Эта книга, написанная известным амери-
канским специалистом в области математи-
ки и электротехники Джоном Риорданом,
посвящена важной отрасли прикладной ма-
тематики — теории массового обслуживания
и её приложениям к исследованию работы
телефонных систем. В ней рассматриваются
одноканальные и многоканальные системы
обслуживания, особое внимание уделяется
системам с отказами, находящимся в ста-
ционарном состоянии. Приводятся различ-
ные показатели эффективности функциони-
рования систем обслуживания: вероятность
потери вызова, длительность периода заня-
тости, .время ожидания и т. д. Исследуются
различные входящие потоки: пуассонов-
ский, рекуррентный, поток Бернулли и др.
Книга рассчитана на научных и инже-
нерно-технических работников, занимаю-
щихся вопросами телефонной связи. Она
представляет также интерес для математи-
ков — специалистов в области теории ве-
роятностей и теории массового обслужива-
ния и специалистов, занимающихся иссле-
дованием операций.

ДЖ. РИОРДАН
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ
СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Перевод с английского
Е. Г. Коваленко
под редакцией кандидата технических наук
А. Д. Харкевича
Вводная статья
доктора технических наук
И. Н. Коваленко
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ»
МОСКВА 1966
УДК 519.152:621.15
Stochastic
Service Systems
by John Riordan
Member Technical Staff
Bell Telephone Laboratories, Inc.
John Wiley and Sons, Inc., New York • London
3—6—2
29—66
И. И. Коваленко,
доктор технических наук,
НЕКОТОРЫЕ НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
ИССЛЕДОВАНИЙ В ТЕОРИИ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В предлагаемой вниманию читателей книге известного специалиста
Дж. Риордана изложены основные, понятия, методы и результаты
теории массового обслуживания. Следуя изложению автора, чита-
тель — математик или инженер — сможет увидеть разнообразие
решаемых этой теорией задач и приобрести навык в математической
схематизации реальных задач телефонии, радиотехники, исследо-
вания операций и т. п.
Своим возникновением теория массового обслуживания обяза-
на, в первую очередь, прикладным задачам телефонии. В этих за-
дачах из-за наличия большого числа независимых или слабо за-
висимых источников (абонентов телефонной станции) потоки тре-
бований имеют чётко выраженный случайный характер. Случайные
флуктуации являются в данном случае не результатом какого-то
отклонения от нормы, а закономерностью, свойственной всему про-
цессу. С другой стороны, достаточная стабильность работы теле-
фонных систем, возможность набора достаточно представительной
статистики создали предпосылки для выявления характеристик,
свойственных процессу обслуживания (проверка гипотезы о пуас-
соновости входящего потока, оценка средней длительности обслу-
живания). Благодаря этим факторам теория, разработанная А. К.
Эрлангом .и его последователями, немедленно получила практиче-
ское применение к расчёту систем по заданному критерию опти-
мальности. .
Первые задачи, решённые теорией массового обслуживания,
были с современной точки зрения весьма простыми. Математиче-
ская схема сводилась к процессу размножения ,и гибели; стацио-
нарные характеристики системы допускали замкнутое аналитиче-
ское выражение. Но уже эти первые задачи показали, что в весьма
близком соседстве с простыми задачами находятся задачи, тре-
бующие привлечения более серьёзного математического аппарата.
— 3 —
t Для примера представим себе систему с ожиданием, состоящую
из п одинаковых приборов, обслуживающих требования по произ-
вольному закону Н (х) =«Р{ г)<х }, где т] — длительность обслу-
живания отдельного требования. Пусть входящий поток — про-
стейший, т. е. стационарный, ординарный и без последействия.
Требуется найти распределение длительности ожидания в стацио-
нарном режиме. В том случае, если Н (х) =4—е"-1^, х>0, искомое
распределение получается элементарным путём; при п=1 имеется
также аналитическое решение (известная формула А. Я. Хинчина).
Если же Н (х) — функция более общего вида, а п>1, решить со-
ответствующие уравнения в замкнутом виде до сих пор не удаётся.
(Заметим, что постановка этой задачи была известна свыше трид-
цати лет назад.)
В настоящей вводной статье предпринимается попытка дать об-
щий обзор теории массового обслуживания с точки зрения возмож-
ности её практического применения. Мы попытаемся ответить на
следующие вопросы:
1. Какие математические схемы массового обслуживания допу-
скают исследование имеющимися аналитическими методами?
2. Какие трудности встречаются при решении задач массового
обслуживания?
Будет показана также особая роль асимптотических методов.
Лучше всего изучены схемы, приводящие к однородным мар-
ковским процессам с конечным .или счётным числом состояний. Лю-
бой такой процесс при аналитических предпосылках, которые на
практике выполняются всегда (разумеется, при удачной схемати-
зации явления), может быть задан следующим образом. Имеется
множество состояний Eq, £ь £2,..., Еп,.... Если в момент t про-
цесс находится в состоянии £г-, то за малое время dt он может, не-
зависимо от предыдущей истории, перейти в состояние Ek с веро-
ятностью ‘kihdt. Помимо подобного «инфинитезимального» опреде-
ления. можно дать определение, в котором будут фигурировать
только конечные объекты — конечные совокупности показательно
(экспоненциально) .распределённых случайных величин. В соответ- •
ствии с последним определением марковский процесс конструи-
руется следующим образом.
Реализуется последовательность независимых одинаково рас-
пределённых случайных величин	Р{^<х} = 1—е“Л х>0. Каждо-
му состоянию £z процесса т] (t), который мы хотим построить, со-
поставляются неотрицательная постоянная — интенсивность
выхода из i-ro состояния — и набор вероятностей Pik, где
2^ = 1 ПРИ люб°м При любых i и k символ Pik обозна-
k
чает условную вероятность попадания процесса в состояние Ek при
условии, что предыдущим состоянием было £ Пусть известно, что
т] (0) = £/о..В интервале (0, —) определим т] (/) = £/о. Затем вы-
' Ч '
— 4 —
бираем случайное значение и в соответствии с распределением
Ptk> т. е.
Р {4 = k} = pik,
и определяем в полуинтервале (А-, Д1 + процесс, как Eib
\1о Л'о Л/1 /
и т. д. до бесконечности.
Для любого значения в полуинтервале^^. 4~
+ г^~> А +1— + • • • Н-тг^-’) процесс т](0 будет равняться Е,
Kin—\ Ч Ч	К1П '
где вероятность равенства in = k при любых фиксированных
io, И,..., /п_1 составляет Pln_ik- В предыдущих обозначениях бу-
дем иметь Ktpik = \k.
В практических случаях оба определения совпадают. Можно
дать также математическую формулировку достаточных условий
совпадения обоих определений. Один ,из вариантов достаточности
состоит в том, что одновременно для всех I выполняется неравен-
ство
При этом условии показанная выше конструкция приведёт к
определению процесса т] (/) на всей прямой, т. е. рано или поздно
любая точка t окажется левее, чем >— + 4^ + . . . +	.
Ч Ч	Ч-i
Каждый из подходов к определению марковского процесса,
естественно, связывается с аналитическим аппаратом; в первом
случае это дифференциальные уравнения для переходных вероят-
ностей
р
во втором случае — рекуррентные интегральные соотношения для
j тех же вероятностей или для вероятностей состояний процесса в
' момент п-го скачка: /=	+ . . . + \^п . В силу сделанного
V	Ч	К1п—\
j замечания об эквивалентности обоих определений очевидно, что
}	оба типа уравнений равносильны. Вместе с тем, на ‘практике удоб-
?	нее применять дифференциальные уравнения при исследовании
стационарных режимов; тогда можно положить
dpik (0 = Q
dt
>	- 5 -
и нахождение вероятностей Pik(t), равных теперь постоянным Pik,
сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений
с нормирующим условием
^JPik = 1 •
k
При выполнении надлежащих условий, накладываемых на пере-
ходные вероятности (в предположении, что для всех /), до-
статочно потребовать возможности достижения фиксированного
состояния Ет из любого другого состояния Ei:
г (\it \1г-  • \п-2	) > о;
стационарное распределение будет единственным, и тогда_вероят-
ности при t—> со показательно быстро сходятся к рь. (заме-
тим, что предел не зависит от начального состояния г)-
Если же нужно найти Pih(t) 'при сравнительно малых t, метод
итераций может оказаться проще. Действительно, при любом ко-
нечном t справедлива формула
P,.»=e-V8IS + ^ V Р{-^+^+  •  +
|	^'4-	£1 I ^2 I	J ^т+1 ]
+ 7----—г-т------------Н - • -Н—;----?•
Kim-1	Kii	J
Если ограничиться во внешней сумме этой формулы п слагае-
мыми, ошибка не будет превосходить
(МУ
& 
т. е. величины порядка (W) л+1. Это приводит к возможности эле-
ментарного вывода полезных приближённых формул.
Основанием для применения однородных марковских процессов
со счётным числом состояний к теории массового обслуживания
служат определённые предпосылки о характере входящего потока
требований и распределения длительности обслуживания. Входя-
щий поток должен быть простейшим, длительность обслужива-
ния — показательно распределённой. Правда, здесь имеются и бо-
лее широкие возможности. Именно, можно считать интенсивность
входящего потока зависящей от некоторого параметра с конечным
или счётным множеством значений/Например, в телефонных зада-
чах при общем числе абонентов N и k занятых линиях интенсив-
— 6 —
ность потока вновь поступающих требований будет составлять
Хо (N—к) , где %о — обратная величина к среднему времени между
моментами поступления вызовов от одного абонента. Точно так
же длительность обслуживания можно считать распределённой по
эрланговскому закону либо по закону, представляющему смесь
эрланговских законов. Применив метод «комплексных вероятно-
стей» Кокса, мы можем охватить случай, когда плотность длитель-
ности обслуживания при х>0 задаётся любой функцией вида
Р(х) = ^С{хг1е-^х,
।	i
лишь бы она была неотрицательной при х>0 и имела интеграл,
равный 1.
Описанные возможности являются довольно широкими. С прин-
ципиальной точки зрения любой разумно заданный входящий по-
ток допускает аппроксимацию марковскими потоками с дополни-
тельным дискретным параметром, как и любые законы распреде-
ления длительности обслуживания — аппроксимацию суммой эк-
спонент с полиномиальными множителями. При этом в естествен-
ных аналитических условиях основные характеристики системы
массового обслуживания (моменты распределения длительности
ожидания, периода занятости и т. п.) будут устойчивыми к «воз-
мущениям» характеристик обслуживания, возникающих вследст-
вие их замены приближёнными функциями. Однако здесь мы стал-
киваемся с вычислительной трудностью. Задача, принципиальная
разрешимость которой не вызывает сомнения, становится трудно
обозримой при попытке численного анализа. Для уяснения этого
эффекта рекомендуем читателю рассмотреть двухлинейную систе-
му с простейшим входящим потоком и длительностью обслужива-
ния, распределённой по закону
Г
р (х) = 2	> °-
i=0
Требуется найти среднюю длительность ожидания т=т (г; Со,
Ci,..., Сг). Интересно, для скольких г читателю удастся вывести
простые расчётные формулы. Картина ещё более усложнится, если
взять два последовательно расположенных прибора (обслуживаю-
щих устройства).
Сказанное свидетельствует о том, что одной из актуальных и
трудных задач теории массового обслуживания является разработ-
ка практических методов решения уравнений для Pffe(O или даже
pk при большом числе состояний. Это особенно существенно для
телефонии при современном её развитии. В частности, следует
признать, что в теории многокаскадных систем, несмотря на ог-
ромное число появившихся к настоящему (времени исследований,
ещё не существует универсальных методов инженерных расчётов.
— 7 —
Наиболее перспективным направлением нам представляется
так называемый макроподход. В сложной системе (например, ком-
мутационной) с очень большим числом состояний находится тот
или иной признак, по которому состояния (или «микросостояния»)
объединяются в классы («макросостояния»). Затем путём усредне-
ния находится интенсивность перехода из одних макросостояний в
другие, и таким образом находятся точные или приближённые фор-
мулы для вероятностей макросостояний системы массового обслу-
живания. То обстоятельство, что число микросостояний в одном
макросостоянии велико, причём имеется действие независимых
случайных факторов, даёт возможность использовать многомерные
предельные теоремы теории вероятностей. В этой связи следует
отметить важную работу Г. П. Башарина [113]. Имеющиеся здесь
возможности далеко не исчерпаны, этот вопрос требует система-
тического изучения.
Заметим, что в тех случаях, когда характеристики системы до-
пускают явное аналитическое выражение, при реальных значениях
параметров пользоваться ими бывает трудно. Для примера укажем
на известные формулы Эрланга, определяющие вероятность заня-
тия k линий в n-линейной телефонной системе с отказами. Иссле-
дование подобных выражений при большом числе линий крайне
важно. Ряд результатов в этом направлении получен О. В. Виско-
вым и Ю. В. Прохоровым [127].
Интересные формулы найдены М. А. Шнепсом [170, 171]. Этот
автор рассматривал сложную систему массового обслуживания с
отказами (математическая схема М. А. Шнепса является отраже-
нием типичных телефонных систем). Предположим, что % — ин-
тенсивность входящего потока требований, р, — интенсивность об-
служивания, р = Хр,"“1- Тогда вероятность занятости любой группы
обслуживающих приборов можно разложить в сходящийся ряд по
р при достаточно малых значениях последнего:
P = Copm + C1p'n+1+ ....
М. А. Шнепс нашёл простое выражение для нулевого члена этой
формулы. Полученное выражение имеет наглядный вероятностный
смысл.
Системы массового обслуживания, описываемые марковскими
процессами с конечным числом состояний, весьма удобны для ста-
тистического моделирования (метод Монте-Карло). Дело в том,
что из свойств марковского процесса следует, что значения про-
цесса в моменты перехода из состояния в состояние образуют цепь
Маркова. Следовательно, вместо процесса можно моделировать
цепь Маркова, а это осуществляется весьма элементарно. Заме-
тим, что в то время как общее число состояний системы, как пра-
вило, очень велико, отдельное состояние можно закодировать не-
сколькими числами; в большинстве случаев невелико также число
ненулевых элементов в каждой строке матрицы перехода упомяну-
той цепи Маркова. Таким образом, применение метода Монте-
— 8 —
Карло даёт значительную экономию памяти вычислительной маши-
ны. На некоторых других вопросах, связанных с применением ста-
тистических испытаний, мы остановимся ниже.
Из изложенного можно заключить, что системы, описываемые*
однородными марковскими процессами с конечным или счётным*
числом состояний — наиболее простым классом случайных про-
цессов, — принципиально могут быть исследованы методами ли-
нейных дифференциальных (в переходном режиме) или линейных
алгебраических (в установившемся режиме) уравнений; однако
наличие большого числа переменных затрудняет решение практи-
ческих задач. Теперь зададимся целью раскрыть следующий во-
прос. Какими методами можно исследовать системы массового об-
служивания в более общих предположениях: либо поток не пуас-
соновский, либо обслуживание распределено по закону, не сводя-
щемуся к смеси эрланговских законов, либо имеет место и то и
другое?
Основным методом, получившим наибольшую известность, яв-
ляется метод вложенных цепей Маркова, разработанный выдаю-
щимся специалистом в области теории вероятностей Д. Кендаллом.
Заметим, что при решении конкретных задач этот метод исполь-
зовался значительно раньше, чем появились работы Кендалла (см.
книгу Т. Фрая [39]). Рекуррентный метод существенно использо-
вался в работах известного советского математика А. Я. Хин-
чина.
Читатель предлагаемой книги Риордана будет.иметь возмож-
ность проследить применение вложенных цепей к исследованию-
конкретных систем; поэтому мы не будем здесь вдаваться в по-'
дробности. Отметим только два важных обстоятельства.
Во-первых, с формальной точки зрения, класс систем, к кото-
рым применим метод вложенных цепей Маркова, весьма широк.
В него, в частности, входят многолинейные системы с ожиданием,
с входящим потоком пальмовского типа и произвольно распреде-
лённой длительностью обслуживания. Чтобы объяснить это поло-
жение, рассмотрим систему, которая состоит из п обслуживаю-
щих приборов. Для простоты предположим, что в некоторые мо-
менты ti с вероятностью 1, образующие возрастающую до беско-
нечности последовательность, все обслуживающие приборы сво-
бодны и в эти же моменты в систему поступают требования. (Не-
которая модификация наших рассуждений позволяет избавиться
от такого предположения, но у нас нет возможности её здесь при-
водить.)
Обозначим через (тп) возрастающую последовательность мо-
ментов времени, когда происходит хотя бы одно из следующих
событий: появляется новое требование; некоторое требование по-
кидает систему. Тогда последовательность (тл) будет содержать
(k) в качестве подпоследовательности. Пусть при фиксированном п
т(п) обозначает максимальное,, не превосходящее п значение
при котором хт принадлежит последовательности (/,). Это будет-
— 9 —
означать, что с момента регенерации до момента %п произошло
.п—т (п) изменений состояния системы. Пусть за это время в си-
стему поступило I требований. Введём случайный вектор
V/Z = еЪ е2, •	•	•» 8л-т(Л)} >
где определяет событие, происшедшее при f-м изменении со-
стояния системы,после момента тт(Л), а именно: ez=&, если в дан-
ный момент поступило fe-e требование; sz =—k, если обслужено
й-е требование. Как легко видеть, множество возможных значений
вектора vn счётно. Далее, очевидно, что последовательность vi,
V2,..., vn,... образует однородную цепь Маркова. Это будет вло-
женная цепь Маркова исходного процесса изменения состояний
обслуживающей системы.
Предложенная схема может быть использована как для по-
строения вычислительных алгоритмов и вывода приближённых
формул, так и с целью доказательства эргодических теорем, а так-
же установления таких общих свойств исследуемых распределе-
ний, как свойство сильного перемешивания, геометрическая эрго-
дичность.
Второе замечание — об эквивалентности метода вложенных це-
пей Маркова, с одной стороны, и метода интегро-дифференциаль-
ных уравнений — с другой. Можно вполне строго доказать, что
для широкого класса систем массового обслуживания оба эти ме-
тода равносильны в следующем точном смысле. Если в каком-ли-
бо классе аналитических выражений, замкнутом относительно
^определённых аналитических операций, удаётся найти производя-
щую функцию преобразования Лапласа распределений процесса в
моменты «регенерации», то двойное преобразование Лапласа рас-
пределения процесса, как функции t, будет принадлежать тому же
классу аналитических выражений и наоборот.
Подобные теоремы доказываются на основании явных формул
•перехода от характеристик случайного процесса к характеристи-
кам вложенной цепи Маркова и наоборот.
Вместе с тем, в каждой конкретной задаче следует выбирать
метод решения, исходя из особенностей задачи.. Методом вложен-
ных цепей Маркова получен ряд интересных результатов для си-
стем с преимуществами, ненадёжно работающих приборов, систем
с блокировкой требований, многофазных и тому подобных систем.
Вместе с тем ряд фундаментальных результатов (прежде всего,
известная теорема Б. А. Севастьянова [154] о независимости рас-
пределения состояний многолинейной системы с отказами от рас-
пределения длительности обслуживания при фиксированной сред-
ней длительности) получен именно методом интегро-дифферен-
циальных уравнений. Позднее пишущий эти строки нашёл элемен-
тарное доказательство теоремы Б. А. Севастьянова и других ре-
зультатов, опирающееся на метод Кендалла.
Остановимся на бдном важном вопросе, постоянно возникаю-
щем в задачах телефонии. Можно ли использовать формулы, выве-
— ю —
денные в предположении, что длительность обслуживания распре-
делена по показательному закону при другом законе, но с тем же
математическим ожиданием? Первым результатом, повлекшим за
собой целую серию исследований, была упомянутая теорема Б. А.
Севастьянова. (В более частных предположениях доказательство
было дано -ранее Р. Форте.) Целый ряд постановок задач подобно-
го рода, актуальных для приложений, был сформулирован Б. В.
Гнеденко и решён его учениками (Т. П. Марьянович, В. Н. Яро-
шенко, И. Н. Коваленко). Эти результаты применимы для многих
коммутационных систем, а также позволяют развить теорию теле-
фонных систем с отказами обслуживающих приборов. Вместе с
тем, выяснилось, что в широком классе случаев перенесение резуль-
татов с показательного закона на произвольный принципиально
невозможно. Приведём соответствующий результат, полученный в
1961 г. автором этой статьи [138].
Пусть в системе могут присутствовать требования 1, 2,..., s-ro
типов. Обозначим через v (/) случайный вектор
*(0 = {М0> *2(0» • • •. *40}»
где v2-(/), t=l, 2,..., s — число требований t-ro типа, находя-
щихся в системе в момент t. Предположим, что v (/) равно фикси-
рованному вектору k={k\, kz,..., ks). Тогда вероятность поступ-
ления за время dt дополнительного требования t-ro типа состав-
ляет Xi(£)d/. Будем считать, что любое поступившее требование
немедленно начинает обслуживаться; таким образом, в случае по-
тери требования процесс остаётся неизменным. Допустим, что дли-
тельность обслуживания требования t-ro типа — случайная вели-
чина с функцией распределения Л(х). Если
со
т. = f xdFi(x) < оо, i = 1, 2, . . ., s
6
и состояния процесса образуют один эргодический класс, то, как
следует из теоремы Б. А. Севастьянова для марковских процессов
общего вида, вероятности pt (k) присутствия в системе kx, k2,..., ks
требований соответствующих типов в момент t	при
/->оо к финальным вероятностям р (k) независимо от начального
состояния системы. Спрашивается, ,в каких случаях при фиксиро-
ванных X/ (k) вероятности р (k) зависят только от n, Т2,..., т5, не-
зависимо от вида распределений Fz(x)? Оказывается, что необхо-
димым и достаточным условием для этого будет тождество
где et — s-мерный вектор, все компоненты которого, за исклю-
чением t-той, равны нулю, а t-тая компонента равна единице. Дан-
ное тождество напоминает условие независимости контурного ин-
— 11 —
теграла аналитической функции от пути интегрирования. Замеча-
тельно, что в целом, ряде практических случаев, выявленных Т. П.
Марьяновичем и другими авторами, наше условие выполняется,
несмотря на то, что при «случайном» выборе постоянных Хг(&) ве-
роятность его выполнения равна нулю. Заслуживает внимания
вопрос о возможности оценки погрешности, если мы будем ис-
пользовать формулы, выведенные для показательного случая, в си-
туации, когда обсуждаемое тождество выполняется лишь прибли-
жённо. Нам неизвестно ни одной работы в этом направлении.
Существенный вклад в теорию был сделан немецкими матема-
тиками Д. Кенигом и К. Маттесом, также принадлежащими к тео-
ретико-вероятностной школе Б. В. Гнеденко. Эти авторы обнару-
жили, что инвариантность в указанном выше смысле имеет место
в ситуации, значительно более общей, чем рассматривавшаяся во
всех предыдущих работах. Удалось распространить аналитические
формулы для стационарных вероятностей на случай произвольной
зависимости длительностей обслуживания различных требований
(при стационарности средних). Кроме того, Д. Кениг и К. Маттес
рассмотрели «маркированное обслуживание», включающее в ка-
честве частных случаев многофазовое обслуживание и обслужива-
ние при выходе из строя обслуживающих приборов. Заметим, что
важные примеры такого рода были изучены ранее Т. П. Марьяно-
вичем [144—146].
Важным направлением в рассматриваемой нами теории яв-
ляется исследование обобщённых марковских процессов загрузки
обслуживающих приборов. Читатель познакомится с этим методом
в книге Риордана. Данный метод, предложенный почти одновре-
менно Л. Такачем и В. Бенешем, значительно упрощает исследо-
вание систем массового обслуживания. Вместо двумерной харак-
теристики [v(0, £(0L гДе v(/) — число требований в системе.
§ (t) — время, оставшееся до окончания обслуживания требова-
ния, находящегося в момент t на обслуживании, при методе Така-
ча—Бенеша изучается одномерная характеристика т](0 — время
до окончания обслуживания требований, имеющихся в системе в
момент времени t. Если прибор свободен, то принимается
т](0=0.
Подобный подход может быть применён и в случае многоли-
нейной системы.
Альтернативный метод состоит в изучении вложенной цепи
Маркова. (Фиксируется состояние системы в моменты окончания
обслуживания требований.) Для однолинейной системы с ожида-
нием такой метод использован Линдли и Смитом. Обобщение это-
го метода на многолинейные системы осуществлено Кифером и
Вольфовицем. Им принадлежит замечательный по простоте и яс-
ности вероятностного смысла результат о необходимом и достаточ-
ном условии существования эргодического распределения длитель-
ности ожидания требований. Ряд изящных аналитических резуль-
татов получен в работах Ф. Полячека. Однако до последнего вре-
— 12 —
мени эффективного метода- исследования многолинейных систем
не существует. Заслуживает внимания также статья Э. Пресма-
на [150]. Э. Пресман указывает способ выражения распределения
длительности ожидания посредством факторизации некоторой
матрицы, определяемой характеристиками входящего потока и дли-
тельности обслуживания.
Весьма важной задачей является исследование систем массово-
го обслуживания смешанного типа, занимающих промежуточное
положение между системами с ожиданием и системами с отказа-
ми. В действительности почти любой системе свойственны времен-
ные ограничения на длительность ожидания или длительность пре-
бывания требований в системе. Обобщением классических резуль-
татов для систем смешанного типа занимались Д. Баррер, С. М.
Броди, В. И. Мудров, И. Н. Коваленко, Л. Г. Афанасьева и другие
авторы. Для систем с ограничением и обслуживанием в порядке
поступления автором этой статьи был предложен подход [137], ко-
торый сводится к следующему.
Обозначим через В(х) вероятность того, что для произвольного
требования длительность ожидания начала обслуживания не пре-
восходит х. Если до момента х обслуживание не начнётся, то имен-
но с такой вероятностью требование будет потеряно. Пусть далее
G (*> У) — условная вероятность того, что если требование ожи-
дало начала обслуживания время, равное у, и если после этого
началось ожидаемое обслуживание, то ожидать окончания обслу-
живания требование будет не более х единиц времени; в против-
ном случае происходит потеря.
Введённые функции по самому их смыслу—неубывающие и
принимающие значения между 0 и 1, но это не обязательно долж-
ны быть функции распределения, так как возможно, что В(оо)<11
или G(oo , у)<1. В качестве частных примеров предложенной
модели получаются следующие схемы, с которыми приходится
сталкиваться на практике.
•Схема 1.- Каждое требование, застав прибор занятым, стано-
вится в очередь и ожидает, пока освободится прибор для обслужи-
вания; начатое обслуживание длится до полного окончания. Оче-
видно, в рассматриваемом случае
B(x)==0,	G(x, у) = 0.
Схема 2. Длительность ожидания начала обслуживания огра-
ничена случайной величиной с функцией распределения А(х);
начатое обслуживание длится до полного окончания. Для этой схе-
мы следует выбрать: •
В(х) = А(х), G(x, у) = 0.
Схема 3. Время пребывания требования в системе ограниче-
но случайной величиной с функцией распределения А (х). В дан-
ном случае
В(х) = А(х), G(x, у) = -^х+-У[-А^ .
1 — А (у)
— 13 —
Схема 4. Прибор обладает некоторой зоной действия, так
что он может обслуживать требования только тогда, когда они
находятся в этой зоне. Через зону требования движутся с единич-
ной скоростью. Когда требование взято на обслуживание, то ско-
рость его становится равной а. Легко видеть, что при а=0 полу-
чается обслуживание с ограниченным временем ожидания (требо-
вание «приостанавливается» до окончания обслуживания) при
а=1 имеем обслуживание с ограниченным временем пребывания
в системе.
Если обозначить через А (х) функцию распределения длитель-
ности пребывания требования в зоне действия прибора, то будут
выполняться равенства
В(х) = А(х), G(x, у) =	•
Для исследования систем подобного вида с простейшим входя-
щим' потоком интенсивности % для однолинейной системы, нами
был предложен процесс | (/), равный времени от момента t до то-
го момента, когда все требования, находящиеся в системе, поки-
нут её. [Естественно считать, что если прибор свободен, то g(0 =0.]
Оказывается, что наиболее важные характеристики обслуживания
выражаются в виде математических ожиданий функционалов от
процесса g (/).
В определённых условиях введённый процесс обладает эргоди-
ческим распределением. Если обозначить
E(x) = limP{5(0<x),
/-*оо
то при х>0 будем иметь
X
F(x) = F(+O)+J‘p(0^,
о
где р (/) и F ( + 0) определяются из интегрального уравнения
X
р(х) — кJ[1 — B(z/)][1 — G(x — у, y)][\—H(x — y)\p(y)dy =
о
= XF(+O)[1—G(x, 0)][l—tf(x)]
и нормирующего условия F(co) = 1.
Представляет интерес также случай, когда распределение дли-
тельности обслуживания зависит от того времени у, на протяже-
нии которого требование ожидало начала обслуживания, и, таким
образом, определяется условной функцией распределения Я(х, у).
В такой ситуации наши рассуждения остаются в силе; в выписан-
ном уравнении вместо Н(х—у) следует взять Н(х—у, у), а Н(х}
заменить /7(х, 0).
— 14 —
Л. Г. Афанасьева недавно выяснила общие условия существо-
вания эргодического распределения вложенной цепи Маркова про-
цесса § (0 в более общих предпосылках, когда входящий поток
требований обладает ограниченным последействием. Её результа-
ту можно дать очень простую вероятностную интерпретацию.
Пусть В(0=!/ и в момент t поступило новое требование. Тогда'
g (/+0) =4/+^, где — случайная величина, распределение ко-
торой легко выражается через В (х), Н (х) и G (х, у). Обозначим
это распределение через L (х, у) и допустим, что при достаточно-
больших у справедливо равенство
L(x, р)>£0(*)>
где £о (*) — функция распределения неотрицательной случайной
величины с математическим ожиданием т. Тогда для существова-
ния эргодического распределения достаточно, чтобы т было мень-
ше математического ожидания длительности промежутка времени
между последовательными моментами поступления требований.
Подобный же метод можно применить и в случае многолиней-
ной системы. Соответствующие выкладки имеются в статье И. Н.
Коваленко [139]. В некоторых случаях удалось найти интересные
для приложений характеристики обслуживания в замкнутом ана-
литическом виде. Сюда относятся, в частности, многолинейные си-
стемы с простейшим входящим потоком интенсивности % и показа-
тельно распределённой длительностью обслуживания с парамет-
ром р при постоянном ограничении т на время ожидания или вре-
мя пребывания требований в системе. В обоих случаях обозначим
через Ро стационарную вероятность отсутствия требования в систе-
ме, через pk (xi, х2,xk) dx\, dx^..., dxk, n, — вероят-
ность следующего сложного события: в произвольный момент t
занято k заранее заданных приборов (из общего числа п), осталь-
ные приборы свободны; с момента t момента освобождения за-
нятых приборов от требований, поступивших до момента t, прой-
дёт время §i, g2,..., tk соответственно, где
+ dxi9 Z = 1, 2, . . ., k.
Для системы с ограниченным временем ожидания при 1<£<
<72— 1
РЛХъ Х2, . . .,xk)=-k(n~k)i е-^+х>+-^ р0
п\
и
\п
Рп (*ъ	• • •, хп) = — р0 exp [ (хт -|- х2 + . . . + хлХ
“Ь ^min (т> ХЪ х2> • • • > ^л)].
Для системы с ограниченным временем пребывания эти форму-
лы сохраняют смысл в области 0<Х1<т, 0<х2<т,..., 0<хл < т,
вне которой плотность равна нулю.
— 15 —
Упомянем также об одном результате С. М. Броди: этот автор
нашёл характеристики смешанных систем при циклическом обслу-
.живании.
Далеко идущие приложения имеет теория восстановления.
Пользуясь методами этой теории, Б. В. Гнеденко осуществил точ-
ный и асимптотический анализ схем массового обслуживания, опи-
сывающих функционирование дублированных систем [131, 132].
Схемы, рассмотренные Б. В. Гнеденко, весьма часто встречаются
в технике, в частности, в системах связи. Ряд интересных резуль-
татов, опирающихся на теорию процессов восстановления, полу-
чен также в работах А. Д. Соловьёва, Ю. К. Беляева, В. А. Каш-
танова, Е. Ю. Барзиловича и других авторов.
За последние пять лет достигнуты некоторые успехи в развитии
'теории систем с большой загрузкой. Наиболее простая теорема
касается поведения распределения длительности ожидания до-го
требования в однолинейной системе с ожиданием. Пусть матема-
тическое ожидание длительности обслуживания сходится книзу к
математическому ожиданию времени между моментами поступле-
ния требований в систему. Тогда нормированная длительность
ожидания будет сходиться к показательно распределённой случай-
ной величине. То же относится и к распределению числа требова-
ний, находящихся в системе. Разумеется, эта теорема справедлива
при некоторых дополнительных аналитических предположениях;
однако эти предположения являются весьма широкими и приемле-
мыми для целей приложения метода.
В нашей стране системами с большой загрузкой занимаются
А. А. Боровков, Ю. В. Прохоров, О. В. Висков, С. М. Броди, И. Н.
Коваленко. Большие возможности доказательства подобных пре-
дельных теорем и их уточнения даёт асимптотический метод иссле-
дования функционалов от сумм независимых случайных величин,
разработанный В. С. Королюком. Заметим, что, как правило, пре-
дельные законы распределения характеристик систем с большой
. загрузкой зависят от нескольких, имеющих простой вероятностный
. смысл, параметров исходных распределений. Это относится как к
стационарному, так и к нестационарному случаю. К сожалению,
функционалы, входящие в асимптотические разложения, имеют бо-
„ лее сложный вид; однако попытки вероятностной интерпретации
этих функционалов и построения соответствующих методик расчё-
та, опирающихся на метод Монте-Карло, как нам представляется,
не лишены перспектив.
К настоящему времени по теории массового обслуживания
имеется свыше 2000 работ. Области приложения этой теории не-
прерывно расширяются. Рассмотрено очень большое число мате-
матических схем. Назрела необходимость построения математиче-
ской теории, которая позволяла бы анализировать системы массо-
вого обслуживания универсальными методами. Такая теория дол-
жна ориентироваться на потребности современных сложных си-
* стем (систем связи, вычислительных машин, вычислительных ком-
— 16 —
плексов, транспортных систем и др.) Один из возможных вариан-
тов схематизации сложных систем предложен Н.П. Бусленко [123].
Автор предлагает рассматривать агрегатированные системы весь-
ма общей структуры; системы массового обслуживания, например,
рассматриваемые в книге Риордана, представляют собой весьма
частный случай агрегатированных систем. В упомянутой статье
показано, что агрегатированные системы могут быть изучены при
помощи метода Монте-Карло.
Более узкий класс систем, допускающих изучение средствами
теории марковских процессов, выделен И. Н. Коваленко [141].
Оказалось, что в рамках обобщённых схем можно исследовать
эргодичность соответствующего марковского процесса, производить
структурный анализ систем, устанавливая связь эффективности си:
стемы с эффективностью отдельных агрегатов, решать статистиче-
ские задачи, связанные с оценкой надёжности и эффективности.
На наш взгляд представляет интерес построение теории высоко-
надёжных сложных систем. Один из возможных вариантов, предло-
женный автором этой статьи, в основных чертах сводится к следую-
щему.
Система характеризуется распределениями длительности безот-
казной работы элементов или агрегатов Ft (х), распределениями
длительности восстановления Gt (х) и определённой дисциплиной
восстановления !).
Допустим, что последние две характеристики фиксированы во
всём рассмотрении, в то время как Т^Дх) зависит от некоторого
«малого параметра» в:
Гг(х) = Г*0)(^х),
где величина G, вообще говоря, идоеет своё значение для каждого
элемента и может равняться одному из чисел 1, 2, 3....
Выбор малого параметра обычно на практике не представляет
затруднений. Пусть, например, в системе три типа элементов с ин-
тенсивностями отказов, равными соответственно: 2ц = 0,018, Хг=
= 0,000047, 2v3 = 0,00082. Тогда естественно положить 8=0,01, так
что Xi = 1,8 8, Х2 = 47 е3, Х3 = 8,2 е2 и
Л (х) = F(1O) (е,х), F2 (х) = Fp (г3,х), F3 (х) = /1°> (е2,х),
где Fi°> — показательные законы с параметрами соответственно
1,8; 47 и 8,2.
Пусть требуется найти некоторую характеристику подобной си-
стемы Р (скажем, вероятность скопления не менее I требований в
очереди или вероятность того, что за время t очередь ни разу не
’) Выражение «длительность» относится не к реальному времени, а к псев-
довремени; в разных ситуациях скорость убывания этой переменной будет, вооб-
ще говоря, разной.
2—541
— 17 —
превзойдёт k\. В довольно широких предпосылках справедливо
асимптотическое разложение
Р =С08'* + С18т+1 + Сге'п+2+ ....
Коэффициенты этого разложения, т. е. CQ, COi,..., имеют про-
стой вероятностный смысл, что даёт возможность рассчитывать их
по методу Монте-Карло.
Весьма интересно, что в предельных закономерностях исчезает
зависимость от вида распределения длительности безотказной ра-
боты.
Пусть нас интересуют моменты Л, t2,..., tn,... попадания си-
стемы в некоторое маловероятное состояние или множество таких
состояний. Оказывается, что существует система, отличающаяся от
исходной только показательностью распределения времени безот-
казной работы всех элементов, так что предельные распределения
потока (tn) для обеих систем совпадают. Естественно, по аналогии
с известным эффектом из теории суммирования независимых слу-
чайных величин, назвать систему, о которой только что говорилось,
сопровождающей. Поведение сопровождающих систем без- труда
исследуется методом вложенных цепей Маркова. Поток (tn) при
соответствующей нормировке масштаба времени будет в смысле
сходимости всех конечномерных распределений приближаться к
аддитивному функционалу от марковского процесса с конечным
или счётным числом состояний. В частности, для многих случаев
этот предельный поток будет пуассоновским (стационарным или
нестационарным).
После того как будет построена общая теория расчёта эффек-
тивности систем, например, основанная на асимптотическом мето-
де, появится возможность оптимальным образом синтезировать
сложные системы. Существенную роль разрешения этого вопроса
должны сыграть методы динамического программирования (для
синтезирования последовательных систем) и более общие методы
направленного поиска (В. С. Михалевич, Н. 3. Шор) — в приме-
нении к разветвлённым системам.
К настоящему времени уже рассмотрен большой круг задач,
связанных с оптимальной организацией обслуживания. В первую
очередь следует отметить интересные результаты О. И. Бронштей-
на и В. В. Рыкова, разработавших для некоторых случаев опти-
мальные алгоритмы назначения приоритетов. В дальнейшем, как
считают ведущие специалисты в данной области, задачи синтеза
систем и оптимальной организации обслуживания должны решать-
ся комплексно. Очевидно, что полученные до сих пор конкретные
результаты в этом направлении с точки зрения потребностей си-
стемотехники могут рассматриваться лишь как первоначальные.
Несколько слов о применении метода Монте-Карло. В принци-
пе, любой системе можно противопоставить статистическую модель
и оценить требуемые параметры методом статистических проб. -
— 18 —
Целесообразность применения этого метода должна определяться
не только структурной схемой системы, но также реальными зна-
чениями параметров. Возьмём, для примера, многолинейную си-
стему с ожиданием. Пусть р — загрузка системы. Как известно,
при р 1 средняя длина очереди будет, по вероятности, сходиться
к бесконечности.
Пусть далее требуется вычислить среднюю длину очереди v.
Для р существует некоторый интервал (а, Ь), в котором модели-
рование даёт хорошие результаты: сравнительно небольшим чис-
лом проб мы добиваемся устойчивой оценки v. При р в пределах
от b до 1 процесс будет входить в стационарный режим медленно
(тем медленнее, чем ближе р к 1), так что моделирование будет
малоэффективным. Предположим теперь, что р<а. Тогда, чем бли-
же р к нулю, тем реже будут встречаться очереди в системе. При
фиксированном числе испытаний относительная погрешность в опре-
делении v будет стремиться к бесконечности при р — 0; таким
образом, непосредственное моделирование процесса не даёт воз-
можности исследовать характеристики обслуживания при опреде-
лённых значениях параметров. Счастливым обстоятельством яв-
ляется то, что в таких областях действуют предельные закономер-
ности — соответственно теория систем с большой или с малой за-
грузкой. Это позволяет исследовать интересующие нас законы рас-
пределения аналитическим путём. При этом также оказывается по-
лезным метод Монте-Карло, но уже в видоизменённом варианте:
рассчитываются параметры, ошибки в которых относительно мало
влияют на окончательный результат.
Очень важной, но до сих пор мало разработанной областью яв-
ляется статистика систем массового обслуживания. Общая задача
состоит в том, чтобы пр наблюдениям за входящим и выходящим
потоками требований восстанавливать характеристики обслужи-
вания.
Существует несколько разновидностей этой задачи: 1) экспе-
риментатор управляет входящим потоком; 2) поток неуправляем,,
но за ним можно наблюдать: 3) входящий поток ненаблюдаем„
известно только, к какому классу процессов он принадлежит.
„ Приведём один результат, относящийся именно к этой послед-
ней постановке задачи.
Предположим, что в однолинейную систему массового обслу-
живания с ожиданием поступают простейший входящий поток не-
известной интенсивности X; длительность обслуживания распреде-
лена по произвольному, также неизвестному нам, закону G (х).
Наблюдаются только моменты tn окончания обслуживания требо-
ваний. Ставится задача восстановления Хи G (х) по последова-
тельности наблюдений (tn).
Образуем последовательные разности'тп = ^п—и рассмот-
рим предельное распределение F (х, у) при случайных век-
торах (тп, Tn+i). Оказывается, что F (х, у) однозначно опре-
— 19 —
деляет к и G (х). Исключение составляют' лишь два случая:
1. G (х) — показательная функция распределения,
2. A J [1—G (х)] dx > 1.
О
В первом случае мы получаем лишь информацию о том, что
G (х) = 1—е~!ЛХ, но значение ц определить не представляется воз-
можным ни по F (х, у), ни по любым другим распределениям на-
блюдаемых статистик.
Во втором случае, если функция G (х) отлична от экспоненты,
она восстанавливается однозначно; зато для X получается лишь
{оо	—1
j [1—G (x)]dx до оо.
о
Мы надеемся, что данная статья поможет читателю книги Риор-
дана яснее представить себе связь теории массового обслужива-
ния с другими проблемами и даст представление о некоторых но-
вых направлениях исследований.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга посвящена изучению систем обслуживания, в которых
поток требований (вызовов), поступающих на обслуживание, или
время обслуживания (или и то и другое) имеют вероятностный,
или стохастический, характер. Ярким примером такой системы из
повседневной жизни могут служить очереди у касс магазинов. Это
же относится и к телефонным системам, хотя и в менее явном ви-
де. Как будет показано далее, рассматриваемые здесь вопросы
возникли в связи с развитие^ телефонии.
Задача книги — дать краткое, связное изложение некоторых
математических результатов, полученных при исследовании таких
систем.
Излагаемый здесь предмет имеет много общего с теорией оче-
редей и с теорией случайных процессов, хотя и не совпадает ни с
одной из них. Теория очередей хорошо известна своим использова-
нием в исследовании операций. Теория случайных процессов ши-
роко используется в телефонии при решении вероятностных и ста-
тистических задач, связанных с проектированием и эксплуатацией
телефонных систем. В гл. 1 объясняется различие между теорией
очередей и рассматриваемым здесь предметом. Теория случайных
процессов включает в себя гораздо больший круг вопросов, чем
тот, который можно рассмотреть в рамках одной книги.
Книга рассчитана на специалистов в области прикладной мате-
матики; используемый здесь математический аппарат ограничен
разделами, которые им хорошо известны. Это, главным образом,
производящие функции, преобразования Лапласа и Лапласа —
Стилтьеса и дифференциальные уравнения. Этого вполне доста-
точно для того, чтобы рассмотреть вопросы, представляющие наи-
больший практический интерес. Читатель, желающий изучить пред-
мет более глубоко, должен обратиться к работам по математиче-
ской теории случайных процессов, связь которых с вероятностны-
ми системами1 обслуживания превосходно показана в книге Фел-
лера «Введение в теорию вероятностей и её приложения»1). Во-
просы существования, сходимости и подобные им, предполагающие
выполнение глубоких математических исследований, при решении
практических задач нередко имеют второстепенное значение.
9 2-е изд. Изд. «Мир», М., 1964. (Прим, переводчика.)
