/
Текст
Л.А.Бессонов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Издание девятое
переработанное и дополненное
Рекомендовано rocYAapcTBeHHbIM коМ....тетоМ
Росс....йской федерац........ по высшем У
образован....ю
в качестве учебн....ка ДЛЯ студентов
вузов, обучающ....хся по направлен....яМ:
"элекТротехн....ка, электроМехаН....ка,
электроТехнолоr........","электроэнерrет....ка"
и "Пр....боросТроеНие"
@)
Москва
« Высшая школа» 1996
Часть I
Л И Н Е Й Н bl Е
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
rnaBa первая
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЯ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1. ЭJlектромаrнитное ПОJlе как вид материи. Подэлектрома(?нuт
ным полем понимают вид материи, характеризующийся совокупно
стью взаимосвязанных и взаимообусловливающих друr друrа элек
трическоrо и маrнитноrо полей. Электромаrнитное поле может
существовать при отсутствии друrоrо вида м атерии вещества,
характеризуется непрерывным распределением в пространстве
(электромаrнитная волна в вакууме) и может проявлять дискрет
ную структуру (фотоны). В вакууме поле распространяется со CKO
ростью света, полю присущи характерные для Hero электрические
и маrнитные свойства, доступные наблюдению.
Электромаrнитное поле оказывает силовое воздействие на
электрические заряды. Силовое воздействие положено в основу
определения двух векторных величин, описывающих поле: напря
---+
женности электрическоrо поля Е (В/ м) и индукции м аrнитноrо поля
В( В .с/м2). На заряд q(Кл), движущийся со скоростью v в электри
ческом поле напряженности Е и м аrнитном поле индукции В, дей
............. ----+- .......
ствует сила Лоренца F==qE+q[vB].
Электромаrнитное поле обладает энерrией, массой и количест
вом движения, т. е. такими же атрибутами, что и вещество. Энерrия
в единице объема, занятоrо полем в вакууме, равна сумме энерrий
u u воЕ2 в 2
электрическои и маrнитнои компонент поля и равна W ЭМ ===2+ 2110 '
1
здесь Во 9 электрическая постоянная, Ф/м; J10 4 л.lО 7
4:1: . 9. [О
маrнитная постоянная, rH/M. Масса электромаrнитноrо поля в
единице объема равна частному от деления энерrии поля W эм на
квадрат скорости распространения электромаrнитной волны в Ba
кууме, равной скорости света. Несмотря на малое значение массы
8
поля по сравнению с массой вещества, наличие массы поля указы
вает на то, что процессы в поле являются процессами инерционны
м и. Количество движения единицы объем а электром аrнитноrо по
ля определяется произведением массы единицы объема поля на
скорость распространения электромаrнитной волны в вакууме.
Электрическое и маrнитное поля MorYT быть изменяющимися и
неизменными во времени. Неизменным в макроскопическом CMЫC
ле электрическим полем является электростатическое поле, co
зданное совокупностью зарядов, неподвижных в пространстве и
неизменных во времени. В этом случае существует электрическое
поле, а маrнитное отсутствует. При протекании постоянных токов
по проводящим телам внутри и вне их существует электрическое и
м аrнитное поля, не влияющие друr на друrа, поэтому их можно
рассматривать раздельно. В изменяющемся во времени поле элек
трическое и маrнитное поля, как упоминалось, взаимосвязаны и
обусловливают друr друrа, поэтому их нельзя рассматривать раз
дельно.
1.2. ИнтеrраJlьные и дифференциаJlьные соотношения между
основными веJlичинами, характеризующими ПОJlе. Электромаrнит
ные поля MorYT быть описаны интеrральными или дифференциаJlЬ
ными соотношениями. Интеrральные соотношения относятся к объ
ему (длине, ПJIощади) участка поля конечных размеров, а
дифференциальные к участку поля физически бесконечно Ma
лых размеров. Они выражаются операциями rрадиента, диверrен
ции, ротора (раскрытие операции grad, div и rot в различных систе
м ах координат см. в 111 части курса). В м акроскопической теории
поля описывают свойства поля, усредненные по бесконечно м алому
физическому объему и во времени. Этот объем в отличие от MaTeMa
тически бесконечно малоrо объема может содержать большое чис
ло атомов вещества. Дифференциальные уравнения м акроскопиче
ской теории поля не описывают поля внутри атомов, для чеrо, как
известно, служат уравнения квантовой теории поля.
В электростатическом поле поток вектора напряженности элек
трическоrо поля Е через замкнутую поверхность (рис. 1.1) равен
свободному заряду qсвб' находящемуся внутри этой поверхности,
деленному на €O€r (теорема raycca):
q
фЕdS=== СВ6 ,
BOBr
(1.1)
rде dS элемент поверхности, направленный в сторону внешней
нормали к объему; €, относительная диэлектрическая проница
емость диэлектрика.
В дифференциальной форме теорема raycca записывается так:
9
Рис. 1.1
Рис .1.2
.....
d . Е Qсвб
IV == ,
BOBr
( 1 .2 )
(QСВб объемная плотность свободноrо заряда, Кл/м 3 ).
Переход от (1.1) к (1.2) осуществляют делением обеих частей
(1.1) на объем V, находящийся внутри поверхности S, и стремлении
объема V к нулю.
.....
Физически divE означает исток вектора в данной точке.
В электростатическом поле и в стационарном электрическом
..... ..... --+
поле на заряд q действует сила F==qE. Отсюда следует, что Е может ,
--+
быть определена как силовая характеристика поля Е == liтР / q. .
q---+O
Если q под действием сил поля переместится из точки 1 в точку 2
2 --+ ---+ ......
(рис. 1.2), то силы поля совершат работу А == q l Edl, rде dl эле "
мент пути из 1 в 2.
Под разностью потенциалов U l2 между точками 1 и 2 понимают
работу, совершаемую силами поля при переносе заряда q == 1 Кл
ИЗ точки 1 в точку 2,
..
2
U l2 == q>l q>2 === Edl;
1
( 1.3)
U l2 не зависит от Toro, по какому пути происходило перемещение из
точки 1 в точку 2. Выражению р.З) соответствует дифференциаль
ное соотношение
E== grad q> .
(1.4)
......
10
rрадиент (}) (grad ()) в некоторой точке поля определяет CKOpO
сть изменения (}) в этой точке, взятую в направлении наиБОJlьшеп)
ero возрастания. Знак минус означает, что Е и grad ({) направлены
противоположно.
Электрическое поле называют потенциальным, если для Hero
ФЕdl==О. Электрическое поле поляризованноrо диэлектрика описы
. вается вектором электрическоrо смещения (индукции)
---+
( 1.5)
D == €oE + Р,
----+
rде Р поляризованность диэлектрика, которая равна электриче
скому моменту единицы объема поляризованноrо диэлектрика.
В стационарном неизменном во времени электрическом поле в
ПрОВОДЯIl ей среде в смежные моменты времени распределение за
рядов одинаково, поэтому для этоrо поля справедливо определение
2
разности потенциалов по формуле U l2 == Edl.
I
Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряжен
--+
насть электрическоf'О поля Е рез равна векторной сумме потенциальной
--+
(кулоновой) состаВЛЯЮlдей Е пот и сторонней состаВЛЯЮlцей Е стор :
Е рез==Е пот + Е стор'
---+
Е стор разделяет заряды внутри источника, она оБУСJlовлена химиче
скими, электрохимическими, тепловыми и друrими процессами не
электростатическоrо происхождения и направлена встречно Е пот . В
электромаrнитном поле MorYT протекать электрические токи. Под
электрическим током понимают направленное (упорядоченное)
движение электрических зарядов. Ток в некоторой точке поля xa
рактеризуется своей плотностью {) (А/м 2 ). Известны три вида тока:
---+
ток проводимости (плотность ero {)IJP ), ток смеlцения (плотностью
--+
{)СМ ) И ток переноса (плотностью {)пер ). Ток проводимости протекает
в проводящих телах под действием электрическоrо поля, плотность
---+
ero пропорuиональна Е
{)пр==уЕ,
( 1.6)
---+
11
rде V удельная проводимость проводящеrо тела, OM I. M I.
В металлах ток проводимости обусловлен упорядоченным движе
нием свободных электронов, в жидкостях движением ионов.
Плотность тока смещения в диэлектрике равна производной по
---+-
времени от вектора электрическоrо смещения D === воЕ + Р:
......
---+-
---+-
--+
dD dE dP dE
6 см === dt === Е о dt + dt == ВоВ , dt .
( 1.7)
--+
dE .
Слаrаемое BOdf представляет собой составляющую тока смеще
ния, обусловленную изменением во времени напряженности поля Е в
вакууме. Носителями тока смещения в физическом вакууме (в нем нет
частиц вещества) являются виртуальные частицы. Они всеrда возника
ют парами, как бы из ничеrо, например, электрон и позитрон, или протон
и антипротон и т. п. Каждая пара виртуальных частицявляется коротко
живущей (время жизни 8/). Составляющие ее частицы MorYT
перемещаться на очень малое расстояние !!ix, а затем эти частицы с
противоположноrо знака зарядами анниrилируют. Каждая
h
виртуальная частица обладает разбросом энерrии !1 W !lt И разбро
1i
сом импульса Aт , rде постоянная Планка n==6,б2б. 10 34 Дж. С.
!1х
Для каждой пары виртуальных частиц выполняется закон сохранения
заряда, но в рамках соотношения неопределенностей наблюдаются Me
стные нарушения закона сохранения энерrии и закона сохранения им
пульса. Слаrаемое dP /dt обусловлено изменением поляризованности
во времени (изменением расположения связанных зарядов в диэлек
трике при изменении Е во времени). В качестве примера тока смеще
ния может быть назван ток через конденсатор. Ток переноса обуслов
лен движением электрических зарядов в свободном пространстве.
Примером тока переноса может служить ток в электронной лампе.
Если положительный заряд объемной плотности Q+ движется со ско-
ростью v + и отрицательный за ряд объемной плотности Q со CKOpO
стью V , то плотность тока переноса в этом поле <\ер == Q+ V + + Q V в
явном виде не зависит от напряженности Е в данной точке поля. Если
в некоторой точке поля одновременно существовали бы все три вида
........... ........
тока, тополная плотность тока 6 пOJ1 == 6 пр + б см + б пер ' Для большин
ства задач ток переноса отсутствует.
Ток это скаляр алrебраическоrо характера. Полный ток че
12
Рис. 1.3
Рис. 1.4
рез поверхность S равен
---+
( 1.8)
1 пол == С\олdS.
s
Если в электромаrнитном поле выделить некоторый объем, то ток,
вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему из объема, т. е.
---+ ---+
фбполdS== О,
( 1.9)
rде dS элемент поверхности объема, он направлен в сторону
внешней по отношению к объему норм али к поверхности. Последнее
уравнение выражает принцип непрерывности пОЛНО20 тока: линии
полноrо тока представляют замкнутые линии, не имеЮlцие ни нача
ла, ни конца. Электрические токи неразрывно связаны с маrнитным
полем. Эта связь определяется интеrральной формой закона пол
Horo тока
---+
B
ф dl == /пол;
110
(1.10)
циркуляция вектора по замкнутому контуру равна полному току,
охваченному этим контуром; dl элемент длины контура (рис. 1.3).
Таким образом, все виды токов, хотя и имеют различную физиче
скую природу, обладают свойством создавать маrнитное поле.
Ферромаrнитные вещества обладают спонтанной намаrничен
ностью. Характеристикой ее является маrнитный момент единицы
объема вещества J (ero называют намаrниченностью). }1.:IЯ ферро
маrнитных веществ
---+
---+
---+
B==llo(H +J) ==- 1l0llr H == lla H ,
(1.11)
rде Ilr относительная маrнитная проницаемость; Ila абсолют
ная маrнитная проницаемость.
13
Напряженность ма,'нитноrо ПОJIЯ
в
H== }
110
(1.12)
равна разности двух векторных величин B/ o и J.
Закон полносо тока в интеl'ральной форме часто записывают в
виде
---+
фН dl == JIlОЛ
или В дифференциальной форме
(1.13)
dD
rotH==v E +
М'
Запись (1.14) закона полноrо тока получили из (1.13), поделив
(1.14)
обе части ero на ПЛОlцадь S, охваченную контуром интеrрирования,
и стремлении S к нулю. Физический ротор (rot) характеризует поле
в данной точке в отношении способности к образованию вихрей.
Плотность тока переноса в правой части последнеrо уравнения
Не учтена, так как он обычно отсутствует в задачах, решаемых с
помощью этоrо уравнения. МаI'НИТНЫЙ поток через некоторую по
верхность S (рис. 1.4) определяют как поток вектора В через эту
поверхность
ф == BdS.
s
(1.15)
Поток Ф это скаляр алrебраическоrо характера, измеряется в
веберах (Вб). Если поверхность S замкнутая и охватывает объем V,
то поток, вошедший в объем, равен потоку, вышедшему из Hero, т. е.
---+
фВdS == о.
(1.16)
Это уравнение выражает приннип непрерывности МДС?НИТНОС?О пo
тока. Линии маrнитной индукции это замкнутые линии. В диф
ференциальной форме принцип непрерывности маrнитноrо потока
за писывается та к:
......
divB===O.
(1.17)
в 1831 r. М. Фарадей сформулировал закон электрома;:нитной
индукции: ЭДС е'fllД' наведенная внекотором одновитковом контуре
пронизываЮIЦИМ этот контур, изменяюu(имся во времени маrнит
[4
в
dB >0
t1t
.........
! ! ! ! 1 8
Деi1ст8ительное
нипрабленuе
ни еilенной ЗДС
ПОЛОJКurпельное
напраВление
отсуета ЗДС
.....
d
1/
Рис. 1 .5
Рис. 1.6
ным потоком, определяется выражением
---+
е инд ==ф Еиидdl == dФ/dt,
( 1.18)
здесь Е инд индукционная состаВЛЯЮll ая напряженности элект
рическоrо поля. Знак минус обусловлен правой системой отсчета:
принято, что положительное направление отсчета дЛЯ ЭДС и Ha
правление потока при ero возрастании связаны правилом правоrо
винта (рис. 1.5).
Если контур мноrовитковый (катушка с числом витков W), то
еинд == dЧ' / dt,
( 1.19)
здесь Ч' потокосцепление катушки, равное сумме потоков, про
низывающих отдельные витки катушки,
Ч' == Ф) + Ф2 + ... + Фn'
( 1.20)
Если все витки W пронизываются одинаковыми потоками Ф, то
Ч' == wФ,
rде Ч' реЗУЛЬТИРУЮll ее потокосцепление, оно может создаваться
не только внешним по отношению к данному контуру потоком, но и
собственным потоком, пронизывающим контур, при протекании по
нему тока. В проводнике длиной dl , пересекающем маrнитные си
ловые линии неизменноrо во времени маrнитноrо поля индукции В
(рис. 1.6), вследствие силы Лоренца наводится эдс
............
dе инд === В[ dl v ],
( 1.21 )
[5
rде v скорость перемещения проводника относительно маrнит
Horo поля.
--+
в (1.21) В скаJIЯРНО умножается на векторное произведение dl и v .
--+
Если в результате расчета по(1.21 )dе инд >0, то dеИНI\ направлена по dl.
В 1833 r. русский академик Э. Х. Ленц установил закон электро
маrнитной инерции. При всяком изменении маrнитноrо потока,
сцеПЛЯЮll ИМСЯ с каким либо проводящим контуром, В нем возни
кает индуктированная эдс, стремящаяся вызвать в контуре ток,
который: 1) препятствует изменению потокосцепления контура; 2)
вызывает механическую силу, препятствующую изменению линей
ных размеров контура или ero повороту.
Закон электромаrнитной индукции, примененный к контуру
бесконечно малых раЗМеров, записывается так:
( 1.22)
rotE === дВ/ at
(в последней формуле индукционную состаВЛЯЮll УЮ напряженно
сти поля Е инд принято обозначать Е). Обобll ая, можно сказать, что
электромаrнитное поле описывается четырьмя основными ypaBHe
ниями в интеrральной форме:
--+ --+ q ( 1.23)
фНd l===lпол, е===фЕиндd 1== dФ/dt,ФВdS===О, ЕdS=== .
ВоВ,
Этим уравнениям отвечают четыре уравнения в дифференциальной
форме:
--+
(а)
rot Н == "(Е + aDjat,
--+
(6)
rot Е ::::::: д В / дt,
(в)
div В === О,
d . Е QCB6
IV == .
ВоВ,
(r)
Они сформулированы в 1873 r. Д. Максвеллом. Их называют ypaB
нениями Максвелла или уравнениями макроскопической ЭJlектро
динамики.
Уравнение (а) означает, что вихревое маrнитное ПОJIе создается
токами проводимости и токами смещения. Уравнение (6) свиде
тельствует о том, что изменение маrнитноrо поля 80 времени вызы
вает вихревое электрическое поле. Уравнение (в) маrнитное по
[6
ле не имеет источников и уравнение (r) что истоком линий Е
являются свободные заряды. Частные производные в уравнениях
(а) и (б) учитывают, что уравнения записаны для неПОДВИЖНbIХ тел
и сред в выбранной системе координат.
1.3. Подразделение электротехнических задач на цепные и
полевые. Задачи, с которыми приходится встречаться на практике,
MorYT быть подразделены на две большие rруппы. Первая rрунпа
цепные задачи MorYT быть решены, используя уравнения поля,
записанные в интеrральной форме. В этой rруппе используют поня
тие ток, маrнитный поток, электрическое и маrнитное напряжения,
потенциал, эдс, МДС (м аrНИТОДВИЖУlцая сила), резистивное, ин
дуктивное и емкостное сопротивления. Для решения задач второй
rруппы полевых задач применяют уравнения поля в диффе
ренциальной и в интеrральной формах. Цепные задачи рассматри
вают в 1 и II частях курса ТОЭ или курса теории цепей, задачи
теории поля в 1I 1 части курса ТОЭ. Четкой rраницы между двумя
rруппами задач нет, так как любая цепная задача с увеличением
частоты перерастает в полевую (все более проявляются паразит
ные параметры и резко возрастает излучение энерrии в окружаю
щее пространство).
Основными уравнениями теории электрических цепей являются
уравнения (законы) Кирхrофа. Первый закон Кирхrофа для элект
рических цепей следует из принципа непрерывности полноrо тока,
а для маrНИТНbIХ цепей из принципа непрерывности маrнитноrо
потока.
Покажем, что уравнение BToporo закона Кирхrофа для цепи
переменноrо тока вытекает из основных уравнений электромаrнит
Horo поля. С этой целью обратимся к рис. 1.7. Цепь (рис. 1.7) образо
вана источником сторонней ЭДС е (t), являющейся функцией времени
(область I с проводимостью '\'1)' проводящей средой (область 2 с про
водимостью '\'2) и конденсатором (область 3, электрическая прони
цаемость Ва)'
Про80iJящаR
среда
. ИстОЧНLJК
сторонней
здс е(О
....
Е стар 1
Рис. 1.7
17
Будем исходить из непрерывности полноrо тока i через попереч
ные сечения трех областей. Полаrаем, что излучение энерrии в
окружающее пространство отсутствует (частота относительно He
--+
велика). В первой области напряженность электрическоrо поля ЕI
состоит из трех компонент (сторонней, потенциальной и индукцион
.................. .............
ной) ЕI == Есторl + Е пот1 + Е инд1 ' во второй Е 2 == Е ПОТ2 + Е инд2 ' в
.............. ........00)0- ............. ...........
третьей Е з == Е потз + Е индЗ ; 51' 52' SЗ площади поперечноrо сече
ния областей; dl элемент длины, совпадающий по направлению
с dS; пО единичный вектор, совпадающий с направлением dl и 5.
Для первой области
--+
(1.24 )
i == 1'1(ECTopl + Е ПОТ1 + Е инд д5 1 ,
для второй
........
(1.25 )
i == 'V2(Е rют2 + ЕИНд2)52'
для третьей
d ............ ........... ............ ............
i == Eadt" (Е rlOтз + Еиндз)5з == ЕаР (Е потз + Е индЗ ) 5 з (р == djdt).
( 1.26)
Умножим уравнения (1.24 1.26) на элемент длины пути
........
........
dl == пOdl, учтем, что 5 == п 0 5, и перепишем их так:
.......... ........... --4- .
t
(Естор1 + Е НОТ1 + Е индl ) d 1 == S dl,
'\' l 1
( 1.27)
........ ...... ............ .
t
(Е пот2 + Е инд2 ) d 1 == 5 dl,
'\'2 2
(1.28 )
........... ........... .
t
(Е нотз + Е иlJдЗ ) d 1 === 5 dl.
РВа 3
(] .29)
Проинтеrрируем (1.27) по длине 1 ro участка, уравнение (1.28)
по длине 2 ro участка и уравнение (1.29) по длине 3 ro и сложим их.
Получим
........
.........
ECTOPldl + EnoT1d 1 + EnoT2d l + Епотзd l + ЕИIIДld l + ЕиНд2d 1 + Еиндзd 1 ==
/1 '1 '2 'з '1 '2 '3
'" --..::-r-
у EnoTd 1 == О У Еиидd 1 == dФ/dl
.1
18
" [ dl dl ] ; dl ( i " dt . J.. ( )
1 + + 1 )
=== ,\,]5] '\'252 Р Еа 5 з р 'С Еа 5 з "
1] 12 I з 13
..........,,....J ..I
R] R2 ldt
UI,tНIЧl:I I JIbHO,
dФ [
i (R 1 + R 2 ) + dt + с idt === е (t),
( 1 .30 )
rде Rl и Я 2 резистивные сопротивления участков 1 и 2; С eM
кость конденсатора.
Второй закон Кирхrофа для маrнитных цепей следует из закона
полноrо тока.
(-Jассмотрим свойства элементов электрической J епи KOHдeHca
тора и индуктивной катушки.
1.4. Конденсатор. Между двумя любыми ПРОВОДЯIЦИМИ телами,
разделенными диэлектриком, СУШ,ествует электрическая емкость.
Для создания определенноrо значения емкости служат KOHдeHca
торы. На рис. 1.8, а изображен плоский конденсатор, на рис. 1.9
цилиндрический. Если заряд на одной обкладке (электроде) KOH
денсатора +q, на друrой q, то в пространстве между обкладками
существует электрическое поле и между обкладками имеется Ha
пряжение И. Заряд q пропорционален И: q == СИ. Коэффициент
пропорциональности С называют емкостью
с == q/И.
(1.31 )
Емкость зависит от rеометрических размеров конденсатора и от
диэлектрика между обкладками. От величины напряжения И eM
коеть, как правило, не зависит. Исключение составляют KOHдeHca
торы, у которых между обкладками находится сеrнетодиэлектрик
(у сеrнетодиэлектрика В, является функuией Е). Единиuей емкости
ЯВJlяется фарад (Ф) или более мелкие единицы микро, нано и пико
фарад: 1 мкФ == 10 бф; 1 нФ == 10 9ф; 1 пФ == 10 ]2ф.
Пример 1. Вывести фuрмулу для емкuсти плuскuru конденсатора (рис. [.8, а).
Площадь ero каждой пластины (с одной стороны) 5, расстояние между пластинами
а, относительная диэлектрическая проницаемuсть диэлекrрика Е,"
/Iy
Ч
а)
+q
f " :!
