не поддающегося систематизации. Многим
казалось, что накопление новых экспериментальных данных
сродни «зоологии» — описанию разнообразных
животных (без понимания, почему они отличаются друг от
друга). В докторской диссертации Е. С. Боровика и в
работах Н. Е. Алексеевского с учениками наметилась
систематизация: все металлы по своему поведению в
сильных магнитных полях разделились на три группы:
у одних металлов поперечное (по отношению к
магнитному полю Я) сопротивление неограниченно растет с
ростом Я, у других — стремится к насыщению, а для
третьих характерна анизотропия: при некоторых
направлениях Я поперечное сопротивление неограниченно
возрастает, при других стремится к насыщению.
Однако совершенно не было ясности, в чем причина такого
деления. Была, правда, работа Б. Давыдова и И. Поме-
ранчука (1939), в которой квадратичный рост
сопротивления висмута (опять висмута!) с магнитным полем
связывался с равенством чисел электронов и дырок.
С непримиримостью неофитов мы отворачивались от
этой работы: ведь расчет в ней использовал
квадратичный (!) закон дисперсии носителей.
Работа «К теории гальваномагнитных эффектов в
металлах» (И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Кага-
23

нов, 1956) обнаружила причины различного поведения
металлов в сильном магнитном поле. Электроны
проводимости в зависимости от закона дисперсии по-разному
движутся под действием силы Лоренца, причем
определяющей оказалась топология поверхности Ферми. В этой
работе было много неожиданностей (даже для ее
авторов): без каких-либо специальных предположений
была выведена формула для «константы» Холла в
больших полях Roo:
00 (п е —пр )ес '
где п е(р) — плотность электронов (дырок).
Выяснилось, что стремление к нулю при #->оо всех
поперечных (относительно Н) компонент тензора
проводимости не означает возрастания поперечных компонент
тензора сопротивления — очень важно поведение холлов-
ских компонент тензора проводимости... И главная
неожиданность — все стало на место: систематизация
обрела объяснение или, точнее, как и в случае эффекта
де Гааза — ван Альфена, — алгоритм объяснения,
связав различие в поведении сопротивления металлов в
магнитном поле с различием поверхностей Ферми. Уже
из работы 1956 г. было видно, что «с точки зрения
гальваномагнитных явлений» наиболее интересны
металлы с открытыми поверхностями Ферми*.
Исчерпывающий анализ подтвердил это (И. М. Лифшиц, В. Г.
Песчанский, 1958), а экспериментальные исследования
Н. Е. Алексеевского и Ю. П. Гайдукова показали
спектроскопические возможности гальваномагнитных
явлений: их исследования позволили нарисовать контуры
поверхностей Ферми золота, серебра, меди.
Особое место в этой области физики занимал (и,
пожалуй, до сих пор занимает) закон Капицы — линейное
возрастание сопротивления поликристаллических
образцов с магнитным полем. Строгая линейная зависимость
в широком интервале полей, казалось бы, не оставляет
сомнений в первичности и фундаментальности этой
закономерности. Однако уже Е. С. Боровик выразил
сомнение в этом. Он считал, что линейный ход
сопротивления с магнитным полем — промежуточная область
(либо между двумя квадратиками, либо между квадра-
* Как у меди, например.
24

тичным ростом в малых полях и насыщением). Н. Е.
Алексеевский и Ю. П. Гайдуков, сняв угловую
зависимость сопротивления монокристаллов золота, серебра,
меди в магнитном поле, усреднили (в смысле среднего
арифметического) полученные значения и, построив
зависимость среднего значения сопротивления,
обнаружили его линейный ход с Я. А в эти же дни (буквально!)
Лифшиц и Песчанский показали, что усреднение
теоретических угловых диаграмм для сопротивления по
направлениям Н (переход от монокристаллов к
поликристаллам) приводит к линейной зависимости среднего
сопротивления от магнитного поля. Это совпадение
принесло много радости и тем и другим *.
Аномальный скин-эффект, циклотронный резонанс,
волны в металле. Приятно, когда теория объясняет экс^
периментальные результаты, но еще больше
положительных эмоций рождает предсказание нового явления
и его открытие согласно предсказанию. Заслуженно
шумный успех сопутствовал предсказанию (М. Я. Аз-
бель, Э. А. Канер, 1956, 1957) и открытию
циклотронного резонанса в металлах, т. е. резонансного
взаимодействия с электромагнитной волной электронов,
периодически возвращающихся в скин-слой под действием
силы Лоренца, когда постоянное магнитное поле
параллельно поверхности металла. Условие резонанса
\е\Н
ы = п——, /i=l, 2, 3, ...
т*с
показывает возможность непосредственного определения
аффективных масс фермиевских электронов т*. После
работ М. С. Хайкина, А. А. Галкина и их учеников
циклотронный резонанс действительно стал одним из
наиболее популярных методов исследования электронного
энергетического спектра. Но значение этих работ, как
мне кажется, выходит за рамки конкретных результатов
и спектроскопических бозможностей. Они привлекли вниг
мание исследователей к электродинамике металла в
магнитном поле. До открытия циклотронного резонан-
* Вычисление усредненных гальваномагнитных характеристик
до сих пор привлекает внимание теоретиков. Как это иногда
бывает, развитие не принесло полной ясности. По моему мнению,
окончательного суждения о природе закона Капицы вынести еще нельзя.
Возможно, причин много. Но редко бывает, чтобы один простой
закон имел много разных причин.
2>

са главное внимание уделялось отражательной
способности металла даже в тех сравнительно сложных
случаях, когда коэффициент отражения (поверхностный
импеданс) не может быть выражен через статическую
электропроводность металла (аномальный скин-эффект,
внутризонное и межзонное поглощение и т. п.). О том,
что в металле могут распространяться
электромагнитные волны, попросту никто не думал. Активное
(резонансное) взаимодействие электронов с
электромагнитной волной, предсказанное и открытое в условиях
циклотронного резонанса, изменило наши представления.
«Посыпались» открытия слабозатухающих волн разного
типа (и отнюдь не на кончике пера). Не все они им^ют
прямое отношение к циклотронному резонансу*, но,
думаю, все они «появились на свет» благодаря
циклотронному резонансу.
Открытию циклотронного резонанса предшествовало
обобщение теории предельно аномального скин-эффекта
на случай электронов с. произвольным законом
дисперсии (М. И. Каганов, М. Я. Азбель, 1955). А несколько
позже (1957) появилась работа А. И. Ахиезера, М. Я.
Каганова, Г. Я. Любарского, в которой был исследован
аналог аномального с*шн-эффекта: поглощение звука с
длиной волны, значительно меньшей длины свободного
пробега. Этим абзацем я хочу подчеркнуть, что в то
время наше внимание было привлечено к
специфическому классу задач электронной теории металлов, в
которых длина свободного пробега — наибольший
параметр размерности длины (кнудсеновский случай).
Что сделано нового? Везения. Естественно возникает
вопрос: ощущали ли авторы перечисленных выше
статей, что они создают современную электронную теорию
металлов? Думаю, что только Илья Михайлович Лиф-
шиц. И то не в такой категорической формулировке.
Каждая новая работа была интересна сама по себе.
Особое внимание уделялось спектроскопическим
свойствам рассматриваемых явлений. Привлекали те,
которые (хотя бы в принципе) могли дать подробную
информацию о спектре электронов проводимости.
Ощущение возникновения новой области, нового
подхода появилось у меня лишь при совместной с Ильей
* См., например, обзорные статьи Э. А. Канера и В. Г. Скобо-
ва (1966, 1968).
26

Михайловичем работе над обзорами для «Успехов
физических наук» (1959, 1962, 1965), а затем и над книгой
(И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов.
Электронная теория металлов, 1971). Оказалось, что
работы, выполненные в «новом» стиле, охватывают самые
разнообразные явления, их «хватает» на курс
электронной теории металлов, что изложение курса можно и,
как нам кажется, нужно строить по-новому, начиная с
механики (классической и квантовой) электрона
проводимости. В науке огромную роль играет язык, на
котором изъясняются ученые, набор терминов и
представлений, с помощью которых излагаются результаты.
В электронной теории металлов появился новый язык.
Его отличительная черта — изобилее геометрических
терминов. На нем сейчас говорят и думают все, кто
занимается физикой металла.
Возвращаясь в прошлое и критически оценивая
сделанное, следует признать, что авторам нового языка
сопутствовала удача. Экспериментальные возможности
оказались на уровне новых задач, а часто были
источником новых теоретических разработок. Взаимное
подстегивание, несомненно, сыграло важную роль. Но
было «везение», не выходящее за рамки теории. «Везение»,
опиравшееся, по-видимому, на чутье Ильи
Михайловича. Не надо забывать, что весь подход был несколько
интуитивным. Авторы попросту игнорировали ряд
трудных вопросов и, как потом оказалось, были правы.
Действительно, только используя теорию ферми-жидкости
(Л. Д. Ландау, 1956), можно показать*, что одноча-
стичное рассмотрение, применяемое при решении всех
перечисленных выше задач, законно, что переход от
ферми-газа к ферми-жидкости не затрагивает
спектроскопических рецептов, сформулированных в
цитированных и многих других работах. Более того, выяснилось,
что теория обосновывает определение (по
экспериментальным данным) именно того, что нужно, — формы
поверхности Ферми и скоростей, взаимодействующих
друг с другом электронов проводимости. Были и более
мелкие «удачи». Отсутствие модели не затрудняет
решения задач, в которых следует проанализировать
движение квазичастиц во внешних полях, но доставляет
* Мы этим тогда не занимались.
27

много хлопот при сколько-нибудь подробном
исследовании истинно кинетических процессов — столкновений с
фононами, с примесями, друг с другом (возникающие
при этом интегральные уравнения разрешимы только в
исключительных случаях). Многократно использовался
факт слабой чувствительности исследуемых явлений к
механизмам столкновений. Нечувствительность к
механизмам столкновений является, как правило,
следствием специфического отбора
спектрально-чувствительных явлений, в которых столкновения — сопутствующий
препятствующий фактор. Поэтому рассматривались
ситуации, когда длина пробега значительно больше
толщины образца, радиуса орбиты электрона в магнитном
поле, глубины скин-слоя, длины волны звука, а время
релаксации электронов велико по сравнению с периодом
электромагнитного поля...
Главным объектом применения «нового» подхода
оказался металл в магнитном поле, а основой
рассмотрения — классическое или квазиклассическое —
исследование движения электрона в магнитном поле под
действием силы Лоренца. Однако не так просто
«освободиться» от квантовых осложнений: сила Лоренца может
приводить к переходам электрона из зоны в зону.
И приводит. Но к счастью, фактически не всегда, а
только тогда, когда классические электронные траектории
в разных зонах аномально близко подходят друг к
другу. Это явление, приводящее к перестройке электронного
спектра, получило название магнитного пробоя. Еще
одно везение заключается в том, что магнитный пробой
был открыт после того, как квазиклассическое движение
в магнитном поле было детально проанализировано и
его следствия изучены, — разобраться во всем сразу
было бы значительно труднее. Один пример,
подтверждающий эту точку зрения. Исследование магнитного
пробоя привело к открытию гигантских осцилляции
гальваномагнитных характеристик, которые совершенно
деформируют «классическую» зависимость
сопротивления от магнитного поля. Если бы магнитный пробой
был частым явлением, то трудно себе представить, как
удалось бы связать, зависимость сопротивления от
магнитного поля с топологией поверхностей Ферми. При
последовательном же подходе магнитный пробой
оказывается дополнительным источником информации об
электронном спектре.
28