— 21 —
Действующая система не нуждается в доказательстве её суще-
ствования. Единственное, что требуется, — найти способ её описа-
ния, которое неизбежно оказывается приближённым, поскольку ’
даже подробное описание системы не будет точным. Вопросом пер-
востепенной важности является нахождение численных решений;
математический аппарат, необходимый для их получения, может
отличаться от того, который требуется для построения изящных 1
математических моделей. В книге этому вопросу уделяется особое 1
внимание; при изложении материала имеется в виду прежде всего 1
его полезность.	1
На отбор материала, безусловно, оказала влияние моя спе- |
циальность. Разнообразие систем обслуживания так велико и они |
настолько сложны, что невозможно дать их исчерпывающее описа- ]
ние. Даже в теории телефонного сообщения, с которой я наиболее ’ J
знаком, существуют такие области (в частности, вопросы блоки-
ровки в коммутационных схемах), исследование которых выходит .
за рамки этой книги и находится вне моей компетенции. Кроме
того, нет необходимости учитывать все многочисленные варианты
рассматриваемых вопросов, имеющие незначительные отличия,
даже если они являются важными с практической точки зрения.
Что же касается приведённого здесь материала, то была предпри-
нята попытка дать по возможности наиболее полное изложение
вопросов, имеющих отношение к рассматриваемому предмету.
Краткая вводная глава в большей степени связана с физиче- ;
ской, чем с математической стороной дела. За ней следует гл. 2,
посвящённая вероятностному описанию источников входящего по-
тока и систем обслуживания. Важным результатом является уста-
новление того центрального положения, которое занимают пуассо-
новское и экспоненциальное распределения, тесно связанные друг
с другом. Чтобы проиллюстрировать различные характеристики
систем обслуживания и способы, с помощью которых они могут
быть определены, в гл. 3 рассматривается простейшая система об-
служивания с бесконечным числом линий.
Наиболее важным понятием, которое здесь приводится, являет-
ся статистическое равновесие, т. е. условие, при котором вероят-
ностные характеристики не изменяются с течением времени. Вво-
дится ещё одно понятие — избыточный поток, т. е. поток, кото-
рый не может быть обслужен данным пучком линий; с помощью
этого понятия иллюстрируется изменение характеристик потока
при прохождении его через систему обслуживания.
В гл. 4 достаточно подробно рассматривается однолинейная си-
стема, которая представляет собой прямую противоположность
простейшей системе обслуживания с бесконечным числом линий
и является следующей за ней по степени сложности. В этой главе
появляются такие новые понятия, как вероятность потери, т. е. от-
носительное число требований, которые поступают, когда все ли-
нии заняты, и теряются, не оказывая влияния на работу системы,
и время ожидания — для случая, когда требования могут ожидать.
\
— 22 —
Стационарная функция распределения времени ожидания, которая
может быть получена при достаточно общих условиях, опреде-
ляется для различных частных случаев, представляющих интерес.
Вводится ещё одно понятие — виртуальное (возможное) время
ожидания, т. е. время ожидания для возможного поступления тре-
бования; оно определяется для всех моментов времени, а не толь-
ко для тех моментов, когда в действительности происходит поступ-
ление требования.
В гл. 5 рассматривается общее состояние системы с конечным
числом линий. Эта система наиболее часто встречается на прак-
тике и является камнем преткновения на пути теоретических ис-
следований. Трудности возникают не только из-за того, что число
линий в пучке произвольно, но и вследствие того, что возможна
различная структура пучка. Необходимо было отобрать из обшир-
ного материала такие вопросы, которые представляют наибольший
практический интерес.
Наконец, в гл. 6 рассматриваются некоторые теоретические
вопросы, связанные с измерением интенсивности потока.
Хотя в продолжении всей книги основное внимание уделяется
связному и последовательному изложению известных вопросов, всё
же в некоторых местах приводятся и новые результаты. Некото-
рое развитие известных положений даётся в гл. 3 при определении
вероятностей перехода в системе с рекуррентным входящим пото-
ком и экспоненциальным временем обслуживания, когда началь-
ной точкой не является момент поступления требования. Другим
таким местом является полученная в гл. 4 формула для стацио-
нарного распределения времени ожидания в системе с пуассонов-
ским входящим потоком и произвольным распределением времени
обслуживания при обслуживании требований по принципу «при-
шёл последним — обслужен первым». Следуя, главным образом,
Райсу, в гл. 5 даётся новый способ определения вероятностей пе-
рехода для простейшей системы смешанного типа (с потерями и
ожиданием). Наконец, в различных главах, в тех местах, где зави-
симость преобразований Лапласа означает зависимость моментов,
последние рассматриваются достаточно подробно.
Многим коллегам, и прежде всего Райсу, я выражаю свою бла-
годарность. О его важном вкладе в эту книгу уже упоминалось,
кроме того, он с исключительной тщательностью прочёл некото-
рые черновые материалы, уточнил многие выводы и исправил боль-
шое число ошибок, как мелких, так и существенных.
Кроме того, Деклу внимательно прочёл несколько глав в раз-
личных вариантах. Благодаря критическим замечаниям, которые
сделали после прочтения рукописи Бенеш, Пайк, Такач и Вилкин-
сон, содержание книги стало более достоверным.
Джон Риордан
Лаборатории Белла, Нью-Йорк, декабрь 1961 г.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
Задачи, постановка которых привела к возникновению теории ве-
роятностных систем обслуживания, по-видимому, впервые появи-
лись в телефонии. Как указывает Вилкинсон [107], главная пробле-
ма, стоявшая перед американскими инженерами-специалистами в
области телефонии в начале этого столетия, заключалась в том,
чтобы найти способ определения числа телефонных каналов, обес-
печивающего удовлетворительное обслуживание абонентов. Слож-
ность этой проблемы состоит в том, что число вызывающих або-
нентов, нуждающихся в телефонных каналах за определённый
промежуток времени, и длительность разговора имеют, как теперь
говорят, вероятностный, или стохастический, характер. Вначале
такие задачи решались опытным путём, но вскоре их стали решать
математическими методами, используя теорию вероятностей.
Хотя аналогичные сообщения из других стран, по-видимому,
отсутствуют, однако можно считать, что и там возникали такие
же задачи. В дальнейшем во многих странах мира происходило
бурное развитие теории вероятностных систем обслуживания.
Несколько позже подобные задачи стали возникать и во мно-
гих других областях, не связанных с телефонией, таких, как уп-
равление воздушным движением в аэропортах, движение транс-
портных потоков, прибытие судов в порты, оказание медицинской
помощи и т. п. После появления блестящей обобщающей статьи
Кендалла [47] такого рода задачи часто выделяют (особенно те,
кто занимается исследованием операций) в особую группу с об-
щим названием теория очередей. Однако теория очередей не сов-
падает с рассматриваемой здесь теорией по следующим причинам.
Из теории очередей исключается изучение телефонных систем, в
которых подаётся сигнал занятости, и ожидание, а следовательно,
и образование очереди не допускаются. В таких системах вызовы,
поступающие, когда все каналы (приборы) заняты, получают от-
каз (подаётся сигнал занятости), или, проще говоря, теряются.
— 24 —
Тем не менее, изучение систем без ожидания представляет интерес
как с теоретической, так и с практической точек зрения. .
Далее в словаре говорится, что «очередь — группа людей,
вставших один за другим для получения чего-нибудь в последова-
тельном порядке»1). Следовательно, в этом смысле очередь тесно
связана с обслуживанием в порядке поступления. Кендалл вводит
понятие дисциплина очереди. По-видимому, он имел в виду уста-
новить другие порядки обслуживания, но не показал их приме-
нения, а за пределами теории телефонного сообщения другие по-
рядки обслуживания рассматриваются редко.
Фактически во многих ситуациях, возникающих при решении
практических задач, очереди существуют только на бумаге, т. е. в
виде записи, сделанной оператором или прибором, управляющим
процессом обслуживания. Абоненты, ожидающие телефонного раз-
говора, рассредоточены и не могут составить очередь; самолётам,
ожидающим посадки, по техническим соображениям отводится
определённое место в эшелоне, причём не обязательно в порядке
поступления; в аналогичном положении находятся прибывающие
суда и т. д.
В наиболее напряжённые периоды перегрузок (при проектиро-
вании систем обслуживания это состояние предполагается управ-
ляемым) оператор или прибор, управляющий процессом обслужи-
вания, часто не в состоянии обеспечить обслуживание в порядке
поступления. Как указал Вилкинсон [105], в этом случае фактиче-
ский порядок обслуживания приближается к случайному выбору
на обслуживание. Таким образом, употребляя термин «теория оче-
редей», мы скорее говорим об исключении, чем о правиле.
Наконец, подчёркивание значения очереди не всегда бывает
обоснованным, так как это отвлекает внимание от других важных
аспектов систем обслуживания, таких, как например, «период
занятости» (время, в течение которого все обслуживающие уст-
ройства непрерывно заняты), и от других показателей, характери-
зующих поведение системы во времени.
Было бы значительно точнее назвать наш предмет теорией мас-
сового обслуживания (термин введён А. Я. Хинчиным (162]), в ко-
торой предполагается как вероятностное описание процессов мас-
сового обслуживания, так и рассмотрение их в динамике. Однако,
не говоря уже о возможности неверного истолкования этого тер-
мина в религиозном смысле2), употребление его в данном случае
значительно сузило бы представление о круге рассматриваемых
вопросов.
!) Определение заимствовано из «Толкового словаря русского языка» под
ред. Д. Н. Ушакова, т. 2, М., 1938. Автор даёт одно из значений слова «queue»,
приведённых в «Oxford English Dictionary»: «А number of persons ranged in a line-
awaiting their turn to proceed as at a ticket office». Легко видеть, что оба эти
определения довольно близки. (Прим, переводчика.)
2) Английское словосочетание «mass service» означает не только «массовое
обслуживание», но и «массовое богослужение». (Прим, переводчика.)
— 25 —
Как уже указывалось в предисловии, с точки зрения матема-
тики наш предмет является приложением теории случайных про-
цессов. Как и любая математическая теория, теория случайных
процессов имеет и иные, часто неожиданные приложения, о кото-
рых трудно догадаться, основываясь лишь на терминологии, при-
нятой для любой отдельной области знаний (в данном случае —
для систем обслуживания). Одним из таких приложений теории
случайных процессов является её применение в биологии, в мате-
матической теории развития и ’борьбы за существование при изу-
чении процессов рождения и гибели. Это приложение теории яви-
лось отправным моментом для многих работ В. Феллера, явив-
шихся большим вкладом в развитие общей теории случайных про-
цессов. Кроме того, теория случайных процессов тесно связана с
теорией восстановления (изложение её дано в статье Смита [89}) и,
в частности, с теорией счётчиков (Гейгера—Мюллера и сцинтилля-
ционных) в физике, с теорией управления запасами, а также с тео-
рией резервуаров и плотин, применяемой при водоснабжении.
Рассмотрение систем обслуживания начинается с изучения ха-
рактера требований, поступающих на обслуживание, которые в
данном случае образуют входящий поток вызовов. Характер пото-
ка, безусловно, является вероятностным и должен описываться с
помощью теории вероятностей. Простейшее описание потока, ко-
торое приводится в книге Фрая [39] применительно к теории теле-
фонного сообщения, заключается в том, что каждый индивидуаль-
ный абонент (источник вызовов) производит вызов, если он не ве-
дёт телефонного разговора, с постоянной вероятностью в течение
единичного промежутка времени. Объединённый поток вызовов,
поступающих на телефонную станцию, является суммой таких ин-
дивидуальных требований и математически выражается последо-
вательностью мюментов времени (Л, t2,...), каждый из которых^
является моментом поступления требования.
Когда число источников становится .большим и для каждого
источника вероятность (вызова уменьшается таким образом, что
общая (суммарная) вероятность поступления вызова остаётся по-
стоянной, объединённый поток вызовов приближается к процессу, f
который Фрай назвал случайным в индивидуальном и коллектив-
ном смысле1).
Для такого процесса вероятность поступления требования в
бесконечно малом промежутке времени (/, /4-Л) для любого t рав-
на ah, где а — некоторая постоянная, а промежутки времени меж-
ду моментами поступления требований ti+i—/=1,2,..., —
взаимно независимые случайные величины, каждая из которых
имеет одно и то же экспоненциальное распределение. Кроме того,
число требований в любом промежутке времени заданной длитель-
ности имеет пуассоновское распределение со средним значением,
’) См. Т. Фрай. Теория вероятностей для инженеров. Гостехивдат, М.-Л.,
1934, стр. 171—174. (Прим, переводчика.)
— 26 —
пропорциональным длительности этого промежутка. Такой поток
называется пуассоновским.
В современной теории случайных процессов пуассоновский по-
ток занимает особое положение, аналогично тому, как в матема-
тической статистике особое положение среди других законов рас-
пределения занимает нормальный закон (закон Лапласа—Гаусса).
Пуассоновский поток выделяется особо не только из-за его про-
стоты, но и потому, что при объединении пуассоновских потоков
результирующий поток также будет пуассоновским, а также вслед-
ствие того, что распределение Пуассона является предельным за-
коном распределения при объединении большого класса других
потоков.
Самый простой из остальных потоков называется рекуррент-
ным; он включает в себя и пуассоновский поток.
В рекуррентном, как и в пуассоновском потоке, промежутки
времени между поступлениями (промежутки времени между мо-
ментами поступления требований) являются взаимно независимы-
ми случайными величинами, каждая из которых распределена по
одному и тому же закону, но в данном случае закон распределения
является произвольным.
Ещё одной модификацией является поток, поступающий от ко-
нечного числа источников. В этом случае описанные ранее источ-
ники, каждый из которых вызывает с одинаковой вероятностью,
объединяются без перехода к пределу.
Входящий поток, имеющий противоположные свойства, Поля-
чек [77] назвал потоком Бернулли. В данном случае в конечном
промежутке времени случайным образом распределено конечное
число моментов поступления требований; это предположение бли-
же к классическому геометрическому распределению, чем к слу-
чайным процессам. Следует, однако, заметить, что в пределе при
увеличении длительности промежутка времени и увеличении числа
требований при фиксированной плотности вероятности поток Бер-
нулли становится пуассоновским. Хотя в ранних работах Поляче-
ка, посвящённых потокам телефонных вызовов, наибольшее вни-
мание уделялось лишь предельным результатам, в настоящее вре-
мя поток Бернулли может иметь практическое значение, например,
при изучении воздушного движения в аэропорту, когда входящим
потоком является фиксированное число самолётов, случайным об-
разом совершающих посадку в течение периода наибольшей на-
грузки.
Другие возможные входящие потоки находят ограниченное
применение на практике. Пальм [70] рассмотрел как регулярные,
так и произвольные флуктуации входящего потока во времени, а
также случай, когда отсутствует взаимная независимость промежут-
ков времени между моментами поступления требований. Кларк [13],
Лучак [59] и Рейч [80] рассмотрели также однолинейную си-
стему, в которой с течением времени- изменяется интенсивность
— 27 —
входящего потока. Однако в большинстве случаев эти вопросы
выходят за рамки нашей книги.
При рассмотрении времени обслуживания простейшее допуще-
ние состоит в том, что длительности обслуживания — взаимно
независимые случайные величины, распределённые по одному и
тому же экспоненциальному закону. Это соответствует заданной
вероятности того, что обслуживание будет закончено в бесконечно
малом промежутке времени (/, Г-Н А). Заметим, что в данном слу-
чае существует сходство с соответствующей заданной вероят-
ностью поступления требования для пуассоновского входящего по-
тока. В рассматриваемом случае существует не только взаимная
независимость длительностей обслуживания, но и независимость
длительностей обслуживания от входящего потока, хотя в некото-
рых работах оказалось возможным связать определённые категории
требований с конкретными длительностями обслуживания или с их
законами распределения. Заметим, что без экспоненциальной функ-
ции распределения, описывающей как промежутки времени между
моментами поступления требований, так и длительности обслужи-
вания, нельзя было бы получить удобные математические выра-
жения.
Следующими по степени сложности можно назвать распределе-
ния времени обслуживания, относящиеся к классу эрланговских
распределений, названных так Кендаллом [47] в честь Эрланга, ко-
торый первым изучил их. Эрланговский закон является распределе-
нием суммы случайных величин, каждая из которых распределе-
на по одному и тому же экспоненциальному закону. Таким обра-
зом, по существу, это распределение по закону хи-квадрат с чёт-
ным числом степеней свободы, или гамма-распределение.
В пределе, когда число случайных величин, составляющих сум-
му, увеличивается, в то время как сумма математических ожида-
ний остаётся постоянной, распределение становится вырожден-
ным, а обслуживание — детерминированным, т. е. время обслу-
живания становится постоянным. В теории телефонного сообще-
ния обычно употребляется термин: постоянное время занятия ли-
нии (время, в течение которого линия связи производит обслужи-
вание абонента). Этот предельный случай имеет большое практи-
ческое значение не только потому, что многие устройства рассчи-
таны на такой характер обслуживания, но также и потому, что
этот предел является естественным. Например, в тех однолиней-
ных системах, где разрешается образование очереди, расматрива-
лось среднее время ожидания начала обслуживания для различ-
ных законов распределения времени обслуживания при заданной
его средней длительности в случае пуассоновского входящего По-
тока; время ожидания оказалось минимальным при постоянном
времени обслуживания (Полячек [77]). Следует также заметить,,
что смешанные эрланговские распределения используются для
приближённого описания широкого класса функций распреде-
ления.
— 28 —
Система обслуживания состоит из обслуживающих устройств,1
а также из приспособлений, направляющих требования в обслу-
живающие устройства. Система обслуживания может быть доволь-
но сложной. Простейшей является полнодоступная система: любое
требование может быть направлено в любую линию (любое об-
служивающее устройство). Обычно допускается, что любая сво-
бодная линия занимается для обслуживания немедленно. Однако
в случае, когда некоторые линии оказываются занятыми, может
потребоваться определённое «время ориентирования» (это поня-
тие обычно встречается во французских работах по теории теле-
фонного сообщения). Иначе говоря, может возникнуть некоторая
задержка соединения (это понятие появилось позднее) на время
между моментом поступления требования и моментом, когда на-
чинается обслуживание. Задержку соединения можно рассматри-
вать как время, необходимое для поиска свободной линии.
Если свободных линий нет, то требование может либо поки-
нуть систему необслуженным, либо ожидать обслуживания. Такие
системы, где требования, которые не были немедленно приняты
на обслуживание, покидают систему необслуженными, называют-
ся системами с потерями. Системы, в которых допускается ожида-
ние обслуживания, называются системами с ожиданием. Простей-
шее допущение для систем с потерями состоит в том, что требова-
ния, покидающие систему необслуженными, могут не приниматься
во внимание, т. е. предполагается, что они не оказывают влияния
на входящий поток; иначе обстоит дело при повторном поступле-
нии требований в систему с потерями. Этот случай значительно
сложнее. Изучение систем такого рода только начинается.
Для систем с ожиданием должен быть установлен порядок об-
служивания. Как уже указывалось ранее, простейшее допущение
состоит в том, что обслуживание производится в порядке поступ-
ления, т. е. по принципу «первым пришёл—первым обслужен».4
Однако, как уже говорилось, фактический порядок обслуживания
может быть совершенно иным.
Наибольшее практическое значение имеют два других порядка
обслуживания — случайный выбор на обслуживание и обслужива-
ние по принципу «пришёл последним — обслужен первым». Пер-
вый порядок обслуживания можно представить себе, приняв во
внимание, что в часы наибольшей нагрузки наблюдается тенден-
ция к нарушению нормального протекания процесса обслужива-
ния. Второй порядок обслуживания, впервые рассмотренный Воло
[103], хотя и кажется грубым нарушением моральных норм, пред-
полагает более продолжительное время ожидания и даёт способ
определения верхней границы стационарных распределений вре-
мени ожидания для всех возможных порядков обслуживания. Лю-
бопытно, что в системе с экспоненциально распределённым време-
нем обслуживания (и, очевидно, только в этом случае) и пуассо-
новским входящим потоком при обслуживании по принципу «при-
шёл последним — обслужен первым» стационарное распределение
— 29 —
времени ожидания совпадает с распределением длительности пе-
риода занятости, определяемого как время, в течение которого все
обслуживающие устройства непрерывно заняты.
Усложнение систем с ожиданием может происходить и по дру-
гим направлениям. Так, некоторые требования могут иметь прио-
ритет; такие требования либо имеют преимущество перед ожидаю-
щими требованиями, либо, как в некоторых военных системах об-
служивания, прерывают обслуживание требований с более низки-
ми приоритетами.
Требования могут покидать систему необслуженными. Требова-
ние, поступающее в систему, когда в ней ожидают другие требо-
вания, может отказаться ожидать; в этом случае рассматривается
вероятность отказа требования от ожидания. Если требования по-
кидают систему необслуженными только в том случае, когда чис-
ло ожидающих требований превышает заданное, то имеем систе-
му смешанного типа (с ожиданием и потерями) или, другими
словами, систему с ограниченной ёмкостью. Ожидание может быть
условным, т. е. и ожидающие требования могут покидать систему
необслуженными. Это явление обычно описывается распределе-
нием вероятностей ухода ожидающих требований из системы не-
обслуженными; в простейшем случае распределение является экс-
поненциальным с постоянной интенсивностью потока таких тре-
бований. Поток требований, покидающих систему необслуженны-
ми, может сопровождаться повторным поступлением требований,
однако пока ещё очень мало сделано для исследования таких си-
стем обслуживания.
Все эти явления возможны не только в полнодоступных систе-
мах, но и при более сложных структурных системах, что обычно
для телефонии. Одним из классов таких систем, рассматриваемых
Пальмом [67] и Вилкинсоном [104], являются так называемые не-
полнодоступные системы. Линии в них располагаются упорядочен-
ными пучками, и требование, которое может быть принято, обслу-
живается свободной линией пучка с меньшим порядковым номе-
ром. Таким образом, поток вызовов, поступающий на данный пу-
чок линий, является избыточным потоком для предыдущего пучка
(предыдущих пучков).
Кроме того, возможны системы с последовательным многофазо-
вым обслуживанием, в которых поток, поступающий на какой-ли-
бо пучок линий, является потоком, выходящим из предыдущего
пучка.
В телефонии обслуживание заключается в обеспечении абонен-
та каналом связи; вопрос о совместном обслуживании, т. е. об об-
служивании одного требования двумя устройствами или большим
числом устройств, возникает редко. Обычно абонент занимает один
канал, и время, в течение которого канал занят, не является его
характеристикой. Однако существуют обстоятельства (не имею-
щие в настоящее время большого практического значения), когда
имеет место совместное обслуживание.
— 30 —
При изучении систем обслуживания математическими метода-
ми основное внимание уделяется вероятностям состояния. В про-
стейшем случае состояние системы можно описать числом занятых
линий (в системах с потерями), либо числом обслуживаемых и
ожидающих требований, находящихся в системе. В других слу-
чаях требуется знать время, в течение которого продолжается об-
служивание требований. Противоположной случайной величиной
является время, оставшееся до конца обслуживания. Полное опре-
деление вероятностей состояний как функций времени возможно
только в простейших случаях и обычно не имеет практического
значения. На практике основной интерес представляют стационар-
ные пределы данных вероятностей, т. е. их значения при таком ре-
жиме, который Эрланг (один из основоположников теории теле-
фонного сообщения) назвал статистическим равновесием. Этот
термин является вероятностной перефразировкой понятия равно-
весного или стационарного состояния, рассматриваемого в дина-
мической теории, и имеет цель сосредоточить внимание на «непе-
реходном» поведении системы. В действительности большинство
потоков изменяется до некоторой степени систематически в течение
часа, суток или времени года, однако понятие статистического
равновесия может рассматриваться применительно к периоду,
представляющему наибольший интерес, например, к часу наиболь-
шей нагрузки в телефонии. Используя такой подход, Эрланг и дру-
гие авторы решили много задач теории телефонного сообщения.
В начальный период развития этой теории основное внимание
уделялось вероятностям стационарного состояния системы и, в ча-
стности, вероятности того, что все линии заняты (вероятность по-
терь в системе с потерями или вероятность ожидания в системе с
ожиданием). В системах с ожиданием к этим вероятностям добав-
лялось ещё стационарное распределение времени ожидания, хотя
нередко это давало больше информации, чем требовалось и могло
быть использовано.
Впоследствии большее внимание стали уделять изучению из-
менений системы во времени. Одним из примеров такого подхода
является уже упоминавшееся ранее стационарное распределение
длительности периода занятости. Другой пример встречается при
изучении систем в периоды большой нагрузки, когда интенсивность
входящего потока настолько велика, что система приближается к
состоянию, когда все линии оказываются занятыми непрерывно.
В этих условиях результаты, полученные для стационарного со-
стояния системы с ожиданием, показывают только тенденцию не-
ограниченного возрастания числа ожидающих требований. Одна-
ко, если периоды интенсивней нагрузки имеют конечную длитель-
ность, то возрастания не происходит. Практический интерес пред-
ставляют изменения, происходящие в течение конечных промежут-
ков времени. Подробные исследования как потоков с медленным
изменением интенсивности, так и потоков, интенсивность которых
изменяется быстро, выполнил Пальм [70].
ГЛАВА 2
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ
ОБСЛУЖИВАНИЯ
2.1. Введение
Для простоты, а также с целью подготовки базы для последую-
щего изложения, в этой главе производится раздельное изучение
характеристик входящего потока и характеристик времени обслу-
живания.
В гл. 1 уже указывалось, что входящий поток можно''предста-
вить как последовательность точек (6, /2,...), где tt — момент
поступления в систему f-ro требования. Вероятностный характер
входящего потока можно описать различными способами. Оче-
видно, наиболее простой способ состоит в задании промежутков
времени между моментами поступления требований
где /=1, 2,..., (/о=О). Если промежутки времени взаимно неза-
висимы, то их можно задать с помощью функций распределения
ДДх), /=1, 2,.... В простейшем случае, когда все функции ЛДх)
одинаковы, процесс является рекуррентным (поток также являет-
ся рекуррентным). Функция распределения Д(х) есть вероят-
ность того, что промежуток времени ti-i-t.^ не больше х. Как и
в теории восстановления, «рекуррентный» означает, что в момент
поступления каждого требования процесс начинается заново и не
зависит от характера протекания процесса в прошлом.
Если взаимная независимость промежутков времени между
моментами поступления требований отсутствует, то для характе-
ристики процесса используются совместные распределения, доста-
точные для описания взаимной зависимости. Это довольно неопре-
делённое утверждение не уточняется, так как на практике при ис-
следовании систем обслуживания такие процессы не встречаются,
Заметим, однако, что Пальм [70] начинает обобщение математиче-
ских моделей потока телефонных вызовов, рассматривая взаимно
зависимые процессы. Он описывает такие процессы с помощью
специальных функций. Так, fn (Л, tn) —такая функция, что
— 32 —
fn (Л> ^2, • • •, tn) dti, dt2,...» dtn — вероятность совместного по-
ступления n требований; при этом i-тое требование поступает в
бесконечно малом промежутке времени (/<, ti+dti). Такой способ
описания процесса является менее общим по сравнению со спосо-
бом использования функций распределения, поскольку здесь ис-
ключается случай регулярного поступления требований. Простей-
шим примером функции является fi (t) = а (где а — интенсивность
поступления требований), когда процесс является пуассоновским.
В потоке Бернулли в фиксированном промежутке времени со-
держится определённое число требований, каждое из которых по-
ступает случайным образом.
В данной главе время обслуживания рассматривается как слу-
чайная величина и описывается функцией распределения или соот-
ветствующей плотностью вероятности, если она существует. Пере-
числяются законы распределения времени обслуживания, имею-
щие значение для практики, и даётся определение двух взаимо-
связанных случайных величин: интенсивности обслуживания и
функции распределения времени, оставшегося до конца обслужи-
вания.
В этой главе рассматриваются следующие вопросы. Вначале
показано, что в случае пуассоновского входящего потока постоян-
ная (не зависимая от времени) интенсивность входящего потока
означает экспоненциальное распределение длительности проме-
жутков времени между моментами поступления требований. Сле-
довательно, закон распределения числа требований, поступивших
в заданном промежутке времени, является пуассоновским. В слу-
чае рекуррентного входящего потока вначале рассматривается
вспомогательная случайная величина, которую Пальм [70] назы-
вает длительностью промежутка времени до момента поступления
последующего требования. Большой интерес представляет стацио-
нарное распределение этой случайной величины.
Затем рассматривается число требований, поступающих в за-
данном промежутке времени. Возможны два случая: 1) началом
промежутка является произвольный момент времени; 2) началом
промежутка является момент поступления предыдущего тре-
бования.
Полученные результаты имеют вид преобразований Лапласа
биномиальных моментов распределения; при этом моменты как
функции времени имеют вид преобразований Лапласа—Стилтьеса
функции распределения длительности промежутков между момен-
тами поступления требований. Наконец, определяются характери-
стики объединённого потока, поступающего от взаимно независи-
мых источников.
Среди входящих потоков особую роль играет пуассоновский
поток, здесь он исследуется первым, затем кратко рассматривает-
ся поток Бернулли. После этого изучаются функции распределе-
ния длительности обслуживания. Главное внимание уделяется эр-
ланговским распределениям, которые важны не только сами по се-
3—541	— 33 —
бе (они включают в себя экспоненциальное и как предельный слу-
чай — постоянное время обслуживания), но и вследствие того, что
комбинации эрланговских распределений используются для -при-
ближённого описания других законов распределения.
2.2. Пуассоновский входящий поток
Этот простейший из входящих потоков изучается первым. Он
определяется следующим образом: вероятность поступления тре-
бования в малом промежутке времени (t, t+h) для любого t рав-
на ah+o(h), где а — некоторая постоянная, o(h) — величина
меньшего порядка малости по сравнению с А; вероятность одно-
временного поступления двух и более требований — также вели-
чина меньшего порядка малости, чем h. Таким образом, в соответ-
ствии с положением Фрая — «случайным образом в индивидуаль-
ном и коллективном смысле», о котором уже упоминалось в пре-
дыдущей главе, не происходит одновременного поступления не-
скольких требований (группы требований).
Строгий анализ этого процесса связан с глубокими математи-
ческими исследованиями. Практический интерес представляют два
аспекта:
1) функция распределения длительности промежутков време-
ни между моментами поступления требований;
2) распределение вероятностей поступления определённого
числа требований в заданном промежутке времени.
Вывод первой функции несложен и производится следующим
образом. Пусть А (/) — рассматриваемая функция распределе-
ния. А (I) — вероятность того, что длительности промежутков
времени между моментами поступления требований не больше t.
Пусть Ас (0 = 1—(0; Ас (/) — вероятность того, что длитель-
ность этого промежутка больше t. Рассмотрим возможные изме-
нения состояния системы в малом промежутке времени (6 t+h).
Функция Ас (0 не изменится в этом промежутке времени, если не
поступит ни одного требования. Следовательно,
A (t + h) = Д (0 [ 1 - ah - о (А)].	(2.1)
Переходя к пределу А—>0, получим дифференциальное уравне-
ние (штрих обозначает производную)
А(0 = —яА(0>
решение которого имеет вид
Лс(/) = А(0)е-а' = е-<
— 34 —
Так как промежутки времени не могут быть отрицательными,
то Лс(0) = 1- Следовательно, окончательно имеем
Д(0 = (1— Лс(/)== 1— е at'	(2.2)
(О	t < 0.
С другой стороны, для любой дифференцируемой функции
71 (/) вероятность g(t)dt поступления требования в промежутке
времени (t, t+df) определяется из уравнения
Л' (t)dt = [l—A(t)]g{t)dt.
Следовательно,
g(t) = A1 (t) [1 - Д(О)-1,
t
А (/) = 1 — exp — J g (и) du .
I о
'(2.3)
Функция g (0 называется интенсивностью входящего потока.
Если A (t) задаётся ф-лой (2.2), то, как и следовало ожидать,
g(0=«-
Аналогичным образом можно определить распределение ве-
роятностей поступления определённого числа требований в задан-
ном промежутке времени, скажем (0, t). Следуя Феллеру [35], обо-
значим через Рп (I) вероятность того, что число требований рав-
но п, тогда
Рп (t + dt) = Рп (0 (1 - adt) +	(/) adt + о (dt).
Соотношение справедливо для всех значений п, включая и
нуль; естественно, что Рп (/)=0 для «<0. Соответствующее диф-
ференциальное рекуррентное соотношение имеет вид
Pn(t) = — aPn(t) + aPn-i(t),	n = 0, 1.....'	(2.4)
Эту систему дифференциальных уравнений можно решить ме-
тодом последовательных подстановок, однако более удобно ис-
пользовать производящую функцию
оо
р(х, /)=Jx«p„(o.
п=0
Тогда, обозначая индексами соответствующие частные произ-
водные, ур-ние (2.4) можно записать в виде
Pt (х, /) = 2 хп Pn(f) = а (х — 1) Р (х, f).
Это уравнение имеет решение
Р (х, f) —Р (х, 0) exp \at (х — 1)] = ехр [а/ (х — 1)],	(2.5)
— 35 —
если предполагается, что начальный, момент времени не совпадает
с моментом поступления требования.
Так как
г	-at(at)nxn
ехр[а/(х — 1)] = > е
-*4 и»
п=0
— экспоненциальная производящая функция пуассоновского рас-
пределения с математическим ожиданием at, то, следовательно,
Рл(0 = е-а/(-^",	(2.6)
п\
и число требований, поступающих в данном промежутке времени,
распределено по закону Пуассона.
2.3. Рекуррентный входящий поток
Этот поток является обобщением пуассоновского потока; в
данном случае промежутки времени между требованиями — вза-
имно независимые случайные величины, каждая из которых имеет
произвольную (одну и ту же) функцию распределения A(t). Для
большинства практических целей произвольность функции A(t)
можно ограничить, предположив, что она имеет непрерывную про-
изводную Д'(0- Единственное исключение, когда промежутки вре-
мени между моментами поступления требований постоянны (т. е.
поток является детерминированным), можно получить путём огра-
ничения процесса. Здесь и в других параграфах во избежание'
усложнений при выводе формул это ограничение процесса прини-
мается. В случае рекуррентного входящего потока параметр, ана-
логичный параметру а для пуассоновского входящего потока, ра-
вен обратной величине средней длительности промежутка времени
между моментами поступления требований. Таким образом, а оп-
ределяется из выражения
а-1 = J tdA (0 = J [1 — Л(и)1 du.
О	о
Параметр а — математическое ожидание числа требований,
поступающих за единицу времени в стационарном состоянии, на-
зывается средней интенсивностью входящего потока.
Удобно начинать исследование с функции распределения дли-
тельности промежутков времени до момента поступления после-
дующего требования, т. е. с функции распределения длительности
промежутков между произвольно выбранным моментом времени и
моментом поступления последующего требования. Функция яв-
ляется важной в случае стационарного процесса, т. е. когда сред-
— 36
нее число требований, поступающих в любом промежутке времени,
пропорционально длительности. этого промежутка.
Пусть F (/) — стационарное распределение длительности про-
межутка времени до йомента поступления последующего требова-
ния. Допустим, что функция F (t) является непрерывной и имеет
производную f (/). Рассмотрим промежуток времени, длительность
которого заключена в пределах (t, t+dt)\ ему соответствует ве-
роятность f(t)dt. Предположим, что начальный момент сдвинут
влево на бесконечно малый отрезок du. Вероятность поступления
одного требования за время du равна g(t}du, где g(t) — интенсив-
ность входящего потока, определяемая из равенства (2.3). Следо-
вательно,
f(i + du) = f(t)[l—g(,f)du],
или, переходя к пределу,
НО	(/).
но	v
Это дифференциальное уравнение имеет решение
t
f (/) = с ехр —^g(u)du =с[1—Л(/)],
L о J
(2.7J
последнее выражение следует из равенства (2.3). Интегрируя, по-
лучаем
t	t
F (t) = c J [1 — A (u)] du = a J [1 — A («)] du, (2.8)
о	о
т. e. искомую функцию. Постоянная интегрирования с определяет-
ся из условия, что при /—со функция F (/) стремится к единице.
Равенство (2.8) в других обозначениях встречается в работе Паль-
ма (70]. Согласно выражению (2.8), преобразование Лапласа—
Стилтьеса функции F (/), а именно:
Т (s) = J e~s'dF (0 = a J e~s< [ 1 — A (t)] dt,
о	0
имеет вид
у (s) = as-1 [1 — а($)],	(2.9)
где a (s) — соответствующее преобразование функции A (/). Так
как у ($) по существу производящая функция моментов, то из ра-
венства (2.9) находим, что начальные моменты (если они сущест-
вуют) имеют вид
=	=	(2.10)
ai (л +1)
— 37 —
где fn — п-й обычный момент распределения длительности проме- Я
жутков времени до момента поступления последующего требова- Я
ния, а ап — соответствующий ему момент распределения длитель- Я
ности промежутков времени между моментами поступления требо- |
ваний.	I
Заметим также, что если y(s)=a(s), то согласно равенству
(2.9) получаем	выражение	|
.й
a (s) =	а	(а	+ $)-1,	1
которое является преобразованием экспоненциальной функции рас- |
пределения длительности промежутков	времени между моментами |
поступления требований для пуассоновского потока, заданной ра- |
венством (2.2). Распределение длительности промежутков време- |
ни до момента поступления последующего требования и распреде-
ление длительности промежутков времени между моментами по- "л
ступления требований совпадают только в случае пуассоновского 1
входящего потока.	Ц
Если начало процесса неограниченно сдвинуть влево, то при 1
некотором изменении приведённых выше рассуждений можно по- 1
казать, что F (/) является также и функцией распределения дли- |
тельности промежутков времени между произвольно выбранным 1
моментом и моментом поступления предыдущего требования. |
Отыскивая распределение числа требований, поступивших в за- Ц
' данном промежутке времени, начавшемся в произвольный момент Ц
стационарного процесса, рассмотрим	Ц
= Xi + Х2 + . . . +%z+ . . . Ч-^я,	Й
где Xi — случайная длительность промежутка времени между *
началом отсчёта и моментом поступления первого требования,
Xi = ti — Zf-i, z = 2, 3, ..., где ti — момент поступления i-ro тре- j
бования. Sn — случайная длительность промежутка времени меж-
ду началом отсчёта и моментом поступления n-го требования. J
Тогда
t
Fn(t) = P(Sn^t)=^Fn_l(t-u)dA(u), п>1.	(2.11) '
0	я
Эти формулы можно записать в более простом виде с помощью 1
преобразований Лапласа—Стилтьеса. Так, если	Я
°°
о	3
— 38 —
то в принятых ранее обозначениях равенствам (2.11) соответст-
вует выражение
?п(8) = т(8)[а(5)Г1,	(2.12)
так как преобразование функции распределения суммы взаимно
независимых случайных величин равно произведению преобразо-
ваний этих величин.
С помощью этих формул можно сразу же получить вероятность
поступления п требований в промежутке времени (0, t):
Pn(t) = P(Sn<t)-P{Sn+l^t) = Fn^-Fn+l(t), n>Q, (2.13)
Ро(/)= 1-Г(/).
Введём производящую функцию
Р(х, t) = P0(t) + xP1(t)+ . . . +х«Рл(0+ . . •
и её преобразование Лапласа
к (х, s) = J e~si Р (х, t) dt.
о
Из ф-л (2.12) и (2.13) следует, что
к(х, s)=s-I-lL=2im	(2.14)
S [1 —X<x(s)J
или, подставив значение у(з) из ф-лы (2.9), получим
К(х, s) = s-1 — g(1-x)ll-a<s)l .	(2.14а)
V '	S2[l — X a (s)]	’
При x= 1 имеем л(1, s) =s—1 и P(l, t) — 1. При a(s) = a/(a-f-s)
(пуассоновский поток)
оо
ir (x, s) = (a + s — xa)*"1 = J e“s/ exp[a/(x— l)]d/,
о
что согласуется с выражением (2.5).
Допустим теперь, что промежуток времени t начинается непо-
средственно после момента поступления требования и обозначим
через Р* (х, t) производящую функцию вероятности того, что в
этом промежутке времени поступит определённое число требований.
Заменив в ф-ле (2.14) у($) значением a(s), получим преобразова-
ние Лапласа функции Р* (х, t). Следовательно,
л*(х, s) = з"1 + (*~~1)g(s)- =	-	(2.15)
s [1 — x«.(s)l S [1 —xa(s)]
- 39 —
и
*(х, s) = s-1 + а(х~1)я*(х’ s>. .	(2.16)	1
?!
Обратное преобразование имеет вид	_<
t
Р(х, t)= 1 + а(х— 1) Jp*(x, u)du, ,	(2.17)
о
обозначая индексами соответствующие частные производные, по-
лучим
Pt (х, t) = а (х — 1) Р* (х, 0-	(2.17а)
Формула (2.17) была получена Коксом и'Смитом [24]. С по-
мощью ф-лы (2.17а) можно убедиться в том, что в случае пуассо- 5
новского потока Р(х, t)—P*(x, t).	4
Для дальнейшего исследования ф-л (2.14а) и (2.15) удобно
перейти к соответствующим производящим функциям биномиаль-
ных моментов В (х, /) =Р (1+хД) {см. Риордан [83], гл. 2, ур-ние
(31) }, и к аналогичному уравнению, помеченному звёздочкой. £
Тогда	|
Р (х, s) = [ e~stB (х, t) dt = я (I + х, s) =	(
0	1
= s_,	----ох[1 —a(s)l--	(218) 
s2[l— a(s)— xa(s)]	£
и	i
р* (х, s) = s~l 4------.	(2.19)	1
S[l— a(s) — Xa(s)]	I
Разложив это выражение в ряд по степеням х, получим пре-
образования Лапласа	биномиальных моментов,	а именно:	|
Po(s) = ₽o(s) = s-*,		(2.20) I
(«) =-----аа(^~\ т  =	---, k > 0.	(2.20а)	|
' S2[l -a (s)]4-1	s₽ft_,(s)’	. |
Последнее выражение для биномиального момента согласуется я
с ф-лой (2.16). Формула (2.20) соответствует B0(t) = B*Q (t) = 1.	3
Случай k—1 для ф-лы (2.20а) соответствует	-	1
Bi (i) = at,
т. е. математическое ожидание числа требований, поступающих в
промежутке времени (0, /), равно at, где а — средняя интенсив- {
- 40 -	"i
ность входящего потока, что совпадает с определением а, данным:
ранее. Для В* (t) нет подобного простого выражения, но асимп-
тотически

а2 а2, — 1
2
где о2 — дисперсия длительности промежутков времени между
моментами поступления требований; величина дисперсии принима-
ется конечной. Допустим, что существуют все моменты распреде-
ления длительности промежутков времени между поступлениями
требований. Тогда чисто формальными преобразованиями полу-
чим выражения для (s), которые можно использовать для опре-
деления приближённых значений биномиальных моментов. По-
скольку вывод всех этих выражений имеет, главным образом,,
формальный характер, то достаточно привести лишь следующие
выражения для дисперсии:
п пз
V(/)^/o2a3|-----------
у* (f) ,__ £ 02 цЗ | а2а2 (SggO2 1)° а3°3
(Формула для дисперсии, выраженной через биномиальные мо-
менты Bi и В2, имеет вид у = 2Вг+В1—В2.) Здесь ak — k-и на-
чальный момент распределения длительности промежутков вре-
мени между поступлениями требований. Асимптотическое поведе-
ние функций Рn(t) и P*(Z) точно такое же. Взяв обратное преоб-
разование функции (2.14а), с помощью метода быстрейшего спу-
ска найдём	'
. Рп (0 (2к t а2 а3)-172 ехр Р^=5-21 •	(2.21>
I zt gz а
2.4.	Объединённый входящий поток
Некоторые * входящие потоки можно рассматривать как супер-
позицию или объединение требований, поступающих от различ-
ных источников или возникающих вследствие различных процес-
сов; в простейшем случае эти источники взаимно независимы.
В любой момент времени каждое требование, поступающее от
одного из источников входящего потока, является требованием
объединённого потока (вероятность одновременного поступления
нескольких требований равна нулю). Стационарное поведение-
такого потока, когда от всех источников поступает рекуррентный,
поток, описывается объединённой функцией распределения дли-
тельности промежутка времени до момента поступления после-
дующего требования.
— 41 —
Обозначим эту функцию через F(t), а через Ft(t) обозначим
соответствующую функцию для i-го источника из п взаимно неза-
висимых объединённых источников, тогда
п
1-Г(0 = П[1-Л(0Ь	(2.22)
1=1
или
п
Н (0 = П (/), Ht (0=1— Ft (0.	(2.22а)
1=1
Функции H(t) и Ht(t) являются дополнительными функция-
ми распределения. Заметим, что F(t) = H(t) =0, £<0. Предполагая,
что все функции F непрерывны, и дифференцируя (2.22а), получим
Я(0	‘	Яя(0‘
Используя равенство (2.8), для /=0 получим
а — аг + . . . + ап>
(2.23)
т. е. средняя интенсивность объединённого потока равна сумме
средних интенсивностей потоков, поступающих от каждого источ-
ника.