+ "
t:$ t I{ I t[dl
\ t t / lu
2
c;
6)
Рис. 1.8
[9
+q,
'l .
Cr
Cr
а}
Рис. 1.9
о)
На рис. [.8, 6 (вид сбоку) показаны силовые линии. В основной оБJlасти поле
, .".юдно. lIа краях имеется Ilекоторая неоднuрu/.l,НОСТЬ, которую здесь учитывать
не будем. Е направлена от заряда +q к заряду q. Напряжение между электродами
2 2
и === Edl === EcosOodl === Еа. Охватим верхний электрод замкнутой поверхностью
) )
(след ее на рис. 1.8, 6 ноказан пунктиром) и применим к ней теорему raycca:
q q q EOE,S
l-. EdS ==: ES === . Следовательно, Е === и С === ==
'j' ЕоВ, EOE,S и а
Пример 2. Вывести формулу емкости цилиндрическоrо конденсатора (рис. [.9, а).
На внутреннем электроде радиусом ,) находится заряд +q, на наружном электроде
радиусом '2 заряд q.
Реш е н и е. Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой 1I0Bep
хностью радиуса ,(,) < , < (2)' След этой поверхности показан пунктиром на рис.
1.9, 6. Поток вектора Е имеет место через боковую поверхность, через торцы поток
отсутствует, так как на торцах dS и Е взаимно перпендикулярны:
k. EdS == (EcosOOdS === E2n,l === ...!L...... Отсюда Е == q .
-у) ЕоВ, 2n,lEoB,
бок. пов
Напряжение между электродами
'2 ---+ '2
q d, q '2
и === ( Ed, === ( === In .
) 2ЛЕоЕ,iJ, 2ЛЕоЕ,l ,)
,) ,)
Ем кость
q 2пЕоЕ,
c
и '2'
In
,)
в конденсаторе емкостью С, между электродами KOToporo Ha
пряжение И, запасена электрическая энерrия
С и 2 q2
W Э === 2 === 2С ' (1.32)
20
При изменении заряда q во времени через конденсатор по диэ
лектрику течет ток смещения
i == dq == c du . (1.33)
dt dt
Положительное направление отсчета тока i совпадает с поло
жительным направлением отсчета напряжения и.
Из (1.33) следует, что
[ .
u === С tdt.
(1.34 )
1.5. Индуктивность. Явление самоиндукции. Если по какой ли
бо катушке (контуру) будет протекать ток, то он создаст маrнитное
поле и катушка будет пронизываться маrнитным потоком. Пото
косцепление катушки 'V будет пропорционально току i qr == Li. Ko
эффициент пропорциональности L между чr и i называют индУКТИ8
ностью
L == чr / i.
(1.35 )
Индуктивность L (fH) зависит от rеометрических размеров Ka
тушки, числа ее витков и от маrнитных свойств сердечника, на
котором она намотана. Если ток i будет изменяться во времени, по
закону электромаrнитной индукции в катушке н а ведется ЭДС e 1 "
которую называют ЭДС самоиндукции
е == dчr == L di ( 1.36)
L dt d(
Положительные направления отсчета для i и e L совпадают (e L про
порциональна скорости изменения тока i).
Если сердечник, на который намотана катушка, ферромаrнит
ный, то чr является нелинейной функцией тока i. В этом случае
== dчr(i) == dЧf(i) di L di (1.37)
e L dt di dt ДИФdt
(L диф называют дифференциальной индуктивностью, она является
нелинейной функцией тока i).
В маrнитном поле уединенной катушки индуктивностью L, по
которой течет ток i, запасается маrнитная энерrия
/ / 2 ( 1.38)
w м == idчr == Lidi == L: .
о о
Из ( 1.38) следует, что
2W M
L === .
I
(1.39)
2[
d
dx
х d )(
5)
Рис. 1.10
Пример 3. Вывести формулу для индуктивности L двухпроводной линии персда
чи длиной 1, расположенной в воздухе, при расстоянии между осями проводов d и
радиусе провода r<if:::.d. Полаrать l d и не учитывать ма["нитный поток поперечных
сторон петли.
Реш е н и е. Двухпроводная линия (рис. 1.10, а, 6) представляет собой как бы
один большой виток. Пропустим но ней ток 1. НапряжешlOСТЬ поля в НРОИЗВОJIЬНОЙ
точке между проводами на расстоянии хот J[eBOrO прorюда на линии, соединяющей
I
оси проводов, по закону полно["о тока равна 2 ,а результирующая напряженность
пх
поля равна сумме напряженностей от каждоrо из проводов
1 1
Н === 2 + 2 (d ) (d r x r).
пх :t Х
ПОТОК через заштрихованную площадку dS === ldx равен
11011 ( 1 1 ) JLoll d r
dФ==ВdS== + dх;Ф== lп .
2п х d х :t r
Ф Jlol d
При d r L == === In .
J :rt r
Пример 4. Определить индуктивность катушки (рис. 1.11, а) с ЧИС.JlOм витков
W, === [000, равномерно намотанной на сердечни}{ прямоуrольнш'о с('чения, BHYTpeH
ний радиус KOToporo Rl == 4 см, наружный R 2 == 6 см, высота h == 2 см, 11, сеР:I.<'ЧlIика
раПll{i 80.
22
R 2
R 1 R dR
. о(;:;
I
I
iJ)
Рис. 1.11
Реш е н и е. Пропустим 110 катушке ток / и определим напряженность поля в
/w!
сердечнике по закону пол Horo тока Н == 2лД . Поток через полосу hdR, заШТРИХОВЮI
ную на рис. 1.11,6,
. 11011,h/ W I dR
dФ == BhdR ===
2:rД
Потокосцепление
2 R 2
R 2 W l l1ol1,hln R ,
чr == w,Ф === w!(dФ ===
J 2л
RJ
( 1.40)
Подстановка числовых значений дает L == 0.131 [н.
Пример 5. Вывести формулу для индуктивности цилиндрическоrо ПрОБода дли
ной 1 радиусом R. обусловленной потокосцеплением в теле caMoro Ilровода. На рис. 1.12
показан вид провода с торца.
Реш е н и е. ПРОIlУСТИМ вдоль провода постоянный ток /. По закону полноrо
/ 2
тока напряженность поля Н на расстоянии, от оси ПрОБода равна току """"""'""2л, .
лR
охваченному окружностью радиусом r и деленному на длину этой окружности 2п,:
/,
Н == . Индукция В == l1aH. Маrнитная энеfН'ИЯ. запасенная в теле провода.
2лR
2W M l1a l
L
/2 8п'
R 2 R 2
НВ I1J 1 3 I1J 1
W м == ( 2n,ld, === ( , dr === .
J 2 2лR 4 J [6л
о о
По (1.39)
Рис. 1.12
1.6. Взаимная индуктивность. Явление взаимоиндукции. На рис.
1.13, а изображены два контура. По первому течет ток i l , по второму
i 2 . Поток, создаваемый первым контуром Фl' частично замыкается,
i 1 А
6) 1 2 j t,MC
а)
e'L 131 в
6) " ,.,с
l ,
е2Н 65.5 В 262 В
Рис. 1.1 3 t
2)
ljl
23
пронизывая ТОЛЬКО первый контур ФII' минуя второй, частично про
низывая и второй контур Ф12' Чтобы рисунок был более понятным,
на нем изображено только по одной силовой линии каждоrо потока
l == ФII + Ф12'
Аналоrично, поток, создаваемый вторым контуром:
Ф2 == Ф22 + Ф21'
Если первый контур имеет W 1 витков, то потокосцепление первоrо
контура W 1 (Ф1 + Ф21) . W 1 Ф 1 + W 1 Ф 21 == Чf 1 + 'У 21 . Потокосцепле
ние BToporo контура (число витков W 2 )
W 2 (Ф2 + Ф12) == чr 2 + 'Р'12'
Знаки «+» соответствуют соrласному направлению потока от CBO
eI'o тока и потока, создаваемоrо током в соседнем контуре. Знаки« »
соответствуют несоrласному (встречному) направлению потоков
(для этоrо один из токов должен изменить направление). Потокос
цепление Чf 21 пропорционально току i 2 , а Чf l2 току i l
'У 21 == W 1 Ф 21 == Mi 2 ,
Ч'12 == W 2 Ф 12 == Mi 1 .
Коэффициент пропорциональности М (fH) называют взаимной иH
дуктивностью
м == 'V 21 /i2 == 'V 12 /i 1 .
(1.41)
Она зависит от взаимноrо расположения, числа витков, rеометри
ческих размеров контуров (катушек) и от маrнитной проницаемо
сти }.ta сердечников, на которых они намотаны. Если }.ta == const, то
от величины токов М не зависит.
Явлением взаимоиндукции называют наведение ЭДС в одном
контуре при изменении тока в друrом. Наводимую ЭДС называют
эде взаимоиндукции и обозначают ем- Для рис. 1.13 полная ЭДС,
наводимая в первом контуре,
d d.. di l di 2 ( 1.42)
еl === dt<'I'1 + 'I'2д === dt<LIl1 + Мl 2 ) === L'M + ММ === elL + е1М
и во втором
d d
е 2 === dt<'I'2 + '1'12) === dt<L2i2 + Mi 1 ) ==
di 2 di 1
=== L2dJ + M dТ === e 2L + е 2м .
( 1.43)
'(
;-
в формулах (1.42) и (1.43) принято, что М > О. в то же время в
литературе можно встретиться с тем, что знак минус у ем в этих
. формулах относят не к ЭДС взаимоиндукции, а к М. т. е. записы
24
вают формулы (1.42) и (1.41) в виде
е, == e'L + e 1M и е 2 === e 2L + е 2м ,
Под коэффициентом связи двух маrнитосвязанных катушек пони
мают отношение М к квадратному корню из произведения LIL2 этих
катушек
k CB == M/,yL ,L 2 .
(1.44 )
Всеrда k CB 1; k CB === 1, если весь маrнитный поток, создаваемый
первой катушкой, пронизывает и вторую, а весь поток, rенерируе
мый второй катушкой, пронизывает и первую.
Маrнитная энерrия двух маrнитосвязанных катушек с токами 1I
и /2 равна
L,Ii L2I
W M ===2+2 + M1 ,I 2 .
( 1 .45 )
Знак « + »относится К соrласному,« » К встречному направ
лению потоков.
Пример 6. На сердечнике примера 4 кроме катушки с числом витков WI === 1000
равномерно намотана и вторая катушка W2 === 500. Определим М между катушками.
Реш е н и е. Весь поток Ф, создаваемый в сердечнике первой катушкой, [(рони
зывает и вторую. Поэтому
R 2
чr 110l1,W 1 w2hln R
'2 1
М === I === == 0,0655 rH.
, 2п
Пример 7. Определить маrнитную энерrию, запасаемую в маrнитном IIOJle двух KaTY
шек примера 6, если по первой катушке течет ток 1, === 1 А, по второй ток 12 == 0,5 А.
Маrнитные потоки направлены соrласно.
Реш е н и е. По формуле (1.40), заменив в ней W, на W 2 , определяем L 2 === 0,0327 [н.
По формуле ([.45)
W === I.O,13[ 0,52.0,0327 00655.1.05 === О 1387 Д
м 2 + 2 +, " ж.
Пример 8. По пеl"IЮЙ катушке примера 7 течет ток i l , изменяющийся во времени
в соответствии с рис. [.13,6. Вторая катушка разомкнута. Построить кривые ЭДС
самоиндукции elL и ЭДС взаимоиндукции е 2 М (время дано в мс).
di,
Реш е н и е. [рафик e'L (рис. 1.13, в)строим по формуле e lL == L'd{' rрафик
di,
е2М (рис. 1.13, С?) по формуле е2М === Md{'
1.7. Схемы замещения реальных электротехнических уст-
ройств. В элементах реальных электротехнических устройств (элек
трических цепях) происходят достаточно сложные процессы проте
кания токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой
энерrии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения энер
rии электрическоrо и маrнитноrо полей и т. п. Для Toro чтобы можно
было математически описать эти процессы, в теории цепей пользу
25
а) б сп
R R [п
O--e::J--O
В) Z) R n
С . Ln
O-----I
д) Сп
L Rn
Рис. 1.14
ются расчетными схемами (схемами замещения), вводя в них рези
стивные, индуктивные и емкостные элементы. С помощью рези
стивноrо элемента учитывают выделение теплоты в реальном эле
менте; с помощью индуктивноrо элемента наведение ЭДС и
накопление энерrии в м аrнитном поле; с помощью eMKocTHoro эле
мента протекание токов смещения и накопление энерrии в элек
трическом поле.
Каждый элемент реальной электрической цепи на схеме заме
щения можно представить той или иной совокупностью идеализи
рованных схемных элементов.
Так, резистор для низких частот можно представить одним pe
зистивным элементом R (рис. 1.14, а). Для высоких частот тот же
резистор должен быть представлен уже иной схемой (рис. 1.14, 6).
В ней малая (паразитная) индуктивность Ln учитывает маrнитный
поток, сцепленный с резистором, а малая паразитная емкость Сп
учитывает протекание тока смещения между зажимами резистора.
Конденсатор на нffзких частотах замещают одним емкостным эле
ментом (рис. 1.14, в), а на высоких частотах конденсатор представ
ляют схемой (рис. 1.14, С?). В этой схеме резистор RII учитывает
потери в неидеальном диэлектрике конденсатора, а LII паразитная
индуктивность подводящих контактов.
Индуктивную катушку в первом приближении можно предста
вить одним индуктивным элементом L (рис. 1.14, д). Более полно она
может быть представлена схемой (рис. 1.14, е). В ней R учитывает
тепловые потери в сопротивлении обмотки и в сердечнике, на KOTO
ром она намотана, а паразитная емкость Сп учитывает токи смеще
ния между витка ми катушки.
Обобщенно можно сказать, что при составлении схемы замеще
ния реальных элементов цепи и цепи в целом в нее входят те идеа
лизированные схемные элементы, с помощью которых описывают
ся основные процессы в реальных элементах цепи, а процессами,
являющимися относительно второстепенными в этих элементах для
рассматриваемой полосы частот и амплитуд воздействий, обычно
26
пренебреrают. Реальную электрическую цепь, представленную в
виде совокупности идеализированных схемных элементов, в даль
нейшем будем называть схемой замещения электрической цепи
или, короче, схемой электрической цепи.
Если можно считать, что напряжение и ток на всех элементах
реальной цепи не зависят от пространственных координат, то такую
цепь называют цепью с сосредоточенными параметрами, если зави
сят цепью с распределенными параметрами. Процессы в цепи с
сосредоточенными параметрами описывают алrебраическими или
обыкновенными дифференциальными уравнениями; процессы в цe
пях с распределенными параметрами описывают уравнениями в
частных производных. Дальнейшее подразделение типов цепей бу
дет дано по ходу изложения. Соответствие расчетной модели реаль
ной электрической цепи проверяют путем сопоставления расчета с
экспериментом. Если расчетные данные недостаточно сходятся с
экспериментом, модель уточняют.
В курсе Т03 используют общие физические принципы, форми
рую[цие диалектическое мышление, такие, как принцип симмет
рии, принцип минимума энерrии, закон сохранения заряда, прин
цип непрерывности маrнитноrо потока. При выполнении
лабораторных работ студент ощущает реальность явлений, о которых
шла речь в теории. Методы расчета электрических цепей можно изла
raTb по крайней мередвумя способами. Соrласно первому их изла
rают одновременно с теорией электрических цепей синусоидально
ro тока. Соrласно второму методы расчета рассматривают по
отношению к резистивным цепям (цепям постоянноrо тока), а затем
эти методы распространяют на цепи синусоидальноrо тока. Второй
способ, с нашей точки зрения, методически более целесообразен
материал, расчлененный на две самостоятельные части, усваивает
ся леrче и прочнее. Кроме Toro, студент приобретает навык в расче
те цепей постоянноrо тока, область применения которых достаточ
Но широка.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение электромаrнитному полю. Какими основными неличина
ми ero характеризуют и каковы еrосвойства? 2. Что положено в основу определения
напряженности электрическOI'О поля Е и индукции маrнитноrо поля В? Каковы
единицы их измерения? 3. Какой CMbICJI вкладывается в понятие потенциальной,
вихревой и сторонней составляющих напряженности электрическоrо поля? 4. Как
............ ....................... ........
связаны векторы Е и D; Н и В? 5. Дайте определение плотности тока проводимости,
смещения, переноса. 6. Запишите уравнение непрерывности полноrо тока. 7. Какие
проявления маrнитноrо поля вам известны? 8. Как определить маrнитный поток Ф
и потокосцепление чr? В каких единицах их измеряют? 9. Как записать принцип
непрерывности маrнитноrо потока? 10. Прокомментируйте формулу е === d'l' /dt.
Чем объяснить наличие знака минус в ней? 11. Запишите и поясните смысл четырех
уравнений Максвелла. 12. Покажите, что уравнение nepBoro закона Кирхrофа сле
дует из принципа непрерывности ПОЛНOI'О тока. 13. Исходя из основных уравнений
электромаrнитноrо поля выведите уравнение, записанное 110 второму закону Кирх
27
J'()фа для цепи IIеременнOl'О тока. 14. Что понимают под явлением самоиндукции и
явлением взаимоиндукции? 15. Дайте определение индуктивности L и взаимноА
индуктивности М. От каких факторов они зависят? 16. Прокомментируйте три спо
eL 2W M
соба определения индуктивности: L :=:: Ч' ji, L === dijdt' L === 7,17. Как следует
расположить две ЦИJlиндрические катушки ДРУI' 110 отношению к ДРУI'у, чтобы М
между ними была равна нулю? 18. Поясните, почему коэффициент связи между
двумя маl'нитосвязанными катушками kCB 1. 19. В опыте было получено
L, == L 2 === О,] rH, м == 0,11 rH. Можно ли верить этим данным? 20. Чем физически
можно объяснить, что внутренняя индуктивность цилиндрическоrо провода не зави
сит от ero радиуса? 21. Какие функции выполняют L и М как элементы схем замеще
ния реальных электрических цепей? 22. Прокомментируйте формулу для подсчета
маI'НИТНОЙ энерrии маrнито'связаННbJХ контуров. 23. Как связаны потенциал qJ и
lIаIIряженность Е? 24. Какие поля называют потенциальными и какие вихревыми?
25. Дайте определение 11ОНЯТИЮ «емкость» конденсатора, От каких факторов она
зависит? 26. Прокомментируйте три способа определения емкости конденсатора:
i 2W э
С === qj и, с === dqjdt ' С === 7' 27. Какие функции выполняет емкость как элемент
схемы замещения реальной электрической цепи? 28. Выведете формулы ДJIЯ eMKO
сти n.JIOCKOrO и ЦИJlиндричеСКОI'О конденсаторов. 29. Выразите 0,1 нФ В пикофарадах,
30. Как связано положительное направление отсчета напряжения на конденсаторе
С с положительным направлением тока через Hero? 31. Чем отличаются электриче
ские цепи с сосредоточенными параметрами от цепей с распределенными парамет
рами? 32. Зависит ли схема замещения реальной ЭJlектрической цепи от частоты?
rпasa втора А
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНblХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ постоянноrо ТОКА
'1
2.1. Определение линейных и нелинейных электрических цепей.
Электромаrнитное устройство с происходящими В нем и в окружа } ,
Юlцем ero пространстве физическими процессами в теории элект
рических цепей заменяют некоторым расчетным эквивалентом
электрической цепью.
Электрической цепью называют совокупность соединенных
друr с друrом источников электрической энерrии и наrрузок, по
которым может протекать электрический ток. Электромаrнитные
процессы в электрической цепи можно описать с помощью понятий '1
«ток», «напряжение», «ЭДС», «сопротивление» (<<проводи мость»),
«индуктивность», «ем кость».
ПОСТОЯННЫМ ТОКОМ называют ток, неизменный во времени. По
стоянный ток представляет собой направленное упорядоченное
движение частиц, несущих электрические заряды.
Как известно из курса физики, носителями зарядов в металлах
являются свободные электроны, а в жидких ионы. Упорядочен
ное движение носителей зарядов в проводниках вызывается элект
рическим полем, созданным в них источниками электрической
28
1
1
Е
Н6
R
и
и
а}
б)
8)
Рис. 2.1
энерrии. Источники электрической энерrии преобразуют хиМиче
скую, механическую и друrие виды энерrии в электрическую. Ис
точник электрической энерrии характеризуется значением и Ha
правлением ЭДС, а также значением BHYTpeHHero сопротивления.
Постоянный ток принято обозначать буквой J, ЭДС источ
ника Е, сопротивление R, проводимость g. в Междуна
родной системе единиц (СИ) единиuа тока ампер (А), единица
ЭДС вольт (В), единица сопротивления ом (Ом), единица про
водимости сименс (См).
Изображение электрической цепи с помощью условных знаков
называют электрической схемой (рис. 2.1, а).
Зависимость тока, протекающеrо по сопротивлению, от напря
жения на этом сопротивлении называют вольт амперной xapaKTe
ристикой (ВАХ). По оси абсцисс на rрафике обычно откладывают
напряжение, а по оси ординат ток.
Сопротивления, ВАХ которых являются прямыми линиями
(рис. 2.1, 6), называют линейными, электрические цепи только с ли
нейными сопротивлениями линейными электрическими цепями.
Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями
(рис. 2.1, в), т. е. они нелинейны, называют нелинейными, а электри
ческие цепи с нелинейными сопротивлениями нелинейными
электрическими цепями.
2.2. ИСТОЧНИК эде и ИСТОЧНИК тока. Источник электрической
энерrии характеризуется ЭДС Е и внутренним сопротивлением R B .
Если через Hero под действием ЭДС Е протекает ток J, то напряже
ние на ero зажимах U == Е J R B при увеличении 1 уменьшается.
Зависимость напряжения U на зажимах реальноrо источника от
тока 1 изображена на рис. 2.2, а.
Обозначим через ти масштаб по оси и, через т ! масштаб
по оси J. Тоrда для произвольной точки на характеристике рис. 2.2, а
аЬт и == 1 RR; Ьст ! == 1; tga === аЬ / Ьс === RBm j / ти' Следовательно,
tga пропорционален ЯН' Рассмотрим ДВа крайних случая.
1. Если У HeKoToporo источника внутреннее сопротивление
R B О, то ВАХ ero будет прямой линией (рис. 2.2, 6). Такой xapaK
теристикой обладает идеализированный источник питания, назы
29
. 1
1
1
J :: Е нт
R ит
а
а
Q.==90°
а=О
с
Е
а)
Е
Ь)
и
и
6')
Рис. 2.2
ваемый источником эде. Следовательно, источник ЭДС представ
ляет собой такой идеализированный источник питания, напряже
ние на зажимах KOToporo постоянно (не зависит от тока 1) и равно
ЭДС Е, а внутреннее сопротивление равно нулю.
2. Если у HeKoToporo источника беспредельно увеличивать эдс
Е и внутреннее сопротивление R B , то точка с (рис. 2.2, а) отодвиrает
ся по оси абсцисс в бесконечность, а уrол а стремится к 90 о (рис. 2.2, в).
Такой источник питания называют источником тока.
Следовательно, источник тока представляет собой идеализиро
ванный источник питания, который создает ток J === 1, не зависящий
от сопротивления наrрузки, к которой он присоединен, а ero ЭДС
Е ит и внутреннее сопротивление R ит равны бесконечности. Отноше
ние двух бесконечно больших величин Е ит / Я ит равно конечной вели
чине току J источника тока.
