Г. Е. ШИЛОВ
ЛЕКЦИИ
ПО ВЕКТОРНОМУ
АНАЛИЗУ

Г. Е. ШИЛОВ
ЛЕКЦИИ
ПО ВЕКТОРНОМУ
АНАЛИЗУ
Допущено Главным управлением
высшего образования Министерства культуры СССР
в качестве учебного пособи! для физико-математических
факультетов государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1954

11-5-2

ПРЕДИСЛОВИЕ
Значение векторного анализа в физических приложениях
математики — в гидродинамике, электродинамике, теории
упругости — общеизвестно. Предлагаемая книга отличается
от распространенных руководств по векторному анализу
(например, Н. Е. Кочина, Я. С. Дубнова, В. И. Смирнова
во втором томе его «Курса высшей математики») своей
установкой на логически завершенное построение самого
аппарата векторного анализа. Классическим операциям векторного
анализа — градиенту, расходимости и вихрю — здесь даются
прямые определения, не связанные с координатной системой
и с дифференцированием по координатам; благодаря этому
при некотором расширении класса допустимых векторных
полей (за рамки обычно рассматриваемой совокупности
полей с дифференцируемыми составляющими) появляется
возможность достигнуть определенной идейной целостности и
законченности теории. Эта законченность сказывается,
например, на формулировке условий разрешимости обратной
задачи (гл. XI) — условий, не налагающих на расходимость
и вихрь искомого векторного поля никаких требований
гладкости. Для построения наиболее прозрачного решения этой
задачи используются два взаимно полярных типа векторных
полей, рассмотрение которых систематически проводится через
всю книгу — поле тяготения непрерывно распределенной
массы и магнитное поле непрерывно распределенного тока;
одно из них обладает нулевым вихрем, а другое — нулевой
расходимостью. Наконец, использование аддитивных функций
областей—в их элементарном аспекте — позволяет подойти
с единой точки зрения к основным теоремам (типа Остро-
градского-Стокса) как к теоремам о восстановлении той или
иной аддитивной функции области по ее плотности. В связи
с этим внимательный читатель заметит, что в некоторых

4
ПРЕДИСЛОВИЕ
местах употребление интеграла Стильтьеса вместо интеграла
Римана позволило бы достичь большей общности и, в
частности, рассмотреть векторные поля с более или менее
произвольными расходимостью и вихрем; но мы предпочли
ограничиться случаями, когда расходимость и вихрь непрерывны
(или кусочно-непрерывны), во-первых, потому, что и в этом
практически наиболее распространенном классе полей
обеспечивается необходимая цельность построения, во-вторых,
достигается максимальная доступность.
Основное содержание книги составили несколько
лекционных курсов — обязательных и специальных, — прочитанных
автором в последние годы в Московском государственном
университете им. М. В. Ломоносова и в Киевском
государственном университете им. Т. Г. Шевченко.
Г. Е. Шилов

ВВЕДЕНИЕ
Для понимания основного материала этой книги
необходимо владение, с одной стороны, курсом векторной алгебры,
с другой, — общим курсом дифференциального и
интегрального исчисления функций нескольких переменных. Мы будем
свободно обращаться с такими понятиями, как длина дуги
пространственной кривой, площадь кривой поверхности; интеграл от
данной функции по кривой, по поверхности. Все линии и
поверхности, участвующие в построениях, мы будем выбирать
достаточно простыми по своей дифференциальной структуре,
например гладкими или составленными из конечного числа
гладких кусков (кусочно-гладкими). Напомним, что линия
называется гладкой, если в окрестности каждой своей точки
и при соответствующем выборе осей она может быть
записана уравнениями у=у(х), z = z(x)y где функции у(х) и
ζ (χ) непрерывны и имеют непрерывные первые производные;
аналогично поверхность называется гладкой, если в
окрестности каждой своей точки при соответствующем выборе осей
она может быть записана уравнением z = z(xyy)> где
функция ζ (лг, у) непрерывна и имеет непрерывные первые
производные. Условие кусочной гладкости обеспечивает наличие
и непрерывное изменение касательных прямых к линиям
(кроме конечного числа угловых точек) и касательных
плоскостей к поверхностям (кроме конечного числа угловых
линий).
Несколько слов об обозначениях. Векторные величины
обозначаются буквами прямого жирного шрифта. Скалярное
произведение векторов ρ и q обозначается через (р, q),
векторное— через [р, q].
Точки пространства обозначаются обычно прописными
буквами А, В, Μ, Ρ и т. д., линии — через L, Г (с
индексами в случае, если они понадобятся), поверхности — через

6
ВВЕДЕНИЕ
S, Σ, области пространства — через G, V; этими же буквами
будут обозначаться длина линии, площадь поверхности, объем
области; можно не опасаться путаницы в обозначениях,
потому что из контекста всякий раз будет ясно, идет ли речь,
например, о самой линии или о ее длине.
Область в пространстве (или на поверхности) называется
закрытой или открытой, смотря по тому, причислены к ней
ее граничные точки или не причислены.
Элементы длин дуг, поверхностей и объемов, входящие
в подинтегральные выражения, обозначаются соответственно
через dl, do, dv; если существенно указать текущую точку
интегрирования (например, в интегралах с параметром), то
будем писать dl(M), do (Μ), dv (Ж). Число знаков интеграла
указывает на размерность области интегрирования; при
интегрировании по замкнутой линии (т. е. ограничивающей
некоторую конечную поверхность) или по замкнутой поверхности
(ограничивающей некоторый конечный объем) употребляются
соответствующие знаки интегралов; например, интеграл от
функции f(M) по замкнутой поверхности 2 обозначается
через
§/(Λί)Λ или §j$jf(M)do{M).
Σ Σ
Мы будем интегрировать не только числовые, но и
векторные функции точки. Если R(M) — векторная функция, то,
например, интеграл
R(M)do(M) (1)
понимается как предел обычной интегральной суммы
i
который в случае непрерывности функции R(M) всегда
существует (и, разумеется, также является вектором).
Впрочем, если вектор R(Ai) разложить на составляющие по
осям
R(M) = X(M)i-\-V{M)j^Z{M)kt
щ

ВВЕДЕНИЕ
7
то интеграл (1) немедленно сводится к трем обычным
интегралам:
§§§ R(M)dv(M) =
+ k ΓΓΓζ(Λί)ί/τ;(Λί).
Расстояние от точки А до точки В обозначается через
г (Л, В). Если F—некоторое множество точек, то г (A, F)
обозначает расстояние от точки А до множества F, по
определению равное нижней грани расстояний точки А до
точек J3£/\
В Добавлении под заголовком «Несобственные кратные
интегралы» мы приводим некоторые понятия и теоремы из
общего курса дифференциального и интегрального
исчисления функций нескольких переменных, которые не всегда
включаются в учебники или в обязательные лекционные курсы,
но имеют некоторое самостоятельное значение и используются
в основном тексте.

ГЛАВА I
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ
Основой векторного анализа является понятие поля,
заимствованное из физики и механики и представляющее собой
выражение определенных количественных соотношений и
пространственных форм реального мира.
Мы говорим, что нам задано скалярное поле, если каждой
точке Μ пространства (или области пространства) сопоставлено
некоторое число f{M).
Таким образом, с логической стороны понятие скалярного
поля не содержит в себе ничего нового по сравнению с
понятием функции, но мы сохраняем установившийся термин —
поле, — учитывая и подчеркивая этим происхождение и
физическую определенность самого понятия.
Легко привести примеры скалярных полей, имеющих
непосредственный физический смысл. Например, можно
рассматривать и изучать поле температуры в окрестности
электродов вольтовой дуги. В метеорологии изучают поле
давления в атмосфере.
Несколько более сложный пример представляет собой
поле плотности массы, которое рассматривается в механике
сплошных сред. Если в объеме V имеется некоторое
сплошное распределение массы, то для заданной области Δ
^содержащей Δ/я граммов массы, мы определяем среднюю
плотность массы как отношение μ (Δ V) — Ып : Δ V. Фиксируем
теперь некоторую точку M£V и рассмотрим последоваг
тельность областей Δ Vnj стягивающуюся при η -> оо к точке М.
Для каждой из этих областей мы получим некоторое
значение μΛ средней плотности массы. Предположим, как это
делается в механике сплошных сред, что при любом выборе
такой последовательности областей числа μΛ имеют при п->оо
определенный предел μ = lim μ„ = μ (Ж), не зависящий от

ГЛ. 1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ 9
специального выбора последовательности AVn. В этом случае
полученную величину μ (Μ) мы и будем называть (истинной)
плотностью массы в точке Λί. Если плотность μ(Αί)
определена в каждой точке области V', то значения функции μ (Μ)
в этой области образуют скалярное поле, которое мы
называем полем плотности массы.
Аналогично в электродинамике, рассматривая
электрический заряд qy распределенный сплошным образом в области V,
вводят скалярное поле плотности заряда. Это поле в каждой
точке Μ определяется путем построения предела
отношения Aq:AV, где Lq — количество заряда в объеме
Допредельный переход совершается так же, как и выше, при
стягивании объема AV к точке М.
Переходим теперь к рассмотрению векторных полей.
Мы говорим, что нам задано векторное поле, если каждой
точке Ρ пространства (или области пространства) сопоставлен
некоторый вектор R(P).
Как и в случае скалярного поля, понятие векторного поля
по существу совпадает с понятием векторной функции; тем
не менее мы опять сохраняем установившийся термин —
векторное поле, — сохраняя геометрическую и физическую
определенность этого понятия.
Одним из важнейших физических примеров векторных
полей является поле сил тяготения. Если в пространстве
имеется некоторое распределение масс, то по закону Ньютона
на единичную массу, помещенную в точке Я, будет
действовать сила притяжения F(P), точное выражение которой мы
приведем далее; она называется напряженностью поля
тяготения в точке Р. Векторы F(P), рассматриваемые во всех
точках пространства, составляют векторное поле, которое и
называется полем тяготения данной системы масс.
Теперь построим формулу для силы F(P).
Если поле тяготения порождается одной точечной
массой т0, расположенной в точке Л40, то по закону Ньютона
напряженность этого поля F (Р) записывается в
соответствующих единицах по формуле
рЮ= г»(Р%о) «<**«>' ^
где г(Р, ЛТ0) — длина отрезка, соединяющего точки Ρ и М0,
а е(Р, Жр) — единичный вектор, направленный из тонки Ρ

10 ГЛ. 1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ
в точку /И0; предполагается, естественно, что точка Ρ
отлична от точки Λί0.
Если поле тяготения порождено не одной, а несколькими
(например, числом п) точечными массами ти тъ ... , тПУ
расположенными в точках Ми Мъ ... , Мп, то каждая из них
действует на единичную массу, находящуюся в точке Я, по
формуле, аналогичной формуле (1). Совокупное действие
всех этих масс по закону сложения сил изображается
векторной суммой
при условии, что точка Ρ не совпадает ни с одной из точек Mj.
Представим себе теперь сплошное распределение массы
в ограниченном объеме V с кусочно-непрерывной плотностью
μ(Λί); предположим сначала, что точка Ρ находится вне
объема V.
Разобьем объем V на некоторое число η малых объемов
dVj(j—l, 2, ... , η) и обозначим через dntj массу,
заключенную в объеме dVj.
Естественно считать, что сила dFjy действующая на
единичную массу в точке Ρ со стороны элемента массы dm^
такова же, как если бы этот элемент массы был сосредоточен
в одной точке объема dVj, например в точке Λί;·. Это
позволит использовать для выражения силы dFj только что
полученную формулу
dF _ dmj (р М)_ ^(Mfidvj (р м)
arJ— г*(Р, Μ β е^' mJ}— г2 (Ρ, Mj) K ' j)'
Интегрируя это выражение по всему объему V, мы и
получаем искомое выражение полной силы притяжения
Заметим, что интеграл (3) определен как для точек Р%

ГЛ. 1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ 11
внешних по отношению к объему VQ, так и для внутренних
его точек. В этом последнем случае интеграл становится
несобственным, однако существующим, поскольку в
знаменателе величина г (Я, М) входит во второй степени
(Добавление, лемма 1).
Мы встречаемся с физическими примерами новых
векторных полей при изучении движения материи. Допустим, что
движется некоторая непрерывная среда, например
непрерывно распределенная масса. Тогда в каждой точке Μ
рассматриваемой области пространства мы можем построить
вектор и(М), равный скорости частицы материи,
находящейся в рассматриваемый момент времени в точке М. В каждый
момент времени совокупность векторов u(M) для всех
точек Μ составляет векторное поле — поле скоростей частиц
движущейся материи.
Произведение плотности материи μ(Λί) на ее скорость
и(Ж) образует новый вектор, который называется
плотностью импульса. Таким образом, появляется новое
векторное поле — поле плотности импульса.
Умножая плотность импульса на элемент объема AV, мы
получаем произведение (μΔ V) и (М) = Am · u (M), которое
представляет собой импульс частицы материи, заполняющей
элемент объема AV.
Если движутся электрические заряды, то такое движение
в физике называют электрическим током; скорость u(Ai),
умноженная на плотность заряда q (Λί), называется в данном
случае (объемной) плотностью тока. Вектор плотности тока
обозначается через j (Λί). Соответствующее поле называют
полем плотности тока. Умножая плотность тока на элемент
объема AV, мы получаем произведение AJ(Al) = j(Af)AVr,
называемое элементом тока.
Электрический ток в отличие от движения тяготеющих
масс порождает некоторое новое физическое явление — появ·
ление магнитных сил, которые можно обнаружить
экспериментально с помощью магнитной стрелки. По закону Био
и Савара магнитная сила АН, порождаемая элементом тока
AJ(Af) в точке Я, вычисляется в соответствующих единицах
по формуле
лнгр>—lAJ^> е Μ Р)} _ \}Ш е (М, Р)} А„
АПКП — Г2(А1| Р) — Г2(А1| Р) *ν*

12 ГЛ. I. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ
Интегрируя это выражение по всему объему, занятому
токами, мы получаем выражение полной магнитной силы
в точке Я:
V
Интегралы, аналогичные интегралу (4), встречаются и
в других областях математической физики (например, в
теории вихревого движения жидкости в гидродинамике).
Соответствующие векторные поля имеют там совершенно иной
физический смысл.
Чтобы иметь возможность рассматривать такие физически
разнородные явления с единой математической точки зрения,
мы сопоставим каждому (непрерывному или
кусочно-непрерывному) векторному полю j (Ж), определенному в объеме V,
новое векторное поле Η (Я) по формуле
где V — область, занятая векторным полем j (Ж). (Если
эта область не ограничена, то для существования интеграла (5)
нужно дополнительно требовать достаточно быстрого
убывания поля j (M) на бесконечности. Например, интеграл (5)
заведомо существует, если поле j (M) обращается в нуль
вне ограниченной области ΙΛ) Поле Η (Я) мы будем
называть силовым полем вектора j(M).
Заметим, что поле Η (Я) существует как во внешних,
так и во внутренних точках объема I/, занятого током j (Λί);
во внутренних точках этого объема интеграл (5)становится
несобственным, но остается сходящимся, поскольку в
знаменатель величина r(M> P) входит во второй степени
(Добавление, лемма 1).
В физике иногда рассматривают токи, текущие по
поверхности, не имеющей толщины, и в большинстве случаев
токи, текущие вдоль линии (проводника), В этих случаях
вводят понятие поверхностной или линейной плотности тока.
Рассматривая ток, текущий вдоль провода, не имеющего
толщины, мы называем линейной плотностью тока в точке Μ
произведение скорости заряда и(М) на линейную плотность
заряда q(M); элементом тока э этом случае называется

ГЛ. 1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ 13
H(P) = J·
■dl(M).
(6)
произведение плотности тока и (М) q {Μ) на элемент Δ/ длины
проводника, взятый в точке М.
Соответствующее магнитное поле в этом случае строится
по формуле
t_f Ц(ЛЦ, е(М,Р)]
г2 (ЛГ, Р)
г
Этот интеграл существует в точках Я, лежащих вне линии L.
В общем случае, если j (Μ) — произвольное линейное
векторное поле (т. е. векторная функция j (M) определена
вдоль линии L и вектор j (M)
в каждой точке направлен по
касательной к линии Ζ,),το
интеграл (6) мы будем также
называть силовым полем вектора
J (Л*)·
Рассмотрим важный
частный случай интеграла (6),
когда L — прямая линия и вектор
j {M) имеет постоянную длину
j во всех точках Μ £ L.
Физически этот случай
соответствует магнитному полю
тока, текущего вдоль
бесконечно длинного прямого проводника.
Направим ось Οζ по проводу в ту сторону, куда течет
ток, и в качестве начала координат на ней возьмем основание О
перпендикуляра, опущенного из точки Я; длину этого
перпендикуляра обозначим через ρ (Я).
Если α есть угол ОМРу то из черт. 1 мы непосредственно
получаем:
[}№, е (Ж, P)]=jsina.*(P)t
где τ (Ρ) — единичный вектор, касательный к окружности Г
с центром в точке О, плоскость которой перпендикулярна
к прямой L·
Далее
r{MyP)=-^P-, z=9(P)ctg*,
Черт. 1.
откуда
dz =
sin2 α

14 ГЛ. 1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ПРИМЕРЫ
Таким образом, для выражения rfH мы получаем формулу
^Н— U(M),e(M,P)] _ jsmada
ап~ г*(М,Р) ~ р(Р) τ^ (ί)
Интегрируя это выражение по всей прямой L, что
равносильно интегрированию правой части равенства (7) по α в
пределах от π до нуля, мы получаем:
о
H^>=-wisinarfa=7^~x(P)· (8)
π
Итак, силовое поле Η (Ρ) постоянного вектора j(Λί),
определенного вдоль прямой L, вычисляется в каждой точке Ρ
по формуле (8).
Заметим, что при удалении точки Ρ от прямой L длина
вектора Η (Я) уменьшается, оставаясь обратно
пропорциональной первой степени расстояния до этой прямой.

ГЛАВА 2
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрим основную формулу интегрального
исчисления функций нескольких переменных — формулу
Остроградского. Эта формула со своим обобщением будет служить в
дальнейшем главным средством исследования скалярных и векторных
полей, составляющие которых являются дифференцируемыми
функциями от координат.
Формула Остроградского. Известная формула Ньютона-
Лейбница для функций одного переменного
jd^-dx = X{b)-X{a) (1)
а
выражает интеграл от производной функции Х(х) через
граничные значения самой функции Х(х) в предположении
существования и непрерывности этой производной. Переходя
к функциям нескольких—например трех—переменных и к
интегралу по трехмерной области, мы должны ожидать в правой
части появления значений функции на границе области;
естественно, что при учете всех этих значений будет
фигурировать некоторый поверхностный интеграл, взятый по
границе области. Итак, рассмотрим интеграл вида
с непрерывной подинтегральной функцией ^ У' ,
взятый по области V с границей Σ; относительно границы мы
пока предположим, что она пересекается не более чем в двух
точках с каждой прямой, параллельной оси Ох. Произведя

16 ГЛ. 2. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
при фиксированных у и ζ интегрирование по χ и используя
формулу Ньютона-Лейбница (1), мы получим:
1= Г Г [χ (В) — X (A)} dy dz.
Здесь АВ — отрезок интегрирования (концы его зависят
от значений у и ζ) и Syz — проекция объема V на плоскость
Oyz (черт. 2). Рассмотрим элементы do (А) и
^(^поверхности 2 в точках А и В и обозначим через η (Л) и η (В)
единичные векторы соответствующей внешней нормали. Тогда,
очевидно, /\
dy dz (В) = do (В) cos (n (Я), i),
dy dz (A) = do (A) cos (n (Л), —i) =
= — da (A) cos (n (A), I).
Поэтому величина интеграла / может быть представлена
в виде поверхностного
интеграла ч
I=^X(M)cos(n(M)i\)do(M).
i
Таким образом, искомая
формула имеет вид
дХ(х, у, z) dv==
=$Х(М) с os(n(AT) Л ) do{M). (3)
Черт. 2.
От предположения о том,
что область V пересекается
с каждой прямой, параллельной оси Ох, не более чем в двух
точках, легко освободиться. Действительно, каждую область
можно разложить на сумму конечного числа областей,
удовлетворяющих нашему условию. Записывая формулу (3) для
каждого слагаемого и затем складывая результаты, мы в
левой части получим интеграл по всей области V; в правой
части интегралы по общим частям границ смежных слагав-

ГЛ. 2. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 17
мых взаимно сокращаются, поскольку для этих слагаемых на
общей части границы нормали направлены в
противоположные стороны; в сумме остается лишь интеграл по границе
самой области V.
Записывая формулы, аналогичные формуле (3), для
производной от функции У (лг, у, ζ) по у и для производной от
функции Ζ(χ, уу z) no ζ и складывая результаты, мы
придем к симметричной формуле, установленной впервые
М. В. Остроградским (1834):
= <у) [Xcos <х+ Г cos β + ^ cos γ] do, (4)
2
где α = (η, i), P = (n,j), y = (n,k) — углы внешней нормали
с положительным направлением соответствующие осей.
Подчеркнем еще раз, что эта формула имеет место при
условии существования и непрерывности в области V частных
дХ дУ dZ
производных Τχ9 -д~у ^.
Формулу (4) удобно записать в векторной форме. Введем
векторное поле
R(M) = X(M)i-)ry(M)i-\-Z(M)k.
Поскольку единичный нормальный вектор η(Λί) имеет
разложение
η (Ж) = i cos α -j- j cos β -f- k cos γ, (5)
подинтегральная функция в правой части равенства (4)
представляет собой скалярное произведение
Таким образом, формулу (4) можно записать в
следующем виде:
ШШ+ί+?*}*>=§ью. ытхым). (6)
V S
Левая часть формулы (4) также имеет векторную
интерпретацию; но мы отложим рассмотрение этого вопроса до
главы 5.

18 ГЛ. 2. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
Обобщенная формула Остроградского. Пусть
φ(Λί), R(Af), ...
некоторые скалярные или векторные поля, обладающие
непрерывными производными по всем координатам; пусть, далее,
ρ — произвольный вектор и Т(р)=Г(р; φΟΠ), ROW), ...)—
некоторое выражение, имеющее смысл — числа или вектора —
при любом выборе вектора ρ и также обладающее
непрерывными производными по координатам точки М.
Предположим далее, что 7"(р) — линейная функция вектора р, иными
словами, для любых вещественных чисел <Xj и а2 имеет место
равенство
^(αιΡι+α2Ρ2) = αι^(Ρι) + α2^(Ρ2)-
Важнейшие выражения такого типа, содержащие, кроме р,
еще только один аргумент φ(Λί) или R(M), — следующие:
а) ρ · φ (Μ) (численное произведение),
б) (р> R ОЮ) (скалярное произведение),
в) [р> ROW)] (векторное произведение).
Более сложные выражения могут содержать несколько
аргументов вида φ(Λί) и ROW), например
(P, 9(R)), [Ρ, [Ri, RiH и т. п.
Мы сопоставим с каждым выражением Г(р),
удовлетворяющим поставленным условиям, некоторое
дифференциальное выражение.
Пусть ρ === ai —|— 6j —|— ck; тогда в силу линейности
7·(ρ) = αΓ(1) + *7·(|) + βΓ(ΐο. (7)
Положим по определению
W = £T(i) + £TQ) + £.T{k), (8)
заменяя в разложении (7) координаты вектора ρ на знаки
дифференцирования по соответствующим переменным.
Символ \ (набла) называется дифференциальным
оператором Гамильтона1).
1) Набла — старинный музыкальный инструмент, имеющий форму
опрокинутого треугольника.

ГЛ. 2. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 19
Так, для операций а) — в) мы имеем:
а) рср (Ж) = а\ · φ -f- b] · φ -|- ck · φ, поэтому
дху
dzy
— \ ?1 _L \ дф _L k *>
дг
(9)
б) Если R = {*> Κ, Ζ}, то (р, R) = a*+*K + *Zf
поэтому
/ ¥чч ^ ι dY , dZ /ii44
(V-R)=Sc + d!y-+^· (10)
в) Если R = { Χ, Υ, Ζ), το
ίΡ. Rl·
Ι*
: i (bZ — cY) -f j (cX— aZ) -f k (αΥ — ЬХ)
i j k
a b с
X YZ
= \(bZ
i J
д д
дх ду
Χ Υ
— с
к
д
dz
Ζ
[V, R] =
.IdZ dY\ . . IdX dZ\ . . (dY dX\ ,,14
= i[dy-lz) + i[~d~z-dxi + k[dx-Tyy W
Геометрический и физический смысл полученных
выражений мы будем изучать в дальнейших главах книги. Здесь
ограничимся выяснением только одного, правда очень
важного, обстоятельства. В выражение Τ (у) явно входит
дифференцирование по аргументам х, у, ζ, поэтому на первый
взгляд может казаться, что Т(у) существенно зависит от
выбора координатных осей. Но в действительности величина
Т(у) не зависит от выбора координатных осей; докажем
это тем, что дадим величине 7 (ψ) новое определение, в
котором оси Ox, Оу, Oz вообще не будут участвовать.
Предположим вначале, что 7(р) имеет числовые
значения. Составим векторную функцию
R(Al) = {r(l), TQ), 74k)}.

20 ГЛ. 2. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО И ЕЕ ОБОБЩЕНИК
Применяя к этой функции формулу Остроградского (4), где
положено
X=T(l), V=TQ)9 Z=T(k),
получим равенство
= (Ц { Τ (i) cos α -f- Τ(j) cos β + Τ (k) cos γ } do.
2
Это равенство имеет место для любой области V с
границей 2· Используя линейность функции Г(р) и формулу (5),
получим:
T(i)cosa+7,(j)cosp+7,(k)cosY =
= T(i cos a -f- j cos β -f- k cos γ) = Τ (η),
откуда в силу определения Τ (ψ) (8)
Γ(ν)^ = ^(η)ώ. (12)
Формула (12) называется обобщенной формулой
Остроградского. Она переходит в обычную формулу
Остроградского (6), если положить 7(р) = (р, R), где R = { Χ,Υ,Ζ}.
Если разделим обе части равенства (12) на объем области
V, то при стягивании объема V к произвольной
фиксированной точке Ρ левая часть будет иметь предел, равный
значению величины 71(ψ) в точке Р. Правая часть, равная левой,
также будет иметь этот предел; отсюда в точке Ρ
T(V)=lim ~§T(n)do. (13)
v-+p *2
Правая часть равенства (13), очевидно, не зависит от
выбора системы координат. Выражение Г (у), следовательно,
также не зависит от выбора системы координат, что и
требовалось.
Теперь предположим, что Т(р) имеет смысл вектора;
будем писать в этом случае: Т(р). Разлагая Т(р) по осям,
получим, например, следующее выражение:
T(p)=r1(p)l+7'i(p)j + r,(p)k.
Щ

ГЛ. 2. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 21
Каждая из численных функций Тх (р), Т^ (р), Тъ (р), очевидно,
удовлетворяет поставленным условиям. Поэтому для каждой
из них имеет место обобщенная формула Остроградского (12)
(14)
Jj*f Г4 (?)<**== §Г8 (η) </σ, I
V 2
§ W T,(v)dv=$T,(n)do.
Умножим каждую из формул (14) соответственно на I, j
и к и сложим; мы получим обобщенную формулу Остро-
градского для векторного выражения Т(р):
JJjT(v)rff=§T(n)rfa
(15)
Отсюда, так же как и выше делением на V и переходом
к пределу, мы получаем
T(v)=Hm -^ ©Τ (η) Ж.
V —Ρ
(16)
Таким образом, и в случае векторного выражения Т(р)
соответствующее дифференциальное выражение Τ (γ) не
зависит от выбора системы координат.

