Курс чистой математики. - Харди Г.Х.

Автор: Харди Г.Х.
Теги: математика
Год: 1949
Похожие
Начальные основания чистой математики
Люди с чистой совестью
Высшие съедобные базидиомицеты в чистой культуре
Логические исследования. Том 1. Пролегомены к чистой логике
Текст
                    и*л
Государственное издательств
иностранной
литературы.
*

A COURSE
Of
PURE MATHEMATICS
by
G. H. Hardy, M. A., F. R. S.
Fellow of Trinity College
Emeritus Professor of Pure Mathematics
in the University of Cambridge
Hon. Fellow of New College, Oxford
NINTH EDITION
1945

Г. X. ХАРДИ
КУРС
чистой
МАТЕМАТИКИ
Перевод с английского
В". И. ЛЕВИНА
19 4 9
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М о с к в а

ОТ РЕДАКЦИИ
„Курс чистой математики" профессора Кэмбриджского универ-
университета Г. Харди *) представляет интерес в первую очередь для лиц,
ведущих преподавание математического анализа в высшей школе.
Книга эта написана понятным и ясным языком и не содержит боль-
большого и сложного теоретического материала. В ней разобраны лишь,
но зато с исчерпывающей полнотой и тщательностью, основные
положения математического анализа, не выходящие за рамки довольно
элементарных понятий.
Автор не ставил своей задачей систематическое изложение всего
университетского курса математического анализа. Поэтому он
умышленно обходит такие понятия как равномерная сходимость,
кратные ряды, интегрирование и дифференцирование рядов и т. п.
Однако те вопросы, которые включены в книгу, рассматриваются
со всей необходимой математической строгостью.
Основная ценность книги заключается в большом количестве
содержащихся в ней удачно подобранных интересных задач и при-
примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятель-
самостоятельной проработки важнейших положений анализа. При решении этих
задач может быть достигнут тот уровень владения аппаратом мате-
математического анализа, который необходим для плодотворного при-
применения анализа, как к различным разделам самой математики, так
и к вопросам точного естествознания и техники.
В русской математической литературе имеется ряд прекрасных
обстоятельных курсов математического анализа. Ни в какой мере
не заменяя их, книга Г. Харди может послужить дополнением к этим
руководствам.
*) Г. X. Харди родился в 1877 г., учился в Кэмбриджском университете
и преподавал там почти всю свою жизнь; умер 7 декабря 1947 г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга написана в первую очередь для студентов первых
курсов университетов, способности которых приближаются к тому
уровню, который обычно требуется для получения стипендии. Я на-
надеюсь, что она окажется полезной и для другого круга читателей,
но в основном я учитывал интересы именно этого круга. Во всяком
случае эта книга написана для математиков; я нигде не пытался
итти навстречу студентам технических специальностей, и вообще не
принимал во внимание запросов тех читателей, чьи интересы не яв-
являются в первую очередь математическими.
Я рассматриваю эту книгу как действительно элементарную. В ней
содержится много трудных примеров (преимущественно в конце
глав); такие примеры я снабжал, где это было возможно с точки
зрения объема, указаниями к решению. Но я всячески старался избе-
избегать действительно трудных понятий. Например, равномерная схо-
сходимость, двойные ряды, бесконечные произведения даже не упоми-
упоминаются в этой книге; я не доказываю никаких общих теорем отно-
относительно перестановки предельных переходов — я даже не определяю
^—~ и д з • В последних двух главах иногда интегрируется степен-
степенной ряд, но я ограничиваюсь только простейшими случаями и для
каждого из них провожу специальное исследование.
Сентябрь 1908 г. Г. X.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ
В этом издании книга подверглась самым серьезным изменениям
со времени второго издания. Я воспользовался тем, что книга заново
набиралась, и это дало мне возможность свободно изменять ее
содержание.
Бывшее Приложение II (относительно обозначений „О, о и ~")
я включил в соответствующих местах в текст книги. Заново напи-
написаны части глав VI и VII, относящиеся к элементарным свойствам
производных. Здесь я следую курсу де ла Валле-Пуссена; эта часть
книги несомненно значительно улучшена. Эти важные изменения
повлекли за собой, конечно, много других более мелких исправлений.
Я включил большое число новых примеров из числа задач, предла-
предлагавшихся на экзаменах в Кэмбридже за последние 20 лет, которые
будут полезны кэмбриджским студентам. Эти задачи- были подобраны
для меня Лявом (Е. R. Love), который прочел также все гранки и
исправил много ошибок.

8 Из предисловия автора
Общий план книги остался без изменений. Внимательно перечиты-
перечитывая книгу впервые за 20 лет, я неоднократно испытывал желание
произвести в ней более радикальные изменения как в содержании, так и
в стиле. Она была написана в то время, когда в Кэмбридже пренебрегали
математическим анализом, и ее патетический стиль кажется теперь
немного смешным. Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже не
писал (по выражению проф. Литтльвуда) как „проповедник, разго-
разговаривающий с каннибалами", а значительно суше и с соответствую-
соответствующей сдержанностью. Более того, я писал бы гораздо короче и смог
бы включить значительно больше материала. Книга приняла бы
характер обычного курса анализа.
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем,
и возможно, что это к лучшему, так как, вероятно, я написал бы
значительно лучшую, но гораздо менее оригинальную книгу. Эта
книга была бы не так полезна в качестве введения к руководствам
по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
Ноябрь 1937 г. Г. X.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В результате критических замечаний, сделанных проф. Г. Дэвен-
портом (Н. Davenport), я изменил некоторые места в первых двух
главах. В остальном текст остался без изменений, за исключением
исправления нескольких незначительных ошибок и включения неболь-
небольшого числа дополнительных ссылок.
Ноябрь 1943 г. Г. X.

ГЛАВА I
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
1. Рациональные числа. Дробь/-=— , где р и q— положитель-
положительные или отрицательные целые числа, называется рациональным числом.
Мы можем предположить, не ограничивая общности наших рассмо-
рассмотрений, что р и q — взаимно простые числа, так как в противном
случае дробь можно было бы сократить, а также, что q положительно,
так как
_?__—? — р _ р
— Я q ' — 1 1 '
К таким образом определенным рациональным числам мы можем,
полагая р = 0, присоединить еще „рациональное число О".
Мы предполагаем, что читатель знаком с обычными арифметиче-
арифметическими правилами действий над рациональными числами. Этих знаний
вполне достаточно для решения следующих примеров.
Примеры I. 1. Если г и s — рациональные числа, то r-\-s, г — s, rs
и также рациональные числа, если в последнем случае s=^=0 (если
S
s=0, то — не имеет смысла).
о
2. Если X, т и п—Положительные рациональные числа, причем т>п,
то X (та — па), 2\тп и X (т% -\- nz) ¦— также положительные рациональные
числа. Исходя из этого, показать, каким образом можно найти любое число
прямоугольных треугольников, длины всех сторон которых рациональны.
3. Каждая конечная десятичная дробь представляет рациональное число,
знаменатель которого не имеет других делителей, кроме 2 и 5. Обратно,
всякое такое рациональное число может быть представлено, и притом
единственным образом, как конечная десятичная дробь.
[Общая теория десятичных дробей будет рассмотрена в гл. IV.]
4. Все положительные рациональные числа могут быть записаны в виде
последовательности следующим образом:
J_ _2 1 3 2 1 4 3^ _2_ 1
Т ' Г ' " • Т' " ' ~3~ ' Т ' 2 ' 3 ' Т
Показать, что pjq является членом этой последовательности с номером

10 Глава первая
[В этой последовательности каждое рациональное число встречается
неограниченное число раз. Так, например, 1 встречается в виде у , -к
1 ^
о
— ,.... Мы можем, конечно, избежать этого, вычеркивая из последователь-
3
ности каждое число, которое в ней уже встретилось в более простой форме.
Однако тогда определение номера члена — становится более сложным.]
2. Представление рациональных чисел точками на прямой.
Во многих областях математического анализа представляется удобным
пользоваться геометрическими иллюстрациями.
Применение геометрических иллюстраций не означает, конечно,
что анализ каким то образом опирается на геометрию. Геометриче-
Геометрические иллюстрации являются лишь иллюстрациями и ничем более, и
применяются исключительно в целях достижения большей ясности
изложения. В силу этого нет необходимости приводить здесь логи-
логический анализ понятий, известных из элементарной геометрии; можно
удовлетвориться теми представлениями о них, которыми мы обладаем,
не заботясь о том, насколько они близки к истине.
Предполагая, таким образом, что мы знаем, что следует понимать
под прямой линией, ее отрезком и длиною этого отрезка, рассмо-
рассмотрим прямую линию Л, неограниченно продолженную в обе стороны,
и отрезок Ао А1 любой длины на ней. Назовем Ао началом, или
точкой 0, a At — точкой 1, и будем рассматривать эти точки как
представляющие числа 0 и 1.
Фаг. 1
Для того чтобы получить точку, представляющую положительное
рациональное число г = — , выберем точку Аг так, чтобы
где Ао Аг — отрезок прямой, расположенный по ту же сторону от Ао,
что и отрезок Ао Ах. Направление от Ао к А1 мы всегда будем
предполагать идущим слева направо, если, как на фиг. 1, прямая
начерчена горизонтально. Для того чтобы получить точку, предста-
представляющую отрицательное рациональное число /¦ = — s, естественно
рассматривать длину как величину алгебраическую, принимающую
положительные значения, если она измеряется в одном направлении
(именно в направлении от ЛЛ к At), и отрицательные значения, если
она измеряется в противоположном направлении, так что АВ = — В А.

Действительные переменные 11
Тогда точку A_s, представляющую число г = — s, следует о пределить
условием:
¦AqA-s = — A-s™u = — ^oAs-
Таким образом, мы получаем точку Аг на прямой, соответствую-
соответствующую любому, положительному или отрицательному, значению рацио-
рационального числа г, причем
AQAr = г • АйА1г
или, если мы возьмем Ао Ах за единицу длины и будем писать А0А1 —
= 1, то
АйАг = г.
Точки Аг мы будем называть рациональными точками прямой. .
3. Иррациональные числа. Если читатель начнет отмечать на
прямой все точки, соответствующие рациональным числам с знамена-
знаменателями 1, 2, 3,..., то он без труда убедится в том, что прямую
можно как угодно густо покрыть рациональными точками. Точнее
это можно выразить следующим образом: на любом отрезке ВС
прямой А можно найти сколь угодно большое число рациональных
точек.
Допустим, например, что ВС целиком помещается в отрезке АгА.г.
Очевидно, что если мы выберем положительное целое число k так,
что
1) A)
и разделим АХАЧ на k равных частей, то по крайней мере одна из
точек деления должна попасть внутрь ВС и быть отличной от В и
от С. Пусть это будет точка Р. Действительно, если бы такая точка Р
не существовала, то отрезок ВС целиком помещался бы в одной
из k частей, на которые был разбит отрезок АгА9, что противоре-
противоречит условию A). Но точка Р, очевидно, соответствует некоторому
рациональному числу с знаменателем k, и, следовательно, на отрезке ВС
имеется по крайней мере одна рациональная точка Р, отличная от
концов этого отрезка. Но такое же рассуждение показывает, что
найдется рациональная точка Q и между В и Р, другая между В
и Q и т. д. Таким образом, как мы и утверждали, на отрезке ВС
можно найти сколько угодно рациональных точек. Это положение
мы можем выразить и так: отрезок ВС содержит бесконечно много
рациональных точек.
Смысл такой фразы, как „бесконечно много", в предложениях типа
„отрезок ВС содержит бесконечно много рациональных точек" или „суще-
„существует бесконечно много положительных целых чисел", будет подробнее
рассмотрен в гл. IV. Утверждение, что .существует бесконечно много поло-
') Предположение, что это возможно, равносильно принятию так назы-
называемой аксиомы Архимеда.

12 Глава первая
жительных целых чисел" означает, что «если дано любое сколь угодно
большое положительное целое число п, то можно найти более п положитель-
положительных целых чисел". Это, очевидно, справедливо, каково бы нн было п, напри-
например, для п = 100 000, или п = 100 000 000. Это утверждение означает в точ-
точности то же, что и следующее: „мы можем найти сколь угодно много поло-
положительных целых чисел".
Читатель без труда убедится в справедливости следующего утвержде-
утверждения, которое по существу эквивалентно тому, что было доказано в п. 2
настоящей главы: если даио любое рациональное число г и любое положи-
положительное целое число п, то можно найти рациональные числа по обе стороны
от г, отличающиеся от г меньше, чем на 1/я. Это же предложение мы будем
выражать и так: по обе стороны от г можно найти рациональные числа,
отличающиеся сколь угодно мало от г. Аналогично, если даны любые рацио-
рациональные числа г и s, мы можем вставить между ними цепочку рациональных
чисел, в которой каждый член будет сколь угодно мало отличаться от члена,
следующего за ним. Это означает, конечно, что разность между любыми двумя
соседними членами этой цепочки будет меньше, чем 1/п, где я — любое
заданное положительное целое число.
Эти соображения могут навести читателя на мысль о том, что
можно получить достаточно правильное представление о структуре
прямой линии, если считать ее составленной просто из рациональных
точек, лежащих на ней. И несомненно, что если бы мы представили
себе прямую линию составленной исключительно из рациональных
точек, т. е. отбросили бы все ее другие точки (если они существуют),
то получившийся образ обладал бы большинством тех свойств, кото-
которыми здравый смысл наделяет прямую линию. Этот образ был бы,
грубо говоря, весьма похож на прямую линию.
Однако небольшое дополнительное рассмотрение показывает, что
такая точка зрения приводит к серьезным затруднениям.
Рассмотрим этот вопрос с точки зрения обычного здравого смысла,
и возьмем некоторые свойства прямой линии, которыми она должна
обладать, если она отвечает нашему представлению о ней, получен-
полученному из элементарной геометрии.
Прямая линия должна быть составлена из точек, и любой ее
отрезок должен быть составлен из всех точек, которые лежат между
его концами. Каждому такому отрезку должно быть сопоставлено
некоторое понятие, называемое его длиной, которое должно иметь
характер величины, допускающей численное измерение относительно
любой данной единичной длины, причем эти длины отрезков должны
комбинироваться друг с другом по обычным правилам алгебры путем
сложения или умножения. Далее, должно быть возможным построе-
построение отрезка, длина которого равна сумме или произведению любых
двух данных длин. Если длина PQ вдоль некоторой прямой равна а
и длина QR вдоль той же прямой равна Ь, то длина PR должна
быть равна а-\-Ь. Более того, если длины ОР и OQ вдоль некото-
некоторой прямой равны соответственно 1 и а и длина OR вдоль некоторой
другой прямой равна b и если мы определим длину OS по построе-
построению Эвклида (кн. VI, 12) как четвертую пропорциональную к ОР,
OQ, OR, то эта длина должна быть равна ab — алгебраической

Действительные переменние
13
четвертой пропорциональной к 1, а, Ь. Вряд ли необходимо особо
отметить, что таким образом определенные суммы и произведения
должны подчиняться обычным „законам алгебры", а именно:
a-\-b = b + a, a + (?-f c) = (a-f b)-\-c,
ab = ba, a (be) = (ab) c, a (b -f- c) = ab -f- ac.
Длины наших линий должны также подчиняться целому ряду оче-
очевидных законов, относящихся не только к равенствам, но и к нера-
неравенствам. Так, например, если А, В, С—три точки, лежащие вдоль Л
слева направо, то должно выполняться неравенство АВ <^ АС и т. д.
Кроме того должно быть возможным определение на нашей основ-
основной прямой А такой точки Р, что А0Р равно любому данному
отрезку, взятому вдоль А или вдоль любой другой прямой линии.
Все эти свойства прямой линии и многие другие содержатся в пред-
предпосылках нашей элементарной геометрии.
В
м
Фиг. 2
Очень легко показать, что представление о прямой линии как
состоящей из ряда точек, каждая из которых соответствует рацио-
рациональному числу, никак не может удовлетворить всем этим требова-
требованиям. Существует, например, много элементарных геометрических
построений длины х такой, что х* = 2. Так мы можем построить
равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, в котором АВ =
= ЛС=1. Тогда, если ВС — х, то х* = 2. Или мы можем определить
длину х с помощью построения Эвклида (кн. VI, 13) средней про-
пропорциональной к 1 и 2, как показано на фиг. 2. Из наших требо-
требований следует, таким образом, существование длины, измеряемой
числом х, и точки Р на А, таких, что
Но легко видеть, что не существует рационального числа, квадрат
которого равен 2. Можно даже утверждать, что не существует
рационального числа, квадрат которого равен
¦—
п
где — — любая
п

14 Глава первая
положительная несократимая дробь, если только т. и п не являются
оба квадратами целых чисел.
Допустим, что
р^ т
~q* ~n '
где р не имеет общего делителя с q, a m не имеет общего делителя
с п. Тогда npq = mqi. Каждый делитель q* должен быть делителем пр*,
а так как р и q не имеют общего делителя, то каждый делитель q*
должен быть делителем п. Следовательно n — Xq*, где X — целое
число. Но отсюда следует, что т — X/?2, а так как т и п не имеют
общего делителя, X должно быть равно единице. Таким образом
т—р1, n = qi, что и требовалось доказать. Беря, в частности, п = 1,
мы видим, что целое число не может быть квадратом рационального
числа, если это рациональное число само не является целым.
Итак, оказывается, что из наших требований следует существова-
существование числа х и точки Р, не являющейся ни одной из уже построен-
построенных рациональных точек таких, что А0Р = х, х* = 2, и мы пишем
(как читатель знает из элементарной алгебры) х = j/^2.
Представляет интерес следующее, отличное от предыдущего, доказатель-
доказательство того, что квадрат рационального числа не может быть равен 2.
Допустим, что — —положительная несократимая дробь, для которой
' — ) = 2, т. е. рг = 2<72. Нетрудно видеть, что отсюда следует соотношение
\Ч 1
B<7—рJ = 2(р — q)%, откуда видно, что ——*- также является дробью,
квадрат которой равен 2. Но из очевидного соотношения q<.p<.2q
следует, что 0<р — q <.q. Таким образом, должна существовать дробь,
равная -- и имеющая меньший знаменатель, что противоречит предполо-
предположению несократимости дроби - - .
Примеры II. 1. Показать, что не существует рационального числа, куб
которого равен 2.
2. Показать, что, вообще, несократимая рациональная дробь — не может
быть кубом рационального числа, если р и q не являются оба кубами целых
чисел.
3. Следующее более общее предложение, принадлежащее Гауссу, содер-
содержит предыдущие как частные случаи: алгебраическое уравнение
хп +Plxn -1 + рах« - г +... +рП = О
с целочисленными коэффициентами не может иметь рациональных
нецелых корней.
[Допустим, что уравнение имеет корень -v-, где а и Ъ — взаимно про-
простые целые ч^сла и Ъ положительно. Подставляя в уравнение -=- вместо х

Действительные переменные 15
и умножая на Ьп~1, найдем, что
... +pttbn ~ S
т. е. что несократимая дробь равна целому числу. Таким образом, Ь=1
и корень равен а. Ясно, что а должно быть делителем рп. Вообще, если
а/b является корнем уравнения рохп -\-piXn ~l -\-... -\-рп = О, то а является
делителем рп, а Ъ—делителем р0.]
4. Показать, что если рп=1 и ни одно из выражений
1 +Pi +P2 +Рг + ¦•-, 1 —Pi +рз —Pi + ¦¦¦
не равно нулю, то уравнение не может иметь рациональных корней *).
5. Найти рациональные корни (или доказать, что таковых нет) уравнения
х* _4лг> _8х2 + 13лг + 10 = 0.
[Корни могут быть только целочисленными. Следовательно, ±1, ±2,
±5, ±10 являются единственно возможными значениями корней. Находятся
ли среди этих значений корни уравнения, или нет, может быть установлено
пробами.]
4. Иррациональные числа (продолжение). В результате нашего
геометрического представления рациональных чисел выяснилась целе-
целесообразность расширения нашего понятия о „числе" путем введения
чисел нового рода.
К такому же выводу мы могли бы придти и без применения
геометрической терминологии. Одной из центральных проблем алгебры
является решение таких уравнений, как
Первое из них имеет два рациональных корня: 1 и —1. Но если
наше понятие о числе будет ограничено рацибнальными числами, то
мы можем только сказать, что второе уравнение не имеет корней,
и то же самое будет иметь место для таких уравнений, как дг8 = 2,
х1 = 7. Этих фактов уже достаточно для того, чтобы признать целесо-
целесообразность некоторого обобщения нашего понятия о числе, если
такое обобщение окажется возможным.
Рассмотрим подробнее уравнение хг = 2.
Мы уже видели, что не существует рационального числа х, кото-
которое удовлетворяло бы этому уравнению. Квадрат всякого рациональ-
рационального числа либо меньше, либо больше двух. Мы можем поэтому
разбить все положительные рациональные числа (рассмотрением кото-
которых мы пока ограничиваемся) на два класса, из которых один содер-
содержит все рациональные числа с квадратом меньшим двух, а другой —
все рациональные числа с квадратом большим двух. Назовем первый
из этих классов классом L, или нижним классом, или левым классом,
а второй — классом R, или верхним классом, или правым классом.
Очевидно, что каждое число из класса R больше всех чисел из
*) Имеется в виду уравнение из примера II. 3. (Прим. перев.)

16 Глава первая
класса L. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что в классе L
можно найти число, квадрат которого хотя и меньше двух, но отли-
отличается от двух сколь угодно мало, а в классе R — число, квадрат
которого хотя и больше двух, но также отличается от двух сколь
угодно мало. Действительно, если мы будем извлекать при помощи
известного арифметического алгорифма квадратный корень из двух,
то получим ряд рациональных чисел, а именно,
1, 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142
квадраты которых
1, 1,96, 1,9881, 1,999396, 1,99996164, ...
все меньше двух, но все более и более приближаются к двум. Взяв
достаточно большое число знаков, даваемых указанным алгорифмом, мы
можем получить как угодно близкое приближение. Если же мы увели-
увеличим на единицу последнюю цифру в каждом из этих приближений,
то получим ряд рациональных чисел
2, 1,5, 1,42, 1,415, 1,4143, ....
квадраты которых
4, 2,25, 2,0164, 2,002225, 2,00024449, ...
все больше двух, но приближаются к двум как угодно близко.
Хотя предыдущее рассуждение, вероятно, покажется читателю убеди-
убедительным, оно не имеет того строгого характера, который требуется в совре-
современной математике. Формальное доказательство может быть проведено
следующим образом. В первую очередь, мы можем найти число в L и число
в /?, отличающиеся сколь угодно мало друг от друга. Ибо, как мы видели
в п. 3, для любых двух данных рациональных чисел а и Ъ можно построить
цепочку рациональных чисел, начинающуюся спи кончающуюся Ъ, в кото-
которой любые два следующие друг за другом числа отличаются сколь угодно
мало Друг от друга. Возьмем теперь число х из L и число _у из R и вставим
между ними цепочку рациональных чисел, начинающуюся с х и кончаю-
кончающуюся у, в которой любые два следующие друг за другом числа отличаются
друг от друга меньше, чем на §, где S — любое положительное сколь угодно
малое данное рациональное число, такое как, например, 0,01, или 0,0001, или
0,000001. В этой цепочке должно быть последнее число, которое принадлежит
к А, и первое, которое принадлежит к R, и эти два рациональных числа
отличаются друг от друга меньше чем на &
Теперь мы можем доказать, что в L можно найти число х и в /? —
число у так, что 2— х% и у%—2 будут сколь угодно малыми, например
меньшими чем Ь. Заменяя в проведенных выше рассуждениях § на'-^,- §, мы
видим, что х и у можно выбрать так, что у — х< -у §; кроме того, мы,
очевидно, можем предположить, что и х и у меньше двух. Тогда
У+х<4,у2 — х2 = (у~х)СУ-f х) <4(у — х) < S,
а так как хг < 2 и у2 > 2, то 2 — х2 и у2 — 2 будут каждое заведомо
меньше чем 5.

Действительные переменные 17
Далее следует, что в L не существует наибольшего, а в R—¦
наименьшего числа. Пусть х— некоторое произвольное число из L,
х'2<^2. Пусть х2 = 2—8. Тогда мы можем найти в L такое число х1(
от двух меньше чем на 8, и, следовательно,
\^ т. е. Xj^>x. Таким образом, в L существуют числа, боль-
большие х; а так как х было произвольным числом из L, то отсюда
следует, что ни одно число из L не может быть больше всех осталь-
остальных. Следовательно, в L нет наибольшего числа и, аналогично,
в R — наименьшего.
5. Иррациональные числа {продолжение). Итак, мы разбили
положительные рациональные числа на два класса L и R так,
что A) каждое число из R больше каждого числа из L; B) можно
найти число в L и число в R, разность между которыми будет сколь
угодно мала, и C) L не содержит наибольшего, a R — наименьшего
числа. Наше интуитивное представление о прямой линии, вопросы
элементарной геометрии и элементарной алгебры требуют существо-
существования числа х, большего, чем все числа из L, и меньшего, чем все
числа из R, и точки Р на А такой, что Р отделяет все точки,
представляющие числа из L, от точек, представляющих числа из R.
Допустим на минуту, чт'о такое число х существует и что над
ним можно производить действия в соответствии с законами алгебры,
так что, например, х9 имеет определенное значение. Тогда хг не
может быть ни меньше, ни больше двух. Ибо предположим, напри-
например, что х2 меньше двух. Тогда из предыдущего следует, что можно
найти такое положительное рациональное число ?, что ?2 лежит
между х3 и 2. Но это означает, что в L имеется число, большее х,
что прЪтиворечит предположению о том, что х отделяет числа из L
от чисел из R. Таким образом, х2 не может быть меньше двух и,
аналогично, х2 не может быть больше двух. Поэтому мы вынуждены
придти к заключению, что х2 = 2, т. е. что х есть то число, кото-
которое в алгебре обозначается j/2 . И это число не является рацио-
рациональным, так как квадрат рационального числа не может быть равен
двум. Это — простейший пример так называемого иррационального
числа.
Предыдущие рассуждения почти дословно применимы и к другим
уравнениям, кроме хг = 2, например, к уравнению x'l = N, где
N —¦ любое положительное целое число, не являющееся квадратом целого
числа, или к уравнениям
или же, как мы вскоре увидим, к уравнению х3 = Зх -j- 8. Таким
образом, мы приходим к убеждению, что существуют иррациональные
числа х и точки Р на А, которые удовлетворяют таким уравнениям,
как приведенные выше, даже если соответствующие длины не могут
2 Г. Харди

18 Глава первая
быть построены элементарно-геометрическими методами (в противо-
противоположность длине \f 2, которая может быть так построена).
Из учебников элементарной алгебры читатель несомненно знает, что
q
корень уравнения дг?= п записывается в виде уп, или п^4, и что смысл
символов n
пр/яг п-Р/ч
определяется с помощью соотношений
пР1ч = {nVqyt пр/я п-Р/Я _ L
Он также легко восстановит, каким образом, в силу этих определений, извест-
известные .правила показателей", как, например,
пг X ns= nr+s, (nry= nrs
распространяются на случай любых рациональных г и s.
Читатель может теперь следовать по одному из следующих двух
возможных путей. Он может, если пожелает, удовлетвориться пред-
предположением, что „иррациональные числа" вроде у^2 , у^З,... су-
существуют и подчиняются алгебраическим законам, с которыми он
знаком. Тогда он может избежать более отвлеченных рассмотрений
следующих нескольких пунктов и перейти непосредственно к п. 13
и дальнейшим.
Если же он не склонен становиться на столь наивную точку
зрения, то ему следует настойчиво порекомендовать с особым вни-
вниманием прочесть следующие пункты, в которых эти вопросы рас-
рассматриваются подробно.
Примеры III. 1. Найти разности между 2 и квадратами десятичных дро-
дробей, приведенных в п. 4 в качестве приближений к V-
2. Найти разности между 2 и квадратами дробей
JL JL L 1Z I1 ??
1 » 2 ' 5 » 12' 29' 70'
т
(оказать, что если
т-\-2п
3. Показать, что если — является хорошим приближением к j/~ 2, то
является еще лучшим приближением, и что ошибки этих двух при-
\
ближений будут разных знаков. Применить этот результат к продолжению
ряда приближений, приведенных в предыдущем примере.
4. Если х и у—два приближения к |/, соответственно с недостатком
и с избытком, и2 — х3 <8, у" — 2 < §, то jy — х<&
5. Уравнение xz = 4 удовлетворяется при л: = 2. Проверить, в какой
мере рассуждения предыдущих пунктов применимы к этому уравнению
(в этих рассуждениях число 2 надо всюду заменить на 4). [Если мы опре-
определим классы L, R по предыдущему, то они не содержат всех рациональных
чисел. Рациональное число 2 является исключением, так как 22 не меньше
и не больше четырех.]

Действительные переменные 19
6. Иррациональные числа (продолжение). В п. 4 мы рассматри-
рассматривали разбиение положительных рациональных чисел х на два таких
класса, что для чисел одного класса х1 <^ 2, а для чисел другого
класса дг9^>2. Этот способ разбиения является частным случаем так
называемого сечения в области рациональных чисел. Очевидно, что
мы могли бы с одинаковым успехом построить сечение, при ко-
котором принадлежность чисел к классам определялась бы неравен-
неравенствами лг3<^2 и л:3^>2 или л4<^7 и х4^>7. Попытаемся теперь
установить наиболее общие принципы построения такого сечения в
области положительных рациональных чисел.
Допустим, что Р и Q означают два взаимно исключающих свой-
свойства, одним из которых должно обладать любое положительное
рациональное число. Предположим, далее, что каждое число, обла-
обладающее свойством Р, меньше каждого числа, обладающего свой-
свойством Q. Так, например, Р может быть свойством „х*<^2",
a Q — свойством ях'>^>2". Тогда мы назовем нижним, или
левым, классом L совокупность всех чисел, обладающих свой-
свойством Р, а верхним, или правым, классом R—'Совокупность всех чисел,
обладающих свойством Q. В общем случае оба класса существуют,
но в отдельных случаях один из них может не существовать. Это
будет иметь место, когда все числа обладают одним из двух свойств,
например, когда Р (или Q) является свойством быть рациональным,
или положительным числом. В настоящий момент мы, однако, огра-
ограничимся случаями, когда оба класса существуют. Тогда, как в п. 4,
доказывается, что мы можем найти число из ? и число из R, раз-
разность между которыми будет сколь угодно мала.
В том частном случае, который мы рассматривали в и. 4, класс L
не имел наибольшего, а класс R — наименьшего числа. Но, вообще,
L может иметь наибольшее число, a R— наименьшее, и предста-
представляется весьма важным рассмотреть все возможные здесь случаи.
Невозможно, чтобы одновременно в L существовало наиболь-
наибольшее и в R — наименьшее число. Ибо, если — наибольшее число из L
и г—наименьшее число из R, так что /<V, то y^-j-r) было бы
положительным рациональным числом, лежащим между / и г, т. е.
не принадлежащим ни к L, ни к R, а это противоречит нашему
предположению о том, что каждое положительное рациональное число
принадлежит к одному из двух классов. Таким образом, остаются
только три возможности, каждая из которых исключает две осталь-
остальные. Либо A) L содержит наибольшее число /, либо B) R содержит
наименьшее число г, либо C) L не содержит наибольшего и R не
содержит наименьшего числа.
Сечение, рассмотренное в п. 4, является примером случая C). Пример
случая A) мы получим, если в качестве Р возьмем »х2^1", а в качестве
Q — ,лг2>1"; в этом случае 1=1. Если Р: ,х2<1", a Q: »х2^1", то мы
получаем пример случая B), причем г=\. Следует заметить, что взяв за Р
2*

20 Глава первая
свойство „Xs <1", а за Q — свойство „лг2>1", мы вообще не получаем
сечения, так как рациональное число 1 выпадает из классификации (ср. при-
примеры III. 5).
7. Иррациональные числа (продолжение). В первых двух слу-
случаях мы будем говорить, что сечение соответствует положитель-
положительному рациональному числу а, которое равно / в первом случае и
г—во втором. Очевидно, что и, обратно, каждому такому числу а
соответствует сечение, которое мы будем обозначать через а1). Ибо
в качестве Р и Q мы можем взять свойства, выражаемые, соответ-
соответственно, условиями
пли х<^а и х^а. В первом случае а будет наибольшим числом
в L, во втором — наименьшим в R. Только эти два сечения и соот-
соответствуют любому положительному числу а. Во избежание неодно-
неоднозначности условимся брать всегда одио из этих двух сечений, на-
например, то, при котором само число принадлежит к верхнему классу.
Другими словами, условимся рассматривать только такие сечения,
при которых нижний класс L не содержит наибольшего числа.
Имея такое соответствие между положительными рациональными
числами, с одной стороны, и сечениями, определенными ими, с дру-
другой, с точки зрения математических рассмотрений представляется
совершенно законным заменить эти числа соответствующими им сече-
сечениями и рассматривать символы, содержащиеся в наших формулах,
как обозначающие сечения, а не числа. Так, например, а^>а' будет
означать то же самое, что а~^>а\ если а и а' — сечения, соответ-
соответствующие а и а'.
Но после того, как мы заменили сами рациональные числа сече-
сечениями в области рациональных чисел, мы оказываемся почти вынуж-
вынужденными к обобщению нашей системы чисел. Ибо существуют ведь
сечения (как, например, рассмотренное в п. 4), которые не соответ-
соответствуют никакому рациональному числу. Совокупность сечений
в области рациональных чисел является более широкой, чем сово-
совокупность положительных рациональных чисел: она содержит сече-
сечения, соответствующие всем таким числам, и кроме них еще другие
сечения. Это обстоятельство и лежит в основе нашего обобщения
понятия о числе. Таким образом, мы приходим к следующим опре-
определениям, которые будут, однако, несколько расширены в следую-
следующем пункте, и поэтому пока должны рассматриваться как предвари-
предварительные.
Сечение в области положительных рациональных чисел, при
котором оба класса существуют и нижний класс не содержит
Ч Мы будем в дальнейшем обозначать рациональные числа латинскими
буквами, а соответствующие им сечения — соответствующими греческими
буквами.

Действительные переменные 21
наибольшего числа,, называется положительным действительным
числом.
Положительное действительное число, которое не соответ-
соответствует никакому положительному рациональному числу, назы-
называется положительным иррациональным числом.
8. Действительные числа. Мы ограничивались до сих пор рас-
рассмотрением сечений в области положительных рациональных чисел,
которые мы условились называть „положительными действительными
числами". Прежде чем перейти к формулировке наших окончатель-
окончательных определений, мы должны несколько изменить нашу точку зре-
зрения. Мы будем рассматривать сечения, или разбиения на два класса,
не только положительных рациональных чисел, но и всех рациональ-
рациональных чисел, включая нуль, и можем повторить все рассуждения в пп. 6
и 7, относящиеся к сечениям в области положительных рациональных
чисел,опуская лишь в соответствующих местах слово „положительные".
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Сечение в области рациональных чисел, при ко-
котором оба класса существуют и нижний класс не содержит наи-
наибольшего числа, называется действительным числом, или просто
числом.
Действительное число, которое не соответствует никакому
рациональному числу, называется иррациональным числом.
Если действительное число соответствует некоторому рациональ-
рациональному числу, то мы будем употреблять термин „рациональное" при-
применительно и к действительному числу.
Термин „рациональное число" получает в связи с нашими определениями
двойной смысл. Он может обозначать рациональное число из п. 1 или соот-
соответствующее действительное число. Если мы говорим, что -н- > -^-, то это
может быть понято либо как утверждение элементарной арифметики, либо
как предложение, относящееся к сечениям в области рациональных чисел.
Такого рода двусмысленности часто встречаются в математике и совершенно
безопасны, так как связи между различными предложениями в точности
совпадают, какая бы интерпретация ни была принята в отношении самих пред-
предложений. Из -я->-о- и гг>~т мы заключаем, что ~2>-т; на это заключе-
заключение никоим образом не влияет сомнение в том, понимаются ли под -у t
-=- и -j- арифметические дроби или действительные числа. Иногда, конечно,
текст, в котрром встречается, например, »-h-"i He оставляет сомнения в том,
какая интерпретация имеется в виду. Так, например, когда мы говорим
(см. п. 9), что ~2<у "о" > мы должны, понимать под „-=-" действительное
1
число -н-.

22 Глава первая
Читатель должен, кроме того, обратить внимание на то обстоятельство,
что точной форме определения „действительного числа", принятого нами,
не приписывается никакой особой логической значимости. Мы определили
„действительное число" как сечение, т. е. как пару классов. Мы могли бы
с одинаковым успехом определить его как нижний или как верхний класс.
В действительности, можно легко определить бесконечно много понятий,
каждое из которых будет обладать свойствами действительных чисел. Что
является существенным в математике — это то, чтобы математическим сим-
символам была бы приписана некоторая интерпретация. Обычно этим символам
может быть придано много интерпретаций, и тогда с точки зрения матема-
математики безразлично, какую *13 них мы примем.
Мы должны теперь различать три случая. Может быть, что все
отрицательные рациональные числа принадлежат к нижнему классу,
а нуль и все положительные рациональные числа — к верхнему. Это
сечение мы описываем как действительное число нуль. Или же
может быть, что нижний класс содержит некоторые положительные
числа. Такое сечение называется положительным действи-
действительным числом. Наконец, может быть, что некоторые отрицательные
числа принадлежат к верхнему классу. Такое сечение называется
отрицательным действительным числомх).
Различие между нашим настоящим определением положительного дей-
действительного числа и определением, данным в п. 7, состоит в присоединении
к нижнему классу нуля и всех отрицательных рациональных чисел. Пример
отрицательного действительного числа можно получить, взяв в качестве
свойства Р п. 6: х -\-1 < 0, и в качестве Q: х -\-1 ^ 0. Это сечение, очевидно,
соответствует отрицательному действительному числу — 1. Если бы мы за Р
взяли JC3< — 2, а за Q: дг3> —2, то мы получили бы отрицательное дей-
действительное число, которое не является рациональным.
9. Соотношения величины между действительными числами.
Ясно, что поскольку мы расширили наше понятие о числе, мы должны
сделать соответствующие расширения наших понятий о равенстве,
неравенстве, сложении, умножении и т. д. Мы должны показать,
что эти понятия применимы к новым числам и что их расширение
может быть осуществлено так, что останутся в силе все обычные
законы алгебры и мы сможем оперировать с действительными числами
так же, как мы это делали в п. 1 с рациональными числами. Для
того чтобы показать это во всей полноте, потребовалось бы слиш-
1) Существуют также сечения, при которых каждое число принадлежит
к нижнему классу, или каждое число принадлежит к верхнему классу.
У читателя может возникнуть вопрос, почему мы не рассматриваем также
и эти сечения как определяющие некоторые числа, которые можно было бы
назвать действительным числом положительная бесконечность и действи-
действительным числом отрицательная бесконечность.
Логических возражений против этого нет, но практически это оказы-
оказывается неудобным. Наиболее естественные определения сложения и умноже-
умножения становятся неприменимыми. Кроме того, главным затруднением для
начинающего изучать элементы анализа является умение определять точный
смысл фраз, содержащих слово „бесконечность". Опыт показывает, что без
необходимости не сюит увеличивать число таких фраз.

Действительные переменные 23
ком много времени и места, и поэтому мы ограничимся здесь неко-
некоторыми суммарными указаниями, систематическое развитие которых
приведет читателя к полному изложению.
Мы будем обозначать действительные числа греческими буквами
а, р, 7. • • • i рациональные числа, принадлежащие к их нижним и верх-
верхним классам, — соответствующими латинскими буквами а, А; Ь, В;
с, С; Сами классы мы будем обозначать через (а), (Л), ....
Если а и р— два действительных числа, то существуют три
возможности:
A) каждое а есть Ъ и каждое А есть В; в этом случае (а) со-
совпадает с (Ь) и (Л) с (В);
B) каждое а есть Ь, но не все А суть В; в этом случае (а)
есть правильная часть {р)х) и (В) — правильная часть (А);
C) каждое А есть В, но не все а суть Ъ.
Эти три случая графически изображены на фиг. 3.
В случае A) мы пишем <х = р, в случае B) а<^р и в случае C)
р. Очевидно, что когда аир оба
рациональны, то эти определения от- ц. щ
вечают нашим представлениям о pa- a
венстве и неравенстве между рацио- ?
нальными числами, которые мы при- а
нимаем за известные. Ясно также, что ^
всякое положительное число больше 1 ' ft]
каждого отрицательного числа.
Теперь уместно определить отри- Фиг. 3
цательное число — а по данному по-
положительному числу а. Допустим, что а иррационально. Если (а)
и (А)—-классы, определяющие а, мы можем определить другое сече-
сечение в области рациональных чисел, помещая все числа — Л в ниж-
нижний класс, а все числа — а—-в верхний. Определенное таким образом
действительное число обозначим через —а. Аналогично опреде-
определяем —-а, когда а отрицательно; в этом случае —а положительно.
Ясно также, что —(—а) = а. Из двух чисел аи —а одно всегда
положительно. То, которое положительно, мы обозначаем через | а
и называем модулем или абсолютным значением а.
В случае, когда а рационально, мы встречаемся с затруднением.
В этом случае а принадлежит к (Л), и классы (—Л), (—а) не
определяют действительного числа в смысле п. 8, так как —а при-
принадлежит к нижнему классу, а не к верхнему. Мы должны поэтому
изменить наше определение — а, обусловив, что если а рационально,
то рациональное число — а должно быть отнесено к верхнему классу.
Примеры IV. 1. Доказать, что 0 = — 0.
2. Доказать, что р = о, р<а, р>а, если, соответственно, о = р,
•) Т. е. содержится в F), но не совпадает с

24 Глава первая
3. Если а = C и $ = ч, то <* = ?•
4. Если a=s;fS и P<Y> т0 «<Т-
5. Доказать, что — C<—а, если а < C.
6. Доказать, что а > 0, если а положительно, и что а < 0, если о отри-
отрицательно.
7. Доказать, что а ^ | а \.
. 8. Доказать, что 1 < jA 2 < jA < 2.
[Все эти результаты являются прямыми следствиями наших определений.]
10. Алгебраические действия над действительными числами.
Мы переходим теперь к определению смысла элементарных алгебраи-
алгебраических операций, таких как сложение, применительно к общим дей-
действительным числам.
A) Сложение. Для определения суммы двух чисел аир мы
рассматриваем следующие два класса: класс (с), содержащий все
суммы с = а-\-Ь, и класс (С), содержащий все суммы С = А-\-В.
Ясно, что во всех случаях е<^С
Далее, не может существовать более одного рационального числа,
не принадлежащего ни к (с), ни к (С). В самом деле, предположим,
что существуют два таких числа г и s, причем r<^s. Тогда и г и s
должны быть больше любого с и меньше любого С, а, следова-
следовательно, С— с не может быть меньше чем s — г. Но
С — с = (Л — а) + (Я — Ь),
и мы можем выбрать а, Ъ, А, В так, что А — а и В — Ъ будут
сколь угодно м"алы. Это же явно противоречит нашему предположению.
Если каждое рациональное число принадлежит либо к (с), либо
к (С), то классы (с) и (С) образуют сечение в области рациональных
чисел, т. е. определяют некоторое действительное число у. Если
существует одно рациональное число, которое не обладает этим свой-
свойством, то мы можем присоединить его к (С). Тогда мы получим сече-
сечение, т. е. действительное число у, которое, очевидно, должно быть
рациональным, так как оно соответствует наименьшему числу в (С).
И в том и в другом случае мы называем •{ суммою а и $, и пишем:
Если аир оба рациональны, они являются наименьшими числами в верх-
верхних классах (А) и (В). В этом случае ясно, что сс + Р является наименьшим
числом в (С), так что наше определение согласуется с нашими прежними
представлениями о сложении.
B) Вычитание. Мы определяем а — р соотношением
Таким образом, расширение понятия о вычитании не представляет
новых трудностей.

Действительные переменные 25
Примеры V. 1. Доказать, что а -|- (— а) = 0.
2. Доказать, что а-|г0 = 0-|-а = а-
3. Доказать, что a-f-Р = Р + *• [Это следует сразу из того обстоятель-
обстоятельства, что классы (а-\-Ь) и (й-)-а), или (А^-В) и (В-|-^)> совпадают, так
как, например, a-\-b — b-\-a, когда а и b рациональны.]
4. Доказать, что а-|-(р+ у) = (« + Р) + Т-
5. Доказать, что а — а = 0.
6. Доказать, что а — C = — (C — а).
7. Из определения вычитания и примеров 4, 1 и 2 этого пункта сле-
следует, что
Поэтому мы можем определить разность о— Р = у равенством у-{-Р = а.
8. Доказать, что а — (р — у) = « — Р + Т-
9. Дать определение вычитания, не зависящее от определения сложения.
[Следует определить yt=a — р, исходя из классов (с) и (С), для которых
с = а — В, С = А — Ь. Нетрудно видеть, что это определение эквивалентно
тому, которое было дано в тексте.]
10. Доказать, что
11. Алгебраические операции над действительными чис-
числами (продолжение). C) Умножение. Переходя к умножению, удобнее
всего начать с положительных чисел и временно вернуться к сече-
сечениям в области положительных рациональных чисел, которые мы
рассматривали в пп. 4—7. Тогда мы можем поступать аналогично
тому, как мы это делали в случае сложения, беря в качестве (с)
класс (ab) и в качестве (С) — класс (АВ). Рассуждения остаются
теми же, за исключением доказательства того, что все рациональные
числа, кроме, быть может, одного, принадлежат либо к (с), либо к (С).
Это зависит, как и в случае сложения, от того, можем ли мы вы-
выбрать а, Ь, А и В так, чтобы С — с было сколь угодно малым.
Здесь мы применяем тождество:
С — с — А В — ab = (Л — а) В -f- а (В — V).
Отрицательные числа могут быть включены в наше определение,
если принять, что для положительных аир
Наконец, мы полагаем @) а = а @) = 0 для всех а.
D) Деление. Для того чтобы определить деление, мы начнем
с определения обратной величины — числа а (отличного от нуля).
Ограничиваясь сначала положительными числами и сечениями в области
положительных рациональных чисел, мы определяем обратную вели-
/ 1 \
чину положительного числа а с помощью нижнего класса I -=-1 и верх-

26 Глава первая
него класса ( —)• Затем мы определяем обратную величину отрица-
отрицательного числа — а равенством , = — -т~т • Наконец, мы опре-
определяем -г- равенством
Теперь мы в состоянии применить ко всем' действительным числам
как рациональным, так и иррациональным, все идеи и методы эле-
элементарной алгебры. Мы не предполагаем здесь, естественно, вдаваться
во все подробности. Значительно целесообразнее и интереснее сосре-
сосредоточить наше внимание на некоторых специальных, но особенно
важных классах иррациональных чисел.
Примеры VI. Доказать теоремы, выраженные следующими формулами:
1. аХ1 = 1Ха = о. 2. оХA/«)=1. 3. ар = р«.
4.a(fr) = («P)T. & «(Р + Т) = «Р + «Т- 6. (a+j3)T = aT-t-f3T.
7. |ap| = |a||?|.
12. Число j/2. Вернемся на один момент к тому иррациональ-
иррациональному числу, которое мы рассматривали в пп. 4—5. Там мы построили
сечение с помощью неравенств хч<^2, хг^>2. Это было сечением
в области только положительных рациональных чисел; но если мы
заменим его (как было разъяснено в п. 8) сечением в области всех
рациональных чисел, то мы можем это сечение или число обозна-
обозначить через |/2.
Классы, с помощью которых определяется произведение ]/2 на
самого себя, суть {аа'), где а и а' — положительные рациональные
числа, квадраты которых меньше двух, и (АА'), где А и А' — поло-
положительные рациональные числа, квадраты которых больше двух. Эти
классы исчерпывают все положительные рациональные числа, кроме
одного, которым может быть только само число 2. Итак
С другой стороны
Таким образом, уравнение х* = 2 имеет два корня: \f 2 и — ¦/ 2.
Аналогично мы могли бы рассматривать уравнения х2 = 3, хъ = 7, ...
и соответствующие иррациональные числа -\f 3, — ¦/ 3, ^ 7, ....
13. Квадратичные иррациональности. Число вида dtV а> гДе а —
положительное рациональное число, не являющееся квадратом дру-
другого рационального числа, мы назовем чистой квадратичной ирра-

Действительные переменные 27
циональностью. Число вида а±\^Ь, где а рационально, а /б —
чистая квадратичная иррациональность, иногда называется смешанной
квадратичной иррациональностью.
Оба числа а ± ~\/~ Ъ являются корнями квадратного уравнения
дг2 — 2ах + а2 — Ь = 0.
Обратно, уравнение дг2 -(- 2рх -\- q = 0, где р и q рациональны ир! — <7>0,
имеет своими корнями две квадратичные иррациональности —p±~\fp*— q.
Единственным классом иррациональных чисел, существование
которых следовало требовать на основании геометрических рассмо-
рассмотрений п. 3, являются эти квадратичные иррациональности, чистые
и смешанные, а также более сложные иррациональности, которые
могут быть выражены формулами, содержащими повторное извлечение
квадратных корней, как, например,
Геометрическое построение отрезка, длина которого равна любому
числу такого вида, может быть легко осуществлено, в чем читатель
может без труда убедиться сам. Что только такие иррациональные
числа могут быть построены методами Эвклида (т. е. с помощью
только циркуля и линейки), будет доказано несколько позже
(см. гл. II, Разные примеры, 22). Это свойство квадратичных ирра-
циональностей делает их особенно интересными.
Примеры VII. 1. Дать геометрические построения для
У% /2 + У2, V2 + -/
2. Квадратное уравнение ал;2 -f- 2bx -{- с <= 0 имеет два действительных
корня1), если Ьг — ас> 0. Предположим, что а, Ь, с рациональны. Тогда все
трги коэффициента можно считать целыми, так как мы можем умножить все
уравнение на общее наименьшее кратное их знаменателей.
Читателю известно, конечно, что корни этого уравнения равны
VW^~ac\ u
—-. Легко построить этн длины геометрически, построив
сначала ~[ГЬъ — ас. Приведем другое, более элегантное, хотя и не столь
прямое, построение 2).
Проведем окружность единичного радиуса, диаметр PQ и касатель-
касательные в концах этого диаметра.
•) Т. е. существуют два значения х, для которых ад:2 -|г 2Ьх -\- с = 0.
Если Ьг — ас < 0, то таких значений не существует. Читатель вспомнит, что
в учебниках элементарной алгебры говорится, что такое уравнение имеет
.комплексные" корни. Смысл этого утверждения будет разъяснен в гл. III.
Когда #2=ас, уравнение имеет только один корень. Обычно говорят,
что и в этом случае уравнение имеет два корня, именно, два совпадающих
корня, но это только условность.
2) Это построение взято мной из книги Клейна: F. Klein, Vortruge uber
ausgewuhlte Fragen der Elementargeometrie (Leipzig, 1895).

28
Глава первая
Отложим РР' = — 2 - - и QQ' = — н^ , учитывая знаки ') (фиг. 4).
Соединим Р' и Q' прямой, которая пересекает окружность в точках М
и N. Проведем РМ и PN, которые пересекут QQ' в X и Y. Тогда QX
и QY представляют корни уравнения по величине и по знаку.
Q'
Фиг.
Доказательство весьма просто, и мы оставляем его в качестве упраж-
упражнения читателю. Другим, даже более простым, построением является сле-
следующее. Возьмем отрезок АВ единичной длины. Проведем ВС = —
а
перпендикулярно к АВ и CD =— перпендикулярно к ВС в направле-
направлении ВА. На AD как на диаметре построим окружность, пересе-
пересекающую ВС в X и Y. Тогда ВХ и BY являются корнями.
3. Если ас положительно, то РР1 и QQ' имеют одно и то же направле-
направление. Проверить, что Р'О' не пересечется с окружностью, если Ь2 < ас, и
будет касаться ее, если Ь2 = ас. Проверить также, что если Ъ% = ас, то во вто-
втором построении окружность будет касаться ВС.
4. Доказать, что
14. Некоторые теоремы о квадратичных иррациональностях.
Две чистые квадратичные иррациональности будем называть подоб-
подобными, если они являются рациональными кратными одной и той же
иррациональности. Так,
/8 = 2/2, |/|=4/2,
и, следовательно, /8 и 1/ -„—подобные иррациональности. С дру-
другой стороны, если М и N—положительные взаимно простые числа,
причем ни одно из них не является квадратом целого числа, то
и /iV не являются подобными иррациональностями.
Действительно, допустим, что
Ч На фигуре изображен случай, когда b и с имеют одинаковый, а а —
противоположный знак. Рекомендуем читателю начертить фигуры ддя дру-
других случаев.

Действительные переменные 29
где все буквы обозначают целые числа. Тогда \/MN, очевидно,
является рациональным числом, и, следовательно (см. пример II. 3),_
целым. Таким образом, MN=P*, где Р—-целое число. Пусть
а, Ь, с, ... — простые делители числа Р, так что
где а, р, "(, ... — положительные целые числа. Тогда MN делится
на ага, откуда следует, что либо М делится на а?а, либо N делится
на а1а, либо М и N оба делятся на аа. Но эта последняя возможность
должна быть отброшена, так как М и N, по предположению, взаимно
простые числа. Это рассуждение применимо к каждому из множи-
множителей а?а, Ь*?> с2Т, ... > Так что М должно делиться на некоторые из
этих множителей, а N — на остальные. Но тогда
М = Р\, N=Pl,
где Р\ означает произведение некоторых из множителей а'2а, Ь^,
с^1, ..., а Р22 — произведение остальных. Следовательно, М и N оба
являются квадратами целых чисел, что противоречит нашему пред-
предположению.
ТЕОРЕМА. Если А, В, С, D рациональны и
А-{-¦/!} = С-\-/Ъ,
то либо А = С и B=D, либо В и D являются каждое квад-
квадратом рационального числа.
Действительно, В—D рационально и
/S—/D—C—А
также рационально. Если В не равно D (в противном случае также
и А равно С), то мы найдем, что
также рационально. Следовательно, / В и -\f D рациональны.
СЛЕДСТВИЕ. Если A -f/fi =_С + / Ъ, тогда иА—/~В=.
= С—\/ D (если только -\f В и \/ D не являются оба рациональ-
рациональными числами).
Примеры VIII. 1. Доказать, не применяя результатов предыдущего пункта,
чго У 2 и "|/ не являются подобными иррациональностями.
2. Доказать, что У а и У~Т/а, где а рационально, — подобные иррацио-
иррациональности (если они вообще не рациональны).
3. Если а и b рациональны, то У a -J- "j/" b не может быть рациональ-
рациональным без того, чтобы У а и У Ь были рациональными. То же справедливо
и относительно У а — У~Ь, если афЬ.

30 Глава первая
4. Если _
У~А +1/"В
то либо Л = С и В = D, либо А = D и В —С, либо УЛ", ylj, т/"с, V
все рациональны или являются подобными иррациональностями. [Возвести
в квадрат данное соотношение и применить теорему предыдущего пункта.]
5. Ни (а-\-~[Г bf, ии (a — У Ь)г не могут быть рациональными, если У b
иррационально.
6. Доказать, что если х = р-\- У q, где ряд рациональны, то хт, где
т — любое целое число, может быть представлено в виде P-\-QV q, где Р
и Q рациональны. Например,
(Р + V~Я? =i>2 + Я + 2Р V~4> (Р + VlY = Р* + 3pq + C/>2 + q)
Отсюда следует, что любой многочлен
с рациональными коэффициентами а0, ... , ап может быть представлен в та-
таком же виде: P-^-QVq.
7. Если a -f- V b, где b не есть точный квадрат, является корнем алге-
алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, то а — ~[/~ b также
будет корнем этого уравнения.
8. Представить — в виде, указанном в примере 6. [Умножить
P + V Ч
числитель и знаменатель на р — "j/ q.]
9. Вывести из примеров 6 и 8, что любое выражение вида '¦, где
/7 \Х)
G(x) и Н(х) — многочлены от л с рациональными коэффициентами, может
быть представлено в виде P-{-Q\/~q, где Р и Q рациональны.
10. Если р, q ир2 — q положительны, мы можем представить v р-\-~\ГЧ
в форме УxJrVУ' гДе
{ + V* h
11. Найти условия, при которых Vp-\-V~Ч> где р и q рациональны,
может быть представлено в виде ~\f x-\-~\f у, где х ,и у рациональны.
12. Если а2 — b положительно, то необходимым и достаточным условием
для того, чтобы
было рационально, является рациональность чисел
15. Континуум. Совокупность всех действительных чисел, рацио-
рациональных и иррациональных, назынается арифметическим контину-
континуумом.
Мы будем предполагать, что прямая линия Л, рассмотренная
в п. 2, состоит из точек, соответствующих всем числам арифмети-

Действительные переменные 31
ческого континуума, и никаких других точек не содержит1). Точки
прямой, совокупность которых можно назвать линейным конти-
континуумом, представляют тогда достаточно удобный образ арифметиче-
арифметического континуума.
Мы достаточно подробно рассмотрели основные свойства неболь-
небольшого числа классов действительных чисел, таких как, например,
рациональные числа или квадратичные иррациональности. Приведем
несколько дополнительных примеров, чтобы показать, насколько
частными являются рассмотренные специальные классы чисел, и ка-
какую, грубо говоря, незначительную часть бесконечного разнообразия
чисел, образующих континуум, они составляют.
A) Рассмотрим более сложные иррациональные выражения, как, например,
г = V 4 + УТ5 + V 4 —
Предположение существования z может быть обосновано следующим обра-
образом. Сначала, как в п. 12, мы показываем, что существует число у = "|/5,
для которого у2 = 15, а затем, как в п. 10, мы можем определить числа
4 -(- |/"Т5 и 4 — У15. Далее, рассмотрим уравнение для zL
z\ =
Правая часть этого уравнения иррациональна. Но те же рассуждения, кото-
которые привели нас к предположению существования действительного числа х,
для которого лг3 = 2 (или любому другому рациональному числу), приведут
нас к заключению о существовании такого числа гь для которого z\ =
= 4 + }/~15. Так мы определяем г1=у 4-|-1^15, и аналогично определяем
22=у 4 — j/l5. Наконец, как в п. 10, мы полагаем z=rZi-\-za.
Легко проверить, что
3
и нетрудно дать непосредственное доказательство существования единствен-
единственного числа, удовлетворяющего этому уравнению.
В первую очередь z, если оно существует, должно быть положительно.
Ибо 2 = — С дает С3 — 3? + 8 = 0 или 3 — Са = 8/С. Но это невозможно,
если С положительно, так как тогда Са<3, С<2 и, следовательно, 8/?>4,
тогда как 3 — Са < 3.
Далее, уравнение не может удовлетворяться двумя различными числами
Zi и г2. Ибо, если
! З
то Zx и z3 положительны и z\ > 8, zl ^> 8, или z^ > 2, г2 > 2, а это невоз-
невозможно, ибо, вычитая из первого уравнения второе и деля на zt—г2, мы
получаем, что
Таким образом, существует не более одного z, для которого z3 = 3z-\-8,
и это z не может быть рациональным, так как каждый рациональный корень
') Это предположение является лишь гипотезой, принятой, во-первых,
в силу того, что она достаточна для целей нашей геометрии, и, во-вторых,
потому, что она снабжает нас удобной геометрической иллюстрацией анали-
аналитических процессов. Так как мы применяем геометрический язык только
для иллюстраций, изучение оснований геометрии не входит в нашу задачу.

32 Глава первая
этого уравнения должен быть целочисленным и делителем 8 (см. пример II. 3),
но ни одно из чисел 1, 2, 4, 8 не удовлетворяет уравнению.
Мы можем теперь разбить положительные рациональные числа х на
два класса L, R, в зависимости от того, будет ли л:3 < Зл: -(- 8, или х3 > Зх -{- 8.
Если х принадлежит к R и у > х, то у тоже принадлежит к R, так как
j> >х>2 и
у* — Зу — (х3 — Зл;) = СУ — л:) {у2 + ху + х2 — 3) > 0.
Аналогично мы можем показать, что если х принадлежит к L и у < х, то
_у тоже принадлежит к Z..
Наконец, ясно, что оба класса L и R существуют. Они определяют
сечение в области положительных рациональных чисел, т. е. положительное
действительное число z, которое должно удовлетворять нашему уравнению.
Читатель, который знает, как решаются кубические уравнения по методу
Кардано, сможет найти явное выражение для г непосредственно из уравнения.
B) Рассуждения, примененные выше к уравнению х3 = Зх-{-8,
могут быть также проведены и для уравнения
хъ = х-{-16
(хотя они в этом случае будут несколько более сложными), и при-
приведут нас к заключению, что существует единственное положитель-
положительное число, которое удовлетворяет этому уравнению. В этом случае,
однако, невозможно получить явное выражение для х, составленное
из комбинации корней каких бы то ни было степеней. Известно
(хотя доказательство этого предложения весьма трудно), что в общей
случае невозможно найти такие выражения для корня уравнения
степени большей четырех. Таким образом, кроме иррациональных
чисел, которые могут быть выражены как чистые или смешанные
квадратичные иррациональности или как комбинации корней высших
степеней из рациональных чисел, существуют другие иррациональные
числа, которые также являются корнями алгебраических уравнений,
но не могут быть так выражены. Такие выражения могут быть най-
найдены только в самых специальных случаях.
C) Но даже после того, как мы прибавим к нашему перечню
иррациональных чисел корни уравнений (таких, как, например,
хъ = х -f-16), которые не могут быть выражены с помощью ком-
комбинаций корней любых степеней из рациональных чисел, мы далеко
еще не исчерпаем всех родов иррациональных чисел, содержащихся
в континууме. Проведем окружность с диаметром АйАх, т. е. равным
единице. Естественно предположить, что эта окружность обладает
некоторой длиной, которую можно .измерить. Эта длина обычно
обозначается через я. Доказано (хотя доказательство также весьма
сложно), что число тг не является корнем никакого алгебраического
уравнения с целочисленными коэффициентами, как, например,
где п — целое число. Таким образом, мы встретились с иррациональ-
иррациональным числом, которое не принадлежит ни к одному из классов ирра-
иррациональных чисел, рассмотренных нами до сих пор. Это число я не

Действительные переменные 33
является каким-либо изолированным особым случаем. Наоборот,
только специальные классы иррациональных чисел являются корнями
алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, и среди
них еще более специальные классы выражаются через корни из
рациональных чисел.
16. Непрерывное действительное переменное. „Действительные
числа" можно рассматривать с двух точек зрения. Мы можем рас-
рассматривать их как совокупность, т. е. как арифметический конти-
континуум, определенный в предыдущем пункте, или индивидуально.
А когда мы рассматриваем их индивидуально, мы можем иметь в виду
какое-нибудь определенное число (как, например, 1, —-к-, -\f 2' или тс)
или мы можем думать о любом неопределенном числе числе х. Этот
последний случай мы имеем в виду, когда говорим, что ях есть
число", vx есть длина" и т. д., или когда делаем такие утвер-
утверждения, как ях может быть рациональным или иррациональным".
Это х, которое встречается в приведенных и подобных им предло-
предложениях, называется непрерывным действительным переменным,
а индивидуальные числа называются значениями переменного.
„Переменное", вообще говоря, не должно быть обязательно не-
непрерывным. Вместо того чтобы рассматривать совокупность всех
действительных чисел, мы можем рассматривать некоторую частичную
совокупность, содержащуюся в ней, как, например, совокупность
рациональных чисел, или совокупность положительных целых чисел.
Возьмем последний случай. Тогда в предложениях, относящихся
к любому положительному целому числу или к неопределенноиу
положительному целому числу/ таких, как яп либо четное, либо
нечетное", п называется положительным целочисленным перемен-
переменным, а отдельные положительные целые числа являются его значениями.
Естественно, что ях" и „я" являются только примерами пере-
переменных: переменного, „ область изменения" которого состоит из всех
действительных чисел, и переменного, область изменения которого
состоит из положительных целых чисел. Эти примеры — наиболее
важные, но нам часто придется рассматривать и другие случаи. На-
Например, в теории десятичных дробей мы можем обозначить через х
любую цифру в выражении любого числа в виде десятичной дроби.
Тогда х является переменным, но переменным, которое принимает
только десять различных значений, а именно, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Мы можем, короче сказать, что переменные, которые мы будем
рассматривать, суть классы целых или действительных чисел и что
значения этих переменных суть числа соответствующих классов.
17. Сечения в области действительных чисел. В пп. 4—7 мы
рассматривали „сечения"•в области рациональных чисел, т. е. раз-
разбиения рациональных чисел (или только положительных рациональ-
3 Г. Хардц

34 Глава первая
ных чисел) на два класса L и /?, обладающих Следующими характери-
характеристическими свойствами:
A) каждое число рассматриваемого типа принадлежит одному
и только одному из этих классов;
B) оба класса существуют;
C) каждое число из класса L меньше любого числа из класса R.
Ничто не мешает нам приложить эту идею и к совокупности
всех действительных чисел, что, как читатель увидит из дальнейших
глав, оказывается операцией чрезвычайной важности.
Предположим1), стало быть, что Р и Q — два взаимно исклю-
исключающих свойства, одним из которых обладает каждое действительное
число. Предположим, далее, что любое число, обладающее свой-
свойством Р, меньше каждого числа, обладающего свойством Q. Сово-
Совокупность чисел, обладающих свойством Р, мы называем нижним,
или левым, классом L, а совокупность чисел, обладающих свой-
свойством Q — верхним, или правым, классом R.
Так, например, Р может быть: xsg; ~\r~2, a Q: х>~^2. Важно заметить,
что пара свойств, достаточных для определения сечения в области рацио-
рациональных чисел, может быть недостаточной для определения сечения в области
действительных чисел. .Такое положение имеет место, например, с парой
свойств: „дг<"|/~2" и „дг>уг2", или (если мы ограничимся положитель-
положительными числами) „хя < 2" и „Xs > 2°. Каждое рациональное число обладает
одним или другим из этих свойств, но в области действительных чисел ~\f 2
не подпадает под классификацию.
Теперь возможны два случая2). Либо L содержит наибольшее
число /„ либо R содержит наименьшее число г. Оба эти случая не
могут иметь место одновременно. Ибо если L содержит наибольшее
число / и R — наименьшее число г, то число -^{1-\-г) было бы
больше всех чисел из L и меньше всех чисел из R и, таким обра-
образом, не могло бы принадлежать ни к одному из классов. С дру-
другой стороны, один из этих случаев должен обязательно иметь
место 3).
Обозначим через Lx и fft классы, состоящие из рациональных
Чисел, принадлежащих, соответственно, к L и R. Тогда классы Lx
и Цх определяют сечение в области рациональных чисел. Следует
различать два случая.
') Рассуждение, к которому мы приступаем, во многом похоже на про-
проведенное в п. б. Мы не пытались избежать некоторых повторений. Идея
.сечения", впервые выдвинутая Дедекиндом в его знаменитой брошюре
Непрерывность и иррациональные числа, должна быть усвоена каждым
читателем этой книги, даже если он предпочел пропустить рассмотрение
понятия иррационального числа, содержащееся в пп. 6—12.
2) В п. 6 мы имели три случая.
8) В п. 6 мы этого утверждать не могли.

Действительные переменные 35
Может быть, что Lx содержит наибольшее число а. В этом слу-
случае а должно быть также наибольшим числом в L. Ибо если бы это
было не так, то мы могли бы в i найти большее число, скажем |3. Но
между аир лежат рациональные чнсла, которые, будучи меньшими чем
р, должны принадлежать к L, а следовательно, и к Lu что приводит
к противоречию. Следовательно, а является наибольшим числом в L.
С другой стороны, может быть, что Lx не содержит наибольше-
наибольшего числа. В этом случае сечение в области рациональных чисел, оп-
определяемое Z-! и /?.,, дает действительное число а. Это число а долж-
должно принадлежать либо к L, либо к R. Если оно принадлежит к L,
мы можем показать, применяя только что проведенное рассуждение,
что оно является наибольшим числом в L. Аналогично, если оно
принадлежит к R, то оно является наименьшим числом в R.
Таким образом, в любом случае либо L содержит наибольшее
число, либо R-—наименьшее. Поэтому любое сечение в области дей-
действительных чисел „соответствует" некоторому действительному
числу в том же смысле, в каком сечение в области рациональных
чисел иногда, но не всегда, соответствует некоторому рациональному
числу. Это заключение исключительно важно, так как оно показы-
показывает, что рассмотрение сечений в области действительных чисел не
приводит ни к какому дальнейшему обобщению понятия числа. Ис-
Исходя из рациональных чисел, мы нашли, что идея сечения приводит
к расширению понятия о числе, а именно, к понятию действительного
числа, более широкому, чем понятие рационального числа. Поэтому
можно было ожидать, что идея сечения в области действительных
чисел приведет нас к понятию еще более общему. Проведенные рас-
рассмотрения показывают, однако, что это не так, а что совокупность
всех действительных чисел, или континуум, обладает некоторым
свойством полноты, которым совокупность рациональных чисел не
обладала. Это свойство полноты в математике обозначается тер-
термином замкнутости континуума.
Полученный результат может быть сформулирован следующим
образом:
ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА. Если действительные числа разбиты
на два класса L и R так, что
A) каждое действительное число принадлежит к одному и
только к одному аз этих классов,
B) каждый класс содержит, по крайней мере, одно число,
C) каждое число из L меньше любого числа из R,
то тогда существует число а, обладающее тем свойством, что все
числа, меньшие его, принадлежат к L,a все числа, большие его, •— к R.
Само число а может принадлежать к любому из этих классов.
В приложениях мы часто должны рассматривать сечения не всех чисел,
а только тех, которые содержатся в некотором интервале (fi, y)> т. е. всех
тех чисел х, для которых (З^лггё?. „Сечение" таких чисел — это, само
з*

36 Глава первая
собой разумеется, разбиение их иа два класса, обладающих свойствами A),
B) н C). Такое сечение может быть превращено в сечение всех чисел при-
присоединением к L всех чисел, меньщих чем ft и к /? — всех чисел, больших
чем Y- Ясно, что утверждение теоремы Цедекинда останется в силе, если мы
заменим слова „действительные числа" словами „действительные числа
интервала @, ?)"> и что в этом случае число а удовлетворяет неравенствам
18. Точки накопления. Любая система действительных чисел
или точек прямой, соответствующих им, определенная каким бы то
ни было образом, называется множеством чисел или точек. Мно-
Множество может состоять, например, из всех положительных целых
чисел или из всех рациональных точек.
Здесь чрезвычайно удобно пользоваться языком геометрии *). До-
Допустим, что мы имеем некоторое множество точек, которое обо-
обозначим через 5. Возьмем любую точку ?, которая может принадле-
принадлежать, а может и не принадлежать к 51. Тогда существуют две воз-
возможности. Либо можно выбрать положительное число 8 так, что
интервал (? — 8, ?-f-8) не содержит ни одной точки из 5, отличной
от ?2), либо это невозможно.
Допустим, например, что S состоит из точек, соответствующих всем
положительным целым числам. Если 5 — положительное целое число, то мы
можем взять в качестве S любое число, меньшее единицы, и тогда осуще-
осуществляется первая из перечисленных выше двух возможностей; или, если ?
лежит посередине между двумя целыми числами, то мы можем
взять любое о, меньшее половины. С другой стороны, если S состоит из
всех рациональных точек, то, каково бы ни было 8, всегда осуществляется
вторая возможность, ибо любой интервал содержит бесконечно много рацио-
рациональных точек.
Допустим, что мы имеем дело со вторым случаем. Тогда любой
интервал (? — 8, ?-|-8), как бы мала ни была его длина, содержит,
по крайней мере, одну точку iu принадлежащую к 51 и отличную
от ?. И это независимо от того, принадлежит ли само ? к 5" или
нет. В этом случае мы будем говорить, что ? является точкой на-
накопления S. Легко видеть, что интервал (? — 8, ?-}-^) должен со-
содержать не только одну, но даже бесконечно много точек 51. Ибо
после того, как найдено iu мы можем взять интервал (? — 8lf 6-}-8,),
содержащий S, но не содержащий iit и в этом интервале, по условию,
также должна содержаться точка |2, входящая в 5" и отличная от ?.
Очевидно, что мы можем это рассуждение повторить, заменив
точку it точкой ?а и т. д. Таким образом, мы получаем сколько
угодно точек
М> *2> »3> • • ч
1) Вряд ли читатель нуждается в особом напоминании, что мы прибегаем
к этому исключительно в целях удобства изложения.
а) Эта оговорка, конечно, не нужна, если 5 само не принадлежит к S.

Действительные переменные 37
принадлежащих к S ч лежащих внутри интервала (S — 8, ? -f- 8).
Точка накопления множества 5 может сама принадлежать к S,
но может к 5 и не принадлежать. Следующие примеры иллюстриру-
иллюстрируют различные возможности.
Примеры IX. 1. Если S состоит из точек, соответствующих положи-
положительным целым числам или всем целым числам, то точек накопления йет.
2. Если S состоит из всех рациональных точек, то каждая точка прямой
является точкой накопления.
3. Если S состоит из точек 1, -_-, -я-, ..., то имеется одна точка накоп-
Z о
ления, а именно, точка 0.
4. Если S состоит из всех положительных рациональных точек, то точ-
точками накопления являются точка 0 и все положительные точки прямой.
19. Теорема Вейерштрасса. Общая теория точечных множеств
представляет большой интерес и чрезвычайно важна в высших об-
областях анализа. Но в своей большей части она слишком сложна для
того, чтобы быть включенной в эту книгу. В ней имеется, однако,
одна теорема, которая легко выводится из теоремы Дедекинда и ко-
которая нам понадобится в дальнейшем.
ТЕОРЕМА. Если множество S содержит бесконечно много точек
и заключено целиком в некотором интервале (а, $), тогда по край-
крайней мере одна из точек этого интервала является точкой нако-
накопления S.
Мы. разбиваем точки прямой А на два класса следующим обра-
образом. Точка Р принадлежит к L, если существует бесконечно много
точек из 51, лежащих справа от Р, а в противном случае точка Р
принадлежит к R. Тогда ясно, что условия A) и C) теоремы Де-
Дедекинда удовлетворяются, а так как а принадлежит к L и C — к R,
то выполнено и условие B).
Следовательно, существует такая точка I, что, как бы мало ни
было 8, ?— 8 принадлежит к L, a i-\-b — к R, так что интервал
(?—*S, ?-f-8) содержит бесконечно много точек из 51. Точка % яв-
является точкой накопления множества 51.
Эта точка может, конечно, совпасть с а или с §, как, например, в том
случае, когда а = 0, р = 1 и S состоит из точек 1, -х-, -„-,.... В этом
Z о
случае точка 0 является единственной точкой накопления. Другое доказа-
доказательство теоремы будет дано в п. 71.
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ I
1. Каковы условия для того, чтобы ах -f- Ьу -\- cz = 0 A) для произ-
произвольных х, у, z, B) для всех х, у, г, удовлетворяющих условию ах -\- $у +
-\~fZ = 0, C) для всех х, у, г, удовлетворяющих двум условиям:
ox + ?y+iz = 0 и Ax + By-\-Cz = 0?
2. Любое положительное рациональное число может быть представлено
одним и только одним способом в виде

38 Глава первая
i .9T1 .9.3Т •••Т-
2.3Т •••"г 1 .2-3...А'
где «и а2, ..., ак — целые числа и
О =<? а„ 0 s? в2 < 2, О s? я, < 3, ..., О < ak < k.
3. Любое положительное рациональное число может быть одним и
только одним способом представлено в виде непрерывной дроби
«jH г
где аи а2, ..., ап—целые числа и
ах5s0, а2>0, «8>0, ,.. , а„_1>0, й„>1.
[Элементы теории непрерывных дробей можно найти в учебниках
алгебры*), а также в книге Хардии Райта, Введение в теорию чисел, гл. X.]
4. Найти рациональные корни (или доказать, что их нет) уравнения
9х3 — б*2 + 15л: — 10 = 0.
5. Отрезок прямой АВ делится точкой С так, что АВ • АС = ВС* (так
называемое золотое сечение, см. Эвклид, кн. II, 11). Доказать, что отношение
АС
-гд иррационально.
6. Пусть А иррационально. В каких случаях будет рационально отно-
отношение —-д^г-т> гДе я, Ь, с, й рациональны?
7. Некоторые элементарные неравенства. Пусть а,, а2, ••• обозначают
положительные числа (включая нуль) и р, q, ... — положительные целые
числа. Так как разности а\ — а% и а\ — а| одного знака, то мы имеем
(арх — аР) (af — а|) Si 0 или
+ а2 A)
— неравенство, которое может быть также записано в виде
Повторно применяя эту формулу, мы получаем
-а1;\Га1+а$\[<%
2 =\, 2 /V 2
и, в частности,
C)
*) См. также А. Я. Хинчин, Цепные дроби, ГТТИ, 1935; Ф. Клейн,
Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1, ГТТИ, 1935,
(Прим. перев.)

Действительные переменные 39
Когда р = q =1 в A), или р=2 в D), этн неравенства являются просто
другими формами неравенства <ц -f- a\ ^3= 2а1й2, которое выражает тот факт,
что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их
среднего геометрического.
8. Обобщения на п чисел. Если мы запишем -к- я (я — 1) неравенств
типа A), которые могут быть образованы из п чисел, и сложим их, то мы
получим неравенство
н v а"-|(? =5=2 «''На* E)
или
? Р+ч S {- И а") (-- v ai). F)
Отсюда мы можем вывести очевидное обобщение неравенства C), которое
читатель сможет сформулировать сам, и, в частности, неравенство
. G)
9. Общая форма теоремы об арифметическом и геометрическом
средних. Несколько иным неравенством является то, которое выражает,
что арифметическое среднее аи аг, ..., ап не меньше их геометрического
среднего. Допустим, что аг и as — наибольшее и наименьшее нз этих чисел
(если таких наибольших нли наименьших несколько, то безразлично, какие
из иих мы возьмем), и пусть О будет их геометрическим средним. Мы
можем предположить, что О > 0, так как если О = 0, то справедливость
предложения очевидна. Если мы теперь заменим аг и as числами
a'r = G, a's—aras[G,.
то их геометрическое среднее не изменится. А так как
a'r + a's — ar — as = (a, - О) (as — 0I0 ==? О,
то мы.при этом заведомо не увеличим их арифметического среднего.
Ясно, что мы можем повторять это рассуждение до тех пор, пока не
заменим каждое из аи а2, ..., ап числом О — для этого потребуется не
более я шагов. Так как окончательное значение арифметического среднего
будет G, исходное значение не могло быть меньшим.
10. Неравенство Коши. Пусть а„ а2) ..., ап и bv b-2, ..., bn — любые
две системы положительных или отрицательных чисел. Легко убедиться
в справедливости тождества
(Е*АJ = Е а1 ?*? - Е («А - вА)а'
где г и s принимают значения 1, 2, ..., п. Отсюда следует, что
11, Если ai, а2, ..., ап положительны, то

40 Глава первая
12. Если а, Ь и с положительны и а-\~Ь-\-с.= 1, то
8- (^. 1932 г.)*)
13. Если oiii положительны и а-\-Ь = \, то
(а + 1)' + (ft + -?-)* S* Ц. (Экз. 1926 г.)
14. Если alf а2, ..., ол положительны и srt = at ~|- аа -f- • • • + аю т0
(I + а,) A + а,).., A -fa,,) ^ 1 +sn +-J- + ¦ • • + ---• (Эк?. 1909 г.)
15. Если alt аа, ..., ап и #,, /»2, ..., Ъп — две системы положительных
чисел, записанные каждая в убывающем порядке, то
4- ••• + *л) ^ « («i*i + «2*2 + • • • + а А)-
16. Если а, А, с, ..., k и А, В, С К—две системы чисел, причем
все числа первой системы положительны, то
аА+ЬВ+ ... +kK
a + b+ ... +k
лежит между алгебраически наименьшим и наибольшим из чисел А, В,..., К-
[Примеры 7—16 являются, большей частью, весьма специальными слу-
случаями известных общих теорем, которые систематически изложены в книге
X ар ди, Л итт л ьв у д а и П о л и а, Неравенства (Кэмбридж, 1934 г.). **)
См. также гл. IV, п. 74 и Приложение I.]
17. Если Yp не подобно ~\/lj и а + Ь ~\fp-\- с \r^[ + d Ypi = °> гДе а>
Ь, с, d рациональны, то а — 0, 5 = 0, с = 0, d = 0.
[Представить |/"р в форме М -\-NY 1> где М и JV рациональны, и при-
применить теорему п. 14.]
18. Показать, что если
У " "" У" = 0,
где а, Ь, с—рациональные числа, то в=0, 5 = 0, с = 0.
19. Любой полином от Ур и Yq с рациональными коэффициентами
(т. е. сумма конечного числа выражений вида A (Yp)m {Yq)n> где тип —
целые числа и А рационально) может быть представлен в форме
a +
где а, Ь, с, d рациональны.
20. Выразить -^t—"?'—^JL., где а, Ь, с, ... рациональны, в форме
d+y+fV
А-\-В Yp + С Yq + D Yp~4> гДе А, В, С, D рациональны.
*) В дальнейшем автор приводит много задач, фигурировавших на
экзаменах повышенной трудности в Кэмбриджском университете (так назы-
называемых Mathematical Tripos), которые сдаются студентами, претендующими
на диплом с отличием. По всему университетскому курсу анализа про-
проводится обычно три таких экзамена. Для каждой задачи в книге указы-
указывается год, в котором она фигурировала на этих экзаменах. {Прим. перев.)
*'*! Книга переведена на русский язык (Москва, 1948). (Прим. ред.)

Действительные переменные 41
[Очевидно, что
еУр+ГУд
где а, |3 и т. д. — рациональные числа, которые могут быть легко опреде-
определены. Окончательное преобразование к требуемому выражению производится
теперь умножением числителя и знаменателя на е — ?,ур- Например,
показать, что
1_ J_ i J_ -i/— 1 т/б" 1
's"'2 4 т
21. Если а, Ь, х, у— рациональные числа, удовлетворяющие соотно-
соотношению
(ау - bxf + 4 (а - х) (Ь -у) = О,
то либо х = а иу=Ь, либо 1 — аЪ и 1—ху являются квадратами рацио-
рациональных чисел. ' (Экз. 1903 г.)
22. Если все значения х и у, определяемые соотношениями
где а, Л, b, a', h', V рациональны, также рациональны, то
(Л — Л'J — (а — а!) (Ь — *') н (ab' — a!bf + 4 (ah' — a'h) (bh! — b'h)
являются квадратами рациональных чисел. (Экз. 1899 г.)
23. Показать, что У2 и ]/Т суть полиномы третьей степени от УТ+УЪ
с рациональными коэффициентами и что У2 — ^(Г + З — дробио-лиией-
ная функция от ]/T-f ]/. (Экз. 1905 г.)
24. Показать, что
]/а +2т Уа — т2 -\- j/ a — 2т. У а — т?
равно 2т, если 2от' > а > от2, и равно 2 jAi — от2, если а > 2от2.
3 _
25. Показать, что любой полином от У 2 с рациональными коэффициен-
коэффициентами может быть представлен в виде
а + Ь У 2"+ с J/T,
где а, ?, с рациональны.
Вообще, если р — любое рациональное число, то любой полином от
т
Ур с рациональными коэффициентами может быть представлен в виде
а0 + а,а -f- а2а2 + ... + ат_^-1,
т
где а0, ai am-i рациональны и а= у р. Ибо всякий такой полином
имеет вид
где коэффициенты Ь рациональны. Если k^m — 1, то это уже есть тре-
требуемый вид. Если же к>т — 1, то пусть аг будет любая целая степень

42 Глава лервая
выше (т — 1)-ой. Тогда r = \m -{-s, где X —целое число и O^s^m—1.
Следовательно </= а "^"* = р'а'5, и, таким образом, мы можем избавиться
от всех степеней а, больших чем (т — 1)-ая.
у
з _ у 2 1
26. Выразить (у 2 — IM н-^ в форме
уТ
а + * J/2 +
где я, Ь, с рациональны. (Умножить числитель и знаменатель второго выра-
з з
жения на у 4— у2-{-1.]
27. Если з _ з _
4* 2+ |/ 0
где я, Ь, с рациональны, то я = 0, Ь = 0, с = 0.
[Пусть j> = J/2". Тогда / = 2п
Следовательно, 2cys -(- 2йу + ау3 = 0 или
ay* -f 2су + 2Ь = 0.
УмнЬнсая Эти квадратные уравнения на а и си вычитая одно из другого, получим,
а2 2Ьс
что(аЬ — 2с*)у+'а2—2Ьс=0таиу= г—^-,т. е. рациональное число,
что невозможно. Единственная другая возможность заключается в том, что
ад—2с2 = 0 и a2 — 2bc — 0.
Отсюда а* = 2с2, а4=4й2с2. Если ни а, ни * не равны нулю, мы можем
разделить второе уравнение на первое, что дает а3 = 2Ь3. Но это невозможно,
з а
так как у 2 не может быть равно рациональному числу -g . Следовательно,
аг=0 н Ь — 0, а теперь из основного соотношения следует, что a, S ие
все равны нулю.
Как следствие мы получаем, что если
а + Ъ J/T + с j/T= d + e ^2 + / уТ,
то a = d, b = e, с = /.
Можно вообще доказать, что если
«о 4- Vм + ... + ««_! р(т~1)/т = о,
где р не есть точная да-ая степень, то ао = а! = . .. = am_t = 0; но это
доказательство менее просто.]
28. Если A + yiJ= С+УЪ, то либо А = С и ? = ?>, либо. В и Z)
суть кубы рациональных чисел.
29. Если }/"Л + J/5+ ^5 = 0, то либо одно из чисел А, В, С равно
нулю, а два остальных равны по величине, но обратны по знаку, либо
у А, у В, у С — рациональные кратные одной и той же иррациональности

Действительные переменные 43
30. Найти рациональные числа а, р так, чтобы
31. Если (а — Ь*)Ь>0, то
3/
рационально. [Каждое из выражений под знаками кубического корня может
быть представлено в виде
{.+
где аир рациональны.]
32. Доказать, что
К
5-pr
4,
/^5
! —2^5
п
33. Если а = ур, то любой полином от о является корнем некоторого
уравнения степени и с рацнональными коэффицнентами.
[Мы можем представить любой полином от а в форме
где 1и mi, ... рациональны (см. пример 25).
Аналогично,
Отсюда
Lix-lrLsx!i+ ... +?П*"=Л,
где Д означает определитель
j la ms . . . rs
п тп . . . гп
a Z,, 12, ... — алгебраические дополнения элементов 1и /2, ... ?„.]
34. Применить предыдущее рассуждение к x — p + ~]/~q н вывести
теорему п. 14.
35. Показать, что
удовлетворяет уравнению
у* — Зау2 -f Зу (а2 — Ьср) — а3 — *3/> — с3/»2 -J- Зяй с/> = 0,

44 Глава первая
36. Алгебраические числа. Мы видели, что некоторые иррациональные
числа (как, например, ]/~2) являются корнями уравнений вида
где а0, а и •¦¦, а„ — целые числа. Такие иррациональные числа называются
алгебраическими; все другие иррациональные числа, такие, как, например,
и (см. п. 15), называются трансцендентными.
37. Если х » у — алгебраические числа, то таковыми же являются
X
х + У, х—у и ху, а также — , если у^0.
[Требуются некоторые сведения из алгебры. Мы должны воспользоваться
следующими теоремами: во-первых, что элементарные симметрические
функции S хг> 2 XfXs, ... корней уравнения
хт— piX™-1-{-psx™-* — ... ±рт— 0 A)
равны ри pit ... и, во-вторых, что любой симметрический полином (см. пп. 23
и 31) or Xi, xit ... с целочисленными коэффициентами является полиномом
от ри pit ... с целочисленными коэффициентами.
Мы можем записать уравнения, которым удовлетворяют лг и у, в виде
A) и
Г - q^'1 + q$n-% - ... ± *„ = 0, B)
где ри р2, ... и qu qit ... рациональны. Мы предполагаем, что корни A)
и B) суть х1у лг3, ... и у и yit ..., причем л; = лг1 ну =-уи и образуем про-
произведение
() у
изведение
(
по всем тп парам значений Аи*. Тогда P(z) является полиномом степени
тп от г, а его коэффициенты суть симметрические полиномы от xh и yk
с целочисленными коэффициентами. Отсюда следует, что эти коэффициенты
суть полиномы от ри рг, ..., 01, 0а. •¦• с целочисленными коэффициентами,
т. е. рациональны. Таким образом, P(z)=0 являете^ уравнением степени
тп с рациональными коэффициентами; но х-\-у является одним из его
корней.
Доказательство для х—у и ху аналогично. Если уф§, и мы пред-
предположим (что не ограничивает общности наших рассуждений), что qn^?0, то
z==— удовлетворяет уравнению
2" — пгп~1 + Гг&~% — ... ±гп = 0,
где г, = *"*""' , r.2 = -it!, Следовательно, z есть алгебраическое число,
а, следовательно, xjy = xz—также алгебраическое число.
В частности, x-\-k и &л:—алгебраические числа, если k рационально.]
38. Если
где Oj, а.2, ..., am — алгебраические числа, то х — также алгебраическое
число.
[Это может быть доказано аналогично предыдущему. Каждое аг удовле-
удовлетворяет уравнению
a"r—Pr, I \r ~i + ¦ • • ± Рг, пг = 0
с рациональными коэффициентами. Предположим, что корнями этого урав-

Действительные переменные 45
нения являются ari, аг2, ..., аг п^ (причем ar—ari), и образуем произ-
произведение
Р (х)=
по всем N=ntnt ... пт комбинациям индексов so s,, ...,sm. Таким
образом, мы получаем полином от х степени mN с рациональными коэф-
коэффициентами.
В частности, хт/п — алгебраическое число, если само х — число алге-
алгебраическое, а т и п — целые.]
39. Если
л;8 — 2
то
х* _ 1 бл^ -f S8*4 — 48*2 + 9 = 0.
40. Найти уравнения с рациональными коэффициентами, которым
удовлетворяют следующие алгебраические числа:
у
у 2
41. Если х3 = х-\-1, то л^п = ап^ + *„ + спаГ', где
. an+i = яп + *л> *n+i = ап + Ьй + с„, ся+, = а„ + с„
42. Если -к»-)-*5 — 2л^ — л^ + л;2+1 = 0 и у =х* — х* + х — 1, то у
удовлетворяет квадратному уравнению с рациональными коэффициентами.
(Экз. 1903 г.)
[Находим, что уг -\-у -f-1 =0.]

ГЛАВА II
ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
20. Понятие функции. Предположим, что хну— два непрерывных
действительных переменных, которые мы можем представить себе
геометрически расстояниями А0Р=х, B0Q=y, измеренными от фи-
фиксированных точек Ао, Во вдоль двух прямых линий А, М. Пред-
Представим себе, что положения точек Р и Q не независимы, а связаны
некоторым соотношением, которое мы будем мыслить как соотно-
соотношение между х и у; таким образом, если Рях известны, то Q
ну также известны. Мы можем, например, предположить, что у = х
или 2х, или -к-х, или х%-\-1. Во всех этих случаях значение х опре-
определяет значение у. Или же мы можем предположить, что соотноше-
соотношение между х и у дано не с помощью явной формулы для у, выра-
выраженной через х, а с помощью некоторого геометрического построе-
построения, которое позволяет найти Q, когда Р известно.
В этих условиях говорят, что у является функцией от х. Это
понятие функциональной зависимости одного переменного от дру-
другого является, по всей вероятности, самым важным понятием во всей
высшей математике. Для того чтобы читатель мог быть уверен
в правильности и ясности усвоения этого понятия, мы проиллюстри-
проиллюстрируем еГо в этой главе на большом числе примеров.
Однако, прежде чем перейти к этим примерам, мы должны от-
отметить, что те простые примеры функций, которые уже приведены
выше, обладают тремя свойствами, которые никоим образом не за-
заложены в общем понятии функции, а именно:
A) у определено для каждого значения х;
B) каждому значению х, для которого у определено, соответ-
соответствует только одно значение у;
C) соотношение между х и у выражено с помощью аналити-
аналитической формулы, из которой значение у, соответствующее данному
значению х, может быть получено непосредственной подстановкой
последнего.
В действительности оказывается, что этими тремя свойствами
обладают многие из наиболее важных функций. Но рассмотрение
следующих примеров яено покажет, что они никоим образом не яв-
являются существенными для функции. Существенным является только

Функции действительного переменного 47
то, что должно существовать некоторое соотношение между х и у
такое, что по крайней мере некоторым значениям х соответствуют
значения у.
Примеры X. 1. Пусть у = лг или 2х, или -~- х, ийи х*-\-\. Про такие
случаи мы пока ничего не будем говорить.
2. Пусть у = О, каково бы ни было значение х. Тогда у является функ-
функцией от лг, так как мы можем придать х любое значение, и соответствующее
значение у (именно нуль) известно. В этом случае функциональная зависи-
зависимость сопоставляет одио и то же значение у всем значениям лг. То же самое
имело бы место, если бы. у было равно 1 или —=-, или ^2 вместо нуля.
Такая функция от у называется постоянной.
3. Пусть у* = х. Тогда, если х положительно, это уравнение определяет
два значения у, соответствующие каждому значению х, а именно, ± ух. Если
х = 0, то _у = 0. Следовательно, частному значению нуль переменного х
соответствует только одно значение у. Если же х отрицательно, то не суще-
существует значевий у, которые удовлетворяли бы уравнению. Это значит, что
функция у не определена для отрицательных значений х. Эта функция
обладает, следовательно, свойством C), но не обладает нн свойством A), ни
свойством B).
4. Рассмотрим некоторое количество газа, поддерживаемое при постоян-
постоянной температуре и заключенное в цилиндр, закрытый скользящим поршнем').
Пусть А будет площадь поверхности поршня и W— его вес. Когда
поршень находится в равновесии, мы должны иметь
где р0 — давление газа на поршень, отнесенное к единице площади его
поверхности.
Пусть v0 будет объем газа при этом равновесии. Если положить допол-
дополнительный груз на поршень, то он несколько опустится. Объем v газа при
этом уменьшится, давление же р, которое он производит на единицу площади
поверхности поршня, возрастет. Экспериментальный закон Бойля показывает,
что произведение р н v остается почти постоянным. Если бы этот закон был
точен, то соотношение выражалось бы уравнением вида
pv = a, A)
где а — число, которое может быть приближенно определено с помощью
эксперимента.
Закон Бойля, однако, дает удовлетворительное приближение к действи-
действительности лишь до тех пор, пока газ не сжат слишком сильно. Когда v
уменьшилось, а р возросло, перейдя через некоторое значение, соотношение
между ними уже не описывается с какой бы то нн было точностью уравне-
уравнением A). Известно, что в этом случае значительно лучшее приближение.
к действительности дается так называемым законом ван дер Ваальса, который
выражается уравнением
(?)-Р) = Т, B)
где a, J3, у— числа, которые также могут быть приближенно определены с по-
помощью эксперимента.
1) Этот поучительный пример заимствован из книги Н. S. Саг si aw,
Introduction to the calculus.

48 Глава вторая
Оба эти уравнения, даже если их взять вместе, отнюдь не дают, конечно,
полного отчета о действительном соотношении между р и о. В действи-
действительности это соотношение, несомненно, значительно более сложно и его
вид изменяется от вида, близкого к A), до вида, близкого к B). Но с мате-
математической точки зрения ничто не может помешать нам рассматривать
идеализированное положение вещей, при котором для всех значений v, не
меньших некоторого значения V, в точности имеет место соотношение A),
тогда как B) в точности имеет место для всех значений v, меньших чем V.
И тогда мы можем рассматривать эти оба уравнения как определяющие
вместе функциональную зависимость р от о. Это — пример функции, которая
для некоторых значений v определена одной формулой, а для других зна-
значений о—другой.
Функция эта обладает свойством B): каждому значению v соответствует
только одно значение р. Но она не обладает свойством A), так как р не
определено как функция от v для отрицательных значений»; .отрицательный
объем" ничего не означает, и поэтому отрицательные значения v не рас-
рассматриваются.
5. Допустим, что абсолютно упругий мяч падает (не вращаясь) с высоты
-к- g& на неподвижную горизонтальную плоскость и каждый раз отскакивает
от нее.
Известные формулы из элементарной динамики, с которыми читатель,
вероятно, знаком, показывают, что Л=~~- gt2, если Osgfsgt;, h = -^ g Bт—/)s,
если z ssS t ^? 3t, и вообще
если Bя— 1)т^^^Bи + 1)и, где Л — разность высот начального поло-
положения мяча и положения его в момент времени t. Здесь h также яв-
является функцией от /, определенной только для положительных значений t.
6. Пусть у определено как наибольший простой делитель х. Здесь мы
имеем пример определения, которое применимо к специальному классу
эиачеинй х, а именно, к целочисленным значениям. „Наибольший простой
делитель-^- или ~\f 2, или гс" ничего не означает, и наше определение
отказывается служить для таких значений х. Таким образом, эта функция
не обладает свойством A). Она обладает свойством B), но не обладает
свойством C), так как не существует простой формулы, выражающей у
через лг.
7. Пусть у определено как знаменатель х, когда х выражено в виде
несократимой дроби. Это — пример функции, которая определена только
для рациональных значений х. Так, например, у = 7, если х = -тг, но у ие
определено для х=у~2.
21. Графическое представление функций. Допустим, что пере-
переменное у является функцией переменного х. Вообще говоря, ничто
не мешает нам рассматривать также х как функцию от у, в силу
той же самой функциональной зависимости между х и у. Однако
мы будем пока изучать это соотношение между х и у с первой точки
зрения. Тогда мы будем называть х независимым переменным и
у — зависимым переменным. Далее, когда специальный вид функцио-

Функции действительного переменного
нальной зависимости не известен или не дан, мы будем выражать ее
записью
(или также F(x), <рО). <!* (-*0> ¦ ¦ •)¦
Характер функций в очень многих случаях может быть выяснен
и сделан легко обозримым следующим образом. Проведем две ли-
линии ОХ и OY перпендикулярно друг к другу и неограниченно про-
продолжим каждую из них в обоих направлениях. Мы можем топц
представить значения хну расстояниями, измеренными от О, со-
соответственно, вдоль линий ОХ и ОК. При этом, конечно, мы долж-
должны учитывать знаки; положительные направ-
направления указаны на фиг. 5 стрелками.
Пусть а будет некоторое значение х, для
которого у определено и имеет (допустим)
единственное значение Ь. Возьмем О А = а,
О В — Ь и построим прямоугольник ОАРВ.
Пусть точка Р отмечена на чертеже.-Эта от-
метка точки Р может рассматриваться как ука-
указание на то, что значение .у для х = а равно Ъ.
Если значению х=^а соответствует не-
несколько значений у, скажем b, b', b", то
вместо единственной точки Р мы будем иметь
несколько точек, в данном случае Р, Р', Р".
Мы будем называть Р точкой (a, b), a
и b — координатами точки Р относительно
осей OX, OY; a—-абсциссой, Ь —ординатой
точки Р; ОХ — осью х и OY—осью у, а
вместе — осями координат, и, наконец, О — началом координат,
или просто началом.
Предположим теперь, что для всех значений а переменного х,
для которых у определено, значение b (или значения Ь, Ь', Ь",...)
переменного у и соответствующая точка Р (или точки Р, Р', Р",...)
найдены. Совокупность всех таких точек мы называем графиком
функции у.
Возьмем очень простой пример, а именно, предположим, что у
определено как функция от х уравнением
Ах-\-Ву-{-С = 0, A)
где А, В, С —некоторые фиксированные числа '). Тогда у является
функцией от х, обладающей всеми тремя свойствами A), B), C)
п. 20. Легко показать, что графиком у является прямая линия.
Читатель, вероятно, знаком с каким-либо доказательством этого
В'
ь
0
У
а
р>
р
д *х
р'
Фаг. 5
Ц Если ?=0, то у не входит в уравнение. Мы должны тогда рассмат-
рассматривать у как функцию от х, определенную только для одного значения х,
а именно,— С/А и принимающую тогда все значения.
4 Г. Хараи

50 Глава вторая
факта из курса аналитической геометрии. Мы будем также говорить,
что геометрическим местом точек (х, у) является прямая линия,
что A) является уравнением этого геометрического места и что
это уравнение представляет данное геометрическое место.
Уравнение Ах-f- By -j- С = 0 является наиболее общим уравне-
уравнением первого порядка от х и у. Таким образом, общее уравнение
первого порядка представляет прямую линию. Так же легко до-
доказать и обратное предложение, что уравнение любой прямой ли-
лишний— первого порядка.
Можно привести еще несколько дальнейших примеров интерес-
интересных геометрических мест, определенных уравнениями. Уравнение вида
или
х% +У +2G* + 2Fy + С = 0,
где С?9 —f-Z73 -—С~^>0, представляет окружность. Уравнение
Ах* + IHxy -f By* -f 2Qx-{-2Fy-\-C—Q
(общее уравнение второго порядка) представляет коническое сече-
сечение, т. е. эллипс, параболу или гиперболу, если коэффициенты этого
уравнения удовлетворяют некоторым неравенствам. Исследование
этих геометрических мест читатель найдет в книгах по аналитиче-
аналитической геометрии.
22. Полярные координаты. Мы определяли положение точки Р
длинами ее координат ОМ — х, МР—у. Если ОР—r и МОР=Ь,
где 6 — угол, величина которого заключена между 0 и 2 тс (измеряе-
(измеряемый в положительном направлении), то, очевидно (фиг. 6),
х — г cos 6, у = г sin в,
откуда
cos 0 = —, sinO = ^,
так что положение точки Р определяется также заданием гиб. Мы
называем гиб полярными координатами точки Р. Следует отме-
отметить, что г, по определению, положительно 1).
') Полярные координаты иногда определяются так, что г может быть
как положительным, так и отрицательным. В этом случае две пары коор-
координат,— как, например A, 0) и (—1, к), — соответствуют одной и той же
точке. Различие между двумя системами может быть проиллюстрировано
на примере уравнения ljr=\ — ecosQ, где />0, г>1. Согласно нашим
определениям, г должно быть положительно, и поэтому cos 8 < 1/е, т. е.
уравнение представляет только одну ветвь гиперболы, причем уравнение
другой ветви будет — ljr = l — е cos 8. В системе же координат, которая
допускает отрицательные значения г, приведенное уравнение представляет
всю гиперболу.

Функции действительного переменного 51
Если Р движется по геометрическому месту, гиб будут свя-
связаны некоторым соотношением, г—/(в), или u = F(r). Это соот-
соотношение мы называем полярным уравнением геометрического
места. Полярное уравнение может быть выведено из (х, у)
уравнения (и обратно) с помощью приведенных выше формул.
Так, полярное уравнение прямой линии
имеет вид
rcos{6 — а)=р1
где/) и а — постоянные. Уравнение г—2а cos8
представляет окружность, проходящую через
начало. Общее уравнение окружности имеет
вид
г"- -f с2 — 2rc cos (8 — а) == А\
где А, с и а — постоянные. Фаг. 6
23. Дальнейшие примеры функций и их графическое представ-
представление. Следующие примеры дадут читателю представление о бес-
бесконечном разнообразии возможных "типов функций.
А. Полиномы. Полиномом от х называется функция вида
где а0, а,,..., ат — постоянные. Простейшими полиномами являются
степени у = х, х1, х3,..., х™. График функции хт принадлежит к
одному из двух типов, в зависимости от того, будет ли т четным
или нечетным.
Рассмотрим для начала случай т = 2. Тогда на графике лежат
следующие три точки: @, 0), A, 1), {—1, 1). Любое количество
других точек на графике может быть найдено, если придавать х
частные значения; так, значениям
,— 9 4 о ч
л — ~2 1 -ij о, г, , л, — о
соответствуют значения
v = — 4 Q -- 4 9
Если читатель нанесет на бумаге достаточное количество точек гра-
графика, он придет к заключению, что форма графика должна иметь
вид, изображенный на фиг. 7. Если он проведет кривую через те
точки, про которые ему известно, что они лежат на графике, и
затем будет проверять правильность этой кривой путем вычисления
новых точек, то он убедится, что они ложатся настолько близко
к кривой, насколько это можно было ожидать, учитывая неизбежные
неточности, связанные с черчением. Кривая эта, конечно, является
параболой. .

Глава вторая
Существует, однако, один принципиальный вопрос, на который
мы еще не можем дать удовлетворительного ответа. Читатель, не-
несомненно, имеет некоторое представление о том, что называется не-
непрерывной кривой, кривой без разрывов и скачков. Такая кривая
представлена на фиг. 7. Вопрос состоит в том, является ли график
функции у = х* в действительности такой кривой. Этого нельзя
доказать путем построения какого бы то ни было числа изоли-
изолированных точек на кривой, хотя чем больше таких точек мы по-
построим, тем вероятнее это будет казаться.
Этот вопрос не может быть рассмотрен до гл. V. Там мы под-
подвергнем подробному анализу понятие непрерывности и покажем,
как может быть доказано, что та-
такие графики, как только что рас-
рассмотренный и другие, которые бу-
будут рассмотрены дальше в этой
главе, действительно являются не-
непрерывными кривыми. Пока чита-
читатель может продолжать вычерчи-
вычерчивать свои кривые так, как ему дик-
диктует его здравый смысл.
Легко видеть, что кривая у = х2
всюду выпукла к оси х. Пусть Ро, Pt
(см. фиг. 7) —точки (х0, xl), (хи х\).
Тогда координатами точки на хорде P,Pi
+ f где X и у. — положительные числа
- хо)°- === О,
10,0)
Фиг. 7
будут числа х = \хй + №, у = ^ + [f,
с суммой, равной единице. Следовательно,
у — х* = (X + ц) (X*? + yjd) - (Хдг0 +
так что хорда лежит целиком над кривой.
Кривая y = xi в общем напоминает у = jc2, но оказывается более
плоской вблизи начала и более крутой за точками А, А' (фиг. 8).
Кривая у==хт, где т — четное и больше 4, обладает этими свой-
свойствами в еще большей степени. Когда т становится все ббль-
шим и большим, сплющенность около начала и крутизна около
точек А, А' становятся все более и более подчеркнутыми, пока
кривая практически не станет неотличимой от жирной ломаной на
фиг. 8.
Читатель должен далее перейти к рассмотрению кривых, данных
уравнением у = хт, где т — нечетное число. Основное отличие между
случаями четного и нечетного заключается в том, что при т четном
(—х)т = хт, так что кривая симметрична относительно OY, тогда
как при т нечетном (— х)т = — хт, так что у отрицательно, когда х
отрицательно. На фиг. 9 изображены кривые у = х, у = х3 и ломаная,
к которой у = хт приближается при больших нечетных значениях т.
Теперь легко представить себе (во всяком случае теоретически)
построение графика любого полинома. В первую очередь, из гра-
графика у = хт мы сейчас же получим график функции Cjc (С-

Функции действительного переменного
53
постоянная) умножением ординаты каждой точки кривой на С. А если
мы знаем графики f(x) и F(x), то мы можем получить график
f(x)-\-F(x), строя точки, имеющие своими ординатами сумму орди-
ординат соответствующих точек первоначальных кривых.
¦ух
\ \
\\
/V
\
\\
\\
\\
\\
I n
М
Фиг. 8
V
Фиг. 9
Вычерчивание графиков полиномов, однако, настолько упрощается
при использовании других более совершенных методов, с которыми
мы ознакомимся позже, что в настоящий момент мы можем огра-
ограничиться лишь этими немногими замечаниями.
Примеры XI. 1. Вычертить кривые у = 7х*, у = 3х'% х=уы.
[Читатель должен вычертить эти кривые аккуратно и на одном
чертеже 1). Тогда он наглядно убедится в том, насколько быстро высшие
степени х возрастают, когда х становится все ббльшим и большим, а также
в том, что в таких полиномах, как
jc" + Злг5 + 7х*
(или даже л:1» -{- ЗОлг5 -f- 700лг*) только первый член имеет действительно до-
доминирующее значение, когда х достаточно велико. Так, например, даже
когда л: равно только 4, х1" > 1 000 000, тогда как 30*6 < 35 000 и 700д^< 180000.
При jc = 10 перевес первого члена еще более значителен.]
2. Сравнить между собой значения
х1*, 1 000 000 х*, 1 000 000 000 000 jc
при jc = 1, 10, 100 и т. д.
[Читатель должен самостоятельно составить ряд примеров этого типа.
Идея относительной скорости роста различных функций от х будет
встречаться нам в дальнейших главах очень часто.]
3. Начертить график функции ахг-\-Ьх-\-с.
[Здесь
ас — Ьг
4У-
') Удобно взять масштаб вдоль оси у значительно меньшим, чем вдодь.
оси х, иначе чертеж примет очень громоздкие размеры,

54 Глава вторая
Если мы возьмем новые оси параллельными старым и проходящими через
(ас ?2)
точку лг= — bja , _у = -— -, то новое уравнение будет у' = ах'2. Кри-
Кривая является параболой.]
4. Начертить кривые у = х3 — Зх -+- ], _у = лг! (jc — 1), у = х (х — l)s.
24. В. Рациональные функции. Классом функций, следующим
после полиномов по простоте и значимости, является класс рацио-
рациональных функций. Рациональной функцией называется отношение
двух полиномов; таким образом, если Р(х), Q(x)— полиномы, то
является самой общей рациональной функцией.
В частном случае, когда Q (х) — константа, R (х) сводится к по-
полиному. Следовательно, класс рациональных функций содержит класс
полиномов как подкласс. В связи с этим определением нужно сде-
сделать следующие замечания.
A) Мы будем, как правило, предполагать, что Р(х) и Q (х) не имеют
общего делителя вида х-\- а илн хР -\- ах?~1 -|- bx?~2 -f- ... -J- k; все такие
общие делители мы устраняем сокращением.
B) Следует, однако, отметить, что такое сокращение общих делителей,
вообще говоря, изменяет функцию. Рассмотрим, например, функцию xjx,
которая является рациональной функцией. Сокращая на общий делитель х,
мы получаем 1/1 = 1. Но первоначальная функция не всегда равна 1: она
равна единице только для всех х^гЬО. Если х = 0, она принимает вид 0/0,
что не имеет смысла. Таким образом, функция х/х равна 1, если х^О, и не
определена при л;=0. Она, следовательно, отлична от функции 1, которая
всегда равна 1.
C) Такая функция, как
' х — 2
может быть приведена, по правилам алгебры, к виду
х8 (х — 2)
который представляет рациональную функцию в обычной записи. Но и
здесь следует отметить, что сведение это не всегда законно. Для того чтобы
вычислить значение функции для какого-нибудь данного значения х, мы
должны подставить это значение х в функцию в той форме, в которой
рна задана. В данном случае формула, первоначально задающая функцию,
теряет смьгсл при значениях х = — 1, 1, 0, 2, н, следовательно, функция не
рпредедена дл^ этих значений. Приведенная форма также теряет смысл
рри х = — 1 и 1, но дает значение 0 при дг = 0 и дг = 2. Таким образом, эти
две функции опять-таки не тождественны.
D) Однако, как уже видно из примера, рассмотренного в предыдущем
Замечании^ существует, вообще говоря, некоторое множество зна-чений х,

Функции действительного переменного 55
для которых рациональная функция не определена, даже после ее приведения
к стандартному виду отношения двух полиномов. Это — те значения х (ко-
(которые могут н не существовать), для которых знаменатель обращается
в нуль.
E) Имея дело с выражениями, рассмотренными в B) и C), мы обычно
не обращаем внимания на те исключительные значения х, для которых
алгебраические процессы упрощения, примененные выше, становятся неза-
незаконными, и приводим нашу функцию к стандартному виду рациональной
функции. С такой оговоркой читатель легко убедится в том, что сумма,
произведение и отношение двух рациональных функций могут быть сведены
к рациональным функциям стандартного вида. И вообще, рациональная
функция от рациональной функции является вновь рациональной функ-
функцией, т. е. если в г = „ j -, где Р (у) и Q (у) — полиномы, подставить
Р (х) Р (х)
V = ' . \ то после упрощений мы получим равенство вида z= - -.
Vi (¦*) Qi(x)
F) В определении рациональной функции никоим образом не предпола-
предполагается, что константы, встречающиеся в ней в качестве коэффициентов,
должны быть рациональными числами. Термин „рациональный" относится
только к тому, каким образом переменное х входит в формулу, опреде-
определяющую функцию. Так,
— рациональная функция.
Применение термина „рациональный" возникло следующим образом.
Рациональная функция п . может быть получена конечным числом
Ц()
действий над х, включающих только умножение х на самого себя или на
константу, сложение таким образом полученных выражений и, наконец, де-
деление одной функции, полученной такими умножениями и сложениями, на
другую. В отношении х этот процесс очень напоминает тот, которым все
рациональные числа могут быть получены, из единицы; этот процесс может
быть проиллюстрирован равенством
5 _ 1 + 1 + 1 + 1 + 1
з" 1 +1 + 1
С другой стороны, всякая функция, которая может быть получена из х
описанными выше действиями, примененными к функциям, которые были
получены таким же образом, может быть сведена к стандартному виду рацио-
рациональной функции. Так, например,
11
х н
17 + ^1
может быть сведена к стандартному виду рациональной функции.

56
Глава вторая
25. Графическое изучение рациональных функций зависит еще
в большей степени, чем в случае полиномов, от методов дифферен-
дифференциального исчисления. Поэтому мы ограничимся здесь лишь неболь-
небольшим числом примеров.
Примеры XII. 1. Начертить графики у =
У=—г
[На фиг. 10 и 11 показаны первые две из этих кривых. Следует обратить
внимание на то, что эти функции не определены при jc = O.]
2. Начертить графики
1
1
1
'¦-x»aX+x'
беря для а и Ь разные (положительные и отрицательные) значения.
Фиг. 10
3. Начертить графики:
v_
4. Начертить графики:
1
Фиг. U
(х —. а) (х — i
1
(X-a)(x-b)(x-c)'
где а < Ь < с.
5. Набросать форму кривых у = —щ при все большем и большем т, рас-
рассматривая отдельно случаи нечетных и четных т.
26. С. Явные алгебраические функции. Следующим важным клас-
классом функций являются явные алгебраические функции. Это — функ-
функции, которые могут быть образдваны из х с помощью конечного

Функции действительного переменного 57
числа операций, применяемых при образовании рациональных функ-
функций, и конечного числа операций извлечения корней. Так
могут служить примерами явных алгебраических функций; другим
примером является хт/п (т. е. у хт), где тип — произвольные це-
целые числа.
Следует отметить, что в таких уравнениях, как, например, у = \/х,
обозначения неоднозначны. До сих пор мы рассматривали, скажем j/2,
как положительный корень из двух, и было бы естественно обо-
обозначать через ifх, где х — любое положительное число, положи-
положительный квадратный корень из х. В этом случае _у = }/3ё~ была бы
однозначной функцией от х. Часто оказывается, однако, более удоб-
удобным понимать под у^х двузначную функцию, имеющую своими зна-
значениями положительный и отрицательный корень квадратный
из х.
Читатель заметит, что если принять это толкование обозначений,
то функция -yf х существенно отличается от рациональных функций
в двух отношениях. Во-первых, рациональная функция всегда опре-
определена для всех значений х, за некоторыми изолированными исклю-
исключениями, тогда как функция -\f x не определена для целой области
значений х (именно для всех отрицательных значений). Во-вторых,
эта функция для тех значений х, для которых она определена, имеет,
как правило, два значения противоположных знаков.
з,-
С другой стороны, функция ух однозначна и определена для всех
значений х.
Примеры ХШ. 1. У^(х — а)(Ь — х), где а < Ь, определен только для
х rg: Ь. Когда а < х < Ь, корень имеет два значения; при х — а или Ь —
ко одно, а именно, 0.
2. Рассмотреть подобным образом функции
а
только одно
— а)(х — Ь)(х — с) (а<Ь<с),
"а2)', \/~ (х-а)ЦЬ — х)$ (а < Ь),
3. Начертить кривые у* а= х, у3 = х, у2 = Xs.
г -j / дЛ
4. Начертить графики функций y=z~y а? — х2, y=zb у 1

58 Глава вторая
27. D. Неявные алгебраические функции. Легко проверить, что
если
то
-y)
а если
то
у _ Dу« _f_ Ay _|_ i)x — 0.
Каждое из этих уравнений имеет вид
у» + я,/*-1+ ... + *„=о, A)
где /?,, /?2, ..., Rm — рациональные функции от х. Читатель легко
убедится в том, что если у — любая из функций, рассмотренных
в последнем ряде примеров, то у удовлетворяет уравнению такого
вида. Возникает предположение, что это имеет место для любой
явной алгебраической функции. Нетрудно доказать, что это пред-
предположение справедливо, но мы не будем здесь задерживаться на про-
проведении его формального доказательства. На следующем примере
читатель ясно увидит, как такое доказательство проходит. Пусть
У
х-Ух -\- У
Тогда
x+u+v+w
X — И ~\- V — W '
II1 == X, V* = X -f- «. -Ш3 = 1 -f- х>
и нам остается только исключить из этих уравнений и, v, w для
того, чтобы получить уравнение искомого вида.
Таким образом, мы приходим к следующему определению: у яв-
является алгебраической функцией от х степени т, если оно является
корнем уравнения степени т от у с коэффициентами, являющимися
рациональными функциями от х. Не нарушая общности, мы можем
предположить, что старший коэффициент, как в A), равен единице.
Этот класс функций содержит все явные алгебраические функ-
функции, рассмотренные в п. 26. Но он также содержит другие функции,
которые не могут быть выражены как явные алгебраические функ-
функции, ибо известно, что в общем случае такое уравнение, как A),
не может быть разрешено в явном виде относительно у, когда /м^>4,
хотя такое решение всегда возможно для #г = 1, 2, 3 или 4 и в
частных случаях для высших значений т.

Функции действительного переменного 59
Определение алгебраической функции следует сравнить с опре-
определением алгебраического числа в предыдущей главе (Разные при-
примеры, 36).
Примеры XIV. I. Если т=\,у является рациональной функцией.
2. Если т = % уравнение имеет вид у2 -f- /?jj^ + /?3 = 0, так что
Эта функция определена для всех значений х, для которых Rl^4R%. Она
имеет два значения, если R\>4R%, и одно — если #!=4/?2.
Если т—3 нли 4, мы можем применить методы решения кубических
уравнений и уравнений четвертой степени, изложенные в курсах алгебры.
Но эти методы, как правило, весьма сложны, и результаты имеют настолько
громоздкий вид, что функцию в этих случаях удобнее изучать непосред-
непосредственно по исходному уравнению.
3. Рассмотреть функции, определенные уравнениями
у°- — 2у — х2 = 0, у2 — 2y-fx3=0, yi — 2у2 -f x* — О,
и каждом случае находя у как явную функцию от х. Указать, для каких
значений х эти функции определены.
4. Найти алгебраические уравнения с коэффициентами, являющимися
рациональными функциями от х, которым удовлетворяли бы следующие
функции:
v*+Yi>
5. Рассмотреть уравнение у4 =jc3.
[Здесь у% = ± х. Если х положительно, у — ~\/~х; если х отрицатель-
отрицательно, у—~\/~ — х. Таким образом, функция имеет два значения для всех зна-
значений х, кроме jc = O.]
6. Алгебраическая функция от алгебраической функции от х также
является алгебраической функцией от х.
[Это может быть доказано в основном теми же рассуждениями, что и
в примерах 37 и 38, стр. 44—45. Мы неходим из уравнений
Ут + Я. (*)Ут-1 + ¦ ¦ ¦ + Rm (z) = 0, z" + S, (х) *»-« + ... + Sn(х) = О
с рациональными коэффициентами и образуем произведение
П \ут + R, (zh)у»-' + ... + R
распространенное на п корней zh второго уравнения.]
7. Следует, быть может, еще привести пример алгебраической функции,
которая не может быть представлена в явном алгебраическом виде. Таким
примером является функция у, определенная уравнением
у5—у — л: = 0.
Но доказательство того, что мы не можем виразить у явно через х, трудно,
и Mbi не будем его здесь приводить.
28. Трансцендентные функции. Все функции от х, которые не
являются алгебраическими, называются трансцендентными. Это опре?
деление принадлежат к типу негативны^.. Мм не будем пытаться

60 - Глава вторая
дать здесь систематическую классификацию трансцендентных функ-
функций, но мы можем выбрать один-два особо важных подкласса.
Е. Прямые и обратные тригонометрические или круговые
функции. Это — синус и косинус элементарной тригонометрии, об-
обратные им функции и функции, получаемые из них. Мы можем пока
предположить, что читатель знаком с их самыми важными свойствами1).
Примеры XV. 1. Начертить графики функций
cos л:, sin х, асо&х-{-bsinx.
[Так как a cosx-|-#smx = pcos (х— а), где ($='yraI-r-0a,aa—угол,ко-
a b .
синус и синус которого равны соответственно - , — и , , графи-
ки этих трех функций аналогичны по своему характеру.]
2. Начертить графики функций cos2 x, sin2x, a cos2 x -f- b sin2 x.
3. Предположим, что графики f (х) и F(x) начерчены. Тогда график
функции
/ (х) cos2 х -f- F (x) sin2x
представляет собой волнообразную кривую, колеблющуюся между кривы-
кривыми у =f(x) и у — F(x). Начертить этот график в случае, когда f(x) = x
и F(x)=xi.
4. Показать, что график функции cospx-j- cosqx лежит между графи-
графиками функций 2 cos у (р — q) x и—2 cos -^-{р-\- q) x, касаясь каждого по
очереди. Набросать график в случае, когда j~- —¦ мало. (Экз. 1908 г.)
5. Начертить графики функций
, . 1 , . .
х -+- sin х, —•4- sin х, х sin x,
X X
6. Начертить график функции sin — .
[Если у = sin —, то .у = 0 при лг = —} где т — любое целое число.
Далее, у — 1 при х = - =—— и у——1 при х=- г-т— . Кривая
( ) )
целиком расположена между прямыми у = —1 и_у = 1 (фиг. 12). Она ко-
колеблется, причем частота колебаний увеличивается, когда х приближается
к нулю. При х = 0 функция ие определена. Когда х велико, .у мало8!.
Отрицательная половина кривой ведет себя аналогично.]
•) Определения тригонометрических функций из элементарной тригоно-
тригонометрии предполагают, что любому сектору круга может быть сопоставлено
определенное число, называемое его площадью. Каким образом это предпо-
ложение оправдывается, будет видно в гл. VII и IX.
s) Точный смысл зто.й фразы будет разъяснен в гл, IV и У,

Функции действительного переменного
7. Начертить график функции х sin —.
[Эта кривая так же расположена между прямыми у= — х и у = х, как
кривая примера 6 расположена междуцпрямыми у =—1 и,у=1 (фиг. 13).]
8. Начертить графики функций
1 1 1 / . . :1 \2 . , , . 1 .1
AT2Sin — , —Sin — , Л^Ш—j , Sin.V +Sin — , SinATSin — .
% X X \ X J X X
Э.'^Начертить графики функцийЗсов х2, sin*3, a +j,,
10*. Начертить графики arc cos Af^ arc sin x ^(обратный косинус и синус
иногда записываются и так: cos .г ajsin-'лг).
Фиг. 12
Фиг. 13
[Если у =arc'cosx, х—со&у. Это дает нам возможность начертить гра-
график х рассматриваемого как функция от у, и эта же кривая дает зависи-
зависимость у как функции от х. Ясно, что .у определено только если — 1 s?*sg 1,
и бесконечно многозначно для этих значений х. Как читателю несомненно
известно, при — К х< 1 существует значение^, заключенное между 0 и я;
если это значение обозначить через а, то все другие значения у даются
формулой 2пъ±а, где л— любое целое число.]
11. Начертить графики функций
\gx, ctgAT, sec*, cosecx, tg2*, ctg2x, sec2x, cosec2*.
12. Начертить графики arctgx, arcclgx, arc sec л:, arccosecx. При-
Привести формулы (как в примере 10), выражающие все значения каждой
из этих функций через некоторое частное значение.
13. Начертить графики функций
I
ctg
X
sec-
х
cosec
' x
14. Показать, что cos* и sin* не являются рациональными функциями
от х [Функция называется периодической с периодом а, если/(д;)=/(л: + а)
для всех значений х, для которых f(x) определена. Так, eos x и sin x имеют
период 2г. Легко видеть, что никакая периодическая функция не может
быть рациональной, если она не постоянная. Действительно, допустим, что
Ш
пх)-
Q (х)

62 Глава вторая
где Р и Q —полиномы, и что / (х) = f (x + а), причем каждое из этих
равенств имеет место для всех значений х. Пусть /@) = ?. Тогда уравне-
уравнение Р(х) — kQ(x) = 0 удовлетворяется бесконечным числом значений х,
именно х — О, а, 2а и т. д., а следовательно, и для всех значений х. Таким
образом, f (x) = к для всех х, т. е. / (х) — константа.]
15. Показать, обобщая предыдущий результат, что никакая периодическая
функция не может быть алгебранческой функцией от х.
[Пусть уравнение, определяющее алгебраическую функцию, будет
ym + Rtym-1+...+Rm = 0, A)
где Rlt ... , Rm — рациональные функции от х. Это уравнение можно за-
записать в виде
где Ро, Ри ... , Рт — полиномы от х. Рассуждая как в предыдущем примере,
мы убедимся, что
/>„*« +/>,*«-'+ ...+Рт = 0
для всех значений х. Следовательно, у = к удовлетворяет уравнению A)
для всех значений х, и одна система значений нашей алгебраической функ-
функции сводится к постоянной.
Разделим теперь A) над» — к и повторим рассуждение. Окончательно
мы придем к заключению, что наша алгебраическая функция имеет для
любых значений х одну и ту же систему значений k, k', ... , т. е. она
состоит из некоторого числа постоянных.]
16. Обратный синус и обратный косинус не являются ни рациональными,
ни алгебраическими функциями. [Это следует из того, что для любого зна-
значения х между —1 и -j-I, arc sin л; и arccosx имеют бесконечно много
значений.]
29. F. Другие классы трансцендентных функций. Следующие
по важности за тригонометрическими являются функции показа-
показательная и логарифмическая, которые будут рассмотрены в гл. IX и X.
В настоящий момент эти функции еще недоступны нам, а большин-
большинство других изученных классов трансцендентных функций, как,
например, эллиптические функции, бесселевы и лежандровы функции,
гамма-функция и т. п., и вовсе выходят за рамки этой книги. Су-
Существуют, однако, некоторые элементарные типы функций, которые
хотя и обладают значительно меньшим теоретическим интересом, чем
функции рациональные, алгебраические или тригонометрические, тем
не менее особенно поучительны как примеры возможных разновид-
разновидностей функциональной зависимости.
Примеры XVI. 1. Пусть у — [х], где [х] обозначает наибольшее целое
число, не большее х. График показан на фиг. 14а. Левые концы сплошных
отрезков принадлежат к графику, а правые не принадлежат.
2. у — х—[х\ (фиг. Ш). 3.у — Ух—[х} (фиг. 14с).
4- У = [х] + У х- [х] (фиг. 14*0- 5- У = {х- [х])\ [х] + (х - [*])'.
д.у=[}Пс}, [*¦], V^-W~x\. х°'-№], [1-х*].-

Функции действительного переменного
63
7. Пусть у определено как наибольший простой делатель х (см. при-
пример X. 6). Тогда у определено только для целочисленных значений х. Если
то
х=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... ,
у = 1,2, 3, 2, 5, 3, 7, 2, 3, 5, 11, 3, 13, ....
График состоит из изолированных точек.
8. Пусть у будет знаменателем х (см. пример X. 7). В этом случае у
определено только для рациональных значений х. Мы можем отметить на
графике сколько угодно точек, но результат ие будет представлять кривую
i
0
;
г
о 1 г з
Фиг. 14
в обычном смысле этого слова. На графике иет точек, соответствующих
иррациональным значениям х.
Проведем отрезок прямой, соединяющий точки (N—1, N) и (N, N),
где N—положительное целое число. Показать, что число точек графика,
лежащих на этом отрезке, равно числу положительных целых чисел, мень-
меньших N и взаимно простых с N.
9. Пусть_у = 0, если х — целое число, и у = х, когда х — нецелое. Гра-
График получается из прямой линии,у=л: изъятием из нее точек
... , (-1, -1), @, 0), A, 1), B, 2), ...
н добавлением точек
... , (-1, 0), @, 0), A, 0), B, 0), ...
оси лг-ов.