При расчете и анализе электрических цепей реальный источник
электрической энерrии с конечным значением Ян заменяют расчет
ным эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят: "
а) источник эдс Е с последовательно включенным сопротивле
нием R H , равным внутреннему сопротивлению реальноrо источника
(рис. 2.3, а; стрелка в кружке указывает направление возрастания
потенциала внутри источника ЭДС);
б) источник тока с током J == Е/ R B и параллельно с ним включен,
ным сопротивлением ЯН (рис. 2.3, б; стрелка в кружке указывает
положительное направление тока источника тока). .;
Ток в наrрузке (в сопротивлении Я) дЛЯ схем рис. 2.3, a 60дина:-
ков: 1 ===E/(R +R B ), т. е. равен току в схеме рис. 2.1, а. Для cxeMbJ
рис. 2.3, а это следует из Toro, что при последовательном соединеНИJi
значения сопротивлений R и Я В складываются. В схеме рис. 2.3, 6
ток J == Е / Я н распределяется обратно пропорционально значениям
сопротивлений Я и ЯН двух параллельных ветвей. Ток в наrрузке R
R B Е R H Е
1===1
R + R B R B R + R B R + R H '
30
1 и 1
НВ
J= -f
R R6 R
R6 а)
а) 5) +: *
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Каким из двух расчетных эквивалентов пользоваться, COBep
шенно безразлично. В дальнейшем используется в основном пер
вый эквивалент.
Обратим внимание на следующее:
1) источник ЭДС и источник тока идеализированные источни
ки, физически осуществить которые, CTporo rоворя, невозможно;
2) схема рис. 2.3, 6 эквивалента схеме рис. 2.3, а в отношении
энерrии, выделяющейся в сопротивлении наrрузки R, и не эквива
лентна ей в отношении энерrии, выделяющейся во внутреннем co
противлении источника питания я в ;
3) идеальный источник эдс без последовательно соединенноrо
с ним Я В нельзя заменить идеальным источником тока.
На примере схемы рис. 2.3 осуществим эквивалентный пере
ход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. в схеме
рис. 2.3, 6 источник тока дает ток J == 50 А. Шунтирующее ero
сопротивление Я В == 2 Ом. Найти ЭДС эквивалентноrо источника
ЭДС в схеме рис. 2.3, а.
ЭДС Е == J R B == 100 В. Следовательно, параметры эквивалент
ной схемы рис. 2.3, а таковы: Е == 100 В, Я в == 2 Ом.
2.3. Неразветвленные и развеТВJlенные ЭJlектрические цепи.
Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветв
еННbIе. На рис. 2.1, а представлена схема простейшей неразветв
Ленной цепи. Во всех элементах ее течет один и тот же ток. Простей
шая разветвленная цепь изображена на рис. 2.4, а; в ней имеются
три ветви и два узл а. В каждой ветви течет свой ток. Ветвь можно
определить как участок цепи, образованный последовательно coe
диненными элементами (через которые течет одинаковый ток) и
заключенный между двумя узлами. В свою очередь, узел это
точка цепи, в которой сходятся не менее трех ветвей. Если в месте
f& пересечения двух линий на электрической схеме поставлена точка
(рис. 2.4, 6), то в этом месте есть электрическое соединение двух
линий, в противном случае (рис. 2.4, 8) ero нет.
3]
I
J ro 1 ro
. .) . . .. I .
lIab а R с а R с
1 Е Е
..... I .
а R h а) 5)
Р....с.2.5 Рис. 2.6
Кроме термина «узел» иноrда используют термин «устранимый узел». Под
устранимым узлом понимают rочку. в которой соединенЫ два последовательных
СОIlротивления (рис. 2.4,2). Этим понятием JlОЛЬЗУЮТСЯ при ввеДении данных в ЭВМ
о значении и характере сопротивлений.
2.4.Напряжение на участке цепи. Под напряжением на HeKOTO
ром участке электрической цепи понимают разность потенциалов
между крайними точками этоrо участка.
На рис. 2.5 изображен участок цепи, крайние точки KOToporo
обозначены буквами а и Ь. Пусть ток J течет от точки а к точке Ь (от
более BbIcoKoro потенциала к более низкому). Следовательно, по
тенциал точки а( ЧJ а ) выше потенциала точки Ь( ЧJЬ) на значение, paB
ное произведению тока J на сопротивление Я: ЧJ а == (f)b + J R.
в соответствии с определением напряжение между точками а и
Ь и аЬ == ЧJ а ЧJЬ'
Следовательно, и аЬ == J Я, т. е. напряжение на сопротивлении
равно произведению тока, Ilротекающеrо по сопротивлению, на зна
чение этоrо сопротивления.
В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивле
ния называют либо напряжением на сопротивлении, либо падением
напряжения. В дальнейшем разность потенциалов на концах сопро
тивления, т. е. произведение J Я, будем именовать падением напря
жения.
Положительное направление падения напряжения на KaKOM
либо участке (направление отсчета этоrо напряжения), указывае
мое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направле
нием отсчета тока, протекающеrо по данному сопротивлению.
В свою очередь, положительное направление отсчета тока I (ток это скаляр
алrебраическоrо характера) совпадает с положительным направлением нормали к
поперечному сечению проводника при вычислении тока по формуле 1== 6dS, rде ()
s
плотность тока; dS элемент площади поперечноrо сечения (подробнее см. 20.]).
Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержа
щем не только сопротивление, но и ЭДС.
На рис. 2.6, а, 6 показаны участки некоторых цепей, по которым
протекает ток 1. Найдем разность потенциалов (напряжение) меж
ду точками а и с для этих участков. По определению,
32
и ае == СРа СРе'
(2.1 )
Выразим потенциал точки а через потенциал точки с. При пере
мещении от точки с к точке Ь встречно направлению ЭДС Е (рис. 2.6, а)
потенциал точки Ь оказывается ниже (меньше), чем потенциал точ
ки С, на значение ЭДС Е: СРь == СРе Е. При перемещении от точки с
к точке Ь соrласно направлению ЭДС Е (рис. 2.6, 6) потенциал точки
Ь оказывается выше (больше), чем потенциал точки с, на значение
ЭДС Е: <Рь == <Ре + Е.
Так как по участку цепи без источника ЭДС ток течет от более
BbIcoKoro потенциала к более низкому, в обеих схемах рис. 2.6 по
тенциал точки а выше потенциала точки Ь на значение падения
напряжения на сопротивлении R: СРа == СРь + 1 R. Таким образом,
для рис. 2.6, а
СРа == СРе Е + 1 R,
U ае == <Р а ср е == 1 R Е,
(2.2)
для рис. 2.6, 6
CPa==CPe+ E + 1R ,
или
и ае == СРа СРе == IR + Е.
(2.2а)
Положительное направление напряжения и ас показывают
стрелкой от а к С. Соrласно определению, и еа == <Ре СРа' поэтому
и(а == иQC" т. е. изменение чередования (последовательности) ин
дексов равносильно изменению знака этоrо напряжения. Следова
тельно, напряжение может быть и положительной, и отрицательной
величиной.
2.5. Закон Ома ДJlЯ участка цепи, не содержащеrо источника
эдс. Закон (правило) Ома для участка цепи, не содержащеrо ис
точник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на
этом участке. Применительно к рис. 2.5
U аЬ == 1 Я,
или
1 == и аь / R == (СРа <Рь)/ R.
(2.3)
2.6. Закон Ома ДJlЯ участка цепи, содержащеrо источник эдс.
Обобщенный закон Ома. Закон (правило) Ома для участка цепи,
содержащеrо источник ЭДС, позволяет найти ток этоrо участка по
известной разности потенциалов (СРа СРС> на концах участка цепи
и имеющейся на этом участке ЭДС Е. Так, по уравнению (1.2)для
33
2 3ак, 683
с
.
Е
Р....с. 2.7
Р....с.2.8
схемы рис. 2.6, а
1 == (СРа СРС + Е) / R === (и ас + Е) / Я;
,.:
по уравнению (2.2а) для схемы рис. 2.6, б
1 == (СРа СРс Е) / R == (и ас Е) / я.
в общем случае
(q>a qJc) ::f:: Е и ас ::1:: Е
I .
R R
(2.3а)
Уравнение (2.3а) математически выражает закон Ома для уча-
стка цепи, содержащеrо источник эдс; знак плюс перед Е COOTBeT
ствует рис. 2.6,а, знак минус рис. 2.6, б. В частном случае при Е==
== О уравнение (2.3а) переходит в уравнение (2.3).
Пример 9. К зажимам а и с схемЬ! рис. 2.7 Подключен вольтметр, имеющий очень
большое, теоретически бесконечно БОJIьшое сопротивление (следовательно, ero под
ключение или отключение не влияет на режим работы цепи).
Если ток 1=== 10 А течет от точки а к точке с, то показание вольтметра И'ас ==
=== 18 В; если этот ток течет от точки с к точке а, то И" ас === 20 В. Определить
сопротивление R и ЭДС Е.
Реш е н и е. В первом режиме И'ас == 18 == Е + /R == Е + 10R, BOBTO
ром и"ас == 20 == Е /R == Е lOR. Совместное решение дает Е == 19 В,
R==O,l Ом.
2.7. Законы Кирхrофа. Все электрические цепи подчиняются
первому и второму законам (правилам) Кирхrофа.
Пер вый з а к о н К и р х r о Ф а можно сформулировать
двоя ко: '.
1) алС?ебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу
схемы, равна нулю;
2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме YTeKa
ющих ОТ узла токов.
Применительно к рис. 2.8, если подн?кающие к узлу токи счи
тать положительными, а утекающие отрицательными, то соrлас
но первой формулировке
11 12 lз 14==0;
f)A
соrласно второй
1, == 12 + 13 + 14'
Физически первый закон Кирхrофа означает, что движение за
рядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапли
ваются.
Если мысленно рассечь любую схему произвольной плоскостью и все находящи
еся по одну сторону от нее рассматривать как некоторый большой "узел", то алrеб
раическая сумма токов, входящих в этот "узел", будет равна нулю.
в т о рой з а к о н К и р х r о Ф а также можно сформулиро
вать двояко:
1) алzебраическая сумма падений напряжения в любом замкну
том контуре равна алzебраической сумме эдс вдоль ТОсО же KOH
тура:
I/R == L E
(2.4 )
(в каждую из сумм соответствующие слаrаемые входят со знаком
плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со
знаком минус, если они не совпадают с ним);
2) алzе6раическая сумма напряжений (не падений напряже
ния!) вдоль лю60z0 замкнутоzо контура равна нулю:
'l: U k1 == О. (2.4а)
Для периферийноrо контура схемы рис. 2.9
и ае + и ес + U cd + U da == о.
Законы Кирхrофа справедливы для линейных и нелинейных цe
ii й при любом характере изменения во времени токов и напряже
!. U
нии.
Сделаем два замечания: 1) запись уравнения по второму закону Кирхrофа в
форме (2.4) может быть получена, если обойти какой либо контур некоторой схемы
и записать выражение для потенциала произвольной точки этоrо контура через
потенциал этой же точки (взяв ее за исходную при обходе) и падения напряжения и
эдс; 2) при записи уравнений по второму закону Кирхrофа в форме (2.4а) напряже
Ния Ukl участков цепи включают в себя и падения напряжения участков, и имеющие
ся на этих участках ЭДС.
2.8. СостаВJlение уравнений ДJlЯ расчета токов в схемах с по-
мощью законов Кирхrофа. Законы Кирхrофа используют для Ha
Хождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы
8, число ветвей, содержаlЦИХ источники тока, вит и число узлов у.
В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с
Источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется
8 вит' Перед тем как составить уравнения, необходимо произ
Вольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и
обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода
КОНтуров для составления уравнений по второму закону Кирхrофа.
2*
35
1,
Е,
е
/]
Л't
с
Рис. 2.9
С целью единообразия рекомендуеТС5{ для всех контуров поло
жительные направления обхода выбирать одинаковыми, например
по часовой стрелке.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому
закону Кирхrофа составляют уравнения, число которых равно чис
лу узлов без единицы, т. е. у 1.
Уравнение для последнеrо y ro узла не составляют, так как оно
совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже co
ставленных уравнений для у 1 узлов, поскольку в эту сумму
входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не
подходящих к y MY узлу, а токи ветвей, подходящих к Y MY узлу,
входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с
какими они вошли бы в уравнение для y ro узла.
По второму закону Кирхrофа составляют уравнения, число KO
торых равно числу ветвей без источников тока (в Вит), за ВbIчетом
уравнений, составленных по первому закону Кирхrофа, т. е. (В Вит)
(у l) == В Вит У + 1.
Составляя уравнения по второму закону Кирхrофа, следует ox
ватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока'.
Если попытаться составить уравнение по второму закону Кирхrофа в форме
(2.4) для контура, в который входит источник тока, то в Hero вошли бы бесконечно
БОJJьшие слаrаеМbJе и ОНо не имеJIO бы смысла.
При записи линейно независимых уравнений по второму закону
Кирхrофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для KOToporo
составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошед
шая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения
по второму закону Кирхrофа. Такие контуры условимся называть
незавuсuМЫМU.
Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна
новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием,
а потому ero не всеrда выполняют. В таких случаях часть уравнений
по второму закону Кирхrофа составляют для контуров, все ветви
которых уже вошли в предыдущие контуры.
Пример 10. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.9, в которой Еl == 80 В, Е2 === 64 В,
RI == 6 Ом, R2 == 4 Ом, Rз === 3 Ом, R4 == 1 Ом.
36
а)
б)
Р....с. 2.1 О
Реш е н и е. Произвольно выбираем положительные направления тока в BeT
вях. В схеме рис. 2.9, в == 3; ВИТ == О; у == 2.
Следовательно, lJO первоМ'у закону Кирхrофа, можно составить только одно
уравнение:
/) + 12 == /3.
(а)
Нетрудно убедиться, что для BToporo узла получили бы аналоrичное уравнение.
По второму закону Кирхrофа составим В ВИТ (у 1) === 3 О (2 1) == 2
уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой
стрелке.
Для контуров R)E)R 2 E 2
/ )R) /2R2 == Е) + Е 2 -
(б)
Знак плюс перед / t R ) взят потому, что направление тока совпадает с направле
нием обхода контура; знак минус перед /2R2 потому, что направление /2 встречно
обходу контура.
Для контура E2R2R3R4
1 2 R 2 + I з (R з + R 4 ) == Е 2 . (в)
Совместное решение уравнений (а) (в)дает 1) == 14 А, 12 == 15 А, 13 === 1 А.
1., Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно, в pe
зультате расчета какой либо один или несколько токов MorYT оказаться отрицатель
ными_ В рассмотренном примере отрицательными оказались токи /2 и /3' что следует
лонимать так: направления токов 12 и 13 не совпадают с направлениями, принятыми
для них на рис. 2.9 за положительные, т. е. в действительности токи 12 и 13 проходят
В обратном напраВJIении.
Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из них входило по одной
ветви, не входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Под деревом
ПОнимают совокупность ветвей, касающихся всех УЗJIОВ, но не образующих ни одноrо
замкнутоrо контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев.
При составлении системы уравнений по второму закону Кирхrофа можно взять
любое дерево из возможных. Одно из возможных деревьев схемы рис. 2.10, а изобра
жено на рис. 2.10, б, а на рис. 2.10, В четыре независимых контура, в каждый из
которых входит по одной пунктиром показанной ветви, не входящей в остальные.
Более подробно о тополоrии электрических схем см. 2.31 2.35 и А.5 А.[О.
2.9. Заземление ОДНОЙ точки схемы. Заземление любой точки
Схемы свидетельствует о том, что потенциал этой точки принят
равным нулю. При этом токораспределение в схеме не изменяется,
так как никаких новых ветвей, по которым MOr ли бы протекать токи,
Не образуется. Иначе будет, если заземлить две или большее число
ТОчек схемы, имеющих различные потенциалы. В этом случае через
37
с с €t. z
а :с 0 0
6 7 8 R
т
J .J 0
Q) 0
lс! Z *
а)
5)
Рис. 2.11
землю (любую проводящую среду) образуются дополнительные
ветви, сама схема становится отличной от исходной и токораспре
деление в ней меняется.
2.10. Потенциальная диаrрамма. Под потенциальной диacpaM
мой понимают rрафик распределения потенциала вдоль какоrо ли
бо участка цепи или замкнутоrо контура. По оси абсцисс на нем
откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой либо
произвольной точки, ПО оси ординат потенциалы. Каждой точке
участка цепи или замкнутоrо контура соответствует своя точка на
потенциальной диаrрамме.
Рассмотрим последовательность построения потенциальной
диаrраммы по данным примера 2.
Пример 11. Построить потенциальную диаrрамму для контура аЬсеа (см. рис.
2.9).
Реш е н и е. Подсчитаем суммарное сопротивление контура: 4 + 3 + 1 == 80114.
Выберем масштабы по оси абсцисс (ось х) и по оси ординат (ось у). ' I
Произвольно примем потенциал одной из точек, например точки а, «Ра==О, Эту
точку на диаrрамме рис. 2.11, а поместим в начало координат.
Потенциал точки Ь: «РЬ == «Ра + 124 == «Ра 60 == 60 В; ее координаты: х == 4,
у === 60. Потенциал точки с: «Ре == «РЬ + Е 2 == 4В; ее координаты: х === 4, У ==. ft..
Потенциал точки е: «Ре == «Ре + IзR4==4 [Х 1==3B; ее координаты: х == 5; у === 3. ,.,;
TaHreHc уrла «1 наклона прямой «аЬ к оси абсцисс пропорционален току /2,t
т,
TaHreHc уrла «2 наклона прямой се току 1з; tg« == / , rAe т, и mfjJ масштабы
mfjJ
поосямхиу. .,
Обратим внимание на различие в знаках, с которыми входит падение напряже
ния / R при определении потенциала какой либо точки схемы через потенциал исход
ной точки и при составлении уравнений по второму закону Кирхrофа. При вычисле
нии потенциала последующей точки через потенциал предыдущей IR берут со
знаком минус, если перемещение по сопротивлению R совпадает 110 наllравл{'нию с
током, TorAa как при составлении уравнений по второму закону Кирхrофа 1 R HeKO
Toporo участка цепи берут в сумме !.IR со знаком плюс, если обход этоrо участка
совпадает с направлением тока I на нем.
з8
2.11. Энерrетический баJlанс в ЭJlектрических цепях. При про
текании токов по сопротивлениям в последних выделяется теплота.
На основании закона сохранения энерrии количество теплоты, BЫ
деляюшееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно
равняться энерrии, доставляемой за то же время источником пита
ния.
Если направление тока /, протекающеrо через источник ЭДС Е,
совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в
цепь энерrию в единицу времени (мощность), равную Е/, и произве
дение Е! входит в уравнение энерrетическоrо баланса с положи
тельным знаком.
Если же направление тока! встречно направлению ЭДС Е, то
источник ЭДС не поставляет энерrию, а потребляет ее (например,
заряжается аккумулятор), и произведение Е! войдет в уравнение
энерrетическоrо баланса с отрицательным знаком.
Уравнение энерrетическоrо баланса при питании только от ис
точников ЭДС имеет вид
/2R== E 1.
Коrда схема питается не только от источников ЭДС, но и ОТ
источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них
утекают токи источников тока, при составлении уравнения энерrе
тическоrо баланса необходимо учесть и энерrию, доставляемую
источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток J от
источника тока, а от узла Ь этот ток утекает. Доставляемая источ
ником тока мощность равна UabJ. Напряжение и аЬ И токи В ветвях
схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающеrо от
источника тока. Последнее проще Bcero сделать по методу узловых
потенциалов (см. 2.22). Общий вид уравнения энерrетическоrо
баланса:
/2R == "ЕЕ! + UabJ.
Для практических расчетов электрических цепей разработаны
методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем
метод расчета цепей по законам Кирхrофа. Рассмотрим эти MeTO
ды.
2.12. Метод пропорциональных величин. Соrласно методу про
порциональных величин, в самой удаленной от источника ЭДС BeT
ви схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током,
например током в 1 А. Далее, продвиrаясь к входным зажимам,
находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы.
В результате расчета получим значение напряжения U тп схемы и
токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.
Так как найденное значение напряжения U тп В общем случае
Не равно ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токи,
39
Н 2
RJ
(;;')
Рис. 2.12
умножив их на коэффициент, равный отношению ЭДС источника к
найденному значению напряжения в начале схемы.
Метод пропорциональных веJlИЧИН, если рассматривать ero обо
собленно от друrих методов, применим для расчета цепей, состоя
щих только из последовательно и параллельно соединенных сопро
тивлений и при наличии в схеме одноrо источника.
Однако этот метод можно использовать и совместно с друrими
методами (преобразование треуrольника в звезду, метод наложе
ния и т. п.), которые рассмотрены далее.
Пример 12. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.11, 6 методом пропорциональных
величин. Сопротивления схемы даны в омах.
Реш е н и е. Задаемся током в ветви с сопротивлением 4 Ом, равным ] А, и
подсчитываем токи в остальных ветвях (ЧИСJlOвые значения токов обведены на ри
сунке кружками). Напряжение между точками т и п равно 1.4 + 3.3 + 4.3 === 25 В.
Так как эдс Е ==: 100 В, все токи следует умножить на коэффициент k == 100/25 == 4.
2.13. Метод контурных токов. При расчете методом контурных
токов полаrают, что в каждом независимом контуре схемы течет
свой контурный ток. Уравнения составляют относительно KOHTYP
ных токов, после чеrо через них определяют токи ветвей.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как
метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи.
Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые
необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирх
rофа.
Следовательно, метод контурных токов более экономен при BЫ
числительной работе, чем метод на основе законов Кирхrофа (в нем
меньше число уравнений).
Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно
к схеме рис. 2.12, в которой два независимых контура. Положим, что
в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I tI , а в
правой (также по часовой стрелке) контурный ток 122' Для каж
доrо контура составим уравнения по второму закону Кирхrофа.
При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R 5 ) течет
сверху вниз ток J tI 122' Направления обхода контуров примем
также по часовой стрелке.
40
Для первоrо контура
(R, + R 2 )/" + Rs(/" 122) == Е, + ЕБ
(а)
или
(R, + R 2 + Rs)l" + ( Rs)/22 === Е, + ЕБ'
Для BToporo контура
Rs(l" 122) + (R з + R 4 )1 22 === ЕБ Е4
(б)
или
( Rs)l" + (R з + R4 + Rs)122 == Е4 ЕБ'
в уравнении (б) множитель при токе 111' являющийся суммой
сопротивлений первоrо контура, обозначим через RII' множитель
при токе 122 (соп ротивление смежной ветви, взятое со знаком
минус) через R 12 .
Перепишем эти уравнения следующим образом:
Rl/ll + R'2/22 === E Il ; }
R2,1'1 + R 22 1 22 === Е 22 .
(2.4б)
Здесь
R" == R, + R 2 + Rs; Ell == Еl + Е 5 ; R'2 == R2' == R 5 ; R 22 == R3 +
+R4 + Rs; Е 22 == Е4 Е 5 ,
rде RII полное или собственное сопротивление первоrо контура;
"R12 сопротивление смежной ветви между первым и вторым KOH
ртурами, взятое со знаком минус; Ев контурная ЭДС первоrо
'контура, равная алrебраической сумме ЭДС этоrо контура (в нее
со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с
направлением обхода контура); R 22 полное или собственное co
противление BToporo контура; R2' сопротивление смежной ветви
'1 между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; Е 22
контурная ЭДС BToporo контура.