ГЛАВА 3
АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ И ИХ ПЛОТНОСТИ
Основная формула (1) этой главы в некотором смысле
аналогична обобщенной формуле Остроградского из главы 2. Но, в то
время как формула Остроградского имеет смысл только в
предположениях дифференцируемости участвующих в ней скалярных или
векторных полей, новая формула (1) уже не нуждается в этих
предположениях. Это позволит нам в дальнейшем вести исследование
скалярных и векторных полей, не ограничивая себя только
дифференцируемыми полями.
Вернемся к определению плотности массы из главы 1.
Мы определили там плотность массы в точке Ρ как
lim ±0L
где Am означает количество массы, заключенное в объеме
AV, и предельный переход состоит в стягивании объема AV
к точке А
Аналогично, как мы видели, строится определение
плотности сплошного электрического заряда: нужно составить
отношение -^ (Ад— количество заряда в объеме AV) и найти
его предел при стягивании объема AV к точке Я.
Таким образом, определение плотности и в первом, и во
втором случаях строится одинаково.
Это открывает возможность в обеих областях — в
механике (масса) и теории электричества (заряд) — да и во
многих других, как, гидродинамика, вообще механика сплошной
среды — пользоваться единой математической схемой,
независимой от того или иного конкретного содержания
физической теории.
Попробуем точно сформулировать, что означает
выражение «нам задано сплошное распределение массы» (или
«сплошное распределение заряда»). Как описать количественно такое

ГЛ. 3. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ 23
«сплошное распределение»? Очевидно, что «сплошное
распределение массы» можно только тогда считать заданным, когда
имеющиеся данные об этом распределении позволяют
определить количество массы, заключенное в любой области
пространства. Но и обратно, если нам известно количество
массы, заключенное в каждой области пространства, то это
все, что мы можем требовать для задания сплошного
распределения. Таким образом, задание сплошного распределения
массы равносильно заданию функции m(V)f дающей для
каждой области V величину заключенной в ней массы. Если
в классическом анализе мы имели дело с функциями точки
(например, для функции трех переменных — точки в
трехмерном пространстве), то теперь мы имеем дело с функцией
принципиально иной природы, с функцией, аргументом
которой является область. Отметим, что для задания сплошного
распределения массы безразлично, рассматривать ли
открытые области или области с присоединенными к ним частями
границы (так как граница области не имеет толщины и на
ее долю приходится нулевая масса). Поэтому в дальнейшем
при определении функции области нам будет безразлично,
рассматривается ли данная область открытой или к ней
присоединяются части ее границы (или даже вся граница).
Функция распределения массы m{V)y очевидно, должна
обладать следующим свойством. Если V^ и V%—-две области,
не имеющие общих внутренних точек (например, два куба
с общей гранью), и Vx -\- И2 — их объединение
(прямоугольный параллелепипед, образованный этими двумя кубами), то
что выражает факт сохранения массы. Аналогично функция
распределения заряда q(V)f задающая количество заряда
в области V, также должна обладать аналогичным
свойством:
Всякая функция областей Φ (V), удовлетворяющая
условию
для любых двух областей без общих внутренних точек,
называется аддитивной функцией областей. Таким образом,

24 ГЛ. 3. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ
функции распределения массы и заряда дают нам примеры
аддитивных функций областей.
Определим теперь плотность функции областей Φ (V)
в данной точке Μ по аналогии с плотностью массы.
Рассмотрим последовательность областей AVn, стягивающуюся
при /г—хх) к точке М. Здесь уместно уточнить смысл слова
«стягивающаяся к точке Ж».
Мы будем понимать под этим следующее: область ΔΥη
содержит внутри себя или на границе точку Μ и сама
целиком содержится в шаре Un(M) с центром в точке Μ и с
радиусом ρΛ, стремящимся к нулю при я->оо.
Для каждой из этих областей &Vn мы определим
среднюю плотность функции Ф('/) как отношение
Предположим далее, что последовательность чисел φ(Δ Vn)
имеет при я->оо предел ср(М) = lim φ(ΔΚΛ), не зависящий
л-»оо
от выбора последовательности Δ Vnf стягивающейся к точке М.
Эту величину φ (Ж) мы будем называть (истинной)
плотностью функции Φ (V) в точке М.
Изменяя точку Му мы получим скалярное поле
функции φ (Λί). Мы предположим, что эта функция φ (Μ)
определена и непрерывна всюду, за исключением конечного числа
поверхностей, при переходе через которые φ(Μ) может
претерпевать разрывы. (Для сплошного распределения массы
разрывы плотности происходят, например, при переходе из
области, занятой массами, в пустоту.)
Разумеется, мы не вправе ожидать, что всякая
аддитивная функция областей имеет определенную функцию
плотности φ(Λί). Мы укажем сейчас важный класс аддитивных
функций, обладающих этим свойством.
Пусть задана кусочно-непрерывная функция f(M) и
функция области Φ (V) определена условием
Тогда по теореме о среднем величина

ГЛ. 3. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ 25
при стягивании объема Δ К к точке М0, в которой
функция f(M) непрерывна, будем иметь пределом значение/(7И0).
Таким образом, в данном случае аддитивная функция Φ (V)
действительно обладает функцией плотности cp(Af), которая
совпадает с f(M) в каждой точке ее непрерывности.
Как мы покажем далее, приведенный пример носит общий
характер. Оказывается, что аддитивная функция областей
Φ (V) в общем случае может быть восстановлена по своей
плотности φ (Ж), если только, как мы и предположили, эта
функция φ (Μ) непрерывна или хотя бы кусочно-непрерывна.
Докажем теорему:
Теорема 3.1. Если плотность φ(Λί) аддитивной
функции областей Φ (V) непрерывна (или
кусочно-непрерывна), то для всякой области V
Φ (10 = Г JJ φ(ΛΓ)</ζ>(Λί). (1)
ν
Для распределения масс наша теорема утверждает, что
масса, заключенная в некоторой области I/, получается
интегрированием плотности массы по этой области V.
Доказательство теоремы 3.1 основано на следующих
двух леммах.
Лемма 1. Если при некотором разбиении области V на
части Vif V2, ... ,Vk средняя плотность аддитивной
функции Φ (V) в каждой из областей Vj (j = 1,2, ..., k) no
абсолютной величине меньше некоторой величины μ, то в
области V средняя плотность функции Φ (V) также меньше μ.
Доказательство. Из соотношений
вытекает, что
|ΦΟΊ)Ι<μνΊ, ΙΦΟυΐΟκ,,..., l*(v*)IOV*;
таким образом,
k k k
ΐΦοοι=ι 2 φ(^·)ΐ^ 2 ΐφ<Ό)ΐο 2 vj=*v'
откуда
^<*
что и требовалось.

26 ГЛ. 3. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ
Лемма 2. Если плотность φ (Μ) аддитивной функции
Φ (V) тождественно равна нулю, то и сама функция Φ (V)
равна нулю на каждой области V.
Доказательство. Допустим, что для некоторой
области V0 ф(К0)т^0. Тогда средняя плотность функции
Ф(У) в области V0 будет отличной от нуля; обозначим
через μ абсолютную величину этой средней плотности.
Произведем разбиение области V0 на части с диаметрами,
меньшими единицы, произведя для этого, например, сечения
области V0 плоскостями, параллельными координатным
плоскостям. В силу леммы 1 среди полученных частей будет
хотя бы одна — обозначим ее через Vlf — в которой
средняя плотность функции Ф(У) будет по абсолютной
величине не менее, чем μ. Далее аналогично произведем
разбиение области Vt на части с диаметрами, меньшими -к-;
среди этих частей мы найдем такую, например V2i в
которой средняя плотность функции Ф(У) будет снова по
абсолютной величине не меньше μ, и таким же образом
продолжим построение неограниченно.
В результате мы получим последовательность областей
V0 zd Vt zd ..., размеры которых стремятся к нулю и в каждой
из которых средняя плотность функции Φ (V) по
абсолютной величине не менее μ. Поскольку все эти области —
закрытые, по известной теореме анализа они стягиваются к
некоторой точке Λί0. По условию плотность функции Ф(У)
в точке Λί0 должна быть равна нулю.
Так как плотность функции Φ (Ж) вычисляется как
предел средней плотности, а на последовательности областей
VQ zd Vt zd ... средние плотности не стремятся к нулю,
то мы получаем противоречие с нашим построением.
Отсюда следует, что неравенство Ф(1/"0)^0 невозможно.
Переходим к доказательству теоремы 3.1.
Предположим сначала, что заданная функция ср(М)
непрерывна. Построим по функции ср(М) аддитивную функцию
областей
W(V)= Г Г Г φ (Ж) dv(M).
Как мы уже видели, плотность функции Ψ (V)
совпадает с функцией φ(Λί). Рассмотрим теперь аддитивную

ГЛ. 3. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ 27
функцию областей Ψ (V) — Φ (V). Поскольку и уменьшаемое
и вычитаемое имеют плотность φ(Λί), разность имеет
плотность, всюду равную нулю. В силу леммы 2 разность сама
тождественно равна нулю; отсюда для любой области V
Ф(1/) = Т(К)= f f Γφ(Αί)Λ(Λί), (2)
что мы и утверждали.
Если функция φ(Λί) не непрерывна, а только
кусочно-непрерывна, то мы разобьем область V на конечное число
областей, в каждой из которых функция φ (Ж) будет
непрерывной. В каждой из областей утверждение будет
справедливо по доказанному, а складывая результаты, полученные
для каждой отдельной области, мы придем к
выполнению равенства (2) во всей области V.
Тем самым теорема 3.1 полностью доказана.
Замечание. При выяснении существования плотности
данной функции областей Φ (К) возникает вопрос, нельзя ли обойтись
рассмотрением значений функции Φ (К) не для любой
последовательности областей, стягивающейся к точке Λί0, а лишь для
последовательности областей некоторой определенной формы, например
кубической или шаровой. Следующий пример показывает, что областями
какой-либо определенной формы ограничиться,вообще говоря,нельзя.
Пусть U0 — фиксированный шар. Построим функцию областей
Ф(У) по следующему правилу. Пусть сначала область V целиком
содержится в шаре U0; если область V не имеет общего куска
границы с границей шара U0t то положим Ф(У) = 0, если же
граница области V имеет с границей шара общую часть площади σ,
то положим Φ(Κ) = σ. Пусть теперь область V находится вне
шара U0; если ее граница не имеет общего куска с границей
шара U0, то попрежнему полагаем Ф(К) = 0, если же у них
имеется общий кусок площади σ, то полагаем Ф(У) =— σ.
Наконец, если V имеет точки как вне, так и внутри шара if0,
то можно представить V в виде суммы Vx + К2, где Vx находится
внутри шара (J0, a V2 — вне шара С/0; полагаем в этом случае
Ф(У)==Ф(1/1) + Ф(К2). Легко проверить, что построенная
функция областей аддитивна. Будем теперь вычислять плотность
функции Ф(У), используя для этого не все возможные области Δ К,
а только такие, которые не имеют общих кусков границы
положительной площади с границей шара U0 — например, используя только
многогранные области. Поскольку по построению на каждой такой
области Ф(У) = 0, мы получим, что и плотность этой функции
всюду равна нулю. На самом же деле в точках границы шара U0
плотность функции Φ(V) не существует, так как, если
использовать и такие области, которые имеют общие куски границы
положительной площади с границей шара U0, то можно получить
последовательность значений средней плотности, не имеющую предела.

28 ГЛ. 3. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ
В некоторых физических задачах вместо сплошного
распределения масс или зарядов по объему часто
приходится рассматривать случаи, когда масса (заряд) непрерывно
распределена на некоторой поверхности или на некоторой
линии. Например, известно, что заряд сферического
конденсатора целиком распределяется вдоль его поверхности.
В механике задачу о колебаниях висящей цепи решают
в простейшем случае, считая цепь линией, не имеющей
толщины.
В этих случаях вводятся понятия «поверхностной
плотности» и «линейной плотности» соответствующих масс или
зарядов. Эти понятия вводятся совершенно аналогично
понятию объемной плотности заряда (массы).
Например, рассмотрим массу, распределенную вдоль
поверхности 2· Для заданного элемента А£ этой поверхности,
несущего на себе Am граммов массы, определяется средняя
поверхностная плотность массы как отношение Am: Δ2·
Переходя к пределу при условии, что элемент Δ2,
уменьшаясь, стремится к фиксированной точке Μ £ Σ» мы
получаем истинную поверхностную плотность массы
в точке Μ
^(M) = lim~-.
Аналогично для массы, распределенной вдоль линии L,
истинная линейная плотность μ(Λί) определяется в данной
точке Μ £ L как предел отношения Am: Aly где Am —
количество массы, несомое элементом Δ/ линии L, а предел
вычисляется при стягивании элемента Δ/ к точке Ж.
Для математического изучения такого рода объектов
вводят понятия аддитивной функции областей на заданной
поверхности или на заданной линии. Функция Φ Q]) °б-
ластей на заданной поверхности (или на заданной линии —
областью на линии является дуга этой линии или конечная
совокупность таких дуг) называется аддитивной, если для
любых двух областей }£, и 2з без общих внутренних точек
выполняется равенство
Φ(Σι + 2*)=Φ(Σι) + Φ(Σ·).
Конечно, в случае поверхности или линии внутренние
точки рассматриваются по отношению к этой поверхности

ГЛ. 3. АДДИТИВНЫЕ ФУНКЦИИ ОБЛАСТЕЙ 29
или линии, а отнюдь не по отношению к вмещающему
поверхность (линию) пространству.
Плотность φ (Ж) функции областей Φ(Σ) на
поверхности определяется как предел отношения
φ(Δ2Λ=—δςΠ~>
предел вычисляется при стягивании области ΔΣ к точке М,
как в случае пространства. Имеет место теорема,
аналогичная теореме 3.1 и доказываемая точно таким же образом:
Теорема 3.2. Если плотность φ (Μ) аддитивной
функции областей Φ (2) на поверхности непрерывна (или
кусочно-непрерывна), то для всякой области 2
Ф(2)=ДфОИ)<мж).
Σ
Аналогичная теорема для линии фактически совпадает
с классической теоремой Ньютона-Лейбница, связывающей
интеграл и производную функции одного переменного.

ГЛАВА 4
ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Рассмотрим скалярное поле φ (Ж), определенное в
области V; пусть М0 — некоторая фиксированная точка этой
области.
Если мы будем перемещаться из точки М0 вдоль какой-
нибудь кривой /, то значение скаляра φ (Λί), вообще говоря,
будет изменяться. Чтобы охарактеризовать изменение
функции φ (Ж) вдоль линии /, мы введем сейчас понятие о
производной поля <ψ(Λί) по линии L
Введем на линии / «натуральный параметр»—длину дуги
Δ/, отсчитываемую от точки М0. Пусть Мхф М0 —
некоторая точка линии /, определяемая значением дуги Δ/ φ 0.
Построим отношение
Δ? φ (Μι) — φ (Λί0)
Δ/— Δ/
и будем наблюдать за его изменением при приближении
точки Мг к точке Λί0. Допустим, что у этого отношения
существует предел при Ml-^MQ. Тогда, зная этот предел,
мы можем делать определенные заключения о поведении
функции ср(М) вдоль линии /. Если, например, он положителен, то
на этой линии вблизи точки М0 имеет место неравенство
φ(Λί)^>φ(Λί0), если же он отрицателен, то имеет место
неравенство φ (Ж) < φ (Ж0). Указанный предел обозначается
символически через ^ и называется производной поля φ(Αί)
в точке М0 вдоль линии L
Разумеется, далеко не для всякой функции φ(Λί)
существует производная поля φ(Λί) вдоль данной линии. Мы
укажем сейчас важный класс полей, для которых
производная в данной точке существует вдоль каждой линии,
выходящей из этой точки.

ТЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛИ 31
Предположим, что приращение функции φ (Μ) при
переходе из точки М0 в любую точку Μί в прямоугольных
координатах лг, уу ζ может быть выражено формулой
άφ = φ(Μχ) — φ(Λί0) =
= Atix + BAy + Cbz + e(M0, Mt)r(M0t Mx\ (1)
где А, В, С—некоторые константы (не зависящие от вы-
>-
бора точки Мх)у Δχ, Ay, Δζ — проекции вектора MQMX на
оси координат и функция ε(Λί0, Μχ) стремится к нулю,
когда точка Мх приближается к точке М0.
Первые слагаемые Α Δχ-{-В &у-\-С Δζ определяют
главную часть приращения функции; эта главная часть, как
мы видим, линейна относительно приращений координат.
Наличие разложения (1) определенным образом связано
с существованием частных производных у функции φ(Λί).
Действительно, если рассмотреть смещение из точки М0
в направлении оси Оху так что ky = Az = 0, то получим:
Δψ = ΑΔχ + ε(Μ0> Мх) \Δχ\9
и, следовательно,
^ = Л+е(ЛГ0, Мг);
в правой части этого равенства возможен переход к
пределу при Δχ->0, откуда вытекают существование частной
« <?φ(Μο)
производной —~—— и равенство
1 = ^φ(Λίο)
дх
Аналогично
Таким образом, числа А, В, С в разложении (1)
определены однозначно самой функцией φ(Λί).
В частности, мы видим, что наличие разложения (1)
приводит к существованию частных производных у функции
ср(М) в точке М0. Известно и обращение этой теоремы,
которое выполняется, однако, при более сильных
ограничениях, налагаемых на функцию φ (Μ); если у функции φ (Μ)
fo(M) to (M) dv'M)
существуют производные —^—-, —-^—-, — ,—- и эти

32 ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
производные непрерывны при М = М0, то разложение (1)
имеет место *).
Всякая функция φ (Μ), допускающая в окрестности точки
М0 разложение (1), называется дифференцируемой в точке
Λί0. Покажем, что функция <р(М), дифференцируемая
в точке М0> имеет в этой точке производную вдоль любой
линии L
Пусть χ = χ(Δΐ), y = y(Al), ζ = ζ(ΔΙ)—
параметрические уравнения кривой / с «натуральным параметром» Δ/.
Рассмотрим вектор τ = {χ*(0), У(0), ζ'(0)\. Он представляет
собой единичный касательный вектор к линии / в точке М0;
поэтому τ = {cos α, cos β, cosy}, где α, β, γ — углы,
образованные вектором τ с осями координат.
Приращения Δχ> Ay, Δζ, фигурирующие в формулах (1),
мы можем представить в форме
Δχ = χ* (0) ΔΙ + sj (ΔΙ) Δ/ = Δ/ cos α -f sj (ΔΙ) - ΔΙ,
Ay = У (0) Δι -f ε2 (Δ/) ΔΙ = ΔΙ cos β + ε* (Δ/) · Δ/>
Δζ = ζ' (0) Δ/+ 4 (Δ/) Δί= ΔΙ cos γ + ε3 (Δι) - Δ/,
где е1 (Δ/), ε2 (Δ/), ε3 (ΔΙ) стремятся к нулю вместе с Δι.
Подставляя эти выражения в (1) и разделяя на Δ/, мы
получаем:
■Jf- = A cos α -|- В cos β -[- С cos γ -(--
+ Л,1_|_Л| + Св, + .(А«.. МУ-Щ^-. (2)
Поскольку при Δ/ -> 0 также и еь е2, ε3, е (М0, Мх)
стремятся к нулю, а отношение хорды r(M0i Mx) к дуге Δ/
стремится к единице, выражение (2) имеет при Δ/->0 предел
-¥- = A cosa -j~ В cos β -f- С cos γ; (3)
таким образом, у дифференцируемой функции φ (Ж)
производная -2- действительно существует в точке А40 для любой
линии / и притом выражается через углы α, β и γ по
формуле (3).
Мы видим, в частности, что для всех линий /,
выходящих из точки М0 с одной и той же касательной, величина
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс
дифференциального и -интегрального исчисления, т. I, 1948, стр. 428.

ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СкЛЛЯРЙОГО ЯОЛЯ 33
производной -^т остается одной и той же, поскольку
производная -— зависит только от углов α, β, γ. Поэтому вместо
слов «производная по данной линии» говорят часто
«производная по данному направлению», имея при этом в виду
производную вдоль любой линии, выходящей из точки М0
по данному направлению.
Правую часть выражения (3) можно представить как
скалярное произведение двух векторов: одного с
координатами Л, By С и второго с координатами cos a, cos β, cosy.
Первый вектор определяется только функцией φ(Λί) и
точкой М0 и не зависит от выбора направления /. Второй
вектор, имеющий координаты cos a, cos β, cosy, есть единичный
вектор τ, определяющий направление ί и не зависящий от
функции φ(Λί).
Введем теперь следующее определение.
Вектор Ρ называется градиентом функции φ (Μ) в точке
М0, если у функции ср(М) существует в точке Λί0
производная по любому направлению / и эта производная
выражается по формуле
.| = (Р, τ), (4)
где τ — единичный вектор, определяющий направление /.
Вектор Ρ обозначается grad φ(Λίο)1).
Мы видели, в частности, что функция φ(Λί),
дифференцируемая в точке Ж0, обладает градиентом
grad9(Aio) = {^^, -%^, ^Ч·
формула (3), которую мы можем теперь записать в виде
^ = (grad9(^), τ),
позволяет вывести определенные заключения о поведении
функции φ (Μ) в некоторой окрестности точки М0 по
*) Может существовать лишь один вектор Р, удовлетворяющий
условию (4). Действительно, если допустить, что имеются два таких
вектора Pt и Р2, то для каждого τ (Рь τ) = (Ρ2, τ) или, что то же,
(Ρι — Р2, τ) = 0. Полагая здесь τ коллинеарным с Pi—-Ра, получим
Pi-P2 = 0, откуда Ρι = Ρ2.

34
ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО йОЛЯ
каждому направлению, если только предположить, что
grad<p(yW0)^0.
Если мы обозначим через ω угол меж/jy введенными
двумя векторами τ и grad9(yW0), то из определения
скалярного произведения мы получим, что
*^ = |grad<p(Ai,)|co8«. (5)
Формула (5) приводит к следующим заключениям.
1. В направлении вектора grad9(Af0) производная -£-
принимает наибольшее значение, равное | grad φ (Ж0) |
(поскольку для этого направления ω = 0, cos ω=1); в
противоположном направлении производная ~^- принимает
значение — | grad φ (Λί0) | (поскольку cosa> = — 1), наибольшее
по абсолютной величине.
2. По всем направлениям, ортогональным к направле-
нию градиента, величина -~ равна нулю.
3. По всем остальным направлениям производная -5-
принимает значения, отличные от нуля и по абсолютной
величине меньшие, чем | grad φ (Λί0) |.
Свойства 1—3 приводят к новому определению градиента,
которое мы сформулируем в следующем предложении.
Теорема 4.1. Градиент поля φ (Μ) есть вектор,
направленный из точки М0 в сторону наискорейшего
возрастания функции φ (Μ) и по модулю равный производной
поля ср(М) в этом направлении.
Это новое определение во многих случаях позволяет
вычислить градиент, используя простые геометрические
построения. Для этого введем понятие поверхности уровня
скалярного поля, или, точнее, множества уровня.
Совокупность всех точек М, удовлетворяющих условию
φ(Λί) = α, где а — заданная постоянная, называется
множеством уровня (или α-уровня) функции φ (Ж). Во многих
важных случаях множество уровня представляет собой
некоторую поверхность. Допустим, что множество уровня
φ(Λί) = φ(Λί0) в окрестности точки М0 является гладкой
поверхностью. Обозначим ее через £. На этой поверхности
в каждом направлении из точки М0 можно провести линию /,
например соответствующее плоское сечение. Так как на

ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
35
любой такой линии Δφ=0, то и -^=lim-rj =0, откуда
вытекает, что в точке М0 касательный вектор к любой из
этих линий ортогонален к вектору градиента. Предположим
далее, что grad φ (М0) ^ь 0; тогда геометрическое место всех
касательных к указанным линиям образует плоскость,
ортогональную к вектору градиента. Поскольку эта плоскость
образована касательными к кривым, проходящим на
поверхности, она является касательной плоскостью к поверхности;
таким образом, касательная плоскость к поверхности
уровня ортогональна к вектору градиента. Если известна
поверхность уровня, то тем самым становится известным и
направление градиента как направление, перпендикулярное
к касательной плоскости к поверхности уровня; при этом из
двух возможных направлений на перпендикулярной прямой
следует выбрать то, в котором функция φ(Λί) возрастает.
Пример 1. Пусть г = г(М, О) означает расстояние
точки Μ от фиксированной точки О. Найдем градиент
скалярного поля вида ф(Л4)=/(г), где /(г) — некоторая
дифференцируемая функция.
Решение. Поверхности уровня функции /(г) суть
сферы с центром в точке О. Вектор градиента направлен,
таким образом, по нормали к сфере, или, что то же, по
радиусу ОМ.
Производная от функции /(г) в направлении
увеличения г равна f(r). функция /(г) увеличивается при
возрастании г, если /(г)^>0, и уменьшается, если f(r)<^0;
поэтому градиент поля /(г) направлен в сторону увеличения г,
если /'(г)^>0, и в сторону уменьшения г, если f(r)<^0,
а по абсолютной величине равен \f(r)\. Все эти
результаты могут быть объединены формулой
grad/(r)=/(r)e(0, Λί),
где е(0, Λί)— единичный вектор, направленный, из точки О
в точку Λί.
В частности, для f(r) = r мы получаем:
gradr = e(0, Ж). (6)
Аналогично для f{r)= — получается:
grad! = --ie(OfAf). (7)