Заключение. В этой статье ни слова не говорится а
расчетах электронного спектра твердых тел. Мы этим
не занимались. Но это делали другие. И эти расчеты
занимают важное место в современной электронной
теории металлов. К понятию «электрон проводимости» у
нас было чуть мистическое отношение. Как к некой
данности, которую надо постичь как таковую, не сводя
к «обычным» электронам, движущимися в поле
«обычных» ионов. Сведение мы в лучшем случае отодвигали
в далекое будущее. Это будущее уже наступило.
Модель Харрисона и теория псевдопотенциала лишили
понятие «электрон проводимости» мистического ореола.
Оказалось, что понять происхождение разнообразия
поверхностей Ферми (а значит, и огромной совокупности
явлений) не так сложно, как нам это представлялось
лет двадцать назад. Существование групп электронов,
ответственных за разномасштабные осцилляции, долго
представлялось загадкой, а нашло объяснение (по
сути дела) в том, что у поливалентных металлов исходные
для модели Харрисона сферы Ферми многократно
пересекаются. Непосредственным восстановлением
поверхностей Ферми по данным экспериментов никто теперь не
занимается. Появился промежуточный этап. Используя
какой-либо метод (как правило, восходящий к теории
почти свободных электронов), строят пробную модель,
которую подправляют сравнением с
экспериментальными данными, данными, записанными в терминах сечений
и диаметров, эффективных масс и опорных точек...
* * *
Это не обычная статья. Ни с кем я не советовался,
ни с кем не обсуждал написанного. Но этой статьи не
было бы (точнее, не я был бы ее автором), если бы
21 год (1949—1970 гг.) я не провел в теоретическом
отделе ФТИ АН УССР, руководимом И. М. Лифшицем.
Эти годы научили меня всему, что я знаю. В нашем
отделе была удивительная атмосфера —
доброжелательности и строгих оценок, чуткости и требовательности.
Благодарю судьбу, что самые активные годы своей
научной деятельности я провел в этом отделе.
В 1982 г. Илья Михайлович умер. Уже скоро пять
лет как мы все — его ученики разных поколений —
осиротели. Его мягкость, доступность, неиссякаемый инте-
2&

pec к науке, способность с ходу вникнуть в чужую
работу, умение дать необходимый совет и тем вывести из
тупика — становятся элементами творящейся о нем
достоверной легенды. Легенда живет, а нам до сих пор
трудно поверить, что Ильи Михайловича нет, а значит,
нет возможности задать вопрос, ощущая уверенность,
что получишь точный, доброжелательный и
квалифицированный ответ...
А. Ф. АНДРЕЕВ
КВАНТОВЫЕ КРИСТАЛЛЫ —
НОВОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА
Мое близкое знакомство с Ильей Михайловичем
Лифшицем началось в 1968 г. Этот год был особым
в моей научной жизни. До этого я много занимался
сверхпроводимостью. Весной 1968 г. состоялась защита
моей докторской диссертации, посвященной теории
промежуточного состояния сверхпроводников. Илья
Михайлович был официальным оппонентом. Он работал еще в
Харькове, но принадлежал к числу наиболее
почитаемых у нас в Институте физических проблем теоретиков.
В первую очередь это было благодаря его работам по
электронной теории металлов, тесно связанным с
проводившимися у нас экспериментальными
исследованиями. Были хорошо известны также его работы начала
50-х годов по кинетике разрушения сверхпроводимости
магнитным полем, которые я существенно использовал
при исследовании динамического промежуточного
состояния. Мне навсегда запомнилось то ни с чем не
сравнимое чувство, которое вызвали во мне слова
похвалы в мой адрес, сказанные Ильей Михайловичем во
время защиты. Слушать похвалы из уст выдающегося
человека всегда приятно. Но только человек с
выдающимся «педагогическим даром» мог найти слова,
обладающие столь сильным стимулирующим воздействием.
С тех пор я убежден, что молодых людей нужно уметь
хвалить.
О квантовых кристаллах весной еще не было речи.
Но уже осенью 1968 г. на Всесоюзной конференции по
физике низких температур был представлен наш с
Ильей Михайловичем совместный доклад на эту тему,
а в январе 1969 г. работа была направлена для пу-
30

бликации в ЖЭТФ. Совместной научной работы и
общения в течение столь небольшого срока оказалось
вполне достаточно для того, чтобы Илья Михайлович
стал человеком, близко мне знакомым. Причиной тому
были его удивительная благожелательность и
уникальная способность понимать людей.
В 1968 г. умер Л. Д. Ландау. П. Л. Капица
предложил Илье Михайловичу стать преемником Ландау на
должности заведующего теоретическим отделом
Института. Илья Михайлович был зачислен в Институт с
марта 1969 г., и мы получили возможность
регулярного общения с ним. Мои научные интересы с тех пор
прочно переместились на физику квантовых кристаллов.
У истоков этой области был Илья Михайлович, и ее
дальнейшее развитие проходило под его существенным
влиянием.
Представление о квантовых кристаллах является
логическим развитием общих закономерностей для свойств
вещества, которые были сформулированы Л. Д. Ландау
для объяснения открытого П. Л. Капицей явления
сверхтекучести квантовых жидкостей. Необычные
свойства квантовых кристаллов (как и свойства квантовых
жидкостей) — проявление квантовых законов на
макроскопическом уровне, для конденсированного тела как
целого.
В основе физики обычных твердых тел лежит
представление о том, что единственным типом движения
атомов в кристалах при не слишком высоких
температурах является чисто колебательное движение вблизи
определенных положений равновесия — узлов
кристаллической решетки. В такой картине частицы
локализованы в узлах решетки и потому индивидуализированы^
благодаря своей принадлежности к определенным
узлам. Между тем> согласно основным принципам
квантовой механики, тождественные одна другой частицы,
которыми являются образующие кристалл атомы, должны
быть неразличимы. Поэтому в принципе в любом
кристалле должны существовать квантовые процессы,
восстанавливающие неразличимость тождественных частиц
и таким образом разрушающие обычные представления
о чисто колебательном движении (делая их лишь
приближенными). Эти процессы должны приводить к дело-
кализации,частиц в кристалле путём переходов из
исходных в другие узлы решетки. На колебательное дви-
31

жение должно накладываться квантовое поступательное
движение частиц по всему кристаллу. Такие процессы,
называемые туннельными, хорошо известны, когда речь
идет о поведении электронов в твердых телах. Обычное
деление твердых тел на металлы, полупроводники и
диэлектрики основано на описании электронов как
системы тождественных, делокализованных в
кристаллической решетке частиц. Если же говорить не о легких
электронах, а о значительно более тяжелых атомах
вещества, то в подавляющем большинстве кристаллов
туннельные процессы для них маловероятны, так что
точность обычной картины весьма высока и значительно
превосходит точность эксперимента.
Существуют, однако, важные исключения из этого
правила. Вероятность туннельных процессов возрастает
с уменьшением массы атомов (при равных прочих
условиях), поскольку квантовые эффекты вообще сильнее
выражены для более легких частиц. Эта вероятность
возрастает также при уменьшении сил взаимодействия
между образующими кристалл частицами, так как в
этом случае силы, удерживающие частицы в узлах
решетки, меньше и узлы легче покинуть. Поэтому в
кристаллах, состоящих из наиболее легких и слабо
взаимодействующих между собой частиц, туннельные
процессы становятся вполне заметными. Согласно
сказанному выше в таких кристаллах, которые и называются
квантовыми, должны наблюдаться существенные
отклонения от обычной картины, связанные с квантовой дело-
кализацией частиц.
Наиболее ярко выраженными квантовыми
кристаллами являются кристаллы изотопов гелия — 3Не и 4Не.
Их квантовая природа ясна из следующих простых
соображений. При низких температурах в свойствах
жидкого гелия представление о квантовомеханически
неразличимых тождественных частицах играет определяющую
роль, так как жидкий гелий — квантовая жидкость.
Его кристаллизация происходит при незначительном
увеличении давления (25—30 атм) и сопровождается
относительно небольшим (менее 10%) изменением
плотности. Ясно, что возникающие при этом кристаллы
должны в существенной степени сохранить квантовую
природу.
К числу квантовых относятся также кристаллы
водорода и его изотопов. Этим исчерпывается перечень
32

квантовых кристаллов, состоящих из частиц одного
сорта. Что касается кристаллов, содержащих частицы
различного типа, то, кроме растворов изотопов гелия и во-
дррода, существуют и другие интересные кристаллы,
являющиеся частично квантовыми. В них квантовый
эффект делокализации частиц важен не для всех, а лишь
для части частиц, образующих кристалл. Это
относится, например, к растворам водорода в решетках
некоторых тяжелых металлов (ниобий, цирконий, палладий).
Из-за малой массы и сравнительно слабого
взаимодействия с атомами металлической матрицы атомы
водорода делокализованы в кристалле, в то время как сами
атомы матрицы ведут себя вполне классически.
Теоретическое исследование вопроса о том, в каких
наблюдаемых явлениях должна проявиться специфика
квантовых кристаллов, обусловленная делокализацией
частиц, было проведено в упомянутой выше нашей
работе с Ильей Михайловичем. Дело в том, что в
простейшем случае, когда кристалл состоит из одинаковых
атомов, туннельные процессы непосредственно не
наблюдаются, поскольку они сводятся к замене в узле
решетки одного из атомов на другой, но точно такой же.
Поэтому простейший способ обнаружения делокализации
частиц заключается в следующем.
Рассмотрим кристалл, содержащий атом примеси,
например, кристалл 4Не с примесью 3Не. Благодаря
туннельным процессам примесный атом, обмениваясь
местами с окружающими атомами матрицы, делокализует-
ся в кристалле. Согласно квантовой механике
возникающая при этом ситуация оказывается вполне
аналогичной хорошо известной ситуации с электронами в
металлах. Как и электроны, примесные атомы превращаются
в квазичастицы, свободно движущиеся сквозь кристалл
с постоянной скоростью. Если концентрация примесей
достаточно мала, они ведут себя как разреженный газ
квазичастиц. Таким образом, мы приходим к важному
выводу, что в квантовых кристаллах должна
происходить так называемая квантовая диффузия, характерные
черты которой такие же, как в газе свободно
движущихся частиц.
Квантовую диффузию обнаружили экспериментально
в Физико-техническом институте низких температур АН
УССР Б. Н. Есельсон, В. Н. Григорьев и В. А. Михеев
в слабых растворах 3Не в кристаллах 4Не. Их экспери
за