В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k и т
. контурами (Rkт) входит В уравнение со знаком минус, если направления контурных
Токов 1 kk и 1 тт вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если напраВJlения этих
токов соrласны.
Если в схеме больше двух контуров, например три, то система
уравнений выrлядит следующим образом:
R,/" + R'2/22 + R,iзз == E 1 ,; (2.4в)
R2,111 + R 22 / 22 + R23 / 33 == Е 22 ;
R з1 / 1l + R з2 / 22 + R33 1 33 == Е зз ,
41
или в матричной форме
[R][I) == [Е];
[R]== [ = : = ] ; [1] == [ ] ; [Е):::= [ ] .
R31 R 32 R 33 133 Езз
Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с раз
ными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же
сторону, например по часовой стрелке.
В результате реI?ения системы уравнений какой либо один или
неСКОJlЬКО КОНТУРНЫХ токов MorYT оказаться отрицательными.
В ветвях, не являющихся смежными между соседними KOHTypa
ми (например, в ветви с сопротивлениями R" R 2 схемы рис. 2.12),
iU U.., U
наиденныи контурныи ток является деиствитеЛЬНbIМ током ветви.
В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей.
Например, в ветви с сопротивлением R5 протекающий сверху вниз
ток равен разности I11 122'
Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то
число уравнений тоже равно п.
Общее решение систеМbI п уравнений относительно тока J kk:
kl 6. k2 6. k3 6. kn (2.5)
I kk == ElI + E22 + Езз + ... + Е пп 6. '
(2.4 r )
rде
RIIRI2Rlз...Rlп
R2IR22R23..' R 2п
6. == R3IR32R33... R 3n
(2.6)
RnIRп2Rn3'. .R nn
определитель системы.
Алrебраическое дополнение kт ПОJlучено из определителя
путем вычеркивания k ro столбца и m й строки и умножения полу
ченноrо определителя на ( l)k+m.
Если из левоrо BepxHero уrла определителя провести диаrональ
в ero правый нижний уrол (rлавная диаrональ) и учесть, что
R kт == R тk , то можно убедиться в том, что определитель делится на
две части, являющиеся зеркальным отображением одна друrой.
Это свойство определителя называют симметрией относительно
славной дuаС?оналu. В силу сим метрии определителя относительно
rлавной диаrонали kт == тk'
Пример 13. Найти токи в схеме (рис. 2.13) методом контурных токов. Числовые
значения сопротивлений в омах и ЭДС в вольтах указаны на рисунке.
Реш е н и е. Выберем направления всех контурных токов 1 LI'/22 и /зз110 часовой
стрелке. Определяем: R 1L == 5 + 5 + 4 == [4 Ом; R 22 === 5 + 10 + == 17 Ом; R33:::= 2+
+ 2 + 1 == 5 Ом; R I2 == 1<21 === 5 Ом; R 1з == R 31 == о; R 2з === R 32 == 2 Ом; ЕII ==
== 10 В; Езз :::= 8 В.
42
2
Р....с. 2.1 3
Записываем систему уравнений:
14/11 51 22 == 10;
5/11 + 171 22 2/ зз === 1 о;
2122 + 51зз === 8.
Определитель системы
i
14 5 О
6. == 5 [7 2 ==1009.
О 2 5
Подсчитаем контурные токи
10 5 О
10 17 2
8 2 5
6.
..
111==
640 O 6 34А-
1009 , ,
122 == 0,224 А; 133 == 1,51 А.
Ток в ветви сm I ст == 11I /22== 0,634 0,224=== O,86 А.
Ток в ветви аm lат === 122 /зз === 0,224 + 1,51 == 1,734 А.
/
Формула (2.5) в ряде параrрафов используется в качестве ис
ходной при рассмотрении таких важных вопросов теории линейных
электрических цепей, как определение входных и взаимных прово
димостей ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линей
ные соотношения в электрических цепях.
Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с
Источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае
полаrаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур,
замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивления
ми, и ЧТО токи в этих контурах известны и равны токам COOTBeTCTBY
ющих источников тока. Уравнения составляют JlИШЬ для контуров
с неизвестными контурными токами. Если для схемы рис. 2.14, а
принять, что контурный ток /11 == J течет соrласно направлению
часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток /22 ==
43
11 ['
,
Н, l' [' Z"
J
2, J
a/ '\ Rz HJ Rz
J [11 Е
Ь Ь ["
z
а) б) 8)
Рис. 2.14
===13 замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей
ветвям, то, соrласно методу контурных токов, получим только одно
уравнение с неизвестным током 122: (R 2 + R3)122 R 2 J == Е.
Е + JR 2 u
Отсюда 122 === R и ток второи ветви 12 == 111 1 22'
2 + R3
2.14. П ринцип наJlожения и метод наложения. Чтобы составить
общее выражение для тока в k ветви сложной схемы, составим
уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы
k BeTBb входила только в один k KOHTYP (это всеrда возможно). Tor
да соrласно (2.5) ток в k ветви будет равен контурному току [kk'
Каждое слаrаемое правой части (2.5) представляет собой ток, BЫ
званный в k ветви соответствующей контурной эдс. Например,
Е 11 h. k1 / h. естЬ составляющая тока k ветви, вызванная контурной
эдс Е 11 . Каждую из контурных эдс можно выразить через эдс
ветвей Е" Е 2 , Е з ,,,,, Ek,...,En, сrруппировать коэффициенты при этих
эдс и получить выражение следующеrо вида:
lk == E1g k1 + E 2 g k2 + Е з g kз + ... + Ekg kk + Eng kn . (2.7)
Если контуры выбраны таким образом, что кака l либо из эдс,
например Е т , входит только в один m KOHTYP, а в друrие контуры не
входит, то gkт == h. kт / h..
Уравнение (2.7) выражает собой принцип наложения.
Принцип наложения формулируется слеДУЮIЦИМ образом: ток
в k BeTBU равен аЛ2е6раической сумме TOKOB вызываемых каждой
из эде схемы в отдельности. ЭТОТ принцип справедлив для всех
линейных электрических цепей.
Принцип наложения положен в основу метода расчета, получив
шеrо название метода наложения.
При расчете цепей данным методом поступают следующим об
разом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия
каждой из эдс, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя
в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят
44
а)
ь)
8)
Р....с.2.15
токи в ветвях путем алrебраическоrо сложения частичных токов.
Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсче
та выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей
от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной
функцией тока (Р == R/ 2 ).
Если через некоторое сопротивление R протекают соrласно Ha
правлеННblе частичные токи /1 и /2, то Вblделяемая в нем мощность
Р == R(/1 + [2)2 и не равна сумме мощностей от частичных токов:
р =1= RП + R/ 2 .
Пример 14. Для схемы рис. 2.14, а методом наложения найти токи в ветвях,
определить мощности, отдаваемые в схему источником тока и источником ЭДС,
полаrая RJ == 2 Ом; R2 == 4 Ом; Rз == б Ом; J == 5 А; Е :::= 20 В.
Реш е н и е. Положительные направления токов в ветвях принимаем в COOTBeT
ствии с рис. 2.14, а. С помощью схемы рис. 2.14,6 (источник ЭДС удален, и зажимы
cd закорочены) найдем токи в ветвях от действия источника тока:
[' 1 J 5А; [' 2 ['1 R 2 :з R5 5 4 6 ЗА; [' 3 2А.
Используя схему рис. 2.14, В, подсчитываем токи в ветвях от действия источника
ЭДС (зажимы аЬ разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника тока
равно бесконечности):
1" 1 == о; 1"2 ==== {" 3 === Е / ( R 2 + R з ) == 2А.
Результирующие токи в ветвях вычислим, алrебраически суммируя COOTBeTCT
вующие частичные токи этих двух режимов:
11 == 1'1 + 1"1 == 5 + 0=== 5А; 12 == 1'2 1"2 == 3 2 == lA;
13 == 1'з + 1"з === 2 + 2 == 4А; <Ра == <Рь + 1 2 R 2 + IJRJ;
U аЬ == 1.4 + 5.2 == 14 В.
Мощность, отдаваемая в схему источником тока, иаь] == 14.5 == 70 Вт. МоЩ
Ность, отдаваемая в схему источником ЭДС, EI3 === 20 . 4 === 80 Вт.
Уравнение баланса мощности I Rl + I R2 + I Rз == иаЬ] + E13.
2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное со-
ПрОТИВJlение. На рис. 2.l5,a изображена так называемая скелетная
схема пассивной цени. На ней показаНbI ветви и узлы. В каждой
45
ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви: т и k.
Поместим в ветвь т ЭДС Е т (друrих ЭДС в схеме нет). Выберем
контуры в схеме так, чтобы k BeTBb входила только в k KOHTYP, а
m BeTBЬ только в т KOHTYp. ЭДС Е т вызовет токи в ветвях k и т:
I k Emg km ; } .
lm Emg mm
Коэффициенты g имеют размерность проводимости.
Коэффициент g с одинаковыми индексами (gmm) назыв.ают Bxoд
ной nроводuмостью в тви (ветви т). Он численно равен ТОКУ в ветви
т, возникшему от действия ЭДС Е т == 1 В (единичной ЭДС):
1т == 19mm'
Коэффициенты g с разными индексами называют вааимными
проводuмостямu. Так, gkm есть взаимная проводимость k и т BeT
вей. Взаимная проводимость gkm численно равна току в k ветви,
возникаЮlцему от действия единичной ЭДС в т ветвиl.
Входные и взаимные проводимости ветвей используют при BЫ
воде общих свойств линейных электрических цепей (см. 2.16 и 2.18)
и при расчете..цепей по методу наложения [см. ФОРМУЛУ (2.7»).
Входные и взаимные проводимости MOI'YT быть определены pac
четным и опытным путями.
При их расчетном опредеJlении составляют уравнения по MeTO
ду контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные
проводимости которых представляют интерес, входили каждая
только в свой контур. Далее находят опредеJIитель системы и по
нему необходимые алrебраические дополнения:
gmm == б. mт / ;
(2.8 )
g km === 6. km / 6..
(2.9)
(2.1 О)
По формуле (2.10) gkm может получиться либо положительной,
либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что
ЭДС Е т , направленная соrласно с контурным током в т ветви,
вызывает ток в k ветви, не совпадающей по направлению с произ
вольно выбранным направлением KOHTypHoro тока /k по k ветви.
, При опытном определении gmm И gkm В т BeTBb схемы (рис. 2.15,
6) включают источник эдс Е т , а в k BeTBb амперметр (МИJlлиам
перметр). Поделим ток /k на эдс Е т и найдем значение gkm' Для
определения входной проводимости ветви т(gmm) необходимо изме
I Входные и взаимные проводимости ветвей можно определить и иначе: входная
проводимость m ветви это коэффициент ПРОIlорционаJIЬНОСТИ между током и ЭДС
этой ветви (при отсутствии эдс в друrих ветвях схемы); взаимная ПРОВDДИМОСТЬ
ветвей k и т коэффициент пропорциональности между током k ветви и ЭДС
m ветви IIрИ отсутствии ЭДС В ДРУI'ИХ ветвях схемы.
46
а
Е т
1т
Ь
Рис. 2.16
рить ток В m ветви, вызванной эдс Ет' Частное от деления тока
m ветви На эдс m ветви и дает gmm'
Выделим m BeTBb, обозначив всю остальную часть схемы (не
содержащую ЭДС) некоторым прямоуrольником (рис. 2.16). Вся
схема, обозначенная прямоуrольником, по отношению к зажимам
аЬ обладает некоторым сопротивлением. Ero называют входным
сопротивлением. Входное сопротивление m ветви обозначим R Bxm '
Тоrда
R Bxm == Е т / 1т === 1 / gmm === / mт'
(2.11 )
Таким образом, входное сопротивление m ветви есть величина,
обратная входной проводимости этой ветви. Ero не следует смеши
вать с полным сопротивлением m KOHTypa в методе контурных TO
ков.
Пример 15. Определить входную gll и взаимную g12 проводимости в схеме рис.
2.13.
Реш е н и е. Контуры в схеме рис. 2.13 выбраны так, что ветвь J (ветвь сЬm) с
источником ЭДС Е 1 входит только В первый контур, а ветвь 2 (ветвь са) с источником
ЭДС Е 2 во второй.
Поэтому можно воспользоваться определителем системы 8. и алrебраическими
дополнениями 8. 1l и 8.12' составленными по данным примера 13:
J 5 2 1 1+2
8.12 О 5 ( 1) 25 l
gl2 == Л == 1009 == 1009 0,0250м === 0,025См,
17 2 ( l)l + 1
8. 1l 2 5 81 l
g11 === Л == 10 9 == 1009 0,0810M == 0,081См.
2.16. Теорема взаимности. Теорема взаимности формулирует
ся следующим образом: для любой линейной цепи ток в k BeTBUJ
вызванный источником эде Е т , находящимся в m вeTви,
Ik == Emg km равен току 1 т в m BeTBUJ вызванному источником эде
Ek (численно равной ЭДС Е т ), находящимся в k ветви, 1 т === Ekg mk .
Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис.
2.15,а. Как и при выводах в 2.15, выделим две ветви схемы: ветвь k
47
2
2 .... Р2
,
Е@! Р,
] [
1 2
11
Рис. 2.17
и ветвь m. Включим в ветвь т источник ЭДС Е т , в ветвь k ампер
метр А 1 для измерения тока 1 k' Пусть каждая из ветвей k и т входит
соответственно только в k и m KOHTYpы. Поэтому по методу KOHTYP
ных токов /k == Em/).km / /).. Поменяем местами источник ЭДС и ампер
метр, т. е. источник ЭДС переместим из ветви т в ветвь k и назовем
теперь Ek' а а мперметр из ветви k в ветвь m. В этом случае ток
/ т == Е k/).mk / /)..
Так как Ek === Е т , а /).mk == /).km В силу симметрии определителя
системы /). относительно rлавной диаrонали (см. 2.13), то ток /k В
схеме рис. 2.15, 6 равняется току 1 т в схеме рис. 2.15, 8.
При практическом использовании теоремы взаимности важно
иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в
схемах рис. 2.15, 6,8.
Так, если ЭДС Ek источника ЭДС, находящеl'ОСЯ в k ветви схемы
рис. 2.15, 8, направлена СOl'ласно с контурным током /k В схеме рис.
2.15,6, то положительное направление отсчета для тока / т в схеме рис.
2.15, 8 будет совпадать с положительным направлением KOHTypHOI'O
тока по ветви т (ЭДС Е т в схеме рис. 2.15,8 направлена по 1 т)'
Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыпол
нима. Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, Ha
зывают необратимыми.
Пример 16. в схеме рис. 2.17 переключатели PI, Р2, Рз и Р4 MorYT находиться в
первом или во втором положении. Если они находятся в ПOJlOжении 1, то в схеме
включен только один источник эдс Е4. Под действием эдс Е4 протекают токи 11 ==
== [,5 А, 12 == 3 А, 13 == 1 А. Найти ток J 4, если все переКJlючатели находятся в
положении 2, полаrая, что Е 1 == 20 В, Е2 == 40 В, Ез == 50 В, Е4 == 1 О В.
Реш е н и е. Для определения тока 14 воспользуемся ПРИНliиrюм наложения и
принципом взаимности. Если бы в схеме БЫJI включен один источник ЭДС Е 1 === I О В,
1 Амперметр включаем только для наr'лядности; СОllротивление амперметра "o
лаrаем равным НУJIЮ.
48
а 1
а d
R ;]
А А Е А А
Ь 1 Е Ь
а) 8) е)
Р....с. 2.18
а остальные (Е 2 и Е з ) отсутствовали, то в ветви 41 по НРИНЦИllУ взаимности IIротекал
бы сверху вниз ток в 1,5 А. Так как ЭДС Е 1 == 20 В, то в ветви 4 протекает ток, равный
[,5.20/ [О == 3 А. Аналоrичным образом найдем токи в ветви 4 при ВКJlючении
источников ЭДС Е 2 и Е з и произведем алrебраическое сложение частичных токов (с
учетом их направления):
20 40 50
14 == [,510 + ЗТО 110 == 10 А.
2.17. Теорема компенсации. Рассмотрим два варианта этой
теоремы. В любой ЭJIектрической цепи без изменения токораспре
деления сопротивление можно заменить: 1) источником ЭДС, ЭДС
KOToporo численно равна падению напряжения на заменяемом co
противлении и направлена встречно току в этом сопротивлении; 2)
источником тока J, ток KOToporo численно равен току в этом сопро
тивлении и имеет то же направление, что и ток [.
Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы
одну ветвь с СОПРОТИВJIением R, по которой течет ток [, а всю осталь
ную часть схемы условно обозначим прямоуrольником (рис. 2.18,a).
Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противо
положно напраВJIеННblХ источника эдс Е, ЭДС которых равна Па
дению напряжения на сопротивлении R под действием тока [ (Е ==
==/ R; рис. 2.18,6), то ток / в цепи от этоrо не изменится. Убедимся,
что разность потенциаJIОВ между точками а и с в схеме рис. 2.18,6
при этом равна нулю. Действительно,
СРе == СРа / R + Е == СРа / R + / R == СРа'
Если СРе == СРа' то точки а и с можно объединить в одну, т. е.
закоротить участок ас и получить схему рис. 2.18, в. В ней вместо
СОПРОТИВJIения R включен источник ЭДС Е.
Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображе
на на рис. 2.18, С? Чтобы прийти к ней, заменим последовательно
соединенные R и Е на участке ас (рис. 2.18, б) параJIJIеJIЬНЫМ соеди
нением источника тока J == Е/ R == / и сопротивления R. Так как
1 Номер ветви соответствует индексу ЭДС.
49
R2.
З=2А
R 2
о)
б)
Р....с. 2.19
и ас == О, то ток через R будет отсутствовать и потому R можно удалить
из схемы. Если ЭДС Е участка Ьс включить в состав источника тока,
то получим схему рис. 2.18,2, rде напряжение и Ьа === /R.
Пример 17. На схеме рис. 2.19, аданы значения R(OM), ЭДС ЕI (8) и ТОКОВ I(А).
Заменить Rз источником ЭДС и источником тока.
Реш е н и е. На рис. 2. [9, б изображена схема с источником ЭДС Е == 28, а на
рис. 2.19, в с источником тока J == 2А.
2.18. Линейные соотношения в электрических цепях. Если в
линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление
в какой либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряже
ния) двух любых ветвей связаны друr с друrом линейными зависи
мостями вида у == а + Ьх.
Функцию х выполняет ток или напряжение одной ветви, Функ
цию У ток или напряжение друrой ветви.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно методу контурных токов, об
щее выражение для тока в k ветви записывается в виде (2.7). Если
в схеме изменяется только одна ЭДС, например ЭДС Е т , то все
слаrаемые в (2.7), кроме слаrаемоrо Emg km , постоянны и MorYT быть
для сокращения записи заменены некоторым слаrаемым Ak' Сле
довательно,
/k === Ak + Emg km .
Аналоrично, для р ветви
/р === Ар + Emg pm '
(2.12)
(2.13 )
Найдем Е т из (2.13):
Е т === (/ р Ар)/ gpm
и подставим в (2.12). Получим
1 k === а k + Ь k/ р'
(2.14 )
rде a k == Ak Apg km ; b k == gkm/ gpm'
Коэффициенты a k и b k MorYT быть :>:=0. в частном случае либо a k ,
либо b k может быть равно нулю.
50
с
а}
5}
Р....с. 2.20
Равенство (2. 14) свидетельствует о том, что при изменении эдс
Е т токи /k И /рсвязаны линейной зависимостью. Из теоремы компен
сации известно, что любое сопротивление можно заменить источни
ком ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в m ветви эк
вивалентно изменению ЭДС Еm' Таким образом, линейное
соотношение между двумя любыми токами (2.14) имеет место при
изменении не только ЭДС Еm' но и сопротивления какой то m ветви.
Если обе части (2.12) умножить на сопротивление k ветви Rk и
проделать аналоrичные выкладки, то можно убедиться в том, что
напряжение k ветви линейно связано с током в р ветви.
Коэффициенты a k и b k из (2.14) и в ДРУI ИХ подобных выражениях
MorYT быть найдены расчетным или опытным путем.
При опытном определении коэффициентов достаточно найти
значения двух токов (соответственно напряжений) при двух различ
ных режимах работы схемы и затем решить систему из двух ypaB
нений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте
1 k == / kl И / р == 1 рl' а во втором 1 k == 1 k2 И / р == / р2'
Тоrда
/kl == a k + b k / p1 ; /k2 == a k + b k / P2 '
/р2
Ik2 r 1k1
рl
a k === ;
1 1 р2/ I рl
1 kl a k
b k ==
I pl
Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивле
ния в каких либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме
(токи, напряжения) связаны друr с друrом линейным соотношени
ем вида у == а + Ьх + cz.
Доказательство этоrо соотношения проводится аналоrично при
веденному ранее.
Пример 18. На рис. 2.20, а изображена схема, в которой выделены три веrви. В
Ветви 1 включен амперметр А 1, в ветви 2 амперметр А2. В ветви 3 имеются ключ
/( и сопротивление Rз. Если К разомкнут, то амперметр А 1 показывает 1 А, ампер
метр А2 5 А. При замкнутом ключе амперметр А I показывает 2 А, а амперметр
А2 4 А. При замкнутом КJIюче сопротивление Rз изменили так, что показани€
амперметра А2 стало 4,5 А. Каково показание амперметра А I В этом режиме?
51
I,+tJ[, 1 2 +А 12
/,
А
12
А
АЯ !JI ,
п
а)
tJj
О)
Рис. 2.21
Реш е н и е. Выразим I1 через 12: /1 === а + Ы 2 . Составим уравнение для опре
..1liИЯ а и Ь:
1 == а + 5Ь; 2 == а + 4Ь.
Отсюда а == 6 и Ь == 1. При /2 == 4,5 А; I1 == 6 4,5. [ == 1,5 А.
Пример 19. В схеме рис. 2.20, б сопротивление R изменяется от нуля до беско
нечности. Вывести зависимость напряжения U cd от напряжения U аЬ'
3 rJ
Реш е н и е. При разомкнутой ветви аЬ U cd == 2 r J и и аЬ === 2' При коротком
3 4 [
замыкании ветви аЬ U cd == 4rJ и и аЬ == О. Отсюда а == з r J и Ь === 3 ' Следовательно,
4 1
Ucd == з r J + 3 ИаЬ.
2.19. Изменения токов ветвей, вызванные приращением сопро-
тивления одной ветви (теорема вариаций). На рис. 2.21, а выделим
ветви 1 и 2 с токами 11 и 12' заключив остальную часть схемы вместе
с источниками энерrии в прямоуrольник А (активный); проводимо
сти gl2 И g22 полаrаем известными. Пусть сопротивление ветви 2
изменилось на R (рис. 2.21, б), в результате чеrо токи стали
11 + /l и 12 + /2' в соответствии с теоремой компенсации заме..
