Активные RC-фильтры - Знаменский А.Е., Теплюк И.Н.

Автор: Знаменский А.Е. Теплюк И.Н.
Теги: электроника радиотехника электротехника индукция
Год: 1970
Похожие
Справочник по активным фильтрам.
Введение в теорию и расчет активных фильтров
Справочник по активным фильтрам
Активные фильтры с переключаемыми конденсаторами
Текст
                    ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................................3
Глава 1
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
1.1.	Введение.................................................:	6
1.2.	Ограничения, налагаемые на функции физических реализуемых цепей 6
1.3.	Расположение нулей и полюсов квадрата модуля передаточной
функции .....................................................12
1.4.	Синтез передаточных функций пассивных КС-цепей с отрицатель-
ными вещественными	нулями...............................13
1.5.	Синтез	передаточных	функций	с	комплексными	нулями	(метод
Дашера) ..................................................20
1.6.	Синтез	передаточных	функций	с	комплексными	нулями	(метод
Гиллемина)................................................26
Глава 2
АППРОКСИМАЦИЯ
2.1.	Основные требования к характеристикам электрических фильтров.
Нормирование..............................................30
2.2.	Полином Чебышева..........................................33
2.3.	Полином Баттерворта....................................  .	38
2.4.	Дробь Чебышева............................................39
2.5.	Дробь Золотарева..........................................46
2.6.	Преобразование частоты....................................49
2.7.	Множители разложения комплексного	коэффициента передачи .	. 54
2.8.	Расположение корней характеристического полинома на комплекс-
ной плоскости................................................69
2.9.	Чувствительность характеристик	фильтров...................75
2.ГО.	Выравниватели амплитудно-частотных и фазовых характеристик 80
Глава 3
ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ УСИЛИТЕЛЕН С ОГРАНИЧЕННЫМ КОЭФФИЦИЕН-
ТОМ ПЕРЕДАЧИ
3.1.	Реализация активных элементов.............................83
3.2.	Реализация фильтров ................................. .	. 88
3.3.	Чувствительность.........................................106
3.4.	Параметры и условия стыковки звеньев активных КС-фильтров .119
3.5.	Использование метода предыскажений при расчете фильтров на
основе единичных усилителей.................................126
Глава 4
ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ КОНВЕРТОРОВ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СОПРОТИВЛЕНИИ
4.1.	Активный элемент фильтра—конвертор отрицательного сопротивле-
ния (КОС)...................................................132
4.2.	Общие принципы	реализации	фильтров.......................138
4.3.	Реализация звеньев	2-го	порядка..........................144
4.4.	Чувствительность.........................................151
Глава 5
АКТИВНЫЕ -ФУЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ГИРАТОРОВ
5.1.	Активный элемент фильтра.................................158
5.2.	Реализация гираторных КС-фильтров........................160
5.3.	Чувствительность гираторных КС-фильтров..................163
— 279 —
Глава 6
ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
6.1.	Активный элемент............................................165
6.2.	Реализация фильтров ........................................168
6.3.	Чувствительность звеньев с одним ОУ.........................173
6.4.	Звенья активных 7?С-фнльтров на основе трех операционных уси-
лителей ..........................................................175
6.5.	Избирательные усилители с двойными Т-мостамп в цепи отрица-
тельной обратной связи............................................181
Глава 7
ВОПРОСЫ РАСЧЕТА -ФИЛЬТРОВ
7.1.	Особенности характеристик активных	7?С-фильтров.............185
7.2.	Расчет активных элементов...................................186
7.3.	'Порядок расчета и соображения по методике настройки активных
фильтров..........................................................189
7.4.	Приближенный метод синтеза	пассивных	/?С-фи-льтров .	.	.	.196
7.5.	Использование цифровых электронных вычислительных машин
(ПЭВМ) при проектировании фильтров................................202
Приложение 1. Расчетные соотношения и характеристики, наи-
более употребительные при расчете активных /?С-фильтров .	.	.207
Приложение	2.	Характеристики фильтров-прототипов .	.	.226
Приложение	3.	Примеры расчеты 7?С-фильтров...............234
Приложение	4.	Звенья 7?С-фильтров........................265
Литература.......................................................:276
 Ы й М'. .4кМч ЧДС
Александр Евгеньевич Знаменский
Июлий Николаевич Теплюк
АКТИВНЫЕ RC-ФНЛЬТРЫ
Отв. редактор Л. Л. Самурина	Художник В. Л,. Петухов
Техн, редактор 3. И. Резник______________________________Корректор Г. Г. Лев
Сдано в набор 2/IV 1970 г.	Подписано в печ. 23/VII 1970 г.
Ферм. бум. 6ОХ90/|6	17,5 печ. л. 17,5 усл.-п. л. 17,11 уч.-изд. л
Т-12112 Тираж 10 850 экз. Цена 1 руб. 31 коп. Зак. изд. 13048
Издательство «Связь», Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2__________
Типография издательства «Связь» Комитета по печати при Совете Министров.
СССР. Москва-центр, ул. Кирова, 40. Зак. тип. 156
ПРЕДИСЛОВИЕ
Тенденция к микроминиатюризации радиоэлектронной аппаратуры
в очень острой форме ставит вопрос о путях дальнейшего разви-
тия техники селективных устройств.
Уменьшение габаритов LC-фильтров ограничено тем, что доб-
ротность катушек индуктивности падает с уменьшением их разме-
ров. Выбирая величину нагрузочного сопротивления LC-фильтра,
можно уменьшить индуктивность, но при этом необходимо во
столько же раз увеличить емкость, т. е. это не приводит к суще-
ственному уменьшению габаритов. В то же время активный
/?С-фильтр можно выполнить в виде микромодульной конструкции
или интегральной схемы. Величину емкости в нем можно умень-
шить, увеличивая во столько же раз сопротивление, габариты ко-
торого не зависят от номинала.
Технология изготовления катушек индуктивности является спе-
цифической и вызывает ряд затруднений, особенно в тех случаях,
когда фильтры занимают сравнительно малый удельный вес в об-
щем объеме аппаратуры. При использовании в фильтрах индук-
тивностей необходима герметизация всего фильтра или каждой
катушки индуктивности в отдельности, что связано с дополнитель-
ными технологическими операциями и увеличением веса.
Первые активные /?С-фильтры, в которых использовались элек-
тронные лампы, были известны еще в 30-е годы. Однако их ши-
рокое применение стало возможным лишь после организации про-
мышленного производства транзисторов. Тогда появились много-
численные работы по теории активных /?С-цепей и по вопросам
инженерного расчета и проектирования активных /?С-фильтров.
Описанные в литературе активные фильтры можно подразде-
лить, прежде всего, на линейные и нелинейные (цифровые). В пер-
вых активные элементы работают в линейном режиме, во вторых
используются импульсные схемы типа мультивибраторов, тригге-
ров и т. д.
Нелинейные активные фильтры имеют ограниченную область
применения и в этой работе не рассматриваются.
Хотя частотные характеристики коэффициентов передачи ак-
тивных фильтров описываются такими же уравнениями, как и ха-
рактеристики ЛС-фильтров, расчеты их различны, и это представ-
ляет собой одно из серьезных затруднений при переходе к актив-
ным /?С-фильтрам. При расчете ЛС^фильтров часто применяется
методика расчета по характеристическим параметрам. Суть этой
методики состоит в представлении сколь угодно сложной схемы в
— 3 —
виде каскадного соединения звеньев, сочленяемых между собой по
принципу согласованного включения. Характеристическое затуха-
ние каждого АС-звена в полосе пропускания строго постоянно
(без учета потерь), любое увеличение числа звеньев не вызывает,
по крайней мере теоретически, никаких неприятностей. Погреш-
ность метода обусловлена лишь условием соединения входного
звена с генератором и выходного с нагрузкой, поскольку сопро-
тивления генератора и нагрузок могут быть равны характеристи-
ческому лишь на нескольких дискретных частотах.
Для активных ДС-фильтров не существует метода, который
позволял бы расчленять схему па отдельные звенья, рассчитывае-
мые независимо одно от другого. Наиболее наглядно это прояв-
ляется при проектировании фильтров с характеристиками затуха-
ния, выражаемыми посредством полиномов. При расчете АС-филь-
тров по характеристическим параметрам этот случай соответст-
вует каскадному включению совершенно одинаковых звеньев ти-
па К- При расчете активных ДС-фильтров характеристики отдель-
ных каскадно включаемых звеньев должны подбираться таким об-
разом, чтобы добиться приблизительно постоянного затухания все-
го фильтра в пределах полосы пропускания. Поэтому, хотя актив-
ные ДС-фильтры также реализуются, как правило, в виде каскад-
ного соединения звеньев, эти звенья рассчитываются все вместе,
что, естественно, делает расчет значительно более сложным, хотя
в то же время и более строгим, за счет использования методики
синтеза по рабочим параметрам.
Процесс синтеза электрической схемы можно, как известно,
разделить на три этапа:
1)	аппроксимацию, т. е. получение математического выражения
заданной частотной зависимости затухания:
2)	реализацию, т. е. составление соответствующей этому выра-
жению идеализированной электрической схемы;
3)	составление реальной электрической схемы, учитывающей
неидеальность схемных элементов, наличие источников питания,
цепей подачи смещения, введение дополнительных элементов с
целью компенсации температурных зависимостей, целесообразный
выбор величин схемных элементов с целью получения минималь-
ных габаритов, минимальной чувствительности цепи к изменениям
величин элементов и т. д.
Решению этих задач для активных /?С-филыгров и посвящена
данная книга.
Первый этап синтеза — аппроксимация — в рассматриваемом
случае активных /?С-фильтров может основываться на математи-
ческом аппарате теории наилучшего приближения функций, на-
шедшем довольно широкое применение при решении задачи син-
теза АС-фильтров по рабочим параметрам [5,25]. Этот аппарат при
проектировании АС-фильтров мог казаться излишней роскошью,
поскольку давал довольно скромную экономию в числе схемных
элементов пои непропорционально большом усложнении расчетов.
— 4 —
При синтезе активных /?С-фильтров он становится необходи-
мостью, а использование электронных вычислительных машин и
построенных с их помощью расчетных таблиц позволяет сократить
трудоемкость расчета.
Второй этап синтеза — реализация -- в случае активных
фильтров связи со значительно большей неоднозначностью ре-
шения, чем для ЕС-схем.
В настоящее время существует большое количество вариантов
схемных решений, которые можно сгруппировать в четыре основ-
ные вида схем на основе:
— конверторов (преобразователей) отрицательного сопротив-
ления;
— гираторов;
— усилителей с ограниченным коэффициентом усиления (с по-
ложительной обратной связью);
— операционных усилителей.
В книге уделяется основное внимание прежде влго схемам
на основе усилителей с ограниченным коэффициентом усиления.
Достоинством этих схем является их экономичность и достаточно
высокая стабильность при условии не слишком сложных требо-
ваний по избирательности. В случае высоких требований к изби-
рательности фильтра целесообразно использовать схемы на опера-
ционных усилителях. Схемам на преобразователях отрицательно-
го сопротивления и гираторах уделено меньшее внимание. Кроме
того, есть небольшой раздел, посвященный пассивным /?С.цепям, а
также приведены соображения по проектированию активных
RC фазовых и амплитудных выравнивателей.
Главы 1, 2 (за исключением разд. 2.7, 2.9), разд. 3.5, 6.5, 7.4
и 7.5, приложения 1 и 4 написаны А. Е. Знаменским. Главы 4, 5
и 6 (за исключением разд. 6.3, 6.5), разд. 7.2, 7.3, приложение 2
написаны И. Н. Теплюком. Глава 3 (за исключением разд. 3.5),
разд. 2.7, 2.9, 6.3, 7.1 и приложение 3 написаны авторами сов-
местно.
Авторы выражают глубокую благодарность руководителю сек-
ции теории электрических цепей Ленинградского отделения НТО
им. А. С. Попова проф. А. Ф. Белецкому за ценные советы, рецен-
зентам кандидатам техн, наук Я. А. Собенину и Г. Л. Хазанову за
замечания, позволившие улучшить материал книги, Е. Д. Зыковой,
3. Е. Кутузовой, Н. Д. Морозу, С. К. Сивкову и А. М. Штромбергу
за помощь в проведении необходимых расчетов и экспериментов,
а также Л. Л. Самуриной за тщательное редактирование книги.
1
ГЛАВА
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. Введение
Задача аппроксимации, являющаяся первым этапом синтеза элек-
трической цепи, сводится к получению математического выраже-
ния модуля коэффициента передачи, а в тех случаях, когда зада-
на еще и фазовая характеристика, — и его аргумента. Однако
далеко не всякое математическое выражение будет соответство-
вать физически реализуемой электрической цепи. Кроме того, да-
же при заведомо физически реализуемых функциях для более ус-
пешного решения задачи аппроксимации нужно знать, какое рас-
положение полюсов и нулей приводит к более легкой реализации.
Поэтому рассмотрению вопросов аппроксимации должно предше-
ствовать изучение свойств передаточных функций и техники их
реализации.
Рассмотрение условий физической реализуемости и некоторых
вопросов реализации и составляет содержание этой главы. По-
скольку приводимые соотношения, как правило, известны, они
даются без доказательств, с которыми можно ознакомиться по ли-
тературе [3, 5, 7].
1.2. Ограничения, налагаемые на функции
физически реализуемых цепей
Электрические цепи, которые либо являются пассивными, т. е.
не содержат источников энергии, либо содержат активные схем-
ные элементы, но не склонны к самовозбуждению, называются
устойчивыми цепями (иногда
Рис. 1.1. Пассивная 7?С-цепь
употребляется термин «цепи с
неавтономными источниками»
тока или напряжения). Рас-
смотрим в качестве примера
простую /?С-цепь, показанную
на рис. 1.1.
— 6 —
-Выбрав направления контурных токов, получим в операторной
форме систему уравнений:
£ = Л(/?1
pCi / pCi
о —	(₽2
\
1
pCi
(1.1)
где р = о + ico — оператор или комплексная частота.
Решив систему ур-ний (1.1) относительно Л и h, найдем выра-
жения в операторной форме для входного сопротивления:
Z (р) = _£ = _А_ е =	(1.2)
Л Ди	ър + мр
где А — определитель системы (1.1); Ди — минор, полученный
путем исключения первой строки и первого столбца;
Ь2 = RiRzCjCv, bx = RiCi + RyC^ + R?Cfr ; I
аг — RaCiCt, ax = Ci + C2.	? s
Аналогично, коэффициент передачи по напряжению
Н(р) = — = —~ =----------,	(1.3)
V 7 Е ЕрСг ЕЕрС2 b2p2 + b1₽+l
где Д12 — минор, полученный путем исключения первой строки и
второго столбца.
Квадрат модуля коэффициента передачи для мнимых значений
p = i(o можно, очевидно, определить как
Н (р)Н (- р) = ------- 1 - ------- .	‘	(1.4)
ь|р4 + (2b2 — b ]) р2 + 1
Иногда при рассмотрении свойств электрических цепей исполь-
зуется также понятие входной проводимости УВх(р) =-----• В си-
2вх(р)
лу принципа дуальности свойства функций сопротивления и про-
водимости идентичны, и поэтому в ряде случаев употребляется
обобщающий термин входной «иммитанс». Аналогично при рас-
смотрении некоторых цепей удобнее пользоваться коэффициентом
передачи по току, а не по напряжению (подобные случаи будут
рассматриваться, в частности, в гл. 3). В силу того же принципа
дуальности свойства функций коэффициента передачи по току или
напряжению также идентичны.
Обобщающим для функций иммитанса и коэффициента пере-
дачи является термин «функции цепи». ,
— 7 —
Для более общего случая цепи, состоящей из п контуров, мож-
но записать систему уравнений:
ац/i + 312^2 + . . . + am/„ = Ei
а21Л + а22^2 + • . • + а2л/п = о	(15)
a„i/i + ал2724- • • • + алл7л=0 ?
Эта система может относиться как к чисто пассивной цепи, так
и к цепи, содержащей неавтономные источники энергии (усили-
тели). Все коэффициенты ур-ний (1.5) зависят только от величин
схемных элементов для сколь угодно сложных цепей, а эти вели-
чины выражаются вещественными положительными числами. Из
полученных выше соотношений можно сделать некоторые выводы
о свойствах функций устойчивых цепей.
I. Все коэффициенты выражений функций устойчивой цепи ве-
щественны и положительны. Из этого свойства вытекают след-
ствия:
1) корни полиномов числителя и знаменателя функций устой-
чивой цепи должны образовывать сопряженные комплексные пары
(частным случаем комплексной пары является пара чисто мнимых
корней) либо быть вещественными;
2) вещественные и мнимые составляющие функций цепи на оси
вещественных частот обладают соответственно четной и нечетной
симметрией относительно начала координат.
II.	Выражения функций цепи через р являются рациональны-
ми, т. е. не содержат знаков радикала.
III.	Функция квадрата модуля коэффициента передачи пассив-
ной цепи выражается только через четные степени р. Из системы
ур-ний (1.5) изображение по Лапласу тока v-ro контура можно,
очевидно, получить в виде
A(p) = (-1)/+',±LE1,	(1.6)
д
где, как и ранее, А — определитель системы уравнений; А-р —
минор.
Поскольку ур-ния (1.5) представляют собой результат преоб-
разования по Лапласу интегрально-дифференциальных уравнений,
то величину любого контурного тока можно получить путем об-
ратного преобразования по Лапласу выражения (1.6).
Решение для режима 'свободных колебаний будет иметь вид
7,	= 2 Де₽’* = 2 ДА’ (cos®t + i sin®О,
V	V
где рч=о„ +i(Ov— собственные частоты цепи (нули определите-
ля А системы).
Так как в устойчивых цепях контурные токи не могут неогра-
ниченно возрастать с течением времени, то собственные частоты
— 8 —
устойчивых цепей не могут иметь положительных вещественных
частей (о’^О). Отсюда вытекает следующее свойство.
IV.	Нули определителя устойчивой цепи не могут располагать-
ся в правой половине комплексной плоскости р. Из дальнейшего
будет видно, что близость нуля определителя А к мнимой оси
связана с чувствительностью цепи к вариациям величин схемных
элементов. Приближение нулей к мнимой оси приводит к увели-
чению чувствительности. Нули, расположенные точно на мнимой
оси плоскости р, можно получить за счет введения в пассивную
цепь источника энергии, полностью компенсирующего потери. Оче-
видно, подобная цепь будет находиться на границе самовозбуж-
дения, так как сколь угодно малое увеличение энергии, отдавае-
мой источником, приведет ее в возбужденное состояние. Поэтому
все нули., определителей технически реализуемых цепей должны
находиться на некотором удалении от мнимой оси.
Поскольку, как это видно из выражения (1.3), нули определи-
теля цепи являются полюсами коэффициента передачи Н(р), свой-
ство IV можно сформулировать еще следующим образом:
полюсы коэффициента передачи устойчивой цепи не могут рас-
полагаться в правой половине комплексной плоскости р.
Здесь целесообразно сразу же отметить, что нули коэффициен-
та передачи устойчивой цепи 'могут в общем случае располагать-
ся и в правой р-полуплоскости. Цепи, коэффициент передачи ко-
торых не имеет нулей в правой полуплоскости, называются ми-
нимально-фазовыми. Характеристики затухания и фазы ми-
нимально-фазовых цепей связаны между собой однозначной зави-
симостью. Неминимально-фазовые цепи, имеющие нули
коэффициента передачи в правой полуплоскости, обязательно дол-
жны создавать по меньшей мере два пути передачи энергии от
источника к нагрузке (см., например, рис. 2.22). Фазовый сдвиг,
вносимый неминимально-фазовой цепью, больше вносимого мини-
мально-фазовой цепью с такой же характеристикой затухания па
некоторую величину, создающую дополнительное положите л гное
время распространения.
Рассмотренные выше условия физической осуществимости от-
носятся к электрическим цепям, состоящим из пассивных линей-
ных элементов любого вида (R, L, С, М), а также источников то-
ка или напряжения. Когда ассортимент элементов электрической
цепи ограничен, в частности, в случае пассивной /?С-цепи, появ-
ляются дополнительные ограничения. Эти ограничения для функ-
ций входного сопротивления и входной проводимости сводятся к
следующему.
V.	Все нули и полюсы функций входного сопротивления и вход-
ной проводимости пассивной RC-цепи должны, чередуясь, лежать
на вещественной отрицательной полуоси плоскости р. В случае
функции сопротивления один из полюсов может расположиться в
начале координат, а один из нулей — в бесконечности. В случае
функции проводимости один из полюсов может расположиться
— 9 —
(1.8)
то, и
в ви-
(1-9)
при р = оо, а один из нулей — при р = 0. В случае функции сопро-
тивления ближайшей к началу координат особой точкой 6ydei по-
люс, в случае проводимости — нуль.
Для иллюстрации этого положения разложим функции Z(p) и
У(р)!р на простые дроби и выясним знаки коэффициентов разло»
жения. Пусть
п
П (Р + рд
!	7(р)— До + ац> + а2р2 + . . . + апрл __ an 1=i__
	b0 + Ь1Р + Ь2р2 + . . . + bmpm bm m	’	1	’
П (P + Ps)
s=l
причем tn равно либо п, либо п+1.
Разложение функции Z(p) на простые дроби будет иметь вид
m
 Л	Z{p-)^k.p~l V	 /гч,
S=1
причем первое или последнее слагаемые правой части или и
другое в частных случаях могут отсутствовать.
Коэффициент ks для s=v определится из выражения
ks = k, = Res Z (р)|р=_р^ = (р + Pv)Z(p)|p=_p^ ,
которое, после подстановки значения Z(p), представленного
де множителей, примет вид
п
П(-р. +pi)
• с k = 'А-п---------------~'
П (~РЧ + Ps) П (-Рч ~ Ps)
S= 1	5=^4-I
Если считать, что нумерация нулей и полюсов идет в направ-
лении от начала координат, то все множители вида (—р~, +р«)
при l^s^v—1 в знаменателе выражения (1.9) будут отрицатель-
ными, а все множители того же вида при v+l^s^m — положи-
тельными. Поскольку первой особой точкой, считая от начала ко-
ординат, будет полюс и поскольку нули и полюсы чередуются, чис-
ло отрицательных множителей в числителе (1.9) будет равно чис-
лу отрицательных множителей в знаменателе. В силу этого выра-
жение (1.9) в целом будет положительным.
Совершенно так же можно доказать положительность всех ко-
эффициентов разложения на простые дроби функции Y(p)lp пас-
сивной /?С-цепи:
п
=	+	(1-ю)
J... ......	р	^Jp+ Ps
V‘. •’	/ Л	'г 	'	s=l	'	\
- 10 —
Умножение обеих частей (1-10) на р дает j.i
Разложению функций Z(p) и Y(p)/p на простые дроби соответ-
ствуют две взаимно дуальные, так называемые канонические схе-
мы, показанные на рис. 1.2 а и б. Эти схемы именуются иногда
схемами Фостера. Схемы 1.2 s и г, также взаимно дуальные, име-
нуются иногда схемами Кауэра и представляют собой результат
разложения функций в непрерывную дробь. Преимущество двух
последних схем состоит в том, что для определения их элементов
по известной функции Z(p) или Y(р) не требуется решать урав-
нение высокой степени.
Рассмотрим теперь условия, налагаемые на функцию- коэффи-
циента передачи пассивной 7?С-цепи. Из выражений (1.2) для
входного сопротивления Z(p) и (1.3) для коэффициента передачи
по напряжению Н(р) видно, что в знаменатель Н(р) входит тот
же самый определитель Д, что и в числитель Z(p). Все корни это-
го определителя являются нулями функции Z(p) и лежат, как уже
установлено, на отрицательной вещественной полуоси. Функция
проводимости передачи, представляющая собой отношение выход-
^2 Ala 1
ного тока к входному напряжению гт = — =, также,
очевидно, будет обладать полюсами, расположенными на отрица-
тельной вещественной полуоси. То же относится и к функ-
— И —
ции сопротивления передачи. Отметим еще следующее дополни-
тельное ограничение. Как при р = 0, так и при р = оо цепь 7?С вы-
рождается в цепь, состоящую из одних активных сопротивлений.
}	Очевидно, такая цепь не
у*-	____________может обладать бесконечно
f 1 I	J большим усилением; други-
£& z2|j	fyfl fyuz ми словами, передаточные
|_____Т Т___________________Т { функции не могут обладать
полюсами ни при р = 0, ни
Рис. 1.3. Лестничная схема	при р = оо. Из всего ЭТОГО
вытекает следующее.
VI.	Полюсы передаточных функций пассивных RC-цепей дол-
жны быть простыми и располагаться на отрицательной вещест-
венной полуоси, исключая начало координат и бесконечность.
В общем случае не существует столь жесткого ограничения в
расположении нулей передаточной функции. В частности, функции
цепей мостового типа могут обладать комплексно-сопряженными
нулями. Нули передаточных функций лестничных схем (рис. 1.3)
являются либо полюсами импедансов продольных ветвей (гь
г3,...), либо нулями импедансов поперечных ветвей гь ..., г2и).
Отсюда можно сделать вывод:
VII.	Нули передаточной функции лестничной пассивной RC-це-
пи должны находиться на отрицательной вещественной полуоси,
включая нуль и бесконечность, и могут иметь любую кратность.
1.3, Расположение нулей и полюсов квадрата модуля
передаточной функции
При переходе от выражения для коэффициента передачи к
квадрату его модуля каждый из множителей вида (р—pv), на ко-
торые можно разложить числитель и знаменатель, умножается на
сопряженный с ним при р = 1со множитель (p + Pv)- В общем слу-
чае устойчивой цепи, когда
полюсы передаточной функ-
ции могут располагаться по
всей левой полуплоскости р,
каждой комплексно-сопряжен-
ной паре полюсов будет соот-
ветствовать такая же ком-
плексно-сопряженная пара в
правой полуплоскости. Каж-
дому вещественному полюсу
на отрицательной полуоси
будет соответствовать такой
же полюс на положительной
Рис. 1.4. Расположение нулей и полюсов
квадрата модуля передаточной функции
полуоси. Таким образом, по-
лучим пары равных по абсо-
— 12 —
лютной величине вещественных корней и четверки комплексных
попарно сопряженных (рис. 1.4). То же будет и с нулями переда-
точной функции минимально-фазовой цепи.
В случае неминимально-фазовой цепи к нулям, расположенным
в правой р-полуплоскости, при переходе к функции квадрата мо-
дуля будут добавляться равные по модулю нули, расположенные
в левой полуплоскости, в результате чего также образуются па-
ры вещественных и четверки попарно комплексно-сопряженных
нулей. Таким образом, квадрат модуля передаточной функции
может реализовываться как минимально, так и неминимально-
фазовой цепью.
Сказанное относится и к случаю пассивной ДС-цепи, полюсы
передаточной функции которой могут располагаться только на от-
рицательной вещественной полуоси.
1.4. Синтез передаточных функций пассивных RC-цепей
с отрицательными вещественными нулями
Первым этапом синтеза пассивных 7?С-цепей является пред-
ставление заданных функций передачи через Z- или ^-параметры.
Соотношения между различными видами функций передачи и z-
и ^-параметрами даны в табл. 1.1. Далее необходимо определить
ТАБЛИЦА 1.1
Схема			Выражение передаточной функции через параметры	
			Z	У
		1 и 	L	и _ г1г Е ги	= #12 £	#22
«я		й 	U	212 Е	+ гИ гн	Ц _ Ун	: . .1 Е У22 + Ун
/О		1	и -у = г12	;	U Ун	Г /	А,	.1
		1*4	и z-te I	Z22 + ZH	и = Ун Е Ду + t/ц Ун
— 13 —
Продолжение табл. 1.1
Примечание. “ гп г!г — z‘t ; гн =. —1— ; zp =—!— ; Ду =• yti уи — г/*,.
Ун	Уг
эти параметры, учитывая ограничения, вытекающие из условий
физической осуществимости.
Для параметров /у12 и 1/22 эти ограничения сводятся к следую-
щему. Функция z/22(p), представляющая собой проводимость двух-
полюсника, должна иметь только простые перемежающиеся полю-
сы и нули, расположенные на отрицательной вещественной полу-
Рис. 1.5. Схемы, поясняющие физический смысл (/-параметров четы-
рехполюсников
оси. Затем, полюсы функции г/12 должны быть одновременно по-
люсами у22. Действительно, по определению (рис. 1.5), параметр
Z/12 есть отношение тока Ц через короткозамкнутые левые зажи-
мы четырехполюсника к напряжению Е2 «а противоположной па-
ре зажимов, а параметр у22 — отношение тока Д к напряжению
£2 на той же паре зажимов.
Полюс функции yi2 соответствует бесконечно большой величи-
не тока Д, но поскольку рассматривается пассивная цепь, то ток
Д — это лишь часть общего тока Д, обусловленного напряжени-
ем £2 и поступающего в четырехполюсник. Поэтому бесконечно
большой ток /1 может иметь место лишь в том случае, если ве-
личина тока Д также будет бесконечно велика. Однако, посколь-
ку бесконечно большая величина тока Д не является достаточным
условием для того, чтобы ток Д также был бесконечно большим,
— <14 —
Ут может иметь дополнительные по отношению к у12 полюсы. То
же относится, очевидно, и к уц. Если представить функцию уа в
виде отношения двух полиномов от р:	, . .	......
Ыр)
то функция уц примет вид
Уп (Р) =
<7 (₽) ДТ5Д / [ п’О.уе’П ;
'Г:	; 1 Щ’ ПДДД ~ • X
w (р)	!<ду.:
П (Р)Р(Р) ’	Л!' ’ ' ’"'У!> ’ '
где п(р) — полином, содержащий полюсы ун, дополнительные к
полюсам ya, содержащимся в полиноме q(p); w(p) — полином
числителя ум.
Большая часть выражений передаточной функции через у- и
г-параметры, как это видно из табл. 1.1, представляет собой от-
ношение двух параметров или более сложное выражение. Напри-
мер, коэффициент передачи по напряжению для четырехполюсни-
ка, включающего в свой состав нагрузку, выражается в виде от-
ношения уи1у22- Можно подобрать достаточно большое число та-
ких пар параметров yi2 и у22) которые дадут нужное отношение. Но
для того, чтобы цепь не содержала излишних элементов, г/12 и у22.
не должны иметь общих множителей.
Поскольку четырехполюсник характеризуется в общем случае
тремя параметрами, то, даже если известны уц и у12, задача на-
хождения схемы не является еще полностью определенной. Прав-
да, неопределенность можно устранить, наложив дополнительное
условие, например, симметричности схемы (ун^узг)- Однако та-
кое условие в большинстве случаев не вызывается необходи-
мостью.
Рассмотрим синтез пассивной 7?С-схемы по известным ун и у12
(или уа и у?2, что представляет собой, по существу, то же, лишь
с изменением нумерации пар зажимов).
Первым шагом является выделение полюсов уи, не являющих-
ся одновременно полюсами у12> т. е. являющихся нулями полино-
ма п(р) в (1.11). Эти полюсы выделяются введением параллель-
ной ветви yi (рис. 1.6). Оставшаяся схема будет характеризовать-
ся параметрами	-
а)	б)
Рис. 1.6. Реализация нулей t/ц, не содержащихся в уц
— 15 —
и yi2> который не изменится в результате подключения к зажимам
1—1' проводимости ylt поскольку i/i2 определяется в режиме ко-
роткого замыкания этих зажимов (рис. 1.5а).
При дальнейшей реализации основной идеей является выделе-
ние нулей yi2- Эти нули могут реализовываться за счет выделения
либо шунтирующих ветвей вида рис. 1.7а, либо последователь-
ных— вида рис. 1.76. Однако и в том и в другом случаях выде-
ление нуля г/12 должно представлять собой одновременно выделе-
ние нуля входной проводимости уц, а эта функция может и не
zi	обладать нулем в требуе-
мой точке. Поэтому пред-
» о о_________I" I - верительным шагом в
0	"	I .1 I процедуре выделения ну-
ля Z/12 является такое
„	преобразование функции
Рис. 1.7. Реализации ветвей лестничной схемы	„птпппи
При KUIUUUM C?ld
функция приобретает
нуль в той же точке, в какой находится выделяемый нуль ук. Как
было только что отмечено, преобразовать функцию уи, одновре-
менно оставив без изменения функцию г/12, можно путем добавле-
ния или устранения ветви, параллельной зажимам 1—Г (рис. 1.6а).
ГО
Рассмотрим пример. Пусть
„ __ (р + %) (Р + 4) (р + 6)
'	'	(р + 3)(р + 5)(р + 7) ’
Р (Р+ 1)
У12 ~~ 7 Г7Г7 Г+7 '
(Р + 3) (р + 5)
Выделение полюса уц при р =—7, отсутствующего у t/12, при-
водит к появлению параллельной входу ветви с проводимостью
г> Ун
pResp=_7 —
J+7
У1 =
15
56 Р
Р + 7' ‘ Т f '
Оставшийся после выделения этой ветви четырехполюсник
(рис. 1.8) будет обладать параметрами	щ
,,	41р2 +(265р 4~ 384
У п — У и ~~ У1 =	—гдг ,—Г77
56 (р + 3) (р + о)
и исходным 1/12. Поскольку значение функции у'ц при р = — 1 рав-
5
но, как нетрудно убедиться, — , то, вычтя из Уц эту величину, что
равнозначно выделению активной проводимости, параллельной
входу, получим новый четырехполюсник с
,/ _	5	3 (р+1)(р + 4)_ /
!У1	Уп .,14	8 (р+3) (р+5)
— 16 —
и исходным г/12- Функция г/', имеет, как и угъ нуль в точке')?*1—
Выделим этот нуль за счет последовательной ветви zy.
1
Res р--1 ~
_ = __________^11
1 р-Н
64
9
Р + 1
Оставшееся сопротивление
13
_L_ _ А р+ 3
Уп	3 ₽ + 4
Теперь необходимо реализовать нуль проводимости передачи
У12, находящийся В иачале координат. Поскольку функция у"Х1 не
Рис. 1.8. Пример синтеза пассивной ЛС-цепи в виде лестничной
схемы (первый вариант реализации)
обладает таким нулем, проделаем то же, что и при выделении
9
нуля г/12 при р = — 1. Функция у"п при р = 0 равна — . Выделяя
шунтирующее активное сопротивление соответствующей величи-
ны, получим для оставшейся цепи параметр
•••> 1
Иц = ------------ .
и	,г .	104	1352	V
з + 9р ' г'
К л>-. t	Li, ym.
Полная схема синтезированной цепи показана на рис. 1.8. В
рассмотренном примере нуль проводимости передачи был выде-
лен за счет последовательной ветви, состоящей из параллельно
соединенных емкости и сопротивления. Такая ветвь создает полюс
сопротивления. Выделение нуля передачи можно выполнить также
за счет параллельной ветви, состоящей из последовательно соеди-
ненных R и С. Такая ветвь создает полюс проводимости.
Г ~
!	:лу'.5 и 1 науч ю- I
; -I и'к.ская	,-,,>тека j
Выделим нуль (передачи за счет удаления полюса проводимо-
сти для случая тех же параметров и t/12. Графики функций
уи = приведены на рис. 1.9 а, б. Для выделения нуля
передачи при р = — 1 в данном случае необходимо передвинуть в
эту точку полюс проводимости у'ц (нуль сопротивления zt). По-
скольку ближайшей к началу координат особой точкой проводи-
Рис. 1.9. Функции входных проводимостей и сопротивлений
мости, в соответствии с условиями физической осуществимости,
должен быть нуль, необходимо также передвинуть нуль проводи-
мости {/'ц, расположенный вблизи точки р== —2, в область значе-
ний р<1. Переместим этот нуль в точку р~-------Значение про-
1	193 1	56
родимости z/'j при р =-----равно — • - , где k{= - . Вычтя эту
3	328	41
величину из y\v что равнозначно выделению шунтирующей про-
водимости, получим новую функцию проводимости
„	-	193
Уп - Уч —
kl
„	64	59
(р— 3)fp4-5) kxk.
,	328
• — 18 —
1
И ^2 =	*
491
Графики функций t/"H
приведены на рис. 1.9 в, г.
Теперь нужно переместить нуль г2 из точки р = —3 в точку
р = — 1. Это перемещение можно проделать за счет частичного вы-
1
деления полюса z2 в точке р =-----, в результате которого все ну-
ли z2 будут стремиться сдвинуться к частично выделяемому полю-
су, как это показано пунктирной линией на рис. 1.9г. Разложение
функций z2 на простые дроби дает
280 П2
Zg 81	।	405	. .
kik2	1	59
р+ 3	р + 15
Частично выделив первый полюс, что физически соответствует
выделению последовательной ветви, состоящей из параллель-
ных R и С, получим функцию
30	650	112	 онщш
?з _ _z2___Н _ 891	.	405	. .	. ,
kik2 krk,	1	1	59 Ф
р+^~ -
имеющую нуль в точке р = — 1. Оставшаяся часть цей'Й'..1|меЙТ яа-
раметр
представив который в виде разложения на простые дроби  юг-
, , -	1	.	1	,649	;
k\k2th\ —-------------;------------------- --- ,	!	’
405 , 405	3807	178929	2115	; ‘
242 Г 242р	364 + 4004р.
получим окончательную схему синтезируемой цепи, показанную на
рис. 1.10.
Сопоставление схем, представленных на рис. 1.8 и 1.10, пока-
зывает, что для построения второй из них требуются четыре ем-
кости вместо трех и шесть сопротивлений вместо пяти в первом
случае. При р = 0 обе цепи имеют нуль передачи, поэтому для со-
поставления их по постоянному коэффициенту, добавляющемуся к
z/i2 в процессе синтеза, целесообразно сравнить величины у а для
обеих цепей при р = оо. В режиме короткого замыкания со сторо-
ны левых зажимов в обеих схемах шунтируются все сопротивле-
ния, кроме крайнего справа. Таким образом, в обоих случаях ве-
— 19 —
±15_
392
I	ii—if-
1 u-L
\j193 *1 I 30'k.k,
I 1
П---------
।
I -L^42 /
900к 1 3807 л Л.
178929^k2 3G9^Z
S.2И5 k .
~^9k<k2
ki~ 4/
,_328
*2 135
Рис. 1.10. Пример синтеза пассивной А?С-цепи в виде лестничной схе-
мы (второй вариант реализации)
личина уа при р = оо определяется только величинами этих край-
них сопротивлений и оказывается почти одинаковой, равной при-
мерно 0,03.
1.5. Синтез передаточных функций с комплексными
нулями (метод Дашера)
Если передаточная функция пассивной ДС-цепи обладает ком-
плексными нулями в левой р-полуплоскости, ее нельзя реализо-
вать в виде лестничной схемы, и методика, описанная в предыду-
щем параграфе, неприменима. В этом случае можно воспользо-
ваться методом Дашера. Рассмотрим его на примере сравнитель-
но простой функции, поскольку, во-первых, при высокой степени
полиномов вычисления становятся достаточно сложными и, во-
вторых, при реализации пассивных ДС-цепей в качестве составных
элементов активных ДС-фильтров не приходится иметь дело с
функциями высоких порядков, так как активные фильтры реали-
зуются, как правило, в виде
Рис. 1.11. Реализация сложной
/?С-цепи в виде каскадного соеди-
нения двух более простых цепей
каскадного соединения звеньев.
Кроме того, в ряде случаев су-
ществует возможность упростить
синтез, понизив порядок реализуе-
мой функции посредством разбие-
ния сложной цепи на две или не-
сколько более простых цепей, вклю-
ченных каскадно. Метод Дашера
рассматривается здесь весьма крат-
ко; при необходимости более пол-
ного ознакомления с этим методом
можно рекомендовать [24].
На рис. 1.11 представлена некоторая сложная цепь, разделен-
ная на два каскадно включенных четырехполюсника А и Б. В
свою очередь, четырехполюсник Б состоит из четырехполюсника
— 20 —
Б' и его нагрузки 7?н. Воспользовавшись обозначениями рис. 1.1!
и табл. 1.1, можно записать: /2 =	^12 = ^1---,
#22а + У11Б
откуда
У12 — Уп — 'ГД
£,=0
^12^21 Б _ У12АУ12Б
У22а+^11Б
(1-12)
В качестве примера реализации рассмотрим функцию, исполь-
зуемую в гл. 6 при одном из способов построения активных /?С-
фильтров:
Н (п\ D (р2Л2а1Р + о>2)(р2 + 2а2р +с»2)
“a (Р) = У12ЛН — —-———-—утту—:—;——
1 (Р Т.61)_(р + 62) (Р + 01) (Р Д- Иг)
полюсы которой удовлетворяют условиям:
61 = усоь 62 = — ®1
:	У
1
01 = у®2,	< 02 — ---• ®2
У
(1-13)
(1.14)
Такой выбор полюсов функции Н2(р) обусловлен требованием
абсолютной устойчивости усилителя с обратной связью [23].
Если разделить числитель и знаменатель (1.13) на один и тот
же полином [р2+ (01 +02)Р4~]2 и сопоставить полученное выра-
жение с (1.12), с точностью до постоянного множителя получим:
р2 + 2аг р + <о|	
,	&12А ~~	,	(1.15)
£ [р2 + (ст1 + CTs) Р + W2I	
i	Р2 + 2оц р + fflf	
У12Б „	0 ’	(1.16)
-НТ -»!• i	р2 + (Щ + <Т2) Р + со|	ч < 	
Р2 (61 + б2) Р + cof	
&22А ~ &11 Б —	.	,	, х	2 ' Р2 + (th-Wp + 0*2	(117)
Знаменатель каждого из этих выражений после	подстановки
значений о4 и а2 из (1.14) примет вид	
р2 + (01 + О2) р + ®2 — (р + у®2)
(р + —^
\ Y /
(1-18)
Из (1.18) видно, что полюсы у^ У ив и р22А> как и полюсы у а,
располагаются на отрицательной вещественной полуоси плоско-
сти р.
Реализуем прежде всего четырехполюсник А. С целью упро-
щения дальнейшей процедуры выделим из Раал последовательное
сопротивление-------- =1. Это даст возможность иметь дело с
г/мА (°°)
— 21 —
реализацией дробной функции, являющейся отношением полино-
ма второй степени к полиному первой степени, а не двух квадра-
тичных функций:
	1	Р2 - (61 -Г 62) Р + со?
«22А = -------- ---------------------------------- • Д'' +
J:	____!_ _ 1	(01 + О2 — 61 — б2) р + ( СО? — со?)
&22А
Для четырехполюсника, оставшегося после выделения z/22a(°°)>
можно получить новую функцию
9;!А =______________=----------<g+2°*',+"j)-----------. (1.20)
(g|	j  У22А	+
У22А (°°)
Для того чтобы перейти к конструированию звена, создающего
нуль передачи, при использовании метода Дашера необходимо
сначала получить такую функцию г/22, произведение нулей которой
равно произведению нулей соответствующей функции уц. Функция
(1.19) этому условию не удовлетворяет. Можно, однако, получить
функцию требуемого вида, частично устранив полюс в бесконечно-
сти посредством вычитания .из у^А проводимости параллельной
емкости и-.че-.- ц. •	“! ЦОНЮИ-'Г. <
14	О	О	* ,
 i - с	<0^ — СО)	<-	.
' V' .	' (WiСТа — di — d2) coj ' ‘	' j >
Получим ! ‘	. / ,у
У22А — У22А — рС —
(щ 4- О2)2 <01 — (С02 + С01) ( со? — СО?)
р2 ~1------------~	---------------- Р+«? (Л2
___	(61 + 62) mi___________________д
СО?
(щ + а2 — 61 — 62)р +	— и?
Легко убедиться в том, что произведения нулей полученной
функции У22А и функции (1.20) равны. В других случаях выпол-
нение этого условия достигается частичным устранением значения
проводимости при нулевой частоте (параллельного сопротивле-
ния). Разложение функции на простые дроби в соответствии
с методикой, изложенной в разд. 1.3, дает
<в?	( co?(oi + o2 — <3i — 62)
'' ' h. f/22A = —Д--------------------	;-----Z---------Ь
<£>2(01 -г О2 — 61 — 62) (	й>2 — <0f
' У "	<0i (Oi + О2)2—(<02 + <0i) (<Й2 — СО?)	СО? — <0? I '
(6i + б2) coi	О1 + о2 — 61 — бг	)
со? (01 о2 — 61 — 62)
Р
(1.21)
2	2
«2 “ Wj
— 22 —
2	2
^>2
с?! 4“ ^2 — — ^2
Подобное же разложение функции р12А дает
<о| (СГ1 + ст2 — 61 — б2)
У12А = ' ' , я----------Г" 1-------2	2	'
01 + П2 — 01 — 02	й>2 — °1
со|((Т1 Ц- (Т2 —* 61	6а)
2	2
o2 — ш 1
<Т1 + <Т2 — 61 — 62
2	2
tt>2 — “1
Р
2	2
°2 “ °1
01 + П2 — 61 — 62
ър —
(1-22)
Для дальнейшей процедуры синтеза целесообразно воспользо-
аться справочными данными табл. 1.2. Схема в верхней части
ТАБЛИЦ A l.fr
(Р — Pd) (Р — Р02) Ро1 = — а0-ь i ро = со0 е1 ®«;
---------------------- При
Р + а	р02 = — а0 — i ро = (00 е~ 1 0*
—|
Р22 = 4> р 4
— — 2а0 ——
я» / р+°о J
'	Р12 =
2
®0
сг0 4- ф- 2а0
ffo
Уи = do
Р
Р + °0
/	^2	\
(On	/	®0	1	р
p + -L^a <т,+ 7Г-2а0 "Г
сто	\	ао	/	Р -Ь
’А = ^»0+а) °	°; ga =<тоса ;
,	®0
'Б ~ 0 + а) о” ’
°0
С А. —	;
4, (1 + а) (cog — 2а (Тр + ст2)
°0
Gg = d0 (2а0 (То)
— 23 —
таблицы иллюстрирует процедуру синтеза по Дашеру пассивного
7?С-звена, реализующего комплексную пару нулей. Две другие схе-
мы, помещенные в нижней части табл. 1.2, представляют собой
мостовые схемы, эквивалентные первой, но не содержащие отри-
цательных элементов. Для того чтобы определить величины эле-
ментов одной из мостовых схем, необходимо знать ао, оо, а>о> а и do,
которые можно найти путем сопоставления выражений для t/22 и
у а, приведенных в табл. 1.2 и в (1.21) и (1.22). При этом необ-
ходимо учитывать, что функция реализуется нами лишь с
точностью до постоянного множителя. Поступая таким образом,
находим:
C0Q — (02, • ®о — ®2>	!
о л £ ..	2	2
Ю2 ~ М1	М2 4- Ml _ М2 ~ ®1
Щ + сга —	,1 щ +
; Y+
®j(<71 + Из — 61 — 62)
„/ 1 \
®2 I^Y + ~^	— ®1)
(02
(То + -—— 2а2
 g0
2
2
1 A
Y /
<7о
Схема полученной цепи
А показана в
правой части рис. 1.12.
Рис. 1.12. Пример синтеза пассивной 7?С-цепи по методу Дашера
Реализация четырехполюсника Б по заданным его функциям
гДав (1-16) и z/ub (1.17) представляет собой несколько более слож-
ную задачу в силу того, что этот четырехполюсник должен окан-
чиваться сопротивлением Дп- Функция входной проводимости г/ив
должна представлять собой отношение квадратичных полиномов.
Известно, что реализуемая в виде пассивной 7?С-цепи, обладаю-
щей заданными попарно сопряженными нулями передачи, функ-
ция уив должна удовлетворять уравнению [24]:
— 24 —
где значения oe(ov), k0, kx, ks определяются из соотношений:
п
=	7 + *-	(1-24>
P + ^s
rSwl
Ps= Pi +(°rs—ai)2>	U-25)
Pi и a; — мнимая и вещественная составляющие реализуемо-
го нуля передачи.
При выполнении условий £<» —0; п = 2; ш,= а>2 ур-ние (1.23)
после преобразований приобретает вид
c(W2 (<т2 — <Т1) (щ — ст2 — (о,)
fel P2^kia2 P*
(1-26)
где ki, k2 — вычеты функции г/цв при p = oi, /2 = 02, соответствен-
но; k*0 — то же, при р = 0; знак * введен, чтобы обратить внима-
ние на то, что речь идет о требуемой величине k0.
-Разложим функцию г/нв (1.17) на простые дроби:
_ k ! I	kip , ktp	0)2	, (Щ — 61) (б2 — ffl) Р ,
ин ° ’Г	+	w2 О1(<т2—(Т1)	p +	ffi
(^2 ' 61) (Ч2	621 Р	, э:	/1 27)
а2 (<т2 — 01) р 4- ч2 ’
Подставляя значения вычетов kr и k2 в (1.26), получим:
«СО?	1	со?
k0 = 4---------------Ц----------< 4 = k0,	(1.28)
®2 1 + X------------------- ®2
'	(<J2 — Hi) (°Щ2 — 6Л)	•	:
X —	+ d2 — 2ai) ff2Piffi (61 + 62 — 2ц1)	Q (1 29)
“	(a« — di)(os — да) , (oi-6i)(68-.0i)	: ’
если
$1 < ел < 6а < <т2, Si + ба 2<Х1.	1 ; (1.30)
: г ; ,
Для выполнения условия (1.26) выделим из функции уиъ про-
водимость
Y0 = ^-^k0-ko.	(1.31)
А#	‘ '
Оставшаяся функция проводимости у'пв *=Уив—Ро поддается
реализации описанным выше способом.
— 25 —
Полная схема цепи, реализующей заданную (1.13) функцию
передачи, представлена на рис. 1.12. Элеменш четырехполюсни-
ка Б, помещенного в левой части рис. 1.12, определяются с по-
мощью формул:
л 1 g* + 6M
Л1 =
Г.
*M gl . “1
Ьм Pl
af
7Г + Pi .
O=—-------,
g* a 
Pm + pl
ai — о
Pi
Ах а
(о — ai + i ф)2.
(ai—a)2+ P? .
, Д = — В---------------- , оя
a
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)