64 Глава вторая
10. Пусть у = 1, если х рационально, и у = 0, если X иррационально.
График сосгоит нз двух рядов точек, расположенных на прямых у = 1 и у = 0.
Для глаза он неотличим от этих двух непрерывных прямых, но в действи-
действительности бесконечно много точек отсутствует на каждой из них.
11. Пусть у=х, если х иррационально, и у — 1/ ,. J[ J > если х—
р
рациональное число —.
Часть графика, соответствующая иррациональным значениям х, в дей-
действительности не является непрерывной кривой, но по виду неотличима
от прямой у—х.
Рассмотрим теперь рациональные значения х. Пусть сначала х будет
положительным. Тогда I/ ~T J- не может бить равен pjq, если
г. е. хф\. Таким образом, все точки, соответствующие рациональным зна-
значениям х, не попадают на прямую у = х, кроме единственной точки A, 1).
/
Далее, если р < д, j/|[±^j- > L ; если р > д, ]/|i±Zl < JL. Следо-
Следовательно, точки лежат выше этой прямой, если 0 < х < 1, и ниже ее, —
если х>\. Если р и д— большие числа, то 1/ т.~\_Р 1 приблизительно
равен -—. Вблизи любого значения х можно иайти любое число рациональ-
рациональных чисел с большими числителями и знаменателями. Поэтому график со-
содержит большое число точек, скапливающихся вокруг прямой у = х. Его
общим видом (для положительных X) будет прямая, окруженная роем изо-
изолированных точек, который становится все гуще и гуще по мере прибли-
приближения к прямой.
Часть графика, соответствующая отрицательным значениям х, состоит
из остатка разрывной прямой и зеркальных отображений всех этих изолиро-
изолированных точек в осн j>-ob. Таким образом, слева от оси ,у-ов точки скапли-
скапливаются не вокруг прямой у = х, а вокруг прямой у — —х, которая сама ие
принадлежит к графику.
30. Графическое решение уравнений, содержащих одно неиз-
неизвестное число. Многие уравнения могут быть представлены в виде
f(x) = <?(x), A)
где/(х) и <р(х) — функции, графики которых нетрудно начертить.
Если кривые
y=f(x), у = <
пересекаются в точке Р с абсциссой S, то \ является корнем урав-
уравнения A).
Примеры XVII. 1. Квадратное уравнение ахг -}- Ьх -\- с = 0. Графически
это уравнение может быть решено многими способами. Например, мы можем
начертить графики функций
у = ах-J-2Ь, 'у = — --,

Функции действительного переменного 65
пересечения которых, если они существуют, определят корин. Или мы можем
взять
2Ъх + с
у — х,у— а
(см. также примеры VII. 2).
2. Решить каким-либо из этих методов уравнения
г — 3=0, х* — 7х +4 = 0, Злгг+2лг—2 = 0.
3. Уравнение хт-\-ах-\-Ь = 0. Это уравнение может быть решено
построением кривых у = хт, у =— ах — Ъ. Проверить следующую таблицу
числа корней уравнения
хт-\-ах-\-Ь = 0:
( Ъ положительно, два или ни одного,
(a) т четно < .
I о отрицательно, два.
( а положительно, один,
(b) m нечетно <
\ а отрицательно, три или один.
Составить числовые примеры, иллюстрирующие все возможные случаи.
4. Показать, что уравнение \gx-ax-\-b всегда имеет бесконечное
число корней.
5. Определить число корней уравнений
1.1. 1
-^-х, s\nx = -QX, smx — Ynz*-
6. Показать, что если а мало и положительно (например, а = 0,01), то
уравнение
х—а = -s- it sin2 x
имеет три корня. Рассмотреть также случай малого отрицательного а.
Исследовать, как меняется число корней, когда изменяется а.
31. Функции двух переменных и их графическое представ-
представление. В п. 20 мы рассматривали два переменных, связанных неко-
некоторым соотношением. Мы можем также рассматривать три пере-
переменных (х, у и z), связанных некоторым соотношением так, что
когда значения х и у даны, значение или значения z известны.
В этих условиях мы называем z функцией двух переменных х и у;
х и у являются независимыми переменными, z—-зависимым пере-
переменным, и мы выражаем эту зависимость z от х и у символом
z=f(x, у).
Замечания, сделанные в п. 20, остаются в силе и в этом, более слож-
сложном, случае.
Графический метод представления таких функций двух перемен-
переменных в принципе остается тем же, что и для функций от одного
переменного. Мы берем три оси OX, OY, OZ в пространстве трех
измерений так, что каждая ось перпендикулярна к двум другим.
Точка (а, Ь, с) — это точка, расстояния которой от плоскостей YOZ,
5 Г. Харди

66 Глава вторая
ZOX, XOY, измеренные параллельно OX, OY, OZ, равны, соответ-
соответственно, a, b и с. При этом следует, конечно, учитывать знаки, исходя из
того, что длины, измеряемые в направлениях ОХ, О Y,OZ, считаются поло-
положительными. Определения координат,осей и начала остаются прежними.
Пусть теперь
z=f(x,y).
Когда хну изменяются, точка (х, у, г) движется в пространстве.
Совокупность всех принимаемых ею положений называется геомет-
геометрическим местом точки (х,у, z), или графиком функции z~f(x,y).
Если соотношение между х, у и z, которое определяет z, может
быть выражено аналитической формулой, то эта формула назы-
называется уравнением геометрического места. Легко показать, например,
что уравнение
(общее уравнение первой степени) представляет плоскость и что
уравнение любой плоскости может быть представлено в таком виде.
Уравнение
(*_«)« +(у _P)* + (z_7)« = p«
или
х* +У + z% -f 2Fx + 2 Gy -f 2Hz -f С = О,
где F* -\~ G4 -j- H* — C>0, представляет сферу и т. д. За доказа-
доказательствами этих предложений мы вновь должны отослать читателя
к учебникам аналитической геометрии.
32. Плоские кривые. До сих пор для выражения функциональ-
функциональной зависимости у от х мы применяли обозначение
У =/(*)¦ A)
Ясно, что это обозначение лучше всего подходит в том случае,
когда у определено посредством формулы, содержащей х.
Нам придется, однако, часто иметь дело с функциональными
зависимостями, которые либо невозможно, либо неудобно выразить
в такой форме. Если, например, у*—у—х = 0, или xs-j-_ys—ау = 0,
то известно, что нельзя явно выразить у как алгебраическую функ-
функцию от х. Если
то
—х2—2Gx —С;
но функциональная зависимость у от х проще выражается перво-
первоначальным уравнением.
Во всех этих случаях функциональная зависимость выражается
приравниванием к нулю функции двух переменных х и у, т. е.
уравнением
/(*.JO = 0. B)

Функции действительного переменного 67
Это уравнение мы будем считать общим выражением функциональ-
функциональной зависимости. Оно содержит уравнение A) как частный случай,
так как у—/(х) является специальным видом функции от jc и у.
Мы можем, следовательно, говорить о геометрическом месте точек
(х, у), подчиненных уравнению /(х, у) = 0, о графике функции у,
определенной уравнением /(х, у) = О, о кривой или геометрическом
месте /(х, у) = О и об уравнении этой кривой или этого геометри-
геометрического места.
Существует еще другой метод представления кривых, который
также часто полезен. Допустим, что х и у являются функциями
некоторой третьей переменной t, которая может иметь некоторый
геометрический смысл, а может такового и не иметь. Мы можем
записать
C)
Если t приписывается какое-либо частное значение, то соответ-
соответствующие значения х и у известны. Каждая пара таких значений
определяет точку (л:, у). Если мы построим все точки, которые
соответствуют, таким образом, разным значениям t, то мы получим
график геометрического места, определенного уравнениями C).
Предположим, например, что
х = a cos t, y = a sin t,
и пусть t изменяется от 0 до 2те. Тогда легко видеть, что точка
(х, у) описывает окружность радиуса а с центром в начале. Если t
принимает значения, лежащие вне указанных пределов, то точка
(л:, у) вновь и вновь описывает ту же окружность.
Исключение t дает л:2 -\-у* = а2 — обычное уравнение окруж-
окружности.
Примеры XVIII. I. Точки пересечения двух кривых с уравнениями
f(x,y)=0, <р(лт,,у) = О, где / и <р — полиномы, могут быть определены, если
эти уравнения могут быть решены совместно относительно х и у. Таким
образом, два уравнения, как правило, представляют конечное число изоли-
изолированных точек.
2. Начертить кривые (х-j-j>J = I, xy=1, х*—у*—\.
3. Уравнение / (х, у) -\- Хер (х, у) = 0 представляет кривую, проходящую
через точки пересечения кривых /=0 и ср == 0.
4. Какие геометрические места представлены уравнениями
(р) !^, ?
где t принимает все действительные значения?
33. Геометрические места в прострайстве. В пространстве
трех измерений существует два принципиально различных класса гео-
геометрических мест, простейшими примерами которых являются пло-
плоскость и прямая.
5»

68 Глава вторая
Точка, движущаяся вдоль прямой линии, имеет только одну сте~
пень свободы. Направление ее движения фиксировано, ее положение
может быть полностью определено одним измерением, например, ее
расстоянием от некоторой фиксированной точки прямой. Если мы
возьмем за прямую нашу основную прямую Л из гл. I, то поло-
положение любой ее точки будет определено единственной координатой х.
Точка, движущаяся в плоскости, имеет, однако, уже две степени свобо-
свободы. Для фиксации ее положения требуется определение двух координат.
Геометрическое место, представленное одним уравнением
*=/(¦*, У),
явно принадлежит ко второму из рассмотренных классов геометри-
геометрических мест и называется поверхностью. Оно не всегда отвечает
нашему обычному представлению о поверхности.
Рассмотрения п. 31 могут быть, очевидно, обобщены так, чтобы
привести к определению функции f(x, у, z) от трех переменных
(или функции от любого числа переменных). И так же, как мы-
в п. 32 условились принять f(x, у) == 0 в качестве общей формы
уравнения плоской кривой, мы уславливаемся здесь принять
f(x, у, г) = 0
за общую форму уравнения поверхности.
Геометрическое место, представленное двумя уравнениями вида
г=/(х, у) или f(x, у, z) = 0, принадлежит к первому классу гео-
геометрических мест и называется кривой. Так, прямая линия может
быть представлена двумя уравнениями вида Ах -\- By -f- Cz -f- D = 0.
Окружность в пространстве может рассматриваться как пересече-
пересечение сферы и плоскости, поэтому она может быть представлена
двумя уравнениями видов
Примеры XIX. 1. Что представляется тремя уравнениями вида
f(x,y, *) = 0?
2. Три линейных уравнения представляют, как правило, одну точку.
Каковы исключительные случаи?
3. Каковы уравнения плоской кривой f(x, у) = 0 в плоскости XOY,
если ее рассматривать как кривую в пространстве? [f(x, у) = 0, 2 = 0.]
4. Цилиндры. Каков смысл одного уравнения f (х, у) = 0, рассматри-
рассматриваемого как геометрическое место точек в пространстве трех измерений?
[Все точки на поверхности удовлетворяют уравнению f(x,y) = 0, каково
бы ни было значение г. Кривая f(x, y) — 0, z = 0 является кривой, по кото-
которой наше геометрическое место пересекает плоскость XOY. Искомое гео-
геометрическое место представляет собой поверхность, образованную прямыми,
проведенными параллельно OZ через все точки этой кривой. Такая поверх-
поверхность называется цилиндром.]
5. Графическое изображение поверхности на плоскости. Можно
подумать, что достаточно точного изображения поверхности на плоском
рисунке получить невозможно. Однако весьма ясное представление о харак-
характере поверхности часто может быть получено следующим образом. Пусть
уравнение поверхности будет г=/(лг, у).

Функциа действительного переменного
69
Если мы придадим z какое-нибудь значение а, то получим уравне-
уравнение f(x, y) = a, которое можно рассматривать как определяющее плоскую
кривую на бумаге. Начертим эту кривую и отметим ее значком (а). Факти-
Фактически кривая (в) является проекцией на плоскость XOY кривой пересечения
поверхности с плоскостью z = a. Проделаем это для всех значений а (прак-
(практически, конечно, для некоторых выбранных значений а). Мы получим неко-
некоторый чертеж типа, показанного на фиг. 15. Он напоминает географическую
карту с нанесенными на ией линиями уровня. И действительно, такие карты
строятся по этому принципу. Линия уровня 1000 является, например, проек-
проекцией на плоскость уровня моря сечения земной поверхности, плоскостью,
параллельной плоскости уровня моря и проходящей иа 1000 футов выше ее1).
6. Провести ряд линий уровня для иллюстрации формы поверхности
2 3
woo
Фиг. 15
7. Прямые круговые конусы. Возьмем начало координат за вершину
коиуса и ось z за его ось. Пусть а будет угол раствора осевого сечения
конуса. Тогда уравнение конуса (который следует считать простирающимся
в обе стороны от вершины) будет иметь вид
8. Общие поверхности вращения. Конус примера 7 пересекает пло-
плоскость ZOX по двум прямым, уравнения которых объединяются в уравне-
уравнении хг = z2 tg2 -я-. Это означает, что уравнение поверхности, образованной
вращением кривой .у = 0, л:2 = г2 tg2-~- вокруг оси г, получается из второго
из этих уравнений заменой в нем х2 на х2 -\-у2. Показать, что, вообще,
уравнение поверхности, образованной вращением кривой у — 0, x — f(z)
вокруг оси z, имеет вид
^7W
y
9. Общие конусы. Поверхность, образованная прямыми линиями, про-
проходящими через фиксированную точку, называется конусом, а эта точка —
вершиной конуса. Частным случаем является прямой круговой конус, рас-
рассмотренный в примере 7. Показать, что уравнение конуса с вершиной
') Мы предполагаем, что кринизной земной поверхности можно прене-
пренебречь,.

70
Глава вторая
в точке О имеет вид f(z/x, z/y) — 0 и что каждое уравнение этого вида
представляет конус. [Если точка (х, у, г) лежит на конусе, тъ и точка
(Хлг, Ъу, Хг) должна лежать на нем при любом значении X.]
10. Линейчатые поверхности. Цилиндры и конусы являются частными
случаями поверхностей, состоящих из прямых линий. Такие поверхности
называются линейчатыми.
Следующие два уравнения
x — az + b, y = cz-\-d A)
представляют пересечение двух плоскостей", т. е. прямую линию. Предполо-
Предположим теперь, что а, Ь, с, d, вместо того, чтобы быть постоянными, являются
р
Id
Фиг. 16
функциями некоторого вспомогательного переменного t. Для каждого част-
частного значения t уравнения A) определяют прямую линию. Когда t изменяется,
эта прямая движется в пространстве и образует поверхность, уравнение
которой может быть найдено исключением t из уравнений A). Например,
в примере 7 уравнениями прямой, которая образует конус, являются
где t — угол между плоскостью XOZ и плоскостью, проходящей через
прямую и ось z.
Другой простой пример линейчатой поверхности может быть построен
следующим образом. Возьмем два сечения прямого круглого цилиндра, пер-
перпендикулярные его оси и отстоящие друг от друга на расстоянии / (фиг. 16а).
Мы можем представить себе поверхность цилиндра состоящей из большого
числа тонких параллельных жестких стержней длины I таких, как PQ;
концы этих стержней прикреплены к двум кольцам радиуса а.
Возьмем теперь третье кольцо того же радиуса и наденем его на
цилиндр так, чтобы оно находилось иа расстоянии h от одного из первых
двух колец (см. фиг. 16а, где Pq = h). Раскрепим конец Q стержня PQ и
повернем PQ вокруг Р так, чтобы точку Q можно было закрепить на
третьем кольце в положении Q'. Угол qOQ' = a на фигуре определяется
из соотношения
Повернем все стержни, из которых состоял цилиндр, таким же образом и
на тот же угол. Мы получим линейчатую поверхность, форма которой

Функции действительного переменного 71
изображена на фнг. 166. Она полностью составлена из прямых линнй, но всюду
искривлена. По своему общему виду оиа напоминает некоторые кольца для
салфеток (фиг. 16с)*).
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ II
1. Показать, что если у = /(х) = (ах-\-b)j(cx — а), то x=f(y).
2. Если f(x)=f(—х) для всех значений х, то /(х) называется четной
функцией. Если f(x)——/(—•*)» то она называется нечетной функцией.
Показать, что всякая функция от х, определенная для всех значений х,
является суммой некоторой четной и некоторой нечетной функций от х.
[Использовать тождество
3. Начертить графики функций
7Г
3 sin х -\- 4 cos х, sin I sin x 1. (Экз. 1896 г.)
4. Начертить графики функций
. . , , . . . sin x , „ , , . , . / sin x \г
sm х (a cos2 х у\-1/sm2 х), (a cos2 x-{-о sm2 x), ( I.
5. Начертить графики функций л: — I, -^-i.
6. Начертить графики функций
A) arc cos Bx2 — 1) — 2 arc cos x,
B) arc tg -r~-— ~ arc tg a — arc tg x,
где символы arc cos a, arc tg а означают для любого о наименьший положи-
положительный (или нулевой) угол, косинус, соответственно тангенс, которого
равен о.
7. Проверить следующий метод построения графика f{y(x)} с помощью
прямой у = х и графиков f (х) и ч(х): берем ОА = х вдоль ОХ, проводим
АВ параллельно OY до пересечения с у = у(х) в точке В, ВС параллельно
ОХ до пересечения су — х в точке С, CD параллельно OF до пересечения
с y=f(x) в точке D и DP параллельно ОХ до пересечения с АВ в точке Р.
Тогда Р является точкой искомого графика.
8. Показать, что корни уравнения х3 -\-px-{-q = 0 являются абсциссами
точек пересечения (отличных от начала) параболы _у = х* и окружности
9. Корни уравнения xi-\-nx3 -\~pxs-{~qxJ[-r = 0 являются абсциссами
точек пересечения параболы х*=у—=" яд: и окружности
10. Рассмотреть графическое решение уравнения
хт + ах* + Ъх + с = 0
*) Эта поверхность является частью так называемого однополостного
гиперболоида вращения. (Прам. перев.)

72 Глава вторая
с помощью кривых у = хт, у = — ах* — Ьх — с. Составить таблицу, указы-
указывающую число корней в разных случаях.
11. Решить уравнение sec б 4- cosec б = 2 1^2 и показать, что уравне-
уравнение sec б -(- cosec б = с имеет два корня между 0 и 2л, если е2<8, и четыре
корня, если е*>8.
12. Показать, что уравнение
2х = Bя + 1) и A — cos х),
где п — положительное целое число, имеет 2л+ 3 корня, и примерно
указать их расположение. (Экз. 1896 г.)
13. Показать, что уравнение -^-л: sin л: = 1 имеет четыре корня между
— г. и п.
14. Рассмотреть число и значения корней уравнений
A) ctgл: + ^ — ^-тг = О, B) xs + sin2x =1,
х» 0
E) A — cos x) tga — x + sin л; = 0.
15. Полином второй степени, принимающий при л; = а, Ь, с соответ-
соответственно значения а, р, y> имеет вид
(х — Ь) (х — с) , . (х — с) (х — я) , (х — а) (х — Ь)
(с-а)(с-Ь) ¦
Привести аналогичную формулу для полинома (и — 1)-ой степени, который
принимает при л; = а1, аа> >••> пп соответственно значения аи а2, ..., а„.
16. Найти полином от х второй степени, который для значений х = 0,
1, 2 принимает значения 1/е, 1/(с +1), 1/(с4-2), и показать, что когда
л-=е4-2, значение полинома будет 1/(с + 1)- (Экз. 1911 г.)
17. Показать, что если х является рациональной функцией от у и у —
рациональной функцией or х, то Аху -\- Вх 4- Су 4- D = 0.
18. Если у является алгебраической функцией от х, то х есть также
алгебраическая функция от у.
19. Проверить, что уравнение
1 л г*
COS -у 7СХ = 1
приближенно справедливо для всех значений х между 0 и 1. [Взять л:—0,
-?-> -т.-, -Н-! ¦о"» -5*> 1 и использовать таблицы. Для каких из этих значе-
О О Z О О
ний формула точна?]
20. Каковы формы графиков функций
21. Каковы формы графиков функций
z = sin д: sin з', 3
22. Геометрические построения иррациональных чисел. В гл. I мы
привели два простых геометрических построения длины, равной 1/2, при
заданной едивичной длине. Мы показали также, как построить корни любого
квадратного уравнения ах* -\- 2Ъх -)- с = 0, в предположении, что мы можем
построить отрезки, длины которых равны отношению любой пары коэф-

Функции действительного переменного 73
фициентов а, Ь, с, что наверно имеет место, если а, Ь, с рациональны. Все
эти построения были эвклидовыми построениями: они производились с по-
помощью только линейки и циркуля.
Совершенно очевидно, что мы можем построить этими методами и
любую длину, которая измеряется иррациональным числом, определенным
любой сколь угодно сложной комбинацией квадратных корней. Подходящим
примером является, скажем,
lA/ 17 + 3/11 ,/
17 —
yii У п + зуи '
Это выражение содержит корень четвертой степени, но он является, ко-
конечно, квадратным корнем из квадратного корня. Мы должны были бы
начать с построения ]/11 как среднего между 1 и 11; затем построить
17 + 3J/11 и 17 — 3 У П и т. д. Или же эти две смешанные иррациональ-
иррациональности можно было бы построить непосредственно как корни уравнения
Xs— 34* +190 = 0.
Обратно, только иррациональности такого вида могут быть построены
эвклидовыми методами. Исходя из единичной длины, мы можем построить
любую рациональную длину, а следовательно, мы можем построить прямую
Ах-\-Ву + С=0, если отношения коэффициентов А, В, С рациональны.
Далее, мы можем построить окружность
(или х*-\-y*-{-2gx-\-2fy-\-с = 0), если а, р, р рациональны (отсюда следует
что и g, /, с рациональны).
Но в любом эвклидовом построении каждая новая точка, получаемая
на чертеже, определяется либо как пересечение двух прямых или двух
окружностей, либо как пересечение прямой и окружности. Если же коэф-
коэффициенты рациональны, то пара уравнений вида
c = 0
дает в качестве решения значения х и у вида m + nj/p, где т, я, р
рациональны. Действительно, если мы подставим во второе уравнение у,
выраженное через х из первого, то мы получим для х квадратное уравне-
уравнение с рациональными коэффициентами. Таким образом, координаты всех
точек, получаемых с помощью прямых и окружностей с рациональными
коэффициентами, выражаются через рациональные числа и квадратичные
ироациональности. То же можно сказать и относительно расстояния
]/(-?i — хгJ -f- (Уi.—УъУ между любыми двумя такими точками.
С построенными таким образом иррациональными расстояниями мы
можем перейти к построению прямых и окружностей, коэффициенты которых
сами уже содержат квадратичные иррациональности. Очевидно, однако, что
все длины, которые могут быть построены с помощью таких прямых
и окружностей, все же выражаются в конечном счете только через
квадратные корни, хотя их выражения могут иметь очень сложный вид.
Это положение остается в силе и при любом числе повторений наших
построений. Таким образом, эвклидовыми методами можно построить
любую иррациональность, содержащую только квадратные корна, а
нельзя построить никаких других иррациональностей.
Одна из знаменитых проблем древности состояла в удвоении куба, т. е.
в построении эвклидовыми методами длины, измеряемой у 2. Можно пока-
зать, что у 2 не может быть выражен конечной комбинацией рациональ-
рациональных чисел и квадратных корней, так что решение этой проблемы невоз-

74 Глава вторая
можно. См. Hobs on, Squaring the circle, стр. 47 и дальше*). Первый этап
доказательства, именно доказательство того, что "j/T не может быть кор-
корнем квадратного уравневия ах2 -(- 1Ъх -\- с = 0 с рациональными коэффициен-
коэффициентами, был приведен в гл. I (Разные примеры, 27).
23. Показать, что единственными длинами, которые могут быть построены,
исходя из данной единичной длины, с помощью одной линейки., являются
рациональные длины.
24. Приближенная квадратура круга. Пусть О будет центр круга
радиуса R. На касательной в точке А круга отложим АР = -=-/? и AQ =
— — R в одном и том же направлении. На луче АО отложим AN=OP и
проведем NM параллельно OQ до пересечения с АР в точке М- Показать,
что
и что принятие AM за длину окружности радиуса R приводит к значению
~, точного до пяти знаков после запятой. Если R —• радиус Земли, то ошибка
при замене длины экватора длиной AM не превосходит 10 м.
[Мы указывали в п. 15, что я трансцендентно; но в этой книге мы не
можем даже доказать, что оно иррационально. Это впервые доказал Ламберт
в 1761 г. с помощью непрерывных дробей.
и * * 22 355
Наиболее известными приближениями к к являются -=- и j^-z, причем
последнее приближение точно до шести знаков после запятой. Индусы
применяли приближение |/Тб (с ошибкой уже во втором знаке). Большое
число весьма замечательных приближений может быть найдено в работах
Рамануджана (R a m a n u j a n, Collected papers, стр. 23—39). Простейшими
являются:
они точны, соответственно, до 3, 3, 8 и 9 знаков после запятой.]
25. Построения у 2. Пусть О является вершиной и S — фокусом пара-
параболы у2 — 4х, и Р—одна из точек пересечения этой параболы с параболой
х* =2у. Показать, что ОР пересекает фокальную хорду первой параболы,
перпендикулярную ее оси, в такой точке Q, что SQ = y2.
26. Возьмем окружность с диаметром ОА, равным единице, и касатель-
касательную в точке А. Проведем хорду ОВС, пересекающую окружность в точке В,
а касательную — в точке С. На этой прямой отложим ОМ = ВС- Взяв О
в качестве начала и ОА за ось х, показать, что геометрическое место
точек М является кривой
(называемой циссоидой Даоклеса). Начертить эту кривую. Возьмем вдоль
оси у длину OD = 2. Пусть AD пересекает кривую в точке Р и ОР — каса-
касательную к окружности в Л в точке Q. Показать, что AQ = y 2.
*) См. также Адлер, Теория геометрических'построений, Учпедгиз, 1940,
36 и 45. (Прим. перев.)

ГЛАВА III
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
34. Смещения вдоль линии и на плоскости. „Действительное
число" х, с которым мы имели дело в двух предыдущих главах, может
рассматриваться со многих точек зрений. Оно может рассматри-
рассматриваться просто как число, лишенное какого бы то ни было геоме-
геометрического смысла, или такой геометрический смысл может быть
ему приписан по крайней мере тремя различными способами. Оно
может рассматриваться как мера длины, а именно, длины А9Р вдоль
прямой А из гл. I. Оно может рассматриваться как значок точки,
а именно, точки Р, расстояние которой от Ай равно х. Или, наконец,
оно может рассматриваться как мера смещения, или изменения
положения на прямой А. На этой третьей точке зрения мы и со-
сосредоточим наше внимание.
Представим себе небольшую частицу, расположенную в точке Р
на прямой А и затем перенесенную в Q. Мы будем называть то
смещение, или изменение положения, которое необходимо для пере-
перенесения частицы из Р в Q, смещением PQ. Для полного задания
смещения необходимы три данных: его величина, его ориентация
вдоль прямой, и то, что можно назвать его точкой приложения,
т. е. исходное положение Р частицы. Но когда мы говорим только
об изменении положения, произведенном смещением, как таковом,
естественно не принимать во внимание точку приложения и рас-
рассматривать все смещения с равными длинами и одинаковой ориен-
ориентацией как эквивалентные. Тогда смещение полностью задается
длиной PQ=x, причем ориентация его определяется знаком х. Мы
можем поэтому говорить о смещении [х] 1) и писать PQ — [х].
Мы применяем квадратные скобки для того, чтобы отличить
смещение [х] от длины или числа лгг). Если а является координатой
') Вряд ли необходимо предупреждать читателя о том, чтобы он не
смешивал этого применения символа [х] с его применением в гя. II (см.
примеры XVI и Разные примеры, 20).
2) Строго говоря, мы должны были бы с помощью какого-либо анало-
аналогичного различия в обозначениях отличать длину х от числа х, измеряю-
измеряющего ее. Читатель, быть может, будет склонен рассматривать такие разли-
различия как излишний педантизм. Но с накоплением математического опыта он
убедится в чрезвычайной важности ясного разяичвя между объектами,
которые хотя и весьма тесно связаны друг с другом, но все же не тожде-
тождественны.

76
Глава третья
точки Я,, то координатой Q будет а-\~х. Смещение [х], следова-
следовательно, переносит частицу из точки а в точку a-f-лг.
Переходим теперь к рассмотрению смещений на плоскости. Мы
можем определить смещение PQ так же, как это было сделано
выше. Но теперь требуется больше данных для полного задания
смещения. Мы должны знать: 1) величину смещения, т. е. длину
отрезка PQ, 2) направление смещения, которое определяется углом
между PQ и некоторой фиксированной прямой на плоскости,
C) ориентацию смещения и D) его точку приложения. От этого
последнего требования мы можем отказаться, если условимся
рассматривать два смещения одина-
одинаковой величины и одного и того
же направления и смысла как экви-
эквивалентные. Другими слонами, если
PQ и RS равны и параллельны и
смысл движения от Р к Q тот
же, что и от R к S, мы считаем смеще-
смещения PQ и RS эквивалентными и пишем
Фиг. 17 .
Возьмем теперь какую-либо си-
систему координат на плоскости
(как, например, ОХ, О К на фиг. 17). Проведем отрезок О А, рав-
равный и параллельный PQ так, чтобы смысл движения от О к Л был
бы тем же, что и от Я к Q. Тогда PQ и ОА — эквивалентные сме-
смещения. Пусть х и у будут координатами А. Тогда, очевидно, ОА
полностью определено, если х и у заданы. Мы будем называть ОА
смещением [х, у] и писать
IDA =f>Q = RS = [х, у].
35. Эквивалентность смещений. Умножение смещений на
числа. Если I и tj являются координатами точки Я, а I' и ¦»)'— коор-
координатами точки Q, то, очевидно,
Смещение из (?, •*)) в (I1, •*)') будет поэтому
Ясно, что два смещения [х, у], [х', у'] эквивалентны тогда и
только тогда, когда х = х', у=у'. Таким образом, [х, у] = [х',у']
в том и только в том случае, когда
х==хг у==у.
A)

Комплексные числа 77
Обратным смещением QP будет [I — ?', -ц—>>)'], и естественно
условиться, что
[\ — \\ -п—п'] =—[?—*, ti'—nh
QP = — PQ.
Эти соотношения в действительности являются определениями сим-
символов — [I'—%, у\'—у\] и —PQ. Положив, таким образом,
— \х, у\ = \—х, —у],
естественно, далее, условиться в том, что
<*[х, y] = lax, ay], B)
где а—-любое действительное число (положительное или отрица-
отрицательное). Так, например, если ОВ== -^ ОА (см. фиг. 17), то
Уравнения A) и B) определяют два первых важных понятия,
связанных со смещениями, а именно: эквивалентность смещений и
умножение смещений на числа.
36. Сложение смещений. Мы еще пока не дали определения,
в силу которого выражениям
был бы приписан определенный смысл. Интуиция сразу нам под-
подсказывает, что мы должны определить сумму двух смещений как
смещение, являющееся результатом последовательного осуществления
двух данных смещений. Другими словами, если QQt равно по дли-
длиной ^параллельно P'Q', то в результате последовательных смещений
PQ, P'Q' частица переносится из точки Р сначала в точку Q, а
затем в Qt, так что мы должны определить сумму PQ и P'Q' как
PQt. Если мы, стало быть, проведем ОА, равное по длине и парал-
параллельное PQ, и OS, равное по длине и параллельное P'Q', и
достроим параллелограм ОАСВ, то будем иметь
PQ _}_ prQ'= ОА -j- ОВ = ОС
(фиг. 18).
Рассмотрим следствия из этого определения. Если х\ у' — коор-
координаты точки В, то координатами середины отрезка АВ будут
~2 (х -j- x'), -2(у-\~у'), и, следовательно, С будут иметь координаты
х-\-х', у-\-у'- Таким образом,
[х, У] + [х\ у'\ = [х +*', у +/], C)

78
Глава третья
что может рассматриваться как символическое определение сложе-
сложения смещений. Заметим, что
[*', У1 + 1*. у] = [*' + *> /+jM = l* + *
Другими словами, сложение смещений подчиняется закону комму-
коммутативности, выражаемому в обычной алгебре равенством а-\-д =
— ь _|_ а. Этот закон выражает очевидный геометрический факт, что
если мы движемся из Р сначала по отрезку PQ^, равному по длине
и параллельному P'Q', а затем по отрезку, равному по длине и
Фиг. 18
параллельному~PQ, то мы придем н ту же самую точку Qlt что и
прежде.
В частности,
[х,у] = 1х,0] + [0,у]. D)
Здесь [х, 0] означает смещение на расстояние х в направлении,
параллельном ОХ Это то смещение, которое мы обозначали через
[х\, когда рассматривали смещения только вдоль прямой. Мы назы-
называем [х, 0] и [0, у] компонентами [х, у], а [х, у] — их результи-
результирующей.
После того как мы определили сложение двух смещений, не
представляет уже труда определение суммы любого числа смещений.

Комплексные числа 79
Так, по определению,
I*. у] + [*', У1 +1*", у") = ([*, у] +1*', У ]) +1*", У'] =
= 1*+*'. J'+yi+ I*". У'! = [*+*'+*". з'+У+У']-
Мы определяем вычитание смещений уравнением
[х, у] - [х\ /] = [х, у] + (- [х\ у'}), E)
что ничем не отличается от [х, у] -f- [—х', ¦—у'] или от [х—л'>
V—У]. В частности,
1х,у] — [х,у] = [0, 0].
Смещение [0, 0] оставляет частицу на прежнем месте; оно
является нулевым смещением, и мы будем писать вместо [0, 0]
просто 0.
Примеры XX. 1. Доказать, что
A) а [р*. gy] = р [ад, ау] = [в р *; а р у].
B) ([*, у] +1*', У]) + [*", У] = [*, У1 + их', У] + [х", у")).
C) [х,у] + {х',У} = 1х',у] + [х,У].
D) (* + Р)[х,у] = а[х,у]+[1[х,у].
E) а {[л:, у] + [*', У']} = а[х,у]+а [х1, у'].
[Мы уже доказали C). Остальные соотношения так же легко следуют
из определений. Читателю рекомендуется в каждом случае рассмотреть геоме-
геометрическое толкование уравнения, как мы это проделали выше в случае C).]
2. Если М — середина PQ, то 0М = у (OP~+~OQ). Вообще, если М
делит PQ в отношении [*:Х, то
Ш = г-4- ОР + г-г- OQ-
3. Если G — центр тяжести материальных точек Plt Ps,..., Pnc равными
массами, то
1
4. Если Р, Q, R — три точки, лежащие на одной прямой, то существуют
три действительные числа а, $, у, не все равные нулю и такие, что
Обратное предложение также справедливо. [Это представляет собой лишь
перефразировку примера 2.]
5. Если А В и АС — два смещения, не лежащие на одной прямой, и
= -(АВ+ Ь,~АС,
то a = Y и C = S.
[Возьмем ABj = aAB, Ad=^AC. Достроим параллелограм ABJ^xCi.
Тогда APi = aAB-\-§ А С. Очевидно, что APt может быть выражено в таком
виде только одним способом, откуда следует теорема.
6. Пусть ABCD — параллелограм. Через точку Q, лежащую внутри
параллелограма, проведены параллельно сторонам отрезки RQS и TQU.
Показать, что RU и TS пересекаются на АС (фиг. 19).

третья
[Обозначим отношения AT: АВ, AR:AD соответственно через а и
Тогда
А~Т=аАВ, AR^
A~U = aAB+AD,
Пусть RU пересекает А С в точке Р. Так как точки R, U, Р коллинеарны*),
то мы имеем:
где [а/Х — отношение, в котором Р делит RU. Другими словами,
Но так как Р лежит на АС,
где к — некоторое число. Следовательно (пример 5), ар = (ЗХ -(- у. =
откуда мы заключаем, что
Симметрия полученного выраже-
выражения показывает, что аналогичное
рассуждение должно привести к
соотношению
/IT В
если Р' является точкой пересе-
фаг- 19 чения TS и АС. Следовательно,
точки Р и Р' совпадают.]
' 7. Пусть ABCD—¦ параллелограм и М — середина АВ. Показать, что
MD делит АС в отношении 1:3 и что АС делит MD в том же отношении1).
37. Умножение смещений. До сих пор мы не делали попыток
придать какой-либо смысл понятию произведения двух смещений.
Единственным видом умножения, который мы рассматривали, являлось
умножение смещения на число. Выражение
[х, У] [*'> У'}
пока ничего не означает, и мы можем определить его как пожелаем.
Наш выбор определения обусловливается следующими принципами.
Ясно, во-первых, что произведение двух смещений должно быть также
смещением. Далее, мы определили а[х, у], где а — действительное
lysis.
*) Т. е. лежат на одной прямой. (Прим. перев.)
1) Последние два примера взяты из книги Willard Gibbs, Vector ana-

Комплексные числа 81
число, как [аи:, <ху]; но а можно рассматривать как смещение [а, 0].
Следовательно, изменяя наши обозначения, мы видим, что, во-вторых,
в силу нашего определения, должно быть
[х, 0] [л;', У] = [хх1, ху'].
Наконец, в-третьих, наше определение должно подчиняться обычным
законам умножения, а именно, переместительности, распределитель-
распределительности и сочетательности, так что
[¦*. У][х, /] = [*', /][*. У),
([х, у] + [х1, у'}) [х", у"] = [х, у] [х", у"} + [х1, у'] [х", у],
[*, У] (I*', У'] + [*". У"]) = [х, У) [х1, у'] + [х, у] [х", У)
и [*, у] {[х, У'] [х", у"}) = ([х, у] [х\ у]) [л", У].
Таким образом,
[х, у] \х', у'} — [хх1, уу']
не будет подходящим определением, так как оно дало бы
[х, 0][х',у'] = [хх', 0],
что противоречит нашему второму требованию.
38. К нужному определению нас приводят следующие соображе-
соображения. Мы знаем, что если ОАВ nOCD — два подобных треугольника
с равными углами в вершинам, соответственно, О, А и С, В и D, то
ОВ _ОР
ОА — ОС
или О В • ОС=ОА • OD (фиг. 20). Это наводит нас на мысль попы-
попытаться определить умножение и деление смещений так, чтобы
Ш9В
ОА ОС
Пусть теперь
ОВ=[х,у], ОС=[х',у'], OD=[X, Y].
Предположим, что А является точкой A,0), так что ОЛ = [1,0].
Тогда
OA-OD = [l, 0][X, Y] = [X, Y],
и, следовательно,
[*. У] 1х', У) = [X, Y).
Произведение ОВ • ОС должно быть поэтому определено как OD, где
точка D полз'чается построением на ОС треугольника, подобного
треугольнику ОАВ. Чтобы избавиться от двузначности этого опре-
определения, заметим, что на ОС мы можем построить два таких тре-
треугольника, OCD и OCD' (см. фиг. 20). Мы выбираем тот, для кото-
которого угол COD равен углу АОВ не только по величине, но и по
знаку. Мы будем говорить, что такие два треугольника подобны и
одинаково ориентированы.
6 Г. Харди

82
Глава третья
Если полярные координаты точек В и С суть, соответственно,
(р, 6) и (о, ф), так что
то точка D будет иметь полярные координаты (ро, б -J- <р). Сле-
Следовательно,
X = ро cos F -f- <р) = хх' —уу',
Y = ро sin (б + ф) = ху' -\-ух'.
Требуемым определением будет поэтому следующее:
[*. У] [*', У'] = [хх' —уу', ху' +УХ1). F)
D
Мы видим, во-первых, что, если у = 0, то Х = хх', Y = xy', как
мы требовали; во-вторых, что правая часть не изменится, если мы
поменяем местами л: и л:', и у и у', так что
и, в-третьих, что
{[х, у] + [х1, у')} [х", у"] = [х + х1, у+у') [х", У'] =
= [хж''-^y", а:/' +^л:"] + [х'х" -у'у", х'у" +/*"] =
Аналогично мы можем проверить, что удовлетворяются все соот-
соотношения, приведенные в конце п. 37. Таким образом, определение F)
удовлетворяет всем требованиям, которые мы предъявляли к нему
в п. 37.

Комплексные кисла 83
Пример. Показать непосредственно из приведенного выше геометричес-
геометрического определения, что умножение смещений подчиняется веремеетитель-
ному и распределительному законам. [Возьмем, например, закон перемести-
переместительности. Произведение ОВ • ОС равно OD (см. фиг. 20), причем COD
подобен АОВ. Для построения произведения ОС- ОВ мы доАкяы ггостроить
на ОВ треугольник BODU подобный АОС; таким образом, нужно только
доказать, что точки D и ?>i совпадают или что треугольники BOD и АОС
подобны. Но это —простая задача элементарной геометрии.]
39. Комплексные числа. Точно так же, как смещению [л:] вдоль
ОХ соответствует точка (л:) или действительное число л:, так и сме-
смещению [л:, у] на плоскости соответствует точка (л:, у) или пара
действительных чисел х, у.
Оказывается удобным обозначить эту пару действительных чисел
х, у символом
x-\-yL
Почему выбирается именно такое обозначение, выяснится дальше.
Пока читатель должен рассматривать x-\-yi просто как другой
способ записи символа [х,у]. Символ x-\-yi называется комплексным
числом.
Мы переходим теперь к определению эквивалентности, сложения
и умножения комплексных чисел. Каждому комплексному числу
соответствует смещение. Два комплексных числа эквивалентны, если
эквивалентны соответствующие им смещения. Суммой и произведе-
произведением двух комплексных чисел являются комплексные числа, соответ-
соответствующие сумме и произведению соответствующих смещений. Таким
образом,
x+yi = x'+y4 A)
тогда и только тогда, когда х = х', у=у';
(х +yi) + (х1 +y'i) = (х + х1) + (У +/) i, B)
(* +yi) (x1 +/0 = **' —УУ' + (*/ +ух') L C)
В качестве частных случаев из B) и C) мы получаем:
х +yi = (jc + 0/) + @ +у[),
(х + 0i) (*' +^'0 = хх1 + xy'i,
и эти соотношения показывают, что мы не должны опасаться недо-
недоразумений, когда, имея дело с комплексными числами, мы пишем х
вместо x-\-0i и yi вместо 0 -\-yl.
Читатель легко проверит сам, что сложение и умножение ком-
комплексных чисел подчиняется законам алгебры, выражаемым следую-
следующими соотношениями:
(х +yi) + (*' +/0 = (*' +У'1) + {х +yi),
C- +у 0} + (х" +y"i) = (х +yt) +

84 Гл&ва треШк
\х +yl) (х' +y'i) = (х'
{х +yt) \{х' +У0 + (х" +У0} = (x+yi) (х1 +y'i) +
i(x +У1) + <*' +У0} (х" +y"i) = (х +yi) (*" +У 7)
У0} = {(*+У) (*' +У0} (*"
доказательства которых фактически тождественны доказательствам
соответствующих соотношений между смещениями.
Вычитание и деление комплексных чисел определяются как в обыч-
обычной алгебре. Так, мы определяем {x-\-yi) — (x'-\-y'i) как
или, что то же самое, как такое число S —[— -yji, что
Наконец, (x-\-yi)fcx' -\-y'i) определяется как комплексное число
5-^-г)/, для которого
или
или
х'1—у\ = х, х'ц+у'Ъ=у. D)
Решая эти уравнения относительно S и г\, мы получаем:
^ хх' +уу' ух' — ху'
Это решение теряет смысл, когда л:' и у' оба равны нулю, т. е. когда
х' -\-у'1 = 0. Таким образом, вычитание всегда возможно; деление
всегда возможно, за исключением того случая, когда делитель равен
нулю.
Мы можем теперь определить целые положительные степени
комплексного числа x-{-yi, полиномы от x-\-yi и рациональные
функции от x-\-yi, как в обычной алгебре.
___ Примеры. A) С геометрической точки зрения задача деления смещения
OD на смещение ОС состоит в определении точки В так, чтобы треуголь-
треугольники COD и АОВ были подобны, и это, очевидно, возможно (и решение
единственно), если С не совпадает с О, т. е. если ОС^О.
B) Комплексные числа x-\-yi, х—yi называются сопряженными.
Проверить, что

Комплексные числа 85
так что произведением двух сопряженных чисел является действительное
число, и что
x+yi (x+yi)(x'—y't) __xx'+yy'
х' +y'i (.
40. Одно из наиболее важных свойств действительных чисел содер-
содержится в следующей теореме: произведение двух чисел не может
быть равно нулю, если ни одно из них не равно нулю. Для того
чтобы показать, что эта теорема остается в силе и для комплексных
чисел, положим х = 0, у = 0 в уравнениях D) предыдущего пункта.
Тогда
Из этих уравнений следует, что ? = 0, г\ = 0, т. е. что
если не имеют места равенства: лг' = О и у' = 0, т. е. х' -\-у'1 = 0.
Таким образом, x-\-yi не может быть равно нулю без того, чтобы
одно из чисел х' -\-y'i или ij -|- t\i не обращалось в нуль.
41. Уравнение л:а = —1. Мы условились упрощать наши обо-
обозначения, записывая л: вместо л: +. 01 и yi вместо 0 -\-yi. В частности,
комплексное число И мы обозначаем просто через L Это — число,
соответствующее единичному смещению вдоль OF. Мы имеем также:
р = ZZ=@ + 1Z)@ + 1/) = @-0 — 1 • 1) + @ • 1 + 1 - 0)i = — 1.
Аналогично, (— г)8 = — 1. Таким образом, комплексные числа/ и
— I удовлетворяют уравнению л:'2=—1.
Читатель теперь легко убедится в том, что правила сложения и
умножения комплексных чисел сводятся просто к тому, что действия
над комплексными числами производятся в точности так же, как
над действительными числами, причем символ I тоже рассматри-
рассматривается как число, но произведение ii = i8 заменяется на — 1 всюду,
где оно встречается. Так, например,
(х -\-yl) (х' -\-y'l) = xx' + xy'i -\-yx'i -j-yy'P =
= (хх' —уу') + (*/ +ух') i.
42. Геометрическое толкование умножения на L Так как
мы видим, что если x-\-yi соответствует OP nOQ, равное ОР, про-
проведено так, что POQ^ положительный прямой угол, то (x-\-yi)i
соответствует OQ. Другими словами, умножение комплексного числа,
на I поворачивает соответствующее смещение на прямой угол.
Мы могли бы развить всю теорию комплексных чисел с этой
точки зрения. Исходя из представления л:, как смещения ОХ, и из
г, как символе операции, эквиралеитной рррОррту х на прямой угол,

Глава третья
р
мы пришли бы к представлению об yl, как смещении величины у
вдоль 0Y. Далее было бы естественным определить x-\-yi, как
в пп. 36 и 39, и (x-j-yl)i представляло бы смещение, полученное
поворотом x-\-yi на прямой угол, т. е. —y-\-xi. Наконец, мы
определили бы (x-\-yl)x' как xx'-\-yx'i, (x-\~yi)y'i как —уу +
4-xy'i и
+ '+/
как сумму этих смещений, т. е. как
43. Уравнения 2* +1 = О, az* + Ibz + с = 0. Не существует
действительного числа z такого, что z? + l = 0; мы говорим, что
это уравнение не имеет действительных корней. Но, как мы видели,
комплексные числа /и —I удовлетворяют этому уравнению. Мы
говорим, что это уравнение имеет два комплексных корня /и — I.
Так как i удовлетворяет уравнению г* = —1, его иногда записывают
в виде -\[—1.
Комплексные числа иногда называются мнимыми 1). Этот термин
не очень удачен, но он прочно вошел в употребление и должен
быть принят. Но „мнимое число" не более „мнимо", в обычном
смысле этого слова, чем „действительное" число или любое другое
математическое понятие.
Действительное число не является числом в том же смысле,
в каком понимается рациональное число, и комплексное число таюке
не является числом в том же смысле, в каком понимается действи-
действительное число. Комплексное число является, как читателю должно
быть ясно из предыдущих рассмотрений, парой чисел (л:, у), симво-
символически объединенных в целях удобства оперирования с ними в форму
x-\-yl. Так,
/ = 0+1/
лишется вместо пары чисел @, 1) и геометрически может быть
представлено точкой или смещением [0, 1]. И когда мы говорим,
что i является корнем уравнения z2 + l=0, под этим понимается
только то, что мы определили метод комбинирования таких пар
чисел (или смещений), который мы называем „умножением" и который
при комбинировании им пары @, 1) с самой собой дает пару
(-1, 0).
Рассмотрим теперь более общее уравнение
где а, Ь, с — действительные числа. Если Ь^~^>ас, то обычные методы
решения дают два действительных кория
') Выражение „действительное число" было введено как противопостав-
? числу",

Комплексные числа „ 87
Если же Ь^<^ас, то уравнение не имеет действительных корней.
Оно может быть записано в виде
, by ас — №
Z"Т" а) —
a I a*
что имеет место тогда, когда z-\-— является любым из двух ком-
комплексных чисел Hhil/ — (ас — б2) . Мы говорим, что уравнение
имеет два комплексных корня
а а
Если мы условимся говорить, что в случае Ьг = ас (когда уравне-
уравнение удовлетворяется только одним значением л:, а именно, -) урав-
уравнение имеет два одинаковых корня, то тогда квадратное уравне-
уравнение с действительными коэффициентами имеет два корня во всех
случаях, а именно: либо два различных действительных корня,
либо два одинаковых действительных корня, либо два различных
комплексных корня.
Естественно возникает вопрос, не может ли квадратное уравне-
уравнение, поскольку комплексные корни допускаются, иметь более двух
корней. Легко видеть, что это невозможно. Доказательство может
быть проведено с помощью тех же рассуждений, которые приме-
применяются в элементарной алгебре при доказательстве того, что урав-
уравнение степени п не может иметь более п действительных корней.
Обозначим комплексное число x-\-yi одной буквой z, т. е. будем
писать z = x-\-yi. Пусть f(z) означает любой полином от z с дей-
действительными или комплексными коэффициентами. Тогда мы после-
последовательно доказываем,
A) что остаток от деления f(z) на z — а, где а — любое действи-
действительное или комплексное число, равен /(а);
B) что если а является корнем уравнения f(z) = 0, то f(z)
делится на 2 — а без остатка;
C) что если f(z) — полином степени п и f(z) — 0 имеет п кооней
а„ а„ ..., ап, то
f(z) — A (z—aj {z — а2) ... (z — an),
где А — действительная или комплексная постоянная, а именно, коэф-
коэффициент при zn в f{z). Из этого последнего результата и из теоремы
п. 40 следует, что f(z) не может иметь более п корней.
Мы видим, что квадратное уравнение с действительными коэф-
коэффициентами имеет в точности два корня. Дальше мы увидим, что
аналогичная теорема имеет место для уравнения любой степени с дей-
1) Мы будем ивогда писать x + iy вместо x+yi.

88 Глава третья
ствительными или комплексными коэффициентами: равнение степени п
имеет в точности п корней. Единственным трудным местом до-
доказательства является доказательство того, что любое уравнение
должно иметь по крайней мере один корень. Доказательство этого
положения мы должны пока отложить '). Можно, однако, сразу же
отметить одно очень интересное следствие из этой теоремы. В теории
действительныхчиселмы исходим из положительных целыхчисел и из по-
понятий сложения и умножения и обратных действий — вычитания и деле-
деления. Мы находим, что эти действия не всегда выполнимы, если не ввести
некоторый новый вид чисел. Можно приписать определенное значе-
значение разности 3—7, если ввести отрицательные числа, или отноше-
3 с.
нию y > если ввести рациональные числа. Если мы расширим сово-
совокупность арифметических действий тем, что включим в нее извлечение
корней и решение уравнений, то найдем, что некоторые из этих
действий, как, например, извлечение квадратного корня из числа, не
являющегося точным квадратом, станет невозможным, если мы не;
расширим наше понятие о числе и не введем иррациональные числа,
как в гл. I.
Другие действия, как, например, извлечение квадратного корня
из —1, остаются и при этом невозможными, если мы не пойдем
еще дальше и не введем комплексные числа, как это сделано в на-
настоящей главе. Естественно предположить, что когда мы будем рас-
рассматривать уравнения высших степеней, то некоторые из них могут
оказаться неразрешимыми даже в терминах комплексных чисел, и что
мы, таким образом, столкнемся с необходимостью ввести числа еще
других типов. Тот факт, что корнями любого алгебраического урав-
уравнения являются обычные комплексные числа, показывает, что это
не так.
Все теоремы элементарной алгебры, которые доказываются при-
применением только правил сложения и умножения, остаются в силе,
независимо от того, являются ли числа, встречающиеся в них,
действительными или комплексными, так как эти правила применимы
к комплексным числам так же, как и к действительным. Например,
если мы знаем, что а и р являются корнями уравнения
az*-\-2bz-\-c=0,
то
! г, 2b n с
«+Р = —j. «Р = Т-
Аналогично, если а, |3, у—корни уравнения
агг + Ш> -\- Ъсг -f d = О,
то
') См. Приложение J,

Комплексные числа
89
Все такие теоремы справедливы, независимо от того, являются ли
а, Ь, ..., а, C,... комплексными или действительными числами.
44. Диаграмма Аргана. Пусть Р (фиг. 21)—точка (х, у),
г обозначает длину ОР и б—угол ХОР, так что
Как в п. 43, мы обозначаем комплексное число x-\~yl через z
и называем z комплексным переменным. Мы называем, далее, Р
точкой z, или точкой, соответствующей z; z называется аргументом'
Р, х — действительной частью, у — мнимой частью, г—модулем
и б — амплитудой z. Мы будем писать
x = Re(z), y=lm(z), r=\z\, 8 = am z.
Если у = 0, мы говорим, что z действительно, если х = 0,—
-yi и л:—yi, которые отличаются
что z чисто мнимо. Два числа л:-
только знаком их мнимой части,
называются сопряженными. Сле-
Следует отметить, что сумма . двух
сопряженных чисел 2х и их про-
произведение jc"-f-_y? оба действи-
действительны и что модули сопряжен-
сопряженных чисел равны между собой и
равны |/ х1 -\-у%, так что их'про-
изведение равно квадрату моду-
модуля каждого из них. Корни ква-
квадратного уравнения с действи-
действительными коэффициентами, напри-
например, являются сопряженными чи-
числами, если они не действительны.
Заметим, что 6 или am z является многозначной функцией от л:
и у, имеющей бесконечно много значений, которые отличаются друг
от друга на целые кратные 2тс '). Прямая, совпадающая с ОХ, будучи
повернута на любой из этих углов, примет положение ОР. Мы назовем
тот из этих углов, который заключен между —я и-к, главным зна-
значением амплитуды z. Это определение однозначно во всех случаях,
кроме того, когда одно из значений равно тс, так как в этом слу-
случае —¦ тс также является одним из значений. В этом случае мы должны
Фиг. 21
') Очевидно, что \z\ совпадает с полярной координатой г точки Р
и что другая полярная координата 8 является одним из значений am z.
Это значение не обязательно является главным значением, которое опреде-
определено дальше в тексте, так как, по п. 22, полярная координата заключена
между 05и 2л, тогда как главное значение заключено между —тс и к.

90 Глава третья
сделать специальную оговорку о том, какое из этих двух значений
считается главным. В дальнейшем, говоря об амплитуде z, мы будем,
как правило, иметь в виду ее главное значение.
Фиг. 22 обычно называется диаграммой Аргана.
45. Теорема Муавра. Следующие предложения непосредственно
следуют из определений сложения и умножения.
A) Действительная (или мнимая) часть суммы двух комплексных
чисел равна сумме их действительных (или мнимых) частей.
B) Модуль произведения двух комплексных чисел равен произ-
произведению их модулей.
C) Амплитуда произведения двух комплексных чисел либо равна
сумме их амплитуд, либо отличается от нее на 2ге.
Следует отметить, что главное значение atn(zz') не всегда равно сумме
главных значений am г и am г'. Например, если z = z' = ~ I 4-/, то главное
о
значение амплитуды z и z' равно -j-~- Но zz' = — 2i, и главное значение
1 3
am (zz) равно —я- ~, а не -я- тт.
Последние две теоремы могут быть выражены равенством
г (cos 6 ~\- I sin 6) • р (cos 9 -f-'lsm Ф) — rP [cos F -{- ф) -f- г sin F -f- яр)],
которое сразу доказывается раскрытием скобок в левой части и при-
применением известных тригонометрических формул для cosF-|-<p) и
sin F —|— ср). Вообще,
г у (cos б, -]-/ sin 6j) ¦ r2(cos6a-}- г sin б2)... rn(cos6n-]-/sin б„) =
= ryr%...rn {cos (oI + e3 + ... + en)+/sin (e,+ea+... + en)}.
Особенно интересным является тот случай, когда
Мы получаем тогда соотношение
(cos б -\- i sin б)" = cos п б -|- i sin n б,
где п — любое положительное целое число. Этот результат известен
как теорема Муавра ').
Далее, если
z = г (cos 6 -\- i sin б),
то
— = — (cos б — г sin б).
') В целях краткости обозначений иногда будет удобно писать CisS
вместо cos 6 4~ 2 sin 9. В этих обозначениях, предложенных проф. Харкнессом
и проф. Морлеем, теорема Муавра примет вид: (Cis9)re = Cis/i6. [Это
обозначение в русской литературе, и почти нигде в иностранной литературе,
не применяется. —Прим. перев.]

Комплексные числа
91
Таким образом, модуль числа, обратного z, равен величине, обратной
модулю z, а амплитуда числа, обратного z, равна амплитуде z, взятой
с обратным знаком. Мы можем теперь сформулировать теоремы для
отношения чисел, соответствующие теоремам B) и C).
D) Модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению
их модулей.
E) Амплитуда отношения двух комплексных чисел либо равна
разности их амплитуд, либо отличается от нее на 2тс.
Следовательно,
(cos 8 + i sin 8)-" = (cos 8 — i sin 8)" = {cos (— 8) -j-1 sin (— 6)}" =
= cos (— л8) -\- i sin (— лб).
Теорема Муавра справедлива, таким образом, для всех целочислен-
целочисленных значений п, как положительных, так и отрицательных.
К теоремам A) — E) мы можем добавить еще следующую теорему,
которая также весьма важна.
Фаг. 22
F) Модуль суммы любого числа комплексных чисел не превосхо-
превосходит суммы их модулей.
Пусть ОР, ОР', ... —смещения, соответствующие некоторым
комплексным числам. Проведем PQ равным и параллельным ОР',
QR равным и параллельным ОР" и т. д. В результате всех этих
построений мы достигнем некоторой точки U такой, что
OU=OP+ ОР' + ОР" +...
Длина OU является модулем суммы комплексных чисел, соответ-
соответствующих смещениям ОР, ОР' тогда сумма их модулей равна
длине всей ломаной OPQR... U, которая не меньше OU (фиг.^22).

92 Глава третья
Чисто арифметическое доказательство этой теоремы приведено
в общих чертах в примере XXI. 1.
46. Приведем некоторые теоремы о рациональных функциях от
комплексных чисел. Рациональная функция от комплексного пере-
переменного z определяется так же, как и рациональная функция от дей-
действительного переменного х, а именно, как отношение двух полиномов
от z.
ТЕОРЕМА 1. Всякая рациональная функция R(z) может быть
приведена к виду X-\-Yi, где X и У—рациональные функции от
х и у с действительными коэффициентами.
В первую очередь ясно, что любой полином P(x-\~yi) может
быть приведен, в силу определений сложения и умножения, к виду
A-\-Bi, где А и В — полиномы от х и у с действительными коэф-
коэффициентами. Аналогично, Q(x-\-yi) может быть приведено к виду
C-\-DL Следовательно,
может быть представлено в виде
A+Bi _ (A+Bi)(C — Di) _ AC+_BD . ВС —AD .
C + Di~~ (C + Di)(C — Di) ~ Cs+D* "+~ C* + D* l'
что доказывает нашу теорему.
ТЕОРЕМА 2. Если R (x -\-yi) = X-\- Yi, где R, как и выше, обо-
обозначает рациональную функцию, но с действительными коэф-
коэффициентами, то
R(x—yi) = X—YL
Утверждение легко проверяется для степени (х -\-yi)n непо-
непосредственным вычислением. Отсюда мы убеждаемся в справедливости
теоремы для любого полинома с действительными коэффициентами.
Следовательно, применяя принятые выше обозначения,
BC-AD
причем приведение к указанному виду проводится так же, как
и в предыдущей теореме, но с той разницей, что знак I всюду
изменен на обратный.
Очевидно, что результаты, аналогичные утверждениям теорем
1 и 2, имеют место для функций от любого числа комплексных
переменных.
ТЕОРЕМА 3. Если уравнение

Комплексные числа 93
коэффициенты которого действительны, имеет комплексные корни,
то они могут быть сгруппированы в пары сопряженных.
Ибо из теоремы 2 следует, что если x-\-yi является корнем, то
и х—yl также является корнем. Частным случаем этой теоремы
является тот факт (п. 43), что корни квадратного уравнения с дей-
действительными коэффициентами либо действительны, либо сопряжены.
Эта теорема иногда формулируется следующим образом: в урав-
уравнении с действительными коэффициентами комплексные корни
могут встретиться только в сопряженных парах *).
Примеры XXI. 1. Доказать теорему 6 п. 45 непосредственно из опреде-
определений и без помощи геометрических рассмотрений.
[Во-первых, для того чтобы доказать неравенство | z + z' j ^ | z | + | z' \,
нужно показать, что
Дальше теорема легко распространяется на общий случай. Теорема является
частным случаем „неравенства Минковского": см. Харди, Литтльвуд
и Полна, Неравенства, гл. II, п. 2.11].
2. Единственным случаем, в котором
|*| + |*Ч + ..•=!* + *' + ...|,
является тот, когда все числа z, z', ... имеют одинаковую амплитуду.
Доказать это геометрически и аналитически.
3. Доказать, что
\z-z'\^\\z\-\z'\\.
4. Если и сумма и произведение двух комплексных чисел действительны,
то эти числа либо сами действительны, либо сопряжены.
5. Если
а + Ь уТ+ (с + d Y% i = A + B V2 + (C + D}/2) /,
где а, Ь, с, d, А, В, С, D — действительные рациональные числа, то
а —А, Ь—В, с=С, d — D.
6. Представить следующие числа в виде А-\-В1, где А и В — действи-
действительные числа:
X и [а обозначают действительные числа.
7. Представить следующие функции от z — x-\-yi в виде X-\-Yi, где
X и Y— действительные функции от х и у: z*, z%,zn, —, z-\ , gJ~^, где
z z y ~y~ bz
a, p, у, S — действительные числа.
8. Найти модули чисел и функций в двух предыдущих примерах.
9. Прямые, соединяющие точки z = a, z — b и z = с, z = d, будут
перпендикулярными, если
c-d ~~ 2 '
*) Числа а-\~У~Ь и о—У~Ь, где а и b рациональны, иногда также
называются „сопряженными".

94 Глава третья
т. е. если -г. чисто мнимо. Каково условие параллельности этих прямых?
10. Пусть вершинами треугольника являются z = a, z = $, z = ~[, где
а, р, у — комплексные числа. Доказать следующие предложения:
A) центр тяжести находится в точке z = -7r(a + $ -j-у);
B) центр описанной окружности определяется соотношениями
1*-а| = |*-Р1 = 1*-т|;
C) три перпендикуляра, опущенные из вершин на противолежащие
стороны, пересекаются в точке, определенной соотношениями
D) внутри треугольника существует такая точка Р, что
ctg (в = ctg A -)- ctg В -)- ctg C.
[Для доказательства предложения C) заметим, что если А, В, С-
вершины треугольника и Р — любая точка z, то условием перпендикуляр-
перпендикулярности АР я ВС является (см. пример 9) то, что
Z — а
р —Т
чисто мнимо или что
Re (z — а) Re ф — ?) -f- Im (z — a) Im (j3 — "()=* 0.
Это уравнение и два аналогичных уравнения, получаемых из него цикли-
циклической перестановкой a, J3, 7, удовлетворяются одним и тем же значением z;
это следует из того, что сумма левых частей этих трех уравнений равна
нулю.
Для доказательства предложения D) возьмем ВС параллельным и
направленным вдоль оси х. Тогда >)
(-С), ?-а=-<
Мы должны определить z и <о из уравнений
(Z —а)(Р, —о,) (г-Р)(То-Ро) _(г-Т)(«о-То) г. 9
(г, - а.) ф - а) (г, - ft,) (Т - Р) ~ (*. - То) (« - 7) ~
где г0, о0, р„, у, обозначают числа, сопряженные с z, а, р, у-
Складывая числители и знаменатели этих трех равных дробей и при-
принимая во внимание, что
. , 1+Cis2u>
i ctg о) =, ' . „ ,
6 1 — Cis 2(o '
мы получим:
i ctg (о = ^ ~ ?) (&> — То) + (Т — °) (То — go) + (а — ?) ("о — Ро)
РТо — РоТ + Тао — Тоа + <*Ро — о,#
Отсюда легко выводится, что ctg<o равен -jt-(а2 + д2-)-с2), где Д —площадь
треугольника. А это эквивалентно нашему утверждению.
1) Мы предполагаем, что при обходе треугольника в направлении ABC
он остается слева.

Комплексные числа 95
Для определения z сложим числители и знаменатели трех равных
дробей, предварительно умножив каждый из них соответственно на
То — Ро °о — То Ро — ио
'Р-« ' Т-Э ' «-7 '
Из полученной таким образом новой дроби мы найдем, что
_ аа Cis Л + Щ Gis В + CV cis С
Z ~ a Cis Л + * Cis В 4-7Cis С
11. Два треугольника с вершинами в точках а, ?, с и х, у, z, подобны,
если
1 1 1
а Ъ с
х v z
= 0.
[Требуемое условие состоит в равенстве — (большие буквы
./4 О -Л ?
обозначают точки, аргументы которых обозначены соответствующими
¦ * .. Ь — о у — х т
малыми буквами) или ¦=- , что совпадает с данным условием.]
12. Вывести из предыдущего примера, что если точки х, у, z лежат на
одной прямой, то можно найти такие действительные числа а, ?, у, что
а-{-[3 + Т = 0 и ах -\-§у -j-T2 = 0; обратное предложение также имеет место
(см. пример XX. 4). [Использовать то обстоятельство, что в данном случае
треугольник с вершинами в х, у, z подобен некоторому вырожденному
в отрезок прямой треугольнику с вершинами на оси ОХ, и применить
результат предыдущего примера.]
13. Общее линейное уравнение с комплексными коэффициентами.
о
Уравнение az -j- C = 0 имеет единственное решение z=.— —, если а ф 0.
Если мы положим
a = a+Ai, $ = b + Bi, z = x-\-yi
н приравняем действительные и мнимые части, то получим два уравне-
уравнения для определения двух действительных чисел х и у. Наше уравнение
будет иметь действительный корень, если у = 0, что дает «лг-|-? = О,
Лдг + 5 = 0, условием же совместности этих двух уравнений является ра-
равенство
аВ — ЬА = 0.
14. Общее квадратное уравнение с комплексными коэффициентами
Это уравнение имеет вид
Если а и А не равны одновременно нулю, можно разделить уравнение
на a-\-Ai. Поэтому можно рассматривать
z2 + 2(b + Bi)z + (c+Cl)^0 A)
как каноническую форму нашего уравнения. Полагая z = x -{-yi н при-
приравнивая действительные и мнимые части, мы получаем систему двух
уравнений для х и у, а именно:
х2 — у2 + 2(Ьх — By) -}- с = 0, 2ху + 2(Ьу + Вх)+ С — О.
Если мы положим
лг-+-* = S, у+В=г„ b* — B2 — c = h, 2bB—C = k,
эти уравнения принимают вид: S2—if = h, 2b\ — k.

Глава третья
Возводя их в квадрат и складывая, находим:
Знаки мы должны выбрать так, чтобы ?тг; имело знак k, т. е. если k поло-
положительно, мы должны брать перед корнями одинаковые знаки, а если
k отрицательно, — разные.
Условия равенства корней. Корни могут быть равны в том и только
в том случае, когда оба фигурирующих выше квадратных корня обращаются
в нуль, т. е. когда Л = 0, & = 0, или, что то же самое, когда с — Ь%—В2,
С = 2ЬВ. Эти условия эквивалентны единственному условию с + Ci =(J>-\- Ы)\
которое выражает тот факт, что левая часть уравнения A) является точным
квадратом.
Условие существования действительного корня. Если
х* + 2 {р + В1) х + (с + Ci) = О,
где х — действительное число, то х2 -j- 2bx -f- с = 0, 2Вх -f- С = 0. Исключая х,
мы находим искомое условие в виде
С2
Условие существования чисто мнимого корня. Как легко найти, оно
имеет вид
С2 — АЬВС — 4Ь*с = 0.
Условие существования пары сопряженных комплексных корней. Так
как сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел действи-
действительны, то b-\-Bi и c-\-Ci должны быть оба действительны, т. е. должно
быть В = 0 и С = 0. Таким образом, уравнение A) может иметь пару сопря-
сопряженных комплексных корней только в том случае, когда его коэффициенты
действительны. Читателю следует проверить это заключение рассмотрением
явных выражений для корней. Если, кроме того, Ъг ^ с, то тогда корни
будут также действительными. Таким образом, для пары сопряженных корней
должно быть 5 = 0, С = 0, Ьг < с.
15. Кубическое уравнение. Рассмотрим кубическое уравнение
где G и Н—^комплексные числа, причем известно, что уравнение имеет
(а) действительный корень, (Ь) чисто мнимый корень, (с) пару сопряженных
корней. Полагая Н = \-\-\d, G = p-j-<rf> мы находим следующие условия.
(a) Условия существования действительного корня. Если jj. не равно
нулю, то действительным корнем является гг— и а3 -\- 27X(i.2J — 27(j.3p = 0.
С другой стороны, если (j. = 0, то должно быть также и а = 0, так что коэф-
коэффициенты уравнения действительны. В этом случае все три корня могут
быть действительными.
(b) Условия существования чисто мнимого корня. Если ц не равно
нулю, то чисто мнимым корнем является -J— и р3 — 27X(J-2p — 27ja3j = 0. Если
1* = 0, то должно быть также р = 0, и если yi есть корень, то у опреде-
определяется из уравнения у3 — ЗХу — а = 0, которое имеет действительные коэф-
коэффициенты. В этом случае все три корня могут быть чисто мнимыми.
(c) Условия существования пары сопряженных комплексных корней.
Пусть эти корни будут x-\-yl и х—yi. Тогда, так как сумма всех трех кор-
корней равна нулю, третий корень должен быть равен — 2х. Из соотношений

Комплексные числа
97
между коэффициентами и корнями уравнения мы выводим, что
уг — Зх* = ЗН, 2л-(Jt2+.y2) по-
последовательно G и Н должны быть оба действительны.
В каждом случае мы можем либо найти корень (причем тогда уравне-
уравнение может быть сведено к квадратному делением на известный множитель),
либо мы можем свести решение уравнения к решению кубического урав-
уравнения с действительными коэффициентами.
16. Пусть кубическое уравнение хг -\- aLx2 -(- а2х -j- аг = 0, где at =
= Ai-\-A\l, ..., имеет пару сопряженных комплексных корней. Доказать,
что третий корень равен—
если
i
17. Доказать, что если z3 -j- 3ffz -\- G =0
имеет два сопряженных комплексных кор-
корня, то уравнение
8а3 + 6аЯ — G — 0
имеет один действительный корень а, яв-
являющийся действительной частью ком-
комплексных корней исходного уравнения, а
также, что а одного знака с G.
18. Уравнение любого порядка с ком-
комплексными коэффициентами, вообще говоря,
не имеет ни действительных корней, ни
пар сопряженных комплексных корней.
Сколько условий должно удовлетворяться
коэффициентами для того, чтобы уравне-
уравнение имело (а) действительный корень,
(Ь) пару сопряженных комплексных корней?
19. Пучок окружностей. Пусть a, b, z
являются аргументами точек]'А, В, [Р
(фиг. 23). Тогда
если в левой части выбрано главное
значение амплитуды. Если окружности,
изображенные на фигуре, одинаковы, z', zv
Исследовать случай As =
P, Pp P\ и <ЛРВ=9, то легко видеть, что
Фиг. 23
z\ являются аргументами точек
am
z' — а
= я — 9, am'
— а
Ъ
= — 6,
а
z\-b
am — = — n -j- 9.
г,-о
Геометрическое место, определенное уравнением
'¦—Ь Л
am-
z— а
где 9 постоянно, является дугой АРВ. Заменяя 9 на t.—9, —9, —й-
получаем три остальные дуги окружностей.
7 Г. Харди

98 Глава третья
Система уравнений, получаемых в предположении, что 9 является пара-
параметром, изменяющимся от — те до те, представляет систему окружностей,
которые могут быть проведены через точки А и В. Следует, однако,
отметить, что каждая окружность должна быть разделена на две части,
которым соответствуют разные значения 9.
20. Рассмотрим теперь уравнение
|г — Ь
z —а
A)
где X — константа, не равная 1.
Пусть К будет точкой, в которой касательная к окружности АВР
в точке Р пересекается с АВ. Тогда треугольники КРА и КВР подобны и,
следовательно,
АР_РК _КА _ 1
РВ~ВК~"КР ~ X '
КА 1 , „
Отсюда мы видим, что т?Б = -гв-> и, таким образом, точка К—одна и та же
Ли Л
для всех положений Р, удовлетворяющих уравнению A). Кроме того
КРг = КА -KB и, следовательно, является константой. Поэтому геометри-
геометрическим местом точек Р является окружность с центром в К.
Система уравнений, получаемых при изменении X, представляет систему
окружностей, причем каждая окружность этой системы пересекает каждую
окружность системы примера 19 под прямым углом. Когда Х=1, окруж-
окружность превращается в прямую линию.
Система окружностей примера 19 называется эллиптическим пучком
окружностей. Система примера 20 называется гиперболическим пучком
окружностей, причем А и В называются предельными точками этого
пучка. Если X очень велико или очень мало, то соответствующие окруж-
окружности очень малы и содержат внутри себя А или, соответственно, В.
21. Дробно-линейные преобразования. Рассмотрим уравнение
z = Z+a, A)
где z = x-\-yi и Z = X-\- Yi — два комплексных переменных, которые мы
предположим представленными на двух плоскостях хоу, XOY. Каждому
значению z соответствует одно значение Z, и наоборот. Если a = a-fP', то
и точке (л:, у) соответствует точка (A', Y). Когда (х, у) описывает какую-
либо кривую в плоскости хоу, {X, Y) описывает кривую в плоскости XOY.
Таким образом, каждой фигуре в одной плоскости соответствует фигура
в другой плоскости. Переход такого рода от фигуры в плоскости хоу
к фигуре в плоскости XOY с помощью соотношения типа A) называется
преобразованием. В данном случае соотношение между соответствующими
фигурами определяется очень легко. Фигура в плоскости ХО Y совпадает по
размерам, форме и ориентации с фигурой в плоскости хоу, но она сдвинута
на расстояние а влево и на расстояние р вниз. Такое преобразование назы-
называется параллельным переносом.
Рассмотрим теперь уравнение
z = pZ, B)
где р положительно. Это дает х=рХ, y = pY. Фигуры подобны друг другу
н подобно расположгны относительно соответствующих начал координат, но
масштаб фигуры в плоскости хоу изменен в р раз по сравнению с мас-
масштабом фигуры в плоскости XOY. Такое преобразование называется подобием.
Далее рассмотрим уравнение
z — (cos cp -f i sin tp) Z. C)

Комплексные чидлй 99
Ясно, что \z\-\Z\ И что одно из значений amz равно amZ-)-tp, так что
фигуры отличаются друг от друга только тем, что фигура в плоскости хоу
повернута относительно фигуры в плоскости XOY на угол tp в положи-
положительном направлении. Такое преобразование называется вращением.
Общее линейное преобразование
z = aZ+b D)
является комбинацией трех преобразований A), B), C). Ибо, если |а| = р
и am a = tp, мы можем заменить D) тремя уравнениями:
z = z'-\-b, z' = pZ', Z* = (cos9-J-isincp) Z.
Таким образом, общее линейное преобразование эквивалентно комбинации
параллельного переноса, подобия и вращения.
Рассмотрим, далее, преобразование
*=4- E)
Если \Z\=R и аш2'=@,то|г| = -^я amz = — в, т. е. для перехода от
/\
фигуры в плоскости хоу к фигуре в плоскости ХО Y мы должны произвести
инверсию первой из них в единичной окружности с центром в начале о
и затем зеркально отразить полученную фигуру относительно оси ох
(т. е. построить симметричную фигуру по другую сторону от олг).
Рассмотрим, наконец, преобразование
Оно эквивалентно комбинации преобразований
-ad)^-, z' = ±;,Z' =
т. е. некоторой комбинации преобразований рассмотренных выше типов.
Преобразование F) называется общим дробно-линейным преобразо-
преобразованием. Решая его относительно Z, находим:
„ dz — b
cz — а
Общее дробно-линейное преобразование является наиболее общим типом
преобразования, при котором одно н только одно значение z соответствует
каждому значению Z, и наоборот.
22. Общее дробно-линейное преобразование преобразует окружности
в окружности. Это может быть доказано многими способами. Мы можем
сослаться на известную геометрическую теорему, что инверсия преобразует
окружности в окружности (которые, в частности, могут быть, конечно,
и прямыми). Или же мы можем использовать результаты примеров 19 и 20.
Если, например, окружность в плоскости хоу имеет уравнение
—р
то подставляя вместо z его выражение через Z, мы получаем:
Z — а'
где
*12^ Ь ~ Pd х' 1 п ~ рС U.
х 1
а — ас' ^ а — рс' |д—ос

100 Глава третья
23. Рассмотреть преобразования
_1 _1+Z
Z~~Z' Z-T=Z
и начертить в плоскости XOY кривые, соответствующие A) окружностям
с центрами в начале, B) прямым линиям, проходящим через начало.
24. Условием того, что при преобразовании
*?±
cZ+d
окружности х3-\-у3=1 соответствует прямая линия в плоскости XOY,
является | а | = | с (.
25. Двойные отношения. Двойное отношение (zv z->; zit 24) определяется
как
(z1 — z4) (г, — Zi)'
Если четыре точки лежат на одной прямой, это определение совпадает
с определением, известным из элементарной геометрии. Перестановкой
индексов из zx, zit zit 24 может быть образовано 24 двойных отношения.
Они состоят из шести групп по четыре равных двойных отношения в каждой.
Если одно отношение равно X, то шестью различными двойными отноше-
, , . 1 1 X —1 X
ниями являются X, 1 — X, -г-, -, г, —-—, ^ Г- Четыре точки иазы-
ваются гармоническими или находящимися в гармоническом отношении,
если одно из этих двойных отношений равно — I. В этом случае шестью
отношениями являются —1, 2, —I, -к-, 2, -s-.
Если одно из двойных отношений является действительным числом,
то все шесть отношений действительны, и данные четыре точки лежат
на одной окружности. Ибо в этом случае
(Zi — Zi) {Z% — Z3)
должна иметь одно из трех значений — те, 0, те, так что am -1 s- и
Z\ — Z^
am — должны либо быть равны, либо отличаться на я (см. пример 19).
Если (zt, z^, z3, Zi) = —1, мы имеем два уравнения
am- -= + т4-аш — =
Z1—Zi
Четыре точки' Alt Аъ А3, At лежат на одной окружности, причем между
Ах и Аг лежат Аг и Л4. Кроме того, -?- '- = -—-. Пусть О — середина
АгАк. Уравнение
(Zi — Zi) (Zt — Z3)
может быть записано в виде
<*! +
или, что то же самое, в виде

Комплексные числа 101
Но это эквивалентно соотношению OAt • ОА3= ОА\ = ОА\. Следовательно,
OAtn OAz образуют равные углы с AzAit и OAt ¦ 0А2г= ОА\ = ОА\. Заметим!
что соотношение между парами At, Л2 и Az, At симметрично. Следова-
Следовательно, если О' — середина AtAs, то О'А3 и O'At равнонаклонены к А^А^,
26. Если точки Аг, As заданы уравнением az' -j- 2bz -j- с = 0, а точки
A3, At — уравнением a'z2 -j- ^>'z -j- c' — 0, О — середина AsAt и ас' -J- а'с —
— 2bb' = 0, то OAV OAS равнонаклонены к А3АА и OAt • OAS = OA\ = OA\.
(Экз. 1901 г.)
27. Пусть АВ, CD — две пересекающиеся прямые на диаграмме Аргана
и Я и С? — их середины. Доказать, что если АВ является биссектрисой
угла CPD и PA2~PBa=PC-PD, то CD является биссектрисой угла
AQB и
QC* — QD2 = QA • QB. (Экз. 1909 г.)
28. Условие того, что четыре точки лежат иа окружности. Доста-
Достаточным условием является то, что одно, а следовательно, и все двойные
отношения действительны (пример 25). Это условие является также и необхо-
необходимым. Другой формой этого условия является возможность выбора действи-
действительных чисел а, fi, у так, что
1 1 1
[Для доказательства заметим, что преобразование Z = ^^—- эквива-
эквивалентно инверсии относительно точки 24) соединенной с некоторым зеркаль-
зеркальным отображением (пример 21). Если zt, 22, г8 лежат на окружности, про-
проходящей через zit то соответствующие точки Zt= , Z2 =
Zz = лежат иа одной прямой. Следовательно (см. пример 12), мы
можем найти действительные числа а', р', •(' так, что а'-\-$'-\~ i'= 0 и
__' Of „f
а | Р | Т _0
и легко показать, что это соотношение эквивалентно приведенному условию.]
29. Доказать следующий аналог теоремы Муавра для действительных
чисел: если tpi» <fn> <Рз> • • • — последовательность положительных острых углов
таких, что
tg 9m+i = tg 9m sec <Pi + sec 9т tg ?i»
T0 tg <fm+n = tg <?m sec 9n + sec <?m tg <?„,
sec 9m+n = sec cpm sec <?n + tg cpm tg ср„
и
[Применить метод математической индукции.]
30. Преобразование z = Zm. В этом случае r=./?m, и 6 и т® отли-
отличаются на целочисленное кратное 2тс. Если Z описывает окружность, с цен-
центром в начале, то z описывает т раз окружность с центром в начале.
Вся плоскость (аг, у) соответствует любому из т секторов в плоскости
(X, Y), угол каждого из которых равен —. Каждой точке в плоскости (х,у)
соответствует т точек в плоскости (К, Y),

102 Глава третья
31. Комплексные функции действительного переменного. Если f (t),
<f(t) — две действительные функции действительного переменного t, опреде-
определенные в некоторой области значений t, мы называем
z=f(t) + i9(t) A)
комплексной функцией от t. Мы можем графически представить ее, про-
проведя кривую
Если z является полиномом от t или рациональной функцией от t с ком-
комплексными коэффициентами, мы можем представить z в форме A) и так
определить кривую, представленную этой функцией.
A) Пусть
где а и Ь — комплексные числа. Если a=-a-\-a'i, b =$-\-$'i, то
Кривая в данном случае является прямой, соединяющей точки г = а и
t= Ь. Отрезок между этими точками соответствует интервалу значений
г от 0 до 1. Найти значения t, соответствующие двум остальным (бесконеч-
(бесконечным) отрезкам прямой.
B) Если
где р положительно, то кривая является окружностью радиуса р с цен-
центром в с. Когда t пробегает все действительные значения, точка z описывает
окружность один раз.
C) В общем случае уравнение
c + dt
представляет окружность. Это может быть доказано вычислением х и у и
исключением t, но ведет к весьма громоздким выкладкам. Более простой
метод заключается в применении результата примера 22. Пусть
Когда / изменяется, Z описывает прямую линию, а именно, ось X. Следо-
Следовательно, z описывает окружность.
D) Уравнение
z = а + 2W + ct3
представляет в общем случае параболу. Когда — действительно, оно пред-
С
ставляет прямую.
E) Уравнение
где а, E, ^ действительны, представляет коническое сечение.
[Исключить t из соотношений
t* _A' + 2B't+C't*
' у~ a
гд- А+АЧ = а, В-\- ВЧ = *, С -f СЧ ¦=¦ с]

Комплексные числа 103
47. Корни из комплексных чисел. До сих пор мы не ПрИПИ-
сывали никакого смысла таким символам, как у а, ат/п , где а —
комплексное число, a m и п—-целые числа. Представляется, однако,
естественным принять определения, которые даются в элементарной
алгебре для действительных значений а. Таким образом, мы опре-
П г —
деляем у а или а1/", где п — положительное целое число, как
число z, удовлетворяющее уравнению zn = a, и а/", где т — це-
целое чИсло, как (ai/n)m. Эти определения не предрешают вопроса о
том, существуют ли вообще корни этого уравнения.
48. Решение уравнения 2п = а. Пусть
а = р (cos qp —J— i sin 9),
где р положительно и ср — угол, для которого —тс<^ф=?:тс. Если
мы положим z = г (cos 8 -j- i sin 6), то уравнение примет вид
г" (cos п 6 -f- i sin n 6) = р (cos 9 -[-1 sin 9),
так что
r" = p, cos«6 = cos9. sin«6 = sin9. A)
Единственным возможным значением для г является ]/р, обычный
арифметический корень л-ой степени из р; а для того чтобы два
последних уравнения удовлетворялись, необходимо и достаточно,
чтобы и 6 = ф -j- 2&7C, где k — целое число, или чтобы
Если k=pn-\-q, где р и ^ — целые числа и 0^q<^n, то значе-
значением 6 является 2тс/?-|— - , и здесь безразлично, какое зна-
значение имеет р. Следовательно, уравнение
zn = a — p (cos ф -j- i sin 9)
имеет в точности п корней, даваемых выражением z=r (zos в—J—гэ1п6),
где
r=Vi, e=Jr+|?L_ iq==0, 1, 2,..., «-1).
Что эти п корней различны, легко видеть, нанеся их на
диаграмму Аргана. Корень
называется главным значением у а. «
Случай, когда а = 1, р=1, 9 = 0> представляет особый интерес;
л корней уравнения лг™=1 могут быть записаны в следующем
виде:
^n^ (^ = 0, 1, 2,...,л —1).

104 Глава третья
Эти числа называются корнями я-ой степени из единицы; главным
2~
значением является сама единица. Если мы обозначим cos f-
п '¦
-j-1 sin — через юл, то корни л-ой степени из единицы могут быть
записаны в виде
, 2 п—1
Примеры XXII. 1. Двумя квадратными корнями из единицы являются 1
и —1; три кубических корня из единицы суть 1, -_-(—1-J-/ У) и
•я-(—1 — /1/); четыре кория четвертой степени из единицы суть 1, I, —I,
— i, и пять корней пятой степени из единицы суть
l,\\V5-l+i/10 + 2^5}, ±{-/5-1 +//10-2/J),
1 {-/5"-1-г/10-2/5}, I{/5-l-j/lO+2/5}.
2. Доказать, что
1+<»ге + ^ + .-- + <~1=0.
3. Доказать, что
(х +ущ -\- zwl) (х +у<*1 + 2<о3) = х°- +У2 + гг —уг — гх— ху.
4. Корни л-ой степени из а являются произведениями корней и-ой сте-
п,—
пени из единицы на главное значение у а.
5. Из примера XXI. 14, следует, что корнями уравнения
являются числа
причем одинаковые или разные знаки надо брать в зависимости от того,
является ли р положительным или отрицательным числом. Показать, что
этот результат совпадает с результатом из п. 48.
6. Показать, что
равно
— 2axcos^m- + aA(x* — 2ax cqs2-+ аА.. .{х*-2ах zos^~^- +a*\.
[Делителями х2т — а2 являются
{х — а), (а- —аш2т), (Аг — а«.|т),...,
Делитель х — а<а™т есть х-\-а. Произведение делителей (х — а
(л; — аш*щ) дает делитель х2 — 2ах cos — -f. a2.]

Комплексные числа 105
7. Аналогичным образом разложить на множители
д-2от+1 а2т+1 хзт _L_ азт X2m+i i a2m+i
8. Показать, что х2П— 2хпап cos в -\- агп равно
x* — 2xa cos \-a2)\x* — 2xa cos
n
+а
n
[Применить формулу
x*n _ 2xnan cos 6 + а2л = {xn — an (cos 6 + / sin Щ{x" — a" (cos 6 — i sin 6)}
и разложить каждое из двух последних выражений на п множителей.]
9. Найти все корни уравнения
Xе —2х3 + 2 —0. (Экз. 1910 г.)
10. Задача представления значения ш„ в форме, содержащей только
квадратные корни, как в формуле ш3 = у (—1 -j- г "|/^^), является алгебраи-
алгебраическим аналогом следующей геометрической задачи: вписать правиль-
правильный я-угольиик в окружность единичного радиуса эвклидовыми методами,
т. е. только с помощью линейки и циркуля. Ибо это построение будет воз-
возможно в том и только в том случае, если мы умеем строить длины, изме-
2гс 2-
ряемые cos— и sin—; а это возможно в том и только в том случае, когда
эти числа могут быть представлены в форме, содержащей только квадрат-
квадратные корни (см. гл. II, Разные примеры, 22).
Эвклид дает построение для л = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 и 15. Очевидно, что
построение возможно для любого значения я, которое равно одному из при-
приведенных значений, умноженному на какую-либо степень 2. Существуют
другие частные значения я, для которых такое построение возможно. Наи-
Наиболее интересным из них является л = 17.
Гаусс доказал, что построение возможно, если п имеет вид
и является простым числом. Числа 3, 5, 17, 257 и 65 537, соответствующие
значениям k — 0, 1, 2, 3 и 4, — простые, и построение, следовательно, воз-
возможно. Но k = 5, 6, 7 и 8 дают значения п, не являющиеся простыми, и
неизвестно, существуют ли другие простые значения, представимые в этой
форме.
Простейшее построение семнадцатиугольиика, данное Ричмондом, приве-
приведено в книгах: Н. P. Hudson, Ruler and compasses, стр. 34, F. and F.V.
Morley, Inversive Geometry, стр. 167, и в книге Клейна, упомянутой на стр. 27*).
49. Общая форма теоремы Муавра. Из результатов предыду-
предыдущего пункта следует, что если q — положительное число, то од-
одним из значений (cos 6 -|- i sin бI^ является
8 ... 6
cos \- isin — .
q ' q
*) См. также Адлер, Теория геометрических построений, Учпедгиз, Л.,
1940, где даны другие построения, {Прим. перев,)

106 Глава третья
Возводя каждое из этих выражений в степень р (где/? — любое
целое число, положительное или отрицательное), мы получаем, что
одним из значений (cos6-)-isin6)p/? является cos — +isinp—, или что
если а — любое рациональное число, то одним из значений
(cos6 +1 sineK
является
. cosa9-}-isin аб.
Это и есть обобщенная форма теоремы Муавра (п. 45).
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ III
1. Условием равносторонности треугольника хуг является
x2-\-y2-\-z*—yz — zx — ху= 0.
[Пусть треугольник будет XYZ. Смещение ZX является смещением YZ,
2
повернутым на угол -к-я в положительном или отрицательном направлении.
о
Так как Cis-^ = со8, Cisj 5") =— = «>!> мы имеем х — 2 = (z—у) и>3' или
х — 2 = (г—У)Ш1- Следовательно, х -\-у<»г + z<o? = 0 или х-\-уи>% -f-2«>8 = 0.
Утверждение следует из примера XXII. 3.]
2. Если XYZ, X'Y'Z' — два треугольника и
YZ- Y'Z1 = ZX- Z'X' = XY-X' Y\
то оба треугольника — равносторонние. [Из уравнений
(У — г) 0>' — «') = B — х) (г' — х') — (х — у) (х' — у') = k2
мы'заключаем, что 2 ~ 1 — ® нли S^'2 — Sy'z'=0. Затем используем
^ —2
результат предыдущего примера.]
3. На сторонах треугольника ABC построены подобные треугольники
ВСХ, CAY, ABZ. Доказать, что центры тяжести ABC и XYZ совпадают.
... х — с у — а г — b , „ 1 . , ,. .
[Мы имеем j—^=- = д~ ' Выразить -^ (х -\-у -j- 2) через
а, Ь, с]
4. Если X, Y, Z—точки иа сторонах треугольника ABC такие, что
BX_CY_AZ_
XC~YA~ZB~ '
и если ABC, XYZ подобны, то либо г = 1, либо оба треугольника — равно-
равносторонние.
5. Если А, В, С, D — четыре точки на плоскости, то
AD-BCs^BD- CA + CD-AB.
[Пусть 21; 22, z3, 24 — комплексные числа, соответствующие А, В, С, D.
Тогда имеет место тождество
A 4) B з) + (t — 24) (Zs — Zt) 4" (Z3 — 24) (Zj — Z2) = 0.
Отсюда
I (^1 — 24) (Zj — Z3) I = I (Z2 — 24) (Z3 — Zj) + (Z3 — 24) BX — Z2) I ^
S? I («» — **) («3 — Zj) ! + I (Z3 + 24) (Zt — 22) |.]

Комплексные числа 107
6. Вывести теорему Птоломея о четырехугольнике, вписанном в окруж-
окружность, из того факта, что двойные отношения четырех точек, лежащих на
одной окружности, действительны. [Использовать тождество предыдущего
примера.]
7. Если 22-|-2'2 = 1, то точки г и г' являются концами сопряженных
диаметров некоторого эллипса с фокусами в точках 1,—1. [Если СР и CD—
сопряженные полудиаметры эллипса с фокусами в S и Н, то CD параллельно
внешней биссектрисе угла SPH, и SP • HP=CD2.]
8. Доказать, что | а -\-Ь |* + I « — Ь |2 = 2 {| a f -f- | Ь |2}. [Это соотноше-
соотношение является аналитическим аналогом геометрической теоремы о том, что
если М — середина PQ, то ОР2 + OQ* = 2ОМ2 + 2МР2.]
9. Вывести из примера 8, что
+ \а — Ъ\.
[Если а +]/ а2 — Ьг = zv а — У а2 — Ь2 = гъ то мы имеем:
следовательно,
(! ^ | +1 zs |J = 2 {| а |2 + |е2 - Ь21 + I & ,2} = | а + Ь |
Иначе этот результат можно сформулировать так: если гг и г2 являются
корнями уравнения
то
I«I (I *i I +1 * I) = 1Р+Ущ I +1Р - У^т IJ
10. Показать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы
оба корня уравнения z2 -\-az-\-b = 0 имели модуль, равный единице,
является выполнение следующих соотношений:
[Под амплитудами здесь понимаются ие обязательно их главные зна-
значения.]
11. Если уравнение х* -J- 4агх3 -j- 6а2лг2 -\- Аа3х -\- а4 = 0 с действительными
коэффициентами имеет два действительных и два комплексных корня, лежа-
лежащих на одной окружности на диаграмме Аргана, то
а\ + а\сц + а1 — Й2«4 — 2atasa3 = 0.
12. Четыре корня уравнения а^х*-\-Ь^х3-\-§a2xs-\-Aazx-{-а^^Ъ нахо-
находятся в гармоническом отношении, если
\ — 2а,а2а8 = 0.
[Выразить Z28,i4 ^31,24 Zi2,3i) где
¦Z»3,14 = (Zi — Z,) (Z, — 24) + Bt — г,) B2 — 24)
и г1; 2S, 23, 24 — корни уравнения, через коэффициенты.]
13. Мнимые точки и прямые линии. Пусть уравнение ах-\-Ьу -j-c = O
имеет комплексные коэффициенты. Если мы придадим х любое действитель-
действительное или комплексное значение, мы можем найти соответствующее значение_у.
Совокупность пар действительных или комплексных значений х и у, удо-
удовлетворяющих такому уравнению, называется мнимой прямой; сами пары
значений называются мнимыми точками, и мы говорим, что они лежат
на прямой. Значения х и у называются координатами точки (лг, у). Когда

108 Глава третья
лг и у действительны, точка называется действительной точкой; когда а,
Ъ и с действительны (или могут быть сделаны действительными делением
уравнения на некоторое число), прямая называется действительной, пря-
прямой. Точки АГ = а-)-р/, ^ —Y + &* и х=а—ftf, У = 1—Ы называются
сопряженными; сопряженными называются также прямые
(А +АЧ) х + (В + ВЧ)у + С + СЧ = 0,
(А —АЧ) х + (В — B'i)y + С — СЧ = 0.
Проверить следующие утверждения: каждая действительная прямая со-
содержит бесконечно много пар сопряженных мнимых точек; мнимая прямая
содержит, вообще говоря, одну и только одну действительную точку; мни-
мнимая прямая не может содержать пару сопряженных мнимых точек. Найти
также условия для того, чтобы (а) прямая, соединяющая две данные мии-
мые точки, была бы действительной, и (Ь) точка пересечения двух мнимых
прямых была бы действительной. *
14. Доказать тождества:
О* +у + г) (х +уыа + 2<4) (лг +ущ + *о,) = xs +ys + z3— 3xyz,
2<о*) (ЛГ +у<»1 + 2ш*) (X +уш1 + 2и\) (лг
15. Решить уравнения
лг3 — Зал- + (а» +1) = 0, лг3 — Бах3 + 5а2х + (а5 + 1) = 0.
16. Если / (лг) = ао-\- ахх +... + аъхН> т0
= в.
где ш означает любой корень (кроме единицы) уравнения лт" = 1, и Хи
является наибольшим кратным п, содержащимся в k. Найти аналогичную
формулу для ail + ail+nxn + asx + 2n лг2л + ---, гДе 0 < р. < п.
17. Если A -f лг)л =ро -\-Ргх -\-piX3 + • ¦ • > гДе я — положительное целое
число, то
18. Просуммировать
лг л;2 лг3
2!(п — 2)! "^5!(и — 5)! "^8!(п — 8)! +"•+ (я — 1)! '
где п кратно 3. (Экз. 1899 г.)
19. Если t—¦ такое комплексное число, что ]*| = 1, то точка
at+b
х =
описывает окружность, когда t изменяется, за исключением того случая,
когда |с| = 1. В этом случае точка описывает прямую.
20. Когда t изменяется как в предыдущем примере, точка
1
описывает в общем случае эллипс, фокусы которого определены уравне-
уравнением xs = ab и оси которого равны | а | + I ^ I и \а\ — \Ь\. Но если | я | =
|, то х описывает отрезок прямой, соединяющий точки —

Комплексные числа 109
21. Доказать, что если t — действительное число и
то, при ts < 1, 2 представляет точку, лежащую иа окружности х- -\-у2 -f-
-|_х = 0. Предполагая, что при ^2>1 под ~\Г& — ts понимается положитель-
положительный квадратный корень из t*— ts, рассмотреть движение точки, представ-
представляемой г, когда t уменьшается от больших положительных значений к боль-
большим отрицательным значениям.
(Экз. 1912 г.)
22. Пусть коэффициенты преобразования
2
cZ + d
подчинены условию ad— bc — \. Показать, что если сф§, то существуют
двг неподвижные точки а и |3, т. е. такие точки, которые переходят при
преобразовании сами в себя; если же, кроме того, (a -f- dJ = 4, то суще-
существует только одна такая точка а. В этих двух случаях преобразование
может быть представлено, соответственно, в виде
г — о .. Z—а 1 1 .
3" = К т ГГ > ИЛИ = т Ь Л-
Показать, далее, что если с = 0, то имеется одна неподвижная точка а при
условии, что а-фЛ, и что в этом случае преобразование может быть пред-
представлено в виде
z — a = K(Z — a).
Если же с = 0 и a = d, то преобразование может быть представлено в виде
Наконец, если а, Ь, с, d принимают положительные целочисленные зиа-
чеиия (включая нуль), показать, что единственными преобразованиями
менее чем с двумя неподвижными точками являются преобразования
= i + AT, z = Z + K. (Экз. 1911 г.)
Z ?*
23. Показать, что соотношение
z+r
преобразует часть оси х между точками 2=1 иг = — 1 в полуокружность,
проходящую через точки Z=l и Z= — 1. Найти все фигуры, которые
могут быть получены из указанной части оси х последовательным приме-
применением данного преобразования. (Экз. 1912 г.)
24. Доказать, что преобразование
2 = (cos 6 -\- i sin 6) _^—,
1 — aZ
где а—любое комплексное число с модулем, не равным единице, и а
означает сопряженное к а число, а 6 — действительное число, преобразует
внутренность единичной окружности плоскости z во внутренность или внеш-
внешность единичной окружности в плоскости Z. Найти также условия для
каждого из этих случаев. (Экз. 1933 г.)
25. Если z~2Z-\-Z-, то окружности |Z| = 1 соответствует кардиоида
в плоскости г.

ПО Глава третья
26. Рассмотреть преобразование
и, в частности, показать, что окружностям Х- -J- F2 = as соответствуют со-
фокусные эллипсы
4
27. Если (z~\-\J = -y, то единичной окружности в плоскости г соот-
соответствует парабола R cos2 -g- 0 = 1 в плоскости Z, и внутренности
окружности соответствует область, внешняя относительно параболы.
28. Показать, что преобразование
Z —
где а — действительное число, преобразует верхнюю полуплоскость z в
полукруг в плоскости Z. {Экз. 1919 г.)
29. Если z — Z%—1, то когда z описывает окружность |2| = -/, две
соответствующих точки Z описывают каждая овал Кассини р1р2 = «, где р>,
р2 означают расстояния от Z до точек — 1, 1. Начертить эти опалы для
различных значений ¦*.
30. Рассмотрим соотношение
«22 -J- ZhzZ,+ bZi + 2gz + 2/Z + с = 0.
Показать, что существуют два значения Z, для которых соответствую-
соответствующие значения z равны, и наоборот. Мы называем эти точки точками вет-
ветвления в плоскости Z и, соответственно, в плоскости z. Показать, что если
z описывает эллипс с фокусами в точках ветвления, то и Z описывает
эллипс с фокусами в точках ветвления.
[Мы можем без ограничения общности предположить, что данное соот-
соотношение имеет вид
читателю предлагается самому убедиться в этом. Точками ветвления в каждой
плоскости будут тогда cosec<» и —coseco». Эллипс указанного типа пред-
представляется тогда соотношением
| z + cosec <о | -j-1 г — cosec <о | = С,
где С— константа. Это соотношение эквивалентно (пример 9) следующему:
| 2 -f- y~zs — cosec8 о) [ -j- I * ~~ V~z2 — cosec2 ш [ = С.
Подставить сюда выражение z через Z.]
31. Если z = aZm-{-bZn, где т и « — положительные целые числа и
а, Ь—действительные числа, то когда Z описывает единичную окружность, z
описывает гипо- или эпициклоиду.
32. Показать, что преобразование

Комплексные числа 111
где а, Ь, с, d—действительные числа и а2 -f~ d2 -J- be > 0, a Z обозначает
число, сопряженное с Z, эквивалентно инверсии относительно окружности
—2йу—Ъ = 0.
Какова геометрическая интерпретация преобразования, когда
33. Преобразование
1—2 (\-Z
где с рационально и 0<с<1, преобразует окружность |г| = 1 в границу
круговой луночки с углом —.
34. Доказать, что преобразование
г(г-а) _7
аг_1 -"'
где а действительно и 0 < а < 1, преобразует внутренность единичного круга
в плоскости г в дважды взятую внутренность единичного круга в плоско-
плоскости Z. (Экз. 1933 г.)

ГЛАВА IV
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО
ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПЕРЕМЕННОГО
50. Функции от положительного целочисленного переменного.
В гл. II мы рассмотрели понятие функции от действительного пере-
переменного х и привели большое число примеров таких функций. Чита-
Читатель вспомнит, что мы встретились там с одним очень важным
обстоятельством: некоторые из этих функций были определены для
всех значений х, некоторые—-только для рациональных значений,
некоторые — только для целочисленных значений и т. д.
Рассмотрим, например, следующие функции: A) х, B) "Yх, C) знаме-
знаменатель х, D) корень квадратный из произведения числителя и знаменателя л;,
E) наибольший простой делитель х, F) произведение у ' х и наибольшего
простого делителя х, G) х-ое простое число, (8) измеренный в дюймах
рост заключенного номер х в Дартмурской тюрьме.
Тогда совокупности значений х, для которых эти функции определены,
или, как говорят, области определения этих функций, состоят из A) всех
значений х, B) всех положительных значений х, C) всех рациональных
значений х, D) всех положительных рациональных значений х, E) всех
целочисленных значений х, F), G) всех положительных целочисленных
значений х, (8) некоторого числа положительных целочисленных значений х,
а именно, 1, 2,..., N, где N—число всех заключенных в Дартмурской тюрьме
в данный момент времени1).
Рассмотрим теперь такую функцию, как, например, функция
примера G), которая определена для всех положительных целочис-
целочисленных значений л; и ни для каких других. Такая функция может
рассматриваться с двух, слегка отличающихся друг от друга, точек
зрения. Мы можем рассматривать ее, как мы это делали до сих пор,
как функцию действительного переменного х, определенную только
') В этом последнем случае N зависит от времени, а заключенный
номер х, где х имеет определенное значение, представляется разными
лицами в разные моменты времени. Таким образом, если мы будем рас-
рассматривать разные моменты времени, то получим простой пример функ-
функции y = F(x, t) от двух переменных, определенной для некоторой области
значений t, а именно, с момента открытия Дартмурской тюрьмы до момента
ее закрытия, и для некоторого числа положительных целочисленных зна-
значений х, причем это число изменяется со временем.

Пределы функций от целочисленного переменного ИЗ
для некоторых значений х, а именно, положительных и целочислен-
целочисленных, и считать, что для всех остальных значений х данное опреде-
определение непригодно. Или же мы можем вообще исключить из рассмотре-
рассмотрения все значения х, отличные от положительных целочисленных,
и рассматривать нашу функцию как функцию от положительного
целочисленного переменного п, значениями которого являются поло-
положительные целые числа
1, 2, 3, 4, ....
В этом случае мы можем писать
и уже рассматривать у как функцию от п, определенную для всех
значений п.
Очевидно, что всякая функция от х, определенная для всех зна-
значений х, порождает функцию от п, определенную для всех значений п.
Так, из функции у^^х1 мы получаем функцию _у = й2 простым
исключением из рассмотрения всех значений х, отличных от поло-
положительных целых чисел, и соответствующих значений у. С другой
стороны, из любой функции от п мы можем вывести любое число
функций от х, приписывая произвольным образом значения у, соот-
соответствующие значениям х, отличным от положительных целых чисел.
51. Интерполяция. Задача определения функции от х, которая должна
принимать для всех положительных целочисленных значений х значения,
равные соответствующим значениям некоторой данной функции от п, играет
весьма важную роль в высшей математике. Она называется задачей функ-
функциональной интерполяции.
Если бы задача состояла только в том, чтобы найти какую-нибудь
функцию от х, удовлетворяющую поставленным условиям, то ее решение
не представляло бы никаких трудностей. Мы могли бы, как уже было ука-
указано, просто заполнить недостающие значения каким угодно образом; мы
могли бы даже просто рассматривать данные значения функции от я как
все значения функции от х, и сказать, что определение этой последней
функции непригодно для всех остальных значений х. Но такие решения,
конечно, не представляют интереса. В качестве решения обычно требуется
некоторая формула (возможно более простого вида), содержащая х и при-
принимающая данные значения при х—\, 2, ....
В некоторых случаях, в особенности тогда, когда сама функция от п
определена с помощью формулы, имеется очевидное решение. Если, напри-
например, у=: tp (и), где tp (п) — такая функция от л, которая (как,-например, п*
или cosm:) сохраняет смысл и для п, отличных от положительных целых
чисел, то мы, естественно, берем в качестве решения функцию у = у (х).
Но даже в этом очень простом случае легко написать другие, почти оди-
одинаково очевидные решения задачи. Например,
у = tp (a:) + sin хт.
принимает значения <?(п) при х — п, так как sin як = 0.
В других случаях о (л) может быть определена формулой, как, напри-
например, (—1)™, теряющей смысл при некоторых значениях х (в данном" примере
для рациональных значений х с четными знаменателями и для иррацио-
иррациональных значений). Но может оказаться возможным преобразовать фор-
8 г. Харди

114 Глава четвертая
мулу таким образом, что она станет применима для всех значений х. В рас-
рассмотренном случае, например,
(— l)n=COStt7T,
если п — целое число, и задача интерполяции решается функцией cosxit.
В других случаях у(х) может быть определена для некоторых значений
х, отличных от положительных целых чисел, но не для всех таких значений.
Так, от у = пп мы приходим к у — х*. Это выражение имеет смысл только
для некоторых из остающихся значений х. Если мы для простоты ограни-
ограничимся только положительными значениями х, то Xх имеет смысл для всех
рациональных значений х, в силу определений дробных степеней, принятых
в элементарной алгебре. Но когда х иррационально, хх (по крайней мере
с той точки зрения, которой мы придерживаемся в настоящий момент) не имеет
никакого смысла. Мы приходим, таким образом, к вопросу о таком расши-
расширении наших определений, чтобы выражение хх имело бы смысл и в том
случае, когда х иррационально. Дальше мы увидим, как такое расширение
может быть осуществлено.
Рассмотрим, наконец, случай, когда
у = 1.2... п — п\
Здесь ие существует очевидной формулы от х, которая сводилась бы к и!
при х = п, так как х\ ничего не означает для значений х, отличных от
положительных целых чисел. Это — один из тех случаев, в которых попытки
решить задачу интерполяции привели к важным открытиям в математике.
Математикам удалось найти такую функцию (так называемую гамма-функ-
гамма-функцию), которая обладает требуемым свойством и целым рядом других важ-
важных и интересных свойств.
52. Конечные и бесконечные классы. Прежде чем итти дальше,
необходимо сделать несколько замечаний о некоторых абстрактных
понятиях, постоянно встречающихся в чистой математике.
В первую очередь, читатель, вероятно, знаком с понятием класса.
Нет необходимости рассматривать здесь какие-либо логические труд-
трудности, связанные с понятием класса; грубо говоря, мы можем считать,
что класс — это совокупность понятий или предметов, обладающих
некоторым свойством, которое может быть простым или сложным.
Так, мы имеем классы британских подданных, членов парламента,
положительных целых чисел или действительных чисел.
Более того, читатель имеет, вероятно, также и представление
о том, что понимается под конечным или бесконечным классом. Так,
класс британских подданных—конечный класс: совокупность всех
британских подданных, в прошлом, настоящем и будущем, состоит
из конечного числа п элементов, хотя мы, конечно, в настоящий
момент не в состоянии указать значение этого числа п. С другой
стороны, класс британских подданных в настоящий момент состоит
из числа элементов, которое мы могли бы установить путем счета,
если бы методы переписи были достаточно эффективными.
Класс положительных целых чисел бесконечен. Более точно это
можно выразить следующим образом. Если га— любое положитель-
положительное целое число, как, например, 1 000, 1 000 000, или любое другое
число, которое мы зададим, то существует более п положительных

Пределы функций. оШ целОШсЛенндгд переменного 113
целых чисел. Так, если мы задали число 1 000 000, то, очевидно,
существует но крайней мере 1000 001 положительное целое число.
Бесконечными являются и классы рациональных или действительных
чисел. Это удобно выразить следующими словами: существует бес-
бесконечное число положительных целых чисел или рациональных чисел,
или действительных чисел. Но читатель должен всегда помнить, что
под этим мы понимаем просто то, что число элементов рассматри-
рассматриваемого класса не является конечным числом, как 1 000 или 1 000 000.
53. Свойства, которыми обладает функция от п для больших
значений га. Мы можем теперь вернуться к „функциям от п", кото-
которые мы рассматривали в пп. 50—51. Они во многом отличаются от
функций от х, рассмотренных нами в гл. II. Но имеется один основ-
основной момент, общий обоим классам функций: значения переменного,
для которых они определены, образуют бесконечный класс. Это
обстоятельство лежит в основе всех дальнейших рассмотрений, кото-
которые, как мы увидим, переносятся и на функции от х.
Допустим, что ср(й) — любая функция от л и что Р—любое
свойство, которым 9 (п) может обладать или нет, как, например,
свойство быть положительным целым числом или быть большим 1.
Рассмотрим для каждого из значений п=1, 2, 3, ..., обладает ли
9 (и) свойством Р или нет. Могут представиться три случая:
(a) 9 (л) может обладать свойством Р для всех значений п или
для всех значений п, кроме конечного числа N значений;
(b) ф(й) может не обладать свойством Р ни для одного значе-
значения п или только для конечного числа N значений;
(c) ни (а), ни (Ь) может не иметь места.
Если имеет место случай (Ь), значения п, для которых 9 (п) обла-
обладает данным свойством, образуют конечный класс. В случае (а)
значения п, для которых ер(п) не обладает данным свойством, обра-
образуют конечный класс. В третьем случае (с) ни один из этих классов
не конечен. Рассмотрим несколько примеров.
A) Пусть tp(n) = /x и Р означает Свойство быть положительным целым
числом. Тогда <f(n) обладает свойством Р для всех значений п.
С другой стороны, если Р означает свойство быть положительным
целым числом, большим или равным 1 000, то tp (и) обладает этим свойством
для всех и, кроме конечного числа значений п, а именно, 1, 2, 3, ..., 999.
В обоих случаях имеет место (а).
B) Если tp (и) = п и Р является свойством быть меньше, чем 1 000,
то имеет место (Ь).
C) Если tp (и) = п и Р является свойством быть нечетным, то имеет
место случай (с). Ибо tp(n) нечетно, если п нечетно, и четио, если га четио,
а классы нечетных и четных значений п оба бесконечны.
Примеры. В каждом из последующих примеров установить, какой из
трех случаев (а), (Ь) или (с) имеет место:
A) tp (п) = п, Р — свойство быть точным квадратом;
B) <р(я)=р„, где р„ обозначает я-ое простое число, Р — свойство быть
нечетным;

116 Рмйа четйерМай,
C) tp(n)=spn, Р— свойство быть чгтным;
D) <р («)=/>„, Р —свойство <р(л)>л;
E) <р (я) = 1 — (— 1)" —, Р — свойство tp (п )< 1;
F) 9(п)= 1 — (—лТ~л> Р —свойство <р(п)<2;
G) ср(/г) = Ю00 {I +(— 1)"}—, Р —свойство <р(и)<1;
(8)ср(п) = —, Р —свойство tp (л) < 0,001;
(9) о (л) = (— 1)" —> Р — свойство (<р (п) |< 0,001;
, или (—lf^-20-0, P—одно из свойств <р(л)< 0,001
или |<р(п)|< 0,001;
A1) ?(я) = -|ху1 Р —свойство 1 —<р(п)< 0,0001.
54. Предположим теперь, что утверждение (а) имеет место для
рассматриваемых 9 (п) и Р, т. е. что 9 (га) обладает свойством Р,
если не Для всех значений га, то во всяком случае для всех значе-
значений, кроме конечного числа N этих значений. Обозначим эти исклю-
исключенные значения через
#п #2,. • • » n-N •
Конечно, нет никаких оснований ожидать, что эти N значений будут
первыми N значениями 1, 2 N, хотя, как показывают преды-
предыдущие примеры, это часто бывает именно так. Но, так или иначе,
мы знаем, что ф(/г) обладает свойством Р, если п~^>пн . Так, л-ое
простое число нечетно, если п ^> 2, так как п = 2 является единствен-
единственным исключением из утверждения; — <^0,001, если й^>1000, а
первые 1 000 значений л являются исключениями;
+ A)}<1,
если п ^> 2 000, причем исключенными значениями являются 2,4,
6, ... , 2 000. Это означает, что в каждом из рассмотренных случаев
9 (га) обладает соответствующим свойством для всех значений п,
начиная с некоторого.
Это утверждение мы будем часто выражать словами: 9 (п) обла-
обладает данным свойством для больших, или очень больших, или всех
достаточно больших значений га. Таким образом, когда мы говорим,
что 9 (#) обладает свойством Р (которое обычно будет вьфажаться
некоторым соотношением или неравенством) для больших значений п,
то имеем в виду, что можно найти некоторое определенное число га0
такое, что 9 (п) обладает свойством Р для всех значений п, больших
или равных л0. В примерах, рассмотренных выше, это число л0 может
быть взято равным любому числу, большему чем п^, наибольшему
из исключенных значений; естественнее всего положить й0 = пц-{-1.

Пределы функций от целочисленного переменного 117
Таким образом, мы можем сказать, что „все большие простые
числа нечетны" или что „ — меньше чем 0,001 для больших значе-
значений п". Читатель должен освоиться с употреблением слова большие
в утверждениях такого рода. Слово большой само по себе не имеет
в математике, как и в обыденной жизни, абсолютного смысла. Обще-
Общеизвестно, что числа, рассматриваемые в одной связи как большие,
могут в другой связи рассматриваться как малые; 6 голов — это боль-
большой счет в футбольном матче, но 6 пробегов в крикетном матче — это
небольшой счет; 400 пробегов — это уже большой счет, но доход
в 400 фунтов стерлингов в год—небольшой доход*). Конечно, и
в математике большой, обычно означает достаточно большой,, и что
является большим для одной цели, может оказаться недостаточно
большим для другой.
Мы знаем теперь, что понимают под утверждением яер (п) обла-
обладает свойством Р для больших значений п". Утверждениями этого
типа мы будем заниматься на протяжении всей настоящей главы.
55. Выражение „я стремится к бесконечности". Существует
еще несколько иная точка зрения на рассматриваемый вопрос, кото-
которую удобно принять. Допустим, что п принимает последовательно
значения 1, 2, 3, . Слово „последовательно", естественно, вызы-
вызывает представление о последовательности во времени, и мы можем,
если угодно, предположить, что п принимает эти значения в после-
последовательные моменты времени (например, в начале каждой секунды).
Тогда с течением времени п становится все большим и большим,
и не существует предела его возрастания. Какое бы большое число
мы ни задали, наступит момент, когда п станет большим, чем это
число.
Удобно иметь более короткую фразу для выражения этого бес-
бесконечного возрастания п, и мы будем говорить, что п стремится
к бесконечности или п -+¦ оо, причем этот последний символ обычно
применяется как сокращение слова „бесконечность". Слово „стре-
„стремится к", так же как и слово „последовательно", вызывает пред-
представление об изменении во времени, и иногда бывает удобно пред-
представлять себе изменение п совершающимся во времени описанным
выше образом. Однако это лишь вопрос удобства, так как измене-
изменение п, как правило, ничего общего со временем не имеет.
Читатель не может переоценить важности полного понимания
того, что когда мы говорим „й стремится к с»", мы имеем в виду
только то, что п принимает ряд значений, которые неограниченно воз-
возрастают. Не существует числа „бесконечность"; такое равенство как
п = оо
*) Нормальным счетом при игре В крикет может считаться стс-двесту^
"роОегов. {Прим. перев.) "~ " " "

118 Глава четвертая
само по себе бессмысленно: число п не может быть равно со,
так как „равно оо" ничего не означает. До сих пор символ оо сам
по себе ничего не означал, он имел смысл только в одной фразе
„стремится к оо", который мы разъяснили выше. Ниже мы покажем,
какой смысл следует придавать другим фразам, содержащим сим-
символ со, но читатель должен всегда иметь в виду, что
A) символ оо сам по себе ничего не означает, хотя фразы,
содержащие его, иногда имеют определенный смысл, и
B) в каждом случае, когда фраза, содержащая символ оо, что-
либо означает, это происходит потому, что с помощью специаль-
специального определения этой фразе предварительно был придан определен-
определенный смысл.
Теперь ясно, что если <р (п) обладает свойством Р для больших
значений п, или для „я стремящегося к оо" в том смысле, который
был нами только что разъяснен, то п, в конце концов будет прини-
принимать значения, достаточно большие для того, чтобы обеспечить
функции ср (й) свойство Р. Таким образом, вопрос: „какими свой-
свойствами обладает ф(й) для достаточно больших значений л?", можно
сформулировать и так: „как ведет себя 9(л), когда п стремится
к бесконечности?".
56. Поведение функции от п, когда п стремится к беско-
бесконечности. Мы переходим теперь к рассмотрению, в свете замечаний,
сделанных в предыдущих пунктах, некоторых предложений, кото-
которые постоянно встречаются в высшей математике. Рассмотрим,
например, следующие два предложения: (а) — мало для больших
значений п, (Ь) 1 почти равно 1 для больших значений п.
Несмотря на то, что они могут представиться весьма очевидными,
в них содержится многое, заслуживающее пристального внимания
читателя. Рассмотрим сперва (а) как несколько более простое предло-
предложение.
Мы уже рассматривали утверждение „— меньше чем 0,001 для
больших значений га". Это, как мы видели, означает, что неравен-
неравенство — <Г 0,001 имеет место для всех значений п, больших некото-
п ^
рого определенного значения, в данном случае ббльших 1 000. Ана-
Аналогично имеет место и следующее утверждение:, —меньше чем 0,0001
для больших значений п"; действительно, ~<С 0,0001, если га ^> 10 000.
Вместо 0,001 или 0,0001 мы можем взять 0,00001 или 0,000001, или
какое угодно положительное число.
Очевидно, что было бы удобно иметь краткое выражение для
того факта, что имеет место любое утверждение типа „ — меньше

Пределы функций от целочисленного переменного 119
чем 0,001 для больших значений п", где вместо 0,001 мы можем
подставить любое меньшее число, как, например, 0,0001 или 0,00001,
или любое другое еще меньшее положительное число. Ясно, что это
утверждение мы можем выразить так: „как бы мало ни было 8 (если
оно, конечно, положительно), —<^8 для достаточно больших зна-
значений п". Очевидно, это верно. Ибо —<С^> бели й^>-ч-, так что
наши все „достаточно большие" значения п должны быть только
больше чем -г- . Утверждение это, однако, весьма сложно, так как
о
в действительности оно содержит целый класс утверждений, которые
мы получим, придавал 8 частные значения, как, например, 0,001. Чем
меньше 8, и, следовательно, чем больше -г-, тем больше должно быть,
о
конечно, наименьшее из тех „достаточно больших" значений, для
которых соответствующее утверждение имеет место, причем значения,
которые являются достаточно большими для одного значения 8, мо-
могут оказаться неподходящими для другого, меньшего значения.
Последнее утверждение, приведенное курсивом, обычно и пони-
понимают под утверждением (а), что — мало, когда п велико. Подобным
образом, (Ь) в действительности означает, что если ср(й) = 1 -}
то утверждение 1—ср(й)<^8 для достаточно больших значе-
значений п имеет место, какое бы положительное значение (как, напри-
например, 0,001 или 0,0001) мы ни приписали 8. Что утверждение (Ь)
справедливо, очевидно ввиду того, что 1—ср(я) =—.
Существует еще другой способ выражения фактов, содержащихся
в утверждениях (а) и (Ь) и подсказываемый п. 55. Вместо того чтобы
сказать „— мало для больших значений п", мы скажем „— стремится
ft TL
к 0, когда п стремится к со (или при п стремящемся к со)".
Аналогично, мы будем говорить „1 — — стремится к 1 при п стре-
стремящемся к со". Эти утверждения следует рассматривать как строго
эквивалентные утверждениям (а) и (Ь). Таким образом, утверждения
„ — мало, когда п велико",
„ — стремится к 0 при п стремящемся к со"
эквивалентны друг другу и более формальному предложению:
„если 8—любое как угодно малое положительное число, то
— <^8 для достаточно больших значений п",
или еще более формальному предложению:
§ — любое как угодно малое положительное число, то мы

120 Глава четвертая
можем найти такое число я0> что —<^ 8 для всех значений л, боль-
больших или равных я0".
Число я0, которое встречается в последнем предложении, является,
конечно, функцией от 8. Иногда мы будем подчеркивать это обстоятель-
обстоятельство записью я0 (8) вместо га0.
Читатель должен представить себя лицом к лицу с оппонентом,
который подвергает сомнению справедливость утверждения. Он будет
называть все меньшие и меньшие числа. Он может начать с 0,001.
Читатель ответит, что —<^0,001, как только я^>1000. Оппонент
должен будет признать это, но предпримет новую попытку с каким-
либо меньшим числом, например 0,0000001. Читатель ответит, что
•i < 0,0000001, как только я> 10 000 000, и так далее. В этом
простом случае ясно, что читатель выйдет победителем в споре.
Мы теперь введем еще один способ выражения рассматриваемого
свойства функции —. Мы будем говорить, что „предел — , когда п
стремится к со (или при п стремящемся к со), равен 0"; это
утверждение мы символически записываем в виде*)
lim - = 0,
или просто lim — = 0. Мы будем иногда также писать
>-0 при я —*¦ со,
что можно читать так: „— стремится к 0 при п стремящемся к с»",
или просто „ у0". Аналогично, мы будем писать
ИЛИ 1 —V 1.
57. Рассмотрим теперь другой пример: ср(я) = я3. Тогда „я2 ве-
велико, когда я велико". Это предложение эквивалентно следующим
более формальным предложениям:
„если Д — сколь угодно большое положительное число, тоя2^>Д
для достаточно больших значений я",
„мы можем найти такое число яо(А), что яг^>Д для всех я, боль-
больших или равных гао(Д)". В этом случае естественно говорить, что „я2
стремится к оо при я стремящемся к со", или я#2 стремится к со.
вместе с я", и писать:
я2—> со.
*) Jiflies — пд^агыни предел, (Прим. перев.)

Пределы функций от целочисленного переменного 121
Рассмотрим, наконец, функцию 9 (я) = — я2. В этом случае 9 (л)
велика, но отрицательна, когда л велико, и мы будем говорить, что
„—я2 стремится к —со при л стремящемся к со", и писать
— л2 -*¦ — со.
Употребление символа — со в этом смысле влечет за собой удобную
в некоторых случаях запись: л2-»--]-00 вместо я2->-со. Вообще,
в целях единообразия обозначений представляется иногда удобным
применять символ -j- со вместо со.
Однако мы должны еще раз подчеркнуть, что во всех этих
утверждениях символы со, -f-co, ¦—со сами по себе ничего не озна-
означают и приобретают определенный смысл только в том случае,
когда они встречаются в определенном контексте, и тогда их смысл
определен приведенными выше разъяснениями.
58. Определение предела. После всех проведенных рассмотрений
читатель должен быть в состоянии усвоить общее понятие предела.
Грубо говоря, qj (л) стремится к пределу I при л —>- со, если <р (п)
почти равно I, когда л велико. Но хотя смысл этого утверждения
должен быть уже достаточно ясен после всего сказанного выше,
все же он не является еще, в том виде, в котором мы его сформу-
сформулировали, достаточно точным для строгого математического опреде-
определения. Фактически приведенное утверждение эквивалентно целому
классу утверждений типа „для достаточно больших значений л
9 (л) отличается от I меньше чем на 8". Это утверждение должно
иметь место для 8 = 0,001 или 0,0001, или для любого положитель-
положительного числа, причем для каждого такого значения 8 оно должно иметь
место для всех значений п, начиная с некоторого определенного
значения л0 (8), хотя чем меньше значение 8, тем больше, как правило,
будет соответствующее значение п0 (8).
Таким образом, мы можем теперь сформулировать следующее
окончательное определение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Функция 9 (л) стремится к пределу I при л
стремящемся к со, если, как бы мало ни было положительное число 8,
9 (л) отличается от I меньше чем на 8 для достаточно больших
значений л; это означает, что как бы мало ни было положитель-
положительное число Ь, мы можем найти такое число л0 (8), соответствую-
соответствующее этому 8, что ср (я) отличается от I меньше кем на 8 для
всех значений п, больших или равных п0 (8).
Положительную разность между 9(л) и / принято обозначать
через | ф (л) •—-I]. Она равна положительному из двух чисел 9 (л) — /,
/ — 9 (п) и совпадает с определением .модуля ср (я) — /, данным в гл. III,
хотя в настоящий момент мы рассматриваем только действительные,
положительные или отрицательные, значения.