ним I1R на ЭДС I1E == R(/2 + 11/2)' направленную встречно току /2'
На основании принципа наложения можно сказать, что прираще
ния токов /I И /2 вызваны ЭДС E в схеме рис. 2.21, в, в которой
часть схемы, заключенная в прямоуrольник, стала пассивной (бук
ва П). Так как схема внутренних соединений и значения сопротив
лен ий в схеме прямоуrольника остались без изменений, то проводи
мости gl2 И g22 В схеме рис. 2.21, в имеют те же значения, что и в схеме
рис. 2.21, а. Для схемы рис. 2.21. в имеем:
/I == Eg12 == g12 R(l2 + /)./2);
/2 == AEg 22 == g22 AR (l2 + /2)'
Знаки минус поставлены потому, что эдс I1E 2 направлена
встречно току /2'
52
J
R*
1
1
а
EJ
а)
5)
8)
Р....с. 2.22
Отсюда
g22 11R /2 g.2 I1R /2
11/2 == 1 + I1Rg 22 ; 11/. === 1 + I1Rg 22 '
(2.15)
Соотношения (2.15) позволяют определить изменение токов в
ветвях 1 и 2, вызванные изменением сопротивления в ветви 2.
Пример 20. В схеме рис. 2.21 g22 === 5/26 См, g.2 == 3/26 См. Токи /. === 7 А,
/2 == 3А. Определить токи /. И/2после Toro, как сопротивление второй ветви возросло
на I1R === 1 Ом.
Реш е н и е. По формулам (2.15), 11/ I == 0,29 А, 11/2 === 0,483 А:
/.' === /. + 11/. == 6,71 А, /2' === /2 + 11/2 == 2,517 А.
2.20. Замена неСКОJlЬКИХ параJlJlельных ветвей, содержащих
источники эде и источники тока, одной эквивалентной. Расчет
сложных схем упрощается при замене нескольких параллельно
включенных ветвей, содержащих источники ЭДС, источники тока и
сопротивления, одной эквивалентной ветвью.
Участок цепи рис. 2.22, 6 эквивалентен участку цепи рис. 2.22, а,
если при любых значениях тока /, подтекающеrо из всей остальной,
не показанной на рисунке части схемы, напряжение на зажимах а
и Ь (и аЬ ) В обеих схемах одинаково. Для Toro чтобы выяснить, чему
равняются R э и Е э , составим уравнения для обеих схем.
Для схемы рис. 2.22, а
/. + 12 + 13 + J r + J s === 1,
но
1. == (Е. и аЬ )/ Rl === (Е. Uab)g.;
/2 === (Е2 U ab )g2;
(2.16 )
/п === (Е п Uab)gп'
53
Следовательно,
п
п
q
п
1 === r/ k == 'LEkgk + 'LJk UabLgk'
k===l k==l k==l k===l
(2.16a)
rде п число параллельных ветвей с источниками ЭДС; q число
параллельных ветвей с источниками тока.
Для схемы рис. 2.22, 6
1 == Еэg э Uаьg э , (2.17)
rде gэ === l/R э .
Равенство токов 1 в схемах рис. 2.22, а, 6 должно иметь место при
любых значениях и аь , а это возможно только в том случае, коrда
коэффициент при и аЬ (2.17) равен коэффициенту при и аЬ В (2. I6a).
Следовательно,
п
(2.18)
g'j == Lgk'
k==l
Если слаrаемые с и аЬ в(2.16а) и (2.17) равны и токи 1 по условию
эквивалентности двух схем также равны, то
п q
LEkgk + LJk === Еэg э ,
k===l k===l
откуда
n q
IEkg k + LJk
Е k===1 k==1
3 п
(2.19)
Igk
k==1
Формула (2.18) дает возможность найти проводимость gэ И по
ней R э в схеме рис. 2.22, 6. Из этой формулы видно, что проводимость
gэ не зависит от Toro, есть в ветвях схемы рис. 2.22, а ЭДС или нет.
При подсчетах по формуле (2.19) следует иметь в виду следую
щее: 1) если в какой либо ветви схемы ЭДС отсутствует, то COOTBeT
ствующее слаrаемое в числителе (2.19) выпадает, но проводимость
этой ветви в знаменателе (2.19) остается; 2) если какая либо ЭДС в
исходной схеме имеет направление, обратное изображенному на
рис. 2.22, а, то соответствующее слаrаемое войдет в числитель фор
мулы (2.19) со знаком минус.
Ветви схемы рис. 2.22, а, 6 эквивалентны только в смысле пове
дения их по отношению ко всей остальной части схемы, не показан
ной на рисунке, но они не эквивалентны в отношении .мощности,
54
а
12 EJ
RZ Н""
Е ,
l.
h
Рис. 2.23
выделяющейся в них. Качественно поясним это. В ветвях схемы
рис. 2.22, а токи MorYT протекать даже при J ==: О, тоrда как в ветви
аЬ рис. 2.22, б при 1 == О ток и потребление энерrии отсутствуют.
Пример 21. Заменить параллельные ветви рис. 2.22, в одной эквивалентной.
Дано: Е!' == [о В; Е 1" === 30 В; Е2 == 40 В; Ез === 60 В; Rl == 2 Ом; R2 === 4 Ом; Rз == 1 Ом;
R4 == 5 Ом; J == 6 А.
Реш е н и е. Находим:
gl == 0,5 См; g2 == 0,25 См; gз === 1 См; g4 == 0,2 См;
1 1
R э === == 0,5 + 0,25 + 1 + 0,2 === 0,513 См;
Lgk
k==l
4
LEkg k J
Е k== 1 === (10 30)0,5 40.0,25 + 60.1 6 === 184 В
э \' 1 95 ' .
t..... gk '
Таким образом, для эквивалентной ветви рис. 2.22, 6 R э === 0,51.3 Ом; Е э === 18,4 В.
2.21. Метод двух УЗJlОВ. Часто встречаются схемы, содержащие
Bcero два узла; на рис. 2.23 изображена одна из таких схем. Наибо
лее рациональным методом расчета токов в них является метод
двух узлов.
Под методом двух узлов понимают метод расчета электриче
ских цепей, в котором за искомое (с ero помощью определяют затем
токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы.
Расчетные формулы этоrо метода получают на основе формул
(2.16a) и (2.16); их также можно просто получить из более общеrо
метода метода узловых потенциалов (см. 2.22).
В отличие от схемы рис. 2.21, а ток I к узлам а и Ь схемы рис. 2.23
не подтекает. Поэтому если в формуле (2.16a) принять 1 === О, то из
Нее может быть найдено напряжение между двумя узлами:
55
!.Ekg k + !.} k
и аЬ == !.
gk
(2.20)
После определения напряжения и аЬ находят ток в любой (п й)
ветви по формуле In === (Еn Uab)gn.
При мер 22. Найти токи в схеме рис. 2.23, и сделать проверку баланса мощности,
если Е == 120 В, Ез == 50 В, Rl == 2 Ом, R2 == 4 Ом, Rз == 1 Ом, R4 == 10 Ом.
Реш е н и е. Определим токи в схеме рис. 2.23:
120. 0,5 50. 1 1 О
и аЬ == 9,5 + 0,25 + 1 + 0,1 === 1,85 == 5,4 В;
11 == (El Uab)/R 1 === (120 5,4)/2 == 57,3 А;
/2 == (Е 2 U ab )/R 2 == (О 5,4)/4 == 1,35 А;
/3 == 55,4 А; /4 == 0,54 А.
в схеме потребляется мощность
/TR 1 + / R2 + I Rз + / R4 == 57,32.2 + 1,352.4 + 55,42.1 + 0,542.10 == 9647 Вт.
, !
Источники ЭДС доставляют мощность EIII Е з / з == 120.57,3 + 50.55,4 ==
== 9647 Вт.
2.22. Метод УЗJlОВЫХ потенциаJlОВ. Ток в любой ветви схемы
можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащеrо ЭДС.
Для Toro чтобы можно было применить закон Ома, необходимо
знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цe
пей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы,
называют методом узловых потенциалов.
Допустим, что всхеме п узлов. Так каклюбая (одна)точка схемы
может быть заземлена без изменения токораспределения в ней,
один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять по
тенциал ero равным нулю. При этом число неизвестных уменьшает
сяспдоп 1.
Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу
уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому
закону Кирхrофа. В том случае, коrда число узлов без единицы
меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод явля
. ется более экономным, чем метод контурных токов.
Обратимся к схеме рис. 2.24, которая имеет довольно большое
число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если
узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять 4 === О, то необходимо
определить потенциалы только трех узлов: l' 2' 3' Для единооб
разия в обозначениях условимся в 2.22 токи писать с двумя индек
сами: первый индекс соответствует номеру узла, от KOToporo ток YTe
кает, второй индекс номеру узла, к которому ток подтекает.
Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами.
Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничеrо общеrо
r:c
,
Е. ,
,
Н. ,
Р....с. 2.24
с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые pac
сматривались в 2.15.
В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.24 составим
уравнение по первому закону Кирхrофа для первоrо узла:
141' 114" + 121'" 112' + 121" + 131 == О,
или
[ Е 41' (<р I <р 4) ]g 4" [Е, /' (<р 4 <р 1) ]g 11" + [О (<р, <Р2)] Х
Xg I2 '" [Е,{ (<Р2 <p,)]g,{ +
+[Е2'" (<р, <P2)]gI2" + [Ез, (<р, <рз)]gI3 == О.
Перепишем последнее уравнение следую[цим образом:
<PI G 11 + <Р2 а '2 + <рз G '3 == 1 ", (2.21)
rде
G II == g4" + gl3 + g12" + g41" + g'2' + gI2"';
G I2 == (gl{ + gI2'" + gI2"); G,з == g,з;
1" == E 4 ,'g41' + Е з ,g31 + E 2 ,"g21" E,/'g4'" E,{g,{.
Подобные же уравнения мо['ут быть записаны и для остальных
узлов схемы. Если схема имеет п узлов, то ей соответствует система
из п 1 уравнений:
<р, G 11 + <Р2 G '2 + ... + <р п 1 G " п 1 == 111;
<р,а 21 + <Р2 а 22 + ... + <Рп ,а 2 , n 1 == 122;
(2.22 )
........ ..
<PI G n '.1 + <Р2 а n ',2 + ... + <Рn ,а n ',п 1 == 1 п ',n l'
57
в об[цем случае G kk сумма проводимостей ветвей, сходящих
ся в узле k; G km сумма проводимостей ветвей, непосредственно
соединяю[цих узлы k и т, взятая со знаком минус. Если между
какими либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая
проводимость равна нулю. В формировании узловоrо тока k узла
J kk участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат
источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС Ер р ветви направлены к
k узлу, то ее вклад в формирование J kk равен Epg p ' а если эта эде
направлена от k узла, то ее вклад составляет Epg p ' Если к k узлу
подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в J kk со
знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен
входить в J kk со знаком минус. После решения системы (2.22) OTHO
сительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для
участка цепи, содержащеrо эде.
в том случае, коrда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой
имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы ypaBHe
ний по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить в
соответствии с приемом, рассмотренным в 2.24.
Система уравнений (2.22) может быть представлена в матрич
ной форме записи:
[ О] [ ] === [] kk]'
(2.22а)
011
021
012
022
... 0l.n 1
. .. о 2.n 1
({il
Q)2
[0]===
; [Q)] ===
ОП 11 ОП 1 2'" Оп 1 n I
, , ,
Q)n I
J II
J 22
[! kk] ==
J
n l,n 1
Ее решение
[ ] === [O] '[ J kk]'
(2.22б)
Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических
цепях всеrда "роисходит так, что тепловая функция системы
1 2
Р == 2 I L [E Nm (Q)N Q)m)] gNm
N l. 2, 3... т l, 2, 3...
минимальна. Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании
мощность каждой ветви учитывается дважды. Доказательство основано на том, что
совокупность уравнений (2.22) является совокупностью условий м инимума функции Р,
58
1 дР 1 дР
т. е. совокупностью условий 2 д === О, 2 === О и т. д. Так как вторые производные
СРI дСР2
1 д 2 Р 1 д 2 Р
""2 == 011>0, 2 "2 == 022>0 положительны, то это и является доказательством
2 дср 1 дСР2
минимума тепловой функции Р.
Пример 23. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.24 и сделать проверку по второму
закоНу Кирхrофа. Дано: Е41' === 1 О В; Е 14" === 6 В; Е 12" === 20 В; Е21" == 30 В; Е31 == 14 В;
Е2А == lOB;E43 == 8В;Е2З" === 12 В;Е32' == 7B;R41' == 1 OM;RI4" === 20M;RI2' == 100м;
R21'" === 5 Ом; R31 === 2 Ом; R24 == 4 Ом; R34 == 2 Ом; R23" === 4 Ом; R32' == 2 Ом. Источ
ник тока, включенный между узлами 3 и 2, дает ток IЗ2 == 1,5 А.
Реш е н и е. Записываем систему уравнений:
q:> 1 О 11 + СР2 0 12 + <Рз 0 13 === 111; ]
q:>1 0 21 + СР2 0 22 + q:>з G 23 === 122;
СРI G З1 + СР2 О 32 + q:>з О зз === J 33.
Подсчитываем проводимости:
1 1 1 1 1 1
011 == R ' + R ,,+ R ' + R ,,+ R ", + R == 2,4 См;
41 14 12 21 21 31
1 1 111 1
022== R '+ R ,,+ R "' + R + R '+ R ,,===1,4CM;
12 21 21 24 32 23
1 1 1 1
G33== R '+ R "+ R + R ==1,75CM;
31
G I2 === 021 === ( R 1 т + R 1 , + R [ ,, ] == 0,4 См;
21 12 21
1
013 === 031 == R === 0,5 См;
31
G 2з === 032 == (0,25 + 0,5) === 0,75 См.
При подсчете а 22 , G зз и G 2з учтено, что проводимость ветви с
источником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно
бесконечности ).
Узловые токи:
Е , Е " Е Е , Е "
41 14 31 12 21
III=== R ' R "+ R R '+ R ,,===15A;
41 14 31 12 21
Е , Е " Е , Е " Е
12 21 и
J22== R ' R "+ R ' R " R +J32=== l,5A;
12 21
J 33 == 3,5 + 3 7 + 4 1,5 == 5 А.
Система уравнений
2,4СРI О,4СР2 0,5q:>з === 15;
О,4ср} + 1.4q:>2 0,75q:>з=== 1,5;
О,5<РI О,75СР2 + 1,75q:>з === 5
Имеет решение СРI === 6 В; СР2 == 0,06 В; q:>з === 1,07 В.
59
Заключительный этап расчета состоит в подсчете токов по закону Ома. Перед
определением токов в ветвях схемы следует эти токи обозначить и выбрать для них
1I0ложитеJIьные Hall равления:
, Е 41 ' (Q)I Q)4) 10 (6 О)
/41 === R ' == 1 == 4 А;
41
Q)2 Q)I
/21'" === R '" == 1,185 А;
21
, Q)з «>2 + Е з2 ' fP4 Q)з + Е43
/32 === R ' === 2,92 А; /43 == 4,5::> А и т. д.
R
Сделаем проверку решения по второму закону Кирхrофа для периферийноrо
контура.
АJlrебраическая сумма падений напряжений 4.1 + 1,]85.5 2,92.2
4,55.2:::::: 5 В.
Алrебраическая сумма эдс 10 7 8 == 5 В.
Покажем, что основная формула (2.20) метода двух узлов полу
чается как частный случай (2.22). Действительно, если один узел
схемы (рис. 2.23), например узел Ь, заземлить, то остается найти
только один потенциал a === и аь , Для получения формулы (2.20) из
(2.22) следует положить I === a == и аЬ ; <Р2 == 3 == <Р4 == ... === О.
2.23. Преобразование звезды в треуrОJlЬНИК и треуrОJlьника в
звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой
звезды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопротивле
нии так, что они образуют собой стороны треуrольника (рис. 2.26),
треуС?ольнuко,М. В узлах 1,2,3 (потенциалы их I 2 И 3) треуrоль
.
ник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной
на рисунках).
Обозначим токи, подтекаЮlцие к узлам 1,2,3, через 11' 12 и 13.
Часто при подсчете электрических цепей оказывается полез
ным преобразовать треуrольник в зве ду или, наоборот, звезду в
треуrольник. Практически чаlце бывает необходимо преобразовы
вать треУI'ОЛЬНИК в звезду. Если преобразование выполнить таким
образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных
точек треуrольника и звезды подтекающие к этим точкам токи оди
наковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.
Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи
/1, /2 И '3 В звезде и в треуrольнике через разности потенциалов точек
и соответствующие проводимости.
Для звезды
',+/2+'3===0,
(2.23)
но
'1 === ( I o)gl; '2 == ( 2 0)g2; 13 === ( 3 о)gз,
(2.24 )
60
I,
I,
9 z .1
H 2J
z
Iz.1
Р....с. 2.25
Р....с.2.26
Подставим (2.24) в (2.23) и найдем o:
cp,g, + 2g2 + зgз o(g, + g2 + gз) === о,
откуда
QJ,g, + QJ2g2 + QJзgз
<Ро ===
g, + g2 + gз
Введем ЧJо в выражение (2.24) для тока 11:
( ) [QJ,(g2 + gз) QJ2g2 QJзgз]g,
/, QJ I «РО g,
- \ + g2 + gз
Для треуrольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26
/ ,==/ '2 /з,===(QJ, <P2)g '2 (QJз QJ1)g ,з===QJ,(g '2+g ,з) QJзg ,з QJ2g '2- (2.27)
(2.25 )
(2.26 )
Так как ток 1, в схеме рис. 2.25 равен току 1, в схеме рис. 2.26 при
любых значениях потенциалов ср" 2' СРз, то коэффициент при 2 в
правой части (2.27) равен коэффициенту при 2 В правой части
(2.26), а коэффициент при СРз в правой части (2.27) коэффициенту
при з в правой части (2.26).
Следовательно,
g '2 === g \g2/(g, + g2 + gз);
glЗ === glgз/(g, + g2 + gз).
(2.28)
(2.29)
Аналоrично,
g2З === g2gз/(gl + g2 + gз).
(2.30)
Формулы (2.28) (2.30) дают возможность определить прово
ДИмости сторон треуrольника через проводимости лучей звезды.
ОНИ имеют леrко запоминающуюся структуру: индексы у проводи
мастей в числителе правой части соответствуют индексам у прово
61
димости В левой части; в знаменателе сумма проводимостей лу
чей звезды.
Из уравнений (2.28) (2.30) выразим сопротивления лучей
звездыR, === l/g,;R 2 -=== l/g2иRз== l/gзчерезсопротивления сторон
треуrольника: R'2 == l/g'2; R 2З == l/g23; R,з === l/g,з.
С этой целью запишем дроби, обратные (2.28) (2.30):
1 I 1 R,R2 + R2 R 3 + RзR!
+ R 2 + R3 R,R2 R 3
R '2 === I 1 1
I!I R 2 RIR2
т
(2.31 )
R з '
rде
т === R,R2 + R2R3 + RзR,;
R 2З == m/ R,;
R 13 === m/ R 2 .
Подставив (2.31), (2.33) и (2.34) в (2.32), получим
2 ( I I 1 ) 2RI2 + R 2J + R 31
m===m + + ===т .
R 2з R 1з R 1з R I2 R I2 R 2з R'2R23 R 3,
Следовательно,
(2.32)
(2.33)
(2.34 )
R '2R2зRз,
т === .
R'2 + R 2З + R3!
Подставив т в (2.33), найдем
R, R'2R31
R'2+R2J+Rз,
(2.35)1
('1
I t
(2.36).,
Аналоrично,
R 2з R I2
R 2 == ;
RI2+R2з+ R з,
R 1з R 2з
Я3 .:;::::
RI2+R2з+R31
Структура формул (2.35) (2.37) аналоrична структуре фор
мул (2.28) (2.30).
Преобразование треуrольника в звезду можно пояснить, pac
смотрев, например, схему рис. 2.27, а, 6. На рис. 2.27, а изображена
схема до преобразовани , пунктиром обведен преобразуемый Tpe
уrольник. На рис. 2.27, 6 представлена та же схема после преобра
зования. Расчет токов произвести для нее про[це (например, MeTO
дом двух узлов), чем для схемы рис. 2.27, а.
В полезности преобразования звезды в треуrольник можно убе
диться на примере схем рис. 2.27, в, С? На рис. 2.27, в изображена
схема до преобразования, пунктиром обведена преобразуемая в
( 2.37),
62
O '
I Н п I
I I
I R'J Rл I
I I
L J
а)
8)
Р....с. 2.27
о
oj
е)
треуrольник звезда. На рис. 2.27, с? представлена схема после пре
образования, которая свел ась к последовательному соединению
сопротивлений l .
Пример 24. Найти значения сопротивлений RI, R2, Rз в схеме рис. 2.27, 6, если
сопротивления R12, R,з, R32 в схеме рис. 2.27, а равны соответственно 2,3,5 Ом.
Реш е н и е. По формуле (2.35), R ,==2'3/(2+3+5)===0,6 Ом; по формуле (2.36),
R 2 ==(5. 2)/10== 10м; по формуле (2.37), R3==(3. 5 )/10== 1,5 Ом.
2.24. Перенос источников ЭДС и источников тока. На участке
цепи рис. 2.28, а между узлами а и Ь имеется источник ЭДС Е. Этот
источник можно перенести в ветви 1 и 2, а узел а устранить и в
результате получить участок на рис. 2.28, б. Эквивалентный пере
ход поясняется рис. 2.28, в. Точки c J d, Ь имеют одинаковый потен
циал и потому MorYT быть объединены в одну точку Ь.
R,
а)
О)
Р....с. 2.28
а)
О)
'в 3.31 рассмотрен еще ОЩtll ВИД преобразований преобразование последо
натеЛЬНО rIараJlлельноrо соединения в параJIлельное.
63
1
l'
/"
А А А П
1
h
а) 5) В) z)
Р....с.2.29
Участок аЬс на рис. 2.28, С?, между крайними точкам и а и с
KOToporo включен источник тока, может быть заменен участком
рис. 2.28, д, отличающимся от участка рис. 2.28,С? тем, что источник
тока между точками а и с заменен на два источника, присоединен
ных параллельно R] и R 2 . Эквивалентность замены следует из неиз
менности значений токов в каждом из узлов. Ток в узле Ь не изме
нился, так как в этот узел добавили и вычли ток J. Практически
источники переносят при преобразованиях схем с целью их упроще
ния и при записи уравнений по методу контурных токов и узловых
потенциалов в маТРИЧНО ТОIlолоrической форме записи (см. 2.33).
2.25. Активный и пассивный ДВУХПОJlЮСНИКИ. В любой электри
ческой схеме можно мысленно выделить какую то одну ветвь, а всю
остальную часть схемы независимо от ее структуры и сложности
условно изобразить некоторым ПрЯМОУI'ОЛЬНИКОМ (рис. 2.29, а). Ta
кой прием был использован в 2.17 без специальных объяснений.
По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная прямо
уr'ольником, представляет собой так называемый двухполюсник.
Таким образом, двухполюсник . -JTO обоб[ценное название cxe
мы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоедине
на к выделенной ветви.
Если в двухполюснике есть источник ЭДС иди (и) тока, то такой
двухполюсник называют активным. В этом случае в прямоуrольни
ке ставят букву А (рис. 2.29, а в).