B = — (
2 \
g* + i b „ —
, Д’,
1М
< ’ A —------.	, ?ф’ И-.уда (1.36)
/11 “t“ /19
!'b- f •ПЛПМу.Ю	o ..n jj«in '*>T -.......
'	«1 + P?
.	‘vw , 0.37)
; af + pf ^a(a-2ai) яян-’ Ь
'	9= -2 CT((T~2-ai)------,	(1-38)
a, + pf + a (<r — 2ai) H’ “ <\
&M = Irn[
1 *	' h Tm Г1B1
' b- =Im HvrL_ _•
Цепь такого вида используется в качестве элемента активного
7?С-фильтра при одном из способов реализации (см. разд. 6.5).
1.6. Синтез передаточных функций с комплексными
нулями (метод Гиллемина)
Рассмотренные способы синтеза 7?С-цепей, в том числе и метод
Дашера, приводили к схемам, которые можно рассматривать как
каскадное соединение ряда простых четырехполюсников. Эти схе-
мы нельзя использовать для построения цепей неминимально-фа-
зового типа, обладающих нулями в правой полуплоскости. Подоб-
ные цепи могут строиться в виде параллельно соединяемых четы-
рехполюсников, образующих два или несколько параллельных пу-
тей тока от генератора к нагрузке. Рассматриваемый ниже метод
— 26 —
пригоден для синтеза пассивных 7?С-цепей, обладающих комплекс-
но-сопряженными нулями в правой р-полуплоскости.
Если необходимо реализовать пару функций уи=-^^- и
2 ,	п
и,.— а°+а1Р+а.2-р 1 -+а'1Р . в виде пассивной /?С-цепи, то, помимо вы-
»12	Q(p)
полнения общих требований физической осуществимости, метод
требует еще положительности всех коэффициентов в числителе уа,.
Это требование, к сожалению, исключает из числа реализуемых
фазовыравниватель первого порядка с коэффициентом передачи
вида
Р —а
р + а
нуль которого лежит на положительной вещественной полуоси.
Коэффициенты числителя функций у а, обладающих нулями в пра-
вой р-полуплоскости, но вне вещественной оси, можно сделать по-
ложительными путем умножения числителя и знаменателя на со-
ответствующий многочлен с отрицательными вещественными
корнями.
Применение метода рассмотрим на примере. Пусть заданы:
У11 = (Р +>)_(Р±±з) ,	(1.39)
л-йи	(р + а2)(р + а4)
j/12 = _Pi±P+^	(1.40)
(р + а2)(р + а4)
где, в соответствии с условиями физической осуществимости,
0<ai<a2<a3<a4.
Синтез электрической цепи проводится в несколько этапов.
1. Функция у 12 записывается как сумма функций, каждая из
которых реализуется в виде ветви результирующей схемы. Числи-
тель каждой из простых функций, на которые разбивается уи, дол-
жен состоять из двух слагаемых, если полином числителя у\2 име-
ет четную степень; если степень полинома нечетная, одно из сла-
гаемых будет состоять из одного члена. Таким образом,
у]2 = Ра р Р + а3 .
(р -|- а2) (р + а4) (р + а2) (р + а4)
2. По методике, изложенной в разд. 1.4, определяется цепь,
реализующая функции:
_ Р + а3	_ (Р + ai) (р + а3)	? t
12А (p-р а2) (р + а4)’	11А	(р+а2)(р + а4)
Разложение функции — на простые дроби дает
L =	।______1»—р 1,
уи р+ ai Р -fag	 ггг-г :
— 27 —
о (а2—ai)(a4—ai) „ _ (а2 — а3) (а4 — а3)	Щ ,iO
где а5 —----------------ав —-------------------.
Эз — Э1	31 — З3
Это разложение позволяет реализовать нули передачи (г/1гд)
как при р = —а3, так и при р=оо. Первый нуль реализуется за
Рис. 1.13. Пример синтеза пассивной /?С-цепи по методу Гиллемина
счет параллельного соединения 7? и С в продольной ветви, вто-
рой — за счет емкости в шунтирующей ветви. Схема цепи пока-
зана на рис. 1.13а.
3.	Второй четырехполюсник, характеризуемый функциями:
Р2----	(1.41)
У12Б (Р + Ь2)_(р + Ь4) ’
(р + bl) (р + Ь3)
11Б (р + Ь2) (р 4- ь4) ’
(1.42)
где bv = av, для v = l, 2, 3, 4 обладает двумя нулями передачи в
начале координат. Такие нули, в соответствии с изложенной в
разд. 1.4 методикой, реализуются с помощью емкостей в последо-
вательных ветвях. Простейшей процедурой получения электриче-
ской схемы является в данном случае разложение функции вход-
ной проводимости (1.42) в цепную дробь:	s vy,, ;
,	= bib3 __________________1_______________
11Б b2b4 Ь2Ь4 1
, • . ь»р ь«	1
Ь? , Ь7Ь8
ь8+ --------
р
где
Схема цепи показана на рис. 1.136.
— 28 —
4.	Исследуем соответствие реализованных цепей исходным зна-
чениям 2/12А и У12 б •
Реализованная первой цепью функция Уна имеет при нулевой
частоте значение -1 аз , что соответствует заданной исходной функ-
ции 1/12А- Значение функции с/12б для второй цепи на бесконечно
большой частоте составляет не единицу, как должно быть по
(1.41), а некоторую величину /<б , формула для которой не при-
водится, так как она выражается через коэффициенты bv доволь-
но сложным способом.
5.	Теперь необходимо определить установочные множители Lv
уровня полной проводимости, поскольку каждый из параллельно
включаемых четырехполюсников реализует свою функцию ylzv
только с точностью до постоянного множителя. Уровень полной
проводимости каждого звена устанавливается умножением на со-
ответствующий коэффициент Lv, который определяется из условий:
2Х = 1,	(1-43)
^a = £bWb = • • •	(1-44)
где Av — постоянный множитель при ylZv реализованной цепи.
В рассматриваемом конкретном случае, как было выяснено
выше, Ад=1, поэтому имеем:
^А 4* ^"Б =	^А ~	;
Из полученной системы уравнений находим:
Окончательно произведение KL, представляющее собой коэф-
фициент усиления для yiZ, определится следующим образом:
—Lr<1-	Де
1+КБ	-.-«ж уЧ
6.	Для установления окончательных уровней полной проводи-
мости каждой из лестничных схем необходимо все сопротивления
цепи А разделить, а все емкости умножить на величину La; ана-
логично следует поступить и с цепью Б. Полученная таким путем
полная схема цепи, представляющая собой параллельное соеди-
нение четырехполюсников А и Б, показана на рис. 1.1 Зе.
- 	2	-
ГЛАВА
АППРОКСИМАЦИЯ
2.1. Основные требования к характеристикам
электрических фильтров. Нормирование
Под электрическим фильтром понимается устройство, пропускаю-
щее электрические колебания одних частот и задерживающее ко-
лебания других частот. Область частот, пропускаемых электриче-
ским фильтром, именуется полосой пропускания. Область частот,
задерживаемых фильтром, называется полосой задерживания.
Между полосой пропускания и полосой задерживания лежит пе-
реходная область (рис. 2.1).
В пределах полосы пропускания коэффициент передачи Я(1и),
под которым будем понимать отношение выходной величины (то-
ка или напряжения) к входной, должен быть постоянен по моду-
Рис. 2.1. Полоса пропускания, переход-
ная область и полоса задерживания
фильтра
Рис. 2.2. Классификация фильтров по
взаимному расположению полосы
пропускания и полосы задерживания
лю и равен некоторой величине Но с заданной степенью точности.
В пределах полосы задерживания коэффициент передачи (по мо-
дулю) не должен превосходить некоторого наперед заданного ус-
ловиями задачи значения. Другими словами, в полосе задержива-
ния требуется обеспечить заданное затухание. Наконец, в пере-
ходной области коэффициент передачи некоторым образом изме-
няется от значения, допустимого в полосе пропускания до значе-
ния, требуемого в полосе задерживания.
— 30 —
В зависимости от взаимного расположения полосы пропуска-
ния и полосы задерживания различают (рис. 2.2):
—	фильтры нижних частот (ФНЧ);
—	фильтры верхних частот (ФВЧ);	,-л
—	полоонопропускающие фильтры (ПФ}-,	-	<
—	полоснозадерживающие фильтры (ПЗФ).
Требования к модулю коэффициента передачи на разных уча-
стках полосы задерживания могут быть различными. Они должны
выполняться при заданных значениях внутреннего сопротивления
эквивалентного генератора на входе и нагрузки на выходе. Прак-
тически все существующие расчетные методы основаны на пред-
положении чисто активных и постоянных сопротивлений генерато-
ра и нагрузки, включая, как предельные случаи, нулевые и беско-
нечно большие сопротивления (идеальные генераторы тока или
напряжения на входе, холостой ход или короткое замыкание на
выхлле').
Помимо требований к модулю коэффициента передачи в неко-
торых случаях предъявляются те или иные требования к аргу-
менту этого коэффициента, т. е. к фазовой характеристике. Могут
также предъявляться требования к коэффициенту отражения по
входу и выходу фильтра. Эти требования практически обоснова-
ны, как правило, только в тех случаях, когда фильтр стыкуется
с электрически длинными линиями или с устройствами, входное
сопротивление которых зависит от частоты.
Далее оговариваются требования к допустимой величине нели-
нейных искажений. Эти требования бывают более высокими в тех
случаях, когда фильтр является частью многоканального тракта
передачи. Особенно существенными при использовании активных
фильтров являются требования к стабильности их характеристик
с течением времени, при изменении температуры окружающей сре-
ды, напряжения источников питания и т. д.
И, наконец, имеются требования в отношении веса, габаритов,
потребляемой мощности, стойкости к механическим воздействиям,
пониженному атмосферному давлению и т. д.
Среди всех перечисленных требований основными, определяе-
мыми непосредственным назначением фильтра, являются требо-
вания к его избирательности. Исходя, прежде всего, из этих тре-
бований, решают первую часть общей задачи синтеза электриче-
ских фильтров—аппроксимацию.
В соответствии с изложенным задача аппроксимации состоит
в том, чтобы получить некоторую функцию частоты Н (ia>}, модуль
которой удовлетворял бы требованиям, предъявляемым к модулю
коэффициента передачи фильтра.
Если затухание фильтра в пределах полосы пропускания при-
близительно постоянно, другими словами, коэффициент передачи
в этой полосе приблизительно равен некоторой постоянной величи-
не Но, то выражение для относительного затухания фильтра в об-
щем случае можно представить в виде	•	. - 1
— 31 —
- a = 201g —= lOlgU + Ap(ico)], дб,	(2.1)
\H (1 co) |
где 82 — коэффициент, характеризующий степень постоянства за-
тухания (усиления) в полосе пропускания в зависимости от часто-
ты; <p(ico) — функция фильтрации, для которой желательно зна-
чения, близкие к нулю в полосе пропускания и как можно боль-
шие в полосе задерживания.
Функция фильтрации в общем случае может быть дробь >й, а
по условиям задачи, как это можно, в частности, заключи-'из
(2.1), в ее выражение через со должны входить только четные сте-
пени. В силу этого функцию cp(ico) можно представить в общем
случае как квадрат модуля некоторой дробной функции от ico:
(p = -L|1h(i0))|2^ —.	(2.2)
Le* m 71 e2 |f (ico) e2 f (i Co) £(-i Co)
С учетом (2.2) выражение, стоящее под знаком логарифма в
(2.1), можно представить в виде
1 + е2<р(iсо) = 1 + AIito)/t-(~ito) .	(2.3)
1	f(ico)f(-ico)
Переходя к комплексному параметру р, после приведения л
общему знаменателю получим
1 + е2ф (i со) =	+	= gW-gj-P) (2 4)
f(p)f(-p)	ff(p)f(-p) •
Из (2.4) и (2.1) следует
н(р) . i (.р) I	с,
М:) g (р) ‘	'	' ’ '
Корни полинома g(p) равны корням характеристического урав-
нения системы и соответствуют частотам свободных колебаний,
которые могут возникнуть при переходных процессах. Поэтому
будем называть g(p) характеристическим полиномом.
Естественно, вещественная часть корней g(p) должна быть отри-
цательной.
Известные в инженерной практике способы получения функции
фильтрации ср (а значит, и функции передачи Я(1со)] фильтра
удобно классифицировать по критерию аппроксимации амплитуд-
но-частотных характеристик:
—	равноволновое (равномерно колебательное) приближение в
полосе пропускания и в полосе задерживания;
—	равноволновое приближение в полосе пропускания;
—	максимально плоское приближение в полосе пропускания.
В двух последних случаях затухание в полосе задерживания
монотонно возрастает с удалением от граничной частоты.
В качестве функции фильтрации может использоваться весьма
большое число видов полиномов и дробей (см., например, [8]). Ни-
же рассматвиваются лишь наиболее часто употребляющиеся-
— 32 —
Перед тем как перейти к рассмотрению аппроксимирующих
функций, необходимо сделать замечание, касающееся нормирова-
ния расчета. В теории фильтров общепринято так называемое нор-
мирование по частоте, приводящее расчет различного типа фильт-
ров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, ПЗФ), работающих на различных частотах,
к расчету фильтра вполне определенного типа, с определенной ча-
стотой среза. В качестве такого нормированного фильтра прини-
мается фильтр нижних частот, имеющий угловую частоту среза <оь
Этот нормированный фильтр будем именовать прототипом.
При изображении характеристик фильтра-прототипа по оси абс-
цисс откладывается нормированная частота П=— . Очевидно,
граничной частотой полосы пропускания прототипа является нор-
мированная частота Q=l.
До сих пор принималось p = i(o. В дальнейшем такое же обо-
значение (р) будем использовать для комплексного параметра и
в случаях нормированной частоты, т. е. будем полагать p = iQ.
Переход от прототипа к фильтру с частотой среза to = k рад!сек.
осуществляется делением на k величин всех реактивных элемен-
тов, в данном случае — емкостей. Переход от низкочастотного
прототипа к требуемому типу фильтра осуществляется путем пре-
образования частоты. Такие преобразования, достаточно хорошо
известные для LC-фильтров [5], [13], [21], могут с успехом приме-
няться и в случае активных ^С-фильтров. Применение преобра-
зования частоты в расчете активных фильтров рассмотрено ниже,
в разд. 2.6, 2.7.
При расчете LC-фильтров используется также нормирование по
сопротивлению, выражающееся в том, что нагрузочное сопротив-
ление принимается равным единице. Такое нормирование может,
в принципе, использоваться и в расчете активных /?С-фильтров.
Однако здесь более целесообразно нормировать не относительно
сопротивления нагрузки, а относительно одного из сопротивлений
фильтрового звена. Нормирование по сопротивлению относительно
нагрузки в данном случае нецелесообразно по той причине, что
активные фильтры, как правило, реализуются в виде каскадного
соединения звеньев, имеющих весьма большие входные и весьма
малые выходные сопротивления или наоборот.
Нормированные емкости и сопротивления в дальнейшем обо-
значаются соответственно через С i\ R, ненормированные — че-
рез С и R, нормирующее сопротивление — через /?д.
2.2. Полином Чебышева	'•
Из полиномов в качестве функции фильтрации чаще всего ис-
пользуются полиномы Чебышева и Баттерворта. Первый из них
обеспечивает равноволновое приближение в полосе пропускания,
второй — максимально плоское или монотонное. Полином Чебы-
шева в тригонометрической форме имеет вид
2—156	— 33 —
Tn (x) = cos (n arc cos x).	(2.6)
Очевидно, Ti(x)=x, T2(x)=2x2—1 и т. д. Выражения полино-
мов Чебышева для п от единицы до десяти приводятся в табл. П1.1
(приложение 1). Для определения полиномов с произвольным п
можно пользоваться рекуррентной формулой:
Тп+Х (х) = 2хТп(х)-Тп^(х).
Например,	(
Т3(х) = 2х(2х2— 1) — х = 4х3— Зх.
Функция ТДх) при изменении х от —1 до +1 изменяется в
пределах от —1 до +1, переходя через нуль п раз и принимая
.крайние значения, поочередно —1 или +1, /г+1 раз.
Поскольку функции arc cos х при значениях | х | >1 не сущест-
вует, для указанных значений аргумента применяется выражение
Тп (х) = ch (/г Ar ch х),	(2.7)
которое легко получить из (2.6), используя связь тригонометриче-
ских и гиперболических функций. При значениях х>4 все поли-
номы Гп(х) положительны; при значениях х<—1 полиномы чет-
ных степеней положительны, нечетных степеней — отрицательны.
За пределами интервала —1<х< + 1 функция | Тп'(х) | монотон-
но растет. Доказано [5, 8], что никакой другой полином той же
степени, модульное значение которого в пределах изменения х от
—1 до +1 не превышало бы единицу, не может за пределами ин-
тервала — 1<х<1 принимать значения, большие по абсолютной
величине, чем полином Чебышева. Это свойство полиномов Чебы-
шева и объясняет их исключительно широкое применение при
расчете фильтров.
Поскольку полином Чебышева может принимать отрицатель-
ные значения, в выражение (2.1) в качестве функции фильтрации
подставляется квадрат полинома. В этом случае выражение (2.1)
принимает вид
I	а= 101g[l +е2^(Й)].	(2.8)
У прототипа с такой характеристикой полоса пропускания бу-
дет от £2 = 0 до £2=1, переходная область и полоса задержива-
ния — от £2=1 до £2 = 00.
Минимальная величина относительного затухания а в полосе
пропускания будет, очевидно, равна нулю, максимальная величи-
на в той же полосе —
а = 101g(l + е2),
неравномерность затухания Да в полосе пропускания также будет
равна 10 ig (1+е2), откуда
е2 = 1о°-1Л“— 1.	(2.9)
— 34 —
Характеристики относительного затухания в полосе задержи-
вания, обеспечиваемые электрическими фильтрами-прототипами,
рассчитанными с помощью
и представлены на рис.
П2.1 (приложение 2).
Характер изменения за-
тухания в полосе пропус-
кания фильтров, рассчи-
танных с помощью поли-
номов Чебышева с раз-
личными п, показан на
рис. 2.3.
Поскольку реализа-
ция активных фильтров
производится, как прави-
ло, каскадным соедине-
нием звеньев, необходи-
мо представить выраже-
ние (2.8) в виде множи-
телей. Известно, что не
существуют и принципи-
ально не могут сущест-
вовать формулы для оп-
ределения значений кор-
ней полиномов общего
вида выше четвертой сте-
пени. Однако для поли-
номов вида 1+е27'2(П),
которые можно выразить
простым способом через
тригонометрические функ-
ции, такая формула из-
вестна. Она имеет вид
£5]:
полиномов Чебышева с различными п
Рис. 2.3. Характер изменения затухания в по-
лосе пропускания чебышевских полиномиаль-
ных фильтров '
.2m — 1	, / 1 .	, 1 \ ,
рт = + sin---------л sh — Ar sh — +
2ft	\ п	г }
+ i cos 2'п ~~ 1 л ch {— Ar sh — 'i = + от + i Q„,
2tl	\ п	£ /
(2.10,)
где т=\, 2,..., п, рт—т-й корень полинома, от, Qm — соответ-
ственно вещественная и мнимая части корня.
Как видно из (2.10), корни являются комплексными. Принято
рассматривать их расположение на плоскости комплексного па-
раметра р.
Из всех корней, число которых равно, очевидно, 2щ при оты-
скании комплексного коэффициента передачи необходимо отобрать
лишь те п корней, которые располагаются в левой p-полуплоско-
сти. При четном п эти корни будут образовывать п)2 сопряженных
2*	— 35 —
пар, при п нечетном один из корней — вещественный, осталь-
ные— попарно сопряженные. Каждая пара .взаимно сопряженных
корней даст множитель вида
Р2 +	(2.11)
в соответствии с обозначениями (2.10)
более удобно использовать квадратичные
единице равен
где ai = 2o, a0=o24-Q2
В некоторых случаях
множители, у которых
свободный член. Коэффициенты таких
1
-Ч Я(р) =
п-1
не коэффициент при р2, а
множителей в дальнейшем
обозначаются в соответ-
ствии с выражением
b2p2 + b!p 4- 1=а0(— р2 +
\ ао
4-—р+П- (2.12)
а0	/
В табл.	П1.2—П1.6
приложения 1 представле-
ны множители разложе-
ния аппроксимирующих
выражений вида (2.8) -
для различных п и Aa(e),
используемых в расчетах
активных фильтров.
Комплексный коэффи-
циент: передачи, если пре-
небречь постоянными
множителями, выражает-
ся в виде
Н(р)= —
п/2
П (Ь2У + Ььр+ 1)
(2.13)
для четных п и
г
(2.14)
2
(Ьор + 1) П ( Ь2,р24“Ь1чр + 1)
v=l
для нечетных. На рис. 2.4 в качестве примера показано разложе-
ние функции вида (2.8) с полиномом Чебышева седьмого порядка
на четыре составляющие, из которых одна соответствует множи-.
телю вида Ьор+1, а три другие — b2,p24-bivp+1.
Используя выражения (2.13) и (2.14), можно определить ве-
личину фазового сдвига для четных и:
— 36 —
.	, b, Q
v=l
и для нечетных n
n-1
(2.15)
b = arc tg b0 Q +
2
JJarctgf
v=l
b]v Q
-b2T2
pad.
(2.16)
Отсюда, учитывая, что время задержки фильтра связано с фа-
зовым сдвигом соотношением
, db 1 db d Q
t --= — = — '---------,
da> 2л d Q df
можно получить для четных п
II
t - 1	Ьь(‘ + 1>2< °2)
2л df ^l + (b2 -2b2,)Q2 + b2 О4
и для нечетных п	Т
П—1	' ."
t _ 1 dQ (о VI bb (1 -Ь b2v Q2)
2л df 1 bg Q2	1 -p ( b2 — 2b ’) Q2 + b2 Q4
_	J	\ 1V	/	1	2* -J
Производная-^- для фильтров нижних частот равна 1/fi, для
d/
остальных типов фильтров определяется преобразованием частоты
при переходе от низкочастотного прототипа.
На рис. П.2.2 (приложение 2) приведены фазовые характери-
стики фильтров-прототипов, характеристики затухания которых по-
казаны на рис. П2.1.
В заключение рассмотрим закономерность расположения кор-
ней рт фильтров с чебышевскими полиноминальными характери-
стиками затухания на плоскости комплексной частоты. Такую за-
кономерность легко установить, разделив вещественную ,и мнимую
части выражения (2.10), соответственно, на sh ^-Лг sh— \и
ch(— Ar sh—'l , возведя каждое из полученных частных в
\ п е )
и сложив. Полученное таким путем соотношение
а2	,	Q2	. , 2/я — 1	,
------------------------------- = sin4-----л 4-
'	'	'	2п
квадрат
sh2 (—• Ar sh —
\ n E
.	9 2« — 1	.
4-	COS4-----Л = 1
2n
.— 37 —
(2-17)
представляет собой уравнение эллипса с полуосями, равными
,	/	1	.	,	1	\	,	/	1 д ,	1	\
sh — Ar sh — и ch — Ar sh — .
\ П	г )	\ П	е J
С помощью полинома Чебышева можно получить также моно-
тонную аппроксимацию в полосе пропускания ,и равноволновую в
полосе задерживания. Функция квадрата модуля коэффициента
передачи для этого случая имеет вид
|Я (i Q)j3 = t_____1	=	1
Н20	1+!
^(£2)
и
соответствует фильтру верхних частот. Затухание этого фильтра
а = 101g
Т2п (£2)
, дб
в полосе пропускания монотонно возрастает по мере приближения
к полосе задерживания, а в полосе задерживания обращается в
2п-г1-(-1)’
бесконечность ---------- раз.
Выражения, аппроксимирующие характеристики фильтров ниж-
них частот и полосовых, можно получить с помощью преобразо-
ваний, описываемых в разд. 2.6. На рис. П2.7 приложения 2 пока-
заны равноволновые характеристики относительного затухания в
полосе задерживания фильтров-прототипов, у которых в полосе
пропускания затухание монотонно возрастает.
2.3.	Полином Баттерворта
Полином Баттерворта имеет вид
В„= Qn.	\	'	(2.18)
Подстановка (2.18) в (2.1) дает	-г
а = 101g(l +е2Й2«), дб.	(2.19)
Если е2=1, при Q = 1 п = 3 дб, что соответствует потере поло-
вины мощности. Характеристики относительного затухания элек-
трических фильтров, рассчитанных с помощью полиномов Баттер-
ворта для е2=1 и различных п, представлены на рис. П2.3 при-
ложения 2. На рис. П2.4 даны фазовые характеристики, рассчи-
танные с помощью (2.15), (2.16). Характеристики для других
значений е2 легко получить из тех же рисунков, изменив соответ-
ственно масштаб по оси абсцисс. Корни выражения, стоящего под
знаком логарифма в (2.19), при е2=1 равные
располагаются на круге единичного радиуса. Аппроксимацию ви-
да (2.19) именуют иногда также максимально плоской. Мыожите-
— 38 —
ли знаменателя комплексного коэффициента передачи, соответст-
вующего функции (2.19) при е2= 1 (Дц = 3 дб), представлены в
табл. П1.7 приложения 1. При других заданных значениях нерав-
номерности затухания Дц необходимо, используя ту же табл.П1.7,
заменить принятую для Дй = 3 дб нормированную частоту Q на
Q
по формуле	2— .
> Dn
Соответствующие значения Dn приведены в табл. П1.8.
Из сопоставления графиков, относящихся к использованию по-
линомов Чебышева и Баттерворта, можно заключить, что при оди-
наковом значении п (т. е. одинаковом количестве схемных эле-
ментов при реализации) равноволнавая аппроксимация обеспечи-
вает максимально возможную крутизну нарастания затухания в
полосе задерживания. Однако максимально плоское приближение
дает лучшую фазо-частотную и переходную характеристики филь-
тра, и, кроме того, искажения легче корректируются. Последнее
обстоятельство особенно важно в том случае, когда приходится
иметь дело с трактом передачи сигнала, содержащим большое ко-
личество каскадно включаемых фильтров.
2.4.	Дробь Чебышева
Дробь Чебышева дает возможность получить равноволновое
приближение в полосе пропускания и волнообразное (в частном
случае — равноволновое) приближение в полосе задерживания.
Произвольность характеристики затухания в полосе задержива-
ния фильтра, рассчитанного с помощью дроби Чебышева, вы-
текает из того, что полюсы дро-
би Чебышева можно распола-
гать произвольно. Вследствие
этого минимальные значения за-
тухания, имеющие место между
соседними максимумами (рис.
2.5), не обязательно должны
быть равны, как в случае дроби
Золотарева, рассматриваемой в
следующем параграфе.
Дробь Чебышева, при записи
в тригонометрической форме име-
ет вид
Q
Рис. 2.5. Характеристика затухания
фильтра, рассчитанного с помощью
дроби Чебышева
F„(x) = cos
(/ + 1) arc cos х
arc cos
«vx - 1
av — x
(2.20)
где av — полюс функции Fn (x); из существа рассматриваемой за-
дачи следует, что вещественные корни полинома знаменателя дро-
би должны лежать вне -интервала —1<х<1; lv — кратность
-39-
корня av; /+1 — разность между степенями полиномов числителя
и знаменателя функции; п — степень полинома числителя.
За пределами интервала —1<х<1, где функция arc cos х не
существует, применяется выражение
Рис. 2.6. Графики дробей Чебышева
1, 2 и 3-го порядков с одним полюсом
муле для полинома Чебышева Fn^
которое можно получить, ис-
пользуя связи между гипербо-
лическими и тригонометричес-
кими функциями.
Дробь Чебышева на отрез-
ке — 1гС%^ + 1 изменяется в
пределах ±1, достигая своих
экстремальных значений с че-
редующимися знаками п+1
раз (в том числе и па концах
отрезка). В полосе задержи-
вания при данном расположе-
нии полюсов модуль функции
Fn(x) принимает значения,
большие, чем у любой другой
рациональной функции той
же степени п, ограниченной
в интервале [—1, 1] предела-
ми ±1.
Для нахождения дробей
Чебышева произвольных по-
рядков при одних и тех же
полюсах удобна рекуррентная
формула, аналогичная фор-
(x)=2xFn(x)—Fn_i(x). Напри-
мер, найдем дробь третьего порядка, имеющую один полюс при аг
г ,	1 — О] X 1 — О] х
г 1 (х) = cos arc cos-11— ,
X—СЦ	X—СЦ
p(. Г	. 1-axxl -^(ai+/a2-lJ+x+]/af-l
г2 (*) = cos arc cos x+ arc cos-— =----------------------
[	X —di J	X — dj
—2xs(ai+]/ a2t—1) -I2x2-':x-2 1/ af—l+at) — I
F3(x) = 2хК2(х)-ВД =---'--------~---L--------------------
X — СЦ
На рис. 2.6 показаны графики дробей Чебышева для п=1, 2 и
3 с одним полюсом при х=сч. Как видно из этих графиков, дро-
би четных порядков за пределами интервала —1<х< + 1 прини-
- 40 —
мают положительные значения, дроби нечетных порядков при
л> + 1 положительны, при х<-—! отрицательны. При одиночном
полюсе происходит смена знака дроби.
В табл. П1.9—П1.14 приложения 1 приведены выражения для
дробей Чебышева с разным количеством полюсов. Необходимо от-
метить, что полюсы дроби Чебышева могут быть не только веще-
ственными, но и комплексными, в частности, чисто мнимыми. В
том случае, когда все полюсы дроби находятся при Л'=оо, дробь
вырождается в полином.
Поскольку дробь Чебышева, как и полином Чебышева, может
принимать отрицательные значения, в выражение (2.1) в качест-
ве функции фильтрации подставляется квадрат дроби. При этом
(2.1) принимает вид
a — 101g[l + е2^(Й)], ’	'	(2.22)
что, как и в случае (2.8), соответствует прототипу с полосой про-
пускания от й==0 до Q=4 и с переходной областью и полосой за-
держивания от Q = 1 до Q = oo.
Рассмотрим использование дроби Чебышева для решения за-
дачи синтеза фильтров нижних частот. В гл. 1 было установле-
но, что нули функции квадрата модуля коэффициента передачи
должны либо лежать на 1вещеспвеняой оси, либо образовывать
сопряженные комплексные четверки. В частном случае они могут
лежать на мнимой оси плоскости р, т. е. па оси вещественных ча-
стот. Именно этот случай обычно используется в теории фильтров,
ибо только таким способом можно получить большую, в идеаль-
ном случае — бесконечно большую величину затухания на за-
данных конечных частотах. Если принять это положение и учесть,
что, в силу следствия 1 из условия 1 физической осуществимости
(разд. 1.2), нули коэффициента передачи, лежащие на оси веще-
ственных частот, должны быть симметрично расположенными от-
носительно начала координат, выражение (2.20) после замены х
на й и av на примет вид
Е(й)=cos (/ +1 )агс cos й+
й й—1	— й й—1
arc cos----5 -фаге cos —5--75
ЯЙу Ьй	““ййу ~“йй
= cos (Z4~l)arccosQ
( 2Й21) Й2 — Й2
Й2-Й2
(2.23)
или при выражении через гиперболические функции
Г(й) = ch
(/ 4- 1) АгсЬйф-
Zv Ar ch
( 2Йу — 1) Й2.Qy"
й* — Й2
• (2.24)
— 41 —
•  Подстановка (2.23) в (2.22) и некоторые иреобразоваяия при-
водят к выражению
П(^-
Ч а  101g-------(2.25)
П(^. й2)- 4 ( j; (й)
(v)
где Un(Q) — числитель дроби Чебышева.
Характеристики относительного затухания, обеспечиваемые
фильтрами нижних частот или производными от них фильтрами
(разд. 2.6), рассчитанными с помощью дробей Чебышева с одним
нулем передачи (полюсом затухания) при различном его распо-
ложении и при различных п, представлены на рис. П2.5. Формул
для нахождения корней характеристического полинома выражения
(2.22) не существует, в отличие от того случая, когда в качестве
функции фильтрации используется квадрат полинома Чебышева
или Баттерворта. Поэтому необходимо использовать общие мето-
ды приближенного решения алгебраических уравнений высших по-
рядков (см. разд. 7.5).
В табл. П1.16 (приложение 1) приведены значения корней ха-
рактеристического полинома для случая, когда коэффициент пе-
редачи имеет нуль при одной конечной частоте. Некоторые комби-
нации корней соответствуют характеристикам рис. П2.5 (прило-
жение 2). Характеристики для других сочетаний множителей мож-
но построить, используя описываемый ниже графический метод,
или представить себе их примерный вид, интерполируя характе-
ристики рис. П2.5.
При двух и более нулях передачи возникает вопрос о наиболее
целесообразном расположении этих нулей на оси частот. Решение
этого вопроса облегчается следующими соображениями.
Для значений относительного затухания 154-20 дб, когда
Igfl+е2Р2(й)]^ 1,5-у2, можно пренебречь единицей по сравнению
с е2Д2(й); подставив сюда (2.24), получим
10 lge2ch2®,
где через ф обозначено выражение, стоящее в (2.24) в квадрат-
ных скобках. Заметим теперь, что первое слагаемое в Ф при ве-
щественных положительных й всегда вещественно. Каждое сла-
гаемое вида
(2Й2 — 1) Q2 — Й2	.
I Arch''—----’-----' и - \
содержит под знаком ареа-косинуса выражение, которое положи-
тельно при 1<й<;йу и отрицательно при Q>QV- В общем случае
„ , (2й;-1)й2-й2 л , (2й2 — 1) й2 — й2	.
Ar ch----------------= Аг ch---------------- + 1 rtn,
й2 — й2	й2 — й2
где т] =0 при	и т] = 1 при Й>ЙУ.
— 42 —
Учитывая эго, можно утверждать, что при вещественных поло-
жительных £2
Ф = Ах + i т(л,	(2.26)
где Ai — вещественная положительная величина, т] — целое число,
сЬФ = ch(/1L 4- i т(л) = ch Aich i т(л Д sh Ai sh i vpt = + ch Ax, (2.27)
<2=10 1g г2 ch*2 Ar
Так как при
е1 е еА
Ch X = -6-у
2
до, заменяя lgx~0,435 1пх, получим
9
агь;8,69 Aj.—20 Ig —- = А — 20lg — ,
£ £
(2.28)
(2.29)
где, в соответствии с (2.24), для фильтров нижних частот
А = 8,69Ai = 8,69 (/+ l)Archfi+ f^Arch
О)
(2Й2-1) Й2-Й2
Q? - Й2
(2.30)
Воспользовавшись формулой для двойного угла, заменим в
первом слагаемом Arch Q на 1-Arch (2Q2—1). Далее, прибавив к
знаменателю второго слагаемого Q2£22 и вычтя из него ту же ве-
личину, после некоторых преобразований получим
А—8,69
Ц’ АгсЦгй2— 1)+^ lv Arch
(О
Преобразуем в первом слагаемом
у	, й3
	: 1 щ Q2 ; Q- - -1 й2 - 1 '
-	' Q2 -Й2 ;1 й-
-т— — 1
•	Й2 — 1
Обозначив •.,
~ •"> I. й;-1
—о;— = т>
(2.32)
(2.33)
— 43 —
Преобразувм во втором слагаемом
Q2 — 1
Zo: . ’	—------- Q2 4 fi2 —1
Q2
V
........	«V " 1
 :1’- ;	—'------ Q2 — -Q2 - 1
Gv2
Подставляя (2.32) и (2.34) в (2.31), получим
nr Q2
.Q2 — 1 + ’
m2 Q2 ____j
fi2 — 1
h'l
/4 = 4,35(Z+l)Arch
I»8
-1+И
I 8,69 Arch
л2
т2
у-'
(2.35)
Где *
• Vq2-i
(2.36)
Второму члену в
дать другую форму,
правой части выражения (2.35) можно при-
а именно
/ т \2	I т \
>Лт==8,69 Arch
= 8,69Archcth
— 8,69 Ar ch
2 In
1 + e
2 In
1 e
= 8,69 Ar ch cth|lnm— In y\.
(2.37)
2
:W
Аналогично первое слагаемое в правой части (2.35)
представить в виде: 4,35Archcth11пг/1, что соответствует
при т={. Тогда
можно
(2.37)
А = 4,35(/+1 )Archcth|ln	^8,69 Ar ch cthjlnm— In y\. (2.38)
При изменении Q от нуля до бесконечности переменная у из-
меняется от нуля до единицы. Если отложить по оси абсцисс ве-
личину 1пу, то все слагаемые в выражении для А можно изобра-
жать на графике кривыми совершенно одинаковой формы, сдви-
нутыми одна относительно другой .на величину 1пт. В точке
1пт=1пу функция Archcth |1п/п—1щ/| обращается в бесконеч-
ность, и, таким образом, расположение полюса этой функции оп-
ределяется величиной т. Первое слагаемое в правой части (2.30)
и (2.31) получается из последующих слагаемых этих выражений
при Qv = oo (/п=1).
— 44 —
На приведенных выше преобразованиях основывается графи-
ческий метод построения характеристик затухания фильтров. По-
скольку второе слагаемое в правой части (2.-29) -от частоты не
зависит, частотные зависимости функции Л = 8,69 А и относитель-
ного затухания фильтра а отличаются только масштабом при ус-
ловии, что 154-20 дб. -Принимая это во внимание, величину А
можно назвать затуханием сравнения.
В табл. ,111.15 приложения 1 приведены данные для построения
специального лекала, воспроизводящего функцию (2.37). С по-
мощью такого лекала можно построить графики отдельных сла-
гаемых выражения (2.29); сложив ординаты этих слагаемых, -по-
лучим затухание сравнения А; далее, воспользовавшись зависи-
мостью (2.29), построим характеристику относительного затуха-
ния фильтра. Передвигая шаблоны, можно добиться желаемого
вида характеристики.
При табулировании характеристик фильтров на основе дробей
Чебышева -с двумя полюсами было принято условие изо-экстре-
мальности, т. е. равенства минимальных значений затухания в по-
люсе задерживания (рис. 2.5). Исходя из этого условия, для за-
данного положения первого со- -стороны нижних частот нуля было
определено в каждом случае положение второго нуля передачи.
Поскольку графический метод -построения не может дать доста-
точно точных результатов, местоположение нулей передачи опре-
делялось с помощью ЦЭВМ. Значения корней знаменателя (по-
люсы) комплексного коэффициента передачи для различных ис-
ходных условий (п, Аа, Qi) приведены в таблицах П1.16—П1.17
приложения 1.
Фазовые характеристики фильтров, рассчитанных с помощью
дроби Чебышева, в тех случаях, когда все полюсы дроби выбра-
ны при вещественных частотах, практически полностью опреде-
ляются характеристическим полиномом. Действительно, числитель
выражения, стоящего под знаком логарифма в (2.25), в этом слу-
»-(Z+D
чае имеет вид |"|	(Q2—Q2)? и, следовательно, в (2.5) поли-
v=I
n-(Z+l)
ном f(p)=	(p2+Q2 ) Таким образом, полином f(p) при
v=I
всех p = iQ принимает чисто вещественные значения и может лишь
менять знаки на частотах Qv, лежащих по условию вне полосы
пропускания, где имеет место нуль передачи. Следовательно, в
пределах полосы пропускания, т. е. при	полином f(p)
никакого влияния на фазовую характеристику не оказывает. Вви-
ду этого фазовые характеристики в пределах полосы пропускания
и для фильтров с характеристиками, выражаемыми рациональны-
ми дробями, получаются с помощью ф-л -(2.15) и (2.16). Эти фа-
зовые характеристики для некоторых частных случаев приведены
на рис. П2.6.
— 45 —
< >	2.5. Дробь Золотарева
Дробь Золотарева может рассматриваться как частный случай
дроби Чебышева, когда степень числителя либо равна степени
знаменателя, либо на единицу больше, другими словами, /4-1 в
выражении (2.24) равно либо нулю, либо единице. Кроме того,
полюсы дроби располагаются таким образом, чтобы обеспечить
изоэкстремальность характеристики относительного затухания в
полосе задерживания (рис. 2.5). Выражение (2.1) при этом мож-
но представить в виде
а = 101g [1 4-е2 R2(Q)],	(2.39)
’ /г .
где R,> (Q) —дробь Золотарева; при этом для четных п (v=l, 3,...,
2/г—1)
— q2 _____()>
Rv(Q)=/7i|]	.	(2.40)
11	<>2- Q2
' v * - « ' £ ' ; • 
и для нечетных л) (v==2, 4, ... 2н)	» .	
‘ R,(L>) •//,<> П —’	 ' (2.41)
. ГГ	11 об ду-
нули и полюсы дроби Золотарева, как известно, определяются
с помощью двоякопериодических функций Якоби [2], а именно,
для четных п:
‘ *.—(£*• ‘Ь 	(2Л2)
.- г	\	/	wV
и для нечетных п:
Q°’ = sn fc+l к' k}’ Q-'		(2,43)
В выражениях (2.42), !(2.43) К представляет собой полный эл-
f
липтический интеграл первого рода с модулем k = — t f0 — гра-
личная частота полосы пропускания, /3 — граничная частота по-
лосы задерживания.
Значение постоянного коэффициента Hi определяется из усло-
вия, что при Q=1 дроби Золотарева (2.40) и (2.41) равны еди-
нице:
Пй2 _ 1
——- •	(2.44)
— 46 —
Ввиду сложности, которую представляет собой расчет с по-
мощью эллиптических функций, С. С. Коганом [13] был предложен
метод расчета фильтров, основанный на использовании дроби Зо-
лотарева, но с заменой эллиптических функций тригонометриче-
скими. Хотя этот метод был разработан применительно к расче-
ту ЛС-фильтров по характеристическим параметрам, его, как бу-
дет показано ниже, можно в известной мере использовать и в дан-
ном случае для решения задачи определения расположения ну-
лей передачи. Для этого вернемся к рассмотрению выражения
(2.30), которое при использовании в качестве функции фильтра-
ции дроби Золотарева примет вид
w—ч	( 2й2 —
А = 8,69 у lv Arch v v
V

(2.45)
Q2-Q2
для
четных п и
А =8,69 ArehQ 4- ^?
/v Ar ch
V
( 2й2-1)й2-й2 1
\ V	/	__ V
(2.46)

для
i нечетных п.
Учитывая, что (при х~^ Г)
Ar chx = In(х -ф Yх2

можно получить
Arch
—
Q2 — й2
= In
-'v"1 Й
Кй2^!
й__
/й2 — 1
. (2.48)
( 2Й2- 1) Q2 — Q2

В частном случае, при Qv = o°
выражение (2.48) принимает вид
In
EjEHl
Й
Кй2 —i
Arch (2Q2 — 1) = 2Ar ch Q.	: (2.49)
Правая часть выражения (2.48) представляет собой известное
из теории расчета ЛС-фильтров по характеристическим парамет-
рам выражение для затухания m-звена в неперах (1 неп = 8,69 дб),
— 47 —
а левая часть (2.49У—-то же, для A-звена. Приняв
ние,
'можно записать (2.29) в виде
это во внима-
а'
2
У «mv-201g —
ad	Е
(V)
(2.50)
для
четных п и
а
о
й!—201g —
£
(2.51)
нечетных, причем amv означает выраженное в
для
тухание некоторого воображаемого v-ro по порядку
а Д1—-затухание такого же воображаемого звена типа k.
V	V	1
Сумма amv в (2.50) или сумма zl amv + — аг в (2.51) пред-
(v)	(v)	2
ставляет собой, таким образом, затухание некоторого воображае-
мого LC-фильтра, рассчитанного по характеристическим парамет-
рам и имеющего одинаковую с рассчитываемым нами фильтром
полосу пропускания и такую же полосу задерживания. Этот
фильтр называют фильтром сравнения (в немецких работах
— Bezugsfilter). Кроме совпадения полос пропускания и задержи-
вания, а также связи затухания этого воображаемого АС-фильтра
и рассчитываемого нами фильтра, ничего общего между ними нет.
Однако устанавливаемая таким путем связь с теорией расчета
АС-фильтров по характеристическим параметрам дает возмож-
ность воспользоваться некоторыми результатами этой теории,
прежде всего, упростить нахождение оптимального расположения
нулей передачи (полюсов затухания),
формул изложен в литературе [5, 13].
тельные результаты в виде
нулей передачи:
децибелах за-
звена типа т,
где для четных п
выражения
Вывод соответствующих
Приведем лишь оконча-
для определения
частот
ч
1
1—«2
(2.52)
1 — Vk'
2v — 1
/ZZV = fyk' —
1
cos —-— л
\ + Vk'	2«
1 —vv
i + Vk'	2«
2v — 1

(2.53)
л
и для нечетных п
1 + _______
\ + Vk'
щ » ( ’io Vk
-щстгрщ цц;	1 
,06	—	. 1 + Vk’
1— Vk' 2(v—1)
------cos-------
------ 2л
л
\-Vk'	2(> —1)
------- cos-------
— 2л
(2.54)
л

— 48 —
v — порядковый номер нуля передачи, k'= л/ {___Q,,— часто-
V йе
та начала полосы гарантированного задерживания, нормирован-
ная относительно граничной частоты полосы пропускания.
В том случае, когда положение одного из нулей передачи, в
частности, ближайшего к полосе пропускания, задано (именно та-
кое условие было принято при построении графиков рис. П2.5—
П2.6 и расчете таблиц П1.16—П1.17), определению положения
остальных нулей передачи должно предшествовать нахождение
из выражения (2.53) величины k’. Эту величину можно найти, зная
параметр т, который задается при выборе частоты первого нуля
Qi благодаря связи т и Q через (2.52).
Для удобства вычислений обозначим
Аналогичное выражение с соответствующим изменением аргу-
мента косинуса получается из (2.54). Эту же задачу можно решить
численными методами. Один из них, дающий решение и для более
общего случая неодинаковой величины гарантированного затуха-
ния в полосе задерживания, описан в [4].
Как уже отмечалось, дробь Золотарева может рассматривать-
ся как частный случай дроби Чебышева, поэтому графики и таб-
лицы, приведенные для дробей Чебышева с числителем и знаме-
нателем одинаковой степени или степени, отличающейся на еди-
ницу при одинаковых минимумах затухания в полосе задержива-
ния, .могут .служить примером использования дроби Золотарева.
2.6. Преобразование частоты
Рассмотренное в разд. 2.1 нормирование частоты является про-
стейшим примером так называемого преобразования частоты, ши-
роко применяемого в задачах анализа и синтеза электрических
фильтров. Преобразование частоты сводится к подстановке в ап-
проксимирующее выражение вместо со некоторой функции от со.
Такая подстановка вызывает изменение как характеристик цепи,
— 49 —
так и ее схемы. В частности, нормирование частоты в ^С-фильтре
нижних частот делает угловую частоту среза равной единице и
увеличивает все емкости в coi раз. Нормирование представляет со-
бой рассматриваемое в теории функций комплексного переменно-
го подобное сжатие (или расширение, если	плоскости р с
коэффициентом wt.
Следующим по сложности является преобразование вида
(2.56)
р
превращающее характеристики фильтра нижних частот в харак-
теристики фильтра верхних частот. В теории функций комплекс-
ного переменного преобразование вида >(2.56), как и предыдущее,
относится к конформным преобразованиям и сводится к последо-
вательному выполнению двух конформных отображений (рис. 2.7):
— инверсии относительно единичной окружности (переход от
. $	11 г-в
точки pv~Ae к точке = — е , при котором аргумент не ме-
няется, а модуль изменяется на обратный по величине);
— инверсии относительно действительной оси (переход от точ-
1	• г. 1	/0	1	•	1
ки----= т, -г 1 L2,	— е‘“ к точке — —х. —i, при котором
—pt	A	р<
модуль не меняется, а аргумент изменяет знак).
Нетрудно заметить, что при таком преобразовании отрезок ве-
щественной оси от нуля до единицы перейдет в отрезок от еди-
ницы до бесконечности и наоборот. Отрезок мнимой оси от нуля
до +i перейдет в отрезок мнимой отрицательной полуоси от —i до
—ioo и т. д., в результате чего по-
лоса пропускания превратится в
полосу задерживания и наоборот.
Возьмем в качестве примера
фильтр нижних частот с баттер-
вортовской характеристикой и вы-
ясним изменение расположения по-
люсов функции коэффициента пе-
редачи в результате преобразова-
ния (2.56).
Поскольку все полюсы коэффи-
циента передачи фильтра нижних
частот с баттервортовской харак-
теристикой располагаются на ок-
ружности единичного радиуса (см. разд. 2.3), то полюсы фильтра
верхних частот, полученного из него в результате преобразования
(2.56), также будут лежать на той же окружности. Поскольку
полюсы исходного фильтра располагаются симметрично относи-
тельно вещественной оси, то при преобразовании каждые два по-
люса, образующие такую пару, поменяются местами.
— 50 —
зование р-+ —
Р
Применение преобразования (2.56) в случае фильтра нижних
частот с чебышевской характеристикой, полюсы которого распола-
гаются по эллипсу, вытянутому вдоль мнимой оси, приведет к то-
му, что полюсы преобразованной функции будут лежать на овале,
вытянутом вдоль вещественной оси.
Обозначим, как и ранее, вещественную и мнимую части ком-
плексного параметра р низкочастотного фильтра через о и Q:
^п=сгпт'дг
а для высокочастотного фильтра, полученного в результате прерб*
разования (2.56), положим
Рв = ств + ' °в-
Учитывая (2.56), для он, Qn, ов и Qb получим соотношения:
_ стн о —
СТВ — „2 л О2 ’ “в — п2 I О2 >
<тн+“н	стн+“н ......	4
подстановка которых в (2.17) дает	,	\
Последнее выражение и представляет собой кривую, на которой
располагаются полюсы фильтра верхних частот с полиномиальной
чебышевской характеристикой.
При решении задачи синтеза полосового фильтра используется
преобразование вида
(р : X) , л/.	(2.57)
где	'	’
a ft, — верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропу-
скания. Преобразование (2.57) является несколько более слож-
ным, чем предыдущее, поскольку оно не однозначно.
Значения параметра р преобразованной функции, соответст-
вующие заданному значению параметра р исходной функции, мож-
но, очевидно, найти из квадратного ур-ния (2.57):
р -	±	*. ч.
„	(ОО1)2	.
При —- — = 1 имеет место однозначное соответствие исходного
4
2
и преобразованного параметров, и точки р = ± —именуются точ-
— 51 —
ками разветвления функции (2.57). В остальных точках одному
значению параметра р (а следовательно, и частоты f) исходной
низкочастотной функции соответствуют два значения параметра р
преобразованной функции. Геометрическая интерпретация этого
положения в теории функций комплексного переменного сводится,
как известно, к рассмотрению римановых многолистных поверх-
ностей. Берутся два экземпляра («листа») плоскости преобразо-
ванного параметра р. На одном листе располагаются значения
преобразованного параметра, соответствующие первому значению
корня квадратного ур-ния (2.57), а на втором листе — соответст-
вующие второму значению корня.
Полная плоскость р получается из двух экземпляров плоско-
Г 2	2 1	«
сти р с разрезами вдоль отрезка----, — при склеивании берегов
Рис. 2.8. Двулистная риманова поверхность
разрезов крест-накрест
(см. рис. 2.8). Нулевой
частоте нормированного
ФНЧ при этом соответст-
вуют равные по абсолют-
ной величине положи-
тельное и отрицательное
значения средней геомет-
рической частоты полосы
пропускания полосового
фильтра.
Преобразование вида
(2.57) приводит к поло-
совому фильтру, харак-
теристики затухания которого обладают геометрической симмет-
рией относительно средней частоты полосы пропускания. В неко-
торых случаях, однако, требуется подавить нежелательные состав-
ляющие входного сигнала, находящиеся лишь с одной стороны
полосы пропускания, и не предъявляется особых требований к по-
давлению составляющих с другой стороны. Тогда может использо-
ваться преобразование вида
со3 — со?.;
2	2
СОТ — СО ,
1	— 1
или Q =
(2.5»)
для фильтров нижних частот и
(со?—со3) со2 ,	со, _ / со?—со2
•	Q =	ИЛИ Й = -=1 1/ —----------5-
( со( — СОД;) СО2	СО V COJ — со_;
(2.59)
для фильтров верхних частот.
Значения Q, соответствующие различным значениям и при пре-
образованиях (2.58) и (2.59), приведены в табл. 2.1.
— 52 —
ТАБЛИЦА 2.1
Как следует из табл. 2.1, в результате преобразования (2.58)
на всю ось вещественных значений й переносится часть оси ве-
щественных значений и от co_t до оо. На оставшийся отрезок оси
О^о)1 переносится часть мнимой оси й от нуля до i—====.,
У СО; --------------------------------------------------- CO^_j
Подобное же положение будет и при преобразовании частоты (2.59) ,
где на всю ось вещественных значений й переносится часть оси
вещественных значений (о от нуля до сщ.
Фильтры, полученные путем преобразова-
ния такого вида, можно назвать фильтрами
нижних (верхних) частот с ограниченной по-
лосой пропускания. Смысл использования та-
ких фильтров состоит в возможности либо
увеличения затухания при данном числе эле-
ментов, либо сокращения числа элементов
при заданном затухании. Выигрыш в зату-
хании, получаемый при использовании филь-
тров нижних частот с ограниченной полосой
пропускания, определяется соотношением
шкал из выражений (2.58) и
А/ ®кг Q
Рис. 2.9. Характе-
ристика фильтра
нижних частот с
ограниченной поло-
сой задерживания
со
С01
Й
(2.60)
при использовании фильтров верхних частот — выражениями
(2.59) и (2.60).
В тех случаях, когда полоса задерживания в фильтрах нч за-
дается не от некоторой нормированной частоты йм до оо, а от йм
до йьг, можно использовать преобразование вида
Q? — 1
Й2 =-----------(Й')2,	(2.61)
^2-(Q')2
переводящее интервал й/л^й^оо в интервал йм^й^йм. Ха-
рактер частотной зависимости относительного затухания а, най-
денного с помощью преобразования (2.61) для фильтра с двумя
— 53 —
нулями передачи на конечных частотах, рассчитанного с помощью
дроби Золотарева, показан на рис. 2.9. Подобное же преобразо-
вание можно, очевидно, проделать и для .фильтра верхних частот.
Преобразование частоты вида
• Р = -^j-	•	(2.62)
‘  , + -
используется для перехода от фильтров нижних частот к полоснО*
заграждающим фильтрам.
2.7. Множители разложения комплексного
коэффициента передачи
Множители функций передачи ФНЧ и ФВЧ. Знаменатель вы-
ражения (.2.5) при всех рассмотренных выше способах аппрокси-
мации характеристик ФНЧ можно, очевидно, разложить на мно-
жители, которые дадут в функции коэффициента передачи сомно-
жители 2-го порядка
Н2(р)	2	:	(2.63)
1 + Ь1р + Ь2р2	;]•
и 1-го порядка
J---, <2-64)
1 + Ьор
причем сомножитель 1-го порядка получается только для нечет-
ных значений п. Каждый сомножитель 2-го порядка соответствует
двум попарно сопряженным комплексным полюсам:
'	Р\,2 = — ffH ± * °Н>	<2-65)
где
= ‘2'66>
Q„ -	<гн	(2.67)
	'	'  " '	:	(2.68)
а сомножитель 1-го порядка (2.64) — одному отрицательному ве-
щественному полюсу		(
р0 = —	= — <т0.	(2.69)
(	ьо
Функции передачи 1-го порядка (2.64) соответствует относи-
тельное затухание в децибелах:
a1H = -201g(//1(iQ)| = 101g(l + b2Q2),	(2.70)
— 54 —
характеристика которого показана на рис. 2.10а. Функции пере-
дачи 2-го порядка (2.63) соответствует относительное затухание
а2Н = — 201g |/72(i П)| = 10 lg[(l — b3Q2)2 + bf Q2],	(2.71)
два типа частотных характеристик которого показаны на
рис. 2.10б и в. Первый тип (рис. 2.106), условно называемый апе-
риодическим, полу-
чается при
2Ь2 < Ь|,	(2.72)
второй тип (рис.
2.10в) — колебатель-
ный при
2b2 > bf. (2.73)
Рис. 2.10. Характеристики сомножителей ФН4
— 55 —
Полюсы функции передачи колебательного типа расположены
ближе >к мнимой оси, чем полюсы апериодической функции пере-
дачи того же порядка. Контрольной точкой обеих характеристик
будем считать точку с абсциссой
Q = —L- :	(2 74)
он /Бз > '
; 1 .
соответствующую ей ординату найдем из (2.71): !-
Ь?
aCH=101g-y-.	/	(2.75)
02
Координатами экстремальной точки характеристики колеба-
тельного типа являются:
“ i/т ~ 4 (тг)'=2°н=м/|-(276>
у °2	\ °2 /	|	Ч
amH = 201gQHbx,	(2.77)
где индексы «Н» указывают на тип фильтра (нижних частот), а
параметр	=“
' Г) = 2	"	S**"*»^ /п 7о\
является количественной характеристикой колебательных функций
2-го порядка и называется добротностью.
Из выражений (2.78) и (2.66) видно, что чем больше доброт-
ность, тем меньше вещественная составляющая полюса функции
передачи 2-го порядка (2.63).
Обратимся теперь к числителю функции (2.5). В случае поли-
номиальной аппроксимации он представляет собой постоянную
величину, и в силу этого только что проведенное рассмотрение яв-
ляется исчерпывающим. При наиболее часто практически исполь-
зуемых типах дробной аппроксимации, когда нули передачи рас-
полагаются на вещественных частотах, числитель функции (2.5)
будет содержать множители вида
1+brp2 =	+	-ьг($+р2),	(2.79)
\ ьг )
которые соответствуют двум нулям передачи р? 2 = ±iQv=±i~7-=,
*	У Ьг
расположенным, как и все особые точки функции коэффициента
передачи, симметрично относительно вещественной оси плоско-
сти р.
Элементарные функции типа (2.63) можно реализовать в виде
отдельных каскадов (звеньев) активного фильтра. Функция (2.64)
представляет собой коэффициент передачи интегрирующего пас-
сивного 7?С-звена. Функцию (2.79) нельзя реализовать в виде от-
— 56 —
дельной схемы в силу условий физической осуществимости. Дей-
ствительно, как нетрудно убедиться, при р->оо все выражение
(2.79) неограниченно возрастает. В силу этого множитель (2.79)
всегда реализуется совместно с одним из множителей вида (2.63),.
что дает следующую функцию передачи:
Поскольку не существует никаких принципиальных ограниче-
ний при выборе множителя знаменателя для образования функ-
ции типа (2.80), этот выбор должен основываться на сопоставле-
нии возможных вариантов по сложности их реализации.
Для функции передачи (2.80) фильтра нч всегда выполняется
условие: b2>br. Частотная характеристика относительного зату-
хания при этом определяется выражением
а = -20181^(10)1=-101g---------,	(2.81)
(1 — b2 Q2)2+ bf Q2
что дает, как и в случае полиномиальной функции передачи
(2.63), два типа характеристик — апериодическую (рис. 2.10г) и
колебательную (рис. 2.10д). Колебательный тип характеристики
определяется условием
2b2 > bi 4- 2br.	(2.82)
Сравнивая это выражение с условием (2.73), можно сделать
вывод, что в данном случае «колебательность» характеристики оп-
ределяется не только добротностью полюсов, но и взаимным рас-
положением нулей и полюсов. При одинаковой добротности полю-
сов с приближением нулей к полюсам колебательная характери-
стика вырождается в апериодическую. Это обстоятельство необ-
ходимо учитывать при выборе функций передачи второго порядка
вида (2.80) для реализации.
Координаты соответствующих контрольных точек характери-.
стик (рис. 2.10с?) рассчитываются по формулам:
йонд	10 Q u = тНд а —	. t)n ir, "он (^2 тНд		 20 1g 	— bi 1	Г*‘.	g Lb2 Jkl: = — 20 1g(Ьз- bf) ,	(2.83), b(b3	bl =^1/. *  1	2b2(b2— br) -b,) , miJi i br(3br + bf)-b2(b2+2br) ] L	Q2(ba —ьг)2	J (2.85). ^ = -2018^.	о и (2.86),
— 57 —
До сих пор рассматривались множители выражений, аппрокси-
мирующих частотные характеристики фильтров нижних частот.
Как было изложено в разд. 2.6, для получения характеристики
фильтра верхних частот достаточно преобразовать комплексный
параметр в соответствии с выражением (2.56). При этом полино-
миальные функции передачи 1-го (2.64) и 2-го (2.63) порядков
нч прототипа изменятся на
1
I,' Р
1-0 ----- п
- Ь°вР—	» (2.87)
Ц-ЬОВР 'О Д'.И'.-. i;;
b2B Р2
* + Ь1В Р |L ^2Б Р2
(2.88)
где индексы «В» соответствуют 'коэффициентам функции фильтр
вч. Соответственно изменяется расположение полюсов, нулей й
характеристик с их контрольными точками (рис. 2.11):
Ров Ьо °ов’ Pi,2в —' °в i i^B
Ph2„ — ± i ^ов = + i ]/b2
= >/ b; =4’ ”= - T
i ^-B = ]/^йов— Св = &0B j/" 1 —
/ bg \
«Ы = -- 20 1g I Hl3 (i Q)| = 10 1g H + -2 1
(2.89)
(2.90)
: •	г I	\ 2	i-2
/ h« \ bf
«2В ~ ~ 20 1g | tf2B(i Q)k 101g	1 -	+
атЪ ~ flmH'
(2.91)
(2.92)
(2.93)
(2.94)
Аналогичные результаты получаются и для дробжнрациональ-
«Щой функции передачи фильтра вч:
- 58 —

Значения координат контрольных точек, обозначенных в соот-
ветствии с рис. 2.11 д, определяются выражениями:
аовд ~ йонд’	;	(2.97)
й/пВд="^щ’ атВд = атНд- ...	(2-98)
И, наконец, нули передачи находятся в точках:
. J.	PbB=±iQvB-	(2.99)
QvB . | |)f	1	'	(2.100)
VJ
а0 = — 201g — .	!	(2.101)
b2 !
Как видно из (2.94), добротность функции 2-го порядка сохра-
няется такой же, как у нч прототипа.
Множители функции передачи полосовых фильтров. Для пост-
роения характеристики полосового фильтра из нч прототипа, наи-
более часто используется симметричное преобразование частоты
вида (2.57). Получающиеся при этом функции передачи имеют
удвоенные степени по сравнению с исходными функциями (2.63) и
(2.64):
w	.	1
Л ........~ъ~Р ч" i '
—----- .. w (р)= ---------M :	i (2.102)
#4п (р) =------------------—--------------------г----------.	(2.103)
bi / w2 \	bj
1 -j- w — р -|- 2 -|- —- р2 -р w — р3 + р*
т. е. одному полюсу нч прототипа соответствуют два .полюса функ-
ции передачи ПФ. При этом для функции передачи 2-го порядка
(2.102) могут быть два случая:
1) w<2bo, что соответствует преобразованию отрицательного
вещественного полюса нч прототипа в пару сопряженных ком-
плексных полюсов и один простой нуль:
Р] 2П =  оп ± i Пп; оп =	; ®п =	1 оп ;
2) ®^2Ьо, что соответствует преобразованию одного отрица-
тельного вещественного полюса в два неравных отрицательных ве-
щественных полюса (либо в один двукратный при w = 2b0) и один
простой нуль в начале координат:
Р1.2П = — Стц ± V Оп— 1 , .	;
— 60 —
т. е. функцию передачи (2.102) можно записать « ЗДД8 ‘	;
W	‘
----Л,"	<2|M>
(Р—Р1П)(Р-Р2П)
Рис. 2.12. Характеристики сомножите-
лей полиномиального ПФ
Сопоставляя выражение
(2.104) с (2.64) и (2.87), мож-
но сделать вывод, что функ-
ция передачи 2-ю порядка
(2.104) ПФ с точностью до по-
стоянного множителя состав-
ляется из функций 1-го поряд-
ка фильтров нч (2.64) и вч
(2.87).
Рис. 2.13. Контрольные точки
характеристики полиномиаль-
ного ПФ 2-го порядка
Частотная характеристика ПФ (рис. 2.12) определяется с уче-
том выражения (2.102) по формуле
а2П
= -20Jg|/72n(iQ)[ = lOlgfl +
1___О2 <2-1
hr) г (2-105)
В общем случае функция передачи 2-го порядка полосового
фильтра будет иметь вид
hp
Ц-Ь1Пр + Ь2Пр*-
(2.106)
Соответствующая частотная характеристика
«2п = — 20 lg/г + 10&ГЬш + ( Ь2ПЙ— ' (2.107)
— 61 —
показана на рее. 2.13 для случая, когда /;>Ь(П. Контрольные точ-
ки ее определяются выражениями:
=	Г	(2.108)
’ t .	V Ь2П
—20lg-b^.	(2-109)
О.-О.п]/ 1+П«п^Гп-О„п]/,
(2.110)
(2.1Н)
Рассмотрим подробнее преобразование частоты (2.57) для по-
лучения функции передачи (2.103) ПФ 4-го порядка из нч прото-
типа 2-го порядка (2.63). Так как каждому полюсу функции пе-
редачи нч прототипа теперь будут соответствовать два полюса и
Рис. 2.14. Разложение характеристики полиномиального ПФ 4-го- порядка, на
нч п вч составляющие
один простой нуль функции передачи ПФ, то из пары сопряжен-
ных комплексных полюсов (2.65) получим две пары сопряженных
комплексных полюсов и один двукратный нуль в начале коорди-
нат (рис. 2.14):
Рц2ПН = -	± ’ Ql- Р1.2ПВ =-<Ъ± Ьй2) (2.112)
(Г1=-у <тн+
а3 =-J crH-r- ’|/-^(р:--у), (2.113)
— 62 —
fi1= -^н + У 4~(P+Y)’ ^ = --JQh+.F4(P + y)- (2-H4)
где p = у2 + I2,
Y = ! Н-О-Ькти)^^2
Выражения (2.112) — (2.114) получены лри условии
у > О,
(2.115)
что выполняется для большинства практических случаев (за ис-
ключением широкополосных фильтров).
Для весьма узкополосных фильтров, т. е. когда выполняются
условия;
£, (1-
(2.116)
получим щ-щ — -—<TiL Qj«sQ2^1. Это означает, что полюсы
(2.112) попарно почти сливаются, т. е. каждому полюсу нч прото-
типа в данном случае соответствует почти двойной полюс функции
передачи ПФ. При преобразовании функции передачи фильтра нч
п-го порядка получим пару полюсов /i-й кратности.
На основании (2.112) функцию передачи ПФ (2.103) можно
представить в виде
Др2
(Р ~ Pi пн) (Р — /’гпн) (Р ~ Ршв) (Р ~~ Ргпв)
(Н Ь1пн Р + Ь2ПН Р1) (1 + Ь1ПВ р -г Ь2пв Р2)
(2.117)
где
(2.118)
? (2.119)
—положительные вещественные числа. Из сравнения (2.117) с
(2.63) и (2.88) видно, что функция передачи ПФ 4-го порядка
(2.117) составляется из функций передачи 2-,го порядка нч и вч с
точностью до постоянного множителя.
— 63 —
Частотные характеристики ПФ 4-го порядка (рис. 2.14 а и б —
сплошные линии) рассчитываются по формуле
!/	\ 2 "i 2 «2 /	\ 2\
+4^- i) I 
(2.120)
полученной из частотной характеристики нч прототипа (2.71) с
использованием преобразования частоты (2.57). Координаты кон-
трольных точек определяются выражениями:
форму-
Г:' Г"‘ ' а0ПН = йоПВ = Сон, &тПН = V I + V I— 1,
ЙтПВ = V	— 1, “тПН = “тПВ — “mH-
Как видно из выражения (2.117), частотную характеристику
ПФ можно составить из характеристик ФНЧ и ФВЧ, которые по-
казаны на рис. 2.14 пунктирными линиями. Координаты контроль-
ных точек составляющих характеристик нч и вч определяются
коэффициентами (2.118), (2.119) их функций передачи по
лам, аналогичным (2.74)—1(2.77) и (2.89) — (2.94):
йопн =    , ^опв = ~—1--------------------------,
;	....	р Ь2ПН	У Ь2ПВ
.2
а' = а — 1П1? 1Пн
, -	“пн Кпв	---- >
Л	ОрПН
(2.120а)
(2.121)
доброт-
*	т Лгч2 2	’	0UE
= |/ Й]	СУI ,	|/ ।
атпн == й/лпв = 20 1g (£*1 Ь]ПН), а(П =	201g——
Аналогично (2.78) можно записать
С) п — 21 Ь2ПН _2 ь2пв
Чпн-^пв- ь1пн - Ь;пв •
Из рис. 2.14 и сравнительного анализа эквивалентных
ностей составляющих нч и вч (2.121) и исходного прототипа нч
(2.78) можно сделать вывод, что добротность первых больше. Как
видно из рис. 2.14, это приводит даже к качественному преобра-
зованию: исходная характеристика апериодического типа нч про-
тотипа рис. 2.106 преобразована в нч составляющую колебатель-
ного типа характеристики ПФ.
— 64 —
Функцию передачи полосового фильтра 4-го порядка (2.117)
можно представить также составленной из двух функций передачи
2-го порядка вида (2.106), т. е.
образуют две характеристики
ПФ2 так, как показано на
рис. 2.15. Последние рассчиты-
ваются в соответствии с (2.107)
при замене коэффициентов Ьп на
Ьпн и Ьпв соответственно, а так-
же при условии
Vb = ^-	(2.122)
ьг
При построении кривых рис.
2.15 выбрано С1тП~атП- При Этом
параметры контрольных точек,
рассчитанные по (2.108) — (2.111),
будут:
частотную характеристику ПФ4
ки полиномиального ПФ 4-го поряд-
ка на два ПФ 2-го порядка
П2в = Пт = 1, QiB = ^апв,
ЛтП = — 20 1g
ьшв
а”п = —-201g —
Ь1ПН
Q2h = Но пн ,
где
__ w -у Ь1ПН
н /b's V Ь1ПВ ’
Таким образом, возможны два способа представления функции
передачи полиномиального полосового фильтра 4-го порядка.
При применении преобразования (2.57) к дробной функции ви-
да (2.80) получается функция передачи 4-го порядка вида
Ьг
- 1~(ьгпнР2+1)(ЬгПвР2+ »)	(2.123)
4Пд ( Ь2ПНр2 + Ьшнр4-1)( Ь2ПвР2 + Ь1ПвР+ !) ’
где	__________________
Ьнв - 1 + ф <• Ч)’ + У [• + 4 О" Ч)’]! -1 
I	б Г	1	12
ь,пн=1 +-4(“Ч)’~у [i +	] -1 •
₽1,2ПНд = Р1.2ПН’ Р1,2ПВд= Р1.2ПВ ’
РТ.2ПН = ± i —= ± i nvnH> .4	. . ..
У ЬгПН	s _ *
РТ.2ПВ = ± i —Uzr = ± i Ц,пв- ' TS
У ЬгПВ	Г г.
3—156	— 65 —
Очевидно, функцию (2.123) можно представить в виде произ-
ведения функций типа (2.80) и (2.95). На рис. 2.16 показаны со-
ответствующие кривые, контрольные точки которых определятся
выражениями:
атПНд ~ атПВд ““
_____°1ПН______
2( Ь2ПН ~ЬгПн)
ЬШН ЬгПН
2Ь2Пн( Ь2ПН — ЬгПн)
ОтПВд = -------- >
^тПНд
_	_ on Q0TIH ( Ь2ПН — ЬгПн) ,
ПВд — «тПНд — 20 1g------г---------+
°1ПН
+ J01g 1
ЬгПН (ЗЬгПН + Ь12Пн) ~ Ь2ПП ( Ь2ПН + 2ЬгПн)
^ПН ( Ь2ПН “ ЬгПн)2
Рис. 2.16. Характеристика дробного ПФ и ее контрольные точки
'Sofb
Полные характеристики фильтров вч и нч более сложных по-
рядков складываются из рассмотренных выше составляющих, по-
добно построению полной характеристики фильтра нч, показанно-
му на рис. 2.4.
— 66 —
Множители функций передачи полосно заграждающих фильт-
ров. При преобразовании частоты (2.62), используемом при пере-
ходе от нч прототипа к полосно заграждающему фильтру, так же,
как и при преобразовании (2.57), получаются функции передачи
с удвоенным порядком по сравнению с исходными нч функциями.
Множитель 1-го порядка (2.64) переходит в множитель вида
-----------------------р-±-----,	(2.124)
р3 г ьо wp + 1
напоминающий функции передачи (2.80) и (2.95) нч и вч фильт-
ров, но отличающийся от этих функций тем, что равен единице
при р = 0 и р = со.
Множитель 2-го порядка (2.63) переходит в множитель вида
(Р2 + 1)2 _	(2.125)
Р4 + bi wp3 + (2 + Ь2 ш2) р2 -у bi wp у-1
Знаменатель этой дроби должен обладать двумя комплексно-
сопряженными парами корней, и она всегда может быть представ-
лена двумя сомножителями вида (2.80) и (2.95). Наконец, функция
(2.80) при преобразовании (2.62) переходит в множитель вида
Р1 + (2 + br w2) р2 4-1	'2 J26)
р4 + bi wp3 + (2 + b2 w2) р2 bi wp + 1
обладающий двумя нулями при конечных частотах, один из кото-
рых имеет место при p<i, а другой — при p>i. Вследствие этого
множитель (2.126) также можно разложить на два множителя
вида (2.80) и (2.95) со сдвинутыми у одного по отношению к дру-
гому нулями.
Нетрудно заметить, что знаменатель (2.126) можно получить
из знаменателя (2.103) заменой — на w. То же относится и к
Ь2
знаменателям выражений дробных функций передачи полосовых
и заграждающих фильтров. Поэтому для определения полюсов
функций передачи заграждающих фильтров и координат контроль-
ных точек их характеристик можно использовать формулы, полу-
ченные ранее для полосовых фильтров, заменяя в них — на w.
Ьг
Множители функций передачи фильтров нч и вч с ограничен-
ной полосой пропускания. На практике часто требуется реализо-
вать несимметричную характеристику полосового фильтра. Такую
характеристику могут иметь многие фильтры нч, если они не пред-
назначены для передачи постоянной составляющей. Функции пе-
редачи фильтров подобного типа, как уже отмечалось, можно по-
лучить с помощью преобразования частоты вида (2.58).
При нормировании относительно верхней частоты среза фильт-
ра в соответствии с (2.60) выражение (2.58) запишется в виде
а=/т^'	?
3*
— 67 —
Поскольку подобное преобразование частоты имеет смысл
только для четных функций передачи [5], здесь достаточно опреде-
лить в общем виде соответствующее изменение функции передачи
2-го порядка.
Функцию передачи фильтра 2-го порядка с ограниченной по-
лосой пропускания можно получить подстановкой (2.127) в (2.71).
В первую очередь обратим внимание на изменение постоянно-
го множителя преобразованной функции передачи, который в ко-
нечном счете определяет величину усиления g в полосе пропуска-
ния (рис. 2.17) в соответствии с выражениями:
Snri2=10lg Р+Ь2
si.
1 — Qi ,
(2.128)
Для одного множителя 2-го порядка и
л/2
^НП = £нП2
I
(2.129)
для всей функции передачи.
Из (2.128) видно, что с уменьшением полосы пропускания
фильтра (ростом параметра Q-i) возрастает усиление фильтра в
полосе пропускания.
Коэффициенты аппроксимации искомой функции передачи 2-го
порядка определяются по формулам:
Ь2нп = ~=------------- Ь2........-- =
ф (1 - Qi, + b2 Qi!)2 - b2 (1 - Qi,) Qi,
. (2.129a)
^1НП —
2b2(l -Qi, +baQi,)-b2(l-Qi,)
2НП (1 _	+ ba _ b2
Отметим, что добротность полученной таким образом функции
Передачи 2-го порядка (определяемая по ф-ле (2.78) при соответ-
ствующей замене индексов) возрастает по сравнению с добротно-
стью исходного нч прототипа. Частотная зависимость коэффици-
ента передачи в полосе задерживания для частот Й>1 имеет та-
кой же характер, как и у прототипа при большей величине отно-
сительного затухания. Это дает некоторый выигрыш при определе-
нии класса фильтра по затуханию с помощью графиков приложе-
ния 2. Как отмечено в разд. 2.6, выигрыш определяется соотноше-
нием шкал частот
1/ ------и й
. ; <		'	К 1 - Qi,
и увеличивается с уменьшением ширины полосы пропускания
фильтра.
— 68 —
В некоторых случаях может появиться необходимость опреде-
лить величину относительного затухания в полосе задерживания
Оч-Q-i. Приближенно поведение функции в данной области ап-
проксимируется прямой О—О'
(рис. 2.17), уравнение которой мож-	 • *
но записать в виде выражения
позволяющего с достаточной для
практики точностью определить ве-
личину относительного затухания в
полосе задерживания.
Таким образом, получены выра-
жения для расчета всех необходи-
мых параметров функций передачи
фильтров нижних частот с ограни-
ченной полосой пропускания. Ана-
логично можно определить функции
передачи фильтров верхних частот
с ограниченной полосой пропуска-
ния. При реализации подобных
фильтров экономится число схемных
элементов, однако эта экономия до-
стигается за счет повышения доб-
ротности звеньев фильтров.
Рис. 2.17. Характеристика от-
носительного затухания поло-
сового фильтра с различными
требованиями к подавлению
спектральных составляющих
выше и ниже полосы пропус-
кания
2.8. Расположение корней характеристического полинома
на комплексной плоскости
Выше, при рассмотрении аппроксимации с помощью полиномов
Чебышева и Баттерворта, было показано, что корни характеристи-
ческого полинома располагаются на плоскости комплексной час-
тоты в первом случае по эллипсу и во втором — по окружности.
Выясним теперь общую закономерность расположения корней ха-
рактеристического полинома в случае аппроксимации дробью Че-
бышева, частным случаем которой является полином Чебышева.
Корни полинома g(p')g(—р), очевидно, равны корням левой
части (2.4). Таким образом, задача сводится к отысканию корней
уравнения
1 +e.2F2n= 1 +e2ch2<D = 0,	(2.130)
где через Ф обозначено, как и ранее, выражение, стоящее в квад-
ратных скобках (2.24). Величина Ф при произвольных комплекс-
ных значениях р является комплексной:
Ф = Х + 1У.	-----
Тогда из (2.130) имеем	,
ch(X + i Y) = ± i е-1.
— 69 —
Приравнивая вещественные и мнимые части, получим - •' ч••
ch X cos Y =0; shXsinV = + e—1.
Поскольку гиперболический косинус при вещественном аргу-
менте всегда больше единицы, то cosT = 0, следовательно,
Y = ±	•> = 1, 3, 5 . . .	(2.131)
Тогда sin У = ±1 и shX= s-1 или
X = Аг she-1 = const.	(2.132)
Таким образом, корни полинома g(p)g(—р) располагаются на
линии равного затухания сравнения в точках, где У=1шф опреде-
ляется по ф-ле (2.131), как показано на рис. 2.18а. В частном слу-
чае, когда дробь Чебышева вырождается в полином, линия равно-
го затухания представляет собой эллипс. В более общем случае
при наличии одного или нескольких нулей передачи форма кри-
вой, па которой располагаются корни характеристического поли-
нома, несколько отличается от эллипса. В качестве примера на
рис. 2.186 сплошной кривой обозначен эллипс, проведенный через
четверки корней, наиболее близких к вещественной оси. Точками
показаны корни, а пунктирная кривая проходит через все корни
характеристического полинома, вычисленные для случая н = 8;
Да = 0,1 дб; Qi = l,5 (один нуль передачи).
Другой пример расположения корней, относящихся к случаю:
/7 = 7; Да = 0,1 дб; Qi = l,2; Qz= 1,36941; Q3 = 2,17728 (три нуля
передачи), — показан на рис. 2 18в, где также сплошной кривой
обозначен эллипс, проведенный через ближайшие к вещественной
— 70 —
оси корни, а пунктирная кривая проходит через все корни харак-
теристического полинома.
Из выражений (2.132) и (2.17) следует, что линия, на которой
располагаются корни полинома g(p), определяется величиной
е= У 10 °'Ud — 1, т. е. величиной максимально допустимых иска-
жений в полосе пропускания фильтра. Чем меньше е(Аа), тем
больше X, следовательно, тем дальше от оси вещественных частот
располагаются корни полинома g(p) и тем меньше относительное
затухание проектируемого фильтра в полосе задерживания. Умень-
шая искажения в полосе пропускания, мы можем удалять корни
полинома g(p) от начала координат и от оси вещественных час-
тот (мнимой оси плоскости р). Бесконечно малым искажениям в
полосе пропускания соответствует бесконечно большое удаление
корней полинома g(p) от начала координат. Уменьшение искаже-
ний в полосе пропускания в соответствии с (2.29) одновременно
приводит к снижению величины относительного затухания в поло-
се задерживания.
Чувствительность характеристик фильтров к изменению вели-
чин схемных элементов, а следовательно, возможность их реализа-
ции связаны, прежде всего, с добротностью множителей 2-го по-
рядка, выражаемой ф-лой (2.78).
Знаменатели квадратичных полиномиальных множителей ФНЧ
могут записываться не только как в ф-ле (2.63), где единице ра-
вен свободный член, но и в виде /^Н-а^ + ао с приравниванием
единице коэффициента при квадратичном члене. В этом случае
добротность, как нетрудно убедиться, выразится так:
Q = 2±Лт .	и
ai	.
Наконец, можно получить еще один вид записи знаменателя
квадратичного множителя, изменив в (2.63) нормирование путем
замены у Ь2р на р. Тогда
р2-!--^р + 1=р2 + ар+1,	(2.133)
1 ь2
9
Q = — .	(2.134)
а
Величину добротности можно выразить также через тангенс
угла tp, образуемого вектором, соединяющим начало координат с
данным полюсом и одной из осей координат (рис. 2.19). Корни
трехчлена (2.133)
или после подстановки (2.134)
Р12 = ~^-[1 ± i VQa— 1] = ан± i^H,	(2.135)
— 71 —
откуда*
, д,	i
tg<P = —= VQ2-1
aH	I
_____ ..
<p = arc tg ]/Q2 — 1
Q = V1 + tg2 <p
(2.136)
Различные виды аппроксимации заданной частотной характе-
ристики затухания могут приводить к множителям с различной до-
бротностью. Покажем это на двух примерах.
Рис. 2.19. Пара комплексно-со-
пряженных полюсов на ^-плос-
кости
1. Для получения затухания
40 дб при Q=l,4 и Да = 0,5 дб, как
можно видеть из рис. П2.1в и П2.5
(приложение 2), требуется либо
полином Чебышева с п = 8 (макси-
мальная добротность множителя
Q = 23), либо дробь Чебышева с
одним полюсом при Qi=l,5(Q =
= 16,5) и п =6.
2. Для получения затухания
55 дб при 0=1,4 и Да = 0,5 дб тре-
буется либо дробь Чебышева с од-
ним полюсом при Qi=l,5 и /г = 7
(Q = 23), либо полином 10-й степе-
ни (Q = 36).
При переходе от нч прототипа
к ФВЧ добротности множителей,
как уже отмечалось, остаются не-
изменными. При переходе к поло-
совому фильтру с использованием
преобразования частоты вида (2.57)
добротности получающихся при
этом множителей могут быть зна-
чительно более высокими, чем у исходного прототипа, особенно
при малых значениях w.
Значения добротностей множителей полосового фильтра мож-
но определить с помощью выражений (2.121). Подставив в (2.121)
значения коэффициентов из (2.118) — (2.119), а также воспользо-
вавшись выражениями (2.113), (2.114), (2.66) — (2.68) и (2.78),
можно определить добротности множителей полосового фильтра
через добротности множителей прототипа и коэффициент ширины
полосы w. Выражения, полученные таким путем, весьма громоздки.
Более удобны приближенные соотношения, которые можно полу-
чить следующим образом.
В случае фильтров с не слишком широкой полосой пропуска-
ния в знаменателе дроби (2.103) в выражении коэффициента при
р2 величина <д>2/Ь2 мала по сравнению с двойкой и ее без большой
— 72 —
погрешности можно заменить на Ь4гг,2/4 Ь| . При этом условии с
учетом (2.78) знаменатель в (2.103) примет вид
1 Н-----— Р + ( 2 н-------) рг н--— р3 + р\
Qo/b2 \	Q0/b2
1
—, где
тр
где индекс при Q означает, что речь идет о добротности множи-
теля прототипа. Заменим в полученном выражении коэффициенты
2 при р и р3 на 11Н--, а в выражении при р2 — на н2+
П
т] — некоторая постоянная, близкая к единице. Получим
Здесь
Q =
W
(2.137)
Полученные квадратичные множители характеризуются часто-
тами максимального усиления, сдвинутыми относительно норми-
рованной частоты, равной единице, — одна в сторону верхних,
другая в сторону нижних частот, и одинаковыми добротностями Q,
связанными с добротностью Qo нч прототипа выражением (2.137).
Выражение (2.137) весьма удобно для оценки величин доброт-
ностей множителей полосового фильтра по известным множителям
прототипа. Как видно, добротности обоих квадратичных множи-
телей, на которые разлагается знаменатель функции передачи ПФ
4-го порядка, одинаковы.
Выражение (2.137) может служить также и для определения
предельно’ допустимой добротности множителей нч прототипа по
заданной предельно допустимой добротности ПФ. При решении
этой задачи требуемая добротность нч прототипа при заданных w
и добротности ПФ может оказаться меньшей единицы. Из (2.135)
следует, что при Qo=l оба комплексно-сопряженных полюса сли-
ваются в один двукратный чисто вещественный полюс. При даль-
нейшем уменьшении добротности полюсы снова разделяются и
движутся по вещественной оси в разные стороны: один к началу
координат, другой в бесконечность, как это показано на рис. 2.19.
Множитель вида (p2 + aip + afl) = — (b2p2 + bip+1) можно при этом
разложить на два множителя:
/	/	2	\ /	/ 2	\
+	V 4“ао) • <2-138>
— 73 —
Если ограничиться рассмотрением только первого множителя,
соответствующего меньшим добротностям множителей полосового
фильтра, то, сопоставляя (2.138) и (2.64), получим
_1
'	1 1 “Л
г —а0 или — = | а0 1 Д
Ьо \
где Qo =
2Иао	,
------- условная добротность множителя прототипа ви-
ai
да p2 + aip + a<), обладающего двумя вещественными корнями.
Зависимости добротностей
от w для различных значений
на рис. 2.20 (для Ь2 = а0=1).
Qt
ют
500\
200
Ю0
50
20
10
2
1
0,2
Рис. 2.20.
0+50
30
15
10
•2
0,3 0,4 Ц5 1.0 2fi	4,0 5,(Пт
Зависимость добротностей Q
множителей полосового фильтра от ®
Q множителей полосового фильтра
добротностей Qo нч прототипа даны
Все значения Qo, меньшие единицы
на рис. 2.20, являются ус-
ловными добротностями.
Из разд. 2.9 будет вид-
что ограничение величи-
множите-
аппроксимационных вы-
может оказаться

