COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS
COURS
D'ANALYSE MATHEMATIQUE
PAR
EDOUARD GOURSAT
Membre de L'institut
Professeur a la Faculte
d-'s. Sciences de Paris
C1NQU1EME EDITION
ТОМЕ 1П
INTEGRALES INFINIMENT VOISINES
EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES
DU SECOND ORDRE
EQUATIONS INTEGRALES. CALCUL DES VARIATIONS
GAUTHIER -VILLARS
PARIS

Э. ГУРСА
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ ТРЕТИЙ
ЧАСТЬ II
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Перевод с пятого
французского издания
М. Г. Ш Е С Т О П А Л
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
проф. В. В. СТЕПАНОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1934 ЛЕНИНГРАД

T 11-5-2
Редакция Г. А. Сухомлинова. Оформление О. Н. Персияниновой.
Корректура 3. В. Смирновой. Выпускающий В. П. Морев.
Тираж 10 000. Подписано в печ. с матриц 2/11 1935 г. Формат бумаги 62X94.
Авторск. лист. 25. Бум. лист. 10. Печати, знак, в бум. л. 106 800. Заказ № 192.
Уполномочен. Главлита B-73i79. Выход в свет феврале 193э г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XXX
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЙ
Стр
I. Линейные интегральные уравнения с переменными пределами
548. Уравнение Вольтерра - 9
549. Разрешающее ядро (резольвента) . . 12
550. Нахождение разрешающих ядер в некоторых частных случаях 14
551. Применение к линейным диференциальным уравнениям . . 15
552. Распространение на функции многих переменных 17
5.С3. Задача об обращении определенного интеграла ...... 19
554. Уравнение первого рода 20
555. Обобщенное уравнение Абеля 23
II. Линейные интегральные уравнения с постоянными пределами
556. Требования, налагаемые на ядро 25
557. Решение с помощью последовательных приближений! ... 27
558. Повторные ядра ... 29
559. Ра решающее ядро SO
560. Свойства разрешающих ядер • М
561. Неограниченные ядра 36
562. Системы интегральных уравнений 40
563. Случай функций многих переменных —
Дополнения и упражнения 43
Глава XXXI
УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
I. Теорема Фредгольма
564. Об одном методе наведения 47
565. Функции DA)hD(*I1) . 48
566. Разложение функции D'(k):D(l) 52
567. Миноры функции D (/.) 53
568. Однородное уравнение. Фундаментальные функции .... 55
569. Исследование особого случая 58
570. Случай неограниченных ядер 59
571. Ядра вида ?Л)У; 63
572. Другой метод индукции 65
II. Изучение разрешающего ядра
573. Ортогональные и биортогональные системы 66
574. Ортогональные и полуортогоиальные ядра 69
575. Приложение к фундаментальным функциям 72
576. Главные ядра > . 76

ОГЛАВЛЕНИЕ
577. Строение главного ядра 79
578. Приведение к каноническому виду 81
579. Каноническая резольвента 84
580. Главные функции 86
581. Теоремы Фредгольма 90
582. Нахождение характеристических значении 92
583. Метод Шварца 95
584. Род функции D(>) 96
585. Разложение разрешающего ядра 98
586. Особые ядра 102
Дополнения и упражнения 104
Глава XXXII
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
587. Симметрические ядра 108
588. Неравенство Бесселя - . 112
589. Теорема Гильберта-Шмидта 114
590. Классификация симметрических ядер 117
591. Разложение повторных ядер 119
592. Положительные ядра 122
593. Ядра Шмидта 124
594. Распространение неравенства Бесселя на биортогональные
системы .... ; . . . . 128
595. Ядра вида А \х) S (х, у) 130
596. Симметризуемые ядра 132
597. Кососимметрические ядра . . 134
598. Фундаментальные функции Шмидта 136
599. Теорема Фишер-Риса 140
600. Интегральное уравнение первого рода 142
601. Приближение в среднем 144
Дополнения и упражнения 146
Глава ХХХШ
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
I. Приложения к диференциальным уравнениям
602. О некоторых свойствах линейных уравнений 150
603. Новые задачи для линейных уравнений 154
604. Определения интеграла по его значениям у (а) и у(Ь) . . 156
605. Изучение особых значений 159
606. Охлаждение неоднородного бруса 160
607. Изучение особого случая 163
608. Периодические решения 166
II. Приложение к уравнениям в частных производных
609. Задачи, относящиеся к гармоническим функциям 167
610. Равличные замечания 174
611. Плоские задачи 175
612. Задачи распределения тепла 17<$
613. Функции, аналогичные функции Гпина ... —
614. Задачи, связанные с уравнением \U=F(x.y,z) 184
615. Задачи, связанные с уравчением ЛU =-=/./??/ + А, .... 185
616. Колебания упругой мембраны 189
617. Задачи об охлаждении 190
618. Общее уравнение эллипгичесого типа 192
Дополнения и упражнения 194

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XXXIV
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
I. Первая вариация экстремали
619. Предварительные леммы 203
620. Определения. Содержание первой задачи 205
621. Первая вариация. Уравнение Эйлера 208
622. Примеры ... 211
623. Случай нескольких неизвестных функций 214
624. Случай, когда функция F содержит производные высших
порядков . . 219
625. Общее выражение для первой вариации —
626. Случай переменных пределов. Трансвсрсали 222
627. Задачи условного экстремума 225
628. Изопериметрические задачи 228
629. Первая вариация двойного интеграла 229
II. Вторая вариация. Необходимые условия экстремума
630. Предварительное замечание 231
631. Условие Лежапдра 234
632. Условие Якоби 236
633. Геометри'еская интерпретация. Соп яжешье фокусы . . . 238
634. Примеры 240
635. Недостаточность предыдущих условий 242
636. Условие Вейерштрасса. Функция Е 245
637. Теория Клобша 243
III. Поле экстремалей. Достаточные условия
638. Определение поля экстремальных кривых . 253
639. Теорема Вейерштрасса 256
640. Достаточные условия 257
641. Сильный минимум и слабый минимум 259
642. Интерпретация метода Вейерштрасса 262
643. Уравнение семейства трансверсалей 264
644. Случай двух неизвестных функций 265
IV. Теория Вейерштрасса. Разрывные решения
645. Параметрическая форма интеграл! 267
646. Новая задача z70
647. Общая форма уравнения Эйлера 2/2
648. Условия Лежандра и Якоби 274
649 Условие Вгйершфасса 277
650. Система достаточных условий • 279
651. Примеры. Геодезические линии 28\
652 Метод Дарбу-Кнезера 284
65;-* Разрывные угловые решения 285
65*. Односторонние вариации 283
655. Замечания об абсолютном экстремуме 291
Дополнения и упражнения • . 293
Указатель 298
Общий указатель ко всему сочинению 391

ГЛАВА XXX
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
На протяжении нашего курса мы уже несколько раз встречались
с вопросом об интегральных уравнениях (т. I, § 137; т. II, § 389; т. III,
§ 513, 533, 547). Эта новая ветвь анализа очень быстро приобрела
важное значение после работ Вольтерра (Volterra) и Фредгольма (Fred-
holm). Вольтерра занимался преимущественно изучением уравнений
с переменными пределами; он рассматривал уравнение этого типа как
предельный случай системы алгебраических уравнений, в которых число
неизвестных неограниченно возрастает. Эта же идея была использована
с очень большим успехом Фредгольмом в исследовании уравнений
с постоянными пределами. В настоящей главе мы сначала покажем, как
м.жно очень просто получить результаты Вольтерра методом последо-
последовательных приближений. В случае постоянных пределов этот метод
вообще не дает полного решения, но приводит к важным свойствам
резольвенты. Те трудности, которые возникают при определении анали-
аналитического характера этой резольвенты, дают возможность оценить важ-
важность окончательного шага, сделанного Фредгольмом*.
I. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ПРЕДЕЛАМИ
548 Уравнение Вольтерра. Уравнение Вольтерра второго рода с па-
параметром \ имеет вид:
X
4(x)=l\K(x,s)y{s)ds+f(x), A)
а
где /Си/ суть данные функции, ц(х)— неизвестная функция. Мы пред-
предположим, что функция К(х, у), называемая ядром, непрерывна внутри
* Исторический и библиографический материал по интегральным уравне-
уравнениям читатель может найти в работах bales со (Introduction й la theorie des
equations integrates, Hermann, 1912), а также Hey wold et Frechet (L'equation
de F edholm et ses applications a la Physique nathematique, Hermann, 1912).
В ссылках на эти две работы мы будем указывать только имена авторов.
Можно также указать работу Hans Hahn, Bericht iiber die Theorie der li-
nearen Integralgleichungen (Band 20 des Jahresberichts der deutschen Mathemati-
ker-Vereinigung, 1911) и еще общие изложения теории: К п е s e r, Die Integral-
Integralgleichungen und ihre Anwendungen in der Math. Physik, 1911, и Bocher, Intro-
Introduction to the study of integral equations, 1909. Я должен еще указать на пре-
прекрасную книгу Vivanti, Elementi della theoai delle equazkmintegrali lineare
(Manual! Ho.pii, 1916;.

10 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕ ИЙ § 548
и иа сторонах треугольника, ограниченного прямыми у = а, х — Ь,
у = х (b J> а). Дальше (§556 и след.) мы покажем, чго можно сделать
гораздо более общие предположения. Что касается функции /(х), то о
ней мы предположим, что она имеет в интервале (а, Ь) конечное число
ъ
точек разрыва, а если она не ограничена, то \ I f(s) \ ds имеет конечное
а
значение. Требуется определить функцию <р (л) для каждого значения х
в интервале (а, Ь).
Применяя метод, к которому мы уже неоднократно прибегали, мы
будем искать формальное решение уравнения A), взяв в качестве функ-
функции <р (л:) степенной ряд относительно \:
<р (х) = <р0 (х) -f Х(р, (х) + ... + )."?„ (х)+... B)
подобно тому, как мы это видели в случае решения уравнений гипер-
гиперболического типа (§ 494); мы таким путем придем к решению урав-
уравнения A) способом последовательных приближений. Первым прибли-
приближением функции (р (х) будет функция f(x), я-м приближением функ-
функции <р (х) будет сумма п первых членов ряда B), полученного этим
процессом.
Подставляя ряд B) в обе части уравнения A) и приравнивая коэфи-
циенты при одинаковых степенях X, мы получим соотношения:
<Po (•*)=/(•*)> <?j(x) = K[<f0(")'\, ..., Чп(х) = К[уп_г(х)], C)
где вообще мы полагаем:
X
а
Если функция f(x) удовлетворяет поставленным условиям, то опе-
операция АГ[/(х)| приводит к функции, непрерывной в интервале (а, Ь)
(см. § 556). Соотнош ния C) дают способ последовательного определе-
определения функций фл(к), которые все начиная с ш,(х) суть непрерывные
функции от х. Полученный таким образом ряд B) сходится разно-
разномерно в этом интервале при любых значениях \.
Положим сначала, что функция f(x) ограничена. Если заменить
К(х, у) и f{x) двумя доминирующими функциями К1 {х, у) и /: (х), то
тот же метод, примененный к решению вспомогательного уравнения
х
Ф(х)=-Л \ К, (х, s) Ф (s) ds +/; (х), (I')
а
приводит к степенному ряду относительно 1, причем коэфициенты этого
ряда будут доминирующими функциями для соответствующих коэфи-
циентов ряда B). Пус ь М и Л/ — два положительных числа, превосхо-

§ 548 I. ЛИНЕЙНЫЕ УР-НИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 11
дящие модули \К(х, у)\ и \/(х) \ соответственно. Можно взять в каче-
качестве вспом'огательногб уравнения просто-
Ф (л) = X \ МФ (s) ds -f Л/, E)
а
решением которого будет интеграл линейного уравнения
обращающийся в N при x = a, т. е. функция Ne)M{-x~a\ Отсюда по-
получается, что каждый коэфициент <$п(х) ряда B) удовлетворяет условию:
что было бы легко получить и непосредственно (см. т. И, § 389).
Итак, ряд BХ сходится равномерно. Отсюда следует, что произве-
произведение К(х, s)y(s) можно интегрировать почленно, и, как это следует
из самого способа получения коэфициентов, сумма ряда B) удовлетво-
удовлетворяет уравнению A). Это решение единственное. В самом деле, если
бы существовало два таких решения, то их разность ф(л) удовлетво-
удовлетворяла бы однородному интегральному уравнению:
(x,s)$(s)ds. G)
Но это уравнение имеет единственное решение ty(x) = 0.
Действительно, пусть ЛГ—верхняя граница функции )ф(лг)|, тогда
согласно соотношению F) функция Ьп (х), которая получается из функ-
функции ф(л:) с помощью операции \К[ ], примененной последовательно
п раз, стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает. Но если
ф (х) удовлетворяет уравнению G), то все функции ф, , ф2, ..., фя,
полученные из нее с помощью операции \К[ ], тождественны с функ-
функцией ф(л).
Таким образом ф (лг) = 0.
Если функция f(x) в интервале (а, Ь) неограничена, то коэфициенты
ряда B) непрерывны, начиная со второго. Для доказательства сходимо-
сходимости достаточно будет исходить из интегрального уравнения:
X X
ф (х) = X \K(x,s) Ф (s)ds+ \K(x, s)f(s) ds,
полученного из уравнения A) заменой функции (р (х) через f(x) -\-\Ф (к).
Функция ф (х) имеет в интервале (а, Ь) те же точки разрыва, что и
функция f{x).

12 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 549
Обобщения представляются сами собой. Можно, например, вместо одного
уравнения с одной неизвестной функцией рассматривать систему п линейных
уравнений с п неизвестными функциями:
KiP(x's)'fP(s)'is + f^x) (/=1.2,..., л);
тем же способом и так же легко можно доказать, что ряды, полученные после-
последовательными приближениями, равномерно сходятся, если ядра К{р(х,у) непре-
непрерывны и если функции /j(Jf) удовлетворяют тем же условиям, что и функция
f(x). Оставив пока в стороне эти и еще другие, мы перейдем к более подроб-
подробному изучению решения уравнения A) в наиболее простом случае.
549. Разрешающее ядро (резольвента). Первые коэфициенты <Pj(*) и
<р2 (х) ряда B) определяются равенствами:
X X
<р, (х) = [ К (х, s)f(s) ds, <р2 (х) = \К(х, s) ?1 (s) ds.
а а
Заменим в первой формуле буквы х и S соответственно буквами s w t
и подставим полученное выражение для (p., (s) во вторую формулу. По-
Получим: х s
<ря (*) = _\ ds [ K(x, s) К (s, t)f(t) dt.
а а
Согласно общей формуле Дирихле (т. I, § 309), которая и в дальней-
дальнейшем будет играть очень важную роль, мы имеем:
X S XX
\ ds \ F(x, s, t) dt=fdti\i F(x, s, t) ds. (8)
a a at
Применяя эту формулу, мы можем написать:
J . (9)
а
если положим
X
KW(x,y) = [K(x,s)K(s,y)ds. A0)
У
Преобразуя, точно также выражения для г?3(х), (p4(v), ..., мы при-
приходим к бесконечной последовательности функций;
A1)
определяемых рекуррентным соотношением:
X
Это суть последовательные повторные ядра функции К (х, у)^^1 (х,у).
Они все непрерывны в тсй же области, что и К{х,у).

§ 549 I. ЛИНЕЙНЫЕ УР-НИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 13
Общее выражение для ссп (х) с помощью «-го повторного ядра имеет
вид:
X
%(x) = \K^(x,s)/(s)ds, A2)
а
Это можно показать непосредственно, пользуясь шаг за шагом форму-
формулой Дирихле. Формула B). которая представляет решение уравнения A),
может быть формально записана в виде:
х
ср (х) =/(*> -f-Xjr(*. s; l)f(s) ds, A3)
a
если положить
Т(х,уЛ) = К(х,у) + ХК™(х,у)-{- ...+\-*КЫ(х,у)+ ... A4)
Для доказательства формулы A3) достаточно показать, что ряд A4)
равномерно сходится. Действительно, если М есть верхняя граница функ-
функции \К(х, \)\, то нетрудно видеть, что абсолютная величина К(п)(х,у)
\х—у
я-1
меньше, чем М — —— . Поэтому можно интегрировать почленно
(л—1)!
ряд*, изображающий произведение Т(х, s; l)f(s). Функция Т(х,у;1)
есть целая функция относительно параметра \ и зависит только от ядра
К{х,у). Эта функция называется разрешающим ядром или резольвен-
резольвентой для ядра К(х, у). Формула A3) действительно дает решение урав-
уравнения A) в явном виде для любой функции f(x), и, таким образом,
решение уравнения Вольтерра приводится к составлению резольвенты.
Заметим, что эта резольвента, как и само ядро К(х,у), определена
только для значений х, заключающихся между а и Ь, и для у<^х.
Для общности формулы полагают обычно, что К(х, j) = 0, T(x,y;l) = 0
при у>х (ср. §557).
Согласно самому определению разрешающего ядра Т(х,у;\) оно
удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
х
Т(х, у; 1)=К(х, у) -К* \К(х, s)T(s, у;).) ds, A5)
у
которое определяет эту функцию. В самом деле, если представить функ-
функцию Т(х,у;\) в виде ряда, расположенного по степеням 1, то, исходя
из соотношения A5), можно определить один за другим коэфициенты
* Если функция f(x) ограничена, то это свойство очевидно. Если функ-
функция f(x) неограничена, то пусть i) будет верхняя граница абсолютной величины
остатка гп(х,у;\) ряда A4), начиная с члена, содержащего X». Имеем:
\rn(x,s;l)f(s)ds
<tl\\f(s)\ds,
и ряд, следовательно, можно почленно интегрировать, ибо при неограниченном
возрастании п ьеличина т) стремится к нулю.

14 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 549-550
при последовательных степенях 1, а это приведет к формуле A1). Не-
Несколько дальше (§ 559) мы покажем, что эта резольвента удовлетв ряет
также функциональному уравнению:
X
T(x,y;i) = K(x,y)+\\K(s,y)T(x,s;).) is, A6)
у
которое также может служить определением этой функции. Заметим,
что повторные ядра, а также резольвента не зависят от нижнего
предела а.
Примечание. В уравнении A3) можно рассматривать функцию <р (х) как
данную, а искомой считать функцию f(x. Тогда решение этою интегрального
уравнения дается самим уравнением A). Положим для определенности Х = 1.
Ядром нового интегрального уравнения будет - Г (л:,у; 1), а из уравнения A) сле-
следует, что соответствующею резольвентою для того же значения параметра бу-
будет - К {х, у) (ср. § 560).
550. Нахождение разрешающих ядер в некоторых частных случаях.
Положим, что функция К(х, у) есть многочлен (п — 1)-й степени относитель-
относительному, так что ее можно представить в виде:
¦) = йо<*) + я, '*){х-у) + ... + ат*г^1 (х -у\'-Л, A7)
причем коэфициенты щ(х) непрерывны в интервале (а, Ь). Для определения ре-
резольвенты Г(дг, у\1) введем вспомогательную функцию:
которая при х=у обращается в нуль вместе со своими п — 2 первыми произ-
производными по х, а производная порядка п — 1 при x = j/ равна единице. Кроме
того, мы имеем:
Функциональное уравнение A5) принимает в этом случае вид:
X
У
применяя к интегралу в правой части формулу интегрирования по частям,
получим:
dx"
Принимая во внимание выражение для К(х, у) и условия, которым удовлетво-
удовлетворяет вспомогательная функция и (х, у X), можно это же соотношение написать
в виде:
и =0. A8)
Функция и (х, у, \) является, таким образом, интегралом линейного уравне.
ния Я (и) — 0, который удовлетворяет условиям Коши (т. II, §405). Обозначая

§ 550—551 I. ЛИНЕЙНЫЕ УР-НИЯ С ПЕРЕМЕНИ. ПРЕДЕЛАМИ 15
этот интеграл через g (х, у;).), мы получим для искомого разрешающего ядра
выражение:
Рассмотрим второй частный случай, когда К {х, у) есть многочлен относи-
относительно х:
«-(х, у) = Ь0{у) + Ь,{у)(у ~х)+ ... +^t^J(j, - x)n-t B0)
с коэфициентами Ь± (у), непрерывными в интервале {а, Ь). Мы напишем резоль-
\ d"u л. I n
венту в виде \ н~п' причем вспомогательная функция и(х,у\1) при у = х
обращается в нуль вместе с п — 2 первыми производными, а производная
dn~lu
-fTn~i ПРИ У~х Равна единице. Функциональное уравнение A6) принимает вид:
B1)
Применим снова формулу интегрирования по частям, принимая во внимание
значение К(х,у) и условия, которым удовлетворяет функция и{х,у,\). Найдем:
B2)
ТЛким образом мы видим, что вспомогательная функция и(х,у',1) есть нечто
иное как интеграл gi(x,y',\) уравнения Dl{u) = 0, удовлетворяющего условиям
Коши, и что искомое разрешающее ядро имеет вид:
Отсюда видно, как с помощью интегрирования линейного диференциального
уравнения л-ro порядка вида A8) или B2) можно составить разрешающее ядро
для двух типов уравнения Вольтерра.
551. Применение к линейным диференциальным уравнениям. Можно
показать и обратно, что решение задачи Коши для линейного диференциального
уравнения приводит к решению уравнения Вольтерра. В самом деле, положим,
что нужно найти интеграл линейного уравнения
D (г)=S - Ь{х) ?й+• • •+*«-'(л) z]=f (xi B4)
причем известно, что искомая функция г, как и п — 1 первых ее производных,
обращается в нуль при х = х0 (к этой задаче всегда можно привести общую
задачу Коши). Если в качестве неизвестной функции взять и производную
то найдем, что
х
(я - р— 1)!
(Х __ S)a-p-1 ? (i) ds (р = 1, 2, ..., п - 1),
B5)

16 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 551
и функция <? (х) определится из уравнения Вольтерра, ядро которого имеет
в точности вид A7), причем Х=1. А отсюда уже нетрудно получить результат
предыдущего параграфа. Действительно, известно, что решение задачи Коши
дается формулой:
х
z=[f(s)g(x,s)ds,
Хо
где g(x,s) есть функция Коши для линейного уравнения D(z)—Q. Следова-
Следовательно, согласно свойствам этой функции g(x,s) имеем:
X
„,^-d«z__(dng(x,
что в точности совпадает с результатом, полученным непосредственно. Если урав-
уравнение D(z) = 0 имеет сопряженное уравнение, то можно также найти самый
интеграл z (х) с помощью уравнения Вольтерра (см. упражнение 1).
Отсюда видно, что решение интегрального уравнения A) является широким
обобщением задачи Коши для линейного диференциалыюго уравнения. Положим,
что ядро К(х,у) разлагается в ряд по степеням {х—у) с коэфициентами, зави-
зависящими от х:
К{х,у) = а, (х) + <ц(х) (х -у) + ... + -"-^ (х - v)" + ...
Если мы возьмем только п первых членов ряда, то этому ядру можно поставить
в соответствие линейное диференциальное уравнение я-го порядка Dn (г) -=. О, а
решение задачи Коши для этого диференциального уравнения, если неограни-
неограниченно увеличивать число п, приведет совершенно естественно к интегральному
уравнению Вольтерра.
Примечание. Прием, с помощью которого линейное диференциальное
уравнение приводится к интегральному, применяется и к более общему урав-
уравнению:
dnz dn~lz
= а0 (дг) -z -4- ... 4- а__, (х) г 4-
ихп dxn~l
X
+ j [Ко (х, s) z (s) ds + ... + Кр {х, s) ~2J ds+f (х) B6)
в предположении, что р^п. Чтобы найти интеграл атого интегро-диферен-
циального уравнения, который при х = х§ обращается в нуль вместе ел 1
первыми производными, примем снова в качестве неизвестной функции я-ю
d"z , .
производную -— = <р (дг).
Применяя формулы B5) и соотношение Дирихле
х s хх
[ h {x, s) ds \ (s - t)p y(f)dt=\u (t) dt \ h (x, s) (s — t)p ds,
x0 Го ia t
мы непосредственно придем для определения функции к интегральному урав-
уравнению вида A). Если бы было р~> п, то, взяв в качестве вспомогательной функ-
функции производную р-то порядка, мы пришли бы к интегральному уравнению пер-
первого рода (см. § 554).

§ 552 I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 17
552. Распространение на функции многих переменных. Изложенный
метод решения уравнения A) может быть непосредственно распростра-
распространен на интегральное уравнение следующего вида:
х у
Ч(х,у) = \\\К(х, у, 5, ij)<pE, г^сГЫъ +f{x,y), B7)
6 о
где неизвестная функция <р (х, у) зависит от двух переменных, а также
на уравнение несколько более общего вида:
? {х, У) = I \\ f К (х, у, 5, ч) <р (?, ч) Я drt -f \ /С, (х, у, 3) с? (=, у) dl 4-
Loo и
+ \ К2 (х,^, ч) <р (г, ч) d4 +/(*, j;), B8)
о J
где К, Кг, К2, /—данные функции, непрерывные в области О, опре-
определяемой неравенствами:
Здесь можно, как и в случае уравнения A), найти формальное реше-
решение уравнения B8) в виде ряда, целого относительно X, коэфициентами
которого будут непрерывные функции переменных х, у; как и в рас-
рассмотренном случае, значения этих коэфициентов находятся шаг за ша-
шагом с помощью самого уравнения. Чтобы доказать, что полученный
таким образом ряд равномерно сходится, обозначим через М верхнюю
границу абсолютных значений К, АГ,, К2 в области D и через А/—
верхнюю границу функции \/(х, у) | и рассмотрим вспомогательное
уравнение:
[ху х у 
\ ] ф (?, т]) <# rfr, + \ ф E, j) rf? Н- V ф (*, Ч) ^Ч +ЛГ. B9)
0 0 0 i) J
Если составить формальное решение уравнения B9) в виде ряда,
целого относительно X, то ясно, что коэфициент при каждой степени X
этого Bioporo ряда будет доминирующей функцией относительно соот-
соответствующего коэфициента первого ряда. Поэтому достаточно показать,
что интегральное уравнение B9) допускает решение в виде ряда, це-
целого относительно X, равномерно сходящегося в каждой точке (х, у)
рассматриваемой области.
Если мы положим
х у
00
то интегральное уравнение B9) может быть заменено уравнением в част-
частных производных:
Гу + а)+Ы- <30)
2 Э. Гурса, т. III, ч. 2.

18 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 552
Как уже было доказано (§494), интеграл и(х,у;\) уравнения C0), ко-
Ы Ъи
торый вместе со своими первыми производными —, — обращается в
нуль при л:==0 и при любом у, а также при у = 0 и при любом х,
может быть представлен в виде ряда, целого относительно X, равномерно
сходящегося в любой точке (х, у) области D. Из уравнения C0) сле-
следует равномерная сходимость соответствующего ряда для второй про-
производной -——, а значит, и для ивкомой функции &(х, у).
оХ о_У
Можно пойти дальше и получить для решения явное выражение,
аналогичное формуле A3). В самом деле, достаточно несколько раз
применить формул/ Дирихле, чтобы получить один за другим коэфи-
циент при различных степенях X и показать, что коэфнциент при ).„
в разложении этого решения имеет вид (см. упражнение 2):
ху х у
\\0п{х,уЛ,т^{1,Ч)«ЙЛ|\-\gn{x,y;Z)f{%,y)<Й + \Уа(дг,у, ц)/(х, ц)rf4.
О и 0 0
где функции Gn, gn, g'n зависят только от К, К^ , К2. Функция <р (х,у),
следовательно, выразится так:
*?
\ \ Т(х,у; 5, rh
eo
Три функции Г, I\, Г2, которые суть целые функции параметра ).,
играют здесь ту же роль, как разрешающее ядро. Заметим только, что
если A"j и К2 равны нулю, то то же можно сказать и о Г, и Г2.
Мы приходим к интегральному уравнению вида B8) при отношении инте-
интеграла диференциального уравнения в частных производных
^r=l\a(x,y)~ + Ь (х,у) ~ + с{х,у) z]+f(x,y), C2)
вхду L о.< ду J
который обращается в нуль на двух характеристиках .v = 0, y = 0. Действи-
Действительно, если взять в качестве вспомогательной неизвестной вторую производную
Ч (*>.У)=с—г- искомого интеграла, то эта функ ия у{х,у) удовлетворяет инте-
одг Ьу
гральному уравнению:
Г ху х
Т (х,у) =1\\\с (л, >) <р (=, n) di dn i- \ b (х, у) ? (;,у) dk +
Lb о о
У
+ \a(x,y)?(xlrl)drl \+f(r,y),
о
которое представляет частный случай уравнения B8).
rt, \)f(x, 4) dq . C1)
J

§ 553 I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 19
.Если коэфициенты а(х,у), Ь(х,у) допускают непрерывные частные произ-
водные — , — i то можно также определить функцию z{x,y) из уравнения того
дх Ъу
же вида. В самом деле, очевидно, что уравнение C2) можно заменить интегро-
диференциальным уравнением (§ 494):
ХУ х У
5,ч)*(,ц) + а(;,11)-+*($,11)
0 0 * 0 0
j J/E,n)<fi*i,
0 0
которое приводится к виду B8) с помощью двукратного итерирования по
частям:
!х у
0 0
У х Л х у
+ (a(x,rl)z(x,ri)drl+\b(ly)zt,y)d-[ -f 1 if(l,n)rtdn.
0 0 /00
553. Задача об обращении определенного интеграла. Уравнением Воль-
терра первого рода называют уравнение вида:
ж
\K(x,sL(s)ds=f{x), V33)
таъК{х, у) и f(x)—данные функции, <р (л:) — искомая функция. Мы
берем нижним пределом интеграла нуль, а не какую-нибудь другую по-
постоянную только для определенности. В то время как при решении
уравнения второго рода мы предполагали только непрерывность функций
К (х, у) и f(x) в некотором интервале (а, Ь), при изучении уравне-
уравнения C3) нам придется ввести еще другие требования. Чтобы выяснить
необходимость этих новых требований, достаточно рассмотреть наиболее
простое уравнение этого типа, получающееся при К(х, у) = 1:
(s)ds--=f(x). C4)
Если предположить, что неизвестная функция <р (х) только ограни-
ограничена и интегрируема, то задача оказывается неопределенной, ибо в этом
случае можно, не изменяя значения интеграла, произвольно менять зна-
значения функции <р (х) в конечном и даже бесконечном числе точек интер-
интервала интегрируемости, лишь бы только их можно было заключить в ко-
конечное число интервалов, сумма которых оставалась бы меньше любого
наперед заданною числа е (т. I, § 74). С другой стороны, функция/(х)
не может быть произвольной непрерывной функцией, она должна удов-
удовлетворять некоторым условиям, налагаемым на ее производные. Для
большей точности в постановке задачи мы Гудем предполагать в даль-
дальнейшем (кроме тех случаев, когда это будет оговорено особо), что
искомая функция if (x) должна быть непрерывна в том интервале, в ко-
котором она будет определена. В таком случае, для того чтобы уравне-
2*

20 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ §553-554
ние C4) имело решение в интервале @, а), необходимо, чтобы функ-
функция/(х) обращалась в нуль при х = 0 и допускала непрерывную про-
производную в том же интервале. Тогда искомым решением будет:
Рассмотрим теперь более общее уравнение:
(л _ 1)! т х~> J ^ C5)
о
Для того чтобы это уравнение имело своим решением непрерывную функ-
функцию ф (х), необходимо, чтобы функция f(x) имела непрерывные произ-
производные f (x),f (х), ... ,fn)(x) и чтобы сама функция и ее п—1 пер-
первых производных обращались в нуль при х = 0. Если эти условия
выполняются, то уравнение C5) имеет своим решением непрерывную
функцию ф (х) =/-"' (х).
554. Уравнение первого рода. Рассмотрим общее уравнение первого
рода вида C3) В этом параграфе мы будем предполагать, что ядро
К(х,у) и все его частные производные, с которыми нам придется иметь
дело, суть непрерывные функции. Прежде всего очевидно, что для того
чтобы уравнение C3) допускало своим решением непрерывную функ-
функцию <р(х), необходимо должно выполняться условие /@)=0. Кроме
того, если ядро К(х,у) допускает непрерывную производную К'х(х,у),
то и левая часть уравнения C3) также допускает непрерывную про-
производную; отсюда следует, что то же условие должно выполняться и для
функции f(x). Если это условие выполнено, то, приравнивая произ-
производные обеих частей, мы придем к новому уравнению:
х
К(х, х) ф (х)+{к'х(х, s) I (s) ds=f (х). C6)
и
И наоборот, каждое решение этого уравнения C6) удовлетворяет также
уравнению C3), ибо при jc = O обе части последнего обращаются
в нуль и, кроме того, имеют одинаковые производные. Уравнение C6)
есть уравнение Вольтерра второго рода, и к нему можно применить
общий метод § 548, если только К@, 0) отлично от нуля. Если К(х, х)
не обращается в нуль в интервале @, Л), заключенном в интервале @, а),
то, как мы видели, уравнение C6) допускает в этом интервале @, h) не-
непрерывное решение и притом единственное. Мы приходим, таким обра-
образом, к следующей теореме:
Если К@, 0)=т^0, /@) = 0 и если функции f(x), K(x, у) допускают
производные f (x), К'х(х, у), непрерывные в интервале @,/г), заклю-
заключенном в интервале @, а), внутри которого К (х, х) не обращается
в нуль, то уравнение C3) допускает в этом интервале @, К) непре-
непрерывное решение и притом единственное *.
* Эта теорема была впервые установлена Le Roux, These de dociorat (Anna-
les de I'Ecole Normale, 1894, стр. 19-22).

§ 554 I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 21
Если К@, 0) = 0, то к уравнению C6) нельзя применить результа-
результатов § 548. Но если К(х, х) тождественно равно нулю, то уравнение C6)
есть опять уравнение первого рода, с которым можно поступать так же,
как с первоначальным, если только К(х, у) допускает вторую непрерыв-
непрерывную производную К"х,(х, у). Для того чтобы это уравнение C6) имело
непрерывное решение, необходимо, чтобы было /' @) = 0 и, кроме того,
чтобы функция f (х) имела непрерывную производную f" (х). Если эти
условия выполнены, то можно снова заменить уравнение C6) другим,
полеченным диференцированием обеих частей:
X
К'х (к, х) ? (х) + J К"^ (х, s) <p (s) ds =f" (x), C7)
6
которое представляет уравнение второго рода, если только К'х@, 0) не
нуль. Если Кх (х, х) тождественно равно нулю, то можно снова приме-
применить тот же прием, и так далее. Таким образом мы составляем ряд по-
последовательных производных по х от ядра К(х, у) АО тех пор, покя не
придем к производной K^pZ.P (x, у), которая при х=у не обращается
тождественно в нуль. Для того чтобы уравнение C3) имело своим ре-
решением непрерывную функцию, необходимо, чтобы функция f(x) до-
допускала непрерывные производные /' (x),f"(x), ... , f^'1-(x), которые
обращались бы в нуль при х = 0. Если это так, то р—1 уравнений
полученных диференцированием обеих частей уравнения C3), удовлетво-
ряются при х = 0. Если производная -—- также непрерывна, то непре-
непрерывной должна быть и производная рР> (х), и, диференцируя еще раз,
мы придем к уравнению:
' (x, x) f (x) +- I ""\\X;S) <f (s) ds =fp) (x), C8)
которое представляет собой уравнение второго рода, если только
/f(p-i) @, 0) не нуль. Это уравнение C8) допускает непрерывное реше-
решение и притом единственное. Переходя шаг за шагом к предыдущим
уравнениям, мы найдем, что это решение удовлетворяет всем промежу-
промежуточным уравнениям, а также первоначальному уравнению C3).
Пример. Предположим, что ядро К(х, s) есть функция Коши g(x,s) для
линейного уравнения Z>(z) = 0, т. е. интеграл этого уравнения, который при
x = s обращается в нуль со своими я — 2 первыми производными, и что его про-
производная (п — 1)-го порядка при x — s равна единице.
Согласно предыдущему, для того чтобы уравнение
\g(x,s)<?(s)ds = f(x) C9)
U
допускало непрерывное решение, необходимо, чтобы функция f(x) и ее п — 1
первых производных обращались в нуль при х =5 0 и чтобы производная fin) (дг)

22 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 554
была непрерывна. Тогда искомая функция <р (х) определяется уравнением второго
рода, полученным п-кратным диференцированием данного уравнения, т. е. урав-
уравнением:
t (*) + j ^fg^ ? W ds = /W(x). D0)
о
Пусть
d"
будет левая часть рассматриваемого линейного уравнения. Выше (§550) мы вй-
dns(x,s) , , ,
дели, что производная — была при значении параметра 1= I р?зольвен-
той уравнения второго рода, ядром которого была функция
И обратно, согласно примечанию на стр. 14, функция К(х, s) является резольвен-
dn<r
той уравнения второго рода с ядром —-jj-, опять-таки в предположении, что Х=1.
Решение уравнения D0) имеет, следовательно, вид:
X
f (х) = /W (jc) -[ [*0 (*) + в, (*)(*-*)+-•• + «„-1 (.rj(^"^] /(n) (s) ds,
"о
i(x) = D[f(x)]
(ср. т. II, § 405).
Если К@, 0) = 0, но К(х, х) тождественно не нуль, то изложенный
метод не применим. Достаточно широкий частный случай рассмотрен
Вольтерра и Хольмгреном, а позже — Лалеско с помощью процесса по-
последовательных приближений. Мы здесь, однако, рассматривать его не
будем, а отошлем читателя к мемуару Лалеско.
Уравнение C3) можно также привести к уравнению второго рода, с помо-
помощью интегрирования по частям. Представим для этого искомую функцию у (х)
как производную -г- некоторой функции а(х), причем мы примем, что и @) = 0.
Интегрируя уравнение C3) по частям, мы получим:
X
К(х,х)и(х) - \K'S (x,s)u(s)ds=f(x). D1)
о"
Это опять уравнение второго рода, если только /("@,0) не нуль. Если яеро
К (х, s) при s = x вместе со своими п — 2 первыми производными по 5 обра-
щается в нуль тождественно, а производная — при x = s^=0 не нуль, то
можно привести уравнение C3) к уравнению второго рода, представив искомую
функцию <? (х) как л-ю производную некоторой вспомогательной функции и(х),
которая при л: —0 обращается в нуль вместе со своими п — 1 первыми про-
производными. Можно также применить метод последовательных приближений,
Щ. PJcj»rd, Cotnptes Rendus, t, 139, стр. 245,-1904).

§ 555 I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 23
535. Обобщенное уравнение Абеля. В предыдущем параграфе мы
с помощью одного или нескольких диференцирований переходили от
уравнения первого рода C3) к уравнению C6) или C8). Рассмотрим,
к чему приведет обратная операция, примененная к тому же уравне-
уравнению C3). Следуя общему приему, для того чтобы последовательно
интегрировать п раз в пределах от 0 до х, достаточно заменить в обеих
частях равенства х на t, умножить на — —— и затем интегрировать
по t в пределах от 0 до х (т. II, § 384). Мы получим новое уравнение:
X t X
\(x — t)"-i dt \K(t, s) <p (s) ds -= \7@ (x — O" dt,
S g oJ
которое после применения формулы Дирихле принимает вид:
\<t(s)ds [iK(t,s)(x-t)n-ldt]=y(t)(x — ty-idt. D2)
Of 6
Это опять уравнение первого рода, ядром которого является
При s = x это ядро и его частные производные по х до (п — 1)-го по-
порядка обращаются в нуль. Чтобы решить уравнение D2) относительно
у(х), нужно будет согласно общему методу диферениировать обе его
части по крайней мере п-\-\ раз. Этот прием, таким образом, оказы-
оказывается бесполезным, если ядро К(х, у) непрерывно. Но тот же прием,
соответственным образом видоизмененный, дает возможность решить
обобщенное уравнение Абеля (т. I, § 137):
D3)
где G(x,s) есть непрерывная функция, не обращающаяся тождественно
в нуль при s = x, и где а—положительное число, мень'чее единицы.
Так как в преобразовании, изложенном выше, не предполагается, что п
есть целое положительное число, то мы применим его к уравнению D3),
полагая п — а. Другими словами, заменим в этом уравнении х на t,
умножим обе части на (х — rf)* и будем интегрировать в пределах от
О до х. Мы придем к новому уравнению:

24 ГЛАВА XXX IЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ §555
Это опять уравнение первого рода с ядром
G (', 5) dt
Это ядро уже не обращается в бесконечность при x = s, ибо если по-
положить
t==s-\-(x — s)z,
то мы получим:
К, (х, s) =
1
С G[s+ (x — s)z, s] dz
' I z"(\ 2I-0 "
Оно также при x = s не обращается тождественно в нуль. Следова-
Следовательно, к нему можно применить общий метод, если только О@, 0) не
равно нулю и если функция О диференцируема относительно х. Дифе-
ренцируя обе части уравнения D4) по х, мы придем к уравнению вто-
второго рода: х х
]'^^ 1[]^]. D5)
Обратно, всякое решение этого уравнения D5) удовлетворяет также
уравнению D3), ибо разность
0
удовлетворяет уравнению:
X
h (i) dt
;=0 D6)
в силу того способа, каким соотношение D4) было получено из соот-
соотношения D3). Применим к этому уравнению тот же метод, т. е. умножим
обе части на (s—-лг)""аи проинтегрируем от 0 до 5. После перемены по-
X
рядка интегрирования мы получим \ h(t)dt=O, и, следовательно, А = 0.
о
В частном случае уравнения Абеля мы имеем 0=1, и, следова-
следовательно, Дг,^=Г(а)ГA — а)= ; уравнение D4) имеет таким обра-
sinarr
30м вид: х х
~7^- D7)

§ 556 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 25
Отсюда непосредственно получаем:
sinan Ъ
Производную в правой части можно легко вычислить с помощью пре-
преобразования, которым мы уже пользовались в частном случае при
а =-~- (т. I, § 100 и 137); найдем, что
Для более полного изучения интегральных уравнений с одним или
несколькими переменными пределами отошлем читателя к работе Воль-
терра „Lec,ons sur les equations integrates et les equations integro-differen-
tielles", 1913. Можно также рекомендовать книгу Лалеско и диссерта-
диссертацию Броуна *. В дальнейшем мы будем изучать уравнения с постоян-
постоянными пределами, которые имеют особенно важное значение по своим
многочисленным приложениям в анализе и математической физике.
II. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ
ПРЕДЕЛАМИ.
556. Требования, налагаемые на ядро. Прежде всего мы предполо-
предположим, что ядро К(х, у) ограничено в области D, заключенной между пря-
прямыми х—а, х—b, _у = а, у = b (a<^b), и что все точки разрыва,
если они существуют, расположены на конечном числе кривых, кото-
которые могут быть двух родов. Первые, которые мы будем называть ли-
линиями разрыва первого вида, пересекаются прямыми, параллельными
осям координат, в конечном числе точек. Линии второго вида суть
отрезки прямых, параллельных одной из осей. Мы будем говорить о
ядре, что оно первого вида или что оно почти всюду ** непрерывно,
если все его линии разрыва суть только линии первого вида; ядро бу-
будет второго вида, если оно имеет линии разрыва второго вида. Отсюда
ясно, что если ядро имеет конечное число точек разрыва, то оно пер-
первого вида.
Пусть х = х0 будет линией разрыва второго вида; предположим,
далее, что К {хп-\- ?,у) имеет своими пределами ЛГ(хо-+; 0,у), когда s
стремится к нулю, и что обе эти функции' интегрируемы. Мы предпо-
предположим, кроме того, что К(хо,у) тоже интегрируемо, и сделаем те же
предположения относительно линий разрыва, параллельных оси Ох.
Ясно, что если ядро К (х, у) удовлетворяет всем этим условиям, то оно
интегрируемо как в отношении обоих переменных, так и относительно
каждого переменного в отдельности.
* Browne, Annales de la Facalte des Sciences de Toulouse, 1913.
** Hey wood et Frechet, стр. 6.

26 ГЛАВА XX*. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 556
Рассмотрим сначала ядро К(х,у) первого вида. Пусть функция f(x)
интегрируема в интервале (а, Ь), т. е. либо ограничена, либо во всяком
ь
случае такова, что \\f(s)\ds имеет конечное значение. Покажем, что
о
функция ь
F(x) = \K(x,s)f(s)ds
а
непрерывна в интервале (а, Ь). Мы предположим для простоты, что
ядро К(х,}) имеет единственную точку разрыва у0 на прямой х — х0.
Мы можем написать:
л л *
F (х) - F(xQ) = \ [К х, s)-K (xt, s)\f(s) ds -f \ + \,
<» л л
где >>j и у2 находятся соответственно между а и у0, у0 и Ь. Пусть Af
будет верхней границей для \К\, тогда
\ {K(x,s) — K(xo,s)}f(s)ds
<2М\
Выберем теперь j/j и у,2 так близко к _у0, чтобы правая часть была
меньше — ; при таком выборе у, и у2 можно указать такое число г),
чтобы для значений х, удовлетворяющих условию \х — лг01 <^ tj, и для
любых значений .у из интервалов (а,у), (jy2> b)* абсолютная величина
разности \К(х,у) — К(хо,у)\ была меньше любого положительного
числа. Отсюда легко заключить, что функция ^(л:) непрерывна. Совер-
ь
шенно аналогично можно доказать, что \K(s,y)f(s)ds есть непрерыв-
а
ная функция от у в интервале (а, Ь).
Пусть К (х, у) и Кг (х, у) будут два ядра первого вида. Покажем,
что функция
ь
F (х, У) = \К (х, s) Кг (s, у) ds E0)
а
есть непрерывная функция от х и у в области D. Действительно,
возьмем две близкие точки (хо,уо), (д^,^) в этой области. Можно на-
написать, что
ь
^(*i.Л) — F(x0, у0) = J K(x1, s) [К, (s,yj — Кг (s,yo)i ds -f
а
b
+ \ К, (s, у0) [K(xv s) — К(х0, s)] ds,
Стрдгде доказательство читатель найдет в упражнении 3.

§ 557 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 27
и аналогично предыдущему показать, что правая часть стремится к нулю,
коль скоро стремятся к нулю разности хл—д:0, ул — у0.
С ядром второго вида дело обстоит несколько иначе. Если К (х, у) имеет
своими линиями разрыва отрезки, параллельные оси Uy, то функция
ь
опять непрерывна в точке х = xq, если это ядро имеет только конечное число
точек разрыва на прямой xz=x$. Но если вся эта прямая есть линия раз-
разрыва, то
ь
F(xo{t)-F (х0) — \ [К (xo + i,s)-K (хь s)] f (s) ds,
а
и, следовательно, если t будет стремиться к нулю, то мы получим:
ь
F (дг„ т 0) - F (х0) = \ [К (х0 + 0,s)-K (х0, s)] f (s) ds,
a
т. е. для функции F(x) точка х„ есть точка разрыва первого рода.
Пусть будут, далее, К(х,у) и К{ (х, у) два ядра, из которых по крайней мере
одно имеет линии разрыва второго вида. Функция F(x,y), определяемая форму-
формулой E0), непрерывна в любой точке (хо,уе), которая не лежит ни на одной ли-
линии разрыва этого вида обоих ядер. Положим, далее, что прямая дг = лг0 есть
линия разрыва, например, для ядра К(х, у), имеем:
= \ Kt(s,y) {K(xo + t,s) -K(xo,s}}ds.
a
и правая часть имеет своим пределом
*
i (s. у) { К (л-„ + O,S)-K (лг0, *)} ds,
т. е. функцию от у, которая имеет только конечное число точек разрыва в интер-
интервале (л, Ь), согласно только что проведенному рассуждению.
Итак, линиями разрыва функции F(x.y) в области D sroryT быть только ли-
линии разрыва второго вида одного из ядер К(х,у) или Ki{x, у).
557. Решение с помощью последовательных приближений. Метод по-
последовательных приближений, с помощью которого мы решили уравне-
уравнение A) Вольтерра, может быть непосредственно распространен на урав-
уравнение Фредгольма:
ь
^(x)^\[K(x,s)!?(s)ds-\-/(x), E1)
а
в котором ядро К(х,у) и функция f(x) удовлетворяют условиям, о ко-
которых речь была выше. Но только вместо ряда, который всегда схо-
сходится, мы здесь приходим, вообще говоря, к целому ряду относительно X,
имеющему конечный радиус сходимости. В следующей главе мы будем
подробно изучать свойства той аналитической функции параметра \,
которую здесь приходится ввести.

28 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 557
Предположим на время, что абсолютная величина X меньше радиуса
сходимости ряда.
В приложениях важно не ограничиваться теми случаями, когда и
ядро К(х,у) и функция/(л:) являются непрерывными. Вот почему мы
останавливались на условиях несколько более широких, а впоследствии
вынуждены будем их еще расширить. Уравнение A) Вольтерра представ-
представляет частный случай уравнения E1), если мы предположим, что для
у^>х ядро К(х, у) равно нулю. Все результаты, которые были полу-
получены для уравнения A), представляют не что иное, как частные случаи
более общих результатов, и все теоремы, которые мы получим, будут
справедливы также и для уравнения Вольтерра, если только принять во
внимание частный вид его ядра.
Можно, как и раньше, получить формальное решение уравнения E1)
в виде ряда относительно 1:
<p(*) = <po(*) + tyi(*)+•••+*"'*„'*) "К-.. E2)
коэфициенты которого определяются один за другим с помощью рекур-
рекуррентной формулы:
ь
<Р« (*) = (# (*.*)<Pe-»<fc. E3)
а
причем уо(х)=/(х). Все функции <fn(x), начиная с <р, (л:), ограничены
и интегрируемы и даже непрерывны, если К(х, у) имеет линии разрыва
только первого вида. Эти коэфициенты уп(х) приводят к соответствую-
соответствующим доминирующим функциям — коэфиииентам Фп(х) ряда
Ф (*) = Ф„ (х) + Щ (*) + ...+ >"ф„ (*)+••-.
который дает формальное решение вспомогательного уравнения
Ф (х) = I \ МФ (s) ds -f- F(x), E1')
a
где М есть верхняя граница для К(х, у), a F(x) —интегрируемая функ-
функция, доминирующая относительно функции f{x), например \f(x) \. Вся-
Всякое решение этого вспомогательного уравнения имеет, очевидно, вид
F(x)-\-C, причем значение постоянного С определится непосредствен-
непосредственной подстановкой. Мы получим, таким образом, решение уравнения E1);
ь
\М\ F(s)ds
которое разлагается в ряд вида E2), если только значение X удовлетво-
удовлетворяет условию:
*\<щг=ту E4)

§ 558 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 29
Если к удовлетворяет этому условию, то и ряд E2) i ам равномерно
сходится, и, следовательно, его сумма <р (л:) представляет решение рас-
рассматриваемого уравнения. Подобно тому, как мы это делали в § 548,
можно и здесь показать, что если X удовлетворяет условию E4), то
это решение единственное. Если ядро почти всюду непрерывно, то
функция <р (х) имеет в интервале (ab) те же точки разрыва, что
и функция f(x).
558. Повторные ядра. Формулы для определения ср2 (лг) и tps(x)
имеют вид:
ь ь
Ь (х) -= \ К(х, s)f(s) ds, <р2 (х) = \К(к, t)ср, (t)dt.
а а
Если теперь заменить в первой из них х на /, подставить во вторую
значение <pj (t) и затем поменять порядок интегрирований *, то мы по-
получим для tp2 (jc) новое выражение:
ь
Точно так же можно показать, что выражение для <р3 (х) имеет вид:
где
ь
#<3> (л:, s) = J К (х, t) Kw (t, s) dt.
a
Мы приходим, таким образом, к бесконечной последовательности ядер:
,y) = K(<,y), KW(x,y),..., *¦<">(*,.у), .-..
которые все получаются из первого с помощью рекуррентной формулы:
/f («) (х, у) = \К(х, t) К(п~л) (t, У) dt. E5)
а
Это — последовательные повторные ядра функции К(х, у). Они все
офаничены в области D и непрерывны в этой области, если функ-
функция К(х,у) почти всюду непрерывна. Вообще они непрерывны в любой
* Ясно, что при таких предположениях, которые сделаны относительно ядра,
эта операция здесь законна; ее можно применить и при более широких условиях,
а следовательно, и все следствия будут также справедливы.

30 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 559
точке, не лежащей на линии разрыва второго вида функции К(х, у).
Из определения этих ядер легко можно получить некоторые их свойства,
которые будут нам впоследствии полезны. Так, подсчитывая одно за
другим повторные ядра, мсжно написать, что
ьь ь
*<«> (х, у) = \\... \K(xv tj K(t,, /s) ... K(tn_,,y) dt, dt2 . . dtn_,\
отсюда с помощью простой перемены порядка интегрирований мы по-
получаем, что для любых целых и положительных значений jx и v имеет
место соотношение:
*
> (х, у) = J КМ (х, t) K^ (t, у) dt, E6)
а
и эту последнюю формулу легко было бы еще обобщить. Так, напри-
например, ядра /(¦№ (х, у), KCiu) (x, у) получаются последовательными повто-
повторениями из Kiv-) {х, у) *.
559. Разрешающее ядро. Легко показать, что выражение для коэфи-
циента <ря (л:) при \" в ряде E2) имеет вид:
ь
<fn(x)=JK^(x,s)/(s)ds. E7)
а
В самом деле, если предположить, что формула верна для <$„{¦),
то согласно рекуррентной формуле E3) имеем:
ь ь ь
?«+i (*) = $*(*. t)xn(t)dt=^[K(x, t)K^(t, s)f{s)dsdt,
а а а
Т. е.
Ъ
?«+i(*) = 5/(«)#"+1)(*. s)ds.
а
Приняв это во внимание, рассмотрим ряд:
Г(^, у, 1)=~К{х, у) + Ш»(*. У)-\ +\а-гКяНх, У)-\ E8)
Из закона составления коэфициентов этого ряда следует, что если М
есть верхняя граница для \К(х, у)\, то |К(а> (х, у)\ будет меньше
Мп(Ь — х)"'1 в каждой точке области D. Ряд E8), следовательно,
* В частном случае уравнения Вольтерра, где для у > х значение К(х,у) = 0,
ясно, что ьсе последовательные повторные ядра также равны нулю при у > х,
и рекуррентное соотношение E5) обращаются в соотношение (II). Резоль-
Резольвента Г(х,у;\) при у>х также равна нулю, и функциональные уравне-
уравнения F0) и F1), которые ниже будут получены, обращаются в уравнения A5)
и A6) § 549.

§ 559 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 31
сходится равномерно * в этой области, если параметр а удовлетворяет
условию E4). Поэтому можно интегрировать почленно (§ 549) ряд,
выражающий разложение произведения Г (л:, s;l)/(s^, и формула E2),
которая дает решение интегрального уравнения, принимает вид:
ъ
<Р ('О =/(*) + X [ Г (.г, s; l)f(s) ds. E9)
a
Функция f(v, у; У} называется также резольвентой или разрешаю-
разрешающим ядром уравнения E1), а формула E9) дает явное решение инте-
интегрального уравнения с помощью резольвенты. Но эта формула E9)
верна только для таких значений параметра, которые по модулю не
превосходят определенного предела, ибо ряд E8), вообще говоря, не
* Э. Шмидт указал нижнюю границу для радиуса сходимости ряда E8),
которая больше границы E4). Метод Шмидта основан на неравенстве Шварца:
* * *
? \ /2 (*) dx х [ т2 (*) dx, (A)
а а а
которое можно получить, если запис .ть, что квадратичная форма относительно
аи}
Ь
есть определенная форма, и которое непосредственно распространяется на крат-
кратные интегралы, если только область интеграции всех трех интегралов одна и та
же. Применим неравенство Шварца к формуле, которая дает п-е повторное
ядро К^а>(х, у). Мы получ:ем:
Ь Ь
[KS*4x, У)?^\ [№-*>(*, y)]*dt х \[К(х, t)]'dt
а а
и, следовательно,
ьь ьь ьъ
\ \ [К^ (х, у)]*dxdyzs^ \ \KS«-*> (t, у)]1 dydtx\ \ [К(х, *)]-'dx dt.
da a a aa
Применяя последовательно эту последнюю формулу, мы приходим к нера-
неравенству:
ь ь ь ь
J \ [#«> {х, у)] •dxdysz^ \ J [К (х, у)]* dx dy у. (В)
а а а а
С другой стороны, из формулы E6) и аналогичных соотношений мы полу-
получаем:
/CW (х, у) = *\ f К (х, s) А> -Я (s, t) K(t, у) ds dt
а а
и, следовательно, применяя неравенство Шварца к двойным интегралам, полу-
получим, что
ь ь ь ь
[А>> (лг, у)]' «S j [ [А^"-» (s, t)] 'dsdtx [ \ [К(х, s) К {t, у)\* ds dt (С)

32 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 559
сходится для любых значений I, как это имело место в случае уравне-
уравнения Вольтерра. Напротив того, при произвольном ядре К(х, у) он
имеет конечный радиус сходимости, так что формула E9) только ча-
частично решает задачу. Полное ее решение будет дано в следующей
главе. Существуют, однако, ядра, отличные от ядер Вольтерра, для ко-
которых формула E9) дает решение интегрального уравнения при любом
значении 1. Таков случай ядра, ортогонального самому себе, т. е. та-
такого, для которого /СB) (х, у) тождественно равно нулю. В этом случае
все остальные повторные ядра также нули, и разрешающее ядро обра-
обращается в функцию К (х, у) *.
Предположим, что I удовлетворяет соотношению E4) или, общее,
что ряд E8) равномерно сходится в области D для любого значения
этого параметра. Функция Г(х, у; \) удовлетворяет двум функциональ-
функциональным уравнениям:
б
Г(лг, у; \) = К(х, y) + l\K(x, t)Y(t. у; \)dt, F0)
а
Ь
Т(х, у; \) = К(х, y)+\\K(t, y)T(x, t, \)dt. F1)
а
Чтобы доказать, например, первое, достаточно в формуле E8) за-
заменить х на t, умножить обе части на К(х, t) и проинтегрировать
почленно в пределах от а до Ь. Второе устанавливается совершенно
аналогично. С помощью каждого из этих соотношений легко проверить,
Сопоставляя неравенства (В) и (С), мы приходим, наконец, к неравенству
ь ь ь ь
[К(х, y)]*dndy\" х \ [К(х, s)]ds x \[K(t, y)]'-dt,
аа а а
которое можно написать в виде
л-2
I К^ U, У)! *S L 2 [/N,
если положить
ь ь ь ь
L=[^[K(x, у)]* dx dy, N=\ [К {х, s^rfjx [ [К (t, у)] * dt.
а а а а
Итак, ряд E8) сходится равномерно во всей области D, если только абсо-
абсолютная величина X меньше чем ——.
* Если пределы а и Ъ суть 0 и к, то ядро
К (х, У) = ^\ ап sin пх cos пУ>
в котором ряд 2 | ап ] сходится, ортогонально самому себе. Для ядра
К (х, у) = at sin x sin 2y -\- a2 sin 1x sin Zy + . . . + ар sin px sin (p-\- \)у
резольвента Г (х, у X) есть многочлен относительно X степени р—1.

S 559 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 33
что функция tp (х), определяемая формулой E9), удовлетворяет инте-
интегральному уравнению E1) и что, кроме того, это решение единствен-
единственное, в предположении, конечно, что ряд E8) для рассматриваемого
значения X сходится. Вычисление ведется в обоих случаях совершенно
одинаково; мы привеаем доказательство только для второго случая.
Пусть <р (х) будет решением уравнения E1). Из этого уравнения мы
получаем, что
ь ь ьъ
>, s; I) tf (s)ds = ^T(x, s; l)f(s)ds f X \ \K(s, t)Y(x,s;l)y{t)dtds,
a a a
или, принимая во внимание формулу F1):
ь ь ь
\ Г (х, s; X) <р (s) ds = \' Г\х, s; \)f(s) ds+{j (t) [Г (x, t; I) - К (х, t)] dt,
T. e.
\T(x, s; l)/(s)ds=\K(x, t)<f(t)dt.
a a
Из этого равенства и из самого уравнения E1) мы приходим к фор-
формуле E9) и получаем таким образом результат, полученный нами ранее
другим путем: для каждого значения X, достаточно малого по абсо-
абсолютной величине, уравнение E1) допускает решение, и притом един-
единственное, и это решение определяется формулой E9).
Если переставить переменные х и у в ядре К(х, у), то получится
новое ядро К (у, х), вообще говоря, отличное от первого. Соответст-
Соответствующее уравнение Фредгольма
*
ф(х) = Х\>(*, x)$(s)ds+g(x) F2)
а
называется союзным уравнению E1). Легко видеть, что ядра, которые
получаются повторением ядра К(у, х), получаются из повторных ядер
К(х, у) соответствующего порядка, если переставить местами перемен-
переменные х и у, так что резольвента уравнения F2) есть Г(у, х; X). Выводы
будут совершенно те же, что и для уравнения E1). Если абсолютная
величина X достаточно мала, то уравнение F2) допускает решение, и
притом единственное, которое дается формулой:
x;l)g(s)ds. F3)
а
В частном случае уравнения Вольтерра ядро К (у, х) при у<С.х
равно нулю, и союзное уравнение есть опять уравнение Вольтерра:
ь
4?{x)=g (х) + X J К (s, х) ф (s) ds.
х
3 Э. Гурса, т. Ш, ч. 2.

34 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 560
560. Свойства разрешающих ядер. Из разложения E8) разрешающего
ядра можно получить еще другие важные свойства этой функции. До-
Доказательство предполагает, что модуль X меньше радиуса сходимости,
но самые свойства по самой своей природе сохраняются во всей обла-
области определения аналитической функции Г(л:, у; X) параметра X. Пусть
Тп (х, у; X) будет разрешающее ядро уравнения Фредгольма, в котором
ядром является функция К{а) (х, у). Согласно приведенному выше имеем:
Г„ (х, у;1)= Ю"> (х, у) -f- Ж^ (х, у) -f ... + Х<'"" tf/*> (х, у) -f ...
Эта функция Тп(х, у; X) очень просто выражается через Г(х, у; >).
Действительно, умножим обе части формулы E8) на X и заменим в ней
последовательно X на шХ, ш2Х, ... , и"-1!, где ш есть первообразный
корень уравнения ш"=1. Складывая почленно полученные равенства,
мы после преобразований получим:
п1аТп(х,у;1а)=ЦТ(х,уЛ)-1гшТ(х,у; ш.)+ ...-{ а^Т(х,у; ю«-Ц}].
1
а затем, заменив X на X", найдем, что
р . .. Т\х,у;к)+аТ(х,у;а\!г)+.. +и>т{х,у;шЧ) „
*-п{х, У> ')= 1 —. F4)
1
Обратно, из Тп(х, у; X) можно получить Т(х, у; X). В самом деле,
имеем:
и, следовательно, группируя в формуле E8) члены по п, начиная с
л-го, ее можно записать в виде:
Т(х, у; \)=К(х, y) + W2)(x, y)+...+l—hl«-»(x, у) -f-
»
4-1"'1 Г„ (х, у; Xя + X") \ К(х, s) Г„ (s, у; X") ds + ...
а
Ь
... + 12а~2 \ №-» (х, s) Гя (s, у; X") ds
а
или в виде:
l;l)Yn(s,y;l'')ds, F5)
а
если положить
Н(х, у; X) = /f(jf, y)+W*>{x, ^)+...+X"-^«-i>(x( у). F6)

§ 560 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 35
Вот еще другое важное свойство, доказательство которого очень
просто. Будем рассматривать функцию Г(х, у; X) как ядро и применим
к ней изложенный процесс повторения ядер. Мы получим последова-
последовательность функций, первая из которых Г'1'(л:, у; Х) = Г(л:, у; X) и для
которых мы введем аналогичные обозначения:
Г<2> (х, у; X), Г<« (х, у;1),..., Рп> (х, у; >),...
Эти функции определяются одна за другой из рекуррентного соот-
соотношения; ь
Га)(х, у; ).)=\Т(х, s; l)T^-^(s, у; ).)ds.
а
Согласно этому рекуррентному закону и выражениям для последо-
последовательных повторных ядер нетрудно видеть, что
и вообще , %п-] л
{ ' ¦У> '~(я — 1)! 3).»-» '
Следовательно, разложение функции Г(х, у; X -(- ,и) в ряд Тейлора
по степеням X имеет следующий вид:
Г (х, у; Х + ц) = Т (х,у, ;х)+ХГ<2) (х,у; у.) +... + X"-1 Г"" (лг, у; ji)... F7)
Таким образом, если рассматривать Т(х, у; jjl) при определенном
значении )i как ядро уравнения Фредгольма, то соответствующим
разрешающим ядром будет Г (х, у; X-f-f1)- Можно поэтому обобщить
функциональные соотношения F0) и A31), которые представляют не
что иное, как частные случаи общего соотношения:
ь
Г (х, у; X + И) = Г (х, у; ji) -f- X J Г (л-, /; р.) Г (^, у; X -f ji) Л. F8)
а
Полагая jjl = 0, мы получим формулу F0). Заменив X на —X и ji
на X, мы получим формулу F1). Формулу F8) можно еще написать
в несколько более симметричной форме, если заменить jjl на X и X на
)' —X:
ь
Г(х, у; V) —Т(х,у,1.) = (V — X) \ Г(х, t; X) T(t, у; V) dt. F9)
а
Достаточно теперь приближать X' к X, и мы получаем интегро-диф-
ференциальное соотношение:
^(х,у;\) = Г г t; г л>
ЭХ )
а
которое вместе с условием Т(х, у; 0) = К(х, у) определяет резоль-
резольвенту, ибо если разложить Г в ряд относительна X, то, принимая во
внимание эти два условия, мы как раз придем к разложению E8;.
3*

36 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 561
Примечание I. Формулы E1) и E9) могут быть рассматриваемы как
обратные одна относительно другой. В самом деле, будем в соотношении E?)
рассматривать функцию f (х) как данную, a f(x) — как неизвестную и запишем
его в несколько более общей форме:
/ (*) = ? (л) + A \ Г (дг, s; X)/ (s) ds. G1)
а
Это есть уравнение Фредгольма с ядром Г (л:, у; X). Его резольвентой, как
это нетрудно показать, будет Г (л:, у; X-Ь ц), и для значения параметра (i = — X
она принимает значение Г (х, у, 0) = /f (-*, у). Таким образом формула, выража-
выражающая решение уравнения E9), совпадает с урагнением E1).
Примечание II. Согласно предыдущему формулы F8) и F9) доказаны
только для тех случаев, когда значении X, X', ц по абсолютной величине доста-
достаточно малы. Но так как обе части каждой из этих формул представляют аналити-
аналитические функции этих параметров, то ясно, что каждое равенство остается спра-
справедливым во всей области существования резольвенты. Заметим еще, что эти
соотношения не зависят от первоначального ядра К(х, у). Всякая функция
Г(дг, у, X), которая удовлетворяет этим соотношениям, дает возможность нап -
сать явное решение бесконечного множества интегральных уравнений. Доста-
Достаточно для этого дать параметру такое частное значение Хэ, чтобы функция
Г (х, У, X) была в окрестности этой точки голоморфна, и взять в качестве ядра
И*. У, Хо). Соответствующей резольвентой будет Г (х, y; X0-j-X).
561. Неограниченные ядра. В наиболее важных приложениях встре-
встречаются интегральные уравнения, в которых ядром служит неограничен-
неограниченная функция, хотя и интегрируемая. Если процесс последовательных
приближений, изложенный выше (§ 557), приводит к функциям <fn(x),
имеющим конечное значение, то формулы E2) и (~)9) дают и в этом
случае формальное решение интегрального уравнения. Это формаль-
формальное решение годится для очень широкого класса случаев, когда все
ядра, полученные из ядра К(х,у) последовательными повторениями,
начиная с некоторого определенного, например К^а> (х, у), остаются
ограниченными. Тогда в ряду E8) только некоторое число членов вна-
вначале может не быть конечным, но начиная с члена, содержащего \п~г,
все коэфициенты остаются ограниченными. Ряд, составленный из этих
членов, сходится равномерно, если только \\\ остается меньше опреде-
определенной границы. В самом деле, пусть М будет верхняя грань для
К{х, у). Тогда непосредственно видно, что ряд, составленный из членов,
взятых группами по я, начиная с \п~1 К(п^ (х, у), равномерно сходится,
если только М(b — a)|V| будет меньше единицы; то же можно сказать
о различных рядах, полученных из данного ряда группированием по п
членов, начиная с I" K(n+1} (v,y), .. . , 12п~2 К{2л'г) (х,у). Рассуждения
предыдущих параграфов остаются в силе, и длл достаточно малых зна-
значений \\\ формула E9) дает решение интегрального уравнения. Все
свойства разрешающего ядра, которые вытекают из разложения в ряд
E8), остаются в силе в более широком случае неограниченного ядра,
если только радиус сходимости этого ряда отличен от нуля; как мы
только что видели, это имеет место в тех случаях, когда все повторные
ядра, начиная с некоторого, остаются ограниченными.

§ 561 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 37
Можно непосредственно доказать, что решение уравнения E1) при-
приводится к решению уравнения того же вида с ядром К^п)(х, у). Дей-
Действительно, из соотношения E1) мы получаем:
ь ь ь
\р \ К(р) (х, s) a (s) ds=\P+1 \ Kip+1> (x, s) <p (s) ds + lp \ K^pi (x, s)f(s) ds,
a a a
где р — целое п ^ложительное число. Положим в этом равенстве /7 = 1,2,...,
п—1 и сложим почленно все полученные уравнения с уравнением E1).
Мы получим:
b Ь
у(х) = \*\К<п)(х, s)>(s)ds+[f(*) + \\K(x, s)f(s)ds± ...
а а
ь
... -f I"'1 \ К(п-г) (х, s)f(s) d ], E1')
а
так что tp (дс) есть решение нового уравнения E1'). Пусть, наоборот,
<р (х) будет решением уравнения E1'); эта функция <f (л) удоваетворяет
также уравнению: ь
(р (х) — I \ K(x, s) a (s) ds —f(x) =
а
Ь Ь
= )." \ Л'*"» (х, s) [ср (б-) —f(s)] — )."+1 \ К[п+Л) (х, s) ? (s) ds,
а а
которэе получается из уравнения E1') простым преобразованием и ко-
которое может быть записано в виде:
ь
ф (х) ¦-=¦¦ \п \ Ю п) (х, s) Ь (s) ds,
а
где ф (х) означает левую часть предыдущего соотношения. Но это по-
слеанее уравнение для достаточно малых значений |)| не имеет другого
решгния, кроме ф (х) = 0, т. е. функции щ (х); решение уравнения E1')
является также решением уравнении E1). Читатель легко покажет тож-
тождественность решений обоих уравнений E1) и EГ), данных общими
формулами, стоит только принять во внимание соотношение F5) между
резольвентами Г (л:, у; ~к) и Тп (х, у; 1").
Наибольший интерес для приложений представляет случай, когда
О (х, у)
ядро имеет вид —-—=-|j, где числи!ель остается ограниченным, а по-
\х у \х
казатель а есть положительное число, меньшее единицы, так что интеграл
ь
\К(х, s)f{s)ds
а
имеет, вообще говоря, конечное значение Число а носит название
показателя ядра.

38 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 561
О G.
Если даны два ядра этого вида: — и . '—^ с показателями
\х — у\а \х—у\?
а и § соответственно, то ядро
имеет своим показателем число не большее а-|-{5 — 1. Положим для
определенности, что х<^у, и пусть М и М1 будут верхними гранями
соответственно для |О| и | GJ |. Полагая s = x-\-t(y — х), мы, оче-
очевидно, получим:
. ^ ММЛ
—оо
и интеграл в правой части имеет конечное значение, если только
а-|-р— ' положительно. Если а-\-§ <М,то легко показать, что функ-
функция F(x, у) ограничена, если разбить интеграл G2) на три других
с пределами (а, х) (х, у) и (у, Ь). Если а+р —1, то, вообще говоря,
функция F(x, у) при х =у становится бесконечно?, как log х—у\.
Если функции G (х, у) и Gi(x, у) непрерывны вне биссектрисы у — х, то и
ядро F (х, у) непргрывно в окрестности всякой точки (дт0, у0), не находящейся
на биссектрисе. Интеграл G2), рассматриваемый как функция двух переменных
[х, у), равномерно сходится в окрестности системы значений х = х^, у — Ув
(§ 504). В более общем случае, когля G {х, у) и G, (х, у) почти всюду непре-
непрерывны, из рассуждений § 556 без труда слелует, что функция F(x, у) непре-
непрерывна в любой точке, не находящейся на биссектрисе. Если одна из функций Q
или G, имеет в качестве линии разрыва отрезок прямой, параллельной одной из
осей, то и функция F{x, у) также имеет, вообще говоря, эту линию линией
разрыва.
Пусть К(х, у) будет ядро указанного вида с показателем а<1.
Последовательные повторные ядра К{2} (х, у), К{3) (х, у), ... , К{р) (х, у)
имеют согласно предыдущему показатели не большие, чем 2а—1,
За—2, ... , рг—(р—1). Для таго чтобы ядро К(р+г) (х, у) было
ограничено, достаточно, чтобы (р -\- \) а <^р или р"^> . Следова-
Следовательно, среди ядер, полученных из данного ядра с помощью повторе-
повторений, только конечное число ядер являются неограниченными.
Или точнее: если т. есть первое целое число, превосходящее
, то т-е повтоинае ядро не может обращаться в бесконечность
1 — а
при х—у.
Примечание I. Если ядро К (*\ у) при х=:у обращается в бесконеч-
бесконечность, как log | л:—у |, то произведение (х—у)ЛК(х,у) при любом положи-
положительном значении а остается ограниченным. Если мы возьмем, например,
а—-=-, то видим, что первое повторное ядро остается конечным при у — х.
О

§ 561 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 39
Примечание П.. Можно также рассматривать уравнения Вольтерра, ядра
которых при у = х обращаются в бесконечность. Такое ядро имеет вид:
v. . G(x. v)
К (х, у) = —-——
для у < х и равно нулю для у > х. Все предыдущие рассуждения остаются
в силе, но только последовательные повторные ядра равны нулю при у > х.
Мы приходим таким образом после конечного числа повторений к ядру Вольтерра
уже конечному. Положим, например, что первое повторное ядро К^ (х, у) огра-
ограничено. Уравнение Вольтерра
f W ds
приводится к уравнению с ограниченным ядром:
х
\ t, s)f(s)ds,
а а
решение которого удовлетворяет также уравнению G3), ибо уравнение
х
ф (*) = X» \ К<-Цх, sIt(s)ds
а
имеет своим единственным решением ф(л:) = О (§ 548).
Примечание III. Решение уравнения E1). изложенное в предыдущих па-
параграфах, применимо также к некоторым неограниченным ядрам, из которых нельзя
получить ограниченного ядра конечным числом повторений. Возьмем, например,
ядро К(х,у)=—^-~, в котором числитель Н(х, у) есть ограниченная функ-
(ЛГ С)а
ция, а а — положительный показатель, меньший единицы; с заключено в интервале
(а, Ь). Ясно, что все последовательные повторные ядра, полученные из К (к, у),
обращаютея в бесконечность при лг = е. Однако формальнее решение § 557 —
558 сохраняет смысл и может быть применено без изменений. В самом деле,
рассмотрим последовательность функций Н(р>(х, у), полученных из функции
Я(дг, у) с помощью рекуррентной формулы:
а
Все эти функции ограничены, и нетрудно шаг за шагом показать, что | //(в) | <
<№/!"-', где через h обозначено число
верхняя граница функции | Н(х, у) |. Положим
<№/!"-', где через h обозначено число —¦ —— , а М есть
1 — а
Ряд, который входит в числитель правой части, равномерно сходится, коль
скоро ] X j не превосходит -щ I и кроме того, можно показать, что Г (л:, у; '*.)¦•
удовлетворяет функциональным соотношениям F0) и F1) для разрешающего
ядра. Функция Г (х, у; I) дает, таким образом, возможность решить два союзных
уравнения:
х [ ^Л, {s) ds, ф {х) = g (Х) +1 f ^Jla + (s) as,

40 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 562-563
если только значение | X | достаточно мало. Если, например,
то все последовательные повторные ядра равны первому, и ргзольвента равна
|/ — • г. В этом частном случае формула E9) дает решение соответствую-
V JC L А
щего интегрального уравнения для всякого I, отличного от единицы. Ясно, что
такси же результат мы получим для ядра
Щх, у)
I л — е, |=ч ... | х — ср \*Р'
если каждый из показателей а, а^ ..., лр меньше единицы, а числитель Н{к,у)
есть ограниченная функция.
562. Системы интегральных уравнений. Совершенно аналогично предыду-
предыдущему можно развить метод приближений для системы интегральных уравнений:
I л
<(i{x) = \\'^Kih(xts)ih(s)ds + fi(x) (i = l, 1 л), G4)
о й=1
где для определенности мы полагаем а = 0, Ь—\. Но Фредгольм очень изящно
привел решение такой системы к решению одного уравнения, ядро которого
имеет линии разрыва, параллельные осям координат; вот почему, собственно, мы
н рассматривали ядра этого рода в предыдущих параграфах, ии вводит ядро
Щх, у), определенное для значений хну, заключенных между 0 и л, с по-
помощью ns условий вида:
Щх, у) = Kih (х — i 4-1, у — h + 1) для
где I и h — целые числа, принимающие значения от 1 до л, а '«также функцию
F{x), определенную в интервал (и, л) с помощью л условий:
F(x) =fi(x — i+\) для / — 1 <х < i. G6)
Ясно, что прямые х — 1, 2,..., л—1, у =1,2 л — 1, представляют, во-
вообще говоря, линии разрыва для функции Н(х, у). Пусть ft(x), ... , yn(t) бу-
будет системой решений уравнений G4). С помощью этих п функций можно опре-
определить в интервале @, л) вспомогательную функцию Ф {*.) при помощи условий:
ф (•*) = ?«(* —'+ 1) Для /— l<x<i. G7)
Полагая в уравнении G4), что х заключается между i—1 и /, мы находим:
л ft
ft=l ft-l
что согласно формулам G6) и G7) можно еще записать так:
п
¦Ф{х) = \\ Н(х, s) Ф (s)ds + F(x) G8)
о
Наоборот, зная решение уравнения G^), мы с помощью сэотношений G6) и G7)
получим систему решений уравнений G4).
563. Случай функций многих переменных. Распрэстранение изложен-
изложенной теории на решение интегральных уравнений вида:
у; ?, ij)«p(S,ij)dSrfij+/(*, у), Г79)

§ 563 II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УР-НИЯ С ПОСТОЯННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ 41
очевидно. Ядро К(х, у; 5, щ) есть данная функция двух пар перемен-
переменных (х, у) и (?, щ), определенная, когда каждая из точек (х, у) и
(?, 7]) находится в области D, на плоскости; f(x, у) есть данная функ-
функция, а функцию (р (х, у) нужно найти. При изложении метода Неймана
(§ 533) мы встретились с интегральным уравнением несколько более
общего вида, где интеграции были распространены на замкнутую по-
поверхность. Пусть вообще F(M) будет функция, которая имеет опреде-
определенное значение в каждой точке М поверхности 2; замкнутой или нет.
Мы будем говорить, что F(M) есть функция точки М, определенная
на 2. Точно так же можно говорить, что функция F(M^, Мг, .... М ),
которая имеет определенное значение для всех положений точек Л/,,
/Vfj, ... , М на 2, есть функция этих р точек, определенная на 2.
Всякий кратный интеграл *
\F(M,, Мя, .... Mp)d^db2...dbp,
где db выражает элемент поверхности, а точки Mt описывают поверх-
поверхность 2, имеет конечное значение, если функция F интегрируема отно-
относительно каждой пары переменных.
Пусть теперь К(М, М') будет данная функция точек М и М' на
2, f{M)—данная функция точ^и /И, Ч(Щ —неизвестная функция.
Можно опять найти формальное решение интегрального уравнения
М) у (Л*') Л'-f /(/И), (80)
определенное рядом, расположенным по степеням \, в виде:
<р (М) —f{M) + X С Г (/И, М1; l)f(M') db1, (8!)
где
Т(М, /И'; \)=К{М, М1) , 1К^(М, /И')+.. -Н-Х"-1 АГ<а'(Л7, уИ')+- • • (82)
Коэфициенты K(i) (М, М'), получаются из первого К<-1) (М, Ж), ко-
который мы принимаем равным К(М, М'), с помощью рекуррентной
формулы:
АГ(»'(М М!) §К{М MJKS-» (Л*,, ЛГ)Л,; (83)
их называют также последовательными повторными ядрами ядра,
К{У1, /И'), а функция Г (/И, М'; X) называется резольвентою. Если яаро
/С(Ж, Ж') ограничено, то ряд (82) равномерно сходится, коль скоро |Х|
будет достаточно мало. Тогда уравнение (80) имеет решение, и притом
единственное, определяемое формулой (81). Другие свойства резольвенты
также распространяются на функцию Г. То же остается в силе и для
неограниченного ядра, если только ядра, которые получаются из него
* Мы для краткости пишем один знак \, число интеграции указано числом
множителей.

42 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 563
последовательным повторением, начиная с некоторого определенного,
будут ограничены.
Для приложений наиболее интересным представляется случай ядра
КШ, М') вида ' — , где функция G(M, M') ограничена в об-
ласти 2, а а—положительный показатель, меньший 2, так что инте-
интегралы, входящие в предыдущее решение, имеют конечное значение,
с* /~*
когда функция /(М) ограничена. Пусть вообще и 1— будут
ММ1' ММ1? У У
два ядра этого вида с показателями а и р соответственно. Покажем, что ядро
d*, (84)
ммг* мгмг*
есть ядро того же вида и имеет показатель а 4- Р— 2, т. е., что про-
произведение F(M, M') ММы+$~2 остается ограниченным, если расстоя-
расстояние ММ' неограниченно убывает*.
Положим сначала, что поверхность 2 есть плоскость. Если обозна-
обозначить через р и р' расстояния переменной точки Р от двух постоянных
точек М и /И', то доказательство сведется к тому, чтобы показать,
что \ -^-у обращается в бесконечность порядка I ——-(| , если М'
неограниченно приближается к М. Пусть С будет круг радиуса 2ММ'.
описанный из точки М, как из центра. Он разделяет поверхность 2
на две части, внутреннюю часть 2' и внешнюю 2". Интеграл, распре-
Г da
страненный на 2", сравним с I — ^, ибо, когда точка Р описывает
v, р' 1 3
часть 2, , отношение — остается между -г- и тг > т- е- сравним с про-
р L 2.
стым интегралом \ —|—, где через R обозначено положительное число,
2ММ'
настолько большое, что 2" заключается внутри круга, описанного из
точки М, как из центра, радиусом R. Когда ММ1 стремится к нулю, то
/ j \a+p-2
этот интеграл стремится к бесконечности как I ——j I , если a-f-p>2,
и как log(MM'), если а-\-$ = 2. Что касается интеграла, распростра-
распространенного на 2*, то (геометрическое) преобразование, преобразующее
круг С в круг С, с тем же центром в точке /И и с радиусом, равным
единице, приводит этот интеграл к интегралу такого же вида, распро-
/ 1 \а+р-2
страненному на круг С], умноженному на I ——-fl , и новый ин-
интеграл имеет конечное значение, не зависящее от ММ'.
* Этот метод принадлежит Адамару (см. Heywood et Frechet, Note I).

§ 563 ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ 43
Доказательство легко распространяется на любую поверхность S,
если каждой точке этой поверхности можно отнести точку плоскости 2,
так чтобы отношение ——, расстоянии двух соответствующих точек по-
поверхностей 2 и S заключалось между двумя положительными чи-
числами, так же, как и отношение соответствующих элементов обеих
поверхностей. Это имеет место, например, в случае части правильной
поверхности, если ее можно проектировать на одну из ее касательных
плоскостей, так что, если взять эту плоскость за плоскость ху, урав-
уравнение поверхности имеет вид z = f(x, у), где функция f (х, у) есть не-
непрерывная функция, допускающая непрерывные производные первого
порядка.
Рассмотрим теперь некоторую правильную поверхность 5 и точку М
этой поверхности. Разобьем 5 на две части S' и S", причем часть S'
содержит точку М и удовлетворяет указанным- требованиям. Так как
М' бесконечно близка к точке М, то мы можем предположить,
что обе они лежат внутри некоторой кривой С, расположенной
в области S' и не имеющей ни одной точки на границе S'.
Ясно, что интеграл (84), распространенный на S", имеет конеч-
конечное значение, а мы только что видели, что интеграл, распростра-
ненный на S' стремится к бесконечности как г , если рас-
\ММ' ]
стояние ММ' неограниченно убывает.
Если теперь ядро К{М, М') при неограниченном приближении М к М?
I 1 \«
стремится к бесконечности как I , 1 B<2), то первое повторное
ядро АГB) (М, М') при ММ' = 0 остается конечным, если а меньше еди-
единицы, и оно будет порядка 2а —2, если а больше единицы. Подобно
предыдущему (§ 561) мы видим, что можно притти к ограниченному
ядру с помощью конечного числа повторений. Если а=1, то первое
повторное ядро стремится к бесконечности как leg (MM1), а второе повтор-
повторное ядро ограничено, ибо при ММ' — 0 произведение!/ MM' log (MM1)
равно нулю.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ.
1. Линейные уравнения (см. § 551). Пусть г (х) будет интегралом линей-
линейного уравнения B4), который вместе со своими п—\ первыми производными
обращается в нуль при х=х^ Заменим в обеих частях этого уравнения х на s,
(x~s)a-i
умножим на г— и проинтегрируем в пределах от х9 до х. Мы i олучйм:
х
*'=?пгг)| j [а
Xo
X
x.

44 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 56$
Последовательное интегрирование по частям приводит к уравнению Воль-
терра, ядро которого имеет ьид:
Это ядро представляет собой целый многочлен относительно х степени я — 1,
и согласно § 550 решение этого интегрального уравнения приводится к интегри-
интегрированию линейного уравнения, которое есть не что иное, как уравнение сопря-
сопряженное уравнению D (г) = 0. Сравнить эти два решения.
2. Доказать, что в разложении решения уравнения B8) (§ 552) коэфициент
при \" имеет вид, указанный на стр. 18, где функции
Oa(x,f, $,г)), gn(x,y, ?), g'a (x,y, -ц)
вычисляются рекуррентным путем с помощью формул:
X
in (•*. Г. 5) = \ Кк (х,у, и) g-n_, (и,у; 5) du,
Г
у
?а (*- У. Ч) = ^ Кг(х, у, v) g'a_, (х, v, ti) du,
=\ \K(x,y,u,v)Gn_i(u,v;li))dudv +
h
-l( , ч; *)du-{- \ K(<c,y;l,v) g\ _, (=, v, n) dv +
e \
*. у.
+ \ Ki(x,y,u) Gn_, (u,y,t,n)du+\ A-g(x,y; v) Gn_t (x,v,l n)dv +
t . ^
+ AT, (*, j/; 5) o;.! (x,y, *,) + AT, (*,j/; r>) Gn_, (дс.у, ?).
3. Замечание к стр. 26. Пусть f(x,y) будет функция двух переменных
х,у, определенная в области D, непрерывная в любой точке отрезка прямой АВ.
параллельной оси OY, который находится в области D вместе со своими кониами
(ХоУъ) и {xayt). Для всякого положительного числа е можно указать др\гое
число ч (зависящее только от «) таксе, что аз неравенства | х — дгв | < t\ вы-
вытекает неравенство |/(х,у) — f(xu,y) | <е для произвольного значения .у, при-
принадлежащего интервалу (уьУо-
Если функция f(x,y) не имеет точек разрыва в непосредственной близости
к отрезку АВ, то достаточно взять область 8, заключающую в себе АВ и не со-
содержащую ни одной точки разрыва, чтобы то же свойство имело место в об-
области Ь, как это непосредственно вытекает из равиомерной непрерывности функ-
функции f(x,y). Но может случиться, что функция f{x,y) имеет точки разрыва
в непосредственной близости к АВ. Возьмем для примера f{x,y)~xsin— для
уфО и/(л\ 0) = 0. Эта функция непрерывна в каждой точке оси Оу и разрывна
во всех точках оси Ох, кроме начала.
Не делая никаких предположений относительно точек разрыва функции
f(x'3>)< допустим, что наше предположение неверно. Подразделяя последовательно
интервал (у^ yt) и рассуждая так, как обычно в »тих случаях (I, § 8), можно по-

ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ *5
казать, что существует, в этом интервале число с такое, что теорема неверна
в интервале
(с — р. с + р),
как бы мало ни было положительное число р. Но это несовместимо с допуще-
допущением, что функция непрерывна в точке (х0, с). Действительно, в таком случае
можно было бы найти два числа V и ч", каждое из которых по абсолютной ве-
величине меньше произвольно выбранного положительного числа ц, такие, что
Но эту разность можно написать в виде: •
а абсолютная вели ина каждой из этих разностей меньше —, если V +
где \ зависит только от е.
4. Рассмотреть уравнение первого рода C3), предполагая, что
К (х, s) = e0 (x) + в, (х) {х — *) + ... + а„ (х)
Полагая х
1 Г
= —7 I (х — s)n9 (s) ds,
л!.)
о
мы приходим к линейному диференциальному уравнению:
и задача сводится к нахождению его интеграла, который при х = 0 обращается
в нуль вместе со своими п первыми производными. Производняя (я+1)-го ио-
рядка дает искомую функцию ? (х). Предполагаем, что / @) = 0 и что функция
/(д) имеет непрерывную производную, как и коэфициенты а (ж).
5. Уравнение второго рода с двумя переменными пределами. Интеграль-
Интегральное уравнение
r(x)=f{x)+l J K{x,s)i(s)ds,
где ф, и ф2 суть две непрерывные функции в интервале (— Ь, Ь), каждая некоторых
по абсолютной величине меньше Ь, может быть рассматриваемо как особый слу-
случай уравнения Фредгольма, в котором ядро К(х,у) для всех значений у вне ин-
интервала (ф|, ф3) равно нулю. Когда абсолютные значения |ф,1 и |ф2| не превосхо-
превосходят 1*|, резольвента представляет целую функцию от X как в случае уравнения
Вольтерра. Достаточно сравнить это уравнение с вспомогательным уравнением
вида:
1*1
I
;W<I>(s)dft
-1*1
которое имеет своим решением функцию ЛГе'*-ЛП*1.
6. Решен'.е уравнения первого роба с помощью последовательных при-
приближений. Можно рассмотреть более общее уравнение

46 ГЛАВА XXX. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 563
и искать формальное решение в виде:
Полагая,/f @,0)^6 0, находим сходящийся ряд, который при 31=1 тождествен
с решением Вольтерра.
Можно применить тот же прием для случая обобщенного уравнения Абеля
(Е. Pica r d, Comptes rendus, t. 139, 25 Juillet, 1904).
7. Уравнение Вольтера дли многих переменных. Решение уравнения вто-
второго рода B8) может быть приведено к последовательному решению двух урав-
уравнений вида A) и одного уравнения вида B7).
Напишем уравнение B8), полагая 1=1:
X
)= j
V(x,y),
где через V(x,y) обозначена совокупность всех остальных членов. Если в этом
уравнении у рассматривать как параметр, то мы получим:
х
t {х, У) = V{x, у) -h \ S {х,у; и) V (и,у) du
где S (х, у, и) — известная функция. Это новое уравнение имеет вид:
у х у
Т (*>У) - f *i(*.У. ч) ? (х. 1) *п =* Д(дг, У) -b j J Щх,у, ?, ч) f (=,
О 0
о о
где /, и // — данные функции. Обозначая правую часть через W(x,y), мы полу-
получаем:
? (х, у) = W {х, у) + j T [х, y;v)W (x, v) dv,
о
где Г есть данная функция. Наконец, заменяя W его значением, мы приходим
в конце концов к виду A27) (Volt err a, Lecons sur les equations integrates,
стр. 76).

ГЛАВА XXXI.
УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА.
I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА.
564. Об одном методе наведения. При изучении диференциальных урав-
уравнений (т. II, § 392) мы видели, что первый метод Коши, при котором
диференциальное уравнение рассматривается как предельное для урав-
уравнения в конечных разностях, дает возможность определить интеграл
в более широкой области, чем другие методы интегрирования. В этом
смысле метод Коши имеет большие преимущества. Аналогичная идея,
уже использованная Вольтерра, была применена Фредгольмом для ре-
решения интегрального уравнения второго рода при произвольном значе-
значении параметра X. Свои результаты, к которым он пришел индуктивным
путем, он изложил в своем основном мемуаре („Acta Mathematica",
т. XXVII, 1903 стр. 365), синтетически доказав, что полученные вы-
выражения дают решение задачи. Мы будем пользоваться смешанным ме-
методом, используя уже полученное разложение резольвенты.
Чтобы решить уравнение второго рода:
ь
\t A)
в котором мы предполагаем ядро К(х,у) ограниченным, заменим ин-
интеграл в правой части суммой
где мы для краткости полагаем
^^ Ъ =?(*,) (/=1,2 п).
Уравнение A) тогда заменяется функциональным уравнением:
<р (л) =/(*) -ЬI [К (х, sj у} + ... + К(х, sK) r J А, .|B)
которое дает возможность определить (рг <ps, ... , <ря. В' самом деле, если
в этом уравнении положить последовательно x = sv x^^s^,..., x= sn,
мы получим п линейных соотношений относительно <Pi» <р2,... , <р„: '
- У, [*(*„ *,) <Р, + K(s}, s2) <p2 + ... +K(sv sn) fj =/]f
u[/f() + A:(fA:(jj

48
ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
§ 564—565
Выражения для »,, <р, , ... , <рп, полученные из этих уравнений, пред-
представятся в виде дробей, общим знаменателем которых будет опреде-
определитель:
—XK(svs,)h —\K(svsn)k
\-\K(s2,s2)h —
— lf((sn,s2)h l—\K(sn,sn)h
D)
числителем для <f{ будет также определитель /wo порядка D'n(k), кото-
который мы выписывать не буд«м. Положим теперь, что два числа п и i
неограниченно возрастают так, что числа st приближаются к некоторому
числу х, заключенному между а и Ь. Можно с полной строгостью до-
доказать, что Dn (к) и D'a (к) имеют своими пределами две целые функции
от X*. Но мы будем рассматривать этот способ лишь как наведение и
исследуем только, что делае1ся с детерминантом Dn(k), когда п неограни-
неограниченно возрастает.
565. Функции D(X)
и ?>( X).
Для упрощения записи будет удобно
воспользоваться следующим сокращенным обозначением, введенным также
Фредгольмом. Если заданы две системы по п переменных:
то мы положим:
j, 1Xj X2 . . . Хп\ __
'лЛ ••• Уп'
хп) и (yvy2 уп),
^i) АГ(лг2,^2) ... K(x2,ya)
Ул) К(хп,у2)... K(xn,ya)
здесь переменная xt входит во все элементы t-й строки и только в эти
элементы, а переменная ук — во все элементы k-то столбца и только
в них. Отсюда следует, что если поменять местами переменные xt и xf
или переменные yt и ук, то определитель поменяет знак. Определител!
не меняет своей величины от перестановки двух пар переменных xt,y
и Xk,yk. Таким образом, не изменяя значения определителя, можно рас
ставлять в нем п пар переменных (xt, yt) в произвольном порядке
В частности, функция К
/*, хг...хп\
\ X] Xq • . • Xа J
есть симметричная функция от-
относительно переменных хл, х2, ..., хп.
Положим теперь, что мы разлагаем Dn (К) по степеням X. Мы найдем
члены, содержащие У, если возьмем всевозможные определители р-то
порядка, полученные из Da вычеркиванием всех строк и столбцов, со-
содержащих п — р произвольно выбранных элементов главной диагонали.
* Это сделано Гильбертом в его первых работах по этим вопросам (Erste
Mitlellung, Qottingen Naehrichten, 1904).