ментальные данные позволяют непосредственно
определить такие характеристики энергетического спектра
примесных квазичастиц, как ширина их энергетической
зоны и характерная скорость движения. Оказывается,
что для примесей 3Не в кристаллах 4Не эти величины
равны соответственно ГО-4 К и 0,1 см/с, т. е. весьма
малы. Они значительно меньше всех других характерных
энергий и скоростей в кристалле. Этот факт
обусловливает весьма необычные свойства примесных
квазичастиц, которые (как показали Ю. М. Каган и Л. А.
Максимов) в существенной степени сохраняют смысл даже
в условиях, когда длина их свободного пробега
значительно меньше периода решетки.
Работы по квантовой диффузии убедительно
доказывают, что примеси в квантовых кристаллах ведут себя
как делокализованные квазичастицы, свободно
движущиеся через кристалл. В результате возникла
довольно необычная картина.
В обычном кристалле, состоящем, например, из 99%
атомов 4Не и 1% атомов 3Не, 99% узлов решетки было
бы занято атомами 4Не и 1% узлов — атомами 3Не.
Каждый из узлов, занятых 3Не, представляет собой
дефект решетки, нарушающий периодичность кристалла.
В квантовом кристалле такая картина бессмысленна, в
нем каждый из узлов с вероятностью 99% занят атомом
4Не й с вероятностью 1 % — атомом 3Не. Все узлы
одинаковы, поэтому наличие примесей не приводит к
образованию каких-либо дефектов. Кристалл остается
идеально периодическим. Здесь полностью теряется
свойственное обычным кристаллам жесткое соответствие
между узлами решетки и образующими кристалл атомами.
В связи с этим важно отметить, что, как было
показано в упоминавшейся выше работе И. М. Лифшица
и автора, даже полное число узлов решетки квантового
кристалла может не совпадать с числом атомов, а
превышать его. В этом случае все узлы также одинаковы,
но заполнены атомами с вероятностью, меньшей
единицы. Такую ситуацию удобно представить (по аналогии
с рассмотренным выше случаем раствора 3Не в 4Не)
следующим образом. Пусть первоначально есть
обычный кристалл, содержащий некоторое количество
вакансий, т. е. незанятых узлов. Каждая вакансия
представляет собой точечный дефект решетки. В квантовом
кристалле эти вакансии делокализуются в кристалле. В ре-
34

зультате возникает квантовый кристалл, в котором все
узлы одинаковы, но не полностью заполнены. При этом
говорят, что кристалл содержит нулевые вакансии,
поскольку такие вакансии, как и нулевые колебания
кристаллов, не исчезают при абсолютном нуле
температуры.
Квантовые кристаллы с нулевыми вакансиями
должны представлять собой удивительные объекты. В них
одновременно возможны два вида движения: один,
характерный для твердых тел, связан с движением узлов
решетки, второй обусловлен, движением нулевых
вакансий и обладает свойствами движения жидкости. При
низких температурах должна наблюдаться
сверхтекучесть таких кристаллов. Подробная теория квантовых
кристаллов с нулевыми вакансиями развита И. Е. Дзя-
лошинским с сотрудниками. Что касается
экспериментального наблюдения нулевых вакансий, то они
возможны лишь в кристаллах гелия. Попытки обнаружить их
предпринимались неоднократно. В последнее время
появились некоторые указания на существование нулевых
вакансий в кристаллах 3Не, находящихся в сильных
магнитных полях, но вопрос еще далеко не выяснен.
Понятие нулевых вакансий допускает обобщения и
на другие типы дефектов в кристаллах. Исходя из
представления об обычном кристалле, содержащем дефекты
того или иного типа, и «включая» затем эффект
квантовой делокализации, мы приходим к возможности
существования квантовых кристаллов с нулевыми
дефектами соответствующего типа. А. Я. Паршин и автор
данного сообщения теоретически проанализировали
возможность возникновения нулевых дефектов на
поверхности квантовых кристаллов и явления плавления и
кристаллизации. Дефектами, о которых идет речь,
являются ступени и изломы на ступенях. Результаты
этого анализа заключаются в следующем.
Если обычные кристаллы при достаточно низких
температурах всегда имеют в равновесном состоянии
характерную огранку, то на поверхности квантовых
кристаллов обязательно должны существовать участки, на
которых даже при абсолютном нуле температуры
огранка разрушена квантовой делокализацией ступеней и
изломов, Кроме того, могут существовать и ограненные
участки. Наиболее интересными свойствами должны
обладать неограненные поверхности кристаллов типа
35

3Не, граница которых при низких температурах
представляет собой границу с сверхтекучей жидкостью.
В этом случае движение системы нулевых
поверхностных дефектов по своим свойствам подобно движению
сверхтекучей жидкости. Движение изломов и ступеней
вдоль поверхности сопровождается ростом или
плавлением кристалла. Поэтому наличие нулевых дефектов
должно приводить к существенному изменению
характера процессов кристаллизации и плавления. Об этих
процессах в данном случае можно говорить как о
сверхкристаллизации и сверхплавлении, поскольку их
скорость чрезвычайно велика и они происходят когерентно,
без существенной диссипации энергии, то есть подобно
другим квантовым сверхъявлениям.
Непосредственным следствием такого представления
является возможность распространения вдоль
поверхности слабозатухающих волн плавления и
кристаллизации. По внешним проявлениям эти волны подобны
капиллярным волнам на границе раздела обычной
жидкости и газа: и те и другие сопровождаются
волнообразным движением границы раздела. Однако для
капиллярных волн движение границы происходит вместе с
веществом, в отсутствие процессов испарения и
конденсации. Кристаллизационные же волны целиком
обусловлены именно переходом вещества из жидкой фазы в
кристаллическую и обратно. Сам кристалл находится
в покое, а колебания поверхности связаны с тем, что в
одних ее точках происходит кристаллизация, а в
других — плавление кристалла.
Кристаллизационные волны на границе жидкого и
твердого 4Не были обнаружены экспериментально К. О.
Кешишевым, А. Я. Паршиным и А. В. Бабкиным в
Институте физических проблем. Уже простое визуальное
наблюдение за поверхностью кристаллов 4Не при
низких температурах показывает, что внешне она
выглядит скорее как поверхность раздела двух маловязких
несмешивающихся жидкостей. Под действием даже
незначительных вибраций экспериментальной установки
происходят непрерывные колебания поверхности.
Наконец, в квантовых кристаллах гелия было
предсказано теоретически, а затем обнаружено
экспериментально весьма своеобразное явление локализации
примесных частиц под действием их взаимодействия между
собой. Обычно локализация наблюдается в неупорядо-
36

ченных системах. Специфика данного явления
заключается в том, что оно имеет место в идеальном
кристалле. Теоретическое предсказание было сделано Ю. М.
Катаном и Л. А. Максимовым. Экспериментальное
наблюдение — В. А. Михеевым, В. А. Майдановым и Н. П.
Михиным. В растворах 3Не в кристаллах 4Не при
достаточно низких температурах наблюдалось
исчезновение диффузии с ростом концентрации примесей при
некоторой вполне определенной критической
концентрации.
И. М. Лифшиц неоднократно подчеркивал, что
квантовые кристаллы следует рассматривать как новое
состояние вещества. В этой статье, посвященной памяти
Ильи Михайловича, автор старался показать, что
результаты, полученные в данной области физики,
полностью оправдали справедливость его слов.
А. Ю. Г Р О С Б Е Р Г,
А. Р. ХОХЛОВ
ФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ И БИОФИЗИКА
В ТВОРЧЕСТВЕ И. М. ЛИФШИЦА
Осенью 1969 г. в списке специальных курсов на
физическом факультете Московского университета
появилась строчка, по многим причинам интриговавшая
студентов-теоретиков:
И. М. Лифшиц. Теория полимерных цепей.
Название удивляло, но не привлекало: слово
«полимеры» ассоциировалось с пластмассами или
синтетическими волокнами, короче — с «какой-то химией», Что
есть еще биологические полимеры и что физика
биополимеров теснейшим образом связана с великими
тайнами живой природы — об этом студенты той поры имели
в лучшем случае лишь самое смутное представление.
В итоге было непонятно, какая может быть
теоретическая физика в такой области, как полимеры.
Напротив, личность лектора очень интересовала
студентов: было известно, что Илья Михайлович — один
из самых ярких и «именитых» теоретиков, что он
занимается, такой «настоящей» теоретической физикой, как
металлы, квантовые кристаллы, неупорядоченные
системы и т. д., что он недавно переехал в Москву из
Харькова и, наконец, что он брат «того» Е. М. Лифшица,
37

который вместе с Л. Д. Ландау является автором
знаменитого многотомного «Курса теоретической физики».
Те, кто руководствовался известным правилом «не
так важно чему учиться, как важно учиться у
хорошего учителя», стали посещать лекции и скоро убедились,
что не ошиблись. Илья Михайлович отнюдь не
отличался ни особой дикцией, ни умением рационально
использовать площадь доски, ни какими-либо эффектными
лекторскими приемами, но по мере чтения он так
увлекался, глаза его загорались таким воодушевленным
интересом к предмету, что этот интерес передавался и
слушателям. Читая лекции, Илья Михайлович не следил
за временем и, зная это за собой, еще в начале просил
напомнить о перерыве. Обычно все стеснялись, да и
жалко было прерывать; но даже если прерывали —
Илья Михайлович говорил, что сейчас кончит мысль и
сделает перерыв и после этого опять увлекался и
забывал. Обычно лекции продолжались 2,5—3 часа и
кончались зачастую лишь тогда, когда в аудиторию
«вламывались» следующие студенты.
Разумеется, скоро выяснилось, что опасение, будто
«полимеры — не физика», было основано только на
недостатке образования. Еще в предвоенные 30-е годы,
когда полимерные материалы, прежде всего каучуки,
стали широко использоваться, в разработке их теорци
участвовали многие известные физики (например, П. Де-
бай). После войны это направление существенно
продвинули П. Флори, М. В. Волькенштейн и другие. Но
большая часть лекций не сопровождалась какими-либо
литературными или историческими реминисценциями не
только и не столько потому, что излагались новые
факты и результаты, сколько потому, что вся концепция и
подход к предмету были совершенно оригинальны.
Нам посчастливилось прослушать еще не один курс
лекций И. М. Лифшица: он читал их ежегодно, и
каждый год — на новую тему (квантовая теория
неупорядоченных систем, физическая кинетика и т. д.).
Формально лекции предназначались для студентов 4-го или
5-го курса, но фактически они привлекали слушателей
заметно большего возраста и научной квалификации.
Это не удивительно: все слушавшие лекции Ильи
Михайловича помнят, что ни одна из них никогда не
сводилась просто к изложению устоявшегося предмета.
Каждый курс лекций становился итогом (а отчасти —
38