Если все источники имеют пуассоновское распределение, т. е.
, />0, то согласно ф-ле (2.22а)
H(t)= 1— F{t) = e~ati
а =	. . + ап, t > 0.	(2.24)
При объединении пуассоновских потоков суммарный • поток
также будет пуассоновским.
Если число источников неограниченно возрастает, в то время
как средняя интенсивность потока аг- стремится к нулю и при
этом интенсивность объединённого потока остаётся неизменной, то
обычно такой объединённый поток становится пуассоновским. Как
показали, главным образом, Кокс и Смит [24], достаточное усло-
вие для этого состоит в том, что функция распределения длитель-
ности промежутков времени между моментами поступления тре-
бований от /-го источника АД/) должна иметь вид О^а?),
Р>0, когда *0 при фиксированном t (Пальм [70] рассмотрел
условие достаточности для частного случая, когда р=1). Это
можно показать следующим образом.
— 42 —
Разложение функции log (1—х) в ряд имеет вид
log(l—х) = —х + х2Я(х),	|7?(х)| < (1 — х)-1,	0<х<1.
Затем, используя выражения (2.22), (2.8) и данное условие,
получаем
п	п
log [ 1 — F (/)] = 2 log [ 1 - Fi (0] = 2 log [1 - - О (	a?+*)] •
i=l	i = l
Объединение обоих результатов показывает, что при фикси-
рованном t наибольшее значение можно выбрать настолько
малым, что
10g[l -F(0] = 2 [-+0( ^+1 4+l) +	'
i=l
Следовательно, в пределе, когда п—*оо, аг-^0, ai + ... + ап=а,
log[l—F (/)] = — at	(2.25)
и
F(/) = 1— e~at, />0,
F(0 = 0,	t<0,
что является искомым результатом.
Следует привести два замечания Пальма [70] относительно
этого результата. Во-первых, он имеет общее сходство с централь-
ной предельной теоремой теории вероятностей и помогает уяснить
особое положение пуассоновского процесса в теории случайных
процессов и, в частности, его значение в теории вероятностных
систем обслуживания. Во-вторых, входящий поток может и не
стать пуассоновским, если требования, поступающие от различных
источников, имеют тенденцию объединяться в группы. Примером
этого может служить случай, когда функция плотности имеет вид
двух прямоугольников, высота которых (и площадь) равна 1/2.
Первый прямоугольник располагается от t=0 до f=l, а второй —
от с до с+1, где с+1=2а~1. При оба прямоугольника всё
более и более удаляются друг от друга; предельная функция рас-
пределения имеет вид:
Г(/)=1-ехр(—у+у). 0</<1,
F(t)= 1-ехр(--^+-^), <>1.
2.5.	Поток Бернулли
Хотя вопросы, рассмотренные в предыдущих параграфах, и не
связаны непосредственно с этим потоком, всё же некоторые сведе-
ния о нём представляют интерес. Этот поток характеризуется тем,
что в фиксированном промежутке времени (О, Т) случайным об-
разом поступает заданное число требований, скажем, п. Слова
«случайным образом» означают, что вероятность появления любо-
го требования в бесконечно малом промежутке времени dt в ин-
тервале (О, Т) равна dt/T.	v
Найдём вначале вероятность p(k,t; п, Т) того, что k требова-
ний поступают в промежутке времени (0, /), 0<7<7\ Так как
вероятность поступления данного требования в промежутке вре-
мени (0, t) равна t/T и требования поступают независимо друг
от друга, то
Pik, t, п,	(2.26)
\ k / \ 1 / \	1 /
т. е. мы получили биномиальный закон распределения. Вероят-
ность р(0,Т) равна (1—t!T)n. Это также вероятность того,
что длительность промежутка времени между начальным момен-
том и моментом поступления первого требования не меньше t,
так как если в промежутке времени (0, t) не поступило ни одного
требования, то момент поступления первого требования будет
больше или равен Л Наоборот, если длительность промежутка
времени до момента поступления первого требования больше или
равна £, то в промежутке времени (0, t) не поступает ни одного
требования.
Вероятность р (0, t; п, Т) есть, кроме того, вероятность того,
что длительность промежутка времени между r-м и (г+1)-м тре-
бованиями не меньше t (г=1,2,..., п—1). Доказательство послед-
него положения более сложно, но его можно выполнить способом,
который приводит Домб [28]. Кратко говоря, этот способ заключа-
ется в компоновке результата из более простых результатов, по-
лученных для пуассоновского потока.
В данном случае промежуток времени Т рассматривается как
начальный отрезок полубесконечной временной оси. Обозначим
рассматриваемую вероятность через Br(t, п, Т). Эта вероятность
является дополнительной функцией распределения. Допустим, что
интенсивность пуассоновского потока равна а, тогда вероятность
того, что длительность промежутка времени между моментами по-
ступления требований (а также длительность промежутка вре-
мени между начальным моментом и моментом поступления пер-
вого требования) не меньше t, равна e~at. Кроме того, согласно
выражению (2.6) вероятность поступления в промежутке времени
(О, Т) ровно п требований имеет вид
Тогда
оо
e~at = П, Т)Рп(Т). '	(2.27)
I	.	п=0
— 44 —
Кроме того,
е-а< = е~аТ &(T~iy =₽ V Рп (Г) (1 — ~\п .	(2.28)
л=0	'	'
Следовательно,
ВД/; п, Т) = (1 — у-)", r= 1, 2, . . . , п— 1.	(2.29)
На все соотношения, о которых здесь упоминалось, обратил
внимание Феллер [32].
2.6.	Распределение времени обслуживания
В данном параграфе рассматриваются распределения времени
обслуживания, представляющие наибольший практический инте-
рес. Эти же распределения являются наиболее важными распреде-
лениями длительности промежутков времени между моментами
поступления требований. Таким образом, одновременно преследу-
ются две цели.
Удобно начать изложение с некоторых определений. Обозна-
чим через B(t) функцию распределения времени обслуживания.
Интенсивность обслуживания r(t) определяется аналогично ин-
тенсивности входящего потока и при таких же ограничениях
г(0 = В'(0(1— В ЮГ1. .	(2.30)
Время, оставшееся до конца обслуживания, и (t) аналогично
длительности промежутка времени до момента поступления по-
следующего требования. Следовательно, оно выражается форму-
лой, аналогичной (2.8), и имеет вид
t
и {f) =b J [1— B(x)]dx,	(2.31)
о
где
со	оо
b~l = §tdB(t) = f [1— B(x)]dx.	(2.32)
о	6
Средняя интенсивность обслуживания равна Ь.
Наиболее простым и самым распространённым является экспо-
ненциальное распределение времени обслуживания B(t) = i—e~bt.
Простота этого распределения стала известна нам ещё при рас-
смотрении пуассоновского входящего потока. В этом случае
r(t) = b, т. е. интенсивность обслуживания равна её среднему зна-
чению, и u(t) = l—e~bt = В(t).
Было обнаружено, что длительность местного телефонного
разговора удовлетворительно описывается экспоненциальным рас-
— 45 —
пределением. Не вызывает сомнения тот факт, что и некоторые
другие системы обслуживания находятся в таких же условиях.
Устройства, которые служат для установления требуемого теле-
фонного соединения 9, обычно имеют другой характер и часто
время обслуживания в этих устройствах лучше рассматривать как
постоянное: В(7)=0, 0 <7 <6-1, В(7) = 1,	чем экспонен-
циально распределённое.
Экспоненциальная и вырожденная функции распределения
являются крайними в семействе эрланговских распределений, ког-
да эти предельные случаи включаются в него. Основой этого се-
мейства распределений является экспоненциальная функция. Не-
которыми из её удобных свойств обладает распределение Эрлан-
га. Предполагается, что обслуживание состоит из k взаимно не-
зависимых фаз; длительность каждой фазы является случайной
величиной, распределённой по экспоненциальному закону, одина-
ковому для всех фаз. Если Sk — случайная длительность полного
обслуживания, то
= Xi + Х2 + . . . + Х^,
где Xk —случайная длительность обслуживания в 6-й фазе. Если
общей экспоненциальной функцией распределения длительности
фазового обслуживания является
С (0 = 1 — е-^,
a B(t)=B(t; k) — функция распределения случайной величины
Sk, то
оо
p(s; k)= ^e~ctdB(t; k) = с* (с + sFk = 1 -у + -J + ....
0
(2.33)
Среднее время обслуживания б”1 равно коэффициенту при (—s)
в р($; 6). Следовательно, b = c/k. Обратное преобразование (2.33)
имеет вид
ct
Bit',	(2.34)
О
Интегрируя по частям, получаем
В (t; k) = В (t;k — 1) —e~ri	= 1 —V e~ct .	(2.34а)
(й —1)1	** /I
Таким образом, В {t\ k) по существу — распределение хи-квад-
рат с 2 k степенями свободы; другими словами, эрланговское рас-
') Например, маркёры и регистры АТС. (Прим, редактора.)
— 46 —
пределение есть распределение хи-квадрат с чётным числом сте-
пеней свободы. Заметим, что согласно (2.33) /-й обычный момент
этого распределения имеет вид
bj{k) = k(k + 1) . .	+	=
= (1 + k~l * *) . . . [1 -И/ - 1) k-1] b4.	(2.35}
B(t; 1)—экспоненциальная функция распределения; в преде-
ле при k —*оо, когда средняя интенсивность обслуживания b со-
храняется неизменной, функция B(t; k) становится функцией рас-
пределения для постоянного времени обслуживания, т. е. распре-
деление становится вырожденным.
Семейство функций B(t;k) в известном смысле находится
между этими двумя крайними функциями. В частности, все плот-
ности вероятности для больших t и k>\ имеют меньшие значе-
ния, чем be~bt— плотности вероятности для B(t, 1). Короче гово-
ря, у этих функций плотности более короткие шлейфы, чем у экс-
поненциальной функции.
Семейство функций, не имеющее этого ограничения, называ-
ется семейством смешанных эрланговских функций. Это взвешен-
ная сумма эрланговских функций. Наиболее просто их предста-
вить в виде преобразований fi(s). Так,
₽(S) =	(2.36}
Здесь у^>0и	= 2^ЬСГ1 = ^-1, где b — средняя ин-
тенсивность обслуживания.
Как указал Лучак [59], существование этого класса функций
распределения основывается на предположении, что при обслу-
живании требование с вероятностью у& проходит k различ-
ных фаз.
Простейшим случаем является смесь двух экспоненциальных
функций; Морз (65] назвал это распределение гиперэкспоненциаль-
ным. Эта функция распределения имеет вид
1 — в (0 = I е_2т6/ + (1 — т) е-2<1-1)6/, / > О, .
В (t) = 0,	t < О,
и
р (s) = 2Ь Г(2Ь т + S)-1 + 26 (1 -	[26'(1 - 7) + s]"’.
Для практических целей важно найти сумму, в которой число
членов относительно невелико и параметры выбраны таким обра-
зом, чтобы обеспечить достаточно точное представление данной
функции распределения. О некоторых работах в этом направлении
сообщается в статье Уишарта [109].
ГЛАВА 3
ПРОСТЕЙШАЯ СИСТЕМА
ОБСЛУЖИВАНИЯ
3.1. Введение
Простейшей системой обслуживания считается система с беско-
нечным числом линий. Она является идеальным выражением реаль-
ных многолинейных систем и даёт возможность представить не-
которые их характеристики в простейшем виде.
Поскольку в такой системе всегда, при любой интенсивности
входящего потока, имеются свободные линии, в ней отсутствуют
потери, требования не покидают систему необслуженными и нет
очереди. Поэтому среди характеристик, которые вводятся непо-
средственно, отсутствуют характеристики, связанные с потерями
и ожиданием (как будет показано далее, потери можно оценивать
при помощи искусственного приёма). Однако существуют харак-
теристики, общие для любых систем; это — прежде всего, вероят-
ности перехода, используемые для описания поведения системы во
времени при статистическом равновесии, когда вероятностное
описание системы не изменяется с течением времени, и в случае
перегрузки системы, когда поток требований не может быть об-
служен заданным числом линий.
Искусственный приём, о котором здесь упоминалось, в теории
телефонного сообщения называется «потерянные вызовы сохраня-
ются». Краткое описание этого приёма приводится в книге
Фрая [39] 9- Бесконечное число линий делится на две группы:
группа реальных линий, число которых равно числу обслуживаю-
щих устройств данной многолинейной системы, и группа ложных
линий, включающая остальные обслуживающие устройства. Во
всех линиях, как реальных, так и ложных, время обслуживания
имеет одинаковое распределение. В ложных линиях за время об-
служивания принимается либо время ожидания, либо суммарное
!) См. Т. Фрай. Теория вероятностей для инженеров. Гостехиздат, М.,
1934, стр. 259—268. (Прим, переводчика.)
— 48 —
время ожидания и обслуживания требований, "которые после по-
ступления в систему не были приняты на обслуживание реальны-
ми линиями. Фрай не пытается установить, какие из этих условий
выполняются.
Итак, искусственный приём состоит в совместном рассмотре-
нии потерь и ожидания и, являясь связующим звеном между
ними, обеспечивает непосредственное использование результатов,
полученных для системы с бесконечным числом линий. Если рп —
вероятность того, что в состоянии статистического равновесия си-
стемы занято п из бесконечного числа линий и число реальных
линий равно с, то вероятность потери требования для случая
«потерянные требования сохраняются» в стационарном состоянии
принимается равной р с + Рс+1+ ....
Содержание этой главы состоит в следующем. Вначале с по-
мощью бесконечной системы дифференциальных уравнений уста-
навливаются зависимости для вероятностей перехода в простей-
шей системе обслуживания с бесконечным числом линий (система
с пуассоновским входящим потоком и экспоненциальным распре-
делением времени обслуживания, одинаковым для каждой ли-
нии). Длительности обслуживания в каждой линии — взаимно
независимые положительные случайные величины, которые не за-
висят также и от распределения входящего потока. Решение
уравнений, описывающих состояние системы, наиболее просто
получить в виде производящей функции, легко использовать для
определения характеристик системы как при условии статистиче-
ского равновесия, так и для состояния, приближающегося к нему.
Вероятности перехода, наоборот, описывают переходное поведе-
ние системы.
Далее кратко рассматривается статистическая случайная ве-
личина, характеризующая интенсивность входящего потока и тес-
но связанная со средней по времени интенсивностью входящего
потока, с которой в гл. 6 начинается изучение измерения интенсив-
ности входящего потока. Затем аналогичные формулы выводятся
для потока, поступающего от конечного числа источников. После
этого расматривается рекуррентный входящий поток; полученные
формулы имеют менее явный вид. В последнем параграфе рас-
сматривается поток, который является избыточным по отношению
к определённому пучку линий.
3.2. Вероятности перехода в системе
с пуассоновским входящим потоком и
экспоненциальным временем обслуживания
Рассмотрим простейшую систему с бесконечным числом ли-
ний. Экспоненциальное время обслуживания означает, что во всех
линиях длительности обслуживания — положительные случайные
4—541	— 49 —
величины, распределённые по экспоненциальному закону B(t) —
= 1—e~bi. Как и ранее, а — интенсивность пуассоновского входя-
щего потока.
Говорят, что в момент времени t система находится в состоя-
нии п, если в этот момент времени занято п линий. Вероятность
перехода Pin (t) есть условная вероятность того, что в момент
времени t система находится в состоянии п при условии, что в
момент времени /=0 она находилась в состоянии i.
Систему дифференциальных уравнений для вероятностей пере-
хода можно получить следующим образом. В момент времени
t+h, где h — малый промежуток времени, состояние п может
появиться следующими различными способами:
1)	в момент времени t система находится в состоянии п— 1 и
за время h поступает одно требование;
2)	в момент времени t система находится в состоянии п+1,
за время h заканчивается обслуживание одного требования и оно
покидает Систему;
3)	в момент времени t система находится в состоянии л, и за
время h ни одно требование не поступает и ни одно требование
не покидает систему.
Бслц промежуток времени h настолько мал, что вероятность по-
ступления и вероятность ухода более одного требования, а также
вероятность одновременного поступления и ухода требований яв-
ляются величинами порядка № и ими можно пренебречь, то
Pin (t + h) = ahP( n_t (/) + (n + 1) MP( n+l (0 +
+ [l-(a + nb)h]Pin(^) + 0(h).	(3.1)
Переходя к пределу /г—-О, получим бесконечную систему диф-
ференциальных рекуррентных соотношений:
Р;о(0 = -аР/о(0 + Р/1(0,	(3.2)
Pin (0 = аР£, n-i (0 — (а + nb) Pi, п (/) + (и + 1) bPi, n+i (О, п > 0.
Заметим, что Р/й(0)=бм (где б — символ Кронекера), так
как i — начальное состояние системы.
Система ур-ний (3.2) является примером системы, описываю-
щей общий процесс рождения и гибели, ч который исследовал
Феллер [35]. Поступление требований соответствует процессу рож-
дения; вероятность рождения в системе, которая находится в со-
стоянии п, для любого короткого промежутка времени h равна
ah для всех значений п. Уход требований из системы соответству-
ет процессу гибели, вероятность гибели равна nbh. Феллер дока-
зал существование решения этой системы уравнений.
— 50 —
/
Заметим, что система ур-ний (3.2) имеет формальное решение
в виде Рin(t)=pп, где рп — постоянная величина, удовлетворяю-
щая уравнениям:
О = — аро + Ьрь
О = apn_t — (а + bn) рл + (п + 1) Ьрп+1, п > 0.
Суммируя первые п—1 уравнений этой системы, получим
Так как сумма всех значений рп равна единице, то ро—е 9 и
Рл=е тг-	<3-3>
п\
Это выражение — формула Пуассона. Как будет показано да-
лее, Рп — стационарные значения вероятностей состояния си-
стемы.
Запишем производящую функцию в виде
V
со
л(х,
л=0 '
Система ур-ний (3.2) эквивалентна следующему дифференци-
альному уравнению в частных производных:
° + ь (х - 1)	° = а(х—1)Р1 (х, t).	(3.4}
Начальное граничное условие имеет вид Р^(х, 0)=xz. Заме-
тим, что i появляется в ур-нии (3.4) только как индекс произво-
дящей функции, что допускает возможность упрощения. Для лю-
бой линии вероятность того, что время обслуживания не превы-
шает t, равна 1—е~ы, вероятность противоположного события рав-
на e~bt. Следовательно, каждой из i линий, занятых в начальный
момент времени, соответствует множитель 1—e~w +xe~w в выра-
жении для Z); таким образом,
(х, 0 = (1 —	Р» (*, 0•	(3.5)
Подставив соотношение (3.5) в ф-лу (3.4), получим, что
Pq(x, t), как и следовало ожидать, удовлетворяет ур-нию (3.4)
при 1=0. Остаётся определить Pq(x, t). Чтобы выполнить это,
4*	— 51 —
удобно перейти к производящей функции биномиальных момен-
тов, определяемой как
со
Во (х, f) = Ро (1 + X, 0=2 х"вп <z> °)-	(3.5а)
п=0
Для краткости обозначим n-й биномиальный момент распре-
деления вероятностей [Роо(О, Лм(0,—] через Вп (t, 0)=В„(/).
После подстановки соотношения (3.5а) в ур-ние (3.4) (при
i=0) последнее принимает вид
+ bxd-B°{x,t)- = axBQ(x, t).
dt	дх
Следовательно, биномиальные моменты должны удовлетво-
рять дифференциальному рекуррентному соотношению
в'п (0 — ЬпВп (0 = аВп-1 (t)	(3.6)
и граничному условию Вп (0) = 6оп.
Уравнения (3.6) можно решить методом последовательных
подстановок. Из соотношения Во(О = 1 и ур-ния (3.6) при п=1,
т. е. когда
В\ (0 4-6^(0 = а,
следует, что
B1(/) = P(l-e-w), Р = -у .
Этот результат приведён в книге Феллера [35].
Затем, подставляя полученное выражение в ур-ние (3.6) при
л=2, находим
С помощью метода математической индукции легко найти об-
щее решение
В„(0 =	(3.7)
п\
Следовательно,
Во (X, 0=2 Х”В« =ехР [* Р (1 — е~6<)] > Р = -у »	(3.8)
п=0
Ро (X, 0 = Во (х — 1, о = exp [(х — 1) р (1 — e-w)].	(3.9)
Pt (х, t) = [1 + (х- 1) е"6/]гРо(х, 0 =
= [1 +(х- 1)е"6Техр [(х- 1)р(1 -е“6/)]. (3.10)
— 52 —
Можно показать, что выражение (3.10) удовлетворяет
ур-нию (3.4) и граничному условию Pi(x,Q)—xl\ таким образом,
решение получено полностью. Следует заметить, что ур-ние (3.10)
можно вывести непосредственно из ур-ния (3.4), используя харак-
теристики системы; этот способ был предложен Пальмом [70].
Заметим, что для всех линий, свободных в момент времени
i=0(i=0), из ур-ния (3.9) следует, что
РОя (0 = тп е~т/п\, т = т (/) = р (1 — е-м).
Таким образом, распределение вероятностей состояния пре-
вращается в монотонно расширяющееся пуассоновское распреде-
ление; на это обстоятельство указал Феллер [35]. В любой момент
времени математическое ожидание числа занятых линий рав-
но m(t). При возрастании t от нуля до бесконечности это число мо-
нотонно возрастает от нуля до значения р в стационарном состоя-
нии. Таким образом, 'при ► со вероятность Р0/г (?) стремится
к предельному значению рп, которое можно определить по
ф-ле (3.3).
В случае начального состояния, отличного от i=0, предельные
вероятности будут такими же, но закон превращения оказывается
более сложным. Из выражения (3.10) следует, что
0 = ехр{р [и + х — 1 +(1—u)(l—x)e-w]} =
1^0
=	(1 — UY (1 — X)r e~rbt exp [р (и + х — 1)].
Используя производящую функцию для полиномов Пуассона—
Шарлье, которая имеет вид
(1 — и)*еа“ = ^с„(х, а)^-,
П = 0
из предыдущего уравнения непосредственно находим, что
₽)C„(r. Р).	(3.11>
п\ г\
г=0
Формула приведена в работе Карлина и Мак-Грегора [46].
Другим выражением для Р»п(0. полученным путём непосред-
ственного разложения ф-лы (3.10) в ряд, является
Рт (0 =	( * ) (1 - e~b^~k mn'k 77=77 ’	(3-1 la>
ьо
где, как и ранее, /п = р(1—е-6/).
— 53 —
Формулы для соответствующих биномиальных моментов име--
ют вид
п
п
Эти результаты с некоторыми ограничениями были распростра-
нены на систему с произвольным распределением времени обслу-
живания (Риордан [81], Бенеш [3]). Вследствие недостатка места
эти вопросы здесь подробно не рассматриваются. Выражение, со-
ответствующее ф-ле (3.10), отличается простотой и имеет вид
РДх, t) = {1 + (х — 1) [1 - и (01И ехр [Р(х - 1)и (/)],	(3.12)
где u(t) — функция распределения времени, оставшегося до конца
обслуживания
t	>
и (t) = b J [ 1 — В (х)] dx.
о
Ограничения, о которых упоминалось выше, заключаются в
следующем: I) область переходов не может выбираться произ-
вольно, как в предыдущем случае, а должна быть областью ста-
тистического равновесия; 2) функция распределения времени
обслуживания не должна иметь скачков. Однако эти ограничения
можно обойти.
3.3.	Статистическое равновесие
Ранее было показано, что в простейшей системе с бесконечным
числом линий последовательность вероятностей перехода прибли-
жается к распределению предельных вероятностей. Действитель-
но, это распределение является постоянным решением системы
ур-ний (3.2), пуассоновским, с математическим ожиданием
p = alb.
Далее будет показано, что если вероятности начальных состоя-
ний имеют пуассоновское распределение, то и вероятности всех
последующих состояний имеют такое же распределение. Наибо-
лее просто это можно показать с помощью производящих функ-
ций. Так, если Р(х, t) —производящая функция вероятностей со-
стояния системы в момент времени tf то
— 54 —
р{х, 0=2 Р-Цгр*(х’/)=
i=0
= 2 ф[1 + (х-1)е-^ехр[(х-1)Р(1-е-«)] =
= ехр {р [1 + (х — l)e-w] —р) exp [(х— 1)р(1 —е-*)] =
= ехр[(х— 1)р].	(3.13)
Иначе говоря, предельное распределение является стационар-
ным, и если стационарное состояние достигнуто, то оно сохраня-
ется. Используя физическую терминологию, можно сказать, что
система находится в состоянии статистического равновесия. В этих
условиях она подвержена изменениям, поэтому по-прежнему
описывается с помощью вероятностей, но вероятности, описываю-
щие её поведение, не изменяются с течением времени. Следует
заметить, что выражение (3.3) легко получить путём вычёркива-
ния всех производных в системе ур-ний (3.2) !).
Наконец, следует заметить, что простейшая система с беско-
нечным числом линий является единственной в своём роде среди
других систем, так как она обладает марковским свойством,
которое заключается в том, что изменения системы в будущем
не зависят от её прошлого состояния. Необходимым, но не доста-
точным критерием для этого (см. Феллер, [36]) является уравне-
ние Чепмена—Колмогорова
Ptn(.t+u)=yiPlj(t)Pjn(u).
1
Данное выражение эквивалентно соотношению для произво-
дящей функции
pt (х, t+и) = 2 Рц (о pj (*. «)>
/
которое справедливо в данном простом случае, так как
2лУю^(х, «)=
= ехр [(х- 1)Р (1 - е-6“)] 2^ ДО U+(*- 1)	=
= ехр [(х - 1) р (1 - е~Ьи) + (х - 1) е-6“ р (1 - e'w)] X
х [1 + (х_ 1) е-6“е-6Т.	*	(3.14)
!) Это обстоятельство лежит в основе использования состояния статистиче-
ского равновесия в технике и выражается следующим эмпирическим правилом:
всякое изменение в одну сторону равно изменению в другую сторону. Это пра-
вило используется .при составлении уравнений для состояния статистического
равновесия. Однако недостаточно только того, чтобы процесс был стационар-
ным. Необходимо ещё, чтобы он являлся общим процессом рождения и гибели.
— 55 —
3.4.	Средняя интенсивность входящего
потока
Если N(t) — случайная величина, описывающая состояние
системы (число занятых линий) в момент времени t, то, интегри-
руя по промежутку времени Т, получим среднюю по времени ин-
тенсивность входящего потока Г”1	для этого промежутка.
Средняя по времени интенсивность входящего потока — случай-
ная величина, распределение которой представляет интерес при
измерениях интенсивности входящего потока (см. гл. 6).
Это дополнительное сообщение о практическом значении си-
стемы с бесконечным числом линий вызывает необходимость
изучения распределения другой случайной величины — суммарной
длительности обслуживания всех требований, поступающих в за-
данном промежутке времени. Об этой случайной величине в 1952 г.
в частной беседе сообщил Полячек. Очевидно, здесь из рассмот-
рения исключается время обслуживания требований, поступивших
до заданного промежутка времени. Однако это компенсируется
тем обстоятельством, что обслуживание некоторых требований не
заканчивается в заданном промежутке. Для длительных проме-
жутков времени краевой эффект должен быть пренебрежимо ма-
лым, что и имеет место в действительности.
Обозначим рассматриваемый промежуток времени через
(О, Т) и предположим, что общая'функция распределения времени
обслуживания равна B(t), а её преобразование Лапласа—
Стилтьеса имеет вид
оо
?(s)= Je-sZdB(O.
о
Если в этом промежутке времени поступает k требований, то
суммарная длительность обслуживания равна
*5* = S1 + S2 + • • • + Sfe>
Sk — сумма k взаимно независимых случайных величин, каждая
из которых имеет функцию распределения B(t). Поэтому, если
Fk(t)=P(Sh^ t), то
оо
6
Так как входящий поток является пуассоновским, то вероят-
ность поступления k требований в промежутке времени (О, Т)
равна е~аТ (аТ) k!k\. Следовательно, если S — суммарная длитель-
ность обслуживания всех требований, поступивших в промежутке
— 56 —
времени (О, Т) (S — сумма случайного числа случайных вели-
чин), то
F (/) = Р (S < f) = Fk (0 е"аГ
k=0
и
оо
?(s) = 5e-s^F(0 =
6
= 2 ® е~°т (-7Г = ехР ^аТ ® -1]) • (3-15>
k=Q
Экспоненциальная форма выражения (3.15) указывает на воз-
можность перехода к производящей функции семиинвариантов,
которая имеет вид
K(x) = ^/(^ = log?(-x).
п=1
Согласно выражению (3.15) имеем
оо
К (х) = аТ (— х) — 1] = аТ ((е* — 1) dB (/).	(3.16)
0	I
Следовательно,
со
Kn=aT\t“dB(t) = aTbn,
о
п = 1, 2, . . . ,
(3.17)
где Ьп — п-и обычный момент распределения времени обслужива-
ния; существование этого момента ограничивает класс функций
распределения B(f).
Случайной величиной, более непосредственно связанной со
средней по времени интенсивностью потока, является S/Т. Если
kn—п-п семиинвариант для этой случайной величины, то
kn = Kn'rn=aT~n+lbn, п — 1, 2, . . .	(3.18)
В случае экспоненциального распределения времени обслужи-
вания
B(t)= l—eTbt, р (s) = b (b + s)-1, bn=n\ b'n
и
kn = aT (bTTnn\.
— 57 —
В случае постоянного времени обслуживания
₽(S) = e-s/\ bn = b~n
и
kn = aT(bT)~n.
3.5.	Система с конечным числом источников
и экспоненциальным временем
обслуживания
Рассмотрим 2V взаимно независимых источников входящего по-
тока, каждый из которых имеет 'пуассоновское распределение с
интенсивностью а, когда обслуживание не производится, и нуле-
вой интенсивностью, когда источник обслуживается. Если занято
п линий, то система ур-ний (3.2) для вероятностей перехода за-
меняется следующей системой уравнений:
Р'т (0 = (W - п + 1)« Р-,	(О — [(JV — п) а + nb] Pin (t) +
+ (« + 1)ЬР. л+1(0, n = О, 1, . . . , N. (3.19)
Система ур-ний (3.19) имеет формальное решение в виде
Лл(0=Ря> где Рп — постоянная величина, удовлетворяющая
уравнениям:
(N — n+ l)apn_j — [(AT — n)a +nb]p„ +
+ («+1)4+1=°- « = °, 1, • • • , N.
J Суммируя первые n—1 уравнений, получим
Так как ро + p! + . . . + pN = 1, то
Pn = ("W~", Р=4л=1-+	(3.20)
\ п J	a -j— о
Как и ранее, рп — вероятности стационарного состояния систе-
мы; они подчиняются биномиальному закону распределения.
В пределе, когда N—+ оо и Na^=a, биномиальное распределение
становится пуассоновским, с математическим ожиданием, равным
р = а!Ъ. Поток, поступающий от бесконечного числа источников,
является пуассоновским.
Чтобы найти решение системы ур-ний (3.19), введём произ-
водящую функцию Рг(х, 0 (в данном случае, как и ранее, ряд
— 58 —
будет конечным). Функция Pi(x, t) должна удовлетворять сле-
дующему дифференциальному уравнению в частных производных:
dPi{x’ *’ + (ах + b) (х — 1)	= Na.(x—\)Pl (х, t). (3.21)
dt	дх
Так как в данном случае обслуживающие устройства больше
не являются независимыми от источников входящего потока, то
нельзя ограничиться решением ур-ния (3.21) при 1=0. Однако
аналогичное уравнение для производящей функции биномиаль-
ных моментов Bt (х, t)=Pi(l+x, t) имеет вид
dBi^Xi (а х + а + 6) х	= N ах B^x, t).
dt	дх
Граничным условием является В^х, 0) = (l+x)z. Следова-
тельно,
Bz(x, f) = ^xnBn(t, i),
где Вп (t, г) — п-и биномиальный момент. Дифференциальное
уравнение в частных производных для производящей функции
биномиальных моментов эквивалентно следующему обыкновенно;
му дифференциальному уравнению для биномиальных моментов
(штрих обозначает производную):
В'п (t, i) + n (а + 6) Вл (Л i) = (N — п + 1) а Вп_х (t, i).	(3.22)
Граничное условие имеет вид
Вп(Р, i) = ( * ).
\ п /
Так как BQ(t, /) = 1, то непосредственно находим, что
ВЛ, i) = aN(\'—e~{,1 + b)t)(a+brl +ie_(a + 6M,
или сокращённо
В1(/, 0 = 2V^o(0 + te-(a + b)<.
Далее имеем
ВЛ, 0 = ( 2)^Ю + И^-1)^о(0е-(а + г,)< + ( з)е-2(а+6)'.
Этих выражений достаточно для того, чтобы записать реше-
ние в общем виде:
B„(f, <)= V/ ‘ 1 (N ~" + ”	(3.23)
/U-j/
— 59 —
Соотношение (3.23) можно легко проверить, воспользовав-
шись методом математической индукции или решив ур-ние (3.22).
Чтобы снова получить производящую функцию В{(х, t), удобно
воспользоваться тождеством биномиальных коэффициентов
VU N — i \li-j
п — i /	\п — / — k) \ k
*=о
в ф-ле (3.23). Тогда

(3.24)
Эта сумма берётся от /=0 до меньшего значения п. или i, и
go = go (0 - Р— Р е“ (“ + 6)',
gi = gi(i) = P + qe~(a + b)t,	(3.24а)
где р—1—q = a/(a+b), как и в ф-ле (3.20).
Из выражения (3.24) следует, что
Bt (х, 0 = (1 + х ft)' (1 + х g0)N ~1,	(3.£5)
Л (х, 0 = В{ (х - 1, f) = [ 1 + (х - 1) ft]' [ 1 + (х - 1) g0]N-‘. (3.26)
Равенство (3.25) согласуется с соответствующим результатом,
приведённым в работе Йенсена (9], посвящённой трудам Эрланга,
хотя и выводится другим способом. Если а—>оо и при этом
то ур-ние (3.25) превращается в ур-ние (3.10) для произ-
водящей функции вероятностей перехода в случае пуассоновского
входящего потока и экспоненциального времени обслуживания.
При оо имеем go~*р и g\—>p, а предельными вероятностями
состояния являются вероятности, приведённые в выражении
(3.20). Стационарный характер предельного распределения под-
тверждается уравнением
N	N
Plpt (X, /) = У (	р'qN~l [ 1 + (х- 1)^]' [ 1 + (X- 1)ft]w-£ =
"Зо	Х
= (q+px)N.	(3.27)
Заметим, что pg\ + qgo=P- Марковский характер процесса мож-'
но проверить способом, аналогичным используемому в случае
пуассоновского входящего потока.
— 60 —
3.6.	Система с рекуррентным входящим
потоком и экспоненциальным временем
обслуживания
Эта задача является дуальной по отношению к задаче для
системы с пуассоновским входящим потоком и произвольным
распределением времени обслуживания, о которой уже упомина-
лось в § 3.2. В работе Такача [96] определены (эффективно) веро-
ятности перехода для случая, когда начальной точкой является
момент поступления требования. При некотором изменении его
методики можно определить также вероятности перехода для
случая, когда начальная точка выбирается произвольно в области
равновесного состояния.
Придерживаясь обозначений, принятых в гл. 2, пометим звёз-
дочкой все вероятности, производящие функции и преобразова-
ния, связанные со случаем, когда начальной точкой является мо-
мент поступления требования. Так, Pi(x, t) — производящая
функция вероятностей перехода при начальном состоянии i,
A(t)—функция распределения длительности промежутков вре-
мени между моментами поступления требований, a F(t)—функ-
ция распределения длительности промежутка времени до момента
поступления последующего требования.
Рассуждая, как и при выводе ур-ния (3.5), получим:
Pt (X, 0 = (1 - е-6' + xe~btypo (х, t),	(3 28)
Р* (х, f) = (1 — e~bt + х e~bt)1 Ро (х, t).
Заметим, что в случае, когда за начальную точку принимается
момент поступления требования, Ро (х, t) не даёт вероятностей
перехода для промежутка времени, начинающегося непосредст-
венно за моментом поступления требования, так как тогда стано-
вится невозможным появление нулевого состояния; эта функция
должна рассматриваться как функция, определяемая из приве-
дённого выше уравнения для />0.
Согласно системе ур-ний (3.28) задача сводится к определе-
нию функций Pq(x, t) и Ро (х, /). Покажем, что эти производящие
функции должны удовлетворять следующим интегральным урав-
нениям:
t
Р0(х, f) = 1 — F (0 + j р; (х, t — и) [ 1 + (х — 1) е“6('~и)] dF (и), (3.29)
О
t
Р*(Х, t)= 1 — Л (0 4- J Pj(x, t — u) [1 +(х— 1)е“м<-“)] dA(u). (3.29а)
О
— 61 —
Следовательно, Ро (х, t) является первичной случайной вели-
чиной, полностью определяемой с помощью ур-ния (3.29а) н гра-
ничного условия Ро (х, 0) = 1.
В работе Такача [96] проверка ур-ния (3.29а) производится
следующим образом. Возможные состояния системы в промежут-
ке времени (0, t) классифицируются, исходя из того, где находится
момент поступления первого требования. Если он не в промежутке
времени (0, /), то перехода нет; данный случай выражается чле-
ном 1—Л(/).
Если момент поступления первого требования заключён в про-
межутке времени (и, u+du), и<Л, то вероятность этого события
равна dA(u), производящая функция вероятностей перехода рав-
на произведению функции Ро(*, t—и) и производящей функции
вероятностей перехода для требования, вновь поступившего в про-
межутке времени t—и (второй член подынтегрального выраже-
ния). На этом проверка заканчивается. Подобным образом можно
проверить и ур-ние (3.29).
Решая ур-ние (3.29а) способом, применявшимся ранее (кото-
рым пользуется и Такач [96]), удобно перейти к производящей
функции биномиальных моментов и её преобразованию Лапласа.
Запишем Ро (1+х, t)=B*(x, t) (нулевой индекс больше не ну-
жен). Тогда для ур-ния (3.29а) получим
t
В*(х, f) = 1—Л(0 +Jb*(x, t — ы)(1 +%е~6(‘-“))сМ(и).
о
Преобразование Лапласа этого уравнения имеет вид
Р* (х, s) = [ e~s' В* (х, 0 di) = 2 р; (S) =
6
= s— 1 [1—a (s)] + а (s) [р* (х, s) + xp*(x, s+&)].	(3.30)
Как и ранее, а($)—преобразование Лапласа — Стилтьеса
функции Л(/). В другой форме записи выражение (3.30) имеет
вид
р* (х, s) = — Ч----х р* (х, s + Ь).	(3.30а)
S 1 — a (S)
Следовательно,
p;(s) = 4".	(3-31)
р*(s) .	— р* (sЬ) =-------------П —g(s + i&) >	= 1.2....
’ s + kb 11 1—a(s + /6)
/=0
(3.31a)
— 62 —
Это выражение было получено Такачем (96]. С его помощью
эффективно определяются все биномиальные моменты распреде-
ления, связанного с Ро (х, t), если они существуют, т. е., когда
an b — конечные величины.
Для случая, когда начальной точкой является произвольный^
момент времени, запишем В(х, /)=Р0(1+х, /). Обозначим че-
рез з) преобразование Лапласа функции В(х, t)-
Y (s) = [ e~si dF (/) = a s-1 ] 1 — a (s)].
6
Тогда для ур-ния (3.29) получим
₽(х, s) = s"1 [1 — t(s)] + t(s)[?*(x, s)+xp*(x, s+&)] =
= —[1 —	+	s).	(3.32)
S L a (s) J a (s)
Следовательно,
?o(s) = —,	(3.33)
s
k= 1, 2, ....	(3.33а)
Это выражение несколько проще, чем (3.31а).
При k= 1 имеем
В* (s) =	g<s)	1	а a(s)
1	1 —a(s) (s + &)	s(s-b&) i(s)
в то время как
Pi(s) = сгДм =P[S~1—(s + 6)~1]> Р = Т'
s (s b)	b
Обратное преобразование этого выражения имеет вид
В1(0 = р(1-е-6<).
Здесь Bi(0 —среднее число линий, занятых в промежутке вре-
мени t, для которого начальная точка выбирается произвольно в
области равновесия, когда все линии свободны. Среднее значение
совпадает с соответствующим средним значением, полученным
для пуассоновского входящего потока.
В случае пуассоновского входящего потока результаты совпа-
дают с ф-лой (3.7). Это можно показать следующим образом.
Так, для a(s) =y(s) =a(a + s)-1 из (3.32) следует, что р(х, s) =
= p*(x,s). Затем согласно (3.31) имеем
k
О ДА	_ Р* VV М (- 1)У
s(s + b) . . .(s + kb) k\ j / s + jb ’ P 6
/=o
— 63 —
Следовательно, окончательно находим
Гораздо сложнее получить результат для произвольного вхо-
дящего потока. Однако можно вывести выражение для предель-
ного случая, когда t—► оо, используя соотношение
lims f£(s) = lims ($) = — СА_Р £=1,2............. (3.34)
s—»-0	s—>0	k
где Co = 1, Ck = kj k2. . . k^, k = 1,2,...,
X7 = «(/•£)[!-a (/6)]-’, /=1,2,...
Следовательно,
limB^(0 = limBfe(/) = — Ck_{, £=1,2...	(3.35) j
/—►оо	f->oo	k	>
И
oo	$
limp; (x, t) = lira Po (x, i) = 1 + V (X - 1)*	CA_,. (3.36)
/2 = 1	|
Предельные	вероятности	состояния	можно	найти,	разложив
функцию	(3.36)	в	ряд,	что	предлагается	выполнить	читателю.	J
3.7.	Избыточный ноток в системе
с рекуррентным входящим потоком и
экспоненциальным временем обслуживания
В том случае, когда все линии системы обслуживания про-
нумерованы и поступающее требование направляется в линию,
имеющую наименьший номер, поток вызовов мржно рассматри-
вать состоящим из двух частей: поток, обслуживаемый первыми
г линиями, и избыточный поток, теряемый в этом пучке линий и
поступающий на обслуживание в остальные линии. Избыточный
поток описывается последовательностью (tTu tr* • • • ), где tTi—
момент времени поступления f-го требования, обслуживаемого ли-
нией второго пучка. Промежутки времени tr, <+1—tril i=l, 2, ...—
взаимно независимые случайные величины, каждая из которых
имеет функцию распределения Gr(/), подлежащую определению.
Здесь, как и в предыдущем параграфе, рассматривается рекур-
рентный входящий поток, а время обслуживания имеет экспонен-
циальное распределение. Заметим, что О0(/)=Л(/), где Л(£) —
функция распределения длительности промежутков времени между
моментами поступления требований.
— 64 —
Основное интегральное рекуррентное соотношение для Gr(t)
выведено Пальмом [70] и имеет вид
t
Gr (0 = Gr_i (0 - j О - e-*“) [ 1 - Gr (t - «)] d Gr_{ (u). (3.37)
0
Как показал Такач [96], значительно проще получить выраже-
ние для Gr(t) в другой форме записи, а именно:
Gr (t) = ] [e~bu + (1 - e-6“) Gr (t - «)] d Gr_, (a).	(3.37a)
о
В самом деле, пусть в момент времени t=0 происходит полная
загрузка г линий. Тогда в момент времени t=0 происходит также
полная загрузка и г—1 линий. Пусть следующая полная загрузка
г—1 линий происходит в момент времени и; вероятность этого
события равна dGr_i(u). В промежутке времени (0, и) с вероят-
ностью, равной е-6“, г-я линия будет оставаться занятой; либо с
вероятностью 1—е~ь“ в момент времени и (или до этого момента)
r-я линия освободится, и в момент времени и будет занято г—1
линий. В первом случае в момент времени и происходит полная
загрузка г линий. Во втором случае полная загрузка г линий про-
исходит в промежутке времени (0, t), t>u, только если она насту-
пает в промежутке времени (и, t).
Допустим, что вероятность последнего события равна gr(t—и).
Тогда gr (п) —условная вероятность того, что в промежутке вре-
мени (о, v) занято г линий, если полная загрузка г—1 линий, ко-
торая произошла в момент времени /=0, привела к занятию
г-й линии. Эта вероятность отличается от Gr (v) только тем, что
в последнем случае в момент времени-^=0 r-я линия уже была
занята. Так как время обслуживания во всех линиях распределено
по экспоненциальному закону, то разницы между этими двумя
функциями нет и gr(y) = Gr(y). Интегрируя по и, получим выра-
жение (3.37а).