§ 565 I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 49
Таким образом коэфициент при (—\)PfiP равен сумме определителей
р-го порядка вида:
но произведение этого детерминанта на hP есть один из элементов суммы,
которая имеет своим пределом /7-кратный интеграл
ъ ъ
a a a
и этот элемент в этой сумме встречается р{ раз, так как функция
симметрична относительно s^, sit ...,'s . Очевидно, то же можно ска-
сказать о всех аналогичных детерминантах, и следовательно, при неогра-
неограниченном возрастании п коэфициент при (—\)р в многочлене Dn(k)
имеет своим пределом —-1. Мы приходим, таким образом, к ряду це-
р\ г
лому относительно X:
ь
D(k)
=\-\\K(svs1)ds1-\-...
E)
который сходится при любом значении X. Действительно, по теореме
Адамара (т. I, § 54) коэфициент при V по абсолютной величине меньше
Мп(Ь — а) —, где М — верхняя грань функции \К(х, у)\. Но ряд,
общий член которого равен произведению Х° на предыдущее выражение,
сходится, ибо отношение двух последовательных членов, равное
при неограниченном возрастании п стремится к нулю.
Покажем теперь, что произведение целой функции ?>(Х) на ряд, вы-
выражающий значение резольвенты (§ 559), есть также целая функция от X.
Пусть d( X) обозначает ряд относительно X, полученный от этого
4 Э. Гуроа, т. Ш, ч. 2.

60 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 565 §
умножения. По аналогии с разложением D(k) напишем это произведе-
произведение в виде:
+ оо
^ t^lCp(x,y). F)
р=\
Коэфициент С (х,у) непосредственно выражается через ядра
К(х, у), К^2) (х,у), ... и через коэфициенты ряда E), но проще полу-
получить выражение для этого коэфициента, если воспользоваться функцио-
функциональным уравнением F0) § 559, которому удовлетворяет резольвента.
Если умножить обе части этого уравнения на D(k), то оно дает:
ь
\ J К{х> s) D
G)
приравнивая теперь коэфициенты при \р в обеих частях, мы получим
рекуррентное соотношение между двумя последовательными коэфициен-
тами:
ь
Cp{x,y) = K{x,y)cp-p\K(x,s)Cp_,(s,y)ds, (8)
а
где с есть соответствующий коэфициент функции D(k). Полагая по-
последовательно />=1,2, ..., мы легко покажем, что первые коэфи-
коэфициенты Cv Сг имеют вид:
ь ь ъ
чтобы доказать, что этот закон общий, достаточно показать, что крат-
кратные интегралы
ь ь
удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и коэфи-
коэфициенты С , так как С, и 1г тождественны. Развернем определитель
К[ л р) по элементам первой строки; принимая во внимание пре-
\ys1 ... spl
ys1 ... sp
дыдущие замечания, мы получаем:
-*<•¦*«(?::.$—¦-*<***&¦".';).

§ 565 I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 51
Умножим теперь обе части на ds1 ds2 ds и будем интегрировать
в пределах от а но Ь. Заметив, что значения этих интегралов не зави-
зависят от обозначений переменных интегрирования, мы приходим к соот-
соотношению: ь
1Р (х, У)=К (х, у)ср-р]К {х, s) 1р_л (s, у) ds,
а
которое тождественно с соотношением (8), связывающим С _л и С .
Предположение, таким образом, доказано, и ряд, выражающий произ-
произведение ?>(>.) и резольвенты, имеет вид:
+ оо ь ь ь
Г /хя. . .? i
^dSi...ds. (9)
P=L a a
Ряд, стоящий в правой части, сходится при всяком значении X, ибо
по теореме Адамара общий член его меньше, чем
Таким образом резольвента есть частное от деления двух функций,
Целых относительно X, /у \
Т(х,у;\)=-
A0)
Йг. е. мероморфная функция параметра X. Результат этот очень суще-
существенный, и предвидеть его заранее было бы трудно (см. упражнение 1).
Теперь легко будет распространить решение, данное в предыдущей
|яаве для уравнения второго рода, на все re значения X, которые не
юбращают в нуль функцию D(k). Действительно, к соотношению G)
Можно присоединить соотношение того же вида;
ъ
торое доказывается тем же путем. Разделив каждое из этих равенств
?>(к), мы придем к функциональным уравнениям F0) и F1) § 559,
¦орые характеризуют резольвенту, если только заменить в них функ-
и Т(х,у;\) ее выражением A0). Итак, соображения этого параграфа
вводят к первой теореме Фредгольма:
Если X не есть корень уравнения D (X) = 0, то уравнение второго
A) имеет одно и только одно решение; оно дается формулой:

52 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 565-566
Совершенно аналогично можно показать, что уравнение второго
рода, союзное с уравнением A)
ь
ф (х) = У. \ K(s, х)ф (s)ds-\-g(x), A2)
а
имеет также единственное решение, выражаемое формулой:
ь
D\
—5otg{s)ds-
Эти формулы можно получить из формул E9) и F3) § 559, если
1 (х \
заменить в них Г(дг, у; X) на ?>( XI, т.е. аналитическим
выражением резольвенты, которое имеет место во всей плоскости
переменного X*.
566. Разложение функции D' (X):_D(X). Логарифмическая производная
функции ?>(Х) допускает очень простое разложение в ряд, полученное
также Фредгольмом. Чтобы к нему притти, заменим в тождестве F) х и
у на s и будем интегрировать обе части в пределах от а до Ь. Со-
Согласно формуле (9) интеграл левой части равен как раз — ?>'(Х); чтобы
получить интеграл правой части, предположим, что функция Г(дг, у; X)
заменена своим разложением по степеням X и что |Х| меньше радиуса
сходимости этого ряда. В таком случае мы можем интегрировать по-
почленно и получаем:
полагая вообще
ьь
а а
b
= { К{1
а
и мы приходим
D{1)
ь
а
*(s, s)ds,
к новому соотношению:
О(Х) (А, Л2Х
A4)
A5)
* В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что значения переменных
действительны, а ядро может принимать и комплексные значения. Доказательства
останутся прежние, ибо теорема Адамара применима также к определителям
с комплексными элементами (см., например, W i г t i n g e г, Bulletin des Selences
math., 1907, стр. 175).

§ 567 I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 53
Интегрируя и замечая, что D@)=l, мы получаем:
Числа Аг, А2, ... , Ап ... , которые входят в эти формулы, носят
название последовательных следов ядра К(х, у). Ясно, что формулы A5)
и A6) применимы только в том случае, если \\\ меньше модуля наи-
наименьшего из корней уравнения D(k) = 0. Но если правую часть фор-
формулы A6) разложить в ряд по степеням X, мы неизбежно придем к ряду E),
и, следовательно, коэфициент при V в этом ряду есть целый многочлен
относительно Av Аг, ... , Ап, в чем можно было бы убедиться и не-
непосредственно (упражнение 2). Таким образом коэфициент при Xя в раз-
I х \
ложении DI X] сам выражается через AvAa,...,An и через ядра
К(х, у), *<« (дс, у), ... , К^Цх.у).
Примеры. Выше (§559) мы приводили ряд примеров, в которых резольвен-
резольвентой была целая функция от X. Легко показать, что соответствующее уравнение
D(l) = О не имеет ни одного корня. Так, в уравнении Вольтерра мы должны по-
положить К(х, у) = 0 для у > х. Отсюда следует, что все следы, кроме первого,
равны нулю. В самом деле, по крайней мере один из множителей произведения
К(sit.%) • • • К (•*„, s{) равен нулю, если только не имеют места равенства
si:=.s2= ... =sn. А тогда подинтегральная функция л переменных равна нулю
во всей области, кроме множества одного измерения в этой области, и интеграл
равен нулю. В этом случае, следовательно, D (X) == е~А )-); для ядра, ортогональ-
ортогонального самому себе, получится тот же результат.
567. Миноры функции D(l). Всякий корень \ = с уравнения D(k) = 0
есть полюс резольвенты. В самом деле, если т есть порядок кратности
этого корня, то числитель Dy XI не может делиться на (\ — с)т,
ибо тогда в силу уже указанного соотношения мы имели бы:
Df(k)=-)D{ S^ds, A7)
и производная D' (X) делилась бы на тот же делитель.
Поэтому формула, которая дает решение уравнения второго рода,
теряет смысл в том случае, когда Х-есть корень уравнения ?>(Х) = 0.
Изучая этот особый случай, Фредгольм рассматривает его как предель-
предельный случай системы л линейных уравнений с определителем, равным
нулю, в предпложении, что число л неограниченно возрастает. На этом
пути он приходит к необходимости ввести новые целые функции, ана-
аналогичные функции Dl XI, которые он называет -и««о/?а.ии функции
Z)(X). Минор л-го порядка определяется сходящимся рядом:
+эо ь ь
\У-[ •' ?Уп *i • < • sn
а в 9 ?

54
ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
§567
Из теоремы Адамара снова вытекает, что если ядро есть ограниченная
функция, то правая часть есть целая функция от X. Эти миноры удовле-
удовлетворяют функциональному уравнению, частным случаем которого и
является соотношение G) и которое доказывается непосредственно. Раз-
лагая
(x x s s \
i • • • « !••• л п0 элементам первой строки,
мы находим:
*{?,
¦К(х,,
::;;:
;::
:;;::
— 1 )п~г К{хл,уп)К
Х2 Х3 • • ¦ Хп Sl • • • Sp
У2Уз--- "nsi---sP
У,
•¦¦xns\ ••• V-Л.
... s,,
• Xn Sl • ¦ • Sp
¦ Л-i si • • • so
чтобы получить коэфициент при К(хл, st), нужно сначала переставить
первый и (я + /)й столбцы, отчего детерминант изменит знак, а затем
в миноре, соответствующем первому элементу K(xlt st), привести пару
(st, ул) на первое место.
(—\)р
Умножим обе части предыдущего равенства на р- ds^ dst ... ds
и проинтегрируем по каждой из переменных st от а до Ь; просуммируем
затем все равенства, которые получаются, если давать р значения от 1
до оо , а также прибавим и предыдущее, положив в нем р = 0. Мы при-
приходим к искомому равенству:
Х2 • ¦ • Хп
У-2
•Уп
... x.
I -
!*,, t)D
/ t
Уъ ¦¦¦>'„
I dt.
A9)
(X X S S \
i л l • • • р п0 элементам пер-
y]...yns,...sp} *
В0Г9 столбца, то таким же путем мы придем к соотношению;

§ 567—568
I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
55
Уг
•Уп
X Л.
B0)
Если заменить в формуле A8) yt на j^, умножить обе части на
dx7 dx2... dxn и проинтегрировать в пределах от а до Ь, то получится
еще соотношение:
ь ь ь
dnD(k)
— dl"
B1)
которое является обобщением соотношения A7).
568. Однородное уравнение. Фундаментальные функции. Если в урав-
уравнении A) положить f(x) = 0, то при значении \, отличном от корня
уравнения D(\)==0, полученное уравнение имеет единственное решение
ф(дг) = О; это вытекает из формулы, дающей единственное решение
уравнения второго рода в общем случае. Но однородное уравнение
, s)if(s)ds,
B2)
для которого D(c) = 0, допускает некоторое число решений, отличных
от нуля, подобно тому как система однородных линейных уравнений
с определителем, равным нулю, всегда имеет решения, не равные нулю.
Пусть т будет порядок кратности корня \ = с уравнения D(k) = 0.
Может случиться, что этот корень обращает в нуль некоторые из ми-
миноров
D
D
тождественно, т. е. для любых значений переменных xt, yk, но он не
может обращать тождественно в нуль все миноры первого, второго и т. д.
до т-го порядка включительно. В самом деле, согласно соотношению B1)
в этом случае производные D'(К), D"(к), ...,D(m)(X) при \ = с также
обращались бы в нуль, что невозможно. Мы можем поэтому предполо-
предположить, что минор л-ro порядка при 1= с не равен тождественно нулю, но
все миноры низшего порядка Х = с тождественно равны нудкь Число ц
может быть равно единице, но не может быть больше т.

56
ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
§ 568
Пусть число л удовлетворяет указанным условиям, и пусть (?,, т1к)
будет система 2л числовых значений таких, что минор
отличен от нуля. Если в соотношении A9) заменить X на с, а д:,, х2,..., хп —
на *,$„,...,$„ и уг, у2, ... ,у„— на tj-,, 7j2 , ... , 7)„ соответственно и
принять во внимание, что согласно предположению минор (л — 1)-го
порядка при X = с тождественно равен нулю, то это соотношение при-
принимает вид:
ь
D
rh Ч2
Чя
с =|
dt.
Мы получим таким образом решение однородного уравнения B2),
если в миноре А заменим ?, на х, а отсюда ясно, что можно также по-
получить решение этого уравнения, если заменить %t на х, ибо пару
i^, »);) можно поставить на первое место. Решение,, полученное из ми-
минора А заменой %t на х и делением на этот минор А, мы будем вместе
с Фредгольмом обозначать через Ф^л:).
Система п таких решений Фг (х), Ф2 (дг), ... , Ф„ (дг) линейно неза-
независима. В самом деле, согласно общему соотношению A9), имеем:
D
Tl2 ••¦ Чя
4i Чз ••• Ч«
и следовательно, интеграл
равен единице при i=l и нулю г^> 1. Таким же путем мы получим,
что интеграл
ь
с \K($.l,s)$k(s)ds
равен единице, если / —й, и нулю, если i^=k. Предположим теперь,
что функции Ф, (дг), Ф2 (х), ... ,Ф„(<с) связаны линейным соотношением:
а, Ф3 (х) f a2 Ф2 (х) -}-...+ а„ Ф„ (д) = 0
B3)
с постоянными коэфициентами.
Умножая левую часть на К{%.,, х) и интегрируя от а до Ь, мы най-
найдем, согласно предыдущим соотношениям, что о/ = 0. Соотношение
B3) представляет, таким образом, тождество.
Всякое решение однородного уравнения B2) представляет собой
Линейную комбинацию функций Ф, Ф„М.,Ф« с постоянными коэ*
фициентачи,

$ 568 1. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 57
Доказательство Фредгольма основано на одном общем замечании,
которым мы в дальнейшем будем пользоваться. Всякая функция ip (x),
удовлетворяющая уравнению второго рода A), удовлетворяет также бес-
бесчисленному количеству уравнений того же вида, зависящих от произ-
произвольного ядра Н(х, s). В самом деле, из уравнения A) мы получаем:
ь ь ь ь
Н(х, s) 4(s)ds = l\\H(дг, s)К(s, t) <р (*) dsdt-f \ Н(х, s)/(s)ds;
если умножить обе части этого уравнения на "к и сложить его с первым,
то полученное уравнение можно написать в виде:
, s)f(s)ds, B4)
а
ядро F(x, s) нового интегрального уравнения имеет вид:
ь
F(x, s) = K(x, s) — H(x, s) + l^H(x, t)K(t, s)dt. B5)
Всякое решение уравнения A) есть также решение уравнения
B.4), какова бы ни была интегрируемая функция И (х, s).
Приняв это во внимание, положим, что <f(x) есть решение однород-
однородного уравнения B2). В соотношении B4) положим:
Н(Х, *)=
D
F,.-б. Л
D
B6)
где постоянные (?/( Г|,) пибпяны так, чтобы минор л-го порядка не был
равен нулю.
- Принимая во внимание функциональное уравнение B0), в котором п
заменено на «-+- 1, мы видим, что ядро F(x, s) нового интегрального
уравнения B4) равно:
и следовательно, всякое, решение уравнения B4), в котором f(x) = 0,
представляет линейную комбинацию функций Ф, (дг), ... , Ф„{*) с постоян-
постоянными коэфициентами.
Итдк, если Х = с есть корень краткости т уравнения D(k) = 0,
та однородное уравнение B2) имеет п линейно независимых решений
@^^т). Это -^-вторая теорема Фредгольма,

58 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 568-569
Таким же путем можно доказать, что союзное однородное уравнение
ь
6(х)=с\ K(s, x)'l(s)ds B7)
а
имеет п линейно независимых решений 6,(х), 62 (х), . . . , i (x), причем
функция ?>,<х) получается из функции D I ""' " с) заменой т.. на х.
lM \1i ••• ты I
Числа с, корни характеристического уравнения D(X)— -0 называются
характеристическими числами, особыми значениями или фундамен-
фундаментальными числами. Решения соответствующего однородного уравнения
называются характеристическими функциями, особыми функциями или
фунсамгнтальными функциями *
56Э Исследование особого случая. Рассмотрим, наконец, неоднород-
неоднородное уравнение второго рода:
ь
<р (х) г= с \ К(х, s) ъ (s) ds +/(дг), B8)
а
где с — корень функции D(\). Рассмотрение эюго особого случая при-
приводит к исследованиям, совершенно аналогичным исследованию системы п
линейных неоднородных уравнений с п неизвестными', если определитель
из коэфициентов равен нулю. Прежде всего очевидно, что если уравне-
уравнение B8) допускает решение, то таких решений существует бесчисленное
множество; все эти решения можно получить, если к первому решению
прибавить решения однородного уравнения, полученного отбрасыванием
члена f(x) в уравнении B8). Но для того чтобы решение существовало,
функция /(XI должна удовлетворять некоторым условиям. В самом :еле,
пусть функция 'bj(x) будет одним из решений однородного уравне-
уравнения B7). Умножим обе части уравнения B8) на 'bj(x) и проинтегрируем
в прете.ь;х от а до Ь. Если переставить буквы s и х в двойном инте-
интеграле, то полученную формулу можно представить в виде:
ь | ь ь
\ ^(x)dx\'bl(x) — c\ K(s, x)'b,(s)ds
= \ /(х) ф,- (a dx.
Так как левая часть этого равенства равна нулю, то то же следует и для
правой части, и следовательно, для того чтобы уршнение B8) допускало
решение, необходимо, чтобы функция f(x) удовлетворяла л условиям:
ь
\ <b,(x)f(x)dx = 0 (i— I, 2 n). B9)
Эти условия и достаточны. В самом деле, всякое решение уравнения
B8) удовлетворяет бесчисленному множеству интегральных уравнений
вида B4), если только в нем заменить \ на с, каково бы ни было
вспомогательное ядро И(х, s). Но если в качестве Н(х, s) взягь ту же
* В русской математической литературе чаще применяются термины: „соб
ствепиые значения" и „собственные функции'. Н этом пере, оде мы оставляем
Терминологию Гурга (РеО.).

§ та -гO0 I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 59
функщ!ю B6), что в предыдущем параграфе, то легко видеть, что функ-
функция ъ (х) будет лип, иною комбинацией функций <1>] (х), Ф2 (х), . . . , Фл (х)
с пост)янными коэоиинеагами, сложенною с функцией
ь
Ф (х) =
[ | X \ \
. г,
с I
f(s) D ( X ;' ' " ' '"" \c\ds. C0)
a
Теперь достаточно показать, что aia последняя функция C0) удовле-
удовлетворяет уравнению B8), ic::i условия B9) выполнены. Если подставить
это выражение для Ф (х) в уравнение B8), то, принимая ко внимание
функциональное соотношение A9), мы придем к равенству вида:
Л п
\ ./>; V {С,ф,(s))d,-----о,
где коэфнцпенты С1 не зависят от 5.
Итак, для того чтобы уравнение B8), v''>e с есть корень уравнения
П (),) -0, имело решение, необходимо и достаточно, чтобы функции
f(x) yoo'j.iemuopH.ia а условиям B9); при этом решение зависит от п
upon пыльных постоянных.
';)хо — тр-тъч теорема Фредгольма. В нашем изложении мы при-
дср"/Кп:-:;!Л]1С1. сиш.етического меюда, которому следовал автор. Позже мы
придем к тем же результатам при изучении разрешающего ядра.
57A. Случай неограниченных ядер. Как известно, всякая мероморфная
функции or ). может быть представлена бесчисленным множеством спо-
способов в пиле частного двух целых функций от /,.
Теорема Фредгольма дает для числителя и знаменателя резольвенты
осоОечмо снммефичные выражения, но эти выражения, конечно, не един-
единственно возможные. С одной стороны, обе функции D ().) и Ol
могут делит; си на линейны^ множители вида X —- /.,. которые в таком
случае могут быть сокращены. С другой стороны, умножая обе эти функ-
функции на одну и ту же це.'пю функцию от X, можно получить новое вы-
выражение для резольвенты. Из бесчисленного множества различных форм
функции Г (х, у; X) рассмотрим tv, которая получается с помощью тео-
теории повторных ядер (§ 560). Пусть Гл (л\ у; X) будет резольвентой от-
относительно л-го шторного яupa:
Тп(х, у;1) = К("> (х, у) -f X /С -"' {х,у)А-. . . -f X^ К1** (х,у)-\- ...; C1)
согласно первой теореме Фредгольма ее можно также представить в виде:
,, , C2,
г'к^ ')„ <'¦'.) и 1)п I Г'-) <"> п' иелые функции Фредгольма, составлен!:ые
с помощью ц 1ул К"'1х, у); ~>\п второе выражение vw l',,(.v, v; i] :i .«.•-'с
К

60 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 570
смысл для всякого значения X. Подставив теперь в формулу F5) § 560
вместо Тп(х, у; Xя) его значение из соотношения C2), мы получим:
у; 1) = Н(х, у; X) -f Xя
»
Xя \ Н (х, s; X)
ds, C3)
Dn (Xя)
а
где попрежнему
Н(х, у; l) = K(x,y)+\tf J)(x, У)±... -\-1п~2 &п~» (х, у).
Так как
х
Xя есть целля функция от Xя, то ясно, что правая
У
часть формулы C3) есть мероморфная функция от X, знаменателем кото-
которой служит ?>„(ХЯ):
В случае, когда ядро К{х, у) ограничено, как мы это до сих пор
предполагали, можно от формы Фредгольма перейти к новому выраже-
выражению для резольвенты, умножив числитель и знаменатель на целую функ-
функцию, которую довольно легко определить. В самом деле, согласно фор-
формуле A6) имеем:
DnQ.) = e~{AnX + ~"+'"+~p'}'P+"-), C5)
и следовательно, как это легко показать,
Dn(Xя) =D(k)D(o)X) ... D(о)"-'X), C6)
где о) — первообразный корень уравнения а>я=1. Таким образом, чтобы
перейти от формы A0) Фредгольма к новой форме C4), достаточно чи-
числитель и знаменатель дроби умножить на целую функцию
Чтобы притти к выражению C3) резольвенты Г(дг, у; X), достаточно
было предположить, что все повторные ядра, начиная с К^п> (х, у), огра-
ограничены, но доказательство не требует, чтобы само ядро К(х, у) было
ограничено. Первая теорема Фредгольма распространяется, таким обра-
зОм, на ядра этого рода, и резольвента и в этом случае есть также
мероморфная функция параметра X. Для всякого значения X, которое не
есть полюс резольвенты, уравнение A) допускает единственное решение,
которое дается формулой A1), если в ней заменить Т(х, у, X) ее вы-
выражением C4). Дальше мы увидим, что остальные теоремы Фредгольма
также распространяются на этот случай,,

§ 570 I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 61
В новом выражении резольвенты числитель и знаменатель выражаются
с помощью последовательных повторных ядер ядра К(х, у) и с помощью
следов Ап, А2п, , но следы Av А3, ... , Ап_-1 не входят в это
выражение. В самом деле, ясно, что всякий коэфициент функции
/ х \
DJ 1] выражается через Ап, А2п, АЬп, ... и через ядра Kw (x, у),
КBП)х, у),...; следовательно, интеграл
ь . .
\]H(x,s;\)Dn[ $ lAds
'а \ У /
выразится только с помощью Ап, А2п, ... ,Арп, ... и последовательных
ядер, начиная с /С(и+1) (х, у).
Пуанкаре (Ada mathematica, т. 33, 1910) указал на другую форму резоль-
резольвенты, которая применима для неограниченного ядра, если только все повторные
ядра, начиная с некоторого, остаются конечными. Положим сначала, что ядро
К(х, у) ограничено. Если представить резольвенту в обычной форме A0), то,
умножив числитель и знаменатель дроби на целую функцию
e ,
мы получим новое выражение для резольвенты в виде:
Г (х, у; X) = ф''^ , C7)
если положить:
Л,-, \ C8)
АХ+... + —уХ»—« [
e ' J
5Dn (X) и 3}„ ( Xj суть две новые целые функции от X, которые можно очень
(х I \
X 1 . Действительно, ясно, что 3)„(*) вы-
выражается только с помощью следов А„, An+V ... ; можно, следовательно, получить
3)„ (X), если в коэфициентах функции D (X) отбросить все те члены, которые
зависят от А,,АЬ ... ,АП_{, это сводится к тому, чтобы в первом из тождеств
C8) заменить AitA2, ... ,АП_1 нулями. С другой стороны, тождество
) C8')
показывает, что коэфициенты функции 3)я ( X ) выражаются только с помощью
следов An,An+i, ... и ядер К(х, у), К^Цх, у),... Можно, следовательно, также
получить 3)„ ( \и из разложения ?м \) , отбросив в коэфициентах члены,
зависящие от At, А& ..., Лл_4.
Выражение C7; для резольвенты пригодно также и в том случае, если
ядро К{х, у) при у = х обращается в бесконечность, если только все по-
повторные ядра, начиная с Kw(x, у), остаются ограниченными. В этом случае
все следы, начиная с Ап, имеют конечные значения, и тождество C8') остается

62 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 570
с формальной точки зрения правильным, ибо оно' может быт* непосредственно
проверено. Нам, следовательно, достаточно показать, что 33„ (X) есть целая функ-
функция от X, нулями которой служат полюсы резольвенты, причем кратность каждого
нуля по крайней мере равна кратности этого полюса. Если это так, то произве-
дение ?>„(к)Т(х, у\ X), т. е. ?>„( Xj , будет также целой функцией от X. Дей-
Действительно, для достаточно малых по модулю значений X мы имеем:
ь ь ь
*, S)ds- ...=— lr'E,s;X)rf5, C9)
J
^2^_ X«
?)„(Ц
если положить
T'(x, j/;X) есть мероморфная функция от X, имеющая своими полюсами только
полюсы резольвенты Г (х, у, X), главная часть которой относительно каждого из
них совпадает с главною частью резольвенты. Позже (§ 579) мы покажем, что
ъ
г
всякий полюс резольвенты есть простой корень интеграла —\ Г (s, s;\)ds, вы-
а
чет которого есть целое число, равное или большее порядка полюса. Таким об-
образом функция 3}„(Х) есть целая функция от X, удовлетворяющая указанным усло-
условиям, что и доказывает предложение Пуанкаре.
Примечание. В частном случае, когда повторные ядра при у•-= х оста-
остаются конечными, начиная с К^ (х, у) — это будет иметь место, если ядро К(х, у)
будет порядка о < -^ , — можно взять я = 2, т. е. в разложениях функций D (X)
и D ( X J отбросить At. Но все члены этих разложений, содержащие Ait по-
получаются только из элементов главной диагонали детерминантов Фредгольма.
Поэтому можно сохранить выражения Фредгольма для ?>(Х) и D\ XJ , если
только заменить все элементы главной диагонали в соответствующих определи-
определителях нулями. Это изящное замечание принадлежит Гильберту *.
Для некоторых неограниченных ядер пригодно и самое решение
Фредгольма. Таково, например, ядро вида ——L-~i-> если Н (х, у) огра-
\х — с \
ничено, а — положительный показатель, меньший единицы (§ 561).
И в этом случае можно с помощью неравенства Адамара показать, что
ряд E) есть целая функция от X.
Что касается разложения (9), то оно также равно частному от деле-
деления целой функции от X на ¦ , и равенство
х
D
где под Г (х, у; X) мы понимаем разложение § 561, устанавливается
так же, как и раньше.
Goffingen Nachrich'en, 1904, стр. 81.

§571
I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА
63
571. Ядра вида S^i^i- Можно притти к решению Фрелгольма и другим
также индуктивным путем, основанным на изучении частного случая, при кото-
котором решение интегрального уравнения второго рода не представляет никаких
трудностей. Это случай, когда ядро К (х, у) имеет вид:
где Xi и Yi зависят соответственно только от переменного х и переменного у.
Можно предположить, что я функций Xt линейно независимы, так же как функ-
функции Yi, ибо если бы это было не так, то можно было бы представить ядро в ана-
аналогичной форме, содержащей только меньшее, чем л, число функций от х. Инте-
Интегральное уравнение принимает вид:
ь
9 W =
„ С*) Yn »
D0)
ясно, что всякое его решение у (х) имеет вид:
где Hi, Я2) ... , Н„ суть постоянные коэфициенты. Для определения этих коэфи-
цнентов достаточно в обе части уравнения D0) вместо у (х) и ? (s) подставить со-
соответствующие значения и записать, что коэфициенты при Х^х) равны в обеих
частях. Мы получим, таким образом, л линейных уравнений:
Ь
D2)
где
— \аа Н{ + A - Хам) Н2-...- lani Н„ = I \y2 (s) f {s) ds,
Разрешая эти линейные уравнения, мы получим для Я,,Нь ... , Н„, а следова-
следовательно, и для у (х), рациональную функцию от X, которую, как это нетрудно ви-
видеть, можно записать в форме:
(s) ds, D3)
где ?>„(Х) и Dn[ Xi—два детерминанта:
— Ха^з 1 — ^О22 • ¦
/>„№ =
ия1
— Xflj. ... 1 — Ха.
D4)

ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
§ 571
Х{(х)
i\{s)
Л',, (О ... Хп(\)
У г. (
— Хо.,_ ... 1 — ).я
D5)
С помощью довольно простых преобразований * можно показать, что детер-
детерминанты Dn(k) и Dn ( л) тождественны с функциями Фредгольма, соответ-
соответствующими ядру 2 %i Уь а эт0 с помощью индукции приводит к общему реше-
решению уравнения A) с ядром общего вида. Мы покажем только тождественность
детерминанта D,, ().) с детерминантом Фредгольма. Заметим прежде всего, что
ядро R(x, у) можно представить в виде v X-t Y-t бесчисленным множеством спо-
способов, ибо функции Xi можно всегда заменить л различными линейными комби-
комбинациями этих функций с постоянными коэфициентами; л функций Y-t должны
в таком случае быть заменены п линейными комбинациями этих функций с ко-
коэфициентами, зависящими от первых коэфициентов. Ясно, что детерминант Dn ().)
не зависит от частного выбора функций XL, с помощью которых составлено
ядро У, X-t Yp и что этот детерминант зависит только от самого ядра К(х,у).
Покажем, как можно, пользуясь произволом выбора функций АГ,-, привести Dn Q.)
к произведению элементов его главной диагонали.
Пусть ядро Kix, у) задано некотором определенным образом в виде ^XiY{
и пусть требуется найти линейную комбинацию вида A"_Vrf. A'j с постоянными
коэфициентами так, чтобы было
D6)
где с — постоянный мн житель. Так как по предположению функции Х( линейно
независимы, то п коэфициентов а; должны удовлетворять системе п линейных
однородные уравнений. Если приравнять определитель этой системы нулю, то по-
получится уравнение л-й степени относительно с, которое есть не что иное, как
уравнение ?)„(Х) = 0, в котором \ заменено на —. Каждому корню этого уравне-
уравнения соответствует по крайней мере одна функция Х(х), удовлетворяющая усло-
условию вида DG.), где постоянна1! с может быть и нулем. Если одну из этих функ-
функций принять за А'(, то ясно, что соотношение D6) может удовлетвориться только,
если Д(.з = . .. = я1л = 0. Выбрав Х1 таким образом, можно дальше применить
те же соображения и операции к ядру Х.,У'.2-\- ... -\- XnYn и так далее. Мы при-
придем, таким образом, к ядру, данному в такой форме, что а^ = 0 при i <' k\ для
краткости мы будем говорить, что ядро представлено в приведенной форме. Та-
Таким образом детерминант Dn(l) обратится в произведение A — аИ\)...(\ —onnty-
Остается только выразить суммы одинаковых степеней Sp=v,at с помощью
ядра К{х, у). Соотношения
Ь b
\Xi(s)Yi(s)ds^aii, [xi{s)Yk(,s)ds=0, (i < k)
дают непосредственно:
St = au f я22
app \
* Q ours at, Bulletin de la Societe mathematique, т. 35, 1907, стр. 163;
Lebesgue, Ibid., i. 3», 19U8, стр. 3.

§ 571—572 I. ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМЛ 65
и вообще
ь ь Ь
Sp- \ \ . ¦ ¦ \ К {х„ .г») К (х8, х3) ... К (хр, х{ 1 d с, dx2 ... dxp. D7)
а а а
В cimom деле, каждый член кратного интеграла представляет произведение р
множителей вида aik. Если не все а имеют равные индексы, то среди множите-
множителей есть по крайней мере один, равный нулю, и интеграл, следовательно, ра-
равен 2 af,¦• Отсюда видно, что суммы Sp суть не что иное, как последовательные
следы ядра К (х, у). Следовательно, разложение логарифмической производной
функции Dn(>.) совпадает с разложением логарифмической производной детер-
детерминанта Фредгольма (§566), а так как Dn @) — D @) = 1, то эти две функции
тождественны.
Примечание. Если ядро представлено в приведенной форме, то Dn (X)
является многочленом п-й степени, если только ни одно из чисел ан. о22, ..., ипп
не равно нулю, в то время как степень Dn у Xj не выше /г— 1. Допустим
теперь, что некоторые из чисел ац равны нулю, например аи, о22 д
все же остал .ные отличны от нуля, тогда Dn (/.) будет степени п — р, но и сте-
пень Dn I X) не может быть ниже, ибо коэфицнент при Х{(л) Y{(s), напри-
например, будет по крайней мере степени п — р. Отсюда следует, что резольвента есть
рациональная функция от /., которая при бесконечном значении X обращается
в нуль в том случае, если ни одно из чисел ан не равно нулю, и только в этом
случае. Но если ядро К(х, у) каким-нибудь способом представлено в виде ^ XjYi,
то числа а„, входящие в приведенную форму, представляют собой корни уравне-
уравнения C*Dn ( —) ==0.
Таким образом, для того чтобы резольвента при бесконечном значении X
обращалась в нуль, необходимо и достаточно, чтобы определитель Dn(l)
был степени п.
572. Другой метод индукции. Если предположить, что решение Фред-
Фредгольма установлено для ядра специального вида 2Л'/)/;, то можно непосред-
непосредственно перейти от этого элементарного случая к случаю любого непрерывного
ядра с помощью перехода к пределу *. Пусть вообще
К, (х, у), К% (х, у),...,К„ {х, у), ...
будет последовательность ограниченных ядер (к которым применим метод Фред-
Фредгольма), которая сходится к некоторому ядру К{х, у). Обозначим через Dn (X),
Dn ( /U , D (X), D ( XJ целые функции Фредгольма, составленные соответ-
соответственно с помощью Кп(х, у) и К(х, у)- Легко видеть, что при неограниченном
возрастании п функция ?>„(Х) имеет пределом D (X) и что Dn у XJ равномерно
стремится к D (Х ).). Чтобы доказать первое, достаточно заметить, что Dn(l)
и D (X) суть два ряда, относительно X всегда сходящиеся, члены которых по абсо-
абсолютной величине меньше (§5A5) соответствующих членов сходящеюся ряда с по-
положительными членами, не зависящими от п, и что каждый член ряда Dn (X)
имеет своим пределом соответствующий член ряда D(\). Вторая часть этого пред-
предложения доказывается совершенно аналогично. Отсюда следует, что, если X не
есть корень уравнения D (X) ^ 0, то функция
ь
, v ,. , . X i' ^ / х ,
* Е. G о u r s a t, loc. cit, стр. 172.
9. Гурса, т, Ш, ч. 2.

66 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 572-573
равномерно стремится к функции Ф (х), которая имеет вид:
ь
С другой стороны, уравнение
ь
и (х) = 1\ К„ (х, s) Тл (s) ds\-f (x) D8)
а
может быть записано в виде:
ь ь
fn(x) = ).<\K(x, s)Ф(s)ds + 'i.\ [Кп(к, s) — K(<c, s)) vn(s)ds +
а а
Ь
Л- Ц [?п(•*) — ф (s)]K(x, s)ds + f(K); D9)
а
при неограниченном возрастании л два последних интеграла правой части стре-
стремятся к нулю, и в пределе мы получаем:
6
Ф (х) = \\К(х, s)<P(s)ds + f(x), E0)
т. е. решение Фредгольма применимо также к интегральному уравнению с ядром
К(х,у). Отсюда следует, что метод решения Фредгольма применим к уравнению
с любым непрерывным ядром, ибо всегда можно указать последовательность много-
многочленов Рп (х, у), которая сходится равномерно к этому ядру (§ 531), а всякий
многочлен, очевидно, есть функция вида 2 %i Y{-
Лебег (loc. cit., стр. 11 и след.) широко обобщил этот метод и показал, что
ргшение Фредгольма применимо к широкому классу неограниченных ядер.
К этому результату можно еще притти, если заметить, что в случае ядра
вида 2 X-i Yi метод § 571 не предполагает, что функции Х{ и Yt ограничены,
а только что произведения Xt(s) Yk(s), f(s) Yi(s) интегрируемы. Так дело обстоит
в случае ядра вида 1/ — (§ 561), из которого процессом повторения нельзя
получить ограниченного ядра. Большинство вопросов, которые можно поставить
относительно интегральных уравнений второго рода, также легко разрешайся
для случая ядра вида 2 ¦Я» Y(, и это решение может дать полезные указания для
общего случая.
II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА.
573. Ортогональные и биортогональные системы. В этом и в следую-
следующих параграфах мы будем рассматривать функции, которые могут иметь
в интервале (а, Ь) некоторое конечное число точек разрыва, но кото-
которые интегрируемы в этом интервале, равно как и их квадраты. Исклю-
Исключаются из рассмотрения только такие разрывные функции /(х), для
которых
ь

§ 573 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 67
(см. следующую главу). Пусть и и v будут две функции этого рода.
Для краткости положим
ъ
согласно неравенству Шварца этот интеграл имеет конечное значение,
ибо интегралы
\ и2 dx, \ v2 dx
имеют конечные значения. Если имеет место равенство (uv) = 0, то функ«
ции и и v называются ортогональными. Последовательность конечного
или бесконечного числа функций
?i(*). ?»(*)» ¦ • • • ?«(•*)• •• • E1)
составляет ортогональную систему, если мы имеем (tp, tpA) = O при раз-
различных индексах / и к. Ясно, что всякая часть ортогональной системы
функций представляет также ортогональную систему. Если я функ-
функций <р,, ..,, уп составляют ортогональную систему, то они линейно
независимы. В самом деле, если бы между ними существовала линейная
однородная зависимость с постоянными коэфициентами, то, умножая
левую часть на yt{x) и интегрируя в пределах от а до Ь, мы полу-
получили бы, что коэфициент при <?,-(*) равен нулю.
Ортогональная система E1) называется нормальной, если имеют место
равенства (ip(- (pI) = l для любого значения индекса /. Чтобы преобразо-
преобразовать произвольную ортогональную систему в нормальную, очевидно, до-
достаточно разделить каждую функцию <р,- (х) этой системы на |/ (<pi tp^).
Пусть задана система п линейно независимых функций
можно составить п линейных комбинаций этих функций с постоянными
коэфнциентами, составляющих ортогональную систему. Возьмем, напри-
например, Ф, (х) = <р, (х) и определим постоянное с, (i >• 1) так, чтобы две
функции ул(х) и тг,- (х) = tpy (лг)—Cjtpjfjc) были ортогональны. В новой
последовательности функций Ф, (л:), я2(;с), ...,ия(х) первая функ-
функция Фг (х) ортогональна ко всем остальным и, следовательно, к любым
их линейным комбинациям. Кроме того, эти п — 1 функций tii (x) ли-
линейно независимы, и следовательно, можно с новой последовательностью
поступить, как с первой. После п преобразований этого рода мы, оче-
очевидно, придем к системе л ортогональных функций Ф]( Ф2, ... , Фд,
которую можно привести к нормальной системе указанным уже способом.
Ортогональная система, которую можно получить с помощью'л функ-
функций ср-i > <р2, ... , <р„, не единственная. Действительно, ясно, что из вся-
всякой ортогональной системы л функций можно составить новую орто-
ортогональную систему, если к функциям этой системы, рассматриваемым
как независимые переменные, применить какую-нибудь ортогональную
подстановку.
о»

68 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕН Е ФРЕДГОЛЬМА § 573
Точно так же говорят, что две последовательности конечного или
бесконечного числа функций
Фгфг, ...,Ф„,.... I 1 '
поставленных во взаимно однозначное соответствие, составляют биорти-
гональную систему, если имеют место равенства ('.р,. ФА) = 0 для i ф- k.
Функции <р,- и ф,- с одним и тем же индексом называются союзными.
Если, кроме того, (<р,- ф;) =^= О для всякого i, то можно поло-
положить (?/ф,)==Ь ибо достаточно разделить <рг (дг) на (?,ф,), чтобы это
условие было выполнено. Система E2) тогда называется нормальной
системой. Любое число функций, принадлежащих одной из последова-
последовательностей биортогональной системы, в которой (<р,ф,) ф 0 при любом/,
линейно независима. В самом деле, если бы существовало линейное со-
соотношение между п функцчя^и, например <pj,tp2 (р„, то, умножая ле-
левую часть этого соотношения на фА (л:) (k^n) и интегрируя в пределах
от а до Ь, мы нашли бы, что коэфициент при tpft (х) в этом соотноше-
соотношении равен нулю.
Пусть (я,, <р2, ... , <?р) и (фр ф2, .... фр) будут две группы по р функ-
функций таких, что не существует ни одной линейной комбинации функ-
функций ср,. с постоянными коэфициентами (из которых по крайней мере один
отличен от нуля), которая была бы ортогональна к функциям ф(., и на-
наоборот, из этих двух трупа можно построить две группы функций, со-
составляющих биортогональную систему. Заметим, прежде всего, что из
принятых допущений следует, что р функций <р, линейно независимы,
как и р функций ф,. В самом деле, если бы существовала линейная
комбинация функций <рл которая была бы тождественно равна нулю,
то эта линейная комбинация была бы ортогональна ко всем функциям ф,..
Приняв это во внимание, примем Фэ (л:) == фа (лг), и пусть Ф, (х) будет
такая линейная комбинация функций ф, что (Ф1Ч;]) отлично от нуля.
Выберем затем 2р — 2 коэфициентов с2, с8, ... , ср, с'2, ... , с' таких,
чтобы было:
Это сделать возможно, ибо (Ф1( ф,) не равно нулю. При этом р—1
функций (гг.,, ... , тгр), где к/ = ф< — С4Ф: линейно независимы и орто-
ортогональны к функции ф,; точно также р—1 функций (^2, ..., 1р), где
Х; = ф,-—ci*Pi» линейно независимы и ортогональны к функции Ф,.
Кроме того, ясно, что никакая линейная комбинация функций п(. не
будет ортогональна ко всем функциям ?, и наоборот. Повторяя ту же
операцию над двумя группами функций (тг2, тг3, ... , тг^) и (fo i)
и продолжая так далее, мы, очевидно, придем к двум группам по р
функций (Фг, Ф„ ... , Фр) и (ф, Vp), составляющим биортогональ-
биортогональную систему, которую можно будет сделать нормальной указанным
выше способом.

§ 573—574 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 69
Примечание. В предыдущих рассуждениях мы неявно предполагали, что
значения переменного и функций действительны. Все соображения, приведенные
относительно биорюгональной системы, остаются в силе, если переменное х по-
прежнему является действительным, а функции <р, и ф; принимают комплексные
значения, ибо никакие предыдущие рассуждения не опирались на то, что эти
значения действительны. Это, однако, не относится к ортогональной системе, и
в случае, когда функции этой системы могут принимать комплексные значения^
определение следует обобщить. Мы будем говорить, что система функций ?
есть ортогональная система, если, отнеся каждой из этих функций сопряженную
с ней функцию, мы получим биортогональную систему. Отсюда легко показать,
что если п функиий составляют ортогональную систему, то они линейно не-
независимы, и, наоборот, если заданы л линейно независимых функций, то из них
можно составить л линейных комбинаций с постоянными коэфициентами, состав-
составляющих ортогональную систему.
574. Ортогональные и полуортогональные ядра. Два ядра К-, (х, у)
и К2 {х, у) — ограниченные илн неограниченные — называются ортого-
ортогональными, если они удовлетворяют двум условиям:
ь ь
j К, (х, s) К2 (s, у) <fe = О, J K2(x, s) КЛ (s, y)ds = 0 E3)
а а
при любых значениях переменных х и у. Они называются полуортого-
полуортогональными, если выполняется одно из этих условий *.
Теорема А. Если Кх (х, у) и К2 (х, у) — два ортогональных ядра,
то резольвента Т(х, у;\), соответствующая ядру S (х, у) = Кг (х, у) -j-
-J-К2(х,у), равна сумме резольвент Тг(х,у;1) и Т2(х,у;\), соответ-
соответствующих каждому из этих ядер.
Достаточно показать, что если К-, и К2 ортогональны, то всякие два
ядра, полученные из /С, и К2 некоторым числом повторений, также орто-
ортогональны. Например, если
ь
К'** (х, V) = J Л1! (х, s) Л']"-1» (s, у) ds,
а
ft
Kf (х, у) = \ К</-» (х, t) K2 (t, у) dt,
а
то можно записать:
ь
*
1) (х, и) tff-1» (v, ))dudv^K2 (и, s) КЛ (s, v)ds = Q; E4)
* E. Qoursat, Comptes rendus, т. 145, стр. 667 и 752, 1907; Annales de
la Faculte des Sciences de Toulouse, 2-я серия, т. X, 1908; В. H ey w о о d, Comp-
Comptes rendus, т. 145, стр. 908; Journal de Mathematiques, 1908. Я доказал также
теоремы А и В, опираясь на строение определителей Фредгольма.

70 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 574
точно так же можно доказать, что
ь
если повторные ядра записать по-другому. Из соотношений E4) непо-
непосредственно вытекает, что ядро S^\x,у), полученное из K-l-\-Ki пер-
первым повторением, равно Kf> (x, у) -}- К$] (х, у). Находя одно за другим
все следующие ядра, мы покажем, что л-е повторное ядро 5(я) (х, у)
равно К[п (х,у)-\-К'?Цх,у). Складывая почленно разложения резоль-
резольвент Тг(х,у;1), Г2(лг,у;1) (§ 559), мы находим формулу, которую
нужно было доказат.:
Т(х, у; X) = Га (х, уЛ) + Тг (х, у; X). E5)
Ясно, что ядро, ортогональное к нескольким другим ядрам, ортогонально
также и к их сумме. Это позволяет распространить теорему на несколько
ядер. Если п ядер КЛ, К2, • • • > К„ попарно ортогональны, то резоль-
резольвента, соответствующая их сумме S (х, у) = Кг -(-... -\- Кп, равна
сумме резольвент, соответствующих каждому из этих ядер.
Из доказательства вытекает, что из каждой пары ортогональных
ядер Кг К2 можно получить бесчисленное множество других. В самом
желе, сумма любого числа ядер, полученных из ядра /С, (х, у) повторе-
повторениями, ортогональна ко всякому другому ядру, полученному таким же
путем из ядра К2(х,у). Сами разрешающие ядра Т:(х,у,\), Ти(х,у. ji)
также ортогональны, каковы бы ни были значения X и р..
Пусть tpj (л:) и (Oj (л:) будут два решения двух интегральных уравнений:
ь
tp, (х) = X J Кг (х, s) (р, E) ds +/(*),
a
Ь
где ядра Кл и К2 ортогональны. Если X не есть особое значение для
одного из ядер, то согласно предыдущей теореме о резольвентах,
<Pi (x)-\- <f3 (x) —f{x) будет решением интегрального уравнения:
Ф(х) = \\{Кг (х, s) -f К, (х, s)} Ф E) ds +/(*).
а
Это свойство легко показать и непосредственно, так как предложе-
предложение, которое нужно доказать, приводит к следующему:
ь ь
] К, (х, s) [Ь (s) - /(*)] ds + \ Кг (х, s) [Ь (s) ~/(s)] ds = 0.
а а
Если теперь принять во внимание самые интегральные уравнения и
ортогональность ядер, то ясно, что оба эти интеграла равны нулю. Заме*

§ 574 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 71
тим, что это доказательство остается в силе и для того случая, когда к
будет собственным значением для одного из ядер, и что это свойство
распространяется на любое число попарно ортогональных ядер.
Рассмотрим теперь два полуортогональных ядра и положим, напри-
например, что эти ядра удовлетворяют второму из уравнений E3). Мы будем
для краткое ги говорить, что ядро К2 (х, у) ортогонально справа к ядру
КЛ(х,у), а ядро К-,(х,у) ортогонально слева к ядру К2(х, .у).--Ядра
K\f>(x, у) н К["Цх,у), полученные из первых некоторым числом повто-
повторений, удовлетворяют тому же соотношению, т. е всякое ядро, полу-
полученное повторением из ядра К2 (х, у), ортогонально справа ко всем
ядрам, полученным повторением из ядра К^ (х, у). Предложение это
доказывается с помощью формулы E4), правая часть которой равна
нулю в силу второго из соотношений E3). После этих замечаний до-
докажем, что если ядра К^(х,у) и К2(х,у) ограничены или, в более
общем случае, если решение Фредгольма применимо к каждому из них,
то имеет место следующая теорема:
Теорема В. Если КЛ (х,у) и К2(х,у) — два ортогональных или
полуортогональных ядра, D1 A) и D2 (X) — определители Фредгольма
для этих ядер, то определитель Фредгольма ш (X) для ядра S (х, у) =
= Кг-\-К2 равен произведению пЛ{\) D2(k).
Принимая во внимание предыдущие соотношения и рассматривая по-
последовательные повторные ядра, можно показать, что ядро Sia) (х, у)
имеет вид:
#«> (х, у) = /Г(»> (х,у) + *<"> (х, у) -f- 2 Срг 7 ( К[р) (х, s) Kg* (s, у) ds
а
где С —целые числа, таким образом имеем:
ь ь ь
( (S, S) dS =- { К\п) (S, S) :'S -f \ KW E, S) ds -f
а а а
ЬЬ
Последний член равен нулю, как это можно видеть, интегрируя сначала
по переменному t; отсюда следует, что л-й след ядра S(x,y) равен
сумме следов того же порядка ядер КЛ и К2. Отсюда
©'а) _?>;а) d'jd
и следовательно,
Примечание. Если два ядра ортогональны, то соотношение E6) выво-
выводится непосредственно из формулы (Г5) и соотношения A5), которое дает лога-
логарифмическую производную функции D Q.). В этом случае теорема справедлива
для суммы любого числа ядер, попарно ортогональных, к которым прнисипм
метод решения фоедгольма.

72 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 575
575. Приложение к фундаментальным функциям. Всякая функция, не
равная тождественно нулю и удовлетворяющая соотношению:
*
<р(лг)=гс\ K(x,s)<?(s)xs, E7)
а
есть фундаментальная функция ядра К(х, у). В силу общей формулы,
которая дает решение уравнения второго рода, для того чтобы это
уравнение имело отличное от нуля решение, число с должно быть по-
полюсом резольвенты, и обратно, всякому полюсу резольвенты соответ-
соответствует по крайней мере одна фундаментальная функция.
Предложение уже доказано Для случая ограниченного ядра (§ 568).
Следующее доказательство, основанное на функциональном уравнении
резольвенты, является более общим. Пусть 1=с будет полюс я-го по-
порядка разрешающего ядра, и пусть
будет разложением этого ядра в области полюса. Положим Х = с-|-А
н заменим в обеих частях функционального уравнения F0) § 559 ре-
резольвенты T(x,y;c-\-h) ее разложением. Мы получим:
ь
[?ф^ J E8)
Приравнивая коэфициент при h~a в обеих частях, мы получим со-
соотношение:
ь
ь
= К(х, у) + (с + h) j K(x, t) [?ф^ + ... J dt.
В„ (х,у) = с^К (х, t) Bn (t, у) dt, E9)
а
которое показывает, что Вп(х,у1) есть фундаментальная функция ядра,
соответствующая особому значению с, каково бы ни было постоянное
значение уг, приписанное переменному .у. Аналогичным путем, пользуясь
вторым функциональным уравнением F1), можно показать, что Вп (xvy)
представляет решение союзного однородного уравнения:
где переменному х приписано произвольное постоянное значение х1.

§ 575 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 73
Выше (§ 568) мы видели, что, если ядро ограничено, то полюсу с
резольвенты соответствует только конечное число линейно независимых
фундаментальных функций. Это свойство также легко получить из тео-
теоремы В. Пусть, в самом деле, Х=с будет корнем кратности т уравне-
уравнения D(l) = 0, и пусть tpj, <р2, ... , <р„ будут линейно независимые фун-
фундаментальные функции, соответствующие этому полюсу. Мы покажем,
что не может быть р~^>т. Пусть тг, (х) есть такая функция, что
ctyjir,)—1. Положим К(х,у)~ tp, (х)пг (у) -j-K-,. Согласно условию,
которому удовлетворяет функция itj, два ядра <р3 (х) тг, (у) и Кл{х, у)
полуортогональны. Но определитель Фредгольма для ядра <?, (х) тс: (у)
равен 1 (§571); отсюда следует, что уравнение ?>,(Х) —О, соот-
С
ветствующее ядру Кг (х, у), имеет корень Х=с кратности т—1. Те-
Тетерь легко для этого ядра Кг(х, у) составить р—1 линейно независи-
независимых фундаментальных функций. Действительно, если положить ф., (лг) =
= <Рг (¦*) +ci?i (•*)» то> принимая во внимание, что <р2 и <р2 суть фунда-
фундаментальные функции ядра К(х,у), получим:
с \ ф, (s) К, (х, s)ds = ^r (х) — щ (х) \с { щ (s) <?,($) ds -I- cr ;
a L a J
выбирая сг так, чтобы коэфициект при ср, (л:) был равен нулю, и пола-
полагая последовательно г = 2, 3, ... , р, мы получим р— 1 различных фун-
фундаментальных функций для ялра К-, (х, у). Если бы было р^>т, то,
продолжая таким же путем, мы пришли бы к ядру, для которого с не
было бы особым значением и которое тем не менее имело бы фунда-
фундаментальную функцию, соответствующую с.
Теорема распространяется на любое неограниченное ядро, если только
из него конечным числом повторений можно получить ядро, к кото-
которому применимо решение Фредгольма. Пусть с есть особое значение
для ядра К(х, у), a tp (at) — соответствующая фундаментальная функция.
Умножая обе части соотношения
на сК{х, s) и интегрируя, получаем:
ь ьь
у{х)=с \ К(х, s) ш (s) ds = с2 \ \ К (х, s) K(s, t) <p (t)ds dt
a a a
а отсюда рекуррентным путем нетрудно получить соотношение:
ь
справедливое для любого р.

74 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 575
Итак, всякая фундаментальная функция ядра К(х,у), соответст-
соответствующая полюсу с резольвенты, является также фундаментальной
функцией и для ядра К{рЦх,у), а соответствующий полюс новой ре-
резольвенты равен ср *.
Если решение Фредгольма применимо к повторному ядру К^р)(х,у),
то существует только конечное число фундаментальных функций, соот-
соответствующих полюсу с разрешающего ядра.
Если дано несколько ядер Кг(х,у), ... , Кр(х,у), попарно ортого-
ортогональных, то сумму
5 (х, у) = КЛ (х, у) + ... + Кр (х, у)
мы будем называть результирующим ядром, а ядра К-,, К2, ... , Кр —
составляющими ядрами. Всякий полюс с резольвенты результирующего
ядра является полюсом по крайней мере одной из резольвент составляю-
составляющих ядер. И, наоборот, всякий полюс резольвенты одного из состав-
составляющих ядер есть также полюс резольвенты результирующего ядра. Мы
будем говорить, что функция <р(;с) ортогональна справа к ядру К(х, у),
b
если равенство \ К(х, s)y (s)ds = 0 выполняется при всяком х. Если
а
два ядра К,{х,у), К2{х,у) ортогональны, то всякая функция
* Обратное предложение не всегда имеет место. Пусть <|> (х) будет решением
уравнения:
ь
положим:
ь ь
(•*) = Ф (х) + <:«¦>¦' \ К (х, s) <|ф) ds + ... + ср~ V*-° \ К(р~° (х, д) ф (?) rfs,
а а
где v — одно из чисел 0, 1, 2, .... р — 1, а <о — первообразный корень уравне-
уравнения шо:=1. Нетрудно показать, что it, @ представляет решение уравнения
Ь
г.., (х) = сш- ^ К (х, s) яч E) ds. (e)
а
Кроме того, функции щ, я^ ... , itp_t не могут быть одновременно равны нулю,
ибо их сумма я» + itj + ... -fnp_t равна р$ (х). Всякое решение уравнения (Е)
дает решение по крайней мере для одного из уравнений (iv) но не обязательно
представляет решение уравнения (i0) (см. дальше § 579).
Если, однако, целое число р выбрано так, что ни одно из чисел
с<в, сш\ ...,ciaP-i не является полюсом резольвенты ядра К(х,у) (это всегда
можно сделать и притом бесконечным множеством способов), то уравнение, A,),
где v= 1, 2. ... , р — 1, не имеет других решений, кроме я, = 0; слезовательно,
ц{х) тождественно с pfy(x), и урзвчения (Е) и A0) имеют общие решения.

§ 575 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 75
ортогональна справа к ядру К2(х, у). Действительно, можно записать:
ь ьь
[ К2 (х, s) К^ [<р («)] ds = \ \ К, (х, s) К, (s, t) <p (t) ds dt,
a
а'в силу ортогональности ядер правая часть равна нулю. Отсюда в ча-
частности следует, что если два ядра Кг и К2 ортогональны, то всякая
фундаментальная функция одного из ядер ортогональна к другому
ядру. В самом деле, пусть <р(;с) будет фундаментальная функция ядра
КЛ(х,у); эта функция будет вида сКЛ (tp), и следовательно, согласно
предыдущему замечанию, она ортогональна к ядру К3(х,у).
Пусть будут К], Кг, ... , Кр попарно ортогональные ядра, S(x,y) —
их сумма, с — особое значение, например, для ядра K-i(x,y), <f(x) —
соответствующая фундаментальная функция. Функция tp (x) ортогональна
ко всем другим яхрам К2, К3, ... , Кр, и следовательно,
ь
<р (лг) = с ( S(x, s) tp E) us.
a
Отсюда вытекает следующее предложение:
Всякий полюс резольвенты одного из составляющих ядер есть
также полюс резольвенты результирующего ядра, а всякая фундамен-
фундаментальная функция одного из слагающих ядер есть фундаментальная
функция результирующего ядра.
Чтобы выяснить, справедливо ли обратное предложение, положим
р = 2. Пусть у(х) будет фундаментальная функция для ядра
S(x,y)=K,(x,y) }-K2(x,y),
соответствующая полюсу с. Если через <f1 (x) и сра (х) обозначить выра-
выражения c/^tp), cK2(y), то согласно допущению имеем:
Но так как два ядра Кг и Кг ортогональны, то (р, (х) ортогональна
к ядру К2(х, у), а <р2 (л:.) ортогональна к ядру К1(х,у), и следова-
следовательно, если заменить <р (х) на tp, -(- <р2, можно записать предыдущее
соотношение в виде:
«Pi (•*) = cKt (tpj), «p, (*) — сК2 (<р2).
Так как по крайней мере одна из функций «р1Э tp2 отлична от нуля, то
отсюда следует, что число с является полюсом по крайней мере для одной
из резольвент ядер КЛ или Кг- Если с есть полюс только для одной из
них, например для первой, то (р, = 0, <р = <р, и tp (x) есть фундамен-
фундаментальная функция ядра КЛ{х,у). Если с—полюс для резольвент обоих
ядер, то tp {x) есть сумма двух фундаментальных функций. Эти рассуж-
рассуждения без труда распространяются на любое число попарно ортогональ-
ортогональных ядер, и следовательно, всякая фундаментальная функция резуль-
результирующего ядра есть фундаментальная функция одного из состав-

76 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 575—576
ляющих ядер или является суммой -фундаментальных функций тех
составляющих ядер, которые соответствуют общему полюсу их
резольвент.
Если, в частности, резольвенты составляющих ядер попарно не имеют
общих полюсов, то мы получим все фундаментальные функции результи-
результирующего ядра, если возьмем все фундаментальные функции составляю-
составляющих ядер.
576. Главные ядра *. Мы уже видели, какую важную роль играет
функциональное уравнение (§ 560):
о
Г (х, у; \)-Т(х,у;р.) = A- p.) \ Y(x,t;l)Y (t, у; ц) dt, F0)
а
которое характеризует разрешающие ядра. Применим его к изучению
резольвенты в области полюса Х = с. Если записать разложение резоль-
резольвенты в области полюса, как мы его приводим выше (§ 575), то урав
нение F0) принимает вид:
Ь п + ОО
= а - V) \ [j] Bt (х, t) (^-L у -f J] Ap (x, t) (X - с) Л
а 1=1 р=0
и + С»
р=0
или, полагая \ — с = А, ц — c = k и разделив на h — k:
111 1
+ 0O
* В моем мемуаре в Annettes de Toulouse я вел исследования о главных ядрах,
опираясь почти исключительно на теоремы А и В. Изложение сильно сокра-
сокращается, как это показал уже Лалеско, если пользоваться еше функциональным
уравнением разрешающего ядра. Метод, которого я буду придерживаться, не-
несколько отличен от метода Лалеско и не предполагает известной те >рию элемен-
элементарных делителей

§ 576 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 77
Ь П +ОО
а \ О
я +оо
1 О
Предыдущее соотношение должно выполняться при любых h н k.
kP hP
Так как в левую часть не входят члены, содержащие -г и -дг, где р —
положительное число или нуль, то коэфициенты при этих членах в: пра-
правой части должчы быть равны нулю, откуда следует:
ь
= 0, 1, 2, ... , оо \ F2)
\i=l,2, -..,« /'
Bi(t,y)Ap(x,t)dt = O
Если обозначить через f(x,y;l) главную часть разрешающего ядра н
через Н(х,у;1) — правильную часть его, то из соотношений F2) вы-
вытекает, что
* ь
\у(*,<;1)//(*,.у;|1)Л = 0, [H(x,t;p.)<((t,y;l)dt = O, F3)
а а
при любых значениях 1 и pi, если только разложение Н(х,у;р.) по сте-
степеням [р. — с) сходится. Но функция
Н(х, у; у.) = Г (х, у; у.) — у (*, у; р.)
есть мероморфная функция от р., и следовательно, соотношения F3)
справедливы для любых значений X и р., в частности для Х = }1 = 0.
Для краткости положим
Ь(х,у)=ч(х,у,0) и Н(х,у) = К(х, у) — k(x,y).
Тогда ядро К(х, у) распадается на два ортогональных ядра А (л:, у) и
Н{х,у), первое из которых k(x,у) получится, если положить Х= О
в главной части резольвенты, относящейся к полюсу X = с.
Чтобы до конца использовать тождественность обеих частей фор-
формулы F1 bis), необходимо, с одной стороны, приравнять коэфициенты
1 1
при различных степенях —г- и -^-, которые входят только в главную
часть, и, с другой стороны, коэфициенты при положительных степе-
степенях h и k, которые входят только в правильную часть. Эти две группы
формул можно получить независимо одну от другой, либо полагая пра-
правильную часть равной нулю, либо, наоборот, принимая во внимание

78
ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
§576
только правильную часть Ясно, что эти две группы формул могут быть
объединены в двух следующих формулах:
ь
Ч(х,уЛ) — <{{х,у;ц) = A — 11) [j(x,t;l)y( ,yt]i)dt, F4)
а
Ь
Н(х,уЛ) — И(х,у, ji) = (X- fi) $//(*, t;\)H(t,y; ji)dc. F5)
а
Первая из них выражает, что резольвента ядра k (x, у) есть не что иное,
как главная часть у(х,уЛ) резольвенты Т(х, уЛ) в области полюса с.
Вторая выражает, что резольвента ядра Н(х,у) совпадает с правильной
частью резольвенты Т(х,уЛ) в области этого полюса. Ядро k(x,у) но-
носит название главного ядю., соответствующего полюсу с. Достаточно
знать это главное ядро, чгобы определить фундаментальные функции,
соответствующие значению с, так как с не есть особое значение ядра Н.
Таким образом каждому полюсу резольвенты соответствует главное
ядро. Два главных ядра, соответствующие двум различным полюсам,
ортогональны.
Пусть будут кл(х, у) и k2 (x, у) два главных ядра, соответствующие
полюсам Cj и с2. Ядро ki (x, у) ортогонально к ядру
Так как резольвента у2 (jc, _y; >.) правильна в области точки Х = с2, то
ясно, что k2 (x, у) совпадает с главным ядром, которое может быть по-
получено из ядра Ну Положим //, (х, у) = Нг -\- k2, и пусть
Г2 (*,.у; X), 42{х,у,1)
будут резольвенты для этих ядер. Ядро А, (х, у) ортогонально к резоль-
резольвенте Т2(х,у; a) -f- f2(x,y; \) ядра //](.*, у), и следовательно,
\ кг (х, t) [Г, (t, у, 1) f у, (/, У,).)] Л = 0.
Но интеграл
есть рациональная функция от )., имеющая единстьенный полюс ),
и исчезающая в бесконечности, между тем как интеграл
а
*!(*. t)Tt(t,y;l)dt
есть голоморфная функция от X в области 1 — сг Таким образом оба
эти интеграла должны быть равны нулю, и следовательно, яаро k1(x,y)
ортогонально к обоим ядрам kt и Н2.

§ 577 П. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 79
577. Строение главного ядра. Для того чтобы функция К(х, у) была
главным ядром, необходимо, чтобы резольвента относительно этого ядра
была рациональною функцией от X, имеющею один полюс и равною
нулю в бесконечности. Определим сначала, в каком случае резольвента
будет иметь один полюс первого порядка. Она должна быть вида:
с
для чего необходимо, чтобы было вообще (§ 559)
Эти условия, как нетрудно вигеть, свозятся к первому из них:
ь
K(x,y)=c\K(x,s)K(s,y)ds, F6)
а
которое выражает, что К (х, у0) есть фундаментальная функция ядра
К(х,у), соответствующая полюсу с, какое бы постоянное значение^
мы ни дали переменному у. Так как существует только конечное число
различных фундаментальных функций, то отсюда следует, что К(х, у)
есть линейная комбинация р линейно независимых функций ср^ (х) с коэ-
фициентами, зависящими от у:
К(х,у) = ?1 (х) фа (У) + • • • + 9, (х) ф, (у), F7)
где функции фх (у), ..., $р(у) также линейно независимы. Если в соот-
соотношении F6) заменить К(х, у) его. выражением F7), то мы увидим, что
функции <pt, фА должны удовлетворять соотношениям:
= °. если 1?=Ь,
рЖ) = 1 (/=1,2, ...,/>),
так что функции (<р,, <р2, ... , срр), (фр ф2, ... , §р) составляют биорто-
гональную систему. Наоборот, из каждой биортогональной системы
можно получить ядро К(х,у), отвечающее условию задачи. Заметим,
что функции фд, ф2, •.. . фр представляют р решений однородного союз-
союзного уравнения: ь
и что определитель Фредгольма ?)(Х) = { 1 (§571). Прежде чем
\ с I
рассмотреть общий случай, докажем одну лемму.
Лемма. Всякое решение интегрального уравнения
ь п
V(x,y)-c^K(x,s)<f(s,y)ds='?iXl(x) У,(у) F8)
а 1=1 ,.->.
имеет такой оке вид, как правая часть этого уравнения.

8C ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 577
В самом деле, пусть <р (х, у) представляет некоторое решение этого
уравнения. Предполагая, что п функций Yt(y) линейно независимы, да-
дадим переменному уп частных значений ji,,^,, ... ,уп таких, чтобы де-
детерминант, составленный из элементов Yt(y^}, был отличен от нуля. Из
полученной системы я уравнений можно определить функции Хг Хп.
Так, например, получим:
ь
X, (х) = Ф, (*) — с \ К (х, s) Ф3 (s) ds,
а
где Ф, (л:) есть выражение вида 2 ai <p (xt, yt) с постоянными коэфициен-
тами а,-. Точно так же мы с помощью функции <р (х, у) получим реше-
решение Ф; (х) уравнения:
ь
Ф, (X) - С J * (X, S) Ф, (S) US = X, (X),
а следовательно, и решение Ф (х, у)—'?Ф1(х) Yt(y) уравнения F8),
которое действительно имеет требуемый вид. Всякое другое решение бу-
будет иметь вид Ф (х, у) ¦+¦ и>(х, у), где ш(х, у) есть решение однородного
уравнения:
ь
$(x,y) = c\K(x,sL?(s,y)ds.
а
Но все решения этого уравнения, рассматриваемые как функции от х,
представляют линейные комбинации конечного числа (оно может быть
равно нулю) функций от х. Следовательно, всякое решение уравне-
уравнения F8) имеет указанную форму.
Приняв это во внимание, вернемся к методу сравнения коэфициен-
тов, примененному в § 575. Прежде всего мы видим, что функция
Вп(х, у), которая при любом заданном постоянном значении у пред-
представляет фундаментальную функцию ядра К(х, у), имеет вид:
Вп (х, у) = «р, (х) ф, (у) -f ... + <Р, (*) Ф, М, F9)
ибо существует только конечное число фундаментальных функций, со-
соответствующих числу с. Приравнивая коэфициенты при hx~a в обеих
частях тождества E8), мы приходим к соотношению:
Но так как Вп(х,у) имеет вид F9), то из предыдущей леммы следует,
что и Bn_-i (x, у) имеет тот же вид. Вообще имеет место такое реьур-
рентное соотношение:
ь ь
Bn_t (х,)) = с \К(х, t) Bn_L (t, у) dt + \к(х, t) Bn_ui (t, у) di,

§ 577-578 П. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 81
откуда послеювательно убеждаемся в том, что все коэфициенты глав-
главной части имеют один и тот же вид, а следовательно, и само главное
ядро будет того же вида (р,ф: -(- ср.,<!>2 -t- ...-)- Чт$т, причем т функ-
функций <pj(*), ср2 (х), ... , (рт (х) можно предположить линейно независи-
независимыми, как и т функций ф, (у), ф2 (у), ... , фи(.у). Выше (§ 571)
мы видели, что соответствующее разрешающее ядро обращается
в нуль при бесконечном значении X только в том случае, если не
существует никакой линейной комбинации <р,, которая была бы орто-
ортогональна ко всем фА. Определитель Фредгольма D(k), полученный из
этого ядра, представляет многочлен /я-й степени, все корни которого
являются полюсами резольвенты (§ 565). Для того чтобы эта резоль-
резольвента имела единственный полюс i = e, необходимо, следовательно,
чтобы было
Это условие и достаточно, ибо в таком случае резольвента есть не что
иное, как частное от деления многочлена (т—1)-й степени относи-
относительно i на ?>().) (§ 571).
Всякая линейная комбинация т функций ср.,, <р2, ... , <рт с постоян-
постоянными коэфициентами есть главная функция ядра К(х, у), соответст-
соответствующая полюсу с резольвенты.
Всякая группа т линейно независимых главных функций составляет
главную группу. Функции ф1, ф,, ... , фш и все их линейные комбина-
комбинации с постоянкымч коэфициентами представляют союзные главные
функции. Если главное ядро представлено в форме
<Р,(*)Ф1Ы-г-.--+<?»(*) *«(>).
то говорят, что две группы функций (щг ... , cpj и (ф1( ... , фт) пред-
представляют две главные союзные группы.
Очевидно, существует бесчисленное множество систем главных союз-
союзных групп, ибо главное ядро может быть представлено бесчисленным
количеством способов в указанном выше виде. Всякая система т ли-
линейно независимых комбинаций из т функций tp,- (x) может быть при-
принята за главную группу, и этим выбором определяется главная союзная
группа (§ 571). Произволом эюго выбора мы воспользуемся для того,
чтобы представить главное ядро в таком виде, который делает очевид-
очевидным свойства этого ядра.
578. Приведение к каноническому виду. Итак, всякое главное ядро
k (x, у), соответствующее полюсу с резольвенты, имеет вид:
k (х, у)=уЛ (х) ф, (у) 4- ъ (х) Ф2 (у) +... + <ри (х) фш Су), G0)
где (pj (х), ... , срт (х) суть т линейно независимых функций от х, а
4*1 (У), ••• f ф/вСУ) — т линейно независимых функций от у.
6 Э. Гуроа, I. III, ». 3.

82 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 578
Более того, эти функции должны быть таковы, чтобы определитель
l—aul —an\ ... alml
— а2Л\ 1 — а22 I ... а2тI
G1)
где а,т,= \ <Р/ (лс)фА (л;) Ле, был тождественно равен II ) .С другой
стороны, мы приходим к уравнению, эквивалентному уравнению
Dm(\) = 0, при изучении следующего вопроса. Принимая ео внимание
значение коэфициентов aih, мы имеем:
k [<р, (*)] = ап <р, (*) -f ... + fl,m <ри (х) (i = 1, 2, .. . , и); G2)
если теперь поставить задачу нахождения линейной комбинации
Ф (х) = etj ?! (*) + ... + ат <fm (x)
с постоянными коэфициентами, такой, чтобы было
] = *Ф(*), G3)
где s — постоянная, то для определения множителя s, как это нетрудно
видеть, мы придем к уравнению:
(!) AУ"==0. G4)
Следовательно, уравнения G2) определяют линейную подстановку с
/ 1 \т
характеристическим уравнением I si =0, а к этой подстановке
мы можем применить известные результаты о приведении линейной под-
подстановки к каноническому виду (т. II, § 409—410). Мы видели, что
существует т линейно независимых комбинаций функций (р,-, которые
при применении к ним операции k ( ) подвергаются линейной подста-
подстановке канонического вида. Чтобы не вводить лишних обозначений, мы
предположим, что в качестве этих функций (р,, (р2, ... , <pw взяты сами
главные функции. Эти функции разделяются на несколько групп; функ-
функции <р1;... , <р , составляющие одну из этих групп, удовлетворяют
условиям:
ck(«pj = ь, ck (<p2) = «pi + <?2. • • • . ck(9P) = ?,-i + fP> G5)
и аналогичные формулы имеют место для каждой из групп. Мы будем
говорить, что т функций <р,, <р2, ... , tpm составляют каноническую
систему главных функций и что ядро k (x, у) представлено в канони-
каноническом виде. Функции <р,, tp2, ... , tp одной и той же группы состав-
составляют каноническую группу, а функции 4>j, ф2, ... , ф —союзную ка-
каноническую группу.

§ 578 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 83
Положим для примера, что мы имеем две канонические группы, со-
содержащие соответственно р и q функций (p-\~q = m); пусть
<?;>
будут эти две группы функций. Если ядро представлено в виде:
то функции tpj(x), ф/W удовлетворяют соотношениям, вполне анало-
аналогичным предыдущим:
Из соотношений G5) и G5') следует, что функции <st ортогональны
к функциям ф' и что функции ф,- ортогональны к функциям tpj., так
что два ядра
*i (х, у) = Ь (х) 4>i 00 + • • • + <Р/,(¦*) ?Р О).
*2 (х, у)=ср; (х) ф; (у) +... + <?; w ф; (у)
ортогональны друг другу. Каждое из этих ядер называется каноническим
ядром. Этот метод является общим. Таким образом всякое главное ядро
есть сумма некоторого числа канонических попарно ортогональных
ядер. Каждое из этих канонических ядер составлено из главных функ-
функций одной из канонических групп.
В соотношениях G5) можно заменить ядро k{x, у) ядрам k: (x, у),
ибо функции (р.,, (р2, ... , <р ортогональны ко всем другим каноническим
ядрам, из которых составлено k(x, у). Заменяя А, (х, у) его выраже-
выражением, мы видим, что соотношения G5) могут иметь место только при
выполнении следующих условий: функция cpj (л:) должна быть ортого-
ортогональна ко всем функциям ф(-, кро\ е ф7, <р2 — ортогональна ко всем
функциям фг, кроме ф: и ф2, ... , наконец, (рр должна быть ортогональна
к функциям ф;, кроме ф 1 и фр. Кроме того, имеем соотношения:
Определитель Фредгольма dx (X), соответствующий ядру k} (x, у),
I ^ \р
согласно формуле G1) равен I 1 I , а это ядро имеет одну фун-
фундаментальную функцию «р, (лг); в то же время функция ф (лг) есть фун-
фундаментальная функция союзного ядра. Таким образом существует столько
различных фундаментальных функций, сколько главное ядро содержит
канонических ядер. Когда каноническое ядро состоит из одного члена
tpj (л:) ф, (у), то <р., и ф1 суть две союзные фундаментальные функции.
В случае, когда Х = с есть простой полюс резольвенты, главное ядро
разбивается на т канонических ядер этого вида (§ 577). Если Х = с
есть кратный полюс, то среди канонических ядер существует по край-
крайней мере одно, которое содержит несколько главных функций. В этом
и только в этом случае фундаментальная функция <р (х) этого ядра

84 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 578-579
ортогональна ко всем фундаментальным функциям союзного уравнения,
соответствующего этому полюсу. Итак, для того чтобы полюс резоль-
резольвенты был простым, необходимо и достаточно, чтобы каждой фун-
фундаментальной функции Ф(х), соответствующей этому полюсу, можно
было поставить в соответствие фундаментальное решение ф (х) со-
союзного уравнения, которое было сы не ортогонально к Ф{х).
579. Каноническая резольвента. Чтобы найти главную часть резоль-
резольвенты в области полюса с, достаточно составить сумму резольвент раз-
различных канонических ядер, которые составляют главное ядро. Чтобы
образовать резольвенту для канонического ядра
k (х, у) = щ (*)ф,оо -I-.. .+?,(*) Ф,Су).
мы должны составить последовательные повторные ядра. Согласно опре-
определению интегралов ((р,ф;) мы непосредственно получаем:
(х, у) = ь (х) {ф, (у) + ф2(.у)} +?,(*) {ф2Ы + 4
V р Ф/} Ь
и затем устанавливаем рекуррентным способом, что
№» (х, у) = <р, (*) {фа О») + CJ,ф2 (у) + С2ф
_ я(я— 1) ... (п — «4-1) п
если положить С? = ——-¦ . В коэфициент при yt (x)
входят члены с функциями ф, + Л(у) до тех пор, пока их индекс не пре-
превосходит р. Вставляя в разложение разрешающего ядра по степеням X
эти выражения повторных ядер, мы получим в качестре коэфициента
при Ч1(х)$ин(у) (я>0):
т. е.
Резольвента у (х, у, I) канонического ядра ' (х, у) имеет, следова-
следовательно, выражение:
1
¦ г" (^тф "Т" Фо^ I . . —|—
1 —
1
с
/ 1 1
для этой резолы.енты есть полюс р-ro порядка.

§ 579 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 85
Если написать это разложение в обычной форме, полагая X = с -|— р,
/ 1 V
то коэфициент при — ! с точностью до постоянного множителя равен
1р: (х) ф (у) (ср. § 575). Пользуясь этим видом резольвенты, можно получить
некоторые следствия.
Рассматривая полюс с резольвенты некоторого ядра k(x, у), следует
отличать: ранг г, т. е. число соответствующих ему различных фунда-
фундаментальных функций, порядок р этого полюса и, наконец, степень т
кратности корня X = с уравнения D (к) = 0, если к этому ядру приме-
нимо решение Фредгольма.
Ранг г равен числу канонических ядер, которые составляют главное
ядро, соответствующее этому полюсу; если эти канонические ядра со-
содержат соответственно /t,, п2, ... , пг главных функций, то порядок р
полюса равен наибольшему из этих чисел, а степень т равна сумме
этих чисел пл -4- п2 -\- ... -f- nr. Эти три числа г, т, р связаны следую-
следующими неравенствами, которые являются следствиями их взаимоотно-
шений:
Если p=\t то т = г, если существует только одно каноническое ядро,
то г—1, р = т. Во всех остальных случаях р~\-г—\<^гр.
Примечание. I. Вычет приведенной выше канонической резольвенты
равен ?i(*HMj')-<M>) + <b3(y)----±
две группы главных функций, которые сюда входят, составляют биортогональную
систему. Так как всякое главное ядро представляет сумму канонических ядер,
то вычет относительно полюса с произвольного порядка резольвенты состоит из
главных функций, составляющих биортогокальную систему. Если полюс про-
простой, то эти главные функции совпадают с фундаментальными функциями
:§ 577).
2. Выражение, полученное выше для резольвенты f (х, у; X) канонического
дра k (x, у) в связи со значениями интегралов (<р/ Ф^)' непосредетьенно дает,
то
ь
что дополняет доказательство теоремы Пуанкаре, приведенной выше (§ 570).
3. Выражение я-го повторного ядра #») (х, у) канонического ядра k(x, у)
показывает, что главные функдии этого повторного ядра выражаются с помощью
главных функций ядра k {x, у), и наоборот.
(X \ р
[§ 570, формула (,6)], тогда как резольвента имеет с" своим полюсом порядка
р (§ 560). Так что в данном случае мы имеем т = р, и, следовательно, г—\.
л-е повторное ядро канонического ядра само содержит только одно канониче-
каноническое ядро, и фундаментальная функция для обоих ядер одна и та же. Приняв
это во внимание, допустим, что с есть полюс резольвенты ядра К{х, _j). Если не
существует другого полюса с, такого, что (/[ = с», то главное ядро ядра К(пЦх,у),
соответствующее полюсу С, совпадает с л-м повторением главного ядра из
К{х, у), соответствующего полюсу с, и фундаментальные функции для обоих

86
ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
§ 580
ядер совпадают. Наоборот, положим, что резольвента ядра К(">(х, у) имеет
несколько полюсов, например два, таких, что с"~сп. Тогда главное ядро, соответ-
соответствующее полюсу сп ядра Ка(х, у), равно сумме п-х повторений главных ядер
ядра К(х, у) относительно обоих полюсов с и с{. Фундаментальные функции
ядра А"(л) (х, у), соответствующие полюсу с, представляют линейные комбинации
фундаментальных функций ядра К(х, у) относительно полюсов с и с{ (см. § 575).
580. Главные функции. Пусть (р1? <р2, ... , <рт будет группа т раз-
различных главных функций главного ядра k(x, у), относящихся к по-
полюсу с. Если положить Н(х, у) = К(х, у) — k(x, у), то два ядра
к(х, у) и Н(х, у) ортогональны, для чего необходимо, чтобы было
Н(х, sLt(s)ds = 0,
и, следовательно, т функций <р1( ср2, ... , <рт удовлетворяют т соот-
соотношениям:
6
\ К (х, s) <р, (s) ds = afl
ашуа{х),
G6)
причем характеристический определитель этой подстановки равен
A—cs)m. Наоборот, если существует т линейно независимых функ-
функций (р3 (лг), ... , ч>т(х) удовлетворяющих т соотношениям вида G6)
с характеристическим определителем подстановки, равным A—cs)m,
то с есть полюс резольвенты, а функции tpj, tp2, ... , <рот составляют
часть главных функций относительно этого полюса.
В самом деле, если мы приведем определенную формулами G6) ли-
линейную подстановку к каноническому виду, то мы можем заменить т
функций <р,-(лг) через т различных линейных комбинаций, которые
можно разбить на несколько групп так, чтобы р функций одной группы
удовлетворяли соотношениям:
r\ KIy ч\Ф (<:\d<! <—Ф Ir\
a
Ь
с { К (x, s) Ф2 (s) ds = Ф3 (л:) + Ф2 (дг),
G7)
Первое из этих соотношений показывает, что с есть полюс резоль-
резольвенты, а Ф1 (х) — фундаментальная функция. Пусть к(х, у) будет глав-
главное ядро, соответствующее ядру Н(х, у)—К(х, у) — k(x, у). Так как
ядра k (x, у) и Н(х, у) ортогональны, то Ф, (х) как фундаментальная
функция для k(x, у) ортогональна к ядру Н(х, у). То же можно ска-
сказать и о функции Ф2(х)'> действительно, второе из соотношений G7)
можно записать в виде:
»
Ф2 (s) + Ф, (s) = с J [Я (s, t) + k (s, Щ Ф2 (t) dt;

§ 580 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 87
умножая его на Н(х, s) и интегрируя, мы находим:
ь ьь
\ Н (х, s) Ф2 (s) ds = c\\H (x, s) H (s, t) Ф2 (t) dt ds. G8)
a aa
Так как с не есть характеристическое число для ядра Н(х, у), то
уравнение
имеет единственное решение ф (х) = 0, откуда следует, что левая часть
соотношения G8) равна нулю. Точно так же шаг за шагом мы дока-
докажем, что функции Ф3, ... , Фр ортогональны к ядру Н(х, у), и, сле-
следовательно, в соотношениях G 7) можно заменить К(х, s) через k(x,s),
что и доказывает, что функции Ф2, Ф3, ... выражаются через главные
функции ядра k(x, у).
Пусть вообще <р17 ср2, ... , <pm суть т функций, удовлетворяющих
соотношениям G6), где коэфициенты alk — некоторые постоянные, опре-
определитель из которых отличен от нуля. Приведя линейную подстановку,
определяемую этими формулами, к каноническому виду, мы получим т
линейно независимых комбинаций, которые можно разбить на несколько
групп так, что функции одной группы удовлетворяют соотношениям
G7), причем число с не обязательно одно и то же для всех групп.
Все функции ip, (х) представляют, таким образом, линейные комбинации
главных функций ядра, относящихея к некоторым из полюсов резоль-
резольвенты. Для краткости мы будем говорить, что эти функции суть глав-
главные функции ядра К(х, у). Заключения, сделанные выше (§ 575) отно-
относительно фундаментальных функций, распространяются на главные
функции, т. е. имеет место следующее предложение: все главные функ-
функции ядра К(х, у) ортогональны ко всякому ядру, ортогональному
первому.
Пусть А, (х, у) и k2{x, у) будут два главных ядра, соответствующие
двум полюсам сг и е2 резольвенты; пусть будут, далее, (<ра, ср2, ... , срл)
и (<!>!, ф2> •••• Фи) две глашше союзные группы ядра kv и (у[, у'2,..., у'П)
и (ф|, (j>2, ... , ty'J — две главные союзные группы ядра k2. Так как
ядра k, (x, у) и k2 (x, у) ортогональны (§ 576), то любые две функции
ф,- и ф., как и <р' и ф^, ортогональны. В частности, всякая фундамен-
фундаментальная функция <р (х), соответствующая характеристическому зна-
значению С], ортогональна всякому фундаментальному решению союзного
уравнения, соответствующему другому характеристическому значе-
значению с2, отличному от первого. Это можно непосредственно установить
с помощью двух уравнений:
*. *
ср(х) = с, \К(х, s) <p (s) ds, <lj>(x)~c2\K(st x)ф (s) ds,

88 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 580
из которых следует, что
* * ?
\ ср (х) ф (х) dx = Cj \\К (х, s) tp (s) ф (х) dx ds =
а а а
ЬЬ
= сг \\ К (s, x) -jj (х) ф (s) ds dx.
а а
Так как в последнем двойном интеграле можно поменять местами
буквы х и s, то это равенство может иметь место при различных зна-
значениях Cj и с2 только в том случае, если этот интеграл равен нулю,
откуда и вытекает ортогональность.
Главное ядро само может быть разложено на несколько канониче-
канонических ядер, попарно ортогональных, так что из каждого ядра К(х, у)
можно получить последовательность канонических попарно ортогональ-
ортогональных ядер:
*i (х, У), К (х, У), ¦ ¦ ¦ , К (х, у) ... , G9)
так что каждая фундаментальная функция ядра К(х, у) принадлежит
одному и только одному каноническому ядру. Если резольвента имеет
только конечное число полюсов, то сама последовательность G9) огра-
ограничена. Если число полюсов резольвенты бесконечно, последовательность
G9) не ограничена. Выше (§ 579) мы видели, как из двух групп глав-
главных функций ядра Kt(x, у) можно получить биортогональную систему,
если взять зычет относительно соответствующего полюса сг
Совокупность биоргогональных систем, полученных из всех канони-
канонических ядер, составляет биортогональную систему:
?" ?2 У" '1 (80)
которая будет ограничена или не ограничена в зависимости от того,
имеет ли резольвента конечное или бесконечное число полюсов. Каж-
Каждый из интегралов (<р$,-) отличен от нуля, так что система (80) может
быть преобразована в нормальную систему. При этом может случиться,
что одна и та же функция <р участвует в обеих последовательностях,
как мы это увидим при изучении симметрических ядер.
Итак, из всякого ядра К(х, у) можно получить биортогональную и
нормальную систему, состоящую из совокупности главных функций ядра
и только из этих функций.
Если полюс с —мнимый, то и сами главные функции мнимы, и со-
сопряженному полюсу соответствуют главные функции, сопряженные пер-
первым, если ядро К(х, у) действительно.
Определение главного ядра, соответствующего данному полюсу ре-
резольвенты, требует только разложения в ряд. В самом деле, резоль-
резольвента представляет частное от деления двух целых функций от X;
поэтому если известен корень знаменателя \ = с порядка т, то произ-
произведение резольвенты на ()—с)т уже не имеет полюса при Х = с.

§ 580 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 89
Располагая числитель и знаменатель по степеням X—с, мы можем простым
алгебраическим делением выделить главную часть в области полюса
Х= с, а следовательно и главное ядро. Если этот полюс первого по-
порядка, то главные функции совпадают с фундаментальными, и доста-
достаточно будет в вычете вместо у или х подставлять постоянные значения,
чтобы получить все фундаментальные функции обоих союзных уравне-
уравнений. В случае полюса более высокого порядка требуются несколько бо-
более сложные выкладки *.
В случае непрерывного ядра К(х, у) главное ядро, соответствующее какому-
нибудь, полюсу, как это ясно из самого способа получения этого ядра, также
непрерывно; сами главные функции будут непрерывными функциями переменных
х л у соотве ственно в интервале (а, Ь). То же можно сказать и о разрывном
ядре, е ли получаемые из нею повторные ядра непрерывны, начиная с некото-
некоторого порядка **.
Пусть, в самом деле, с есть полюс резольвенты. Выберем целое число п
так, чтобы КМ (х, у) было непрерывно, и чтобы не существовало никакого дру-
другого полюса cit удовлетворяющего условию с" = сп- Мы видели, что главные
функции ядра К(х,у), относящиеся к полюсу с, выражаются с помощью глав-
главных функций ядра К(л' (х,у), соответствующих полюсу с". Следовательно, они
непрерывны.
Этот результат легко объяснить. Предположим, что все повторные ядра, на-
начиная с К^ (х,у), непрерывны. Тогда в разложении резольвенты коэфициенты
при различных степенях X, начиная с л-го, непрерывны. Ясно, что если i тбро-
сить п первых членов этого ряда, то полученная мероморфная функция будет
иметь те же полюсы с теми же главными частями, что и резольвента. Если умно-
умножить это новое разложение в ряд на целую функцию от I с постоянными коэфи-
циентами, то получится снова целая функция от X, коэф щиенты которой будут
непрерывными функциями от х и у. Отсюда мы заключаем, как и раньше, что
коэфициенты Главной части в облясти полюса непрерывны. Хотя разрешающее
ялро может иметь точки разрыва, но они оказывают влияние только на первые
коэфициенты разложения Г (х, у; А) по степеням А.
—= , которая разрывна в точке х = 0. Рассмотрим теперь ядро К(х, у), опре-
* См., например, мой мемуар в Annales de Toulouse, стр. 79 и след. В слу-
случае ограниченного ядра, как мы вилели, фундаментальные функции выражаются
через миноры Фредгольма. В своей работе (Journal de Mathematiques, 1913)
Плятриэ (Platrier) дополнил этот результат.
** Заключение это не распространяется на такие ядра, из которых никаким
конечным числом повторений нельзя получить непрерывного ядра. Рассмотрим,
например, ядро К(х, у) = Л/ — и положим а = 0, Ъ=\. Резольвента имеет
единственный полюс Х=1, и существует единственная фундаментальная функция
1
\/х
1 1
деленное условиями: К (х, у) = 0 при 0 s?i х <— и /f(r, у) -\ при — =^ лг < 1,
причем спять а —О, Ь^=\. л-е повторное ядро /б"' (х, у) при х < -^ равно
Н,лю, а при х~^-~- равно . . Разрешающее ядро Г(х, у, X) равно нулю при
1 2 1 _
х < — и равно . . Для х^?— . Однородное уравнение
ь
2 \ К (х, s) ? (s) ds — у(х)
a

90 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 581
581. Теоремы Фредгольма. Теорема Фредгольма (§ 568) о фундамен-
фундаментальных функциях, соответствующих полюсу резольвенты, вытекает не-
непосредственно из приведенных соображений. Точно так же можно легко
доказать теорему об общем уравнении второго рода для случая, когда
значение параметра служит полюсом резольвенты.
В § 569 было доказано, что уравнение допускает решения только
в том случае, если функция f(x) ортогональна ко всем фундаменталь-
фундаментальным функциям союзного уравнения, соответствующим полюсу с, и до-
доказательство остается в силе в случае неограниченного ядра. Эти усло-
условия оказываются и достаточными.
Пусть, в самом деле, k (x, у) есть главное ядро, относящееся к по-
полюсу с; это главное ядро есть сумма некоторого числа канонических
ядер А, (х,у), ...,kr(x,y)n ядра А, (х, у), ...,kr [x, у), К(х, y)—k (x, у)
попарно ортогональны. Согласно общему свойству (§ 574) решение
имеет разрывное решение
при x^s-jf .
Положим, вообще, что мы изменили значение ядра К(х, у) вдоль конечного
числа линий; это равносильно прибавлению к ядру К (х, у) ядра К^ (х, у), кото-
которое равно нулю всюду, кроме конечного числа линий. Если Ki(x, у) имеет ли-
линии разрыва только первого вида, то в решении интегрального уравнения ни-
ничего не меняется, ибо повторение ядра суммы /f-t-A", совпадают с повторными
ядрами ядра К(х, у). Нетрудно также видеть, что значение и.пеграла
ь
\ К (х, s) <p (s) ds
а
не.меняется от замены К на К-{- Ki- Дело будет обстоять несколько иначе, если-
к ядру К(х, у) прибавить ядро Ki(x, у), которое равно нулю всюду, кроме ко-
конечного числа прямых, параллельных осям координат. Положим, например, что
Ki (х, у) = 0 при х ф. *0, К, (v,, у) = С (у).
Пусть f (л) будет решением уравнения:
ь
а
решение нового уравнения:
ь
Ф (х) = \ \ [К (х, s) + К{ (х, s)] Ф (s) ds+f (х)
а
получится, если положить Ф (х) = <р (х) при хфх0 и Ф (*,) = <р (л;0) -{¦ С, где
постоянное С опреде1яетгя уравнением
ь
C = \\Ki(x,, s)f(s)ds.
а
Рассуждения остаются в силе, если f(x) равна нулю: характеристические
значения для обоих ядер совпадают, а фундаментальные функции отличаются
ТОЛЬКО ДЛЯ X—Xq.