36
ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Полученное векторное поле градиента совпадает с полем
тяготения точечной единичной массы, расположенной в
точке О (гл. 2).
Прежде чем переходить к дальнейшим примерам,
отметим следующее обстоятельство.
Мы видели, что многим скалярным полям, например
всем дифференцируемым, можно сопоставить некоторое
векторное поле — поле градиента. Существенно, что эта
операция (взятие градиента) есть линейная операция: иными
словами, если cpt (Ж) и φ2 (Ж) — два скалярных поля,
обладающих градиентами, а о^ и а2— две константы, то поле
αιφι Η™ а2Фа также обладает градиентом, причем
grad (оцср! (Ж) -\- α2φ2 (Ж)) = a, grad φ! (Ж) -f α2 grad φ2 (Ж), (8)
Действительно, если функции cpt (Ж) и φ2 (Ж) имеют
производные по направлению /, то и функция ср(Ж) =
= αιΦι (Щ + аз9з (Μ) имеет производную по этому
направлению; при этом если cpt (Ж) и φ2 (Ж) обладают градиентами, то
Λρ(Λί) dpi(M) , д*ш(М) , Α ,ΛΛ. ч ,
+ α2 (grad φ2 (Ж), τ) = (α, grad φ, (Ж) + α2 grad φ2 (Ж), τ).
Мы видим, что условия определения градиента поля
φ (Ж) выполняются для вектора Ρ = оц grad 9j (Ж) -f-
-|- α2 grad φ2 (Ж), который, следовательно, и будет
градиентом поля φ (Ж).
Пример 2. Силовое поле любого распределения массы
как градиент некоторого скалярного поля. Рассмотрим
сначала поле конечного числа точечных масс тъ /я2, ... , тПУ
расположенных в точках Жь Ж2, ... , Жл,
В силу результата примера 1
отсюда, используя линейное свойство градиента, мы получаем:

ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
37
Следовательно, поле F(M) является градиентом
скалярного поля
Выражение (9) подсказывает, как следует построить
функцию φ (Я), градиентом которой будет поле сплошного
распределения массы с плотностью μ (Μ); в качестве такой
функции, очевидно, естественно взять функцию
♦«—JJJiSUVw (10)
Тот факт, что градиент скалярного поля (10)
действительно дает поле тяготения массы с плотностью μ(Λί),
конечно, требует доказательства.
В следующем общем построении это доказательство будет
содержаться как частный случай.
Введем в рассмотрение векторное поле, связанное с
произвольной аддитивной функцией области так же, как поле
тяготения связано с массой.
Условимся сначала называть аддитивную функцию
области Φ (£/) сосредоточенной в области V, если всюду вне
области V функция Φ (£/) имеет нулевую плотность.
Пусть аддитивная функция Φ (£У), обладающая кусочно-
непрерывной плотностью μ(Λί), сосредоточена в ограниченной
области V. Построим векторное поле
Это поле мы будем называть силовым полем аддитивной
функции Ф(£/). Поскольку интеграл (11) сходится в любой
точке Я, силовое поле F(P) определено всюду, в частности,
как вне, так и внутри объема V.
Имеет место следующая важная теорема.
Теорема 4.2. Силовое поле (11) аддитивной функции
области Φ (£/), сосредоточенной в конечной области V
и обладающей кусочно-непрерывной плотностью μ. (Ж),
является градиентом скалярного поля

38
ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Доказательство. Функция (12) допускает
дифференцирование по параметрам — координатам точки Ρ—под
знаком интеграла (Добавление, теорема 6). Более того,
интеграл, полученный после дифференцирования, остается
непрерывной функцией от Я. Таким образом, частные производные
функции φ (Я) существуют и непрерывны; отсюда вытекает, что
функция φ (Я) имеет градиент grad φ (P) = i —f-^ + j \ 4"
+ k*L£). вместе с частными производными и градиент
функции φ (Я) может быть внесен под знак интеграла (12).
Следовательно, в силу (7)
grad<p(P) = -JJJ μ (Μ) gl^7J^W)dv(M) =
= S S S ^(M)^h^)e(Pt M)dv{M)=F(Pl
что мы и утверждали.
В частности, если функция μ (Ж) имеет физический смысл
плотности массы, мы получаем доказательство нашего
предположения о том, что силовое поле сплошного распределения
массы является градиентом поля (10).
Всякое векторное поле R (Λί), которое совпадает с полем
градиента некоторого скалярного поля φ(Λί), мы будем
называть потенциальным полем, а саму функцию φ (/И) — потен-
циальной функцией или потенциалом поля R(Af).
(Например, поле тяготения единичной массы R(A/) =— ^е(Р, М)
является потенциальным, так как оно совпадает с градиентом
скалярного поля ср(Л4)= р м Λ
Если вектор поля F (Р) имеет физический смысл силы,
например силы тяготения, то потенциальной функции φ (Μ)
можно придать физический смысл работы.
Вычислим работу силы R (М) на некотором пути L,
ведущем из точки Λ в точку Ρ (черт. 3). Если dl=dl(M)—
элемент линии L в точке Λί, τ(Λί) — единичный касательный
вектор, то работа dW силы R(M) на пути dl равна
скалярному произведению

ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
39
г вся работа W силы R(/W) на пути АР вычисляется как
интеграл
ρ
W= f (R(AT), %(M))dl. (13)
X
Поскольку по условию R (Μ) = grad φ (Λί), скалярное
произведение (R(7kf), τ (Ж)) в силу формулы (4) равно
производной от функции φ (714) по направлению, определяемому
вектором τ (М)у — можно считать, что по направлению
кривой L· Произведение этой производной на элемент дуги dl
равно дифференциалу функции φ(Λί). Итак, dW=dcp; отсюда,
интегрируя, мы получаем для
полной работы на пути АР величину
ψ=ψ(Ρ)-ψ(.Α). (14)
Следовательно, работа силы¥(М)
на пути АР равна разности
значений потенциальной
функции («разности потенциалов») в
точках Ρ и А.
Заметим, что если контур L
замкнутый, конечная точка Я сов- Черт. 3.
падает с начальной точкой Л, то
интеграл (13), как показывает формула (14), обращается в
нуль. Вообще, если R (М) — произвольное непрерывное
векторное поле, то интеграл по замкнутому контуру L
&{τ(Μ)9 R(M))dl
L
называется циркуляцией поля R(M) по контуру L· Мы видим,
что циркуляция потенциального поля по всякому
замкнутому контуру равна нулю.
Оказывается, что справедлива и обратная теорема:
Если циркуляция непрерывного векторного поля R по
любому замкнутому контуру равна нулю, то поле R
потенциально: существует в области V такая
функция φ(Λί), что R = grad ср.
Но условие равенства нулю циркуляции поля R по любому
замкнутому контуру — очень стеснительное условие:
замкнутых контуров в области V ще$тся чрезвычайно много-

40
ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
притом самых разнообразных форм. Желательно было бы в
формулировке обратной теоремы уменьшить количество
замкнутых контуров, циркуляция по которым подлежала бы
проверке.
С этой целью мы выделим из всех возможных замкнутых
контуров некоторую совокупность более простых,
«элементарных» замкнутых контуров с тем, чтобы для утверждения
о потенциальности поля достаточно было бы убедиться
в равенстве нулю циркуляции поля R только по этим
элементарным контурам.
Допустим, что мы выбрали и фиксировали некоторый
путь, ведущий в области V из фиксированной точки А
в заданную точку Р. Такие пути, выбранные и
фиксированные для каждой точки Ρ в области Vy образуют
совокупность элементарных путей. В частности, для Я=Лбудем
считать, что элементарный путь ЛР=АА состоит из одной
точки А (исключая тем самым возможность выбора
замкнутого элементарного пути А ... А, не сводящегося к
точке).
Пусть, далее, у точки Ρ выбрана и фиксирована
окрестность £/(Р), целиком лежащая в области V. Тогда мы назовем
элементарным замкнутым контуром всякий контур,
который состоит из элементарных путей, ведущих из точки А
в точку Я, из точки А в любую точку Рх £ £/(Я), и из
отрезка PPt.
Запас элементарных замкнутых контуров, поскольку их
форма в значительной мере в нашей власти, значительно
более обозрим, чем запас всех замкнутых контуров.
Например, если область V выпукла, т. е. вместе со всякими двумя
точками содержит весь отрезок, их соединяющий, то в
качестве элементарного пути из Л в Я можно взять путь по
отрезку АРУ и каждый элементарный замкнутый контур будет
просто треугольником АРРХА.
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему:
Теорема 4.3. Если циркуляция векторного поля R,
непрерывного в области V, равна нулю по всякому эле-
ментарному замкнутому контуру {при некотором выборе
цх совокупности), то поле R потенциально: существует
такая функция ф(Л4), что R (Λί) = grad φ (Μ) в любой
точке Μ области V. Функция φ (Μ) при этом определена
однозначно q точностью до постоянного слагаемого.

ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
41
Доказательство. Положим
ρ
Φ (Ρ) = J (* (Λί), R (M)}dl (Ml (15)
где интегрирование ведется по элементарному пути,
ведущему из точки А в точку Я. Поскольку при данном выборе
совокупности элементарных путей существует единственный
элементарный путь АРУ функция φ (Я) определена
выражением (15) однозначно. В частности, в силу условия
относительно элементарного пути АА мы имеем ср(Л) = 0,
Нам нужно показать, что градиент функции φ (Я)
совпадает с вектором R(P). Для этого мы должны показать, что
функция φ (Я) имеет в каждой точке производную по любому
направлению τ, которая вычисляется но формуле
^P=(R(/>),0.
Рассмотрим точку Яь лежащую на луче, исходящем из
точки Я в направлении вектора τ, и находящуюся в пределах
выбранной ранее окрестности £/(Я). Обозначим
расстояние г (Я, Р^ через Δ/. Составим отношение
φ(Ρ1)-φ(Ρ)
Μ
Здесь φ (Я) по построению есть интеграл от функции (τ, R)
вдоль элементарного пути АР, а у(Рх) — интеграл от той же
функции вдоль элементарного пути АРХ.
Поскольку по условию циркуляция по элементарному
замкнутому контуру АРРХА равна нулю, мы имеем:
Ρ Pi А
χ откуда
J (τ, R)d/+|(τ, R)d/ +J(<c, R)d/ = 0,
PA 5 Pi
9(A)=J(*, R)<tf=JK R)rf/ + jK R)#—
A A P
Pi
= 9(Я)+ ('(τ, R)rf/,

42
ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
Интересующее нас отношение
-*j·
таким образом, есть среднее значение функции (τ, R) на
отрезке РР^ Так как R(Af) — непрерывное поле, то при
AI—+Q это отношение имеет пределом величину
(τ, R(P))·
Итак, мы показали, что производная у, существует
и при этом выполняется соотношение
что и требовалось.
Остается показать единственность потенциальной функцииср.
Пусть ψ (Ρ) — любая другая потенциальная функция поля R.
По формулам (13)—(14) для любой точки Ρ имеет место
соотношение
ρ
φ(/>)=]*(τ, R) <*/=== ψ (Ρ)-ψ (Л).
Отсюда
ψ (Ρ) = φ (Ρ) + ψ (Л) = φ (Ρ) + const,
что и требовалось. Таким образом, теорема 4.3 доказана
полностью.
Замечание. Теорема 4.3 в соединении с ранее
доказанным свойством потенциального поля приводит к
следующему заключению: если циркуляция поля
R равна нулю для любого элементарного
замкнутого контура, то она равна нулю
и вообще для любого замкнутого контура
в области V.
В свою очередь это позволяет заменить
в формуле (15), определяющей
потенциальную функцию, элементарный путь АР на
Черт. 4. любой путь, соединяющий точки А и А
Действительно, поскольку по доказанному,
вдоль замкнутого пути АСРВА (черт. 4), первая часть которого
АСР идет вдоль произвольного пути из Л в Я, а вторая — назад
вдоль элементарного пути АВРУ циркуляция поля R равнанулю,
интеграл функции (τ, R) вдоль пути AczP совпадает с инте-

ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ 43
гралом вдоль элементарного пути АВР. На практике для
вычисления потенциала выбирают путь, который наиболее
удобен для интегрирования.
Разумеется, и элементарных замкнутых контуров
«слишком много», чтобы фактически проверять потенциальность
поля прямым вычислением циркуляции. Поэтому теорема 4.3
имеет в основном теоретическое значение. Основываясь
на теореме 4.3, мы дадим в главе 7 другую характеристику
потенциального поля, более удобную для применений.
В заключение приведем пример применения свойств градиента
к геометрической задаче.
Черт. 5.
Пусть дан эллипсоид вращения с фокусами Рх и Р2. Эта
поверхность есть одна из поверхностей уровня скалярного поля:
φ(Αί) = Γ(Ρι, М) + Г(Р2, Λί).
Согласно формуле (8)
grad φ (Μ) = grad r (Pu Λί) + grad r (P2, Λί).
Но слагаемые в правой части мы уже умеем вычислять по формуле (6):
grad г (Рь М) = е (Ри Λί), grad г (Р2, Λί) = е (Я2, Λί);
таким образом,
grad φ (Μ) = е (Ри М) + е (Р2, Λί).
Параллелограмм, служащий для построения суммы е(Рь Λί) +
+ е (Р2, М), в данном случае имеет равные (единичные) стороны,
диагональ его делит угол между сторонами на две равные части
(черт. 5). Так как grad<?^) ортогонален к поверхности уровня

44
ГЛ. 4. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ
функции φ(Λί), то мы можем сделать вывод, что нормаль к
эллипсоиду в точке Μ делит пополам угол между лучами PtM и Р3М.
Это геометрическое свойство
эллипсоида имеет интересное (и
важное) применение в оптике: если в
фокусе Pi эллипсоида поместить
источник света, а внутреннюю
поверхность эллипсоида сделать зеркальной,
го лучи, исходящие из фокуса Рх и
отразившиеся от поверхности
эллипсоида, соберутся снова во втором
фокусе Р2·
Если вместо эллипсоида взять
параболоид вращения, то аналогичное
рассуждение приведет нас к
заключению, что лучи, исходящие из
фокуса параболоида, после отражения
пойдут параллельным пучком (черт. 6).
Это свойство параболоида используется при конструировании
прожекторов.
Наконец, если эллипсоид заменить на гиперболоид вращения,
то лучи, исходящие из фокуса Р, после отражения пойдут расходя-
Черт. 6.
Черт. 7.
щимся пучком, но так, как будто они исходили из второго фокуса
гиперболоида (черт. 7).
Доказательства этих интересных фактов мы предоставляем
читателю*

ГЛАВА 5
ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Поставим следующую задачу.
Пусть в пространстве задано движение материи, —
например жидкости — векторным полем скоростей u(7ki), не
изменяющимся с течением времени. Плотность жидкости
предположим постоянной, равной
единице. (В физических задачах
рассматривают более общие
случаи — жидкость с переменной
плотностью и с переменным
полем скоростей; но мы не ставим
себе сейчас целью решение
конкретных физических задач, а
собираемся лишь дать
естественный подход к введению
некоторых важных новых понятий.)
Выделим в пространстве некоторый кусок
поверхности 2 (черт. 8) и попробуем подсчитать количество
жидкости, которое протекает сквозь этот кусок за единицу
времени.
Фиксируем на поверхности точку Μ и элемент
поверхности do(M). Очевидно, что количество протекающей через
этот элемент жидкости за единицу времени измеряется
объемом цилиндра с основанием do и с образующей ιι(Λί).
Высота этого цилиндра получается проектированием его
образующей на единичный вектор η (Λί), нормальный к
поверхности; поэтому объем цилиндра равен величине
Черт. 8.
dw=(u(M), η (Μ)) do (M).
О)
Полный объем w(£) жидкости, протекающей через поверх·

46 ГЛ. 5. ПОТОК И Р\СХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
ность 2, получается интегрированием полученного
результата по поверхности £; таким образом,
^(S)=JJ(u(M), η (Μ)) do. (2)
Σ
Заметим, что знак каждого элемента интегрирования dw
определяется направлением вектора п, выбор которого пока
произволен. Условимся, во всяком случае, что нормальный
вектор η в каждой точке поверхности 2 выбирается так,
чтобы функция п(М) была непрерывной функцией на 2;
это условие обеспечивает непрерывность подинтегрального
выражения в интеграле (2) и тем самым существование этого
интеграла.
Величина dw положительна, когда векторы η и и
образуют острый угол, и отрицательна, когда η и и образуют
тупой угол. Таким образом, интеграл (2) дает нам не
абсолютное количество протекающей через £ жидкости, но
алгебраическую сумму количества жидкости, протекающей «в
сторону нормали» и «в противоположную сторону» — первого
со знаком -(-, второго со знаком —.
Вообще, для любого векторного поля R выражение
®(R; S)=jj(n, R)do (3)
Σ
называется «потоком поля R через поверхность 2»·
Название это, как мы видим, основывается на механическом смысле
этого интеграла для случая поля скоростей движущейся
среды.
Отметим, что операция вычисления потока векторного
поля через данную поверхность — линейная операция: если
имеются два векторных поля R1 и R2 и две константы аь
а2, то
w (otjR, -f a2R2; £) = ЩР> (Rii Σ) + <V» №; Σ), (4)
что непосредственно вытекает из линейного свойства
интеграла по поверхности.
Рассмотрим теперь интеграл типа (3) для случая
замкнутой поверхности 2 (черт. 9), причем условимся всегда
направлять вектор-нормали η во внешнюю часть пространства.
Движение «в сторону нормали» здесь будет означать, что
в соответствующем месте поверхности жидкость «вытекает»

ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЗ 47
Черт. 9.
из области V, ограниченной поверхностью 2» а движение
«в противоположную сторону» — что в соответствующем
месте жидкость «втекает» в эту область. Величина же самого
интеграла (3) дает разность между количеством жидкости,
вытекающей из области V, и
количеством жидкости,
втекающей в эту область.
Если интеграл (3) равен
нулю, то в область V втекает
жидкости столько же, сколько
и вытекает. Если же этот
интеграл отличен от нуля,
например положителен, то вытекает
жидкости больше, чем втекает.
Это указывает на наличие внутри объема V источников —
таких мест, в которых жидкость каким-то образом создается
(как, например, при таянии снега образуется вода).
Численную величину интеграла (3) в этом случае можно
истолковать как общую мощность источников жидкости в области V.
Если интеграл (3) имеет отрицательное значение, то
жидкость в целом втекает в объем V; внутри этого
объема, следовательно, должны быть
стоки — места, где жидкость
как таковая исчезает (например,
испаряется).
В дальнейшем мы рассмотрим
все эти вопросы с количественной
точки зрения.
Как интерпретировать интеграл (3), если поле R имеет
физический смысл силового поля?
Рассмотрим сначала простейшее силовое поле R(P) =
= 2/р°м\е(^ Μ) (поле тяготения массы т0, помещенной
в точке М) и вычислим его поток через два вида
поверхностей:
а) кусок сферы радиуса г0 с центром в точке Ж и с
площадью шг^(ш — телесный угол; черт. 10);
б) кусок конической поверхности, образованной
отрезками лучей, проходящих через точку Μ (черт. 11).
В случае а) направим нормаль в сторону,
противоположную точке М. Тогда вектор поля R будет противоположен
Μ
Черт. 10.

48 ГЛ. 5. ПОТОК VI РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛИ
вектору нормали; поэтому (n, R) = — | R | = -
т0
т0
г2(РуМ)'
Черт. И,
= £. При интегрировании по поверхности сферы эту
величину как постоянную можно вынести за знак интеграла;
мы получим, что интеграл (3) имеет значение —~ · шг\ =
= — ош0. В частности, мы получаем, что его величина не
зависит от радиуса сферы, а
только от телесного угла ω.
Очевидно, что при
направлении нормали в другую
сторону — к центру — мы получили бы
результат такой же по
абсолютной величине, но
противоположного знака.
В случае б), куда бы мы ни
направляли нормаль, она будет
ортогональна к вектору поля.
Поэтому (n, R) в этом случае
обращается в нуль, и интеграл (3) становится равным нулю.
Из поверхностей типа а) и б) мы можем образовать
замкнутые поверхности двух типов.
Первый тип — поверхности, ограниченные двумя частями
сфер радиусов г0 и τγ с одним и тем же телесным углом ω
и боковой поверхностью,
образованной отрезками лучей,
проходящих через центр Μ (черт. 12); такие
поверхности не содержат' внутри
себя точки М.
Второй тип — полная сфера
произвольного радиуса с центром в
точке М.
Интеграл (3) по поверхности первого рода можно
разбить на три слагаемых, отвечающих частям двух сфер и
боковой поверхности. Нормаль, которую по условию мы всегда
направляем во внешнюю сторону, на двух частях сфер
направлена противоположно, и сумма двух соответствующих
интегралов, значения которых, как мы видели, не зависят
от радиуса, а только от телесного угла, обращается в нуль.
Интеграл по боковой поверхности также равен нулю. Тем
Черт. 12.

ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 49
самым и весь интеграл по поверхности первого рода
обращается в нуль.
Для второго типа — полной сферы — телесный угол
равен 4π, и по доказанному мы получаем значение интеграла,
равное —4тш0.
В результате для рассматриваемых поверхностей, не
содержащих точки М, мы получаем величину потока равной
нулю; внутри них нет «источников» нашего силового поля.
Для любой же сферы, содержащей точку Λί, мы получаем
одно и то же значение потока, равное —4гс/я0. «Источники»
нашего поля, таким образом, сконцентрированы в самой
точке М; итак, «источник» сил поля — масса, порождающая
само поле, а «мощность» этих «источников» пропорциональна
величине этой массы.
В дальнейшем мы обобщим этот результат на случай
произвольного распределения массы.
Возвратимся теперь к общему случаю векторного поля.
Если интеграл (3), взятый по замкнутой поверхности £,
как мы показали, можно интерпретировать как полную
мощность источников поля, расположенных внутри поверхности j£,
то, разделив интеграл (3) на объем V,
ограниченный'поверхностью 2> мы получим среднюю мощность источников в этом
объеме, т. е. мощность источников, отнесенную к единице
объема (или среднюю «плотность источников»).
Фиксируем в пределах объема V точку Ρ и будем
рассматривать стягивающуюся к точке Ρ последовательность
замкнутых поверхностей ΣΛ(#—*оо). Поток поля R по
поверхности 2/1» разделенный на объем Vn, ограниченный этЪй
поверхностью, дает среднюю плотность источников,
расположенных в пределах объема Vn. Допустим, что при η -> оо
эти средние плотности имеют определенное предельное
значение d(P)t не зависящее от специального выбора
областей Vn. Число d(P) естественно считать истинной
плотностью источников поля в точке Р. Этот предел
называется расходимостью поля R в точке Ρ и обозначается
divR(P) (лат. divergentio — расходимость).
Итак, расходимость поля R(P) по определению есть предел
div R (Я) = Urn у (jj (n, R) Λ, (5)
L
вычисленный при условии, что объем V стягивдегся к точке Р.

50 ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Легко проверить, что операция взятия расходимости
векторного поля линейна: ♦
div (ajRj + a2R3) == ах diν R, -f cr2 diν R2. (6)
Для доказательства достаточно подставить в выражение (5)
вместо поля R линейную комбинацию ajRj-f-o^Rcj и затем
воспользоваться линейным свойством интеграла по
поверхности и предельного перехода. Существование выражений
divRj и divR2 обеспечивает существование и div^R! -j-a2R2).
Вообще говоря, существование расходимости для
заданного поля R отнюдь не является очевидным.
Мы докажем в дальнейшем, что расходимость всегда
существует, если компоненты поля R имеют непрерывные
производные по каждой координате.
Расходимость векторного поля R (М) можно истолковать
также как плотность некоторой аддитивной функции областей.
Именно, рассмотрим поток w(R; £) через поверхность £»
ограничивающую область V как функцию от области V:
^(%Σ) = Φ(νο·
Если области Vx и V2 с границами 2л и 2з не имеют общих
внутренних и граничных точек, то очевидно, что
Ф(К1 + ^) = Ф(К1) + Ф(^2). (7)
Если же области Vx и К2 имеют общие граничные точки,
например имеют общую часть границы 27» т0 интегралы по
2^ входят в состав w(R; Σι) и ^(R; Σι<ύ с
противоположными знаками, поскольку при вычислении w(ft; Σι) нормаль
направляется в сторону, внешнюю к области VXy а при
вычислении w(R; Σ*)— в сторону, внешнюю к области V2,
и, следовательно, на участке 27 эти нормали направлены
противоположно. Поэтому в сумме w(R; 2л) ~l· ^ (R> 2з)
интегралы по 27 взаимно уничтожаются и остаются только
интегралы по оставшимся частям границ 2л и 2j2> τ· е· п0
границе области Vj -{- К2 с соответствующим направлением
нормали. Отсюда вытекает, что равенство (7) справедливо
в любом случае, когда области Vx и V2 не имеют общих
внутренних точек. Таким образом, поток w(R; Σ) = Φ(ν)
есть аддитивная функция области V. Расходимость поля R
в силу определения есть плотность функции Ф(У); предпо-

ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 51
ложение о существовании расходимости совпадает с
предположением о существовании плотности функции Φ (К)·
Теорема 3.1 в применении к настоящему случаю
приводит к следующему утверждению:
Теорема 5.1. Если поле R(М) имеет непрерывную
(или кусочно-непрерывную) расходимость div R (Μ), то для
всякой области V с границей 2
W(R; £) = (jj(n, R)<fo= J HdivRdv. (8)
Формула (8) будет играть в дальнейшем основную роль.
Прежде всего мы используем формулу (8) для
вычисления расходимости поля R(P), компоненты которого Х(Р),
К (Я), Z(P) имеют непрерывные частные производные по
координатам х, у, ζ. В предположениях существования и
непрерывности частных производных имеет место формула
Остроградского (см. гл. 2, формула (6)), которую мы
записываем с множителями -=-, в обеих частях равенства:
1§(п(Ж)( RM)*=-HJK£+f+£)*>. ^
Если область V стягивается к точке Я, то интеграл
в правой части равенства (9) имеет предел, равный значению
в точке Я суммы -^—l·ΊΓJΓ~д~^ Следовательно, будет
существовать предел и у левой части равенства (9), а этот
предел по определению и является расходимостью поля R
в точке Я.
Мы получили следующее предложение: L
Теорема 5.2. Если компоненты Х(Р), К (Я), Z(P)
векторного поля R(P) имеют непрерывные частные про-
изводные по координатам, то у поля R(P) существует
расходимость, которая может быть вычислена по формуле
d,vR(P) = «ffl + i£p + ^l. (.0)
Для примера вычислим расходимость поля R(P) =
= /(г)е(А М)> где /(г) — произвольная дифференцируемая
функция от r = r(Py My

52 ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Будем считать Ρ φ Μ и, следовательно, г φ 0.
Поле Н(Я) удобнее записать в форме
R(P)=/(r)^|{ = 9(r)· г(Р, М), (11)
f(r)
где φ (г) = J-^~ , г (Я, УИ) — вектор, идущий из точки Ρ
в точку М.
Если начало координат поместить в точке Μ и
обозначить координаты точки Ρ через х, у, ζ, то компоненты
поля R(M) будут иметь вид
X(P) = 9(r)x, Y(P) = 9(r)y, Z(P) = cp(r)z.
Дифференцируя по χ функцию X(Я), находим:
а так как r* = x*-\-y*-\-z*y то
0л: ' ал: г
и, следовательно,
-д^—9(0 —+ 9(г).
Аналогично
Складывая полученные результаты, находим:
= φ·Μ ^'+^ + '' + 3φ(Γ) = Γφ'(Γ) + 3φ(>·).
Пусть, в частности, в поле R(P) есть поле тяготения
точечной массы т0, сосредоточенной в точке Ж. В этом
случае
R(P) = ^.e(P, Μ), откуда /(r) = ^, <p(r) = -^,
так что
divR(P) = -3-^/-+3-^=0.

ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 53
Этот результат не должен быть для нас неожиданным.
Мы уже видели, что поле тяготения не имеет источников
вне самой массы т0> поэтому естественно было получить,
что мощность источников этого поля, которая и является
расходимостью поля R (Я), всюду при Я φ Μ равна нулю.
Теперь рассмотрим поле тяготения R(P) конечной
системы точечных масс ти тъ ..., тПУ расположенных в
точках М1у Л42, ..., Мп. Как мы уже знаем, это поле есть
(векторная) сумма η полей Rj (Я), ..., R„ (Я), причем поле
R;· (Μ)' есть поле тяготения массы mJy помещенной в
точке Mj (/=1, 2, ..., η).
В силу линейного свойства расходимости (формула (6))
расходимость поля системы масс равна сумме расходимости
полей каждой отдельной массы и поэтому всюду вне точек
М1у ЛГ2, ..., Мп равна нулю.
Этот результат нетрудно обобщить на случай поля
тяготения сплошного распределения массы
V
Если точка Я находится вне объема, заключающего массу,
то функция от Μ под знаком интеграла (12) ограничена,
непрерывна и дифференцируема и интеграл можно
дифференцировать по параметрам (координатам точки Я),
дифференцируя подинтегральную функцию; составляя сумму
частных производных, находим:
divR (/>) = J §§ μ (M)div ^r^g- dv(M). (13)
β (Ρ Μ)
^° °*ίν 2 /p м\ = β» как мы виДели> Для всех Μ Φ Я. Сле-
довательно, подинтегральная функция в (13) обращается
всюду в области V в нуль, откуда и divR^) = 0.
Совсем другой результат будет в случае, если точка Я
находится внутри объема V. Попробуем сначала предсказать
результат, анализируя поле R(P) конечной системы масс.
Мы видели, что расходимость поля R равна нулю в
любой точке, в которой нет массы.
Рассмотрим область V, внутри и на границах которой
нет ни одной точечной массы. Применяя к этой области

54 ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
формулу (8), получаем,, что поток поля R через границу
области V равен нулю.
Пусть теперь область V содержит внутри себя
некоторые из масс, например ти яг2, ..., mk. Выделим внутри
области шары С/и £/2, ..., Uk с центрами в точках
М1у Ж2, ..., Mk настолько малых радиусов, чтобы они не
пересекались друг с другом. Обозначим через If часть
области V, полученную после удаления из нее шаров £/ь
£/2, ..., Uk. Поток Φ (V) поля R через границу 2 области V,
как мы видели, есть аддитивная функция области, поэтому
Φ(νο=Φ(ί/,) + Φ(ί/2)+ ... +*(£/*) +Φ (00-
Но поток поля R через границу области U' равен нулю,
поскольку в этой области нет масс. Поток через сферу,
ограничивающую шар £/;·, составляется из суммы потока
поля Ry, определяемого массой mJy и потока поля
остальных масс; последний равен нулю, а первый согласно
предыдущему равен — Aiztrij.
Суммируя все эти результаты, мы приходим к выводу,
что поток поля R через произвольную поверхность £
равен — \ъ-кратной сумме масс, расположенных внутри
поверхности 2· (β электростатике соответствующий
результат для зарядов носит название «электростатической теоремы
Гаусса».)
Теперь естественно высказать гипотезу, что для случая
сплошного распределения массы поток соответствующего
поля тяготения R(P) через произвольную поверхность 2
равен величине — ^-кратной общей массе, находящейся
внутри поверхности 2, или> чт0 в силу теоремы 3.1 то же
самое, величине
— 4π Γ f f μ.(Λ*)Α>(Λί). (14)
Для проверки этого предположения мы вычислим поток
силового поля произвольной аддитивной функции области
Ф(У) с плотностью φ(Λί) (гл. 4)

ГЛ. 5. ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 55
через замкнутую поверхность £. Этот поток выражается
повторно-кратным интегралом
«4R; Σ)=$$(η(Ρ), R(P))d*(P)=
Поскольку функция φ(Λί) ограничена, а скалярное
произведение (е(Я, Ж), η (Я)) не превосходит по модулю
единицы, мы можем применить здесь теорему 5 Добавления,
которая позволяет переставить интегрирование по 2 и п0 У:
w
* а-Щ{$"'РА#ДГ*<'>}«">»<"* <16>
Рассмотрим внутренний интеграл, зависящий от
параметрической точки М:
Σ
/л * « е(Р, Μ)
Он представляет собой поток поля 2' ' через
поверхность 2· Это поле со знаком минус совпадает с полем
тяготения единичной массы, находящейся в точке М.
Мы видели, что поток этого поля равен нулю, если точка Μ
находится вне объема, ограниченного поверхностью 2» и
— 4π, если она находится внутри поверхности £. Таким
образом, функция от М, определяемая интегралом (17),
равна нулю вне объема V\, ограниченного поверхностью 2»
и — 4π внутри этого объема. Интеграл, стоящий в правой
части равенства (16), поэтому можно считать
распространенным только на объем νΣ и при его вычислении константу
— 4π можно вынести. Мы получим тогда:
w(R; 2) = _4π J J J Φ (Αί) <Μ^)>
что мы и ожидали.

56 ГЛ. 5. ПОТОК Й РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Зная поток поля R(P) через любую замкнутую
поверхность, мы легко рассчитаем и расходимость этого поля:
применяя определение расходимости и теорему о среднем,
немедленно получаем:
divR(P)==lim-p- | —4π Г Г Г cp(M)dv(M) } =
ν
— _ 4πφ(Ρ). (18)
Этот результат снова подтверждает ту мысль, что
источники поля тяготения — это массы, создающие поле.
В том случае, когда функция ср(М) не только
непрерывна, но и имеет непрерывные частные производные, наш
результат можно дополнить. Покажем, что в этом случае и
компоненты Х(Р), К (Я), Ζ{Ρ) поля R(P) (15) будут
иметь непрерывные частные производные.
Отсюда в силу теоремы 5.2 будет вытекать, что
расходимость поля R(P) представляется формулой (10), а в силу
доказанного равенства div R (Ρ) = — 4πφ (Ρ) мы получим
классическую формулу Пуассона
Для доказательства дифференцируемости компонент поля
R(P) мы представим это поле в виде градиента (гл. 4)
R(P) = grad J ДФ {M)-I±W)dv{M) =
=щ
^{M)gxzaT^-M)dv{M).
Взяв, например, первую компоненту поля
ν
и используя формулу
д \ д 1
дх г (Ρ, М) дх Υ(Χ- φ + (^ - η)« + (ζ - ζ)2
д 1 d 1
* J^U - 5)2 + (J> - 5)* + (* _ {)« * r (Ρ, Μ)'

ГЛ. 5 ПОТОК И РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 57
мы приведем ее к виду
/Д'^пто**1*··
произведем здесь интегрирование по частям (по координате ξ);
при этом внеинтегральные члены исчезнут в силу
обращения функции φ(Μ) в нуль на границе области К, и в
результате получим;
dZ r(P,M)(
Мы видим теперь, что функция X (Я) снова имеет вид
потенциала непрерывно распределенной массы с плотностью
■ φ1 К Но в таком случае (см. гл. 4) функция Х(Р) имеет
непрерывные частные производные по всем координатам.
Таким образом, наше утверждение, а вместе с тем и
формула (19) полностью доказаны.

Г Л А В А б
ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Снова начнем с постановки некоторой идеализированной
механической задачи.
Пусть в пространстве задано движение жидкости
векторным полем ее скоростей и (/И), или, поскольку наши
дальнейшие рассуждения будут носить совершенно общий
характер, лучше выразимся так: пусть нам дано
произвольное векторное поле и(М); будем интерпретировать его как
поле скоростей частиц движущейся жидкости.
Внесем в поле маленькое цилиндрическое колесико К
с большим количеством малых лопастей, расположенных по
его ободу, имеющее возможность свободно вращаться
вокруг оси, определяемой единичным вектором 1.
Действующие на лопасти частицы жидкости, вообще говоря, приведут
колесико во вращение; попробуем подсчитать угловую
скорость вращения. Условимся прежде всего о правиле знаков:
угловую скорость колесика К мы будем считать
положительной или отрицательной в зависимости от того, в какую
сторону вращается колесико, если смотреть с конца
вектора 1 (начало которого помещено в центре колесика),—
против часовой стрелки или по часовой стрелке. При этом
условии вращательное действие частицы жидкости
определяется составляющей вектора ιι(Λί), касательной к ободу
колесика, причем знак этой составляющей естественно
определяется из того, в какую сторону она вращает колесико —
в положительную или отрицательную. Иными словами,
вращательное действие частицы определяется скалярным
произведением (ιι(Λί), τ(Λί)), где τ (Μ) — единичный вектор,
касательный к ободу и направленный в положительную
сторону. Суммарное действие всех частиц жидкости на лопасти
приведет к тому, что колесико будет как-то вращаться; наи-

ГЛ. 6. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
59
более естественно предположить, что линейная скорость
(каждой) точки его обода будет равна среднему
арифметическому из величин (и(М), τ(Λί)) по всем лопастям обода.
Это среднее арифметическое можно выразить интегралом
по боковой поверхности 27 колесика К:
-^ J J (u (Λί), τ (Λί)) da (Λί), (1)
Σ'
где R — радиус окружности обода, Н — толщина колесика
(высота цилиндра). Теперь, чтобы получить величину
угловой скорости, мы разделим найденную величину линейной
скорости (1) на радиус окружности; поскольку π/?2//= V
есть объем, занятый колесиком, для искомой угловой
скорости мы получаем выражение
Эта величина дает некоторую характеристику
вращательного движения жидкости в плоскости колеса К- Собственно
говоря, она относится только к тем частицам жидкости,
которые располагаются на ободе колеса /Г. Если мы желаем
получить характеристику, относящуюся не к окружности, а
к точке — именно, к точке Я, центру колеса К> — нужно
устремить к нулю радиус колеса К и его толщину и найти
предел построенной нами величины <ьк. Существование такого
предела пока неясно; мы преобразуем сейчас выражение
величины од- с тем, чтобы поставить существование ее
предела в зависимость от существования плотности некоторой
аддитивной функции областей.
Сначала попробуем представить скалярное произведение
(и (Λί), τ (Λί)) как проекцию некоторого неизвестного
вектора q на направление 1:
(и (Μ), τ(Μ)) = (ς(ΛΓ), 1).
Пусть п(М) — единичный нормальный вектор в точке обода
колеса. Поскольку тройка η (Λί), τ(Λί), 1 ориентирована
так же, как тройка осевых векторов, мы можем написать,
что
τ(Μ) = [1, η (Μ)].

60 ГЛ. б. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Отсюда, используя свойства смешанного произведения,
находим:
(u(Af), τ (Λί)) = (u(Af),.[!, η(Λί)]) = (1, [η (Ж), u(AT)]).
Таким образом, мы видим, что в качестве вектора q(M)
можно взять векторное произведение η (Μ) и и (Ж). Отсюда
мы получаем далее:
°*= w ί J(и (Λί)> τ (т d°m=w J J(1· ч (^))rf°=
Σ' Σ'
=1(|>7Яч(Ж)4
Вместо интеграла
Q* = J J q (Ж) do 0Ю = JJ [η {M)> и (Ж)] do (Λί),
Σ' Σ'
распространенного на боковую поверхность колеса,
рассмотрим аналогичный интеграл
ρΣ0 = <Ц) [η (Λί), и (Ж)] do (Ж) (2)
Σ0
по полной поверхности £° колеса К. Очевидно, что
равенство
«*=4(ΐ, γΟν) (3)
также будет иметь место, поскольку на обоих основаниях
цилиндра векторы п(М) и 1 коллинеарны, векторное
произведение [η(Λί), u(Af)] ортогонально к вектору 1 и,
следовательно, разность Q2 — Q2/ также ортогональна к
вектору 1.
Теперь заметим, что для любого (непрерывного или
кусочно-непрерывного) поля и интеграл
Q ( V) = g) [n (Ж), u (M)] do (Μ), (4)
Σ
взятый по границе Σ произвольной области V, является
аддитивной функцией области V. (Эта функция областей
в отличие от рассмотренных нами ранее принимает не
численные значения, а векторные. Но никакой принципиальной

ГЛ. 6. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
6ί
трудности это обстоятельство не представляет. При
желании вместо одной векторной функции области можно
говорить о трех численных функциях, проекциях данной
векторной функции на координатные оси.)
Аддитивность функции Q(V) имеет место по тем же
причинам, что и аддитивность потока поля (гл. 5), поскольку
векторное произведение, как и скалярное, меняет знак при
изменении знака одного из сомножителей.
функцию Q(V) мы будем называть циркуляцией
векторного поля хх (М) по границе области V.
Допустим, что циркуляция поля и(М) имеет плотность,
иными словами, допустим, что существует предел
q (Я) = lim ± § (η (Ж), u (M)] da, (5)
V-+P V Jd
Σ
когда область V стягивается по произвольному закону
к точке А Так же как и сама функция Q(V), ее
плотность q(A) есть вектор. В дальнейшем мы увидим, что
плотность функции Q(V) всегда существует, если
компоненты поля u(Af) имеют непрерывные первые производные
по координатам.
Равенство (3) показывает, что предположение о
существовании плотности у функции Q(V) приводит к
существованию интересующего нас предела величины ω#;
действительно,
lim a* = lim (l, -L <b) = i(l, Ч(^))· (6)
K-+P tf-p\ ιν ι z
Обозначим предел в левой части через ω(1).
Заметим, что предельный вектор q(A) не зависит от
положения колесика К (и, следовательно, от вектора 1),
поскольку предел (5) не зависит от выбора областей V,
стягивающихся к точке А Этот вектор q(A) называется
вихрем поля хх(М) и обозначается через rot u (лат. rotor—
вихрь).
формула (6)
ω(1)=4(1, q(A))=^(l, rotu(A))
(так же как и аналогичная формула (4) гл. 4 для градиента)
позволяет вывести определенные заключения о поведении

62
ГЛ. б. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
величины ω(1) в зависимости от направления вектора 1.
Действительно, если мы обозначим через α угол между
векторами 1 и rot u(P), то в силу определения скалярного
произведения мы получим:
ω (1) = g-1 rot u | cos α,
откуда вытекают следующие заключения:
1. Величина <о(1) принимает наибольшее значение —
именно, равное γ | rot u |, — когда вектор 1 направлен по
вектору rot и. (При этом положении оси колесико получает
наибольшую угловую скорость.)
2. Для всех направлений 1, ортогональных к
направлению вектора rot и, величина ω(1) равна нулю (в этих
положениях оси достаточно малое колесико К совсем не будет
вращаться).
3. Для всех остальных направлений величина ω(1)
принимает значения, отличные от нуля и по абсолютной
величине меньшие, чем | rot u |.
Эти свойства приводят к новому «механическому»
определению вихря: вихрь поля и, определенный как плотность
аддитивной функции (4), есть вектор, имеющий в данной
точке Ρ направление вектора наибольшей угловой
скорости вращения бесконечно малого колесика с центром
в точке Я, вращаемого полем, и по модулю равный
удвоенной угловой скорости вращения этого колесика.
Поскольку вихрь векторного поля и мы истолковали
как плотность некоторой определенной аддитивной функции
области, то мы можем получить новое свойство вихря,
используя теорему 3.1. (Очевидно, что она справедлива не
только для скалярных, но и для векторных аддитивных
функций.)
В рассматриваемом случае эта теорема приводит к
следующему утверждению:
Теорема 6.1. Если поле и (М) имеет непрерывный
(или кусочно-непрерывный) вихрь rot u(Ai), то для всякой
области V с границей Σ имеет место равенство
(fjh[n, и] do— fff xotudv. (7)

ГЛ. 6. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
63
Этой теоремой мы воспользуемся прежде всего, чтобы
доказать существование вихря у поля и(Л/), компоненты
которого имеют непрерывные частные производные по
координатам; заодно мы получим в этом случае и формулу,
выражающую вектор rotu через компоненты поля и.
Действительно, если поле и(М) имеет
дифференцируемые компоненты Х(М), Υ(Λί), Z(M)y то можно
использовать одно из следствий обобщенной формулы
Остроградского (гл. 2, формула (15)), полагая в ней Г(р)=[р, и] и
учитывая равенство (11) гл. 2
i/i».»i*=Jj>. u^=jji
i J k
_д_ _д_ J_
дх ду dz
Χ Υ Ζ
dv. (8)
i
д
дх
Χ
J
д
ду
У
к
д
dz
Ζ
Если область V стягивается к точке Я, то интеграл
в правой части равенства (8) имеет предел, равный
значению в точке Я определителя
(9)
Следовательно, будет существовать предел, равный
определителю (9) и у левой части равенства (8), а этот предел
по определению и является вихрем поля и в точке Р. Мы
получили следующее предложение:
Теорема 6.2. Если компоненты X (Я), Υ (Я), Ζ (Я)
векторного поля и (Я) имеют в окрестности точки Я
непрерывные производные по координатам, то у поля и (Я)
имеется в точке Я вихрь, который может быть
вычислен по формуле
rot и (Я) =
i
дх
X
}
д
ду
Υ
к
д
dz
Ζ
(10)
Для примера вычислим вихрь поля и(Я)=/(р)т(Я), где
ρ означает расстояние" точки Я от фиксированной прямой а,

64
ГЛ. 6. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
а τ (Я) — единичный вектор, ортогональный к прямой α и
к перпендикуляру, опущенному из точки Я на прямую α
(черт. 13); функция /(р) предполагается дифференцируемой.
Вектор и (Я) удобнее записать в
форме
и(Я)=/(р)-^ = ф(РН(Я),
Т(Р) где φ (ρ) = ίψ-, t (Я) — вектор,
коллинеарный с τ (Я) и имеющий
длину р.
Направим ось ζ по прямой а,
Черт. 13. оси χ η у— в перпендикулярной
плоскости. Если координаты
точки Я суть х, у, ζ9 то вектор t (Я) имеет, очевидно,
компоненты—у, х, 0; отсюда вытекает, что компоненты X(Я),
К (Я), Z(P) поля и(Я) таковы:
*(Я) = -.У9(р), К(Я)=х9(р), Ζ(Ρ) = 0.
Дифференцируя, получаем:
дХ
ду
д?
=-^'(р)§--ф(р),
а так как р* = х*-{-у(29 то
Ρ ο!ν ^' ду у
и, следовательно,
дх У2 fe \ t \
-д7=—уф'(р)-ф(р).
Аналогично получаем:
дК х* г, ч . , ч
. υ=τφ(ρ)+φ(ρ)·
Далее, очевидно,

ГЛ. 6. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
65
Поэтому
rotu(P) =
AAA
дх ду dz
X У Ζ
_b(dY дХ\_
— к\дх~ ду) —
= к i—1 ?' (?) + 2φ (р)]= к [ρφ' (ρ) + 2φ (ρ)].
Применим этот результат κ вычислению вихря
магнитного поля Η тока силы /, текущего вдоль бесконечно
длинного прямого проводника (гл. 1). Здесь мы имеем:
/(p)=f·, <p(p)=f-,<p'(p)=-4i,
и, следовательно,
rot
Н = кГ—
£+2fH
считая, что точка Ρ не находится на самом проводнике (ρ φ 0).
Если в рассматриваемом примере φ (ρ) = ω = const, то поле
u (Ρ) имеет физический смысл поля линейных скоростей частиц
твердого тела, вращающегося вокруг оси а с угловой скоростью о>.
Здесь Х(Р) = — о>у, Κ(Ρ) = ωΛΓ, Ζ(Ρ) = 0, так что
rot u (Ρ) =
i j k
AAA
дх ду dz
— o>y ωχ 0
= 2a>k.
Вихрь поля u (Ρ) существует в этом случае всюду (не только
вне оси) и равен, как мы видим, удвоенному вектору угловой
скорости тела.
Рассмотрим еще следующий пример, результат которого
будет использован в дальнейшем.
Пусть j=j(Ai) — некоторое векторное поле, отличное
от нуля только в некоторой ограниченной области V;
предположим, что компоненты а(М)> Ь(М), с(М) поля j(/W)
имеют непрерывные первые производные по координатам.
Построим векторное поле
J(/>) =
_ се с цм)<1
dv(M)
Μ)
(Π)

66 гл. б. вихрь векторного поля
и найдем его расходимость и вихрь. Компоненты этого поля
Ща (М) dt
г {Ρ,
ст= I I I '-*££$-
-ίμ^
имеют вид потенциалов сплошных распределений масс α (Λί),
b(M), с (Μ). Эти выражения допускают дифференцирование
по координатам точки Ρ под знаком интеграла. Произведя
в некоторых случаях интегрирование по частям, как в конце
главы 5, мы получаем следующие выражения:
£ = Φ«μ£τ^λ<λ). (12.3)
w=(llb^^Twmdv{m' (12'4)
di=SHHM)iT(Awd^M)=
§ = j^HM)^T^-wdviM), (12,6)
^ = ΪΙ^Μ)^ΤψΓΜ)άν{·Μ)' (12'7)
§ = φ^>^7(^<ΜΛί>, (12,8)

ГЛ. 6. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
67
^j^ciM)^TJ±wdviM) =
=щ
όζ г (Ρ, Μ) αν· (12'У)
Складывая формулы (12,1), (12,5) и (12,9), мы получаем:
=Ш (S+&+*) rub» dv=
Тем самым найдена расходимость поля J (Я).
Комбинируя формулы (12,6) и (12,8), находим' проекцию
вихря поля J на ось х:
= ίЯТЧРГЩ{[г щ> Р)'i т]}хdv{М)=
= $Hr>(P,M)tte(M> P), }(M)]}xdV{M).
Аналогично, используя формулы (12,2), (12,3), (12,4) и
(12,6), получаем:
иоИ}у=П$гЧр\М){{е(М, Ρ), l(M)]}ydv(M),
ЫЛг=§§§гЧр>М){[е(М, Ρ), i(M)]},dv(M).
Последние три выражения могут быть объединены общей
формулой

68
ГЛ. 6. ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Мы нашли, таким образом, и вихрь поля J. В частности,
мы видим, что силовое поле вектора \{М) (гл. 1) является
вихрем векторного поля J (Я), определяемого формулой (11).
Аналогично тому, как мы в главе 4 назвали
потенциальной функцией (или скалярным потенциалом) векторного
поля R функцию φ(Λί), удовлетворяющую условию
gradcp(M)=R(Af),
так и теперь назовем векторным потенциалом данного
поля R такое векторное поле А, для которого
rotA(Af)==R0W).
В частности, как мы видели, силовое поле вектора \{М)
имеет векторный потенциал J(P), вычисляемый по формуле
(11), в предположении, что компоненты поля }(М) имеют
непрерывные производные. В дальнейшем мы обобщим этот
результат на случай только непрерывного поля }(М) (без
предположения дифференцируемости его компонент).
Но вообще не всякое векторное поле обладает
векторным потенциалом. Условия, которым должно удовлетворять
данное векторное поле для того, чтобы оно имело
векторный потенциал, установим в дальнейшем.

Г Л А В А 7
ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Вернемся к механической задаче, которая нас привела
к определению вихря, и рассмотрим ее несколько с другой
стороны. Как мы видели, предельная угловая скорость
вращения полем и(М) колесика К с осью вращения,
определяемой вектором 1, определяется формулой
ш(1) = Ит^]^(и(ЛГ), >z(M))do(M) =
Σ'
=1(1, rot u (/>)), (1)
где интегрирование происходит по боковой поверхности
цилиндра (ободу колесика К). Указанный предел всегда
существует, если существует вихрь поля ιι(Λί) в точке Я.
Пусть L0 означает контур одного из оснований
(«нижнего основания») цилиндра К. На боковой поверхности
цилиндра можно для каждой точки Μ ввести координаты
5 и hy где h — высота точки Μ над нижним основанием,
5 — длина дуги контура L0 от некоторой начальной точки
до проекции точки Μ на нижнее основание. Элемент d<z (M)
боковой поверхности можно представить в виде
произведения dh · ds. Интеграл
/(V0= JJ (u(M), t{M))dv(M)
Σ
представляется в виде повторного интеграла
я
J dh§(u(M), v(M))ds3

70 ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
где Lh — замкнутый контур, образованный сечением
цилиндра К плоскостью, проходящей на высоте h от нижнего
основания. В силу непрерывности поля и(М) частное
и
-jf ]*{|(τ(Λί), u(M))ds}dh
h=0Lh
имеет при //—►О предел, равный
(τ (AT), \x(M))ds. (2)
f
Имея в виду (1), естественно ожидать, что, разделяя
интеграл (2) на удвоенную площадь, ограниченную контуром
L0, и стягивая затем контур L0 к точке Р, мы получим
в качестве предела величину (1, rot u (Я)). Для доказательства
этого утверждения рассмотрим последовательность контуров
типа L0 — обозначим их Z,W, L&\ ... , Ζ>), ... ,
стягивающуюся к точке Р, и последовательность соответствующих
отношений
\{п)
где Sn — площадь, ограниченная контуром LSn\ При
фиксированном η каждый интеграл по контуру L№ можно
заменить величиной
Гп = -шЬп Ш (τ(Λί)' n(<M»ds}dh>
ПН=0 L(n)
причем высоту Нп выбрать настолько малой, чтобы
отклонение величины Гп от величины интеграла 1п было, например,
меньше чем —. Полученное выражение
5-JJ>(M), u (M)) do,
как мы знаем, имеет при η -* со предел, равный (1, rot u (P)).
Но тогда и отношения (3) при /г-^оо имеют тот же
предел, что мы и утверждали.

ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 71
Заметим, что при этом форма контура L0, а также
контуров Z,W, L®\ ... t lSn\ ... не влияет на доказательство.
Нашему результату можно дать следующее истолкование
на языке аддитивных функций области.
Пусть дана плоскость α с фиксированным вектором
нормали 1 и R(7kf) — заданное векторное поле, обладающее
вихрем Q = rotR.
Для каждой области Gcza, ограниченной контуром L,
мы построим интеграл
φ(0) = |(τ(Λί), R(M))dst
L
где τ (Μ) — единичный касательный вектор, направленный
в положительную сторону (т. е. так, чтобы движение по
контуру L в направлении вектора τ (Ж) казалось бы с
высоты вектора 1 вращением против часовой стрелки).
Такой интеграл, как мы уже знаем из главы 4,
называется циркуляцией поля R(7W) по контуру L· Очевидно,
что циркуляция является аддитивной функцией области G
на плоскости α по тем же причинам, как и в аналогичных
случаях ранее.
Утверждается, что функция Ф(б) имеет плотность φ (Я),
определяемую выражением
φ (/>) = (!, rot R (/>)).
Действительно, если последовательность областей Qn
стягивается к точке Р, то, как мы только что видели, имеет
место предельное соотношение
<Г §(**№, R(M))ds-+(\, rotR(P)),
пк
что и утверждалось.
Применяя теорему 3.1, мы получаем следующее
утверждение:
Теорема 7.1. Для любого контура L, ограничивающего
в плоскости а область Q, имеет место равенство
§ (τ (М), R (Λί)) ds (Μ) =»= Г Г (1, rot R (Я)) do (P),

7? ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Эту теорему мы обобщим сейчас на случай любой
(кусочно-гладкой) поверхности. Именно, мы докажем
следующую теорему:
Теорема 7.2. Если область G на (кусочно-гладкой)
поверхности γ ограничена (кусочно-гладким) контуром L,
то
J (<с (Μ), R (M)) ds №=§§ (η (Я), rot R (P)) do (Ρ), (4)
L G
где η (Ρ) — единичный вектор нормали к поверхности γ,
α τ (Μ) — единичный вектор, касательный к контуру L
и направленный в положительную сторону (относительно
вектора п).
Доказательство. Заметим, что как правая, так и
левая части доказываемого равенства (4) представляют
собой аддитивные функции областей. Поэтому, если мы
разложим область О на конечное число слагаемых Glf G2, ...
..,, Gn> для каждого из которых равенство (4) будет
справедливо, то оно будет справедливо и для всей области G.
Например, поскольку любая многогранная поверхность
составляется из конечного числа плоских областей, для
которых равенство (4) по доказанному имеет место, равенство
(4) будет иметь место и для любой многогранной области.
Любую кусочно-гладкую поверхность можно разложить на
конечное число гладких кусков, поэтому достаточно
доказывать равенство (4) для гладкой поверхности £. Да"
лее, мы можем разложить гладкую поверхность 2 на такие
малые куски, в пределах которых касательная плоскость
поворачивается лишь на некоторый небольшой угол; тогда,
выбирая соответствующим образом оси координат, можно
будет уравнение поверхности в окрестности выбранного ее
куска записать любым из трех уравнений z = z(xt у), лг =
= a;(j/, z), y = (xy z)y где указанные функции непрерывны
и имеют непрерывные частные производные. Само поле R
можно также разложить на три составляющие R = Xi-(-
-f-yj-j-Zk по выбранным осям. Рассматривая вместо поля
R одну из его составляющих, например Zk, мы сведем,
вопрос к доказательству равенства
JJ(Z(M)k, n(M))do(M) = J(Z(P)k, τ(Ρ))ώ/(Ρ), (δ)

ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 73
где Q — выбранная часть поверхности J и [ —
ограничивающий ее контур. В плоскости (х, у) проекция / контура
L ограничивает некоторую область q. Рассмотрим
замкнутую ломаную линию Z/, вписанную в контур L, длина звеньев
которой не превосходит некоторого числа μ. Эта ломаная
V проектируется на плоскость (х, у) в ломаную /',
вписанную в контур / и ограничивающую в плоскости (х, у)
многоугольник q*. Многоугольник q' может выходить за пределы
области q, но при достаточно малом μ мы можем считать,
что он заключается в пределах области определения
функции ζ(χ, у). Через Qf мы обозначим область на
поверхности £, проектирующуюся на многоугольник q\
Разобьем многоугольник qr на прямоугольные
треугольники, катеты которых параллельны осям координат, а
гипотенузы не превосходят по длине числа μ. Три точки на
поверхности £, которые проектируются на плоскость (хуу)
в вершины одного из треугольников построенной системы,
определяют в пространстве новый треугольник; совокупность
всех таких треугольников образует многогранную
поверхность ΩΓ, вершины которой лежат на поверхности 2 в пРе~
делах области Q'.
Обозначим через Μ (Ρ) точку поверхности Qr
(ломаной Z/), которая лежит на одной вертикали с точкой Μ (Я)
поверхности Q (контура области Q'). В силу непрерывности
функции ζ (χ, у) расстояние MM (РР) равномерно стремится
к нулю вместе с величиной μ.
Для многогранной поверхности Qf по доказанному имеет
место равенство
(Z (№) к, η (Μ)) άσ (Μ) = U (Ζ (Ρ) к, τ (Ρ)) dl {Ρ). (6)
/\
Поскольку (k, n(Mr))do(M') = do(Mr)cos(n(M'),k) =
= dxdyf интегралы, стоящие в левых частях равенств (5)
и (6), могут быть записаны в виде
Г Г Z(M)dxdy (7 a)
я
и
Wz(M')dxdy (76)
,

74 ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
(можно считать, что нормаль η (Ж), а также и нормаль
η (Μ) направлены кверху, т. е. образуют с осью ζ острый
угол).
Далее, поскольку (к, τ (Ρ')) dl (Ρ) cos (τ (Pr), к) = =t dz,
интегралы, стоящие в правых частях равенств (5) и (6),
могут быть записаны как интегралы по переменному ζ
в некоторых пределах (α, β) соответственно (α', β'):
β β'
j [Ζ(Λ)-Ζ(Ρ,)] Λ (7в), j[Z(Pi)-Z(Pi)]d*f (7г)
где Ρ| — те точки контура Ζ,, в которых угол (τ (Ρ), k)
острый, a P2 — те, где этот угол тупой; аналогичный смысл
имеют буквы Р\ и Р^.
При уменьшении числа μ область qT стремится к области
q и функция Ζ(ΛίΓ) стремится (равномерно) к функции
Ζ(ΛΓ). Поэтому интеграл (76) стремится к интегралу (7а).
Аналогично интеграл (7г) стремится к интегралу (7в).
Поскольку равенство (6) имеет место при каждом μ, в
пределе при μ—*0 мы получаем, что справедливой равенство
(5), что и требовалось.
Тем самым наша теорема полностью доказана. Если
вектор R(Af) имеет дифференцируемые компоненты Х(М),
Υ(Μ)> Ζ (Μ), то равенство (4) переходит в классическую
теорему Стокса
Ш(£-$)«~+(£-£Н+®-£)н*-
G
= &Xdx-\-Ydy + Zdz.
L
Формула (4), которую мы также будем называть
формулой Стокса, имеет следующие важные следствия:
1. Рассмотрим поток вихря поля R(Ai) через
произвольную замкнутую поверхность 2:
(n(Af), rotR(M))do.
£
Построим замкнутый контур L> который разбивает
поверхность £ на две области £Г и Jg".

ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 75
Применяя формулу Стокса к каждой из этих областей,
мы получим:
j* J (η (Ж), rot R (Ж)) do = (j) (τ (Ж), R (Ж)) rf/, (8)
*Σ' L
J Γ (η (Ж), rot R (Ж)) tfσ = Ι (τ (Ж), R (Ж)) tf/. (9)
Σ" £
Вектор τ (Ж), фигурирующий в формуле (8),
противоположен вектору τ (Ж), фигурирующему в формуле (9), поскольку
положительные направления на контуре L по отношению
к области 27 и к области 2" взаимно противоположны.
Поэтому правые части в равенствах (8) и (9) равны по
абсолютной величине и противоположны по знаку.
Отсюда
<j|(n, rotR)tfo= f f (n, rotR)flfa+ J Г (η, rotR)de = 0.
Σ Σ' Σ"
Итак, поток вихря поля R (Ж) че/?ез любую замкнутую
поверхность равен нулю. Отсюда следует далее, что вихрь
любого поля имеет и расходимость, равную нулю
(поскольку, как мы помним, расходимость есть плотность
потока).
Если предположить, что компоненты поля R^) имеют
непрерывные вторые производные, то этот результат можно
проверить непосредственной выкладкой:
дх\дг ду)~1ду\дх dz)~jrdz\dy дх)~
dW d*Z , d2Z д2Х , д2Х д2У _Q
дх dz дх ду ' ду дх ду dz * dz ду dz дх
В частности, магнитное поле дифференцируемого тока j,
которое, как мы видели в конце предыдущей главы, является
вихрем некоторого поля J, имеет нулевую расходимость.
Магнитные силы, возбуждаемые электрическим током, не
имеют источников; этим магнитное поле тока существенно
отличается от магнитного поля, создаваемого постоянными
магнитами, источники которого находятся в полюсах
магнитов.

76 ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
В связи с рассмотрением магнитного поля тока мы
назвали векторное поле А векторным потенциалом данного
векторного поля R, если выполняется условие
rotA = R.
Мы указали уже тогда, что не всякое векторное поле
обладает векторным потенциалом. Результат, который мы теперь
получили, дает необходимое условие существования
векторного потенциала у данного векторного поля R: этим
необходимым условием является равенство нулю расходимости
поля R. Таким образом, поле с ненулевой расходимостью
не может обладать векторным потенциалом.
Рассмотрение вопроса о достаточных условиях
существования векторного потенциала мы откладываем до
главы И.
2. Допустим, что вихрь поля R всюду равен нулю. Тогда
из равенства (4) вытекает, что и циркуляция поля R по
любому замкнутому контуру, ограничивающему в области
определения поля некоторую поверхность ]£, равна нулю.
Слова «ограничивающему поверхность» — не лишние в этой
формулировке; вообще не всякий замкнутый контур
ограничивает какую-нибудь поверхность, целиком расположенную
в поле. Например, если область определения поля R есть
все пространство за вычетом некоторого бесконечно
длинного круглого цилиндра, то замкнутый контур L,
охватывающий этот цилиндр, не ограничивает в поле никакой
поверхности; и если вихрь поля R тождественно равен нулю
в области определения поля, циркуляция поля по контуру L
может и не быть равной нулю. В частности, мы видели на
стр. 65, что у магнитного поля тока, текущего по
бесконечно длинному проводнику, направленному по оси г, — это
поле определено всюду вне оси ζ — вихрь равен нулю
в каждой точке поля. Однако циркуляция этого магнитного
поля вдоль окружности, охватывающей ось zy отлична от
нуля. Действительно, если вычислить циркуляцию поля
2
R (/>)= — τ (Я) вдоль окружности с центром на оси ζ и
лежащей в плоскости ху, то τ (Ρ) будет касательным
вектором к этой окружности; поскольку (τ (Я), R(P)) =
2 2
= — (τ (Ρ), τ (Ρ)) = —, подинтегральная функция в выраже-

ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 77
нии циркуляции обращается в постоянную, и мы получаем:
§(τ(Ρ), Κ(Ρ))(Ιί=-(ίάί=~-2πρ = 4:π.
Таким образом, циркуляция поля R(P) по окружности L
отлична от нуля. Окружность L не ограничивает в поле
никакой поверхности, и поэтому теорема Стокса в данном
случае неприменима.
3. Теперь обратим постановку задачи. Пусть известно,
что цирк'уляция ноля R(7kf) по любому замкнутому контуру
L, ограничивающему в области определения поля некоторую
поверхность 2» равна нулю. Мы утверждаем в этом случае,
что поле R обладает вихрем, всюду равным нулю. Формула
(4) позволяет немедленно обосновать это утверждение, если
известно, что rotR существует (например, если компоненты
поля R имеют непрерывные производные); действительно,
в этом случае аддитивная функция области
JJ(n, wtfQdo
для всякой области G обращается в нуль; следовательно, и
плотность этой аддитивной функции (n, rotR) обращается
в нуль, а так как направить вектор η можно произвольно,
то и rotR = 0. Но если заранее не известно, существует ли
вихрь поля R, необходимо провести более детальное
рассмотрение.
Рассмотрим векторный интеграл
φ (V) = g) [n (Λί), R (Μ)] do (Μ) (10)
Σ
no замкнутой поверхности 2> ограничивающей в
пространстве некоторую область V. Пусть, далее, 1 — единичный
вектор произвольного направления. Вычислим интеграл
(1, Ф(0)) = §(1, [п(уИ), R(M)])do(M) =
Σ
= (g ([I, η (Μ)], R (Λί)) do (Μ). (11)
Σ
Введем в пространстве оси координат лг, у, ζ так, чтобы
ось χ имела направление вектора 1 (так что базисный век*

78
ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
тор i = l, j и к ортогональны κ 1), и будем вычислять
интеграл по поверхности 2 J координатах х, у (черт. 14). При
этом элемент поверхности do(M) имеет выражение
rf«(Ai)= dxJ> .
cos (η (Μ), k)
Заметим далее, что вектор [1, η(Λί)] = [ί, η (Μ)] лежит
в касательной плоскости к поверхности 2 и касается
сечения поверхности плоскостью,
нормальной к . оси х. Обозначим через Lx
контур этого сечения и через τ (Μ) —
п(М) единичный касательный вектор.
Векторное произведение [i, п(Л1)],
следовательно, можно записать в виде
[ί, η (Μ)] = τ (ΛΓ) · sin (On).
Контур Lx проектируется в плоскости
χ ху на прямую, параллельную оси у.
Поэтому, введя элемент дуги этого
контура ds(M)t мы будем иметь:
Черт. 14. /\
dy = ds (Λί) · cos (τ (Μ), j).
Теперь подинтегральное выражение принимает вид
(R (Μ), τ (Μ)) sin (G) dxdl cos (τ, j). (12)
cos (n, k)
Поскольку
cos2(η, i)-f-cos2(n, j)-f-cos2(n, k)=l, мы имеем:
sin (i, n) = /1— cos2(i, n) = Kcos2 οΓη) + cos2 (Οθ,
отсюда
sin
cos
jO)=1A_f
(k, а) ψ
cos*(j, n)
cos2 (k, n)
(13)
Мы можем рассматривать cos(j, η) и cos(k, n) как отрезки
на осях у и ζ (черт. 15), определяющие в плоскости (yz)
некоторый вектор q (проекцию на эту плоскость вектора п).

ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 79
Тогда отношение этих отрезков
cos (j, η)
tg(k, q)
cos (k, n)
и, следовательно, в силу (13)
sin(i, η) 1_
cos (k, n) cos (k, q)
Поскольку вектор п ортогонален к вектору τ, лежащему
в плоскости {yz)f то и проекция q вектора η на эту
плоскость будет ортогональна к вектору τ. Углы (τ, j) и (q, k)
оба лежат в этой плоскости
и, как мы видим, имеют
соответственные стороны
перпендикулярными. В силу известной
теоремы элементарной
геометрии эти углы равны; отсюда
(12) принимает вид
(R(Ai), t{M))dxds.
Теперь мы будем вычислять
интеграл (11). Можно
вычислить его, произведя сначала
интегрирование по контуру Lx
и затем по х:
(1, Ф(0)) =
= Jtf*{(j)(R(Af), τ(Λί))Λ?}.
Черт. 15.
Но внутренний интеграл обращается в нуль, по
предположению, при каждом значении х* Поэтому и весь
интеграл (11) равен нулю. Поскольку вектор 1 можно было взять
произвольно, мы получаем, что <|>(G) = 0 для каждой
области G. Но тогда у аддитивной функции областей Φ (G),
очевидно, имеется плотность, равная нулю. Поскольку вихрь
поля R определяется именно как плотность функции Ф(О)
(10), мы получаем, что при наших предположениях поле R
действительно обладает вихрем, равным нулю.

80 ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
4. В частности, предположения нашей теоремы выполнены
для всякого потенциального поля R = grad φ, поскольку, как
мы видели в главе 4, циркуляция такого поля по любому
замкнутому контуру равна нулю.
Мы видим теперь, что у всякого потенциального поля
имеется вихрь, равный нулю.
Если предположить, что потенциальная функция φ (Ж)
имеет не только первые, но и вторые непрерывные частные
производные, — вихрь поля R в этом случае заведомо
существует, — то равенство вихря нулю также можно проверить
непосредственной выкладкой:
srad?={e> %> й}>
roigraucp — \dzdy dy~dz, dxdz dzdx'dydx дхду]~
= {0,0, Ob
5. Но и обратно, если вихрь некоторого поля R всюду
равен нулю, можно утверждать, что поле R является
градиентом некоторого скалярного поля φ по крайней мере
в области определенного типа, о которой будет сказано
ниже. Действительно, мы видели, что если rotR(Ai) = 0, то
циркуляция поля по любому замкнутому контуру,
ограничивающему в области определения поля некоторую
поверхность γ, равна нулю.
Представим себе, что в нашей области можно так выбрать
систему элементарных замкнутых контуров (см. гл. 4), что
каждый из них будет ограничивать в поле некоторую
поверхность γ. Тогда циркуляция поля R по всякому
элементарному замкнутому контуру в области определения поля
будет равна нулю, поскольку она равна нулю вообще для
любого контура, ограничивающего поверхность. Но тогда мы
можем применить теорему 4.3, которая и дает нужный нам
результат: существует дифференцируемая функция φ (Μ),
обладающая тем свойством, что R (Ж) = grad φ (Λί).
Область, в которой можно выбрать систему элементарных
замкнутых контуров так, что каждый из них ограничивает
в области некоторую поверхность, будем называть одно-
связной областью. Итак, в односвязной области всякое
безвихревое поле потенциально.

ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 81
В частности, односвязна любая выпуклая область, т. е.
область, содержащая вместе с каждыми двумя своими
точками Μ и Ρ весь отрезок MP. В самом деле, мы уже
указывали в главе 4, что в выпуклой области V можно все
элементарные замкнутые контуры выбрать в виде
треугольников. Но каждый треугольник ограничивает плоскую
поверхность, которая вместе с его сторонами целиком принадлежит
выпуклой области V. Таким образом, условие односвязности
для выпуклой области V выполнено.
Например, односвязен любой шар или куб, которые,
очевидно, выпуклы. Поэтому всякое безвихревое поле в шаре
или кубе имеет потенциальную функцию.
6. Если причислить к поверхностям и такие
геометрические фигуры, которые получаются склеиванием конечного
числа обычных поверхностей вдоль их краев — такие
геометрические фигуры могут иметь весьма сложное строение,
в частности, многократно сами себя пересекать, — то легко
показать, что в односвязной области всякий замкнутый
контур ограничивает некоторую поверхность.
Действительно, если в односвязной области V дан
замкнутый контур L, то мы можем наметить на нем конечное
число точек Р0, Ри Р2, ... , P2N = PQ на таком малом
расстоянии друг от друга, чтобы точки P2j—\ и Яг/-и
находились в пределах окрестности ί/(Ρ;·), фигурирующей в
определении элементарного замкнутого контура (гл. 4); тогда
поверхности, ограниченные элементарными замкнутыми
контурами Ρ2;-ιΑΡ2]Ρν-ι и P2jAPv+1P2j(j=l, 2, ... , Ν),
склеенные друг с другом по элементарным путям АР0,
АРи ... , образуют поверхность, ограничивающую всю
замкнутую ломаную Ρ0ΡιΡ% ... Pin- Используя кусочную
гладкость контура L, нетрудно расширить полученную
поверхность так, чтобы она опиралась на весь контур L.
Следовательно, если в области V существует хотя бы
один замкнутый контур L, который не ограничивает ни-
какой поверхности, целиком лежащей в области V, то
область V неодносвязна. Например, область определения
магнитного поля тока, текущего вдоль оси ζ— все
пространство, кроме оси ζ, — очевидно, неодносвязна, потому
что замкнутая линия L, обходящая вокруг оси, не
ограничивает в поле никакой поверхности: любая поверхность,
ограниченная линчей I, имеет точку пересечения с осью ζ

82 ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И, ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
и поэтому не лежит целиком в области определения
поля.
С другой стороны, по самому определению во всякой
неодносвязной области должны существовать замкнутые
контуры (даже из числа элементарных), не ограничивающие
никакой поверхности.
Посмотрим, как будет обстоять дело с существованием
потенциала у безвихревого поля R, определенного в
неодносвязной области V.
Пусть L0 — замкнутый контур в этой области, не
ограничивающий никакой поверхности. Покроем контур L0
конечной цепью шаров £/0, Uu £/2, ... , £/л=£/0, целиком
лежащих в области V. В шаре £/0, поскольку он односвязен,
можно определить потенциал φ0(Λί) поля R. В шаре Ux мы
можем построить потенциал cpj (Μ) поля R; выберем этот
потенциал так, чтобы в некоторой точке Λί0, лежащей в общей
части шаров £/0 и £/,, иметь уг (Λί0) = φ0 (Λί0). Если
рассмотреть всю общую часть шаров £/0 и Uu то в ней и
функция φ0 (Λί) и функция 9j (Μ) представляют собой
потенциалы поля R. Так как два потенциала отличаются на константу
(гл. 4), а ф! (Λί0) = φ0 (Ж0); мы видим, что в общей части шаров
£/0 и Ux функции cpi(Af) и φ0 (Μ) совпадают тождественно.
Далее построим в шаре £/2 потенциал φ2 (Μ) с тем
условием, чтобы для некоторой точки Mt в пересечении шаров
Ux и £/2 иметь cpj (М1) = ср%(М1); тогда, так же как и раньше,
мы будем иметь cpj (Λί) = ф2 (Ж) во всем пересечении шаров
ί/1 и £/2. Такое построение будем продолжать дальше, пока
не дойдем до последнего шара [/п = [/0.
Когда мы по указанному правилу построим потенциал
φΛ(Λί), мы можем сравнить его с имеющимся уже в шаре £/0
потенциалом ср0 (Ж). Эти потенциалы уже, вообще говоря,
не совпадают — им нет причины совпадать. Но как
потенциалы одного и того же поля они отличаются на постоянное.
Если вспомнить, что потенциал поля R
восстанавливается как линейный интеграл от скалярного произведения
(т(уИ), R(M)) (гл. 4), то легко сосчитать это постоянное:
оно имеет значение
Ϊ (!,)=$ (τ (Af), R(Af))rf/,
равное циркуляции поля R(/W) по контуру L0.

ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 83
Таким образом, во всей неодносвязной области для
безвихревого поля уже нельзя, вообще говоря, построить
однозначную потенциальную функцию, хотя можно построить
такую функцию в окрестности каждой точки (локальный
потенциал). Иногда говорят поэтому о многозначном
потенциале поля.
Для примера рассмотрим магнитное поле R(P) тока j,
текущего вдоль бесконечно длинного проводника,
направленного по оси ζ. Область определения этого
поля— все пространство, кроме оси ζ,— как было
указано, неодносвязна. Как мы видели, это поле
безвихревое. Локальный потенциал можно определить по
формуле (15) главы 4:
ρ
*(/>)= f (*(Af), R(Af))tf/. (14)
ί
Возьмем путь интегрирования из точки А в точку Ρ по
трем координатным линиям цилиндрической системы координат
(полярный угол — а, горизонтальный радиус — р, высота — ζ).
Из трех слагаемых, на которые соответственно разобьется
интеграл (14), нужно рассматривать только одно, именно то,
которое отвечает участку изменения полярного угла α при
постоянных ρ и ζ, поскольку на остальных двух участках
векторы τ(Λί) и R(M) ортогональны.
Произведя вычисление в полярных координатах, мы
получим:
Ρ α(Ρ)
Φ(Ρ)=|(τ(Λί), R(M))dl= J (τ(Αί),|τ(Λί))ρΛι =
A a (A)
= 2 (α (Ж) — α (Л)).
Таким образом, приращение локального потенциала
поля R(P) пропорционально приращению полярного угла.
Естественно, при распространении этого потенциала по
замкнутому пути, обходящему вдоль оси ζ, мы получаем
приращение в 4π, которое делает невозможным
однозначное построение потенциала во всей области
определения поля R(P).
В заключение сформулируем в компактном виде
основные найденные нами результаты.

84 ГЛ. 7. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Теорема 7.3. Расходимость вихря любого векторного
поля (в предположении, что вихрь существует и непрерывен)
равна нулю.
Теорема 7.4. Вихрь потенциального поля существует
и тождественно равен нулю.
Теорема 7.5. Если вихрь некоторого векторного
поля R существует и тождественно равен нулю, то поле R
имеет потенциал в каждой односвязной области, в част-
ности в окрестности каждой точки поля.

ГЛАВА 8
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
На протяжении этой главы будет предполагаться, что все
встречающиеся здесь скалярные поля и компоненты
векторных полей имеют непрерывные первые производные. Во
второй половине главы будет предполагаться существование и
непрерывность также и вторых производных.
Дифференциальные операции первого порядка. В главе 2
мы определили уже общую дифференциальную операцию,
обозначаемую знаком у. Напомним это определение. Пусть
R, φ, ... — некоторые поля и Г(р; R, ср, ...)—некоторое
(имеющее смысл) выражение, линейно зависящее от
текущего вектора р; тогда мы определяем дифференциальную
операцию Г (γ; R, φ, ...) по формуле
Пг, R, φ, ...) = 47(i; R> *■ ...) + !Γ(ϊ;R, <P, ···) +
+ ^7(k;R, φ, ...), (1)
заменяя координаты вектора ρ на знаки дифференцирования
по соответствующим осям. Мы показали тогда же,
используя обобщенную формулу Остроградского, что выражение (1)
не зависит от выбора осей х, у> ζ и может быть вычислено
по формуле
Τ (π Н(Я), Φ (/>),...) =
= lim у g Г (η; R (Ж), <р (Λί), ...) do (Ж), (2)
где V—объем, ограниченный поверхностью 2 и
стягивающийся к точке Р.
Построенные нами в предыдущих главах
дифференциальные операции — градиент скалярного поля, расходимость и

86
ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
вихрь векторного ноля — являются частными случаями
введенной общей операции. Действительно, если мы вспомним
выражения наших дифференциальных операций в координатах
А. п дХ , дУ , dZ
dlvR=^+*r+;
dz
rotR =
i j k
A <L 1.
дх ду dz
X У Ζ
то примеры, приведенные в § 2 введения, прямо показывают,
что
grad φ = yep,
divR = (VR),
rotR = [VR].
Далее будут даны некоторые правила действий с символом γ.
Лемма 1. Если выражение Tt (ρ; R, φ,...) тождественно
(по р) с выражением Г2(р; R, ср, ...), то и Тх(у> R, φ,...)
тождественно с Г2 (у9 R, ср, ...).
Доказательство непосредственно вытекает из
инвариантного определения Т(\) по формуле (2).
Лемма 1 очень важна: она показывает, что в выражениях
Τ (γ, R, φ, ...) можно производить любые тождественные
преобразования, допустимые формальными правилами
векторной алгебры, так, как если бы символ у означал
действительный вектор, а не символический.
Например, имеют место равенства
V(4Pi+4Pa) = V4Pi+Vh»
(V, R1+R2) = (V, R,) + (v, R3),
[v, Ri + R.] = [v, Ril + Iv, R*];
эти равенства, выражающие линейное свойство операций
градиента, расходимости и ротора, были нами ранее
получены, исходя непосредственно из определений этих
дифференциальных операций.
Перед тем как формулировать лемму 2, мы сделаем
следующее замечание.

ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
87
Иногда бывает необходимым в выражениях вида
?4v; R» 9» · · ·) применять операцию дифференцирования не
ко всем функциям R, ср, ... , входящим в выражение Г,
а только к некоторым, как бы считая остальные
постоянными. В этом случае мы будем говорить, что символ \7
«действует» на такие-то аргументы и «не действует» на
остальные. Условимся, что если дана конкретная запись
выражения Т(у; R, φ, ...), в которой некоторые аргументы стоят
впереди символа у, а другие за этим символом, то γ
действует именно на те аргументы, которые стоят за ним, и не
действует на те, которые стоят перед ним; например, в записи
(R, ψ) φ символ γ действует на φ и не действует на R.
Иногда употребляют и иное обозначение: независимо от
порядка записи у аргументов, на которые не действует
символ ψ, пишут дополнительный индекс с (долженствующий
указывать на то, что этот аргумент считается' постоянным).
Например, запись (р, Rc) φ означает, что у не действует на R,
но действует на φ. В таких случаях стараются преобразовать
выражение Τ (у; R, ср, ...), если это возможно, так, чтобы
.аргументы с индексом с стали впереди символа у; тогда в
соответствии с нашим условием индекс с можно опустить, так как
само положение соответствующего аргумента будет указывать
на то, что он считается постоянным. В указанном примере для
этого достаточно просто переставить \ и Rc; мы получим:
(V, Rc)9 = (Rc, V)9 = (R> V9) = (R> β^άφ).
Следующая лемма 2 показывает, как преобразуется
выражение, в котором символ ψ применяется к произведению двух
величин.
Лемма 2. Если символ \ действует на произведение
(численное, скалярное, векторное) двух величин, то
результат можно представить как сумму двух слагаемых,
в каждом из которых \ действует на один из
сомножителей и не действует на другой аналогично правилу
обычного дифференцирования произведения.
Доказательство проходит совершенно одинаково для
произведения любого вида.
Рассмотрим для определенности случай скалярного
произведения γ на векторное произведение [Rlf R2]. Итак, нам
нужно преобразовать выражение
(V, [Ri, R*])·

88 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
Согласно определению
(V, [Ri, R.])=^(i; [Rt, R2]) + |a[R„ R,])4-
+ ^(k. [Ri, R,])=(l; ^[Ri, R.]) + (j, |[Ri, R2Jj +
+ (k, |[Ri, R,])·
Но дифференцирование по каждой координате
выполняется для векторного произведения по тому же правилу,
как и для обычного произведения. Поэтому
(·.I».*])-(■.[&«.])+(·■ [«-SB- <3>
Складывая выражение (3) с аналогичными выражениями для
д д
j- и w и производя соответствующую группировку, мы
получаем:
(V, [Ri, R,]) = (V, [Ri, RS]) + (V. №. Μ.
что и требовалось установить в данном случае. Полученное
выражение можно еще преобразовать. Чтобы поставить
постоянные аргументы перед символом у, используем
циклическое свойство смешанного произведения, которое, как
известно, для любых трех векторов а, Ь,с выражается равенством
(а, [Ь, с]) = (Ь, [с, а]) = (с, [а, Ь]).
Применяя это свойство к нашему случаю, находим:
(V, [Ri, RSD = (RS, [v, Ri]) = (Ri, rot r,),
(V, [Ri, R«]) = (Ri, [Ri, vD = — (Ri, [v, R2]) = -(Ri,rotR2),
и мы получаем формулу
div[R,, R2] = (V, [Ri, R2]) = (R2, rot R,) —(R,, rot R2).
Рассмотрим еще некоторые примеры:
1. Найдем градиент от произведения двух функций срх и φ2.
По лемме 2
grad (φ,φ2) = ν (9i92) = ν Otfft) + V (9ι9&
далее, вынося ф£ и φ£ за знак у, получаем:
V (<РЙ>о) = 9Ϊ · V92 = Φι · grad Фз,
V (9*, ЧРр = 95 · V9i = 9а · ё™а 9\'>

ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
89
таким образом,
grad (φ,φ2) = φ, grad φ2 + φ2 grad φ,. (4)
2. Найдем расходимость произведения 9R·
Применяя лемму 2 и лемму 1, получаем:
div(cpR) = (V, 9R) = (v, <P,R) + (V> 9Rc) = 9c(V, R) +
+ (R„ V9) = φ div R + (R, grad φ). (5)
3. Найдем вихрь произведения 9R:
rot(9R) = [v, 4>R] = fo, 9cR] + [V, 9RJ =
=фЛу> R] — [Re, v9]=9-rotR —[r, grad φ]·
(6)
4. Найдем расходимость и вихрь поля φ (г) г, где г —
радиус-вектор.
а) Используя формулу (5), находим:
Но
div (φ (г) · г) = φ (г) div г + (г, grad φ (г)).
divr = div(.Ki+.yj + *k) = £ + £ + g =
' дх ' ду
grad <p(r) = <pr(r)r0,
где г0 — единичный вектор; поэтому
div(9(r)r) = 39(r)-fr9'(r)
— результат, который мы получили в главе 5 прямым
вычислением.
В частности, если ср(г) = га, мы получаем:
div(r«r) = (3-fa)r«. (7)
б) Используя формулу (6), находим:
rot (9 (г) г) = 9 (r) rot г — [г, grad 9 (г)],
i j k J
[ = 0, a r и grad9(r) = 9r(r)r0
но rotr =
JLAP
дх ду dz
χ у ζ
коллинеарны, поэтому [г, grad ф(г)] = 0 и, следовательно,
rot (φ (г) г) = 0. (8)

90 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
Дифференциальные операции второго порядка. Пусть
R, φ, ...—некоторые скалярные и векторные поля и
Г(р, q; R, φ, ...) —некоторое выражение, билинейное
относительно произвольных векторов ρ и q.
Напомним, что функция Г(р, q) называется билинейной,
если она линейна относительно ρ при фиксированном q и
линейна относительно q при фиксированном р; иными
словами, если имеют место соотношения
7(αιΡι + α2ρ2, 4) = α17(ρ1, Я) + <х2Г(р2, q), (9)
T(V, βι* + βΛ«) = ΡιΓ(Ρ, q,) + P2r(p, q2). (10)
Из (9) и (10) следует более общая формула
km km
В частности, полагая
мы получим:
Г(р, q)=^7(i, Ο + χηΓΟ, ί) + *ζΓ(Ι, k)+j*r<], 0 +
+^7"0, 1) + .У"ЧЬ k) + *W(k, 0 + ^Г(к, j) + *C7(k, к).
Поскольку Г(р, q) линейно относительно р, имеет смысл
выражение Г(у, q), определенное в предыдущем пункте.
Далее, поскольку это последнее имеет смысл и линейно
относительно q, мы можем построить и выражение Τ (ψ, ψ).
Легко проверить, что в раскрытом виде оно будет выглядеть
следующим образом:
ПЪ1) = £?Т(М)+£%ТЬ» + .. . + 574k,k).(12)
Можно поступить иначе, именно сначала заменять q на ψ,
а затем ρ на ψ. В силу теоремы о независимости
смешанной производной от порядка дифференцирования результат
все равно будет выражаться по формуле (12).
Поскольку результат каждой из наших операций не
зависит от выбора осей, то и окончательный результат (12)
также не зависит от выбора осей.
Перейдем к выводу свойств операции Τ (γ, γ).

ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
91
Лемма 3. Если 7(р, q)^0, то и 7 (ψ, ψ)ξΟ.
Действительно, если 7 (ρ, q)=0, то по лемме 1 Г (γ, q)=0
и далее по той же лемме Т(\7, γ) ξ 0, что и требовалось.
Лемма 4. Если 7 (ρ, ρ) = 0 f/z/ш произвольном
векторе р), /яо и Γ(γ, \7)ξ0.
Доказательство. Рассмотрим выражение
ТЧР + Я, Р+Ч).
Согласно формуле (11)
Г(Р + Я, P + q) = ^(P, Р)+Г(р, q) + T(q> р) + Г(Ч> q).
Но по условию 7(p + q, p -fq) = 0, Г (ρ, р) = 0, 7*(q, q) =
= 0, поэтому
Др, q)+74q, р) = 0. (13)
Выражение в левой части (13) есть билинейная функция
относительно ρ и q; поэтому в силу леммы 3
Т{Ъ ν) + Γ(ν, V) = 0,
откуда и
7(V, V) = 0,
что и утверждалось.
Рассмотрим простейшие операции второго порядка, в
которых участвует только одно поле. Если речь идет о
скалярном поле, то мы можем образовать следующие операции:
la) (V» V9) = divgrad9,
!б) [?, V9] = rotgrad9;
если речь идет о векторном поле R, то образуются
следующие операции:
2а) v(V» R) = graddivR,
26) (v,[Vi R]) = divrotR,
'2в) [у, [у, R]] = rotrotR.
Если \7 заменить на обычный вектор р, то результаты
операций 16) и 26) в силу правил векторной алгебры
обратятся в нуль.
Применяя лемму 4, мы получаем частные случаи теорем,
уже известных нам из главы 7*
А) Градиент всякого скалярного поля имеет вихрь,
равный нулю.
Б) Вихрь всякого векторного поля имеет расходимость,
равную нулю.

92 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ
Рассмотрим операцию 1а).
Поскольку для p=xi-\-yj-]-zk
(ρ, рф)=А>+Уф + А,
мы имеем, заменяя координаты вектора ρ на производные
по соответствующим направлениям:'
(V, V9) = divgrad9 = g5+^ + 0 = A9, (14)
где знак Δ означает дифференциальный оператор Лапласа
όχ*~Τ~ ду* ' dz* ~~~ v "
Особый интерес имеет операция 2в).
Мы используем здесь формулу преобразования двойного
векторного произведения
[А, [В, С]] = В(А, С) —С (А, В),
которая позволит нам выразить 2в) через 2а) и 1а):
[V, [V, RH = V(V. Ю —(V, V)R = graddivR-V2R. (15)
Очевидно, что вектор \72R при R = {X, Υ, Ζ} имеет
составляющие
γ*Χ, y*Y, fZ.
Применим полученные результаты для вычисления вихря
силового поля вектора j (M) в предположении, что
координаты а(М)у Ь(М)У с(М) поля \{М) обладают непрерывными
производными. Силовое поле Η (Я) вектора j (Λί), как мы
видели в главе 1, представляется интегралом
Мы показали в конце главы б, что поле Η (Я) является
вихрем некоторого другого поля J (Я), определенного
формулой
}(M)dv(M)
-«-Ш1
г (Ρ, Μ) '
ν '
Для расходимости поля J (Я) мы вывели там же
формулу
divJ(P)=JJJdivjW.7^y.

ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛЯ 93
Предположим теперь дополнительно, что расходимость
поля j (Μ) равна нулю. (Если j (M) есть вектор
электрического тока, то физический смысл этого условия состоит
в утверждении того факта, что ток не создается из ничего
и не исчезает бесследно; это полностью соответствует нашим
представлениям о токе как движении электрических зарядов.)
Вычислим теперь вихрь поля Н. Согласно формуле (15)
rot Η (Я) = rot rot J (Я) = grad diν J (Я) — v2J (Я).
Поскольку divj(Af) = 0, мы имеем также и div J (Я) = 0,
откуда
гоШ(Я) = — ?2Л(Я).
Согласно определению, если Л(Я) = {Л(Я), В(Р), С(Р)},
вектор \72Л(Я) имеет компоненты у*А(Р)у у*В(Р), у*С(Р).
Но, например, величину
V
можно интерпретировать как потенциал распределения массы
с плотностью а(М); поэтому согласно результатам главы 5
VM (Я) = div grad А (Я) = — 4тся (Я).
Аналогично
div grad В(Р) = — 4πϋ (Я), div grad C(P) = — 4ъс (Я).
Таким образом,
гоШ(Я) = — ?2Л(Я) = 4тг{а(Я), ft (Я), с(Р)} = 4тг](Я).
Итак, вихрь силового поля вектора j (Я) совпадает с самим
вектором }(Р), умноженным на 4π.
Что же касается расходимости силового поля вектора j (Я),
то она, как мы уже указали в главе 7 (стр. 75), равна нулю.

ГЛАВА 9
ВЕКТОРНО-ГЛАДКИЕ ПОЛЯ
В отличие от предыдущей главы в этой главе мы не
предполагаем у рассматриваемых векторных полей дифферен-
цируемостя их составляющих.
Введем следующее определение.
Если в рассматриваемой области V пространства
векторное поле R имеет непрерывную расходимость и непрерывный
вихрь, то оно называется векторно-гладким полем в области V.
Всякое поле, компоненты которого обладают
непрерывными производными, является векторно-гладким.
Векторно-гладким является также силовое поле R
аддитивной функции областей с непрерывной плотностью μ; мы
видели уже, что у этого поля имеются расходимость и вихрь,
причем
div R = — 4πμ (Λί), rot R -— 0.
В конце этой главы мы покажем, что силовое поле
непрерывного вектора }{М) с условием divj = 0 также является
векторно-гладким, причем
div Η = 0, rotH = 47rj.
Класс всех полей, имеющих непрерывную расходимость,—
обозначим его через D — обладает важным свойством,
которое будем называть свойством полноты. Это свойство
состоит в следующем. Пусть дана последовательность
полей Rb R2, ... , Rm, ... с непрерывной расходимостью,
относительно которых известно, что равномерно во всякой
закрытой внутренней части области V (короче, равномерно
внутри V) выполняются предельные соотношения
limRm(Ai) = R(Ai), (1)
limdivRm(Af) = <p(M), (2)

ГЛ. 9. ВЕКТОРНО-ГЛАДКИЕ ПОЛЯ
95
где R(M) — векторное поле, φ(Λί) — скалярное поле; цо
построению они непрерывны во всех внутренних точках
области V.
Покажем, что поле R также имеет непрерывную
расходимость, причем
(ϋνΙΪ(Λί) = φ(Λί).
Для доказательства применим к полю Rm теорему 5.1.
Если U—любая внутренняя часть области V с
границей £, то в силу этой теоремы
^§(n, RJ^ = iJJJdivRmrfx;. (3)
'ς и
Производя предельный пе^ход при т —*оо и используя
соотношения (1) — (2), мы получим:
Щ(п, R)do = -I jjjV*.
Будем теперь деформировать объем U в точку М. При
этом согласно теореме о среднем правая часть равенства
будет иметь предел, равный φ(Λί). Левая часть равенства,
равная правой, также будет иметь предел φ(Μ); но
существование этого последнего предела означает, что полз R(Af)
действительно имеет расходимость, равную φ (Ж), что и
утверждалось.
Аналогичным свойством полноты обладают поля с
непрерывным вихрем. Для таких полей свойство полноты
формируется следующим образом.
Пусть дана последовательность полей Rb R2,... Rm,...
с непрерывным вихрем, причем равномерно внутри V
выполняются предельные соотношения
limRm(M) = R(M),
limrotRm(Ai) = Q(Ai),
где R(M) и Q(M) — некоторые векторные поля.
Тогда поле R(M) также имеещ непрерывный вихрь,
причем
rotR(Af) = Q(Ai).
Доказательство проводится аналогично доказательству
полноты для полей с непрерывной расходимостью, только

96 ГЛ. 9. ВЕКТОРНО-ГЛАДКИЕ ПОЛЯ
вместо формулы (3) следует использовать формулу
77§[п, RJtf°=^JJJrotRmGfo,
установленную нами в главе 6.
Как следствие установленных свойств мы получаем
свойство полноты для векторно-гладких полей:
Если для последовательности Rb R2, ... , Rm, ...
векторно-гладких полей равномерно внутри области V
выполняются предельные соотношения
limR<B(iM) = R(Ai)>
limdivRm(Af) = <p(Af),
limrotROT(M) = Q(AO,
где R (Μ) и Q (Μ) — некоторые векторные поля, α φ (Λί) —
некоторое скалярное поле, то поле R (М) — векторно-глад-
кое и
φ (Μ) = div R (Μ), Q (Μ) = rot R (Μ).
Мы видели уже, что каждое дифференцируемое
векторное поле, т. е. поле, компоненты которого имеют
непрерывные первые производные, обладает непрерывной
расходимостью и непрерывным вихрем и, следовательно, является
векторно-гладким.
Таким образом, класс дифференцируемых векторных
полей содержится целиком в классе векторно-гладких
полей.
Мы покажем теперь, что класс дифференцируемых
полей располагается в классе векторно-гладких полей
всюду плотно: иными словами, для каждого векторно-
гладкого поля R можно указать последовательность
дифференцируемых полей Rm {m=\y 2, ...) так, что
равномерно внутри V будут выполняться предельные
соотношения
UmRm(M) = R(M),
HmdivRmC/W)=divR(Ai),
limrotRm(Af) = rotR(M).
Для доказательства этого утверждения мы построим новую
операцию усреднения данного скалярного или векторного
поля.

ГЛ. 9. ВЕКТОРНО-ГЛАДКЙЕ ПОЛЯ 97
Пусть А(ху у, ζ)— некоторое непрерывное скалярное
или векторное поле в области V. Рассмотрим для данного
ε]>0 новое поле 5s (Л), определяемое по формуле
5е (А) (х, у, ζ) = 1 j J J* Λ (ξ, η, ζ) <β </η Λ (4)
Это поле определено во всех точках Λί (jc, .у, г) £ V,
которые входят в эту область вместе с кубом Кв = \х^
^ς^je-|-s, y^v\^y-{-e, ζ^ζ,^ζ-{-ε\; множество всех
таких точек образует область Vscz V. Поле SS(A) мы
назовем г-усреднением поля Д символ 5s будем называть one*
ратором ε-усреднения. Оператор S* при фиксированном s,
очевидно, обладает свойством линейности
5s (ol4 + β#) = a5s (A) + β5δ (В),
а также непрерывен в том смысле, который устанавливается
следующей леммой:
Лемма 1. Если последовательность полей Ат(т = 1,
2, ...) сходится к полю А равномерно внутри области V,
то последовательность е-усреднений Ss (Ат) (т — 1, 2, ...)
равномерно внутри V сходится к ^-усреднению S* (А)
поля А.
Действительно, из формулы (4) непосредственно
вытекает, что
[S'(A)-S4Am)](x,y,z) =
x-}-$y-jr-s z-j-s
= -Г. j ) J [A (I, % ζ) - Am (ξ, η, ζ)] <*ξ d-n dt,
χ у ζ
откуда для всякой закрытой области Vt cz V получается
оценка
max | IS» (Л) - 5s (Ат)] (χ, у, ζ)\*£
vl
^ max IΑ (ξ, η, ζ) — Am(l, η, ζ)|,
которая и показывает, что при т—+со поле Ss(Am)
равномерно внутри области Vs сходится к полю 6>е(Л).
Приведем еще несколько свойств оператора усреднения,
которые понадобятся нам в дальнейшем.

98
ГЛ. 9. BEKTOPHO-ГЛАДКИЕ ПОЛЯ
X + dy + tg+d
■i ί ί J
Лемма 2. При ε —* О поле S* (А) равномерно внутри
области V сходится к полю А.
Доказательство. Пусть Vx — любая закрытая часть
области V. Непрерывное поле А в области Vt является
равномерно-непрерывным: для любого ε0^>0 можно найти
такое δ>0, что при ρ (Λί, М)<^Ь^Ъ мы будем иметь
|Л(Л4) — Л(ЛГ)Ке0. Рассмотрим δ-усреднение поля Ау
определенное в области Vs. Для каждой точки этой области
\А{х,у, z)-S*(A)(xty, z)\:
\A{xJyyz) — A$Jrlii)\dldr.di.
у
Поскольку точка Μ (χ, уу ζ) отстоит от точки Μ (ξ, η, ζ)
не далее, чем на δ j/З, мы имеем | А (лг, у, ζ) — Α (ξ, η, С) | <С
<^ε0 и, следовательно,
\А(х, у, z) — S"{A){xf у, ζ)\^ε„
откуда вытекает требуемое утверждение.
Лемма 3. Если А — скалярное непрерывное поле, то
поле S* (А) имеет непрерывные первые производные по
координатам. Если А = А — векторное непрерывное поле А =
— {Χ, Κ, Ζ}, то каждая компонента поля 5s (А) имеет
непрерывные первые производные по координатам.
Доказательство. Пусть А — скалярное поле. Тогда
из равенства
S*(A) = ± j j |Λ(ξ,η,ζ)Λ(/ηΛ
x у г
на основании известной теоремы интегрального исчисления
непосредственно следует, что SS(A) имеет производную по
х, причем
dS*(A) ' ~ ~
дх
■ = ? J j [Λ(*+«,η,ζ)-Λ(.*,η,0]Α|<«: (5)
и является, очевидно, непрерывной функцией от х, у, г.
Аналогичный результат получается для производных по
у и по ζ.

ГЛ. 9, ВЕКТОРНО-ГЛЛДКЙЕ ПОЛЯ
99
Ее ли А — векторное поле, А = Х\ + У] + Zk, то, очевидно,
S4A) = S4X)i + 5s(K)j + 5e(Z)k,·
компоненты поля 5s (А) оказываются ε-усреднениями
компонент поля А и по доказанному также обладают
непрерывными первыми производными по координатам.
Отметим тот случай, когда само поле А имеет
непрерывную первую производную, например, по х. Тогда
выражение под знаком интеграла (5) можно записать в виде
Л(х + е, η. t) — A(x, η, £)== J ^tfS,
χ
откуда
χ у ζ
таким образом, если функция А(х, у, ζ) имеет
непрерывную производную по х, то ε-усреднение ее производной
равно производной от ъ-усреднения.
Предположим, что нам задано некоторое правило,
позволяющее переходить от некоторого поля (векторного или
скалярного) А(М) к новому полю Т(А)(М); символ Τ мы будем
называть оператором. Оператор Τ может быть определен
не для всей области К, в которой определено поле Л, а
лишь для некоторой ее части U; например, оператор SS(A)
определен лишь для области Vs·
Допустим, что рассматриваемый оператор Τ линеен
Г(аЛ + 8Б) = а7(Л) + рГ(Б)
и удовлетворяет следующему условию непрерывности: если
последовательность полей Аи Л2, ... , Ат, ... при /гс—>оо
сходится к полю А равномерно внутри области Uaz V, то
последовательность полей Т(А}), Τ (Ад), ... при /я->оо
сходится к полю Τ (А) равномерно внутри U.
Лемма 4. Для всякого непрерывного поля А имеет
место равенство
S*[T(A)(M)] = T[S*(A)](M) (6)
во всех точках М, в которых правая и левая части
равенства имеют смысл.

100 ГЛ. 9. BEKTOPHO-ГЛЛДКИЕ ПОЛЯ
Факт, выраженный леммой 4, мы будем выражать
словами «операторы 7 и Ss перестановочны».
Для доказательства будем рассуждать следующим
образом.
По самому определению тройного интеграла (4) поле SS(A)
является пределом конечных линейных комбинаций поля
Л (ξ, η, ζ) и его сдвигов в пределах куба А?:
S4i4)=lim 2 Λ(* + α>_ν + Μ + ϊ)ΔαΔβΔγ (7)
(индексы суммирования опущены).
Известно, что для любой функции f(M) отклонение
интегральной суммы от величины ее предела — интеграла — не
превосходит произведения максимального колебания
функции f(M) на элементах разбиения области интегрирования,
определяющего интегральную сумму, на объем этой области.
Так как в любой закрытой области непрерывная функция
Л(£, *)> ^) равномерно-непрерывна, интегральная сумма (7)
стремится к своему пределу—тройному интегралу (4) —
равномерно для всех точек Р(х, у, ζ), лежащих в любой
закрытой области i/cz V.
Поскольку оператор Τ линеен, мы имеем:
τ[±ΣΑ(χ + α, .y + β, г-И)Д<*( Δ?, ΔΤ] =
= -^{Т[А(х + <1,у + р, *+γ)]}ΔαΔβΔΤ,
а в силу непрерывности оператора Τ
7 [5« (Л)] = т{ lim 1 2 Α (χ + а, У + β, ζ + γ) Δα Δβ Δγ} =
= "π»γ{1ςΜ(*+«, J' + P, ^ + ϊ)ΔαΔι3Δγ} =
= 1Ι»7ϊ2{7Ή(* + *, .V+P. 2τ + τ)]}Δ*Δ?ΔΤ = «5·[7Ή)],
что и утверждалось.
Применим полученные результаты к операторам
£>*(А) = ~ g (n, Α) Λ, R5 (А) = -1 g [n, A] da,

ГЛ. 9. ВЕКТОРНО-ГЛАДКйЕ ПОЛЯ
ЮГ
причем интегрирование в обоих случаях ведется по
замкнутой кусочно-гладкой поверхности v^ с объемом V$, заклю-
ченной в шаре радиуса δ с центром в точке М(х% у, ζ);
при переходе в другую точку эта поверхность переносится
параллельно самой себе.
Оба этих оператора определены в области V*cz V и
являются, очевидно, линейными и непрерывными в том смысле,
который мы придаем этому термину. По доказанному
Dd[S*(A)] = S*[D5(A)]t (8a)
R*[S»(A)]=S4R*(A)]. (86)
Теперь докажем следующую теорему.
Теорема 9.1. Если векторное поле А в области V
имеет непрерывную расходимость, то ε-усреднение 5s (А)
имеет непрерывную расходимость в области Vs, причем
divS2(A) = S3(divA).
Аналогично, если поле А в области V имеет
непрерывный вихрь, то и S- (А) в области Vs обладает
непрерывным вихрем и
rotSMA) = S2(rotA).
Доказательство. Предположим сначала, что поле А
в области V имеет непрерывную расходимость. Тогда при
δ--* Ο выражение Д?(А) в каждой точке P£V сходится
к divA(P). Покажем, что эта сходимость осуществляется
равномерно в любой закрытой части области V.
Действительно, используя теорему 5.1, разность D$ (A) —
— divA мы можем представить в виде
D;(A) — divA(/>) =
= ^JJJdivA(Ai)-^JJJdivA(P)^(A/) =
1_
1 iTfdivAOW)— a\v\(P)]dv(M)^
^ max |divA(M) — divA(P)|;
?{M, P)<5
эта же последняя величина при ε —- 0 стремится в каждой
закрытой области UczV к нулю вследствие равномерной
непрерывности в области U непрерывной функции div A (M).

102
ГЛ. 9. BEKTOPHO-ГЛАДКИЕ ТЮЛЯ
В силу основного свойства ε-усреднений (лемма 1) при
8 *_ о ε-усреднение поля D& (А) сходится равномерно внутри Vt
к полю Ss(divA). Из равенства (8а) вытекает, что
S· (div A) = lim Ss (D* (A)) = lim Д, (5s (A)). (9)
δ-*0 5 —О
Но, поскольку предел (9) существует при любом выборе
формы объема Ve, не зависит от формы этого объема и
представляет собой непрерывную функцию точки, поле Ss (A)
имеет непрерывную расходимость
div 5s (A) = S· (div A),
что и требовалось.
Для того случая, когда поле А имеет непрерывный вихрь,
теорема 1 доказывается таким же путем с заменой везде
знака div на знак rot и с заменой теоремы 5.1 на теорему
6.1, а формулы (8а) — на (86).
Метод усреднений с успехом применяется для
распространения формул, доказанных для дифференцируемых полей,
на любые поля с непрерывной расходимостью или
непрерывным вихрем.
Установим в качестве иллюстрации этого метода
следующую теорему:
Теорема 9.2. Если поле R в области V обладает
непрерывной расходимостью, а поле φ дифференцируемо,
то поле 9R также обладает непрерывной расходимостью,
причем
div(9R) = 9divR + (grad9, R).
Доказательство. Рассмотрим ε-усреднение 5s (R)
поля R. По лемме 3 компоненты поля S5 (R) имеют
непрерывные производные; поэтому справедлива формула (5)
главы 8:
div (9 · S3(R)) = 9 · div#(R) + (grad9, S-(R)). (W)
Но при ε—>0 функция div 5s (R) = 5s (div R) в силу леммы 2
сходится равномерно внутри области V к функции divR;
таким же образом и поле 5е (R) сходится к нолю R.
Отсюда следует, что вся правая часть равенства (10) при
ε—* 0 стремится к величине
ψ = φ · divR--{-(grad9, R).