Запишем
Tr(S) = Je-si.dGr(O.
о
Заметим, «что Yo($) =«($); a(s)— соответствующее преобра-
зование функции A(t) распределения длительности промежутков
времени между моментами поступления требований. Из выраже-
ния (3.37) или (3.37а) следует, что
Т, (S) = ------------------ г = 1, 2........... (3.38)
'	l-7r_1(s)+Tr_I(s + &)	’
5—541
— 65 —
Это рекуррентное соотношение получил Пальм. Обратная ве-
личина выражения (3.38) имеет более простой вид:
1 = ! ,
tr(s)	7r_i(s + &) ‘
(3.38а)
Из выражений (3.38) и (3.38а) видно, что yr(s) можно пред-
ставить в виде отношения
= (3-39>
После подстановки в ф-лу (3.38а) получим
Dr+l(s)-Dr(s) = Dr(s)-Dr_t(s) =	= Pi(?)-I>o(s)	4().
Dr(s + b) O,_!(s + 6)	'	‘	1>о(* + 6)	‘ 1	'
Dq(s) назначается из соображений удобства; удобно принять
D0(s) = l. В этом случае А($) = l/a(s) и выражение (3.40) можно
переписать в виде рекуррентного соотношения
Dr+1 (s) = Dr (s) + Г—L- - 11 Dr (s + b).	(3.40a)
L a (s/ J
Введём обозначение
7 «(« + /*)’
Тогда несколько первых значений Dr(s), полученных из соот-
ношения (3.40а), можно записать в следующем виде:
Di(s)= 1-Хо,
Oj (s) = 1 — 2 Хо -f- Хо Xi,
D3 ($) = 1 — 3 Хо 4- 3 Хо ат — Xq Xj Х2.
Таким образом, с помощью метода математической индукции
легко найти общее выражение:
Dr(s)= l + 2£(-iy(' )ХОХ1. . .X._r	(3.41)
Эту формулу, которая встречается в работе Такача [96], мож-
но использовать для подстановки в соотношение (3.39) при оты-
скании выражения для yr(s) в явном виде; приводить здесь эту
формулу нет необходимости. Даже в том случае, если обратное
преобразование этого выражения получить трудно, оно всё же
является определённым источником информации как производя-
щая функция моментов. Первый момент, являющийся средней
— 66 —
длительностью Промежутка между двумя последовательными мо-
ментами времени, в которые происходит полная загрузка г линий,
имеет вид
-T;(0) = a-1Dr(6).
Средняя интенсивность избыточного потока gr равна обратной
величине этого выражения. Следовательно,
gr =------— •	(3.42)
Sr	Dr(b)	v ’
Выражения для моментов более высоких порядков гораздо
сложнее. -
В случае пуассоновского входящего потока дело обстоит про-
ще. В самом деле, 1, = 1—а-1 (а+«)—а~' jb и согласно ф-ле (3.41),
в соответствии с работой Пальма [70],
Dr(s)= 1+)а”' s<s + 6)- • • fs + (/-l)6] =
/-1
= cr(-J~, p),	(3.43)
где ca(x, a)—полином Пуассона—Шарлье, определённый в на-
чале этой главы выражением, стоящим перед соотноше-
нием (3.11). Заметим, что средняя интенсивность избыточного по-
тока равна
^=“7------------= p = f*
rl (1 + Р + • • • + Г!
\	Л /
Последняя строчка совпадает с выражением, 'известным как
первая функция потерь Эрланга, с которой мы ещё встретимся
в дальнейшем.
Функцию распределения Gr(t) можно определить как сумму
экспоненциальных функций. При г=1 имеем
Т1 м =_____a<a + s)
а2 + 2as + bs + s2 ’
Приняв знаменатель равным (s-J-sO ($+s2), разложим его на
элементарные дроби и произведём обратное преобразование.
Получим
Gi (0 = К (1 - е"s*') + Ml - e“Sl/),
где
 	>-2- U J± y4p+ j I
5*
— 67 —
и
S1.2 = V(1 + 2P±/4p+ 1).
Эту формулу приводит Пальм [70]. Аналогичный результат
можно записать для любого значения г, хотя при этом выражения
для параметров станут гораздо сложнее. Пусть Sj = bXj,
где Xj — j-н корень уравнения cr+i(—%, р). Тогда, произведя разло-
жение на элементарные дроби:
lr (s) = ^isi (s + si) ! + . . . + kr+l sr+i (s + sr+1) \
получим
Gr (0 = Ml -e-s,/) + . . ,+^+1(l-e-s^/):	(3.44)
Пальм показал [70], что при любом значении г все корни Sj
и коэффициенты kj положительны.
Рассмотрим теперь интенсивность избыточного потока. Обо-
значим через Pn(t‘, г) вероятность того, что в стационарном состоя-
нии системы в промежутке времени /, начало которого выбирается
произвольно, поступит п избыточных требований от первых г ли-
ний.
Обозначим её производящую функцию через
P(x,t,r) = ^pn(t-,r)xn.
Если л(х, s; г) —преобразование'Лапласа функции Р(х, t;r),
то согласно равенству (2.14а) имеем
л (х, s; г) =
gr(x^-l)[l-ff (S)]
-s2[l — X7r(s)J
(3.45)
где gr — средняя интенсивность избыточного потока, заданная
ф-лой (3.42). Преобразование соответствующей производящей
функции биномиальных моментов имеет вид
+	=	 (3-46)
Следовательно, преобразования самих биномиальных момен-
тов имеют вид:
М«; г) = —.
S
Ms; r)=	-У~‘, k= 1, 2................ (3.47)
s2 \ 1—7r(s) /
— 68 —
Первые два биномиальных момента равны:
В0(Лг)=1,
Bi (Л г) = tgr.
Выражения для моментов более высокого порядка достаточно
сложны даже в случае пуассоновского входящего потока. Однако
асимптотический предел для момента можно найти из приближён-
ного выражения для преобразования в окрестности, ^уля:
что соответствует пуассоновскому закону распределения вероят-
ностей с математическим ожиданием tgr. Кроме того, в случае
пуассоновского потока приближённое выражение для малых зна-
чений t имеет вид
Bk(f,	Др), P = JL,
гД'е Еj, г (р) — первая функция потерь Эрланга, о которой уже
упоминалось в этом параграфе.
ГЛАВА 4
ОДНОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
4.1.	Введение
Однолинейные системы обслуживания рассматриваются в от-
дельной главе не только по причине их всё возрастающего прак-
тического значения, но и потому, что они служат для введения
понятий и методов, которые оказываются полезными при исследо-
вании многолинейных систем. Однолинейные системы вследствие
их простоты могут быть рассмотрены в достаточно общем виде,
что обеспечивает, если не большие возможности для описания
более сложных систем, то во всяком случае лучшее понима-
ние их.
Эта глава имеет следующую структуру. Вначале рассматрива-
ются системы с потерями, т. е. такие системы, где требования,
которые не могут сразу поступить на обслуживание, теряются и
больше не принимаются во внимание. Случайной величиной, пред-
ставляющей основной интерес, является вероятность потери, т. е.
относительное число теряемых требований. Если время обслужи-
вания имеет экспоненциальное распределение, то можно получить
результаты как для пуассоновского, так и для рекуррентного
входящих потоков. Можно также получить полное решение урав-
нений для вероятностей перехода в системе с ожиданием в про-
стейшем случае, когда время обслуживания имеет экспоненциаль-
ное распределение, а входящий поток является пуассоновским.
Это решение можно получить и в том случае, когда интенсив-
ность входящего потока и интенсивность обслуживания изменяют-
ся с течением времени.
В этой главе определяются стационарное распределение дли-
тельности ожидания и распределение длины очереди для системы
с ожиданием, в которую поступает пуассоновский поток, при лю-
бом распределении длительности обслуживания, когда обслужи-
вание требований производится в порядке поступления. Исполь-
— 70 —
зуется методика, предложенная Коксом [22]; этот автор рассма-
тривает добавочные переменные, используемые и в других
случаях. Мы ещё встретимся с ними в гл. 5. Затем приводятся
выражения для стационарных распределений длительности ожи-
дания в системе с ожиданием общего типа (рекуррентный входя-
щий поток, произвольное распределение длительности обслужива-
ния) при обслуживании требований в порядке поступления; здесь
используются результаты работы Линдли [58]. Следует заметить,
что подобных результатов нет для систем с другими порядками
обслуживания. Результаты для системы с пуассоновским входя-
щим потоком и экспоненциальным временем обслуживания при
случайном выборе на обслуживание и обслуживании по принципу
«пришёл последним — обслужен первым» приводятся в гл. 5.
Бёрк [11] исследовал однолинейную систему с пуассойовским
входящим потоком и постоянным временем обслуживания при
случайном выборе на обслуживание; в конце этой главы рассмат-
ривается период занятости и приводятся аналогичные результаты
для системы с обслуживанием по принципу «пришёл последним—
обслужен первым». Исследуется изменение результатов вследст-
вие ожидания соединения, хотя исследование проводится только
для случая пуассоновского входящего потока. Этот вопрос иссле-
довал Полячек [77]. Затем даётся описание и формулировка такого
важного понятия, как виртуальное время ожидания, введённое
Такачем [91]. В случае системы с пуассоновским входящим пото-
ком и произвольным распределением длительности обслуживания
функция распределения этой случайной величины, изменяющейся
с течением времени, определяется с помощью единственного ин-
тегро-дифференциального уравнения в частных производных, что
облегчает исследование изменения во времени длительности ожи-
дания.
Следующим вопросом при изучении систем с ожиданием яв-
ляется длительность периода занятости, т. е. время, в течение
которого обслуживающее устройство непрерывно занято. Опреде-
ляется функция распределения длительности периода занятости
для стационарного состояния системы с пуассоновским входящим
потоком, а также тесно связанная с ней функция распределения
длительности ожидания в системе с обслуживанием по принципу
«пришёл последним — обслужен первым». Кроме того, при этих
условиях для такой же системы определяется распределение ве-
роятности того, что в течение периода занятости или в течение
времени ожидания для системы с обслуживанием по принципу
«пришёл последним —• обслужен первым» будет обслужено задан-
ное число требований.
Исследование систем с ожиданием заканчивается изучением
вероятностей стационарного состояния системы, в которую по-
ступает пуассоновский поток и время обслуживания имеет про-
извольное распределение, и кратким рассмотрением обслуживания
с приоритетом.
— 71 —
Наконец, для системы ограниченной ёмкости (система смешан-
ного типа — с потерями и ожиданием) с рекуррентным входящим
потоком приводятся формулы, определяющие некоторые средние
характеристики системы. В этой главе уделяется большое внима-
ние простоте используемых доказательств.
4.2.	Системы с потерями
Простейшей является система с пуассоновским входящим по-
током и экспоненциальным временем обслуживания. Уравнения
для вероятностей перехода находятся непосредственно путём от-
брасывания лишних членов аналогичной системы уравнений,
полученной в 'предыдущей главе для простейшей системы обслу-
живания, и имеют вид:
р;о(0 = -аР/о(0 + &Л1(0 1
P'a(t) = aPlQ(f) — b P^t) )
(4.1)
Постоянными решениями ур-ний (4.1) являются:
__ Ь________1
а + b 1 + р
(4.2)
а + b 1 + р
Это предельные значения вероятностей Pio(t) и Pu(t) соот-
ветственно; прй t—> оо они не зависят от начального состояния
системы и являются также стационарными значениями вероятно-
стей перехода.
Вероятности перехода выражаются через эти вероятности сле-
дующим образом:
Роо (0 — Ро + Pi с (	,
Poi(0 = Pi~Pie<a+6><>
Ло(0 = Ро + Рое-(а+6)< |
Ри(0 = Р1 + Рое-(а+Ь)< J
(4.3)
Выражения (4.3) можно проверить, подставив их значения
в систему ур-ний (4.1) и используя граничное условие Рц (0) =
= 6 где — символ Кронекера. Уравнения (4.3) справедливы
также для вероятностей перехода в системе с бесконечным числом
линий и конечным числом источников входящего потока при экс-
поненциальном времени обслуживания (рассмотренной в гл. 3)
для частного случая, когда У=1 и а—а. В самом деле,
pt (х, t) = pi0 (о +х Рц (о = [ i + (х -1) gj 11 + (х -1)
— 72 —
где
gn — gi— е — PiU—е Л
Вероятность потери равна Pn(t). Стационарная вероятность
потери равна рь Как будет показано далее, относительное число*
требований, теряемых за время равновесного состояния системы,
равно Л=1—Ьр\]а; в данном случае L = px.
Заметим, что ур-ния (4.1) справедливы и для системы с ко-
нечным числом источников после подстановки Na=a.
Полячек [75] и Такач [91] определили вероятность стационар-
ного состояния многолинейной системы с рекуррентным входящим
потоком и экспоненциальным временем обслуживания. Подроб-
ный анализ этого вопроса даётся в гл. 5. При обозначениях, при-
нятых в гл. 3, для случая, когда начальной точкой является мо-
мент поступления требования,
pj = J e-Md Л (/), р;=1-р;;
о
а для случая, когда начальной точкой является произвольный мо-
мент времени,
Ро = 1 —Pi = (1 + р) 1 , Р = а/Ь.
4.3.	Вероятности перехода в простейшей
системе с ожиданием
Как уже указывалось ранее, в простейшую однолинейную си-
стему с ожиданием поступает пуассоновскйй поток, время обслу-
живания имеет экспоненциальное распределение, обслуживание
требований производится в порядке поступления; длина очереди
может возрастать неограниченно, но требования не покидают си-
стему необслуженными. Когда состояние системы описывается
числом требований, находящихся в системе (как обслуживаемых,
так и ожидающих обслуживания), вероятности перехода удовле-
творяют системе уравнений:
P'lo(t) = -aPiO(t) + bPa(f)	|
P’tl(t) = aPi>j_1(t)-(a + b)PlJ(t) + bPt j>0 f
Эти уравнения допускают решения в виде постоянных:
р,. = р/(1-р), / = 0,1,..., Р=-2-.
х	и
Вероятности р, являются вероятностями стационарного состоя-
ния системы. Здесь а — интенсивность поступления требований,
а b — интенсивность обслуживания. Порядок вывода этих урав-
— 73 —
нений подробно описан в предыдущей главе. Граничным условием
является Р//(0)=6у, где бу— символ Кронекера.
После подстановки:
Pt.(f) = р//2 e-(a+w7y(w), р = a/b, w = 2tVab
система ур-ний (4.4) принимает вид:
2/й И = а До W + А- И» а = llV?
2 Гц = Л, /_! И+ ft, i+1 И> / > °
Решение ур-ний (4.5) для />0 можно записать как
(4.5)

(4.6)
тде In (w) — функция Бесселя первого рода для мнимого
мента при 2Гп (х) =1 п_х (х) +/л+1 (*) • Постоянные са
аргу-
должны
удовлетворять первому уравнению системы (4.5) и граничному
условию Ду(0) =а7’Так как /л(О)=6ло, то из (4.6) следует,
’что с_. = 0, j^=i. Подставив (4.6) в (4.5), получим
Так как 1_п=1п, то это выражение эквивалентно следующему
«соотношению для коэффициентов сп-
„-- С •
п+1 п 1	—п	—Л+1
.Методом итерации находим
сп+1 = « с_п + (а2 - 1) (с_п+1 + а с_п+2 + . . . + а""1 с0),
п=1, 2,....	(4.7)
Используя граничные соотношения, приведённые выше, и вы-
ражение (4.7), находим, что
Со = Сх = . . . = ct = 0,
с/+1 = «с_, =«/+1>
cl+k = (а2 — 1) а/+*~2, .k = 2, 3, . . ..
Окончательно получаем
Ру (0 =	е- (“ + 6) * [ 11Ч И + а Il+l+l (w) +
+ (1-р)2аЛ/Ж+И“’)1,
k-2
(4.8)
— 74 —
где
а = р ,/* = Уб/а, p = a)b, w = 2tYab.
Кларк [13] даёт другой вывод ур-ния (4.8). Производная
при других обозначениях приводится в работе Ледерманна и Рой-
тера {[56], ур-ние (4.20)}. Кларк рассматривает также случай,
когда интенсивность поступления требований и интенсивность
обслуживания являются функциями времени, и сводит определе-
ние соответствующих вероятностей перехода к решению инте-
грального уравнения типа Вольтерра.
Для удобства читателя ниже сообщаются некоторые дополни-
тельные результаты для специальных случаев (общее решение
приводится в следующей главе). Первым из них является инте-
гральное выражение, эквивалентное (4.8):
Р (/) = (1 _ р) р/ + _®_	f рt (@) F (@) Q~tw W~l d 0,	(4.9)
7U	J
о
где
(0) = sin (i +1)0 — p*/!sin i 0,
W = a-$-b— 2]/a&cos0, p<l.
При р>1 первый член выражения (4.9) опускается. В ' этом
случае наступает состояние перегрузки и число требований, на-
ходящихся в системе, возрастает как (а—b)t. Можно также по-
казать, что при р=1 математическое ожидание числа требований,
находящихся в системе в момент времени t, считая с момента вре-
мени, когда система была свободна, равно
е
и = 2at.
Асимптотическое значение последнего выражения равно
2 Y at/л.
Для системы с ограниченной ёмкостью К (в системе может
находиться одновременно не более К требований) выражение,
аналогичное (4.9), имеет вид
» = {тттг + 2гк+‘"г §F“F,‘/г‘ехр(“4‘(4'10)
где
Flk = sin (i + 1) 0ft — pVt sin i 0ft,
fk = 1 +p —Зр7* cos0ft,
— 75 —
4.4. Система с ожиданием; пуассоновский	|
входящий поток, произвольное	|
распределение времени обслуживания	I
Система с ожиданием, рассматриваемая в данном параграфе,	|
является обобщением простейшей системы с ожиданием, описан-	?
ной в гл. 3. Усиленный интерес к ней объясняется тем, что при оп-
ределении её стационарных характеристик используется метчод
включения добавочных переменных (термин, введённый Коксом
[22]). С этим методом мы встречаемся также в работах Воло [100]
и Костена [53].	ч
Как и ранее, а — интенсивность входящего потока. Функция
распределения времени обслуживания — В (/), а её преобразова-
ние Лапласа—Стилтьеса — p(s). Интенсивность обслуживания
равна
Г (0 = В' (0[1 - В(ОГ' -
[предполагается, что функция В (/) имеет производную], а средняя
интенсивность обслуживания равна Ь.
Пусть pn(u)du — вероятность совместного появления двух со-
бытий: 1) в произвольный момент равновесного состояния в систе-
ме находится п требований, 2) время, в течение которого продол-
жается обслуживание требования, поступившего в линию, заклю-
чено в промежутке и, u+du, Для краткости можно назвать рп (и)
стационарной плотностью вероятности состояния \п, и} (предпола-
гается, что эта величина непрерывна). Дифференциальные рекур-
рентные соотношения для этих случайных величин (которые имеют
смысл только для п=1, 2,...) находятся обычным способом, путём
рассмотрения возможных изменений состояния системы в беско-
нечно малом промежутке времени, с последующим переходом к
пределу. Эти соотношения имеют вид
Р4«)+ [а + г(и)]рл(«) = ар„_1(и), п=1, 2............. (4.11)	#
Описание стационарного состояния системы заканчивается вы-
водом выражений для последовательности значений рп(0),
/7 = 1, 2, ... и вероятности Ро того, что линия, свободна. Эти соотно-
шения имеют вид:
ОО	,
. ар0 = J pi (и) г (и) du
о
' Pi (0) = J р2 («) г (и) du + ар0	.	(4.12) i
Pn(Q) = Jp„+1 (u)r(u) du, n = 2, 3, ...
0	)
— 76 —
Вероятностями состояния для случая, когда не учитывается
время, в течение которого продолжается обслуживание, являются
оо
р0 и рп = J рп(и)Ьи, п=1, 2....Сумма этих вероятностей должна
о
равняться единице.
Для решения ур-ний (4.11) и (4.12) удобно ввести производя-
щую функцию
Р(х, и) = 2 Рп («) Хп.
П=1
Уравнениям (4.11) и (4.12) соответствуют уравнения:
= {а (х - 1) - г («)] Р (х, и)
ди
И
оо
х Р (х, 0) = ах (х — 1) Ро + j Р (х,. и) г (и) du.
о
Решение первого из них имеет вид
Р (х, и) = Р (х, 0) ехр
= Р (х, 0) [ 1 — В («)] ехр [ай (х — 1)].
и
аи(х — 1) — J г (и) du 
о	>
(4.13)
Подставив это выражение во второе уравнение, получим
х Р (х, 0) = Р (х, 0) 0 (а — ах) + ах(х — 1) р0	(4.14)
или
Р (х, 0) =---ах(х—1)ро— .
х — р (а — ах)
Для определения ро вначале заметим, что
Р(х) = 2р«х"= Jp(x> “)йи = Р(х, 0) j е-а“(1~Л)[1— B(u)]du =
О	0
= Р (X, 0)	=хр 1-^(а-ох)------- (4 15)
а(1 — х) ™ p(a_ax)_x	k ’
Затем, освобождаясь от неопределённости в последней строчке
выражения (4.15), получаем:
Р(1)=Т-£-Ро, Р = -^.
1 — р	ь
— 77 —
Заметим, что 0Л(О) =—b . Так как ро+Р (1) — 1, то легко на-
ходим, что ро=’1—р.
Производящая функция для вероятностей рп стационарного со-
стояния имеет вид
qw^+pw-c-p)	«ле)
Это выражение встречается в работах А. Я. Хинчина [161] 9 и
Кендалла [47].
Можно также определить преобразование Лапласа—Стилтьеса
стационарного распределения времени ожидания W (t); оно имеет
вид
оо
w(s) = ^e~stdW(f) =
О
= ft, + [ du У р, (u) f-' (s) f e-”	+ dv =
— Po +
F[Ms)]
Ms)
(4.17)
где
oo oo	co
F (x) = J du	j* e-s" B' (u + v) dv.
0	1	f 0
При получении этого выражения имелось в виду, что длитель-
ность ожидания требования, поступающего в систему, когда она
находится в состоянии \п, и], равна длительности обслуживания
п—1 требований, предшествующих данному, • плюс время, необхо-
димое для завершения обслуживания требования, которое в мо-
мент поступления данного требования уже находилось на обслу-
живании.
Используя ф-лу (4.13) и изменяя порядок интегрирования, най-
дём
оо	оо
F (х) = Р (х, 0) J е-0"0-*’ du j* e-so В' (и + о) dv =
о	о
= Р (х, 0) _MS)~ Ма~ ?*) .
а — ах — s
9 См. А. Я. Хин чин. Работы по математической теории массового об-
служивания. Физматгиз, М., 1963, стр. 119—146. (Прим, переводчика.)
— 78 —
Следовательно, воспользовавшись выражением (4.14), получим-
о, (з) =----.	(4.17а>
1 —(e/s)[l —p(s)]
Уравнение (4.17а) встречается в работе Полячека [73], где
пуассоновский поток рассматривается как предельный случай по-
тока Бернулли. А. Я. Хинчин [161] выводит это уравнение непосред-
ственно. Полученное выражение — известная формула Полячека—-
Хинчина.
В случае экспоненциального времени обслуживания:
₽(s)=6(6 + s)-1
И
Q(x)=(l-p)(l-px)-1,
<»(s)’= (1—Р)(& 4-s)(6 — а + s)-1 =
= (l-p)[l + a(s + 6-a)-*].
После обратного преобразования последнего выражения полу-
чим
Г(/)= 1 —ре“(6-о)<, />0.
Заметим, что в начальной точке функция W(t) имеет скачок,,
величина которого равна 1—р.
Кокс [21] исследовал возможность распространения метода до-
бавочных переменных на более сложные случаи и, в частности»
рассмотрел его связь с альтернативным методом исследования
процесса по фазам (возможно, фиктивным), обобщая идеи, на осно-
вании которых в § 2.6 выводились эрланговские распределения.
Для определения распределения длительности обслуживания (рас-
пределения длительности промежутков времени между моментами
поступления требований) по последнему методу нужно, допустить»
что вероятности перехода между фазами могут иметь комплекс-
ные значения. На преобразования этих распределений наклады-
вается единственное ограничение — они должны быть рациональ-
ными функциями. Взаимная связь двух методов подтверждает
справедливость последнего положения.
Возвращаясь к формуле Полячека—Хинчина (4.17а), следует
заметить, что с её помощью можно определить моменты функции
распределения времени ожидания (если они существуют), так как
со ($) — производящая функция моментов.
Обозначим через Wn начальные моменты распределения вре-
мени ожидания, а через Ьп — начальные моменты распределения
времени обслуживания. Перепишем ф-лу (4.17а) в виде
. а о» (—s) р (—s) — (а + з) о» (—s) = — (1 — p)s,
— 79 —
а затем, приравняв коэффициенты при sn, получим:	.
Wn = Wn, bn = bn.	(4.18)	1
Это выражение эквивалентно Wo= 1 и
)Wn_kbk, п>1.
k^2
В частности,
(1 _р) 2В71 = а&2,
(1— p)3W2=^3aW1b2 + ab3
или
Wz=2k2(-^-\*+ k = a(l — р)-1 .
\ 2 /	3
(4.18а)
Выражение для эквивалентно формуле, непосредственный
вывод которой дан в работе Кендалла [47].
Выражение* для общего случая можно записать в виде
W = Y
w п 1 п
'f.b2
. 2
f^n+l 1
' ’ « + 1 J ’
(4.19)	
где Yn — полином Белла с несколькими переменными (Риордан
183]) *),
=	&=а(1—р)-1.
Приведём выражения ещё для двух моментов IFn:
I
kb.	.ЗА8 bl	{
Wa = -^± + &b3b2+—l,	X
4	4	]
kb*. (	\	„	3A4&1	\
№< = ^+&\^Ь2+-^-) + 3&Ь3Ь22+—j
i
- i
4.5.	Время ожидания при стационарном
состоянии системы с обслуживанием
требований в порядке поступления
Если обслуживание требований производится в порядке их по-
ступления, то даже в случае рекуррентного входящего потока и
произвольного распределения времени обслуживания выражение
’) См. Дж. Риордан. «Введение в комбинаторный анализ». Изд-во
иностранной литературы, М., 1963, стр. 45. (Прим, переводчика.)
— 80 —
для функции распределения времени ожидания является относи-
тельно простым. Применим обозначения, которые использует Лин-
дли (58]: wr— время ожидания r-го требования, sT — время об-
служивания r-го требования, tr — промежуток времени между
моментами поступления r-го и (r-hl)-ro требований.Тогда
“>r+i = wr + sr — tr, wr + sr>tr
wr+l = 0,	wr+sr^tr
(4.20)
Как обычно, допускаем, что sr — взаимно независимые слу-
чайные величины с общей функцией распределения В (t), tT — не-
зависимые друг от друга и от sr случайные величины с общей
функцией распределения А (/).
Функция распределения случайной величины sr—tr имеет вид
C(f) = $B(t + u)dA(u).
Если Wr (t) — функция распределения случайной величины wr,
то согласно соотношениям (4.20)
^,+1(0 =
J WT(t — u)dC(u),
—оо
(4.21)
/<о.
Если стационарный предел W (/), функции Wr (t) существует, то
W(f) =
J W(t — u)dC(u), t>0,
—оо
(4.22)
КО
Линдли [58] показал, что стационарный предел существует, ес-
ли коэффициент загрузки системы р меньше единицы; д = а!Ь, где
а — средняя интенсивность входящего потока, а Ь — средняя
интенсивность обслуживания.
Обозначим теперь через W~(t) значение интеграла в правой
части выражения (4.22) для /<0 м примем 1Г_(/)=0 для t>0.
Тогда, предполагая, что функция С (t) имеет производную С' (t),
равенство (4.22) можно переписать в следующем виде:
W- (0 + W (0 = у W (t — и) С' (и) du,
(4.23)
—оо
6—541
— 81 —
что справедливо для всех действительных значений t. Запишем: ]
©о	0	1
?_ (з) = J e-s' w_ (f)dt= e~s< W_ (t) dt,	|
--OO	—oo	4
)•
oo	oo	'j
<p+ (s) = J e-s< W (0 dt = J e-s< W (t) dt.	\
—oo	0
Так как
oo
j e~siC'(f)dt = a(—s)P(s),
—oo
I
где a($) и p(s) — преобразования Лапласа—Стилтьеса функций
A(t) и В(/), то двустороннее преобразование Лапласа выражения >
(4.23) имеет вид	;
?_(s) + ?+(s) = ?+(s)₽(s)a(— s)	(4.24) ;
ИЛИ
<Р_ (з) = <?+ (з) [? (s) a (— s) — 1].	(4.24а)
Предположим теперь, что	?
₽(s)a(-s)-l= 4^’	<4-25> I
Ф_ («)	1
где ф+(£) — аналитическая функция от $, не имеющая нулей в
Re (s) >0, а ф-(£) — аналитическая функция от s, не имеющая
нулей в Re(s)<C; С — положительная постоянная. Определение
этих функций является наиболее трудным процессом в ходе реше-
ния ур-ния (4.24). Обычно эти функции можно выбрать таким об- -
разом, что	'	|
<|»+(s)->s при |s|-»co в Re(s)>0,	I
ф_(«)->з при |s|-*oo в Re(s)<0.	I
Когда решение ур-ния (4.25) возможно, ур-ние (4.24а) прини- (
мает вид
®_ (s) Ф_ (з) = <?+ (s)<|»+(s), 0 < Re (s) < С. (4.26)
Правая часть выражения (4.26) — аналитическая функция
для Re(s)>0, а левая часть — аналитическая функция для
Re (s) <0. Равенство в этом полюсе означает, что каждая функция I
является аналитическим продолжением функции, не имеющей осо- |
— 82 —	j
J
бых точек в конечной части плоскости $. Когда эта функция стано-*
вится равной постоянной величине К, то
?+ (s) =
К
Ф+ (s)
и
„ г ^+(s)
К = lim —х—
s—О	S
так как
lim s ср (s) = lim С e~s/ dW (/) = 1.
s—О	+	s->0 J
Приведём несколько примеров, чтобы пояснить эти положения.
Пуассоновский входящей поток,
экспоненциальное время обслуживания
Так как a (s) =а (a + s)”1,	р (s) =b (b + s)-1» то
Следовательно,
ф ($) = 21? + ^ —д)	(s) = а — s,
что удовлетворяет требованиям. Имеем
v Ф+(5) Ь — а л	а
К = lim — ------=-------=1 — р, р = — .
s-^o s ( b	b
Следовательно,
ср fe)-	(1—P)(fe + s)	_ 1_________Р____ .
+	s(s + ft — a) s s + & — а
Взяв обратное преобразование Лапласа, легко найдём
W(t)= 1— Ре~(6“я)<, p = a/b, t>0,
что согласуется с приведённым в § 4.4 частным случаем (когда
время обслуживания имеет экспоненциальное распределение) вы-
ражения (4.17а) — формулы Полячека—Хинчина. Заметим, что
s<p+ ($)=© (s).
Пуассоновский входящий поток, произвольное
распределение времени обслуживания
Как и ранее,
а (з) = а (а 4- s)-1
6*	— 83 —
g(_s)p(s)—1 =	.
a — s
Следовательно,
ф+ (s) = a ₽ (s) — a + s,
Ф_ (s) = a — s, C a,
/C=	-2-[1-₽(«)]}= 1-p,	P=-f-.
st?+(s) = —7УР-------
Это выражение — формула Полячека—Хинчина (4.17а).
Замечание 1. Если $i — наименьший, отличный от нуля, корень
уравнения ap(s)—а+$=0, то
W(t)^
1+а₽'(«1)
(штрих обозначает производную).
Замечание 2. Следуя Бенешу [2], заметим, что [1—р ($)]/$ —
преобразование Лапласа—Стилтьеса плотности V(t)—B(t), где
V (t) — единичный скачок в начальной точке. Взяв обратное
преобразование ф-лы (4.17а), получим
п=0
где
Hn(fy = ^Hn_x(t-u)H1(u)du, и>1.
О
Пуассоновский входящий поток, постоянное
время обслуживания
В данном случае В (t) = 1,	6”1 ; B(Z) = O,	и p(s)=
= e-s6 Следовательно,
w (s) = s <p , (s) =------------
s
или
?+ (S) = (1 -p) 2 (-1)" (a e-*-1 У (s - аГп-1
л=0
- 84 —
Обратное преобразование этой функции имеет вид
п=0
где {6(1 — целая часть bt. Эту формулу в 1909 г. другим способом
получил Эрланг (см. Брокмейер и др., [9]). Согласно приведённо-
му выше замечанию, вторая асимптотическая формула Эрланга
имеет вид
w (о ~ 1 +	_
'	1- ре-*/*
где $1 — отличный от нуля корень уравнения ae~s/b т— a + s = 0;
он стремится к нулю, если а стремится к Ь. После подстановки
и = р—s/b в это уравнение последнее принимает вид ре“р=ие”“;
$1 соответствует здесь p<l<Ui, и формулу Эрланга можно за-
писать как
fl__D\ (“i+p)
it (0 ~ 1 + ——----------------.
1 — Ux
Значения и± приведены в табл. 1.
Таблица 1
р	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
«1	3,715	2,860	2,365	2,017	1,756	1,547	1,375	1,231	1,107	1,0
Рекуррентный входящий поток, экспо не н'ц и а л ь н о е
время обслуживания
В этом случае р (s) = b (b + s) 1 и
а(—s)£(s) — 1 =
Ьа(— s) — b — s
b + s
Числитель может не совпадать с ф+(s), так как он является ана-
литической функцией для Re(s)<0. В этой области, однако, он
имеет единственный нуль, так как первое значение |6 + $| больше
чем|6а(—s) | вдоль замкнутого пути Р, состоящего из линии
Re (s) =—е, замкнутой слева бесконечной полуокружностью. Что-
бы обеспечивалось неравенство в точке г=—е, величина 8 может
быть выбрана достаточно малой,, так как значение а(—s) равно
i+s/a плюс члены меньшего порядка малости и Ь>а. Эта точка
расположена на контуре Р и является одновременно максимумом
функции |а(—s) I и минимумом функции |6 + s |. Следующее зна-
чение b+s имеет только один нуль внутри контура Р и согласно
— 85 —
теореме Руше1) функция &а(—s)—b—s имеет также только один
нуль внутри контура Р. Обозначая этот нуль через и предпола-
гая, что при расширении области до Re (s)<C, где С — положи-
тельная постоянная, число нулей не увеличивается, с помощью
данного уравнения можно установить вид функций ф+($) и (s):
b + s
ф (s) =-------------------
ba(—s) — b — S
где Si — отличный от нуля корень уравнения &а(—s)—b—s=0.
Тогда
Ф+(5) —Si
hm — = ——
s-o s	°
И
<s> = йтЬ>
— Si (6 + s)
bs (s — Si)
s \ b /
обратное преобразование функции имеет вид
№(/) = 1—(1+ —)es,<.
\ ь /
В уравнение, определяющее Si, удобно подставить s=au—b,
при этом
Si = аи± — b = blput — 1),
где — корень уравнения р~1 е”р 1 = и е~и, удовлетворяющий усло-
вию < 1 < р“1. Тогда
Г(/)= 1—рихе"^1-^ .
Заметим, что 1^(0) = 1—pz/i = Si/6. Значение щ можно опреде-
лить с помощью табл. 1.
Кроме этих частных случаев, можно прибести много других.
Линдли '[58] исследовал систему с детерминированным входящим
потоком (постоянные взаимно независимые промежутки времени
между моментами поступления требований) и эрланговским вре-
менем обслуживания. Полячек [77] и Уишарт [108] рассмотрели си-
стему с рекуррентным входящим потоком и эрланговским време-
нем обслуживания.
Следует заметить, что если система находится в состоянии,
близком к насыщению (а—>6), и требования ожидают в течение
2) Теорема Руше утверждает, что если функции f(z) и g(z) аналитичес-
кие внутри замкнутого контура Р и на его границе и | f (z) |>| g (z)| на Pt то
функции f(z) и f(z)+g(z) имеют одно и то же число нулей внутри контура Р.
— 86 —
1	(
длительного времени, то легко найти асимптотическую формулу.
Возвратимся к ур-нию ' (4.22):
t
; «7(0 = jVp — u)dC(u)
—oo
и предположим, что функция W(t) изменяется настолько медлен-
но, дао
W(t — u) = W(t) — uW'(t) + -^W"(t) + R(u, t)
(штрих обозначает производную), а функция (и, t) такова, что
интегралом
t
§ R(u, f)dC(u)
—оо
можно пренебречь. Введём моменты
оо
сп = J undC (и).
—оо
Это обычные моменты случайной величины $—t (которая равна
длительности обслуживания минус длительность промежутка вре-
мени между моментами поступления требований). Следовательно,
если ап и Ьп — соответствующие моменты случайных величин t и
то
сг = bi — ах = Ь~~1 — а-1,
с2= Ь2	= Па 2	.
При таких условиях интегральное уравнение заменяется диф-
ференциальным уравнением второго порядка
с2№" (О — (О = 0.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному усло-
вию W (0) =0, имеет вид
W(f) = 1 — ехр^-, р+1.	(4.27)
са
Соответствующее среднее время ожидания равно
Vff ~c2 — аЬ + М — 2
1 2Ci , 2(b — а)
Уравнение (4.27) получил Смит [86].
— 87 —
4.6. Время ожидания в системах
с задержкой соединения; пуассоновский
входящий поток
Как уже говорилось в гл. 1, удобное допущение, что требова-
ния немедленно поступают на обслуживание, не всегда справед-
ливо. Если это допущение не выполняется, то система описывается
как имеющая некоторую задержку соединения (иными словами —
необходимо определённое время для ориентирования вызова). За-
держка соединения может рассматриваться как промежуток вре-
мени между моментом, когда линия уже назначена, и моментом
начала обслуживания. Если такая задержка имеет место для каж-
дого поступающего требования, то её длительность можно доба-
вить к длительности обслуживания, и допущение о том, что об-
служивани^гребований производится немедленно, снова становит-
ся справедливым. Здесь рассматривается более интересный слу-
чай, при котором задержка соединения существует только для
ожидающих вызовов.
Как и ранее, wn — время ожидания n-го требования, sn — его
время обслуживания, tn — промежуток времени между момента-
ми поступления n-го и (n+il)-ro требований, а 0П — длительность
задержки соединения. В этом случае
wn+i = wn + sn + en —1„, Wn + sn — tn>0,
=	—/„<0.
Обозначим через C(t) общую функцию распределения случай-
ных величин 0„, а через у (s) — её преобразование. Сохраняя обо-
значение, которое уже использовалось при рассмотрении пуассо-
новского входящего потока А (0 = 1—е- , получим
ш„+1 (з) = а (а — s)-1 р (s) у (s)	(s) —[a (a — s)-1 т (s) — 1] р (а) ш„ (а).
Это выражение получил Полячек [77].
Стационарный предел ®(з), если он существует, определяется
из соотношения
“ («) = %+1(0 = °>n(s)-
Используя условие <о(0) = 1 для вычисления длительности по-
стоянно появляющейся задержки соединения, находим -
(а \
- [l-7(s)J
J----—у2--------:---.	(4-28)
1 — (—) [1 — ?(s)T(s)]
\ s /
— 88 —
где pi = a/6, р2=а/с, а с~х — средняя длительность задержки-со-
единения. Заметим, что в случае, когда отсутствует задержка со-
единения, у($) = 1, р2=0, и это выражение, как .и следовало ожи-
дать, превращается в формулу Полячека—Хинчина. Полячек [77J
показал, что предельное распределение существует, если pi + p2<l-
Формулы оказываются проще, когда оба распределения (рас-
пределение длительности обслуживания и распределение длитель-
ности задержки соединения) являются экспоненциальными. Тогда
при B(t) = i—e~bt и С (/) = 1—e~ci
ш(5)= [1—Р1(1—Рг) •]
Если
(s + &)(* + с-а)
sa + s (Ь -|- с — а) + Ьс — аЬ — ас
s2 + s(6 4- с — а) 4- Ьс — аЬ — ac = (s + sx) (s-|- s2),
то
o)(s)= 1----£1-----------?-------£1---£1----2—.
1 — P2 S2 —S1 s 4“ S1 1 — P2 S1 — S2 S S2
Полячек получил обратное преобразование этого выражения:
W (0 = 1-----21---21— e~s,/----—----21—	.
1 — р2 S2 — Si	1 — Р2 S1 $2
Заметим, что
si + s2 = b + с — а,
Si — s2 = [(& 4- c 4- a)2 — 4 Ьс^/г ,
S-, s2 = be — ab — ac.
Полячек [77] приводит также выражение в явном виде для слу-
чая постоянной длительности обслуживания и постоянной длитель-
ности задержки соединения.
Обозначим через Wn обычные моменты распределения длитель-
ности ожидания, через Ьп — моменты распределения длительно-
сти обслуживания, а через сп — моменты распределения длитель-
ности задержкц соединения. Заметим, что
<>1 (s)
“2 (S) ’
где
(s)	=------- х 1 'р-----
/ а \
1-(—)[l-?(s)l(s)]
Р = pl + Рз>
и
1 — Ра
°>2 («) =
(а \
— [l-7(s)]
S /
— 89 —
Функции ©1 (s) и ®г($) имеют сходную форму. Действительно,
«2 (s) — формула Полячека—Хинчина, только в других обозначе-
ниях. Используя равенство (4.19), получим
<о2 (s) = exp [— s Y (k Ci, k C2,...)]
и аналогично
o>i(s) = exp[— sYlfDi, /D2,...)]
при
ki = k, = /! p£ (1 — p2)-f, Cn =-,
1 r2	" (n+l)Cl
= fj = fl 93 (1 — p)-/ , Dn = (6+c)ft+1 ,
и, наконец, Ы = bj, ci = cf, в обоих выражениях Yn — полином
Белла с несколькими переменными. Так как
Ц- = exp [— sF (— k Си — kC2,...)],
“a (s)
Wn = [Y(fDi, fD2,...)+Y(-kCu — kC2,...)]n,
*	Yi = Yj, Yo= 1.	(4.29)
Первые два момента имеют вид:	$
Wi = Yi (/ Di) + Yi (- k Ci) = h Di - ki Ci =
_ a /b2-j-2l>iCi + c2  c2 \
2 \	1 —p	1—Р2/
Wz = Y2(fDi, fD2) + 2Yi(fDi)Yi(-kCi) + Yz(-kCu ^kC2) =
^f!D2 + f2Dl + 2 fi ki Di Ci - ki C2 + &2 Cf.
Запишем также рекуррентное соотношение
(1—Р2)[а^„ + п^„_1 —а(1^ + &+с)л] = р.о(1—р)с„, и>1.
Здесь приняты обычные условные обозначения: ЦР”=1ГЯ, bn=bn, '
€« = Сп.
4S7. Распределение виртуального времени
ожидания
Виртуальное время ожидания — понятие, введённое Такачем
J91], — представляет собой длительность ожидания либо реального,
.либо возможного (фиктивного) требования. Эта случайная вели-
— 90 —
чина определена на всей 'временной -оси, а не только в моменты
поступления требований. В каждый момент поступления требова-
ния эта -функция терпит разрыв, скачком увеличиваясь на величи-
ну, равную времени обслуживания соответствующего требования.
Между моментами поступления требований функция линейно убы-
вает с угловым 'коэффициентом, равным —1, но никогда не стано-
вится отрицательной. Достигая нуля, она сохраняет это значение
до момента поступления последующего требования. Типичная фор-
ма этой функции показана на рисунке.
Если w(t) — виртуальное время ожидания в момент времени t
и tn<t<tn+v где (^) — последовательность моментов поступи
ления требований, то
w m = lw (/п)	— t—tn<w (tn),
10,
Обозначим через w(t, x)=P[w(t)<x] функцию распределения
виртуального времени ожидания я примем w (0, х) = 1, если % > 0.
Допустим, что a(t) — интенсивность входящего потока, Такач по-
казал, что функция w (t, х) должна удовлетворять уравнению
=~дх Х}' -a<№(t,x) + a(f} ^B(x-y)dyw(t,y). (4.30)
о
Для вывода уравнения рассмотрим изменения состояния систе-
мы, происходящие в промежутке времени (t, t+dt), пренебрегая
событиями, вероятность появления которых составляет о (dt). Зна-
чение w (t+dt) не -больше х, если: 1) в промежутке времени
(t, t+dt) не поступает ни одного требования и w(t) x+dt. Ве-
роятность совместного появления этих событий равна
[1—a(t)dt]w(t, x+dt) \ 2) в промежутке времени (t, t+dt) поступает
одно требование и функция w(t) скачком изменяется от у до х,
Вероятность совместного появления этих событий равна
а (/) dt J В (х — у) dy w (t, у).