§ 581 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 91
уравнения A), где Х = с, будет известно, если известны решения каж-
каждого из уравнений:
ь
<р (х) = \ [К(х, у) - k (х, v)] <f (s) ds -\-f(x),
a
b
n(x) = c \ kL (x, s) rt (s) ds+f(x) (/=1,2,..., r).
a
Первое из них имеет единственное решение, которое дается общей фор-
формулой Фредгольма, ибо с не есть характеристическое значение для ядра
К{х,у)—k(x, у). Заменим теперь во втором уравнении каноническое
ядро kt(x, s) суммо!.
<Pi(*)*i (*) + •¦•+?,(*)*,(*).
оно примет вид:
»
тг (*)= с [ [Ь (х) ф, (s) + ... + <?р (х) фр (s)] it (s) ds
а
Ясно, что всякое решение имеет вид:
заменяя п(х) этим выражением и принимая во внимание значение инте-
интегралов (ф(фА), мы получим соотношение:
СгЪ + с,ъ--\- • • • +<Ур/, = с1(?1 + с2 (?1 + ?]) + ••• 4-
для определения коэфициентов С1, С2, ...,С . Так как по предполо-
предположению F /) = 0, то это соотношение обращается в
отсюда коэфициенты С2, С3, ...,Ср определяются, в то время как зна-
значение С, остается произвольным. Таким образом интегральное уравне-
уравнение A) в этом случае допускает бесчисленное множество решений, и
ясно, что каждое из них может быть получено из одного какого-нибудь
прибавлением к нему любой фундаментальной функции, соответствующей
характеристическому значению с.
Примечание. Решение уравнения Фредгольма в этом особом случае не
может быть получено переходом к пределу из пригодной в обшем случае фор-
формулы A1). Пусть с есть полюс резольвенты; положим для простоты, что соотьет-
ствующее главное ядро ссстоит из единственного канонического ядра <^(х)^(у) +-
¦+" ?2 W Фа (У)- Функция от \, изображаемая формулой A1), имеет в точке с по-
полюс второго порядка, и главная часть ее равна
ь ь
if* x l Г
г \ [?i М ф, E) -f- <р2 (х) ф2 («)] / (s) ds -f- — ¦ -, ПГЗ 1 ?*¦ W Ф» (*)/<5)ds-
1--.1 С (l--) J
Точка Х= с является полю ом второго порядка, если f(x) не ортогональна
функции Фз(д:). Если это усл< вге имеет место, то точка с будет полюсом только
первого порядка, если только f (х) не ортогональна к ф,, и, однако, в этом случае
уравнение Фредгольма всегда имеет бесчисленное множество решений.

92 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 582
532. Нахождение характеристических значений. Отыскание полюсов
резольвенты представляет частный случай общей задачи нахождения по-
полюсов мероморфной функции, если известны коэфициенты ее разложе-
разложения в ряд Тейлора в области точки, где она правильна. Эта затача
теоретически решена в известном мемуаре Адамара {„Journal йг Ма-
thematiques", 1892). Мы ограничимся только несколькими замечаниями
очень элементарного характера, которых нам для последующего будет
достаточно.
1. Пусть /(X) будет рациональная функция от X, обращающаяся
в нуль при X бесконечном и имеющая единственный полюс \г=^=0 по-
порядка р. Если разложить эту функцию в ряд по степеням X, то коэфи-
коэфициент при Х° будет иметь вид:
ХГ»Р(л),
где Р(п) — целый многочлен (р — 1)-й степени относительно п. Обратно,
всякое разложение в ряд этого рода представляет рациональную функ-
функцию от X, имеющую Xj полюсом р-то порядка, иЗо всякий многочлен
Р(п) степени р—1 представляет линейную комбинацию биномиальных
коэфициентов
\ 2 i
2. Пусть Xj, Х2, ...,ХГ будут полюсами, имеющими наименьший
модуль некоторой мероморфной функции F(l), заданной в окрестности
начала своим тейлоровским разложением:
Согласно первому замечанию коэфициент Ап имеет вид:
гле Рл, Я2, ...,РГ суть многочлены относительно п, степень которых
равна пэрядку соответствующего полюса, уменьшенному на единицу, а
ел при неограниченном возрастании п стремится к нулю.
Из этого вида коэфициентов Ап, очевидно, вытекают следующие
свойства, которые мы приводим без доказательств.
I. Для того чтобы произведение с"Ап при неограниченном возра-
возрастании п стремилось к пределу /, отличному от нуля, необходимо
и достаточно, чтобы с было простым полюсом функции ^(Х), и
чтобы не существовало никакого другого полюса, модуль которого
был бы меньше или равен |е|; предел / равен частному от деления
вычета на — с.
д
II. Для того чтобы отношение " при неограниченном возраста-
нии п имело предел, отличный от нуля, необходимо и достаточно, чтобы
среди полюсов минимального модуля существовал один, порядок кото-
которого был бы выше порядка всех других полюсов того же модуля; пре-
предел равен числу, обратному этому полюсу.

§ 582 U. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 93
Приняв это во внимание, положим, что К(х, у)— ограниченное ядро.
Имеем (§ 566)"
где Ал , А2, ..., Ап суть последовательные следы ядра*. Если ряд (81)
расходится при Х = Х0, то можно утверждать, что резольвента имеет
по крайней мере один полюс, модуль которого меньше или по крайней
мере равен |Х0|. Если все полюсы мероморфной функции (81) простые,
то для того чтобы отношение —— имело предел, необходимо и доста-
/17--1
точно, чтобы существовал единственный полюс минимального модуля,
и тогда этот полюс есть величина обратная пределу.
Отсюда мы получаем метод, по крайней мере теоретический, для
нахождения полюсов в случае, если эти полюсы все имеют разные мо-
модули. Пусть Xj, J, ... будут эти полюсы, расположенные в порядке
д
возрастающих модулей. Отыскивая предел -~- при неограниченном воз-
растании п, мы найдем сперва Xj, а соответствующий вычет т1 найдется
при отыскании предела X" А". Чтобы получить аффикс второго полюса,
можно поступить точно так же с рядом, который получится, если вы-
выделить из ряда (81) разложение г—*г- и так далее.
Если, кроме того, все полюсы резольвенты—первого порядка, то чтобы
получить соответствующие главные ядра, а следовательно, фундамен-
фундаментальные функции, достаточно вычислить вычеты функции Т(х,у;\).
Чтобы получить вычет относительно первого полюса Х-,, достаточно
найти предел произведения \^~lKw (х, у), ибо К(о) (х,у) является
коэфициентом при при \а~1 в разложении Т(х,у;\) по степеням X. По-
Получив главное ядро ?, (х, у), можно для получения главного ядра
k2(x,y), соответствующего полюсу ^, применить тот же метод к раз-
разложению разности
Г(Х)МУ)Ч
и так далее.
Можно также находить фундаментальные функции последовательными
итерациями. Пусть
и (х; \) = ио(х) +Ь, (*)+... +\'ия(х) + .... ]
* I
* Для неограниченного ядра, но такого, у которого все повторные ядра, на-
начиная с К(") (х,у), ограничены, можно сохранить ряд (81) при условии, если
отбросить п — 1 первых его членов (см. § 570).

94 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § ?82
будет разложение по степеням X решения уравнения A), в котором f(x)
заменено на ио(х). Функция и(х, X), рассматриваемая как функция от).,
есть мероморфная функция, которая может иметь своими полюсами
только полюсы револьвенты. В области полюса Х/ главная часть резоль-
резольвенты равна
^(х> s;l)uo(s)ds,
где у, (х, у; X) есть разрешающее ядро главного ядра kt (x, у) относи-
относительно полюса \;. Эта главная часть исчезает, если функция и0 (х) орто-
ортогональна справа к ядру kt(x, у), так что функция и{х;\) не имеет
обязательно своими полюсами все полюсы резольвенты. Если, напри-
например, и0 (х) есть фундаментальная функция, соответствующая характери-
характеристическому значению с, то функция и (х; X) обращается в рациональную
функцию м0 (х) г параметра X. Если бы функция и0 (х) была орто-
ортогональна ко всем главным ядрам, то и(х, X) была бы целой функцией
от X. Оставляя в стороне этот исключительный случай, положим, что
Xj, Х2, ..., Хг—полюсы с наименьшим модулем, такие, что функция
ио(х) не ортогональна соответствующим главным ядрам; и(х;\) есть
мероморфная функция, для которой полюсами минимального модуля
являются Xj, Х2, ..., Хг, и коэфициент ип(х) имеет вид:
«»(*)= К" ipi(n> х) + ?п\ +Ч"рш1п> *)+••• + \ГПРГ(П, х),
причем е„ при неограниченном возрастании п стремится к нулю, а
Pt(n, х)—многочлен относительно п, определяемый соотношением:
+ ОО ft
Pt (п, х) = j Ъ (х, s;l)u0 (s) ds.
я=0
1
где у, (х, у; X) — уже выше определенная функция. Для того чтобы су-
существовало число с такое, что произведение саиа(х) при неограничен-
неограниченном возрастании п стремится к пределу U(x), отличному от нуля, не-
необходимо согласно замечанию, сделанному вначале, чтобы с было про-
простым полюсом функции и(х;\) и чтобы не было никакого другого
полюса, модуль которого был бы меньше или равен | с |. Поэтому не-
необходимо, чтобы было г=1, Х]«=с, и, кроме того, чтобы Я, (п, х) не
зависел от п. Обращаясь теперь к выражению канонического ядра (§ 579),
легко видеть, что выражение
К) К"(х> s) "о (s) ds
а
не зависит от п; оно равно фундаментальной функции относительно
полюса X,.

§ 582-583 П. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 95
Поэтому можно высказавь следующее предложение:
Если произведение с" ип (л:) при неограниченном возрастании п
стремится к пределу U(x), отличному от нуля, то с есть полюс
резольвенты, и U(x) — фундаментальная функция, соответствующая
этому полюсу.
Выбрав произвольно функцию Mq(x), можно таким способом полу-
получить все фундаментальные функции, соответствующие этому полюсу с,
но из самого доказательства следует, что, если произведение сРи^х)
стремится к пределу и (х), отличному от нуля (если только исходная
функция и0 (х) не выбрана специальным образом), то с есть полюс пер-
первого порядка резольвенты, которая не имеет никакого другого полюса,
равного или меньшего по модулю |е|.
583. Метод Шварца. К изложенному можно применить изящный ме-
метод для некоторых важных частных случаев, о которых будет речь
впереди, изложенный Шварцем, когда еще не существовало общей теории.
Умножая обе части формулы (82) на ограни ;енную функцию А(х) к
интегрируя почленно, мы найдем, что
ь
и(х; l)A(x) dx=B0 + B,l -f ... Bnl« + ..., (83)
если положить
Левая часть этого соотношения опять представляет мероморфную функ-
функцию параметра \, полюсы которой находятся среди полюсов функции
и (х; X), а, следовательно, и полюсов резольвенты. Если поэтому при
о
соответствующем выборе функций ио(х) и А (х) отношение " стре-
мится к пределу /, отличному от нуля, то можно утверждать, что обрат-
обратная величина е = — есть полюс резольвенты; больше того, если про-
произведение с"ип(х) стремится к пределу U(x), отличному от нуля, то
U(x) представляет фундаментальную функцию, соответствующую этому
полюсу.
В частности, если можно выбрать функции ио(х) и А (х) так, чтобы
постоянные Вп были положительны и удовлетворяли условию:
то отношение ¦ " - возрастает с возрастанием п. Это отношение не мо-
Вп-\
жет расти неограниченно, так как в этом случае ряд (83) был бы рас-
расходящимся для всех значений, кроме Х=0. Следовательно, это отно-
отношение стремится к пределу, а число, обратное этому пределу, является
полюсом резольвенты.

96 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 584
584. Род функции D (X). Напомним сначала понятие рода целой функции
C(Х). Пусть X,, Хз X; ... будут нули этой функции, расположенные в таком
порядке, что их модули не убывают и каждый нуль входит столько раз, какова
степень его кратности. Если существуют числа ц такие, что ряд ^ ("Г ) сх0"
дится, то обозначим через k-\-\ наименьшее целое число, удовлетворяющее
этому условию. Мы видели (т. И, § 31Е), как можно построить целую функцию,
имеющую те же нули, что и G(X), и той же степени кратности; при этом, если
G @)^0, то G(V) имеет вид:
(^)" 2Х *' 84>
где g{l) есть целая функция от X. Если эта функция g(l) есть многочлен степе-
степени г, то наибольшее из двух чисел k и г называется роОом целой функции G(X).
Его обозначают буквой р. Заметим, что для определения рода функции недо-
недостаточно ее представить в виде (84). Если, например, ряд X,
то имеем тождественно:
сходящийся.
Судя по виду правой части, можно было бы думать, что род функции равен
единице, а между тем эта функция нулевого рода. Чтобы представить функ-
функцию G (X) в характеристической форме (84), следовательно, недостаючно выбрать
v^ 1 *+*
в качестве числа «+1 наименьшее целое число такое, чтобы ряд ^ у i
1 ¦
сходился. Если не существует такого числа р, при котором ряд /^ г~ схо"
дится, или если gQ) не есть многочлен, то говорят, что функция G(a) беско-
бесконечного роба.
Род целой функции связан с порядком величины коэфициента ап при X"
в функции g(\) очень важными неравенствами, установленными Пуанкаре и Ада-
маром: если произведение п*у/\ип\ пРа неограниченном возрастании п стре-
стремится к нулю, то род функции G (X) не больше — . Мы видели (§ 565), что
модуль коэфициента ап функции DQ) относительно ограниченного ядра меньше,
П
N[nn ^ (Ь о)п
чем 5-j '— , если предположить |К\ =SM. Отсюда без труда можно за-
заключить, заменяя и! его приближенным значением, (т. I, §117), что произведе-
произведение п*у\ап\ стремится к нулю, если а меньше тг> и, следовательно, род функ-
%ии D (X) не больше двух. Опираясь только на общую теорию разрешающих
ядер, Шур (Schur) (упражнение 3 следующей главы) показал, что ряд ^ (— )
сходится для случая ограниченного ядра. Отсюда следует, что так как род функ-
функции ?>(Х) не больше двух, то она имеет вид:
¦ +оо х_
D (X) = еа\+ь» Y\(\-\^e^. (85)
1=1

§ 584 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 97
Карлеман (Carleman) показал*, что для любого непрерывного ядра род функ-
функции D (X) не больше единицы. Существуют ядра, для которых D(k) действи-
действительно первого рода, например ядро Вольтерра **.
Так как род функции ?>(Х) не больше двух, то непосредственно получаем
из соотношения C6) § 570:
¦ !\ / !\ ( 1\
P)D\*\P) ...О\(шр-Чр ), (86)
что род функции D2 (X) не больше единицы, и что функции D3 (X), Dt (X), ... имеют
род, равный нулю. Если D (X) имеет род, равнь.й нулю или единице, то D^ (X),
DS(X), ... будут нулевого рода.
Приложения. 1°. Пусть К(х,у) симметрическое ядро, т.е. такое, что
К(х,у) = К(у,х). Из формул, определяющих последовательные повторные ядра
(§ 558), ясно, что все эти повторные ядра также симметричны. Последователь-
Последовательность этих ядер не ограничена, ибо согласно соотношению между КМ(х,у) и
Д[Ч2л) (х,у) имеем вообще:
К^д (х, х) = \ [KM {x, s)]*ds.
а
Если, взяв п достаточно большим, мы придем к ядру К^ (х,у), которое
тождественно равно нулю, то мы сделаем вывод, что и /f(so-0 тоже нуль, и,
возьращаясь таким образом шаг за шагом, мы навдем, что и само ядро К(х,у)
должно быть тождественно равно нулю. Если в результате конечного числа ите-
итераций мы приходим к ограниченному ядру, то после еще двух итераций мы
придем, следовательно, к симметрическому ялру, отл чному от нуля, для кото-
которого D(X) будет нулевого рода. Отсюда лггко доказывается, что симметрическое
ядро имеет по крайней мере одно особое значение. Действительно, пусть К(х,у)
будет симметрическое яаро, не имееющее особых значений. После некоторого
конечного числа повторений мы получим из него другое ограниченное ядро
/<"<?'(х,у), также не имеющее особых значений, к для которого род функции
¦D^W будет равен нулю. Мы имели бы, следовательно, ?»?(Х)=1, что невоз-
невозможно, ибо тогда было бы:
а
Ь Ь
или, та^к как ядро симметрично:
ьъ
[\ {К(?)(*i. *s)}2d*idXi = 0,
а а
а следовательно, и К^ (х,у) = 0 (§587).
* Sur le genre du denominateur ?>(».) de Fredholm (Arkiv /Or matematik, astro-
nomi och fysik, Bd. 12, n° 15, 1917).
** В случае, если ядро К(х,у) удовлетворяет условию вида
где А и р — два положительных определенных числа, Лалеско, пользуясь заме-
замечанием Фредгольма, показал, что род D (X) равен нулю (Comptes nndus, т. 145,
1907, стр. 906).
7 9. Гурса, г ш, ч. а.

98 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 584-585
2°. Пусть К(х,у) будет ограниченное ядро, имеющее только конечное число
особых значений; так как род функции D (X) не больше двух, то она имеет вид:
где Р Q.) есть многочлен. Следовательно, ее логарифмическая производная ¦- ... -
есть рациональная функция от X, целая часть которой равна а + 2W. Обратно,
если производная .^ есть рациональная функция, то полюсы на конечных рас-
L) (А)
стояниях должны быть простыми, а вычеты — целыми положительными числами,
в противном случае функция D (X) имела бы особые точки на конечном рас-
расстоянии. Если все эти условия выполнены, то уравнение D (X) = 0 имеет только
конечное число корней. Поэтому, чтобы выразить, что ядро К(х,у) имеет только
конечное число особых точек, достаточно выразить, что производная -т^-рг1 есть
рациональная функция. Так как целая часть этой функции не выше первой сте-
степени относительно X, то мы приходим к следующему условию.
Для того чтобы уравнение D (X) = 0 имело только конечное число корней,
необходимо и достаточно, чтобы р любых последовательных следов ядра, начи-
начиная с А3, удовлетворяли рекуррентному соотношению с постоянными коэфи-
циентами (р есть некоторое неопределенное целое число)*.
В частности, для того чтобы это уравнение не имело никаких особых точек,
необходимо и достаточно, чтобы все следы, начиная с А3, были нулями.
585. Разложение разрешающего ядра. Первая теорема Фредгольма дает раз-
разрешающее ядро в форме частного целых функций. Но всякая мероморфная
функция может быть выражена, и притом бесконечным множеством способов,
как сумма некоторого ряда, каждый член которого представляет рациональную
функцию, имеющую на конечном расстоянии только один полюс (т. II, § 34^).
Установленные нами свойства дают возможность в некоторых случаях получить
для резольвенты разложения этого рода.
Пусть К (х,у)—ограниченное ядро. Положим, что полюсы резольвенты рас-
расположены в порядке возрастания модулей**, и пусть kj{x,y) — главное ядро,
соответствующее полюсу X;.
оо
Если ряд \Н(х,у)= > ki(x,y) равномерно сходится, то можно написать, что
+-0О
К (х, у) = ? kt (х, у) + Н{ (х, у), (87)
i=i
причем два ядра Н(х,у) и И, (х,у) ортогональны. В самом деле, например,
ядро k{(x,y) ортогонально разности К (х,у) — к^{х, у) и каждому из ядер
ki(x,y) (/> 1); оно поэтому ортогонально к их сумме, равной Н{х,у)—k{ (x,y),
а следовательно, и к разности
К(х,у)-Н(х,у) = Н{(х,у).
Обратно, если Н1(х,у) ортогонально к каждому из ядер к{(х, у), k% (х, у), ...,
то оно ортогонально к Н(х,у). Отсюда следует, что ядро Hi(x,y) не имеет
ни одного особого значения, а следовательно, его резольвента есть многочлен
или целая функция от >,* обозначим ее через Е(х,у,1). Так как ряд, изобра-
изображающий ядро Н(х,у), равномерно сходится, то, как мы видели выше (§ 572),
резольвента этого ядра может быть получена как сумма резольвент ft (х, у', X)
* Лалеско, Gomptes Rendus, декабрь 1907.
** Можно предположить, что в этой последовательности каждый полюс взят
либо один раз, либо столько раз, каков порядок этого полюса. В этом послед-
последнем случае kj(x,y) есть каноническое ядро.

§ 58) П. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА S9
ядер kt (х,у). Резольвента Т(х,у,Х) данного ядра К(х,у) представится, следо-
следовательно, разложением: 4-оо
Г (*,У,') = X Т< (*> у; I) + Е (х, у, I), (88)
которое можно также написать в виде:
+ оо
Г (jc,у; 1) = J^PW [Г(х,у; Ц + Е(х,у, X), (89)
i=i
где Р' [Г (х, у', I)] представляет главную часть резольвенты Г в области полюса^.
Если заменить Е(х,у\ X) суммой целых мноючленов от 1, то ясно, что можно
будет преобразовать ряд (89) в ряд, члены которого рациональны, и каждый из
которых имеет на конечном расстоянии только один полюс, и это преобразо-
преобразование можно выполнить бесчисленным множеством способов (II, § 319).
В случае произвольного ограниченного ядра К(х,у) нельзя утверждать во-
вообще, что ряд главных ядер равномерно сходится, и, следовательно, что резоль-
резольвента может быть представлена в форме (88). Но не трудно построить любое ко-
количество примеров этого рода. Рассмотрим, например, два ортогональных ядра:
4- ~<о
Н{ *,У) = 2^ <Ч sin (ix) sin (<», Ht (x, y) = ^bj cos (/*) cos [(/ + 1) у],
+ ОО
где ряды 2l°il и 2 l*i I сходятся, пределы а и Ь равны 0 и 2п, и рассмотрим
сумму этих ядер: К=Н + Ht. Разрешающее ядро для Н{х,у) равно:
+ ОО
flf sin (ix) sin (iy)
1 — не,-*
/ = l
Что касается ядрт Н, (х,у), то разрешающее ядро представляет целую функ-
функцию от X. Действительно, если взять сначала конечное число членов ряда
Щ(х,у), то можно доказать (§571), что соответствующая функция Dn(l) равна
единице, ибо все члены, расположенные под главной диагональю в определи-
определителе D4), равны нулю, а члены главной диагонали равны единице. Следовательно,
и для ядра Hi(xi,y) имеем также DQ)=l. Заметим еще, что если Я, содер-
содержит только конечное число членов, то резольвента Е(х,у]1) ядра Н^х^у) есть
многочлен.
Рассмотрим еще произвольную биортогональную систему, составленную из
двух последовательностей функций <р; и ф/, таких, что «р^ф/) = 0 для 1ф]. С по-
помощью этих двух последовательностей функций составим равномерно сходя-
сходящийся ряд:
+ оо
К (х, у) = 2^ aifi (*) h (у)>
где а/ _ постоянные. Члены этого ряда можно разбить на две категории в зави-
зависимости от того, будет ли интеграл (<р,ф,) отличен от нуля или равен нулю.
Введя для этих двух групп членов различные обозначения, мы вапишем преды-
предыдущее ядро в виде:
+ ОО +ОО
К (х, У) = У\ hb (*) h (У) + У\ ?/¦?/ W Ф/ (У)>
7*

100 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 585
Разрешающее ядро имеет вид:
и целая часть ядра представляет член, не зависящий от X.
Примечание. В последнем примере функции у и фу удовлетворяют усло-
условиям:
ь ь
(х,s) Т;E)rfs = 0; jАГ(лг,>)ф)(*)rfs = 0.
а а
Пусть вообще К (х, у) будет ядро, которое может быть представлено в ви-
виде (87), и такое, что резольвента, соответствующая ядру //,(дг,_у), есть много-
многочлен относитель о X, который может состоять из одно: о первого члена. Если
эта р.зольвента является многочленом (л —1)-й степени относительно X, то,
в силу функционального уравнения для разрешающих ядер (§ 559), будем иметь
тождество:
ь
= X \ Н, (х, s) [Xя ~J Я <"> (*, у)+... + Я4 (s, у)] ds,
а
откуда, приравнивая нулю коэфициент при Хп, имеем:
ь
а
Это отношение можно было бы также получить непосредственно, если выра-
выразить, что Я|" + ') равно нулю. Отсюда следует, что всякая функция <р (х) вида
^{х,у) представляет решение уравнения \ Я, (х, s) <р (s) ds = 0. Так как два
а
ядра Н(х,у) и Н\"Нх,у) ортогональны, то функция ? (х) также представляет
решение уравнения:
ь
<\K(x,s)<f(s)ds=0, (90)
а
которое может быть рассматриваемо как предельный случай однородного урав-
уравнения:
ь
а
предполагая, что особое значение с равно бесконечности. Если я> 1, то функции
п'.лучаемые, если переменному у дать любое численное значение у{, также пред-
ст.вляют ан1логи главных функций. Но в то время как полюсу резольвенты на
конечном расстоянии соответствует только конечное число фундаментальных
функций, предыдущий пример показывает, что уравнение (90) может иметь бес-
бесконечное множество различных решений.

§ 585 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА '.01
Мы счелаЛи наиболее простое предполож ние относительно ядра. Введем
теперь более общее предположение, что ядро К^(х,у), полеченное из K(x,v)
с помощью р—1 последовательных итераций, удоьлегв ряет требуемому усло-
условию, т. е. что ряд 'S\ fy W {х, у) равномерно сходится. Согласно только что до-
доказанному резольвента Тр(х,у,\) ядра KW(x,y) представляется разложением:
тр (х,у, М = X р w PV (•*¦ У' W + ер
тр X
/= 1
где et есть полюс для Y(x,y]\), cf — полюс Тр(х,у',\), a PU1(Tp) есть главная
часть функции Тр в области этого полюса. Что касается функции Ер (х,у\ \), то
это целая функция от I, которая служит резольвент-ш для ядра
4- оо
Мы можем выразить Г с помощью Г„. В самом деле, согласно общей фор
муле F5) § 560, имеем:
ъ
Г (x,y,X) = H(x,y,\) + \P-iYp(x,y,\P) +ir\}H(x,s;\)Yp(s,y;\P)ds,
а
Сели положить
Н{х,у;\) = К(х,у) + Шй(r.j») -t- ... + Хр-ЧСр-0(х,у).
Разделив обе части на ).p-^ и заменяя Тр(х,у,\р) его выражением из фор-
формулы (91), получим, что
«) [Tp(s,y,\p)] + Ер (s,y, \p)}ds.
a i
Положим для определенности, что полюсу cf функции Тр{х,у,).) соответ-
соответствует единственный полюс с{ функции Г (t, _у; X).
Бесконечная часть функции ^ '_' в области точки Х = с1 может проис-
ходить только от
Р»1ГЯ(r,y\P)] +\^H(k,s;\)PC) [Tp (s,
и, следовательно, эта функция от X обращается в бесконечность только при
X = cj. С другой стороны, Я') [Тр (х,у; h>)] есть рациональная функция от \, в ко-
TOpi й степень знаменателя на р единиц превосходит степень числителя.
Так как степень \H(x,s\ ~к) относительно \ равна р— 1, то рассматриваемое вы-
выражение для бесконечного значения 1 обращается в нуль. Оно представляет,
следовательно, главную часть функции. {plj в области полюса \ = cit и пре-

102 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 585-586
дыдущая формула может быть записана в виде:
Г (х, у; I) __
а
или же
+ ОО
" ~ '
Ер (х, у; 1р) + If j Я (jc, S; л) ?р E, >; Х^ dA (Э2)
в
* , г.,% [гС*, v;Ml
Рациональная дробь ip-tpU) ' "t , соответствующая полюсу С;, оче-
очевидно, зависит только от главного ядра AT(-f,j'), относящегося к этому полюсу.
Что касается целой части правой стороны, то она зависит от К, ЛГB)...., KSp-^ и
от Ер(х,у,1). Если функция Ер равна нулю, то эта целая часть обращается в мно-
многочлен. В частности, это имеет место в случае симметрического ядра (см. сле-
следующую главу).
Заметим еще, что, если разрешающее ядро Т(х,у;\) может быть предста-
представлено в виде (92) для некоторого значения р, то его можно представить в этом
виде бесчисленным множеством способов, ибо .число р можно заменить любым
целым числом, превосходящим р.
586. Особые ядра. Не возникает никаких новых "трудностей, кроме слож-
сложности цисьма, при обобщении свойств разрешающего ядра на уравнение
\
(Ь)
где знак \ оаначает кратный интеграл, распространенный на определенную
л-мерную область D, в случае, если ядро К ограничено или в более общем слу-
случае ядра, из которого можно получить ограниченное ядро путем конечного числа
итераций (§ 563, 570).
Но столь простые свойства решений уравнения Фредгольма глубоко меня-
меняются в случае, если ядро К(х,у) обладает существенными особенностями или
точками неопределенности. Эта глава теории интегральных уравнений не разра-
разработана еще до конца, и мы приведем только несколько простых примеров.
В первом из этих примеров один из пределов равен бесконечности. Но всякое
интегральное уравнение, например с пределами 0 и оо, можно легко привести
к другому интегральному уравнению, для которого пределами служат 0 и 1.
Если, в самом деле, в уравнении
V(x) = \\K{xs)^{s)ds+f(x)
о
положить:
то это уравнение переходит в уравнение:
1

§ 586 II. ИЗУЧЕНИЕ РАЗРЕШАЮЩЕГО ЯДРА 103
Точно так же, если пределы интеграла суть —оо и + оо , то, полагая je = lg;c',
s=]gs', мы приведем этот случай к предыдущему. Обратно, всякое интеграль-
интегральное уравнение, в котором пределами интегрирования служат два конечных числа
а и Ь, может быть приведено к интегральному уравнению с одним бесконечным
пределом.
Интегральное уравнение*
+ 0О
J
+
ds + f (x) (93)
можно рассматривать как уравнение второго рода, в котором верхний предел Ь
бесконечен, тогда как нижний предел а представляет произвольное число, мень-
меньшее х, а ядро К{х, s) равно нулю для s < х и равно ^~^ для i^ x. Пусть о
будет число действительное и положительное или комплексное с положительною
действительною частью. С помощью последовательных интегрирований по частям
нетрудно показать, что
+ 0О
C{s — x)" „ . е-**
J л! а" + *
так, что е-*х представляет решение однородного уравнения:
+ 0О
(94)
где Х = а«+'. Если мы попрежнему будем называть характеристическим числом
уравнения (93) всякое такое значение I, при котором однородное уравнение \94)
имеет решение, отличное от нуля, то мы можем сказать, что всякое значение X,
при котором одно из значений ""^ \ имеет положительную действительную
часть, является характеристическим числом для уравнения (93). Итак, при
п > 1 всякое действительное или комплексное число представляет характери-
характеристическое число. При л = 0 всякое число, действительная часть которого поло-
положительна, есть характеристическое число. При л = 1 всякое число, кроме нуля
и гействительных отрицательных чисел, является характеристич ским значе-
значением.
Точно так же, если действительная часть а положительна, то
-*-«(<«+1)'
о
так что каждое числое I, для которого уравнение о^ -f- a =. х имеет корень с по-
положительною действительною частью, является характеристическим значением для
уравнения:
а
О
Для этого необходимо и достаточно, чтобы, если i. = 5 -{— т)^> то точка E, т)) была
вне параболы ? + тJ = 0.
* Я дал этот пример в заметке в Comptes Rendus (т. 157, 10 ноября 1913г.).
Первый пример этого рода дал Гикар (Annales de I'Ecole Normale, 1911, стр.
313).

104 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА § 586
Мы вилим, таким образом, что с точки зрения характеристических значений
имеется существен» е различие между приведенными примерами и npat ильным
уравнением Фредгольма. Это различие не менее велико, когда мы pact матри-
в:ем решение уравнения i93) как функцию от \ во Biefi плоскости изменения
переменкою X. Положим, что функция f(x) действительного переменного х удо-
влетво:яет условию |/ (х) \ < Le-1*, где L и /— *ва положителы ых числа. При-
Применяя обычный метод последовательных приближений, легко видеть, что урав-
уравнение (93) имеет решение у(лг,X), которое изображается в виде ряда, целого
относительно 1 и сходящегося в круге С ралиуса ln+i. Но аналитическое про-
продолжение этой функции может иметь вне круга С произвольно заданные есте-
естественные разрезы, если я > 1. Действительно, положим, что функция / {х) имеет
вид f (х) — 2 A^e-'i11, где действительные части всех чисел а/ положительны,
и два ряда 21 И;я"+51 и 2 Mil сходятся. Соответствующее решение уравне-
уравнения (93) имеет вид:
A
Это решение, рассматриваемое как функция от \ мероморфно во всякой области
плоскости, содержащей только конечное число точек о;«+». Но если числа at
выбраны так, что на любой произвольно малой части дуги кривой Г, не прохо-
проходящей через начало, находится бесчисленное множество точек я/"+1 (при л > 1
это всегда можно сделать бесчисленным множеством способов), то кривая Г яв-
является естественным разрезом для функции у(*Д) (II, § 345). Можно заметить
далее, что в этом примере, как для правильного уравнения Фредгольма, особые
точки функции <f{x, \) принадлежат к множеству характеристических значений \
интегрального уравнения.
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Прямое доказательство формулы A0) § 565. Разложение детерминанта
¦Уп.
содержит в качестве первого члена произведение
Совокупность остальных членов разложения может быть записана в виде:
I х х'
•E(-l)pK(x,xi)K(xi,Xj)...K{xk.y)K[ У" """
\*г... *'„_,>
где XitXj,...,xk обозначают р каких-нибудь из переменных xlt...,Xn, а
ХуХ%, . . . ,-?„__„ — остальные л—р переменных.
Следовательно, кратный интеграл от этого произведения равен:
ь ь ь
и этот член входит п (л — 1) ... (л — р -f-1) раз в коэфициент при \" функции
D I — |1 ) . Давая р значения от 1 до л, легко получить соотношение A0).

ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ 105
2. Разложение функции D'(l):D(\) (§566). Запишем коэфициент при \"
в функции D(>.) в виде (—1)°—?, что равносильно обозначениям:
ь ь ь
а а а
Эти числа 1/„ выражаются с помощью следов Ап ядра К(х,у). Действительно
разложение определителя К ( 1 *" ' " I может быть записано в виде:
\xixi ., .хп/ ^ ^
К (х„ х,) К (Х* ¦ ¦¦ Х") + 1 (- YfK(xit х,)... К{х„ xj К СL, ''' Х?'Р ) .
v*j •¦••*»' \Xlx2... хп_р)
где xt, X], .. .,хе обозначают />из переменных х1г х%. . . , хп, а х[,х'2,...,х' —
остальные п—р переменных. Из этого разложения получается с помощью ин-
интегрирования рекуррентное соотношение:
и„ = А1ия.1-{п - 1) A2Un-2 + (л - 1) (л - 2) A3Un_3 +...
... + (-1У+ЧЛ - 1) (л-2)... (л —/
п-1I Аяи„
которое выражает тождество D' (l) = — D Q) G (I), если положить
GQ) =Л + А,1 + ... + Л„Х»-»+ ...
3. Метод Е. Шмидта для произвольного ядра (Math. Annalen, т. 64,
стр. 161). Пусть К(х,у) - ограниченное ядро. Мы допустим, что параметр \ имеет
определенное значение. Метод Шмидта решения уравнения второго рода A) со-
состоит в разбиении ядра К(х,у) на две части:
п
К(х,у) = к, (х.у) + X "р to h Су).
о а
Я'
где 2л функций чр (х), $р (у) выбраны так, что значение двойного интеграла
ъ ь
i{x,y)]'2dxdy меньше, чем ——; это всегда возможно и притом бесконеч-
л а
ным числом способов (см. § 601). Запишем затем уравнение A) в виде:
ь
К^ (х, s) <p (s) ds, A)
а
полагая
Ь п
A W =/ to +1J ^ «р to Р, (*) f W da. B)
Согласно определению функции Kt(x,y) ряд, изображающий резольвенту
Г4(дг, у',1) ядра А^[ (-«,j»), сходится для рассматриваемого вначения X (замечание
к стр. 31). Таким образом из уравнения A) получаем:
ь
\=fi^)+^[Tl(x,t;\)fl(t)dt, C)

106 ГЛАВА XXXI. УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА
а яаменяя функцию /, (*) ее выражением B), мы получаем соотношение:
ь п ь
f (x)=f(x) + I \ ? ap {x) $p (s) if {s) ds + I \ Г, (x, t, l)f(t) dt +
a p = l a
ЬЛ n
+ X2 j [ Г, (x, t; X) ^ чр (t) pp (s) ? (s) ds dt,
aa p=l
которое представляет снова уравнение второго рода, имеющее вид:
ь п
f (х) = F (х, I) + \
a p = l
причем его ядро имеет специальную форму (§ 571).
Пользуясь этим методом, можно легко показать аналитический характер ре-
резольвенты, как это сделано мною в статье в Bulletin de la Soclete mathematique,
т. 37, стр. 197 A909).
4. Особое ядро Вейля (Weyl) (Math. Annalen, т. 66).
Из элементарных соображений следует, — что
A)
где а — число положительное.
С другой стороны, взяв интеграл от функции * ^ei*x комплексного пе-
переменного z вдоль контура, указанного на стр. 134 ч.1 т. II, и рассуждая, как в этом
примере, мы легко получим соотношение:
+ ОО ..^
- sin (xs) ds — у e - ax, B)
1
если x есть действительное и положительное число.
Из формул A) и B) мы получаем:
+ОО
1/ —
так что 1/ — представляет особое значение для интегрального уравнения
<р(дс) = Х ^ sin (xs)V(s)ds+f(x),
о
которому соответствует бесчисленное множество фундаментальны! функций, за,-
ррсящих от параметра а.

ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ 107
5. Особое уравнение Пикара (Picard). Однородное уравнение
+ <*>
—оо
имеет два решения вида е±л1х, где о — действительное число, если только \ —
число вида —:—• Всякое действительное значение \ большее-^-, является сле-
довательно, характеристическим значением. Эти решения можно получить, заме-
замечая, что, если рассматриваемое уравнение продиференцировать два раза, то мы
приходим к линейному уравнению:
?"+Bi-l)? = 0.
С помощью этих простых функций можно составить подобно тому, как это ука-
указано выше, решение уравнения с правой частью f(x), имеющее в качестве есте-
естественного разреза произвольный отрезок действительной оси, лежащий справа
от точки Х = у.
Уравнение Лалеско получается из уравнения Пикара, если заменить —оо
нулем. Характеристические значения суть те значения X, для которых действи-
действительная часть ]/l — 2\ по абсолютной величине меньше единицы. Соответству-
Соответствующая фундаментальная функция есть
где а равно

ГЛАВА ХХХП
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
537. Симметрические ядра. Свойства симметрических ядер были впервые
изучены Гильбертом* и выведены им из свойств симметрических квадра-
квадратичных форм с помощью перехода к пределу. Результаты Гильберта
были несколько позже доказаны Шмидтом ** с помощью очень изящного
прямого метода. Эти свойства легко выводятся из общей теории, изло-
изложенной в предыдущей главе.
Пусть К(х, у) будет дейстсительное симметрическое ядро. Тогда,
как мы на это уже указывали (§ 584), все ядра, полученные из него
последовательными итерациями, также симметричны. Мы докажем, что ряд
+ оо ь
и (х, \) = и (х) -f- V V \ Я"(о) (х, s) и (s) ds, A)
л=1 а
который представляет разложение по степеням \, решения уравнения
Фредгольма, где известная функция f(x) = и(х), не может быть целой
функцией от X, если функция и (х) не ортогональна справа к ядру
К(х, у). Мы предположим для определенности, что функция к (л) огра-
ограничена и интегрируема.
Допустим, в самом деле, что ряд A) представляет целую функцию
от X. Умножим всё члены этого ряда на и (х) и проинтегрируем затем
в пределах от а до Ь. Полученный ряд j^nV1' где Ъ.п имеет выра-
выражение ь ь
К^а) (х, s) и (х) и (s) dx ds,
будет также целой функцией от X. Поэтому согласно свойствам по-
повторных ядер (§ 558) можно записать, что
ьь
gBn = f \ Kw (x, s) и (х) и (s) dx ds =
а а
Ь ЬЬ
~\[[ Км (х, t) Kw {t,s)u(x)u (s) dx ds dt =
a a a
Ь b
откуда следует, что 312л^О, если b^>a, как это и предполагалось,
* Grundziige einer alljemeinen Theorie der Jtitegralsleichungen (GOttingen
Nachrichten. 1904, 1905, 1906 и 1910).
*• Mathematische Annalen, т. 63, 1907, стр. 433—476.

§ 587 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 109
Имеем также:
ьъъ
К{П+1) (х, t) ftC-D (t, s) и (х) и (s) dx ds dt =
a aa
b
v v i/
ь ь
= 5 dt X { J #(йт1) (х, t) и (х) dx} X { ) Я(я-:) (х, t) и (х) dx J ,
и, следовательно, согласно неравенству Шварца (§ 559)
ь ь ь ь
Щп *z\dt[ J /С<"+1) (ж, 0 и (х) rf«]2 X J Л [ J #«-« (Jf, 0 «(ж)
или, сравнивая с первым выражением для Щ2я-
Щ %п-2- B)
Ряд 5]^л^° может быть сходящимся для любого значения X только
в том случае, если 314=0. Действительно, если 314 положительно, то
согласно неравенству B) то же можно сказать и об ЭF, Ш8, ... , и от-
отношение "" ¦ возрастает вместе с п. Поэтому, если Щ^ не равно нулю,
2к2
то ряд, составленный из членов ряда 5] SV> содержащих только чет-
четные степени X, не может быть схо-шщинся для всякого значения X. Но
для тою чтобы St4 было равно нулю, необхотимо и достаточно, чтобы
функция и (х) была ортогональна к ядру /02)(х, у). А тогда, принимая
во внимание выражение для ядра К(г)(х, у), можно написать:
ьь
\ J KS* (х, у) и (х) и (у) dxdy=[jdt\ \К (х, t) и (х) dx] \
а а а а
откуда следует, что, если функция и (х) ортогональна к первому по-
повторному ядру К^2>(х,у), то она ортогональна также к ядру К(х,у).
Итак, если в качестве функции к(х) взять функцию не ортогональную
к ядру К(х, у), то не может быть 314 = 0, и ряд A) не может быть
сходящимся для любого значения \. Поэтому всякое симметрическое
ядрэ имеет по крайней мере одно особое значение * (ср. § 584).
* Это рассуждение неприменимо к таким разрывным ядрам, для которых
ь
равен нулю для всех значений х, за исключением конечного числа, при любой
интегрируемой функции и(х). Таковы были бы симме1р1 ческие. ядра, равные
нулю везде, кроме диагонали у — х и конечного числа прямых параллельных
осям, попарно симметричных относительно диагонали. В последующем изложении
мы этих ядер рассматривать не будем.

ПО ГЛАВА ХХХН. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 587
Общие теоремы о фундаментальных функциях дают возможность
легко дополнить этот результат.
1. Все особые значения симметрического действительного ядра
также действительны. Положим, в самом деле, что существует особое
значение а+jk' фг^О); тогда а—[3/ будет также особым значением,
и этим двум особым значениям будут соответствовать две комплексные
сопряженные фундаментальные функции и-\- iv и и — iv. А так как
ядро симметрично, то эти две функции будут фундаментальными и для
союзного ядра, и согласно общему условию ортогональности (§ 580),
мы будем иметь:
ь ь
{и -f iv) (и — iv) dx = ^ (ы2 + &) dx = 0,
откуда следует, что и и v равны нулю.
2. Особые значения являются простыми полюсами резольвенты.
Пусть, в самом деле, <р (х) будет фундаментальная функция, соответ-
соответствующая полюсу с; она является также фундаментальной функцией для
союзного уравнения; но эти две функции не могут быть ортогональны;
следовательно, с есть простой полюс резольвенты (§ 578).
Можно еще рассуждать спедующим образом. Предположим, что
ь
это всегда можно сделать. Два ядра
полуортогональны (§ 575), а так как они симметричны, то они орто-
ортогональны. Если с еще остается особым значением для Кл (х, у), то
можно повторить ту же операцию для этого ядра; после некоторого
конечного числа преобразований этого рода можно представить К(х,у)
в виде:
«я
где с уже не является особым значением для симметрического ядра
Н(х,у). Сумма
есть главное ядро, соответствующее полюсу с, и согласно самому спо-
способу построения функций <р, (х) составляет ортогональную и нормаль-
нормальную систему.

§ 587 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 111
Из этого же доказательства вытекает, что всякое симметрическое
ядро, имеющее конечное число особых значений, имеет вид:
т" 7"У/ . C)
1=1 l'
Действительно, если из ядра К{х,у) вычесть сумму S(x, у) главных
ядер, соответствующих особым значениям, то разность
K(x,y)-S(x,y) = H(x,y)
представляет симметрическое ядро, ортогональное к сумме S(x,у). Так
как это ядро не имеет ни одного особого значения, то оно равно
нулю. Для симметрического ядра, имеющего бесконечное множество
особых значений, мы будем иметь:
+ ОО
если только ряд, стоящий в правой части, равномерно сходится. Итак,
фундаментальные функции симметрического действительного ядра со-
составляют нормальную и ортогональную систему функций tpj, <р2, ... ,(р;.,...,
каждая из которых соответствует некоторому полюсу разрешающего
ядра. Предположим, что эти полюсы расположены в порядке неубыва-
неубывающих модулей, причем каждый из них входит в эту последовательность
столько раз, сколько ему соответствует фундаментальных функций:
Aj, А2, . . . , \, . . . E)
Каждому члену л, соответствует определенная функция yt (x) ортого-
ортогональной системы. Обратно, всякая ортогональная система может быть
получена из симметрического ядра бесконечным числом способов. Дей-
Действительно, если выбрать постоянные \. так, чтобы ряд D) был абсо-
абсолютно и равномерно сходящимся, то ясно, что функции yt (x) предста-
представляют фундаментальные функции этого ядра*.
Примечание I. Если ядро К(х,у) симметрическое, то все особые значе-
значения повторного ядра К^{*,у) действительны и положительны. Мероморфная
функция ZJ00:AiO) имеет толькэ простые положительные полюсы, и, следова-
следовательно, наименьший из этих полюсов равен пределу отношения 2"~а при не-
ограниченно возрастающем п (§ 582). Метод Кнезера (Kneser) для доказательства
* Все эти теоремы применимы только к симметрическому действительному
ядру. Если, например, взять
+ix J/T), а = —1, 6 = 1,
то нетрудно показать, что функции 1 + /х ]/3 и х составляют систему главных
i/з"
функций, соответствующих особому значению -тр—•

112 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 587-588
того, что симметрическое ядро имеет по крайней мере одно особое значение, со-
состоит как раз в доказательстве существования предела этого отношения (см.
упражнение 1).
Примечание II. Мы видели (§ 580), что при любом ядре К(х,у) всякая
функция и(х), удовлетворяющая условию
ортогональна ко всем фундаментальным функциям ф^ {*) союзного ядра. Обрат-
Обратное предложение не имеет места при любом ядре *, но справедливо для симме-
симметрического ядра# В самом деле, если функция и(х) ортогональна ко всем фун-
фундаментальным функциям симметрического ядра, то функция и{к,\), представля-
представляющая решение ураьнения Фредгольма, в котором f(\) = и (х), есть целая функ-
функция параметра 1 (§ 582), а мы доказали, что это не может иметь места, если
ь
а
следовательно, ряд а (х, \) сводится к своему первому члену.
588. Неравенство Бесселя. Пусть S будет нормальная система функ-
функций <{>,. (х), ортогональных в интервале (а, Ь). Если функция /(х) пред-
представляется в этом интвервале равномерно сходящимся рлдом вида
f{x) =/jb (х) + /2<?2 (*)+...+ /я?я (х) + ... F)
с постоянными коэфициентами ft, то эти коэфициенты могут быть оп-
определены как коэфициенты некоторого ряда Фурье. В самом деле,
умножим обг части формулы F) на <р,-(*) и будем интегрировать правую
часть почленно. Принимая во внимание условия ортогональности, мы
получим: ь
(*)<p,(*)d*. G)
Какова бы ни была интегрируемая функция /(*), ряд Jj/f/M на'
зывается рядом Фурье для функции /(к) по функциям рассматриваемой
ортогональной систеы S. Это, однако, не доказывает ни что этот
ряд сходится, ни что его сумма равна /(х). Мы рассмотрим только
несколько частных случаев, которые связаны с теорией ин игральных
уравнений. Заметим только, что, если ряд Фурье для функции f(x)
равномерно сходится и имеет своей суммой S{x), то разность R(x)=
=/(х)—i>(x) ортогональна к каждой функции if,-(x) (согласно самому
способу вычисления^), а следовательно, и к функции S(x).
* Пусть К{х, j/) = sin y + sia 2xcosy{a = 0, Ь = 2т). Функция cos x ортого-
ортогональна к единственной фундаментальной функции sin x, однако интеграл
2л
\ К (х, s) cos s ds
не равен нулю.

§ 588 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 113
Если квадрат функции f(x) интегрируем в интервале (а, Ь), т. е.
ь i
если \р(х)с1х имеет конечное значение, то коэфициенты ft удовлетво-
а
ряют очень важному неравенству, установленному Бесселем, каково бы
ни было число я"
ъ
f\ +/> + ... + fn < J [/(*)]* dx. (8)
a
Это неравенство легко получить, если раскрыть очевидное нера-
неравенство:
ь
и принять во внимание формулы G), которые дают значения коэфициентов
fl и соотношения которых выражают, что S есть ортогональная и нормаль-
нормальная система. Если система 5 состоит из бесчисленного множества функций,
то число п можно предположить как угодно большим, и следовательно,
ряд У/J из квадратов коэфициентов Фурье функции f(x) с интегри-
интегрируемым квадратом всегда сходится.
ь
Сумма членов этого ряда равна или меньше, чем \ /2 (х) dx, и раз-
а
личие в этих двух случаях приводит к очень важной классификации
ортогональных систем. Ортогональная система S на <ывается полной или
замкнутой, если нельзя найти такой другой функции ф (х), которая
присоединенная к функциям S, давала бы новую ортогональную нор-
нормальную * систему S'. В противном случае ортогональная система назы-
называется неполной или открытой. Ясно, что ортогональная система, содер-
содержащая только конечное число функций, не может быть замкнутой.
Пусть 5 будет неполная система; существует по крайней мере одна
функция ф (х), не входящая в S, ортогональная ко всем функциям ^ (х),
ь
для которой \ф2=1. Соответствующий этой функции ряд Фурье по
а
системе 5 тождественно равен нулю, а следовательно, сумма ряда
ф2 меньше единицы. Следовательно, для того чтобы ортогональная
* Рассматривая только такие функции ф(х). для которых \ф5(x)dx= 1,мьк
а
Ь
исключаем разрывные функции а(х), удовлетворяющие условию \u'i(x)dx = 0.
а
Ягно, что для функции этого рода мы всегда имеем (у;и) — 0, согласно нера-
неравенству Шварца. Эти функции и (х) могут быть отличны от нуля только в точ-
точках множества меры нуль (L e b e s g u e, Lecons sur l'integration et la recherche,
des foncions primitives).
8 Э. Гуреа, i. Ш, ч. 9

114 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 588-589
система была замкнутой, достаточно, чтобы сумма ряда У./?
ь
была всегда равна I/2 (x) dx, какова бы ни была функция f{x) с инте-
а
гриругмым квадратом.
Обратно, если ортогональная система S замкнута, то для
каждой функции f(x) с интегрируемым квадратом имеет место
равенство *:
г ь +оо
условие (9) поэтому называется условием замкнутости ортогональной
системы.
Применим предыдущие определения к ортогональной системе S, обра-
образованной фундаментальными функциями <qt (x) симметрического ядра
К(х,у). Это ядро называется замкнутым, если не существует функ-
ь
ции ф (х), такой, что \ К(х, s) ф (s)ds = 0 тождественно, исключая, как
а
всегда, те разрывные функции, которые равны нулю всюду, за исклю-
исключением точек множества меры нуль. Согласно приведенному выше заме-
замечанию ядро К(х, у) замкнуто, если система 6' замкнута, и наоборот.
Пример. Функции 1 cos л*, sin пх, ... образуют ортогональную си-
систему в интервале @,2л), Ляпунов и Гурвиц (Hurwitz, Annales de I'Ecole
Normale, 1902) доказали, что эта система замкнутая.
589. Теорема Гильберта-Шмидта. Гильберт и после него Э. Шмидт
доказали важную теорему относительно разложения некоторых функций
в ряды фундаментальных функций. В этом параграфе мы будем предпо-
предполагать, что К(х, у) есть симметрическое непрерывное ядро или, по край-
крайней мере, что оно может иметь точки разрыва только на прямой у = х,
на такие, что произведение \х—у\ "К(х, у) остается ограниченным,
1
причем показатель а меньше —, откуда следует, что интеграл
ь
\[K(x,y)fdy
а
имеет конечное значение. В этом случае первое повторное ядро К^2) (х,у)
непрерывно точно так же, как фундаментальные функции ut(x); и вся-
всякая функция вида
* Для доказательства см. Лауричеллт (La u ri eel la, Rendiconti di Palermo,
t. 29, 1910); Стеклов, Memoires de I'Academie de Saint —Petersburg, vol. 30,
1911. См. также дальше, § 59Э.

589
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
115
где h(x) есть функция с интегрируемым квадратом, также является не-
непрерывною функциею от х * (§ 556).
Всякая функция вида
= [K(x,s)h(s)ds,
A0)
где h (x) — функция с интегрируемым квадратом, разлагается в абсо-
абсолютно и равномерно сходящийся ряд фундаментальных функций.
Положим, что особые значения \ ядра расположены в том порядке,
какой указан в §587, и пусть уг{х) — фундаментальная функция, соот-
соответствующая значению \. Коэфициент Фурье ft функции f(x) относи-
относительно <fj(x) равен:
ьь ь
fi ^ J J
К {х'
==Y)
s)h(s)ds = -
где ht — соответствующий коэфициент для h(x). Полученный таким
образом ряд
и и
A1)
абсолютно и равномерно сходится в интервале (а, Ь). Действительно,
согласно обобщенному тождеству Лагранжа имеем:
А,
* *
i<P»
\
_
(X)
м
hr
2
(х)
J
\
\
2
и
=5s
Так как ряд 2^* сходится, то можно выбрать число Л^ настолько
большим, чтобы выполнялось неравенство: h2n -j- ... -\- h?m <[ e, каково бы
ни было т^> п, если только п^ N; здесь е означает произвольное по-
положительное число. С другой стороны, сумма
К \
...+
¦]•
каковы бы ни были пит, остается при любом х меньше некоторого
I ) \2
конечного числа М, ибо ряд с общим членом
сходится; дейст-
действительно,
представляет коэфициент Фурье для ядра К(х, у), рас-
* Эти рассуждения легко распространяются на случаи с более широким»,
предположениями. Можно было бы, например, предположить, что ядро К (х, у)
имеет конечное число линий разрыва, параллельных осям, или что оно может
обратиться в бесконечность, но так, что его квадрат остается интегрируемым.
8*

116 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ §589
сматриваемого как функция от у. Можно поэтому взять N настолько
большим, что сумма абсолютных величин любого числа членов ряда A1)>
начиная с л-го, будет меньше всякого данного положительного числа,,
коль скоро п^ N.
Сумма S(x), таким образом, непрерывна в интервале (а, Ь). Чтобы
доказать, что эта сумма равна функции /(х), рассмотрим разность
R(x)—f(x)— S(x); согласно самому способу определения коэфициен-
тов/• функция R(x) ортогональна по всем функциям ^(х), а следова-
следовательно, и к S(x). Будучи ортогональной ко всем фундаментальным
функциям ядра К(х, у), эта разность ортогональна к самому ядру (§587),
а следовательно, и к функции /(х), ибо можно написать:
ь ьь
\f(x)R(х)dx = [\K(x, s)R(x)h(s)dxds —
a aa
b Ь
= \ h (s) ds \ K(x, s) R (x) dx = 0.
i> ,.
Поэтому имеем также: а "
ь ь ь
\ R* (х) dx= [f(x) R (x) dx-[s (x) R (x) dx = 0,
a a a
откуда следует, что R(x) равно нулю, а следовательно, 5(х) =/(х).
Пользуясь этой теоремой, Э. Шмидт получил явное решение уравнения
второго рода, выраженное только через особые значения и фундаментальные
функции. Положим, что X не есть особое значение для ядра; уравнение
ь
A2)
где /(х) есть функция с интегрируемым квадратом, имеет единственное
решение и притом такое, что разность <р (х)—f(x) может быть разло-
разложена в равномерно сходящийся ряд вида:
<Р (*) —/(*) =
Подставляя этот ряд в обе части уравнения A2), мы найдем:
Сп<?п (*) = *[* (X, S)/(S) ds -f I J] ^ <р„ (Х)
а следовательно, cn = . Решение (р (х), следовательно, может быть
представлено рядом:

§589-590 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ Ц7
рассуждая, как в сЯучае ряда A1), мы легко докажем, что этот ряд абсолют -
ио и равномерно сходится, если только X не является особым значением^
Примечание. Формулу A3) можно применить и в том случае, когда X
равно особому значению Х; ядра. Если число )/ входит в последовательность
только один раз, то уравнение A2), как известно, допускает решение только
в том случае, если // = *'. и поэтому достаточно заменить в ряду A3) коэфициент
при <pj (jc), который представляется в неопределенном виде произвольным постоян-
постоянным сг. Можно поступить совершенно так же и в том случае, если значению Хг
соответствует несколько различных фундаментальных функций (ср. § 568, 575).
590. Классификация симметрических ядер. Пусть будут А (х) и g(x)
две функции с интегрируемым квадратом. С помощью теоремы Гиль-
Гильберта легко вычислить значение интеграла:
ьь
I = \\K(x,y)h(x)g(y),1xdy.
аа
Действительно, мы находим последовательно:
ь ь
1= \ g (У) dy \ К(х, у) h (x) dx =
а а
Ь
ибо ряд \ —з<рп(у) равномерно сходится; числа hn и gn суть коэфи-
циенты Фурье для функций h и g.
В частности, если положить g(x) = h(x), то получится:
соотношение, вполне аналогичное формуле, выражающей квадратич-
квадратичную форму в виде суммы квадратов, которое позволяет классифициро-
классифицировать эти ядра. Если все особые значения \ положительны, то
всегда 7^=0, какоча бы ни была функция h, и ядро в этом случае
назыв ется положительным. Напротив того, если все особые значения
отрицательны, то/^0, и ядро отрицательное. Если среди особых зна-
значений есть числа разных знаков, то ядро знакопеременное; в таком слу-
случае интеграл / может иметь положительный или отрицательный знак
в зависимости от выбора функции h(x). Если, например, >а>-0,
Xj<0, то, взяв h(x) =<{>! (х), мы получим положительное значение
для /, а взяв h (х) = ц,2 (х), мы получим для этого интеграла отрица^
тельное значение. В случае знакопеременного ядра интеграл / может
быть нулем, в то время как h (x) не равно нулю. Предположим опять,
что Xj-]> 0, Х2<^0; если взять

118 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 590
то соответствующий интеграл имеет значение т—\- -г— , и при подходя-
А, Ag
щем выборе отношения — он будет равен нулю. Напротив того, если
2
ядро К(х, у) положительно, то интеграл / может быть нулем только
в том случае, если существует функция h (л:), ортогональная ко всем
фундаментальным функциям <рл(х), а следовательно, и к самому ядру.
В случае замкнутою и положительного ядра имеем всегда /^>0; это
ядро называется определенным. Замкнутое и отрицательное ядро есть
также определенное ядро. Из этого определения вытекает, что опреде-
определенное ядро необходимо замкнутое, но это условие недостаточно: зна-
знакопеременное ядро может также быть замкнутым.
Фундаментальные функции положительного неопределенного ядра со-
составляют неполную систему S. Если возможно к ним присоединить ко-
конечное число фуькций (J)j (x), ф2 (х), ... ,typ(x) так, чтобы полученная
система S1- была ортогональной и замкнутой, то ядро К(х, у) назы-
называется квазиопределенным. Если к такому ядру прибавить ортогональ-
ортогональное ядро вида:
с^ (*)$(>)+ + %(*)!, (у),
зависящее от р произвольных постоянных, то оно преобразуется в за-
замкнутое ядро.
Предположим, что некоторые из особых значений ядра К(х,у) положительны,
и пусть \{ будет наименьшее из них. Среди всех функций h(x), удевлетворяю-
ь
щих условию \ №(x)dx=-\, существует такая, при которой интеграл A4) имеет
а
максимум. Действительно, согласно неравенству Бесселя ряд ^А? сходится и
имеет суммой 1 — о, где а ^ 0. Интеграл / может быть, следовательно, записан
в виде:
" "I '
и его значение не может быть больше -г-, т. е. того значения, которого он до-
'ч
стигает, если взять h (х) = <р, (х). Если среди особых значений имеются отрица-
отрицательные, то можно также показать, что интеграл / достигает отрицательного ми-
минимума, когда функция h(x) равна фундаментальной функции, соответствующей
отрицательному особому значению, наименьшему по абсолютной величине.
Гильберт показал, как, обратно, существование максимума или минимума
интеграла / влечет за собой существование особых значений для ядра. Доказа-
Доказательство имеет много сходного с рассуждениями Римана при доказательстве прин-
принципа Дирихле (§ 512).
Если рассматривать интегрируемую функцию Л (х), удовлетворяющую усло-
ъ
вию v h*(x)dx= 1, то легко доказать, что интеграл / ограничен по абсолютной
а
величине; это вытекает из неравенства Шварца:
/**? [[ \К (х, у)Ц ({xdy- \ \ ft» (х) т (у) dx dy.

§ 590-591 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 119
Допустим, что среди функций h(x) существует одна, при которой / достигает
своей верхней границы, и положим, Например, что / достигает максимума при
h(x) — tf(x). Пусть будут и(х) и v(x) две какие-нибудь непрерывные функции,
о и ji — два переменных параметра, связанных соотношением:
*
Ф К ?) = \ [<Р (•*) + ш (л:) + }v (ж)? dx=l.
а
Вспомогательная функция
/ («, Й = jj tf (*. jO { <Р W + «И <*) + fv [X) } { <p (у) + Ш (у) + fv (У) } dx dy
должна достигать максимума при а= Р = 0, откуда согласно элементарной теории
(т. I, § 27) имеем:
Ъ1дФ
при а = р = 0. Это соотношение можно записать в виде:
х,у) {ч (х) и (у) + if (у)и {x)}dxdy
а
) v(y) + <( (я
A5)
и, следовательно, общее значение этих отношений должно быть рявно постоян-
постоянной величине С, не зависящей от вида функций и(х) и v(к). Принимая во вни-
внимание симметрию ядра К{х,у), мы видим, что функция и(х) должна удовлетво-
удовлетворять условию:
ъ ь
Но это соотношение, очевидно, может выполняться при любой непрерывной
функции а (х) только в том случае, если
ь
Таким образом существование первой фундаментальной функции установлено;
точно так же можно показать, что та из функций h (x), ортогональных к функ-
ъ
ции <р (х) и удовлетворяющих условию \A2rfjc=l, при которой интеграл / до-
а
стигает максимума, дает новую фундаментальную функцию, и так далее.
591. Разложение повторных ядер. Возьмем в выражении A0) h(x)
равным самому ядру К(х, у), причем у будем рассматривать как пара-
параметр. Тогда /(х\—К'^(х,у), и теорема .Гильберта дает разложение
повторногд swpj K^v(x, у) по фундаментальным функциям, В этом

120 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 591
случае коэфициент hn равен ^~— , и общая формула F) переходит в сле-
Ал
дующую:
Соображения § 589 показывают только, что при постоянном значении у
ряд A6) равномерно сходится относительно х. Из соображений симмет-
симметрии м щно сказать, что при постоянном значении х этот ряд равно-
равномерно сходится относительно у, но отсюда нельзя сделать непосредст-
непосредственно вывода, что он равномерно сходится относительно совокупности
обоих переменных. Чтобы это доказать, рассмотрим ряд, полученный
при у = х:
Ч2. (X) (О* (X) ф2 (*)'
А А А
Члены этого ряда все непрерывны и положительны, следовательно, и
сумма его представляет непрерывную функцию, т. е. этот ряд сходится
равномерно *. А в таком случае неравенство
X!
n
показывает, что и ряд A6) абсолютно и равномерно сходится. С помо-
помощью Формулы A6) мы найдем одно за другим разложение последова-
последовательных повторных ядер К^(х,у), /СD) (х, у) пользуясь рекур-
* Доказательство этой теоремы, принадлежащей Дини (Dini), очевидно, рав-
равносильно доказательству следующего предложения.
Пусть будет ип (х) положительная непрерывная функция в интервале (а, Ь),
которая (трем тся к нулю при неограниченном возрастании л; если ия+1(дс)-^
^ ип (х), она стремится к нулю равнимерно
Обозначим через М„ (а, Ь) максимум функции иа(х) в (замкнутом1) интервале
(а, Ь); по предположению мы имеем: 0 < Mn+l (a, b) ^Mn(a, b); следовательно!
Мп (а, Ь) стремится при неограниченном возрастании п к пределу L (a, b) S= 0.
Достаточно доказать, что этот предел равен нулю. Д(. пустим, что L (а, Ь) > 0; если
разбить интервал (а, Ь) на два частичных интервала (:, с), (с,Ь), то по крайней
мере одно иа.чисел L(a, с), L(i,b) окажется равным L(a,b). Применяя последо-
последовательные разбиеиия, как это делалось уже несколько раз (I, § 8), мы докажем
существование на интервале (а,Ь) такого числа лг0, что предел L (хл — /i,Xo + h)
равен положительному, числу L' независимому от Л, как бы мало ни было это
число Л. Но это заключение несовместимо с условиями теоремы. В самом деле,
можно сначала найти такое целое число т, что ит(ха}<^ — , далее достаточно
малое числа й, так что в интервале (х?—Л, ха-\-h) абсолютная величина разно-
¦сти буде1 меньше -^-. Следовательно, во всем этом интервале будем иметь:
"«(*) <?'> а значит,,и/л (x)<CLr при л Ss т. Следовательно, предел L (дг0 - Л, х<> 4- h)
яе.может Дыть-ра&ён L»

§ 591 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 121
рентной формулой, связывающей два последовательных ядра. Таким
образом при т S* 2 имеем:
Все эти ряды сходятся равномерно и абсолютно, как это легко видеть,
сравнивая их с рядом A6) *.
Заменяя в ряду A8) у на х и интегрируя, мы получим выражение
для коэфициента Ат при /я ^2:
+ ОО
Целая функция л. <зо
л=1
которую можно также записать в виде'
1 ,„ п 1
отличается от функции D(\) только показательным множителем е~А<х,
а поэтому , оо
(l— y)^' 20
Функция D(\), следовательно, не больше чем первого рода, но она
может быть и нулевого рода, как мы это ниже покажем для частного
случая положительных яд:р.
Из формул разложения повторных ядер можно также получить раз-
разложение разрешающего ядра:
Г (х, у; 1) = К(х, j>) -f-MTt» (x,y) + ...+ Xя ff<»> (х, у) + ... B1)
Если в этой формуле заменить повторные ядра К'а) (х, у) (п ^ 2) их
разложениями A8), то получится таблица с двойным входом, и если
суммировать члены эгой таблицы, соединяя в одну группу члены
с ?л (•*¦) Уп (У) • т0 мы'получим формулу:
+ оо
B2)
сравнивая члены этого ряда с членами ряда A6), легко показать, что
полученный таким образом ряд абсолютно и равномерно сходится, если
только \ не есть особое значение, а этого достаточно, чтобы иметь
* Формула A8) была установлена Э. Шмидтом для от ^ а, а затем Г. Кова*
левским для т—2.

122 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 591-592
право применить принятый нами способ суммирования. Но тогда как
формула B1) применима только для таких значений X, абсолютная ве-
величина которых меньше W], формула B2) дает разложение мероморф-
ной функции Г (лг, у; I) во всей плоскости переменного \ (ср. § 585).
592. Положительные ядра. Симметрические ядра, положительные и непре-
непрерывные, были изучены Мерсером (Mercer) в его интересном мемуаре *, из кото-
которого мы приведем основные ре>ультаты.
Для того чтобы симметрическое ядро К(х, у) было положительным, не-
необходимо и достаточно, чтобы все определители Фредгольма К \Хь '" ' Х.п)
\х{, ..., хп/
были больше или равны нулю для любой системы значений лг,, хг,..., хп
в интервале (а, Ь).
Мы докажем только неравенство К(х, лг)^О, которое нам понадобится впо-
впоследствии; остальные неравенства доказываются совершенно аналогично. Пред-
Предположим, что К(*<>, *о) < 0 Для какого-нибудь значения х0 из интервала (а, Ь).
Так как для системы значений х = ха, у = Хц ядро непрерывно, то при доста-
достаточно малом положительном / ядро К(х, у) будет оставаться отрицательным при
значениях х и у, заключенных в интервале (лг0— t, x0 + /). Если в качестве
функции h (х) взять функцию, положительную в этом интервале и равную нулю
вне его, то ясно, что все элементы интеграла A4) будут либэ равны нулю либо
отрицательны, и сам интеграл будет иметь отрицательное значение, что невоз-
невозможно, ибо ядро К(х, у) по предположению положительно.
Обратное предложение почти очевидно. Если все детерминанты Фредгольма
положительны или равны нулю, то все коэфициенты при четных степенях X
в функции D (X) положительны или равны ну iio, а коэфициенты при нечетных
степенях X отрицательны или равны нулю. Поэтому уравнение D ( — Х) = 0 не
может иметь положительных корней, а следовательно, уравнение Z3 (X) = 0 не
может иметь отрицательных корней.
Приняв это во внимание, мы можем записать разложение разрешающего
ядра по формуле B2), полагая у = х\
+0О - т
л=/п-{-1 л = 1 л=1
где т — любое целое положительное число. Если X получает произвольное отри-
отрицательное значение, левая часть этого равенства положительна. В самом деле,
с одной стороны, все члены ряда отрицательны, ибо Хл > 0; с другой стороны,
ядро Г (лг, _у; X при отрицательном \ есть положительное ядро, ибо особые зна-
значения stoio ядра можно получить, вычитая X из особых значений ядра К(х, у)
(§ 560). Можно установить это и непосредственно, если заметить, что в силу
формул B2) и A4) значение двойного интеграла \\Г(дг, у, \) h (x) h (у)dxdy не
может быть отрицательным при отрицательном X. Отсюда в силу только что до-
доказанного мы имеем также: t (х, лг; Х)з=0; следовательно, правая часть формулы
B3) также положительна.
Это заключение справедливо для всякого X < 0; но когда X стремится к — оо,
член, зависящий от X, стремится к нулю. Следовательно, мы имеем также:
так как т есть любое целое число, мы можем отсюда заключить, что ряд
Л.1 \ сходящийся и что его сумма меньше или равна К(х, х).
* Philosophical Transactions, Lonion, t 209 A. 1909, p, 415,

§ 592 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ i23
При помощи рассуждения, аналогичного § 589, мы докажем далее, что ряд
S(x v) —
к
V1 y"(r)
сходится абсолютно и равномерно в интервале {а, Ь) по отношению к каждому
переменному в отдельности.
Следовательно, симметрическая сумма S (х, у) является непрерывною функ-
функцией каждого из переменных х, у, взятого отдельно; это же справедливо отно-
относительно разности R {х, у) = К(х, у) — S ix, у).
Чтобы доказать, что эта разность R (х, у) тождественно равна нулю, будем
исходить из соотношения:
ь ь ь
\ К(х, s) h (s) ds — \ S (х, s) h (s) ds + ^ R (x, s) h (s) ds,
a a a
где h (jc) есть произвольная функция с интегрируемым квадратом. Так как ряд
S(x, s) равномерно сходится относительно *, то первый интеграл правой части
равен сумме членов ряда V г-*- ip, (x); этой же сумме согласно теореме Гиль-
Гильберта равна левая часть. Отсюда
ь
[ R (x, s) h (s) ds =
при любой функции h(x), откуда, очевидно, функция R{x, у) тождественно
равна нулю.
Таким образом ядро К(х, у) равно сумме членов ряда
для доказательства его абсолютной и равномерной сходимости относительно
обоих переменных достаточно повторить рассуждение, приведенное для ряда A6).
С помощью этой формулы B4), полагая у = х и интегрируя почленно, по-
лучим: ь +оо
^ 'y^. B5)
Отсюда следует, что род функций D{1) равен нулю:
f^) С26)
Ясно, что эти последние результаты можно также применить к отрицатель-
отрицательным ядрам и вообще к ядрам, все особые значения которых одного знака, за
исключением некоторого конечного числа из них. Действительно, всякое ядро
этого вида представляет сумму двух симметрических ортогональных ядер, из
которых одно положительно или отрицательно, а другое имеет только конечное
число особых значений.

124 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 593
593. Ядра Шмидта. Э. Шмидт указал на то, что свойства симметри-
симметрических ядер легко распространяются на ядра вида А (х) S(x, у), где
функция S симметрична, а А (х) сохраняет постоянный знак в интервале
(а, Ь). Или, в более общем случае, пусть К(х, \)— А(х) В(у) S(x,y),
где S(x, у)—симметрическая функция, а произведение А(х)В(х) в
интервале (а, Ь) всегда положительно. Мы предположим, кроме того,
что эти функции А (х) и В (х) ограничены. Мы можем написать:
К(х, у) = |/^||g • 5(х,у) YA (х) А (у) В (х) В(у) =
-V
' ' ^' С (v \j\ 107Л
A(y)B(x) >< 'yh [ZI>
Пусть теперь Т(х,у; X) будет разрешающее ядро для вспомогатель-
вспомогательного симметрического ядра S{x,y). Это разрешающее ядро удовлетво-
удовлетворяет функциональному уравнению:
ь
Г2 (х,у; X) = 5, (х,у) f X \' S2 (ж, 5) Г, (s,y; I) ds. B8)
а
Таким образом, если положить
то получаем также:
ь
Г (х, у; I) = K(x, v) + I \ K(x, s) Г (s, у; I) ds, B9)
а
ибо, очевидно,
/1^|М *^; I).
Последнее соотношение B9) характеризует разрешающее ядро, соот-
соответствующее ядру К(х,у), и следовательно, разрешающее ядро для
ядра К(х, у) равно произведению
Л(х)н(у)г ,_ ^
где. Г, (х,у; I) есть разрешающее ядро для симметрического ядра
Sj (x, у) (Comptes rcndus, т. 146, стр. 307).
Существенно заметить, что все ядра, полученные из ядра S-, (х, у)
последовательными повторениями, содержат в качестве множителя рали-
кал ]/А(х) В(х) А (у) В (у), так что и Гт(х, у; \) делится на этот ра-
радикал. Функция Т(к,у; X) содержит, таким образом, множитель
А\х)В(у), и интеграл, который входит в формулу B9), имеет в самом
деле конечное значение.

§593 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 125
Полюсы резольвенты Г^х,^; I) — все действительные и простые. То
же можно сказать и о полюсах Т(х, у; \). Если каким-нибудь спосо-
способом разложить ядро S^ на два орюгональных ядра h1(x, у) и h2(x, у),
то непосредственно можно доказать, что два ядра
, , , / A(x)B(y)
тоже ортогональны. Поэтому и главные части двух разрешающих ядер
Г1(*,.у; I) и Т(х,у; I) соответствуют друг другу. Пусть будет 6i (лг)
фундаментальная функция ядра «S, (х, у), соответствующая полюсу X,-;
она, очевидно, будет вида ]/л (х) В (у) ui (x). Выражение
(л) В (х) н (у) В (у) ut (x) и, (у)
представляет каноническое ядро, соответствующее особому значению X,-,
если только
ь
\A{x)B(x)u\(x)dx=\.
а-
Этому каноническому ядру соответствует для К(х, у) каноническое
ядро
A(x)R(y)ttl'x)ul(y)
>i
так что
Ъ{х) = А(х)и1{х)
и
суть две союзные фундаментальные функции двух ядер К(х,у) и
К(у, х). Эти две функции связаны соотношением:
откуда вытекает следующее свойство. Если <р (х) есть фундаменталь-
пая функция ядра К(х,у), то ф (х) = -г—:<р (х) есть фундаменталь-
А (л)
пая функция союзного ядра, соответствующая тому же особому
значению.
Это свойство имеет место, каковы бы ни были знаки функций А (х),
В(х), и оно доказывается непосредственно. Действительно, из формулы
ь
Ч(х) = \\А(х)B{s)S(x,s)<?(s) ds
а

126 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 593
вытекает:
ь
n(x) = l^B(s)A(s)S(x,s)n(s)ds,
а
если положить <р (х) = А (х) п (jc). Точно так же, если бы заменить <|> (х)
на В (х) п (х) в формуле
ь
4- (ж) = I} A (s) В (х) S (х, s) ф (s) ds,
а
мы бы пришли к тому же уравнению.
Из этого обстоятельства легко вытекает, что если произведение
А(х)В(х) положите 1ьно, то все полюсы функции Т(х,у; \)—дейст-
\)—действительные и простые. В самом деле, положим, что a-f-'P и a — jp суть
два комплексных сопряженных полюса. Если u-\-iv есть фундаменталь-
фундаментальная функция ядра К(х, у), соответствующая первому полюсу, то
В (х}
(и— iv) будет фундаментальной функцией союзного уравнения,
А (X)
соответствующей второму полюсу, и уравнение ортогональности не мо-
может быть выполнено, если А и В одного знака. Ни один полюс ие мо-
может быть кратным, ибо по тем же соображениям две союзные фунда-
фундаментальные функции <р (х) и ф = —Т{\— не могут быть ортогональны
(§ 578). Таким же образом каждому свойству симметрических ядер
соответствует свойство ядер А(х) B(y)S(x,y), где А (х)В(х)^зО.
Можно, например, как в § 587, доказать, что если ядро А (х))В (у) S(х,у)
имеет только конечное число особых значений, то это ядро равно про-
произведению А(х)В{у) на ядро S(x, у) вида C), которое само имеет
конечное число особых значений.
Рассмотрим, в частности, ядро вида 5 (х, у) В (у), где В — ограни-
ограниченная положительная функция. Фундаментальные функции этого ядра
и союзного ядра составляют систему бнортогональных функций ((р(., ф,.),
которые мы можем считать приведенными к нормальному виду (§ 530).
Согласно доказанному выше, соответствующие функции <р, и ф( связаны
соотношением ф,. (л) = В (х) <р, (х), и условия ортогональности принимают
вид:
ь ь
\В(х) <р»(х) dx = 1, JВ(х) <р,(л) <рл(х) dx = 0 Aфк). C0)
а а
Если задана последовательность функций tpj, ... , (ря, ... , удовле-
воряющих этим условиям, мы будем для краткости говорить, что они
составляют ортогональную систему относительно В(х)*. Если функция
f(x) разлагается в равномерно сходящийся ряд по функциям
* В русской математической литературе чаще говорят, что эти функции
)бразуют ортогональную систему с весом В (х). Ред.

§ 593 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 127
в интервале (а, Ь), то коэфициент ft при <р;. (х) в этом ряду получается
подобно тому, как для ряда Фурье, и согласно соотношениям C0)
имеем:
ъ
ft = \B{x)f(x)b{x)dx; C1)
а
какова бы ни была функция f(x), мы будем говорить, что коэфициенты
/•, определенные для этой функции, суть коэфициенты Фурье функции
f(x) относительно системы функций tp,. (*). Неравенство
ь
J В (х) [/(*) —/1<Pl (х) - ... -/„ ф„ (*)]» dx S= О,
а
которое совершенно очевидно дает возможность распространить на эти
коэфициенты неравенство Бесселя *:
1=1
Ряд 2Х fi (x)> составленный для произвольной функции f(x), не
изображает необходимо эту функцию. Это имеет место для функций
вида:
ь
f(x) = \s(x,s)B{s)h(s)ds, C2)
где h (s) — функция с интегрируемым квадратом. Действительно, это
равенство может быть записано в виде:
ь
jfFixjf (х) = j 5 (х, s) ]/B(x)B(s) { /ЩГ) h (s)} ds,
a
и, следовательно, произведение f(x) ]fB (x) (§ 589) может быть разло-
разложено в равномерно сходящийся ряд по фундаментальным функциям ядра
5 (х, у) ]/ В(х)В(у). Эти фундаментальные функции, как мы только
что видели, получаются, если умножить фундаментальные функции ядра
S (х, у) В (у) на ]/В{х). Таким образом функция f(x) может быть раз-
разложена в равномерно сходящийся ряд, расположенный по фундаменталь-
ным функциям <ft (jc) ядра S(x,y) В (у).
Для функции вида
ь
= \B(x)S(x,s)g(s)ds C3)
* Можно, кроме того, заметить, что функция Ф/(лг) = ^(дг) у/В(х) состав-
составляют ортогональную систему, если функции fi (x) удовлетворяют соотношениям
C0), и что коэфициенты Фурье для функции f(x) относительно системы функций
fjU) совпадают с коэфициеитами Фурье для функции f(x)\/fB(x) относительно
системы функций ФДдт)

128 ГЛАВА XXXIL ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 593-594
Мы также будем иметь:
х) J У В (s)
a
и следовательно, функцию f{x) можно также разложить в равномерно
сходящийся ряд вида:
594. Распространение неравенства Бесселя на биортогональные си-
системы. Пусть будут tp,,^, ... , <рп, ...иф3,фг, ..., ф„, ...— две после-
последовательности действительных функций, составляющих биортогональную
и нормальную систему (§ 573), т. е. систему, удовлетворяющую усло-
условиям:
ь ь
C4)
Если функция /(х) разлагается в равномерно сходящийся ряд по
функциям tp, (х), то коэфициенты ft при <р(- (д:) в ряде можно получить,
если умножить обе части равенства
f{x) =АЬ (х) + ... + Аъ (*) + -.. C5)
на фД*) и интегрировать его почленно в пределах от а до Ь. Мы при-
придем, таким образом, к выражению:
ь
ft=\f{x)^t(x)dx; C6)
какова бы ни была функция f(x), мы будем говорить, что ряд J]/, ^ (х),
где коэфициенты f, имеют значения (Зь), представляет ряд Фурье функ-
функции f(x) О!носительно системы функций tp(..
Заметим, что всякая биортогональная система может быть приведена
к нормальному виду бесчисленным множеством способов, ибо соотно-
соотношения C4) не меняются, если заменить <р, (л;) на Ci^i (л), а ф, (*)—-на
— у? (л:), каково бы ни было постоянное Сг Положим, например, что
существует симметрическое положительное ядро S (х, у) такое, что
при любом i имеет место равенство:

§ 594 фундаментальные функции 129
где Cj — постоянное, отличное от нуля. Соотношения C4) переходят
в следующие:
ь ь
\ \ S (х,у) f, (х) Ь (у) dx dy = С„
аа
ЬЬ
\ J S(х,у) Ъ (х) ъ (у) dxdy = 0 (iф ft).
аа
Так как ядро S(x,y) положительно, то постоянные С( необходимо так-
также положительны, и, заменяя ^{(х) на ^ (л:) J/Ц-, мы вместо соотноше-
соотношений C4) получим следующие:
ьь
J \ S(x, у) if, (х) ч, (У) dxdy=\,
аа
ЬЬ
j ][ 5 (х, ) % (х) Ъ (у) dxdy=0 (i ф k),
C4')
причем в эти соотношения функции <Ь, явно совсем не входят. Точна
так же формулы C6) переходят в такие:
ь ьь
ft = $/(*) Ь (*) dx ={\S (х, у] /(г) ?J (у) dx dy. C6')
а а а
Мы будем говорить, что система функций <р,. (л:), удовлетворяющих
соотношениям C4'), есть ортогональная нормальная система относи-
относительно ядра S(xty). Из всякой биортогональной системы, удовлетво-
удовлетворяющей соотношениям C4), м >жно получить, и при i ом бесчисленным
множеством способов, сиаему, ортогональную относительно симметри-
симметрического положительного ядра. Можно, например, поступить следующим
образом. Выберем последовательность положительных чисел ця таких,
чтобы ряд
+ ОО
<Ш^ C7)
л=1
был абсолютно и равномерно сходящимся — это можно сделать бесчис-
бесчисленным количеством способов. Ясно, что
ь
\s(x,y)?n(y)dy
а
Ф-(*")
равен ¦ , а следовательно, соотнош.ния ортогональности можно
привести к виду C4'), если заменить ср, (х) на V V-iVii*)- Ядро S(x,у)
положительно, ибо нетрудно видеть, что интеграл A4) § 590 поло-
положителен для K(x,y)=S(x,y) при любой функции h(\).
9 8. гур«, т ш, «. а

130 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ §594-595
Если f(x) есть функция с интегрируемым квадратом, а ядро S(x,y)
положительно, то имеем (§ 590):
ь ь
\ J S (x, у) [/(х) - ?/, ь (x)] \f(y) - ?/, Ъ (У)] dx dy > 0,
aa i = l i=i
причем коэфициенты ft даны формулой C6). Раскрывая это неравенство
и принимая во внимание соотношения C4), мы получим эквивалентное
ему неравенство:
ь ь
/= 1
^ J15 <*• ^ /(*)/(>) rf-r ^> C8)
а
вполне аналогичное неравенству Бесселя.
Если f(x) есть функция с интегрируемым квадратом, то правая
часть имеет конечную величину, и следовательно, ряд из квадратов
коэфициентов ft сходится.
595. Ядра вида А (х) S (х,у). Столь простые свойства ядер вида
А(х) S(x,y) при А (х) положительном не распространяются на ядра
того же вида, если А (х) меняет знак в интервале (а, Ь). Например, ядро
cos х sin x sin у, причем а = 0, Ь = ъ, ортогонально самому себе. Однако
в случае, когда S(x,у) — положительное* ядро, многие наиболее важ-
важные свойства симметрических ядер, кроме только одного особого слу-
случая, могут быть распространены на ядра этого вид-?, каков бы ни был
знак коэфициента А (х) в интервале {а, Ь).
Согласно приведенному выше (§ 593) замечанию, если <р (х) есть
решение однородного уравнения
то функция ф (х) = -. представляет решение союзного уравнения
А ух)
ь
а
Ь
постоян-
Эта функция ф (х) равна также \ \ S(x, s) <p(s) ds, и, отбрасывая
а
ный множитель X, можно формулировать следующий результат:
* Функция А (х) предполагается ограниченной, но может иметь конечное
число точек разрыва между а и Ь. Интегральные уравнения этого вида сначала
были изучены Гильбертом (Gcttingen Nachrichten 1906, стр. 462), который назы-
называет их полярными уравнениями или уравнениями третьего рода. Приведен-
Приведенные в тексте доказательств указаны Марти (Marty, Comptes rendus, 28 фев-
февраля и 25 апреля 1910). Ср. также Фубини (Fubini, Annali di Matematica, 3-я
серия, т. 17).

§ 595 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 131
Если у(х) есть фундаментальная функция ядра К (х,у) = А (x)S
{х,у) для особого значения \,.то функция
(х, s) у (s) ds C9)
представляет фундаментальную функцию союзного ядра для того
же особого значения.
Из этого результата нетрудно вывести следующие свойства:
1. Все особые значения действительны. В самом деле, если бы су-
существовали два сопряженных комплексных особых значения, то для
двух ядер К(х,у) и К (у,*) мы имели бы две фундаментальные
функции:
tp {х) = и (х) f to (x)
ф (х) = j 5 (*, у) [и (у) - to {у)] dy>
а
которые должны быть ортогональны, для чего необходимо, чтобы было
ь ь
J j S (х, у) [и (*) + iv'(x)] [и (у) — to (у)] dx dy = 0,
аа
а следовательно, приравнивая нулю действительную часть:
ь ь
Так как ядро S(x,y) положительно, то два интеграла в левой ча-
части или положительны, или равны нулю. Для того чтобы каждый из
этих интегралов был равен нулю, необходимо согласно формуле A4)
§ 590, чтобы и(х) и v(x) были ортогональны ко всем фундаменталь^
ным функциям ядра, а следовательно, и к самому ядру S(x,y), т. е.:
в этом случае мы имели бы:
что противоречит условию.
2. Все полюсы резольвенты простые. Если <р (х) — фундаментальная
функция для полюса С, то функция ф (х), определенная формулой C9),
представляет фундаментальную функцию для союзного ядра, а мы только
что видели, что функции <р (х) и ф (х) не могут быть ортогональны;
из этого уже вытекает, что полюс с—простой (§ 578).
9*

132 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ §595-596
Можно еще рассуждать, как в случае симметрических ядер (§ 587).
Пусть <р (х) — фундаментальная функция, соответствующая особому зна-
значению с и притом такая, что
ь ь
aa
Исходя из приведенных выше свойств, нетрудно показать, что два
ядра
ь ь
-1 ? (дг) [S{y, s)<p {s)ds, Кл=К(х,у)-±<г (х) j 5СУ, *)<р(*) Л
в а
ортогональны. Это новое ядро Кл(х,у) также имеет вид A (x)Sj (x,y).
Если оно еще имеет с своим особым значением, то к нему можно
снова грименить то же разложение, и так далее до тех пор, пока мы
не придем к ядру, не имеющему больше с особым значением. Из того
же рассуждения вытекает, чго для ядра К(х,у) можно выбрать систему
фундаментальных функций, удовлетворяющих условиям (i4'), т. е.
образующих ортогональную систему относительно ядра S(x,у). Если
существует только конечное число особых значений, то ядро имеет вид:
где ядро К^{х,у) не имеет особых значений и опять равно произведе-
произведению А (х) на симметрическое ядро.
На примере ядра cos л: (sin л: sin_y) видно, что полярное ядро не всегда
имеет особые значения. Результат § 587 в этом случае заменяется сле-
следующим:
3. Если первое повторное ядро К^2){х,у) не равно тождественно
нулю, то полярное ядро А (х) S (х, у) имеет по крайней мере одно
особое значение. Доказательство вполне аналогично тому, которое было
дано для симметрических ядер (§ 587). За развернутым доказательством
этого предложения, а также за распространением теоремы Гильберта
отсылаем читателя к заметкам Марти. В частном случае, когда S(x,y)
не только положительное, но определенное, а следовательно, замкну-
замкнутое, ядро К^2){х,у) не может быть тождественно равно нулю.
596. Симметризуемые ядра. Ядра Гильберта представляют частный случай
симметризуемых ядер Марти (Comptes rerdus, 6 июня 1J10). Пусть К(х,у)
и G(x,y)—два произвольных ядра. Мы говорим, что ядра
Ь Ь
Я, (х, y)=\G(x.s)K (s, у) ds, Яа (х, у) = ^ К {х, s) G (s, у) ds,
а а
вообще говоря, различные, получаются композицией ядра К(х, у) с ядром G(x,y),
слева для Ht, справа для Н,. Если можно в качестве функции G(i,.y) взять сим-
симметрическое ядро и притом такое, чтобы Hi и Нг сами были симметричны, то

§ ?95 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 133
ядро /("(г, у) называется симметризуемым справа или слева. Ясно, что ядро
А {х) S (г. у) симметризуемо слева при помощи композиции с ядром S(x,y).
Всякое ядр^ /("(*, у), резольвента которого имеет только действительные
и простые полюсы, симчетризуемо с двух сторон.
В гамом деле, мы видели, что сою ные фундаментальные функции (^ф) со-
составляют биортогона.:ьную систему, которую можно предположить нормальной.
Если выбрать постоянные ця так, чтобы р»д
был абсолютно и равномерно сходящимся, — это можно сделать бесчисленным
количеством способов, —то ядро К(х,у) при помощи композиции слева с ядром
S(x, у) дает симметрическое ядро. В самом деле, имеем:
+ oo
y\h(x)h(y)
1=1
где \ — особое значение, соответствующее функции <рл Очевидно, что таким же
путем можно было бы ос'авить бесчисленное Mm^ecTBj симметрических ядер,
композиция которых с ядром К(х, у) в обратном порядке дала бы новое симме-
симметрическое ядро.
Если взять постоянные ц, положительными, то ядро S (х, у) будет также по-
положительным, а согласно самому споспбу его составления оно не ортогонально
Ни к одной из фундаментальных функций ?, ядра /С(дг, у).
Обратное предложете в таком общем виде не имеет места даже если пред-
предположить ядро 5 (х, у) положительным. Если, например, составить композицию
симметрического ядра <p(i)?(.y) с ядром AT (г, у} + f Ы f (у)' гДе ЯДР° К{х, у)
удовлетворяет условию
то получится симметрическое ядро С у (х) <f (у), но ядро К{х,у) может, однако^
иметь какие угодно особые значения.
Полож :м, что ялро К(х, у) при композиции слева с симметрическим ядром
S(x, д) дает новое симметрическое ядро
ft
на ядро K{v, v). можно распространить свойство» доказанное для полярного, ядра:
если f (л) есть решение оФниродного уравнения
ь
i(x) = \\K(x.s)<f(s)ds, D0)
а
то
ь
s(*,Of t)dt
в
решение (шня& однородного уравнения.

134 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 595-597
В самом деле, из соотношения D0) получаем:
= \ \ S, (x, s) ? (s) ds,
что в силу симметрии S4 можно записать также в виде
»
ф (х) =1 \\ S (s, t) K(t, x) ? (s) dsdt = \[K(t, д) ф [t)dt,
откуда и вытекает доказываемое предложение.
Приняв это во внимание, положим, что а -}- р/ (Р^О) есть особое значение,
u-\-iv — соответствующая фундаментальная функция, тогда
»
ф(д) =\S(x.t, {u(t)-iv(t)}dt
будет фундаментальная функция союзного уравнения, соответствующая особому
значению а — г|, и условие ортогональности дает:
fof) {u(x)+ iv(x)}{u(t) - iv(t)}d*dt = Q,
, t)u (x) и (t) dxdt + [\s (x, t) v (x) v (t) dxdt = 0.
Для топ* чтобы можно было утверждать без каких-нибудь дополнительных
условий, налагаемых на К{х, у), что такое соотношение невозможно^ необходимо,
предположить, что ядро S (х, у) определенное, — в этсм случае недостаточно,
чтобы это ядро было положительным, как в §595. И действительно, может слу-
случиться, что функции и и v, а следовательно и и ¦+- iv, ортогональный ядру
S (х, у) — этот случай может представиться, например, для фундаментальной функ-
функции., ядра К(х, у). Мы приходим, следовательно, к такому результату:
Если ядро К{х,у) симметризуемо при помощи копмозиции с симметри-
цески^л определенным ядром, то все полюсы резольвенты. — действительные"-
и простые.
Это последнее свойство вытекает из того, что две фундаментальные функ-
функции <р (д:) и <К<0= \ S (r, s)f (s)ds, соответствующие одному особому значению,
не могут быть opTi тональны.
Всякое ядро К(х, у), симметризуемое г)ри помощи композиции с симметри-
симметрическим определенным ядром, имеет по крайней мере одно особое значение.
За' ДОказатель'ством отсылаем к заметке Марти (упражнение 4).
597. Кососимметрические ядра. Если п-е повторное ядро. Км (х, у\ ядра
Щх, у) есть симметрическое ядро, то можнр утверждать, что К(х,у) имеет по
крайней мере одно особое значение и что п-е степени всех особых значений —
числа действительные. Рассмотрим, в частности, кососимметрическое ядро (Ла-
леско), т. е такое, для которого
Первое повторное ядро, очевидно, симметрично, а, следовательно, все полюсы
разрешающего ядра для К(х, у) — простые действительные или вида pi, где ц
есть действительное число.. Не существует действительны* полюсов. В самом

§ 597 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 135
деле, если бы у (х) была фундаментальная функция для действительного по-
полюса с, то из соотношений
ft ft
Т (t) = с \ К{х, s)f(s)ds = - c[K(s, x)у (i)ds
в а
следовало бы, что есть с — также полюс резольвенты, а у (*) — фундаментальная
функция союзного уравнения, соответствующая этому полюсу. Так как эти две
функции должны быть ортогональны, то мы имели бы у(х) = 0, следовательно,
не может существовать действительного полюса, и все полюсы имеют вид |i!.
Пусть цг — полюс, а и (х). -f- to (x) — соответствующая фундаментальная функ-
функция; u(\)-{-iv(x) есть также фундаментальная функция союзного ядра, соответ-
соответствующая полюсу —1«, и условие ортогональности дает:
ft ft ft
г г
= \ v2 dx, \uvdx=: 0.
a a a
Функция и — to есть фундаментальная функция ядра К (х, у) для полюса — pi
и ядра К (у, х) для полюса \и.
ъ
Если и и v выбраны так, что \vfidx=\, то нетрудно видеть, что ядро
а
* (х. У) = —
и ядро К(<, у)—k (х, у) = Ki (v,y) ортогональны. Но k(x,у) есть кососимме-
кососимметрическое ядро, которое имеет два-простых полюса ц; и —ц<; следовательно,
Ki (x, у) есть, также кососимметрическое ядро. Если yl является опять особым
значением для этого ядра, то после конечного числа преобразований этого рода
можно будет записать:
где Ki (х, у) — новое кососимметрическое ядро, для которого ц( и — ц? не являются
больше особыми значениями. Если К(х,у) имеет только конечное число особых
значений, то оно имеет вид:
В случае, если число особых значений бесконечно велико и если ряд, общий
член которого равен сумме двух #главных сопрлженных ядер, равномерно схо-
сходится, то сумма членов этого ряда равна ядру К(х, у). Так как первое повтор-
повторное ядро К^(х, у) отрицательно, то к нему можно применить результат Мер-
сера; если оно еще и непрерывно, то это ядро равно сумме равномерно сходя-
сходящегося ряда:
+ 0О
Распространение теоремы Гильберта на кососимметрические ядра читатель
дет в сочинении Лалеско.