122
Глава четвертая
Применяя это обозначение, мы можем сформулировать наше опре-
определение короче следующим образом: если дано любое как угодно
малое положительное число Ь, и можно указать такое л0 (8), что
| ср (л) — /1 <^S для п^пй (8), то говорят, что ер (л) стремится
к пределу I при л стремящемся к оо, и пишут
lim 9 (л) = /.
я-»оо
Иногда мы будем опускать „й-»оо°; для краткости иногда удобно писать
также <р (й) — /.
Читателю будет полезно подсчитать в некоторых простых случаях явное
выражение й0 как функции от В. Так, если у(п)= — , / = 0, и условие сво-
сводится к — <8 для й^й0, что удовлетворяется, если no=l-f. —
X
Фиг. 24
Существует один и только один случай, когда одно и то же п0 годно для
всех значений S. Если, начиная с некоторого значения ЛГ, для всех значений й
<р(п) постоянна, скажем, равна С, то очевидно, что <р(и) — С = 0 для n^N,
так что неравенство | <р (й) — С | < 8 удовлетворяется для п ^ ЛГ и всех по-
положительных значений 8. С другой стороны, если | <р (й) — /1 < 8 для й ^= ЛГ
и всех положительных значений 8, то очевидно, что <р(я) = / для п^ЛГ,
так что <р (й) постоянна для всех таких значений й.
59. Определение предела может быть геометрически проиллюстри-
проиллюстрировано следующим образом. График ср(л) состоит из ряда точек,
соответствующих значениям п = 1, 2, 3,... .
Проведем прямую у = 1 (фиг. 24) и параллельные ей прямые
у = 1—8, _у == / —j— 8 на расстояниях 8 от нее. Тогда
lim ф (л) = /,
Я -У ОО
если, после того, как эти прямые проведены, мы можем провести
прямую х = па (подобно проведенной на фиг. 24) так, что точка
графика, лежащая на этой прямой, и все точки справа от нее будут
*) Здесь и в дальнейшем мы применяем символ [л;] в смысле гл. II, т, е.
для обозначения наибольшего целого числа, не превосходящего лг,

Пределы, функций от целочисленного переменного 123
лежать между ними. Мы увидим, что это геометрическое толкова-
толкование нашего определения особенно полезно при рассмотрении функ-
функций, определенных для всех значений действительного переменного,
а не только для положительных целочисленных значений.
60. Сказанного выше достаточно для функций от л стремящихся
к пределу при л —*¦ оо. Мы должны теперь перейти к соответствую-
соответствующим определениям для функций, которые, как л2 или — л2, стремятся
к положительной или отрицательной бесконечности. Следующее опре-
определение не должно теперь вызвать у читателя никаких затруднений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ II. Функция ер (л) стремится к -\-оо (положи-
(положительной бесконечности) вместе с п, если, как бы велико ни было задан-
заданное число А, можно указать такое л0 (А), что ср (л) ^> Д для всех
л^ло(Д); это означает, что, как бы велико ни было Д, ср(л)^>Д
для достаточно больших значений п.
Вот другая менее точная формулировка: „если мы можем сде-
сделать 9 (л) как угодно большой для достаточно больших, п". Эта
формулировка недостаточно подчеркивает основной пункт опреде-
определения, а именно, что ср(я) должно быть больше чем Д для всех
значений п таких, что л^ло(Д), а не только для некоторых таких
значений. Но мы можем применять и эту форму выражения, если
мы отдаем себе ясный отчет в том, что оно означает.
Когда 9 (л) стремится к -f- со, мы пишем
со (л)->-{-со.
Мы можем предоставить читателю формулировку соответствующего
определения для функций, которые стремятся к отрицательной бес-
бесконечности.
61. Некоторые замечания по поводу определений. Читатель
должен обратить внимание на следующее:
A) Очевидно, что мы можем изменять значения ср (л) каким угодно
образом для любого конечного числа значений л, не влияя никоим
образом на поведение со (я) при п стремящемся к оо. Например,
— стремится к 0 при л стремящемся к со. Мы можем составить
из — любое число новых функций, изменяя конечное число ее зна-
значений. Так, мы можем рассмотреть функцию со (л), равную 3 для
«=1, 2, 7, 11, 101, 107, 109, 237, и равную — для всех остальных
значений л. Для этой функции, так же как и для исходной функ-
функции — , lim со (я) = 0. Аналогично, для функции со (л), которая рав-
равна 3 для"я = 1, 2, 7, 11, 101, 107, 109, 237, и равна л2 для всех
Остальных значений л, мы имеем; ср (л) -*¦ -)- со,

124 Глава четвертая
B) С другой стороны, мы не можем, как правило, изменить
бесконечное число значений ср(л), не изменив при этом радикально
ее поведения при л стремящемся к оо. Если, например, изменить
функцию — , положив ее значения равными 1 всякий раз, когда л
кратно 100, то соотношение Итф(я):=0 уже не будет иметь места.
Пока мы изменяли только конечное число значений, мы всегда могли
выбрать число л0, встречающееся в определениях, так, чтобы оно
было больше наибольшего значения л, для которого ср (л) было
изменено. В приведенных выше примерах мы всегда могли выбрать
яо^>237, и в действительности мы даже должны были бы так
сделать, если наш воображаемый оппонент (п. 56) задал бы значе-
значение S, меньшее 3 (в первом примере) и значение Д большее, чем 3
(во втором примере). Но теперь, как бы велико ни было л0, всегда
найдутся еще большие значения л, при которых ср (л) была изменена.
C) Применяя признак определения I, существенно проверить,
что неравенство \ср(п)— ^[<С^ выполняется не только для л = я0,
но и для л^>л0, т. е. для л0 и всех больших значений п. Ясно,
например, что если ср (л) — функция, рассмотренная в B), то по
заданному 8 мы можем найти л0 так, что |ф(л)|<^8 при п = п0:
для этого нужно только выбрать л0 достаточно большим и не крат-
кратным 100. Но если л0 так выбрано, то неравенство |ср(л)|<^8 имеет
место не для всех п^па; а именно, значения л, кратные 100 и боль-
большие л0, являются исключениями, если 8^1.
D) Если ср (л) всегда больше чем /, то мы можем просто заменить
\ср(п) —1\ на ср (л) — /. Так, признаком того, что — стремится
к пределу 0 при л стремящемся к оо, является просто справедли-
справедливость неравенства — <^8 для п^пг Если, однако, ср (л) = (— 1)" —,
то / попрежнему равно 0, но ср (л) — / иногда положительно, а иногда
отрицательно. В таком случае мы должны сформулировать условие
в виде | ср (л) — /1 <^ 8, а в данном случае, в частности, в виде | ср (л) | <^ 8.
E) Предел I сам может быть одним из значений, принимае-
принимаемых ср(п). Так, если ср(л) = 0 для всех значений п, то очевидно,
что и Нт(р(л) = 0. Другой пример: если бы мы, как в B) и C),
изменили значение функции для всех значений л, кратных 100, но
не на 1, а на 0, мы получили бы функцию ф (л), которая равна 0
для л, кратных 100, и равна — для остальных значений п. Предел этой
функции при л стремящемся к оо равен 0 и принимается функцией
для бесконечного числа значений л, а именно, для всех значений
кратных 100.
С другой стороны, предел не обязан быть (а в общем случае
и не будет) одним из значений, принимаемых функцией для
какого-либд зндн$ния л. Это достаточно ясно в случае ср (п) = — ,

Пределы функций Oni цеЛочиблеНнОго переменного 1е2э
Здесь предел равен 0, но функция не равна 0 ни для какого значе-
значения л.
Читатель не может переоценить важности этих фактов. Предел
не является значением функции: он иногда отличен от этих значе-
значений, хотя определен ими, и, возможно, равен одному из них. Для
функций
tp (л) = О или 1
предел равен всем значениям функции ф(я); для
у(п)=±, (—1)»!, 14--, 1 + (—1)я-
TV' ft v ' П 'ft lv ' П
он не равен ни одному из значений функции; для
.1 .1
sin -упк sm-^-ftj:
^ 2
ЧР() ^, +
(пределы которых при л стремящемся к со, как легко видеть, равны
соответственно 0 и 1, так как sin—ля по модулю никогда не пре-
превосходит 1) предел равен значению, которое ер(л) принимает для
всех четных значений л, но значения, принимаемые функцией для
нечетных значений л, все отличны от предела и друг от друга.
F) Функция может быть по модулю очень велика, когда л очень
велико, но не стремиться ни к -f-oo, ни к—со. Достаточной иллю-
иллюстрацией этого обстоятельства является функция ер (л) = (—¦ 1)"л. Функ-
Функция может стремиться к -\- со или к — со только в том случае, когда
она, начиная с некоторого значения я, сохраняет знак.
Примеры XXIII. Рассмотреть поведение следующих функций от я при
п стремящемся к оо:
1. ср(й) = лй, где k — положительное или отрицательное целое число,
или рациональная дробь. Если k положительно, то nk стремится к -)-оо
вместе с п. Если k отрицательно, то lim Ф = 0. Если k = 0, то nk — 1 для
всех значений п, и, следовательно, lim/ift = l.
Читателю полезно для себя записать, даже в этих простых случаях,
формальное доказательство того, что условия наших определений выполнены.
Возьмем, например, случай k>0. Пусть Д —любое заданное положитель-
положительной число. Мы должны найти такое п0, что лй > Д при л is я0. Для этого доста-
*
точно взять п0 большим, чем у Д. Так, например, если k = 4, то п1 > 10000,
если я is 11, ft4 > 100 000 000, если nS=101 и т. д.
2. <в(п) = рп, где рп есть ft-oe простое число. Если бы существовало
только конечное число простых чисел, то <р(я) была бы определена только
для конечного числа значений п. Существует, однако, как впервые было
доказано Эвклидом, бесконечно много простых чисел. Доказательство Эвклида
ведется следующим образом. Пусть 2, 3,5, ..., р^ — первые ЛГ простых
чисел, и пусть Р=B, 3, 5,... , pN)-\-l. Тогда Р не делится ни на одно из
простых чисел 2, 3, 5. ...,pN. Следовательно, либо Р — само простое,
либо делится на простое число, большее р^. В обоих случаях существует,
следовательно, простое число, большее р^, а, значит, и бесконечно много
простых чисел.

126 Глаба четвертаИ
Так как ср (я) > п, то о (п) —¦ оо.
3. Пусть <р (ft) обозначает число простых чисел, меньших чем п. Тогда
<р (я) —* 4- °°-
4. ср(л)=[ай], где а — любое положительное число. Здесь
и т. д.; следовательно, ср (ft)-»-j-оо.
_ „ .. 1000 000 ,. , ч . , , ч й
5. Если <р (и) = —, то limcp(rt)=0; а если Ь (rt) = X000~660 ' ТО
ф(L-оо. На эти заключения никоим образом не влияет то обстоятель-
обстоятельство, что <р (я) для п< 1000 000 больше чем <Ь(п).
6. ср(п) = —=— , ft —(— If, Л {1 — (— 1)™}. Первая функция стре-
п — (— I)
мится к 0, вторая — к -\-<х>, а третья не стремится ни к конечному пределу,
ник-f оо.
7. <f(n)= -, где G — любое действительное число. Здесь
| <р (я) | < — t так как | sin п Ъг. j ^ 1, и lim ср (п) = 0.
о , , sinn Вт: (a cos' п 9 4- Ь sin' я 6) , ,
8. ср(й)=——zr или i ' '— где а и й —любые деи-
уп п
ствительные числа.
9. ср (й) = sin я Sit. Если 6 — целое число, то ср(я) = О для всех значений я
и, следовательно, lim <р (я) = 0.
Пусть, далее, 6 рационально, 6 — — , где • р и q — положительныг
целые числа. Пусть п = aq 4- b, где а — частное, a b — остаток от деле-
деления ft на q. Тогда
Ч Ч
Допустим, например, что р — четное; тогда, когда я возрастает отОдод' — 1,
ср (л) принимает значения
„ . рг: . 2рк . (q—1)пя
0, sin ^— , sin -*—-..... sin ^ и—- .
ч ч ч
Когда п возрастает от q до 2q—1, эти значения повторяются; они вновь
повторяются, когда п пробегает значения от 2q до 3q — 1, от 3^ до Aq — 1
и т. д. Таким образом, значения ср (п) циклически повторяются и состоят из
конечного числа различных значений. Очевидно, что когда имеет место
такое положение, cp(ft) не может стремиться ни к конечному пределу, ни
к 4-оо, ни к —оо.
Случай, когда G иррационально, несколько более сложен. Он будет рас-
рассмотрен в следующем списке примеров.
62. Колеблющиеся функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Когда ср (л) не стре-
стремится ни к конечному пределу, ни к -\-со, ни к — оо при п
стремящемся к со, мы говорим, что ср (п) колеблется при п стре-
стремящемся к со.
Функция со (л) наверно колеблется, если, как в последнем из
рассмотренных примеров, ее значения образуют циклически повторяю-
повторяющуюся систему из конечного числа различных чисел; но, конечно,

Пределы функций от целочисленного переменного Г27
она может колебаться, и не обладая этим специальным свойством.
Определение колеблющейся функции основано на отрицании: функ-
функция колеблется, если она не ведет себя некоторым другим образом.
Простейшим примером колеблющейся функции является
которая равна + 1, когда я четно, и —1, когда л нечетно. В этом
случае значения повторяются циклически. Но рассмотрим
значения которой суть
-1 + 1, 1 + 1, -1 + 1, 1+1. -1 + 1
Когда л велико, каждое значение почти равно + 1 или — 1, и ясно,
что ер (л) не стремится ни к конечному пределу, ни к + оо, ни к
— оо, и поэтому колеблется; но ее значения не повторяются цикли-
циклически. Следует заметить, что в этом случае каждое значение ср (л) по
модулю меньше или равно у. Аналогично
Ф (я) = (_!)« 100+ i^?
колеблется. Когда п велико, каждое значение почти равно 100 или
— 100. Наибольшим по модулю значением является 900 (для п = 1).
Рассмотрим теперь ф(л) = (—1)"л, значения которой суть —1, 2,
— 3, 4, — 5,... . Эта функция колеблется, так как она не стремится
ни к бесконечному пределу, ни к + со, ни — со; но в этом случае мы не
можем указать границы, выше которой модули ее значений не возра-
возрастают. Различие между этими двумя примерами приводит нас к сле-
следующему дальнейшему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если с?(п) колеблется при п стремящемся
к оо, то мы будем говорить, что ер (л) колеблется ограниченно или
неограниченно, в зависимости от того, существует или нет
такое число К, что все значения ер (л) по модулю будут меньшими
чем К, т. е. | ер (я) |<^ К для всех значений п.
Эти определения, а также и определения, содержащиеся в пп. 58
и 60, иллюстрируются следующими примерами.
Примеры XXIV. Рассмотреть поведение при п стремящемся к о©
следующих функций:
1. (-If, 5+3(-If,
2. (— if n, 1 000 000 + (— If л.
3. 1 000000 — n, (— If A 000000 — л).

128 Глава четбертай
4. я {1 +(—л)"}. В этом случае значениями <р (я) являются
О, 4, 0, 8, О, 12, 0, 16,... .
Нечетные члены все равны О, а четные стремятся к +°°>' V (п) колеблется
неограниченно.
5. rt2-f-(—l)n2n. Второе слагаемое колеблется неограниченно, но пер-
первое значительно больше второго при больших Л. Действительно,<p(ft)^ л2—-2/г,
a ft2—-2/1 = (я — IJ — 1 больше чем любое заданное значение Д, если
п > 1 -)- У& + 1- Следовательно, cp(ft)— -f-oo. Следует заметить, что
в этом случае <р Bk + 1) всегда меньше чем <р B&), так что функция стре-
стремится к бесконечности, то возрастая, то убывая. Однако она не колеблется,
в смысле данного нами определения этого понятия.
6. л2 {1 + (— 1)"}; (— If л2 + л; л3 + (— 1)" я2.
7. sin ft 6rc. Мы уже видели (примеры XXIII. 9), что <р (ft) ограниченно
колеблется, если G рационально, но не равно целому числу; в этом послед-
последнем случае <р(я) = 0 и <р(я)—-0.
Случай иррационального 9 несколько болге сложен, но мы все же
сможем доказать, что <в (ft) ограниченно колеблется. Не ограничивая общно-
общности, мы можем предположить, что 0<9<1.
Во-первых, так как [ <р (я) | < 1, <р (я) либо ограниченно колеблется, либо
стремится к пределу.
Но если бы smnfyx—*l, то
2cos i ft -(--h-JQtt • sin -K-Qjr = sin(ft + 1H- — sinn9it-* 0
и, следовательно, cos j ft-f—) 9л—*0. Отсюда следовало бы, что
где &„ — целое число н ?„ — 0, а отсюда
где /л — целое число и %—«-О. Это же, очевидно, невозможно, так как
6 — постоянная и заключена между 0 и 1.
Доказать подобным же образом, что cos n 6~ ограниченно колеблется,
если 8 нг является четным целым числом.
8. Если 8 — нецелое, невозможно, чтобы sin я 8* и cosft8~ были бы почти
равны для всех больших п то одному, то другому из двух значений а и Ь.
[Это можно показать рассуждениями, аналогичными, но несколько более
сложными, чем приведенные в примере 7.]
9. sin я Этт -j- я, sin я 8- -\ , (— 1 )п sin n 8 it.
10. a cos яВя + Ь sin п Ьг., $'т*пЬ~, a cos2 я 8^ + Ь sin2 л 8к.
11. л sin я 8гг. Если 8 —целое, то <р(й) = О, ср (/г) —> 0. Если же 8 —рацио-
—рациональное, но не целое число, или иррациональное, то ср (п) неограниченно
колеблется.
12. я (a cos8 я 8- + Ь sin2 я 8*). В этом случае ср(п) стремится к +оо,
если а и b оба положительны, и к —оо, если оба они отрицательны. Рас-
Рассмотреть частные случаи я=0, Ь>0; я>0, Ь = 0; я = 0, ? = 0. Если а и *
имеют разные знаки, то <р (rt), вообще говоря, неограниченно колеблется.
Установить и рассмотреть исключительные случаи.

Пределы функций ом целочисленного переменного 129
13. sin/гЮзг. Если 8 имеет рациональное значение —, то п!8 заведомо
целочисленно для всех значений п, ббльших или равных q. Следовательно,
о(й)—*0. Случай, когда 8 иррационально, требует для своего рассмотрения
значительно более сложных вспомогательных средств.
14. an— [bn], (—l)n(an—[bn\).
15. Наименьший простой делитель «.Когда п — простое число, ср(п)—ft.
Когда ft — четное число, cp(ft) = 2. Следовательно, ср(я) неограниченно
колеблется.
16. Наибольший простой делитель п.
17. Число дней в п-ом году н. э.
Примеры XXV. 1. Если cp(ft)^-j-°°H й(я):^= ср (я) для всех значений п,
то <Ь (п) -^ + оо.
2. Если ср («)—> 0 и |6 (ft) | ^ё | ср (п) 1 для всех значений п, то Ъ(п)-^0.
3. Если 1пп|<р(я)|='О, то limcp(ft) = 0.
4. Если ср (ft) стремится к пределу или ограниченно колеблется и | i> (ft) | ^
^ [ ср (п) | для п ^ п0, то <b (ft) стремится к пределу или ограниченно
колеблется.
5. Если cp(ft) стремигся к -f-oo или к —оо, или неограниченно колеблется
и №(я) I =Э=1 ?(ft)l Для n^no> то '-'(п) стремится к +°° иди к —оо или
неограниченно колеблется.
6. „Если ср (я) колеблется и, как бы велико ни было п0, мы можем найти
значения п, большие п0, для которых <Ь (ft) < ср (я), и значения ft, большие пй,
для которых 41 (ft) :> ср (ft), то Л (ft) колеблется". Справедливо ли это предло-
предложение? Если нет, привести противоречащий пример.
7. Если cp(ft)-^/ при п-^оо, то также и ср (я -\-р)—>1, где р — любое
фиксированное целое число. [Это следует непосредственно из определения.
Аналогично мы заключаем, что если cp(ft) стремится к +оо или к—оо или
колеблется, то cp(ft-|-p) ведет себя таким же образом.]
8. Те же заключения остаются в силе (кроме случая, когда ср (и)
колеблется), если р изменяется вместе с п, но остается по модулю меньше
фиксированного положительного числа ЛГ; или же если р изменяется с п
каким угодно образом, но остается всегда положительным.
9. Определить наименьшее значение п0, для которого
(a) ft8 + 2я > 999 999 (п ^ л0); (b) ft2 + 2ft > 1 000 000 (я ^ п0).
10. Определить наименьшее значение п0, для которого
(а) п + (— 1)" > 1 000 (ft 5- п„); (Ь) п + (- 1)" > 1 000 000 (я ^ п0).
11. Определить наименьшее значение пй, для которого
(а) /1* + 2я>Д(й=э/10)> (Ъ) я+(— 1)п>Ь(п^п0),
где Д — любое положительное число.
[(a)ft0 —[|/"Д+1] ," (b) fto = l-f[A]. или 2 + [Д]. в зависимости от
того, будет ли [Д] нечетным или четным, т. е.
12. Определить наименьшге значение п0, для которого
(а) -,^1< 0,0001; (Ь) 1 + ^^- < 0,00000
при я 23= ft0. [Рассмотрим последний случай. В первую очередь,
9 Г. Харди

130 Глава четвертая
и легко видеть, что наименьшим значением п0, для которого -^- < 0,000001
при ft Si «о, будет 1000 002. Но требуемое неравенство удовлетворяется при
й = 1000 001, и это и является искомым значением п0.]
63. Некоторые общие теоремы о пределах.
А. Поведение суммы двух функций, поведение которых известно.
ТЕОРЕМА I. Если ер (я) и ty (я) стремятся к пределам а и b
соответственно, то ер (л) -\- ty (я) стремится к пределу а-\-Ь.
Это почти очевидно1). Рассуждение, которое должно сразу же
притти в голову читателю, примерно следующее: „когда п велико,
9(«) почти равно а и ty(«) почти равно Ь, и поэтому их сумма
почти равна а -\- Ь". Однако уместно провести рассуждение во всей
полноте.
Пусть 8 — любое заданное положительное число (например,
0,001, 0,000001, ...). Мы должны показать, что может быть найдено
такое число л0, что
] A)
при п^п0. Но, по предложению, доказанному в гл. III (даже
в более общем виде, чем это требуется в данном случае), модуль
суммы двух чисел меньше или равен сумме их модулей. Следовательно,
') Эта фраза содержит некоторую двусмысленность, которую читателю
следует разобрать. Когда говорят, что .такая то теорема почти очевидна",
могут иметь в виду одно из следующих двух обстоятельств. Могут иметь
в виду, что „трудно сомневаться в справедливости этой теоремы", что
.теорема такова, что здравый смысл с ней интуитивно соглашается", как
он соглашается, например, со справедливостью следующих предложений:
„2 + 2 = 4", или „углы при основании равнобедренного треугольника равны".
Что теорема „очевидна" в этом смысле, еще не доказывает ее справедли-
справедливости, так как даже наиболее уверенные из интуитивных суждений здравого
смысла часто оказываются ошибочными. А если теорема и верна, то тот
факт, что она „очевидна", не является основанием не доказывать ее, если
доказательство может быть найдено. Предметом математики является дока-
доказательство того, что из некоторых предпосылок следуют некоторые выводы;
то обстоятельство, что эти выводы могут быть столь же очевидными, как
и предпосылки, никогда не избавляет нас от необходимости доказательства
и не уменьшает его интереса.
Но иногда (как в данном случае) фраза „это почти очевидно" означает
нечто совершенно отличное. Здесь мы имеем в виду, что „минутное раз-
размышление не только должно убедить читателя в справедливости утвержде-
утверждения, но и показать ему пути к строгому доказательству". Поэтому часто,
когда утверждение „очевидно" в этом смысле, мы можем опустить доказа-
доказательство, но не потому, что доказательство излишне, а потому, что его
проведение было бы ненужной тратой времени, так как читатель может
легко провести его сам.
Эти замечания были сообщены мне много лет назад проф. Литтльвудом.

Пределы функций от целочисленного переменного 13i
Таким образом, требуемое условие будет наверно выполнено, если
можно будет найти па такое, что
|9(л) — а|-Нф(я) — й|<8 B)
при п^пЛ.
Если задано любое положительное число 8', мы можем найти nt
так, что |ср(я) — а К о' для n^nt. Возьмем 8' = у 8, так что
Ф (я) — а |<^-к-8 при n^nt. Аналогично, мы можем найти я2 так,
что | <Ь (я)— ^l^y^ ПРИ я^я3. Возьмем теперь в качестве па
большее из двух чисел пх и я3. Тогда | ф (я) — а
-к- 8 и
(я) — Ъ | <^ у 2 при я ^ яп, а, следовательно, B) удовлетворяется,
и теорема доказана.
Это рассуждение может быть кратко сформулировано так: из Нт<р(я) = л
и Нт <Ь(п) = й следует, что мы можем найти п1 и пг такие, что
yS (nSsrt!), |Л(п) —Й|<1-5 (п^л2),
а тогда, если п нг меньше чем nt и п2,
а следовательно,
Ит {<р (п) + ф (л)} = а + ?.
64. Предложения, дополняющие теорему I. Читатель без труда
докажет следующие предложения.
1. Если ф (я) стремится к конечному пределу, а ф (я) стре-
стремится к -\-оо или к — оо или колеблется (ограниченно или не-
неограниченно), то ф (я) -\- ф (я) ведет себя так оке, как ф (я).
2. ?ели ф (л) —>- -f- оо м ф (я) -»- -)- со, или ограниченно колеблется,
то ф (я) -j- ф (я) -»- -[- оо.
В этом утверждении мы, очевидно, можем псюду заменить -}- оо
на —-сю.
3. Если ф (я) —>- -(- сю м ф (я) —>- — оо, ото ф (я) -\- ф (я) может
либо стремиться к конечному пределу,-либо к -\- оо, дм^о «: — оо,
либо ограниченно или неограниченно колебаться.
Эти пять возможностей могут быть проиллюстрированы, соответственно,
следующими примерами: A) <р(п) = п, i(n) = — п, B) <р (и) = па, ф(п) = — п,
C)<р(л) = л, ф(п) = -п2, D) ?(п) = и + (-1)га, Ф(л) = -л, E) ?(я) =
2М If ф() 2
4. Если ф (я) —>¦-(- оо м ^ (я) неограниченно колеблется, то
Ф (я) -}- ф (я) может стремиться к -\- оо или неограниченно коле-
колебаться, но не может стремиться ни к конечному пределу, ни
к —оо, ни ограниченно колебаться.

1з2 Гла&а четёертйя
Ибо & («) == {'? (п) + "Р G1)} — ?(п)> и если бы <р(л) +<!>(л) стремилась
к пределу или к — со или ограниченно колебалась, то отсюда следовало бы,
по предыдущим результатам, что «^(л)—>— со, тогда как ii (n), по предполо-
предположению, нгограничеино колеблется. Примерами двух возможных случаев
могут служить: A) 9(л) = л2, ф(л) = (—1)" л, B) 9(л) = л, <1>(я) = (— 1)гап2.
Здесь знаки -f-oo и —со также могут быть всюду изменены на обратные.
5. Если ф (я) м <|* (я) обе ограниченно колеблются, то ф (л) -f- <j/ (я)
должно либо также ограниченно колебаться, либо стремиться
к пределу.
Примеры: A) 9(л) = (— If, 6(л) = (-1)* + *, B) 9(л) = ф(л) = (— If.
6. Если ф (я) колеблется ограниченно, a <j/ (/г) колеблется
неограниченно, то ф (я) -{- ^ (й) колеблется неограниченно.
Действительно, 9(п) по модулю всегда меньше некоторой постоянной #.
С другой стороны, <Ь(п), так как она колеблется неограниченно, должна
принимать значения по модулю большие любого заданного числа (напри-
(например, 10К, 100К, •••)• Следовательно, <»(«) +44") должна принимать значе-
значения по модулю большие любого заданного числа (например, 9К, 999/С,...).
Следовательно, 9 (л) -f- i (я) должна либо стремиться к -|-со, либо к —со,
либо неограниченно колебаться. Но если бы она стремилась к -(-со, то
Ф(п) = {<?(«) + 4- («)}-?(«)
также стремилась бы к -(-со, в силу предшествующих результатов. Следова-
Следовательно, 9(л)-(-ф(п) не может стремиться к -{-оо, а, в. силу аналогичных
рассуждений, не может стремиться и к —со; таким образом, она должна
неограниченно колебаться.
7. Если ф (я) и <j/ (я) обе неограниченно колеблются, то
ф(я)-(-^(я) может либо стремиться к пределу, либо к -{-со,
либо к —оо, либо ограниченно или неограниченно колебаться.
Допустим, например, что 9(л) = (—lfn, а <Ь(л) — одна нз следующих
функций: (—!)" +'л, {1+(— l)ra + 1}«, — {!+(—1)"}я, (—1)" + Чл + 1),
(— 1)гал. Мы получаем примеры всех пяти возможностей.
Предложения 1 — 7 покрывают все существенно различные случаи.
Прежде чем перейти к рассмотрению произведения двух функций,
отметим, что утверждение теоремы I может быть непосредственно
распространено на сумму трех и большего числа функций, стремя-
стремящихся к пределу при я -*¦ оо.
65. В. Поведение произведения двух функций, поведение
которых известно. Мы можем теперь доказать аналогичную систему
теорем, относящихся к произведению двух функций. Основным
предложением является следующее.
ТЕОРЕМА II. Если Нтф(л) = а и Нт^(я) — Ъ, то
Пт ф
Пусть
9 (я) = а+ 9i (я), «К«)=*

Пределы функций от целочисленного переменного 133
так что lim ф! (л) = 0 и lim^ (я) = 0. Тогда
Ф (я) <[. (я) = ab -f- а ф, (й) + й фх (я) + 9i (я) <Ь («)•
Следовательно, модуль разности ф (я) ф (я) — ab не больше чем
сумма модулей a fyt (я), b ^ (я), 9j (л) ^ (я). Отсюда следует, что
lim {ф(я)^(я)—-ab] = 0,
и теорема доказана.
Подробнее последняя часть доказательства проводится следующим об-
образом. Мы имеем
I fc (л) I;
допуская, что ни а, ни * не равны 0, мы можем предположить, что
й<3[я| \д\, и выбрать пй так, что
для я :>= «oJ но тогда
Итак, мы можем выбрать п0 так, что \a(n)i>(n) — ай|<5прн n^2sn0,
и теорема доказана. Читателю предлагается провести доказательство в том
случае, когда по крайней мере одно из а и Ъ равно 0.
Эта теорема, как и теорема I, может быть, конечно, сразу
обобщена на произведение любого числа функций от я. Имеет место
также и ряд дополнительных предложений, аналогичных сформули-
сформулированным в п. 64 для сумм. Теперь мы должны различать шесть
случаев в поведении ф (я) при я стремящемся к оо. Она может
A) стремиться к пределу, отличному от нуля, B) стремиться к нулю,
(За) стремиться к -j- оо, (ЗЬ) стремиться к — оо, D) ограниченно
колебаться и E) неограниченно колебаться. Как правило, нет необхо-
необходимости в отдельном рассмотрении случаев (За) и (ЗЬ), так как
результат в одном случае может быть выведен из результата
в другом простым изменением знака.
Подробное изложение этих дополнительных предложений заняло бы
слишком много места. Приведем здесь только два из них в качестве примеров,
оставляя их доказательство читателю. Весьма полезным упражнением для
него будет также формулировка некоторых из остальных предложений.
A) Если у (п) —-\-со и ф(л) ограниченно колеблется, то <р(и)ф(я)
должна стремиться к -\-со или к —оо или неограниченно колебаться.
Примеры для этих трех случаев могут быть получены, если положить
?(п) = п, а ф(л) = 2 + (-1)»; -2-(^1)«; (-1)».
B) Если <р (я) и &>(п) ограниченно колеблются, то <р(п)&>(п) должна
или стремиться к пределу (который может быть равен нулю), или
ограниченно колебаться.
В качестве примеров возьмем следующие:
(а)?(л) = ф(л) = (-1)в,
(b) <р (л) = 1 + (— 1)» ф (л) = 1 - (- If,
(c) у (п) = cos -g- n ir, ф (л) = sin -_- n л.

134 Глава четвертая
Важным частным случаем теоремы II является тот, в котором
ф(я) постоянна. Теорема тогда утверждает, что limkq(n)=ka,
если lim ф (я) = а. К этому мы можем добавить, что если ф (я) —>- -j- со,
то k9(я) —*--}-оо, или kep(n)—* оо, в зависимости от того,
положительно k или отрицательно. При k = О & ф (я) = О для всех я,
и lim &ф (я) = 0. Если же ф(я) ограниченно или неограниченно
колеблется, то так же ведет себя и Аф (л), если 1гфд.
66. С. Поведение разности и отношения двух функций, пове-
поведение которых известно. Имеется, конечно, аналогичная система
теорем для разности двух данных функций, являющихся очевидными
следствиями из предыдущих результатов. Прежде чем рассмотреть
отношение
9 (л)
ф(л) '
докажем следующую теорему.
ТЕОРЕМА III. Если Птф(я) = а и а отлично от нуля, то
,. 1 1
lim —r-r = — .
<р(п) а
Пусть
так что Нтф1(й) = 0. Тогда
_J _l_
ljPi<n)J
| в 11
и так как Нгаср1(я) = 0, то очевидно, что мы можем найти такое я0,
что это выражение будет меньше любого заданного положительного
числа 8 для п^пЛ.
Из теорем II и III мы можем тотчас же вывести основную
теорему для отношения двух функций.
ТЕОРЕМА IV. Если Птф(л) = а и Нт$(п) = Ь и b отлично от
нуля, то
,. о (и) а
hm-f-7-f = -,- .
Читателю рекомендуется сформулировать, доказать и проиллю-
проиллюстрировать примерами некоторые из „дополнительных теорем"
к теоремам III и IV.
67. ТЕОРЕМА V. Если Я{ф(й), <]*(«),..., х(п)}~любая рацио-
рациональная функция от ф (я), ^ (я),..., х (й)> т. е. любая функция вида
Р {<?(n),J (n^.^V-Jnll

Пределы функций от целочисленного переменного 135
где Р и Q обозначают полиномы от ф (я), <|< (я),..., / (я),....
и если
lim ф (я) = a, lim ^ (я) = Ь,..., lim / (я) — с
ото
Нш/?{ф(я), ф(я),..., х(я)} = /?(а, й,..., с).
В самом деле, Z3 является суммой конечного числа слагаемых
вида
где Л — постоянная, а/>, q,..., r—положительные целые числа.
По теореме II (точнее, по ее обобщению на любое число сомножи-
сомножителей), это слагаемое стремится к пределу AaPbq . . .сг и, следова-
следовательно, Р стремится к пределу Р (а, Ь,..., с), согласно аналогич-
аналогичному обобщению теоремы I. Таким же образом Q стремится
к Q (а, Ь,.... с), и утверждение следует из теоремы IV.
68. Предыдущая общая теорема может быть применена к решению
следующего очень важного частного вопроса: каково поведение
наиболее общей рациональной функции от я, а именно,
я / \ a(>nP + ainP~1 + ... + a1)
к >~ М' + М»-1+ + *«
при п-уоо1) i
Для применения теоремы преобразуем S(n) к виду
— 4-
Функция в фигурных скобках имеет вид /?{ф(я)}, где ф(я)=—,
и, следовательно, стремится при я —*- оо к пределу R @) = ~ .
Но пр-9-+0, если p<Ci> яр-? — 1 и, значит, л"-?-»-1, если
p = q, и яр~?-> == со, если р^> q- Поэтому, по теореме II, '
lim 5 (я) = 0 (/><?),
lim 5 (я) =^ (р = ^),
<?, ?- положительно),
S[n)-* сю (p^>q, у отрицательно] .
Мы, конечно, предполагаем, что ни аа, ни 60 не равно 0.

136 Глава четвертая
Примеры XXVI. 1. Каково поведение функций
' ( > \п+1] ' п ' {~L) n
при л—оо?
2. Установить, стремятся ли следующие функции к пределу при п~>оо:
1 1
1 1 » / 1 1 \ '
cos2 y n~ -f nah^^-nr. n (cos2 у «*-(-n sin2 у и к
.1 , . . 1
Я cos8 y/is-f sin* упг
n (cos8^ n~-\- я sin8 -~ nrz
3. Обозначая через S(n) произвольную рациональную функцию от л,
рассмотренную выше, показать, что
69. Функции от я, монотонно возрастающие вместе с п.
Частным, но особенно важным классом функций от п, является класс
таких функций, которые изменяются при возрастании п только
в одном направлении, т.е. которые все время возрастают (или убы-
убывают), когда п возрастает. Так как —ф(л) всегда возрастает, если
Ф (я) всегда убывает, нет необходимости рассматривать каждый тип
функций в отдельности; теоремы, доказанные для одного типа,
тотчас же переносятся на другой.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция ф(я) называется монотонно возра-
возрастающей вместе с я, или возрастающей функцией от я, если
Ф (я -f-1) Sa«P (я) для всех значений п.
Следует заметить, что мы не исключаем случая, когда ср (я)
имеет одно и то же значение для нескольких значений я; мы
исключаем лишь возможность убывания. Так, функция
Ф (я) = 1п + (-1)п,
значения которой для я = 0, 1, 2, 3, 4,... равны соответственно
1, 1, 5, 5, 9, 9,...,
возрастает вместе с п. Наше определение включает даже функции,
которые остаются постоянными, начиная с некоторого значении я;
так, ф (я) = 1 монотонно возрастает.
Если ф(я-(-1)^>ф(я) для всех я, то мы говорим, что ф(я)
строго возрастает.
Для функций этого класса имеет место следующая очень важная
теорема.

Пределы функций от целочисленного переменного 137
ТЕОРЕМА. Если ср(я) монотонно возрастает вместе с п, то
либо A) 9 (я) стремится к пределу при п стремящемся к со,
либо B) ф (я) -»- + сю.
Это означает, что из пяти возможных случаев поведения для
функций этого типа могут иметь место только два.
Эта теорема является простым следствием теоремы Дедекинда
(см. п. 17). Разобьем действительные числа \ на два класса L и /?,
относя S к I или к R, в зависимости от того, имеет место
неравенство ф(я)^$ для некоторого значения п (и тогда, конечно,
для всех больших значений) или неравенство ф (я) <^ % для всех зна-
значений п.
Класс L заведомо существует; класс R может и не существовать.
Если он не существует, то как бы велико ни было заданное число Д,
9 (я) ^> Д для всех достаточно больших значений п и, следовательно,
ф(й)_*4_ со.
Если, с другой стороны, 7? существует, то классы L и /? обра-
образуют сечение в области действительных чисел в смысле п. 17.
Пусть а — число, соответствующее этому сечению, и 8 — любое поло-
положительное число. Тогда ф(я)<^а-\-Ь для всех значений я, откуда,
в силу произвольности 8, следует, что ф(я)^а. С другой стороны,
ф(я)^>а—-8 для некоторого значения я, а значит, и для всех
достаточно больших значений я. Таким образом,
а — 8 <^ ф (я) =? а
для всех достаточно больших значений я, т. е.
Следует заметить, что, вообще говоря, <р(и)<я для всех значений Я,
ибо если бы <р (и) была равна а для некоторого значения п, то она должна
была бы равняться а и для всех больших значений п. Следовательно, <р(я)
не может принять значения а, если только не все значения <р (и), начиная
с некоторого, равны а. В этом последнем случае а является наибольшим
числом в I; в других случаях L не имеет наибольшего числа.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если ф (я) монотонно возрастает вместе с п, то
она будет стремиться к пределу или к -\-оо, в зависимости от
того, возможно или нет найти такое число К, что у(п)<^К для
всех значений п.
Мы увидим, что это следствие очень полезно в приложениях.
СЛЕДСТВИЕ 2. Если ф(я) монотонно возрастает вместе с п
и у(п)<^К для всех значений п, то ер (я) стремится к пределу,
и этот предел не превосходит К-
Следует отметить, что предел может быть равен К; если, напри-
например, ф(я) = з , то каждое значение ф(я) меньше 3, но предел
?(я) равен 3,

133 Глава четвертая
СЛЕДСТВИЕ 3. Если ф(я) монотонно возрастает вместе с п
и стремится к пределу, то
ф (я) ^ Нт 9 (я)
для Всех значений п.
Читателю предлагается сформулировать соответствующие теоремы
и следствия для случая, когда ф (п) убывает при возрастании п.
70. Важность этих теорем обусловливается тем обстоятельством,
что они дают нам возможность (которой мы не имели до сих пор)
во многих случаях решить, стремится ли данная функция от я к не-
некоторому пределу при л—»оо или нет, не предугадывая значения
этого предела. Если мы знаем, чему должен быть равен предел, в
случае его существования, то мы можем применить признак
Это положение имеет место, например, в случае <р (я) = —, где,
очевидно, пределом может быть только 0. Но допустим, что мы
должны определить, стремится ли
к пределу. В этом случае совсем не очевидно, чему будет равен
предел, если он существует, и ясно, что предыдущий признак, содер-
содержащий /, не может быть применен (во всяком случае непосредственно)
к решению вопроса о том, существует / или нет.
Этот признак может быть, конечно, иногда применен косвенно для
доказательства того, что / не существует, путем приведения к противоре-
противоречию. Если, например, <р(и) = (—1)га, то ясно, что / должно было бы быть
как 1, так и — 1, что явно невозможно.
71. Другое доказательство теоремы Вейерштрасса из п. 19. Резуль-
Результаты п. 69 позволяют нам дать другое доказательство важной теоремы,
уже доказанной в п. 19.
Если мы разделим интервал PQ на две равные части, то по крайней
мере одна из них должна содержать бесконечно много точек S. Выберем
ту часть, которая содержит бесконечно много точек S, или, если этим свой-
свойством обладают обе части, то выберем левую. Эту выбранную половину
обозначим через PiQx (фиг. 25). Если Я^ — левая половина, то Рх — это
точка Р.
Аналогично, если мы разделим PtQ, на две половины, то по крайней
мере одна из них должна содержать бесконечно много точек S. Выберем
половину P»Q2) которая удовлетворяет этому условию, или, если этому
условию удовлетворяют обе половины, то выберем левую. Продолжая таким
образом, мы получим последовательность интервалов
каждый из которых является половиной предшествующего интервала и
содержит бесконечно много точек 5.

Пределы функций от целочисленного переменного 139
Точки Р, Ри Ps, ... лежат каждая правее предыдущей, и, следовательно,
Рп стремится к предельному положению Т. Аналогично, Qn стремится
к предельному положению Т. Но TV, очевидно, меньше чем РПО„ при
РО
любом значении я; а так как PnQn равно -0-, то PnQn~*0. Следовательно,
Г совпадает с Т, и Рп и Qn обе стремятся к Т.
Рз Оз
Р Р2
. о
Фиг. 25
Тогда Т является точкой накопления S. Ибо, полагая, что $ является ег
координатой, рассмотрим любой интервал типа (?—8, & + §). Если я доста-
достаточно велико, то PnQn будет целиком лежать внутри этого интервала 1).
Следовательно, интервал (? — S, ?-[-§) содержит бесконечно много точек S.
72. Предел хп при п стремящемся к оо. Применим результаты
п. 69 к особо важному случаю ср(я) = х". Если ле= 1, то ф (я) = 1,
Шпф(й) = 1, и если дг = О, то ф(я) = 0, Нтф(я) = О, так что эти
частные случаи можно исключить из рассмотрения.
Допустим сначала, что х положительно. Тогда, так как ф (я -\~ 1) =
= лгф(я), ф (я) возрастает вместе с я, если лг^>1, и убывает при
возрастании я, если х<^\.
Если х^>\, то х" должно стремиться либо к конечному пределу
(который должен быть, очевидно, большим 1), либо к -j-oo- Пусть хп
стремится к пределу /. Тогда, согласно примеру XXV. 7, lim ф (я -)- 1) =
= lim ф (я) — /; но
lim ф (я -j- 1) = lim х <р (я) = х lim ф (я) = xl,
и, значит, l=xl; однако это невозможно, так как х и / оба больше 1.
Следовательно,
Пример. Читатель может дать другое доказательство, показав, что, по
биному Ньютона, хп > 1 -)- nb, если S положительно и х = 1 + 8, откуда
С другой стороны, Xй является убывающей функцией, если х^,
и поэтому х" стремится либо к конечному пределу, либо к — оо. Так как
РО
L) Это заведомо будет надеть место, коль скоро -~

140 Глава четвертая
хп положительно, вторая возможность отпадает. Таким образом, \\тхп=1,
а так как попрежнему 1=^x1, то / должно быть нулем. Следовательно,
/ 1 \"
Пример. Доказать, как в предыдущем примере, что I — стремится
\ х J
к -(-со, если 0-<л:-< 1, и вывести отсюда, что х" стремится к 0.
Наконец, мы должны рассмотреть отрицательные х. Если
— 1 <^лг<^0 и х = —у, так что0<^.у <С 1> тоиз предыдущего следует,
что \imyn = 0, и поэтому Нтлгл = 0. Если лг = — I, то очевидно,
что х11 колеблется, принимая поочередно значения—1 и 1. Если же
х<^—1 и х==—у, так что_у^>1, то у" стремится K-j-oo, и по-
поэтому хп принимает значения, поочередно положительные и отрица-
отрицательные и по модулю превосходящие любое наперед заданное число.
Следовательно, хп неограниченно колеблется. Таким образом,
ф («) = .*»-,-}- ОО(ЛГ>1),
Шпф(л) = 0 (—
Ф (я) ограниченно колеблется (х = — 1),
Ф (я) неограниченно колеблется (х <^ — 1).
Примеры XXVII1). 1. Если <р (и) положительно и <р (л + l)^Kf (я),
где К>1, то ср(л)^+со.
[Ибо
откуда следует утверждение, так как К" —> со.]
2. Тот же результат остается в силе, если условия удовлетворяются
только при nj=sno.
3. Если tp(n) положительно и ср (п + 1) ^:К<? (п), где 0<К<1, то
lim <p (я) = 0. Результат остается в силе, если условия удовлетворяются
только при п^: п0.
4. Если jcp(n-f-l) |sgAT| <f(«) I при п^п0 и 0<АГ< 1, то 1шкр(я) = 0,
5. Если се (я) положительно и lim -^—^t—• = / > 1, то у (п) —* -)- со.
[Ибо мы можем определить я0 так, что ——I~ > АГ> 1 при п >= п0; для
этого можно, например, взять К равным -^- A -\-1). Дальше применить при-
пример 1.]
6. Если
? (и)
то Нтср(л) = 0. [Это следует из примера 4 так же, как пример 5 следует
из примера 1.]
') Эти примеры особенно важны, и некоторые из них применяются
дальше в тексте. Поэтому они должны быть внимательно изучены,

Пределы функций oiti целочисленного переменного 141
7. Исследовать поведение при я —¦ оо функции
где г—любое положительное целое число.
[Если х = 0, то (р(я) = 0 для всех значений я, и ср (я)-»0. Во всех дру-
других случаях
ср(я)
Допустим сперва, что х положительно. Тогда ср (я) —> -|- оо, если х > 1
(см. пример 5), и ср(я)-^О, если х<1 (см. пример 6). Если х=1, то
v(n) = nr—* +оо. Предположим, далее, что х отрицательно. Тогда | ср (я) | =
== пг | х \п стремится к + °°»если | х | J> 1, и к 0, если | х | < 1. Следовательно,
ср(я) неограниченно колеблется, если лг^С—1, и tp (я)—*0, если—1<:х<0.]
8. Аналогично исследовать гггхп. [Результаты — те же, кроме того, что
ср (я)-^0 при л;=1 или —1.]
9. Составить таблицу, показывающую поведение nk x" при я—> оо для всех
действительных значений х и всех положительных и отрицательных цело-
целочисленных значений k.
[Читатель заметит, что значение k несущественно, кроме тех частных
случаев, когда х = 1 или — 1. Так как
lim
независимо от того, положительно k или отрицательно, предел отношения
—•—. ' зависит только от х, и поведение tp (я) определяется в общем
случае множителем хп. Множитель я* играет роль только в том случае,
когда х равно 1 или —¦ 1.]
п
10. Доказать, что если х положительно, то ух—> 1 при п—+со. [Допу-
з^
стим, например, что х>1. Тогда х, ух, ух, ... является убывающей по-
п и
следовательностью, и у х > 1 для всех значений п. Следовательно, у х —- I,
где 1^. 1. Но если бы / было больше 1, то мы могли бы найти сколь угодно
п
большие значения и, для которых у х~>1 или х>/"; а так как /" —*¦ + со
при я-*оо, то это невозможно.]
П.^п—1.[Ибо Уп+ 1 < frn, если (я+ 1)п</гп+1 или fl + ij"<n,
что наверно выполняется для я^йЗ (см. доказательство в п. 73). Таким
п _
п _ п
образом, у п убывает при я возрастающем от 3, а так как у п всегда боль-
больше 1, то он стремится к некоторому пределу, большему или равному l.Ho
п
если бы Т/я—*/, где />1, то мы имели бы я>/п, что во всяком случае
/я
неверно для достаточно больших значений я, так как <¦ +оо вместе с п
(примеры 7, 8).]
12. —, —*-0 для всех значений х. [Если ня= —г то —2±1 = —г-:. что
п\ п\ ' ип я -f-1'
стремится к нулю при и-^оо, так что ип стремится к нулю (пример 6).]
п .
13. Т^я! —<- + °°' [Ибо я!>лг" для достаточно больших я, как бы велико
ни было х (пример 12).]

142 Глава четвертая
14. Показать, что если —1<х<1, то
стремится к нулю при я —*оо.
[Если т — положительное целое число, то ип — 0 для п>т. Если, же lit
не есть положительное целое число, то
кя+1_/я—я
— —- - X —> -
и„ п+1
кроме того случая, когда х — 0.]
73. Предел 1 -j j . Более трудная задача, которая может
быть решена с помощью п. 69, возникает, когда <р (я) = I I -j
Применяя формулу Ньютона, получаем:
ь2
1
~l-2...n V1 п) Г «/'"Г я
В этом разложении (/?-{-1)-ый член имеет вид
1-2.--Р
Он положителен и является возрастающей функцией от п. Число
/ 1 \"
членов суммы также возрастает с п. Следовательно, I I -j— воз-
растает с я и поэтому либо стремится к пределу, либо к -j- oo,
когда п — оо.
Но
1 -j ) не может стремиться к -|- со, а следовательно,
A \ П
.. —
где е — некоторое число такое, что
Пример. Найти предел
я-"-1 (я+1)л. (Экз. 1934 г.)

Пределы, функций от целочисленного переменного 143
74. Несколько алгебраических лемм. Здесь уместно доказать несколько
элементарных неравенств, которые нам понадобятся в дальнейшем.
A) Если а>1 и г—положительное целое число, то очевидно, что
Умножая обе части неравенства на а— 1, получим:
ГпГ(а—\)>сГ—\;
прибавляя к каждой части г(аг—1) и деля на r(r-j-l), получим:
Аналогично докажем, что
1 _ gr+i 1 _ gr
Отсюда следует, что если г и s — положительные целые числа и r>s,
то
Здесь 0<;j3<;l <; а. В частности, при s = l, мы имеем:
ar— I >r(a— 1), 1 — рг<гA — fi). D)
B) Неравенства C) и D) были доказаны в предположении, что г и s —
положительные целые числа. Но легко видеть, что они остаются в силе и
при более общих предпосылках, когда г и s — любые положительные рацио-
рациональные числа. Рассмотрим, например, первое из неравенств C). Пусть
ас , .
г= —, s — --t, гдг а, о, с, d—-положительные целые числа, причем
ad~>bc. Если мы положим a = iba, то неравенство примет вид
ad be >
а это нами уже доказано. Аналогичные рассуждения применимы и к другим
неравенствам; подобным же образом можно, очевидно, доказать, что
as— l<s(a— 1), 1— p*>s(l -P), E)
где s — положительное рациональное число, меньшее 1.
C) В дальнейшем мы предполагаем, что все буквы обозначают поло-
положительные числа, что п и s рациональны, и что а и г больше 1, а $ и s
меньше 1. Заменяя в неравенствах D) а на -у- и р на-— ? мы получим:
а'— 1<га'--1(B— 1), 1_^>г?'-1A— р). F)
Аналогично, из E) выводим:
as— l>sa*-l(a— 1), 1 - Ps < Spi5"! A — ?). G)
Сочетая D) и F), мы видим, что
Гог-Ча—l)>«r-l>r(a —1). (8)
Заменяя а на — , мы получим:
гл-'-1 (х — у) > A-r — уГ > гу'' (-^ — У), (^)

144 Глаба четвертая
если х>_у>0. Аналогичное рассуждение, примененное к E) и G), приво-
приводит к неравенству
sx5-1 (х —у) < Xs — ys < sys-1 (а- —у). A0)
Примеры XXVIIL 1. Проверить неравенство (9) для г — 2, 3 и неравен-
неравенство A0) для s== "» Т "
2. Показать, что (9) и A0) остаются в силе, если _у > х > 0.
3. Показать, что (9) остается в силе при г<0.
[Значительно более полное рассмотрение неравенств (9) и A0) может
быть найдено в книге Г. Харди, Дж. Литтльвуд и Г. Полна, Неравенства,
гл. II. Там же см. Добавление I.]
4. Если <р (я) —> /, где / > 0, и k рационально, то <р'г —> lk.
[В силу теоремы III п. 66, мы можем предположить, что ?>0; мы мо-
можем также предположить, что -~-1 < <р < 21, что имеет место, начиная с неко-
некоторого значения я. Если к > 1, то
или
А/* '(/- c
в зависимости от того, будет tp>' или <р</. Отсюда следует, что
отношение величин I <р*-— /* | и [ tp—/| лежит между А (у ') и А B/)*.
В случае 0 < k < 1 доказательство аналогично. Результат остается в силе
при / = 0, если k > 0.]
5. Распространить результаты примеров XXVII. 7, 8, 9 на случай, когда
г и А —¦ любые рациональные числа.
п
75. Предел п(ух— 1). В первом из неравенств C) п. 74 положим
г= ;, s = — . Тогда мы получим:
п — 1' п
л
если а> 1. Таким образом, если <р(я) = я(]/а — 1), то <р(я) монотонно убы-
убывает при возрастании я. Кроме того, <р (я) всегда положительна. Следова-
Следовательно, tp (я) стремится к некоторому пределу / при я-^со, причем/^0.
Если, далее, в первом из неравенств G) п. 74 мы положим s = — f то най-
найдем, что
п п' — ( 1 \ 1
\ а) а
Таким образом, /^1 > 0. Следовательно, если а> 1, то мы имеем:
причем /(а)>0.
Пусть теперь р < 1, и положим $ — — ; тогда
_1) = _„и^-1)-~.
1T
V
-

Пределы функций от Целочисленного переменного 145
Но n(j/"a"—1)—/(а), и (см. пример XXVII. 10)
Следовательно, если р = —< 1, мы имеем:
л
Наконец, если лг = 1, ton (ух — 1) = 0 для всех значений я.
Таким образом, мы получаем следующий результат: предел
определяет функцию от х для всех положительных значений х. Эта функ-
функция f(x) обладает следующими свойствами:
она положительна для х>\ и отрицательна для х<.\. В дальнейшем
мы увидим, что эта функция совпадает с натуральным логарифмом от х.
Пример. Доказать, что f(xy)=,f(x) -{-/(у). [Использовать соотношения
f(xy) = Hm п (|/ху - 1) =Иш {л (fa-l) VjT + я (V7- 1)}-]
76. Бесконечные ряды. Предположим, что и (я) — любая функ-
функция от п, определенная для всех значений п. Если мы сложим зна-
значения и (у) для v=l, 2, ..., п, то получим другую функцию от п,
а именно,
также определенную для всех значений я. Здесь удобно несколько
изменить наши обозначения и записать последнее равенство в форме
или, короче,
Если мы теперь предположим, что sn стремится к пределу s
при п -*¦ оо, то имеем
п
Нт У, us = s.
v=l
Это соотношение обычно записывается в одной из следующих форм:
¦»=1
10 Г. Харда

146 Глава четвертая
причем точки обозначают, что последовательность слагаемых щ бес-
бесконечна.
Смысл этих равенств, грубо говоря, заключается в том, что, скла-
складывая все большее и большее число слагаемых щ, мы получаем
числа, все менее и менее отличающиеся от предела s. Точнее, если
задано любое сколь угодно малое положительное число 8, мы
можем найти такое я0 (8), что сумма первых л0 (8) или любого боль-
большего числа слагаемых заключена между 5 — 8 и s-f5, т.е.
если п^пй (8). В этих условиях мы будем называть ряд
«! + «* + •••
сходящимся бесконечным рядом и будем говорить, что 5 является сум-
суммой ряда или суммой всех членов ряда.
Таким образом, когда мы говорим, что ряд их -J- и.г -J-... схо-
сходится и имеет сумму s, или сходится к сумме s, или просто схо-
сходится к s, мы утверждаем только то, что сумма
Я» = «1 + В« + ---+В||
первых п членов ряда стремится к пределу 5 при я—- со, так чтс
рассмотрение таких бесконечных рядов не требует введения ника-
никаких новых понятий, кроме тех, с которыми читатель уже позна-
познакомился в первых пунктах настоящей главы. Действительно, сумма
является просто некоторой функцией <р(га), представленной особым
образом. Любая функция <р (п) может быть представлена таким обра-
образом, а именно,
«Р(я) = «Р A) + {«Р B) —ТA)} + ... + {<р(я) — <р(я—1};
поэтому иногда бывает удобно говорить, что <р (я) сходится (вместо
„стремится") к пределу / при п -— со.
Если sn—1--J-OO или sn—- — оо, то мы говорим, что ряд
Ki -f- й2~\- • • • расходится, или что он расходится к-{-со или, со-
соответственно, к —со. Эти термины могут быть применены к любой
функции <р (я); так, если <р (я) —» -)- со, то мы можем сказать, что ср (га)
расходится к -\- со. Если sn не стремится ни к конечному пределу,
ни к -j~ со, ни к — со, то тогда sn ограниченно или неограниченно
колеблется; в этом случае мы говорим, что ряд, соответственно,
ограниченно или неограниченно колеблется1).
77. Общие теоремы о бесконечных рядах. При рассмотрена
вопросов, связанных с бесконечными рядами, мы должны будем по
стоянно пользоваться следующими общими теоремами.
:) Читатель должен быть предупрежден, что термины „расходящийся" и
„колеблющийся" применяются разными авторами в разных смыслах. [В рус-
русской литературе под расходящимся рядом, как правило, понимают ряд,
который не является сходящимся; расходящийся ряд в том смысле, в кото-
котором этот термин определен в тексте, иногда называют собственно расходя-
расходящимся.— Прим. перев.]

Пределы функций от Целочисленного переменного 147
A) Если их-\-щ-\-... сходится и имеет сумму s, то а-\-их-\-
-i-на-}-... также сходится и имеет сумму a-\-s. Аналогично,
а A- b -\~ с- + • • • ~\- k -\- «1 -f- Щ ~\~ • • • сходится и имеет сумму а-\-Ь-\~
+ c...+k+s.
B) Если их-j-u2-f-• • • сходится и имеет сумму я, то «m+1-(-am+a-f-...
сходится и имеет сумму
s — и1 — к2 —... — ит.
C) Если какой-либо из рядов, рассмотренных в A) и B), расхо-
расходится или колеблется, то так же ведут себя и остальные из рассмо-
рассмотренных рядов.
D) Если их -|~ и2 -J-... сходится и имеет сумму s, то kux -\-ku^ -J-...
сходится и имеет сумму ks.
E) Если первый ряд из рассмотренных в D) расходится Или
колеблется, то так же ведет себя и второй, если k=jLO.
F) Если аг -(- «а -|~ • • • и ^i ~\~ vi ~\~ • • • °ба сходятся, то ряд
(Hj -)- г»х) -f- (и2 -(- г»2) -f- • • • также сходится, и его сумма равна сумме
двух первых рядов.
Все эти теоремы почти очевидны и могут быть доказаны непо-
непосредственно из определений или же применением результатов пп.63— 66
к сумме sn = ах -\- к.2 -\- ... -J- ип. Следующие теоремы носят уже
несколько иной характер.
G) Если их -\- и2 -(-... сходится, то Нт ип = 0.
Ибо un = sn — sn_1, as, и 5Я_Х имеют один и тот же предел s.
Следовательно, lim un=s — s = 0.
Читателю может показаться, что и обратная теорема справедлива, т. е.
что если Нти„ = 0, то ряд Ui-j-и2-\-... должен быть сходящимся. Что это
не так, легко убедиться на примере. Возьмем так называемый гармони-
гармонический ряд
1 + 7 + Т + Т + —
для которого ип = — . Сумма его первых четырех членов
г 1,1,1,1 4 1
Сумма следующих четырех членов -^ + -5- + ^г + -5->-7г = -^; сумма еле-
о О / о о Z
8 1
Дующих восьми членов больше чем тг^у и т- Д- Таким образом, сумма
первых
4 + 4+8 + 16 + ... + 2" = 2"+'
членов больше, чем
2 + + + + +
а это стремится к +со вместе с л, а значит, ряд расходится к +оо.
10»

i48 1Глаеа четвергПаЛ
(8) Если ux + щ + кз + ¦ • •' сходится, то будет сходиться и лю<
бой ряд, составленный из данного произвольным объединением в
скобки его членов так, что выражение в каждых скобках обра-
образует член нового ряда. Сумма каждого из таким образом состав-
составленных рядов равна сумме исходного ряда.
Читатель сможет самостоятельно доказать эту теорему. Обратная тео-
теорема здесь также неверна. Так, 1—1 + 1—1 + ... колеблется, тогда как
или 0 + 0 + 0 + ... сходится к нулю.
(9) Если каждый член и„ положителен (или равен нулю), то
ряд 2 ип Либ° сходится, либо расходится к + со. Если он схо-
сходится, то его сумма должна быть положительна (кроме того слу-
случая, когда все члены равны нулю; в этом случае его сумма, конечно,
также равна нулю).
Действительно, sn, по определению п. 69, является возрастающей
функцией от и, и мы можем применить результаты этого пункта
к sn.
A0) Если каждый член ип положителен (или равен нулю), то
необходимым и достаточным условием сходимости ряда ^ ип являет-
является существование такого числа К, что сумма любого числа
членов ряда будет меньше чем- К; если такое К может быть
найдено, то сумма ряда не превосходит К.
Это также непосредственно следует из п. 69. Вряд ли нужно
особо отмечать, что теорема становится неверной, если отбросить
условие о положительности ип. Например,
1-1 + 1-1 + ...
явно колеблется, так как sn поочередно равно 1 и 0.
A1) Если и1 + иа + ..., г/1 + г/2 + ... — два ряда с положи-
положительными (или равными нулю) членами, причем второй ряд схо-
сходится и для всех значений п un^Kvn, где К—постоянная, то
первый ряд также сходится, и его сумма не превосходит умно-
умноженную на К сумму второго ряда. Ибо если v1 + г»2 +... = t, то
vi + vi + • • • Н~ vn ^ t Для всех значений п и, следовательно, их-\-и^-[-
+... + ип =s; Kt,~ что и доказывает теорему.
Обратно, если 2йл расходится и vn^sKun, где К^>0, то
^jVn также расходится.
78. Бесконечная геометрическая прогрессия. Рассмотрим те-
теперь бесконечный ряд с общим членом ип = г". Этот ряд назы-
называется „бесконечной геометрической прогрессией". В этом случае
если гф\\ при г=

¦ Пределы функций от целочисленного переменного 149
В последнем случае sn~—}-оо. В общем случае sn стремится к ко-
нечному пределу тогда и только тогда, когда г" стремится к конеч-
конечному пределу. Обращаясь к результатам п. 72, мы видим, что ряд
1 —[— г —j— г3 —(—... сходится а имеет сумму тогда и только
тогда, когда — 1 <^ г <^ 1.
Если г^1, то sn^n и sn~- -f-oo, т.е. ряд расходится к-j-со.
Если /•=— 1, то sn= 1 или sn = 0, в зависимости от того, нечетно п
или четно, т. е. sn ограниченно колеблется. Если г<^—1, то sn
неограниченно колеблется.
Итак, ряд 1 —]— г —j— r^ —J— ••. расходится к-\-оо, если r^sl, схо~
дится к , _ , если—1<^г<^1, ограниченно колеблется, если,
/• = — 1, и неограниченно колеблется, если г<^ — 1.
Примеры XXIX. 1. Периодические десятичные дроби. Самым рас-
пространенным примером бесконечной геометрической прогрессии являются
периодические десятичные дроби. Рассмотрим, например, десятичную дробь
0,217A3), По правилам арифметики это равно
2_ 4- -I 4- -L 4- i- 4- А 4- — 4- Л- 4- _ 217 10» _ 2 687
i0"t"l0*"t0» + l04 + 10li"t"l0e"t"l07 1000+ 1 ~ 12375 '
Ш*
Читатель должен разобрать, в каком месте и какая из общих теорем п. 77
применялась в этом вычислении.
2. Показать, что вообще
U,aia2 ...ат (аЛ... <х„) 99... 900 ЛТ0~" '
где знаменатель содержит я девяток и т нулей.
3. Показать, что чисто периодическая десятичная дробь всегда равна
дроби, знаменатель которой не делится ни на 2, ни на 5.
4. Десятичная дробь с т знаками до периода и с я знаками в периоде
равна дроби, знаменатель которой делится на 2т и 5т, но ие делится ни на
какую высшую степень 2 и 5.
5. Имеют место также утверждения, обратные утверждениям в приме-
примерах 3 и 4. Пусть г=— , и допустим, что q взаимно просто с 10. Если
мы будем делить все степени 10 на q, то получим не более q различных остат-
остатков. Поэтому можно найти два числа щ и п^, где n.i>nit так что 10 ' и
ЮЯ2 дают одини тотже остаток. Следовательно, 10"» — 10Па= 10A0"i —  — 1)
Делится на q, а следовательно, и 10" — 1, где n = rii — я2, делится яа q.
г>
Следовательно, г может быть представлено в виде у-- =- или
10 —- 1
р р
ТО" "*~ Тб*1 +'#''
т. е. как чисто периодическая десятичная дробь с я знаками в пе-
периоде. Пусть, с другой стороны, q = 2а 5^ Q, где Q взаимно просто
с Ю, и пусть т — наибольшее из чисел о и J3; тогда 10тг имеет знамена-
знаменатель, взаимно простой с 10, и может быть представлено в виде суммы
Целого числа и чисто периодической десятичной дроби. Однако это уже
неверно в отношении WV-г, где ;*<;/я; следовательно, наша десятичная
Дробь д^я г имеет в точности т знаков до периода,

150 Глава четвертая
6. К результатам примеров 2—5 мы должны добавить еще результат
примера I. 3. Наконец, замечая, что
(wm-9-|-J~|-^-4- -1
'к ' ~ 10 "* 10» ' 103 * '
мы видим, что всякая конечная десятичная дробь может быть представлена
в виде смешанной периодической десятичной дроби с 9 в периоде. Напри-
Например, 0,217=0,216(9). Таким образом, всякая дробь может быть представлена
в виде смешанной периодической десятичной дроби, и наоборот.
7. Общие десятичные дроби. Представление иррациональных чисел
в виде непериодических десятичных дробей. Каждая десятичная дробь,
как периодическая, так и непериодическая, соответствует определенному
числу между 0 и 1. Ибо десятичная дробь 0,aja2a3a4 ... обозначает беско-
бесконечный ряд
io "*¦ То* ~*~ 1 о» ~*~ —
Так как каждое аг положительно или равно нулю, то сумма sn первых
п членов этого ряда возрастает вместе с я и при этом не превосходит 0, (9),
т. е. 1. Следовательно, sn стремится к пределу, заключенному между 0 и 1.
Более того, никакие две десятичные дроби не могут соответствовать
одному и тому же числу (кроме тех случаев, которые отмечены в при-
примере 6). Ибо допустим, что 0,aia-,a3 ..., ^fi^bJj^ ...—две десятичные дро-
дроби, совпадающие до знаков ar_u br_it ио что ar>br Тогда ar^br-\-
-f I > br, br+1br+2... (если только не все br+i, br+2, • • ¦ равны 9), и следо-
следовательно,
0,alai...arar+l...>0,blb3.--l>rbr+l... .
Таким образом, выражения рациональных дробей в виде периодических
десятичных (примеры 2—6) однозначны. Далее мы заключаем, что каждая
десятичная дробь, которая не обрывается и не является периодической,
представляет некоторое иррациональное число между 0 и 1. Обратно, вся-
всякое такое число может быть представлено в виде такой десятичной дроби,
В самом деле, оно должно лежать в одном из интервалов
/ 1 \ П 2'
0 — • —
\ ' 10J ' \10»
Если оно лежит между ^ г и тл (г+1)> то первым знаком будет г. Под-
Подразделяя этот интервал на 10 частей, мы можем аналогично определить
второй знак и т. д. Но (примеры 3, 4) полученная десятичная дробь не
может быть периодической. Так, например, десятичная дробь 1,414..., полу-
получаемая с помощью обычного алгорифма извлечения ~\f2, не может быть
периодической.
8. Десятичные дроби 0,1010010001000010... и 0,2020020002000020..., в ко-
которых число нулей между единицами и двойками с каждым шагом увели-
увеличивается на единицу, представляют иррациональные числа.
9. Десятичная дробь 0,11101010001010..., в которой я-ый знак есть 1,
если я — простое число, и 0, если я — непростое, представляет простое
число. [Так как число простых чисел бесконечно, эта десятичная дробь не
обрывается. Она не может быть и периодической; действительно, если бы
она была периодической, то мы могли бы определить m и р так, что /я,
m-\-p, m-\-2p, т-\-Ър ... были бы все простые числа, а это невозможно»
так как эта последовательность содержит
') Все результаты примеров XXIX могут быть обобщены, с соответ»
ствующими изменениями, на двоичные, троичные и т. п. дроби,

Пределы функций от целочисленного переменного 151
Примеры XXX. 1. Ряд rm + rm+l + • • • сходится, если — 1 < г< 1, и его
сумма равна yzrr — 1 — г - ... — rm-i (см. B) п. 77).
2. Ряд rm -j- rm+1 + • • • сходится, если —¦1<г<1, и его сумма равна
(см. D) п. 77). Проверить, что результаты примеров 1 и 2 совпадают.
1 — г
3. Доказать, что ряд 1 -\- 2г-\-2гг + • • • сходится и что его сумма равна
1 + г
1 —г'
A) записывая его в виде
-i + 2(i + r+r*+:..),
B) записывая его в виде
1 + 2(г+г« + ...),
C) складывая два ряда 1 -\-r-\-rz -\-... и г + г2 + ¦ • • В каждом случае
указать те теоремы из п. 77, которые применяются при доказательстве.
4. Доказать, что арифметическая прогрессия
всегда расходится, кроме того с.тучая, когда а и Ь оба равны нулю. Пока-
Показать, что если b отлично от нуля, то ряд расходится к +со или к —со,
в зависимости от знака Ь, и что если Ь = 0, то он расходится к -j-co или
к —со, в зависимости от знака а.
5. Чему равна сумма ряда
если этот ряд сходится? [Ряд сходится тогда и только тогда, когда — г < 1 sg; 1.
Его сумма равна 1, если гф\, и равна 0 при г = 1.]
6. Найти сумму ряда г2 + j-^s + (T^^f + •••¦
[Этот ряд всегда сходится. Если г^О, его сумма равна 1+г2, а при
/- = 0 его сумма равна 0.]
7. Если предположить, что 1 +г + гг + ••• сходится, то можно доказать
с помощью теорем A) и D) п. 77, что сумма этого ряда равна = . Ибо если
1 + r-f- r> + ... = s, то
s = l+r(l + r+r2 + ...) = l+«-
8. Найти сумму ряда ''-bo^ [-,. . ^~\- • • ¦ в тех случаях, когда он
сходится. [Ряд сходится, если — 1< , — < 1, т. е. если г< —2 или
г > 0, а его сумма равна 1 -)- г. Он также сходится при г = 0, ив этом
случае его сумма равна 0.]
9. Найти суммы следующих рядов в тех случаях, когда они сходятся:
г
10. Рассмотреть сходимость рядов
О + r) + (r* + rs) + • • •, 0 + г + г2) + (г3 + г4 -)-
1 — 2г+гг + г3 — 2г4 + г5 + ..., A — гг+^ + Сг5 — :
и найти их суммы в тех случаяхг когда они сходятся,

152 Глава четвертая
11. Если Osgifl^ss; 1, то ряд «о-)- акг-\-а2г*-\-... сходится для Ог~:г< 1,
и его сумма не превосходит = .
12. Если, кроме того, ряд «0-)-fl;j + «s+ ••• сходится, то ряддо + а1г +
+ a2rs -)- ... сходится для 0 ^ г =SS 1> и его сумма не превосходит меньшее из
двух чисел: а0 -}- ах + а2 -f- • • • и . .
13. Ряд 1 + | + _1^ + г_^+...
сходится. [Так как j-—^ sg gH=r • ]
14.Ряды 1+YT2 + l.2.3.4 + "-'T + l • 2.3+ГГ2Т3.4-5 + '"
сходятся.
15. Общий гармонический ряд
.I. I .I.
где а и Ь положительны, расходится к -|~°°-
[Иб° »» = a^F>^1^-Теперь сравнить с рядом 1 + I+I +....]
16. Показать, что ряд
(«о — «i) + ("i — ) + («s — и») + • • •
сходится тогда и только тогда, когда ия стремится к пределу при я—«-со.
17. Если Mi + U2+ цз+ •¦¦ расходится, то будет расходиться и любой
ряд, составленный из него произвольным объединением его членов в скобки
так, что выражение в каждых скобках образует член нового ряда.
18. Всякий ряд, составленный из части членов сходящегося ряда с поло-
положительными членами, будет сам сходящимся.
> 79. Представление функций непрерывного действительного
переменного с помощью пределов. В предыдущих пунктах мы
часто рассматривали пределы типа
Шп 9„(х)
я-»со
и такие ряды как
Я-«о
в которых функции от п, пределы которых мы ищем, содержат
кроме п еще другое переменное х. В таких случаях предел являет-
является, конечно, функцией от х. Так, в п. 75 мы встретились с функ-
функцией
сумма геометрической прогрессии 1 -[-х-^х"- -\-... также является
функцией от х, а именно, функцией, которая равна ¦= , если
'—1<^х<^1, и не определена для остальных значений х,

Пределы функций от целочисленного переменного 153
Многие из рассмотренных в гл. II функций, которые на первый
взгляд представляются весьма „неестественными", имеют очень про-
простое представление рассматриваемого типа, как читатель увидит из
следующих примеров.
Примеры XXXI. 1. у„(х) = х. Здесь п вовсе не входит в выражение
для <ря (х), и у (х) = lim у„ (х) = х для всех значений дг.
х
2. tpn С*) = — • Здесь tp (лг) = lim <р„ (лг) = 0 для всех значений лг.
3. у„ (х) == ялг. Если х > 0, то сря (¦*) —•¦ -f- оо; если ¦* < О, то ?я С*) ~* — °°-
Только когда лг =0, <р„(-к) имеет конечный предел, а именно, 0, при п—*со.
Таким образом, у(лг) = О при лг—О и не определена ни для каких других
значений х.
5- ТлМ р()
определена ни для каких других значений
6. уп(х) = хпA — х). Здесь <р(лг) отличается от у(х) примера 5 только
тем, что она имеет значение 0прилг=1.
хп
7. <ря (х)= — . Здесь <р (х) отличается от у (лг) примера б только тем,
что она имеет значение 0 как при лг = 1, так и при лт — —1.
(л-<— 1 или д:>1); и у(лг) не определена при лг = — 1.]
лг^ 1 1 1 1
ДП ]
10. Доказать, что если х > 0, то функция „ . . стремится к пределу
при я—«со и что предел имеет три различных значения в следующих трех
случаях: лг<1, х—1 и лг>1. (Злгз. 1935 г.)
Рассмотреть также функции
пхп — 1 Xй — п
11. Построить пример, в кртором у(х)=:1 (|дг]>1), ср(дг) = —1
|<1) и ?М = 0 (л-=1 и лг = —1).
12. ?„ (*) = х (fcl)'^
[Здесь t(j:) =/(*)( | jc | > 1);? (*)=*(*)( 1*1 < 1);? W=-|{
(х = 1), и ср (л) не определена при х^— 1.]
I4.«pe(j:)=|-aretg (пх). [Т(дг) = 1 (лг>0); 7 (лг) = О (дг = О); ?(лг) = - 1
(л-<0), Эта функция играет важную роль в теории чисел и обычно обозна-
обозначается символом sign д:.]
15. <р„ (х) = sin ягтл;. [o(x)^0,
(
р„ () [(), если лг — целое число; у (х) не определена
Для остальных значений х (см. пример XXIV. 7).]
16. Если yn(x) = s\nn\ х т., то ср (дг) == 0 для всех рациональных значе-
значений х (см. пример XXIV. 13). [Рассмотрение иррациональных значений х
Представляет брльшие трудности,]

154 Глава четвертая
17. <р„ (л:) = (cos2 хк)п. [со(х) = О, за исключением того случая, когда х
целочисленно, а в этом случае сс(х) = 1.]
18. Если TV^l 753, то число дней в TV-ом году н. э. разно
lim J365 + (cos" I N-f - (cos2 jL Nr.f + (cos2 ^ jv-f} .
80. Грани ограниченной совокупности. Пусть S — любая система или
совокупность действительных чисел s. Если С}гществует такое число К, что
s-^K для каждого s из 5, то мы будем говорить, что S ограничена сверху.
Если существует такое число к, что sSsA для каждого s, то мы будем
говорить, что S ограничена снизу. Если S ограничена сверху и снизу, то
мы будем просто говорить, что S ограничена.
Предположим сначала, что S ограничена сверху (но не обязательно сни-
снизу). Тогда существует бесконечно много чисел, обладающих свойством числа К',
например, все числа, большие К, наверно, обладают этим свойством. Мы
докажем, что среди этих чисел имеется наименьшее1), которое мы обозна-
обозначим через М. пи одно число из S не превосходит этого числа М, но для
каждого числа, меньшего М, в S найдется, по крайней мера, одно число,
которое его превосходит.
Разобьем действительные числа ? на два класса L и R, относя ? к L
или к R, в зависимости от того, найдется ли в S число, превосходящее его,
или нет. Тогда каждое ? будет принадлежать одному и только одному из
классов L и R. Каждый класс существует, так как любое число, мень-
меньшее какого-либо члена S, принадлежит к L, тогда как К принадлежит к R.
Наконец, каждое число из L меньше одного из членов S и, следовательно,
меньше любого числа из R. Таким образом, все три условия теоремы Деде-
кинда (см. п. 17) выполнены, и существует число М, разделяющее эти
классы.
Это число М и является тем числом, существование которого мы
должны были доказать. Прежде всего, ни один член S не превосходит М,
так как если бы такое s из S существовало, то мы могли бы положить
s — M-\-t\, где г] положительно, и тогда число М -Ьтт *! принадлежало
бы к L, в силу того, что оно меньше 5, и принадлежало бы к R, в силу
того, что оно больше М; но это невозможно. С другой стороны, любое
число меньшее М, принадлежит к L, и поэтому в S найдется, по крайней
мере, один член, превосходящий его. Таким образом, М действительно обла-
обладает всеми требуемыми свойствами.
Это число М мы называем точной верхней гранью S, и можем теперь
сформулировать следующую теорему. Любая ограниченная сверху совокуп-
совокупность S имеет точную верхнюю грань М. Никакое число из S не прево-
превосходит М; но для любого числа, меньшего М, можно найти такое
число из S, которое его превосходит.
Точно таким же образом мы можем доказать соответствующую теорему
для совокупности, ограниченной снизу (но не обязательно сверху). Любая
ограниченная снизу совокупность S имеет точную нижнюю грань т.
Никакое число из S не меньше чем т; но для любого числа, большего т,
можно найти такое число из S, которое меньше его.
Следует отметить, что если 5 ограничено сверху, то М ^ К, а если S
ограничено снизу, то m^k. Если S ограничено, то k^m^M^K-
*) Бесконечная совокупность чисел может не содержать наименьшего
члена. Например, совокупность, состоящая из чисел
ill I
' 2 ' 3 '"¦¦ 'п '¦" '
не имеет наименьшего члена,

Пределы функций от целочисленного переменного 155
81. Грани ограниченной функции. Пусть ср(я)— функция положитель-
положительного целочисленного переменного п. Совокупность всех значений ср(я) опре-
определяет множество S, к которому применимы рассуждения п. 80. Если S
ограничено сверху, или ограничено снизу, или ограничено, то мы соответ-
соответственно говорим, что ср(я) ограничена сверху или ограничена снизу, или
ограничена. Если <р(я) ограничена сверху, т. е. если существует такое
число К, что ср(")=?^для всех значений п, то существует число М, обла-
обладающее следующими свойствами:
A) у(п)?^М для всех значений п;
B) если 8— любое положительное число, то ср(я)> М — 8 по крайней
мере для одного значения я.
Это число М мы называем точной верхней гранью ср(я). Аналогично,
если <р(я) ограничена снизу, т. е. если существует такое число к, что
а(п)^ k всех значений я, то существует число т, обладающее следующими
свойствами:
A) ср(я)Г^т для всех значений п;
B) если S — любое положительное число, то <? (n)<tm-}-8 no крайней
.мере для одного значения п.
Это число т мы называем точной нижней гранью ср (п).
Если К существует, то М =?:К; если k существует, то m^k; если k и
К существуют, то
k s? m sg M =^ К.
82. Верхний и нижний пределы ограниченной функции. Предположим,
что 9 (п) — ограниченная функция, и что М и т — ее точные верхняя и
нижняя грани. Возьмем любое действительное число ? и рассмотрим, какие
неравенства могут иметь место между ? и значениями, принимаемыми tp(")
при больших п. Мы имеем здесь следующие три взаимно исключающих друг
друга возможности:
A) %>:^(п) для всех достаточно больших значений п;
B) i^<f(n) для всех достаточно больших значений п;
C) ? < ер (п) для бесконечно многих значений я и % > <р (я) также для
бесконечно многих значений п.
В случае A) мы будем называть ? верхним числом, в случае B) — ниж-
нижним числом, а в случае C) — промежуточным числом. Ясно, что никакое
верхнее число не может быть меньше т и что никакое нижнее число не
может быть больше М.
Рассмотрим совокупность всех верхних чисел. Она ограничена снизу,
так как ни один из ее членов не меньше т, и поэтому имеет точную ниж-
нижнюю грань, которую мы обозначим через А. Аналогично, совокупность всех
нижних чисел имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через X.
Числа А и X называются, соответственно, верхним и нижним преде-
пределом ср (п) при п стремящемся к бесконечности; мы будем также писать:
А = lim tp (n), X = lim tp (я).
Эти числа обладают следующими свойствами:
A) Ms?X==?AsgM;
B) А и X являются, соответственно, точными верхней и нижней гранями
совокупности промежуточных чисел, если таковые существуют;
C) если S — любое положительное число, то ср(я)<А-}-8 для всех доста-
достаточно больших значений я и ср (п) > А — S для бесконечной совокупности
значений л;
. D) аналогично, ср (я)>Х — 8 для всех достаточно больших значений п и.
? (п) < X -)- 8 для бесконечной совокупности значений п;

156 Глава четвертая
E) необходимым и достаточным условием для того чтобы <р(я) стреми-
стремилась к пределу, является равенство Л = X, и если это условие выполнено,
то общее значение / чисел А и X и является пределом <р(Я).
Из этих свойств A) является непосредственным следствием опреде-
определений; B) мы можем доказать следующим образом. Если А = Х = /, то суще-
существует не более одного промежуточного числа, а именно, /, и доказывать
нечего. Допустим, поэтому, что А > X. Любое промежуточное число ? меньше,
любого верхнего и больше любого нижнего числа, так что ).^?^А. Но
если X < ? < А, то ?, очевидно, должно быть промежуточным числом, так
как оно не может быть ни верхним, ни нижним. Следовательно, промежу-
промежуточные числа найдутся как угодно близко и к X и к Л.
Для доказательства свойства C) заметим, что А-|-8 является верхним,
а А — 8 — промежуточным или нижним числом. Утверждение является теперь
непосредственным следствием определений; доказательство D) проводится
аналогично.
Наконец, докажем E). Если А = X = /, то
для любого положительного значения S и всех достаточно больших значе-
значений п, так что <р(я)—*/. Обратно, если ср (/г) —> /, то написанные выше нера-
неравенства имеют место для всех достаточно больших значений п. Следова-
Следовательно, 1 — 8 является нижним, а / -f- 8 — верхним числом, так что
откуда Л — X=g:28. Но так как Л —Х^О, то это возможно только в том
случае, когда Л = X.
Примеры XXXII. 1. Ни Л, ни X не изменяются при изменении любого
конечного числа значений ср (я).
2. Если у(п) = а для всех значений п, то m = X = A = M = a.
3. Если ср (я) = —, то »z = X = А = О и М—1,
4. Если ср (л) = (- 1)", то т = X = - 1 и Л = М = 1.
5. Если <р(я) = (-1)л —, то 1и = -1, Х = А = 0, М = \.
6, Если tp(n) = (- lfll+^A, то/й = -2, Х=-1, А = 1, Al = -|.
7. Пусть ср (я) = sin пЪъ, где G > 0. Если G — целое число, то
Если G — рациональное, но нецелое число, то возникает целый ряд случаев.
Предположим, например, что 9 = — , где р и q положительны, нечетны и
взаимно просты, причем q> 1. Тогда ср(я) принимает в циклическом порядке
значения
. ря . 2рп . Bа— Поя .
sin — , sin -f—, ... , sin^ >J—, sin
, sin , ... , sin, in ,
Нетрудно видеть, что наибольшим и наименьшим из этих значений являются
¦К 7Г
cos =- и — cos — , так что
iq lq
т = X = — cos =- , А = М = cos ^- •
Читатель может аналогично разобрать случаи, когда р и q не оба нечетны.

Пределы функций от целочисленного переменного 157
Случай иррационального 9 более сложен. Можно показать, что в этом
случае /л = Х = —1 и Л = М= 1. Можно также показать, что значения ср(я)
так распределены в интервале (—1, 1), что если \ — любое число из этого
интервала, то существует последовательность щ, я2, ... такая, что ^(я^)—>?
при А—*со1).
Подобные же результаты получаются и в случае, когда ср(я) является
дробной частью /zQ.
83. Общий принцип сходимости для ограниченной функции.
Результаты предыдущих пунктов позволят нам доказать одно
очень важное необходимое и достаточное условие для того, чтобы
ограниченная функция ср(л) стремилась к пределу. Это условие
обычно называют общим принципом сходимости к пределу.
ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием для. того,
чтобы ограниченная функция ср (л) стремилась к пределу, является
существование такого числа п0 (8), что для любого заданного
положительного 8 неравенство
выполняется для всех значений nt и л2 таких, что
Во-первых, условие необходимо. Ибо если 9 (#) —*¦ Л то мы можем
найти такое я0, что
1 |
для п^п0, и, таким образом,
^~^Пй И Й2^йо.
Во-вторых, условие достаточно. Для доказательства достаточно
только показать, что из этого условия следует X = Л. Но если X <^ А, то
существует, как бы мало ни было 8, бесконечно много значений п,
для которых ср(п)<^\-\-Ъ, и бесконечно много значений п, для
которых ф(л)^>А — 8; поэтому мы можем найти такие значения nt
и п%> каждое больше любого заданного числа л0, что
что больше -s- (А — X), если 8 достаточно мало. Это же, очевидно,
противоречит неравенству A). Следовательно, Х = А, и ср (л) стре-
стремится к пределу.
84. Неограниченные функции. До сих пор мы рассматривали
только ограниченные функции; но общий принцип сходимости
1) Несколько простых доказательств этого результата читатель найдет
в следующей работе: Hardy and Littlewood, „Some problems of Diophantine
approximation", Ada mathematica, vol. XXXVII.

158 Глава четвертая
остается в силе и для неограниченных функций, так что слово
„ограниченная" может быть опущено в формулировке теоремы 1.
Во-первых, если 9 (я) стремится к пределу /, то она заведомо
ограничена, так как для всех, кроме конечного числа, значений п
ее значения заключены между /—8 и /-J-8.
Во-вторых, если условие теоремы 1 выполняется, то мы имеем:
коль скоро %:э=л0 и nl^nf>. Зафиксируем какое-либо значение пи
большее п0. Тогда
9(*i) — 8<9(«-2)<9(я!) + 8
для я2:з=л0. Следовательно, q>(n) ограничена, и применимо доказа-
доказательство достаточности условия из предыдущего пункта.
Важность общего принципа сходимости вряд ли может быть
переоценена. Как и теоремы п. 69, он дает нам возможность опре-
определить, стремится ли функция 9 (n) K пределу или нет, не делая
никаких предположений относительно возможного значения этого
предела; вместе с тем, он не содержит тех ограничительных
предположений, которые являются неотъемлемой частью таких
специальных теорем, как теоремы п. 69. Но в элементарных
рассмотрениях, как правило, можно обойтись без него и ограни-
ограничиться только этими специальными • теоремами. Читатель увидит,
что, несмотря на важность этого принципа, мы фактически не при-
применяем его в дальнейших главах этой книги1). Заметим только,
что если положить
9 (л) = 5л = м1 + и2 + -•• + «*.
то мы тотчас же получим необходимое и достаточное условие
сходимости бесконечного ряда, а именно*):
ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием сходимости
ряда Kj -f- щ -\-... является существование такого числа па, что
для любого заданного положительного числа 8 неравенство
I и„1+1 + и„1+8 + • • • -f «"* К 8
выполняется для всех значений пх и л2 таких, что
л, > л, ==*«„.
85. Пределы комплексных функций и рядов с комплексными
Членами. В настоящей главе мы до сих пор рассматривали только
действительные функции от л и ряды с действительными членами.
Однако не представляет труда распространить наши понятия и
') Несколько доказательств из гл. VIII упрощаются в результате при-
применения общего принципа.
*) Так называемое необходимое и достаточное условие Коши. (Прим.
перев.)

Пределы функций от целочисленного переменного 159
определения и на тот случай, когда значения функции или члены
ряда — комплексные числа.
Допустим, что 9(л) комплексна и равна
где р (п), о (л)—-действительные функции от п. Тогда если р(л) и
а (л) стремятся, соответственно, к пределам г и s при п —> оо,
ото ЛШ <fyde.w говорить, что 9 (я) стремится к пределу l = r-\-is,
и писать
Аналогично, если н„ — комплексные числа, равные vn-\-iwn, to мы
будем говорить, что ряд
Щ + М-2 + «3 + • • ¦
сходится и имеет сумму l = r-\-is, если ряды
сходятся и имеют, соответственно, суммы г и s.
Утверждение, что щ -j- м2 -J- н3 ~Ь • • • сходится и имеет сумму /,
эквивалентно, конечно, утверждению, что сумма
sn — «1 + «а + • • • + «я = («1 "К ^2 + • • • + vn) +
сходится к пределу / при п—>. со.
В случае действительных функций и рядов мы определили также
расходящиеся и ограниченно и неограниченно колеблющиеся функ-
функции и ряды. Но при исследовании комплексных функций и рядов, где
мы должны одновременно рассматривать поведение р (л) и о (л), число
случаев настолько велико, что не имеет смысла их перечислять.
Когда нам понадобятся более подробные рассмотрения этого типа,
мы будем просто в отдельности изучать действительную и мнимую
части.
86. Читатель без труда докажет приведенные ниже теоремы,
которые являются очевидными обобщениями теорем, уже доказан-
доказанных нами, в случае действительных функций и рядов.
A) Если lim 9 («)=:/, то Игл ^>{п-\-р)=^1 для любого фиксиро-
фиксированного значения р.
B) Если ряд ul-\-ui-\-... сходится и имеет сумму /, то
a-\~b-\-c-\-...-j^k-\-nl-\~ui-\-... также сходится и имеет сумму
а~\-Ь -\~c-\-.. ,-\-k -j-1 и мр+1 -f-Hp+,2 -)-••• также сходится и имеет
сумму /—и1 — к2 — ... — ир.
C) Если lim 9 (л) = / и Нт ^ (л) = т, то

160 Глава четвертая
D) Если limsp(n) = /, то lim kcp (и) = Ы.
E) Если Нтср(я) = / и Пт <|>(л) = от, то Нр()^(
F) Если u1-\-ui-\- ... сходится к сумме / и vl -)- v% -j- .. схо-
сходится к сумме т, то (% -\- vt) -f- (на -f~ г>2) -)-••• сходится к сумме 1~\- т.
G) Если «!-|-й2-f-... сходится к сумме /, то kut -f- ku2 -j- ...
сходится к сумме А/.
(8) Если ut -j- и3 -j- и3 -j-... сходится, то Нти„=0.
(9) Если Uy -j- н8 -j- u3 -j- ... сходится, то будет сходиться и любой
ряд, составленный из данного объединением в скобки его членов,
и суммы всех таких рядов будут равны сумме исходного ряда.
В качестве примера докажем теорему E). Пусть
<р(п)=р(л) + «(я), <}i(я) = р'(я)-HV(я), l=r-\-is, m — r' + is';
тогда
р(я)-»г, jj(«)-*s, р'(я)-*г', в'(я)—s'.
Но
и
так
что
?(я)(
рр' — во' -
ф(л)о
Ь (я) = рр'
—»/¦/¦' — ss
>(я)-гг'
— во'
', ра'
— ss'
4-''
4-f
+ '
>'в — /¦
(rs'4-
- р'в)|
¦s' 4- '¦'s,
- r's),
т. е.
у (я) 6 (л) — (г 4- js) (гг 4- is') = lm.
Следующие теоремы имеют несколько иной характер.
A0) Для того чтобы ер (я) =s p (л) -f- *° (я) сходилась к нулю
при п -*¦ оо, необходимо и достаточно, чтобы
сходилась к нулю.
Если р(я) и в(я) обе сходятся к нулю, то очевидно, что и "|/^ра -f- о2
сходится к нулю. Обратное предложение следует из того, что | р [ и | я | не
могут превосходить Ур* -\- о2.
A1) Вообще, для того чтобы у(п) сходилась к пределу I,
Необходимо и достаточно, чтобы
сходилась к нулю.
Ибо тогда у (я) — / сходится к нулю, и мы можем применить теорему A0).
A2) Теоремы 1 к 2 пп. 83 а 84 остаются в силе и для ком-
комплексных 9 (я) к к„.
ь, чт
лась
I ? (я*) - <? (я,) | < 8
Мы должны показать, что необходимым и достаточным условием для
того, чтобы ср (я) стремилась к пределу /, является выполнение неравенства
для

Пределы функций от целочисленного переменного 161
Если у(п)-^1, то р(«) —г я г (и)—*s, и мы можем найти числа п'о и п\{,
зависящие от S, и такие, что
I р (я2)-~ р («i) I < у «, I в (я.) -«(»,)[<{ 8,
причем первое неравенство имеет место, когда яа>«1^«^) а второе,—
когда п-i>%^«о- Следовательно,
| <р (й2) -<?(%) | й? ! рЫ - p(%) | + ! а(й2) - 5(Й1) | < 8,
когда «2 > % ^ й0, где «0 ~ большее из чисел п'о я я'о'. Таким образом, усло-
условие (I) необходимо. Для доказательства его достаточности мы должны
только заметить, что
I Р («*) - Р («О К | ¦¦? (ла) - <? («г) 1 < 8
при йа>п15гйв. Следовательно, р (п) стремится к пределу, и таким же
путем мы убедимся, что з(я) стремится к пределу.
87. Предел zn при и-*-со, где z — любое комплексное число.
Рассмотрим важный случай, когда ср(я) = .гя. Этот вопрос уже
рассматривался нами для действительных значений г в п. 72.
Если 2n-W, то zn+l-+l (по A) п. 86). Но (по D) п. 86)
и, следовательно, l = zl, что возможно только, если (а) /==0
или (b) z=l. Если 2=1, то limzn=l. За исключением этого
частного случая, предел, если он существует, должен быть равен 0.
Но если 2 = г (cos 6 -J-i sin 6), где г положительно, то
2П = rn (cos я 6 -f- i sin я 6),
так что \zn\ = rn. Следовательно, \zn\ стремитси к 0 в том и
только в том случае, когда г<^1, и из A0) п. 86 следует, что
тогда и только тогда, когда г<^1. Ни в каких других случаях zn
не стремятся к пределу, не считая рассмотренного уже случая 2 = 1.
88. Геометрическая прогрессия 1 ~\-z-}~ z%-}-... с комплекс-
комплексным 2. Так как
кроме того случая, когда z = l и sn — n, мы получаем, что ряд
1 -f-2-|~ 22-f~ ¦.. сходится тогда и только тогда, когда |,г|<^1.
Сумма этого ряда в случае его сходимости равна -г-ц—•
Таким образом, если 2 = r(cos6 -(-i sin 6) = 2 Cis 6 и г<^1, то
мы имеем
11 Г. Харди

162 Рлаба четвертая
или
1 Д- г Пч в -4-f* fis 20 4 l-rcos6 + trsin9
1-f-r Us «-)-/• Us2U
Отделяя действительную и мнимую части, мы получаем:
-, ей 1 1 —Г COS 6
rcos29 +
rsin6
при условии, что г<^1. Если мы заменим 6 на б -}- тг, то увидим, что
эти результаты остаются в силе и для отрицательных значений г,
по модулю меньших чем 1. Итак, они справедливы для—1<^г<^1.
Примеры XXXIII. I. Доказать непосредственно, что <? (я) = r" cos«6 схо-
сходится к 0, когда г<1, и к 1, когда г=1 и G равно целому кратному 2х.
Доказать, далег, что если г= 1 и 9 не кратно 2я, то ч/{п) ограниченио колеб-
колеблется; что если г>1 и 0 кратно 2т., то tp(«)-^ + °°, а если г>1 и 6 не
кратио Ъ-., то <р (я) неограниченно колеблется.
2. Установить соответствующие результаты для tp (я) = г" sin яО.
3. Доказать, что
m
i-z'
1 ~ \-z
тогда и только тогда, когда | z | < 1. Какие из теорем п. 86 применяются при
доказательстве?
4. Доказать, что если — 1 < г < I, то
5. Ряд
сходится к сумме ==1+г, если
< 1. Показать, что это
z+l
условие экнивалеитно тому, что действительная часть z больше —=-.
89. Символы О, о,~. В заключение этой главы мы приве-
приведем несколько определений, которые нам понадобятся лишь позже,
но логически место которых здесь.
Пусть /(«) и ср(я)—-две функции от п, определенные для всех
достаточно больших значений п, скажем для й^йс; пусть, далее,
<р(я) положительна и монотонно возрастает или убывает при воз-
возрастании п, так что <р(й) стремится либо к нулю, либо к поло-
положительному пределу, либо к бесконечности, когда п -*¦ оо. В боль-
большинстве случаев <р (я) будет какой-либо простой функцией, как, на-

Пределы функций от целочисЛенндгб переменного 1бЗ
пример, -- 1, л. В этих условиях мы вводим следующие опреде-
определения.
A) Если существует такая постоянная К, что
\f\^Kep
для всех п^п0, то мы пишем
B) Если
при п ->- оо, то мы пишем
C) Если
где 1ф0, то мы пишем
и говорим: / эквивалентно ер.
В частности,
означает, что / ограничена (так что она либо стремится к конеч-
конечному пределу, либо ограниченно колеблется), и
означает, что /—¦- 0.
Например,
аопР + а^Р'1 -\-...-\-ар а^ p_q
если а0 ^6 0, й
Добавим одно замечание, предостерегающее против возможного недо-
недоразумения. Когда пишут „/= О (?)", то имеют в виду утверждение, которое
часто выражают так: .порядок величины /не выше порядка величины <р",
которое вполне допускает, что порядок / ниже порядка tp (как в первом из
приведенных выше примеров).
Пока мы определили только такие соотношения, как „/(я) = 0A)",
или „/(п) = о (п)", но не определили в отдельности символов „О A)",
или яо(я)". Мы можем, однако, сделать наши определения более
гибкими. Мы можем договориться о том, что О (<р) или о (<р) будут
11*

164 Глава чеМАертак
обозначать некоторые неопределенные /такие, что /==O(tp) иЛи
f=o(<p); и мы сможем тогда, например, записать, что
и понимать под этим, что „если /=ОA) и ^ = 0A), то f-\-g =
==0A,) и тем более f-\~g = o(ny. Или же мы сможем написать,
что
понимая под этим, что сумма п членов, каждый из которых по
абсолютной величине меньше некоторой постоянной, не превосходит
постоянного кратного п.
Читатель заметит, что формулы, содержащие О и о, вообще
говоря, необратимы. Так, „ оA) = 0A)", т. е. „если f=o(l), то
/=ОA)"—верное утверждение, тогда как яОA) = оA)"— неверно.
Легко сформулировать несколько общих свойств наших симво-
символов, как, например,
A)
B)
C) ф (ф)
D) если /~<р, то /-f-°(9)~9-
Такие теоремы являются непосредственными следствиями из
определений.
Полезность этих определений и соответствующих им определе-
определений для функций от непрерывного переменного станет ясной чита-
читателю в дальнейших главах.
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ IV
1. Фуикция <р(я) принимает значения 1, О, О, О, 1, О, О, О, I, ..., когда
я = 0, 1, 2, .... Найти выражение для<р(я) в виде формулы, не содержащей
тригонометрических функций.
[<? (я) = { {1 + (- 1)" +«" + (- ')"}•]
2. Если «р(я) моиотоино возрастает, а &>(п) монотонно убывает при п
стремящемся к со, и если ф (я) > <? (я) для всех значений п, то <р («) и <\> (п)
обе стремятся к пределам, и lim 9 («) ^? lim 41 (я)- [Это — иепосредственное
следствие из результатов п. 69.}
3. Доказать, что если
1 /1 \
то <р(я +1)><р (я) и 41 (я + 1) < Ф (я)- [Первый результат был уже доказан
в п. 73.]
4. Доказать также, что &> (я) > <? (л) для всех значений я, и вывести
(используя предыдущие примеры), что tp (я) и <!• (я) обе стремятся к пределам
при я —- оо1).
*) В гл. IX мы докажем, что lim {4> (я) — «р(я)} = Ои что, следонательно,
каждая из этих функций стремится к пределу е.

Пределы функций от целочисленного переменного 165
5. Обозначим среднее арифметическое произведений всех различных
пар положительных целых чисел с суммой п через Sn. Показать, что
(Экз. 1903 г.)
6. Если хи xs, ..., хп положительны, %хг = п, не все хг равны 1, а т
рационально и больше 1, то ?х™>п.
(Экз. 1934 г.)
[Использовать неравенство хт—1>/й(лг—1), справедливое для всех
положительных, отличных от I, x (п. 74).]
7. Если 9 (я) — положительное целое число для всех значений п и стре-
стремится к со вместе с я, то лг^"' стремится к нулю, если 0<лг<1, и к -|-оо,
если х> 1. Исследовать поведение xv<jC> при я—*со для других значений х.
81). Если ап монотонно возрастает или убывает с возрастающим я, то
так же ведет себя и
я
9. Функция f(x) возрастает и непрерывна (см. гл. V) для всех значений х
и последовательность xltx2,x3,... определена соотношением лгл+1=/(дгл).
Исследовать графически вопрос о стремлении х„ к корню уравнения
x=f(x). Рассмотреть, в частности, случай, в котором это уравнение имеет
только один корень, различая случаи, когда кривая у=/(х) пересекает
прямую у = х сверху вниз и снизу вверх.
10. Если хп+1 — -.—. , где k и хх положительны, то из последователь-
ностей хх, х3, хь, ... и х%, х4, xt, ... одна возрастает, а другая убывает,
причем каждая стремится к пределу а, являющемуся положительным кор-
корнем уравнения хг + x = k.
11. Если xn+l='yrk-{-xn, где k и xt положительны, то последова-
последовательность хи xit xz, ... — возрастающая или убывающая, в зависимости от
того, будет Хх меньше или больше а, положительного корня уравнения
x2 = x-^-k; и в каждом случае х„—*а при п—>оо.
12. Последовательность чисел х„ определена соотношениями
где 0 < k < ,- и h заключено между корнями а и b уравнения
Доказать, что.
и определить предел х„.
(Экз. 1931 г.)
13. Доказать, что если
и т. д., где х и А положительны, то lim xn = j/A.
хп — Ул_(х —
[
м ¦
Можно показать, что
Примеры 8—II взяты из книги Bromwich, Infinite series.

166 Глава четвертая
14. Последовательность ип определена соотношениями
где а > р > 0. Показать, что
«Я-1
ап +1 Ял +1
и определить предел и„ при я —> оо.
Исследовать случай а = [3>0.
15. Если xv x2 положительны и
Хп 4-1 == ТГ (
(Экз. 1933 г.)
то из последовательностей хи х}, х5, ... и xiy xt, хъ, ... одна убывает, а
другая возрастает, и обе они стремятся к общему пределу —- (х, -\- 2х-Л.
о
16. Если lim sn = /, то
л-юо
[Пусть sn = /-)-^n- Тогда мы должны доказать, что ¦ 1-*~ 2 '"'" ' "
стремится к нулю, если tn стремится к нулю.
Разобьем числа tlt t%, ..., tn на два множества: tu ta, ..., tp и tp+1,
tp+s, ¦-., tn. Предположим, что р является функцией от я, которая стре-
стремится к оо при я—*оо, но медленнее чем я, так что р—+са и --—>О. На-
Например, мы можем взять в качестве р целую часть j/я.
Пусть Ь — любое положительное числе. Как бы мало ни было 8, мы
всегда можем найти такое я„, что все числа tp+1, tp+i, ..., tn будут по модулю
меньше чем -„- 8, если я 2& па, и, следовательно,
/ni I —I— tn I а -4- . . . —|— .
Но если А обозначает наибольший из модулей всех чисел tu /2, ..., то мы
имеем:
и это также будет меньше чем -„-8 при п^пп, если я0 достаточно велико,
так как
• 0 при п — оо. Таким образом,
<i
при я^я0, что и доказывает теорему.
Если читатель хочет добиться достаточно глубокого понимания вопро-
вопросов, связанных с пределами, то он должен весьма тщательно продумать
изложенное выше рассуждение. При доказательстве того, что предел неко-
некоторого выражения равен нулю, часто бывает необходимо разбить его на

Пределы, функций от целочисленного переменного 167
дпе части, стремление которых в отдельности к нулю должно доказываться
разными путями. В таких случаях доказательство никогда не бывает очень
простым.
Идея доказательства следующая: нам нужно доказать, что
мало, когда я велико, причем нам дано, что /„ малы, когда их номер велик.
Мы разбиваем сумму в числителе на две части. Слагаемые в первой части
не все малы, но их число мало по сравнению с п. Число слагаемых во
второй части не мало в сравнении с п, но сами слагаемые все малы, а так
как их число во всяком случае меньше п, то их сумма мала по сравнению
с я. Поэтому каждая из частей, на которые мы разбили * * ~^~" *' '—-
мала, когда п велико.]
17. Если tf(n) — ? (я— 1)—*-f при л—>оо, то J-^—• —-1.
[Если 9 (п) = sx -f- s2 +... + sn, то '-р(я)—-9 (я — l) = sn, и теорема сво-
сводится к теореме предыдущего примера.]
18. Если sn=-K-{l—(—1)"}, так что sn равно 1 или 0, в зависимости
от того, нечетно п или четно, то
Si + s2 + • • • + sn 1
п —- — ~2 ПРИ я —оо.
[Этот пример показывает, что теорема, обратная теореме примера 16,
неверна, так как sn колеблется при я —со.]
19. Если сП и sn обозначают, соответственно, суммы первых я членов
рядов
-i.|. cos 8 + cos 29 + ... и sin 8 +sin 28 + ...,
и 8 не кратно 2~, то
,. с, 4-с. + ... + с„ . ,. s, +So + ... + sn 1 . 8
lim —!——— '¦—— = 0, hm ———^ ^-5- = -„- ctg -„-.
n nil
20. Последовательность у„ определена с помощью последовательности
х„ соотношениями
У» = Хо, Уп = х„~ссх„_1 (л>0),
где [а] < 1. Выразить хп черезуп и доказать, что еслиуп-^1, то хп-^ . .
(Экз. 1932 г.)
21. Начертить график функции у, определенной соотношением
х2п вт-ъх + х*
1?н
(Экз. 1901 г.)
22. Функция
у = Hm -=—: г-;—
n-co ! +riSM*T.X
равна 0, если х отлично от целого числа, и равна 1, если х — целое число.
Функция
У — пга ФМ + «?(*)sin!1 rc*
л-оэ 1+Я81П»7ГЛ:
равна 9(л;), если дг не равно целому числу, и равна &(х), если д: — ц§лое
число.

168 Глава четвертая
23. Показать, что график функции
,. хп<((х) + х~п4>
у = lim —
состоит из частей графиков <р (х) и <Ь (х) и еще (как правило) двух изоли-
изолированных точек. Определено ли у (а) при лг = 1, (Ь) при лт = — 1, (с) при
24. Доказать, что функция у, равная 0 для рациональных значений х и
1 для иррациональных значений х, может быть представлена в виде
у = lim sign {sin* (/иIn*)},
где
2
sign x = lim — arc tg (nx),
л-»оо *
как в примере XXXI. 14. [Если х рационально, то sina(m!-;e), а следова-
следовательно, и sign {sin2 (тЫх)} равно нулю для всех значений т, начиная
с некоторого; если х иррационально, то sin2{m\~x) всегда положительно, и
следовательно, sign {sin2 (mHx)} = 1.]
Доказать, что у может быть также представлено в виде
1 —lim [lim {cos
т~+оо я-*оо
25. Просуммировать ряды
оо со
7 у I t~T
( + ) ()
[Так как
1 ±fI1\
v(v-j- 1)... (v + k) k
мы имеем:
И, следовательно,
i If i
...D + k) k\l-2...k (
1
26. Если И<|а|, то
I
а если ]г| >|а], то
27. Разложение ?—г-кт—, по степеням z. Пусть а и В суть корни
az% -)- Ibz -j- с
уравнения az% -f- Ibz -4- с = 0, так что ага -)- 2fe -f с = а (z — а) (г — р). Мы
предполагаем, что А, В, а, Ь, с все действительны и что а и J3 не равны.
Тогда нетрудно проверить, Что

Пределы функций от целочисленного переменного 169
Az + B _ 1 (Аа + В _
+ 2bz + c ~а(а—?)\ z —a
Следует различать два случая: Ьг> ас и Ьг •< ас.
A) Если Ьг>ас, то корни а, р действительны и различны. Если \г\
меньше |а| и [81, то мы можем разложить и 5 по возрастающим
z — л 0 — р
степеням г (пример 26). Если \г\ больше чем |а| и \р\, то мы должны раз-
разлагать по убывающим степеням z. Если же \z\ заключен между \а\ и )р[,
то одна дробь должна быть разложена по возрастающим, а другая—по
убывающим степеням г. Читателю предлагается записать соответствующие
формулы. Если \z\ равен [о| или |р|, то разложение невозможно.
B) Если Ь2 < ас, то корни комплексно сопряжены (гл. III, п. 43), и мы
можем положить
a = pCistp, P = pCis(—tp)>
где ра = ар = —•, рcos<р = — (а4-Р) = , так что cos<p = — 1/ —,
sintp = I/ 1 .
т г ас
Если |zj<p, то каждая дробь может быть разложена по возрастающим
степеням z. Коэффициентом при zn будет
Ар sin щ 4- В sin {(Я 4-1) 9)
ap"+1sin<p
Если |z|>p, то мы найдем аналогичное разложение по убывающим степе-
степеням, тогда как при |г| = р разложение невозможно.
28. Показать, что если |г|< 1, то
Г_ 1—г" пгп 
Сумма первых п членов равна т, >^ — -yzi— •
29. Разложить -. ^ по степеням z — возрастающим, если |г| < |о|, и
(z — о)-
убываюшим, если |г|>|а|.
30. Показать, что если Ь- = ас и \az\ < \b\, то
где рп = (— а)пЬ~п-* {(п + ЦаВ — пЬА}, и5найти соответствующее разложе-
разложение по убывающим степеням г, которое имеет место, если ||>|?|
31' Если a + baz + z->=l+Piz+P*z2 + ---' Т°
< а-\- cz
a-_rcz ei_0») +
(Экз. 1900 г.)
32. Если sin2"8^ —/ при • п — со, то / = 0 и 8 — рациональное число,
знаменатель которого является степенью 2.
[Очевидно, что

170 Глава четвертая
где рп — целое число, с — постоянная и ^]я-^0; следовательно,
/1+1
Так как р„+1 —2р„ —целог число, это возможно только в тех случаях,
когда либо A) с = 0,такчто / = 0,либо B) ря+1 = 2/>„ и к)л+1 — 2т]я, начиная
с некоторого значения я, скажем, для п ^ я„. Но тогда
при V—оо, а это возможно только в том случае, когда yj =0, так что
2я» в =/»„„.
Поучительно рассмотреть sin а-, где я — целое число, большее 2.
Тогда возможно, что /^0; так, например, sin Э^к—> 1, когда 6 = -
-=-.!
33. Если Р(я)— многочлен от п степени т с целочисленными коэффи-
коэффициентами и sin {Р(п)Щ — 0, то 9 рационально.
[Лучше всего доказывать больше *), а именно, что если
Р(й)в = Ая + вя + ея, A)
где' kn — целое число, а„ может принимать конечное число значений и
ея-^0, то 8 рационально.
В первую очередь, если мы в (I) заменим лнап-fl, вычтем и заметим,
что Р{п-\-\)—Р(п) — многочлен степени т — 1 и что ая+1 — ап может
принимать только конечное число значений, то мы получаем индукцию от
т —1 кот. Задача, таким образом, сведена к случаю яг = 1, Р(п) = Ап-\- В.
В этом случае A) дает
Л9 = (Ал+1 — kn) + (ая+1 — ап) + (tn+1 — ел).
Это возможно только, если г„+1 — sn = 0 для п^п0, а тогда
где /„—целое число, п~^--щ. Так как а„ может принимать только конечное
число значений, то и 1п-\-пАЬ принимает только конечное число значений,
а, следовательно, 9 рационально.]
1) Это рассуждение принадлежит Ингаму.

ГЛАВА V
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
90. Пределы при х стремящемся к со. Возвратимся теперь
к функциям от непрерывного действительного переменного. Мы огра-
ограничимся исключительно однозначными функциями *) и будем обозна-
обозначать такие функции через ср (х). Мы предполагаем, что х принимает
последовательно все значения, соответствующие точкам нашей основ-
основной прямой линии А, начиная с некоторой определенной точки на
ней и двигаясь все время вправо. В этих условиях мы будем гово-
говорить, что х стремится к бесконечности, или к с», и писать д;->оо.
Единственным отличием этого „стремления х к со" от рассмотрен-
рассмотренного в предыдущей главе „стремления л к со" является то, что х
принимает все значения при своем стремлении к с», т. е. что точка Р,
соответствующая х, совпадает по очереди с каждой точкой прямой А,
расположенной правее исходного положения Р, тогда как п стре-
стремится к бесконечности скачками. Мы выражаем это отличие, говоря,
что х непрерывно стремится к со.
Как уже было разъяснено в начале предыдущей главы, суще-
существует весьма тесная связь между функциями от х и функциями
от п. Каждая функция от п может рассматриваться как выбор части
значений некоторой функции от х. В предыдущей главе мы рас-
рассмотрели особенности поведения функции ср(л) при п стремящемся
к со. Теперь мы займемся той же задачей для функций ц>(х). Опре-
Определения и теоремы, к которым мы здесь приходим, по существу
являются повторениями соответствующих определений и теорем пре-
предыдущей главы. Так, соответственно определению I п. 58, мы имеем:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция ср(х) стремится к пределу I при х
стремящемся к со, если для любого сколь угодно малого задан-
заданного положительного числа 3 можно найти такое число х0 (8),
что для всех значений х, больших или равных х0 (8), <р (х) будет
') Так, У^х означает в этой главе однозначную функцию -\-\/"х, а не
Двузначную функцию, значения которой суть -\- |/"лг и — Ух (как в п. 26).

172 Глава пятая
отличаться от I меньше чем на Ь, т. е.
при х^х0 (8).
Если это имеет место, то мы пишем
lim ер(д;) = /,
X -* СО
или, когда это не может вызвать недоразумений, просто lim ер (х) = 1
или cp (jc) —> /. Аналогично мы имеем;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция ер (х) стремится к оо вместе с х, если
для любого сколь угодно большого заданного числа А ми можем
найти такое число х0 (Д), что
при
Тогда мы пишем
ер (х) —*¦ оо.
Аналогично определяется ср(д;)—> — со1). Наконец, мы имеем:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если не выполнены условия ни одного из преды-
предыдущих определений, то говорят, Что ер (х) колеблется при х стре-
стремящемся к оо. Если при этом | ер (х) | остается меньше некоторой
постоянной К при всех x~s^x^, то говорят, что ер (л;) ограни-
ограниченно колеблется, е противном случае — что ср (х) неограниченно
колеблется.
Читатель помнит, что в предыдущей главе мы очень подробно
рассматривали различные менее формальные выражения утверждений,
представленных формулами ц> (п) -> /, ер (я) -*¦ со. Подобные же спо-
способы выражения применяются, конечно, и в рассматриваемом нами
сейчас случае. Так, мы можем сказать, что ер(д:) мала или почти
равна /, или велика, когда х велико, употребляя слова „мала",
„почти", „велика" в смысле, аналогичном тому, в котором они упо-
употреблялись в гл. IV.
Примеры XXXIV. 1. Рассмотреть поведение следующих функций при
д;->оо:
1, l + j, х\ х\ [х], х-[х], [х] + Ух=Щ.
1) Иногда будет удобно писать Ц-оо, лг—>-j-°°> 9 (х) —*¦ -j- оо вместо оо,
X —V ОО, tf (X) —> ОО.
2) В соответствующих определениях п. 62 мы требовали, чтобы |<р(я)|>А
для всех значений п, а не только для п^щ. Но в том случае эти два
условия были эквивалентны, так как если |<р (п)\ < К для «^л0, то |<р(я)| г=с/С
для всех п, где К' обозначает наибольшее из чисел |<рA);, |срB)|,..., |<р(«0—1)|
и К". Здесь же дело обстоит сложнее, так как существует бесконечно мнопз
значений х, меньших хр

Пределы, функций от непрерывного переменного 1?3
Первые четыре функции в точности соответствуют функциям от л, подробно
разобранным в гл. IV. Графики последних трех функций были построены
в гл. II (примеры XVI. 1, 2, 4), и читатель сразу увидит, что [x]-*-oo, х — [х]
ограниченно колеблется и [x]-\~~\fx-—[х] —>со.
Сделаем здесь одно простое замечание. Функция у(х) = х— [х] коле-
колеблется между 0 и 1, как видно из ее графика. Она равна нулю при цело-
целочисленном х, так что функция <р («), соответствующая ей, всегда равна нулю
и, следовательно, стремится к нулю. То же имеет место и для функции
= sinxi-.> где tp (n) — sin n~ = 0.
Очевидно, что у(х)-*-1 или <?(х)—voo, или <?(х)—*¦ — со влечет за собой
соответствующее свойство для <р («), но обратное предложение часто не-
неверно.
2. Рассмотреть таким же образом функции
-, Arsinxit, (х sin xrzY, tgXK, -"——, a cos2 xr. -f- Ъ sin2 xn
и проиллюстрировать результаты рассмотрений на графиках этих функций.
3. Дать геометрическое разъяснение определения 1, аналогичное данному
в гл. IV, п. 59.
4. Если у(х)—*¦ I и / отлично от нуля, то у(х)со&хъ и <р (х) sin х;г огра-
ограниченно колеблются. Если f(x)—>-оо или у(х)—*-— оо, то они колеблются
неограниченно. График каждой из этих функций представляет собой вол-
волнистую кривую, колеблющуюся между кривыми у — <р (х) и у = — ср (лг).
5. Рассмотреть поведение при х—>~оо функции
>six~-\-F(x)sinixr,,
где f(x) н F(x) — две какие-либо простые функции (как, например, х их2).
[Графиком у является кривая, колеблющаяся между кривыми y=f(x),
91. Пределы при х стремящемся к —-со. Читатель без труда
сформулирует сам определения смысла утверждений „х стремится
к —со", или „х-*¦ — со", и
lim y(x) = l, ц>(х)—vco, ср(х)—>- — оо.
X -» — СО
Действительно, если х = —у и <р(л;)=ф(—У)=$(У)> то у стре-
стремится к оо, когда jc—»•¦—со и вопрос о поведении «р (л:) при х
стремящемся к —¦ со, равносилен вопросу о поведении <|> (у) при у
стремящемся к оо.
92. Теоремы, соответствующие теоремам пп. 63—69, гл. IV. Теоремы,
относящиеся к суммам, произведениям и отношениям функций, которые были
доказаны в гл. IV, остаются в силе (с очевидными изменениями отдельных
слов, которые читатель легко сформулирует сам) для функций от непрерыв-
непрерывного переменного х. При этом остаются в силе не только формулировки
этих теорем, но, в основном, и их доказательства.
Определение, соответствующее данному в п. 69, читается так: функ-
функция <р (х) называется монотонно возрастающей вместе с х, если
? (х2) ^ <р (*i) для всех х2> хг. Во многих случаях это условие удовлетво-
удовлетворяется, только начиная с некоторого определенного значения х, т. е. для
Х2 > х1^х0. В теореме п. 69 нужно лишь заменить п на х; ее доказательство
остается но существу тем же.

1?4 Рлаёа пктАй.
Если <р (x2) > <f (xj), причем равенство исключается при xt> xv то р()
называется строго возрастающей. Мы увидим, что это различие часто
играет важную роль (см. пп. 109—ПО).
Читателю предлагается рассмотреть, являются ли следующие функции
возрастающими вместе с х (нли хотя бы возрастающими, начиная с некото-
некоторого значения х): х2 — х, x + sinx, x + 2sinx, [x], [x] -f-sinx, [х] -\- Ух—[х].
Все эти функции стремятся к оо при х—voo.
93. Пределы при х стремящемся к 0. Пусть <р (х) будет функ-
функцией от х, для которой lim cp(x) = l, и пусть _у=--. Положим
ЛГ-»СО Х
Когда х стремится к со, у стремится к пределу 0, и ^ (у) стремится
к пределу /.
Исключим теперь из рассмотрения х и будем считать ty (у) просто
функцией от у. Мы имеем дело только с такими значениями у,
которые соответствуют большим положительным значениям х, т. е.
с малыми положительными значениями у. Функция ^ (у) обладает тем
свойством, что ее значения могут быть сделаны сколь угодно мало
отличающимися от /, если у достаточно мало. Точнее это предло-
предложение можно сформулировать так: утверждение Нтср(дг) = / озна-
означает, что для любого сколь угодно малого заданного положитель-
положительного числа 8 можно найти такое х0, что | ср (л:) — /1 <^ 8 для всех
значений х, больших или равных х0; но это означает, что мы можем
выбрать _У0 = — так, что (^(у) — ^|<Г^ для всех положительных
Xq
значений у, меньших или равных у0.
Таким образом, мы приходим к следующим определениям:
А. Если для любого сколь угодно малого заданного положи'
тельного числа 8 можно найти такое _уо(8), что
|900—
если 0 <^у ^у0 (8), то ми говорим, что ц> (у) стремится к пре~
делу I при у стремящемся к 0, принимая только положительные
значения (справа), и пишем
lim ср (у) = I.
В. Если для любого сколь угодно большого заданного числа Д
можно найти такое уа (Д), что
если 0 <,у =S_y0 (Д), то мы говорим, что ср(у) стремится к оо
при у стремящемся к 0, принимая только положительные значе-
значения (справа), и пишем:

Пределы функций от непрерывного переменного 1?5
Аналогично мы определяем смысл фразы: „ср (у) стремится к пре-
пределу / при у стремящемся к 0, принимая только отрицательные
значения (слева)", или ,, lim ср (у) = / при у~* 0". Мы должны для
этого только заменить в определении А неравенства 0<^_у =syo(8)
неравенствами —у0 (8) =g:_y <^ 0. Мы имеем, конечно, соответствую-
соответствующий аналог определения В и подобные определения для
9 О) -* — оо
при _у—>--}-0 или у—>- — со.
Если lim со (у) = I и lim ер (у) — /, то мы просто пишем
+ 0 0
Этот случай настолько важен, что целесообразно сформулировать
для него отдельное определение.
Если, для любого сколь угодно малого заданного положитель-
положительного числа 8 можно найти такое уй (8), что для всех значений у,
отличных от нуля и по модулю не превосходящих у0 (8), значе-
значения со (у) отличаются от I меньше чем на 8, то мы говорим, что
9 (у) стремится к пределу I при у стремящемся к 0, и пишем:
lim ср (у) = /.
Точно так же, если со (у)—»-оо как при у —>--(- 0, так и при
у-*- — 0, то мы говорим, что ср(у)—>-со при у—*-0. Аналогично
определяется утверждение со (у)—*¦ — оо при у—>~0.
Наконец, если со (у) не стремится ни к конечному пределу, ни к оо,
ник —оо при у —>- -]- 0, то мы говорим, что со (у) колеблется (огра-
(ограниченно или неограниченно, в зависимости от обстоятельств) при
y-*--j-O; аналогично определяется утверждение; „со (у) колеблется
при у —> — 0".
Предыдущие определения были сформулированы в терминах пере-
переменного, обозначенного через у; однако ясно, что обозначение пере-
переменного не играет никакой роли, и мы можем предположить, что во
всех этих определениях буква у заменена на х.
94. Пределы при х стремящемся к а. Предположим теперь,
что ер(у)->~/ при у—>-0, и положим
у — х — а,
Если у—*-0, то х—vc и ф(лс)—>/, и мы, естественно, приходим
к записи
lim ф (я) = /,
х -+ а
или просто lim ф (я) =/, или ^(д:)—>/, означающей, что ф (¦*) стре-
стремится к пределу I при х стремящемся к а. Формальное опреде-

176 Глаёа питай
ление- этого утверждения следующее: если для любого данного Ь
мы можем найти е E) такое, что
при 0 < (х — а | s? e (8), то
lim ср (х) = /.
х —у а
Ограничиваясь значениями х, бблылими чем а, т. е. заменяя не-
неравенства 0<^|д; — а|г^е(8) неравенствами а <^ х ^ а -\- е (8), мы
получим определение утверждения „<р(х) стремится к / при х стре-
стремящемся к а справа", которое мы можем записать в виде
lim ср (х) = /.
х -» a-j-0
Таким же образом мы определяем соотношение
lim 9 (д:) = /.
х -* а —О
Следовательно, утверждение lim y(x) = l эквивалентно двум утверж-
х->а
дениям:
lim cp(x) = l, lim cp(x)=l.
х -+а + 0 х-ю — О
Мы можем также дать аналогичные определения, относящиеся
к случаям, в которых ц>(х)-*-оо или ср(х)—*•—^оо при х стремя-
стремящемся к а и принимающем значения, большие, соответственно,
меньшие, с; но теперь уже нет необходимости подробнее останав-
останавливаться на этих определениях, так как они вполне аналогичны
определениям, сформулированным выше для частного случая а = 0
и мы всегда можем исследовать поведение 9(¦*) ПРИ х-*-а, полагая
х — а=у и считая, что_у—»-0.
95. Монотонно возрастающие или убывающие функции. Если
существует такое число е, что cp(x')^<f>(x"), если а — е<^д;'<^
<^х" <^ a -J- е, то говорят, что <р(х) монотонно возрастает в окре-
окрестности х = а.
Предположим сначала, что х <^ а, и положим у = -^— . Тогда
у —*¦ оо при х —> а — 0, и ер (х) = ^ (у) является монотонно возра-
возрастающей функцией от у, никогда не превосходящей ц> (а). Из п. 92
следует, что 9 (х) стремится к пределу, не превосходящему )
Мы будем писать:
lim 9(*) = 9(
*) Читатель, конечно, поймет, что <р (а -]- 0) не означает ничего другого,
кроме предела в левой части, сокращенном обозначением которого оно
является. Можно применять символы ср (а -)- 0) и у (а — 0) всякий раз, когда
пределы, определяющие их, существуют; но, вообще говоря, они не буду»
удовлетворять неравенствам, приведенным дальше в тексте.