но,
ны добротностей
лей
ражений
необходимым для обеспече-
ния требуемой стабильности
характеристик схемы.
Из проведенного анали-
за свойств сомножителей
аппроксимационных выра-
жений можно, таким обра-
зом, сделать вывод, что ес-
ли расположение полюсов коэффициента передачи полосового
фильтра обусловлено максимально допустимой величиной доброт-
ности, то при достаточно малых w все полюсы прототипа могут
оказаться расположенными на вещественной оси плоскости р.
Другими словами, такой прототип должен будет представлять со-
бой пассивную /?С-цепь.
Другой вывод можно сделать, возвратившись к разд. 2.7. Из
выражений (2.72), (2.73), (2.78) и (2.136) можно заметить, что
колебательный тип частотной характеристики полиномиального
множителя 2-го порядка возможен только при Q>]/^, т. е. при
<р>45°. Поскольку произведение монотонно изменяющихся сомно-
жителей является также монотонной функцией, можно утверждать
следующее:
если расположение полюсов выражения, аппроксимирующего
коэффициент передачи, ограничено сектором левой полуплоскости
р в пределах +45° от отрицательной вещественной полуоси, поли-
номиальная аппроксимация может быть только монотонной.
При синтезе полосовых фильтров, образуемых из нч прототи-
пов с помощью преобразования частоты (2.57), сектор полуплос-
кости р, в пределах которого возможна только монотонная поли-
— 74 —
номиальная аппроксимация, расширяется. Из выражений (2.136)
и (2.137) следует вывод:
для узкополосных фильтров, образованных из нч прототипов
с помощью преобразования частоты вида (2.57), полиномиальная
аппроксимация может быть только монотонной в пределах секто-
ра, ограничиваемого по обе стороны от отрицательной веществен-
ной полуоси углом
ср = arctg У-^rQo— 1 •
(2.139)
2.9.	Чувствительность характеристик фильтров
При проектировании активных /?С-фильтров бывает необходи-
мо определить границы изменения характеристики фильтра при
изменении элементов схемы в известных пределах допусков. В тео-
рии электрических цепей чаще всего используются два критерия
при определении чувствительности к изменениям отдельных эле-
ментов.
Классическая чувствительность (или чувствитель-
ность по Боде):	v.
S«(p) dlnH(p) = _Х__	(2.14Й)
 d in X Н (р) d К .	4	'
где Н(р) — функция цепи, 7 — изменяющийся элемент цепи. , ,
Если учесть, что	. .	,!4
то выражение (2.140) можно представить в виде
	Sf(p) = Sf'(Q)-|-iSrg//(Q),	I ' C t 1	(2.141)
где		- •*.	
			7 d \H\	 v ” 'фр dk	Л1	(2.142)
чувствительность амплитудно-частотной характеристики цепи, а
чувствительность фазо-частотной характеристики
S*rgH(Q)=	'	(2.143)
П о л ю с и о-н у левая чувствительность
. (2.114)
где —полюс либо нуль функции цепи (2.5).	1
— 75 —
Между этими двумя,критериями чувствительности существует
связь, которую нетрудно определить. Если представить общую
функцию цепи в виде
П(Р-~М	:
Я(р,	,	(2.145)
:	П(р- м
V	_
то для нее можно записать ,L	( а ,
rfln//_y^v	1 у	1	(2.146)
d А,	dk р р	lAJk р z *
v= 1	v= 1
Умножив левую и правую части ур-ния (2.146) на X, получим
интересующее нас соотношение:
. <sf=ysr^-—---------V*sr?—1—(2.147)
XJ p-pv
' - :	.	v= 1	v= 1
Для исследования чувствительности амплитудно-частотных ха-
рактеристик фильтров целесообразно использовать классический
критерий, непосредственно дающий, в соответствии с (2.142), ко-
личественную оценку.
Расчет чувствительности характеристики фильтра можно раз-
делить на два этапа, соответствующих аппроксимации заданной
амплитудно-частотной характеристики и реализации ее конкрет-
ной схемой. На первом этапе определяется влияние нестабильности
коэффициентов аппроксимации полученной функции передачи
фильтра, а на втором — чувствительность этих коэффициентов
аппроксимации к изменению величин реализующих их элементов.
Второй этап целесообразно проводить вместе с конкретной реали-
зацией заданной функции передачи, поэтому сейчас рассмотрим
только первый этап.
Поскольку общая функция передачи фильтра (2.5) представ-
ляется составленной из множителей 1 и 2-го порядков, то задачу
определения влияния нестабильности коэффициентов аппроксима-
ции можно упростить, сведя ее в общем виде к расчету чувстви-
тельности функций передачи 1 и 2-го порядков.
Чувствительность рассчитывается по классическому критерию
(2.142) для разных порядков и типов функций передач ФНЧ,
ФВЧ и ПФ.
Фильтр нч полиномиального типа. Чувствительность частотной
характеристики фильтра нч l-ro порядка к изменению единствеп-
— 76 —
ного коэффициента-аппроксимации Ьо, определенная на основании
(2.142) и (2.70|, ’
~,	(2.148)
- - . 1 +----------- - ; . .
•   •	-Д	b0Q2 -
изображена графически на рис.
2.21а. Отсюда видно, что чув-
ствительность зависит от ча-
стоты и по абсолютной вели-
чине всегда меньше единицы.
Кроме того, чувствительность
уменьшается с возрастанием
величины коэффициента Ь.-ь
который возрастает с уве-
личением порядка аппрокси-
мирующей функции в целом
(последнее видно из анализа
соответствующих табл. П1.2—
П1.7 приложения 1).
Как видно из выражения
(2.71), частотная характери-
стика фильтра нч 2-го порядка
определяется двумя коэффи-
циентами аппроксимации bi
и Ь2.
Чувствительность характе-
ристики к изменению коэф-
фициента
Рис. 2.21. Чувствительность характерис-
тик затухания к изменению коэффици-
ентов аппроксимации
SIh2hI = b2 Q3 (1 — b2Q2)
Ьг (1 — b2 Q2)2 + bj Q2
(2.149)
Максимальных значений эта
частотах
чувствительность достигает на
Ч Чн /	1 + q ,
Ч — Чн /	~ Q ’
(2.150)
при этом абсолютная величина максимума пропорциональна доб-
ротности и для достаточно больших значений ее (Q^>1) примерно
<2
равна —.
Полностью характер частотной зависимости этой чувствитель-
ности показан на рис. 2.21а. Поскольку диапазон частот, опреде-
ляемый окрестностями точек Qj и Qa. где чувствительность разного
— 77 —
/  L
знака достигает своих экстремальных значении, сравнительно мал
(особенно в случае высоких добротностей), то среднее (интеграль-
ное по частоте) значение чувствительности будет близко к нулю,
т. е. значению при й = £2он-
Чувствительность частотной характеристики к изменению ко-
эффициента аппроксимации Ь< рассчитывается в общем виде ана-
логичным образом. Получим зависимость
bi
bf Q3
(1 — b2 Q2)2 + bj Q2
(2.151)
График которой показан на рис. 2.21а. Максимальная абсолютная
величина чувствительности 51	, достигаемая на частоте Нон,
равна единице и не зависит от добротности.
Фильтр вч полиномиального типа. Все изложенные выше ре-
зультаты по чувствительности для фильтра нч полиномиального
типа могут быть полностью перенесены на соответствующие час-
тотные характеристики фильтра вч, поскольку последние были по-
лучены из характеристик фильтра нч с помощью однозначного
преобразования частоты (2.56).
Кривые частотных зависимостей чувствительностей фильтра
вч, полученные из соответствующих характеристик для фильтра
нч на основе указанного преобразования, приведены на рис. 2.216.
Основные результаты аналогичны уже изложенным для фильт-
ров нч.
Полосовой фильтр полиномиального типа. В случае полосово-
го фильтра для определения соответствующих чувствительностей
используются выражения для функции передачи 2-го порядка об-
щего вида (2.106) с частотной характеристикой (2.107). Имеем:
£;«2П| _	Ь2П(! ~ Ь2П Q2) Q2
*2П ~ (b2nQ2-l)2-y bfnfi
(2.152)
(2.153)
что равнозначно выражениям (2.149) и (2.151) для фильтра нч при
соответствующей замене индексов.
Фильтры с нулями передачи. Чувствительность характеристики
с нулями передачи достаточно рассмотреть на примере функции
передачи 2-го порядка фильтра нч (2.80). Нетрудно убедиться,
сравнивая соответствующие выражения для частотных характерис-
тик (2.81) и (2.71), в справедливости равенств:
З^гнд! = slH2H| 5'-я2Нд1 = 51н2н!
ь»	bt ’ Ь,	Ь, ’
из которых видно, что чувствительность частотных характеристик
фильтров с нулями передачи к нестабильности коэффициентов ап-
проксимации Ь1 и Ь2 такая же, как и у полиномиальных фильтров.
Влияние дополнительного коэффициента аппроксимации опре-
деляется выражением
51"2НД| = ----?—
г 1
~b, Q2
(2.154)
аппроксимации
т. е. чувствительность обращается в бесконечность на частоте, со-
ответствующей нулю передачи.
Наиболее важной является стабильность коэффициента пере-
дачи в пределах полосы пропускания, где O^Q^l. Из (2.154)
можно заключить, что эта
стабильность ухудшается по
мере приближения к ча-
стоте среза фильтра (при
большом коэффициенте Ьг).
Полученные выражения
чувствительности частотной
характеристики фильтров к
изменению коэффициентов
аппроксимации могут быть
в дальнейшем использованы
как весовые функции в оп-
ределении влияния неста-
бильности схемных элемен-
тов фильтра, реализующих
эти коэффициенты аппрок-
симации, на амплитудно-
частотную характеристику.
В последующих главах, по-
священных вопросам реали-
зации, будет произведена
циентов аппроксимации к
ной схемы	~_
шую чувствительность имеет коэффициент Ь1 и величина
чувствительности часто пропорциональна добротности, т. е. .мак-
симальна вблизи частоты среза фильтра. Поэтому нестабильность
частотной характеристики фильтра можно оценивать по произве-
дению добротности звеньев на чувствительность S ь . Соответст-
вующие кривые для звеньев фильтра нч Чебышева 7-го порядка
показаны на рис. 2.22.
Таким образом, строгое решение задачи по определению чувст-
вительности характеристики всего фильтра раскладывается на
сравнительно простые задачи по расчету чувствительности харак-
чувствительности
коэффи-
конкрет-
наиболь-
этой
оценка
нестабильности элементов
фильтра. При этом будет показано, что
— 79 —
теристик составляющих его звеньев, так как нестабильность от-
дельных звеньев влияет только на характеристику своего звена.
Это обстоятельство выгодно отличает активные /?С-фильтры от
обычных LC-фильтров, где изучение чувствительности представ-
ляет значительно более сложную задачу, а оптимизация чувстви-
тельности часто невозможна из-за огромного объема вычислений.
2.10. Выравниватели амплитудно-частотных и фазовых
характеристик
Хотя выравниватели амплитудно-частотных и фазовых харак-
теристик представляют собой класс устройств, по своему назна-
чению отличных от электрических фильтров, они весьма близки к
фильтрам по технике их реализации. Кроме того, по условиям за-
дачи амплитудные и в особенности фазовые выравниватели в ря-
де случаев приходится включать в состав фильтра, так как только
таким путем удается удовлетворить предъявляемым к фильтру
требованиям.
Выравнивателем амплитудно-частотной характеристики назы-
вается четырехполюсник, используемый для устранения или, точ-
нее, уменьшения амплитудно-частотных искажений. Амплитудные
выравниватели широко применяются в радиоэлектронной аппара-
туре различного назначения. Методы их расчета рассматривают-
ся во многих работах. В последнее время широко разрабатывают-
ся графические и графоаналитические методы расчета, основанные
на использовании шаблонов. Они наглядны, но требуют большого
числа заранее изготовленных шаблонов и не позволяют в ряде
случаев получить требуемую точность вычислений.
Аналитические методы расчета целесообразно применять при
весьма сложных требованиях к точности выравнивания, встречаю-
щихся, например, в многоканальных системах уплотнения кабель-
ных линий связи с десятками и сотнями каскадно включаемых
линейных усилителей. При этом часто требуются громоздкие вы-
числения (осложняемые получением нереализуемых решений),
которые выполнимы лишь с помощью электронно-вычислительных
машин. Наиболее часто для расчета не слишком сложных ам-
плитудных выравнивателей используется метод, основанный на
выборе определенных схем звеньев и нахождении их параметров
путем решения систем уравнений.
Применительно к активным /?С-цепям, реализуемым, как пра-
вило, в виде каскадного включения звеньев 1 и 2-го порядков, це-
лесообразно использование расчетной методики, изложенной в [30].
В качестве звеньев амплитудных выравнивателей 1-го порядка
могут использоваться пассивные /?С-звенья рис. 3.5 и 3.10. В ка-
честве звеньев амплитудных выравнивателей 2-го порядка, коэф-
фициенты передачи которых выражаются в виде . , . <....
— 80 —
где
и
И 1гл 1 4-ь[ р 4-Ь2 ра
”а(Р) =--------7,-------
1 -4- Ьх р — Ь2 4
Я22(р) =
1 4 bj Р + ba Р2
Ьо г ь] р ~ bab2 р2
(2.155)
(2.156)
где bo> 1, bj>b’, могут использоваться, в частности, некоторые
из схем, приводимых в [48].
Фазовым выравнивателем (корректором) называется, как из-
вестно, четырехполюсник, модуль коэффициента передачи которо-
го равен постоянной величине, а фазовый сдвиг изменяется с час-
тотой по тому или иному закону. Фазовые выравниватели относят-
ся к неминимально-фазовым цепям. Нули коэффициента переда-
чи таких цепей располагаются в правой р-полуплоскости симмет-
рично полюсам, находящимся в левой р-полуплоскости.
Поскольку, как и во всех физически реализуемых цепях, по-
линомы числителя и знаменателя выражения коэффициента пе-
редачи могут обладать либо вещественными, либо попарно сопря-
женными корнями, это выражение можно представить в виде со-
множителей 1 и 2-го порядков:
Нетрудно убедиться в том, что модуль любого из множителей
при любом значении p = iQ равен единице. Реализация такого мно-
жителя так же, как любой неминимально-фазовой цепи, возможна
в виде схемы, создающей два параллельных пути от генератора
к нагрузке (рис. 2.23). На тех частотах, где уменьшается переда-
ча по одному из путей, она
увеличивается по другому
пути и наоборот, так что
результирующий ток через
нагрузку остается постоян-
ным на всех частотах. Со
стороны входа обе ветви
должны параллельно под-
ключаться к генератору, а
Рис. 2.23. Блок-схема неминимально-фазо-
вой цепи
со стороны выхода — к на-
грузке через сумматор, причем ток или напряжение с выхода од-
ной из ветвей должны быть предварительно инвертированы по
фазе. Обозначив напряжения на входе сумматора со стороны
первой ветви через Uit со стороны второй — через U2, результи-
— 81 —
рующее выходное напряжение — через U3, получим для множи-
теля 1-го порядка:
U> = Е-М— и2 = е--------!— ,	.
'	1 + b0 Р	1 + ЬоР
и3 = и2 - Ux = Е l^P .
1 + b0 р
Аналогично для множителя 2-го порядка:
Ut = Е----Ь-^-----, IE, = Е —1)2 р2	,
ь2 Р2 ~г bi р + 1	“ ь2 р2 — bl р -У 1
и3 = U2 - Ut = Eb2P2-bip+l .
Ь2 р2 -г bi р + 1
Выведенные выражения содержат множители, аналогичные
полученным ранее для фильтров, поэтому фазовыравниватели мо-
гут реализовываться теми же звеньями, что и соответствующие
фильтры.
Расчет фазовых корректоров, сводящийся, по существу, к оп-
ределению значений нулей и полюсов коэффициента передачи,
представляет собой отдельную задачу и здесь не рассматривается.
Этому вопросу посвящены, в частности, работы [9], [19], [25], [30]
и [31].
ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ УСИЛИТЕЛЕЙ
С ОГРАНИЧЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
ПЕРЕДАЧИ
3.1.	Реализация активных элементов
Реализация активных элементов /?С-фильтров является самостоя-
тельной задачей. В качестве таких элементов могут использоваться
усилители тока и напряжения, имеющие фиксированный коэффи-
циент передачи, близкий к единице.
Идеальным усилителем тока считается активный четырехпо-
люсник с нулевым входным и бесконечно большим выходным со-
противлениями, коэффициент передачи которого определяется от-
ношением токов на выходе и входе. Идеальным усилителем напря-
жения является активный четырехполюсник с бесконечно боль-
шим входным и нулевым выходным сопротивлениями, коэффи-
циент передачи которого определяется отношением напряжений на
выходе и входе.
Необходимые для построения звеньев активных /?С-фильтров
усилители тока и напряжения должны содержать минимальное
число транзисторов и по своим параметрам по возможности при-
ближаться к идеальным усилителям. Так как активные /?С-фильт-
ры предназначены для работы в диапазоне сравнительно низких
частот, то такие крупные детали, как переходные конденсаторы
и трансформаторы, желательно заменить непосредственными
соединениями. Рассмотрим схемы усилителей тока и напряжения,
удовлетворяющие этим требованиям.
Усилители тока. Простейшим полупроводниковым усилителем
тока является транзистор, включенный по схеме с общей базой
(рис. 3.1а). Такой усилитель при Т-образной эквивалентной схеме
транзистора для низких частот (рис. 3.16) характеризуется следую-
щими параметрами:
1)	коэффициентом передачи по току	-	' ;
А’;1 =-;мх	(3.1)
4 'вх
2)	входным сопротивлением, которое при замкнутых: выход-
ных зажимах и условиях	!	>
гк»гб и ГК»ГЭ	(3.2)
определяется как
1вхт1 = гэТ-(1- а)гб-,	.	(3.3)
— 83 —
3)	выходным сопротивлением при разомкнутых входных зажи-
мах
А’выхт!. — гк>	(3-4)
что для практических величин нагрузок /?н обеспечивав режим
короткого замыкания на выходе.
Рис. 3.1. Однотранзисторные усилители тока и напряжения
Так как а<1, то для построения усилителя тока с коэффициен-
том передачи в схему усилителя необходимо ввести еще один
транзистор (рис. 3.2). Параметры двухтранзисторного усилителя
Рис. 3.2. Двухтранзи-
сторный усилитель то-
ка н его эквивалент-
ная схема
можно вычислить на основе определителя матрицы проводимостей
его эквивалентной схемы
	^ + —	0		1_		1_	0	0	
	Ri гЭ1		ГЭ1	Rz			
	0	J- + — Rs	ГЭ2	0	0 -		1_  Rs		1_ гэ2	
д=	1 — сц ГЭ1	0	1 — СИ .	1 	1	 f3t	^6t	0		1_ ГК1	; 4 0	
		1_ R?	_ 21 ГЭ2	0	J- + Ri R2	О. 0	а2 Г 92	
		ои_ гЭ1		1_	СИ ГЭ1 , .	О'	1 , 1 =	1	 Rs гб2		1_ Гб2	
	0		 1 — cta	0		1_		1_	kz^? + _L	
		ГЭ2		ГК2	Гб2	^Э2	^62 (3.	5)
составленной при условиях, аналогичных (3.2).
— 84 —
Коэффициент передачи по току в. режиме короткого замыка-
ния определяется [18] как отношение.величин, алгебраических до-
полнений матрицы проводимостей
 &т2 = -^-, '	(3.6)
S	.	"О
что дает
(1 +1' 1+1^
k.2 = -\~ —-—4—	(3.7)
1 +	1 + f1+^\(1_а2) ГГ}? а
\ R1 / а1а2	\ R1 J
при условиях (3.2) и	, ’
₽1, Яз^Гэ!, гэ2, гб1, гб2.	(3.8)
Из (3.7) видно, что при использовании транзисторов, у кото-
рых а достаточно близко к единице, передача по току всей схемы
определяется только пассивными элементами
-	(3.9)
R1	
что соответствует неинвертирующему операционному усилителю
(см. разд. 6.1).
Входное сопротивление усилителя при замкнутых выходных
зажимах вычисляется по формуле
где Аи, 22 — двойное алгебраическое дополнение матрицы прово-
димостей (3.5). Окончательно через элементы схемы входное соп-
ротивление определяется как
^вхт2=[(1-а1)гб1 + гэ1]^	.	(3.11)
ai
при тех же условиях (3.2) и (3.8). Наконец, выходное сопротив-
ление усилителя равно
Ъ ______ ^22 _ Д12	1	/О 1Л1
КвИЙ’ .	-	~	~
А А £т2
или
п _________ г Щ (Ri — 7?г)гК2 .—,	Ri — -----------/л ,л.
"вых т2 — »к2	‘	Z~~ ~'к2 •	^0.10/
^Т2Г61 (Щ R1)	
Из сравнения параметров (3.3), (3.4) транзистора, включен-
ного по схеме с общей базой, с параметрами (3.11), (3.13) Дйух-
— 85 —
транзисторного усилителя видно, что входное сопротивление по-
следнего несколько увеличивается:	' ii
^ВХТ2 = -RbXTI >	(3-14)
0С1
а выходное сопротивление резко возрастает:
р __________ р R1
^ХвыхтЗ 'Хвыхт! •
61
(3.15)
Поэтому двухтранзисторный усилитель (рис. 3.2) А в большей
степени соответствует идеальному усилителю тока, йфбходимому
для построения звеньев активных /?С-фильтров.
Рис. 3.3. Усилитель напряжения на двух
транзисторах с разной проводимостью и его
эквивалентная схема
Усилители напряжения. Простейшим усилителем напряжения
является транзистор, включенный по схеме с общим коллектором
(рис. 3.1в), — эмиттерный повторитель. Его параметрами яв-
ляются:
1)	коэффициент передачи по напряжению	, ( •
2)	входное сопротивление в режиме холостого хода
3)	выходное сопротивление при замкнутых входных зажимах
Явыхн1 = кэ+(1 — а)гб1^1-	(3-18)
Для построения усилителя напряжения с коэффициентом пе-
редачи fen^l можно использовать модифицированную схему эмит-
терного повторителя (рис. 3.3а) на транзисторах разных типов.
Эквивалентной схеме такого усилителя (рис. 3.35) соответствует
— 86 —
матрица	проводимостей	(без учета	коллекторной	проводимости
транзистора) с определителем —	0	’ — —	0	0 Тб1	051	i * 0 J-	0	0 R2	гэ2 —L о	—+ — о	о’, Д=	Г51	Гэ1	Г61	’1 оо	о	__L Г Гэ2	^62	^62 0	0	— —	— + =L ГЭ1	гб2	052 Яз о —J- —2_	о	о — Ri	ГЭ1	ГЭ1 На основании (3.19) определяются параметры				0 	1_ /?2 1 — од Г Э1 0 — И1 Тэ1 _ + =кж±. (3.19) усилителя.
Коэффициент передачи по напряжению равен
&и2 —
Ala
XT
(3.20)
откуда
^Н2 —
rS2 1 z 1	\ I 1 , r62 I I 1
=-+ (1 — а2) 1 +=-----------
R3	\ Ra / \ aia2
1+^
________/?1
1 + №+ЧН1~“1)+111^+(1~“2)
L Ri Ri	J L R3
«1«2
1 + ~ •
Ri
Входное сопротивление
р ______________________________ Ач
'^вх н2	. >
А
(3.21)
(3.22)
или
^вх н2 — А1!--------------
1 L ____Г-Эг
' (1-а2)Яз
ai а3
1 — ал 1 — аа
(3.23)
Оба эти параметра определены для случая разомкнутых выход-
ных зажимов усилителя при выполнении условий (3.8).
Выходное сопротивление при замкнутых входных зажимах оп-
ределяется как
р — A|i- 22
1ЛВЫХн2	д
(3.24)
— 87 —
или
Явыхн2=[(1-«1)гб1 + Гэ1+Я2] -----'	(3.25)
aia2
Из сравнения параметров эмиттерного повторителя и двух-
транзисторпого усилителя (рис. 3.3) видно, что последний боль-
ше соответствует идеальному усилителю напряжения.
Практическую полезность рассмотренных схем усилителей в
роли активных элементов фильтров определяют в основном из-
вестные свойства схем включения транзисторов с общей базой и
общим коллектором. Преимущество усилителей напряжения по
динамическому диапазону рабочего сигнала часто является опре-
деляющим при выборе типов звеньев для реализации фильтров.
коэффициент усиления всех рассмотренных усилителен близок
к единице. Это в особенности относится к однотранзисторным уси-
лителям. В дальнейшем будет показано, что выражения коэффи-
циентов передачи фильтровых звеньев, в которых используются
усилители рассматриваемого типа, приобретают более простой
вид, когда коэффициент усиления равен единице. Поэтому подобные
усилители иногда называют усилителями с единичным
коэффициентом усиления или единичными уси-
лителями. Фактически коэффициент усиления однотранзис-
торных усилителей всегда меньше единицы, а в случае усилите-
лей с двумя и более транзисторами для повышения стабильности
характеристик выбирают коэффициент усиления, несколько пре-
вышающий единицу (см. разд. 3.3). Поэтому усилители рассмот-
ренной категории более строго можно назвать усилителями с
ограниченным коэффициентом усиления.
3.2. Реализация фильтров
;	ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Любую функцию передачи фильтра можно реализовать пас-
сивной /?С-цепью с одним активным элементом, поэтому без учета
нестабильности активных /?С-фильтров, их можно представить в
виде блок-схемы (рис. 3.4a), состоящей из пассивной /?С-цепи п
активного элемента ЕУ. В качестве активных элементов здесь ис-
пользуются рассмотренные выше усилители тока и напряжения, ко-
торые условно можно назвать единичными (ЕУТ и ЕУН соответ-
ственно) .
Применение усилителя тока предполагает управление по току,
что требует условия короткого замыкания па выходе и генерато-
ра тока в качестве источника сигнала (рис. 3.46). Коэффициент
передачи по току такого четырехполюсника, выраженный через
параметры щматрицы /?С-цепи и усиление активного элемента k:
Ят =	=-----.	(3.26)
Кх Уп + К'Д!
— 88 —
При включении той же пассивной А’С-цепи с усилителем на-
пряжения по схеме рис. 3.4и коэффициент передачи по напряже-
нию в режиме холостого хода
Нн = ~иых- = —	(3.27)
Ubx У и kyi2 (
где k — коэффициент передачи усилителя напряжения. Посколь-
ку матрица проводимости пассивной /?С-цепи симметрична, то
У31 = У1з,	Ун — У12<
т. е. из сравнения (3.26) и (3.27) получим
Ят
7ВЫХ   2Y   ^вых
^ВХ	Увх
(3.28)
Выражение (3.28), на первый взгляд, говорит о дуальности
схем рис. 3.45 и рис. 3.4е. Действительно, управлению по току,
источнику тока на входе, короткому замыканию на выходе и,
наконец, усилителю тока схемы рис. 3.46 соответствуют ду-
альные параметры и элементы схемы
рис. 3.4е. Однако этого нельзя сказать
о пассивной /?С-цепи. Поэтому, строго го-
воря, данные схемы дуальными не яв-
ляются.
Так как фактически одна и та же
пассивная /?С-цепь входит в обе схемы,
то относительно этой цепи реализация ак-
тивных /?С-фильтров является двузнач-
ной, что позволяет расширить каталог
известных схем активных /?С-фильтров
(например, фильтры, предложенные в [48],
соответствуют блок-схеме рис. 3.4е). Вве-
дение в пассивную /?С-цепь рис. 3.4н
единичного буферного усилителя, разде-
ляющего эту цепь на две более простые
части, не нарушает общности приведен-
ных соображений. Блок-схема содержит
уже два единичных усилителя (рис. 3.65,
3.76, 3.86).
Реализация активных /?С-фильтров в значительной степени оп-
ределяется результатами предыдущего этапа синтеза — аппрокси-
мации. В данном случае имеет смысл проводить реализацию все-
го фильтра позвенно, т. е. реализовывать отдельно каждую функ-
цию передачи 1-го (2.64), (2.87) и 2-го порядков (2.63), (2.80),
(2.88), (2.95). При этом функции передачи 1-го порядка реализу-
ются пассивной 7?С-схемой, а функции передачи 2-го порядка с
комплексными полюсами — одной из схем с активным элементом
— 89 —
(рис. 3.4 б, в). Полная функция передачи фильтра определяется
каскадным соединением однотипных звеньев. В свою очередь, вид
звена зависит от типа фильтра: нч, вч либо ПФ.
Задача реализации активных ДС-фильт.ров вначале решается
с идеальными активными элементами, а далее рассматривается и
по возможности учитывается влияние их неидеальности.
Сама процедура реализации, которая сводится к построению
пассивной /?С-цепи по заданным параметрам матрицы проводи-
мостей, в данной главе опускается, приведены лишь результаты
реализации, используемые в дальнейшем.
ФИЛЬТРЫ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ТИПА
т
Ct)	Ro
Реализация фильтров нч. Решение задачи аппроксимации час-
тотной характеристики фильтра нч дает два типа сомножителей
общей функции передачи полиномиального фильтра: 1-го поряд-
ка (2.64) и 2-го порядка (2.63); при каскадной реализации ак-
тивного /?С-фильтра им соответствуют два типа звеньев: звено
фильтра нч 1-го порядка (НЧ1) и звено 2-го порядка (НЧ2).
Реализация функции передачи 1-го поряд-
ка, имеющей один отрицательный веществен-
ный полюс, осуществляется с помощью пас-
сивной AjC-цепи, схема которой зависит от то-
го, что рассматривается в качестве функции
передачи: отношение токов или отношение на-
пряжений. В первом случае схема имеет вид
рис. 3.5а, во втором — рис. 3.56. Таким обра-
зом, имеем две разновидности звена НЧ1
(НЧ1—ОТ и НЧ1—ОН) с общей функцией пе-
редачи, определяемой элементами схемы Ro
и Со:
0) Ro
Рис. 3.5. Пассивные
/?С-звенья 1-го по-
рядка:
а)	НЧ1-0Т, где
I ВЫХ 1
Дх 1 + RoC^p
б)	НЧ1-0Н, где
Д:ых __ 1
*ДХ 1 Д 4?0С0р
Многозначность
Для реализации функции передачи 2-го по-
рядка (2.63), имеющей комплексные сопря-
женные полюсы, необходимо вводить активный
элемент в соответствии с блок-схемой рис. 3.4.
решения задачи реализации иллюстрируется
звеньями фильтров нч 2-го порядка, представленными на рис. 3.6—
3.9. (Здесь и далее принято следующее условное обозначение
звеньев фильтров с усилителями: первые две буквы обозначают
тип фильтра — нижних частот НЧ, верхних частот ВЧ, полосовой
ПФ и заграждающий ЗФ, первая цифра показывает порядок реа-
лизуемой функции передачи, следующая цифра — число усилите-
лей в звене, последующая буква Т либо Н определяет тип усили-
теля и, наконец, последняя цифра используется для нумерации
звеньев.)	 :•	:	»_•	->
— 90 —
Результаты и условия реализации коэффициентов аппрокси-
мации функции передачи (2.63) полиномиального фильтра нч
2-го порядка сведены в табл. 3.1. Здесь же приведены значения
Рис. 3.6. НЧ звенья 2-го порядка с уси-
лителями тока:
а) НЧ2-1Т1; б) НЧ2-2Т1
усилителями напряжения:
а) НЧ2-1Н1; б) НЧ2-2Н1
Рис. 3.7. НЧ звенья 2-го порядка с
постоянных множителей HOj с точностью до которых осуществля-
ется реализация. Эти множители не влияют на вид частотной ха-
рактеристики звена фильтра, однако могут быть использованы для
точной настройки всего фильтра в дальнейшем, позволяя рассчи-
тать величину усиления в полосе пропускания.
Рис. 3.8. НЧ звенья 2-го порядка с уси- Рис. 3.9. НЧ звенья 2-го порядка с
лителями тока:	усилителями напряжения:
а) НЧ2-1Т2; б) НЧ2-2Т2	а) НЧ2-1Н2; б) НЧ2-2Н2
Условия реализации, указанные в разделе примечаний табл. 3.1,
определяются неидеальностью активных элементов, а именно па-
разитными параметрами усилителей тока, и напряжения — вход-
ным и выходным сопротивлениями. Однако схемы усилителей то-
ка и напряжения, рассмотренные выше, практически удовлетво-
ряют приведенным в табл. 3.1 условиям реализации в диапазоне
— 91 —
звуковых и несколько более высоких частот при использовании
соответствующих транзисторов. Некоторые паразитные парамет-
ры усилителей можно учесть в элементах звена фильтра. Напри-
мер, выходные сопротивления усилителей тока звеньев НЧ2—1Т2
и НЧ2—2Т2 рис. 3.8 можно учесть соответственно в сопротивле-
ниях Ro, Rot, Ro2- Аналогично можно учесть входное сопротивле-
ние усилителей напряжения звеньев НЧ2—1Н2 и НЧ2—2Н2
рис. 3.9. В этом отношении данные звенья обладают преимущест-
вами перед остальными, где может быть учтен только емкостный
характер паразитного параметра усилителя, который в диапазо-
не звуковых частот не имеет практического значения. Однако для
реализации коэффициента bt в звеньях рис. 3.8 и 3.9 требуется
активный элемент с значительно большим коэффициентом уси-
ления.
Приведенные выше схемы звеньев охватывают большинство
случаев использования фильтров нч. Звенья НЧ1 и НЧ2 с усили-
телями тока рис. 3.5а, 3.6 и 3.8 целесообразно применять в уст-
ройствах, где источником сигнала является генератор тока, а ус-
ловия нагрузки близки к короткому замыканию. При этом актив-
ную нагрузку можно учесть в сопротивлениях звена Rz- Звенья с
усилителями напряжения (рис. 3.56, 3.7 и 3.9) применяются в це-
пях, где источником сигнала является генератор напряжения, ак-
тивное выходное сопротивление которого можно учесть в сопро-
тивлении звена Rz, а условия нагрузки близки к холостому ходу.
Звенья с усилителями напряжения удобны прй параллельной ра-
боте со стороны входа, а звенья с усилителями тока лучше соот-
ветствуют условиям параллельной работы со стороны выхода. Ре-
шение вопроса о применении звеньев с одним либо с двумя уси-
лителями связано с рассмотрением чувствительности звеньев к
изменениям величин схемных элементов (разд. 3.3).
Реализация фильтров вч. Задача аппроксимации частотных
характеристик фильтров вч решается на основе аппроксимации
для фильтров нч с помощью однозначного преобразования часто-
ты (2.56), в результате которого получаются сомножители функ-
ции передачи 1-го (2.87) и 2-го (2.88) порядков. Это приводит к
тому же принципу каскадной реализации всего фильтра из звеньев
1-го (ВЧ1) и 2-го (ВЧ2) порядков.
Функция передачи фильтров вч 1-го порядка (2.87), полюс ко-
торой находится на отрицательной вещественной полуоси, реали-
зуется с помощью пассивных /?С-цепей. Два типа звеньев ВЧ1
(рис. 3.10) реализуют эту функцию передачи:
^в =
1 + RqCqP
(3.30)
Для звена ВЧ1-Т (рис. 3.10а) в качестве функции передачи (3.30)
рассматривается отношение токов, а для Звена ВЧ1—Н (рис.
3.106) — отношение напряжений.
— 92 —
НЧ2—1Т1 (НЧ2-1Н1)		
НЧ2—2T1 (НЧ2-2Н1) I	: : 8	Cj — ^2 ^2 (&1 ^2— 1)	
1 ‘ НЧ2-1Т2 (НЧ2-1Н2)	Ha Г	/	Ri\l -Г Ci (Ri+^^-C^ p-1—-i k L	\	£0/J	k
НЧ2—2T2 (НЧ2-2Н2)	~-[cxRt ('1+^') «X «2 L	\	^02 /	\	i
Cj C2 Ri R%	k	^BX.T (^ВЫХ.Н )'>	S Rl>	< ^вых.т(^вх.н) CO C>i
Ci C2 R± R%	ki k2	—	1	- ^1»	Q	^ВХ.Т (^ВЫХ .н); Ri; R2; -~s~ ^вых.т(^вх.н)
Ci C2 RL Ro	k 1 1 ~b Л	О) С2	^ВХ.т(^ВЫХ.Н ); ^°’ гчГ'	^ВЫХ.т(^ВХ.н) СО C«i
СДКА fe2	^2 \	^01 A Roi)	^1"	Аж.т (^вых.н); Aol, А>2	^ВЫХ.Т (^вх.н)
Функции передачи 2-го порядка (2.88) фильтра вч реализуют-
ся четырьмя типами звеньев: ВЧ2—1Т, ВЧ2-2Т с усилителями то-
ка (рис. 3.11) и ВЧ2—1Н, ВЧ2—2Н с усилителями напряжения
(рис. 3.12). Соответствующие коэффициен-
ты аппроксимации даны в табл. 3.2 вместе
'. с условиями реализации каждого типа зве-
на, которые определяются неидеальностью
' усилителей тока и напряжения, т. е. зна-
чениями входных и выходных сопротивле-
*. ний усилителей. Однако здесь, в отличие от
звеньев фильтров НЧ2, несколько улучша-
: ются возможности учета паразитных пара-
метров усилителей. Например, для звена
ВЧ2—1Т выходное сопротивление усилите-
" ля тока можно включить в сопротивление
/?1 звена, а входное — учесть в сопротив-
лении R>. Аналогичные положения справед-
: ливы и для звеньев с усилителями напря-
жения (рис. 3.12) в силу их квазидуально-
сти схемам с усилителями тока.
Звенья ВЧ2 выбираются подобно соот-
ветствующим звеньям НЧ2. Отличием
звеньев ВЧ2 является то, что в них можно учитывать только ем-
костные составляющие нагрузки (в звеньях с усилителями тока)
и источника сигнала (в звеньях с усилителями напряжения), что
на практике встречается реже.
а)
 б)
Во
-1-1Р
±—
Со
\!вЫХ
ff0 Увых
_Д-t
Рис. 3.10. Пассивные
вч звенья 1-го по-
рядка:
 а) ВЧ1-0Т, где
IВЫХ   RqCq Р
7вХ 1 + Rt£oP
б) ВЧ1-0Н, где
б'вых______Rp р
ивх
1 -|- RaCflP
с усилителями тока:
а) ВЧ2-1Т; б) ВЧ2-2Т
Рис. 3.12. ВЧ звенья 2-го порядка
с усилителями напряжения:
а) ВЧ2-1Н; б) ВЧ2-2Н
Рис. 3.11. ВЧ звенья 2-го порядка
Реализация ПФ. Как было показано выше, общая функция
передачи полосового фильтра состоит из множителей 2-го (2.106)
и 4-го (2.117) порядков. При каскадном построении всего фильтра
это приводит к необходимости реализации отдельно звеньев 2-го
порядка (ПФ2) и 4-го порядка (ПФ4).
Реализация звеньев 2-го порядка (ПФ2). Функция передачи
звена ПФ2 (2.106) в зависимости от ширины полосы фильтра ®
— 94 —
11111 UUL1JU	".B	»!3		Примечание
ВЧ2—IT (ВЧ2— 1H)	(Cj + Сг)	Ci C2 Rj R2	k	> RBX.T (^цв.н);	a Rl. Ri.	< ^ВЫХ.т(^ВХ.н)  CO Gi	CO C>2
ВЧ2—2T j (ВЧ2--2H) <o СЛ J	Cj	-— Ci Ri (&1 ^2   0	Ci C2 Ri Rz	k2	— 1 —	_—	*- R* щ^”>>/?вх.т(/?вых.н); 7?1, ^>2 7TF” ’ 77F~ ^вых.т (Явх.н) . (1)	(0 C 2	'	' .
ТАБЛИЦА 3.3
Тип звена	bin	Ь2П	h	Примечание
ПФ2- IT (ПФ2-1Н)	pfr r	ft 1 ~	\ L 2Я1+я2\	r0 rJ\	C^R^^R2	k C2 Rt	 Ri + R2	R°’ G^Cx ^вых.т (^bx.h)	•(',
и аппроксимирующего коэффициента Ьо может быть двух типов:
с двумя отрицательными вещественными полюсами и с парой со-
пряженных комплексных полюсов. Это качественное отличие в
расположении полюсов функции передачи является определяющим
при реализации.
Рис. 3.13.
Пассивные полоснопропускающие
генератора тока:
а) ПФ2-0Т1; б) ПФ2-0Т2; в)
звенья, работающие от
ПФ2-0ТЗ
Функция передачи с отрицательными вещественными полюса-
ми реализуется, как известно, пассивной /?С-цепью. На рис. 3.13
и 3.14 показаны схемы звеньев ПФ2 с минимально возможным
числом элементов, реализующих заданную функцию передачи 2-го
Рис. 3.14. Пассивные полоснопропускающие
звенья, работающие от генератора напря-
жения:
а) ПФ2-0Н1; б) ПФ2-0Н2 в) ПФ2-0НЗ;
г) ПЗФ2-0
порядка с двумя отрицательными вещественными полюсами. Для
звеньев рис. 3.13 в качестве функции передачи Н2п рассматри-
вается отношение токов на выходе и входе, а для звеньев
рис. 3.14 — отношение напряжений, которые через элементы схе-
мы определяются так:
для звеньев ПФ2—ОТ 1 (рис. 3.13а) и ПФ2—0Н1 (рис. 3.14а)
Нт =----------------------. (3 31)
1 (Рн Св 4- рв Сн + 7?в Св ) р +	7?в сн Св р2
для звеньев ПФ2—0Т2 (рис. 3.136) и ПФ2—0Н2 (рис. 3.146)
д = ------------------ gg-SB-P---------------------• (3.32)
.	2П2	1+(Ян СНТ/?В Св+/?в CH)p + RHRB сн
— 96 —
для звеньев ПФ2—ОТЗ (рис. 3.13в) и ПФ2—ОНЗ (рис. 3.14в)
2Пз 1 + (Ян Сн +7?в Св +7?н Св ) р + Рн сн св Р2
Выбор того или иного типа звена зависит от конкретных об-
стоятельств, в частности, от условий сочленения с другими эле-
ментами схемы со стороны входа и выхода звена.
Для реализации функции передачи ПФ2 с комплексными по-
люсами необходимо в пассивную ДС-схему ввести активный эле-
Рис. 3 15. Активные полоснопропускающие звенья:
а) ПФ2-1Т; б) ПФ2-1Н; в) ПЗФ2-1Н; г) ПЗФ2-1Т
мент. На рис. 3.15 приведены схемы звеньев, осуществляющих
такую реализацию при минимально возможном числе конденсато-
ров. Условия и результаты реализации коэффициентов аппрокси-
мации функции передачи полосового фильтра 2-го порядка (2.106)
приведены в табл. 3.3.
Вопрос о применении каждого из типов звеньев ПФ2 решается
так же, как для звеньев НЧ2 и ВЧ2. Необходимо только отметить,
что звенья ПФ2 являются более универсальными при учете неиде-
альностей и условий нагрузки и источника сигнала. Например, в
случае звена ПФ2-1Т (рис. 3.15а) входное сопротивление усили-
теля тока можно включить в состав Ri, выходное сопро-
тивление усилителя целесообразно учесть в Ro, а активную на-
грузку звена достаточно включить в сопротивление R2. Так же
можно поступить и в случае звена ПФ2-1Н (рис. 3.156). Таким об-
разом, в этих звеньях все резисторы Ro, Ri, R2 выполняют двой-
ную роль: влияют на частотную характеристику звена и служат
для компенсации неидеальности активного элемента с учетом ус-
ловий нагрузки (источника сигнала).
Необходимо отметить, что для реализации звеньев ПФ2-1Т
(ПФ2-1Н) требуется больший по сравнению со звеньями НЧ2 и
ВЧ2 коэффициент усиления активного элемента k.
Реализация звеньев 4-го порядка (ПФ4). Как было показано
выше (разд. 2.7), функцию передачи полосового фильтра 4-го по-
4-156	— 97 —
рядка можно представить в виде двух сомножителей 2-го порядка,
причем эту пару могут представлять либо функции передачи 2-го
порядка фильтров нч и вч, либо функции передачи 2-го порядка
ПФ, реализация которых соответствующими звеньями 2-го поряд-
ка уже рассмотрена.
Поэтому звено ПФ4 реализуется каскадным соединением со-
ответствующих звеньев НЧ2 и ВЧ2 либо двух звеньев ПФ2. Рас-
смотренные схемы звеньев 2-го порядка дают известную свободу
при построении полной схемы полосового фильтра.
ФИЛЬТРЫ С НУЛЯМИ ПЕРЕДАЧИ
Функции передачи фильтра нч с нулями передачи отличаются
от полиномиального типа наличием дробного множителя 2-го по-
рядка вида (2.80). Общий вид функции (2.80) сохраняется и в слу-
чае аппроксимации частотной характеристики фильтров вч (2.95k
В реализуемой функции передачи дробного вида (2.80), кроме
коэффициентов bi и Ь2 в знаменателе, реализация которых рас-
смотрена выше для полиномиальных фильтров, существует коэф-
фициент Ьг в числителе, т. е., кроме комплексных полюсов переда-
чи, необходимо реализовать и нули передачи.
При реализации дробной функции передачи 2-го порядка (2.80)
нули передачи реализуются двойным Т-образным А’С-мостом. По-
этому в состав активных /?С-звеньев, реализующих дробные функ-
ции (рис. 3.16 и 3.17), входит двойной Т-мост, элементы которого
связаны соотношениями:
ч-юу	= 2k =-ф,	(3.34)
а. =	£1 .	?	(3.35)
...,r	R2 'Г
Введя дополнительные обозначения.	
г	% =	=	щ	(3.36)
^>3 АО
^Наложив условие
™	— = — + — ,	(3.37)
....	/?2	/?!	7?з
получим выражения для реализации коэффициентов аппроксима-
ции дробной функции передачи 2-го порядка (табл. 3.4).
Из шести типов звеньев рис. 3.16 и 3.17 по условиям реализа-
ции. (примечание в табл. 3.4) можно отдать предпочтение звену
НЧ-ВЧ2-1Т1-Д (НЧ-ВЧ2-1 Hl-Д), поскольку только для него мож-
но учесть входное (выходное) сопротивление усилителя в элемен-
те звена j?2- Сопротивление R» позволяет учитывать другой пара-
зитный параметр усилителей во всех звеньях. Условия работы со
- 98 —
стороны нагрузки и источника сигнала здесь ухудшаются по
сравнению со звеньями полиномиального типа.
Звенья рис. 3.16 и 3.17 являются универсальными в том смыс-
ле, чго они могут реализовать функцию передачи 2-го порядка
как фильтра нч (2.80), так и фильтра вч (2.95). Однако, как бу-
Рис. 3.16. Универсальные нч—вч звенья
с дробными характеристиками на усили-
телях тока:
а) НЧ-ВЧ2-1Т1-Д; б) НЧ-ВЧ2-1Т2-Д;
в) НЧ-ВЧ2-1ТЗ-Д
Рис. 3.17. Универсальные нч—вч звенья
с дробными характерис, яками на усили-
телях напряжения:
а) НЧ-ВЧ2-1Н1-Д; б) НЧ-9Ч2-1Н2-Д;
в) НЧ-ВЧ2-1НЗ-Д
дет показано ниже, такая универсальность практически не всегда
бывает оправдана. Несколько изменив универсальные звенья пу-
тем уменьшения числа схемных элементов, можно получить спе-
циализированные звенья: фильтров нч (рис. 3.18 и 3.19) и вч
(рис. 3.20 и 3.21). Элементы схем этих звеньев можно рассчитать
через коэффициенты аппроксимации по формулам табл. 3.5 и 3.6.
Приведенные звенья НЧ2 и ВЧ2 реализуют в общем случае
функцию передачи вида (2.80), для которой в случае фильтра нч
b2>br, а в случае фильтра вч — Ь2<ЬГ.
Вопрос о конкретном применении рассмотренных звеньев дол-
жен решаться с учетом анализа чувствительности (стабильности)
и условий их сочленения в фильтре. . л .
4*	— 99 —
Тип звена	Ь1
± £' 5 ' ""	
НЧ-ВЧ2—1Т1—Д (НЧ—ВЧ2-1Н1—Д)	1|Ц1+ 1 + 2 —k Кми-w , , , 1Ч ,
	1 + (1 + чр) 1р0
	С, Й
	/ 1 \
НЧ—ВЧ2— 1Т2—Д (НЧ—ВЧ2—1Н2—Д)	я1+Т +
НЧ—ВЧ2—1ТЗ—Д (НЧ—ВЧ2-1НЗ—Д)	„	^о(1+-^-)-2(^-1) V b,(i 4-1В) —				
ТАБЛИЦА 3.4
b2	b,		Примечание
i+f'+j)*" 		 br 1 + (1+Шо	Ci C3 (7?! 4- + &з) Кг	k 1+(Ц-Шо	^>>Квх.т(Явых.н); ш	^вых.т (^вх.н)
i+(i+^ X 	— br l+(l+1|,)1|,o	Ci C3 (7?i -- + K3) Rg		k	 1 + (1+Шо	1 - - wCg ^^вх.т^вых.н); ^о> фС"- ^вых.т(^вх.н)
	'	b 1 + (1+Шо	Ci C3 [Ri + + R3) Кг	k 1 + (1+Шо	— 1 . — - ф^"2	^вх.т (^вых.н); ^о; ^-Q	^вых.т (^вх.н)
Рис. 3.18. НЧ звенья с дробными ха-
рактеристиками на усилителях тока:
а) НЧ2-1Т1-Д; б) НЧ2-1Т2-Д; в) НЧ2-1ТЗ-Д
Рис. 3.19. НЧ звенья с дробными харак-
теристиками па усилителях напряжения:
а) НЧ2-1Н1-Д; б) НЧ2-1Н2-Д; в) НЧ2-1НЗ-Д
Рис. 3.20. ВЧ звенья с дробными ха-
рактеристиками на усилителях тока:
а) ВЧ2-1Т1-Д; б) ВЧ2-1Т2-Д; в) ВЧ2-1ТЗ-Д
Рис. 3.21. ВЧ звенья с дробными харак-
теристиками на усилителях напряжения:
а) ВЧ2-1Н1-Д; б) ВЧ2-1Н2-Д; в) ВЧ2-1НЗ-Д
101 —
Тип звена	j -	
НЧ2—1Т1-Д (НЧ2—1Н1—Д) - i <-.Т	1 !	I	> —f	? /ММ) +	[1+(1+vHbr !	1
НЧ2-1Т2—Д (НЧ2— 1Н2—Д)	ГБ7 (1+^)	+ 2-а)	[|+(1+т)*]ь'  чг—
НЧ2—1ТЗ—Д (НЧ2-1НЗ-Д)	» - Г У' /М1М)[^+2(1~А)] 1	• '	i	"И ,, [i+(i+vh°]br
ТАБЛИЦА 3.5
- ь,	Но	1	Примечание
^1Сг (/?1~г/?з) Ri i	k	^?2» ^ВХ.Т (^вых .н); щСй	^вых.т (^вх.н)
	k	(^_»/?вх.т(/?вЫх.н); ^з;	^вых.т (^вх.н);
? ?5 ..- Г 7 С1^3 (^i+^з) ^2	k	_ 1 — — ~gT	^ВХ.Т (^ВЫХ.и); ^1! R; ’	-7Г	^вых.т (^вх.н) со Cq
(И Я1^ 1-ХИЭу 22 W ‘22 w ;0у :(н'х™_у)х’мй_«	‘ъ	°М<К+ I) + I ч	*Ц (ЕУ4 1У) еЭтЭ
(н'маН*™а>>^ :22f ;п —	— I I — ‘(Н'Х1ЧЯ^) Д/ХЯ^ ^ 8Э	Ч№ + [) + I ч	гЦ (Cy-Htf) Еэтэ
(нхЯур тЯу >222 .J22 ;оу —	— I	I —	% (сК 4-1) + 1	1 ’У) Еэ'э
..(.ГХНП^ГХЯу	ч	
эинвьаиибц	°и	<1
9'£ V 11 И If Н V 1
W +1) + т 'q	4+M-1)+[.,,	. , oX-^+l M (I—?)s+4	—	- \ (ff—shi—гьа) ff—en—sha
% (Ф +1) + i Jq	4 (<h+i)+i...	. s+4	t ' _ - • to—ZHi-гьа) ff—sii—гьа
+ 1)4- I yq	4№ l-i) l-i. .j . 	пл- * i-i) q4 g+4,	—	Or—IHl—ShH) ff—in—гиа
*q	'	’q	ВНЭЯЕ UH£
РЕАЛИЗАЦИЯ П0Л0СН0-ЗАГРАЖДАЮЩИХ ФИЛЬТРОВ (ПЗФ)
Полосно-заграждающие фильтры реализуются так же, как рас-
смотренные выше полосовые. Это объясняется в основном иден-
тичностью результатов решения аппроксимационной задачи. Дей-
ствительно, общая функция передачи ПЗФ состоит из множителя
2-го (2.124) и 4-го (2.125) порядков, т. е. реализация осуществ-
ляется каскадным соединением звеньев 2-го (ПЗФ2) и 4-го
(ПЗФ4) порядков.
Реализация звеньев 2-го порядка (ПЗФ2). Функции передачи
звена ПЗФ2 (2.124) в зависимости от величин относительной ши-
рины полосы задерживания w и аппроксимирующего коэффициен-
та нч прототипа Ьо могут быть двух типов: с двумя отрицательны-
ми вещественными полюсами (<2<И) и с парой сопряженных ком-
плексных полюсов (<2>1).
Функцию передачи с отрицательными вещественными полюса-
ми можно реализовать пассивной ДС-цепью — двойным Т-мостом
(рис. 3.14г). При этом в качестве функции передачи звена
ПЗФ2-0 может рассматриваться как отношение токов, так и от-
ношение напряжений. С учетом (3.34) и (3.35) получим
tj __________________1 -Т CiCs (Ri Д R3) R2P2_______
2Пз ~	г /	1 \ R
1 + CsRi (1 + Ч>) i|>- 1 + (1 + — Hr р+ CiCi (Ri + Rs) Rsp*
\	/ Ri ]
Реализация функции передачи с комплексными полюсами осу-
ществляется также на основе двойного Т-образного ДС-моста, но с
введением в схемы звеньев активного элемента усилителя тока
для звена ПЗФ2-1Т (рис. 3.15в) либо усилителя напряжения для
звена ПЗФ2-1Н (рис. 3.15г). Коэффициенты аппроксимации при
тех же условиях (3.34) и (3.35):
bi = 2(1 +ф)(1-й), Ь2 = С1С3(Т?1 + 7?з)7?а.
Условия реализации для звена ПЗФ2-1Т:
^3 “С ^?выхт>
со Сг
для звена ПЗФ2-1Н:	'
Д‘2, =->ЯвыхН; ^з«^вхн-	!
со Са
Реализация звеньев четвертого порядка (ПЗФ4). Функция переда-
чи полоснозадерживающего фильтра 4-го порядка представляет
собой произведение двух сомножителей 2-го порядка, один из ко-
торых соответствует фильтру нч с нулем передачи, а другой —
фильтру вч с нулем передачи. Реализация их рассмотрена выше.
Для построения ПЗФ4 необходимо каскадное соединение такой
пары звеньев.
— 104 —
В отличие от полосовых фильтров, при реализации каскадно
соединенных звеньев заграждающего фильтра вносится затухание
в полосе пропускания.
ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ ФИЛЬТРОВ 2-го ПОРЯДКА
С АКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
С уменьшением числа элементов схемы сокращаются габариты
и повышается надежность фильтров. С этой целью можно совме-
щать элементы (резисторы 7?) фильтров (рис. 3.6—3.9; 3.11 —
3.12; 3.15—3.21) с соответствующими элементами, входящими в
схемы усилителей тока и напряжения (рис. 3.1—3.3). Например,
коллекторным сопротивлением Rn усилителя тока (рис. 3.1а) в
схеме звена НЧ2-1Т1 (рис. 3.6а) может являться сумма сопротив-
лений и как показано на рис. 3.22а; в схеме ВЧ2-1Т
wti г
Рис. 3.22. Схемы на усилителях тока с использованием со-
противлений одновременно в качестве элементов фильтров
и элементов усилителей:
а) нч звеньев; б) вч звеньев
(рис. 3.11а) — сопротивление в соответствии с рис. 3.226. Ана-
логично при использовании усилителя напряжения его сопро-
тивление смещения в цепи базы может быть совмещено с элемен-
тами R?. и R{ звена НЧ2-1Н1 (рис. 3.7а) или сопротивлением Ri
звена ВЧ2-1Н (рис. 3.12а). Аналогично производится построение
схем остальных типов звеньев.
Таким образом, существует возможность совместной реализа-
ции пассивной цепи и активного элемента при построении схемы
активного /?С-фильтра. Это расширяет возможности реализации
звеньев, так как некоторые параметры, характеризующие неиде-
альность активных элементов, например входное сопротивление
7?вхт усилителя тока или выходное сопротивление 7?Выхн усилите-
ля напряжения, могут быть учтены в элементах звена фильтра.
При этом необходимо соблюдать условия табл. 3.1—3.6. Если
звенья фильтров строить так, как изображено на рис. 3.22, то ус-
ловия, связанные с выходным сопротивлением 7?Выхт усилителя
тока п входным сопротивлением 7?вхн усилителя напряжения, бу-
дут учитываться в основном уже при расчете режима смещения
соответствующих транзисторов. Особенно удачно это достигается
— 105 —
для звеньев типа НЧ2-1Т2 (рис. 3.8а), где в элементах Ro и Ct
можно полностью учесть как активный, так и емкостный характер
паразитного параметра R ВЫХ т (RВХ н}‘
3.3. Чувствительность
Как указывалось выше, стабильность частотной характеристи-
ки фильтра (звена) может определяться через стабильность коэф-
фициентов аппроксимации b0, bb b2, Ьг, которая, в свою очередь,
определяется чувствительностью этих коэффициентов к изменению
реализующих элементов схемы фильтра.
Рассмотрим отдельно чувствительность полиномиальных фильт-
ров и фильтров с нулями передачи, так как они значительно от-
личаются реализацией соответствующих коэффициентов аппрок-
симации.
Чувствительность фильтров полиномиального типа. Чувствитель-
ность коэффициентов аппроксимации Ьо, Ь2, Ь2в> Ь2гь реализация
которых осуществляется только пассивными элементами — сопро-
тивлениями и конденсаторами, к нестабильности конденсаторов
определяется выражением
Аналогичная формула получается и в случае расчета чувствитель-
ности к изменению величин сопротивлений для большинства ти-
пов звеньев:
= — — =1.	(3.39)
к b dR	v !
Очевидно, эта чувствительность не зависит ни от величины
элементов, ни от их соотношения. Практически это означает, что
никакими схемными решениями ее невозможно изменить, да и нет
в этом особой необходимости, так как абсолютная величина чув-
ствительности сравнительно невелика.
Для звеньев НЧ2-1Т2 (НЧ2-1Н2) чувствительность к неста-
бильности резисторов определяется выражениями:
			Ri b2	dba __ dRi	1		,,,ti	(3.40)
					>+		
	А	So	Rt	d b2		1	AT.:''	K .	(3.41)
		—	b2		1 + '	Ri ’	'	
'.j S f		So —	Ro	d bg 			R<, + Ri 1	(3.42)
			b2	d7?0	1 + -	Ro ’	
Ri + Я2
т. е. чувствительность всегда меньше единицы. Здесь виден и эф-
фект уменьшения чувствительности за счет избыточности схемных
— 106 —
элементов фильтра; кроме того, показан путь дальнейшего умень-
шения чувствительности за счет соответствующего выбора соот-
ношений элементов. Аналогично для звеньев НЧ2-2Т2 (НЧ2-2Н2)
получим:
cbj 		d b2 	 *’* " b? dR01 ~	—,	(3.43) Ri
ob8 	 ’ ^-^2 	 i	jp b2 UAQ2	—V- 	(3.44) 1 + — Rt
Чувствительность к изменению остальных элементов равна еди-
нице в соответствии с выражениями (3.38), (3.39).
И, наконец, для звеньев ПФ2-1Т (ПФ2-1Н) имеем:
gb2Il _	Ri Ь2П	d b2n dR1	— 1 1+^“ «2		У,	(3.45)
еь2П	r2	db2H	1			(3.46)
	Ь2П	dR2	- Ri ‘ 1 +57-			
Таким образом, чувствительность коэффициентов аппроксима-
ции, реализация которых осуществляется пассивными элемента-
ми, не превышает единицы при изменении одного из элементов.
Определим чувствительность коэффициента аппроксимации bi
вначале для звена НЧ2-1Т, для которого, пользуясь табл. 3.1,
найдем
ь1=ут2Г^-+4-+(1-*)41 •	<3-47)
[ m Itn	I J
где
/2,	= m2.	(3.48)
Rt	!!' Ci
Б первую очередь найдем
раметра активного элемента k:
чувствительность к изменению па-
сь, k d bi
Ь — ~~~~ ———
bi dk
; (3.49)
И'Л ОНИ
Здесь сразу видно влияние добротности. ОпредййММлИЗ (3.47)
значение коэффициента передачи усилителя:
fe=i+L±l_JL
m2 Qm
B*.;. • 1
(3.50)
и подставим в (3.49):	,
Sb1=1_A[2L+J.+ M. ;
2 I tn Itn I .	..
— 107 —
Влияние параметров k, I, т непосредственно оценить нельзя,
так как они связаны между собой выражением (3.47), однако эту
задачу наглядно можно представить графически. На рис. 3.23 по-
фиксированных
значе-
<2=20
казаны семейства кривых
Sb. (I) и т(1) при фикси-
рованных значениях k
для звена с добротностью
Q = 20 (Ь2=1,0 и bt —0,1),
из которых видны пути
уменьшения чувствитель-
ности и необходимые
для этого соотношения
элементов. Если задать-
ся отношением сопротив-
лений I2, то минимальное
значение чувствительно-
сти
min S*' = 1 — Q j/1 + 2-
(3.52)
будет при соотношении
емкостей т2=12+1‘, коэф-
фициент передачи усили-
теля
Рис. 3.23. Семейства зависимостей Sи т
ниях k для звена с добротностью
<2	1 + р J
(3. 53)
при этом не превосходит
2. Эти выводы соответст-
вуют графикам рис. 3.23.
Коэффициент переда-
чи активного элемента
(3.7) зависит от парамет-
ров транзисторов, влия-
ние нестабильности кото-
рых можно также учесть. Так, чувствительность коэффициента
аппроксимации bi к изменению коэффициента усиления р транзис-
тора
cb, А
.
Ра
(3.54)
, Отсюда видно, что для повышения стабильности необходимо
использовать транзисторы с большим значением р.
— 108 —
Чувствительность коэффициента bt к изменению величин пас-
сивных элементов звена определяется аналогично по классическо-
му критерию.
Чувствительность к не-
стабильности сопротивле-
ния пропорциональна
добротности:
сь, Я1 d bi	Q I
jo, =--------=--------.
bi dRi	2 m
(3.55)
На рис. 3.24 показано
семейство кривых S^1 (I).
(Для удобства сравне-
ния здесь, как и ранее,
выбрано звено с доброт-
ностью Q = 20.)
Воздействие неста-
бильности емкости Ci
рассчитывается по фор-
муле
cbt Ci d bi
□с, — — --------
Ьг
2 \
dG
1 \ 1
Л ) т
(3.56)
и показано на рис. 3.24
семейством пунктирных
кривых. Отметим, что
при k—l чувствитель-
ность S*b = 1 и не зави-
сит от соотношения вели-
Рис. 3.24. Кривые чувствительности коэф-
фициента bi к изменению величин элемен-
тов Ri, Rz, Ct, С2 в функции параметра I
при фиксированных значениях k для звена
с добротностью Q = 20
чин элементов.
Чувствительность ко-
эффициента bi к измене-
нию величины сопротив-
ления R2:
obi Rz d bi