Если в ДВУХlIолюснике нет источника ЭДС и (или) тока, то ero
называют пассивным. В этом случае в прямоуrольнике либо не
ставят никакой буквы, либо ставят букву П (рис. 2.29, С?).
2.26. Метод эквиваJlентноrо reHepaTopa. По отношению к BЫ
деленной ветви двухполюсник можно заменить эквивалентным re
нератором, эде KOToporo равна напряжению XOJIOCTOro хода на
зажимах выделенной ветви. а внутреннее сопротивление равно
входному сопротивлению двухполюсника.
Пусть задана некоторая схема и требуется найти ток в одной ее
ветви. Мысленно заключим всю схему, содержащую ЭДС и сопро
64
Л Вх а
R ] := иаьх R
Н Вх
h h
а) 5)
Р....с. 2.30
тивления, в прямоуr'ольник, выдеJ1ИВ из нее ветвь аЬ, в которой
требуется найти ток 1 (рис. 2.29, а).
Ток 1 не изменится, если в ветвь аЬ вкJlючить две равные и
противоположно направленные ЭДС Е, и Е 2 (рис. 2.29, б).
На основании принципа наложения ток можно "редставить н
виде суммы двух токов /' и {": 1 == /'+1".
Под током {' будем понимать ток, вызванный источником ЭДС
Е, и всеми источниками ЭДС и тока активноrо двухполюсника,
заключенными в прямоуr'ольник. Ток 1" вызывается только одним
источником ЭДС Е 2 . В соответствии с этим ДJlЯ нахождения
токов l' и 1" ИСПОJlьзуем схем ы рис. 2.29, в, с. В вря моуr'ОJlьнике П
(рис. 2.29, С?) отсутствуют все источники, но OCTaBJIeHbI их BHYT
ренние сопротивления. "
ЭДС Е, направлена встречно напряжению U l1П . По закону Ома
для участка цепи, содержаLцеrо ЭДС,
/'===(Ul1h E,)/R. (а)
Выберем Е, так. чтобы ток l' был равен нулю. Отсутствие тока
в ветви аЬ эквивалентно ее размыканию (холостому ходу). НаllрЯ
жение на зажимах аЬ при ХОJlОСТОМ ходе ветви обозначим U Пh \'
Следовательно, если выбрать Е, == U аЬх , то 1'===0. Так как
1 == 1'+1", а 1'==0, то 1 == 1". Но ток 1" в соответствии со схемой
(рис. 2.29, С?) определяется как
1" === Е 2 / (R+R их ) === и иЬХ / (R+RBJ, (6)
rде R BX входное сопротивление двухполюсника 110 отношению к
зажимам аЬ; R сопротивление ветви аЬ. Уравнению (6) отвечаt"'I'
эквивалентная схема рис. 2.30, а, ['де вместо двухполюсника изо
6ражены источник ЭДС U l1lJх ===Е 2 И СОПРОТИВJlение RRX (схема reJlh
мrольца Тевенена).
Совокупность источника ЭДС Е 2 === и аьх И сопротивлеll,ИЯ Ru'.
можно рассматривать как некоторый эквивалентный reHepaTop
(R Bx является ero внутренним сопротивлением, а Ul/( \ ero ЭДС).
Таким образом, по отношению к выдеJlенной ветви (ветви аЬ рис.
з 3,11-.. 683
65
2.29, а) всю остальную часть схемы можно заменить эквивалентным
reHepaTopoM с перечисленными значениями параметров.
Метод расчета тока в выделенной ветви, основанный на замене
активноrо двухполюсника эквивалентным reHepaTopoM, принято Ha
зывать методом эквивалентноС?о С?енератора (активноС?о двухполюс
HиKa) а также методом ХОЛОСТО20 хода и КОрОТКОС?О замыкания.
В дальнейшем чаще используется первое название.
Рекомендуется такая последовательность расчета тока этим
методом:
а) найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви аЬ;
б) определить в!,одное сопротивление R Bx всей схемы по отноше
нию к зажимам аЬ при закороченных источниках ЭДС и разомкну
тых ветвях с источника ми тока ';
В) подсчитать ток по формуле
/ == и аьх / (R+ RBJ. (2.38)
Если сопротивление ветви аЬ равно нулю (R==O), то для нее
имеет место режим KopoTKoro замыкания, а протекаю[ций по ней
ток есть ток KopoTKoro замыкания (/к)' Из (2.38) при R==O
/ к === и аьх / R BX ' (2.39)
или
R BX === и аЬХ / / к'
( 2.40 )
Из формулы (2.40) следует простой метод опытноrо определе
ния входноrо сопротивления активноrо двухполюсника. Для этоrо
необходимо измерить напряжение холостоrо хода на зажимах разо
мкнутой ветви и аЬХ И ток KopoTKoro замыкания '" ветви, а затем
найти R Bx как частное от деления и аьх на J к' :
Название метода метод холостоrо хода и KopoTKoro замы а
ния объясняется тем, что при решении этим методом для нахож
дения и аьх используется холостой ход ветви аЬ, а для определения
BxoAHoro сопротивления двухполюсника R Bx короткое замыка
ние ветви аЬ. ,1
Заменив источник ЭДС источником тока, получим схему экви
валентноrо reHepaTopa в виде рис. 2.30, б.
Пример 25. Определить ток в диаrонали аЬ мостовой схемы рис. 2.31, а, ПОJIаrая
R,==R4==1 Ом; R2===4 Ом; Rз==2 Ом; Rs===2 Ом; EI==lO В. (!
Реш е н и е. Размыкаем ветвь аЬ(рис. 2.31, б) и находим напряжение холостоrо
хода: Ш
E,R2 E,RJ t>H
ЧJа == QJb+/2R2 /,R, == Q)b+ R 2 +R 4 R,+R3
I
Если среди источников питания схемы есть источники тока, то при определении
входноrо сопротивления всей схемы по отношению к зажимам аЬ ветви с источни
ками тока следует считать разомкнутыми. Это станет понятным, если вспомнить,
что внутреннее сопротивление источников тока равно бесконечности (см. 2.2).
66
'Рь+ Е , ( R 2 ;R 4 RI Rз );
и. ьх 'I'. 'I'o Е, ( R 2 ;R 4 RI Rз )
IO (4 I t 2) 4,67 В.
Подсчитываем входное СОПРОТИВJlение всей схемы по отношению к зажимам аЬ
ПРИ закороченном источнике ЭДС (рис. 2.31, в).
. t Точки С И d схемы оказываются соединенными накоротко. Поэтому
.!
!.
'),
VI
..
RtR з R2 R 4 1.2 4. [
R BX R}+R3 + R 2 +R 4 1+2 + 4+1 == 1,470M.
Определяем ток в ветви по формуле (2.38):
f === и аЬх / (Rs+RBJ === 4,67 / (2+ 1,47) === 1,346 А.
2.27. Передача энерrии от активноrо двухполюсника наrрузке.
Если наrрузка R подключена к активному двухполюснику (см. рис.
2.29, (1), то через нее потечет ток / == и аЬХ / (R+RBJ и в ней выделится
МОlIо\()е.ТЬ
и 2
р === f2R === аЬх 2 R .
(R+R Bx )
(2.41 )
Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивле
нием наrрузки R и входным сопротивлением двухполюсника R Bx ,
чтобы в сопротивлении наrрузки выделялась максимальная мощ
ность; чему она равна и каков при этом КПД передачи. С это.й целью
очределим первую производную.Р по R и приравняем ее нулю:
2
Жt dP (R+R Bx ) 2R(R+RBX)
o
dR (R+R BX )4 .
:N.
GJ:i
Отсюда
Nl! R === R BX ' (2.42)
. Нетру дно найти вторую производную и убедиться в том, что она
Отрицательна (d 2 P / dR 2 <0). СJIедовательно, соотношение (2.42) co
ответствует максимуму функции P==f( R). Подставив (2.42) в (2.41),
Получим максимальную мощность, которая может быть выделена
в наrрузке R:
Р тах == и ьx / 4R Bx ,
(2.43 )
Полезную мощность, выделяющуюся в наrрузке, определяют по
Уравнению (2.41). Полная мощность, выделяемая эквивалентным
reHepaTopoM,
р поли == U аЬх/ == и ьx / (R вх + R).
3*
67
а
ь
Е ,
а)
11
6)
Р....с. 2.31
а
1
8)
Коэффициент полезноrо действия
1] === Р / Р ПОЛН === R / (R+RBJ.
(2.44 )
Если R==R BX ' то 1]==0,5.
Если мощность Р значительна, то работать с таким низким
КПД, как 0,5, недопустимо. Но если мощность Р мала и составляет
Bcero несколько милливатт (такой мощностью обладают, напри
мер, различные датчики устройств автоматики), то с низким кпд
можно не считаться, поскольку достиrнута rлавная цель в этом
режиме датчик отдает наrрузке максимально возможную мощ
насть. Выбор сопротивления наrрузки R, paBHoro входному сопро
тивлению R 8x активноrо двухполюсника, называют соС?ласованuем
наС?рузки.
Прнмер 26. При каком значении сuпротивления Rs(рис. 2.31, а) в нем выделяется
максимаJlьная мощность и чему она равна'?
Реш е н и е. Из условия (2.42)
Ртах == и bx / (4R BX ) == 4,672 / (4.1,47) === 3,71 Вт.
находим
Rs==R BX === 1,47
iOM;
\.
2.28. Передача энерrии по JlИНИИ передач. Схем а линии пере
дачи электрической энерrии изображена на рис. 2.32, rде и(
напряжение reHepaTopa в начале линии; и 2 напряжение на Ha
rрузке в конце линии; RlI сопротивление проводников линии; R 2
сопротивление наrрузки.
Напряжение и) == и аЬ (рис. 2.32) направлено "ротивоположно ЭДС Е. Объяс
няется этu тем, что напряжение имеет наllраВJlение от точки с более высоким потен
циаJIOМ к точке с более низким, тоrда как ЭДС направлена от точки с более низки
потенциалом к точке с более высоким, т. е. стрелка внутри источника ЭДС указываеl
направление возрастания потенциала внутри источника.
-
При передаче больших мощностей (например, нескольких дe
сятков MeraBaTT) в реальных линиях передач кпд 1]==0,9470,99, (]
напряжение и 2 лишь на несколько процентов меньше U t . Ясно, что
каждый процент повышения кпд при передаче больших мощно
стей имеет существенное экономическое значение.
68
.
р', Pz
U z ,l1
а
Н"
а,8
Pz а,7
lтах=u,/R л 1
а)
Н! и!
6
Рис. 2.32
71
f,O
0,9
1 2 J
llt/ "/ZРz/R л
б)
Рис. 2.33
Характер изменения МОЩНОСТИ в начале линии P 1 , мощности В
наrрузке Р 2 , КПД И напряжения на наrрузке и 2 в функции ОТ тока
по линии при Ut==const, RJ1==const иллюстрируется кривыми
рис. 2.33, а. По оси абсцисс на этом рисунке отложен ток /,
по оси ординат P t , Р 2 , и 2 , f).
Максимальное значение тока /mах==Ut/R л имеет место при KO
ротком замыкании наrрузки. Кривые построены по уравнениям
Р 1 == U1/; Р 2 == UI/ РRл; ]
RJ11 R 2 (2.45)
Т'I == Р 2 / Р 1 == l U === R + ; и 2 === UI R/.
1 J\ R 2
Если по линии передачи с сопротивлением R J1 и сопротивлением
наrрузки R 2 должна быть передана мощность
' I P 2 ==/2R 2 , (а)
ло КПД передачи тем выше, чем выше напряжение и 1 в начале
линии.
Пример 27. Вывести ФОРМУJIУ, показывающую, как при заданных Р2 и Rл кпд
r ависит от напряжения в начале линии.
Реш е н и е. Из (а) опредеJIИМ R 2 ===P 2 / Р. Так как 1=== U 1 /(RJ\+R 2 ), то
PiR J1 +R 2 )2
R 2 == 2
U 1
'!
,
..
(б)
, Решим уравнение (б) относительно R [знак минус в формуле (в) перед корнем
отброшен, так как он соответствует правои части кривой P2===f( 1) С меньшим Т'lJ:
.'\t.' :2
<:ЕН { Ui , I ( ui , 2 )
R 2 === t 2P2 RJ1J+ v t2Р2 RлJ Rл. (в
1
u 2 . v ( и2 ) 2
t + I 1
2P 2 R J1 \ 2Р2Rл 1
Таким образом,
R 2 R2+RJ, RJ1
1) l
R л +R 2 RJ1+R2
.
(r)
69
На рис. 2.33, б изображена зависимость 1] == '( U 1 / V2P2R. ;), построенная по
формуле (r). Из рисунка видно, что 1] возрастает С.увеJIичением и1.
2.29. Некоторые выводы по методам расчета электрических
цепей. 1. Наиболее эффективными являются метод узловых потен
циалов (МУП) и метод контурных токов (МКТ). 2. Методика COCTaB
ления уравнени.й этими методами, рассмотренная в Э 2.13 и 2.22,
проста, упорядочена и позволяет леrко контролировать правиль
ность подсчета коэффициентов левой и правой частей уравнений
непосредственно по схеме. 3. Системы уравнений МУП и МКТ pe
шают обычно с помощью средств, всеr'да имеющихся под рукой
(микрокалькулятора или лоrарифмической линейки а относи
тельно сложные схемы рассчитывают, используя ЭВМ. 4. YpaBHe
ния теории цепей MorYT быть составлены и матрично тополоrиче
ским методом, использующим некоторые тополоrические понятия,
и соответствующие им матрицы. Рассмотрим, как это делается. НО:
сначала напомним некоторые сведения о матрицах.
2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними. Матрица
это совокупность чисел, расположенных в виде прямоуrОJIЬНОЙ таблицы. Чтобы OT
личать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные
скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый COOTBeTCT
вует номеру строки, второй номеру столбца.
Матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу СТОJIбцов
[А] == [ ::: : : : : ] .
а Зl а З2 аз з
Дuаzональной называют матрицу, у которой ЭJIементы rJIавной диаrонаJIИ не
равны нулю, а все остальные НУJIИ, например:
[ а Il О ]
О а 2 2 .
t::
Н
.:.>
Матрицу, у которой ЭJIементы rлавной диаrонаJIИ равны единице. а все осталь
ные нулн. Н'ЗЫВ'Ю1'едU"UЧ"ОЙр) [ ] .
о о 1
Неопределенной называют матрицу. у которой сумма ЭJIементов любой CTpOКl\
и люБOl'О столбца равна нулю. l'
Две матрицы равны, еСJIИ равны соответствующие ЭJlементы этих матриц. ')
.Д
}fl
)'1
N
Л
( а! 1 Щ2 ]
Матрица (А] == равна матрице
а21 а22
[ b 11 Ь12 ]
[В] == Ь Ь ,еСJIИ all==b ll , aI2==b 12 , а21==Ь 21 ' а22===Ь 22 '
21 22
У равных матриц равны опредеJIители. В рассматриваемом примере Ul)a2"2
Ul2a21===b11b22 bI2b21, но из равенства двух опредеJIитеJIей еще не следует paBeH
ства самих матриц. Операции над матрицами (их СJIожение, умножение) постулиро
70
ваны из соображений рационаJlЬНОСТИ. При сложении (вычитании) матриц следует
сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц:
[ ан а12 ] [ С11 С12 ] [ all+C11 аI2+СI2 ]
[А]+{ С] == + == .
а 21 а2"2 С 21 С2'2 а 21 +С 21 а 22 +С 22
При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу
строк второй) i ю строку первой матрицы умножают на k й столбец второй. Умножим
две матрицы, элементами которых являются числа
[ 1 2 ] [ 5 6 ] === [ 1.5+2.7 1.6+2.8 ]
3 4 7 8 3.5+4.7 3.6+4.8 .
Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [А] [В] =F
=1= [В][А], т. е. реЗУJlьтирующая матрица зависит от последовательности расположе
Н}fЯ матриц сомножителей. По отношению к матрице [А], коrда ее определитель не
равен нулю, можно составить обратную матрицу [A] I. Для этоrо необходимо: а)
каЖДЫЙ элемент исходной матрицы [А] заменить ero алrебраическим дополнением; б)
транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить
полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А].
I 11 а12 }
Пример 28. Составить [А] дЛЯ [А] === .
а21 а22
Реш е н и е. Заменив элементы на ал браич ские дополнения, получим MaT
[ а22 a21 ] [ а22 Ul2 ]
рицу . После транспонирования имеем . Следовательно,
a12 аll a21 ан
а22 a12
a а
[A] 1 === 21 11
al1a22 a12a21
Произведение [А][А ] I===[J].
ДЛЯ решения уравнения [А )[В1===[ С] относитеJlЬНО матрицы [В]следует обе части
этоrо уравнения умножить на [A\ : [A] I[A ][В]===[А J I[ С] и учесть, что [A] I[A]===[ 1].
В результате получим [B]===[A] [С]. В матричном уравнении [А][Х]===О можно пере
ставлять столбцы в матрице [А] при одновременной перестановке строк в матрице [Х].
2.31. Некоторые тополоrические понятия и тополоrические
матрицы. Положим, что в схеме имеется у узлов и 8 ветвей и каждая
пара узлов соединена одной ветвью. Если в исходной схеме между
какими то двумя узлами имеется несколько параллельных ветвей,
то их следует заменить одной эквивалентной. Перед составлением
тополоrических матриц ветви схемы (rрафа) нумеруют и на них
ставят стрелки. Стрелки указывают положительные направления
для отсчета тока и напряжения на каждой ветви. Перед нумерацией
ветвей rрафа нужно выбрать дерево. Как указывалось в 2.8, дepe
во представляет такую совокупность узлов схемы и соединяющих
ИХ ветвей, коrда ветви касаются всех узлов, но не образуют ни
одноrо замкнутоrо контура. Число ветвей дерева равно (y l). Hy
мерацию ветвей rрафа начинают с нумерации ветвей дерева, ис
ПОльзуя номера с 1 по y l. Номера с у по 8 придают ветвям rрафа,
Не ВОШедшим в выбранное дерево. Их называют ветвями связи или
ХОрдами. В качестве примера на рис. 2.34, а изображена схема, а на
71
.
Б)
В)
а)
Р....с.2.34
е)
(
"
рис. 2.34, 6 соответствующий ей rраф. Схема имееТ четыре узла
и шесть ветвей. Узлы обозначены цифрами 1 4 (рис. 2.34, б). На
рис. 2.33, 8 показано дерево, которое положено далее в основу фор
мирования тополоrических матриц.
Ветви дерева обозначим цифрами 1,2,3, остальные ветви rрафа
(ветви связи) цифрами4, 5,6. Ветви дерева рис. 2.34,2 вычерчены
утолщенными линиями, ветви связи тонкими. На ветвях rрафа
ставим стрелки, направление их произвольно (рис. 2.34, 8. С?). Узло
вую матрицу [А] составляют для всех узлов rрафа, кроме одноrо. В
этой матрице номер i й строки соответствует номеру узла, а номер
j rостолбца номеру ветви. Вячейкиматрицы[А]ставятчисла 1, 1,O.
Если узел, для KOToporo составляется строка матрицы, охватить
некоторой 1l0верхностью, след которой показать кружком, то в co
ответствующую ячейку матрицы [А] ставят 1, если стрелка (ветви
направлена из кружка, ставят l, если стрелка направлена в KPy
жок, И О, если ветвь не затронута кружком. При заземленном узле
4 (рис. 2.34, б):
Ветви
У зл bJ 1 2 3 4 5 6
[А ) === 1 [ 1 О О 1 О 1 ]
2 [[ о о [ о .
3 О О 1 О [ 1
Заметим, что матрица [А J может быть представлена двумя подмат
рицами:
Узлы Ветви
I...(y 1) : у...Ь
IА] == [ . l'
(у 1) А I . А 2 J
Матрицу сечений [QJ составляют для любых сечений rрафа, а
матрицу rлавных сечений [Qr] для r,,1aBHbIX сечений выбранноrо
72
дерева. След сечений на рисунках показывают овалами, вычерчен
ными тонкими линиями.
r лаВНblми сечениями называют сечения, каждое из которых
рассекает несколько ветвей связи и только одну ветвь выбранноrо
дерева. r лавные сечения нумеруют. Номер rлавноrо сечения COOT
ветствует номеру рассекаемой этим сечением ветви дерева. Для
rрафа рис. 2.34, б rлавные сечения показаны на рис. 2.34, с? и обоз
начены цифрами 1, 2, 3. Сечение 1 рассекает ветвь 1 и ветви связи 4
и 6, сечение 2 ветвь 2 и ветви связи 4, 5, 6 (ветвь 1 цел иком входит
в овал 2 и не рассекается им), сечение 3 ветвь 3 и ветви связи 5 и
6. Строки матрицы [Qr] соответствуют сечениям, а столбца BeT
вям rрафа.
В ячейках соответствующей строки матрицы [Q,,] ставят 1 для
рассекаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи,
стрелки на которых ориентированы относительно поверхности это
ТО сечения (след этоrо сечения на плоскости овал), та к же как и
стрелка на рассекаемой этим сечением ветви дерева. Коrда стрелка
на ветви связи направлена относительно овала иначе, чем стрелка
на ветви дерева, ставят 1, коrда ветвь связи не рассечена О.
Применительно к дереву рис. 2.34, в для rлавных сечений
(рис. 2.34, С?):
Ветви
Сечения 1 2 3
4
5
6
[QI,J=== [ = =: 1 .
3 О О l О l 1
\(' В общем случае матрица [Qr] может быть представлена в виде
'JДВУХ матриц:
Сечения Ветви
l...(y 1) . у...В
[QrJ ===
(у 1 )
Ql
Q2
'т Каждая строка [Q,] имеет только по одному элементу 1 и Haxo
дится он на rлавной диаrонали, поэтому [Q,] представляет собой
единичную матрицу [l] и [Qr]==[1 :Q2]'
r лаВНblми контурами называют контуры, в каждый из которых
ВХодит ТОJlЬКО по одной ветви связи. Нумеруют rлавные контуры
теми же номерами, какие присвоены ветвям связи в них. rлавные
контуры 4, 5, б дерева рис. 2.34, в изображены на рис. 2.35. Толстыми
Jlиниями показаны ветви дерева, тонкими ветви связи.
Матрицей rлавных контуров [К[,) называют матрицу, составлен
Ную из чисел 1, 1, О, строки которой соответствуют номеру rлав
73
Ив
2 l fi; 1в
...
б
:18
Р....с. 2.35
Р....с. 2.36
Horo контура, а столбцы номеру ветви. r лавные контуры при
составлении матрицы [Kr] обходят в направлении стрелки на ветви
связи соответствующеrо контура. Если при таком обходе контура
направление стрелки на какой либо ветви этоrо контура совпадает
с направлением обхода контура, то в соответствующую ячейку [Kr]
ставят 1, если Не совпадает, то 1, если ветвь не обходится, то о.
Для контуров 4, 5, 6 рис. 2.35:
Ветви
# . I
Контуры 1 2 3 456
[Kr] === 4 [ 1 О 1 О
5 О l 1 О 1 О .
б 1 1 l О О 1
в общем виде матрица [Kr] может быть представлена в виде двух
подматриц и имеет следующую нумерацию строк и столбцов:
IKc] КОН:УРЫ (: :I) :2""}
Так как номер строки (номер контура) в[К 2 ] определяется HOMe
ром ero ветви связи и обход контура осуществляется в соответствии
со стрелкой на ветви связи, то каждая строка подматрицы [К 2 ]
имеет только один элемент 1, расположенный на ее rлавной диаrо
нали, т. е. [К 2 ] представляет собой единичную матрицу [1], а
[Kz1==[ К.: 1 ].