о
— 91 —
Следовательно,
w (t + dt, x) = [ 1 — a (t) dt] w (t,. x + dt) + a (t) dt ^B(x — y)dyw (t, y),
о
и если
w(t, x + dt) = w (t, x) + dwV’ dt + o (dt),
dx
то, переходя в этом уравнении к пределу, получим ур-ние (4.30).
Такач показал, что, исключая скачок в точке х=0, функцию w(t,x)
можно считать непрерывной функцией от х. Это показывает
справедливость последней операции, выполненной при выводе
ур-ния (4.30).
Запишем
с? (/, s) = J е 3Xdw (t,x).
6
Тогда преобразование Лапласа—Стилтьеса ур-ния (4.30) будет
иметь вид
^^- = {S-a(0[l-₽(s)])T(/, s) — sw(t, 0).	(4.31>
ot
Предполагая, что значение w(t, 0) известно, решение ур-ния
(4.31) получим в виде
<р (t, s) = ехр
F(0|l
t
— s |' w (u,0) exp — F (u) du
6
(4.32)
где

t
F(t) = st—[\ — p (s)] j a (u) du.
, о
Однако для функции a(t) общего (вида, как и 'следовало ожи-
дать, значение w(t, 0) определить трудно и ур-ние (4.32) пред-
ставляет интерес, главным образом, в частном случае, когда
a(t) = a, т. е. при пуассоновском входящем потоке, имеющем по-
стоянную интенсивность.
При a(t)=a преобразование Лапласа ур-ния (4.31) имеет вид
— ? (5, 0) + т ср* (s, т) = [s — а — а р (s)] ср* (s, т) — soy* (т),	(4.33)
где
ср* (s, х) = е~т/ ср (/, s) dt,
6
до* (т) = J е-х/ w (t, 0) dt.
о
— 92 —
Следовательно,
'	(s> x) = ?(», 0) —sw*(t) .
r	т — s -|- a — a₽(s)
В данном случае функция w*(r) определяется из условия, что
нули числителя и знаменателя должны совпадать в области
Re(s)>0 для Не(т)>0. Бенеш {4] показал, что в этой области зна-
менатель имеет единственный корень т] = т](т); следовательно,
о;* (т) = tq”1 (т], 0) — vf1 j e~^xdw (0, х),	(4.34)
о
где т) — единственный корень уравнения т—s + a = afi(s) относи-
тельно s. Так как значение 0) эффективно определяется с
помощью выражения (4.34), то <р(/, s) определяется из (4.32) при
a(t)=a.
В работе Такача [91] показано, что если интенсивность обслу-
живания Ь конечна и а<Ь, то предельное распределение
limay (/, х) = оу*(х)
f->oo
существует и определяется по формуле Полячека—Хинчина (4.17а).
Таким образом, ш*(х) = Т^(/), т. е. предельное распределение вир-
туального времени ожидания и предельное распределение дейст-
вительного времени ожидания совпадают.
4.8.	Распределение длительности периода
занятости в системе с пуассоновским
входящим потоком
В данном случае период занятости — время, в течение кото-
рого обслуживающее устройство непрерывно занято. Периоды за-
нятости чередуются с периодами, когда обслуживающее устройст-
во свободно. В случае пуассоновского ’входящего потока функ-
цией распределения длительности периодов, в течение которых
1 обслуживающее устройство свободно, вследствие свойств экспо-
ненциальной функции является Л(/)=11—е^.Такач [91] даёт сле-
дующий изящный вывод функции распределения длительности
периода занятости.
Обозначим через G(x) функцию распределения длительности
периода занятости, а через
X
Gn(x) = ^Gn_l(x — y)dG(y), п>1,
О
~ 93 —
её свёртку /г-то порядка [Gn(x) — функция распределения суммы
п случайных величин, каждая из которых имеет функцию распре-
деления G(x)]. Примем G0(x) = l, Gj(x) = G(x).
Допустим, что в промежутке времени (0, у), в течение которо-
го происходит обслуживание первого требования, поступает п тре-
бований; согласно ф-ле (2.5) вероятность этого события равна
&~°у (ау)п/п\. Если п=0, то длительность периода занятости рав-
на лишь времени обслуживания первого требования. При п= 1
период занятости включает в себя не только время обслуживания
•первого требования, но и время обслуживания всех последующих
требований, поступающих в течение всех последующих периодов
обслуживания, и, следовательно, он равен сумме двух взаимно
независимых случайных величин с функциями распределения В(х)
и G(x) соответственно. Так как длительность периода занятости
не зависит от порядка поступления требований на обслуживание,
то можно предположить, что при п=2 длительность периода заня-
тости равна сумме трёх взаимно независимых случайных величин
с функциями распределения В(х), G(x) и G(x) соответственно
или сумме двух случайных величин с функциями распределения
В(х) и Gz(x) соответственно. Следовательно, ,
X
G (х) = Г У е-^_» Gn (х _ у) dB (у).	(4.35)
. О л=0
Примем обозначение
Г(х)= Je-sxdG(x)
О
и заметим, что
Г«(з)= Je~sxdG„(x).
о
Из выражения (4.35) следует, что
е- <s + °>« V (ay>n-rn<s)  d В (у) =
& п!	(4.36)
= f e-[s + a^aT(s)}ydB(y) = P[s+ а —«Г ($)].
Это функциональное уравнение впервые получил Кендалл [47].
— 94 —
Подобно формуле Полячека—Хинчина, ур-ние (4.36) можно рас-
сматривать как соотношение между экспоненциальными произвол
дящими функциями обычных моментов. Введём обозначения:
оо
gn = \xndG(x),
bn — $xndB (x),
0
Последовательно дифференцируя ур-ние (4.36), ‘можно пока-^
зать, что
go = Ьо = 1
gi = Ъ (1 - abr)-1 ={b- a)-1, b, = b~'
g2 = bi(\—abj)~3	.	(4.37)
gs = ьз (1 — abiT4 + 3a&2 (1 — a6i)-5
gi — b^ (1 -fl6j) $ + 10 &Ь3 b2 (1 -&bl) +
+ 15a2dl(l— abi)-7
В случае экспоненциального распределения времени обслужи-
вания ур-ние (4.36) можно решить относительно Г($). Действи-
тельно, p(s) =b(b+s)~1 и
Г ($) = fr+s+д~ /(& + s + a)2 — 4g&	(4.38),
\
Можно получить обратное преобразование выражения (4.38)
(см. Кемпбелл и Фостер [12], ф-ла 556.1):
G' (х) = -±=- е“(b + a)x h (2х УаЬ), р = -р (4.39),
где Л(х) — функция Бесселя первого рода для мнимого аргу-.
мента. Моменты .можно найти с помощью соотношений (4.37) или.
дифференцируя выражение
ar2(s) —(a + 6 + s)r(s) +6 = 0.
Моменты имеют вид:
gi = {b — а)-1,
gt=2b(b-a)-3,
ga = 6b(a + b)(b-a)~5,
gfi=24b(a? + 3ab +b*)(b — a)-7.
	— 95 —
Заметим, что дисперсия равна
V = g2 — g2i = (а + b) (Ь — а)~3 .
В случае постоянного времени обслуживания с математиче-
ским ожиданием, равным Ь~х , соответствующие моменты имеют
вид:
gi = (b — а)-1 ,
g2=b(b-a)~3,
g3 = b (2а + b)(b — а)~5 ,
gt = b (6а2 + 8aZ> + Z>2) (b — a)~7 ,
дисперсия равна
v = a (b — a)-3.
Функция распределения G(x) для случая постоянного време-
ни обслуживания рассматривается в следующем параграфе.
Рассмотрим теперь функцию распределения времени ожида-
ния для системы с обслуживанием по принципу «пришёл послед-
ним — обслужен первым». Заметим, что при таком порядке об-
служивания требование, поступившее в произвольный момент пе-
риода занятости, ожидает до тех пор, пока будут обслужены все
поступившие после него требования, в момент поступления кото-
рых линия была занята (или обслуживание только что закончи-
лось). Требования, поступившие ранее, не влияют на длительность
ожидания данного требования.
Функция распределения длительности промежутка времени
между произвольным моментом обслуживания и -моментом окон-
чания обслуживания имеет вид [см. ур-ние (2.31)]
t
C(f) = b\ [\—B(u)]du
б
и
оо
T(S) = Je-s'dC(O =А [1 — ₽(s)].
О
Рассуждая аналогично, получим
G* (х) = J е~°У	G - (% “ d С ®
О
и
г* (s) = J &~sx d G* (x) = 7 [s 4- a — а Г (s)].	(4.40)
0
Заметим, что Г*($)=Г($) в том и только в том случае, если
y(s)=P(s), т. е. только в случае экспоненциального времени об-
— 96 —
служивания. Следовательно, ф-ла (4.39) является также выраже-
нием для плотности распределения длительности ожидания -в од-
нолинейной . системе с пуассоновским входящим потоком «и экспо-
ненциальным 'временем обслуживания при обслуживании требова-
ний' по принципу «пришёл последним — обслужен первым».
4.9.	Распределение числа требований,
обслуженных за период занятости;
пуассоновский входящий поток
Это распределение приводится также в работе Такача [91].
Следуя его примеру, обозначим через fn вероятность того, что за
период занятости будет обслужено п требований, а через
/(х) = 2А*я
>  1
её производящую функцию. Обозначим через рп вероятность
того, что за период занятости поступит п требований, а через
р (х) — её производящую функцию. Имеем
J е-“у d В.(у) = J е-0 у (1 ~х) dB (у) = ₽ (а — ах), (4.41)
0	0	о
где р (s) — та же функция, что и ранее.
Далее,
/1 = Ро,
fo — Pi Ро = Pi fi,
fs = P? Po + Pa Po = Pi h + Pa/f,
или, в общем виде,
л—2
fn = Pl fn-l + Р2 2 fJ’fn-l-l + • • • + Pk 2	....//* + •••> (4-42)
/-1
где коэффициент при pk — такая сумма, что
/1 + /2 + • • . + Ik = п 1 •'
Вывод выражения (4.42) совершенно аналогичен выводу
ф-лы (4.35); в общем случае поступление каждого из k требований
обеспечивает длительность периода занятости, равную длительно-
сти обслуживания требований (г=1, 2,..., k), и сумма этих об-
служенных требований должна равняться п—1. Следовательно,
f(x) = хр0 + xpif(x) + хргр(х) + . . . =
= х 2Р*OOP = хрМ<х)} = x$[a — af (х)].	(4.43)
6=0
(дух)
п!
7—541
— 97 —
Такач [91] получил решение в явном виде как для экспонен-
циального, так и для постоянного времени обслуживания. При экс-
поненциальном времени обслуживания
/(х) = -^[1-Г1-4рх(1 + р)-2 ’ =
2р I	J
=	“7 С ~ 12)р”-1 (1 + р>- 2"+*хП'	(4.44)
Таким образом,
/л = -(2П-12)рП~1(1 + р)"2п+1 = С„рл-,(1 Ч-РГ^*.	(4.45)
п \ п — 1 /
Числа Сп иногда называют числами Каталана, так как они
встречаются в комбинаторной задаче о перечислении различных
сумм п подобных членов при неассоциативном сложении, предло-
женной Каталаном.
В случае постоянной длительности обслуживания, равной Ь~1,
f(x) = xe~f epfU), P=-f-.	(4.46)
если
y=pe~fx, g(y) = pf(x),
ТО
g(y)e~8M = у.
Решение, полученное разложением этого уравнения в ряд Ла-
гранжа, имеет вид
л=1
И
f (х) = 2 е“ярхп.	- (4.47)
л=1
Эту формулу приводит также Борель [7].
Так как период занятости, за который будет обслужено п тре-
бований, имеет длительность пЬ-1, то, следовательно, функция
распределения длительности периода занятости имеет вид-
[ад
G (х) = е-рЯ
Л=1
(4.48)
&
— 98 —
Интересно заметить, что уравнение g(y) = у expg (у)—форму-
ла Пойа для экспоненциальной производящей функции, перечис-
ляющей корневые деревья с помощью номеров точек, когда все
точки пронумерованы.
Можно найти также биномиальные моменты. В случае экспо-
ненциального времени обслуживания производящая функция би-
номиальных моментов имеет вид
В (X) = / (1 + X) =  + R-VO+rt--4p-4f>	_
2 р
= 1 + V^[1 —/1—4рх(1—р)-2 ].	(4.49)
2р
Следовательно, Во = 1,
Математическое ожидание равно Bi=(l—р) 1, а дисперсия—<
р(1 + р)(1 -р)-3.
В случае постоянного времени обслуживания:
/
В(х) = (1 + х) ехр {р [В (х) — 1]) = (1 + х) ехр (хУ),
Ул = Уя(рВ1, р2!В2,..., Рп!В„).	(4.50)
Следовательно,
п!В„ = Уя+пУл_1(
и, в частности,
В1 = (1-р)-1,
в, = (р-v)(I- рГ3>
3
Дисперсия равна р(1—р)
7*
— 99 —
В общем случае при любом распределении времени обслужи-
вания формулы для необходимых моментов имеют вид:
= рГ1,
6В, = a3 b3 (1 — р)-4 + 3(1 + 2р) а2 62 (1 — Р)~4 +
+ За46г(1 — р)-5 + 6р2(1 — р)-3
24В, = а4 bt (1 - рГ5 + 4 (1 + 3 р) а3 b3 (1 - р)"5 +
+ 10а5&3&2(1 - р)-6 + 36р(1 +р)а2 &2 (1 — р)-5 +
+ 12(2 + 3?)а4&2(1—Р)“6 +
+ 15 а« bl (1 - р)-7 + 24 р3 (1 - р)-4
1
;.(4.5i)
Как ранее, p — abi, а Ь& является k-м обычным моментом рас-
пределения времени обслуживания. Дисперсия равна [а2Ь2+
+р(1-р)](1-р)-3
Обозначим через /*(х) производящую функцию вероятности то-
го, что за время ожидания в системе с обслуживанием по принци-
пу «пришёл последним — обслужен первым» будет обслужено
данное число требований, а через р*(х) — производящую функ-
цию вероятности того, что в промежутке времени между произ-
вольно выбранным моментом обслуживания и моментом его окон-
чания поступит данное число требований. Тогда, как и ранее, по-
лучим:
Р* (х) = т (а — ах) =	.	(4.52)
Г (х) = хр* [/ (х)] = х т [а - af (х)1 =	•	(4.53)
Заметим, что
р/*(х) = 1 + -Х~1-,
V к’ 1-ZW
при этом
?fn = gn.-gn, п>0,
если	\
[l-f(x)]-1 =2£„Х«.
л=0
В сл$?ае постоянной длительности обслуживания
л	ь
gn = t~nt 2	(4-54)
G* (.X) = 2 Р 1 (gn-l — gn) Sn (x),
Л = 1
— 100 —
где Sk(*) — функция распределения вероятностей того, что будет
обслужено п требований:
О,	(п— 1) Ъ~' ,	,
$п (х) —  bt, (п — 1)6 1 < х < nb 1 ,
1, nb 1
4.10. Вероятности стационарного состояния
системы с пуассоновским входящим потоком
Вероятности стационарного состояния системы с пуассоновским
входящим потоком и произвольным распределением времени об-
служивания уже рассматривались в § 4.4. Состояния, о которых
идёт речь, обозначались через [п, «]; это означает, что в системе
находится п требований, и требование, поступившее в линию, уже
обслуживается в течение времени и. В данном случае состояния
системы исследуются альтернативным методом и описываются
числом требований, находящихся в системе в момент окончания
обслуживания. В эти моменты времени число требований, находя-
щихся в системе и определяющих её состояние, скачком умень-
шается на единицу; за рассматриваемый момент времени можно
принять либо момент непосредственно перед окончанием обслужи-
вания, либо непосредственно после окончания обслуживания. Обо-
значим через Pj(k) вероятность того, что после окончания обслу-
живания k-vo требования число требований, находящихся в систе-
ме, станет равным /. Если, как и ранее, рп — вероятность того, что
за время обслуживания поступает п требований, то
pJ(k+l)^pJ[pQ{k) + p1(k)] + p._1p2(k) +.. .+pQpi+i(k).
Состояние 0, в которое система переходит в момент окончания
обслуживания 6-го требования, означает, что система свободна.
Такое состояние сохраняется до первого поступления требования.
Этим объясняется,х почему в приведённом выше уравнении заклюй
чены в квадратные скобки вероятности Ро(6) и Р\ (6). В стацио-
нарном 'СОСТОЯНИИ Pj (k + 1) = Pj (k) Pj.
Вероятности Pj определяются с помощью бесконечной системы
уравнений
Рj = Р/ (^о + Pi) + Pj_~i Р* + • . . + Ро P]+i , / = 0, 1,2,. . . .
Если P(x)=SPyXy* — производящая функция вероятностей со-
стояния системы, то	/
хР (х) = [Ро (X — 1) + Р (X)] р (х)	(4.55)
или
Р(х) = Р0-(1~*)р(х) .	(4.55а)
р(л)—X
— 101 —
Согласно ф-ле (4.41) р(х)=0(а—ах); так как Р(1) = 1, то
/>0=1—р, p — alb. Следовательно, окончательно получаем
Р(х) = (1 -Р) (1 -X)	•	(4.56)
Р (а — ах) — х
Это выражение совпадает с выражением для производящей
функции вероятностей состояния системы в произвольные момен-
ты времени [равенство (4.16)]. Таким образом, вероятности состоя-
ния являются одними и теми же как для моментов времени, сле-
дующих непосредственно за моментами окончания обслуживания,
так и для произвольных моментов времени.
Случай экспоненциального времени обслуживания уже рас-
сматривался в § 4.4. Заметим, что n-й биномиальный момент рас-
пределения вероятностей состояния
Рп = (1 — р) рл равен рп (1 — р)~п .
В случае постоянной длительности обслуживания 0(я—ах) =
=е'хр[—р(1—х)] и Р(х) = (1 — р)---—y------,
1	— х ехр (р — р х)
при этом Ро= 1—р, Pi = (ер—1)Ро
и
п	_
Рл = (1-Р),^(- 1Г*ер*[
(?k)n~k
(п — Л)!
(рА)"-^-1 1
(п — k— 1)! J
п> 1,
что совпадает с результатом, который приводит Фрай [39].
Производящая функция биномиальных моментов имеет вид
и
В(х) =	(1~р)* -
v '	(14-х) е“рх— 1
(1 +х)е~Р*—1 _ VI cn+ix"
(1- Р)х 4Zj(«+l)!Ci’
П=0
где С1=1 —р, Сп=(—р)" 1 (п—р).
Произведя обратное преобразование (Риордан [83], гл. 2, за
дача 24) *), получим
n!B„ = y„(ZT1...../Т„),	=	ln = -^c-t>
!) См. Дж. Риордан. Введение в комбинаторный анализ. Изд-во ино-
странной литературы, М., 1963, стр. 59. (Прим, переводчика.)
— 102 —
где Yn — полином Белла с несколькими переменными, с которым
мы уже встречались ранее. В частности,
в = _р.(2- р)
2(1-Р)’
В = р2(6—4р + р2)
2	12(1-рР •
В случае произвольного распределения времени обслуживания,
имеющего необходимые моменты, согласно ф-ле (4.56) имеем сле-
дующее выражение для биномиальных моментов:
[ 1 + х — р(— ах)] В (х) = (1 — р) х р (— ах), (4.57
где
В(х) =Р(1 + х).
Далее,
оо
' Р(—ах)= 2	₽« =
л=0
где Ьп — п-й обычный момент распределения времени обслужива-
ния. Затем, приравнивая коэффициенты при х, получаем
В. + в,_, - 2 в.-> = <1 - с)	(<58)
или
л+1
ВП = ₽„+(!-р)~* 2 ^Bn+l-k
k=2
(4.58а)
Для упрощения ф-л (4.58) и (4.58а) удобно ввести обозначе-
ние
Л„ = (1 — р)-1 р„ = а"6п ’.
" v г "	Ш(1—р)
Тогда
Bi = Л2 + р,
В2 = Л3 + Л2 + А£,
<S3 = Л< + Л3 + 2 Л3 Л2 + Л| + Л|,
В4 = Л5 + Л4 + 2 Л4 Л2 + Л32 + 2 Л3 Л2 + 3 Л3 Л2 +	+ Л|.
— юз —
4.11. Система смешанного типа (с потерями
и ожиданием); пуассоновский входящий
поток
Как уже указывалось ранее, эта система имеет ограниченное
число мест для ожидания. Если число мест для ожидания равно
К—1, то ёмкость самой системы равна К. Требования, поступаю-
щие в систему, когда она заполнена, покидают систему .необслу-
женными, т. е. теряются и не принимаются во внимание (повтор-
ного поступления требований не происходит).
Как и в §4.4, обозначим черезрп(ц) вероятности состояния; для
n>k они равны нулю. Таким образом, для анализа этой системы
можно использовать выражения, полученные в § 4.4, отбрасывая
некоторые их члены.
Для ориентировки рассмотрим вначале случай Х=2. Система
ур-ний (4.11) принимает вид:
р{ («) + [а + г («)] Pi (м) = О,
р' (и) + г (и) рг (и) = apj, (и).
Заметим, что при п=К=2 нужно опустить множитель а в
коэффициенте при рг(«), так как соответствующие требования те-
ряются и не оказывают никакого влияния на состояние системы.
В системе ур-ний (4.12) отбрасываются все уравнения, кроме пер-
вых двух, а именно:
оо
г (u) du,
о
ар0
оо
Pi (0) = J Рг («) г (и) du + tzpo.
о
Решение этих дифференциальных уравнений имеет вид:
Pi(«) = Pi(0)e-fl“[l-B(«)],
Р2 («) = (Pi (0) + р2 (0)] [ 1 - В (ц)Г- рх (и).
Подставляя эти выражения в интегральные соотношения, полу-
чим
Следовательно,
Pi (0)------—
₽(а)
р2(0) = 0.
Ро,
о
J	р (а)
о
— 104 —
при этом
„ - р(д>
р0 ₽+?(«) *
Заметим, что отношения pi (О)/ро и Р\/р& будут такими же, как
и в случае системы с бесконечной ёмкостью, описанной в § 4.4. За-
пишем
с(х) = 1 + CjX + С2Х2 + . . . = (1 — х) --/(а~	,
р (а — ах) — х
тогда с помощью равенства (4.16) получим pi = tipo. Заметим, что
ур-ние (4.14) можно записать в виде
Р (х, 0) = ар0 [с (х) — 1 + х],	(4.14а}
при этом
Pi (0) = ар0 (сх + 1).
Аналогичным способом можно показать, что для любого К>1
Рп = спРо, n= 1, 2, . . . , К—Г
Pi (0) = a (ci + 1) Ро
Рп(°), = аСпРо, п = 2, . . . , К— 1
(4.59}
Кроме того, из ур-ния (4.13) имеем
п—1
Рп (и) =	[ 1 - В (и)] р„_й (0)	.
Затем из выражения
Рк (Ц) + г (и) рк (ы) = apK-i (и)
находим, что
рк(н) = [1-В(«)][Рх(0)+ . . . +рк(0)]-
— [Pi(“)+ • • • + Рк_1 («)].
Подставляя выражение для рк(и) в систему ур-ний (4.12) при
п=К—1, можно показать, что рк(0)=0. Имея в виду этот резуль-
тат, получим
Pi + Рг + • • • + Рк = b 1 [pi (0) + • • • + Рк—1 (0)] =
= Р(1+^х+. • • +^!)Ро,	(4.60>
при этом
Ро 1 = 1 + Р (1 + С1 + • • • + СК— 1)-
— 105 —
Преобразование Лапласа плотности распределения длительно- 1
сти ожидания для любого К имеет вид	'	I
©О	к—1	оо
(s) = Ро + Pk + J du V Рп (“) ?n-I<s) J e”so тзгй dv- <4,6|
О	1"	о	|
Последний член этого выражения соответствует члену
^I₽(s)]/P(s) ф-лы (4.17). Функция F(x) определяется по формуле
р (х) =	ах<1 ~Р(«) —Р(а —о*)	’
Р (а — ах) — х	а — ах — s
Следовательно, если коэффициенты Fn(s) определяются из раз-
ложения в ряд
F (х) = Ft (s) х + . . . + Fn (s) xn + . . .,
то приведённое выше выражение для сох (s) можно записать в
компактной форме:
(S) = Ро + Рк + 2 Fn(s) Г“’ (S).	(4.61а)
Л=1
Выражение (4.61а) можно упростить, заметив, что
п
(l-x)-1r1(s)F[x?(S)]=2xn277>(s)₽/"1(s)= -
П=1	/=1
= роа(а — $)—1 [(1 —х)с (х Р) — 1 + х р] (1 — х)-1 (1 — Лх)-1,
где Л=ар($)(а—s) -1 , р=р(х), а с(х) — полином, определённый
в этом параграфе. При выводе последней формулы полезно заме-
тить, что
[с (х) — 1 + х] р (а — ах) = хс (х).
После разложения (1—х)""1 (1—Лх)-1 на элементарные дроби
и выполнения некоторых алгебраических упрощений окончатель-
но получим следующее выражение:
А ~ А	а Р (s) — а + s
К-1
+	‘/Ш*’'-	<«2)
jmI L Р I?/ J
/=1
— 106 —
При s=0 равенство (4.62) принимает вид
К-1
шк (0) ~ Ро + Рк + 2 cj'Po = Ро Р1• • •Ч‘Рд=1-
1=1
Коэффициент при (—s) в разложении ($) есть условная
средняя длительность ожидания (средняя длительность ожидания
задерживаемых требований), обозначим её через W"i(K). Нахо-
дим, что
ГХ(К)=-^ (К- 1)Р(1 + С1 +
а	х
К-1
(4.63)
где р=а/Ь.
В случае экспоненциального времени обслуживания все фор-
мулы получаются значительно проще. Они принимают вид:
рп (1 _ р)
Рп~ 1 — рК+1 ’
F(x)=_(1^±._W2L>
,	1 — p^+1	1 — р X
<°К (S) = Ро + Рк + 2 Pj <S)> ₽(«) = *(* + s)-1-
1
Произведя обратное преобразование последнего выражения,
найдём функцию распределения, времени ожидания
W(t, К)= 1-^Рй
1е С)
и среднюю длительность ожидания
(А) =	[1 -Kp*"1 + (К— 1)Рк].
а(1 —р)а
4.12. Обслуживание с приоритетом
Как уже упоминалось в гл. 1, в некоторых системах с ожида-
нием поступающие требования обладают приоритетами двух или
большего числа классов. Эти классы обычно нумеруются 1, 2,...
в порядке убывания приоритета, и требование, обладающее прио-
ритетом k-ro класса, обслуживается только в том случае, если в
очереди нет требований с приоритетами более высокого класса.
— 107 —
В «случае поступления требования с приоритетом, прерывающим
обслуживание (этот случай не рассматривается), обслуживание
другого требования прекращается и его место занимает требование
с более высоким приоритетом. Система с приоритетами описы-
вается:
1) числом классов приоритета; 2) распределением входящего
потока для каждого класса приоритета; 3) характером обслужива-
ния и порядком обслуживания требований каждого класса прио-
ритета. Полное описание каждого из этих аспектов в общем виде
приводит к довольно сложным выражениям. Даже при отсутствии
приоритетов для описания системы с несколькими различными
пуассоновскими входящими потоками, каждый из которых имеет
своё собственное распределение времени обслуживания, потребует-
ся вывод формул с большим числом случайных величин; получить
такие формулы нелегко. '
Рассматриваемую здесь систему с приоритетами, не прерываю-
щими обслуживания, исследовали Дрессин и Рейч [29]. Система
имеет г классов приоритетов, каждому классу соответствует свой
пуассоновский входящий поток, но все требования имеют одно и
то же экспоненциальное распределение времени обслуживания.
В пределах каждого класса требования обслуживаются в порядке
поступления. Интенсивности входящих потоков равны ах, a2i..., ат\
интенсивность обслуживания равна 6; интенсивность потока требо-
ваний, имеющих первые k приоритетов, равна ^4^=^! + ...+^
(А=АГ — «суммарная интенсивность входящего потока). Как и
обычно, моменты поступления требований взаимно независимы.
Допустим, что в начальный момент времени линия свободна.
Обозначим через Рп(1)=Р.п(1) вероятность того, что в момент
времени t в системе находится п требований (с произвольными
приоритетами). Обозначим через P^^t) вероятность того, что
требование с &-м приоритетом, поступающее в момент времени t,
будет n-м в очереди (это также вероятность того, что в момент по-
ступления требования с £-м приоритетом в очереди будет ожидать
п—1 требований с приоритетами не ниже й-го), а через ^(ntfe)(0
обозначим соответствующую функцию распределения времени ожи-
дания.
Случайные величины Рп(/) являются решениями системы
ур-ний (4.4) при i=0 и а=А, так как в этом случае требования ‘не
обладают приоритетами. Аналогичная система уравнений для
Р(п> (0 выводится таким же способом и имеет вид: ’
P'v, (0 = - 4Р(1, k) (0 + ЬР{2, k) (0 + АР. (/) - ЬРг (О,
Р(п, k) (0 = AkP^n-\t k) (0 — (Ak + b) Р(п, k)(t) + 6P(n+i, k) (0> п > 1-
(4.64>
Разумеется, Р^ k) (/) = P.(t).
I
Заметим, что
У Р(я м (/) = 1.
•4ВП (Л, к) ' '
Л = 0
Стационарные решения при А<6 имеют вид
Рп = (д—р)рл> р=4-.
о
P(n,k) = ?(i—Pk)Pk р* = -^-,п>0.
При A>b>Ak
Рп = ®>
Р(д, *) = (!—р*)Рй *, п>0.
Для определения функции распределения времени ожидания
win,k)^ удобно перейти к преобразованиям
оо
Ш(п, k) (S) = J ^dw(n, k} (t).
0
Тогда
ш(о, k) = *•
03(«, i) (s) = bn (b +
поскольку требование, поступающее в систему, когда линия сво-
бодна, обслуживается немедленно. Распределение времени ожида-
ния требования, обладающего первым приоритетом и являющего-
ся n-м в очереди, определяется как свёртка п распределений вре-
мени обслуживания, так как все требования, обладающие первым
приоритетом, обслуживаются в порядке поступления.
Для требований, обладающих приоритетом с более высоким но-
мером, рассмотрим вначале случай, когда поступившее требование,
обладающее fe-м приоритетом, является первым в очереди. Это тре-
бование ожидает не только пока закончится обслуживание преды-
дущего требования, но и пока будут обслужены все требования с
более высокими приоритетами, которые поступят позже, но будут
обслужены ранее данного требования. Следовательно, его время
ожидания равно длительности периода занятости линии потоком
требований с интенсивностью Ak_v Из равенства (4.38) имеем
г/м - s+ 6 + Л,_1 - у (s + 6 +	4М,_1
(1,	2Ak_{	9
— 109 —
Заметим, что при k=A и Ло=О это выражение является неопре-
делённым, но при тех же условиях
-i м s + 6 + Л-i + V(s + 6 + Л-1)2 — 46Л-1	Ь + s ,	.
®(1, A) (S) =------------~--------L------ = “Г- , « > 1-
2b	b
Как было показано ранее, это выражение равно со^1^ (s) -
С помощью .несложных выкладок Дрессин и Рейч показали, что
“(л, fe) (s) = <»(n —i, (s) <»(i, ky (s) = <»(1, *) (s).
Преобразование функции распределения вероятностей того, что
в момент времени t поступит требование, обладающее й-м приори-
тетом, имеет вид
»»<». = *=’•2-   •
л=0
Следовательно, в стационарном состоянии при Л<&
°>й («) = 1 — Р + Р (1 — Pfe) 2 Р*-1 “а. <s) =
П=1
= 1 — Р + Р С1 — Рк) [ °>ТЛ(з) — pj-1 =
= 1-р + 2Д(1-рА)СГ1(5), р = 4, Pk = V’
ь	ь
(4.65)
где
Qk (s) = s + b + Ak_, - 2Ak + ]/(* +*+ A-1)2-46V1 •
Выражение (4.65) является основной
Рейча. Заметим, что
формулой Дрессина и
Л(1 —Р1)
Ь s — tZj
°>i(s)= 1— р +
при этом
Л
Wifi) = 1 — рехр[— (Ь — ах)/], р=—•
ь
Кроме того, первый момент распределения времени ожидания
имеет вид
ivz /м	'/лч 2Л(1— Pfe)Qfe(O)	л
^1^)-	“’ИО)-	Q2(0)	62(1_pft l)(l_pft) •
Это равенство является частным случаем формулы, которую по-
лучил Кобхем [17]. Кобхем рассмотрел систему, в которой каждый
— по —
1
класс приоритета имеет различное распределение времени обслу-
живания. При обозначениях, принятых здесь, формула Кобхема
имеет вид
<«б>
где
Г	оо
о
( В этих равенствах Bk (/) — функция распределения времени
обслуживания требований, обладающих &-м приоритетом, a bk —
соответствующая интенсивность обслуживания.
Второй момент функции распределения времени ожидания име-
ет вид
1	(k) = 2А (62 - ЛЛ_,) (6 - Л-1)-3 & - Л)2.
Это выражение также является примером общей формулы (для
; условий Кобхема), которую в результате тщательного исследова-
j ния получили Кестен и Ранненберг [49]; формула имеет вид
1.
г	&
+	(l)	^(l-a/_i)(2(l-Sft)2 +
+ S°A(0^2(,_.y(,_„ , («?)
1 1
где bj (i) — /-й обычный момент распределения времени обслу-
живания требований с г-м приоритетом. Кестен и Ранненберг [49]
приводят также формулы для соответствующих преобразований
функций распределения времени ожидания.
Наконец, следует заметить, что Морз [65] подробно исследовал
систему с двумя приоритетами, каждый из которых имеет различ-
ный пуассоновский входящий поток и различное экспоненциальное
время обслуживания.
Ш
4.13. Некоторые средние величины
для стационарного состояния системы
с ограниченной ёмкостью; произвольный
входящий поток
Здесь приводятся некоторые средние величины для стационар-
ного состояния системы с произвольным входящим потоком и про-
извольным распределением времени обслуживания; максимальная
ёмкость системы равна К. (если требование поступает в систему,
когда в ней уже ожидает К.—1 требований, то оно сразу покидает
систему). Как и ранее, а — интенсивность входящего потока, Ь —
интенсивность обслуживания; в стационарном состоянии а/6=р<1.
Также предполагаются заданными вероятность Ро того, что в
стационарном состоянии система свободна (при К= оо имеем
Ро=1—р), и среднее время т, в течение которого система свободна
(в случае пуассоновского входящего потока т=а-1 )•
В длительном стационарном промежутке времени Т линия сво-
бодна в течение времени ТР0 и занята в течение Т(1—Ро). Число
периодов, когда система свободна, равно TPq/х. Так как периоды,
когда система свободна, чередуются с периодами занятости, то
ТРо/х с точностью до единицы выражает число периодов заня-
тости.
Следовательно, средняя длительность периода занятости равна
Т(1-Ро) = ^(1-Ро)
ТРо’-1 Ро ’
что согласуется с первым равенством ф-лы (4.37) при Ро=1—р,
х=а~1 (пуассоновский входящий поток).
Число требований, обслуженных в промежутке времени Т, рав-
но ЬТ{\—Ро), а среднее число требований, обслуженных за пе-
риод занятости, равно &т(1—Ро)/Ро. В случае пуассоновского вхо-
дящего потока эта величина равна (1—р)—1, что совпадает с пер-
вым равенством ф-лы (4.51).
Число требований, потерянных в промежутке времени Т, равно
'числу поступивших требований аТ, минус число обслуженных тре-
бований. Следовательно, выражение для вероятности потери имеет
вид
L =	= j _ (! _ро) p-i.
аТ
^1сло требований, обслуженных в промежутке времени Т без
ожидания, равно ТРох~1 ,х. е. числу периодов, в течение которых
система свободна. Следовательно, вероятность отсутствия ожида-
ния равна Ро/ах. Так как каждое требование либо обслуживается
без ожидания, либо ожидает обслуживания, либо покидает систе-
— 112 —
му необслуженным, то вероятность ожидания обслуживания опре-
деляется из выражения
ат	ат
В табл. 2 приведены средние величины для стационарного со-
стояния системы с произвольным входящим потоком и произволь-
ным распределением времени обслуживания при ограниченной и
неограниченной ёмкостях системы.
Таблица 2
Средние значения	Произвольный вхо- дящий поток, система с ограни- ченной ёмкостью	Система с неограниченной ёмкостью	
		произвольный входящий ПОТОК	пуассоновский входящий поток
Длительность периода занятости	гН-Ро)Ро-1	tp (1 — р)-1	(6-а)-1
Число требований, обслуженных за период занятости	bz(\_P0)P~l	ат(1 — р)-1	(1-рГ1
Относительное число потерянных требований	1-(1-Р0)Р-1	0	0
Относительное число требований, обслуженных без ожидания	Ро(ах)-1	(1-Р)(аг)-'	1 —р
Относительное число ожидающих требований	(l-Po)p-1 - -Ро(^Г1 -	1—<1 — Р) X X (<и)_|	р
Примечание:
а — интенсивность входящего потока;
Ъ — интенсивность обслуживания;
т — длительность периода, в течение которого система свободна;
Ро— вероятность появления периода, в течение которого система свободна.
8—541
ГЛАВА 5
МНОГОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
5.1. Введение
Система с бесконечным числом линий, рассмотренная в гл. 3, и од-
нолинейная система, описанная в гл. 4, — предельные случаи
обычной многолинейной системы. Однако обычная многолинейная
система отличается от них не только числом линий, но также их
расположением (структурой). При простейшей структуре все ли-
нии считаются одинаковыми: любой вызов может поступить в лю-
бую свободную линию. В теории телефонного сообщения такой пу-
чок линий называется «полнодоступным». Более сложной является
система с «неполнодоступным включением», в которой, по крайней
мере, два пучка линий, и в линии второго пучка поступают только
те вызовы, в момент появления которых все линии первого пучка
заняты; пример такой системы уже встречался в § 3.7 при рассмот-
рении избыточного потока. В общем случае система может иметь
большее число пучков с различным порядком их использования.
Подобные структуры пучка линий рассматривались Пальмом [67]
и Вилкинсоном [104]. Внешне такая структура пучка линий совпа-
дает со структурой пучков линий междугородной телефонной свя-
зи при наличии обходных направлений, описанной в работе Вил-
кинсона [106]. Кроме'того, в теории телефонного сообщения возни-
кает много задач, для решения которых требуется рассматривать
характеристики коммутационной схемы распределения заданных
вызовов по линиям.
Эта обширная область возможных решений приводит к поста-
новке задачи искания. Здесь сообщаются лишь те результаты, ко-
торые не только имеют практическое значение, но и легко выво-
дятся и могут быть объяснены в данном контексте. Например, из-
за сложности объяснения здесь не приводится полученное Полянс-
ком [75, 76] решение задачи для полнодоступного пучка линий с
рекуррентным потоком вызовов, когда длительности обслуживания
представляют собой последовательность взаимно независимых
— 114 —
произвольным образом (но одинаково) распределённых случайных
величин. Решение данной задачи явилось результатом многолетне-
го труда исследователя. Следует заметить, что наряду с разреше-
нием других вопросов Полячек показал, что и в этом общем слу-
чае выполняются естественные условия существования стационар-
ного режима, которые подтверждаются результатами, полученны-
ми в предыдущей главе, и ощущаются интуитивно. Другое доказа-
тельство при менее жёстких ограничениях даётся в работе Кифера
и Вольфовица [50].
Глава начинается с исследования систем с потерями. В про-
стейшем случае на полнодоступный пучок линий с экспоненциаль-
ным временем занятия поступает пуассоновский поток вызовов.
Определяются вероятности перехода и стационарные вероятности
состояния, хотя вычисление вероятностей перехода связано с опре-
делёнными трудностями. Затем приводятся аналогичные резуль-
таты для такой же системы с конечным числом источников вызо-
вов. Далее, следуя Воло [100] и Костену [53],‘ покажем, что вероят-
ности стационарного состояния для любого из этих входящих по-
токов не зависят от распределения времени обслуживания. Опре-
деляются вероятности стационарного состояния для такой же си-
стемы с рекуррентным входящим потоком. Наконец, исследуется
влияние повторного поступления в систему вызовов, получивших
отказ, для простейшего случая: пуассоновский входящий поток,
экспоненциальное время обслуживания и постоянная интенсив-
ность потока повторных вызовов.
Исследование систем с ожиданием удобно начать с систем с
ограниченным числом мест для ожидания (система смешанного
типа — с потерями и ожиданием). В простейшем случае (полно-
доступная система с пуассоновским входящим потоком и экспо-
ненциальным временем обслуживания) вероятности перехода оп-
ределяются во формулам, аналогичным по внешнему виду форму-
лам для системы с потерями. Система с ожиданием рассматри-
вается как предельный случай при увеличении числа мест для
ожидания.
Используемая далее методика позволяет ознакомиться с важ-
ными результатами, которые получили Карлин и Мак-Грегор [46].
Определение вероятностей стационарного состояния и функции
распределения времени ожидания в системе с обслуживанием в
порядке поступления является относительно простой задачей. Эти
результаты относятся к числу наиболее ранних и получены ещё
Эрлангом.
Формулы для функции распределения времени ожидания
в системе со случайным выбором на обслуживание и системе
с обслуживанием по принципу «пришёл последним—обслужен
первым» получены значительно позже. Для первой системы ре-
зультат получили Воло [101] и Пальм [70], а для второй — Воло
[ЮЗ]. Здесь эти результаты определяются для более общего слу-
чая, когда требования, ожидающие в очереди, мо^ут покидать си-
8*	— 115 —
стему, не дожидаясь начала обслуживания, образуя поток по-
стоянной интенсивности.
Затем кратко рассматривается случай, когда поступающие тре-
бования отказываются ожидать в очереди. Последним вопросом,
рассматриваемым при исследовании простой системы, является
распределение длительности периода занятости, за который в дан-
ном случае принимается промежуток времени от момента занятия
последней свободной линии до следующего за ним момента, когда
освобождается одна из занятых линий.
Показано, что функция распределения длительности периода
занятости'совпадает с функцией распределения времени ожидания
в системе с обслуживанием по принципу «пришёл последним — об-
служен первым», что и предполагалось на основании результатов,
полученных в предыдущей главе. Затем в этой системе экспонен-,
циальное время обслуживания заменяется постоянным, и получен-
ные результаты сравниваются. В данном случае усложняется полу-
чение результатов даже для стационарного режима; любопытно,
что это в большей степени относится к вероятностям состояний,
чем к распределению времени ожидания. Полячек [78] показал, что
при обслуживании требований в порядке поступления задача оп-
ределения функции распределения времени ожидания сводится к
аналогичной задаче для однолинейной системы. Для других по-
рядков обслуживания решение не получено.
Далее кратко описывается определение вероятностей стационар-
ного состояния неполнодоступных систем и их использование в
приближённых инженерных расчётах.
Наконец, кратко сообщаются некоторые результаты для систем
с многофазовым обслуживанием.
5.2. Системы с потерями
Требования, поступающие в систему с потерями, когда все ли-
нии заняты, теряются и больше не принимаются во внимание.
Поэтому системы с потерями имеют конечное число состояний и,
следовательно, являются простыми. Как уже упоминалось ранее,
в ппрстейшей системе с потерями пуассоновский поток вызовов по-
ступает на полнодоступный пучок, состоящий из с линий, каждая
из которых имеет экспоненциальное распределение времени заня-
тия. Этот случай и будет здесь рассмотрен.
Простейшая система с потерями. Изменение состоя-
ний системы представляет собой процесс рождения и гибели (точ-
но такой же, как в простейшей системе, описанной в гл. 3) и огра-
ничено конечным числом состояний. Следовательно, вероятности
перехода можно определить с помощыр системы ур-ний (3.2), в
которой опускаются члены, соответствующие недостающим состоя-
ниям. При тех же обозначениях (а — интенсивность входящего
— 116 —
потока, b — интенсивность обслуживания) новая система уравне-
ний имеет вид:
Pio(t) = -aPlo(t) + bP[1(f)
Рц (О = a Pt, i-t (О ~ (« + */) Л, Ю + b(i + 1) Pz> /+1 (t)
Puit) = аР. c l{f} — bcPic(f)
(5.1}
и
P,,n.V>-o.
Эти уравнения будут несколько проще, если среднюю длитель-
ность обслуживания принять равной одной временной единице.