Семейство соответствующих кривых также приведено на рис. 3.24.
При
2	1
trr =--------
k — 1
(3.58)
чувствительность равна нулю, т. е. при таком выборе соотно-
шения элементов нестабильность сопротивления R-> не влияет на
— 109 —
величину коэффициента аппроксимации Ьь в реализации которого
оно участвует.
Наконец, влияние нестабильности емкости С2
Sb. = £i£bL=^(i_^) - = j---------(3>59)
bi аСа 2	I	2 \ I / т
Здесь, как и в рассмотренных выше случаях, чувствительность
пропорциональна добротности. При k=l чувствительность (3.59)
равна нулю и не зависит от соотношения величин элементов звена.
Сравнивая влияние пассивных элементов на коэффициенты
аппроксимации Ь2 и bj можно сделать вывод, что в общем случае
коэффициент bi обладает лучшей стабильностью (меньшей чувст-
вительностью), а в некоторых случаях нестабильность пассивных
элементов даже не оказывает влияния на коэффициент аппрокси-
мации bi.
Из сопоставления кривых рис. 3.23 и 3.24, выполненных для
одного и того же звена, видно, что наибольшие значения имеет
чувствительность , т. е. сильнее всего на коэффициент bi
влияет параметр k активного элемента. Из (3.50) и (3.59)
=	(3.60)
к--1
т. е. для уменьшения влияния нестабильности активного элемента
необходимо выбирать возможно больший коэффициент передачи
усилителя k. С другой стороны, наименьшее влияние нестабильно-
сти пассивных элементов обнаруживается при fe=l. Эти выводы
противоречивы, поэтому необходимо найти оптимальное решение.
Поскольку нестабильности элементов звеньев могут иметь раз-
ные знаки и величины при воздействии целого комплекса дестаби-
лизирующих факторов при эксплуатации фильтров, то получаю-
щиеся вариации параметров элементов трудно определить точно,
а значит, затруднено и строгое решение задачи по оптимизации
чувствительности. Поэтому при проектировании фильтров может
оказаться целесообразным рассмотрение «наихудших» условий,
т. е. учет только вариации по модулю.
В худшем случае изменение коэффициента Ь4 определим сум-
мой модулей:
4 bi I r»bj dk I । i ob, 4/?i I j I ob, I । I rtbj - I obj dCgl , \
bl | к I I Rl I I A2 I I Cl I I Cg I
Выразим соотношения нестабильностей отдельных элементов
скемы звена фильтра следующим образом:
1—1 = х I—2|	1—1 = №
I k I I Сг Г Г I Rl I [ с2
1	„ IdCgl IdCii dC2]
krw krM
(3.61а)
(3.616)
— 110 —
Тогда выражение (3.61) примет вид
bi I С21
(3.62)
'де эквивалентная чувствительность S^1 определяется соотноше-
чиями величин элементов схемы в соответствии с (3.51), (3.55) —
(3.57) и (3.59):
1
т
В тех случаях, когда выполняются условия:
Q / т , / .___1_\ . ।
2 \ I т 1т )
— (/+—) — > 1,
2 \ I } т
Q. / > J
2 т
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
выражение для эквивалентной чувствительности можно перепи-
сать в виде
—1 +
т I
Наибольшая стабильность коэффициента bi будет при мини-
мальной чувствительности которая для выбранного соотно-
шения сопротивлений Z2 достигается при следующем оптимальном
соотношении емкостей звена:
/П2ОПТ = ^+1)и+г+1) + /2(У1 + У2) .	(3,68)
х
Нетрудно убедиться, что при изменении в выражении (3.66)
знака неравенства на обратный условие получения мийимальной
чувствительности несколько изменится:
а
2	U2 + 1) (х -г г — 1) + Z2 (У1 -г i/г)	/Ч RQ1
Шопт = ------------------------- •	(о.иУ)
Кроме того, в некоторых случаях (особенно для низкодоброт- ’
ных звеньев) нс выполняется и условие (3.65). Тогда оптимальное
соотношение величин элементов запишется в виде
„2 ____ (Z2 + 1) (х + г — l) + /2(z/i— //2)	/о
"2опт —	•
— Ill —
Теоретическое значение имеет случай, когда неравенства (3.65) и
(3.66) обращаются в равенства; при этом получим
.	(3.71)
X
Рассмотренные выше результаты анализа чувствительности
коэффициента аппроксимации bi для звена НЧ2-1Т могут быть
полностью распространены и па другие звенья. Это видно из срав-
нения выражений реализации соответствующих коэффициентов
bi (табл. 3.1 и 3.2). Необходимо заменить коэффициенты bi, b2,
I2, т2 и k в соответствии с табл. 3.7.
ТАБЛИЦА 3.7
Тип звена	bi	b2			k	Множитель чувствитель- ности
НЧ2—1Т1 (НЧ2—1Н1)	bl	ba	1 □cl £ 	।	Ca Ci	k	1
НЧ2—1Т2 (НЧ2-1Н2)	b2	ba	Ri R*	C2 Cl	£ Q? 1 1	1/ —2L V k
ВЧ2—IT (ВЧ2—1Н)	blB	b2B	Сг Ct	Ri	k	1
Для звеньев НЧ2-1Т2 (НЧ2-1Н2) соответствующие чувстви-
тельности уменьшаются в ]/ /г/Я0 раз, что объясняется некоторой
избыточностью элементов (дополнительное сопротивление Ro)-
Чувствительность коэффициента bi при реализации его други-
ми звеньями полиномиального типа рассмотрим на примере звена
НЧ2-2Т1, для которого можно записать на основании данных
табл. 3.1
= /ЬзГ— ф-(1 — k)u],	(3.72)
ъ'-,is '	L«	J ‘*'4 •—'7
где
'	/г М2>	\ ‘ л (3.73)
и2 =	(3.74)
№
Чувствительность к изменению коэффициента передачи k уси-
лителя тоже пропорциональна добротности;
S*1 = dbi_ = _ k
bj dk	2
(3.75)
— 11'2 —
для определения влияния соотношения величин элементов и
на чувствительность S %* подставим в выражение (3.75) значение
(3.76)
полученное из (3.72). Тогда
S*' = 1 _ Щи
2 \
Зависимость Sb*
мальное значение
тельности
min S*1 = 1 — Q
(и) для
чувстви-
(3.79)
(3.78)
достигается при и=1, что
превращает (3.76) в
k = 2 (1 — — ’
\ Q.
Сравнивая выражения
(3.78) и (3.79) с аналогич-
ными результатами (3.52),
(3.53), полученными для
звена с одним усилителем,
можно сделать вывод, что
чувствительность Sbl .для
звена с двумя усилителями
меньше по модулю.
Пассивные элементы
звена НЧ2-2Т по воздейст-
вию на коэффициент Ь4 мо-
жно разделить на две груп-
пы: Ri, Ci и Р->, С>. Чувстви-
тельность к нестабильности
элементов первой группы
определяется выражением
eb, obi Ri d bi
= ic, = — —- = /
Di uRl
Q
2
bi
d bi
dCi
(3.77)
Рис. 3.25. Зависимости чувствительнос-
1 тей коэффициента bt к изменению ве-
личин элементов Ri, Rz и k от соот-
iZ RP*
элементов и= у R~C~ для п0'
линомиального звена 2-го порядка при
bi=O,l, Ь2= 1,0 и Q = 20
прямо
и ;
(3.80) ;
пропорцио- 
т. е. она
нальна добротности звена и ношения
обратно пропорциональна
отношению величин эле-
— 113 —
ментов и. Влияние нестабильности пассивных элементов Ri и С2
можно оценить по формуле
pbj obi
оя, = Ос2
#2 dbj
bi dR2
С2 d bi
bi dC$
i_A±.(3.81)
Чувствительность (3.81) имеет нулевое значение при k=\, что со-
Q
ответствует отношению величин ы = — 
Зависимости (3.80) и (3.81) для звена с Q = 20 показаны на
рис. 3.25. Сравнивая их с кривыми рис. 3.24, видим, что влияние
пассивных элементов на стабильность коэффициентов th одного
порядка для обоих типов звеньев. Однако в некоторых случаях
для звеньев с одним усилителем минимальной чувствительности
можно добиться при лучшем соотношении величин элементов.
Поскольку для звена НЧ2-2Т минимум чувствительностей к
воздействию нестабильностей активного и пассивных элементов
достигается при разных (противоречивых) значениях и и k, то не-
обходима оптимизация по чувствительности. Решение этой задачи
подобно рассмотренному выше. Определим эквивалентную чувст-
вительность сложив, как и в (3.61), по модулю составляющие,
найденные в (3.77), (3.80) и (3.81):
S = х 11 —	4	|1 4- (t/i + г)-2- — +(у2 + 1)i 1-(3.82)
При выполнении условий:	' >7
':ч 	4(и+—'р1’ ’	(з-8з>
,	Л.- .		2 \ и ,!
получим оптимальное соотношение элементов
2 __ x + yx + y2~z+ 1
**ОПТ -
X
(3.85)
обеспечивающее минимальное значение эквивалентной чувстви-
тельности. Если условие (3.84) не выполняется, что может слу-
читься на практике, особенно для низкодобротных звеньев, то
оптимальное соотношение элементов необходимо рассчитывать по
формуле	, ,
2	_ Х + У1 —Z/2-rZ —1
^ОПТ
(3.86)
Полученные результаты анализа и оптимизации чувствительно-
сти звена НЧ2-2Т можно распространить на другие звенья, заме-
няя в формулах коэффициенты Ь1л Ь2, и2 и k в соответствии с
табл. 3.8.
— 114 —
ТАБЛИЦА 3.8
Тип звена	Ь,	Ьг	«*	k	Множитель чувствительности
НЧ2—2Т1 (НЧ2—2Н1)	bi	Ьг	C-Z Кг CiRt	ki ^2	1
НЧ2-2Т2 (НЧ2—2Н2)	bl	Ьг	С2 [1 + 		__о£_ G Ri (1 + \	К02	^2	1
ВЧ2—2Т (ВЧ2—2Н)	^1В	Ь2В	Ci Ri RZ	^2	1
ПФ2— 1Т ПФ2--1Н	Ь1П	Ь2П	С2 Cl	04 ctr еч , or -г С? Ctl Of 1	1 f Ко (7?i+7?2) Г Ri R2
Для звеньев полосовых фильтров ПФ2-1Т (ПФ2-1Н) все чув-
ствительности возрастают в V Ro(Rt±R2)/RtRz раз.
Поскольку чувствительности возрастают с увеличением доброт-
ности звеньев, то максимальную нестабильность частотной харак-
теристики фильтра достаточно оценивать по высокодобротным
звеньям, которые дают максимальную нестабильность вблизи час-
тоты среза фильтра.
Чувствительность фильтров с нулями передачи. Как видно из
табл, 3.4—3.6, реализация коэффициентов Ь,. и Ьг осуществляется
только пассивными элементами схемы; при этом значения коэф-
фициентов выражаются через величины элементов схемы сравни-
тельно простыми формулами, одинаковыми для нескольких типов
звеньев. Результаты расчета чувствительностей аналогичны полу-
ченным для полиномиальных звеньев.
Реализация коэффициента аппроксимации bt осуществляется
и активным элементом (табл. 3.4—3.6), нестабильность которого
оказывает максимальное влияние на чувствительность. Поэтому,
прежде всего, сравним звенья фильтров с нулями передачи по
чувствительности SbK‘ . Результаты расчета чувствительности,
проведенного по методике, изложенной выше для полиномиаль-
ных звеньев, даны в табл. 3.9. Они показывают, что по чувстви-
тельности звенья можно разбить на три группы. Внутри каждой
группы звенья отличаются коэффициентами передачи усилителя,
значения которых приведены в табл. 3.10. Изложенных в табли-
цах данных достаточно для проведения сравнительного анализа
звеньев.
— П5 —
ТАБЛИЦА 3.9
Тип звена	| '°	
НЧ—ВЧ2—lTl-j-З—Д (НЧ—ВЧ2—1Н1-Т-3—Д)	1 Q /] /ьг	, ь.2 1	2 V b2 1—+ br	bj	-^-1 »Г	 / 1	ь2\ (1т'1>) — — Т-) \	br /
НЧ2—lTl-r-З—Д (НЧ2—1Н14-3—Д)		. +
B42-1T1-J-3—Д (ВЧ2—1Н1-=-3—Д)	1-Т	+ 21р)	-^-1 ь2	 1 + Д
таблица зло
Тип звена	k
НЧ—ВЧ2—1Т1—Д (НЧ—ВЧ2—1Н1—Д) НЧ—ВЧ2—1Т2—Д (НЧ-ВЧ2—1Н2—Д)	2+_J	 Q У ъг br
НЧ—ВЧ2—1ТЗ—Д (НЧ—ВЧ2—1НЗ—Д)	uA1/KM + 2(1-тр^-р br	Q V b' 1+^
НЧ2—1Т1—Д	.л, (НЧ2-1Н1-Д) НЧ2—1Т2—Д	ь-г (НЧ2— 1Н2—Д)	;	и; 2+1+t|> \br	Q V br )
НЧ2-1ТЗ—Д	' ' (НЧ2—1НЗ-Д) >Л л	... J + to 1 г Q- ©- -t to 1 to cr cr •n to
ВЧ2—1Т1—Д (ВЧ2-1Н1—Д) ВЧ2—1Т2-Д	’ . ‘ (ВЧ2—1Н2—Д)	2 + -L(J!c	:  1-- Дэ Vb2 1 Q V b2 /
ВЧ2—1ТЗ—Д (ВЧ2-1НЗ—Д)	+ “ 0*1 cr to T <O| to cr O' “ b 1 		'
— 116 —
Прежде всего отметим, что для всех звеньев чувствительность.
5' bi зависит от соотношения коэффициентов аппроксимации
Ь./Ь?.. Это позволяет направленно комбинировать полюсы с нуля-
ми при формировании функций передачи 2-го порядка на этапе
аппроксимации частотной характеристики фильтра.
Чувствительность всех типов звеньев с нулями передачи так.
же, как и полиномиальных звеньев, пропорциональна добротности
и зависит от соотношения величин элементов ф. Характер этой за-
висимости в случае специализированных звеньев НЧ2 показан на
рис. 3.26 для конкретных коэффициентов аппроксимации bi = O,lr
Ьг=1, Q = 20, b,. = 0,64, соответствующих рассмотренному выше по-
линомиальному звену. Здесь же приведены графики фо(ф) и
/Дф). По характеру кривых видно, что для уменьшения чувстви-
тельности S£* необходимо выбирать соотношение элементов ф
возможно меньше, однако, как это следует из данных табл. 3.9,
на практике достаточно ограничиться условием

(3.87)-
Аналогично формулируются условия реализации специализи-
рованных звеньев ВЧ2, как это видно из сравнения соответствую-
щих выражений, приведенных в табл. 3.9 и 3.10.
Для универсальных звеньев ИЧ-БЧ2 на первый взгляд имеет-
ся возможность получить нулевую чувствительность =0 при
ссотношении величин элементов ф, значение которого можно най-
ти из уравнения
' Df	L '	£>2 \	' J	Z ' Dj \	Df /
Интересующее пас значение корня фв для фильтров нч лежит на
отрезке
4<^з< 1.	(3.88).
Ь2
а для. фильтров ВЧ — в диапазоне
(3.89):
Do	. '
Ou	И
Как следует из выражений для ф0 (табл. 3.9) именно соотношения
(3.88) и (3.89) приводят к отрицательным значениям элементов
/?о, Со, не соответствующим принятым условиям реализации. Эти
значения ф и близко лежащие к ним являются «запретными».
На рис. 3.27 запретная (теоретически) для реализации область
заштрихована. Она разделяет зоны реализации фильтров нч и вч,
в которых в соответствии с зависимостями &(ф), фо(ф) и S&' (Ф)
можно выбирать параметры для расчета соответствующих звеньев.
— 117 —
Реализация фильтров вч универсальными звеньями НЧ-ВЧ2
приводит к большим значениям чувствительности S£* , в этом
случае следует применять звенья ВЧ2.
Рис.
ь
k
НИЯ
3.26. Зависимости чувствительности
и коэффициентов k и ф0 от соотноше-
ф = С1/Сз=Лз/Л1 для дробного звена
2-го порядка
Рис. 3.27. Зависимости чувствительности
S^1 и коэффициентов k и ф0 от соот-
ношения ф для звеньев типа НЧ-ВЧ2
Из сравнения по чувствительности полиномиальных звень-
ев и звеньев с нулями передачи при одинаковой добротности
(кривые рис. 3.23, 3.25, 3.26 и 3.27) видно, что некоторым преиму-
ществом обладают полиномиальные звенья с двумя усилителями.
Однако это преимущество незначительно и не всегда может оправ-
дать применение дополнительного усилителя.
— 118 —
в
3.4. Параметры и условия стыковки звеньев
активных RC-фильтров
Ранее было отмечено, что функцию передачи фильтра, пред-
ставленную в результате аппроксимации в виде сомножителей 1
и 2-го порядков, необходимо реализовать каскадным соединением
соответствующих звеньев. При этом для нормальной работы звена
должны обеспечиваться соответствующие условия со стороны вхо-
да и выхода. Для фильтров с усилителями тока это означает
разомкнутый вход и замкнутый выход звена, а для фильтров с
усилителями напряжения — замкнутый вход и разомкнутый вы-
ход, т. е. отношение входного ZBX3 и выходного ZBbIX3 сопротивле-
ний соединяемых звеньев должно выражаться в виде
/jZBxaJj*1 = о,	(3.90}
\2вых 3 /
где знак «плюс» соответствует звеньям с усилителями тока, а
знак «минус» — с усилителями напряжения. Это условие выпол-
няется при использовании идеальных усилителей.
Для звеньев фильтров с реальными усилителями условие иде-
альной стыковки (3.90) уже
не выполняется из-за влияния
паразитных параметров У?вхт
и Двыхн усилителей на пара-
метры СТЫКОВКИ £вхз и /выхз.
Кроме того, поскольку послед-
ние приобретают частотную
зависимость, то в условии ре-
альной стыковки необходимо
брать их значения по модулю:
(3.91)
l^-BWX 3 I
где х — критерий стыковки, ко-
торый практически целесооб-
разно выбирать из диапазона
величин 0,14-0,01.
Анализ параметров стыков-
ки удобно производить по-
звенно для каждого из типов
фильтров нч, вч и ПФ.
Фильтр нч. Вначале рас-
смотрим звенья фильтра нч
на основе усилителей тока
при условии короткого замы-
кания на выходе и холостого
хода на входе. Полное вход-
Рис. 3.28. Характер частотной зави-
симости модуля входного (сплошные
кривые) и выходного (пунктирные)
сопротивлений пассивного звена 1-го>
порядка (а) и звена 2-го порядка
(б) на основе усилителей тока
119 —
ное сопротивление.звена 1-го порядка НЧ1-0Т (рис. 3.5а)
4хнч1 = Я0—>	(3.92)
;	;	1 + со/?ор
его модуль J4;
I-Zbx НЧ11 = £о 1--------- - = #0----- 1 —-	(3.93)
/1 + (C0R0)2 й2	]/1 + ь§ й2
зависит от частоты, как показано на рис. 3.28а (сплошная линия).
Выходное сопротивление звена
/выхНЧ! =^0 + —(3.94)
1 СО С>0
а частотная зависимость его модуля, показанная на рис. 3.28а
пунктирной кривой, определяется выражением
|2вых НЧ11 =	/1 + bfQ7 =	1/1 + J-. - (3.95)
аС£1	V ьой 5 ; 'за
В данном случае параметры стыковки (входное и выходное
сопротивления) определяются параллельным и последовательным
соединением сопротивления Rn и конденсатора Со.
Входное сопротивление звена 2-го порядка НЧ2—1Т1 (рис.
3.6а) с учетом входного сопротивления Кгат реального усилителя
тока
2	__ d ______1 Ч~ [Ci (Ri Ч~ Rz) fiscal Р + CiC^RiRyP2 (3 96)
вхНЧ2- вхт j + [C1(R1 + R2) + C2Ri(l-k)]p+C1CtR1R^ Л '
Используя данные табл. 3.1, можем записать
7	р 1 + (И Ч-С2ад р 4-b2p2	n Q7\
1	+ bl р + Ь2 р2
Частотная характеристика модуля входного сопротивления, вы-
численная по формуле
1/вх нч2| = £вх г 1	8
ВХНЧ21 вхт у (1 — b2Q2)24-bfQ2	:	'
показана на рис. 3 286 (сплошная линия). Она имеет максимум на
частоте резонанса Qoh, величина которого
тах|7Вхнч2| = £вхт(1 +~у	. 	(3.99)
возрастает с увеличением добротности звена и зависит от соотно-
.шений величин элементов. Зависимость (3.99) аналогична полу-
ченной ранее для чувствительности Sp (3.49) и изображается кри-
выми, подобными показанным на рис. 3.23.	
— 120 —
Другой параметр стыковки звена НЧ2—1Т1—выходное сопро-
тивление — выражается через элементы схемы и коэффициенты
аппроксимации формулой
7	n 1 + fG № +/?2) +	(1 -^Jp + C^i^2
^Вых НЧ2 ~	--—
[С2Я2 + С1Я1 (1 -А)] р+ <710^1/?^
= ft 1 + bi Р + b2 р2
2	(bi — Ci/?i) р + Ь2 р2 ’	, j
откуда
17 I Ъ 1/ (1 -baQT + fiab?
|ДвыхНЧ2|-/?2|/ Q*b2 + Q2(bi_CiRi)2 •
(3.100)
(3.101)
Зависимость модуля выходного сопротивления от частоты по-
казана на рис. 3.286 пунктиром. Минимум соответствует частоте
/Ь2 + 1/ Ь| + [2Ь2-Ь| + (Ьх - ад2] (Н - ад)2
-----------------------------------------
2b2 - b| + (bi - ад)2
Если учесть, что для большинства сомножителей функции пе-
редачи выполняется условие	“
ь?<ь,-сл)"
»’»------------.
то выражение для Й'н можно записать так:	.*
Йон = qoh \[ + -\f V + ^ (1 9~
у 2 у 4 Q2 \	2т/
что практически означает: Q'H^Йон-
Ми, нимальное значение модуля выходного сопротивления при
этом можно определять с достаточной точностью по формуле
min |ZBb[X нчз!» Rz
2
(3.102)
из которой видно, что оно уменьшается для звеньев с большей
добротностью. Это изменение можно в небольшой степени ском-
пенсировать соответствующим выбором соотношений элементов
звена. Однако при больших Q может оказаться, что входное со-
противление даже превосходит выходное (рис. 3.286).
На рис. 3.29 схематично изображены частотные зависимости
модулей входных (сплошные линии) и выходных (пунктирные ли-
нии) сопротивлений звеньев 1-го порядка (0) и трех звеньев 2-го
порядка (I, II, III), составляющих вместе фильтр нч 7-го поряд-
ка. На рисунке показан частный случай, когда при реализации
функций передачи 2-го порядка звеньями НЧ2-1Т1 (рис. 3.6а) со-
противления Rz и /?вхт выбраны одинаковыми для всех звеньев.
— 121 —
В любом случае при непосредственной стыковке звеньев меж-
ду собой целесообразно начинать фильтр со звена 1-го порядка;
условие стыковки его с последующим звеном 2-го порядка, запи-
санное в соответствии с (3.91) как	________________
%вх НЧ2 ___ р Q Г (1 — Ь2 fl2)2 + (Ь1 + С2/?2^)2 ^2
Z <> z„H41 	”	|/ (1 ь'о-)[(1 -а'ч + ь;a-J
(3.1031
при этом выполняется во всем диапазоне частот. При стыковке
звеньев 2-го порядка получим
2вх НЧ2
?-> --------
гвых НЧ2
<0 ^вх т
к
(I _ b, qv (bl + с2ед2 q»] [(b;)2 Q4 + Q2 (b; _ C1>;)2]
i (O.1U4)
[(1 _b?o2)2 + L-2Q21[(! _ь; QS)2 4- ( bj)2 Q2]
где штрихи введены для отличия параметров одного из стыкуемых
^вх НЧ2
Z вых НЧ2
звеньев от другого. Необходимо найти максимум функции
от частоты Q, определяемой выражением (3.104) и далее умень-
шить его до заданной величины % соответствующим выбором ос-
новных элементов /Д и /?вх т стыкуемых звеньев. Качественный ана-
лиз рис. 3.29 показывает, что эта критическая точка находится
Для наилучшей стыковки необходимы наименьшее входное
сопротивление /?ВХт и максимально большая величина сопротив-
ления /?2. Однако минимальная величина входного сопротивления
— 122 —
усилителя ограничивается параметрами усилителя в соответствии
с (3.11), а максимум сопротивления Rz определяется режимом сме-
щения усилителя тока, как показано на рис. 3.22а. Их соотноше-
ние в условии стыковки (3.104) не всегда удовлетворяет заданно-
му параметру х; в таких случаях между звеньями необходимо
вводить буферный каскад.
Для звеньев 2-го порядка с двумя усилителями тока НЧ2-2Т1
(рис. 3.66) входное и выходное сопротивления определяются те-
ми же выражениями (3.97) и (3.100), как и для рассмотренного
выше звена НЧ2-1Т1, если принять k = kji2.. Условия стыковки зве-
ньев здесь несколько лучше, так как по условиям режима смеще-
ния усилителя сопротивление можно выбрать большей вели-
чины.
Полученные выше результаты можно полностью перенести на
ФНЧ, реализованные звеньями с усилителями напряжения рис. 3.56,
3.7. Для этого достаточно в выражениях (3.92) — (3.104) заменить,
входные сопротивления на выходные и наоборот.
Фильтр вч. Рассмотрим случай, когда в качестве функции пе-
редачи принято отношение токов.
Звено 1-го порядка ВЧ1-0Т (рис. 3.10а) имеет такие же па-
раметры стыковки, как и рассмотренное выше звено НЧ1-0Т.
Входное сопротивление звена 2-го порядка ВЧ2-1Т (рис. 3.11а)
2	= р 1 + № (Ci +	+ ЛуСо] р 4 CiC2RiRiP2 /д 105)
вхвЧ2 вхт i + № (С1 + су + R1C1 (1 _А)] p + dCtRiRtp* \\ f
или с учетом данных табл. 3.2	.
2вх ВЧ2 — Rbx т
1 + ( Ь]в + CjRik} р + Ь2В р2
(3.106)
1 + Ь1ВР+ Ь2ВР2
что аналогично входному сопротивлению звена НЧ2-1Т1. Следо-
вательно, модуль входного сопротивления звена ВЧ2-1Т можно
характеризовать сплошной кривой рис. 3.286.
Выходное сопротивление данного звена определяется выраже-
нием
-	__ р 1 + [^4 (Ci + С2) + RiCi (1 — /г)] р 4- CiC2RiR2p2
-вых вч 2 — Ла	~
4- C'CtRtRt fl - k -4 р2
\ ^1 /
= Т?2
1 + Ь1Вр 4- Ь2Вр2
[ big — CiRi — CiRi (1 — й)]р 4- Ьгв
-----ыу-, (3.107)
аналогичным ф-ле (3.100) выходного сопротивления звена НЧ2-1Т1,
т. е. частотную зависимость модуля выходного сопротивления зве-
на ВЧ2-1Т качественно можно выразить пунктирной кривой
рис. 3.286. Параметры стыковки звена ВЧ2-2Т полностью идентич-
ны параметрам звена ВЧ2-1Т.
— 123 —
При выборе отношения напряжений в качестве функции пере-
дачи реализация фильтра вч осуществляется звеньями ВЧ1-0Н и
ВЧ2-1Н, ВЧ2-2Н. Входное и выходное сопротивления этих звеньев
определяются через соответствующие параметры рассмотренных
выше звеньев с усилителями тока, как это производилось в слу-
чае фильтров нч.
Таким образом, условия стыковки звеньев фильтра вч опреде-
ляются выражениями, аналогичными (3.103), (3.104), полученны-
ми для фильтра нч, т. е. методы построения фильтров нч и вч
одинаковы.
Полосовой фильтр (ПФ). Как было рассмотрено выше, функ-
ция передачи полосового фильтра составляется из множителей
2-го (ПФ2) и 4-го (ПЧ4) порядков, причем реализация каждого
из них осуществляется двумя способами. Функция передачи ПФ2
реализуется либо пассивными звеньями (рис. 3.13, 3.14), либо ак-
тивными звеньями (рис. 3.15).
Функция передачи ПФ4 реализуется каскадным соединением
звена НЧ2 (рис. 3.6—3.9) и звена ВЧ2 (рис. 3.11, 3.12) либо ана-
логичным соединением двух звеньев ПФ2 (рис. 3.15). Необходи-
мые для стыковки параметры звеньев НЧ2 и ВЧ2 были определе-
ны ранее. Определим параметры стыковки остальных звеньев.
1. Звено ПФ2-0Т1 (рис. 3.13а). Его входное сопротивление
v 2	= 7? _________________1 + св Р__________________
1 ~ [*н св ’ *в ^н’^в Св ] р + /?н RB Сн Св р2
или через коэффициенты аппроксимации	• г .
Zrx П1 — 7?В
1 + [ Ь1П —-^В|( Сн + Св)] р
1 + Ь1П Р + Ь2П Р2
Отсюда модуль входного сопротивления
[ 1 + [Ь1П-^в(Сн + Св)]2й2
F (1 — Ь2П Q2)2 --b(n Q2
(3.108)
,2 (3.109)
что дает частотную зависимость, аналогичную представленной на
•трис. 3.28а (сплошная кривая).
Модуль выходного сопротивления
(^вых ПI
I = #н|/
(l-b2nQ2)2 + b12nQ2
Ь|п Й4 + [ Ьш — /?в ( Сн + Св )]2 Q2
(3.110)
имеет частотную зависимость, аналогичную показанной там же
пунктирной кривой.
Характер частотных зависимостей модулей входного и выход-
ного сопротивлений остальных пассивных звеньев полосового
фильтра одинаков с рассмотренным, необходимо только учиты-
вать инвариантность входных (выходных) сопротивлений звеньев
— 124 —
рис. 3.13 и выходных (входных) сопротивлений соответствующих
звеньев рис. 3.14.
2. Звено ПФ2-1Т (рис. 3.15а). Входное сопротивление опреде-
ляется через элементы схемы в виде
2вх П2 — ^вх т
Г	Rn /	\"l	Ro
1+/?0 Сх+С2 —1+ -L + -L p+C.C^R, р2
L	\ Ад £<2 /J	Д1ТА2
Г
k-\- 41 - ^^p+CiC^R,
Aq Ag / J
2
------zr
м+^2 р
либо через коэффициенты аппроксимации
_	1 т( Ь1П + k	C2Ro j р + Ь2П р2
2вх П2 = А-вхт-----. (3.Г11>
1 г Din Р г О2П Р
Модуль входного сопротивления
/(1 - Ь2П й2)2 + ( Ь1П + k R^ C2R0р
(l-^n^T + bfnQ2
(3.112)
характер его частотной зависимости такой же, как и для звена
НЧ2-1Т1 (рис. 3.286) в соответствии с (3.98).
Выходное сопротивление звена ПФ2-1Т
R0 2
.-------ЕГ
‘Rl+Rz _
^вых П2“ (^1 “1~^2 )
r2 I Ri
Г-1”	Р+С1С2ад2
А1~1~£\2\Ар^2 ' 
1 +1?о Ki — С2 (k — 1 —
I	\	Ао
р -f- CiCvRiRttP^
= (Ri + +-nf •	'	(3-113)
1 ai р + а2 р
Модуль выходного сопротивления	.....
1	,	- х , / (1 — Ьоп Й2)2 + Ь?ПЙ2 ।
|2.» Л2| = (Кг + %) ]/ ( г; 1	(3.114)
у	-- Д2 ав ) “1“ «Ц ЙЬ
имеет частотную зависимость, подобную полученной для выход-
ного сопротивления звена НЧ2-1Т1 (рис. 3.286), за исключением
очень низких частот, где
|2вых пг| = Ri + Rz-
 Q=0	>
Параметры стыковки звеньев с усилителем напряжения (рис.
3.156) такие же, как для звена ПФ2-1Т (с учетом инвариантности
параметров звеньев с усилителями тока и с усилителями напряже-
ния). Построение всего полосового фильтра производится по из-
вестным параметрам стыковки в соответствии с принципами, из-
ложенными выше для фильтра нч.
— 125 —
Из рассмотрения условий стыковки звеньев активных фильтров
можно, таким образом, сделать следующие выводы:
— параметры стыковки всех типов звеньев имеют частотную
зависимость:
—	максимальное отклонение величин параметров стыковки
звеньев от идеальных происходит на частоте, которую условно
можно назвать частотой резонанса звена;
—	величина этого максимального отклонения возрастает с уве-
личением добротности звена;
—	звенья с двумя усилителями имеют лучшие параметры сты-
ковки, чем звенья с одним усилителем;
—	для лучшего выполнения условий стыковки при построении
фильтра непосредственно соединяться должны звенья с макси-
мально отличающимися резонансными частотами;
—	если соединение двух звеньев при построении фильтра не
соответствует выбранному условию стыковки, то между ними
необходимо помещать буферный каскад;
—	условия стыковки накладывают дополнительное ограни-
чение на звенья с усилителями напряжения, поскольку входное
сопротивление последующего звена шунтирует сопротивление в
цепи эмиттера усилителя рис. 3.3, что, в свою очередь, уменьшает
входное сопротивление последнего (3.23);
—	соотношения элементов (R, С), оптимальные по стыковке,
одновременно являются оптимальными и по чувствительности.
3.5. Использование метода предыскажений при расчете ;
фильтров на основе единичных усилителей
Как следует из разд. 3.1 и 3.2, реализация каждого активного
/?С-звена 2-го порядка требует использования от одного до четырех
транзисторов. Количество транзисторов, необходимое для реализа-
ции одного звена, зависит от типа выбранного звена и типа уси-
лителя (одно- или двухтранзисторного). Сложность активного
элемента фильтра (усилителя) зависит от требуемой величины
добротности; более добротные звенья требуют для своей реализа-
ции использования более сложного усилителя. Покажем, что об-
ласть использования однотранзисторных усилителей можно рас-
ширить в сторону более высокодобротных звеньев с помощью ме-
тода предыскажений, известного из теории полиномиальных LC-
фильтров [5,21].
При подстановке в (2.63) значений коэффициентов Ь, и Ь2, при-
веденных в табл. 3.1. коэффициент передачи звеньев типа НЧ2-1Н1
и НЧ2-2Н1 (рис. 3.1) выразится соответственно как
Я (р) =--------------------*-------------------	(3.115)
1 -|- [С17?1 —	(^1^2)] Р 4~
— 126 —
При /г = й1/г2=1 выражения (3.115), (3.116) упрощаются за счет
исчезновения вторых слагаемых в квадратных скобках, и при этом
их всегда удается реализовать в качестве звена 2-го порядка филь-
тра с чебышевской, баттервортовской или иной полиномиальной
характеристикой. Если в качестве усилительного элемента исполь-
зуется эмиттерный повторитель (или в случае звеньев с усили-
телями тока — транзистор по схеме с общей базой), k всегда бу-
Рис. .3.30. Влияние отличия коэффициента усиления k от еди-
ницы на характеристику затухания (а) и расположение полю-
сов ФНЧ на p-плоскости (б)
дет меньше единицы. Если величины постоянных времени CiRt и
CiRz выбрать, исходя из предположения, что k=\, то при k^=\ ха-
рактеристика звена искажается, как показано, например, на
рис. З.ЗОя пунктиром для чебышевского фильтра 3-го порядка.
Влияние отличия коэффициента k от единицы напоминает влияние
потерь в фильтрах LC.
Как было показано выше (разд. 2.2, 2.8), полюсы комплексного
коэффициента передачи фильтров нижних частот чебышевского и
баттервортовского типов располагаются соответственно по полу-
эллипсу и полуокружности в левой р-полуплоскости. Легко пока-
зать, что появление второго слагаемого в коэффициенте при первой
степени р приводит к тому, что нули удаляются от оси мнимых
значений р у приближаются к вещественной оси, как показано на
рис. 3.306. Как известно, метод предыскажений применяется в том
случае, когда полюсы коэффициента передачи фильтра за счет
неидеальности элементов (активных потерь в катушках индуктив-
ности и конденсаторах) сдвигаются влево параллельно веществен-
ной оси.
Покажем, что звено с идеальными элементами и усилителем с
&¥=1 (рис. 3..31в.) эквивалентно звену, в котором коэффициент уси-
ления усилителя &=1, но конденсаторы имеют потери, учитывае-
мые включением параллельных активных проводимостей G
(рис. 3.31а). Коэффициенты передачи схем рис. 3.31:
’ а	/ c’.Rip \ ',...
(1+КА)( 1+-——	~
\	1 + KiGi /
— 127 —
Если 1 -\-RiGj.— \fk, ... CL ~  ---!— , где Н& = Нв, т. е. обе схе-
1 +
мы эквивалентны. Проводимсс! я G влияют на характеристики
звеньев и расположение полюсов так же, как потери в ЁС-фильтрах.
Рис. 3.31. Схемы активных фильтров, эквивалент-
ные по коэффициенту передачи
Целесообразно теперь воспользоваться понятием коэффициен-
та потерь	,
6 = А- = '—i = —k- ,	(3.117)
!	С, С1Я1 Т1
определяемого при нормированной граничной частоте полосы про-
пускания, равной единице.
Величина Ty — CyRy в зависимости от коэффициентов полиномов
знаменателя (3.115) и (3.116) для схем рис. 3.7а и б определяется
при k=l соответственно выражениями:
Tla = bl pZfTf ’ ' ;	(ЗЛ18)
Pi6= bi,	”	(3.119)
R	'
где, как и ранее /2=——.
^2
Величины коэффициентов потерь 6, полученные из (3.117) для
звена типа НЧ2-2Н1 при & = 0,9, приведены в табл. 3.11.
Данные табл. 3.11 можно в первом приближении использовать
и для оценки возможностей звена типа НЧ2-1Н1.
Использование метода при синтезе ФНЧ. Как известно, метод
предыскажений сводится к тому, что полюсы коэффициента пере-
дачи, характеризующего цепь с неидеальными элементами, сдви-
гаются предварительно вправо параллельно оси вещественных
значении на расстояние о = а затем определяются элементы
схемы, наличие потерь в которых вызывает обратный сдвиг полю-
сов в исходное положение. Вследствие известных условий физиче-
ской осуществимости предварительный сдвиг нулей может произ-
водиться лишь в пределах левой полуплоскости, поэтому звенья,
— 428 —
ТАБЛИЦА 3.11
Степень полинома, п	Величины коэффициентов потерь 6 для звеньев с k =0,9 при			
	максимально плоских I полиномиальных ха- рактеристиках	равноволновых полиномиальных характеристиках с неравномгрнэсгь»		
		А и-0 , 5 дб	\а~~= I дб	Да=2 дб
2	0.0707	0,1064	0,1005	0,1023
3	0,1	0,1823	0,201	о,24
4	0,1305; 0,0533	0,303; 0,0421	0,3535; 0,0415	0,442; 0,0437	
5	0,162; 0,0619	0,463; 0,0813	0,552; 0,0917	0,708; 0,1113
6	0,1931; 0,0707; 0,0517	0,659; 0,139- 0,0271	0,796; 0,1642; 0,0259	1,028; 0,2075; 0,0285
7	0.224; 0,0803; 0,0555	0,891; 0,212; 0,055	1,085; 0,255- 0,0623	1,41; 0.328; 0,0759
8	0,254; 0,090; 0,060; 0,0509	1,162; 0,2985; 0,0065; 0,02007	1,42- 0,363; 0,1142; 0,02	1,859; 0,47; • 0.145; 0.0212 .,
ТАБЛИЦА 3.12.
Степень полинома, п	Вещественные составляющие корней сомножителей 2-го порядка при			
	максимально плоских полиномиал ьных характеристиках	равноволновых полиномиальных характеристиках с неравномерностью		
		Аа—0,5 дб	&а~ 1 дб	Да=2 дб
2	0,7071	0,7128	0,5489	0,4019
3	0,5	0,3132	0,2471	0,1844	;
4	0,3827; 0,9239	0,1754; 0,4233	0,1395; 0,3369	0,149; 0.2532
5	0,3090; 0,8090	0,1120; 0,2931	0,0895; 0,2342	.0,0675; 0,1766 ,
6	0,2588; 0,7071; 0,9659	0,0776; 0,2121; 0,2898	0,0622; 0,1699: 0,2321	0,0470; 0.1283; 0,1753
7	0,2225; 0,6235; 0,9010	0,0570; 0,1597; 0,2308	0,0457; 0,1281; 0,1851	0.0346- 0,0969; . 0,1400
8	0,1951; 0,5555; 0,8315; 0,9808	0,0436; 0,1242; 0,1859; 0,2193	0,0350; 0,0997: 0,1192; 0,1760	0,0265; 0,0754; 0,1129; 0.1332 ‘
Примечание. Знак «минус» у составляющих опущен.
обладающие полюсами, расположенными вблизи оси веществен-
ных частот, требуют для своей реализации элементов, более при-
ближающихся к идеальным.
Для оценки возможностей реализации звеньев баттервортов-
ских и чебышевских фильтров в табл. 3.12 приведены величины
вещественных составляющих корней 2-го порядка. Очевидно, реа-
лизация звена возможна лишь в том случае, если цифра, приве-
денная в табл. 3.12, превышает цифру в соответствующей клетке
табл. 3.41 (считается, что активный элемент характеризуется ве-
5—156	— 129 —
личиной £ = 0,9). В противном случае необходим более сложный
активный элемент с величиной k, более близкой к единице. Для
полиномов высших степеней, когда в клетках таблиц приводится
несколько цифр, первую из них следует сравнивать с первой циф-
рой в соответствующей клетке другой таблицы и т. д.
Как видно из сопоставления таблиц, трудности реализации воз-
растают с ростом степени полинома и допустимых искажений в
полосе пропускания. Примерно половину множителей, веществен-
ные составляющие корней которых приведены в табл. 3.12, можно
реализовать с помощью звеньев типа НЧ2-1Н1 и НЧ2-2Ш при
£ = 0,9, и нет необходимости использовать в этих случаях более
сложные схемы.
Трудности, связанные с реализацией множителей, содержащих
полюсы вблизи оси вещественных частот, .наводят на мысль об
использовании полиномов, отличных от полиномов Чебышева и
Баттерворта, корни которых были бы расположены вдали от этой
оси. В качестве одного из полиномов подобного рода может рас-
сматриваться полином, использованный И. Влахом [49]. Корни
полиномов этого типа расположены на прямой, параллельной оси
вещественных частот. Так что все фильтровые звенья будут харак-
теризоваться значительно более близкими добротностями.
Хотя использование полиномов с равноудаленными от оси
вещественных частот корнями и облегчает реализацию фильтровых
звеньев, следует иметь в виду, что для получения заданного подав-
ления в данном случае требуется более высокая степень полинома,
чем в случае чебышевской и даже баттервортовской характеристик.
Это иллюстрируется кривыми рис. 3.32, где сплошными линиями
показаны характеристики с использованием полиномов Чебышева
(Аа=0,2Мб), пунктиром-• полиномов Баттерворта и точками —
полиномов с равноудаленными от оси вещественных частот нулями
(Да = 2 дб).
Использование метода при синтезе ФВЧ и ПФ. Схемы анало-
гичных звеньев ФВЧ типа ВЧ2-1Н и ВЧ2-2Н, приведенные на
рис. 3.12, получаются из нч звеньев заменой сопротивлений на ем-
кости и наоборот. Коэффициенты передачи этих схем выражаются
соотве^твенно в виде:
ь
НМ =---------—---------j-------------—-----------j---- - (3-120)
1 ~ [ад? + ад? + едГ(I Т ~ ~c^RiRiP'1
НМ =-----------—--------j-----j------------------ .	(3.121)
1 т _ _ У- _ „ (1	£)	+'	_ D у
C2R2	Р C1C2R1R2P
Учет отличия коэффициента k от единицы может производиться
с помощью эквивалентных схем рис. 3.31в и г. Как видно, в дан-
ном случае сопротивления потерь включаются последовательно с
— 130 —
Рис. 3.32. Сопоставление
характеристик полиноми-
альных фильтров, рассчи-
танных по Чебышеву,
Баттерворту и Влаху
емкостями, подобно тому, как это делается при учете потерь
в фильтрах LC [3,5]. Условия эквивалентности имеют вид:
1/4-l+f.
(3.122)
Полосовые фильтры, как это было показано выше (разд. 2.7),
могут образовываться путем каскадного соединения нч и вч
звеньев, и потому их рассмотрение не вносит ничего принципиаль-
но нового. Однако, поскольку множители разложения коэффици-
ента передачи полосового фильтра обладают более высокими, чем
исходный нч прототип, добротностями, использование описанного
метода, как правило, не даст возможности уменьшить число трио-
дов и потому нецелесообразно.
На первый взгляд может показаться, что идея использования
метода предыскажений противоречит выводам, сделанным в
разд. 3.3, где было показано, что для уменьшения чувствитель-
ности величина коэффициента усиления активного элемента долж-
на превышать единицу. Однако в том же разделе было оговорено,
что чувствительность характеристики фильтра определяется прак-
тически одним-двумя высокодобротными звеньями; в то же время
метод предыскажений целесообразно применять при реализации
звеньев невысокой добротности.
Результаты, аналогичные приведенным, можно получить и
при рассмотрении схем с усилителями тока (НЧ-1Т1, НЧ2-2Т1,
ВЧ2-1Т и т. д.).
Применение метода иллюстрируется примером 7 (приложе-
ние 3).
5*	— J31 —
4
ГЛАВА
ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ КОНВЕРТОРОВ
ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
4.1. Активный элемент фильтра—конвертор
отрицательного сопротивления (КОС)
Конвертором отрицательного сопротивления (КОС) называют та-
кой активный четырехполюсник (рис. 4.1а), который преобразует
импеданс нагрузки ZH(p) на зажимах 2—2' в импеданс обратного
знака —%ZK(p) на зажимах 1—Г. Коэффициент преобразования
Рис. 4.1. Эквивалентные схемы КОС
х чястотноиезависимая постоянная (на практике выбираемая
ра'вной единице), которая в общем случае может иметь комплекс-
ный характер.
" Определим, какими должны быть элементы матрицы [/г] четы-
рехполюсника рис. 4.1а, чтобы реализовать свойства КОС. Входное
сопротивление со стороны зажимов 1\—Г четырехполюсника, на-
груженного на зажимах 2—2' импедансом Z,b имеет вид
~ —
А12^21^н
1 + Мн
ОГ.:.. (4.1)
132 —
а сопротивление на зажимах 2-—2х при нагрузке Хн
Z
на зажимах
2-2'
h 22
Л12Л21
Ли ~г Zn
(4.2)
На основе анализа приведенных выражений нетрудно убедить-
ся, что для реализации четырехполюсником идеального КОС (в со-
ответствии с определением) необходимы и достаточны условия:
йц = 0,	(4.3а)
Л22 = 0,	(4.36)
X = /112^21.	(4.Зв)
Последнее условие в случае обратного включения КОС (4.2) запи-
шется несколько иначе:
Л12Л21 ’	-	‘	' ' '
что не нарушает принципиальной общности картины.
Из условий (4.Зе, г) видно, что положительный знак коэффи-
циента преобразования обеспечивается в двух случаях: когда
параметры четырехполюсника отрицательны:
Й12	0;	й2] <С 0 нт  t:	(4-4)
и когда оба они положительны:	' :	’
Й12 > 0; h2l >0. Л ; ,.;Л.	(4.5)
В первом случае такой четырехполюсник называется конвер-
тором отрицательного сопротивления по напряжению (КОСН), во
втором — по току (КОСТ). Подобное наименование они получили
из-за инверсии напряжения (КОСН) либо тока (КОСТ) относи-
тельно исходных их направлений, показанных на рис. 4.1а.
Реальный КОС (рис. 4.1а) обладает тем замечательным свойст-
вом, что его всегда можно свести к идеальному конвертору отри-
цательного сопротивления (рис. 4.16). Для этого достаточно к
реальному КОС подсоединить компенсирующие сопротивления г(
и г2 в соответствии с рис. 4.1е. Полученный таким образом четы-
рехполюсник будет обладать свойствами идеального КОС, если
компенсирующие сопротивления рассчитаны по формулам:
Л22 Л12Л21—ЛцЛ22
Г2 = йи-------L------.	(4.7)
Л12Л21 ' hah22
Сопротивление гг компенсирует конечное значение входного со-
противления реального КОС, обеспечивая выполнение условия
(4.3а), а сопротивление аналогично компенсирует реальную вы-
ходную проводимость для выполнения условия (4.36). Эти выводы
— 133 —
получены на основе анализа матрицы [Л] общего четырехполюсни-
ка рис. 4.1е, который при выполнении условий (4.6) и (4.7) следует
рассматривать как идеальный КОС с эквивалентной схемой
рис. 4.16.
Для компенсации неидеальностей КОС может использоваться
и отрицательная обратная связь [43], что обеспечивает лучшую ста-
бильность компенсируемых параметров. Однако использование
подобных схем может быть оправдано лишь в тех случаях, когда
подсоединяемые к зажимам КОС импедансы сравнимы по модулю
с величинами паразитных параметров реального КОС.
В силу несимметричности схемы (рис. 4.1е) идеальный КОС
потенциально неустойчив при замкнутых входных и разомкнутых
выходных зажимах [32] и устойчив при замкнутых выходных и ра-
зомкнутых входных зажимах. Поэтому для устойчивой работы
всего устройства на основе КОС необходимо больший импеданс
подсоединять к зажимам й—Г, а меньший — к зажимам 2—2'. Это
обстоятельство несколько усложняет проектирование активных
/?С-фильтров с конверторами отрицательных сопротивлений.
Рассмотрим практические принципиальные схемы КОС различ-
ных типов, в первую очередь схемы с минимальным числом тран-
зисторов без использования переходных конденсаторов, что обес-
печивает возможность передачи постоянной составляющей.
Конвертор отрицательного сопротивления по напряжению
(КОСН). В соответствии с определением, приведенным ранее, зна-
ки напряжений на входных зажимах КОСН и на нагрузке должны
быть противоположны при одинаковых направлениях токов. Рас-
смотрим принцип действия КОСН по упрощенной схеме рис. 4.2а.
Рис. 4.2. Схемы КОСН:
а) упрощенная, б) полная принципиальная, в) эквивалентная для низких частот
! Если папояжение t/RMX приложено к выходным зажимам, то при
этом транзистор Т2 вместе со своими сопротивлениями R,, ./?>
работает в качестве простого фазоинвертора, и поэтому к базе
транзистора 7\ приложено напряжение — t/вых- Транзистор 7\ в
данном случае является эмиттерным повторителем, обеспечивал
тем самым напряжение на входных зажимах — t/Bbix- Входной ток
/вх проходит через транзистор Л, не изменяя своего направления и
практически не меняясь по величине. Таким образом, приведенная
схема соответствует определению КОСН. ,, ,.		, ;
— 134 —
Полная принципиальная схема КОСН с источником питания
и сопротивлениями смещения по постоянному току приведена на
рис. 4.26. Сопротивление А’.-, предназначено здесь для компенсации
параметра неидеальности — входного сопротивления /г1ь Компен-
сация выходной проводимости А22 осуществляется с помощью со-
противления /?3.
Количественные соотношения для приведенной схемы КОСЫ
получим из анализа ее эквивалентной схемы для диапазона низких
частот рис. 4.2в. В эквивалентной схеме опущены коллекторные
проводимости транзисторов и не указаны его емкости, величинами
которых в звуковом диапазоне частот можно пренебречь. Опреде-
литель матрицы проводимостей эквивалентной схемы КОСН име-
е.т вид	Д =
J_ ц	!	 о Rs С1 ИбхО—Hl)		!	 о Ct Ci (I — <ii)
о L- -J- \/?4 Rfl	0	’	— — /?5
	Lz/в—.	о Г Ci + С1(1 — ai)	L СЦ	] Гэ14-Гб1(1 —ai)	Rs	1	1 — ai 1		a2	 Rs 1 C1+C1(1 —ai)J	Ri + Ca + c2(l — a2) 	[ai		1 ।	1 — a2	1 CiH-Cill —ai) .Rs RiH гэ24-Гб2(1—a.>) J (4.8)
на основе этого определителя по формулам, выведенным из
соотношений, приведенных в [18], рассчитываются /г-параметры
принципиальной схемы КОСН:
=	‘	(4.9)
^22
ЛИ = -421-.	' ' ' 4 '4 (4.10)
: '	h21	-	(4.11)
^22
//22 = ? . '	•	(4.12)
Агг
В первую очередь рассчитаем величину компенсирующего сопро-
тивления /?,. необходимого для выполнения условия (4.3а). Решая
уравнение
I: аи,22 = °-	<4-13)
получим
_ 1Гэ1 (f6i + ^2) (! — «1)] 1ГЭ2 4- Гбз (1 — СС3)]	;
R2 (сц + а2 — 1) — (1 — а2) [гЭ1 + гб1 (1 — си)]
— 135 —
- Подставляя полученное значение А4 в выражения (4.10) и
(4.Н), определим следующие параметры КОСН:
cii + а2 — 1 — (1 — а2)
r3i 4-Г61 (1 — ш)
Ri
Гэу + Тбг (1 — «г)
R1
(4.15)
Ri
щ -У а2 -~ 1 — (1 — а2)
(4-16)
Четвертый параметр — выходная проводимость Й22-- должен
быть скомпенсирован для выполнения условия (4.36). Условия
компенсации определяются на основании (4.12) из решения урав-
нения
Л = 0,
(4.17)
которое приводит к приближенному равенству
;	(4.18)
:	В заключение в соответствии с условием (4.Зе) и учитывая
1 (4.10), (4.11), определим коэффициент преобразования КОСН:
।	,	,.	, гэ14“гб2(1 Иг) )2
“1 + а2 — 1 — (1 — а2)------------
Ri
Ri
, , ''эг । Тб2 (1	а2)
сца2 1 + ----------------------------
Ri
. (4.19)
Ri
Коэффициент преобразования является основным параметром,
и поэтому расчет КОСЫ следует начинать с выбора этого пара-
метра. Практически это незначительно повлияет на расчет компен-
сации остальных параметров неидеальности; в ряде случаев нет
необходимости в специальном расчете компенсации, и эту опера-
цию более целесообразно осуществлять на этапе регулировки.
Конвертор отрицательного сопротивления по току (КОСТ).
Поясним работу КОСТ с помощью упрощенной схемы, приведен-
ной на рис. 4.3<7. Приложенное к выходным зажимам напряжение
Рис. 4.3. Схемы КОСТ:
а) упрощенная, б) полная принципиальная, в) эквивалентная ДЛЯ
низких частот
Л12 - ’
—. 136 —
Пвых оказывается примерно равным напряжению (7ВХ на входных
зажимах, поскольку здесь транзистор Т2 выступает в качестве
эмиттерного повторителя. Входной ток /вх определяется этим на-
пряжением и величиной нагрузки, подключенной к зажимам 1\—Г.
При незначительной погрешности можно считать ток эмиттера
транзистора Т2 равным его коллекторному току. Последний созда-
ет на сопротивлении /?2 падение напряжения /вх/?2. которое вызы-
вает практически такое же падение напряжения на сопротивлении
Ri. В силу этого токи эмиттера и коллектора транзистора 7\ (а
значит и выходной ток /ВЬ1Х) определяются соотношением /вх—.
Ri
При /?1=Т?2 получим равенство входных и выходных токов: /вх =
=/Вых- Таким образом, четырехполюсник обладает свойствами
КОСТ.
Практическая принципиальная схема простейшего КОСТ по-
казана на рис. 4.36. Здесь сопротивление А4 предназначено для
компенсации входного сопротивления КОС, a R3 и Rt определяют
режим смещения транзисторов и участвуют в компенсации выход-
ной проводимости КОС.
Дальнейший анализ КОСТ производится по эквивалентной схе-
ме рис. 4.Зе, которая справедлива для диапазона звуковых частот.
Этой схеме соответствует матрица проводимостей, определитель
которой
Д =
;Л_.!------1---- 0	: 0	'--------;--!-----
R3	—Из)	аг)
________________
гэа + гб 2О —М
1 —а2
Гэг + гбг(1 — «г)
Г_1__।1 —Щ' 
L-Ra	Я1~г''э1+''б1(1—ai)J гЭ2 -гГбг(1 — а2)
1 а,Г1____________________.	1 — а2
Rs Ri + гэ 4 r6i (1 —а1) LRs тэ2 ; Лбг(1—«г)-
(4.20)
На основании (4.20) по ф-лам (4.9) — (4.12) рассчитываются ^-па-
раметры КОСТ. Расчет производится в том же порядке, что и в
случае КОСН. Вначале, решая ур-ние (4.13), определим величину
компенсирующего сопротивления:
R = 1г^ гб2 (1 — «г)]	4- гЭ1 Ч~ (^?г 4- r6i) (1 — «1)] < ,	(4 21)
R-i (си + и2 — 1) — (1 — «г) [Я1 + гЭ14- r6i(l — ид]
Используя полученное соотношение, по ф-лам (4.10) и (4.11),
рассчитаем основные параметры КОСТ:
/112=1,	•	'	(4.22)
— 137 —
Й21
Ri
Ri
________1_____________
Gt + r6i(l — ai)
Ri
(4.23)
Условие компенсации паразитной выходной проводимости hZ2 по-
лучим из решения ур-ния (4.17):
(4.24).
Оно аналогично выведенному выше (4.18) для КОСН. На практи-
ке и здесь может оказаться более целесообразным компенсацию,
осуществлять на этапе регулировки КОСТ.
Выражение для коэффициента преобразования упрощается по
сравнению с КОСН:
1____________
Гм + гб1(1 — си)
R1
(4.25}
Из сравнения рассмотренных двух разновидностей КОС можно
отметать их идентичность как по схемной реализации, так и по!
основным параметрам и возможности компенсации неидеальности.
Расчет параметров оказывается несколько проще для КОСТ.
4.2. Общие принципы реализации фильтров
Известные методы синтеза активных 7?С-фильтров на основе'
КОС можно разделить на две группы, исходя из способа включе-
Рпс. 4.4. Конверторный /?С-фильтр
с каскадным соединением составляю-
щих четырехполюсников
ния пассивных цепей относи-
тельно активного элемента.
Первая группа характеризует-
ся каскадным соединением пас-
сивных 7?С-четырехполюсников
и КОС (рис. 4.4), вторая —
каскадно-параллельным (рис.
4.5a).
Впервые методика синтеза активных 7?С-фильтров была разра-
ботана Линвилом [47] по модели каскадного соединения (рис. 4.4).
Рис. 4.5. Конверторный /?С-фильтр с каскадно-параллельным сое-
динением составляющих четырехполюсников
— 138 —
б2ь которое для данной модели выра-
матрицы сопротивлений [Z] пассивных
известные параметры КОС формулой
h^jlgZilb	(Л
В качестве функции передачи было выбрано переходное сопро-
тивление холостого хода
жается через параметры
/?С-четырехполюсников и
Z21
— л
Возможность реализации комплексных полюсов функции передачи
(4.26) обусловливается тем, что в знаменатель входит разность
функций с вещественными корнями их числителей. Эта разность
всегда обеспечивается независимо от вида КОС (КОСН либо
КОСТ), изменяется только знак в правой части выражения (4.26)
в соответствии с условиями (4.4) и (4.5). Поскольку реализация
осуществляется с точностью до постоянного множителя, то и об-
щий знак функции передачи целесообразно вынести в постоянный
множитель и в дальнейшей процедуре синтеза его не учитывать.
Предложенная Линвилом методика синтеза состоит в следую-
щем. Полученная в результате решения задачи аппроксимации
функция передачи
' (4'27)
преобразуется следующим образом:
Н(р) = Q(pVDjp)	(4.28)
Р (p)/D (р)
где D(p) — вспомогательный полином с отрицательными вещест-
венными корнями, степень которого равна степени полинома Р(р)
знаменателя заданной функции передачи. Выбор корней av вспо-
могательного полинома D(p) в значительной степени произволен,
они не должны только совпадать с корнями полинома Р(р)- Далее,
сопоставляя (4.26) с (4.28) и отбрасывая постоянный множитель
со знаком, приравниваем:
Z21aZ21b = ^-	/ (4.29)
D(p) >	о.»/, <
Zi2a-*ZUb=-^.	. (4.30)
и (Р)
На следующем этапе производится разложение на простые дроби
правой части ур-ния (4.30) путем определения вычетов в точ-
ках ov:
^- = 7<0 + —(4.31)
D (р)	р щ р + а2	р + а„
При этом обнаруживается, что вычеты всегда вещественны,
но могут быть либо положительными Кр., либо отрицательными
К\. Известно, что любая функция с простыми полюсами на отри-
цательной вещественной оси и положительными вещественными
— 139 —
вычетами при этих полюсах может выражать входное сопротив-
ление пассивной /?С-цепи. Следовательно, в разложении (4.31)
можно образовать две группы: с положительными и отрицатель-
ными вычетами и ассоциировать первую группу с Z^a, а вторую —
с х2ц ь, т. е. получим:
г22а = ^ + У—7^-’	(4-32)
-zZU4 = y_(4.33)
Поскольку полюсы входного и переходного сопротивлений пас-
сивного ??С-четырехполюсника совпадают, то нетрудно выделить
Z2| а и Z^b из их произведения (4.29). Теперь синтез по известным
входному и переходному сопротивлениям осуществляется обычным
способом (гл. ,1). Таким образом, синтез активного 7?С-фильтра
сводится к известному синтезу пассивных КС-четырехполюсников.
Для непосредственного практического использования представ-
ляют интерес функции передачи каскадной модели (рис. 4.4):
отношение токов при коротком замыкании на выходе
Нт =------'-‘7 (4.34)
a22aa22b z а21Са12Ь
и отношение напряжений в режиме холостого хода
ГТ _ ^21	!
11 Н	>
(4.35)
а12аа21Ь — z а11ааиЬ
выраженные через параметры матрицы [а] составляющих КС-четы-
рехполюсников. Шаг к созданию строгой методики синтеза фильт-
ров подобных функций передачи сделан в работе {50], где итера-
тивным путем осуществляется переход от параметров (а]-матрицы
к параметрам [2]-матрицы.
Каскадно-параллельная модель (рис. 4.5) и методика синтеза
ее передаточной функции
14 __ ^21У-21а УчлЪ
п н
(4.36)
.	УгчЬ • Угга
были предложены Янагисава (51]. При этом была выбрана опре-
деленная конфигурация пассивных КС-четырехполюсников (рис.
4.56), в результате чего исходная функция передачи приняла вид
,	Нв= -------У^ь- h^a _	(4 37)
У1Ь ~~ ъ У1а Д У чь % Уча
Процедура реализации состоит в следующем. Вначале исход-
ная функция (4.27) преобразуется к виду
Н (р) = -----------------
, P(p)-Q (₽) + <?(/>)
— 140 —
(4.38)
Затем выбирается вспомогательный полином с отрицательными
вещественными корнями ov:
ЩР)=П(Р+О.	(4-39)
, р,	V	,	,
где п — наивысшая степень полинома числителя либо знамена-
теля функции (4.27). Числитель и знаменатель (4.38) делится на
полином (4.39):
*	QW
Н(р) ------------------.	(4.40)
P(p)-Q(p) , Q(p)
Р(р) ' D(p)
Из сопоставления (4.40) с (4.37) получаются выражения:
Уч~ =	’	(4.41)
D (р)
Заметим, что для рассматриваемой модели последние выражения
справедливы при выполнении условия
х = Л21,	(4.43)
т. е. только для одного типа КОС, а именно КОСТ, реализация
которого рассмотрена выше.
После разложения правых частей ур-ний (4.41), (4.42) на
простые дроби получим
п—1
Уч ~ *Уч = Kj> + Ко + У ,	(4.44)
V
п-1 к'
Уч~*Уч = К-Р + Ко + У —•	(4.45)
Нетрудно теперь убедиться, что в выражениях (4.44) и (4.45)
простые дроби с положительными вычетами реализуют соответ-
ственно двухполюсники у\ъ, Угь, а дроби с отрицательными выче-
тами— двухполюсники zz/Ta, х«/2а- Таким образом, можно полагать,
что практически реализация заданной функции передачи на этом
заканчивается. Она опять сводится к построению пассивных
А’С'-цепей.
При использовании модели рис. 4.5 для прохождения сигнала
в обратном направлении можно реализовать функцию передачи по
— 141 —
,.току, которая в этом случае определяется выражением
hn
, Уна У12Ь
.	(4.46)
У 22b	7- У22а
Очевидно, процедура реализации будет полностью идентична рас-
смотренной выше при условии
7. = -^- .	•	(4.47)
Ml
Последнее означает, что в данном случае может использоваться
любой вид КОС: и КОСТ, и КОСН.
Рассмотрим еще несколько моделей с различным соединением
пассивных ДС-четырехполюсников относительно КОС. Модель кас-
кадно-параллельного соединения рис. 4.6 характеризуется следую-
щими функциями передачи:
передачей по току в прямом на-
правлении
У-пъ +
Н,
1
У lib —	Уиа
(4.48)
‘t
передачей по напряжению в об-
Рис. 4.6. Конверторный RC-
фильтр с каскадно-параллель-
ным соединением составляю-
щих четырехполюсников
г ратном направлении
1
, Уна—У12Ь
«21
1
УпЬ — У11а
7.
(4.49)
н о
Процедуру реализации здесь можно свести к уже рассмотренной,
если для (4.48) принять
— =-А12,	(4.50)
7„	
что допускает применение только КОСН, а для (4.49)—условие
(4.43), т. е. можно применить только КОСТ.
При каскадно-последовательном соединении (рис. 4.7) для вы-
ражения функций передачи следует использовать параметры ма-
трицы [Z] составляющих ДС-четырехполюсников. Для модели
рис. 4.7а получим:
передачу по напряжению в прямом направлении
н ___ hziZna Z^ib	(4 51)
"4'- '	Zllb—7-Zila
передачу по току в обратном направлении
=	:	(4-52)
л*? т--•	.. '-.'V	-	'	Zllb	‘ •• 
— 142 —
Сравнивая эти два выражения с (4.36) и (4.46), нетрудно
убедиться, что и процедуры, и условия реализации для них анало-
гичны. Заметим только, что функция передачи (4.52) реализуема
только для активного элемента типа КОСТ.
Рис. 4.7. Конверторные /?С-фильтры с каскадно-носледователъным
соединением составляющих четырехполюсников
Для модели рис. 4.76 функции передачи по току в прямом на-
правлении
7	П Н'	' г'- Щ
... ..	-----------< (4-Ф
Z22(, —	722д	<"	.
.	7"	С . .гписнн
и по напряжению в обратном направлении	гт лп
1	Л Л	-о
' •	212ь Z12a  j1 ' ;
1!..	------ . (4.54)
Z-itb—' Z22a ' 1
f.
аналогичны полученным выше для модели каскадно-параллельно-
го соединения (рис. 4.6).
Поскольку для схем с каскадно-последовательным соединением
используются параметры матрицы сопротивления [Z] пассивных
ДС-четырехполюсников, то в процедуре синтеза степень вспомога-
тельного полинома (4.39) должна выбираться равной максималь-
ной степени одного из полиномов заданной исходной функции
(4.27).
Меньшая степень вспомогательного полинома несколько упро-
щает процесс разложения на простые дроби. В этом отношении
некоторое преимущество имеет синтез по параметрам матрицы
проводимостей [у], который проводится аналогично рассмотренно-
му выше.
Многообразие моделей дает разработчику возможность ширб-
кого выбора в зависимости от конкретных условий нагрузки, вида'
источника сигнала, условий параллельной работы и других требо-
ваний, предъявляемых к активным ДС-фильтрам. Здесь в значи-
тельной степени можно использовать рекомендации, приведенные
— 143 —
в гл. 3 для фильтров на основе единичных усилителей. В част-
ности, модель Линвила (рис. 4.4) предпочтительнее использовать
для реализации функции передач полиномиального типа, так как
при этом обеспечивается экономия схемных элементов.
4.3. Реализация звеньев 2-го порядка
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
Рассмотренные методы синтеза дают возможность реализо-
вать теоретически функцию передачи вида (4.27) любой степени,
полученную в результате решения задачи аппроксимации и удов-
летворяющую условиям реализуемости, с использованием только
одного активного элемента — любого вида КОС. Однако с возра-
станием порядка реализуемой функции чрезвычайно возрастает
чувствительность полученной характеристики к нестабильности
схемных элементов [42]. Поэтому для получения удовлетворитель-
ных по стабильности характеристик приходится ограничиваться
реализацией на одном активном элементе функций передачи не
выше 2-го порядка, т. е. с помощью одного КОС реализуется
только одна пара комплексно-сопряженных полюсов.
Если исходить из того, что нестабильность возрастает пропор-
ционально добротности, то можно реализуемую функцию передачи,
состоящую из нескольких множителей разной добротности, раз-
бить на две группы: низкодобротные множители и высокодоброт-
ные. Два низкодобротных множителя можно реализовать на од-
ном активном элементе КОС, а для каждого оставшегося высо-
кодобротного множителя выделить особый КОС. Это сэкономит
число активных элементов в устройстве, но чрезвычайно усложнит
настройку из-за сложностей регулировки получающегося звена
4-го порядка. Можно даже сказать, что настройка последнего
практически невозможна, ее необходимо заменить весьма точным
расчетом и более скрупулезным подбором схемных элементов, что
на практике не всегда может оказаться приемлемым. Кроме того,
экономия в активных элементах зачастую весьма незначительна.
Все эти соображения приводят к необходимости использовать
при реализации активных А'С-фильтров звенья 2-го порядка. Реа-
лизация всей функции передачи осуществляется каскадным соеди-
нением звеньев. Другие свойства и преимущества такого построе-
ния активных /?С-фильтров рассмотрены в предыдущих главах.
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ
Фильтры нч. Необходимо реализовать функцию передачи 2-го
порядка вида (2.63), полученную в результате решения задачи ап-
ироксимации заданной амплитудно-частотной характеристики
фильтра нч. Схемы реализации данной функции передачи (рис. 4.8)
— 144 —
составлены на основе моделей рис. 4.4, 4.5, 4.7, при этом название
каждого вида звена складывается из названия типа фильтра —
НЧ, порядка аппроксимирующей функции — 2, вида функции пе-
редачи (Z — переходное сопротивление, У — переходная проводи-
мость, Т — отношение токов,
Н—отношение напряжений) и
порядкового номера звена—1,
2. Коэффициенты аппроксима-
ции реализуются в соответст-
вии с данными табл. 4.1, где
приведены также значения
постоянных множителей, кото-
рые необходимо учитывать при
регулировке звеньев, и (в при-
мечаниях) условия реализации
отдельных звеньев.
Из сравнения схем рис. 4.8
видно, что в звеньях НЧ2—Н2
и НЧ2—Т2, построенных на ос-
нове модели Янагисава (рис.
4.5), число элементов больше,
чем в звеньях на основе мо-
дели Линвила (рис. 4.8а, б,
в). Звенья с избытком элемен-
тов более сложны в настройке,
так как для выполнения усло-
вий их реализации (табл. 4.1)
необходимо вводить дополни-
тельные регулировочные эле-
менты. Однако окончательный
выбор типов звеньев произво-
дится на основе анализа их
чувствительности к нестабиль-
ности параметров составляю-
щих схему элементов. Этот
анализ будет произведен да-
лее (разд. 4.4) .	;
Каскадирование звеньев
2-го порядка при построении
всего активного 7?С-фильтра в
соответствии с заданной функ-
цией передачи практически
невозможно без применения бу-
Рис. 4.8. Полиномиальные нч звенья
конверторных фильтров:
a) H42-Z; б) НЧ2-Т1; в) НЧ2-Н1;
г) НЧ2-112; д) НЧ2-Т2
ферных каскадов между отдельными звеньями, поскольку здесь не
обеспечиваются условия непосредственной стыковки, как в звеньях
на основе усилителей (разд. 3.4). Однако в отдельных случаях, ру-
ководствуясь рекомендациями, приведенными в гл. 3, можно учесть
в схемах звеньев сопротивления нагрузки и выходное сопротив-
— 145 —
ТАБЛИЦА 4.1
Звено	Функция передачи	ь*	ь2		Примечание
H42-Z	7	Увых Z21 — т 1 вх	\	Ь2 /	Ci С2 Ri R2	Л21 А?2	
НЧ2—TI НЧ2—Т2	и	^ВЫХ /7Т =				—h 21	
		/	1 Ri \ C2R2 1-	-Ч \	' Кг /		1	Ci = С3 С2= 'лСз*, 7- ~ ^21
НЧ2—Н1 НЧ2-Н2	„	Рвых /7И =	 UBX	!	1 Ci\ Ci/?i-!-C2R2 1-—- \	7- -2 '		1 —Й21 — X	
		1	Ci \ с2 R2 1- Z — \	С2 /		1	Ci Ri = С3 7?3; R1 ~ "л /?2> Л = ^21
ление источника сигнала и уменьшить число буферных каскадов
в фильтре.
Фильтры вч. Реализация сомножителей фильтра вч с коэффи-
циентами Ьлз и Ьгв на основе моделей с КОС осуществляется
звеньями, схемы которых приведены на рис. 4.9. Выражения коэф-
Рис. 4.9. Полиномиальные вч звенья конверторных фильтров: ч,-
a) B42-Y; б) ВЧ2-Т1; в) ВЧ2-Н1; г) ВЧ2-Н2; д) ВЧ2-Т2
фициентов аппроксимации через величины схемных элементов
звеньев, значения постоянных множителей и условия реализации
отдельных звеньев приведены в табл. 4.2.
— 146 —
ТАБЛИЦА 4.2
Звено	Функция передачи	Ь1В	Ь2В	н.	Примечание
ВЧ2—Y	вых I от = 	 <4х	1	Rz \ С^+С^! 1-7.-^ \	А.1 /	Ci С2	“яГ	
ВЧ2—Т1	гт 	 ^ВЫХ /7Т —- 'вх			—ft 21	
ВЧ2-Т2		/	1 с2 \ CtRi 1- — уЛ \	7, Ь1 /		1	Ci Ri = С3 R3; R3='- Riz, y-=—h21
ВЧ2—Н1	^вх	/	1 Rz\ адн-ср?! I- — -2 \	* Ri1		1 —Л-21 	 7.	
ВЧ2—Н2		1	Rz \ CiRi 1 \	^1 /		1	Ci = C3 /?3; C3* x.
Сравнивая схемы рис. 4.9 и 4.8, нетрудно убедиться, что звенья
фильтров ВЧ2 можно получить из звеньев НЧ2, поменяв местами
соответствующие элементы Р и С. Поэтому все сказанное выше о
каскадной реализации фильтров нч справедливо и для фильт-
ров вч.
Полосовые фильтры. Решение аппроксимационной задачи для
амплитудно-частотных характеристик полосовых фильтров пока-
зывает (гл. 2), что результирующая функция передачи составля-
ется из множителей 2-го порядка трех типов: НЧ2, ВЧ2 и ПФ2.
Реализация первых двух типов уже рассмотрена выше. Рассмот-
рим теперь реализацию функции передачи ПФ2, которая в общем
Рис. 4.10. Полоснопропускаюшие звенья конверторных фильтров:
а) ПФ2-2; б) ПФ2-Т1; в) ПФ2-Т2; г) ПФ2-Н1; д) ПФ2-Н2;
е) ПФ2-У
— 147 —
случае имеет вид (2.106) и определяется основными коэффициен-
тами bin и Ь2п •
На рис. 4.10 приведено достаточное для практики количество
схем звеньев на основе модели каскадного соединения (рис. 4.4).
Коэффициенты аппроксимации реализуются в соответствии с дан-
ными табл. 4.3.
Приведенные схемы звеньев ПФ2 подобны звеньям НЧ2 и
поэтому реализация всего полосового фильтра проводится так же,
как и фильтра нижних частот.
ЗВЕНЬЯ С НУЛЯМИ ПЕРЕДАЧИ (ДРОБНЫЕ ЗВЕНЬЯ)
Функция передачи дробно-рационального типа при разложе-
нии ее на множители 2-го порядка отличается от аналогичной
функции передачи полиномиального типа наличием сомножителя
(2.80), общий вид которого одинаков для всех типсЯз фильтров —
нч, вч или ПФ.
Дробные звенья 2-го порядка фильтров нч (рис. 4.11) и вч
(рис. 4.12) реализуют функцию передачи (2.80), коэффициенты
которой выражаются через элементы схемы в соответствии с
табл. 4.4. При этом в звеньях НЧ2-Н1-Д и ВЧ2-Н1-Д с двойным
Т-мостом использованы соотношения (3.34) — (3.37), а также при-
нято условие
С4 = С3.	(4.55)
Звенья на основе моделей каскадно-параллельного и каскад-
но-последовательного соединений содержат двойной Т'-мост и имеют
— 148 —
Рис. 4.11. Дробные нч звенья конверторных
фильтров:
а) 11Ч2-Н1-Д; б) НЧ?-Н2-Д; в) НЧ2-Т1-Д
Рис. 4.12. Дробные вч звенья конверторных
фильтров:
а) ВЧ2-Н1-Д; б) ВЧ2-Н2-Д; в) ВЧ2-Т1-Д —
Звено	Функция передачи	bl
НЧ2-Н1—Д	тт С/ВХ	КьД1-НФ) (2+	1
НЧ2-Н2-Д		\	'-•о /
1 НЧ2-Т1—Д СЛ О	гт	I ВЫХ пт 7ЬХ	c2/?0G-^^)
1 ВЧ2—Н1-Д	U2	Кмщо / 2	М i+%(i+w\ : |°	/
ВЧ2-Н2-Д		^?2	/	\ ^+/?0 Сз7?3(1+%/?3)
ВЧ2-Т1-Д	^вых /У Т ” т 7ВХ	
ТАБЛИЦА 4.4
ь>	ьг	но	Примечание
г	Т Т")] L \ Ф /J	CiC3 (7?г ( -7?3) R2	1 ^21	1 + 'ф Ri = Ri 4|)
/ с0\ Ьг ЬНу2 \	С2 /	Ci С3 R%	1	-[- С2Т?2 “ z ^1^21 = С37?з; 7-=h22
X-	 о! *N Ctf 1 Ctf л*			х (Са/?а4~^'з^з):=^2^з1 Ci/?i = C2R$\ 7.~ Л12
br h^i Но	С1.С3 (^?г : ^?з) /?2	1 Ам[1+%(1+’!’)]	If
ь Г Яо + Я2	Ci С2 A?i R2	__л	 + R?	G^i4^2^2 “ z Cl R2', C1R1 = C3/?3; 7.—h2i
ь г С - ' С, '-'О 1 '“'2		с0 £0 + С2	z (^2^2“Г^З^з)“^2^з1 x=: Л12
меньшее число схемных элементов, что, на первый взгляд, упро-
щает схему. Однако анализ показывает, что, например, для звена
НЧ2-Н2-Д условием реализации нулей передачи, аналогичным
(3.35), является соотношение
CiRi + С2Л?2 = xCt/?2-	(4.56)
В него входит параметр и активного элемента, что может
значительно усложнить настройку звена, поскольку этот же пара-
метр активного элемента входит в выражение для реализации
коэффициента bt (табл. 4.4), т. е. активный элемент участвует в
формировании и нулей, и полюсов функции передачи (2.80). В
случае звеньев с двойным Т’-мостом активный элемент участвует
только в образовании полюсов исходной функции передачи, что
обеспечивает независимую регулировку нулей и полюсов пере-
дачи. Кроме того, звенья на основе каскадной модели рис. 4.4
дают возможность использовать КОС любого вида.
Рассмотренные звенья фильтров 2-го порядка не исчерпывают
возможностей реализации активных /?С-фильтров даже с исполь-
зованием приведенных выше моделей. Нетрудно построить на
основе аналогии звенья 2-го порядка по моделям рис. 4.6 и 4.7.
В заключение отметим, что конверторные активные /?С-фильтры
во многом реализуются так же, как и фильтры на основе еди-
ничных усилителей тока и напряжения (гл. 3). Существенным от-
личием здесь является необходимость применения буферных кас-
кадов между звеньями.
Окончательные рекомендации можно дать только после ана-
лиза чувствительности реализуемой характеристики к нестабиль-
ности схемных элементов звеньев и коэффициента преобразова-
ния х кос.
4.4. Чувствительность
При рассмотрении чувствительности активных 7?С-фильтров.
иа основе КОС к нестабильности схемных элементов можно выде-
лить три метода уменьшения (оптимизации) этой чувствитель-
ности.
Первый метод заключается в таком оптимальном разложении
полинома знаменателя Р(р) исходной функции передачи (4.27) на
разность двух полиномов, которое обеспечивает минимально воз-
можную чувствительность. Этот метод подробно изложен в ряде
работ [34, 41], и в некоторых случаях результаты оптимального раз-
ложения табулированы.
Второй метод состоит в расчете оптимального соотношения ве-
личин элементов в схеме звена. Этот метод был рассмотрен в
гл. 3 для фильтров на основе усилителей с ограниченным коэффи-
циентом усиления.
— 151 —
Третий метод предусматривает использование дополнительно-
го количества пассивных и активных элементов с целью компен-
сации нестабильностей элементов, составляющих схему звена.
Рассмотрим вначале второй метод, т. е. проведем анализ чув-
ствительности коэффициентов аппроксимации различных типов
звеньев к нестабильности реализующих их (в соответствии с дан-
ными таблиц 4.1—4.4) схемных элементов.
Чувствительность фильтров полиномиального типа. Расчет чув-
ствительности различных типов фильтров проведем на основе фор-
мул и выражений, выведенных в разд. 2.9.
Чувствительность коэффициентов аппроксимации Ьг, Ь2в, Ь2п,
которые, как видно из табл. 4.1—4.3, для всех типов полиноми-
альных звеньев определяются выражением
Ь2 = Ь2В = Ь2П = C.C.R^,	:	(4.57)
запишется следующим образом:	г с
h '	(4.58)
Cj, Ct,
Для звеньев, построенных по каскадно-параллельной модели
(рис. 4.5), а также каскадно-последовательной (рис. 4.7), необхо-
димо учитывать параметр активного элемента х в формировании
коэффициентов Ь2 и Ь2в, что видно из условий реализации звеньев
(примечания в табл. 4.1 и 4.2). Например, для звена НЧ2-Т2
имеем
,,,,,	.	С2 = хС3. •	•,.< (4.59)
Тогда (<57^йЙ»НИМает вид:	I • г
	Ь2 = хС1С3/?1Т?а	(4.60)
и	.
5ь2, ь2В = 5ьг ь2В = L	•	(4 б1)
Нетрудно убедиться, что такие же результаты получаются и для
звеньев НЧ2-Н2, ВЧ2-Т2 и ВЧ2-Н2.
Полученные соотношения показывают, что чувствительности
коэффициента аппроксимации Ь2 для всех полиномиальных звеньев
не зависят от соотношения элементов и сравнительно невелики.
Звенья, построенные по каскадной модели (рис. 4.4), реализуют
коэффициенты аппроксимации Ь2 и Ь2ц, нечувствительные к неста-
бильности активного элемента КОС.
Чувствительность коэффициента аппроксимации bt определим
вначале для звена НЧ2-Н2, для которого (табл. 4.1):
Ь1= С2/?2(1-х-^ ,
\	^2 /
;	(4.62)
- (4.63)
R1 — X /?2
— 152 —
Подставляя (4.63) в (4.62) и (4.57), а такж#Миспользуй обозна-
чение (3.48), можно получить
ьх = у ь2 (V	(4,64>
\ У у.	т. )	.
Чувствительность bj к изменению коэффициента преобразова-
ния 7.:
gbt __ dbt  _______Q f m	j/x
bi rfx	4 у j/T	m
Из (4.64) значение коэффициента преобразования
• — «V
z ~ (i + /г+w ’
Подставив (4.66) в (4.65), получим
(4.65)
(4.66)
(4.67)
Как видно, данная чувствительность не зависит от соотношения
элементов. При достаточно больших добротностях можно пола-
гать
(4.68)
Если в качестве конвертора используется схема рис. 4.3, то
целесообразно определить чувствительность к изменению парамет-
ра транзистора Pi = ——, который определяет коэффициент пре-
1—О1
образования в соответствии с выражением (4.25). В результате
получим
т.-v	’кШ • ’
' (	(4.69)
О ^2
т. е для меньшей чувствительности необходимо выбирать тран-
зисторы с большим значением коэффициента усиления по току в
схеме с общим эмиттером. Заметим, что сопротивление R2 здесь
входит в состав схемы КОСТ.
Аналогично рассчитываются чувствительности коэффициента
аппроксимации bi к нестабильности пассивных элементов звена:
^=£«‘ = 1.	(4-71)
т. е. опять отсутствует зависимость чувствительности от соотноше-
ния элементов звена, а нестабильность конденсаторов оказывает
— 153 —
по абсолютной величине такое же воздействие на коэффициент
аппроксимации, как и активный элемент. Чувствительность к не-
стабильности сопротивлений /?1 и /?2 сравнительно невелика и не
зависит от добротности.
Полученные для звена НЧ2-Н2 выражения чувствительностей
можно полностью распространить и на звенья НЧ2-Т2, ВЧ2-Т2 и
ВЧ2-Н2. В этом нетрудно убедиться, сопоставляя соответствующие
выражениям (4.62) и (4.63) соотношения, приведенные в табл. 4.1
и 4.2.
Такие же результаты получаются для всех полиномиальных
звеньев 2-го порядка, построенных по каскадной модели рис. 4.4.
Их характеристики чувствительностей базируются на соответствую-
щих выражениях, выведенных в разд. 3.3 для звена НЧ2-2Т1, по-
строенного на основе двух усилителей тока. Это видно из сравне-
ния выражений реализации соответствующих коэффициентов ап-
проксимации, приведенных в табл. 3.1 и 4.1—4.3. Необходимо
только учитывать, что для звеньев с КОС под коэффициентом k
в выражениях для чувствительности в разд. 3.3 следует понимать
произведение коэффициента преобразования КОС х на соотноше-
ние элементов звена (разное в зависимости от типа звена), что
практически не влияет на конечные результаты.
Таким образом, по чувствительности полиномиальные звенья
можно разбить на две группы. В первой группе (звенья, построен-
ные по моделям рис. 4.5 и 4.6) чувствительность к нестабильности
пассивных элементов сравнительно высока и не зависит от соотно-
шения элементов. Во второй группе (звенья, построенные по мо-
дели рис. 4.4) чувствительность к изменению пассивных элементов
на порядок меньше и зависит от соотношения элементов. Хотя
первая группа звеньев имеет примерно в два раза меньшую ми-
нимальную чувствительность к нестабильности активного элемента
[это видно из выражений (4.68) и (3.78)], для второго существует
возможность оптимального (по чувствительности) решения. По-
следнее обстоятельство для многих практических случаев может
оказаться решающим, поскольку в диапазоне низких частот при-
ходится использовать пассивные элементы (конденсаторы), неста-
бильность параметров которых соизмерима с нестабильностью па-
раметров активного элемента, а иногда и превосходит ее.
Чувствительность фильтров с нулями передачи. Из анализа
выражений соответствующих коэффициентов аппроксимации
(табл. 4.4) можно выделить две группы звеньев фильтров с нуля-
ми передачи: звенья НЧ2-Н1-Д и ВЧ2-Н1-Д, построенные по кас-
кадной модели рис. 4.4, и звенья НЧ2-Н2-Д, НЧ2-Т1-Д, ВЧ2-Н2-Д
и ВЧ2-Т1-Д. Специального анализа чувствительностей этих звеньев
не требуется. В самом деле, коэффициенты аппроксимации первой
группы звеньев выражаются так же, как и звеньев НЧ2-1Т1-Д и
ВЧ2-1Т1-Д, анализ чувствительностей которых проведен в разд. 3.3.
— 154 —
Вторая группа звеньев по реализации коэффициента аппрок-
симации bi соответствует звену НЧ2-Н2, чувствительность которого
рассмотрена выше в данном параграфе.
Обе группы звеньев с нулями передачи отличаются между
собой по чувствительности так же, как и аналогичные группы
полиномиальных звеньев. Необходимо учитывать рекомендации для
звеньев с нулями передачи, приведенные в разд. 3.3.
Метод компенсации. Рассматриваемый метод повышения ста-
бильности реализуемых характеристик активных /?С-фильтров за-
ключается во взаимной компенсации нестабильности параметров
отдельных элементов схемы. Окончательная схема фильтра долж-
на содержать в данном случае избыточное количество элементов..
На рис. 4.13 представлены две такие модели с двумя активными
Рис. 4.13. Схемы конверторных фильтров с взаимной компенсацией
нестабильности параметров
элементами типа КОС. Для первой модели (рис. 4.13а) отношение1
напряжений на выходе и входе через элементы схемы выражается?
следующим образом:
„	У ПС — Л21 (у 2lb — h2ly2ia)	,.-п.
н	(	\ '	(4.72)ч
с.	Уччс —х КУгъЬ х Уъ2а)
а для второй — отношение токов на выходе и входе.
1 / 1 \
2нс “Г 7	, 2ixa 1
---------------------Y-----(4.73).
222с - ~~7~ I 224b -‘ 7 224a
f.	\	X j
Сравнивая приведенные выражения, нетрудно убедиться, что они.
соответствуют дуальным схемам, если в первой из них (рис. 4.13а)
в качестве активного элемента используется КОСТ, а во второй-
(рис. 4.136) - КОСН.
Синтез заданной функции передачи общего типа (4.27) по-
любой из двух моделей осуществляется аналогично рассмотренно-
му выше. Например, процедура синтеза функции передачи (4.72)
такая же, как и для модели рис. 4.5 с коэффициентом передачи;.
— 155 —