и способом) продумывания заново основ, концепций и
результатов той или иной области.
Конечно, такой лекторский стиль, как и выбор
материала для лекций, был тесно связан с никогда не
прекращавшимся научным творчеством Ильи
Михайловича. У него почти не было «проходных» работ на
«модную» тему — напротив, его работы сами много раз
создавали «моду», так как в них формулировались совсем
новые подходы и направления, над которыми потом
работали ученики и другие исследователи. Именно так
было с полимерами. Заинтересовавшись этой областью
в середине 60-х годов, Илья Михайлович опубликовал в
1968 г. свою первую относящуюся к ней работу
«Некоторые вопросы статистической теории биополимеров».
Вместе с выполненными в тот же период работами
С. Ф. Эдвардса (Англия) и П. Ж. де Жена (Франция)
эта статья стала для многих физиков своего рода
призывом к полимерной тематике. Если раньше
теоретическая физика полимеров была весьма обособленной
главой теории конденсированного состояния и, по
существу, оставалась в тени основных направлений физики
XX в., то в конце 60-х и в начале 70-х годов эта область
стала развиваться очень быстро и внесла достойный
вклад как в химию и технологию полимерных
материалов, так и в молекулярную биологию.
Что же побудило И. М. Лифшица обратиться к
физике полимеров еще в середине 60-х годов? Уже из
приведенного выше заглавия его первой работы видно, что
его внимание привлекли в первую очередь именно
биологические полимеры — глубокие физические проблемы,
выдвинутые молекулярной биологией.
Сохранилась магнитофонная запись популярной
лекции, прочитанной И. М. Лифшицем в середине 60-х
годов и посвященной физике твердого тела; в конце
лекции Илья Михайлович говорил о перспективах этой
области и ее «необычайно важных в познавательном
отношении» связях с биофизикой, с «физикой живой
материи». Несколько выдержек* из этой записи будут здесь,
видимо, вполне уместны.
«Кроме кристаллических твердых тел, о которых шла
речь в лекции, существуют более сложные аморфные те-
* Исправления при переводе устной речи в письменную мы
старались свести к минимуму.
39

ла; существуют полимеры, которые сейчас так
интенсивно вводятся в технику и в химию; существуют молекулы
белка и другие белковые структуры; и, наконец, самая
сложная система такого типа — это живая клетка и
вообще живая материя. Какова точка зрения
современной физики на такого типа системы?» «Такие системы,
собственно говоря, до сих пор физики всерьез не
изучали».
«Тема лекции была «Квантовая физика твердого
тела», а когда говорят о живом или о какой-нибудь
белковой структуре, то каждому кажется, что это,
безусловно, не твердое, а, наоборот, очень мягкое тело. Но
с точки зрения физики это твердое тело: это система с
определенными фиксированными связями и
определенным расположением атомов, в этом смысле это твердое
тело. Но для этой категории твердых тел полностью
отказывают все современные теории». «Разумеется, их
изучение не требует открытия новых фундаментальных
законов (которые бы отличались от известных в том
смысле, в котором, например, квантовая механика
отличается от классической). Ну, гарантировать, конечно,
невозможно, но я твердо уверен, что для объяснения
биологических законов, т. е. для построения настоящей
биофизики, по-видимому, фундаментальных законов фи-
зики уже сейчас достаточно».
«Одна из важнейших проблем физики твердого
тела — это проблема теории неупорядоченных
конденсированных систем без трансляционной симметрии, непе~
риодических структур. Причем есть две проблемы.
Одна — это аморфные тела или полимеры; эти тела
относительно просты — они хотя и лишены периодичности,
но их структура более или менее случайна. Вторая
проблема — белковые или вообще биологические
структуры; эти структуры необычайно сложны, очень индиви-
дуализированны; в них имеется очень строгий порядок,
но порядок, не сводящийся к периодичности».
Итак, интересуясь биофизикой и биологическими
системами — и не абстрактно, а как логическим
продолжением и углублением физики твердого тела — И. М.
Лифшиц приступил к исследованию и построению
теории биополимеров. Почему именно полимеров? Это не
случайно.
Строение биологических объектов всегда иерархично
(более сложные элементы состоят из более простых как
40

из вполне самостоятельных единиц: ткани — из клеток,
клетки — из органелл и т. д.). Принципиально, что
именно биополимеры представляют собой ту наинизшую
ступень иерархии, для которой особенности физических
свойств если и не являются тем, что можно назвать
биологической спецификой, то, во всяком случае, тесно
с нею связаны. Проследим, как аргументирует эту
мысль И. М. Лифшиц в уже упоминавшейся работе
1968 г.
Особенность макромолекулы, имеющей вид длинной
цепочки из соединенных звеньев, по сравнению с
обычными малыми молекулами состоит в том, что тепловое
движение составляющих ее атомов отнюдь не
сводится к малым колебаниям около положений равновесия:
накапливаясь на большой длине вдоль цепи, малые
деформации валентных углйв и повороты вокруг
валентных связей приводят к сильному хаотическому
изгибанию и, по существу, к запутыванию полимерной цепи
как целого в пространстве. Другими словами, в
процессе теплового движения макромолекула, как
пространственная линия, перебирает очень дпирокий набор
различных форм — конформаций. Следовательно, уже
отдельная макромолекула представляет собой статистико-тер-
модинамическую систему, хотя и совершейно
необычную. Необычность эта обусловлена тем фактом, что
частицы в макромолекуле (звенья цепи) соединены
крепкими (не рвущимися за счет тепловых флуктуации) ко-
валентными связями и тем самым расположение
(нумерация) звеньев в цепи образует в системе
«замороженный беспорядок» *. Можно также сказать, что
система на все время своего существования «запоминает»
приданную ей «от рождения» линейную структуру. Итак,
по И. М. Лифшицу, полимерная макромолекула — это
статистическая система с линейной памятью.
Понятие линейной памяти становится особенно
наглядным в том реальном для биологии случае, когда в
макромолекуле имеется несколько разных типов
звеньев. Хорошо известно, что при этой последовательности
звеньев в полимерной цепи можно сопоставить
последовательность букв в строчке текста; линейная память
фиксирует закодированную этим текстом информацию.
* См. статью С. А. Гредескула и Л. А. Пастура в настоящем
сборнике.
4L

Между тем вообще специфика биологических систем
с физической точки зрения заключена именно в
кинетической фиксации или «запоминании» тех или иных
черт структуры. Такая фиксация роднит структуры
биологических систем с конструвдиями искусственных:
машин или автоматов и позволяет говорить о
выполнении ими определенных функций. В частности, известно,
что машиной является зачастую уже отдельная
молекула белка, причем ее «конструкция» определяется
именно линейной памятью.
Глубокое физическое обоснование идеи о
макромолекуле биополимера как о первой ступени
биологической структурной иерархии, данное И. М. Лифшицем в
статистической физике макромолекул в конце 60-х
годов, в определенном, смысле предвосхитило современные
представления о ранних стадиях предбиологической
эволюции, независимо сформулированные в середине 70-х
годов М. Эйгеном (ФРГ) и его сотрудниками.
Остановимся на этом несколько подробнее.
Надо сказать, что зарождение жизни на Земле и
последующую биологическую эволюцию в настоящее
время принято понимать как составную часть
космологической эволюции Вселенной, начиная от большого взрыва,
поскольку оба процесса сопоставимы по своим
временным масштабам. С этой точки зрения
самопроизвольный синтез в условиях первобытной Земли различных
органических молекул вплоть до аминокислот и нуклео-
тидов можно считать естественным продолжением тех
изучаемых космологией процессов, которые ведут к
возникновению сначала элементарных частиц (в порядке
увеличения масс), затем атомных ядер, атомов и
молекул.
Все эти этапы развития Вселенной, при всем их
колоссальном различии, роднит то, что на каждом из них
возникали частицы всех приемлемых по энергии сортов.
Качественно новое и принципиальное обстоятельство
появляется на следующем этапе эволюционного развития,
когда уже появившиеся органические молекулы так или
иначе должны начать соединяться в цепи. Дело в том,
что из звеньев k различных сортов, соединяя их в
различных последовательностях, можно составить k N
разных цепочек длины N. Для белков k = 20, для
нуклеиновых кислот ДНК и РНК k = 4\ но главное то, что очень
велико N (реально N> Ю0). По этой причине чцого
42

возможных разных цепей k N оказывается столь огром^
ным (например, больше числа электронов во
Вселенной), что все цепи невозможно синтезировать на Земле
ни одновременно (для этого на Земле недостаточно
вещества), ни даже последовательно (на это не хватило
бы возраста Земли). Следовательно, дальнейшая
эволюция вплоть до ее современной стадии может
осуществляться только путем случайного выбора ничтожного
подмножества из всего необозримого моря
комбинаторно допустимых возможностей и последующего
«запоминания» этого выбора. Именно запоминание случайного
выбора и является главной принципиально
отличительной особенностью биологического этапа эволюции*.
Таким образом, и с эволюционной точки зрения именно
полимеры представляют собой низшую ступень
биологической иерархии.
Илья Михайлович очень живо интересовался всеми
этими биологическими вопросами и чрезвычайно
глубоко их понимал. Правда, в его работах о полимерах
биофизика фактически лишь подразумевалась как своего
рода сверхзадача, определяющая постановку
конкретных проблем и обсуждение результатов. Но тем не
менее Илья Михайлович пользовался колоссальным
авторитетом среди биофизиков — авторитетом,
удивительным для человека, не имевшего собственных работ в
данной области. Показательно в этом отношении, что
до сих пор на семинарах по биофизике или
молекулярной биологии часто можно услышать, как докладчик
говорит примерно следующее: «Когда я обсуждал этот
вопрос с Ильей Михайловичем, он сказал...» или
«И. М. Лифшиц в таком-то году обратил мое внимание,
что.,.» Конечно, читатель поймет, что в этом проявляется
отнюдь не страсть к цитированию авторитетов, а
понимание той огромной пользы, которую приносило
общение с Ильей Михайловичем.
Число статей И. М. Лифшица по физике макромо-
* Часто такой главной особенностью справедливо называют
дарвиновский естественный отбор, который представляет собой, по
сути дела, механизм «запоминания» случайно произведенного
выбора. Следует отметить, что аналог естественного отбора
существовал и на этапе предбиологической эволюции, при первичной
полимеризации: имеющиеся в ограниченном количестве мономеры
(«пища») включаются в те цепи, которые быстрее катализируют синтез
себе подобных.
43