138 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 8 598
598. Фундаментальные функции Шмидта. Шмидт относит каждому
несимметрическому ядру К(х, у) две системы ортогональных функций,
которые, вообще говоря, никак не связаны с фундаментальными функ-
функциями того же ядра, которые мы рассматривали до сих пор. По Шмидту,
две функции <р (х), ф (х) составляют пару союзных фундаментальных функ-
функций, если они удовлетворяют двум условиям:
ь ь
ds; D1)
где значение постоянного X, отличное от нуля, есть особое значение
ядра К(х, у).
Рсегда существуют пары фундаментальных функций. В самом деле,
исключение ф(х), из двух уравнений D1) приводит к однородному инте-
интегральному уравнению с симметрическим ядром:
ь
f (х) = X» j К(х, s) ? E) ds, D2)
j
а
где
Исключение функции <р (х) точно так же приводит к другому интеграль-
интегральному уравнению того же вида с симметрическим ядром;
ь
$(x)=*\*[K(x,s)$Wds, D3)
где •
К(х, sK=\K{t,x)K(t, s)dt.
Два ядра Д (х,у) и К{х,у) положительны, если считать
Имеем, например:
ь ь ь ьь
\[K(x,y)h (x)h(y) dxdy = J J J K(x, t)K(y, t) h (x)h(y) dxdydt =
a a a
b Г*
= J dt J K(x, t) h (x) dx2 bs 0.
« I» J
Из самого способа, каким получены уравнения D2) и D3) из си»
стемы D1), вытекает, что если эта система Д1Я значения параме pa \t
имеет решения у,(х), ф,(х), то Х^ есть осо5ое значение для каждого
из ядер К (х, у), К(х- У), а <р, и ф. — соответствующие фундаменталь-
дые функции для этил двух ядер. Обратно, пусть с Оудет особое

§ 598 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 137
значение для одного из этих ядер, например для К7(х у): это число
с всегда положительно. Пусгь <р (х) — соответствующая фундаментальная
функция. Если положить
»
то мы легко вернемся снова от двух уравнений
» ь
у(х) = с^К(х, 1) i (I) dt, ф (x) = V7 [K(t, x) f (i) dt
a a
к уравнениям D1), причем X = J/ с. Мы приходим, таким образом, к тому,
что задача отыскания всех систем решений уравнений D1) равносильна
задаче отыскания всех особых значений и фундаментальных функций
одного из симметрических ядер К(х, у) или ^(х< У). Так как все эти
особые значения одинаковы для обоих ядер и положительны, то мы их
обозначим через XJ, Х|,..., считая Х,>0. Это сделать возможно, так
как система D1) не изменяется от заме ш X на —X, если при этом за-
заменить <р на —<р. Положим теперь, что срт, ср2, ... , <р,-, ... есть орто-
ортогональная и нормальная система, образованная фундаментальными функ-
функциями ядра Л'(ч>)- Вторая из формул D1), если в ней положить Х = Х,,
ставит функции у/(х) в соответствие фундаментальную функцию $,¦(*)
ядра К(х,у), соответствующую тому же особому значению IJ. Эти функ-
функции tyj (x) также составляют ортогональную и нормальную систему.
В самом деле, из соотношений
» ь
<J>, (*) -\\K(t,x) <f>, (t) dt, ф,(х) = ХА)>(st x) <рЛ (s) ds
а а
вытекает, что
ь
J Ф, (х) ф, (*) dx = \\k^K(t,x)K (s, х) ъ (t) Чк (s) dx ds dt«
f f
1, \ f f KjtJ) Ъ it) Ъ (*)dt * = -M Ъ (О Ъ @ dt'
интеграл этот, следовательно, равен нулю или единице, в зависимости
от того, будет ли i=fck или i—k. Обозначим через ft и/Фкоэфи-
циенты двух рядов Фурье, полученных для функции f(x) по этим двум
ортогональным системам:

138 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 598
Теорема Гильберта также была распространена Шмидтом на функ-
функции вида
ь
f(x)=^K(x,s)h(s)ds, D4)
а
где h (х) — функция с интегрируемым квадратом; К(х, у)— несимметри-
несимметрическое ядро, либо непрерывное, либо имеющее только те разрывы, ко-
которые были указаны выше. В таком случае функция f(x) непрерывна.
Всякая функция этого вида разлагается в равномерно сходящийся ряд
функций <р; (х).
Доказательство этого предложения состоит из двух частей. Коэфи-
циент ft имеет вид:
ь ь ь
h i
с другой стороны, -' является коэфициентом ряда Фурье, получен-
полученного для К(х, у), если рассматривать х как постоянное, ибо
\К(х, у) ф, (у) dy = — <р. (х).
J *'
а
Так как оба ряда V (Л'1»J, V ЪАЛ сходятся, то (§ 589) ряд
1 = 1 '
сходится абсолютно и равномерно. Разность
R{x)=f{x)—S{x)
ортогональна ко всем функциям tp(. (x), sl следовательно, и к 5(х). Чтобы
доказать, что R(x) ортогональна к f(x), рассмотрим соотношение:
ь ь ь
^К(х, t)F(x)dx = ^K(x, t).S{x)dx + ^K.(x, t)R(x)dxt
а а а
которое, если заменить f(x) его значением D4), можно записать в виде:
ь ь ь
^s)h(s)ds^^K(x,t)S(x)dx
а а а
Ь
Функция \ K(t, s) h(s)ds может быть представлена в виде равно-
а
мерно сходящегося ряда функций §t(t), причем коэфициент при ф,(/)

§ 598 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 139
А*1)
равен yj. С другой стороны, произведение К(х, t) S(х) можно интегри-
ровать почленно, откуда получаем:
+0°
Г +0° О)
Таким образом
/=1
ь
\К{х, t)R(x)dx=O,
а
а следовательно,
ь ъь
\f(x) R (x)dx = [\К( г, s) R(х) А E) dxds = 0;
отсюда получаем, как и в § 589, что остаток R(x) равен нулю, и функ-
функция f(x) равна сумме S(x) ряда D5). Из этой формулы, предполагая,
что h(x) и g(x) — функции с интегрируемым квадратом, получаем:
A
K(x,y)g(x)h (у) dx dv = Jj *y~ ' D6)
a a /=1
Точно так же можно показать, что всякая функция вида
ь
разлагается в равномерно сходящийся ряд по функциям ф( (х):
+ ОО
? Ф,М. D7),
Применим, в частности, формулу D5) к симметрическому рдру
достаточно положить h(s) =K(y,s), где у рассматривается как постоян-
постоянное и мы найдем разложение:
D8)
которое представляет, равномерно сходящийся ряд относительно каждого
из двух переменных. Можно также воспользоваться рассуждениями § 591

140- ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ §?93-599
из которых вытекает, что этот ряч равномерно сходится относительно
обоих переменных, ибт ядро К[Х,у) непрерывно. Таким же путем най-
найдем разложение для К(х. \):
"'""Г". D9)
i=i '
Примечание. Несимметрическое ядро /С(г> у) вполнг определено, если
известны числа X,- и два ряда ортогональных функций <р, (х) и ф/(лг). В самом
деле, если ы существовало два ядра К и Л этого вида, то для всякой функции
h(x) с инте!рируемым квадратом мы имели бы:
Г Г
J K(x,s)h{s)ds— J
Ь + оо
Г
т. е.
^ [K(x, s) — H (x, s)] h (s) ds =
для любой функции h (•), откуда следует, что К=Н, Ядро К(х, у) изобра-
изображается, следовательно, рядом
Ъ^Ш. E0)
/= 1
если этот ряд равном рно сходится.
Мы видим, что .рве системы ортогональных функций у,- и ф(, совершенно
не зависят одна от другой; одна из них может быть полной, а другая i еп.>лной.
Оли могут иметь н^которог количество общих функций, соотвьтствующих -груг
л
другу или нет. Если ядро К(х, у) имеет вид: У^-Х/ У{> то оба ядра Л (-х, )) н
;=1
/C(v, v) имеют тот же вил; существует лишь конечное число особых значений,
И три ряда A8), DГ) и E() с стоят из сумм к<>нечю'о числа членов.
599. Те рема Фиш pa-Риса. Пусть зад на огтоюняль ая и нормалы ая си.
стема S, состоящая из бесконечного мной есть* фуикц; и ft{\), кажгой из кото-
которых поставлено в соотв1ТСтвие число /,-. Для того чтобы Э1и числа ft являлись
коэфицие.1тами р^да Фурье некоторой функции /(а) с интегрируемым квадратом,
<х>
необходимо согласно неравенству Бесселя, чтобы ряд JV^ /] был сходящимся.
сад
Обратно, еслч ряд \\ /f сход-.тся^ то существует функция /(i) с инт
граоуемым квадратом, д я которой коэфициентами Фурье относительно
системы S будут час a ft.
Мы укажем to.tsko hi равную идею локчзательствя этой важной теоремы,
установленной одновременна Э. Фише]ом и Ф. Рисом*.
* Е. Fischer, Vomptes rendvs, т. 144, 1907, стр. 1022 F. Ries?, QotU ge
Nachrichten. 1907; Comptcs rendus, T, 144, J307, стр, §15,

§ 599 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 141
Доказательство это основано на вспомогательном предложении, имеющей,
однако, и самостоятельное значение, относительно сходимости в среднем.
Гсворят, что последовательность функций
сходится в среднем к предельной функции /(л) в интервале (в, Ъ), если
Ь
Ясно, что условие E2) выполнено, если fn(x) равномерно сходится к /(«¦),
но оно монет иметь место таьжг и тпгла, когда /„(<) не и еет предала в обыч-
обычном смысле этого слова. Для сходимоои последовательности в среднем суще-
существует критерий, аналогичный кгигерию Коши (г. I, § ?) для обычной сходи-
сходимости. Д,я того чпибы ряО E1) сводился а среднем, необходимо и доста-
достаточно, чтобы било:
ь
/»+p-/nl'^ = 0 E3)
при неограниченном возрастании чисел п и п -f- p.
1. Условие необходимо. Это получается непосредственно из неравенства-.
С [-4 - Efdxzs, 2 f A*dx + 2 [ B*dx.
2. Условие достаточно. Этот существенный пункт мы примем без доказа-
доказательства *. Заметим только, что пргдельн я функции /(¦) не нп. лие с п,:едел>>ется
условием E2) Если какая-нибудь функция /(д) удовле1воряет этому условию,
то тому же условию удовлетв^иет всякая другая функция, получеаная прибав-
ь
лением к ней другой функции и (к) такой, что \ «2 (х) dx = 0. Обратно, если две
а
Ь
функции/(дг) и ч(х) удовлетворяют условию E2), то интеграл \ [/(дг) —
а
очевидно, равен нулю, ибо он меньше всякого данного положительного числа.
Таким образом, чт.бы получить все функции, удовлетворяющие условию
E2), достаточно к одной из ниа прибавить функцию, раьную нулю bj всех Тич-
ках (я, 4), кроме точек множества меры нуль.
Приняв это положение, рассмотрим оргогонгл ную и нормальную систему S
функций <р;(д) и отнесем каждой из этих функций число п{ такое, чтобы ряд
CV'
У h\ был сходящимся. Положим
* *()+
* Литература на эту тему: Н. Weyl, M<ihe-natische Annrten, т. 67, 1909,
стр. 225. М. Plancherel, Ro diconti di Pale'то, 1910, стр.292; Riesz, Comp-
Us Re/idus, т. 150, 1910, стр. 13и4; Lalesko, стр.91 94. Доказательство тре-
требует введения понятия меры множества и интеграла Лебега, котирые до ыого
места не являлись необходимыми в нашем курсе.

п
- 2 ^Г Л,/. Н
/= i
п ~Л
п
- V
,-1
п
142 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 599—60D
Последовательность функций Ф„(«) сходится в среднем. В самом деле, из усло-
условий ортогональности следует:
ь
\ [Фл+Р - Ф«]2 Чх = Л2л+1 + h2n+2 + ...+hl + Pt
а
это выражение стремится к нулю при неограниченном возрастании чисел л и
п-\-р. Пусть /(к) будет предел этой последовательности функций Ф„(л), а /(—
коэфициент
ь
Имеем:
$[/(О-Фл(г)]^ = {я
п ~\ n
i= 1 J ,= I
Правая часть прегставляет сумму положительных величин. Так кяк левая
часть при неограниченном возрастании п стремится к нулю, то необходимо,
чтобы при любых значениях индекса / и при любом положительном числе е
имело место неравенство: (#;—/;J < г, следовательно, /г;=/,-. Таким образом
коэфициентами ряда Фурье, полученного для функции /(л), являются данные
числа Л;. Всякая гругая функция, имеющая те же коэфициенты Фурье, получится
прибавлением к f (х) любой функции, ортогональной ко всем функциям системы S.
В частности, если эта система полная, то всякая функция, имрющая те же коэ-
коэфициенты Фурье, что и f{x), может отличаться от f(x) только в точках множе-
множества меры нуль.
Условие замкнутости ортогональной системы (§ 588) легко получается из
теоремы о сходимости в среднем. Предполагая систему 5 полной, допустим, что
/(х) — функция с интегрируемым квадратом, ft — соответствующие коэфициенты
Фурье. Последовательность функций
сходится в среднем к некоторой предельной функции Ф (х), которая отличается
от f(x) только в точках множества меры нуль, ибо функции / и Ф имеют оди-
одинаковые коэфициенты Фурье, и система S — полная. Следовательно, интеграл
ь
\1/(к)— Фп] dx при неограниченном возрастании л стремится к нулю. А так
а
Ь
как он равен \j^dx — ?/}> то, увеличивая л неограниченно, мы придзм к урав-
а
нению замкнутости (9). Отсюда же можно сделать следующее заключение. Если
задана полная ортогональная система, то функция f(x) не обязательно представ-
представляется рядом Фурье, но сумма Sn первых л членов сходится в среднем к функ»
ции f(x), когда п неограниченно возрастает.
600. Интегральное уравнение первого рода. Фундаментальные функции
Шмидта входят в решение уравнения первого рода:
ь
\K(x,s)h(s)ds=f(x), E5)

§ 600 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 143
где /(х) —данная функция, а Л(дг) — искомая. Пусть (<р,-, fo) будет пара каких-
нибудь фундаментальных функций Шмидта, соответствующих особому значе-
значению 1[. Если коэфициенты/j( ht имеют то же значение, что и в § 598, то Л()'=з
=/V Для того чтобы уравнение E5) имело решение h(x) с интегрируемым
квадратом, необходимо, чтобы ряд V X? f* был сходящимся.
Пикар доказал, что это условие является тачже достаточным, если
функции уi (х) составляют полную систему. В самом деле, согласно теореме
Фишера-Риса в этом случае существует функция h(x) для которой коэфициенты
Фурье относительно системы функций ^ (х) как раз равны Х,-/^ Две функции
ь
/(v) и \К(х,s) h(s)ds имеют, следовательно, одинаковые коэфициенты Фурье
а
относительно ортогональной системы функций <р; (х). Если эта система замкнута,
то они тождественны или, во всяком случае, могут отличаться только в точках
множества меры нуль. Если функция f(x), как и функции ^ (х), непрерывна, то
разность между этими функциями равна нулю во всем интервале (в, Ь).
Если система функций i/i(x) не полная, то можно к функции h(x) приба-
прибавить любую функцию, ортогональную ко всем fy. Но согласно формуле D5) это
не изменит значения интегра а
^(х, s)h(s)cfs.
Если последовательность функций <^ (х) не замкнута, то можно опять опре-
определить функцию h (x), для которой коэфициенты Фурье Л*'* имеют значения /(Х;, но
из доказательства только вытекает, что
»
J 1С (х, s)h(s ds=f (x)+ R {х), E6)
а
где R (х) — функция, ортогональная ко всем функциям у* (а). Заметим, при этом,
что, если к функции f(x) прибавить какую-нибудь функцию, ортогональную
ко всем функциям ft (*), то коэфициенты /,-, а следовательно, и Л*)' не меняются,
т. е. интеграл
ь
\ К (х, s) h (s) ds
а
сохраняет одно и то же значение.
Отсюда следует, что среди всех уравнений вида E6), где R(x) — какая-нибудь
функция, ортогональная ко всем функциям <р4 (л), существует одно и только
одно, которое имеет решение относительно h (x).
Примечание I. Все эти выво/ы справедливы также для симметрических
ядер. В этом случае две ортогональные системы (?;, fo) совпадают и являются
полными, если ядро замкнуто.
Примечание П. Положим, 470 система ф> нкций ^ (х) — полная. Если ряд
JX? f] расходится, то уравнение E5) неразрешимо, но всегда можно нчйти такую
функцию Л (х), что
ь
\ К (х, s) h (s) ds
а
отличается в среднем от f(x) как угодно мало.

144 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 600—601
В самом деле, положим
Ня(х)=2*11/11ц{хЪ
i=i
функция ь
fn(x) = ^K(x,s)hn{s)ds
а
совпадает с суммой я первых членов ряда Фурье для функции f(x) относительна
системы ft(i). Можно, следовательно, выбрать я настолько большим, чтобы ин-
интеграл
J I/W-/»(*)]» Л
был меньше положительного числа t.
III. И ак, интегральное у авнение первого ро/а с постоянными пределами не
всегда имеет решение при произвольной функции f(x) в правой части. Этим
объясняется тог факт, что нельзя решить зад.чу Дирихле с помощью потенциала
простого слоя, ибо топ>а плотность определяется уравнением первого рода.
Впрочем, свойства потенциала простого слоя также объясняют этот результат.
dV
В самом деле, известно (§ 538), что производная по нормали - от потенциала
простого слоя имеет иа контуре конечное значение, в то время как частные про-
производные гармонической функции, кот рая дает решение проблемы Дирихле,
могут бо.ть и бесконечными на этом ьонтуре.
601. Приближение в среднем. Опге'еление сходимости в среднем в некото-
некоторой области может быть распространено на функции м огих переменных. Пусть
К('с,у) бу.-ег несимметрическое ялро. Расположим особые значения X,-, опреге-
ленные в § 598, в порядке возрастающих величин, и пусть булет <fit •}/ пара
фундаментальных функций Шлидта, с ответствующих значению ^. принимая
во внимание условия ортогональности и формулы D.), которые определяют функ-
функции <tt(x),ф,-(»), мы легко найдем:
ft ft "it» ** "
a a i=l a a t=l I
С другой стороны, полагая в соотношении D8) у = х и интегрируя почленно
иы находим:
+оо ft ft » ft ft
1=1 I
Следовательно, интеграл 1п при неограниченном возрастании стремится к нулю,
Этот результат дает возможность получить приближение в среднем ядра
К{х,у) с желаемою степенью точности с помощью суммы конечного числа чле-
нои, каждый из к .торых представляет произведение функции от х на функцию
otj/. Ш>шдт показал, что предыдущее решение iaeT наилучшее приближение
для данного значения числа я. Точнее, если Xt и Yt означают функции соответ'
ственно от х и от у, то мы имеем всегда:
4]JJt
каковы бы пи были функции Xt и Yt, если только т<я (Mathematische
Annalen, т. 63).

§ 601 ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ 145
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ.
1. Метод Кнезера для симметрических ядер. Пусть К(х,у)—симметриче-
К(х,у)—симметрическое ограниченное ядро; следовательно, след А2„ этого ядра может быть представ-
представлен в одном из двух видоа:
ft А Ь Ь
А'2п ~ 11 \КП) (Х' ^ dxdt =1 \К(" + °(*' ^к(" + 1)к ("~° (¦*• ') dx dt,
а а а а
и из неравенства Шварца мы получаем новог неравенство:
откуда вытекает, что ряд %Ап1п не может сходиться для любого значения I, если
только At не равно нулю. Для этого необходимо, чтобы было №2Цх, t) = 0, а сле-
следовательно, К (х, t) = 0 (§587).
2 Обобщение неравенства Бесселя. Последовательность л функции ?;(#)
действительнее переменного х, которые могут принимать и комплексные значе-
значения, составляет ортогональную и нормальную систему, если интеграл
равен нулю для i-фк и единице при i = k (a » а обозначают вообще две сопря-
сопряженных комплексных величины). На эту систему можно распространить неравен-
неравенство Бесселя. Пусть f(x) — некоторая действительная или комплексная функция
действительного переменного х, такая, что квадрат ее модуля нитрируем. По-
Положим:
ь ь
ft = J/М Ь W dx, Zi = J /W Ь W dx.
а а
Очевидно, мы имеем:
ь
или, раскрывая произведение"
ь п ь
(=1 a i=l a
i k a
Принимая во внимание соотношения ортогональности, находим:
я ь
^l/jl'^j \fix)fdx. {I)
i=l a
Приложение. Положим, что я функций jt,<р2 ...,уп ортогональной си-
системы удовлетворяют л условиям вида:
ft л
>=J/ec*.*)f.w<fc=2Ie<*'eM' B)
а р=1
10 9- Гуро», т. III. ч. 2.

146 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 601
где К(х, \) — такое ядро, что \К(х,у)\* интегрируемо, а коэфициенты аа8 по-
постоянны. Тогда справедлиьы соотношения:
ft л
КЫ —\К{х,s)<ра(s)ds = 2^ а«?Ь№• ^
а %=\
Применим неравенство A) к функции K{x,t), в которой х рассматривается
как параметр, a t как независимое переменное, и заменим ft (t) на <j, (г). Для этого
положим:
ft л
Ал = ^ К (х, t) т Л0 dt = ? а,
ft
&;
а
Согласно неравенству Бесселя имеем:
а=1 а
а следовательно,
л ft ft ft
a=lа
Если теперь заменить /la и Ал их значениями, то левая -часть этого неравен-
неравенства согласно условиям ортогональности будет равна
Таким образом получаем:
л л Aft
— . . D)
х=1 (i=l а а
3. Теорема Шура (Schur Math. Annalen, т. 66, стр. 508). Пусть К (х, у)
будет ограниченное ядро, или в более общем случае такое ядро, что | /С (jc,j/)Ja
интегрируемо. Рассмотрим систему S из я главных функций, принадлежащих
этому ядру (§ 580), т. е. систему п линейно независимых функций f,, <р2,..., уя,
удовлетворяющих соотношениям B) предыдущего упражнения. Обозначим через
wi> »j....,»,. п корней уравнения
i—«> ая ... а,п
аи «sa—°> ••• а8л —о,
ап1 ап1 ... апп — т
Из системы S можно всегда взять такую функцию Ф (х), которая бы удовлетво-
удовлетворяла соотношениям:
и предположить, что я функций Ф„ ?2 <fn линейно независимы. Выберем за-
затем п — 1 коэфициеитов ^(<> 1) так, чтобы было (Ф1(^— с^Ф1) = 0, и положим
itj (х) = ft — С[ Ф4. Ясно, что п — 1 функций ttjj, ... , п„ независимы и ортогональны
к функции Ф4 (х), а следовательно, функция Ф, (х) ортогональна ко всяюй ли-

$601 ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЙ 147
нейной комбинации этих л— 1 функций. Мы можем далее найти линейную комби-
комбинацию Фа функций itj,... ,«„, удовлетворяющих двум условиям:
и тйк далее. Продолжая таким образом, мы, очевидно, пойдем к ортогональной
и нормальной системе я главных функций Ф1,Ф2, ... ,Ф„, эквивалентной дан-
данной системе S и удовлетворяющей л соотношениям вида:
К (Ф3) = h, Ф, + ft32 Ф2 + <о3 Ф3,
•„ Ф„.
Применяя неравенство D) предыдущего упражнения к этой ортогональной
системе, приходим к неравенству:
» ь
откуда без труда получается теорема Шура (см. § 584).
4. Симметризуемые ядра (§ 595). Пусть будет К{х,у) симметризуемое ядро
такое, что ядро
ь
G(x,y)=i\jS^,t)K(t,y)dt
а
симметрическое, причем функция S(x,y) сама симметрична и положительна.
Обозначая я-е повторное ядро ядра К(х,у) через К^(х,у), положим:
ь
К„ (х, у) = J S (jr. t) К («) {t, у) dt, Kt (х, у) = О (х, у).
а
Покажем сначала, что Кп{х,у) само симметрично. В самом деле, можно за
писать:
К„ (х, у) = JJJ ... [ S (x. t,) К (tlt tt) К (tb tt) ... K(tn, у) dt, dt,... dtm
где пределы у всех интегралов предполагаются я и ft, или еще:
КЯ{*,У)** $$••• JG(*,^/f(«s, t^...K(tn,y)dt,dt3...dtn^
= \Т... [аA.2,х)к(^t3)...K(tn,y)dtidti...ш„=
= JJ.:. J s (/» ^ /C (<„ *) i(f (i2,« ... /C (tn, у) л,... л„=
= f^ .... С К (h, x) S (ti% t) К (tb t3)... K(tn, y) dt,... dtK
Пролелав ту же последовательно, ть преобразований над произведением
S (*„
и так далее, мы видим, что вообще имеем:
кп(х,у)=JJ... J-ff-ft. х) к V* ад ... х
10*

148 ГЛАВА XXXII. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ § 601
что можно еще написать так:
Кп <х,у) = ^S (и, v) KW (и, х) АГ(?) (»,у) du dv (p + q = я).
Меняя местами р и q, мы видим, что К„(х,у) = К„{у.¦*)•
5. Последовател- ность ядер Кп(х,у) неограничена, если только G(x,y)
не равно нулю. В частности, имеем:
KiP («", у) = \KS(u,v)K W (и, *) /C (p) (v, y) du dv =
= f f S (и, ») /С (/> + *) («, лг) AT (p- й (t/, j/) d« dv,
и следовательно, —
(лг, х) = и S (и, f) /С v' (и, -*) /С (Р' (w. •«¦) ^и rfo.
Если бы ядро Kip (x, х) было тождественно равно нулю, то же было бы справед-
справедливо и для интеграла
ft ь
[[ S (и, v) К (ri (а, х) {. (v) du dv=[+ (v) dv^S (и, v) К W (и,
какова бы ни была функция ф (»), в силу обобщенного неравенства Шварца ¦
[ Jj S (и, да) г (в) § (») rf««/»]"«;[ JJS (и, v) f (и) f (v) du dv] X
а следовательно, ядро
p{v,\)=i\S(u,v)KlP)(u,x)du
а
было бы также тождественно равно нулю. С другой стороны, согласно самом.,
определению ядра Кп(\,у) мы, очевидно, имеем:
ft
Kn+t (x,y)= [ К„ {х, и) К (и,у) du.
а
так что, если Кп(х,у) тождественно равно нулю, то равны нулю и Kn+i,Kn+,, ...
Следовательно, если К*р(х,у) или K?p-i(x,y) тождественно равны нулю, то рав о
нулю и ядро Кр(х,у). Если в последовательности ядер Кп(*,у) нашлось бы
(дно, равное нулю, то переходя последовательно от одного к другому, мы полу-
получили бы, что Ki(r,y) = 0. Из этого доказательств! вытекает, что К%р(х,х) не
может быт» тождественно равно нулю.
Ряд
х,у) + ...
не может бить сходящимся для любого значения L
* Оно получается, если написать, что двойной интеграл
ЭД S (и, V) [о т (и) + р ф (и)] [а 7 (о) + fl if (v)] du dv
есть квадратичная положительная функция от а и р.

§ 601 ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ 149
В самом деле, в этом случае был бы сходящимся и ряд
ь
^S(x,t)T(t,y; I) dt = Кк(х,у) +\К*(х.У) + ¦ • ¦ + 1"-1 Кя(х,у) + ...
а
а следовательно, ряд
/С, (х, х) + 1Кг{х, х) + ... + Х«-* Кп(х,х) +...
Т ким образом согласно обобщенному неравенству Шварца мы имели бы:
[ Jf S (к, v) К</>+ *> (и, х) А>-»> (», дг) du dv 12 ^
s? I U S (и, v) K<-P+i> («, х) /С(/>+0 (v, к) )dudvX
X {j\ S (а, о) АГ(/»-0 (и, *) *(/>- 0 (р, a) da dv \ ,
т. е.
[К2р (х, дг)]2 < АГ2/,+2 (г, дг). АГ2р_2 (л-, дг),
и рассуждение заканчивается так же, как и для симметрического ядра (§ 587)
Следовательно, всякое симметризуемое ядро имеет по крайней мере одно
особое значение.
ь ь
6. Минимум ичтеггала \ \ [К(х,у) — <р (х) i/(y)y-dxdy (§ 601). Предпо-
а и
ложим, что этот интеграл достигает минимума при некоторой системе функций
Т(*). ФОО- Заменяя f (х) через f (л) + а <р, (д-), a «Kj») через ф (>) + Р M.V). п0"
лучим функцию S (a, jl) двух параметров а и |i, которая должна иметь минимум
при а = р = О, каковы бы ни были функции <jj (x), 4>i (>")-
Условие -5- = 0 при а = 0, {! = 0 дает:
03
\ fl (л) rf^r f [AT (jf, у) Иу)~1 W ^2 (>')] <*У = О,
а а
а из этого равенства в силу произвольности функции 1,(х) необходимо следует:
а а
.. а/ .
Условие т^ = 0 дает втор е уравнение того же вида:
где С и С — постоянные. Так как эти постоянные заведомо положительны, то
полученную систему можно привести к виду D1), § 598, заменяя функции <j(C)
соответственно через ft f и -? и подбирая должный образом постоянное ft.

ГЛАВА ХХХШ
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теория интегральных уравнений имеет многочисленные и важные при-
приложения. Мы рассмотрим некоторые из них, относящиеся к интеграль-
интегральному исчислению и математической физике.
I. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕЩИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
602. О некоторых свойствах линейных уравнений. Мы установим
сперва несколько очень простых свойств интегралов линейного уравне-
уравнения, относящихся к нулям этих интегралов. Пусть будет
У = р (х) у-\-q (х) A)
линейное уравнение, коэфнциенты которого р и q — непрерывные функ-
функции в интервале (а, Ь), где а<^Ь. Известно, что все интегралы,этого
уравнения непрерывны в том же интервале, и интеграл, принимающий
значение у0 Для значения х = х0, заключенного между а и Ь, имеет
вид (И, § 365):
X X
~$pdx
B)
X ,
J" р ах \
Из этой формулы видно, что если .Уо=з=Р> Я^®> то ПРИ *^>*o значе-
ния у положительны. Следовательно, если функция д(х) не отрицательна
в интервале (а, Ь), то интеграл уравнения A) при возрастании х от а
до b не может переходить от положительных значений к отрицательным.
Выводы были бы обратные, если бы было q ^ 0.
Рассмотрим далее уравнение Риккати:
коэфлциенты которого непрерывны в интервале (а,. Ь). Всякий интеграл
и(х), непрерывный в этом интервале, удовлетворяет также линейному
уравнению вида A), коэфициенты которого имеют значения: p = Pu-\-Q,
q — R. Следовательно, если /? во всем интервале (а, Ь) не отрицательно,
то при возрастании х от а до b непрерывный в этом интервале интеграл
не может переходить от положительного значения к отрицательному.

§ 602 I. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 151
В более общем случае пусть у (х) — непрерывный в интервале (а, Ь) инте-
интеграл уравнения вида:
где функции Р(х,у) и R(x) непрерывны и где /?(*) не отрицательна во всем
интервале от а до Ъ. Этот интеграл не может переходить от положительных зна-
значений к отрицательным при возрастании х от а до Ь.
Возьмем теперь линейное уравнение второго порядка:
y = Q, (A)
коэфициенты которого непрерывны в промежутке от а до Ь. Мы уже
видели (т. II, ч. 2, сноска на стр. 116), что между двумя последователь-
последовательными корнями любого интеграла уг (¦*) содержится один и только один
корень всякого другого интеграла у2(х). Интеграл у, (х) вполне опре-
определен с точностью до постоянного множителя, если известен один корень х0
этого интеграла, ибо значением этого постоянного С можно так рас-
распорядиться, чтобы при х = х0 производная Су\(х) принимала любое
данное значение. Отсюда следует, что корни всякого интеграла известны,
если известен один из них, а из упомянутой теоремы Штурма вытекает,
что все эти корни движутся в одинаковом направлении, если мы изме-
изменяем положение одного из них.
Если Q(x)<0 i интервале (а, Ь), то в этом интервале интеграл
не может иметь более одного корня. Положим, в самом деле, что х0
и JTj суть два последовательных корня какого-нибудь интеграла у(х),
У
заключенные между а и Ь. Логарифмическая производная и=— этого
интеграла должна быть непрерывна в интервале от хо-\-е до хг — е',
и когда х возрастает от хо-\-г до дг, — е', ее значения должны изме-
изменяться от -\- оо до — оо. Но это невозможно, ибо и удовлетворяет
уравнению Риккати вида C), в котором свободный член равен—Q(x)
у'
(§ 402). Если при х = а, кроме того, — >0, то мы видим, что инте-
интеграл вовсе не может иметь корня между а и Ь.
Если Q(x) имеет произвольный знак, то число корней интеграла,
заключенных между а и Ь, определяется с помощью другой теоремы,
также принадлежащей Штурму. Чтобы высказать эту теорему, мы пред-
предположим, что. линейное уравнение представлено в следующей канониче-
канонической форме:
где k и g— непрерывные функции, первую из которых можно предпо-
предположить положительной. Чтобы уравнение D) привести к этому виду,
достаточно умножить все его члены на положительный множитель е

152 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 602
Далее рассмотрим второе уравнение того же вида:
:= 0, F)
и пусть будут х0 и хг два последовательных корня интеграла _у(лт) урав-
уравнения E), заключающиеся между а и Ь. Если между х0 и хл все время
имеют место неравенства k^^k, g^g, то всякий интеграл z(x)
уравнения F) имеет по крайней мере один корень, заключенный между
Очевидно, достаточно показать, что не существует такого интеграла
z(x) уравнения F), который оставался бы положительным между лг0 и
хг, включая концы. Предположим, что такой интеграл существует, и
положим:
k dy k-, dz
у dx * z dx '
эта функция и должна быть непрерывною в интервале (хо-\-е, хг — е)
и изменяться в этом интервале от -\- ос до — оо, ибо функция a>j
остается конечной при х — х0 и х=лЛ. Но мы имеем:
du d® </a>, 1 I ' 2
i. a ft) * —I- cr. _1— ft) *
dx dx dx ё k ^ ^^ k »'
что можно еще записать в виде:
Это — линейное уравнение относительно к, коэфициенты которого не-
непрерывны в интервале (*„-)-е,х, — t'), а свободный член положителен
в эюм интервале. Согласно доказанному в начале настоящего параграфа
это уравнение не может иметь интеграла, который при возрастании х
от хо-\-г до хг — е измерялся бы от -f-oo до — оо . Поэтому всякий
интеграл уравнения F) имеет между х0 и хг по крайней мере один
корень *.
* Мсжно распространить эту теорему на такие интегралы уравнения F),
которые имеют корень х0- В самом деле, пусть такой интеграл, для которого
•2r(fo) = 0; мы докажем, что этот интегрл имеет по крайней мере еще один
корень между х„ и xv Действительно, выберем число с между х0 их, доста-
достаточно близко к хо тлк, чтобы оба отношения
щ
были непрерывны и положительны между х0 и с. Полагая f ^=^ — ?<, мы полу*
чаем, в силу уравнений E) и (о):
|_1 1

602 I. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 153
Приложения. 1. Рассмотрим уравнение
которое отличается от уравнения Бесселя только заменой к на — х. Если изме-
изменить х от положительного числа / (до некоторого значения, большего /, то
коэфициент Д7-* будет в этом интервале больше, чем /дгт-'. Следовательно,
между двумя произвольными корнями интеграла вспомогательного уравнения
dx
или
превосходящими /, содержится по крайней мере один корень рассматриваемого
уравнения. Так, если мы возьмем 4/>(^—1)', то вспомогательное уравнение
будет иметь интеграл вида jt«sin {frig ж}, нулями которого служат числа е , сре-
среди которых есть бесчисленное множество таких, которые превосходят I. Следо-
Следовательно, всякий интеграл рассматриваемого уравнения имеет бесчисленное
множество положительных корней.
2. Предположим, что g положительно и заключается между а и *, и пусть
будут / и L нижняя и вепхняя граница для g, причем /—число положительное.
Пусть будут, далее, т и М числа, играющие ту же роль по отношению к функ-
функции к. Сравнение уравнения E) с двумя вспомогательными уравнениями
г?Г=0, G)
дчет возможность определить число и расположение корней интеграла у (х),
заключающихся между а и Ь.
ие зависящий от f чтен в правой части отрицателен или равен нулго между xt
и с, и мы имеем f (xQ)=*Q. Отсюда следует, что v (x) отрицательно, следовательно
положительно. Отсюда слегует, что если бы интеграл z(x) не обр щался в нуль
ни между до и х, и при значении х,, то функция и(\) изменилась бы от поло-
положительного значения д» — оо при возрастании -г от с до xit невозможность чего
уже доказана. Если бы было одновременно
то мы также показали бы, что со (с') — ч>, (с1) отрицательно для значения с, заклю-
заключенного между хв и дг( и весьма близкого к дг,; разность ш(х) — ш, <х) перехо-
переходила бы от отрицательного значения к положительному при возрастании дг от в
до с' (~м. Bucher, Transactors of the American Mathematical Society, J902,
стр. 196).

154 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 602—603
С одной стороны, между двумя последовательными нулями инте-
интеграла Z (х) существует по крайней мере один корень интеграла у(х).
С другой стороны, между двумя последовательными корнями у{х) нахо-
находится по крайней мере один корень интеграла Y{x). Но вспомогатель-
вспомогательные уравнения G) и (8) суть уравнения с постоянными коэфициентами,
и нули интегралов У(\) и Z(x) равны соответственно
где о и E — любые числа, К и К1 — произвольные целые числа. Отсюда
следует, что разность хл — х0 двух последовательных корней интеграла
у (х) не может быть меньше п 1 / — и не может быть больше
/М „ „ , /М
— . Другими словами, всякий интервал длины я I / —, заклю-
заключенный в интервале (a, b), содержит по крайней мере один корень инте-
интеграла у (х), и инте, вал длиной тг 1 / —- не может содержать более одного
корня. Если уравнение у(х) — 0 имеет п корней хо, х^, ... ,.хй._1, за-
заключенных между а и Ь, то эти п корней вместе с а и Ь определяют
/~~М
п-\-\ интервалов, длины которых меньше, чем и 1 / —-. Таким об-
образом имеем:
-«. «ли
С другой стороны, длина каждого из п — 1 интервалов, заключенных
между двумя последовательными корнями, больше, чем я |/ —. Сле-
Следовательно, мы имеем:
^<*-в, или B_i
пут
Если g отряиательно между а и Ь, то, как мы видели, интеграл урав-
уравнения E) имеет не больше одного корня в этом интервале. Если g
в интервале (а, Ь) меняет знак, то для разности двух корней можно
дать только нижнюю границу.
603. Новые задачи для линейных уравиений. Мы видели выше (§ 551),
как решение задачи Коши для линейного диференциального уравнения
привело к интегральному уравнению типа Вольтерра. Изучение некото-
некоторых граничных задач, в которых интеграл должен удовлетворять усло-
условиям, где участвуют оба предела одновременно, приводит аналогичным
образом к интегральным уравнениям Фредгольма. Мы ограничимся слу-
случаем уравнения второго порядка. Фундаментальные функции этих урав
.нений Фредгольма содержат в качестве частных случаев большое число

§ 603 I. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 155
семейств ортогональных функций, которые уже раньше встретились
в различных вопросах анализа или математической физики. Отыскание
этих фундаментальных функций приводится вообще, как мы это не-
несколько дальше увидим, к следующей задаче. Пусть задало линейное
уравнение второго порядка:
где X — параметр, k, r и ^—функции от х, первая из которых поло-
положительна в интервале (а, Ь). Найти такие значения X, для которых су-
существует интеграл у(х), отличный от нуля, непрерывный между а и b
и удовлетворяющий граничным условиям следующего вида:
А (Й) + Ву{а) = °' А> (d
где А, В, i4j и Bj суть данные постоянные. В случае, который мы бу-
ден рассматривать, существование бесконечного множества хаких значе-
значений \ является непосредственным следствием теории интегральных урав-
уравнений. Свойства ортогональности выводятся весьма просто из рассмот-
рассмотрения самого диференциального уравнения. Пусть, в самом деле, \ и
X,—два значения параметра X, каждому из которых соответствует инте-
интеграл уравнения (9), удовлетворяющий предельным условиям A0). Эти
два интеграла ^i (¦*) и У2(х) удовлетворяют также следующему соотно-
соотношению, которое получается из двух диференциальных уравнений исклю-
исключением коэфициента g:
откуда получаем:
ь
г(х)У,(х)у2(х) dx
Но из граничных условий A0), которым, по предположению, удовлетво-
dy. dy,
рйют обе функции уг (х) и /, (дг), вытекает, что разность^ ~ Д», —-
При х = а и при х=Ь равна нулю. Поэтому, полагая Xj^V имеем:
ь
\r(x)yl(x)yJx}dx = 0. A1)
а
Изучен также случай, когда функция k(x) обращается в нуль при*—я
или при х — Ь. Если &(а) = 0, то первое граничное условие должно

156 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬ НЫХ УРАВНЕНИЙ § 603 - 604
быть заменено условием, что интеграл остается конечным при х = а.
Если также и k(b) = O, то второе граничное условие заменяется анало-
аналогичным.
604. Определения интеграла по его значениям у (а) и у(Ь). Мы по-
подробно изучим наиболее простую из упомянутых задач, а именно
нахождение интеграла, принимающего данные значения на концах
интервала.
Можно, очевидно, предположить, что эти значения равны нулю, так
как достаточно сделать простую замену искомой функции, чтобы притти
к этому случаю; в дальнейшем мы будем предполагать, что это приве-
приведение выполнено. Рассмотрим уравнение:
A2)
где А (х) и f(x) непрерывны в интервале (а, Ь). Чтобы к этой новой
задаче применить метод последовательных приближений, мы приходим,
как мы это уже неоднократно видели, к разысканию раз ожения иско-
искомого решения по целым степеням X, формально удовлетворяющего урав-
уравнению A2); это разложение имеет вид:
У -лМ + ^i(*)+.-¦ + Ь"У„(*) + .... A3)
причем каждый коэфиииент обращается в нуль при х = а и х = Ь.
Первый член у0 (х) получится как решение граничной задачи для
простейшего уравнения, получаемого при X = 0. Но общий интеграл
уравнения у"й(х) =f(x) имеет вид:
X
У о (х) = \ (х — s)f(s) ds -f <\х -f Сг;
а
определяя постоянные Сг и С2 так, чтобы было уо(а)=уо(Ь) = 0, мы
найдем, что искомый интеграл есть
х Ь
Уо (*) — J (х — s)f(s) ds - ^f j (b - s)f(s) ds,
a a
его можно написать в виде:
»
Mx) = {K{xxs)t(s)ds, A4)
если положить
... , (х — b) (s — а)
К{х, s) = 5 —^ -' при s < х,
о — &
v, \ (х—a)(s— b)
К(х, s) = '¦ х,. .'..I .' при а
A5)

§ 604 L ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЁРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 15?
Эта "функция К(х, s), которая в последующем будет играть сущест-
существенную роль, очевидно, непрерывна и симметрична относительно х и s.
Рассматриваемая как функция от х, она представляет интеграл уравне-
уравнен/Г
ния -г-—, первая производная которого разрывна при x = s. Эта про-
производная при изменении х от s — е до s-\-e увеличивается скачком на
единицу; но вторая производная непрерывна. Изображающая эту функ-
функцию кривая состоит из двух сторон треугольника, имеющего вершины
в точках
=Ь,у = 0) Гх = *. У^{5~^
Все остальные члены ряда A3) легко найдутся рекуррентным путем;
вообще у„(х) представляет интеграл уравнения
-^ = А(х)уп_л(х),
который обращается в нуль при х = а и при х = Ь. Таким образом
согласно только что проведенным вычисленияч
но это как раз те выкладки, какие нужно было произвести для реше-
решения методом последовательных приближений уравнения Фредгольма:
ь ъ
y(x) = \\k(x,s)A (s) у (s) ds -f j К (х, s)f(s) ds. A6)
а а
Этот факт легко объясняется самим способом введения функции К {х, s).
В самом деле, если интеграл у(х) уравнения A2) равен нулю при дг = а
и при а = ?, то вычисления, проведенные для уравнения у"—/(х),
доказывают, что у (л) удовлетворяет интегральному уравнению A6).
Обратное предложение доказывается непосредственно. Итак, нахожде-
нахождение интеграла уравнения A2), обращающегося в нуль при х=а и
х = Ь, приводит к решению уравнения Фредгольма A6). Отсюда ридна
существенная разница между задачей Коши и этой новой граничной за-
задачей. В то время как метод последовательных приближений при реше-
решении задачи Коши приводит к всегда сходящемуся ряду, ряд A3) схо-
сходится только при достаточно малых значениях |Х|. Кроме того, как мы
это сейчас увидим, существует бесчисленное множество значений X, для
которых новая задача возможна только в том случае, если/(дг) удовле-
удовлетворяет дополнительному условию.
Положим сначала, что данное значение параметра X не представляет
особого значения ядра К{х, s) A (s). Согласно общей теории, уравне-

158 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 604
ния A6) имеет в этом случае единственное решение, которое можно
представить в виде:
ь
y(x) = ^f(s)H(x,s;l)ds, A7)
а
где H(x,s;\) есть мероморфная функция от X, которая ие тождест-
тождественна с резольвентой, но может быть из нее легко получена. Кроме
того, подставив в соотношение A6) вместо у(х) его выражение A7) и
записав, что получится тождество, мы придем к функциональному урав-
уравнению, определяющему функцию Н{х, s;\):
ь
H(x,s;l) = K(x,s)i-\^K(x,t)A(t)H(t,s;l)dt. A8)
а
Мы видим, что функция Н(х, s;l) представляет сумму двух членов, из
которых второй член Н, в интервале (а, Ь) представляет непрерывную
функцию, так же как и его производная ——. Согласно свойствам ядра
К (х, s) имеем;
dH
следовательно, производная -г- имеет при x = s тот же разрыв, что
К(х, s), a H обращается в нуль для произвольного 5 при х = а и при
х — Ь. Эти свойства определяют функцию H(x,s;l). Пусть, в самом
деле, ул (х, \) и у2 (х, X) будут два интеграла уравнения
^ 1А(х)у, A9)
непрерывные вместе со своими производными у'х (х),у'2(х) в интервале
(а, Ь) и удовлетворяющие условиям Коши:ул (а) = 0, у\ (а) = \, у2 (Ь) = О,
у'2(Ь) = \. Всякий интеграл уравнения A9), который при х=а обра-
обращается в нуль и который непрерывен вместе со своею производною
в интервале (a, s), имеет в этом интервале вид С,^, (х, X). Точно так
же, если он вместе со своей производной непрерывен в интервале (s, Ь)
и обращается в нуль при х = Ь, то он в этом интервале имеет
вид Csy2 (x, X)
Для того чтобы функция была непрерывна при x = s, а ее произ
воаная имела тот же скачок, что и производная от/С(лг, s), необходимо
чтобы было:
Эти уравнения вообще дэют конечные значения для С: и С2. Случа",
когда детерминант у%у\ —у}у'2 равен нулю, будет рассмотрен в следую-
следующем параграфе.

§ 604-605 I. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 159
Если мы умеем интегрировать однородное уравнение A9), то для всех слу-
случаев, кроме этого исключительного, можнэ составить функцию Н(х, s; X), кото-
которая играет ту же роль в решении этой проблемы, что и функция ?(х, а) в ре-
решении задачи Коши (т. II, § 401). Легко показать, что функция у(х), данная
формулой A7), дает решение задачи. Действительно, эту формулу можно напи-
написать в виде:
ь ь
ds, A7')
где функция Nl(r,s\l) вместе со своими производными непрерывна между а
и Ь. Диферениируя это соотношение дважды и принимая во внимание характе-
характеристическое свойство К(х, s), получаем:
т. е.
605. Изучение особых значений. Если 1 есть особое значение для
ядра К(х, s) A (s), то однородное интегральное уравнение
имеет отличное от нуля решение, а следовательно, уравнение A9) имеет
интеграл <р (х), который обращается в нуль на концах интервала (а, Ь);
отсюда следует, что каждому особому значению соответствует только
одна фундаментальная функция. Этих особых значений имеется бес-
бесконечное множество. Мы сначала докажем, что К(х, s) есть определен-
определенное ядро. С одной стороны, это ядро замкнутое. Если, в самом деле,
ь
при любом v, то ф" (х) = ср (х) = 0. Кроме того, все особые значения
ядра К(х, &) отрицательны, ибо чтобы найти эти особые значения,
нужно найти такие значения X, при которых уравнениеу''='ку (х) имеет
интеграл, который в точках а и b обращается в нуль. Эти значения,
/ лтг у
очевидно, имеют вид—1г ) , где п — целое число, а фундаменталь-
фундаментальные функции суть
' лттСлг — а)\
51П
Ь-а
Отсюда следует, что ядро К(х, s) A (s) принадлежит к классу ядер, рас-
рассмотренному в § 595. Следовательно, резольвента имеет бесконечное
множество полюсов, которые все являются действительными и простыми,
и каждому из них соответствует единственная фундаментальная функ-
функция. В частном случае, иогда функция А (х) между а и b сохраняет
знак, ядро К(х, s) A (s) есть ядро Шмидта, и приложенные свойства

160 ГЛАВА XXXItt, ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ §605-606
доказываются еще проще (§ 593). Если, например, А (х) отрицательно, то
все особые значения положительны. Применение метода Шварпа дает
возможность определить один за другим полюсы резольвенты и фунда-
фундаментальные функции *.
Уравнение D(X) = O, которое дает особые значения, может быть по-
получено непосредственно из диференциального уравнения. Пусть, в самом
деле, у^(х,\) будет интегралом уравнения A9), который удовлетворяет
начальным условиям ул (а, Х) = 0, у'х (а, X) = 1. Этот интеграл есть це-
целая функция параметра X, которую можно разложить в ряд по степе-
степеням X, вычисляя коэфициенты методом последовательных приближений
(т. II, § 390). Если записать, что этот интеграл обращается в нуль и
при х = Ь, мы получим уравнение у^(Ь, Х)=0, целое относительно X,
корни которого и будут искомыми особыми значениями. Можно заме-
заметить, что то же уравнение получится, если мы приравняем нулю детер-
детерминант у2 (s, X) y[ (s, I) —3*i (s> ЭД У'^ (s> ЭД уравнений B0); так как уравне-
уравнение A9) не содержит члена, содержащего у', то этот детерминант не
зависит от 5 (г. II, §400) и совпадает с —уг (Ь, X).
606. Охлаждение неоднородного бруса. Метод, изложенный для про-
простого случая, рассмотренного в предыдущем параграфе, без труда мо-
может быть распространен на уравнения второго порядка более общего
вида с несколько менее простыми предельными условиями. Пусть задано
линейное уравнение второго порядка:
где коэфициент при у представляет линейную функцию параметра X, и
пусть требуется разложить в ряд по степеням X его интеграл, удовле-
удовлетворяющий начальным условиям вида A0). Первый член разложения мы
получим, если разрешим ту же задачу для уравнения
y*-\-p{x)y + q(x)y=f(x); B1)
применяя метод вариации произвольных постоянных, мы можем пред-
ь
ставить этот интеграл в виде \ К(х, s)f(s)ds, где К(х, s) есть функция,
а
зависящая одновременно и от граничных условий и от коэфициентов/>(лг)
и q (x). Если эта функция К(х, s) определена, то решение поставлен-
поставленной задачи общего вида с помощью вида B0) приводится к решению
интегрального уравнения:
»
^)f(s)ds, B2)
ядро которого равно —К(х, s)r(s). Применим этот метод к задаче об
охлаждении неоднородного бруса.
* Е. Pica rd, Traite d'Analyse, т. III, гл. VI. В случае, когда А(х) имеет
произвольный знак, см. также диссертацию Sanielevici (Annales tie I'Ecole
Normale, 1909).

$606 t ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 161
С аналитической точки, зрения задача сводится к слэдующему: Найти
интеграл уравнении
Ьх
обращающийся при /=0 в данную функцию U0(x){0 <С,х<С,Х) и удов-
удовлетворяющий, кроме того, граничным условиям:
hU=0 при лг=О,
дХ
— -{-HU—O при х = Х;
где Л и Н—положительные постоянные, a k(x), l(x), g(x) — функций
от х, которые по их физическому значению существенно положи-
положительные.
Мы начнем с нахождения простых решений вида:
где \ — постоянное, a v — функция от лг, удовлетворяющая граничным
условиям B3). Заменяя в ураснении (.22) У через ve~l!, мы видим, что
функция v должна быть интефалом линейного уравнения:
Оо=о, B4)
и вопрос сводится прежде всего к нахождению таких значений А, для
которых уравнение B4) имеет отличный or нуля интеграл-, удовлегво*
ряющий граничным условиям B3). Эги.значения X предстанляют собой
корни трансцендентного уравнения, которое нетрудно составить. В са-
самом деле, пусть V(x.l) будет интеграл уравнения B4), удовлетворяю-
удовлетворяющий начальным условиям:
V()) l Ь 0
Этот интеграл представляет целую функцию параметра I. Если теперь
dV
записать еще, что при х = Х должно быть —--(-//V= 0, то мы полу-
получим уравнение, целое относительно \, D(X)=0. Корни этого уравнения
как раз и будут искомые значения параметра.
Опираясь на теоремы Штурма о колебаниях, можно доказать, что
ею уравнение имеет бесчисленное множество действительных и различ-
различных корней *. Мы покажем, что 31И кпрни представляют собой особые
* Jordan.' Coiire d'Arialyse, т. III. Определен ые таким образом- функции
суть функции Штурма-Лиуеиля (Journal de %iouvil.e, t. 1).
11 a. rypc*. x. ш, i. a.

162 ГЛАВА XXXm. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 606
значения некоторого ядра Шмидта. Для этого прежде всего решим сле-
следующую задачу: найти интеграл линейного уравнения
{*}*'(* <25>
удовлетворяющий граничным условиям B3).
Пусть будут vy (х), v2(x)—два различных интеграла уравнения без
правой части. Метод Коши (т. II, § 401) легко дает общий интеграл урав-
уравнения с правой частью:
X
v (х) = СД (*) + СЛ (х) + \{v, (s) v2 (x) - v2 (s) Vl (x)} f(s) ds; B6)
мы предположим для простоты, что
*@)=I, et@) = l, «;@)=0, М0) = 0, ^ @) = 1.
Если теперь записать, что функция v (x) удовлетворяет двум усло-
условиям B3), то для постоянных Сг и С2 найдем значения:
+ ) АЛ-hb
о о
f(S)dS'
причем мы положили:
Искомый интеграл, следовательно, имеет вид:
х
о
если положить
K(x, s) = *i {S)A\k^ {S) [Av2(x)-Bvi (x)]
Доказательство предполагает, что A-\-hB отлично от нуля. Если оы
эта сумма была равна нулю, то интеграл v = v7 (x) -)- hz>2 (x) однород-
однородного уравнения удовлетворял бы граничным условиям B3). Но отноше-
ние — при х = 0 положительно, а коэфициент / при v по предполо-
предположению отрицателен. Следовательно, это отношение при возрастании х
ог 0 до X не может перейти от положительного значения h к отрица-
отрицательному значению — Н (§ 602).

§ 606-607 I. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 163
Всякий интеграл уравнения B4), удовлетворяющий граничным усло-
условиям B3), представляет, следовательно, решение однородного интеграль-
интегрального уравнения
х
^s = O, B8)
которое получается из уравнений B5) и B7) заменой f{x) на \g{x)y{x)\
обратное предложение также справедливо. Ядро К(х, s), кроме того,
замкнутое, ибо если бы существовала такая непрерывная функция <р {х),
что интеграл
\' К (х, s) <p (s) ds
С
был бы равен нулю при любом х, то уравнение B5), в котором f(x)
заменена на у(х), имело бы частный интеграл v = О, а следовательно,
функция (р (х) была бы равна нулю. Так как g{x) положительно, то
ядро К(х, s)g(s) есть ядро Шмидта, и существует бесчисленное мно-
множество особых значений, которые все действительны и которые явля-
являются простыми полюсами резольвенты. Каждому из этих особых значе-
значений соответствует единственная фундаментальная функция, ибо два
интеграла уравнения B8), удовлетворяющие граничным условиям B3),
могут отличаться только постоянным множителем.
По соображениям, аналогичным вышеприведенным, ни одно из этих
особых значений не может быть отрицательным. Пусть \, Х2, .. . , \, . ..
будут эти особые значения, расположенные в порядке возрастания,
<Pi (х), <р2 (х)> • • • — соответствующие фундаментальные функции. Если
функция U0(x) может быть представлена равномерно сходящимся
рядом вида:
Uo (х) = о,?, (х) + агЪ (х) + ...+ апуа (*)+..., B9)
с постоянными коэфициентами ал~,аг>... , то функция
U(x, t) = a,e-V <р, (х) + a2e-'«f ?,(*)+... C0)
удовлетворяет всем условиям задачи. Мы оставим в стороне рассмотре-
рассмотрение условий, достаточных для того; чтобы функцию Uo (x) можно было
разложить в равномерно сходящийся ряд вида B9).
607. Изучение особого случая. Может случиться; что применение
метода последовательных приближений будет невозможно уже вначале
из-за того, что первое подлежащее решению уравнение не будет иметь
интеграла, удовлетворяющего данным граничным условиям. Пусть, на-
например, требуется найти интеграл линейного уравнения
уг = А{х)у+Дх) C1.)
такой; что у'(а)=у' (Ь) = 0. Чтобы применить обычный метод, нужно
сначала найти интеграл уравнения y"=f{x), удовлетворяющий этим
И*

164 ГЛАВА XXXlIi: ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § В0|
условиям. Но такой интеграл существует только, если функция f{x)
удовлетворяет условию:
b
\f(x)dx = 0, C2)
и в этом случае существует бесчисленное множество интегралов, пред-
представляющих решение задачи; все они даются формулой:
ь
y(x) = \K(x.s)f(s)ds±C; C3)
а
где С—произвольное постоянное, а ядро К(х,у) равно х — s для
s < х и нулю для 5 5э х.
Если же функция f{x) не удовлетворяет условию C2), то обычный
метод последовательных приближений к уравнению C1) неприменим.
Чтобы обойти эту трудность, необходим новый прием. Всякий иншрал
уравнения C1), для которого.
У(а)=у'(Ь) = 0
удовлетворяет также условию
I J А (х)у (х) dx + J/(*) dx = 0, C4)
а а
которое аналогично условию C2). Кроме того, этот интеграл представ-
представляет также решение интегрального уравнения:'
* ь
у{х)=\ \К(х, s)A (s) у (s) ds ±\K(x, s)f(s) ds-\-C, /35)
a a
которое получается из уравнения C3) заменой f(x) на f(x) ~}-\A (х)у(х).
Мы имеем, таким обра.ом, систему дух урлжений F4) и C5) для
определения неизвестной функции у(х) и постоянного С. Постояннае С
можно исключить, если в уравнение C4) подставить значение у(х), по>
лученное из формулы C5). Мы получим тогда соотношение:
(х, s) A (x) A (s)y (s) dx ds -f-
-j- X J J K(x, s) A (x)f(s) dxds -J- IC\ A (x) dx+\f{x) dx = Q,
a
Ь
из которого находим значение с, если только \ А (х) dx не равен нулю.
'а
Ограничимся этим случаем я подставим полученное значение С в соот-

§607 I. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 165
ношение C5). Мы получим для определения у (х) уравнение Фредгольм»:
6 ь [t(x)dx
y(.)=l\K1{x,s)A{s)y (s) ds + [К, (x,s)f(s)ds - -^ , C6)
ft
\K(x, s)A(x)dx
Tie мы полагаем:
b
\ A (x) dx
Нэвое ядро Кг (x, s) получается из ядра К(х, s) вычитанием функции
от s, выбранной так, что
ь
\Kl{x,s)A{x)dx = Q.
а
Всякое решение интегрального уравнения C6) действительно удо-
удовлетворяет требуемым условиям. С одной стороны, это решение пред-
представляет интеграл уравнения C1). ибо оно удовлетворяет также инте-
интегральному уравнению C5). С. другой стороны, достаточно проделать
процесс, обратный только что приведенному, чтобы видеть, что эта
функция удовлетворяет также условию C4). Так что в этом случае ре-
"шение задачи дается интегральным уравнением C6). Полученный резуль-
результат дает простое объяснение тому, что метод последовательных прибли-
ь
жений неприменим в общем случае. В самом деле, если \ f(x) dx не ра-
а
вен нулю, то искомый интеграл у (х, I), рассматриваемый как функция
параметра X, имеет, кроме полю.ов резольвенты, еще полюс X = Q,
происходящий от свободного члена интегрального уравнения.
Примечание. Если \ есть особое значение ядра Ki(x,s)A(s), то одно-
Гояное уравнение у* — >А (х) у имеет интеграл, который не }<:век тождественно
нулю, и производная кот рою равна иулю в крайних точках а и Ь. Эти о,?о5ые
значения представляют также особые значения бесчисленного множества лругих
ядер того же вида. Рассмотрим вообще однородное интегральное уравнение:
il(x,s)A{s)<f(s)ds, C7)
а
для которого

166 ГЛАВА ХХХГП. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 606 - 60S
Отсюда непосредственно следует, что и
ь
для всякой фундаментальной функции у (х) этого ядра, и следовательно, ч (дс)
удовлетворяет также новому уравнению:
Ь
» М = X j [Ki (x, s) + X]A (s) f (s) ds C8)
a
при любой функции X переменного х. Всякая фундаментальная функция ядра
Ki(x, s)A(s) есть также фундаментальная функция ядра { К, (*, *) +¦ X} A (s),
соответствующая тому же особому значению. Обратно, если функция у {х) пред»
ставляет решение уравнения C8), то она удовлетворяет также соотношению:
* ь Ь
\A(xL{x)dx = \\A (s) ч (s) ds-\xA (x) dx.
а а а
Следовательно, мы имеем:
если только произведение
ь
\
[xA(x)dx
отлично от единицы.
В первом случае у С*) представляет также решение уравнения C7); при вто-
втором предположении X получает определенное значение, которому может соответ-
соответствовать только конечное число различных решений уравнения (8)
60S. Периодические решения. Аналогичный прием дает возможность
привести к решению уравнения Фредгольма нахождение периодических
решений линейного уравнения:
y'(x) = U(x)y-\-f(x), C9)
где А (х) и f(x) суть периодические функции с периодом ш. Интеграл
этого уравнения будет периодическим, если
j»(»)=y(O), У(»)=У@).
Рассмотрим сперва уравнение, подученное в предположении \ = О.
Для того чтобы это уравнение имело периодическое решение, очевидно,
необходимо, чтобы было:

§ 608-609 IL ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 167
это условие выражает, что у' (ю) =/ @), и если это условие выполнено,
то существует бесчисленное множество интегралов, выражающих реше-
решение задачи:
С х С
у=\(х — s)f(s)ds | (ш — s)/(s)ds + С,
О u
где С— произвольное постоянное. Можно также написать этот интеграл
в виде: ш
y = [K(x,s)f(s)ds + C,
U
6 X
где K(x,s) равно —{х — ш) для s<Hx и равно —(s — ю) для x<^s.
Положим теперь, что уравнение C9) имеет периодический интеграл.
Этот интеграл удовлетворяет двум условиям:
о) ш
l\A(x)y (х) dx + \ f[x) dx = 0,
о о
у (х) =\К(Х, s) [И (s) у (s) +f(s)] ds + С.
Предполагая, что \A(x)dx отличен от нуля и исключая С, мы придем,
6
как и в предыдущем параграфе, к интегральному уравнению, ядро ко-
которого имеет вид Кг (х, s) A (s), где Кг (х, s) отличается от К(х, s)
только на функцию Ф (s), выбранную так, чтобы \ Кг (х, s) A (x) dx был
и
равен нулю. Все соображения, которые были приведены по поводу урав-
уравнения C6), применимы также к этому уравнению. Предполагая f(x) =0,
мы получим однородное интегральное уравнение, решения которого
представляют периодические интегралы уравнения у" = \А (х) у, если
соответствующие значения X представляют особые значения ядра. Эти
особые значения представляют также особые значения для ядра вида:
где Ф(^) определена так, как это указано выше (§ 607, примечание).
I. ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
609. Задачи, относящиеся к гармоническим функциям. Одно из пер-_
вых и наиболее изящных приложений теории Фредгольма представляет
задача Дирихле. Мы рассмотрим эту задачу в пространстве для замкну-
замкнутой поверхности 2, имеющей в каждой точке единственную касательную
плоскость, положение которой непрерывно меняется с точкой касания.
В согласии с уже введенными обозначениями, символы /(Ж), (M)

168 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 609
/(/И, Р) будут изображать функции координат точки М или координат
двух точек М и и, изменяющихся на поверхности 2, а знаком \ мы
будем выражать кратный интеграл, поскольку нет оснований опасаться
неправильного" толкования. Метод Неймана (§ 533} для нахождения гар-
гармонической функции в области D, заключающейся внутри поверхно-
поверхности 2. которая принимает на этой поверхности значения, равные данной
непрерывной функции g(M), состоит в том, что мы представляем эту
гармоническую функцию как потенциал двойного слоя, производимый
двойным слоем, расположенным на поверхности 2. Если в качестве не-
неизвестной функции взя1ь плотность р (М) этого слоя, то эта плотность
должна удовлетворять интегральному уравнению:
^ D0)
(Ь
где г есть расстояние между.двумя точками М и Р, <р— угол между
внутренней нормалью в точке Р и направлением РМ; М и Р суть две
точки поверхности 2, из которых одна точка М неподвижна, а другая
точка Р описывает поверхность 2. Решение ьнешней задачи Дирихле
методом Неймана привело бы к уравнению того же вида, которое по-
получается из первого заменой р (/И) на — р (/И). Эти два интегральных
уравнения представляют частные случаи уравнения Фредгольма:
i,P)p(P)d3p-\-f{M), f(M)=*—g(M), D1)
для.которого
при 1=1 имеем внутреннюю задачу Дирихле, при \ — — 1 —внешнюю
задач/. При произвольном значении X уравнение D1) дает решение
следующей задачи: найти плотность р двойного слоя, расположенного
на поверхности >2, так чтобы соответствующий потенциал двойного
слоя W удовлетворял в каждой точке М поверхности 2 соотношению:
Wt{m—W.{M) + \lWL{M)-Jr-.W-t(Mj\==Avf{M)', D2)
здесь -IFj (M) -и We(M) обозначают пределы, к которым стремится по-
потенциал w М), когда точка М' п; иближ^тся' к точке М, оставаясь
соответственно внутри или вне поверхности 2 (§ 527). Когда две точ-
точки М и И совпадают, ядро К(М, Р). стремится к бесконечности как ^,
но нетрудно видеть, что достаточно двух итерации, чтобы из него по-
получить ограниченное ядро ^ 563). Следовательно, к уравнению D1)
применить теорию Фредгольма.

§ 609 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 169
Союзное интегральное уравнение получится, если мы в ядре поме-,
наем роли двух точек М и Р; мы запишем его так:
, D3)
где К(Р, М) равно -— -*., а ф означает угол внутренней нормали
в точке М с направлением МР. С такого рода уравнением мы встре-
«едися в одной важной задаче, касающейся потенциала простого слоя.
Пусть V есть потенциал, производимый простым слоем плотно:ти р,
т. е. расположенным на поверхности 2. Производные по нормали* этого
потенциала в каждой точке поверхности удовлетворяют соотношениям
§ 538.
dV dV
dV
<*)
Если плотность р(М) удовлетворяет уравнению D3), то произвотные
по нормали cooiBe ствующего потенциала V удовлетворяют соотноше-
соотношение, аналогичному уравнению D2):
^{1+1)^Ш{1~1) + 4яДМ)' D6)
и обратно. Решение интегрального уравнения D3) дзло бы, следова-
следовательно, решение следующей задачи: Найти плотность простого слоя,
расположенного на поверхности 2, так чтоты производные по нор-
нормали соответствующего потенциала в каждэй точче поверхности ?
удовлетворяли соотношению D6). Значения X — 1 и Х = —1 параметра
dV dV
соответствуют тему случаю, когда даны -Г- или —, т. е. внешней за-
апе йп[
даче Неймана или внутренней задаче Неймана (§ 524). Отсюда видно,
Нто две задачи— Дирихле и Неймана—для одной и той же поверхно-
поверхности прив |дятся к двум союзным интегральным уравнениям, причем
внутренней задаче Дирихле соответствует внешняя задача Неймана, W
наоборот.
Напомним сперва некоторые свойства потенциала простого, слоя.
Пусть V, и V2—два потенциала, получаемые от простых слоев плот
яоетей р, и р.,, расположенных по поверхности 2; V, и, V, представ-
представляют две гармонические функции в области D, заключенной внутри 2К
* Мы будем впредь писать -— и v— вместо -~ и —^-. но необходимо
J dtii dnf dnt a,ie
всегда помнить, что эти производные берутся по направлению внутренней
мели. Плотности мы будем обозначать через р, рц ft,.,.

170 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 609
для которых производные по нормали на поверхности 2 имеют конеч-
конечные значения и, следовательно, удовлетворяют общему соотношению
(§ 528):
каждая из эшх потенциалов удовлетворяет также условию:
(S) (О)
С другой стороны, V, и V2 в бесконечности обращаются в нуль,
как —, а их частные производные имеют порядок j- (§ 526), где R
есть расстояние точки (х, у, г) от постоянной точки О. Следовательно,
интегралы \ V^—r—da, распространенные на поверхности сферы с цент-
центром в точке О, стремятся к нулю при неограниченном возрастании ра-
радиуса этой сферы. Если к двум потенциалам Кг и V2 применить фор-
формулы A1) и A3) §528, где интеграция распространяется на область,
ограниченную поверхностью 2 и поверхностью сферы с центром в точ-
точке О, радиус которой неограниченно возрастает, то мы видим, что эти
два потенциала удовлетворяют также соотношению:
и .кроме того, каждый из этих потенциалов удовлетворяет уравнению:
(I) (D-)
где D' есть бесконечная область, лежащая вне поверхности 2.
dV
Если производная — в каждой точке поверхности 2 равна нулю,'
то формула D8') показывает, что V остается в области D' постоянным,
л W bV W , ,
ибо — , ч—, г— должны быть равны нулю в каждой точке области D.
дх Ьу Ьг
Так как V в бесконечности равно нулю, то оно равно нулю во всей
этой области, а следовательно, и на поверхности 2. А если потен-
потенциал V равен нулю на поверхности 2, то он равен нулю и внутри,
ибо он представляет в области D гармоническую функцию. Согласно
соотношению D4) соответствующая плотность будет также равна нулю.
Напротив того, если производная —- равна нулю в каждой точке
dn

§ 609 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 171
поверхности 2, то из формулы D8) вытекает, что V остается постоянным
в области D, а следовательно, и на поверхности 2; но этот потенциал
не остается постоянным в Z)', если только он не равен тождествгнно
нулю. Если исключить два предыдущих случая, то интеграл \ V -j—da
отрицателен, а интеграл I V -z— da положителен. Этот последний инте-
интеграл может быть равен нулю только в том случае, если V, а следова-
следовательно, и плотность р тождественно равны нулю. Из этих свойств по-
потенциала легко получаются свойства резольвенты * уравнений D1) и D3).
1. Все полюсы резольвенты действительны. В самом деле, предпо-
предположим, что существует комплексный полюс >„== а-(-'?• Тогда одно-
однородное уравнение, полученное из уравнения D3) заменою X на 10 и
функции /(/И) нулем будет иметь решение р, (М) -(-/р2 (М), и гармони-
гармоническая комплексная функция Kj-)-/V2, где Ул и Vt — потенциалы
простого слоя, соответствующие плотностям ра и р2, будет удовлетво-
удовлетворять соотношению:
i
dnt
Умножая обе части этого равенства на Уг — iVt и интегрируя по
поверхности 2, мы получим, принимая во внимание формулы D7) и
(try.
dn,
Двойной интеграл в левой части, как мы это видели, может быть равен
нулю только в том случае, если Уг и V2, а следовательно pj и ра,
тождественно равны нулю. Следовательно, отношение -? должно
быть действительным, а для этого необходимо, чтобы было {5=0.
2. Все эти полюсы простые. Пусть, в самом деле, \ будет кратный
полюс. В таком случае существовали бы (§ 578—580) две функции
рг (М) и р2 (М), отличные от нуля и удовлетворяющие соотношениям:
= l[K(P,M)h(P)dap,
to
, Pl (M) + р2(М) =\\К(Р, М)р2(Я)dap.
* Plenjel j, Monafsfiefte fur Math, und Physik, т. XV и XVIII.

172 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 609
Соответствующие потенциалы Уг и V2 удовлетворяли бы также соот-
соотношениям:
dn.
dnt a til dne ant \dne dnt)
Умножим теперь первое из этих соотношений на V2, второе — на—Vlt
сложим и, прошиегуируем по поверхности 2. В силу формул D7> и
D7') получим:
У
(Ч
Но так как эти два интеграла имеют противоположные знаки, то каж-
каждый из них должен быть равен нулю, а первый интеграл может быть
нулем только в том случае, если рг = 0.
3. Нет ни одного полюса меж<1у —/ и -\-1. Пусть; в самом леле,
р(/И) будет фундаментальная функция, соответствующая полюсу X, V—•
потенциал, полученный из слоя плотнрсти р. Полагая в соотношении
D6)/(/И) = 0, умножая его на V и интефируя, получим:
dV . \-\C-.dV.
dne 1-t-X. dnt
Vdn
D ' ' D
Но такое соотношение невозможно, если X заключено между —} й
. . , 1-Х
-4- 1, ибо в этом случае множитель положителен, а между тем
1 -j— к
эти два интеграла имеют противоположные знаки. Следовательно, не-
оэхолим". чтобы оба инте рала были равны нулю, а тогда р(/И) = О.
. 4. /..= / не есть о о5ое значение. В самом деле, если бы ) = 1 бьш?
особым значением, то содласно предыдущей ф. рм)ле мы имели бы по-
Г dV
тенциал V простого слоя, для которого I V—da был бы, равен нулю,
(Ч *
а следовательно, и р тоже было бы равно нулю.
5. X =—/ есть полюс, ргздльвен^ы. В самом деле, если в уравне-
уравнении D1) положить Х = — 1, f(M) = 0, то полученное однородное урав-
уравнение имеет решение р(Л4)=1 cdi-ласпо свойствам интеграла Гаусса
(§ Ьг7). Союзное однородное уравнение
D9)
имеет отличное от нуля решение р, для которого соответствующий по-
тенциал V простого слоя удовлетворяет соотнршению -г—= 0 в каждой
Щ

§ 6C9 П. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 173
точке поверхности 2. Следовательно, этот потенциал остается в обла-
области О постоянным, и решение у^внен; я D9) дает плотность электри-
электрического слоя, распространенного по поверхности и не действующего
на внутренние точки. Этому полюсу Х =—1 соответствует только
¦по одной независимой фундаментальной фуннцчи для каждого из
уравнений D1) и D3), ибо очевидно, что данная масса электричества,
помещенная на изолированном проводнике, может на нем распреде-
распределиться только епинственным образом. Это легко доказа'ь и аналити-
аналитически. Пусть будут в самом деле р1 и р2 два решения уравнении D9).
Им соответствуют два потенциала Уг и V2, каждый из которых сохра-
сохраняет постоянное значение в области D. Тогда можно найти два отлич-
отличных от нуля постоянных а, и аг таких, что аЛЬ\-\-о2У2 будет равно
¦нулю, в области D; но этот потенциал порождается слоем плотности
a,:Pi-\-агр, ; мы имеем, следовательно, а^Л -f- я.,р2 = 0, и два решения р,
и р2 оказываются зависимыми. Тем особым значеньям, абсолютная ве-
величина которых больше единицы, может соответствовать несколько не-
независимых фундаментальных функций. Это имеет место, например, для
сферы. В этом случае ядро К{М, F) равно —-—, если радиус сферы
принять за единицу. Это ядро симметрично, а для него мы нашли осо-
особые значения и фундшентальные функции в §532 Особыми значениями
здесь служат отрицательные нечетные числа — Bт -j- 1), а каждому та-
такому значению—Bт -j- 1) соответствует 2/я -j- 1 различных функций
Лапласа К„ (О, Ф) *-
Внутр.н. 1-я задача Дирихле и внешняя зэдчча Неймана, которые со-
соответствуют неособому значению i=I, имеют всегда единственное
решен е, KOTipoe получается мет дом Фредгольма. Наоборот, оба урав-
уравнения D1) и D3), если в них положить Х =—1, имеют решения только
в том случае, если /(А/1) удовлетворяет добавочному уелчвию, к >торое
получится, если мы напишем, что эта функция ортогональна к фунда-
ментал! ной функции союзного однородного уравнения, соответсткующей
значению X—— 1. Рассмотрим, например, внутреннюю задачу Неймана.
Для того чтобы с)ществовал потенциал простого слоя, удовле1воряю-
dV
щий условию -у—=/(/И) во всех точках поверхности 2, функция f{M)
Ctti •
должна быть ортогональна к соответствующей фундаментальн'й функ-
функции р=1 уравнения D1), т.е. она должна удовлетворять соотношению:
[f(M)diM = 0. E0)
Это условие легко истолковать, ибо оно является простым след-
следствием оэщего соотношения A2) § 528,, которое применимо ко всякой
гармоничес! ой функции в области D, производные которой остаются
конечными на поверхности 2. Если условие E0) выполнено, то задача
• В общем случае решения уравнений D1) и D3) выражаются рядами фун-
фундаментальных функций, как в случае симметрическою идра (Poincare, Acta
mathematical, ъ XX, 1897).

174 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УР-Й § 609-61
Неймана допускает бесчисленное множество решений, которые отли-
отличаются друг от друга только на произвольное постоянное. Все эти ре-
решения можно также получить решением однородного уравнения Фред-
гольма.
Точно так же, для того чтобы уравнение D1) при \ = —1 имело
решение, необходимо, чтобы данная функция f(M) была ортогональна
к функции р, (М), которая представляет плотность простого слоя на
поверхности 2, не действующего на внутренние точки. Но мы знаем,
однако, a priori, что внешняя задача Дирихле допускает решение, ибо
с помощью преобразования лорда Кельвина ее можно свести к внутрен-
внутренней задаче. Это кажущееся противоречие легко объяснить, если заме-
заметить, что гармоническая функция, обращающаяся в бесконечности в нуль,
не всегда может быть представлена потенциалом двойного слоя, ибо
этот потенциал обращается . в бесконечности в нуль, как —. Когда
условие возможности осуществлено, плотность р (М) определяется только
с точностью до постоянного, ибо если увеличить р(М) на произволь-
произвольное постоянное, то потенциал двойного слоя во внешней точке не
изменится.
4
610. Различные замечания. Метод Неймана. Келлог (Kellog) указял на то,
что метод Неймана для решения зада • и Дирихле в случае выпуклой поверхно-
поверхности легко приводится к общей теории Фредгольма. Интегральное уравнение,
которое при этом методе приходится решать (§ 533), имеет вид:
= X' f [p (AQ - р (Р)] g*
(I)
затем разлагают р('И) по степеням X и в полученном ряду полагают X'= 1. Чтобы
оправдать этот процесс, достаточно показать, что искомое решение, рассматри-
рассматриваемое как функция от X', голоморфно внутри области, содержащей круг 1Х'|=^1.
В самом деле, предыдущее уравнение можно переписать в виде:
Р (АО = -j J /Г (Af, P)?(P)d,P + \? (М) f 1. U(M),
(i)
или
Когда X' описывает круг Г' радиуса 1 с центром в точке X' = 0, то пара-
параметр X = ^—v описывает круг Г, имеющий своим диаметром часть действитель-
действительной оси, ограниченную двумя точками с абсциссами Х = 1 и Х = — ¦=-. Согласно
свойствам резольвенты решение р (М), рассматриваемое как функция от X, голо-
голоморфно в области, содержащей круг Г, следовательно, рассматриваемое как
функция от X' это решение голоморфно также в области, содержащей круг V;
и поэтому его разложение по степеням X' сходится пои Х'=1. Таким образом
метод Неймана по существу сводится к томографическому преобразованию над
параметром, который входит в уравнение D1); при этом ясно, что можно себе
представить бесчисленное множество других, ведущих к 1ой же цели.

§ 610-611 П. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПЮИЗВОДНЫХ 175
Метод Робэна (Roben). Полюс 1 = —1 резольвенты есть полюс наимень-
наименьшего модуля, и этому полюсу соответствует единственное решение уравне-
уравнения D9). Чтобы получить это решение, можно, следовательно, применить общий
метод последовательных приближений, изложенный в § 582. Пусть ио(М) есть не-
некоторая непрерывная функция на поверхности S, такая, что интеграл \ u« (M)daM
не равен нулю, например, пусть это положительная функция. Если составить
бесконечную последовательность функций и0 (М), н( (Ai),.... определенную ре-
рекуррентным законом:
"«(м) =)*„-• (
то мы увидим, что при неограниченном возрастании п функция ип (М) имеет
своим пределом решение урявнения D9). Это есть как раз метод, примененный
Робэном для решения залачи о распределении электричества на проводнике,
ограниченном выпуклой поверхностью.
Исследовании внешней задачи Дирихле. Какова бы ни была данная непре-
непрерывная функция f(M) на поверхности S, всякая гармоническая функция, обра-
обращающаяся в бесконечности в нуль и принимающая данные значения нч поперх-
ности Б, может быть выражена как сумма потенциала простого слоя и потенциала
двойного слоя. Положим, что электрическая положительная масса, равная еди-
единице, находится в равновесии на поверхности S, и пусть будет р{ (М) плотность
соответствующего слоя. Мы имеем:
\ PiOW)rf<Mi=i,
(i)
и потенциал V, этого слоя имеет постоянное отличное от нуля значение V{ (M
в каждой точке поверхности S. Кроме того, V, в бесконечности равно 'гулю, и)
его главная часть равна -=г. Пусть С будет такое постоянное, что
Н
Тогда существует такой потенциал W двойного слоя, что в каждой точке М по-
поверхности 2 имеет место соотношение We(M)=f(M) — CVL (M), и гармони-
гармоническая функция
W(x,y,z) + CVl(x,y,z)
дает решение внешней задачи Дирихле Главная часть в бесконечности рав-
Q
на -.j-; следовательно, для того чтобы эта функция могла быть выражена потен-
циалом двойного слоя, достаточно, чтобы С = 0 или чтобы она в бесконечности
обращалась в нуль, как ¦= •
IX'
611. Плоские задачи. Приведенное исследование задач Дирихле и Неймана
в пространстве может быть без существенных изменений повторено для тех же
задач на плоскости, если заменить поверхность 2 замкнутою кривою С без угло-
угловых точек, положить ядро К(М{Р) = *, где г—расстояние двух точек М
и Р кривой С, ср — угол между РМ и внутреннею нормалью в точке Р. Ядром
, — cos <!> ,
союзного уравнения также будет , где ф есть угол между нормалью в точ-
точке М и направлением МР. Доказательства, которые были изложены в § 609,
основаны целиком на свойствах потенциалов простого слоя, выраженных форму-
формулами D7), D8), D7) и D8'). Два первые непосредственно распространяются на
потенциалы в плоскости, если заменить ? на С, а область D пространства —

176 ГЛАВА XXXin. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 611
частью плоскости, лежащею внутри кривой С. Но эю не имеет места в отно-
отношении формул D7') и D8'). Ь самом деле, длл просто; о слоя потенциал V —
— \ f^og—ds обращается в бесконечность как Qloj —- во вс кой точке окруж-
с
ностя Г, имеющей очень большой радиус Р. и центр в определенной точке О
С 1 I
плоскости, причем. Q— \ odi\ разность V—Qlog-r имеет порядок —•. Произ-
с
водная т— , взятая по внутренней нормали окружности Г, имеет вид -+-«,
аи К
где е — член поряака jr. Пусть V, и V2 будут два поте.щиэла, производимых
простыми слоями плотностей р( и р2, расположенными на кривой С. Легко ви-
видеть, что интеграл I ( Vi --— V2 . ' j ds, взятый вдоль Г, стремится к нулю
'г
гри неограниченном возрастании R, так что формула, аналогичная формуле D7),
применима также к двум логарифмическим потенциалам простого слоя. Но
Г dv
интеграл i V-j—ds при неограниченном возрастании R стремится к нулю только
г
если Q = \ р ds. Только в этом случае можно применить к логарифмическому
(С)
потенпиллу V формулу, аналогичную D8), где D' будет означать неограничен-
неограниченную <>бл; сть, лежащую вне С. После етих замечаний ясно, что для того чтобы
результаты, установленные в пространстве, имели место и в случае плоскости,
достаточно показать, что соотношение \pds = Q выполняется для всякого реше-
(С)
ння однородного уравнения:
E1)
Это наверно имеет место, если особое значение \ отлично от — I, ибт фун-
фундаментальная функшя р (in), до жн! быть ортогина..ьна к фундаментальному ре-
решению р = 1 олнпролниго союзного уравнения, соответствующему значению
). = — 1. Все peiy.ibTaTbi, которые были полученч! из формул D7). D8), D7') и
D8') лли случая пространства, оказываются, таким образом, справедливыми и дли
задач на плоскости.
Тем не менее необходимо специальное исследование в случае особого зна-
чейил \^ - 1, к которому пред, ддцее рассуждение непримен. мо. Этот полюс
не может быть кратным, ибо в таком случае существовало бы два потенциала Vit
Vt, которые удовлетворяли бы соотношениям:
(lit (Ш[ апе uut '
йпе cl/ij dne и iii uat й/ц
Из второго мы получаем:
"dV,

§ 6Ц П. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [77
а так как и
то получаем, что также
\pds~0,
с
где р есть соответствующая плотность; рассуждение заканчивается так же, как
и выше.
Значению Х= —1 соответствует только одна независимая фундаментальная
функция. Если бы, в самом деле, р, и р2 были два решения Уравнения E1), то
соответствующие потенциалы Vt и И2 были бы в области D постоянными. Возь-
Возьмем два отличных от нуля постоянных а, и а2 таких, что
\(а,р, 4 aipi'\ds = 0.
(С)
Потенциал ctiVj + ej^s равен нулю в бесконечности и сохраняет постоянное зна-
значение в области D. Так как он сохраняет постоянное значение на кривой С и
является гармонической функцией во внешней области D', то он сохраняет
в D' постоянное значение, а следовательно, во всей плоскости равен нулю. Имеем,
таким образом, также: «^i + aaPa —0>
Следовательно, выводы относительно интегральных уравнений остаются те
же, что и в случае пространства. Следует только сделать несколько замечаний,
касающихся истолкования. Внутренняя зчдача Дирихле имеет единственноэ реше-
решение, которое может быть представлено потенциалом гвойною слоя. Напротив того,
решением внешней задачи Дирихле может быть потенциал двойного слоя только
в том случае, если выполняется еще д )бавочное условие; это понятно, ибэ stjt
потенциал в бесконечности обращается в нуль. Но легко доказать, что всякая
функция, гармоническая ьне кривой С, равна сумме некоторого постоянного и
потенциала двойного слоя. Для внутренней задачи Неймана метод Фрелмльма
дает решение только в том случае, если данная функция f(M), в которую обра-
dV Г
щается на контуре ^~, удовлетворяет соотношению \ f(M) ds=0,— условие,
(С)
которое лежит в существе самой задачи (§ 506). Казалось бы, наоборот, что
внешняя задача Неиманл имеет решение всегда, какова бы ни была функция/(М),
dV ..
которая на контуре равна -j— . по так как это решение представлено потен-
потенциалом простого слоя, то оно в бесконечности вообще не является правильным.
Пусть будетр(М) решение уравнения
= - Г р(Р) ^ dsP +f(M).
С
Умножая обе части на dsM и интегрируя вдоль С, получим:
j р (М) dsM = - j J р (Р) С~^ dspdsM -(- J7(M) dsM.
с ее с
j J
ее
Это соотношение можно написать еще, если в двойном интеграле произвести
Сначала интеграцию по М, в следующем виде:
2 \?{M)dsM=*\f(M)dsM,
12 а. гущ, |, ш, ч.

178 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ §611-^613
Таким образом, для того чтобы потенциал V, полученный от слоя плотности р (Af),
был правильным в бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы было
Это условие необходимо и достаточно для того, чтобы внешняя задача Неймана
имела решение.
612. Задача распределения тепла. К задачам Дирихле и Неймана можно
присоединить еще одну задачу, которая носит название задачи распре-
распределения тепла% где ищется температура тела, если температура урав-
уравновешивается лучеиспусканием. TeMnepatypa U каждой точки тела пред-
представляет гармоническую функцию координат этой точки, которая, кроме
того, удовлетворяет еще следующему условию. В каждой точке М гра-
граничной поверхности 2 имеет место соотношение:
^-h(M)U=f(M), E2)
где А и /—лве непрерывные функции, заданные на поверхности 2.
Если мы хотим эту гармоническую функцию представить как потенциал
простого слоя, расположенного на поверхности 2, то плотность р(М)
этого слоя должна удовлетворять интегральному уравнению:
где 1 надо положить равным единице. Оставляя в стороне общее изу-
изучение этого уравнения Фредгольма, мы покажем только, что в случае,
если h(M) положительно, значение X—1 не является особым значением.
Это условие выполняется в случае задачи о лучеиспускании, и мы бу-
будем его в дальнейшем предполагать выполненным. В самом деле, пусть
однородное уравнение, полученное при Х== 1, f(M) =0, имеет реше-
решение р (Ж), отличное от нуля. Соответствующий потенциал V простого
dV
Слоя удовлетворяет соотношению — = й (М) V в каждой точке поверх-
ности 21, и следовательно, мы имеем:
\
J
()
V— da=\
Но первый интеграл не может быть положительным. Равенство это, сле-
следовательно, может иметь место, только если V равно нулю в каждой
точке поверхности 2, а следовательно, тождественно равно нулю.
Имеем, таким образом, р = 0.
613. Функции, аналогичные функции Грина. Мы здесь ограничимся
только внутренними задачами* и проведем рассуждения для простраи-"
ства трех измерений с единственной граничной поверхностью.
¦ О внешних задачах см. Heywodil Frechet, гл. III.

§613 П. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Vft
Распространение на плоские задачи здесь не представляет никаких
трудностей. Задача Дирихле и задача распространения тепла имеют
всегда еаинственное решение, не требующее никаких добавочных усло-
условий, между тем как задача Неймана имеет решение только в том слу-
случае, если данные значения производной -у— на поверхности 2 удовле-
dni
творяют определенным условиям. Мы уже указывали оегло (§ ^24 и
434), как решение этих различных задач приводится к определению
некоторой гармонической функции частного вида, удовлетворяющей на
поверхности 2 определенным гармоническим условиям. Эти функции,
которые играют ту же роль, что и функция Грина в задаче Дирихле,
получаются путем решения некоторых специальных интегральных урав-
уравнений. Пусть вообще U(M) представляет функцию, правильную в об-
области D, ограниченной замкнутою поверхностью 2. удовлетворяющую
в этой области уравнению
,zi '54)
и имеющей на поверхности 2 конечное значение, как и ее производ-
производная пй нормали. Пусть, с другой стороны, G(M,P) будет функция
координат точки Р, гармоническая в области D, кроме точки М, в ко-
которой она обращается в оесконечность как —.Мы предположим, кроме
dO
того, что и эта функция, а также и ее нормальная производная —-,-
имеют конечные значения на поверхности 2. При этих условиях мы
доказали (§ 534), что значение функции U в точке М выражается
формулой:
Мы предположим сначала, .что F(х, у, z) = 0. Мы получим функцию
Грина в узком смысле, если'выберем G(M, P) так, чтобы G равнялось
нулю в любой точке Р поверхности 2; она, очевидно, получится, если
мы к — =:—: прибавим гармоническую в области D функцию, кото-
которая на поверхности 2 принимает те же значения, что .
В задаче распространения тепла функция G(M,P) получится, если
к — прибавить функцию Gv гармоническую в области D и удовле-
гвйряющу-ю- в- каждой точке Р поверхности 2 условию:
dO,
dn
12»

180 ГЛАВА ХХХШ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 613
эта задача, как мы видели, имеет единственное решение. Если искомая
гармоническая функция U в каждой точке поверхнос?и 2 удовлетворяет
условию
то, выбрав функцию G (М, Р), как указано выше, мы легко убедимся,
что соотношение E5) принимает вид:
ap. E6)
Эта функция G{M, P) >сть также симметрическая функция ко-
координат двух точек М и Р. В самом деле, пусть D' будет область,
ограниченная поверхностью 2 и двумя сферами очень малых радиусов
р и р', имеющими центры в двух произвольных точках /И и /И' внутри D.
Две функции G (М, Р) н G(M',P) суть две гармонические функции
координат точки Р в этой области. К ним можно, следовательно, при-
ненить общую формулу A1) § 528. Следовательно, что разность
P)G{M^P)
' dn к ' an
равна нулю в каждой точке поверхности 2; когда радиусы р и р' стре-
стремятся к нулю, мы в пределе получаем:
G(M, M') = G(M\ M).
В случае внутренней задачи Неймана приходится прибегнуть к не-
несколько иному приему. Пусть М будет любая точка внутри области D,
г—расстояние МР. Известно, что
J йп
(§ 527).
Пусть, с другой стороны, ф (Р) будет любая непрерывная функция
на поверхности 2, удовлетворяющая условию:,
:4ТС.
(г)
Определим гармоническую функцию в области D так, чтобы ее произ-
производная по нормали в каждой точке поверхности 2 принимала значение

§ 613 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 181
это возможно, так как условие E0) выполнено. Прибавляя к этой гар-
гармонической функции —, мы получили функцию G(M, P), удовлетво-
удовлетворяющую следующим условиям:
1. Она является гармонического во всей области D, кроме точки М,
в которой она обращается в бесконечность, как —.
2. В каждой точке поверхности 2 мы имеем:
Эта функция G (М, Р) не определена однозначно, так как зависит еще
от непрерывной функции ф (Р), удовлетворяющей единственному
условию:
Кроме того, к ней можно прибавить произвольное постоянное, не за-
зависящее от Р, но которое может быть произвольною функциею от М.
Когда мы меняем ф(Я), то к функции G (М, Р) прибавляется гармони-
гармоническая функция координат точки Р.
Каждая т этих функций может играть роль функции Грина в ре-
решении задачи Неймана. В самом деле, пусть U будет гармоническая
dU
функция в области D, нормальная производная которой —— равна/(Р)
в каждой точке Р поверхности 2. Если функция G (/И, Р) определена,
как это указано выше, то общая формула E5) дает:
= -^G(M, P)f(P) dap ± ±-^Ъ(Р) U(P) dop.
(S) <*>
Правая часть содержит неизвестный член, который зависит от значений U
на поверхности 2, но этот член не зависит от М, а мы знаем, что
функция U(M) определена только с точностью до постоянного. Общее
решение задачи Неймана, следовательно, имеет вид:
3p + C E7)
где С—произвольное постоянное*. Заметим, что с изменением ф (Р)
функция U(М) изменяется на постоянную.
* Если в задчче Дирихле точно так же в качестве функции G(M,P) взять
функцию гармоническую всюду в области D кроме точки М, в которой она ста-
становится бесконечною, как —, и которая принимает на поверхности S любую не-
непрерывную последовательность значений, не зависящую от М, то формула C7)
§534 лает для U (М) значение, которое будет отличаться от искрмон функции только
«а достоянное.