Введём обозначения u = bt и p = a!b, тогда система ур-ний (5.1)
примет вид:
Pi 0 (и) = — р Pl о(н) + Pi 1(м)
Рц («) = р Pt, i-i V) -(? + /) Рц («) + (/+ 1)Л, /+1(«)
Pic («) = Р Л, с-1 («) — Р Pic («)
(5.1а)
Если Pi — вектор-столбец [Pi0(u), Рц(ц),...,Р1с (и)],то систему
ур-ний (5.1а) можно записать в матричной форме как
d~~L = APl,	(5.16)
где А — квадратная матрица (с+1)-го порядка коэффициентов
системы ур-ний (5.1а). При с=2
А =
Р. 1
р-(р+1) 2
О р —2
Заметим, что <во всех столбцах сумма элементов равна нулю.
Решение системы ур-ний (5.16) можно получить в вйде собствен-^
ных значений и собственных векторов матрицы Л. Однако удобнее
решать эту систему уравнений другим эквивалентным способом —
с помощью преобразований Лапласа, которые нам более знакомы,
записав преобразование Лапласа функции Рц(и) в виде
со
(s) = Je_ su Pij (и) du.
О
Заметим вначале, что
,	©о
s *t} (S) — 80. = Je-S“ Р'а (р) fa,.
О
— 117 —
где fly — символ Кронекера, определяющий начальные условия.
Согласно системе ур-ний (5.1а) преобразования лу ($) нахо-
дятся с помощью следующей системы уравнений:
(Р 4-з)л/0—«д = 8г0
— Ртс,-о+ (р + 1	—2лв = 8Д
— j-i (Р + / + s) «у— (/ + О /+1 = 8у
—	(с + s)r.lc = Ъ1с
или в матричной форме записи
D ttt = В;.
(5.2а)
Здесь щ и б, — векторы-столбцы, подобные Р Р a D — квад-
ратная матрица коэффициентов системы ур-ний (5.2); заметим,
что D=Is— А, где I — унитарная квадратная матрица. Например,
при с=2 матрица D имеет вид
О
— 2
2 $
— 1
р + 1 + s
— Р
Заметим, что во всех столбцах матрицы D сумма элементов
равна s, при этом
s ОЧо +	+ • • • + ^ic)— 8/о + • • • 4* *lc — 1.
Это уравнение является преобразованием Лапласа уравнения
Pto (и) + Рп («) 4- • • • 4" Pic (ц) — 0.
Вследствие простоты структуры системы ур-ний (5.2) решение
её можно полностью получить через определители подматриц мат-
рицы D, полученные двумя способами: при движении сверху вниз
(£>п) и при движении снизу вверх (Дп).
Определители находятся из начальных условий и представляют
собой следующие рекуррентные соотношения:
Do=l
Di = р 4- s
Dn+i =(? + n + s)Dn — pnDnl
И
&
До=1
Дх = с + S
А„+1 = (с — п 4- р 4-s) Д„— (с — п 4- 1)рД„_1
(5.3)
(5.4)
— 118 —
Для краткости записи опущены аргументы Dn и Дп: Dnss
==Dn(s, р) и Дпн=Д„ (s’ с- р)- Полиномы Dn тесно связаны с по-
линомами Пуассона—Шарлье cn(s, р), о которых уже упомина-
лось в § 3.2; действительно,
Dn(s,o) = ?ncn(— s,p).
Следовательно,
Л!
п=0
Dn(s,P)= yi(n\pn-ks(s + l)...(s + k-l),
k-^k>
Dn(s + i,p)='i(n)kDn_k(s,P).
k=0
Полиномы ДЛ имеют более сложную структуру, за исключением
случая, когда значения s являются корнями уравнения |D| =0,
где |£>| — определитель матрицы D, что будет здесь показано.
Разложение определителя |D| в ряд по элементам его первой
строки имеет вид
|D| = DxAe —рД^ ,	(5.5)
а разложение в ряд по элементам последней строки имеет вид
|D| =ВСДХ —epDc_! .	(5.5а)
С помощью одного из этих выражений и рекуррентных соотно-
шений (5.3) или (5.4) находим, что
ID | = Dt ^c+l_t — i р D,_, ДС_Р i = 1,2,..., с. (5.56)
Кроме того, с помощью выражения (5.5а) и рекуррентных со-
отношений (5.3) находим
I Dl = £>c+i (s, р) — ?Dc(s, р) =
L\ « /	\ к / J
=	)pc-fts(s+1)...(S + A)=sPc(s4- 1,р).	(5.6)
— 119 —
Допустим, что г — корень уравнения |D|=0, т. е. rDc(r+l, р) =0.
Тогда согласно ур-нию (5.56) 
Д, (г) = (с + 1 —i) р -~с~1 Д ! (г) =
Dc+i_z(r)
= ^PZ-^T7T-’ (ch = c(c-l)...(c-i4-l),	(5.7)
Dc (г)
так как До(г) = 1.
Теперь возвратимся к системе ур-ний (5.2); вначале заметим,
что согласно правилу Крамера

i>j
(5.8)
Корни уравнения |D| =0 являются действительными и про-
стыми.
В самом деле, последовательность полиномов Dn есть последо-
вательность таких функций Штурма, что нули £>л+1 чередуются
с нулями Dn. Следовательно, разложив соотношение (5.8) на про-
стые дроби, получим
Р7
/I , VI cl рс~* Di(r)Dj(r) 1
2Р7	jl rDc(r)Dc(r+l) s—r
jl
(5.9)
Здесь суммирование производится по с корням уравнения
Dc(s+1) =0. Используя ф-лу (5.7), можно показать, что оба выра-
жения для совпадают при любом значении г и что
Пг(0) = Р', Д/(0) = (с)/, Dz(l) = C!Spi;
суммирование производится от 0 до с.
Костен [52] получил (s) для частного случая, когда i—c. Он
исследовал также вопрос приближённого вычисления Pcc(t).
Из ф-лы (5.9) непосредственно следует, что
Ро(0 =
Р7
/I . cl c-i у Dj (г) Dj (г) ^rbt
2Р7 Л	rDc{r)D'c(r+X)
fi
(5.Ю)
— 120 —
Первый член в ф-ле (5.10) есть стационарная вероятность />,•»
распределённая по усечённому закону Пуассона, причём она, как
и следовало ожидать, не зависит от i. Производную ZT(r-l-l)
можно определить двумя способами. Из выражения
=log(l-x)-J]D„(S)^
следует, что
р;(з+1) = ^-^П„_,(з+1).
Продифференцировав
sDc (s + 1) ='Ai (s) Dc(s) — срDc_v (s)
и положив s=r, где г, как и ранее, — корень уравнения |D| =0,
получим
rD’ (г + 1) = Dc (г) +	[Dc_1 (г) Dc (г) - (r)De (г)],
V )
но так как
Dn+l (S) = (р + П + S) Dn (s) — Р «	(S),
D„+1 (s) = Dn (s) + (p + n + s) D'n (s) — P n Dn-1 (s),
то, опуская аргументы, сразу находим, что
* Dn Dn+i Dn Dn+i = Dn -|- рм {Рп_^ Dn — Dn--\ Dn) =
= yp/(n)7DL/,
MO
так как
Do Di — Do Di = Do = 1.
Следовательно, окончательно получаем
rD4r+ l)=Vp/(g)y .
Dc(r)
Для проверки ф-лы (5.10) рассмотрим частные случаи. Так, при
с=1 единственное значение корня г равно —(1 +р), и ф-ла (5.10}
принимает вид
р (0 =	+ ...(-DM1"'. е-(1+Р)«
/!(1+р)	(1 + р)Л
— 121 —
кили при обозначениях, применявшихся в соотношениях (3.24а):
Роо(0'= 1-£о(0,	Ро1(0=1-Л(0»
Poi(0 = ^oW,	Ах (0 = £1(0.
'так как эти, выражения описывают частный случай простейшей си-
стемы с конечным числом источников, когда 7V=1, а=а,
;тде
£о(0 = р (I + рГ1 (1 - е“(1+р) bt),
£1(0 = (1 +р)'"1(р+ e-(l+p)W).
В случае с=2 корни определяются из уравнения
As ($ Ч- 1) = р2 Ч- 2р Ч- 2 Ч- (2р 3) s Ч- s2 = (s — гi) (s—г j),
шри этом
—	2/-1 = 2р + 3 — ]/ 1 Ч- 4р ,
—	2г2 = 2р + 3 Ч-уТ+4р~.
Очевидно, что если D2 (/'+1) = 0,
D2(r) = -2(p4-14-r),
Рг(гЧ- 1) = 2р + ЗЧ-2г,
D2(r)D2(r+ 1)=2(г+ 1-р), ,
то ф-ла (5.10) принимает вид
р'
Dt(r)Dj(r) гы
гО-Ч-1-Р)
Вероятности стационарного состояния pj [равные первому чле-
ну равенства (5.10)] удовлетворяют следующей системе уравнений:
0 = — рРоЧ-Р1
0 = —РР/-1 Ч- (Р Ч- — Ч- 1) Pi+V j = 1.2,..., с— 1 ..
0 = Р Рс_{ Ч- срс
Эти уравнения получены из системы ур-ний (5.1) путём подста-
новки
lim Рц (t) = 0
t —►оо
ж
limPv(0 = pj.
— 122 —
Наконец, заметим, что наибольший отрицательный корень (обо-
значим его через и) уравнения £>c(s+1, р)=0 определяет скорость
приближения к стационарному режиму. Если р много больше с,
то значение этого корня близко к —р; при р=с он равен —2; при
р—0 значение этого корня приближается к —1.
Система с потерями; конечное число источни-
ков. Как и в § 3.5, в случае конечного числа источников имеется W
независимых источников входящего потока, каждый из которых
имеет интенсивность а; при этом, когда занято п источников, ин-
тенсивность равна (АГ—п)а. Если N<c, где с — число, линий,
потери невозможны, и формулы, полученные в § 3.6, остаются без
изменения. При N>c некоторые члены системы ур-ний (3.19) от-
брасываются и она принимает вид
Ло(0 = -^«Ло(0 + 6Рг1(0
+ (/+i)6Pfi/+1(0
Pic (0 = (N - с 4- 1) a Р(	- be Pi c(t)
Эта система уравнений по внешнему виду аналогична системе
(5.1), и чтобы получить её решение, нужно лишь записать новые
выражения для определителей:
Do= 1
Di = N р + s
Dn+l = [(АГ - n) p + n + s] Dn - (N - n + 1) p n Dn_x
(5.12)
где p=a/b. Заметим, что в данном случае определитель Dn яв-
ляется функцией от N, s, р и п, т. е. Dn=Dn(s, р, N).
Его экспоненциальная производящая функция имеет вид
D„ (s, р, АГ) = (1 + px)N+s (1+ p)~l (1 —x)-s(1+p)_1. (5.13)
Следовательно,
оо
J]D„(S+l+p,p,iV-l)^ = (l-xr1 J]d„(S,p,A9^-,
л=0	л=0
что соответствует выражению
п
D„(s+l+p,p,tf-l) = g
(«k-Dn_ft(s,p, N).
— 123 —
В данном случае определитель |£>| матрицы D имеет вид
|D| = sDc(s+l+piP,jV-l),	(5.14)
а числами г являются такие с значений s, для которых
Dc(s+ 1+ p, ?,N — 1) = 0.
Вероятности стационарного состояния имеют усечённое бино-
миальное распределение, известное как распределение Энгсета [30]:
)р;Г1 + ^р + ...+)рс1 > Р=Т- (5-15)
I j ) L	V с / J ь
Следовательно, окончательно получаем уравнение для вероят-
ностей перехода, соответствующее ур-нию (5..10), в виде . >
Р (/) = р +	рс-‘‘ V	-----&гЬ‘. (5..16)
° PjT ji{N_c)i ‘	rDc(r+l+P)Dc(r)
Г
При с=1 имеем уравнение £>i(s + l+p, р, N—I) =Np + l+s,
единственным корнем которого является г=—Afp—1. Следователь-
но, полученные формулы будут такими же, как и формулы для си-
стемы с бесконечным числом источников, где Np заменено на р.
Избыточный поток. Вызовы, теряемые на полнодоступном
пучке линий, могут рассматриваться как его избыточный поток и
могут быть приняты какими-нибудь другими линиями, как, напри-
мер, в системах со ступенчатым включением. Избыточный поток
описывается функцией распределения Gc(/) длительности проме’-
жутков времени между последовательными моментами появления
избыточных вызовов.
В данном случае интересно отметить, что эта функция может
быть определена на основании приведённых выше выкладок при
рассмотрении состояния полной загрузки системы как поглощаю-
щего состояния со. Тогда переход сы является первым переходом,
т. е. переходом из состояния с в состояние со в первый раз. Следо-
вательно, Gc(t) — не что иное, как вероятность перехода	•
В случае простейшей системы с потерями, описанной в § 2.1, си-
стема ур-ний (5.1а) изменяется и принимает вид:
Ро (и) = — р Ро («) + Р1 («)
P'i («) = Р Pj-Д (и) — (р +./) Pj (и) + (/ + 1) Рж (и)
р'с (и) = р Рс_! (и) — (р + С) РДм)
pL (и) = Р Рс (и)
— 124 —
где для краткости записи принимаем Pj (u) = РCj(и).. Заметим, что
эта система при опущенном последнем уравнении (которое являет-
ся самостоятельным уравнением) отличается от системы (5.1а)
только коэффициентом при Рс(и) в последнем уравнении. Вместо с
коэффициентом становится р + с. Следовательно, определитель |О|
матрицы D соответствующей системы уравнений в преобразова-
ниях Лапласа имеет вид:
IОI = (р + с + s) Dc (s, р) — р cDcl (s, р) = Dc+I (s, p)
, X _ Dc(s, p)
^cc V>) —	,
Oc+l(s.P)
P'c^}=Gc^ = aPcc{t).
(5.18)
(5.19)
(5.20)
Так как
oo
Tc (s) = fe~ st dGc(f) = pKcc
J	\ 0
0
— 'производящая функция моментов распределения Gc(t), то сред-
няя длительность промежутка времени между последовательными
моментами, в которые происходит потеря требований, имеет вид
— Тс(О) = ^z„(0)=4-
о	о
Рс Е>с+1 ~~ DC Dc+l
(5.21)
где
— первая функция потерь Эрланга. Аргумент, опущенный в про-
цессе выкладок, равен нулю; £>п(0)=рл. Выражение, стоящее под
знаком суммирования во второй строчке ф-лы (5.21), получено из
тождества, являющегося второй формулой для определения члена
/•рДг-Ы), входящего в выражение (5.10).
Таким образом, средняя длительность этого промежутка вре-
мени равна обратному значению средней интенсивности избыточ-
ного потока, значение которой уже давалось в ф-ле (3.42).
— 125 —
Выражения для моментов более высокого порядка являются
сложными, но второй обычный момент имеет вид
При выводе этой формулы было использовано соотношение
Dn — Dn ^«+1 — 2ДЛ Dn 4- рн (-Dn—i Ол — ^п—\ Вп) —
п
15)
Распределение вероятностей стационарного
состояния при произвольном распределении вре-
мени обслуживания. Воло [100] показал, что первое распре-
деление Эрланга остаётся справедливым и в случае произвольного
распределения времени обслуживания. Костен [53] заметил, что
это свойство сохраняется и для распределения Энгсета (и, следо-
вательно, для распределения Эрланга при обычном способе пере-
хода к пределу). Доказательство, которое приводит Костен, при-
менимо и к распределению Эрланга; по характеру оно аналогично
доказательству Воло. Б. А. Севастьянов [154] даёт более строгое
доказательство этих положений. Доказательство Костена состоит
в следующем.
Как уже указывалось ранее, требования поступают в систему
от конечного числа источников. Обозначим через B(t) функцию
распределения времени обслуживания, а через рп(иь и2, ..., ип) X
..., dun — вероятность того, что в стационарном состоянии
на обслуживании находится п требований, при этом время, в течение
которого продолжается обслуживание i-го требования, находится
в промежутке (uz, u^du^, Z=l,2,..., п. Номер требования соот-
ветствует номеру линии, которая предполагается помеченной или
заданной каким-либо другим способом. Заметим, что для опреде-
ления вероятности рп безразлично, какие именно линии заняты,
в отличие от соответствующей функции Fn, рассматриваемой Воло,
которая относится к первым п линиям.
Таким образом, pn=Q^Fn — вероятность того, что обслужи-
вание требования, продолжающееся в течение времени и, будет за-
кончено в промежутке времени (и. u + du), каки в §4.4, имеет вид
g(u)du = ^(u)du_
S ' ’	1—В(и)
— 126 —
Рассмотрев обычным способом возможные изменения состоя-
ния системы в бесконечно малом промежутке времени, получим*
дифференциальное уравнение в частных производных
Г-/- +	+	+	+	+ g(“«) + a(^— «)]рп(“х.
L dui	дип	J
о
• > ып>и) S (и) du, п<с.
(5.23>
При п=с член a(N—с), стоящий в левой части уравнения, от-
сутствует, а правая часть уравнения становится равной нулю. Кро-
ме того, при стационарном режиме выполняется равенство
a (N — п) рп (иь ...,«„) = (« + 1) Pn+i (иг.0). ( (5.24>
Вероятности рп, рассмотренные ранее, имеют вид
со оо
Р„ = J... Pn(«i.......ил) d«i, ..., dun
о о
и
1	Ро + Р1 + • • • + Рс = 1 •
Произведём замену переменных:
(и	\ = рп
!>•••. п) [1_В(„1)]...[1_В(Мл)1’
при этом ф-ла (5.23) (после интегрирования по частям) и ф-ла
(5.24) принимают вид:
------F • • • + "7 ) Чп (ы1> • • • > мл) =
\ dui-оип )
= (п + 1) f В (м) q ., («1....ип, и) du, (5.23а>
о
а (У — n) qn (ui....ип) + 1) <7„+1 (иъ 0). (5.24а>
Уравнению (5.23а) и соответствующему ему уравнению для
п=с (в котором правая часть равна нулю) удовлетворяет соотно-
шение
Яп (^1’ * • • ’
(5.25>
— 127 —
в котором сп — некоторая постоянная, определяемая по ф-ле
{5.24а) как
л	N — п	<>N — п N-n+\	n+i
С , i = а-с = а2---------_L— с , = 7.
"+*	п+1	п + 1 п
Тогда
Рп = спЬ п,
так как
Ь~ 1 = J/dB (/) = J[ 1 — В (/)] dt.
О	о
Используя ф-лу (5.26) и соотношение р0+ ... +рс=1, получаем,
наконец, распределение Энгсета
/N \ Г	/ N\
Рп = Рп[ ) 1 + N р + ... + (	| рс
\ п / L	\ с /
а
р=т
Рекуррентный входящий поток. Как показали Поля-
чек [76] и Такач [93], вероятности стационарного состояния системы
можно определить также для системы с рекуррентным входящим
потоком и экспоненциальным временем обслуживания. Доказатель-
ство Такача состоит в следующем.
Как и обычно, обозначим через А (/) функцию распределения
входящего потока (функцию распределения длительности проме-
жутков времени между моментами поступления требований). Так
как обслуживание k из /+1 требований, находящихся в системе
в момент, непосредственно предшествующий моменту поступления
данного требования с вероятностью (e~bt)k, будет продолжаться
в течение времени, не меньшего t, то вероятности перехода для мо-
ментов поступления требований имеют вид
Pjk =
— еГ bt)i+'~k dA (f),
(5.27)
о
/<+— l,v k
И
Pck ~ Pc-l, k •
Систему уравнений для вероятностей рп стационарного состоя-
ния системы можно записать так:
рл=	n = 0, 1, ...,с.	(5.28)
— 128 —
Следовательно, производящая функция
Р(*) = 2Р«Х"
должна удовлетворять уравнению
Р(*) = J[1 +(* —
1)е~м] р [1 + (х-l)e-w] dA(0 +
О
оо
+ (1 -х)рс Je-W [1 + (X- 1)e-b‘]‘dA(f).
о
(5.29)
Удобно перейти к биномиальным моментам, обозначив через
&(х)=р(1+%) производящую функцию биномиальных моментов.
Тогда согласно ур-нию (5.29)
оо
6(х) = J(l+xe-w),&(xe-w) dA(t)~
О
— xpcJe м(1+хе bt)cdA(f).
0 (
(5.30)
Уравнение (5.30) можно решить, выразив Ь(х) через аг:
ar = J
о
Тогда уравнение (5.30) приме? вид
&(*) = ^МГ= J^6rxr(ar+xar+i)~г)*Га'+р
(5.30а)
при этом
6о= 1,
4,"
af
9-541
— 129 —
Эти уравнения можно решить методом последовательных под-
становок следующим образом:
где
(5.31)
Формула для определения вероятностей через биномиальные
моменты имеет вид
с
Для пуассоновского входящего потока с интенсивностью а:
а?- = р(р+/) '> Р=Т’ С/ = /!Р '»
J	О
Г1 ii
о
Последнее выражение есть производящая функция биномиаль-
ных моментов первой функции распределения потерь Эрланга.
Такач [93] показалчто вероятности стационарного состояния
системы для произвольных моментов времени (в отличие от рас-
— 130 —'
смотренных ранее вероятностей стационарного состояния для мо-
ментов поступления требований) имеют вид:
---- Р ?п— 1
Рп -_,
п
ро = 1 — Р1 — .
р = — , п > О
r b
~Рс
(5.32)
где а — интенсивность входящего потока. Как и следовало ожи-
дать, в случае пуассоновского входящего потока р* =рп-
Бенеш [5] тщательно исследовал эти результаты и наряду с ре-
шением других вопросов показал, что при заданной интенсивности
входящего потока число теряемых требований будет минимальным
в том случае, когда поток является регулярным. В то же время
в другом предельном случае существует такой закон распределе-
ния длительности промежутков времени между моментами поступ-
ления требований, для которого вероятность потерь может ока-
заться сколь угодно близкой к единице.
Повторное поступление требований. В данном слу-
чае не выполняется принятое ранее допущение о том, что потерян-
ные требования (т. е. те требования, которые не смогли сразу по-
пасть на обслуживание) больше не принимаются во внимание.
Анализ случая повторного поступления требований очень сложен,
особенно для системы с конечным числом источников, когда по-
вторно 'поступающие требования отличаются от обычных требова-
ний. Изложенный здесь материал можно рассматривать как на-
чальную стадию такого анализа.
Как и в работе Вилкинсона [106], предположим, что в систему
поступает пуассоновский поток. Система состоит из с полнодоступ-
ных линий с экспоненциальным временем обслуживания, и интен-
сивность потока повторно поступающих требований постоянна и
равна rb, где г — некоторая постоянная, а b — интенсивность
обслуживания. Заметим, что на интенсивность входящего потока
не оказывают влияния требования, обслуживание которых не бы-
ло начато немедленно. Число возможных повторных поступлений
требования не ограничено, т. е. требование может поступать в си-
стему столько раз, сколько необходимо для того, чтобы, наконец,
попасть на обслуживание. Повторно поступающие требования об-
разуют вторичный пуассоновский поток, состоящий из требований,
которые мы называли раньше потерянными.
Обозначим через ртп вероятность того, что в стационарном
состоянии на обслуживании находится т требований, и п требова-
ний поступают повторно. Тогда при p^alb имеем
(Р + т + т)ртп = ррт_1г п+(т+1) рт+х< „ +
+ г(п+ 1)pm._lr„+l, т<с
(Р + С) Реп = Р Рс_!, п + РР', п-1 +/•(«+!) Рс-1, п+1
(5.33)
9*
— 131 —
В этих уравнениях m=0, 1,..., с и n=0, 1, 2,...; если значе-
ния т и п не находятся в этих пределах, то ртп =0. Суммируя все
уравнения при фиксированном значении п, получим
m(Ро„ + .. . + рс_г ,)—ррС'п_г =
= г (и + 1) (р0 „+1 + • • • + Pc_lt n+i)-РРС, „ = 0.	(5.34)
Нуль в правой части ур-ния (5.34) Даёт последний шаг про-
цесса итерации.
Система ур-ний (5.33) не имеет простого решения. Полное ре-
шение не требуется для определения вероятности потери (при по-
вторном поступлении требований), за которую может приниматься
вероятность занятости всех линий (это состояние иногда называет-
ся перегрузкой по времени), т. е. рс.=2рсл, либо относительное
л=0
число требований, поступающих повторно:
__	с
«= 2	(5.35)
р-{-Г Л	т=0 л=0
Заметим, что согласно ур-нию (5.34)
гп = ррс + 21трсп.	(5.36)
п-0
При г= со имеем простейшую систему с ожиданием, представ-
ляющую собой полнодоступный пучок линий, и, принимая во вни-
мание выражения, рассмотренные в этом параграфе, получаем
рс.= -^ —[1+? + ... + ^- + -^—Г =£2с(р).
с! с —р [	г (С_1)! г с! c_pj	2,с^>
"=7^(р).
Ц7=_.
с — Р +г Е2,с (?)
При малом г промежутки времени между повторными поступ-
лениями станбвятся настолько продолжительными, что эта систе-
ма может рассматриваться как система с потерями, загрузка ко-
торой равна
Р' = Р + ГП
и
гп = р' ЕХс(о'),
— 132 —
где, как и ранее,
Тогда
РС.= Е1,с (И.
W = Ei.e (Р') Р + Бкс (р')]-1 .
Последние два случая могут быть описаны с помощью одной
(приближённой) формулы, а именно:
гп = р' — р + грЕ2с (р) (с — р)-1.	(5.37)
Как показал Райс в своей неопубликованной работе, совершен-
но неожиданно обнаружилось очень хорошее совпадение' резуль-
татов, полученных при использовании этой формулы, с численными
результатами, приведёнными в статье Вилкинсона [106]. Кроме то-
го, ф-лу (5.36) можно переписать в виде
г п = (р + г Rc) рс.,	(5.36а)
где	>
V Прсп
Так как при г= со имеем /?с = р/(с—р), то аналогичное прибли-
жённое выражение для рс. имеет вид
Следовательно, окончательно получаем следующие приближён-
ные выражения:
_ (pz — р) (g —р) + гр^2,с (р)
Рс-	p'(g“-p) + rp
 уу = (Pz —р) (g —р) + гр£2> С(Р)
Pz (g — Р) + г р £2, с(Р)
Костен [52] рассмотрел случай повторного поступления требо-
ваний при произвольном законе распределения длительности про-
межутков времени между моментами повторного поступления,
когда допускается лишь незначительное изменение вероятности то-
го, что занято определённое число линий. Это привело его К вы-
числению вероятности перехода Рсс(0, которую он назвал функ-
цией возвращения к исходному состоянию.
— 133 —
Коэн [20] рассмотрел описанный выше случай со следующим
дополнительным условием: допускается, что требования, поступаю-
щие повторно, могут с постоянной интенсивностью покидать систе-
му до начала обслуживания. Полученные им результаты очень
сложны и поэтому не могут быть приведены в кратком обзоре.
5.3. Вероятности перехода в простейшей
системе смешанного типа
В данном случае рассматривается многолинейная система с
пуассоновским входящим потоком, состоящая из с полнодоступных
линий, каждая из которых имеет экспоненциальное время обслу-
живания. Система имеет ограниченную ёмкость /С; это означает,
что в системе может одновременно ожидать обслуживания не бо-
лее К—с требований. При К=с её можно рассматривать как си-
стему с потерями, а при К= оо —с ожиданием. Как будет показа-
но, математические формулы, определяющие вероятности перехо-
да в этой системе, аналогичны формулам, которые были получены
для системы с потерями, поэтому именно сейчас и рассматривается
смешанная система.
Основные уравнения для вероятностей перехода как функций
от вторичной временной переменной u=bt имеют вид:
р'ю («) = — Р Pi0 (и) + Рл (и)
Р'ц («) = Р Pi. J_1 («) — (? + /) Plj (Ч) + (/ + 1) Pit /+1 (и), / < С	(5 39)
р'а (р) = Р P{f J-1 («) — (? + с) Pij («) + с Р. } +1 (и), с < i < к
Pi к (Р) = Р Р{' K—t (Р)	Р{ к (“)
Следовательно, в матричной записи уравнение, которое являет-
ся преобразованием Лапласа этой системы уравнений, совпадает с
ур-нием (5.2а) и имеет вид
ЯПг = 8/(
но в данном случае матрица D соответствует уравнениям:
(р + s) Пго — Пд — oto
— Pnz, /-1 + (р + / + s) nzy — (/ + 1) И/, j+i — *z/> / <с
РПг. j-i + (? + с + s) ПО-— с Пг, i+i =	с<! <%
P^Z. К—(С + S) I^ZK =
(5.40)
— 134 —
Для единообразия эти результаты выражаются обобщённой
матрицей
* г v0
-*1
— р-1
s + V1 — р-2
---^2 S + V2
S4"VK—1	Рх
(5.41)
Тогда системе ур-ний (5.40) будут соответствовать следующие
обозначения:
\ = р,
р 4-
р + с,
с,
i < с,
с <i< К,
i = K.
I,
с,
i < с,
D =
Hz =
В данном случае определители Dn и Дп при обозначениях, при-
нятых в ф-лах (5.3) и (5.4), можно записать так:
Do= 1,
= р + >0,
^n4-i — (s 4- v«) Вп 4~ Р'л ^„_i	(5.42)
Ао= 1.
Ai = s 4-	,
Afi+l = (S 4- v^_„)	\<+1-л Р/С4-1-Л ^л-1-
Определитель |£>| матрицы D имеет вид
t= 1,...,К.	(5.43)
Заметим, что это выражение имеет сходство с ф-лой (5.5). При
корне г уравнения |D| =0 из (5.43) следует, что
DK, (г)
(г) = \ ^к— 1 • • • ж 1 • • • Рк-44-i dk •	(5-44)
Обозначим через D'(s) производную определителя |D|. Тогда,
дифференцируя столбец за столбцом, получим:
— 135 —
D'(s) = ^D^K_r	(5.45)
z=o
D'(f) =	‘ ‘ 'X/+1	‘ Р‘+* D^(r) =
/-0	A
= w У - Д«(r) C« «	<5-46’
i^O 1
где
= Xj Xx.. . Xz,	(Xo = 1),
Mt= PoHl. .. ft, (Po= 1).
Значение C^(r) находится из последнего члена равенства
(5.46).
Так как П 1} определяется из соотношений:
|Р|Пу =
\+i • • • Ъ ^к-j ’ i < Ь
P/+i • • • Pz Dj &k-i> i > Ь
(5.47)
которые имеют общие корни, и эти корни являются различными,
то окончательно находим, что
Л;(0 = 2
Ог (г) Д/ (г) &rbt
Ч Mj Cr {г)
(5.48)
Выражение (5.48) является полным решением общего вида для
вероятностей перехода и имеет сходство с ф-лой (5.10), которая
получена для частного случая. На основании специальных свойств
полиномов Dn=Dn(s, р) при малых значениях с ф-лу (5.48) мож-
но упростить.
Так, при с=1 и 1 имеем
^„+,= (s + p+1)О„ —рОп_р п>1.
Решение этого уравнения,, удовлетворяющее также D0=l и
Di=s+p, можно записать в виде
Dn = Vn-Vn_v
где
л/2 sin (га + 1) 6 fl _ s + p+ 1
Р sinfl ’	2/Г ’
— 136 —
Так как при такой записи решения оказывается, что
то корнями уравнения |D| =0 являются нуль и 6л, где
9ft =nk(K. +1)— 1, kk=\,2,..., К. Соответствующие значения Dn и
Ск имеют вид:
1 — ++1
DAO) -р",	<М0)
D. (SJ = р"/!	, ск (в„) =	,
sm	'	2p suf Ufe
W	_ J_ ’	•
F^ = sin(n+l)6ft —p 2 sin n9fe,
f*= 1 + P —2yFcos6*.
Следовательно, ф-ла (5.48) принимает более простой вид и сов-
падает с выражением (4.10) для однолинейной системы
.	1 а. !~1 к
“ !_,*+ 11, lk
Соответствующий результат для однолинейной системы с ожи-
данием (К-> оо) [ф-ла (4.9)] получил Морз [64]. Независимо от не-
го к этому же выводу пришли Карлин и Мак-Грегор [46].
При с=2 полиномы Dn имеют вид:
Do = 1, Di = р + s, D2 = р2 + (2р + 1) s + s2,
и
£>„+i = (p + 2 + s)D„ — 2pD„_p п > 2.
Решение этого рекуррентного уравнения, включающее в себя
приведённые выше значения Di и Ь2, можно записать как
Dn = D2 Vn_2 — 2р	Vn_3, n> 0,
где
vn = v„(e) = (2p)n/2S-in(nt-1lLt
Sin и
2 V^p cos9 = s+ p +2.
— 137 —
Заметим, что Vn удовлетворяет также рекуррентному соотно-
шению для Dn\ используя это замечание, можно получить более
простое выражение для |D|:
PI = s[(p+l+s)Vx_1-pVK_2] .
Корень s = 0 соответствует вероятностям стационарного состоя-
ния, которые существуют при р<2 и не зависят от начального со-
стояния г. Поскольку, как и ранее, I, = pz и Мо = 1, М, = 2‘-1,
«>0, D„(0)=p«, то
C-'(0) = S't = 1+p+JF + - + ^-
k=Q
Находим, что
lim (0 = р • = 2 (-£- Y ро, / > О,
ъ то время как
р0 = ск(0) •
Эти формулы легко проверить, приравняв нулю левые части
уравнений системы (5.39).
При других значениях корня оказалось невозможным получить
.достаточно простые выражения, но Карлин и Мак-Грегор [46] в
•явном виде нашли решение уравнений для двухлинейной системы
с ожиданием. В этом случае при р<2/9 появляется дополнитель-
ный член.
Следует заметить, что для любого с полином Dn можно запи-
сать в виде
D = Л V — cpDr .V г . , п>с — 2	(5.49)
(см. Карлин и Мак-Грегор [46], ур-ние 4.17), где и Dc — по-
следние из исходных полиномов, которые, по существу, являются
полиномами Пуассона—Шарлье, и
у (0 с)=(со)«/2 Sin (п+1)0
2 У с р cos 9 = $ + р + с.
Функция Vn тесно связана с полиномами Чебышева Un(x),
определяемыми как Z7o=l, £Л=2х и
t7„+1(x) = 2xt/„(x)-t/„_I(x),
.при этом
Vn(cos9)=sin(fe+1)6 .
п v ’ sin 0
— 138 —
Практическое применение этих результатов зависит от наличия
эффективного способа определения корней уравнения |D| =0. Для
системы с ожиданием этот вопрос .подробно рассмотрели Карлин и
Мак-Грегор [46] и Ледерманн- и Ройтер [56].
Наконец, вероятности стационарного состояния системы с ожи-
данием при любом с имеют вид:
(5.50)
Это распределение вероятностей (рп) известно как второе рас-
пределение Эрланга. Как уже указывалось в § 5.2, вероятность
ожидания (рс+Рс+1 + ... ) выражается как
Е2,с (р) = 4 —
с! с — р
рс , ?с с
(с—1)!	с! с—р
Табличные значения этой функции приведены в работе Йенсе-
на [44] для с=1, 2,	139 и различных, но нерегулярных зна-
чений р.
5.4. Распределение времени ожидания
в простейшей системе с ожиданием
В простейшей системе ,с ожиданием пуассоновский поток посту-
пает на полнодоступный пучок линий с экспоненциальным време-
нем обслуживания; для тех требований, которые не могут немед-
ленно поступить на обслуживание, имеется место для ожидания,
в котором они могут находиться некоторое время, пока освободит-
ся обслуживающее устройство. Заметим, что требования могут
ожидать начала обслуживания столько, сколько потребуется
(ожидающие требования не покидают систему до начала обслужи-
вания).
Важность изучения этой системы состоит в том, что на её при-
мере удобно произвести сравнение различных порядков поступле-
ния на обслуживание. Здесь рассматриваются: 1) обслуживание в
порядке поступления («первым пришёл—первым обслужен»);
2) случайный выбор на обслуживание и 3) обслуживание по прин-
ципу «пришёл последним—обслужен первым» или обслуживание
в порядке, обратном порядку поступления в систему.
— 139 —
Функция распределения времени ожидания №(£) есть вероят-
ность того, что длительность ожидания требования, поступившего
в систему в произвольный момент стационарного режима, не
больше t.
Заметим, что среднее время ожидания не зависит от порядка
обслуживания. Этот факт непосредственно вытекает из следующе-
го замечания1). Для длительного промежутка времени T=(to, Л)'
суммарная длительность ожидания 1^(Т) равна разности двух ве-
личин: общего числа требований, обратившихся за обслуживанием,
и суммарной длительности обслуживания — каждая из этих вели-
чин не зависит от порядка обслуживания. Если n(t) — число тре-
бований, находящихся в системе в момент времени t, то N(T) —
число требований, поступивших в систему в промежутке времени Т,
равное интегралу от n(t) по промежутку времени Т.
Обслуживание требований в порядке поступ-
ления. Обозначим через wn(t) условную вероятность того, что
требование, в момент поступления которого в очереди находится
п других требований, ожидает обслуживания в течение времени,
не меньшего t. Заметим, что эта вероятность является дополни-
тельной функцией распределения. Тогда соответствующая вероят-
ность для любого ожидающего требования будет иметь вид
2 Wn^Pc+n
,	(5.51)
2^
л=0
где рп — вероятность стационарного состояния, определяемая
ф-лой (5.50).
Рекуррентное выражение для wn(t) можно найти, рассмотрев
все возможные изменения состояния системы в бесконечно малом
промежутке времени, следующем за моментом поступления требо-
вания. Поскольку обслуживание производится в порядке поступ-
ления, то последующие поступления не оказывают влияния на ве-
личину а»п(0-
Рекуррентное соотношение имеет вид
1 Wn	Wn-1 (0^ + 0 — 6cdZ) wn
перейдя к пределу, получим дифференциальные рекуррентные со-
отношения
(f) = be wn_v (0 — be wn (/).	(5.52)
Запишем
- w(x,f) = ^xnwn(t).
n=0
’) Об этом в 1956 г. в частной беседе сообщил Рейч.
— 140 —
Умножая соотношение (5.52) на х“ и суммируя по п, получим
уравнение
—(*’	= Ьс (х — 1) w (х, t),
решение которого имеет вид
w (х, t) = w (х, 0) ехр [be (х — 1) 7].
Поскольку согласно ф-ле (5.50) Рс+п = Рса-п> где а.=а/Ьс
(а иногда называют загрузкой системы), то из ф-лы (5.51) сле-
дует, что
W (t) = (1 — a) ая wn (f) = (1 — а) w (а, f) =
71=0
= ехр[—&с(1—а) 7] = е~(1-а>“ , и = bet, а = — .	(5.53)
Ьс
Полезно напомнить, что w(t) — дополнительная функция рас-
пределения 1/0(0) = 1, до(оо)=0, w(t) —вероятность того, что
время ожидания обслуживания не меньше /]. Вероятность ожида-
ния равна Е2с (р). Следовательно, функцию [распределения вре-
мени ожидания можно записать как
W (/) = 1 - Е2 с (р) w (t) = 1 - £2>с (р) ехр [- (Ьс - а) /]. (5.54)
Обычные моменты функции распределения 1—w(t) длительно-
<сти условного ожидания определяются из выражения
tnk = J tk d [ 1 — w (/)]
и
и могут быть легко вычислены:
tnk = j tkе“bc (1~а) ‘ be (1 — a) dt = k\ (bc—ja)~ k.	(5.55)
u
Случайный выбор на обслуживание. Вывод урав-
нений при случайном выборе на обслуживание производится ана-
логично. Основное рекуррентное соотношение почти одновременно
получили Воло (101] и Пальм (72]. Оно имеет вид
w'n =	® — (а + М wn (0 + a“’n+i (0-	(5.56)
“Г
— 141 —
При выводе соотношения (5.56), как и обычно, рассматривают-
ся изменения состояния системы в бесконечно малом промежутке
времени. В этом промежутке времени возможно появление одного
из трёх событий: 1) поступает новое требование; 2) заканчивается
обслуживание требования, находящегося в линии; 3) новое требо-
вание не поступает и обслуживание не заканчивается. Вероятность
первого события равна adt и связана с функцией распределения
времени ожидания wn+x(t— dt). Вероятность второго события
равна bcdt-, вероятность того, что требование, обслуживание кото-
рого закончено, не является данным (только что поступившим)
требованием, равна «/(«+!), функция распределения времени ожи-
дания равна wn_i(t — dt). Вероятность третьего события равна
1—(a+bc)dt, а функция распределения времени ожидания равна
wn (t—dt). Следовательно,
wn (jt -f- dt)=a dtwn+l (t)+bc dt -^-p wn_{ (t) +
-Hl — (a + bc)dt]wn(t).
Переходя к пределу, получаем ф-лу (5.56).
Введя новые переменные а = а[Ьс и u=bct, имеем
Wn № = тут Wn~l — (1 + wn +а “’«+1	(5-56а)
Функция распределения времени ожидания для произвольного
(ожидающего) требования, как и при обслуживании требований в
порядке поступления, имеет вид
(o=(i—а) 2	а = у •
Запишем
W (х, и) = 2 х” Wn
л=0
Используя ур-ние (5.56а) и обозначая нижними индексами ча-
стные производные, получим следующее дифференциальное урав-
нение в частных производных для w (х, и):
wu 4- х wxtl — (х — 1) (х— a) wx — (х — 1 — а) w = 0.	(5.57)
Введя преобразование Лапласа, получим обычное дифферен-
циальное уравнение
оо
Ф (х, s) = J £~su w (х, и) du.
о
— 142 —
В самом деле,
[х2 —х(1+а-f-s)+а]Фх(х,8) +
+ (х — 1— а — з)Ф(х,з) = — (1— х)-2 .	(5.58>
Если
х2 — х (1 + а + s) + а = (х — Xi) (х—х2),
то
х — (1 -|- а -|- s)  т	/и 4- 1
X2 — X (1 + а + s) + a	Xi—X	Х2 — X
где
Х1
т =-----------.
*1—*2
Рршение ур-ния (5.58) приведено в работе Полячека [74]. Оно
имеет вид
хъ
Ф (Х, S) _ (X, - хг (хг - X)-”-1 J—<5-59>
X
и при х=х2, где Хг — меньший из двух корней Xi и Хг, оно обра-
щается в нуль.
Зависимость корней Xi и Хг от s не проявляется в явном виде, её
можно обнаружить в выражении
l + a + s±[(l + a+s)2_4a]M2
Л1,2 —	2
Так как функция распределения времени ожидания w(и), где
u=bct, имеет вид
/	о»(«) = (1—a) w (а, и),
то, если не принимать во внимание коэффициент 1—а, равенство,
(5.59) является преобразованием Лапласа функции w (и). При не-
сколько изменённых обозначениях Полячек [74] получил обратное
преобразование выражения (5.59) в следующем виде:
w (и) = 2 (1 — a)J е “л
о
В sin t dt
1+exp(itctg'f) ’
(5.60>
где
A = 1 + a — 2 cos t,
В = A~2 exp (/ + 20) ctg t,
arc tg sin f
1 — У a cos t
O<0 <—
2 *
— 143 —
1
Таким образом, функция распределения времени ожидания |
w(u) полностью определяется ф-лой (5.60), которая позволяет по- I
лучить численные результаты методами численного интегрирова- |
ния. Кроме того, методом быстрейшего спуска можно получить |
-следующие асимптотические формулы: (Полячек {74]). При боль- |
ших значениях и	|
ay (и) ~ 2 (1 — ₽2) (-^у)5/6 (Ю8)—1/6 (1 - РГ4 X	’
Хехр[-«(1-₽Г-з(^-у/3+у^|], ? =	(5.61)	1
При больших значениях х=2и (1—]Ас), но малых по сравне-
нию с единицей значениях х (1—]/а)
o>(u)^]At xl/4exp(—2]/х ), х=2и(1—Уо~) . (5.61а)
Следует обратить внимание на обычные моменты mk распреде-
ления времени условного ожидания 1—w(t) — не только для то-	'»
го, чтобы познакомиться с их свойствами, но и потому, что с их	j
помощью можно получить приближённые результаты. Моменты	I
mk можно определить (см. Риордан [82]) с помощью алгебраиче-	,
ских операций над ур-нием (5.56) или (5.56а) или используя вы-	1
ражение (5.59) и преобразования Лапласа. Наиболее просто мо-	|
менты mh выражаются через коэффициенты моментов распределе-	1
ния входящего потока соответствующих порядков	|
Имеем:
Ri= 1,
R2=(l-^-)-1, R8 = (4 + 2а) (2 — а)~2 ,
R< = (24+ 20a—16a2—4a8)(2 —a)-3 (3 — 2a)-1 .