Пределы функций От непрерывного переменного Ш
Аналогично определим ср (а — 0). Ясно, что
9 (а — 0) sS 9 (а) ^ 9 (а + 0)
и что аналогичные соображения применимы к убывающим функциям.
Если 9 (¦*') <С Ф (х") ПРИ а — s <С Л;'<С •*-" <С а ~Ь 8> причем равен-
равенство исключается, то 9 (х) называется строго возрастающей в окрест'
ности х = а.
96. Верхний и нижний пределы и принцип сходимости. Все
рассмотрения пп. 80—84 могут быть перенесены на функции от не-
непрерывного переменного х, стремящегося к пределу а. В частности,
если ср(х) ограничена в некотором интервале, содержащем а (т. е.
если мы можем найти е, Н и /("так, что Н<^ср(х)<^К при а — е=д:
±^х^а-f-e ')), то мы можем определить X и Л, верхний и нижний
пределы 9С*) ПРИ х-*-а и доказать, что Х:=Л = / является
необходимым и достаточным условием для того, чтобы 9 (х) стре-
стремилась к /. Мы можем также установить аналогичный принцип схо-
сходимости, т. е. доказать, что необходимым и достаточным условием
для того чтобы ц> (х) стремилась к пределу, является существо-
существование для любого 8 такого числа е(8), что I^C*») — 9 (xi) I <C ^>
если 0<^\хъ —¦а\<^\х1 — а [<^г(8). Подобным же образом, необ-
необходимым и достаточным условием для того чтобы ц> (х) стреми'
лась к пределу при х-*-оа, является выполнение неравенства
— 9 (*i) |<8, если х2>хг S&X(8).
Примеры XXXV. 1. Если <р(х) —>-/, <|>(х) —>-/' при х—*~а, то
если в последнем случае /' ^ 0.
[В п. 92 мы виделн, что теоремы гл. IV, п. 63 и ел. имеют место и дЛя
функций от х, когда х—»-со или х—>¦— с». Полагая х = — , мы можем рас-
распространить их иа функции от у при у —»- 0, а полагая y = z — a, — и на функ-
функции от z при z —*¦ а.
Читателю предлагается доказать их также непосредственно из формаль-
формальных определений. Так, для того чтобы получить прямог доказательство
первого результата, нужно только взять доказательство теоремы I из п. 63
и заменить в нем п на х, оо на а и л^л0 на 0<|х— а|=~Се.]
2. Если т — положительное целое число, то хт—»-0 при х—>-0.
3. Если т — отрицательное целое число, то хт-^--\-со при лг-~>-)-0 И
х—»._со или дгт—> + °° при л'—>- — 0, в зависимости от того, будет ли т
нечетным или четным. Если т = 0, то хт=1 и, значит, хт—*-\.
4. lim (а + Ъх + сх2 +. . . +**т) = а.
') См. п. 103.
12 Г. Харда

178 Глава пятая
,. a + bx4-. . .+kxm a
5. lim p-j—г1 т1—=— = — ,
кроме того случая, когда а = 0. Если а = 0 и fl^O, p=^0, то рассматривав.
мая функция стремится при х—v-f-О к +оо или к —оо, в зависимости от
того, будут ли знаки аир одинаковыми или противоположными; утвержде-
утверждения меняются местами, если х~>- — 0. Случай, когда и а и а равны нулю,
рассмотрен в примере XXXVI. 5. Исследовать случай, когда а ф 0 и не-
несколько первых коэффициентов в знаменателе равны нулю.
6. lim хт = ат, если т — любое положительное или отрицательное целое
х—*а
число, кроме того случая, когда а — 0 и т отрицательно. [Если т > 0, поло-
положить х~у-\-а и применить пример 4. Когда /я<0, результат следует из
примера 1. Мы сразу получаем отсюда, что \imP(x) = P(a), если Р(х) —
многочлен.]
7. UmR(x) = R(a), если R обозначает любую рациональную функцию
х-кг
и а не является корнем знаменателя.
8. Показать, что Ншхга = ат для всех рациональных значений т, кроме
того случая, хогда а = 0 иш отрицательно. [Для положительных а это сразу
следует из неравенств (9) или A0) п. 74. Ибо \хт — ат\<.Н\х — а \, где Н
обозначает большее из абсолютных значений тхт~1 и тат~1 (см. при-
пример XXVIII. 4). Если а отрицательно, положим х = —у и а — — Ь.
Тогда
lim xm = lim (— l)mym = (— \)т Ът = ат.
97. Читатель, вероятно, не будет видеть необходимости доказа-
доказательств таких результатов, как утверждения в примерах 4, 5, 6, 7,
8, приведенных выше. Он может спросить: „почему просто не поло-
положить х = 0 или х = а7 Ясно,'что мы тогда получим а, ~,ат,Р(а),
R (а)и. Очень важно, чтобы он усмотрел заключающуюся здесь ошибку.
Поэтому прежде чем перейти к дальнейшим примерам, мы подробно
остановимся на этом вопросе.
Утверждение
lim <р (х) = /
дг-»О
относится к значениям ср (х), когда х имеет любое значение, не
равное нулю, но мало отличающееся от нуля '). Оно не является
утверждением о значении <?(х) при лг = О, но имеется в виду, что
когда х почти равно нулю, ср (х) почти равно /. Мы ничего не
утверждаем относительно того, что произойдет, когда х в точности
равно нулю. Мы даже не знаем, определена ли вообще со (х) при
лг=О; если же ц>(х) и определена при х — 0, то ее значение, вообще
говоря, мОжет быть отличным от /. Рассмотрим, например, функ-
функцию, определенную для всех значений х уравнением ср(лг) = О.
Тогда, очевидно,
lim g>0:) = 0. A)
') Так, утверждение, содержащееся в определении А п. 93, относится
к таким значениям у, для которых 0<у^у0, причем первое неравенство
приводится специально для того, чтобы исключить значение у = 0.

Пределы функций от непрерывного переменного 179
Теперь рассмотрим функцию ^(х), которая отличается от ц>{х)
только тем, что ty(x)—\, когда х = 0. Тогда
Шпф (*) = <), B)
ибо когда х почти равно нулю, ^ {х) не только почти, но даже
в точности равна нулю. Но ty@)=l. График этой функции состоит
из оси х с выключенной точкой х = 0 и одной изолированной
точки, а именно, @,1). Соотношение B) выражает тот факт, что
если мы движемся вдоль графика по направлению к оси у с любой
стороны, то ордината кривой, будучи всегда равной нулю, стремится
к пределу нуль. Положение изолированной точки @,1) не оказы-
оказывает на этот факт никакого влияния.
Читатель может возразить, что этот пример слишком искусствен-
искусственней; однако легко написать простые формулы, представляющие
функции, которые ведут себя точно таким образом вблизи х = 0.
Одной из таких функций является
где [1 — х1] обозначает, как обычно, наибольшее целое число, не
превосходящее 1—х1. В самом деле, если лг=О, то ty(x) = [1] = 1,
тогда как если 0 <^ х <^ 1 или — 1 <^ х <^ 0, то ty (х) = [ 1 — аг2] = 0.
Или же рассмотрим функцию
уже исследованную в гл. II, п. 24 B). Эта функция равна 1 для
всех значений, кроме х = 0. Она не равна 1, когда д; = 0; она
вообще не определена при х — 0. Ибо когда мы говорим, что ср(х)
определена при х = 0, то имеем в виду, что (как было разъяснено
в указанном месте гл. II) мы можем вычислить ее значение при лг= 0
подстановкой j; = 0 в формулу, определяющую ср (х). В данном слу-
случае мы этого сделать не можем. Когда мы подставим х = 0 в <р (х),
то получим -Q-, что не имеет смысла. Читатель может предложить
„разделить числитель и знаменатель на хи, но и это невозможно
при х = 0. Таким образом, у==— является функцией, которая отли-
отличается от у=1 только тем, что она не определена при х = 0. Тем
не менее,
так как — равно 1, если х отлично от нуля, как бы мало х ни
отличалось от нуля.
Аналогично,

180 Рлака. пЛтаЯ
пока х не равно нулю, но у(х) не определена при х = 0. Тем не ;
менее, lim ср (х) = 2.
С другой стороны, ничто, конечно, не мешает тому, чтобы в дру-
других случаях предел у{х) при х, стремящемся к нулю, равнялся ср @),
значению со (х) при х = 0. Так, если ср (х) = х, то ер @) = 0 и
Нпкр (х) = 0.
Примеры XXXVI. 1. Х*а*
х -+а X &
=тат~1, если т — любое целое число (включая нуль).
3. Доказать, что результат примера 2 остается справедливым для всех
рациональных значений т, если только а положительно. [Это следует сразу
из неравенств (9) и A0) п. 74.]
4. lim -j— . г"У _ = 1. [Числитель и знаменатель делятся иа х — 1.]
х _, | х° ох -\- J.
5. Исследовать поведение
1де йО9^0, ЬО^.О при д:,стремящемся к нулю справа или слева.
[Если т>п, то Нт<р<лг) = 0. Если т=п, то lim<p(x)=~ .Если
''о
ил—т четно, то <р (х) —*¦ -\- оо или «р(х)—> — оо, в зависимости от того,
будет ли -f?->0 или -j^-<0. Если т<п и п — т нечетно, то <f(x\—*- + oo
при AT_>.-fO и <р(лг) -> — оо при д;—> —0 или ?(х)-> — оо при х—»- + 0 и
<р (лг) —>--f оо при д;--> — 0, в зависимости от того, будет ли -Л->0 или
°0
6. Если а И b положительны, то
lim — I— = —, lim — — =0.
Как ведут себя эти функции, когда х-*-0 слева?
71). lim^l -\-х = lim V^ ^ —х =1. [Положить 1 -|- лг =jv илн 1 — х=у
и Применить результат примера XXXV. 8.]
Q ,. \Г1Тх—у 1-х ,
8. km -1——'¦ = 1.
х
[Умножить числитель и знаменатель на У~1-\-х -\-~\/-—х.]
9. Рассмотреть поведение
У~1 + хт — У'\— хт
х"-
при х—>0, где т и п — положительные целые числа.
10. ит^{У1+ + * 1}
') В следующих примерах предполагается, что ищутся пределы при
х—>0, если (как в примерах 19, 22) ничего другого явно не оговорено.

Пределы функций от непрерывного переменного Ш
11. lim ¦¦ - -l г ¦¦ = 1.
У 1 а "|Л
12. Нарисовать график функции
1 , 1
х—1 ' 1 ' 1 ' 1
2 3 4
х-1 1
* 2 Х~~ 3 Х~7
Стремится лиона к пределу при х—>- 0? [Здесь у— 1, за исключением зна-
значений х =1, -s-, -S-, -J-; при этих значениях функция не определена;^ ^ 1
при х—>-0.]
,. ,. sinx ,
13. lim = 1.
х
[Это может быть выведено из определения тригонометрических функций.
Когда х положительно и меньше чем ly*1), то
sinx<x< tgx,
или
sinx ,
cosx< < 1,
или
. , sinx
0<1
0<
X
Ho x /1 \« 1
2sin^<2(x) <
Следовательно,
lim
, sinx\ . ,. sinx .
1 =0, lim =1,
x j + о x
а так как функция четная, то получаем искомый результат.]
,. ,. 1 — cos л; 1
14. hm—^— = T.
1С ,. sin ах ' п.
15. lim ^а. Справедливо ли это, если а=0?
. arcsinx
16. hm = 1.
1-71. tgax .• arctgax
17. hm —— = a, hm =— = a.
x x
cosecx — ctgx 1
18.hm __i_ = _.
19. li^tr^1
tg2 ttx 2 •
l) Доказательство применяемых неравенств основано на некоторых
свойствах „площади" сектора круга, которые обычно принимаются за гео-
геометрически очевидные, как, например, что площадь сектора больше площади
треугольника, вписанного в него. Обоснование этих предположений вд
должны отложить до гл, yil,

182 Глава пятая
20. Как ведут себя функции sin — , —sin —, ;esin— при ;е—>-0?
[Первая функция колеблется ограниченно, вторая — неограниченно, третья
стремится к пргделу 0. Ни одна из ннх не определена при х = 0. (См. при
меры XV. 6, 7, 8).]
21. Стремится ли функция
sin —
sin —
X
к пределу при х—».0? [Нет. Функция равна 1, кроме тех случаев, когда
. 1 п 11 1 1 п
sin — = 0, т. е. когда х — — , -^,...,——, —^,. . . Для этих значе-
значений формула для у принимает вид ~=г- и теряет смысл, так что у не опрз-
делено для бесконечного числа значений х, лежащих вблизи лг = О.]
22. Доказать, что если т — любое целое число, то [х]—>-/и и х — [х]—>-0
при х —>- т -|- 0, и что [х] —>- т — 1, х — [лг] —*-1 прн х —>- т — 0.
98. Символы О, о, ~: порядок малости и порядок роста.
Определения п. 89 могут быть распространены, с очевидными изме-
нениими, на функции от непрерывного переменного, стремящегося
к бесконечности или к какому-нибудь конечному пределу. Так,/=О (<р)
при х—>- оо означает, что \/\<^К<Ф для х^гд:0;/=о(ср) означает, что
— —>-0 и/~/ср, где 1ф0, что— —>-/. Аналогично /== О (ср), когда
х—>-а, означает, что \/\<^Кц> для всех х, отличных от а, но доста-
достаточно близких к а.
Так,
х-[-** = О(jc*), х = о{х**), х-}-х*~х\
sin х — 0A), х 2=оA)
при д;^оо и
х -j- дг2 = О (х), х* = о (дг), х -\- л:2 ~ х,
sin ^ = 0A), д:1/8=оA),
когда х —> 0.
Допустим, для определенности, что л:—>-0. Функции
•V, -V , л- , • . ¦
образуют шкалу, в которой каждый член стремится к нулю быстрее
предыдущего, так как
хт = о (х"), хт+1 = о {хт)
для каждого положительного целого числа т. Естественно поэтому
применять их в качестве меры „порядка малости" любой функции,
стремящейся к нулю вместе с х. Если

Пределы функций от непрерывного переменного 183
где 1фО, при х-»-0, то мы говорим, что ср(х) порядка малости т,
когда х мало х).
Эта шкала, конечно, ни в коей степени неполна. Так, ср (дг) = х 5
стремится к нулю быстрее чем х, но медленнее чем х"'. Мы могли
бы попытаться сделать эту шкалу более полной, включив в нее
дробные порядки малости; мы могли бы, например, сказать, что х
порядка малости -=-. В главе IX мы, однако, увидим, что даже тогда
наша шкала будет весьма неполна.
Аналогично определим порядок роста. Так, мы говорим, что ср (х)
имеет порядок роста т, если (Ц^ == дгтср (дг) стремится к пределу /,
отличному от нуля, при х—*-0.
Эти Определения относятся к случаю, в котором х —>- 0. Имеются,
естественно, соответствующие определения, когда х —*¦ оо или х -> а.
Так, если хтср(х) стремится к пределу, отличному от нуля, при
jc-voo, то мы говорим, чтоср(х) порядка малости т для больших х;
а если (х-—-а)тср(лг) стремится к пределу, отличному от нуля,
когда х-»-а, то мы говорим, что ср(х) имеет порядок роста т для х,
близких к а.
Многие из результатов последнего списка примеров могут быть
сформулированы на языке этого пункта. Так,
sin 0.x ~ our, 1 — cos x ~ -s- х*, cosecx — ctgAr^-s-x;
при этом вторая функция второго порядка малости, а остальные —
первого.
99. Непрерывные функции действительного переменного.
Читатель, несомненно, имеет, представление о том, что понимают
под непрерывной кривой. Так, он назовет кривую С на фиг. 26
непрерывной, а кривую С —¦ вообще непрерывной, но разрывной
при #= ?' и д: = I".
Каждая из этих кривых может рассматриваться как график неко-
некоторой функции ср (дг). Естественно называть функцию непрерывной,
если ее график является непрерывной кривой, а в противном случае —
разрывной. Примем это в качестве временного предварительного
определения и попытаемся разобрать точнее некоторые свойства,
которые заключены в этом понятии.
') Мы можем, вообще, сказать, что в (л;) порядка малости т, если суще-
существуют такие положительные постоянные А, В, что
А | х \т s? (tp (x) | s? В \ х \т.
Но определение, данное в тексте, является достаточно общим для наших
целей.

184
Глава пятая
Прежде всего, очевидно, что свойство непрерывности функ-
функции у = ер(х), графиком которой является кривая С, состоит из
некоторого свойства самой кривой в каждой из ее точек. Для того
чтобы определить непрерывность для всех значений х, мы должны
сперва определить непрерывность для любого частного значения х.
Сосредоточим поэтому наше внимание на некотором частном зна-
значении х, скажем, x = i, соответствующем точке Р графика. Каковы
характеристические свойства ср(х), связанные с этим значением х?
Во-первых, 9 (х) определена при х = \. Очевидно, что это суще-
существенно. Если бы ср (?) не было определено, то на кривой нехватало
бы точки.
Во-вторых, ср(х) определена для всех значений х, близких
к х = %, т. е. мы можем найти интервал, содержащий внутри себя
точку x — i, для всех точек которого ер (х) определена.
В-третьих, если х приближается к значению I с каждой сто-
стороны, то ф (дг) приближается к пределу 9 (?)•
Перечисленные свойства далеко не исчерпывают всех свойств той
фигуры, которую представляет собой кривая с точки зрения здра-
здравого смысла и которая является обобщением некоторых специальных
кривых (например, прямых и окружностей). Но эти свойства являются
простейшими и самыми основными; график любой функции, которая
ими обладает (если только его можно нарисовать), будет вполне
отвечать нашим интуитивным представлениям о том, что должно
считаться непрерывной кривой. Поэтому мы выбираем их в качестве
свойств, определяющих математическое понятие непрерывности.
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция 9 (л:) называется непрерывной при х — %,
если она стремится к пределу при х, стремящемся к \ справа и
слева, и если каждый из этих пределов равен 9(?)-
Таким образом, ср(х) непрерывна при х = Ь, если 9(?)> Ф(?'—0)
и 9 (S " 0) существуют и равны между собой.
Мы можем теперь определить непрерывность в интервале. Функ-
Функция 9 (•*•) Называется непрерывной в некотором интервале значений х.

Пределы функций от непрерывного переменного
185
если она непрерывна при всех значениях х из этого интервала. Она
называется непрерывной всюду, если она непрерывна при каждом
значении х. Так, [х] непрерывна в интервале (s, 1—г), где г —
1
любое положительное число, меньшее -„-, но она не непрерывна при
лг = О и при х==\; она также не является непрерывной нив каком
интервале, содержащем хотя бы одну из этих точек. Функции 1 их
непрерывны всюду.
Если мы обратимся к определению предела, то увидим, что
наше определение эквивалентно следующему: „ср (х) непрерывна при
x = Z, если для каждого данного Ь мы можем найти такое е(8),
что |ф (*) — ф(?) |<8 для 0==?|л: — ?|==?е(8)".
Нам часто приходится рассматривать функции, определенные
только в некотором интервале (а, Ь). В этом случае удобно сделать
небольшое и естественное изменение в нашем определении непре-
непрерывности в точках а и Ь. Мы будем говорить, что ф (х) непре-
непрерывна при х = а, если cp(a-j-O) существует и равно ср(а), и при
х = Ь, если ср (Ь — 0) существует и равно со (Ь).
100. Определение непрерывности, данное в предыдущем пун-
пункте, геометрически может быть проиллюстрировано следующим
образом. Проведем две горизонтальные прямые у = ср (?) — 8 и у =
= ср (?) -J- 8. Тогда неравенство j ер (лг) — ф (?) I <С 8 означает, что точка
J1
Фиг. 27
кривой, соответствующая х, лежит между этими прямыми. Анало-
Аналогично, \х-—S|sge означает, что х лежит в интервале (? — е, E-J-s).
Следовательно, наше определение утверждает, что если мы проведем
две как угодно близкие друг к другу горизонтальные прямые, то
всегда можно найти такую вертикальную полосу, что та часть кри-
кривой, которая содержится в этой полосе, проходит между проведен-
проведенными горизонтальными прямыми (фиг. 27). Очевидно, что это спра-
справедливо для кривой С (см. фиг. 26), каково бы ни было значение ?.
Теперь мы перейдем к исследованию непрерывности некоторых
специальных типов функций. Некоторые из следующих ниже резуль-
результатов применялись уже в гл, Ц,

186 Глава пятая
Примеры XXXVII. 1. Сумма и произведение двух функций, непрерывных
в некоторой точке, также непрерывны в этой точке. Их отношение также
непрерывно, если значение знаменателя в этой точке отлично от нуля. [Это
следует из примера XXXV. 1.]
2. Любой многочлен непрерывен для всех значений х. Любая дробно-
рациональная функция непрерывна для всех значений х, за исключением
тех, при которых знаменатель обращается в нуль. [Это следует из приме-
примеров XXXV. 6 и 7.]
3. у"л: непрерывен для всех положительных значений х (пример XXXV. 8).
Он не определен для х, меньших нуля, но непрерывен при лг = О, в силу
замечания, сделанного в конце п. 99. То же имеет место для хт/п, где т и
п — любые положительные целые числа, причем п четно.
4. Функция хт/п непрерывна для всех значений х, если п нечетно.
5. — разрывна при х=0. Эта функция не определена при х = 0 и не
стремится ни к какому пределу при .к—>-0. Действительно, v-f-oo или
>¦ — оо, в зависимости от того, стремится лн х к нулю справа или слева.
6. Исследовать на непрерывность в точке х = 0 функцию х~т/п, где т
и п — положительные целые числа.
7. Дробно-рациональная функция
разрывна при х=а, где а —любой корень уравнения Q(a;) = 0. Так,
разрывна при л;=1. Следует заметить, что в случае дробно-рациональных
функций разрыв всегда связан с (а) непригодностью определения для дан-
данного значения х н (Ь) стремлением функции к -)- оо или к — со при стрем -
лении х к этому значению с каждой стороны. Такая точка разрыва обычно
называется бесконечностью функции. „Бесконечность" является наиболее
часто встречающимся видом разрыва.
8. Исследовать на непрерывность функции
з.
х — а
9. Функции sin л: и cos л: непрерывны для всех значений х.
[Так, например,
sin(х-)-Л) — sinх = 2sin -^ ft • cos(х-\--„ ft),
Z \ Z J
что по модулю не превосходит h.]
10. При каких значениях х функции tgx, ctgx, secx и cosec x непре-
непрерывны и при каких разрывны?
11. Если /(у) непрерывна при з' = у1> а ?(х) — непрерывная функция
от х, равная у при л; = 5, то /{ ш(лг) } непрерывна при л; ='5.
12. Если <э(х) непрерывна при данном значении х, то любой полином от
), и{ в (х) }т-*г. ¦. также непрерывен при этом значении х.
13. Исследовать на непрерывность функции
(a cos2 х -f Ь sin2 х)~\ У2 -j- cos x, Yl+ainx , (\-j-sin x)"lh-

Пределы функций от непрерывного переменного 187
., . .1 .1 , . 1 •
14. Функции sin —, xsin— и х2 sin— непрерывны при всех значе-
ниях х, кроме х = 0.
15. Функция, равная xsin — для всех х, кроме х—0, и равная нулю
при х = 0, непрерывна для всех значений х.
16. [х] и х — [х] разрывны при всех целочисленных значениях х.
17. При каких значениях х (если таковые вообще существуют) следую-
следующие функции разрывны:
[*2]> \Vx\' У*=М» M + V^^M", [2x], [*] + [-*]?
18. Классификация разрывов. Некоторые из предыдущих примеров
наводят на мысль о следующей классификации типов разрывов.
A) Допустим, что <р(лг) стремится к пределу при х—>-д как справа, так
и слева. Обозначим эти пределы, как в п. 95, соответственно, через tp(a — 0)
и tp(fl-J-O). Тогда для непрерывности необходимо и достаточно, чтобы <р(лг)
была определена при х=а и чтобы
Разрыв может иметь место при различных обстоятельствах.
(a) tp(o — 0) может быть равно tp(a4-0), но tp(a) может не быть опре-
определено или может отличаться от 'f(e — 0) и tp(e-f-O). Так, если <?(х) =
= xsin— и в = 0, то tp(O — 0) = tp @ 4-0) =: 0, но <р(х) не определена при
х = 0. Или, если tp (л;) = [1 — х2] и а = 0, то «р @ — 0) = ? @-f 0) = 0, но
?@) = 1.
Q) tp(a — 0) и tp(a-j-O) могут быть неравны. В этом случае tp (а) может
быть равно одному или другому из этих значений или может быть вообще
не определено. Первый случай имеет место для функции <f(x)=[x], для
которой tp(O —0) = — 1, tp @ 4- 0) = tp @) = 0; второй — для функции tp (л;) =
= М — [— х], для которой tp(O —0) = —1, tp@ 4-0)=l,tf>@) = 0, и третий —
для функции 'f (х) = [х] 4- х sin — для которой tp @ — 0) = — 1, tp @ 4- 0) = 0,
a tf(O) не определено.
В каждом из этих случаев мы будем говорить, что <?(х) имеет простой
разрыв при х=а*). К этим случаям мы можем добавить еще те случаи,
когда tp (л;) определена только по одну сторону от х = а и tp (о — 0) или/
соответственно, tp(e-f-O) существует, но либо не определена прих=а,
либо имеет значение, отличное от tp(a—0) (или <р(а4-0)).
Из п. 95 следует, что функция, которая в окрестности х=а моно-
монотонно возрастает или монотонно. убывает, но не непрерывна в этой
точке, может иметь в ней только простой разрыв.
B) Может случиться, что tp (x) стремится к конечному пределу, или к + оо,
или к —оо, когда х стремится к а с любой стороны, и что она стремится
к 4- ее или к —со при х, стремящемся к а по крайней мере с одной из
двух сторон. Это, например, имеет место, когда tp (x) равна — или —^} или
когда она равна —для положительных х и равна 0 для отрицательных.
В таких случаях мы будем говорить, что х=а является точкой бесконеч-
бесконечности функции у(х). Мы также включаем сюда те случаи, когда tp(x) стре-
стремится к -|-со или —со с одной стороны от в и у(х) не определена по дру-
другую сторону.
*) Разрыв, рассмотренный в (а), часто называют устранимым разрывом,
а разрыв, рассмотренный в ф), — разрывом первого рода. {Прим. перев.)

188 Глава пятая
C) Всякая точка разрыва, которая не является точкой простого разрыв
или точкой бесконечности, называется точкой колебательного разрыва'*).
Например, х—0 является точкой колебательного разрыва для функции
sin —.
х
19. Какова природа разрыва в точке х = 0 функций
гт Зг~г 1 sin —
sinxrnir . /1 1/1 1
—?-, [х] + 1-х], cosec х, у - , у — ,
cosec -
sin —
X
20. Функция, равная 1 для рациональных х и равная 0 для иррациональ-
иррациональных х (см. гл. II, пример XVI.10), разрывна при всех значениях х. То же
справедливо и в отношений функций, определенных только для рациональ-
рациональных или только для иррациональных значений х.
21. Функция, равная х для иррациональных значений х и равная 1/ Т а
при л;=— (см. гл. II, пример XVI.11), разрывна для всех отрицательных и
положительных рациональных значений х, ио непрерывна для всех положи-
положительных иррациональных значений.
22. В каких точках разрывны функции, рассмотренные в гл. IV (при-
(примеры XXXI), и какова природа этих разрывов? [Рассмотрим, например,
функцию y = limxn (см. пример 5). Здесь у определено только, если
— 1 < х г~: 1; у равно 0 при — 1 < х < 1 и равно 1 при х = 1. Точки х = 1
и х = — 1 являются точками простого разрыва.]
101. Основное свойство непрерывной функции. „Непрерывная
кривая" с точки зрения здравого смысла обладает еще одним харак-
характеристическим свойством. Пусть А и В — две точки на графике ср (х)
с координатами х0, ср(*0) и xit <p(*i) и пусть X—'Прямая, прохо-
проходящая между А и В. Тогда представляется очевидным, что если
график непрерывен, то Он должен пересечь X.
Ясно, что если мы рассматриваем это свойство как геометриче-
геометрическое свойство, присущее непрерывным кривым, то мы ничего не
потеряем в общности, предполагая, что X параллельна оси х. В этом
случае ординаты А и В не могут быть равны; допустим для опре-
определенности, что 9(Xi)^>9(xo)- Пусть X — прямая у = ч\, где
ср (*0) «С ''l <С 9 (*i)- Тогда утверждение, что график ср (х) пересекает X,
равносильно утверждению, что между х0 и xt найдется такое значе-
значение х, для которого у(х) = ч].
Мы заключаем, следовательно, что непрерывная функция ср(х)
должна обладать следующим свойством: если
Ф С*о) =.Уо> 9(x1)=yi
и Уо<Сг)<СУ1> то между хй и xt существует такое значение х,
что 9(jc) = y). Другими словами, когда х изменяется от х0 до xt,
*) Или, что более принято, точкой разрыва второго рода. (Прим. перев.

Пределы функций от непрерывного переменного 189
<р (л:) должно по крайней мере один раз принять каждое значение
между у0 и _ур
Докажем теперь, что если ср (дг) — непрерывная функция от х
в смысле определения п. 99, то она действительно обладает этим
свойством. Правее хй существует некоторый интервал значений дг,
для которых <$ (х) <^ч\. Действительно, ф(^0)<^''1 и, следовательно,
<р (х) будет заведомо меньше чем ч\, если ср (дг) — ср (дг0) по модулю
меньше чем ч] — ф(-?0). Но так как ср(дг) непрерывна при д: = д:0,
это условие выполняется, если х достаточно близко к хй. Точно так
же левее хх существует некоторый интервал значений х, для кото-
которых ср (*)>¦»).
Разобьем теперь все значения х между хй и хг на два класса L
и R следующим образом:
A) к классу L мы отнесем все значения \ переменного х такие,
что ср (х)<^ т) Для ? = \ и для всех значений х между х0 и ?;
B) к классу R мы отнесем все остальные значения х, т. е. все
числа ?, для которых либо cp(?)^i), либо существует такое значе-
значение х между х0 и ?, что ср (дг) ^ ч\.
Тогда очевидно, что эти два класса удовлетворяют всем усло-
условиям, наложенным на классы L, R в п. 17, и, следовательно, опреде-
определяют сечение в области действительных чисел. Пусть |0 — число,
соответствующее этому сечению.
Предположим сначала, что ф(^0) ^> "*]> так что ^о принадлежит
к верхнему классу, и пусть ср (?0) = t\ -\- k. Тогда ср (?') <^ -г) и, зна-
значит,
для всех значений S', меньших чем ?0, что противоречит условию
непрерывности при jt = ?r
Далее предположим, что cp(|0) = i) — k<^t\. Тогда, если I' —
любое число, большее 10, то либо ср (?') ^ т), либо мы можем найти
между ?0 и I' такое число I", что ср(?")^7). В каждом случае мы
можем найти числа как угодно близкие к ?0, для которых соответ-
соответствующие значения ср(дО будут отличаться больше чем на к. А это
опять противоречит предположенной непрерывности ср (д:) при х = ?0.
Следовательно, ср (?0) = т), и теорема доказана. Следует отметить,
что мы доказали больше, чем явно утверждается в теореме; в дей-
действительности мы доказали, что ?„ является наименьшим значением дг,
для которого ср (д:) = ¦»). Между тем совсем не очевидно и, вообще
говоря, неверно, что среди значений х, для которых функция при-
принимает данное значение, существует наименьшее; однако, как мы
видели, для непрерывных функций это так.
Легко видеть, что теорема, обратная только что доказанной, неверна.
Так, например, функция, график которой изображен на фиг. 28, очевидно,
принимает по крайней мере один раз каждое значение между tp (х0) и <р (Xj),
а имеете с тем она разрывна. Неверно и то, что функция tp (x) должна быть

190
Глава пятая
непрерывной, если она принимает каждое значение один и только один
раз. Пусть, например, <р (х) определена для х между 0 и 1 следующим обра-
образом: ср (л:) = 0 при х — 0; tp (х) = 1 — х для 0<х< 1, н tp (х)= 1 прих=1.
График этой функции изображен на фиг. 29; он содержит точки О, С, но не
содержит точек А, В. Ясно, что когда х изменяется от 0 до 1, у{х) прини-
принимает один и только один раз каждое значение между tp(O) = O и tp(l) = 1; но
<?(х) разрывна при х = 0 и х=1.
Кривые, встречающиеся в элементарной математике, обычно состоят из
конечного числа кусков, вдоль каждого из которых у изменяется в одном
и том же направлении. Легко показать, что если у = <р (х) изменяется
Фиг. 28
Фиг. 29
в одном и том же направлении, т. е. либо монотонно возрастает, либо моно-
монотонно убывает, когда х пробегает значения от х0 до хи то оба поня-
понятия непрерывности действительно совпадают, т. е. функция, принимающая
каждое значение между tp (х„) и tp (xj), должна быть непрерывной в смы-
смысле п. 99. Действительно, пусть ? — любое значение х между х0 и xt.
Когда х стремится к ?, пробегая значения, меньшие ?, <р (х) стремится
к пределу tp (? — 0) (см. п. 95). Аналогично, когда х стремится к ?, пробе-
пробегая значения, большие ?, «р (х) стремится к пределу tp (? -f- 0). Функция бу-
будет непрерывной при х = ? в том и только том случае, когда
Но если какое-либо из этих равенств не имеет места, скажем первое, то
tp (х) никогда не может принять ии одного значения, лежащего между tp (?—0)
и tp (?), что противоречит нашим предпосылкам. Следовательно, tp (x) должна
быть непрерывной.
102. Дальнейшие свойства непрерывных функций. В этом и
в следующих пунктах мы докажем ряд важных общих теорем.
ТЕОРЕМА 1. Допустим, что ф(х) непрерывна при х = 1 и что
срA) положительно. Тогда можно найти такое положительное
число г, что <^{х) положительна в интервале {I — s, l~\-e).

Пределы функций от непрерывного переменного 191
тельно, полагая 8 = -к- <р F)
стр. 185, мы можем выбрать е так, что
Действительно, полагая 8 = -к- <р F) в основном неравенстве на
в интервале (? — е, S-j-e), и тогда
9 (x) Ss 9 @ — I 9 (х) — 9 О
так что фМ положительна. Очевидно, что имеет место аналогичная
теорема, относящаяся к отрицательным значениям 9 (•*-)•
ТЕОРЕМА 2. Если 9 (х) непрерывна при x = ku<p(x) обращается
в нуль для значений х, расположенных как угодно близко к I, или
принимает как угодно близко к ? как положительные, так и
отрицательные значения, то 9($) = 0-
Эта теорема следует сразу из теоремы 1. Если бы 9@ было
отлично от нуля, то оно должно было бы быть положительным или
отрицательным; если бы, например, оно было положительным, то
9 (х) должна была бы быть положительной для всех значений х,
достаточно близких к ?, что противоречит предпосылкам теоремы.
103. Область значений непрерывной функции. Рассмотрим
функцию 9 (х), относительно которой мы пока только предположим,
что она определена для каждого значения х из некоторого интервала
(а, Ь).
Значения, принимаемые 9 0*0 для значений х из (а, Ь), образуют
некоторую совокупность S, к которой мы можем применить рассу-
рассуждения п. 80 (как мы применили их уже в п. 81 к совокупности
значений функции от п). Если существует такое число К, что
9 (х) =ё К для всех рассматриваемых значений х, то мы говорим,
что 9 0*0 ограничена сверху. В этом случае 9 (-*0 имеет точную
верхнюю грань М, обладающую тем свойством, что ни одно значе-
значение 9 0*0 не превосходит М, но для каждого числа, меньшего М,
существует по крайней мере одно значение 9 (х), которое его пре-
превосходит. Аналогично определяются, в применении к функциям от
непрерывного переменного х, термины „ограничена снизу", „точная
нижняя грань", „ограничена".
ТЕОРЕМА 1. Если у (х) непрерывна (а, Ь)*), то она ограничена
в (а, Ь).
Мы можем найти такой интервал (а, ?) справа от а, в котором
9 (х) ограничена, ибо из непрерывности 9 (х) при х = а следует,
что для любого заданного положительного числа 8 мы можем найти
*) Здесь и в дальнейшем подразумевается, конечно, непрерывность
в замкнутом интервале а^х^Ь. (Прим. перев)

192 Глава питая
такой интервал (а, Е), в котором значения ср (х) заключены между
9 (а) — 8 и ф (а) -j- 8, так что 9 (х) ограничена в этом интервале.
Разобьем теперь Точки k интервала (а, Ь) на два класса L и R,
относя \ к L, если 9 (х) ограничена в (а, ?), и к R, если это не
имеет места. Из предыдущего следует, что класс L безусловно суще-
существует; мы должны доказать, что R не существует. Допустим, что
R существует, и обозначим через В число, соответствующее сечению L, R.
Так как 9 (х) непрерывна при х = 8, мы можем, как бы мало ни
было заданное положительное число 8, найти такой интервал (8—т),
В -\-i\) 11, в котором
Следовательно, 9 (х) ограничена в (В>— т„ В ~f- -ц). Но В —- iq принад-
принадлежит к L, и, следовательно, ф(лг) ограничена в (а, В—tq); поэтому
она ограничена и во всем интервале (а, B-j-t)). Но р —j— iq принад-
принадлежит к R, и 9 (х) не может быть ограничена в (а, В -)- tq). Это
противоречие показывает, что R не существует и что, следовательно,
9 (*) ограничена в (а, Ь).
ТЕОРЕМА 2. Если q> (х) непрерывна в (а, Ь) и М и m обозначают
ее точные верхнюю и нижнюю грани, то 9 (х) принимает в этом
интервале каждое из значений М и т по крайней мере один раз.
Действительно, если дано любое положительное число 8, то мы
можем найти такое значение х, для которого М — 9 (х) <^ 8 или
•tj——j— ^> — . Следовательно, функция г-г———г не ограничена, а
поэтому, в силу теоремы 1, и не непрерывна. Но М — у(х) — не-
непрерывная функция, и следовательно, jr^—г~\ непрерывна в любой
точке, в которой знаменатель не обращается в нуль (при-
(пример XXXVII. 1). Таким образом, должна существовать такая точка,
в которой знаменатель обращается в нуль, и в этой точке <р(х) = М.
Аналогично можно показать, что существует и точка, в которой
9 (х) = т.
Ввиду большой важности этой теоремы полезно дать, помимо
приведенного непрямого доказательства, и другие методы ее доказа-
доказательства. Однако удобнее отложить это до п. 105.
Примеры XXXVIII. 1. Если ср(лт) = — при х^О и ср(лт) = О при х = 0,
то tp (лт) не имеет ни верхней, ни нижней грани ни в одном интервале,
заключающем внутри себя точку лг = О (например, в интервале (—1, +1)).
2. Если 9 (х) = —^ при х ф 0 и 9 (¦*") = 0 при х = 0, то 9 (х) имеет в интер-
интервале (— 1, +1) точную нижнюю грань 0, но не имеет верхней грани.
1) Если $ = Ь, то мы должны в следующем рассуждении заменить этот
интервал интервалом (p^-vj, р), а число р + vj — числом р.

Пределы функций от непрерывного переменного 193
3. Пусть <? С*) = sin — ПРИ * т^ ° и ? (¦*) = ° пРи *}= 0. Тогда ср (х) разрыв-
разрывна при х — 0. В любом интервале (—о, -{-Ь) точная нижняя грань этой функ-
функции равна — 1, а точная верхняя грань +1> и каждое из этих значений
принимается ср (лт) бесконечное число раз.
4. Пусть ср(лг) = лг — [лт]. Эга функция разрывна при всех целочислен-
целочисленных значениях х. В интервале @, 1) ее точная нижняя грань равна 0, а ее
точная верхняя грань равна 1. Таким образом, эта функция никогда не при-
принимает значения, равного ее точной верхней грани.
5. Пусть ср(лт) = О, когда л: иррационально, и y(x) = q при рациональном
лт=-^-. Тогда у(х) в любом интервале (а, Ь) имеет точную нижнюю грань 0,
но не имеет верхней грани. Если жеср(лт) = (—1)ру, при лт=—, то ср(лт) не
имеет ни в одном интервале ни верхней, ии нижней грани.
104. Колебание функции в интервале. Пусть q>(x)—любая
функция, ограниченная в интервале (а, Ь), и пусть М и т — ее
точные верхняя и нижняя грани. Мы будем писать М (а, Ь) и т (а, Ь)
вместо М и т для того, чтобы явно указать зависимость М и т
от а и Ь; кроме того, положим
О {a, b) = M(a, b) — m{a, b).
Это число О (а, Ь), разность между точной верхней и точной
нижней гранями ср {х) в (а, Ь), называется колебанием 9 (х) в (а, Ь).
Приведем некоторые простейшие свойства функций М (a, b), m {a, b)
и О (а, Ь).
A) Если а^с^Ь, то М{а, Ь) есть большее из чисел М{а, с)
и М (с, Ь), а т (а, Ь) — меньшее из чисел т (а, с) и т (с, Ь).
B) М (а, Ь) является возрастающей, т (а, Ь) —убывающей и
О (а, Ь) — возрастающей функцией от Ь.
C) О (a, b)^O(a, c) + O(c, b).
Первые две теоремы являются прямыми следствиями наших
определений. Пусть jx — большее из чисел М {а, с) и Ж (с, Ь) и
8 — любое положительное число. Тогда «р (х) ^ jj, в (а, с) и в (с, b), a
следовательно, и в (а, Ь); кроме того, <р(х)~^>\>. — 8 для некоторого
значения х из (а, с) или из (с, Ь), а, следовательно, для некото-
некоторого значения х из (а, Ь). Таким образом, М (a, b) = ja. Утверждение
относительно т доказывается так же. Таким образом, A) дока-
доказано, а B) является его непосредственным следствием.
Допустим теперь, что М1 — большее, а Ж2 — меньшее из чисел
М (а, с) и М (с, Ь) и что тх — меньшее, а тг — большее из чисел
tn (а, с) и т (с, Ь). Тогда, так как с принадлежит к обоим интерва-
интервалам, ф (с) не больше чем Ж2 и не меньше чем т%. Следовательно,
М% ^ /и2, независимо от того, соответствуют ли эти числа одному и
тому же из интервалов (а, с) и, (с, Ь) или нет. Далее,
О (а, Ь) — Mt — «! ^ Mt -f- Ж
13 Г. Харди

194 Глава пятая
но О (а, с) -4- О (с, Ь) — Mt -j- Л12 — т1 — /я2,
откуда следует C).
105. Другие доказательства теоремы 2 п. 103. Самым прямым доказа-
доказательством теоремы 2 п. 103 является следующее. Пусть % — любое число
из интервала {а, Ь). Функция М (а, ?) монотонно возрастает вместе с Е и
никогда не превосходит М. Следовательно, мы можем построить сечение
чисел |, относя I к L или к R, в зависимости от того, будет ли М {а, ?) < М
или М {а, I) — М. Пусть р — число, соответствующее этому сечению. Если
Р? то мы имеем
М(а, g —vj)<M, M(a,
для всех положительных значений i\, и, таким образом,
согласно утверждению A) п. 104. Следовательно^ (х) принимает для значений х
как угодно близких к р значения как угодно близкие к Ж, а так как tp (x)-
непрерывна, то ср (р) должно быть равно М.
Еслир = а, то М(а, <ж + ¦»)) = М. Если же $ = Ь, то М(а, Ь — у\)<:М
и, следовательно, М (t> — nj, b) = M. В каждом из этих случаев доказатель-
доказательство может быть закончено так же, как и в первом случае.
Теорема может быть доказана также методом повторных делений интер-
интервалов пополам (см. п. 71). Если М является точной верхней гранью ср (лт)
в интервале PQ и PQ разделен на две равных части, то можно найти поло-
половину P,Qj, в которой точная верхняя грань tp (лг) также равна М. Продол-
Продолжая так же, как в п. 71, мы построим последовательность интервалов PQ,
PiQu Рз0з> • • • > в каждом из которых точная верхняя грань tp (лт) равна М.
Эти интервалы, как показано в п. 71, сходятся в некоторой точке Т, и легко
доказать, что значение tp (лт) в этой точке должно равняться М.
106. Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне — Бореля.
Мы переходим теперь к доказательству некоторых теорем, относя-
относящихся к колебанию функции, которые, как мы увидим, играют
чрезвычайно важную роль в теории интегрирования. Эти теоремы
опираются на одну общую теорему, относящуюся к интервалам на
прямой.
Предположим, что дана система интервалов на прямой линии,
т. е. что дана некоторая совокупность, каждым членом которой
является некоторый интервал [а, |3). Мы не накладываем на эти
интервалы никаких ограничений; число их может быть конечным
или бесконечным; они могут перекрываться, могут и не перекры-»
ваться'); любое число этих интервалов может целиком принадлежать
некоторым из них.
') Термин „перекрывающиеся интервалы" применяется здесь в очевид-
очевидном смысле: два интервала перекрываются, если они имеют общие точки»
отличные от концов каждого из них. Так, интервалы @, -=-1 и (-д-, 11
перекрываются. Про пару интервалов @, -=-] и (-^-, 1) можно сказать, что
\ L1 \ * 1
они примыкают друг к другу.

Пределы функций от непрерывного переменного 195
Здесь уместно мимоходом привести несколько примеров таких систем
интервалов; к рассмотрению этих систем мы еще вернемся позже.
A) Если интервал @, 1) разбит на п равных частей, то полученные я
интервалов составляют конечную систему неперекрывающихся интервалов,
которые покрывают отрезок @, 1).
B) Возьмем каждую точку | интервала @, 1) и поставим ей в соот-
соответствие интервал (?—е, |-j-E)> где в—положительное число, меньшее 1; точке О
поставим в соответствие интервал @, е), а точке 1—интервал A—е, 1), и
вообще отбросим часть каждого интервала, выходящую из интервала @, 1).
Таким образом, мы определяем бесконечную систему интервалов, причем
очевидно, что многие из них перекрываются друг с другом.
C) Возьмем рациональные точки -— интервала @, 1) и поставим в
р
соответствие точке — интервал
, q q3' ? ГV,
где е положительно и меньше 1. Мы рассматриваем 0 каку} а 1 — как
у, и в этих двух случаях отбрасываем те части интервала, которые вы-
выходят из интервала @, 1). Тогда мы получим бесконечную систему интер-
интервалов, которые, очевидно, перекрываются друг с другом, так как в каждом
интервале, соответствующем —} содержится бесконечно много рациональ-
р
ных точек, отличных от — .
Я
ТЕОРЕМА ГЕЙНЕ — БОРЕЛЯ. Допустим, что дан интервал (а, Ь)
а система интервалов I, каждый член которой содержится в (а, Ь).
Предположим, далее, что I обладает следующими свойствами:
A) каждая точка интервала (а, Ь), отличная от аи Ь, лежит
внутри 1) по крайней мере одного из интервалов системы I;
B) а является левым концом, a b — правым концом по край-
крайней мере одного интервала из I.
Тогда из системы I можно выбрать конечное число интерва-
интервалов, которые образуют систему, также обладающую свойствами
A) и B).
Мы знаем, что а является левым концом по крайней мере одного
из интервалов /, скажем интервала (a, at). Мы знаем также, что ах
лежит внутри по крайней мере одного из интервалов /, скажем,
(а[, а2). Подобным образом а2 лежит внутри некоторого интервала
(#2, #з) из /. Ясно, что это рассуждение можно бесконечно повто-
повтоять,
с Ъ.
Если ап совпадает с b после конечного числа шагов, то больше
нечего доказывать, так как мы получаем конечную систему интер-
') Это значит „внутри, но ни в одном из концов".
18»

196 Глава пятая
валов, выбранных из / и обладающих требуемыми свойствами. Если
ап никогда не совпадает с Ь, то точки аи а.3, а3, ... должны стре-
стремиться к некоторому предельному положению, так как каждая из
них лежит правее предыдущей; но эта предельная точка может
лежать где угодно в (а, Ь).
Допустим теперь, что указанное построение проведено, исходя из а,
всевозможными способами, так что мы получим всевозможные последо-
последовательности типа alt а2, а3 Тогда мы докажем, что существует
по крайней мере одна такая последовательность, которая doctnii'
гает b после конечного числа шагов.
Имеются две возможности для положения точки ? в (а, Ь).
Либо 1° k лежит слева от некоторой точки ап некоторой последова-
последовательности, либо 2° это не имеет места. Разобьем точки ? на два
а а; а, а'г аг ? а3 ? ( 4 <Г b, b
Фиг. 30
класса L и R, в зависимости от того, справедливо 1° или 2°.
Класс L заведомо существует, так как все точки интервала (а, аг)
принадлежат к L. Мы докажем теперь, что класс R не суще-
существует, так что каждая точка \ принадлежит к классу L.
Если бы класс R существовал, то L находился бы целиком слева
от R, и классы L, R определяли бы сечение в области действитель-
действительных чисел между а и Ь, которому соответствовало бы некоторое
число $0. Точка ?0 лежала бы внутри какого то интервала из /,
скажем, (?', ?"), и I' принадлежало бы к L и, таким образом,
лежало бы левее некоторого члена ап некоторой последовательности.
Но тогда мы могли бы взять интервал (?', ?") в качестве интервала
(а„, а„+}), соответствующего ап в нашем построении последователь-
последовательности аи ait a3, ..., и все точки слева от ?" лежали бы слева от
ап+1. Следовательно, существовали бы точки из L, лежащие справа
от ?0, а это противоречит определению R. Поэтому невозможно,
чтобы класс R существовал.
Таким образом, каждая точка I принадлежит к L. Пусть теперь
Ъ является правым концом интервала F1( Ь) из /, и Ь1 принадлежит
к L. Тогда существует такой член ап последовательности аи а2,чи3,... ,
что ап'^>Ь1. Но мы можем взять в качестве интервала (ап, ап+1)»
соответствующего ап, интервал {blt b), и тогда мы получим конеч-
конечную систему интервалов, обладающую требуемыми свойствами. Тео-
Теорема доказана.
Поучительно рассмотреть в свете этой теоремы примеры, приведенный
на стр. 194—5.

Пределы функций от непрерывного переменного 197
12 3
A) Здесь условия теоремы не выполнены; точки —, •— , —, ... не
принадлежат ни одному из интервалов из /.
B) Здесь условия теоремы выполнены. Система интервалов
@,2s), (е, Зе), Bs, 4s), ..., (l-2s, 1),
соответствующих точкам s, 2e, 3s,..., 1 — в, обладает требуемыми свойствами.
C) В этом случае мы можем, применяя теорему, доказать, что для до-
достаточно малого е в интервале @, 1) существуют точки, не принадлежащие
ни олному из интервалов системы /.
Если бы каждая точка интервала @,1) лежала внутри некоторого интер-
интервала из / (с очевидными оговорками, относящимися к концам), то мы могли
бы найти конечное число интервалов из /, обладающих тем же свойством и
имеющих, следовательно, общую длину, превосходящую 1. Но мы имеем
следующие интервалы: два интервала общей длины 2е для q = 1 и q — 1
интервалов общей длины 2 е -—j— для каждого из остальных значений q.
Общая длина любого конечного числа интервалов из / не может поэтому
превосходить произведение 2s на ряд
1 т^ 2s 3* 4* "'"'
который, как будет показано в гл. VIII, сходится. Следовательно, если е до-
достаточно мало, предположение, что каждая точка интервала @, 1) лежит
внутри одного из интервалов системы /, приводит к противоречию.
Читателю может показаться, что это доказательство излишне сложно и
что существование точек в интервале @, 1), не принадлежащих ни одному
из интервалов системы /, сразу следует из того, что сумма длин этих интер-
интервалов меньше 1. Но теорема, на которую это рассуждение опирается (если
система интервалов бесконечна), далеко не очевидна и может быть строго
доказана только с помощью теоремы Гейне — Бореля.
107. Колебание непрерывной функции. Применим теперь теорему
Гейне — Бореля к доказательству двух важных теорем, относящихся
к колебанию непрерывной функции.
ТЕОРЕМА I. Если ? (х) непрерывна в интервале (а, Ь) *), то мы
можем разбить (а, Ь) на конечное число частичных интервалов
(а, xj, (хи Хо), ..., (х„, Ь), в каждом из которых колебание <р (лг)
будет меньше любого заданного положительного числа 8.
Пусть ? — любое число между а и Ъ. Так как у(х) непрерывна
при je = ?, то мы можем найти такой интервал (? — в, ? -f-e), в кото-
котором колебание ср(х) будет меньше чем 8. Таких интервалов будет,
конечно, бесконечно много для каждого I и каждого 8, ибо, если
условие выполнено для некоторого значения 8, то оно тем более
будет выполнено для всех меньших значений. Какие значения е
*) В теоремах I и II опять подразумевается непрерывность в замкну-
замкнутом интервале (а, Ь). {Прим. перев.)

198 Глава пятая
допустимы, зависит, естественно, от ?; пока мы не имеем оснований
предполагать, что значение е, допустимое для одного значения ?,
будет допустимым для другого. Назовем таким образом поставлен-
поставленные в соответствие точке % интервалы, Ь-интервалами для ?.
Если % — а, то мы можем определить интервал (а, а-\-е) (а сле-
следовательно, и бесконечно много таких интервалов), обладающий тем
же свойством. Эти интервалы мы назовем 8-интервалами для а и
аналогично определим 8-интервалы для Ъ.
Рассмотрим теперь систему / интервалов, образованную всеми
8-интервалами всех точек из (а, Ь). Эта система, очевидно, удо-
удовлетворяет условиям теоремы Гейне — Бореля: каждая внутренняя
точка интервала (а, Ь) является внутренней точкой по крайней мере
одного из интервалов системы /, и а и b являются каждая концом
по крайней мере одного тако-
_____""""""""~~" ¦ го интервала. Поэтому мы мо-
——————_________ жем выбрать такую систему /'
а ——— ——— из конечного числа интервалов
ф „. системы /, которая обладает
тем же свойством, что и /.
Интервалы, составляющие систему /', будут, вообще говоря,
перекрываться, например, как на фиг. 31. Но их концы, очевидно,
разделят (а, Ь) на конечную систему интервалов /", каждый из
которых содержится в некотором интервале из /' и в каждом
из.которых колебание у(х) меньше чем 8. Теорема I, таким образом,
доказана.
ТЕОРЕМА II. Если дано любое положительное число 8, то мы
можем найти такое число ч\, что, при любом разбиении интер-
интервала {а, Ь) на частичные интервалы длины меньшей чем ч\, колеба-
колебание ф(лг) в каждом из них будет меньше чем 8*).
Возьмем 8j <^-к- 8 и построим так же, как в теореме I, конечную
систему частичных интервалов у, в каждом из которых колебание
ф(лг) меньше чем Sj. Пусть ч\ будет длина наименьшего из этих
частичных интервалов из j. Если мы теперь разделим (а, Ь) на части
длины меньшей чем t\, то каждая такая часть должна целиком
лежать не более чем в двух следующих друг за другом частичных
интервалах из j. Следовательно, в силу C) п. 104, колебание <?(лг)
в каждой такой части длины меньшей чем т) не может превосхо-
превосходить удвоенного наибольшого колебания 9 (х) в частичном интервале
системы у, и будет, таким образом, меныце 281( т. е. меньше S.
*) Функции, обладающие этим свойством, называются равномерно непре-
непрерывными. Утверждение теоремы II состоит в том, что функция, непрерывная
в замкнутом интервале, равномерно непрерывна в нем. {Прим. ред.)

Пределы функций от непрерывного переменного 199
Эта теорема играет основную роль в теории определенных инте-
гралов (см. гл. VII). Без помощи этой или аналогичной теоремы
нельзя доказать, что функция, непрерывная в интервале, имеет инте-
интеграл по этому интервалу.
108. Непрерывные функции от нескольких переменных. Поня-
Понятия непрерывности и разрывности могут быть распространены на
функции от нескольких независимых переменных (см. гл. II, п. 31 и
ел.). Их применение к таким функциям связано, однако,
с значительно более сложными вопросами, чем те, которые мы рас-
рассматривали в настоящей главе. Мы не можем здесь подробно оста-
остановиться на этих вопросах, но в дальнейшем мы должны знать, чтб
понимается под непрерывной функцией от двух переменных, и мы
поэтому дадим здесь соответствующее определение. Оно является
прямым обобщением последней формы определения, данного в п. 99.
Функция <р (х, у) от двух переменных х и у называется не-
непрерывной при х = 1, у = ц, если для любого сколь угодно малого
заданного положительного числа 8 можно указать такое е(8),
когда О^(лг—(;|=ё e(S) и 0=S|_y — 7]|=Ss(S); это означает, что
ми можем указать квадрат со сторонами длины 2e(S), парал-
параллельными осям координат, и с центром в точке (?, -ц), обладаю-
обладающий тем свойством, что в каждой точке внутри него или на его
границе значение ср(х, у) отличается о/га<р(?, tq) меньше чем на 81).
^ри этом, конечно, предполагается, что у(х, у) определена во
всех точках рассматриваемого квадрата и, в частности, в точке
(?, к)). Другая форма определения следующая: ср(х, у) непрерывна
прах = Ь, У = ч\, если<?(х,у)-»-ф(?, i\), когдах-*-1 и у-*-ч\ любым
образом. Это определение кажется более простым, но оно содержит
фразы, точный смысл которых не был еще разъяснен; для разъясне-
разъяснения же его необходимы неравенства, аналогичные содержащимся
в основном утверждении.
Легко доказать, что суммы, произведения и, в общем случае,
отношения непрерывных функций от двух переменных сами непре-
непрерывны. Многочлен от двух переменных непрерывен для всех значений
этих переменных; обычные функции от х и у, которые встречаются
в анализе, также, вообще говоря, непрерывны, т. е. непрерывны для
всех пар значений х и у, кроме таких, которые связаны некоторыми
соотношениями.
Читатель должен особо отметить, что утверждать непрерывность <р(х,у)
относительно двух переменных х и у — это значит утверждать гораздо больше,
чем непрерывность относительно каждой переменной, взятой в отдельности.
') Читателю рекомендуется нарисовать фигуру, иллюстрирующую это
определение.

200 Глава пятая
Ясно, что если <р (х, у) непрерывна относительно х и у, то она непрерывна
относительно х (или у), когда у (или лт) приписано любое фиксированное
значение. Но обратное предложение никоим образом не имеет места. Допу-
Допустим, например, что
2
если ни х, ни у не равен нулю, и <?(х, _у) = 0, когда либо х, либо у равен
нулю. Тогда если у имеет любое фиксированное значение, нулевое или не-
ненулевое, то ср (х, у) является непрерывной функцией от х, которая, в частно-
частности, непрерывна и при х = 0, так как ее значение при х=0 равно 0 и
оиа стремится к пределу Опридг—>-0. Подобным же образом мы убеждаемся в
том, что у(х, у) является непрерывной функцией от у. Но ср (х, у) не
является непрерывной функцией от х и у при х = 0, у = 0. Ее значение
при лг = О, у = 0 равно нулю, но если х и у стремятся к нулю вдоль прямой
у =ах, то
что может иметь любое значение между — 1 и 1.
109. Неявные функции. В гл. II мы уже встретились с понятием неяв-
неявной функции. Так, если хну связаны соотношением
уъ — ху—у — х=0, A)
то у является „неявной функцией" от х.
Но далеко не очевидно, что такое равенство как A) действительно
определяет функцию у от х или несколько таких функций. В гл. II мы
удовлетворились тем, что приняли это за данное. Теперь мы в состоянии
рассмотреть, насколько это предположение было оправдано.
Следующая терминология окажется в дальнейшем полезной. Предполо-
Предположим, что вокруг точки (а, Ь) можно построить, как в п. 108, квадрат, в ко-
котором выполняется некоторое условие. Такой квадрат мы будем называть
окрестностью {а, Ь) и будем говорить, что условие, о котором идеть речь,
выполняется в окрестности (а, Ь) или вблизи (а, Ь), понимая под этим
нросто то, что можно найти некоторый квадрат, в котором это условие выпол-
выполняется. Ясно, что аналогичные термины могут применяться и для функций
от одного переменного, если только квадрат заменить интервалом на пря-
прямой линии.
ТЕОРЕМА. Если 1°/(х, у) — непрерывная функция от х и у в окрест-
окрестности (а, Ь),
2° f(a,b) = 0,
3° f(x, у) для всех значений х в окрестности точка а является
строго возрастающей функцией от у (см. п. 95),
то A) существует единственная функция у = у(х), которая при под-
подстановке в уравнение f(x, у) = 0 удовлетворяет ему тождественно для
всех значений х в окрестности а,
B) ср (х) непрерывна для всех значений х в окрестности а.
На фиг. 32 квадрат представляет „окрестность" (а, Ь), в которой удов-
удовлетворены условия 1° и 3°, а Я является точкой (а, Ь). Если мы возьмем
точки Q и R, как указано иа фигуре, то из 3° следует, что /(х, у)положительна в
Q и отрицательна в R. Раз это так и поскольку f(x, у) непрерывна в Q и
в R, то мы можем провести прямые QQ' и RR' параллельно ОХ, так что R'Q'
параллельно OY и f(x,y) положительна во всех точках QQ' и отрицательна

Пределы функций от непрерывного переменного
201
во всех точках RR'. В частности, f(x, у) положительна в Q' и отрица-
отрицательна в R' п поэтому, в силу 3° и п. 101, обращается в нуль один и толька
один раз в некоторой точке Р' на R'Q'. Аналогичное построение даст нам
единственную точку, в которой f(x,y) = 0 на каждой ординате между RQ
и R'Q'. Очевидно также, что подобное построение может быть выполнено
слева от RQ. Совокупность таких точек, как Р', дает нам график искомой
функции у = <?(х).
Остается доказать, что 9 (х) непрерывна. Это проще всего сделать»
используя понятия верхнего и нижнего пределов у(х) при х-*а (см. п. 96).
Допустим, что лт-*в, и пусть X и Л будут, соот-
соответственно, нижний и верхний пределы tp (дг) при
х-~а. Очевидно, что точки (а, X) и (а, Л) лежат
на QR. Более того, мы можем найти такую по-
последовательность значений х, что <р(л;)— X при
х-^а, пробегая значения этой последователь-
последовательности; а так как f{x, <?(x)} = 0 n f(x, у) —
непрерывная функция от х и у, то мы имеем:
f(a, X) = 0.
Следовательно, \ = Ь. Аналогично Л = Ь. Таким
образом, 9(^0 стремится к пределу Ь при дг—-в
и ц>(х) непрерывна при х — а. Очевидно, что
точно так же мы можем показать непрерыв- Фиг. 32
ность 9(Л:) ПРИ любом значении х в окрестно-
окрестности а.
В условии 3° теоремы можно, конечно, заменить слово „возрастающей
словом „убывающей".
В качестве примера рассмотрим уравнение A), положив о=0, 6 = 0.
Условия 1° и 2°, очевидно, выполнены. Кроме того,
\f(x, у) — f(x, у') = (у—у'У(
имеет, если х, у и у' достаточно малы, знак обратный знаку у —у'. Следо-
Следовательно, условие 3° (с „убывающей" вместо „возрастающей") также выпол-
выполнено. Отсюда следует, что существует одна и только одна непрерывная
функция у, которая тождественно удовлетворяет уравнению A) и обра-
обращается в 0 при х = 0.
Тот же результат имеет место для уравнения
у2 — ху —у — х = 0.
В этом случае функцией у является
у = ~ A + х - yr
где имеется в виду положительное значение корня. Второе значение корня
с обратным знаком не удовлетворяет условию равенства 0 при дг=О.
В доказательстве имеется один пункт, на который следует обратить
внимание. Мы предполагали, что условия теоремы удовлетворены „в окрест-
окрестности^, Ь)", т.е. в некотором квадрате а — е Eg* ^; a -f е, * — г^у^Ь+е.
Утверждение имеет место „в окрестности х = а", т. е. в некотором интер-
интервале а El ^ х sg a + ej. В доказательстве ничто не показывает, что st
утверждения совпадает с е предпосылок, и это, вообще говоря, и не имеет
места.'

202 Глава пятая
ПО. Обратные функции. Предположим, в частности, что / (х, у) имеет
вид F(y)— х. Тогда мы получаем следующую теорему:
Если F(y) в окрестности у — Ь — непрерывная строго возрастающая
функция от у и F(b) = а, то существует единственная непрерывная функ-
функция у~<?(х), которая равна Ь при х = а и тождественно удовлетворяет
уравнению F(y) = x в окрестности х = «.
Определенная таким образом функция <р (х) называется функцией обрат*
ной F(y).
Пусть, например, у3 = х, а = 0, 6 = 0. Тогда все условия теоремы вы-
з
полнены. Обратной функцией является х=уу.
Если бы мы предположили, что у* = х, то условия теоремы не были бы
выполнены, так как у2 не является монотонно возрастающей функцией от у
ни в каком интервале, содержащем у = 0: эта функция убывает при отри-
отрицательных у и возрастает при положительных у. В этом случае утвержде-
утверждение теоремы не имеет места, так как,у2 = л: определяет две функции от х,
а именно, у =.~\fx ny = — ~\fx, каждая из которых обращается в нуль
при дг=О и определена только для положительных значений х. Таким обра-
образом, уравнение _у2 = л: может иметь иногда два решения, а иногда — ии одного.
Читателю предлагается таким же образом рассмотреть более общие уравне-
уравнения
yin — х, у2п+1~х.
Другим интересным примером является уравнение
у*— у — х=0,
уже рассмотренное в примере XIV. 7.
Уравнение
siny=x
имеет в точности одно решение, которое обращается в нуль при дг = О,
а именно, значение arc sin х, обращающееся в нуль при л: = 0. Существует,
само собой разумеется, бесконечно много других решений, соответствующих
другим значениям arc sinx (см. пример XV. 10), но они не удовлетворяют этому
условию.
До сих пор мы рассматривали поведение функции только в окрестности
определенного значения л:. Допустим теперь, что F(y) положительна и мо-
монотонно возрастает (или убывает) в интервале (о, Ь). Если дана любая
точка ? из (о, Ь), то мы можем определить некоторый интервал i, содержащий
?, и единственную непрерывную обратную функцию <рг (х), определенную в нем
Из системы / интервалов i мы можем, по теореме Гейне—Бореля, вы
брать конечную подсистему, покрывающую весь интервал (a,J>). Ясно, что
конечная система функций <?i(x), соответствующих интервалам i выбранной
подсистемы, определяет единственную обратную функцию <р (х), непрерыв-
непрерывную во всем интервале (о, Ь).
Таким образом, мы получаем теорему: если x = F (у), где F (у) непре-
непрерывна и строго возрастает от А до В, когда у возрастает от а до
Ь, то существует единственная обратная функция у = у {х), непрерывная
и строго возрастающая от а до Ь, когда х возрастает от A do В.
Следует отметить, что эта теорема может быть получена без помощи
более трудной теоремы п. 109. Предположим, что Л<5<В, и рассмотрим
класс значений у таких, что 1° а <.у<.Ь н 2° F(y) sg;?. Этот класс имеет
точную верхнюю грань ч\, причем F(t})^%. Если бы F(-t]) было меньше 5,
то мы моглн бы найти такое значение у, что у >¦»] и F{y)<d, и ~ц не могло
бы быть точной верхней гранью рассматриваемого класса. Следовательно,
F(y\) = ^. Уравнение F(y) = ? имеет, таким образом, единственное решение
у = ¦») = <р ((;). Ясно также, что tj монотонно и непрерывно возрастает вместе
с ?, что и доказывает теорему.

Пределы функций от непрерывного переменного 203
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ V
1. Показать, что в общем случае
_ «в
о . ЬА — аВ
где o=-^-,fi = —~2% и тг) — величина первого порядка малости при
больших х. Указать исключитгльные случаи.
2. Определить се, р и Т так, чтобы
а*±Ьх+А. L3_l А
Г7^ |= *"
где if) — величина первого порядка малости при больших х. Указать исклю-
исключительные случаи.
3. Показать, что если Р(х) обозначает многочлен ах" -j- bxn~L -j-...-
первый коэффициент а которого положителен, то
P(x+h)-P(x)
и
Р (х + 2ft) — 2Р (х + ft) -f Р (л:)
монотонно возрастают, начиная с некоторого значения х.
4. Доказать, что
Р(х-f Л) — Р(л;)-Wnhax"-1, P(x + 2h) — 2P(x+h) + P{x)-
при х—*оо.
5. Показать, что
[Применить формулу У~х + а — у'дг = д . _ i
l^x-t-a + V* Л
6. Показать, что Ух-f-a = y'"x-f- уах 2 A+4)f где tj—величина
первого порядка малости при больших х.
7. Найти такие значения о и jl, чтобы выражение уах% -j- 2bx -j- с — our —?
имело пределом нуль при х—-со, и доказать, что тогда
8. Вычислить Ига х; ._.__...„..
9. Доказать, что secx — tgx^O при х^ -=-it.
10. Доказать, что <р (а:) = 1 — cos A — cos x) — четвертого пррядка малости
при малых х, и найти предел -'-~^— при лг—0.
11. Доказать, что <f>(x) = xsia(»iax) — sia2 x — шестого порядка малости
нри малых х, и найти предел ~^- при х — 0.
12. Из точки Р на продолжении радиуса ОА некоторой окружности
проведена касательная РТ к этой окружности, касающаяся ее в точке Т, и

204 Глава пятая
NA
перпендикулярно к О А проведено TN. Показать, что -гр—* 1, когда Р при-
приближается к А.
13. К дуге окружности проведены касательные в ее концах и середине.
Пусть Д — площадь треугольника, образованного хордой дуги и двумя каса-
касательными в ее концах, Д' — площадь треугольника, образованного тремя
д
касательными. Показать, что —,—- 4, когда длина дуги стремится к нулю,
14. При каких значениях а
« -j- sin —
х
стремится A) к со, B) к —со при лг-^О?
[К со, если «>1, к —со, если «< —1; в остальных случаях функция
колеблется].
15. Если <р(лг) =— при х—— и ср(х) = 0 при иррациональном х, то
<р(х) непрерывна при всех иррациональных значениях х и разрывна при
всех рациональных значениях х.
16. Показать, что функция, график которой изображен на фиг. 29, пред-
представляется любой из следующих двух формул:
1—х + [х) — [1—х), 1-х— lira (cos2n+1'*)-
я-*оо
17. Показать, что функция у(х), равная 0 при х=0, равная -=-—х
11 13 1.
при 0 <лг< у, равная у при х = -^-, равная -~-— х при -^ < х < 1 и
равная 1 при х=1, принимает каждое значение между 0 и 1 один и только
один раз, когда х возрастает от 0 до 1, но имеет разрывы при д: = 0,
лг=-к- и jtr = l. Показать также, что эта функция может быть представ-
лена формулой
I—* + 1[2*]—i-[l-2*].
18. Пусть <р(лг) = лг, когда х рационально, и <р(*)=1—х, когда х ирра-
иррационально. Показать, что <р(лг) принимает каждое значение между 0 и 1
один и только один раз, когда л: возрастает от 0 до 1, а вместе с тем ср (х)
разрывна при каждом значении х, кроме х = -~-.
19. Доказать, что функция, которая возрастает в каждой точке интер-
интервала (о, Ь), является возрастающей функцией в (а, Ь).
Показать также, что функция, которая „возрастает справа" в каждой
точке интервала (а, Ь), не обязательно является возрастающей в (а, Ь), но
что если она непрерывна, то она возрастает в (а, V). {Экз. 1926 г.)
[Мы говорим, что »<р(л:) возрастает в точке лг", если 1° «M^fW
для всех х' из некоторого интервала справа от х и 2° <р (х') е=С а (х) для всех
х' и некоторого интервала слева от х. Если дано только 1°, то мы гово-
говорим, что „<р (х) возрастает справа".
Мы должны доказать, что <р (х2) :>:tp (x,), если а^х, <:*, =<:#.
Разобьем точки 5 интервала (х,, Ь) на два класса L и R, относя ? к L, если
^(х')^:*?^) для всех дг'из (xlt ?), и к/? — в противном случае, и обозначим
через {3 число, соответствующее этому сечению. Утверждение будет дока-
доказано, если мы покажем, что р = Ь (т. е. что класс R не существует).

Пределы функций от непрерывного переменного 205
Если В<# и ^(?) ==Э= 9 (xi)' то> по условию 1°, мы можем найти такой
интервал справа от р, что в нем 9 W ===?(?)===? О*!)» а это противоречит
определению $. Пока мы воспользовались только условием 1°.
Если условие 2° также имеет место, то существуют точки слева от
а которых <р (х) s=S tp (j3) < 9 (х,), а это опять противоречит определению
Следовательно, р = #, что и требовалось доказать. То же утверждение имеет
место, если дано только 1°, но <р(х) непрерывна, так как тогда 9 (¦*")< 9 (^
для значений х слева от Й, но достаточно близких к В.
Пример а = 0, * = 2, /(х) = х для Osg: х< 1, f (х) = х—1 для 1 ^дг^2
показывает, что утверждение не следует из одного условия 1°.]
20. Когда х возрастает от ^ п до -g- тг, у = sin х непрерывна и строго
возрастает от —1 до 1. Вывести существование функции дг= arc sin^, кото-
которая является непрерывной и монотонно возрастающей функцией от у, когда
у возрастает от —1 до 1.
21. Показать, что наименьшее по модулю значение arc tgy непрерывно
для всех значений у и монотонно возрастает от — -у к до -к- я, когда у
пробегает все действительные значения.
22. Исследовать, определяет ли уравнение
х+у + Р(х,у) = 0
где Р (х, у) — многочлен, не содержащий членов размерности ниже 2, един-
единственную функцию, обращающуюся в 0 при х = 0 и непрерывную в окрест-
окрестности х=0. (Экз. 1936 г.)
23. Рассмотреть, аналогично тому, как это было сделано в пп. 109—ПО,
решения уравнений
уа— у~лг=,О, у*— у — лг2 = 0, у*—
в окрестности лг —0, ,у = 0.
24. Если ax3 + 2bxy + cy* + 2dx + 2ey = 0 и L—2bde — aei~cdi, то
одио значение у дается выражением
у = ах + № + ^+0(#),
•где
[Если у — 'ах = •»), то
— 2eij = ах2 -f 2*х (ч 4- вдг) -f с (ij -f- «гJ = Ах* + 2Вхц 4- Cijs.
Очевидно, что к] — второго порядка малости, хч\ — третьего, a if — четвертого;
далее,
— х*,
с точностью до величин четвертого порядка малости.]
25. Если х = ау -\-Ьу* -{-су*, то одно значение .у дается выражением
1 „ Ь 2Ь"- — ае
где а = —, 8 = г, т = = ,
а а3 ' аь
26. Если х = ау-{-Ьуп, где п—целое число, большее 1, то одно значе-
значение у дается выражением
у = ах
1 о Ь пЬ*
где «=-, Р = -^й+Г. T

206 Глава пятая
27. Показать, что наименьший положительный корень уравнения
xy = s\nx является непрерывной функцией от у в интервале @, 1) и моно-
монотонно убывает от я до 0, когда у возрастает от 0 до 1. [Эта функция
. sin х ....
является обратной к ; применить п. ПО.]
28. Наименьший положительный корень уравнения jry = tg.xr является
непрерывной функцией от у в интервале A, со) и монотонно возрастает
от 0 до -н-г-, когда у возрастает от 1 до со.
29. Функция ер (х) называется непрерывной сверху в точке х, если
для каждого положительного 8 и всех х' из некоторого интервала (завися-
(зависящего от х и S) с центром в х. Доказать, что функция, непрерывная сверху
во всех точках интервала (о, Ь), имеет точную верхнюю грань, которую
она достигает в (а, Ь).
(Экз. 1924 г.)
[Для доказательства существования точной верхней грани М заменим
в доказательстве теоремы 1 п. 103 слово „ограниченная" словами „ограни-
„ограниченная сверху". Чтобы доказать, что tp(jc) принимает значение М, нужно
только сделать соответствующие изменения в рассуждениях п. 105. Мы иай-
дем, что <?(х) принимает вблизи 8 значения как угодно близкие к М, а это
противоречит неравенству <р (-*¦)<?(?)+ 5» если <р(Р)<-М и S достаточно
мало.
Мы можем аналогично определить непрерывность снизу неравенством
с? (х') ><р (х) — S.
Функция, непрерывная снизу, имеет точную нижнюю грань, которой она
достигает. Функция, одновременно непрерывная сверху и непрерывная снизу,
просто непрерывна.]

ГЛАВА VI
ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
Ш. Производные или дифференциальные коэффициенты. Вер-
Вернемся к рассмотрению свойств, которыми мы интуитивно наделяем
понятие кривой. Первым и наиболее очевидным свойством является,
как мы видели в предыдущей главе, то, в силу которого кривая
представляется „связной", и которое легло в основу нашего опреде-
определения непрерывной функции.
Такие кривые из числа обычно встречающихся в элементарной
геометрии как прямые, окружности и конические сечения обладают
значительно большей степенью
„правильности", чем это следует
из одной лишь непрерывности.
В частности, они имеют в каждой
точке определенное направление;
в каждой точке кривой имеется
касательная к ней. Касательная
к кривой в точке Р определяет-
определяется в элементарной геометрии как
„предельное положение хорды
PQ при Q стремящемся к Р"
вдоль кривой. Посмотрим, что
означает существование этого пре-
предельного положения.
На фиг. 33 Р—фиксированная точка на кривой ф()
a Q — переменная точка; РМ, QNпараллельны OY и PR параллельно
ОХ. Обозначим координаты точки Р через х и у, а. координаты точки
Q—через x-\-h, y-\-k, причем h будет, конечно, положитель-
положительным или отрицательным, в зависимости от того, лежит JV правее
или левее М.
Мы предполагаем, что в точке Р существует касательная к кри-
кривой, т. е. что имеется определенное „предельное положение" хор-
хорды PQ. Допустим, что РТ, касательная в точке Р, образует с ОХ
угол <}i. Тогда утверждение, что РТ является предельным положе-
положением PQ, равносильно тому, что предел угла QPR при Q стремящем-
стремящемся к Р вдоль кривой с любой стороны равен <Ji. Мы должны теперь
различать два случая: общий и ясобый.

208 Глава шестая
Общим случаем является тот, когда ф не равно -^ , так что РТ
не параллельно OF. В этом случае угол RPQ стремится к пределу
<р и
стремится к пределу tgty. Но
RQ _ M?
PR ~~~ MN ~ h
и, следовательно,
,. w(x-\-h)— ф (х) , , ,„.
hm у ^—^-^ = tg 4». A)
А->о я
Читатель должен обратить внимание на то, что во всех этих равен-
равенствах все длины должны рассматриваться как алгебраические величины,
так что, например, RQ на чертеже отрицательно, если точка Q ле-
лежит левее Р, а также на то, что стремление к пределу должно
иметь место при h стремящемся к нулю с обеих сторон.
Таким образом, предположение, что кривая, являющаяся графи-
графиком ф (лг), имеет касательную в точке Р, которая не перпендикуляр-
перпендикулярна оси ОY, влечет за собой, что ^^х~^ >—1ML стремится к пре-
пределу, когда h-^-Q.
Это, конечно, означает, что оба выражения
h ' —h
стремятся к пределам при Л —. 0, принимая только положительные значе-
значения, и что эти пределы равны. Если эти пределы существуют, но не равны,
то кривая имеет в рассматриваемой точке излом, как на фиг. 34,
Предположим теперь, что кривая имеет (как, например, окруж-
окружность или эллипс) касательную в каждой своей точке или по край-
крайней мере в каждой точке некоторой своей части, которая соответ-
соответствует некоторой области изменения х. Далее предположим, что
эта касательная нигде не перпендикулярна к оси х (если кривая —
окружность, то, в силу этого условия, мы должны ограничиться рас-
рассмотрением дуги меньшей полуокружности). Тогда A) имеет место
для всех значений х из рассматриваемой области его изменения.
Каждому такому значению х соответствует некоторое значение tg ty;
tgty является функцией от х, которая определена для всех значе-
значений х из этой области. Мы будем называть эту функцию производ-
производной от ф(дг) и обозначать ее через
9' (х).

Производные и интегралы 209
Вместо термина „производная" употребляется еще термин дифферен-
дифференциальный коэффициент. Операция нахождения ср' (х) по заданной
9 (х) называется дифференцированием. Эта терминология прочно
установилась в силу исторических причин (см. п. 116).
Прежде чем перейти к рассмотрению специального случая
ty = у , мы снабдим наше определение некоторыми общими замечания-
замечаниями и приведем несколько примеров.
112. Некоторые общие замечания. A) Существование производ-
производной функции ц>'(х) для всех значений х из интервала
влечет за собой непрерывность 9 (лг) в каж-
каждой точке этого интервала. Это ясно из
v> (х + Л) — <р (л:)
того, что -----—~— не может стре-
стремиться к пределу, если не выполняется соот-
соотношение Нт ф (х -j- h) = ф (х), которое озна-
означает непрерывность <р(х).
B) Естественно поставить вопрос, не
имеет ли место обратное предложение, т. е. *>яг- ^
не будет ли каждая непрерывная кривая
иметь касательную в каждой точке и каждая функция — дифферен-
дифференциальный коэффициент для каждого значения х, при котором она непре-
непрерывна1). Ответ, очевидно, должен быть отрицательным: достаточно
рассмотреть кривую, состоящую из двух полупрямых, исходящих под
углом из точки Р (фиг. 34). Читатель сразу увидит, что в этом слу-
чае .-ь{у{х-\-Ь) — 9(х)\ имеет предел tgj3, когда h—»-0, принимая
положительные значения, и предел tga, когда /г-*-0, принимая от-
отрицательные значения.
В этом случае можно, конечно, сказать, что кривая имеет два направле-
направления в данной точке. Но следующий пример, хотя он несколько сложнее,
показывает, что существуют случаи, когда нельзя сказать, что непрерывная
кривая имеет одно или несколько определенных направлений в одной из ее
точек. Нарисуем график (фиг. 13, стр. 61) функции х sin — . Эта функция
не определена при jc = O и, следовательно, разрывна при jc = O. С другой
стороны, функция, определенная соотношениями
<р (jc) = л:sin — {хф% <о(лг) = О (лг = О)
непрерывна при лг = О (примеры XXXVH. 14, 15), и график этой функции
является непрерывной кривой.
vi Мы отбрасываем особый случай (который нам еще предстоит рас-
рассмотреть), в котором кривая имеет касательную, перпендикулярную к ОХ;
если исключить эту возможность, то эти две постановки вопроса эквива-
эквивалентны.
14 Г. Харди

210 Глава шестая
Но ф (х) не имеет производной при х = 0. Ибо ср' @), по определению,
ф (Л) — ф @) 1
должно было бы быть равным lim -— г, или ^m sm ~п > но ЭТ0Т пРе"
дел не существует.
Известно, что непрерывная функция от х может не иметь производной
ни для одного значения дг; однако, соответствующие примеры значительно
сложнее. Читателя, который заинтересуется этим вопросом, мы отсылаем
к курсу Bromwich, Infinite series {изд. 1-е), стр. 490—1, или Hobson, Theory
of junctions of a real variable (изд. 2-е), т. II, стр. 411—12*).
C) Понятие производной или дифференциального коэффициента
было подсказано нам геометрическими рассмотрениями.» Но в самом
понятии ничего геометрического нет. Производная ф' (х) функции
9 (х) может быть определена вне зависимости от какого бы то ни
было геометрического представления функции ср (лг) соотношением.
причем ф(лг) имеет или не имеет производную для каждого данного
значения х, в зависимости от того, существует этот предел или
нет. Геометрия кривых является лишь одним из многих разделов
математики, в котором понятие производной имеет приложения.
Другой важной областью приложения является динамика. Допустим, что»
материальная точка движется прямолинейно так, что ее расстояние в данный
момент t от некоторой фиксированной точки прямой есть ф (t). Тогда „ско-
„скоростью точки в момент t" называется, по определению, предел
при ft—>-0. Понятие „скорости" является лишь частным случаем понятия
производной функции.
Примеры XXXIX. 1. Если ф (х) — постоянная, то <?'(х) = 0. Дать геоме-
геометрическое толкование этого результата.
2. Если и (х) = ах -j- Ь, то ф' (х) = а. Доказать это 1° из формального
определения и 2° из геометрических соображений.
3. Если tp(x) = xm, где т — положительное целое число, то ш'(х) =
= тхт'1.
[Действительно,
Читатель должен отметить, что этот метод неприменим к xP^q, где
Р_
Я
в виде конечной суммы степеней к. Дальше (см. п. 119) мы увидим, что утвержде-
——рациональная дробь, потому что {х-\- Kf/q не может быть представлено
*} См. также, например, П. Александров и А. Колмогоров, Введение
в теорию функций действительного переменного, стр. 220—222 (изд. 3-е,
ГОНТИ, 1938 г.). (Прим. перев.)

Производные и интегралы 211
ние примера остается в силе и для всех рациональных значений т. Пока же
читатель найдет поучительным для себя вычислить tp' (*) при частных дробных
значениях т I например, т =7f) пУтем каких-либо спецнальных приемов.]
4. Если tp(*) = sin*, то с'(х) = cos х; если <]?(*) — cos*, то <f' (¦*) = — sinх.
[Например, если <j> (*) = sin *, то мы имеем:
(,+4),
h h
2
а пределом этого выражения при Л-^0 янляется cos*, так как
(' . h \
lim cos I * -J- -к-I = cos x
(вследствие непрерывности функции cos*) и
. h
sin-к-
lim—;— = 1
h
~2
(пример XXXVI. 13).]
5. Уравнения касательной н нормали к кривой у — у(х). Касательной
к кривой в точке (хй, у0) является прямая, проходящая через эту точку и
образующая с ОХ угол i>, для которого tg <i/ =; eg' (*0). Ее уравнением поэтому
будет
:у—j\> = ?'(¦*(>)• (•*—•*(>);
уравнением нормали (прямой, перпендикулярной касательной в точке касания)
будет
Мы предполагаем, чго касательная не параллельна оси у. В противном слу-
случае очевидно, что уравнением касательной будет х=х0, а уравнением нор-
нормали у=у0.
6. Написать уравнения касательной и нормали в любой точке параболы
2а а
х~ — 4ау. Показать, что если *0 = —, у0 = —^, то уравнением касательной
в точке (*„, ,у0) будет * = ту + — .
113. Мы видели, что если «р(л:) разрывна при некотором значе-
значении х, то она не может иметь производной при этом значении х.
Например, такие функции как — или sin —, которые не определе-
X X
ны при х = 0 и, следовательно, разрывны при этом значении х, не могут
иметь производной при х = 0. Подобным образом функция [х], раз-
разрывная при всех целочисленных значениях л:, не имеет производной
ни при каком таком значении х.
Пример. Так как [*] постоянна между любыми двумя следующими друг
за другом целочисленными значениями *, ее производная, если она суще-
существует, имеет значение нуль. Таким образом, производная [*], которую мы
можем обозначить через [*]', является функцией, равной нулю для всех зна-

212
Глава шестая
чений х, отличных от целочисленных, и не определенной для целочисленных
i
значений х. Интересно отметить, что функция 1—. - обладает н точно-
S1T1 Т?Л
сти теми же свойствами.
В примере XXXVII. 7 мы видели также, что наиболее часто
встречающиеся типы разрывов таких простейших функций как мно-
многочлены, дробно-рациональные или тригонометрические функции
связаны с соотношениями вида
<р (*)->--f °°
или <р(л;)—>- — оо. Во всех таких случаях производная не суще-
стнует для некоторых частных значений х.
1
RP
j
(a)
д
1°
-я
\
n
к
p
\
ft)
R
0
P
1
fi_
\
\
1С)
0
>
V
0
p
\
I
)
P
Фиг. 35
Таким образом, все разрывы функции ср (д:) являются также
разрывами и ее производной со' (х). Но обратное предложение
неверно, как мы легко увидим, если вернемся к геометрической точ-
точке зрения п. 111 и рассмотрим тот частный случай, до сих пор
исключавшийся из рассмотрения, когда график ср (д:) имеет касатель-
касательную, параллельную OY. Этот случай может быть подразделен на
целый ряд случаев, наиболее типичные из которых представлены на
фиг. 35. В случаях (с) и (d) функция двузначна с одной стороны от Р
и не определена с другой стороны. В таких случаях мы можем рассмат-
рассматривать два множества значений <р (д:), которые принимаются ею
с одной и с другой стороны от Р, как определяющие разные функ-
функции срх (л;) и ср2 (л;), причем верхняя часть кривой соответствует cpt (л:).
Читатель легко убедится сам, что в случае (а)
оо
при /z-vO, а в случае (Ь)
tp (x + h) -
J h
в случае (с)
с2 (x-\-h)
оо,

Производные и интегралы 213
а н случае (d)
__ у — СО, ?-
хотя, так как в (с) могут приниматься во внимание только положи-
положительные, а в (d) — только отрицательные значения А, в этих последних
случаях не может быть речи о существовании производной как та-
таковой.
Мы можем получить примеры, иллюстрирующие эти четыре слу-
случая, рассматривая функции, определенные соотношениями
(а) у» = х, (Ь) у3 = — х, (с) у* = х, (d) у* = —х
в точке х—0.
114. Некоторые общие правила дифференцирования. В сле-
следующих далее теоремах мы предполагаем, что функции/(л:) nF(x)
имеют производные / (л:) и F' {х) для рассматриваемых значений х.
A) Если ер (х) = f (x)-\-F (х), то ср(х) имеет производную
B) Если ep(x) = kf(x), где k — постоянная, то ср(лг) имеет
производную
f
Вывод этих результатов из общих теорем примера XXXV. 1 мы
оставляем в качестве упражнения читателю.
C) Если ер (х) =f(x) F (х), то ер (х) имеет производную
<?'(x)=f(x)F'(x)+f'(x)F(x).
Действительно,
ф'(х) = lim ^-
=f(x)F'(x)+F(x)f(x).
D) Если а[х)= , и /(х)фО, то <?(х) имеет производную
I (х)
Действительно,
,, ч__,. 1 f(x)—f(x+h)_ f'(x)
ц. W lim y( y -
f (x)
E) Если ю (л:) = ~h и F (x) =/=0, то ср (х) имеет производную
r (X)
-7rt _f{x)F(x) - f (x) F' (x)

214 Глава шестая
Это сразу следует из C) и D).
F) Если y(x) = F{f(x)\, то у{х) имеет производную
Доказательство этой теоремы требует некоторого внимания J).
Положим f(x)=y, f(x-\-h)=y-\-k, так что k—> 0 при ft —>-0и
Мы должны различать теперь два случая.
(а) Допустим, что /(х)^0 и что h мало, но не равно нулю.
Тогда k ф 0, в силу A), и
F) Допустим теперь, что f (д:):=:0 и что h мало, но не равно
нулю. Здесь имеются две возможности. Если & = 09>, то
Если /гфО, то
k
Л ч k ft '
Первый множитель в правой части почти равен F' (у), а второй мал,
k п п <р (дг 4- h) — в (д:)
так как-=-—*•(). Следовательно, —^—!—"-—' v мало во всех слу-
h h
чаях и
Наша последняя теорема требует нескольких слов для предва-
предварительного разъяснения. Предположим, что х = $(у), где ф(у) —
непрерывная и строго возрастающая (или убывающая) функция
(см. п. 95) в некотором интервале значений^. Тогда мы можем писать
у = ср(х), где 9 является функцией, „обратной" <|* (см. п. ПО).
G) Если у = ср (х), где ц> — функция, обратная ф, так что
х = ф (у), и ${у) имеет производную i/ (у), которая не равна ну-
нулю, то 9 (х) имеет производную
Действительно, если q>(x-\-h)=y-[-k, то ?-*-() при /г-vO и
™0 Т(У+ *) - Ф (У) - Ф' (У)'
J) Доказательства во многих руководствах (как и в первых трех изда-
изданиях этой книги) недостаточно строги. См. заметку проф. Карслоу (H.S. Car-
slow) в Bulletin of the American Math. Soc, XXIX.
•) Ошибка нестрогих доказательств заключается в том, что эта возмож-
возможность не учитывается.

Производные и интегралы 215
115. Производные комплексных функций. До сих пор мы пред-
предполагали, что _у —ер(лг) является действительной функцией от х.
Если у является комплексной функцией y(x)-\-ity(x), то мы опре-
определяем производную у как ср' (л:) -}- г<|/ (х). Читатель легко убедится
в том, что теоремы A) — E) предыдущего пункта сохраняют
силу и для комплексных у(х). Теоремы F) и G) обладают анало-
аналогами для комплексных функций, которые, однако, опираются на об-
общее понятие „функции комплексного переменного". Мы сталкивались
лишь с некоторыми частными случаями этого понятия.
116. Обозначения дифференциального исчисления. Мы уже
говорили о том, что производная часто называется дифференциаль-
дифференциальным коэффициентом. Часто применяются не только другой термин,
но и другие обозначения; производная функция у = ц>(х) обозна-
обозначается еще следующим образом:
D v dy
и*У' dx-
Из этих обозначений второе является наиболее удобным и приме-
применяется чаще всего; однако, читатель должен отдать себе ясный
отчет в том, что -г- не обозначает „некоторое число dy, деленное
на некоторое число dx"; этот символ обозначает „результат неко-
некоторой операции Dx или -=-, примененной к функции у=ср(х)", при-
причем эта операция заключается в образовании частного
<Р (х + h) — ? (х)
h
и в переходе к пределу /z->0.
Конечно, такое специальное обозначение не было бы принято без особых
оснований. Его обоснование заключалось в следующем. Знаменатель h дроби
является разностью значений х -f- h и х независимого переменного х; ана-
аналогично, числитель является разностью соответствующих значений ср (х + Л),
? (х) зависимого переменного у. Эти разности можно назвать приращениями,
соответственно, х и у и обозначи?ь через 8х и 8у. Тогда дробь принимает
вид .-, и по многим причинам представляется удобным обозначить предел
этой дроби, т. е. ср'(х), через -j-. Но это обозначение должно пока рассма-
рассматриваться как чисто символическое. Выражения dy и dx, встречающиеся
в нем, не могут быть разделены, и сами по себе они ничего не обозначают;
в частности, dy и dx не означают limSy и Нт8лг, так как эти пределы равны
нулю. Читателю слгдует привыкнуть к этому обозначению, но если оно его
затрудняет, то его можно избежать, записывая дифференциальный коэф-
коэффициент в виде йхУ или применяя обозначения <?(х), cp'(jc), как мы это де-
делали в предыдущих пунктах настоящей главы.

216 Глава шестая
Однако в гл. VII мы увидим, каким образом оказывается возможным
определить символы dx и dy так, чтобы они имели самостоятельное значе-
dv
ние и чтобы производная -j- действительно была их отношением.
Теоремы п. 114 могут быть, конечно, записаны и в этих обо-
обозначениях. Они могут быть сформулированы следующим образом:
B) если y=zkyu то Л-=к-^;
,„, dy dy, , dy,
C) если y — yiyb,mo-f~=y,~?-i~\-\fi-r±;
... 1 dy 1 dy,
D) если у = —, mo -.—=• 5--41;
v ' yi dx yts dx '
dyi dys
,_, Vi dy dx dx
E) если У = ух . mo -? = ^2 ;
F) если у является функцией от х, a z — функцией от у, то
dz_ dz dy t
dx dyd~x'
dy_ _1_
G) dx 5F *
~dy~
Примеры XL. 1. Если у =у1у!у3, то
dy dys
dx У'У* ~dx
а если у=УтУг...уп, то
л
dy___ \ v йУг.
dx ±^ dx
В частности, если у=*гп, то ~г-=пгп-х —г—, а если у = хп, то — ="nxn~s,
J dx dx J dx -
как было уже иначе доказано в примере XXXIX. 3.
2. Если y=yiys...yn, то
у dx y-i dx ya dx ¦' '"" уп dx
т> 1 dy n dz
В частности, если у — zn, то — -т~ — — -т- .
у dx z dx
117. Основные формулы. Перейдем теперь к более системати-
систематическому исследованию производных некоторых простейших типов
функций.
А. Многочлены. Если у (х) = аахп -f- а^"" -\-... -f- an, то

Производные и интегралы 217
Иногда бывает удобнее принимать запись многочлена степени п от-
относительно х в так называемой биномиальной форме
В этом случае
Ф' (х) = л {aox»-i + (П 7
Биномиальная форма ср (jc) символически часто записывается следую-
следующим образом *):
(о0, о1(..., о„ 5' х, 1)л,
и тогда
y'(x) = n(a0, alt..., an_iX-^> I)"-
В дальнейшем мы увидим, что многочлен ср (jc) всегда можег
быть представлен в виде произведения п множителей:
где a — действительные или комплексные числа. Тогда
ср' (дг) == а0 ^ {х — аа) (х — as)... (дг — ал),
причем эта сокращенная запись обозначает, что следует образовать»
все возможные произведения из я — 1 множителей и затем их сложить-
Этот результат остается в силе и в том случае, когда некоторые
из чисел а равны между собой; тогда некоторые слагаемые в пра-
правой части повторяются. Читатель легко установит, что если
ср(х) = ао(х — а,)"*1 (х — а.^- ...{х — av)mv,
то
9' (х) = a)>2iml(x — а^'1 (х — а,)* ...(х — ajm-.
Примеры XLI. 1. Показать, что если <?(х) — многочлен, то у' (х) является
коэффициентом при h в разложении ч>(х-\-К) по степеням h.
2. Если <р(-*) делится на (дг —аJ, то <р'(*) делится на х — а; вообще,
если <р (х) делится на (х — а)т, то <р' (х) делится на (дг — а)т~1.
3. Наоборот, если ср (х) и <р' (х) оба делятся на х — а, то ? (х) делится
на (дг — аJ, и если «у (х) делится на х — а, а ср' (х) — на (х — аI"-1, то ср (х)
делится на (х — а)т.
4. Показать, как можно наиболее полно определить кратные корни урав-
уравнения Р(х) = 0, где Р(х) — многочлен, вместе с порядками их кратности,
при помощи элементарных алгебраических действий.
[Если Нг есть общий наибольший делитель Р и Р', //2 — общий наи-
наибольший делитель Н, и Р", //. — общий наибольший делитель Я» и Р'" и т.д.,
м /-/
то корни уравнения —¦*^ = 0 являются двойными корнями уравнения Р = 0,
*) В русской литературе это символическое обозначение совершенно не
применяется. (Прим. перев.)

218 Глава шестая
г г г г
корни уравнения —|W*- = O — тройными корнями и т. д. Однако может ока-
заться невозможным до конца решить уравнения г.. = 0, —¦д.-„-=0,
"г "з
Так, например, если Р (х) = (х — IK (хг° — х — 7J, то —~~ = л:5 — х — 7 и
—j~r=x— 1, и мы не можем решить первое уравнение.]
5. Найти все корни, вместе с порядками их кратности, уравнений:
х* + Зх3 - Зх2 - И*-6 = 0, х« + 2х'° -8х* — Их3
6. Если уравнение ахг -\- 2Ьх -}- с = 0 имеет двойной корень, т. е. имеет вид
а (х — аJ =: 0, то 2 (ах -\- Ь) должно делиться на х — а, так что а = •. Это
значения х должно удовлетворять уравнению. Проверить, что полученное
условие сводится к ас — Ьг = 0.
7. Уравнение
, 0
х — а ' х — Ь х — с
может иметь равные корни в том и только в том случае, когда а = 6 = с.
{Экз. 1905 г.)
8. Показать, что уравнение
ах* + 3fct2 + 3cx + d = 0
имеет двойной корень, если
G2 + 4№ == 0,
аде
H — ac — b^, G = аЧ — ЪаЬс + 263.
[Положим ах-\-Ь=у и сведем уравнение к виду
Это уравнение должно иметь общий корень с у2 -\-Н=0.]
9. Проверить, что если а, 3, y> 8 суть корни уравнения
ах* + ibxs -f- бсх2 + idx 4- е = 0,
то уравнение, корнями которого являются
_L а {{а _ ?){Y _ S) _ (т _в)(?_8)}
и два аналогичных выражения, получаемых из этого круговой перестанов-
перестановкой а, р и у» имеет вид
4У3-^2У — ?з = 0,
где
g-s = ае — 4Ы + Зс2, g-3 = ace + 2bcd — ad2 — еб2 — cs.
Ясно, что если два из чисел а, |3, ¦(, § равны, то приведенное кубическое
уравнение будет иметь два одинаковых корня. Применяя результат при-
примера 8, мы выведем, что gi — 27gl = 0.
10. Теорема Ролля для многочленов. Если у(х) — любой многочлен,
то между каждой парой корней уравнения о (х) = 0 лежит корень урав-
уравнения ср' [Х) = 0.
Доказательство этой теоремы для более общих классов функций будет
дано позже. Здесь мы приводим алгебраическое доказательство, применимое

Производные и интегралы 219
только к многочленам. Предположим, что а и {3 — два следующих друг за
другом корня кратностей тип соответственно, так что
tp (X) = (Х — а)Ш (X — Р)л G (X),
где &(х) — многочлен, не меняющий знака для а^лг^,3. Тогда
<?'(х) =
= (Х — а)™ (х — {t)nV (х) -{- {т (X — а)т-1 (х — $)п -{-nix—a)™ (х—$
причем F(a) — m(a — (З)Э(а) и Рф) = п($ — аH(Р) имеют разные знаки. Сле-
Следовательно F(x), а значит и у'(х), обращаются в нуль при некотором зна-
значении х между аир.
118. В. Дробно-рациональные функции. Если
где Р и Q — многочлены, то из E) п. 114 сразу следует, чтб
, P'(x)Q(x)-P(x)Q'(x)
и по этой формуле мы можем вычислить производную любой дробно-
рациональной функции. Однако получаемое выражение для произ-
производной иногда можно упростить. Оно не будет упрощаться, если
Q(x) и Q'(х) не имеют общего делителя, т. е. если Q(x) не имеет
кратных корней. Но если Q(x) имеет кратные корни, то получен-
полученное выше выражение для R'(x) может быть упрощено.
При дифференцировании дробно-рациональных функций часто
оказывается удобным разложение на простейшие дроби. Предположим,
что Q (х) (как в п. 117) представлено в виде
— a.3)m2 ... (х—av)mv.
В учебниках по алгебре доказывается, что /? (х) тогда может
быть представлено в виде
X — at ' (X — aj* ' ' (x —ai)mi
+ _^M ,
2,2 |
где П(л;)—многочлен, т. е. в виде суммы многочлена и нескольких
слагаемых типа
А
где а есть корень уравнения Q(x) = 0. Мы уже знаем, как найти
производную многочлена, а из теоремы D) п. 114, или, если а ком-

220 Глава шестая
плексно, из ее расширения, упомянутого в п. 115, сразу следует, что
производная последней дробно-рациональной функции равна
рА (х~аУ'1 рА
(x—afP~~ (х — а>Р+1-
Теперь мы можем записать производную общей дробно-рацио-
дробно-рациональной функции /? (л:) в виде
Между прочим, мы доказали, что производная хт равна тхт х для
всех целочисленных значений т, как положительных, так и отри-
отрицательных (если т отрицательно, то д: должно быть отлично от
нуля).
Метод, изложенный в этом пункте, оказывается особенно по-
полезным в тех случаях, когда нужно дифференцировать дробно-рацио-
дробно-рациональную функцию несколько раз (см. примеры XLV).
Примеры XLII. 1. Доказать, что
d I х \ 1-х8 d /1— х2^__ 4х
dx\l-f-x2/ A4-х2J' dx\l-\-xr
2. Доказать, что
d_ I ax2 -\- 2bx -f- с \ „
3. Если Q имеет множитель (х — а)т, то знаменатель /?' (после приве-
приведения jR1 к простейшему виду) делится на (х — а)т+1, но ни на какую выс-
высшую степень х — а.
4. Знаменатель /?' не может содержать множитель х — а в первой степени.
Следовательно, дробно-рациональная функция, знаменатель которой содер-
содержит простой множитель, не может быть производной дробно-рациональнойг
функции. Например, — не является производной дробно-рациональной функ-
функции.
119. С. Алгебраические функции. Результаты предыдущих пунк-
пунктов и теорема F) п. 114 позволяют нам находить производные
любых явных алгебраических функций.
Такой наиболее важной функцией является хт, где т — рацио-
рациональное число. Мы уже нидели (см. п. 118), что производная этой
функции равна тхт~1, если т — положительное или отрицательное'
целое число. Покажем теперь, что этот результат остается в силе
(при условии, что х ф 0) и для всех рациональных значений т.
Положим у = хт—хР/ч, где р и q—-целые числа и q положительно,
и пусть z=zx"^q., так что x=^zq и y = zp. Тогда
^- — — — ?- zP-9 — тхт-1
1 — * —— ^^ Л/ — /ДА •
dx dx q

Производные и интегралы 221
Этот результат может быть также выведен как следствие из
примера XXXVI. 3. Действительно, если ер(х) = хт, то мы имеем
, . . ,. (x + h)m — xm .. %т — хт т_г
ер (х) = limv ¦ ' = hm ,.- -- =тхт г.
л-о n z~x s — x
Ясно также, что и более общая формула
Л_ (ах -f b)m = та (ах + Ь)'1
имеет место для всех рациональных значений т.
Дифференцирование неявных алгебраических функций связано
с некоторыми теоретическими трудностями, к которым мы вернемся
в гл. VII. Но практическое вычисление производных таких функций
осуществляется весьма просто; метод их дифференцирования доста-
достаточно проиллюстрировать на примере. Допустим, что у задано с по-
помощью уравнения
*3+У — Ъаху — Q.
Дифференцируя по х, найдем:
и, следовательно,
dy л:2 — ау
dx у2 — ах'
Примеры XL1I1. 1. Найти производные следующих фуикций:
V"
l±?
1-х' У cx+d' У Ах*+2Вх
2. Доказать, что
d ( х I _ а2 d I х
rfx\|/"a2+^2/~(a2+-«:2K/2' ~({х'\У"а*~^Гх*
3. Найти производную у, если
A) ах* + 2hxy + by- -f- 2gx + 2fy + с = 0, B) x> +y° — 5ax-y- = 0.
120. D. Трансцендентные функции. Мы уже доказали, что
Dx sin x = cos x, Dxcosx = — sinx
(см. пример XXXIX. 4).
При помощи теорем D) и E) п. 114 читатель легко найдет, что
Dx tg x = sec2 x, Z)xctgx = — cosec9;c,
Dx sec x = tg x sec x, Dx cosec x== — ctg x cosec x.

222 Глава шестая
При помощи теоремы G) мы можем легко найти производные обрат-
обратных круговых функций. Читателю предлагается проверить следующие
формулы:
П ягг 'sin г = 4i2 — , Dx arc cos x — =p
arc sec x = ±
В случае функций arc sin x и arc cosec x должен быть взят знак, совпа-
совпадающий со знаком cos (arc sin х), а в случае arc cos х и arc sec x — знак,
совпадающий со знаком sin (arc cos x).
Весьма важны также и следующие более общие формулы:
?>jearcsin- = ±-7=L=, A*arctg- = —— ,
a Yas~x2 х а х2 + а-
которые легко выводятся из теорем F) и G) п. 114. В первой из
них знак следует брать совпадающим со знаком a cos (arc sin —), так
как
1 / f x
a I/ 1 ? = -*-
в зависимости от того, положительно а или отрицательно.
Наконец, с помощью теоремы F) п. 114 мы можем дифферен-
дифференцировать сложные функции, состоящие как из алгебраических, так
и из тригонометрических функций. Таким образом, мы можем вы-
вычислить производные таких функций, как приведенные в ниже сле-
следующих примерах.
Примеры XLIV1). 1. Найти производные функций
cos*, sin1"*, cos(jem), sin(xm), cos (sin x), sin (cosx),
¦,/¦— : 1 ... о— cos* sin x
у a- cos* * -j- A2 sm2 *, ——- ,
у a- cos1! * -)- b2 sins *
*arcsin* + "j/"l— Xs, (l-f*)arctgy* —У*.
2. Продифференцировать
• i/T ; j. / ¦ ч А cos* . a-4-Jcos*
arc smj/ 1 — *2, tg (arc sm *), arc tg y-—:— , arc tg ¦=¦
l-|-sin* sb-\-a cos**
(Экз. 1926, 1929, 1930 гг.)
J) В этих примерах т означает рациональное число, а а, Ь, ... , а, C, ...
имеют такие значеяия, что содержащие их функции вещественны. Неодно-
Неоднозначность знака не указывается.

Производные а интегралы 223-
3. Продифференцировать
аЛ- х
arc sin x -\- arc cos x, arc tg x -\- arc ctgx, arc tg -j—!—
и объяснить, почему результаты дифференцирования имеют столь простой вид.
4. Продифференцировать
1 ах 4- Ь 1 ах 4- Ь
- arc tg —====, == arc sm ,.__. .
Уас —
5. Показать, что каждая из функций
о ¦ тЛ* — Р о г л[х — $ ¦ 1У(а — х)(х — 3)
2 arc sin |/ VT, 2 arc tg I/ , arc sm —1-5 ^ —
Г a—-p г я—x a — p
-p
имеет производную
1
y(a-x){x-f)
о. Доказать, что
cos 9 cos 38
(Экз. 1904 г.)
7. Показать, что
1 d Г 1Г С (ах" 4- сУ\ 1
УС(Ас — aC) &cLarCC0S^ cCAr'-fQJ (Лх2 + С) ^
8. Каждая из функций
имеет производную
9. Если X=a-\-bcosx-\-csinx и
аХ —
у = — arc, cos
то
dx~ ~X'
10. Доказать, что- производная функции F{ f [ф (х)] } равна
и распространить результат на более сложные случаи.
11. Если и н v — функции от х, то
„ . a vDxu — uDxv
Dx arc ter — = ^^
12. Производная функции у = (tg х + secх)т равна ту sec x.
13. Производная функции _у = cosx-\-isiaj; равна iy.
14. Продифференцировать xcosx, . Показать, что значения х, при

,224 Глава шестая
sin л;
которых касательные к кривым у = х cosx, у = параллельны оси х,
являются соответственно корнями уравнений ctg .*:=:.*:, tgx = x.
15. Нетрудно видеть (см. пример XVII. 5), что уравнение sinx = ax, где а
.положительно, не имеет действительных корней, кроме лг = О, если а^. 1,
и имеет конечное число корней, которое возрастает при убывающем а, если
а<с\. Доказать, что значениями а, при которых число корней изменяется,
являются значения cos?, где ? является положительным корнем уравнения
-tg? = $. [Искомыми являются значения а, при которых у— ах касается кри<
вой у = sin х.]
16. Если э (х) = xs sin— при хфО и <р@) = 0, то
«' (х) — 2 х sin cos — ,
' v ' х х
если х ф 0 и ср' @) == о. Далее, у'(х) разрывна при лг = О (см. п. 112 B)).
17. Найти уравнения касательной и нормали в точке (х0, у0) к окруж-
окружности x*-{-ys = a2 и привести их к формам ххо-{-ууо=а- и, соответственно,
18. Найти уравнения касательной и нормали в любой точке эллипса
—-f-p = 1 и гиперболы--,—¦|j-=l.
19. Уравнениями касательной и нормали к кривой x = y(t), y — i>(t)
в точке, которой соответствует значение параметра (, являются уравнения
121. Повторное дифференцирование. Исходя из ф'(*)> мы можем
-образовать новую функцию ф"(л) так же, как из ср(лг) мы образо-
образовывали ер' (х). Эта функция называется второй производной или вото-
/?Ы/И дифференциальным коэффициентом ер (х). Вторая производная
функции у = ер(х) может быть записана в любой из следующих
•форм:
(d d
Аналогично мы можем определить п-ую производную или п-ый диф-
дифференциальный коэффициент функции у = ер(х), которые могут
быть записаны в любой из следующих форм:
Общая формула для я-ой производной данной функции может быть,
однако, найдена лишь в отдельных специальных случаях. Некоторые
из этих случаев приведены в следующих примерах.
Примеры XLV. 1. Если у(х) = хт, то
9(") (х) = т (т — 1) ... (т — п + 1) хт~п.
Эта формула дает нам возможность записать я-ую производную любого
многочлена.

Производные и интегралы 225
2. Если а (х) — (ах + Ь)т, то
ср(п) (х) = т (т — 1) ... (т — я + 1) a™ (ax + A)m~™.
В этих двух примерах т может иметь любое рациональное значение. Если
т—положительное цело? число, то ср(") (х) = 6 для п>т.
3. Формула
( d \п А . iyip(p-\- 1) • • • (р + я — 1)А
дает нам возможность записать я-ую производную любой дробно-рациональ-
дробно-рациональной функции, представленной в виде суммы простейших дробей.
4. Доказать, что я-ая производная функции j равна
1 (Л!) { A -*)-«-! + (- 1)" A + *)-»-! } .
5. Найти я-ые производные функций
х + 1 х* Ах
(Экз. 1930, 1933, 1934 гг.)
( d \п Xs
6. Показать, что значение (j~ j —^ при х = 0 равно 0, если и четио,
и равно —я!, если я нечетно и больше 1.
(Экз. 1935 г.)
7. Теорема Лейбница. Если_у есть произведение uv и мы можем обра-
образовать я первых производных от а и о, то мы можем образовать я-ую про-
производную от у с помощью теоремы Лейбница, содержащей следующее пра-
правило:
где индексы обозначают дифференцирование, так что, например, ип обозна-
обозначает и-ую производную от и. Для доказательства теоремы заметим, что
и т. д. Очевидно, что повторяя этот процесс, мы придем к формуле вида
anv + an,itin_1vl + an* an_zv2+ .. . +an,r nn_rvr-\- ... +uvn.
] для r=l, 2, ... , я —1 и докажем, что если это
так, юал+1|Г= ] для г=1, 2, ..., п. Применяя метод математиче-
ской индукции, получаем, чтоап?г = ( j для всех встречающихся значе-
значений я и г.
При образовании (uv)n+l дифференцированием (av)n мы легко убеждаемся
в том, что коэффициентом при an+1_rvr будет выражение
это и доказывает теорему.
15 Г. Хардл

226 Глава шестая
8. я-ая производная xmf(x) равна
/М + » (. _"'+ „I *"""" D +
причем ряд должен быть продолжен до (я-|--1)-г0 члена, если он не обры-
обрывается раньше.
9. Доказать, что D"cosx—cos(x-\--^n-), Z»"sin Ar = sin
10. Найти я-ые производные фуикций
cos2 х sin х, cos л; cos 2x cos Зл% л;3 cos л:.
(Экз. 1925, 1930, 1934 гг.) ¦
11. Если у — A cos mx -f- 5 sin /ил:, то Z)^ -f- mzy — 0. Если
_y = A cosmx -\- В sin mx -\~ Pn (x),
где Рп(х)—многочлен степени я, то D"+3y + т*О"+1у = 0.
12. Если дг2?»*^-г-^-ОЛУЧ-3'=0, то
x°-D?*y + Bя +1) xDJF \у + (я» + 1) Z^y = 0.
[Дифференцировать я раз и применить теорему Лейбница.]
13. Если Un обозначает я-ую производную функции
Lx+M__
то
&-2ВХ + С.. 2{х-В)
U +
(Экз. 1900 г.)
[Сначала вывести уравнение при я = 0; затем п раз дифференцировать
и применить теорему Лейбница.]
14. Показать, что если a=arctgx, то
.. . Оч tPa .da „
A+Х'^ + 2х°
и отсюда определить значения всех производных от и при х=0.
(Экз. 1931 г.)
15. я-ые производные от -„—,—» и -г . Так как
a- -{-х* а2 4- х
а __ 1 / 1 IN х
2i\x~ai x + aij' a^ + x- 2 \х— ai' x + aij '
мы имеем:
W а
f 1
21 \(x — aiy+l (хЦ-aif+l J'
( \
2_. 1. Если р = Ул;84-л2 и 9—наи*

Производные и интегралы. 227
меньший по модулю угол, косинус н синус которого равны соответственно
— я — , то ;с + аг = о CisO и х— at = о Cis (— 6), так что
? ?
Z>^^ (l)n-1n!fP-"-4Cis(n+l)9Cis{(n + lH}]
= (- 1)" я! (х- + а-)~'/- <и+^ sin {(я + 1) arc tg ~ } .
Аналогично,
16. Доказать, что
где Рп и (?n — многочлены относительно х степеней соответственно п и п — 1.
17. Вывести формулы
rfxJ d*x rix- ri3x
__J_ _
"fl^"~~rfjT' dy- ~ "(dy\3 ' dy3 ~~ fdy\°
~dx [dxj [dxj
122. Некоторые общие теоремы, относящиеся к производным.
В последующем важную роль играет различие между „замкнутым"
и „открытым" интервалом. Замкнутым интервалом (а, Ь) называется
множество значений х, для которых a^ix^b. Открытый интер-
интервал определяется неравенствами а<^х<^Ь (т. е. является замкнутым
интервалом без концевых точекI).
Мы будем рассматривать функции непрерывные в замкнутом
интервале (а, Ь) и дифференцируемые в открытом интервале (а, Ь).
Иначе говоря, мы будем предполагать, что наша функция 9 (.с) удо-
удовлетворяет следующим условиям:
A) ф(-с) непрерывна для а^х^й, причем непрерывность в кон-
концах интервала понимается в смысле, разъясненном в конце п. 99;
B) ц>'(х) существует для каждого х, для которого а<^
Может показаться странным, что в одном условии интервал предпола-
предполагается замкнутым, а в другом — открытым, но мы увидим, что это различие
играет важную роль. Ясно, что если мы ничего не знаем о в (х) вне {а, Ь),
то мы не можем распространить условие B) на концы интервала без неко-
некоторых дополнительных определений.
Начнем с теоремы, относящейся к частному значению х.
ТЕОРЕМА А. Если <?'(ха)^>0, то «р(*)<«р(*0) для всех значе-
значений х, меньших х0, но достаточно близких к нему, и ср (х) ^> ср (л:0)
для всех значений х, больших х0, но достаточно близких к нему.
1) Мы могли бы определить полузамкнутые интервалы неравенствами
«<ЛГ1^А или а^.х<Ь, но мы не будем применять эти термины.
1.5»

228 Глава шестая
_ и (л:0 4- Л) — © (л'„)
Действительно, ' —^ и/ стремится к положительному пре-
пределу ср' (д:0) при h-—0. Это может иметь место только в том слу-
случае, когда cp(xo-\-h)— q(x0) и h имеют одинаковые знаки при доста-
достаточно малых значениях h, а это и составляет утверждение теоремы.
С геометрической точки зрения результат, конечно, очевиден, так-
как неравенство ср' (х) ^> 0 означает, что касательная к кривой
образует положительный острый угол с осью х. Читателю следует
сформулировать соответствующую теорему для того случая, когда
?'(*)< 0.
Утверждение теоремы А мы будем формулировать так: ф(л:)
строго возрастает при х = х0 ').
Следующая исключительно важная теорема известна под именем
теоремы Ролля.
ТЕОРЕМА В. Если <р(х) непрерывна в замкнутом и дифферен-
дифференцируема в открытом интервале и ее значения на концах интер-
интервала а и b равны, то в открытом интервале найдется точка,
в которой ср'(х) = 0.
Мы можем предположить, что
ср(а) = О, 9(?) = 0,
так как если ср (а) = <р (b) = k и k=f=O, то мы можем рассмотреть
функцию ср (х) — k вместо ср(лг).
Имеются две возможности. Если <р (jc) = 0 во всем интервале
(а, Ь), то !р'(х) = 0 для а<^х<^Ь и утверждение очевидно.
Если же, с другой стороны, ср(-с) не всегда равна нулю, то
существуют значения х, для которых она либо положительна, либо
отрицательна.
Допустим, например, что функция в некоторых точках поло-
положительна. Тогда <р (х) имеет точную верхнюю грань М в {а, Ь) и
ф(д:) = Ж для некоторого ? из (а, Ь) (по теореме 2 п. 103), причем
очевидно, что I не равно ни а, ни Ь. Если бы qp' (S) было положи-
положительно или отрицательно, то, по теореме А, вблизи $ существовали
бы значения х, длл которых ц>{х)^>М, что противоречит определе-
определению М. Следовательно, qs' (?) = 0.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если ф(;с) непрерывна в замкнутом и диф<
ферещируема в открытом интервале и ср' (х) ^> 0 для всех х
в открытом интервале, то ср (х) является строго возрастающей
(в смысле п. 95j функцией от х в этом интервале.
Мы должны доказать, что ср (х{) <^ср (л:2) для a =?S Xj <^ х3 ==? ?•
Предположим сначала, что а<^х1 ^
Ср. пример 19 на стр. 204—5.

Производные и интегралы 229
Если 9(jf1) = 9(jca), то, по теореме В, между хх и xi должно
существовать такое значение х, для которого <р' (х)=0, что проти-
противоречит нашей предпосылке.
Если же 9(JCi)^>9(x2), то, по теореме А, существует такое х3,
близкое к хх и большее его, что 9(хз)^>еР(х1)У>:р(,х^)' и, сле-
следовательно, по п. 101, такое л:4 между лг3 и х21 что cp(xi)=ep(x1).
Отсюда, по теореме В, следует, что существует значение х между
хх и xg, для которого ф'(д;) = 0, что опять противоречит нашей
предпосылке.
Таким образом, ф^)*^ 9 (•*«)•
Остается распространить неравенство на случаи, когда х1=а
или х2 = Ь. Из уже доказанного следует, что
если а<^х<^х'<^Ь, так что ср(л:) строго убывает, когда х прибли-
приближается к а справа. Следовательно,
<p(a) = lim ф(х)<ф(л:')
л- -* а -j- 0
и, аналогично, ф(
СЛЕДСТВИЕ 2. Если ф' (х) > 0 в интервале (а, ?) гг ф (а) ^ 0, /ио
9 (х) положительна в интервале (а, Ь).
Читателю следует внимательно сравнить первое из этих следствий
с теоремой А. Если, как в теореме А, мы предполагаем только, что <?'(*)
положительна в единственной точке х = хе, то мы можем доказать, что
?(xi)<9(xz)> когда хг и х2 достаточно близки к х0 и x1<x(l-<xi. Дейст-
Действительно, па теореме А, 9 {хх) < ? (^0) и <р (х2) > tp (лг0). Но отсюда нельзя
сделать вывод, что существует интервал, содержащий xQ, в котором ^(х)
является строго возрастающей функцией, так как предположение, что xt
"л х3 лежат с разных сторон от х0, существенно для нашего заключения. Мы
вскоре еще вернемся к этому вопросу (см. п. 125) и проиллюстрируем его на
примере.
123. Максимумы и минимумы. Говорят, что функция ф(л:) при
x = k имеет максимум ф(?)> если 9@ больше любого другого зна-
значения, принимаемого <р(х) в непосредственной близости от x = i,
т. е. если мы можем найти такой интервал (?¦—е, S-j-e) значе-
значений х, что 9(S)^>9(x), когда % — г<^х<^% и когда \<^х<^\-}-е.
Аналогично определяется минимум. Точки А соответствуют макси-
максимумам, а точки В ¦— минимумам функции, график которой изображен
на фиг. 36. Следует заметить, что то обстоятельство, что А3 соот-
соответствует максимуму, а В,-—• минимуму, вполне совместимо с тем,
что значение функции в В1 больше чем в А3.
ТЕОРЕМА С. Необходимым условием для того чтобы ц> (S) было
максимумом или минимумом дифференцируемой функции ср(-с),
является о' {%) — 0.

230
Глава шестая
Это сразу следует из теоремы А. Что услбвие не является
достаточным, видно из рассмотрения точки С на фиг 36. Так, если
v = x3, то ер' (x) = 3xq, что обращается в нуль при х = 0. Но
х = 0 не дает ни максимума, ни минимума х3, что видно на гра-
графике этой функции (фиг. 9, стр. 53).
Но 9(?) будет заведомо максимумом, если ф'(?) — 0 иср'^
для всех значений х, меньших %, но близких к \, а ер' (х) <^ 0 — для
всех значений х, больших ?, но близких к \. А если имеют место
неравенства, обратные двум последним, то q?(?) будет минимумом.
Ибо тогда мы можем (по следствию 1 п. 122) найти такой интервал
(I— е, S), в котором ф(х) возрастает с возрастанием х, и такой
интервал (?, S —{— е), в котором она убывает с возрастанием х.
Этот результат может быть сформулирован и так: если знак
о' (х) меняется при х = % с положительного на отрицательный, то
9 (л:) достигает максимума при х~1, а если знак ср' (х) меняется
в обратном направлении, то ц>{х) достигает минимума.
Максимум, как он был определен выше, является максимумом в стро-
строгом смысле этого слова: о (?) > о (х) для всех х, близких к ?. Мы могли бы
ослабить наше определение и требовать только выполнения неравенства
"? F) =э= <Р (¦*) Для всех х, близких к ?. При таком определении постоянная
имела бы, например, максимум (и минимум) при каждом значении перемен-
переменного. Теорема С все же имела бы место.
Максимумы и минимумы иногда называют экстремальными зна"'"*-
ниями.
124. Можно указать еще другие условия существования макси-
максимума и минимума, которые часто оказываются полезными. Предпо-
Предположим, что ф(-с) имеет вторую производную qp"(x); существование
ср" (х), конечно, вовсе не следует из существования ср' (х), точно
так же, как существование <р' (х) не следует из существования ер (х).
Но в большинстве тех случаев, с которыми нам придется иметь
дело, функции обладают вторыми производными.

Производные и интегралы
231
ТЕОРЕМА D. Если <р'($) = 0 и ф"(&)^ 0. то tp(jc) имеет макси-
максимум или минимум при x = i, точнее — максимум, если <р"(?) <^0*
а минимум, если ф"($)>0.
Допустим, например, что ф"(?)<С0. Тогда, по теореме А, <р' (х)
положительна, когда х меньше 5, но достаточно близко к нему,
и отрицательна, когда х больше ?, но достаточно близко к нему.
Таким образом, <р(х) при jc = ? имеет максимум.
125. Выше мы предполагали, что <е(х) имеет
значений х в рассматриваемом интервале. Если это
ряется, то теоремы перестают быть справед-
справедливыми. Так, теорема В не верна для функ-
функции
V = 1 — УД
где корень квадратный берется со знаком
плюс. График этой функции изображен на
фиг. 37. Здесь ср (— 1) = 0, <р A) = 0, но ш' (х),
как видно из чертежа, равна 1 для отрица-
отрицательных х, и — 1 для положительных х, и ни-
никогда не обращается в нуль. При х = 0 про-
производная не существует и не существует ка-
касательной к графику в точке Р. Однако при
v = 0, очевидно, имеется максимум <р (х), но
достаточное условие максимума неприменимо.
Мы предполагали только существование
предполагали, что г?'(х) сама
производную для всех
условие ие удовлетво-
Фиг. 37
9' (•*')• В частности, мы не
является непрерывной функцией. В связи
этим возникает следующий интересный вопрос: может ли функция га(дг)
иметь производную для всех значений х, которая не является непрерывной
функцией? Другими словами, может ли кривая иметь касательную в каж-
каждой точке, причем, однако, направление касательной не меняется непре-
непрерывно? Интуиция нам как будто подсказывает отрицательный ответ; но ие
представляет большого труда показать, что это ие так.
Рассмотрим функцию <? (х), определенную при x^zQ соотношением
9 (x) = x2siti — •,
t положим 9 @) = 0. Тогда о (х) непрерывна при всех значениях .v. Если
•¦•=? 0, то
sin cos— ,
•'огда как
Л2 sin --
9' @) = lim ~ = 0.
ло «
Таким образом, га' (х) существует для всех значений х. Но <р' (х) разрывна
при х = 0, так как 2xsin— стремится к 0 при х-^0, a cos—"колеблется
между верхним и нижним пределами +1 и —1, так что <?' (х) колеблется
между этими же пределами.