ГЛ. 9. BEKTOPHO-ГЛАДКИЕ ПОЛЯ
103
Мы имеем, таким образом, предельные соотношения
9-s*(R) — qpR.
div[cp.Ss(R)] — ψ.
В силу свойства полноты для полей с расходимостью
поле cpR обладает расходимостью, равной функции ψ =
= φ div R -(- (grad φ, R), что мы и утверждали.
Аналогично можно было бы распространить на общий
случай и все остальные формулы, полученные в примерах
1—4 главы 8; поскольку они нам не понадобятся в
дальнейшем, мы не станем на этом останавливаться.
В качестве другого примера рассмотрим силовое поле
вектора }(М), отличного от нуля лишь в ограниченном
объеме V:
V
В предположении наличия непрерывных производных
у составляющих поля \{М) и условия divj(M) = 0 му
показали ранее (гл. 8), что имеют место равенства
div Η (Ρ) = 0, rot Η (Я) = 4tcj (P).
Теперь мы покажем, что эти формулы сохраняются и в
том случае, когда компоненты поля j (M) не обладают
производными; будем предполагать лишь, что поле }{М)
непрерывно и обладает нулевой расходимостью.
Рассмотрим ε-усреднение 5s(j) поля j.
Так как поле j имеет непрерывную расходимость, то
по теореме 1 поле 5s (j) также имеет непрерывную
расходимость, причем
divSe(j) = Ss(divj) = 0.
Областью определения поля Ss (j) можно считать все про*
странство, причем вне некоторой ограниченной области
Vu VcziVi это поле, так же как и поле j, обращается в
нуль.
Рассмотрим оператор Т, задаваемый формулой
T(A)(^JJJ'A<y^/>'^W.

104 ГЛ. 9. ВЕКТОРНО-ГЛАДКИЕ ПОЛЯ
Поскольку этот оператор, очевидно, линеен и непреры·
вен, то согласно лемме 4 мы имеем:
S»(T(i4))=T(S»((il),
в частности, поскольку H = T(j),
S4H) = S*T(j) = T(S4j)).
По лемме 3 поле 5s (j) имеет дифференцируемые
составляющие; применяя теорему 1 главы 7, мы получаем:
rot 5s (Η) = rot 5s (Τ (j)) = rot Τ (Ss (j)) = 4π5δ (j),
div 5£ (H) = div Ss (T (j)) = div Τ (5s (j)) = 0.
При ε -► 0 равномерно внутри всякой ограниченной
области
5s (Η) -> Η, rot 5s (Η) = 4π 5s (j) -* 4icj,
divSs(H) = 0; в силу свойства полноты векторно-гладких
полей поле Η оказывается векторно-гладким, причем
div Η = 0, rotH = 4icj9
что и требовалось.

ГЛАВА 10
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Определение. Векторно-гладкое поле R, заданное в
области Vy называется гармоническим, если в области V
выполняются условия
divR = 0, rotR = 0. (Ι)
Простейшим примером гармонического поля является поле
тяготения единичной массы, помещенной в точке М:
Это поле, как мы видели ранее (гл. 8, пример 4), является
гармоническим в каждой точке пространства, за исключением
самой точки Ж, где оно не определено.
Силовое поле аддитивной функции областей (стр. 37) с
плотностью ρ (Ж)
является гармоническим в тех областях, где функция p(Af)
обращается в нуль, в частности всюду вне объема V;
аналогично и силовое поле вектора j (M)
является гармоническим там, где вектор ]{М) обращается
в нуль, в частности всюду вне объема К.
В этой главе мы выведем основные свойства
гармонических полей, определенных в некоторой односвязной
области V.

106
ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Прежде всего, поскольку rot R = 0, мы можем утверждать
в силу результатов главы 7, что поле R потенциально:
существует (дифференцируемая) функция ψ(Μ) такая, что
grad9(yW)=R(M).
Условие divR = 0 может быть теперь записано как
условие, наложенное на функцию φ(Λί):
div grad φ = 0.
Всякая дифференцируемая функция ср(Л4), которая
удовлетворяет уравнению
div grad φ = 0,
называется гармонической функцией. Таким образом,
потенциальная функция гармонического векторного поля всегда
является гармонической функцией.
В частности, потенциальная функция поля (2)
*№ — г(Р, М)
является гармонической при Μ Φ Ρ; аналогично
потенциальная функция поля (3)
V
является гармонической в тех областях, где плотность равна
нулю, например заведомо вне объема V.
Поскольку для градиента всегда имеет место равенство
(гл. 7)
rot grad φ = 0,
мы можем утверждать, что и обратно, градиент всякой
гармонической функции представляет собой гармоническое
векторное поле. Таким образом, гармоническая функция и
гармоническое векторное поле тесно связаны между собой.
Пусть R = grad и — гармоническое поле, определенное
в области V; пусть, далее, U—односвязная область с
границей 2, содержащаяся целиком в области V. Поскольку
R ^- гармоническое поле, теорема 9.2 дает:
div («R) = (grad w, R)-f (и, div R) = (grad w, R) = (R, R);

ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
107
отсюда, интегрируя обе части по объему U и преобразуя
левую часть по формуле (8) главы 5, мы находим:
§ и(R, n) d°=§§§ (R, R) dv. (4)
Формула (4) позволяет сделать следующие выводы:
.Теорема 10.1. Если всюду на границе области U
гармоническая функция и(М) обращается в нуль, то и
всюду внутри области и{М) = §.
Доказательство. Из формулы (4) следует, что в
предположениях теоремы 10.1 всюду внутри области U
вектор R==gradi/ = 0. Поэтому внутри U функция и
постоянна; но, поскольку она равна нулю на границе области,
она равна нулю всюду.
Теорема 10.2. Если две гармонические функции их (М)
и щ(М) совпадают на границе области U, то они
совпадают и всюду внутри области U.
Доказательство. Функция и = их — щ также
гармоническая и на границе области U обращается в нуль. По
теореме 10.1 она равна нулю и внутри области ί/, откуда
внутри U
щ{М) = щ{М).
Теорема 10.3. Если гармоническое поле R на границе
области U имеет нулевую нормальную составляющую
(R» п), то внутри области U R (Λί) = 0.
Доказательство непосредственно вытекает из
формулы (2).
Теорема 10.4. Если два гармонических поля Rj и R.a
на границе области U имеют одинаковые нормальные со·
ставляющие, то внутри области U эти Поля совпадают.
Для доказательства нужно составить гармоническое поле
R = R,—R2 и применить к нему теорему 10.3.
Теорема 10.2 показывает, что гармоническая
функция однозначно определяется внутри области по своим
граничным значениям.
Мы рассмотрим в этой главе следующие вопросы,
совокупность которых образует первую краевую задачу теории
гармонических функций.
1. Как восстановить значения гармонической функции
по ее граничным значениям}

108
ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
2. Можно ли внутри области U построить
гармоническую функцию и(Р), которая на границе области
принимала бы произвольно предписанные значения и (/И)?
Аналогичные вопросы можно сформулировать
относительно построения в области U гармонического поля R(P) по
его нормальной составляющей (R (М)у п) на границе области
U {вторая краевая задача теории гармонических функций).
Эта вторая задача равносильна задаче о построении
гармонической функции и (Я) по ее нормальной производной
на границе; следует иметь в виду, что полная однозначность
определения векторного поля R в указанной задаче,
установленная в теореме 10.4, соответствует однозначности
определения гармонической функции и (М) — потенциальной
функции поля R — с точностью до произвольной постоянной
слагающей.
Прежде чем переходить к решению этих задач, выведем
одну важную формулу.
Если φ и ψ — гармонические функции, то, применяя
теорему 9.2, мы получаем:
div (φ grad ψ) = (grad φ, grad ψ),
div (ψ grad φ) = (grad ψ, grad φ),
откуда
div (φ grad ψ) = div (ψ grad φ).
Интегрируя обе части равенства по объему V и
преобразуя объемный интеграл в поверхностный по теореме 5.1,
мы находим:
φ · (grad ψ, η) do = (Ц) ψ (grad φ, η) da, (5)
а так как (gradψ, n) = ^, (gradφ, η) = ^, то формула (5)
принимает вид
ff»2*-ff»2* m
Это и есть интересующая нас формула. Она справедлива
лри условии, что функции φ и ψ — гармонические внутри
области V, ограниченной поверхностью ]£.

ГЛ. 10· ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ 109
Если в формуле (6), в частности, положить ψ=1, то
мы получим:
V
Таким образом, интеграл по границе объема V от
нормальной производной функции, гармонической в объеме V,
всегда равен нулю.
Рассмотрим сначала один очень частный случай первой
задачи. Пусть гармоническая функция φ (Μ) задана в шаре U
радиуса R\ требуется найти ее значение в центре Ρ шара
С/, выразив его через значения, принимаемые функцией φ (Μ)
на границе этого шара.
Для вычисления применим формулу (6) к области £/s,
полученную выбрасыванием из шара U концентрического
шара Кг радиуса ε, полагая в этой формуле ф== ш *).
Граница Ts области Us состоит из сферы Г радиуса R
и сферы γδ радиуса ε. Поскольку для первой из этих сфер
производная по нормали совпадает с производной по
радиусу, а для второй — отличается от производной по радиусу
знаком (внешняя нормаль в этом случае направлена к
точке Р), из формулы (6) вытекает, что
♦2-t£)*-ff(»5-+i)* »)
Г ' Υε
Функция ψ в первом интеграле постоянна и равна -=? ,
а во втором также постоянна и равна —. Ее производ-
ная t=4?7vb^=~^mrp) в 11еРвом интегРале п°-
стоянна и равна -^ t а во втором также постоянна и равна
—5~. Поэтому равенство (8) можно переписать в форме
§
^Функция— гармоническая в шаре U при МфРу
но в точке М = Р она обращается в бесконечность, поэтому для
применения формулы (4) необходимо точку Ρ вместе с некоторой
ее окрестностью удалить из шара U.

по
ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Интегралы от нормальных производных функции φ
обращаются в нуль в силу (7). У нас остается равенство
i§9do=±-^9do. (9)
г и
Величина
Υε
представляет собой среднее значение функции φ (Λί) на
сфере радиуса ε с центром в точке Р. Равенство (9)
показывает, что это среднее значение не зависит от величины s.
Но в силу непрерывности функции φ (Μ) это среднее
значение имеет при Λί-^Ρ предел, равный значению функции
ср(М) в точке М=Р.
Таким образом, в результате деления на 4π и перехода
к пределу мы получим равенство
(P(f>)=^§9(M)do(M), (10)
г
которое и решает поставленную нами задачу. Оно
показывает, что значение каждой гармонической функции в
центре любой сферы равно среднему арифметическому из
значений этой функции на самой сфере.
Пусть теперь требуется вычислить значение
гармонической функции φ(Αί) не в центре шара С/, а в какой-нибудь
другой его точке, например в точке Q. Посмотрим, какие
изменения придется внести в наше построение. Разумеется,
мы теперь в качестве области Ut возьмем область,
полученную из шара U выбрасыванием шара Ks с центром в
точке Q, уже не концентрического по отношению к шару U.
Поэтому нормальные производные на границе шара U уже
не будут совпадать с производными по радиусу,
отсчитываемому от точки Q.
Если мы сохраним в качестве функции ψ величину — =
= м n)i то она не будет постоянной на границе шара и
нам не удастся, вообще говоря, освободиться от нормаль-

ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИ 111
ной производной функции φ. Исключение составляет случай,
когда функция φ постоянна, Л ξ-0. Считая, например, 9=1,
мы получаем в этом случае интересную формулу
д 1 </σ=4π, (7а)
дп г {М, Q)
г
которую полезно сопоставить с формулой (7).
Но в общем случае, когда φ φ const, нужно выбрать
функцию ψ более разумно.
Попробуем выбрать функцию ψ(Λί) в виде
ψ(Λί) = ψ(ΛΤ; Q)= r(MtQ)+™(M, Q),
где w(My Q)—некоторая гармоническая функция от Μ,
выбранная с тем расчетом, чтобы на границе шара U
функция ψ была бы постоянной, например была бы равной нулю.
(Как подобрать соответствующую функцию w(My Q),—
увидим ниже.)
Если ψ(Λί) выбрана именно так, то в формуле (6)
интеграл от произведения ψ · γ по границе области Ut
обращается в нуль, и мы получаем равенство
»2*-δ(»2-*ί)*
Г Те
Подставляя ф= r(M ^ -\-w(M, Q) и разделяя на —4π,
получаем:
г Ys У»
Ye
Первый член правой части, как и ранее, равен значению
функции φ в центре сферы γβ, τ. е. равен величине <p(Q);
второй член равен нулю в силу равенства (7).

112
ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Последнее слагаемое также обращается в нуль в силу
формулы (6), поскольку обе функции φ и w —
гармонические внутри сферы γ8. Мы получаем, следовательно, что
*«?)=-
4π
(Π)
Эта формула в принципе решает поставленную нами
задачу. Но нужно еще построить функцию ψ (Ж; Q), или,
что то же самое, построить гармоническую функцию
<w(M; Q) так, чтобы ψ(Λί; Q)= ^ Q) —w(M, Q)
обращалась в нуль на границе
шара. Такую функцию легко
построить с помощью
следующего геометрического приема.
Пусть р = г(Я, Q) и точка
Q* находится на прямой
R*
PQ на расстоянии, равном —
(черт. 16).
Черт. 16. Согласно известной
теореме элементарной геометрии
отношение r(Q, T):r(Q*T) остается постоянным, когда
точка Τ пробегает поверхность шара; величину этого
отношения можно определить, подставив вместо Τ точку Г0,
находящуюся на прямой PQ:
r(Q,T)_ r(Q, T0)
Λ-ί
r(Q*T)— r(Q*T0)
^-R
R'
Отсюда для любого положения точки Τ на поверхности
шара
г (О, Т) — ρ г (Qf Τ) ' KlZ)
Рассмотрим в шаре U функцию
R
w(M; Q) =
1
Ρ г (Q? Μ) '
Эта функция — гармоническая в шаре U и не имеет в нем
особенностей (потенциал точечной массы, сосредоточенной

ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ 113
в точке Q*); на границе этого шара она принимает
значение —(п т . Отсюда следует, что функция
удовлетворяет нашим требованиям.
Чтобы формула (11) приобрела законченный вид, нужно
вычислить нормальную производную функцию ψ в точках
сферы Г. Произведем это вычисление. Пусть ω — угол между
лучами PQ и РЖ По известным элементарным формулам,
обозначая г = г(Р, М)у мы имеем:
г (Λί, Q) = / г2 + Р* — 2>*Р cos ω,
г (Μ, Q*) = Y r2 + (5-)2 — 2r£cos«>,
д 1
дг г (Μ, Q) ~~
1 дг(М, Q) 1 г—pcos<o
г* (Μ, Q) or r* (Mf Q) r (M, Q)
= — ~з/л] m (Г —р COS ω);
аналогично
а ι
drr(M, Q*)m
1 / Я2
и, следовательно,
д* 1 , ч , R 1 / Я2 \
V = гщ—т^ги—ρ cos ω) ч .... ...J r — cos ω ι.
dr r*{M, Q) v r ' p r3(M, Q*)\ ρ /
На границе шара U при r = R, Μ =7 это дает в
силу (12):
№ 1 /п ч ι Λ 1 /„ /?* \
1 Я;
'2— 02
-~ г»(П?) /?
Формула (11) теперь приобретает следующий вид:

114
ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
Эта формула, явно выражающая значение гармонической
функции в любой точке шара через ее граничные значения,
называется формулой Пуассона. При Q = P(p = 0) она
переходит в формулу (10), выражающую значение функции
φ (Μ) в центре шара как среднее арифметическое из ее
граничных значений. Формулу Пуассона, если ее записать в виде
Г
также можно истолковать как некоторое среднее из
значений функции φ (7) на границе шара, но только это среднее
уже не будет просто средним арифметическим, а средним
взвешенным с весовой функцией S(T, Q)= Z(T L ,
обнаруживающей преимущественное значение точек Τ на
сфере Г, близких к точке Q, по сравнению с далекими точками.
Это естественно ожидать, поскольку при приближении точки Q
к граничной точке Τ мы должны иметь предельное
соотношение φ(ζ?)->φ(Γ)·
В частности, полагая в формуле (13) ф(ф)=1, мы
получаем:
г
иначе говоря, среднее из значений на сфере самой весовой
функции S(T, Q) равно единице. Покажем далее, что
весовая функция S(7, Q), рассматриваемая при фиксированном
положении Τ как функция точки Q, является гармонической
функцией. Для доказательства используем формулы
ψΛ = gradr* = ar7'"1 e(P, М)=аг*~*г (стр. 35),
(V, г*г) = (3 + а)г« (стр. 89).
Применяя эги формулы, последовательно получаем:
^-З-^С^-р2)-
2р.

ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
115
Λ /?2 — р3 /' В* — р*\ ι 3r,n2 9N 2р\
Δ гь =[V. \ гг )==[У> —-*№—?) — ■?*) =
= -3(*»-p»)(V, ^) —(5,v(^* —Ρ*)) —
-J (V, р)-2(р, Vi) =
= 7Л^-Ра-'-2 + 2(г( ρ)1·
Но, поскольку /?2 = ρ2 -|— г2 — 2 (г, р), выражение в
квадратных скобках обращается в нуль, откуда и вытекает
требуемое равенство.
Пусть теперь на поверхности шара U задана
произвольная непрерывная функция φ (7); построим внутри шара
функцию cp(Q) по формуле (13).
Покажем прежде всего, что значения φ (Τ) служат
предельными значениями функции φ (Q), когда точка Q
стремится к граничной точке Т; иначе говоря, построенная
нами функция qp(Q) является непрерывной функцией во всем
шаре £/, включая его границу, и на границе совпадает с
заданной функцией φ (Τ).
Заметим прежде всего, что из |φ(Γ)|^Λί и равенства
(14) вытекает:
г
^Τ^§ г»(0, Γ) d0 — M>
Γ
таким образом, если заданная функция φ (7) ограничена на
сфере Г числом Ж, то соответствующая функция φ (Q)
ограничена в шаре U тем же числом /И.
Пусть Т0 — фиксированная граничная точка. Без
ограничения общности можно считать, что ср(Т0) = 0 [заменяя в
противном случае функцию у(Т)наср(Т) — ф(Т0)]. Поэтому
для заданного ε^>0 можно указать такое δ^>0, что при
ρ (Γ, 70Χδ имеет место неравенство |φ(Ό|<^ε·
Построим непрерывную функцию hs(T), не
превосходящую по модулю ε всюду на сфере Г и при ρ (Г, 70)<[δ

116
ГЛ, 10 ГАРМОНИЧЕСКИ ПОЛЯ
совпадающую с функцией φ (Г). Тогда функция φε(7) =
= 9(7) — h&(T) в окрестности точки 70 равна нулю.
Мы имеем φ(Γ) = φε (7)-|~/zs(7) и, следовательно,
*«?)— —-и?—® г» (θ, η +
Г
+ -4^~§ %ГгГ *«<Ό*>(7> <15>
Г
Поскольку |/ге(7)|<^е, второе слагаемое при всяком Q
по доказанному не превосходит по модулю ε.
Рассмотрим первое слагаемое; предположим, что
выполняется неравенство r(Qy Γ0)<^γ. Так как функция φε(7)
равна нулю при ρ (7, 70)<^δ, то можно считать, что
соответствующий интеграл распространен не на полную сферу Г,
а на ту ее часть, которая получается выбрасыванием точек,
отстоящих от точки 70 на расстоянии, меньшем δ. На этой
сфере «с дыркой» величина г (ζ?, 7) заведомо превосходит -=-,
откуда вытекает, что функция ограничена (числом
t 2 \3 \
I — I ), а вместе с ней ограничен и весь первый интеграл
в правой части равенства (15).
Если теперь точка Q по любому закону начнет
приближаться к точке 70, то величина R2 — р2 будет стремиться
к нулю; отсюда вытекает, что и все первое слагаемое в
формуле (15) будет стремиться к нулю. При достаточно малом
r(Q, 70) все первое слагаемое в сумме (15) будет меньше ε.
Тем самым мы имеем возможность найти окрестность точки 70,
в которой выполняется неравенство
I ?(<?)!< 2·.
Это доказывает, что предел значений функции φ(ζ?) при
Q —► 70 существует и равен нулю, что и означает
непрерывность функции φ (ζ?) при Q—T0.
Итак, функция φ(ζ?), определяемая интегралом (13),
непрерывна в шаре £/, включая его границу Г. Заметим далее,
что функция от Q, стоящая под знаком интеграла (13),
неограниченно дифференцируема по координатам точки Q; так

ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
117
как интеграл (13) собственный, то и сама функция φ (<?)
неограниченно дифференцируема.
В частности, всякая гармоническая функция φ (ζ?)
(поскольку, как мы показали, она всегда представима интегралом
Пуассона) является неограниченно дифференцируемой
функцией.
Производные функции φ (ζ?) можно вычислять
дифференцированием подинтегральной функции в интеграле (13). В
частности, можно вычислить таким образом и выражение Δφ =
= (V, V9)>' MbI получаем:
Δ^=-4^δΔ(^Τ))φ(Γ)ί/σ(Γ)=0'
г
поскольку функция п г , как мы видели, гармоническая.
Таким образом, функция ф(ф), получаемая по формуле
(13), всегда является гармонической.
Итак, мы получили полное решение обеих задач,
поставленных нами в начале этой главы, правда только для
шара, а не для произвольной области. Оказалось, что
значения гармонической функции φ(ζ?) на границе шара могут
быть заданы произвольно (лишь бы получилась на границе
непрерывная функция), и сама гармоническая функция
определяется по этим граничным значениям однозначно по
формуле Пуассона.
Мы не имеем здесь возможности провести
соответствующее построение для произвольной области V; укажем, что
для широкого класса областей наш результат остается
верным, причем формула (13) должна быть заменена общей
формулой (11)J).
Переходим теперь к построению гармонического
векторного поля по его нормальной составляющей на границе
области, или, что то же самое, построению гармонической
функции по ее нормальной производной.
Как мы видели, решение этой задачи определяется
однозначно с точностью до аддитивной постоянной; мы можем
добиться полной однозначности, если наложим на искомую
функцию φ(Μ) какое-нибудь дополнительное условие. Нам
*) См. Р. Курант и Д. Гильберт, Методы
математической физики, т. 2, гл. 4, 1951.

US ГЛ 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ
будет удобно наложить следующее условие: среднее значение
искомой функции φ(Λί) на поверхности Нравно нулю, или,
что то же,
$cp(M)do(M) = 0. (16)
Σ
Метод, который мы использовали для построения формулы
Пуассона, может быть применен и здесь. Но функцию ψ (Λί, Q)
мы уже будем строить не с тем расчетом, чтобы она
обращалась на границе области в нуль, — это позволяло оставить
в правой части равенства (8) граничные значения функции φ,
исключив значения ее нормальной производной, — а так,
чтобы исключить значения φ, оставив значения ~. Как и
раньше, положим:
где w (Λί, Q) — гармоническая функция; от функции w (Ж, Q)
мы потребуем далее, чтобы нормальная производная от ψ (Mr Q)
на границе области V была постоянна. Если это постоянное
значение нормальной производной обозначить через С, мы
получим:
а так как интеграл от нормальной производной
гармонической функции w(M, Q) по границе области V обращается
в нуль, то
Σ Σ
откуда в силу формулы (7а)
C=-T§Wr(J, Q)d°=T-
Σ
Когда функция ψ(Λί, Q) построена, мы, используя условие
(16), получаем:
δ(»2-*5)*-ΐδ»*-δ*5*-
—δ
*£*· <">

ГЛ. 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ 119
Правая часть равенства (17) преобразуется, как и ранее,
к значению 4πφ (Q), и мы приходим к формуле
?Ю> = —iff*3> 08)
Σ
Можно доказать существование функции w(My Q), а с ней
и функции ψ (Λί, Q) для того же широкого класса областей,
для которого существует и функция ψ (Λί, Q), решающая
лервую краевую задачу. Для шара функция ψ (Μ, Q) имеет вид
τν у *cj r (Μ, Q) Γ ρ r (Λί, Q*) R 2RHg^-
где γ — угол между отрезками РМ и PQ, а ψ — угол между
Λί<?* и PQ*.
На проверке требуемых свойств функции ψ(Λί; Q) мы
здесь не будем останавливаться *).
1) См. Л. Н. Сретенский, Теория ньютоновского
потенциала, Гостехиздат, 1946, стр. 188—189.

ГЛАВ А 11
ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ПО ЕГО ВИХРЮ
И РАСХОДИМОСТИ
В этой главе мы будем заниматься решением следующей
задачи {обратной задачи векторного анализа).
Пусть даны векторное поле R(P) и скалярное поле d(M).
Можно ли построить векторное поле Q(P), обладающее
свойствами
div Q(P) = d(P), \
rot Q(P) = R(P); ) ( }
если это возмюжно, то как описать все те векторные
поля Q(P), которые удовлетворяют уравнениям (1)?
Эта задача называется задачей о построении поля по его
расходимости и вихрю.
Мы будем предполагать, что заданные поля d (Я) и R(P)
определены в некоторой ограниченной области V и в этой
области непрерывны.
Относительно поля R(P) предположим также, что оно
обладает нулевой расходимостью. Если это условие не
выполнено, то задача заведомо не будет иметь решений в силу
того, что всякий вихрь должен иметь нулевую расходимость
(гл. 7).
Вначале будет построено одно частное решение
уравнений (1), затем мы изучим всю совокупность решений.
Рассмотрим вначале случай, ксгда вихрь искомого поля
Q(P) равен нулю,, так что система (1) сводится к более
простой системе
div Q(P) = d(P)9\ .
rot Q(P) = 0. / κχ)

ГЛ. 11. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 121
Нам известно одно решение этой системы. Именно,
построим силовое поле аддитивной функции областей с
плотностью — -т-dP (гл. 5)
V
По доказанному в главе 5 мы имеем:
άϊν¥(Ρ) = -4π(-^ά(Ρ))=α(Ρ).
Как мы показали в главе 7 (используя наличие потенциала
у ноля F (Я)), имеет место также равенство
rot F(P) = 0.
Таким образом, выражение (3) дает нам частное решение
системы (2).
Рассмотрим теперь другой частный случай. Предположим,
что расходимость искомого поля равна нулю, а вихрь
произвольно задан.
Уравнения (1) теперь записываются в виде
div Q(P) = 0, rot Q(P) = R(P). (4)
И для этой системы нам известно одно частное решение.
Построим силовое поле вектора -j- R (Я) (гл. 5):
ν
Как мы показали в главе 9, имеют место равенства
div Η (Я) = 0, rot H (Я) = JL(4icR (Я)) = R (Я).
Таким образом, поле (5) дает решение системы (4).
Используя построенные поля F(P) и Η (Я), построим поле
Qe(/9 = F(P)-f-H(P). (6)
Для поля Q0 (/?) мы получаем:
div Q0 (Я) = div F (Я) -f- div H (Я) = d (Я),
rot Q0 (Я) = rot F (Я) + rot Η (Я) = R (Я).