Приближённое выражение (см. Риордан [82]), которое даёт точ-
ное совпадение результатов для первых четырёх .моментов и обес-
печивает хорошее соответствие при a <0,7, имеет вид
(И) = У1 е- 2“ (1-a) У1 + Уг е-* <‘-а) у*,	(5.62)
где
1 +
У 1,2 =
Обслуживание по принципу «пришёл послед-
ним — обслужен пер вы м». При рассмотрении системы с об-
— 144 —
служиванием по принципу «пришёл .последним — обслужен пер-
вым» потребуется новая вспомогательная случайная величина —
вероятность того, что длительность ожидания обслуживания тре-
бования, которое только что оказалось (п+1)-м в очереди, будет
не меньше //Эта вероятность обозначается через vn(t). Заметим,
что если п>0, то промежуток времени, к которому относится t,
является частью периода ожидания; vQ(t) — вероятность ожидания
для любого (ожидающего) требования, не зависящая от длины
очереди в момент поступления, так как вновь поступающее требо-
вание направляется в начало очереди.
Полученное Воло [103] основное рекуррентное соотношение, ко-
торое можно вывести указанным ранее способом, имеет вид
v'n (f) = be (0 — (а + be) vn (fl + a vn+l (t),	(5.63)
или
v'n	= vn-i («) — (1 + a) »n («) + a vn+l («),	(5.63a)
где и—bet, a=albc, как и ранее.
Производящая функция
v(x,u) = ^xnt>n(«)
n=0
удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в ча-
стных производных:
xvи (х, и) — (х — 1) (х — a) v (х, и) + a. v0 (и) = 0,	(5.64)
её преобразование Лапласа
оо
Ф(х, s) = J е“stl v (х, и) du
о
имеет вид
[х2 — X (1 + а 4- $) + а] Ф (х, $) = аср0 (s) — X (1—х)-1 ,	(5.65)
где
оо
?о ($) = J е- sa v0 (и) du.
о
Так как Ф(х, s) обращается в нуль при х2— меньшем из двух
корней хь х2 квадратного уравнения х2— х(1 + а+$)+а=0, то
Фо($) определяется из выражения
?o(s) = -7^—, = j------(5.66)
а (1—Х2), S as
так как для последнего шага имеем х| —х2(1 + а+«)+а=0.
10—541	— 145 —
Кемпбелл и Фостер [12] приводят обратное преобразование этой
функции в виде
и
v0 (u) = 1 — а-1/2 j* е~(1+а) х (2х ]ЛГ) ,
(5.67)
где u=bct, a=afbc, а I\ — функция Бесселя первого рода для
мнимого аргумента.
Моменты функции распределения 1—t»o(«) имеют экспонен-
циальную производящую функцию
М«) =	= f е“ [— »о (и)] du =
= l+s<Po(_s) = ^b±
(5.68)
В последней формуле зависимость х2 от $ выражена в явном
виде. Подставляя значение х2(—$), получим
1 -4-я — S — [(1 -|- я — s)2 — 4а]1/2
(5.68а)
Последовательно дифференцируя по s, найдём
[(1— а)2 — 2(1 + а)s + s2]т" (s) = (1 + а —s)m'(s)+/n(s). (5.69)
Это выражение соответствует рекуррентному соотношению для
моментов
(1 - a)2/nft+2- (1 + а) (2k + 1) mk+l - (k* - 1) mk = 0. (5.70)
Так как ma=m(0) = 1, то
mr = (1 — а)-1 ,	= 6 (1 + а) (1 — а)-5 ,
/Иг = 2 (1 — а)-3 , /п4 = 24 (1 + За + а2)'(1 — а)“7 .
Приближённая формула для ^о(^), обеспечивающая точное
совпадение результатов для первых четырёх моментов, аналогична
соответствующему выражению для системы со случайным выбо-
ром на обслуживание:
о» (и) ^Уг^2и “ + у2 е- * (1-в)
— 146 —
где
Ух.
2	2
Хотя этого вполне достаточно для определения самой функции
распределения времени'ожидания, однако следует заметить, что
рассматривая совместно выражения (5.65) и (5.66), получим
1
Ф(х’5>	(i_x)(X1_x)(i_X8)
1 / 1_______________
(1 — *i)(l — *2) \*1 — х
-М. (5.71)
Х1—X J
1 v — П—1
1 —Х1
S
Следовательно,
оо
?„(«) = ^e~suvn(u)du =
О
(5.72)
Как показали Кемпбелл и Фостер ([12], ф-ла 576.3),
и
vn (и) = 1 - « -(л+1)/2 J е- (|+а) х (п + 1) /„+1 (2х УТ) . (5.73)
о
Можно показать, что ф-ла (5.73) эквивалентна выражению
ол (и) = — а~ п/2 С sin х sin (n + 1) х е~ л“	,(5.73а)
л J	А
о
где Л = 1+а—2]Ла cos х. Эта формула, полученная Воло, является
наиболее подходящей для определения численных результатов.
Возможность более широкого использования этих результатов
вытекает из следующего замечания Воло. Так как оп(и) — функ-
ция распределения длительности ожидания требования, являюще-
гося (п+1)-,м в очереди, и все требования, поступающие за время
его ожидания, обслуживаются раньше него, то vn(u) есть верхний
предел длительности ожидания требования, в момент поступления
которого в очереди находилось п других требований, при любом
порядке обслуживания. Следовательно,
f(«)= (1 — а) 2 a”°n(“)
10*
- 147 —
— верхний предел функции распределения времени ожидания лю-
бого ожидающего требования при любом порядке обслуживания.
Используя ф-лу (5.73а), найдём
It	оо
V (и) = (1 — а) — f sin2x е~Аа — = (1 — а) f v0 (и) du. (5.74)
A2	J
О	и
'Заметим, что v(u) имеет среднее значение, равное (1—а)-2,
в то время как среднее значение для v0(u) равно (1—а)-1 и, как
было показано, является средним временем ожидания при любом
порядке обслуживания.
Наконец, следует заметить, что при больших значениях и
—flu
Ро(и)«-3/ =--------(а-1- 1)[1- Ф(/2₽«)],	(5.75)
а у тс и
где
₽-(1 — |/Г)’
й	х
= J’exp(-y)fe
—оо
5.5 Системы с ожиданием, в которых
требования могут уходить из очереди
до начала обслуживания
Пальм (68] первым рассмотрел систему, в которой ожидающие
требования могут уходить из очереди до начала обслуживания,
дополнив описание простейшей многолинейной системы с ожида-
нием рассмотрением функции распределения потока требований,
покидающих систему до начала обслуживания, D(t) = 1—е—,bi. Та-
ким образом, jb — интенсивность этого потока.
При /=оо все ожидающие требования определённо покидают
систему необслуженными, а при /=0 они ожидают сколь угодно
долго. Таким образом, найдена ещё одна связь между системой с
потерями и системой с ожиданием.
Уравнения для определения вероятностей перехода с учётом то-
:го, что .требования могут уходить из очереди до начала обслужи-
вания,-имеют вид
(О = а Р( n_t (0 — (а + Ьп) Р1п (0 + b (п -f- 1) Р{, п+1 (0, п < с,
(5.76)
Р'т (0 = a Pt (0 — [а + b (с + / п — / с)] Р1п (0 —
— b (с + j + jn — /с) Р( „+1 (0, п > с.
Соответствующие вероятности стационарного состояния имеют
вид:
— 148 —
\ ря	а
p-=p‘7i’
рф ------------, п >0
с+п (с + /)(с+2/)...(с + п/)
„ =____________₽£₽2_________ с =—
с+п /л (С+1) (С + 2)...(С + и) ’ j
(5.77)
Рассмотрим вначале функцию распределения времени ожида-
ния для системы с обслуживанием требований в порядке поступ-
ления. Обозначим через wn(t) вероятность того, что время ожида-
ния требования, в момент поступления которого в очереди нахо-
дится п других требований, не меньше t. Заметим, что данное тре-
бование перестаёт ожидать либо потому, что оно поступает на об-
служивание, либо потому, что оно уходит из очереди до начала об-
служивания^. Обозначим через vn(l) аналогичную вероятность для
требования, определённо дожидающегося начала обслуживания (в
терминах теории телефонного сообщения это контрольный вызов).
Так как e~ibt — вероятность того, что длительность промежут-
ка времени между последовательными моментами ухода требова-
ний из очереди до начала обслуживания не больше t, то
'’%„(/)•
Рассмотрев все возможные изменения состояния системы в бес-
конечно малом промежутке времени, получим следующее диффе-
ренциальное рекуррентное соотношение для vn(t):
vn (0 = b (с + nj) [ v„_] (/) — vn (/)] ,	(5.78)
ИЛИ
• <(“) = (СЧ-п)[у„_1(и) —f„(«)], u = jbt, с = ~у-	(5.78a)
Следовательно,
wn(u) = (C + n) wn_t (u) — (C + n +1) wn (u).	(5.79)
Функция распределения времени ожидания произвольного конт-
рольного вызова может быть записана в виде
Рс
Следовательно, согласно соотношениям (5.77) имеем
Рс+п _	*п	х = —
Рс'	(С+1). ..(С + п) ’	j
— 149 —
Числитель выражения v(u) легче найти, введя вспомогатель-
ную функцию
" ' (<?+!)...(€ + «)•
Воспользовавшись выражением (5.78а), получим
(«) = Vi (“) — (С + «) kn (и).
Следовательно, функция
К(х,и) = xnkn(u)
п=0
должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных
производных
(х, и) + х Кх (х, и) = (х — С) К. (х, и).
Решение этого уравнения имеет вид
х е~и
К(х, и) = Сх~с ех J ус~х ё~у dy =
о
= Сх~с еху (С, х е~и),	(5.80)
где у (с, х) — неполная гамма-функция. Так как для всех рас-
сматриваемых значений п имеем оп(0) = 1, то знаменателем выра-
жения v(u) является ф-ла (5.80) при и = 0 и
4(a)- т(С’*е 7(С,х)	/	С = — , и = jbt, i	(5.81)
w (t) = е“/w v\t) = у 7 ('С’ X Y (С, X)	, у = х е~ibi.	(5.82)
Следует заметить, что ур-ния (5.78) и (5.78а) могут быть реше-
ны методом последовательных подстановок. В общем виде реше-
ние записывается как
vn(u) =
С(С+1)...(С + п)	п\
п!	k \k )
k=Q
е- (С+*) и
C + k
(5.83)
Этим выражением можно воспользоваться для проверки ф-лы
(5.81).
— 150 —
Математическое ожидание условной функции распределения
1—w(t) имеет вид
1 П 7(С+1,х)-
jb L	Xf (С, X) .
(5.84)
Последнее выражение получено путём интегрирования по ча-
стям. Так как
у (С + 1,х) = Ст(С,х) — хсе~х ,
ф-ла (5.84) эквивалентна выражению
которое приводит Пальм [68]. Заметим, что xlC=albc—a, где а —
загрузка системы (случайная величина).
Иногда представляет интерес рассмотреть отдельно время ожи-
дания двух типов требований: 1) поступающих после ожидания на
обслуживание, 2) покидающих систему до начала обслуживания.
Этим случаям соответствует плотность распределения
—: w' (t) = — е“ibt v' (f) + jbw (/).	(5.85)
Следовательно, функция распределения времени ожидания тре-
бований первого типа (требований, которые поступают на обслу-
живание) имеет вид
(/) = J[— е ibi v' (/)] dt 4- J[—,e ,bt v' (/)] dt—
t	о
=	X=A y = xe“/w.	(5.86)
7(C+l,x) ’	/’
Аналогично, функция распределения времени ожидания требо-
ваний второго типа имеет вид
(„ = у? (С, у)—Г (С+1,у)
'	хт(С,х)-г(С+1,х)
(5.87)
— 151 —
Среднее время ожидания требований, поступающих после ожи-
дания на обслуживание, равно
mi=-Mlogx-----------1-----— Т(С+ 1, х)1.	(5.88)
jb L	т(С+1,х) de 1 '	J	'
Среднее время ожидания тех требований, которые в конечном
счёте покидают систему до начала обслуживания, можно опреде-
лить из соотношения
(1 — jbm) + jbm т2 = т,	(5.89)
где т — среднее время ожидания всех требований, определяемое
по ф-ле (5.84) или (5.84а).
При других порядках обслуживания также не представляет
труда получить основные соотношения для случая, когда требо-
вания не покидают систему до начала обслуживания. Однако здесь
опускается вывод этих формул. Для системы со случайным выбо-
ром на обслуживание
vn (0 = nib + b°n Vn_{ ф — (а + Ьс + njb) уп (0 + avn+l (t). (5.90)
Здесь vn(t) определяется так же, как и для системы с обслу-
живанием в порядке поступления.
Для системы с обслуживанием по принципу «пришёл послед-
ним — обслужен первым»
vn (0 = (njb + be) vn_x (f) — (a + bc + njb) vn(f) + ao„+I (t). (5.91)
Здесь vn(t), как и ранее, — вероятность того, что время ожи-
дания контрольного вызова, который только что оказался
(п+1)-м в очереди, не меньше t.
5.6.	Системы, в которых поступающие
требования могут отказываться становиться
в очередь
Возможны случаи, когда требование, поступив в систему, от-
казывается ожидать начала обслуживания или отказывается по-
ступать в обслуживающее устройство, даже если последнее пре-
доставляется немедленно. Хейт [41] и Финч [37] рассмотрели одно-
линейную систему, в которой требования могут отказываться
становиться в очередь. Оба автора описывают эти отказы по-
средством распределения вероятностей, связывая их с состоянием
системы. Вероятность того, что требование отказывается стано-
виться в очередь, если в системе находится т требований, при-
нимается равной 1—Ьт. Таким образом, Ьт —вероятность того,
что поступившее требование определённо становится в очередь.
— 152 —
Как и в том случае, когда требования покидают систему да
начала обслуживания, так и в случае, когда требования могут
отказываться становиться в очередь, систему с потерями и систе-
му с ожиданием можно рассматривать как частные случаи. Для
многолинейной системы, имеющей с линий, условие 60=&i =
= . . . =6С = 1, &с+л=0, п>0 определяет систему с потерями,
а условие bn = 1 для всех п определяет систему с ожиданием.
Для простейшей многолинейной системы, имеющей с линий,
легко получить и решить уравнения для стационарного состоя-
ния. Так, если pj— вероятность того, что в стационарном состоя-
нии в системе находится j требований и, как обычно, p-ajb, то
О = —pboPo + Рь
о=р 6р/_1—(р	—j)p}+ а +1) pl+l, j<c,
о = Рь._х pf_t — Со bj + С) Pj + ср/+1, /> С
Pj = у Bj р0, Bj = ЬйЬг... Ь}_{, j < с,
Pj^-^-d-'BjPb	j>c.	(5.92>
Стационарная функция распределения длительности ожидания
w(t) (т. е. вероятность того, что длительность ожидания произ-
вольного ожидающего требования не меньше t) имеет вид
2 *с+лИ’«(0Ре+л
2 Р'+"
л=0
и в точности соответствует выражению (5.51). При обслужива-
нии требований в порядке поступления функция wn(t) не зависит
от того, имеются ли требования, которые отказываются становить-
ся в очередь. Следовательно, её значение определяется по ф7ле
(5.52)'. При случайном выборе на обслуживание ур-ние (5.56)
принимает вид
™п ® = ^7 bCW"-1 + bC) + abc+n+iWn+l (О-
Для системы с обслуживанием по принципу «пришёл послед-
ним — обслужен первым» подобным образом нужно изменить
ур-ние (5.63).
— 153 —
Хейт [41] показал, что стационарное распределение вероятно-
стей состояния однолинейной системы является: 1) биномиаль-
ным, если bn =(N—ri)IN(n+\), где N — постоянная; 2) отрица-
тельным биномиальным, если bn = (N+n)/N(n+l)\ 3) пуассонов-
ским, если Ьп=п~[, и 4) нормальным, если 6Л=ехр (—nlv), где
v — постоянная.
5.7.	Период занятости простейшей системы
с ожиданием
В гл. 4 уже указывалось, что распределение длительности пе-
риода занятости простейшей однолинейной системы с ожиданием
совпадает с распределением условного времени ожидания в си-
стеме с обслуживанием по принципу «пришёл последним — обслу-
жен первым» (действительно, в случае пуассоновского входящего
потока оба распределения являются одинаковыми в том и только
в том случае, если распределение длительности обслуживания
является экспоненциальным). Тождественность распределений по-
лучаем и в случае простейшей многолинейной системы с ожида-
нием, если период занятости рассматривается как промежуток
времени, в течение которого все линии непрерывно заняты.
Это можно показать^ несколько изменив доказательство, при-
водившееся для однолинейной системы (см. § 4.7). При выводе
формулы для распределения длительности периода занятости
длительность обслуживания однолинейной системы заменяется
промежутком времени между моментом, когда последняя свобод-
ная линия становится занятой, и моментом, когда первая из с
линий (с — число линий в системе) становится свободной. Так как
все длительности обслуживания имеют экспоненциальное распре-
деление, то функция распределения > длительности этого проме-
жутка времени является функцией распределения с слу-
чайных величин, каждая из которых имеет одно и то же экспо-
ненциальное распределение В(/)=1—e~bt. Следовательно,
*	1 —Я(0 = [1—В(0]с = е_6с/,
и функцию распределения длительности периода занятости Gc(t)
легко найти из соответствующей функции распределения для
однолинейной системы, заменив Ь на Ьс.
Таким образом, проинтегрировав равенство (4.39), получим
bet
G.(0 = «~1/2fe-"(1+a)/1(2xVT)^, а=—.
J	х	be
о
Как видно из ф-лы (5.67), это выражение равно 1—v0(u).
— 154 —
Функция распределения длительности ожидания в системе с
обслуживанием по принципу «пришёл последним — обслужен пер-
вым» определяется аналогично путём замены Ь на Ьс в функции
распределения длительности ожидания, полученной для одноли-
нейной системы, так как функция H(t) описывает также распре-
деление длительности промежутка времени между произвольным
моментом обслуживания требования, поступившего в последнюю
свободную линию, и моментом окончания промежутка времени,
описанного выше.
Способ определения функции распределения длительности пе-
риода занятости простейшей многолинейной системы с ожидани-
ем, который приводит Пальм [72], совпадает со способом опреде-
ления функции распределения длительности ожидания в системе
с обслуживанием по принципу «пришёл последним — обслужен
первым», который был предложен Воло. Пальм обычным спосо-
бом получил рекуррентное соотношение
fn (О = be fn_t (t) - (а + Ьс) fn (f) 4- а /„+1 (t),
где fn (t) — вероятность того, что длительность периода занятости
не меньше t, если в данный момент времени ожидают обслужи-
вания п требований. Это уравнение совпадает с ур-нием (5.63).
Так как граничные условия в обоих случаях одни и те же, то ji
функции одинаковы.
Наконец, если дополнительно рассматриваются также требо-
вания, покидающие систему до начала обслуживания, то искомая
функция распределения совпадает с функцией распределения дли-
тельности периода занятости и функцией распределения условно-
го времени ожидания контрольного вызова, поступающего в си-
стему с обслуживанием по принципу «пришёл последним — обслу-
жен первым».
5.8.	Системы с ожиданием; постоянная
длительность обслуживания
Рассматриваемая в этом параграфе система является такой
же, как и рассмотренная ранее простейшая многолинейная си-
стема с ожиданием, с тем лишь отличием, что в данном случае
во всех линиях время обслуживания постоянно.
Эта система представляет интерес с точки зрения истории
вопроса, а также она может служить для иллюстрации трудно-
стей, возникающих в том случае, когда время обслуживания не
является экспоненциальным. Постоянное время обслуживания
представляет собой предельный случай, противоположный экспо-
ненциальному распределению времени обслуживания в семействе
эрланговских функций распределения, так же, как и при сравне-
— 155 —
нии детерминированной и случайной величин. Эрланг получил
формулы для определения вероятностей стационарного состояния
системы с пуассоновским входящим потоком и формулы для
распределения времени ожидания в системе с обслуживанием
требований в порядке поступления для одного, двух и трёх об-
служивающих устройств. Полячек [73, 78] и Кроммелин [26, 27]
подробно исследовали обслуживание требований в порядке по-
ступления.
Удобно принять длительность обслуживания равной единице.
Тогда, если pn(t) — вероятность того, что система находится в
состоянии п (занято п линий, если и < с; заняты все линии и
ожидает п—с требований, если п>с), то вероятность pn(t+l)
можно легко выразить через распределение [pn(OL так как за
один промежуток времени, равный длительности обслуживания,
будет определённо обслужено с требований. Положив Рл(/+1) =
= Pn(t) =рп, найдём, что уравнения для стационарного состояния
системы имеют вид:
р0 = к (0, а) Рс
Pi = ir(l,a)P£+«(0,а)рс+1	593
P„=w(n,a)P<: + ir(n—1, а) рс+1k '
+ «(« — /,а)рс+/+ • ..+*(0,а)рс+„
где
Рс = Ро + Pi + ... + Рс, *(п, а) = е-а ~ .
Эти уравнения нельзя решить методом последовательных под-
становок, их численное решение можно получить методом итера-
ций. Если рп (k) — результат 6-й итерации, то из соотношения
Рп(О)=дпо, где б — символ Кронекера, следует что рп(1) = л(^ а).
Это обстоятельство делает обычное начальное условие
рп (0) =л (п, а) до некоторой степени «естественным», хотя
л(п, а) является плохим приближением. Лучшее выражение для
начальных условий получим, имея в виду, что при п>с отношение
Рп+\1Рп приближается к постоянной величине. Это означает, что
Ро(О)=Р1(О)= ... =рс(0)=р и Рс+п(0)=^пр, п>0. При разум-
ном выборе 6, основанном на втором распределении Эрланга
(число каналов равно с, время обслуживания имеет экспоненци-
альное распределение), k=a=alc. Это позволяет определить р
из соотношения р[с+ (1—а)~1]=1.
Введя производящую функцию
Р(х) = 2хпр„,
получим
Р (*) = Ро+ХР1+\^Л-и~ХСРс-1 ’	(5-9<)
— 156 —
где Рс_! = ро+ — + р с_1- Как и обычно, ставится дополнительное
условие, чтобы числитель обращался в нуль при подстановке зна-
чения каждого из с корней знаменателя, расположенных внутри
единичного круга.
Введём обозначения а=а/с, у = а%, тогда корни, о которых
идёт речь, будут корнями уравнения
t/e ^ = ае а ехр (i 2к k/c), i = ]/— 1, k = 0,1,2,. . „с—1.
Приняв обозначение г/ = гехр (i 0) и разделив действительную
и мнимую части, получим следующие уравнения, эквивалентные
данному:
г ехр (— г cos 0) = а е~ а,
0 — rsin0 =-----,
с
которые можно решить итерационным методом. При &#=0 имеем
пар сопряжённых корней.
Эрланг (см. Брокмейер и др. [8]) приводит таблицу всех кор-
ней для с=40, а=0; 0,1;...; 1,0, которая включает все делители
числа 40. Для того чтобы можно было использовать эти корни
для вычислений, числитель выражения (5.94) должен иметь вид
с—1
ро + ХР! + . . . + ХС~1 рс_х — Xе Pc_t = — Л П (X~Xj)>
о
где Xj —корни знаменателя; заметим также, что Хо=1. Постоян-
ная Доопределяется из условия Р(1) = 1 по формуле
К = РС ,=---------С-^----
(5.95)
Если
'Cf
П (X — Ху) = хс — atxc 1 + ...+(— V)kakxc *+...+(— 1)се
о
где ak —элементарная симметричная функция от корней, то
Pft = (-1)^+1 ac_kPc_x,' k^c-\.
Для выполнения численной проверки учтём следующее заме-
чание: условие х0=1 означает, что
с
*-1
— 157 —
l)*(c — k)ak = П(1 — xz), a0=h
л=о	1
Заметим, что Рс_г — вероятность обслуживания без ожида-
ния. Эта вероятность определяется по ф-ле (5.95); следовательно,
вероятность ожидания равна 1—Рс1.
Полячек [73] получил другое выражение для Pc_v рассматри-
вая предельный случай потока Бернулли:

(5.95а)
fe=l ck
Среднее время ожидания w можно определить по формуле
а + aw = прп.
Правую часть этого выражения можно вычислить, имея в
виду, что Р(1+х)—производящая функция биномиальных мо-
ментов распределения (р„). . Воспользовавшись выражением
(5.94), найдём
(5.96)
Полячек [73] получил выражение, эквивалентное данному:
№ = 22 (х~
x=5h-i
(ak)x 1
х!
(5.96а)
Формальное определение стационарного распределения време-
ни ожидания легко выполнить^ имея в виду следующее замечание
Полячека [78]. Предположим, что линии пронумерованы от 1
до с, и свободные линии назначаются в порядке номеров; если
z-я линия обслуживает /*-е требование, то при обслуживании
в порядке поступления в неё поступает также (с+/)-е требо-
вание, (2с+/)-е и т. д. Поскольку время ожидания не зависит
от установленного порядка назначения линий, то распределение
времени ожидания является таким же, как и распределение вре-
мени ожидания в однолинейной системе, обслуживающей каждое
с-тое требование пуассоновского потока, или таким, как распре-
деление времени ожидания в однолинейной системе с эрлангов-
ским входящим потоком и постоянным временем обслуживания.
— 158 —
Преобразование Лапласа — Стилтьеса функции распределения
эрланговского входящего потока имеет вид
a (s) = ас (s + а)~с,
а преобразование Лапласа—Стилтьеса функции распределения
времени обслуживания —
₽(S) = e-s,
поскольку интенсивность обслуживания принята равной единице.
Используя обозначения, введённые в § 4.5 способом, который при-
меняется там же, найдём преобразование функции распределения
времени ожидания
с—1
ш (s) = sac-’-——--------- П (1 - — К (5.97>
асе — (a — s)c “\	/
k=1
где sk — корни уравнения
ace-s— (а — s)c = О,
имеющие положительную действительную часть, число этих кор-
ней равно с—1. Заметим, что sfe=a(l—xk), где xk— корень
знаменателя выражения (5.94). Главную трудность при выводе
ф-лы (5.97) представляет доказательство того, что число корней sk
с положительной действительной частью равно в точности с—1
[этот вопрос затрагивался при выводе ф-лы (5.94)]. Выраже-
ние (5.97) при иных обозначениях и другим способом получил
Полячек [78].
Выражение (5.97) для случая, когда с=1, уже рассматрива-
лось в § 4.4, где обратным преобразованием была получена функ-
ция распределения времени ожидания w(t) — формула Эрланга.
С увеличением с обратное преобразование становится всё более
сложным. Эрланг [9] получил также выражения в явном виде для
с=2 и с = 3.
Выражение (5.97) используется, главным образом, для опре-
деления моментов. Заметим, что сравнивая его с выражением
(5.94), в которое подставлено значение [ф-ла (5.95)], по-
лучим
е*а>(—з) = р(1 -j—— 'j .
\ а /
Правая часть этого выражения — производящая функция бино-
миальных моментов распределения вероятностей состояния. Сле-
— 159 —
дрвательно, если wk — k-и начальный момент распределения 1
времени ожидания, то	|
)“’*-<=2	(5-98>
/=0	л=0
Выражение (5.98) для случая, когда &=1, уже рассматрива-
лось при выводе ф-лы (5.96).
5.9.	Неполнодоступные системы
Как уже упоминалось во введении к этой главе, существуют
такие системы, в состав которых входят пучки линий, производя-
щие первичный отбор требований, поступающих на обслуживание,
пучки, производящие вторичный отбор, и т. д. В этом случае со-
средоточивается внимание на изменениях характера потока в
различных частях системы. Простейшей системой такого рода •'
является система «раздельной доступности» с пучком линий, про- -
изводящим первичный отбор, и бесконечным числом линий в пуч- $
ке, производящем вторичный отбор. Такая система уже встреча- |
лась нам в § 3.7.
В системе с пуассоновским входящим потоком и экспонен- j
циальным временем обслуживания интенсивность потока избы-
точных требований, который поступает из первого пучка, состоя-
щего из г линий, определяется по ф-ле (3.47) и равна
£r = aE1>r(p), P = V’
тде Ej г —первая функция потерь Эрланга.
Обозначим через ртп вероятность того, что в стационарном
режиме система обслуживания находится в следующем состоя-
нии: занято т линий первого пучка и п линий второго пучка.
Тогда при интенсивности входящего потока а и интенсивности
обслуживания Ь=1 эти вероятности должны удовлетворять сле-
дующей системе уравнений:
(а + т + n) ртп — (m + 1) рт+Хп — (п + 1) Рт, „+1 —
-aPm-i,n = °> т<г
(а + г + п) ргп — арг — (n + 1) рг „+1 — apr_i п = О
(5.99)
Значение т изменяется от 0 до г, а значение п — от 0 до оо ;
при любом из значений /пип, лежащих вне этих диапазонов,
Ртп=®-
— 160 —
i
Система ур-ний (5.99) встречается в статье Костена [51], ре-
шение этой системы имеет вид
_ V / k \ /_ Пп-* ак Др (г) <sk (т)
гтп У j I ~ ] \ Ч	/ч z v
^oJ \ п /	ak О’) 3£-}-1 О')
k=n
(5.100)
где (ni)=Qk (т, а) — полином, тесно связанный с полиномами
Пуассона — Шарлье [и, следовательно, с полиномами D п, опре-
делёнными ф-лой (5.3)]. При принятых здесь обозначениях
k\ <sk (т, а) = ak ck (— т, а).
В ф-ле (5.100) вероятность выражена через биномиальные
моменты её распределения. Следовательно,
” )pmn =
л==0
ak °о (г) gfe ("0
(5.101)
Эту формулу приводит Вилкинсон [106]. Заметим, что
(5.102)
— 6-й биномиальный момент распределения вероятностей состоя-
ния для второго пучка линий. В неопубликованной работе Деклу
показано, что это распределение можно с достаточной точностью
заменить распределением гипергеометрического типа с двумя па-
раметрами, за которые можно принять математическое ожидание
и дисперсию. Используя выражение (5.102), можно выразить их
как
В1=-^_ = аЕ1>г(а),
(г)
V = 2Bs+B1 — Bf = B1[l—B1 + a(B1 + r+l—a)-1 ] .
Если имеется несколько пучков, производящих первичный от-
бор требований, а избыточный поток поступает на единственный
пучок вторичного отбора, то .потоки избыточных требований из
различных пучков, производяи^х первичный отбор, взаимно неза-
висимы. Распределение вероятностей состояния пучка, произво-
дящего вторичный отбор, имеет математическое ожидание, равное
сумме нескольких математических ожиданий, а дисперсия явля-
ется суммой дисперсий.. Это замечание можно использовать для
11—541	— 161 —
более простого описания систем со ступенчатым включением, ког-
да рассматриваются либо вероятность потери требований в пучке,
производящем отбор в последнюю очередь, либо число линий в
этом пучке при заданных (относительно небольших) потерях. .
Этот метод называется методом эквивалентных случайных ве-
личин и связан с тем обстоятельством, что параметры и V, ха-
рактеризующие избыточный поток требований, соответствуют па-
раметрам A характеризующим соответственно входящий
поток и число линий единственного пучка. (Параметр R не обя-
зательно должен быть целым числом.) Вилкинсон [106] приводит
таблицы для этого обратного процесса.
Брокмейер [8] и Лундквист [60] исследовали случай, когда в
системе обслуживания число линий, производящих вторичный
отбор, конечно'.
5.10.	Многофазовые системы
Многофазовое обслуживание — обычное явление в системах
обслуживания. Простым примером такого обслуживания может
служить процесс предварительной упаковки товаров в магазине,
предшествующий процессу его продажи; при этом возможны за-
держки для обоих видов обслуживания. Заслуживает внимания
следующий вывод, полученный для таких систем: в многолиней-
ной системе с ожиданием, в которую поступает пуассоновский по-
ток, время обслуживания имеет экспоненциальное распределение
и требования не покидают систему необслуженными, выходящий
поток (поток обслуженных требований) также является пуассо-
новским, При этом интенсивность входящего потока равна интен-
сивности выходящего потока. Вывод справедлив при любом по-
рядке поступления на обслуживание, поскольку не рассматрива-
ется порядок ухода обслуженных требований из системы.
Бёрк [10] приводит доказательство, которое в общих чертах
заключается в следующем. Обозначим через Fk(t) вероятность
совместного появления в стационарном состоянии двух событий:
1) в системе находится k требований и 2) длительность проме-
жутка времени до момента, когда предыдущее требование поки-
нуло систему, не меньше t. Как и обычно, Fk (/) — дополнитель-
ная функция распределения. Заметим, что Fk(Q) =pk, где pk —
вероятность стационарного состояния системы. Рассматривая
бесконечно малый промежуток времени, следующий за данным
моментом, находим дифференциальные рекуррентные соотно-
шения:
Fk(t) = aFk_l — (a + bk)Fk(t), £<с)	(5 103)
F’k(t)=aFk_l-(,a + bc)Flt(t), k>c ]'
— 162 —
где с — число каналов. Так как F'0(t) = a Fa(t), то Fo(t)=poe-at
и, следовательно,
Fi (0 = е~ (а+6)' f pi + ар0 j ebx dx'j = рх е~ ai.
\	о /
По методу математической индукции находим, что
Fk(i) = Pke-at.
Следовательно,
/=(0=2 ® = е“	=е~at	<5-104>
— дополнительная функция распределения длительности про-
межутков времени между моментами окончания обслуживания
требований.
Можно легко показать независимость этого распределения от
распределения вероятностей состояния, а также независимость
распределения длительности произвольных промежутков времени
между моментами ухода требований из системы.
Рейч [79] приводит доказательство независимости этих распре-
делений, используя свойства обратимых процессов [стационарный
стохастический процесс N(t) является обратимым, если процессы
N(t) и N(—t) имеют одно и то же многомерное распределение].
Рейч также показал, что в определённом смысле нельзя ослабить
условие, требующее; чтобы время обслуживания имело экспонен-
циальное распределение.
11*	_ 163 —
ГЛАВА 6
ИЗМЕРЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ
ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА
6.1.	Введение
В предыдущих главах считались заданными различные вели-
чины и функции, описывающие рассматриваемые системы обслу-
живания, такие, как средняя интенсивность входящего потока,
средняя интенсивность обслуживания, средняя интенсивность по-
тока требований, покидающих систему до начала обслуживания,
функция распределения длительности промежутков времени меж-
ду моментами поступления требований, функция распределения
времени обслуживания и др. В действительности же определение
их может оказаться наиболее трудной из всех проблем, крторые
возникают при использовании теоретических результатов. Напри-
мер, для описания входящего потока в интересующем нас про-
межутке времени необходимо либо наблюдать последовательные
моменты поступления требований, либо производить подсчёт чис-
ла требований, поступивших в заданных интервалах.
Моменты поступления требований определяют длительности
промежутков времени между последовательными поступлениями.
Чтобы не только найти функцию распределения длительности
этих промежутков времени, но и установить существование их
взаимной зависимости, потребуется произвести необходимые на-
блюдения. При простом подсчёте числа требований, поступающих
в систему, мы получим информацию, недостаточную для этого.:
При определении необходимости и достаточности, естественно,
приходится обращаться к соответствующим разделам теории ста-
тистических выборок. Аналогичные вопросы, связанные со стати-
стической теорией, возникают и при определении других аспектов
систем обслуживания.
Хотя здесь можно не рассматривать большинство перечислен-
ных задач как вследствие их специфичности, так и из-за недостат-
ка места, однако нам кажется уместным привести здесь некото-
рые имеющиеся результаты, затрагивающие перечисленные проб-
— 164 —
лемы, напомнив при этом читателю те разделы теории, которые
могут вызвать затруднение. }
Первым из этих результатов является полученное Бенешем [2]
распределение средней интенсивности входящего потока, к кото-
рому мы уже обращались в гл. 3 при изучении системы с беско-
нечным числом линий, в которую поступает пуассоновский поток,
и время обслуживания имеет экспоненциальное распределение.
Как уже указывалось ранее, при больших значениях Т это рас-
пределение совпадает с распределением случайной величины S/T,
о которой говорилось в гл. 3 (S — суммарная длительность обслу-
живания всех требований, поступивших в интервале Т). Затем
кратко сообщается о работе Кларка [14], посвящённой оценкам
наибольшего правдоподобия средней интенсивности входящего
потока и средней интенсивности обслуживания в однолинейной
системе с ожиданием, в которую поступает пуассоновский поток,
и время обслуживания имеет экспоненциальное распределение.
Этот вопрос представляет интерес, главным образом, с точки зре-
ния выбора наблюдаемого параметра. Наконец, кратко сообща-
ется о работе Костена и др. 154], посвящённой измерению потерь
в простейшей многолинейной системе с потерями. Таким образом,
каждый из рассматриваемых вопросов связан с одной из глав:
3, 4 или 5-й.
6.2.	Средняя интенсивность потока
в простейшей системе с бесконечным
числом линий
Простейшая система с бесконечным числом линий, описанная
в гл. 3, имеет пуассоновский входящий поток и экспоненциальное
время обслуживания. Если N(t) —случайное число линий, заня-
тых в момент времени t, то средняя интенсивность потока в про-
межутке времени Т равна случайной величине T~~x\N(t)dt; ин-
теграл берёте^ по всему промежутку времени. Этой величиной
удобно пользоваться в случае, когда измерение интенсивности
входящего потока производится подсчётом числа требований, по-
ступивших в определённом промежутке времени, хотя, разуме-
ется, допущение о бесконечном числе линий не соответствует
реальной действительности.
Бенеш [2] получил распределение средней интенсивности вхо-
дящего потока следующим образом. Обозначим через Z(t) инте-
грал от N(t)t взятый по промежутку времени (0, t) \Z(t) называ-
ется интегральной интенсивностью входящего потока]. Обозначим
через Fn (z, t) вероятность совместного появления двух событий:
1) Z(t)^z и 2) N(t)=n.
Рассмотрим изменение состояния системы в малом проме-
жутке времени h. Так как N(t)=n означает интенсивность возра-
стания п для Z(t), то
— 165 —
Fn (z, t + h) = ah Fn_! (z, t) + [1 — (a + bn) h] Fn (z—nh, f) +
+ 6(n + l)/iFn+I(z, f).
Разложив Fn (z—nh,t) в ряд Тейлора, в пределе при h -^*0
получим следующее рекуррентное дифференциальное соотноше-
ние:
d-^>aFn_x (г, f)-(a + bn) Fn (z, t) +
+ b (n + 1) F„+1 (z, t) - n9^- .	(6.1)
Если исключить последний член правой части, то эта система
уравнений совпадёт с системой дифференциальных ур-ний (3.2)
для вероятностей перехода, полученных для такой же системы об-
служивания. Граничные условия имеют вид:
Fn (0,0 = 0, п > 0, t > 0,
^Л(2,0)=/п,	Z>0,
где fn, п=0, 1,... — произвольная последовательность вероятностей,
определяющих начальные условия.
Обозначим преобразование Лапласа—Стилтьеса (по z) функ-
ции Fn через
оо
<?n(s,f) = Je-szdF„(z,/),
о
а преобразование её производящей функции через
Ф (х, s, f) =2 хп <?„ (s, f).
n=Q	ч
Тогда, опуская аргументы функций, из соотношения (6.1) най-
дём
^7 + ns [ср„ — Fn (0, t)] = a <р„_1 — (а + Ьп) <?п + Ь (п+1)?„+1 (6.2)
И
+((5 + б)х-&]^-=а^-1)Ф.	(6.3)
При $=0 ур-ния (6.3) и (3.4) совпадают.
— 166 —
Следовательно, выражение для Ф (х, 0; t) можно легко найти,
подставив в (3.4) данные граничные условия. После подстановки
u=(s + b)t в выражение (6.3) оно принимает вид
4^ + (X - ₽)44 = а (х - 1) ф,	(6.3а)
ди	дх
где а = а/($+&), p = 6/(s+&). По внешнему виду это уравнение
очень похоже на ур-ние (3.4). Необходимо дополнительно произ-
вести подстановку х=$у, тогда
Ф = <рехр[—а(1 — Р)и].
Окончательно ур-ние (6.3) принимает вид
+ (У - 1)	= а? (« - 0	(б.зб)
ди	ду
Следовательно, согласно ур-нию (3.10) имеем
? = ?(«/»«) = ехр [ар (у — 1)(1 — е_“)]2 fn [!+(*/— !)е—“ ]"
п=0
И
Ф (х, s, и) = ехр [а (х — Р) (1 — е— “) —
_ а (1 _ Р) w]	д [р + (Х _ Р) е-(6.4)
л=0
Другим способом и при иных обозначениях это уравнение по-
лучил Бенеш ([2], ур-ние (10.5)). Предельное значение при х—1
равно математическому ожиданию величины ехр [—sZ(t)\ где
Z(t)—интегральная интенсивность входящего потока в про-
межутке времени (0, t) при начальных состояниях, заданных
распределением вероятностей {/Л}, n=0, 1, ... . Этот результат оче-
виден из ф-лы (6.4) и нет необходимости его приводить.
В стационарном случае вероятность fn имеет пуассоновское
распределение fn = е“р рп/п! и результат становится значительно
проще. Введём обозначение
ф (s, t) = lim Ф (х, s, u); fn = е-р , р = — ,
х->1	п\	Ь
тогда
I / л	f ps2(l — е~ (s+6)/)	ast 1	а
ф (S, 0 = ехр---\	, Р = — .	(6.5)
(s by	s b I	о
Здесь ф (—s, t) — производящая функция обычных моментов
распределения случайной величины Z(t) в стационарнохМ случае.
— 167 —
Как и в гл. 3, проще оперировать с помощью производящей функ-
ции семиинвариантов
К (s, f) = У (0	= log ф(- 8,0 =
п\
Л=1
-757-(ЙгО-е-^').	(6.6)
Разложив функцию (6.6) в ряд по степеням s, получим:
Ki(0-P*
К2(0 = 2р&-2(И-1 + е-“)
Кп+2 (0 - Р (п+2) (п+1) б""-2 л! Ы-(п+1)! +
+ e“WJ](fe)(6Z)"”ft(A+1)!
iSo
(6.7)
По определению средняя по времени интенсивность входящего
потока M(t) равна Z(t)!t. Её семиинварианты имеют вид
kn(f)=t-nKn(f).
При больших значениях t из выражения (6.7) следует, что
kn	п\.
Это «выражение похоже на формулу для семиинвариантов слу-
чайной величины S/t, рассмотренной в гл. 3.
6.3.	Оценки параметров однолинейной
системы
Даже в случае простейшей однолинейной системы с ожидани-
ем ('пуассоновский входящий поток и экспоненциальное время об-
служивания) необходимо проявлять изобретательность, чтобы
получить простые оценки интенсивности входящего потока и ин-
тенсивности обслуживания. Наиболее простой способ заключается
в том, что система изучается в течение заданного промежутка
времени Г, производится подсчёт числа поступивших требований п,
подсчёт числа требований т, покинувших систему, и определя-
ется длительность периода занятости т (как сумма всех
— 168 —
длительностей обслуживания в промежутке Т): Оценкой интенсив-
ности входящего потока а является величина n/Т, а оценкой ин-
тенсивности обслуживания b — величина m/т. При такой методи-
ке не принимаются во внимание начальное и конечное состояния
системы, которые являются важными источниками дополнитель-
ной информации. Кроме того, оказывается, что формализация
функции правдоподобия для стационарного случая чрезмерно
усложняется. Кларк [14] предложил, чтобы длительность времени
наблюдения зависела от характера наблюдений или, более кон-
кретно, чтобы процесс наблюдался в стационарном состоянии в
течение заранее выбранного периода занятости т.
В процессе наблюдений определяются следующие характери-
стики: 1) v — начальное число требований, находящихся в системе,
как ожидающих, так и обслуживаемых; 2) m — общее число тре-
бований, покидающих систему в этом промежутке времени;
3) Т — момент времени, когда m-е требование покидает систему;
4) общее число требований, поступивших в промежутке времени
(О, Т). Эти характеристики выбраны таким образом, чтобы упро-
стить функцию правдоподобия L=L(a, b), которая оказывается
заданной в виде пропорциональности:
Т /л	k/n—» л— b х—аТ „ Ct
L~(l—р) а b е , р = —.
(6.8)
Вследствие допущения о стационарности распределение на-
чального числа требований имеет вид (1—р)р”. Так как длитель-
ность периода занятости т задана, то распределение выходящего
потока имеет вид е— bx (bt)mlm\, а входящий поток в промежутке
времени (О, Т) имеет соответствующее пуассоновское распределе-
ние е~аТ (аТ) п/п1.