181 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 613
Мы получим функцию Франца Неймана, если в качестве функции
4тт
ф (Р) возьмем постоянное значение, равное -—, где 6 есть площадь по-
поверхности 2. Так как функция G (.11, Р) определена только с точно-
точностью- до постоянного относительно точки Р, то к ней можно прибавить
постоянное С{М), зависящее только от координат точки М и которое
выбрано так, что
\G(M, P)dap = 0.
Полученная таким образом функция симметрична относительно М и Р.
ДеГствительно, достаточно применить здесь те же рассуждения, какие
были приведены в задаче о распространении тепла к двум, функциям
Ф. Неймана G(MXP) и G(M',P), соответствующим двум произвольным
точкам области D, если принять еще во внимание, что согласно самому
способу определения этих функций мы имеем также:
и следовательно G (М, М') — G (М1, М). Прибавляя к функции G{M, P)
сумму U(M) Л- U{Р), где U есть гармоническая функция в области D,
мы получим бесчисленное множество функций, симметричных относи-
относительно Л) и Я, которые могут заменить функцию Франца Неймана.
Клейн пользовался для той же цели функцией, которая обращается
в области D в бесконечность в двух точках*.
Примечание, а задаче Неймана и в задаче распространения тепла иско-
искомая функция U и вспомогательная функция G(M,P) представляются потенциа-
„ du dG
лами простого слоя. Производные по нормали —, , имеют, следовательно, на
поверхности il конечные значения, и обшая формула Грина применима в области D.
Но это не относится к задаче Дирихле, !ле U и G суть потенциалы двойного
слоя. Но предыдущие рассуждения существенно предполагают существование
нормальных производных и на поверхности 2- Однако можно припи к формуле
C7) ^ 534 при помощи метода, который не требует этого предположения. Дей^
ствителыю, из самою метода Фредгодьма вытекает, что решение задачи Дирихле
дается выражением вида:
u {M) = i. fu {P) R {М< Р) dQp> E8)
где U (Р) — панное значение искомой гармонической функции в точке Р поверх-
поверхности -, a R (М, Р)—функция, не зависящая от U (Р) и играющая роль резоль-
резольвенты. Если в частн'ос'ги положить U(Р) = I на поверхности Ь\ то будем иметь
также U (/И) - 1. и следовательно, функция R(M,P) удовлетворяет условию:
* Uber die partiellen Differentialgleichungen Дм + К?и = 0 u. deren Aultreten
ih der mathem..tischen Fhysik (Пейпииг 1891). Лля изучения задачи Неймана в случае
сферы см. 1; Н a d a m а г d, Legon sur la propagation des ondes, Гл. i.

§ 613 И. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 183
Можно, следовательно, составить функцию g(M, P), гармоническую в области D
и такую, что в каждой точке поверхности ? имеет место соотношение:
dn i > / dn
где г есть расстояние переменной точки Р от точки М внутри Д и формула E8)
может быть записана в виде:
Эта формула, в частности, применима к любой гармонической функции U, для
„ dU „ _ '
которой — имеет на поверхности 2, конечное значение. Преобразовывая пре-
предыдущую формулу с помощью общих соотношений A1) и A4) § 528, мы заклю-
заключаем, что условие
dn \r i
должно быть следствием соотношения
0,
откуда следует, что функция \-g(M,P) равна йа поверхности Б постоян-
постоянному*; это постоянное можно предположить равным пулю, ибо функция g (М, Р)
определена только с точностью до постоянного. Таким образом функция —\-g(M, P)
удовлетворяет условиям, которые определяют функцию Грина. Отсюда видно,
что эта функция очень естественно связана с самым методом Фредгольма.
* Вообще, если условие
\ Vfda =
является следствием соотношения
то же имеет место и для
каково бы ни было постоянное С. Если выбрать С так, чтобы было:
то можно положить /— V— С, и следовательно, необходимо

184 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 614
614. Задачи, связанные с уравнением Д?/= F(x,у, z). Рассмотрим
теперь случай, когда правая часть F(x,y,z) уравнения E4) отлична от
нуля. Мы предположим, что эта функция непрерывна и допускает не-
непрерывные производные первого порядка в области D. Выше (§ 535 и
536) мы видели, как с помощью теории потенциала можно получить
интеграл Ux(x,у, z), который непрерывен вместе со своими производ-
производными первого порядка во всем пространстве.
Полагая U-—U1JrV, мы видим, что новая неизвестная функция
V(х, у, z) есть гармоническая функция в области D, которая на по-
поверхности 2 удовлетворяет одному из трех условий, которые мы только
что рассмотрели.
Если на поверхности 2 задать U(P)=f(P) или же h(P)U(P),
то для возможности решения задачи не требуется никаких добавочных
условий. Она в этом случае всегда имеет единственное решение, кото-
которое можно получить из общей формулы E5), если заменить G (/И, Р)
соответствующей функцией Грина.
В первом случае функция U(M) дается формулою:
^ h\(M'P) F{P)dvp' F0)
в задаче распространения тепла мы имеем:
, P)f(P) dip ~~\g (M, P) F(P) dvp. F1)
Остается внутренняя задача Неймана. Для того чтобы уравнение E4)
име ю интеграл, правильный в области D и удовлетворяющий на по-
поверхности 2 условию -г—=/(Р), необходимо согласно общей формуле
Грина (§ 528), в которой положено щ = 1, ф = U, чтобы
vp = 0. F2)
Это условие также и достаточно, ибо, если положить U=U^-\-V, то
новая неизвестная функция V должна быть гармоническою в области D
и удовлетворять в каждой точке поверхности 2 условию
dn J on
Эта новая задача имеет бесчисленное множество решений, зависящих
от произвольного постоянного, так как согласно предыдущему соотно-
соотношению

§ 614-615 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 185
Все эти решения могут быть также получены непосредственно из об-
общего соотношения E5) и содержатся в формуле:
Ь'(М) = С- 1 ^ О (М, P)f(P) dsp- 1 ^ G (М, F)f (Я) dvp, F3)
B) (Ь)
где Сесть произвольное постоянное, G(M,P) — функция Франца Ней-
Неймана или любая другая функция, коюрая может играть ту же роль.
Все эти задачи совершенно так же решаются и на плоскости, если
только внести несколько очень легких изменений в формулы.
615. Задачи, связанные с уравнением Д?/—}./??/-[- Rr Решение
тех же задач с граничными условиями для уравнения
W=\R(x,y,z)U+Rl{x,y,z) F4)
приводит к новым интегральным уравнениям, ядра которых выражаются
с помощью функции Грина и функций, играющих ту же роль. Мы
ограничимся пока только внутренними задачами, и наши рассуждения
б>дут предполагать пространство трех измерений; переход к плоскости
не представляет никаких трудностей. Предполагается, что области, о
которых идет речь, ограничены замкнутыми поверхностями 2, такими,
что существует функция Грина или функция G (/И, Р), играющая в со-
соответствующей задаче ту же роль, но нет необходимости предполагать,
что поверхность имеет единственную касательную плоскость в каждой
точке. Наконец, мы предположим, что функции R и /?, непрерывны
и допускают непрерывные частные производные в рассматриваемой
области.
1. Задана Дчрихле. Пусть требуется найти интеграл уравнения F4)
правильный в области D, внутренней и некоюрой замкнутjfl поверх-
поверхности X, и принимающий на границе поверхности 2 данные значения,
образующие непрерывную последовательность /(/И). Мы легко приведем
общий случай к случаю, когда /(/И) = 0. Пусть, в самом де ie, U^(x,у, z)
будет функция, правильная в области (D) и принимающая данные зна-
значения на границе, например гармоническая функция. Если положить
и=ил-\- V, то новая неизвестная функция V должна удовлетворять
уравнению того же вида и обращаться в нуль на границе поверхности 2.
Всякий интеграл уравнения F4), правильный в области D и обра-
обращающийся в нуль на границе, должен удовлетворять (§ 534) интеграль-
интегральному уравнению
= ~к \ °{М'р) R (р) U{P) dVp ~ h \
U(M]=-r-\G (M, P) R (P) U(P) dvp \ G (M, P) R, IP) dvp, F5)
ядро которого равно G(M,P)R[P), где G (M, P) есть функция
4тг
Грина для внутренней задачи Дирихле. Это ядро обращается в беско-
бесконечность, как — , когда точка Р неограниченно приближается к точке М,

186 ГЛАВА ХХХШ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 615
но с помощью некоторого конечного числа итераций (§ 563) из него
можно получить ограниченное ядро, и теория Фредгольма применима
к этому уравнению.
Если 1 не есть особое значение ядра, то уравнение F5) имеет ре-
решение; непрерывное в области D и обращающееся в нуль на поверх-
поверхности 2. Отсюда еще непосредственно нэ вытекает, что эта функция
U'(.И) представляет интеграл уравнения F4). В самом деле, для того
чтобы можно было из уравнения F5) получить уравнение F4) необ-
необходимо быть уверенным в том, что его правая часть lRU-\-R^ такова,
что к ней можно применить формулу Пуассона (§521 и 536). Поэтому
достаточно показать, что решение U(M) интегрального уравнения F5)
имеет непрерывные производные первого порядка. Но так как функция
U(Р) непрерывна, то из свойств функции Грина вытекает, что правая
часть формулы F5) представляет сумму объемного потенциала и инте-
интеграла вида:
\G1(M,P)dvp,
5
где функция G-, (М, Р) имеет непрерывные производные по координа-
координатам точки М. Следовательно, вся правая часть имеет непрерывные
производные первого порядка, и решение U(М) уравнения F5) является
интегралом уравнения F4).
При положительном R ядро —-— G (/И, Р) R (Р) есть ядро Шмидта.
Но очевидно, что симметрическое ядро G (М, Р) имеет бечисленное
множество характеристических значений, ибо если бы таких значений
было конечное число, то ядро было бы вида 2(. <р; (М) <р( (Р), где функции <pf
непрерывны (§ 587). Следовательно, и ядро — — G(M, P) R (Р) имеет
бесчисленное множество характеристических значений. Все эти харак-
характеристические значения отрицательны. В самом деле, характеристи-
характеристическому значению \t соответствует фундаментальная функция U^x, v, z,)
которая представляет интеграл уравнения &.U=),;RU, правильный
в области D и равный нулю на поверхности 2. Но такого интеграла,
который был бы отличен от нуля и удовлетворял бы этим двум
условиям, существовать не может, если произведение \R положительно
(см. § 520)*.
2. Задача о распространении тепла. Пусть требуется найти инте-
интеграл уравнения F4), правильный в области D и такой, чтобы в каждой
точке поверхности 2 он удовлетворял условию:
~ — h{M)U=f{M),
* Если R(x, у, z) не имеет постоянного знака в области D, то ядро
G (M, P) R (Р) — полярное ядро, которое также имеет бесчисленное множество ха-
характеристических значений (§ 595); см. уже приведенную диссертацию Saijie-
Jevici,

§ 615 II. ПРИЛОЖЕНИЯ. К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 187
где Л и /—данные функции на поверхности 2. Этот общий случай
можно опять привести к частному случаю, когда /(.И) = 0, если поло-
положить U = ил -f- V, где U: — некоторая правильная в области D ф/нкция,
удовлетворяющая этим граничным условиям. Определение функции U
приводит опять к ре пению интегрального уравчения F5), где <>(М, Р)
означает теперь симметрическую функцию от /И и Я, которая в этой
новой задаче играет роль функции Грина. Можно, как и раньше, по-
показать, что всякое решение уравнения F5) удовлетворяет уравнению F4)
и граничным условиям.
Каждому характеристическому значению \ ядра — — G [М, Р) R (Р)
соответствует решение Ui однородного интегрального уравнения
vp, F6)
(Ь)
т. е. отличный от нуля интеграл уравнения
правильный в области D и в каждой" точке поверхности 2 удовлетво-
удовлетворяющий условию:
%-Щ-о.
an
Если /? положительно, то мы снова имеем ядро Шмидта и, следова-
следовательно, бесчисленное множество характеристических значений. Если h
положительно, то все значения \i отрицательны. В самом деле, если
в общей формуле A0) Грина (§ 528) мы положим 6 = У, <p-^=lt то.
принимая во внимание условия, которым удовлетворяет функция Ut, мы
получим:
(С) (D) I)
Такое тождество явно невозможно, если >,., R и h положительны, если
только Ut отлично от нуля-.
3. Задача Неймана. Поставим себе задачу найти интеграл уравнения
F4), правильный в области D и такой, чтобы его нормальная произ-
dU v ,
водная — в каждой точке на границе поверхности Ъ была равна нулю.
an.
Этот интеграл, с одной стороны, должен удовлетворять условию раз-
разрешимости (§ 614):
([
F7)

188 ГЛАВА ХХХШ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 615
с другой стороны, он удовлетворяет также интегральному уравнению:
I Г
i/ (М) = — 4тг ) G <м• P)frR{P)U{ Р) + '\ (Р)] dvp + С, F8)
(Ь)
где С—постоянное, а функция G(M,P) играет роль функции Грина
для внутренней задачи Неймана. Так как к ней можно прибавить про-
произвольную функцию от Р, то мы предположим, что функция G (М, Р)
выбрана так, что
\O(M,P)R(M)dvM^0. F9)
Такое предположение всегда возможно, если интеграл Г R(M)dvM от-
личен от нуля, что в частности имеет место, когда R положительно.
Когда функция С (М, Р) так выбрана, то система уравнений F7)
и F81 аналогична системе, составленной из уравнений C4) и C5).
в § 607. Подставляя в условие F7), в котором Р заменено на М,
вместо U(M) его значение, полученное из уравнения F8), и принимая
во внимание соотношение F9). мы получим значение постоянного С,
и для определения U остается интегральное уравнение:
G0)
Чтобы получить интеграл уравнения F4), удовлетворяющий гранич-
граничному условию — =/(/И), мы начнем с определения функции ?/,, пра-
правильной в области D и удовлетворяющей этому условию, затем мы
положим U= иг -)- V и тогда придем к предыдущей задаче. Но,
если /—произвольная функция, то в качестве Ux нельзя взять функцию,
гармонич1 Скую в области D. Чтобы получить решение, можно посту-
поступить следующим образом. Рассмотрим объемный потенциал:
(D)
где г—расстояние между двумя точками М и Р, Q — объем области D,
а Н означает интеграл \f{M)diM. Это — функция, правильная в об-
<*
ласти D, и согласно формуле Гаусса (§ 537) имеем:

§ 615 616 И. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 189
Отсюда следует, что можно найти другую функцию «г, гармоническую
в области D и в каждой точке границы удовлетворяющую условию.
dn ~f(m) dn'
Ясно, что сумма ?/=и,-|-и2 пргдстаяляет правильную в области D
функцию, которая удовлетворяет поставленному условию.
616. Колебание упругой мембраны. Фундаментальные функции интеграль-
интегральных уравнений, рассмотренные в предыдущем параграфе, встречаются при ре-
решении большого количества задач матем тической физики, которые приводят
к уравнениям гиперболического или параболического типа. Мы рассмотрим из
них для примера только две. Изучение колебаний упругой плоской мембраны
приводит к определению решения уравнения в частных производных:
*H+™Rb,y)*!!.. G1)
При этом решение это должно быть правильным для любого значения t внутри
области D, ограниченной замкнутою кривою С, на самом контуре С лслжно быть
равно нулю и при f = 0 обращаться в да! ную функцию а(х,у), непрерывную
в этой области, которая на контуре С сама обращается в нуль, в то время как
— обращается в другую функцию ${х,у), равную нулю на контуре С. Разыски-
dt
вая частные периодические решения вига:
V(x, j)cos).< или V(x, У) sin it,
мы приходим к нахождению решений уравнения:
_- + — = - !»/?(*,>) V, G2)
дх* «у1
правильных в области D и обращающихся на контуре в нуль. Это уравнение бмло
рассмотрено в предыдущем параграфе для случая области трех измере 1ий. но
все рассуждения и выводы без труда распространяются m нашу задачу Заме-
Заменяя 1* на — ц, мы видим, что интегрмьиое уравнение, к которому приводится
задача, допускает бесчисленнее мн >жество отрицательных характеристических
вначений, если коэфиишнт R положителен, что здесь как раз и име1Т место
в силу физическою значения этого коэфициента. Существует, таким образом,
бесконечное множество чисел X,- (которые можто предполтгагь положительными):
каждому из которых соответствуют два частных интеграла уравнения G1) ьида,
?,• (х,у) cos (It), ъ{г,у) sin {Щ,
где функции fi на контуре С обращаются в нуль, а внутри этого контура
являются правильными. Если обе функции а (х,\),} (<-, >) разлагаются в абсолютно
и равномерно сходящиеся ряды по функциям ?Л^.>),
« (х, у) = ]? а,Ъ {х, у), Р (х,у) = ^ 1Ь (х, у), G3)
то функция U(x,y,t), определяемая разложением
дает решение поставленной задачи (ср. § 493).

190 ГЛАВА ХХХШ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 617
617. Задача об охлаждении. Задача об охлажтении твердого тела с лу-
лучеиспусканием приводится к следующей задаче аналлза. Определить, интеграл
уравнения в частных производных параболического типа:
bnj + ^+W *(,,,,„?; G5)
йд2 byi йг2 dt
праьильный для всякого положительного значения t в области D, ограниченной
замкнутою поверхностью 2- обращающийся при (-0 в данную непрерывную
в области D функцию а(х,у, г) и удовлетворяющий, кроме того, в каждой точке
поверхности S граничному условию
где R n h суть согласно их физическому значению существенно положитель-
положительные функции. Если искать решения вида U = e-MV,io мы видим, что функция V
должна быть интегралом уравнения
\V + \R(r,y,z) V=0, G6)
правильным в области D и удовлетворяющим на границе поверхности Б гранич-
граничному условию:
Выше (§ 615) мы видели, что существует бесчисленное множество значений X
которые все положительны и для которых зчдача имеет решение. Мы получим
таким образом, бесчисленное множество простых решений вида:
удорлетворяюших грчничному условию. Если функция а (г, v, z) может быть раз-
ложет в абссл.отно и раннбмерно сх >дящи"ся ряд по А, ундаментатьным функциям
нидч 2aiT[ (^ J'.г). то РЯД 2ai^"'-''?i(f. У<z) Дает решение задачи. Мы покажем,
как можно определить эти фундаментальные функции в случае однородной сферы
и однородного цилиагра bj ащения
I. Сфера. В случае однородной сферы, радиус которой мы положим равным
единице, мм можем в уравнениях G5) и G6), в которых h — положительная по-
постоянная, предположить R (х,у, z) = I. Будем искать интеграл уравнения Al'-j-X'/=O
в виде V= Yn(<i, »)/(?), где Yn (в, f) есть функция Лапласа (j .',31) Закетив, что
р"К„(9, <р), есть гармоническая функция, и принимая во внимание выражение
для Л1/ в полярных координатах (т. I), мы найдем, что функция /(а) должна
быть интегралом линейною уравнения:
?У" (?) + 2р/ ¦(?) = [п (п + 1) - Щ f (p); G7)
далее, этот интеграл должен оставаться конечным при р — 0 и удовлетворять
граничному условию/'A)-f-Л/A) =0, ибо производная — берется по внутрен-
внутренней нормали. Это уравнение G7) приводится к уравнению Бесселя (т. II, § 414)
если положить / (р) = рлг, f = _ pS. Таким образом интеграл уравнения G7)
кстопый остается конечным при р=0, с точностью до постоянного множителя,
раьен

§ 617 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 191
Что касается граничного условия, то оно принимает вид:
\
если положить х — —— где И — постоянный множитель, который нетрудно
подсчитать. Но выше мы вилели, что уравнение / (- -, х) =0 имеет
ество отрицательных корней. Между двуд
уравнения есть по крайней мере один ко
,,/2л4-3 \ „,/2л4-3 \
хЧ {—J-, х) + HI (—у- ,х)=0,
бесчисленное множество отрицательных корней. Между двумя последовательны-
последовательными корнями этого уравнения есть по крайней мере один корень уравнения
/2л 4-3
хч \—г;—• х) + ш '
хГ
ибо отношение — в этом интервале изменяется от —оо до -f. оо. В конце кон
цов для всякого целого числа а существует бесчисленное множеств положи-
положительных значений X, таких, что уравнение W-\-\v=0 име.'т правильный инге-
грал вида V— Уп (8, ?)/(?), удивлетв >ряющий граничному условию. И.мення л
от 0 до оо, мы получим все фундаментальные функции *.
В частности, при я = 0_интз1 рал уравнения G7), который для р = 0 остается
sin Y'1-?
Конечным, имеет вид ¦ , и мы снова приходим к уже полученному резуль-
результату (§ 488), только несколько изменив обозначения. Мы видели (т. II, § 414),
что для п, равного произвольному целому числу, общий инте'рал уравнения
Бесссля G!-) выражается с помощью только одной трэнсиендеит юи функции ex.
2. Цилиндр вращения. Рассмотрим еще однородный цилиндр вращения,
в котором мы для простоты положим радиус равным единице, а высоту равной
21 Приняв центр основания за начало, а ось цилиндра за о ь г, применим полу-
полуполярную систему координат (г. со, z) и будем искать интегралы уравнения
Д V-+-ХК вида ZW, удовлетворяющие граничному усовию; причем Z зависит
только от z, a W—от г и ш. Уравнение ДК-|-ХК=О переходит в уравнение
WSZ + Zb\V+ \ZW = О
или
XZ
дг дг
Отношение -у зависит только от г, а отношение -^ зависит только от г и а>.
Отсюда следует, что
\Z-\-kZ— О, ДН/+ k,W=0, (80)
где k и ?( — такие постоянные, что ft-t-&, = X.
Граничные условия, относящиеся к двум основаниям цилиндра, дают для
функции Z:
-—\-hZ=0 при z—l, -j ftZ=0npH z= — l. (81)
Следующее тождество, являющееся следствием первого из уравнений (80):
dz,
* Очевидно, достаточно показать, что всякая функция от р, в, <р может быть
разложена в рид фундаментальных функций при довольно общих условиях (см.,
например, Poincare, Theorie analytique de la proposaiion de la chaleur, глава
XVH).

192 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 618
показывает, что k необходимо положительно, и функция Z имеет вид:
Z = A cos (г \/~k) + В sin (г ]Гк)
Если записать, что функция удовлетворяет двум условиям (81), то мы видим,
что один из коэфициентов А или В должен быть равен нулю, а это дает два
типа решений: Z—sm |iz, Z=cos ц.г, где ц есть корень уравнения ц +- Л tg (j/ = 0
для первого решения и уравнения j*. —/ictgn/ для второго. Каждое из этих
ур внений имеет бесчисленное множество корней (§ 488), и каждому из них со-
соответствует положительное значение k.
Остается найти решение W второго из уравнений (Q0), правильное внутри
круга С радиуса единица с центром в начале, причем это решение должно при
г— 1 удовлетворять условию + Л W= 0. Ищем решения вида W—r" cos na>f(r)
или вида /-«sin /ив /(/¦), где п — целое положительное число. Замечая, что /•» cos nu>
и rn jiii /гш приставляют решения уравнения Лапласа, мы находим (т. I, § 63),
что значение /(/¦) должно удовлетворять уравнению:
г Г кг) 4 Bл + 1) Г (г) + ft,// (г) = О; (82)
если положить в нем <= *—, то оно переходит в следующее:
dt df
Мы снова приходим к уравнению Бесселя, но в то время как в случае сферы
параметр f равен половине нечетного числа, здесь он равен целому числу. Так
как функция W должна оставаться конечной при г—0, то в качестве функции /
, / , k, г- \
мы должны взять функцию 1уп-\-1, ~л~)' и мы покажем> как и в случае
сферы, что граничные условия удовлетворяются для бесчисленного множества
положительных значений ?,. Итак, существует бесчисленное множество фунда-
фундаментальных функций одного из видов:
( » Л- 1 _
4
cos (\l'z) г" sin лев / [п -\- 1, Г г" ) '
sin Ыг) г" cos пи> I ( п 4-1, г1 ) ,
\ 4 '
где щ fi', k, — корни трансцендентных уравнений, не зависящих одно от другого
и допускающих f есконзчное мн жество решений, йюжно доказать, как для сферы,
что все они могут быть получены таким путем.
618. Общее уравнение эллиптического типа. Рассмотрим линейное
уравнение от двух независимых переменных эллиптического типа, при-
приведенное к каноническому виду (§ 473). Введя параметр X, мы его
запишем в виде:
D"^Н (84)
и положим, что а, Ь, с, f— непрерывные функции переменных х, у,
имеющие непрерывные частные производные в области D, ограниченной
замкну 1ым контуром С. Общая займа Дирихле для уравнений этого
типа приводится к отысканию интеграла уравнения этого вида, непре-
непрерывного в области D вместе со своими частными производными двух
первых порядков и равного нулю на контуре С. Гильберт и Пикар
привели »ту задачу к функциональному уравнению Фредгольма двумя

§ 618 П. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 193
различными путями. Мы вкратце укажем принцип метода Пикарз. Если
ур внение (84) имеет интеграл и (х, у), удовлетворяющий поставленным
условиям, то этот интеграл удовлетворяет также интегро-диференциаль-
но.му уравнению (§ 521):
X
L o^ 0f; j
~B)
X G (x, y; S, ij) dZ rfr; + 4 (.v, j;), (85)
где введено обозначение:
ф(*. -v)=—xff/(S' Ti)G{x' у> Sl
G (x, y; ?, »]) есть функция Грина в узком смысле для контура С.
Обратно, всякое решение и(х, у) уравнения (85) будет также интегра-
интегралом уравнения (84), если только к правой части можно применить фор-
формулу Пуассона, что будет иметь место, если функция и(х, у) имеет
непрерывные производные второго порядка. Уравнение (85) в своо
очередь может быть заменено уравнением Фредгольма:
[^^] (86)
(О)
с помощью двух интегрирований по частям (т. I, § 123), если принять
во внимание, что функция и (S, г,) на контуре С обращается в нуль.
Ядро этого уравнения Фредгольма при S = x, ц=у обращается в Сес-
1 г
конечность как —. Следовательно, из него можно с помощью конеч-
г
ного числа итераций (§ 563) получить ограниченное ядро, таким обра-
образом к уравнению (86) можно применить общие результаты главы XXXI.
Для того чтобы можно было от интегрального уравнения (86) пе-
перейти к уравнению в частных производных (S4), необходимо, чтобы
решение и (х, у) было таким, чтобы к нему можно было применить
преобразования, с помощью которых мы перешли от уравнения (84)
к уравнениям (85) и (86). Для этого достаточно показать, что эта
функция и (х, у) имеет непрерывные производные первого и второго
порядков. За доказательством отсылаем к мемуару Пикара {Rendiconti
del Circolo matematico di Palermo, т. 22, 1906).
Из этого метода ясно, почему решение обобщенной задачи Дирихле,
разложенное по степеням \, вообще говоря, не представляет сходяще-
сходящегося ряда, как в случае задачи Коши для уравнения гиперболического
типа. Полученный ряд сходится только, если X меньше наименьшего из
модулей особых значений ядра. Мы видим, кроме того, что обобщен-
обобщенная задача Дирихле имеет вообще решение и притом единственное.
Исключение может быть только в том случае, если \ есть одно из
особых значений ядра уравнения (86).
13 Э. Гурса, t. III, ч. 3.

194 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 618
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Разложен е ядра частного вида. Пусть у(х) будет функция, имеющая
в интервале @, to > 0) непрерывную вторую производную f (х) и удовлетворяю-
удовлетворяющая двум условиям;
о)
\vdx=0, у (<•>)= у @).
о
Если определить постоянные С{ и С2, входящие в общий интеграл уравнения
y"=f(x) (стр. 156;, так, чюбы удовлетворить этим двум условиям, то для у (л) мы
найдем:
у(х) = \К(х, t)f(t)dt,
о
где ядро К{х, t) равно — 1 ¦ при x>t а при t > x равно
О) /СО
х it - to) , t[u>— t) .
— ! . Фундаментальные функции этого ядра, т. е. решение инте-
гралыюго уравнения
ш
<f(x) = \\K(x, t)v(f)dt, (E)
fa
представляют интеграл линейного уравнения е" (х) — ).у (х), котор.,1е удовлетво-
удовлетворяют двум условиям;
<р(ш) — о@), \f{x)d<c — 0.
о
Эти интегралы необходимо периодичны, ибо из последнего условия вытекает
Аг'-п
равенство 1р'(ш) = <р'@). Особые значения суть, следовательно, числа '^—г, где
п — целое положительное число, и каждому особому значению соответствуют
две независимые фундаментальные функции cos -^-^ и sin Jbl ш
to со
Уравнение (Е) можно заменить уравнением с симметрическим ядром:
о
самом деле, ядро К(х, t) удовлетворяет условию:
а следовательно, также и

§ 618 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ'ПРОИЗВОДНЫХ 195
и функция <р(лг) удовлетворяет уравнению (Е'). Обратно, всякое решение инте-
интегрального уравнения (Е1) удовлетворяет условию:
Ш A)
x (x -
,(x)dx = X\ \K(x, t)<((t)dxdt-)A лул "" dx. {<t{t)dt,
0 0 •' -'
или
о
Поэтому имеем также;
а следовательно, tp (х) будет также решением уравнения (Е), если только X не
равно —. Для этого значения ). решение уравнения (Е') должно удовлетворять
диференциальному уравнению:
„, , 12 ,, 12
;?(л);
Си' <.v>
s [t - dt
и условию (р'to) = о @). Легко видеть, что существует только одна независимая
функция <р=1, удовлетворяющая этим условиям.
Итак, ядро Ki (х, у) = К (х, у) -^ имеет те же особые значения
ZCO
с теми же фундаментальными функциями, что и ядро К {х, у), а кроме того, еще
особое значение —.которому соответствует фундаментальная функция »=1.
И это ядро /f, (дг, у) также симметрическое, ибо можно записать, что
... . (х — v) (to — х -f v)
Ki [X, у) = — ¦ ¦' ДЛЯ V < X,
,s , ч (v - дгН<о — у + х)
К, (х, у) = ^— для у > х.
Так как это ядро К\{х, у) симметрическое, и все его особые значения, кроме
первого, отрицательны, то оно может быть прелставлено равномерно сходящимся
рядом, составленным из главных ядер (§ 592). Мы получаем такое разложение:
+ ОО
1 I 2 /2nzv\ , . /2п-к\ . l2nT.v\
Ш^^{{ — ) + зш( —)sm(—)}
1
которое пригодно для всех значений х и у, заключенных между 0 и ш, что легко
доказывается непосредственно с помощью теории рядов Фурье (т. I, § 201—204).
В частности, если положить >» = 0, то для значений х, заключенных между Оно,
получим разложение:
13*
— х) _ u>2 to «--^ 1 Г2тгк\
2i ~l2S2^C°S V
л=1

196 ГЛАВА ХХХШ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 618
Приложение. Пусть будет F(x)— функция, имеющая вторую производ-
производную, непрерывную в интервале @, ш), и удовлетворяющая условию F(a>) = F((l).
Прибавляя к ней постоянное — С, мы можем, очевидно, предположить, что
о
а следовательно, функция F (х) имеет вид:
о
По теореме Гильберта-Шмидта интеграл
может быть разложен в равномерно сходящийся ряд Фурье, и то же можно
сказать, как мы это видели, и о ныражении х(х— си).
2. Полиномы Лежандра. Рассмотрим ядро К(х, s), определенное следующим
образом:
К(х, s) = log(!
для —
К (х, s) = log A — х) + log (I + s) -f 1 — 2 log 2
для — l==c: л: ?=: .s =S 1.
Это ядро симметрическое, и нетрудно показать, что
-Н 41
\ К(х, s) ds=\K(x, s) dx = 0.
—1 -1
Следовательно, всякая функция вида
+1
i(x) = [K{x,s)f(s)ds
-1
удовлетворяет условию:
+1 +1 +1
\ т (х) dx= \ \ К (х, s) / (s) dx ds = 0.
—l —l —l
Приняв это во внимание, рассмотрим однородное интегральное уравнение:
\ >i s)ds.

§ 618 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 197
Если в этом уравнении заменить К(х, s) его выражением, то его можно
будет записать в виде:
? (x) = X \ log A - s) <f (s) ds + I log A -t- x)\ ? (s) ds + \\ log A +s) ? 0) rfs +
-l -l x
+ X log A - x) \ч (s) ds + (\ — 2 log 2) '
Диференцируя его, получим:
x
i'(x) = Ц (х) log A - х) + j^~ [ ч О) ds + Х? (х) log A + лг) - Х? (х) log A + х) +
-1
или
о *
Принимая во внимание условие
{f(s)ds-O,
-1
мы можем правую часть заменить через
*
-1
и новое лиферснцирование дает:
(х* - 1) f" (дг) + 2.г?' (х) + 2Х? (х) = 0. (Е)
Уравнение (Е) только в том случае имеет интеграл, который при x = rtl
остается конечным, если 2Х имеет вид — /z(/z + l), где п — целое положительное
число, и соответствующий интеграл представляет полином Лежандра Рп{х). Об-
Обратно, пусть
1
у (х) - -^ i j /С(дг, s) Я„ (j) rfs;
приведенные вычисления показывают, что у{х) представляет интеграл линейного
диференциального уравнения
(х* - 1) у" + 2ху'- п (п -)- 1) Р„ (х) = О-

198 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 618
Так как этот интеграл для .*:=:*: 1 остается конечным, то он может отли-
отличаться от Рп (х) только на постоянное С, и это постоянное равно нулю, так как
\y(x)dx=\Pn(x)dx = O.
~l -J
Итак, особые значения ядра K(x,s) суть числа
п (п -f-1)
2 "
где п—целое положительное число. Каждому из этих значений соответствует
единственная фундаментальная функция Рп (х).
Главное ядро, соответствующее полюсу — ~ • , имеет вид: СпРа {х) Рп is .
Для определения константы Сп достаточно воспользоваться условием:
-1
которое дает (т. I, § 205)
"~ nKn г If
Следует заметить, что ряд, составленный из главных ядер, не сходится рав-
равномерно, ибо Р„ A)= 1.
Приложение. Пусть F (х) — непрерывная функция, допускающая в ин-
интервале (—1, +1) непрерывные производные F1 (x), F" (х) и удовлетворяющая
условию
+1
\F(x dx = 0.
Положим
/ {х) = cv5 _ 1) F\x) + 2xF' {x) =
/ {х) = cv5 _ 1) F\x) + 2xF' {x) = ~~ {(дс« - 1) F (х)},
+1
-~-] К(х, s)f{s)ds.
Принимая во внимание изложенные выше соображения, а также го обстоя-
обстоятельство, что
мы получим, что

§ 618 II. ПРИЛОЖЕНИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 199
Так как функция Ф(х) при х = ±\ остается конечной, то она отличается от
F (х) только на постоянное слагаемое, а так как
\ Ф (л:) dx = О,
—1
то эта постоянная равна нулю. Таким образом
Л1
F(x) = — ±\ K{x, s)f{s)ds,
и, следовательно, функция F(x) в интервале (—1, +1) разлагается в равномеоно
сходящийся ряд полиномов Лежандра. Теорема остается справедливой для любой
непрерывюй функции и ее двух первых производных, если рассмотреть раз-
разность
+1
-1
3. Охлаждение сферы. Мы видели (§ 488), что в случае, когда температура
зависит только от расстояния до центра, мы получаем простые решения с по-
помощью нахождения интегралов уравнения -— = 1 v (г), удовлетворяющих началь-
начальным условиям
dv
v@) = 0,-т- + hv = 0 для г—-• R.
Можно также легко показать, что интеграл уравнения —/(/•), удовлетворяю-
удовлетворяющий этим начальным условиям, имеет вид:
v\f\=--\K(r, t)f{t)dt,
о
где К (г, t) есть симметрическое ядро, определенное равенствами:
hrt t f , r
,,, hrt
Таким образом искомые функции v(r) представляют собой фундаментальные
функции этого симмефического ядра.
Всякая функция V(г), удовлетворяющая начальным условиям и имеющая
непрерывные производные первою и второго порядков в интервале @, /?), мо-
может быт*, представлена интегралом
R
\K(r, t) V"(t)dt
Ъ
и, следовательно, может быть разложена в равномерно сходящийся ряд Фурье,
членами которого являются фундаментальные функции этого ядра.

200 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 618
4. Уравнение Бесселя. Общий интеграл уравнения
У +ахУ =/(-*)>
в котором предполагается, что я > 1, равен
X
\{i-*s* — s)f(s)ds -(-ЛН-Ч-В.
1
Для того чтобы интеграл при л: = 0 оставался конечным и, кроме того, удовле-
удовлетворял условию у'(\) + Ну A) = 0 (кф<д), необходимо, чтобы было
-=-. s*f(s)ds,
1 U. !
A— а) Л-f Л(Л + 5) = 0.
Отсюда легко получается, что искомый интеграл имеет вид:
1
У — ^^Га I S" Н (Х> *) / ^ ds>
где
Я(дг, *) = **-«+|i @
Н(Х, 5)=5l + «+(l (*SSS<1),
а |х= j . Интегралы уравнения Бесселя
ху" -\-чу' = \ ху,
которые удовлетворяют предыдущим условиям, являются, таким образом, реше-
решениями интегрального уравнения:
ж.
\ Г
у которого ядро имеет вид ядра Шмидта (§ 593).
Примечание. В частном случае, когда а = 1, мы таким же образом при-
додим к интегральному уравнению:
I
« (х) = X \ л'Я(х, s) f (s) ds,
о
где
Я(л, s) — log х + i» для s<jr
и
Я (х, s) = log sf|» для s > д;,

§ 618 II. ПРИЛ0Ж1 НИЯ К УР-ЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 201
5. Задача Дирихле для контура с угловыми точками. Для простоты рас-
рассмотрим замкнутый контур С, имеющий одну угловую точку /Ио с криво шней-
ной абсциссой л о, в которой к.сателы.ые составляют угол a-gi:. Интегральное
уравнение, к которому приводится задача, имеет вид:
~p(s)ds=f(x), (E)
где г и у имеют обычные значения, a ji равно я для х^хо и равно 2я — а для
x=xot§ 505).
Заменим уравнение (Е) уравнением:
c^s •;
г
С
которое отличается от первого только для х — х^. Применяя к этому уравнению
метод последовательных приближений, мы приходим к формальному решению:
Р (х, X) = ?0 (jf) + Хр, (дг) + ... + Ха?л (х) + ...,
где различные члены рп(х) разрывны при х = хо и непрерывны для ясех xipyi их
значений дг. Это легко показать с помощью свойств потенциала двойного слоя.
Положим, что |Х| настолько мало, что ряд равномерно сходится. То1Да это
решение р(л,Х) уравнения (Е') претерпевает разрыв при х = хй, и мы имеем
Вычислим этот разрыв. Для этого обозначим через R{x,\) непрерывную функ-
функцию, равную
р (г, I) для х ф х0
и
р (х 3: ОД) для х = у0.
Уравнение (Е') можно зшисать в виде:
«р (х, I) = I Г ^ [/? (дг, X) - Я E, X)] ds - X/? (лг, X) " ~1 ds + f(x),
С С
и так как первый интеграл есть непрерывная функция (§ 513), то функция
пр {х, I) имеет тот же разрыв, что и функция
с
Таким образом имеем:
л [р (jf, ± 0, X) — р (х0, X)] — — Хг/? (лго, X) + Ха# (г0, X) — I (а — т.) R (хЛ. X)
или, принимая во внимание определение функции R\x, XI:
-t X ^в — a,

202 ГЛАВА XXXIII. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 618
Таким образом непрерывная функция R (х, X) удовлетворяет интегральному урав-
уравнению:
tR (х, X) + X Г C-°rS ? R (s, X) ds=f(x), (E»)
где y = я для д: = дго и y = я + X (я — а) Для л: = лго-
Принимая это во внимание, можно сказать, что если функция р(х, X), кото-
которая является аналитической функцией от X, голоморфна в окрестности точки Х= 1,
то, очевидно, то же имеет место и для функции R (х,\), а последнее ураьнение
(Е") доказывает, что R (х, 1) представляв непрерывное решение уравнения (Е).
Это замечание без труда распространяется на кснтур, имеющий любое число
угловых точек, и на задачу Дирихле в пространстве для поверхности, имеющей
любое число ребер.
Вопрос сводится к доказательству того, что Х=1 не есть особое значение.
для уравнения (Е'). Этот вопсос является предметом важных исследований Kap-ie-
мана (Т. Carleman), изложенных в прекрасном мемуаре „Uber Neumann Poinca-
resche Problem fur ein Qebiet mit Ecke i" (Upsala, 1916). в которых он изучает
особенности функции R(x, X) комплексного переменного X во всей плоскости.

ГЛАВА XXXIV
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
.задачи, которые составляют предмет вариационного исчисления,
представляют собой задачи на максимум и минимум самого различного
характера, в которых требуется определить вид одной или нескольких
неизвестных функций. Мы рассмотрим только наиболее простые из этих
задач, чтобы обратить внимание на специфические трудности; вовникаю-
щие в вопросах этого рода, и чтобы попытаться в то же время дать не-
некоторое представление об успехах, достигнутых в последнее время
в этой области. В этой главе будут рассматриваться только действитель-
действительные переменные *.
I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ. ЭКСТРЕМАЛИ
619. Предварительные леммы. Прежде всего мы установим несколько
очень простых лемм, частными случаями которых мы уже пользовались
и на которых основано все вариационное исчисление.
Лемма I. Пусть F(x)— некоторая непрерывная функция, опре-
Г*
деленная в интервале (х0, xj; если интеграл \т^(х) Г (x)dx равен нулю
для всех возможны к видов функции т\(х), непрерывной вместе со своею
производною т( (х) в интервале (х0, х:) и обращающейся в нуль при
х =х0 и х = хг, то функция F(x) равна нулю во всем интервале
(*о. *i)-
В самом деле, допустим, например, что функция F(x) положительна
для некоторого значения х2, заключенного между х0 и х,; тогда можно
указать такой интервал (?0, ?,), содержащий x2(xQ<Cun<Cx2<^^1<Cx]),
что функция F(x) будет положительна во всем этом интервале (;0, ?а).
Рассмотрим теперь функцию 7j (x), определенную следующим образом:
1. 7] (х) = 0 при х0 ss х «S S0:
2. j] (х) = (х — S, )m (Sj—х)т при LsSatssSj, где т — целое поло-
положительное число, не меньшее 2.
3. 7)(х) = 0 при Sj
* Более полное изложение общей теории, а также исторические указания
читатель найдет в статье „Вариационное исчисление" во французском издании
„En~yctopedie des Sciences mathematiques' Кнезера, Цермелло и Лека (Kneser,
Zermello, Lecat), а также в следующих произведениях: Kneser, Lehr-
buch der Variationsrechnung (Braunschweig 1900). — О. В о 1 г a, Lectures on the
calculus of variations (Chicago 1904). — J. Hadamard, Lecons sur le calcul des
variations (Paris 1910). В этой главе я во многом использовал последние две

204 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 619
Эта функция непрерывна и допускает непрерывную производную
между х„ и х , и, кроме того, ясно, что соответств)iou.ee значение рассма-
рассматриваемого интеграла положительно.
Эти рассуждения, очевидно, останутся в силе, если отбросить неко-
некоторые из условий, налагаемых на функцию 7] (х). Можно также подчи-
подчинить эту функцию г, (х) новым требованиям, например чтобы она до-
допускала непрерывные производные до определенного порятка, которые
бы обращались в нуль при х = х0 и при х~хг Достаточно взять це-
целое число т достаточно большим, чтобы этим условиям удовлетворила
рассмотренная выше функция г( (х).
И, наконец, очевидно, что предложение распространяется на инте-
интегралы вида:
где Flf Fj, F3 — непрерывные функции в интервале (х0, х,), а 7]-,, т]2, 7K—
функции, удовлетворяющие тем же условиям, что и г, (х). Для того чтобы
этот интеграл был равен нулю для всех возможных видов функций 7]-,,
7]2, 7]3, удовлетворяющих этим условиям, необходимо, чтобы функции F,,
F\, F3 были тождественно равны нулю. Позже (§ 627, замечание) мы
встретимся с новыми обобщениями.
Лемма II. Пусть F (х) и 7j (х) — две функции, непрерывные в интер-
интервале (х0, Xj), из которых первая F(к) предполагается определенной.
XJ
Если определенный интеграл \ 7j (x) F(x) dx равен нулю для всех воз-
х„
ложных видов функции 7] (х), для которых интеграл \ г, (х) dx равен
Д>
нулю, то функция F(x) равна постоянной.
В самом деле, если эти условия выполнены, то мы будем также
иметь:
х„
каково бы ни было постоянное С, ибо интеграл ^ 7j (x) dx равен нулю.
Выберем в частности постоянное С так, чтобы было
\ [F(x) — C\dx = 0.
Хо
Если теперь выбрать ri(x) = F(x) —С, то мы будем иметь:
\[F(x) — Cpdx^O,
откуда мы получаем F(x) — C (ср. сгр. 183, сноска).

§ 620 1. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 205
620. Определения. Содержание первой задачи. Пусть F (х, \>,\') бу-
будет функция трех переменных х,у,у', кот.-рая непрерывна вместе со
своими частными производными до третьего порядка длл всех точек
с координатами (х,у), принадлежащих односвязной области ;Н на плос-
плоскости, и для всех конечных значений у'. Во всех примерах, ко'орыемы
будем рассматривать, эта функция F аналитическая. Область 91, кото-
которая в каждом отдельном случае определяется условиями задачи, может
охватывать всю плоско:ть или быть ограниченной одной или несколь-
несколькими граничными кривыми.
Пусть f(x) — непрерывная функция, допускающая непрерывную
производную в интервале (хх, хг); мы будем говорить, что эта функция
принадлежит к классу (I) в интервале (х0, х,). Уравнение у=/(лг) для
всех значений х, изменяющихся от х0 до х1, из< бражает дугу кривой Г,
имеющую в каждой точке касателыпю, угловой коьфициент которой
изменяется непрерывно; говорят также, чт > эта кривая Г принадлежит к
классу (I). Если она расположена в о'ласти 91,то функция / [х, f(x)f (a*)],
полученная из функции F(x,y,y') заменой у на f(x) к у' на/'(х),
непрерывна в интервале (х0, х,), и интеграл
J=\F[x,/(x),f(x)]dx
имеет конечное значение. Мы будем также писать этот интеграл в виде:
J=\F(x,y,y') ix,
г
указывая кривую Г, вдоль которой он взят. Пусть А и В— две какие-
нибудь точки области 9t с координатами (хо,уо) и (хл,у^); мы будем
всегда предполагать, что хо<^х}. Две точки А и В можно соединить
бесчисленным множеством кривых Г класса (I), расположенных целиком
в области 9ь Любая из этих кривых Г определяется уравнением вида
_у=/(х), где функция f(x) есть функция класса (I), определенная
в интериале (хо,х1), удовлетворяющая условиям:
Уо=/(хо)> У: =/<*])
и, кроме того, такая, что точка с координатами [х, /(«:)] остается в обла-
области Ш, когда х изменяется от х0 до хл. Каждой функции/(х), удовле-
удовлетворяющей этим условиям, соответствует определенное значение инте-
интеграла /. Задача, которую мы себе ставим, может быть формулиро-
формулирована так:
Существует ли среди кривых Г класса (I), соединяющих две точки
А и В и расположенных внутри области Ш, такая, что соответ-
соответствующее этой кривой значение интеграла J 6ydtm больше или
меньше, чем для всякой другой кривой, удовлетворяющей тем же
условиям?
Нельзя быть уверенным a priori, что существует кривая Г, отвечаю-
отвечающая поставленным требованиям. Предположим, например, что функ.

206 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 620
ция F(x,y,y') будет всегда положительна для всех конечных значе-
значений У и для любой точки (х,у) в области i)t. Интеграл J имеет, оче-
очевидно, положительное значение для всякой кривой Г, соединяющей две
точки А я В; значение этого интеграла имеет, следовательно, верхнюю
границу от^зО, но отсюда нельзя заключить, что существует кривая Г
рассматриваемого вида, для которой J имеет эго значение т: мы при-
приведем примеры, в которые это будет не так.1
Здесь есть существенная разница между задачами вариационного
исчисления и задачами на максимум и минимум, рассматриваемыми в ди-
ференциальном исчислении; и в самом деле, мы знаем, что, например,
функция одного переменного х, которая непрерывна в замкнутом
интервале (а, Ь), достигает в этом интервале своего наибольшего и наи-
наименьшего значения (т. I, § 8).
Прежде всего мы будем заниматься только нахождением относи-
относительных максимумов и минимумов, т. е, мы будем сравнивать значение
интеграла J вдоль кривой Г, соединяющей дв_> точки А и В, только
со значениями того же интеграла, взятого вдоль близких кривых, удов-
удовлетворяющих тем же условиям. Для определенности мы чаще всего бу-
будем искать минимальные значения, приводя случаи максимальных зна-
значений к первому заменой F на — F.
Задача, которую мы себе ставим, может быть вполне точно форму-
формулирована аналитически. Пусть_у =f(x) будет функция класса (I) в интер-
интервале (хс, х:), принимающая значение у0 при х — х0 и значение уЛ при
х — х, и притом такая, что кривая Г, изображаемая уравнением у=/(х),
находится внутри области Of. Пусть е—положительное число, через
0Je обозначим замкнутую область на плоскости, ограниченную двумя
= Xj, параллельными оси Оу, и двумя кривыми
при этом мы предполагаем число s настолько малым, что вся область Ш,
находится внутри JR. Всякая кривая класса (I), соединяющая две точки А
и В и находящаяся в области J)tE, может бьгь представлена уравнением
вида у=/(х) -)- w (x), где функция со (л) непрерывна, допускает не-
непрерывную производную в интервале (х0, хг) и, кроме того, удовлетво-
удовлетворяет условиям:
g>K>) = °. w(x3)=r0, ;<o(x)|<s для xo<x<xr A)
Мы будем говорить, что функция f(x) дает экстремум для инте-
интеграла J, если можно указать такое положительное число в, что зна-
значение интеграла
J=\F[x,f(x),f(x)]dx
меньше или больше значения интеграла
У'= \ F[x, f(x) -]- ш (х),/' (х) 4- ш' (*)] dx,

§ 620 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 207
где ш (лг) есть произвольная функция класса (I) в интервале (х , хг),
удовлетворяющая условиям A) и не обращающаяся тождественно
в нуль *.
Ясно, что можно найти бесчисленным множеством способов функции
со (.v), удовлетворяющие поставленным условиям и зависящие от любого
числа произвольных параметров. Мы рассмотрим сначала функции ш (х),
зависящие только от одного параметра, и в очень простой форме. Обо-
Обозначим вообще через 7] (х) непрерывную функцию, допускающую непре-
непрерывную производную в интервале (х0, хг) и обращающуюся в нуль на
концах интервала- х0 и .*¦,. Ясно, что кри достаточно малых значе-
значениях ' а\ можно сделать значение функции аг((\) по абсолютной вели-
величине меньше г во всем иитерв ле (х0, х:). 1?сли в функции F[x, f(x),f'(x)\
заменить f(x) на f(x) -j- щ ia), to интеграл J сделается функцией па-
параметра cr
J B) = \ F[х, f(x) -\- аг, (х), / (л) -f ar> (x)] dx, B)
и эта функция до окна достигать минимума для значения а = 0, какова
бы ни была функция 7j (л).
Если разложить эту функцию J (а) в строку Тейлора по степе-
степеням а, то мы получим:
где Л (с) стремится к нулю имеете с я. Величины а/-, а2Л. ... назы-
называются первой, второй и т.д. вариациями интеграла J. Согласно обозначе-
обозначениям, установленным Лагранжем, их обозначают через oJ, S-J, ... , bnJ.
Заметим, что вариация o"J равна произведению а" на значение /г-й про-
d"J
изводной — , взятой для значения я=0. Мы видим, таким образом,
da
что, для тою чтобы функция f(x) давала интегралу J минимум, не-
необходимо должно быть (пользуясь обозначениями Лагранжа):
?/ = 0, o-VSsO;
эти условия должны выполняться, какова бы ни была функция 7] (х),
если только эта функция непрерывна вместе со своею производного
в интервале (х0, х^) и равна нулю на концах этого интервала. Для
случая максимума знак ^> должен быть заменен знаком <\
* Здесь может быть экстремум в узком или в широком смысле. Мы имеем,
например, минимум и ужом смысле, если /< У для всех возможных иидои
функции w(xi; минимум в широком смысле будет, если для некоторых видов
функции си \х) будет иметь место равенство К— V.

208 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 621
621. Первая вариация. Уравнение Эйлера. Применяя обычную фор-
формулу диференцирования под знаком интеграла, мы получим из фор-
формулы B) выражение для первой вариации:
fj (*:)-) , V(A) d<c, C)
где в выражениях — и -—. значения у и у' заменены функциями f(x)
о V ду
и /(>.)• Если функция/(х) имеет непрерывную производную второго
порядка f"(x), то к интегралу
dF , , , .
можно применить интегрирование по частям, что дает:
\oF , _Г oF
J—,r, (x)dx-^(<)by
Х^ Хо
Первый член правой части равен нулю, ибо функция г, (а) на концах
интервала обращается в нуль, и мы получаем вариацию (U в новой
форме: х
Согласно лемме I (§619), для того что^ы иметь оУ—0 для всех возмож-
возможных видок функции 7] (л), необходимо, чтебм коэфициент при 7) (.v) под
знаком интеграла был ранен нулю во всем интервале (х0, А',). Отсюда
мы пол\чаем ncpiioe условие, которому должна удовлешорять функ-
функция /(к)-
Для того чтобы функция f(x) доставляла относительный экстре-
экстремум определенному интегралу У, необходимо, чтобы эта функ-
функция /(а) удовлетворяла дифгренциальнсму уравнению:
bF d /bF
[
Это уравнение было получено впервые Эйлером *. Развернув выра-
d (oF\
жение производной —— (—;) , равенство E) можно написать в виде:
и К \ду J
o2F „ o2F f. o2F ЪР
Ъу'2 ' Ьу Ьу'
*) Institutiones Calculi integralis, т. III. Лагрлнж первый рассмотрел общие
вариации (Oeuvrcs, т. I).

§ 621 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 209
Если функция F содержит у1 (а это и будет в общем случае), то урав-
уравнение F) представляет уравнение второго порядка, и общий интеграл
f(<,a,b) зависит от двух произвольных постоянных а и Ь. Если по-
потребовать, чтобы интегральная кривая проходила через две данные
точки А и В области j)i, то нужно выбрать эти две постоянные так,
чтобы удовлетворялись два условия уо=/(х0, а, Ь), _у1=/(дг1, а, Ь).
Задача, вообще говоря, определенная, ибо число произвольных пара-
параметров, которыми можно располагать, равно числу уравнений. Следова-
Следовательно, всякая функция f(x) класса ([), дающая экстремум интегралу 7,
представляет интегральную кривую уравнения E), проходящую через
две точки А и В. Позже мы исследуем, всякая ли инте1ральная кривая,
удовлетворяющая этим условиям, дает экстремум. Мы будем говорить
вместе с Кнезером, что всякая функция у(х), удовлетворяющая уравне-
уравнению Эйчера, есть экстремальная функция, а также соответствующая
кривая Г есть экстремальная кривая, или экстремаль. Через каждую
точку (х0, у0) области Ш проходит бесконечное множество экстремальных
кривых, но среди них существует только одна, касательная к которой
имеет угловой коэфициент у'о, если только F",, (х0, у0> y'j не равна нулю.
Если вторая производная F"',, отлична от нуля в любой точке области 3J
и для любого значения у', то соответствующая задача вариационного
исчисления назыьается правильной.
Замечание Дю-буа-Реймона (Du Bois-Reymond). Чтобы перейти от
формулы C) к формуле D), мы прелположили, что функция f (х) имеет непре-
непрерывную производную BTi poro порядка; остается показать, что интегралы уравне-
уравнения Эйлера представляют единственные функции f (х) класса (I), для которых
первая вчриаиия равна нулю при любой функции i(\).
Дю-Буа-Реймон первый это показал, но при доказательстве он вместо первой
леммы пользовался второй и применял интегрирование по частям не ко второму
члену интеграла C), а к первому.
Если в выражении — заменить у функцией /(г) класса (I) и у' функ-
Ь
цией /' (х), то в результате этой подстановки получится непрерывная функция
от х, которую можно представить в виде Ф'(«), где Ф (v) есть также непрерыв-
непрерывная функция в интервале (xq, x,). Принимая это во внимание, применим формулу
интегрирования по частям к интегралу I r, (x) -- dx\ получим:
Г
J
г) (х) ~dx=\ Ф' (х) т) (*) dx = [Ф (х) ч (*)]*' — [ Ф (х) ,,' (х) dx,
х„ х0 х>
и мы приходим к новому выражению для 57:
Этот интеграл должен быть равен нулю всякий раз, как
14 Э, Гурса, т. III, ч, %
г1

210 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 621
ибо если взять -ri(:to)~O, то будет также и r,(xi)=0, а в таком случае коэфи-
циент при т/ (х) под знаком интеграла должен быть равен постоянной величине,
и функция /(») удовлетворяет уравнению вида:
М*./@./'(-0] = Ф(г) + С,
где функция F, (г, у, у') имеет непрерывные частые производные первого по-
порядка. Это уравнение, разрешенное от. осительно /' (х), дает решение в виде:
/'(<¦) = i [х, /(i')]. где функции & также имеет непрерывные производные первого
порядка (т. I, §i,6). Отсю'а следует, что/' (i) также имеет непрерывную производ-
производную }"{<•), и, следовательно, /(\) представляет интеграл уравнения Эйлера.
Различные примечания. 1. Так как общий интеграл урав-
уравнения Эйлера содержит только две произвольные постоянные, то экстре-
экстремаль, вообще говоря, определена, если зада 1Ы две ее точки. Но нельзя
задать произвольно две точки экстремали и касательную в одной из этих
точек, а отсюда следует, что соответствующая задача вариационного
исчисления, вообще говоря, не имеет решения. Нельзя, например, по-
поставить такую задачу, среди всех кривых классi (I), соединяющих две
точки А и И и имеющих в точке А касательную, отличную от пря-
прямой АВ, найти такую, длина которой была бы наименьшей. В самом
деле, в этом случае экстремали суть прямые, и среди них нет ни одной,
удовлетворяющей поставленным требованиям. Ясно, что в этом случае
задача не и\;еет решения. С одной стороны, все кривье, удовлетворя-
удовлетворяющие этим условиям, имеют длину, превосходящую расстояние АВ, а
с другой сюроны, среди них можно найти такую, длина которой отли-
отличается от длины АВ как угодно мало.
2. В случае, если функция F(x,y,y') зависит только от у\ уравне-
уравнение (б) приводится к виду _у" = 0, и все экстремали суть прямые.
Если функция F(x,y,y') не зависит от у, то мы непосредственно
получаем первый интеграл уравнения Эйлера. В самом деле, если исхо-
исходить из первоначальной формы E), в которой это уравнение было по-
получено, то мы видим, что в этом случае оно равносильно уравнению
\ р
первого порядка — =С, откуда мы получаем у' = у(х, С), и интегри-
ду
рование приводится к одной квадратуре.
Равносильн ie упрощение мы получаем в том случае, когда функ-
функция F не содержит х. В самом деле, в этом случае мы можем рассмат-
рассматривать уравнение первого порядка между у и у'= р (т. II, ч. 2, § 380):
, У-F dp _ d ( dF\ a/7 dp
P AP)
by by dp dp2 dy dy \ Ър J dp dy '
или
Мы получаем, следовательно, первый интеграл, содержащий только у и у':
')-у'*ъу = С, G)
а теперь достаточно одной квадратуры, чтобы интегрирование уравне-
уравнения Эйлера было закончено.

§ 621-622 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 211
\р
Если функция F не содержит У, уравнение E) обращается в— = 0;
,)у
единственные функции f(x), для которых первая вариация bJ равна
нулю, будут, следовательно, решениями этого уравнения. Экстремали
в этом случае не зависят ни от какой произвольной постоянной.
3. Рассмотрим, как нужно выбрать функцию F(x, у, у'), чтобы инте-
интеграл / не закисел от кривой Г. Для этого необходимо, чтобы первая
вариация bJ была равна нулю, какова бы ни была эта кривая, и, следо-
следовательно, чтобы урав ifние Эйлера привелось к тождеству. Мы должны,
следовательно, иметь F",,= 0, т. е. F есть линейная функция от у':
F=P(x,y)+y'Q(x<y).
Если функция F этого вида, то интеграл J есть криволинейный
интеграл
/= J P(x,y)dx-\-Q(x,y)dy,
(Wo)
между тем как уравнение F) принимает вид ¦ —=0. Найденное
ду оХ
таким образом условие является необчодимым и достаточным для того,
чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования
(т. I, § 152) даже для кривых более общей формы, чем те, которые рас-
рассматриваются в этой главе, например для путей, имеющих конечное
число угловых точек.
4. Заметим еще, что если заменить функцию F через
то уравнение F) не изменится, и оба интеграла, очевидно, одновре-
одновременно достигают максимума или минимума, какова бы ни была функ-
функция 6(х,_у), ибо они отличаются только на постоянное
в(Х]У)-в(х0,уй).
622. Примеры. Пусть F=y*y[ -j-у, где а — произвольней показатель, а
область 91 — часть пл скости над осью Ол. Уравнение Эйлера здесь имеет вид:
уу" — а A -\-у1'2) = 0, и кервый интеграл G) может быть записан в виде:
Это диференциальное уравнение уже было рассмотрено (т. I, § 981), и мы видели,
что интегральные кривые получаются все из кривой f, заданной уравнением;
t
х = ц \ cosh- tdt, y = cosh- t, (§)
j
и
где ц = — — , переносом, параллельным оси Ох в гоыотетическим преобразовав
14*

212
ГЛАЗА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 621
нием относительно начала. Кривая у имеет две совершенно различные формы
в зависимости от знака показателя а. Так как мы рассматриваем только часть кри-
кривой над осью Ох, то достаточно при любом |i изменять
t от j до j. Если а
положительно, то ц отрицательно, и кривяя у симметрична относительно оси Оу,
которая проходит через самую низкую точку кривой. Кривая имеет дье беско-
бесконечные ветви, для которых ось у является асимптотическим направлением, и она
обращена выпуклостью в сторону отрицательных .у. Общий вид ее нап >минает
параболу, если \i по абсолютной величине больше или равно единице; если зна-
значение ц содержится межлу — 1 и 0, то кривая имеет две асимптоты гаоаллель-
ные оси Оу. Наоборот, если а отрицательно, то цп .ложительно, и кривая у имеет
форму, ан. ло: ичную ветьи циклоиды, имеющей ось Оу осью симметрии и огра-
ограниченной двумя точками оси х, где касательная параллельна Оу. Выпуклость
обращена в сторону положительных у.
Так как все экстремали подобны кривой у, то, для того чтобы найти экстре-
экстремаль, проходящую чере; лве южи А и В, находящиеся над осью Ох, достаточно
на кривой у найти две точки а и Ь такие, чтобы хорда ab была параллельна пря-
А^ ас
мой АВ и чтобы было ~в^:=]~' где С к с суть точки пересечения оси Ох
с прямыми АВ и ab соответственно. Так как точкч А к В даны, то направление
хорды ab известно, а также известно отношение k двух от| езков ас и be. Опре-
Определив таким nyien эти точки а и Ь, достаточно олного подобного преобразова-
преобразования, чтобы получить экстремаль, проходящую чегез точки Лий Вопрос легко
решается с помощью геометрических соображений.
Первый случай. П\г:ть а < 0. Кривая у, аналогичная циклоиде, разби-
разбивается на две части PR и ОУ? в точке прикосноьепия касательной RS, парал-
параллельной ab (черт. 99а).
Всякая прямая, п .раллольная этой касательной и проходящая через точку s,
находящуюся между S и Q, встречает дугу RQ в точке т и дугу RP в точке т'.
Отложим на этой пря-
прямой ОТ ТОЧКИ 5г."Л11Ну
s'n = k-s'm. Геоме ри-
ческим местом точек п
будет дуга кривой fi>
обращенная выпукло-
выпуклостью в ту же сторо-
сторону, что и дуга QR и
идущая от точки О к
точке Т, расположен-
расположенной на проюлжении
Черт. 99j.
SR, так что S'T=k-S'R. Пересечение этой дуги fi слугой PR даст искомую точку а.
Эти две дуга всегда имеют общую точку, и притом единственную. Положим,
в самом деле, Ss=--t, sm' = u, s'n = v', и и v будут функциями от t, причем
когда t и (меняется от очень малого положительно! о значения до значения SQ,
вторые производные и" и v" этих функций имеют иротивоплложные зн:ки. Так
как разность и" — v" имеет постоянный знак, то u — v может изме [ить знак не
больше двух раз, а так как эта разность имеет противоположные знаки на концах, то
она проходит через нуль и приюм только один раз. Следо! ател1 но, всегда суще-
существует экстрем к'Ь, и притом единственная, проходящая через две данные
точки А и Я в области St.
Второй случай. Пусть а > 0. В этом случае точка прикосновения R
касательной RS (черт. 99'.i) делит также кривую у на две Сеск< печные ьетви
у' и у". В якая прямая, параллельная эюй картельной и расположенная выше
ее, встречает дуги ¦;' и у" в точках т и т' о ответственно, и если мы на sm
отложим отрезок s/z, пропорциошльный sm (чтобы отношение было больше
единицы), то i еомеггическим местом точек п будет бесконечная ветвь у, исхо-
исходящая из точки Т на RS и имеющая асимптотическое направление, угл вой ко-
эфиниент которого конечен. Две дуги у, и у", обращенные выпуклостью в
противоположные стороны, могут встретиться не больше чем в двух точках.

§ 622
I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ
21с
В данном случае они не имеют ни одной или имеют две общие точки. Через две
точки области 5R проходят, следовательно, либо две экстремальные кривые
(которые моут в частном случае ювпасть), либо не проходит ни одна.
В частном случае, когда прямая АВ параллельна Ох, построение упрощается.
Эти две точ<и можно, очевидно, предположить симметричными относительно
оси Оу, и искомая экстремаль должна быть юмотетична с f относительно начала.
Чтобы получить ксэфиниент гомотетии, достаточно ьз;.ть пересечение прямой ОА
с дугою т- Если а < О, точка пересечения существует и притом единственная, а
следовательно, существует единственное решение. Если а _> 0, то прямая ОА
встречает f в двух точках, если прямые ОА и ОВ расположены в углу, образо-
образованном касательными, проведенными из точки О к .нуге f, и не встречает дуги y
в противном случае. След.шательно, либо существует ова решения, либо ни
одного.
Дадим теперь а несколько част-
частных значений.
1. Пусть а = —1. Формулы (8)
п~едстав 1яют окружность, имеющую
центр в начале координат. Экстрема-
Экстремалями служат полуокружности, име-
имеющие центр на оси Ох. Ясно, что че-
через две точки А и В, расположенные
над осью Ох, проходит экстремаль и
притом единственная.
2. Пусть а = ——. Имеем в этом
случае ц = 2, и формулы (8) дают
циклоиду, имеющую ос; о апием ось
Ох. Экстремальными кривыми, еле
довательно, будут циклоиды, име-
имеющие с он точки возврата на оси Ох.
Мы видели, что чере i две точки А
и В, расположенные по одну сто-
сторону оси Ох, прохедит одна и только
одна такая циклоида, не имеющая между точками А и В ни одной точки
возврата. Этот частный случай дает решение задачи о брахистохроне, постав-
поставленном Иваном Берну ми в 1695 г. — одной из тех задач, изучение которых при-
привело к общей то ори и вариационного исчисления. Формулировка этой задачи та-
коза: через две почки А и В провести таную крчяую, чт > материальная
то та, начавшая езче Ожижение (без трения) из точки А с начальной скоро-
скоростью t'o, двшачсь по этой кривей, пр :хоаит в точку В в кратчайшее время.
Предположим, чо почти очевидно, что искомая кривая должна находиться в рер-
тикально.1 плоскости, сспержаще.1 данные две точки (ср. §623). Приняв эту вер-
вертикальную плоско:ть :j.a плоскость ху, выберем в качестве оси х горизонтлль,
проходящую на высоте h над то-кой А, где начальнчя скорость ?'о равна y?.gh;
ось _у будем считать ншравленною вниз. Скорость движущейся точки, вышедшей
из точки А с начальн ю скоростью } 2gh, в каждый данный момент равна ~V~'2gy ,
и ясно, что эта движущаяся точка может достигнуть точки В только в том слу-
случае, если и эта последняя точка тоже находится под осью Ох. Время, которое
движущаяся точка употребила на переход из точки А в точку В, дается криво-
шнейцым интегралом I . Имеем, таким образом, с точностью до постоян-
A Y2sy
Черт. 99 Ь.
A
ного множителя:
v у
и. следовательно, искомая кривая есть дуга циклоиды, имеющей своим основа-
основанием ось Ох и проходящая через точки А и В так. что между точками А и В
нет пи одной точки возврата.

214
ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 622—623
3. Пусть а=1. Здесь первый интеграл есть у = С} 1 -НУ2, а общий инте-
интеграл состоит из цепных линий, имеющих Ох своим основанием. Мы видели, что
через две точки Л и В, находящиеся над осью Ох, проходит 0 или 2 таких кри-
кривых. В частности, если прямая АВ параллельна оси Ох, то задача сводится
к проведению через данные две точки цепной линии, гомотетичной относительно
начала цепной липли f, которая имеет ось Оу осью симметрии. Если ОТ и ОТ—
две касательные, проведенные из начала к дуге f,
то все гомотетичные цепные линии находятся
внутри угла ТОТ' (черт. 1С0).
Если угловой коэфициеит прямой ОВ боль-
больше углового коэфициента касательной ОТ, рав-
равного 1,5088..., то прямая ОВ встречает цепную
линию в двух точках Л и В. Мы имеем две экст-
экстремали, проходящие через две точки А и В;
чтобы их получить, достаточна взять за отно-
ОВ ОВ _
шение гомотетии отношение -^., или j^j-r,. Если
Черт. 100.
угловой коэфициент прямой ОВ меньше 15088...,
то прямая ОВ не встречает f, и не существует
экстремали, проходящей через точки А я В.
Этот случаи соответствует следующей геомет-
геометрической задаче. Заданы две точки в полупло-
полуплоскости, находящейся над осью Ох, требуется про-
провести кривую, соединяющую эти две точки (и
расположенную над осью Ох), кот рая при вращении вокруг оси Ох давала бы
поверхность вращения наименьшей площади. Если предположить, чго кривчя
класса (I), дающтя этот минимум, существует, то нужно взять F = y~[f\-j-y'-,
а областью 9i будет всегда полуплоскость, расположенная над осью Ох.
Позже мы увидим, что в случае, если экоремали, проходящей, через точки А
и В, не существует, минимум tie достигается на кривой класса (I).
4. Пусть о=-—. Уравнение Эйлера допускает лсрвый интеграл
и экстремальными кривыми являются параболы (л — с)'г-\-(у— с')-=_у-, дчя ко-
которых ось Ох служит директрисой. Фокус экстремали, проходящей через две
точки Л и Л, находится в точке пересечения двух окружнестей, касающихся
оси Ох и имеющих центры соответственно в точках А и В. Дл„ того чтобы эти
окружности перео кались, необходимо и достаточно, чтобы точка В находилась
внутри параболы Р с фокусом в точке А, для которой ось х является касатель-
ною в ьершипс. Различные экстремали, проходящие через точку Л, суть траекто-
траектории тяжелоп м !териал1.н >i't точки, брошенной из точки А в различных направле-
направлениях с олною и тою же начальною скоростью, а пзгаб >ла Р е.'ть не что иное,
как пауаСола безопасности. Этот резулыаг легко получается как приложение
при ;цшш наименьшего действия (см. курсы механики).
623. Случай нескольких неизвестных функций. Метод, изложенный
в §621, распространяема без труда на случай, когда функция F зави-
зависит от нескольких функций переменной х и от их производных первого
порядка. Рассмотрим для определенности функцию F(x,y, z, у'', z'), не-
пр.ривную и допускающую непрерывные частные производные по край-
крайней мере до третьего порядка для значений (х, у, z), взятых в обла-
области di пространства, и для всех конечных значений у' и z'. Пусть
А (хп,у0, z0) и И (л:,, у-,, гг) будут две произвольные точки области 2ft,
и Г—-кривая, соединяющая эти две точки, находящаяся внутри ffi и
заданная двумя уравнениями y=f(x), z=/1 (х), где / и /г—две функ-

§ 623 I ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 215
ции класса* (I) в интервале (х0, Х^). Каждой кривой Г этого вида соот-
соответствует конечное значение интеграла
J=[f[x,/{x)J1 (x),f(x),fl(x)]dx=[F(x, у, г, У, г') dx,
и можно поставить зааачу — определить кривую Г так, чтобы значение
интеграла J (вдоль этой кривой) было больше или меньше, чем его зна-
значение вдоль любой другой кривой того же вида, близкой к первой,
расположенной в области ffi. и соединяющей две точки А и В. Чтобы
формулировать задачу в более точной аналитической форме, достаточно
распространить на пространство все, что было сказано выше (§ 620) для
задачи на плоскости; мы не будем к этому возвращаться. Пусть у =/(х),
z=fi (x) будет система функций класса (I), дающая экстремум инте-
интегралу У; пусть, кроме того, т{(х) и тп(х)—две произвольные функции
класса (I), обращающиеся в нуль при х = х0 и x — xv
Ясно, что если в интеграле J заменить у через f(x) -f-arj (x) и z через
1г(х)-\- аг^(х), то полученный интеграл будет функцией от а,
/(a) = J/=•[*,/(.*) + <")(*). ••• ,f[(x)Jrari'i(x)]dx,
которая при а = 0 достигает максимума или минимума, каковы бы ни были
функции 7] (х), г], (х), лишь бы только удовлетворялись указанные усло-
условия. Классическая формула диференцирования дает:
Интегрируя по частям два последних члена и принимая во внимание
граничные условия для 7) и r)lf получим:
Согласно основной лемме § 619 bJ может быть нулем для всех возмож-
возможных видов функций т] и гп в том и только в том случае, если ) и fx
суть интегралы системы двух уравнений, аналогичных уравнению Эйлера:
Ъу dx
bz dx Uz'

216 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 623
Мы будем говорить, что всякая система решений этих двух уравне-
уравнений определяет экстремальную кривую в пространстве. В развернутом
виде их можно записать так:
+ + У^ +Ъхду' Ьу~ '
d7 ( '
Если определитель
b^FVF ( У' \
не равен тождественно нулю, то эта система может быть разрешена от-
относительно у" и z", что приводит к системе уравнений второго порядка
в нормальной форме:
У=Ч(х,у,г,у',г'); z" = ?,(*,у, г,У, z'). A2)
Отсюда следует, что через каждую точку о'ласти Э? проходит бесчислен-
бесчисленное множество экстремальных кривых, но среди них существует, вообще
говоря, только одна, имеющая к этой точке данную касательную, если
только соответств)щее значение Д отлично от нуля. Если Д не обра-
обращается в пуль во всей области $R для конечных значений у1 и z', задача
называется права иной.
Общий интеграл системы A2) зависит от четырех произвольных по-
постоянных, которыми можно распорядиться так, чтобы, по крайней мере,
если точки А и В не слишком удалены одна от другой, экстремаль
проходила через эти две точки, но нельзя ставить требование — найти
экстремаль, проходящую через эти точки и касающуюся в точке А пря-
прямой заданного направления.
Относительно системы (9) можно сделать замечания, аналогичные тем, какие
были сделаш,! по поводу уравнения Эйлера.
Если в функцию /¦' не входит одно из переменных х, у или z, то система
допускает, в зависимости от того, какой именно случай имеет место, один из
первых интегралов:
F — у' — —г' -С; -~ = С, - =С A3)
0_у ог оу az
Для того чтобы уравнения A0) и A1) обратились в тождества, F должно быть
вила P + Qy' + Rz'. гд- Р, Q и R — функции от х, у, z, удовлетворяющие усло-
условиям интегрируемости (т. I, § 1"Р).
1 / ! 1— i ' ~ ¦-- "'Z
Пример. Пусть F— ' . Если осью z считать вертикаль, на-
правтенную книзу, то это выражение для /• соответствует общей проблеме о брахи-
сюлроне. Так как фупкиич /•' не содержит ни х, ни у, то система (9) в этом
случае допускает два первых интеграла:
у' = Ct ]/~z \/ \ -t-ya-t-z'*, 1 = С% yi у'' \ +y'* + z'-i,

§ 623 -624 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 217
откуда получаем: г ,.
у = р, у = ^х + с»
Экстремальные кривые, следовательно, расположены в вертикальных плоскостях.
Выше мы видели, чт > -ли кривее бы и циклон, ы.
Мы не будем рассматривать случая, когда детерминант тождественно равен
нулю. Позже (§ 645 и след.) мы рассмотрим один важный случаи, когда два урав-
уравнения A0) и (il) совпадают.
621. Случай, когда функция F содержит производные высших порят,-
ков. Точно таким же путем можно вычислить первую вариацию интегралов,
в которых подинтегральная ф>нкция содержит производные неизвестных функции
до какого-нибудь определенного порядка. Пусть для определен.юсти
будет непрерывная функция, допускающая непрерывные частные производные
до я +¦ 2-го порядка для всех конечных значений у'у", ... ,УЛ> и дли всех воз-
возможных положений точки {х, у) в области 91 на глоскостн. Мы будем для крат-
краткости говеть, что функция /(дг), непрерывная и допускающая непрерывные про-
производные до я-го пор дка в интервале (i0, xt), есть функция класса (I)'") в этом
интервале. Если соответствующая кривая Г расположена в области 3i, то опре-
определенный нате рал
J= \F[K,f'(x),f(x), .,.,f(n){x)\dx
имеет конечное значение, и можно поставить задачу: среди всех кривые этого
вида, рчсполчженных внутри 5К и соединяющих две точки А и В этой области,
найти такие, вдоль которых инт.грлл J имеет значение, большее или меньшее
по сравнению с тем же инто ралом, взятым по любой кривом того же класса,
дэстаточно близкой к первой. Пу^ть y=f(x) будет функция класса A)", удовлет-
удовлетворяющая этому условию. Определенный интеграл
*¦!
J(a)^ \ F[r,f(t) г", @ fW(x) + arl<")(t)]dx
должен при а-^=0 достигать максимума или минимума, кок>в.ч бы ни была функ-
функция т) (*) класса A)^, лишь бы только было т\ ( с,) = т) (лг,) = 0. Но мы име.-м:
j' @) = П \F ч (х) + ^ V (х) + ... + ^. Vя1 (•) 1 dx.
J l^y ЬУ Ьу<") J
где значения у,у', ... ,у(п) поставлены вместо /(*),/*(-<¦), ... ,f'n)(\')- Допустим,
что искомая ф\нкцня f(\) имеет непрерывные прои водпь.е до порядка 'In. То1да
можно примени1Ь обобщенную формулу инте1рироваиия по частим A, § 87) к каж-
дому члену вида г—: t\'p) (r), что дает:
ду(р>
di

218 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 624
и мы получаем окончательно для У @) выражение вида:
где Fo, Fi En-i содержат х, у и производные от у не выше Bл—1)-го по-
порядка.
Если в качестве т) (дг) взять выражение, рассмотренное в § 619 и обращаю-
обращающееся в нуль вне интервала (^,5,), находящегося вн;ти (х0, х{), то член, не со-
содержащий интеграла, обращается в нуль на концах, и отсюда следует, что иско-
искомая функция f (х) должна быть интегралом дпференциального уравнения
jq=o.
ду dx
Мы будем называть также экстремальною функцией) всякий интеграл этого
уравнения и экстремальною кривою соответствующую кривую. Так как урав-
уравнение (II) есть вообще уравнение 2л- о п >рядка, то экстремали зависят от 2л
произвольных постоянных. Экстремаль, следова1елыю, не определяется двумя
точками А и В, и так как значения /' (х), f" (х), ... ,/(a-O(jc) не подчинены ни-
никаким услов ям в точк.чх 1--=-*о и л = хк, то значения г{ (г), г" (а), ,.. , т/"-'1 (х)
на двух концах могут быть выбраны произвольно. Для того чтобы f ( ) было
равно нулю при любом выборе этих значений, необходимо, в силу общего ьыра-
ження для J' @), чтобы чыа е.шя функции t (х) и ее 'In—1 первых производных
при х z— л0 и x = xt удовлетворялii соотношениям:
/=¦, = 0, Fi =
Присоединив эти 2/г — 2 соотношения к тем, которые выражают, что экстремаль
проходит через дсе точки А я В, мы получим все 2/г соотношений для опреде-
определения Уп постоянных, от которых зависит экстрегаль.
Можно бы.ю бы также постав :ть несколько иную задачу: найти функции
класса (I)", которые дают экстремум интегралу J среди тех, которые при х = х0
и при я ~xt принимают наперед заданные значения, как и п. — 1 их первых
производных. Тогда функция т\ (х) должна вместе со своими л—1 производными
на концах обрлщ.Т1Ся в нуль, и Д"СТ1Точпо, чт бы функция f(x) была экстремалью,
для т^го чтобы значен е J'@) бы.'.о равно нулю. 2п постоянных от которых за-
зависит эксгрелы.ть, определены ?.п граничными условиями, которым должна удовле-
удовлетворять функция /(л).
Можно было Оы постазить много других задач того же рода, задавшись,
кроме f(x() и /(t,), еще значениями нескольких произв дмых порядка ниже л
при л =л0 B-i-Jti- Дтя того чтобы J' @) было равно нулю, функции /{к) должна
быть экстремалью, и число условия, к торым должна у.-овлетьорять эчетремаль,
всегда равно 2л. В самом деле, если задать, например, значение /(/^(х0), то это
даст соотношение, связывающее- 2л постоянных, от которых эта чкефемаль за-
зависит. Если значение /'/''('о) неопределенно, то т)'/') (х„) может имоть пр; изволь-
ное значение, и коэфициент Рр при т\{Р>(к) в выражении для J' (С) должен при
х = ха равняться hv.tio, а это опять дает условие, налагаемое на 2/г постоянных.
1
Пример. Пусть требуется найти минимум интеграла J=\ y"*dx, причем
и
функция у (\) обращается в нуль при л=0 и при jc— 1. Имеем:
1
/ @) = 2 [у" (х) г/ (v)]J i- 2 \VV)

§ 624-625 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 219
Экстремалями явлгются кубические параболы у — Р% (v) = p\s 4- qxt 4- rx 4- s.
Если функция у(х) не подчинена никакому другому условию, то необходимо,
чтобы было у" @) = 0, у" A) = 0. Две точки @, 0) и (I, 0) суть точки и региба,
и экстремалью служит прямая линия _у = 0. Если задать значения у' @) и _у'A),
то урашение экстремали будет вида:
и, наконец, если задать только значение УA), то экстремаль имеет точку пере-
перегиба в начале координат, и уравнение ее будет, следовательно:
В каждом из этих случаев функция Р3(х) дает абсолютный минимум интегралу,
ибо, если заменить у на Ps (x) -f- dt\ (x), то найдем, что
1
J{a)—J @) -- а2 Г V'2 (x) dx.
о
625. Общее выражение для первой вариации. Займемся теперь вычи-
вычислением первой вариации интеграла при наиболее общих предположе-
предположениях. Положим, что в интеграле
вместо у подставлена функция от х и от некоторого числа парамет-
тров at, непрерывная и допускающая непрерывные производные по х и
по этим параметрам; при этом х0 и х1 также предполагаются функциями
Э1их параметров. Значение интеграла J представляет также функцию
от ап для которой требуется найти полный диферснциал первого по-
порядка. Этот полный диференциал называется первой вариацией инте-
интеграла J, и его обозначают еще через §/. Для вычисления bJ требуется
только применение обычных правил диференцирования под знаком инте-
интеграла. Для определенности положим сперва, что у нас только один
переменный параметр а. Пусть хо = <ро(а), хЛ — (р, (а) будут выражения
пределов х0 и хг как функций а, пгичем <р0 и щ, суть непрерывные
функции, имеющие непрерывные производные в некотором интервале,
например (О, К), Одна из этих функций или обе могут в частности
обращаться в постоянные; это будет тот случай, рассмотрением которого
мы ограничивались до сих пор. Пусть, с другой стороны, _у=/(х, а)
есть непрерывная функция, как и все ее частные производные, которые
будут входить в дальнейшие исследования, в области, заданной неравен-
неравенствами: 0 ^ a sg: h, <р„ (а) ^ х s? (p, (а). Мы предположим еще, что при
зычислении производных второго порядка мы имеем право изменять
порядок диференцирования и что всякая точка с координатами [х,/(х, а)]
остается в области $1. И? наконец, положим f(x)—f(x, 0). Если вместо у

220 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 625
подставить значение f(x, а), то значение / будет функцией J (а) пара-
параметра а, производная которой имеет выражение:
Если функция f(x, а) имеет непрерывную вторую производную по х,
то можно и здесь ко ьирому члену под знаком интеграла применить
формулу интегрирования по частям, и мы получаем:
/м=и*. ,./.?+??
by dx
Член правой части, не содержащий интеграла, может быть преобразован
следующим образом Пусть (х0, vn) и (х,, _у,) будут координаты пере-
переменных концов кривой интегрировании. Эти координаты являются функ-
функциями параметра а, а именно:
xo~To(a)> Уо=2/(хо, Д). -XN = fi (я), j/j =/(д-р а).
Имеем, следовательно:
где _Vq есть угловой коэфициент касательной в точке А к кривой инте-
. dy,
грации. Аналогичную формулу получаем для —! и отсюда
da
, а) (ту0, dx^ Ь/(хп a) dy^, dx,
«а ~~ аа У° dx ' 8а ~~ dx "Vl ~dT'
где у,' есть угловой коэфициент касательной в точке В к кривой инте-
интегрирования. Таким образом проинтегрированный член в выражении для
Fix v у'/ t*F\ (dy°
умножая обе части формулы A6) на 5а, мы получаем общее выражение
для первой вариации:
(T7)

§ 625 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 221
В этой формуле 5у есть диференциал — Ьа самой функции f(x, а),
а Ъх0, 5у0, SaTj, 3vj означают диференчиалы когртинат концов А и В
I*F \ I*F \
пути интегрирования; обозначения —у I , —- не требуют поисне-
\су / о \ су * 1
ний. Можно также формулу A7) записать в бо.:ее сжатой форме:
Чтобы получить У'(П, достаточно разделить обе части этого равенства
на а и приближать а к нулю. Но, если f(x, а) о ределена т >лько для
положительных значений а, то У'@) есть предел частного : ¦
в предположении, что а стремится к нулю, принимая при этом только
положительные значении.
Так как левая часть формулы A8) личейна относитетьно Ъу,Ъх~,Ъу0,
Ьхг, Зу,, то ясно, что эга формула легко распространяется на случай,
К01Д1 х0, хг и у зависят от лююго числа параметров. Нетр>дпо видеть,
что члены, не входящие под знак иниграла, зависит только от беско-
бесконечно малых перемещений концов дуги интефиро шшп и от углового
коэфициента касательной к кривой ишегрир.шат я в этих точках.
Совершенно аналогичным путем мы получим для первой вариации
интеграла У=\ F(x,y, z,y\ z')dx формулу:
где (*о, у0, z0) и (лт,, у:, г,) суть координаты концов дуги интегрирова-
интегрирования. Если функция ^допускает производные высших порм-кой, то с по-
помощью интегрирования по частям можно представить 5J в виде суммы
проинтегрированного члена и определенного интеграла. Мы ограничимся
только предыдущим частным случаем.
Выражение для ЗУ, вообще говоря, содержит определенный интеграл.
Для того чтобы этот интеграл обращался в нуль, необходимо и доста-
достаточно, что5ы кривая, которая получится при рассматрик:емых частных
значениях параметров, от которых зависит кривая интегрирования, была
экстремальной кривой. Это обращение в нуль будет нав рно иметь место,
если мы будем вычислять вариацию интеграта J, взятого вдоль дуги
экстремальной кривой, которая перемещается непрерывно. Следовательно,
первая вариация bJ интеграла., взятою вдоль ду и экстремали, вы-
выражается только через бесконечно малые перем.щеная концов дуги.