лекул не велико (10), но развитый им подход и, как он
сам говорил, «терминология» (имея, конечно, в виду
систему основных понятий) оказались очень глубокими
и плодотворными. Хотя они начали разрабатываться в
связи с биофизическими вопросами, но фактически ока-
зались исключительно полезными в первую очередь для
физики обычных полимеров. В этой области И. М. Лиф-
шицу принадлежит прежде всего теория фазовых
переходов, связанных с конденсацией цепей в полимерных
системах; следуя автору теории, их называют обычно
переходами типа клубок-глобула. Такие фазовые
переходы широко распространены в природе, но
проявляются в разных полимерных системах совсем по-разному.
Например, переход клубок-глобула в полимерной сетке
(гигантской молекуле макроскопических размеров,
получаемой путем химического соединения большого
числа полимерных цепей) проявляется в резком изменении
размеров макроскопического образца при изменении
температуры, состава растворителя или при
деформировании. В макромолекуле ДНК переход клубок-глобула
ведет к образованию тороидальной частицы, видимой с
помощью электронного микроскопа. Любопытно, что
даже образование жидкокристаллической (т. е. ориента-
ционно-упорядоченной) фазы в системе жестких
макромолекул полностью укладывается в общую схему И. М.
ЛифнГйца — его можно понимать как «конденсацию
направлений» макромолекул.
И. М. Лифшицу удалось выявить наиболее важные
принципиальные черты всех фазовых переходов типа
клубок-глобула и предложить исключительно
эффективный математический аппарат для их теоретического
анализа. Характерно, что при построении этого аппарата
Илья Михайлович не стал пытаться (подобно многим
физикам-теоретикам, пришедшим в физику полимеров и
биофизику после него) обязательно применить самые
новейшие и «модные» к тому времени методы. Подход
И. М. Лифшица к данной проблеме отличался
простотой, математическим изяществом и потенциальной
возможностью широких обобщений — именно поэтому он
оказался столь плодотворным и, по сути дела, заложил
основы целого раздела физики макромолекул.
Работа Ильи Михайловича 1968 г. по переходам
клубок-глобула была пионерской, спустя двадцать лет
после ее написания мы можем без преувеличения сказать,
44

что она опередила свое время примерно на десять лет.
Конечно, в свое время эта работа не прошла
незамеченной, на нее сразу же стали ссылаться, но нам
кажется, что тогда это было следствием скорее высокого
авторитета автора, чем р^альйого осознания глубины
поднятых в этой работе проблем. Настоящее ее
признание — работы других научных групп в нашей стране
и за рубежом в этом же направлении,
экспериментальные подтверждения и т. д. — пришло в конце 70-х —
начале 80-х годов.
К концу 70-х годов число интересных работ по
статистической физике макромолекул превысило
«пропускную способность» семинаров по традиционной теорфизи-
ческой тематике, и во многом благодаря настойчивости
И. М. Лифшица был организован и с октября 1979 г.
начал регулярно собираться специальный семинар по
теории полимеров и биополимеров. Местом проведения
семинара стал физический факультет Московского уни-
йерситета, но докладчики и слушатели собирались не
только из Москвы, но и из других городов. Интерес к
семинару был таков, что часто в аудитории, где он
проходил, не хватало стульев — их приходилось брать из
соседних комнат. В решающей степени успеху семинара
способствовало активное участие в нем Ильи
Михайловича. Показателен в этом отношении следующий
диалог, свидетелем которого был один из нас после
окончания очередного семинара:
— Ты придешь на следующее заседание?
— Обязательно.
— А что там объявлено по программе?
— Не помню, не в этом дело. Ведь главное не
доклад, а комментарии Лифшица.
Действительно все ученики Ильи Михайловича, все
выступавшие на его семинарах и просто обсуждавшие
с ним свои работы запомнили его умение не просто
выслушать и вникнуть, не только покритиковать и дать
советы (часто оказывавшиеся содержательнее самой
работы), но и позаботиться о том, чтобы все это автор
воспринял как свои собственные мысли, лишь
выявленные и сформулированные Ильей Михайловичем. Среди
физиков, подобно фольклору, передается даже своего
рода легенда «Ильмех* на семинаре», вышедшая со
* Такая сокращенная форма имени и отчества Ильи
Михайловича была очень широко известна среди его учеников, сотрудни-
45

страниц шуточного рукописного журнала «Успехи
Физических Ильмеханических Наук», выпускавшегося в
единственном экземпляре учениками к 50- и 60-летним
юбилеям Ильи Михайловича. В легенде описывается
действительно многократно наблюдавшаяся ситуация:
на семинаре, после нескольких маловразумительных
фраз докладчика Илья Михайлович останавливает его
словами: «Подождите, подо ладите минуточку» — и в
самом деле через пару минут в очень прозрачной форме
объясняет, что докладчик имел в виду; последний
обычно соглашается, но бывают случаи, когда он сам спешит
запомнить или записать сказанное Ильей
Михайловичем, честно признаваясь, что так далеко его мысль не
шла.
Так было и на полимерном семинаре. Нередко
перспективные направления дальнейшей работы докладчика
Илья Михайлович продумывал и предлагал
непосредственно в ходе доклада — а через несколько месяцев
на семинаре уже обсуждались новые результаты.
Например, при обсуждении докладов о моделировании
полимерных систем на ЭВМ Илья Михайлович первым
обратил внимание на перспективность идеи визуализации
движения полимерных молекул — а сейчас
соответствующие работы активно ведутся как в нашей стране, так
и за рубежом. Можно сказать, что семинар сыграл роль
своеобразного «центра кристаллизации» нового
научного направления — теоретической физики полимерных и
биополимерных систем.
Говоря об Илье Михайловиче Лифшице, нельзя
обойти вниманием его умение растить учеников. Среди
его учеников — более 40 докторов наук; уже эта цифра
говорит о многом. Нам посчастливилось быть
учениками Ильи Михайловича, и мы на себе испытали тот
благотворный стиль взаимоотношений, который, как нам
кажется, лежал в основе педагогического «секрета»
нашего учителя.
Конечно, Илья Михайлович считал, что для начала
научной работы необходимо овладеть основами и
аппаратом теоретической физики. Но он не требовал
обязательной сдачи всех экзаменов «теоретического мини-
ков и других физиков; в ней отразилось сдержанно выраженное,
но очень глубокое к нему уважение — признание того факта, что
на длине его имени уместно экономить, столь удивительно часто
его приходится упоминать в различных научных разговорах.
46

мума». Как только он убеждался, что ученик овладел
«теоретико-физической техникой» и готов для научной
работы, он формулировал первую научную задачу,
считая, по-видимому, что конкретная работа дает больше,
чем продолжение сдачи экзаменов. Относительно более
простые задачи давались также иногда прямо в
процессе чтения лекций студентам; решивший одну из них
становился учеником и начинал работать с Ильей
Михайловичем, вообще минуя формальную сдачу теорми-
нимума. После постановки научной задачи начиналась
серия обсуждений путей ее решения: подготовив
очередную порцию вычислений, ученик просил Илью
Михайловича о встрече для разбора и поиска путей
дальнейшего продвижения вперед; характерно, что встречи
редко приходилось ждать дольше 2—3 дней. Именно в
ходе этих обсуждений у учеников закладывались
основы практических навыков физика-теоретика.
Представления о критериях того, что считать новым научным
результатом, а что — новой научной работой, готовой
для публикации, ученики также получали от Ильи
Михайловича. К слову, у него самого критерии были
строжайшие.
Очень важным было то, что Илья Михайлович
всегда точно чувствовал тот момент, когда его ученик
«созревал» для самостоятельной работы (т. е. мог сам себе
ставить разумные научные задачи). В этом случае тут
же давалась «зеленая улица» любому проявлению
инициативы.
В результате ученики Ильи Михайловича росли
быстро, но при этом, даже проводя самостоятельные
исследования, они постоянно обсуждали с ним свои
проблемы, ориентируясь на «камертон» его суждений. Нам
кажется, что примеров столь гармоничных
взаимоотношений учителя с учениками можно найти очень
немного.
В Илье Михайловичу всегда привлекало то, что он
был не только блестящим физиком, но и прекрасным
человеком. Он был очень доброжелателен к людям,
уважал любого собеседника вне зависимости от его
«калибра», обладая высокой культурой, он был по сути
своей глубоко демократичен. Вместе с тем в
принципиальных вопросах он был непреклонен, всегда
придерживался своих убеждений. В любое сложное время в его
поступках не было «фальшивых нот».
47

И. М. Лифшиц, П. А. М. Дирак, П. Л. Капица.
Институт физических проблем АН СССР, Москва, июль 1973 г.
И. М. ЛИФШИЦ
КВАЗИЧАСТИЦЫ В СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКЕ*
Поле и частицы
Среди новых понятий и представлений, которыми
обогатила наши знания современная физика, одним из
наиболее интересных и глубоких является, несомненно,
представление о частицах и квазичастицах.
В доквантовой, классической физике XIX — начала
XX в. понятие частицы как некоторого сгустка материи
не нуждалось, пожалуй, ни в каких дополнительных
разъяснениях. Разнообразные свойства этих частиц,
которые постепенно становились нам известными, долгое
время не нарушали интуитивных, механических
представлений о строении вещества и о законах его
движения, Понятие элементарной частицы связывалось с ее
неизменностью и неделимостью на данном этапе
развития науки. Если, открытие структуры атома заставило
считать электроны, а затем и протоны элементарными
частицами заряженной материи, то открытия последних
* Статья впервые опубликована в журнале «Природа» № 5
за 1958 год. Здесь приводится с небольшими сокращениями.
48