2.32. Запись уравнений по законам Кирхrофа с помощью топо-
лоrических матриц. Совокупность уравнений по первому закону
Кирхrофа может быть записана следующим образом:
[А][/в] == О,
(2.46 )
rде [/ВJ матрица столбец (транспонированная матрица строка)
токов ветвей. Для rрафа рис. 2.33, с?
74
[ 1 О О 1 О 1 ]
[ [о О [ О ('1'2'З'4'5/6)Т === о.
оо[ O l [
Совокупность уравнений по второму закону Кирхrофа может
быть записана так:
[Kr] [ив] ==0, (2.47)
rде [ив] матрица столбец(транспонированная матрица строка)
напряжения ветвей. Для rрафа рис. 2.33, с
[ 1 1 О 100 ]
О I 1010 [UIU2UЗU4U5U6f === о.
1 1 1 001
2.33. Обобщенная ветвь электрической цепи. В литературе,
,использующей матрично тополоrиче('кое направление теории цe
пей, вводят понятие обобщенной ветви электрической цепи (рис.
2.36). Она образована двумя параллельными ветвями. Первая co
стоит из сопротивления ветви R B (проводимость gB) и источника
ЭДС Ев, вторая из источника тока J в' Для принятых на рис. 2.36
положительных направлений токов ток через сопротивление R B pa
вен /в + 1р,. Напряжение между точками а и Ь ветви обозначим ив.
ТОI'да, по закону Ома для участка цепи с ЭДС,
и в + Еп === Rи(l" + 1п) (2.48)
или
(/в + 1 в ) == gи( и п + Ев).
(2.49)
2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью
тополоrических матриц. Уравнение (2.48) справедливо для любой
обобщенной ветви схемы, а также и для совокупности ветвей, BXO
дящих в любой rлавный контур. Запишем совокупность уравнений
(2.48) для всех ветвей, входящих во все rлавные контурьс
[Kr][ ив] + [Kr][EB] === [Kr][Rn] {[/в] + [J B ]},
(2.50)
rде
RI
R 2
[R B ) ==
Rn
диаrональная матрица сопротивлений ветвей.
Учтем, что по второму закону Кирхrофа сумма напряжений лю
боrо замкнутоrо контура электрической цепи равна нулю, поэтому
75
[Kr] [и в ] === О. Кроме Toro, матрица столбец токов ветвеЙ [/J может
быть записана через матрицу столбец контурных токов [/kk] и
транспонированную матрицу rлавных контуров [Krf:
[ 1 в J === (К r ] т (J kk]' (2.51 )
При этом полаrаем, что контурный ток каждоrо rлавноrо KOHTY I
ра направлен в соответствии со стрелкой на ветви связи этоrо KOH
тура. Контурные токи 144, 155' 166 схемы рис. 2.34, с? показаны на рис.
2.35. Для этой схемы
/1 I О I
/2 1 l 1 [/«]
/3 О I l
/4 1 О О /55 о
/5 О 1 О /6б
/6 О О 1
Отсюда
11 === 144 + 166; 12 === 144 155 + 166; 1 3 == 155 166;
14 == 144; 15 =::; 155; 16 === 166'
Подставив (2.51) в (2.50), получим
[Kr][RB][Krf[lkk] == [Kr](EBJ [Kr][RB][J B ).
(2.52)
Произведение [Kr] [R B ] [KrY == [R] это матрица контурных сопро
тивлений метода контурных токов. Так как контуры нумеруем от у
до в, то
Ryy Ry,y+I ...RY'B
[R] == R'y + l,y Ry + I,y + 1000 Ry + I,B
R BV
"
RB,y+1
...R
В,В
rде Rm.,m полное сопротивление т KOHTypa; Rm,п сопротивле
ние ветви (ветвей) смежной между т- и п контурами; берется со
знаком плюс, если контурные токи 1 т,т и 1 п,п текут через смежную
ветвь соrласно, и со знаком минус, если встречно.
Для рис. 2.34, с?, полаrая сопротивления ветвей R, R 6 , имеем
[ R44 R45 R46 ] [ RJ + R 2 + R4 R2
(R] === R54 R55 R 5б == R2 R'2 + R5 + R3
R64 R65 R6b R, (R 2 + R з )
Запишем решение (2.52) относительно [/kk]:
RJ + R 2 j
(R 2 + R з ) о
RJ + R 2 + R3 + R6
[/ kk ] == {[KrHRn][KI]T} l [KI-]{[Ев] lRв][JБl}.
(2.53)
76
2.35. ВЫВОД уравнений метода УЗJlОВЫХ потенциаJlОВ с по-
моЩЬЮ тополоrических матриц '. Совокупность уравнений (2.49) для
у 1 узлов схемы заменим матричным уравнением
[А][I J + [А][! в] == [А ][gB][ ив] + [А ][gB][ Ев],
по первому закону Кирхrофа, [А] [1 в] == О. Матрицу столбец напря
жений ветвей [и в ] можно записать через транспонированную MaT
рицу [А] и м атрицу столбец потенциалов незаземленных узлов [<р],
т. е. в виде [ииJ == [А ]Т[ <р]. Для рис. 2.34, с?, полаrая узел 4 заземлен
ным, имеем
и 1 1 l 1
и 2 О 1 1 [::] .
и з О О 1
и 4 l О О
и 5 О 1 l
U б l О 1
Действительно,
U 1 == <P, <Р2; и 2 == <Р2; U З ==<Р3; и 4 == <P,; и 5 == <P2 <Р3; И 6 == <P3 <Рl'
Таким образом, система уравнений меТuда узловых потенциалов
запишется так:
[A][gвJ[A]T[<p] == [A][gB][ Ев] + [А][ J B ],
(2.54 )
rде [А] [gB] [А]Т == [О] м атрица узловых проводимостей метода уз
ловых потенциалов. При заземленном у узле
G 11 G 12 G l,у 1
а 21 а 22 а 2 , у 1
[О] ==
G у 1,1 G У 1,2 ." G у l,у 1
Для рис. 2.33, б
[ Оl 1 а12 О 13 ] [ g, + g4 + gб gl gб I
[О] == а 21 а 22 G 2з == gl g, + g2 + gs g5
а 31 G З2 G зз gб g5 gз + gs + gб
2.36. Соотношения между тополоrическими матрицами. Полаrаем, что при
составлении матриц (А], (Qr], tKr] ВЫllOлнены УСJIOВИЯ, oroBopeHHbIe в 2.31. Тоrда
Узлы Ветви Сечения Ветви
1 1 '" (у 1), у... ь 1 ... у 1 у... ь
; (Qr]===
[А)==
(у 1)
А,
А 2
(у 1)
К 1 :
Q2
,
Mal РИЧНО ТОПОJIOI ические методы систематизированы в (18].
77
[К rJ ==
Контур ы
у
1 '" (у 1) : у... ь
КI 1
в
Представим матрицу столбец токов ветвей [/ в] в виде подматрицы токов ветвей
дерева [1 д] и подматрицы токов ветвей связи [1 с]
1
: [ 1 ]
д
y l
[1 в] === у
. 'с
Ь
,')
1';
Матрицу столбец напряжений ветвей также представим в ВИДе подматрицы напрlЯ
жений ветвей дерева [Ид] и подматрицы напряжений ветвей связи I И С ]
I
.. . I и., у у 1 [ ]
. -14- <." 111, : с
Ь
."1
По первому закону Кирхrофа [А J [/ в] === О или
[А 1] {I д] + [А 2 ] и с] === о.
(2.55 )
Аю'ебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому
[Qr] [/п] === о. СJlедовательно,
[1 Q2][ :> J 111[/nl+IQ21[/,I о.
По второму закону I(ИРХI"офа, [Kr'] [ин] === О, поэтому
[К, 1] [ <: J IK l lI U n l + [1](и,] о .
(2.56 )
" i
н
)
(2.57)
Учтем, что столбец [Kl.J соответствует строкам I():)I, если у всех ненулевых
элементовизмеиитьзнаКИ.Lлсдовательн
[K1J === [Q2Y И [Q2] === [KIIT.
( 2.58)
Обозначим
[F)===[K11=== [Q2)T.
(2.5 )
Тоrда
IKr) == IР: 1),
[ Q r) === (1 : рТ).
Умножив (2.55) слева на [AJ I, получим
(/д)== (AIJ J(A2J(1c].
(2.60)
(2.61 )
(2.62)
78
Но из (2.56) имеем [l][/ д] == [Q2)[/c], пuэтому
[Q21 == [AIJ 1[A2]'
i
(2.63 )
Дадим обоснование еще одному соотношению
,;f, [A][KrI T == О.
(2.64 )
Р....с. 2.37
в каждой строке этоrо матричноrо произведения складываются прuизведения эле-
ментОв i-строки ац на элементы k-СТОJIбца bkj. Произведение aijbkj не будет нулем,
если j ветвь подходит к узлу i и входит в контур k (рис. 2.37). Но в контуре k узел i
соединен не с одним, а с двумя узлами ветвями т и j, поэтому всеrда будет еще
ненулевое произведение Uiтbkт, отвечающее ветви т, независимо от Toro, как Ha
правлены стрелки на ветвях и каково направление обхода контура k. Следовательно,
каждая строка (2.64) aijbkj + Uimbkm == О.
Соотношения между тополоrическими матрицами существенны для формали
зации расчета цепей на ЭВМ. Например, записав [Q2] == [p]T, опредеJIяем [Р] и по
ней [Kr]'
2.37. СопостаВJlение маТРИЧНО-ТОПОJlоrическоrо и традицион-
Horo напраВJlений теории цепей. В 2.29 указывалось, что основны-
ми методами расчета электрических цепей являются МУП и МКТ.
Оба эти метода MorYT быть применены в своей традиционной форме
записи: [О] [ер] === [JkkJ дЛЯ МУП и [R] [J kk ] === [Ekk] дЛЯ МКТ либо в
матрично-тополоrической в виде уравнений (2.52) и (2.54). Для за-
дач, встречающихся в курсе ТОЭ, составление систем уравнений
традиционным способом (см. 2.13; 2.22), осуществляемое непос
редственно по схеме, значительно проще, быстрее, удобнее и надеж-
нее. Проще и быстрее выполняется и проверка составленных ypaB
нений. Что касается решения составленных уравнений, то системы
с относительно небольшим числом уравнений, записанные в тради
ционной форме, MorYT быть решены с помощью микрокалькулятора
i или лоrарифмической линейки. Системы с большим числом уравне-
ний в том и друrом случае решают с помощью ЭВМ.
Положительная сторона матрично-тополоrическоrо направле-
),ния теории цепей заключается в большой степени упорядоченности
составления систем уравнений. Если ввести определенную иерар-
(.хию ветвей электрических цепей по наличию и отсутствию в них
Источников питания, индуктивных и емкостных элементов, индук-
((тивных сечений и емкостных контуров, то MorYT быть составлены
алrоритмы, позволяющие не только составлять системы уравнений
С помощью ЭВМ, но и осуществлять с их помощью так называемое
('маШИнное проектирование. Под машинным проектированием по-
Нимают числовые расчеты на ЭВМ относительно сложных систем
На оптимальный в том или ином смысле режим их работы. Совокуп
НОсть вопросов, относящихея К машинному проектированию, в на-
СТОЯщее время усиленно разрабатывается, однако мноrие из них
79
выходят за рамки курса ТОЭ и составляют предмет специаJ1ЬНЫХ
курсов. В заКJlючение можно сказать, что традиционное и м атрич
НО ТОПОЛОI'ическое направления теории цеllей дополняют друr дpy
ra и потому студент ДОJlжен владеть обоими направлениями. При
ВЫПОJlнении вовседневных инженерных расчетов и решении задач,
встречающихся в курсе ТОЭ, целесообразнее пользоваться ypaBH
ниями теории цепей в их традиционной форме записи, при машин
ном проектировании матрично тополоrической форме.
Вопросы для самопроверки
1. Оllределите IIOНЯТtlЯ "электрическая цепь", "электрическая схема", "узел",
"устранимый узел", "ветвь", "источник эдс" и "источник тока". 2. Как выбирают
положитеJIьные направления для токов ветвей и как связаны с ними положитеJlьные
направления напряжений на сопротивлениях? 3. Что понимают под БАХ? 4. Нари
суйте ВАХ pe8J/bHoro источника, источника ЭДС, источника тока, J/ИНейнOI'О рези
стора. 5. Сформулируйте закон Ома ДJIЯ участка цени с ЭДС, верный и второй законы
Кирхrофа. Запишите в буквенном виде, CKOJlbKO уравнений следует состаВJIЯТЬ по
первому и сколько по второму закону Кирхrофа. Для двух законов Кирхrофа дайте
СIO две формулировки. 6. Чем следует руководствоваться при выборе контур он, ДJIЯ
которых следует составлять уравнения по второму закону Кирхrофа. Почему ни в
один ИЗ этих контуров не ДОJ/жен нходить источник тока? 7. Поясните этаны JlOCTpO
ения потенциальной диаrраммы. 8. В чем отличие наllряжения от падения напряже
ния? 9. Охарактеризуйте основные этапы метода контурных токов (МКТ) и метода
УЗJЮВЫХ потенциалов (МУП). IIри каком условии ЧИСJЮ уравнений по МУП меньше
ЧИСJlа уравнений 110 МКТ? 10. Сформулируйте нринuип и метод наJlOжения. 11.
СфОРМУJlируйте и докажите теорему КОМlIенсации. 12. Заllишите и поясните линей
ные соотношения в электрических цеlIЯХ. 13. Что понимают под входными и взаим
ными проводимостями? Как их определяют аналитически и как опытным путем? 14.
Покажите, что метод двух узлов есть частный случай МУП. 15. Приведите примеры,
[lOказывающие ПОJlезность нреобразования знезды в треуrольник и треУI'ОЛЫlИка в
звезду. 16. Сформулируйте теорему компенсации и теорему вариаций. 17. Дайте
определение активноrо ДВУХПОJlюсника, начертите две ero схемы замещения, найди
те их параметры, перечислите этаны расчета методом эквивалеНТlюrо ,'енератора.
18. Запишите УСJlOвие передачи максимальной мощности lIаl'рузке. Каков ври этом
КПД? 19. Покажите, что если в Jlинейной цепи изменяются СОПРОТИВJlения н каКИХ '1 о
двух ветвях, то три Jlюбых тока (напряжения) снязаны линейной зависимостью вида
z == а + Ьх + су. 20. Выведите формулы "реобразования треуrОJJьника в звезду,
если в ветвях треУI'ОJlьника кроме резисторов имеются и ИС'IОЧНИКИ эдс. 21. В
электрической цепи известны токи в двух ветвях k и т (1 k И J т)' СОIlРОТИВJlения в
этих ветвях IIOЛУЧИJIИ приращения 6. Rk и R tn , Полаl'ая известными входные и
взаимные проводимости ветвей k, т, " Оllределите [Iриращения токов в ветвях k, т,
" т. е. 6.l k . 6.l m . 6. Ir' 22. Какие ТОIlОЛОI'ические матрицы вы знаете? 23. Заllишите
уравнения 1I03аконам КИРХI'офа с ИСflОJlьзовани{'м матриu[А)и[К,.). 24. Что [Jонима
ют под обобщенной не rвью? 25. Выразите токи ветвей черf'З контурные токи и MaT
РИllУ [Kr)' 26. Выразите напряжения ветвей через потенциалы узлов и матрицу [А].
27. Выведите уравнения меТО.1а УЗJlОВЫХ потенциалов, используя матрицы [А 1, Щу] и
[А ]Т. 28. Выведите уравнения контурных токов, ИСIIOJIЬЗУЯ матрицы [К.], (RиJ и [/\'1'11.
29. Охарактеризуйте СИJlьные и СJlабые стороны м а1 рично l'OIlОJJOПiческUI'О HallpaB
JIСНИЯ тсории цеlJей. 30. Решите задачи 1.2; 1.7; 1.10; 1.13; 1.20; ].24; 1.33; ].40; 1.41;
1.45.
80
I
rnaBa третья
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАзноrо СИНУСОИДАльноrо
ТОКА
3.1. СинусоидаJlЬНЫЙ ток и основные характеризующие ero веJlИ
чины. Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяюш.ийся
во времени 110 синусоидальному закону (рис. 3.1):
i /тsin (2;/ +1J') /тsin(wt +1jJ). (3.1)
Максимальное значение функции называют амплитудой. Амп
литуду тока обозначают / m' Период Т это время, за которое co
вершается одно полное ко.пебание.
Частота равна числу колебаний в 1 с(единица частоты f rерц
([ц) или c l)
f === I/Т.
(3.2)
Уrловая частота (единица уrловой частоты рад/с или C I)
w === 2л f === 2л/ т . (3.3)
AprYMeHT синуса, т. е. (ш t + '1') , называют фазой. Фаза xapaKTe
ризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент
времени t.
Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется
тремя веJIичинами: амплитудой, уrловой частотой и начальной фа
зой.
В странах CHf и Западной Европе наибольшее распростране
ние получили установки синусоидальноrо тока частотой 50 [Ц, при
нятой В энерrетике за стандартную. В США стандартной является
частота 60 rц. Диапазон частот практически применяемых синусо
идальных токов очень широк: от долей rерца, например в rеолоrо
разведке, до миллиардов repu в радиотехнике.
Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до
нескольких килоrерц) получают с помощью синхронных reHepaTo
ров (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные
токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или
полупроводниковых reHepaTopoB (подробно расс зтриваемых в
т
шt
Рис. 3.1
81
.
курсе радиотехники и менее подробно в курсе ТОЭ). Источник
синусоидальной ЭДС и источник синусоидальноrо тока обозначают
на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС
и тока, но обозначают их е и j [или e(t) и j(t)].
3.2. Среднее и действующее значения синусоидаJlЬНО изменяю-
щейся веJlИЧИНЫ. Под средним значением синусоидально изменяю
щейся величины понимают ее среднее значение за полпериода.
Среднее значение тока
1 Т/2 2 (3.4)
[ер === Т/2 lт sin rotdt ==;; lт'
о
т. е. среднее значение синусоидальноrо тока составляет
2/п == 0,638 от амплитудноrо. Аналоrично, Еср == 2Е т /п; и ср ==
==2и т/П,
Широко применяют понятие действующесо значения синусои
дально изменяющейся величины (ero называют также эффектив
ным или среднек вадрат ичн ым). Действу ющее значение тока
""\ / 1 ( 7 .2 ""\ / 1 ( 7' 2 . 2 I т
1== У т j t dt == У т j lт slЛ wtdt === ''2 === O,707J m .
о о V
Следовательно, действующее значение синусоидальноrо тока
равно 0,707 от амплитудноrо. Аналоrично, /
(3.5)
Е ===Е т /{2 и U === и т /{2.
Можно сопоставить тепловое действие синусоидальноrо тока с
тепловым действием постоянноrо тока, текущеrо то же время по
тому же сопротивлению.
Количество теплоты, выделенное за один период синусоидаль
ным током,
т
(.2 2 Т
j Rt dt === RI т "2'
о
Выделенная за то же время постоянным током теплота равна
R/ oCT т . Приравняем их:
2 Т 2 lm
RI т"2 === RI пост Т или I поет === 1== у2 .
Таким образом, действующее значение синусоидальноrо тока I
численно равно значению TaKoro постоянноrо тока, который за Bpe
мя, равное периоду синусоидальноrо тока, выделяет такое же коли
чество теплоты, что и синусоидальный ток.
82
Большинство измерительных приборов 1I0казывает действую
щее значение измеряемой величины'.
3.3. Коэффициент аМПJlИТУДЫ и коэффициент формы. Коэффи
циент амплитуды ka это отношение амплитуды периодич ски из
меняющейся функции к ее действующему значению. Для синусои
дальноrо тока
ka :=: 1 т/ 1 ==.у2 .
(3.6)
Под коэффициентом формы k ф понимают отношение действую
щеrо значения периодически изменяюш.ейся функции к ее среднему
за полпериода значению. Для синусоидальноrо тока
1 'm/v 2 ;t 2 (3.7)
k ф == / ер === 2/ т/ 'л == 2\j2 === 1 ,11 .
3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин век-
торами на КОМПJlексной ПJlОСКОСТИ. КОМПJlексная аМПJlитуда. Ком-
плекс действующеrо значения. На рис. 3.2 дана комплексная пло
скость, на которой можно изобразить комплексные числа.
Комплексное число имеет действитеJIЬНУЮ (вещественную) и мни
мую части. По оси абсцисс комплексной IIJIОСКОСТИ ОТКJlадывают
действительную часть комплексноrо числа, а по оси ординат
мнимую часть. На оси действительных значений ставим + 1, а на оси
мнимых значений + j (j == -{ T ) .
Из курса математики известна формула Эйлера
e ja == cos а + j sin а . (3.8)
Комплексное число е/а изображают на комплексной ПJIОСКОСТИ
вектором, численно равным единице и составляющим уrол а С осью
вещественных значений (осью + 1). Уrол а отсчитываем против ча
+j
+J
l ej(wt+'/'J
т
+1
+1
Рис. 3.2
Рис. 3.3
,.
l д . б u
еиствующ€'е знач€'ние измеряют при орами электромаr'нитнои, ЭJlектродина
мической и теПJIOВОЙ систем. Принuип действия измеритеJlЬНЫХ rrриборов раЗJIИЧНЫХ
СИСТiМ изучают в курсе электротехнических измерений.
Для несинусоидаJIЬНЫХ периодических токов ka =1= -У2, k{.p =f=. 1,11 . Это откло
НеННе косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидаJlЬНЫЙ ток отличается
от синусоидальнOI'О.
83
совой стрелки от оси + 1. Мо дуль функци и
leial === оs 2 а + sin 2 a == 1.
I
. ,
'..
Проекция функции e in на ось +1 равна CoSa, а на ось +j равна
sina. Если вместо функции e ia ВЗЯТЬ функцию / mejn, то
/ mejn == / mcosa + j/ m sina .
На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция e in ,
изображается под уrлом а К оси + 1, но длина вектора будет в/т раз
больше.
Уrол а в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что
а === wt + 'Ф, т. е. уrол а изменяется прямо пропорционально BpeMe
'!! Тоrда
/mej(lJ}t+1)1) ==/mcos(wt +'Ф) + j/msin(wt +'Ф). (3.9)
Слаrаемое / mCos( ro[ + <р) представляет собой действительную
часть (Re) выражения / me(jrot + '\1)
/ mCos( ro + 'Ф) === Re/ mej(lJ}t + 1)1), (3.1 О)
а функция / msin( rot + 'Ф) есть коэффициент при мнимой части
(1т) выражения / mei(lJ}t + '\1)
i ==/msin(rot +'1') == Im/ m e j (lJ}t+1)1). (3.10а)
т аким образом, синусоидально изменяющийся ток i [ер. (3.1) и
(3.1 Оа)] можно представить как 1т/ mej(rot + 1)1) или, что то же самое, как
проекцию вращающеrося вектора /mej(lJ}t + 1)1) на ось +j(рис. 3.3).
Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обыч
но принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (3.10).