232 Глава шестая
По существу этот же пример может служить иллюстрацией к вопросу,
затронутому в конце п. 122. Пусть
о (х) =-V2 sin-- -\-ах,
где 0<а<1, если х^О, и <р@)=0. Тогда <s'@) —а>0. Таким образом,
условия теоремы А п. 122 удовлетворены. Но если х^О, то
о' (л:) = 2х sin cos (-а,
1 V ' X X
а это выражение колеблется между пределами а — 1 и а -f- 1 при х — 0. Так
как а—1 < 0, то мы можем найти значевия х, как угодно близкие к нулю,
для которых <?' (х) < 0. Поэтому не существует никакого интервала, содер-
содержащего х = 0, в котором ®(х) являлась бы строго возрастающей
функцией от х.
Однако f'(x) не может иметь так называемого „простого" разрыва
(гл. V, пример XXXV1I.18). Если tp'M—¦а ПРИ * —+ 0, <?'(х)-~ Ь при
х—* — 0 и ср' @) = с, то а — Ь = с, и а' (х) непрерывна при х = 0. Доказа-
Доказательство см, в п. 126, пример XLVII. 5.
Примеры XLVI. 1. Проверить теорему В для функций
о (х) = (х — а)т (х — bf и <? (х) — (х — а)т (х — Щп (х ~ cf,
где т, пир — положительные целые числа н а < Ь < с.
[Первая из этих функций обращается в нуль при х—а и х—Ь. Произ-
Производная
9' (х) = (х — а)™-1 (х — Ь)"-1 { (т + n)x—mb—na}
, тЬ 4- па
обращается в нуль при х=- -ц—, лежащем между а и Ь.. Во втором
случае мы должны проверить, что квадратное уравнение
{т-\- п-\-р)х2 — { т(Ь-{- с) -J- п (с-\-а)-{-р (а -\-Ь) } х-\-тЬс-\- пса -{-раЬ — 0
имеет корни между а и Ь и между b и с]
2. Показать, что х — sinx является возрастающей функцией в любом
интервале значений х и что tgx—х возрастает, когда х возрастает от
„- до -?у . При каких значениях а функция ах — sin x является монотонно'
возрастающей или монотонно убывающей функцией от х!
3. Показать, что —— монотонно возрастает, когда х возрастает
от 0 до ~.
1 {Экз. 1927 г.)
я 3~
4. Показать, что tgx — х возрастает при х возрастающем от -s-до-к-,
Ъг. 5-
от у до -к- и т. д., и вывести отсюда, что уравнение tgx = x имеет по
одному корню в каждом из этих интервалов (см. пример XVII. 4).

Производные и интегралы 233'
5. Вывести из примера 2, что sinx — х<0, если ,v>0, огсюда, что
2
cos х — 1 -f ~ х2 > О,
а отсюда, что
sin х — л" -\- -к- Xs > 0.
Вообще, доказать, что если
и х>0, го С2т и Ssm+I положительны или отрицательны, в зависимости от
того, будет т нечетным или четным.
6. Если f(x) и f"(x) непрерывны и имеют одинаковый знак в каждой
точке интервала (а, Ь), то этот интервал может содержать не более одного
корня каждого из уравнений f(x) = 0, f'(x) = 0.
7. Пусть функции и и v и их производные и' и v' непрерывны в неко-
некотором интервале значений х и пусть uv' — u'v не обращается в нуль ни
в одной точке этого интервала. Показать, что тогда между любыми двумя
корнями уравнения м = 0 лежит корень уравнения г/ = 0, и наоборот. Про-
Проверить эту теорему для m = cosx, t/==sinx.
[Если v не обращается в нуль между двумя корнями уравнения м=0,
скажем а и 3, то функция — непрерывна в интервале (а, 3) и обращается
в нуль на его концах. Следовательно, производная
/ а У u'v — uv'
должна обратиться в нуль между а и 2, что противоречит нашим предпо-
предпосылкам.]
8. Найти наибольшее и наименьшее значения Xs — 18.г2-|-96х в интер-
интервале @, 9).
V ' (Экз. 1931 г.)
9. Исследовать максимумы и минимумы функции (х — а)т(х—Ь)п, где
т и п — положительные целые числа, и рассмотреть разные случаи, кото-
которые могут иметь место при четных и нечетных т и п. Начертить график
функции.
10. Показать, что функция (х-\-5J (xs —10) имеет минимум при jr=l,
и исследовать другие экстремальные значения.
(Экз. 1936 г.)
11. Показать, что
(*-l-.v)D-3.v2)
имеет один максимум и один минимум и что разность между ними равна
47 , 1\2
Каково наименьшее значение этой разности при различных значениях а?
(Экз. 1933 г.)
,„ _ ах -\-b
12. Показать, что '•-- - не имеет ии максимумов, ни минимумов,.
СХ —г~ и
каковы бы ни были значения а, Ь, с, d. Начертить график функции.

234 Глава шестая
13. Исследовать максимумы и минимумы функции
где знаменатель имеет комплексные корнн.
[Мы можем предположить, что а и А положительны. Производная обра-
обращается в нуль, если
(ax + b)(Bx+C) — (Ax + B)(bx + c) = O. A)
Это уравнение должно иметь действительные корни. Действительно, в про-
противном случае производная имела бы всегда один и тот же знак,
а это невозможно, так как у непрерывна для всех значений х, и у—* —f
при х-* +оо и при х~*—оо. Нетрудно убедиться в том, что кривая пере-
пересекает прямую у = -. в одной и только в одной точке и что она лежит
над этой прямой для больших положительных значений х и под ней для
больших отрицательных значений, если — > -=- , и наоборот, если — < -г- •
Таким образом, алгебраически ббльший корень уравнения A) дает
Ь В
максимум, если -->-; > и минимум в противном случае.]
а /\ '
14. Максимальное и минимальное значения ахг-\-26x-\-с— к(Ах2-\-
-\-2Вх-{- С) равны значениям X, для которых это выражение является точным
квадратом. [Это условие того, что_у = Х касается кривой.]
15. Если уравнение Ах% -\- 1Вх -\- С = 0 имеет действительные корнн, то
удобнее всего рассуждать следующим образом. Мы имеем
y A A(Ax* + 2Bx+C) '
где X = ЬА — aB, \x = cA — aC. Полагая, далей, ? = 2\x -f- !A и т; =-,^-г И у — a)>
получим уравнение вида
Минимуму 3' как функции от х соответствует минимум ^ как функции от?,
и наоборот. То же справедливо и для максимумов.
Производная от ij по ? обращается в нуль, если
E — /?) (s — q) — $ (= — р) — ?;(? — ?) = О,
т. е. когда ?2 = pq. Таким образом, существуют два действительных корня
производной, если р и q имеют одинаковые знаки, и не существует ни одного
действительного корня, если они имеют обратные знаки. В последнем случае
график 1) имеет вид, изображенный на фиг. 38а.
Общий вид графика в случае/? и q положительных изображен на фнг.'386,
и легко видеть, что % — ~\/pq дает максимум, а ?= — \^РЯ — минимум.
Предыдущее исследование неприменимо в случае X = 0, т. е. -%- = -g-. Но
« этом случае мы имеем:
а [j. о.
У ~~ А ~A (Ax^+2Bx~+Q~~ АЦх~-

Производные а интегралы
235
-~- (хг-{-х»). Пользуясь графи-
и ~ = 0 дает единственное значение
пх
ком, мы видим, что это значение дает максимум или минимум, в зависимости
от того, является ли ц положительным или отрицательным. График на
фиг. 39 соответствует первому из этих случаев.
16. Показать, что
х —у
Фиг.
Фмг. ЗР
принимает все действительные значения, когда х изменяется от — оо до-}-00
если у лежит между а и E, а в противном случае принимает все значения
кроме тех, которые лежат в некотором интервале длины
17. Показать, что
__ x2 -j- 2x + r
^ ~ x2 -f 4.v + 3c
принимает все действительные значения, если 0<с<1, н начертить график
функции в этом случае.
(Экз. 1910 г.)
18. Функция
у=
(*-!)(*-4)
имеет экстремальное значение — 1 при х = 2. Найти а и Ь и показать, что
это экстремальное значение является максимумом. Начертить кривую.
m г, * <3a:5- Ш0 г->
19. Определить функцию вида
'Ах*~+2Вх+ С'
которая имеет экстремальные значения 2 и 3, соответстоенно при х=1
и х = —1, и принимает значение 2-5 прих = 0,
(Экз. 1908 г.)
20. Максимум и минимум функции
(х-а){х-Ь) '
де а и Ь положительны, равны
i
уа -у
а +\ГЬ

236 Глава шестая
21. Максимум функции
A)*
2
равен -^.
22. Исследовать на максимумы и минимумы функции
х(х — 1) -у4 (х — 1JCхг — 2х — 37)
х-2 + 3.v -f 3 ' (х — 1) (х — 3/' (х + 5JТЗх2 — 14х — 1) '
(Экз. 1898 г.)
[Если последнюю из этих функций обозначить через * ' , то
P'Q _ Р(?'= 72 (х - 7) (х - 3) (х - 1) (х + 1) (х + 2) (х +5).]
23. Найти максимумы и минимумы функции я cos x-}-6 sin х. Проверить
результат, представив эту фуикцию в виде A cos {x — а).
24. Показать, что
sin(x-j-a)
sm(x-{-b)
не имеет ии максимумов, ни минимумов. Начертить график этой фувкции.
25. Показать, что функция
sin2 х
имеет бесконечно много минимумов, равных нулю, и максимумов, равных
sin a sin b
sin2(a — b)'
(Экз. 1909 г.)
26. Наименьшим значением функции a" sec2 x -\- b2 cosec2 x является (а-\-Ь)-.
27. Показать, что tg3xctg2x не может лежать между -^ и -^-.
28. Показать, что максимумы и минимумы функции sin mxcosec x, где
т—целое число, определяются из уравнения tgmx = mtgx, и вывести,
что
sin2 mx =? mr sin2 x.
(Экз. 1926 г.)
Заметим, что в точке максимума или минимума
sin2/тех .cos2 mx „ l-(-tg2x „ l+tg2x ~|
sin^ x cos- x 1 -j- tg2 mx 1 -j- от2 tg"x J
29. Найти максимумы и минимумы функции у, определенной соотноше-
соотношением
аУ ~fb = sin2 x + 2 cos x + 1,
30. Показагь, что если сумма длин гипотенузы н одного из катетов
прямоугольного треугольника задана, то площадь треугольника будет наи-
наибольшей, когда угол между этими двумя сторонами равен 60°.
(Экз. 1909 г.)
31. Через фиксированную точку (а, Ь) проведена прямая, пересекающая
оси ОХ и OY в точках Р и Q. Показать, что наименьшие значения PQ?

Производные и интегралы 237
OP+OQ и ОР ¦ 0Q равны соответственно (af/s-j-62/s)s/2, (]/"«" +\rF)° и
4а6.
32. Касательная к эллипсу пересекает оси в точках Р и Q. Показать,
что наименьшее значение PQ равно сумме полуосей эллипса.
33. Переулок перпендикулярен к улице, которая имеет в ширину 18 футов.
Какова ширина переулка, если шест длиной в 45 футов как раз можно про-
пронести при повороте с улицы в переулок, держа его все время горизон-
горизонтально?
(Экз. 1934 г.)
34. Две точки А и В лежат на прямой по разные стороны и на равных
расстояниях от фиксированной точки О этой пря>мой, а Р — фиксированная
точка, не лежащая на ней. Показать, что АР-\-ВР возрастает с возраста-
возрастанием АВ.
(Экз. 1934 г.)
35. Найти длины и направление осей конического сечения
ах1 + 2hxy + by- = 1.
[Длина г полудиаметра, образующего угол 8 с осью х, определяется из
соотношения
\ = а cos2 8 + 2Л cos 6 sin 6 -\-b sin2 6.
Условием максимума или минимума г является tg 26 = --~-v—. Исключая 8 из
этих двух уравнений, находим:
36. Наибольшим значением ах -\- by, где х и у положительны и х2 -\- ху
-f-_ya =3xa, является
I Если ах -\- by имеет максимальное значение, то
Из соотношения между х и у находим, что
dy
и исключаем -:—.
37. Наибольшим "значением хту", где х и у положительны и x-\-y = k,
является
mmnnkm+n
(т+п)т+п'
38. Если 8 и tp — острые углы, связанные соотношением
a sec 8 -\- b sec ts = с,
где а, 5, с положительны, то a cos в -\- b cos to имеет минимальное значение
при 6 = tp.

238
Глава шестая
126. Теорема о среднем. Мы можем теперь перейти к доказа-
доказательству другой обшей теоремы большой важности, которая обычно
именуется теоремой о среднем значении, или просто теоремой
о среднем.
ТЕОРЕМА. Если 9 (x) непрерывна в замкнутом интервале (а, Ь)
и дифференцируема в открытом интервале, то существует зна-
значение ? между а и Ь, для которого
Фаг. 40
Прежде чем приступить к стро-
строгому доказательству этой теоремы,
которая является одной из наибо-
наиболее важных теорем дифференциаль-
дифференциального исчисления, представляется
целесообразным отметить ее очевид-
очевидный геометрический смысл. Он за-
заключается просто в том, что если
кривая АРВ (фиг. 40) имеет каса-
касательную во всех своих точках, то на
ней должна существовать такая точка Р, в которой каса-
касательная параллельна АВ. Действительно, ф' (?) есть тангенс угла,
который касательная в точке Р образует с OX, a "hZ^'a"~ eCTi>
тангенс угла, который АВ образует с ОХ.
Строгое доказательство теоремы несложно. Рассмотрим функ-
функцию ,
ф (Ь) — ? (х) — ^а {ср (й) — 9 (а)},
которая обращается в нуль при х^=а и х = Ь. Из теоремы В п. 122
следует, что существует такое значение ?, при котором производ-
производная этой функции обращается в нуль. Но эта производная равна
что и доказывает теорему. Отметим, что мы не предполагали ср' (¦*)
непрерывной.
Следующая запись теоремы о среднем часто представляется
удобной:
а)],
где 6 означает некоторое число, лежащее между 0 и 1. Выраже-
Выражение а-\-Ъ(Ь — а) означает, конечно, „некоторое число S, лежащее
между а и Ь". Если мы положим b — a-\-h, то получим:

Производные и интегралы 239!
Теорема о среднем чаще всего формулируется именно в этой:
форме.
Примеры XLVH. 1. Показать, что
9 (*)_?(*)_*=?{,(*)-*(*)}
есть разность между ординатами точки на хорде и соответствующей точки;
на кривой.
2. Проверить теоргму для г?(х)—ха и tp(x) = .vs.
[В последнем случае мы должны доказать, что
Ь — а
где а<\<Ь, т. е. что если -^ (b--\-ab-\-<&) — $;, то % лежит мгжду:
о
а и Ь.]
3. Определить значение ? из теоремы о среднем, когда
f(x) = x(x-l)(x-2), а = 0,Ь=^.
(Экз. 1935 г.)'
4. Доказать следствие 1 п. 122 с помощью теоремы о среднем. Доказать
также, что если f'(х)^0 то, 9(-v) является функцией, возрастающей
в слабом смысле.
5. Доказать с помощью теоремы о среднем теорему, сформулированную
в конце п. 125.
[Так как о'@)=е, то мы можем найти такие малые положительные
<а(х) — <в @)
значения х, что ' '-±-!- почти равно с; отсюда, по теореме о сред-
среднем, следует существование малых положительных значений ?, для которых
?'(|) почти равно с, что противоречит- соотношению limtp'(x) = а, если а
х-*-\- а
не равно с. Аналогично доказывается, что b = с]
6. Применить теоргму о среднем к доказательству теоремы F) п. 114,.
в предположении, что производные непрерывны.
[Мы имеем
{){) ®}{)}
где ? лежит между х и x-\-h,a rt — между f(x) и / (х) -\- hf (?).)
7. Доказать, что если
го уравнение аахп-\-а1хп~1 -\- ... -(-ап_гх-\-ап == 0 имеет по крайней мере
один корень между 0 и 1.
(Экз. 1929 г.)
127. На теореме о среднем основывается также доказательство
одной теоремы, играющей основную роль в теории интегрирования,
а именно: если у'(х) = 0 для всех значений х из некоторого
интервала, то «р(х) постоянна в этом интервале.
Действительно, если а и Ь — два значения х из этого интервала,.
то

.240 Глава шестая
Из теоремы сразу следует, что если ер' (#)=:<}/ (х) в некотором
интервале, то функции ер (х) и <Ь (х) отличаются в этом интервале
только на аддитивную постоянную.
123. Теорема Коши. Существует обобщение теоремы о среднем,
принадлежащее Коши, которое имеет важные приложения (см., на-
например, п. 154).
Если A) ф(х) и $(х) непрерывны в замкнутом интервале (а, Ь)
и дифференцируемы в открытом интервале, B) $ (Ь) ^Ь <Ь (а) и
C) ер' (х) и 4*' (х) никогда не обращаются в нуль при одном и том же
значении х, то межЬу а и b существует такое I, что
?(*)-? (a) _ 5lft)
Эта теорема сводится к теореме о среднем, когда <J< (х) = л:,
причем в этом случае дополнительные условия выполняются авто-
автоматически.
Доказательство является прямым обобщением доказательства из
л. 126. Функция
f4^
обращается в нуль при х=а и при х = й; следовательно, ее про-
производная обращается в нуль при некотором значении ?, лежащем
между а и Ь, т. е.
для такого %. Если бы <}/($) равнялась нулю, то и 9'© было бы
равно нулю, что противоречит нашим предпосылкам. Следовательно,
<|)'E)'9^0, и теорема полностью доказана, если разделить последнее
равенство на $' ($).
Условие того, что ер' и ty' никогда не обращаются в нуль при одном
и том же значении х, существенно. Допустим, например, что
а = —1, b — l, ф = х?, ф = х3.
Тогда ф(?) — 9(«) = 0. ф(^)—¦<\>(а) — 2> и результат может иметь
место только в том случае, когда ер' (S) = 0, т. е. когда ? = 0; но ф'@
при этом значении i тоже обращается в нуль, и формула теряет
смысл.
129. Теорема Дарбу. В п. 101 мы доказали, что если о (х) непрерывна
в (а, Ь), то она принимает в этом интервале все значения между tp(e)
и tp (b). Существуют другие классы функций, которые обладают этим свой-
свойством, в частности, класс производных. Если »' (х) является производной
некоторой функции <p(x), то (независимо от того, непрерывна она или нет)
•<р' (х) обладает этим свойством.
Если о(х) дифференцируема для а^х^Ь, у'(а) = а, <p'(b) = $ a f
лежит между а и [5, то существует такое Z между а и Ь, что »' (?) == Т#
Предположим, например, что а < f < |3, и пусть

Производные и интегралы 241
Тогда ty(x) непрерывна и, следовательно, достигает своей точной нижней
грани в (а, Ь) в некоторой точке ? из (а, Ь). Эта точка ? не может совпадать
ни с а, ни с Ь, так как
<!/(я) = а — т<0, Л'(й) = р_т>0.
Следовательно, Л (х) имеет минимум *¦) п некоторой точке ? между а и й,
так что ф* F) = б, т. е. ср'(?) = Т-
130. Интегрирование. Мы видели, как во многих случаях можно
найти производную данной функции q> (л:). Естественно поставить
теперь обратный вопрос о нахождении функции, производная
которой, задана.
Пусть функция ty (л:) задана. Тогда мы хотим найти такую функ-
функцию <р (л:), что ф' (л:) = ф (л:). Нетрудно видеть, что этот вопрос
в действительности распадается на три части.
A) В первую очередь мы хотим знать, существует ли вообще
такая функция q> (л:). Этот вопрос не следует ни в коем случае сме-
смешивать с вопросом о нахождении какой-либо простой формулы для
этой функции (если она существует).
B) Мы хотим также знать, не может ли существовать более
одной такой функции, т. е. является ли решение нашей задачи един-
единственным или нет; а если оно не единственно, то не существует ли
простого соотношения между различными решениями, которое поз-
позволяет выразить все решения через одно из них.
C) Наконец, если решение существует, то мы хотим знать как
его фактически найти.
Постановка этих трех вопросов станет ясней, если мы сравним
их с тремя соответствующими вопросами, возникающими при диф-
дифференцировании функций.
A) Функция ф (л:) может иметь производную для всех значений х
(как, например, функция хт, где т — положительное целое число,
или sin л:). Она может иметь производную для всех значений х, кроме
некоторых специальных значений (как, например, функции \gx
или sec л:). Или же она может не иметь производной ни для одного
значения х (как, например, функция из примера XXXVII. 20, которая
даже не непрерывна ни при одном значении л:).
Эта последняя функция разрывна при каждом значении х, a tg x
и sec х имеют производные во всех точках, в которых они непре-
непрерывны. Пример -/х показывает, что непрерывная функция может не
иметь производной при частных значениях х, в данном случае при
х = 0. Вопрос о том, существуют ли непрерывные функции, кото-
которые ни при одном значении х не имеют производной, или непре-
непрерывные кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной,
*) Не обязательно минимум в строгом смысле; см., однако, предпоследний
абзац в п. 123.
16 Г. Хардн

242 Глава шестая
слишком сложен для разбора в рамках настоящей книги. Интуиция
подсказывает нам отрицательный ответ на него; но, как мы уже
отметили в п. 112, высший анализ показывает, что в данном случае
интуиция вводит нас в заблуждение.
Во всяком случае ясно, что ответ на вопрос „имеет ли ф(л:)
производную <р' (х)?" зависит от разных обстоятельств. Мы вправе
ожидать, что обратный вопрос „существует ли функция ф (л:), про-
производная которой равна данной функции ^(л:)?" допускает также
разные ответы. Мы уже видели, что в некоторых случаях ответ
должен быть отрицательным: так, если ф (л:) есть функция, рав-
равная а, Ъ или с, в зависимости от того, отрицательно ли х, равно
ли оно 0 или положительно, то функции ф (л:) не существует, за
исключением того случая, когда а==Ь = с (см. пример XLVII. 5).
В этом случае данная функция разрывна. В дальнейшем мы будем,
однако, как правило, предполагать, что 4' (х) непрерывна. Тогда
ответ будет утвердительный: если fy (x) непрерывна, то всегда
существует такая функция ц>(х), что ф' (х)=$ (х). Доказатель-
Доказательство этого утверждения будет дано в гл. VII.
B) Второй вопрос не представляет никаких трудностей. В слу-
случае дифференцирования мы имеем определение производной, из ко-
которого с самого начала ясно, что не может существовать более
одной производной. В обратной задаче ответ одинаково прост. Если
Ф (л:) является решением задачи, то ф (л:) -j- С будет также решением
при любом значении постоянной С, причем в формуле ф (л:) -f- С
содержатся все возможные решения. Это сразу следует из п. 127.
C) Задача фактического нахождения ф' (л:) весьма проста, если
Ф(л:) — любая функция, определенная некоторой конечной комбина-
комбинацией обычных функциональных символов. Обратная задача гораздо
сложнее. Природа возникающих в ней трудностей станет нам более
ясной позже.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Если ф (л:) является производной от ф (л:), то ф (х)
называется интегралом от ty(x)*h Операция нахождения )
по заданной ф (л:) называется интегрированием.
Применяется следующее обозначение:
dx.
п.
I d же
Ф (л:) = Г ф (л:)
J п.
Вряд ли нужно особо подчеркивать, что символ I ... dx, так
d J
как и^-, должен рассматриваться пока только как символ некото-
некоторой операции; символы I и dx сами по себе ничего не означают
(как ничего не означают и взятые по отдельности символы d и d)
*) Часто употребляется также термин „первообразная" или „примитивная".
Однако мы все же придерживаемся терминологии автора. (Прим. nepet»)

Производные и интегралы 243
131. Задача практического интегрирования. Результаты первой
части настоящей главы позволяют нам сразу же записать интегралы
от некоторых простейших функций. Так,
Г xmdx == х , , I cos л: йл: = sin л:, Isinxdje^:— cosx. A)
Эти формулы следует понимать так, что функция, стоящая в пра-
правой части, является лишь одним из интегралов функции, стоящей
под знаком интеграла. Наиболее общий интеграл получается, конечно,
прибавлением к функции в правой части постоянной С, так назы-
называемой произвольной постоянной интегрирования.
В случае /и = —1 первая из формул A) теряет смысл, что
и следовало ожидать, так как мы уже видели (см. пример XLII. 4),
что — не может быть производной многочлена или рациональной
дроби.
Существование такой функции F(x), что DxF(x) = —, будет
доказано в следующей главе. Эта функция заведомо не является ни
многочленом, ни дробно-рациональной функцией; можно даже дока-
доказать, что она не является алгебраической функцией. Более того,
доказывается, что F(x) — существенно новая функция, не выражаю-
выражающаяся никакой конечной комбинацией рассмотренных выше элемен-
элементарных функций. Доказательство этого факта выходит за рамки
настоящей книги, но в гл. IX мы вернемся еще к этому вопросу и
подвергнем свойства функции F(x) систематическому рассмотрению.
Предположим сначала, что л: положительно. Тогда мы будем
писать
1т1п*> <2>
и назовем функцию в правой части этого равенства логарифмиче-
логарифмической функцией. Пока она определена только для положительных
значений л:.
Предположим, далее, что х отрицательно. Тогда —х положи-
положительно и, следовательно, 1п (—л:) определено. Но
-?-1п(— *)== — =-,
dx х ' — х х '
так что, когда х отрицательно,
f = ln(r-x). C)
Формулы B) и C) могут быть объединены в следующую формулу:
j^ = ln(±*):=ln|jf|, D)
16*

244 Глава шестая
где знак следует выбирать так, чтобы ±х было положительно. Эти
формулы имеют место для всех действительных значений х, отлич-
отличных от 0.
Основные свойства In x, которые будут доказаны в гл. IX, выражаются
соотношениями
1а 1 = 0, In — = — Ых, \пху = \ах-\- In у,
из которых второе является очевидным следствием первого и третьего.
Для целей настоящей главы эти свойства по существу не нужны, но иногда
они окажутся нам полезными, так как с их помощью мы сможем записать
некоторые формулы в более компактном виде.
Из последнего приведенного свойства логарифмической функции сле-
следует, что lax* равен 2 lax, если х > 0, и 2 1п (—х), если х <с 0, т. е. в обоих
случаях равен 2 la | x |. Таким образом, D) эквивалентно
Формулы A) — E) принадлежат к числу основных формул ин-
интегрального исчисления. К ним можно добавить еще следующие две:
Jdx , С dx ¦ w <с\
г-,—i = arctg;A:, 1 —F = -+- arc sin x v. F)
l+x» s J]A—x2 ~
132. Многочлены. Все общие теоремы п. 114 могут быть сфор-
сформулированы как теоремы интегрального исчисления. Так, например,
.мы имеем следующие формулы:
(x)dx, A)
J kf (x) dx = k^f (x) dx. B)
Здесь, конечно, предполагается, что произвольные постоянные соот^
ветствующим образом подобраны. Так, формула A) утверждает, что
сумма любого интеграла от f(x) и любого интеграла от F(x) яв-
является некоторым интегралом от f(x)-\-F(x).
Эти теоремы позволяют нам сразу написать интеграл от любой
функции вида 2^v/v (x)> т- е- линейной комбинации с постоянными
коэффициентами конечного числа функций, интегралы от которых
известны. В частности, мы можем сразу написать интеграл от много-
многочлена, а именно,
133. Дробно-рациональные функции. Теперь естественно пе-
перейти к интегрированию дробно-рациональных функций. Предполо-
*) По поводу определения знака см. п. 120.

Производные и интегралы
жим, что R {х) — некоторая дробно-рациональная функция, пред-
представленная в виде, рассмотренном в п. 118, т. е. в виде суммы много-
члена П (л:) и некоторого числа слагаемых вида -, г-р.
Мы можем сразу написать интегралы от многочлена и от всех
остальных слагаемых, кроме тех, для которых p=i\. В самом деле,
Г И dx- А 1
независимо от того, будет ли а действительным или комплексным
(см. п. 118).
Члены, для которых р = 1, представляют значительно ббльшие
затруднения. Из теоремы F) п. 114 сразу следует, что
»}• C)
В частности, если мы возьмем f(x) = ax-\-b, где а и b действи-
действительны, и будем писать <ф(х) вместо F(x) и ^ (л:) вместо F' (х), так
что ф (л:) — интеграл от ф (л:), то мы получим
J
= ±<р(ах + Ь). D)
Так, например,
ах~\-Ь\
ах
и, в частности, если а — действительное число,
их , ,
^1п д: — а .
х — а '
Таким образом, мы знаем интегралы от всех слагаемых в R (х), для
которых ; = 1 и а действительно. Остаются еще члены, для кото-
которых р = 1 и а комплексно.
Для того чтобы найти интегралы от таких членов, мы введем
дополнительное предположение, а именно, то, что все коэффициенты
в R (х) действительны. Если тогда а = у -\~ Ы является корнем крат-
кратности т уравнения Q(x) = 0, то и комплексно сопряженное число
а. = у — 8/ будет корнем того же уравнения той же кратности. И если
простейшая дробь -—_ ,р встречается в выражении для R (х), то
~А —
и дробь — также встретится в нем, где А комплексно сопря-
сопряжено с Ар. Это следует из характера алгебраических операций,
с помощью которых находятся простейшие дроби и которые по-
подробно разбираются в учебниках алгебры.

246 Глава шестая
Таким образом, если слагаемое — »• встречается в разложе-
нии R (х) на простейшие дроби, то вместе с ним встретится и сла-
слагаемое ~"|Г,.. Сумма этих двух слагаемых равна
х — y ~г °*
Эта дробь принадлежит к следующему общему виду:
Ах + В
где Ь"'<^ас. Читатель легко убедится в эквивалентности этих двух
видов; X, (j., у, 8 выражаются через А, В, а, Ь, с следующим образом:
А D
где Д = ас — Ьг и D = aB—ЬА.
Если в C) мы предположим, что F{f(x)} есть lnj/(x)|, то
найдем, что
E)
а если предположим, что/(л:) = (л:—¦ X) -f- jj.2, то найдем, что
| ТТ. ^7
А, в силу уравнений F) п. 131 и D) этого пункта,
-dx = — 2Sarctg^=A.
Эти две формулы позволяют нам интегрировать сумму тех дробей
в разложении R (х), которые мы рассматривали. А следовательно,
мы теперь в состоянии написать интеграл от любой действительной
дробно-рациональной функции, знаменатель которой может быть
разложен на линейные множители. Интеграл от такой функции со-
состоит из суммы многочлена, некоторого числа дробно-рациональ-
дробно-рациональных функций вида
А 1
р — 1 (х — a)P-i '
и некоторого числа логарифмических функций и арктангенсов.
Остается еще добавить, что если а комплексно, то указанная
дробно-рациональная функция, входящая в состав интеграла, встре-
встречается в нем вместе с аналогичной функцией, в которой А и а за-
заменены комплексно сопряженными числами, и что сумма двух таких
функций является действительной дробно-рациональной функцией

Производные и интегралы 247
Примеры XLVIII. 1. Доказать, что
А ,_, v, , D .lax-
где X—ах* -\- 2Ъх -f- с, если Д < 0, и
Лх+В . A. D ^ arn. ax+ b
2а
ауд
если Д>0, причем А = ас — Ъг и D=aB — ЪА.
2. В. том частном случае, когда ас = й2, интеграл равен
D + "
а
3. Показать, что если корни уравнения Q (х) = 0 все действительны
я различны и Р С*) — многочлен степени низшей чем Q(x), то
где суммирование производится по всем корням а уравнения Q(x) = 0.
[Вид простейшей дроби, соответствующей а, может быть получен нз
следующих соотношений:
4. Если все корни Q(x) действительны, а — двойной корень, а все
остальные корни — простые шР(х) — многочлен степени низшей, чем Q (х),
то интеграл равен
где
Л^ 2Р(а) ^ л, = 2 { ЗР' (a) Q" (в) - Р (a) Q'" (а) } ^ д = Р (р) ^
и суммирование производится по всем корням р уравнения C(x)^0, отлич-
отличным от а.
5. Вычислить
dx
[Разложение на простейшие дроби имеет вид
1 1I , 2-i I 2 + 1
,
4(дг —IJ 2(х —1) 8(х — гJ ~"~ 8(ж—г)
и интеграл равен
6. Проинтегрировать
X X X ЛГ
(х — а) (л: — Ъ) (х — с) ' (л: — af (х — *) ' (х^- af (х — йJ ' (х — а)8 '

248 Глава шестая
х х*
' х*(х* + а2) ' ~х(х2 + а2J"
7. Проинтегрировать
X
^
(х — 1)(х2+1) ' Г+л?' (ж —1J(х3+1)"
(Экз. 1924, 1926, 1934 гг.>
8. Доказать формулы
Jx2dx 1 f , 1+
r c
f
J 1
134. Замечание о технике интегрирования дробно-рациональных
функций. Рассмотрения п. 133 дают нам общий метод, с помощью которого
мы можем найти интеграл от любой действительной дробно-рациональной ¦¦
функции R(x), если мы можем решить уравнение Q(x) — 0. В простых
случаях (как в предыдущем примере 5) применение этого метода весьма
быстро приводит к результату. В более сложных случаях вычислительна»
работа, связанная с применением этого метода, может оказаться настолько
большой, что практически результат таким путем не может быть получен..
Тогда следует применять другие приемы. В задачу настоящей книги не
входит подробное рассмотрение техники интегрирования, и поэтому читатель,,
интересующийся этим вопросом, должен обратиться к другим руководствам,,
например, к курсу Э. Гурса (Курс математического анализа, т. I, гл. V,.
ГТТИ, М. —Л., 1933).
Если уравнение Q (х) = 0 не может быть эффективно решено, то метод
разложения на простейшие дроби вовсе неприменим, и следует обратиться
к другим методам1).
135. Алгебраические функции. Перейдем теперь к вопросу об
интегрировании алгебраических функций. Мы должны рассмотреть
задачу интегрирования у, где у является алгебраической функцией
от х. Однако удобнее рассматривать интеграл
Г R (х, у) dx,
где R (х, у) — любая дробно-рациональная функция от х и у. Этот
интеграл в действительности не является более общим, так как R(x,y)
сама является алгебраической функцией от х. Эта форма интеграла
оказывается более удобной; например, функцию
рх + д
рх -f q — У ах2 -j- 2Ъх '+с
Ч См. книгу автора „Интегрирование элементарных функций", ОНТИ,
1935. В практике интегрирования это случается довольно редко.

Производные и интегралы
удобнее рассматривать как дробно-рациональную функцию от х и от
простой алгебраической функции _у = |/ал:2-|-2Ьх-\-с, чем непо-
непосредственно как алгебраическую функцию от х.
136. Интегрирование подстановкой и рационализацией. Из
уравнения C) п. 133 следует, что если
то
J '(О <#=Ф {/('И-
J
Это уравнение дает нам метод нахождения интеграла от ф (л:) в боль-
большинстве тех случаев, когда значение интеграла не может быть
сразу найдено. Оно может быть сформулировано в виде следующего
правила: положим x=f(t), где f(t) — любая функция, выбор
которой представляется целесообразным; умножим Haf'{f)u опре-
определим (если это возможно) интеграл от §{f(.t)}f'{t); затем
выразим результат через х. Часто оказывается, что функция от t,.
к которой мы приходим в результате применения этого правила,
принадлежит к числу тех, интегралы от которых могут быть легка
вычислены. Это, например, всегда имеет место в тех случаях, когда
она является дробно-рациональной функцией; с другой стороны, часто
оказывается возможным выбрать зависимость между х и t так, что
мы как раз приходим к такой функции. Если, например, нужно найти
интеграл от R(-/x), где R — дробно-рациональная функция, то
с помощью подстановки х = Р мы приходим к интегралу от 2tR{t),
т. е. к интегралу от дробно-рациональной функции от t. Этот метод
интегрирования- назовем интегрированием рационализацией.
Его применение к рассматриваемой задаче очевидно. Если мы
можем найти такую переменную t, что х и у оба являются
дробно-рациональными функциями от t, скажем x = Rx(f),y =
= #2(Y), то
J{R1 (t), tf2@ }Я,' (t) dt,
а этот последний интеграл является интегралом от дробно-ра-
дробно-рациональной функции от t и может быть вычислен методами, изло-
изложенными в п. 133.
Важно знать, в каких случаях мы можем найти вспомогательную
переменную t, которая удовлетворяла бы этим условиям, но мы не
можем рассматривать здесь этот общий вопрос 1). Мы должны огра-
ограничиться несколькими простыми частными случаями.
См. книгу автора, цитированную на стр. 248.

250 Глава шестая
137. Интегралы, связанные с коническими сечениями. Пред-
Предположим, что х и у связаны уравнением вида
ах'1 -f Ihxy -f by** + 2gvc + 2?/ -j- с = О,
другими словами, что график у, рассматриваемого как функция от х,
является коническим сечением. Пусть (S, тг]) — любая точка на этом
коническом сечении и х — \=-Х, у— т]=К Если выразить соотно-
соотношение между л: и у в переменных X и Y, то оно примет следующий вид:
аХг -f 1hXY + bY*-f 2GX-J-2FV=0,
где F = A6 -f- bt\ -\~f, G=z=al-\-ht\-{-g. Положим в этом уравнении
Y==tX. Тогда мы найдем, что X и Y, а следовательно, и л: и у,
являются дробно-рациональными функциями от t. Действительно, мы
находим, что
х 1= 2(G + Ft)
a + 2ht-\-bt* ' у ' a -f Ш
Таким образом, процесс рационализации, описанный в предыдущем
пункте, может быть проведен.
Читателю предлагается проверить, что
так что
hx + by +/= - ~ (а + Ш +bf)
f dx _ g f ^
J hx + by+f J a + 2« + W2
Если й2 ^> аи, то вычисления удобнее всего продолжать следую-
следующим образом. Коническое сечение является гиперболой с асимпто-
асимптотами, параллельными прямым
или
Ь(у
Если мы положим jy — ]xx = t, то найдем:
и ясно, что х и у могут быть получены отсюда как дробно-рацио-
дробно-рациональные функции от t. Проиллюстрируем этот процесс на одном
важном частном случае.
138. Интеграл Г— Х . Допустим, в частности, что v! =
¦= ах1 -j- 2bx -f- с, где а>0. Полагая _у +¦« yra = t, найдем:
dt
' ty~a

Производные и интегралы
251
и, следовательно,
р dx
dx_ p <К 1_
.У J *тДГ+а~У"а
In
Если, в частности, а = 1, b = 0, с = а2 или в = 1,
получим:
J
г* — а*
= 0, с = — а2, то мы
^ '
Справедливость этих уравнений может быть непосредственно проверена
дифференцированием. К этим двум формулам следует присоединить еще
третью:
'гМг^ = атс&[п^' C)
которая соответствует случаю а<0. В формуле C) предполагается, что
х
а>0; если а<0, то интеграл равен arc sin -—- (см. п. 120). На практике
рассматриваемый интеграл следует вычислять сведением его (как это сделано
в следующем пункте) к одному из этих стандартных видов.
Формула C) представляется совершенно отличной от формул B), но
в гл. X читатель узнает о связи, существующей между ними.
139. Интеграл
\x-\- (J.
-dx. Этот интеграл может быть
У ах* +2Ьх
во всех случаях вычислен при помощи результатов предыдущего
пункта. Наиболее удобным методом вычисления является следую-
следующий. Так как
(ал: + &) +
ax
мы имеем:
-\-2bx-\-c
dx = \/'ахг-\- 2bx-\-c,
J
—r
= = — у ал:2-4-2bx4-c4-
л-r. a ' ' ' '
+ / /VI/
U
\ г п
dx
Vax*-\-2bx
В этом последнем интеграле а может быть положительным или отрица-
отрицательным. Если а положительно, то положим
тогда мы получим:
dt

252 Глава шестая
где х = ———. Если а отрицательно, то заменим — а на Л и по-
положим
тогда мы получим:
1 р dt
Y^~a J У — ъ — fi'
Таким образом мы видим, что вычисление этого интеграла сво-
сводится к вычислению интеграла, рассмотренного в п. 138, и что этот
интеграл сводится к одному из следующих трех:
Jdt p dt p dt
Yi^d* ' J ytiZZa? ' J у~&~р '
140. Интеграл I (X х + (*) У ах* + 26а: -\--с dx. Подобным образом нахо-
находим, что
Г (кх + (л) У ах* + 26а: -f~c dx =
= з^ («** + 2*а- + c)v* + (I* - у ) J Vax*+2bx + ~c dx,
а этот последний интеграл сводится к одному из следующих трех:
Г yt* + a* dt, Г |Аг« —а« Л, Г у а» — ^ ^.
Для вычисления этих интегралов здесь уместно ввести еще одну общую
теорему интегрального исчисления.
141. Интегрирование по частям. Теорема об интегрировании
по частям является лишь другой формулировкой правила дифферен-
дифференцирования произведения, доказанного в п. 114. Из теоремы C) п. 114
сразу следует, что
J /' (х) F (х) dx =f(x) F(x)-jj fix) F' (x) dx.
Может случиться, что функция, интеграл от которой ищется, пред-
ставима в виде /(x)F(x) и что /(x)F'(x) может быть проинтегри-
проинтегрирована. Предположим, например, что ф(х) = х^ (х), где ty (x) является
второй производной от известной функции "/ (х). Тогда
Г <р (х) dx = Г Х7," (х) dx = xl' (х) — (V (х) dx == х/.' (х) — х (х).
Мы можем проиллюстрировать применение этого метода интегрирования
на примере интеграла, рассмотренного в предыдущем пункте. Положим
f(x) = ax+b, F (х) = У ах* + 2Ъх + с =у.

Производные и интегралы 253
Тогда
а Гд» dx = (ax + b)y — Г (a* + Ь^ ¦ dx = (ах -\-Ь)у — а Г у dx+
так что
но мы уже видели, как вычисляется этот последний интеграл (см. п. 138).
Примеры XLIX. 1. Доказать, что если а>0, то
j j x
I/a? — л:2 dx — tj- x 1/a2 — л:2 -[" тг a2 агс sin — .
I la
^_ ^-, I ]/"a2— x2 dx с помощью под-
подстановки x = asin9 и показать, что результаты совпадают с полученными
в п. 138 и в примере 1.
3. Доказать с помощью подстановок ах-\-Ь = -гП х = —, что (в обо-
обозначениях пп. 133 и 141)
Jdx ax-\-b _ Г xdx bx -f- с
Jdx
г —. где Ь>а, тремя путями, а именно:
У (х — а) (Ь — х)
1° методами предыдущих параграфов, 2° подстановкой
Ь—х_р
х — а '
и 3° подстановкой x=;acoss9 -f- 6 sin2 9, и показать, что результаты совпа-
совпадают.
Xs
5. Проинтегрировать , г с помощью подстановок
и проверить совпадение результатов. (Экз. 1934 г.)
6. Проинтегрировать
1 1 л:24-1 х 1
-j-хй)• (а + л:)У~(Г+х'
(Экз. 1923, 1925, 1927, 1929 гг.)
7. Показать с помощью подстановки
±

254 Глава шестая
или умножением числителя и знаменателя на Ух -f- а — Ух + Ъ, что если
а>Ь, то
8. Найти подстановку, которая приводит
dx
к интегралу от дробно-рациональной функции.
(Экз. 1899 г.)
9. Показать, что I R { х, у ах-\-Ъ } dx приводится подстановкой
ax-\-b-=tn к интегралу от дробно-рациональной функции.
10. Доказать, что
J /" (х) F (х) dx = /' (х) F(x)-f (x) F' W + J / (x) F' (x) dx,
и вообще
Г /n)(x)F{x)dx =
=f(n-iHx)F(x) — fin—2'>(x)F'(x)+ ... +(—1)" $f{x)F{ri>{x)dx.
11. Интеграл i A -\-xyxidx, где/» и q — рациональные числа, может
быть вычислен в следующих трех случаях: A) когда р—целое число,
B) когда q — целое число и C) когда р-\-q — целое число. [В случае A)
положим x = us, где s — знаменатель q; в случае B) положим I -\- x — ts,
где s — знаменатель р; в случае C) положим 1+ x = xts, где s—¦ знамена-
знаменатель р.]
12. Интеграл I хт (ахп-\-Ь)Ч dx может быть сведен к предыдущему под-
подстановкой ахР^-^Ы*). [Практически конкретные интегралы этого типа удоб-
удобнее всего вычислять с помощью так называемых «рекуррентных формул'
(см. стр. 277, пример 55).]
13. Интеграл I ./? { х, Уах-\~Ь, Уcx-\-d}dx может быть приведен
к интегралу от дробно-рациональной функции подстановкой
¦ 4ЛГ~ и\ + t) ту t
14. Привести I R(x,y)dx, гяе у2(х—у) = х, к интегралу от дробно-
рациональной фуНКЦИИ. [ПОЛОЖИВ y — tX, МЫ ПОЛуЧИМ X=—^j-. ту,
*) Подинтегральная функция в примере 12 называется биномиальным
дифференциалом. Теорема о том, что перечисленные в примере 11 случаи
являются единственными, в которых интеграл от биномиального дифферен-
дифференциала выражается в конечном виде через элементарные функции, принад-
принадлежит П. Л. Чебышеву. (Прим. перев.)

Производные и интегралы 255
15. То же для функции, определенной уравнением
(a)y(x — yf = x;
(b) (х*+у-)* = а*(х* — уг).
В случае (а) положим х —y = t; в случае (Ь) положим x2-\-y* — t(x—у)
и найдем:
16. Есяяу(х—уГ=*х, то f-lX3_y =
17. Если (х*+у*? = 2с*(х* — у2), то
f
J .у(
142. Интеграл I R(x, y)dx, где j»2 = ахг -\- 2Ьх -\- с. Наиболее общий
интеграл, связанный в смысле п. 137 с коническим сечением уг—ахг-\-
-\-2bx-\-c, имеет вид
§R(x,Yx) dx, A)
где Х—у% = ах*-\-2Ьх-\- с. Мы предполагаем, что ^? — вещественная
функция.
р
Подинтегральная функция имеет вид -=-, где Р и Q — многочлены
W
относительно х и \f X. Поэтому она может быть приведена к виду
где А, В, ... —дробно-рациональные функции от а:. Новой является задача
интегрирования функции вида F УX или, что то же самое, - ._, где О —
У X
дробио-рациональная функция от х. Интеграл
всегда может быть вычислен разложением О на простейшие дроби. При
этом мы получим три различных типа интегралов.
1°. Прежде всего могут получиться интегралы вида
J
где т — положительное целое число. Случаи т = 0 и /и = 1 уже рассматри-
рассматривались в п. 139. Для вычисления интегралов, соответствующих большим
значениям т, заметим, что

56 Глава шестая
где а, р, f — постоянные, значения которых могут быть легко найдены.
Ясно, что после интегрирования этого уравнения мы получим соотношение
между интегралами типа C), соответствующими следующим друг за другом
значениям т. Так как нам известны такие интегралы в случаях т = 0 и
/я = 1, го мы сможем последовательно вычислить эти интегралы и для дру-
других значений т.
2°. Далее могут получиться интегралы вида
dx
(х — р)
где р—действительное число. Если мы сделаем подстановку х — p=. — t то
этот интеграл приведется к интегралу по t типа C).
3°. Наконец, могут получиться интегралы, соответствующие комплексным
корням знаменателя G. Ограничимся простейшим случаем, когда все такие
корни — простые. В этом случае (см. п. 133) паре комплексно сопряженных
корней знаменателя G соответствует интеграл типа
Lx + M
J;
(Ах3 + 2Вх + С) Уах* + 2Ьх + с
Для вычисления этого интеграла положим
где ц, и v выбраны таким образом, чтобы выполнялись условия
afj.v + *(t* + ¦») + с == 0, Ау.ч + В(р. + ч)+С = 0,
так что \х и v являются корнями уравнения
(аВ — ЪА) e — (cA — aC)Z + (bC — сВ) = 0.
Это уравнение имеет действительные корни, так как оно совпадает с урав-
уравнением A) примера XLVI. 13. Поэтому искомые ,и и v имеют действительные
значения.
Делая подстановку, мы найдем, что интеграл E) принимает вид
+К J F
Н ) (аР-\-$)У^Щ+К J
Второй из этих интегралов рационализируется подстановкой
t
V
что дает
du
р Л Г
Наконец, если в первом из интегралов F) мы положим t = —, то он пре-
преобразуется в интеграл второго типа и, следовательно, может быть вычислен
только что указанным образом, а именно, подстановкой

Производные и ингНегрйЛЫ $57
-f
— г,
Примеры L. 1. Вычислить
р dx /• dx P dx
2. Доказать, что
dx
3. Если ags + сЛ8 = — v < О, то
dx I
Г
ate to
ch — agx
Jdx
-, г—t где yt = axl-\-2bx-\-c, может быть
представлен в одном из следующих двух видов:
—Lin
ахх0 + Ь (х + х0) +
-х0
агс
в зависимости от того, будет ли ax\-\-2bxa-\-c положительно (в этом слу-
случае мы обозначаем это выражение через у\) или отрицательно (в этом слу-
случае это выражение обозначается через — z%).
5. Показать с помощью подстановки
что
Г
J
(х
йу
где X = ар* -\-2bp -\-с, \ь = ас — Ьг. [Этот метод вычисления весьма изящен,
но он не столь прямолинеен, как метод, изложенный в п. 142.]
6. Показать, что интеграл
dx
J:
рационализируется подстановкой
(Экз. 1911 г.)
*) Изложенный метод интегрирования не применим в том случае, когда
а Ь
—j-=:-=-; но в этом случае интеграл вычисляется подстановкой ах 4-b = t.
Дальнейшие сведения по интегрированию алгебраических функций читатель
найдет в следующих книгах: Stolz, Grundzllge der Differential und inte-
gralrechnmg, т. 1, стр. 331 и ел., или Bromwich, Elementary integrals,
стр. 253. Другой метод вычисления был дан Гринхиллом: см. Greenhill,
A chapter in the integral calculus, стр. 12 и ел.; см. также книгу автора,
цитированную на стр. 248.
17 Г. Харди

258 Глава шестая
7. Вычислить
р (x+l)dx
J (xs
8. Вычислить
J
dx
\2х + 8)Убх2 -f 2x— 7'
I Применить метод п. 142. Уравнением, которому удовлетворяют [а и v,
является ?2 + 3$-|-2 = 0, так что ц== —2, v = — 1, и соответствующей под-
подстановкой будет
t + 1'
В результате этой подстановки интеграл приводится к
dt _ л t it
—4*
Первый из этих интегралов рационализируется подстановкой
а второй — подстановкой
г 4
9. Вычислить
J(x-\-l)dx г* (л:—\)dx
Bxs — 2л- +1)V^—^x^l' J Bл-2 — 6x^5)Y'Txi — 22л: + 19*
(Эжз. 1911 г.)
10. Показать, что интеграл I # (х, у) dx, где _у* = ал^ -f 2йх-J- с, рацио-
рационализируется подстановкой
где (р, ^) является любой точкой на коническом сечении у2 = ах* -\- 2Ьх -\- с.
[Этот интеграл, конечно, рационализируется и подстановкой t== .
См. п. 137.]
143. Трансцендентные функции. Благодаря большому разнооб-
разнообразию классов трансцендентных функций, теория их интегрирования
значительно менее систематична, чем теория интегрирования дробно-
рациональных или алгебраических функций. Мы рассмотрим здесь
несколько классов трансцендентных функций, интегралы от которых
могут быть всегда найдены.
144. Многочлены относительно косинуса и синуса от аргу-
аргументов кратных х. Мы всегда можем найти интеграл от любой
функции, которая является суммой конечного числа слагаемых вида.
A cos ax sin™'ax cos" bx sinn'bx...,

Производные и интегралы. 259
где /и, т\ п, /г',... — положительные целые числа, а а, Ь,... —
любые действительные числа. В самом деле, такое выражение может
быть представлено в виде суммы конечного числа слагаемых видов
a cos {{pa -f qb -j-...) л:}, ? sin {{pa -j- qb -\-...) x},
a интегралы от этих выражений могут быть сразу записаны.
Примеры LI. 1. Проинтегрировать sinaxcos22.x:. В этом случае мы при-
применяем формулы
sin* х = -j C sin х — sin Зх), cos2 2x = у A + cos 4дг).
Перемножая эти два выражения и заменяя, например, sinxcos4x выраже-
выражением -_- (sin 5х — sin Злг), находим, что
jx I G sin х — 5 sin Зх -)- 3 sin 5x — sin 7x) dx =
= — Tg COS X + Tg COS 3x — gTj COS 5x -|- yp: COS 7X.
Этот интеграл может быть, Конечно, вычислен и другими методами,
причем результаты получатся в различных формах. Например,
I sin* х cos* 2x dx = I Dcos4x — 4cos*x-f- 1)A—cos2 x) sin x dx,
что после подстановки cos .*:=:* приводится к виду
Г D^ — 8^ + 5^— l)dt = ~ cos7x — -jcossx+ -|- cos'x — cosx.
Нетрудно проверить, что это выражение отличается от полученного выше
только аддитивной постоянной.
2. Проинтегрировать любым методом cos ax cos Ьх, sin ax sin far,
cos ax sin Ьх, cos* x, sin* x, cos1 x, cos x cos 2x cos Зх, cos* 2x sin*3x, cos6 x sin7 x.
[Во многих из таких случаев бывает удобным применить рекуррентные
формулы (см. пример 55 на стр. 277).]
145. Интегралы (лг" cos x dx, \ jfsinxdx и подобные им.
Метод интегрирования по частям дает нам возможность обобщить
предыдущие результаты. В самом деле, так как
\xacosxdx= л:" sinх — п X х"'1 sinxdx,
I Xя sin x dx = —хп cos x -j- n I х"~* cos x dx,
эти интегралы могут быть вычислены при целочисленном положи-
положительном я повторным применением этих формул. Таким образом,
интегралы IXя cos ax dx и I лг" sin алг </лг могут быть всегда вычис-
вычислены, если п — положительное целое число. Следовательно, методом,
17»

260 Глава шестая
подобным тому, который был применен в предыдущем пункте, мы
можем вычислить
1 Р (х, cos ax, sin ax, cos bx, sin bx,...) dx,
где Р—- любой многочлен.
Примеры Ш. 1. Проинтегрировать х sin x, x2 cos x, х2 cos2 x, xfsin2 x sin2 2x,
X sin* л- cos4 х, х3 sin* -=- х.
о
2. Найти такие многочлены Р и Q, что
I {(Зх — 1) cosх -f (I — 2лг) sin x} dx = Р cos x + Q sin x.
3. Доказать, что
где
Р„ = пхп~1-~п(п — 1)(п —2)хя~* + ..., Qn — xn— л (л ¦
146. Дробно-рациональные функции от cos* и sinx. Инте-
Интеграл от любой дробно-рациональной функции от cosx и sinx может
быть вычислен подстановкой tg-~- = t. Действительно,
1— t* . It dx 2
Так что интеграл приводится к интегралу от дробно-рациональной
функции от t. Но иногда более удобными являются другие подста-
подстановки.
Примеры НИ. 1. Доказать, что
I sec х dx = In | sec x -\- tg x |, I cosectd.*T =
In
tg
2 ¦
т~Ь^) ' тРетьеи
Другой формой первого интеграла является In tg
является
1 . 1 -f- sin л: i
2~1П i^slnxi-
'•• I tgArdx= — In | cos x\, | ctgArdx=ln I sin д: i t I sec*ArdAr= tgx,
( cosec* xdx = — ctg x, i tg x sec x dx = sec x,
I ctg x cosec xdx = — cosec x.
[Эти интегралы являются частными случаями общего вида интегралов
Дробно-рациональных функций от cosa: и sinx, но для их вычисления не

Производные и интегралы 261
нужна подстановка, так как результаты сразу следуют из п. 120 и уравне-
уравнения E) п. 133.]
3. Показать, что интеграл от -т—v , где а + Ь положительно,
d —г— о cos х
может быть выражен в одной из следующих двух форм:
2
где t= tg-~-> причем первое выражение имеет место, если а2 > b", a второе —
если а2<#'. Если а* = Ьг, то интеграл приводится либо к интегралу от
sec* -_-, либо к интегралу от cosec2 у, н может быть вычислен сразу. Вывести
выражения для этого интеграла в том случае, когда а -\- b отрицательно.
4. Показать, что если у определено, как функция от х, соотношением
(а 4- b cos х) (а — b cosy) = а* — b*,
где а, положительно и а2 > Ь2, то когда х изменяется от 0 до я, одно и
значений, у также изменяется от 0 до -. Показать также, что
"|/"а2—6s sin v sin* dx sinv
Sill JC ~*~ ' • ^—¦———-^— —— iC.
a —b cosy 'a+dcosx dy a —b cosy
и вывести, что если 0<х<^, то
dx
arc cos
—г-,—¦— ,
a-j-bcosx]
Показать, что этот результат совпадает с результатом примера 3.
5. Показать, как можно вычислить интеграл от
1
а + b cos x -j- с sin x '
[Выразить b cos x -j- с sin х в виде~^#2+с* cos {х — а),]
6. Проинтегрировать
а + b cos x -j-cs'mx
[Определить X, jj., i так, чтобы имело место соотношение
a -j-b cosx-j-c sinx = X-j-!J.(a-j-p cos дг + 7 sin x) -)-v(—[3 sinx +1 cosx).
Тогда интеграл равен
,»X + vln|« + jiCO8X+78lnx| + *f a+pcog"+Tginx \
7. Проинтегрировать
a cos2 дг-f- 2 b cos xsinx-j-c sin**'
Это выражение может быть представлено в виде

262 Глава шестая
где А = -=- (a -j- с), #=-х-(а— с), С = Ь. Но интеграл может быть вычислен,
проще подстановкой tgx — t, с помощью которой мы находим, что
Jsec* х dx Г dt _ 
a+2bXgx + ctg*x ~~J a+2W+cr "J
147. Интегралы от функций, содержащих arc sin х, arc tg-дг и In x.
Интегралы от arc sin x, arctgjf и 1плг могут быть легко вычислены
интегрированием по частям. Действительно,
Гаге sin xdx—x arc sin x— i I_f_r=ocarcsinx4-V^l
arctgjfdjf = jfarctgx— I ^ , 8 =xarcigx — -^ In
I lnxdx = xlnx— \dx = x(lnx — 1).
Вообще мы можем проинтегрировать функцию cp(jt), обратную
f(x), если мы знаем интеграл от /(лг), так как подстановкаy—f(x)
дает:
J?О) dy = §xf' (x)dx = xf (л:) - J/(jc) dx.
Интегралы вида
j Р (лг, arc sin лг) с?лг, j P (x, In лг) dx,
где Р—многочлен, всегда могут быть вычислены. В первом случае,
например, мы должны вычислить несколько интегралов вида
I лгт (arc sin лг)" dx.
Делая подстановку ;c=sin.y, получаем:
|У sin .у cos .у dy,
а этот интеграл может быть вычислен методом, изложенным в п. 145.
Во втором случае мы должны вычислить ряд интегралов вида
лгт (In дг)" dx.
Интегрируя по частям, находим, что
Г
и вычисление может быть доведено до конца повторным примене-
применением этой формулы.
пример. Проинтегрировать. х^\пх, *nln(l-f.x:), x8arctgх8 и*~л1п*.
{Экз. 1924, 1929, 1934 гг,)

Производные и интегралы
263
148. Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми. Одним
из наиболее важных приложений процессов интегрирования, изложен-
изложенных в предыдущих пунктах, является вычисление площадей фигур,
ограниченных плоскими кривыми. Допустим, что Р0РР' (фнг. 41)
представляет собой график непрерывной функции у = ср (х) и что
он целиком лежит над осью х. Пусть Р — точка (х, у) и Р'—
точка (x-\-h, y-\-k), где А может быть и положительным и отри-
отрицательным (на чертеже А
положительно). Задача со-
состоит в вычислении площа-
площади ONPP0.
Понятие „площади" тре-
требует весьма тщательного
рассмотрения, и мы вернем-
вернемся к нему еще в гл. VII. По-
Пока же будем считать его
известным. Будем предпо-
предполагать, что всякой такой
области как ONPPU может
быть поставлено в соот-
соответствие некоторое поло-
положительное число, которое
мы будем обозначать через (ОМРР0) и называть площадью, при-
причем эти числа обладают некоторыми очевидными свойствами, под-
подсказываемыми нашей геометрической интуицией, например:
р,
/
/
р
Р'
N N'
Фиг. 41
(PRP1) + (NtfRP) = (MN'P'P),
Л) < (ONPP,)
и т. д.
Ясно, что если мы все это предположим, то площадь фигуры
ONPPq будет функцией от х; обозначим эту функцию через Ф (х).
Ф (х) является непрерывной функцией. В самом деле,
Ф (х + h) — Ф (лг) =
= (NtfRP) -f (PRP1) = h «p (x) + (PRP').
Из чертежа видно, что площадь PRP' меньше чем hk. Это, однако,
не всегда будет иметь место (см., например, фиг. 41а), потому что
дуга РР' может не быть монотонно возрастающей или убывающей
от Р к Р'• Но площадь PRP будет всегда меньше чем | h \ X (А),
где X (К) обозначает наибольшее расстояние любой точки дуги РР'.
от PR. С другой стороны, так как ер (х) — непрерывная функция,
X (/?)-*-О при А—»0. Таким образом,
ф [х + А) -, Ф (х) = А {? (*) + и (А)},

264 Глава шестая
где | jj.(А) | ^ X (А) и Х(А)—>() при А—»0. Отсюда следует, что Ф(х)
непрерывна. Более того,
()
ft —0 л Л—О
Таким образом, ордината кривой равна производной площади, а
площадь является интегралом от ординаты.
Теперь мы можем сформулировать следующее правило для нахож-
нахождения площади ONPPq. Вычислим Ф (х) — интеграл от ср(лг), при-
причем произвольную постоянную выберем так, чтобы Ф @) = 0.
Тогда Ф (лг) и является искомой площадью.
Если бы требовалось вычислить площадь NiNPP,, то мы должны были
бы определить произвольную постоянную так, чтобы Ф(лг1)=:0, где xt есть
абсцисса точки Pt. Если кривая лежит под осью х, то Ф(х) отрицательна,
н площадь будет равна абсолютной величине Ф (х).
149. Длины плоских кривых. Понятие длины также требует
весьма тщательного рассмотрения. Оно значительно сложнее поня-
понятия площади. В действительности, предположение, что дуга Р0Р
(см. фиг. 41) имеет определенную длину, которую мы обозначим через
S(x), недостаточно для нашей цели, тогда как соответствующее
предположение относительно площади оказалось достаточным. Мы даже
не можем, исходя из него, доказать, что 5 (х) непрерывна, т. е. что
lim {S (/>') — S (Р)} = 0.
Это кажется достаточно очевидным на большей фигуре, но уже
менее очевидно в случае, изображенном на меньшей фигуре. Мы не
можем, таким образом, продолжать наши рассмотрения с какой бы
то ни было степенью строгости без подробного анализа того, чтб
следует понимать под длиной кривой.
Однако легко видеть, чтб должна представлять собой оконча-
окончательная формула. Предположим, что кривая имеет в каждой точке
касательную, направление которой непрерывно изменяется, т. е. что
ф' (х) непрерывна. Тогда предположение, что кривая обладает длиной,
ведет к соотношению
h ' ~ h ~~ h ' РР' '
где {РР'} обозначает длину дуги, стягиваемой хордой РР'. Но
где I лежит между х и x-\-h. Следовательно,

Производные а интегралы 265
Если мы далее предположим, что
то получим следующий результат:
5- {х) =Пт s
и, таким образом,
Примеры LIV. 1. Вычислить площадь сегмента, отсекаемого от параболы
_у=-—- прямой *==?, а также длину дуги, ограничивающей его.
л;8 у2
2. Показать, что площадь эллипса -.4-т? = 1 равна глЬ.
а* о*
3. Площадь, заключенная между кривой д:=_уаA—х) и прямой х=1,
равна тт. (Зга. 1926 г.)
4. Начертить кривую A-|-хгIу8 = хгA — х2) и доказать, что площадь
петли равна -=- (л — 2).
(Экз. 1934 г.)
5. Начертить кривую a'jv8 = -^5 Bл — х) и показать, что площадь фигуры,
ограниченной этой кривой, равна — т.а*.
(Экз. 1923 г.)
6. Доказать, что площадь между кривой
х\ 2/з v
а/ ' й
4
н отрезком (— а, а) оси х равна -=- ab ,
(Экз. 1930 г.)
7. Найти площадь, ограниченную кривой y = sinx и отрезком оси х
от х=0 до д:=2к. [Здесь Ф(дг) = — cosa;, а разность между значениями
— cos л: при х—0 и при дг=2т: равна 0. Это объясняется, конечно, тем, что
между дг=т:и х — 2>: кривая лежит под осью х и соответствующая часть
площади входит со знаком минус. Площадь от х—0 до х = к равна
— cos т. -)- cos 0 = 2, а вся искомая площадь, если каждая ее часть считается
положительной, равна 4.]
8. Предположим, что координаты любой точки некоторой кривой даны,
как функции параметра t, уравнениями х = <р (t), _у = 4* (*)> где 9 и 4* — Функ-
Функции от t с непрерывными производными. Доказать, что если х монотонно
возрастает, когда t изменяется от, *0 до tu то площадь области, ограничен-
ограниченной соответствующей дугой кривой, осью х и двумя ординатами, соответ-
соответt t абсолютной величине разности A (ti) — A (t0), где
9. Предположим, что С —замкнутая самонепересекающаяся кривая,
обладающая тем свойством, что любая прямая, параллельная одной из осей
координат, пересекает ее не более чем в двух точках. Предположим, далее,
что координаты любой точки Р на кривой могут быть выражены, как в при-
примере 8, через параметр t и что когда t изменяется от *„ до tv Р движется

266 Глава шестая
в одном и том же направлении вдоль кривой и возвращается после одного
полного обхода в исходное положение. Показать, что площадь, ограниченная
кривой, равна абсолютной величине разности начального и конечного зна-
значений любого из интегралов
10. Применить результат примера 9 к определению площадей, ограни-
ограниченных кривыми:
11. Найти площадь петли кривой х? ~\-уг = Ъаху. [Полагая y~tx, по-
получим:
Когда t изменяется от 0 до оо, точка один раз описывает петлю. Далее,
С i dx dy\ .. 1 С , d Iу \ ., 1 С
2A+^*)
A
что стремится к нулю при t—>oo. Следовательно, площадь петли равна
— »1
12. Найти площадь петли кривой х* -\-уъ = 5ахгу*.
13. Площадь кривой
х = a cos t -j- b sin t + c, y=.a' cos t + b' sin t -\- c',
где ab' — a'#>0, равна ъ(аЬ' — a'b).
(Экз. 1927 г.)
14. Доказать, что площадь петли кривой х = a sin It, у = a sin t равна
(Экз. 1908 г.)
15. Начертить кривую
х = cos It, у = sin 3*
и найти площадь петли. Найти уравнение кривой в декартовых координатах
и объяснить, почему график, соответствующий этому уравнению, отли-
отличается от первоначального.
(Экз. 1928 г.)
[В обычной теории кривых, заданных уравнениями в параметрической
форме, предполагается, что х'(t) н у'(t) не обращаются одновременно
в нуль; значению t, прн котором обе этн производные обращаются в нуль,
соответствует некоторая особенность кривой. В данном случае х'(t) и у'(t)
обращаются в 0 при t=±~, когда х==—1, _y = :pl. Если, например, /
возрастает от 0 до 4-, точка (х, у) движется вдоль первого графика от
A, 0) до (— 1, — 1), но затем поворачивает обратно н возвращается по прой-
пройденному пути.
Уравнение в декартовых координатах получается исключением i: = sin<
из уравнений аг=1—2-е1, у = Зт: — 4-е3, и только та часть второго графика,
для Которой | % | ц? 1, принадлежит первому графику.]

Производные и интегралы. 267
16. Дуга эллипса, заданного уравнениями х=а cost, y — bs'mt, между
точками t = tt и i=ta имеет длину, равную F(it) — F(tt), где
Fit) —а f }Л—e*siiA
dt
и е — эксцентриситет эллипса. [Этот интеграл не может быть выражен через
функции, которые нами рассматривались.]
17. Координаты точки на циклоиде даются уравнениями
х = а (t + sin t), у = а (I-{-cost).
Обозначим через Р и Q точки, которым соответствуют значения параметра
t=—y и t = -i- .Вычислить площадь, ограниченную дугой PQ циклоиды
и прямыми OP, OQ.
(Экз. 1934 г.)
18. Полярные координаты. Показать, что площадь, ограниченная кривой
г =/(8), где/F) — однозначная функция от 6, и лучами 8 = 6j, 8 = 8а, равна
/г(9»)-/г(91), где
) = -^ ЛЯ.
Показать также, что длина соответствующей дуги равна Ф(98) — Ф(в1), где
С помощью этих формул определить A) площадь и периметр круга
1 А
г = 2а sin 8; B) площадь между параболой r = -~-l sec* -у и хордой, проходя-
проходящей через ее фокус перпендикулярно ее оси, а также длину соответствую-
соответствующей дуги параболы; C) площадь, ограниченную кривой r=a-+-*cos8 в слу-
случаях а>Ь, а = Ь и а<Ь; D) площади эллипсов
-j = а cos» 8 + 2ft cos 8 sin 8 -f * sin* 6
и
— = 1 + e cos 8.
[В последнем случае мы приходим к интегралу
A -f e cos 6)! '
который может быть вычислен с помощью подстановки (см. пример LI1I. 4)
A + е cos 6) A — е cos ср) = 1 — е*.]
19. Начертить кривую 26 = 1 н показать, что площадь, ограничен-
ная лучом 8 = |3 и двумя ветвями кривой, касающимися друг друга в точке
Г^<?, 9 = 1, равна |?!(C»-1K/2,
{дна, 1900 г,)

268 Глава шестая
20. Начертить кривую по уравнению
ТЗД3
где а > Ь > 0, н доказать, что площадь, ограниченная ею, равна -~^-7.
(Экз. 1932 г.)
21. Кривая задана уравнением p=f(r), где г—радиус-вектор, а
р — длина перпендикуляра, опущенного нз полюса на касательную. Показать,
что вычисление площади области, ограниченной дугой кривой и двумя
лучами, исходящими из полюса, сводится к вычислению интеграла
2 J Vr'—P* '
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. VI
1. Функция f(x) определена следующим образом: она равна 1-\-х для
gO, равна х для 0<д:< 1, равна 2 — х для 1 ^д:^2 н равна Ьх — хг
для дг>2. Исследовать непрерывность f(x) и существование н непрерыв-
непрерывность /' (х) при лг = О, х = 1 н дг=2.
(Экз. 1908 г.)
2. Обозначая а, ах -f- й, ал;8 -j- 2bx -\-c, ... через и0, и1( й8, ... , пока-
показать, что
1 З J 2J и
не зависят от х.
3. Если а0, аг, ..., агп — постоянные и
Ur = (a0,ai,...,ar
то
иоит - inujj^ + ?/ti?^pL)
не зависит от х.
(Экз. 1896 г.)
[Проднфференцировать и использовать соотношение Ur' — rUr_t.\
4. Первыг трн производные от функции arc sin (jj. sin x) — x, где[*>Ц
положительны для 0 sgc x s=C -1-,
5. Элементы некоторого определителя являются функциями от х. Пока-
Показать, что производная этого определнтеля равна сумме определителей, обра-
зованвых из исходного определителя дифференцированием одной строки.
6. Если Д, /2, /3, /4 — многочлены степени не выше четвертой, то
/г
Л
п
Л"
/•
п
п
¦СЧ1
/,
л
я
Л"
Л
Л
л
Л"
также является многочленом степени не выше четвертой. [Продифференци-
[Продифференцировать пять раз, применяя результат примера 5 и отбрасывая определители,
равные нулю.]
*) По поводу этого обозначения см. стр. 217. (Прим. пере$,)

Производные и инШгралк
7. Если yz=l и^=- Drxy, zs = - О*хг,
то
г*
'' z%
Zi
1
У*
У»
Уз
Уз
8. Если
(Экз. 1905 г.)
W(y,r, a)-.
и'
Ll" *" It"
у" z" и
где штрихи обозначают дифференцирования по х, то
9. Если
ах* + 4hxy + by*
то
то
dx~
10. Если
ax + hy+g
+/' is*"
' __ abc + 2fgh — а/а — bg* — ch*
О,
. 1903 г.)
П. Проверить,, что дифференциальное уравнение
.У = <р{ф(У1)}+<р{* —^Oi)}.
где У! обозначает производную от ^ai — функцию, обратную ср', удовлет-
удовлетворяется функциями .У —<p(c)-j-<p(-? — с) и _y = 2tp(-g
12. Проверить, что дифференциальное уравнение
х
я» \
—-1 и
(в обозначениях примера 11) удовлетворяется функциями ,у =
У~?х, где Р = —— и а является любым корнем уравнения
?(«) —<кр' (а) =0.
13. Если ал: -j- by -\- с = 0, то у3 — 0 (индексы обозначают дифференци-
дифференцирования по х). Это означает, что общим дифференциальным уравнением
всех прямых линий является _у2 = 0. Найти общее дифференциальное урав-
уравнение A) всех окружностей с центрами на оси х, B) всех парабол, ось
которых совпадает с осью х, C) всех парабол с осями, параллельными оси у,
D) всех окружностей, E) всех парабол, (б) всех конических сечений.
[Соответствующие уравнения имеют внд: A) 1-f- v! + W2 = 0, B)
&0l0D) {1+г1E) З& 9

270 Рлаба шестая
В каждом случае мы должны сначала написать общее уравнение рас»
сматриваемых кривых и дифференцировать его до тех пор, пока мы получим
достаточно уравнений для исключения произвольных постоянных.]
14. Показать, что общие дифференциальные уравнеиия всех парабол и
всех конических сечений могут быть записаны, соответственно, в следующем
виде:
&1 Ь>Г Ув) = 0, Dl (у,- *'*) = 0.
[Уравнение коннческого сечения может быть записано в виде
у = ах + b ± Vpx* -f 2qx +7.
Отсюда мы выводим, что
У» = ± {pr- q*) (px* + 2qx + r)~ 3/*.
Для параболы р = 0.]
15. Обозначая
dy_ l^i J_ d*y J_ d>y_
dx' 21 dx*' 3! dx*' 41 dx*' "'
через t, a, b, c, ... и
dx_ l^dPx j_ d»x J_ d??
dy ' 21. dy2' 3! dy3> 4! rfy4' -"
через x, a, §,¦(,..., показать, что
Вывести аналогичные формулы для выражений
аЧ — babe — 2b3, (l+t*)b — ЪгЧ, 2d — 5ab.
16. Если у = cos(m arc sin*), и у„ обозначает я-ую производную от у, то
2 - ла) уя = 0.
(з. 1930 г.)
[Доказать сначала для случая л = 0 и затем я раз продифференцировать,
применяя теорему Лейбница.]
17. Доказать формулу
где п — любое положительное целое число. [Применить метод индукции.]
18. Показать, что
d \in sin х 2я! , _ . ч _ . ч . ,
) = х*™ I 8Я-Х (дГ) C0S x ~ Cin (x) Sm **'
где С2Я(-*) и San_j(x) определены как в примере XLV1. 5.
(Экз. 1936 г.)
19. Доказать, что
V —1
'v iJ 2j ( J Bv - 2rf» cos 2 (v - /) *.
(Э«з. 1928 r.)
(
/¦•=0

оа е arc sin л: л л
20. Если _у =--г-г==-, где — 1<л-<1 и — — < arc sin x < у, то
Производные и интегралы 271
si
(l-
причем индексы обозначают производные по х.
(Экз. 1933 г.)
21. Если у — (arc sin xJ, то
A - х*)у„+1 - B« -1).% - (и - 1)%_! = 0.
Найти отсюда значения всех производных от _у при х = 0.
(Экз. 1930 г.)
22. Кривая задана уравнениями
х = а B cos t -f cos 2*), .у = a B sin * — sin 2t).
Доказать, что A) уравнения касательной и нормали в точке Р кривой,
которой соответствует значение параметра /, имеют вид
. t , t Ы t . t „ 3t
л:sin y-f _ycosy = asin -„-, xcos-?r — у sin-?r = 3a cos-^ ;
B) касательная в точке Р пересекает кривую в точках Q и R, которым
соответствуют значения параметра —-=- и л~'о'; ^ QR — ^a; D) касатель-
касательные в точках Q и R взаимно перпендикулярны и пересекаются на окруж-
окружности Xs + У* = а8; E) нормали в точках Р, Q и R проходят через одну
точку, лежащую на окружности х* -{-ys = 9a-; F) уравнение кривой может
быть записано в виде
(х- +у* + 12ах + 9агу = 4a Bx -f ЗаK.
Начертить эту кривую.
23. Показать, что уравнения, определяющие кривую в примере 22, могут
быть заменены следующими:
где % — x-\-yi, i\ = x—yi, u = Cis/. Показать, что уравнения касательной и
нормали к кривой в точке и имеют вид
usS — uv) = a(u8 — 1), us5-fШ]=За(и8+1),
и вывести отсюда свойства B) — E) кривой из примера 22.
24. Показать, что условие равенства корней уравнения
x*-\-Apxs — Aqx—1 = 0
может быть записано в виде
(Экз. 1898 г.)
25. Пусть а, р, 7 — корни кубического уравнения / (х) = 0, расположен-
расположенные в возрастающем порядке. Показать, что если (а, р) и (?, у) разделены
каждый на шесть равных частей, то корни уравнения /'(jc) = O будут лежать
в четвертых по счету подинтервалах справа и слева от р. Каково будет
кубическое уравнение в тех случаях, когда один из корней уравнения
f'(x) — 0 попадает в точку деления?
(Экз. 1907 г.)

2?2 Глаба шеШай
26. Если «р (х) — многочлен и X—действительное число, то между кажДоЙ
парой корней уравнения «р(лг) = О лежит по крайней мере один корень
уравнения
[Рассуждать, как в примере XLI. 10.]
27. Если а н fi — два следующих друг за другом корня уравнения <р = 0,
то число корней уравнения <(/-[-Х<р = О (с учетом их кратности) между а и ji
нечетно.
Если все корни уравнения <р = 0 действительны, то и все корни уравне-
уравнения <р'-[-Х<р=О действительны, и если все корни первого из этих уравне-
уравнений— простые, то такими же будут все корни второго.
(Экз. 1933 г.)
28. Вывести из примера 27, что
имеет п простых корней, которые все лежат между —1 и 1.
(Экз. 1933 г.)
29. Исследовать на максимумы и минимумы фуикцию f(x) и найти дей-
действительные корни уравнения /(jc) = O, если f(x) — одна из функций
х—sin* — tg a A —cos*), x— sin* — (a — sin a) — tg у (cos а — cos*)
и a—угол между 0 н тт. Показать, что в первом случае условием двойного
корня является то, чтобы tga— а было кратным тс.
30. Показать, что можно найти такое отношение X:;*, что кории
уравнения
X (а*2 + 2Ьх + с) + ;* (а'х* + IV х + с') = 0
будут 'действительными и разность их будет равна любому заданному числу,
за исключением того случая, когда корни этих квадратных трехчленов дей-
действительны и перемежаются, и что в этом случае корни всегда действи-
действительны, но существует нижняя грань для модуля их разности.
(Экз. 1895 г.)
[Рассмотреть график функции
а'х* + 2Ь'х + с'1
см. пример XLVI. 13 и ел.]
31. Доказать, что
sin кх _ ,
для 0 < х < 1, и построить график этой функции.
32. Построить график функции
1JL
33. Установить общий вид графика функции у, если дано, что
dy_Fx* + x— l)(x— 1)а(*+1)8
dx~~ х*
(Экз. 1908 г.)
34. Прямоугольный лист бумаги сложен так, что один из его углов лежит
на противоположной стороне. Показать, как должна быть сложена бумага,
чтобы длина сгиба была наибольшей.

Производные и интегралы 273
35. Наибольший острый угол, под которым эллипс
может пересекаться с концентрической окружностью, равен
(Экз. 1900 г.)
36. Даны площадь Д и полупериметр s треугольника. Показать, что
максимум или минимум одной из его сторон является корнем уравнения
s(x— s) jca + 4Д8 = 0. Исследовать вещественность корней этого уравнения
и установить, дают ли они максимум или минимум длины стороны.
[Уравнения a -(- Ь -f- с = 2s, s(s — a) (s — b) (s — с) = Да определяют a и Ъ
как функции от с. Продифференцируем по с н положим j~ —0. Тогда мы
найдем, что b=c, s—b — s — е = -=-, откуда следует, что
s(a—
Это уравнение имеет три действительных корня, если s* > 27 Д*, и один,—
если s4 < 27 Да. Для равностороннего треугольника (для которого периметр
при данной площади — наименьший) s4 = 27A2. Таким образом, неравенство
s* < 27 Д2 невозможно. Следовательно, полученное уравнение для а имеет
три действительных корня, а так как их сумма положительна, а произве-
произведение отрицательно, то два из них положительны, а третий отрицателен.
Из двух положительных корней один соответствует максимуму, а другой —
минимуму.]
37. Площадь наибольшего равностороннего треугольника, стороны
которого проходят через три данные точки А, В, С, равна
21^3
где а, Ь, с^ стороны, а Д — площадь треугольника ABC.
(Экз. 1899 г.)
38. Если Д и Д' обозначают площади двух наибольших равнобедренных
треугольников с вершинами в начале координат и основаниями, вписанными
в кардиоиду r = a (I -(-cos8), то
(Экз. 1907 г.)
39. Найти предельные значения, к которым стремится
х3 — 4у -f- 8
когда точка (х, у) стремится к точке B,3) вдоль кривой
х*у — 4jc2 — Аху + у* -f 16* — 2у — 7 = 0.
(Экз. 1903 г.)
[Если мы перенесем начало координат в точку B,3), то уравнение
кривой принимает вид ?ai — ?а-[-т]а = 0, а данная функция преобразуется в
а Ц
Полагая у] = %, найдем, что
18 Г. Харда

274 Глава шестая
Кривая имеет петлю с Двойной точкой в начале координат, которой соот»
ветствуют значения / = — 1 н^=1. Выражая данную функцию через t и
устремляя t к — 1 и к 1, получим, что искомые предельные значения
3 2 1
Равны-у и- g-
40. Если
__!
sin лг — sina (x—a) cos a '
Т° d 3 5
w { lim/ (х)} —Jto/ С*) = -j sec3 а - ^ sec а.
(Экз. 1896 г.)
41. Показать, что если
то
где <ЭН (дг) — многочлен степени п. Показать также, что
10 ;
2°
3°
4° <?„ = (-
5° все корни уравнения С?„ = 0 действительны и перемежаются с кор-
корнями уравнения Qn_j = 0.
42. Если f(x), <f (x) и i>(x) удовлетворяют условиям пп. 126—8 в отно-
отношении непрерывности и дифференцируемости, то существует такое значение
6 между а и Ь, что
/(а) ? (а) Ф(а)
/F) <{>(») ф(») =0.
/'(?) ?'F) Ф'F)
[Рассмотреть функцию, образованную заменой элементов последней
строки этого определителя иа f(x), y(x), <*>(х). Эта теорема сводится к тео-
теореме о среднем значении (см. п. 126) в случае у(х) — х и ф(л)=1.]
43. Из результата примера 42 вывести теорему п. 128. [Положить
Ь(х)=х.]
44. Если ^ (х) и <Ь(х) удовлетворяют условиям п. 128 и <р' (х) никогда не
обращается в нуль, то
(б)() '(б)
Ф() Ф() 4(?)
для некоторого J в (а, 6). (Экз. 1928 г.)
[Применить теорему Ролля к функции {<?(х)—<?(а)}{<Ь(Ь) — ^ (¦*:)}.]
45. Если <р(х) непрерывна для a ?sZx ^.b, у" (х) существует и положи-
положительна дли а < х <с Ь, то
?(*) — У (а)
дг — а
строго возрастает для а<дг<*. (Э«з. 1933 г.)

Производные и интегралы 275
46. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны для Osgjr^a и диффе-
дифференцируемы в интервале 0<х<а, причем /(О) = О и g(O) = O; пусть,
далее, /' (х) и g1 (x) положительны. Доказать, что тогда
1° если /' (х) возрастает с возрастанием X, то и — ' возрастает с воз-
возрастанием х,
f (х) / (х)
2° если , , ' возрастает с возрастанием х, то и ¦. ' возрастает с воз-
S \х) S \х)
растанием лг.
Доказать, что функции
— х* — х*
х 2 х 6
sin л:' 1 — tos л: ' х — sin*''"
возрастают в интервале 0<лг<~. (Виз. 1934 г.)
[См. Г. Харди, Дж. Литтльвуд и Г. Полна, Неравенства, стр. 130.]
47. Пусть функция f(x) имеет дифференциальный коэффициент/'^) при
х = ?. Доказать, что
стремится к нулю, когда h и k стремятся независимо друг от друга к нулю,
принимая положительные значения.
Доказать также, что если /' (х) непрерывна в некотором интервале,
содержащем ?, то мы можем отбросить условие, что h и k положительны,
и предположить только, что h-\-k^Q.
Наконец, доказать на примере функции
ы
что мы не можем отбросить это условие в общем случае.
(дкз. 1923 г.)
[Для доказательства первого утверждения использовать тождество
l- H f
-k
и неравенства h < h -f- k, k < h -(- k. Доказательство второго утверждения
проводится с помощью теоремы о среднем значении. Для доказателвства
третьего утверждения положить
5 = 0, A=(B_±
где п — положительное целое число.]
48. Если в' (х) —¦ а при дг-^оо и а ^0, то у(х)~^ах. Если а = 0, то
<?(х) = о(х). Если ^'(дг)-^оо, то <р(*)-^°а [Применить теорему о среднем
значении.]
49. Если <?(х)—+а при х-*оо, то у' (х) не может стремиться ни к какому
другому пределу, кроме 0.
50. Если <?{х) -\-<f'(x)-+a при х—• оо, то <?(х)-~а и у'(х)-^0.
[Пусть <? (х) = a -f- ф (х), так что ф (х) + <У (х) —¦ 0. Если ф' (х) не меняет
знака, скажем положительна для всех достаточно больших значений х, то
ф (х) монотонно возрастает и должна стремиться либо к некоторому конечному
пределу /, либо к оо. Если ф (х) — оо, то ф' (х) —> — оо, что противоречит нашей
18»

276 Глава шестая
предпосылке. Если b (х) —-1, то <Ь' (х)—- —/, а это нгвозможио (см. пример 49),
если 1ф§. Аналогичный результат мы получаем и в предположении, что
ф' (х) отрицательна для достаточно больших х. Если ф' (х) меняет знак для
сколь угодно больших х, то ф (х) имеет максимумы и минимумы правее
любого сколь угодно большого значения х. Пусть х—достаточно большое
значение, соответствующее максимуму или минимуму ф (х); тогда ф (*) + ф'(•*)
мало, а ф'(.*;)= О, так что i>(x) мало. Другие значения ф(л:) тем более малы
по абсолютной величине, когда х достаточно велико.]
]
51. Показать, как преобразовать ( R<x, 1/ —i—, 1/ —^~—\ их
в иитеграл от дробно-рациональной функции. [Положить тх-\-п = -г- и при-
применить результат примера XLIX. 13.]
52. Вычислить интегралы
f 5cosjf+6 f dx
J 2cosx + sin j:-f 3 *' J B — sinsA;)B + sinx — sinsjc)'
( cosec x j/sec 2jc djc,
Jd^r Cx4-sinx . С С,¦ . . .
.,.,¦¦. • - ,-u, I тг~r "-^i I arc sec x dx, I (arc siaxfdx,
Y(l+siax)B + siax) J l+^osx J 'Jv ;
J, . Cxatcsiax . С arctgA; . Л In (aa + 88xs)
J Yl— x3 J A+a;s)/s J x*
53. Вычислить
dx
J x+l
С помощью подстановки иа = х + 1 -)
(Экз. 1931 г.)
54. Доказать, что
Г
J
dx =1 • З...Bя
2-4...2« Ln х
2.4...Bд-2)
3 -5...Bл—:
2-4. ..2л
3 • 5 ... B
+ , ЬЗ...Bп-1)
I * ^2 jr* ^ '"' ^ 2 • 4 ... 2«
где п—положительное целое число. (Экз. 1931 г.)

Производные и интегралы 277
55. Рекуррентные формулы. A) Показать, что
dx
[Положить х -f- -Ту Р — tt Я—тР* — ^'> тогда
f dt _1 f <й 1_ f __^_
J (*• + X)" ~ X J (*» + Х)«~' X J (*¦ + X)"
~ X J (/S + X)«-' 1" 2Х(я—1) J ГЛ1 (is
отсюда получаем искомый результат интегрированием по частям.
Формула такого типа называется рекуррентной. Она чрезвычайно
полезна, когда п — целое положительное число. Тогда мы можем выразить
I / ¦¦.- ,- ;—tz- через I .¦ . . ——пг-г и> таким образом, вычислить
J (x*+px+qf v J (л:8 +рх + q)n~l
этот интеграл для каждого значения п.]
B) Показать, что если
о
(Р + 1) h, Ч = хР+1 (! + x)q~ tfp+h t-f
и вывести аиапогичиую формулу, связывающую /р> q с /p_i, ?+J. С помощью
у
подстановки х = — ~! ¦ показать также, что
Ipt
pt q = (- l)P+l JyP A
C) Если
_ f <**
з. 1935 г.)
D) Если
. _ Г xmdx
J (Jc*+iy"
то
(
. E) Если
/n= I xncos§xdx и /„= 1
J J
то
р/„ == ^" sin ?jf — nJn_u pyn = — x" cos p a: + «/„_!•
F) Если
то
/„= I cosnxdx и Уя= I sin"Ardjf,
= ?inJ^cos"-»х-}-(п—ЦV», я/я = — cosдгsin"-^-j-(я — I)/„_,,

278 Глава -шестая
G) Если
то
(я—1) (/„ + /«-.) =<g(|-1Jif.
(8) Если
/т> „ = I cosm х sin" x dx,
то
= cos x sin"+' x + (m — 1) /OT_2( „.
[Мы имеем
Г • n-i ^ m+i
m>" J dx
s= — cosOT+1 д: sin" x + (я — 1) I cosm+s д: sin"^s д- dx --
что приводит к первой рекуррентной формуле.]
(9) Найти формулу, связывающую
/„,„= I sin* sin «д: dx
c/OT_s,n. (Эйгз. 1897 г.)
A0) Если
1т,п=\ xmcosec"xdx,
(я— 1) (и — 2) /т, я = (я - 2f /от, „_, + и (и - 1) /т_2> п_2 -
— х1"'1 cosec" х { т sin х + (я — 2) .v cos д:}.
(Экз. 1896 г.)
A1) Если
/„ = Г (a -f * cos x)-n dx,
TO
(n—1)(a* —b*)In = — bsinx(a+ bcosx) <" ^ +Bn — 3)a/n_i— (n— 2)/H_s.
A2) Если
/H== I (acossA; + 2ftcosA:sin д;-|-^ sin2 д:)"" dx,
TO
4n (я -f 1) (ab — ft2) /n+2 — 2я Bя + 1) (a + *) !n
(Экз. 1898 г.)
A3) Если
1т>п= Г хт(Inлг)" dx,
то

Производные и интегралы 279
56. Если п — положительное целое число, то
хт (In xf dx=
Г
я (In*)"-' n(n-l)(lnxf-* _
+ 3 "
(-1Гя1
я1 1
57. Площадь, ограниченная кривой, заданной уравнениями
sin a sin 9 . sin а cos»
л; = Cos ф +-; ;—?-;—, V = sm<p— •; ; гЧ—,
1—cos2osin29 1—cos-1 asm* 9
л A + sin <x)a
где а — положительный острый угол, равна -=--——. .
& sin о,
(Экз. 1904 г.)
58. Проекция хорды окружности радиуса а на фиксированный диаметр
имеет постоянную длину 2а cos p. Показать, что геометрическое место
середин таких хорд состоит из двух петель и что площадь каждой петли
равна fl*C — cos 8 sin В).
(Экз. 1903 г.)
59. Показать, что длина квадранта кривой
2/3
/лЛ2/3, (y\W ,
— 4-4- =1 равна
\а] ~\b) F
(Экз. 1911 г.)
60. Точка А находится пнутри окружности радиуса а на расстоянии b
от центра окружности. Показать, что геометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных из А на касательные к окружности, ограни-
ограничивает площадь г. | a? -f- -=- b% j .
(Экз. 1909 г.)
61. Доказать, что если
ах1 + 2hxy + by-
есть уравнение некоторого конического сечеиия, то
J
РТ
где Р7", РГ' означают длины перпендикуляров, опущенных из точки Р этого
конического сечения с координатами х и у на касательные в концах хорды
/ + + «:=0, а а и В — постоянные.
(Эйгз. 1902 г.)
62. Показать, что
является рациональной функцией от х в том и только том случае, когда
одно из выражений АС—В- и аС+сА—2ЬВ равно нулю1.)
См. книгу автора, цитированную на стр. 248.

280 Глава шестая
63. Показать, что необходимым и достаточным условием для того,
чтобы
F(x)Y йХ'
где/ и F—многочлены, причем F имеет только простые кории, был
рациональной функцией от х, является делимость f'F'—fF" на F.
(Экз. 1910 г.)
64. Показать, что
Г Д Cos д:-f P sin-у + 7 d
J A — ecosxf
является рациональной функцией от cos x и sin x в том и только том случае,
когда ae-{-i = 0; вычислить интеграл в этом случае.
(Экз. 1910 г.)

ГЛАВА VII
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И
ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ
150. Теоремы о среднем высших порядков. В п. 126 мы дока-
доказали, что если f(x) непрерывна для а^дг^й и имеет производную
в интервале а<^х<^Ь, то
f(b) _/(а) = (* -а)/ @,
где а <^ I <^ Ь, или что
/(а + Л)-/(а) = Л/(в + в1*), A)
где 0<61<1.
Наложим теперь на f(x) дальнейшие ограничения. Мы предпо-
предположим, что f (х) непрерывна для а^х^й и что /" (лг) существует
для а<^х<^Ь. Рассмотрим функцию
Эта функция обращается в нуль при х = а и при х = Ь, и ее про-
производная равна
*$=$¦ {/(*) -/(«) - (* - «)/ («) - г (* - °)V («)};
это выражение должно, следовательно, обращаться в нуль при не-
некотором значении х между а и Ь. Поэтому существует такое $
между а и 6, ? = а + 6,(й — а), где О<^82<^1, что
/(*) =/(«) + (* - «)/ (в) + {(* - «J/' (Q-
Если мы положим й = а -)- А, то получим равенство
/(а + А) =/(а) + А/' (а) + у А'/' (а + в,Л), B)
которое является выражением так называемой теоремы о среднем
второго порядка.
Относительно /' (х) мы предположили то же, что мы предполагали отно-
относительно 9 (х) в п. 126, т. е. непрерывность в замкнутом и дифференцируе-
мость в открытом интервале (я, Ь). В частности, мы предположили суще«

282 Глава седьмая
ствоваиие/'(я) и/'(#), а это предположение, вообще говоря, содержит вы-
высказывания относительно значений f(x) для значений х, лежащих вне ин-
интервала (а, Ь) слева от а и справа от Ь. В приложениях /(х) может ока-
оказаться не определенной вне (а, Ь). В таких случаях под /' (а), например, сле-
следует понимать
lim
im
+ о h
Такое определение не зависит от значений х вне (а, Ь). Это замечание
вполне аналогично тому, которое было сделано относительно непрерывности
в конце п. 99.
Подобное обстоятельство возникает относительно нысших производных
и в следующей теореме.
По аналогии с A) и B) мы приходим к следующей теореме.
Теорема Тейлора или общая теорема о среднем значении.
Если fl"'1) (x) непрерывна для а^х^Ь и f^{x) существует
для а<^х<^Ь, то
f(b) =/(а) + (Ь - а)/ (а) + {Ь^ f (а) +... +
где а <^ I <^ b, и если b = aJrh, то
Да + *) =/(а)+*/'(а) +^
где 0<6„<1.
Непрерывность /С1) (х) естественно влечет за собой непрерыв-
непрерывность /(х), /' (х), ..., /(""*) (х).
Доказательство проводится аналогично тому, как мы это делали
в случаях п = 1 и п = 2. Рассмотрим функцию
где
Эта функция обращается в нуль при х = а и при л; = #; ее про-
производная равна
Я0-.ГУ-1 ( (Ь-а)"
(Ъ-af V»W jn
и между а и 6 должно существовать значение л;, для которого это
выражение обращается в нуль. Отсюда сразу следует утверждение
теоремы.

Дополнительные теоремы 283
Примеры LV. 1. Предположим, что f(x) — многочлен степени г. Тогда
/С) (х) тождественно равно нулю, если я>г, и теорема приводит к следую-
следующему алгебраическому тождеству:
f(a + h) =f(a) + hf (а) +1 /(«) + • • • +
2. Применяя теорему к функции f(x) = — и предполагая, что х и х -f- h
положительны, мы получаем следующий результат:
х х*'>х3 '"+ Xй I"
[Так как
л: + Л л: л:8 "+" хз • • • + дл + лг" (лг -f- Л)'
то достаточно показать, что xn(x-\-h) может быть представлено в виде
(л-f 6nft)rt+1 или что xn(x-\-h) лежит между х"*1 и (х -)- h)n+1].
3. Вывести формулу
/г3 /г3
sin (л: 4- Л) = sin х + Л cos х — ^у s'n х— of cos -^ + • • • +
+ (-I)" Bв _ !)! cos х + ^-^Ш sin Iх + ^"h),
соответствующую формулу для cos(x-\-h) и аналогичные формулы, содер-
содержащие степени h до Л2П+1.
4. Показать, что если т — положительное целое число и п — положитель-
положительное целое число, не превосходящее т, то
(х + h)m = xm + ("\xm~lh И +( " jj^-WA"*1 +f^\ (д:-f в„А)«-пА»
Показать также, что если интервал (л:, х-)-Л) не содержит точку лг = О, то
эта формула имеет место для всех рациональных значений т и всех поло-
положительных целочисленных значений п, и что даже если л: < 0 < л: + Л или
x-\-h<.0<.x, то формула имеет место, если т—п положительно.
5. Формула
/(* + А) =/(*) + hf (х + Gift)
не имеет места, если f{x)= — и л<0<л:-)-Л.[Ибо
Ясно, что в этом случае условия теоремы о среднем не выполнены.]
6. Если х= — a, h = 2a, /(х) = х*/3, то уравнение
/(х + К) =/ (л) + hf (х + etA)
удовлетворяется при 6i=-s-i: ттзтЛз". [Этот пример показывает, что утвер-
утверждение теоремы может иметь место и в том случае, когда, условия, при ко»
торых она была доказана, не выполняются].

284 Глава седьмая
7. Метод Ньютона приближенного вычисления корней уравнения.
Пусть % является приближенным значением корня алгебраического уравне-
уравнения f(x) = 0, причем истинное значение корня равно ? + Л. Тогда
О =/F + А) =/«) + Л/' F) + ^ h*f" (g + 9,Л),
так что
/45) 2 я /"F) '
если /'F) 9^0.
Если корень — простой и Л достаточно мало, то существует такое поло-
положительное К, что | /' (лг) | > /С для всех значений х, которые мы рассматри-
рассматриваем, и значение корня
где ?i, следовательно, является уже лучшим приближением, чем ?.
Повторяя это рассуждение для ?, вместо 8 и т. д., мы получим ряд еще
лучших приближений ?s> С..., ошибки которых равны O(hl), О (Л8),
8. Применить этот процесс к уравнению х* = 2, взяв в качестве пер-
3 17
вого приближения % = -у. [Находим^ = ук = 1,417..., что является весьма
хорошим приближением, несмотря на большую неточность первого. Повторяя
процесс, найдем |2 = 27jo= 1,414215..., что дает результат, верный до
пятого знака включительно.]
9. Рассматривая таким же образом уравнение х* — 1 — у = 0, где^ мало,
показать, что
10. Показать, что корень уравнения из примера 7 равен
f fsf"
е~7 27Гз + О(|я|3)>
причем аргументом во всех функциях является |.
11. Уравнение siax = ax, где а мало, имеет корень, почти равный л.
Показать, что A— а) к является лучшим приближением и что еще лучшим
является A—а+а2)тг.
[Метод, изложенный в примерах 7—10, не зависит от того обстоятель-
обстоятельства, что f(x) = 0 — алгебраическое уравнение; он применим и к трансцен-
трансцендентным уравнениям, если только /' и-/" непрерывны и /'(O^O-l
12. Показать, что если f (n+1) (х) непрерывна, то предел при h—>0 вели-
величии 9„ в теореме Тейлора равен - .
[Действительно, f{x-{- Щ равно как
так и
где 8„ и 9л+1 лежат между 0 и 1. Следовательно,

Дополнительные теоремы, 285
Но по первой теореме о среднем, примененной к функции /(п)(х) с 9„Л
вместо Л, мы находим, что
/ т {х+елА)=/<«) (*) + 9лл/с«) (х + бэ„л),
где 9 также лежит между 0 и 1. Следовательно,
(х + 99ПЛ) + I
откуда и следует утверждение, так как /(п+1) (лг-}-99лЛ)и / ("+')(х-f
стремятся к пределу / С+1) (х) при Л—» 0.]
151. Другая форма теоремы Тейлора. Существует другая форма
теоремы Тейлора, в которой предполагается меньше, чем в п. 150.
Предположим, что f(x) имеет п производных /'(а), ...,/(") (а)
при х = а. Существование /М (х) в любой точке предполагает су-
существование /^-О (х) в некотором интервале, содержащем эту точку,
и ее непрерывность в этой точке; таким образом, первые п — 2
производных непрерывны в некотором интервале, содержащем точку
х = а, а (л—1)-ая производная непрерывна в точке х = а. Но мы
не предполагаем существования л-ой производной ни в какой дру-
другой точке, кроме х = а.
Пусть сперва А^О, и положим
Fn(h) =f(a + h) -/(a)-hf (а) - ... --^Lp/t-i) (e).
Тогда Fn (К) и ее первые п — 1 производных обращаются в нуль
при Л = 0, а рУ\о)=/-п\а). Следовательно, если мы положим
G (й) = Fe (А) _^-{/(»)(«)_ 8},
где 8 положительно, то
G@) = 0, O'@) = 0,..., G("-1)@) = 0, а(я)@) = 8>0.
Из последних двух соотношений и теоремы А п. 122 следует, что
Gt") (h) возрастает в точке я = 0 и положительна для малых
положительных h.
Далее, G("~2)@) = 0 и GC-'J^^O для малых положительных
h; таким образом, по следствию 1 п. 122, G("~2)(A)^>0 для малых
положительных я1). Повторяя это рассуждение, мы последовательно
найдем, что G("~3) (A), G("~4) (Л), ... и, наконец, G{h) положительны,
т. е. что
для малых положительных h.
») Или О("!>(й)=О(п"!|)(Л)-О(п'Ч0) = /гО(п)(9Л)>0, по теореме
о среднем.

286 Глава седьмая
Аналогично') мы можем доказать, что
для малых положительных h, причем в этих неравенствах 8 обозна-
обозначает произвольное положительное число. Отсюда следует, что
где ¦»)->• 0 при h-*-0 справа.
Рассматривая аналогично случай отрицательных h, мы приходим
к следующей теореме.
Если f(x) имеет п производных при х=а, то
A) /(а + К) =/(а) + hf (а) + ... + ~(~^Щ Г1
где ч\ -*¦ 0 при h —> 0.
В обозначениях п. 98 мы можем вместо A) написать
B) . /(а + Щ =/(а) + hf (а) +... + j/^r/^ (а) + о (^п).
Эти формулы мы могли бы вывести и из теоремы п. 150, но только
в предположении непрерывности/(") (лг) при х = а.
Примеры LVI. 1. Показать, что если
... + апх"
при лг-vO, то ао = ?о> al = bl,..., an = bn.
[Устремляя л: к 0, мы видим, что аа = Ь0. Деля на х и устремляя затем
л: к 0, найдем, что ai = bi и т. д.
Отсюда следует, что если f (х) имеет п производных при х = а и
то с0, с,,... имеют значения из B).]
2. Доказать, что
2А
если /'(«) существует.
3. Доказать, что
/ +
если /" (а) существует.
(Элгз. 1925 г.)
4. Доказать, что
^• + » + №
для малых 9.
(Экз. 1935 г.)
*) Изменяя знак перед 8 в определении G (Л).

Дополнительные теоремы 287
5. Доказать, что если sinx — xy* и х и у — 1 малы, то
(Экз. 1934 г.)
152. Ряд Тейлора. Предположим, что /(лг) имеет производные
всех порядков в интервале (а — ij, a-f-^). содержащем точку лг = а.
Тогда, если h по модулю меньше чем i\, то
где 0<^9„<^1 для всех п. Или если положить
л—1
о
то мы имеем:
/(а + Л) —$„ = /?„.
Предположим теперь еще, что Rn-*-0 при п-+оо. Тогда
Это разложение /(a-f-A) известно под именем ряда Тейлора. При
а = 0 эта формула принимает вид
что называется рядом Маклорена. Функция /?„ называется оста'
точным членом в форме Лагранжа.
Читатель должен остерегаться ошибочного мнения, что существование
всех производных f (х) является достаточным условием для справедливости
разложения функции в ряд Тейлора. Существенным является поведение /?„.
A) Ряды для синуса и для косинуса. Пусть f(x) = s\r\x. Тогда f (х)
имеет производные всех порядков для всех значений х. Кроме того,
|/™(-?)|<1 для всех значений х и п. Следовательно, в данном случае
^nl^-y , что стремится к 0 при п—>со(см. пример XXVII. 12), каково
бы ни было значениг Л. Отсюда следует, что
. . , _ч . , . Л» . h3 , h* .
sin (х -f- h) = sin x -f- h cos x — kt sin x — ^y cosx-)- тт sin x + • • •
для всех значений х и h. В частности
• ,. и h3 , №
«шА=А—3I--J--5, —...

288 Гла&аГседьмая
для всех значений Л. Аналогично можно доказать, что
Л
от
Л2 Л3
cos(х-\- h) = cosх— hsiax — ^г cos x + от sin л: + • • •
B) Биномиальный ряд. Пусть f(x) = (l -f х)т, где от — любое рацио-
рациональное число, положительное или отрицательное. Тогда
/ (") (л-) = от (т — 1)... (от — я + 1) A + хуп -«
и ряд Маклорена (с Л, замененным на л:) имеет вид
Когда от— положительное целое число, этот ряд обрывается, и мы по-
получаем известную биномиальную теорему с положительным целочисленным
показателем. В общем случае
*«=йт /(П) <9"*)=(Г) ¦*"A+9«*)т-"'
и для того чтобы показать, что ряд Маклорена действительно представляет
A -j- x) m в некоторой области значений х, когда т не является положитель-
положительным целым числом, мы должны показать, что /?„—'0 для каждого значе-
значения л: из этой области. Это в действительности имеет место при — 1 <лг<1.
С помощью приведенного выше выражения для Rn можно показать, что
разложение справедливо для 0 ^ х < 1, так как для таких х
1 х"-—-0 при я—>-со (пример, XXVII. 13). Но при —
возникает затруднение, состоящее в том, что здесь 1 -f- Qnx < 1 и
A -\-^пх)т—я> 1, если я > т. Зная только, что 0<9„<1, мы не можем
быть уверены в том, что 1 -\-%х не является очень малым, а, следовательно,
A -\-Ъпх)т—п очень большим.
Для того чтобы доказать биномиальное разложение с помощью теоремы
Тейлора, нужно воспользоваться другим представлением остаточного члена
/?„, которое мы рассмотрим ниже (п. 167).
153. Приложения теоремы Тейлора. А. Максимумы и мини-
минимумы. С помощью теоремы Тейлора может быть получена система
признаков максимума и минимума более полная, чем рассмотренная
в пп. 123 и 124, хотя эти результаты и не представляют большого
практического интереса. В предположении что 9 (лг) имеет производ-
производные первых двух порядков, мы устанонили следующие достаточные
условия для того, чтобы ф (лг) имела максимум или минимум при
х = I: для максимума ср'(i) = Q,cp" A)<^0; для минимума <р'($) = 0,
ф" @ ~^> 0- Очевидно, что эти признаки неприменимы в том случае,
когда и у'(I) и <р"(?) равны нулю.
Допустим, что 9 (лг) имеет п производных

Дополнительные теоремы 289
из которых все, кроме последней, обращаются в нуль при х = \.
Тогда, согласно B) п. 151,
и это выражение должно иметь в случае максимума или минимума
постоянный знак для достаточно малых положительных или отри-
отрицательных h. Для этого, очевидно, требуется, чтобы п было четным;
а если п — четное, то мы будем иметь максимум или минимум
в зависимости от того, будет ли ф(") (?) отрицательно или положи-
положительно.
Таким образом, мы получаем следующее предложение: если ер (?)
является максимумом или минимумом, то низшая производная,
не обращающаяся в нуль- при х = 1, должна быть четного по-
порядка, причем если ее значение в этой точке отрицательно, то
ер (Е) является максимумом, а если оно положительно, то ер (?)
является минимумом.
Примеры. LVII. 1. Проверить справедливость теоремы для функции
^(л:) = (л: — а)т, где т—-положительное целое число и \ = а.
2. Исследовать функцию (х-—а)т(х — #)", где т и п — положительные
целые числа, на максимумы и минимумы в точках х=^а и х=Ь. Начер-
Начертить все возможные виды графика функции у = (х— а)т(х — Ь)п.
3. Исследовать на максимум и минимум в точке х = 0 функции sinx—х,
sin л: — ЛГЧТ , smx — ¦^"ЬчГ — *т'" '' cos х— *' cosx— 1 —{—«1 ,
1+2Г —4Г
154. В. Вычисление некоторых пределов. Часто бывает необ-
необходимо вычислить предел отношения двух функций при стремлении
аргумента к некоторому значению, при котором обе функции обра-
обращаются в нуль. Допустим, что этим значением аргумента х является 0.
Для вычисления таких пределов существует несколько методов.
(а) Предположим, что /(лг) и ер(х) дифференцируемы при лг = О
и что/@) =ф@) = 0, 9'@)=?0. Тогда
f(x) = xf @) + о (х), ер (х) = хер1 @) -f о (х)
и, следовательно,
/(¦*) ./'@)
Ч(х) ?'@) '
Вообще, если функции имеют п производных в точке лг = О и
первые п —• 1 производных каждой из этих функций обращаются
в этой точке в нуль, а 9(")@):7^0> то, по теореме п. 151,
/(х) = ? f (") @) + о (*"), 9 (х) = ^ ерт @) + о (хп)
19 Г. Харди

290 Глава седьмая
9(") @) '
(b) Часто представляется, однако, более удобным применить
теорему п. 128. Если f(x) и ф(лг) непрерывны для О==?лг==?/г и
дифференцируемы для 0О==?/г, /@) = 0 и ф@) = 0, ?(А)^0и
/' (х) и ф' (х) не обращаются одновременно в нуль ни при одном
значении дг, то
п\ /(/г) _/'(е)
( ' ?(*)~?'(е)
для некоторого $ между 0 и А.
Допустим теперь, что
B) A?U/
при х->-0 справа. Тогда существует интервал @, k), в котором
ф'(лг) не обращается в нуль1). По теореме п. 129, следует, что
<?'(х) не меняет знака для 0<^лг<^?, а отсюда получаем, по след-
следствию 2 из п. 122, что ф(лг) не меняет знака для 0<^x<^k.
Поэтому A) имеет место для каждого положительного h, меньшего
k, и
/<*) ,
9(Л)
Это значит, что
C) lim ^=
если этот последний предел существует.
Существуют, конечно, аналогичные теоремы для дг—>—0 или
для дг-*-О. Кроме того, приведенное рассуждение может быть повто-
повторено любое число раз. Таким образом,
для любого п, если только /М@) = 0 и ф<7>@) = 0 для
предел в правой части существует *).
То же рассуждение показывает, что ——*¦ -(- оо, если —;—*¦ -f- oo.
Если мы хотим вывести C) из теоремы о среднем п. 126, то мы должны
предположить, что /' (х) и у'(х) непрерывны прн х = 0 (во всяком случае
при стремлении к 0 справа). Тогда
/(х) = xf FLx), tp (x) = х<?' (92дг),
где 6i и 9а лежат между 0 и 1.
*) Ибо в противном случае левая часть соотношения B) теряла бы
смысл для бесконечного множества малых значений х.
*) Это предложение часто называется правилом Лопиталя. (Прим.
перге.)

Дополнительные теоремы 291
Так как /' (Ъух) —¦ /' @) и tp'Fsx)—»tp'@), то утверждение доказано.
Преимущество метода (Ь) обнаруживается в приведенном ниже примере
LVIH.3. Если in I- v v
то
н, следовательно, искомый предел ранен 2. Это рассуждение требует трех
дифференцирований каждой функции. Но
/' (х) sec8 х — 1 . -, ,
-А-{ = -.—¦ = sec* x A -f- cos x) —* 2,
tp C*0 1—cos л: v ' ' '
и мы быстрее получаем результат методом (Ь).
Существует много видоизменений теорем настоящего пункта.
Так, х может стремиться к а или к со вместо 0 и / и qp могут стре-
стремиться обе к бесконечности вместо 0. Эти видоизменения обычно
сводятся к рассмотренному случаю простыми преобразованиями.
Примеры LVIII. 1. Если / = ;e*sin —, f=x, то — — 0. Здесь
-^ = 2л: sin cos—,
<j>' X X
а эта функция колеблется при х—>-0. Таким образом, — может стремиться
/' 9
к пределу и в том случае, когда — к пределу ие стремится, т. е. наше усло-
нне является лишь достаточным, ио не необходимым.
2. Найти
3.
4.
при х
5.
Найти пределы
Показать, что
— 1.
Найти
при
tg
X-
1
х-~0 •
X — X
— sin х
— 4 sin1
lim x
Г-* оо
К )
следующих
tgiwr —
' nsitix —
'  их 1
WxT+*-
выражений:
nlgx
¦ sin пх
-4.
(Экз. 1932 г.)
Положить х = — .1
L У \
о. Доказать, что
(—IV
lim (лг — я) cosec хк =v J
19*

292 Глава седьмая
где п — любое целое число. Найти также соответствующие пределы при
замене cosec хг. на ctg лпг.
7. Найти пределы при х-^0 следующих выражений:
1 / 1 х\ 1 / 1 ,
-г cosec х -у , -г ctg дс — •—h
л:3 \ л: о ] х3 { & л: '
8. Показать, что при л: —О
sin х arc sin л:—х* 1 tgxarctgx—хг 2
^ '18' х» "9"*
155. С. Касание плоских кривых. Две кривые называются пере-
пересекающимися в некоторой точке, е:ли эта точка лежит на каждой
из них. Они называются соприкасающимися
в этой точке, если касательные к ним в
'У ¦* ' этой точке совпадают.
Допустим, что fix) и (fix) имеют
производные всех порядкон при х=?,
и рассмотрим кривые у =/ (х), у = ф (х).
В общем случае /(?) и ф(?) не будут
ранны. В этом случае абсцисса х = ? не
соответствует точке пересечения этих кри-
**/; х вых. Если же /¦($)=ф(?). то кривые пересе-
/()ф(), р р
Фаг. 42 каются в точке х = \, 3/==/(^)=(Р(^)' Для
того чтобы кривые касались друг друга в
этой точке, необходимо и достаточно, чтобы первые производные
/' (лг) и ср' (х) имели одно и то же значение при х = \.
Касание кривых в этом случае может рассматриваться еще с дру-
другой точки зрения. На фиг. 42 проведены дне кривые, касающиеся
друг друга в точке Р; отрезок QR равен
«Р
а так как
ф @ =/(?), «р1 F) =/'©.
то он равен
A4
где 6 лежит между 0 и 1. Следовательно,
при Л —0. Другими словами, если кривые касаются друг друга
в точке с абсциссой I, то разность между их ординатами в точке
с абсциссой l-\~h — по крайней мере второго порядка малости от-
относительно h.

Дополнительные теоремы 293
Очевидно, что порядок малости QR может рассматриваться как
мера близости кривых н окрестности точки x = k. Нетрудно видеть,
что если первые л — 1 производных от / и ср имеют одинаковые
значения при х = ?, то порядок малости QR будет равен л, и что
в этом случае
lim ^ = ij {<?(») («)—/t») (E)}.
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Касание «-го порядка. Если /(?) = <р(?), /'(?) = ф'(|)
/t»)(Q = (p(»)(&), но /(я+1)A)фц>(п+1)A), то мы будем говорить,
что кривые у =f(x), y — q>(x) имеют в точке с абсциссой х = \
касание п-го порядка.
Таким образом определенное понятие касания л-го порядка зави-
зависит от выбора осей координат и неприменимо к тому случаю, когда
касательная к кривым параллельна оси у. В этом случае мы можем
рассматривать у как независимую, ах — как зависимую переменную;
целесообразнее, однако, рассматривать х и у как функции некото-
некоторого параметра t. Хорошее изложение этого вопроса читатель найдет
в монографии Фоулера: Fowler, The elementary differential geometry
of plane curves*).
Примеры LIX. 1. Пусть <? {x) = ax -j- b, так что графиком y = y{x)
является прямая линия. Условия касания в точке, для которой л: = ?, имеют
вид /(?) = а?-|-#, /'(?)=«. Если мы определим а и & так, чтобы эти условия
выполнялись, то получим «=/'(?)> &=:/(?) — ?/'(?)• Таким образом, уравне-
уравнение касательной к кривой y=f(x) н точке х = % записывается в виде
нли V—/($) = (х — ?)/'(?) (см. пример XXXIX. 5).
2. Условия касания первого порядка полностью определяют прямую. Для
того чтобы касательная имела касание второго порядка, необходимо, чтобы
f" (?) = tp" ($), т. е. /" E) = 0. Мы будем называть точку, в которой касательная
к кривой имеет с ней касание второго порядка, точкой распрямления**).
3. Найти точки нулевой кривизны графикой функций
2х
Зх*—6л:*-f-1, . 2, sin л:, a cos2 x -\-b sin* x, \%x, arctg.*.
4. Показать, что коническое сечение
ах2 + 2hxy + by*
не может иметь точек распрямления, если оно не вырождено.
[Здесь
а + 2hyi + Ьу\ + {hx + by +f)yt = 0,
*) См. также Э. Гурса, Курс математического анализа, т. 1, гл. X, ГТТИ,
1933. (Прим. перев.)
**) Если /'" E) ф 0, то такая точка называется точкой перегиба. (Прим,
перев.)

294 Глава седьмая
причем индексы обозначают дифференцирования по х. Таким образом
в точке распрямления
или
или
(ab - h*) {ах* + 2hxy + by* + 2gx + 2fy] + aP- 2fgh + bg* = 0.
Но это соотношение несовместно с уравнением конического сечения, за исклю-
исключением тдго случая, когда
t = c(ab— ft»)
или
abc + 2/g"A — а/* — bg* — eft* = 0,
9 это является условием распадения конического сечения на две прямые.]
5. Кривая
имеет одну иди три точки распрямления, в зависимости от того, имеет ли
уравнение
дейстнительные или комплексные корни.
[Уравнение кривой параллельным переносом осей координат может
быть приведено к виду
где р, q либо действительны, либо комплексно сопряжены. Условие для
точки распрямления принимает вид
) = 0,
а это уравнение имеет один или три действительных корня, в зависимости
от того, будет ли {pq (p -\- q))* положительно или отрицательно, т. е. будут
ли р и q действительными или комплексно сопряженными.]
6. Показать, что если кривая из предыдущего примера имеет три точки
распрямления, то они лежат иа одной прямой. [Уравнение $а — Ърц\-\-
( + ) —0 может быть приведено к виду
F -Р) E-?) $+Р + 9)+ (Р ~ЧП= 0,
так что точки распрямления лежат иа прямой
или
AS — 4(ЛС—В*)*) = 2В.]
7. Найти точки распрямления иа кривой
5iy = (xJr5f(xi —10)
и набросать примерный ход кривой в интервале (— 6, 3).
(Экз. 1936 г.)
[См, пример XLVI. 10.}

Дополнительные теоремы 295
8. Касание круга и кривой. Кривизна'). Круг
будет иметь касание второго порядка с кривой у = f (x) в точке (?, i\), если
V, У\ и у, имеют при je = ? одинаковые значения для этих двух кривых.
Дифференцируя A) дважды н полагая л: = 5, находим:
, + (
где f\, rn, т]8 означают /E), /'(?), /"E). Эти уравнения дают:
Круг, имеющий касание второго порядка с кривой в точке (I, т|), назы-
называется кругом кривизны, а его раднус—радиусом кривизны. Мерой кри-
кривизны (нли просто кривизной) называется неличина, обратная радиусу
кривизны. Таким образом, кривизна равна
9. Проверить, что кривизна круга есть величина постоянная, равная
единице, деленной на радиус круга; показать, что круг является единственной
кривой постоянной кривизны*).
10. Найти центр и раднус кривизны в каждой точке конических сечений
11. Показать, что в общем случае существует единственное коническое
сечение, имеющее касание четвертого порядка с кривой y=f(x) в данной
точке Р.
12. Существует бесконечно много коннческнх сечений, имеющих касание
третьего порядка с данной кривой в данной точке Р. Показать, что их
центры лежат на прямой.
[Возьмем касательную н нормаль в данной точке к данной кривой за
осн координат. Тогда уравненне конического сечения примет вид 2у — ах*-\-
-\-2hxy-j-by*, и когда х мало, одно из значений у может быть предстанлено
в виде (см. гл. V, Разные примеры, 24)
у = -g- ах2 + -^ ahx* + о (ха).
Это выражение должно совпадать со следующим:
отсюда a=f"@), h— ..,,,;. (см. пример LVI. 1). Но центры лежат на
о/ (О)
прямой ах + Ну = 0.]
Ч Значительно более полное изложение теории кривизны читатель най-
найдет в книге Фоулера, цитированной на стр. 293. [См. также, например,
П. К. Рашевскнй, Курс дифференциальной геометрии, гл. III, 1938, ГОНТИ.
(Прим. перев.)]
*) Строго говоря, эти утверждения относятся только к полукругу, так
как т|8 имеет разные знаки на верхней и нижней полуокружности; абсолютная
величина кривизны постоянна для всего круга. (Прим. перев.)

296 Глава седьмая
13. Геометрическое место центров конических сечений, имеющих касаниг
Xs V2
третьего порядка с эллипсом —s-r"Ty=l в точке (a cos a, #sina), предста-
представляет собой диаметр эллипса
х ¦ У =1
a cos a~ frsina
[Ибо сам эллипс является одним из таких конических сечений.]
156. Дифференцирование функций от нескольких переменных.
До сих пор мы занимались исключительно функциями от одного
переменного х, но ничто не мешает нам применить операцию диф-
дифференцирования к функциям от нескольких переменных х, у,... .
Допустим, следовательно, что f(x, у) является функцией от
двух ') действительных переменных х и у и что пределы
Л-.0 ^ ft-»0 *
существуют для всех рассматриваемых значений х и у, т. е. что
f(x, у) имеет производную ~ или Dxf(x, у) по х и производную
-/- или Dyf(x,y) по _у- Эти производные принято называть частными
производными или частными дифференциальными коэффициентами
функции / и записывать их в виде
дх' ду'
или
или проще /^, fy, или /_,., /^,. Читатель не должен, однако, думать,
что эти новые обозначения содержат какую-нибудь существенно
новую идею; „частное дифференцирование по х" является в точности
такой же операцией, как и обычное дифференцирование, причем
единственным новым обстоятельством является то, что в выражении
функции / присутствует еще вторая переменная у, не зависящая от л:.
Наши определения предполагают независимость хну. Если х и
у связаны некоторым соотношением, то у является функцией ср (х)
от х и
f{x.y)=f{*. ?W}
есть функция от одного переменного х\ а если x = y(f), y =
то /(лг, у) есть функция от t.
') Новые моменты, возникающие при рассмотрении функций от несколь-
нескольких переменных, достаточно хорошо выявляются на примере двух независи-
независимых переменных. Мы не будем отдельно формулировать обобщения наших
теорем ни случай трех н большего числа переменных.

Дополнительные теоремы
Примеры LX. 1. Доказать, что если ;e = rcos9,
297
» = /-sin9, так что
то
дг_
дх'
д~г
дг .у
Ту
У_ д9__ У дв_
= cos9, %- =
дх
= ¦— г sin(
2. Объяснить, почему
дг
дх"
1
~дх
дг'
дх
[Когда мы рассматривали функцию у от одного переменного х, из самих
dy dx
определении следовало, что 4- и -т— являются величинами обратными друг
другу. Но это уже не имеет места,
если мы имеем дело с функциями от
двух переменных. Пусть Р (фиг. 43) —
точка (х, у) или (г, 9). Для нахожде-
дг
ния -к- мы должны дать х приращение
[=Ьх, сохраняя значение у неизмен-
неизменным. При этом точка Р перейдет в по-
положение Pi. Если мы отложим вдоль ОР,
отрезок ОР' — ОР, то приращением г
будет Р'Р1 = 8г, и
дг ,. 8г
з— = hm -г—.
дх 8х
Если же, с другой стороны, мы хотим
дх
вычислить з-, причем х и у рассма-
рассматриваются как функции от г и б, то
мы должны дать г приращение Дг, сохраняя значение 9 неизменным. До-
Допустим, что при этом Р переходит н Р2, причем РР8= Дг. Соответствующим
приращением х будет MMt = Дх, н
дх Длг
дг Дг"
Но Ах = $х1), тогда как АгфЬг. Действительно, из чертежа видно, что
.. Ьг .. P'Pi
тогда как
так что
Дг
РР*
~
1) Конечно, равенство Длг = &« имеет место благодаря специальному
выбору кг (а именно РР2). Всякий другой выбор приращения Дг привел бы
к значениям Ах, Дг, пропорциональным полученным в тексте.