122 ГЛ. 11. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛИ
Таким образом, поле О0(Я) (6) является частным
решением системы (1).
Мы построили одно частное решение системы (1). Пусть
Q (Я) — любое другое частное решение и
Z(P) = Qi(P)-QQ(Py
Для поля Ζ (Я) мы находим:
diν Ζ (Я) = div Q, (Я) — div Q0 (Я) = 0, )
rot Ζ (Я) = rot Qj (Я) — wiQ0(P) = 0. J ()
Таким образом, Ζ (Я) — гармоническое поле (гл. 9).
И обратно, если Ζ (Я) — гармоническое поле и Qt(P) =
= Qo (^0 Η™ Ζ (Я), то равенства (7) показывают, что
divQ1(P) = divQe(P) = rf(P)>
rotQ1(P) = rotQe(P) = R(P)f
и следовательно, поле Qj (Я) является вместе с полем Q0 (Я)
решением системы (1). Мы доказали следующую теорему:
Теорема 11.1. Система (1) имеет решение тогда и
только тогда, когда divR^) = 0. Одно частное решение
системы (1) дается формулой (6). Общее решение системы (1)
получается прибавлением к решению (6) любого
гармонического поля.
Теперь выясним вопрос о том, какие нужно наложить
дополнительные условия на искомое решение <3(Я), чтобы
оно определилось однозначно. Представим себе, что мы
строим решение в некоторой ограниченной области £/. Пусть
в каждой точке Τ на границе Г области U нам задана
величина q(T) нормальной составляющей искомого поля Q.
Спрашивается, будет ли при этом условии существовать решение
системы (1) и будет ли оно единственным.
Как мы уже видели, любое решение системы (1) имеет вид
где Ζ (Я) — гармоническое поле.
Используя граничное условие и обозначая через η(Я)
единичный нормальный вектор, мы получаем:
(Q,(P), n(/>)) = (Q,(/>), η(Ρ)) + (Ζ(/>), π (Я)) = <?(Р).

ГЛ. И. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛИ 123
Отсюда для нормальной составляющей гармонического
поля Ζ (Я) получается выражение
(Ζ (Я), η (Я)) = q (Я) - (Q0 (Я), η (Я)). (8)
Поле Ζ(Ρ) должно быть определено по этим данным. Мы
пришли, таким образом, ко второй краевой задаче (гл. 10).
Решение этой задачи существует, если правая часть
уравнения (8) удовлетворяет условию
§ [q (Ρ) - (Qo (Я), η (Я))] do (Я) = 0
г
и определяется в этом случае по формуле (17) главы 10
однозначно.
Можно сформулировать и другое условие,
обеспечивающее единственность решения задачи.
Пусть область U охватывает область V, так что в
окрестности границы Г области U правые части уравнений (1)
равны нулю.
В этом случае искомое решение <3(Я) имеет около
границы области U потенциальную функцию ψ (Я). Допустим,
что заданы значения функции ψ (Я) на поверхности Г;
попробуем решить систему (1) при этом граничном условии.
Вне области V любое решение Q] (Я) системы (1) имеет
потенциальную функцию, определенную с точностью до
постоянной; обозначим ее через tyt (Я). Найденное нами частное
решение <30(Я) также имеет вне области V потенциальную
функцию, положим ψο(^0·
Поле Ζ (Я) = Q, (Я) — Q0 (Я) = grad ψ, (Я) — grad ψ0 (Я)=
= gwd[tyi(P)— ψο(^)] имеет потенциальную функцию
ω (Я) = ψ, (Я) — ψ0 (Я). Поскольку Ζ (Я) — гармоническое
поле, функция ω (Я) — гармоническая. Граничное условие
может быть записано в форме
<о(Я) = <КЯ)-ф0(Я).
Таким образом, гармоническая функция ω (Я) должна
принимать определенные известные значения в точках границы
области U. Мы получаем для функции ω (Я) первую краевую
задачу; решение этой задачи всегда существует единственно
и дается формулой (11) главы 10.

124 ГЛ. 11. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
Построив функцию ω (Я), мы определяем поле Ζ(Ρ) =
= grad ω (Я) и получаем возможность найти искомое поле
Qt (Я) = Q0 (Я) + Ζ (Я). На этот раз, как показывает наше
построение, оно определяется однозначно.
Еще один тип условия, чаще всего встречающийся в
физических приложениях, состоит в том, что искомое поле <3(Я),
рассматриваемое во всем пространстве, должно равномерно
стремиться к нулю при неограниченном удалении точки Я
Очевидно, что этим свойством обладает построенное нами
поле Qo(P)l действительно, выражения (3) и (5), содержащие
в знаменателе величину г2 (Я, Ж), прямо показывают, что
соответствующие интегралы стремятся к нулю, когда точка Я
неограниченно удаляется. Покажем, что никакое другое
решение системы (1) уже не обладает этим свойством. Для
этого достаточно показать, что всякое гармоническое поле,
имеющее на бесконечности предел, равный нулю, само равно
тождественно нулю.
Сначала докажем следующую лемму:
Лемма. Если гармоническая функция φ (Μ),
определенная на всем пространстве, имеет на бесконечности
предел, равный нулю, то φ(Μ) = 0.
Доказательство. Фиксируем в пространстве
некоторую точку Я. Поскольку lim φ(Αί) = 0, для заданного ε]> О
М-*оо
мы можем найти такое R = R (ε), что при г (Λί, Я) _^ R будет
выполнено неравенство
|φ(Λ*)ΙΟ
Пусть £/#(Я) есть сфера радиуса R с центром в точке Я.
По формуле (10) главы 10
9(^) = та § φ(Λί)Λ(Λί),
откуда
Поскольку ε произвольно, мы должны иметь ф(Я) = 0, а
так как Я—любая точка пространства, то φ(Λί) = 0, что и
требовалось.

ГЛ. 11. ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 125
Теперь рассмотрим гармоническое поле Z(Q). Пусть
ф(Я) — соответствующая потенциальная функция, так что
2(Q) = grad9(Q). Если X(Q) — первая координата вектора
Z(Q), то X(Q) = -^~. функция cp(Q) — гармоническая и
в силу результатов главы 9 имеет все непрерывные
производные. Поэтому и ·£■ имеет все непрерывные производные.
Применим к -S- оператор Лапласа:
[дх2 ~+~ ду2"+" dz2) дх ~ дх* "·" ду2дх * dz2 дх ~
_ д ( Ру . д\ , д2<? .
— дх \ дх2 "Г cjy" ' dz2 )~υ-
Таким образом, функция -~ также гармоническая. То же
относится к остальным составляющим вектора Ζ(Λί). Так
как по условию вектор Ζ (Λί) стремится к нулю на
бесконечности, каждая составляющая этого вектора стремится
к нулю. Но по доказанному в этом случае каждая из них
будет тождественно равной нулю. Мы доказали, что
существует единственное гармоническое поле, стремящееся
к нулю на бесконечности, именно тождественно равное
нулю.
Как мы уже указывали, отсюда следует, что решение
уравнений (1), обращающееся в нуль на бесконечности,
единственно и задается формулой (6):

ДОБАВЛЕНИЕ
НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этом Добавлении собран ряд определений и теорем
из общего курса дифференциального и интегрального
исчисления функций нескольких переменных, которые не всегда
включаются в учебники или обязательные лекционные курсы,
но в круге вопросов векторного анализа имеют
существенное значение и использованы в основном тексте.
1. Обычная теорема существования для кратного
интеграла основана на предположении, что область
интегрирования V конечна и функция f(M)f которую интегрируют,
непрерывна или кусочно-непрерывна — в этом последнем
случае область V может быть разделена на конечное число
меньших областей, в каждой из которых функция f(M)
непрерывна и может быть продолжена на ее границу с
сохранением непрерывности.
Но если функция f(M) не является
кусочно-непрерывной— например, обращается в некоторых точках области V
в бесконечность, — то вопрос о существовании интеграла
требует дополнительного выяснения. Назовем точку Ρ £ V
обыкновенной, если у нее имеется окрестность, в которой
функция /(Ж) кусочно-непрерывна; все прочие точки
области V будем называть особыми. Множество всех особых
точек обозначим через Ζ. Построим последовательность
областей Vu V2, ... , VnJ ... , содержащих множество Ζ и
стягивающихся к Ζ в том смысле, что каждая точка
области Vn находится от множества Ζ на расстоянии, не
превосходящем числа εΛ, причем числа εΛ->0 при /г->оо.
Области Vn можно построить так, что каждая из них будет
иметь кусочно-гладкую границу, например, представлять
собой объединение конечного числа сфер или кубов.
Интеграл от функции f(M) по множествам V—Vn заведомо

ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 127
существует, поскольку на каждом из них функция /(Ж)
кусочно-непрерывна. Рассмотрим последовательность чисел
Говорят, что интеграл от функции f(M) по области V
существует, если числа 1п имеют предел, как бы ни выбирать
последовательность областей Vny стягивающихся к
множеству Z; величина этого предела принимается за значение
самого интеграла
f(M)dv, (1)
который в этом случае называется сходящимся
(несобственным) интегралом.
Интеграл от f(M) называется абсолютно сходящимся,
если сходится интеграл от |/(Λί)|. Используя критерий Коши,
в этом случае нетрудно показать, что сходится и интеграл
от самой f(M). Для проверки сходимости интеграла от |/(Λί)[
нет надобности изучать поведение интеграла
\f(M)\dv
для всех последовательностей областей Vn, стягивающихся
к множеству Z, а достаточно рассмотреть лишь одну какую-
нибудь из них1).
Например, если Ζ состоит из одной точки Я, можно
в качестве Vn взять шар радиуса еп с центром в точке Я,
где εΛ-*0 при #->оо.
Используя это замечание, докажем следующее
предложение:
Лемма 1. Если Ζ состоит из одной точки Я и
функция f(M) удовлетворяет неравенству
|/(Л4)|*£С 1 , 0 (р>0), (2)
то интеграл (1) существует.
*) См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс
дифференциального и интегрального исчисления, т. Ill, стр. 263—264^ 384
(М.— Л., 1949).
щ
ш

128 ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Доказательство. Достаточно показать, что
числовая последовательность
•~ш
f(M)\dv (3)
фундаментальна (удовлетворяет критерию Коши). Но,
очевидно, при п^>т
/*-/»= Г Г Г ι/μι**
переходя в этом интеграле к сферическим координатам г
φ, θ и используя оценку (2), мы получим:
2π
0^lm-In^C J j" J ?^Tr4mbdbd9dr =
sm π 2π
= CJ^Jsinerf6Jtf9=^(s^-e>), (4)
что становится сколь угодно малым, когда тип
достаточно велики.
Таким образом, критерий Коши для последовательности
1п (3) выполнен, откуда вытекает, что эта
последовательность имеет предел, что и утверждалось.
2. В дальнейшем мы используем следующее свойство
интеграла от функции /(Ж).
Лемма 2. Если функция f(M) удовлетворяет уело-
вию (2), то для любого ε^>0 можно указать такое
δ]>0, что будет иметь место неравенство
Д||/(И*)|А<е (5)
для любого шара U с радиусом, не превосходящим δ.
Доказательство. Будем обозначать через Uh(Ж)
шар радиуса h с центром в точке Ж. Переходя к пределу
при п-+оо в неравенстве (4), мы получаем:
О ^ 1т ^ — е£,

ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 129
таким образом, для заданного ε]>0 можно указать такое
ет==Р^>^ чтобы неравенство (5) удовлетворялось для
любого шара U9(P) при ρ<^Ρο·
Нам остается рассмотреть шары с центрами в других
точках.
Если шар UP(M) лежит целиком внутри шара ί/Ρο(Ρ),
то для U=U (M) неравенство (5), очевидно, будет иметь
место.
Далее, вне шара £/Ро(Я) функция f{M) ограничена, на-
J
пример, числом /Г. Поэтому интеграл от нее по любому
шару с центром вне шара б^рДЯ) и радиусом р<^-% (такой
~Т
шар не имеет общих точек с шаром £/Ро(Я)) не превосхо-
дит величины -^ πρ3 · КУ что меньше ε при достаточно малом р,
например при р<3<[^г· Но всякий шар радиуса р<^-^-,
если он не лежит целиком внутри шара £/Ро (Я), имеет центр
вне шара £/2ро {Р)> Поэтому для любого шара U9(M) радиуса
ΊΓ
ρ<^δ, где бы ни находился его центр, имеет место
неравенство (5), что и требовалось. Заметим, что значение
величины δ по построению не зависит от положения
точки Я.
3. Часто приходится вычислять интеграл от функции
f(M, P), зависящей не только от текущей точки Ж, но и
от параметрической точки Я, которая в процессе
интегрирования остается постоянной, но вообще способна
пробегать некоторую область Q того же пространства или
другого (например, плоскую область или дугу кривой). В этом
случае интеграл
/(Λί, P)dv(M) = F(P)
является функцией от Я, и представляет интерес выяснение
свойств этой функции.
Имеют место следующие теоремы (в предположении
конечности области V):
щ

130 ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 1. Если f(M, Ρ) непрерывна по
совокупности аргументов Λί, Я1), то Р(Р) непрерывна по Р.
Теорема 2. Если f(M,P) непрерывна по
совокупности переменных М, Р, когда Ρ пробегает ограниченную
область Q, то
= Jff{J/W P)dl{P)}dv{M).
В этом равенстве интеграл по области Q должен быть
одно-, двух- или трехкратным, смотря по размерности
области Q.
Теорема 3. Если Ρ изменяется по числовой оси
(например, Ρ определяется координатой t, f(My P) =
=f(M, έ)) и производная * *' непрерывна по
совокупности переменных М, ty то
Доказательств этих теорем мы не приводим, поскольку
они имеются во всех распространенных учебниках2).
4. Иногда приходится рассматривать и такие случаи,
когда функция /(Λί, Ρ) не непрерывна, а например, может
*) Напомним, что функция /(Μ, Ρ) называется непрерывной
по совокупности переменных Λί, Р, если для любого ε>0 можно
указать такое о > 0, что из неравенств ρ (Λί', Λί") < δ, ρ (Ρ', Ρ") < о
вытекает
\f(M', Р')-/(М", P")\<s,
разумеется, если выражения /(Λί', P() и /(Λί", P") имеют смысл.
В частности, функция г (Р, Λί), как легко получить из
элементарных геометрических соображений, непрерывна по совокупности
переменных Λί, Р. Отсюда следует далее, что rk (Λί, Ρ) непрерывна
на совокупности переменных Μ, Ρ при любом £>0; если £<0,
то rk(M, Ρ) непрерывна по совокупности переменных Λί, Ρ во
всякой области, в которой эта функция ограничена.
2) Обычно доказательства приводятся для случая одномерной
области V (отрезка); но они без существенных изменений проходят
и для двух- или трехмерной области.

ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 131
обращаться в бесконечность при М = Р. Простейшим
примером такой функции является
1
г*(М,Р)
при любом k^>0.
В дальнейшем изложении мы будем встречаться с
функциями вида
где μ (Μ, Ρ) — функция, непрерывная по совокупности
аргументов Μ, Ρ (в частности, ограниченная по модулю). Для
такого рода функций мы установим здесь следующие
предложения:
Теорема 4. При А<3 интеграл
F(p) = f f [f(M,P)dv{M) (7)
-w
представляет собой непрерывную функцию от Р.
Теорема 5. При k<^3 интегрирование по пара·*
метрической точке Р, пробегающей поверхность 2 или
линию L, можно производить под знаком интеграла по V;
так, например, при интегрировании по поверхности 2
мы получаем:
И (ίЯ/(Ж' p)dv(M)}do(P) =
= JJJ{JJ /(М> P)d*{P)}dv{M). (8)
Теорема β. Если функция μ (Μ, Ρ) имеет
ограниченные и (кусочно-непрерывные) частные производные по
координатам х, у, ζ точки Р, то при А<]2
дифференцирование интеграла (7) по этим координатам можно,
производить под знаком интеграла: так, например,^
^-ffP-^^w
дх J-J J дх
Доказательство теоремы 4. Существование ин-,.
теграла (7) было уже доказано в п. 1 (лемма 1).

132 ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть Я0 — фиксированная точка в области изменения
параметрической точки Р.
Рассмотрим интеграл
F(P0)-F(P)= Г Г Г {/(Ж, P0)—f{M, P)}dv(M). (9)
-щ
Для заданного ε^>0 с помощью леммы 2 найдем δ]>0
так, чтобы для любого шара U радиуса δ выполнялось
неравенство
щ
\f{M9P)\dv{M)<
4 *
Пусть £/(Я0) — шаР радиуса δ с центром в точке Р0.
Интеграл (9) разобьем на две части: интеграл по шару
£/(Я0) и по остальной части области V. -
Интеграл по шару £/(Р0) допускает простую оценку:
Ш{/(М, P0)-f(M, P)}dv{M)\^
I
^ § § § \f(M, PQ)\dv(M)+ M § \f(M, P)\dv(M)^
U(P0) U(Po)
Предположим, что точка Р находится внутри шара
с центром в точке Р0 радиуса -^. Тогда подинтегральная
функция в интеграле
Xfj f(M,P)dv(M)
U[P0)
будет непрерывной по совокупности переменных Му Р, и
следовательно, по теореме 1 этот интеграл будет
непрерывной функцией от А В частности, мы сможем указать такое р,
что .при г(Р, Я0)<\Р<С"о" будет иметь место неравенство
JJJ {/(Ж, P0)—f{M, P)}dv(M)
V-U{P<>)
<4· ου

ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 133
Из неравенств (10) и (11) вытекает, что при г (Я, Я0)<[р
\F(P)-F(P0)\ = I Jf J {/(Ж, Я0)-/(М, Ρ)}^(Λί)|<ε.
Тем самым функция F(P) непрерывна в точке Я0. Так
как Р0 — произвольная точка, то функция F(P) всюду
непрерывна, что и требовалось.
Доказательство теоремы 5. Заметим, что
в силу теоремы 4 внутренний интеграл в левой части
равенства (8) является непрерывной функцией от Я, чем
обеспечено существование и всего интеграла в левой части.
В правой части внутренний интеграл как функция от Μ
определен только в точках М, не лежащих на
поверхности Σ; ПРИ приближении точки к поверхности 2» вообще
говоря, значение внутреннего интеграла неограниченно
возрастает, так что весь интеграл в правой части —
несобственный, со множеством особых точек подинтегральной
функции, совпадающим с поверхностью 2· Поэтому
существование этого интеграла заранее не очевидно; оно вместе с
равенством (8) будет вытекать из наших рассуждений.
Для доказательства существования интеграла в правой
части мы должны рассмотреть последовательность
собственных интегралов
где области Vn стягиваются ко множеству Ζ = 2· В
каждом интеграле /л, как собственном, по теореме 2 можно
переставить порядок интегрирования:
1п=ί ί ί ί ί ί/(Ж> ρ) dv {M))dQ (Ρ)·
Внутренний интеграл обозначим через Fn(P). Покажем,
что при #->ооэта функция от Ρ равномерно приближается
к функции
F(P) = $j$f(M, P)dv(M).

134 ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Разность между функциями F(P) и Fn(P) есть интеграл
Vn
F(P)-Fn(P) = §§§f(M, P)dv(M). (12)
по области Vn
Для заданного ε^>0 найдем δ^>0 так, чтобы для
всякого шара U радиуса, не большего δ, имело место
неравенство
"^\f{M,P)\dv(M)<:±.
Φ1
Пусть U(Ρ) — шар радиуса δ с центром в точке Р.
Разобьем интеграл (12) на два интеграла: первый но той
части Vn области Vn, которая попадает в шар £/(Я), и
второй — по оставшейся части V'n области Vn.
Согласно определению δ независимо от η
JJJ|/(A4fP)|rf«(Af)<|.
V'n
В области Vn функция f(M, P) ограничена. Поскольку
объем области Vn вместе с объемом области Vn стремится
к нулю при п—>оо, мы можем указать такое N, что при n^>N
К
Таким образом, для этих значений η
J Π" |/(И*. P)\dv(M) = §§§\f(M, P)\dv(M) +
+ JJJl/W P)\dvm<-2-+'2 =«
Но тогда и
\F(P)-Fn(P)\ = \ JT j7(Af, P)dv(M)\
"n\f(M, P)\dv(M)<*9!
Щ

ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 135
причем эта оценка выполняется независимо от положения
точки Р. Следовательно, при п-+оо действительно функция
Fn(P) равномерно приближается к F(P). Отсюда вытекает,
что величина /л имеет предел, равный значению
JJ{JfJ/W P)dv(M)}do(P).
Мы доказали, таким образом, и существование интеграла
в правой части равенства (8) и совпадение его с интегралом
в левой части этого равенства (8).
Доказательство теоремы 6. Прежде всего
выведем формулы для дифференцирования функции k ,„ р .
Если х, у, ζ — координаты точки Р, а Ε, η, ζ — координаты
точки Му то г(Му Р)= /(х — £)2 + СУ — η)2 + (^ — ζ)2.
Далее
д , * — k д Г(М Р) =
дх r*(M,P) — r*+1 (Μ, Ρ) дх у ' }
* £Ζ± — к coca
— rfe+i (М> ρ) г (М) р) — rk+i (Λί> р) ^»>
где a — угол вектора MP с осью х.
Отсюда
дх1 (т> ^> дх rk (Μ, Ρ)
=- ΑΖ'ρ) ·μ(Λί' /3)+та^4»>^'Ρ)'
а поскольку функции μ (Λί, Ρ) и ^- μ (Λί, Ρ) по условию
ограничены, то
\У<.м,Р)
k\p(M,P)\ . 1
r*+» (Λ1, Ρ) "ι" r* (Μ, Ρ)
£l>(*. />)
r*+1 (Μ, Ρ)' (13)
где Ct — некоторая постоянная.
Эта оценка показывает, что интеграл от -g-f{Mt P) при
k <^ 2 будет абсолютно сходящимся,,

136 ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим функцию рз (ΛΓ, Я), которая при r(M, Я) ^8
совпадает с р , а при г(М, Я)г^8 непрерывна и имеет
непрерывные производные, причем
\^Р)\^тщ7Р)>
*гМм,р)
1
дхг(М, Р)
1
г2 (Μ, Р)
(14)
Такую функцию можно задать, например, формулами
9siM,P)jTvh)upnr^P)^'
\ Аг*(М, Р)-\-В при г (Ж, Я) ^8,
где А и В подбираются так, чтобы при переходе значения
г(Му Я) через 8 не произошло нарушения непрерывности и
гладкости.
Пусть теперь /δ (Λί, Я) = ρ* (Ж, Я) · μ (Λί, Я).
Тогда
дТхММу P) = kPkri(M> Я)^р5(Ж, Я)^(Ж, Я) +
и из неравенств (14) вытекает, что
IMM, p)|^ rfe(Ai> р) < μ(Λί( р) ,
^^(^э Р)I^rft+1 (Μ, Ρ) Ι" г*(Λί, Ρ) ^r*+1 (Λί, Ρ)'
1
гЦЩР)
Обозначим
Φ
/«(Λί, />)^(Ж)=/7г(/5).

ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 137
Легко видеть, что
\F{P)-F${P)\ = \§^{f(M,P)-f6(M,P)}dv(M)
= I J J J {f(M9 Ρ) —ft (Μ, Ρ)} dv (M)
ϋδ(Ρ)
*S f J J \f(M, P)\ dv(M) + §§ f \MM, P)\dv(M) ^
Ufi(F) U8(P)
^2 ΓΓΓ|/(Λί, P)\dv(M)^e
Ud(P)
при достаточно малом 8.
Поскольку интеграл F$(P) — собственный, в силу
теоремы 3 его дифференцирование по χ можно произвести
под знаком интеграла
Как мы только что видели, интеграл
ί Я & {м> P)d<°(Λί)=~F (p)
ν
абсолютно сходится. Очевидно, что
|£(^)-|^(^)1=
=\lli{TXHM>^-TMM>pAdvw
U8(P)
ЯЛ£/(Ж'Р)ИЖ)+ЯЛ^^)
υδ(Ρ)
υδ(Ρ)
dv (M)
ш
dv(M)
rk+i (Mf P)
υδ(Ρ)
при достаточно малом δ.

138 ДОБАВЛЕНИЕ. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом, мы видим, что при δ -> О функции F& (P)
равномерно приближаются к F (Р), а функции j- Fq(P)
равномерно приближаются к F(P). Отсюда, применяя
классические теоремы анализа, мы непосредственно
получаем, что
F(P)=§-XF(P).
Тем самым теорема б полностью доказана.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Скалярные и векторные поля. Примеры 8
Глава 2. Формула Остроградского и ее обобщение 15
Глава 3. Аддитивные функции областей и их плотности ... 22
Глава 4. Градиент скалярного поля 30
Глава 5. Поток и расходимость векторного поля 45
Глава 6. Вихрь векторного поля 58
Глава 7. Формула Стокса и ее применения 69
Глава 8. Дифференцируемые поля 85
Глава 9. Векторно-гладкие поля 94
Глава 10. Гармонические поля 105
Глава 11. Построение векторного поля по его вихрю и
расходимости 120
Добавление. Несобственные кратные интегралы 126

Г. Ε. Шилов. Лекции по векторному анализу.
Редактор //. Н. Григорьев.
Техн. редактор С Н. Ахламов.
Корректор И. Л. Едская.
Сдано в набор 7/1-1954 г. Подписано к
печати 5/Ш-1954 г. Бумага 84X108/32. Физ.
печ. л. 8,75. Условн. печ. л. 7,18. Уч.-изд. л.
7,1. Тираж 15 000 экз. Т-00248. Цена книги
2 руб. 65 коп. Заказ № 1010.
Государственное издательство
технико-теоретической литературы.
Москва, Б. Калужская, 15.
2-я типография «Печатный Двор»
им. А. М. Горького Союзполиграфпрома
Главиздата Министерства культуры СССР.
Ленинград, Гатчинская, 26.