5
ГЛАВА
АКТИВНЫЙ RC-ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ
ГИРАТОРОВ
5.1.	Активный элемент фильтра
Свойства идеального гираторного четырехполюсника, как элемен-
та электрической цепи, определяются его матрицей проводимостей
короткого замыкания:
О
О
(5.1)
где Го—гираторная проводимость, которая в общем случае может
иметь комплексный характер. При построении активных /?С-фильт-
ров можно ограничиться гираторным четырехполюсником с ак-
тивной гираторной проводимостью g0, который далее будем назы-
вать просто гиратором (Г). Основное свойство такого гиратора
состоит в том, что будучи нагруженным на одной паре зажимов
индуктивностью, он на другой паре зажимов реализует импеданс
емкостного характера и, наоборот, подключение к одним зажимам
емкости дает на другой паре зажимов индуктивность. Это свой-
ство используется в одном из методов проектирования активных
/?С-фильтров, когда каждая индуктивность известного ЛС-фильтра
заменяется гиратором с емкостью.
Матрицу проводимостей гиратора (5.1) можно представить
в виде суммы двух матриц:
О — goi
g02 О
0	0 + Г0	- Soi
ga2 о ] [о о
(5.2)
первая из которых соответствует идеальному неинвертирующему
гираторному усилителю тока (ГУТ), а вторая — идеальному ин-
вертирующему ГУТ, включенному в обратном направлении. Сумме
матриц соответствует параллельное соединение четырехполюсников
(рис. 5.1а). Подобная реализация гиратора позволяет рассматри-
вать его как систему с отрицательной обратной связью, которая
стабилизирует параметры гиратора.
— 158 —
Принципиальная схема гиратора показана на рис. 5.16. Неин-
вергирхющий ГУТ выполнен на транзисторе Л и характеризуется
матрицей проводимостей:
1 —СЦ
*Э1 + Лц
ctl
_Гэ1 г h 11 
О
1___L Д_
ГК1 Гк1
где Л'ц=гЭ1 + Гб1(1—ai), a ab fy, г^, гк1— параметры Т-образной
эквивалентной схемы транзистора для низких частот.
Рис. a.i. Схемы гираторов
Инвертирующий ГУТ построен на двух транзисторах Л и Тл;
его матрица проводимостей при использовании аналогичных обо-
значений параметров транзисторов имеет вид
Гэг + -р /Гц
(54)
Сумма этих матриц дает матрицу проводимостей реального ги-
ратора:
1	।	1 I 1 — ai
—.	J- —1— —	—
Якз без РЭ1 -р Л ц
— а3
Гэг Ь Лц т
cti
Гэ1 + Лц
1	(	1 j	1	С12	\
ц i ~г —	-	—
Rki Гэ1 Гэг +Йц -Т Ли J _
У11г
&2
У22г .
(5.5)
где риг и Рггг — паразитные параметры гиратора. Из (5.5) видно,
что паразитные параметры определяются транзисторами и осо-
бенно сопротивлениями и /?кз, задающими режим по постоян-
ному току. Для устранения влияния этих сопротивлений целесо-
— 159 —
образно здесь вместо них применять источники тока, т. е. ввести
в схему дополнительные транзисторы. Однако таким путем свести
к нулю паразитные параметры гиратора не удается, хотя и дости-
гается удовлетворительное для многих практических случаев при-
ближение к идеальному гиратору. Другой способ приближения
свойств гиратора к идеальным состоит в использовании положи-
тельной обратной связи [56], которая сводит паразитные параметры
гиратора рИг и практически к нулю. При этом следует ожи-
дать ухудшения стабильности параметров гиратора.
При построении схем гираторов целесообразно исходить из
принципа непосредственного соединения элементов. Такой прин-
цип хотя и требует дополнительного источника питания, но поз-
воляет избежать применения переходных конденсаторов, особенно
громоздких на низких частотах; кроме того, схемы с непосредст-
венными соединениями удобны для реализации в интегральном
виде.
На практике могут использоваться гираторы, позволяющие
реализовать незаземленные индуктивности [58], что достигается за
счет значительного усложнения основной заземленной структуры
(рис. 5.16). Подобные схемы применяются при непосредственной
реализации заданной АС-цепи схемой RC. Однако любую функ-
цию передачи частотного фильтра можно реализовать на основе
заземленного гиратора.
5.2.	Реализация гираторных RC-фильтров
Самым простым методом построения гираторных ДС-фильтров
является непосредственная замена индуктивностей в схемах
АС-фильтров гираторами, нагруженными на емкость, т. е. исполь-
зование гиратора как преобразователя импеданса. Таким образом,
реализация активного ^C-фильтра сводится к изменению рассчи-
танного обычным путем АС-фильтра в соответствии со схемными
преобразователями, представленными в табл. 5.1.
Метод непосредственной реализации гираторного ДС-фильтра
на основе известного АС-прототипа привлекает своей простотой,
однако получающуюся при этом избыточность элементов, особенно
при использовании незаземленных гираторов, не всегда можно
оправдать.
Другой метод реализации гираторных активных ДС-фильтров
основан на применении моделей синтеза активных ДС-цепей с кон-
верторами отрицательного сопротивления (см. гл. 4).
Каскадное соединение идеального гиратора с пассивными
ДС-четырехполюсниками (рис. 5.2а), соответствующее модели
рис. 4.4, обеспечивает для всей системы коэффициент передачи по
напряжению
Авых __	У21а^21&§р	g)
’ Ubx ^22a + goZn»  /Д '	' +
— 160 —
ТАБЛИЦА б.I
Индуктивная цепь	Гираторная цепь
о в	1 L, С /?П о. X . J		 Яп ’  г 11 । . „	1	
- 	
	
Модель с параллельным соединением пассивных /^-четырехпо-
люсников аналогична рассмотренным выше моделям рис. 4.5, 4.6
и реализует функцию передачи в соответствии с выражением
= УггаУпЬ ~i~ gp У па  	(5 7)
Um УгыУпЬ + go
Математическая процедура реализации воприведеиным мо-
делям также во многом совпадает с изложенной-В ГЛ..4, Для более
6—156	— 161 —
подробного ее изучения можно рекомендовать литературу [32, 46]
Знаменатель коэффициентов передачи в (5.6) и (5.7) представ-
ляет собой не разность, как в (4.26) и (4.36) для соответствующих
моделей с конверторами отрицательных сопротивлений, а сумму
параметров четырехполюсников. Это существенно повышает ста-
бильность гираторных ЦС фильтров по сравнению с фильтрами на
конверторах отрицательных сопротивлений, поскольку высокая
У	S) 
Рис. 5.2. Модели реализации гираторных фильтров
добротность (т. е. малое значение коэффициента аппроксимации
bi) конверторных фильтров реализуется разностью сравнительно
больших величин.
Для повышения стабильности характеристик фильтров, реали-
зуемых с помощью моделей на одном гираторе, целесообразно ис-
пользовать структуры не выше 2-го порядка. Такие гираторные
звенья, реализующие полиномиальные функции передачи 2-го по-
рядка (2.63), (2.88), (2.106) различных типов фильтров, представ-
лены в табл. 5.2. Результаты реализации соответствующих коэффи-
ТАБЛИЦА 5.2
— 162 —
циентов аппроксимации через элементы схем сведены в табл. 5.3.
Указанная реализация осуществляется с точностью до постоянного
множителя Но при использовании идеального гиратора с гиратор-
ными сопротивлениями 1/g'oi и До2=1/£о2; условия идеальности
ТАБЛИЦА 5.3
Тип эвена	Ь1	b,	Ho	Примечание
НЧ2	А	Ci C2 7?ci	Д>2	CO Cl ,, ^llr; =~ ; CO Ca > i/22P A
В 42	C1S«‘Tr J\	Ci Cj Roi R02	— 1	; co Ci > Уцг; К co C2 yp 1/22Г
ПФ2	С!Яй1-~	Cl C2 ^*02	R R<>2	co Ci > c/nr; 1 =. — coC2 » У22Г К
такого гиратора приведены в примечаниях. Гираторные звенья
построены на минимально возможном числе элементов; при этом
удается учесть в сопротивлении R паразитную выходную прово-
димость гиратора г/22г, имеющую в соответствии с (5.5) активный
характер, а также сопротивление нагрузки. Для учета паразитных
параметров гиратора уцг и г/22г достаточно ввести в схемы звеньев
дополнительные проводимости, подключаемые к соответствующим
зажимам гираторов, однако это ограничивает возможность реа-
лизации звеньев по максимальной добротности.
В заключение отметим, что в гираторном звене НЧ2 (табл. 5.2)
за функцию передачи принимается отношение выходного напря-
жения к входному току, в отличие от остальных звеньев, где
функция передачи — отношение напряжений.
5.3.	Чувствительность гираторных RC-фильтров
Как видно из табл. 5.3, реализация соответствующих коэффи-
циентов аппроксимации аналогична для различных типов фильт-
ров, поэтому вопросы чувствительности достаточно рассмотреть на
примере гираторного звена 1142 (табл. 5.2).
Определим влияние нестабильности пассивных элементов.
6*	— 163 —
Чувствительность коэффициентов аппроксимации bi и Ь2 к из-
менению пассивных элементов звена определяется, как и раньше,
по (2.140):
= 1, '	(5.8)
S** = - 1.	(5.9)
В эти выражения не входит добротность; величины чувствитель-
ностей сравнительно невелики и имеют то же значение, что и для
чисто пассивных цепей. Поскольку
= s> = о,
то с помощью элементов А* и С2 можно независимо регулировать
коэффициенты Ь, и Ь2 при настройке гираторного 7?С-фильтра.
Вариации гираторных сопротивлений Roi и R02 сказываются на
стабильности коэффициентов bi и Ь2 так же, как и нестабильность
пассивных элементов Ci и С2, т. е. имеем
•^ = ^-^ = ^.,= 1.	(5.Ю)
Гираторные сопротивления можно считать косвенными пара-
метрами активного элемента фильтра. Приняв в матрице гиратора
(5.5) условия R3z^>hn 4-йц, R9iJ>hu, , выразим гираторные со-
противления через параметры активных элементов — транзисторов.
Получим:
Теперь можно определить чувствительность коэффициентов аппрок-
симации к нестабильности параметров транзисторов. Имеем:
S£ = S«*, =	1.	(5.И)
spb; = s£ =	= <> = -	,	(5.12)
p+ 1
t. e. влияние нестабильности параметров транзисторов ои и аз
одного порядка с воздействием нестабильности пассивных элемен-
тов звена. Выбором высококачественных транзисторов с большим
значением р можно резко уменьшить влияние нестабильности этого
параметра на характеристику фильтра, ибо соответствующая чув-
ствительность (5.12) при этом стремится к нулю.
При проектировании звеньев с повышенной добротностью не-
обходимо учитывать параметры неидеальности гиратора yilr и
«/22г, которые ухудшают характеристики звена, что ограничивает
добротность. Низкодобротные функции передачи второго порядка
можно реализовать с приемлемой чувствительностью другими ме-
тодами и схемами, обладающими некоторыми преимуществами по
сравнению с гираторными 7?С-фильтрами.
6
ГЛАВА
ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ОПЕРАЦИОННЫХ
УСИЛИТЕЛЕЙ
6.1. Активный элемент
В качестве активного элемента фильтра может применяться опе-
рационный или решающий усилитель (в дальнейшем сокращенно
называемый ОУ), который получил свое название в аналоговой
вычислительной технике, где он предназначен для выполнения
различных математических операций.
В соответствии с обычно используемой терминологией все
усилители, предназначенные для усиления сигналов с частотами,
начиная от нулевой, именуются усилителями постоянного тока.
Для того чтобы терминология, используемая в этой главе, не про-
тиворечила принятой в остальных главах, мы будем различать
усилители постоянного тока (УПТ) и усилители постоянного на-
пряжения (УПН), относя к первому типу усилители, управляемые
током и имеющие малое входное и большое выходное сопротив-
ления, и ко второму типу — управляемые напряжением и имеющие
большое входное и малое выходное сопротивления.
Под операционным усилителем будем понимать УПН или УПТ
с большим коэффициентом усиления, охваченный глубокой обрат-
ной связью, определяющей его функцию передачи.
Таким образом, основу ОУ как активного элемента составляет
УПН (УПТ). На рис. 6.1 показаны условные обозначения и экви-
 Рис. 6.1. Условные обозначения п эквивалентные схемы усилителей на--
пряжения, применяемых для построения активных фильтров у
— 165 —
валентные схемы разновидностей УПН, которые применяются для
построения активных /?С-фильтров. Связь между входными и вы-
ходными клеммами усилителей видна из их эквивалентных схем:
усилитель рис. 6.1а можно назвать несимметричным; усилитель
рис. 6.16 — с дифференциальным входом, аналогично усилитель
рис. 6.1 в имеет и дифференциальный выход, если в качестве вы-
ходных зажимов использовать точки 2 и 4, изолированные ог
«земли». Во многих схемах точка 3 заземляется, поэтому потенци-
ал точки 1, малый из-за высокого коэффициента усиления УПН,
близок к потенциалу «земли» (точку 1 называют точкой «кажу-
щейся земли»).
Для упрощения последующего анализа операционных усилите-
лей будем исходить из свойств идеального УПН:
— коэффициент усиления бесконечно велик, т. е. ц= —оо;
—	входное сопротивление Кви бесконечно велико, т. е. входная
цепь усилителя не потребляет мощности от источника сигнала;
—	выходное сопротивление ДВых равно нулю, что означает
возможность получения любого тока в нагрузке;
—	ширина полосы пропускания бесконечна и частотная ха-
рактеристика плоская;
—	через точку кажущейся земли на вход усилителя не посту-
пает ток, и точки 1 и 3 имеют одинаковый потенциал.
Как уже упоминалось, операционный усилитель образуется из
УПН включением в последний отрицательной обратной связи. Дей-
ствительно, идеальный УПН без обратной связи из-за бесконечно
большого усиления может работать только в режиме переключе-
ния. Существуют две основные схемы, которые обеспечивают реа-
лизацию неинвертирующего ОУ (рис. 6.2а) и инвертирующего ОУ
(рис. 6.26).
Рис. 6.2. Неинвертирующий (а) и инвертирующий (б) опера-
ционные усилители напряжения
Исходя из сделанных выше допущений, нетрудно вывести вы-
ражение для коэффициента передачи неинвертирующих ОУ:
=	(6.1)
VBX	^1
Действительно, поскольку ток не поступает через точку 1, то импе-
дансы Zi и Z2 образуют простой делитель напряжения, что и отра-
— 166 —
жено в выражении для коэффициента передачи ОУ (6.1). Входное
сопротивление неинвертирующего ОУ является бесконечным, так
как через точку 3 ток не поступает. Выходное сопротивление в
идеальном случае равно нулю, поскольку выходное напряжение
тогда не зависит от выходного тока.
В частном случае неинвертирующего ОУ при коротко замкнутой
петле обратной связи (Z2=0) и отключении импеданса Z, (т. е.
Zi= сю) получим повторитель напряжения с единичным коэффици-
ентом передачи.
Схема инвертирующего ОУ (рис. 6.26) и ее многочисленные
варианты являются наиболее типичными для операционных усили-
телей. Коэффициент передачи схемы в идеальном случае опреде-
ляется отношением импедансов:
При этом входное сопротивление не равно бесконечности, как это
было для неинвертирующего ОУ, а определяется импедансом Иц
выходное сопротивление равно нулю.
В качестве выходного сигнала для инвертирующего ОУ можно
рассматривать не только напряжение, но и ток. При этом сопро-
тивление нагрузки необходимо включить в контур обратной связи,
т. е. учесть его в импедансе Z2. В идеальном случае величина
нагрузки не влияет на ток.
При использовании реальных У ПН (рис. 6.16) для построения
ОУ в активных /?С-фильтрах особенно важно учитывать неидеаль-
ность УПН, настоящую в конечности коэффициента усиления и.
В этом случае выражения для коэффициентов передачи (6.1) и
(6.2) изменяются:
^оу
И
для неинвертирующего ОУ и	, .	' .
jj  _________Z1 ___________ЯОУ и
для инвертирующего ОУ. Сравнивая выражения (6.3) и (6.4),
можно сделать вывод, что инвертирующий ОУ более чувствителен
к изменению коэффициента усиления ц, т. е. для построения оди-
наково стабильных ОУ в неинвертирующем ОУ можно использо-
вать УПН с несколько меньшим значением коэффициента усиле-
ния ц.
— 167 —
Непосредственная схемная реализация УПН здесь не рассмат-
ривается, так как при проектировании активных /?С-фильтров це-
лесообразно использовать типовые схемы, применяемые в анало-
говой вычислительной технике, причем конкурентоспособность ак-
тивных фильтров этого типа можно существенно повысить при
исполнении УПН в виде интегральных схем.
В случае применения ОУ при построении активных /?С-фильт-
ров для расширения возможностей реализации в ряде случаев
целесообразно использование операционных усилителей с токовым
управлением.
Рис. 6.3. Неинвертирующий (а) и инвертирующий (б) токовые
операционные усилители
Токовый ОУ реализуется на основе усилителя постоянного то-
ка, который в идеальном случае имеет бесконечный коэффициент
передачи, нулевое входное сопротивление и бесконечно большое
выходное сопротивление. Свойства такого ОУ полностью идентич-
ны с рассмотренным ОУ при дуальной замене входных и выходных
зажимов, что иллюстрируется схемами неинвертирующего (рис.
6.3а) и инвертирующего (рис. 6.36) токовых ОУ.
6.2. Реализация фильтров
Общие принципы реализации функции передачи с помощью
операционного усилителя и пассивной RC-цепи. Теоретически лю-
бую функцию передачи можно реализовать устройством, состоя-
щим из одного ОУ и пассивной /?С-цепи. Блок-схема такого уни-
версального устройства при использовании ОУ напряжения с
дифференциальным входом в общем виде показана на рис. 6.4а.
Здесь на оба входа ОУ поступает напряжение от источника сиг-
нала и с выхода усилителя через соответствующие обратные связи,
поэтому коэффициент передачи по напряжению устройства в целом
(при допущении, что УПН идеальный):
^вых  ^з1л^ззв~Уз1в^ззл
^вх	У32Л У33В ~ У32 В ^ЗЗЛ
где узь Узъ Узз с дополнительными индексами А и В — элементы
матриц проводимостей соответствующих 7?С-четырехполюсников.
— 168 —
6.5а)
В частном случае, при разбиении пассивных четырехполюсников А
и В на две самостоятельные .КС-цепи соответственно (а), (с) и (Ь),
(d), как показано на рис. 6.4в, это выражение несколько изме-
нится:
(6.56)
Сдых _ __ Уаха (УмЬ ~Ь У lid) —УыЬ (Ума 4~ Уис)
СВх	Уис (УмЬ + У nd) — Vud (Ума 4“ Уис)
сохраняя общий вид, подобный (6.5а).
Рис. 6.4. Блок-схемы активных фильтров на операцион-
Ных усилителях
На рис. 6.46 и г приведены соответствующие квазидуальные
блок-схемы с операционными усилителями тока, передача по току
которых также определяется выражениями (6.5а) и (6.56), соот-
ветственно. Полностью дуальными эти схемы назвать нельзя, так
как в них используется одна и та же пассивная КС-цепь.
Здесь рассматривается наиболее часто встречающийся на
практике случай заземленного источника сигнала и нагрузки. Од-
нако использование операционных усилителей с дифференциаль-
ным входом и выходом позволяет построить аналогичные блок-
схемы, реализующие те же функции передачи при симметричном
входе и выходе устройства.
На основе универсальных схем рис. 6.4а можно получить ряд
вариантов, определяемых видом обратной связи и условиями под-
— 169 —
ключения к источнику сигнала. При этом для построения анало-
гичных функций передачи равнозначно использование как поло-
жительной, так и отрицательной обратной связи.
Процедура синтеза фильтра по заданной функции передачи
аналогична рассмотренной выше для активных £?С-фильтров с
конверторами сопротивления и сводится к построению пассивных
трехполюсников RC по известным параметрам их матриц прово-
димости.
Реализация активных PC-фильтров по всем вариантам здесь
не рассматривается. Некоторые из них описаны в [54, 55]. Для
практического проектирования, на наш взгляд, представляют ин-
терес два варианта, как простейшие в реализации. Выражения
для коэффициентов передачи их являются частным случаем (6.5а)
и (6.56). Для первого варианта:	(
= _ Уз1А_ ,	...	> •	(6 6.^
-- Д .. "Д ^вх У32д
• ' Z Г	= — Упа.	'	(6.66)
^вх	Уис
при Уз’.В = У32В — 0 И У21Ъ = Уш — 0, либо Уазв~ 00 И i/226 + i/lld = ОО,
т. е. для случая, когда на неинвертирующий вход УПН не посту-
пает напряжение ни через цепь обратной связи, ни от источника
сигнала. Для второго варианта:
Дых	— 	 У31В	(6.7а)
Дх	У3'2 В	
^вых			 Уиь	(6.76)
^вх	Уий	
при У31А = 1/32А = О И У‘1\п = У12с = 0, Либо Г/ЗЗА = ОС И У22а +Уис = ОС,
что соответствует отсутствию напряжения на инвертирующем вхо-
де УПН.
В настоящей главе рассматриваются активные /?С-фильтры на
, основе инвертирующего ОУ, коэффициент передачи которого оп-
ределяется выражением (6.6), т. е. фильтры на основе усилителей
с отрицательной обратной связью.
Рассмотренные в гл. 3 активные 7?С-фильтры с единичными
'усилителями построены, в сущности, по схеме неинвертирующего
ОУ с коэффициентом передачи (6.7а).
Реализация звеньев активных RC-фильтров на основе инвер-
тирующего операционного усилителя. Целесообразно рассматри-
вать реализацию различных типов фильтров звеньями не выше
,2-го порядка, что позволяет получить приемлемую стабильность
характеристики фильтра.
На рис. 6.5 .показаны схемы звеньев фильтров 2-го порядка с
[минимально возможным числом элементов, построенные на осно-
—. ц° —
вании блок-схемы рис. 6.4а, варианта 1 (6.6а), с инвертирующим
операционным усилителем напряжения.
Приведенные схемы звеньев 2-го порядка НЧ2, ВЧ2 и ПФ2-1,
ПФ2-2 реализуют коэффициенты соответствующих полиномиальных
функций (2.63), (2.88) и (2.106) согласно данным табл. 6.1. При
Рис. 6.5. Схемы фильтровых звеньев 2-го порядка
на операционных усилителях:
а) НЧ2; б) ВЧ2; в) ПФ2-1; г)’ПФ2-2; <Э) ЫЧ-ВЧ2-Д
указанных в последнем столбце таблицы условиях учета неиде-
альности УПН реализация заданных функций передачи осуще-
ствляется с точностью до постоянного множителя Н(!. Указанные
соотношения выведены при допущении, что в схемах рис. 6.5 УПН
имеет бесконечно большой коэффициент усиления (ц = —оо).
Реализация функций 2-го порядка с нулями передачи (2.80),
(2.95) осуществляется универсальным звеном НЧ-ВЧ2-Д (рис.
6.5(5), схемные элементы которого определяют заданные коэффи-
циенты аппроксимации в соответствии с выражениями:
Ьх = Гь;(1 + v + 'r + v т- (6-8)
\	41	4’2 4г 4 '
— 171 —
ТАБЛИЦА 6.
Тип звена	Ь,	bi	H,	Примечание
НЧ2	с р (1 4-	I Ко )		Qi] a? 1	R»',	-p, Rbwx (0 Ci _	1 Ri;	7; C R,x COGi
ВЧ2	Rt (1 4- — + \	Ц	bj /	CiC0 RiRj	Cj Co	1 Ri; Т7Г » Rm™; шС0 Ri; 7; RBx co Ci
ПФ2-1	(c-+cj	CiC j 7?i Rq	Ci Rt Cj Rj -f	Ri; 7; Rbmx Ю Cj Я1;	^BX 0) Ci
ПФ2-2	С1Ч1+1г+й	CiCs Ri Ro	Cj Rt Cj Ri	Ro. 7" Rbmx. Ш Gi 1 Rr, -=- < RBx <oCi
			R1 Ro	
г Ф (1 4- -ф) ’
Ь, = (ф C3/?i)2,
°	ф2(1 +Ч1) ’	, , , .
где использованы следующие соотношения:
I	^3	t	^0	t
♦-с;-*’	*‘“К’
1 + ф
й Указанные выражения выведены для условий:
(6.9)
(6.10)
(6.П)
f	^0’		1 wC0	7^-»/?bmx. CO Cj
	^?0>	^1>	1 ш Co	-4r- <^bx. CO Ci
(6.12
(6.13)
которые могут рассматриваться как условия реализации звена с
конечными значениями входного и выходного сопротивлений уси-
— 172 —
лителя постоянного напряжения, имеющего бесконечное усиление.
Рассмотренные схемы не исчерпывают всех возможностей реа-
лизации функций передач 2-го порядка с ОУ; каталог подобных
схем можно расширить, как упоминалось выше, за счет квазиду-
альных схем, методика построения которых подробно рассмот-
рена в гл. 3.
6.3.	Чувствительность звеньев с одним ОУ
Определение чувствительности коэффициентов аппроксимации
функции передачи 2-го порядка к нестабильности реализующих
элементов проведем на примере полиномиального звена НЧ2, рас-
пространив полученные результаты на остальные типы звеньев и
фильтров. Это нетрудно сделать, поскольку, как видно из табл. 6.1,
выражения соответствующих коэффициентов аппроксимации име-
ют одинаковый характер.
Вначале определим влияние пассивных элементов схемы звена
НЧ2 при использовании идеального усилителя постоянного напря-
жения с бесконечным усилением. Результаты расчета соответст-
вующих чувствительностей к нестабильности каждого Х-го элемен-
та схемы сведены в табл. 6.2. На основании этих данных можно
сделать следующие основные выводы:
ТАБЛИЦА 6.2
А.	Ci	С2	Ri		Ко
sx*	1	0	~Ь- Лз I Вз Лз 1 о	©1 еч Qi| QJ + + о?| СС +	1 —			 Ri
«X*	1	1	1	0	1
—	чувствительность коэффициентов аппроксимации и SJ’
не зависит от добротности Q реализуемого множителя;
—	абсолютное значение чувствительностей S;b> и S£« всегда
меньше единицы;
— чувствительность коэффициента аппроксимации bi к изме-
нению величин сопротивлений зависит от их соотношений и может
быть практически сведена к нулю.
Для каждого из коэффициентов аппроксимации существует
элемент схемы, к изменению которого данный коэффициент нечув-
ствителен. Это можно использовать при настройке фильтра.
Влияние активного элемента звена можно оценить по наибо-
лее важному его параметру — коэффициенту передачи операци-
— 173 —
онного усилителя ц, который до сих пор считался бесконечно боль-
шим. При конечном значении ц коэффициенты аппроксимации
звена НЧ2 реализуются в соответствии с выражениями:
Влияние нестабильности коэффиицента ц на коэффициенты ап-
проксимации можно оценить следующим образом:
(6.14)
(6.15)
£2 Ry
Ci Ri
^0 | /?о
Ri ‘ Rb
cb2
Op.
Rp . Rp
Ri Ri
Rp R±
Ri + Rz
(6.16)
(6.17)
1
\ /?!	Т?2 ' IX
т. e. соответствующие чувствительности зависят от соотношения
элементов схемы звена, но с возрастанием коэффициента усиле-
ния ц чувствительность стремится к нулю.
Таким образом, принципиально для звеньев активных /?С-филь-
тров с операционными усилителями можно добиться чувствитель-
ности коэффициентов аппроксимации в худшем случае не более
единицы.
В заключение сравним схемы с отрицательной обратной связью
со схемами, построенными по второму варианту (6.7), в котором
используется положительная обратная связь.
При возможном лишь теоретически бесконечно большом уси-
лении ц для УПН во всем диапазоне частот 0</<оо разницы с
рассмотренными схемами первого варианта не существует. Прин-
ципиальное отличие имеет место при конечной величине усиления
fi. Это отличие можно проанализировать с помощью ф-лы (6.14),
которая справедлива для схем с положительной обратной связью
при замене знака при коэффициенте усиления ц на обратный. В
этом случае при конечной величине усиления, особенно при малой
— 174 —•
на достаточно высоких частотах, коэффициент bi стремится к ну-
лю, т. е. схема переходит через область максимальной добротности
в режим самовозбуждения.
Для рассмотренных схем первого варианта с отрицательной
обратной связью подобное уменьшение коэффициента усиления ji
означает, наоборот, уменьшение добротности. Из этого следует вы-
вод, что схемы, использующие неинвертирующий вход УПН, ока-
зываются принципиально неустойчивыми даже в том лишь теоре-
тически возможном случае, когда УПН не вносит фазового сдви-
га. Звенья на основе инвертирующего УПН в этом чисто теоре-
тическом случае оказываются абсолютно устойчивыми. Это об-
стоятельство и определяет преимущественное практическое исполь-
зование последних, хотя, естественно, использование реальных
УПН, вносящих фазовый сдвиг, связано с решением задачи обе-
спечения устойчивости против самовозбуждения. Практическое ре-
шение этой задачи, как и в случае обычных усилителей с отри-
цательной обратной связью (ООС), основывается на ставших
уже классическими работах Боде [7,29].
Как видно из рис. 6.5, во всех приводимых схемах звеньев
2-го порядка выход ОУ соединяется со входом таким образом, что
коэффициент передачи изменяется с частотой не более, чем на 6 дб
на октаву. Это, как известно, дает гарантию того, что фазовый
сдвиг, вносимый цепью ООС, не превосходит 90е. Если полоса про-
пускания УПН ограничивается за счет шунтирующих емкостей на
таких частотах, где реактивные элементы (емкости) цепи ООС
уже не оказывают влияния на ее коэффициент передачи, рассмат-
риваемый случай обеспечения устойчивости усилителя не содер-
жит никаких специфических условий.
Если все же требуется при обеспечении устойчивости прини-
мать во внимание фазовый сдвиг, вносимый цепью обратной свя-
зи, то можно заметить, что в случае фильтра нч емкость цепи
ООС, включенная в последовательную ветвь, создает фазовый
сдвиг, обратный по знаку тому, который образуется за счет шун-
тирующих емкостей в УПН. В случае фильтра вч фазовые сдви-
ги за счет реактивных элементов цепи ООС и шунтирующих ем-
костей УПН имеют одинаковые знаки, однако, влияние элементов
цепи ООС в этом случае проявляется ниже полосы пропускания
фильтра, т. е. в такой области частот, где влияние паразитных
емкостей УПН еще не сказывается.
6.4.	Звенья активных RC-фильтров на основе трех
операционных усилителей	...
Из анализа приведенных в табл. 6.1 данных, относящихся к
звеньям активных А’С-фильтров с одним операционным усилите-
лем, видно, что для реализации сравнительно высокодобротных
функций передачи требуется более широкий диапазон величин
элементов схемы; (в первую, очередь конденсаторов). Это увели-
- 175 -	•
чение диапазона величин затрудняет практическую реализацию
звеньев фильтров либо из-за невыполнения условий реализации
(неравенства в табл. 6.1), либо вследствие неприемлемо больших
величин конденсаторов, полученных в результате расчета.
Одним из способов решения проблемы является построение
звеньев активных /?С-фильтров с несколькими операционными
усилителями. К настоящему времени предложен уже [14, 52, 53]
ряд моделей для реализации высокодобротных функций передачи.
Большинство этих моделей может быть сведено к схеме рис. 6.6а
Рис. 6.6. Схема звена 7?С-фильтра с тремя операцион-
ными усилителями (а) и ее граф (б)
с тремя операционными усилителями, анализ которой проведем на
основании полного графа схемы (рис. 6.66). Такой выбор метода
анализа обоснован тем, что исследуемая схема рис. 6.6а пред-
ставляет собой схему с несколькими обратными связями.
Вначале в качестве примера рассчитаем отношение напряже-
ний (/выхз/£Аш которому соответствует передача графа Л? от 1-го
узла к 7-му [15]. Искомая передача
yi __ ____________________________Pl____________________________
1 — (Li -f- 4* L3 -|- Lt -( L5) 4- (LiLt -|- ^iLs 4~ C2L3 + bjL6) — LjLjLj
(6.18)
где передачи пути Pi и контуров Ц, Ьг, L& Lt, L$ определяются
через передачи ветвей ц2. Цз, a, b, с, d, е, f, tn, q по формулам:
Pi = ЩРгРз аЪс, Lj, = — у2 d, La = — p3 e,
L3 = —P-ig, Lt = — p.ijj2;j8 bcm, Lb = —
Передачи ветвей по напряжению через элементы схемы рис.
(	— 176 —
6.6с запишутся следующим образом:
а—--,	6 = —1—,	с = —±—,
R-1 + Rg	4~pC2/?2
е = pC2Ri	с _	₽4	т = Rs,
l+pC-2^2	Ri + Rt	Rs~\~ R&
pCjRi
l+pCi/?i
R» .
Rs + R*
Приведенные выражения получены при условии использования
идеальных операционных усилителей, т. е. при таких значениях
входного и выходного сопротивлений, когда
^вх»^- Rt> Rs, Ri, Rs, Re, , =г •
ы С1 о Сг г .
RbUx R1, Ri, Rs, Ri’ Ri, R&,	=~ , —=- •
а>С1 (оС2
Подставляя последовательно полученные выше выражения в
общую формулу передачи графа (6.18) и выполнив ряд неслож-
ных преобразований, в результате получим функцию передачи 2-го
порядка фильтра нч вида (2.63), коэффициенты которой реали-
зуются элементами схемы рис. 6.6с в соответствии с соотноше-
ниями:
177
#о =
1
Мз
+ —W (1 +
Re ) I \
Re.	/
Ri М2 1 Re
Ra	\
в