222 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ §625-626
Из этой теоремы, основной в вариационном исчислении, вытекает
как частный случай б^льчтое количество известных результатов. Напри-
Например, если F—V 1 -НУ2 -f- г'г, то экстремалями являются прямые линии,
и формула A9) совпадает с той, которая выражает диференциал отрезка
прямой'(т. I, § 84).
Примечание. Если функция F имеет вид: Р {х, у) -+ Q (х, у) у', то фор-
формула A8) принимает вид:
*J= (Ptx + QЫЦ + \ ьУ (Ъ1._*9) dXi B0)
и проинтегрированный член не зависит от направления касательной к луге инте-
интегрирования в точках А и В. Отсюда следует, что с] о мула B0) применима к та-
такому пути интегрирования, который допускает конечное число угл >вых точек.
В этом случае достаточно разбить путь интегрирования на несколько дуг, не
имеющих угловых точек, применить формулу B0) к каждой из них и результаты
сложить.
tp ас?
Если выполняется условие интегрируемости --= — , то формула еще упре-
упреди дх ' "
щается и дает: SJ= (Я8х + QSj')^, что в точности совпадает с известными ре-
зультами il, § 152). Эти замечания распространяются и на формулу A9), если F
имеет иид: Р {х, у, г) + Q (х, у, г)у' + R (х, у, г) г'.
626. Случай переменных пределов. Тгансверсали. Обратимся снова
к задаче, изложенной в § 621, в предположении, что концы кривой
интегрирования переменные. Пусть Со и С^ будуг две кривые, располо-
расположенные внутри области 3i, а Г — кривая класса (I), находящаяся также
в об части %[ и соединяющая точку А кривой Со с точкою В кривой Сх.
Требуется определить эту кривую Г так, чтобы значение интеграла
было больше или меньше значения того же интеграла, взятого для лю-
любой другой кривой того же вида, достаточно близкой к данной и
соединяющей точку кривой Со с точкой кривой СГ Прежде всего оче-
очевидно, что кривая Г должна быть экстремалью, ибо вариация 5J инте-
интеграла должна быть равна нулю, если мы изменяем путь интегрирования,
оставляя концы неподвижными. Предполагая, что это условие выполнено,
вредставим себе, что дуга интегрирования непрерывно изменяется от
начального положения АВ, причем начальная точка А остается непо-
неподвижной, а другой конец В перемещается вдоль кривой С,. Согласно
общей формуле A8), которая дает dJ, мы для этого бесконечно малого
перемещения найдем:
V = [ F (х,, у,, у[) -у[ Г-;, {х,, ул, у1,)] Ьх, + F'y (хг, ул, у[) 1ул,
где (л:,,^) суть координаты точки В, у' — угловой коэфицнент каса-
касательной в точке В к экстремали, Sx1,$yi—диференциалы перемещения

§ 626 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 223
точки В по кривой Сг Для того чтобы дуга АВ давала экстремум инте-
интегралу, вариация bJ должна быть равна нулю, и мы получаем новое
необходимое условие для экстремума
= О. B1)
Точно так же, оставляя точку В неподвижной, а переметая точку А
вдоль кривой Со, мы получим еще одно необходимое условие:
[F(x0, у0,уё) —Уо F'y (х0, у0, у?] Ьх0 + /у (*о. Ус, Уо) Ьо = 0, B2)
где х0, у0 суть координаты точки А, y'v— угловой коэф:;циент касатель-
касательной в точке А к экстремали, охо, Ьу0 — направляющие параметры каса-
касательной в точке А к кривой Со.
Итак, для того чтобы интеграл J достигал экстремума вдоль
кривой АВ, необходимо, чтобы: 1) эта кривая была экстремалью и
2) в точках А и В удовлетчорялись условия B1) и B2).
Эта задача определенная, ибо лва произвольные постоянные, от кото-
которых зависят экстремали, связаны двумя соотношениями.
Если одна из точек А к В остается непостижной, то соответствующее соот-
соотношение B1) или B2) должно быть заменено тем, которое выргжает, что экстре-
экстремаль проходит через данную точку. Например, если кригая Со есть прямая,
параллельная оси у, то мы имеем &хо-=О, и условие B2) принимает ипд:
Fy (ro. Уъ< У, ) = 0; это условие можно также получить из формулы {¦*') § 621,
если обратить внимание на то, что так как лля х = ха значе-ше у не определено,
то значение т\ (л'о) произвольно.
Пусть вообще (х, у) будут координаты точки М экстремали Г,
у' — угловой коэфпциент касательной к ней в этой точке; ох, оу — на-
направляющие параметры касательной к некоторой другой кривой С, про-
проходящей через ту же точку. Вместе с Кнезером мы будем говорить,
что экстремаль пересекает трансеерсально кривую С в точке М, если
величины х, у, у', 5х, Ьу удовлетворяют соотношению:
[F(х, у, У) —yF'y (х, у, У)] Ьх \ F'y (х, у, у') Ьу = 0. B3)
Пользуясь этим термином, мы можем сказать, что соотношения B1) и
B2) выражают, что для того чтобы экстремаль АВ давала экстремум,
она должна пересекать трансеерсально кривые Со и Сг соответственно
в точках А и В.
В частном случае, когда функция F имеет вид: g{x, y)]/'\ -t у''л,
условие B3) переходит в g(ox -\-у'Ъу) = 0; оно выражает, что каса-
касательные к кривым С и Г ортогональны в любой точке, в которой g(x, у)
отлично от нуля, и это условие ортогональности имеет место только
в этом единственном случае. Если g(x,y)=0, то экстремали суть пря-
прямые, и мы приходим к известному уже результату, что линии, дающие
экстремум для расстояния между двумя точками, взятыми соответственно
на ьривых Со и С,, представляют общие нормали к этим двум кривым.
Известно, кроме того, что не все эти нормали дают решение задачи,

224 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЬ § 626
и это показывает, что полученные условия не достаточны и в общем
случае для того, чтобы дуга АВ давала экстремум интегралу J.
Тьк как соотношение B3) л пнейчо относительно ох и 5у, то кри-
кривые С, которое пер секаются трапсверс^льно данною экстремалью в д н-
ной точке, имеют одну и ту же каса1ельную в этой точке. Если задано
се\'ейство экстремалей Г, зависящее от произвольного параметра а, тзк
что через каждую точку области Э? на плоек >сти проходит одна из них,
то существует семейство кривых С, которые пересекаются трансвер-
сально в каж юй точке той экстремалью рассматриваемого семейства, ко-
тор: я проходит через эгу точку. В самом деле, угловой коэфициент у'
касательной к экстремали, которая проходит через точку (х, у), является
в этом случае функцией от х,у, и условие B3) дает диференциальное
dy '
уравнение г ервого поряша —¦ - = '¦? (x, у) для определения кривых С. Мы
будем говорить, что эти кривые С образуют семейство трансверсаль-
ных кривы к.
Обратно, всякая кривая С, которая не есть экстремаль, принадле-
принадлежит к некоторому семейству трансиерсалей. В самом деле, через каж-
каждую точку М кривой С проходит экстремаль Г, которая пересекает
трансверсально кривую С в этой то<ке. (Таких экстремалей может быть
и несколько, если уравнение B3) имеет несколько решений относи-
относительно у', но мы будем рассматривать только те решения, которые изме-
изменяются непрерывно, когда точка /И перемещается по кривой С) Экстре-
Экстремали, полуденные тлким путем, действительно зависят от одного пара-
параметра и нвлнюгея трансверсалями кривой С. Другие трансверсали того
же семеГства получа!ся из кривой С с помощью следующего построе-
построения. Возьмем на экстремали, проходящей через точку /И и трансвер-
сальной к кривой С, точку М' такую, чтобы интеграл
ММ'
имел данное значение К. Когда точка М описывает кривую С, точка М,
описьг аст кривую С, причем одна или обе кривее могут обращаться
в ючку. Согласно союму построению первая вариация iJ интеграла
вдоль М Иг равна ну.но, и эта дуга ММ' трансверсальна к кривой С
в точке М. Согласно общзй формуле A8), которая дчег значение ij, она
должна быть также трансверсал на и к С. Изменяя значение постоянного К,
мы получим семейство трачеверсалей, в которое входит кривая С. Мы пока
только отмечаем это важное предложение, которое является обобщением
хорошо известных свойств параллельных. Позже мы к нему еще вернемся.
Будем теперь искать пространственные кривые Г, которые дают
экстремум интегралу J — \ F {х, у, z, у', г') dx, причем концы А и В
(Ь
кривой Г остаются на двух данных поверхностях 20 и 2,. Прежде всего
очевидно, что кривая Г должна быть экстремалью. Оставляя неподвиж-
.ным один из концов А или В и перемещая другой по соответствующей
дюверхности, мы найдем, что диференциалы бесконечно малых п^реме-

§ 626 1. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ yj.i
щений по этой поверхности должны удовлетворять соотношению, кото-
которое полу жтся, если мы приравняем нулю взри.щиго 57, данную форму-
формулой (.9). Пусть вообще (х,у, z) будут координаты точки М экстремали Г.
У и z' — значения производных в этой точке, 2 — некоторая поверх-
поверхность, проходящая через точку М, и
P{X—x)+Q{Y — y) + R{Z — z) -О
есть уравнение касательной плоскости к поверхности ? в точке М. Мы
будем говорить, что экстремаль Г пересекает трансверсально поверх-
поверхность 2 в точке М, если имеют место соотношения:
F(x,y,z,y,z>)-yFyl-zlF'gl F'y Fz,
. _ _ _ __ _ . B4)
Если записать, что с7=0 тожтественно, в предположении, что точка Л
остается неподвижной, а точка В перемещается по поверхности 1'j
в произвольном направлении, то получатся условия, которые выражают,
что экстремаль АВ трансверсальна к поверхности 1'j в точке В, и со-
совершенно аналогишо получится условие для точки А. Таким образом
экстремаль АВ должна пересекать трансверсально поверхности 1Q и 2.,
в точках А и В соответственно.
Остается еще четыре условия для определения четырех постоянных,
от которых зависят экстремали. Если функция F имеет вид:
то условия B4) выражают, что экстремаль Г ортогональна к поверх-
поверхности 2.
Так как условия B4) линейны относительно Р, Q и R, то направ-
направление К1сательной к экстрем.ми в точке М определяет положи ни.- коса-
тельной плоскости к 2, так чго все поверхности, которые пересекаются
трансверсально одной экстремалью в одной и той же точке, имеют
в этой точке общую касательную плоскость. Отсюда слетует, чго если
задана конгруэнция экстремальных кривых такая, что ч.рез каждую
точку оол'сш R пространства проходит одна ив них, то не всегда су-
существует семейство поверхностей ?, которые пересекались бы трансвер-
трансверсально этими экстремалями (т. II, §440), точно также, как не всегда
конгруэнция прямых мо кет быть сосав:ена из нормалей к поверхности.
Но Л1о">ая поверхность i] входит всепп в семейство трансвсрсальных по-
поверхностей, которые получаются из полерхности Y* таким же построе-
построением, как и в случае плоскости. Через каждую точку М поверхности 2
проходит экстремаль Г, которая трансверсальна к эгой п >верхности.
Возьмем на этой экстремали точку М' такую, чтобы интеграл
[F(x,y, z, >', ;') Jx
ММ'
имел постоянное значение К. Когда точка М описывает поверхнчсть ^!,
то экстремали Г образуют конгр\эниию, и точка М' описывает поверх-
поверхность 2', котрая пересекается трансверсально всеми этими экстремалями.
15 Э. Гуре», г. Ш, 1. 2.

226 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 626—62?
Примечание. Каждая из поверхностей ~0 и 1, может выроишься в кри-
кривую или в точку. Если, например, -а вырождается в кривую Со, то два условия
трансверсальности должны бьпь заменены двумя другими условиями, из которых
одно выражает, что искомая экстремаль встречает кривую Со, а другое выра-
выражается соотношением:
[F(xn, vn, 7,-,; у'о, 4) - /„ j/y ~ z\ !'''~Л ';-co- f''y V« - l:'z- iz» ¦¦ "- 0.
где S.to, Sj'o. Zzi) — направляющие параметры касательной к кривой Са в точке А.
Когда поверхность !'о обращается в точку, то экстремаль должна проходить через
згу точку.
627. Задачи условного экстремума. Во всех предыдущих задачах неизвест
ные функции должны удовлетворять некоторым условиям, в кот ,рых участвуют
только граничные значения. В других задачах, которые называются задачами
условного (или связанного) экстремума, напротив того, искомые функции дол-
должны удовтетворять условиям, в которых участвуют все значения этих функций
в интервале интеграции. Некоторые из этих :<адач приводятся к рассмотренным
уже залачам безусловного или свободного экстремума. Положим, например,
что среди кривых, расположенных на поверхности S и соединяющих две данные
точки этой поверхности, требуется найти такую кривую Г, чтобы ишеграл
•Ч
J--- \ /-'(х, у, г, у', z') d\,
л»
взятый вдоль этой кривой, достигал экстремума. Если предположить, что из урав-
уравнения поверхности координата г выражена как функция от х и у, то задача при-
приводится к первой из задач, рассмотренных в § 621. Таким образом вопросы этого
рола не существенно отличаются от задач свободного экстремума, но иногда бы-
бывает удобнее рассматривать эти вопросы, непо.'редт.еппо используя метсд, ана-
аналогичный методу множителей Лагранжа в обычных задачах максимума и мини-
минимума.
Рассмотрим в качеств,1 примера задачу о проведении кратчайшей линии
между двумя данными точками поверхности. Пусть будут А и В дне данные
точки поверхности S. Всякая кривая Г, лежащая на поверхности 5, соединяющая
эти две точки и не имеющая угловых точек, может быть представлена системой
трех уравнений:
где /ь /о, /3 — функини класса (I), которые удовлетворяют уравнению поверх-
поверхности О (.v, у, г) - 0, а параметр t можно всегда выбрать так, чтобы концам А и
В соответствовали значения параметра 0 и 1. Кроме того, эти функции при ( = 0
и t — 1 должны принимать заданные значения. Среди всех систем функций, удов-
удовлетворяющих этим условиям, требуется найти такую, для которой интеграл
./ ^ \ Ух'* + у'* + г1'-' dt
О
достигает минимума; здесь х, v'.z означают производные Х, — , -г. Заменим
i.t i.t tit
в интеграле / переменные х, у, z функциями <р, (г, а), «.,(?, а). v3(t, а), коюрые при
любом значении параметра а удовлетворяли бы тем же условиям, что и функ-
функции /,, /о,/3, и при а;—0 обращались бы в функции f{, /.,, f3. После этой
подС1ановки инте!рал / становится функцией J[а) н.фа.метра а производная

§ 62? 1. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 2_>7
которой J' при а = 0 после преобра.чоЕЛНий. аналогичных приведенным г. § G'-'i
принимает вил:
(),
где тм, т,,, т,3 — функции or t класса (.), равные соответственно значениям
при i-.. 0. Эти функции при ( -0 и t-¦.. \ обращаются в нуль, но они
?2<г3
da Ji
не независимы в этом интервале, ибо должны для каждой точки кривой Г удов-
удовлетворять соотношению:
'', г '', 1 Ь --- т,; -~0, (i;>)
d.t dy " dz
значение которого очевидно. Для того чтобы соотношение J' @) 0 было след-
следствием условия B5), необходимо и достаточно *, чтобы было
(
at VI'
' X'l-гу'* -L 2
ИЛ"
\ d /
'*) (,t \]
У
до
* Пусть вообще /•",, /j, F, — непрерывные функции от t, данные в интервале
(Ui, t{), гч- r>h ra — Функции класса (I) и этом интервале, которые обращаются
в нуль при f--^o и tr-zt, и удовлетворяют линейному соотношению
гч/i-i rrf2 -;-т„/3 ^0, (А)
где /,/j./а суть непрерывные функции от t. Если эта система функций т1( удов-
U
летворяет еще условию \ (г,,/•", -j- г,.,/-\ -\- т, /•";,) di -. 0, то отсюда следует, что с<>-
'.,
отношения г. ,. г
/i ft fs
имеют место для всякого значения t в иптер] але (ta, t,). В самом деле, усло-
условия (А) будут удовлетворены, если положить
где /.,, X,, 13 — произвольные функции класса A), обр.ацающиеся в нуль при (; ; О
и t= 1."
А так как интеграл
\ lh (F*f.: -Ш t a. (/Tifl - Ш г '•! (Z7,/. - /./'ill <lt
должен быть равен ну чо для всех возможных biuob функций а, то отсюда сле-
следует, что условии (В) выполнены.
15*

228 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 627-628
Эти усприя выражают, что нормаль к поверхности S совпадает с глав-
главною норма ию к кривой Г (т. I, § 22.), ибо отношения
1 х --ту'* + г * } л -—/- tz'i у л'^-\-у'-' + г'-
как раз равны направляющим косинусам касательной. Искомая кривая есть гсо-
сезичес<а-1 /¦ ния (см. л ль i е, «> (.51).
6.8. Изопер мегри lecKHi задачи. Задачи, которые мы сейчас рассмотрим и
которые называются изи^ериметриче'ким i 3aJaia.nu, не могут <<ыть разрешена!
тем же i утем. Пусть тре л-ется срели кривых Г класса (I), р кппложешых
в облми :){ и > оелимяютих две точ^и А (х0, у0, и B{xvyi) эюй области, найти
такие, для которых ише!рал
^i
/,=-\ G{r,y, y)dx
-vo
имеет данное значение С и для которых интеграл
J---.\r(x,y,y')dx
имеет относительный экстремум.
Рассужу,.я, как в § 621, пол^/гнм, что функция \'-^f(x) удовлетворяет всем
этим условием; пусть, с другой сторс пы, тм(\) и г,.г(\) — две функции класса (')
в интервале A0, .г,), обретающиеся в нуль на конщх этого интерв. лз. Если
в функции Г(\, I, \') з м нить у i:a /<л) -f- а,ги (х) -j- z>rri{i~), гдо а, и а., — два
1!роиз?олы.ы.\ параметра, то интеграл J делается фуньщи-й этих параметров:
J(*i.*3^\Flxj4) + =<1r11(c) fd2T,,(v). /'(л) f Ь\ (х) + аХ„ (х)] dx. B7)
Выполнил ту же подстановку в функции С (г, у, у'), мы заменим и интеграл /,
функции! от а, и я,. Гсла записать, что эта функция равна постоянному С, то
получится соотношение, свизьп.ающее диа параметра aL и at:
xi
J,(a,, a,) = \ G[x,f(x)-T d,T,,(i) f a.^,{x), f'(x) t ¦¦¦]dx-^C. B8)
Функция J(i<, с,) от лпух параметров и,, а , связанных соотношением B8), дотжна
достигать м:кси«ум1 пли минимума для значений я!=^я,=:0. Для атого неоЗло-
димо, чтобы было (т. I, § 62):
„ , / A7 \
Преобразуя выражения для производных I ),... подобно тому, как это сде-
сделано в § 621, можно это соотношение записать и виде:
dy'Ji .) [dy

§ 628-629 I. ПЕРВАЯ ВАРИАЦИЯ 229
Гак как Функции т:1 и ц2 незарисимы друг от друга, то обшге значение этих
отюшений должно быь равно постоянной величине /С, не з,1Ы!С1Щ-и от пила
функций т, ((), и, c.iufli.B.iTtJibiio, гл.! всех возм» жных i идов функции г, (i)
кл сса A) в интервале {xq, xt) и обращ ющейся в нуль при х = л0 и x=xt
x.
\
г, (л) ^1_^ _ _"- -!-—^ U.t = 0. B9)
J /
х„
Таким образом искомая функция /(<) представляет собой интеграл диферен-
циал.ною уравнения:
dx L dj'
ь
J
в которое входит непзгесное постояннее К. Следовательно, чкетремгли для дан-
данной задачи, т. е. шпе1рал.1 ьтого уравнение, завись от трех постоянных: К и
двух постоянные, вьеденныч интегрированном. ?ло есть необ.хо имое число по-
стопшых, при котором можно ставить з д :чу о нахождении экстремали, прохо-
проходящей через дне tojkii А и В, вдоль которой интеграл J, принимает длнное
значение С. 3. д.1ча, следовательно, вообпе юворя. определенная. Следует заме-
заметить, что, если и >меиять местами с| унышн F и G, то я\ фереиниалыюе уравне-
уравнение зада ш от этого не изменится, ибо это приведется к замене постоянниго К
на -гт . Это есть обобщение хорошо извести ,го факта в обычных задачах макси-
К
му*а и мииимумп.
Рассмотрим ."ля примера нзопериметрическую задачу в узком смысле, ту,
по которой и назианы все задачи эт й категории Пусть требуется на it i n д\ гу
кривой данной длины S. соединяющую две точки А и В и обрнующую с от-
отрезком АН сегмент шш0олы1.е.1 пл. щади Примем зт ось х прямую АВ и допу-
допустим, что существует кривая Г, соответствующая условиям зчдачи и заданная
уравнением у—/(х), где/(\) есть функция класса A). В эю.1 случае имеем:
F=.y, C^J-'l-гУ', F-KG=--y-K\/"l+y\
Диференциалыюе уравнение (ЗС) допускает первый интеграл (§ 621)-
из которого легко получается общий интеграл:
Таким образом экстремалями являются окружности, и задача приводится к про-
проведению дуги окружности д.ины S, проходящей чере! две точки А и В. Эта за-
задач i MMier решение и прп:ом единственное, если только 5' больше расстояния/
между данным.1 т .чками А и В и меньшее/, по крайней мере, если ограничиться
кривыми клчеса (I) ( р. § 645, 651).
B9. П?| вая вариация двойного интеграла. Пусть будет F(х, у, z, p, о)
функц я 1ь.ти независимых i.временных х, у, z, p, q, пепрерыв (ая вместе со
своими частными п: оьзы дмыми до третьего порядка для зьаюний х, у, z в об-
области № пространства и для любой системы конечных значений ряд. Рассмо-
т; им замкнутую ьриву- I", расположен :ую в области 3t, проекция коюрой на
плоек сть ху представл5ет 3<imkiivt_\ ю кривую С без двойных точек. Пусть, да-
далее, z—f(i, _v) -~ У1 аа ;ение поверхности S, расположенной в области 9L Для
того чтобы эта поверхность S прох1 дила •10->е.) кривую Г, необходимо и доста-
ТОЧМО, Чтобы tf>Vilit.'lHЯ / {¦%> У) Г?РИ! '

230 ГЛАВА XXXIV ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 629
когда точка (х, у) описывает кривую С. Если, кроме того, эта функция, как и
ее частные производные первою порядка, непрерывна во всех точках (х, у) об-
области А плоскости ху, ограниченной кривою С, а также и на самой кривой, мы
будем юворить, что функция f (х, у) и поверхность S принадлежат к классу A)
в* области А. Заменим'в функции /-'переменные z, р, q соответственно через
/(*"¦ J'l. f'x и /'¦ В результате такой подстановки получится функция, непрерыв-
непрерывная в области А. и двойной интеграл
J --\\ F(x, у, z, р, q)dtdy C1)
"Л
имеет конечное значение для всякой поверхности S класса (I). Можно для этого
двойною инглрала поставить задачу, совершенно аналогичную той, которую мы
ставили для кривых, а именно: найти, если она существует, среди повепхностей
.V класса (I), прохо пццих через кривую Г и расположенных в области Щ, такую
поверхность, для которой интеграл C1) имеет значение меньшее, чем для любой
другой поверхности, удовлетворяющей тем же условиям.
Обозначим вообще через т; (лг, у) функцию класса A) в области А, обраща-
обращающуюся в нуль вдоль кривой С. Если z — f (х, у) есть уравнение поверхности
класса (I), проходящей через Г, то уравнение
z-¦-/(<¦, 0 г =", U- J)
представляет пучок поверхностей, проходящих через Г, и функция параметра i
J (а) - \"\ F [ Г, .V, f (X, .1 ) : г.'. (,, у), f[ -: ar'x, f\, -r err,'.] dx dy
'a
должна иметь минимум при а - 0, каков *"ы ни был вид функции г, (г,-у). А для
-лого необходимо, чтобы первая вариация о/ была равна нулю. Обычная фор-
формула диферешшрования под знаком интеграла, которая без ^руда распростра-
распространяется на двойные интегр?лы, дает:
rU0 гт-т,,-!--- '.'yldtdy, C.')
.1
где поели диферлщироваиия z, p и q должны быть заменены на f (х, у), гх, /
соответственно. Положим, что функция /(к, у) допускает частные производные
второю порядка, пенрерь вные внутри С. Тогда формула Грина дает A, § 126):
г'лГ ^ "¦(х' уO (г)\ dxdy-
dp dx \dp/ J
С Л
а так как функция т, (v, у) равна нулю вдоль всей кривой С, то двойной ише-
» d F
грал от т, — - можно заменить двоимым инте!ралом от произведения
dp
. d /dF •
¦', (А". У) — I —
dx \др
с обратным знаком. Поступив точно так же с последним двойным интегралом
формулы C2), мы получаем:
f f , . fdF d / dF\ d /dF\-] _,
J J L«^ dx\dp J dy \bq J J
Y " " '
Для того чтобы варлация 5/ была равна нулю при всех возможных видах функ-
функции т,(\-,у), необходимо и достаточно, чтобы коэфициент при т,(х,у) под зна-
знаком интеграла был равен нулю. В самом деле, положим, например, что этот коз-

§ 629—б':0 И, ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 231
фициент в окрестности точки (а, Ь) внутри контура С положителен; пусть s
положительное число, настолько малое, что окружность С5, описапн.я из центра
(а, Ь) радиусом р, вся находится внутри С и что коэфициент при г, (л\ у) вну-
тои С. положи: елен. Если теперь функцию г, (.v, j') определить так, чтобы было:
1) т, i= 0 вне круга С, и 2) внутри круга С'о
г, (*> У) -- Кх — а) —г(У~Ь)- ¦- s :\!,
то очевидно, что 3/ пуд.-т положительно. Следовательно, для того чтобы функция
fix, у) давала интегрму /минимальное значение, необходимо, чтобы эта" функ-
функция f (х, у) была шнегралом дифер; нциалыюго уравнения в частных производ-
производных второго порядка:
й/7 d /dF > d ()/-"\ _
сЬ ~dx \<V7J "dy i^q) ~~ ' (i4'
аналогичного уравнению Эйлера E).
Мы приходим, таким образом, к решению задачи Дирихле для уравнения
C4) и контура С, т. е к нахождению интегра ,а этого уравнения, непрерывного
вместе со своими частными проишошыми первого порядка и принимающего па
этом контуре последовательность данных значений. Метод, с помощью которого
получено уравнение E4), есть в копне концов не что иное, как распространение
метода Римана, уст.'лилиивающего принцип Дирихле (§ 512)
Пример. Нахождение поверхности минимальной площади, проходящей че-
через данный контур, приводит к нахождению минимума двойного интеграла
Соответствующее уравнение в частных производных имеет вид:
dx
или в раскрытом виде
Это уравнение выражает, что сумма главных радиусов кривизны равна нулю.
Интегральными поверхностями служат поверхности средне!'! кривизны, раиной
нулю, или минимальные поверхности.
Примечание. Для перехода от уравнения C2) к уравнению C3) мы
предположим, что неизвестная функция fix, у) имеет непрерывные частные
производные второю порядка. Соображения Дю-Буа-Реймона, аналогичные изло-
изложенным в § 621, здесь не имеют места (см. упражнения, стр. 294).
И. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Не всякая экстремаль необходимо дает максимум или минимум интег-
интегралу J, как мы в этом уже неоднократно убеждались. Эта экстремаль
должна удовлетворять еще другим условиям, наиболее простое из кото-
которых получится, если выразить, что вторая Еариация имеет постоянный
знак. Мы рассмотрим эти условия для первой из задач, приведенных
в § 621, а чтобы не прерывать ход рассуждений, мы предпошлем заме-
замечание, которым позже придется воспользоваться.
630. Предварительное замечание. Пусть у=у(х) будет функция,
непрерывная в интервале (х0, хг), производная которой '^'(х) имеет
в этом интервате конечное число точек разрыва первого рода (т. I, § 9).
Кривая Г', изображаемая уравненном у -~ъ(х), имеет некоторое числи

232
ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 630
угловых точек, но ни одна из касательных к этой кривой не парал-
лел! на оси у. Д'ы будем д.гя краткости юкорить, что такая функция
щ (х) и кривая Г' принадлежат к классу (II). Ес."и кривая Г' находится
в области $1, определенной выше (§ 620], то интеграл
xt
J1=:\F[x, <f(x), <tl(x)]dx=\F(x, у, y')dx,
т. е. сумма интегралов, распространенных на промежутки, в которых
4f] (х) непрерывна, имеет конечное значение. При этих условиях мы по-
пока-нем, что всегда можно найти такую функцию f (х) класса (I),
которая при х = х0 и х = х, принимает те же значения, что и
функция ц(л), и для. которой значение интеграла
J=(f[x:/(x), f(x)]dx
отличается от значения У, как угодно мало.
Иными словами, всегда можно найти другую кривую Г без угловых
точек, имеющ-ю те же концы, что Г', расположенную внутри области
9i и такую, чю разность значений ин-
^| тегратов вдоль кривых Г и Г' по абсо-
абсолютной величине меньше любого нале
ред заданного полсжит.'льногно числа е.
Положим для определеносги, чго
производная '¦?'(х) имеет межту х0 и
хг единственную тэчку разрыва с.
Кривая, которая изображает измене-
изменение производной 'f'(x), состоит из двух
луг АЕ и DB, которые не связаны.
Пусть h—положительное число такое,
чго с—// и с -j- h заключены ме<кду
х0 и д\,, Р и G — две точки этой
кривой с а'списсами с — h и c-\-h.
Соединим и>с ломаною лшией
FHO, имеющей гершину Н на пря-
прямой ED, п ичем точка Н выбрана на
ней так, что, если п (х) выражает ординаты точек этой ломаной, то
c+h с c\h
\ тт (х) dx — \ а' (л:) dx -f \-J (x) dx.
Черт. 101.
c-h
c-h
Для этого достаю iho выбрать на DE точку Н с ординатой
<b'{x)dx f
h
ч' (с - h)
h)
(Щ

§ 630 II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 233
Допустим, что точка И выбрана именно так, и пусть Ь (лг) будет
вспомогательная фунлция, которая совпадает с <ь' (х) в шпервалах
(х0, с—h) и (c-f-A, х^) и с функцией тг(х) в интервале (с—/г, c-j-Л).
Эта функция непрерывна, а функция
которая также непрерывна и допускает непрерывную производную между
х0 и #¦,, совпадает с функцией <р(х) в интерв лах (хо,с — /;), (с+Л.л,).
Кривая Г, изображаемая уравнением у=/(х), получается из кривой
Г' заменою той части, которая заключена И'ежду двумя точками с абс-
абсциссами с— А и с ¦+- h и котор.я содержит угловую точку, двумя
дугами параболы, которые имеют общую касательную в точке с абсцис-
абсциссой С и каждая из которых касательна к кривой Г' в другом конце.
Для достаточно малых значений h ординаты двух к/ ивых Г и Г' в
интервале (с — Л, с-\- h) отличаются как угодно мало. В самом
деле, при приближении п к нулю 5 стремится к ; — .
Если при изменении х от х0 до х^ производная »' (х) заключена между
двумя числами Р и Q, то при достаточно малом Л число $ также за-
заключается между этими же числами, и то же можю сказать о функции
я(г) в интервале (с — Л, с-\-Н). Но в этом инте, вале мы имеем:
с
f(x) — <f (х) = [ п (л:) dx - [<р (х) — <f{c — h)],
с-ft
и каждый член этой разности может быть сделан меньше любого дан-
данного числа. Отсюда следует, что можно также предпол >жнть кривую Г
расположенной в области Ot Принимай это во в шмание, погожим, что
М есть верхняя граница выражения \F(x, у, у')\ для вех значений
(х, у) в области Щ и для значений у', заключенных между Р и Q.
Ясно, что разность между зн^ениями интеграла \ F(x, у, y')dc, взя-
тым'| вдоль кгивых Г и Г', по абсолютной величине меньше, чем АМН,
и достаточно выбрать h так, что 4Л//г<^?, д-я того чтобы эта разность
была меньше ?. Рассуждения останутся такими же для кривэй, имею-
имеющей р угловых точек. В частности, если интеграл J^ не равен нулю
для функции if' (х) класса (II), то всегда можно найти функцию (р(х)
класса (I), которая на концах интервала принимает те же значения, что
и функция у (*), и для которой ингеграл J имеет тот же знак, что и У.,.
Другое следствие заключается в следующем. Пусть Г и Г' — две
кривые с общими концами, расположенные в 9? соответственно классов
(I) и (!1). Если интеграл У,, взятый вдоль Г', меньше, чем интеграл У.
взятый вдоль Г, то кривая Г не может давать ассолютного минимума
интегралу \ F(x, у, y')dx, даже если ограничиться кривыми класса (I).
•С.;

234 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 630—631
А если в любой окрестности кривой Г можно указать кривую Г'
класса (И) такую, что интеграл У,, взятый вдоль Г', меньше У, то кри-
кривая Г не может давать и относительного минимума.
631. Условие Лежандра. Пусть y=f{x) будет решение уравнения
Эйлера, принадлежащее в интервале (xQ, хг) к классу (I). Если в инте-
грале У=\/7(дг, у, y'jdx заменить у через f(x) -|- щ (>), то, как мы
видели, первая вариация оУ обращается в нуль для всех возможных ви-
видов функции г] (х) класса (I), равной нулю при двух значениях х0 и хг.
Для того чтобы эта экстремаль давала экстремум интегралу У, необ-
необходимо, кроме того, чтобы вторая вариация ?2У имела один и тот же
знак для всех возможных видов функции 7] (х). Установим теперь необ-
необходимые и достаточные условия того, чтобы 52У было положительным,
что соответствует минимуму.
Применяя к интегралу C) формулу диференцирокания под знаком
интеграла, получим:
14 = \ [Рг? (х) -f 2Qrt х) г/ (х) + /?т/' (х)} dx, C7)
где Р, Q и /? означают тс функции от х, которые получаются, если
в частных производных F"y,, F" „ F"yli заменить у через f(x) и у' через
/' (х). Согласно предположениям, которые были сделаны, три функции Р,
Q и R непрерывны в интервале (лг0, х^). Лежандр преобразовывает это
выражение для 52У следующим образом. Пусть со (л:)—некоторая функ-
функция класса (I) в интервале (лг0, хк). Какова бы ни была эта функция,
имеем:
( Bг,т/ш + г^ш') dx = [r,?o)]*j = 0,
ибо ri(x0) = rl (jTjJ^-O, и выражение для 5'-У можно записать в таком виде:
*>У= а2 ('[(/> + о,') rj2 _|_ 2 (Q -1- со) чг/ + А?г/'] «;*. C8)
¦«о
Выберем теперь функцию со так, чтобы коэфициент при dx был точным
квадратом, т. е. так, чтобы было:
(Q-f-coK—/?(/>+ш')»0. C9)
Тогда
\(Ц1)\х. D0,
Отсюда видно, что знак числа R должен в этом вопросе играть ре-
решающую роль. С помощью этого выражения для 32У мы прежде всего
выведем необходимое условие, полученное Лежандром. Для того чтобы

§ 631 II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 235
вторая вариация 52У была положительна или равна нулю для всех воз-
возможных видов функции rt(x), необходимо, чтобы функция R (х) не была
отрицательна ни при одном значении х из интервала (х0, л:-,).
Положим, в самом деле, что R{c)<^0, где с заключено между х0
и хг; при этом можно указать положительное число И, настолько ма-
малое, чтобы R (х) оставалось отрицательным для всех х, удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам с — h^x sgc -f- h. Уравнение F) показывает, что
вторая производная f (х) непрерывна в интервале (с — h, с-\-h), и, сле-
следовательно, функции Р, Q, R также допускают непрерывные производ-
производные в том же интервале. Следовательно, к диференциальному уравнению
C9) можно применить общую теорему Коши (т. II, § 388. 391), а от-
отсюда вытекает, что оно имеет бесчисленное множество непрерывных
интегралов в окрестности точки х = с. Пусть ш (х) — один из этих
интегралов, и пусть (?0, ?,)— интервал, содержащий с и настолько ма-
малый, что функция R (х) в нем отрицательна, а <о (х)—непрерывна во
всем этом интервале (х0 <^ ?0 <С с <^ ;, <^Xj). Рассмотрим функцию 7](х),
определенную следующим образом:
1) г] (х) --=0 при л:ой?хг^о;
2) т{(х)-={х~1ь)Чх-^)*е с при ?„<*<=,;
3) rt(x)=0 при Cjs?.v<.Vj.
Легко видеть, что соответствующее значение o2J имеет знак функ-
функции R (х) в интервале (;0 , 1:), т. е. отрицательный. Таким образом усло-
условие Лежандра необходимо, и. следовательно, во всем интервале (хо,х])
должно быть R (х) ^з 0. Оставляя в стороне случай, когда уравне-
уравнение R(x) =0 имеет корни в этом интервале*, будем впредь считать,
что
R(х) > 0 для x^a-^Xj. D1)
Согласно формуле D0) казалось бы очевидным, что если выполняется
условие Лежандра, то 83У должно быть положительно или равно нулю
для всех возможных видов функции у, (лг). Но следует заметить, что
преобразование, которое мы проделали над d2J, применимо только в том
случае, если функция <о(х) непрерывна в интервале (хо,х-1). Следова-
Следовательно, это заключение законно только в том случае, если есть уверен-
уверенность, что диференциальное уравнение C9) имеет непрерывное решение.
* Если R (х) равно нулю во всем интервале (xo.xt), то из уравнения C9)
следует, что »-- Q, и вторая вариация принимает вид:
АЧ
5*./^аа\(Р - Q')r?dx.
л-»
Для того чтобы вариация о-/ имела постоянный знак, необходимо и достаточно,
чтобы ралюсть Р — О' сохраняла тот же знак во всем интервале. Это имеет
место, например когда функция F имеет вид F-- ау2 +- 2Ьуу'; в этом случае
существует юлько одна экстремаль у -"- 0.

236 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 631 -632
Заметим, что так как R (х0) не равно нулю, то интеграл f(x) может
быть про1олж;н в интервале (Х0,хь), где .Y0<^a:0. Этот интеграл
может бить также продолжен в интервале (xv X,), где Х)^>х1.
Функции Р, Q, R непрерывны и допускают непрерывные производные
в интервале (ХО,ХЛ), и можно также допустить, что в этом интервале
R (х) > 0.
6>2. Условие Я<оби. Уравнение C9) есть уравнение Риккати. Его,
след )вате"ьно, можно привести к линейному уравнению второго порядка
(г. II §402). Положим сначала Q-{-<» = — /?г; уравнение C9) заме-
заменяется уравнением того же вила:
общий интеграл которого, как мы видели (т. И, ч. II, стр. 116), имеет
вид: z = — , где и есть общий интеграл линейного уравнения, введен-
введенного Якоби, которое представляет собой не что i ное, как уравнение
Эйлера, составе.iii_e для ф\нкшш /7=Aw2-f 2Quu¦'-\- Ru'2, и имеет
вид:
Ч' («) = и" + |' и -{- fc^ « = 0. D3)
Следовательно, о'щий интеграл уравнения C9) будет:
D4)
Q
Все интегралы уравнения Якоби сепре; ывяы в интервале (хо,х^),
и дтя того чтобы уравнение (Зч) д пуск.л) интеграл со, Htnpj-
ры: н jil в эте м интервале, необходимо и достаточно, чюбы уравне-
уравнение D3) допускало иьт^грал и(х), не обращающийся в нуль в ьтом же
интервале.
Это условие достаточно дтя того, чтобы вторг.я вяриацин 52У была
положительна для всех возможных шдов функции г^х).
В самом деле, пусть и (х) будет частным интефалсм уравнения Якоби,
который не оЗрущается в нуль для х0 ^ х sg x . Во ьмем в качестве
со (х) соответствующую функцию D4). Выражение D0) для о27 прини-
принимает вид*:
\R{*ltt-r^\x. D5)
* Этот результат легко объяснить, исходя из следующих соображений. Если
- интеграл уравнения C9), то мы имеем тождест. еш.о:
X, X.
\ (Pin3 + 2<?»lV + /?т)'2) dx^r\R(-n' — 9т,)а dx.

§ 632 fl. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ W
Ясно, что %2J не может быть отрицательным. Лля того чтобы 52У
было равно нулю, необходимо, чгсбы б:.ло г/и — иг) = 0 во всех теч-
течках интервала (х0;х-,), или Г|=Си, но это невозможно, ибо r]tx) ра,;но
нулю на обоих kjhuox интервала, между тем как и(х) отлично от 1:уля.
Итак, вторач вариацчн о J положите :ьна для в ех возможных видов
функции 7j(x), если уравнение Ясоби D3) имеет интеграл, который
не обращается в нуль в инт реале (х0, х^), включая и концы.
3io условие может быть преобразован,) с помощью теорем Штурма
о линейных уравнениях (т. II, ч. II, стр. 116, сноска). Пусть и^(х) бу-
будет интеграл уравнения Якоби, обращающийся в нуль при х —х0. Этот
интеграл может иметь лругие нули в интервале (х0 , Хг), пусть х'о бу-
дзт Kopeib, наиболее близкий к х0 и содержащийся между х0 и Хг ;
если же иЛ (х) не обращается в нуль ь;ежду хп и Х^ , то мы положим,
что x'Q — Х1. При этих условиях для того, чтобы уравнение Уко5и
имело частный интеграл, не обращающийся в нуль при х0 ^ х ss; x1,
необходимо и достаточно, чтобы бы ю хЛ<^_х\.
Условие необходимо. В самом деле, если Хц<^лг, , то всякий инте-
интеграл уравнения D3) имеет корень, заключенный между х0 и х^ и, сле-
следовательно, заключенный между х0 и х,.
Условие также достаточно*. В сауом деле, положим, хЛ<^х'о, и
пусть х2—число, заключеннее между хх и х'} (х: <^х2 <^х^). Инте-
Интеграл и,,(х), который обращается в нуль при х = х2, не может обра-
обратиться в нуль между х0 и х,, ибо в этом случае он обратился бы
в нуль также между х0 и х^. Он не равен нулю и при X —х0, ибо
он от.нчен от интеграла и, (х). Мы оставляем в стороне случай, когда
х1=х[), который требует несколь .о более тонкого исследования.
Итак, когда выполняются оба ус ювия Л^жандрi и Я'оби одно-
временно, т. е. 1) /v"(X)^>0 для rc sg; x sg дг, и 2) хг<^х^, то вто-
вторая варшцич Ci2J положительна для всех возможных видов функ-
функции Г) (Х).
В'лше было указано, что условие Лежандра является нео1хоаимыл1
условием того, чтобг.1 о2У было всегда положительно. Ocia^TCH доказать,
что условие Я.^'бн также необходимо. Для э^ого достаточно полазать,
что если лгр<[х, , то мо кно указать TiKyio функцию rt (x) класса (II)
в интервате (.*¦„, л^), которая обраииется в нуль при х ~ х0 и при
х = х, и для которой выражение C7) отрицательно (§630). Такую
функцию можно получать методом Дароу-Эрдмана. Будем обозначать
глс tp — непрерынчая функц'я. Отсюда следует, что вегкое решение линейного
ураиненин т/= т, должно обрлщтгь в нуль первую вчпиацн.о интеграл;), стоя-
стоящего в левой ч;с1и, т. е. быть решением уравпммя Якоби. Т;:к м o")pajo\', ?
представляет логлрифмическую п оизволную интегралу этого уравнении (ср. ij 40.).
* Можно было бы ткже в рассуждениях опираться на пепперм. иость, не
предполагая известной теор му Штурма. Если п.'рвый корень функции и (v),
больший jd, in евосх1'Дпт также и х, , T'j m j BoibvieM интеграл, который о">ра-
пм тся в нуль в близкой точке х0 — h (h > 0). Если /; достлточио мало, то пер-
первый корень, больший чем х0, будет также больше чем \t.

233 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 632—63.4
через ы., (л;) интеграл уравнения D3), имеющий своими нулями х0 ;•
х'о, и пусть будет v (х) другой интеграл, обращающийся в нуль при
значении х2, заключенном между х(! и х, и не являющемся нулем дл>,
и: (х). Разность и:—v имеет нуль в точке с, лежащей между х0 и хA
Принимая это во внимание, определим непрерывную функцию rt (x) сле-
следующим образом: 1) 7] (.t) —и, (х; для хо^х ^с; 2) rl(x)=v(x) дли
с < х < х, ; 3) т1(х)=0 дл i х2 sg; x =s: x}. Эта функция принадлежит
к классу (II), ибо ее производная rj'(х) претерпевает разрыв в двух
точках х- — с, х = х2.
Во всяком интервале (^ , с,2), в котором »] (х) непрерывна вместе со
своей производной, получаем без труда интегрированием по частям:
\ (PrB -f 2QVl' -f #r/2) dx .-= \т, (Q^ + Rr/)f; - \ /?r,4» (rj) rfjc,
и если 7] (x) есть интеграл уравнения Якоби, то в правой части остается
только проинтегрированный член. Выбирая в качестве функции г] (xi
фу.нкцию, которая была выше определена, применим предыдущую фор-
формулу к каждому из интервалов (хо,с), (с, х9), (х2 , х3). Получим:
\ (Рг? -\-2Qrrf г А г/2) ix = [u,(x)(Qu1^Rul)]l/\[v(Qvj-Rv')]Xc>, D6)
и так как u^cj — vic), то правая часть равна
R(c)[u[(c)v(c)—v'(c)u}(c)].
Но из самого уравнения D3) мы получаем:
и[ (х) v (х) — v' (х) и, (х) =^ J±- ,
где множитель К есть постоянное, и, следовательно интеграл, опреде-
определенный равенством D6), имеет знак числа К.
Но этот множитель К равен — Wj (x2) v' (х2)/? (х.,), и так как v (x)
есть любой из интегралов, имеющих дг, своим нулем, то знак и' (хо)
можно выбрать произвольно. Следовательно, при подходящем выборе
функции 7j (х) можно сделать вторую вариацию 02J отрицательной.
Итак, условия Лгжандра и Якоби являются одновременно необхо-
необходимыми и достаточными, чтобы обеспечить знак второй вариации
в интервале (х^х,).
Мы будем рассматривать эти условия в у ком смысле и оставим
в стороне изучение случая, когда R(x) переходит через нуль без изме-
изменения знака в промежутке (хо,х,), а также того случая, когда х'0^хг.
633. Геометрическая интерпретация. Сопряженные фокусы. Можно
притти также к линейному уравнению D3) при нахождении решений
уравнения Эйлера F), бесконечно близких к рассматриваемой экстре-
экстремали _у=/(х). Г: ели условие Лежандра удовлетворяется, т. е если
F' \х, /(х). /'(х)\ остается между х0 и х, положительным, то мож ;о

§ 633 II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 239
все члены уравнения разделить на коэфициент при у", и уравнение
Эйлера примет вид:
У^Ф(х,у,У), D7)
где функция Ф непрерывна и допускает непрерывные частные производ-
производные (согласно предположениям относительно функции F (х, у, у'), ука-
указанным в §620), если х изменяется от х0 до х, , а разности у—f(x),
у'—f(x) по абсолютной величине остаются достаточно малыми. Мы
видели (§461), что в этом случае уравнение D7) допускает бесчислен-
бесчисленное множество семейств интегралов, зависящих от произвольного пара-
параметра )., _у —ср(лг, ).), где функция ш (х, X) при Х=0 обращается в функ-
функцию f(x). Больше того, при изменении х от х0 до хг эта функции
непрерывна и имеет непрерывные частные производные ср^., tpj , ср"х ,
tp",, если только |Х| меньше некоторого достаточно малого положитель-
положительного числа ).о*. Производная ср! (х, 0) удовлетворяет линейному урав-
уравнению второго порядка, которое получается диференцированием по X
обеих частей уравнения D7), в котором у заменено функцией tp (x, X),
а затем положено X =0. Это линейное уравнение представляет урав-
уравнение в вариациях относительно частного решения у=/(х). Применяя
этот метод к уравнению Эйлера F), в котором у заменено функцией
(р (х, ).), мы в качестве уравнения в вариациях получим:
У-F У'-s __ d | d2F Ь .У-F й2сз \
ду2 дк дуду' дХдК UX [дуду'дХ ду'- ОХ 0/. j
Положим в этом уравнении Х = 0. Если обозначить через и значение
to.' (x, 0), то оно принимает вид:
и мы снова приходим к уравнению D3). Эта связь между уравнения-
уравнениями F) и D3) дает нам простую геометрическую интерпретацию усло-
условия Якобн.
Рассмотрим, в самом деле, семейство экстремалей, исходящих из
точки А и близких к первой. Во всем интервале (*0 , л:.,) они могут быть
представлены уравнением _у=-= <р (х, X), где функция <р (л;, X) удовлетво-
удовлетворяет условиям, о которых мы упоминали и для которой, кроме того,
имеем:
<Р (х0 , X) =/(х0), <+'х (х0 , X) = X !- /' (х0).
* Рассуждения, приведенные в главе XXIII (§ 462), относились к системе
двух уравнений первого порядка, но ясно, что они относятся и к уравнению D7),
которое может быть приведено к системе этого вида, если положить у' = z
Если F— функция аналитическая относительно у и у, как это имеет место
в большинстве приложений, чо в качестве функции ? (лД) можно взять таьже
аналитическую функцию от а.

240 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 633-634
Первое из этих соотношений показывает, что значение х =¦ х0 есть
корень уравнения
<f[(x,0) = 0. D8)
Но корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения экстре-
экстремали yz=f[x), cooгвегствующей значению Х = 0 параметра с бесконечно
ближою экстремалью, выходящею из точки А, т. е. являются абсцис-
абсциссами точек касания этой экстремали Г с кривою, огибающею это се-
семейство экстр, малей. Часть этой огибающей вырождается в самую точ-
точку А. Другие точки кчсанля назызлогся сопряженными фокусами точ-
точки А. Так как ty[(x, 0) есть как раз интеграл ul(x) уравнения Якоби,
который обращается в нуль при х = х0, то ближайший больший ко-
корень х'о представляет абсциссу первого фокуса А', сопряженного с А
и находящегося справа от этой точки, и условие Якоби выражает, что
конец В дуг г экстремали АВ должен находиться между точкой А
и п.рви и сопряженным фжусом справа.
Между сопряженными ф жусами существует взаимность, ибо абс-
абсциссы этих точек суть корни одного и того же интеграла уравнения
в вариациях.
634. Примеры. Рассмотрим снова примеры § 622, гле функция F имела
вид уУ\ -\- у'1. Условие Лежачдра для ммнимумч всегда выполнено. Если.у=/(;с)
представляет ураонепие дуг,! экстремали, проходящей через две точки А
и Л с абсциссами х0 и xlt то уравнение у = 1/ ( — ) представляет также экстре-
экстремальную фучкцию при лю'юм з핦чении гогтоянного X. Мы потучим, таким обра-
образом, реше те уравнения в вчри щиях (^ 462), если возьмем прои.шо иую по X
от этого и ire- рала * и положим затем *.= !; таким об] а^ом на; дем: u=f(x) —
— xf'(x). Для того чтобы этот интеграл не обращался в нуль между пределши
Хц н х{, Ht;o6xoiHMi) и д >статочно, чтобы ни одна касательная к дуче экстре-
экстремали АВ не п[ оходнла через начало. Так как за начало можно принять люоую
* Ксли, вообще, уравнение Э'лера допускает бесконечно малое преобразо-
преобразование (г. II, §М9)-Р>9.), tj из всякою и те:рала/(д) можно получить беско-
бесконе шо близкий интеграл, а следов тель о, соответствующее решение уравнения
в вариация<. Сле .ующме примеры связаны с классическими случаями пониже-
понижения по,"я.-ка пифе^енц .алыюго ураип.ния.
1 F не соде1 жиг у. Если /(я) — эк'тремчль, то/(>) \-)- есть также интс-
грал уравнения Эйлера, каково Ьл ни был > значение /, и, с ел жателгн , а=\
предс1аг>ляет реше.ше уравнения в вариациях. Условие Якобл в.егда удовле-
удовлетворявшей.
1. F не содержит х. Если /(к) есть экстремаль, то f (к -\-1) также есть экстре-
экстремаль и, следователь!!'), f (х) ее ь решение уравп-ния в вариациях. Услоьи.'
Якоби вы 1олнено, если ни в одной точке дуги АВ касательная не трал-
лельна оси Ок.
3. Если F — функция однородная относительно^ и у, то левая часть урав-
уравнения Эйлега однородна огн н'ителыю у, у\ у" и, слелователы о, всякий ннте-
rpai/(r) представляет решение соответствующего уравнения в нари .циях. Усло-
Условие Якоби ) д 1влетворяется, если дуга эк.тр.-мали не пере:ек iem o:u Ох.
4 Если F од юродна отнеси :ельио хну, го и) рассуж. ений. приведенных
в тексте, следует, что условие Якоби удовлетворялся на дуге экстремали A3,
если ни одн! касательная к этой д.ге не приходит через начало.
В каждом из этих случаев указанное условие яв.яется только достаточны;:,
но не необходимым,

§ 634 II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 241
точку на оси Ох, то отсюда следует, что условие Якоби выполнено, если на
оси Ох существуют такие точки, через которые не проходит ни одна ка-
касательная к дуге экстремали АВ. Но согласно форме кривой это всегда имеет
место, если а отрицательно, как в задаче о брахистохрон-.-.
Если а > 0, то дуга АВ обращена выпуклостью к о:и Ох, и условие можно
изменить следующим образом. Пусть А' и В' суть точки пересечения с осью Ох
касательных в точках А и В к экстремали, а Г —точка пересечения этих каса-
касательных. Если точка Т находится над осью Ох, то в силу выпуклости АВ ясно,
что через точку стрезка А В' нельзя провести ни одной касательной к этой дуге.
Напротив того, если точка Т находится под осью х, то через каждую точку
отрезка А'В' проходят две касательные к дуге АВ. Если одну из эгих точек
принять за начало, то уравнение Якоби допускает частное решение f (х)—xf'(x),
которое имеет два нуля между х0 и х{. Всякое другое решение имеет, следо-
следовательно, по крайней мере один нуль в этом интервале. Следовательно, для то-
того чтобы условие Якоби было выполнено, необходимо и достаточно, чтобы
касательные к дуге экстремали, проведенные в точках А и В, пересекались
над осью Ох, Это есть обобщение хорошо известного свойства цепной линии
(Lindelof-Moigno, Calcul des variations). Это условие всегда выполнено, если
точки А и В расположены по одну сторону самой низкой точки экстремали.
Геометрическая интерпретация предыдущего параграфа дает возможность
легко проверить этот результат. Мы видели, что в случае, когда функция F
имеет вид у*У^1 -+-у'* (§ 622), общий интеграл уравнения Эйлера имеет вид:
где аи? — произвольные постоянные. Если между параметрами i и J устано-
установить какое-нибудь соотношение, то получится семейство экстремалей, завися-
зависящее от одного параметра. Координаты общей точки двух бесконечно близких
кривых этого семейства удовлетворяют также уравнению:
откуда
Отсюда следует, что касательные к экстремали, проведенные в точках пересе-
пересечения с бесконечно близкою экстремалью того же семейства, встречают ось Ох
..- d} „
в одной и той же точке с аосциссои В частности, если семейство экстре-
экстрен/я *
малой состоит из экстремалей, выходящих ид одной точки А, то мы отсюда за-
заключаем, что касательные к экстремали в двух сопряженных фокусах встре-
встречаются в точке, лежащей на оси Ox (Bozh).
Если о. -' О, то через точку Т оси Ох нельзя провести больше одной каса-
касательной к дуге экстремали, расположенной целиком над осью Ох. На эюй дуге,
следовательно, никогда не существует двух сопряженных фокусов, и условие
Якоби всегда удовлетворено.
Если а > б, то экстремали обращены выпуклостью к оси Ох, и из любой
точки этой оси можно проьссти две и только две касательные к любой экстре-
экстремали. Точки этой экстремали попарно сопряжены, причем каждая пара сопря-
сопряженных фокусов разделена самой низкой точкой экстремали. Ясно также в силу
выпуклости кривой, что если касательные в точках А и В пересекаются над
осью Ох, то фокус, сопряженный с А, находится не на дуге АВ, между тем как
он находится на этой дуге, если эти касательные пересекаются под осью Ох.
Если через две точки А к В проходят две экстремали, то одна из них касается
огибающей семейства экстремалей, выходящих из точки А, между точками А и
В, между тем как другая касается этой огибающей либо за точкой В, либо до
точки А. Условие Якоби выполняется только для этой последней экстремали.
Например, в случае цепной линии (фиг. 100) условию Якоби удовлетворяет дуга
цепной линии, гомотетичная дуге, кончающейся в точке М.
16 Э. Гуреа, т. Ш, ч. 2.

242 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 63S
635. Недостаточность предыдущих условий. Условия Лежандра и
Якоби не являются достаточными для того, чтобы интеграл J достигал
минимума. В самом деле, мы сравниваем значение интеграла, соответ-
соответствующее функции у=/(х) только со значениями того же интеграла,
соответствующими функциям вида:
У=/(х)-\-ат\(х),
зависящим только от одного произвольного параметра, между тем как
по условию поставленной задачи (§ 620) требуется сравнивать значение
интеграла Jx , взятого для y=f(x), со значениями этого интеграла,
взятыми для всех функций вида:
где со (х)—произвольная функция класса (I), подчиненная только усло-
условиям A). Единственный вывод, к которому приводят предыдущие рас-
рассуждения, заключается в следующем. Пусть со (х) — произвольная функ-
функция класса (I), удовлетворяющая условиям A). Уравнение
..У =/(*) +<">(*)
изображает пучок кривых Г, которые при изменении а от 0 до 1 оста-
остаются в области 9?,- При а == 0 мы получаем кривую Го, уравнение ко-
которой есть y--=f(x), а при а—1—кривую Гг, уравнение которой есть
у=/(х) -\- ш (х). Значение J(а) интеграла У, соответствующее функции
f(x) -\- aw (x), является функцией от а, которая начинает возрастать,
когда а возрастает от нуля, но нет никаких оснований думать, что эта
функция J (а) будет возрастать все время при возрастании а от 0 до 1
для любого малого чиста е, определяющего область 9f6.
Вот пример, который очень четко показывает недостаточность условий SJ=O,
4V>0 для обеспечения минимума. Пусть F = y'i-i-y'i. Примем x0=vo = 0,
х,= \, y{ = 0. Экстремальные кривые суть прямые, и экстремальная функция,
удовлетворяющая условиям на концах, есть /(л) = 0. Можно непосредственно
убедиться в том, что вторая вариация положительна, ибо в этом случае
Для того чтобы было SV=0, необходимо выполнение равенства т|'(дт) = О, а сле-
следовательно, т)(«)^=0. Для функции /(.г) —0 значение интеграла J= 0; покажем,
чте можно найти функцию со (дг) класса A), удовлетворяющую условиям;
ш@) —(оA) = 0, | <¦>(*) |<»
для 0 < х < 1, такую, для которой интеграл
1
/, ^ \ (ш'а + ш'3) dX

§ 635
II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ
243
имеет отрицательное значение. Пусть, в самом деле, а — положительное постоян-
постоянное, меньшее единицы. Функция <о (х, а), определенная следующими условиями:
1) ш {х, а) = ах
2) <о(дг, а) = 2A -х)-
4а
(I-*J
для 0 ==S -
для 1 —
¦ < 1-
есть функция класса (I) в интервале @,1). Уравнение
у = со (х, а)
изображает кривую АРВ, состоящую из отрезка прямой АР, проходящей через
начало, и дуги параболы РВ, для которой эта прямая служит касателыюю
в точке Р, а касательная в точке В имеет угловой коэфициент, равный — 2. Эта
функция и>(х,а) непрерывна и стремится к нулю вместе с а, но ее производная
шх(х> а) разрывна при
а: = 1, <г = 0. Интеграл " __--•-
1
J (а) — [ (ct>4 + ш'З) dx
Ь
также стремится к нулю
вместе с а. Но так как Черт. 102.
производная ч>х (х, а) раз-
разрывна, то мы не можем применить обычную формулу диференцировапия и, следова-
следовательно, не можем утверждать, что У'@) = 0. Напротив того, мы покажем, что J (i)
есть бесконечно малая первого порядка. С одной стороны, интеграл вдоль АР
. Что же касается
есть бесконечно малая второго порядка (а2 + а3) f I —
интеграла, взятого вдоль РВ, то полагая х = 1 —•
-• его можно записать
в виде:
2а
а~+2
{[(а+ 2) г-2]'+[(а-г 2) г - 2р } dz,
и главная часть есть —— . Гзким образом
о
до) =4,
и для значений а в окрестности нуля значение интеграла J(а) отрицательно. Этот
пример действительно показывает необходимость рассматривать вариации более
общей формы, чем те, которые рассматривались нами до сих пор*.
* Чтобы убедиться в недостаточности условий Леж.шдра и Якоби, достаточно
показать, что интеграл
1
вдоль ломаной AQB имеет отрицательное значение для достаточно малых зна-
чений а (§ 630). Действительно, этот интеграл имеет значение ^+.9
Первый пример втого рода принадлежит Шефферу (Hadamard, стр. 44—46).
16*

244 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 635
Примечание. В кекоторых простых случаях условия Лежандра и Якоби
являются достаточными для того, чтобы обеспечить экстремум. Положим, напри-
например, F= ay* -+- 2Ьуу' -\- су"*. Уравнение Эйлера в этом случае линейно относи-
относительно у, у', у":
с(х)У' + с'У + (Ь' — а)у = О, D9)
и уравнение Якоби, которое не зависит от рассматриваемой экстремали fix),
тождественно с предыдущим уравнением. Условие Лежандра для минимума бу-
будет выполнено, если с (х) имеет положительное значение для всех значений х
от л„ до xt. Условие Якоби также будет выполнено, если уравнение D9) допу-
допускает интеграл и (х), не обращающийся в нуль в этом интервале. Эти условия
также и достаточны, ибо если положить
то мы получим (§ 632):
У
выражение существенно положительное, даже если условие Лежандра выпол-
выполняется только в широком смысле. Полагая а = b = 0, с — 1, мы приходим к ре-
результату, уже установленному непосредственно (т. I, § 120).
Рассмотрим еще следующий пример Вейерштгасса. Пусть требуется найти
минимум интеграла
]т= { {х*+Щу'*<1х,
взятого вдоль кривой Г класса (I), соединяющей дье точки А и В с координа-
координатами (— 1,й) и A,6). Уравнение Эйлера допускает первый интегрм
и общий интеграл, в предположении, что Х^О, есть:
yrr-rd f-C2 агс-й y-
Определяя постоянные С{ и С2 из граничных условий, находим для искомой
функции fix) выражение:
arctg y
Легко видеть, что условия Лежандра и Якоби удовлетворены. В самом дел'",
У? = 2 (х* -f- X-), и уравнение Якоби допускает интеграл и:—1 (§ 634, сноска).
следовательно, функция f (х) дает интегралу абсолютный минимум.
Дело обстоит совершенно иначе, если Х = 0. В этом случае общий интеграл
уравнения Эйлера есть у~~ + С2, и следовательно, не существует ни одном
экстремали класса (I), соединяющей ;ве точки А к В, кроме только тривиаль-
тривиального случая Ь~а. В случае, который нас интересует, нижняя граница интеграла
+ 1
J= \ x'iy'2dx

§ 635-636
II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ
245
равна нулю. В самом деле, если мы вместо у возьмем предыдущую функцию,
при которой интеграл достигает минимума, когда л отлично от нуля, то получим':
г
Интеграл в правой части меньше, чем
dx
и, следовательно,
X {Ь — а)«
2arct;j4
a это выражение стремится к нулю вместе с X.
С другой стороны, очевидно, что какова бы ни была кривая Г класса (I), соеди-
соединяющая две точки А и В, значение интеграла У, взятого вдоль этой кривой, не
может быть равно нулю. Этот пример ясно показывает, как может случиться, что
интеграл не имеет минимального значения, хотя он действительно ограничен,
а также показывает недостаточность рассуждений Римана и аналогичных рас-
суждечий (§ 512).
636. Условие Вейерштрасса. Функция Е. Новое необходимое условие
для экстремума было установлено Вейерштрассом путем сравнения зна-
значения интеграла, взятого вдоль дуги экстремали АВ, со значением ин-
интеграла вдоль пути, достаточно
близкого, но пересекающего ду-
ту АВ под углом, отличным от
нуля. Сохраним те же обозначе-
обозначения и предположения, что ив
предыдущих параграфах. Возьмем 4-
точку Р на дуге АВ с координа-
координатами (х,, у2), и пусть ji~/,W
будет уравнение кривой С,, про- ч
ходящей через точку Р, причем
функция /, непрерывна и допускает производные первого и второго
порядка, непрерывные в интервале (х2 — k, x2-{-k); пусть Q — точка
кривой С, с абсциссой л:2—h, где h — положительное число, меньшее
k(xQ<^x2 — h <i x2<^x1). Положим:
m(*, й) = (* —jtor-2i
•Л- п
и рассмотрим дугу кривой AQ (черт, 103), которая имеет уравнение:

246 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 636
Ясно, что, когда h стремится к нулю, линия AQ имеет пределом дугу АР,
и интеграл \ F(x, у, у') dx представляет функцию I (h) от h, производ-
IAQ)
ная которой при h -= 0 имеет значение:
Это следует из общей формулы A8) § 625, ибо дуга АР есть дуга
экстремали, а координаты переменного конца Q суть
х = х2 — h, y~f, (х, — h);
отсюда получаем:
Ьк = -ЬИ, 1у=-Гх(хг)>Л;
у'п представляет угловой коэфициент касательной к экстремали лР
в точке Р. Пусть точно так же /, (h) будет интеграл, йзятый вдаль
дуги QP:
/3= \F\x t\(x),f\ (x)}dx.
л,- h
Производная Гх @). очевидно, равна F[x2, _\'г, /[ (х2)], и следовательно,
обозначая интеграл \ F(x,y, y')dx через J(h), мы можем записать, что
iAQP)
У*< Рг^ — Р^г'Уг'^ — ^Рг—Уг) F'y (x2' 3'2. У*,
где р2 — угловой коэфициент касательной к кривой Cv Правая часть
этой формулы представляет функцию четырех переменных х, v, у', р,
которая играет очень существенную роль в теор 'и Вейерштрасса. Ее
обозначают букв и Е:
;y',p) = F(x, V,p) — F{x,y,y') — ()p—y')F'y(x,y,y>), E0)
и предыдущая формула принимает вид:
Из этого соотношения мы легко получаем новое необходимое условие
для минимума. Мы его будем называть условием Вейерштрасса. Для
того чтобы рассматриваемая кривая АВ доставляла интегралу J
минимум, необходимо, чтобы функции
?[x,f(x); f{x),p)
при изменении х от х0 до хг была не отрицательна ни для какого
конечного значения р. Мы будем также выражать это условие, гово-
говоря, что функция Е(х, у; у', р) не может принимать отрицательного
значения ни в одной точке дуги АН ни для какого конечного
значения р.

§ 636 II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 247
В самом деле, допустим, что в точке Р дуги АВ с координатами
(х2, у2) и для конечного значения т величины р мы будем иметь:
Е{х2у2;у[, /п)<0.
Возьмем в качестве кривой Сл кривую, данную уравнением:
касательная к которой в точке Р имеет угловой коэфициент т. Вве-
Введенная выше функция J (h), соответствующая функции /л (х), этого вида
имеет при h = 0 отрицательную производную. Можно, следовательно,
найти достаточно малое положительное число / такое, что J (I) <CJ @),
и, следовательно, можно найти такой путь AQPB (черт. 103), что
сумма интегралов
J F(x, у, у') dx 4- \ F(x, у, У) dx + \F(x, у, У) dt
(AQ) (QP) (РВ)
будет меньше значения интеграла J вдоль дуги АВ экстремальной кри-
кривой. Как уже было замечено (§ 630), этого достаточно, чтобы доказать,
что кривая АВ не доставляет минимума интегралу J, даже если рас-
рассматривать только кривые класса A), соединяющие две точки А и В
и близкие к дуге АВ.
Мы можем, следовательно, к полученным уже условиям присоединить
следующее: необходимо, чтобы было
Е(х,у,у',р)^0 E2)
для всякого конечного значенияр вдоль всей dyzi АВ.
Для максимума знак неравенства будет обратный.
Примечание. Согласно формуле Тейлора имеем:
Е {х, у\ у, р) = {p~f /у, [х, у, У + 6 (р -у')] @ < S < 1 ; E3)
отсюда ясно, что условие Вейерштрасса будет наверно выполнено, если вторая
производная ГуП{х, у, и) не отрицательна ни в одной точке дуги АВ и для вся-
всякого конечного значения и. Но последнее условие не необходимо для того,
чтобы выполнялось условие 152).
Нетрудно видеть, что из условия Вейерштрасса условие Ложандра полу-
получается так частный случай. В самом деле согласно формуле E3) отношение
— ', _^ имеет своим пределом /у, (х, у, у'), когда р стремится к у'.
Если условие E2) выполнено для всякого конечного значения р, то мы имеем
также Fy,3^Ss0 вдоль всей дуги АВ.
Для F=y'2-^-y'3 и дл>1 частной экстремали y--.Q имеем:
и если взять р= — % то Е отрицательно, что совпадает с результатом, получен-
полученным непосредственно (§ 635).

248 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ §6.б-Г37
Но и ус.-овия Вейерштрасса недостаточны для минимума, как это видно из
следующею примера Больца. Пусть
/=•— ay'*- -f- 4Ьуу'з -f 2bxy'K
где а и b — положительные постоянные. Соответствующее уравнение Эйлера
имеет вид:
у" Bа — 2\Ьуу< -f- 24 Ьху'Щ = О,
и экстремалями будут прямые линии. Рассмотрим две точки Л @,0) и 5A,0),
прямая линия _у=0. которая соешняет эти две точки, есть экстремаль, для ко-
которой выполняются условия Лежандра и Якоби. То же относится и к условию
Вейерштрасса, ибо функция Е(х, у; у', р), которая имеет значение
Е (х, У, у',р, = (у' — pf- [а — Ыуу' + 6bxy'* + Ab (xy' — у)р + 2bx/ft],
обращается при у-~0 в р- (а \-2bxp-) и остается положительною, когда х изме-
изменяется от 0 до 1. Однако эта прямая не даст минимума для .!. В самом деле,
если взять интеграл вдоль ломаной АРВ, и если коортннаты точки Р будут по-
положительные числа h и ft, то нетрудно видеть, что можно выбрать настолько
малое положительное число //, что значение интеграла вдоль ломаной будет от-
отрицательным, каково бы ни было малое значение к. Отсюда мы заключаем, что
прямая АВ не может давать минимум (§ 630).
Пусть е це Е~-=- ~, ¦ Экстремалями служат прямые линии, а функция
(У - рТ- (у1'2 - 1 -1- 2/т/)
Мы видим, что при ишенении р функция Е может изменять знак, если только у'
не обращается в нуль вдоль всей экстремали, коюрая в этом случае переходит
в отрезок прямой, параллельной Ол. Очевидно, что эта экстремаль дает инте-
интегралу максимум; всякая другая экстрегаль не может дать ни максимума, ни ми-
минимума.
Когда функция Е (х, у, у') умножается на какой-нибудь множитель g(v, у),
то функция Е (х, у',у',р) умножается на тот же множитель. Следовательно, если
для некоторой системы данных значении .v, у, у' функция F. меняет знак, то то
же свойство сохранится и после умножения на g, если только функция g в этой
точке не обращается в нуль. Если, например, /•' — ^ '' '—,, то единственные
экстремали, которые могут удовлетворять условию Всйсрштрасса, суть прямые,
параллельные оси Ох или кривые, удовлетворяющие уравнению g=0. В част-
частном случае, когда g(х, у) -- \\ а область Л есть часть плоскости справа от оси
Оу, очевидно, что шпе!рал ./ имеет вдоль всякого отрезка, параллельного Ov,
значение большее, чем вдоль всякой лрутй кривой класса (I), имен щей те же
концы. Это единственные экстремали, которые могут удовлетворить условию
Вейерштрасса, и, следовательно, единственные, которые дают экстремум.
637. Теория Клебша. Метод Якоби был распространен Клебшем на случай
любого числа неизвестных функций. Мы изложим вкратце ход рассуждений для
случая п --- 2, указывая каждый раз на те особенности, которые отличают этот
случаи от случая уже рассмотренного.
Пусть будут у-- f{x), z — <р (к) уравнения экстремали Г для опред! ленного
ч»
интефала J— \ Е (х, у, z, у', z') dx\ f (х) и <р (х)—функции класса (I) в интер-
вале (А"о, X,), включающем интервал (xq, xf). Tlycib r,(x), s {x), будут две функ-
функции этою класса в том же интервале, обращающиеся в пуль при х = х<,,
Х — Хк.
Если заменить пот знаком интеграла функции у и z соответственно через

§ 637 II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 2 9
то J сделается функцией J(а), первая вариация которой равна нулю для всех
возможных видов функций г) и С рассматриваемого класса, между тем как вто-
вторая вариация имеет вид:
*< Ь
Ш= аз \ G (т„ Г, V, О dx = \ (А-ц'2 + 2BtJC + СГ2 -f • • ¦) dx, E4)
х0 хо
где G (г,, С, tj', Г) — квадратичная форма относительно т„ С, V. ?\ коэфициенты ко-
которой суть функции от х\ они получатся из вторых производных функции F
заменой у, г, у', г' на /(*), у(х), /'(f), ?'(*)• Обобщая прием Лежандра, мы мо-
можем записать о2/ бесчисленным множеством способов в виде:
г«у = а2 \ [о (т„ с, v, г1) + g (т,, г;, V, щ rfx, E5)
прибавляя к G другую форму
где X, p., v — произвольные функции класса (I) в интервале (т0, x(). Мы поста-
постараемся определить эти функции X, ц, v так, чтобы новая квадратичная форма
G -j- g обратилась в сумму квадратов двух линейных функций от щ, С, т/, С, ум-
умноженных на выражения, зависящие только от х. Предположим, что В* — АСфО.
Так как в g не входят члены, содержащие т)'2, 'п'С, С2, то, заменяя буквы т) и ?
буквами и и v соответственно, мы должны получить тождество вида:
G (u, v, и', v') -\- g(u, v, и', v') =
= А {и' — р{и — q{v)*" + IB (и' — р{и — q{v) (г/ — р.2и - q2v) +
+ C(v'-pM — qiv)-\ ' E5)
где р,, <7)? рь <?2 суть функции от х. Согласно общей теории квадратичных форм,
для того чтобы G -\- g могла быть разложена так, как. это указано в формуле E6).
необходимо и достаточно, чтобы четыре соотношения
выполнялись тождественно при замене и' и v' выражениями
и' = /)(Н + qfl, v' = рф -\- q^v. E8)
Если и и v рассматривать как неизвестные функции, то можно также ска-
сказать, что уравнения E7) должны допускать все решения системы E8), и так как
эти уравнения линейные, то необходимо и достаточно, чтобы они допускали две
системы частных интегралов, отличных от интегралов уравнений E8).
Очевидно, можно заменить систему E7) эквивалентной ей системой
6а' ' bv' ' \
V0' )
йи dx \й«'7 bv dx \dv'
ибо согласно самому определению вспомогательная форма g удовлетворяет двум
условиям:
ди dx \iu J bv dx

250 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 637
Два последние уравнения новой системы E7') представляют два линейных
уравнения второго порядка, которые получались бы также, если бы мы искали
экстремали, бесконечно близкие к рассматриваемой экстремали. Положим, в са-
самом леле, что функции y=f(x,t), z = f (x, t) представляют систему интегралов
уравнений (9) § 623, зависящую от произвольного параметра t и обращающуюся
при f = 0 соответственно в функции f (х) и <р (х); функции f't (x, 0), у\(х, 0) удо-
удовлетворяют двум линейным уравнениям, которые получаются из уравнений (9)
общим методом, указанным в § 462. Выполнив все преобразования, мы непосред-
непосредственно убедимся, что эти два уравнения в вариациях совпадают с двумя по-
последними уравнениями E7').
Коэфициенты fi,gi, РьЯг определяются таким образом из соотношений:
Г Г ( СЙУ)
и2 — ptu2 -f < + J
где (ы(, v{), («2i ^j) представляет две системы частных интегралов уравнений
в вариациях:
^_*.(*о\ ьо_±/ъа\==0т 6и)
ди dx \Ъи!) Ъу dx \dv'J
Выбрав таким образом р{, д{, ръ qi, мы должны еще для определения коэфи-
циентов X, ц, v формы g записать, что две системы решений (н^1,) и (M.2tr2) Удо-
Удовлетворяют четырем соотношениям:
-;=°'j
F1)
в которых Gj и gt означают результат замены в формах G и g букв и \\ v на
и, и fj. Кроме того, мы имеем четыре линейных уравнения для определения \,
ji, v, и, следовательно, должно выполняться условие совместности. Это условие,
Зд }>gi
которое легко получить, развернув —- , --=¦, ... , примет вид:
3G{ <5Gt 3G2 №ь „
d d d
Мы можем, таким образом, получить все тождества видл E6), взяв две си-
системы частных интегралов (и(, г/,), (и.2, f2) уравнений о вариациях (oOj, удов-
удовлетворяющих условию F2) и таких, чтобы
D (х) = uLv, — utf)t
не било тождественно равно нулю, и определив />,, qlt p2, q% из соотноше-
соотношений E9).
Заниматься подсчетом I, |i, v бесполезно, ибо в окончательном результате
они исчезают.
Две системы интегралов («,, vt), (u2, »2), удовлетворяющие условию F2\ на-
называются союзными. Существует бесконечное множество союзных систем. В са-
самом деле, из уравнений i60) мы получаем:
3G, , , 3G, d I 3G( \ 3G, г dG, a
«а -— + «2 —• ~ — ( иг ~i > v* — + г'г ^' ^^ "~
аи. ди, dx ' 'Iu, ilr, df. d

§ 637 II. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ 251
и, следовательно,
d \ дО, дО,1 дО, , дО, , - SO, . - дО,
<7л: I д«, dt'j I out df, dUj d»]
Так как правая часть согласно свойствам квадратичных форм не изменяется от
перемещения индексов 1 и 2, то мы имеем:
d \ дО, , дО, дО, dG2
dx [ dHj dvl du2 dv2
откуда непосредственно получается первый интеграл системы F0). Таким обра-
образом, чтобы получить две союзные системы, достаточно выбрать начальные значе-
значения интегралов и,, vlt щ, р.2 и их первых производных так, чтобы соотноше-
соотношение F2) выполнялось для некоторого частного значения х. Этому условию всего
проще удовлетворить, если взять две различные системы интегралов {иь vj,
(н2, v.2), которые бы обращались в нуль при частном значении с переменного.
Детерминант
Dc (x) = u,t>2 — u2vt
не может обращаться тождественно в нуль, каковы бы ни были эти две системы,
ибо вторая производная Dc(x) при х = с равна 1 (ul v2— v\u2), и достаточно
выбрать начальные значения производных для х = с так, чтобы для этого значе-
значения х разность ulv2—V\U2 ^ыла отлична от нуля. Пусть («,, t',), («2. f2) — две
союзные системы этого рода, тогда другие союзные системы, образованные из
интегралов, обращающихся при х —с в нуль, представляют линейные комбина-
комбинации этих двух систем, а детерминант Dc (x) для всех этих систем один и тот
же, с точностью до постоянного множителя. Отсюда следует, что корни уравне-
уравнения Dc(x)~0 определены, если задано число с, которое является двойным кор-
корнем этого уравнения. Когда с изменяется в интервале (Хо, Х{), корни уравнения
Dc(x) = 0, находящиеся в том же интервале, также изменяются непрерывно.
Если М есть точка экстремали Г с абсциссой с, то точки той же экстремали,
абсциссы которых равны другим корням уравнения Dr (*) = 0, называются сопря-
сопряженными фокусами точки М.
Геометрическая интерпретация аналогична той, которая была дана в § 633.
Пусть _у = /(дг, X, ц), z — y(x, X, |i) будут интегралы системы (9), которые при
х = с принимают значения f(c), f (с), между тем как их производные имеют на-
начальные значения/' (с) +Х, р' (t)-j-|i. Эти функции непрерывны и допускают непре-
непрерывные частные производные, когда х изменяется от Х9 и А",, коль скоро |Х| и ||i|
остаются меньше некоторой границы (§ 461). Предыдущие уравнения представляют
пучок экстремалей, выходящих из точки М кривой Г с абсциссою с. Эти экстре-
экстремали образуют конгруэнцию, и каждая экстремаль касается фокальной поверх-
поверхности этой конгруэнции (II, § 436) в некотором числе точек, абсциссы которыя
суть корни уравнения ——f^-==0. В частности, экстремаль Г касается фокаль-
фокальной поверхности в точках, абсциссы которых даны уравнением:
/1 (*. 0, 0) «/ (х, 0, 0) - /^ {х, 0, 0) ?[ (х, 0, 0) = 0. E3)
Но
{ А (х, 0, 0) ?[ (х, 0, 0)}
, 0, 0), ?,>, 0, 0)}
представляют две системы решений уравнений в вариациях, которые при х — с
обращаются л нуль. Таыш образом уравнение F3) тождественно с уравнением

252 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 637
Dc(x) = 0, и, следовательно, сопряженные фокусы точки М представляют со-
собой точки касания экстремали Г с фокальною поверхностью конгруэнции,
образованной экстремалями, выходящими из точки М.
Принимая во внимание все эти предварительные замечания, можно обобщить
условия Лежандра и Якоби следующим образом.
Для того чтобы вторая вариация &J была положительна для всех воз-
возможных видов функций i\{x), С (*), необходимо и достаточно, чтобы квадра-
квадратичная форма Az*-\-2Bzt-\-Cti* была определенная и положительная для
всякого значения х, заключенного между Хо и х{, и чтобы все сопряженные,
фокусы точки А находились вне интервала (дгс, х{).
Легко видеть, что эти условия достаточны. В самом деле, допустим, что
уравнение DX(l(x) — 0 не имеет ни одного корня > Хо и ^х{. Всегда можно
указать достаточно малое положительное число Л такое, что уравнение DXt_h (x) = О
не имеет ни одного корня > х§— h и ^х{. Можно также предположить, что
Xt, — h > Хо. Пусть (и{, vj), («2, v2)— две союзные системы решений уравнений
в вариациях, образованные интегралами, которые все равны нулю при х = х0 — h.
Детерминант u^v^ — и%у{ не обращается в нуль в интервале (х0, х,) (включая
концы), и коэфициенты pit qit рг, qit полученные из соотношений E9), непре-
непрерывны в этом интервале. Тогда формула E5) дает нам выражение для Ш в виде
интеграла, элементом которого является форма, определенная и положительная
во всем интервале интегрирования. Таким образом 82/>О. Для того чтобы было
Ш=0, нужно взять в качестве т) и С систему решений уравнений E8), обра-
обращающихся в нуль на концах Хо и xt. В рассматриваемых предположениях един-
единственной системой, удовлетворяющей этим условиям, будет т] = ? = О*.
Предыдущие условия являются необходимыми. Докажем, например, что А
не может быть отрицательным ни для одной точки интервала (дг0, х{). В самом
деле, положим, что А (с) < 0, где с заключено между Хо и х{. Тогда можно ука-
указать интервал (;0, 5»), содержащий с и настолько малый, чтобы во всеы этом
интервале было А (х) < 0, и чтобы существовали две союзные системы (и,, vt),
(u2, t'2) интегралов уравнений F0) такие, для которых uivi — и%у{ во всем этом
интервале не обращается в нуль. Коэфициенты pit qit p.2, q2 будут тогда в этом
интервале непрерывны, и в качестве функций т) и С достаточно будет взять функ-
функции класса (I) между Хц и xt, обращающиеся в нуль вне интервала (;0, ;() и
удовлетворяющие соотношению V — р,гт\-—q^=^Q, Ясно, что мы бу,"ем иметь
<5-У = 0. Можно было бы также доказать, что не может быть С < 0 или
АС — 52 < 0 ни в одной точке интервала (х0, х2). Так как согласно предположе-
предположению & — АС не обращается в нуль между Хо и Х{, то мы должны иметь во
всем интервале (x0, х{): А > 0, С > 0, АС — В*>0.
Необходимость условия Якоби доказывается точно так же, если показать,
что если между А а В находится фокус, сопряженный с А, то можно найти ли-
линию класса (I), содержащую эти две точки и дающую интегралу J значение,
меньшее, чем дает Г (см. Hadamard, стр. 355 и след.).
Этих условий еще недостаточно для экстремума. В самом деле, рассуждения
§ 636 могут быть воспроизведены дословно. Сравнивая значение интеграла, взя-
взятого вдоль дуги экстремали АС, взятой на кривой Г, со значением интеграла J,
взятого вдоль бесконечно близкого пути, пересекающего дугу АС под постоян-
постоянным углом, отличным от нуля, мы получим новое необходимое условие для
минимума. Функция
Е(х, у, z; у', z'\ и, v)=:
= F (х, у, z, u,v)-F (х, у, z, у', z') - {и - у') F'y, - (v - z') f'z, F4)
не может принимать отрицательных значений вдоль Г для конечных
значений и и также v.
* Из этих соображений вытекает вюбще, что Ш > 0, если выполняются
условия Лежандра, и если существуют две союзные системы интегралов уравне-
вий F0) такие, что разность и^ — u2v{ не обращается в нуль ни внутри интер-
интервала (хо, х,) ни на его концах.

•§ 638 III. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 253
III. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Установим теперь систему достаточных условий для минимума. Эти
условия основаны на рассмотрении поля экстремалей (Вейерштрасс)
или специальных пучков (Ада.мар).
638. Определение поля экстремальных кривых. Мы будем для крат-
краткости обозначать всякую экстремачьную кривую через G и будем гово-
говорить, что всякая система кривых О, зависящая от произвольного пара-
параметра, составляет пучок. Всякая связная и конечная часть плоскости 2),
находящаяся в области Ш, образует поле экстремальных кривых, или
просто поле, если существует такой пучок экстремальных кривых, что
через каждую точку 55 проходит одна и только одна кривая пучка,
причем угловой коэфициент и(х, у) касательной в точке (х, у) к кри-
кривой О пучка, проходящей через эту точку, представляет непрерывную
функцию, допускающую непрерывные частные производные и'х и и'
в области 5). Кривые пучка представляют тогда интегральные кривые
диференциального уравнения первого порядка у' = и(х,у). Из этого
уравнения получаем:
Введя эти значения у1 и у" в уравнение Эйлера, мы получим соот-
соотношение:
y-F/Ы . Ы \ . b2F . Г-F й/7 п
при этом у' в функции F(x, у, у') заменен через и. Это условие должно
выполняться для координат любой точки поля 2). Функция и (х, у)
должна, следовательно, быть интегралом уравнения в частных производ-
производных F5), непрерывным вместе со своими частными производными в 3D.
Обратно, если уравнение F5) допускает интеграл, непрерывный вместе
со своими частными производными первого порядка и', и и' в обла-
области 2), то эта область представляет поле, ибо диференциальное уравне-
уравнение У = и (х, у) определяет такэй пучок экстремальных кривых, что
через каждую точку области 2) проходит одна и только одна из этих
кривых.
Пусть @0 — дуга экстремальной кривой, соединяющая точку А(хо,уо)
с точкою В (лгр уг) и изображаемая уравнением у=/(х), причем функ-
функция f(x) принадлежит к классу (I) в интерзале (х0, л:,). Рассмотрим,
как выше, область dis< заключенную между двумя прямыми х = х0,
х = х1 и двумя кривыми /j =/(лг) -f-s, J2=f(x) — г. Мы будем гово-
говорить, что дуга ©0 принадлежит полю, если можно указать достаточно
малое число е, для которого область Ш. была бы полем, причем одною
из экстремалей пучка Сыла бы сама кривая &0. Для того чтобы это
имело место, необходимо и достаточно, чтобы линейное уравнение F5)
допускало интеграл, непрерывный вместе со своими частными произвол

254 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 638
ными первого порядка в 3f?, и обращающийся в f'(x), если заменить у
через f(x) *.
Всякая дуга экстремали, на которой выполняются условия Лг-
жандра и Якоби в интервале (xQ, х.,), принадлежит некоторому
полю. В самом деле, мы видели, изучая геометрическое значение усло-
условия Якоби (§ 633), что в этом случае уравнение Эйлера имеет бесчис-
бесчисленное количество интегралов <р(лг.,>), зависящих от произвольного
параметра X, обращающихся при Х = 0 в f(x) и удовлетворяющих сле-
следующим условиям:
• 1. <о(х, X) непрерывна и допускает непрерывные частные производ-
производные первого и второго порядка, когда л: изменяется от xQ до хг, а ).
от —k до -f- k, где k — некоторое положительное число.
2. Производная у'х(х, 0) отлична от нуля при х0 =s; л:^ хх. Пока-
Покажем, что эта функция <р(х, X) определяет поле, которому принадлежит
экстремальная кривая АВ.
В самом деле, так как и>^(х, 0) не обращается в нуль при измене-
изменении х от х0 до xv а производная <р.' (л:, X) есть непрерывная функция
двух переменных х и X, то можно указать такое положительное число р,
что '$'х{х, X) не обращается в нуль в целой области Д, определенной
неравенствами xo^x^Xj, —psgXsgp. Когда х изменяется от х0
до Хр а X от —р до р, точка т с координатами [л;, _у = щ(х, X)]
описывает некоторую область dV, заключающую ©0 и ограниченную
прямыми х = х0, х = х1 и двумя кривыми у~ to (х,—р), у= у (х, -f- p).
Мы покажем, что через каждую точку этой области М' проходит одна
и только одна кривая рассматриваемого семейства. В самом леле, поло-
положим для определенности, что y't(x, X) > 0 в области 91'. Если перемен-
переменному х дать определенное значение х2, заключенное между х0 и хг, то
при изменении X от — р до -J- р функция <р (х2, X) возрастает от tp (r2,— р)
до <р (х2, р), и точка с координатами [хг,щ(х2,Х)] описывает
отрезок прямой Р^Р2> параллельной Оу. Таким образом каждому зна-
значению х2, заключенному между х0 и х^, соответствует отрезок прямой
РлРг, и когда х2 возрастает от х0 до xlt отрезок Р-,Р2 описывает не-
некоторую область плоскости, которая и есть область Ы.'. Таким образом
из самого способа построения мы видим, что каждой точке (л:, у) об-
области 91' соответствует определенное значение X, заключенное между
— р и -\-р. Пусть Х = ф(х, у) будет этот корень. Так как производная
<р^(х, X) не равна нулю для значения X —ф(х, у), то из общей теории
* Эта задача неопределенная, ибо уравнения y = f(x) и u=f'(x) представ-
представляют, как н зюм нетрудно убедиться, характеристику линейного уравнения F5).
Пусть (х^, у.2) — координаты точки на дуге ©«. Если F—функция аналитическая
относительно х, у, у', как это обычно имеет место, то функция f (х) есть также
аналитическая функция, и линейное уравнение F5) допускает бесчисленное мно-
множество интегралов, голоморфных в области, содержащей точку (v.2) y.2) и рав-
равных f (x) при y~f(x). Для того чтобы эта область была полем, необходимо
еще, чтобы один из этих интегралов был правильным во всей области 3{е. Ме-
Методы исчисления пределов Коши позволяют доказать, что если выполняются
условия Лежандра и Якоби, то таких интегралов существует бесчисленное мно-
множество (см. Anales de Toulouse, 2-я серия, т. УШ, стр. 458).

§ 638 III. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 255
неявных функций (т. I, § 36) и из предположений, которые были сделаны
о функции щ (х, X), следует, что эта функция ф (х, у) непрерывна и
допускает непрерывные частные производные в области Ш'. С другой
стороны, угловой коэфициент и(х, у) касательной к кривой рассматри-
рассматриваемого пучка, которая проходит через точку (х, у) области 91', равен
<э'х(х, ).) = у'х[х, ф (*, у)]. Так как производные второго порядка от <р
непрерывны, а функция ф допускает производные первого порядка,
которые также непрерывны, то отсюда следует, что функция и (х, у)
также допускает частные производные и'х и и', непрерывные в dl'. Сле-
Следовательно, область Ш' есть поле.
Пусть теперь s будет нижняя граница двух функций
<Р(аг, ?) — у(х, 0), <?(х, 0) — tf(x, — р)
при изменении х от х0 до дгг Это число ? положительно, ибо две пре-
предыдущие функции непрерывны и в интервале (х0, хг) не могут обра-
обратиться в нуль. Следовательно, область 9te, определенная неравенствами
х^дг^а;,, f(x)—s^y^f(x) -(- е, целиком заключена в облааи 9?',
т. е. Шв есть поле, окружающее дугу ©0.
Обратно, существование поля, окружающего ©о, влечет за собой условие
Якоби. В самом деле, пусть и(х,у) интеграл уравнения F5), непрерывный в этом
поле так же, как его производные и , и' и такой, что
f(x)^=u[x, f{x)\.
Интеграл у =»(х, X) диференциального уравнения у'—и(х, у), который при
х=^х0 принимает значение у0 + л, представляет для значений х от ха до xt не-
непрерывную функцию переменных х и I и допускает в этом интервале непрерыв-
непрерывные производные, коль скоро | X | остается меньше положительного числа к.
Функция Е ~- а1 (х, 0), которая при д; = дго принимает значение Е—1, есть ре-
решение уравнения в вариациях V(х) =^uy[xif {х)]\{х). Эта функция 4{х) в ин-
интервале (г0, л,) не обращается в нуль, и ясно, что она также является решением
уравнения в вариациях D3,, так как у (х, а) есть интеграл уравнения Эйлера.
Но следует заметить, что дуга №0 может принадлежать полю, а условие Ле-
жандра не быть выполненным. Положим, например, что F—xy'-. Прямые, парал-
параллельные оси х, в самом деле образуют пучок экстремалей, между тем условиг
Ле-жандра на отрезке (— 1, -j- 1) оси х не выполняется.
Для образования поля можно взять, например, пучок экстремалей,
соседних с @0 и выходящих из точки А с абсциссою Хо, расположен-
расположенной на продолжении экстремали слева от Л и настолько близкой к А,
что первый фокус, сопряженный с А находится справа от В. Если
_у = tp (jc, X) представляет уравнение пучка, то, как мы видели (§ 633),
функция 'й(х, X) удовлетворяет предыдущим условиям. Иногда берут
также особый пучок, состоящий из экстремалей, соседних с ©0 и выхо-
выходящих из самой точки А, но тогда через эту точку А проходит
бесчисленное множество экстремалей, а это вводит ограничения в неко-
некоторые из наших положений.
В примерах, изложенных выше (§ 634), мы легко найдем поле экстремалей,
которому принадлежит ду1 а АВ. Предполагая, что условие Якобн выполнено, по-
положим, что О есть точка оси х, через которую нельзя провести ни одной каса-

2E6 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 638—639
тельной к д\те АВ. Тогда можно на продолжении экстремали найти такие две
точки А' и В', соответственно слева от Л и справа от В, что всякая полупрямая
OL, расположенная внутри угла А0В\ встречает дугу А'В' в одной и только
в одной точке. Дуги, гомотетичные с А'В' относительно точки О, очевидно,
составляют поле экстремалей, окружающих дугу АВ.
639. Теорема Вейерштрасса. Если предположить, что условия Ле-
жандра и Якоби выполняются на дуге экстремали ©0, то область Ъ1,
есть поле, окружающее дугу @0, если только положительное число г
взято достаточно малым. Всякая кривая Г класса (I), расположенная
в поле Ыв и соединяющая две точки А и В, изображается уравнением:
.У =/(*)+ »(*)>
где функция со (л:) принадлежит к классу (I) в интервале (xQ, xj и
удовлетворяет условиям:
«(*„) = 0, в(д:1) = 0, |ю(*)|<е
для х0 <| х <[ хг.
Для того чтобы экстремаль @0 давала минимум, интеграл Уе<0 дол-
должен быть меньше, чем интеграл )г, какова бы ни была форма этой
кривой Г, лить бы только она удовлетворяла поставленным условиям.
Как это легко усмотреть, трудность задачи заключается в том, что
приходится сравнивать значения двух определенных интегралов, взятых
по двум различным путям. Вейерштрассу удалось выразить разность
между этими двумя интегралами при помощи одного определенного
интеграла, взятого вдоль пути Г. Мы сперва приведем очень простой
метод Гильберта, приводящий к формуле Вейерштрасса *. Он основан
на следующей лемме:
Пусть 2)—поле экстремалей. Если и(х, у) есть функция, соот-
соответствующая этому полю (§ 638), то криволинейный интеграл
/= \ [F(x, у, и) —иГа (х, у, и)] dx -f F'u (x, у, и) dy, F6)
взятый вдоль произвольной замкнутой кривой, расположенной в поле,
равен нулю.
В самом деле, условие, при котором этот интеграл равен нулю, вы-
выражается следующим соотношением:
Э/ Эй д/ й/ . VF Ъи
it . it , . j - t . .
ду дуди ду ди2 дхди Г ди2 дХ '
которое тождественно с уравнением F5), которому удовлетворяет функ-
функция и (х, у). '
Применим формулу Гильберта к замкнутому контуру, составленному
из дуги экстремали ©0 и из кривой Г, причем под и (х, у) будем
• В. Ермаков (Journal ties Mathematiques, 6-я серия, т. I, 1905) утвер-
утверждает, что этот метод применялся также Вейерштрассом в его лекциях.

§ 639-640 III. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 257
понимать функцию, соответствующую полю 8is. Вдоль дуги ©0 имеем:
и [x,f(x)] —f (x), и, следовательно, эта форм>ла нам дает:
[F(x, у, y')dx=[F(K, у, u) + (y'—u)F'a(x, у, u)]dx,
причем оба интеграла взяты в должном направлении — в направлении
возрастания х от х0 до х1. Отсюда получаем:
, у, y')-F(x, у, u) — (y'—u)F'a(x, у, u)]dx,
г
или согласно определению функции Е (§ 636):
7Г — J^ = \ Е (х-, у; и, у1) dx. F7)
г
Это и есть формула Вейерштрасса, которую мы хотели получить.
В этой формуле у' означает угловой коэфициент касательной к Г, а
функции п(х, у)—угловой коэфициент касательной к кривой © поля,
которая проходит через точку (х, у).
611). Достаточные условия. Если функция Е(х, у; и, р) трех неза-
независимых переменных х, у, р сохраняет постоянный знак для координат
любой точки области ;)ive и для всякого конечного значения р, то это
обеспечивает знак разности Уг — J^.o; под и в функции Е при этом мы
понимаем функцию и(х, У), соответствующую рассматриваемому полю.
В частности, если функция Е в этой области все время положительна,
то Уг^>-/(-'„> и мы мажем утверждать следующее: экстремаль ая кри-
кривая 0О да.'т минимум интегралу J, если функция Е(х, у: и, р)
положительна для любой точки (х, у) области 9ie и при всяком ко-
конечно и значении р.
Чтобы узнать, выполняется ли это условие, необходимо сначала
найти функцию и (х, у), которая соответствует какому-нибудь части лиу
полю экстремалей, содержащему ®0. -то условие можно заменить дру-
другим, менее общим, но более удобным для применения, ибо оно не тре-
требует вычисления функции и(х,у). В самом деле, по формуле Тейлора
имегм:
Е(х,у; u,p)=l?^^F"y,[x,y,u-\-1l(p — u)]==(p — u)*G(x,y;p), F8)
и функция Е (х, у; и, р) будет наверно положительной, если вторая про-
производная F",,t[X, у, р) полшительпа для любой точки (х, v) области 3{«
и дш всякого конечного значения р Отсюда легко потучить 'систему
достаточных услоьий для того, чтобы эксфемальная крива»! ©0 давала
минимум интегралу J.
Пусть С есть некоторая замкнутая кривая, внутри которой нахо-
находится 0H и которая не имеет с Й ни одной общей точ ,и. Часть гл >с-
кости, ограни юн ая контуром С, составляет окрестность дуги (У,, и
ясно, что если выбрать е достаточно мальы, то область JHS вся будет
находиться внутри нее. И если какое-нибудь условие выполняется для
области внутри С, то оно подавно будет иметь место для области Э?,.
17 Э. Гурса. т. III, ч. 2.