двух-трех десятилетий увеличили число известных нам
различных элементарных частиц (как заряженных, так
и нейтральных) во много раз.
Однако самым значительным изменением в наших
представлениях о строении материи является не сам
факт наличия многих типов элементарных частиц, а
открытие таких свойств этих частиц, которые никак не
совместимы с наглядной механической картиной
вещества и потому потребовали радикального пересмотра
наших представлений о природе частицы.
Речь идет о двух основных группах закономерностей:
о двойственной, корпускулярно-волновой природе
вещества, которая находит свое отражение в разнообразных
явлениях и свойствах частиц, и о взацмопревращаемо-
сти различных видов частиц, лежащей в основе
взаимодействия между ними.
Как известно, классическая физика знала два вида
материи: вещество, состоящее из частиц (или частицу
как элементарный кирпичик этого вещества), и поле
(точнее, электромагнитное поле). Корпускулярное
строение вещества уже предполагало наличие дискретных
порций этого вещества — корпускул, т. е. частиц. В то
же время электромагнитное поле трактовалось как
нечто непрерывное, не обладающее дискретным строением.
Открытие корпускулярных свойств света и, с другой
стороны, волновых свойств электронов привело к
установлению той своеобразной картины материи, которая
характерна для современной физики, — к синтезу
непрерывного и дискретного поля, и частицы. Дискретные
порции электромагнитного поля, так называемые кванты
света, или фотоны, представляют собой элементарные
частицы электромагнитного поля. В ряде явлений
фотоны ведут себя как частицы (эффект Комптона,
фотоэффект), тем не менее никакого последовательного
истолкования наблюдаемых свойств света и его
взаимодействия с веществом нельзя было бы получить, если
бы мы забыли о том, что корпускулярная картина
является лишь одной стороной описания
электромагнитного поля; вторая, полевая картина является как бы
другой «проекцией» свойств той же материи.
Открытие таких волновых свойств вещества, как
дифракция электронов, также показало, что и для
вещества корпускулярная картина является лишь одной
стороной, одной проекцией свойств этого вещества, в то
49

время как другая проекция этих свойств характерна для
непрерывной среды. Подобно тому как фотон можно
рассматривать в качестве элементарной частицы
электромагнитного поля, так и электрон и соответствующую
ему античастицу — позитрон можно рассматривать как
элементарную частицу особого электронно-позитронного
поля.
Эти идеи лежат в основе современной квантовой
механики и квантовой теории полей, согласно которым
поле и частица не противопоставляются друг другу, а
выступают как две стороны одной и той же
реальности. Если исходить из уравнений квантовой теории
полей, то их квантовые свойства могут быть описаны
корпускулярным языком. Точно так же уравнения
квантовой механики частицы приводят к «полевым»
характеристикам их движения. В конечном итоге оба
подхода оказываются эквивалентными.
Хотя до сих пор мы говорили для определенности об
электромагнитном и об электронно-позитронном поле
(или, что то же, о фотонах, об электронах и
позитронах), все сказанное относится в равной мере ко всем
другим известным в настоящее время элементарным
частицам и соответствующим полям.
Итак, мы выяснили, что частица в современной
физике достаточно сильно отличается от той простой
механической модели, которая связывалась с этим
понятием в классической физике. Постараемся теперь
уяснить себе, какие же характерные признаки присущи
частицам в квантовой физике.
Помимо таких постоянных характеристик, как
масса и заряд, классическая частица, как всякая
механическая система, обладает в каждый момент набором
динамических характеристик — импульсом,
координатой, энергией и т. д. Эти характеристики полностью
определяют состояние частицы как механической системы,
и именно с ними имеет дело физик, изучающий
закономерности поведения элементарных частиц.
Такие же величины определяют тип частицы и ее
состояние в квантовой физике с тем только различием,
что набор динамических характеристик для квантовой
частицы менее «полон», чем для классической:
согласно принципу неопределенности для квантового объекта
одновременное точное задание всех динамических
характеристик лишено смысла. Так, например, в состоя-
50

нии, в котором частица обладает определенным
импульсом, понятие координаты для нее лишено
смысла, и наоборот. Одновременное задание и
координаты и импульса возможно лишь приближенно, с
некоторой неточностью. Соотношение неопределенности
Ap-Ax~h (h — постоянная Планка), указывающее
меру этой неточности, выражает собой предел
применимости понятий, заимствованных из классической физики,
для квантового объекта (частицы). Неполная
применимость классического способа описания связана именно
с тем, что квантовая частица имеет наряду с
корпускулярными также и полевые (волновые) свойства.
Поскольку, как было указано выше, можно ввести
понятие частиц, если исходить из первоначальной
полевой картины и учитывать квантовые свойства поля, то
целесообразно проследить, как именно возникают эти
корпускулярные признаки у поля, другими словами, как
вводится понятие частиц в современной квантовой
теории долей. Мы имеем в виду чисто описательное
изложение, так как этот вопрос не может быть разъяснен
полностью без помощи формального аппарата теории.
Поле как пространственно-непрерывная среда может
также рассматриваться как некоторая динамическая
система. Эта система может находиться в различных им-
пульсно-энергетических состояниях. Среди этих
состояний есть одно наинизшее (подобно тому как для
классической системы наинизшее энергетическое состояние есть
состояние покоя), которое называется вакуумом поля.
Таким образом, физический вакуум в современной
теоретической физике означает некоторое особое состояние
всех полей, т. е. особое состояние материи, при котором
частицы как бы отсутствуют. Более высокие, так
называемые возбужденные энергетические состояния поля
связаны с появлением отдельных дискретных порций
энергии и импульса. Эти порции энергии поля (кванты)
называются его элементарными возбуждениями.
Именно эти элементарные возбуждения полей и
определяются как частицы в современной физике.
Может показаться странным, что понятие
элементарной частицы связывается с энергией возбуждения
полей — ведь энергия является лишь атрибутом материи,
а не самой материей. Дело, однако, разъясняется
весьма просто, если учесть, что само поле материально;
более того, квантовые поля — это наиболее общий вид ма-
5)

терии, известный в настоящее время. С другой стороны,
соотношение е = тс2 связывает энергию элементарного
возбуждения с массой частицы, которую это
возбуждение собой представляет. Энергия элементарного
возбуждения связана с его импульсом. Наименьшее значение
энергия возбуждения имеет при импульсе, равном
нулю, — это и есть та минимальная энергия, которая
должна быть затрачена для появления элементарного
возбуждения, т. е. для рождения частицы. Строго
говоря, именно эта энергия определяет массу частицы,
точнее, ее массу покоя. Так, например, энергия
возникновения пары элементарных возбуждений электронно-по-
зитронного поля (т. е. электрона и позитрона) —
порядка 1 МэВ, что соответствует массам электрона и
позитрона ~10-27 г.
Энергия элементарных возбуждений электромагнит*
ного поля начинается с нуля; это означает, другими
словами, что масса покоя фотона равна нулю.
Различные поля взаимодействуют друг с другом, и
это взаимодействие проявляется в тех силах, с которыми
частицы действуют друг на друга. Параметры,
характеризующие эти взаимодействия, носят названия зарядов
частиц. В зависимости от того, с каким полем
рассматривается взаимодействие, можно говорить об
электрическом заряде, мезонном заряде и т. д. Так, например,
электрически нейтральная частица — нейтрон — в
первом приближении не взаимодействует с
электромагнитным полем, ее электрический заряд равен нулю*.
Итак, мы познакомились с тем, как в теории
квантовых полей возникает понятие частиц со всеми их
характерными признаками — зарядом, массой и
динамическими характеристиками.
Все сказанное до сих пор имело своей целью
разъяснить значение понятия частицы в современной физике;
все это можно резюмировать в виде одного особенно
важного утверждения: частицы можно рассматривать
как элементарные возбуждения квантовых полей.
Именно это утверждение дает нам базу для перехода к той
основной теме, которой посвящена данная статья, — к
вопросу о квазичастицах и их роли в современной
физике.
* Взаимодействие нейтрона с электромагнитным нолем
определяется его магнитным моментом и является релятивистским
эффектом.
52

Частицы и квазичастицы
Нам придется начать с некоторого уточнения тех
положений, которые были нами высказаны ранее. Прежде
всего речь идет о пределе применимости концепции
элементарных возбуждений. Вся описанная выше картина
имеет место лишь на достаточно низких уровнях
возбуждения полей, когда плотность частиц невелика и их
взаимодействие пренебрежимо мало, другими словами,
когда система частиц может еще рассматриваться как
идеальный газ. В случае когда энергия взаимодействия
на одну частицу становится порядка средней
кинетической энергии, приходящейся на каждую частицу,
говорить о независимом движении отдельных частиц уже
нельзя и вся сформулированная выше картина теряет
силу.
Второе обстоятельство заключается в следующем.
Существуют поля двух типов: в одном из них
элементарные возбуждения возникают поодиночке и на их
число не накладывается никаких ограничений; такое
положение имеет место, в частности, в случае
электромагнитного поля. В полях второго типа элементарные
возбуждения возникают попарно, представляя собой
соответственно частицу и античастицу (например, электрон
и позитрон, протон и антипротон, нейтрон и
антинейтрон и т. д.). В этом случае приходится учитывать
дополнительные «законы сохранения» — например, закон
сохранения заряда (или иначе — разности числа частиц
и античастиц). Число частиц в такой системе не может
уже сделаться сколь угодно малым, и это означает, что
йаинизшее энергетическое состояние такой системы
(например, системы с не равным нулю зарядом), так
называемое основное состояние системы, уже не будет
вакуумом, как мы это определили раньше. Собственно
говоря, вакуум является абсолютно наинизшим
состоянием полей; однако если учесть законы сохранения, то
для каждой системы существует свое основное
состояние, отнюдь не соответствующее вакууму. Так, основное
состояние произвольной нейтральной системы,
состоящей из электронов и ядер, соответствует образованию
атомов и молекул, а отнюдь не аннигиляции этих
частиц.
Таким образом, в любой физической системе
существует некоторое основное (наинизшее) энергетическое
53

состояние. В классической физике такое основное
состояние есть состояние покоя, при котором взаимное
расположение частиц отвечает минимуму потенциальной
энергии. Макроскопическая система, находящаяся в
основном состоянии, с точки зрения термодинамики есть
система при температуре абсолютного нуля. Если учесть
также, что взаимное расположение частиц,
обеспечивающее минимум потенциальной энергии их
взаимодействия, в разных точках макроскопической системы должно
совпадать (т. е. должно периодически повторяться), то
мы приходим к выводу, что структура любой системы
при температуре абсолютного нуля должна
соответствовать кристаллической решетке (т. е. при достаточно
низких температурах любое вещество должно быть
кристаллическим).
Квантовая механика вносит существенные поправки
в такого рода рассуждения. Прежде всего состояние
абсолютного покоя частиц невозможно хотя бы потому, что
при этом частицы должны иметь определенные
координаты (координаты положений равновесия) и
определенные (равные нулю) импульсы; однако такое
утверждение противоречит принципу неопределенности. Поэтому
основным состоянием должно быть некоторое состояние
движения. Для кристалла, например, это означает, что
его атомы не закреплены в определенных точках
(узлах) решетки, а совершают некоторое движение вблизи
своих положений равновесия. Такое движение
называется нулевыми колебаниями системы.
Однако наличие нулевого движения может привести
и к более радикальному изменению характера основного
состояния, нежели появление малых нулевых колебаний
кристаллической решетки. При недостаточно большой
энергии взаимодействия между атомами,
составляющими решетку, амплитуды этих нулевых колебаний могут
оказаться настолько большими, что вещество останется
жидкостью вплоть до температуры абсолютного нуля.
Такое положение имеет место только для гелия —
наиболее легкого из благородных газов, атомы которых
очень слабо взаимодействуют друг с другом.
Вернемся теперь к вопросу о структурных единицах
вещества вблизи его основного состояния. Устойчивыми
образованиями, составленными из электронов и ядеру
являются атомы и молекулы. В свою очередь, ядра —
устойчивые образования, составленные из тяжелых ча-
54