298 Глава седьмая
3. Доказать, что если г=/(ах -f- by), то
.дгдг
ах ду
4. Найти Хх, Ху,..., если Х-{-У=х, Y — ху. Выразить х и у как
функции от X и К, и найти хх, xY,
5. Найти Хх,..., если X-\-Y-\-Z = x, Y-{-Z=xy, Z = xyz. Выразить
х, у и z через ^, F и Z и найти д?х, ....
[Не представляет труда распространить понятия предыдущего пункта
на функции от любого числа переменных. Но читатель должен отдать себе
ясный отчет в том, что понятие частной производной функции от несколь-
нескольких переменных определено только в том случае, когда указаны все незави-
независимые переменные. Так, если и=х-\гу -\-г, причем х, у и z являются
независимыми переменными, то к^=1. Но если рассматривать ыкак функцию
переменных х, х -\-у = >) и х -\-у -f- z = С, то м = С н их = 0.]
157. Дифференцирование функции от двух переменных.
Имеется одна теорема, относящаяся к дифференцированию функций
от одного переменного, которая играет исключительно важную роль,
но зависит от понятия частной производной, рассмотренного в пре-
предыдущем пункте. Это — так называемая теорема о полной произ-
производной. Она дает правило для дифференцирования по t функции
/{9@, +(*)}•
Допустим, в первую очередь, что f(x, у) является функцией от
двух переменных х и у и что fx, f'y нвляются непрерывными функ-
функциями от х и у (см. п. 108) для всех рассматриваемых значений
этих переменных. Теперь предположим, что изменения хну огра-
ограничены тем, что точка (х, у) должна лежать на кривой
где ф и 41 являются функциями от t, обладающими непрерывными
производными ф' (t), 4»'@- Тогда f(x, у) приведется к функции от
единственной переменной t, скажем F(t). Задача состоит в нахожде-
нахождении F'(t).
Допустим, что когда t изменяется от ?.до t-\-x, x и у изме-
изменяются до лг —J— 6 и y-\-f\. Тогда, по определению,
т-»0
= НпД{/(лг + 6, У + т\)— f(x,y)} =
Но, по теореме о среднем,

Дополнительные теоремы 299
где 6 и 6' лежат между О и 1. Когда т-^0, ?—*0 и tj—*0, причем
Кроме того,
К (х + ®> У ~Т "Л) ~*fx (*• У)> /у(х> У~{- в'7)) -+fy (х> У)-
Следовательно,
f' (t) «= ад* (о, ф @} ==/; (*, у) <р' (о +/; <*, j>> ф' w,
где после дифференцирований по х и по у следует положить
jc = «р (/) и_у = (!'(^)- Этот результат может быть также записан
в следующей форме:
df__dfdx.dfdy
dt дх dt ' ду dt'
Примеры LXI. 1. Пусть
так что геометрическим местом точек (х, у) является окружность х'~^-уг =
= 1. Тогда
причем в праной части, после дифференцирований, х и у нужнб заменить,
1-Я It
соответственно, выражениями т—г-ж и . . д-.
Полезно проверить эту формулу в частных случаях. Допустим, напри-
например, что f(x, y) — x»+y\ Тогда f'x = 2x, /y=2y И
что действительно верно, так как F(t) = l.
2. Проверить таким же образом теорему в следующих Случаях:
(a) х = tm, y = l— tm, f (х, у) — х +у;
(b) x = acost, у —a sin t, f(x,y) = xs-j-y3.
3. Одним из наиболее важных случаев является тот, в котором t — x.
Тогда мы находим:
DJ {х, i, (х)} = DJ (х, у) + Dyf (х, у) <!/ (*),
где после дифференцирования вместо^ надо подставить <\>(х).
Обозначения ~ и -4- были введены в связи с рассматриваемым слу-
случаем; действительно, здесь под -г- можно было бы понимать как
их
A*/ ix> Ф (х)}> так и Dxf(x> У)> гДг в первом из этих выражений у следует
положить равным ф {х) до, а во втором — после дифференцирования. Пусть,
например, у = 1 — х и f(x,y) = x-\-y. Тогда DJ(х,\ — х) = Dx 1 = 0,
тогда как Dxf(x, у$*=1.
В первом нз этих случаев производную можно обозначить через -J-
их
а во втором ее обозначают через -4- ; тогда теорема принимает вид

300 Глава седьмая
хотя и этн обозначения не безукоризненны, так как функции f{x, i>(x)} и
/ (х> У)> ВНД которых как функций от л: совершенно различен, обозна-
обозначаются в 4- и ~ одной н той же буквой /.
ах ох
4. Если результатом исключения t из уравнений х = tp (t), у = ?> (t) яв-
ляется fix, v) = 0, то
dfdx dfay_
dxdt ~rdydt~
5. Если х и у являются функциями от t, а гиб — полярные коорди-
XX1 JL уу' XV1 VX1
наты точки (х, у), то г' = '^ , 9' = -4-—~^-—, где штрихи обозна-
обозначают дифференцирование по t.
158. Мы предполагали, что f'x и /' являются непрерывными функциями
от днух переменных х и у в смысле п. 108. Предположение одного их су-
существования для всех х и у оказывается недостаточным.
Действительно, из одного существования f'x и f'y мы можем сделать
очень мало выводов; мы даже не можем заключить, что / непрерывна.
Рассмотрим, например, функцию нз примера в п. 108, определенную уравне-
уравнениями
. 2ху
если хф% У^?0 и / = 0, если хотя бы одни из аргументов равен "нулю.
Тогда
Уг) ,-,г ._ 2х(х»-у*)
во всех точках, кроме начала координат. Кроме того,
/>, O)=um M^!^ Ш \ =0,
и аналогично f'y @, 0) = 0. Таким образом, fx н fy существуют для всех
х, у; но (как мы видели в п. 108) / разрывна в начале координат.
Функция, определенная уравнениями
n*y)=zrf
если х^?0,у^?0, и /=0, если х = 0 или.у = 0, непрерынна всюду, вклю-
включая начало координат; для нее мы также находим, что
/>, о)=/; (о, о)=о.
Положим теперь x=y — t. Тогда F(t)*=f(t, t) = 2t и F'@) = 2; но
% d
при ^ = 0, так что результат предыдущего пункта не имеет места.
В дальнейшем мы будем предполагать непрерынность всех встречаю-
встречающихся производных.
159. Теорема о среднем для функций от двух переменных.
Многие из результатов последней главы следовали из теоремы о
среднем:

Дополнительные теоремы 301
Это равенство может быть записано в виде
где у=/(х). Предположим теперь, что z=f(x, у) — функция от
двух независимых переменных х и у, и дадим хну приращения Л, k
или Ьх, Ьу. Поставим задачу найти выражение для соответствую-
соответствующего приращения z, а именно,
fe=/(* + A, >+*)—/(*, у),
через А, А и производные от z по х и у.
Пусть
Тогда
где 0<^6<^1. Но, по теореме о полной производной (см. п. 157),
F (t) = Dtf(x + ht,y + kt) = hfx (x
y
Следовательно,
+ k) —f{x, y) = hfx (x + 6Л, .y + bk) -f
что и является искомой формулой. Так как fx, /' — непрерывные
функции от х и у, то
л у+е*) =/; (*, j,)+8й, ь
jf + ел) /; (, jf)+% и,
где ел, ft и tja, ft стремятся к нулю при А и к, стремящихся к нулю.
Следовательно, теорема может быть записана и так:
где е и т| малы, если Ьх и Ьу малы.
Результат, содержащийся в A), состоит в том, что соотношение
lz=fbx+fyby
\
приближенно верно, т. е. что разность между левой и правой
частью этого равенства мала по сравнению с большим из чисел Ьх,
Ьу'). Мы должны сказать „большим из чисел Ьх, Ьу", потому что
одно из них может быть малб по сравнению с другим; возможно
даже, что 8дг = 0 или 8у = 0.
') Или по сравнению с [ 8х | +18у \ или \^8ха -f- 8y*.

302 Глава седьмая
Если любое уравнение вида Ьг = к&х -f- \*8у «приближенно верно", то
Х=/^., p=f'y Действительно,
8z — f'x8x — f'yby = гЬх + rfiy, 8z — Пх — p&y =
где е, V), г', к)' стремятся к нулю, когда 8а: и 8у стремятся к нулю; таким
образом,
(X - f'x) 8х + (ц - f'y) fty = ?&х + aSy,
где р и а стремятся к нулю. Следовательно, если С — любое заданное поло-
положительное число, то мы можем подобрать такое ш, что
для всех значений 8х и Ьу, по модулю меньших чем ш. Полагая 8у=0,
получим | (X —f'x)Ьх\^Ч\Ьх\, или | X — /^ | ^ ?, что может иметь место
для произвольного С только в том случае, когда X =/^. Аналогично найдем,
что v=fy.
Мы доказали, что A) имеет место, если /х и /' непрерывны, но это
условие не является необходимым. Допустим, например, что <?(х,у)—, лю-
любая непрерывная функция от д; и у, и положим
z=f(x,y) = (x+y)<f (х, у).
Тогда
/ж@,0) = Нт=9@,0)
и аналогично /' @, 0) = <р @, 0); кроме того, очевидно, что
z={<? @, 0) + е} х+ {9 @, 0) + ц}у,
где в и щ стргмятся к нулю при х ту, стремящихся к 0. Это соотношение эквива-
эквивалентно A) при х =у = 0. Но мы не предполагали, что <р (х,у) дифференцируема
по х или по у, и f'x и /' могут не существовать ни в одной точке, кроме
начала координат.
Соотношение A) иногда берется в качестве определения „дифференци-
„дифференцируемое™ функции от двух переменных'; f(x, у) называется дифференци-
дифференцируемой л точке (х,у), если
где А и В зависят только от х к'у, и е и kj стремятся к нулю при Л и Л
стремящихся к нулю; дифференцируемость в области означает дифферен-
цируемость в каждой точке этой области. В данном случае /х и /' суще-
существуют н равны Л и Б, но они могут ие быть непрерывными. Условия, на-
накладываемые на /х и f'y в этом определении, являются промежуточными
между более слабыми условиями одного лишь существования /'хи/'уН бо-
более сильными условиями непрерывности /х и /у. Это определение диффе-
ренцируемости имеет много преимуществ, но для наших целей условие не-
непрерывное ги частных производных является достаточно общим. См,
W. H. Young, The fundamental theorems of the differential calculus (Cam-
(Cambridge Math. Tracts, No. 11), а также де ла Валле-Пуссен, Курс анализа
бесконечно малых, т. 1, г*. III, ГТТИ, 1933.

Дополнительные теоремы 303
160. Дифференциалы. В приложениях математического анализа,
особенно к геометрии, как правило, оказывается чрезвычайно удоб-
удобным иметь дело с уравнениями, содержащими не приращения Ьх, Ьу,
bz функций х, у, z, а так называемые дифференциалы dx, dy,
dz; в качестве уравнения, содержащего приращения, можно указать
на соотношение A) п. 159.
Вернемся к функции У=/(х) одного переменного х. Если /
дифференцируема, то
»У = {/'(*) + «}&*. О)
где е стремится к нулю вместе с Ьх. Уравнение
8у =/(*)&* B)
является поэтому „приближенно" верным.
Дб сих пор мы не придавали никакого самостоятельного зна-
значения символу dy, взятому в отдельности. Условимся теперь опре-
определять dy уравнением
<*У =/'(*) »*. C)
Если мы выберем в качестве у функцию у = х, то получим, что
dx = bx, D)
так что
dy=f'(x)dx. E)
Если мы разделим обе части уравнения E) на dx, то получим:
?=/»> F)
dy
где ~ уже не означает, как до сих пор, дифференциальный коэф-
коэффициент у, а является отношением дифференциалов dy, dx. Символ
-— приобретает, таким образом, двойной смысл; но это не вызы-
вызывает никаких неудобств, так как F) остается в силе при любом из
двух смыслов левой части.
Перейдем теперь к соответствующим определениям, связанным
с функцией z от двух независимых переменных хну. Мы опреде-
определяем дифференциал dz уравнением
dz-fjtx+fhy. G)
Полагая последовательно z = x и z=y, мы найдем, что
dx = bx, dy = by, (8)
так что
y, (9)
что является точным уравнением, соответствующим приближенному
уравнению A) п. 159.

304 Глава седьмая
Одно свойство уравнения (9) заслуживает особого упоминания.
В п. 157 мы видели, что если z=f{x, у), причем х и у являются
функциями некоторого переменного t, т. е. не независимы друг от
друга, то и z является функцией только от t и
lL5.l 2
dt ~'dxdt ~i~ dy di '
Умножая это уравнение на dt и принимая во внимание, что
dx = d7dt' dy = ftdt' dz==Ttdt>
мы получаем:
dz=fxdx+fydy,
что по виду совпадает с уравнением (9). Таким образом, формула,
выражающая dz через dx и dy, одна и та оке как в том случае,
когда х и у независимы друг от друга, так и в том случае,
когда они являются функциями от некоторой третьей перемен-
переменной. Это замечание играет большую роль в приложениях.
Следует также отметить, что если z есть функция от двух не-
независимых переменных х и у и
dz = Ых
то ^=fx, V-=fy- Это сразу следует из п. 159.
Очевидно, что теоремы и определения последних трех пунк-
пунктов могут быть легко обобщены на функции любого числа пере-
переменных. Дифференциальные обозначения обладают многими практи-
практическими преимуществами, в особенности в приложениях к геометрии.
Примеры LXH. 1. Обозначим площадь эллипса с полуосями а и Ъ че»
рез А. Доказать, что
dA_da db
~А~-~а~Л"Ъ-
2. Выразить Д, площадь треугольника ABC, через A) а, В, С, B) А
Ь, с и C) а, Ъ, с и вывести формулы
dtb_oda cdB bdC <*Д_ Лна,АЬ.йс
J + + Ш' Д -С1?ЛЙЛ + J+ с ,
db = R (cos Ada + cos Bdb + cos Cdc),
где R обозначает радиус описанного круга.
3. Стороны треугольника изменяются таким образом, что его площадь
остается постоянной, так что а может рассматриваться как функция от Ь
н с. Доказать, что
да cos В да cos С
db cos Л' дс cos.4'
[Это следует из уравнений
p^ dc, cos Ada + cos Bdb + cos Cdc = 0.]

Дополнительные теоремы 305
4. Если а, Ь, с изменяются так, что R, остается постоянным, то
da , db dc
cos С
__ ^_ _
cos A ' cos В cos С
и, следовательно,
да cos Л da cos A
d~b~ cosB' dc ~~ cos С'
[Применить формулы a = 2RsinA, ... и учесть, что R и
постоянны.]
5. Если г является функцией от и, v, которые, в свою очередь, яв-
являются функциями от * и у, то
dz dzdu , dz dv dz дгди .dzdv
дх дидх dv дх' dy ди ду dv ду'
[Мы имеем:
. дг . , дг . . ди . . ди , , dv . . dv .
dz = -s- аи -\- -=r- dv, du = з— их + з- dy, dv = 3- dx 4- 3- dy.
ди ' dv дх ' ду ¦*' дх ду
Подставить выражения для du и dv в первое уравнение*) и сравнить ре-
результат с уравнением
, дг . . dz . ,
d dx + d>]
6. Если нг cos e = l, tg6 = t/ и F(r, 6) = G(«, v),
то
r/> = — uGa, Ffj=uvGa + (l+v1!)Gv.
(Экз. 1932 г.)
7. Пусть z — функция от х и_у, и пусть A', F, Z определены уравнения-
уравнениями
X + ^Y+Z X\bY+Z, z =
Тогда Z может быть выражена как функция от X и Y. Найти выражения
Zx и ZY через гх и zy.
[Обозначим эти дифференциальные коэффициенты через Р, Q и р, q.
Тогда dz—pdx — qdy=Q или
q — са) dZ + {aiP + ai4 — at) dX+ (b# + hq — *,) Y= 0.
Сравнивая это уравнение с dZ—PdX—QdY = 0, мы находим, что
р_ aip + atq—at hp + btf — b, ,
CiP + W — c* ' CiP + ctf — Cs
8. Если
(atx + Ъ,у + <v) P + («s^ + 1>гУ + cs*) д = а3х-\-Ь„у + csz,
то
(atX+ bCY + c,Z)P + (я2ЛГ+ *8У + c2Z) Q = a3AT+ *8K-f c3Z.
(Эжз. 1899 г.)
9. Дифференцирование неявных функций. Предположим, что / (х, у)
и ее производные f'x и /J, непрерывны в окрестности некоторой точки
(а, Ь) и что
f(a,b) = 0, /у(
* Инвариантность формы дифференциала, доказанная в настоящем
пункте для того случая, когда и и v являются функциями одного пере-
переменного t, имеет место и в том случае, когда и и v являются функциями
от двух переменных х и у. (Прим. перев.)
20 Г. Харди

306 Глава седьмая
Тогда мы можем найти такую окрестность точки (а, Ь), в которой f'y(x,y)
сохраняет знак. Допустим, например, что f'y(x,y) положительна вблизи (а, Ь).
Тогда для любого значения х, достаточно близкого к а, функция f(x,y)
является строго возрастающей (в смысле п. 95) функцией от у для всех у,
достаточно близких к Ь. Из теоремы п. 109 в этих условиях следует, что
существует единственная непрерывная функция у от х, которая принимает
значение b при х = а и удовлетворяет уравнению f (х, у) = 0 для всех
значений х, достаточно близких к а.
Если
f(x,y) = 0, x = a+h, y =
то
О = /(лг, y)-f(a, b)*=(f'a +
где е и к; стремятся к нулю при h и k стремящихся к_Of Таким образом,
h
или
10. Уравнение касательной к кривой / (х, у) = 0 в точке (х0, у0) имегт
вид
(х — хв) f'x (хо,уо) + (у —у в) f'y (х0, у в) = 0.
11. Пусть в результате исключения и из уравнений у — /(х, и) и z =
= у(х, а) мы имеем z = F(x,y). Доказать, что
Р _ fufx — fx'ia p _fa
гх— 1 > гу—с •
1и )и
(Экз. 1933 г.)
12. Максимумы и минимумы. Очевидные изменения в определениях
п. 123 приводят нас к определению максимального и минимального значений
функции от двух переменных. Ясно, что если f(x, у) в точке (а, Ь) имеет
максимальное значение, то функция fix, b) имеет максимум при х = а, так
что / должно обращаться в нуль в точке (а, Ь). Подобным же образом мы
убеждаемся в том, что и /' обращается в нуль в этой точке. Таким обра-
образом,
/;=о, /;=о,
или (что то же самое)
¦df = O
являются необходимыми условиями максимума и минимума. Вопрос о на-
нахождении достаточных условий более сложен, и мы на нем здесь остана-
останавливаться не будем.
13. Если у определено, как функция от х, уравнением g(x, j/) = 0h
f (x, у) имеет в некоторой точке максимум, то (в силу того, что формула
для дифференциала — одна и та же, как в случае независимых переменных,
так и в случае, когда переменные связаны между собой некоторым соотно-
). f'b =f'v

Дополнительные теоремы 307
щением) d/ = 0 в точке максимума, тогда как dg = 0 для всех х и у. Дру-
Другими словами, fxdx-\-f'dy=0, если g'xdx -\- g'ydy = 0, а, следовательно,
Т~Т' A)
Если g'x или ?•' равно нулю, то уравнение A) должно быть понято так,
что стоящег в числителе соответствующей дроби f'x или f'y равно нулю.
Аналогично мы находим, что если г определено уравнением g (х, у, г) = 0
и / (х, у, z) имеет максимум в некоторой точке, то
i f /
ёх ?у &z
(с оговоркой, подобной той, которая сделана в предыдущем случае).
14. Если а, р, 7 положительны. А, В, С являются углами в некотором
треугольнике и sina Лвш^Ввш* С имеет максимальное значение, то
(Экз. 1935 г.)
161. Определенные интегралы и площади. В п. 148 гл. VI мы
приняли, что если f(x) — непрерывная функция от х и PtP — дуга
графика у=/(х), то области, ограниченной РгР, ординатами Р^
и PN и отрезком A^V оси х, можно сопоставить некоторое число,
называемое ее площадью. Ясно, что если 0N=x и х меняется,
то эта площадь будет функцией от х, которую мы обозначим
через F (х).
Сделав такое предположение, мы в п. 148 доказали, 4toF'(;c) =
=f(x), и показали, как этот результат может быть применен к вы-
вычислению площадей некоторых областей, ограниченных кривыми
линиями. Но мы должны еще доказать основную предпосылку, что
величина F (лг) — площадь данной фигуры — действительно существует.
Мы знаем, что понимают под площадью прямоугольника, и что
она измеряется произведением длин его сторон. Свойства треуголь-
треугольников, параллелограмов и многоугольников, доказанные Эвклидом,
дают нам возможность определить и площадь этих фигур. Но ничто
известное нам до сих пор не дает непосредственного определения
площади фигуры, ограниченной кривыми линиями. Покажем теперь,
как можно определить F(x) так, чтобы мы могли доказать существо-
существование этого числа.
Мы предполагаем f(x) непрерывной в замкнутом интервале (а, Ь)
и разбиваем этот интервал на некоторое число подинтервалов точками
деления xQ, xv xit ... , хп, где
20*

308
¦ Глава седьмая
Обозначим через ov интервал (х-,, -Kv+i) и через т.,
грань (см. п. 103) f(x) в 3, и положим
точную нижнюю
Ясно, что если М является точной верхней гранью/(лг) в (а, Ь), то
s^M{b — а). Совокупность значений s является поэтому ограни-
ограниченной сверху (см. п. 103) и имеет точную верхнюю грань, которую
мы обозначим через j. Ни одно значение s не превосходит j, но
существуют значения s, превосходящие любое число, меньшее j.
Точно так же, если Л4-, обозначает точную верхнюю грань f(x)
в 8„, то полагая
мы найдем, что S^m(b — а), где т является точной нижней
гранью f(x) в (а, Ь). Совокупность значений 5 ограничена, таким
образом, снизу и имеет точную нижнюю грань, которую мы обозна-
обозначим через J. Ни одно значение 5 не меньше J, но существуют зна-
значения S, меньшие любого числа, большего J.
Полезно уяснить себе геометрический смысл сумм s и S в том простом
случае, когда / (ж)монотонно возрастает в (а, Ь). В этом случае /nv=/(*v)
и Мч = f (Хч +1)- Сумма s является
суммой площадей прямоугольников, за-
заштрихованных на фиг. 44, a S — пло-
площадью фигуры, обведенной жирной
линией. В общем случае s и S также
будут площадями фигур, состоящих из
прямоугольников, причем s будет пло-
площадью такой фигуры, целиком содер-
содержащейся в криволинейной фигуре, пло-
площадь которой мы определяем, a S —
площадью фигуры, содержащей эту по-
последнюю.
фнг>
Покажем теперь, что ни одно
значение s не может превосхо-
дить ни одного значения S. Пусть
s, 5—суммы, соответствующие
одному разбиению интервала, a s', S' — суммы, соответствующие
другому разбиению. Нам надлежит показать, что s^S' и s'^S.
Мы можем образовать третье разбиение интервала, взяв в ка-
качестве точек деления все точки, которые являются таковыми для s, S
и для s', S'. Пусть s, S обозначают суммы, соответствующие этому
третьему разбиению. Тогда легко видеть, что
s^s, sS^s', S==?S, Ss=S'. A)
Например, s отличается от s тем, что по крайней мере один интервал 8„
встречающийся в s, разделен на некоторое число меньших интервалов
\p>

Дополнительные теоремы 309
так что слагаемое wrv8v из s заменяется в s суммой
где /raV]1, /и-;,2) ... обозначают точные нижние грани /(*) в 8M8Via>
Но очевидно, что /га„д^йь,, /rav2S& /rav так что выписанная
сумма не меньше /ravSv. Следовательно, s^s, и другие неравенства A)
могут быть установлены таким же образом. Но так как s ^ S, то
мы имеем:
что и требовалось доказать.
Отсюда следует, что j ^J. Действительно, мы можем найти зна-
значение s, как угодно близкое к у, и значение S, как угодно близкое к J *),
так что из j"^>J следовало бы существование таких s и 5, что s^>S.
До сих пор мы не пользовались непрерывностью f(x). Покажем
теперь, что j = J и что суммы s и S стремятся к пределу J, когда
число точек деления х* неограниченно возрастает таким образом,
что все интервалы 8V стремятся к нулю. Точнее: мы покажем, что
для любого заданного положительного числа е можно найти
такое 8, что
если 8V<^8 для всех значений v.
По теореме II п. 107, существует число 8 такое, что
если только каждое 8V меньше 8. Следовательно,
5 — s = 2(/Wv — »ч)8ч<е.
Но
где все три слагаемых в правой части положительны (или равны
нулю); следовательно, каждое из них меньше е. А так как J—j есть
постоянная величина, то она должна быть равна нулю. Таким обра-,
зом, j = J и O^j — s<^e, 0^5 — J<^s, что и требовалось до-
доказать.
Мы определяем площадь N^PPx как общий предел s и S,
т. е. принимаем за эту площадь число J. Легко придать этому
определению более общую форму. Рассмотрим сумму
где /, обозначает .значение f(x) в некоторой точке интервала 8V.
Тогда очевидно, что /v лежит между тч и Мч и, следовательно,
') Эти значения s и S не будут, вообще говоря, соответствовать одному
и тому же разбиению интервала.

310 Глава седьмая
а стремится к пределу J, когда интервалы 8, стремятся к нулю.
Поэтому мы можем определить площадь как предел сумм о.
162. Определенный интеграл. Предположим, что f(x)— непре-
непрерывная функция, так что область, ограниченная кривой y=f(x),
ординатами х — а и х=Ь и осью х, имеет определенную площадь.
В п. 148 гл. VI, мы доказали, что если F(х) является „интегралом"
от f(x), т. е. если
F'(x)=f(x), F(x)=$f(x)dx,
то площадь этой области равна F (b) — F (а).
Так как не всегда возможно найти вид функции F (х), удобно
иметь формулу, представляющую площадь Л^Л/Р/^ и не содержащую
в явном виде F{x). Мы будем писать:
Выражение в правой части этого равенства может рассматриваться
с двух точек зрения. Можно рассматривать его как сокращенное
обозначение для разности F (Ь) — F (а), где F (х) является некоторым
интегралом от f(x), независимо от того, известна ли явная формула
для этой разности или нет, или же можно рассматривать этот символ
как обозначающий площадь NxNPPlt определенную в п. 161.
Число
ь
jjf(x)dx
называется определенным интегралом; а и b называются его ниж-
нижним и верхним пределами; f(x) называется подинтегральной функ-
функцией и, наконец, интервал (a, ti) называется интервалом (или об-
областью) интегрирования. Определенный интеграл зависит только
от а и Ь и вида функции f(x); он не является функцией от х.
С другой стороны,
иногда называется неопределенным интегралом от /(#).
Различие между определенным и неопределенным интегралом не затра-
затрагивает существа этих понятий. Определенный интеграл

Дополнительные теоремы
311
является функцией от Ъ и может рассматриваться как некоторый интеграл
от функции / (Ъ). С другой стороны, неопределенный интеграл F(x) всегда
может быть выражен через определенный интеграл, так как
Л
F(x) = F(a)+ jjf(t)dt.
Но когда мы рассматриваем „неопределенный интеграл", то обычно имеем
н виду некоторое соотношение между двумя функциями, в силу которого
одна из иих является производной другой; рассматривая же „определенный
интеграл", мы, как правило, не представляем себе его пределы изменяю-
изменяющимися.
Следует отметить, что интеграл
f(t)dt
имеет дифференциальный коэффициент f (х) и поэтому заведомо является
непрерывной функцией от х.
Так как функция — непрерывна для всех положительных значений х,
X
рассмотрения предыдущих пунктов содержат доказательство существо-
существования функции 1пл; (см. п. 131).
163. Площадь сектора круга. Круговые функции. Теория три-
тригонометрических функций cos х, sin х и т. д. в том виде, в каком
она излагается в учебниках элементар-
элементарной тригонометрии, основывается на
одном недоказанном предположении. Уг-
Углом называется конфигурация, состоя-
состоящая из двух полупрямых ОА, ОР; не
представляет труда перевести это „гео-
„геометрическое" определение на язык ана-
анализа. Принимаемое предположение со-
состоит в том, что углы можно измерять,
т. е. что существует действительное
число х, сопоставляемое этой конфи-
конфигурации так же, как некоторое действи-
действительное число сопоставляется области в п. 148.Если это принять, то cosx
и sin х могут быть определены обычным образом, и в дальнейшем
развитии теории уже больше не встречается никаких принципиаль-
принципиальных трудностей. Все затруднение содержится в вопросе: что пред-
представляет собой х в cos х и sinx? Чтобы ответить на этот вопрос,
мы должны определить меру угла, и теперь мы в состоянии это
сделать. Наиболее естественным было бы следующее определение:
пусть АР будет дуга окружности с центром в О радиуса 1, так
Фиг. 45

312 Глава седьмая
что О А = ОР= 1. Тогда х, мера угла, есть длина дуги АР. В основ-
основном это — тЬ определение, которое дается в учебниках, когда рас-
рассматривается „радианная мера". Для наших целей это определение
имеет, однако, один существенный недостаток: дело в том, что мы
не доказали существования длины дуги кривой, даже в том случае,
когда эта кривая — окружность. Понятие длины дуги кривой может
быть подвергнуто такому же точному математическому анализу,
как и понятие площади; однако, соответствующие рассмотрения, хотя
они и имеют тот же характер, что и рассмотрения предыдущих
пунктов, значительно сложнее, так- что провести их здесь не
представляется возможным.
Мы должны поэтому основывать наше определение не на по-
понятии длины, а на понятии площади. Мы определяем меру угла АОР
как удвоенную площадь сектора АОР единичного круга.
Допустим, например, что О А лежит на оси х (у = 0) и что ОР
есть прямая у = тх, где т ^> 0. Площадь сектора является функцией
от т, которую мы обозначим через ср (т). Точка Р имеет коорди-
координаты ({а, тр), где
от
<р (ж) = 1 ту? -J- J /Т^хЫх = у у ]/Т^Н- J /I^j
Следовательно,
от 1
dm~ dp m~2|AT^2 " A + от2I^ ~~~ 2 A + от2)
и, таким образом,
m
1
Аналитическим аналогом нашего определения является, следова-
следовательно, определение arc tg m уравнением
m
dt
Теория тригонометрических функций, исходящая из этого опреде-
определения, изложена в гл. IX.

Дополнительные теоремы 313
Примеры LXIII. Вычисление определенных интегралов с помощью
неопределенных. 1. Показать, что если b > а ^ 0 и п > — 1, то
J * dx~ n+i
a
b b
sinmb—sinma f . . cos ma — cos mb
sin mxdx = —
„Г . sin mi— sin ma f* .
2. | cosmxdx — ; I si
m
a
1
[Здесь мы встречаемся с некоторым затруднением, связанным с тем,
что arc tg лг яцляется многозначной функцией. Это затруднение можно устра-
устранить, если заметить, что в уравнении
Л
о
arc tg лг должен обозначать угол, лежащий между — ¦=- тг и -^- тт. Действи-
тельно, интеграл обращается в нуль при лг = О и монотонно и непрерынно
возрастает с возрастанием лг. Таким образом, то же должно иметь место
для arctgлг, который, следовательно, стремится к -=- тг при лг—юо. Таким
же образом мы можем показать, что arctgлг•:->¦—^-тгприлг—>—оо. Анало-
Аналогично, в уравнении
dt _
о
где — 1 < лг < 1, arc sin лг обозначает угоя, лежащий между — -у т. и -„
Следовательно, если а и b по модулю меньше единицы, то
ь
dx . . . ,
- = arc sin b — arc sin я.]
1Л-ЛГ2
О
J
4.
/
2sina
если —я<а<7г, за исключением того случая, когда а = 0; н этом случае
интеграл ранен-=-, что является пределом —-—¦ при а—0.
1 а
5. f ^fZTj? dx=~r.; \Ya^-T3 dx =
о
если я>0.

314 Глава седьмая
1
;. | _ равен 2, если — 1<а< I, и —, если | а | > I.
J a
7 i dx
если a~>\b\.
[Вид неопределенного интеграла установлен в примерах LIII. 3 и 4.
Если | а | < | b |, то подйнтегральная функция обращается в бесконечность
между 0 и тт. Чему равен интеграл, когда а отрицательно и — а > | b \ ?]
dx r.
a8 cos2 х -f-й2 sin8 x 2ab '
если а и b положительны. Каково значение интеграла, когда а и b имеют
разные знаки или когда они оба отрицательны?
9. Интегралы Фурье. Доказать, что если т и я — положительные целые
числа, то
I cos mx sin nx dx
о
всегда ранен нулю, и что
2тс
I cos mx cos nx dx, I sin mxsinnx dx
о о
также равны нулю, если т ~ф. п, а при т = и каждый равен л.
г. tz
10. Доказать, что интегралы I cos mx cos nx dx и I sin mx sin nxdx
о о
равны нулю, если тфп, и каждый равен -^ ^, если от = п; а также, что
если я — т нечетно, то
1С
2л
J
ТС
J
cos mx sin ял: dx = —.-
б
если я — т четно, то
cos mx sin ял: А*: = 0.
6
11. Доказать, что I cos /я 6 (cos 9)" db = 0,
о
если ти и я—положительные целые числа и m > я.
(Экз. 1928 г.)

Дополнительные теоремы 315
12. Вычислить
1 с
Г 4л;2+ 3 . . (* xdx С dx (' dx
J 8*Чг4Г+5 А> J YJTJ ' J5+3cosa^' J l-}-2cos*'
о о r ' о о
1
1 w @<a<^ri:j, к ate Is xdx.
J cos 2a — cos x V 3 У' J s
(Элгз. 1927, 1928, 1929, 1930, 1936 гг.)
164. Вычисление определенного интеграла как предела суммы.
В небольшом числе случаев мы можем вычислить определенный
интеграл непосредственно из его определения (см. пп. 161 и 162).
Вообще говоря, вычисление производится гораздо проще с помощью
неопределенного интеграла, но читателю полезно самостоятельно
разобрать несколько примеров.
Примеры LXIV. 1. Вычислить
ь
xdx
разбиением интервала (я, Ь) на п разных частей точками деления а=
Хи xs,..., xn = b и вычислением предела
~ (Xi — X<t)f(X<>) + (Xs —
при и —> со.
[Эта сумма равна
что стремится к пределу -=- (й2 — а2) при w —со. Проверить результат
геометрическими рассмотрениями.]
2. Вычислить
ь
где 0 < а < Ь, разбиением интервала (а, Ь) на п частей точками деления
a, ar, ar",..., агп, где г" = — . Применить тот же метод к более общему
интегралу
ь
xmdx.
а

316 Глава седьмая
ь ь ь
3. Вычислить I хй dx, I cos mxdx и I sin mxdx методом примера 1.
а
л-1
4. Доказать,чгоп / 3 —^—^-^тспри я-
= о
[Это следует из того, что
п . п
а эта сумма, по определению, стремится при я-—со к пределу
1
п VI п
п* + {п-\у- L ,.(г\* '
J 1 + ** -J
0
п — 1
| ^ j
5. Доказать, что —г / 1/ п3—г8—>Ti,
п* Li 4
[Этот предел ранен
f yi^lPdx.]
165. Общие свойства определенного интеграла. В определении
определенного интеграла как предела суммы мы предполагали, что
1° / непрерывна и 2° а<^6. Мы определяем его значение при а ^ Ь
равенством
а
а при а = Ь—'равенством
B)
Эти определения стаионятся теоремами, если мы определим интегралы
с помощью функции F(x); действительно,
F(b)~F(a) = — {F(a)-F(b)}, F(a)-F(a) = 0.
Тогда мы имеем для любых а и Ь:
C)

Дополнительные теоремы 317
ft ft
D) jjkf(x)dx = k jjf(x)dx;
a
b
E) J {fix) + Ф (x)} dx =
a
b
Читателю рекомендуется провести формальные доказательства этих
свойств, исходя (а) из определения интеграла с помощью функции F{x) и (/3)
из определения как предела суммы.
Важную роль играют также следующие теоремы,
ь
F) Если /(*)SsO для а^х^Ь, то | f(x)dx^0.
а
Мы должны только заметить, что сумма s из п. 156 не может
быть отрицательной. Ниже будет, показано (разные примеры, 43,
стр. 338), что значение интеграла не может быть нулем, если f(x)
не равна тождественно нулю; это может быть также выведено из
первого следствия в п. 122.
G) Если H*sf(x)z?K для az?x*?b, то
ь
— a)^ J
Это сразу доказывается применением свойства F) к функ-
функциям f(x) — Н и К.—f(x).
(8)
где I лежит между а и Ь.
Это следует из свойства G). Действительно, в качестве Н мы
можем взять наименьшее, а в качестве К—наибольшее значение f(x)
в (а, Ь). Тогда интеграл равен ч\ (Ь — а), где i\ лежит между Н и К.
Но так как f{x) непрерывна, то должно существовать такое \,
что /(?) = ?! (см. п. 101).
Если F(x) — интеграл от f(x), то свойство (8) может быть за-
записано в виде
так что это свойство оказывается частным случаем теоремы о сред-
среднем из п. 126. Свойство (8) можно назвать первой теоремой о сред-
среднем интегрального исчисления.

318 Глава седьмая
(9) Обобщенные теоремы о среднем для интегралов. Если ср(х)
положительна и Н и К определены как в теореме G), то
ь ь ь
Н Г<р(л:)?*га? [f{x)®(x)dxzQK§cp(x)dx
а а а
а
ь ь
J / <х) <Р С*) dx=№ $9 (х) dx,
а а
где I лежит между а и Ъ.
Это сразу доказывается применением теоремы F) к интегралам
& ь
ij{f(x)-H\9(x)dx, §{K-f(x)}9(x)dx.
а а
A0) Основная теорема интегрального исчисления. Функция
имеет производную, равную f(x).
Это было уже доказано в п. 148, но представляется целесооб-
целесообразным сформулировать этот результат здесь в виде формальной
теоремы. Из этой теоремы следует, как было уже отмечено в п. 162,
что F (х) является непрерывной функцией от х.
Примеры LXV. 1. Показать, исходя из определения определенного
интеграла как предела суммы и снойств A) — E), что
а а а
1) Г<р (xs) dx == 2 Г <р (л;2) dx, Г х<? (х1) dx = 0;
— а 0 —а
2) I <?(cosx)dx— I <р (sihat) dx = -j- I y(smx)dx;
о oo
3) I <p (cos3 x)dx — m I tp (cos2 x) dx,
о о
где m — целое число. [Справедливость этих соотношений станет геометри-
геометрически очевидной, если предстанить себе вид графиков подинтегральных
функций.]

Дополнительные теоремы 319
2. Доказать, что
I
j- sin [n + -2-J
sin -„- 0
где я—положительное целое число или нуль. Чему равен этот интеграл
при отрицательных целочисленных л?
3. Доказать, что интеграл
J siax
о
sin пх .
dx
равен к или 0, в зависимости от того, является ли п числом нечетным или
четным. (Экз. 1933 г.)
4. Доказать, что
С /sin пх \3 .
| —: dX — llK
для всех положительных целочисленных значений п.
(Экз. 1933 г.)
[В примере 2 применить тождестно
sin (п + y
= 1 + 2 cos х + 2 cos 2x +... + 2 cos nx,
s[a2X
а в примере 3 — тождество
sinnx
sin л:
= 2 cos (n — 1) х + 2 cos (я — 3) х +...,
где последнее слагаемое равно 1 или 2cosx. Для доказательства утвержде-
утверждения в примере 4 возвести последнее тождество в квадрат и применить ре-
результат примера LXIII. 10.]
5. Если
<р (х) = -п а„ -\- я, cos х -(- bi sin х + • • • + «n cos ял^ + *n s'n "^
и ft — положительное целое число, не превосходящее п, то
2л 2ге 2ic
I tp (лг) dx = тга0, I cos Ал; <р (лг) djc = яаА, I sin kx <? (x) dx = nb^,
о о о
если k~>n, то значение каждого из последних двух интегралов равно нулю.
[Применить результат примера LXIII. 9.]
6. Если /(л;)^<р(л;) для а^х^Ь, то
ь ь
(<?dx.

320 Глава седьмая
7. Доказать, что
it/»
0< Г sinn+lxdx< j sin"лгdx, 0< I tgn+lxdx< j tg"
8 '). Если п > 1, то
0,5 < Г -г < 0,524.
.'1/1 — ЛГ8™
о '
[Первое неравенство следует из того, что у 1 — х%п < 1, а второе—из
того, что У~1 — лтаи^У~1—лг2.]
9. Доказать, что
1 С dx 1
y
10. Доказать, что
2
J
0,573 < _^==р^г< 0,595.
- Злг + х*
[Положить лг = 1 + к, затем заменить 2 -4- Зн2 + к3 на 2 + 4«а и на
Зк2.]
11. Если а и <р — положительные острые углы, то
?< f *?
J 1/1 — sinaasin*.
У.
»лг |^ 1 —sin'a sma^i
если e = <p= -»- л, то значение интеграла лежит между 0,523 и 0,541.
12. Доказать, что
ft ь
f(x)dx
а а
[Если s обозначает сумму, рассмотренную в конце п. 161, а о'—соответ-
о'—соответствующую сумму, образованную для функции |/(лг) |, то | <
13. Если |/(лг)|5?АГ, то
ь ь
166. Интегрирование по частям и подстановкой. Из п. 141
следует, что если / {х) и <р' (х) непрерывны, то
') Примеры 8—11 заимствованы из книги Gibson, Elementary treatise
on the calculus.

Дополнительные теоремы 321
Эта формула известна как формула интегрирования определенного
интеграла по частям.
Далее, мы знаем (см. п. 136), что если F(t) — интеграл от f(t),
то
J7 {
=^ {9
Следовательно, если ср(а)==с, «р (?) = </, то
d
что является формулой преобразования определенного интеграла
подстановкой.
Эти формулы часто позволяют нам найти значение определенного
интеграла без знания функции F(x). Определенный интеграл яв-
является разностью двух частных значений F(x), которая иногда может
быть найдена каким-либо специальным приемом даже в тех случаях,
когда сама функция F(x) неизвестна.
Примеры LXVI. 1. Доказать, что
ь
J хГ (х) dx = {bf (*)-/(*)} - {af («)-/(«)}.
a
2. Доказать, что вообще
ь
J
где
PI«л — v-tn f{m) I x\ — m v-m-1 f{m~1) frl-i-m/ffl ]\ v-m-i f m~2) I r\.
3. Доказать, что
l l
| arc sin .v dx —-^т.— \, I x arc tg .v d.v = -. r — ¦,
о о
4. Доказать, что если а и b положи гельны, то
[' л" cos .t" sin х dx л
J (
о
[Проинтегрировать по частям и применить результат примера LXII1. 8.]
5. Вычислить с помощью подходящих подстановок
2 15 1
dx (' х dx
J
3)УЛП J
21 Г. Харди

322 Глава седьмая
I seca x dx, I |Ag x dx, I 5 -j- 7 cos -j- sin x '
0 0 —ic/»
2 +cos л-)8 '
о о
(Экз. 1924, 1925, 1926, 1931 гг.)
6. Если
XX X
= J / (t) dx, /а (л:) = j' f\ @ dt,..., fk (x) = J Д-, (t) dt,
о о
x
(Экз. 1933 г.)
[Повторно интегрировать по частям.]
7. Доказать интегрированием по частям, что если
1
"т, п~ \ xm(l—xfdx,
6 6
TO
x
где м и «^положительные целые числа, то (т -\-n-\- l)«m> n==raum, я —1,
й вывести, что
!
8. Доказать, что если
О
то ип -)- о„_8 = г, Вывести отсюда значение интеграла для всех положи-
ft I
тельных значений п.
[Положить tg" х = tg"~8 x (sec* x — 1) и интегрировать по частям.]
9. Доказать, что если
¦sit
пп= | s\nnxdx,
Pi j
то и„5вя и„_:. [Записать sin"* в виде sin" at sin,v и интегриропать по
частям.]
10. Вывести из результата примера 9, что ип равно
2»4'6...(и— 1) 1_ 1 -3-5.. .(я—1)
3-5.7...Й или2" 2-4-6...И '
в зависимости от того, является ли п числом нечетным или четным.
(Экз. 1935 г.)

Дополнительные теоремы $23
11. Вторая теорема о среднем. Если f(x) является функцией от х
с непрерывной производной, не меняющей знака в интервале от х — а до
х — Ь, то между а и b найдется такое число ?, что
ь Z ь
J / (х) <р (х) dx =/(a) J <p (х) dx + f(b)§<? (х) dx.
a a i
[Пусть
х
а
Тогда
ь ь
f(x)<?(x)dx
а
Ъ
по теореме (9) п. 165; следовательно,
ь
J /(х) ? (*) dr=/(*)Ф (ft) + {/(a) -/(ft)} Ф F),
а
что равносильно утверждению теоремы.]
12. Форма Боннэ второй теоремы о среднем. Если f (х) непрерывна и
не меняет знака, a f(b) и f(a)—f(b) имеют одинаковый знак, то
J / (х) tp| (x) dx^f (a) j% (x) dx,
где X лежит между а и b. Действительно,
/ (b) Ф (ft) + {/(a) -/(b)} Ф E) = к/(«),
где |а лежиг между Ф(&) и Ф(Ь), и, следовательно, является значением Ф (х)
для некоторого значения х — Х. Важным случаем является тот, при кото-
котором O^f(b)^f(x)^f(a).
Доказать также, Что если f(a) и f(b)—/(«) имеют одинаковый знак, то
ь ь
J /(*)«p(*)d*—/(ft) J
С л
где X лежит между а и Ь.
13. Доказать, что
X'
Г sin лг . 2
если Х'>Х>0.
[Применить первую формулу из примера 12 и учесть, что интеграл от
sin а: по любому интервалу по модулю не превосходит 2.]
21»

324 Глава седьмая
14. Вывести результаты примера LXV. 1 с помощью подстановки. [На-
[Например, в C) разделим интервал интегрирования на т равных частей и сде-
сделаем подстановки л; = г-|--у, лг = 2тс -f- у, ]
15. Доказать, что
ь ь
Г F(x)dx = Г F(a + b — x)их.
16. Доказать, что
/г
cos xdx.
о
17. Доказать, что
/г */з
I cosm х siam х dx =2~m I
о о
¦rt тс
I л:<р (sin x) dx = -~- тс I <p (sin лг)
[Положить лг = ~—у.]
18. Доказать, что
j* xsmx_dx= 1 |'
J 1 + cos* a: 4 J
° °
512
° ° (Экз. 1927 r.)
19. Показать с помощью подстанозки х = « cos* 9 -f- & sin2 0, что
что
л:- «)(& —лг) йлт = ^ тг (* — «)«.
20. Показать с помощью подстановки
(a-\~b cos ,v) (а — Ъ cosy) = а2 — Ь*,
i: it
I (в -г- * cos л-)"" &с = (в2 — ?s)~(n "" '/2) | (a — b cosy)'»-' afy,
о о
если « — положительное целое число и а ;> | & I, и вычислить этот интеграл
для я=1, 2, 3.
21. Если от и « — положительные целые числа, то
ъ
j' (Л- _ а)т {Ь __ ^n dx = (Ь _. в)Я«.«+. ^J^,
а
[Положить лг = (& — а)у-\ а и применить ргзультат примера 7.]
167. Доказательство теоремы Тейлора интегрированием по
частям. Можно применить метод интегрирования по частям для до-
доказательства теоремы Тейлора.

Дополнительные теоремы 325
Пусть f{x) — функция, первые п производных которой непре-
непрерывны, и пусть
Fn (х) =f{b) -f{x) - F - x)f (x)-...- -(\~^ /("-') (*).
Тогда
и, следовательно,
ь ь
Fn (a) = Fn (b) - J Fn' (*)¦<** = (-^lTyi J (ft - xf^fC) (x) dx.
a a
Если мы теперь будем писать a-j-й вместо b, и преобразуем инте-
интеграл подстановкой x = a-\-th, то найдем
-1 " Л"-1) (аL-Р , (I)
' Мя — i)!y w^An> v1;
где
l
о
Если теперь p — любое положительное целое число, не прево-
превосходящее п, то, по теореме (9) п. 165, мы имеем:
1 - t)n~lfin) (а+/Л)Л= Г A — tf-p{\ - t)P-lf(n) (a-\-tk)dt =
о
i
= A — %)n~Pfin) (a + Щ (' A — ^)р dt,
О
где 0<^б<^1. Следовательно,
Если мы положим р=^п, то получим формулу Лагранжа остаточ-
остаточного члена Rn (см. п. 152). Если же мы возьмем р=\, то получим
так называемую форму Коши, а именно,
Это доказательство теоремы Тейлора обладает тем преимуществом, что
оно приводит к точной формуле B) для Rn, которая не содержит неопреде-
неопределенного числа 0. Если его рассматривать просто как доказательство фор-
формулы Лагранжа для Rn, то оно дает менее общий результат, чем доказатель-
доказательство, приведенное в п. 150, так как мы предположили непрерывность /*"*(лг).
Рассуждение п. 150 может быть видоизменено так,, чтобы оно приводило
к формулам C), и D).

326 Глава седьмая
168. Применение остаточного члена в форме Коши к биномиальному
ряду. Если / (лг) = {1 -\-х)т, где т не является положительным целым числом,
то остаточный член в форме Коши имеет вид
р _ и (и — 1)... (/я — я + 1) A —9)"-* хп
Нп~~ 1-2... (га— 1)
II A
Но . меньше 1, если —1 <дг< 1 (независимо от того, положительно
х или отрицательно); A -f-влг) <(\-\-\x\)m-i, если /я>1, и A
< A—\x\)m~\ если от<1. Следовательно,
I Rn I < I т I 0 ± I •*¦ II*"
Но р„-»0 при « — со, согласно результата примера XXVII. 13, и ./?„—-0.
Справедливость биномиальной теоремы, таким образом, установлена для
всех рациональных значений т и всех значений х между — 1 и 1. Напомним,
что применение формы Лагранжа наталкивалось на затруднения в связи
с отрицательными значениями х (см. B) п. 152).
169. Приближенные формулы для определенных интегралов.
Правило Симпсона. Существует ряд приближенных формул для
определенных интегралов, которые играют важную роль в вычис-
вычислениях. Простейшей из них является следующая:
ь
Г f(x)dxg*±ф-a){f(a)+f{b)}. A)
Здесь мы заменяем площадь Рг^ЫР (см. п. 148) площадью трапе-
трапеции PXNXNP, и формула точна, когда f{x) — линейная функция.
Можно показать (см. пример LXVII. 2, стр. 328), что если/)
имеет производные f'(x) и f"(x), то ошибка в A) равна
где $ — некоторое значение х между а и Ь. При практических вы-
вычислениях мы должны, конечно, разбить интервал интегрирования
на небольшие участки и применить эту формулу к каждому из них
в отдельности.
Значительно лучшей формулой является
ь
/(X) dx ^ \ (Ь - а) { /(а) + 4/(^) +/(*)}. B)
а
ь
J
Эта формула, известна под названием правила Симпсона. Мы дока-
докажем, что если f(x) имеет четыре производных f'(x), /" (х), /'" (я)
и flv (х), то ошибка в B) равна

Дополнительные теоремы 327
для некоторого ? между а и Ь. В частности, это показывает, что
правило Симпсона дает точный результат для многочленов третьей
и низших степеней.
Будем писать с — h, c-\-h вместо a, b и рассмотрим функцию
где
t-M
-i @ = j /(*) dx - I t { f(c -f 0 f 4/@ +/(c - 0}.
с — t
Дифференцируя три раза, найдем, что
, . 2
О
СледовательнЬ, по теореме о среднем,
^} C)
где $ лежит в интервале (с — t, с -j— /).
Но так как ср(О) —гр(/г)=;О, то, по теореме Рол ля, 9'(^) = 0 для
некоторого tu лежащего между 0 и А. Так как и «р'@) = 0, то
ср"(?2) = 0 для некоторого гъ лежащего между 0 и /,, а следова-
следовательно, и подавно между 0 и А. Наконец, гр" @)^=0 и поэтому
ср'"(?3) = 0 для некоторого t3 между 0 и А. Из C) теперь следует,
что
/»v (?) = -¦? «К*)
для некоторого \ между с — ta и c-\-t3, т. е. во всяком случае
между с — h и c-\-h. Это равенство может быть записано в виде
J /(*)dx-^h{ f{c + A) + 4/(c) +/(c-*)} = - %ГF)
с —А
ИЛИ
* =-?-(*-a)

328 Глава седьмая
При практических вычислениях мы опять разбиваем интервал интег-
интегрирования на части и применяем правило Симпсона к каждой части.
Примеры LXVH. 1. Доказать, что если f(x) дважды дифференцируема, то
/(лг + *)-2/(*)+/(*-А) = А»/"F).
где % лежит х— h и x-\-h.
(Экз. 1925 г.)
[Рассмотреть вспомогательную функцию
Ч @ =/ ОН - *) - 2/ U) + / (.« - *) - ("У f / (х + h) - 2/ (*) + / (а- - h)}.\
2. Доказать, что ошибка в формуле A) настоящего пункта равна
- 1*2 (Ь — aff (?), где а < 5 < *.
[Рассмотреть вспомогательные функции
= § f(x)dx ~t{f(c + t)+f(c-t)}, «p @ = Ф W — (-J-) Ф (Л) ¦]
c — t
3. Доказать, чта
J / (.v) rf.v
где а < ? < Ъ.
4. Применить правило Симпсона к вычислению л по формуле
1
[Результат равен 0,7833... . Если мы разложим интеграл на два — от О
11,.
до -_- и от-к-до 1 и применим правило к каждому из них, то получим ре-
результат 0,7853916... . Точное значение равно 0,7853921 ... .]
5. Показать, что
5
8,9 < ( у А + х* dx < 9.
3 (Экз. 1903 г.)
6. Применить правило Симпсона с пятью ординатами к вычислению
2
х dx
х
1
с точностью до двух знаков. (Экз. 1934 г.)
7. Показать, что приближенное значение
4
равно 0,88. (Экз. 1933 г.)

Дополнительные теоремы
329
170. Интегралы от комплексных функций действительного
переменного. До сих пор мы всегда предполагали, что подинте-
гральная функция в определенном интеграле действительна. Опреде-
Определим интеграл от комплексно-значной функции / (я) == <р (х) -[- Щ (х)
действительного переменного х в пределах от а до b уравнениями
ь ь ь ь
J f(x) dx = j { 9 (х) -j- «!> (*)} dx = J 9 (x) tfx -f i J
очевидно, что свойства таких интегралов могут быть выведены из
уже рассмотренных свойств действительных интегралов.
Одним из этих свойств мы в дальнейшем воспользуемся. Оно
выражается неравенством ')
A)
Это неравенство мозкет быть легко выведено из определений, дан-
данных в пп. 161 и 16^. Если 8V обозначает то же, что и в п. 161,
а 9v и ty4 — значения <р и ф в некоторой точке 8,, и /., = фу -f- *<|*vi
то
b b Ь
| fdx — | ср с/л: -(- i i ф rfx = lim v c
= lim
и, следовательно,
тогда как
$fdx
=| lini
—Hm|
Утверждение теперь следует из неравенства
Очевидно, что формулы A) и B) п. 167 остаются в силе, когда/
является комплексно-значной функцией
1) Соответствующее неравенство для действительных интегралов было
доказано в примере LXV. 12.

330
Глава седьмая
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ VII
I. Проверить выписанные члены следующих рядов Тейлора:
A) tgje = * + -^ *» + {!*» + ...,
1 ., 5
2 24
C) .V cosec .v- = ! -f - х2 + ЧЙП- хЧ • • • • >
D) .vctgA-=l
2. Показать, что если f (x) w ее первые я+2 производных непрерывны,
f(n+1i @):^?0, и 0„ является значением 9 в остаточном члене ряда Тейлора
в форме Лагранжа для Я членов, то
= _L 2 - f}—L^\
" я +1 + "("«+Tj* (я +2) /("+') @)* + °(Л)-
[Следовать примеру, примененному в примере IV. 12.]
3. Вывести формулы
/(в)
g{b)
/.(я) /*(?)
1
где E лежит между в и ft, и
| f(a) /(ft) /(с)
B) ?{а) ?(*) ?(с) = 4" (ft — с) (с — а) (а — I
А (а) Л (ft) А (с)
где Р и у лежат между наименьшим и наибольшим из чисел a, ft, с.
[Для доказательства B) рассмотрим функцию
/(я) /'(?) /"(V)
5-(в) г'О) ?"(Т)
Л (а) А'(Р) А" G)
/(а) /(ft) /(jc)
(х~-а)(х —
/(а) /(*) f(c)
g(a) gW g(c)
A (a) A (ft) h(c)
,_ -а){с—Ь)
А (в) A (ft) Л(^)
которая обращается в нуль при х—а, х = Ь и д: —е. Ее первая производ-
производная должна обратиться в нуль при двух различных значениях х, лежащих
между наименьшим и наибольшим из чисел a, ft и с (по теореме В п. 122);
отсюда следует, что ее вторая производная обращается в нуль при некото-
некотором значении х = ч, удовлетворяющем тому же условию. Таким образом;
мы получаем формулу
= -Tj- (с — а)(с — ft)
/(a) /(*) /"(Y)
gia) gib) g"d)
A(a) A(ft) A"G)
/(о) /(ft) f(c)
gia) gib) gic)
A (a) A (ft) h(c)
Доказательство теперь может быть легко доведено до конца.
4. Если F{x) имеет непрерывные производные первых я порядков, из
которых первые я —1 обращаются в нуль при л' = 0, а
для 0 s?j х г?? Л, то
, хп

Дополнительные теоремы 331
для Oi-ZxisZh. Примеиить этот результат к функции
/ (х) - / @) - xf @) - ... - -^lj /«-О @)
и вывести отсюда формулу Тейлора.
5. Если ДАср (х) = ср (х) — tp (х + Л), Ддср (ж) = Дй {Дйср (л:)} и т. д. и ср (х)
имеет производные первых и порядков, то
К ?(¦*)= S (- ! К ( ") 9 (х + rh)'== (- h)n <p<»> (I),
/•=0 ^ '
где $ лежит между х а х-\- nh. [Рассмотреть вспомогательную функцию
Пример LXVII. 1 по существу является частным случаем и = 2.]
6. Вывести из примера 5, что
хп-т/^пхт__ от (ю — 1)... (от — я + 1) hn
при *—» со, где /я —любое рациональное, а я —любое целое положительное
число. В частности доказать, что
— 2 Y~ + ~i + 1/Н^}
7. Допустим, что у = ср (дг) имеет непрерывные производные первых
четырех порядков и что <р@) —0, ср'@) = 1, так что
у = ср (х) = х + а2хг + а3х* + аАх* + о{х*).
Доказать, что
х = ф (У) =У - а<>у* + B4 - в,)У - (ЗД - 5asas + а,)у* + о (у')
н что
при jf —> 0.
8. Координаты E, ч) центра кривизны кривой x=f(t), y = F(t) в точке
(л;, у) определяются "из соотношений
h-x_-n~y_ x»+y>*
у' ~~ х' ~~ х'у" — х"у' '
а радиус кривизны равен
х'у"—х"у' '
где штрихи обозначают дифференцирования по t.
9. Координаты ($, >j) центра кривизны кривой 27ау1 = 4х!1 в точке (л;, у)
определяются из уравнений
)+2х* = 0, 7j = 4y + ^.
(Экз. 1899 г.)

332 Глава седьмая
10. Доказать, что круг кривизны в точке (х, у) будет иметь касание
третьего порядка с кривой, если A ¦\-у\)Уг=Ъу1у\ в этой точке. Доказать
также, что окружность является единственной кривой, которая обладает
этим свойством в каждой своей точке* и что единственными точками кони-
конического сечения, в которых это имеет место, являются его вершины.
[См. гл. VI, Разные примеры, 13 D).]
11. Коническим сечением, имеющим в начале координат касание наи-
наивысшего порядка с кривой
у = ах° +bxs +СЛ4 +.
является
а?у = aixi -f аЧху -f- (ас —
Вывести, что коническим сечением, имеющим в точке (?, rf) касание наи-
наивысшего порядка с кривой у =/(х), является
где Т — (у — V)) — гц(х — |).
(Экз. 1907 г.)
12. Однородные функции *). Если
h-
то и ие изменяется, не считая множителя X", когда х, у, г, ... все возра-
возрастают в отношении ). :1. В этих условиях и называется однородной функ-
функцией степени п относительно переменных х, у, г, .... Доказать, что для
такой функции
ди , ди , дп ,
дх J ду ' дг
Этот результат называется теоремой Эйлера об однородных функциях.
13. Если и — однородная функция степени я, то их, иу, ... однородны
степени и— 1.
14. Пусть f(x, >") = 0 представляет собой некоторое соотношение между
х и. у (например, хп-\-уп — л; = 0) и пусть F(x, у, г) = 0 будет это же
соотношение, приведенное к однородному виду заменой единицы третьей
переменной г (например, хп -\-уп — хга ~1 = 0). Показать, что уравнение
касательной к кривой f(x, y) = 0 в точке (?, ¦>]) имеет вид
где f\, F , F^ означают Fx, Fy, Fz, в которые подставлены значения л; = ?,
У — \ ? = С = 1.
15. Зависимые и независимые функции. Якобианы или функцио-
функциональные определители. Допустим, что миг» являются функциями от х и
у, связанными тождественным соотношением
<?(«, v) = 0. A)
Дифференцируя A) по х и у, мы получим:
ду ди , ду dv д<? ди .dtp dv .,
ди дх dv дх ' ди dy^dvdy ' ' '
') В этом и следующих примерах мы предполагаем непрерывность всех
встречающихся производных.

Дополнительные теоремы
383
исключая отсюда производные от <р, найдем, что
V, Vv
C)
где их, и у, vx, Vy обозначают производные от и и v по х и у. Равенство C)
является, таким образом, необходимым условием существования соотноше-
соотношения типа A). Можно доказать, что это условие также достаточно (см.,
например, Э. Гурса, Курс математического анализа, т. I, гл. III).
Если и и v связаны соотношением A), то они называются зависимыми;
в противном случае говорят, что они независимы. Выражение J называется
якобианом или функциональным определителем отияупохмун
обозначается так:
Аналогичные результаты имеют место для функций любого числа пере-
переменных. Так, три функции и, v, w от трех переменных х, у, z связаны
соотношением <р (и, v, да) = 0 в том и только том случае, когда
д (и, v, w)
wx
д (х, у, г)
равен нулю для всех значений х, у, г.
16. Показать, что выражение
ах3 + by* + сг* + 2fyz + 2gzx + 2hxy
может быть представлено в виде произведения двух линейных функций от
х, у, г тогда и только тогда, когда
abc + 2fgh — af* — bg* — ch" = 0.
[Записать условие того, что
px+qy+rz и p'x+q'y + r'z
связаны с данной функцией функциональным соотношением.]
17. Если и и v являются функциями от ? и к), которые, п свою очередь,
яиляются функциями от х и у, то
d(u,j)) _ д(и, у) д (S,jr,)
д~(х,у) да,У1)д(х,у)-
Обобщить этот результат на любое число переменных.
18. Обозначим через / (х) функцию, производная которой равна --.- и
которая обращается в нуль при х = 1. Показать, что если и = f (x)-\-f (у),
v — xy, то
uxVy — uyvx — 0,
т. е. что и и v связаны функциональным соотношением. Полагая у=^\,
показать, что это соотношение должно иметь вид
Подобиым же образом доказать, что если производная от f (х) есть -,-дт^
i -j- х
и /@) = 0, то f(x) должно удовлетворять уравнению

334 Глава седьмая
19, Доказать, что если
то
20. Показать, что если существует функциональное соотношение между
¦« =/(•*)+ /(У)+ /(*). v = f{y)f{z)+f(z)f{x)+nx)f{y),
w=f(x)f(y)f(z),
то /(л;) должна быть постоянной.
[Условием существования функционального соотношения является равен-
равенство
21. Еслн f(y, z), f(z, x) и f(x, у) связаны функциональным соотноше-
соотношением, то f(x, x) не зависит от х.
{Экз. 1909 г.)
22. Если и — 0, и — 0, и> = 0 — уравнения трех окружностей, записанные
в однородной форме (как в примере 14), то уравнение
д (и, у, w) __ 0
д(х,у, г)
представляет окружность, ортогональную к данным трем.
23, Вычислить ¦,; ' *;, если
д{х, у)'
х* , .У3 __
у*
_
(Экз. 1900 г.)
(Экз. 1936 г.)
24. Если Л, В, С —функции от х такие, что
А А' А
В В' В
С С С"
есть тождественный нуль, то существуют такие постоянные X,
Ы -f t*5 + чС
тождественно равно нулю, и наоборот. [Обратное предложение почти оче-
очевидно. Для доказательства прямого утверждения положим а = ВС —В'С,
Тогда а'—ВС" — В"С, ..., к из равенства нулю определителя следует,
что Py' — Э'Т = 0, ...; таким образом, отношения a:$:~t постоянны. Но
Л+р? + С 0]
->, что
25. Допустим, что переменные х, у, z связаны некоторым соотношением,
в силу которого 1° z является функцией от х и у с производными гх и z$
и 2° х является функцией от у и z с производными ху и хг. Доказать, что
[Мы имеем
х ——гУ х — —
ху— —, хг— .
dz —zxdx-\- Zy dy, dx = xydy-\- x2 dz.

Дополнительные теоремы 335
Подставляя их в первое нз этих уравнений, получим:
dz = (гхху + zy) dy + гххг dz,
что может иметь место только в том случае, когда
Zy — O, ZxX2~l.]
26. Четыре переменных х, у, г, и связаны двумя соотношениями, в силу
которых любые два из них могут быть выражены как функции остальных
двух. Показать, что
хуУг + хииг — и' Уггхху — У ггхху — '
а.у _. va^x __
^гУг~
xsr
где у" обозначает производную от у по z, когда у выражено как функция
от z и и.
(Экз. 1897, 1928 гг.)
27. Переменные х, у, z связаны соотношением
— 3xyz—0
и <f(x, у, z) = xsysz. Определить значение ух в точке A, 1, 1), если незави-
независимыми переменными являются 1° х и у, 2° х и г; дать геометрическое
толкование того факта, что в этих двух случаях получаются различные
значения ух.
(Экз. 1936 г.)
28. Если x* — vw, y* = wu, z* = uv и f(x,y, z) = <f(u, v, w), то
(Экз. 1933 г.)
29. Найти tpj,(O, 0), если
(x-\-yf(x— у)
когда х и у ие равны одновременно нулю, и ср(О, 0) = 0; об-Ьясиить, почему
соотношение <р (х, у) = 0 ие определяет j/ как однозначную функцию от д;
в окрестности начала координат.
(Экз. 1928 г.)
30. Пусть у (и, v, х, у) однородна со степенью 2 относительно миг»;
положим tpa=j0, tptJ = 4r- Пусть ср(и, v, х, у), выраженная через p, q, x, у,
есть 4 (р, q, x, у). Доказать, что
У (Экз. 1936 г.)
[По теореме Эйлера (пример 12), щи -(- vyv = 2» или /ш + ^rf = 2ф, если
« и г» выражены через /?, 9) -^. У- Следовательно,
по
^р = fifip + «?vVp — pup
и значит dip == г/. Остальные результаты доказываются аналогично.]
31. Если в>0, ас — &2>0, и лт^'л-,,, то
1'
I
J а
(xt —
где значение арктангенса лежит между Оиг1).
х) В связи с примерами 31, 33, 36,38 см. Bromwich. Messenger of
matics, XXXV.

336 Глава седьмая
32. Вычислить интеграл
i
J*sin а их
J
1 — 2х cos^a -j- xs
Для каких значений а этот интеграл является разрывной функцией от а?
(Экз. 1904 г.)
[Значение интеграла равно у тс, если 2п~<а<:Bп-\- 1)я, и —у тг, если
Bя—l)ir< а<2п-, где я — любое целое число; при а кратном - интеграл
равен 0.]
33. Если дат2 -\- 2 Ьх -\- О 0 для х0 sg х ^ хи
f (х) = |/вха + 2Ьх~+~с
то
J У 1/в1П1— XVa
-XY'a
если 'а положительно, и
если а отрицательно, где значение арктангенса лежит между 0 и -=- тт.
X
IV. , х — х0 „ С dt Л
(Подстановка t=—-—¦ приводит интеграл к виду 2 I . -^,1
о
3+. Доказать, что
а
J Л--т-/в»-А-а 4
(Э/сз. 1913 г.)
35. Если а > 1, то
1
I -*-—¦—'-— dx= ~ (а — Т/в2 — I),
о а — .с '
36. Если /)> I, 0<^< I, то
dx 2ш
о '
где <о обозначает положительный острый угол, косинус которого равен

Дополнительные теоремы 337
37. Если а > Ь > 0, то
2tt
о
(Экз. 1904 г.)
38. Доказать, что если u>]/fta-fe2, то
Г йЦ __. 2_
J a-f & cos в-f-e sin 8 |/"да_ ja_сатаГС g
где значение арктангенса лежит между Ошг.
39. Доказать, что если т ^> 1 и
> я= I sinm x cos ях dx, Jm< „= I si
0 0
TO
и выразить //н я через /m_2) я_2 ПРИ. wSft2.
(Элга. 1933 г.)
40. Доказать интегрированием от 0 до у ^ неравенств
1 — sin2" -1 х 1 — siam х ^ 1 — sin2'1 +х х
~~2п^\ > 2я > ~2л+
с помощью результата примера LXV1. 10, что
/, . 2я —1 \ 4«
И + -or- J»n-i > --- >Рп {pa— 1),
где
_3.5...Bя + 1)
рп"~" 2-4..Г2и •
(Загз. 1924 г.)
41. Найти рекуррентную формулу для
X
Г sin2re-
и вывести, что
,1 . в , , 1«3...Bя—3) . „_ .
1 = COS X -f- -=- COS X SIITX -j- . . . -f- -i—т jn Fjf COS X Sin2" ~s
, 1 sin3 a , , 1-3... Bя — 3) sin2" a
a= sin a+ - -j- + ... + -^ L + /
где
_3-5...BЯ-1) Г
Г"~2-4...Bя-2) J Ш
22 Г. Харди

338 Глава седьмая
*-=J г«<*= *тгг$?% J(а- v>sinS"-'*'•*¦
о о
Доказать, что х 4- a cos л- ^ а, если 0 ^ д- ^ а г=С — к, и вывести от-
отсюда, что
Tibsr
(Экз. 1924 г.)
42. Доказать с помощью подстановки У~1 4- х* =(l 4-A:s)costp или иным
путем, что
J
1 — x2 их
(Экз. 1923 г.)
43. Если f(x) непрерывна и не принимает отрицательных значений и
ь
Г f(x)dx = p,
а
то /(л:)=0 для всех значений х между аи*. [Если бы f(x) принимала,
например, пр* х = $, положительное значение k, то мы могли бы, в силу
непрерывности f(x), найти такой интервал (S — 8, S4-8), в котором
f(x) >-тук; но тогда значение интеграла превосходило бы Sft.j
44. Неравенство Шварца. Доказать, что
, ь . ь ь
IJ '' ' ' J J
vo 'а и
[Заметим, что
ь ь ь ь
i' Г i' ('
J ' J J J
a a a a
не может быть отрицательным. Это неравенство может быть также полу-
получено как предельный случай неравенства Коши (гл. I, Разные примеры, 10).]
45. Если
то Рп(х) является многочленом степени п и обладает тем свойством, что
I Рп(х) 6 (х) dx = 0,
л
где 9(лг) — любой многочлен степени меньшей /г»
[Проинтегрировать «4-1 раз по частям, где т—степень Ь(х), и учесть,
что d[m+i)(x):=0.]

Дополнительные тедремЫ
46. Доказать, что
если тфщ при т = и значение интеграла равно ^—р-,-.
ZW "у- 1
47. Если OnW — многочлен степени п, обладающий тем свойством, что
Qn (х) 6 (х) dx — 0
для любого многочлена 8 (х) степени меньшей и, то Qn (х) = СР„ (х), где
С — постоянная.
[Мы можем найтн такое ¦*., что Qn — у.Р„ будет иметь степень и—1.
тогда
J <?я «?я - *Р«) dx = О, J Рл «?„ - -лР„) rfx ==
= 0
а
и, следовательно,
Далее применить результат примера 43.]
48. Если <р (х) — многочлен пятой степени, то
x)dx = ij -J5 <р (a) -f- 8 tp (ts-
1
где а и fi являются корнями уравнения х2 — х -\- jj. = u-
(Экз. 1909 г.)

ГЛАВА VIII
СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
171. В гл. IV мы разъяснили, чтб понимается под сходящимся,
расходящимся и колеблющимся бесконечным рядом, и проиллюстри-
проиллюстрировали наши определения на нескольких простых примерах, связан-
связанных, главным образом, с геометрической прогрессией
и некоторыми другими аналогичными рядами. В настоящей главе мы
подвергнем бесконечные ряды более систематическому рассмотрению
и докажем ряд теорем, которые дадут нам возможность определить,
сходятся ли простейшие ряды, обычно встречающиеся в анализе.
Мы будем применять обозначение
и писать 2 ип> или просто 2 к«> вместо
о
172- Ряды с положительными членами. Теория сходимости ря-
рядов сравнительно проста, когда все члены ряда положительны2).
')Несущественно, записывазм ли мы ряд в виде щ-\-щ-\-... (как в гл. IV)
или в виде и0-)-«!-\-... (как здесь). В настоящей главе мы будем дальше
рассматривать ряды вида <z0 -\- a^ -f- <z2x2 -f- ..., а д_ля этих рядов принятое
здесь обозначение, очевидно, более удобно. Поэтому мы примем это обо-
обозначение в качестве основного. Но мы не будем применять его всегда, и
будем иногда, когда это представляется более удобным, считать, что и1
является первым членом ряда. Так, например, при рассмотрении ряда
I +-к- + 1т + ¦ • • удобнее положить мге=»— так что ряд начинается с us,
ь о П
чем ип = (когда ряд начинается с ы0). Эго замечание применимо,
в частности, к примеру LXVIII. 4.
2) Здесь и в дальнейшем „положительны" означает „положительны или
равны нулю".

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 341
Мы сначала рассмотрим такие ряды, и не только потому, что их
рассмотрение проще, но и потому, что исследование сходимости
рядов с знакопеременными или комплексными членами часто приво-
приводится к аналогичным исследованиям рядов с положительными чле-
членами.
Когда мы исследуем вопрос о сходимости или расходимости бес-
бесконечного ряда, то можно пренебречь любым конечным числом его
членов. Так, если ряд содержит только конечное число отрицатель-
отрицательных или комплексных членов, то мы можем отбросить их и приме-
применить следующие далее теоремы к остающемуся ряду.
173. Напомним следующие основные теоремы о рядах с поло-
положительными членами, доказанные в п. 77.
A. Ряд с положительными членами либо сходится, либо рас-
расходится к оо, но не может колебаться.
B. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
ряд 2ил сходился, является существование такого числа К, что
для всех значений п.
C. Принцип сравнения. Если 2кл сходится и vn^un для
всех значений п, то ^vn также сходится и 2,vn^2,un. Вооб-
Вообще, если vn^Kun, где К—постоянная, то ?vn сходится и
2,vn^ K^jun. Если же 2«герасходится и г>„ ^Kun, где К поло-
положительно, то ?vn также расходится.
Более того, длл определения сходимости или расходимости ?vn
с помощью этих признаков достаточно знать, что они выполняются
для всех достаточно больших значений п, т. е. для всех значений
п, превосходящих некоторое определенное значение л0. Но в этом
случае неравенство ^,vn^ K^fln, конечно, может и не иметь места.
Укажем особенно важный частный случай этой теоремы.
D. Если 2мп сходится (расходится) и ~п стремится при
л-+оо к пределу, отличному от нуля, то ?vn также сходится
(расходится).
174. Первые приложения этих признаков. Наиболее важной
теоремой о сходимости специальных рядов из числа доказанных до
сих пор является теорема о сходимости ^f1 при г<^ 1 и расходи-
расходимости этого ряда при г^ 1 ]). В теореме С естественно положить
ип = гп. Тогда мы получим следующие результаты.
1. Ряд ?vn сходится, если vn^Krn, где г<4, для всех до-
достаточно больших значений п.
1) В настоящей главе предполагается, что г положительно или равно
нулю.

342 Глава восьмая
Когда К=1> это условие может быть записано в виде
Мы получаем известный признак Коши сходимости рядов с поло-
положительными членами:
2. Ряд ?vn сходится, если v](n^r, где г<^\, для всех до-
достаточно больших значений п.
С другой стороны, мы имеем:
3. Ряд ?vn расходится, если vn/n^l для бесконечного числа
значений п.
Это очевидно, так как из v^n^l следует vn^l.
175. Признаки, основанные на отношениях соседних членов
ряда. Существуют весьма полезные признаки, основанные на отно-
отношении ^2±! двух следующих друг за другом членов ряда. При рас-
рассмотрении этих признаков мы должны предположить, что все ип и
vn строго положительны.
Допустим, что ип^>0, vn^>0 и что
Vn «л V '
для всех достаточно больших п, например, для «^я0. Тогда
так что vns~LKun, где ^ не зависит от я. Аналогично,
для п^п0 влечет за собой vn^sKun с некоторым положительным К.
Следовательно, мы имеем:
4. Если A) имеет место для всех достаточно больших зна-
значений я и ?ип сходится, то ?vn также сходится.
5. Если B) имеет место для всех достаточно больших значе-
значений п и Yiun расходится, то ?vn также расходится.
Полагая в теореме 4 ип=г", находим:
6. Ряд ?vn сходится, если —-^г, где r-c^l, для всех до-
достаточно больших значений п.
Этот признак известен под названием признака Даламбера.
Соответствующий признак расходимости, состоящий в том, что ?1>п.
расходится, если -"~>=г, где г>=1, для всех достаточно больших
значений «, тривиален,

Сходимость бесконечных рядов а несобственных интегралов 343
Мы увидим, что признак Даламбера теоретически слабее при-
признака Коши в том смысле, что признак Коши всегда применим, когда
применим признак Даламбера, но что часто признак Даламбера не-
неприменим, когда применим признак Коши (см. ниже пример LXVIII. 9).
Признаки, основанные на отношениях, неприменимы к таким „непра-
„неправильным" рядам, как, например, 0-f-2- + 0~b^-0+"8" + '---
Тем не менее признак Даламбера оказывается практически очень
полезным, так как когда vn имеет сложный вид, -^ часто оказы-
вается простым выражением, рассмотрение которого не представ-
представляет никаких трудностей.
Часто случается, что ^^ или v^" стремится к пределу, когда
«-¦¦оо1). Если этот предел меньше 1, то очевидно, что условия
теорем 2 и 6 выполнены. Таким образом, мы имеем:
7. Если vi/n или ^±-' стремится к пределу, меньшему единицы
"п
при я -»¦ со, то ?vn сходится.
Почти очевидно, что если одно из этих выражений стремится
к пределу, большему единицы, то ?vn расходится. Доказательство
этого предложения мы оставляем в качестве упражнения читателю.
Но когда vVn или ~"±-1 стремится к 1, то эти признаки не дают
ответа на вопрос о сходимости ряда. Они неприменимы также и
в том случае, когда выражение vi/n или —— колеблется таким об-
разом, что будучи всегда меньше 1, оно принимает значения как
угодно близкие к 1; признаки, основанные на отношении -л+-, не-
неприменимы и тогда, когда это отношение колеблется так, что оно
иногда принимает значения меньшие, а иногда значения большие 1.
Когда vVn ведет себя таким образом, теорема 3 достаточна для до-
доказательства расходимости ряда. Но уже ясно, что существует боль-
большое количество случаев, в которых необходимы более тонкие при-
признаки.
Примеры LXVIII. 1. Применить признаки Коши и Даламбера (в их спе-
специальном виде, сформулированном в теореме 7) к рядам ?«йгл, где k—по-
k—положительное целое число.
[Здесь
1) Ниже мы покажем (см. гл. IX, пример LXXXVII. 36), что из v)[n-*-l
следует, что —i-1 —> /. Что обратное предложение может не иметь места,
видно из примера vn — 1 для нечетных п и vn = 2 для четных п.

344 Глава восьмая
и признак Даламбера показывает, что ряд сходится, если г<], и расхо-
расходится, если г> 1. Признак не дает ответа, если г=1; но в этом случае ряд,
очевидно, является расходящимся. Так как /г1//я—>-1 (см. пример XXVII. 11),
признак Коши приводит к тому же результату.]
2. Рассмотреть ряд
[Мы можем предположить, что А положительно. Если мы коэффициент
при г" обозначим через Р(п), то Р(п)-^Апк, и, по теореме D п. 173, этот
ряд ведет себя как Елйг".]
3. Рассмотреть
[Этот ряд ведет себя, как Sn*~V". Случай, когда г=1, k<l, требует
особого рассмотрения.]
4. Мы виделн (см. гл. IV, Разные примеры, 25), что ряды
сходятся. Показать, что признаки Коши и Даламбера неприменимы к ним.
[Действительно, lim и*/л = lim ^±-' = 1.]
о. Показать, что ряд
где р — целое число, не меньшее 2, сходится.
[Так как п(п -\-1).. .(п-\-р — 1)^пр, то это следует из рассмотрения
рядов, исследованных в примере 4. В п. 77 G) мы доказали, что ряд рас-
расходится, если р = 1, и он, очевидно, расходится при />^0.]
6, Показать, что ряд из примера 3 сходится, если г=1, l>k-\-l, и
расходится, если /"—1, l^.k-\-l.
7. Если тп — положительное целое число и mn+i > mn, то ряд
сходится при г<1 и расходится при r^l. Например, ряд
сходится при г<1 и расходится при г^1.
8. Просуммировать ряд 1 +2/-+ 2r4 -f ... с точностью до 24 знаков,
если г = 0,1, и с точностью до 2 знаков, если г = 0,9.
[Если г = 0,1, ю первые пять членов дают сумму
1,2002000020000002,
причем ошибка равна
2/-23 -f 2r3e + • • • < 2г25 + 2г3» + 2/"" + ¦ • ¦ = fUTTi < 3 • 105-
Если г = 0,9, то первые 8 членов дают сумму 5,458..., а ошибка не пре-
превосходит
9/-в4
<°0031
9. Если 0 < а < b < 1, то ряд

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 345
сходится. Показать, что признак Коши применим к этому ряду, тогда как
признак Даламбера неприменим.
[Действительно,
10. Ряды
гп
сходятся для всех г, а ряды
?nlr" и ?
сходятся ни для одного г, кроме /-=0.
(Экз. 1935, 1935 гг.)
11. Ряды
v(_nr_\n у {(я + 1)/-}"
д U+1/' Л
сходятся при г<1 и расходятся при r^sl.
(Зкз. 1927, 1928 гг.)
[При г=1 применить результаты п. 73 и п. 77 G).]
12. Если ?и„ ряд сходится, то сходятся и ряды
У к2 и У ""
13. Если ряд 2ил сходится, то сходится и ряд
[Так как —- ^и^-(- —2, а ряд 2 -а сходится.]
14. Показать, что
\+1+1 + -l(i+l+l
> 32 ^ 52 ^ 4 \ "*~ 22 ^ З2
+ 2s + 32 + 5а"+¦ б2 ~"~ 72" ~"~ 92 + 16 1 * 22 т З8'
[Для доказательства первого результата заметим, что
i-u l xix -/ю- ' )+-A +1
1 "Г 22 "Г 32 "Г ^ ' ~Г 22 I Т \ 32 "Г 42
по теоремам (8), F) и D) из п. 77.]
15. Доказать приведением к противоречию, что У^ — расходится.
[Если бы ряд был сходящимся, то с помощью рассуждения, аналогич-
аналогичного примененному в примере 14, мы нашли бы, что

346 Глава восьмая
ИЛИ ЧЮ 111111 — 1L1!1
+ + +1 + +
а это содержит противоречие, так как каждый член первого ряда меньше
соответствующего члена второго.]
176. Прежде чем перейти к дальнейшим исследованиям призна-
признаков сходимости и расходимости, мы докажем одну важную общую
теорему о рядах с положительными членами.
Теорема Дирихле'). Сумма ряда с положительными членами
не зависит от порядка, в котором суммируются члены ряда.
Теорема утверждает, что если мы имеем сходящийся ряд с по-
положительными членами, скажем и0-f-ux-\-и3-)-•••» и образуем лю-
любой другой ряд из тех же членов
беря их в каком-либо другом порядке, то этот второй ряд будет
также сходиться, и его сумма будет равна сумме первого ряда. Ко-
Конечно, ни один член первого ряда не должен быть пропущен во
втором: каждое и должно встречаться среди v, и наоборот.
Доказательство чрезвычайно просто. Пусть s будет сумма ряда и.
Тогда сумма любого числа членов, произвольно выбранных из
этого ряда, не будет превосходить s. Но каждое v является одним
из и, и поэтому сумма любого числа членов ряда v не больше s.
Следовательно, ?vn сходится и сумма t этого ряда не превосхо-
превосходит 5. Но мы можем точно таким же образом показать, что s =sS t.
Следовательно, s = t.
177. Умножение рядов с положительными членами. Следую-
Следующая теорема является непосредственным следствием теоремы Ди-
Дирихле: если и0 -\- «1 -[- щ -f~ • • • и voJrv\.JrviJc ••• — два сходящихся
ряда с положительными членами, причем s и t являются их сум~
мами, то ряд
также сходится и имеет сумму st.
Запишем все возможные произведения вида umvn в форме беско-
бесконечной таблицы
*) Теорема эта была, повидимому, впервые ясно сформулирована Ди-
Дирихле в 1837 г. Несомненно, что она была известна и более ранним авто-
авторам, в частности, Коши.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 347
ил
uovt
яог>3
u0v3
"Л
ui°i
utvt
uyv3
«Л
«2^1
K3f3
H3t>3
«3^0
K3t>,
и3г>3
и3г>3
Из этих членов мы можем составить простые последовательности
многими способами, и, в частности, следующими двумя.
A) Начнем с единственного члена Kofo, для которого т-\-п = 0;
затем возьмем два члена tijV№, uovv для которых т-\-п== 1; затем три
члена и2г;0, U{Vlt
получим ряд
и0г»3, для которых т
и т. д. Тогда мы
п =
фигурирующий в теореме.
B) Начнем с единственного числа иог»о, для которого оба ин-
индекса равны нулю; затем возьмем члены UjVq, u1vv uovu для кото-
которых ни один индекс не превосходит 1, но по крайней мере один
индекс равен 1; затем члены и2г»0, u%vu и3г»3, и^,, и0г»2, для кото-
которых ни один индекс не превосходит 2, но по крайней, мере один
индекс равен 2 и т. д. Суммы этих групп членов равны соответ-
соответственно
(«о + иг + ид (vo + ^i + vi) — К"
а сумма первых я -}- 1 групп равна
(«О + «1 + • • • + ип) К + Ч + • •-• + »*).
что стремится к st при я -*¦ оо. Когда мы образовываем сумму ряда
таким способом, то сумма первой, первых двух, трех, ... групп
содержит все члены в первом, втором, третьем, ... прямоугольнике
приведенной выше таблицы.
Сумма ряда, образованного вторым способом, равна st. Но пер*
вый ряд (если отбросить скобки) является перестановкой второго
и, по теореме Дирихле, он также сходится к сумме st. Теорема до-
доказана.
Примеры LXIX. 1. Проверить, что если /"<!, то
2 '). Если один из рядов иа-\-и{-\-..., v0 -f vL -\-... расходится, то рас-
расходится и ряд
+ ("
') В примерах 2—4 имеются, конечно, в виду ряды с положительными
членами.

348 Глава восьмая
за исключением того тривиального случая, когда каждый член другого ряда
равен нулю.
3. Если ряды Ио + «1 + • • •. »„ + »! + ..., и/„ -f- Wi + ... сходятся к сум-
суммам г, s, t, то ряд S*fc> гДе
>-fe = S umVnWp>
причем суммирование производится по всем системам значений от, я, р та-
таким, что m-\-n-\-p = k, сходится к сумме rst.
4. Если ряды 2«„ и 2»п сходятся к суммам s и f, то ряд ?«/„, где
причем суммирование производится по всем парам значений /, т, для ко-
которых /от = я, сходится к сумме st.
178. Дальнейшие признаки сходимости и расходимости. При-
Примеры, приведенные на стр. 343 — 6, показывают, что существуют
простые и интересные типы рядов с положительными членами,
к которым общие признаки пп. 174 — 5 неприменимы. Действительно,
если мы рассматриваем какой-либо простой ряд, для которого ""+i
стремится к пределу при п~*-со, то признаки пп. 174 — 5 будут,
вообще говоря, неприменимы, если этот предел равен 1. Так,
в примере LXVIII. о эти признаки оказались неприменимы, и мы
должны были прибегнуть к специальным приемам рассмотрения, ко-
которые по существу заключались в применении для сравнения вместо
геометрической прогрессии ряда из примера LXVIII. 4.
Это объясняется, между прочим, тем, что геометрическая прогрессия,
сравнением с которой были получены признаки пп. 174—5, не только схо-
сходится, но сходится очень быстро. Признаки, полученные сравнением с ней,
являются поэтому, вполне естественно, весьма грубыми. Часто требуются
более тонкие признаки.
В примере XXVII. 7 мы доказали, что я*/-" —>-0 при п—>-оо, если г<1,"
каково бы ни было значение ft. Более того, в примере LXVIII. 1 мы доказали,
что ряд ?я*г" сходится. Отсюда следует, что последовательность
Л г\ г», ..., Г", ...,
где /¦<!, убывает быстрее чем последовательность
I-*, 2-*, 3-й, ..., п-к, ....
Это кажется на первый взгляд парадоксальным, если г не на много меньше
1, a ft велико. Так, из последовательностей
2 4 8 1 1
¦I)
~3> 9'27'--" ' 4 096' 531441 '¦"'
B \n
-s- и п~п, вторая кажется
/
на первый взгляд убывающей гораздо быстрее первой. Но если мы возьмем
достаточно далекие члены этих последовательностей, то мы убедимся в том,
что члены первой последовательности будут гораздо меньше членов второй.
Например,
2 \ 4 16 1 / 2 \ 12 / 1 \ 3 / 1 \ 2 / 2 \ 1 000 / 1 \ 166

Сходимость бгсконечных рядов и несобственных интегралов 3+9
тогда как 1 000~" = 10 зв,
так что тысячный член первой последовательности в 10w раз меньше
соответствующего члена второй последовательности. Таким образом, ряд
сходится гораздо быстрее, чем ряд
а этот ряд, в свою очередь, сходится гораздо быстрее, чем ряд
Существуют два признака, а именно интегральный признак
Маклорена (или Коши) и признак сгущения Коши, которые ока-
оказываются особенно полезными тогда, когда признаки из пп. 174—5
неприменимы. В упомянутых признаках Маклорена и Коши делается
еще одно дополнительное предположение относительно ип, а именно,
что ип монотонно убывает с возрастанием п. В наиболее важных
случаях это условие выполняется.
Но прежде чем мы перейдем к этим двум признакам, мы дока-
докажем одну простую, но важную теорему, которую мы будем назы-
называть теоремой Абеля*). Она дает необходимое условие сходимости
ряда с монотонно убывающими положительными' членами.
179. Теорема Абеля (Прингсхейма). Если ?«„ — сходящийся ряд с убы-
убывающими и положительными членами, то lira пип = 0.
Действительно,
и тем более
"n+i + «n+s + • • • + и3я ->- 0,
а эта сумма ие меньше пщп. Следовательно,
4я
Кроме того,
Bя + 1) иад., s? ^t1 2nu.in -> 0,
и, следовательно, пип —*¦ 0.
Примеры LXX. 1. Применить теорему Абеля для доказательства расхо-
расходимости рядов
1 1
Зд,есь пип—>-1 или пип—»- —. I
] an + b'
J) Пять членов достаточны, чтобы получить сумму ряда ?w~12 с точ-
точностью до 7 знаков, тогда как в случае ряда Sn~s для такой же точности
надо взять 10 000 000 члгнов. Большое количество числовых результатов
этого типа читатель найдет в приложении (составленном Дж. Джексоном
(J. Jackson) к монографии автора Orders of infinity (Gambridge math,
tracts, No. 12).
2) Эта теорема была найдена Абелем, но затем забыта. Впоследствии
она была вновь найдена Прингсхеймом.

350 Глава восьмая
2. Показать, что утверждение теоремы Абеля может не иметь места(
если не выполнено условие, что ип убывает с возрастанием п.
[Ряд
!+2?+32+^ + 52- +gi+у?+8?+g- + io^ + ---.
в котором и = — , если п — точный квадрат, и ип = -j в противном слу-
случае, сходится, так как с помощью перестановки его членов он может быть
представлен в виде
1 . 1 j_ l_i_ х л. L л. l j_J_j_ 1 /, ,i, ! ,
2Г"Гз> +5S + 6* W2 "t"8«0« i~-""t" \1+ 4 "+" 9 +•
а каждый из этих рядов сходится. Но так как пип—\ для каждого п, ко-
которое является точным квадратом, то утверждение теоремы не имеет места.]
3. Предложение, обратное теореме Абеля, неверно, т. е. из того, что
ип убывает с возрастанием п и 1ш1йи„ = 0, не следует, что ряд ? ип схо-
сходится.
[Возьмем ряд ^ — н умножим его первый член на 1, следующий на -у,
1 1 1
следующие два на -^, следующие четыре на -г-, следующие восемь на -=-
О *х О
и т. д. Группируя в скобках члены этого нового ряда, получим:
а этот ряд расходится, так как его члены Не меньше соответствующих чле-
членов следующего ряда:
1+1 1+-1 '+1U
f2'2 + 3'Y+4 2 + "' "
который расходится. Но легко видеть, что члены ряда
,, 1 1,1 1,1 1,1 1,1 1 ,
1 + -2- • -2- + -з 3"+3" ' Т + Т ' У + Т Ж + -•
удовлетворяют условию пип—*-0. Действительно, пип = --г когда
2V~2<«^2V"~1, hv-+co при Я'-*¦ оо.]
180. Интегральный признак Маклорена (или Коши)'). Если ая
монотонно убывает с возрастанием п, то мы можем записать ип
в виде ^(«) и предположить, что ^(й) есть значение при х = п
некоторой непрерывной и монотонно убывающей функции у(х) от
непрерывного переменного х. Тогда, если v — любое положительное
целое число, имеем:
Для
l) Этот признак был найден Маклореном и затем вновь открыт Коши,
которому он часто приписывается.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 351
гак что 0 sS гч sS ? (v —-1) — ? (v).
Тогда 2ft., является рядом с положительными членами и
Следовательно, ?¦», сходится, т. е. v.i-\-v.,-\~...-\-vn, или
я- 1
V 3XVI— I <t>(x)dx
стремится к некоторому положительному пределу, не превосходя-
превосходящему q?(l)> когда п-*оо.
Положим
так что Ф (?) является непрерывной и монотонно возрастающей
функцией от i. Тогда
стремится при п -*¦ со к некоторому положительному пределу, не
превосходящему <рA). Следовательно, ^]hv сходится или расходится
в зависимости от того, стремится ли Ф (я) при п -*¦ со к конечному
пределу или нет. А так как Ф (я) монотонно возрастает, то 2jUv
сходится или расходится, в зависимости от того, стремится ли Ф (?)
при S-^-co к некоторому конечному пределу или к бесконечности.
Таким образом, если <р (х) положительна и непрерывна для всех
значений х, больших 1, и монотонно убывает при возрастании х,
то ряд
|2Ь
сходится или расходится в зависимости от того, стремится ли
при ? -*- оо к некоторому пределу I или Нет, причем в первом
случае сумма ряда не превосходит <р A)-(-/.
Сумма этого ряда должна быть в действительности меньше, чем ср A) -\-1.
В самом деле, из F) п. 165 и гл. VII, Разные примеры, 43, следует, что
v-, < <Р (v — 1) —- <f> (v), за исключением того случая, когда ср (л:) = ср (v) во
вс^м интервале (у— 1, v); но это не может иметь места для всех значений v,
181. Ряд ?n—s. Самым важным приложением интегрального
признака является исследование ряда
4- з-*+...,

352 Глаеа восьмая
где s — любое рациональное число. Мы уже видели (см. п. 77 и
примеры LXVIII. 15 и LXX. 1), что при s=l ряд расходится.
Если s^O, то ряд, очевидно, расходится. Если s^>0, то ип
убывает с возрастанием п, и мы можем применить интегральный
признак. В данном случае
* dx S'Ijtl1
если s^fcl. Если s^>l, то ?' s—>-0 при ? —>-oo и
Если же s<^l, то $'~|S—>-со при ?-vco, так что Ф (?)—>- сю. Таким
образом, ряд ?n~s сходится, если s^> 1, и расходится, если
Б случае его сходимости сумма ряда меньше
—~ .
Мы могли бы, конечно, доказать расходимость ряда для s < 1 его срав-
сравнением с расходящимся рядом 2 «"'•
Интересно, однако, провести исследование ряда ? п~1 с помощью интег-
интегрального признака. В этом случае
1
и легко видеть, что Ф(?)—*-оа при ? —»-оо. Действительно, есл>и ? > 2я, то
2я 2 4 2"
(* rfA" С dx С dx Г* dx
1 1 2 2я-1
Но полагав х = 20/, найдем, что
С
J
1 2
dx С du
J
и, таким образом,
1
откуда следует, что Ф(?)—>-со при ?—>-оо.
Примеры LXXI. 1. Рассуждением, аналогичным проведенному выше, и
без интегрирования доказать, что
г
1
где s < 1, стремится к бесконечности при I—>-со.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 353
2. Ряды
S /г2, Б л~3/s, Ел~ n/l°
сходятся, и их суммы не превосходят соответственно 2, 3, 11. Ряды
расходятся.
3. Ряд
j^n' + a'
где а>0, сходится, если />s-f-l, и расходится, если rf^s + l. [Сравнить
4. Исследовать сходимость ряда
¦у ajf1 + а^1 + • • • -
¦^ *!«'» + Ъ.гпи- + ... + Ъ^ '
где все буквы обозначают положительные числа, и показатели s и t рацио-
рациональны и приведены в убывающем порядке.
5. Доказать, что если т > 0, то
6.
7.
Доказать,
Доказать,
что
что
со
ъ
1
1
, 2 '¦""
1
со
- Zia-
1
1 +
а
+ «2
1
Тг"
1
^ 2 '"•
з. 1909 г.)
8. Доказать, что
1.1, ,1
1 1,1,1. 1 . , ,.
(Экз. 1911 г.)
9. Если а(п)-+1>1, то ряд
сходится. Если ;р (и)—>¦/<', т° РЯД расходится.
10. Доказать, что если а>0, *>0 и 0<s<l, то
4 („) = (а + b)~s + (а + 2*)"* + . • • + (а + л*)-* - ^(Г^Г
стремится к некоторому пределу А, когда п—>-со. Доказать также, что
•!;(,!) — i(n — 1)= 0(л-5-'), и вывести отсюда, что b (п) — А + О (п*").
(Экз. 1926 г.)
23 Г.

354 Глава восьмая
182. Признак сгущения Коши. Второй из упомянутых в п. 178
признаков гласит: если и„ = ср(«) является убывающей функцией
от п, то ряд
2 9 (я)
сходится ала расходится в зависимости от того, сходится или
расходится ряд
? 2"ф Bя).
Мы можем доказать это с помощью рассуждения, которое
уже однажды применялось при рассмотрении ряда 2 п~1 (см- п- 77)-
В первую очередь, мы имеем:
9 E) 4- 9 F) + 9 G) + 9 (8) ^ 4cp (8),
9 B« 4-1) 4- 9 B« + 2) +... 4- 9 B"+1) ^ 2"cp Bn+I>-
Если 22™фB") расходится, то расходятся и ряды
и полученные неравенства показывают, что.^ср(«) также расходится.
С другой стороны,
и т. д. А из этой системы неравенств следует, что если 2 2"ф B")
сходится, то сходится и 2ф(й)' Теорема доказана.
Для наших целей область применения этого признака практи-
практически совпадает с областью применения интегрального признака.
Признак сгущения позволяет нам с такой же легкостью, как и ин-
интегральный признак, исследовать ряды ?rTs. Действительно, 2Л~*
сходится или расходится в зависимости от сходимости или расхо-
расходимости 22~"s, т. е. в зависимости от того, будет ли s^>l или
Примеры LXXII. 1. Показать, что если а — любое положительное целое
число, большее 1, то 2 <р (я) сходится или расходится в зависимости от того,
сходится или расходится Е a"tp (a").
[Применить те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы, но
группируя по а, а?, а3, ... членов.]
2. Если ? 2я(р Bя) сходится, то lim 2™<р BП) = 0. Вывести отсюда теорему
Абеля из п. 179.
183. Дальнейшие признаки, основанные на отношениях. Если
un = n~s, то, по теореме Тейлора,
где 0<^6<^1, и, таким образом,

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 355
Un
"л
Допустим теперь, что
25« = 1 1+о(\)- A)
vtt п ' \п-у ^
Если а^>1, то мы можем выбрать s так, что !<'$<'а, и тогда
vn ^ ия
для достаточно больших п. Но 2 и„ сходится, и, следовательно, по
признаку 4 п. 175, будет сходиться также 2г>„. Аналогично, если
а<^1, то мы можем выбрать s так, что a<[s<[l, и доказать
расходимость 2 vn сравнением с расходящимся рядом 2 ип. Отсюда
следует, что если vn удовлетворяет условию A), то 2 vn сходится,
если а^>1, и расходится, если а<^1. Случай а—1 мы должны
отложить до следующей главы (пример ХС. 5).
Мы можем таким же путем доказать, что если A) имеет место
при любом положительном а и 0<^s<^a, то vn^Kn~s, и, следо-
следовательно, vn~>0.
Рассмотрим, в частности, так называемый „гипергерметрический"
ряд
где a, p, y — действительные числа, причем ни одно из них не
равно ни нулю, ни целому отрицательному числу. Тогда для доста-
очно больших п члены этого ряда имеют постоянный знак и
. т
Следовательно, ряд B) сходится, если f ^> a -}- р, и расходится,
если y<^ a —[— p. 5 частности, ряд
'Tit 1.2 -Г---
сходится, если т<^0, и расходится, если /га^>0. Кроме того,
vn—>0, если 7^>а + р —1-
184. Несобственные интегралы. Интегральный признакам, п. 180)
показывает, что если ер (лг) — положительная и убывающая функция
от х, то ряд 2 ф (л) сходится или расходится в зависимости от
того, стремится ли Ф (х) — интеграл от <р(х) — при х—>оо к ко-
конечному пределу или нет. Допустим, что Ф (х) стремится к конеч-
конечному пределу при х —<¦ оо и что
х
lim fcp
23»

356 Глава восьмая
Тогда мы будем говорить, что интеграл
сходится и имеет значение I, и будем называть этот интеграл
несобственным.
До сих пор мы предполагали, что 9 (t) положительна и убывает.
Но представляется естественным перенести наше определение и на
другие случаи, причем предположение, что нижний предел равен 1,
несущественно. Таким образом, мы приходим к следующему
определению.
Если «р@ является непрерывной функцией от t для t^a и
X
Нт |*<р (/)*# = /,
ЛГ-К» J
а
то мы будем говорить, что несобственный интеграл
\dt
сходится и имеет значение I.
С другой стороны, если
то мы будем говорить, что интеграл расходится к оо, и анало-
аналогичное определение вводится для расходимости к —оо. Наконец,
если ни одно из этих предельных соотношений не имеет места, то
мы будем говорить, что интеграл колеблется, ограниченно или
неограниченно, при л:—>оо.
В связи с этими определениями отметим следующее.
1°. Если мы положим
х
J@ * = *(*).
то интеграл сходится, расходится или колеблется в зависимости от того,
стремится ли Ф(х) при х — со к векоторому конечному пределу, к оо
(или—оо) или колеблется. Если Ф(лг) стремится к пределу, который мы
можем обозначить через Ф(оо), то значение интеграла равно Ф(оо). Вообще
если Ф (х) — любой интеграл от <р(аг), то значение рассматриваемого иесоб
Ственного интеграла равно Ф(со) — Ф(а).
2°. В том случае, когда tp (t) всегда положительна, ясно, что Ф(х) ян-
ляется возрастающей функцией от х. Следовательно, в этом случае интег-
интеграл может только либо сходиться, либо расходиться к со.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 357
3°. Общий признак сходимости, соответствующий общзму признаку из
п. 96, гласит: для сходимости интеграла A) необходимо и достаточно,
чтобы
для xs>x1^()
4°. Читателя не должно смущать то обстоятельство, что термин беско-
бесконечный интеграл *) может обозначать вполне определенное число, как 2 или
-=- я. Различие между бесконечным и конечным интегралом аналогично раз-
различию между бесконечным и конечным рядом. Однако никто не предпола-
предполагает, что бесконечный ряд обязательно расходится.
5°. Интеграл
был определен в пп. 161 —2 как простой предел, т. е. как пргдел некото-
некоторой конечной суммы. Несобственный интеграл является поэтому пределом
предела нли так называемым повторным прадедом. Понятие несобствен*
ного интеграла существенно сложнее понятия обычного определенного
интеграла, развитием которого оно является.
6°. Интегральный признак из п. 180 может быть теперь сформулирован
так: если <р (х) положительна и монотонно убывает с возрастанием х,
то бесконечный ряд 2 со (я) и несобственный интеграл
cp (x) dx
либо оба сходятся, либо оба расходятся. ¦
7°. Читатель без труда сформулирует и докажет тгорамы о несобствен-
несобственных интегралах, аналогичные теоремам A) — F) п. 77. Так, теореме B) соот-
соответствует следующая теорема: если
сходится и Ь>а, то
также сходится и
\\(x)dx
ь
ь
i -f(x)dx= Г <f(x)dx,+
со
j*[e (x)
dx.
*) „Бесконечный интеграл" является точным переводом английского
термина и означает несобственный интеграл; обычный интеграл автор обо
значает термином „конечный интеграл". Смысл замечания 4° становится пэ
нятным только в связи с английской терминологией. (Прим'перев.)

358 Глава восьмая
185. Случай положительной у{х). Естественно рассмотреть те
общие теоремы о сходимости или расходимости несобственного
интеграла A) из п. 184, которые соответствуют теоремам А'—D
п. 173. Что теорема А имеет место и для интегралов, мы уже ви-
видели в п. 184, 2°. Теореме В соответствует следующее предложение:
необходимым и достаточным условием сходимости интеграла A)
является существование такой постоянной К, что
для всех значений х, больших а. Аналогично, в соответствии с С,
мы имеем: если
J 4>(x)dx
сходится и ty (x) ^ Л"ср (х) для всех значений х, больших а, то
ty (x) dx
также сходится и
CO
Г <^ (х) dx^K Г ? (х) dx.
Формулировку соответствующего признака расходимости мы остав-
оставляем читателю.
Отметим, что признак Даламбера (см. п. 175), существенно за-
зависящий от понятия следующих друг за другом членов, не имеет
аналога для интегралов; аналог признака Коши практически не иг-
играет большой роли и, во всяком случае, может быть сформулиро-
сформулирован только после того, как мы подробнее изучим (в гл. IX) функ-
функцию ср 0*0 = г*. Наиболее важные специальные признаки получаются,
сравнением с интегралом
сходимость и расходимость которого мы уже исследовали в п. 181»
Эти признаки состоят в следующем: если y(x)<^Kx~s, где s^>l,
для всех х^а, то
оэ' о
dx

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 359
сходится; если же y(x)^>Kx~s, где К^>0 и sssl, для х^а,
то интеграл расходится. В частности, если
lim xscp(x) = l,
где /^>0, то интеграл сходится или оасходится в зависимости
от того, будет ли s^>l или sgl.
Имеется одно основное свойство сходящихся бесконечных рядов, аналог
которого для несобственных интегралов неверен. Если 2 tp (я) сходится, то
?{я)—> 0; но не всегда верно, даже если с? (х) положительна, что если
сходится, то tp (x) —> 0.
Рассмотрим, например, функцию tp (л;),' график которой изображен на
фиг. 46. Здесь ордината всех максимумов в точках лг= I, 2, 3,... равна
2
единице, а основание и-го треугольника равно . .^. Площадь такого
о
z
Фиг. 46
з л
треугольника равна ..-3-, и очевидно, что для любого значения
оо О О
так что I f (x) dx сходится. Но tp (x) не стремится к нулю.
Ъ
Примеры LXXIII. 1. Интеграл
где а и А положительны, а а больше наибольшего корня знаменателя
(в случае, если знаменатель вообще имеет действительные корни), сходится,
если s > г + 1, и расходится, если ssg r+ 1.
2. Установить, какие из следующих интегралов сходятся:
СО ОО ОО ОО 00 ОО
x'dx
Г dx Гйх Г dx (* xdx Г -x?dx Г
В первых двух интегралах предполагается, что а > 0, а в последнем, — что а
больше наибольшего корня знаменателя (если он вообще имеет действи-
действительные корни).

360 Глава восьмая
3. Интегралы
| cosxdx, i cos (ах -fc- p)d
ограниченно колеблются при ?-~oc.
4. Интегралы
I X COS X dx, | xf1 COS (ax -f- $)dx
где n—положительное целое число, неограниченно колеблются при J—>оо.
5. Интегралы от—оо. Если
а
\
стремится к пределу / при \ —* — со, то мы говорим, что
а
—¦ оо
сходится и равен /. Такие интегралы обладают всеми свойствами интегра-
интегралов, рассмотренных в предыдущих пунктах, и читатель без труда сам
сформулирует эти свойства.
6. Интегралы от — оо до-I-00- Если оба интеграла
а оо
J »(*)Л*,| <{{x)dx
— оо а
сходятся и имеют, соответственно, значения k и /, то мы говорим, что
оо -•*
— со
сходится и имеет значение k -\- U
7. Доказать, что
О оо оо
J* dx (' dx 1 С dx _ 1
— оо о —о0
8. Доказать, что
оо со
Г tp (xs) dx = 2 ( <f (a-8) dx,
— оо О
если интеграл в правой части сходится.
9. Доказать, что если
СХОДИТСЯ, ТО
J X<f(X*)dx
оо
Г ху (хг) dx = 0.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 36Б
10. Аналог теоремы Абеля из п. 179. Если ш (х) положительна и.
монотонно убывает и
сходится, то л:<р(л:) —0. Доказать это (а) с помощью теоремы Абеля и
интегрального признака и (Ь) непосредственно рассуждениями, подобными
проведенным в п. 179.
11. Если а = л:,, < xt < xt < . .. и х„ — со, то из сходимости
-f(x)dx
a
следует сходимость ? п„, где
"я — j ? (x) dx.
Если f (х) положительна, то обратное предложение тоже имеет место.
[В общем случае обратное предложение может ие иметь места; это>
видно из примера tp (*) = cos л:, хп — пт..\
186. Распространение на несобственные интегралы правил
замены переменного и интегрирования по частям. Правила
преобразования определенного интеграла, рассмотренные в п. 166,.
могут быть распространены и на несобственные интегралы.
A) Преобразование подстановкой. Предположим, что
9(x)dx A)
сходится. Предположим, далее, что для любого значения ?, боль-
большего а, мы имеем, как в п. 166'):
f'(t)dt, B>
где a=f(b), ?=/(т). Предположим, наконец, что соотношение
x=f(t) таково, что х—*со при t—* оо. Тогда, устремляя т, а
следовательно, и \ к бесконечности, мы заключаем из B), что
интеграл
00
Ь
сходится и равен интегралу A).
') Мы поменяли местами / и а.

¦362 Глава восьмая
С другой стороны, может случиться, что \ —* оо, когда х —> — оо
«ли когда т—1-е. В первом случае мы получаем:
Г ф (*) dx = Urn Г? {/@} /' (t) dt =
Ь
= -11ш Г
т —оэ
а во втором случае
ОО X
ГФ (х) dx= lim Гф{/@}/' @ dt. D)
Ь
К этому равенству мы еще вернемся в п. 188.
Соответствующие результаты для интегралов от —оо до а
и от —оо до сх) читатель сможет сформулировать сам.
Примеры LXXIV. 1. Показать с помощью подстановки x = ta , что
если s > 1 и а > 0, то
со
I х~* dx = a I
и проверить результат непосредственным вычислением каждого интеграла.
2. Если
оо
J ?(*)<**
а
сходится, то он равен либо
оо
«J
(а - р
либо
(а - в/а
-« J <р (с*
— со
в зависимости от того, положительно о или отрицательно.
3. Если (р М—положительная и монотонно убывающая функция от х
и а и р—любые положительные числа, то из сходимости одного из рядов
2 ? (я), S<f(aw + P) следует сходимость другого.
[Подстановка x — at-\-$ сразу показывает, что интегралы
оэ
J
(a - C)/a
либо оба сходятся, либо оба расходятся. Теперь применить интегральный при-
зиак.

Сходимость бесконечных рядов и несобственних интегралов 363
4. Показать, что
со ,
{Положить x — t1.]
5. Вычислить
~^ 2
dx С dx
/3.»
о • ¦ '
где п — положительное целое число.
(Экз. 1929, 1935 гг.)
[Подстановка х = ctg 9 приводит к интегралам
ir/s
Sin2n~2ed6 и J sin2"-19rf 6.
/8
J
Теперь применить результат примера LXVI. 10.]
6. Если <р(л:)—Л при х — оо и ^(x)~>-k при х—> — оо,то
— оо
Действительно,
е
i {(f (х— а) — <?(х — b)}dx— \ f(x — a)dx— \ v(x — b)dx =
-v Л Л'
Е-а Е — ft —5' — » i — b
== J 9(r)<ff- j' 9{t)dt=> J ?W<tt- j*
— 5'— а -i' — Ь -V—a 6 — а
Первый из интегралов в правой части может быть представлен в виде
— V — b
(a~b)k+ f 9dt,
где р—>О при ?'—>с» и абсолютная величина последнего интеграла не пре-
превосходит |й — Ь\у., где •/ обозначает наибольшее значение р в интервале
{—% — а, —k' — b). Следовательно,
— V — ь
Г v(t)dt-~{a-b)k.
Аналогично вычисляется предел второго интеграла.]
B) Интегрирование по частям. Формула интегрирования по ¦
частям (см. п. 166) имеет вид
а ?
J/ (х) ф' (х) dx =/(!) 9 (?) -f(a) 9 (a)- J/' (x) cp (x) dx.

364 Глава восьмая
Предположим теперь, что ? —>оо. Тогда если любые два из трех
членов этого равенства, зависящих от I, стремятся к пределам, то
стремится к пределу и третий, и мы получаем соотношение
со оо
Г/(х) 9' (х) dx = Mm /(I) 9 (I) -/(a) 9 (a) - f/' (*)9(*) djc.
a a
Аналогичные формулы имеют, конечно, место и для интегралов
от ¦— сю до сю.
Примеры LXXV. 1. Показать, что
со оо
1 I* dx 1
J
{' X А _ 1 I*
о о
J (+)J
о о
2. Если т и я — 1 —положительные целые числа и
о
то (т -\-п — 1Iт>п = т 1т _ 1ь„. Вывести отсюда, что
т\ (л — 2)!
ш'я~(/7г + л —1)Г
3. Доказать, что
оо ,
[Полагая x~t°, мы получим:
со
1 1,
Дальше интегрировать по частям.]
4. Доказать интегрированием по частям, что если ип обозначает пер-
первый интеграл из примера LXXIV. 5, и п > 1, то
Bл-2)ия=Bл-3)ал_1;
вычислить отсюда м„. (Экз. 1935 г.)
[Заметить, что
са со
х'Ах 1 Г А { 1
_ С x"dx — 1 1*
и„-1-ия- J -(Г+^js 2(b-1)J ^
о о
187. Другие типы несобственных интегралов. В определении
определенного интеграла в гл. VII мы предполагали, что A) интер-
интервал интегрирования конечен и B) подинтегральная функция
непрерывна.
Однако можно распространить понятие „определенного интеграла"
на многие случаи, в которых эти условия не выполняются. Напри-

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 365
мер, несобственные интегралы, рассмотренные в предыдущих пунк-
пунктах, отличаются от определенных интегралов гл. VII тем, что
интервал интегрирования бесконечен. Теперь мы предположим, что
не выполняется условие B). Наиболее важным случаем является
тот, в котором 9 (х) непрерывна в интервале интегрирования (а, А),
за исключением конечного числа значений х, скажем х==Ьи ?<>,...,
причем 9(jc)—<-оо или ф(х)—> — do при стремлении х справа или
слева к каждому из этих значений.
Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда интервал
(а, А) содержит только одну такую точку |. Если таких точек
более одной, то мы можем разбить интервал (а, А) на конечное
число интервалов, каждый из которых содержит только одну такую
точку; определив значение интеграла по каждому из этих частичных
интервалов, мы можем определить интеграл по всему интервалу как
сумму интегралов по частичным интервалам. Далее, мы можем пред-
предположить, что точка разрыва I совпадает с одним из концов интер-
интервала (а, А), так как если \ лежит между а и А, то мы можем
определить
л
как
^- J <?(x)dx,
после того, как каждый из этих интегралов определен. Мы можем,
таким образом, принять, что \ = а; совершенно очевидно, как
нужно изменить наши определения в том случае, когда | = Л.
Предположим, стало быть, что ц> (х) непрерывна в интервале (а, А),
за исключением точки х = а, причем у(х)—>оо при х—+а справа.
Типичным примером такой функции является
= (* —а)-*,
где s>0; или, в частности, если а = 0, ср (х) — x~s. Посмотрим,
как можно определить
когда
Интеграл °?
iy^-dy
VA
сходится, если s<^l (см. п. 185) и означает
Нт Г У dy.
f

366 Глава восьмая
Но подстановка у = — показывает, что
Г « f -,
I л/ 6tV I ОС I
J J
1/А 1Л)
Таким образом,
lim t x~s dx
11—ЮО v
1 i/i
или, что то же самое,
А
lim j .
Е-,4-0"
существует, если 5<]1; значение интеграла A) естественно опре-
определить как значение этого предела. Аналогичные рассмотрения при-
приводят нас к определению
А
" x — aTsdx
с помощью равенства
А А
(* (х — a)~s dx — lim Г {х — a)~s dx.
J S-.+0 J
a ~ a+s
Таким образом, мы приходим к следующему общему определе-
определению: если интеграл
а+г
стремится к пределу I при е—*-j-0, то мы будем говорить,
что интеграл
сходится и имеет значение I.
Аналогично, если ц>(х)~»оо при х стремящемся к верхнему
пределу А, то мы определяем
а
как
А-
lim I cp(x)dx,

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов ¦ 36?
и тогда, как мы уже видели, можно распространить наши определения
на тот случай, когда интервал (а, А) содержит любое конечное-
число точек бесконечности функции <р (х).
Интеграл от функции, стремящейся к сю или — оо при стремле-
стремлений х к некоторому значению или значениям в интервале интегри-
интегрирования, называется несобственным интегралом второго рода;
несобственный интеграл первого рода — это интеграл по бесконеч-
бесконечному интервалу, рассмотренный в п. 184 и ел. Почти все замечания
1°—7° в конце п. 184 применимы и к несобственным интегралам.
ВТОрОГО рОДа. §?<:,{. .
Сформулированные нами определения относились к функциям, стремя-
стремящимся к бесконечности при частных значениях х, но эти определения при-
применимы и к разрывам других типов. Так, если f(x) = — 1 для — 1 s
/@) = 0, /(д:)= 1 для 0<л:^1,
то
1
означает
lim [f(x)dx+ I
¦+©
lim ?f(x)dx+ lim f f(x)dx =
—>-i-0 J * —+0 J
J
— 1
Определение может быть также применено в том случае, когда f (х) имеег
колебательные разрывы, например, когда /(jc) = sm —.
188. Мы можем теперь записать равенство D) п. 186 в виде
\ о Ц
Ц
f v(x)dx= U{f{t)}f'(t)dt.
Интеграл в правой части определен как предел при х —*- с соответствующего
интеграла по интервалу (Ъ, %), т. е. как несобственный интгграл второго
рода, и если f {f{t)}f (t) обращается в бесконечность при /= с, то интеграл —
существенно несобственный. Допустим, например, что tp (д:) = A + х)~т, где
1 <т <2, а = 0, и что /(*) = -г^Г' Тогда Ь = 0, с=\, и A) превра-
превращается в
1
причем интеграл в правой части — несобственный второго рода.
С другой стороны, может случиться, что <f {f (t)} f (t) непрерывна при
t = с. В этом случае

368 Глава восьмая
является обычным интегралом и
т с
Jim J 9 {/ (*)} f{t) dt= j* в {/ (*)} f (t) dt,
~* * ь
по следствию из теоремы A0), п. 165. Подстановка x=f(t) преобразует
тогда несобственный интеграл в обычный определенный интеграл. Такой
случай имеет место при »г^2 в только что рассмотренном примере.
Примеры LXXVI. 1. Если ч(х) непрерывна во всех точках интервала
интегрирования, кроме х — а, причем <с(х)—»-оо при х—*-а, то для того
чтобы
А
<Р (х) dx
а
был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая по-
постоянная К, что
А
f
y(x)dx<K
для всех положительных значений е.
Ясно, что мы можем найти такое число А' между а и А, что <р (х) поло-
положительна в интервале (а, А'). Если <?(х) положительна во всем интервале
{а, А), то мы можем в качестве А' взять просто А. Но
J 4(x)dX=z J <f
Первый интеграл в правой части этого равенства возрастает с убыванием s,
•и поэтому либо стремится к некоторому пределу, либо неограниченно воз*
растает; справедливость нашего утверждения теперь очевидна.
Если условие не выполняется, то
J
<с (х) dx —>- оо.
Тогда мы будем говорить, что
J
расходится к оо. Ясно, что если <р(х)—>-оо при х—>-а + 0, то сходимость
и расходимость к сю являются единственными возможностями для интеграла.
Аналогично разбирается случай, в котором ес(х)—*¦ — оо.
2. Доказать, что
А
<«слй s < 1.; иатехраа расходится, если s ^э= 1.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 369
3. Если 9 (х) непрерывна для а < х ^ А и
где s< 1, то
А
1 <р (х) dx
а
сходится; если же ^(х)^>К(х — a)~s, rfles^sl, то интеграл расходится.
[Этот результат является частным случаем общего принципа сравнения,
аналогичного принципу, сформулированному в п. 185.]
4. Исследовать на сходимость интегралы
А А А
dx
A A A
A A A
Jdx Г dx p dx Г dx
Y~x^=^^' ' J ^Лз„^ ' J x*~a* ' J A*-x* '
5. Интегралы
1 e+
(* dx Г
У лУг' У
dx
сходятся и равны нулю.
6. Интеграл
сходится. [Подинтегральиая функция стремится к бесконечности при х,
стремящемся к каждому из пределов.]
7. Интеграл
тс
dx
(sin x)s
о
сходится в том и только том случае, когда s < 1.
8. Показать, что интеграл
h
sinjc
Jsi
-О
о
J
о
где ft>0, сходится, если р <2. Доказать также, что если 0<ср<2, то
интегралы
1С 21С 3lC
sin л: , С1 sinx . Г sinx .
dx )dX )d
2л
имеют чередующиеся знаки и убывают по абсолютной величине.
[Преобразовать интеграл от Ал до (ft-f-l)r с помощью подстановки
k+}
24 Г. Харди

370 Глава восьмая
9. Показать, что
J
о
sinx
J
о
где 0<»<2, достигает своего наибольшего значения при h = r..
(Экз. 1911 г.)
it/2
10. I (cos л:/ (sin л:) rfjc сходится в том и только том случае, когда
о
/> — 1, т> — 1.
11. Такой интеграл как
? Xs-1dx
где s<cl, не подходит ни под одно из наших предыдущих определений,
так как интервал интегрирования бесконечен и подинтегральяая функция
стремится к оо при х—>--)-0. Естественно определить этот интеграл как
сумму интегралов
1 оо
xs~l dx , Г xs~l dx
С
J
в предположении, что оба эти интеграла сходятся.
Первый из этих интегралов сходится, если s>0. Второй сходится, если
s<l. Таким образом, интеграл от 0 до оо сходится в том и только том
случае, когда 0 < s < 1.
12. Доказать, что
сходится в том и только том случае, когда 0 < s < i.
13. Интеграл
J
1—x
dx
сходится тогда и только тогда, когда 0<s<l,
[Следует отметить, что подинтегральная функция не определена при
х=1. Но
xs-i_xt-i
—; *-t — s
1 у
X —— л>
при дг—>-1 справа и слева, так что подиитегральиая функция становится
непрерывной функцией от х, если мы припишем ей значение t — s при дг= 1.
Часто случается, что подиитегральная функция имеет разрыв просто-
в силу того, что она не определена в некоторой точке интервала интегри-
интегрирования, причем этот разрыв может быть устранен соответствующим доопре-
доопределением ее в этой точке. В таких случаях обычно предполагается, что она,
таким образом, сделана непрерывной. Так, интегралы
/2 /а
С sin/ял: d I* sm
J x ' J si
sin л-

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 371
являются обычными определенными интегралами, если подинтегральиым
функциям приписать при х = 0 значение т.]
14. Замена переменного и интегрирование по частям. Формулы пре-
преобразования интегралов подстановкой и интегрированигм по частям могут
быть, конечно, распространены и на несобственные интегралы второго рода.
Читателю рекомендуется самому сформулировать соответствующие общие
теоремы (см. п. 186).
15. Доказать интегрированием по частям, что если s >- 0, t > \, то
1 1
о о
{, 16. Если s>0, то
[Положить х= y ¦ ]
17. Если 0<s< 1,'то
1 CD
Г Л. 1Jrx jr — С t ., - . .,
J I -\- X J 1 -j- Г
J
18. Если a-\-b>0, то
CO
dx
(Экз. 1909 г.)
[Положить х — b = t*.\ '
19. Если
a
l2—XSfdX,
0
где п > 0, то Bя + 1) In = 2йй8 /n_j.
(Экз. 1934 г.)
[Заметим, что
а а
1п= Г (a2— xs)"-^-xdx=2n ^ x*{ar—x*)n-ldx =
о
Этот результат может быть использован для вычисления /и, когда п—-поло-
п—-положительное целое число. Подстановка Jf = acos9 приводит 1п к интегралу
из примера LXVI. 10.]
20. Показать с помощью подстановки х — ~л т> что если /йот оба
положительны, то
1
24»

372 Глава восьмая
21. Показать с помощью подстановки х = - Р _ -, что если I, m и р
положительны, то
1 1
J
22. Доказать, что
ь ь
Jdx С xdx 1
j/^jc—e)(* —л?) •>/(* — а)(Ь — х) 2
1° с помощью подстановки х = а + (* — а)Р, 2° с помощью подстановки'
=zt и 3° с помощью подстановки x — acos*t-\-bsin!1t.
23. Доказать, что если р и q положительны и
1
то
Выразить f(p-\-1, ?) и /(р, ^+ 1) через f(p, q) и доказать, что
. («—1)!
лде п — положительное целое число.
(Экз. 1926 г.)
24. Вывести формулы
1 «/»
*
f
(Х_в)(*_д)
25. Доказать, что
2
(з. 1930 г.)
26. Доказать, что
A+дОB+дОУд:A-*)
(Экз. 1912 г.)
({Положить л; = sin* 6 и применить результат примера LX1II.7.]

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 373
189. Замена переменных иногда требует некоторой осторожности. Допу-
Допустим, например, что
J= Г(х8—
1
Непосредственным вычислением мы находим, что У = 48. Сделаем теперь
подстановку
у = х* — 6х+13,
которая дает д; = 3± У у — 4. Так как при х=1, у = 8, и при х = 7,
у = 20, мы как будто приходим к результату
20 20
d у dy
Неопределенный интеграл равен
и мы получаем значения, из которых ни одно не соответствует действитель-
действительности.
Для того чтобы понять, почему мы получили неправильный результат,
рассмотрим внимательнее соотношение между х ау. Функция у = х*— 6х + 13
имеет минимум при х = 3, который равен 4. Когда х возрастает от 1 до 3,
у убывает от 8 до 4, и -=— отрицательна, так что
У dx1
Когда х возрастает от 3 до 7, у возрастает от 4 до 20, и следует взять
другой знак. Таким образом,
7 4 20
l
7=
18
Г
J
и легко убедиться в том, что эта формула ведет к правильному результату.
Аналогично, если мы преобразуем интеграл
с помощью подстановки x = arcsin.y, мы должны учесть, что производная
-т— равна A—у")~1/Г1 или —A—,у8)~/'3,в зависимости от того, будет ли
os;< <^
Пример. Проверить результаты преобразования интегралов
1
Г Dх2 — х + -^] dx, Г cos2 х dx
о о
с помощью подстановок Ах3 — х-\--^—у и соответственно x=>atcsiny.