ь —
Mi
(6.21)
При достаточно
усилителей,
больших
коэффициентах усиления операционных
когда выполняются условия:
1+-
Rs
Ml» 1 +
«з 
реализация
щается: :
^r*_ -Ч-: -.
! Re М'щ'В
I	•, - ,;	‘	:
h7?6
коэффициентов аппроксимации
' ’ - * О2
4
’ R3
1-р-З-
- bl : ------J CtR2,
b2 =	CiC2/?i/?2>
^5
Но =
Rs
Re
Ri
Re
В частном случае, при
R3 = R&’
получим еще более простые выражения:
bi = C2R2,
Ь2 = CiC2/?i/?2,
#о = 1.
Re — Rs
(6.22)
(6.19)—(6.21) упро-
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
(6.27)
(6.28)
(6.29)
Однако здесь операционные усилители, составляющие схему, ока-
зываются в неравном положении. Анализ выражений (6.22) пока-
зывает, что наибольшим коэффициентом усиления должен обла-
дать третий усилитель, особенно при реализации высокодоброт-
ных сомножителей функции передачи.
— 178 —
I На практике часто оказывается полезным иметь равные коэф-
фициенты усиления всех операционных усилителей. Это можно по-
лучить соответствующим выбором соотношений элементов вход-
него операционного усилителя — и — , которые определяются
из формул:
+	sr’(l + §-)"-b	<6-30>
выведенных путем последовательного приравнивания друг другу
правых частей выражений (6.22). Здесь единственным исходным
параметром является добротность Q.
Непосредственный расчет соотношений элементов из ф-л (6.30)
несколько затруднен из-за необходимости решать уравнение тре-
тьей степени. Вместо этого можно воспользоваться построенными
на основе (6.30) кривыми рис. 6.7, из которых по заданной для
реализации добротности вы-
брать соотношение элемен-
тов, определить требования
к коэффициенту передачи
операционных усилителей и,
наконец, рассчитать величи-
ну постоянного усиления
(затухания) реализуемого
звена фильтра.
Описанная процедура
выбора соотношения эле-
ментов приводит также к
уменьшению чувствительно-
сти реализуемых коэффици-
ентов аппроксимации к не-
стабильности усиления опе-
рационных усилителей. По-
кажем это на примере ко-
эффициента Ьь наиболее
чувствительного к неста-
бильностям реализующих
его элементов.
Рассмотрим случай, ког-
201д/Но/
Рис. 6.7. Расчетные графики для опре-
деления соотношения между величинами
схемных элементов, требований к ко-
эффициенту передачи операционных
усилителей и величины уровня усиления
звена /?С-фильтра с тремя операцион-
ными усилителями
да выполняются условия (6.26), т. е. в соответствии с неравенст-
вами (6.22) наибольшее усиление имеет третий операционный уси-
литель. Это означает, что при определении чувствительности ко-
эффициента аппроксимации bi (6.19) достаточно учитывать не-
стабильность коэффициента усиления ц3. В результате преобразо-
ваний получим
— 179 —
Если теперь при выполнении первого из условий, (6.26) по-
строить схему так, чтобы большими были коэффициенты усиления
ц2 и цз, что обеспечивается выбором соотношения элементов сог-
ласно выражению
=	1,	(6.32)
Rt
то при определении чувствительности коэффициента bi учитыва-
ется только их влияние. Принимая в данном случае Ц2=цз=р-, по-
лучим
i-i
что дает меньшую чувствительность, чем (6.31).
Дальнейшее уменьшение чувствительности будет происходить
при таком построении схемы, когда влияние всех операционных
усилителей равнозначно. Заметим здесь, что аналогичная проце-
дура возможна и в случае, если используются операционные уси-
лители с разными параметрами по стабильности коэффициента
усиления.
Все изложенное выше относительно реализации функции пере-
дачи фильтра нч 2-го порядка можно приложить и к анализу
функций передачи других видов фильтров полиномиального типа.
Если в схеме рис. 6.6а в качестве выходного зажима использовать
выход второго операционного усилителя, то получим звено полосо-
вого фильтра 2-го порядка, функция передачи которого опреде-
ляется на основании графа схемы рис. 6.66:
^вых,2 _Т _ _________________________________________________________
(7вх	1 — (Z-1 +^2+^-3 + ^4 + ^б)+(^1^2 +	+ ^2^-3 4" ^-2^s)—
где ....	;
‘ Г	2 ~--Р1!*2
Подобным образом та же схема при использовании выхода пер-
вого усилителя реализует звено фильтра вч 2-го порядка с функ-
цией передачи
^вых.а — Т ____________________^з(1 М ^-24~	__________________
1—(Lj -|- L2 -f- L3 L4-|- Z.5)-|-(L1L2-f-Z.1L3 -p LtL3 -|- ZV-g) LVL2L3
где
P3= pxa.
Результаты реализации коэффициентов аппроксимации функ-
ций передачи 2-го порядка различных видов фильтров полиноми-
ального типа сведены в табл. 6.3.
— 180 —
ТАБЛИЦА 6.»
Вид фильтра	bi	bi	И,
НЧ2
1+^5-
____/?»
1 + ^-
Rt
ВЧ2
1+-^
Rt
R»
,+x
C»/?2
Ci Cs /?i Rt
Кь
ПФ2
6.5.	Избирательные усилители с двойными Т-мостами
в цепи отрицательной обратной связи
Из всех типов активных 7?С-фильтров раньше всего начали ис-
пользоваться узкополосные избирательные усилители с двойными
Т-мостами (ТТ-мостами) в цепи обратной связи. Эти фильтры по-
лучили довольно широкое распространение еще в те времена, ког-
да не существовали полупроводниковые триоды. Из рассматривае-
мых в настоящей работе основных типов активных /?С-фильтров.
избирательные усилители с ТТ-мостами наиболее близки к филь-
трам на основе операционных усилителей.
Поскольку усилители с ТТ-мостами весьма подробно описаны
в обширной литературе, здесь рассмотрим лишь связь между при-
водимыми в [10, 20] формулами для их расчета и выражениями,
аппроксимирующими заданные характеристики фильтров.
На рис. 6.8щ б, в приведены три наиболее часто встречающиеся
схемы избирательных усилителей с 7Т-мостами. При малых рас-
стройках относительно средней частоты f0 полосы пропускания ча-
стотная характеристика любой из схем рис. 6.8 выражается зави-
симостью [10]:
1ИЧ1-----------„-т., . ..	<6.34>
\fo f I \ 2 /
— 181 —
/
где Q~Qm(1+&)—эквивалентная добротность избирательного
усилителя1); Qm — добротность ненагруженного ГГ-моста
(рис. 6.8 г), максимальное значение которой при симметричной
2С /?
схеме моста и условии —- = — = 1 составляет 0,5; k — коэффи-
Cj 2/?2
циент усиления усилителя без обратной связи.
Заменив в (6.34) на (—ip), раскладывая знаменатель пра-
вой части на два множителя и отбрасывая один из них, соответ-
ствующий полюсам в правой полуплоскости, получим выражение
для комплексного коэффициента передачи
Н(р) =--------!----=---------.
(	1 \ Q	/	2	\	(6.35)
-у.	1+ р + — V <2 Р2+угР + 1
\	р i 1	\	Q	/
Выражение (6.35) совпадает с (2.106) при /г = 2, Ь2П= 1 и
Рис. 6.8. Схемы избирательных
усилителей с ГГ-мостами
Рис. 6.9. Схема звена 2-го
порядка на усилителе с ТТ-
мостами на входе и в цепи
ж отрицательной обратной
связи
*) Величина добротности по-разному определяется разными авторами.
В частности, численное значение добротности, определенной в соответствии с
(2.78) будет в два раза больше, чем величина добротности, определяемая
ло [20].
— 182 —
2
A = bjn=— . Схемы типа изображенных на рис. 6.8 используются
для построения узкополосных фильтров при полиномиальной ап-
проксимации. При дробной аппроксимации схемы фильтров нч, вч
и полосовых строятся на основе моделей Тен Най-дьюна. Модель,
изображенная на рис. 6.9а, содержит два моста, обозначенных
буквами А и В. Их схемы приведены соответственно на рис. 6.96
и 6.9в. Коэффициенты передачи мостов:
' НА^ = ~-----------------------2-
Р2 Т Qt (3 + kA ) р -f- kA £2]	.,
Р3Т[Й„ (3+кв — 2 а] р+кв Q2
Р2 + 2«р + йд
яв(р) =
где
2Ria
Ra '
2/?. „
kB = 1 + —
B Rb
1	R'
Rib Cj.b R\b + %R'
—!—
4 Rib С\в
а =
Ra, Rb— сопротивления нагрузок мостов А и В, соответственно.
При достаточно глубокой отрицательной обратной связи в уси-
лителе рис. 6.9а его коэффициент усиления равен обратной вели-
чине коэффициента передачи цепи обратной связи, а коэффициент
передачи всего звена будет равен
НА (р)	Р2+ Qf	Р2+ [Йп(3-Нв )-2a]p+kB
Л/ (Р)
(р) р2 + Й1 (3	) р + kA q2	р2 _|_ 2а р 4- Q2
; ' •	(6.36)
При выполнении условий:
kA = kf£in,
Qi (3 + 6Л) = Q„ (Э + kB)- 2a
соответствующие множители в (6.36) сокращаются, и схема звена
рис. 6.9а реализует передаточную функцию
р3 -р Q2	-
Р3 + 2а р +
которая, в зависимости от соотношения между коэффициентами,,
может соответствовать множителям аппроксимации ФНЧ (2,80),.
ФВЧ (2.95) или ПЗФ (2.124). При этом схемные элементы мостов,
рис. 6.96 и 6.9в определяются формулами:
— 183 —
.	. г —	1	г-_______1
' >А К1ЛЙ! ’ “	- RlBQn •
’ > ! 	« - -
js :-		1 £> /1 -— 2g0\	t	s .
c	2 4S( a0 Г ‘	".'л
ci. с' = -^~С.„, R . = —/?. (k1),
1—a0 1S lA 2	л'- A '
R.„ = 4-	«о = 1---------------•
1S 2	s'‘ s '	°	2(fi„ —a)
Усложнение модели рис. 6.9a, состоящее в том, что каждый из
мостов А и В заменяется парой каскадно соединенных мостов,
дает возможность реализовать передаточную функцию вида
(р24-й2)(р24-й2)
Н(р) =---------------.
(р2 + 2сц р + Й^Хр2 + 2a2 р + Й„2)
(6.37)
которую в зависимости от соотношения между коэффициентами,
можно отождествить с выражениями (2.123) или (2.126) для функ-
ций передачи 4-го порядка ПФ и ПЗФ.
Цепь, замещающая в этом случае мост А (рис. 6.96), будет
характеризоваться коэффициентом передачи
Н (n) =	(^+qW+q22)	.
(Р + 61) (р + 6г) (Р + CTi) (Р + стг)	’
а цепь, замещающая мост В — коэффициентом передачи
И	(p2 + 2aiP + Q|)(p2 + 2a4p + Q22)
’ (р + 61)(р + 62)(р + о1)(р + а2)
Синтез /?С-схемы по коэффициенту передачи вида (6.38) опи-
сан в разд. 1.6. Синтез схемы по коэффициенту передачи вида
(6.37) представляет собой частный случай этой процедуры.
7
ГЛАВА
ВОПРОСЫ РАСЧЕТА RC-ФИЛЬТРОВ
7.1.	Особенности характеристик активных RC-фильтров
Требования к активным ДС-фильтрам в силу специфики их по-
строения несколько отличаются от обычно предъявляемых к ча-
стотным фильтрам.
Требования к частотной характеристике фильтра. Для АС-
фильтров они определяются неравномерностью затухания в поло-
се пропускания и величиной относительного затухания в полосе
задерживания. Поскольку в активных ДС-фильтрах существует
усиление сигнала в полосе пропускания, то для них можно гово-
рить о неравномерности усиления в полосе пропускания и относи-
тельном усилении в полосе задерживания. Однако здесь исполь-
зуется традиционная терминология.
Входное и выходное сопротивления фильтра. Применение ак-
тивных элементов в фильтрах позволяет развязать фильтр со сто-
роны входа и выхода без дополнительных схемных элементов. При
этом, в отличие от АС-фильтров, входное и выходное сопротивле-
ния могут иметь чисто активный характер, т. е. не зависеть прак-
тически от частоты, как в полосе пропускания, так и в полосе за-
держивания. Каскадное включение звеньев производится не пс
принципу согласования (равенства входного и выходного сопро-
тивлений стыкуемых звеньев), а соединением низкоомного выход-
ного сопротивления с высокоомным входным и наоборот.
Условия параллельной работы фильтров. В случае активных
ДС-фильтров упрощаются условия параллельной работы. Посколь-
ку фильтры с управлением по напряжению имеют большое вход-
ное сопротивление, то они должны применяться для параллельной
работы со стороны входа; источником сигнала при этом должен
быть генератор напряжения. Для параллельной работы со сторо-
ны выхода целесообразно использовать фильтры с управлением
по току, которые имеют высокое выходное сопротивление; сопро-
тивление нагрузки при этом должно быть значительно меньше вы-
сокоомного выходного сопротивления фильтра.
Динамические диапазон и нелинейные искажения. При исполь-
зовании активных ДС-фильтров эти характеристики, по сравне-
нию с АС-фильтрами, требуют к себе значительно большего вни-
— 185 —
мания. Динамический диапазон сигналов ограничивается снизу
уровнем шумов и наводок. Верхняя граница динамического диа-
пазона зависит от типа транзистора, его режима и схемного ис-
полнения активного элемента. В этом отношении схемы активных
элементов, построенные на основе эмиттерных повторителей, об-
ладают известными преимуществами по сравнению с усилителя-
ми тока.
Основным источником нелинейных искажений в активных RC-
фильтрах являются активные элементы, построенные на основе
усилителей. Поэтому в последних при высоких требованиях по
нелинейности должна применяться отрицательная обратная связь.
Источники питания. Реализация некоторых характеристик в ак-
тивных /?С-фильтрах накладывает специфические требования на
источники питания их активных элементов. Условия стыковки по
постоянному току определяют количество и полярность источни-
ков питания, а динамический диапазон — величину питающего на-
пряжения. Кроме того, повышаются требования в отношении пуль-
саций питающего напряжения, которые могут усиливаться в от-
дельных звеньях, представляя значительную помеху. Необходимо
обратить внимание на внутреннее сопротивление источника пита-
ния, так как большая величина его может служить причиной не-
достаточного затухания в полосе задерживания фильтра.
7.2.	Расчет активных элементов
Поскольку при синтезе активных /?С-фильтров задача реали-
зации активного элемента подразумевалась решенной, то расчет
его необходимо производить отдельно. Однако в некоторых слу-
чаях можно совмещать отдельные элементы активной и пассив-
ной частей фильтра.
Расчет характеристик активных элементов фильтров произво-
дится по формулам, указанным в соответствующих разделах по
реализации. Здесь рассмотрим основные данные активных эле-
ментов и определим их значения для конкретных схем.
Усилитель тока. Параметры простейшего усилителя тока —
транзистора с общей базой (рис. 3.1а) — рассчитываются по
ф-лам (3.1), (3.3) и (3.4) на основании справочных данных. На-
пример, типовые значения параметров такого усилителя на гер-
маниевом транзисторе МП41А и кремниевом МП116 приведены
в табл. 7.1.
ТА БЛИЦА 7.1
Тип транзистора	Гэ, ом	гб. ом	*т1	R ,, ом вх т!	R	, ,°Мом вых т1 -
МП41А	28	130	0,986	30	1
МП116	35	200	0,95	'•	45	0,56
— 186 —
Данные таблицы 7.1 приведены для типового режима транзи-
сторов: UK3=—5 в и Л>=1 ма, который определяет остальные эле-
менты схемы усилителя при заданных источниках питания (либо
необходимо выбрать величины напряжений питания при заданных
элементах, фиксирующих режим транзистора).
Параметры двухтранзисторного усилителя тока (рис. 3.2) рас-
считываются на основании приведенных выше данных простейше-
го усилителя по ф-лам (3.11) и (3.13). Если примем /cT2=ai = «2 и
Гб1 = 0,2 Ri, что не нарушит общности картины, то получим:
/?вх т2 30 ОМ, ^вых т2 = 3 МОМ
для германиевых транзисторов и
₽вх т2 = 45 0М’ Явых т2 = 2,8 МОМ
при использовании кремниевых транзисторов. Остальные элемен-
ты схемы усилителя определяются режимом транзисторов и за- данным коэффициентом усиле- ния, который рассчитывается	та блиц а 7.г			
ПО ф-Ле (3.9).	Тип тран- Полученных	параметров знстора		*вх н 1 ’ ком	D ВЫХ Н1 &м
у	fl 1 Lilian	AkkJk. 1 Cl I kJ “1ПkJ	yi расчета схемы всего звена МП41А фильтра.	МПИ6 Усилитель напряжения. Па-	0,99 0,985	200 61	30 44
раметры элементарного усили- теля напряжения — эмиттерного повторителя (рис. 3.1в)—рас- считываются по ф-лам (3.16) — (3.18). Для типового режима транзистора при сопротивлении в цепи			
эмиттера R = 3 ком эти параметры представлены в табл. 7.2.
Остальные элементы схемы усилителя зависят от режима тран-
зистора, а сопротивление в цепи базы, кроме того, является «смы-
словым» элементом звена фильтра, т. е. влияет на его частотную
характеристику (разд. 3.2).
Параметры двухтранзисторного усилителя напряжения (рис.
3.3) рассчитываются по ф-лам (3.21), (3.23), (3.25). Задавшись
условиями /?2=0, 7?i = 3 ком, гЭ2 = 0,1 и используя данные тех
же транзисторов, что и ранее, получим:
&Н2 —• 1,
/?ВХ н2 = 1,84 Мом,
^выхн2 — 0,43 ом
в случае германиевых транзисторов с одинаковыми параметрами и
&и2 = 1,
^вх н2 = 361 КОМ,	___LC_: Ш
^вых на = 2,5 ОМ
— 187 —
для кремниевых транзисторов. Сопротивление Rz определяет ко-
эффициент передачи усилителя, а остальные элементы схемы вы-
полняют те же функции, что и в эмиттерном повторителе. Необ-
ходимо отметить, что при сравнительно больших значениях ко-
эффициента передачи усилителя (knZ-+-2) сопротивление R2 тоже
начинает влиять на режим смещения транзисторов, уменьшая ди-
намический диапазон усилителя.
Конвертор отрицательного сопротивления. Среди различных
типов конверторов отрицательных сопротивлений наибольшее прак-
тическое применение получила схема рис. 4.3 (КОСТ), поэтому
здесь для примера рассмотрим только ее параметры.
Как отмечалось в разд. 4.1, свойства КОСТ определяются его
матрицей [Л] или [§].
В соответствии с (4.25) коэффициент преобразования
* г
х = й12/?21 = —
целесообразно выбрать его равным единице (т. е. Rt = Rz).
Остальные два параметра ft-матрицы при использовании тран-
зисторов с принятыми выше параметрами
Лп%30 ом,
/г22^500 ком
определяют степень неидеальности конвертора отрицательного со-
противления.
Гираторный преобразователь сопротивления (гиратор). Пара-
метры простейшего гиратора (рис. 5.1) определяются на основа-
нии его матрицы проводимостей (5.5). Поскольку гираторные про-
водимости goi и goz должны рассчитываться вместе с элементами
схемы фильтра, то здесь значения их не приводятся. Гираторные
сопротивления определяются значениями /?Э2 и R3i (рис. 5.1) и не-
посредственно влияют на режим транзисторов в схеме активного
элемента фильтра.
Паразитные проводимости гираторной схемы рис. 5.1 опреде-
ляются в основном сопротивлениями RK1 и /?кз в цепи коллекторов
и весьма велики, поскольку они определяют режим транзисторов
по постоянному току. Для уменьшения их рекомендуется режим
по постоянному току задавать через дополнительные транзисторы,
коллекторные проводимости которых (значительно меньшие) и
будут теперь характеризовать паразитные параметры гиратора.
Этим достигается лучшее приближение к идеальному гираторно-
му четырехполюснику.
Операционный усилитель. Экономически целесообразно исполь-
зовать в активных /?С-фильтрах серийно выпускаемые операцион-
ные усилители. Необходимые для расчета фильтра данные (входное,
выходное сопротивления и коэффициент усиления) берутся из со-
ответствующих справочников либо технических условий.
— 188 —
7.3.	Порядок расчета и соображения по методике
настройки активных фильтров
При окончательном расчете активного Л’С-фильтра с целью
получения практической схемы приходится учитывать большое
количество факторов, которые часто противоречат друг Другу.
Поэтому процесс проектирования фильтра имеет несколько итера-
тивный характер. Однако можно выделить основные этапы в ра-
счете фильтра.
Аппроксимация заданной амплитудно-частотной характеристи-
ки. Задачей аппроксимации является определение функции пере-
дачи фильтра в виде сомножителей 1 и 2-го порядков, а именно
коэффициентов Ьь Ьг, Ьг при комплексной переменной р.
Порядок п аппроксимирующей функции фильтра нч опреде-
ляется по заданному затуханию в полосе задерживания и нерав-
номерности передачи в полосе пропускания в зависимости от ви-
да аппроксимации: при равноволновой — с помощью данных
рис. П.2.1 либо П.2.5; при гладкой — П.2.3. После этого остается
выписать необходимые коэффициенты Ьь Ь2 из соответствующих
таблиц П. 1.2.—П.1.7 или вычислить их, взяв значения корней из
табл. П.1.16—П.1.17.
Коэффициенты аппроксимации функции передачи фильтра вч
определяются из соответствующих коэффициентов нч прототипа
на основании выражений (2.87), (2.88), (2.95), а функции пере-
дачи полосового фильтра — (2.118), (2.119), (2.123). Порядок
этих функций рассчитывается так же, как и для нч прототипа, к
которому сводятся исходные требования.
В заключение определяются добротности звеньев 2-го порядка
/2.78) и рассчитываются координаты контрольных точек характе-
ристик соответствующих типов фильтров, приведенных на рис.
2.10, 2.11 и 2.13—2.16. По этим точкам в дальнейшем осуществля-
ется настройка звеньев фильтра.
Выбор активного элемента и вида фильтра. Выбор типа ак-
тивного элемента определяет вид фильтра и является поэтому од-
ним из основных этапов расчета.
Если по заданию должна обеспечиваться параллельная работа
со стороны входа, то необходимо использовать фильтры с управ-
лением по напряжению (например, фильтры на основе единичных
усилителей напряжения); при параллельной работе со стороны
выхода целесообразно применять фильтры с управлением по току.
Вид фильтра может определяться характером источника сиг-
нала, а также условиями нагрузки. Низкое сопротивление источ-
ника сигнала и большое сопротивление нагрузки требуют филь-
тров с управлением по напряжению, а высокоомный источник сиг-
нала и малое сопротивление нагрузки — фильтров с управлением
по току. При других комбинациях условий источника сигнала и
нагрузки возможно построение фильтра смешанного вида из кас-
кадного соединения соответствующих звеньев.
— 189 —
При сравнительно большом динамическом диапазоне и боль-
шой величине входного сигнала преимущество имеют фильтры,
активный элемент которых построен на основе эмиттерного повто-
рителя, ибо в других схемах выполнение этих требований дости-
гается более сложным путем.
Единичные усилители тока и напряжения (с ограниченным
коэффициентом усиления) предпочтительнее других активных эле-
ментов в силу их относительной простоты, минимального числа
транзисторов и достаточной стабильности (при использовании
внутренней отрицательной обратной связи). Однако для построения
высокодобротных звеньев эта стабильность может оказаться не-
достаточной, что вызовет необходимость применения звеньев с
более сложными активными элементами — операционным уси-
лителем или гиратором, где имеется возможность более стабиль-
ной реализации.
После определения вида фильтра необходимо произвести вы-
бор активных элементов для каждого звена в зависимости от его
добротности, которая для многих видов звеньев определяет чув-
ствительность реализуемой характеристики к нестабильности эле-
ментов фильтра. Для звеньев с добротностью Q^3 можно при-
менять простейшие однотранзисторные усилители тока и напря-
жения (рис. 3.1); диапазон применения этих активных элементов
в сторону больших добротностей несколько расширяется при ис-
пользовании методики, изложенной в разд. 3.5. Двухтранзистор-
ные усилители (рис. 3.2 и 3.3) и конверторы отрицательного соп-
ротивления могут, как правило, применяться при добротностях
30-4-40. Для более высокодобротных звеньев необходимо при-
менять гираторы или операционные усилители.
Вопрос об использовании германиевых или кремниевых тран-
зисторов в активных элементах решается в зависимости от тем-
пературных условий работы. Однако, если есть возможность
уменьшить сопротивления смещения (являющиеся одновременно
«смысловыми» элементами фильтра) в достаточной для темпера-
турной стабилизации мере, то следует применять германиевые
транзисторы, которые обеспечивают лучшее приближение парамет-
ров активных элементов к идеальным значениям.
Для выбранных активных элементов определяются параметры,
особенно сопротивление, которое одновременно является «смысло-
вым» элементом звена фильтра. Обычно относительно этого со-
противления осуществляется нормирование величин элементов
звена.
Оптимизация чувствительности. Расчет соотношения величин
элементов с целью оптимизации чувствительности проводится, как
изложено в соответствующих разделах реализации. В случае оди-
наковых активных элементов оптимизацию имеет смысл прово-
дить только для самого высокодобротного (а значит и самого не-
стабильного) звена.
— 190 —
Для низкодобротных звеньев нет необходимости проводить по-
добный расчет; в случае использования элемента с повышенной
нестабильностью достаточно воспользоваться рекомендациями,
приведенными в разд. 3.3.
Порядок каскадного построения фильтра. Способ построения
фильтров из звеньев 1 и 2-го порядков определяется в основном
двумя факторами: максимальной величиной сигнала, проходящего
через звено, и условиями стыковки звеньев.
Во избежание перегрузки активных элементов, а значит, и уве-
личения нелинейных искажений, следует применять каскадное по-
строение фильтра в порядке возрастающей добротности звеньев со
стороны источника сигнала, начиная фильтр звеном 1-го порядка.
При этом для полосового фильтра, реализованного звеньями нч и
вч, возможны два варианта построения: каскадное соединение
фильтров нч и вч, каждый из которых составлен из своих звеньев
в порядке возрастающей добротности, и каскадное соединение зве-
ньев ПФ2 и ПФ4.
Для лучшего выполнения условий стыковки непосредственно
должны соединяться звенья с максимально отличающимися резо-
нансными частотами, т. е. для полосового фильтра здесь необхо-
димо отдать предпочтение второму варианту его построения.
Реализация условий непосредственной стыковки должна осу-
ществляться в соответствии с выражениями, приведенными в разд.
3.4, где определяется значение одного из элементов звена фильтра.
Расчет величин элементов звеньев. Расчет величин элементов
производится на основе таблиц реализации коэффициентов ап-
проксимации, приведенных в соответствующих главах.
В случае полиномиальных звеньев 2-го порядка эти таблицы
дают систему двух уравнений с пятью неизвестными, а для звень-
ев с нулями передачи имеем систему трех уравнений с восемью
неизвестными. Это предоставляет большую свободу в окончатель-
ном выборе элементов. Однако не исключается и возможность на-
ложения дополнительных условий. Например, для полиномиаль-
ных звеньев три элемента могут быть определены предваритель-
но: один — сопротивление — при расчете активного элемента, вто-
рой — из расчета оптимальной чувствительности и третий — из
условий непосредственной стыковки звеньев.
Поскольку оптимизация проводится только для самого доброт-
ного звена, то величины элементов остальных звеньев могут в не-
которой степени выбираться по произволу разработчика (исходя,
например, из условия уменьшения общего числа номиналов эле-
ментов, меньших габаритов конденсаторов и т. п.).
В заключение обязательно необходимо проверить соответствие
полученных элементов схемы условиям реализации, записанным
в таблицах реализации коэффициентов аппроксимации в разделе
примечаний.
Настройка фильтра. Настройка фильтра осуществляется поз-
венно. Полиномиальное звено 1-го порядка, а также низкодоб-
— 191 —
ротные полиномиальные звенья 2-го порядка специальной настрой-
ки не требуют, если элементы подобраны с достаточной точностью
(порядка 1—3%).
Однако имеется возможность более точной настройки путем
непосредственной реализации коэффициентов аппроксимации bi и
Ь2 полиномиальных звеньев. Суть этой настройки, которую мож-
но назвать активной, состоит в следующем. На первом этапе уве-
личением коэффициента передачи усилителя k добиваемся усло-
вия bi = O, т. е. звено 2-го порядка вводится в режим самовозбуж-
дения, частота которого определяется только коэффициентом ап-
проксимации Ь2 в соответствии с (2.74). Подбором одного из со-
противлений звена эта частота самовозбуждения устанавливается
равной расчетному значению Пон. чем обеспечивается точная реа-
лизация коэффициента Ь2. На втором этапе производится точная
реализация коэффициента bt путем уменьшения коэффициента
передачи усилителя k до величины, соответствующей координатам
контрольной точки характеристики Птн, атп- Подобная методика
настройки позволяет применять элементы с обычными допусками,
без специального подбора, что ускоряет процесс изготовления
фильтра.
Аналогично производится настройка и дробного звена. Толь-
ко здесь на первом этапе осуществляется настройка двойной Т-об-
разной схемы по нулевой (минимальной) передаче, чем осущест-
вляется реализация коэффициента Ьг. На втором этапе в режиме
самовозбуждения подбором емкости, например Со, в случае зве-
: на НЧ2—1НЗ-Д, выполняется реализация коэффициента Ь2. На
третьем этапе производится реализация коэффициента Ьь как и
для полиномиального звена, но по координатам своей контрольной
ТОЧКИ ПтНд, ДтНд.
:	Расчет подстроечных элементов звеньев. Методику расчета
подстроечных элементов достаточно разработать для звеньев
фильтров нч и затем распространить на остальные звенья.
В полиномиальном звене нч 2-го порядка необходимо иметь
два регулировочных элемента: один — для установки коэффици-
ента аппроксимации Ь2 (настройка по частоте), другой — для ре-
" гулировки коэффициента bi (установка заданной добротности).
Для настройки коэффициента аппроксимации
ь2 = СуСМ2	(7.1)
’ необходимо выделить один из определяющих его элементов, на-
’ пример сопротивление Д2, которое в этом случае составляется из
двух последовательно соединенных сопротивлений: основного /?'
и подстроечного R*2 . Исходными данными для расчета подстроеч-
ных сопротивлений являются: величины максимального отклоне-
ния от номинала элементов схемы	—i; Дг2 = —— ; ДС1 =
.	“i	Я»
=----; AC2——агг, требуемая точность реализации коэффи-
Ct
192 —
циента аппроксимации, характеризуемая величиной допустимо-
го отклонения ДЬ2, а также расчетная величина Д2.
Расчет диапазона подстроечных сопротивлений произведем,
исходя из наихудших условий Первое из этих условий состоит в
том, что все элементы звена имеют максимальное отклонение в
большую сторону, что при настройке должно компенсироваться
сопротивлением /?2 в соответствии с выражением
+Дг2)Р1(1 | Дг1)С1(1+АС1)С2(1+ДС2) = /?,7?1С1Са. (7.2)
Отсюда
2МИН ' 2 (1 + Л/-2)(1+Дг1)(1 + АС,)(1+ДС2) '
Второе наихудшее условие имеет место, когда все элементы мак-
симально отклонены в меньшую сторону, что компенсируется со-
противлением /?2 в соответствии с выражением
/?2макс (1 — А Г2) /?1 (1 — A F1) Сх (1 — А Сх) С-2 (1 — Л с2) = RtRiCiCt, (7.4)
Получим
/?2какс = R-1-------------------------------- •	(7.5)
2 (1 — Д гг) (1 — A rj) (1 — Д Ci) (1--Д С2)
Таким образом, определен диапазон изменения сопротивления
/?2. Очевидно, основное сопротивление R'% необходимо выбирать
из условия
R? = Rzmuh ^?2мии.	(7.6)
Поскольку заданная погрешность регулировки ДЬ2 коэффи-
циента Ь2 определяется величиной неточности подстроечного со-
противления Дг2* > то реальное условие настройки запишется сле-
дующим образом:
Дг’_?2ма^^ дь2,	(7.7)
Л2МИн
где
Rzmbkc ’ R^mhh + /?2макс ^2мин-	(7.8)
Из выражений (7.7), (7.8) получим значение нижней границы
диапазона подстроечного сопротивления:
Т?2мнн sC RiMHn \ 1 Ч~ Г
\ Дг2
Для уменьшения общего числа номиналов подстроечных со-
противлений желательно нижнюю границу приблизить к верхней,
т. е. в последнем выражении необходимо использовать знак ра-
венства.
7—156	— 193 —
Аймаке-	(7-9)
 Из (7.9) легко вывести условие реализуемости заданной точ-
ности настройки коэффициента аппроксимации Ь2.
^2мин ( 1 V\ ^2макс 0-	(7.10)
\ Лг2 /
' Используя выражения (7.3) и (7.5), преобразуем условие
(7.10):
j , Д Ь2 . (1 -|- Д r2) (1 Д rj (1 4- A С,) (1 4~ А С2)	||
Ьг*2 (1-Аг2)(1-Лг1)(1 -АС,)(1-АС2) ‘	}
Элементы схемы звеньев должны выбираться с допусками, обе-
спечивающими, в соответствии с выражением (7.11), возможность
настройки с заданной точностью.
Вторая регулировка в звене предназначена для установки за-
данного значения коэффициента аппроксимации bi в соответствии
с выражением:
G (^?i "Г ^?г) — (k — 1) = br.
Настройка осуществляется изменением коэффициента передачи k
усилителя с помощью одного из подстроечных сопротивлений, оп-
ределяющих этот коэффициент (3.9), (3.21):	' _
7Т7.7.- (7-12)
Rik	 '• ..‘‘
Необходимость в подстроечном сопротивлении обусловливает-
ся, с одной стороны, разбросом величин сопротивлений, опреде-
ляющих расчетное значение k (7.12), с другой стороны, в соответ-
ствии с выражением (3.50) меняется сам коэффициент усиления
из-за разброса элементов схемы звена.
Определим диапазон изменения коэффициента передачи усили-
теля, необходимый для компенсации, в соответствии с выраже-
нем (3.50), максимально возможного разброса элементов схемы
двена Лгь Дг2, ДСЪ ДС2. Получим:
I2 -4-1	9/
. ^кс=Ц--^^-----------= ,	(7.13)
(3 J	2 у -	ь s;:c:«6qi йэнжк.ч где ronxtpe v атнсагЛи! аТВФО- гСГ.ОП	тмин	У"гмии 	 1	^мин ~Ь *	2/мин	. и«	2-	От'~’Ч гЬнэжа.тД7-14) '"макс	У"!макс	Л ,г zLc=	, •- -.7	(7 15) R2 1 - А г2	'	.  «-• -Си = 4 *7 У1 - -i-	и (7.16) С 1 дщ-,: ^2 1 + А гг .4...-'tar/or йчг'р ' 	с, -,_4С1 	
—-194 — 
(7.18)
^мин
Сг
С,
1 — лс2
1 + Л Ci , >
Регулировка коэффициента усиления осуществляется с помо-
щью сопротивления R^, которое составляется из двух последова-
тельно соединенных основного R’2k и подстроечного R*k сопротив-
лений. Расчет диапазона подстроечных сопротивлений (R*k макс,
7?^мин) Г1РИ заданных разбросах сопротивлений Ar'2k, Аг1к, Ar*k,
крайних значениях коэффициента усиления £мин и /гмакс и точно-
сти настройки Ak производится по наихудшим условиям аналогич-
но рассмотренному выше расчету для регулировки коэффициен-
та Ь2.	,
Из условия
,	. Rzk макс (1 Л Д/г) "макс	* ।	п /1 । а Rik (1 + Ап*)		(7.19)
определим величину		
макс =	1)	 1 -Ar2ft	-'Т г	(7.20)
Из условия		
,	. , Rik мин (1 + A r2k)		(7.21)
"мин	1	1	Г> /1	А	\ Rik (1 А г1к)	,=-<	
найдем		
^ми,. = ^(^и„- 1)^тАпа’ . 1 + A r2k	о	(7.22)
Сопротивление R>k мин составляем из двух:	> Нс	
R‘lk мин =	'Н 7?/гмин- • • •	-W-О'д  п	ди';	(7.23)
Третье условие включает заданную точность настройки Ak:
о*
Ar*k-^z^Ak,	(7.24)
^2'макс
1'Де	, 1
^?/;макс ” Rkviui 'V (^2Амакс ^ймин)-	(7.25)
Из выражения (7.24) с учетом (7.25) определим одну границу
подстроечных сопротивлений:
-А (^2&мии ^‘.’/емакс { 1	*
\ Ап,
(7.26) -
другая рассчитывается по ф-ле (7.55).,..
7*	— 195 —
На основании полученного выражения выведем условие реа-
лизуемости данной регулировки по аналогии с рассмотренной вы-
ше регулировкой по частоте. Получим
АА > J _ ^мии-1 О-Д'!*) О-Д'2*) .	.	(7 27)
Д r*k	k«aKC — 1 (1 + Д rut) (1 + Д Г^)
При проверке условия реализуемости настройки следует исхо-
дить из заданной точности настройки коэффициента передачи уси-
лителя, которая возрастает с добротностью звена и устанавлива-
ется экспериментально.
Расчет подстроечных элементов остальных типов звеньев осу-
ществляется аналогично. Для этого можно использовать получен-
ные выше формулы для звена нч с соответствующей заменой ин-
дексов в обозначениях параметров.
7.4.	Приближенный метод синтеза пассивных RC-фильтров
С помощью пассивных /?С-схем при ограниченном числе их
элементов можно получить лишь достаточно примитивные харак-
теристики (так как расположение полюсов коэффициента передачи
ограничивается отрицательной вещественной полуосью). В этих
случаях требуемая точность расчета, как правило, невелика, и по-
тому его можно вести по излагаемой ниже упрощенной методике,
которая основывается на использовании каскадно включаемых
фильтровых звеньев (нч, вч и полосно-задерживающих) и прене-
брежении влиянием последующего звена на характеристику пре-
дыдущего.
При использовании активных звеньев возможность подобного
пренебрежения основывалась на том, что к низкоомному выход-
ному сопротивлению предыдущего звена подключалось высокоом-
ное входное сопротивление последующего звена или наоборот. В
данном случае влияние каждого последующего звена сводится к
минимуму за счет повышения уровня сопротивления; другими сло-
вами, каждое последующее звено становится более высокоомным.
Аппроксимация. Как указывалось выше, все нули коэффициента
передачи Н(р) пассивной 7?С-цепи должны лежать на отрицатель-
ной вещественной полуоси и быть простыми. Если рассматривать
совмещение таких нулей в одной точке Pi=l/6i в качестве некото-
рого идеального предельного случая, то выражение для коэффи-
циента передачи фильтра нижних частот с полиномиальной харак-
теристикой будет иметь вид
=	(7.28)
Физически это соответствует именно такому каскадному вклю-
чению одинаковых звеньев, при котором исключено влияние под-
ключения последующего звена на характеристику предыдущего.
— 196 —
(7.29)
Затухание
а= 101g-------------
6 Я (р) Я (—р)
такой цепи при неограниченном возрастании частоты асимптоти-
чески приближается к прямой, наклоненной под углом
Рис. 7.1. Характеристика затухания пассивно-  |
го /?С-фильтра нч и расположение на плос-
кости р полюсов функции передачи, все нули
которой находятся в бесконечности
-п-20 дб/декаду к оси абсцисс (рис. 7.1). Если обозначить нормиро-
ванную частоту, соответствующую точке пересечения этой прямой
с осью абсцисс, через Qa, то поскольку:
а-ке = 10 lg(l + 6?)"
И — -Q— , получим:	, V : =
А	V  	,й< • 
Q, =------
. Л амакс1п1°
I е а 10п -1
(7.30)
(7.31)
Из (7.31) для Пмакс = 3 дб получим следующие значения Па
различных п:
п 1	2	4	8	16
1	1,55 2,30 3,33 4,66
Модуль выражения (7.28) при p=iQ можно представить в виде
\Н (i Q)]---------J-------,	•	(7.32)
\	п/2 )
гдей. = д^. Ь
— 197 —
При неограниченном возрастании п
lim (i Q)| = lim -------------!---------= e
П—>oo	n~► oo	c гы 71
(7.33)
Другими словами, при достаточно большом числе каскадно
включенных не влияющих одно на другое пассивных ДС-звеньев
нижних частот характеристика модуля коэффициента передачи
имеет вид известной гауссовой функции нормального закона рас-
пределения ошибок.
Выражения, подобные приведенным выше, для фильтров верх-
них частот находятся с помощью частотного преобразования п——.
Для полосно-пропускающих фильтров с помощью преобразования
р-^рА---получаем
(7-34)
,	1 v
“о + Р +
Р 1
Введение свободного члена с/оДэ=2 вызвано необходимостью рас-
положить полюсы функции Н(р) на вещественной оси. При d0 = 2
полюсы функции совмещаются, при d<2 получаются комплексно-
сопряженные пары полюсов, и функция перестает удовлетворять
условиям реализуемости в виде пассивной ДС-цепи.
При увеличении частоты характеристика а=—201g|//(iQ)|
Q"
асимптотически приближается к прямой 201g —. Точка пе-
ресечения этой прямой с осью абсцисс определяется приравнива-
нием /П” единице, откуда Йл = <Д.
При уменьшении частоты характеристика затухания асимпто-
тически приближается к прямой 20!g6? п0 й", пересекающейся с
осью абсцисс в точке й_а=1М.
Необходимое число схемных элементов для обеспечения задан-
ного затухания а.ц(дб) при заданной нормированной частоте мож-
но определить из (7.34):	।	г...
(7.35)
101g 1 +—
\ «о
— 198 —
Наконец, для полосно-задерживающего (/73)" )?С-фильтра, ог-
раничившись двойными ТТ-мостами, получим
Я(р) =
(7.36)
где, как и ранее, и соответственно
(7.37)
Характеристики затухания и расположение полюсов и нулей
функций Н(р) для полосно-пропускающего и полосно-задерживаю-
щего /?С-фильтров показаны соответственно на рис. 7.2, 7.3.
Рис. 7.2. Характеристика затухания и расположение ну-
лей и полюсов функции передачи пассивного полосового
^С-фильтра
Для расчета сложного пассивного ДС-фильтра, состоящего из
элементарных звеньев различных типов, можно использовать шаб-
лоны, подобные описанным выше (разд. 2.5), преобразуя масштаб
по оси частот.
В данном случае масштаб по частоте должен быть логарифми-
ческим. При этом получаем:
1.	Для нч шаблона:	-----	-
ан = 101g[l +е2(С':н)],	(7.38)
•тс- С = 1пЙ; - CH = lnQH*	-	(7.39)
_ 199 — '
2.	Для вч шаблона:
ан= Ю1§[1+ е~2(:“:н)] .
3. Для пз шаблона при п = 1 и а0=2:
Рис. 7.3. Характеристика затухания и расположение
нулей и. полюсов функции передачи пассивного RC за-
граждающего фильтра
 Г /	Ч '
-У 1 -у -0,5	0	0,5	1,0
(7.40)
(7.41)
а,д6
U г>
Рис. 7.4. Шаблоны для'НЧ. вч и пз функций пассивных ЛС-ценей
— 200 —
или, учитывая (7.39):
е(;~-н ) _|_ е_(:~:н )
aH=201g +е = lncth|C—Сн[. (7.42)
Поскольку для Q>1
In cth ]£— Сн| = In cth jin Q— lnQH| = Archcth |2 (In Q— In QH)|,
то форма шаблона, выражаемая (7.42), аналогична форме шаб-
лона (2.37), используемого для построения характеристик зату-
хания LC- и активных 7?С-фильтров с характеристиками, выражае-
мыми с помощью дробей Чебышева. Различие состоит лишь в ином
преобразовании осей частот.
Шаблоны для нч, вч и пз функций показаны на рис. 7.4. Нало-
жением этих шаблонов можно довольно быстро построить желае-
мую характеристику затухания. Используемая при этом аппрокси-
мация модуля коэффициента передачи является монотонной в по-
лосе пропускания и может быть сделана равноволновой (золота-
ревской) в полосе задерживания.
Реализация. Для реализации полученных выше идеализирован-
ных характеристик затухания можно использовать элементарные
звенья, схемы которых показаны на рис. 7.5. Там же показано
Рис. 7.5. Блок-схема пассивного /?С-фильтра (а) и
принципиальные схемы типовых элементарных звеньев:
нч (б), вч (в), пф (г) и пзф (д)
— 201 —
расположение нулей и полюсов коэффициентов передачи. Полная
схема, состоящая из нескольких звеньев, получается путем их ка-
скадного включения. Для того чтобы уменьшить влияние входного
сопротивления последующего звена на характеристику затухания
предыдущего, а заодно и снизить затухание по напряжению в по-
лосе пропускания, каждое последующее звено должно быть более
высокоомным по сравнению с предыдущим. Более быстрое нара-
стание уровня сопротивления приводит к большему приближению
действительных характеристик к идеальным. В то же время уве-
личивается диапазон изменения значений элементов.
Примеры упрощенного синтеза пассивных ДС-фильтров при-
водятся в приложении 3 (п.п. 11, 12).
7.5. Использование цифровых электронных вычислительных
машин (ЦЭВМ) при проектировании фильтров
Непрерывное ужесточение технических требований, предъяв-
ляемых к электрическим фильтрам, вызывает увеличение объема
необходимых при проектировании вычислений. Объем вычисли-
тельной работы особенно велик при использовании методов расче-
та по рабочим параметрам, а они и только они и применяются
при проектировании активных ДС-фильтров. Использование
ПЭВМ позволяет не только ускорить проведение расчетов, но и
просчитать большое количество возможных вариантов и выбрать
из них наилучший.
Можно определить границы изменения характеристик филь-
тров при вариациях величин схемных элементов от их номиналь-
ных значений за счет производственных допусков, влияния темпе-
ратуры и других окружающих условий, с течением времени и т. д.
Становится реальной полная автоматизация проектирования филь-
тра — от задания технических требований до получения электри-
ческой схемы и данных о ее поведении в различных эксплуатаци’
онных условиях, влиянии разброса величин элементов в условиях
серийного Промышленного выпуска и т. Д.
Среди частных задач проектирования, при решении которых
целесообразно использовать ЭВМ, отметим следующие.
Составление таблиц для типовых случаев. Типовым или стан-
дартным можно считать случай, когда задается одинаковая для
всей полосы пропускания допустимая неравномерность передачи
и одинаковая для всей полосы задерживания гарантированная ве-
личина затухания. Именно для такого стандартного (случая и со-
ставлены расчетные таблицы П.1.2—П.1.7, П.1.16 и П.1.17 прило-
жения 1.
Вычисления, необходимые для составления подобных таблиц,
как это уже упоминалось в разд. 2.4, сводятся, в значительной
мере, к решению уравнений высоких степеней. В частности, при
— 202 -
использовании выражения для затухания фильтра вида (2.22) не-
обходимо найти комплексные корни уравнения
1 + е2 Fn (Й) = 0.	(7.43)
Выражения для числителя U(й) дроби F(Й) приводятся в табл.
П.1.9-—П.1.14 приложения 1. Например, для случая нч прототипа
с одним полюсом затухания (нулем передачи) при Q = Qi
U2 (Й) = у,»2 - й|, Из (Й) - (Y1 + 61) Й* - - (й? + 6г) й и т. д.,
значения yb также берутся из тех же таблиц. Уравнение (7.43)
для случая одного нуля передачи можно, очевидно, привести к
виду
е	= + j.	;; (7.44)
Q2 — Q2
Поскольку в силу условий физической осуществимости корни
образуют сопряженные комплексные четверки, знак «минус» у
мнимой единицы в (7.44) можно опустить, считая, что действи-
тельной и мнимой части каждого корня ур-ния (7.44) можно при-
давать любой нужный знак.
Заменив в (7.44) й =—ip, получим
zUn(p)— ip2— iQi = 0.	[ :	(7.45)
Для нахождения корней ур-ния (7.45) можно использовать
подпрограмму нахождения комплексных корней хь х%, .. 1; X, по-
линома
Р (х) = Сахп CiX + • • . + ]Х + Сп, .,
где Cv —комплексные числа.
Выражения для коэффициентов Cv легко находятся подстанов-
кой в (7.45) значения Un из соответствующей таблицы. Например,
при га = 2 Co = eyi—1; Ci = 0; С2 = — £Й^—in2 и т. д.
Из известных [14] методов решения уравнений произвольных
степеней был выбран метод Ньютона, представляющий собой,
строго говоря, не метод решения уравнений, а метод уточнения
значения корней. Первоначальное значение во всех случаях при-
нималось равным 1+i. Уточненное значение корня определяется
из предыдущего по формуле
где Р(Ху )—полином, корень которого определяется, P'(xv ) —
его производная. Окончательные значения корней получались на
ПЭВМ в результате многократных уточнений.
Блок-схема основной программы нахождения корней ур-ния
(7.44) представлена на рпс. 7.6 (сокращения на блок-схеме обоз-
— 903 —
начают: п/к — переменная команда, п/п — подпрограмма, пч)0 —
десятичная печать, р. яч.—рабочая ячейка, пч8 — восьмиричная
печать. Содержание программы следующее:
1.	Восстановление счетчика числа значений Qi и переменной
команды для получения первоначального значения Qb
2.	Засыл в рабочую ячейку текущего значения Qt.
3.	Печать значения Qi в десятичной системе счисления.
4.	Вычисление значений Q, , б, у, Ьь Ь2.
( 5. Восстановление счетчика числа значений е и переменной
команды для начального значения е.	I
6.	Засыл в рабочую ячейку текущего значения е.	/
7.	Печать значения е.	/
8.	Вычисление значений ebb eQf.	/
Рис. 7.6. Блок схема программы вычислений по методу Ньютона
— 204 —
9.	Восстановление счетчика числа значений п, начального зна-
чения п и переменных команд, зависящих от параметра п.
10.	Печать значения п.
11.	Формирование обращения к подпрограмме расчета коэф-
фициентов полинома Ci для текущего варианта.
12.	Обращение к подпрограмме расчета С,.
13.	Обращение к подпрограмме расчета корней полинома х».
14. Печать значений корней полинома х,-.
15.	Переадресация текущего значения п.
16.	Проверка условия: для всех ли значений п произведен
расчет? Если да, управление передается блоку 17, если
нет — блоку 10.
17.	Переадресация значения е.
18.	Проверка условия: для всех ли значений е произведен ра-
счет? Если да, то управление передается блоку 19, если
нет --- блоку 6.
19.	Переадресация значения Qj.
20.	Проверка условия: для всех ли значений Qi произведен
расчет? Если да, то управление передается блоку 21, если
нет — блоку 2.
21.	Конец программы. Останов машины.
Машинное время, необходимое для вычисления корней, приве-
денных в табл. П.1.16, П.1.17, даже на устаревшей теперь ЦЭВМ
«Минск-1» составило 5,5 ч.
В тех случаях, когда требуется использование характеристик,
обладающих более чем одним нулем передачи, необходимо пред-
варительно определить расположение этих нулей. Рассматривае-
мый стандартный случай одной и той же величины гарантирован-
ного затухания во всей полосе задерживания может трактоваться
как частный вид более общего нестандартного случая (см. ниже),
когда гарантированная величина затухания для различных частей
полосы задерживания задается различной.
Пересчет множителей коэффициента передачи нч прототипа в
миожители полосового фильтра. Множители выражения коэффи-
циента передачи нч прототипа, в частности, приведенные в при-
ложении 1, преобразуются в множители ФВЧ, ПФ и ПЗФ чаще
всего с помощью выражений (2.56), (2.57) и (2.62). Если для
ФВЧ необходимые вычисления достаточно просты, то в случае
активных полосовых и заграждающих фильтров объем вычисле-
ний довольно велик. Во всяком случае, он не идет ни в какое срав-
нение с теми вычислениями, которые проделываются при анало-
гичных операциях с Z-C-фильтрами. Использование ЭВМ позво-
ляет проделать такого рода операции за доли минуты на основе
простейших программ. Поскольку выражения (2.57) и (2.62) мало
отличаются одно от другого, программы для ПФ и ПЗФ почти
идентичны. Очевидно, подобные же программы можно составить
— 205 —
и для ФНЧ и ФВЧ с ограниченной полосой пропускания, получае-
мых из нч прототипов с помощью преобразований (2.58), (2.59),
и для фильтров с ограниченной полосой задерживания, получае-
мых с помощью преобразований типа (2.61).
Нетиповые случаи задания требований к затуханию в полосе
задерживания. В некоторых случаях имеется одна дискретная
.частота, которую необходимо подавить сильнее, чем все осталь-
ные частоты в полосе задерживания. Примером является такто-
вая частота (8 кгц) в приемных канальных фильтрах радиорелей-
ных систем связи с временным утотненпем. В других случаях мо-
гут быть различными требования к подавлению нежелательных
сигналов в различных областях полосы задерживания.
В [4] решена задача выбора оптимального расположения ну-
лей передачи фильтра нижних частот для случая, когда требова-
ния к затуханию в полосе задерживания различны в различных
ее областях. Для решения этой задачи привлечен аппарат линей-
ного программирования. Результаты [4] можно, с помощью пре-
образований частоты вида (2.561 и (2.57), приложить к расчету
ФВЧ, а также полосовых фильтров с характеристиками затуха-
ния, геометрически симметричными относительно средней частоты
полосы пропускания.
Более сложный случай представляет собой полоснопропускаю-
щий фильтр, затухание которого должно быть различным в ча-
стотных областях, лежащих выше и ниже полосы пропускания.
Характеристики затухания такого полосового фильтра нельзя по-
лучить из характеристики нч прототипа. Эта задача решается [51
подстановкой в (2.2) дроби Чебышева вида
F (х) = cos /	arc cos x + — arc cos	—- -pS lk arc cos — ---,
' '	\2	2	a0-x *	av-x J
где .....	. ..
•	2coa— to? — wf,	co? + to?,
x =--------------, an =---------------->
2	9	u	2	2
? -	tof-toi]
2co2 — co? — co2 .	ж Д
av = — 2	2	 n = /0 + / + l+2 y/v, =’0=1,2....
®—।	(v)
u)<xv — частота бесконечного затухания; сщ, со-1 — соответст-
венно верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания.
Для определения оптимального расположения полюсов дроби
вида (7.47) целесообразно использование вычислительных ма-
шин.-; Д	.•!	  
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ, НАИБОЛЕЕ
УПОТРЕБИТЕЛЬНЫЕ ПРИ РАСЧЕТЕ АКТИВНЫХ RC-ФИЛЬТРОВ
ТАБЛИЦА П.1.1
п	Полиномы Чебышева
Тп — cos (n arc cos x)
1	X
2	2.X2	1
3	4 x3 - - 3x
4 I 8.0--80 1
160 —200-' 5x
6	32хв — 48.3 + 18х2 — 1
7	640 — 112	1-560 —7х
8	1280 — 2560 + 160х4 — 32х2 - ? 1
9	2560 — 5760 + 4320 - 1260 ' - 9x
10 | 5120° — 1280011200-4000 5 500-1
ТАБЛИЦА n.1.2
n |	Сомножители полиномиальной аппроксимации по Чебышеву при Аа==0,1 до
2	0,30178р2 : 0,71589р 1 1
3 | (0,59184р2 | 0,57370р j-1) (1,03162р1)
4 | (0,75189,о2 ' 0,39721/1 1 1) (1,60546р2 2.<>4759/1 1)
5	(0,83688р2  0,27872/1 1) (1,57260р2 I 1,37121/1 1-1) (1,85568/1 61)
6 I (0,88545р2 ' 0,20310,0 >1) (1,43605р2  0,89992/1 -1) (3,79735/0 гЗ,25068р |-1)
7 I (0.91539/0 I 0,15349/1 ' 1)(1.32765р2 * 0,62375/1 Ь1) (3,0284-4/0 г2,05600р )-1)Х
[х (2,65421/1+1)
8	(0,93503/12 — 0,11964р-1 1) (1,25175р2 0,4 5611 р Н1) (2 • 40269р2 Ч-1,31027р +1) X Х(6,86805р2 ;-4,41800р | 1)
9	(0,94442р2+ 0,09785р+1) (1,19189р2 + 0,35557р 5 1) (1,991 ЗЗр2+0,91017р+ 1) х X (4,85488р2+2,72201 р+1) (6.70400р-Н1)
10	(0.954903р2+0,07999р+1) (1,15528р2-|-0,280879р г1) (1,74917р2+0,66237р+ 4-1) (3,59963р’+1,71761р+1) (17,4917р2 66,62373р :-1)
— 207 —
ТАБЛИЦА П.1.3
п	|	Сомножители полиномиальной аппроксимации по Чебышеву при Да=0,2 дб
2	0,42462ра4-0,81788р+1
3	(0,70767pa+ 0.57626р И1) (1,22804р+1)
4	(0,83444р2-|-0,37504р .-1) (2,03544ра+2,20860р+ 1)
5	(0,89505р«+0,25515р+1) (1,79136р®-|-1,33690p-f-1) (2,16806р+1)
6	(0,92780р«+0,1827бр+1) (1,55087ра+0,83460р+1) (4, 72161 р«+3,47101р+1)
7	(0,94734ра4-0.13668р+1) (1,39594ра+0,56433р+1) (3,40879р«+1,99136p J-1) х X (3,08454р+1)
8	(0,95990ра+0,10583р+1) (1,29671 ра+ 0,40711 р+1) (2.57403р*+1,20947р+1) X Х(8,48191ра+4.70122р+1)
9	(0,96483ра+0,08647p+1) (1,22459ра +0,31602р+1) (2,08431 ра+0,82409р+1) х X (5,44733ра+2.64199р+1) (7,74994р+1)
10	(0,971599ра+0,0704566р+1) (1,17977ра+0,24828р+1) (1 ,80595ра+0,59197р+ +1) (3,84866ра+1,58965р+1) (12,78854ра+5,85533р+1)
	ТАБЛИЦА п.1,4
п	L	Сомножители полиномиальной аппроксимации по Чебышеву при Да=»0,5 дб
2	0,65975ра+0,94033р+1
3	(0,87544ра+0,54831 р+1) (1,59662р+1)
4	(0,94035ра+0,32972р+1) (2,80641 ра->2.37565р+1)
5	(0,96550ра+0,21616р+-1) (2,09769ра+1,22952р+1) (2.76054р-(-1)
6	(0,97753ра+0,15178р+1) (1,69499р2+ 0,71902р+ 1) (6,3709бр2+3,69181 р+1)
7	(0,98417р2+ 0,11218р+1) (1,47741 ра+ 0,47185р +1) (3,93929р2+1,81803р+1) X Х(3,90441р+1)
8	(0,98823рЧ 0,08620р+1) (1,34895р2+ 0,33507р+1) (2,78838р2+1,03656р+1) х Х(Н,35935р2+4,98110р+1)
9	(0,990873ра+ 0,0683569р+1) (1,2668415р2+0,2545211р+1) (2,20974б9ра+ +0,7078388р+1) (6,3962134р2+2,38502р+1) (5,0401879р+1)
10	(0,9927179ра+ 0,0553924р+1) (1,2110939ра+0,1961177р +1) (1,8803807ра+ +0,474267р+1) (4,2031888ра+1,3358339р+1) (17,768648p2+6,259891 Зр+1)
’08 —
ТАБЛИЦА П.1.5
Сомножители полиномиальной аппроксимации по Чебышеву прн I дб
(0,90700р2+0,99567р+ 1)
(1,00582р2+0,49706р+1) (2,02355р + )
(1,01367рЧ-0,28289р+1) (3,57906р2 ; 2,41140р+1)
(1,01182р2-|-0,18103р+ 1) (2,32937р24 1.09112р-|-1) (3,45423р+1)
(1,00935р2+0,12553р + 1) (1,79301 р2+0,60921р+1) (8,018б7ра+3.72174р+1)
11,00737р2+0,0921 Op +1)(1,53032р2-J-0,39199р+1) (4, ЗЗЭЗОр2-{ 1,60619р+1) X
Х(4,86812р+1)
(1,00589р24 0,07043р+1) (1,38209р2+0,27558р+1) (2,93375р2+0.87547р+1)Х
X (14,23237р2+5,00983р+1)
(1,0047902р2+0,0555998р+1) (1,2896802р24 0,2054852р -1) (2,2801793р2+
+0,5566109р+1) (7,0242526р2+2,103366р+1) (6,2762622р , 1)
(1,0039571p2+0,0450061p-| 1) (1,9211184р2+0,3892823р+1) (1,2278630р2+
+0,15974433р+1) (4,4123324р2-: 1,1266132р+1) (22,22133р2+ 6,2894950р+1)
ТАБЛИЦА П.1.6
Сомножители полиномиальной аппроксимации по Чебышеву при Аа=а2 дб
(1,21503ра+0,97661 р+1)
(1,12656р2+0,41632р-I 1) (2,7Ю82р+1)
(1.07681 р2+0,22588р+1) (4,51343р2+2,28567р+1)
(1,05024р2+0,14169р+1) (2,54359р2+0,89843р+1) (4,58090р+1)
(1,03525ра+0,09725р + 1) (1,87640p2+0,48158р+1) (10,00771ра+3,50866р+1)
(1,02605ра+0,07093р+1) (1,57384ра+0,30485р+1) (4 70847р2+1,31790р+1)х
Х(6,43781р+1)
(1,02001 р^О,05404р+1) (1,40889р2+ 0,21257р+1) (3,05720р2+0,69034p+1) X
X (17,69947р2+4,71442р+1)
(1,0158494р2+0,0425582р+1) (1,3079563р2+0,1577785р +1) (2,3376338р2+
+0,43203 И р+1) (7,6028687p2+l,7236448p+l) (8,2898255р+1)
(1,0128590р2+ 0,0343881 р+1) (1,2412051 р2+ 0,1222976р+1) (1.9 744244р2+
+0,3030078р+1) (4,5896128р2+0,8875338р+1) (27,587934р2+5,9138097р+1)
— 209 —
ТАБЛИЦА ПЛ.7
п	Сомножители полиномиальной аппроксимации по Баттерворту при Аа=3 дс
1	Р~\ 1
2	рв-|-1,4142р-|-1
3	(р+1) (Р2+р+1)
4	(р2+0,7б54р+1) (р2+1 ,8478р |-1)
5	(р+1) (р2+0,6180р 1-1) (ра+1,6180р-|-1)
6	(р2 ;-0,5176р+1) (р2 |-1,4142р+1) (р2+1,9319р-|-1)
7	(р |-1) (р2+0, 4450р-Н1) (р2+1,2470р+1) (pH 1,8О19р+1)
8	(р2 f-0.3902p-f-l) (р2 1-1,ППр-Н) (р2-М,1663р-|-1) (р* 1,9616р+1)
9	(р+1) (р2+0,3473р + 1) (р2+р+1) (р2 rl, 5321p+I) (р2 J-1,8794р+1)
10	(р2-\ 0.3129р+1) (р2+0,9080р 1-1) (Р2 -1,4142р[ I) (р^ 1,7820р+1) х Х(р2 1-1,9754р -1-1)
ТАБЛИЦА П.1 .8
Неравномерность затухания в полосе пропускания Да, дб	3,0	2,0	1,0	0,5
Коэффициенты Dn для преобразования шкалы частот 	.11	 —2п г	при аппроксимации по Баттерворту Г 1->п	К	0,588	0,254	0,124