В ф-ле (6.8) пропорциональность требуется вследствие того,
что оценки правдоподобия находятся, как и обычно, путём реше-.
ния двух уравнений: dL/da-b и dLfdb=Q. Если эти оценки обо-
Л л
значить через а и Ь, то
Л /л л\ /	л \
а = \Ь — a}\n-{-v — аТ),
Л /Л Л\/	л \
а =	— Ь) \т— v—bt).
(6.9)
Эти уравнения можно записать в виде
a7’ = n4'v — рЦ—Р/ >
(6.9а)
12—541
— 169 —
где p=ajb. Следовательно, если величина р не очень близка к
единице, то приближённые оценки имеют вид:
т
(6.10)
т
Р (т_v)T’
их можно сравнить с грубыми оценками п/Т и m/х, которые уже
приводились ранее.
Более точные оценки можно найти решением следующего ква-
л
дратного уравнения для р, полученного из соотношений (6.9):
(т — V— 1)7>2 — [(т — v)T + (n+ v + 1)г] р + (п+^)т=0.(6.11)
Новые оценки а и b имеют вид:
(п + "0р
u Л	1
Рт+Т	(6.12)
_ п + т
рТ+т
6.4	Оценки потерь для многолинейной
системы с потерями
В рассматриваемой простой многолинейной системе пуассонов-
ский поток поступает на пучок, состоящий из с полнодоступных
линий, каждая из которых имеет экспоненциальное время обслу-
живания. Потеря требований происходит, если в момент посту-
пления все линии заняты^ за показатель потерь можно принять
либо число требований, которые не могут поступить на обслужи-
вание в заданном промежутке времени, либо суммарную длитель-
ность «периодов занятости» в этом же промежутке времени (пе-
риод занятости — время, в течение которого все линии непрерывно
заняты и все поступающие требования теряются). Как будет по-
казано далее, последний показатель лучше, поскольку он приводит
к более точным оценкам.
Как и в работе Костена и др. [54], обозначим через s (/) ве-
роятность совместного появления двух событий: 1) в момент вре-
мени Л занято г линий и 2) в промежутке времени (0, t) теряется
s вызовов. Тогда для г<с вероятность s (t) должна удовлетво-
— 170 —
рять следующему дифференциальному рекуррентному соотноше-
нию, которое выводится обычным способом:
ur,s (t) = aur_l s (0 — (а + rb) urs (f)+(r + 1) bur+l s (/), (6.13)
в то время как для r=c
u'c,s (t) = auc_l s (t) — (a + cb) uc s (f) + auc s_x (t).
Граничные условия для стационарного состояния системы за-
писываются следующим образом:
«,о(О) = -^
г!
uz0(0) = 0,
ur5(0) = 0>
г С с
г>с
s > 0 ,
(6.14)
где
Ро 1 — 1 + р + ... Н------------------- .
б?!
Удобно рассматривать время t в единицах, равных средней
длительности обслуживания Ь~х ; в этом случае вид ур-ний (5.13)
и (5.14) изменится вследствие замены а на р и & на 1. Тогда, если
преобразованием Лапласа функции urs(t) является
оо
frs(z)^^~zturs(f)dt,
О
а её двухпараметрическая производящая функция имеет вид
F (Х, у, Z) = 2 ys frs (z) = 2 хГ Sr 2>’
получим следующее уравнение, эквивалентное ур-нию (6.13):
(1 — х)= [р (1 — х) + z] F —р0 ерх .	(6.15)
дх
* Решение этого линейного дифференциального уравнения имеет
вид
F (х, у, z)= С(у, г) ер (х~1) (1-х)-г + р0 г-1 ерх. . (6.16)
Постоянная интегрирования С (у, г) должна выбираться таким
, образом, чтобы удовлетворять преобразованиям Лапласа систе-
мы ур-ний (6.14). Имея в виду, что она также удовлетворяет
12*	— 171 —
преобразованиям Лапласа ур-ний (6.13), необходимо, чтобы вы-
полнялось соотношение
(С + 1)/£+1,s(2) = P/c,s_1(2)
или [используя второе выражение, определяющее F(x, у, z)]
(с + 1) gc+t (y,z) = p ygc (у, z).	(6.17)
Член выражения (6.16), на который умножается С (у, z), есть
производящая функция для системы полиномов, тесно связанных
с полиномами Пуассона—Шарлье сп(х, а).
Обозначим эти полиномы через фп = фп(^, р), как это сделано
в работе Костена и др. [54], таким образом,
(1-х)-=2?^"
/1=0
<Р« (Z, р) =е~ р Р” Сп(~г,р)
(6.18)
Используя производящую функцию (6.18), выражение (6.16)
можно записать в виде
F (х, у,г)=^ [С (у, z) <?r (z, р) + ро е₽ z-1 (0, р)] хг, (6.19)
при этом, рассматривая вторую форму выражения для F(x, у, z),
найдём
gr (у, Z) = С (у, Z) <рг (г, р) + Ро ер г~1 <?г (0, р).	(6.19а)
Заметим, что <рг(0, р) =е~р рг/г\ является членом пуассоновско-
го ряда.
Воспользовавшись соотношением (6.17), получим
С(„2) = ^-----------Р(у-1)уе(0.2)---1	(6.20)
2	(с+1) <Рс+1 (г, р) — ру <Рс <г> Р)
Pto-DTHO ,>„(»,)	,	(0.р) 1 .	(6.21)
г [(с+1) <?с+1 (г, р)—?у <рс (2> р)
Теперь, суммируя по г, можно исключить информацию, которая
не связана с данной величиной и поступает в зависимости от ко-
нечного состояния г. Интересующая нас случайная величина
g(y,z)=^gr(y,z)
г=0
— 172 —
является преобразованием Лапласа производящей функции
и (у, о =
s=0 М
Используя соотношение
2 Чг р) = <?c(z+ 1, р)
и ф-лу (6.21), получим
1  Ррер Р(У— 1) (0. р) ?с(г+ 1> Р)
г г (с+1) ?с+1 (z, р)—ру <рс (г, р)
(6.22)
Функция В(у, z)—g(l+y, z)—преобразование Лапласа про-
изводящей функции биномиальных моментов случайной величины $
(числа вызовов, потерянных за время t в стационарном режи-
ме). Коэффициент Bk(z) при yk в разложении функции В (у, г)
в ряд (т. е. &-й биномиальный момент) находится непосредствен-
ным разложением в ряд и имеет вид	1
(6.23)
где Е j е(р) — первая функция потерь Эрланга.
Первый момент из ф-лы (6.23) имеет вид:
В^^Е^р)
(6.23а)
В1(0 = р/£1с(р)
Напомним, что время t берётся в единицах, равных средней
длительности обслуживания. Определить моменты более высоких
порядков гораздо труднее, и формулы получаются более сложны-
ми. Однако в работе Костена и др. [54] получено следующее прос-
тое приближённое выражение для дисперсии случайной величи-
ны
а2(5)_1±±В1(Л,	а=_^_
1 — а	ОС
В работе Костена и др. [54] даётся вывод основной формулы
для второго показателя потерь — общего времени занятости. Сле-
дует кратко остановиться на этом показателе, так как вывод его
аналогичен выводу выражения для интегральной интенсивности
— 173 —
входящего потока в простейшей системе с бесконечным числом
линий, который был сделан ранее.
Обозначим через Ur (и, t) вероятность совместного появления
двух событий: 1) суммарная длительность занятости в промежут-
ке времени (0, t) не больше и; 2) в момент времени t занято
г линий. Тогда при г<с дифференциальное уравнение будет таким
же, что и ур-ние (6.13), а именно:
иг (и, f) = р Ur_x (и, t) — (p + г) Цг (и, t) + (г + 1) иг+1 (и, t). (6.24)
Здесь t и и берутся в единицах, равных средней длительности
обслуживания. При г=с в уравнении появляется вторая частная
производная и уравнение принимает вид
= р Uc_x {и, t)-cU( (и, t) -	.	(6.25)
Вывод производится, как и ранее, и полученные результаты
аналогичны. Основные формулы находим с помощью следующих
простых выкладок, которые приводятся в этой же работе.
Пусть X — случайная длительность периода занятости (вре-
мени, в течение которого все линии непрерывно заняты), а
F(u) = P(X^u) ,
— её функция распределения. Тогда вероятность того, что в про-
межутке времени (0, t) будет потеряно s вызовов, равна
Ce-p“-^-dF(u),
J s!
о
и k-й факториальный момент распределения числа потерянных
вызовов имеет вид
оо t	t
Е ш = У f (S)k е-р “ dF (u) = Р* dF (и) = Е (X*).
Таким образом, k-й факториальный момент распределения чис-
ла потерянных вызовов равен &-му обычному моменту распреде-
ления длительности периода занятости, умноженному на р*.
В частности, дисперсия первой случайной величины всегда превос-
ходит дисперсию второй случайной величины; следовательно, из-
мерение длительности периода занятости приводит к более точ-
ным оценкам потерь.
Наконец, следует заметить, что Костен [55] провёл аналогич-
ные исследования по определению оценок вероятности ожидания
и оценок средней длительности ожидания в простейшей многоли-
нейной системе с ожиданием.
ЛИТЕРАТУРА
1.	В a i 1 е у N. Т. J. A continuous time treatment of a simple queue using
generating functions. J. Roy Statist. Soc., Ser. B, 1954, v. 15, pp. 288—291.
2.	В e n e s V. E. A sufficient set of statistics for a simple telephone exchange
model. Bell System Tech. J., 1957, v. 36, pp. 939—964.
3.	Benes V. E. Fluctuations of telephone traffic. Bell System Tech. J., 1957,
v. 36, pp. 965—973.
4.	В ene s V. E. On queues with Poisson arrivals. Annals of Math. Statist.,
1957, v. 28, pp. 670—677.
5.	В e n e s V. E. On trunks with negative exponential holding times serving
a renewal process. Bell System Tech. J., 1959, v. 38, pp. 211—258.
*6. В ene s V. E. General stochastic processes in the theory of queues. Rea-
ding, 1963.!)
7.	В о r e 1 E. Sur 1’emploi du theoreme de Bernoulli pour faciliter le calcul
d’une infinite de coefficients. Application au probleme de 1’attente a une
guichet. C. R. Acad. Sci. Paris, 1942, v. 214, pp. 452—456.
8.	Brockmeyer E. The simple overflow problem in the theory of tele-
phone traffic, Teleteknik, 1954, v. 5, pp. 361—374.
9.	Brockmeyer E., Halstrom H. L. and Jensen A. The life and
works of A. K. Erlang, Trans. Danish Tech. Sci., No. 2, Copenhagen, 1948.
10.	В u г к e P. J. The output of a queueing system, J. Operations Res. Soc.
Amer., 1956, v. 4, pp. 699—704.
11.	Burke P. J. Equilibrium delay distribution for one channel with con-
stant holding time, Poisson input and random service. Bell System Tech. J.
1959, v. 38, pp. 1021—1031.
12.	C a m p b e 11 G. A. and Foster R. M. Fourier integrals for practical
applications. Van Nostrand, New York, 1948.
13.	Clarke A. B. A waiting line process of Markov type. Annals of Math.
Statist., 1956, v. 27, pp. 452—459.
14.	Clarke A. B. Maximum likelihood estimates in a simple queue. Annals
of Math. Statist., 1957, v. 28, pp. 1036—1040.
15.	С1 о s C. An aspect of dialling behavior of subscribers and its effect on
the trunk plant. Bell System Tech. J., 1948, v. 27, pp. 424—445.
16.	С1 оs C. and Wilkinson R. J. Dialling habits of telephone customers.
Bell System Tech. J., 1952, v. 31, pp. 32—67.
17.	Cobham A. Priority assignment in waiting line problems. J. Operations
Res. Soc. Amer., 1954, v. 2, pp. 70—76.
18.	Cobham A. Priority assignment, a correction. J. Operations. Res. Soc.
Amer., 1955, v. 3, p. 547.
]) Звёздочкой помечена литература, z добавленная переводчиком. (Прим,
редактора.)
— 176 —
19.	Cohen J. W. Basic problems of telephone traffic theory and the influ-
ence of repeated calls. Philips Telecommunication Rev., 1957, v. 18,
pp. 49—100.
20.	Cohen J. W. The generalized Engset formulae. Philips Telecommunica-
tion Rev., 1957, v. 18, pp. 158—170.
21.	Cox D. R. A use of complex probabilities in the theory of stochastic pro-
cesses. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955, v. 51, pp. 313—319.
22.	Cox D. R. The analysis of non-Markovian stochastic processes by the
inclusion of supplementary variables. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955, v. 51,
,pp. 433—441.
23.	Cox D. R. The statistical analysis of congestion. J. Roy. Statist. Soc.,
Ser. A, 1955, v. 118, pp. 324—335.
24.	Cox D. R. and Smith W. L. On the superposition of renewal processes.
Biometrika, 1954, v. 41, pp. 91—99.
25.	Cox D. R. and Smith W. L. Queues, London, New York, 1961.
26.	С г о m m e 1 i n C. D. Delay probability formulae, when the holding times
are constant. Post Office Elect. Eng. J., 1932, v. 25, pp. 41—50.
27.	С г о m m e 1 i n C. D. Delay probability formulae. Post Office Elect. Eng. J.,
1934, v. 26, pp. 266—274.
28.	D о m b C. On the use of a random parameter in combinatorial problems.
Proc. Phys. Soc., Sect. A, 1952, v. 65, pp. 305—309.
29.	D r e s s i n S. A. and Reich E. Priority assignment on a waiting line.
Quarterly of Applied Math., 1957, v. 15, pp. 208—211.
30.	Engset T. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Bestimmung der Wah-
leranzahl in automatischen Fernsprechamtern. Elektrotech. Z., 1918, v. 31,
pp. 304—306.
31.	Fa gen R. E. and Riordan J. Queueing systems for single and
multiple operations, J. Soc. Indust. Appl. Math., 1955, v. 3, pp. 73—79.
32.	Feller W. On the time distribution of so-called random events. Phys.
Rev., 1940, v. 57, pp. 906—907.
33.	F e 11 e r W. On the theory of stochastic processes, with particular refe-
rence to applications. Proc. Berkeley Symposium on Mathematical Statis-
tics and Probability, University of California, Berkeley and Los Angeles,
1949.
34.	Feller W. Fluctuation theory of recurrent events. Trans. Amer. Math.
Soc., 1949, v. 67, pp. 98—119.
35.	Feller W. An introduction to probability theory and its applications,
v. I, Wiley, New York, 1950 (first edition); 1957 (second edition).
Русский перевод. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её при-
ложения. 2-е изд. М., Изд-во «Мир», 1964.
36.	Feller W. Non-Markovian processes with the semigroup property, Ann.
of Math. Statist., 1959, V. 30, pp. 1252—1253.
37.	Finch P. D. Balking in the queueing system GI/M/L Acta Math. Acad.
Sci. Hung., 1959, v. 10, pp. 241—247.
38.	F о r t e t R. Random functions from a Poisson process. Proc. Second Ber-
keley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley
and Los Angeles, 1951, pp. 373—385.
39.	Fry T. C. Probability and its engineering uses. Van Nostrand, New
York, 1928, p. 218.
Русский перевод. Фрай T. Теория вероятностей для инженеров. М.-Л.,
Гостехиздат, 1934.
40.	G а г w о о d F. The application of the theory of probability to the opera-
tion of vehicular controlled traffic signals. J. Roy. Statist. Soc. Suppl.,
1940, v. 7, pp. 65—77.
41.	Haight F. A. Queueing with balking. Biometrika, 1957, pp. 360—369.
42.	Hayward W. S. The reliability of traffic load measurements by switch
counts. Bell System Tech. J., 1952, v. 31, pp. 357—377.
43.	J e n s e n A. An elucidation of Erlang’s statistical works through the
theory of stochastic processes. The life and works of A. K. Erlang, Co-
penhagen, 1948.
— 176 —
44.	J e n s e n A. Moe’s principle, Copenhagen Telephone Co., Copenhagen*
1950.
45.	J e n s e n A. Markov chains as an aid in the study of Markov process,
Scand. Aktuartidskr., 1953, v. 36, pp. 87—91.
46.	К a r 1 i n S. and McGregor J. Many server queueing processes with
Poisson input and exponential service times. Pacific Jour, of Math., 1958r
» v. 8, pp. 87—118.
/*46а. Kaufmann A., Cruon R. Les phenomenes d’attente. Theorie et
' applications. Dunod, Paris, 1961.
Русский перевод. Кофман А., Крюон P. Массовое обслуживание. Теория*
и приложения. М., Изд-во «Мир». 1965.
47.	Kendall D. G. Some problems in the theory of queues, 7. Roy. Statist..
Soc., Ser. B., 1951, v. 13, pp. 151—173 (discussion 173—185).
48.	К e n d a 11 D. G. Stochastic processes occuring in the theory of queues?
I and their analysis by the method of the imbedded Markov chain. Annals
of Math. Statist., 1953, v. 24, pp. 338—354.
Русский перевод. Кендалл Д. Стохастические процессы, встречающиеся
в теории очередей и их анализ методом вложенных цепей Маркова. Сб. пе-
реводов «Математика», 3:6, 1959, стр. 97—112.
49.	Kes ten Н. and Runnenberg J. Th. Priority in waiting line prob-
lems. Proc. Akad. Wet. Amst., A, 1957, I, pp. 312—324; II, pp. 325—336
(Indagationes Math. 19, 1957).
50.	Кiefer J. and Wolfowitz J. On the theory of queues with many
servers. Trans. Amer. Math. Soc., 1955, v. 78, pp. 1—18.
51.	Kos ten L. Uber Sperrungswahrscheinlichkeiten bei Staffelschaltungen.
Elect. Nach. Tech., 1937, v. 14, pp. 5—12.
52.	Kos ten L. Over de invloed van herhaalde oproepen in de theorie der
blokkeringskansen (On the influence of repeated calls in the theory of
probabilities of blocking), De Ingenieur, 1947, v. 47, pp. 1—25. (Electro-
technik 14, E123—E131.)
53.	Kos ten L. On the validity of the Erlang and Engset loss-formulae..
Het P. T. T. Bedrift, 1948—49, v. 2, pp. 42—45.
54.	К о s t e n L., Manning J. R. and Garwood F. On the accuracy
of measurements of probabilities of loss in telephone systems, J. Roy. Statist.
Soc. Ser. B, 1949, v. 11, pp. 54—67.
55.	К о s t e n L., Manning J. R. and Garwood F. On the accuracy
of measurements of probabilities of delay and of expected times of delay
in telecommunication system, I, Estimates of probabilities of delay, Appl.
Sci. Research B. 2, 1951, pp. 108—130; II, Estimates of average times of
delay, idem, 1952, pp. 401—415.
56.	L e d e r m a n n W. and R e u t e r G. E. H. Spectral theory for the differen-
tial equations of simple birth and death processes, Philos. Trans. Roy.
Soc. London, Ser. A, 1954, v. 246, pp. 321—369.
♦57. L e Gall P. Les systemes avec ou sans attente et les processus stocha-
stiques. Vol. 1. Generalites, applications a la recherche operationelle^
1962.
58.	Lindley D. V. The theory of queues with a single server, Proc. Cambr. '
Phil. Soc., 1952, v. 48, pp. 277—289.
59.	L u c h a k G. The solution of the single-channel queueing equations
characterized by a time-dependent Poisson distributed arrival rate and
a general class of holding times, Operations Res., 1956, v. 4, pp. 711—732.
60.	Lundkwist K. Analysis of general theory for telephone traffic, Erics-
son Technics, 1955, v. 11, pp. 3—32.
61.	Mayne A. J. Some further results in the theory of pedestrians and road
traffic, Biometrika, 1954, v. 41, pp. 375—389.
62.	M о 1 i n a E. C. The theory of probabilities applied to telephone trunking
problems, Bell System Tech. J., 1922, v. 1, pp. 69—81.
63.	M о 1 i n a E. G. Application of the theory of probability to telephone*
trunking problems, Bell System Tech. J., 1927, v. 6, pp. 461—494.
— 177 —
64.	Morse P. M. Stochastic properties of waiting lines, J. Operations Res.
Soc. Amer., 1955, v. 3, pp. 255—261.
65.	M о r s e P. M. Queues, inventories and maintenance, Wiley, New York,
1958.
66.	O’Brien G. G. The solution of some queueing problems, J. Soc. Indust.
Appl. Math., 1954, v. 2, pp. 133—142.
67.	Palm C. Calcul exact de la perte dans les gropes de circuits echelonnes,
Ericsson Technics, 1936, v. 3, pp. 41—71.
68.	P a 1 in C. Etude des delais d’attente, Ericsson Technics, 1937, v. 5,
pp. 39—56.
Ь9.	P a 1 m C. Analysis of the Erlang traffic formulae for busy-signal arran-
gements, Ericsson Technics, 1938, v. 6, pp. 39—58.
70.	P a 1 m C. Intensitatsschwankungen im Fernsprechverkehr, Ericsson Tech-
nics, 1943, v. 44.
71.	Palm G. Tables of the Erlang loss formulae, Telefon Aktiebolaget L. M.
Ericsson, Stockholm, 1947, second edition, 1954.
72.	P a 1 m C. Research on telephone traffic carried by full availability gro-
ups, Tele, 1957, v. 1, p. 107 (English translation of results first published
in 1946 in Swedish in the same journal, wich was then entitled Tekniska
о
Meddelanden fran Kungl. Telegrafstyrelsen.)
73.	P о 11 a c z e к F. Uber eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie, J,
Math. Zeitschr., 1930, v. 32, pp. 65—99; II, idem, v. 32, pp. 729—750.
74.	Pollaczek F. La loi d’attente des appels telephoniques, C. R. Acad.
Sci. Paris, 1946, v. 222, pp. 353—355.
75.	P о 11 a c z e к F. Sur une generalisation de la theorie des attentes,
C. R. Acad. Sci. Paris, 1953, v. 236, pp. 578—580.
76.	Pollaczek F. Generalisation de la theorie probabiliste des systemes
telephoniques sans dispositif d’attente, C. R. Acad. Sci. Paris, 1953, v. 236,
pp. 1469—1470.
77.	Pollaczek F. Problemes stochastiques..., Memor. Sci. Math., No. 136,
Gauthier Villars, Paris, 1957.
78.	Pollaczek F. Application de la theorie des probabilites a des proble-
mes poses par 1’encombrement des resaux telephoniques, Annales des
Telecommunications, 1959, v. 14, pp. 165—183.
79.	Reich E. Waiting times when queues are in tandem, Annals of Math.
Statist., 1957, v. 28, pp. 768—773.
80.	R e i c h E. On the integrodifferential equation of Takacs, I, Annals of
Math. Statist., 1958, v. 29, pp. 563—570.
81.	Riordan J. Telephone traffic time averages, Bell System Tech. J., 1951,
v. 30, pp. 1129—1144.
82.	Riordan J. Delay curves for calls served at random, Bell System
Tech, J., 1953, v. 32, pp. 100—119.
83.	Riordan J. Introduction to Combinatorial Analysis, Wiley, New York,
1	1958.
Русский перевод. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. ИЛ,
М., 1963.
*84. S a a t у Т. L. Mathematical methods of operations research, Me Graw-Hill
Book Co., 1959.
Русский перевод. Саати T. Л. Математические методы исследования
операций. М., Воениздат, 1963.
*85. S a a t у Т. L. Elements of queueing theory with applications, McGraw-
Hill Book Co., New York, Toronto, London, 1961.
Русский перевод. Саати T. Л. Элементы теории массового обслужива-.
ния и ее приложения. М., Изд-во «Советское радио», 1965.
86.	Smith W. L. On the distribution of queueing times, Proc. Cambr. Philos.
Soc., 1953, v. 49, pp. 449—461.
87.	S m i t h W. L. Asymptotic renewal theorems, Proc. Roy. Soc. Edinburgh,
A., 1954, v. 64, pp. 9—48.
B8.	Smith, W. L. Regenerative stochastic processes, Proc. Roy. Soc. Lon-
don, A, 1955, v. 232, pp. 6—31.
— 178 —
89.	Smith W. L. Renewal theory and its ramifications, J. Roy. Statist. Soc.,
Ser. B, 1958, v. 20, pp. 243—302.
Русский перевод. Смит В/Л. Теория восстановления и смежные с ней
вопросы. Сб. переводов «Математика», 5: 3, 1961, стр. 95—154.
90.	Sy ski R. Introduction to Congestion Theory in Telephone Systems, Oli-
ver and Boyd, Edinburgh, 1960.
91.	T a k a c s L. Investigation of waiting time problems by reduction to Mar-
kov processes, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1955, v. 6, pp. 101—129.
92.	Takacs L. On the generalisation of Erlang’s formula, Acta Math. Acad.
Sci. Hung., 1956, v. 7, pp. 419—433.
93.	T a k a c s L. Oir a probability problem concerning telephone traffic, Acta
Math. Acad. Sci. Hung., 1957, v. 8, pp. 319—324.
94.	T a k a c s L. On a coincidence problem concerning telephone traffic, Acta
Math. Acad. Sci. Hung., 1958, v. 9, pp. 45—81.
95.	T a k a c s L. On a combined waiting time and loss problem concerning
telephone traffic, Annales Univ. Sci. Budapest, Sectio Math., 1958, v. 1,
pp. 73—82.
96.	T a k a c s L. On the limiting distribution of the number of coincidences
concerning telephone traffic, Annals of Math. Statist., 1959, v. 30, pp.
434—141.
*97. Takacs L. A telefon — forgalom elmeletenek nehany valosziniisegs-
zamitasi krdeserok A Magiar tudomanyos Akademia III (Matematikai es
Fizikai) Oszt'alyanak kozlemenyeibol, 8, N 2, 1950, p. 151—210.
Русский перевод. Такач Л. Некоторые вероятностные задачи в телефо-
нии. Сб. переводов «Математика», 4:6, 1960, стр. 93—144.
*98. Takacs L. Introduction to the theory of queues. New York, Oxford Uni-
versity Press, 1962.	!
99.	V a u 1 о t E. Application du calcul des probabilites a 1’exploitation tele-
phonique, Rev. Gen. d'Elect., 1924, v. 16, pp. 411—418.
100.	V a u 1 о t E. Extension des formules d’Erlang en cas ou les durees des
conversations suivent une loi quelconque, Rev. Gen. d'Elect., 1927, v. 22,
pp. 1164—1171.
101.	V a u 1 о t E. Delais d’attente des appels telephoniques traites au hesard,
C. R. Acad. Sci. Paris, 1946, v. 222, pp. 268—269.
102.	Vaulot E. Les formules d’Erlang et leur calcul pratique, Ann. Telecomm.,
1951, v. 6, pp. 279—286.
103.	Vaulot E. Delais d’attente des appels telephoniques dans I’ordre inverse
de leur arrivee, C. R. Acad. Sci. Paris, 1954, v. 238, pp. 1188—1189.
104.	Wilkinson R. I. The interconnection of telephone systems — graded
multiples, Bell System Tech. J., 1931, v. 10, pp. 531—564.
105.	Wilkinson R. I. Working curves for delayed exponential calls served
in random order, Bell System Tech. J., 1933, v. 32, pp. 360—383.
106.	Wilkinson R. I. Theories for toll traffic engineering in the U. S. A.,
Bell System Tech. J., 1956, v. 35, pp. 421—514 (with an Appendix by J. Ri-
ordan) .
107.	Wilkinson R. I. Beginnings of switching theory in the United States,
Elect. Eng., 1956, v. 75, pp. 796—802. (Also in Teleteknik, English edition,
1957, v. 1, pp. 14—31.)
108.	W i s h a r t D. M. G. A queueing system with %2 service-time distribution,
Annals of Math. Statist., 1956, v. 27, pp. 768—779.
109.	W i s h a r t D. M. G. A queueing system with service-time distribution of
mixed chi-squared type, Operations Res., 1959, v. 7, pp. 174—179.
*110. Бабицкий И. А. К расчёту ступенчатого включения на АТС. Связь-
издат, М., 1956.
*111. Башарин Г. П. Финальные вероятности многомерного марковского
процесса, описывающего действие некоторых двухкаскадных телефонных систем
с отказами. «Теория вероятностей и её применения», т. 3, вып. 4, 1958,
<стр. 452—458.
— 179 —
*	112. Башарин Г. П. Теоретико-вероятиостное исследование двухкаскад-
ной телефонной системы с отказами, работающей в режиме свободного искания,
«Доклады АН СССР», т. 121, № 1, 1958, стр. 101—104.
*	113. Б а ш а р и н Г. П. О применении многомерной локальной предельной
теоремы к вычислению вероятностей состояний двухкаскадных телефонных си-
стем с отказами. Сб. «Проблемы передачи информации», вып. 4. Изд. АН СССР,
1959, стр. 19—26.
*	114. Башарин Г. П. Об аналитическом определении и методах вычисле-
ния вероятностей потерь в коммутационных схемах. Сб. «Проблемы передачи ин-
формации», вып. 9. Изд. АН СССР, 4961, стр. 5—47.
*	115. Башарин Г. П. Таблицы вероятностей и средних квадратических
отклонений потерь на полнодоступном пучке линий. Изд. АН СССР, М., 1962.
*	116. Башарин Г. П. О сложных системах массового обслуживания с не-
сколькими конечными очередями и нетерпеливыми заявками. Сб. «Киберне-
тику— на службу коммунизму», т. 2. Изд. «Энергия», М.-Л., 1964, стр. 274—302.
*	117. Башарин Г. П., Швальб В. П. О моделировании действия комму-
тационных систем методом Монте-Карло на ЭЦВМ. «Изв. АН СССР, ОТН, Энер-
гетика и автоматика», № 3, 1962, стр. 143—153.
*	118. Башарин Г. П., Шнепс М. А. Обзор некоторых новейших работ
в области теории телефонного сообщения^ «Электросвязь», 1963, № 5, стр. 41—48,
№ 6, стр. 43—48.
*	119. Беляев Ю. К. Предельные теоремы для редеющих потоков. «Теория
вероятностей и её применения», т. 8, вып. 2, 1963, стр. 175—184.
*	120. Б о р о в к о в А. А. О дискретных» системах массового обслуживания.
«Теория вероятностей и ее применения», т. 8, вып. 3, 1963, стр. 251—263.
*	121. Броди С. М. Об одной задаче теории массового обслуживания.
«Труды Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической ста-
тистике. 1958», Ереван, 1960, стр. 143—147.
*	122. Броди С. М. Об одной предельной теореме теории массового обслу-
живания. «Украинский математический журнал», т. 15, № 1, 1963, стр. 76—79.
*	123. Бусленко Н. П. К теории сложных систем. «Изв. АН СССР. Тех-
ническая кибернетика», № 5, 1963, стр. 7—18.
*	124. Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., С р а г о-
вич В. Г., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний (метод Монте-
Карло). Физматгиз, М., 1962.
*	125. Бухман Е. Н., Подгородецкий И. А. Статистика связи. Связь-
издат, М., 1948, стр. 242—289.
*	126. В д о в и н А. А., Швальб В. П. Исследование действия коммутацион-
ных схем в режиме группового искания методом статистических испытаний на
ЭЦВМ. Сб. «Проблемы передачи информации», вып. 11. Изд. АН СССР, 1962,
стр. 77—85.
*	127. Висков О. В., Прохоров Ю. В. Вероятность потери вызова при
большой интенсивности потока. «Теория вероятностей и её применения», т. 9,
вып. 1, 1964, стр. 99—104.
*	128. Гнеденко Б. В. Об одной задаче массового обслуживания. «Доклады
АН УССР», 1958, сгр. 477—479.
*	129. Гнеденко Б. В. О некоторых задачах теории массового обслужи-
вания. «Труды Весе, совещания по теории вероятностей и математической ста-
тистике. 1958», Ереван, 1960, стр. 15—20.
*	130. Гнеденко Б. В. О некоторых постановках задач и результатах тео-
рии массового обслуживания. В книге: Хинчин А. Я- «Работы по математической
теории массового обслуживания», Физматгиз, М., 1963, стр. 221—233.
*	131. Гнеденко Б. В. О ненагруженном дублировании. «Изд. АН СССР.
Техническая кибернетика», № 4, 1964, стр. 3—12.
*	132. Г н е д е н к о Б. В. О дублировании с восстановлением. «Изв. АН СССР.
Техническая кибернетика», № 5, 1964, стр. 111—118.
— 180 —
*	133. Гнеденко Б. В., Белйев Ю. К., Коваленко И. Н. Основные
направления исследований в теории массового обслуживания. «Труды VI Все-
союзного совещания по теории вероятностей и математической статистике. I960»,
Вильнюс, 1962, стр. 341—355.
*	134. Г ринберг Э. Я., Ш н е пс М. А. О некоторых свойствах .потерянно-
го потока телефонного сообщения. «Ученые записки Латв, ’университета», т. 47,
1963, стр. 253—260.
*	135. Жданов И. М. Вопросы теории и расчета телефонной нагрузки и
числа приборов АТС. Изд. ЛЭИС, Л., 1961.
*	136. Климов Г. П. Экстремальные задачи в теории массового обслужива-
ния. Сб. «Кибернетику — на службу коммунизму», т. 2. Изд. «Энергия», М.-Л.,
1964, стр. 310—324.
*	137. Коваленко И. Н. Исследование многолинейной системы массового
обслуживания с очередью и ограниченным временем пребывания в системе.
«Украинский математический журнал», т. 12, № 4, 1960, стр. 471—476.
*	138. Ков&ленко И. Н. Некоторые задачи массового обслуживания с
ограничением. «Теория вероятностей и ее применения», т. 6, вып. 2, 1961,
стр. 222—228.
*	139. Коваленко И. Н. Об одном методе в теории массового обслужива-
ния. «Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математиче-
ской статистике. 1960», Вильнюс, 1962, стр. 357—358.
*	140. Коваленко И. Н. Об условии независимости вероятностей состоя-
ний системы обслуживания от вида распределения времени обслуживания. Сб.
«Проблемы передачи информации», вып. 11. Изд. АН СССР, 1962, стр. 147—151.
*	141. Коваленко И. Н. О некоторых классах сложных систем. I. «Изв.
АН СССР. Техническая кибернетика», № 6, 1964, стр. 3.
*	142. Коваленко И. Н. Некоторые аналитические методы в теории мас-
сового обслуживания. Сб: «Кибернетику — на службу коммунизму», т. 2. Изд.
«Энергия», М.-Л., 1964, стр. 325—338.
*	143. Лезерсон В. К. Расчет оборудования декадно-шаговых автомати-
ческих телефонных станций АТС-47. 'Связьиздат, 1952.
*	144. Марьянович Т. П. Обобщение формул Эрланга на случай, когда
приборы могут выходить из строя и восстанавливаться. «Украинский математи-
ческий журнал», т. 12, № 3, 1960, стр. 279—286.
*	145. Марьянович Т. П. Надежность системы со смешанным резервом.
«Доклады АН УССР», № 8, 1961, стр. 964—997.
*	146. Марьянович Т. П. Однолинейная система массового обслуживания
с ненадежным прибором. «Украинский математический журнал», т. 14, № 4,
1962, стр. 417—422.
*	147. Мудров В. И. К вопросу об определении вероятности отказа в од-
нолинейных системах массового обслуживания смешанного типа. Сб. «Проблемы
кибернетики», вып. 4, 1960, стр. 45—52.
*	148. Мудров В. И. Очередь с «нетерпеливыми» клиентами и переменным
временем обслуживания, линейно зависящим от времени пребывания клиента в
очереди. Сб. «Проблемы кибернетики», вып. 5, 1961, стр. 283—285.
*	149. Ососков Г. А. Одна предельная теорема для потоков однородных
событий. «Теория вероятностей и ее применения», т. 1, вып. 2, 1956, стр. 274—282.
*	150. Пресман Э. Л. О времени ожидания в многолинейной системе мас-
сового обслуживания. «Теория вероятностей и ее приложения», т. 10, вып. 1,
1965, стр. 70—81.
*	151. Прохоров Ю. В. Переходные явления в теории массового обслужи-
вания. «Литовский математический сборник», т. 3, № 1, 1963, стр. 199—206.
*	152. Розенберг В. Я», Прохоров А. И. Что такое теория массового
обслуживания. Изд. «Советское радио», М., 1962.
*	153. Самандаров Э. Г. Системы обслуживания в условиях большой
нагрузки. «Теория вероятностей и ее применения», т. 8, вып. 3, 1963, стр. 327—330.
154. С е в а ст ь я н о в Б. А. Эргодическая теорема для марковских про-
цессов и ее приложения к телефонным системам с отказами. «Теория вероятно-
стей и ее применения», т. 2, вып. 1, 1957, стр. 106—‘116.
— 181 —
*	155. Севастьянов Б. А. Формулы Эрланга в телефонии при произволь-
ном законе распределения длительности разговора. «Труды III Всес. математиче-
ского съезда. 1956», т. 4. Изд. АН СССР, 4959, стр. 68—70.
*	156. Соловьев А. Д. Об определении резервов для систем многократного
действия. «Известия АН СССР. ОТН, Энергетика и автоматика», № 2, 1962»
стр. 124—129.
*	157. Соловьев А. Д. Надежность системы с восстановлением. Сб. «Ки-
бернетику—на службу коммунизму», т. 2. Изд. «Энергия», М.-Л, стр. 189—193.
*	158. Фи длин Я. В. Расчет потерь в звеньевых включениях при осущест-
влении маркером ограниченного числа попыток установить соединение. Сб. «Про-
блемы передачи информации», вып. 11. Изд. АН СССР, 1962, стр. 124—132.
*	159. ХаркевичА. Д. Приближённый метод расчёта числа соединительных
устройств в АТС координатной системы. «Электросвязь», 1959, №2, стр. 55—63.
*	160. X а р к е в и ч А. Д. Расчет числа соединительных устройств при неполно-
доступном включении. Изд. ВЗЭИС, М., 1964.
161i.	Хи нч ин А. Я. Математическая теория стационарной очереди. «Ма-
тематический сборник», т. 39, № 4, 1932, стр. 73—84.
162.	X и н ч и н А. Я. Математические методы теории массового обслужива-
ния. «Труды Математического института им. В. А. Стеклова», т. 49, 1955.
*	163. Хинчин А. Я. Потоки случайных событий без последействия. «Тео-
рия вероятностей и ее применения», т. 1, вып. 1, 1956, стр. 3—18.
*	164. Хинчин А. Я. О пуассоновских потоках случайных событий. «Теория
вероятностей и ее применения», т. 1, вып. 3, 1956, стр. 320—327.
*	165. Хинчин А. Я. О формулах Эрланга в теории массового обслужива-
ния. «Теория .вероятностей и ее применения», т. 7, вып. 3, 1962, стр. 330—335.
}	*166. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслужи-
вания. Физматгиз, М., 1963.
*	167. Швальб В. П. О рекуррентных формулах для вычисления дисперсии
времени занятости полнодоступного пучка. Сб*. «Проблемы передачи информа-
ции», вып. 9. Изд. АН СССР, 1961, стр. 83—86.
*	168. Шилов О. С. Об оптимальных неполнодоступных включениях и их
рациональном применении. «Труды учебных институтов связи», вып. 12, Л., 1962,
стр. 95—110.
*	169. Шнепс М. А. Изучение однокаскадных неполнодоступных телефонных
систем на электронной вычислительной машине. Сб. «Проблемы передачи инфор-
мации», вып. 12. Изд. АН СССР, М., 1963, стр. 109—123.
*	170. Шнепс М. А. О применении цепей Маркова для изучения телефонных
систем с потерями. Сб. «Проблемы передачи информации», вып. 12, 1963. Изд.
АН СССР, М., стр. 124—134.
*	171. Шнепс М. А. О применении метода вложенных цепей Маркова к мо-
делированию систем массового обслуживания с потерями. «Ученые записки Лат-
вийского университета», т. 47, 1963, стр. 261—266.
*	172. Я ров и цк ий Н. В. О задаче многоэтапного обслуживания с поте-
рями. «Украинский математический журнал», т. 16, № 3, 1964, стр. 421—427.
*	173. Ярошенко В. М. Об одной задаче теории массового обслуживания.
«Доклады АН УССР», 1962, № 2, стр. 153—156.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Некоторые новые направления исследований в теории массового
обслуживания.'Вводная статья доктора техн, наук И. Н. Коваленко .	3*
Предисловие автора ............................................... 21
Глава 1. Введение......................................................24
Глава 2. Распределение входящего потока и распределение времени
обслуживания...........................................................32
2.1.	Введение .	•..............................................32
2.2.	Пуассоновский входящий поток..................................34
2.3.	Рекуррентный	входящий поток...................................36
2.4.	Объединённый	входящий поток...................................41
2.5.	Поток Бернулли .	•.......................................43
2.6.	Распределение	времени обслуживания............................45
Глава 3. Простейшая	система обслуживания.............................48
3.1.	Введение ..............................................«...	48
3.2.	Вероятности перехода в системе с пуассоновским входящим пото-
' ком и экспоненциальным временем обслуживания .	.	.	•	49
3.3.	Статистическое равновесие.....................................54
3-4. Средняя интенсивность входящего	потока......................56-
3.5.	Система с конечным числом источников и экспоненциальным вре-
менем обслуживания.................................................58
3.6.	Система с рекуррентным входящим потоком и экспоненциальным
временем обслуживания .	.......................61
3.7.	Избыточный поток в системе с рекуррентным входящим потоком
и экспоненциальным временем	обслуживания....................'64
Глава 4. Однолинейные системы..........................................70
4.1.	Введение ...................................................  70
4.2.	Системы с потерями.....................................«...	72
4.3.	Вероятности перехода в простейшей системе с ожиданием .	73
4.4.	Система с ожиданием; пуассоновский входящий поток, произ-
вольное распределение времени обслуживания .	.	.	•	.	76
4.5.	Время ожидания при стационарном состоянии системы с обслу-
живанием требований в порядке поступления ........................ 80
4.6.	Время ожидания в системах с задержкой соединения; пуассонов-
ский входящий поток.......................... <	...	88
4.7.	Распределение виртуального времени ожидания....................90
— 183 —
4.8.	Распределение длительности .периода занятости в системе с пуас-
соновским ^входящим потоком
4.9.	Распределение числа требований, обслуженных за период заня-
тости; пуассоновский входящий поток............................
4.10.	Вероятности стационарного состояния системы с пуассоновским
входящим потоком .	.	.......................
4.11.	Система смешанного типа (с потерями и ожиданием); пуассонов-
ский входящий поток............................................
4-12. Обслуживание с приоритетом................................
4.13.	Некоторые средние величины для стационарного состояния си-
стемы с ограниченной ёмкостью; произвольный входящий
поток ......................................................*	.
Глава 5. Многолинейные системы.................................  .
.5.1.	Введение .	.'..........................................
5*2.	Системы с потерями .........................................
.5.3.	Вероятности перехода в простейшей системе смешанного типа <
.54. Распределение времени ожидания в простейшей7 системе с ожи-
данием .....................................................
.5.5.	Системы, с ожиданием, в которых требования могут уходить из
очереди до начала обслуживания ...	...............
:5.6.	Системы, в которых7 поступающие требования могут отказываться
становиться в очередь............................................
.6.7.	Период занятости простейшей системы с ожиданием
.5-8.	Системы с ожиданием; постоянная длительность обслуживания
5.9. Неполнодо.ступные системы...................................
5.10. Многофазовые системы.......................................
Глава 6. Измёрение интенсивности входящего потока....................
6.1.	Введение ................................ •	.	.	? s .
6.2.	Средняя интенсивность потока в простейшей системе с бесконеч-
ным числом линий ......	....................
6.3.	Оценки параметров однолинейной системы..................
6.4.	Оценки потерь для многолинейной системы с потерями .	.	.
.Литература .........................................................
Стр.
93
97
101
104
107
112
114
114
116
134
139
148
152
154
155
160
162
164
164
165
168
170
175
Дж. Риордан
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ
Перевод с английского Е. Г. Коваленко
Супер-обложка и переплет худ. Г. А. Жегина
Редактор Т. А. Батракова
Техн, редактор Г. И. Шефер	Корректор Н. С. Корнеева
Сдано в набор 4/IX 1965 г.	Подписано в печ. 16/XI I 1965 г.
Форм. бум. 60Х90/16	11,5 печ. л.	11,5 усл.-п. л.	10,74 уч.-изд. л. •
Тираж 10 000 экз. Бумага типографская № 2 Зак. изд. 12068 . Цена 97 коп.
Издательство «Связь», Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2
Типография издательства «Связь» Комитета по**еЖти при Совете Министров СССР
Москва-центр, ул. Кирова, 40г Зак. тип. 541



Цена 97 коп.
и зд ателье гп во
< С Н Я 3 Ь >
19 6 6