стиц — нуклонов (нейтронов и протонов). В газах, при
не слишком высоких температурах, когда средняя
энергия взаимодействия молекул и их средняя кинетическая
энергия малы по сравнению с энергией связи атомов в
молекуле, т. е. с энергией, которая необходима для
разрушения молекулы, такими структурными
единицами вещества (т. е. частицами) являются сами молекулы.
Однако в конденсированном состоянии (жидком и
особенно твердом) силы взаимодействия между
молекулами обычно уже настолько велики, что индивидуальность
молекулы теряется. Например, в кристаллах каменной
соли (NaCl) говорить об отдельных молекулах NaCl
уже невозможно, так как каждый атом Na одинаково
связан с восемью соседними атомами С1, и, таким
образом, весь кристалл представляет собой как бы одну
гигантскую молекулу. Но не только такое рыхлое
образование, как молекула, утрачивает свою
индивидуальность в конденсированном состоянии. Это может
случиться и для более устойчивых образований — атомов.
Так, например, в металлах часть электронов из
атомных оболочек благодаря сильному взаимодействию
перестает принадлежать определенным атомам и
переходит в «коллективизированное» состояние. Эти электроны
и определяют электрическую проводимость металлов.
В этом случае нейтральные атомы уже не могут
рассматриваться как структурные единицы металла.
Однако поскольку энергия рождения электрона и
позитрона и энергия расщепления атомных ядер во много
раз больше, чем энергия связи электронов и ядер в
любых телах, то ядра и электройы сохраняют свое
значение как структурные единицы любого вещества вблизи
основного состояния.
Совершенно аналогично мы всегда можем говорить
о нуклонах как о структурных единицах атомного ядра,
несмотря на сильное взаимодействие между ними, так
как это взаимодействие все же значительно меньше, чем
энергия образования новых ядерных частиц (например,
пары протон — антипротон). Однако приписывать
каждому нуклону в ядре определенный заряд (или, как
говорят, рассматривать каждый нуклон в определенном
зарядовом состоянии), иначе говоря,
индивидуализировать нейтроны и протоны в ядре нельзя, так как
энергия, необходимая для перехода нуклона из
нейтрального в заряженное состояние, меньше энергии связи нук-
55

лонов в ядре. С этой точки зрения правильнее было бы
говорить о ядре как о системе нуклонов с некоторым
общим зарядом.
Итак, мы видим, что представление о тех или иных
частицах как структурных единицах физической
системы связано с оценкой их энергии взаимодействия,
точнее — с требованием малости этой энергии по
сравнению с энергией образования самих частиц.
До сих пор мы говорили о строении вещества и
понятие структурной единицы связывали со структурой
физической системы в основном состоянии. Таким
образом, частицы мы рассматривали как некоторый
строительный материал данной физической системы. Однако
свойства системы определяются не только ее строением,
но в первую очередь особенностями ее динамического
поведения, т. е. характером движений, происходящих в ней
при переходе к более высоким, возбужденным
энергетическим состояниям. В первом разделе статьи,
рассматривая элементарные частицы как элементарные
возбуждения квантовых полей, мы установили, что эти частицы
одновременно являются и структурнымц единицами
вещества и структурными единицами движения. Так,
например, в электронном газе электроны являются и
строительным материалом (элементарными кирпичиками
вещества) и элементарными носителями его движения,
т. е. носителями всех динамических свойств
электронного газа в целом. Подобное положение имеет место не
только для газа элементарных частиц, но и для любого
идеального газа сложных частиц (ядер, атомов,
молекул). Однако в общем случае конденсированной
системы положение меняется радикальным образом.
Квантовая природа вещества проявляется в том, что
на низких уровнях возбуждения движение в
пространственно-однородной системе возникает в виде отдельных
дискретных порций — элементарных возбуждений,
обладающих определенной энергией и импульсом *. Пол-
* Следует подчеркнуть, что пространственная однородность
системы является условием для того, чтобы элементарные
возбуждения обладали определенным импульсом. Для истинных частиц в
вакууме это условие выполнимо вследствие однородности вакуума;
для элементарных возбуждений (квазичастиц) в кристаллах среда,
однородная макроскопически, имеет периодическую структуру с
микроскопической точки зрения. Это приводит к тому* что
квазичастицы характеризуются не истинным импульсом, а весьма сход*
ной величиной — квазиимпульсом.
56

ная энергия системы вблизи ее основного состояния
складывается из энергии основного состояния и суммы
энергий отдельных элементарных возбуждений. Но так
как средняя энергия элементарных возбуждений
оказывается меньше энергии взаимодействия между
частицами, представляющими собой строительный материал
вещества, то последние не могут являться элементарными
носителями динамических свойств вещества. Такими
носителями становятся сами элементарные возбуждения,
которые поэтому и называются квазичастицами. Во всех
динамических отношениях квазичастицы подобны
обычным частицам (хотя, как мы увидим в дальнейшем,
законы их движения могут оказаться значительно более
сложными). Однако в противоположность обычным
частицам квазичастицы не могут появиться в вакууме; они
требуют некоторой среды, или фона, для своего
возникновения и существования, так как, являясь носителями
движения, они не представляют собой строительного
материала той среды, в которой они существуют.
Это различие между частицами и квазичастицами —
основное, так как, за его исключением, все главнейшие
общие свойства и проявления частиц и квазичастиц
совпадают.
Если, однако, учесть, что существует взаимодействие
между полями и благодаря этому каждая последующая
элементарная чартица возникает на некотором уже
имеющемся фоне, то различие между частицами и
квазичастицами становится еще меньше, и принципиально
можно, увеличивая плотность среды, проследить переход от
частиц к квазичастицам.
Рассмотрим теперь, какие признаки и свойства
являются определяющими для всего поведения частиц и
квазичастиц и позволяют ^ем самым произвести их
систематизацию.
Энергетический спектр частиц. Вся динамика частиц
{как и динамика квазичастиц) определяется тем,
какова связь между их энергией е и импульсом р.
Зависимость & = е(р) определяет так называемый закон
дисперсии частиц, или их энергетический спектр. Для
обычно2
ных классических частиц е=-*—, где m — масса части*
2га
цы. Такая зависимость приводит к соотношениям
ньютоновой механики, в частности, к пропорциональности
между импульсом и скоростью, силой и ускорением.
57

В релятивистской теории с учетом энергии покоя закон
дисперсии выражается формулой
г = с~\/ т2с2+р2 ,
8=80+р2/2т,
при р = й получаем для энергии покоя гъ = тс2. Когда
кинетическая энергия мала по сравнению с энергией
покоя во, мы приходим снова к классическому
выражению е = е0+р2/2т, если производить отсчет энергии от
ее значения покоя е0. Для фотонов, у которых масса
покоя т = 0, имеем г = ср.
Для квазичастиц возможны законы дисперсии и
более общего вида. Механические свойства таких
квазичастиц имеют много необычных особенностей. В
частности, само понятие массы квазичастицы является
совершенно условным, поскольку различные соотношения,
которые могут быть приняты в качестве определяющих:
для этого понятия, в случае общего вида закона
дисперсии приводят не только к зависимости массы от
скорости, но и не дают, по существу, однозначного
результата.
Однако даже в случае простейшего закона
дисперсии 8 = 8о+р2/2|л, формально совпадающего с законом
дисперсии обычных частиц (такой закон дисперсии
характерен для многих квазичастиц при малых
импульсах), понятие массы покоя т0 = ео/с2 не имеет ничего
общего с «динамической» массой, роль которой играет в
этом случае величина jx. Последнее связано с тем, что
квазичастицы сами по себе не являются структурными
единицами вещества; для них нельзя, в частности,
говорить о совпадении понятий «тяжелой» и «инертной»
масс. Наконец, наличие фона вводит в механику
квазичастиц преимущественную систему отсчета (связанную
с покоящейся средой — фоном) и, следовательно,
делают принцип относительности Галилея неприменимым.
Статистика. Кроме закона дисперсии, который
определяет дцйамику отдельной частицы, важным
характерным признаком являются ее свойства как члена
коллектива таких частиц. Так, например, в случае
электронного газа в одном и том же квантовом состоянии не
может находиться более одной частицы; это значит, в
частности, что в таком газе два электрона не могут
иметь одновременно в точности одинаковые импульсы.
58

Напротив, в газе фотонов в каждом квантовом
состоянии может находиться любое число частиц. Это значит,
что может существовать сколько угодно фотонов с
данным значением импульса. Такого рода свойства,
проявляющиеся лишь при наличии многих частиц,
определяют их статистические законы, или, как: говорят, их
статистику. Наиболее существенны здесь возможные
способы заполнения частицами квантовых состояний.
В случае электронов, когда, как было указано, числа
заполнения состояний не превышают единицы, говорят
о статистике Ферми—Дирака; в случае фотонов, где в
каждом состоянии может находиться любое число ча-
стиц и числа заполнения, таким образом, ничем не
ограничены, — говорят о статистике Бозег— Эйнштейна.
Как показывает анализ, указанные статистические
свойства тесно связаны с особой квантовой
характеристикой отдельных частиц — с их спином (имеющим
смысл внутреннего механического момента частицы).
Возможные значения спина частицы являются
кратными половине постоянной Планка. При этом
оказывается, что частицы, обладающие полуцелым спином
(например, электроны, протоны, нейтроны), подчиняются
статистике Ферми — Дирака, частицы с целым спином
(в частности, фотоны, мезоны, а-частицы) — статистике
Бозе— Эйнштейна.
Эти статистические свойства весьма характерны не
только для «истинных» частиц, но и для квазичастиц.
Таким образом, наряду с динамическими
характеристиками квазичастиц (законом дисперсии) и константами
их взаимодействия (зарядом) определяющим признаком
является также и статистика.
Некоторые виды квазичастиц
Разнообразие типов квазичастиц весьма велико, так
как их характер зависит от вида среды и особенностей
ее основного состояния. В одной и той же системе
может существовать несколько различных типов
элементарных возбуждений, т. е. несколько типов квазичастиц.
Мы не имеем в виду давать сколько-нибудь полную
классификацию или систематизацию типов элементар*
ных возбуждений. Поэтому мы ограничимся некоторыми
наиболее характерными примерами, которые позволяют
проиллюстрировать все сказанное ранее.
59