;	— 210 -
ТАБЛИЦА ПД .9
Числители дробей Чебышева вида
_ а, х>‘ + а! + . . . +an _ Un (х)
п	а, — х	at — х
aix — 1
(ai+Pi)x2 — x — pi
2 (ai + ₽i) x3 — 2x- — (ai + 2 Pi) x + 1
4 (ai + pi) x4 — 4 x3 — (3ai + 5Pi) x2 + 3 x + Pi
8 (ai + Pi) Xs — 8 x4 — (8 ai + 12 Pi) x3 + 8x2 + (at + 4 Pi) x - 1
16 (ai + Pi) Xе — 16 x5 — (20 ai + 28 Pi) x4 + 20 x3 + (5ai + 13Pi) x2 — 5x — Pi
32 (ai + Pi) x7 — 32 x« — (48 щ + 64 Pi) x5 + 48 x4 + (18 сц + 38 pi) x3 — 18x2—
— (ai + 6 Pi) x + 1
64 (ai+Pi)*8 — 64x7 — (112ai+ 144p1)x6+ 112x3+(56ai + 104 pjx4 —
— 56 x3 - (7 ai + 25 PJ x2 + 7x + Pi
128 (ai + Pi) x9 — 128 x8 — (256 сц + 320 pi)x7 + 256 Xе + (160 ai + 272 px) x3—
— 160 x4 — (32 ai + 88 px) x3 + 32 x2 + (щ + 8 Pt) x — 1
256 (ai + Pi) xi® — 256 x9 — (576 ai + 704 Pi) x8 + 576 x7 + (432 ai +688 Pi)x6—
—432 x5 — (120 ai -I- 280 Pi) x* + 120 x3 + (9ai + 41 Pi) x2 — 9x - Pi
Примечание:	«2—1; Re 1---------i- J > 0.	’•1
• -  . + "
	+' 4^ * J1-	=' V
.?++-'  м............- ........... 'h'
% ~	 4;
ТАБЛИЦА ПЛ. 10
п	Числители дробей Чебышева вида F (Д-) , а, х" 4 а, ж""1 +    + а„	{/„ (х) "	(ai— х)(а,— х)	(«1 — х)(а, — х)
2	Аах2— Агх — А4
3	(Лв -|- Л1) х3 (Л2 + Л8) Xя — (Лх -}- Л4) х -|- Л8
4	2 (Ло + Аг)х* - 2 {А, 4 Л8) х» - (Ло 4 2ЛХ 4 2Л4) х2 4 (Л, 4 2Л3) х 4 Л4
5	4 (Ло + Л1) х6 — 4 (Л, 4 Л8) х* - (ЗЛ0 4- 5ЛХ + 4Л4) х3 4 (ЗЛа +;5Л3) х« 4 + (Лх + ЗЛ4)х-Л8
6	8 (Ло 4- Лх) х® - 8 (Ла 4- Л8) х5 - (8Л0 4- 12А4 4-М) ** 4- (8Ла 4 12 Л8) х3 4 4 (Ло 4" 4Л1 4 8Л4) х2 — (Ла 4- 4Л3) х — Л4
7	16 (Ло 4 ЛО х7 — 16 (Ла + Л8) х» — (20 40 4 28 4	16 Л4) х5 4 4- (20Ла + 28Л8) х4 4- (5Л0 413Л4 4 20Л4) х3 — (5Ла -- 13Л8)х2 — — (Л1 4- 5Л4) х + Л8
8	32 (Ло + ЛО х8 - 32 (Ла 4- Л8) х7 — (48Л04-64Л!+32Л4) х« + (48Ла + 64Л3) х54- + (18Л0 + 38Л1 + 48Л4) х4 — (18Л а + 38Л3) Xs — (Л0-6Л! + 18Л4) х24- + (Ла4-6Л3) х 4- Л4
9	64 (Ло + ЛО х9 —64 (Л2 4- Л3) х» — (112Ло4-144Л14-64Л4) х7 4- 4- (112Ла + 144Л3) х» + (56ЛО + 1044- 112Л4) х9 — (56Ла+104Л3) х4 — _ (7Л0 4- 25Л]. 4- 56Л4) х3 4- (7Ла 4- 25Л8) ха + (Л4 4- 7Л4) х - Л3
10	128 (Ло 4- ЛО х10 — 128 (Ла + Л3) х9 — (256Л04-320Л14-128Л4) х9 4- 4- (256Ла4-320Л3) х7 4- (160Л0 4- 272Л14- 256Л4) х6 — (160Ла4272Л3) х9 — —(32ЛО 4 88Л4 4 160Л4) х4 4- (32Ла 4 88Л3) х3 4 (Ло - 8Л4 4 32Л4) х2 — — (^2 4 8Ла) х — Л4
Примечание. Ао = <Xi at 4 Pi Pi! = at Pi 4 a, pt; At = a14a!;
	ЛЯ=Р14Р2; Л=р1Р,-1; р,= а, ]/1	; р2 = а, |/ 1 - -Ь 
ТАБЛИЦА ПЛ.It
п	Числители дробей Чебышева вида а. хп + а, х"—1 + . . . + a	U (х) В (х) =»	5- =	5	 (а, — х) (а2 — х) (а3 — х)	(at — х) (а, — х) (а, — х)
3	Во X3 — Вг X2 — В4 х + В,
4	(В, + Bi) х4 — (В2 4 В3) ха — (В± 4 В4 4 В,) х2 4 (В3 — BJ х 4 В6
5	2 (В, 4 Вй х'° - 2 (В2 4 В3) х4- (Во 2Вг 4 2В4 4 2В6) х3 4 (В2 4 2В3 4 4х 2Вб) х3 4^ (В4 4~ 2В6) х — Вб
6	4 (Во 4 Bi) х» - 4 (В2 4 В3) х5 - (ЗВ0 4 5Bt4 4В4’4 4В,) х4 4 (ЗВ.4 5В3 4 ' 4 4В.) х3 4 (Bi 4" ЗВ4 4- 5В3) х2 — (В3 4 ЗВ8) х — В,
7	8 (Во 4 Bi) х7 — 8 (В. 4 В3) Xе — (8В0 4 12В4 4 8В4 4 8В6) х3 4 4 (8В. 4 12В3 4 8В,) х4 4 (Во 4 4В4 4 8В4412В6) х3 - (В2 4 4В3 4 8В.) ха — -(В44 4В6)х4В,
8	16 (Во 4 Bi) х8 — 16 (В. 4 В3) х7 — (20 Во 4 28В14 16В4 4 16В6)х» 4 4г(20В3 4 28В3 4 16Вв) х3 4 (5В0 4 1ЗВ4 4 20В4 4 28В6)х4 —	. — (5^2 Ф 1ЗВ3 20Вб) х3 — (Bi 5В4	1ЗВ5) х2 (Вд -£ 5Вд) х В6
9	32 (Во 4 Bi) х* — 32 (В2 4 Bs) Xs — (48В0 4 64В14 32В4 4 32В6) х’ 4 4 (48В3 4 64В3 4 32В.) х* 4 (18В0 4 38В4 4 48В4 4 64В6) Х;> — — (18В2 4 38В3 4 48В,) х4 — (Во 4 6В4 4 18В4 4 38В5) х3 4 4 (В, 4 6В3 4 18В,) х2 4 (В4 4 6В5) х - В,
10	64 (Во 4 Bi) х1°— 64 (В2 4 В3) х9 — (112В0 4 144В4 4 64В4 4 64В6) х8 4 4 (112В2 4 144В3 4 64В,) х’ 4 (56В0 4 104Вх 4 И2В4 4 144В,) хА — — (56В2 4 104В3 4 112В,) х6 — (7В0 4 25В4 4 56В4 4 104В,) х4 4 4" (7Вд 4* 25В3 56Вб) х® 4^ (В1 4й 7В4 4й 25В6) х2 — (Вд 4" 7Вв) х — В6
Примечание. В, = а, А, + 0, At; В, = 02 Ао 4 а, А,; В, = Ао 4 а3 А, + 0, А,;
В,= А,+03А2 + а,А,; В4 = 0, А, - А» 4 а, А4; В, = 0, А4 - А,: В.= 0, А, 4 А4;
Ао = а, а2 + 01 02: At = а, 02 + а2 0t; А2 = а14а2;
А2 = 01 + 02; А< = 01 02 — 1;
1J ’ и	ТАБЛИЦА П.1.12	
n	Числители дробей Чебышева вида а» хп 4- а, хп~1 + .  +а	U (х) \	’	а2-х>	а2-х«
2	Vi х2 — а?
3	(Yi + 61) х3 — ( а? + 6i) х
4	2 (Vi + 61) х1 — (2 af + Yi + 2 61) x2 + a?
5	4 (Yi + 6i) x5 — (4 a; + 3 yi + 5 6i) x3 + (3 a; + 61) x
6	8 (Yi + 6i) x6 - (8 af + 8 Yi -! l 2 6i) x4 + (8 af + Yi+ 4 6i)x2- af
7	16 (Yi + 61) x7 — (16a^ L 20 yi - 28 6i) x5 + (20a2 -- 5 Yi + 13 60 x3 — -- (5 af -r 6i) x
8	32 (Yi -F 6i) x8 - (32a? + 48 Yi 4- 64 6i)x« + (48af	18 Yi+ 38 60 x*- — (18a, 4- Yi i 660 x2 + a]
9	64 (Yi +6i)x9 — (64af + 112 Yi-- 144Й0Х7 - (112a?+56 Yi -lO460xs — — (56af 7Y1 + 25 6i)x3  (7 «? - 60 x
10	128 (Yi + 6i) xlu — (128a? + 256 Yi + 320 60 x8 J- (256a? 4- 160 Yi -227260 x»— — (160a? + 32 Yi + 88 60 x4 (32af Yit 860 x2 - a?
- ----- / у- 	|	> - i
Примечание:	= 2ах I а^— 1; Re(l/ 1--------- ; > (\	•
1 \ ' а1 /
• Г 5- I. ’> <> : . f - 'Л	‘	,	'•	'
ч1*;» t	- ьл	•	’ £'•	v'‘’	.*?а	q Г?
-Ь st « ’ *»	:;;L 	-*Л t» 4-k г--i-f.\ гл)
‘2’1 < I '** -, f® гл e^* ;
ТАБЛИЦА П.1.13
1	Числители дробей Чебышева вида а„ х" + а, л"—1 + . . .+а	U (х) р (X ) =а	— в 	-	
	о0 л4 — а2 х2 а4
5	(«о — at) х5 — (ai -h a2 + a3) х3 + (о3	о4) х
6	2 (о0 + ai) хв — (о0 + 2ai + 2о2 + 2о3) х4 + (о2 4- 2о3 + 2а4) х2 — о4
7	4 (о0 + ai) х7 — (За0 + 5ai + 4о2 + 4а3) х3 4- (at + Зо2 — 5о3 + 4а4) х3 —
— (аз + За4) х
8	8 (а0 4” 01) — (8а0 -р 12ai &а2 ~Ь ^аз) "Ь (ао “Ь ^ai 4" Soj 4* 12 Д3 4~ 8Q4)	— (я% 4“’ 4^з 4~ 804) *^2 4~ 04
9	16 (а0 + ai) х9 — (20ао +,28oi + 16а2 + 16а3) х7 Ц- (5о0 + 13ai + 20а4 + 28а3 -f- + 16о4) х3 — (01 + 5а2 + 13 а3 + 20 а4) х3 ~ («з + 5а4) х
10	32 (а0 + ai) х10 — (48а0 + 64ai + 32а2 + З2а3) х8 -j- (18о0 — 38oi -!- 48о2-г -г 64а3 + 32о4) хв — (о0 + 6oi + 18о2 Ц- 38 о3 + 48а4) х4—(а2+6а3^-18а4)х2—а4>
Примечание. а„ — Vt Т2 4- о, г2; Oj = Vt 4-Y, ot; аг:: a* V2 + a| Vi +	6,;
a3 = a2 4 + «2'5H “<=“fa2;
Vt = 2a2— 1; Y2=2a2—1; s = 2a2 ]/ a|— 1; '-2 = 2a2 )/ ®|— 1
- 215 —
1
ТАБЛИЦА П.1.14
n	Числители дробей Чебышева вида а„ х” + а, хл~1 + . • +ал	и Р ( Y \ ^Е5			—		 ..			.	—		 ...			- „ .. П	(“1-Х*)(“2~Х,)(аЗ-Х’)	444 (“4444 4
6	Ьо Xе — Ь2 х4 + х2 — b3
7	(&0 + bi) х7 — (bi — Z?2 -|- b3) х5 + (b3 + fe4 65) x3 — (65 -j- bB) x
8	2 (&0 + bi) x3 - (&0 -i- 2bi + 2&2 + 2&3) Xе (&2 + 2&3 + 2&4	2&5) x4 - (^4 1‘ ^^5 “ 26g) X2 -J- b&
9	4 (b0 + bi) x9 - (360 + 5bi + 4fe2 -+- 4ft3) x7 -L (&i - 3&2 + 5fe3 - 4bt --L 4&5) x5 - — (b3 + З&4 -г- 5ft6 4b3) x3 -j- (&5 -j- 3&6) x
10	8 (^o+ ^i) ^10—(860-|-1261+862’4“86з) x84~ (^o+	+ 8&2 -f- 12 Ь$-\-$Ь&^г8Ь§)х?— — (^2 “Г 463 + 864 -|- 1265	866) x4 4- (64 + 465 4- 86e) a.2 6e
Примечание. 6а = Ya а„ + aii bt — t3 а„ 4- Ya аа; Ь2 = а| аа + оаа> + Yaaa 4- -аа,;
А,= а? а, + о, a, + Ys as; b, = а? аг + Sa as + Y, a4; bs = a% a, + i, ati
О	О	О
bt = r^at; Y, = 2a2-1; 7, = 2aa ]/a-* — 1;
 
16 -
ТАБЛИЦА П.1.15
Данные для построения лекала Лта==8,69 Archcth 1пДг/, дб.
Ду	ку, см, при дли- не еди- ницы 20 см	Ат дб	Ат, см, пои дли- не еди- ницы 0,23 см		Д//, см, при дли- не еди- ницы 20 см	&т дб	Ат, см, пои дли- не еди- ницы 0,23 см
2,084	41,68	2,171	0,5	0,3511	7,022	15,19	3,5
1,905	38,09	2,605	0,6	0,3335	6,670	15,62	3,6
1,753	35,06	3,039	0,7	0,3171	6,342	16,06	3,7
1,623	32,45	3,474	0,8	0,3014	6,028	16,49	3,8
1,508	30,17	3,908	0,9	0,2865	5,730	16,93	3,9
1,407	28,14	4,342	1,0	0,2723	5,447	17,37	4,0
1,316	26,32	4,776	1,1	0,2461	4,923	18,24	4,2
1,233	24,67	5,211	1.2	0,2225	4,450	19,11	4,4
1,158	23,17	5,645	1,3	0,2012	4,024	19,97	4,6
1,089	21,79	6.079	1.4	0,1819	3,639	20,34	4,8
1,026	20,52	6,513	1.5	0.1645	3.291	21,71	5,0
0,9677	19,35	6,947	1,6	0,1488	2,977	22,58	5,2
0,9135	18.27	7,381	1,7	0,1346	2.692	23,44	5.4
0,8630	17,26	7,816	1,8	0,1218	2,435	24,31	5,6
0,3159	16,32	8,250	1,9	0,1102	2,203	25,18	5,8
0,7719	15,44	8,684	2,0	0,09965	1,993	26,05	6,0
0,7307	14.62	9.118	2,1	0,08157	1,631	27,79	6,4
0,6921	13,84	9,552	2,2	0,06677	1,335	29,52	6,8
0,6558	13,12	8,814	2.3	0,05465	1,093	31,24	7,2
0,6217	12,43	10,42	2,4	0,04474	0,895	32,98	7,6
0,5895	11,79	10,85	2,5	0.03663	0,733	34,74	8,0
0,5592	11,18	11,29	2,6	0,02999	0,600	36,48	8,4
0,5306	10,61	11,72	2,7	0,02456	0,491	38,22	8,8
0,5036	10,07	12,16	2,8	0,02010	0.402	39,94	9,2
0,4780	9,561	12,59	2,9	0,01646	0,329	41,68	9,6
0.4539	9,078	13,02	3,0	0,01348	0,270	43,42	10,0
0,4311	8,621	13,46	3.1	0,01103	0,221	45.16	10,4
0,4094	8,188	13,89	3.2	0,009030	0,181	46,89	10,8
0,3889	7,779	14,33	3,3	0,007397	0,148	48,63	11,2
0,3695	7,390	14.76	3,4	0,006058	0,121	50,36	11,6
				0,004964	0,099	52,10	12,0 5
— 217 —
Я
ТАБЛИЦА П.1.16
Корни характеристических полиномов для фильтров с одним нулем передачи при неравномер-
ности
п	0,1 дб е=0,15261	0,2 дб s=0,217005	0,5 дб £=0,34933	1 дб £=0,50885	2 дб е=0,76478
1	2	3	4	5	6
Частота нуля передачи £21=2
:2	—0,54432 ±11,5713	—0,56682 ±11,3888	—0,52017 ±11,15467	—0,44226 ±11,0087	—0,34469 ±10,89768
.3	-1,1716 —0,35059 ±11,2179	—0,95645 —0,31287 ±11,1337	—0,71534 —0,25490 ±И ,0413	0,55592 —0,20741 ±Ю, 98600	—0,41057 —0,15834 ±10,94316
\ -4	—0,21503 ±11,1175 —0,67142 ±Ю, 53306	—0,18768 ± И,0710 —0,56941 ±10,49822	—0,15019 ±11,0201 —0,44254 ±10.46231	—0,12125 ±10,98942 —0,35142 ± Ю.44176	—0,092132 ±10.96553 —0.26375 ±10,42626
5 . /	—0,57827 —0,14324 ±11,0752 —0,43238 —10,71029	—0,40308 —0,12427 ± И, 0452 —0,37080 ±10,68400	—0,38552 —0.098929 ± И,01236 —0,29169 ±10,65589	—0,30725 —0,079671 ±10,99255 —0,23330 ±10,63932	—0,23126 —0,060441 ±10,97709 —0,17607 ±10,62657
г	—0.10183 ±11,0527 —0,30331 ±Ю. 79904 —0,44699 ±10,30238	—0,088157 ±11,03165 —0,26117 ±10.77978 —0,38332 ±10,29404	—0,070052 ± И, 0085 —0,20637 ±10,75890 —0,30156 ±10,28506	—0,056365 ±10,99460 —0,16551 ±10,74645 —0,24123 ±10,27973	—0,042736 ±10,98373 —0,12517 ±10,73679 —0,18209 ±10,27562
7	—0,39381 —0,075986 ± И, 0391 —0.22520 ±10,85160 —0,34612 ±10,48453	-0,33851 —0.065729 ±11,0235 —0,19426 ±10,83704 —0,29779 ±10,47519	—0,26700 —0,052193. ±11,0063 —0,15381 ±Ю,82115 —0,23512 ±10,46506	—0,21392 —0,041982 ±Ю,99594 —0,12351 ±Ю,81162 —0,18848 ±10,45901	—0,16167 —0,031824 ±10,98786 —0,093499 ±10,80421 —0,14251 ±10,45432
«	—0,058826 ±11,03021 —0,17409 ±10,88571 -0,27346 ±10,60278 —0,33257 ±10,21423	—0.050870 ±П,01813 —0,15031 ±10,87433 —0,23572 ±Ю, 50423 —0.28641 ±10,21102	—0,040385 ± И, 0049 —0,11913 ±Ю,86188 —0,18649 ±Ю, 58490 —0,22638 ±10,20752	—0,032481 ±Ю,99685 —0,095726 ±10,85439 —0,14968 ±10,57931 —0,18160 ±10,20543	—0,024620 ± Ю, 99060 —0,072506 ±10,84856 —0,11328 ±10,57496. —0,13737 ±10,20380
Частота нуля передачи Qj=l .75
2	—0,39578	—0,44489	—0.44621	—0,39796	—0,32000
	±il ,5111	±11,3773	±11,1759	± И, 0353	±10.92232
— 218 —

Продолжение табл. П.1.16
1	2	3	4	5	6
3	—1,2593	—1,0159	—0,75134	—0,58045	—0,42688
	—0.30690 ±11,2147	—0,28107 ±il,1353	—0.23467 ±11,0461	—0,19343 ± Ю.99195	—0,14904 ±10,94966
4	—0,19792 ±П ,1150 —0,68354 ± Ю,55894	—0,17464 ± i1,0705 —0.57902 ±i0,51877	—0,14127 ± 11,0212 — 0,44947 ±i0,47783	—0.11474 ±10,99144 —0,35669 ±i0.45462	—0,087567 ±10,96816 —0,26755 ±10,43722
5	—0,59258	—0,50461	—0,39397	—0,31373	—0,23598
	—0,13478 ±il,0733 —0,43108 ±10,72590	—0.11761 ±i 1,0444 —0,36991 ±10,69742	—0,094184 ±11 ,0126 —0.291170 ±i0,66713	—0,076106 ±10,99343 —0,23297 ±10,64933	—0,057882 ±10,97841 —0.17587 ±10.63568
6	—0,097039 ±il .0513 —0,29977 ±10,80850 —0,45385 ±10,30923	—0,084299 ±11,0301 —0,25835 ±10,78832 —0,38898 ±10,30014	—0,067230 ±il ,0086 —0,20433 ±10,76649 —0.30584 ±10,29038	—0,054208 ±i0,99505 —0,16396 ±10,75350 —0,24456 ±i0,28460	—0,041165 ±10,98448 —0,12405 ±10,74345 —0,18455 ±i0,28015
7	—0,39984	—0,34355	—0,27086	—0,21095	—0.16392
	—0,073006 ±il .0381 —0,22173 ±10,85764 —0,34864 ±Ю, 49198	—0,063294 ±11,0220 - —0,19142 ±10,84268 —0,29991 ±10,48202	—0,050380 ±il ,0063 —0,15169 MO. 82638 —0,23674 ±10,47122	—0,040580 ±10,99620 —0,12187 ±10,81662 —0,18977 3=10,46479	—0,030794 ±10,98833 —0,092300 ±10,80903 —0,14347 ±10,45980
8	—0,056846 ±11,0295 —0,17115 ±10,88976 —0,27380 ±10,60932 —0,33646 ±10,21734	—0,49234 ±11,0177 —0,14788 ±10,87822 —0,23609 ±10,60033 —0,28969 ±10,21392	—0,039151 ±il ,0048 —0,11720 ±10,86560 —0,18679 ±10,59055 —0,22891 ±i0,21020	—0,031519 ±10,99701 —0,094289 ±10,85801 —0,14992 ±i 0,58469 —0,18359 ±i0,20798	—0,023909 ±10,99092 —0,071442 ±10,85210 —0.11347 • ±10,58013 —0.13887 ±10,20625 '
Частота нуля передачи Qi=1,5
2	—0,23912 ±il ,3966	—0,29282 ±il ,3219	—0,33306 ±11,1824	—0,32242 ± il,0640	—0,27533 ±10,95602
3	—1,4330	-1,1311	—0,81943	—0,62620	—0,45698
	—0,23848 ±11,2018	—0,22952 ±il, 1332	—0,20088 ±il .0519	—0,16974 + И.0007	—0,13311 t ±10,95998 *
4	—0,16918 ±11,1098 —0,70474 ± Ю, 60554	—0,15252 ± il ,0688 —0,59578 ±10,55564	—0,12602 ±11,0229 —0,46155 ±10,50553	—0,10355 ±10,99474 —0.36984 ±10,47749	—0,079704 ±i 0,97259 —0,27419 ±i0,45667
— 219 —
Продолжение табл. ПЛ.16
1	2	3	*	5	6
5	—0.61751 —0,12010 ±11,0698 -0.42886 ±10,75338	—0,52472 —0,10602 ±11,0429 —0,36838 ±10,72103	—0,40874 —0,085913 ±11,0131 —0,29028 ±10,68686	—0,32504 —0,069885 ±10,99494 —0,23241 ±10,66691	—0,24423 —0,053415 ±10,98070 —0,17553 ±10,65167
«	—0,088539 ±11.0488 —0,29371 ±10,82520 —0,46579 ±i0,32099	—0,077466 ±11,3298 —0,25351 ±10.80337 —0,39885 ±10,31064	—0,062235 ±11,0086 —0,20083 ±10,77986 —0,31328 ±10,29956	—0,050392 ±10,99584 —0,16130 ±10,76591 —0,25036 ±Ю, 29302	—0.038389 ±10,98581 —0,12214 ±10,75514 —0,18884 ±Ю, 28799
7	—0,41015 —0,067649 ±11,0363 —0,21575 ±10,86842 —0,35318 ±10,50480	—0,35219 —0,058926 ±11,0220 —0,18654 ±10,85272 —0,30370 ±10,49378	—0,27747 —0,047134 ±11,0062 —0,14805 ±10,83566 —0,23965 ±10,48187	—0,22215 —0,038073 ±10,99666 —0,11906 ±10,82546 —0,19206 ±10,47478	—0,10780 —0,028954 ± 10,98917 —0,090231 ±10,81754 -0,14518 ±10,46930
в	—0,053252 ±11,0282 —0,16603 ±10,89707 —0,27483 ±10,62065 —0,34312 ±10,22261	—0,046273 ±11,0170 —0,14364 ±10,88520 —0,23689 ±10,61093 —0,29532 ±10,21886	—0,036924 ±1,0047 —0,11409 ±10,87224 —0,18741 ±10,60036 —0,23325 ±10.21478	—0,029785 ±10,99730 —0,091791 ±Ю, 86446 —0,15043 ±10,59404 —0,18704 ±10,21234	—0,022629 ±10,99148 —0,069594 ±Ю, 85841 —0,11384 ±10,58914 —0,14144 ±10,21044
Частота нуля передачи 21=1,35
2	—0,15147 ± 11,2987	—0,19474 ±11,2567	—0,24230 ± 11,1659	—0,25235 ±11,0751	—0,22928 ±10,98194
3	—1,6439 —0,17874 ±11,1808	—1,2680 —0,18186 ±11,1255	—0,89815 —0,16807 ±П,О546	—0,67818 —0,14618 ±11,0077	—0,40073 —0,11701 ±10,96937
4	—0,14095 ±П,1029 —0,72718 ±Ю,65604	—0,13049 ±11,0663 —0,61339 ±10,59540	—0,11062 ±11,0241 —0,47416 ±10,53524	—0,092165 ±10,99782 —0.37539 ±10,50193	—0,071663 ±10,97695 —0,28101 ±10.47737
5	—0,64338 —0,10499 ±Н,0659 —0,42667 ±10,78240	—0,54562 —0,094049 ±11,0412 —0,36686 ±10,74589	—0,42411 —0,077332 ±11,0135 -0,28939 ±10,70759	—0,33684 —0,063418 ±10,99647 —0,23184 ±10,68536	—0,25284 -0,041876 ±10,98305 —0,17519 ±10,66843
— 220 —
3	1	4	5	6
—0,070229	—0,056947	—0,046354	—0,035452
±11,0285	±11,0087	±10,99669	±10.98722
—0,24861	—0,19727	—0,15860	—0,12018
±Ю,81930	±10,79396	±i 0,77898	±10,76744
—0,40909	—0,32101	—0,25640	—0,19330
±10,32135	±Ю,30897	±10,30168	±10,29608
—0,36097	—0,28421	—0,22746	—0,17176
—0,054218	—0,043643	—0,35381	—0,026980
±il ,0210	±11,0062	±Ю, 99716	±10.99008
—0,18153	—0,14432	—0,11617	—0,088112
±10,86345	±10,84554	±10,83485	±Ю, 82657
—0,30780	—0,24278	—0,19452	—0,14701
±10,50584	±10,49282	±10,48508	±10.47910
—0,043040	—0,034499	—0,027902	—0,021240
±10,0163	±11,0047	±10,99762	±10,99210
—0,13925	—0,11078	—0,089206	—0,067681
±10,89275	± 10,87939	±10,87137	±10,86515
-0,23793	—0,18821	-0,15106	—0,11432
±10,62188	±10,61052	±10,60374	±10,59848
-0,30106	—0,23761	—0,19056	—0,14408
±Ю, 22382	±10,21940	±Ю, 21676	±10.21471
Частота нуля передачи 01=1,2
—0,10133 ±11,1636	—0,13798 ±11,1207	—0,15748 ±11,0690	—0,15716 ± il ,0052
—1,5551	—1,0588	—0,78205	—0,55695
-0,11421	—0,11715	—0,10802	—0,090173
±11,1025	±11,0524	± 11,0152	±10,98264
—0,94559	—0,084829	—0,072853	—0,057896
±11,0593	±11,0247	±il ,0022	±10,98392
-0,64551	—0,40681	—0,39242	—0,29337
±10,66899	±10,58988	±10,54666	±10.51510
—0,58230	—0,45118	—0,35764	—0,26806
—0,073346	—0,062362	—0,052086	—0,040591
±il,0376	±il.0138	-4-10,99896	±10,98709
—0,36450	—0,28795	—0,23091	—0,17462
±10,79072	±10,74480	±10,71838	±10,69838
—0,057242	—0,047442	—0,039089	—0,030166
±11,0260	±11,0088	±10,99817	±10,98975
-0,24031	—0,19123	—0,15400	—0,11685
±10,84812	±10,81935	±10,80244	±10,78947
—0.42709	—0,33462	—0,26702	—0,20117
±10,33969	±10.32521	±10,31668	±10,31014
— 221 —
Продолжение табл. П.1.16
1	2	3	4		6
7	—0,43842 —0,051188 ±11,0309 —0,19911 ±10,90130 —0,36713 ±10,54038	—0,37595 —0,045540 ±il,0192 —0,17291 ±10,88312 —0,31535 ±10,52661	—0,29575 —0,037220 ±i 1,0061 —0,13789 ±10,86353 —0,24855 ±10.51177	—0,23657 —0,030435 ±10,99810 —0,11121 ± Ю,85189 -0,19905 ±i0.50296	—0,17856 —0,023358 ±10,99176 —0,084457 ±10,84290 —0,15038 ±10,49616
8	—0,041892 ±il ,0242 —0,15147 ±i0,91989 —0,27885 ±Ю, 65270 —0,36154 ±i0,23670	—0,036956 ±il ,0149 —0,13159 ±10.90679 —0,24025 ±Ю, 64099 —0,31090 ±Ю,23216	—0,029953 ±11,0046 —0,10499 ±10,89258 —0,18998 ±10.62829 —0,24534 ±10,22721	—0,024379 ±10,99824 —0,084689 ±i0,88408 —0,15245 ±10,62072 —0,19661 ±10,22426	—0,018646 ±i0,99327 —0,064339 ±10,87749 —0.11535 ±i0,61485 —0,14862 ± Ю,22197
Частота нуля передачи Q(=l,l
2	—0,033881 ±11,0932	—0,046354 ± i 1,0868	—0,066607 ± i 1,0695	—0,081222 ±11,0459	—0,088113 ±il,0120
3	—2.7905 —0,045979 ± il ,0807	—2,0105 —0.056747 ±11.0661	—1,3117 —0.066353 ±il.0408	—0,94251 —0,066586 ± il ,0172	—0,65717 —0,059335 ±i0,99397
4	-0,051251 ± il,0622 —0,83069 + 10.87769	—0,055460 ±i 1,0458 —0,69120 ±i0,770049	—0.054915 ± il, 0225 —0.52781 ±i0,66482	—0,049766 ±il ,0058 —0,41530 ±i0,60772	—0,041104 ±iO,99135 —0,30967 ±i0,56632
5	—0,74601 —0,048570 ±il,0455 —0,42158 ±10,90615	—0,62914 —0,048153 ±il ,0312 —0,36272 ±10,85103	—0,48596 —0.043682 ±il, 0134 —0,28666 ±10,79445	—0,38446 —0,037775 ±11,0016 —0,23001 ±i0,76222	—0.28771 —0,030184 ± 10,99190 —0,17404 ±i 0,73799
6	—0,042743 + il, 0338 -0,26513 ±i(), 91916 —0,52773 ±i0,37804	—0,040377 ±11 ,0223 —0,23039 ±i0,88710 —0,45018 ±10,36231	—0,034982 ± il,0086 —0.18390 ±10,85336 —0,35213 + 10,34546	—0,029526 ±10,99998 —0,14839 ±10,83371 —0.28071 ±i0,33553	—0,023190 ±10,99299 —0,11276 ±10,81871 —0,21132 ±10.32790
7	—0,46024 —0,036722 -til, 0259 —0,18616 ±i0,93090 —0,37956 ±10,56815	—0,39438 —0,033746 ±11,0167 —0,16226 ±10,91015 —0,32570 ±10,55247	—0,30999 —0,028476 ±11,0060 —0.12991 ±10,88798 —0,25643 ± Ю,53555	—0,24784 —0,023699 ±i0,99935 —0,10501 ±10,87491 —0,20523 ±10, 52550	—0,18699 —0,018425 ±10,99403 —0,079900 ±10,86486 -0,15497 ±10,51774
— 222 —
Продолжение табл. П.1.16
	3		5	6
И 426	—0,028396	—0,023573	—0,019445	—0,015021
!05	±10,0130	±11,0044	±10,99913	±10,99492
1975	—0,12188	—0,097649	—0,078961	—0,060100
1096	±Ю, 92646	±10,91083	±10,90154	±10,89436
5358	—0,24416	—0,19294	—0,15476	—0,11706
1833	+ Ю,66516	+ 10,65088	±10,64236	±10,63576
1589	—0,32308	—0,25481	—0,20414	—0,15427
1724	±10,242106	±10,23671	+ 10,23343	±Ю, 23088
Частота нуля передачи Qj=l ,05
15930 172	—0,021984 ±11.0445	—0,032338 ±11,0370	—0,040728 ±11,0261	—0,046308 ±11,0092
112	—2,5069	—1,5936	—1,1215	—0,76770
10437	—0,026656	—0,034369	—0,037324	—0,035644
137	±11,0384	±11,0265	±П,0138	±10,99943
14086	—0,028672	—0,031857	—0,030930	—0,026890
181	±11,0306	±11,0175	±11,0066	±10,99638
1885	—0,74064	—0,55998	—0,43838	—0,32576
I860	±10,86811	±10.73867	±10,66800	± 10,61677
1815	—0,67198	—0,51800	—0,40929	—0,30597
15560	—0,027767	—0,027648	—0,025155	—0,020847
114	±11,0233	±11.0115	±11,0031	±10,99572
1464	—0,36376	—0,28665	—0,22980	—0,17383
'571	± 10,91002	±Ю. 84274	±10,80461	+ 10,77611
14952	—0,025335	—0.023542	—0,020630	—0,016646
152	±11,0177	±11,0070	±И,0013	+10,99583
1609	—0,22251	—0,17778	—0,14361	—0,10923
>320	±10,92572	±10,88663	±Ю. 86405	±10,84691
1321	—0,47143	—0,36831	—0,29340	—0,22074
1963	±10,38223	±10,36355	±10,35250	±10,34400
’941	—0,41064	—0,32262	—0,025786	—0,19450
13200	—0,022525	—0,020044	—0,017165	—0,013624
103	-11,0137	±11,0057	±11,0004	± 10,99617
7522	—0,15306	—0,12290	—0,099535	—0,075856
>110	±10,93734	±10,91223	±10,89754	±Ю,88631
9172	-0,33585	—0,26417	—0,21130	-0,15948
(264	+10,57548	±10,55692	±10,54588	±10,53734
’1061	—0,019854	—0,0171756	—0,014490	—0,011377
65	— 11,0109	±И,0042	±10,99997	±10,99655
3935	—0,11319	—0,091031	—0,073783	—0,056263
>288	+ 10,94660	±10,92923	±Ю, 91899	±10,91111
5903	—0,24867 .	—0,19634	—0,15741	—0,11903
1135	±10,68701	±10,67144	±10,66214	±i 0,65494
5856	—0,33388	—0,26324	—0,21085	—0,15931
1627	±10,25087	±10,24499	±10,24146	±10,23873
— 223 —
ТАБЛИЦА П.1.17
Корни характеристических полиномов для фильтров с двумя нулями пере-
дачи при неравномерности
0,1 дб 1	0,2 дб	0,5 дб	1 дб	2 дб
£=•0,15261 1	£«9,217005	е=0,34933	г=Э,50885	г=0,76478
Частота первого нуля Qj=l ,75
4	3,99	—0,19044 ±11,1120 —0,68789 ±i 0,58232	—0,16848 ±11,0690 —0,58319 ±Ю,53645	—0,13672 ±11,0211 —0,45293 ±10,40043	—0.11127 ±10,99211 —0,35948 ±Ю,46468	—0,085059 ±Ю,96935 —0.26967 ±10,44553
б	2,6719	—0,61960 -0,12600 ±11,0699 —0,42372 ±Ю, 74867	—0,52573 —0,11044 ±11,0427 —0,36474 ±10,71711	—0.40897 —0,088811 ±il ,0125 —0.28798 ±10,68366	—0,32501 —0,071951 ±10,99415 —0,23081 ±10,66400	—0,24400 —0,054834 ±10,97978 —0,17445 ±10,64911
6	2,3625	—0,090327 ±11,0486 —0,29032 ±10,82432 —0,46799 ±10,32599	—0,078722 ±11,0295 —0,25091 ±10,80293 —0,40058 ±Ю,31458	—0,063005 ±11,0084 —0,19902 ±10,77979 —0,31451 ±Ю, 30251	—0,050912 + 10,99557 —0,15998 ±Ю,76603 —0,25130 ±10.29545	—0,038728 ±10,98554 —0,12120 ±10,75538 —0,18952 ±10,20005
Частота первого нуля Qi=l ,5
4	M250	—0,16085 ±11,1048 —0,70651 ±10,64599	—0,14523 ±11,0661 —0,59930 ±10,58563	—0,12031 ±11,0223 —0,46539 ±10.52639	—0,099063 ±10,99528 —0,30925 ±10,49386	—0,076387 ±10.97395 —0,27689 ±i 0,46999
s	2.2281	—0,66263 —0,10946 ±il ,0646 —0,41393 ±10,78680	—0,55954 —0,096975 ±11,0400 —0,35787 ±10,75010	—0,43312 —0,078930 ±11,0125 —0,28376 ±10.71141	—0,34324 —0,064394 ±10.99567 —0,22796 ±10.68887	—0,25724 —0,049335 ±i0.92240 —0,17251 ±10,67169
6	1,9812	—0,07992 ±11,0449 —0,27814 ±0,84731 —0,48771 ±0,34817	—0,070177 ± il ,0275 —0,24130 ± Ю,82403 —0,41654 ±10,33383	—0,056615 ±11,0082 —0,19215 ±10,79889 —0,32649 ±10,31881	—0,045962 ±10,99644 —0,15479 ±i0,78395 —0,26061 ±10,31010	—0.035087 ±10,98719 —0,11747 ±i0,77240 —0,19638 ±10,30347
Частота первого нуля £21=1,35
4	2,7875	—0,13301 ±il,0962 —0,72053 ±10,71921	-0,12292 ±il,0621 —0,61312 ±10,64169	—0,10425 ±11,0227 —0,47702 ±i0,56679	—0,086966 ±10,99804 —0,37868 ±10,52631	—0,067715 ±10,97832 —0,28401 ±i 0,49693
— 224 —
Продолжение табл. П.1.17
	Й,	0,1 дб s=0,15261	0,2 дб е=0,217005	0,5 дб £=»0,34933	1 дб £=s0,50885	2 дб в—0,76473
	1,9516	—0,71202 —0,093563 ±11,0589 —0,40069 ±10,82630	—0,59791 —0,083956 ±11,0371 —0,34855 ±10,78451	—0,46022 —0,069250 ±11,0123 —0,27801 ±10,74041	—0,36353 —0.056933 ±10,99704 —0,22405 ±10,71492	—0,27181 —0,043875 ±10,99491 —0,17003 ±10,69544
	1,7453	—0,060732 ±11,0410 —0,26446 ±10,87265 —0,50821 ±10,37297	—0,061750 ±11,0254 —0,23051 ±10,84560 —0,43361 ±10,35519	—0,050262 ±11,0080 —0,18444 ±10,81854 —0,33927 ±10,33673	—0,041017 ±10,99725 —0,14900 ±10,80247 —0,27054 ±10,32611	—0,031437 ±10,98880 —0,11330 ±10,79004 —0,20370 ±10,31808
Частота первого нуля t>i=l ,2
	2,3187	—0,091262 ±11,0792 —0,72488 ±10,86368	—0,088424 ±11,05350 —0,62631 ±10,75196	—0,078612 ±11,0221 —0,49247 ±Ю, 64532	—0,067320 ±11,0017 —0,39252 ±10,58866	—0,053441 ±10,98495 • —0,29504 ±10,54810
	1,6531	—0,81438 —0,068795 ±11.0487 —0,36897 ±10,89453	—0,67593 —0,063309 ± И, 0315 —0,30605 ±10,84486	—0,51426 —0,053603 ±П ,0116 —0,26398 ±10,79221	—0,40362 —0,044736 ±10,99896 —0,21445 ±10,76151	—0,30033 —0,034869 ±Ю, 98884 —0,16368 ±10,73812
	1,4943	—0,053322 ±11,0342 —0,23763 ±10,91008 —0,54658 ±10,42178	—0,048024 ±11,0216 —0,20937 ±10,88251 —0,46504 ±10,39675	—0,039790 ±11,0073 —0,16937 ±10,85261 —0,36278 ±10,37116	—0,032803 ±10,99847 —0,13766 ±10,83479 —0,28876 ± 10,35663	—0,02534 ±10,99140 —0,10517 ±Ю,82099 —0,21713 ±10,34572
Частота первого нуля £21=1,1
	1,9375	—0,050418 ±11,5556 —0,66820 ±П ,0658	—0,052655 ±11,04004 —0,60762 ±10,91418	—0,050493 ±11.0190 —0,49625 ±10,76270	—0,045091 ±11,0042 —0,4016 ±10,68128	—0,036914 ±10,99163 —0,30466 ±i 0,62324
	1,4266	—0,98844 —0,042711 ±11,0356 —0,31103 ±10,97515	—0,80417 — 0,040930 ±11,0240 —0,28421 ±10 ,91937	—0,60004 —0,036116 ±11,00983 —0,23745 ±10,85844	—0,46599 —0,030856 ±11,0006 —0,19610 ±10,82222	—0,34427 —0,024476 ±10.99302 —0,15143 —10,79436
	1,3094	(—0,035094 ±И,0255 * —0,19746 ±Ю,95667 —0,60004 ±10,49703	—0,032488 ±1,0166 —0,17766 ±0,92740 —0,50869 ±10,45979	—0,027697 ±11,0062 —0,14673 ±10,89514 —0,395304 ±10,42236	—0,023216 ±10,99964 —0,12064 ±10.875705 —0,31395 ±10,42141	—0,018158 ±10.99431 —0,099945 ±10,86057 —0,23566 ± 10,38586
-166
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
. ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ-ПРОТОТИПОВ
— 226 —
Рис. П.2.2 (начало)
‘/г 8*
— 227

Рис. П2.2. Фазовые характеристики фильтров-прототипов при полиноми-
альной аппроксимации по Чеббипеву
а,об
Рис. П2.3. Характеристики относительного затухания филь-
тров-прототипов при полиномиальной аппроксимации' по
Баттерворту
• V. ....	— 228 —	... -v ...
Рис. П2.4. Фазовые
ров-прототипов при
проксимацчи
характеристики фильт-
полииомиальной an-
no Баттерворту
Рис. П2.5. Характеристики относительного затухания фильтров-прототипов при
дробной аппроксимации по Чебышеву для разного расположения полюсов и
е=0,15 (Да—0,1 дб)
8—156
— 229 —