258 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 640
Приняв это во внимание, мы можем сказать, что кривая ©0 доставляет
интегралу J минимум, если вторая произюдная /-" t(x, у, р) положи-
положительна в некоторой окрестности дуги ©0 для всякого конечного зна-
значения р и если х^ <С х'о.
В самом деле, функция F'',,[x,/(x),f(x)]=R(x) положительна при
изменении х от х0 до х,. Ус ювие Лежандра, следовательно, выполнено.
Условие Якоби также выполнено по щ едположению, и согласно фор-
формуле F8) можно найти поле \){г, окружающее @0, где функция Е поло-
положительна для всякого конечного значения р. Таким образом всегда бу-
будет Л«о < Уг •
Зшетим, что предыдущие условия не представляют системы необхо-
необходимых условий. В самом деле, может случиться, что функция G (х, у;р)
буает положительна во всяком поле Шс для всяк ко конечного значе-
значения р, тогда как это не имеет места для функции F",,(x, у, р) (§ 641).
Примечания. Пусть © — любая экстремаль выбра шого нами пучка;
и (х, I — угл >в, й коэфиииент касательной к этой экстремали в точке (х, у) поля.
Если функция Е(<. у\ и, р) положительна во всем поле при всяком конечном
значении р, то необходимое условие минимума, ука >анное в §6W, выполняется
также для экстремали ©. Мы получим, таким образов, достат чнэе \словие
Вейернпрасса, если выразим, что необходимое уел )вие выполняется для всех
экстрем, лей р.ксматрив :емО1 о пучка в поле. Ясно, что это необходимое условие
может быть выполнено на экстремали ©0 и не выполняться на бесконечно близ-
близких экстремалях. Из этого замечания мы также заключаем, чт > всякая дуга э стре-
ыали © данною п\гчка, расп ложенная внутри поля, также дает минимум инте-
интегралу, ибо достаточное условие Веиерштрасса вышлняетгя также для эгой дуги
5кстремалн, кО'Орая принадлежит т> му же пучку, что и ©0.
Ясн |, что д статочное уел .вш: ьейерштра^са влечет за собой условие Ле-
жандра по крайней мере в широком смысле § 636). Так как, с другой стороны,
существование поля прелпола1ает условие Якпби (§638', то можно сказать, что
дуга экстремали ©0 дает минимум, если эта дуга принадлежит полю, в ко-
котором выполняются достаточные условия Веиерштрасса. Если функция F не
содержит у, то два условия Веи^ршт >гсса (не б<с димое условие и досп.аточ-
ное услови ) сводятся к одному. В самом fli-ле, можно в качестве и (х, у) взять
значение f (х) в точке дуги ©0 а эти рав осильно введению спеш алшиго п>чка,
состояшег i из экстремалей, которые получаются из ©о аьренесением, параллель-
параллельным си Оу.
примеры. 1. В примере Больца (§636), где
F — у'"'{а — АЬуу' + 2Ьху">),
можно взять ц = 0. Специальный пучок состоит из прямых, параллельных Ох, и
функция Е(х, у; и р) равна р2(п - 4byp -t- bxp'-). На дуге экстремали, состоя-
состоящей из отрезка @,1) оси Ох, имеем Е^о, но это неверно для 6ecKont4HO
близких экстремалей пучка. В самом деле, если взять у—-~ , р=?-, где х
бе*
имеет положительное значение, меньшее единицы и числа „ , то функция Е
отрицательна.
2. Рассмотрим еще F = g[x, у) ]/7+3^- Здесь
У2)
и эта производная имеет знак функции g(<c. у). Если вып1лняются условия Ле«
жандра и Якоби, то g(x, у) положи!ельна вдоль всей дуги ©о. Имеем, следова-

§ 641 III. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 259
тельно, также g(x, у)^> 0 в области, окружающей ©0, а следовательно, F ,, по-
положительна во всей эгой области для всяко'О конечного значения у. Таким
образом кривая ©0 дает интегралу минимум. Этот вывод применим в частности
к примерам § 622.
641. Сильный минимум и слабый минимум. Если в какой-нибудь
точке кривой Г с абсциссою х значение У очень мало от ичается от
значения/'(с), то, так как и и (х, v) мало отличается от /' (х), можно
сказать, что разность м-)-0(>'— и) — /'(х) также очень мала, а сле-
следовательно, согласно формуле F8i, функция Е(х,у;и, \') имеет тот же
знак, что и F",t [х, f{x), /' (х)]. Это замечание ес!ественно приводит
к введению нового понятия.
Пусть вообще ш{х,а) есть непрерывная функция в интервате (х0, х^),
имеющая в этом интервале непрерывную производную первого порядка
ш' (х, а), обращающаяся в нуль при х = х0 и при х=лг, дш любого
значения а, а при а = 0 обр-ндающ-яся тождественно в нуль.
Мы будем го ориль, что а>(х,п) есть слабая вариация, если вся-
всякому положительному числу г можно поставить в соответствие другое
положительное число Ь такое, что для xo^x^.v, имеют место нера-
неравенства:
|ш(г,а)|<е, К(*,о)|<е, F9)
если только значение |а| меньше Ь. В противоположность этому, гово-
говорят, что функция о) (лг, а) есть сигьная вариация, если выполняется
только первое уел >вие, т. е. если всякому положительному числу г
можно поставить в соответствие другое п< ложительное число 8, так
что для xQ =g: x =s: xl выполняется неравенство
I <°(xi я) I <Се,
коль скоро | э | <С i, между тем как значение | ш^. (х, а) \ лри приближе-
приближении а к нулю не подчинено никакому условию.
Рассмофенные выше вариации, которые имеют форму аг) (г), суть
слабые вфиапии, какова бы ни бы'а функция г, (л); в самом jieie, до-
достаточно, чюбы б ло М | а | <^ е, где М означает наибольшее значение
|r,(v)| и |г/(-«)| в интервале (х0, xj, и оба неравенства F9) будут
Выполнены.
Напротив того, вариация
Г ( у* у \ / у- ____ у
со (х, a) = asin '
где л>1, есть сильная вариация, ибо
и всегда можно указать значения а, по абсолютной ве.чичиче меньшие
любого положительно: о числа р, для которых | w' (v:,a)| больше любого
наперед данного числа.
17*

260 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 641
Это различие легко усматривается на самих кр. вых. В самом деле,
рассмотрим две кривые © и Г, изображенные двумя уравнениями:
y=J(x), (G)
y=f(x)+u(x,a), (Г)
и поставим в соответствие друг другу точки этих диух кривых, имею-
имеющие одну и ту же абсциссу. Рисстояние между д умя соответствующими
точками двух кривых меньше г, коль скоро |а|<^г. независимо оттого,
будет ли вариация слабая или сильная. Но если вариация ш (х, а) сла-
слаба», то не только две соответствующие точки на двух кривых беско-
бесконечно б'изки, но и угол между касательными к этим кривым в этих
точках беек нечно мат. Это не имеет места, е:ли ва -нация со (х, а)
сильная; в этом случае угол между касательными к двум криным в со-
соответствующих точках, вообще говоря, не стремится к нулю, как в этом
можно убедиться на предыдущем примере.
Аналогичное различие можно слетать дтя минимума. Мы будем го-
говорить, что экстр; мальная кривая @0 дает слабый минимум интегралу J,
если существует положительное число г такое, кто интсрал
хк
\F[x,f(x),f'(x)]dx
меньше, чей инте?рал
для всех созможных видов функций ш (х) класса (I), удовлетворяющих
условиям:
(о(х0) = 0, »(*,) = <), \ш(х)\<е, |со'(*)|<в
для х0 =g л: ^ X].
В противоположность этому, говорят, что экстремальная кривая
y-=f(x) дает сильчый минимум, если она удовлетворяет условиям, при-
приведенным в начале этой главы (§ 620). Отсюда легко объяснить, почему
условия Лежандра и Яко*ш недостаточны для сильного минимума, ибо
эти уел тия получаются при рассмотрении только слабых вариаций. На-
Наоборот, условие Вейерштрасса (§ 636) было получено при рассмотрении
сильной вариации.
Теорема. Дуга экстремали ©п, для к^гтрой выполняются усло-
условия Лежандра и Якоби, дает по крайней мере слабый минимум
интегралу J.
В самом деле, по предположению, функция
имеет положительное значение, когда х возрастает от лгп до хГ Так как
функция F"(x. у, у') непрерывна, то можно указать такое положитель-
положительное число <5, что
Fyt [х, f(x) -f h, f (х) -f k] > 0 для х0 < х < xv

§ 641 Ш. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ 261
если только |Л| и \k\ не превосходят Ь. Пусть Г — кривая сосе!няя
с ©0 и изображаемая уравнением y=f{x)-\- со (<). Заменяя в фор-
формуле F8) р на у, мы в ней должны взять
и -f & (У' — «) = и [*./(<) + <» U)] 4-
+ fJ {/' (*) + »' (л) — и [х f(x) 4- со (х)]},
или, заметив, что и [к,/(х)] =/f(v) и обозначая через 0 число, заключен-
заключенное между нулем и единицей, это выражение можно записать еще так:
/' (-V) +0о)' (х) +- A —0) {н [х, /(х) + со (*)] - а [х, /(<)]} =
= /' (х) + Оси' (х) + A — 0) со (х) «^ [х, f(x) + Ojco (х)].
Пусть <i — верхняя граница дтя | и' | в некоторой окрестности ©0*
Возьмем положительное число г такое, чтобы было e(l-|-ji) 3; если
для значений х между х0 и х2 значения |cu(v)| и | со' (х) | меньше г, то
\У—/(х)\<Ь, |« + 0(У — и)— /W|<J
вдоль всей кривой Г, и, следовательно, функция
Е(х,у;у, и)
положительна вдоль всей этой кривой. Следовательно, разность УГ — У^о
согласно формуле F7) положительна.
Предположение, приведенное в конце предыдущего параграфа, мо-
может быть также формулировано следующим образом:
Теорема. Дуга экстремали ©и, для которой выполняются усло-
условия Лежандра и Якоби, дает сильный минимум интегралу J, если
вторая производная F"„(х, у, р) остается положительной длн вся-
всякого конечного значения р в некоторой области, окружающей ©0.
Примеры. 1. Пусть Z7—/2 {у' — 1)\ Имеем:
Y- = 4/з - 6У» + 2/ = 2У (у1 - 1) BУ - 1),
ду
^~F= 12/г — \2у' + 2 -^ 12 (у' — т') (у' - т"),
где т' заключается между 0 и-r, а т" — между -— и 1. Экстремальными кри-
кривыми служат прямые линии, и каждая прямая с угловым коэфициентом т при-
н;дтежит п >лю, составленному из параллельных прямых, соответствующее зна-
значение функции и(х,у) есть и (х, у) —; т.
Если заданы две точки А и В в плоскости ху, то прямая АВ есть единст-
единственная экстремальная крива!', соединяющая эти дле течки. Эта кривая ьсегда
удовлетворяет условию Якоби. а условие Лежандра выполняется только в том
случае, если угловой козе] ицлент т прямой АВ меньше т' ил i больше т".
Пусть ЖЕ — область, стреляет ая, как ьыше было уьал. но, лля экстремаль-
экстремальной кривой АВ; эта область представл>ет поле, в котором и (х, у) = т. Фмт-
ция Е(х,у; т, р) В-йернлрасса имеет значение:
Е(х,у\ т, р) = {р — ту-[р? + 2р(т— 1) + (т — 1) (Зт - 1)] =
= (р- /л)'2 {(р+ т— 1K + 2т (т - I)].
Эта функция положительна для всякого конечного значения р, если т отрица-
отрицательно или больше единицы, и толм<о в этих двух случаях. Мы приходим, та-
таким образом, к следующим результатам:

262 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 641-642
1) Если т < 0 или /я> 1, то прямая АВ дает сильный минимум интегралу
J= \ /2 (_/ — II dx. То же будет, если т = 0 или т = 1, ибо в этих двух случаях
значение интеграла J влоль прямой АВ равно нулю, между тем как .тля всякой
другой кривой класса (I), соединяющей точ к А и В, это значение положительно.
2) Е.ли 0 < т < т' или т" < т < 1, то прямая ЛВ дает интегралу У слабый
минимум.
3)'Наконец, если m'^ms^m", прямая АВ не дает ни сильного, ни слабого
минимума, ибо yc.io.uie Л жандра не выпол яется.
Этот пример, принадлежащий акже Болым, приводит к однсму интерес-
интересному замечанию: мы видна, что функция Е(х. у\ т, р) остается положительной
для всякого конечного значения у', к or. a m отрицательно или бол!ше единицы,
хотя вторая производная F'yll = 12 (у — т') (У— т") не остается положительною
для всякого конечного значения у'. Следовательно, yoioBte Fyl, > 0 не есть не-
необходимое условие для того, чтобы имел место сильный минимум (§ 640).
X
2. Пусть F= г,- Выше мы ви.ели, что условие Вейерштрасса выпол-
выполняется только для npi мых, параллельных оси х. Следовательно, всякая другая
экстремаль не может дава.ь сильною ми'.имума. Так как условие Якоби всегда
выполняется, ибо и—I есть решение уравнения в вариациях (§ 634, сноска), то
мы будем HMtTb слабый экстремум, еелл влп )лняется условие Лежандр.ц т. е.
если (Зу'2—1)х сохраняет вдоль рассматриваемой экстремали постоянный знак.
642. Интерпретация метода Вейерштрасса. Каждому решению и(х,у)
уравнени i F5) соответствует функция в (х, у), удовлетворяющая двум
соотношениям:
d-=F"{x,y, и) -uF'a (x, у, и), - = F'a(x,y,u); G0)
оХ оу
Вейерштрасс представил свой метод в несколько иной форме, из кото-
которой делается очевидным значение этой функции в(*, у). Уравнение
Q(x,y)~c представляет общий интеграл диференциального уравнения
[F(x, у, и)— и F'a (x, у, и)] dx + F\ (x, y,u)dy=Q, G1)
которое как раз определяет трансверсачьные кривые (§ 626) рассма-
три аем )го пучка экстремалей, для которого у' = и(х, у).
Пусть у—тра icsepcaib, которая проходит через точку Е, взятую
на дуге АВ или на ее продолжении. Возьмем на этой трансверсали
дугу DF, концы которой рас юложены по разные стороны точки Е, на-
настолько малую, что F(x, у, и) вдоль DF не ( братается в нуль, и что
экстремали, которые пересекают трансверсально DF, находятся в поле*.
В таком случае мы можем ограничить поле двумя экстремалями @' и @",
* Мы не рассматриваем исключительного случая, когда функция F(x,y. и)
равна нулю влоль всей кр iboR (Уо В этом случае транснерсаль, выхолящая из
точки Е. совпадает с ©о- с*тот случай ьсегда можно исключить из расемтгения,
ибо можно, не меняя содержания задачи ($ 621), прибавить к функции F л.обое
ди <)v
выражение вида -—(-— у и так распорядиться функцией v, чтобы этот осо-
дк ду
бый случай не имел места. Можно даже подобрать функцию v так, чтобы транс-
веосалыо была произьольная кривая, например, прямая х = х&.

§ 642
III. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
263
выходящими из точек D и F, и двумя отрезками прямых х = х^ х = х
(черт. 104). Через каж ую точку М поля проходит эк.тремаль © пучка,
которая пересекает трансверсально у в onj еделенной точке т д.угн DF.
Может, в частности, случиться, что кривая у ВЫР' ждается в точку Й,
лежащую на продолжении АВ; тогда плчок состоит из экст[ емалей,
выходящих из этой точки. Принимая это во внимание, положим, чго
U(x,y) есть определенный интеграл \ F (v,y, у') dx вдоль дуги тМ
экстремали @, проходящей через точку М, взятый начиная от точки т,
в которой экстремаль пе-
пересекает у трансверсаль-
но. U(x, у) есть функ-
функция, определенная в каж-
дг й точке поля, и со-
согласно общей формуле
A8'), которая дает первую
вариацию (§ 625), ее пол-
полный диференциал dil тож-
тождествен с d8. Так как
функция %(х,у) опреде-
определена ТОТЬКО С ТОЧНОС1ЫО
до постоянной, то мы мо-
можем взять в -— U{x, у).
Пусть Г — любая кривая класса (I), находящаяся в поле и соеди-
соединяющая две точки А и В. Имеем последовательность очевидных ра-
равенств:
/r _ yffc = [ F (x, y,y')dx—[d$=\{F{x, У< У)
Черт. 104.
и, заменяя d& его значением, мы приходим снова к формуле Вейер-
штрасса. Рассуждения эти не очень существенно отличаются от преды-
предыдущих, но здесь ясно видна роль вспомогательной функции Ь(х,у),
которая появляется при преобразовании разности Уг — ¦/<¦•„•
Зная систему решений двух уравнений G0), можно представить функцию
F(x,y,y') в виде:
ay
G2)
где функция G(r,_y,_v') и ее производная G, обращаются в нуль при
на и (v, у). Обратно, если можно каким-нибудь способом представить функцию/7
в виде G_) где 0 зависит толкк.) от х и от у, а функция О(с,_у,_у') и ее про-
производная Оу,(х,у,у') обращаются в нуль при у' = и(г,_у), то интегральные кри-
кривые уравнения у' = и ( г, j) образуют пучок экстремллей, и кривые (-)(«¦, _у) = в
представляют тг-я юверсали этого пучка. В самом деле, если п|)опиференцировать
обе части тождества G2) по у' и зат^м в i боих соотношениях заме ить у' на и,
то получатс как раз формулы G0) Ф\нкиия П (х, у,и,у) для этою пучка экстре-
экстремалей совпадает с самой функцией О (к, у,у')
Заметим, что, если в обращается в посюянную, то функция F обращаете»
вС, и диференцияльное уравнение G1) трансверсальных кривых удовлетво-
удовлетворяется тождественно.

264 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 643
613. Уравнение семейства трансверсалей. Исключая и из двух уравне-
уравнений G0), мы получаем зраьнсние в частных производных:
= 0, G3)
интегрирование которого дтет все семейства трансверсальных к-ивых. В самсм
деле. ВС1, кому решению C-J(r, j) этого уравнения соответствует фу, кция / (i',_y),
удов.И-ТВ 'ряющая двум соотн шениям G0), а следовательно, уравнению F5).
Таким образом интегральные кривые уравнения У = «(с, у) образуют се-
семейство экстремалей, дтя которых кривые (-) (v,y) = c служат трапсверсалыг>:ми
кривыми. Обратное предложение, очевидно, и мы получаем следующую теорему:
Если 0 (х, у) есть инпиграл уравнения G3), то кривые 0 (*,_)) = с обра-
образуют семейство трансверсалей, и все они могут быть получены этим
способом.
Как мы уже видели (§ 626), семейство трансверсалей определено, если за-
задана одна кри.ая этого семей тва Это вполне согласуется с общей теоремой
существования, ибо интеграл уравнения G.5) определен, если задано его значе-
значение (которое здесь есть любое постоянное) вдоль некоторой кривой на пло-
плоскости к\>.
И П'егрпрование уравнения G3) приводится к интегрированию уравнения
Эйллр.ч, (§ 6211 и обратно Действительно, мы покажем, что эктремальные кии-
вые пре 1с:> авлчют проекции на плоскость ху характеристик уравне¦ ия ('3).
Пусть у -f (\) — уравнение экстремали (УЗ. Мы \же заметили (стр. 2L,
сноска), что пространствен!>аи кривая Г {_у = /(*), и -/' (t) j- являет я характеристи-
характеристическою кривою для уравнения отпосиелью и. Другими словами, существует
бесчислен'те множество интегралов ы = F(к,у), обращающихся в /' (.v) при за-
замене v через/(v). Каждой из этих функций и соответствует интеграл уравнения
относительно 0, который будет вполне определен, если будет задано значение 0О
в точке Mt кривой ®; следовательно, в силу формулы G0) значения 0, — > —
ох ду
остаются одинаковыми для всех этих интегралов вд >ль кривой 65. Отсюда сле-
следует, что все они соприкасаются вдоль кекс торой кривс й Г' пространства ( к. v. 0),
проекцией которой па плоскость (х,у) служит кривая @. Эта кривая I" таким
образом, представляет характеристику уравнения G3), и точно таким же образом
можно доказать, что, обратно, всякая характеристика уравнения относительно в
пр( ектируетсн на плоскость ху в характеристику уравнения относительно и,
и, следовательно, в экстремальную кривую.
Положим для краткости ^ — , р= ' . Диферепциальные уравнения ха-
ох ду
рактеристик уравнения G3) будут:
dx дФ dy дФ dp дФ dq дФ
dt dp dt dq it дх dt ду
где t означает вспомогательную переменную. Интегрирование этой канони-
канонической системы при условии Ф = 0 эквивалентно интегрированию урав-
уравнения Эйлера. Если известен интеграл Q(x~,y,a) уравнения G3), зависящий от
произвольного постоянного а, отличного от того, которое всегда можно приба-
прибавить к решению, то (~)(х,у, а)-\-b представляет полный интеграл, г уравнение
\-с — 0, где а и с — два произвольных постоянных, есть общее уравнение
да
экстремальных кривых (т. I!, § 448).
К ел и F—g(x,у) У I -\-у 2, то уравнением относительное будет
/30 \ 5 .

§ 643-644 III, ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ -265
На всякой интегральной поверхности вида z = 0{х,у) характеристики суть
линии наибольшего ската. Сеть, образованная из линии уровня z=io:ist и" из
кривых наибольшего с^та, проектируется на плоскость ху в сеть, состоящую из
пучка экстремалей и их ортоп нальны.х траекторий.
614. Случаи двух н.'изчест ых функций. Предыдущая интерпретация ve-
тода Be: ерштрасса позволяет легко ею обоСщить на случай я неизвестных функ-
функций; мы рассмотрим только случай п = 2. Определение поля экстремалей вполне
ан,)ЛО1Ично тому, кою ое было дано для л=1. Область 3) простран^ тва пред-
представляет поле, если существ^т cev-еРство экеремалей, зависящее от двух па-
параметров (или конгруэнция экстремалей), такое, что через каждую точку 3) про-
проходит одна и только одна экстремаль этой конгруэнции, причем угловые козфи-
циенты и (r,_y, z\ v (с,_у, г) касательной к экстремали, прохо^щ.-й через точку
(x,y,z), представляют непрерывные функции, которые допускакт непрерывные
частные производные в области 3). Если условия Лежандра и Якоби удовлетво-
удовлетворены на дуге экстремали ©0, то рассуждения, приьеденные для п=\, доказы-
доказывают, что можно бесчисленным ьолич(Ством сп со^ов найти поле экстремалей
в окрестности ©о так, чтобы ©о была экстремалью конгруэнции. Рассмотрим для
определеннесги ьомгруэнцию, образованную из экстрем:лей, соседних с ©0
и исходящих из точки 3( с абсциссой х0 — h, взятой на продолжении дуги ©0>
где h настолько мало, что точка 21 не имеет сопряженного фокуса на АВ(§631).
Эти экстремали изображаются двумя уравнениями вида:
у = f (х, I, v), z=y (x, I, |x), G5)
где функции/(X,)., (i), <р(.г, А, ц), которые при Х = ц = О обращаются соответственно
в f (х) и ? (у), непрерывны и допускают непрерывные частные производ-
производные, когга х изменяется от х0 — h до х„ коль скоро |Х| и | ц| остаются меньше
некоторого положительного числа р. Кроме того, детерминант jj~—'J- при значе-
значениях X = ji = 0 не обращается в нуль при изменении х от х0 до х, (§ 637). Из
5ТО! о рытска.т, что, и обратно, можно всегда определить такое пол1 жителыюе
число ?, чтобы для всякой системы значений x,y,z, удовлетворяющей неравен-
неравенствам
хл^х^х{, |j/-/(v-)l=s:e, | z - <f (л) | ¦=: в, G6)
уравнения G5) допускали систему решений относительно X и ц и притом един-
единственную,
\ = -(x,y,z), )>. — тч{х,у,г),
где it и it, суть непгерывчые функции, которые обращаются в нуль, когда точка
(х,у, z) попадает па кривую ©0*. Таким образом область 3), определенная нера-
неравенствами G6>, представляет поле экстремалей. Через каждую точку этого поля
проходит одна и только одна экстремаль, выходящая из то тп 21 в окрестности ©п.
Ясно, что мы можем заменить это поле 3) полем 3)', которое состоит из той
части пространств!, которая покрыта экстремалями 3), выходящими и> точки 21,
когда точка (к, ц) изменяется в некоторой окрестности начала координат. Пусть
и x,y,z), v{x,y,z) — угловые коэфициенты касательной к экстремали, к торая
проходит через точку (х, у, г) области ЗУ, а 9 (л, у z) — значение определенного
интеграла \ F{x,у, г, у1, z') dx, взятого от точки 21 до точки М вдоль экстремали
пучка, соединяющей эти две точки. Согласно обшей формуле, которая дает пер-
первую вариацию (§ 625), полный диференциал dd имеет выражение:
dQ = [F{K,y,z, и, v) —uF'a (х,у, г, и, v) — vF'v (х, у, z, и, v) dx + F'u dy +F'V dz.
* Это можно доказать, применяя, например, метод последовательных при-
приближений к решению системы G5), рассматривав.:ой как система двух уравне-
Hir'i с двумя неизвестными X, ц (A males de I'Ecole Normale, 3-я серия, т. ХХШ,
1916, стр. 430 и след.).

266 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 644
Если Г есть кривая класса (I) поля ЗУ, соединяющая две точки А и В, то
опять имеем:
Л- — 4 = \ F (Х'У> z< u> v- У> z>> dx> G7)
г
эта формула вполне аналогична формуле E7), и из нее можно получить те же след-
следствия. Экстремальная кригая ©о дает минимум, если функция Е( к. у, г; и, v, p, а)
положительна для всеч систем конечных значений п и q в о5ла:ти А), окру-
жа<щ й @о и опре еленной неравенствами виса G6).
Формула Тейлора, если в ней ограничиться только членами второго порядка
дает:
Е(х, у, г; и, V, у', z') = -I {(/ - в)»/у, [х у, г,и + в (v1 + н), v + © (г' - v)) +
отсюда следует, что ©о дает минимум интегралу J, если квадратичная форма
/> (*. У, ^ У , z V2 + 2Fyg, (...) tw + /=¦;,(...) w*
есть определенная положительная форма для всех конечных значений yi z',
когда то'ка (х, у, z) остаемся в обласпи 3).
Предыдущие условия достаточны для того чтобы кривая ©о дтвтла сильный
минимум. Дл i слабого минимума можно покпзать, аналогично § t4l, что усло-
условия Лежянлра и Якоби являются достаточными. Лруп^ми словами, до.таючно,
чтобы предыдущая квадратичная ф рма была определенною пол >жителыюю формою
вдоль кривой ©о, П' ичем ' и z' выражают угловые коэфициенты касательной
к этой '¦ривой, и ч обы выполнялось уел >вие Якоби.
Ясно, что способ, каким мы определили ко груэншпо экстремалей, не играет
никакой роли, и метод Вейерштрасса приводит к функции F{x, y,z,y',z') вида
дл ду 02
+ 2// (У - и) (г' -V) + K(^- »)», G8)
где в, к, V — функции от x,y,z, a G, Н, К - функции от x,y,z,y'z', и все
эти функции ньпрерывны, так же как и их производи е в некоторой об-
области. Обратно, всякий раз как функция F предета <лена в этом форме,
интегральные нривые си темы дифа енциальных уравнений у' = и (х, у, z),
z' = v{*,y, z) суть экстремали. Это можно был > б.л обнаружить непосредствен-
непосредственным вычислением, но достаг>чно заметить, что первая Вфиация интеграла J
вдоль дуги одной и) этих кривых при закрепленных копнах очевидно равна
нулю. Поверхности 0 (г, у, г) -= const пересекаются этими экгт'ема/чми
трансверсально. В елмом деле, если в ур впении ( 8) и в тех, которые полу-
получаются диференцированием его по у' и г', заменить у' и z' соответственно на и
и v, то мы получим:
:-:—<-<• %='¦> в~"-
я условие трансверсальности действителып удовлетворяется (§ 626).
Исключая из двух уравнений G9) и и v, мы получим уравнение в частных
производных, которое определяет семейства трансверсальных поверхностей.

§ 645 IV. ТЕОРИЯ ВЕИЕРШТРАССА 267
IV. ТЕОРИЯ ВЕИЕРШТРАССА. РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ
645. Параметрическая форма интеграла. В задачах, изложенных до
сих пор, рассматриваемые кривые могут встретить в:якую прямую, па-
параллельную оси Оу, или всякую плоскость, параллельную yz, не больше,
чем в одной точке. Но во многих задачах геометрии эю ограничение
является искусственным, и определенный интеграл, экстремум которого
ищется, имеет смысл для всякой кривой, имеющей касательную, направление
которой изменяется непрерывно. Положим, например, что ищется экстре-
экстремум инте!рала
*i
J=\{y + a j/1-f-y'V*:
выше мы видели, что экстремалями служат окружи- сти радиуса а. Если
расстояние между двумя данными точками А и В равно 2а, то полу-
полуокружность, описанная на АВ, как на диаметре, представляет экстре-
экстремальную кривую, соединяющую эги точки. Но, если прямая АВ не
параллельна оси Ох, то существуют прямые, параллельные оси Оу, ко-
которые встречают эту экстремаль в двух точках. Таким образом задача,
как она поставлена в § 621, в этом случае не имеет решения. Если,
однако, написать интеграл в виде:
J=\ydx-\- ads,
то этот интеграл, взятый вдоль полуокружности, имеет смысл, и мы
несколько позднее (§ 647) покажем, что первая вариация интеграла J
равна нулю, если сравнивать его значение вдоль полуокружности со
значением, в_>ятым вдоль бесконечно близкой кривой, имеющей те же
концы.
Мы будем излагать теорию Вейррштрасса, ограничиваясь рассмотре-
рассмотрением плоских кривых и обращая особенное внимание на различия между
новой теорией и ранее изложенными.
Мы будем говорить, что кривая Г принадлежит к классу С1, если
координаш любой точки М этой кривой можно представить двумя
функциями:
* = <Р('), y=$V) (80)
вспомогательного параметра t, которые непрерывны и допускают не-
непрерывные первые производные if'(t), ib' (t), не обращающиеся одновре-
одновременно в нуль ни при одном значении t, заключенном между значениями
t0 и 1Л, соответствующими концам А и В дуги Г. Всегда можно пред-
предположить, что tQ<^t^, мы это впредь и будем делать. Мы будем обо-
обозначать через А точку, соответствующую значению параметра tn, и че-
через В — точку, соответствующую значению tJt и будем считать поло-
положительным направлением на дуге АВ то направление, в котором
перемещается движущаяся точка, передвигаясь по дуге А к В. При
возрастании t от /0 до Л, точка с координатами у (() и ф (t) описывает
дугу АВ в положительном направлении, так как обе производные <р'(*)

268 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 645
и ф' (t) не могут обратиться в нуль при одном и том же значении t-
Если эта д>га не пикет двойных точек, то каждой точке М эгой дуги
соответствует одно и только одно значение t, заключенное м жду /0 и tx.
Мы будем обозначать через О угол, сос!авленный положительным на-
направлением касательной с осью Ох, причем этот угол отсчитыв (ется, как
в тригономе'.рии и только с точностью до числа, кратного 2тг Напра-
Направляющие косинусы этою положительного направления касател» ной, т. е.
косинусы углов (считая от 0 до тт), которые она сост<1вля т с осями
Ох и Оу, будут cos 0 и sin 6. Всякая пара чисел /fcosO, ATsin 0, где
К—любое положительное число, дает систему направляющих парамет-
параметров для эгой касательной. Можно в качестве направляющих параметров
взять производные <р'(?) и ф' (t), ибо
Всякая кривая Г класса С1 допускает бесчисленное множество параме-
параметрических изображений этого рода. В самом деле, если формулы (80)
длот такое изображение, то и t него можно получить новое, заменяя
в Э1их формулах t функциею т: (т) переменного т, непрерывною и воз-
возрастающею от t0 до /, при возрастании т от т0 до т, и имеющею не-
непрерывную производную и'(т.), которая не обращается в нуль между
т0 и тг От э ого представления мож ю перейти к первоначальному,
заменяя т на обратную функцию тс (/). В частности, всегд1 можно
предполагать, что выполнена такая ли ^йная подстановка / — ат-|- C, что
концам соответствуют наперед данные числа, Hanpnviep 0 и 1.
Принимая все это во внимание, положим, что F(x, у; х\ у')— функ-
функция четырех переменных х, у, х', >', непрерывная и допускающая не-
непрерывные частные производные до третьего порядка при перемещении
точки (х,у) в некоторой области di плоскости и при любой системе
конечных значений х',у', для которых д;'2+У2 отлично от нуля.
Пусть Г — кривая класса С, расположенная в области 3^. Если фор-
формулы (80) дают параметрическое представтение этой кривой, удовле-
удовлетворяющее поставленным условиям, то определенный интеграл
'[ъ (t), ф (t), tp'(^), ф'W] dt (81)
имеет определенное значение, которое зависит не только от самой кри-
кривой Г, но также от принятого способа ее изображения, если функция F
произвольна. Мы прежле всего найдем, каким условиям должна удовле-
удовлетворять функция I- для того, чтобы значение интеграла J зависело
только от самой кривой Г и or принятого направления на ней и не за-
зависело от способа, каким эта кривая задана. Для этого необходимо и
достаточно, чтобы интеграл того же вида, что и J, но полученный при
другом способе изображения кривой, имел то же значение, что и пер-
первый. Заменяя в формулах (80) t на функцию тс(т), удовлетворяющую
только что поставленным требованинм, мы получим новое параметриче-
параметрическое изображение кривой Г, причем (р, ф, у', ф' заменены соответственно

§ 645 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 269
через <р [тт (т)], ф [гг (-)], срг (тт) я', ф'(тс) тс\ и значение интеграла (81) при
таком новом изображении будет:
{'? [тг (т)], ф [и (:)!; <?' [тт (t)J. ф' [гг (т)] тс' (т)} Л. (82)
Если в этом интеграле произвести подстановку п(т) —w, то он пере-
переходит в
J<=[f [¦? (и), ф (//); <р' (и) п' (т) тт' (т), ф' (й) п' (:)] -^- . (82')
Для того чтобы интегралы (81) и (82') были равны для любой кри-
кривой Г и для любого ее параметрического изображения, необходимо и
достаточно, чтобы элементы были равны, т. е, чтобы выполнялось тож-
тождественно:
F [<р (и), ф (и); <р' (и) я' (т), ф' (и) тт' (-)] - п' (т) f [а (,/), ф (н); «' (и), ф' (и)],
где функция и'(т) имеет какое угодно положительное значение. Мы
будем вместе с Больца говорить, что функция Г(х, у; х', у') положи-
положительно однородна относительно х' и у' и степени т, если для всякого
положительного кисла К имеет место равенство:
F(x,y;Kx\ Ky') = KmF(x,y, x',y'). (83)
Тогда только что полученный результат может быть формулирован
так' для того чтобы интеграл (81) завчеел только от дуги АВ класса С1
и от принятого на ней направления обхода, необхидимо и доста-
достаточно, чтобы функция F(х, у; х', у') была положительно однородна
и первой степени относительно х', у'.
Этот интеграл можно представить в одном из двух видов:
Уг= \ F[x, у; x<(t),y'(t)]dt=\F(x,y;dx,dy),
АВ АВ
где переменное t ближе не определено.
Примечание 1. Рациональная функция от х' и у', которая удовлетворяет
этому условию, однородна в обычном смысле слова, i бо она поедставляет част-
частное от деления двух многочленов, однородных относительно \' и у' степени т
и т — 1, соответственно. Это не имеет места для иррациональной функции; на-
например, радикал \/х'* + у'г, взятый с попожит;чльным знаком, будет положительно
однороден, но если заменить х1 на Кх' и у' на Ку', где К отрицательно, то
}/К* .'¦¦* + Kiy'~ = — К [/х'^-гу'-К
Выражение ax' + by'+]/x'*-ry'* представляет сумму двух членов, положи-
положительно однородных, один из которых при .амене х' на—х' и у' на—у' меняет
знак, а другой не меняет знака.
Примечание 2. Если изменить направление обхода по кривой Г, то инте-
интеграл вдоль ВА получает значение:
-„'• h
JBA = \f[i(- г), ф(-0; f'(-0.- V(-i)\dt=\F[, (и), i (и); - Т' (и), - V (и)] da.
-и и

270 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 645—646
Если функция / однородна относительно х' и у' в абсолютном смысле слова,
то JВА = 1ДВ . Напротив того, если
,-x',—y') = F{x,y, r',У),
то «'вд = ^дв1 и значение интеграла не зависит от направления обхода. Наиболее
простой пример этого рола дает интеграл \ \/х--\- у''г dt.
Примечание 3. В частном случае, когда кривая Г есть кривая класса (I),
и если, кроме тою, r0 < xi: то можно в качестье параметрического изображения
ваять x = i,y— (I), и интеграл принимает вид интеграла, который мы до сих
пор рассматривали
\ f (х, у, у'х) dx.
Обратно, всякий интеграл
*>
\ G(x,y,y')dx,
взятый вдоть кривой Г класса ('), может быть представши бесчисленным множе-
стюм способов в парами ической фо ме Если, например, хо< л,, то оааточно
положить jc = <р ('). 'Ле ? (') —такая функция класса (I), что i растет от х0 до xL
П| и возрастании t o^ to до ",, а затем положить ф (/) =/[<р (.)], и интеграл при-
принимает параметрическую форму:
функция
F[x,y;x(t),yl(t)] = G(x,y;y[)x'
действительно удпвтетзоряет условию однородности Но для того чтобы это пре-
преобразование предстамляло некоторый интерес, необходимо, чтобы пяраметриче кая
форма инте|рала была применима ко всем кривым класса С1, по крайней мере
Г*
в некоторой области. Например, интеграл \ y"*dx может быть записан в пара-
парато
Г J''2 ( )
метрической форме: \ --7-Ч- dt, но этот интеграл не будет иметь конечного значе-
ч X \)
ния для кривой класса С, которая имеет касательную, параллельную Оу.
643. Новая задача. Пусть будет F(x, y;x',y') функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям непрерывности и условию однородности, которые были
изложены; каждой кривой класса С1, расположенной в области 9? и опи-
описанной в определенном направлении, соответствует определенное значе-
значение интеграпа J. Можно относительно Э1их интегралов поставить те же
задачи экстремума, какие были поставлены в § 621, 631 и следующих,
но только необходимо точно определить, что следует понимать под
окрестностью криной этог > рода. Эта ок: естн сть уже не может быть огра-
ограничена отрезками д^ух прямых, параллельных оси Оу и проходящих
через точки А и Н, она должна содержать эти две точки внутри. Мы
будем в дальнейшем н.-.зывать окрестностью дуги АВ класса С1 часть
плоскости, покрываемую переменным кругом радиуса р, центр которого

§ 646 IV. ТЕОРИЯ BEPtFPIUTPACCA 271
описывает дугу АВ, и будем ее обозначать через 2)? или 2); можно
при этом р считать настолько малым, чго область 2) целиком находится
внутри Ы.. Приняв эго определение, мы б*дем гов рить, что кр1вая Г
дает относительный минимум интегралу У, если существует такое малое
положительное ч хло р, что значение интеграла Jr мен ше или равно
значению этого интеграла, взятому вдоль всякой другой кривой к.пасса С1,
находящейся в области 2)о и имеющей те же концы, что и кривая Г.
Относительный максимум определяется точно так же.
Положим, что кривая Га, заданная ф рмулами:
x = x(t), y=y(t),
где x(t), у(')—функции клчеса (I) в интервале (^0, /,) причем ^0<^1(
дает экстремум интегралу J. Пусть будут ?(/), 7] (t) две функции класса A)
в том же интервале, обращающиеся на концах к нуль Очевидно, что
кривая, изображаемая уравнениями: х — х (/) 4-а ?(')> У = V (О +- o.r^{t),
расположена в области 2)о, если |а| достаточно мало, и инте!рал
i) ± al(t), y(t) + artf), x (t) + a\'{), у' (t) + ai'(i)]dt (84)
'о
должен достигать максимума или минимума при а = 0. Можно вычислить
первую и вторую вариации по общим формулам § 621 и 631, но в силу
свойстка гднородности функции F между ча тными производными этой
функции существуют соотношения, которые п >зволяют упростить общие
выражения, полученные выше для bJ и о2./. Из соотношения
которое является следствием однородности, мы получаем следующие
соотношения:
Последние два из них показывают, что производные второго порядка
/-"",, F ',',, F ',[ пропорциональны соответственно У2,— х'у', х'2. Положим
где определенная таким образом функция Z7, (х, у; х', у') непрерывна и
допускает непрерывные производные в области 9J, если только х'2 ¦ у2
отлично от нуля. Но может с (учиться, что функция /^ обращается
в бесконечность при х' = у = о, даже если F остается конечной. Напри-
Например, если F= у х'г -f-У2, то
Г7 _

272 ГЛАВА XXXIV, ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 646—647
Примечание. Если интеграл J достигает относительного экстремум*
на кривой Г класса С1, то ясно, ' то эта кривая Г ш да но дает отп сительпый
экстремум при сравнении с кривыми класса (I). имеющ ши т.- же концы. Но об-
обрати е заключение бу ет неверно. Может случит1 ся, что криная Г класса A) Д)ет
интегралу экстремум по сравнению со значениями этою интеграла, врытыми для
кривых того же класса A), и не дает эксфемума, если ера в 1ить зна ениг инте-
интеграла Jr со значениями интеграла J, взятыми по кривым более общего класса О,
имеющим те же концы, что и Г. Например, очевидно, что интеграл J=\ ГТГ7^'
и
взятый вдоль отрезка @,2) оси х, будет больше, чем значение того же интеграла,
взятое вдоль любой другой кривой класса (I), имеющей те же концы. Но если
Г \'3d~
написать зтот интеграл в параметрической форме: \ ,, -, то можно найти
кривые классы О, бесконечно близкие к отрезку @, V), дающие интегралу значе-
значение, большее 2.
В самом деле, рассмотрим ломаную линию, состоящую из трех отрезков, пер-
первый из которых соединяет нача.ю с точкой х = 1 -)- h, у — /г, второй — эту ючку
с точкой лг=1, у — 0 и, наконец, третий — есть отрезок A,-). Значение интеграл,),
взятое вдоль этой линии, равно 2 + ——— ¦ г и, следовательно, больше 2,
если h > 0. Легко показать, как в § 630, что эту ломаную линию можно заме-
заменить такою бесконечно близкою кривою класса О, чтобы шгеграл вдоль С1 от-
отличатся от интегралч, взятого вдоль ломаний, как ^ годи i мало. Это замечание
вместе с замечаниями, приве енными в конце предыдущего параграфа, показы-
показывает, что новая за.-ача экстремума и та, которая была изложена выше, — суще-
существенно различные задачи.
647. Общая форма уравнения Эйлера. Для того чтобы первая вариа-
вариация интеграла (,84) была равна нулю для всех возможных функций
S(a), ij(x), функции x(i),y(t) должны удовлетворять двум соотноше-
соотношениям (§ 623):
°- (86)
Эти два соотношения не независимы, ибо, принимая во внимание соот-
соотношения между производными функции F, можно представить левые
части этих равенств в виде х'Т,у'Т. А так как х' и у' не обращаются
одновременно в нуль, то два соотношения (86) могут быть заменены
одним уравнением:
т=F, (ху -ух") + /=¦;;, - г;, = о. (87)
Мы получаем, таким образом, только одно уравнение для определения
двух неизвестных функций х(/),у('); этого соотношения достаточно
для определения самих экстремальных кривых, если не ставить вопроса
о форме их параметрического изображения. В самом деле, это уравне-
уравнение имеет вид: х'у" — у'х" = х'3Ф, где Ф — положительно однородная
функция нулевого измерения относительчо х\ у'. Оно, следовательно,
не меняет своего вида, как этого следовало бы ожидать, если заменить*
произвольною функцией тт (т) другого переменного т, производная кото-
которого положительна. Отсюда следует, что дл- того чтобы получить все
решения уравнения (87), можно произвольно выбрать переменный пара-
параметр t, подчинив его единственному требованию — возрастать при пере-

§ 647
IV. ТЕОРИЯ ВЕИЕРШТРАССА
273
движении точки (х, у) по ьривой в положительном направлении. В част-
частности, если предположить, что искомая кришя п; инад'е>ьит классу I),
и что хо<^х,, то можно в'ять х = 1, и yj аш ei не (87) ncr.ei.tT в \ рав-
равнение Эйлера, которое получается, если приравнять н>.г.ю первою вариа-
вариацию интеграла
f F(x,y; \,y')dx.
Так что по существу уравнение (87) есть не что иное, как уравнение
Эйлера, записанное в симметричной форме, в которой незашни .юе пере-
мнечое остается неопределенным. С точки зрении формильною интегри-
интегрирования обе задачи представляют одни и те же трудности, но \равне-
\равнение (87) может допускать решения, образованные гр(мыми х = с,
которые невозможны, если х есть независимое переменное. Так бузет
в случае, когда функция F ш\:еет вид: g (у) | х'z -t у'-'. Уравнение (87)
здесь удовлетворяется при х' = 0, и прямые, параллельные оси, являются
экстремалями для обобщенной задачи.
Чтобы закончить определение экстремальной кригой, когда задана точка А и
направление касательной в ътой точ'е, необходимо ввести еще < дно ьа!ое-::иГ>у:'ь
соотнон енне между i (t) и y(t\. Если в качестве пе еме.п.ою t взять дугу
экстремали, отсчитываемую от точки А,
то можно бугст к уравнению (>7) присо-
присоединить еще соотношение л' \" -\-у'у'' = О,
а и качестве начальных значений взять
х—х0, y=yQ, .a' = cos00 _y—siiiO,,
где 0,— угол между положительным
направлением касательной в точке А
с осью Ux. Два уравнения: Г—О,
х'х" + у'у" = 0 дают для х", у" neive-
рыв ые Функции от х, у, х', у' в окрест-
окрестности начальных значений, ести только
значение Л", <ха, \'в'- с(- ",., sin 60) отлично
от нуля, а, следоватсл но, в этом слу-
случае существует единственная экстемаль,
отвечающая этим начальным условиям.
Есл ' функция F(к, у, cos 0, sin 0) не
об"Э'нается в нуль ни при одном значе-
значении 0 области Й, то через каждую точку
этой области в i аж; ом направлении про-
проходит o."ii:i и только одна экстремаль.
Задача называется правильной. ______
Пример. Пусть F -ух' + а у \'* -{-у'2 (ср. § 628^. Система, которую над-
надлежит интегрировать, имеет вид:
3
Черт.
1
1
1
= — , и искомая экстремаль г.вля-
Полагая х' — cos 8, у' = sin 6, мы получаем 0'=
ется дугой окружности радиуса а, представляемой двумя уравнениями;
х == х0 -f- a sin / 8,-| \ —a sin 80, y=yt — a cos I 6„ -| \ -\- a cos 80.
Через две точки А и _, расстояние между которыми меньше ?я, проходят две
таких ду1и окружности, изображенные на чертеже жирными линиями; для этих
18 t). Гурса, т. Ill, ч. I.

274 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 647-648
луг в возрастает вместе с 5. Дуги, изображенные на чертеже тонкими линиями,
для которых значения 0 с возрастанием s \бывают, представ ;яют также экстре-
экстремали лля интеграла, полученного измененном знака пад 1кала к выражении для F.
Примечание, Когла концы А и В сам i переменные, общая формула A9),
которая дает первую вариацию S/, упрощается и не со ержит ¦ лена с it в силу
соотношения однородности. В нашем случае эта вариация равна:
Этот результат можно было прелвилеть, ибо всегда можно выбрать переменное t
так, чтобы пределы интеграции были одинаковые :ля дуги АВ и для бесконечно
близкой дуги А'В'. Условие трансверсальности здесь принимает вид:|
Fj(x,y,x',y')ix + Fy(x,y х',у')&у = 0, (Б9)
гге х',у'— направляющие параметры касательгой к экстремали в точке (х,у),
а 1к,1у— направляющие параметры касательной к кривой, которую эта экстре-
экстремаль пересекает трансверсально.
648. Условия Лежандра и Якоби. Пусть будет x(t),y(t) система ре-
решений уравнения (87), непрерывных вместе со своими производными
х', х", у', у" в интервале (t0, /,). В выражении для второй вариации SV
интеграла (87) под знаком интеграла входит квадратичная форма отно-
относительно S, Г), ?', г/:
g (?, ч; 5', V)=/=¦;, S'» + 2г;:у ?» г/ + f;:, т;> + 2/=-;;, к» + 2^;, ь; +
? г,г/ + /=•; S2 + 2F''y Ц + F± rf, - (90)
которую Вейернтрасс преобразует следующим образом. Коэфициенты при
? *, ?'г/, Г)'2 суть соответственно _у'2 Flt—х'у' /-1( л'2 /г,. Коэфиц :енты при
?г/ и г^' связаны соотношением (87). Если для большей симметрии
ввести три вспомогательные функции L, M, N, определенные равен-
равенствами:
L=F"xx,-y'y"F,, M^F^ + xYF^r^+y'x-F,, N= F"yy,-х>VТ„ (91)
то можно написать:
О (?, г(; 5',г/) = /=¦, (^>f - r)V + Zy—ПхУ - F, (I/ - Vy + 2A5S' +
S ^ S' + 2/=^ ?Ч + Г, г,»;
интегрирования по частям по-
пон
следовательно,
лучаем:
Ь2Ж(Нг/ + е
с помощью
ri) t 2AV,r
очевидного
ГД1
(92)

§ 648 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 275
Форма Z.jS2 -\- 2Af ,5r) -\- /V,7js сама представляет точный квадрат. Дей-
Действительно, легко, например, проверить, что
стоит только принять во внимание тождество
Lx1 + My1 = F'x
и то, которое получается из него диференцированием по t, а также
само уравнение (87). Точно так же можно было бы показать, что и
Млх' -\-N,y' = 0. Функции /.,, Mv Nv следовательно, пропорциональны
у1', —х'у, х'1, и мы получаем:
функция Fa есть непрерывная функция от /, так как х' и у' не могут
одновременно обратиться в нуль при изменении t от tQ до tv Итак,
вторая вариация 8-V принимает очень простой вид:
t (93)
и зависит только от одной линейной функции w = ?у' — tjjc', которая
принадлежит к классу (I) в интервале (t0, /,) и на концах е бращается
в нуль. Мы можем к этому интегралу применить результаты, получен-
полученные в § 631 — 632. Для того чтобы вариация b!J имела постоянный знак,
например была положительна, необходимо и достаточно: 1) чтобы функ-
функция Fi[x(t), y(t)\ x1 (t), У (/)] была положительна в интервале (tQ, tY)
(условие Лежандра); 2) чтобы линейное уравнение
Fttt=° (94)
допускало интеграл, который в этом интервале не обращается в нуль
(условие Якоби).
Это последнее условие может быть выражено иначе (§ 632). Пусть
и, (/) — интеграл уравнения (94), который обращается в нуль при t =
i=^0, a t'o — ближайший корень этой функции, больший 10. Тогда необ-
необходимо должно быть ^ <^t'o.
Кнезер показал, что условие Якоби может быть интерпретировано
геометрически, подобно тому, как это сделано в § 633. Пусть
будут уравнения пучка экстремалей, близких к рассматриваемой экстре-
экстремали. Функции (риф при X —0 обращаются соответственно в x(t),
y(t). Их производные
/x=o
18*

276 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 648
удовлетворяют диференциальному уравнению, которое получается, если
проднфе; енцировагь уравсенге Эйлера по параметру X и затем поло-
положить в результате Х = 0. Если уравнение взять в форме
то после диференцирования получится линейное уравнение:
— dt
где во вторых производных положено X=0. Выражая все вторые про-
производные от F через FJt F.,, L, М, А/, можно после некоторых преоб-
преобразований записать результат в ьиде:
4Л?)Н (95)
где
Написав уравнение Эйлера в виде:
мы получим то же уравнение (95), в котором только у' будет заменено
через х. Таким обрэзтм функция у'у, (t)—x'<b (t) пректавляет инте-
грат ура5ненин ЯкоЗи (91), который связан таким образом с изучением
экстремалей, бесконечно близких к экстремали, представленной уравне-
уравнениями x = x(t), у= (/).
Рассмотрим в частности пучок экстремалей, выходящих из точки А
и бесконе то близких к' первЖ Ясно, что функции ф1 ( ) и 6, (/) при
t=^tQ обращаются в нуль, ибо <f (/0, X) и ф (f0, X) не закисят от X.
Следовательно, детерминант y'yt—лг'ф, представляет интегрзл уравне-
уравнения Якоби, обращающийся в нуль гри t = l0. Другие корни этого яко-
якобиана соответствуют точкам пересечения экстремали с бесконечно близ-
близкой экстремалью того же пучка*. Поэтому, если назвать со пряженными
фокусами точки А все другие точки, в которых эта экстремаль ка-
касается огибающей экстремалей, выходящих из точки Л, то условие
Якоби выражает, что все сопряженные фокусы точки А расположены
вне дуги АВ.
* Если вообще семейство плоских кривых, зависящее от постоянчого X, за-
задается папам трически уравнениями x = <f(t, \), yz=fy(t л), то огибающая этого
семейства кривых получится, если к предыдущим уравнениям присоединить
D ( ф
D (? ф|
соотношение -.—^—- =0, корни которого для каждого данного значения X дают
точки касания кривой семейства, соответствующей этому значению X, с огибаю-
огибающею этого семейства.

§ 648-649 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 277
Когда условие Якоби выполнено, то можно показать, как в § 638,
что дуга экстр.'ма/и АВ может быть окружена полем. Чтобы образовать
такое поле, можно, напригер, взять пучок экстремалей, близких к пер-
первой, выходящих из т^чки 81, взятой на продолжении АВ по другую
сторону or точки А и настолько близкой к 8(, что все сопряженные
фокусы находятся виг дуги АВ.
В примере, шиведенн м выше (§ 647), огибающая экстремалей, выходящих
из тО1ки А , прсдстав.кет окружность с центром в точке А радиус* 1а. Условие
Якоби выполняется только для меньшей нз дуг экстремалей AM'В; напротив, дуга
АМВ содержит фокус А', сопряженный с А.
6*9. Условие Вейерштрасса. Соображения, которые приводят к усло-
условию Вейерштрасса (§ 636), распространяются без существенных изме-
изменений на новую задачу. Пусть АВ будет дуга экстремали, Р—точка
на этой дуге и Г — кривая класса С, проходящая через эту точку.
Можно, как и выше, предстаешь себе пучок кривых класса С1, соеди-
соединяющих точку А с точкою Q, соседнею с Р на кривой Г, и обращаю-
обращающихся в дугу экаремали АР, когда точка Q переходит ъР (черт. 103).
Если х(), у (t) — координаты какой-нибудь точки дуги АР, (х2,\2)—
координаты точки Q, то можно, например, взять дугу AQ, определен-
определенную формулами:
х. — х (т) у — v (тл
где т есть значение параметра t, соответствующее точке Р.
Интеграл .
Ji = \F(x, у, х1, y')dt
AQ
представляет собою функцию от дуги PQ~s, производная которой
при s = Q, согласно общей формуле A9), дающей значение первой
вариации, имеет выражение:
=cos%F'x,(x,yi cos9, slnH)-\-sint,F'y(x,y, cos0, slnO),
где cos 0 и sin 0 суть направляющие косинусы положительного направ-
направления каса(ельной к экстремали в точке Р, a cos'),, sin 'i, •—направля-
•—направляющие косинусы касательной в точке Р к кривой Г, взятой в направле-
направлении PQ. Точно так же интеграл У,, взятый вдоль QP, есть функция
от s, производная которой при s — 0 равна F(x, у; —cos 0,, —sin 4П),
как в этом можно убедиться, заменяя интеграл его первым элементом.
Поэтому производная суммы У, -J- У,, представляющей интеграл
\f(x, у; х\ y')dx,
рзятый вдоль пути AQP, при 5 = 0 равна выражению:
F{x, у; — cos01,'~sin61)-f соьб, F'x,{x, у; cos8, sin6)-f-
-f sm6t/y(*, y; cos 0, sin 6).

278 ГЛАРА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 649
Это выражение можно представить в более коротком обозначении, если
положить _ . if»
Е(х, у; р, q\ p\ д') =
= F(x, у; р\ q')—p'f-'x,(x, у; р, q)—q'Fy(x, у; р, q), (96)
что в силу однородности F можно еще записать в одном из двух ви-
видов (ср. § 646):
F{x, у; р\ q') — F(x, у, р, q) - (р1— р) F\, (x, у; р, q)—
— (q' — q)F'y(x, у, р. <?)> (96')
р' {F'x,(r,y, p\ q') - F'x, (х, у; р, q} +
+ ql{r>y(x,y;p>, q')-F'y(x,y, P, q)}. (96")
Рассуждение заканчивается так же, как и в § 636. Заменяя 6, на
тг — 0', мы приходим к новому необходимому условию: для то о чтобы дуга
экстремали АВ давала интегралу минимум, необходимо, чтобы функция
Е(х,у; cos 0, sin 0; cosQ', sin 0')
никогда не принимала отрицательных значений вдоль дуги АВ, ка-
каков бы ни был у г >л О'.
Можно также формулировать это условие следующим образом: если
х, у— координаты любой точки экстремали, х', у'— система направляю-
направляющих параметров для положительного направления карательной в этой
точке, то в каждой точке дуги экстремали должно выполняться не-
неравенство:
Е(х, у; х1, У; х[, у[)^О (97)
для всякой системы значений х'х, y'v Вейерштрасс показал также, что
функция Е выражайся очень просто с помощью функции Fx. Взяв для
Е выражение (9j'), получим:
Е(х, у, cos 8, sin 6; cos6', sinOf) =
= cosW[F'x,(<, у; cos!)', sin 0') — F'x, (x, y; cos 6, sin6)]-f-
-f sin()'[^,(x, y; cos')', sinb') — F'y[x,y; cos6, sinb)],
что можно также написать в виде:
cos б' -^ [F'x, (г, у; cos /, sin t)] -f sin У ^[F'y, (x, y; cos t, sin /)] J dt.
в
Заменяя вторые производные F"x,,, F", F" их выражениями через
Fv мы получим далее:
е'
?=(sin(f)f — OFjf.v, у; cos/I, sint)dt =
в'-e
e= j sin E'— в —:)/=", К У. cosF~t), sin(H *)] Л-

§ 649—650 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 27*
Так как углы 6 и б' определены только с точностью до кратного
2тт, то можно предположить, что разность 0' — Ь заключается между —тт
и -\- тг, так что sin (fjf ¦—0 — т) не меняет знака в интервале @,0' — 6).
Поэтому можно к последнему ьнтеггалу применить первую формулу о
среднем значении (т. I, § 76), что дает:
Е(х, у; cos б, sinO; cosf)', sin 0f) =«=
= [1— cos('j' — b)]F2 (x, y; cosOj, sin6>), (98)
где б, содержится между б и О'.
Отсюда след\ет, что условие Вейгрштрасса необходимо будет вы-
выполнено, если функция F^(x, у; cos (I , sin 01) не принимает отрица-
отрицательных значений вдоль всей дуги экстремали АВ, какой бы ни был
угол 0].
С другой стороны, отношение
Е(х, у; cos0, sin6; cos0', sin')')
F^cos (У — 6)
при приближении 9' к б стремится к значению F^(x, у; cos 0, sin?),
и, следовательно, условие Лежандра вытекает также из условия Вейер-
штрасса в первой форме.
Примечание. Если ф^-нкпия F(x, у; х', у') однородна в абсолютном
смысле слова, функция П(<с, у\ ens 0, sin 0; cos 6', sin б') меняет знак при замене
О па " + С, и так как условие ( O) долж ю выполняйся для любого ула О', то
функция t (x, у\ cos 6, sin 0; cos 0', sin 6') должна быть равна нулю вдоль всей
дуги экстремали АВ, каков бы ни был угол 9'. В частое и, отсюда вытекает
в силу соотношения (98), что функция Fi{r, у; cos 0, sin в) равна нулю вдоль
всей дуi и АВ.
Следовательно, дуга экстремали может давать экстремум только в том исклю-
исключительном случае, когда функция F имеет этот вид. Это, например, имеет место,
когда F есть рациональная функция от X1, у' (ср. § 645). .
650. Система достаточных условий. Обратно, предыдущие условия
являются достаточными для минимума, по крайней мере, если эти усло-
условия взять в узком смысле, исключая знаки равенства. Более точно
можно сказать, что дуга экстремали ©0, соединяющая две точки А и В
области lit, дает интегралу минимум, если она удовлетворяет следую-
следующим условиям:
1. Вдоль всей дуги ©0 выполняется неравенство
F1 (x, у; cos 6, sin0)>O,
где 9 имеет то же значение, что и выше.
2. Условие Якоба выполняется, и, следовательно, можно окру-
окружить @0 полем экстремалей, через каждую точку которого прохо-
проходит экстремаль некоторого пучка, к которому принадлежит ®0.
3. Вдоль всей дуги ®0 для всякого значения 6''ф§-\-2кк имеет
место неравенство:
Е(х, у; cos 9, sin 6; cos 6', эш8')>0.

280 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 650
В этих условиях * мы установим, что можно указать такое доста-
достаточна малое положите^ьчое число р, что ьсякая кривая класса С1, на-
*од|щая:я в области 23 и соединившая две точки А и В, дает инте-
интегралу J значение больике, чем дуга экстремали ©0. Рассмотрим дхя
этого какой-нибудь пучок экстремалей, в который входит @0, и пусть
23— соответствуюшее поле. Через каждую точку (х, у) этого пиля
проходит экстремаль этого пучка, и направляющие косинусы положи-
положите л. но го направления касательной в этой точке (cosи, sin и) суть непре-
непрерывные функции переменных (х, у), которые переходят в cos 0 и sin О,
когда точка (х, у) приходит на дугу ©0. Мы сперва покажем, что
можно взять число р настолько малым, чтобы в поле О функция
Е(х, у; cos и, sin и: cos 0', sin 6) была положительна для всех значе-
значений О', не имеющих формы и -f 2&тт. Рассмотрим для этиго вспомога-
вспомогательную функцию ?-,, определенную следующим образом:
. ,,, . о,, Е{<, у; cosh, sin«; cos", sin0')
E1 (x, у; cos и, sin и; cos 0', sin 6')= —-—-—r— ' ,
1 COS \U — I/ )
(9' —
E(x, y; cos u, smu; cos!)', sin 6') — Fy (x, y; cos и, sin и),
6'— u = 2kn.
В силу соотношения (98) эта функция непрерывна также при в'=ы,
и согласно предположениям она положительна в каждой точке дуги АВ
для каждого значения 0'. Так как она непрерывна в окрестности
дуги АВ и имеет относительно 0' период 2тг, то из свойств непрерыв-
непрерывных функций вытекает, что можно поместить ©0 в область 25 доста-
достаточно узкую, так что ф нкция Е бутет оставаться положительной,
когда TJ4Ka (х, у) описывает область 23., каков бы ни был угол О'.
Следовательно, мы имеем также:
Е(х, у; cos и, smu; cos 0', sinQf)^>Q
в этой области 23., кроме случая, когда cos(Of — а)=1, т. е. 0' =
Приняв это во внимание, положим, что
=р{ху) =
суть двт диференциальных уравнения, определяющих специальный пучок
э ттремалей, который составляет рассматриваемое поле. Можно, напри-
например, взять /?=cosu, ^ = sin ы, и перемени je t тогда представляет дугу
экстремали, отсчитываемую в положительном направлении. Для того чтобы
* Условия (!) и C) заведомо выполняются, если функция
Ft(x, у; х' У)
положительна в области 31Г при любых зн чениях л', у', т. е. если задача
npai-'и'ыья (> 647). В этом случае для того чтобы экстремаль давала минимум,
достаточно, таким образои(; Hiy^w <*н« уло&дадврряьча услоаиям Яоб

§ 650 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 281
эта система диференциальных уравнений определяла пучок экстремалей,
необходимо, чтобы значения х\ v', x", у", которые из них получаются,
удозлетворяли уравнению (87). Отсюда имеем условие:
!- Кч (*- У- Р> Я) - F';p (х, у; р, д) = 0.
Можно получить то же соотношение, если записать, что выражение
fyx, у; р, q) dx + Fq (х, у; р, д) dy (99)
представляет полный диференциал d<$, так что рассматриваемому пучку
эксремалей можно поставить в соответствие функцию Ф(х,у), непре-
непрерывную в поле и такую, что ее полный дифьренциал ра ;ен предыду-
предыдущему выражению.
Теперь легко распространить конец рассуждения § 639. В самом
деле, имеем:
F(x,y,x',yl) = F(x,y;p,q; х', /)-}- F'p(x,y; р, д)х' -f F'q(x, у; p,q) у',
откуда мы получаем, при прежних значениях р и q:
[F(x,y; x'y')dt=\E(x,y;p,q; x',y')dt + ^Ф.
г г г
Если кривая Г есть кривая класса С1 поля 3D , соединяющая две то-
точки А и В, то имеем также:
1г — /9~$Е(х,у; р, д; x',y')dt, A00)
г
ибо вдоль дуги ©0 интеграл Гй?Ф равен интегралу \F(x, y;x',y') dt.
(¦-. <?,
Поэтому, какова бы ни была кригая Г, ра:ность /г — /& положительна,
ибо Есе ее элементы положительны или равны нулю. 11ля того чтобы
разность была равна нулю, необходимо, чтобы функция ?(лг,у, р, д\ х',у')
или
Е{х, у; cos и, sin и; cos 0', sin О')
была равна нулю в каждой точке кривой Г, что может иметь место только,
если О' = а-{-2Атг. Поэт шу Сыло бы необходимо, чтооы касательная
в каждой точке кривой Г совпадала с касательного к экстремали пучка,
проходящей через згу точку, т. е. эта кривая Г сама должна быть
экстремалью пучка, и так как она проходит через точки А и В, то
она должна совпадать с @0.
В противоположность тому, что мы имеем для интеграла", взятого
в форме [F(x, у, y')dx, мы видим, что необходимое условие Вейер-
дпрасоа, 'присоединенное к условиям Деисандра н Якоби, я&яе&сся в то -

282 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 650
же яремя и достаточным для минимума. Это объясняется тем, что
в первом случае мы предполагали, что у' имеет конечное значение, так
что мы рассматриваем только такие кривые, касательные к которым не
параллельны оси Оу. Если же интеграл взят в параметрической форме,
то угол Ь' может принимать всевозможные значения, и каса!ельные ко
второй кривой могут иметь любые направлении.
Заметим, что условие Якоби участвует только в самом выводе, но
чтобы знать, выполнены ли другие условия, нет необходимости знать
угол и, т. е. направление касательной к экстремали пучка, проходящей
через данную точку поля.
Изложенные условия являются достаточными для сильного минимума.
Как и в §641, можно показать, что условия Лежандра и Якоби являются
достаточными для слабого минимума. О дуге экстремали ©0, заданной
уравнениями
x=x(t), y—y(t),
говорят, что она доставляет слабый минимум интегралу, если можно
указать такое положительное число s, что всякая кривая Г, изображен-
изображенная уравнениями:
где i(t) и 7) Я) — функции класса (I) в интервале (t0, tj, обращающиеся
на концах этого интервала в нуль и длл которых ?'2 4-jj'2 внутри
интервала в нуль не обращается, дзет этому интегралу значение боль-
большее, чем ®0, если только |S(')!, \ri(t)\, |?'@i> |ri'(')l B этсм интервале
меньше е. Не юлько сама кривая Г весьма близка к кривой ©0, но и
касательные в тех точках этих двух кривых, которые соответствуют
одним и тем же значениям t, образуют друг с другом весьма малый угол.
Интерпретация этого метода вполне аналогична той, которая была дана для
интегралов вида \ F(x,y,y')dx в § 642. Пусть f — дуга кривой, которая пере-
пересекает трансверсально в некоторой точке каждую экстремаль пучка. Функция
Ф(х,у) с точностью до постоянного представляет значение интеграла
[F(x,y,x\y')dt,
взятого вдоль дуги тМ экгтремали © пучка, которая проходит через точку
М(х,у), и которая пересекает дугу f трансверсально в точке т *.
* Однако, необходимо вв"сти условие о знаке дня этого интеграла Будем
на каж ой экстремали пучка считать положительным то направление, для ко-
которого направляющими параметрами являются р и q. Тогда функция Ф(х,у)
равна интегралу
взятому в положительном направлении вдоль дуги экстремали, заключенной ме-
между точками М и т и умноженному на + 1 или — 1 в зависимости от того,
будет ли направление от точки т к точке М положительным или противопо^
ложным. Благодаря этому условию, полный диференциал йФ всегда равен
/> (*. Г, Р. Я) dx + F'9 (x,y\ p, q) dy
р саду общей формулы (88), которая дает перщ~ю вариацию (§ 647>.

§ 650-651 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 283
Следовательно, кривые Ф(х,у) = С представляют трансверсальные кривые пучка.
Можно опять получить уравнение в частных производных семейства трансверсаль»
ных кривых, исключая отношение — из двух уравнений:
ЭФ , <)ф _,
Ъ=Рр <*' У' А Ч)> ^~ =^д (•*- У' А 1)
и можно убедиться, что экстремали служат проекциями на плоскость ху харак-
характеристик порученного таким образом уравнения в частных производных.
Положим, что функция F представлена в фирме:
F= — *' + ^V + G(x,y, х'у'), A02)
Ах ду
где Ф зависит только от переменных х и у, a G—положительно однородная
функция относительно х' и у1 первой степени, для которой чааные производ-
производные —, — равны нулю при х' = р (х,у), у' — q(x,y). Мы обозначаем через р
Ъх' ду'
и g непрерывные функции, имеющие непрерывные частные производные в не-
некоторой области 3). Интегральные кривые системы — = р(х,у), -f.=<i{x,y)
образуют пучок экстремалей, для которого кривые
ф (г,_у) = const
представляют трансверсали, ибо соотношения A01) можно получить, диферен-
цируя уравнение A )J) по х' и у' и заменяя затем х' на р(х,у) и у' на q (л,у).
Функция Е(х,у, p,q; х',У), соответствующая этому полю экстремалей, есть как
paj G{x,y, *',/).
651. Примеры. Геодезические линии. 1. Рассмотрим снова случай, когда
F=yx'
Имеем для функции Вейерштрасса выражение:
которое в силу тождества
(РУ' -
всегда положительно. Дуга АМВ, которая удовлетворяет условиям Лежандра и
Як^би (черт 105 , даег, след( вательно, интегралу минимум
2. Пусть требуехя найти кратчайший путь между двумя точками на поверх-
поверхности 5. Положим, что координаты точек пов< рхности выраженм функциями двух
параметров и и г, та ¦ что каж ой точке области 9t, рассматриваемой на этой
поверхности, соответствует точка некоторой области R плоскости (и, ь). Тогда
для квадрата линейного элемента получаем:
ds2 = e difi -г 2/ du dv + g dv\ A03)
где е, f, ?—непрерывные функции, гопускаюшие непрерывные производные
в R, если рассматриваемая часть поверхности не содержит особых точек. Кроме
тою, функции е, g, eg — /2 существенно положительны. Залача своится к тому,
чтобы найти кривые, соединяющие две точки (и0, »0), (и, v) области /?, для ко-
которых интеграл
= \ УЫ*л- 2/чУ 1- gu'2 4 A04)

284 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 651-652
достигает минимума. Эти кривые должны прежде всего удовлетворять уравне-
уравнению (87), которое выражает, что первая вариация равна нулю. В этом случае,
производя вычисления, получим:
(**-/4(«V-«V) + (eu'+fv') [(f'a-±e'v) и'* + g'au V + i g'v t/»] -
; - | g'a) t/«] = 0. A05)
Кривые, расположенные на поверхности 2 и соответствующие кривым плоско-
плоскости (и, г), у; овлетворяюшим этому уравнению, называются геодезическими ли-
линиями. В силу самого способа их определения первая вариация интеграла \ ds
равна нулю при замене дуги геодезической бесконечно близкою кривою на по-
поверхности, имеющею те же концы. Отсю.а сле-ует, что соприкасающаяся плос-
плоскость должна проходить через нормаль к поверхности X - свойство, юторое
может блть обнаружено непосредственно с помощью уравнения A„5) (см. упрак-
нение 10).
Пусть А1 — луга геодезической, расположенная в области 91; условия Ле-
жандра и Вейерштрасса выполняются, ибо функция Ft, которая имеет вид:
Pi = №-/Ч И'2 + Я «V + gV*) 2 ,
всегга положительна. Поэтому для того чтобы луга АВ геодезической гавала
минимум, достаточно, чтобы чна удовлетворяла условиям Якоби, т. е. чтобы на
этой геодезичесьой фокусы, сопряженные с А, лежали вне дуги АВ.
Заметим, что условие трансверсальности здесь принимает вид:
(ей' + fv') Ъи + (fu' + gv') iv = 0.
Оно выражает (т. I, § 278*, что геодезическая и вторая кривая на S ортогональны.
Следовательно, уравнение в частных произв шных семейств параллельных кри-
кривых получится, если исключить р и q ил двух соотношений:
йФ ер Л-(а йФ fp >- grj
2/fjq -г gqi ' dv У ер* + 2fpq -f- gqi'
Таким образом получается хорошо известное уравнение:
2 ЙФдФ /ЭФ yl
2f {)fi
652. Метод Дарбу-Кнезера. В частном случае геодезических линий свой-
свойство минимума очевидно блаюларя форм , которую принимает квщрат линей-
линейного элемента, если отнести поверхность к криволинейной системе координат,
образованна й семейством геодезических линий и их ортогональными траекто-
траекториями. Для изучения свойств геодезических, основанных на этой привеяенной
форме линейно о элемента, и для распространения эт( й те рии hi любой слу-
4ifl применения принцип i наименьшего /екствия Л опертой Maup.-rMs), мы
снова отсылаем читателя к книге Дярбу .Theorie des surface;". Кнезер распро-
распространил эт>т метод также на случай интеграла в параметрической форме. Это
обобщение, основную идею которого мы вкратце изложим, < сновано на свой-
свойствах инвариантности /-иференцичльных уравнений вариационного исчисления
по отношению к замене переменных. Пусть ж = ф и, ь), y — i('i,v) будут фор-
формулы преобр зования, которые ставят каждой точке области R на плоскости
<a,irt во взаимно однозначное соответстьие точку области Щ плоскости (л,у\
Всякий интеграл вида

§ 652 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 285
взятый вдоль кривей Г области 91, где /'—положительно однородна» функция
от х', У, переходит в интеграл того же вида
взятый вдоль соответствующей кривой Г плоскости 'и, v). Легко показать, что
диференциалиюму уравнению (87) соответствует пре б'азованное диференциаль-
ное уравнение, которое получается таким же образом из функции О (/, г; и', v').
Это легко объясняется тем, что есл i первая вариация инте!рала У рясна нулю
при замене кри.ой Г бесконечно близкою кривою, то то же справедливо для
первой вариации интеграла J1. ).ри замене кривой Г бес онечно близкою кри-
кривою, и наоборот. Точно так же можно показать, что условие трансверсальности
F'x, ix-\-F', &у = О после преобразования перехолит в О'и,Ъи -\- O'v,iv = 0.
Приняв это во внимание, рассмотрим поле ?>, через каждую точчу которого
прохо:ит нкстремаль © специальное пучка, образованного из экстремалей, ко-
которые пересекают трансве сально дугу DF кривой т> и, кроме того, положим,
что функция h (x,y, р, <?) в этом поле не меняет знака, например h дг, j \ р,а) > 0 *,
р и q при этом имеют то же значение, что и в предыдущих параграфах, и
экстремали специального пучка удовлетворяют двум диференциальныы урав-
уравнениям:
dx dy
Ш=Р{*,У), W=q<*,y>.
Гогда можно определить положение точки М на экстремали ©, пересекающей
грансверсально f в точке т, значением криволинейною интеграла:
в = \ F' (х, y,p,q)dx + F' (х, у; р, q) dy,
mil
взятого вдоль дуги экстремали тМ. В самом деле, если направление от точ-
точки т к точке М на этой дуге есть положительное направление (определенное
направляющими параметрами р и д), то этот интеграл тождествен с интегралом
тМ
ибо dx можно заменить на pdt и dy на a /ft, и этот интеграл возраст-ет при
увеличении длины дуги тМ. Если же направление от т к М противоположно
положительному, то vcm. сноску на стр. 2Ы)
4т
* Всегда можно предположить, что это условие выполнено, если к функции
F(x,y\x',y) прибавить выражение вида — х' -\ у'; это слагаемое, не изме-
'I* ду
няя экстремалей, увеличивает значение интеграла J, взятого в постоянных пре-
пределах, на некоторую постоянную величину, каков бы ни был путь интегриро-
интегрирования (ср. §621, примечание), если в качестве функции U(x,y) выбрать такую,
которая возрастает при перемещении вдоль экстремали пучка в положительном
dU oU
направлении, то выражение —p-r-—q положительно, и достаточно его умно-
вх ву
жить на подходяще выбранный множитель, чтобы сумма
F{x,y\ p,q)+ — P+—q
дх ду
была положительна.

286 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 652—653
этот ичтеграл отрицателен, и его абсолютная величина уменьшается с умень-
ше !ием длины дуги Mm. Во вся'-ом случае и постоянно растет при пе| емеще-
нии точки М по кривой G в положительном направлении. Пусть, с друтй сто-
стороны, v есть параметр, значение которого определяет по южение точки т на
кривой f Значе.шя и и и можно рассматривать ^к координаты точки М поля*.
Кривые w = cotbt суть экстремали пучка, а кривые « = con t - трансверсаль-
ные кривые. Мы предположим, что голе О1рани:ено экстремалями v==vt,
v = vK к трансверсалями « —н0, u = ui. Если каждой точке М поля поставить
в соответствие точку М! с координатами iu,v), то >ы п >лучим однозначное ото-
бра)ение этого поля на прямоугольник, ограниченный прямыми и = и0, u = ui,
l> = »0, Vz=Vt.
С другой стороны, известно, что функция F(x,y\ х',у') имеет внд (§650):
F=px< + |fy + Fi(x,y, *',У), A07)
дх ду
dF, dFt ^ ,
причем частные производные —-, —- обращаются в нуль при х' = р,у = о.
дх' ду'
Если принять и и v за новые переменные, то предыдущее тождество при-
принимает вид:
G (u, v, и', v') = u' + Gt (и, V, и', v1), A08)
где Gl(u,v; u',v') — функция положительно однгродная первой степени относи-
, , _ да, дО, ,
телыю и и v, частные производные которой —-, ^— обращаются в нуль при
ди' ov'
и=1, v = 0, ибо прямые, параллельные оси и, суть экстремали преобразован-
преобразованного пучка, причем положительным направлением является направление возра-
возрастания и. Функция G уже представлена в виде A02), притом с особенно про-
простыми выражениями для Ф, р и q. Если, например,
то
* У
dGi dGi ,, , . , . . „
производные —-, —! обращаются в нуль при и== 1, v =0, и функция О4 ПО'
ди' dv'
ложительна, если g(u, v) положительна.
Для дальнейших исследований, а также для распространения свойств геоде-
геодезических линий на экстремали, отсылаем читателя к названным выше тругам.
653. Разрывные (угловые) решения. Если не существует экаремалей,
соединяющих лве точки А и В, или если среди этих экстремалей нет ни огной,
удовлетворяющей условиям экстремума, то п ставленная задача не имеет реше-
решения. Но иногда достаточно несколько расширить условия задачи, и решения
будут существовать. Положим, например, /* = у2(у'—1)э; диференциальное урав-
уравнение экстремалей y(yv" -t-/2— l) = 0 распадается на два множителя. Общий
интеграл представляет семейство равносторонних гипербол
которые имеют ось Ох осью симметрии, и кроме того, имеется еще особая
экстремаль j/ = 0. Примем за точку А начало (х0 = у0 = 0), и пусть д:4 = 2,
* Это не будет иметь места, если F меняет знак в поле. Положим, напри-
например, F = хх' + уу' + У2 (х'* + У2) 2; прямые у —С образуют пучок экстре-
экстремалей, для которых трансверсалями служат круги х*-{-у2 = С. В прямоуюль-
нике, ограниченном прямыми х = ±1, _y=i:l, положение точки М не опре-
определится, если будут известны у и л;4 + у*.

§ 653 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЁРШТРАССА 287
j», = l будут коорчинаты точки В. Эти две точки не расположены на олной
ветви экстремали, и, следовательно, не существует ьривой класса (I), сединяю-
2
щей эти гве точки и дающей минимум интегралу •/= \ .у2 ( / — Wdx. Этот ре-
и
зультзт легко объяснить, если заметить, что интеграл, взятый вдоль ломаной ЛЕВ,
составленной из отрезка A,1) оси Ох и отрезка ЕВ, сое-иняющего точку
Я(ж=1 у = 0) с точкою 8, равен нулю, и следова ельно, всег а можно найти
кривую класса (I), соединяющую точки А и В, для которой интеграл J бует
иметь значение, как уголно близкое к нулю (§630) Таким обра юм нижняя гра-
ница этого интеграла равна нулю, и ясно, что интеграл / не может достигнуть
этой нижней границы на кривой класса (I). Но если в условии задачи, как она
была поставлена в §620, з?м:нить кривые класса A) кривыми класса (II), сохра-
сохраняя все остальные усл>аия и опре, еление близости, то мы увидим, что реше-
решением новой задачи будет ломшая ЛЕВ. Эти решения называются разрывными
(угловыми) решениями. ,-h\j расширение тем более естеств нно, что всякое ре-
решение перв шачалыюй загачи является также решением расширенной задачи.
Если, например, ьривая Г класса (I) дает интегралу J значение, меньшее, чем
все соседние кривые того же класса, имеющие те же концы, то интеграл, взя-
взятый вдоль кривой класса (II), соединяющий те же точки, не может иметь значе-
значение меньшее, чем интеграл вдоль кривой Г. В самом геле, в противном случае
ее можно было бы (§ 631) зпменить сосе-нею кривою Г' класса (I), которая
также давала бы этому интггралу значение, меньшее значения, полученного
в;оль Г. Между тем из предыдущего примера ви~но, что расширенная задача
может иметь решения и тогда, когда первоначальная загача их не имеет.
Рассмотрим еще раз пример Больна ($641), в котором F== у'* ( у' — IK,
в предположении, что у|ловой коэфициент прямой АВ заключается между 0
и 1. Ясно, что в этом случае задача имеет бесчисленное множество разрывных
(угловых) решений, изображаемых ломаными линиями, соединяющими две точки А
и В, звенья которых поочередно параллельны прямой i=0 и прямг й v = x.
Нижняя граница интеграла, взятого вдоль кривой Г класса (!), соединяющей
две точки А и В, равна нулю, и ясно, что эта нижняя граница не достижима
ни для каксй кривой этого рола.
Ясно, что вякое разрывное решение может состоять только из некоторого
1 исла дуг экстремальных кривых, соединенных концами Кроме того, необходи-
необходимо, чтобы в угло ых точках вып снялись некоторые уел вия. Чтобы их полу-
получить, положим, что некоторое разрывное решение изображается дугами двух
экстремалей АЕ и ЕВ, образующих в точке Е угловую точ*у Пусть, далее, Jt
и Jt будут значения интеграла \ F (дг, у, у') dx, взятые соответственно вдоль этих
двух дуг. Если, заменяя дуги экстремалей АЕ, ЕВ лвумя бесконечно близкими
дугами. АЕ', Е'В класса (I), мы заставим точку Е{х%,уг) описать бесконечно
малую лугу ЕЕ', то для того чтобы путь АЕВ лавал экстремум интегралу, пер-
первая вариация 5 (У, 4- У2) должна быть равна нулю, каково бы ни было направ-
направление ЕЬ'. Но в силу § 625 имеем:
y (x2, уа; р,)] tr2 + Ey {x2,y2
y%; p2) - PaF'y, (jfa , yt; Pi)] 3x2 - Fy (Xi, y2 ; />„) Sya,
где pi и p^ — угловые коэфициенты касательных к дугам экстремалей АЕ, ЕВ.
Для того чтобы S/i-\-iIi было равно нулю при любых значениях &х3, lyit не-
необходимо и достаточно, чтобы было:
F'y (х3, у,; pt) = Fy (хг, уг; Pi), A09)
F(x%. л; Pi) — PiF'y< (ч >у*<р%)=р (*i. л; л) — p%F'y (х2. У2; а)- V Щ
Для того чтобы точка Е с координатами (лг3, у2) могла быть угловой точкой
разрывного решения, необходимо, чтобы функция Fy (дга, уг; р) принимала одно

288 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 653
и то же значение для двух различных значений р{ и /?2 аргумента р. Тогда вто-
вторая производная Fylt (д:2, у3; р) должна иметь по крайней мере о/ин корень
между pi и pit и, следовательно, правильная задача не может иметь разрыв-
разрывных решений (§ 621).
При стреле 1ении разрывных решений, имеющих единственную угловую
точку и соединяющих данные хве точки А и В, неизвестными являются коори-
наты Xi,yt точки Е и угл вые коэфициенты P\,pi. Если записать, что экстре-
экстремали, выходящие из точки Е, касательные к которым имеют угловые коэфиииенты
р{ и p!t прохогят соответственно чергз течки А и В, то пилучается хва новых
условия, которые, будучи присоединены к условиям A09) и A10), составляют
систему как раз четырех уравнений. Лля ра.рыоного решения с любым числом
угловых точек координаты кажой вершины и угловые коэфициенты касатель-
касательных к двум экстремалям, выходящим и.» этой вершины, должны удовлетворить
соотношениям (К9) и A10). Кро<е того, две последовательные вершины при-
принадлежат одной экстремали; каково бы ни бмло число вершин, чиопо усж вий
всегда равно числу п раметров, которыми можно располагать. В примере БольцД
уравнения A09) и (ilu) не имеют /ругих систем действительных решений, кро-
ъ,е p{=Q, /j2 == 1 или р{ — 1, /?.} = 0. Существуют только дет разрмвных решения,
имеющих единственную угловую точку, но существует бесчисленное множество
таких решений, koti рые имеют больше ;вух угловых точек, как это ясно a priori.
Если интеграл заган в параметрической форме, то разрывное решение со-
состоит из конечного числа дуг кривых класса С1, соедине» ных ютами. Очевидно,
каждая из этих дуг должна быть дугою экстремали, и направления касательных
в угл. вых точках должны удовлетворять двум соотношениям, которые мижно
получить тем же путем:
^(Ч, _y2;1,1) vB_yi;a> sin 9.), I
Р'у' (*з. У*: cos 0,, sin Oj) = Fv, (r9, y%; cos 02, sin 8.2); f
здесь 8t и Oj суть углы, образуемые с осью Ох положительными направлениями
касательных к двум дугам экстремалей в точке {xt, ,), гдг 9ih дуги соеди-
соединяются. Отсюда следует также, что
Е (лга, уз; cos 0,, sin 6t; cos 02, sin QJ = 0,
а, следовательно, в силу соотнои-ения (98) уравнение Ft {<r3, у,; cos и, sin и) = 0
имеет по крайней мере один корень, заключенный между 04 и 0t, т. е. правиль-
правильная задача не может иметь разрывных решений*.
П р и м е ча н ие. На всегда бььает возможно ввести разрывные решения.
Мы видели, например, что значение определенного интеграла
\ х*у'г dx,
—1
мятого вдоль кривой Г, уравнение которой есть
, . . arc tg v-
а-\- Ь Ь —а * I
*—~~T~ + ^i ГПГ*
arc tg j-
стремится к нулю вместе с L Крчвая Г неограниченно приближается при этом
к ломаной APQB, кото ая состоит из двух отрезк' в АР, QB прямых, параллель-
параллельных оси Ох, и из отрезка PQ оси Оу. по эту лоианую нельзя рассматривать
как разрывное решение, ибо интеграл взятый вдоль PQ, не имеет смы:ла.
* Полученные условия являются только необходимыми ^ля экстремума. Бо-
Более погрибное изложение разрывных решений читатель иайдет в диссертации
Каратеодори (Caratheodory, Oottingen, 1904}.

§ 654 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 289
654. Односторонние вариации. Введение разрывных решений представляет
в некотором смысле обобщение первоначальной задачи. В некоторых вопросах
приходится, наоборот, уменьшать общность задачи, подчиняя искомые функции
некоторым ограничениям. Положим, например, что требуется найти кривую
класса (i), которая соединяет две точки А и В, находящиеся на параллели к пря-
прямой у = х, и которая дает интегралу \ у' (У — 1 Jdx минимум. Прямая АВ есть
экстремаль, и можно непосредственно "показать, что условия Лежандра и Якоби
выполняются; но это не имеет места относительно необходимого условия Вейер-
штрасса (§336), ибо функция Е(х, у; р, д) вдоль АВ равна р(р — 1)- и меняет
знак вместе с р. Следовательно, экстремаль АВ не дает сильного минимума. Но
если среди кривых, которые соединяют точки Л и В и у которых ординаты
есе время возрастают от А к В, искать такую, которая дает интегралу мини-
минимальное значение, то ясно, что прямая
АВ является решением, ибо вдоль вся-
всякой другой кривой этого вида ин-
интеграл будет иметь положительное
значение. В некоторых вопросах
вариационного исчисления, имеющих
физическое значение, этого рода огра-
ограничения определяются самим xapiK-
тером задачи (см. упражнение 11).
В предыдущем примере неиз-
неизвестная функция у должна удовле-
удовлетворять неравенству у' > 0. Можно
было бы сильно обобщить за- Черт. 106.
дачу, предполагая, что неизвестные
функции и их производные должны удовлетворять неравенствам любого вида.
Мы рассмотрим только один простой случай, изучение которого необхо-
необходимо, чтобы дополнить решение задачи, поставленной в начале этой главы
(§ 620). В самом деле, мы предполагали, что кривая, которая дает интегралу
экстремум, находится вся внутри области 9t, и этим самым исключаем из рас-
рассмотрения случай, когда существует кривая, дающая экстремум и расположенная
отчасти на границе области. Положим для определенности, что область 91 огра-
ограничена снизу, по крайней мере отчасти, кривою Г,, изображаемою уравнением
у = ф(х), где Ф (х)— функция класса (I). Кривая ADEB, состоящая из двух
дуг AD и ЕВ, расположенных в области 91, и из дуги DE пограничной кривой,
может дать интегралу \ F(x,y,y')dx значение меньшее, чем все соседние кри-
кривые класса (II), имеющие те же концы и расположенные в области 9t. Для этого
прежде всего необходимо, чтобы AD и ЕВ были экстремалями или состояли из
дуг экстремалей, если эти кривые имеют угловые точки. Но вовсе не необхо-
необходимо, чтобы функция Ф (х) была интегралом уравнения Эйлера. В самом деле,
если мы заменим дугу DE, расположенною выше ее близкою дугою DGE, то
функция Ф(*) заменится на Ф (х)-{-т\(х), где т\(х) не может принимать отрица-
отрицательных значений между абсциссами хг и х3 точек D и Е. Значение /2 @) про-
производной интеграла х,
А («О = J F [*>ф (*) + «1 (*).ф' М + <")' W1а*-
взятое при а = 0, должно быть больше или равно нулю, какова бы ни была
функция т; {х) класса (I), удовлетворяющая в интервале (*2, х3) неравенству
т|3=0 и равная нулю на концах. Если опять вычислить эту производную, то из
соображений, приведенных в § 621, следует, что для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
(>0 A12)
Ъу dx \ S/ )
вдоль всей дуги DE.Таким образом уравнение Эйлера заменяется неравенством A12).
19 Э. Гурса, т. Ш, ч, 2.

290 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 654
В точках D и Е должны выполняться новые условия. Вообразим, что мы за-
заменяем дугу AD близкою дугою AD', которая имеет конец в точке и дуги DE.
г*
Первая вариация интеграла Ji=\Fdx имеет вид (§625):
AD
«У, = [F (jf2, j/2; y'2) — y'3Fy, (х2, j/2; у2')] &х2 + F'y, (х3, у* у2) iyb
где xs, у2 — координаты точки D, у'2 — угловой коэфициент касательной в точке D
к экстремали J%. Первая вариация интеграла У2, взятого вдоль DE, очевидно,
равна — F (xv j/2; р^ 8*2, где рг есть угловой коэфициент касательной к DE
в точке D. Замечая, что .Уз =/?2 &v2, мы преобразуем условие 5G(-(-У2) = 0
в следующее: Р(хг, у2; у'2< рг) = 0. Оно, очевидно, выполняется, если у'2=-р* т. е.
если дуги AD, DE касаются друг друга в точке Е. Совершенно аналогичное
условие мы получаем для точки Е, и к неравенству A12) следует присоединить
еще два соотношения:
з уъ\у'ъ,р3)^0. A13)
В случае интеграла в параметрической форме:
мы предположим, что координаты точек граничной дуги DE суть функции x(s),
у (s) длины дуги, отсчитываемой в положительном направлении. Пусть в будет
угол, который положительное направление касательной образует с осью Ох.
Формулы
х = х (s) — т) (s) sin 8, у = у (s) -(- т| (s) cos в,
в которых т| (s) есть функция класса (I), равная нулю в точках D и Е и положи-
положительная или равная нулю в промежутке, представляют кривую вида DGE, рас-
расположенную в области SH, если только | т) | не превосходит некоторого предела.
Если в функции F переменные х и у заменить через
х (s) — ar) (s) sin 8 и у (s) + ат) (s) cos S,
то интеграл сделается функцией от а, производная которой при а = 0 должна
быть больше или равна нулю, каков бы ни был вид функции ti(s). Повторяя вы-
вычисления этой производной, мы находим, что для этого необходимо и достаточно,
чтобы вдоль всей дуги DE выполнялось неравенство:
Г- Л (*У - х"у') +F"xy - F"yx, *s 0. A14)
Как и выше, можно показать, что в точках D и Е должны иметь место соотно-
соотношения:
E(xit yap.» дьх'2,у'2)=0, F (дг8, у„; рь q3; х'3, у? = 0, A15)
где Pj, </,- суть направляющие параметры положительного направления касатель-
касательной к дуге DE, a x'i,yl — направляющие параметры касательной к экстремали.
Таковы необходимые условия для того, чтобы путь ADEB давал относительный
минимум, ио эти условия вообще не являются достаточными *.
* Условия A15) всегда выполнены, если экстремаль и граничный контур
в общей точке касаются друг друга, причем положительное направление каса-
касательной для обеих кривых совпадает. Если Ft (дг, у; cos в, sin 9) не может обра-
обратиться в нуль на границе, то условия A15) могут быть выполнены только в этом
случае. Аналогичное замечание можно сделать относительно условий A13).