Фононы. Движение атомов твердого тела при низких
температурах сводится к малым колебаниям этих
атомов вблизи положений равновесия.
Как известно, колебательное движение сложной
системы со многими степенями свободы может быть
представлено в ввде наложения отдельных «нормальных»,
или «главных», колебаний, каждое из которых имеет
свою собственную частоту. При этом общая энергия
колебательного движения системы оказывается равной
сумме энергий отдельных нормальных колебаний.
В кристалле такие нормальные колебания
представляют собой плоские волны, распространяющиеся через
всю кристаллическую решетку. Каждая волна, помимо
своей поляризации (т. е. направления смещения
атомов), определяется так называемым волновым вектором
к, направление которого совпадает с направлением
распространения, а величина обратно пропорциональна
длине волны (k = 2n/X); частота колебаний со является
функцией от волнового вектора к. В кристалле
существуют различные типы упругих волн, отличающиеся
характером поляризации и законом дисперсии; среди них
имеются так называемые акустические волны, частота
которых стремится к нулю при стремлении длины
волны к бесконечности (ео = и£). Эти волны представляют
собой обыкновенные звуковые волны, а константа и
имеет смысл скорости звука.
Так в общих чертах выглядит классическая картина
движения атомов кристалла.
Рассмотрим теперь, что нового дает в этой картине
квантовая физика. Оказывается, что все сказанное
выше сохраняется с тем различием, что энергия и
импульс, связанные с каждым нормальным колебанием
(каждой волной), квантуются, т. е. могут принимать
только дискретные значения
Еп—Ео — пНы; Е0*= ; (со=<о(к)),
p = nhk (1)
Эти значения оказываются кратными величинам
е = /ко; P = ftk, (2)
имеющими смысл соответственно энергии и импульса
«элементарного возбуждения» колебательного движения
60

в кристалле (EQ имеет смысл энергии «нулевых»
колебаний, о которых мы уже упоминали выше). Согласно
сказанному ранее каждое такое элементарное
возбуждение можно рассматривать как квазичастицу с
импульсом (точнее, квазиимпульсом) р и энергией e = s(p) *.
Эти квазичастицы носят название фононов. Для
акустических волн фононы представляют собой кванты
звука, т. е. элементарные порции звуковой энергии,
подобно тому, как фотоны представляют собой кванты света.
Аналогия простирается значительно дальше, если
учесть, что из равенства (o = uk для звуковой волны и
(2) вытекает закон дисперсии длинноволновых
фононов
е = ир, (3)
отличающийся от закона дисперсии фотонов только
тем, что вместо скорости света (с) в (3) стоит скорость
звука (и), в общем случае зависящая от направления
распространения.
Число п в выражении (1) для энергии нормальных
колебаний нужно рассматривать при этом как число
фононов с данным импульсом р. Так как п — любое
целое число, то фононы, как и фотоны, подчиняются
статистике Бозе—Эйнштейна.
На примере фононов можно проследить и волновые
и корпускулярные проявления квазичастиц: как волна
фонон характеризуется частотой со и волновым
вектором к; как частица — энергией s и импульсом р.
Соотношения (2) с помощью квантовой постоянной
Планка h связывают волновые и корпускулярные
характеристики частицы и имеют универсальный характер.
Итак, в то время как структурными единицами
кристаллической решетки можно считать отдельные атомы,
структурными единицами движения такой решетки
являются не отдельные атомы, а фононы, т. е. отдельные
волны, несущие элементарные порции энергии и
импульса.
Экситоны. В качестве второго примера мы
рассмотрим своеобразные электронные возбуждения в
кристалле, на которые впервые обратил внимание Я. И.
Френкель.
* е(р)=/ко — L
61

Как известно, отдельный атом может находиться в
возбужденном электронном энергетическом состоянии*
отделенном от основного (наинйзшего) состояния конеч*
ной энергией возбуждения. Однако в кристалле,
состоящем из большого числа одинаковых, сильно
взаимодействующих между собой атомов, такое локализованное
возбуждение является неустойчивым и как бы
перескакивает с одного атома на другой. Если учесть
симметрию кристалла, связанную с периодичностью его
решетки, то оказывается, что подобное возбуждение
представляет собой волну, распространяющуюся в кристалле
так, что каждый атом периодически оказывается как бы
в состоянии возбуждения. Импульс волны возбуждения
связан с ее волновым вектором обычным соотношением
р = Йк, а энергия с ее частотой — соотношением е = Йсо.
Однако в противоположность фононам энергия такого
возбуждения при р-^0 не стремится к нулю, поскольку
с его появлением связана всегда энергия, равная по
порядку величины энергии возбуждения отдельного атома.
Такая волна электронного возбуждения носит название
экситона. В соответствии со сказанным ранее
собственная энергия экситона (при р = 0) отлична от нуля.
Спиновые волны. Особую роль в теории
ферромагнетизма играют элементарные возбуждения в
ферромагнетиках — так называемые спиновые волны, или фер-
ромагноны*. Природу этих возбуждений проще всего
представить себе следующим образом: основное
состояние ферромагнетика соответствует тому, что
элементарные магнитные моменты (спины) всех атомов одинаково
ориентированы, образуя общий магнитный момент
участка ферромагнетика. Состояние магнитного
возбуждения связано с полным переворачиванием отдельного
момента (спица) относительно всех остальных. Однако,
как и в случае экситона, такое локализованное
состояние возбуждения в системе одинаковых
взаимодействующих атомов является неустойчивым, и роль
элементарных возбуждений играют волны переворачивания
магнитных моментов (спиновые волны), при которых
состояние возбуждения как бы переходит последовательно
от одного атомного слоя к другому.
Как и в предыдущих случаях, зависимость чистоты
спиновых волн от их волнового вектора определяет за-
* Эти волны были введены Ф. Блохом.
62

кон дисперсии соответствующих квазичастиц-ферромаг-
нонов.
Элементарные возбуждения в сверхтекучей жидко-
сти (Hell). Крайне любопытные особенности квантовой
жидкости — Hell, обладающей свойством
сверхтекучести*, связаны с характером элементарных возбуждений
в этой жидкости. В идеальном газе атомов гелия
элементарные возбуждения, очевидно, сводились бы к
кинетической энергии отдельных атомов; в этом случае
ничто не мешало бы передаче энергии от отдельных
атомов движущегося гелия к стенке и наоборот, что
обусловливает обычный механизм трения.
Однако даже малое взаимодействие между атомами
гелия (имеется в виду изотоп Не4) приводит к тому, что
роль элементарных возбуждений играют некоторые
коллективные движения, имеющие при малых импульсах
характер звуковых волн. При абсолютном нуле
температуры элементарные возбуждения отсутствуют. Можно
показать, что появление таких элементарных
возбуждений за счет передачи энергии от движущихся стенок
неподвижному гелию (при абсолютном нуле
температуры) невозможно, так как при этом нарушались бы
законы сохранения энергии и импульса, если только ско*
рость гелия относительно стенок меньше некоторого
критического значения. Это и означает, что такое
движение происходит без трения, что-приводит к свойству
сверхтекучести. При температурах, отличных от нуля,
в сверхтекучем гелии имеют место одновременно как бы
два движения: газ элементарных возбуждений (число
которых зависит от температуры) движется подобно
нормальной вязкой жидкости (с диссипацией энергии);
это движение газа элементарных возбуждений
происходит на фоне общего перемещения всей «инертной»
массы гелия, движущейся без трения.
В противоположность описанным ранее
элементарным возбуждениям в твердом теле движение газа
элементарных возбуждений в гелии имеет
макроскопический характер и сопровождается переносом вещества,
если только оно не компенсируется обратным потоком
«сверхтекучей» компоненты. С другой стороны, как ясно
из сказанного, атомы гелия не могут быть сами по себе
* Это свойство было открыто П. Л. Капицей и впервые
объяснено Л. Д. Ландау.
63

разделены на «сверхтекучие» и «нормальные». Таким
образом, в этом случае особенно наглядно выступает то
обстоятельство, что структурными единицами
реального движения (макроскопического переноса вещества)
являются не отдельные атомы, а элементарные
возбуждения.
Электроны проводимости в металлах. В качестве
последнего примера квазичастицы мы приведем электроны
проводимости в металлах. Заряд этих частиц равен
заряду свободного электрона; они удовлетворяют
статистике Ферми, число их также остается постоянным, и в
этом смысле они стоят ближе к истинным частицам, чем
другие описанные выше квазичастицы. Но своеобразие
закона дисперсии электронов в металле делает
их динамические свойства совершенно отличными
от свойств обычных свободных электронов. Даже
беглое перечисление этих особенностей потребовало бы
много места и выходит за рамки настоящей статьи.
Нашей целью было разъяснение основной идеи о
квазичастицах, примеры же, имеющие главным образом
иллюстративный характер, естественно, не претендуют
на полноту и отнюдь не исчерпывают известных типов
квазичастиц.
Цель статьи будет достигнута, если нам удалось,
хотя бы частично, разъяснить те новые и недостаточно
привычные идеи, при помощи которых квантовая
физика связывает понятие частиц й квазичастиц со
структурой материи и ее движением.
Научно-популярное издание
АКАДЕМИК
ИЛЬЯ МИХАИЛОВИЧ ЛИФШИЦ
Сборник статей
Составитель Александр Юльевич Гросберг. Гл. отраслевой редактор
Л. А. Ерлыкин. Редактор К. А Кутузова. Мл. редактор Е. Е. Куликова.^
Обложка художника Г. Ш. Басырова. Худож. редактор П. Л. Храмцов.
Техн. редактор Л. А- Солнцева. Корректор Л. В. Иванова
ИБ № 8932
Сдано в набор 02.07 87. Подписано к печати 01.09.87. T 00683. Формат
бумаги 84Х108'/?2. Бумага тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 3,36. Усл. кр.-отт. 3,57. Уч.-изд. л. 3,48. Тираж 35 300 экз.
Заказ 1496. Цена И коп. Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр,
проезд Серова, д. 4. Индекс заказа 874010.
Типография Всесоюзного общества «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4.

11 кол.
Индекс 70102
ДОРОГОЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Брошюры этой серии в розничную продажу не
поступают, поэтому своевременно оформляйте
подписку. Подписка на брошюры издательства
„„Знание" ежеквартальная, принимается в любом
отделении „Союзпечати".
Напоминаем Вам, что сведения о подписке Вы
можете найти в „Каталоге советских газет и
журналов" в разделе „Центральные журналы",
рубрика ,,Брошюры издательства „Знание".
Цена подписки на год 1 р. 32 к.
СЕРИЯ
ФИЗИКА