374 Глава восьмая
190. Ряды, содержащие положительные и отрицательные
члены. Наше определение суммы бесконечного ряда и значения не-
несобственного интеграла как первого, так и второго рода, приме-
применимы к рядам, члены которых могут иметь любой знак, и к инте-
интегралам от функций, меняющих знак в интервале интегрирования.
Но те специальные признаки сходимости или расходимости, которые
мы установили в первой части настоящей главы, и примеры, кото-
которыми мы их иллюстрировали, относились почти исключительно
к рядам только с положительными или только с отрицательными
членами и к интегралам от функций, не меняющих знака в интер-
интервале интегрирдвания.
При рассмотрении рядов мы всегда предполагали, иногда огова-
оговаривая это, а иногда только подразумевая, что любые условия, нала-
налагаемые на ип, могут не выполняться для конечного числа членов;
требуется только, чтобы такое условие (например, что члены поло-
положительны) выполнялось начиная с некоторого члена. Аналогично
в случае несобственного интеграла предполагалось, что условие
выполняется для всех значений х, больших некоторого значения ха,
или для всех значений х из некоторого интервала (а, а-)-8), содер-
содержащего значение а, вблизи которого подинтегральная функция не-
неограниченно возрастает (или убывает). Так, например, наши признаки
применимы к таким рядам, как
2 я8—10
л4 '
так как и2 —10 ^> 0 при п ;з=4, и к таким интегралам как
со 1
Здг—7 , Г 1 — 2х ,
так как Ъх — 7]>0 для *^>-ъ и 1—2;с^>0 для
Но если перемены знака ап продолжаются, как бы велико
ни было п, т. е. если и положительных и отрицательных членов
бесконечно много, как, например, в ряде 1—"ъ~~Ь"з —~а"^~'"'
или если ср (дг) меняет знак неограниченное число раз при х-*~оо,
как, например, в интеграле
или при х—*-а, где а является точкой разрыва ф(х), как, например,
в интеграле
А
.,' 1 \ dx
sin
х—а
а
А
Г
J

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 375
то вопрос о сходимости и расходимости становится более сложным.
Это объясняется тем, что помимо сходимости и расходимости, мы
теперь должны учитывать еще возможность колебания.
191. Абсолютно сходящиеся ряды. Рассмотрим, стало быть,
ряд 2«„, в котором каждый член может быть либо положительным,
либо отрицательным.
Положим I „ i
так что ал = ая, если ип положительно, и «„ = — ип, если ип отри-
отрицательно. Пусть, далее, vn = un, если ип положительно, и vn = 0,
если ип отрицательно, и wn = —-ип, если ип отрицательно, и wn = О,
если ип положительно. Другими словами, положим либо vn=an,
wn = 0, либо vn = 0, wn = an в зависимости от того, положитель-
положительно ли ип или отрицательно. Тогда очевидно, что vn и wn всегда
положительны и что
Если, например, мы имеем дело с рядом
(l) 1 1
то ип = ~ ^—- и ап=—j-, причем »„ = —j- или »„^0 в зависимости
от того, нечетно л или четно, а и/„ = —?-илиа/„ = 0 — в зависимости от
того, четно п или нечетно.
Мы должны теперь различать два случая.
А. Допустим, что ряд 2ая сходится. Это, например, имеет место
для только что рассмотренного ряда, где
Тогда оба ряда ^vn и ?wn сходятся, так как (см. пример XXX. 18)
любой ряд, состоящий из части членов сходящегося ряда с положи-
положительными членами, сам сходится. Следовательно, по теореме F) п. 77,
2ия или 2 (vn — wn) сходится и имеет сумму, равную ?vn — .S^V
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если ?а.пали 2|к„| сходится, то ряд 2Х на-
называется абсолютно сходящимся.
Мы уже доказали, кроме того, следующее предложение: если
ряд 2ця сходится абсолютно, то он сходится и вообще; ряды,
доставленные по отдельности из его положительных и его отри-
отрицательных членов, также сходятся, и сумма самого ряда равна
•сумме его положительных членов плюс сумма его отрицательных
членов.

376 Глааа восьмая
Читатель не должен думать, что утверждение .абсолютно сходящийся
ряд сходится" является тавтологией. Когда мы говорим, что ?ая „сходится
абсолютно", мы непосредственно ничего не утверждаем относительно схо-
сходимости ?м„; мы утверждаем сходимость другого ряда, а именно, ? | и„ |, и
совсем не очевидно, что это исключает возможность колебания ряда Цк„.
Примеры LXXVII. 1. Применить „общий признак сходимости" (п. 84,
теорема 2) к доказательству того, что абсолютно сходящийся ряд сходится.
[Если 2 I нп I сходится, то для любого заданного положительного числа 8.
мы можем найти такое л,, что
если
Тем более
и, следовательно, ?и„ сходится.]
2. Если ?й„ — сходящийся ряд с положительными членами и |?п|
то YJ>n сходится абсолютно.
3. Если ?й„ — сходящийся ряд с положительными членами, то ряд
сходится абсолютно для каждого значения х, для которого —l^x^l.
4. Если ?я„ — сходящийся ряд с положительными членами, то ряды.
?ancos/z6, ?ansin/z9 абсолютно сходятся для всех значений в. [Примерам»
могут служить ряды
?/¦" cos л(Э, Efsinnb
из п. 88.]
5. Любой ряд, состоящий из части членов абсолютно сходящегося
ряда, сам сходится абсолютно. [Так как ряд из модулей его членов является
частью ряда из модулей членов исходного ряда.]
6. Доказать, что если ?| и„ | сходится, то
" I Еия | а? ? | «„ |,
и что знак равенства возможен только в том случае, когда все члены имеюг
один и тот же знак.
192. Обобщение теоремы Дирихле на абсолютно сходящиеся
ряды. Теорема Дирихле (см. п. 176) показывает, что члены ряда,
если они все положительны, могут быть переставлены любым обра-
образом, причем сумма ряда при этом .остается неизменной. Легко видеть,
что абсолютно сходящиеся ряды обладают тем же свойством. Дей-
Действительно, пусть 2кя в результате некоторой перестановки пере-
переходит в 2йя» и пусть а'п, v'n, w'n образованы из а'п так же, как ап>
vn, wn образованы из ип. Тогда ^а'п сходится, так как этот ряд
является перестановкой ряда 2«да сходятся также ряды 2^4, ~EtW'n>
являющиеся перестановками рядов ^vn, ?wn. По теореме Дирихле
мы имеем: ?v'n = 2,vn и ^w'n == ^wn. Следовательно,
193. Условно сходящиеся ряды*). В. Теперь мы должны рас-
рассмотреть вторую возможность, заключающуюся в том, что ряд ^ал>.
составленный из модулей, расходится к со.
*) Такие ряды называются также неабсолютно сходящимися. {Прим..
перев.)

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 377
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если %ап сходится, но 21 н„ j расходится, то-
исходный ряд называется условно сходящимся.
В первую очередь, заметим, что если JJh,, сходится условно, то
ряды JJfn, 2о»л из п. 191 должны оба расходиться к оо. Они не
могут быть оба сходящимися, так как это повлекло бы за собой
сходимость ?(vn-\-wn) или 2<V А если бы один из них, скажем,
?wn, сходился, а другой, JJfn, расходился, то из равенства
N N N
у1 -* у1 /г* V1 (гл) (л х
о о о
при N—*¦ со следовало бы, что 2йя расходится, что противоречит
предположенной сходимости 2ая*
Следовательно, оба ряда JJfn и ^wn расходятся. Из предше-
предшествующего равенства A) ясно, что сумма условно сходящегося ряда
является пределом разности двух функций, каждая из которых
стремится к бесконечности при п-*-со. Ясно также, что условно'
сходящийся ряд уже не обладает тем свойством рядов с положи-
положительными членами (см. пример XXX. 18) и всех абсолютно сходя-
сходящихся рядов (см. пример LXXVII. 5), что любой ряд, составленный:
из части его членов, будет сходящимся. Представляется также весьма
вероятным, что условно сходящиеся ряды не обладают свойством,,
составляющим утверждение теоремы Дирихле; во всяком случае-
доказательство, приведенное в п. 192, здесь совершенно непригодно,,
так как оно существенным образом использует сходимость ?vn и.
?wn. Вскоре мы увидим, что наше предположение действительно
правильно, т. е. что теорема Дирихле не может быть распространена,
на условно сходящиеся ряды.
194. Признаки сходимости условно сходящихся рядов. Нельзя
ожидать, что мы сможем найти столь же простые и общие признаки:
условной сходимости, как признаки, установленные в п. 173 и ел.
Формулировка признаков сходимости оказывается, естественно, бо-
более трудной, если сходимость ряда имеет место, как это показывает-
равенство A) п. 193, по существу, за счет взаимного сокращения,
положительных и отрицательных членов ряда. В первую очередь,
не существует признаков условной сходимости, основанных на
сравнении рядов.
В самом деле, допустим, что мы хотим вывести сходимость ряда
JJf,j из сходимости ряда JJMn. Мы должны сравнивать
Если бы каждое и и каждое v было положительно и (а) каждое v
было меньше соответствующего а, то мы сразу заключили бы, что

-378 Глава восьмая
т. е. что ?vn сходится. Если бы только и были положительны
ш (Ь) каждое v по модулю было бы меньше соответствующего а,
то мы заключили бы, что
т. е. что S^n абсолютно сходится. Но в общем случае, когда и и
¦и г> имеют произвольные знаки, мы можем из (Ь) только заключить,
.Это соотношение дало бы нам возможность заключить абсолютную
сходимость ?vn из абсолютной сходимости 2«„; но если известно,
'что 2ая сходится только условно, то мы вообще не можем сделать
.никакого заключения.
Пример. Дальше мы увидим, что ряд 1— -S-+-S-— ~г +••• сходится.
Но ряд ~"~Г"~з"~Ь'х + 1Г + - ' ' Расходится> хотя каждый его член меньше
.абсолютной величины соответствующего члена первого ряда.
Поэтому вполне естественно, что те признаки, которые мы смо-
сможем получить, будут иметь значительно более частный характер,
чем признаки, приведенные в первой части настоящей главы.
195. Знакочередующиеся ряды. Простейшими условно сходя-
сходящимися рядами являются так называемые знакочередующиеся ряды,
т. е. ряды, члены которых поочередно положительны и отрицательны.
Условия сходимости этого весьма важного типа рядов содержатся
в следующей теореме.
Если ер (п) — положительная функция от п, монотонно стре-
стремящаяся к нулю при п—*-оэ, то ряд
'Сходится, и его сумма заключена между ер(О) и ср @) — срA)*).
Будем писать <р0, <рх, ... вместо ф@), фA), ... и положим
Тогда
ssn+i — Ssn-a == 9in — 9-2Л+15г 0, sin — san_2 = — (cpin_t — ср2я) ^ 0.
Следовательно, s0, sa, st, ..., sin, ... образуют убывающую после-
последовательность, которая поэтому стремится либо к некоторому ко-
конечному пределу, либо к—-оо, a sv s3, ... , sin+1, ... образуют
возрастающую последовательность, стремящуюся либо к некоторому
конечному пределу, либо к со. Но
— s2n) = lim ( — 1)'2Я+1 ср2л+] == 0,
*) Эта теорема иногда называется теоремой Лейбница о знакочередую-
знакочередующихся рядах. (Прим. перев.)

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 379
откуда следует, что обе последовательности должны стремиться
к конечным пределам и что эти пределы должны быть равны. Это
значит, что последовательность
стремится к конечному пределу. Так как s0 = ер0, st = ер0 — ер^ то
ясно, что этот предел заключен между ср0 и ср„ — ф±.
Примеры LXXVHI. 1. Ряды
2(-l)" \i (-lg_ у j-1)" _ у (-1У
я + я ' Aiyn-\-a' *^Уn +Ya ' ^ (]/"n + Y
где а>0, сходятся условно.
2. Ряд
где а > 0, сходится абсолютно, если s > 1, сходится условно, если 0 < s ^ 1
и колеблется, если s=~?0.
3. Сумма ряда "из п. 195 заключена между sn и sn+i для всех значений л.
Ошибка, допускаемая при замене суммы всего ряда суммой его первых
п членов, по абсолютной величине не превосходит модуля (л+1)-го члена,
ряда.
4. Рассмотрим ряд
2 (-!)"
который мы предполагаем начинающимся с члена, соответствующего п = 2 (во
избежание осложнений, связанных с определением первых членов). Этот ряд
может быть записан в виде
2Г f (-1)" (-1)" \ . (-1)"]
Li |Л?+(-1)»~7тГ J + y^"J
или
Ряд Z&>n сходится, но ряд ?у„ расходится, так как все его члены положи-
положительны и lim nXn=l. Следовательно, исходный ряд также расходится, хотя
он и. имеет вид 9» — 93 + 9*— ••• , гДе ?л-»0. Этот пример показывает,
что условие монотонного стремления срл к нулю существенно для
справедливости теоремы. Читатель легко проверит, что
+Л — 1 < У2п + 1,
так что это условие в данном случае не выполняется.
5. Если условия теоремы из п. 195 выполняются, за исключением того,
что срл монотонно стремится к некоторому положительному пределу /, то
ряд ? (— 1)" ср„ ограниченно колеблется.
6. Ряд
2
b{b+\) ...(b + n+l)

380 Глава восьмая
где ни а, ни Ь не равны ии 0, ни отрицательному целому, числу, сходится
в том н только в том случае, когда а < Ъ.
(Экз. 1927 г.)
[Обозначим этот ряд через ?( — 1)"<?п и предположим сначала, что ей*
положительны. Если а ^ Ъ, то <$>л+1 ^ ср„, и ср„ не стремится к нулю.
Если а < Ъ, то срп+1<?л> и ср„-*О (см. п. 183), так что условия теоремы
выполнены.
В общем случае мы можем найти такое TV, что a' = a-\-N n b' =Ь-\-№
оба положительны; тогда ср„- будет отличаться только постоянным множи-
множителем от фл-лг» гДе
_а'(а' + 1) ... (а' + я+l) Т
•»-у(У + 1) (ft' + + l) "J
7. Изменение суммы условно сходящегося ряда перестановкой его
членов. Пусть s будет сумма ряда
и ssn — сумма его первых 2и членов, так что lim sin = s. Переставим ряд
следующим образом:
1+у —у + у+7 —Т+••• ' A>
где за двумя положительными членами следует один отрицательный. Если
через tSn ооозначить сумму первых Зл членов этого нового ряда, то
*з„ = 1 + -3-+ ••• +4^=1~Т™~ ••• ~ 2л =
= S*n + 2n^Tl + 2n+3+ '" +4^=1-
Но
Гi 2 4-
так как сумма членов, заключенных в скобки, меньше -
кроме того,
п
1 , 1
. 1\ 1,. 1 v 1 \ [' dx
--+4n)=:Thra7r 2 riT^yjT'
по пп. 161 и 164. Следовательно,
2
и, таким образом, сумма ряда A) равна не s, а правой части по-
последнего равенства. Ниже мы приведем значения сумм обоих рядов
(см. п. 220, пример ХС. 7, и гл. IX, Разные примеры, 19).
Можно даже доказать, что условно сходящийся ряд может быть так
переставлен, чтобы он сходился к любой заданной сумме или расходился
к со или к — со. По поводу доказательства этого предложения мы отсылаем
читателя к книге Бромвича: Bromwich, Infinite series, 2nd edition, стр. 74.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 381
8. Ряд
iL L L
. _i L_
1^3" |/2"
расходится к со.
[Здесь
, 1
у2п+1 |/2л + 3 |/4и —1 yin — 1
где s2n == 1 — + -7^-= — • - • 7^ > что стРемится к пределу при п-+со.]
у 2 у 3 у In
196. Признаки сходимости Абеля и Дирихле. Приведем более общий
признак, содержащий признак из п. 195 как частный случай.
Признак Дирихле. Если ср„ удовлетворяет тем же условиям, что
йен. 195, а ?ап является любым рядом, который сходится или огра-
ограниченно колеблется, то ряд
0
Сходится.
Читатель легко проверит тождество
= S» (<Ро — 9») + Si (9» — 9») + • • • + sn-i (9/i-i — ?л) + sn9n,
где sn = a0 + ai+ .,. +ап. Но ряд
сходится, так как сумма его первых п членов равна ср0 — <$>„, a lim у„ = 0,
причем все его члены положительны. Кроме того, поскольку ряд ?а„ схо-
сходится или ограниченно колеблется, мы можем найти такую постоян-
постоянную К, что |sv|</<r для всех значений v. Следовательно, ряд
Ssv(<jv- cpv+1)
сходится абсолютно и
So (9o — 9i) + Si (91 — 9г) + • • • + sn-i (9л-1 — 9n)
стремится к конечному пределу при п —¦ со. Наконец, f„, а значит и sn<?n,
стремится к пределу 0; поэтому
стремится к конечному пределу, т. е. ряд ? а„<$>ч сходится.
Признак Абеля. Существует еще один признак, принадлежащий Абелю,
который хотя и применяется реже, чем признак Дирихле, но в некоторых
¦случаях оказывается весьма полезным.
Допустим, что ср„ является, как в признаке Дирихле, положительной
и убывающей функцией от п, но что ее предел при п~-+со не есть обяза-
обязательно нуль. Таким образом, мы предполагаем меньше относительно <р„, но
зато должны предположить больше относительно ? а„, а именно, что этот
ряд сходится. Тогда мы имеем следующую теорему: если ср„ — положи-
положительная и убывающая функция от п и ряд ? ап сходится, то ? ап<?„
также сходится.
Пусть <?„-+/ при л-»со, так что lim(ср„ — /) = 0. Следовательно, по
признаку Дирихле, ? а„ (<р„ — /) сходится; а так как ? а„ сходится, то мы
заключаем, что сходится и ? апц>п.
Эта теорема может быть сформулирована и следующим образом: сходя-
сходящийся ряд остается сходящимся, если мы умножим его члены на
соответствующие члены любой положительной убывающей последова-
последовательности.

382 Глава восьмая
Примеры LXX1X. 1. Признаки Дирихле и Абеля могут быть доказаны
также с помощью общего признака сходимости (см. п. 84.) Предположим,
например, что выполняются условия признака Абеля. Мы имеем следующее
тождество:
<*т<?т + ат+1 Ут+г + • • • +1ал?л — sm, m (tm ~ ?ot+i) 4~ sm, от+i (?m+i — fm+s.) +
+ • • • + Sm, n-i (?n-i — fn) + sm, nfn, A>
где
Sct, v=flm + «OT+i+ ••• + «„.
Левая часть тождества (L) заключена поэтому между Щт и Щт, где Ли//
обозначают наименьшее и наибольшее из чисел sm> m, sm> т+ь ..., sm< „. Но
для любого данного положительного 8 мы можем найти такое т0>
что \sm>, | < S Для т 5= т0, и, следовательно,
если «> т^ т0. Таким образом, ряд 2«n?n сходится.
2. Ряды 2 cos «9 и 2 sin л 9 ограниченно колеблются, если 9 не кратно г.
Действительно, если мы обозначим через sn и tn суммы первых п членов
этих рядов и положим z = Cis9, так что |г| —1 и г^Ы, то найдем, что
— г"
l — z
\\-г\
2
так что | sn ] и | tn | не превосходят -г- . То что эти ряды не являются
сходящимися, следует из того, что их я-ые члены не стремятся к нулю
(см. пример XXIV. 7).
Ряд синусов сходится к нулю, если б кратно к. Ряд косинусов ограни-
ограниченно колеблется, если 0.— нечетное кратное я, и расходится, если 0—чет-
0—четное кратное я.
Отсюда следует, что если у„ — положительная функция от п, кото-
которая монотонно стремится к нулю при «->со, то ряди
2 <ря cos л 9, ? ч>„ sin л 9
сходятся, за исключением, быть может, первого ряда, если 0 кратно 2ir.
В этом случае первый ряд сводится к ряду 2 <р„> который может сходиться
или расходиться при 0 кратном я, второй ряд тождественно обращается
в нуль. Если 2?л сходится, то оба ряда сходятся абсолютно (см. при-
пример LXXVII. 4) для всех значений 0. Поэтому особенно интересным является
тот случай, когда 2 fn расходится. В этом случае рассматриваемые ряды
сходятся условно, а не абсолютно, как будет доказано ниже в примере 6.
Если мы положим 9 = г в первом из этих рядов, то мы вновь получим
результат п. 195, так как cos лл = ( — 1)".
3. Ряды 2«~scos«9, 2 n~s sin n 9 сходятся, если s>0, за исключением
первого ряда в том случае, когда 9 кратно 2л и 0<s^l.
4. Ряды из примера 3 являются в общем случае абсолютно сходящи-
сходящимися прия>1, условно сходящимися при 0<ssg;l и колеблющимися
при s=<SO (ограниченно при s==0 и неограниченно при s < 0). Указать воз-
возможные исключения.
5. Если 2 ann~s сходится или ограниченно колеблется, то 2 апп~* схо-
сходится при t > s.
6. Если <рл является положительной функцией от Л, которая монотонно
стремится к нулю при л-» со, и 2 fn расходится, то ряды 2'fn cos л 6,
2 ?л sin л 9 не будут абсолютно сходящимися, за исключением ряда сину-
синусов при б кратном тс. [Действительно, предположим, что 2 ?л I cos n 0 | схо-
сходится. Так как coss nb ^ | cos лб |, то отсюда следует, что

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 38$
2 ?ncoss«6 HflH-jS?n(! +cos2«6)
сходится. Но это невозможно, так как ? срл расходится, а ? tp„ cos 2и8 схо-
сходится, по признаку Дирихле, если 8 не кратно -; если же 8 кратно ъ, то рас-
расходимость Stpn|cosn0| очевидна. Читателю рекомендуется провести соот-
соответствующее доказательство для ряда синусов, отметив то место, в котором,
оно не проходит при 0 кратном к.]
197. Ряды с комплексными членами. До сих пор мы ограни-
ограничивались рассмотрением рядов, все члены которых действительны..
Рассмотрим теперь ряд
где vn и wn действительны. Изучение таких рядов не представляег
никаких новых трудностей. Ряд 2 ип сходится в том и только том.
случае, когда сходится каждый из рядов
Однако один класс таких рядов заслуживает специального рассмо-
рассмотрения. Дадим следующее определение, которое является очевидным!
обобщением определения из п. 191.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ряд%ип, где иa = va-\-lwa, называется абсо-
абсолютно сходящимся, если абсолютно сходятся ряды ?vn и ?wn*.
ТЕОРЕМА. Необходимым и достаточным условием абсолютной*
сходимости 2 ип является сходимость 21 мл I или
Действительно, если 2 ип сходится абсолютно, то оба ряда V[ | г;я|1
и 2 I wnI сходятся, а следовательно, сходится и
Но
и, следовательно, 2fan| сходится. С другой стороны,
так что
и Sl^nl сходятся, если сходится
Slnl Slnl 2|«
Ясно, что абсолютно сходящийся ряд является сходящимся,,
так как его действительная и мнимая части по отдельности сходятся.
Теорема Дирихле (см. пп. 176, 192) может быть также сразу обоб-
обобщена на абсолютно сходящиеся комплексные ряды, в силу ее спра-
справедливости для рядов 2 vn, 2 wn.

;384 Глава восьмая
Сходимость абсолютно сходящегося ряда можно также вывести непо-
хредственно из общего признака сходимости (ср. пример LXXVII. 1). Это
мы оставляем читателю в качестве упражнения.
198. Степенные ряды. Одной из наиболее важных частей теории
«обычных функций элементарного анализа (таких как синус, косинус,
логарифмическая и показательная функции) является их разложение
в ряды вида 2Цапхп. Такой ряд называется степенным рядом отно-
относительно х. Мы уже встречались с. несколькими разложениями
в ряды такого вида в связи с рядами Тейлора и Маклорена (см. п. 152).
¦Однако там мы рассматривали только действительное переменное х.
Здесь мы рассмотрим некоторые общие свойства степенных рядов
относительно z, где z—'Комплексное переменное.
А. Степенной ряд 2 а,^1 может сходиться для всех значений z
или только для значений из некоторой области, или ни для одного
значения z, кроме 2 = 0-
Достаточно привести по одному примеру для каждого случая.
У г"
—у сходимся для всех значений г. Действительно, пола-
2 1
:гая ип = —, найдем, что
I »П+1 1 1
'
жаково бы ни было значение г. Следовательно, по признаку Даламбе-
Ра» Б I ип I сходится для всех значений z и исходный ряд абсолютно сходится
.для всех значений г. Дальше мы увидим, что если степенной ряд сходится,
то он будет, вообще говоря, абсолютно сходящимся.
2. Ряд 2 и! г" не сходится ни для одного значения г, кроме г = 0.
.Это следует из того, что
где и„ = л!г" стремится к оо при л->оо, если только гфО. Следовательно
(см. примеры XXVII. 1, 2, 5), модуль л-ro члена ряда стремится коо
шри я—>-оо. Таким образом, ряд ие может сходиться ни при одном значе-
значении z, кроме 0. Ясно также, что любой степенной ряд сходится при г = 0.
3. Ряд ? г" сходится для всех г, для которых | г | < 1, и расходится
для всех г, для которых |г|^1. Это было доказано в п. 88. Таким
образом, мы имеем примеры для каждого из трех возможных случаев.
199. В. Если степенной, ряд ^а^ сходится для некоторого
значения г, скажем z,x = гг (cos Ъ± -\- i sin 6J, то он сходится абсо-
абсолютно для всех значений z, для которых \z\<^rv
Действительно, так как 2 а^ сходится, то lim a^-f = 0,
и, следовательно, мы можем найти такое число К, что
'для всех значений п. Но если \z\ = r<^rv то

'Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 335
й утверждение вытекает из сравнения со сходящейся геометрической
/ п
г
прогрессией 2( —
Другими словами, если ряд сходится в точке Р, то он абсо-
абсолютно сходится во всех точках, расположенных к началу коор-
координат ближе, чем Р.
Пример. Показать, что утверждение остается в силе даже в том слу-
случае, когда ряд ограниченно колеблется при z = zt. [Если \sn — a0-{-alzl -(-
-j- ... -f- anztn, то существует такое К, что | sn \ < К для всех значений п.
Но
I ад" I = |в„ - sn_t i as i «я | + [sn_x i;< гк,
и доказательство заканчивается как в основном случае.]
200. Область сходимости степенного ряда. Круг сходимости.
Пусть z=r—любая точка на положительной действительной по-
полуоси. Если степенной ряд сходится при z = r, то он сходится
абсолютно во всех точках внутри круга \z\ = r. В частности, он
сходится для всех положительных действительных значений z,
меньших г.
Разобьем теперь все точки г положительной действительной
яолуоси на два класса, а именно, на класс значений, при которых
ряд сходится, и на класс значений, при которых ряд расходится.
Первый из этих классов всегда содержит по крайней мере одну
точку z = 0. Второй класс может и не существовать, так как ряд
может сходиться для всех значений z. Предположим, однако, что
этот второй класс существует и что первый класс содержит другие
точки, кроме 2 = 0. Тогда ясно, что каждая точка первого класса
расположена левее каждой точки
второго класса. Следовательно, су-
существует точка, скажем точка z = R,
которая разделяет эти два класса;
сама эта точка может принадле-
принадлежать к любому из них. Тогда ряд
абсолютно сходится во всех точ- О Q
(ГХ
ках внутри круга \z\<^R.
Допустим, что этот круг пере-
пересекает ОХ в точке А (фиг. 47)
и что Р—некоторая точка внутри Фиг. 47
иего. Мы можем провести круг
с центром в О радиуса, меньшего R, содержащий точку Р; пусть
этот круг пересекает ОХ в точке Q. Тогда ряд сходится в точке Q
и, следовательно, по теореме В, сходится абсолютно в точке Р.
С другой стороны, ряд не может сходиться ни в какой точке Р'
вче круга радиуса R. Ибо если бы он сходился в точке Р', то он
сходился бы абсолютно во всех точках, расположенных к О ближе,
25 Г. Харди

386 Глава восьмая
чем Р'. Но это невозможно, так как ряд не сходится ни в одной
точке между А и Q'.
До сих пор мы исключали случаи, в которых степенной ряд
A) не сходится ни в какой точке положительной действительной
полуоси (кроме 2=0) и B) всюду абсолютно сходится. Таким
образом, мы получаем следующий результат: степенной ряд может-
либо
A) сходиться при 2 = 0, но не сходиться ни при каком другом
значении z, либо
B) сходиться абсолютно для всех значений z, либо
C) сходиться абсолютно для всех значений z внутри неко-
некоторого круга радиуса R, но не сходиться ни для какого значе-
значения z вне этого круга.
В случае C) круг радиуса R называется кругом сходимости,,
а его радиус R — радиусом сходимости степенного ряда.
Следует заметить, что этот общий результат не содержит ника-
никакого утверждения относительно поведения степенного ряда на круге
сходимости. Приведенные ниже примеры показывают, что здесь
действительно могут иметь место самые разнообразные случаи.
Примеры LXXX. 1. Ряд \ -\-az-\- а?г* -\~ ¦•• > где а>0, имеет радиус
сходимости, равный —. Он не сходится ни в одной точке на круге сходи-
сходимости, причем он расходится в точке z =— и ограниченно колеблется ве>
всех остальных точках окружности..
z г2 г3
2. Ряд т^ + я-5 +-55+ -•• имеет радиус сходимости 1; он сходится абсо-
абсолютно во всех точках круга сходимости.
3. Вообще, если
«л+1
•^ - X
1/л -> X при п —> со, то ряд а0 -j- a-iZ -(- а2г2 + • • • имеет радиус сходи-
или \а
мости ¦- . В первом случае
что больше или меньше 1 в зависимости от того, будет ли | z \ больше из»
меньше —, так что мы можем применить признак Даламбера (см. п. 175, ву
к
Во втором случае мы можем аналогично применить признак Кошш
(см. п. 174, 2).
4. Логарифмический ряд. Ряд
называется логарифмическим (обоснование этого читатель узнает ниже)^
Из результата примера 3 следует, что его радиус сходим-ости равен 1.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 38Т
Когда z находится на круге сходимости, мы можем положить г =
= cos 6 + / sin 6, и ряд примет вид
cos 6 — -я- cos 2 6 + -г cos 3 0— ... +r(sin б -—^- sin 2€ -j- —- sin 3 6 —...).
Действительная и мнимая части обе сходятся, хотя и неабсолютно, если 9
не равно нечетному кратному л (см. примеры LXXIX. 3, 4, в которых б
нужно заменить на б -f~ и)- Если б равно нечетному кратному ~, то z = — 1
и ряд — 1 — -~ s ..• расходится к — со. Таким образом, логарифми-
ческий ряд сходится во всех точках круга сходимости, кроме точки г =—1.
5. Биномиальный ряд. Рассмотрим ряд
Если т — положительное целое число, то ряд обрывается. В общем случае
! я„+11 \т — п\
- — >¦>
так что его радиус сходимости равен 1. Мы не будем рассматривахь здесь
вопрос о его сходимости на круге, так как этот вопрос представляет неко-
некоторые трудности *).
201. Однозначность степенного ряда. Если степенной ряд ^anzn схо-
сходится для некоторых значений г, отличных от z = 0, и f(z) обозначает его-
сумму, то
/B) = ao + ei2+ ••¦ ~f amzm + о (zm)
при г-*0 для каждого т. Действительно, если \х — любое положительное
число, меньшее радиуса сходимости ряда, то | а„ | рп < К, где К не зависит
от п (см. п. 199)} следовательно, если |г|<[*, то
«">'"
что равно O(]z|OT+1), и тем более o(\z\m). В частности, это имеет место
и для действительных положительных Z.
Из результата примера LVI. 1 теперь следует, что если
дня всех значений z по модулю меньших [х, то яп = Ьп для всех я. Одна
и та же функция не может быть представлена двумя разними степен-
степенными рядами.
1) Случаи z=l и 2 = —1 рассмотрены в п. 222. Полное рассмотрение
читатель найдет в книгах: Bromwich, Infinite series, 2nd edition, стр. 287 и ел.,
Hobson, Plane trigonometry, 5th edition, стр. 268 и ел.

388 Глава восьмая
202. Умножение рядов. В п. 177 мы видели, что если
и 2 vn — два сходящихся ряда с положительными членами, то
где
uiv
ivn-i
Мы можем теперь распространить этот результат на все случаи,
в которых 2кл и Hvn сходятся абсолютно. Для этого нужно
только заметить, что наше доказательство является простым прило-
приложением теоремы Дирихле, которая была уже обобщена нами на все
абсолютно сходящиеся ряды.
Примеры LXXXI. 1. Если \г\ меньше радиуса сходимости каждого из
рядов 2Цапгп, ^Ьпгп, то произведение этих двух рядов равно ^cnzn, где
сп = аФп + a, Vi + • • • + «А-
2. Если радиус сходимости ряда ~2finzn равен R и сумма ряда при [ z \ < /?
обозначена через f (z), то для всех Z, для которых \z \ меньше /? и меньше 1,
где
3. Возведя в квадрат ряд для ¦= , доказать, что
1 '— ' Z
1
il—zf
если \z\ < 1.
4. Аналогично доказать, что —. rj- = 1 + 3z ~\- 6гг 4- ... , где общим
A —z)
членом является -=- (п -+• 1) (и -jr 2) zn.
5. Биномиальная теорема для отрицательного целочисленного пока-
показателя. Если | z | < 1 и т — положительное целое число, то
' Г 1 -2...71
[Предположим справедливость теоремы для всех показателей вплоть до т.
Тогда, по примеру 2,
1
A— z)m+l =2S«Z">
где
,, 7WGW-(- 1) . т(т-{-1) ...(т + п — 1)_
л— -h«i j-72 Г----1- ГГгТТТгё
_ (тд + 1) (ст + 2)... (и + д)
1-2. ..л
что легко доказывается методом индукции (независимо ог того, целочисленно
т или нет).]

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 339
6. Доказать умножением рядов, что если
и |2|<1, то f(m,z)f(m', z)=f(m + m', z).
[На этом равенстве основывается доказательство Эйлера биномиальной
теоремы. Коэффициент при г" в произведении равен
что является многочленом относительно т и пг'. Когда т и т' — положи-
положительные целые числа, этот многочлен должен привестись к (
\ /
(в силу биномиальной теоремы для положительного целочисленного показа-
показателя). Но если два таких многочлена равны друг другу при всех положи-
положительных целочисленных т и т', то они должны быть тождественны.]
7. Если f(z)=l + z+-^- + ..., то /(*)/(*')=/(* + *')•
[Ряд для f(z) абсолютно сходится при всех значениях г; легко видеть»
что если
_zn _ z'n
nl
8. Если
то
C(z + z')=C(z)C(z')-S(z)S(z'), S(z + z')=S (z) C(z') + S (z') С (г)
{CW+{S(z)V=i.
9. Случай, когда теорема об умножении рядов не имеет места. Эта
теорема не всегда имеет место, если ?«„ и ? vn не являются абсолютно
сходящимися. В этом можно убедиться, рассматривая ряды, для которых
(—1)"
Тогда
Но Y(r+ Ц(п + 1— г)^-^(п + 2) и, следовательно,
что стремится к 2, так что ряд 2 ®л заведомо не сходится.
203. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы.
Для интегралов существует теория, аналогичная развитой для рядов в
п. 191 и ел.

390 Глава восьмая
Несобственный интеграл
оо
§f(x)dx A)
а
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл
оо
I
\f(x)\dx. B)
Мы можем определить g(x) и h(x) с помощью равенств
\f(x)\=*g(x)+h(x).
Тогда g(x) равна f(x), если f{x) положительна, и равна 0, если f(x) отри-
отрицательна, a h(x) равна 0, если /(х) положительна, и равна /(х), если
f{x) отрицательна, так что g(x) и h (x) соответствуют vn и wn п. 191.
Ясно, что g(x)^s:0, ft(x)^;0 и что g(x) и h(x) непрерывны, если f (x)
непрерывна.
Далее, так же1 как в пп. 191 и 193, следует, что интегралы
,!оо
§ g(x)\dx,
а , а
оба сходятся, если интеграл B) сходится, и что они оба расходятся, если
A) сходится, но B) расходится. Таким образом, абсолютно сходящийся
интеграл является сходящимся.
Очевидно также, что если \f{x)\?SLy(x) и
(х) dx
сходится, то интеграл A) сходится абсолютно.
Если A) сходится, но B) не сходится, то говорят, что интеграл A)
сходится условно *). В настоящей книге мы не будем часто встречаться
с условно сходящимися интегралами; однако, имеется один особенно важный
тип таких интегралов, который мы сейчас рассмотрим.
Допустим, что <р'(х) непрерывна, y(x)^Q, <f'(x)s?C0 и что ср(л:)-»О
при х — оо. Тогда | <р' (х) [ = — <р' (х) и
а
X
= —• lim <f'(x)dx = ttm{'j
X-*ooJ Х-юо
так что \ »' (л:) dx абсолютно сходится.
а
*) Или неабсолютно. (Прим. перев.)

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 391
"Рассмотрим теперь интеграл
оо
I <р (x\ cos tx dx, C)
а
где I предполагается положительным. Имеем:
X X
I y(x)cos txdx=-j- I y(x)-j—sintxdx =
a a
X
s'mtX .,„ sinta 1 С ., . . ..
(Z)() J'Wsm/d D)
Первый член стремится к 0 при Х-^со. Далее, | sin/jc| ^ 1, так что
/ v' (^) sin tx | ^ | <р' (л:) :; следовательно,
со
I ер' (jc) sin /л: dx
сходится абсолютно, а значит сходится и вообще, т. е. последний интеграл
в равенстве D) стремится к некоторому пределу при X—-со. Отсюда сле-
следует, что и интеграл в левой части равенства D) стремится к некоторому
кределу, так что интеграл C) сходится. Аналогично сходится и
оо
I <p {x) sin tx dx.
Наиболее важным случаем является тот, в котором а>0 и ср(х) = д: *,
где s>0. Соответствующие интегралы сходятся абсолютно, если s!>l, и
сходятся условно, если 0<;s:sCl.
Примеры LXXXII. 1. Интеграл
оэ
fsin/л: .
J х- ~
сходится, если 0 < s < 2, и абсолютно сходится, если 0<s<l.
[Рассмотреть отдельно интегралы от 0 до 1 и от 1 до оо.]
sm х dx сходится.
2- J V-
о (Экз. 1930 г.)
ОО
J* I — COS / \7
5—— dx сходится, и притом абсолютно, если 1 < s < 3.
sin х(\ —cos х) . , , ,
—? -dx сходится, если 0<s<4, и абсолютно сходится,

392 Глава восьмая
если l<s<4. (Экз. 1934 г.>
со
5. I х~ a sin х 1~^ dx сходится, если о заключено между р и 2—J3.
(Экз. 1936 г.>
[Положить х1" =у и рассмотреть по отдельности случаи р<1 и
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. VIII
1. Исследовать сходимость ряда
En* {V^+i -2/~i /"O=\
где k—действительное число. (Экз. 1890 г.)>
2, Показать, что
?лг А* (л*),
где
и т. д., сходится в тех и только тех случаях, когда k> r-\- s-\-\ ил»
когда s является положительным целым числом, меньшим k (в этом послед-
последнем случае каждый член ряда равен нулю).
[Результат примера 6, Разные примеры к гл. VII, показывает, что в
общем случае ^(ns) имеет порядок ns~k.\
3. Показать, что
со
5
(й+)(й + )(+5)( + ) 36 *
(Экз. 1912 г.>
[Разложить общий член ряда на простейшие дроби.]
4. Если 2ал является расходящимся рядом с положительными членами
и
„ -^ «я а ап
то Yfin расходится. (Экз. 1931 г.>
[Легко проверить, что Ьп_г>Ьп. Следовательно, сходимость ряда ?fera
повлекла бы за собой стремление пЬп к нулю, а значит, и стремление пат
к нулю. Это дало бы Ь„^-а„, что приводит к противоречию.]
5. Показать, что ряд
, 1_ , 1 1_ . 1 1_ ,
l+z'r2 2 + 2^3 1"
сходится, если г не равно отрицательному целому числу.
6. Исследовать на сходимость или расходимость следующие ряды:
где а — действительное число.

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 393
7. Исследовать сходимость ряда
+ ~2+Т + --- + И
где в и а действительны. (Экз. 1899
8. Доказать, что ряд
в котором следующие друг за другом члены с одинаковым знаком образуют
группы в 1, 2, 3, 4, ... члена, сходится, но что соответствующий ряд, в ко-
котором группы содержат по 1, 2, 4, 8, ... членов, ограниченно колеблется.
(Экз. 1908 г.)
9. Если иъ us, и3, ... образуют убывающую последовательность поло-
положительных членов, стремящихся к нулю, то ряды
Щ — 2" ("i-H "*) + -g"(«i + и2 + щ) —...,
СХОДЯТСЯ.
[Ибо если
Ml +  + • • • + "Я _ ,.
• п V"'
то vlt Vi, v3, ... также образуют убывающую последовательность с преде-
пределом нуль (гл. IV, Разные примеры, 8, 16). Это показывает, что первый ряд
сходится. Доказательство сходимости второго ряда предоставляется чита-
читателю. В частности, ряды
сходятся.1
10. Если fo + Mi-^ Н2 + • • • — расходящийся ряд с положительными убы-
убывающими членами, то
"о
«1 + И» + • • • + «ЭД+1
11. Доказать, что
со
lim аУп-'1-'1— 1.
а-*+0 Т
[Из п. 180 следует, что
п
0 < 1-1-* + г-11 + ... + (л - I)-01 - J х -1-а йдг^ 1,
S—1—т 1 а+1 .
л -1 заключгпа между — и —¦— ,.|

394 Глава восьмая
12. Найти сумму ряда ^ и„, где
1
хп—х'п-1 1
для всех действительных значений х, для которых этот ряд сходится.
(Экз. 1901 г.)
{Если \x\jbl, то ряд имеет сумму
Если х=1, юия = 0и сумма равна 0. Если х =— 1, то и„ — -я-(—l)ra+
и ряд ограниченно колеблется.]
13. Просуммировать ряды
_l_.i_J?!_4-—4- г 1 г 1 г I
l-\-z^\+z*^l+zi~r"'' I — г"'1'1 — zl ^ 1—г8"""
{в которых все показатели являются степенями 2) для тех значений г,
для которых они сходятся.
[Первый ряд сходится только для z по модулю меньших ], и его сумма
равна . Второй ряд сходится к сумме , если |z] < 1, и к сумме
1
YZTZ> если 1г|>1.]
14. Если | ая | s?S 1 для всех значений п, то уравнение
1 -f atz -j- a°z° + ... = О
яе может иметь корня, модуль которого был бы меньше -х-', единственным
случаем, в котором оно может иметь корень по модулю равный -=р,
является тот, когда ап = — Cis(/j9) [в этом случае корень равен -H-,Cis(—в)].
15. Рекуррентные ряды. Степенной ряд %anzn называется рекуррент-
рекуррентным рядом, если его коэффициенты удовлетворяют соотношению вида
где п^: k и рх, pit..., pi; hi зависят от п. Лобой рекуррентный ряд
является разложением дробно-рациональной функции от z. Для доказатель-
доказательства заметим, в первую очередь, что такой ряд заведомо сходится для зна-
значений z с достаточно малым модулем. Действительно, из A) следует, что
\en\^Gan> гДг ап является модулем наибольшего по абсолютной величине
из предшествующих коэффициентов, a O = \pi\ + |д» ! + •• ¦ -\-\Pk !• Отсюда
следует, что | а„ | < KG", где К не зависит от я. Таким образом, рекуррент-
рекуррентный ряд во всяком случае сходится для всех значений z по модулю мень-
меньших g-.
Но если мы умножим ряд /B) = ?йлг" на pxz, p2z°, ..., р^г* и сложим
результаты, то получим новый ряд, в котором все коэффициенты после
<(k—l)-ro обращаются в нуль, в силу соотношения A). Таким образом,

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 395
где Ро, Pv ..., P/i-i—постоянные. Многочлен
называется производящим многочленом рекуррентного ряда *).
Из известных результатов, относящихся к разложению дробно-рациональ-
дробно-рациональных функций на сумму многочлена и простейших дробей вида -. г^- и
из биномиальной теоремы для отрицательного целочисленного показателя
•следует, что любая дробно-рациональная функция, знаменатель которой не
делится на г, может быть разложена в степенной ряд, сходящийся для всех
значений z с достаточно малым модулем, а именно, для | z | < р, где р
является наименьшим модулем корней знаменателя (см. гл. IV, Разные при-
примеры, 26 и ел.). Обращая приведенные выше рассуждения, мы видим, что
этот ряд будет рекуррентным. Таким образом, для того чтобы степенной
ряд был рекуррентным, необходимо и достаточно, чтобы он являлся
разложением дробно-рациональной функции с знаменателем, не деля-
делящимся на г.
16. Решение разностных уравнений. Соотношение вида A) из примера
15 называется линейным разностным уравнением относительно а„ с по-
постоянными коэффициентами. Метод решения таких уравнений достаточно
разъяснить на примере. Допустим, что мы имеем уравнение
Рассмотрим рекуррентный степеней ряд 2 anzn. Как в примерз 15, мы най-
найдем, что его сумма равна
_?e + (ui—ao)z-{-(a<,~ai—8ао).г2 А, А» В
1 ~ R*2 t_ 19*3 1 О ^ 1~ /1 9эЛ2 I I i о? *
I Z QZ ~р- I &Z 1 &Z ^ 1 Z,Z) 1 —|— OZ
где Ai, Ai и В — величины, легко выражаемые через а0, at и а2. Разлагая
по отдельности каждую дробь в степенной ряд, мы найдем, что коэффи-
коэффициентом при гп является
ап = 2я {А, + (п + 1) А,} + (-3fB.
Значения А у А2, В зависят от первых трех коэффициентов а0, аь а2, кото-
которые, конечно, могут быть выбраны произвольно.
17. Решением разностного уравнения
является и„ = А cos n%-\-B sinn9, где А и В — произвольные постоянные.
18. Если и„—многочлен степени k относительно п, то Е unzn является
рекуррентным рядом, производящий многочлен которого равен A—2)й+1.
(Экз. 1904 г.)
19. Разложить в степенной ряд по возрастающим степеням г функцию
(z — 1)(.г+2J'
(Экз. 1913 г.)
20. При игре в монету игроку засчитывается одно очко, если выпадает
орел, и два очка, если выпадает ргшка. Игра ведется до тех пор, пока счет
не превзойдет п. Показать, что вероятность получить в точности и очков
равна 1{(^)}
(Экз. 1898 г.)
*) The Scale of relation of the series.

396 Глава восьмая
[Если эту вероятность обозначить через рп, то
Рп = Y (Рп
1 1
кроме того, р0 = 1, р\ = -к .]
21. Доказать, что
где и—положительное целое число и а не равно ни одному из чисел —1,
— 2, ..., —п.
[Это следует из разложения каждого слагаемого в правой части на
простейшие дроби. Когда й>—1, результат может быть очень легко полу-
получен из равенства
1 1
х* 1-^ dx = J A- xf {1 - A - xf} ^
О У
1 xn
разложением . — и 1—A—x)n по степеням х и почленным интегри-
интегрированием. Результат является алгебраическим тождеством, и поэтому дол-
должен иметь место для всех значений а, кроме —], —2, ..., —и.]
22. Доказать перемножением рядов, что
оо оо оо
z" у (--ly-y
Z
О 1 1
[Коэффициент при zn оказывается равным
ТгГ
Далее применить результат примера 21, полагая а==0'.]
23. Исследовать, насколько это возможно, имеющимися в нашем распо-
распоряжении средствами сходимость ряда
для действительных и комплексных z.
(Экз. 1924 г.)
24. Если Л„ — А и Вя —S при л-^оо, то
(A^ + AB +
[Пусть Ап = А-\-е„. Тогда рассматриваемое выражение примет вид
п п •
Первое слагаемое стремится к АВ (см. гл. IV, Разные примеры, 16). Абсо-
Абсолютная величина второго меньше

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 397
где р — любог число, превосходящее наибольшее значение | Bv \; это выра-
выражение стргмится к нулю.]
25. Доказать, что если
с„ ~ афп + афп_} +... + anbt
то
С„ = а1В
Cl
Доказать, что если ряды ? а„, 2 Ьп сходятся и имеют соответственно
суммы А и В, так что Л„ — А и Вп^В, то
Вывести отсюда, что если ? е„ сходится, то сумма этого ряда равна АВ.
Этот результат известен как теорема Абеля об умножении рядов. Мы
уже видели, что можно умножать ряды указанным образом, если оба
ряда абсолютно сходятся; теорзма Абеля показывает, что результат остается
в силе и в том случае, когда один или оба ряда не являются абсолютно
сходящимися, но полученный ряд сходится.
26. Если
ап= V.__=-, An
Ьп = аоа„ + «!«„_! -f..,4-апай, Bn =
то 1° ?«л сходится к сумме А, 2° Ап—А-{-О(п 2), 3° Ьп ограниченно ко-
колеблется, 4° Вп = айАп -j- aiAn_i + • •. -f- а„А0 и 5° 5„ ограниченно колеблется.
(Экз. 1933 г.)
27. Доказать, что
1 /. 1 , 1 \s 1 1 Л , 1 \ , 1 /, , 1 , 1 \
[Применить результат примера 9 для доказательства сходимости
рядов.]
28. Доказать, что если т> — 1, /? >0, я>0 и
1
о
то (т-{-пр-\-\)ит,п—прит\п_1.. Вывести, что
1
f *
о
о
и вычислить эти интегралы подходящей подстановкой.
(Экз. 1932 г.)

398 Глава восьмая
29. Доказать, что
1
dx 2 —у 2 I'x3 arc sin х , 7
_ .. . а*4-х* За4 ' J lA — х2 9
(Элгз. 1932 г.)
30. Вывести следующие формулы:
o
= -I-J
IJ | 1
l
б о
В частности, доказать, что если п> 1, то
оо оо
Г—.. _fff_ =Г (У> + 1 — xfdx= -^~r.
J (Yx- + 1 + х)п J л2—1
[В этом и последующих примерах предполагается, что рассматри-
рассматриваемые интегралы понимаются в смысле, определенном в п. 184 и ел.]
31. Показать, что если 2у = ах , где а и Ъ положительны, то у
монотонно возрастает от —оо до со, когда х возрастает от 0 до со. От-
Отсюда вывести, что
Если /(у) — четная функция, то это выражение равно
32. Показать, что если 2у = ах-\ , где а и b положительны, то
любому значению у, большему УаЪ, соответствуют два значения х. Обо-
Обозначая большее из них через хъ а меньшее—через х2, показать, что когда
у возрастает от |/"а6досо, то Art возрастает от I/ — до оо, а хг убывает от
I/
г
—'- до 0. Отсюда вывести, что
а
Vb/a У ab
Vbja

Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 39ft
и что
га СО СО
М * 2
Ч dx = — j—?1Ш— й = -- I
О У аЬ О
33. Доказать формулу:
/ sec yr- x + tg -s- x - = /(cosecx) .
J \ ^ l I у sin л: J |/sinx
34. Если a w b положительны, то
UO CG
Jdx - Г x'dx
(л:2 + a2) (x- -f- <5) ~~ 2«<5" (a + 6)' J (л:2 -\- a2) (x:
о о
Вывести также, что если а, р и у положительны и 3? г> а-/, то
оо со
dx х (' д:2йд:
•J-
где Л = р + "]/"ау. Вывести последний результат также из формулы примера 31,.
полагая / Ь>)=
[Последние два результата остаются в силе и при ?2<ау, но в этом.
случае их доказательство несколько сложнее.]
35. Доказать, что если ? положительно, то
С хЧх _ъ_ Г а
J (х* — а*У + Ь*х* ~2b' J {(х--а
x*dx
о о
36. Если <f'(x) непрерывна для х>\, то
где [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х.
(Экз. 1932 г.>
37. Если tf" (х) = О (х~ а), где а> 1, для больших х, то
я+1
J {
+
J
п
л
где С не зависит от п. (Экз. 1923 г.).

400 Глава восьмая
[Заметить, что
я + 1
п
о
38. Если
X
Jm = I sin9 sin a (х — 9) <й
о
и »г—целое число, не меньшее 2, то
m{m — l) Jm_. = й si птх + (м8 — a2) Jm.
Вывести, что
а" . ' а1 B* —а1) . . йа B2 — as) Ds — а8) . „
cos ах = 1 ^у sin2 л: 5—jj i sin* x ——^~ '- sin6 x —... .
(Экз. 1923 г.)
39. Доказать, что если
sin 2nx .
Г . „ . Г
ип= I sin2иа;ctgл:ал:, г/„= I
J J х
о о
J_
2
00
г'п— \—--dx = v,
о
причем (что можно вывести интегрированием по частям или иным путем)
ия—:»„—0, так что v = —т:. (Экз. 1924 г.)
40. Если а положительно, f(x) непрерывна, за исключением начала коор-
координат,
а а
{f(x)dx=.lim
О
существует и
ТО
(Эжз. 1934 г.)

ГЛАВА IX
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИ-
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
204. Количество существенно различных типов функций, с кото-
которыми мы встречались в предыдущих главах, невелико; наиболее важ-
важными из них являются многочлены, дробно-рациональные функции,
алгебраические функции, явные и неявные, и тригонометрические
функции, прямые и обратные.
Постепенное расширение математического познания сопровожда-
сопровождалось введением в анализ одного класса функций за другим. Эти новые
функции как правило вводились потому, что решение той или иной
задачи, которая привлекала к себе внимание математиков,с помощью
известных до того времени функций оказывалось невозможным.
Этот процесс можно сравнить с введением иррациональных и ком-
комплексных чисел, которые впервые были введены в связи с тем, что
некоторые алгебраические уравнения не могли быть решены с по-
помощью ранее известных классов чисел. Одним из наиболее богатых
источников новых функций явилась задача интегрирования. Делались
попытки интегрировать некоторые функции f{x) в терминах уже
известных функций. Эти попытки не увенчались успехвм, и после
ряда таких неудачных попыток возникла идея, что эта задача может
быть принципиально неразрешимой. Иногда удавалось доказать, что
это действительно так, но как правило строгие доказательства
таких фактов находились лишь гораздо позже. Вообще же случалось
так, что математики признавали невозможность выражения некото-
некоторых интегралов через известные функции, как только они убежда-
убеждались в неудаче попыток найти такие выражения. Тогда вводилась
новая функция F(x), определяемая тем свойством, что F' (x)=f(x).
Исходя из этого определения исследовались свойства F(x), и ока-
оказывалось, что F(x) обладает свойствами, которыми не может обла-
обладать никакая конечная комбинация ранее известных функций. Таким
образом устанавливалась справедливость первоначального предполо-
предположения о невозможности требовавшегося выражения этой функции.
Один такой случай встретился нам на страницах этой книги, когда
в гл. VI мы определили функцию In л: с помощью равенства
, . dx
1пл:= | —.
26 Г. Харав

402 Глава девятая
Рассмотрим, какие у нас были основания предполагать, что In х действи-
действительно является новой функцией. Мы уже видели (см. пример XLII. 4), что
эта функция не может быть дробно-рациональной, так как производной
дробно-рациональной функции всегда является дробно-рацнональная функ-
функция, знаменатель которой содержит только кратные множители. Вопрос
о том, не может ли эта функция быть алгебраической или тригонометриче-
тригонометрической, более сложен. Но легко убедиться на ряде попыток, что дифференци-
дифференцированием мы никогда не можем освободиться от алгебраических иррацио-
нальностей. Например, результатом дифференцирования jAl -f- x любое
число раз всегда является произведение ]Л1 + х на дробно-рациональную
функцию, и аналогичное положение имеет место во всех случаях. Если же
мы дифференцируем функцию, содержащую sin x или cos x, то одна из этих
функций всегда остается в результате.
Таким образом, хотя мы и не получаем строгого доказательства того,
что In л: является новой функцией (мы на это н не претендуем1)), но мы
имеем разумные основания быть в этом уверенными. Поэтому будем рас-
рассматривать ее именно как таковую, н найдем, что ее свойства сильно отли-
отличаются от свойств любой функции, с которой мы встречались до снх пор.
205. Определение In*. Мы определяем In л:, логарифм натураль-
натуральный от х*\ равенством
In х
J * ¦
Мы должны предположить, что х положительно, так как (см. при-
пример LXXVI. 2) интеграл теряет смысл, если интервал интегрирования
содержит точку х = 0. В качестве нижнего предела мы могли бы
выбрать число, отличное от 1; но 1 является наиболее удобным
нижним пределом. При таком определении In 1 = 0.
Рассмотрим теперь, как ведет себя In л:, когда х изменяется от
0 до оо. Из определения сразу следует, что In л: является непре-
непрерывной функцией от л:, монотонно возрастающей при возрастании х
н имеющей производную
d _ 1 .
dx х '
из п. 181 следует, что In л: стремится к бесконечности при лг-voo.
Если х положительно, но меньше 1, то 1плг отрицателен. Дей-
Действительно,
х~ f *--_f Л
In
Ч Такое доказательство читатель найдет в книге автора, цитированной
на стр. 248. /¦
*) Автор называет эту функцию просто логарифмом от х и обозначает
ее через log*. Ниже в тексте вводятся .обыкновенные" логарифмы,ив том.
числе логарифмы десятичные, которые автор обозначает через log,,* и
ln эти последние мы обозначаем через log*. (Прим. перев.)

Логарифмическая, показат. и тригоно метрические функции 403
Более того, если мы в интеграле произведем замену переменного
подстановкой t = —, то найдем, что
i/X
In л: = I -=- =
Таким образом, \пх монотонно стремится к —оо, когда х убывает
от 1 до 0.
Общий вид графика логарифмической функции показан на фиг. 48.
Так как производная от 1пл: равна — , то наклон кривой очень не-
незначителен при больших х и очень крут при малых х.
У
Фиг. 48
фиг. 49
Примеры LXXXIII. 1. Доказать, исходя из определения, что
(а) у-^-' <In(l-f дг)<дг (лг>0), (Ь)л:< — In<1 — ^
1 —|— л
[Для доказательства (а) заметим, что
и что подинтегральиая функция заключена между! и
2. Доказать неравенства
A) х— ^
B) flzi
(дг>0),
C) 4(л: — 1) — 21пдг<2л:1пд:<л:8— 1 (л:>1),
D) 0<1—l
26*

404 Глава девятая
x+l 2x + l
E)
(Экз. 1931, 1933, 1936 гг.)
3. Доказать, что
Нт Ых ._ lim 1пA+Я =1
*->1 л:—1 У-о у
[Применить результат примера 1.]
206. Функциональное уравнение для In х. Функция In х удов-
удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
fW=fW+f(y). A)
Действительно, подстановка t=yu показывает, что
ху х х My
_ Г dt _ С da _ С da f du __
ln^-J-p-J— _j в -J в -
i l/y i i
= In л: — In — — In x -f- Inj/.
Примеры LXXXIV. 1. Можно показать, что не существует решения
уравнения A), которое являлось бы дифференцируемой функцией, суще-
существенно отличной от In х. Действительно, если мы продифференцируем функ-
функциональное уравнение сначала по х, а потом по у, то получим два уравне-
уравнения
yf {xy)=f (х), xf {ху) =/'(у),
исключая нз которых f (ху), найдем, что
xf'(x)=yf'{y).
Но так как это соотношение должно иметь место для любой пары значе-
Q
ний х а у, то должно быть лг/'(х) = С, или /'(л:)= — ,где С — постоян-
постоянная. Следовательно,
и подстановка в A) показывает, что С = 0. Таким образом, не существует
решения, существенно отличного от In x, если не считать тривиального
решения f(x) = 0, получающегося при С = 0.
2. Показать таким же образом, что не существует решения уравнения
являющегося дифференцируемой функцией и существенно отличного от
arc tg x.
3. Доказать, что если т -\-1 > 0, то ( 1-^0 при п —¦ оо.

Логарифмическая, показам, и тригонометрические функции 405
[Если т—целое число, то кп = (й) = 0 для п>т, и утверждение
очевидно. Мы можем поэтому предположить, что р <.т <Lp -f-1, где р —
целое число, не меньшее — 1. В этом случае
11ч-\-\ —11 V
отрицательно для ч^р-}-1 и меньше единицы по абсолютной величине;
.следовательно, знаки м„ чередуются и|к^| монотонно убывает. Кроме того,
ш
,1 -'" v+1 —
так что
1п | мп+11 — In I md+1 I < —
при п —- оо. Следовательно, ип+1 —- 0.
Если /я = —1, то н„ = (—1)". Если /и + 1<0^ т0 I ип I возрастает при
возрастании л. Доказать, что ]и„|-^оо.]
207. Характер стремления 1пл: к бесконечности при возра-
возрастании х. В п. 98 мы определили функции первого, второго
третьего,... порядков роста для больших х. Говорят, что функция /(лг)
fix)
имеет порядок роста k, если -\- при х -* оо стремится к пределу,
отличному от нуля.
Легко найти целый ряд функций, которые стремятся к бесконечности
при л;-^оо все медленнее и медленнее. Таким рядом функций является, на-
3 4 _
пример, Ух, Ух, Ух, Мы можем, вообще, приписать функции Xs,
где а—любое положительное рациональное число, порядок роста а при
дг-^со. Мы можем также предположить а как угодно малым, например,
меньшим 0,0000001. Можно подумать, что придавая а все возможные значе-
значения, мы исчерпаем все возможные порядки роста f(x). Во всяком случае
можно было бы предполагать, что как бы медленно f(x) ии стремилась к
бесконечности с возрастанием х, мы всегда можем подобрать настолько
малое значение а, что ха будет стремиться к бесконечности еще медленнее;
и, аналогично, что как бы быстро f(x) ни стремилось к бесконечности с
возрастанием х, всегда можно подобрать настолько большое значение а,
что х* будет стремиться к бесконечности еще быстрее.
Поведение Inx опровергает все такие предположения. Логарифм от х
стремится к бесконечности при возрастании х, но стремится медлен-
медленнее, чем любая положительная, целочисленная или рациональная
пень х. Другими словами, Inx—>оо, но
при любом положительном рациональном

406 Глава девятая
208. Доказательство того, что x—a-Xnx-^Q при дг-^оо. Пусть р —
любое положительное рациональное число. Тогда, t~l <. t?—i для t > 1 и,
следовательно,
1 1
так что
^-1 х*
для л:>1. Если теперь а положительно, то мы можем выбрать меньшее
положительное JS, и тогда
0<
Inx л:13
Но л^""""—*0 при дг-*оо (так как р < а), и поэтому
209. Поведение In х при х -*. -f- 0. Так как
лга1пл; = — у* In .у,
еслилг= —, то из теоремы, доказанной в предыдущем пункте,
следует, что
lim yalny = — lim лГ
Таким образом, In л: стремится к-—оо и In — = — In л: к оо при х
. 1
стремящемся к нулю справа, но In — стремится к оо медленнее, чем
любая положительная, целочисленная или рациональная, степень х.
210. Шкалы порядков роста. Логарифмическая шкала. Рассмотрим
еще раз ряд функций
_ 3 _ п _
х, Ух, ух,..., Ух,....
Этн функции обладают тем свойством, что если f(x) и <р(л;) — любые две из
f (х)
них, то /(лг)-^ оо и <р (х)—- оо при лг-^оо, и —у-{ стремится к нулю нлн
к бесконечности в зависимости от того, расположена ли f(x) справа или
слева <р (х) в этом ряду. Мы можем теперь продолжить этот ряд, приписывая
к нему Новые функцин справа от уже имеющихся. Начнем с In x, который стре-
стремится к бесконечности медленнее, чем любая из уже написанных функций. Тогда
з
у In а: стремится к оо еще медленнее, чем In л:, у In л: — еще медленнее чем
\Z~ln х и т. д. Тйким образом, мы получаем ряд
х, Ух, Ух,..., Ух,...,, \пх, Уппс,..., Уппс,..., У lax,...,
состоящий из двух бесконечных последовательностей, расположенных одна
за другой. Мы можем продолжить этот ряд еще дальше, если введем

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 407
в рассмотрение функцию 1п1пдг, логарифм от 1пл:. Так как х— аЫх —0 для
всех положительных значений а, то полагая х = Ыу, найдем, что
Aпу)— & In Ixiy = х— а In x —¦ 0.
Таким образом, In 1п_у стремится к оо с возрастанием у, но медленнее чем
любая степень \пу. Поэтому мы можем продолжить наш ряд следующим
образом:
_ 3 _ 3
х, ух, у х,..., In х, у 1пх, у In а:, ...,
3
In In л:, у In In х, у In In л:, ...,
н очевидно, что вводя функции in In In лг, In In In In л; н т. д., мы можем про-
продолжить этот ряд как угодно далеко. Полагая х= —, мы получим анало-
аналогичную шкалу порядков роста для функций от у стремящихся к бесконеч-
бесконечности прн у стремящемся к нулю справа1).
Примеры LXXXV. 1. Между любыми двумя членами ряда f(x) и F(x)
мы можем вставить новый член <р (л;) так, что 9 (х) стремится к оо медлен-
медленнее f(x) и быстрее F(x).
[Так, между у^х и ух мы можем вставить х ^1г, между "J/^In x и
У~1пхаы можем вставить Aпл:M/1г. Вообще, у (х) = y~f (x) F {х) удов-
удовлетворяет требуемым условиям.]
2. Найти функцию, которая стремится к оо медленнее чем |Лх, но
быстрее чем Xя, где а — любое рациональное число меньшее -»-.
[Такой'функцией является, например, х1^ (In х)~^, где р — любое поло-
положительное рациональное число.]
3. Найти функцию, которая стремится к оо медленнее чем J/V, но
быстрее чем у^х (\п х)~~а, где а—любое положительное рациональное
число.
[Такой функцией является, например, ]/л: (In In x)'1. Эти примеры по-
показывают, что свойство неполноты присуще логарифмической шкале *).]
4. Как ведет себя функция
¦*а (In лг)а
ПХ)~
при стремлении х к оо?
[Если аф$, то в
/ (х) = xa~Hin xf-V'(ln In xf'-V"
доминирует множитель ха~$. Если о = р, то степень х исчезает, ив/(х)
доминирует множитель (In xf ~ р'» если а> Ф ?', а если же а' = р', то в этом слу-
случае доминирует множитель (In In х)а" ~~ $". Таким образом, f(x)—*oo, если
а>Р, нлн если о = р, а!>$', нли если а = р, а! = ф, а">Р", н f(x)-— 0, если
а<р, илн если о = р, а'<Р', или если а = $, а' = Р', а"<р".]
') Более полные сведения о „шкалах порядков* роста" читатель найдет
в монографии автора, цитированной на стр. 349.
*) Т. е. что неполнота логарифмической шкалы не может быть устране-
устранена добавлением какого бы то ни было числа функций, {Прим. перев.)

408 Глава девятая
5. Записать функции
х хУ~\пх *Чп1п;с л: In In In л:
\/~ггГх ' In In л: ' уПГх ' ]Лп 1п х
по порядку их роста для больших х.
6. Доказать, что
In In xJr) = — In x +In 2+0 (—) , In (x In x) ~ In x
X — 1 \X J
для больших x.
1. Доказать, что
d a d „ , . а
-s— (In x) = т^г^ > л— (In In x) = з—— > • ¦ ¦ >
"¦X x(\nx) ax л: In л: (In In л:)
Jdx , , f dx
—; = In In x, I—j j—-.— =Inln n x,... .
л:1пдг J л:1пл:1п1пдг
8. Доказать, что кривая у = хтAп х)п, где х положительно н т и п —
целые числа, большие I, имеет по крайней мере две точки распрямления и
может иметь большее число таких точек. Набросать вид кривой при нечет-
нечетном т.
(Экз. 1927 г.)
211. Число е. Мы сейчас введем в рассмотрение некоторое число, кото-
которое обычно обозначается буквой е и которое принадлежит (как, например,
и число тс) к основным постоянным анализа.
Мы определяем е как число, логарифм натуральный которого равен 1*).
Другими словами, е определяется уравнением
1=\- t
Так как In х является строго возрастающей функцией от х (см. п. 95), то он
может принять значение 1 только один раз. Следовательно, наше определе-
определение однозначно.
Так как 1плу = 1п х + 1п.у и, следовательно,
где п — любое положительное целое число, то
= п.
Далее, если р и q — любые положительные целые числа и ер^ обозначает
положительный корень степени q из еР, то мы имеем
р = 1п еР = Ш-(ер/? )» =в q In e^f,
так что
*) Натуральные логарифмы обычно определяются, как логарифмы прн
основании е. Здесь же число е определяется через натуральный логарифм,
причем сам натуральный логарифм был определен через интеграл (см. п. 205).
{Прим. перев.)

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 409
Таким образом, если у имеет любое положительное рациональное значение
и еУ обозначает положительную у-ю степень от е, то мы имеем
\пеУ—у A)
и 1пе~У= — 1пе>' = —у. Следовательно, равенство A) справедливо при всех
положительных и отрицательных рациональных значениях у. Другими сло-
словами, соотношения
V — \nx, х — еУ B)
являются следствиями одно другого, если у рационально, и под еУ пони-
понимается его положительное значение. Пока мы не даем никакого определения
степени еУ при иррациональных значениях показателя, так что функция еУ
определена только для рациональных значений у.
Пример. Доказать, что 2<е<3. [В первую очередь ясно, что
1
так что 2 <с е. Кроме того,
3 2 3 1 1 1
I' dt Г dt . С dt [' Аи , (' du __, f du .
J ПГ= J "Г+ J -Г-] 2^Гг + J 2 + ~u ~4 J 4=F»>
112 0 0 0
так что г < 3.]
212. Показательная функция. Определим теперь показатель-
показательную функцию еу для всех действительных значений у как функцию,
обратную логарифмической. Иначе говоря, мы полагаем
если у==
Мы видели, что когда х изменяется от 0 до оо, [пх строго»
возрастает от — со до оо. Таким образом, каждому положитель-
положительному значению л: соответствует только одно значение^, и наоборот.
Кроме того, у является непрерывной функцией от х, и из п. ПО
следует, что и х является непрерывной функцией от у.
Легко дать непосредственное доказательство непрерывности показатель-
показательной функции. Действительно, если лг = еУ и х + ? = & ~*~ \ то
1 J t •
Следовательно, | ц | больше —-j—t, если ? > 0, н больше -—', если ? < 0;
поэтому когда i\ мало, $ также должно быть мало.
Таким образом, су является положительной непрерывной функ-
функцией от у, которая монотонно возрастает от 0 до оо, когда у
возрастает от — оо до оо. Кроме того, в соответствии с элемен-
элементарными рпределениями, еу является _у-ой степенью числа е при

410 Глава девятая
рациональных значениях у. В частности, еу—1 при_у = 0. Общий
вид графика функции еу изображен на фиг. 49 (см. стр. 403).
213. Основные свойства показательной функции. A) Если
х — е?, так что _у = 1плг, то
dy 1 dx у
Ш~~~х' ~dj~x~e'
Таким образом, производная показательной функции равна самой
функции. Вообще,
4~еаУ=аеаУ.
dy
B) Показательная функция удовлетворяет функциональному
уравнению
Для рациональных у и z это следует из обычного правила по-
показателей. Если у или z, или оба они, иррациональны, то мы можем
выбрать две последовательности рациональных чисел у1у _у2,..., уп,...
и zv гг zn,... таких, что \\туп-=у и limzn — z. Тогда в силу
непрерывности показательной функции мы будем иметь, что
еу ¦ ег —l\meVn
В частности, еу • е~у = ей = 1, или e~y = —s-.
еУ
Мы можем также вывести это функциональное уравнение из
функционального уравнения для 1плг. Ибо если уг == In xv у% = In лг2,
так что x1 = eyi> хг = еу*, то y1-{~yi = lnx1-\-lnx<l — lnx1xi, и
eyi + у г — е1 П Х1Х* — хгхг = eyi ¦ еУ*.
C) Функция еу стремится к бесконечности с возрастанием у
быстрее любой степени у, т. е.
Ит Ц- = \\туае~У = 0
при у -v оо для всех сколь угодно больших значений а.
Мы видели, что х~$Inx —*¦ 0 при х—*-со при любом положитель-
положительном а.
Полагая
мы видим, что
x'^lnxf^O
при любом а. Утверждение доказывается подстановкой х = еу.
Ясно также, что е1у стремится к со, если 1^>0, и стремится к 0,
если "(<^0, причем в обоих случаях быстрее, чем любая степень у.

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 411
Из этого результата следует, что мы можем построить „шкалу поряд-
порядков роста", подобную построенной в п. 210, но простирающуюся в другом
направлении, т. е. шкалу функций, которые возрастают к оо при л:-^оо
все быстрее и быстрее '). Этой шкалой является последовательность функций
х, х\ х\ ...,е*, е>*, .... е*\ ...,ех\ ..., еех, ...,
где, конечно, под ех , ..., ее , ... следует понимать е^х , ..., е^е ',... .
Читателю рекомендуется перенести замечания, сделанные в п. 210 и
примерах LXXXV относительно „логарифмической шкалы", на эту „показа-
„показательную шкалу". Обе шкалы могут быть, конечно, объединены в одну
(если изменить порядок в одной [из них). Этой шкалой является следую-
следующая:
..., In In х, ..., In x, ..., х, ..., ех, ..., ееХ, ....
Примеры LXXXVI. 1.Еслн Dyx — ax, то х = КеаУ, где К—постоянная.
2. Не существует решения уравнения / (у + г) = /(у)f {г), существенно
отличного от показательной функции.
[Мы предполагаем, что f (у) дифференцируема. Тогда, дифференцируя
уравнение по у и по г, мы получим:
f'(y + z)=f(y)f(z), f(y + z)=f(y)f'B).
Отсюда находим, что
/'(У) _/'(*)
/(У) }(z) '
и, следовательно, каждое из этих отношений постоянно. Таким 'образом,
если х=/(у), то DyX = ax, где а постоянно, и х = КеаУ (см. пример 1).]
3. Доказать, что
еаУ— 1
> а
V
при у—*0.
[Применяя теорему о среднем, мы находим, что
еаУ — 1 = ауеа\
где 0<И|<|.у|.]
4. Доказать, что ех — 1 —аг,- е~х — 1 + х и 1 — ^-х' -\- -^-jc8— A -\-х)е~х—
положительные и монотонно возрастающие функции при л;>0.
(Экз. 1924 г.)
5. Доказать, что
при х—-со для всех целочисленных man. (Экз. 1936 г.)
214. Общая показательная функция а*. Функция ах была опре-
определена только для рациональных значений х, кроме того частного
') Показательная функция была -введена обращением соотношения
у=1пл: в х = еУ, и потому мы при рассмотрении ее свойств до сих пор
обозначали через у независимую, а через х — зависимую переменную. Мы
переходим теперь к более обычному обозначению независимой переменной
через х, за исключением тех случаев, когда приходится рассматривать
одновременно пару соотношений вида _у = In x, х = еУ или когда для этого
имеются некоторые другие особые причины.

412 Глава девятая
случая, когда а = е. Рассмотрим теперь тот случай, когда а — любое
положительное число. Пусть л: является положительным рациональ-
рациональным числом — . Тогда положительное значение у степени ар/ч опре-
определяется соотношением yq = ap. Отсюда следует, что
vy у 111 U-, ту1 "
и, таким образом,
q \пу = р In a, \пу = v- In а = a; In а,
Это равенство мы возьмем в качестве определения ах при иррацио-
иррациональном х. Так, например, 10^2 =е^2 1п1°. Следует заметить, что
когда л: иррационально, ах определено только для положительных
значений а и само положительно, и что 1па*=л:1па. Приведем
наиболее важные свойства функции ах.
A) Каково бы ни было значение а,
ах ¦ с? = ах+У и (ахУ = а*У.
Другими словами, правила показателей имеют место как для рацио-
рациональных, так и для иррациональных значений показателей. В са-
самом деле, мы имеем, во-первых,
а* • аУ — ;
и, во-вторых,
(ах)У = еУ]паХ = ехУХпа = ахУ.
B) Если а^>1, то ах = ехЫа = еах, где а положительно.
График функции ах в этом случае подобен графику е", и ах при
х—>-схэ стремится к схэ быстрее любой степени л:.
Если а<^\, то av = ехЫа = е~Рх, где ^ положительно. В этом
случае график функции ах подобен зеркальному отображению гра-
графика е* относительно оси у, и ах стремится при х—>-оо к 0 бы-
быстрее любой степени —.
C) ах является дифференцируемой функцией от л: и
Dxa* = DxexXaa = exlaa\na = a*In a.
D) ax является дифференцируемой функцией также и от а, причем
Daax = Dae*In a = ех 1п « — = хах~К
E) Из свойства C) следует, что
.. а* — \ ,
hm =ina,
х-+0 х
так как левая часть есть значение Dxax при лг = О. Этот резуль-
результат эквивалентен результату примера LXXXVI. 3,

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 413
В предыдущих главах было сформулировано большое число
утверждений, относящихся к функции ах, при том ограничении, что л:
рационально. Определение и теоремы, приведенные в настоящем
пункте, позволяют нам теперь снять это ограничение.
215. Представление ех в виде предела. В п. 73 гл. IV мы
доказали, что функция A-J ) при л—>-оо стремится к некото-
некоторому пределу, который мы обозначили через е. Покажем теперь,
что этот предел действительно является числом е, рассмотренным
в предыдущих пунктах. Мы,докажем, однако, более общий резуль-
результат, а именно, что
Этот результат чрезвычайно важен, и мы наметим два доказа-
доказательства.
A) Так как
то
Л->0
Если мы положим А = -у. то найдем, что
при 5—>-со или 5—*¦ — оо. Из непрерывности показательной функции
следует, что
при I —v оо или 5 —*~ — оо, т. е. что
Нш A+гУ= Hm (l+?Y = e*. B)
Если мы предположим, что ?->-соили что 5-*- — оо, пробегая только
целочисленные значения, то получим результат, выраженный соот-
соотношением A).
B) Если п — любое положительное целое число и дг>1, то мы имеем
-1/л
1
или
/«_i). C)

414 . Глава девятая
Положим у = In х, х = еу. Тогда из C) после простых преобразований сле-
следует, что
Если 0<л?< 1, то, по неравенствам D) п. 74,
и, следовательно, ,д>
Vs
В частности, E) имеет место, если ?=-^- и п>уг. Отсюда мы находим,
а это выражение стремится к нулю при и-^оо. Равенство A) следует теперь
из неравенств D).
Предоставляем читателю 1° произвести соответствующие изменения
в доказательстве для случая 0<х<1 и 2° вывести результат для отри-
отрицательных х.
216. Представление 1пхв виде предела. Мы можем также доказать,
что
Km п A — х-1/п) = lim п (х^п — 1) = In x.
Действительно,
я (х1/» _ 1) - п A - х- V») = п (х1/" _ 1) A _ х-1/»),
что стремится к нулю при я-^оо, так как я (л:1/" — 1) стремится к некоторо-
некоторому конечному пределу (см. п. 75), а х~г /" стремится к 1 (см. пример XXVII. 10).
Утверждение следует из неравенств C) п. 215.
Примеры LXXXVII. 1. Доказать, полагая в неравенствах D) п. 215^ = 1
и п = 6, что 2,5 < е < 3,0.
2. Если nkn—'l при п-^со, то
A
[Записывая я In (I -f- ?„) в виде
и применяя результат примера LXXXIII. 3, мы видим, что п In (I -f ?„) —> /.]
3. Если я ?„ — со, то A -)- ?„)" — со, а если 1 + 5„ > 0 и п ?„ -> — оо, то
$)" 0
4. Вывести из соотношения A) п. 215 теорему о том, что еУ стремится
к со быстрее любой степени у.
217. Обыкновенные логарифмы. Читатель, вероятно, знаком
с понятием логарифма и его применением к вычислениям. Известно,

Логарифмическая, показам, и тригонометрические функции 415
что в элементарной алгебре \ogax— логарифм л: при основании а,
определяется уравнениями
х = аУ, y = \ogax.
Это определение применимо, конечно, только в том случае, когда у
рационально.
Натуральные логарифмы являются, следовательно, логарифмами
при основании е. Для вычислений применяются логарифмы при осно-
основании 10. Если
y==\nx=\ogex, z — \ogx =
то х=еУ, а также х== 10г = ег1п1°, так что
In дг
Легко перейти от одной системы логарифмов к другой, если
известно значение inlO1).
В задачу настоящей книги не входит подробное рассмотрение
практических приложений логарифмов. Если читатель незнаком
с ними, то он должен обратиться к учебникам алгебры и тригоно-
тригонометрии.
Примеры LXXXVIII. 1. Показать, что
/Vя* cos bx = re"* cos (bx + 9), D^ sin bx = reax sin (bx + 6),
где r=]fa2-j-bs, cos 9= — , sin 8=—. Отсюда вывести выражения для
и-ых производных функций eaxcosbx и еах sin bx и, в частности, показать,
что
)aX sin bx==(a sec
(Экз. 1932 г.)
2. Если уп есть я-ая производная от еах sin bx, то
(Экз. 1932 г.)
3. Если уп есть я-ая производная от х*ех, то
(Экз. 1934 г.)
4. Начертить кривую у = е~ах s'mbx, гдг а и b положительны. Пока-
Показать, что у имеет бесконечно много максимумов, значения которых обра-
образуют геометрическую прогрессию и которые лежат на кривой
V = —Г — е~ах.
(Экз. 1912, 1935 гг.)
l) In 10 = 2,302..., обратное значение равно 0,434... .

416 Глава девятая
5. Интегралы, содержащие показательную функцию. Доказать, что
J, . a cos bx 4- b sin bx nr
e0*cos bx dx = ;, ,. eax,
a3 + V-
Jnr . . . a sin bx — bcosbx nr
eax sin bx dx = г eax.
[Обозначая эти интегралы через / и / и интегрируя по частям, нахо-
находим, что
al — еах cos bx -f- bJ, aJ=eaxsiubx— Ы,
и решаем эти уравнения относительно / и J.]
6. Доказать, что если а > 0, то
о
7. Если
Je~axcos bxdx=—. . ;. , I e~axsinbxdx=—; . ,, .
aa + 62 J a2 + 6J
о
/„= <ieaxxndx,
TO
[Интегрировать по частям. Отсюда следует, что /„ можно вычислить
для всех положительных целочисленных значений п.]
8. Доказать, что если я—-положительное целое число, то
J-
о
(Экз. 1935 г.)
9. Доказать, что
X
JeHndt — (— I)" п\ех {е~х— 1 + х — — 4-...+(— l)" ^Л,
' \ 2! ^ v ' я! J
о
и вывести отсюда, что если х>0, то е~х больше или меньше суммы пер-
первых я-j-l членов ряда 1 —х~\~~п\ ••• в зависимости от того, нечетно
ли я или четно.
(Экз. 1934 г.)
10. Если
ая = J
о
то
— 1)л:ия_а = 0.
(Зкз. 1930 г.)

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 417
11. Выразить
/m= | xme~xcosxdx и Jm= I хте~* sinxdx
¦ к xme~xcosxdx и Jm= I .
через /„,_i и Jm-i и показать, что
An -"«/„,-х + jm{m— l)Im_, = 0,
если т— целое число, большее 1. Определить 1т, полагая в последнем со-
соотношении 1т = т\ат.
(Экз. 1936 г.).
12. Показать, как можно иайти интеграл от любой дробно-рациональной
функции от ё*.
dx 1
[Положить лг = 1пи; тогда ех — и, —г- = —, и интеграл преобразуется
в интеграл от дробно-рациональной функции от п.]
13. Показать, как можно проинтегрировать любую функцию вида
Р (х, еР", еЬх,..., cos lx, cos mx,..., sin lx, sin mx,...),
где Р означает многочлен.
14. Доказать, что да
e~hxR(x)dx,
где Х>0 и а больше наибольшего корня знаменателя R(x), сходится.
[Это следует из того, что е х стремится к бесконечности быстрее любой
степени х.\
15. Доказать, что
J
где Х>0, сходится при любых значениях jj. и что то же самое имеет
место для
оо
где я — любое положительное целое число.
16. Нарисовать графики функций
e*s, е~х , хе*, хе~х, хе?*, хе~х , х In x,
найти максимумы и минимумы этих функций и точки распрямления на
соответствующих кривых.
17. Показать, что уравнение еах = Ьх, где а и b положительны, имеет
два действительных корня, если Ъ>ае, один действительный корень, если
Ь = ае, и ни одного действительного корня, если Ь <. ае.
[Касательная к кривой у = еах в точке E, eaZ) имеет уравнение
у — еа% = аел(х — 5).
Она проходит через начало координат, если ag= 1, так что прямая у — аех
касается кривой в точке (—, е). Утверждение теперь становится очевид-
27 Г. Харди

418 Глава девятая
ным, если мы проведем прямую у=Ьх. Читателю предлагается рассмо-
рассмотреть случаи, когда а или Ъ, или оба они, отрицательны.]
18. Показать, что уравнение ех—\~\-х не имеет действительных кор-
корней, кроме х = 0, и что ех — 1 + х + у*8 имеет три действительных корня.
х5
19. Доказать, что —^—г имеет два стационарных значения, одно в на-
начале координат, а другое в точке, для которой х приближенно равно
5A—е-5).
(Экз. 1932 г.)
20. Гиперболические функции. Гиперболические функции ch x,
shx1),... определяются соотношениями
ch х = у (е* + е~х), sh х = -н- (ех — е~х),
sh л; . ch x . 1 . 1
sch=—,—, csch = -
ch x ' sh x ' ch x ' sh x
Нарисовать графики этих функций.
21. Вывести формулы
ch (— х) = ch х, sh(— x) = — shx, th (— х) = — th x,
ch2x — s№x — \, sch8л: + thsлг — 1, cth8x — csch2x = 1,
ch2 x = ch2 x -f- sh2 x, sh2 x = 2 sh x ch x,
ch (л: +_y) = ch x chy -j- sh x sh^, sh (л: -)-_У) = sh -^ ch^/ -f- ch x shy.
22. Проверить, что эти формулы могут быть выведены из соответ-
соответствующих формул для cosx и sinx, если писать ch x вместо cosx и
ishx вместо sinx.
[Отсюда следует, что аналогичный результат имеет место для всех
формул, содержащих cos их и sin их, которые могут быть выведены из со-
соответствующих элементарных свойств cosx и sinx. Причина этой аналогии
выяснится в гл. X.]
23. Выразить chx и shx через (a) ch2x, (b) sh2x. Исследовать те слу-
случаи, в которых возможны разные знаки.
(Экз. 1908 г.)
24. Доказать, что
Dx ch x = sh x, Dxshx = ch x,
Dx th x = sch2 x, Dx cth x = — csch2 x,
Dx sch x = —sch x th x, Dx csch x = — csch x cth x,
?>r la ch x = th x, Ц^ In | sh x | = cth x,
Dx arc tg e* = -_- sch x, Dxln
th
= csch x.
[Все эти формулы могут быть, конечно, преобразованы в формулы
интегрального исчисления.]
25. Доказать, что chx^l и что — l<thx<l.
') .Косинус и синус гиперболические"; по поводу объяснения этого
наименования см. Hobson, Trigonometry, ch. XVI (а также, например,
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, 9-е изд., т. 1, стр. 362. — Прим.
перев.)

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 419
26. Доказать, что если —~~ ^ <•?<-?>- л> У положительно, и cos x chy =
= 1, то
у = in (sec x -j- tg x), Z);tty:=secx, DyX = sch_y.
27. Обратные гиперболические функции. Положим
s = sh x, t = th x, с = ch x,
и допустим, что х возрастает, пробегая все действительные значения.
1°. Функция s возрастает монотонно и принимает один раз каждое
действительное значение. Уравнение shx=s имеет единственное решение
x=ln(s + y ss-fl),
которое мы обозначаем через arsh s *).
2°. Функция t монотонно возрастает с возрастанием х и стремится
пределам \% и —1, когда х-^оо и х-^ — оо. Уравнение thx = / имеет
единственное решение
1 . 1+*
Х=-=г 1П '
2 1—* '
которое мы обозначаем через arth t.
3°. Функция с—четная и принимает значения, большие 1, если хфй.
Она монотонно возрастает, когда х положительно, и стремится к со при
х—-оэ. Уравнение chx —с имеет два решения
x=\n(c+ycs~l), х = Ы(с— У<?— 1),
которые равны по абсолютной величине, но обратны по знаку. Первое из
этих решений мы обозначаем через arch с; archc = O для с = 1.
Таким образом, arsh x, arth x являются однозначными функциями, обрат-
обратными sh х и th х, тогда как arch x является одним из двух значений функ-
функции, обратной ch х. Проверить, что
Jdx . х с dx , х
, = arsh — , I — =arch — ,
Ух*+а'2 a J ух3 —а3 а
dx 1.x
= arth — .
x' — a- a a
если во второй формуле а > 0, x > а, а в третьей — a<Lx <ia. Эти фор-
формулы дают нам возможность записать многие формулы из гл. VI в другом
виде.
28. Доказать, что
dx
J У(х—а)(х )
f— dx -_ = _
J j/>_x)(?-x)
f- d* - =
J /(x — «)(* — x)
= 2 In (Ух—а + У х— b) (a<b<.x),
*) «Арэасинус гиперболический" s—площадь, синус гиперболический
которой равен s (area — площадь). См. цитированное в предыдущей сноске
место в курсе В. И. Смирнова. (Прим. перев.)
27*

420 Глава девятая
29. Решить уравнение a ch х-\-b sh x = с, гдг с>0, и показать, что оно
не имеет действительных корней, если Ь* -\- с2 — я* < 0, а что в случае
б2-)-с2 — я*>0 оно имеет два, один или ни одного действительного корня
в зависимости от того, будут ли а-\-Ь и а — b оба положительны или одно
из них положительно, а другое отрицательно, или оба отрицательны. Рас-
Рассмотреть случай, когда Ь*-\-с* — а2 = 0.
30. Решить систему уравнений
chxchy~a,
31. х1/лг— 1 при х—оо.
[Действительно,
Д.1/ЛГ __ gin Х/Х
и — lnx — 0. См. пример XXVII. П.]
Показать также, что функция х^х имеет минимум при х=е и нари-
нарисовать ее график для положительных значений х.
32. Xх-^ 1 прих —+ 0.
33. Если "+1 — / при я —> со, где / > 0, то
"л
[Так как
In ип+1 — In а„ — In /,
то
In а„ ~ я In /.
См. гл. IV, Разные примеры, 17.]
я я
34. ]/ я!~~, когда и—-со.
[Положить а„ = пгпп\ в примере 33.]
я
35,
Г я!<
и!
36. Исследовать приближенное решение уравнения
gX __ д.1 000 000_
[Из общих соображений на графике легко установить, что уравнение
имеет два положительных корня, один немного больший 1, а другой весьма
большой1), и одии отрицательный корень, немного больший—1. Грубое
определение величины большого положительного корня можно провести
так. Если ех=.х1ШШ, то
х=10Чпх, In х SEl3,82 + In In x, In In x ^ 2,63 + In (I -f
так как 13,82 и 2,63 являются приближенными значениями In 10е и соответ"
ственно In In 10е. Из этих равенств легко видеть, что отношения In x: 13,82
и 1п1пх:2,63 не иа много отличаются от 1 и что
х Q* 10» A3,82 + In In х) ^ 10» A3,82 + 2,63) = 16 450 000
й) Утверждение .весьма большой" не следует здесь, конечно, понимать
в смысле, разъясненном в гл. IV. Оно означает просто .гораздо больший,
чем корни уравнений, обычно встречающихся в элементарной математике".
Аналогично следует понимать выражение .немного больший".

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 421
дает неплохое приближенное значение корня, причем ошибку можно грубо
оценить в 10е (In In x — 2,63), или в —1Q QO—, или в —,» '—, что меньше
200 000. Эти приближения, конечно, весьма грубы, но достаточны для того,
чтобы дать представление о порядке величины корня.
Рассмотреть аналогично уравнения
е* = 1 000 000 х1 ш т, е** = х1 °°°°°°»»».]
218. Логарифмические признаки сходимости рядов и инте-
интегралов. В гл. VIII (см. пп. 181, 185) мы показали, что
сходятся, если s^>l, и расходятся, если ss^l. Так, ?п 1 расхо-
расходится, но 2и^1"~а сходится при любом положительном а.
Однако в п. 210 мы видели, что с помощью логарифмической'
функции можно построить функции, которые стремятся к нулю
быстрее чем п~х, но медленнее чем п~1~а. Примером такой функ-
функции может служить гГ* Aп и), и вопрос о сходимости ряда
*ш Я In
я In я
не может быть решен методом сравнения с любым рядом вида
То же самое относится и к таким рядам как
1 -у In In и
л|Лпя ' Zi n(\nnf
Важно найти признаки, которые позволили бы нам определить,
сходятся такие ряды или нет. Такие признаки могут быть легко
выведены из интегрального признака п. 180.
Действительно, так как
1 ¦
Dr\n\nx =
Y х\.ъх '
то мы имеем
dx (Ing)'-* —(lna)'-
T = r=i
f dx . , ,
если а^>1. Первый интеграл стремится к пределу
(In ay-s

422 . Глава девятая
при ?-»-оо, если s^>l, и к. со, если s<^l. Второй интеграл стре-
стремится к со. Следовательно, бесконечный ряд
y_j_
Li я (In/
(\nnf
по
и несобственный интеграл
J
их
x(\nx)s
где п0 и а больше 1, сходятся, если s ^> 1, и расходятся,
если s ^ 1.
Отсюда следует, что ?ф(я) сходится, если
где s^>l, для достаточно больших я, и расходится, если <р(я)^>0 и
-4-т = О (я In я).
Формулировку соответствующего результата для интегралов мы
оставляем читателю.
Примеры LXXXIX. 1. Ряды
2Aпяу VI Aпя)РAп1пя)? V!(lnlnH)P
~я'+* ' Zj n« ' ^|/гAпя)'+4'
где s > 0, сходятся для всех значений р и q, а ряды
J У 1
[)р(InIn и)?' Lin(\nnf-S
у
nnJP (In In n)«" Li n (In nI'3 (In In n)P
расходятся. Действительно, Aп пу = О (и8) при сколь угодно большом р
сколь угодно малом положительном 8 и (!п In nf = О {In я)8}. Множители,
содержащие In я и In In я в первых двух суммах каждой группы, и множитель,
содержащий 1п1пл в третьих суммах каждой группы, не влияют на сходи-
сходимость ряда.
2. Сходимость или расходимость таких рядов, как
1п1п1пя
2
п In я In In я ' Х_! я In n
не может быть определена с помощью теоремы настоящего пункта,
так как в каждом случае функции, стоящие под знаком суммы, стремятся
к нулю быстрее чем n.-l(\nnyl, но медленнее чем rrl(\nn)-l-<* при лю-
любом положительном а. Исходя из соотношений
(In *)»-*
dx s ' л: In л: 1п2 л:... lnfe_! л:AпА л:)* '
" л:1п л:1п2л:.. .1

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 423
где 1п3л; = 1п1п х, 1п„ л; = In In In л;,..., можно доказать следующзто теорему
бесконечный ряд
nlnnlnan... Ink_1n(lnkn)s
щ
и несобственный интеграл
со
их
J
х \их 1щх... lnft_j x{\akx)s
а
сходятся, если s > 1, и расходятся, если s =g: 1, где щ а а обозначают
числа настолько большие,что\щп и Ы^х положительны при п^п0 или
х^а. Такие значения я0 и а возрастают очень быстро при возрастании
k: так, 1п х > 0 для х > 1, 1п2 х > 0 для х > е, 1п3 х > 0 для х > ее и т. д., и
е
легко видеть, что ее > 10, ее<> > е10 > 20 000, е<? > е20000 > 10s000.
Читателю следует обратить внимание на ту исключительную быстроту,
с которой высшие показательные функции
возрастают с возрастанием х. Это же замечание применимо, конечно, и
к таким функциям, как
х
ааХ, аап ,
где а — любое число, большее 1. Подсчитано, что 99' имеет примерно
369693100 цифр, тогда как 101»10 имеет, конечно, 10 000 000 001 цифру. На-
Наоборот, скорость возрастания высших логарифмических функций чрезвы-
чрезвычайно мала. Так, для того чтобы
lnlnln 1пл:> 1,
мы должны взять х равным числу, имеющему свыше 8 000 цифр1).
Число протонов во вселенной оценивается в 1080, а число возможных
шахматных партий — в 101(M0.
3. Доказать, что интеграл
где 0<я< 1, сходится, если s< — 1, и расходится, если s^ — 1.
[Рассмотреть поведение
при е —> —[- 0- Этот результат может быть уточнен введением высших лога-
логарифмических множителей.]
') См. сноску на стр. 349.

424 Глава девятая
4. Доказать, что
расходится для всех значений s.
[Результат последнего примера показывает, что s < — 1 является не-
I 1 1*
обходимым условием сходимости в нижнем пределе; но -! In —V стремится
к оо как A—x)s при х—*1 — 0, если s отрицательно, и, следовательно,
интеграл расходится в верхнем пределе, если s<—1.]
5. Для сходимости интеграла
1
f
dx
необходимо и достаточно, чтобы а > 0 и s > -
6. Исследовать на сходимость
СО
J
(Экз. 1934 г.)
Примеры ХС. 1. Постоянная Эйлера. Показать, что
стремится к некоторому пределу f при я—>оо, причем 7
[Это сразу следует из п. 180. Значение предела f равно 0,577...;•( на-
называется постоянной Эйлера.]
2. Если а и b положительны, то
J + + + +
стремится к пределу при л
3. Если 0<s< 1, то
стремится к пределу при п—>оо.
4. Показать, что ряд
2
расходится. [Сравнить общий член ряда с (n In л).]
5. Случай а—\ в п. 183. Когда я=1 в уравнении A) п. 183, мы пола-
полагаем ця'=(я1пя)~1, причем ? цп расходится. Так как
М , , 1
то
»»+1 Я1ПЯ 2.
и„ — (п + 1Iп(п + 1) — п

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 425
Следовательно, ^±i > ^±i- для больших п, и 2 vn расходится.
6. Доказать, вообще, что если 2 ап — Ряд с положительными членами
и
SM = «1 + «2 + • • • + пП>
то ^ —— сходится или расходится в зависимости от того, сходится ли
« sn-i
или расходится ряд 2 ял-
[Если 2 "я сходится, то sn_a стремится к положительному пределу / и
—— сходится. Если SMn расходится, то sn_i-^oo и
Sn-l n
(см. пример LXXXIII. 1); теперь очевидно, что
In _sA ^
стремится к бесконечности при п — оо.]
7. Найти сумму ряда
[Мы имеем:
по результату примера 1, где у — постоянная Эйлера. Вычитая и устремляя
я к оо, мы видим, что сумма данного ряда равна 1п 2. См. также п. 220.}
8. Доказать, что если Сфч, то ряд
ограничено колеблется, и что он сходится прн С==?-
219. Ряды, связанные с показательной и логарифмической
функциями. Разложение ех в ряд Тейлора. Так как все производ-
производные показательной функции равны самой функции, то мы имеем
где 0<^8<^1. Но —, — 0 при я—>оо, каково бы ни было значение
п (см. пример XXVII. 12); кроме того, еЬх<^ех. Следовательно,
устремляя и к оо, мы получаем:

426 Глава девятая
Ряд в правой части этого равенства называется экспоненциаль-
экспоненциальным рядом. В частности, мы имеем
е=1 + 1+^ + ..-+^ + ..- B)
и, следовательно,
Это соотношение называется экспоненциальной теоремой *). Мы имеем
также
e« = e*ine=i_|-(jclnc) + ^^ + --- D)
для всех положителвных значений а.
Читатель заметит, что экспоненциальный ряд обладает тем свойством,
что он остается неизменным при почленном дифференцировании и что ни
один другой степенной ряд этим свойством не обладает. Дальнейшие заме-
замечания по этому поводу читатель найдет в Приложении II.
Степенной ряд для е* настолько важен, что его стоит исследовать еще
другим методом, не зависящим от теоремы Тейлора. Пусть
и предположим, что х > 0. Тогда
что меньше Е„(х), если я>1. Если же п>х, то, по биномиальной теореме
для отрицательного целочисленного показателя, мы находим, что
Таким образом,
П<Еп(х)<
Но (см. п. 215) крайние члены этих неравенств стремятся к ех при я —оои,
следовательно, Еп(х) также стремится к ех. Соотношение (I) доказано,
когда х положительно. Что оно справедливо и для отрицательных х, следует
из функционального уравнения f(x)f (у) =f(x-\-y), которому удовлетворяет
экспоненциальный ряд (см. пример LXXXI. 7).
Примеры XCI. 1. Показать, что
2. Если х положительно, то наибольшим членом экспоненциального ряда
является ([л:] -\- 1)-ый, если х не равно целому числу. В этом последнем
случае л>ый и (х-\-1)-ый члены равны.
*) В русской литературе этот термин не принят. (Прим. перев.)

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 427
3. Показать, что
[Ибо —f является одним из членов ряда для ея.]
4. Доказать, что
где
и v== —. Вывести, что я! заключено между
п
— I и
5. Применить экспоненциальный ряд к доказательству того, что ех стре-
стремится к бесконечности быстрее любой степени х.
[Использовать неравенство е*> —.]
6. Показать, что е иррационально.
[Если бы е = — trp,e p и q — целые числа, то мы имели бы
7 = 1 + 4+Ш+- + ^! + -
или, умножая на q\,
ql (?_i_i_^_...__j = __ + _____ + ...,
а это равенство содержит противоречие, так как его левая часть является
целым числом, а правая часть меньше
7. Просуммировать ряд
где Рг(п) — многочлен степени г относительно п.
[Мы можем представить РГ(п) в виде
и тогда найдем, что
хп
r Li (n — r)\
г

428 Глава девятая
8. Показать, что
оо оо
1 1
и что если Sn=ls + 2' + ... + n3, то
оо
n S=т Dаг+l4*s
В частности, при х =—2 сумма этого ряда равна 0.
(Экз. 1904 г.)
9. Доказать, что
У-,=><¦
Li n\
—г, где k — любое положительное целое число, равна положитель-
ному целому числу, умноженному на е.
10. Доказать, что
[Умножить числитель и знаменатель на п -\-1 и дальше рассуждать, как
в примере 7.}
11. Вычислить
1 — ае~х—¦Ье~гх — се~ах
hm —ч - . .,,.—--—
^¦_0 I — ае*—be11—-се**
в следующих трех случаях: 1° а = 3, Ь = — 5, с = 4, 2° а = 3, Ь = — 4, с = 2,
3° й = 3, й = —3, с=1.
(Эжз. 1923 г.)
12. Вычислить
Hm -^—-г,. ,
если а, Ь, с и d положительны ис^((,
(Эжз. 1934 г.)
13. Вывести экспоненциальный ряд из результата примера LXXXVIII. 9.
14. Если
2!'""'
то производная от Хч равна X4_t. Вывести, что если t > 0, то
t ¦ t t t
Xt (t) = f Xodx < te(, Xs (t) = ( ЛГ,<Ь: < Г д-е^йл: < e* Г дг йл: =
О 0 0 0
и, вообще, X4(t)-<—те*. Получить отсюда экспоненциальный ряд.

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 429
15. Показать, что разложение по степеням р положительного корня
уравнения х*+Р=а3 начинается с членов
ejl —yplna + -g-p4neB + lne)}.
(Экз. 1909 г.)
220. Логарифмический ряд. Другим очень важным разложением
по степеням х является степенной ряд для In A —[—jc). Так как
о
а . . = 1—t-\-t% —..., если t по модулю меньше 1, то есте-
естественно ожидать1), что InA -^—лг) при —1<^д;<^1 будет равен
ряду, который получается почленным интегрированием ряда
1— *-]-*«.—...
в пределах от t = 0 до t — x, т. е. ряду
л 2 л |~"ТЛ —....
Это действительно так. В самом деле,
и, следовательно, если х^>—1,
где
_ Г
6 +t
Если 0=Sx^ 1, то
при /га —со. Если —1<л:<0 и х== — I, так что 0<?<1, то
J) Дальнейшие замечания по этому поводу читатель найдет в Прило-
Приложении II.

430 Глава девятая
о
так что и в этом случае Rm—>0. Следовательно,
1 , , 1 »
если —1<^д;^1. Если х лежит вне этих пределов, то ряд расхо-
расходится. Если х=\, то мы находим, что
Этот результат был уже доказан иным способом (см. пример ХС. 7).
221- Ряд для арктангенса. Подобным же образом легко дока-
доказать, что
— х 3 х -f-5 х ...,
если —l^x^l. Доказательство этого результата даже несколько
проще, так как arctgx является нечетной функцией от х, и вслед-
вследствие этого достаточно рассматривать положительные значения х.
Отличие от предыдущего случая заключается еще и в том, что этот
ряд сходится как при х=1, так и при х = —1. Проведение дока-
доказательства мы оставляем читателю. Значение arctgx, представляемое
этим рядом, заключено, конечно, между •—-т-те и -j-rc(—1^д;^1)и
совпадает с тем, которое, как мы видели в гл. VII (см. пример
LXIII. 3), представляется интегралом. Если х = 1, то мы получаем
формулу
1{
Примеры ХСН. 1. Если — 1 ^ х < 1, то
2. Если — 1
3. Доказать, что если х положительно, то
(Экз. 1911 г.)
_ 1 , 1 8
—X + YX +~зх "+¦¦••¦ •
1,1+АГ , 1 , . 1

Логарифмическая, по<азат . и тригонометрические функции 431
4. Вывести ряды для 1пA -\-х) и для arc tg* с помощью теоремы Тейлора.
[При исследовании остаточного члена в форме Лагранжа мы встре-
встречаемся здесь с затруднением, когда х отрицательно; елгдует применить форму
Коши, а именно,
(см. соответствующее исследование для биномиального ряда, п. 152 B) и
п. 168).
В случае второго ряда мы имеем:
. sin f/гаге tg—)
;1f *f1
(см. пример XLV. 15), и оценка остаточного члена проходит без затруднений,
так как он по модулю, очевидно, не превосходит — . ]
5. Доказать, что значение In 2 заключено между суммой первых 2л и
суммой первых 2я -f-1 членов ряда 1—о~ + ^~ —
(Экз. 1930 г.)
6. Вычислить
1— лг-Мпл:
lim , '
x-i 1 — Y2X — X'1
(Экз. 1934 г.)
7. Если у > 0, то
[Использовать тождество
Этот ряд может быть применен для вычисления In 2; для этой цели ряд
1-~'о"~Ь~з" — ¦"' пРактически бесполезен в силу чрезвычайной медленности
его сходимости. Положить j = 2 и вычислить In 2 с точностью до трех зна-
знаков.]
8. Вычислить 1п 10 с точностью до трех знаков из формулы
9. Доказать, что
In —i— = :
х
;4-1)» + •••)'
') Формула для D" arc tg х теряет смысл при х = 0, так как arc tg— тогда
X
не определен. Однако легко видеть (см. пример XLV. 15), что в этом случае
под arc tg — следует понимать -^ гг.

432 Глава девятая
если х >• 0, и что
(х-1)Цх+2)_ ( 2
1 (х + 1J(^ — 2)~ I*» — 3
3 U3 —
если х>2. Если известно, что In2 = 0,6931471... и In3 = 1,0986123..., то
полагая во второй формуле л:=10, показать, что In 11 ==2,397895....
(Экз. 1912 г.)
10. Показать, что если In2, 1п5 и In 11 известны, то формула
— 91п2
дает значение In 13 с ошибкой примерно равной 0,00015.
(Экз. 1910 г.)
11. Показать, что
.у1п2=г7я + 5* + Зс, jln3=lU + 8* + 5c, -i-ln5=1
где а = arth тгг, 6 = arthjg и с = arth у^т-.
[Эти формулы позволяют очень быстро найти In 2, In 3 и In 5 с любой
степенью точности.]
12. Показать, что
T^=arctg-2+arctg g-=4arctgy —arctg^,
и вычислить - с точностью до шести знаков.
13. Разложить 1п{1—InA—д;)} в степенной ряд до х* включительно;
вывести соответствующее разложениг для 1п{1 +1пA -|-дг)} заменой х на
х
1 +х ' (Экз. 1923 г.)
14. Показать, что разложение функции
по степеням х начинается с членов
(Экз. 1910 г.)
15. Показать, что для больших значений х имеет место следующее при-
приближенное равенство
Применить эгу формулу при х=10 для приближенного нахождения loge и
оценить точность результата.
(Экз. 1910 г.)
16. Если
и 1 <^^3, то .у= — сШд;. Найти аналогичное разложение для 2х, спра-
справедливое при —3s<C.y<—1.
(Экз. 1927 г.)

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 433
17. Используя логарифмический ряд и равенства
log 2,3758 = 0,3758099..., log e = 0,4343...,
показать, что корень уравнения х = 100 log х приблизительно павен
237,58121.
(Экз. 1910 г.)
18. Разложить функции lncosx и lnsinx — Inx в ряды по степеням х
до х1, и проверить, что с точностью до этого порядка
. . , 1 ,64 1
1П Sin X = In X — jf In COS X -f- ^ In COS ^p X.
(Элгз. 1908 г.)
19. Показать, что
о
если —1 =<С л: =?С 1. Вывести, что
i it+ 2 In
5+9"
,- (Экз. 1896 г.)
Рассуждать, как в п. 221, и использовать результат примера XI Щ\1. 8. Та-
Таким же образом просуммировать ряд у — у+ri—•¦- •
20. Доказать, что если вообще а и b—положительные целые числа, то
так что сумма этого ряда может быть найдена. Вычислить таким образом
.1,1 11,1
суммы рядов 1 — -j- -+- у ¦— • • • и у — -^ + "g- ~~ • • • *
222. Биномиальный ряд. Мы уже исследовали (см. п» 168) бино-
биномиальную теорему
(
в предположениях, что —1<^л:<^1 и что т рационально. Когда т
иррационально, мы имеем
-¦*>= m A -\~х)т-\
так что правило дифференцирования A-\-х)т остается тем же и до-
доказательство теоремы, данное в п. 168, сохраняет силу. Остается
рассмотреть случаи дг=1 и х = —1.
A) Когда х=1, ряд принимает вид
28 Г. Харди

434 Глава девятая
Если т -j- 1 =? 0, то общий член не стремится к нулю (см. пример
LXXXIV. 3). Если /га-]-1^>0, то ип имеет для достаточно больших
п чередующиеся знаки и монотонно убывает к нулю, так что ряд
сходится.
Для определения суммы рада положим /(л;) = A -\-х)т, и будем
писать 0 вместо а и 1 вместо h в равенстве A) п. 167. Тогда мы
получим
где
1
„ т (т — !)...(;«—л-
J A _
Этот интеграл меньше — для больших п (так как т<^п и
l-j-z'^il). Следовательно,
| ./?„ I =sc I ип \ —> 0.
Таким образом, биномиальный ряд сходится при х = 1 в том и
только в том случае, когда т^> — 1, и его еумма равна 1т.
B) Когда х-—1, мы можем просуммировать первые п-\-\
членов ряда. Если т = 0, то сумма равна 1. В других случаях, если
мы положим х = —1 и т = — р, она равна
... + •
т — \
(см. пример LXXXI. 5). Это выражение стремится к 0, когда
и не стремится ни к какому пределу, когда т <^ 0 (см. пример
LXXXIV. 3). Следовательно, ряд сходится при х = —1 в том и
только в том случае, когда т^О, и его сумма равна 1, если
т = 0, и равна 0, если т ^
Примеры ХСШ. 1. Доказать, что если — 1 < х<. I, то
2. Приближение квадратических и других нррациональностей. Пусть
"|/"jVT я*вляется квадратической иррациональностью, значение которой тре-,
буется найти. Пусть № — ближайший к М квадрат целого числа, и пусть
М — Na -f- х, или М = №-—х, где х положительно. Так как х не превосхо-
jC ' -ш Г j?
дит N, топпт сравнительно мало и у M — N I/ l^-rjj может быть пред-
ставлено в виде ряда

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 435
который будет, во всяком случае, довольно быстро сходиться. Так, например,
о
Проверить, что ошибка значения 8у-л (суммы первых двух членов ряда)
З8
меньше тгр, т. е. меньше 0,003, и что это значение больше истинного.
3. Если х мало по сравнению с JV2, то
+ NX
ЛМ 2BЛГ2+х)
xi
с ошибкой порядка -т^. Применить эту формулу к приближенному опре-
делгнию ^
4. Если М отличается от N3 меньше, чем на 1% каждого из этих чисел,
то ]/Ж отличается от
**-MN-
N
меньшг чем на »„ --^ . (Экз. 1882 г.)
5. Если M = N*-\-x и х мало по Сравнению с N, то хорошим прибли-
4
женигм у М является
51 5 М , 27Nx
56 N3^ 14GAf
Показать, что если ЛГ=10, х=1, то это приближение точно до 16 знаков
(Экз. 1886 г.)
6. Показать, как можно иайти сумму ряда
где Рг(п) — многочлен степени г относительно и.
[Представить Рг(п) в виде
Д+Л1п + Л*я(п—!) + •••>
как в примере XCI. 7.]
223. Другой способ развития теории показательной и логарифмиче-
логарифмической функций. Мы наметим теперь в общих чертах другой метод исследо-
исследования свойств функций е? и 1пд:, по своей логической структуре совершенно
отличный от изложенного на предыдущих страницах. Этот метод исходит из
экспоненциального ряда
?
Мы знаем, что этот ряд сходится для всех значений х, и можем поэтому
определить функцию ехрлг равенством
exp*=l+jf+!j + .... A)
28*

436
Глава девятая
Далее, как в примере LXXXI. 7, мы докажем, что
ехр х ¦ ехр_у = ехр (х -\-у).
Кроме того,
B)
ехр Л — 1 .
h ~~
А А»
'2! "^ЗТ"
где р (Л) по модулю меньше чем
!i*
т*
I
1 —
-г h
и, таким образом, р(Л)—> 0 при Л—* 0. Следовательно,
при Л—. 0, или
ехр (х 4- Л) — ехр х ехр Л — 1
.__с\_.-1 __J Г— — ехр х > ехр х
C)
В частности, мы доказали, что ехрх — непрерывная функция.
Здесь мы можем продолжать рассуждения разными способами. Полагая
_у=ехрх и замечая, что ехр 0=1, мы имеем:
dy I1 dt
dx~y> J t >
l
и если мы определим логарифмическую функцию как функцию обратную
показательной, то мы приходим к исходному пункту наших рассмотрений
в начале главы.
Но мы можем рассуждать и иначе. Из уравнения B) следует, что если
п — положительное целое число, то
(ехр х)" = ехр п к, (ехр 1)" = ехр л.
Ьсли х—положительное рациональное число ---, то
| ехр — 1 = ехр 7/г=(ехр 1)т
и, следовательно, ехр—¦ равен положительному значению (expl) . Этот ре-
результат может быть распространен на отрицательные рациональные значе-
значения х при помощи равенства
ехрх ехр (— х) = 1,
и таким образом мы находим, что для всех рациональных значений х
ехр х = (ехр 1)* = ех,
где
1 + ^
Наконец, мы определяем ех при иррациональном х как ехр х. Логарифм
тогда определяется как обратная функция.

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 437
Пример. Исследовать аналогичным образом биномиальный ряд
где — 1 <х< 1, исходя из уравнения
f(m,x)f(m', x)=f(m + tri, x)
(см. пример LXXXI. 6).
224. Аналитическая теория тригонометрических функций. Мы
возвращаемся теперь к вопросу, который уже вкратце рассматри-
рассматривался в п. 163.
На протяжении всей книги мы считали, чго читатель знаком
с элементами тригонометрии,' и свободно пользовались в иллюстра-
иллюстративных целях тригонометрическими или „круговыми" функциями cosa;,
sin л:, tgx, .... Однако в п. 163 мы уже имели случай отметить, что
основания тригонометрии не совсем так просты, как может пока-
показаться читателю, впервые знакомящемуся с ними, и что обычное
изложение теории базируется на некоторых предположениях, требую-
требующих внимательного анализа.
Имеются по крайней мере четыре очевидных метода, с помощью
которых можно построить аналитическую теорию тригонометриче-
тригонометрических функций.
1°. Геометрический метод. Наиболее естественным является тот
метод, при котором мы возможно более точно следуем за изложе-
изложением обычных учебников, переводя применяемый в них геометриче-
геометрический язык на язык анализа. Мы обсуждали этот вопрос в п. 163 и
пришли к заключению, что встречаемся здесь только с одной серьез-
серьезной трудностью. Мы должны либо показать, что любой дуге окруж-
окружности можно поставить в соответствие некоторое число, называемое
ее длиной, либо показать, что любому сектору круга можно поста-
поставить в соответствие некоторое число, называемое его площадью.
Выполнения любого из этих требований достаточно, чтобы строго
обосновать всю тригонометрию. Обычно идут по первому из этих
двух путей и основывают тригонометрию на понятии длины. Но гл. VII
содержит строгое рассмотрение площадей, а не длин, и поэтому мы
естественно предпочли второй путь.
2°. Метод бесконечных рядов. Второй метод, применяемый во
многих курсах анализа, состоит в том, что тригонометрические
функции определяются, как и показательная функция в п. 223, с по-
помощью бесконечных рядов. Мы определяем cos x и sin x равенствами
A) cosx=l-2]+il-..., sinJf = Jf_-3l+g1-....
Эги ряды абсолютно сходятся для всех действительных значений х,
и могут быть перемножены как ряды в п. 223. Таким образом, мы
пэлучаем формулу
cos (х --у) = cos х cosy — sin x siny

438 Глава девятая
и другие теоремы сложения тригонометрии. Свойство периодичности
представляет несколько большие трудности. Мы можем вывести из
A), что функция cos л:, положительная для малых значений х, меняет
знак один раз в интервале @,2), скажем при х = Ь; определим
число те соотношением -к- те = ?. Тогда легко доказать, что sin-=-7r=l,
costl=—1, sini? = 0. Равенства
cos (x-j-те) — — cosx, sin(;c-|-'rc) = — sinx
следуют тогда из формул сложения. Подробное изложение теории,
исходящей из этих определений, читатель найдет в книге Уиттекера
и Ватсона, Курс современного анализа, т. I, Приложение А.
Эта теория вполне удовлетворительна, но она более естественна
в том случае, когда мы рассматриваем cos z и sin z как функции от
комплексного переменного z, чем здесь, где мы рассматриваем только
действительные переменные и функции.
3°. Определение синуса с помощью бесконечного произведения.
Третий метод заключается в определении sin x равенством
Этот метод имеет много преимуществ, но требует, естественно, зна-
знания теории бесконечных произведений.
4°. Определение обратных функций с помощью интегралов.
Имеется еще четвертый метод, которому здесь должно быть отдано
предпочтение, так как он во многом повторяет наше изложение
теории логарифмической функции в первой части настоящей главы.
Мы начинаем с определения sxztgx равенством
Vх
/i\ .. ../._v ,.... С dt
Это уравнение однозначно определяет значение у, соответствующего
каждому действительному значению х. Так как подинтегральная
функция — четная, то у является нечетной функцией от х. Далее, так
как у непрерывна и строго возрастает, то, по п. 110, существует
обратная функция х = х (у), также непрерывная и строго возрастаю-
возрастающая. Мы полагаем
B) x = x(y)=tgy.
Если мы определим те уравнением
т ! - - ?--
К*) у Jl+'2 '
о
то х (у) определена для
J
о

Логарифмическая, показат. а тригонометрические функции 439
Теперь мы полагаем
D) ^ ^
где имеется в виду положительное значение корня. Таким образом,
cos_y и sin.y определены для — -^-тк^ук^-^к. Когда _у—»-у ,jc—*-оо,
и, следовательно, cos_y—»-0 и sin_y—>-1. Мы определяем cos-j-t: и
sin-jT: равенствами
E) cos -j те = 0, sin у я = 1.
Тогда cosy и sin_y определены для — у тс <^_у ^ -„ -к, a tg_y— для
Наконец, мы определяем tg_y, cos .у и sin_y для значений у вне
интервала (— у тс> у тс ) с ПОМ°ЩЬЮ уравнений
<6) tg(y-\~K)—tgy, cos(> + т:) = — cos .у, sinO-fTC) = — sin^>
которые последовательно, распространяют наши определения на
/ 1 3. \ / 3 5\ /'З 1\
интервалы ^утг, -^ icj , ^те, —те1,..., -ук, _-^тх1,
/5 3 \ .
—Jк, —"о1) >•-•• Функция tg_y тогда определена для всех
значений у, кроме I k-\--y) к, где k — целое число. Эти значения
определением не охватываются; но tgy стремится к -j-со или
к — оо, когда у стремится к одному из этих значений, соответст-
соответственно, слева или справа. С другой стороны, cos_y и sin_y определены
и непрерывны для всех значений у.
i \\
Таким образом, tg_v —> + °° при_у-^(& + -^- - — 0. При замене —О
на -j-О знак меняется на обратный.
Чтобы убедиться в том, что cosj> непрерывна при_у = -к-~, заметим,
что, во-первых, cos — я = 0, по определению, во-вторых, что, по D),
cosj/-»0 при .у—<¦-^ я— 0, в-третьих, что cos.y-^0 при у-*—¦ -.-тг-|-0
(также по D)), а, следовательно, по F), и при у—»-y-K-{-Q.
Мы начали с определения acrtgx и Xgy и затем определили cos_y и sh\y
через Щу. Мы могли бы выбрать arc sin x и sin.y в качестве наших основ-
основных функций. В этом случае мы должны были бы определить arc sin x
в интервале (—1, 1) равенством
dt
О г

440 Глава девятая
где берется положительное значение корня; sin_y — как обратную функцию;
г. — с помощью равенства
1 Гdt
J
a cosy и tgy — соотношениями
cos_y = "|/~l—хг, tgy-
Избранный нами путь несколько более удобен.
225. Мы теперь сформулировали все необходимые определения,
а именно, те, которые выражаются уравнениями, снабженными номера-
номерами в п. 224. Дальнейшее развитие теории зависит от формул сло-
сложения.
Заметим, в первую очередь, что
и, следовательно,
dy
. dy __ A -(-3>2)dx
' 1+У* A—хуР
__ (x + y)dQ~xy) _ dz
где
z__ x+y
1 —xy
Это приводит к соотношению
arc tg x -j- arc tg_y = arc tg z,
но так как эти функции многозначны, то необходимо более вни-
внимательное рассмотрение.
Положим
, хх -\- и t — xt
' 1+Xlt '
так что
da 1— jdH"T-(l— Xi«J A—
,>0.
Таким образом, ^ и и изменяются в одном направлении. Когда t
1 1 . ,
возрастает от — оо до , и возрастает от — до со, а когда г
Xi Xt
1 1 ..
возрастает от до со, и возрастает от —со до —. Кроме
хх хх
того, и = 0, когда t = xv, и к = — х{, когда ^ = 0').
]) Читателю следует начертить график каждого переменного как функ-
функции другого.

Логар ифмическая, покаэат. и тригонометрические функции 441
Предположим теперь, что л:2 имеет такое значение, что интервал
(—хи х.2) значений и не содержит точку и= —, в которой t
Ху
обращается в бесконечность. Если х^ ^> 0, то хг должно быть мень-
меньше —, а если х1 <^ 0, то л:2 должно быть больше —. В этих усло-
Л] Xi
виях t монотонно возрастает или убывает от 0 до
х== xi+x*
1— х,хг '
когда и возрастает или убывает от —хх до х.2. Так как
то мы имеем
2 ]
— J +и«"Т- J 1+и« J 1 + я« ~Г" J 1
О — д-х О О
= arc tg д:, -f- arc tg лг.2.
Если мы теперь положим
то. мы имеем y—
m tr(v ! v -\ — х— х1+л3 — tgJ/.+tg^
A) tg (у, -f j>,) _ x _ fir^ — T-tgjfxtgjf, ¦
что и является формулой сложения для тангенса.
Эта формула пока доказана только при некоторых ограничениях на
. 1
значения переменных, а именно, в предположении, что х2<Г —,
Х\
если л;1^>0, и лг2 ^>—, если х1<^0. Когда ^^>0 х
l 1
слева, то х-*--\-со л у-^-^т., а когда х^Оих,-* справа, то
х-* оо и у—* -Tj-тг. Наши ограничения сводятся, таким образом,
к тому, что уи у.г и у1 -\~Уъ должны лежать в интервале
LIr l Л
{ 2 ' Т 7
Эти ограничения, однако, не нужны.
Ограничение на yt -\-у.г возникло из нашего предположения, что
интервал (—xv х.2) не содержит —. Допустим, что это условие
xi
нарушено, например, предположим для определенности, что

442 Глава девятая
я х2^>—. Тогда, при и возрастающем от — л;, до xit t возрастает
Xi
<от 0 до оо, затем меняет знак и возрастает от —оо до х. Таким
образом, мы имеем
f" da Г dt , f dt
0
0
0
dt , С dt
J Tj+
0 —оо О
Следовательно,
arc tgjc = arc tg jjj-j-arc tg x.> — it,
И, ПО F),
f J>9> =
Аналогично мы можем поступить в случае ху <^ 0. Следователь-
Следовательно, A) имеет место, если только у. и у» лежат в интервале
/1 1 \
Наконец, так как каждая часть уравнения A) является, по F),
периодической функцией от у1 или от _у3, то A) справедливо без
всяких ограничений, за исключением того, что ни у1г ни jy2, ни yt-\-y^
•не должно быть нечетным кратным ^т:, так как в этих случаях A)
теряет смысл.
226. Из соотношений A) п. 225 и D) п. 224 мы заключаем, что
cos_y2
cos (j/j -f- j'a) = ± (cosj/j cos_y2 — sinj/t sinj/2).
Для определения знака положим _у2 = 0. Уравнение сводится к сле-
следующему: cosy1 = ± cosyu так что при_у2 = 0 следует брать поло-
положительный знак. Так как обе части меняют знак, когда уг увеличи-
увеличивается на тт, то формула имеет место с положительным знаком для
всех уъ кратных п. Далее, обе части уравнения являются непрерыв-
непрерывными функциями отуг, так что перемена знака может произойти только
в том случае, когда обе части обращаются в нуль, т. е. при значениях
1 1 3
..., —2- я —у^ -л- ~ —уи " ~ —yv ..., каждое из которых является
единственным в любом интервале длины т:. Так как мы видели, что
в каждом таком интервале существует значение j/5> Для которого

Логарифмическая, показам, и тригонометрические функции 443
знак положителен, то он должен быть всегда положительным.
Следовательно,
B) cos (у, -j-уч) = cosy% cosj/a—si
и соответствующая формула для sin (yl -j-j/j) доказывается анало-
аналогично.
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. IX *)
1. Дано, что log е = 0,4343 и известно, что 210 и З21 почти равны степе-
степеням 10; вычислить log 2 и Iog3 с точностью до четырех знаков.
(Экз. 1905 г.)
2. Показать, что log я не может быть рациональным числом, если я — лю-
любое положительное целое число, не являющееся степенью 10.
[Если я не делится на 10 и logfl = —, то мы имеем 10р = ni, что невоз-
невозможно, так как 10^ кончается нулем, а пЯ этим свойством заведомо не обла-
обладает. Если же п = Юа N, где N яе делится на 10, то logN, а, следовательно, и
log n = a -f log N
не может быть рациональным.]
3. Для каких значений х функции In х, lnlnx, In In In x, ... (а) равны
нулю, (b) равны 1, (с) не определены? Рассмотреть тот же вопрос для функ-
функций 1х, Их, III х, ... , где Iх = In | х|.
4. Показать, что выражение
отрицательно и монотонно возрастает к 0, когда х возрастает от 0 до со.
[Производная этой функции равна
я
1 я!
>г)х + г х(х+1) ... (х + п)'
в чем легко убедиться разложением правой части на простейшие дроби. Это
выражение положительно, а сама функция стремится к 0 при ж^ос, так
как ln(x-f- /") = lnx-j- о A) и
5. Доказать, что
¦-(?)+(;)-•—•j
(d\nlnx (_1)"л!/ 1 1\
(Тх) —= Л Г
(Экз. 1909 г.)
6. Если х> — 1, то ж2>A -\-х){ !n(l + x)}2.
(Экз. 1906 г.)
[Положить 1 -\-х = ? и использовать неравенство sh?>s для % > 0.]
7. Показать, что
1пA+х) х
х и(Г+лг)Е(Т+дс)
монотонно убывают, когда х возрастает от 0 до со.
х) Некоторые из этих примеров взяты из книги Bromwtch, Infinite series.

444 Глава девятая
8. Показать, что когда х возрастает от — 1 до оо, функция
принимает один и только один раз каждое значение между 0 и 1.
(Экз. 1910 г.)
9. Показать, что
1 _ _J^ 1
\п{1+х) лГ~*~2
при х—- 0.
10. Показать, что
"йГ(Т-Ьл-} ~ ~х
монотонно убывает от 1 до 0, когда х возрастает от — 1 до оо .
[Функция не определена при х = 0, но если мы припишем ей при х = 9
значение -^, то она становится непрерывной при х = 0. Применить резуль-
результат примера 6 для доказательства того, что производная отрицательна.]
11. Доказать, что
<Ь (х) = -х- sin х tg x — In sec x
положительна и возрастает для 0<х<-^-тс и что <1 (х) = О (.Vе) для ма-
маЛЫХ X.
(Экз. 1930 г.)
12* Если
X
. + sec t) In sec / dt
• y' ' In sec x { x -4- In (sec x-{-tgx)}'
то Iе 'f (x) — четная функция, 2° для малых х имеет место приближенно
1 3 1
равенство с (х) ~ 1 +т^клг4 и 3° ?(х)^у, когда х—^-^-tz слева.
(ЭЫ 1930 г.)
13. Показать, что е*>Мх , гдг М и Я—большие положительные числа,
если х больше чем 21пМ и 16/V2.
[Легко доказать, что 1пж<2]Ллг; таким образом, приведенное- неравен-
неравенство заведомо выполняется, если
и поэтому выполняется, если -я- х > In ЛГ, — х > 2 N~\[x .]
14. Показать, что последовательность
¦стремится к бесконечности быстрее любого члена показательной шкалы.
[Пусть е1(х) = ех, е2 (х) = ей1 ^ и т. д. Тогда, если ek(x)~ любой член
показательной шкалы, а„ > гА (я) при я > А.]