Ъ,град
0,2 О,it- 0,6 0,8 1,0 1,2
* Рис. П2.6. Фазовые характеристики фильтров-прототипов при дробной аппроксимации по Чебышеву для Да=0,1 дб
Рис. П2.7. Характеристики относительного затухания фильтров-прототипов с
монотонным возрастанием затухания в полосе пропускания и нулями передачи
в полосе задерживания
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА RC-ФИЛЬТРОВ
Пример 1. Необходимо рассчитать фильтр нижних частот, удовлетворяю-
щий следующим требованиям:
—	полоса пропускания до /з—4 кгц,
—	затухание в полосе пропускания может постепенно возрастать до 3 дб
на частоте среза фильтра ft = 4 кгц,
—	относительное затухание в полосе задерживания а20 дб, на частоте
1=8 кгц,
—	выходное напряжение около 50 мв на высокоомной (104 ом) нагрузке
или выходной ток около 0,1 ма через иизкоомную нагрузку (~102 3о>и).
Порядок расчета фильтра
1) Определяем нормированную частоту
2) Исходя из заданной величины относительного затухания, с помощью
кривых рис. П.2 3 выбираем п — 4.
3) Выписываем из табл. П.1.7 коэффициенты аппроксимации и определяем
добротности и координаты контрольных точек звеньев по ф-лам (2.74)—(2.78).
Результаты расчета заносим в табл. П.3.1.
— 234 —
ТАБЛИЦА п.3.1
Звено	bl	ь2	®он	аон дб	етН	атН	Q
I	1,8478	1	1	5,3	—	—	1,1
II	0,7654	1	1	—2,3	0,846	—3	2,6
4.	Выбираем активный элемент для звеньев фильтра.
Ввиду умеренных требований к динамическому диапазону, выберем звенья
на основе единичных усилителей тока. Поскольку оба звена фильтра обладают
сравнительно низкой добротностью, для их реализации по схеме рис. 3.6а
можно использовать простейшие однотранзисторные усилители тока. Для луч-
шей температурной стабильности выберем кремниевые транзисторы и включим их
по схеме с общей базой. В данном случае используем транзисторы с типовыми
параметрами Rbxti=45 ом, RBuxti = 556 ком, йт = 0,95 при типовом режиме
Ъ'кэ=5 в, 13=1 ма. Этот режим в случае источника питания 10 в требует
коллекторного сопротивления RK = 5 ком. В случае нч звена при 1=1 величина
нормирующего сопротивления Лд=/?к/2=2,5 ком.
5)	Рассчитаем величины элементов звеньев.
По условиям реализации табл. 3.1 определим разрешенный диапазон ве-
личии элементов. Получим для первого звена
Ri и J?2« Rbuxti = 556 ком,
Ci > _  -------------= 71 пф, С2< ——-----------------= 0,9жф,
RbMX Т1 ^0Н 2 Л	RBX Tj RflH 2 Я f 1
что справедливо и для второю звена, так как резонансные частоты их
Ron одинаковы. Элементы звеньев определим из решения системы двух урав-
нений табл. 3.1, в соответствии с которыми осуществляется реализация коэффи-
циентов аппроксимации. Имеем
Ri = R2 ~ R« = 2,5 ком,
. 1
Cj =.......................   —----18000 пф,
[bi-/Ь? —8 b2 (1 -Л)] л Л Ra
__ bi-V b? — 8Ь2 (1 -/?)
С2 = —---------------=-------- «в 14000 пф	?
4 (1 —й) л Д Rfl
для первого звена и
R'l = r'2 = Rs = 2,5 ком, С{ = 4750 пф. С’2 = 53 000 пф
для второго звена. Полученные значения элементов находятся в разрешенном
диапазоне величии.
6)	Результаты эксперимента.
На рис. П.3.1 приведена принципиальная схема фильтра и показаны его
характеристики.
Настройка фильтра осуществлялась позвенно по контрольным точкам Дон,
ст н (Но и, Rm н) каждого звена. Измеренные характеристики фильтра показы-
вают удовлетворительное совпадение расчетной (пунктирная кривая /) и фак-
тической характеристики фильтра (кривая //). Кривые III и /V иллюстрируют
влияние 10%-го разброса величин пассивных элементов фильтра. Фильтр вы-
полнен в микромодульном варианте и весит 15 г (рис. П.3.2).
— 235 —
Рис. П3.1. Принципиальная схема фильтра примера
и его характеристика
Пример 2. Рассчитать фильтр верхних частот, удовлетворяющий следующим
требованиям:
— полоса пропускания — от f-t = 0,25 кгц до 30 кгц;
— неравномерность затухания в полосе пропускания при комнатной темпе-
ратуре Ла = 0,5 дб; при изменении температуры в пределах —10-= + 50°С до-
пускается увеличение иеравиомерносги до 1 дб на частотах 0,3-4-0,5 кгц;
—• относительное затухание в полосе задерживания на частоте /==0,2 кгц
дб-,
—• выходное напряжение около 50 мв на высокоомной (104 ом) нагрузке
или выходной ток около 0,1 ма через низкоомную нагрузку.	-
Порядок расчета фильтра
Ввиду умеренных требований к затуханию в полосе задерживания попы-
таемся реализовать их схемой с полиномиальными характеристиками.
1)	Определяем нормированную частоту в полосе задерживания
/н 0,2 ~ 1-25-
2)	По заданной неравномер-
ности Да, нормированной частоте
Пн и затуханию определяем из
рис. П.2.1 п = 5.
3)	Выписываем из табл. П.1.4
коэффициенты аппроксимации нч
прототипа и рассчитываем по (2.88)
соответствующие коэффициенты
для фильтра вч. Результаты рас-
чета представим в табл. П.3.2.
Далее рассчитаем по ф-лам (2.78), (2.89), (2.92) — (2.94) добротности
звеньев и контрольные точки их характеристик (табл. П.3.3).
4) Выбираем активные элементы для звеньев фильтра.
Поскольку требования к фильтру по динамическому диапазону сигнала
весьма умеренны, выбираем для реа-
лизации звенья с усилителями тока. Первое звено фильтра (1-го порядка) реализуется пассивной цепью (рис. 3.10а) без активного элемента. Для реализации второго звена схемой рис. 3.11а можно использо- вать однотранзисторный усилитель тока, а для последнего звена со срав- нительно высокой добротностью не- обходимо применить более сложный		ТАБЛИЦА П.3.3				
	Звено	Q	s0B	аов	smB	атВ
	II III	2,35 9,0	1,443 0,982	—1,4 —13,1	1,81 0,988	—2,84 —13,16
двухтранзисторный усилитель тока.
Построение выбранных активных элементов на кремниевых транзисторах
обеспечивает следующие параметры усилителей при типовых режимах смещения
транзисторов (разд. 7.2):
Л,.* =0,95, A’bxtj =45 ом,
/?вых ту — 560 ком —
в случае одиотранзисторного усилителя и
— 1» ДвХ т — 45 ОМ, Т^вых т —	80 ^/1ом
2	2	2
для двухтранзисториого усилителя. В данном случае нормирование осуществ-
ляется относительно коллекторного сопротивления однотранзисторного усилителя
7?i = 5 кол=7?д, так как оно одновременно выполняет роль элемента /Д в звене
фильтра (рис. 3.11а).
— 237 —
5) Рассчитаем величины элементов авеиьев.
Определим диапазон разрешенных величин элементов.
Для эвена 1-го порядка величина емкости ограничивается условием
1
2
1
2л-250-45
14-10 6 ф = 14 мкф.
Величины элементов звеньев 2-го порядка ограничиваются в соответствии: с
-.неравенствами табл. 3.2, что дает для 2-го звена:	1
Д1 Ддь1Х Т =z: 556 КОМ, ДвХ г"~ 4о ОМ х. Д-j - Двых Tj == ^56 ком.
1 1
2 2лО Hf ДВЫХ7 2л-1,443-250-556-10®
а для третьего:	?S'
Д1 Двых т — 2,77 Мим. -'-вхт 45 ом чч До Двых т — 2,77Мом
*	2	2	2
1 1
С, и Со ----------------------=------------------------ = 240 пф.
1	2 / 2лй0В/?Мх т 2л-0,982-250-2,77-10»
Точный расчет элементов фильтра производим позвенно.
Элементы первою згена целесообразно определить в конце, чтобы задаться
величиной одного из элементов с целью уменьшения общего количества номи-
налов в фильтре.
Элементы второго звена рассчитываются на основании данных табл. 3.2.
Р] = Дд = 5 ком,
—	— Ь1В Ь2В—8Ь2В(1—k)
...	4.1(1- Л) /.. , 7?л	= '	'	''
С,587 — ИоГ5872 — 8 - 0,4775(1 —0,95)
L..'. = "	4 л (1 — 0,95)-250-5-103	= 0,25жф.
Р.	1;> _	4(1—Л)2 Ь2ВДд
[ Ь1В-8Ь2В(1 -А)]2
4 (1 — 0,95)2-0,4775-5-103
.-• ! Г-	... ..___________- = 640 ОМ
[0,587 — У 0,587® — 8-0,4775 (1 — 0,95)]	' ю;
Для третьего звена определим предварительно величины элементов, задар-
ЦШСЬ коэффициентом передачи усилителя Л=1:
"	Д1 = Дд = 5 ком,
. с;_с;=—-------------------------------------.ив»*.
Ь^л/^Дд 0.224Л.250.5-103
Ь1В -	0.2242
/?9 =------Rj, =--!-----5-103 = 60 ом
4Ь2В 4-1,035
Хотя полученные результаты удовлетворяют приведенным выше ограничи-
вающим неравенствам, однако заманчиво выбрать конденсаторы такого же но-
минала как для второго звена, т. е. Ct—С2=0,25 мкф. Кроме уменьшения
— 238 —
числа номиналов это позволит увеличить сопротивление R2 и коэффициент пе-
редачи усилителя k, что уменьшает чувствительность характеристики звена
(рис. 3.23). Новое значение сопротивления
Ь2В	1,035	, „
=----------------= --------------------щ------- — 1,33 ком.
4n2f_2xC2Rn 4л2.250а.0,25М0-12-5-10з
Необходимое значение коэффициента передачи усилителя тока рассчитав!» Ш»
ф-ле (3.50), подставив:	.
Р= —-=- = 1, т2= —^=------------= 3,77. S
С;	R2 1-33		:
При этом получим	’
1 + 1	2
£т,= 1+—-	—----==- = 1,474.
т 3,7/	9/3,77
Звено с таким большим коэффициентом передачи будет иметь значительную
чувствительность к нестабильности пассивных элементов (рис. 3.24); последняя
особенно велика для конденсаторов с бумажным диэлектриком, которые мы
вынуждены применять в данном случае. Поэтому необходимо ориентироваться
_на звено с коэффициентом передачи усилителя, близким к единице. Выберем
= 1 мкф. Тогда: /?] = Ro= 5 ком, Rz = 85 ом, ЛТ2 = 1,0046.
Теперь можно рассчитать элементы первого звена. Задавшись такой же,
как и во втором звене, величиной конденсатора Со=0,25 мкф, из приложения 4
определим сопротивление
0,362
_
R, = ——-----=-----—,—г = 0,93 ком.
2л/! Q 2 7T 250-0.25.10-6
Б) Построение фильтра.
Во избежание перегрузки усилителей звеньев выбираем каскадное построе-
ние звеньев в порядке возрастания добротностей, начиная с первого звена
(рис. П.3.3). При этом в сопротивлении первого звена можно учесть активное
сопротивление источника сигнала.
7) Результаты эксперимента.
На рис. П.3.3 приведены характеристики фильтра, измеренные при различ-
ных температурах. Они удовлетворяют заданным требованиям.
Пример 3. Рассчитать полиномиальный полосовой фильтр телефонного ка-
нала, удовлетворяющий следующим требованиям:
—	полоса пропускания от /_। =300 гц до /ч = 3400 гц;
—	неравномерность передачи в полосе пропускания должна быть не хуже
Да = 0,5 дб при комнатной температуре; при изменении температуры в пре-
делах —104-4-50° С допускается увеличение неравномерности до 1 дб вблизи
границ полосы пропускания;
—	относительное затухание в полосе задерживания должно быть: на ча-
стоте (-2=200 гц — а_2^30 дб, а на частоте (2=4200 гц — а2>30 дб;
—	выходное напряжение около 0,5 в на высокоомной (104 ом) нагрузке.
Порядок расчета фильтра
1) Рассчитаем среднюю частоту полосы пропускания фильтре, относительно
которой осуществляется нормирование:	: •
/о = yh х = 1010 гц. ••	+
— 239 —
2) Определяем нормированную ширину полосы пропускания "
 •	. ч О
w~-----с----= 3,07.
/о		'	‘ !
3)	Определяем нормированные частоты в полосе заде^&й.води$, Соответ-
ствующие нч прототипу. Со стороны верхних частот получим:	z .
—
\ /о
— —) = 1,27,
/2 /
со стороны
нижиих частот:
р = -L (Л_
"~2а	®	f-2
= 1,58.
4)	По заданной неравномерности передачи .в полосе пропускания Да, вы-
численным нормированным частотам П2а и П-га и величинам затуханий при
этом Яг и а~2 по рис. П2,1. (приложение 2) определяем класс фильтра п.
В первом случае (Йаа=1,37 и а2ЛеЗО дб) имеем п=8, во втором случае
(Q_2а=1,58 и а-г^ЗО дб) получим п—6. Необходимо выбрать п = 8.
— 240 —
Г"
5)	Находим из табл. П.1.4 коэффициенты аппроксимации нч прототипа (bt
и Ь2) и рассчитаем по ф-лам (2.118) и (2.119) соответствующие коэффициенты
множителей 2 го порядка нч (Ь и b ) и вч (Ь,„_ и b ), составляющие
IUH 2 ПН	4 111В zllB
вместе функцию передачи ПФ 4-го порядка (разд. 2.7). Результаты расчета за-
пишем в табл. П.3.4.
ТА БЛИЦА п.3.4
Звене	bi	ь2	Ь1ПН	Ь2ПН	Ь1ПВ	Ь2ПВ
I	4,9811	11,3593	0,4659	0,5285	0,8816	1,8920
II	0,9366	2,7883	0,1902	0,1998	0,9520	5,0058
III	0,3351	1,3489	0,0899	0.1129	0,7907	8,7346
IV	0,0862	0,9882	0,0215	0,0872	0,2462	11,462
На основании приведенных в таблице коэффициентов рассчитаем по ф-лам
(2.120а) и (2.121) добротности звеньев и контрольные точки их характеристик.
Полученные результаты для звеньев НЧ, которые в данном случае назовем
сокращенно ПН2, запишем в табл. П.3.5.
Аналогично запишем параметры звеньев ВЧ (в данном случае—звенья
ПВ2) в табл. П.3.6.
		ТАБЛИЦА П.3,5		ТАБЛИЦА П.3.6			
Звенья ПН2	Q	2'тПц	а'тПн дб	Звенья ПВ2	<э	2'тПВ	°'тПВ дб
ПН-1	3,1	1,226	—4,0	ПВ—I	3,1	0,830	—4,0
ПН-II	4,7	2,134	—7,5	ПВ—II	4,7	0,346	—7,5
ПН-Ш	7,5	2,921	— 11,5	пв-ш	7,5	0,346	—11,5
ПН-IV	27,5	3,381	—22,8	 ПВ-IV	27,5	0,296	—22,8
Для определения величины затухания в полосе пропускания фильтра рас-
считаем по (2.120а) вклад каждого звена ПФ4:
Звенья ПФ4	I		ш	V	S
аоп, дб	7,0	3,2	1,7	1,5	13,4
6)	Выбираем активные элементы для звеньев фильтра.
Во избежание перегрузок усилителей звеньев фильтра в данном случае
желательно использовать звенья с усилителями напряжения. Последние, как
отмечалось выше, имеют больший динамический диапазон сигнала.
Поскольку добротности всех составляющих фильтр звеньев ПН2 и ПВ2
больше 3, выберем в качестве активного элемента звеньев фильтра двухтранзи-
сторный усилитель напряжения (рис. 3.3). Необходимые для дальнейшего рас-
чета параметры, в случае использования кремниевых тралзисторов типов МППЗ
м МП116, будут следующими:
&н2 = 1. ^iXn2 = 0,6 Мом, 7>?выхн2=10 ом.	' '
— 241 —
7)	Рассчитываем величины элементов звеньев.
Вначале определим диапазон разрешенных величин элементов. Для звеньев
ПН2 при использовании схемы рис. 3.7а этот диапазон рассчитывается по не-
равенствам табл. 3.1:
Ci 3> ~----------= 260 пф,
2л/07?ВХН2
- 'i	<'	1	• J .
Сг С Ъ----------- = 16 МКФ'
.... ' ....... П IQ *\вых н2	с	.
*		— Мом. ;
Диапазон элемитов звеньев ПВ2 при реализации их схемой рис. 3.12а
опредеяяета|г в соответствии с выражениями табл. 3.2:	,
Сь с2 » —" А---------= 260 пф, ;
...... .	2 Л /о А!вх Н2
Д1<^Вхн2 = 0,6 Мом,
1 0 ОМ = 1?выХ Н2 ^?2 ^?ВХ Н2 “ 0,6 МОМ.
Далее произведем ориентировочный расчет величин элементов звеньев для
случая, когда передача активного элемента k=\.
Величины элементов звеньев ПН2 находим из системы двух уравнений для
коэффициентов Ь, и Ь2 (табл. 3.1). Задавшись T?i=/?2=10 ком, получим ре-
зультаты, приведенные в табл. П.3.7.
Расчет элементов звеньев ПВ2 производится аналогично в соответствии
с табл. 3.2.
При этом необходимо задаваться условиями Ci = C2 и = 1 ком. Найден-
ные значения величин элементов заданных звеньев приведены в табл. П.3.8.
	ТАБЛИЦА п.3.7		ТАБЛИЦА п.3.8		
Звенья ПН2	С,, пф	С2, пф	Звенья ПВ2	С: - Cs, пф	R,, ом
ПН-1	3700	36 000	ПВ-1	69 000	1030
ПН-II	1500	32 000 <	ПВ—II	168 000	450
ПН-I II	720	40 000 .	ПВ—III	365 000	180
ПН-IV	170	130 000	ПВ—IV	1480 000	13
Как видно из приведенных в таблицах данных, ие все полученные значе-
ния величин элементов соответствуют разрешенным диапазонам, определенным
ранее. Выход состоит в изменении соотношения величии элементов в рамках
соответствующих систем уравнений, что приведет к изменению лишь коэффи-
циента передачи k усилителя. Однако окончательный выбор величии элементов
целесообразно отложить до получения результатов расчета других параметров
фильтра, что позволит сократить число используемых в схеме номиналов.
8)	Оптимизация чувствительности.
Расчет соотношения величин элементов с целью оптимизации чувствитель-
ности производится по ф-ле (3.68) при заданных соотношениях нестабильностей
(3.61а) п (3.6!б).
Для звеньев ПН2, особенно для самого высокодобротного звена ПН—IV,
необходимо использовать относительно термостабильные слюдяные конденса-
торы. При применении сопротивлений типа МЛТ получим: 1/1=У2 = 5,0 и z=l.
— 242 —
Допустим, что относительная нестабильность коэффициента передачи усилителя
x — i. В результате получим оптимальное соотношение емкостей:
2 1а (•* "h У1 ~h У г + 2 + 1) + х -ф г + 1
«опт =-------------------—------------------ = 9 •
Для выполнения этого оптимально-
го соотношения необходимо полученные
выше величины конденсаторов Ci и С2
умножить и разделить соответственно
на величину Q/mOn-r. Результаты рас-
четов сведены в табл. П. 3.9.
В случае звеньев ПВ2 для умень-
шения общих габаритов фильтра при-
ходится использовать конденсаторы с
бумажным диэлектриком, т. е. элемен-
ты с большей нестабильностью. Поэто-
му в данном случае, воспользовавшись
переводной табл. 3.7, получим у1~у2 — 2,
ТАБЛИЦА П.3.9
Звенья ПН2	Q/mOHT	Ct, пф	Cs, пф	k
ПН-1	1	3700	36 000	1
ПН—II	1,51	2270	21 000	1,071
ПН—III	2,42	1740	16 500	1.12
ПН—IV	8,85	1500	14 700	1,185
2=1 и х=1,4, что дает оптимальное соотношение сопротивлений
2 I2 (х -г У1 + Уч + 2 + 1) + х + z 1
«опт =----------------------------------- =7,7
X
Это означает, что для получения нового значения необходимо прежнее ум-
ножить на Q2/m-onT, причем для сохранения справедливым равенства для ко-
эффициента Ь2в (табл. 3.2) необходимо уменьшить емкости Ct и С2 в Q/monr
раз. Результаты приведены в табл. П.3.10.
таблица п.з.ю
Звенья ПВ2	Q/mOnT	Q2/777 опт
ПВ—I	1,12	1,256
ПВ-П	1,7	292
ПВ—III	2,72	7,4
ПВ-IV	10.°	100,0
Cj.Cg, пф	ом	k
61500	1300	1,027
99 000	1310	1,106
134 000	1330	1,164
148 000	1300	1,234
Поскольку нестабиль-
ность фильтра определяет-
ся в основном нестабильно-
стью самых высокодоброт-
ных звеньев (в данном слу-
чае звеньев ПН—IV и
ПВ—IV), то соотношения
элементов остальных звень-
ев могут отличаться от оп-
тимального, что позволяет
сократить число номиналов
схемы.
Если после расчета оп-
тимального соотношения
		таблица			П.3.11	элементов не все они вхо- дят в диапазон разрешен-
						ных величин (например,
ПН 2	Ci, пф	Gj , Пф	Rt=Ra, ОМ	т*	k	емкость Ci звеньев ПН—III и ПН—IV), то необходимо
						изменить величину норми-
ПН—I	3300	30 000	11000	9,1	1,006	рующего сопротивления. К
ПН—п	3300	30 000	7500	9,1	1,079	этому средству удобно при- бегать и при выравнивании
ПН—III	3300	30 000	5100	9,1	1,132	номиналов элементов схем
ПН—IV	3000	30 000	5100	10	1.177	различных звеньев. В ре- зульта ге подобных преоб-
						разованнй получим значе-
ния величин элементов
звеньев фильтра, приведенные в табл. П. 3.11 и П. 3.12.
Как видно из таблиц, выбранные величины элементов звеньев незначи-
тельно отличаются от оптимальных соотношений даже для иизкодобротных
звеньев.	.	-	‘ :
— 243 —
таблица п.3.12	9) Порядок каскадного					
Звенья ПВ2	Ci. С2, пф	/?,, ом	/?2, ОМ	тг	иисгриегши филыра. Для уменьшения влпя- *	ния перегрузки усилителей звеньев необходимо вы-
ПВ—I ПВ-П ПВ—III ПВ—IV	47 000 147 000 147 000 147 000	13 500 7200 10 000 10 000	1390 815 1100 1310	9.5 _ 8,8 9,1 , 7,65	брать каскадное построе- 1,002	Ние фильтра в порядке воз- 1 084	растающей	добротности звеньев со стороны входа 1,132	фильтра. Как отмечалось в । 22	разд. 3.4, для облегчения условий стыковки непосред-
ся звенья с максимально					
отличающимися резонансными частотами. В данном фильтре это означает сое-
динение звеньев ПВ2 и ПН2 одинаковой добротности.
Поскольку условия непосредственной стыковки ухудшаются с ростом доб-
ротности звеньев, то здесь достаточно проверить условия стыковки звеньев
ПВ—IV и ПН—IV, т. е. выходное сопротивление звена ПВ—IV должно быть
значительно меньше входного сопротивления звена ПН—IV во всем диапазоне
рабочих частот. Наихудшие условия стыковки имеют место на резонансных
частотах соединенных звеньев. Для звеньев Г1В—IV и ПН—IV эти параметры
стыковки, рассчитанные по ф-лам (3.98) и (3.101), будут следующие:
при частоте
входное сопротивление ПН-IV
выходное сопротивление ПВ-IV
£2=0,296
1,5-10б ом
500 ож
й=3,381
365 ом
10,1 ом
Эти результаты показывают, что условия непосредственной стыковки выполняют-
ся, т. е. при построении фильтра можно обойтись без буферных каскадов.
10) Настройка фильтра и результаты эксперимента. Настройка фильтра осу-
ществляется позвенно, т. е. каждое звено ПВ и ПН подстраивается отдельно по
своим контрольным точкам Q’ а'п и Й' ,	,, соответственно, по-
тПВ’ тПВ тПн Щи ПН
ложение которых (рис. 2.14) определено в результате решения задачи аппрок-
симации. Настройку фильтра более удобно производить подбором сопротивлений.
Рис. П3.4. Принципиальная схема фильтра примера 3
— 244 —
В каждом звене необходимо (выделить два таких подстроечных сопротивления,
которые позволят производить подстройку по частоте и усилению (добротности)
практически независимо. В данном случае настройка по частоте осуществляется
сопротивлениями Rz в звеньях ПВ и ПН (рис. 3.12а и 3.7а), а усиление звеньев
атПВ и атПН регулируется величиной сопротивления R?, определяющего коэф-
фициент передачи усилителя напряжения рис. 3.3.
На рис. П.3.4 представлена полная принципиальная схема фильтра. Уста-
новленные в схеме конденсаторы имеют разброс 10%, а сопротивления — 5% при
номиналах, указанных в приведенных выше таблицах (п. 8). Рассчитанный в со-
ответствии с данным разбросом диапазон подстроечных сопротивлений для
каждого звена приведен ниже в табл. П.3.13, причем сопротивления, регули-
рующие частоту (R4), рассчитывались по формулам для коэффициентов Ьз
и'Ьзв (табл. 3.1, 3.2), а регулирующие усиление (Ry) — в соответствии с вы-
ражением (3.21). Здесь же для сравнения показаны полученные фактически
величины. Совпадение можно считать удовлетворительным.
Рис. П3.5. Характеристика фильтра примера 3
— 245 —
таблица п.злз
Звено	лч	КОМ	«У	
	Расчеты.	Фактич.	Расчеты.	Фактич.
ПВ-1	1,14-1,8	1,63	204-39	30
ПН—1	94-14	11,1	404-60	56
ПВ—и	0,624-1,0	0,75	2504-330	300
ПН-11	5,74-9,7	6,42	2204-280	220
пв-ш	0,854-1,4	0,93	4804-580	580
ПН—III	44-6.5	5,1	6804-800	770
пв-iv	14-1,7	1,3	10004-1300	1300
ПН—IV	44-6,5	4,5	9004-1200	1150
Часто: 1ая характеристика фильтра, измеренная при различных температу-
рах, привет ?на на рис. П.3.5. Наибольшее отклонение характеристики происходит
в полосе пропускания на
резонансных частотах са-
мых высокодобротных зве-
ньев, что соответствует вы-
водам разд. 3.3.
г 1 A	Общий вид фильтра,
*	смонтированного на печат-
ных платах, показан на
рис. П.3.6.
Пример 4. Рассчитать
фильтр нижних частот,
удовлетворяющий следую-
щим требованиям:
— частота среза фильт-
ра /1 = 7100 гц,
— неравномерность за-
тухания в полосе пропуска-
ния должна быть не хуже
Да=2 дб,
Рис. П3.6. Фильтр примера 3
— полоса задержива-
ния 84004-20009 гц,
— относительное зату-
хание в полосе задержива-
ния ие менее 40 дб,
— выходное напряжение около 0,5 в на высокоомной (104 ом) нагрузке.
Заданная частотная характеристика фильтра нч аппроксимирована дробной
функцией 7-го порядка с одним нулем передачи
,___________________________1 + 0,694 р8___________________________________
7 “ (1-ф5,6004р) (1+1,11894р+3,7204р8) (1+0,235р	,393/Л) (14-0,047р4-1,01вр8)’
полученной из данных таблицы П.1.16.
Порядок расчета фильтра
1)	Анализируем аппроксимирующую функцию.
Реализуемая функция передачи фильтра нч состоит из сомножителя 1-го по-
рядка вида (2.64), двух полиномиальных сомножителей 2-го порядка (2.63)
— 246 —
и едноге дробного сомножителя 2-го порядка вида (2.80). Прежде всего необ-
ходимо впределить конкретно дробный сомножитель, т. е. выбрать, с какими
полюсами должен объединиться нуль передачи функции 2-го порядка. Этот
выбор производится с учетом влияния соотношения соответствующих коэффи-
ТАБЛИЦА п.3.14
1	bl	ь,	Q	2он	smH	“mH
I	5,6004	—	—	—.	—	—
II	1,1189	3,7204	3,45	0,522	0,504	—5,0
III	0,235	1,393	10,0	0,852	0,845	—14,0
пиентов аппроксимации Ьг, Ь2. На основании данных таблицы 3.9 некоторое
уменьшение чувствительности ожидается при меньшем значении br/b2, однако
это приведет к большему диапазону величин элементов и, кроме того, при
этом максимальная добротность
чивает максимальное затухание
него элемента. Поэтому дроб-
ную функцию передачи выбе-
рем, объединив числитель
функции передачи с высоко-
добротным множителем знаме-
нателя.
Рассчитанные параметры
сомножителей приведены в таб-
лицах:	полиномиальные в
табл. П3.14, дробный Ьг =
= 0,694 — в таблице П.3.15.
приходится на полиномиальное звено, что увелн-
звена i(2.77), а значит и перегрузку его актив-
ТАБЛИЦА П.3.15
Звено	bi	ь2	Q	20Н	2тНд	атНд
IV	0,047	1,016	42,7	0,996	0,995	-16,5
2) Реализация.
Полиномиальное звено 1-го порядка реализуется пассивной /?С-цепью. Звенья
9-го порядка с комплексными полюсами передачи реализуются звеньями с уси-
лителями напряжения. Расчет полиномиальных звеньев производится в соот-
ветствии с методикой, изложенной в разд. 7.3.
Расчет элементов дробного звена осуществляется по ф-лам (3.34), (3.37)
и выражениям, приведенным в табл. 3.5, 3.9 и 3.10 для звена НЧ2-1НЗ-Д. Ис-
ходными данными при этом являются нормирующее сопротивление 7?д, опреде-
ленное при расчете активного элемента, и соотношение элементов ф, которое
выбрано равным 0,5.
Звенья соединяются каскадно в порядке возрастающего затухания, чтобы
избежать перегрузки усилителей.
Полная принципиальная схема фильтра приведена на рис. П.3.7.	I
Рис. П3.7. Схема фильтрЛПрймера 4
— 247 —
3)	Экспериментальные результаты.
Частотная характеристика фильтра, настроенного в соответствии с изло-
женной в разд. 7.3 «активной» методикой, представлена на рис. П.3.8. Характери-
стика фильтра имеет удовлетворительную температурную стабильность.
Рис. П3.8. Характеристика фильтра примера 4
Пример 5. Рассчитать фильтр нижних частот с ограниченней полосой про-
пускания, удовлетворяющий следующим требованиям:
—	полоса пропускания фильтра от f-i=40 гц до fi — 60 гц;
—	неравномерность затухания в полосе пропускания должна быть не хуже
Да =1,5 дб;
—	полоса задерживания /=100 гц и выше до 500 гц;
—	относительное затухание в полосе задерживания, начиная с частоты
f = 100 гц а^ЗО дб;
—	выходное напряжение около 0,5 в на высокоомной (104 ом) нагрузке.
Расчет фильтра произведем в следующем порядке. ,
— 248 —
1) Аппроксимация заданной амплитудно-частотной характеристики.
Поскольку не оговорены требования к характеристике фильтра в диапазоне
частот от 0 до 40 гц, то с целью уменьшения общего числа звеньев целесообраз-
но решать аппроксимационною задачу на основе характеристик фильтров ниж-
них частот с ограниченной полосой пропускания (разд. 2.7).
Определим нормированную частоту ограничения фильтра, как отношение
/_1	40
Й_1 =—= -gg- = 0,6666.
Нормированная частота в полосе задерживания обычного фильтра нч равна
2___ 100
А " 60
1,666.
Эта же частота в случае фильтра нч с ограниченной полосой пропускания
рассчитывается по ф-ле (2.12-7)
о _ 1 / Q2 ~	- 1/ 1.66662 — 0.66662 _ „ п,
нп У 1—«Li V 1 —0.66662	' ‘
Из кривых рис. П.2.1, по вычисленной Пнп и заданным Да и а определим
класс фильтра по затуханию: п=4. Заметим, что в случае обычного фильтра
нч, т. е. при использовании значения Q, необходимый класс фильтра равен о.
Таким образом, уже на этапе аппроксимации получаем очевидный выигрыш.
Из табл. П.1.5 выпишем коэффициент аппроксимации функции передачи ич
прототипа и -по ф-лам (2.129а) рассчитаем соответствующие коэффициенты ап-
проксимации искомой функции передачи фильтра нч с ограниченной полосой
пропускания. Результаты расчета сведем в табл. П.3.16.
ТАБЛИЦА П.3.16
Звено	Ь,	Ь2	Q	ь<нп	ЬгНП	Онп	гни
I	2,41140	3.57 906	1.5	0,44 528	2,02 138	6,4	10
II	0,28289	1,01 367	7,1	0,15 696	1,01 753	13	5
Из данной таблицы наглядно видно возрастание добротностей звеньев по
сравнению с исходным нч прототипом. Там же показано усиление каждого
звена фильтра в полосе пропускания, найденное по (2.128).
В заключение решения задачи аппроксимации по ф-лам (2.76) и (2.77) с
заменой в них коэффициентов bi и Ь2 на bi нП и Ь2Нп, соответственно рассчи-
таем координаты контрольных точек характеристик звеньев (рис. 2.10):
для звена I Йтн = 0,685, а,„ ц = —10,19;	'•
для звена II (2тон =0,985, атн = —16,18.	(
По этим данным может осуществляться настройка звеньев фильтра.
2) Реализация фильтра и расчет величин элементов схех^.
Как видно из результатов решения аппроксимационной задачи, необходимо
реализовать функции передачи 2-го порядка сравнительно низкой добротности.
Поэтому для достижения заданной характеристики целесообразно использовать
простейшие звенья па основе единичных усилителей, что при реализации всего
фильтра каскадным соединением звеньев 2-го порядка обеспечивает минималь-
ное число транзисторов на порядок функции передачи. Во шмем за основу звенья
на основе единичных усилителей напряжения, поскольку ежи обладают потенци-
ально большим динамическим диапазоном и дают возможность несколько умень-
9—456	_ 249 —
шить величины емкостей схемы за счет большей допустимой величины сопро-
тивлений и Т?2 (рис. 3.7), хотя в общем случае последнее преимущество не-
значительно.
Расчет величин элементов звеньев производится на основании данных
табл. 3.1 и в основном сводится к решению системы двух уравнений:
Ci (Ri д Rz) С2 Rz (k — 1) — bj Ri Rz Ci C2 — ^2 нп,
а условия реализации (раздел примечаний) можно проверить в конце расчета.
Приведенная выше система двух уравнений содержит пять неизвестных.
Необходимы еще три условия. Первое из них получим, задавшись отношением
• /2	1
сопротивлении г- = —=1.
Rz
Второе условие определяется выборам-сопротивления в цени базы входного
транзистора усилителя напряжения (рис. 3.3), которое представляет собой
сумму сопротивлений Ki и R2 звена фильтра. Для уменьшения величины емко-
стей и улучшения условий непосредственной стыковки звеньев эти сопротивления
следует выбирать возможно большими, однако увеличение сопротивления в це-
пи базы транзистора ухудшает температурную стабильность усилителя. В дан-
ном случае выберем Ri—Кг = Ко= 10 ком. Это же сопротивление примем за нор-
мирующее.
С2
Наконец, третьим условием является выбор отношения т2 = —, оптималь-
С1
ного с точки зрения чувствительности характеристики фильтра к нестабильно-
сти элементов схемы. Расчет оптимального соотношения тг производится по ме-
тодике, изложенной в § 3.3. Исходные данные для этого расчета выберем сле-
дующие: нестабильность бумажных конденсаторов типа МБМ—3%, резисторов
типа МЛТ—0,1%, коэффициента передачи усилителя напряжения — 0,05%. В
соответствии с (3.61а) и (3.616) получим соотношения нестабильностей элемен-
тов схемы звеньев:
х = 0,017, Ui = у2 = 0,034, z= I.
Поскольку нестабильности пассивных элементов схемы и нестабильность ко-
эффициента передачи усилителя отличаются более, чем на порядок, т. е. не-
стабильность в основном определяется пассивными элементами — конденса-
торами, то нецелесообразно использовать формулы для расчета оптимального
соотношения элементов т2. Как видно из выражений (3.56) и '(3.49) минимйль_-
ная чувствительность к наиболее нестабильным элементам (конденсаторам С,
и С2) достигается при единичном коэффициенте усиления. Поэтому третье усло-
вие расчета элементов звена состоит в выборе величины коэффициента передачи
вблизи единицы. Воспользовавшись соотношением (3.60), определим коэффициент
k 1
передачи усилителя из условия ---~—
k—1	х	-	.....
Получим	,,
Таким образом, определены все три дополнительные элемента, и исходная
система двух уравнений стала разрешимой. Результаты решения ее для обоих
звеньев:
для звена I	С! = 0,0757 мкф,	С3= 1,893 мкф,
для звена II	Ci = 0,0377 мкф,	С3= 1,905 мкф.
*' На основании проделанных расчетов произведем выбор величин элементов
схем звеньев в соответствии с существующей шкалой номинальных значений.
— 250 —
Основным критерием является второе уравнение исходной системы, а неизбеж-
ный разброс элементов скомпенсируем подстройкой сопротивления R>. Результа-
ты расчета звеньев сведем в табл. П.3.17.
ТАБЛИЦА П.3.17	ТАБЛИЦА П.3.18
Звено	Ci, мкф	С2, мкф	Rlf ком	R2, ком	k	Звено	КОМ	R *	, Ком мин	R	,ком макс
I	0,1	2,0	8.2	8,61	1,028	I	5.6	0,4	7,4
II	0,05	2,0	8,2	8,8	1,022	II	5,6	0,4	7,5
Рассчитаем диапазон подстроечных сопротивлений в соответствии с мето-
дикой, изложенной в разд. 7.3.
Выберем исходные данные для расчета регулировки звеньев по частоте:
Art = Ar 2==^с»~ Лс2 = Дг*=0,1, т. е. все элементы звена с 10-пропсптным допу-
ском. Требуемая точность настройки зависит от добротности звена, в данном
случае для первого звена имеем ДЬ2 = 0,01, а для второго АЬ> = 0,005. Проверив
по (7.11), находим, что при выбранных условиях заданная настройка невозмож-
на для обоих звеньев. Наиболее простым выходом из создавшегося положе-
ния является увеличение точности подстроечного сопротивления, так как бу-
мажные конденсаторы не выпускаются с меньшим допуском, а использование
прецизионных сопротивлений менее эффективно. Выберем для подстройки пере-
менные сопротивления типа ППЗ—43, которые позволяют установить необхо-
димое значение с точностью 0,5-4-1 %. Рассчитанные по ф-лам (7.3), (7.5) и
(7.6) необходимый диапазон подстройки и основное сопротивление R2 приведе-
ны в табл. П.3.18.
.В заключение рассчитаем подстроечные элементы, регулирующие коэффи-
циент передачи усилителя (добротность звена).
Вначале по ф-лам (7.13) и (7.14) рассчитаем диапазон коэффициента уси-
ления k, определяемый 10-процентным разбросом величин пассивных элементов
звеньев. Получим для звена I £м11Кс = 1,0489, йМИн = 1,0166, для звена II /гмакс =
= 1,0369, Ащин= 1,0168.
Далее, задавшись опять 10-процентным разбросом сопротивлений Arlft =
= Дг28 = Аг^ =0,1, проверим по ф-ле (7.27), выполняется ли условие реализуе-
мости регулировки. Для первого звена, где выбрана точность настройки АА =
= 0,03, получим, что оно не выполняется, т. е. настройка при заданных разбро-
сах элементов невозможна. При использовании элементов с 5-процентным раз-
бросом, т. е. Ark = &.r2k-= кг/г =0,05, условие (7.27) также не выполняется. На-
стройка возможна при условии выбора Аг*^ = 0,03, т. е. практически здесь це-
лесообразно применить переменное сопротивление. В таких же условиях на-
ходится и второе .звено, которое необходимо настраивать с точностью А/г = 0,005.
Таким образом, задавшись окончательно Аг^ =Аг2л = 0,1, Аг^ =0,005 и
1(?28=4,7 ком, рассчитаем по (7.23), (7.22) и (7.20) необходимые элементы.
Результаты приведены в таблице П.3.19. Полученная принципиальная схема
фильтра представлена на рис. П.3.9.
3)	Настройка фильтра и результаты эксперимента.
Регулировка фильтра осуществляется позвенно по методике, описанной в
гл. 7. Характеристика фильтра|(рис. П.3.10) соответствует заданным требованиям.
Пример 6. Рассчитать фильтр верхних частот с ограниченной полосой про-
пускания, удовлетворяющий следующим требованиям:
—	полоса пропускания от /'-1 = 8,4 кгц до /у = 13 кгц;
—	неравномерность затухания в полосе пропускания должна быть не хуже
Да = 3 дб;
9*	— 251 —
— полоса задерживания от f = 0,3 кгц до 7,1 кгц; t — относительное затухание в полосе задерживания не — выходное напряжение около 0,5 в на высокоомной Расчет фильтра производится в сле- дующем порядке.			менее 12 дб; (10'* о.и) нагрузке. ТАБЛИЦА П.3.19	
1) Аппроксимация заданной ампли- тудно-частотной характеристики фильтра. Поскольку для данного фильтра	Звено	«1'к. ОМ	R	,ом к мин	R	,ОМ /смаке
верхних частот полоса пропускания не распространена до бесконечности, то можно рассчитывать фильтр с ограни- ченной полосой пропускания, аналогич- но рассмотренному выше фильтру ниж-	I II	62 62	2 3	215 150
иих частот. Методика решения аппрок-
симационной задачи фильтра вч с ограниченной полосой пропускания может
основываться на результатах аппроксимации соответствующего фильтра пч-про-
тотипа с использованием обратного преобразования частоты.
-гьв
Рис. П3.9. Схема фильтра примера 5
Определим нормированную ча-
стоту ограничения фильтра нч
прототипа:
/-1
й_! = у- =0,646.
Нормированная частота на
верхней границе полосы задержи-
вания обычного ич прототипа
Й = -у—=1,182.
Нормированная частота для
нч прототипа с ограниченной по-
лосой пропускания рассчитывает-
ся по ф-ле (2.127)
Рис. П3.10. Характеристика фильтра
примера 5
, / Q2 — Q2
QHn=|Z ! _й2_— =1-3.
По кривым рис. П.2.1 (приложение 2) на основании рассчитанной нормиро-
ванной частоты Пнп и заданным неравномерности в полосе пропускания и отно-
сительному затуханию в полосе задерживания определим класс фильтра по зату-
ханию: п~4. Заметим, что в случае использования обычной аппроксимации не-
обходимый класс фильтра был бы равен 5.
— 252 —
Выпишем из табл. П.1.6 коэффициенты аппроксимации bi и Ьа функции пе-
редачи нормального нч прототипа. Далее по ф-ле (2.1'29а) рассчитаем соответст-
вующие коэффициенты аппроксимации Ь1НП и Ь2НП функции ограниченного ич
прототипа и, наконец, из последних на основе обратного преобразовали частоты
(2.56) определим коэффициенты аппроксимации Ь1вп и Ь2ВП искомой функции
передачи фильтра вч с ограниченной полосой пропускания.
Поскольку ограничивающая нормированная частота весьма близка со-
ответствующей частоте в рассмотренном выше примере 5 и порядки аппроксими-
рующих функций совпадают, можно воспользоваться результатами аппроксима-
ции из предыдущего примера. Остается лишь воспользоваться соотношениями
(2.88). Результаты расчета сведены в табл. П.3.20.
Усиление звеньев в полосе пропускания такое же, а именно: для первого
звена йг1==10 дб, для второго £2 = 5 дб, что для всего фильтра дает усиление
15 дб в полосе пропускания.
В заключение аппроксимационной задачи рассчитаем по ф-лам (2.93), (2.94)
и (2.76), (2.77) координаты контрольных точек характеристик звеньев. Получим
для звена I Птв = 1,459, атв =—10,19, для звена II Йтв=;1,015, атВ~ —16,18.
По этим точкам осуществляется регулировка звеньев.
2) Реализация фильтра и расчет элементов схемы.
Поскольку реализации подлежат сомножители функции передачи сравни-
тельно низкой добротности, то сс целесообразно осуществить звеньями па осно-
ТЛБЛИЦА п.3.20	ТАБЛИЦА П.3.21
Звено |	Ь1ПН	Ь2НП	Qnn	Ь1ВП	Ь2ВП	Овп	Звено	Cj= с2 пф	Rs ком	k
I	0.44 528	2,02138	6,4	0,22 197	0.49 492	6,4	I	2910	139	1.089
II	0,15 696	1,01753	13	0,15 334	0.98 345	13	II	4100	139	1.138
ве единичных усилителей. Возьмем за основу звенья с усилителями напряжения
(рис. 3.12a), что позволит использовать фильтр при больших уровнях входного
сигнала.
Расчет величин элементов звеньев производится на основании данных таб-
лицы реализации (табл. 3.2), откуда получим два уравнения:
Rz (Сг + С2) Ri Cj (1 — k) = b] gQ ; R2 Cj C2 = b2 gfj
(приведенные в таблице неравенства необходимы только для проверки условий
реализации).
Для определения пяти неизвестных введем три дополнительных условия:
Ci
зададимся отношением емкостей /2=— =1.
С2
Второе условие определяется выбором сопротивления в цепи базы входного
транзистора усилителя напряжения (рис. 3.3), которое в данном звене совмеще-
но с сопротивлением звена Ri. Выбираем для обоих звеньев Ri= 15 ком. При-
мем. что относительно этого сопротивления осуществляется нормирование.
Ri
Третьим условием является выбор отношения сопротивлений т2= — , оп-
°2
тимальный по чувствительности характеристики звена к нестабильности его эле-
ментов. Расчет оптимального соотношения элементов т2 производится по мето-
дике, изложенной в § 3.3. Исходные данные выбираем следующие: нестабиль-
ность слюдяных конденсаторов типа СГМ^О.02%, резисторов типа МЛТ—0,1%
- 253 —
и коэффициента передачи усилителя напряжения — 0,05%. В соответствии с вы-
ражениями (3.61а) и (3.616) при учете переводной табл. 3.7 получим соотноше-
ния нестабильностей элементов схемы звеньев ВЧ2-1Н:
х = 0,5, У1 = у2 = 0,2, z = 1
Далее по ф-ле (3.68) определим оптимальное соотношение сопротивлений в звене:
«опт= 10-8
Результаты решения системы уравнений для обоих звеньев представлены в
табл. П.3.21.
Теперь выберем величины элементов схем звеньев в соответствии с номиналь-
ной шкалой ГОСТ. При этом основным критерием является выполнение второго
уравнения исходной системы, а возникающий при этом разброс величии компен-
сируется изменением регулировочного сопротивления Дг- Результат приведен в
табл. П.3.22.
таблица п.3.22	таблица п.3.23
Звено	Ci=C2 пф	Ri, ком	Rg, ком	k	Звено	R2, ом	R * , ОМ МИН	R * , ом. макс
I	3900	10	1.20	1,136	I	750	40	1000
II	3900	15	1,33	1,136	II	820	60	1100
Для уменьшения общего числа номиналов конденсаторов в схеме отношение
сопротивлений т2 в первом звене выбрано несколько ниже оптимального. Так
как это звено имеет меньшую чувствительность к нестабильности элементов, не-
стабильность характеристики всею фильтра практически не ухудшится.
В заключение произведем расчет регулировочных сопротивлений при тех же
исходных данных (разбросах элементов и точности настройки), чго и в предыду-
щем примере. Здесь приведем только результаты расчета.
Диапазоны регулировочных сопротивлений для настройки звеньев по частоте
приведены в табл. П.3.23, а значения сопротивлений для регулировки добротно-
сти звеньев — в табл. П.3.24.
ТАБЛИЦА п.3.24
Звено	^макс	ь мин	R., . ом 1я	R* , ом «мин	R?	,ом «макс
I	1,196	1,09	330	15	800
11	1,184	1,094	330	30	720
Полная принципиальная схема фильтра представлена на рис. П.3.11.
3) Настройка фильтра и результаты эксперимента.
Регулировка фильтра осуществляется по контрольным точкам характеристик
звеньев (рис. 2.11), рассчитанным на этапе аппроксимации. Характеристика филь-
тра (рис. П.3.12) соответствует заданию.
Пример 7. Рассчитать фильтр нижних частот по следующим требованиям:
—	полоса пропускания до /1=3,4 кгц;
—	неравномерность затухания в полосе пропускания Да = 0,5 дб;
—	избирательность—соответствующая полиномиальному чебышевскому филь-
тру 3-го порядка;
—	число транзисторов минимально;
—	выходное .напряжение около 0,5 в на высокоомной (104 ом) нагрузке.
_ 254 —
Для реализации фильтра по заданным требованиям воспользуемся описанным
в § 3,5 методом предыскажений.
Исходное выражение знаменателя коэффициента передачи (р+1,5966) X
X (И-0,54’83р + 0,8754р2) берем из табл. П.1.4. Реализация множителя 1-го по-
Рис. П3.11. Схема фильтра примера 6
рядка пассивным 1/?С-звеном осо-
бых пояснений не требует. В ка-
честве активного элемента звена
2-го порядка выберем эмиттер-
ный повторитель. Попытка реали-
зовать рассчитываемое звено,
приняв величину k в ф-ле (3.115)
равной единице, дает характери-
стику относительного затухания,
показанную на рис. Г1.3.13о
штрих-пунктиром, С помощью
(3.115) можно убедиться в том,
что эта характеристика соответ-
ствует ^=0,94 и, следовательно,
по (3.117) и (3.118)
^(b-^xi + H ==0[219
bi
поскольку для выбранного поли-
нома Ь1 = 0,5483, а величину /2
примем равной единице. Значе-
ние k можно найти и чисто рас-
четным путем, определив вели-
чину входного сопротивления уси-
лительного элемента н его коэф-
фициент передачи по известным .
из литературы формулам.
Сдвинув нули сомножителя 2-го
порядка вправо на величину б, .
получим:
Рис. П3.12. Характеристика фильтра при^
мера 6
(рф. 0,312 — 0.219 + i 1,02) (р -I- 0,312 —0,219 — 1 1,02) = р2 ф-(Ц88р ф-1 Л32.
Приравнивая значения элементов схемы рис 3.31 и 3.7.
2/?!^' = 0,186, RtC\ R2c’2 = 1.132 Д' '	. '
— 255 —
и считая Ri=Rz=3 ком, находим:
Cj = 18 8 000 пф и С* = 1467 пф.
Далее определяем Gi = 62n/iC1 =---------. Фактически используемая в электри-
с;
ческой схеме емкость Cj = -------—~ =1379 пф.
1 Н- R&
Характеристика фильтрового звена 2-го иорядка, рассчитанного с помощью
метода предыскажений, показана на рис. П.3.13а пунктиром, а сплошной кривой—
характеристика всею фильтра, включающего также н пассивное звено. На рис.
П.3.135 дана схема фильтра.
Рис. ПЗ. 13. Схема и характеристика фильтра примера 7
Пример 8. Рассчитать полосно-задержнвающий (заграждающий) фильтр,
удовлетворяющий следующим требованиям:
—	полоса пропускания»— ниже f-i=0,2 кгц и выше Л = 2 кгц;
—	неравномерность затухания в полосе пропускания — не более 1 дб;
—	затухание в полосе задерживания — от f—га=0,5 кгц до />а = 0,8 кгц не
менее 50 дб;
— напряжение сигналов на входе — до 300 мв.
1) Определим среднюю I еометрическую частоту полосы задерживания, отно-
сительно которой производится нормирование режекторпого фильтра по частоте
/о = V /-1 Л = 0,632 кгц,
и нормированную частоту заданного затх хания	:>
2) С помощью рис. П.2.1в устанавливаем, что требуемое подавление может
обеспечить фильтр, соответствующий нч прототипу с полиномиальной чебышев-
ской характеристикой при п — 3.
3) Взяв из табл. П.1.4 множители прототипа, путем преобразования частоты
(2.62) получаем выражение для коэффициента передачи заграждающего фильтра:
н	Р2 3+ 1	рЧ-1_____________0,11399 (рЧ1)
{Р’ р2+4,55037рф-1 8,7725р2 yl,4028p j-1 0,11399/А) 0,15991/? -'-1 ’
нормированное по частоте относительно 0,632 кгц.
Результаты расчета добротностей и координат контрольных точек звеньев
(§ 2.7) приведены в табл. П.3.25.
— 256 —
ТАБЛИЦА П.3.25
Звено 1	bi	Ь/	Q	2тНд ; етВд	а^Нд : атВд	ьг
I	4,55 037	1	0.44	—	—	1
II	1,4028	8,7725	4,2	0,316	5,78	1
	0,15 991	0,11 399	4,2	3.16	24,7	1
Выбираем звенья с единичными усилителями.напряжения. Для реализации
первого множителя (Q< 1) используем пассивное звено Г13Ф2—П (рис. 3.14 г),
второго множителя — звено НЧ2—IH3—Д (рис. 3.19в) и третьего множителя—
звено (ВЧ2—IH3—Д (рис. 3.21ь). Расчет величин элементов звеньев произво-
дится по формулам, приведенным в табл. 3.5, 3.6, а также по (3.34) — (3.37).
Задавшись для активных звеньев исходными данными /?( = !, ф=5, Ra~
= 1 ком, fo = 0,63'2 кгц и для первого (пассивного) звена ф = 1, получим резуль-
таты, приведенные в табл. П.3.26.
ТАБЛИЦА П3.26
Звено	Cif мкф	С2, мкф	С9, мкф	7?п ком	Иг, ком	Д3, ком	Со, мкф	А!о, ком	k
I	0,05	0,35	0,05	3	4,3	3	—	—	—
II	0,25	0,30	0,05	1,0	0,833	5,1	0,35	—	1,52
III	0,25	0,30	0,05	1.0	0,833	6,1	—	0,77	1,52
Рис. П3.14. Схема фильтра примера 8
Принципиальная схема фильтра приведена на рис. П.3.14.. Настройка осуще-
ствляется позвенно. Частота нуля передачи всех звеньев регулируется подбором
сопротивлений R3. Максимального затухания иа частоте нуля передачи доби-
ваются подбором сопротивлений Rz.
Настройка звеньев II и III по частоте осуществляется подбором конденса-
тора Со для звена II и сопротивления Ro для звена III, а по затуханию — из-
— 257 —
менением коэффициента передачи усилителя k. Характеристики фильтра приве-
дены на рис. П.З.Г5.
Пример 9. Рассчитать активный 7?С-фильтр на основе конвертора отрица-
тельного сопротивления, удовлетворяющий следующим требованиям:
— полоса пропускания от 0 до /1=1000 гц,
— неравномерность затухания в полосе Пропускания должна быть не хуже
Д«=1 дб,
— относительное затухание в полосе задерживания должно монотонно возра-
стать и достигать на частоте />а = 4000 гц значения аг>50 дб.
1)	Определяем нормированную частоту затухания
Рис.ПЗ.15. Характеристики фильтра примера 8
— 258 —
2)	На основании заданных величин a-i и Дд по кривым рис. П.2.1в выбираем
класс фильтра по затуханию: п = 4. В данном случае используем расчетные кри-
вые, построенные для неравномерности Да = 0,5 дб, чтобы иметь запас относи-
тельно заданной величины Д« = 1 дб при практической реализации фильтра.
3)	Из табл. П.1.4 выпишем соответствующие коэффициенты аппроксимации
и рассчитаем координаты контрольных точек характеристик звеньев и их доброт-
ности по ф-лам (2.74) — (2.78). Результаты расчета сведем в табл. П.3.27.
ТАБЛИЦА п.3.27
Звено	bj	ь2	й0Н	Qoh		атН	Q
I	2,3756	2,8064	0,597	2,9	—	.—	1,4
II	0,3297	0,9403	1,03	—9,4	l.o	—10,2	5,9
4)	Реализация аппроксимирующей функции. Каждый сомножитель 2-го по-
рядка аппроксимирующей функции можно реализовать любым из звеньев рис, 4.8
с конвертором отрицательного сопротивления, а полная схема фильтра будет,
следовательно, представлять собой каскадное соединение двух звеньев, разде-
ленных буферным каскадом.
Поскольку в данном случае необходимо реализовать сравнительно пизкодоб-
ротные сомножители, выберем звено НЧ2—Н1 (рис. 4.8), требующее высокоомной
нагрузки и источника напряжения на входе. Для выбранного звена можно ис-
пользовать конвертор отрицательного сопротивления любого типа; здесь отдадим
предпочтение схеме КОСТ (рис. 4.3), имеющей приблизительно одинаковые по-
тенциалы иа входных и выходных зажимах.
5)	Расчет йеличип элементов и построение принципиальной схемы фильтра.
Величины элементов звеньев определяются, как и для рассмотренных выше
примеров, на основе решения системы двух уравнений реализации коэффициентоз
аппроксимации bt и Ь2 (табл. 4.1).
Прежде чем приступать к решению системы уравнений, необходимо правиль-
но ориентировать выбранную схему КОСТ относительно пассивных элементов
звена (рис. 4.8<з). Определяющими моментами при этом являются условия устой-
чивой работы звена и система питания схемы активного элемента по постоянному
току. В данном случае КОСТ (рис. 4.3) ориентируем так, что его входные и вы-
ходные зажимы меняются местами при включении в схему звена. Это незначи-
тельно изменит исходную систему уравнений (табл. 4.1).
Получим:	•
л	Ci \
bl = G+ С,1-Х— .	\	,
\	^2 /
, Ь2 = Cl С2 Ri .
Для нахождения пяти неизвестных необходимо либо добавить еще три уравне-
ния, либо задаться неизвестными параметрами.
Как отмечалось в разд. 4.3, чувствительность реализуемой данным звеном
характеристики к нестабильности схемных элементов определяется выражениями,
аналогичными для звена НЧ2-2Т1, выведенными в разд. 3.3. Если исходить из
того, что максимальную нестабильность имеет активный элемент, го на основа-
нии данных разд. 3.3 минимальную чувствительность к изменению коэффициента
преобразования получим при выполнении условия CiRi = CzRz-
Выбранная прнципиальная схема КОСТ (рис. 4.3) практически лучше всего
приспособлена для реализации коэффициента преобразования х—1.
— 259 —
Поскольку режим смещения КОСТ определяется через сопротивление /?,
звена (рис. 4.8в), то относительно его и будем нормировать, т. е. выбираем /?2=1.
Таким образом, получим окончательно систему уравнений:
/ Ci \
bi — Ci Ri + Сг 1 — q |	?
b2 = Ci С2 Ri
Ci Ri = С2
Результаты решения ее для обоих звеньев при значении нормирующего со-
противления /?д = 2 ком сведем в табл. П.3.28.
ТАБЛИЦА П.3.28
Звено	/?2, ком	Rt, ком	Ct, мкф	Сг, мкф
I	2,0	3,5	0,076	0,133
II	2,0	1,2	0,128	0,077
ТАБЛИЦА П.3.2Э
Звено	C)t мкф	С2, мкф	Rt, ком	R,, ком
I	0,05	0,1	2,7	5,1
II	0,1	0,05	2,7	1.8
Полученные величины емкостей не соответствуют номиналам конденсаторов,
выпускаемых промышленностью. Поэтому, выбрав номиналы конденсаторов и из-
менив для этого величину нормирующего сопротивления 2?д=2,7 ком, произве-
дем перерасчет приведенных в таблице элементов. Полученные результаты даны
в табл. П.3.29.
Имеющееся отклонение от результатов, приведенных в табл. П. 3.28, является
допустимым для сравнительно нпзкодобротиых звеньев, составляющих данный
фильтр.
Принципиальная схема фильтра представлена на рис. П.3.16. В схему филь-
тра, кроме рассчитанных звеньев, входят еще два эмнттериых повторителя:
один—на входе, определяет режим смещения, второй является буферным кас-
кадом между двумя звеньями.
Рис. П3.16. Схема фильтра примера 9
6)	Настройка фильтра п результаты эксперимента.
Настройка фильтра с КОС осуществляется позвенно также, как и филь-
тров с единичными усилителями тока и напряжения. Однако методика на-
стройки звеньев несколько отличается.
Предварительно в каждом звене регулируется активный элемент, в данном
случае КОСТ. Сначала для выполнения условия (4.36) в соответствии с (4.24)
— 260 —
подбираются пары сопротивлений /?з = /?4 (рис. 4.3), а затем подбором сопро-
тивлений /?5 необходимо добиться выполнения второго условия идеальности
КОС (4.3а).	\
Дальнейшая Ьегулировка звена осуществляется по контрольным точкам,
как и звеньев с усилителями. При этом регулировка по частоте производится
подбором сопротивления Rs (рис. 4.8s), а настройка по добротности — незна-
чительным изменением коэффициента преобразования при подборе сопротивле-
ния R2 (рис. 4.3) в соответствии с (4.25). Практически таким образом обеспе-
чивается независимость регулировки.
Частотная характеристика фильтра представлена на рис. П.3.17.
Пример 10. Рассчитать полосовой фильтр, удовлетворяющий следующим
требованиям:
—	средняя частота fo = 8 кгц;
—	полоса пропускания по уровню 3 дб не менее 100 гц;
—	затухание при расстройке на ±1 кгц относительно fo — не менее 40 дб
при комнатной температуре и не менее 35 дб в диапазоне температур от —10°
до +50°С;
— выходное напряжение порядка 0,3 в на высокоомной (104 ом) нагрузке.
— 261 —
I) Принимая во внимание нестабильность элементов при изменении темпе-
ратуры, выбираем расчетную ширину полосы пропускания равной 250 гц. Тог-
да по (2.57«9 ш —0,03125. Также с учетом нестабильности характеристик при-
мем расчетную величину До = 0,5 дб и определим нормированную частоту за-
данною затухания (40 дб):
2) По кривым рис. П.2.1 находим ге = 3. Требования по заданному подав-
лению значительно перевыполняются.
3) Найдя в табл. П.1.4 коэффициенты аппроксимации нч прототипа с п —
= 3 и Дс = 0,5 дб и воспользовавшись ф-лой (2.78), определяем добротность
квадратичного множителя прототипа: Qo = 3,4. Зная Qj, по ф-ле (2.137) най-
дем соответствующую добротность множителей полосового фильтра: Q==200.
Поскольку при столь высокой добротности трудно обеспечить стабильность ха-
рактеристик фильтра и, вместе с тем, требования по подавлению выполняются
с большим запасом, откажемся ст чебышевской аппроксимации и получим тре-
буемую характеристику с помощью трех полоснопропускающих звеньев с по-
ниженной добротностью. Используем фильтровые звенья на основе усилителей
с ТТ-мостами, дающие характеристики вида (6.34).
Общая характеристика фильтра будет образована одним звеном с Q = 20,
настроенным на среднюю частоту полосы пропускания (8 кгц) и двумя звенья-
ми с Q = 80, частоты настройки которых сдвинуты на 125 гц вниз и вверх отно-
сительно 8 кгц. Соответствующий нч прототип описывается множителями:
_______1___________________1 _________
(0,3125р 1) ' (0,593р2 3 4 + 0,947р + 1) ’
Множителями полосового фильтра будут:
0,1____________0,025	_________1
р2 + 0,1р+1 ’ р2+ 0,025р+1 р2 + 0,025р+1 ’
4) Расчет элементов фильтра производится по формулам и рекомендациям
из [10]. Схема приведена на рис. П.3.18, характеристика — на рис. П.3.19.
Пример 11. Рассчитать по упрощенной методике полосовой пассивный RC-
фильтр по следующим требованиям:
— полоса пропускания 24-8 кгц;	:	 -ч т,
— 262 —
ное затухание на граничных частотах полосы 'Пропускания
дополните
iee 6 <36;
-	полоса зад
-	затухание b'i полосе задерживания не менее 20 <Эб;

-	допускается] использование разделительного усилителя.
живания 04-1 кгц и 16 кгц-4- °о;
-3d-
-20':
•I.'
-20
►
6
7,8

—15
-10
-5
f08,2 -
5
10
15
Рис. П3.19. Характеристи-
ки фильтра примера 10
+50°С
+20 °C
-1О°С
..-0

юТИги,
V,
а,дб
Рис. П3.20. Схема фильтра примера 11
Средняя геометрическая частота полосы пропускания кгц. Критические
точки, по которым следует определять число схемных элементов: ~2д- = — =0,25
и —— = 4. Из (7.36) находим п=3,1. Округляя до ближайшего большего
/о
целого числа, принимаем п —4. Таким образом необходимо каскадное включение
четырех звеньев вида рис. 7.6г. Приняв максимальную емкость равной 40 пкф,
а максимальное сопротивление
равным пли меньшим 100 ком,
получим схему, приведенную
на рис. П.3.20. Затухание на
средней частоте будет склады-
ваться из затухания нч и вч
звеньев (по 3 дб каждое —
см. рис. 7.4) и дополнительно-
го затухания за счет неидеаль-
ности стыковки звеньев (влия-
ния входного сопротивления
Рис. П3.21. Схема фильтра примера 12 последующего звена), которое
будет составлять около 2 дб
иа каждый из шести стыков. Всего, таким образом, будет около 4 (нч) X
ХЗ+4 (вч)ХЗ + 6Х2 = 36 дб. Это затухание можно скомпенсировать за счет
усиления стыковочного усилителя.
Пример 12. Рассчитать по упрощенной методике пассивный PC-фильтр ниж-
них частот по следующим требованиям:
—	полоса пропускания 0-4-50 гц;
—	дополнительное затухание на граничной частоте полосы пропускания не
более 5 дб;
—	полоса задерживания 300 гц-4- оо с затуханием не менее 60 дб.
С помощью шаблонов на рис. П.3.22 построена характеристика затухания,
удовлетворяющая заданным требованиям. Для ее реализации необходимы сле-
дующие звенья:
ЗНЧ с £„	= 0,85, что соответствует П, =2,34;
Н13 с =СПз=1,85, что соответствует =6,36.
Полная схема фильтра показана на рис. П.3.21. Максимально допустимое
значение емкости при построении этой схемы было принято равным 4 мкф.
Рис. П3.22. Построение характеристики фильтра примера 12 по
........................... шаблонам
— 264 —
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ЗВЕНЬЯ RC-ФИЛЬТРОВ
Звено НЧ1
Коэффициент передачи звена
Затухание звена
а = -201g |Я1Н (1 Й)| = -20 1g Но + 10 1g(1 + b? Й2).
Зависимость затухания а(й) при До=1
Звено НЧ2
Коэффициент передачи звена
Нт = #о---------------Г.
Н 1 -к bi р + Ь2 р2
Затухание звена
а = -20 lg|tf2H(ifi)| = -20 lg Но 4-10 lg [(1 — Ь2Й2)2 + Ь| Q2].
Добротность
' .	2/b?
• У - bi •
Зависимость затухания о(й) при Яо=1, Q< V2
— 265 —
Схема звена
Условия реализации
Реализация
5 Ли
bi—R1C1—^2^2(^21^12“ 1);
bg = Ri /?2 Ci Caj
^0 = ^21^12
со Ct уп г;
1
— ; Си С2 ,< с/22 г
bt^CtR.t^- ;
к
Ьг ~ Rqi ^02 Сх С.^\
Н 0 = R02
— 266 —
Звено НЧ2-Д
Коэффициент передачи звена
^2Нд — Но
1 ; ьг
h. n . h, гД
атухание звена
(1 — Ьг й2)2
a=-201g|f/2H (iQ)|=-201gWo-10!g
11	(1 -b2Q1 2)2 + b?Q2
Добротность
_ _	Г
У - Ьх •	1
1
Нуль передачи на частоте й,ц = , —' •
ф Ъг
Зависимость затухания а(й) приЯ0 = 1; Q< j/ 2 /^1—
1
На частоте Йон = ./г’ затухание а0Нд = —20 1g
V *>2
На частоте йтнй = йоп
затухание
lg 1-1-
ОтНд = С(0Нд+ 10
br (ЗМ Ь2!) ~Ь2 (Ьх+2ЬГ)
Q2 (b2-br)2
На частоте £2= оо затухание а^,——20
— 267 —
Схема реализации	Условия реализации	Реализация
₽0i	7=7 >#ВЫХ
(О Со
1	-
Rz,—=~ + /?вых;
СО С2
b!= Vbr (1+7- +
\ 4i
, _L+2L_L\.
T ti Ф / ’
1
со Со
Rr, р Rbx
(о С]
. _ h 4l 1	.
2	r 4a 4 (1 + 4) ’
br= (4 Cs/?!)2;
, _ Cl____7?„
c2 Rt ’
. C°	Ri
*=-5:
H 0 = —-------- ;
4’2 (1+4)
C2 Rz = 4 Cj Rg
Звено ВЧ1
Коэффициент передачи звена
н _п^ Ь^Р
,в ° 1 + ьовР
Затухание звена
а = -201g |Я1В(iО)| = — 20 1g tf0 + IWg (1 +
~	\ b0B Q2
— 268 —
Звено ВЧ2
Коэффициент передачи звена
1 Н Ь1В р + Ь2ВРг
Затухание звена
а = — 201g |H2B(iQ)|==— 201g Но+ 101g ^1
Добротность
2 ]/” b2B
Q= b^'_
Зависимость затухания a(Q) при Яо=1, Q< V 2
1	\2	b?B
b2B^	b|By
----...... - V. ..	.
Зависимость затухания a(fi) при H0=l, Q> У2
На частоте 0ов = ~7= затухание аов = —20 1g — .
У Ь2в ______ 2
На частоте £2г,в = 52ов 1/ 1—затухание атВ =Оов +10 1g
R4--
L ^ов \ Q2
	Схема звена	Условия реализации	Реализация
		#2 » #вх.т, 	 1 1 Rt. R.; СО С1	(0 С 2 R Хвых.т	ь 1в = Rz (Ci + С2) —
1 .
т-т- ; СоСх»^
1\
® Сц г/22Г
Ь1в — С2Т?01	;
^2В = *<0 ^02 Cj С2;
Н„ = -1
- 1	-
R1’ со Со	7?вых;
- 1 _
Rr, ~^=г << Rbx
со Ci
Ь1В = /?2С2(1+	+
bgg — Ri Ci со-
Звено ВЧ2-Д !
Коэффициент передачи звена
> + ьгВр2
Я2Вд = ^о1+.Ь1вр + Ь2вр2 •
— 270 —
Затухание звена
(1—brRQ2)2
Добротность
Зависимость затуханий:a(Q) при7/0=1, Q>
1
На частоте Qob= затухание «овд = —20 1g
г Ь2В ______________________________________
/ I Ь,в	\
/ 1+2/Q2	1
 /	\ U2B	'
На частоте £2тВд = Пов 1 /	7 j, \ затухание
|/ 1—2/Q2 1 —-25,
г	\ Ьлв /
,	. Ьлв (3b2B+b21B) b2B (b2B i 2ЬГВ)
вд = аовд + 1О12	1 +
^тп
Q2 (b2B Ьгв)2
Ь2в
На частоте Q=0 затухание о0 = —20 1g — .
Ьгг» „7
— 271 —
b1B — brB (S -r 4-
42(1+4)
Ct R2 = ip Ci R3
Звено ПФ2
Коэффициент передачи звена
н -н Ь1пР
2П 0 1 + Ь1Пр + Ь2П р2
i «if-
Затухание звена
а == — 201g (10)| - —201g Но + 101g Г1 +
1
Ь1П
1 V’
Ь2ПЙ-^|
— 272 —
Добротность Q — —ап-. Средняя частота
bjn	V о2п
Зависимость затухания a(Q) при Яо=1.
Схема звена
Условия реализации
Реализация
			о • Ufoz —о	1 /— м Я. ~= »йи ^22	\	(Л) Ci/	Ьщ —	7?i — С2 R2 — 	 ^21 ^12 С1 ^2» ^2П =	^2	^2 7/0 ~ ^21	^2 ^1/^1П
JLz г-**—L	#}-Г Т	0 фт ивы1 * - * -о	w Cj ?; г/11Г; 1 - — ; <0 С2 z> {/22г R	cr Я- 3	s =?	11	H $ °	~ s r> X> Ls° 0 5
R2	—1|^-|	- _L- - 7=r i' -Rtbix <0 C2 1 #1!	=- 7?BX co Ct	bin — (C13C2) _ \ ’ ; ^2ТЛ0 b2n = Ri Ro Ci C2; Ci R^ yy 		C2 Rj IP Ci/C2
— 273 —
Схема звена	Условия реализации	Реализация
« Ro сг RiC=i^l r-И- “rj1-	_	1	— Ro",	y=r	^вых! CO Gj Ri,	< Rbx CO Gj	’X'oT~CM	© c^Ick	C< | CH + J	+ (V | Ckf гЧ	1	Ml -4 + 4	*1* A C< 'TT' £ a? II >'	5	II E -a °

Зввно ПЗФ2

Коэффициент передачи звена
„		1+P2
23 ~H* i4-bip + b2p2
А
Затухание звена
а = -20 lg |Д23 (i Q)| = -20 lgHe + 101g 1 +
Ь, Q2
(1 — Q2;2
2
Добротность <2= —
Ь,
Зависимость амтухания
а ...
О
a(Q)

274 —

ЛИТЕРАТУРА
1.	Альбац М. Е. Справочник по расчету фильтров и линий задержки. Гос-
энергонздат, 1963.
2.	Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Государственное
издательство технико-теоретической литературы, 1948.
3.	Б а л а б а н я н Н. Синтез электрических цепей. Госэнергопздат, 1963.
4.	Басков Е. И. Расчет фильтров нижних частот на электронных вычисли-
тельных машинах. «Электросвязь», 1968, № 5.
5.	Б е л е ц к и й А. Ф. Теоретические основы электропроводной связи. Ч. III.
Связьиздат, 1959.
6.	Белецкий А. Ф. Основы теории линейных электрических цепей. Изд-во
«Связь», 1967.
7.	Боде Г. Теория цепей и расчет усилителей с обратной связью. Изд-во ИЛ,
1948.
8.	Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. Го-
сударственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.
9.	Д а в ы д о в Г. Б. Основы теории и расчета фазокорректирующих цепей.
Связьиздат, 1958.
10.	Андреев Ю. А., Коб а к В. О. Двойные Т-мосты. Судпромгиз, 1964.
11.	3 аг у скин В. Л. Справочник по численным методам решения уравнений.
Фпзматгиз, 1960.
12.	Знаменский А. Е., Лоткова Е. Д. Высокоизбирательные фильтры
с транзисторами. Изд-во «Связь», 1967.
13.	Коган С. С. Теория и расчет фильтров для установок дальней связи. Связь-
издат, 1950.
14.	Кустов О. В., Лундин В. 3., Окунев Ю. Б. Электронное моделиро-
вание в приложении к реализации активных RC-цепей. Доклад на секции
теории линейных электрических цепей. Ленинград, 28 февраля 1968.
15.	М э з о и С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. Изд-
во ИЛ, 1963.
16.	Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
Гостехиздат, 1948.
17.	Ремез Е. Я- Общие вычислительные методы чебышевского приближения.
Изд. АН УССР, 1957.
18.	С иго рек ий В. П. Методы анализа электронных схем с многополюсными
элементами. Киев, 1958.
19.	С и л ь в и н с к а я К- А. Расчет выравнивателей и фильтров при помощи
шаблонов. Связьиздат, 1963.
20.	С л а в с к и й Г. Н. Активные RC- и RCL-фильтры и избирательные усили-
тели. Изд-во «Связь», 1966.
— 276 —
|1. С о бен ин Я- А. Расчет полиномиальных фильтров. Связьиздат, 1963.
22.	Куркин Ю. Л., Соколов А. А. О точности ОИК на полупроводниковых
триодах. «Электросвязь», il960, № 9.
23.	Тен-Най -Дбюн. Синтез электрического фильтра на основе каскадного
соединения RC-схемы и усилителя с RC-цепью обратной связи. «Электро-
связь», 1962, № 3. Синтез электрического фильтра с двухзвенными RC-цепя-
ми. «Электросвязь», 1963, № 4.
24.	Траксел Д. Синтез систем автоматического регулирования. Машгиз, 1959.
25.	Т р и ф о н о в И. И. Синтез реактивных цепей с заданными фазовыми ха-
рактеристиками. Изд-во «Связь», 1969.
26.	У фельм ан А. Ф. Общая закономерность расположения корней характе-
ристического полинома. «Электросвязь», 1959, № 7.
27.	Хазанов Г. Л. Синтез активных RC-фильтров по заданной проводимости
передачи. «Электросвязь», 1959, Ns 3.
28.	Теп л юк И. Н. Транзисторные RC-фильтры. «Электросвязь», 1969, № 2.
29.	Белецкий А. Ф., Знаменский А. Е., Меркулов А. Г. Некоторые
вопросы построения линейных усилителей многоканальных систем уплотне-
ния симметричных кабелей. Техника связи. 12-канальная система высокоча-
стотного телефонирования по кабельным линиям связи (типа К-12). Связь-
издат, 1954.
30.	С об ей ин Я. А., Кобыз ев а Н. Н. Расчет амплитудных выравнивателей.
Изд-во «Связь», 1969.
31.	Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электрических цепей. Изд-во
«Связь», 1969.
32.	Storey М. A., Culler W. J. Network synthesis using Negative Impedance
Convertors. «Proc. 1ЕЕ», v. Ill, 1964, № 5.
33.	Hudson F. J. Synthesis of Transfer Admittance Functions Using Active
Components. «IBMJ of Research and Development», v. 7, 1963, № 1.
34.	Holt A. G. и др. Design Tables for Active Filters Having 2-nd and 4-th
Order Chebyshev-Responces in Pass and Stop Bands. «Proc. 1ЕЕ», v. HI,
№ 14.
35.	К i n a r i vv a 1 а В. K- Synthesis of Active RC Networks. «BSTJ», 38, Septem-
ber 1959.
36.	Sipress J. M. Synthesis of Active RC Networks. «IRE Transactions on
Circuit Theory», v. CT-8, 1961, № 3.
37.	H о г о w i t z J. M. Exact Design of Transistor RC Band-pass Filters with
prescribed Active Parameter Sensitivity. «IRE Trans, on Circuit Theory»,
v. CT-7, 1960, № 3.
38.	H e r b s t N. M. Optimisation of Pole Sensitivity of Active RC Networks.
Research Report № EE569 Cornell University. Dec. 1963.
39.	Linvill J. G. RC Active Filters. «Proc. IRE», v. 42, 1954, № 3.
40.	Horowitz J. M. Optimization of Negative-Impedance Methods of Active RC
Synthesis. «IRE Trans, on Circuit Theory», v. CT-6, 1959, № 3.
41.	Huelsman L. P. Active RC Synthesis with Prescribed Sensitivity. «Proc.
Nat. Electronics Conf.», v. XVI, 1960.
42.	Holt A. G., Stephenson F. W. The Effects of Error in the Element Va-
lues and the Convertor Transfer Characteristics on the Responces of Active
RC Filters. .«The Radio and Electronic Engineer», v. 26, 1963, № 6.
— 277 —
43.	Larky A. J. Negative Impedance Convertors. «IRE Transactions on Circuit
Theory», v. CT-4, 1957, № 3.
44.	H о г о w i t z J. M. Negative Impedance Convertors. «IRE Transactions on
Component Rarts», v. CP-9, 1962, № 1.
45.	Hu el sm an L. P. Use of Two NIC'S to Synthesise RC Transfer Function.
«IRE Transaction on Circuit Theory», v. CT-8, 1961, № 3.
46.	Shenoi B. A. Practical Realisation of a Gyrator Circuit and RC-Gyrator
Filters. «IEEE Transaction on Circuit Theory», v. CT-12, 1965, № 3.
47.	L i n v i 11 J. G. RC Active Filters. «Proc. IRE», v. 42, 1954, № 3.
48.	Sa lien R. P., К e у E. L. A Practical Method of Designing RC Active Filters.
«IRE Transaction on Circuit Theory», v. CT-2, 1955, № 1.
49.	V1 a c h J. Bandfilter mit gekoppelten Schwingkreisen von endlicher Giite.
«Archiv der Elektrischen Ubertragung», 1963, Heft 42.
50.	V a 1 a n d J. One Technique of RC Active Filter Synthesis. «Proc. IEEE», v. 54,
1966, № 8.
51.	Y a n a g i s a w a T. RC Active Networs Using Current Inversion Type Nega-
tive Impedance Convertors. «IRE Trans, on Circuit Theory», v. CT-4, 1957,
№ 3.
52.	Sutcliffe H. Tunable Filter for Low Frequencies Using Operational Ampli-
fiers. «Electronic Engineering», 1964, № 436.
53.	Kerwin W. J., Huelsman L. P., Newcomb P. W. State—Variable
Synthesis for Insensitive Integrated Circuit Transfer Functions. «IEEE Journal
of Solid-State Circuits», v. SC-2, 1967, № 3.
54.	Bogdanov M., Boite R., Lei ch H. Synthese des filtres actifs a carac-
teristique elliptique. «Revue Haut Frequence» (Belgique), v. VI, 1965, № 8.
55.	S a b b a d i n i G. F., Riva G. M. Filtres actifs RC realise avec amplificateurs
operationells integres. «L’Onde Electrique», 4967, Ns 480, 481.
56.	Y a n a g i s a w a T., К a w a s h i m a Y. Active Gyrator. «Electronics Letters»,
v. 3, 1967, № 3.
57.	Holmes W. H. A new method of gyrator RC filter synthesis. «Proc. IEEE»,
v. 54, 4966, № 10.
58.	Holmes W. H., Gruetzmann S., Heinlein W. F. Direct-coupled
gyrators with floating ports. «Electronics Letters», v. 3, 1967, № 2.
59.	M a r g о 1 i s S. G. On the design of active filters with Butterworth characte-
< ristics. «IRE Trans, on circuit theory», v. CT-3, 1956, № 3.