§ 654—655 IV. ТЕОРИЯ ВЕЙЕРШТРАССА 291
П'ример. Пусть Р=уау~х'*-\-у'2, гве о —положительное число, а область Ш
есть часть плоскости над осью Ох. Здесь не может быть разрывных решений,
имеющих угловые точки над осью Ох, так как Ft не может обратиться в нуль
при положительном значении у. С другой стороны, единственные экстремали,
встречающие ось Ох, суть прямые, параллельные Оу. Следовательно, единст-
единственно возможные разрывные решения состоят из двух отрезков АР, BQ, парал-
параллельных Оу, и части PQ оси Ох. Непосредственно убеждаемся в том, что усло-
условия A14) и A15) удовлетворяются. В настоящем случае легко показать, что эти
условия достаточны и что путь APQB действительно дает интегралу I у1 ds
относительный минимум. Это непосредственно ясно для пути, который имеет по
крайней мере одну точку на отрезке PQ *. Пусть задан путь ЛЕВ над осью Ох,
и пусть Е— самая низкая точка с ординатою, равною Л, а Р' и Q' — точки на
отрезках АР и BQ, имеющие также ординаты Л. Сравнивая элементы интеграла,
соответствующие одной и той же ординате, вдоль АЕ и АР', а также вдоль ЕВ
и Q'B, легко видеть, что разность двух интегралов, взятых вдоль кривой ЛЕВ и
вдоль ломаной APQB, не меньше, чем Л* (АЕ 4- ЕВ — АР — BQ), а это выраже-
выражение при достаточно малом значении h положительно. Таким образом в случае,
если через точки А к В проходят две экстремали, всегда существует один отно-
относительный минимум, который дается разрывным решением, и другой относи-
относительный минимум вдоль экстремали.
655. Замечания об абсолютном экстремуме. В предыдущем примере всегда
существует одна или две кривые, дающие интегралу [yds относительный ми-
минимум; одна из них есть ломаная, а другая, если она существует, есть кривая
класса (I). Если существует только один относительный минимум, то он является
также абсолютным минимумом. В случае, когда есть две кривые, дающие
относительный минимум, одна из них дает также абсолютный минимум, но это
не есть необходимо кривая класса (I) **. В этом случае существование абсолют-
абсолютного минимума доказывается непосредственно.
Но обычные методы вариационного исчисления, вообще говоря, недоста-
недостаточны для доказательства существования абсолютного экстремума. В одной очень
важной заметке *** Гильберт (Hilbert) применил совершенно иной метод для пря-
прямого доказательства существования абсолютного экстремума в некоторых част-
частных случаях; это дало ему возможность дополнить доказательство Римана для
принципа Дирихле. Мы не можем здесь за недостатком места развернуть эти
глубокие исследования и ограничимся только несколькими краткими указаниями.
Пусть для определенности F(x, у, у') будет функция положительная в обла-
области SR для всякого конечного значения у'. Интеграл
взятый вдоль кривой класса (I), находящейся в области SH и соединяющей две
данные точки А и В этой области, очевидно, имеет нижнюю границу Jq^Q
* Пусть читатель сам сделает чертеж.
** Доказательство можно найти у Адамара, стр.414 и след.Доказательство,
которое у него приводится для о = -^, распространяется на случай любого по-
положительного числа.
*** Deutsche Mathemaliker-Vereinigung (Jahresberichte, т. VIII, 1899, стр. 184)
перевед. на французский Ложе л ем (Laugel) Nouvelles Annales de Mathema-
tigues, 1900, стр. 377; Mathematische Annalen, т. LIX, 1904, стр. 161. См. также
Lebesgue, Annali di Matematica, 3-я серия, т. VII, 1902, стр. 342—359; Rendi-
conti del Circolo matematico di Palermo, т. XXIV, 1907; А д а м а р (стр. 484—490);
Больца (глава VII); Zaremba, Bulletin de tAcademie des Science de Cracovie,
1909, стр. 197—264. Первая часть доказательства Гильберта, устанавливающая
принцип Дирихле, была применена Arzela (Rendiconti delta R. Academia di
Bologna: 1897). Это указание ,:ал мне Лебег.
19*

о
няющей точки @,0) н A,0), равна нулю. В самом деле, если взять
2П ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 655
Можно, вообще говоря, бесчисленным множеством способов составить после-
последовательность кривых С(, С2,..., С„, класса (I), расположенных в области 91,
соединяющих А и В и таких, что интеграл Jn, взятый вдоль С„, стремится к Ув
при неограниченном возрастании п. Достаточно взять последовательность поло-
положительных чисел е„, которые стремятся к нулю при неограниченном возраста-
возрастании и, и выбрать кривую Сп так, чтобы было l-^-—Л1<?я- Пусть >=/„(*)
будет уравнение кривой С„. Если J действительно достигает своей нижней гра-
границы Л Для кривой Г класса (I), изображаемой уравнением у = Ф(х), то ясно,
что кривые Сп можно выбрать так, чтобы функция fn(x) при неограниченном
возрастании п имела своим пределом Ф(х). Обратно, для того чтобы можно
было утверждать, что J достигает своей нижней границы для кривой класса (I),
необходимо доказать, что можно выбрать кривые С„ так, чтобы они удовлетво-
удовлетворяли трем следующим условиям:
1. fn(x) стремится к Ф (*) при неограниченном возрастании п.
1. Функция Ф (л), а следовательно, соответствующая кривая принадлежат
к классу (I).
3. Интеграл /„, взятый вдоль Сп, имеет своим пределом интеграл, взятый взоль Г.
Эти три части должны быть доказаны последовательно. Например, верхняя
граница интеграла /= I . ,2, взятого вдоль кривой класса (I) или (II), соеди-
1 нулю. В само»
у — я sin (пкх),
то соответствующее значение интеграла будет .Т., = —— ; при неограни-
" Уl+nW№
ченном возрастании п оно стремится к нулю, хотя функция fn(x) не стремится
ни к какому пределу. С другой стороны, может случиться, что fn(x) стремится
к функции /(х), не принадлежащей к тому же классу, что и /„(*). Так, в при-
примере Вейерштрасса (§ 635) функция ——• при неограниченном возраста-
возрастании п имеет своим пределом разрывную функцию.
Может, наконец, случиться, что функция /„(*) равномерно стремится
к функции f(x) того же класса, между тем как интеграл J№ соответствующий
функции /я (х), не имеет своим пределом интеграл J, соответствующий функ-
1
ции f(x). Положим, например, /?= {у'% — 1)> -\-у\ Интеграл \ Fdx, взятый вдоль
и
кривой класса A1), соединяющий точки @,0) и A,0), имеет нижнюю границу,
равную нулю. В самом деле, рассмотрим кривую С„, состоящую из отрезков
прямых, попеременно параллельных двум биссектрисам углов, образованных
. .12 я—1 .
осями, и проходящих через точки оси Ох с абсциссами 0, —, — ,..., , 1,
j л л л
соответствующий интеграл имеет значение -ру-^. При неограниченном возра-
возрастании п ордината точки С„, соответствующей произвольному значению х, за-
заключенному между 0 и 1, равномерно стремится к нулю; интеграл Jn также
стремится к нулю, между тем, как интеграл, взятый вдоль предельной кривой,
каковою здесь является ось Ох, равен единице.
Все эти трудности были преодолены в некоторых частных случаях, изучен-
изученных в вышеприведенных работах*.
* В последних мемуарах, опубликованных в Rendicenti del Circolo Mathe-
matico di Palermo, Тонелли доказал прямым методом при о*чень широких пред-
предположениях существование решения первой задачи вариационного исчисления
и, следовательно, существование решения уравнения Эйлера — проходящего че-
через две данные точки. Метод Тонелли использует понятия, введенные Лебегом
в теорию функций действительного переменного.

ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Изучить задачу § 620, полагая, что F имеет одну из следующих форм:
2. Если функция F не зависит от х, то уравнение Эйлера имеет множи-
множила
тель (Якоби).
3. Всякому диферекииальному уравнению второго порядка вила:
у" = G (х, у, у') (Е)
соответствует бесчисленное множество задач вариационного исчисления, кото-
которые приводят к этому уравнению. Показать, что если проинтегрировано уравне-
уравнение (Е), то можно получить все соответствующие вилы функции F(х, у,у')
с помощью квадратур. (Дарбу, Thdorie des surfaces, т. Ill, § 604—605.)
Указание. Функция F(x,y, У) должна удовлетворять условию:
0+У + о,
Ъу'1 ду йу' дх д/ ду
откуда получается линейное уравнение первого порядка:
г- + У'— +• G —; + М —¦= О,
4х ду ду ду
&F
лляопрелеления Af = j-7j . Это последнее уравнение интегрируется с помощью
о;ной квадратуры, если известно решение уравнения (Е).
4. Вывести из результатов предыдущего упражнения, что все задачи вариа-
иионного исчисления, для которых экстремалями служат прямые линии, полу-
чгтся, если в качестве функции F взягь следующую функцию:
у
(у' — *)Ф (t,y — xt)dt -(-У
J
дх
тле V есть произвольная функция от х и у, а Ф есть произвольная функция
от t и от у — xt.
5. Найти экстремальные кривые для интеграла
Из лиференциальных "уравнений A0) и A1) мы получаем:

294 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Отсюда получается первый интеграл g^-- C]^l +/* + г">. Полагая ¦*=— и за'
меняя 1 + У* + г'з на Щ ,иы получаем диференциальные уравнения экстремалей:
5
с№ ~~ 2 ду ' дР ~~~ 2 дг '
6. Пример Шеффера (ср. § 635). Пусть F — х*/» + ху'3. Отрезок (— 1,+ 1)
оси Ох представляет экстремаль, удовлетворяющую условиям минимума Лежандра
и Якоби. Этот путь не дает, однако, минимума интегралу
ибо этот интеграл имеет отрицательное значение, если его взять в толь ломаной,
определенной формулами:
1) у = х -+- h от — h до 0; 2) _у = — х -f- Л от 0 до Л; 3) у = 0 от — 1
до — Л и от Л до 1, где Л —очень малое положительное число. Это значение
равно Л* (-О-Л—
7. Для того чтобы уравнение C4) § 629 удовлетворялось тождественно, необ-
необходимо и достаточно, чтобы функция F была вида: Ар + Bq -\- С, где А, В и С
ЬА , дВ ЬС ,. ,
суть функции от х, у, z, удовлетворяющие условию 1 =—. Истолковать
5ж ду Ьг
результат с помощью формул § 153 (т. I).
8. Замечание Дю-Буа-Реймона в применении к двойным интегралам. Сле-
Следующий пример Адамара показывает, что первая вариация двойного интеграла
5
! f (х, у, z, p, q)dxdy
(А)
мбжет быть равна нулю для функции z~f(r, у), тогда как функция / не имеет
вторых производных. Пусть
F = pi-q*, z=f(x+y),
где / имеет непрерывную первую производную. Тогда
bj = 2 {[ f(x+ у) [ъ\ - i!y\ dx dy,
(А)
Положим:
х+у = и, x~-y = v, т) {х, у) — у (a. v).
Предыдущий двойной интеграл принимает вид:
[[/' (* - У) Wx - \] dxdy = - ff/' («) ?'„ (и, ») du dv,
(а~ {а')
где функция «(и, v) равна нулю на всей границе поля А', соответструющего
полю А плоскости jx.y. Двойной._и'Н-тег1зал ^авен,^нулю в силу первой формулы
Грина, причем нет необходимости предполагать, что" f (п) имеет производную,

ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ 295
9. Если, приравнивая нулю первую вариацию двойного интеграла, мы полу-
получим уравнение Монжа-Ампёра, для которого две системы характеристик совпа-
совпадают, то это уравнение допускает два различных промежуточных интеграла
(Josef Kurschak, Mathematische Anna/en, т. 56, стр. 164).
10. Геодезические линии. Если в качестве независимого переменного взять
длину дуги s геодезической линии, то диференциальные уравнения, определяю
шие и и v, будут следующие:
/«' +gv'\= eva4 + 2/ 'v*v' + g'vv"> J
вместе с соотношением: еи'ч -f- 2fu'v' -j- gv'1 — 1. Из формул, определяющих е, /,
g A, § 131), получаем:
Ь dx
duds
Диференцируя по s, находим:
ds ou ds2
Принимая во внимание первое из уравнений (Е), получаем.
да ds1
Точно так же можно показать, что
dv ds*
Таким образом главная нормаль к геодезической, направляющими параметрами
которой служат —г- , —-^, -.-%, является также нормалью к поверхности
(ср. § 627).
11. Тело наименьшего сопротивления (Ньютон). Пусть некоторое твердое
тело вращения перемешается параллельно оси, и пусть каждый элемент поверх-
поверхности испытывает нормальное сопротивление среды, пропорциональное квадрату
нормальной составляющей скорости. Требуется найти форму меридиана так,
чтобы сопротивление среды, которое, очевидно, параллельно оси вращения, было
минимум. Если ось вращения принять за ось Оу, то задача приводится к нахо-
нахождению минимума интеграла
Диференциальное уравнение Эйлера интегрируется легко, и все экстремали,
кроме прямых у = С, получаются из частной экстремали
A + V'»J
X Т~
У
'-log |/| (?)
переносом, параллельным Оу, или гомотетичным преобразованием с центром
в начале.

296 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Когда у' изменяется от 0 до —-, х и у все время убывают, и точка (х, у)
описывает бесконечную ветвь Г" кривой класса (I), имеющую асимптотическое
направление, параллельное Ох, и заканчивающуюся в точке возврата Р. Когда у'
возрастает от —-— до оо, х и у возрастают, и точка (*, у) описывает бесконеч-
бесконечную ветвь Г класса (I), выходящую из точки Р и имеющую ось Оу асимптоти-
асимптотическим направлением.
Вторая производная у" положительна в каждой точке кривой Г' и отрица-
отрицательна в каждой точке кривой Г". Для любой дуги АВ ветви Г' выполняется
условие минимума Лежандра, ибо
р" _ 2* C/2-1)
у-
Эта яуга удовлетворяет также условию Якоби (§ 634), но не удовлетворяет усло-
условию Вейерштрасса, ибо функция Е имеет вид:
Таким образом с изменением р функция Е может менять знак, если только
экстремалью не будет отрезок, параллельный Ох. Эта экстремаль, очевидно, дает
интегралу J максимум. Оставляя в стороне этот частный случай, мы видим, что
никакая экстремаль не может дать сильного экстремума интегралу J. Этот ре-
результат легко объяснить, если заметить, что 'значение интеграла J заключено
х2 х2
1 О
между 0 и — , и это значение можно выбрать как уi одно близко к одной
из этих двух границ. С одной стороны, если в качестве Г выбрать ломаную,
стороны которой составляют очень малый угол с осью Оу, значение J будет очень
мало. С другой стороны, если за Г выбрать ломаную АСВ, составленную из
отрезка АС, параллельного Ох и кончающегося в точке С с абсциссой xt — h,
и отрезка СВ, то значение J вдоль этого пути при приближении h к нулю стре-
х\— Xq
мится к —.Интеграл J не имеет также сильного экстремума, если его
взять в параметрической форме:
так как F есть рациональная функция от х , у' (§ 649). Казалось бы, что задача
Ньютона не имеет решений. Но можно подчинить искомую кривую вполне
естественному дополнительному условию, по которому ординаты в этом интер-
интервале все время изменяются в одном направлении. В противном случае физиче-
физическая гипотеза, из которой мы исходили, была бы, очевидно, неприемлема. Среди
всех кривых класса (I), соединяющих две точки А и В и ординаты которых
при перемещении по дуге АВ все время меняются в одном направлении.
требуется, следовательно, найти такую, вдоль которой J принимает минимальное
значение. Можно получить дугу экстремали, удовлетворяющую этому условию,
если ваять на дуге Г дугу АВ, полученную изменением у' между двумя преде-
пределами у0 к У\, большими единицы. Пусть ®j будет полученная таким образом
?КСТремали; она принадлежит прдю экстремалей, для которого МОЖНО

ДОПОЛНЕНИЯ И УПРАЖНЕНИЯ ^97
взять и(х,у) z=p(x), где р—угловой коэфнцнент касательной к ®ц: ъ точке
с абсциссой х, и Е(к, у, и, у') имеет вид:
Из формулы F7) § 639 следует, что разность Уг —J^ положительна вдоль
любой кривой Г, соединяющей две точки А и В, для которой у' > 0.
12. Задача Виейля (Viellle). Требуется соединить данные две точки А и В
линией данной длины так, чтобы ортогональная проекция этой линии на данную
плоскость была максимальной.
х
Задача приводится к нахождению максимума интеграла \Vl -i-y'2dx при
<j
X,
условии, что интегрзл \ }Л -j-у"' -f- г'1 dx имеет данное значение /. Согласно ме-
юлу, изложенному в § 628, диференниальные уравнения экстремалей получатся
если приравнять нулю первую вариацию интеграла
KV1
где К есть постоянный множитель. Эти уравнения суть:
Ку'г'г-
= 0,
у'г'г"— A
Отсюда получаем у" = г"=0, если только коэфициенты при у" и z" не пропор-
пропорциональны; в этом случае было бы
а из этого соотношения вытекают первые два. Таким образом экстремалями слу-
служат прямые линии и спирали на цилиндрической поверхности, образующие ко-
которой параллельны оси Ог. Ясно, что эти спирали и дают решение задачи, как
это можно было предвидеть геометрически. При этом существует бесчисленное
множество решений,,ибо форма плоского сечения цилиндра остается неопреде-
неопределенной.
13. Всякое уравнение в частных производных первого порядка
определяет с$м$йет39 трансверсальных кривы* зля некоторой задачи &арнаиИ0Н-

298 ГЛАВА XXXIV. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
лого исчисления. Соответствующая этой задаче функция F получится, если взять
оеобый интеграл диференциального уравнения
^(x,y,F-yfF'y,,Fy) = a.
где у'—независимое переменное, F—не звестная функция, а х и у рассматри-
рассматриваются как параметры (см. § 642—643).
J4. Тот же вопрос для уравнения в ч стных производных
89 80 S
Среди полученных функций F(х, у, г; у', г') есть только одна, которая приво-ит
к правильной задаче.

УКАЗАТЕЛЬ
(Цифры обозначают страницы настоящего полутома)
Абеля обобщенное уравнение 23
Абсолютный минимум 233, 244, 291
Адамар 42, 49, 54, 92, 96, 182, 203, 243,
252, 291
Арчеля 291
Аффикс полюса 91
Бесселя неравенство 113, 118, 130, НО,
145
— — для биортогональных систем 123
— уравнение 190, 192, 200
Биортогональные системы 68, 133
Больца 203, 241, 291
-> пример 248
Бохер 9, 153
Брахистохроны задача 2П
Броун 25
Бруса охлаждение 160
Вариация 207
— односторонняя 239
— первая 208, 219
^— — двойного интеграла 229
— слабая 259
— сильная 259
Вейль 106, 141
Виванти 9
Виейля задача 296
.'Вольтерра 9, 22, 25, 45
— уравнение 9, 38,45
— — первого рода 19
— — второго рода 20
Ган 9
Гаусса формула joo
Геодезическая линия 228, 283, 294
Гильберт 48, 62, 108, 114, 118, 130, 192,
256, 291
Главные союзные группы 81
— функции si, 86
— ядра 78
Группа каноническая 82
Гурвиц 114
Гурса 64, 65,-69.
Дарбу 293
Дарбу-Кне-sepa метод 284
Дарбу-Эрдмана метод 237
Дини 120
Дирихле задача 167, 185
— — внешняя 175
•— —• для контура с угловыми точ-
точками 201
— формула 12, 18, 23
Ермаков 256
Жордан 131
Задача вариационного исчисления пра-
правильная 209, 216, 273, 288, 297
— изопериметрическая 228
— о брахистохроне 213
Интегро-диференциальное уравнение
16, 35
Интегральное уравнение однородное 11
— — двух переменных 17
Каратеодори 288
Карлеман 97, 202
Келлог 174
Класс (/) функций 205
_ (/)я _ 217
Клебша теория 248
Кнезер 9, 203, 275
Кнезера метод 111, 145
Ковалевский 121
Кош и метод 162-
Кривые граничные 205
Критерий, аналогичный критерию Коши
141
Лагранж 208 .
Лагранжа обобщенное тождество 115
Лалеско 9, 22, 25, 76, 97, 107, 135
Лапласа функция 190
Лауричелла 114
Лебег 64, 66, 113, 291
Лежандра полиномы 195
— условия 234, 274
Лека 203
Лемма вариационного исчисления пер-
первая 203
^. _ _ вторая 204

300
УКАЗАТЕЛЬ
Линделоф 241
Линии разрыва 1-го и 2-го вила 25
Лиувиля-Штурма функции 161
Ложель 291
Ляпунов 114
Марти 130
— ядра 132
Мембраны колебание 184
Мероморфная функция 51
Мерсера теорема 122, 135
Минимум абсолютный 233, 244, 291
— относительный 234
— сильный 260, 282
— слабый 250, 282
Миноры функции D(\) 53, 60
Монжа-Ампера уравнение 2Э4
Нейман 40
Неймзна задача 181, 184, 187
— метод 168, 174
— функция 182, 185
Нормальные системы 67
Ньютона задача 295
Особые функции 18
— числа 58
Ортогональные системы 67, 123
— — с весом 126
— функции 67
— ялра 69
Охлаждения задача 190
— сферы 190, 199
Парабола безопасности 214
Периодические решения 166
Пикар 22, 46, 103, 143, 160, 192, ИЗ
Пикара уравнение 106
Планшерель 141
Племели 171
Плятриэ 89
Поверхности минимальные 231
Показатель ядра 37
Полюс резольвенты 72, 76
Полюса аффикс 91
— порядок 85
— ранг 85
— степень 85
Потенциал двойного слоя 168, 175
Пуанкаре 61, 85, 96, 173, 191
Пучки специальные 253
Ранг полюса 85
Резольвента 13, 31, 35, 59, 69
Реймона Дю-Буа замечание 209, 294
Решения разрывные (угловые) 287
Риккати уравнение 150, 236
Рнман 118, 231
Рис 141
Риса-Фишера теореца 141
Робэна ыетол 175
Род функции D A) 96
Ру 22
Ряд из коэфициентов Фурье 113
— степенной 10, 2', 35
Системы биортогональные 68, 133
— канонические 82
— линейных уравнений 12
— нормальные 67
— ортогональные 67, 126
Следы ядра 61, 65
Собственные функции 58
— числа 58
Союзные главные группы 81
— — функции 81
— системы интегралов 250
— уравнения 12
— функции 68
Стеклов 114
Теорема Гильберта-Шмидта 114, 133
— Фишера-Риса 140
— Фрелгольма первая 51
— — вторая 57
— — третья 59
— о решении уравнения первого рола
22
— — — — Фредгольма 33
Тепла распределение 178, 186
То.челли 292
Трансверсали 222, 224
Трансверсальное пересечение 223, 268
Трансверсалей семейство 264
Уравнение второго роза с перемен-
переменными пределами 45
— в вариациях 239
— полярное или третьего рода 130
— функциональное для резольвенты
13-14, 32
Условия замкнутости ортогональной
системы 113—114
Фишера-Риса теорема 140
Фокусы сопряженные 240, 251, 276
Фредгольм 9
Фредгольма вторея теорема 57
— первая теорема 51
— третья — 59
— уравнение 27, 47, 55, 133, 142
Фреше 9, 25, 178
Фубини 130
Фундаментальные функции 58, 132
— — Шмидта 130, 142, 144
— — числа 58
Функции аналогичные функции Грина
178
— главные 31,86
— — сок»н«е 81

УКАЗАТЕЛЬ
301
Функции D (I) род 96
— Лапласа 190
— ортогональные 67
— союзные 68, 86
Фурье 113
— коэфициенты 115, 127, 142
Характеристические функции 58
— числа 58, 10S, 186
Хольмгрен 22
Царемба 291
Цермелло 203
Цилиндр вращения 191
Шварца метоп 95, ГО
— неравенство 30, 118, 145, 148
Шеффер 243
Шеффера пример 294
Шмидт Э. 30, 108, 114, 116, 121, 144
Шмидта метод 105
— ядра 124
Штурма-Лиувиля функции 161
Штурма теорема 151
Шур 96
Шура теорема 146
Экстремаль 209, 218_
Экстремалей поле 253
Экстремум условный 226
Эллиптического типа уравнение 192
Эрдмана-Дарбу метод 237
Эйлер 208
Эйлера уравнение 208, 215, 244, 272
Ядра в приведенной форме 64
— главные 78
— замкнутые 114, 132, 159
— интегрального уравнения 10
— канонические 83
— ьвази-определенные 118
— кососимметрические 134
— неограниченные 36
— определенные 118, 134
— особые 102
— ортогональные 69
— — самому себе 32
— повторные 12, 29
— показатель 37
— положительные 116, 128, 120
— полуортогональные 71
— полярные 132
— последовательные повторные 41
— разрешающие 13, 31, 35, 59
— результирующие 74
— симметрические 199
— симметризуемые 132, 147
— составляющие 74
— Шмидта 124, 160, 163, 185
Якоби условие 236, 274

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ К КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Э. ГУРСА
(Римские цифры обозначают том, курсивные цифры часть тома, прямые
цифры страницы)
Абелев интеграл I. 1 227; II. / 253
Абель (Abel) I. 1 163, 227; I. 2 26, 55,
56, 57, 58; II. 1 23, 42, 43, 168, 178
Абсолютно сходящиеся произведения
I. 2 39, 40
Абсолютно сходящийся ряд I. 2 23, 28
Абсолютный минимум III. 2 233, 244, 291
Абеля обобщенное уравнение III. 2 23
— теорема I. 2 26, 55, 56, 57, 58; П. /
249; II. 2 33; III. 1 98
Адамар (Hadamard) I. 1 116, 150; I. 2
56; II. 1 209, 212; III. / 77, 87, НО,
133, 135, 140, 169, 189, 196 199; III 2
42, 49, 54, 96, 182, 203, 243, 252, 291
Апамара теорема II. 1 211
Адемар (d'Hademard) III. I 13 \ 137, 140
Алгебраическая особая точка II. 1 247
— функция II. 1 245
Алгебраические критические точки II. 2
173, 182, 195, 197
Алгебраический комплекс I. 2 117
Ааьтернирующий метод Шварца III. /
177
Альфан (Halphen) I. 1 76, 147; II. 2 119
Альфана метод II. 2 11
Ампер (Ampere) I. 1 131, 141
Амплитуда промежутка I. 1 21
Амслер (Amsler) I. 1 258
Аналитическая кривая I. 2 89
— поверхность I. 2 93
— последовательность II. 1 258
— теория диференциальных уравнений
II. 2 180
Аналитическая функция I. 2 87; IL I
14, 195; П. 2 28, 71
двух переменных II. 1 237
Аналитические диференциальные урав-
уравнения И. 2 81, 180
— функции, имеющие разрезы II. 2 195
Аналитический вид интегралов IL 2
136; III. / 245—248
Аналитичессое продолжение I. 2 64;
II. / 193
интегралов II. 2 107, 180, 181
¦ гармонических функций III.
1G4-167
Аналогия с алгебраическими уравне-
уравнениями II. 2 118
Антиакустика I. 2 177
Антомари (Antomari) II. 2 24?
Аппель (Appell) I. 2 179; II. 1 80, 224;
II 2 47; Ш. / у 14, 243
Аппеля теорема 11.2 47, 119, 149,282
Апсидальная поверхность I. 1 147; II. 2
28, 29
Аргумент комплексного количества II. 1
10
Арнд (Arndt) I. 2 34
Аро (Наго) I. 2 ПО
Архимед I. 1 151
Арчеля (Arzela) III. 2 291
Асимптотические касательные L.J? 191
— линии I. 2 194, 196 197
— ряды III. 1 42—44
Аффикс полюса III. 2 91
— точки II. 1 10
Бельтрами (Beltrami) I. / 148: I. 2 231
Бесконечно близкие интегралы III. / 19
— малое I, 1 13
преобразование II. 2 97
Бесконечные значения подинтегральных
функций I. / 194
пределов интегралов I. 1 189
— произведения I. 2 38, II. 1 26
функций I. 1 26
Бесселя неравенство III. 2 113, 118,
130, 140, 145
для биортогональных систем III. 2
128
— уравнение II. 2 131, 145, 169. III. 1
130; III. 2 190, 192, 200
Бер (Baire) I. / 171
Бернулли Даниил (DanielBernoulli) II. 1
18, 165, 166
— уравнение II. 2 17
— способ III. 1 ИЗ
Бернштейн С. Н. I 2 88, III. 1 194
Бертран (Bertrand) I. / 126, 142,257; 1.2
180, И. 7 55; II. 2 47
Бертрана метод II. 2 229, 230
B (Betti) III. 1 243

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
303
Билинейное преобразование П. 1 48
Билинейный ковариант I. 1 148
Бинарная кубическая форма I. I Y12
Бинормалч I. 2 154
Биортогональные системы III. 2 68, 133
Бирациональное преобразование II / 189
Бициркульная кривая П. / 190
Блашке (Blaschke) II. / 258
Блюменталь (Blumenthal) II. / 131
Боджио (Bodgio) III I 202
Больца (Bolza) III. 2 203, 241, 291
— пример III. 2 248
Больцано (Bolzmo) принцип I. 1 17
Бонне (Bonnet) I. / 163; I. 2 209, 210,
217
Борда (Bordat) I. 2 110
Б )рель (Borel) I. I 70; II. / 131, 212,
213, 215
Бэхер (Bocher) III. 2 9, 153
Брахистохроны задача III. 2 213
Врио и Буке (Briot et Bouquet) II. /
192; II. 2 51, 65, 173, 175, 176, 178, Ь2
Броун (Browne) III. 2 25
Брунс (Bruns) III. 1 210
Бруса охлаждение III. 2 160
Буке (Bouquet) I. 2 160, 172
Булиган (Boiligut) III, 1 147, 174
Буль (Boul) II. 2 210
Буницкий II. 2 50
Буссине (Boussinesq) III. 1 87, 95
Бура теорема I. 2 217
Бутру (Boutroux) II. 2 195
Вариации постоянных метод HI. 1 84
Вариация I. 1 353; III. 2 207
— односторонняя III. 2 289
— первая III. 2 208, 219
двойного интеграла III. 2 229
— сильная III. 2 259
— слабая III. 2 259
Вейерштрасс (Weierstrass) I. / 29. 39;
I. 2 83, 108; II. 1 126; II. 2 51; III. I
169
Вейерштрасса обозначение эллиптиче-
эллиптической функции II. / 153, 168
— первичные множители II. / 126
— теорема I. 2 103, 111; II. 1 82, 87,
242, 259; III. / 88, 97, 222
-- теория (вариационного исчисления)
III. 2 267
— условие III. 2 277
— формула II. 1 60
— элементарше делители II. 2 136
Вейль (Weyl) III. 2 106, 141
Верхняя граница множестьа I. 1 16
функции I. / 21
Ветвь функции II. 1 19
Ьиванти (Vivanti III. 2 9
Вивиани (Viviani) I. / 305
Виейля задача III. 2 296
Винтовая линия I. 2 164, 216
круговая I. 2 148
Виртингер (Wirtinger) I. 1 116
Витали (Witali) II. 1 258
— теор-ма И. 1 263
Вихревой вектор II. 2 230
Вихрей поверхность II. 2 230
Вихря линия II. 2 230
Внешняя задача III. 1 179, 180, 217
для тара 219
— область I. 1 34
Внутренняя задача III. 1 180, 217
для шара III. 1 218. 219
— область I. 1 34
Волна правильная III. / 109
Вольтерра (Volterra) III. I 88, 135, 140,
243; III. 2 9, 22, 25, 46
— способ 111. 1 137
— уравнение III. 2 9, 38, 45
первого рода III. 2 19
второго рода III. 2 20
Вполне интегрируемая система (урав-
(уравнений) II. 2 5/, 222, 242
— линейные уравнения III. 1 74
Вронского определитель II. 2 108, 133
Вспомогательная система III. 1 9
Вспомогательный параметр II. 2 43, 44
Вторичная каустика I. 2 118, 177
Выметания метод III. 1 174, 242
Выпуклая поверхность I. 2 186
Высшие диференциалы I. 1 56
— производные I. / 39, 86
Высших порядков уравнения II, 2 39,
194, 272
Вычет II. 1 88
— полный II. / 103
Галуа (Galois) II. 2 119
Гамбье (Qambier) И. 2 195
Ган (Напп) III. 2 9
Гармонические функции III. 1143—148,
155, 156, 159, 164—166, 168
в окрестности изолированной осо-
особой точки III. 1 146
комплексного переменного III. /
145
¦ трех переменных III. / 204—206
Гармонический ряд I. 2 52
Гарнака теорема III. / 162, 220
Гарнье (Gamier) И. 2 196
Гаусс (Gauss) I. / 214, 256
Гаусса гипергеометрический ряд II. 1
207
— интеграл III. / 210
— сумма II. / 120
— теорема I. 2 222
— уравнение II. 2 143
— формула III. 1 237; III. 2 188
Гауссова кривизна I. 2 213
Гедрик (Hedrick) И. 2 2 1; III. / 196

304
ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Геликоид I. 2 196, 202, 206, 216; II. 2
218, 241
Географические карты I. 2 226
Геодезическая кривизна I. 2 220
— линия 1. 2 220; III. 2 228, 283, 294
Геодезическое кручение I. 2 209
Геометрическое истолкование произвол-
ной 111. 1 45
— представление диференциального
уравнения II. 2 76
Гессе (Hesse) I. / 121
Гильберт (Hllbert) I. / 186; Ш. 1 196;
III. 2 48, 62, 108, 114, ИЗ, 130, 192,
256, 291
Гипербола (площадь) 1. 1 225
Гиперболический синус, косинус I. /
226
Гиперболическое преобразование И. 1
54
— уравнение III. / 82, 167
Гиперболоид I. 2 203
Гипергеометрический ряд II. / 207; П. 2
144
Гиперповерхность III. / 7J, 80
Гиперсфера III. / 33
Гипоциклоида I. 2 117
Главная нормаль I. 2 151
— часть функции II. 1 85, 86, 104
Главное значение логарифма II. / 32
обратной тригонометрической
функции II. 1 35
Главные касательные I. 2 191
— направления I. 2 191
¦— нормальные сечения I. 2 189
— радиусы кривизны I. 2 189, 191, 206
геликоида I. 2 206
Главные союзные группы III. 2 81
— функции III. 2 81, 86
— центры кривизны поверхности 1.1 112
— ядра III. 2 78
Главный интеграл III. / 85, 88
Голоморфная функция II. 1 16
Гольдич (Holditsh) I. / 259
Томографическое преобразование I. 1
132
Горловая линия I. 2 171
Граничные задачи III. 1 267, 270
— условия III. / 112
Граница верхняя и нижняя множества
I. 1 15
функции I. 1 21
Гревс (Graves) I. / 180
Грин (Green) I. / 287
Грина формула III. / 89, 261, 263
вторая III. 1 153, 154
— функция I. 3 184- 185, 229-230, 272
— — для уравнения эллиптическою
типа Ш. / 194, 196
Группа инвариантов II. 2 98, 99
Группа каноническая III. 2 82
Группа непрерывная с одним парамет-
параметром И. 2 92
— переносов II. 2 95
— продолженная II. 2 99
Группы подобные П. 2 93
Гурвиц (Hiuwitz) III. 2 114
Гурса (Goursat) I. 1 21, 80, П1. И9
"II. 1 64, 22<, 250; И. 2 79, Ы), 170
171, 206, 259; III. / 45, 57, 103, 133
III. 2 64, 65, 69
Гутцмер (Gutzmer) I. / 76
Гюгонио (Hugoniot) III. / 65, ПС
— задача 111. / 142
Даламбер (d'Alembert) I. 2 11
Лаламбера метол II. 2 126, 129
Дарбу (Datboux) I. / 39, 155, 156; I. 2
142, 181, 208, 229; II. 1 49; II. 2 47,
51, 85, 120, 203, 236, 249; III. 1 9, 68,
71, 114, 124, 142; III. 2 293
— определение общего интетала
III. 1 47
— теорема II. 2 34—36
ДарбуКнезера метод III. 2 284
Дарбу-Эрдмана метод III. 2 237
Движение несжимаемой жидкости II. 2
90, 92
Двойная линия I. / 102
— точка I. 1 98; I. 2 91
Двойной интеграл I. / 274, 276, 305,
357; II. / ?29
Двоякоперк одическая функция II 1 143,
148; II. 2 148
Дедекинд (Dedekind) I. / 12
Действительная ось II. 1 10
Действительные бесконечные произве-
произведения I. 2 42
Делассю (Delassus) II. 2 279
Делитель общий наибольший II. 2 118
Дель-Аньола (dell Agnola) 11. /212
Диксон (Dixon) II. 2 50
Дини (Dini) III. 2 120
— формула III 7 202
Дирихле (Dirichlet) I. 1 65, 336; III. 1
40
— задача III. / 87, 157, 168, 163; III 2
167, 185
внешняя HI. 2 175
для выпуклого контура III. / 173
для кольцеобразной области III.
i 202
для контура с угловыми точками
III. 2 201
обобщенная III. 1 174 — 176
— формула III. 2 12, 18, 23
Днференциал I. 1 52
— первого, второго порядков L 1 52
— полный I. / 54; И. 2 25, 26
сложной функции I. 1 56
— произведения I. 1 58

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
305
Диференциальное уравнение (см. урав-
уравнение)
развертывающихся поверхностей
I. 2 123
Диференциальные биномы I. / 231
— параметры Бельтрами I. / 148
Ламе 1. 1 143
Диферегциальный инвариант Альфана
1. 1 147
Диференцирование под знаком интег-
интеграла I. 1 203
— определенных интегралов I. 1 359
Длина дуги кривой I. I 175
Доминанта III. / 10
Дополнительная кривая 1. 2 180
Дуга аналитической кривой ill. / 164
Дуга правильная I. 2 89, III. 1 164
Дюамель (Duhamel)I. 1 152; 1.2 19
Дюбуа-Реймон (du Bois Reyraond) I.
2, 9
Дюпен (DupM I. 2 176, 207
Дюпена теорема I. 2 207, 210
Ермаков III. 2 256
Естественное уравнение I. 2 160, 161
Жаме (lamet) I. 2 196; III. 1 142
Жевре (Qavret) III. 1 243
Жергонн (Gergonne) I. 2 176
Жордан (Jordan) I. 1 28, 34; I. 2 37; III.
2161
Задача вариационного исчисления пра-
правильная III. 2 209, 216, 273, 238, 297
— Вивиани I. 1 305
— Гюгонио 111. 1 142
— Дирихле III. / 87. 157, 1Р8, 169
— для выпуклого контура III. 1 173
— для кольцеобразной области III. /
202
— для обобщения III. / 174—176
— изопериметрическая III. 2 228
— изученная Фурье III. 1 99
— Коши П. 2 242; Ш. / 16, 121
для уравнения второго порядка
с двумя независимыми переменными
III. 1 51
для уравнения второго порядка
с я переменными III. / 79
для ураьнения гиперболического
и параболического типа III. I 8й
для уравнения Лапласа III. 1 76,
77
— Неймана III. / 198
для окружности III. / 201
— о брахистохроне III. 2 213
— о кольце III. 1 96—97
Задачи граничные UI. / 267—270
Замена переменных I. 1 123, 288
• в двойных интегралах I. 1 290
20 9. type». «. Ill; i. S
Замена переменных в криволинейных
интегралах I. 1 200
в простых интегралах I. / 180
в тройных интегралах I. 1 330.
Замкнутая кривач I. / 34
— область I. 1 32
Замкнутый промежуток I. / 21
Заремба (Zaremba) III. / 176
Звезда И. 2 73
Иенсена формула II. 1 99
Изменение отрезка прямой I. / 179
— постоянных (метод) П. 2 112
Изолированная тснка I. 1 98
кривой I. 2 93
Изолированное решение II. 2 201
Изотермические линии II. / 51
Инвариант группы П. 2 98, 99
Инвариантность II. 2 89
Инварианты III. 1 67
— интегральные II. 2 89
— теории эллиптических функций II.
1 157
Инверсия I. / 129, 130; II. 1 48
Инволюция (системы в инволюции) II.
2 267
Индикатриса I. 2 189
— сферическая 1. 2 148
Интеграл аналитический III./ 245—24Ь
— аналогичный потенциалу III. I 525 —
260
— Гаусса III. /210
— зависящий от прерывных функций
III. /85
— как функция начальных значений III.
1 14—18
— Коши И. / 70, 221
— неопределенный I. / 166, 215
— общий II. 2 9, 29, 31, 33, 34, 36, 37,
42, 44, 49, 63, 6">, 67. 82. 87, 10S, 122,
126, 1-5, 215, 224, 235, 238, 275
— определенный I. / 151, 351
между мнимыми пределами II. 1
56
— особый И. 2 23, 33, 50, 83, 195, 200,
202, 2G6, 222, 234, 236, 251, 266; III.
/ 56
— первый И. 2 2сЗ, 234, 238, 244, 254,
266
— правильный II. 2 59, 61, 62, 135, 138
— Пуассона Ш. 1 167—162
— равномерно сходящийся III. / 149
— ультраэллиптический II. / НО, 251
— частный II. 2 9, 26
— Эйлера I. 1 309
I. / 197
Интеграла сходимость П. 2 57
Интегралов вычислен-е П. / 91
Интегралы Абеля I. 1 227
— двойные I. / 274,276,306,357; II. / 229

308
ОЕШИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Интегралы Дирихле I. } 336
— кратные I. / 321, d37
— криволинейные I. / 183, 193,343,351
— .от диференциальпых биномов 1. 1
231
— по замкнутому контуру II. / 61
— по поверхности I. / 313
— псевдо-эллиптические I. / 241
— (расширения понятия) I. J 189; II. 2
259
— тройные I. / 321, 364
— эллиптические I. 1 238
Интегральная кривая II. 2 9, 66, 67, 83,
86, 164, 173, 178, 1-9, 208, 253
— поверхность II. 2 216, 225, 234,242 —
246,- 251, 253
Интегральное уравнение II. 2 67, 68;
III. 1 85, 171
однородное III. 2 11
двух переменных III. 2 17
Интегральный логарифм I. / 'гЬ\
Интегрирование под знаком интеграла
I. / 205, 280
— по частям I. / 183
Интегрирование рациональных функций
I. 1 215
— рядов I. / 260
— трансцендентных функций I. 1 143
— функций комплексного переменного
II. / 36
— целого ряда I. 2 60
— эллиптических функций II. / 166
Интегрируемые комбинации характери-
характеристик III. 1 58,5
— функции I. 1 157
Интегрируемое сочетание уравнений II.
2 84
Интегрируемости условие II. 2 223, 227,
228, 23',', 232
Интегрирующий множитель II. 2 25,
z9, 30, 36, 49, 63, 87,89, 102, 119, 22«
Интегро-диференциальное уравнение III.
1 142; III. 2 16, 35
Интерполирование I. / 254
— (метод Гаусса) I. / 256
Иоахимстэль I. 2 207
Иоахимсталя теорема II. 1 205, 210
Иррациональные функции II. / 17
— числа I. / 11, 12
Исключение постоянных II. 2 9
— произвольных функции II. 2 272
Исключение пределов II. 2 51, 55, 71,
280
Каналов поверхности II. 2 276
Канонические уравнения гиперболиче-
гиперболического типа III. / 47
— — параболического типа III 1 74
«и-.-т- эллиптического типа III. / 74
Канонический вид II. 2 135, 163
уравнений в вариациях III. / 35, Зб
Каратеодори (Caratheodory) II. / 258; II.
3 288
Кардиоида 1.1 178
Карлеман (.Carleman) III. 2 97, 202
Касательная плоскость I. / 49, 138; I. 2
169
— прямая I. / 37, 95
— стационарная I. 2 146
Касательные асимптотические I. 2 191
— главные I. 2 191
— сопряженные I. 2 198
Кассиноида И. /20?
Каталан (Catalan) I. / 287, 319
Каустики вторичные I. 2 118, 177
Квадратическая форма II. 2 24
Квадратура I. / 151 и др.
— гиперболы I. 1 225
— параболы I. / 151
— эллипса I. / 201
Келлог iKellog) III. 2 174
Кельвин (Kelvin) I. 1 146; III. / 205
Кенигс (Koenigs) I. 2 22J
Кеплер (Kepler) I. 2 87
Кеплера уравнение II. / 103, 121
Кетле (Quetlet) I. 2 176
Класс (It функций III. 2 205
— (It функций III. 2 217
Клебш (Clehschi II. 1 183; II. 2 262
Клебша теория 111 2 248
Клеро уравнение II. 2 23, 47, 49, 203,
209, 222, 236.
Кнезер (Kneser) III. 2 9, 203
Кнезера метод III. 2 111, 145
Ковалевская II 2 51, 276
Ковалевский III. 2 121
Ковариант билинейный I. / 148
Колебание в промежутке I. / 21
Колебание струны III. / 112
Комплекс алгебраический I. 2 177
— криволинейный П. 2 254, 255
— линейный I. 2 178
— прямых I. 2 168, 177
Комплексное количество П. / 9
— переменное II. / 12
Конгруэнция II 1 168, 172; II. 2 206, 217,
221, 229, 255
— линейная I. 2 ПА
— лучей II. 2 209
— нормален I. 2 174
— характеристик П. 2 219
Конечная функция I. 1 33
Коническая точка I. / 100
Коноид I. 2 1Е6, 197; П. 2 217
Конормаль III. / 137
Континуум II. / 268
Конус касательных I. / 100
— направляющий I. 2 148
— характеристический, Ш. / 137

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
307
Конформное преобразование I. 2 223;
II. / 45; Д. 2 28, '29; III. / 181-183
— соответствие между плоскостями I.
2 22Ъ
Координаты криволинейные ортогональ
ные I. / 142
— полярные I 1 292
— эллиптические в пространстве I. 1
335
— — на плоскости I. / 292
Корни уравнения I. I 39
Косинусы направляющие I. 1 300
Котес (Cotes) I. / 255
Коттон (Cotton) II. 2 70; III. 7 14, 31, 41
Коши (Caushy) I. 20, 21, 39, 44, 6-; I.
213, 14, 25, 36, 56,70,81, 176, 180. II. /
14, 56, 67, 101, 106, 196, 229, 233; II.
2 40, 51, 52, 67, 73, 132, 253; III. ; 98
— задача II. 2 242; III. /121
для уравнений второго порядка
III. 1 45-49
Лапласа III. / 76, 77
распространения звука III.
/ 87
— метод II. 2 112, 113, 245, 253, 256;
III. 2 162
— символ II. / 15
— теорема 1. 2 14, 35, 44. 49; II. / 67;
II. 2 172, 182, 193, 196, 200, 215, 244
— общая теорема существования ре-
решения для уравнений в частных про-
производных второго порядка III. / 45
— условия II. 2 212
Коши-Липшица метод II. 2 73, 79
Кратные интегралы I. / 321, 337
Кремоны преобразование II. 2 196
Кривизна кривых на поверхности I. 2
182
— полная I. 2 222
Криволинейные интегралы I. / 198, 343,
351
Кривые аналитические I. 2 89
Кривые Бертрана I. 2 166, 180
— бициркулярные П. 1 190
— граничные III. 2 205
— двоякой кривизны I. 1 37, 95; I. 2
143 и ел.
— дополнительные I. 2 180
— Жор да на I. / 34
— замкнутые I. 1 34
¦— интегральные (см. интегральные кри-
кривые)
•— комплекса I. 2 177
— левые I. 2 156
— непрерывные I. / 34
— огибаемые I. 2 112
— огибающие I. 2 112
—• Пеано I. 1 35
—.первого рода II. / 188
— плоские I. 1 37, 61 и ел.; I. 2 90
20»
Кривые подэрные 1.1 132
— правые I. 2 156
— предельные II. 2 77
— присоединенные I. 2 180
— простые I. 1 34
— развертывающиеся I. 2 118, 162
— соприкасающиеся I. 2 131, 132, 137
— спрямляемые I. / 175, II. / 164
— третьего рода П. / 182
— уникурсальные I. / 227; II. 2 24
Критерий, аналогичный критерию Коши
II-. 2 141
Критическая точка функции II. / 19,
138, 242
Круг кривизны I. 2 132, 151
— сходимости II. / 22
совместный II. 1 227
Круговая винтовая линия I. 2 148
— функция II. / 3J
Круговое преобразование II. / 48
Кручение I. 2 153, 154
Кузен (Cousin) II. 1 238
Кулон III. / 135
Кали (Cauley) 1. / 308
Лагерр (Laguerre) I. 2 229, 231; II. 2 119,
Лагранж (Lagra.ige) I. / 37, 60, 146.
I. 2 48, 85, 86, 12Э, !69; II. 2 47, 49,
112, 119, 201, 210, 233, 234, 236, 254;
III. 2 208
Лагранжа обобщенное тождество III. 2
115
—¦ теорема III. 1 40
— уравнение II. 2 22, 202
— формула II. / 101
обобщенная II. / 122, 255
Лагранжа-Шарпи метод II. 2 237,247,
271
Лакруа II. 2 40
Лакунарное пространство II. / 197,215
Лакур II 2 149
Лалеско (Lalesco) III. 2 9, 22, 25, 76, 97,
106, 135 •
Ламе (Lame) I. / 142, 351
— уравнение II. 2 149
Ландау (Landau) II. 1 258
Ланкре (Lancret) I. 2 221
Лаплас (Laplace) I. / 146; I. 2 85; II. 1
255
Лапласа уравнение II. / 15, 52; II. 2 129,
132, III. 1 143, 167, 204
— функция III. / 220—221, III. 2 190
Лауричелла (Lauricella) III. 2 114
Леб.-г(Labesgue) I- / 260; I. 2 108, 111,
218; III. 1 147, 178; III. 2 64, 66, 113,
291 -
Левая кривая I. 2 156
Леви (Levy) III. 1 243
Лежандр (Legendre) I. / 76, 1,31, 139,
187, 257; T. 2 К: II. / 178; II. 2 194

308
ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лежандга нормальная форма многочлена
II. 2 33
— полином II 1 119; II. 2 117; III. 2196
— преобразование II. 2 22
— условие III. 2 234, 274
Лежандровы интегралы I. / 263
Лежен-Дирихле (Lejeune-Derichlet) I. /
284; I. 2 25, 27; III. / 236
Пейбниц (Leibnitz) I. / 21, 39, 60
Оейбница формула II. 2 122
Лека (Lecat) III. 2 203
Лемма вариационного нечисления и вто-
вторая III. 2 203
переая И. 2 204
Лемниската I. 1 229, 2I
Лемэр (Lemaire) I. 2 73
Лепная поверхность I. 2 213
Ле-Ру (Le-Roux) III. / 85. 271
Линделеф iLindelcf) II. / 2U5, 263; П. 2
67, 103; III. 2 241
ЛинеРная конгруэнция I. 2 174
Линейно зависимые функции II. 2 108
Линейное множество I. / 17
— уравнение (см. уравнение)
— уравнение с постоянными коэфици-
ентями III. / 85, 86
Линейный комплекс I. 2 178
Линейчатая поверхность I. / 299; I. 2
168, 212; П. 2 274
Линии и поверхности характеристиче-
характеристические П. 2 216, 221, 245, 246, 248,251,
254, 25Н
— разрыва 1-го и 2-го вида III. 2 25
Линия И. / 193
— винтовая I. 2 164, 216
— вихря П. 2 230
— горловая I. 2 171
— двойная поверхности I. / 102
— кривизны I. 2 20У, 206, 2С9, 210
— сжатия I. 2 171
— уровня I. / 285
— цепная I. / 227
— эллипсоида П. 2 47
Лион (Lyon) I. 2 .66
Липшиц (L'pscliitz) I. / 42; II. 2 7
Липшица Кошниц метод II. 2 73, 79
— условие II. 2 73, 76, 280
Ли-Софус (Sophiis Lie) Li 131; И. J?49
92, 103, 259, 281
Лиувилль II. 2 85
Лиувилля теорема II. 1 76; III. 7 59
2Л)
— уравнение III. / 64
Лиувилля-Штурма функции III. 2 161
Логарифм I. / 120; II. / 31
— интегральный II. 1 251
Логарифмическая спираль И. 2 176
Логарифмические признаки сходимости
I. 2 17
Логарифмический потенциал III. 1 232
Лoгapиф^¦н^ecкий потенциал двойного
слоя III. / i52
простого слоя III. / 151
Ложель (Laugcl) III. 2 291
Локсодромы I. 2 227
Лопиталь (L'Hopital) I. / 42
Лорана ряд' II. / 70, 77, 86
Лучи конгруэнции II. 2 209
Ляпунов II. 2 154; III. 1 33, 41, 42, 44;
Ш. 2 114
Мажоранта I. 2 65, 78
Маклорен (Moriaurii) I. 2 47
Максимум функции I. / 97, 102, 112
абсолютный I. / 113
Малюс (Malus) I. 2 176
Мялюса теорема I. 2 176
Мангейм (Maunlitim) I. 2180, 211
Мапсион (Mans'on) I. / 214
Майера метод II. 2 225
Марти (Mirty) III. 2 130
— ядра III. 2 132
Мембрана, колебание III. 2 189
Менье (Meunier) I. 2 '82
Менье теорема I. 2 182, 185, 210
Мерей (Мёгау) II. / 19 5; II. 2 51
Меркатора проекция I. 2 227
Мероморфная функция П. / 85, 96; III.
2 51
Мерсера теорема III. 2 122, 135
Мертенс (Mertens) I. 2 29
Метод Альфана II. 2 11
— Бергр:на II. 2 2.9, 230
— выметания III. / 147, 242
— Даламбера II. 2 126, 129
— изменения постоянных И. 2 112
— Коши И. 2 112, ИЗ, 245, 253, 256
— Коши-Лилшица II. 2 73, 79
— Мейера II. 2 226
— Неймана III. / 225-228
для сферы III. / 228
— Пикара III. / 193
— последовательных приближений П. 2
67; III. / 10-11, 121, 122, 138, 171
— Якоби II. 2 271
Минима 1ьмая поверхность III. / 78
Минимум абсолютный I. 1 113 III. 2
233, 244, 291
— относительный III. 2 234
— сильный III. 2 260, 282
— слабый III. 2 260, 782
— функции I. / 9/. 102. 112
Миноры функции D(k) III. 2 53. 60
Миттаг-Леффлер (Mitta^-Leffler) II. 1
126
Миттаг-Леффлера теорема II. 2 133, 213
Мнимое количество II. / 9
Многозначная функция П. / 19, 21, 22
Многосвязная область II. 2 258
Многочлены Лежандра I; 1 76, 187, 257

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
309
Многочлен сопряженный II. 2 120
— 3-й и 4-и стегни II. 2 30, 31, 33, 192
— характеристический II. 2 122
Множестьо I. / 15
— линейное I. 1 17
—- неправильных точек II. 1 263
— нигде не плотное II. / 268
— ограниченное I. I 15
сверху I. / 15
— — снизу I. / 15
— произволное I. / 18
Множитель I!. 2 87
Множитель интегрирующий II. 2 25,
29, 30, 36, 49, 63, 87, 89, 102. 119, 228
Модуль мнимого количества II. / 10
Мольк (М( 1<1 Ш. / 203
Монж I. / 60; I. 2 16R, 208; II. 2 47
Монжа Ампера уравнение III. 2 294;
ш. 1 ь\
Моногенная функция П. / 13
Монолромная функция II. / 22
Мотель ( попМ) II. / 258, 265; III. /. 183
Монотонная функция I. / 27, 1с8
Морера теорема II. / 72
Муавра форм>ла II. / 11
Наибольший делитель общий II. 2 118
— из пределов 1.1 16, 20 I. 2 П, 56
Налагающиеся поверхности I. 2 24
Направлял щие косинусы I. / 300
Нач1льная функция (. / 155
Начальные значения особые II. 2 172
— условия III. / 112
Невинглоьский (Niewnglowski) I. / 228
Независимые уравнения II. 2 260
Неограниченная сходящаяся последова-
последовательность И. / 267
Неопределенные выражения I. / 42
Неопределенный инте/рал I. / 166, 215
и с/1.
Неподвижные особые точки I. 2 181
Неправильная точка II. / 268
Непрерывна группа с одним парамет-
параметром II. 2^ 92
— кривая I. / 34
— функция I. / 22, 72
комплексного переменного II. /
12
Непрерывность I. /21
— эйлерова I. / 21
Несжимаемой жидкости движение II. 2
90, 92
Несоизмеримость II. 2\ I. / 273
Нечетная функция II. / 152
Неймана задача III. 1 198; III. 2 181,
184, 187
— — для окружности III. 1 201
— метод III. / 170, 2z5, 229; III. 2 168,174
—¦ — Для сферы, III. / 228
Неймана функция JII. 2 182, }85
Неявная функция I. / 78; П. /80
Нигде не плотное множество II. / 268
Нижняя граница множества I. 1 15
функции I. / 21
Нильсен (Nielsen) II. 2 146
Нормаль главная I. 2 151
— плоской кривой I. У 61
Нормальная последовательность П. 2
265
•— производная потенциала простого
слоя III. У 237—240
— система III. 2 67
уравнений первого порядка II.
276
— форма многочлена Лежандра II. 2 33
Нулевого рода соотношения II. 2 24,185
Нуль функции II. / 84
Ньютон (Newton) I. 1 21
Ньююна задача III. 2 295
Ньютонов потенциал III. / 231—242
двойного слоя III. / 241
простою слоя III. / 206, 209
Область II. / 16
— бесконечно удаленной точки II. / 104
— внешняя I. / 34
— внутренняя I. / 34
— зчмкнутая I. / 32; И. / 259
— интеграции I. I 276
— многосвязанная II. I 258
— олносвмзаннач II. I 258
— открытая II. / 259
— равномерной сходимости И. 1 261
— сходимости I. 2 54, 55, 73
— связная I. 1 32; II. / 258
— точки П. / 84
— функции I. / 31
Обр.тная тригонометрическая функция
II. / 33
— функция I. / 87, 94
Обращение рядов I. 2 87
— функций I. 7 87, 94; I. 2 87
— эллиптического интеграла И. / 178
Обращения общие формулы П. 1 134
Обыкновенная точка кривой I. 2 89, 94;
II. / 84
поверхности I. 2 93, 94
Объем I. / 296
Общая теорема существования II. 2 276
Общие свойства вполне линейных урав-
уравнений III. ; 84-87
Общий интеграл (см. интеграл общий)
Огибаемая кривая I. J? 112
— прямая I. 2 116
Огибающая интегральных кривых Ц. 2
201, 202, 206, 245
— кривая I. 2 112
— окружностей I. 2 117
— поверхностей \. 2 1}9; II. 2 235, 275

310
ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Огибающая полных интегралов II. 2 244
— .прямой линии I. 2 116
Огибающая семейства кривых двоякой
кривизны I. 2 V/A
— сфер I. 2 211
— характеристических линий II. 2 253
Ограниченная функция I. / 21
Ограниченное множество 1. / 15
— -— сверху I. / 15
снизу" I. 1 15
Однозначная функция II. /21, 126
Однородная функция I. / 59; II. 2 35
Однородное уравнение И. 2 13, 38, 95
Однородные линейные системы 11.2 259
Окружность соприкасающаяся I. 2 132,
138
Омбиликзльная точка I. 2 192
Определение интеграла по данным
Коши III. / 100
до его значениям вдоль двух
кривых III. / 107
на двух характеристиках III.
; 114'
Определенная отрицательная форма III.
/ 33
—. положительная форма III / 33
Определенный интеграл I. / 151 и ел.
• между мнимыми пределами II / 56
Определитель бесконечного порядка I.
2 45
— Вронского II. 2 108, 133
— Гессе I 1 121
— Якоби I. / 12 г И. 2 67, 208, 214,
228, 238, 259, 260, 269, 271
Определяющее уравнение II. 2 142
Ортогональные системы III. 2 67, 125
с весом III. 2 126
— траектории II. 2 37, 48, 218, 221, 226
— функции I. 2 107; III. 2 67
— ядра III: 2 69
Орик (Ouric) II. 2 121
Осгуд (Osgood) I. / 260; II. / 238
Основной трехгранный угол I. 2 155
Основные квадратичные формы I. 2 187,
188
Особая алгебраическая точка II. / 247
— линия II, 1 216
— точка кривой I. / 97; I. 2 89; II. /
84, 200
поверхности I. / 86, 100; I. 2 192,
193
Особые¦ нйчальн >:е значения II. 2 172
— точки интегралов II. 2 71, 180
— — линейного диференциального урав-
уравнения П. 2 105, 127
— функции III. 2 58
— числа III. 2 58
Оссбый интеграл (см. интеграл особый)
Остаточный член в формуле Тейлора
по Коши I.. / 44; IJ / 60
Остаточный член по Лагранжу I. 1. 44»
185; I. 2 48 ?
Островский II. / 207, 258
Остроградский I. / 326
Открытый промежуток I. / 21
Отображение конформное II. / 45; II. 2
28, 29; III. / 181-183
Охлаждение сферы III. 1 97—98; III. 2
190, 199
Парабола безопасности III. 2 214
Параболическая точка I. 2 186. 192
Параболические цилиндры II. 2 240
Параболическое преобразование П./ 54
— уравнение III. / 243
Параболоид I. / 64, 305; I. 2 203, 208,
II. 2 240
Параболы квадратуры I. / 151
— спрямление I. / 226
Параллельные кривые I / 213
— поверхности I. 1 147; II. 2 282
Параметр распоеделения I. 2 170
Параф (Paraf) III. / 174, 189
Пеано (Реапо) 1. / 35; I. 2 146
Пелле (Pellet) 1.2 1Ь0
Пенлеве (Painleve) I. / 149; II. 1 81; II.
2 65,79, 182, 195, 211; III./9, 41,205
— теорема II / 214
Первичные множители Вейерштрасса II
/ 126
Первого рода соотношение II. 2 24
Первый интеграл II 2 81, 82; III. / 57
Переменных разделение И. 2 12, '.'40
Период интеграла I. 1 346; II. / 106
— полярный II. / 106, 249
— ультраэллиптического интеграла II.
7 ПО
— функции I. 1 34
— циклический II. 1 249
— эллиптическиго интеграла II. / 114
Периодическая функция И. / 145
Периодические решения III. / 28—30;
Ш. 2 166
Петля I. / 347
Петрини (Petrini) III. I 235
Пи кар (Picard) I. 2 179; II. 2 65, 67, 79,
119, 176; III. 1 24, 30, 44, 97, 98, 114,
130, 133, 143, 147. 183. 196, 220, 222; III.
2 22, 46, 103 143, 160, 192, 193
Пикара метод III. / 133
— уравнение II. 2 147; III. 2 106
Пинкерле (Pinckerle) I. 2 212
Планиметр Амслера I. / 258
Планшерель (Plancherel) III. 2 141
Племели (Piemelj) II. / 224; III. / 240:
III. 2 171
Плоские волны III. 1 93
Плоские кривые I. / 37, 61 идр.;1. 290
Плоскость касательная I. 1 49, 138; I.
2 W

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
-311
Плоскость соприкасающаяся I. 2 122,
123, 143 "
— фокальная I. 2 174
— центральная I. 2 170
Площадь гиперболы I. / 225
— кривой 1.1 170
замкнутой I. / 200
— параболы I. / 151
— поверхности I. / 300
— эллипса I. 1 201
Плятрие (Platrbr) П. 2 89
Поверхностей огибающая II, 2 235, 236,
273
Поверхности I. / 49, 85, 137 и ел.
— аналитические I. 2 93; II. 2 28, 29
—.'апсидальные I / 147
— вихрей II. 2 230
— выпуклые I. 2 186
— Жаме I, 2 .96
— Иоахимсталя III. / 77
— каналов II. 2 276
— лепные I. 2 212
— линейчатые I. 7 299; I. 2168, 212; II.
2 274
— минимальные III. 2 231
— Монжа III. / 77
Поверхности параллельные I. / 147
— Перенна I. 2 2С0
— полярные I. 2 153, 162
— развертывающиеся I. / 142; 1.2 121;
II. 2 204, 237, 252, 253, 256
— соприкасающиеся I. 2 140
— тетраэдральные П. 2 49
— трубчатые I. 2 176, 211
— фокальные I. 2 172; II. 2 206, 207
— характеристические II. 2 248
Подвижные критические точки II. 2 184
— особые точки II. 2 181
— полюсы II. 2 185
Подкасательная 1. 1 33
Поднормаль I. / 61
Подобные семейства окружностей II. 2;
48
— сети II. 2 48
Подпоследовательность П. / 206
Подстановка ряда в ряд I. 2 67, 79
Подэрная кривая I. / 132
Показатель ядра III. 2 37
Показательная функция II. / 28
Полиномы Лежандра I. / 76, 187, 257; П.
1 73, 107; II. 2 117
Полная система II. 2 262
Полный вычет П. / 106
— диференциал I. / 54
сложной функции I. / 56
— интеграл И. 2 233, 234, 238, 254, 255,
256
Полных интегралов огибающая II. 2 244
Полусходящиеся ряды I. 2 25
Полюса аффикс III. 2 91
Полюса порядок Ш. 2 ?5
Полюса ранг III. 2 85
— степень III. 2 85
Полюсы комплекса I. 2 178
— резольвенты III. 2 72, 76
Полярные координаты I. 1 292
— поверхности I. 2 153, 162
— прямые I. 2 153
Полярный ш риод II. 1 106, 249
Понижгние порядка уравнения И. 2 42
114
Порядок полюса II. / 85; -III. 2 85
— прикосновения кривых двоякой
кривизны I. 2 135
кривое с поверхностью I. 2 139
плоских кривых I. 2 129
— функции II. 1 86
— эллиптической функции II. / 149
Последнего множителя принцип II. 2 89
Последовательность аналитических
функций II. У 258
— возрастающая, убывающая I. / 18
— нормал!ная II. / 265
— расходящаяся, сходящаяся I. / 18
Последовательных приближений метод
II. 2 67
Последующее газбиение I. / 155
Постоянная Эйлера I. / 45
Построение интегральной кривой II. 2
178
Потенциал двойного слоя III. I 207 —
211, 241; III. 2 168. 175
— логарифмический III. / 232
— логарифмический двойного слоя III.
/ 152
простого слоя III. / 151
— объема III. / 231—234
— простого слоя III. / 206—209
•— сферический III. 1 88
Потенциала уравнение в криволиней-
криволинейных координатах I. / 142
Правая кривая I. 2 156
Правильная волна III. / 105
— дуга I. 2 89; III. 1 164
— поверхность I. / 300
— точка I. / 25; I. 2 97; II. / 267
— функция II. / 84; III. / 243
.в бесконечно удаленной точке II.
/ 104
Правильный интеграл II. 2 59, 61, 62,
135, 138; III. / 100
Предел I. У 13
Предельная точка I. 1 17
Предельные значения интегралов I. /
189, 194
Преобладающая функция III. /10
Преобразование Ампера I. / 141
билинейное II. / 48
— бирациональное И. / 189
— томографическое I. 1 132

312
ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Преобр?8^вание гиперболическое II. / 54
— конформное II. / 45
— Кремоны П. 2 1Э6
— круювое II. / 48
— Лапласа III. / 68 -71
— Л жандра I. / 139; II. 2 22
— обратными радиусами-векторами I. 1
129, 130
— параболические II. / 54
— прикосновения I. / 130
— тождестьенное II. 2 93
— точечное I. / 129
— Фукса II. / 54
— эллиптическое II. / 54
Приближенное вычисление определен-
определенных интегралов I. 1 252
— интегриро <ание диференциальных
уравнений II 2 70
Приведем ное значение логарифма II. / 32
П иводимые системы И. 2 166; III 1 41
Призматоид I. / 337; I. 2 78
Признаки сходимости рядов: Гаусса I. 2
22 2^, Даламбера I. 2 11, Дюгамеля
I. 2 19, Коши I. / И, Раабе II. 1 19,
логарифмический I. 2 17
Принта ейм (Pringsheim) I. 2 19,44
Принцип Дирихле III. / 168, 169
Присоединенная кривая I. 2 ISO
Производное множество I. 1 18
Произьедение бесконечное II. 1 26
Производные I. 1 37, 8
— высших порядков I, / 39
— иормал!ные потенциалы простого
слоя ИГ. / 237 - 240
— от неявной функции I. / 93
— по дчнному направлению III. 1 135
— частные I. / 46
Промежуток замкнутый I. / 21
— открытый I. / 21
Промежуточные интегралы III. / 57—
62, 6Ь
Простая дуга II. / 258
Пространственной упругой кривой ди-
ференциальное уравнение II. 2 104
Противоположные мнимые количества
II. / 10
Прямолинейная звезда функции V. 1 209
Прямолинейное движение газа III. / 65,
108
Прямой геликоид I. 2 1\1
Прямые огибаемые I. 2 116
— полярные I. 2 153
— соприкасающиеся с кривой I. 2 132,
137
с поверхностью I. 2 140
Псевдо-зллиптические интегралы I. / 241
Пуанкаре (Poincare) I. 2 65; II. / 216,
229, 288; И. 2 89, 131, 154, 176, 179,
1Р2; III. I 9, 30, 42, 44, 98, 174, 238;
:Ц. 2 61, 85, 96, 173, \Щ
Пуанкаре лемма Ш. / 242
— основная теорема III. / 9
— теорема III. / 22, 24—27
Пауссон (Paisson) 1. / 3iO; I. 3 87,243,
25)
Пуассона интеграл III. / 157, 162
— скобки II. 2 233
— тождества II. 2 271, 27?
— формула III. I 234-235, 25Э—255
263-2 5
Пустое пространство II. / 197, 215
Пучки специальные III. 2 2
Пюизе (Puiseux) I. 2 165; II. / 245
Раабе (Raabe) I. 2 19
Равномерная сходимость I. / 24, 67; I.
2, 37
Равномерно-непрерывная функция I. /
67
Рарномерно-сходящиеся произведения
I. 2 41
Рав юмерно сходящийся интеграл I. 1
207; III- / 149
ряд I. 1 69; II. 2 12
Равносильная сиаема II. 2 263
Радиус кривизны главный I 2 189
кривой двоякой кривизны 1.2 150
плоской кривой I. 1 125— круче-
кручения I 2 154
Развертки кривой двоякой кривизны I.
2 162
— плоской кривой I. 2 118
— поверхности I. 2 203
Разветвления точка II. / 19
Развертывающаяся кривая I. 2 118,
162
Развертывающиеся поверхности I. /
142; I. 2 121; II. 2 204, 237, 252, 253,
256
Разложение в ряд интеграла И. 2 51,
52, 79, 277, 278
— в ряды I. / 42, 62; II. / 41
— мероморфной функции II. / 138
— — непрерывной функции I. 2 1С8
Разности пероые и вторые I. 1 50
Разрез 11. 1 ЛЬ
— существенный П. / 218
Разрыва точка I. / 25; II. / 86
Раз ывная функция 1/25
Ранг полюга III. 2 85
Распространение волн III. 1 82—84
Распространение звука в пространстве
III. / ЬЗ
— тепла в неограниченной среде III. 1
93—96
— формулы Тейлора I. 2 63
Рассеяние звука III. / 92
Расстояние точки от поверхности I. /
111
Расширение понятия интеграла Ц, 2 259

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
S13
Раффи (Rrffy) II. 2 F0
Рациональная функция II. 1 17
Ребро возврата "I 2 122; II. 2 206, 253
Ре .ольвента III. 2 13, 31, 35, 59, 69
Рекк\рентныи ряд II. 1 124;
Реимона Дю-Буа замечание III 2 209,294
Решения разрывные III. 2 2.-J7
Риккнти уравнение II 2 18, 85, 116,
147; Г9, 169, .171, 181, 186, 192, 195,
21Г, III. 2 150, 236
Рикье (Riquler) II. 2 51, 279
Риман (Riemanni I. / 20, 156; I. 2 25;
И. 1 69; III. 1 120, 124, 167, 1ЬЭ; 1Л.
2 118, 231
Римана способ III / 129
— теория аналитических функций II.
/ 15
конформных преобразований II.
1 49
— уравнение III. / 142
— функция III. / 118, 123, П8, 138
Римонова п 'В. рхность II. 1 249
Рис (Risz) III. 2 141
Риса-Фише| а те >рема III. 2 140
Роберте Вилы.м (Wi.ham Roberts) L
/ 320
Робена метод III. 2 175
Род функции D(>) III. 2 96
— целой функции II. / 131
Родри'- Олинд (Olinde Rodriues) I. /
76; I. 2 *05
Р.лль (R >11f) I. / 39
Py (Poux) I.I. 2 22
Рукэ (R»uquet) I. 2 179; II. 2 48
Ряд Борла I. 2 110
— Гаро I. 2 110
— гипербс лический II. / 207
— гипергеометрический II. 2 144
— юломорфнлх функций И. / 82
— из коэфициентов Фурье III. 2 113
— Лога а И. 1 70
— рекуррентный И. 1 124
— рядов II. 1 2)
Ряды абсолютно сходящиеся L 2 23, 28
— двойные I. 2 30
— знакопеременные I. 2 23
— знакоположительные I. 2 10, 11, 12
— кратные I. 2 35, 37
— полусходящиеся I. 2 25
— равномерно-сходящиеся I 2 37
— с мнимыми членами I. 2 37; II. 1 22
— степенные II. / 26; III. 2 10, 28 35
— сходящиеся I. 1 19, 69. 71
Тейлора I. / 42, 62; I. 2 47; II. /
70
— тригонометрические I. 2 95 и ел.
— усиливающие II. / 25
— условно сводящиеся I. 2 25
— Фурье I. 2 95, 96; III. / 161
— целые I 2 54, 56, 73, 75
Связная область I. / 32
— часть п юскости II /16
Связное множество П. / 268
Седловина II. 2 179
Семейство подобных окружностей II.
2 48
— ша'ов И. 2 237 254
Серре (Serrel) I. / 241; I. 2 180; II. 2 210,
Сети подобные П. 2 Аб
Сеть соп^яженнчя I. 2 199
Сечение I. / И, 13
Симметричные мнимые количества Л.
1 10
Симпсон (Simpso-) I. / 256
Синектическая функция II. / 14
Система биортогогальна-> III. 2 68
— в инволюции П. 2 267
— лиферениильнь.х уравнений II. 2
55,71, 154, 159
— канониче* к я Ш. 2 82
— линейных угав!епий III. 2 12
— нормальная III. 2 67
— ортогональная III. 2 67, 126
— при водима,i П. 2 146
— Зундаи нта.чьная II. 2 107, 134, 155
— якобисва II. 2 '63. 272
Скобки Пуассона II. 2 233
Следы ядра III. 2 61, 6">
( мешанные залами Ш. / 104. 197
Соба венные функции III. 2 58
— числа 111. 2 ?8
Соваж (Ciuvage) 1I. 2 136
Совершенное множество И. / 2'8
Совместные круги сводимости II. / 227
Соотношения нулевого р )да II. 2 24,
185
— первого ро?а II. 2 24
Соприкасающаяся окружность I. 2 132,
138
— плоскость I. 2 122, 123, 143
— поверхность I. 2 140
— прямая I. 2 1о2, 137
— сфера I. 2 ПО, 167
Соприкасающиеся кривые I. 2 131, 132,-
П7
— прямые с поверхностью I. 2 140
Солрика.ающийся круг I. 2 132, 138
— шар I. 2 НО, 167
Сопряженные линии I. 2 1Э8
— мнимые количества П. / 10
— прямые комплекса I. 2 178
— семейс!ва изотермических линий II.
1 51
— система И. 2 158
Сопряженное уравнение II. 2 119; III.
У 124. 129
Сопряженный многочлен II. 2 120
Союзные главные группы III. 2 81
функции III. 2 81
— системы интегралов Щ. 2 250

314
ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Союзные уравнения III. 2 12
— функции I I. 2 68
Спираль логарифмическая II. 2 176
Способ Бернулли III 1 113
— Вольтерра III. / 137
— Неймана III. / 170
— Римана III. I 126
Спрямление кривой I. / 175
— лемнискаты I. / 2 И
— параболы I / 226
— эллипса I. / 240
•Спрямляемая кривая I. / 164
Спрямляющая плоскость I. 2 221
Стационарная касательная I. 2 146
Стеклов III. 2 114
Стереографическая проекция I. 2 227
Стильтьес (Siieltjes) II. / 103, 258
Стильтьеса теорема П. /261
— форма интеграла уравнения Эйлера
II. 2 32
Стоке (Stokes) 1. / 317
Стокса формула II. 2 230
Существенно особая точк i II. / 86, 104
Существенный разрез II. / 218
Сфера соприкасающаяся I. 2 140, 167
Сферическая индикатриса I. 2 148
Сферическое изображение I 2 213
Сферический потенциал III. 1 88
Сходимости область I. 2 54, 55, 73
— круг II. / 22
Сходимость абсолютная I. 2 23, 23
— последовательностей 1/18
— равномерная I. / 67; I. 2 37
— разложения интеграла II. 2 57
Схогящиеся произвгдения I. 2 41
Таблица с двойным входом I 2 31
Теннери (Tannery > I. 2 35; II. 1 220; II.
2 143; III. / 203
Тедоне (Tedone) III. / 135
Тейлора фермула I. 1 42, 185; II. 1 70;
II. 2 40, 152
Теорема Абеля II. 2 33
— Аппеля II 2 47, 119, 149, 282
— Гильберта-Шмидта III. 2 114, 132
— Дарбу II. 2 34-36
— Коши II. 2 172, 182, 193, 196, 200,
215, 244
— обратная теореме Лаграпжа III. / 41
— о решении уравнения перво:о рода
.. Ш. 2 22
Фредгольма III. 2 33
— существования П. 2 51
общая II. 2 276
— Фишера-Риса III. 2 140
— Фукса II. 2 1й8
— Шьарца Ш. / 266
— Штурма III. 2 116
Теория диференииальных уравнении
аналитическая II. 2 180
Теплопроводности уравнения III. 7
254—255
Тетраэдральная поверхность II. 2 49
— Фредгольма первая III. 2 51
вторая III. 2 57
третья III. 2 59
Типы линейных уравнений III. / 71—74
Тождественное преобразование II. 2 93
Тонелли (Tonnelly) III. 2 292
Тор 1. 2 176, 211, 214,228
Точка возврата I. / 99, I. 2 93
интегральной кривой II, 2 199
. 205
— гиперболическая 1.2 186
— двойная П. 1 34; И. 2 91
.г- изолированная II. / 98
— коническая I. / 109
--!- критическая I. / 242
— неправильная II. / 268
— нуль П. / 84
— обыкновенная II. / 84
— округленная I. 2 192
— особая I. 1 97; I. 2 186; II. / 84, 200
алгебраическая II. 1 247
— параболическая I. 2 186, 192
— полюса II. / 84
— правильна I. / 17. I. 2 97; И. / 267
— рлзрьна II. / 86
— разрыва второю рода I. / 26
— — первого рода I. / 25
— сгущения I. 1 17
— существенно особая II. / 86, 104
— угловая I. / 38
— фока-'ьная I. 2 173; II. 2 206
— центральная I. 2 170, 171
— эллиптическая I. 2 186
Трансверсали III. 2 222, 224
Трансверсалей семейство III. 2 264
Трансверсальное пересечение III. 2 223,
268
Трансцендентная функция II. / 22
Тгансцедентность числа е I. / 186
Траектория П. 2 98
— ортогональная II. 2 37, 48,218,221,225
Тресс (Tress.) И. 2 279
Тригонометрическая обратная фу кция
II / 33
— функция И. / 30
Тригонометрические ряды I. 2 95 и гл.
Тройная ортогональная система I. 2 207
Тройные интегралы I. / 321, 364
Трубчатые поверхности I. 2 176, 211
Угловая точка I. / 38
Узел II. 2 179
Указатели функции I. / 168
Ультраэллиптический интеграл II. 2
ПО, 251
Умножение рядов I. 2. 29, 57

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уникурсальная кривая I. / 227; II. 2 24
Уникурсальное уравнение II. 2 185
Уравнение асимптотических линий
II. 2 204
— Бернулли II. 2 17
— Ьесселя II 2 13), 145, 169; III. / 130
— второго рода с переменными пре-
пределами III. 2 45
— в вариациях III. / 9, 23; III. 2 239
— в полных дифере пиалах II. 2 56,
222, 227, 229
— высших порядков II. 2 39, 194. 272
— в частных производных II. / 25, 63,
82, 83, 101, 180, 196, 212, 221, 233,
237, 245
— Гаусса И. 2 143
— гиперболического типа' III. / 72, 82,
167
— диференциальное развертывающихся
поверхностей I, 2 123
— естественное I. 2 160, 161
— звука III. 1 87
— интегральное II. 2 67, 68; III. / 171
— Кеплера I. 2 87
— Клеро II. 2 23, 47, 49, 203, 209, 222,
236
¦— конических сечений II. 2 11
— Лагранжа II. 2 22, 202
— Ламе II. 2 149
— Лапласа I. / 136; II. 2 129, 132; III.
/ 143, 167, 204
— линейное (диференциальное) II. 2
15, 26, 87, 96, 102, 119
— — без правой части II. 2 111
неоднородное II МП
однородное II. 2 107, 114, 116
с пеоиодическими коэфициентами
II. 2 1Е0
с посгоячными коэфициентами
II. 2 121, 132; III. / 130
с правой частью II. 2 111,. 115
— Лиувилля Ш. / 64
— Монжа-Ампера III. / 61
— огибающей II. / 113
— однородное II. 2 13, 38, 95
— ортогональных траекторий II. 2 38
— отнесрнное к характеристикам III.
/ 73
— параболического типа III. / 72, 243-
— полярное или третьего рода III 2130
— потенциала I. 1 142
— пространственной упругой кривой
II. 2 104
¦— развертывающихся поверхностей II.
2 276
— Риккати (см. Риккати уравнение)
— Римана III. / 142
— сопряженное II. 211°; III./ 124, 129
— телеграфное III. / 130
— теплопроводности Щ, / 254—255
Уравнение уникургалыгое II. 2 185
— фронта волны III. / 83
— Функциональное для резольвенты
III. 2 13-14, 32
— характеристик II. 2 280
— характеристическое II. 2 122, 134,
150, 166
— эллиптического типа III. / 72
— Эйлера П. 2 2.», 33, 34, 47, 49, 192
202
— Якоби II. 2 17, 18, 37, 164
Уравнений теория II. / 98
Уравнения особые точки II. 2 105, 127
Усиливающие функции I. 2 65, 78
Усиливающий ряд II. / 25
Условия Дирихле I. 2 97, 106
— замкнутости ортогональной системы
III. 2 113-114
— интегрируемости II. 2 223, 227, 22S,
230, 252
— Коши II. 2 212
— Липшица II. 2 73, 76, 280
Условная устойчивость П. / 32, 42, 43
Устойчивость и неустойчивость III. /
36, 39, 40, 42
— в прошлом и будущ?м III. /41
— равновесия III. / 40—41
— условная I. 3 32. 42, 43
Устойчивые и неустойчивые решения
30—32.
Уэллис (Wallis) I. / 247
Уэль (Hauel) I. / 226; II. 2 210
Фаа де-Бруно (F a de Bruno) I. / 77
Фабри (Fabry) II. / 215
Фату (Fatou) II . / 161
Фишера-Риса теогема III 2 140
Флоке (Floquet) II 2 147, 154
Фокальная плоскость I. 2 174
— поверхность I. 2 172
— точка I. 2 173; II 2 206
Фокус II. 2 179
Фокусы комплекса I. 2 172
— сопряженные III. 2 240, 251, 276
Формула Бельтрами I. 2 231
— Гаусса II. / 237
— Грина I. / 287
— Дини III. / 202
— замены переменных в криволиней-
криволинейных интегралах I. / 200
— в простых интегралах I. /180
— интерполирования Лагранжа I. /256
— конечных приращений I. / 40, 42;
II. 2 69, 70
— ее распространение 1/62
— Котса I. / 256
— Лагерра I 2 229
— Лагранжа I. / 146; I. 2 86
— Лежен-Дирихле I. / 284
— Лейбница II. 2 122

316
ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формула Маклорена I. 2 47, 49
— Остро! рале косо I. / 326
— приведения интегралов I. / 216, 232,
245
— Пуассона III. i 234-236, 250-255,
2R.-S- 165
— Родрига I. / 1а\ I. 2 20'), 213
— Симпсона I J 2"iS
— среднего значения двойного инте-
интеграла I. / 2S1
—для (армонических функций III
/ 214
простого интеграла I. / 162
— Стокса I. / 317; II. 2 230
— Тейлора I. 1 62, 72, 185, I. 2 47, 63,
17Ь; II 2 40, 1Г.2
— Уэллиса I / 247
— Френе I. 2 157, 153
— Эйлега I. 2 19\ Л0
— Эннепгра I. 2 231
Форма кубическая биизрная I. / 122
Франклин (Frankli ) I. / 2S0
Фгедгольм .F e.,h ¦ rn) II. / 220; III. / 9
Фредгольма теоремы: первая III. 2 51,
вторая III 2 '7, третья III. 2 59
— уравнение III 2 2, 47, 55, 133, 142
Френе (F.enet) I 2 157
Фреше (Frecheti III. 2 9, 25, 178
Фубини (FouMny) III 2 130
Фукс (Fo;n) II. 2 192
Фукса прго разование II. / 54
— теорема II. 2 138
Фук-аментальная система II. 2 107,134,
lr.5
Фундаментальные решения III. /
'248—249
— функции III. 2 58, 132
Шмидта III. 2 130
— числа III. 2 58
Фундаментальный определитель I. / 91,
Hi
Функции, аналогичные функции Грина
III. 2 178
— главные III. 2 31, 86
союзные III. 2 81
— D I) рол. II. 2 96
— Лапласа III. 2 190
— ортогональные 1:1. 2 67
— союзные III. 2 ЪА, 86
Функщя 1/20
— алгебраическая II. / 245
— аналитическая II. / 14, 195; И. 2 28,71
— — имеющая разрезы II. 2 195
многих переменных И. / 226
— В (р, q) (Эйлера) I. / 3.9
— вполне определенная возрастающая
I. / 27
— Г (а) (Эйлера) I / 197
— гармоническая III. / 143—148, 155,
156., }5=), 164—156, 168
Функция трех переменных III. / 204—
206
— голоморфная II. / 16, 227
— Грина III. / 184 -1Ь9, 229-230, 261,
26 „ 272
— — для уравнений эллипсоидального
типа III. / 194-196
— двоякопериодическая II. / 145, 148
— - изображение определенным инте-
интегралом II. / 232
— интегрируемая I. / 157, 321
— 1 рртиональная II. 1 17
— класса 1 III / 258
2 III / 258
— конечная I. 1 33
— круговая I. / 30
— Лапласа i:i. 1 220—221; III. 2 190
— линейно зависимая 1 I. 2 1U8
— мероморфная II. / Ь5, 96
— мн позначная II. / 21
— мопогенная II. / 13
— монодромная II. / 22
— монотонная I. / 27, 158
— начальная I. / 155
— непрерывная II / 12
— непрерыьная многих переменны* I.
/ 3i, 32
не имеющая производной I. 1 72
— — од ого переменного I. 1 21
— нечетная II. / 152
— неявная I / 78
— обратная I. / 87. 94
— — триюнометрическая II. / 33
— ограниченная I. / 21, 32
— однозначная II. / 21, 127
— однородная I. / 59
— периодическая II. / 145
— показательная II. / 28
— правильная в точке II. / 84; III. 1
243
в бесконечности III. /215
1 явная нулю в бесконечности III.
/ 216
— равномерно-непрерывная I. / 24
— разр> вная I. / 25
— рациональная II. 1 17
— Римана III. / 1Н, 123, 128, 138
— синектическая II. / 14
— с ограниченным изменением I. / 28;
I. 2 Н6. 107
— трансцендентная II. / 22
— триюнометрическая II. / 30
— удовлетворяющая условиям Дирихле
I. 2 ЮЗ
— усиливающая I. 2 78
— Фурье II. / 168
— целая II. / 25. 87, 261
— четная II. / 152
— чллиптическа;) I. / 240; II. / К9,
II. 2 24, 25, 11, 46, 85, 19}

ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
317
Фурье (Fourier) I. 2 95; III. / 96, 243;
HI. 2 113
— коэфициенты III. 2 115, 127, 142
— ряд III. 1 161
Характеристика I. 2 119; II. 2 216. 221,
245, 246, 248, 251, 254; III. / 48,51-54
— свойсп в I I. / 53—55
— уравнений с п переменными III. /
79-82
Характеристическая развертывающаяся
поверхность П. 2 248 '
Характеристические конгруэнции II. 2
219
— кривые II. 1 55, 72
— показатели II. 2 151, 152
— функции 111. 2 58
— числа III 2 58, 103, 186
Характеристический конус III. 1 137
— мн >гочлен II. 2 122
Характеристических линий огибающая
II. 2 253
Характеристичское многообразие III. /
52
— уравнение III. 2 122, 160
сиаемы III. / 36
Хольмгрен (Holmgren) III. / 243, 257,
258, 236; III. 2 22
Цяремба (Zarembi) III. 2 291
Целая функция II. / 25, 87. 261
Целые ряды с многими переменными
I. 2 73, 75
с одним переменным I. J?54 и ел.
Це тр II. 2 179
Центры кривизны кривой двояковой
кривизны I. 2 151
плоской крисоЧ I. 2 151
поверхности I. / 112
Центральная п оскогть I. 2 170
— точка I, 2 170, 171
Цепная линия I 1 227
Цермелло (Zermello) 1.1. 2 203
Цикл II. / 24-1
Циклический период II. 1 249
Циклоида Дюпена I 2 211; II. 2 47
Циклоиды вращения III. 2 191
Цилинд" ические волны II. 1 91—92
Циссоида II. 2 212
Числа характеристические III. 258,103,
186
Частное решение уравнения II. 2 25.
26
Частные производные I / 46
Частный интеграл II. 2 9, 26
Чезаро ^esaro) I. 2 180
Четная функция II. 1 152
Число е I. 1 186
Число иррациональное I. 1 11, 12, 186
Шази (Chasv) II 2 196
Шаль iCh.isles) I. / 180
Шар соприкасающийся I. 2 140, 167
Шарпи и Лагранжа метод II. 2 237, 247
271
Шарпи семейство II. 2 237, 254
Шварц (Schwarz) I. / 303; ,11. 1 165,
174
Ш арца метод III. / 77; III. 2 95,
160
— неравенства III. 1 30, 118, 145, 148
— теорема I.I. / '266
Швфциан I. / 149
Шелль (Schelli I. 2 18Э
. Шефьер (Sci.ff.r1 I. / ЮР; III. 2 243
Шлемильх (Sen dmil h> II. 2 210
Шлефли (Shlaefli III. / 243
Шмидт (b>hmid ) III. / 21C; III. 2 30
108, 114, 116, 121, 144
Шмидта метод III. 2 Юл
Шрегер (-ic.irod r) 1. 2 220
Штейнер (Steine ) I. 1 214
LUiyp.M (Sturmi I. / 170
Штурма-Лиувиля функции III. 2 161
Штурма теорема II. 2 116; 111. 2 151
Шур (Schur) III. 2 96
Шура теорема 111. 2 Кб
Эвольвента I. 2 I'8 162
Эволюта I. 2 48, 16.'
Экстремаль III. 2 2 9, 218
Экстремалей поле 111. 2 253
Экстремум условный III. 2 229
Элемент II. 2 248, 256
— интеграла I 1 161
— линейный I. / 301
— объема I. / 3:И
— Площади I. / 292
— поверхности I. / 303
— соприкосновения Ш. / 50
— функции II. / 195
Элементов многообразие III. / 50, 51
Элементы соединенные III. 1 ;0
Элементарные делители Вейерштрасса
II. 2 1.6
Эллипсоида линии кривизны I. 2 208;
П. 2 247
— объем I. / 2"9
— поверхность I. / 319
Эллипса дуга I. / 240
— площадь 1. / 2Э1
Эллиптическая функция II. / 149; II. 2
24. 25. L9, 46, 8*, lal
Эллиптические интегралы I. / 238;11.1114
— координаты I. / 292, 3j5
Эллиптический тип уравнений III. 1 81;
III. 2 192
Эллиптическое преобразование II . 1
54
Эннепер (Епперег) I. 2 231

318
ОБЩИЙ УКАЗАТЕЛЬ
Эрдмана-Дарбу метол III. 2 237
Эрмит (Herm.tei 1. / 186, 213; И. 1 10!,
103, 215, 224, 2,7; II. 2 104, 150, 169,
192, 276
Эрмита формула II. / 221
Эйзенштейн (Eisenstein) II. / 257
Эйлер tEuler) 1. / 242; I. 2 95, 185, 189;
II. 1 40, 55, 207; II. 2 25, 12 ; III. 2
208
Эйлера уравнение II 2 2Э, 33, 34, 47
49, 192, 202; III. 2 203, 215, 244, 272
Эйлеров интеграл второго рода I. / 197
первого рода I. / 309
Эйлерова непрерывность I. 1 21
— постоянная I. / 45; I. 2 52
— теорема I. 2 189
— формула II. 1 30
— функция 1.1 149
Явление Римана-Гюгонио III. / НО
Ядра в приведенной форме III. 2 64
— главные III. 2 16
— замкнутые Ш. 2 114, 132, 159
— интегрального уравнения III. 2 10
¦— канонические III. 2 83
— квази-определенные Ш. 2 118
— кососимметрические III 2 134
— неограниченные III 2 36
— определенные III. 2 118, 134
Ялра особые III. 2 102
— ортогональные III. 2 69
самому себе III. 2 32
— повторные 111. 2 12, 29
— показатель III. 2 37
— положительные III. 2 116, 128, 130
— полуортогональные III. 2 71
— полярные III 2 132
— последовательные повторные II!.
241
— равномерной сходимости II. / ?61
— разрешающие III. 2 13, 31, 35, 59
— результирующие III. 2 74
— симметризуемые III. 2 132, 147
— симметрические III. 2 199
— составляющие III. 2 74
— Шмидта III. 2 124, 160, 163 186
Якоби (Jacobi) I. / 54, 75. 131; II. 1 1И>,
168, 178: II. 2 31 87, 89
— метод И. 2 271
—¦ обозначение эллиптических функ-
функций П. / 152
— теорема о периодах II. / 147
— условие III. 2 236, 274
— уравнение II. 2 17, 18, 37, 164
Якобиан I. / 91, 116; И. 2 67, 207, 214,
.228, 238, 259. 269, 271
Якобиева система II. 2 263,272

ранее вышли-.
Э. ГУ PC А— КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Том I, часть 1.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФЕРЕНЦИАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
I. Введение.
II. Производные и диференциалы.
III. Неявные функции. Максимум и минимум. Замена
ПЕРЕМЕННЫХ.
IV. Определенные интегралы.
V. Вычисление определенных интегралов.
VI. Двойные интегралы.
VII. Кратные интегралы. Интегрирование полных диферен-
циалов.
Том I, часть 2.
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.
VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
IX. Цельш ряды. Тригонометрические ряды.
X. Теория огибающих. Прикосновение.
XI. Кривые двойной кривизны.
XII Поверхности.
Том II, часть 1.
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
XIII. Простейшие функции комплексного переменного.
XIV. Общая теория аналитических функций по Коши.
XV. Однозначные функции.
XVI. Аналитическое продолжение.
XVII. Аналитические функции многих переменных.

Том И, часть 2.
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
XVIII. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ
ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
XIX. Теоремы существования.
XX. Линейные диференциальные уравнения.
XXI. Нелинейные диференциальные уравнения.
XXII. Уравнения с частными производными перв.го по-
порядка.
Том III, часть 1.
БЕСКОНЕЧНО БЛИЗКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ.
XXIII. Бесконечно близкие интегралы.
XXIV. Уравнения Монжа-Ампера.
XXV. Линейные уравнения с п—переменными.
XXVI. Линейные уравнения гиперболического типа.
XXVII. Линейные уравнения эллиптического типа.
XXViH. Гармонические функции трех переменных.
XXIX. Уравнения теплопроводности.