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 445
15. Если р и q — положительные целые числа, то
_i_+_I__L +±
рп-\-\ рп^-2 ' qtt
при и—.оо. [См. пример LXXVIII. 7.]
16. Доказать, что если х положительно, то
при я^оо.
[Мы имеем
где-и —-^-A—х'/л). Теперь использовать результаты п. 216 и при-
примера LXXXIII. 3.]
17, Доказать, что если а и Ь положительны, то
[Прологарифмировать и применить результат примера 16
18. Показать, что
где f — постоянная Эйлера {примера ХС. 1).
19. Показать, что
где в левой части два положительных члена чередуются с одним отрица-
отрицательным, а сам ряд является перестановкой ряда 1—тг + "о ••••
Z о
{Сумма первых Зя членов равна
= i- In 2я + In 2 +1 у + о A) —i- { In л + у + о A)} .]
20. Доказать, что
П 1
1и ТГC6^^1У ~ + 2<3"+1 ~ ^" ~~ "'
где 5„ = 1 + 2 + ••¦+ — > 2п= ! + "з" + • • • + гя^Т ' Вывести» чт0 СУМ"
,ма соответствующего бесконечного ряда рапна
— 3+4-In 3 + 2 In 2.
(Экз. 1905 г.)

446 Глава девятая
21. Доказать, что суммы рядов
оо оо со со
V)__J_ у (- if-1 у 1 -у (-if1
ZiW—\' ^j 4я2 — 1 ' jL Bл + \f — 1 ' jL Bя + If — I
111 1
11 111,-1
равны,соответственно,-к-, -j-t. — —, — , "o"'11^—г-
22. Исследовать сходимость рядов
2и
()
л+1
(Экз. 1935 г.)
23. Исследовать сходимость ряда
^„-"e-bVit+cni
для всех действительных значений а, Ь, с.
(Экз. 1Q25 г.)
24. Ряд S п„ переставлен следующим образом:
(один член с нечетным номером, два члена с четными номерами, затем четыре
члена с нечетными номерами, восемь членов с четными и т. д.). Исследовать,
сходится ли переставленный ряд в случае, когда
w^-S? B) а=
у
(Экз. 1930 г.)
— I стремится к 0 или к оо в зависимости от
того, является ли а числом меньшим или большим е.
26. Доказать, что если пл = п1 епп~п~1^2, то
Вывести, что если а фиксировано, a s — целое число, ближайшее к д|/"к, то
\n + s) _oS
(Экз. 1928 г.),
27. Если п„ > 0 и
то а„^'Кп~а, где АГ—постоянная.
[Действительно,
яп я

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 447
где р„ = О ( — ). Следовательно,
л2;
л—1 п—\
где Н — S р„ .]
28. Доказать, что
2)...
где К—постоянная.
[Применить результат примера 27.]
29. Доказать, что, в обозначениях примера ХС.6, у ~ сходится и рас-
холится .одновременно С Е о„.
[В случае сходимости доказательства совпадают. Если 2 ип расходится
и и„ <«„_!, начиная с некоторого значения я, то sn<2sn_1; и расходимость-
Л — следует из расходимости ^—— . Если же nn^sn_j для бесконечного»
числа значений я, что может иметь место в случае быстро расходящегоса
ряда, то — ^=-к- для всех таких значений п.]
30. Доказать, что если х> —1, то
1 1,1!,
(x+lf
+
(Экз. 1908 г.>
[Разность между . , .^ и суммой первых я членов ряда равна
(x+iy (дг+2)(лг+3)...(
31. Найти предел при л:—»со выражения
1ао + а1х+ ... +агхг
иссяедуя все возможные случаи, которые могут представиться.
(Экз. 1886 г.)
32. Общим решением уравнения / (ху) — f (x) f (у), где /—дифференци-
/—дифференцируемая функция, является Xй при постоянном а. Общим решением уравнения
является ch ax или cos ax в зависимости от того, положительно ли /" @)
или отрицательно.
[При доказательстве второго результата следует предположить, что f
имеет производные первых трех порядков. Тогда
2/ (х) +y*f" (х) + о (У2) = 2/ (х) | / @) +yf @) + 1 y*f> @) + о (у-)},
и, следовательно, /@)=1, /'@) = 0 и f"(x) = f"@)f(x).]

448 Глава девятая
33. Уравнение ех — ах-\-Ь имеет, один действительный корень, если
д<0 или л = 0, #>0. Если а>0, то оно имеет два действительных корня
в случае, когда a In а > Ь — а, и ни одного действительного корня, когда
a In a < Ь — а.
34. На основании графических рассмотрений показать, что уравнение
•имеет один, два или три действительных корня, если а > 0, и ни одного,
один или два, если а <; 0. Показать, как можно установить, какой из этих
случаев имеет место.
35. Доказать, что уравнение агех — х* имеет три действительных корня,
4
*если а-<^г, и что для малых а меньший положительный корень равен
е*
1 3
(Экз,, 1931 г.)
.36. Найти уравнение для тех значений х, при которых
-имеет стационарное значение, и доказать, что значение у, соответствующее
такому значению x==Xj, равно
Ас _*«
р 1
С — .V!
Показать также, что если А, Вис положительны, то искомое уравнение
имеет в точности два корня, один больший с, а другой отрицательный, и что
рни дают соответственно минимум и максимум у.
(Экз. 1923 г.)
37. Начертить кривую
У = - In
и показать, что точка ' 0, -^-j является центром симметрии кривой и что
,когда х возрастает, принимая все действительные значения, у монотонно
возрастает от 0 до 1. Вывести, что уравнение
,не имеет действительных корней, если а не удовлетворяет условию
• 0<а<1. При условии же 0<а<1 это уравнение имеет один действи-
действительный корень, знак которого совпадает со знаком а ^-.
[Действительно,
1 1 , /е*_п д 1 sh2X
является очевидно, нечетной функцией от х. Далее,
2 х
2Х!
'2 х

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 449
Выражение, заключенное в фигурные скобки, стремится к нулю при х —»0,
а его производная равна
dv
что имеет знак, совпадающий со знаком х. Следовательно, j1 положительно
для всех значений х.]
38. Нарисовать кривую
у = ег/х Ух*-\-2х
и показать, что уравнение
2х = <
не имеет действительных корней, если а отрицательно, имеет один отрица-
отрицательный корень, если
и два положительных корня и один отрицательный, если а > а.
39. Показать, что уравнение
+ + 5j °
имеет один действительный корень, если п нечетно, и не имеет ни одного
действительного корня, если я четно.
[Допустим, что это доказано для л=1, 2, ... , 2k. Тогда уравнение
/2ft+1(x) = 0 имеет по крайней мере один действительный корень, так как
его степень нечетна; оно не может иметь более одного корня, так как если бы
оно имело не менее двух корней, то f'»k+i (x)> или/2б(АГ)» должно было бы
по крайней мгре один раз обратиться в нуль. Следовательно, f^+i(x) обра-
обращается в нуль один и только один раз, и поэтому уравнение /aj;+a (х) = Q
не может иметь более двух корней. Если бы оно имело два корня, скажем
s и р, ю f'sk+i(x), или ftk+i(x)> должно было бы по крайней мере один раз
обратиться в нуль между аир, скажем, в некоторой точке ?; но
=Л*+1 (г) +
Bk-\-2)\
и fik+i(x) положительно также и для больших х (положительных и отрица-,
тельных), что, очевидно, содержит противоречие, легко распознаваемое на"
чертеже. Следовательно,/2fc+2(x) не имеет действительных корней.]
40. Доказать, что если а и Ь положительны и приблизительно равны, то
имеет место следующее приближенное равенство:
(а — bf
причем ошиока примерно равна --ъ-, ¦-
[Использовать логарифмический ряд. Эта формула имеет также истори-
исторический интерес, так как она применялась Непером для вычисления лога-
логарифмов.]
чс
рифмов.
29 Г. Харди

450 Глава девятая
41. Доказать перемножением рядов, что если —1<х<1, то
2
42. Первыми п-\-2 членами в разложении
In
в степенной ряд являются
]X Xs
Х я!
43. Показать, что разложение
ехр \—х — у
в степенной ряд начинается с членов
л
( 'я!Bя+1)Г
(Экз. 1899 г.)
44. Применить тождество
1пA— л:3)=1пA —
для доказательства того, что
2
д-rt+S+l
. 1909 г.)
(к — я)!Bя—А)!
1 2
равно -г, если к не кратно 3, и равно—-г, если к кратно 3.
(Экз. 1932 г.)
45. Доказать, что если х мало, а у обозначает положительное значение
то
2
Найти пределы ^ и ~1 при л: —- 0 справа и слева и нарисовать график jr
вблизи точки х = 0.
Ova. 1924 г.)
46. Доказать, что
I
dx I
-й)(л: + *) а — * * '
и
если а > * > 0.

Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 451
47. Доказать, что если а, р и j положительны и Р2>а?, то
йх >
J
in
и вычислить интеграл при условии, что а > 0 и а? > рК
48. Доказать, что если д> — 1, то
со со
Г Р_ = f —*-
J (х+дI/х2-—1 J сп/-f-a
1 V ' )V 0 f
и показать, что значение интеграла равно
2 . т/Г^д
если — 1 < а < 1, и равно
если а > 1. Рассмотреть случай й= 1.
49. Если 0< а< 1, 0<р < 1, то
50. Доказать, что если а > b > 0, то
— со
51. Доказать, что
J/ 1 \ 3 33 1С
\ ^ J ^ ? ? ^ ч)
О О
оо
Jinx _ 1 С
"*"" Х~~(п— IJ Я '' J {х.
1
1
со
: = 1.
3. 1913, 1928, 1932, 1933, 1934 rr.)
29*

452
52. Доказать,
и
0
что
lnjc
+ *:
и вывести, что если а
>0, то
со
0
Глава девятая
оэ
С Ых
1
1ПЛГ
2* + Х* Х'
оэ
dx, I
0
1 П />
— п 111 t* •
Щрименить подстановки х—-г и jt==au].
53. Доказать, что
оо
/
если а > 0.
[Интегрировать по частям.]
54. Доказать, что
00
Ига A — tI'* (t+1* + Р +1" +...)=(' е-*1 dx.
<-»i— о J
о
(Экз. 1932 г.)
[Из п. 180 следует, что
Jti <?
e~xi dx <c h 2 e~v < I e~** ^-r-
h о
Положить t = e~hi и устремить л к оо.]

ГЛАВА X
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
227. Функции комплексного переменного. В гл. III мы опре-
определили комплексное переменное1)
и рассмотрели ряд простых свойств некоторых классов выражений,,
содержащих z, как, например, многочленов P(z). Естественно назы-
называть такие выражения функциями от z, и мы действительно уже
P(z)
называли отношение jyVr . где Р (z) и Q (z) — многочлены, „дробно-
рациональной функцией". Однако мы еще не дали общего опреде-
определения того, что называется функцией от z.
Естественно было бы определить функцию от z таким же обра-
образом, как мы определяли функцию от действительного переменного х,
т. е. говорить, что Z является функцией от z, если существует
некоторое соотношение между z и Z, в силу которого то или
иное значение, или те или иные значения Z соответствуют некото-
некоторым или всем значениям z. Но более внимательное рассмотрение
этого определения показывает, что оно непригодно. Действительно,
если z дано, то даны х и у, и наоборот, если х и у даны, то дано
и z; задать значение z — это то же самое, что задать пару значе-
значений переменных х и у. Таким образом, по предлагаемому определе-
определению, „функция от z" является просто колсплексно-значной функцией
fix, y)-\-ig(x, у)
от двух действительных переменных х и у. Например,
х — iy, ху, | z | = -/"jc2 -\-У*> am ? — arc tg ^-
являются такими „функциями от z". Это определение, хотя оно и
является вполне допустимым, бесполезно, так как оно фактически
не определяет никакого нового понятия.
J) В настоящей главе иногда удобнее писать х -f- iy вместо х -\-yi.

454 Глава десятая
Поэтому представляется более удобным применять выражение
„функция комплексного переменного z" в более узком смысле, или,
другими словами, выбрать из общего класса комплексно-значных
функций от двух действительных переменных хну некоторый спе-
специальный класс и применять это выражение только к функциям этого
класса. Разъяснение того, как этот специальный класс определяется,
и каковы характеристические свойства функций, входящих в него,
вывело бы нас далеко за рамки настоящей книги. Поэтому мы не
будем приводить здесь никаких общих определений, а ограничимся
только изучением некоторых специальных функций, каждая из кото-
которых будет определена непосредственно.
228. Мы уже определили многочлены относительно z (см. п. 39),
дробно-рациональные функции от z (см. п. 46) и корни из z (см. п. 47).
Не представляет никакого труда распространить на комплексное
переменное определения алгебраических функций, явных и неявных,
которые мы сформулировали в случае действительного переменного х
(см. п. 26—27). Во всех этих случаях мы будем называть комплек-
комплексное число z аргументом рассматриваемой функции f(z). Задача,
которую мы ставим себе в этой главе, состоит в том, чтобы дать
определения и установить основные свойства логарифмической, пока-
показательной и тригонометрических или круговых функций от z. Эти
функции были до сих пор определены только для действительных
значений z, а логарифмическая функция даже только для положи-
положительных значений.
Начнем с логарифмической функции. Естественно попытаться
определить ее с помощью некоторого обобщения определения
для этого необходимо вкратце рассмотреть некоторые обобщения
понятия интеграла.
229. Действительные и комплексные криволинейные интегралы.
Пусть АВ является дугой С некоторой кривой, определенной ура-
уравнениями
* = ?('). .у = Ф (9.
где ср и ф — функции от t, имеющие непрерывные производные <у'
и <|Л Предположим, что когда t изменяется от t0 до iu точка (х, у)
движется вдоль кривой в одном и том же направлении от А к В.
Тогда мы определяем криволинейный интеграл
§{g(x,y)dx + h(x,y)dy}, (ь)
с

Общая теория логарифм-, показат. и тригонометрии, функций 455
где g и h—-непрерывные функции от х и у, как обычный опреде-
определенный интеграл, получаемый-в результате формальных подстановок
— ty(t), т. е. как
(ЯР. Ф) Ф'} ^-
J
Дугу С мы называем путем интегрирования.
Допустим теперь, что
и что z описывает дугу С на диаграмме Аргана, когда t изменяется
от t0 до tt. Допустим, далее, что
= « +к>
является многочленом относительно z или дробно-рациональной
функцией от z. Тогда мы определяем
V-) "^ B)
с
как
с
что, в свою очередь, определяется как
I (udx — vdy) -f- i I {vdx-\- udy).
с с
230. Определение LnC Пусть C = ?-f-/Tj—любое комплексное
число, отличное от нуля. Мы определяем Ln С, общий логарифм (нату-
(натуральный) от С, равенством
LnC = .J—.
с г
где С — кривая, соединяющая точку 1 с точкой U не проходящая
через начало координат. Так (фиг. 50), пути (а), (Ь), (с) являются
такими путями, которые имеются в виду в определении. Зна-
Значение Ln С, таким оэразом, определено, если выбран путь интегриро-
интегрирования. Но пока неясно, как значение Ln С зависит от выбранного пути.
Допустим, например, что С действительно и положительно, скажем
равно S. Тогда одним из возможных путей интегрирования является
•отрезок прямой между 1 и \, который мы можем задать уравнениями
х = t, у = 0. В этом случае, при этом частном выборе пути,
I
С dt
Ln ? =

456
Глава десятая
(с}\
так что Ln? равен ]п|,
логарифму натуральному
от ?, определенному в
предыдущей главе. Таким
образом, одним из значе-
значений Ln?, когда \ дейст-
действительно и положительно,
во всяком случае являет-
является 1п?. Нов этом случае,
как и в общем случае,
путь интегрирования мо-
жет быть выбран беско-
бесконечным числом различ-
различных способов. Ничто не
Фиг. 50 указывает на то, что
каждое значение LnS равно lnS, и мы увидим, что это в действи-
действительности не имеет места. Поэтому мы и применяем обозначение
Ln С, Ln 5 вместо In С, In S*). Функция Ln ? может оказаться много-
многозначной, причем In 5 может быть лишь одним из ее значений. В
общем случае, по крайней мере в свете того, что мы пока знаем,
могут представиться три возможлости, а именно:
A) мы можем всегда получать одно и то же значение Ln С, неза-
независимо от того пути, по которому мы интегрируем от 1 до С,
B) мы можем получать различные значения для различных путей,
C) мы можем иметь некоторое число различных значений, каж-
каждому из которых* соответствует целый класс путей.
Из нашего определения никак не следует, какой из этих трех
случаев действительно имеет место.
231. Значения LnC Пусть р и ср будут полярными координатами
точки 2 = С, так что
С = р (cos (f-\-i sin cp).
Предположим пока, что —тс<^ф<^5г, тогда как р может иметь лю-
любое положительное значение. Таким образом, С может иметь любое
значение, отличное от нуля и действительного отрицательного числа.
Координаты {х, у) любой точки на пути С являются функциями
от t и полярные координаты гиб также являются функциями от t.
Далее,
J z J х + iy Jx + iy\
dt
*) Автор применяет во всей книге обозначения log вместо In, что также
широко принято. Соответственно этому он пишет Log вместо Ln. (Прим.
перев.)

Общая теория логарифм., показам, и тригонометрия, функций 452Г
в силу определений п. 229. Но Ar = rcos6, у — rsin 6, и
так что
где [ln г] означает разность значений In r в точках, соответствую*-
щих t = ti и t — t0, и [б] имеет аналогичный смысл.
Ясно, что
[In г] =1пр — In 1 =1пр,
но значение [6] требует более внимательного рассмотрения. Предпо-
Предположим сперва, что путь интегрирования является прямолинейным
отрезком от 1 до С. Исходным значением б является амплитуда 1
или, точнее, одна из амплитуд
1, т. е. 2 Ы, где k — любое целое
Фиг. 51
Фаг. 52
. Из фиг. 51
до
число. Допустим, что исходное значение 8 равно
ясно, что с изменением t значение 8 возрастает от
Таким образом,
[6] = B Ajt -f 9) — 2 k-к = 9
и, следовате льно, когда путем интегрирования является прямолиней-
прямолинейный отрезок,
LnC = l
Это частное значение Ln С мы будем называть главным значением.
Когда С — действительное положительное число, ? = р и 9 = 0, так
что главным значением Ln С является обычный натуральный логарифм
от С, In С. Поэтому целесообразно и в общем случае обозначать,
главное значение LnC через In С Таким образом,

458
Глава десятая
и главное значение характеризуется тем, что его мнимая часть за-
заключена между —я и тс.
Далее рассмотрим любой путь, обладающий тем свойством, что
область, заключенная между ним и прямолинейным отрезком от 1
до С, не содержит начала координат; два таких пути показаны на
фиг. 52. Легко видеть, что вдоль такого пути [6] попрежнему
равно ер. Например, вдоль пути, показанного на фигуре непрерывной
линией, б, в исходной точке равное 2 kit, сначала убывает до зна-
значения
2/Ьт — ХОР,
а затем возрастает опять, принимая вновь значе'ние 2Ая в точке Q,
до 2Атс-|-ф. В случае пути, обозначенного пунктиром, прямолиней-
прямолинейный отрезок и кривая ограничивают две области, ни одна из кото-
которых не содержит начала координат; этот случай, хотя и несколько
сложнее, но вполне аналогичен предыдущему. Таким образом, если
путь интегрирования таков, что
замкнутая кривая, образованная
им и прямолинейным отрезком от
1 до С, не содержит внутри себя
начало координат, то
Ln С -= In С = In p -j- гср.
С другой стороны, очень легко
построить пути интегрирования, для
которых [6] не равно ер. Рассмот-
Рассмотрим, например, кривую, изображен-
изображенную на фиг. 53 непрерывной ли-
линией. Если исходное значение б
равно 1k-R, то оно увеличится на
2я, когда мы придем в точку Р,
и на 4я, когда мы придем в точку Q; конечным значением 6 будет
2 kv: -\- 4я -j- со, так что [8] = 4гс -4- со и
Ln С = In p 4- i Dя -j- 9).
В этом случае путь интегрирования дважды обходит начало ко-
координат в положительном направлении. Если бы мы выбрали путь,
обходящий к раз начало координат, то аналогично нашли бы, что
и
Фаг. 53
Здесь k положительно. Если путь обходит начало координат в отри-
отрицательном направлении (как, например, путь, изображенный на фиг. 53
пунктирной линией), то мы получили бы аналогичный ряд значений,
для которых k отрицательно. Так как |С| = р и углы 2&тс-}-ср яв-
являются разными значениями am С, то мы заключаем, что каждое зна-

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрия, функций 459
чение 1п|С|-}-гатС является значением Ln?; из предшествующего
рассмотрения ясно также, что любое значение Ln С имеет этот вид.
Таким образом, мь: приходим к следующему заключению: общее
значение Ln t равно
где k — любое целое число. Значение k определяется путем ин-
интегрирования. Если этот путь является прямолинейным отрез-
отрезком, то k'=0 и
Ln С = In С = In p -\- i ф.
Мы обозначили через С аргумент функции Ln С, и через ?, ¦») и
¦р, ср — координаты точки С. Обозначения z, x, у, г, 6 применялись
нами для произвольной точки пути интегрирования и ее координат.
Однако теперь нет оснований отказываться от более естественных
обозначений, в которых z является аргументом функции Lnz, и
в дальнейшем мы возвращаемся к этим обозначениям.
Примеры XCIV. 1. В предыдущих рассмотрениях мы предполагали,
что — ~<9<?т, так что мы исключили действительные отрицательные
значения г. В этом случае прямолинейный отрезок от 1 до г проходит через
начало координат, и поэтому недопустим как путь интегрирования. И
— г. и т. являются значениями am z,a 6 равно одному из них; кроме того, г = — г.
Значениями Lnz являются попрежнему значения ln{ z \ -f-iamz, а именно,
где k—-целое число. Значения
In (— z)-\--t и In(— z) — т.I
соответствуют путям от 1 до г, лежащим полностью над и полностью под
действительной осью. Каждое из них может быть взято в качестве главного
значения Lnz, смотря по тому, какое представляется более удобным. Мы
выберем в качестве главного значения In ( — г) -\--i, что соответствует
первому пути.
2. Действительные и мнимые части любого значения Lnz являются не-
непрерывными функциями от х и у, если только х и у не равны одновре-
одновременно нулю.
3. Функциональное уравнение для Ln z. Функция Ln z удовлетворяет
уравнению
Ln 2,2а = Ln 2X-j- Ln22 A)
в том смысле, что каждое значение одной из его частей является одним из
значений другой части. Это сразу следует из результата настоящего пункта,
«ели мы положим
гг = гг (cos 8j. -j- i sin 9i). гз = rs (cos 92 -|- i sin 92).
Однако уравнение
ln 2xz2 = In zx -f- ln z2 B)
яе всегда выполняется. Если, например,
2.2
= COS-Z + !Sing-~,

460 Глава десятая
2 4
то In % = In 22 = -^ «, и In Zi -\- In z2 = -о- да, что является одним из зна-
о о
чений Ln zxziy но не является главным значением. Действительно,
Уравнения такого типа как A), в которых каждое значение одной из=
частей является одним из значений другой, мы будем называть полными
или полностью верными.
4. Уравнение Lnzm = mLnz, где т— целое число, не полностью верно,,
так как хотя каждое значение правой части является одним нз значений,
левой части, но обратное неверно.
5. Уравнение Ln —= —hnz полностью верно. Верно также и то,
Z
что In — = — In г, за исключением того случая, когда z —действительное отри-
отрицательное число.
6. Уравнение
In ^—-? = In (z — а) — In <z — b)
z — b
верно, если z лежит вне области, ограниченной отрезком прямой, соединяю-
соединяющим точки 2 = а и z — b, и полупрямыми, исходящими из этих точек парал-
параллельно действительной оси в отрицательном направлении.
7. Уравнение
. а — z , !, а\ I, b\
lnv =ln 1 — In A
b — z \ z) \ z)
верно, если z лежит вне треугольника с вершинами в точках 0, а, Ъ.
8. Нарисовать график функции Im (Ln x) от действительного перемен-
переменного х.
[График состоит из положительных полупрямых у =2къ и отрицатель-
отрицательных полупрямых у = Bk -f-1) г..]
9. Функция f(x) от действительного переменного х, определенная ра-
равенством
-f(x) = pr. + (q — p) Im (ln x),
равна р, когда х положительно, и равна q, когда х отрицательно.
10. Функция f (х), определенная равенством
T.f(x)=zp7. + {q—p)\m {1п{лг— 1) } + (/¦ — ?IшAпдг),
равна р, когда лг>1, равна q, когда 0<лг<1, и равна г, когда лг<0.
11. Для каких значений z Iе In z и 2° любое значение Lnz (а) действи-
действительно и (Ь) чисто мнимо?
12. Если 2==дг-|-гу, то
Ln Ln z = ln R -f г @ -f 2й'т:),
где
и 0 является наименьшим положительным углом, определенным уравне-
уравнениями
а !п/" • а
cos 0 = —— , sm9=
У (In rf + (8 + Zk*f ' V(ln rJ + (8 -f 2*тг)«

Общая теория логарифм., показат. а тригонометрии, функций 461
Наметить бесконечное множество значений Ln Ln (I -f- / ~\f 3), и указать,
какие из них являются значениями In Ln (I -f- i У 3) и какие — значения-
значениями Ьп1пA+гУ).
232. Показательная функция. В гл. IX мы определили функ-
функцию еу от действительного переменного у как функцию, обратную
функции у —In л:. Естественно, что мы должны теперь определить
функцию комплексного переменного z, которая является обратной
функции Lnz.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если какое-либо значение hnz равно С, то мы
называем z экспоненциалом от С*) и пишем
? —ехр?.
Таким образом, z = ехр С, если C, = Lnz. Мы знаем, что любому
данному значению z соответствует бесконечно много различных
значений С. На первый взгляд нельзя сразу отбросить возможность
того, что каждому данному значению С соответствует бесконечно
много значений z, или, иначе говоря, что ехр С является бесконечно-
значной функцией от С. Однако, как видно из следующей теоремы,
это не так.
ТЕОРЕМА. Показательная функция ехр ? является однозначной
функцией от С.
Действительно, пусть
z\ — Н (cos ®i ~\-l sin ^i), 2a = ra (cos б2 -[- i sin 62)
и оба эти числа являются значениями ехр С. Тогда
С = Ln zt = Ln 23
и, следовательно,
In /"! + i (bt + 2ттг) = In ra + / (в, + 2m:),
где man — целые числа. Отсюда следует, что
In rt = In r2, б, -f- 2/ит: = 62 + 2/zjt,
т. e. /"! = r2 и разность 6t — 6a кратна 2jt. Это означает, что zx = гв.
СЛЕДСТВИЕ. ?с./ш С — действительное число, то
ехр С = е'»
т. е. равен действительной показательной функции от С, определен-
определенной в гл. IX.
Это следует из того, что если z = e^, то In z — С, т. е. одно
из значений Ln^ecTb С Следовательно z — ехр С.
*) Или показательной функцией. (Прим. пере в.)

462 Глава десятая
233. Значение ехр С Пусть С = ?-|-«1 и
z = ехр ? = г (cos 6 -J- / sin 6).
Тогда
\ -\- щ = Ln z = In r-f i (б -f 2м::),
где /я — целое число. Следовательно, ? = 1пг, -rj = 6 ^— 2/«тсг
или
г = е?, 6 = Y) — 2/ятс
и,' соответственно,
ехр (? -f- /ttj) = e? (cos rj -(- / sin yj).
Если yj = 0, то exp? = e?, как мы уже видели в п. 232. Очевид-
Очевидно, что действительная и мнимая части ехр (? -\- щ) являются непре-
непрерывными функциями от \ и Y) для всех значений ? и t\.
234. Функциональное уравнение для ехр С. Пусть
Тогда
ехр ?j • ехр t;a = e?i (cos -rjj -)- i sin Yit) • e?s (cos tj2 -j- i sin yj2) ==
= eei+i2{(cos (tq! -f tqj) + i sin (t,, + tq2)} = exp (d + C2).
Показательная функция удовлетворяет, таким образом, функциональ-
функциональному уравнению /(Ci + C2)=/(^i)/(C2). В случае действительных
значений Ci и ^2 мы это уже доказали раньше (см. п. 213).
235. Общая показательная функция Л Так как ехрС = ес»
когда ? действительно, то казалось бы естественным применять то>
же обозначение и в случае комплексного С и совершенно отка-
отказаться от обозначения ехр С. Однако мы так не поступим, потому
что в дальнейшем припишем символу е^ некоторый более общий
смысл. Мы увидим, что е^ представляет бесконечно-значную функцию»
одним из значений которой является ехр С.
Мы уже определили с? в значительном числе случаев. Этот сим-
символ определяется в элементарной алгебре в тех случаях, когда а —
действительное положительное число и С рационально, или когда
а — действительное отрицательное число и С — рациональное число
с нечетным знаменателем. По определениям элементарной алгебры,
аг может иметь не более двух значений. В гл. III мы распростра-
распространили наши определения на тот случай, когда а — любое действи-
действительное или комплексное число, а ? — любое рациональное число;
—; наконец, в гл. IX мы дали новое определение с помощью ра-
равенства
которое применимо для всех действительных ? и всех действитель-
действительных и положительных а.

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 463
Итак, мы тем или иным образом приписали определенные зна-
значения таким выражениям, как
3V., (_
но мы еще не имеем определений, в силу которых можно было бы
приписать определенные значения
A + 0^Г» 2*> C,+20*+3г'-
Мы дадим теперь общее определение а;, которое применимо ко всем
значениям а и С как действительным, так и комплексным, за един-
единственным исключением а = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция а^ определяется соотношением
ас = ехр (С Ln а),
где Ln а обозначает любое значение логарифма а.
Мы должны убедиться в том, что это определение не противо-
противоречит нашим предыдущим определениям и содержит их все как
частные случаи.
A) Если а положительно и С-—действительное число, то одно-
из значений С Ln а, а именно, С In а, действительно, и ехр (С In а) = ес 1п а,
что совпадает с определением в гл. IX. Как мы там видели, опре-
определение из гл. IX не противоречит определениям, даваемым в элемен-
элементарной алгебре. Следовательно, и наше новое определение также
не противоречит им.
B) Если а = ет (cos <j> -(- i sin (j>), то
Ln a = t -\- i (<j> -)- 2 /дат),
ехр (? Ln aWe^'Cis {^ (<!>
где от — любое целое число. Легко видеть, что когда т принимает
всевозможные целочисленные значения, это выражение принимает q
и только q различных значений, которые как раз являются значе-
значениями aP/Q, найденными в п. 48. Таким образом, наше определение
не противоречит и определению из гл. III.
236. Общее значение а>. Пусть
С = I -\- щ, а = о (cos ty-\-isiu (j>),
где —я<^(j>sg;я, так что, в обозначениях п. 235, о = ет или т = 1по.
Тогда
С Ln а =
где
и
а": = ехр (Л Ln а) = еА (cos /И -j- i sin Л1).

464 Глава десятая
Таким образом, общим значением аг- является
е= ш»— 1)(Ф+2/nic) rcos {yjin 0_|_?($ -\- 2tmt)\ -j-
В общем случае a1-— бесконечно-значная функция. Действительно,
имеет различные значения для каждого значения от, если yj :? 0.
Если же т) = 0, то модули веек различных значений а? равны между
собой. Но любые два значения будут все же отличаться друг от
друга, если их амплитуды не равны или их разность не кратна 2гс.
Для того чтобы два таких значения совпадали, нужно чтобы
i(ty-\-2mii) и ? (<|*-|-2/ис), где т и п — целые числа, тфп, отли-
отличались друг от друга на кратное 2тг. Но если
то ? = —__—- должно быть рациональным. Мы видим, что <? беско-
нечно-значно, если С не является действительным рациональным
числом. С другой стороны, мы действительно видели, что при С
действительном и рациональном а- имеет только конечное число
значений.
Главным значением а1-= exp (CLna) является то, которое получается
при главном значении Ln а, т. е. при »| = 0в общей формуле. Таким обра-
образом, главное значение «*• равно
„5 In о —
i* {cos (ij In 5 + Е ф) +« sin (i In в + &!*)}•
Следующие два частных случая представляют особый интерес. Если а
действительной положительно и К, действительно, то ч=а, d> = 0, ё == С,
1) = 0, и главное значение а1* равно е^1п а, что совпадает со значением,
определенным в гл. IX. Если |а| = 1 и К, действительно, то о = 1, 6 = С, ?i = 0,
и главное значение (cos <Ь -(- i sin ЛI" равно cosCd»-)-/ sin С1}'. Это является
дальнейшим обобщением теоремы Муавра (см. пп. 45, 49).
Примеры XCV. 1. Найти все значения if.
[По определению,
;* = ехр (/ Ln i).
Но
^ftsin Lr\i
где k — любое целое число. Следовательно,
Таким образом, все значения /' действительны и положительны.]
2. Все значения а1" лежат ца диаграмме Аргана в вершинах ломаной,
вписанной в логарифмичгскую спираль, последовательные звенья которой

Общая теория логарифм., показат- и тригонометрии, функций 465
образуют друг с другом равные углы, причем форма спирали не зависит
от а.
(Экз. 1899 г.)
[Если
ai: = /-(cosQ + 'sin9),
то мы имеем
и все эти точки лежат на спирали
3. Функция е'- Если мы положим а = е в общей формуле, так что
In s=l, ф = 0, то получим
ес = е^~2т^ {cos(ч + 2отг;) + /sin
Главным значением е* является е* (cosy]-f-/sin г,), что равно ехр С (см. п. 233).
В частности, если С действительно, то у] = 0, и общее значение будет
равно
е1" (cos 2/ят;? -)- / sin 2/mt?),
а главное значение будет в1*, где е1" обозначает положительное значение
экспоненциала, определенное в гл. IX.
4. Показать, что
Ln ?•= A + 2/и-/) С + 2я«,
где /я и п — произвольные целые числа, и что в общем случае LnaC
имеет оо2 значений*).
5. Уравнение
7-'"'
полностью верно (см. пример XCIV. 3); оно выполняется также и для глав-
главных значений.
6. Уравнение
^ • ^=(а*)с
полностью верно, но для главных значений оно может не иметь места.
7. Уравнение
не является полным, но для главных значений оно имеет место.
1Каждое значение правой части является одним из значений левой части,
но общее значение в1"-а1"', а именно,
ехр {С (in a -f 2ттЛ) + Z' (In а + 2пт.1)},
как правило не является значением «' + '•' , если тфп\
8. Каковы соответствующие результаты для уравнений
Lnar=!:Lna, (a^f =(flt:')i: =aK<?
9. Для того чтобы все значения а1" были действительными, необходимо
и достаточно, чтобы
2$ и — <y] In | а 1 + бата),
;:) Т. е. что эти значения зависят от двух параметров, принимающих
каждый бесконечное число (целочисленных) значений. (Прим. перев.)
эо г. Харди

466 Глава десятая
где am а обозначает любое значение амплитуды, были оба целочисленны.
Каковы соответствующие условия для того, чтобы все значения имел»
модуль, равный 1?
10. Общим значением \х1 -\- х~'\, где х>0, является
е~ С» - л) * у 2 {Ch 2 (т + п) г. + cos B In xj}7
11. Найти ошибку в следующем рассуждении: так как
где т и п — любые целые числа, то возводя каждую часть этого равенства
в степень /, найдем, что
12. При каких условиях некоторые из значений хх, где х — действи-
действительное число, будут действительными?
[Если х>0, то
хх = ехр (л: Ln х) — ехр (xlnx) Cis 2тъх,
где первый множитель действителен. Главное значение, для которого /я = О,
всегда действительно.
Когда х — рациональное число вида к-^rj или когда х иррационально,
то другого действительного значения нет. Но если х — рациональное числа
р
вида -—-, то имеется еще одно действительное значение, а именно, — ехр (х!пх)>
соответствующее m = q.
Если х = — ? < 0, то
хх = ехр {— ? Ln (- ?)} = ехр (— ? In ?) Cis { — Bт + 1) Щ.
Единственным случаем, в котором это выражение может иметь действи-
действительное значение, является ? = о .—=¦; в этом случае при т = q мы полу-
получаем действительное значение
ехр (— ? in ?) Cis (— ръ) = (— iy> ? ~К
Эти результаты иллюстрируются следующими примерами:
Vs
1 \-Vs_
-yj —
13. Логарифмы при любом основании. Мы можем определить ? = Log аг
двумя способами. Мы можем, во-первых, положить C = LogQz, если главное-
значение а* равно z, или мы можем, во-вторых, положить С = Logaz, если.
некоторое значение а4 равно г.
Так, если а = е. то, по первому определению, С = Logez, если главное
значениг е- равно z, т. е. если ехр Z, = г; таким образом, Logcz совпадает
с Lnz. Но, по второму определению, ? = Logez, если
е' = ехр (I Lne) = г, ZLne==Lnz

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрия, функций 467
, причем логариф
\п\г\Л-{гха.г-\-2т-I
или С = , причем логарифмы могут иметь любые значения. Следова-
Следовательно,
так что Z, является многозначной функцией от г с ее2 значениями. По этому
определению мы имеем, вообще,
Lnz
14.
Ъпт
где m и л —любые целые числа.
237. Выражения синуса и косинуса через показательную функ-
функцию. Из формулы
ехр (I -(- гт() = ехр $ (cos ч\ -{- г sin yj)
мы можем вывести много важных следствий. Полагая $ = 0, мы
получаем exp(iY)) = cos?)-j-2Sin7]; заменяя здесь т) на—у\, получаем
также ехр(—nj) = cosrj— isirnrj. Следовательно,
cos Y] = у {ехр (гт)) + ехр (— гк))},
i{p(i) — ехр (—гт,)}.
Соответствующие выражения через ехр (гт,) мы можем получить,,
конечно, и для других тригонометрических функций от ч\.
238. Определение sin ? и cos С для всех значений С. В преды-
предыдущем пункте мы видели, что если С действительно, то
cos ; = 1 {ехр (г?)-|- ехр (—?)}, Aа)
sin !: = — i-i {ехр (/С) —ехр (—Й)}. AЬ>
Левые части этих равенств определены, в силу известных геометри-
геометрических определений элементарной тригонометрии, только' для дей-
действительных значений С. Но правые части были определены для
всех значений С, действительных или комплексных. Таким образом,
мы, естественно, приходим к определениям cos С и sin!; для всех
значений С с помощью формул A). В силу результатов п. 237, эти
определения совпадают для действительных значений С с известными
элементарными определениями.
Определив, таким образом, cos С и sin С, мы определяем другие
тригонометрические функции соотношениями
, г s'n ^ 1 у cos ъ » 1 1
30»

468 Глава десятая
Ясно, что cos ? и sec С являются четными функциями от ?, a sin С,
tgC, ctgC и cosec С — нечетными функциями. Далее, если exp (iQ = t,
то мы имеем
„ _1_/,_. 1 \ . 1 ./ ]\
= 1. C)
Более того, мы можем выразить тригонометрические функции
от С-(-С через тригонометрические функции от С и С с помощью
тех же самых формул, которые имеют место в элементарной три-
тригонометрии. Действительно, если ехр (&) = ?, exp AС) — t', то мы
имеем
1 \ /,, 1 \ 1 _ ., . „ . „,
— -г) [t — т = cos *cos^ — sin 'Sln*• > D)
t J V t I I
и аналогично мы можем доказать, что
sin (С + С') = sin С cos С' + cos X, sin С E)
В частности,
cosjC-j-y я] = — sin!;, sinK + у те J = cos С. F)
Все общеизвестные формулы элементарной тригонометрии
являются алгебраическими следствиями уравнений B) — F), и, сле-
следовательно, все эти формулы имеют место и для обобщенных три-
тригонометрических функций, определенных в этом пункте.
239. Обобщенные гиперболические функции. В примере LXXXVIII. 2C
мы определили ch С и sh С для действительных значений С уравнениями
-!:)), sh С =-|(ехр C-exp(-Q j. A)
Мы можем теперь распространить это определение на комплексные значе-
значения переменного, т. е. мы можем условиться считать уравнения A) опре-
определяющими 'сп С и sh С для всех значений С, как действительных, так и ком-
комплексных. Читатель легко проверит, что
cos i С = ch С, sin / С = / sh J, ch / С = cos ?, sh i С = / sin J.
Мы видели, что любая элементарная тригонометрическая формула как,
например, cos2? = cos2C — sin2 Z, остается в силе и в том случае,
когда для Z допускаются комплексные значения. Следовательно, она остается
в силе, если мы заменим в ней cos С на cos/С, sin С на sin il и cos 2 Z, на
cos 2<С, т. е. если мы заменим cos? на ch ?,sin С на /shi и cos2? на сп2?
Таким образом,
ch 2C = ch2 С + sh2 r.
Аналогичное преобразование применимо к любому тригонометрическому
тождеству. Это объясняет то соответствие, которое было отмечено нами
в примере LXXXVIII. 22 между формулами для гиперболических и для
обыкновенных тригонометрических функций.

Общая теория логарифм.., показат. и тригонометрии, функций 469
240. Формулы для cos(i-f-/if]), sin (? -f" Щ) и т' Д- Из формул сложения
следует, что
cos (? -(- jyj) = cos % cos «rj — sin I sin щ = cos ? ch щ — / sin ? sh ij,
sin (S +'¦"!)= s'n 5 c°s '4 + c°s E s'n '4 = sin E ch tj -f-« cos ? sh »].
Эти формулы имеют место для всех значений ? и ij. Интересным случаем
является тот, в котором ? и т) действительны. В этом случае они дают вы-
выражения для действительной и мнимой частей косинуса и синуса от ком-
комплексного аргумента.
Примеры XCVI. 1. Определить значения ?, для которых cos С и sin С
1° действительны, 2° чисто мнимы.
[Например, cos J действителен, когда тг] = 0 или когда S кратно к.]
2.
cos (; + «Ч) I = KcosS ? + sh2 -г) = |/ у (ch 2т] + cos 25),
| sin (? + щ) 1 = ]/" sin2 i + sh3?] = |/i (ch 2n] — cos 2g).
[Использовать, например, равенство
| COS F + IT,) | = /¦cos(e + l4)COs(e-/T,).]
3.
— fsh 2-^
[Например,
)cos(? —/i)) cos2S-f cos2/i] *
что приводит к указанному результату.]
4-
sec
cosec
/> _i_ •. v ¦ s'n S c^ '1 —«cos ? sh ¦/]
" (ch2-/] — cosS
5. Если | cos (?-(-iij) j = 1, то sin2| = sh2-^, а если ] sin (? + »]) | = 1, то
cos2 4 = sh2nj.
6. Если [cos (S-f-i'i) J == 1, то
sin {am cos (| + r<j)} = ± sin2 % = ± sh2 ij.
7. Доказать, что Lncos E-)-гт,):= Л-j-'-В. ГДе
и Д — любой угол, для которого
cos В sin В , 1
cos ; ch i) sin ? sh ¦
i /
2
Найти аналогичную формулу для Ln sin (S -f- it,).

470 Глава десятая
8. Решение уравнения cos? = a, где а —действительное число. Пола-
Полагая ? = ?-(-/¦») и приравнивая действительные и мнимые части, мы получим:
cos?ch?] = a, sin ? sh vj = 0-
Отсюда следует, что либо 1 = 0, либо ? кратно г.. Если A) yj = O, то cos? = «,
что возможно только в том случае, когда —l^ct^l. Это предположение
приводит к решению
С = 2&~ ± arc cos a,
где arc cos а заключено между 0 и -„- г.. Если B) ? = /яп, то chv) = (—l)m«,
так что либо а^1 и /я — четное число, либо a sg;—1 и /я нечетно. Если
в= ± 1, то у] = 0, и мы возвращаемся к первому случаю. Если j а | > 1, то
h |[
и мы приходим к решениям
= 2&- ± i In {« + jA2 — 1 } (а > 1),
К" - 1).
; = |a
Например, общим решением уравнения cos ? = я- является
Z = Bk+l)r.±i In 3.
Решить аналогично уравнение sin С = а.
9. Решение уравнения сos? =a-f-'3» где 3^0. Мы можем предполо-
предположить, что J3 > 0, так как решение в случае E < 0 может быть получено
простым изменением знака при i. В данном случае
cos ? ch v] = a, sin|shT,== — р A)
и
+ =1
СП2 Т) Sh2 ij
Если мы положим ch2v] = x, то найдем, что
х- — A + »а + ?2) -У + *2 = °
или х = (yli ± Л2J, где
^ = у ^(^HT + F, ^ = \ /(а-1J+Р2-
Допустим, что а>0. Тогда Л1 > Лг > 0 и ch rl = A1±Ai. Далее,
СО8?="спТ = Л1:Т:Л2'
а так как chv]>cos?, то мы должны положить
chrlz=A1-\-A2> cosij = /l1—Л».
Общими решениями этих уравнений являются
? = 2&-±arccosAf, ,, = ± In {L + УL* — 1}, B)
1-де1=Л1 + Л2, M=Ai— Л», и arc cos М заключен между 0 и у?г.
Таким образом, полученные значения ч и ? являются, однако, не только
решениями уравнений A), но и уравнений
cos % ch -i\ = a, sin | sh v) = C, C)
так как мы использовали второе из уравнений A) после возведения его
в квадрат. Для того чтобы отделить эти две системы решений друг от друга.

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 471
заметим, что знак sin? совпадает со знаком, выбранным в первом из урав-
уравнений B), а знак sh г]— со знаком, выбранным во втором из этих уравнений.
Так как ?>0, то эти знаки должны быть противоположными. Таким обра-
образом, искомым общим решением является
? = 2k~ ± [arc cos M — /In [L -f- Y L~ — l)h
Разобрать аналогично случаи, в которых о<0 и а = 0.
10. Если р = 0, то
? = -l[a+i; + l[2_l| и M=
Проверить, что эти результаты совпадают с результатами примера 8.
11. Показать, что если аир положительны, то общим решением уравне-
уравнения sin? = a-|-i? является
С = kr. + (— 1)* [arc sin M + i In {L + уТ^ГТ}],
где arc sin M заключен между 0 и -=- -. Найти решение в остальных слу-
случаях.
12. Решить уравнение tgi = a, где а — действительное число. [Все корни
этого уравнения действительны.]
13. Показать, что общим решением уравнения tgC = a + r» где
является
гдг в — наименьший по абсолютной величине угол, для которого
1—а2—й2 2а
cos 8 = -у. -- - , sin 6 = —— ¦ —
14. Доказать, что
| ехр ехр (? + it,) | — exp (exp g cos vj),
Re {cos cos (? -j- г^)} == cos (cos | ch v]) ch (sin ? sh v;),
Im {sin sin (| -|- г'т^)} = cos (sin % ch rt) sh (cos 5 sh rt).
15. Доказать, что | exp J ! стремится к оо, когда С стремится к бесконеч-
бесконечности вдоль любого луча, исходящего из начала координат и образующего
с действительной осью угол, меньший yi;, и стремится к 0, когда ? стре-
стремится к бесконечности вдоль такого же луча, но образующего с действи-
действительной осью угол, заключенный между -=-я и ~.
16. Доказать, что | cos С | и j sin С [ стремятся к со, когда Ч стремится
к бесконечности вдоль любого луча, исходящего из начала координат и не
совпадающего ни с одной из действительных полуосей.
17. Доказать, что tg С стремится к —/ или к /, когда J стремится к бес-
бесконечности вдоль любого из лучей, указанных в примере 16, причем преде-
пределом будет —i, если этот луч проходит над действительной осью, и /, если
он проходит под действительной осью.
241. Связь между логарифмической и обратными тригонометриче-
тригонометрическими функциями. В гл. VI мы видели, что интеграл от дробно-рациональ-
ион или алгебраической функции <р(х, a, -ji, ...), где а, ^, ... — постоянные

472 Глава десятая
часто принимает различные формы, в зависимости от значений а, {5, ...J
иногда он выражается через логарифмы, а иногда — через обратные тригоно-
тригонометрические функции. Так, например,
J
t t
a
<j ¦* r" i/ a v a
если a > 0, no
J
2 |Л— <
in
У-а
B)
если а < 0. Эти формулы указывают на то, что должна существовать ка-
какая то функциональная зависимость между логарифмической и обратным»
тригонометрическими функциями. Что такая зависимость действительна
существует, можно видеть из того, что, как мы уже видели, тригонометрические:
функции от С выражаются через ехрг'С и'что логарифм является функцией
обратной показательной функции.
Рассмотрим внимательнее соотношение
dx 1 , х — a
которое имеет место, если а действительно и положительно. Если бш
г лг + а
мы могли в этом уравнении заменить а на /а, то пришли, бы к формуле-
т* 1п+с C>
где С — постоянная, и поскольку мы уже определили логарифм от комплекс-
комплексного числа, то возникает вопрос, справедливо ли ато саотношение или нет.
По предыдущему (см. п. 231),
Ln {х ± ia) = -i In (x* + а2) ±Ц<? + 2k~),
где k — целое число и ю—наименьший по абсолютной величине уго.т, дла
которого
х . а
COS <f = - , Sill <f = - .
|^X2 _|_ a2 yx1 ^_ ai
Таким образом,
1 . x — ia .
где /—целое число, а это последнее 'выражение действительно, отличагтс®
х
от любого значения arc tg — только на постоянное слагаемое.
Основной формулой, связывающей логарифмическую и обратные триго-
тригонометрические функции, является следующая:
1 , l-4
t L
где х действительно. Эту формулу легче всего проверить, полагая в не&
x=tgy, причем правая часть сведется к выражению
1 , cos v-(-'s'n_У 1 , , г.. , , .
__ Ln ¦у'. . у —-щ-Ln(exp2гу) — у-\-к~,
2г cos_y — is\ny 2/ ч •" '
где к — любое целое число. Таким образом, уравнение D) „полностью" верна
(см. пример XCIV. 3). Читателю предлагается также проверить формулы

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрач. функций 473;
arc cos x = — j Ln (jc ± / у 1 — x2}, arc sin x = — i Ln (ix ± УI — x2), E)<
где —1=sSa;=sS1. Каждая из этих формул также „полностью" верпа.
Пример. Решая относительно у уравнение
1 / . 1
где у = ехр (га), мы получим:
y = x
Таким образом,
а = — г Lay — — iLa(x± iYl — x%)>
что эквивалентно первому из уравнений E). Получить так же уравнение D>-
и второе уравнение E).
242. Степенной ряд для ехр г1). В п. 219 мы видели, что еслш
z действительно, то 2
! >
В п. 198 мы также видели, что ряд в правой части остается сходя-
сходящимся (и даже абсолютно), когда z-—'Комплексное число. Есте-
Естественно предположить, что уравнение A) также остается в силе, ш
мы теперь докажем, что это действительно так.
Пусть сумма ряда A) обозначена через F (z). Так как ряд абсо-
абсолютно сходится, то непосредственным перемножением (как в при-
примере LXXXI. 7) мы убедимся, что F{z) удовлетворяет функциональ-
функциональному уравнению
и, в частности, что
Но
и
=1— fr+fr ~~ ••• +1\У — ^r + -)
Следовательно,
F {z) = ех (cos у -\-1 sin у) — ехр z,
если z-=x-\-iy.
Имеется еще другое доказательство, которое представляет инте-
интерес, в силу того, что оно не использует степенные ряды для cosjy
и sin^.
Если F(iy)=f(y), то/(у+*)=ДУ)/(*) и
*) Теперь удобнег обозначать аргумент показательной функции через z,.
: через С
Ч Тепер
а не через С

474 Глава десятая
где
2! •" 3!
-+...^(е —2)|А
для малых k, так что р стремится к 0 при А-vO. Следовательно,
J (у) дифференцируема и
/О0
Отсюда следует, что
g (У) =/00 (cos У —l si
дифференцируема'). Далее,
g' СУ) = if (У) (cosy — 'l sitl У) —/(У) (sin .у +' cos у) = О,
так что g(y) постоянна. Следовательно,
¦и
/00 =
Наконец,
^ («У) =/СУ) = c°s^ + i sin у
и
F (jc -\- ly) = F (x) F (iy) = еЛ (cos_y -j- i sin_y).
243. Степенные ряды для cos z и sin z. Из результатов преды
дущего пункта и уравнений A) п. 238 следует, что
для всех значений z.
Примеры XCVII. 1. Доказать, что
| cos? j sgch ; z \, | sin г j =g sh j z \.
1. Доказать, что если | z | < 1, то | cos z \ < 2 и | sin г | < -=-1 г |.
3. Так как sin22 = 2sin2cosz, то
L + f -2(* + \(i 4-
3! +^Г^ {Z~~3l+---)\ ll +-
Доказать перемножением рядов в правой части (см. п. 202) и сравнением
коэффициентов (см. п. 201), что
Ч Следующее в тексте рассуждение содержало в предыдущих изданиях
одну любопытную ошибку. Приведенное здесь окончание доказательства
предложено Лявом (Love).

Общая теория логарифм., показат. а тригонометрии, функций 475
Проверить результат с помощью биномиальной теоремы. Вывести аналогич-
аналогичные тождества из уравнений
cos2z'-fsins2= I, cos 2г = 2 cos2 z — 1 = 1—2 sin2 г.
4. Показать, что
ехр {(I +/) г} = ? 2п/*ехр A пп) J .
О \ 4 /П!
5. Разложить cos z ch z no степеням z.
[Мы имеем
cos г ch г — i sin «sh 2 = cos A -j-iJ= -=- [exp {(I -\-i)z} -f- exp {— A -\-i) z}] =
и аналогично
cos^ch z~\~i sin z sh 2 = cos A —/)г
Следовательно,
6. Разложить sin2z и sin3 г по степеням z.
[Применить формулы
sin2 z = -и- A — cos 2z), sin3 2 == -r- C sin z — sin 3z).
Z 4
Ясно, что этот метод применим и к разложениям cosnz и sin" z, где п
любое целое число.]
7. Просуммировать ряд
I g°gjg cos2z cos3z „_sinz sin2a; sin3z
[Здесь
= exp {exp (гг)} = exp (cos 2) {cos (sin z)-\-i sin (sin 2)},
и аналогично
С — iS = exp {exp (— iz)} = exp (cos z) {cos (sin z) — i sin (sin z)}.
Следовательно,
С = exp (cos z) cos (sin z), S = exp (cos z) sin (sin 2).]
8. Просуммировать ряды
, , a cos z , a2 cos 2z . a sin 2 , a2sin2^
~t П * 2! " + •••' —и 1 2! - + '¦••

476 Глава десятая
9. Просуммировать ряды
cos 2г cos 4г cos г cos3z
2! ' 4! "•' ~Ti 3! l"*'*-
10. Показать, что
, , cos 4г , cos 8z . 1 , , . , , . . , , . . , , .,
1 -) jj-—j ^j—¦ -(-•... = у {cos (cos z) ch (sin z) -j- cos (sin z) ch (cos z)}.
11. Показать, что разложения cos(jc-j-A) и sin(jc-)-A) по степеням ft,
найденные в (I) п. 152, имеют место для всех* и h как действительных, так
и комплексных.
244. Логарифмический ряд. В и. 220 мы нашли, что
ln(l+2) = z_I^ + i-^_... , A)
где z действительно и по модулю меньше 1. Ряд в правой части
сходится, и даже абсолютно, когда z имеет любое комплексное зна-
значение, по модулю меньшее 1. Естественно ожидать, что уравнение
A) остается в силе для всех таких комплексных значений z. Что
это действительно так, может быть доказано с помощью рассужде-
рассуждения, аналогичного приведенному в п. 220. Мы докажем даже больше,
а именно, что A) имеет место для всех значений z, для которых
S1, за единственным исключением z =—1.
Читатель вспомнит, что In A-4-г) является главным значением
Ln (I -\~z) и что
с
где С—прямолинейный отрезок, соединяющий точки 1 и 1 -\~z
в плоскости комплексного переменного и. Мы можем предположить,
что z не является действительным числом, так как формула A)
была уже доказана для действительных значений z.
Если мы положим
z = r (cos 6 -j- / si п 6) = Cr,
так что |rjsg1, и
то и описывает путь С, когда t возрастает от 0 до г. Кроме того,
Cdu__ С Ш __
,) а ~ J 1 + C* —
с о
dt =
B)

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 477
где ? tmdf
jf~Tt- C)
о
Из неравенства A) п. 170 следует, что
,ь |< f tmdt
о
Но |1-)-С^| или |к| никогда не меньше»—длины перпендикуляра,
опущенного из 0 на прямую С 1). Следовательно,
rm+i
j (+) ( + )
О
и, таким образом, /?ж ->• 0 при m ->- со. Из B) теперь следует, что
г-1^-!-1г3-.... E)
В процессе доказательства мы показали, что ряд сходится;
однако, это было доказано раньше (см. пример LXXX. 4). В дей-
действительности ряд сходится абсолютно при J z | <^ 1 и условно
При J2J = 1.
Заменяя z на — z, мы получаем
ДЛЯ ]г|а-?1, Z-zfz 1.
245. Далее,
In A -|~г) = 1п {A -j-rcos6)-f- irsin 8 } =
Здесь следует взять то значение арктангенса, которое заключено
между —-^ тс и -^ т. В самом деле, так как 1-f-2 является вектором,
представляемым отрезком от — 1 до z, то главное значение am (I -\-z)
всегда заключено между этими пределами, когда z лежит внутри
круга | z) = 1 2).
1) Так как z не лежит на действительной оси, то продолжение С не
проходит через О. Читателю рекомендуется нарисовать фигуру, иллюстри-
иллюстрирующую рассуждение в тексте.
*) См. предыдущую сноску.

478
Глава десятая
Так как zm — rm (cos /геб -f- i sin тб), то, приравнивая действитель-
действительные и мнимые части в уравнении E) п. 244, мы получаем
~ ln(l +2rcos6-j-r2) =
arc
— i-r2 cos 26-fir3 cos 36-
tg- fsin9-=rsin6 — 1 r*- sin 26 +4"^ sin 36-
s 1 -f- rcos6 2 ' 3
При O^rsgl эти уравнения имеют место для всех значений 6, за
исключением того случая, когда г=\ и 6 равно нечетному крат-
кратному к. Нетрудно видеть, что они также имеют место при — 1 ^ г^ О,
за исключением того случая, когда г = —1 и 6 равно четному
кратному я.
Особенно интересным является тот случай, когда г=1. В этом
случае мы имеем
если —7
t, и, следовательно,
cos 6 — 1 cos 26 -j—i- cos 36 —... = I In D cos" -i- 6),
sin Q _ i_ Sin 26 -f i- sin 36 — ... = -i- 6.
Для других значений 6 суммы этих рядов легко находятся в силу
того, что они являются периодическими функциями от 6 с перио-
периодом 2к. Так, сумма ряда косинусов равна
у In D cos2! 6
для всех значений 6, кроме нечетных кратных я (для этих зна-
значений ряд расходится), а сумма ряда синусов равна у F —
Фиг. 54
если Bk—1) тг <^6<^ Bk -4- 1)те, и равна 0, если 6 равно нечетному
кратному я. График функции, представленной рядом синусов, изо-
изображен на фиг. 54. Эта функция разрывна при 6 = BA-f-1)~.

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрия, функций 479'
Если мы в E) заменим iz на —iz и вычтем полученное соотно-
соотношение из исходного, то мы найдем, что
tt I— iz 3 ' 5
Если z действительно и по модулю меньше 1, то, в силу результатов:
п. 241, мы приходим к формуле
arctgz z23f г3
уже доказанной другим способом в п. 221.
Примеры XCVIH. L Доказать, что в любом треугольнике, в кото-
котором а > Ъ,
1пс = 1па cos С -
а
cos Сr^
а 2а-
{Экз. 1915 г.>
[Применить формулу
lnc = yln(a3 + 62 — 2abcosQ.]
2. Доказать что, если — 1 < г < 1 и —=- - < Q < — л, то
rsin2e — 4rr2sin46+-4- r3sin66— ... =9 — arctg-f j^tgO 1,
i о { l -(- r J
причем значение арктангенса заключено между —я-л; и у я. Определить.
сумму ряда для других значений 6.
3. Доказать, рассматривая разложения In A 4- iz) и In A — гг) по степе-
степеням z, что если — 1 < г< 1, то
г sin 9 + у rs cos 29— у г3 sin 36 — i- rs cos 46+ ... =-^- ln(l +2r sin8+r2),.
^ ^ = arctg
. 1 , „n , 1 2rcos9
r cos 9 — -g- r3 cos 3 9 + ... = у arc tg
l_f.2 ,
1 1
где значения арктангенсов заключены между — -=- тг и -^- -.
4. Доказать, что
cos 9 cos 8 — -g-cos 29 cos2 6-j-— cos 39 cos3 S— ... =-^ln(l-|-3cos28),
sin9sin 8 — у sin 29 sin2 9 + -j sin 39 sin3 9 —... = arc ctg A -j- ctg9-j-ctg2 9)„

¦480 Глава десятая
1 1 „ „
тде значение арккотангенса заключено между — у тс и у -п. Найти анало-
аналогичные выражения для сумм рядов
cos 6 sin 9 — у cos 29 sin2 9+ ... , sin 6 cos 9 — у sin 26 cos2 6+ ....
246. Некоторые приложения логарифмического ряда. Пусть z—
любое комплексное число, a h — действительное число, достаточно
малое для того, чтобы |Аг|<^1. Тогда
1пA+Аг)=Аг — {hzf +
ад, следовательно,
¦еде
ср (A, z) = — у hzl -\- у Л223
l9(A, 2)|^|A^[(l+[A2|+]AV|+...)=T-b^-r)
атак что «р (А, 2) ->- 0 при А —v 0. Отсюда следует, что
Если ;иы, в частности, положим А=—, где л — положительное
гцелое число, то найдем, что
lim л In A -\ ) =г,
¦и, следовательно,
Это соотношение является обобщением результата, доказанного
в п. 215 для действительных значений z.
tJ Из равенства A) мы можем вывести некоторые другие резуль-
результаты, которые понадобятся нам в п. 247. Если t и А действи-
действительны и А достаточно мало, то
, hz
h — Л — \, i \+tzJ
¦что стремится к пределу - , при А-+-0. Следовательно,

Общая теория логарифм., показам, и тригонометрия, функций 481
Нам потребуется также формула для производной от A ~\-tz)m
по t, где /те— любое действительное или комплексное число. Заме-
Заметим сначала, что если «р (t) = ty (t) -j- z'x (t) — комплексно-значная функ-
функция от t, действительная и мнимая части <b{t) и х@ которой диф-
дифференцируемы, то
= {(cos z -f i sin x) f + (— sin x -f- i cos x) x'} exp <}- =
= (f + &') (cos X + i sin X) exP Ф =
У iy) = <?' exp <p,
так что правило дифференцирования ехр ер остается тем же, что и
в случае действительного 9- Следовательно,
= «s(l+fe)»-i. <4>
Здесь под (l-j-fe)m и A-|-^2)от~1 подразумеваются их главные зна-
значения.
247. Общая форма биномиальной теоремы. Мы уже доказали
(см. п. 222), что сумма ряда
i \
равна A -\-z)m = exp {/reln(l -\-z)} для всех действительных значе-
значений т и всех действительных значений z между—1 и 1. Если ап
обозначает коэффициент при zn, то
I т
«л
независимо от того, действительно т или комплексно. Следова-
Следовательно (см. пример LXXX. 3), ряд сходится для всех z по модулю
меньших 1, и мы докажем теперь, что его сумма попрежнему
равна ехр {/reln(l -\-z) \, т. е. главному значению (l-\-z)m.
Из п. 246 следует, что если t действительно, то
где z и т могут иметь любые действительные или комплексные
значения, и в правой и в левой части имеются в виду главные зна-
значения. Следовательно, если cp(t) = (l -\-tz)m, то мы имеем:
<p(n)(t) = m(m— 1)... (/re — я-f l)z"(l-f-tz)m~n.
31 Г. Харди

482 Глава десятая
Эта формула справедлива и при ( = 0, так что
п\
Из соотношений A) и B) п. 167 следует (если мы вспомним
замечание, сделанное в конце п. 170), что
где
1
= (йтгтуг J С1 ~ 'У
о
Положим
2 = г (cos 6-j-г sin 6), /и = {л-[-/v,
и найдем верхнюю грань для Rn.
С одной стороны, мы имеем
а с другой стороны
[ 1 -f fe | = / l-j^frcosO + fV" Ss 1 — fr>= 1 — r,
причем — ttsS am A -J-fe)^7r. Далее,
| A -f tzf'11 =exp { (jj. — 1) In) 1 -f tz\ — v am A + tz)} —
Первый множитель в этом выражении не превосходит 2|i~1, если |a^s 1,
или A—гУ~х, если 1А<^1, а второй не превосходит е*!7!. Следо-
Следовательно, | A -J- tz)m~x | имеет верхнюю грань К, не зависящую от t
(и от л); таким образом,
, „ г | т (т — 1) ... (от — п
Xlj (l+tzr^l^z)" ' dt
6
о
Наконец, 1—/г^>1—t, так что
(л-1)!
Но
?П

Общая теория логарифм., показам, и тригонометрии., функций 483
и, следовательно (см. пример XXVII. 6), р„—>-0. Отсюда следует,
что /?„->0, и мы приходим к следующей теореме.
ТЕОРЕМА. Сумма биномиального ряда
равна ехр {/я1пA -\-г) ), где под логарифмом следует понимать
его главное значение, для всех значений т как действительных,
так и комплексных, и для всех значений z, для которых \z\<^ I1).
Примеры XCIX. Предположим, что т действительно. Тогда, так как
In A + z) = ~ In A + 2r cos в + /*) +; arc tg
мы получаем
где значения всех арктангенсов заключены между —¦=- г. и -^-к. В частно-
сти, если мы положим 0 = ^-z, z = ir и приравняем действительные и мни-
мнимые части, то мы найдем, что
(
arc lS
*)г-№\г*+Г5\г*-...= A+ r-f1^ sin (шаге tg/-).
2. Доказать, что если 0^г<1, то
й.4+2.4-6-8 |/ 2A +г2) »
1 1-3-5
2 2-4-6
1 -3. 5-7-9 ъ__ _ч /"у 1+г8— 1
2-4-6-8-10 Г J/ 2A + г*)-
[Положить т = — ^ в последней формуле из примера 1.]
') Более полное рассмотрение биномиального ряда, включая и более
трудный случай, в котором | г | = 1, читатель найдет в книге Bromwich,
Infinite series B-nd edition), стр. 287 и ел.
31*

484 Глава десятая
3. Доказать, что если —г я < & < т г' т0
для всех действительных значений т.
[Эти результаты сразу следуют из уравнений
cos т 0 -f- i sin m 8 = (cos 0 -\- i sin 9)m = cos8 A -f i tg 0)m.]
4. Мы доказали (см. пример LXXXI. 6) непосредственным перемножением
рядов, что
где J z | < 1, удовлетворяет функциональному уравнению
/ (яг, z) f (яг', г) = / (яг + яг', г).
Методом, аналогичным использованному в п. 223, и не опираясь на общий
результат, приведенный на стр. 483, доказать, что если т действительно и
рационально, то
/ (т, z) = ехр {яг In (I -f- z)}.
5. Если г и н- действительны и — 1 < г< 1, то
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. X
1. Показать, что действительная часты'1" ^ ~') равна
где k — любое целое число.
2. Если a cos 9 -f- Ь sin 9 -f-c = 0, где а, Ь и с действительны и с2 > a*-{-bs, то
— а2 —
где яг — любое нечетное или любое четное целое нисло, в зависимости от
того, положительно ли с или отрицательно, а а — угол, косинус которого
а Ь
равен -, а синус которого равен-
3. Доказать, что если z = ге'ь и г < 1, то мнимая часть
ln(l+B) — ln(l— iz)
(где имеются в виду главные значения логарифмов) равна тому значению
2r cos 9
arc tg -
1 — г1
которое заключено между —s-iiiys, (Экз. 1916 г.)

Общая теория логарифм., показат. а тригонометрии, функций 485
4. Показать, что если х действительно и A = a-\-ib, то
A
f* 1
— А ехрЛлг, I expAxdx±=-j- exp Ax.
Вывести результаты примера LXXXVIII. 5.
5. Показать, что если я>0, то
00
jexp{-(«+/*)*}^=_±-.^
о
и вывести результаты примера LXXXVIII. 6.
6. Дан эллипс
т)"+ (*)'-¦¦
Пусть f (х, у) обозначает члены высшей размерности в уравнении некоторой
алгебраической кривой. Назовем эксцентрическим углом пересечения эллипса
и этой кривой угол а, для которого
/ (a cos a, b sin a) + ¦ • • = 0.
Тогда сумма эксцентрических углов отличается на кратное 2к от
-i{lnf(a, Щ-Inf (a,-ib)}.
[Для эксцентрических углов
где и = ехр/а, и ?а равна одному из значений — iLnP, где Р равно произ-
произведению корней этого уравнения.]
7. Определить число и приблизительное положение корней уравнения
\gz-az, где с действительно.
[Мы уже знаем (см. пример XVII. 4), что это уравнение имеет бесконечно
много действительных корней. Пусть теперь z — x-{-iy. Приравняем дей-
действительные и мнимые части. Тогда мы найдем, что
sin 2х _ sh2y
cos 2x + ch 2^ ~ пХ' cos 2* + ch 2y ~~ °У *
Если ни х, ни у не равно нулю, то отсюда следует, что
sin 2x sh 2y
23с 2у~'
но это невозможно, так как выражение в левой части по модулю меньше 1,
а выражение в правой части по модулю больше 1. Следовательно, либо
л; = 0, либо_у = 0. Если у = 0, то мы получаем известные уже действитель-
действительные корни уравнения. Если л: = 0, то thy = ay. Легко видеть, что это урав-
уравнение не имеет действительных корней, кроме 0, если я^О или о^1, и
что оно имеет два действительных корня,отличных от нуля, если 0<о< 1.
Таким образом, существуют два чисто мнимых корня, если 0<я<1.В про-
противном случае все корни действительны.]
8. Уравнение \gz = az-\-b, где а и b действительны и #=)=0, ие имеет
комплексных корней, если йг=?0. Если я >0, то действительные части всех
h '
комплексных корней по абсолютному значению больше ^— \.
la (

486 Глава десятая
9. Уравнение tg2=—, где а действительно, не имеет комплексных кор-
корней, но имеет два чисто мнимых кория, если а < 0.
10. Уравнение tgz —athcz, где сие действительны, имеет бесконечно
много действительных и чисто мнимых корней, но не имеет комплексных
корней.
11. Показать, что если х действительно, то
оо
{ B )^'sbs[
о
где скобки содержат -„ (п + 1) или у (п-\-2) членов. Найти аналогичный
ряд для е°* sin for.
12. Если ny(z, и)->-2 при и—>со, то
{1 +tpB, n)}n -> ехр г.
13. Если<р(<)— комплексно-значная функция действительного неремен-
неременного t, то
[ Использовать формулы
<Р = ф + i ъ In ? = \ in№s+7.2);+ 'arc tg 1.]
14. Отображения. В гл. III (см. примеры XXI. 21 и ел., Разные примеры,
22 и ел.) мы рассмотрели некоторые простые примеры геометрических
соотношений между фигурами в плоскостях комплексных переменных г и Z,
связанных соотношением z=f(Z). Рассмотрим теперь несколько случаев,
в которых это соотношение содержит логарифмическую, показательную или
тригонометрические функции.
Предположим сначала, что
~Z „ а ,
z = ехр —, Z = — Ln z,
где а положительно. Каждому значению Z соответствует только одно зна-
значение z, но каждому значению z соответствует бесконечно много значений Z.
Если х, у, г, 0 —координаты z, а X, Y, R, в —координаты Z, то мы имеем
следующие соотношения:
r.X/a ~Y -кХ/а . r.Y
х=е cos — , у = е sin —,
*Jinr Y +2ka
где k—любое целое число.Если мы предположим, что — - <9^:-и что Ln2
принимает главное значение In 2, то jfe = 0, и Z должно лежать в полосе,
параллельной оси ОХ и простирающейся на расстояние а с каждой стороны
от нее, причем каждой точке этой полосы соответствует одна точка пло-
плоскости z и каждой точке плоскости z соответствует одна точка полосы.
Выбирая значение Lnz, отличное от главного, мы получим аналогичное
соотношение между плоскостью z и другой полосой ширины 2а в плоскости Z.
Прямым в плоскости Z, для которых X или Y постоянны, соответствуют
окружности и лучи, для которых z или 9 постоянны. Каждому лучу соответ-

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрии, функций 487
ствует вся прямая, параллельная ОХ, но окружности, для которой г постоянно,
соответствует только часть длины 2а прямой, параллельной OY. Для того
чтобы Z описало всю такую прямую, г должно неограниченное число раз
описывать окружность в одном и том же направлении.
15. Показать, что прямой линии в плоскости Z соответствует логариф-
логарифмическая спираль в плоскости z.
16. Рассмотреть аналогично отображение z = cch— и, в частности,
показать, что всей плоскости z соответствует любая из бесконечного числа
полос в плоскости Z, параллельных ОХ и имеющих ширину 2а. Показать
также, что прямой Х = Х0 соответствует эллипс
. *Х0 Ч ,_
cch—-/ \csh
и что эти эллипсы образуют для разных значений Хо софокусную систему;
кроме того, показать, что прямым К=К0 соответствует система гипербол,
софокусная этим эллипсам. Проследить движение z, когда Z описывает всю
прямую Х — Хо или Y=zY0. Как движется Z, когда z описывает вырожден-
вырожденный эллипс и вырожденную гиперболу, состоящие из отрезка оси между
фокусами и два дополнительных к нему отрезка?
17. Проверить, что результаты примера 16 согласуются с результатами
примера 14 и примера 26 из Разных примеров к гл. III.
[Отображение
г = с ch —
с
может рассматриваться как состоящее из отображений
18. Рассмотреть аналогично отображение z —cth — и показать, что
прямым Х=Х„ соответствует пучок соосных окружностей
_ с cth ^f +y = с* csch' ^ ,
а прямым Y== У„ — ортогональный пучок соосных окружностей.
19. Стереографическая проекция и проекция Меркатора. Точки
единичной сферы, центр которой расположен в начале координат, проекти-
проектируются из южного полюса (координатами которого являются 0, 0, — 1) на
касательную плоскость к сфере в северном полюсе О. Координаты точки на
сфере обозначим через %, ¦»], С, а декартовы координаты в касательной пло-
плоскости выберем так, чтобы оси ОХ и OY были параллельны осям g и тг].
Показать, что координатами проекции точки %., ¦»], ? являются
*=-,
1+С +C
и что x-\-iy—2 tg-y eCiscp, где ср — долгота (измеряемая от плоскости »j = 0),
а в — широта точки, измеряемая от северного полюса.
Эта проекция дает карту сферы, называемую стереографической проек-
проекцией. Если мы введем новое комплексное переменное

488 Глава десятая
так что ЛТ = <р, K=lnctg -„- 0, то получим другую карту в плоскости Z,
называемую обычно проекцией Меркатора.Иа этой карте параллели широты
и меридианы представляются прямыми линиями, параллельными осям X и,
соответственно, Y.
20. Рассмотреть отображение
, Z — a
и показать, что прямые линии а- = const., H_y = const., соответствуют двум
ортогональным связкам окружностей в плоскости Z.
21. Рассмотреть отображение
и показать, что прямые х = const, и у = const, соответствуют системам
софокусных эллипсов и гипербол с фокусами, расположенными в точках
Z~a и Z = *.
[Мы имеем
Y Yl> = yi> — oexp(.r -f-jy),
а — У2— Ь?=УЬ— aexp(—x—iy),
а отсюда можно вывести, что
\Z— a\ + \Z— b\ — \b — a\ch2x, \ Z— a ] — j Z— ?| =| b — a \ cos2y.}
22. Отображение z = Zl. Если z = Zl, где под мнимыми степенями
понимаются их главные значения, то мы имеем
exp (In г + Щ = z = ехР (' in Z) = ехр (г 1п /? —- в),
так что 1пг=: — в, 9 = In R -j- 2kx, где k — целое число. Так как все зна-
значения k дают одну и ту же точку г, то мы можем предложить k = 0; в этом
случае
1пг = — в, 6 = In/?. A)
Вся плоскость Z покрывается, когда /? пробегает все положительные
значения, а в — все значения от -— т: до к; тогда г изменяется в пределах
от ехр (— я) до ехр г, а 6 пробегает все действительные значения. Таким
образом, вся плоскость Z соответствует кольцу, ограниченному окружно-
окружностями г=ехр(—л), г = ехртг, но это кольцо покрывается бесконечно много
раз. Но если 6 изменяется только в пределах от —~ до л, так что кольцо
покрывается только один раз, то /? может изменяться только от ехр(—л)
до ехр л, так что изменение, Z ограничено кольцом, во всех отношениях
подобным тому, в котором изменяется г. В каждом из этих колец следует,
кроме того, представить себе барьер вдоль отрезка отрицательной действи-
действительной оси, который точка z (или Z) не должна переходить, так как ее
амплитуда не должна выходить за пределы —тг и л.
Таким образом, мы получаем соответствие между двумя кольцами,
которое задается уравнениями
где имеются в виду главные значения степеней. Окружностям в одной
плоскости с центром в начале соответствуют в другой плоскости прямые,
проходящие через начало.
23. Проследить движение z, когда Z, исходя из точки ехр к, движется
вдоль большей окружности в положительном направлении к точке — ехр тс,
затем вдоль барьера, затем в отрицательном направлении вдоль малой

Общая теория логарифм., показат. и тригонометрия, функций 489
окружности, обратно вдоль барьера и, наконец, вдоль оставшейся половины
большой окружности к исходному положению.
24. Если 2=Z', причем допускается любое значение степени, и Z дви-
движется вдоль логарифмической спирали с полюсом в начале, то г также
движется вдоль логарифмической спирали с полюсом в начале.
25. Как ведет себя Z = zai, где а—действительное число, когда гприбли-
жается к началу координат вдоль действительной оси?
[Точка Z описывает неограниченное число раз окружность с центром
в начале (причем эта окружность — единичная, если za* имеет главное зна-
значение), так что и действительная и мнимая частив ограниченно колеблются.]
26. Показать, что областью сходимости рядов вида
где а действительно, является угол, т. е. область, определенная неравен-
неравенствами 0О < am z < 9i.
[Этот угол может свестись к одной прямой или покрыть всю плоскость.]
27. Линии уровня. Если /(г) — функция комплексного переменного г,
то кривые, вдоль которых | / (z) | постоянен, называкися линиями уровня/ (г).
Нарисовать линии уровня следующих функций:
г — а (концентрические окружности),
(г — а) (г — Ь) (овалы Кассини),
т- (связка окружностей)
Z — О
exp г (прямые).
28. Набросать вид линий уровня функции (г— а) (г— Ь)(г — с).
29. Набросать вид линий уровня функций 1) zexpz, 2) sin z.
[См. фиг. 55, иа которой изображены линии уровня функции sin z.
Кривые, отмеченные номерами I — VIII, соответствуют значениям*) Л = 0,35;
0,50; 0,71; 1,00; 1,41; 2,00; 2,83; 4,00.]
30. Набросать вид линий уровня функции expz — с, где с — действитель-
действительная постоянная.
[На фиг. 56 изображены линии уровня функции exp z — 1, причем кри-
кривые I — VII соответствуют значениям k, для которых \nk = —1,00; —0,20;
—0,05; 0,00; 0,05; 0,20; 1,00.]
31. Линии уровня функции sin z — с, где с — положительная постоянная,
изображены на фиг. 57 и 58.
[Характер кривых зависит от того, будет ли с< 1 или > 1. На фиг. 57
мы взяли с = 0,5 и кривые I — VIII соответствуют значениям k = 0,29; 0,37;
0,50; 0,87; 1,50; 2,60; 4,50; 7,79. На фиг. 58 с = 2 и кривые I — VII соответ-
соответствуют значениям k = 0,58; 1,00; 1,73; 3,00; 5,20; 9,00; 15,59. Для с — 1 кривые
имеют тот же вид, что и на фиг. 55, за исключением юго, что начало
координат сдвинуто и масштаб изменен.]
32. Доказать, что если 0<8<*, до
cos 9 4—5- cos 39 -f -г- cos 59 +... = — In ctg2 -^ 9,
sin9+ -3- sin 39 + -g- sin 59 -f-... = -j t,
и определить суммы этих рядов для всех других значений 9, для которых
они сходятся.
*) k — \f(z)\. (Прим. перев.)

490
Глава десятая
Фиг. 55
Фиг. 56
Фиг. 57
[Использовать равенство
Фаг. 58
где 2 = cos 9-(-г sin 6. Когда 0 увеличивается на -, то сумма каждого из этих
рядов меняет свой знак. Мы заключаем, что первая формула имеет место
для всех значений 0, кроме значений, кратных г (для которых ряд расхо-
расходится), тогда как сумма второго ряда равна -т-г., если
1
— -г -, если
О, если 0 кратно г..}

Общая теория логарифм., показат, и тригонометрии, функций 491
33. Доказать, что
оо
\l sin л 9 _ A 9
для всех действительных 9. (Экз. 1932 г.)
34. Доказать, что если 0< 9 <-„--, то
cos 9—5" cos 36 -f- -g-cos59—.. . = —-~,
о о 4
sin9— -7Г- sin 39 + -=¦ sin 50— .. .= —In(sec6 + lg 6)*,
о о 4
и определить суммы этих рядов для всех других значений 9, для которых
они сходятся.
35. Доказать, что
cos 9 cos a -f- -fr cos 29 cos 2a -f- -5- cos 39 cos 3a -)-...=
Z о
= — -j in U (cos 9 — cos a)s|,
если ии 9 — а, ни 9-(-а не кратны 2тг.
36. Доказать, что если ни а, ни Ь не являются действительными числами, то
dx 1п(— с) — 1п(—
a)(x — b) а — Ь *
о
где имеются в виду главные значения логарифмов. Проверить результат
в том случае, когда a = cl, b = —я, где с положительно. Рассмотреть также
случаи, когда а и Ь, или оба эти числа, действительны и отрицательны.
37. Доказать, что если аир действительны и ji>0, то
°° dx ~i
Чему равен этот интеграл, если Э
38. Доказать, что если мнимые части корней уравнения
имеют обратные знаки, то
со
dx
где знак \ Вг — АС должен быть выбран так, чтобы действительная часть
At
была положительна,

ПРИЛОЖЕНИЕ I
Неравенства Гёльдера и Минковского
Три неравенства играют особенно важную роль в анализе. Это — теорема
о среднем арифметическом и среднем геометрическом и неравенствах Гёль-
Гёльдера и Минковского. Теорема о среднем арифметическом и среднем геоме-
геометрическом нужна в несколько более общей форме, чем та, которая при-
приведена на стр. 39; неравенства Гёльдера и Минковского могут быть тогда
выведены из нее.
В дальнейшем все буквы обозначают строго положительные числа.
Так же как иа стр. 391), мы можем доказать, что
«t + «, + ... + a,>(gigf_g<t)i/,f A)
если не все а равны между собой (в этом случае оба средних равны).
Если мы предположим, что числа а распадаются на т групп, равных между
собой, причем р! из них равны аи р» равны а8 и т. д., так что
то неравенство A) принимает вид
<7А + <7А + • ¦ • + qmam > of»а^..'. а9тт, B)
где
так что
Здесь неравенство также обращается в равенство, когда все а равны друг
другу.
Обратно, если'<7ь <?2>--> 1т—любые положительные рациональные
числа с суммой равной 1, то мы можем привести их к общему знаменателю
и записать в форме C), и тогда B) сведется к частному случаю неравен-
неравенства A).
Докажем теперь, что неравенство B) имеет место (если не все а равны)
для любых действительных q с суммой, равной 1. Иначе говоря, мы отбро-
отбросим условие, что q рациональны. Мы будем называть эту теорему «общей
теоремой о средних" и ссылаться на нее как на теорему йт, или просто G.
Доказательство не зависит от предыдущих рассмотрений.
J) В действвтельности мы этого не доказали, но наши рассуждения
требуют лишь небольших изменений. Эти изменения незачем приводить
здесь во всех подробностях, так как A) содержится в B), а мы даем
висимое доказательство B).

Приложение I 493
Мы можем свести доказательство к доказательству частного случая G;.
Действительно, допустим, что да>2 и что G^ доказано для k — % 3,...,
т — l. Пусть
так что
и положим
так что
Тогда
1т -\ат- l
a
mam,
no G2 и Gm — l. Во второй строке имеет место знак неравенства, если
а в третьей, если не все аъ аъ..., ат — 1 равны. Следовательно, по крайней
мере в одном ме те должен стоять знак неравенства, если не все в], д8,...,
am — i, ат равны. Следовательно, G^ имеет место для k=-m, и поэтому
справедливо для всех к.
Остается доказать G8. Изменяя обозначения, мы можем записать G%
в виде неравенства
а<х61-а<аа + A— ч)Ь @'<а<1) E)
(если афЬ). Не ограничивая общности, мы можем, очевидно, предположить,
что Ь>а. Тогда E) может быть записано в виде
Ьх~а— а1-а,<A— а) (Ь — а)а~а. F)
Но, Яо теореме о среднем значении (см. стр. 238),
*1-в-я1~а = A-а)(*-вM-в,
где а < ? < Ь, а это дает F), так как — а < 0 и, следовательно, ? ~ а < a ~ а-
Таким образом, G-2 и общая теорема о средних доказаны.
Мы можем записать и общее неравенство Gm в форме, аналогичной E),
а именно,
* ... + U, О)
где о + (+ +
У читателя может возникнуть следующий вопрос: не можем ли мы
вывести общую теорему предельным переходом из ее частного случая,
в котором q рациональны? Мы можем аппроксимировать каждое </v последова-
последовательностью рациональных чисел д^ таким образом, что

494" Приложение I
дли каждого г п что q^-~q., при г -> со для каждого ->. Тогда
для каждого г, и обе части неравенства (8) стремятся к соответствующим
частям неравенства B) при г—» со.
Это рассуждение было бы достаточным, если бы мы удовлетворились
доказательством неравенства B) в менее строгой форме, в которой знак „>"
заменен на „^э=". В самом деле, при г—»оо знак »>• вырождается в „^Эг":
из х^г^—-х, у^—-у и х^г^>у^ следует только, что х^у, и нельзя утвер-
утверждать, что всегда х~>у. Это затруднение может быть обойдено с помощью
одного искусстаениого приема (см. Неравенства, стр. 31), но мы предпочи-
предпочитаем здесь более прямое доказательство.
Неравенство F) является одним из доказанных в п. 74, с ограничением,
что а рационально. Рекомендуем читателю показать, что все неравенства
п. 74 справедливы для всех, а не только для рациональных, показателей.
Этого, очевидно, нельзя было сделать в п. 74, так как х1 ие было определено
для иррациональных а до п. 214.
Существует еще одна интересная трактовка неравенства G2. Так как
то функция In л: вогнута, т. е. ее график имеет всюду отрицательную кри-
кривизну, и все хорды кривой j/ = ln х лежат под ней. Если Р—точка (а, 1па),
a Q — точка (b, Inb), то точка R, которая делит PQ так, что
о-Я/?=A— <x)RQ,
имеет абсциссу аа-\-(\ — а) Ь и ординату alna + (l—a) In b. Следовательно,
a In a + A — a) In b < In {aa 4- A — o) b},
что и является неравенством E).
Неравенство Гёльдера (Н)
ft
Если k>\ и &'= г—f, так что *'> 1 и
и at, йа,..., ап и bu b2,..., bn — две последовательности положитель-
положительных чисел, то
причем знак равенства имеет место в том и только том случае, когда
последовательности (а) и (Ь) пропорциональны, т. е. когда ~ не зависит
«т
от т.
Это неравенство является следствием неравенства E). Так как каждая
часть неравенства A0) однородна (со степенью 1) относительно а и отно-
относительно Ь, то мы можем, не ограничивая общности, предположить, что
?я = 1, 2* = Ь A1)

Приложение I 495
Если мы, кроме того, будем писать а вместо -г и |i вместо тт, так что
а-|-C=1, и заменим а и 6 на аа и 6^, то A0) превратится в
Zaab^BafBbf- A2)
Но, по неравенству E),
+ §&} = * + |J= t =
Равенство имеет место в том и только том случае, когда am = 6m для всех »/,
а, значит, если мы отбросим условия A1), когда ^ не зависит от т.
Вообще, имеет место следующее неравенство:
2Q> A3)
если
а + р + ... + \ = 1 A4)
и последовательности (а), (#),..., (I) не пропорциональны. Это может быть
выведено из G) так же, цак мы вывели A2) из E), или же индукцией
непосредственно из A2).
Неравенство Манко веко го (М)
Если k>\ и аи а2,..., ап и Ьъ Ьг,..., Ь„ — две последовательности
положительных чисел, то
fkt?>y/k(?>r A5)
Равенство имеет место в том и только том случае, когда (а) и (Ь)
пропорциональны.
Это неравенство может быть выведено из A0). Положим
S = { 2 (am+bm
(опуская индексы). Тогда
Применяя неравенство A0) к каждому члену в правой части и замечая,
что (k — \)k' — k, мы получим:
= {Baft)V* + B
и A5) следует отсюда делением на Sk/k'. Равенство имеет место в том
и только том случае, когда (а) и (д) пропорциональны (а + Ь), т. е. когда
(а) и (Ь) пропорциональны.
Имеет также место весьма полезное обратное неравенство. Допустим,
что а + Ь = 1. Тогда а< I, д<1 и, следовательно (так как k > 1), aft < а,
6*<0 т. е.
k + b = l=(a + b)k. A6)

490 Приложение I
Так как обе части окончательного неравенства однородны (со степенью к),
то это неравенство справедливо и без того ограничения, что а +6 = 1.
Отсюда следует, что
? (а
Равенство здесь не может иметь места, если (как мы все время предполагаем)
все а и Ъ строго положительны.
Разные замечания по поводу неравенств
Когда & = 2, к' = 2 и (Н) сводится к
т. е. к неравенству Коши (стр. 39). Если мы предположим, что й = 2и п=3
в (М), и возьмем в качестве (а) и (b) xlt yb г: и xs, ys, zs, то неравенство
Минковского принимает вид
V(Xi + х,У + (У! +У# + (г, + 28J < Yxi +У1 + *! + Y~*i+yl+*i
Это неравенство выражает, что длина одной стороны треугольника, вершины
которого находятся в точках @,0,0), (хи уь 2j) и (—х-2, —уь —г2), меньше
суммы длин двух других сторон. Неравенство превращается в равенство,
когда хи ух, Zi пропорциональны х%, у.,, гъ т. е. когда треугольник выро-
вырождается в отрезок прямой. В общем случае (М) является обобщением
«неравенства треугольника" на пространство п измерений, в котором рас-
расстояние между двумя точками Pt и Ра определено как
(I хг - х, \* + lv, -у, |* + | zt — *, |* + .. .f'k.
Неравенство G) на стр. 39 является следствием из (Я), так как
(? а? — (Ц а • 1У < 2 а* (? 1 )к/к> == «ft ~l Ц аК
Но неравенство F) на стр. 39 не может быть выведено ни из одного из
неравенств, приведенных здесь; оно в действительности является частным
случаем неравенства другого типа, а именно, неравенства Чебышева
(см. Неравенства, стр. 59).
Когда к рационально, (Я) и (М) являются алгебраическими теоремами
и представляется желательным, чтобы их доказательства были также
алгебраическими, т. е. чтобы они не использовали никаких предельных
переходов. Такие доказательства читатель найдет в гл. II Неравенств
(где рассматривается также большое число аналогов и обобщений этих
теорем). Если k иррационально, то xk не является алгебраической функцией,
и тогда вопрос о чисто алгебраическом доказательстве отпадает. В настоящей
книге, например, л* было определено как ехр(А1пл:), и поэтому естественно,
что доказательства должны опираться на теорию логарифмической и пока-
показательной функций, и использовать методы дифференциального исчисления.

ПРИЛОЖЕНИЕ II
Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по
крайней мере один корень
Теорема о том, что „всякое алгебраическое уравнение имеет по крайней
мере один корень", обычно называется „основной теоремой алгебры", но
она по существу скорее принадлежит к анализу, так как ее нельзя доказать,
не применяя где-нибудь понятия непрерывности. Представляется целесо-
целесообразным привести здесь два из наиболее известных доказательств этой
теоремы.
_ 7
Фиг. А
Фиг. В
(А) Первог из них является естественным развитием идей, изложенных
в гл. III и X. Пусть
Z=f(z) = aozn +aizn-l + ...+ an
— многочлен относительно г с действительными или комплексными коэф-
коэффициентами. Мы можем предположить, что ааф0.
Предположим, что г описывает замкнутый путь f в плоскости г; факти-
фактически т всегда будет квадратом, стороны которого параллельны осям,
пробегаемым в положительном направлении. Тогда Z описывает замкнутый
путь Г в плоскости Z. Мы можем предположить, что Г не проходит через
начало координат, так как в противном случае справедливость теоремы
была бы очевидной.
Каждому значению Z соответствует бесконечно много значений attiZ,
отличающихся друг от друга на кратные 2-, и каждое из этих значений
непрерывно изменяется* когда Z описывает Гм. Выберем какое-нибудь
*) В этом месте нам нужно предположение о том, что Г не проходит
через начало.
32 Г. Харди

498 Приложение II
определенное значение am Z (скажем, значение, для которого — т. < am Z sg r),
соответствующее исходному значению Z, н проследим его изменение
вдоль Г. Таким образом, мы определили значение ami? (которое мы и будем
обозначать через axaZ), соответствующее каждому Z иа Г.
Когда Z возвращается к исходному положению, am Z может также
возвратиться к исходному значению или может отличаться от иего иа крат-
кратное 2~. Так, если Г не содержит начало, как путь (а) на фиг. В, то amZ
остается без изменений; но если Г один раз обходит начало в положитель-
положительном направлении, как путь (Ь), то amZ увеличивается на 2-. Обозначим
изменение am Z, когда г описывает ?, через Д (у).
Допустим сначала, что f является квадратом S со стороной 2R, состоя-
состоящим из отрезков прямых х = ± R, _у[= ± R. Тогда | г | ^ R на S. Мы можем
выбрать R настолько большим, что
и тогда
где | ¦») | < -_- для всех точек S. Амплитуда 1 + % очевидно, останется без
изменений, когда г опишет S, а амплитуда zn увеличится на 2пт.. Следова-
Следовательно, амплитуда Z увеличится на 2«тг, так что Д (S) = 2п~. Все, что нам
в действительности нужно знать—это то, что ДE)^0.
Разобьем квадрат 5 осями координат на четыре равных квадрата S^'\
S&, S^.\ S^ со стороной /?. Мы можем взять любой из них в качестве 7
и предположить опять, что соответствующий путь Г не проходит через
начало координат. Тогда
Д (S) = Д (SW) + Д (S«) + Д (S«) + Д (SW). A)
В самом деле, когда точка г описывает по очереди каждый из квадратов
S^,... (см. фиг. А), то она один раз опишет каждую сторону S; что же ка-
касается сторон / меньших квадратов, которые не являются частями сторон S,
то она опишет каждую такую сторону I два раза в разных направлениях,
и слагаемые в сумме A), соответствующие таким сторонам, взаимно уни-
уничтожатся. Так как A(S)^O, то по крайней мере одно из ДEу),... отлично
от нуля. Первый из таких квадратов обозначим чергз S]. Тогда A(Sj):?O.
Разобьем теперь Sj иа четыре равных квадрата прямыми, параллель-
параллельными осям, и повторим наше рассуждение, в результате чего мы найдем
квадрат S3 со стороной -^ R, для которого A(S8)^:0. Продолжая этот
процесс, мы получим последовательность квадратов S, Su S»,..., Sn,... со
сторонами 2R, R, -^ /?,..., 2 ~ " +1 /?,..., из которых каждый лежит внутри
предыдущего, таких, что A{Sn)^O для каждого я.
Если юго-западной и северо-восточной вершинами Sn являются точки
(хп, уп) и (х'п, у'п), так что
то(л:п) и (у„) являются возрастающими последовательностями, а (х'п)к{у'п) —
убывающими; хп и х'п стремятся к общему пределу хе, а уп и /„ стремятся
к общему пределу уа. Точка (лг0, у0) или Р лежит вчугри или на границе

Приложение И 499
каждого Sn'). Если дано любое положительное число в, то мы можем
выбрать я так, что расстояние любой точки Sn от точки Р будет меньше 5.
Следовательно, Р обладает тем свойством, что как бы мало ни было 8,
найдется такой квадрат Sn, содержащий Р, что все его точки находятся
от Р иа расстоянии, меньшем в, и что для него A(S)!0
Мы можем теперь доказать, что
В самом деле, допустим, что f(zo) = c, где 1 с\ =? >0. Так как f(xa + /у„)
является непрерывной функцией от ха и yw то мы можем выбрать п
настолько большим, что
у Р
во всех точках Sn. Тогда
где |в|<-„-р> |1)[<-гг во всех точках Sn. Отсюда следует, что amZ не
меняется, когда г описывает Sn, и мы приходим к противоречию. Следова-
Следовательно, /B0) = 0s).
(В) Наше второе доказательство использует обобщения результатов
jin. 103 и ел. на функции нескольких переменных.
Как и в п. 103, мы определяем верхнюю и нижнюю грани функции
F (х,у) в области D, ограниченной квадратом типа S. Мы можем доказать
(в основном так же, как в последней части ш 1053^), что непрерывная функ-
функция достигает своих точных верхней и нижней граней во всякой такой
области D.
Пусть
Тогда F(x, у) непрерывна и неотрицательна; таким образом, она имеет
неотрицательную точную нижнюю грань т в D, которая достигается
в некоторой точке г0 из D. Легко видеть, что если /? достаточно велико,
то г„ лежит внутри D%).
Допустим, что /п>0. Если мы положим 2 = 20-}-? и разложим /(г) по
степеням С, то получим:
') В предшествующих рассуждениях пока ничто не указывало на то, что эта
точка не может лежать на границе S, хотя ниже мы увидим, что это
действительно не может иметь места.
2) Таким образом, в частности, г0 не может лежать на S, так как Z
велико во всех точках S.
3) Первое доказательство п. 105 использует сечение Дедекинда и не
имеет аналога в двух измерениях.
4) В самом деле, допустим (выражая явно зависимость S, D, т0 и га
от /?), что /яо(/?) и 2в(/?) соответствуют S(R) и D(R). Тогда 20(/?) могло бы
(насколько это видно из определения) лежать на S(R). Но если /?t дано, то
мы можем выбрать /?8 так, что \Z\ превосходит-=-1 а01 К% i а, значит, заве-
заведомо и w(/?i), во всех точках на и вне S(/?8). Тогда 20G?) лежит внутри
S(/?8), а» значит, заведомо и внутри S(R) дтя R^R\. В действительности
*»(/?) и ze(R), начиная с некоторого R, не зависят от /?.
32»

500 Приложение II
где Аи А-2,..., Ап не зависят от ?. Пусть Л/г будет первым из этих коэф-
коэффициентов, который отличен от нуля, и положим
/(*„) = и**1. Ак = ае*Л, С = ре'*.
Мы можем предположить, что р настолько мало, что арь<»г и
>'\<K
Тогда
/ (г) = те1* + а?к е1 (а + *?> + g,
где |g|< -у ер*. Выберем to так, что
«+*?=^ + -. B)
тогда
| = [ т — ар* -f ?*-'>1 sg m — арй + [ ? I < м — у «Pft < m>
что противоречит определению т. Таким образом, т должно быть равно 0,
т. е. /(г«) = 0.
Когда мы выбираем <р так, чтобы выполнялось B), мы фактически решаем
уравнение
Другими словами, мы используем тот факт, что уравнение специального
вида
zn — с = 0 C)
всегда имеет корень, т. е. что „основная теорема" справедлива для двучлен-
двучленных уравнений. Мы уже знаем, конечно, что уравнение C) имеет в действи-
действительности п корней (см. п. 48 и наши дальнейшие строгие рассмотрения триго-
тригонометрических и показательной функций).
С логической точки зрения интересно, однако, найти доказательство тео-
теоремы, не зависящее от теории тригонометрических функций. Наше рассужде-
рассуждение дает такое доказательство, если известно, что теорема верна для уравнений
вида C), и Литтльвуд (J. E. Littiewood, Journal of the London Mathemati-
Mathematical Society, vol. 16) показал, как можно закончить доказательство, применяя
„метод нижней грани" к функции
f{)* — c, . D)
где с = а -\- ib ф. 0.
Мы знаем (см. пример XXI. 14), что любое квадратное уравнение и,
в частности, уравнение z* = c, имеет корни. Эти корни, равны
* Vk
причем знаки следует брать одинаковыми, если Ь > 0, и разными, если Ь < 0.
Следовательно, если « = 27Л/,где N—нечетное число, то мы можем, решив v
квадратных уравнений, свести решение уравнения C) к решению уравнения
z— d = 0. Поэтому мы можем предположить, что п нечетно.
Теперь мы рассуждаем как выше, но применительно к специальной функ-
функции D). Имеются две возможности: либо го^ЬО, либо го=О. Если' гаф% то

Приложение II 501
где АхфО, так что А=1. Окончание доказательства тогда зависит только
от решения линейного- уравнения. Если же z0 = 0, то
/())
Если мы придадим ? четыре значения ± р, ± »р, где р мало, то (так как п
нечетно) /(С) принимает четыре значения
— с±Ьп, — с ± ion.
Другими словами, если Р является точкой f(za) или —с, на диаграмме
Аргана, то четыре точки, представляющие f (z) в этих четырех случаях,
получаются из Р небольшими смещениями в четырех возможных направле-
направлениях, параллельных осям. По крайней мере одно из них переносит Р ближе
к началу1), и если С имеет соответствующее значение, то \f(z) | < \f'(za) |.
Таким образом, мы получаем противоречие, требуемое для завершения дока-
доказательства. Основные идеи доказательства могут быть найдены у Коши
(Cauchy, Exercices de mathematiques, t. 4, стр. 65—128), хотя и в менее
четкой форме. Это доказательство приведено также в гл. II книги Todhun-
ter, Theory of equations.
Из большого числа известных доказательств „основной теоремы" наиболее
удовлетворительным с алгебраической точки зрения является, вероятно, так
называемое „второе доказательство Гаусса" (в одной из его упрощенных
форм, принадлежащих позднейшим авторам). См. Gauss, Werke, vol. Ill,
стр. 33—56 или Perron, Algebra, vol. I, стр. 258 — 266. Эти доказательства,
однако, значительно длиннее;
ПРИМЕРЫ К ПРИЛОЖЕНИЮ II
1. Показать, что число корней уравнения /(г) = 0, лежащих внутри
замкнутого контура, не проходящего ни через один корень, равно изме-
изменению
когда z описывает контур.
2. Показать, что если R—любое число, удовлетворяющее условию
R -Г R2 I •••"Г Rn
то все корни уравнения
по модулю меньше R. В частности, показать, что осе корни уравнения
г5 —13z — 7 = 0 по модулю меньше 2 гч.
3. Определить число корней уравнения
z~P + az + i> = 0,
где а и b действительны и р нечетно, имеющих положительные и отрица-
отрицательные действительные части. Показать, что если а > 0, b > 0, то числа
эти равны р — lHp-f-1; если я<0, 6>0, то они равны р + 1 и^-1;
а если Ь<.0, то они равны р и р. Рассмотреть частные случаи а = 0 или
& = 0. Проверить результаты для р = 1.
[Проследить изменение аш (z%p -j- az -f- b), когда z описывает контур,
образованный большим полукругом радиуса R с центром в начале и его
диаметром, лежащим на мнимой оси.]
1) Оставляя ординату неизменной и уменьшая абсолютную величину
абсциссы, или. наоборот.

502 Приложение II
4. Рассмотреть аналогично уравнения
0, 21?-1 + аг + * = 0,
5. Показать, что если аир действительны, то числа корней уравнения
имеющих положительную и отрицательную действительную часть, равны
п — 1 и п 4- 1 или и и и в зависимости от того, нечетно ли п или четно.
(Экз. 1891 г.)
6. Точки ги 22, 23 образуют треугольник в комплексной плоскости, при-
причем внутренность треугольника лежит слева от стороны, идущей от 2, к z%.
Показать, что если г движется вдоль прямой, соединяющей точки г = 2, и
2 = г2, от некоторой точки вблизи г, к некоторой точке вблизи г2, то изме-
изменение
1,1.1
— ZiZ—Z^' Z—Za/
почти равно х.
7. Контур, содержащий три точки z — zlt z = za, г = 23, определен
частями сторон треугольника, образованного zu 2S, 23 н внешними по отно-
отношению к треугольнику частями трех малых окружностей с центрами в этих
же точках. Показать, что когда z описывает этот контур, то изменение
\ —2, z — za г — гь\
равно — 2тг.
8. Показать, что любой замкнутый овал, окружающий все корни куби-
кубического уравнения / (г) = 0, окружает также н оба корня производного урав-
уравнения /'(г) = 0.
[Использовать тождество
где г,, 2», 23 — корни уравнения f(z) = 0, и результат примера 7.]
9. Показать, что корни уравнения /' (z) = 0 являются фокусами эллипса,
который касается сторон треугольника (zlt 22, 23) в их серединах.
[См. Чезаро, Элементарный учебник алгебраического анализа и исчи-
исчисление бесконечно малых.]
10. Распространить результат примера 8 на уравнения любой степени.
11. Если /(г) н 9(г) — два многочлена относительно 2, i — контур, не
проходящий ни через одни корень /(г), и | <р(г)| < |/(гI во всех точках •(,
то уравнения
/B) = 0, /B)+ ? B)-= 0,
имеют внутри i одно и то же число корней.
12. Показать, что уравнения
где а > е, имеют, соответственно, одни положительный корень, один поло-
положительный н один отрицательный корень, один положительный н два ком-
комплексных корня внутри круга I z I = 1.
(Экз. 1910 г.)

ПРИЛОЖЕНИЕ Ш
Замечание о задачах, содержащих двойной предельный переход
В гл. IX и X мы встретились с некоторыми частными случаями одной
общей задачи, играющей очень важную роль в анализе.
В п. 220 мы доказали, что
где — 1<jc;=;1, путем интегрирования уравнения
в пределах от 0 до х. Мы доказали фактически следующее равенство:
X XXX
t4t — ...,
о ооо
т. е. что интеграл от суммы бесконечного ряда
в пределах от О до х равен сумме интегралов от его членов, взятых
в тех же пределах. Другими словами, это означает, что операции суммиро-
суммирования от 0 до оо и интегрирования от 0 до л: перестановочны, в применении
к функции (— Vftn, т. е. что порядок, в котором они производятся, не играет
роли.
Далее, в п. 223 мы доказали, что производная показательной функции
ехр* = 1 + ТГ + 1П-+-..
сама равна ехр х или что
т. е. что производная суммы ряда равна сумме производных его членов,
или что операции суммирования от 0 до с» и дифференцирования uo x
хп
перестановочны в применении к —р.
Между прочим, мы в том же пункте доказали, что ехр х является непре-
непрерывной функцией от х, т. е. иначе говоря, что
тг + j!in, тт

504 Приложение III
или что предел суммы ряда равен сумме пределов его членов, или что сумма
ряда непрерывна прн х = ?, нли что операции суммирования от 0 до оо и
хп
перехода к пределу при х—<¦? перестановочны в применении к —р.
В каждом из этих случаев мы давали специальное доказательство спра-
справедливости результата. Мы не доказали никакой общей теоремы, из кото-
которой справедливость любого из этих результатов следовала бы сразу. В при-
примере XXXVII. 1 мы видели, что сумма конечного числа непрерывных членов
сама непрерывна, а в п. 114 —что производная суммы конечного числа
членов равна сумме их производных. В п. 165 мы установили соответствующую
теорему для определенных интегралов. Таким образом, мы доказали, что
в некоторых условиях операции, символически обозначаемые
ь
lim ..., Dx ..., \ ... dx,
перестановочны с операцией суммирования конечного числа членов. Есте-
Естественно предположить, что в некоторых условиях, которые можно точно
сформулировать, эти операции будут перестановочны также и с операцией
суммирования бесконечного числа членов. Естественно предполагать, что это
будет так; но большего мы пока ничего сказать не можем.
Несколько дальнейших примеров перестановочных и неперестановочных
операций помогут нам разъяснить этот вопрос.
A) Умножение на 2 н умножение на 3 всегда перестановочны, так как
2хЗх* = ЗХ 2хх
для всех значений х.
B) Операция образования действительной части z никогда не перестано-
перестановочна с умножением на i, если zz^zQ; в самом деле,
i x Re (jc + iy) =.ix, Re {i X (x + iy) } = —y.
C) Операции перехода к пределу при х или у стремящихся к нулю
в применении к функцин f(x, у) могут быть как перестановочными, так и не-
неперестановочными. Так,
lim { lim (x-\-y) }= Hm x = 0, lim { lim(x-\-y) }= lim .y = 0,
х-* о y-tO * -»0 у -> 0 je -¦ 0 у -¦ 0
тогда как
f х— у 1 х
lim \ hm -~r^-_ |= hm — = 1,
lim ¦! lim —[-= .
у-*о I х-*о Х+У ' у-*о У
D) Операции
оо
2 ..., lim ...
могут быть как перестановочными, так и неперестановочиыми. Так если
х—*1 слева, то
Hm \ У]- —х" \ = lim In (I -)- л:) = 1п2,
— = In 2;

Приложение III 505
но, с другой стороны,
lim I 2 (х"-1 — х") 1= lim | A — х) + (-« — х2) + • • • } = tim 1 = 1,
lim I 2 (х"-1 — х") \= lim j A
со оо
2{ Нш (Xя-1 — хп) }=2 A-1) = 0 + 0 +
= 0.
Эти примеры показывают, что имеются три возможности в связи с пере-
перестановочностью двух данных операций, а именно: A) операции могут быть
всегда перестановочными, B) они могут никогда не быть перестановочными,
за исключением отдельных, очень частных случаев, и C) они могут быть
перестановочными в большинстве случаев, обычно встречающихся в анализе.
Действительно важным случаем (как показывают примеры, цитированные
нами из гл. IX) является тот, в котором каждая операция содержит переход
к пределу (как, например, операции дифференцирования или суммирования
бесконечного ряда); такие операции мы будем называть предельными.
Вопрос о том, являются ли две данные предельные операции перестановоч-
перестановочными или нет, принадлежит к числу наиболее важных в математике. Но
попытка ответить на этот вопрос в форме некоторых общих теорем вывела
бы нас далеко за пределы этой книги.
Мы можем, однако, заметить, что характер ' ответа на поставленный
общий вопрос можно предугадать нз приведенных выше примеров. Если L и
V — две предельные операции, то величины LL'z и L'Lz не будут, вообще
говоря, равны друг другу, если понимать слова „вообще говоря" в строгом
смысле. Мы всегда сможем подобрать такое' z, что LL'z и L'Lz будут от-
отличны друг от друга. Но в общем случае онн будут равны, если мы прида-
придадим словам „общий случай" более „практический" смысл и будем понимать их
как означающие „в подавляющем большинстве встречающихся на практике
случаев". В математической практике результат, полученный в предположе-
предположении, что две предельные операции перестановочны, рассматривается как
вероятно верный; во всяком случае, он дает ценное указание относительно
характера решения рассматриваемой задачи. Но таким образом полученный
результат, если он не следует нз какой-либо общей теоремы или не подтвер-
подтверждается специальным исследонанием данного вопроса (как мы это, например,
сделали в п. 220), должен рассматриваться только как предполагаемый и не
может рассматриваться как доказанный.

ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Бесконечное в анализе и в геометрии
Некоторые, хотя и не все, системы аналитической геометрии содержат
«бесконечные* элементы, бесконечно удаленную прямую, круговые точки
в бесконечности и т. п. Цель настоящей краткой заметки состоит в том,
чтобы показать, что эти понятия никоим образом не зависят от аналитиче-
аналитической теории пределов.
В дисциплине, которую можно назвать „обычной декартовой геометрией",
точка является парой действительных чисел (х, у), прямая—классом
точек, удовлетворяющих линейному соотношению ах-\-Ьу-\-с = 0, в кото-
котором а и b не равны одновременно нулю. Здесь нет бесконечных элементов,
две прямые могут не иметь ни одной общей точки.
В системе действительной однородной геометрии точка является классом
троек действительных чисел {х, у, г), не равных одновременно нулю, при-
причем две тройки относятся к одному классу, если их элементы пропорцио-
пропорциональны. Прямая является классом точек, которые удовлетворяют линейному
соотношению ax-\-by-{- сг=0, где а, Ь, с не равны одновременно нулю.
В некоторых системах каждая точка или прямая совершенно равноправна
другой точке или прямой. В других системах некоторые „специальные" точки
н прямые рассматриваются как каким-то образом отличные от других, и
в соответствующей теории особый акцент делается на отношении этих
специальных элементов к другим. Так, в дисциплине, которую можно назвать
„действительной однородной декартовой геометрией", специальными являются
те точки, для которых 2 = 0, а единственной специальной прямой является
г = 0. Эта специальная прямая называется „бесконечно удаленной".
Настоящая книга не является монографией, по геометрии, и здесь не
место подробно останавливаться на этом вопросе. Важным является следую-
следующее обстоятельство. Бесконечное в анализе является „предельным", а не
„актуальным" бесконечным. Символ „оо" рассматривался на протяжении
всей книги как „неполный символ", т. е. символ, которому не приписывается
какое-либо самостоятельное значение, хотя некоторым фразам, содержащим
его, приписывается определенный смысл. Но бесконечное в геометрии
является актуальным, а не предельным бесконечным. „Бесконечно удален-
удаленная прямая" — это прямая точно в таком же смысле, в каком всякая другая
прямая есть прямая.
Можно установить соотношение между „однородной" и „обычной" де-
декартовой геометрией, при котором каждый элемент первой системы, за исклю-
исключением специальных элементов, имеет соответствующий ему элемент во
второй системе. Например, прямой
ах -(- by -f cz = 0
соответствует прямая
ах -J- by ~\- с = 0.
Каждая точка первой прямой имеет соответствующую ей точку на второй,
за исключением одной точки, а именно, той, для которой 2=0. Когда
(х, у, г) пробегает первую прямую таким образом, что эта точка стремится

Приложение IV 507
к специальной точке, для которой 2 = 0, то соответствующая точка на вто-
второй прямой меняет свое положение так, что ее расстояние от начала коор-
координат стремится к бесконечности. Это соотношение важно с исторической
точки зрения, так как оно является источником нашей терминологии в дан-
данном вопросе; оно часто также оказывается полезным для иллюстративных
целей. Однако оно является не более как иллюстрацией, и никакое рацио-
рациональное разъяснение геометрической бесконечности не может быть осно-
основано на нем. Недостаточно ясное понимание этих вопросов, столь часто
встречающееся у студентов, происходит от того, что в распространенных
учебниках аналитической геометрии эта иллюстрация иногда принимается за
реальность.
Читателям, заинтересованным в соотношениях между анализом и гео-
геометрией, можно рекомендовать следующие книги:
Д. Гильберт, Основания геометрии, ГТТИ, М.—Л., 1948.
С. W. O'Hara'and D. R. Ward, An introduction to projective geometry,
Oxford, 1937;
Q. de B. Robinson, The foundations of geometry, Toronto, 1940;
O. Veblen and J. W. Young, Projective geometry, vol. 1, New York, 1910,
и статью автора .What is geometry?", Mathematical Gazette, vol. 15, 1925,
стр. 309—316.

СОДЕРЖАНИЕ
(В конце содержания каждой главы мелким шрифтом приведен перечень
некоторых вопросов, рассмотренных в примерах)
От редакции , 5
Из предисловия автора к первому изданию 7
Предисловие автора к седьмому изданию.. ..4... 7
Предисловие автора к девятому изданию 8
ГЛАВА I
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
I—2 Рациональные числа 9
3—7 Иррациональные числа 11
8 Действительные числа 21
9 Соотношения величины между действительными числами ... 22
10—11 Алгебраические действия иад действительными числами ... 24
12 Число у 26
13—14 Квадратичные иррациональности 26
15 Континуум 30
16 Непрерывное действительное переменное 33
17 Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда 33
18 Точки накопления 36
19 Теорема Вейерштрасса 37
Разные примеры 37
Десятичные дроби, 9. Теорома Гаусса, 14. Графическое решение квадрат-
квадратных уравнений, 27. Важные неравенства, 38. Среднее арифметическое и
среднее геометрическое, 39. Неравенство Кошн, 39. Кубические и другие
иррациональности, 41. Алгебраические числа, 44.
ГЛАВА II
ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
20 Понятие функции -. 46
21 Графическое представление функций. Координаты 48
22 Полярные координаты 50
23 Полиномы 51
24—25 Дробно-рациональные функции 54
26—27 Алгебраические функции 56
28—29 Трансцендентные функции 59
30 Графическое решение уравнений 64
31 Функции от двух переменных и их графическое представле-
представление 65
32 Кривые на плоскости 66
33 Геометрические места в пространстве 67
Разные примеры 71
Тригонометрические функции, 60. Арифметические функции, 62. Цилиндры,68.
Карты поверхности, линии уровня, 68. Конические поверхности, 69. Поверх-
Поверхности вращения, 69. Линейчатые поверхности, 70. Геометрические построе-
построения иррациональных чисел, 72. Квадратура круга, 74.

Содержание 509
глава m
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
34—38 Смещения 75
39—42 Комплексные числа 83
. 43 Квадратное уравнение с действительными коэффициентами . 86
44 Диаграмма Аргана 89
45 Теорема Муавра 90
46 Рациональные функции комплексного переменного 92
47—49 Корни из комплексных чисел 103
Разные примеры 106
Свойства треугольника, 93, 94. Уравнения с комплексными коэффициен-
коэффициентами, 95. Соосные окружности, 97. Дробно-линейные и другие преобразова-
преобразования, 98, 101, 109. Двойные отношения, 100. Условие того, что четыре точки
лежат на одной окружности, 101. Комплексно-значные функции действитель-
действительного переменного, 102. Построение правильных многоугольников с помощью
циркуля и линейки, 105. Мнимые точки н прямые, 107.
ГЛАВА IV
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА
50 Функции целочисленного положительного аргумента 112
51 Интерполяция ¦ 113
52 Конечные и бесконечные классы 114
53—57 Свойства, которыми обладают функции от п для больших
значений п 115
58—61 Определение предела н другие определения 122
62 Колеблющиеся функции 126
63—68 Общие теоремы о пределах 130
69—70 Монотонно возрастающие или убывающие функции 136
71 Другое доказательство теоремы Вейерштрасса . 138
72 Предел хп 139
' 73 Предел h+—Y 142
74 Некоторые алгебраические леммы 143
75 Предел п (j/T — 1) 144
76—77 Бесконечные ряды 145
78 Бесконечная геометрическая прогрессия 148
79 Представление функций от непрерывного действительного
'переменного с помощью пределов 152
80 Грани ограниченной совокупности 154
81 Грани ограниченной функции 155
82 Верхний и нижний пределы ограниченной функции 155
83—84 Общий признак сходимости , 157
85—86 Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными
членами 158
87—88 Приложения к гп и к геометрической прогрессии 161
89 Символы О, о, ~ 162
Разные примеры 164
Колебание sin лвп, 126, 128, 156. Пределы nkxn, ух, у п, ~.
V*"!) \п ) хп , 141,144. Десятичные дроби, 149. Арифметическая прогрес-
прогрессия, 151. Гармонический ряд, 152. Уравнение хп + i = /<*n>' 165> пР°Дел
среднего значения, 166. Разложения дробно-рациональных функций, 168.
ГЛАВА V
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
90—92' Пределы при х —^оо или jc—>— оо 171
93—97 Пределы при л: —а 174

510 Содержание
98 Символы О и о, ~: порядки малости и роста 182
99—100 Непрерывные функции действительного переменного 183
101—105 Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции.
Колебание функции в интервале 188
106—107 Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне — Бореля . . 194
108 Непрерывные функции нескольких переменных 199
109—ПО Неявные и обратные функции , . 200
Разные примеры 203
Пределы я непрерывность многочленов и дробно-рациональных функций, 177,
186. Предел ^7"— • 18°- пРеДел • 181. Бесконечность функции, 186.
Непрерывность cds x и sin х, 186. Классификация разрывов, 187. Непрерыв-
Непрерывность справа и слева, 204.
ГЛАВА VI
ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
111—113 Производные 207
1М Общие правила дифференцирования 213
115 Производные комплексно-значных функций 215
116 Обозначения дифференциального исчисления 215
117 Дифференцирование многочленов 216
118 Дифференцирование дробно-рацнональных функций 219
119 Дифференцирование алгебраических функций 220
120 Дифференцирование трансцендентных функций 221
121 Повторное дифференцирование 224
122 Общие теоремы о, производных. Теорема Ролля 227
123—125 Максимумы и минимумы 229
126—127 Теорема о среднем значении : . . 238
128 Теорема Кошн о среднем значении 240
129 Теорема Дарбу 240
130—131 Интегрирование. Логарифмическая функция 241
132 Интегрирование многочленов 244
133—134 Интегрирование дробно-рациональных функций 244
135—142 Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование
рационализацией. Интегрирование по частям 248
143—147 Интегрирование трансцендентных функций 258
148 Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми 263
149 Длины плоских кривых , 264
Разные примеры 268
Производная от хт, 210. Производные от cos л и sin.*, 211. Касательная и
нормаль к кривой, 211, 224. Кратные корни уравнений, 217, 271. Теорема Ролля
для многочленов, 218. Теорема Лейбница, 225. Максимумы и минимумы отно-
отношения двух квадратичных трехчленов, 234, 272. Оси конического сечения,
237. Длины и площади в полярных координатах, 267. Дифференцирование
определителя, 268. Рекуррзнтные формулы, 277.
ГЛАВА VII
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
150—151 Теорема Тейлора 281
152 Ряд Тейлора 287
153 Приложения теоремы Тейлора к теории максимумов и мини-
минимумов 288
154 Вычисление некоторых пределов 289
155 Касание плоских кривых 292
156—158 Дифференцирование функций нескольких переменных 296
159 Теорема о среднем для функций двух переменных . 300
160 Диффгренцналы v.' 303
161—162 Определенные интегралы . . * . . 307

Содержание 511
163 Тригонометрические функции 311
164 Вычисление определенного интеграла как предела суммы . . 315
165 Общие свойства определенного интеграла 316
166 Интегрирование по частям и подстановкой 320
167 Другое доказательство теоремы Тейлора 324
168 Приложение к биномиальному ряду 326
169 Приближенные формулы для определенных интегралов. Пра-
Правило Снмпсона 326
170 Интегралы от комплексно-значных функций 329
Разные примеры 330
Метод Ньютона приближения корней уравнения, 284. Ряды для cos х и
sin х, 287. Биномиальный ряд, 288. Касательная к кривой, 293, 306, 332. Точки
распрямления, 293. Кривизна, 295, 331. Соприкасающиеся конические сечения,
295, 332. Дифференцирование неявных функций, 305. Максимумы и минимумы
функций двух переменных, 336. Интегралы Фурь», 314, 319. Вторая теорема
о среднем, 323. Однородные функции, 332. Теорема Эйлера, 332. Якобианы 332.
Неравенство Шварца, 338.
ГЛАВА VIII
СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
171—174 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Коши
и Даламбера 340
175 Признаки, основанные на отношениях следующих друг за
другом членов 342
176 Теорема Дирихле 346
177 Умножение рядов с положительными членами 346
178—180 Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интеграль-
Интегральный признак Маклорена 348
181 Ряды Sn~s , . . . . 351
182 Признак сгущения Коши , 354
183 Дальнейшие признаки, основанные на отношениях 354
184—189 Несобственные интегралы 355
190 Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены. . 374
191—192 Абсолютно сходящиеся ряды 375
193—194 Условно сходящиеся ряды 376
195 Знакочередующиеся ряды 378
196 Признаки сходимости Абеля и Дирихле 381
197 Ряды с комплексными членами 383
198—201 Степенные ряды 384
202 Умножение рядов 388
203 Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы 389
Разные примеры 392
Ряды 21 п гп и аналогичные ряды, 343. Гипергеометрический ряд, 355. Бино-
Биномиальный ряд, 355, 387, 388. Преобразования несобственных интегралов подста-
подстановкой и интегрированием по частям,361,363,371.Ряды2 о„ cos я8, JJ an sin л9,
376, 382. Изменение суммы ряда перестановкой его членов 380. Логарифми-
Логарифмический ряд, 386. Умножение условно сходящихся рядоя, 389, 397. Рекуррент-
Рекуррентные ряды, 394. Разностные урачнення, 395. Определенные интегралы, 397.
ГЛАВА IX
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
204—205 Логарифмическая функция 401
206 Функциональное уравнение для In x 404
207—209 Поведение \пх при х стремящемся к бесконечности или к
нулю 405
210 Логарифмическая шкала порядков роста 406
211 Число е 408
212—213 Показательная функция 409
214 Общая показательная функция ах 411
215 Представление <г* в виде предела 413

512 Содержание
216 Представление In* в виде предела 414
217 Обыкновенные логарифмы ' 414
218 Логарифмические признаки сходимости 421
219 Экспоненциальный ряд 425
220 Логарифмический ряд 429
221 Ряд для arc tg x 430
222 Биномиальный ряд 433
223 Другой способ развития теории показательной и логарифми-
логарифмической функций 435
224—226 Аналитическая теория тригонометрических функций 437
Разные примеры 443
Интегралы, содержащие показательную функцию,416. Гиперболические функ-
функции, 418. Интегралы от некоторых алгебраических функций, 419. Постоян-
Постоянная Эйлера, 424. Иррациональность е, 427. Приближение иррациональностчй
с помэщью биномиальной теоремы, 434. Иррациональность In n, 443. Опреде-
Определенные интегралы, 450—452.
ГЛАВА X
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
227—228 Функции комплексного переменного 453
229 Криволинейные интегралы 454
230 Определение логарифмической функции 455
231 Зяачения логарифмической функции '. 456
232—234 Показательная функция 461
235—236 Общая показательная функция сг 4б2
237—240 Тригонометрические и гиперболические функции 467
241 Связь между логарифмической и обратными тригонометриче-
тригонометрическими функциями 471
242 Экспоненциальный ряд 473
243 • Ряды для cos г и sin г : 474
244—245 Логарифмический ряд 476
246 Представление показательной функции в виде предела.... 480
247 Биномиальный ряд . 481
Разные примеры 484
Функционально г уравнение для Ln г, 459. Функция е-, 465. Логарифмы при
любом основании, 466. Арккосинус, арксинус и арктангенс комплексного
аргумента, 470, 471. Тригонометрические ряды, 475, 477—479, 490, 491. Корни
трансцендентных уравнений, 485, 486. Отображения, 486, 487. Стереографи-
Стереографическая проекция, 487. Проекция Меркатора, 487. Линии уровня, 489, 490. Опре-
дел';нные,.интегралы, 491.
Приложение I. Неравенства Гбльдера и Минковското . .' 492
Приложение //, Доказательство того, что каждое алгебраическое
уравнение имеет по крайней мере один корень . . . 497
Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах 503
Приложение IV. Бесконечное в анализе ив геометрии 506
Редакгоры Т. В. Солнцева и Я. И. Хургин
Техн. редакторы Б. И. Корнилов и А. И. Никифорова
Корректор Б. Ерусалимский
Подписана к печати 9/XU 194S г. А-09314. Печ. л. 32. Уч.-изд. л. 36,6;63X92Vie- Цена 35 р. 65 к.
Изд. № 1/37. Заказ J* 1480.
2-я типография .Печатный Двор" им. А. М. Горького треста „Полнграфккига" ОГИЗа
при Совете Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.