С целью единообразия принято на комплексной плоскости изо I
бражать векторы синусоидально изменяющихся во времени вели
чин для момента времени wt == О. При этом вектор
.
/ ej(lJ}t + ф) === / e N === /
т т т'
(3.11 )
.
rде / т комплексная веЛJ:lчина, модуль которой равен / т; '1'
уrол, под которым вектор / т проведен к оси + 1 на комплексной
плоскости, ра ный начальной фазе.
Величину J т называют комплексной амплитудой тока i. Комп
лексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоск.ости
для момента времени ы{ == О. Точка, поставленная над током I или
напряжением О, означает, что эта ве.пичина во времени изменяется
синусоидально.
Поясним сказанное. Пусть ток i == 8sin( шt + 200) А. Запишем
выражение для комплексной аМIIJ1ИТУДЫ этоrо тока. В данном слу
84
чае 1т == 8 А, Ф == 200. ледовательно, 1т === 8e j20 ° А. Пусть ком плек
сная амплитуда тока 1т == 25e i30° А.
Запишем выражение для MrHoBeHHoro значения этоrо тока.
Для перехо а от комплексной амплитуды к MrHoBeHHoMY значе
нию умножим 1т на e iwt и возьмем коэффициент при мнимой части
от полученноrо произведения [см. формулу (3.10a )]:
i === Im25е jЗООеjwt === Im25e j «(Ot 300) === 25sin(t)t 300).
Под комплексом деЙСТВ.ующеrо значения тока или комплексом
тока (комплексным током) I понимают частное от деления комплек
сной амплитуды на :
. i I е iФ (3.12)
m m ".h
I === 1/2 === 1/2 === I е/ '1'.
Пример 29. Записать выражение комплекса действующеl'О значения тока
"200
1т === 8е/ А.
Реш е н и е. Комплекс действующеrо значения тока i==8e i20 ° /1/'X==5,67e i200 А.
3.5. СJlожение и вычитание синусоидаJlЬНЫХ функций времени
на КОМПJlексной ПJlОСКОСТИ. Векторная диаrрамма. Положим, что
необходимо сложить два тока (i, и i 2 ) одинаковой частоты. Сумма их
дает некоторый ток той же частоты:
i === i l + i 2 ;
i , == I'msin(t)t + "1'1); i 2 === 1 2m sin(t)t + "1'2);
i === Imsin(t)t + "1').
Требуется найти амплитуду 1т и начальную фазу "1' тока i. С этой
цель{О ток i l изобразим на комплеКСНQЙ плоскости (рис. 3.4) BeKTO
ром 11т === IlmеiФ1,.а TOI5 i 2 вектором 12т == 12mеiФ2. rеометрическая
сумм? векторов 11т И 12т даст комплексную аМIIЛИТУДУ cYMMapHoro
тока 1т == I mеjф. Амплитуда тока 1т определяется длиной CYMMapHO
ro вектора, а начальная фаза "1' уrлом, образованным этим BeK
тором и осью + 1.
Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) сле
дует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычита
иие соответствующих векторов. . . .
Обратим внимание на то, что если бы векторы 11т, 12т И 1т стали
Вращаться BOKpyr начала координат с уrловой скоростью ш, то
Взаимное расположение векторов относительно ДРУI' друrа OCTa
лось бы без изменении.
Векторной дuаС?раммой называют совокупность векторон на
КОМплексной ПJlОСКОСТИ, изображающих синусоидально изменяю
Щиеrя функции времени одной и той же частоты и построенных с
85
+j
j'т
. ......... и
R
а}
i
.
и
.. ...
,
+1
1)
i m
Рис. 3.4
Рис. 3.5
соблюдением правильной ориентации их относительно друr друrа
по фазе. Пример векторной диаrраммы дан на рис. 3.4.
3.6. Мrновенная МОЩНОСТЬ. Протекание синусоидальных токов
по участкам электрической цепи сопровождается потреблением
энерrии от источников. Скорость поступления энерrии характери
зуется мощностью. Под MrHoBeHHbIM значением мощности, или под
м<?новенной МОЩНОСТЬЮ, понимают произведение MrHoBeHHoro знз'.
чения напряжения u на участке цепи на MrHoBeHHoe значение тока
1, протекающеrо по этому участку:
Р == UI,
(3.13)
rAe Р функция времени.
Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных
цепей синусоидальноrо тока, рассмотрим соотношения между TO
ками и напряжениями в простейших цепях, векторные диаrраммы
для них и кривые мrновеиных значений различных величин. Эле
ментами реальных цепей синусоидальноrо тока являются резисто
ры, индуктивные катушки и конденсаторы. Протеканию синусои
дзльноrо тока оказывают сопротивление резистивные элементы
(резисторы) в НИХ выделяется энерrия в виде теплоты и peaK
тивные элементы (индуктивные катушки и конденсаторы) они то
запасают энерrию Б маrнитном (электрическом) ноле, то отдают ее.
Рассмотрим поведение этих элементов.
3.7. Резистивный ЭJlемент в цепи синусоидаJlьноrо тока. Как
rоворилось в 1.8, резистивный элемент это идеализированный
схемный элемент, учитываЮlЦИЙ выделение теплоты в том или ином
элементе реальной электрической цепи. Ero характеризуют зависи
мостью напряжения u на нем от протекающеrо по нему тока i(вольт
амперной характеристикой) или сопротивлением R === u/i. На cxe
мах ero изображают, как и резистор, в виде прямоуrольника (рис.
3.5, а). Положительные направления отсчета u и i совпадают.
86
Пусть i == / тsiпwt. По закону Ома,
и == iR == R/ msinwt === U тsiпwt;
Um==R/ m .
(3.14 )
.
Векторная диаrрамма компле.кса тока / и совпадающеrо с ним
по фазе комплекса напряжения U показана на рис. 3.5, 6.
На рис. 3.5, в даны кривые мrиовенных значений тока i, напря
и т / т
жения и и мощности р === U т/ msin2(J)t === ') (1 cos2(J)t).
'"
Мrновенная мощность р имеет постоянную составляющую
V / т U т/ т u
И составляющую 2 cos2(J)t, изменяющуюся с частотои 2ю.
Потребляемая от источника питания за время dt энерrия равна
pdt.
3.8. Индуктивный ЭJlемент в цепи синусоидаJlьноrо тока. Ин
,дуктивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС,
изменяющимся во времени маrнитным потоком, и явление накоп
ления энерrии в маrнитном поле реальных элементов электриче
ской цепи. Ero характеризуют зависимостью потокосцепления 'Ф от
тока i (вебер амперной характеристикой) или индуктивностью
L === 'Ф/i. На электрических схемах индуктивный элемент изобра
жают, как показано на рис. 3.6, а. На схеме замещения реальную
индуктивную катушку можно представить в виде последовательно
соединенных индуктивноrо и резистивноrо элементов.
Выделим индуктивный элемент (рис. 3.6, а). Положительные
-направления тока i через Hero, эдс самоиндукции e L и напряжение
на нем И аЬ указаны на рис. 3.6, а. Если i == / тsiпwt, то
di
e L === Ldi === (J)L/ mCOS(J)t === (J)L/ msin((J)t 900). Определим разность по
тенциалов между точками а и Ь. При перемещении от точки Ь к точке
а идем встречно эдс е и поэтому a == b e L и
di u
и аЬ == a b == e L == L d( В дальнеишем напряжение на индук
тивном элементе будем обозначать и L или, просто, и без индекса
И аЬ == U L == И == e L .
(3.15 )
ледовательно,
и == wL/ msin(wt + 900) == U msin(wt + 900); (3.16)
и т == wL/ т'
Произведение wL обозначается Х L' называется индуктивным co
пРотивлением и измеряется в омах (Ом):
XL==wL. (3.17)
87
.
.
и 1 т
..............е ! и
1. 1 Jc-
i, иab=и ..
1
а l Ь +/ а) ц"
а) 51 1)
.
Et
.
J
.
и
1, с
wt
и
l .......
L R
2)
iJ)
е)
4)
и
Р....с. 3.6
Р....с. 3.7
" . _ 1
Таким образом, индуктивный элемент (индуктивная катушка, у
которой R === О) при синусоидальном токе обладает сопротивлени
ем, модуль KOToporo X L == (J)L прямо пропор.ционален частоте (j) [см.
(3.16)] на рис. 3.6,6 вектор напряжен й и опережает вектор тока
I на 900. Комплекс ЭДС саМQИНДУКЦИИ E L находится в противофазе
с комплексом напряжений U.
fрафики MrHoBeHHbIX значений i и р изображены на рис. 3.6,в.
Мrновенная мощность
и т / т
р === ui == U mCOS(i)t/ msin(i)t == 2 sin2(i)t
(3.18)
проходит через нулевое значение, коrда через нуль проходит либо i,
либо и. За первую четверть периода, коrда u и i положительны, р
также положительна. Площадь, оrраниченная кривой р и осью аб
сцисс за это время, представляет собой энерrию, которая взята от
источника питания на создание энерrии маrнитноrо поля в индук
тивной катушке. Во вторую четверть периода, коrда ток в цепи
уменьшается от максимума до нуля, энерrия маrнитноrо поля OT
дается обратно источнику питания, при этом мrновенная мощность
отрицательна. За третью четверть периода у источника снова заби
рается энерrия, за четвертую отдается и т. Д. Следовательно, энер
rия периодически то забирается индуктивной катушкой от источни
ка, то отдается ему обратно.
..н.
Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно
сумме напряжений на L и на R (РИG. 3.6, д). Как видно и этоrо
рисунка, уrол между напряжением U на катушке и током 1 равен
900 б, причем tgб == R/(J)L == l/Q L' rде QL добротность реаль
ной индуктивной катушки. Чем больше QL' тем меньше б.
3.9. Емкостный ЭJlемент в цепи синусоидаJlьноrо тока. EMKOCT
ныЙ элемент это идеализированный схемный элемент, позволя
ющий учесть протекание токов смещения и явление наКОIIJIения
энерrии в электрическом поле реальных элементов электрической
цепи. Ero характеризует зависимость заряда q от напряжения и
(кулон вольтная характеристика) или емкость С == q/и. rрафиче
ское изображение eMKoCTHoro элемента такое же, что и изображе
ние конденсатора рис. 3.7, а. Положительные направления OT
счета и и i совпадают. Если приложенное к конденсатору
напряжение и не изменяется во времени, то заряд q == Си на одной
ero обкладке и заряд q на друrой (С емкость конденсатора)
неизменны, и ток через конденсатор не проходит (i == dq/dt == О).
ЕСJlИ же напряжение на конденсаторе изменяется во времени, Ha
пример по синусоидальному закону (рис. 3.7, а):
и == Umsin(J)t, (3.19)
то по синусоидальному закону будет меняться и заряд q KOHдeHca
тора: q == Си == С U msin(J)t, т. е. конденсатор будет периодически пе
резаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопро
вождается протеканием через Hero зарядноrо тока:
i ; ,оС и mcos",1 I C sin( ",1 + 900).
(3.19a)
Из сопоставления (3.19) и (3.19a) видно, что ток через конденсатор.
опережает по фазе напряжение на конденс?торе на 900. Поэтому на
векторной диаrрамме (рис. 3.7, 6) вектор 1т опережает вектор Ha
пряжения и т на 900. Амплитуда тока 1т равна амплитуде напряже
ния U т' деленной на емкостное сопротивление:
1 (3.20)
х с === юс '
1 m == U т/ Х с.
(3.21 )
Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте.
Единица eMKOCTHoro сопротивления Ом. rрафики MrHoBeHHbIx
значений и, i, р изображены на рис. 3.7, в. Мrновенная мощность
Um1m (3.22)
р === 2 siп2юt.
За первую четверть периода конденсатор потребляет от источ
Ника питания энерrию, которая идет на создание электрическоrо
89
поля в нем. Во вторую четверть периода напряжение на KOHдeHca I
торе уменьшается от максимума до нуля, и запасенная в электри
чес ком поле энерrия отдается источнику (мrновенная мощность
отрицательна). За третью четверть периода энерrия снова запаса
ется, за четвертую отдается и т. д.
Если проинтеrрировать по времени обе части равенства
du (3.23)
i == С М'
то получим
1
u == С idt.
(3.24 )
Равенство (3.24) позволяет определить напряжение на KOHдeH '
саторе через ток по конденсатору. Ток через реальный конденсатор,
пластины KOToporo разделены твердым или жидким диэлектриком,!
в котором имеются тепловые потери, обусловленные вязким трени
ем дипольных молекул и друrими причина ми, в. ра<;чете. можно
учесть п.о схеме (рис. 3), с). Результирующий ток 1 . 11 + 12'
Ток I1 опережает и на 900, а ток 12 совпадает с и по фазе (рис.
3.7, д). Уrол б называют уС?лом потерь; tgб === l/Qc, rде Qc доброт
ность конденсатора, tgб зависит от типа диэлектрика и от частоты
и изменяется от нескольких секунд до нескольких rрадусов.
3.10. Умножение вектора на j и j. Пусть есть некоторый
вектор А === AeiIVa (рис. 3.8). Умножение ero на j дает вектор, по
модулю равный А, но повернутый в сторону опереже!1ИЯ (против
часовой СJ:РРЛКИ,' по отношению к ИСХОДl!ОМУ вектору А на 900. YM
ножение А ,.а j поворачивает вектор А на 900 в сторону OTCTaBa
ния (по часовой стрелке) также без изменения ero модуля. Чтобы.:
убедиться в этом, представим векторы j и j в показательной,
форме: )J
j === 1 . e i90 ° === e i90 0;
j === 1 . е j90° === е j90 0 .
(3.25)
(3.26)
Тоrда
А j === А ejIVaei9O° === А ej('t>a + 90°);
.
Aj === Aei't>ae j90° === Aej('t>a 900).
(3.27)
(3.28)
.
Из (3.27)следует, что вектор jA, по модулю равный А, составляет
с осью +] комплексной плоскости уrол a + 900, т. е.. повернут
против часовой стрелки на 900 по отношен.ию к вектору А.
Соrласно (3.28) умножение вектора А на j дает вектор, по
модулю равный А, но повернутый по отношению к нему на 900 по
часовой стрелке.
90
.
+J
jA
+1
с
.
1
.
jA
Рис. З.8
Рис. З.9
3.11. ОСНОВЫ сим ВОJlическоrо метода расчета цепей синусои-
даJlьноrо тока. Очень широкое распространение на практике полу
чил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусо
идальноrо тока.
Сущность символическоrо метода расчета состоит в том, что при
синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных
для MrHoBeHHbIx значений и являющихся дифференuиальными
уравнениями [см., например, (2.29)], к алrебраическим уравнениям,
составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход
основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхrо
фа для установившеrося проuесса, MrHoBeHHoe значение тока i за
меняют комплексной амплитудой тока 1т; MrHoBeHHoe значение Ha
пряжения нс) резисторе сопротивлением. R, равное Ri,
комплексом R/ т' по фазе совпадающим с током / т; MrHoBeHHoe значе
u di
ние напряжения на индуктивнои катушке u L === L d комплексом
. t
/ тjшL, опережающим ток на 900; MrHOBeHHoe значение напряжения
на конденсаторе ис idt комплексом i j "d ). отста щим от то-
Ка на 900; MrHOBeHHoe значение эдс е ко\";плексом Еm' Справед
di .
ливость замены u L === Ld'i на / тjшL следует из 3.7 и 3.8.
В 3.8 было показано, что амплитуда напряжения на L равна
произведению амплитуды тока на X L === шL. Множитель j свиде
тельствует о том, что вектор напряжения на индуктивной катушке
опережает вектор тока на 900.
Аналоrично, из 3.9 следует, что амплитуда напряжения на
конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на ХС === l/<uC.
Отставание напряжения на конденсаторе от протекающеI'О по ней
тока на 900 объясняет наличие множителя j.
Например, для схемы рис. 3.9 уравнение для MrHOBeHHbIX значе
Ний можно записать так:
U R + U L + и с === е,
91
..
или
di 1
iR + L + ( ёМ === е
dt С j .
Запишем ero в комплексной форме:
imR + iтi",L + Ч (01 ) Еф"
Вынесем 1т за скобку:
Ч R + i",L !с) Е т "
Следовательно, для схемы рис. .3.9
Ет
Im=== . '
R + j(J)L c
. Это уравнение позволяет найти комп ексную амплитуду тока
1т через комплексную амплитуду ЭДС Е т и сопротивления цепи
R, шL и l/шС.
Метод называют символическим потому, что токи и напряжения
за.меняют их комплексными изображениями или символами. Так,
RI m это изображение или символ падения напряжения iR;
. di
jшL/ т изображение или символ падения напряжения U L == Ldi;
i C i m изображение или символ падения напряжения на KOHдeH
(J)
1
саторе С idt.
(3.29)
(3.30)
(3.31 )
3.12. КОМПJlексное СОПрОТИВJlение. Закон Ома для цепи синусо
идаJlьноrо тока. Множитель R + jwL (j I ыС) в уравнении (3.30)
нредстаВJIяет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и
обозначается через Z. Ero называют комплексным сопротивлением:
. j (3.32)
Z === zeJ'P == R + j(J)L (J)C '
Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной
форме. Модуль комплексноrо сопротивления принято обозначать
через z. Точку над Z не ставят, потому что принято ставить ее только
над такими комплексными величинами, которые отображают сину
соидальные функции времени. ..
Уравнение (3.30) можно записать так: I mZ == Е т . Разд лим .обе
ero части на и перейдем от комqле сных амплитуд 1т и Е т к
комплексам действующих значений I и Е:
. .
1== E/Z.
(3.33 )
92
.
Уравнение (3.30) представляет собой закон Ома для цепи сину
соuдаЛЬНО20 тока.
В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и
некотОрую мнимую часть jX:
Z === R + jX, (3.34)
rде R а ктивное сопротивление; Х реактивное сопротивление.
Для схемы (см. рис. 3.9) реактивное сопротивление
Х === wL l/wC.
l'
3.13. КОМПJlексная Пр080ДИМОСТЬ. Под комплексной проводи
мостью У понимают величину, обратную комплексному сопротив
лению Z:
у === 1/ Z === g jb === ye j .
(3.35 )
Единица комплексной проводимости См (OM 1). Действи
тельную часть ее обозначают через g, мнимую через Ь. Так как
J..=== I === R jX === R . Х === 'Ь
Z R + j Х R 2 + х2 R 2 + х2 J R 2 + х2 g J,
то
R Х ../ 2 2
g === R 2 + х2 ; Ь === R 2 + х2 ; У === V g + Ь .
(3.36)
Если Х положительно, то и Ь положительно. При Х отрицатель
ном Ь также отрицательно.
При использовании комплексной проводимости закон Ома
(3.33) записывают так:
. .
/ === иу
,
(3.33а)
t ИЛИ
tl
. . . . .
/ == U g j U Ь === / а + / "
. .
rде /а аКТl!вная составляющая тока; /, реактивная составля
ющая тока; U напряжение на участке цепи, сопротивление KOTO
poro равно Z.
r'
3.14. ТреуrОJlЬНИК СОПРОТИВJlений и треуrОJlЬНИК ПР080ДИМО-
стей. Из (3.34) следует, что модуль комплексноrо сопротивления
z === -v R 2 + Х 2 . (3.37)
Следовательно, z можно представить как rипотенузу прямо
уrольноrо треуrольника (рис. 3.10) треуrольника сопротивлений,
один катет KOToporo равен R, друrой Х. При этом
tg === Х/ R. (3.38)
93
.
g
х
ь
Р....с. 3.1 О
Рис. 3.11
Аналоrичным обр.,! OM М 9!!У ЛЬ комплексной проводимости в co
ответствии с (3.36) у == vg2 + Ь 2 . Следовательно, у есть rипотенуза
прямоуrольноrо треуrольника (рис. 3.11), катетами KOToporo явля
ются активная g и реактивная Ь проводимости:
tg === ь / g.
(3.39)
Треуrольник сопротивлений дает rрафическую интерпретацию
связи между модулем полноrо сопротивления z и активным и peaK
тивным сопротивлениями цепи; треуrольник проводимостей ин
терпретацию связи между модулем полной проводимости У и ее
активной и реактивной составляющими.
3.15. Работа с комплексными числами. При расчете цепей nepeMeHHoro тока
приходится иметь дело с комплексными числами: сопротивление участка цепи или
цени в целом это комплекс; проводимость комплекс; ток, напряжение, ЭДС
комплексы. Для нахождения тока нозакону Ома нужно КОМПJIекс ЭДС разделить на
комплекс сопротивления.
Из курса математики известно, что комплексное число можно представить в
трех формах записи: аJIrебраической а + jb, показательной cejf:P и триrонометриче
ской CCOSQJ + jсsiШfJ.
СJIOжение двух и большеl"О числа комплексов удобнее производить, IIОЛЬЗУЯСЬ
аJJl'ебраической формой зависи. При этом отдельно складываются их действитель
ные и мнимые части:
(аl + jb 1 ) + (а2 + jb 2 ) + (аз jЬ з ) == (а} + а2 + аз) + j(b 1 + Ь 2 Ь з ).
Деление и умножение комплексных чисел целесообразно производить, пользу
ясь показательной формой записи. Например, нужно разделить КОМllлекс c1ejf:P 1 на
комплекс с 2 е j Ч>2. В результате деления будет получен комплекс
" с I с/Ч> 1 С 1 " ( )
сзе/f:PЗ == . == е/ f:P} f:P2 .
С2е/Ч>2 С 2
Модуль результирующеI'О комплекса Сз равен частному от деления С. на С2' а
aprYMeHT QJз == QJ} QJ2'
При умножении двух КОМllлексов c.ejf:Pl и C2ejf:P2 результирующий комвлекс
c4eif:P4 == СlеjЧ>lС2еif:P2 == c1c2ei(f:P1 + Ч>2).
При расчетах электрических цепей часто возникает необходимость в lIереходе
от аJII"ебраической формы записи комплекса к показатеJlЬНОЙ или наоборот.
94
+j +j
а} 1)
+1
+j +j
6)
+j
+j
+!
'I°'fO
+1
д)
е)
Р....с. 3.12
Пусть задано комп лексное число а + jb ce ifP . Здесь
с === -У а 2 + ь 2 , tgqJ === ь; а, а === ccos<p, Ь === csinqJ.
Чтобы не совершить ошибку при записи показательной формы комплекса, pe
комендуется сначала качественно изобразить заданный в аJII'ебраической форме
комплекс на комплексной плоскости, что позволит правильно выразить уrол <р между
осью + 1 и вектором. Уrлы, откладываемые против часовой стрелки от оси + 1,
считают положительными, по часовой стрелке отрицательными.
Пример 30. Перевести в показательную форму следующие комплексы: а) 3 +
+2j; б)2 + 3j; в)4 5j; r) 6 2j; д) 0,2 + 0,4j; е) 10 jO,8.
Решение пояснено на рис. 3.12, а е: а) 3 + 2j === 3,6ei33°40'; б) 2 + 3j 3,6еi5б020';
в)4 5j 6,4e i51 oХ)'; [,) 6 2j 6,32 е jl61 02)' 6,32 еil ОЗ5';д) 0,2 + 0,4 j ===
0,448eil16°35'; е) [О 0,8j 10e i 4 ° 40 '.
3.16. Законы Кирхrофа в СИМВОJlической форме записи. По
первому закону Кирхrофа, алrебраическая сумма MrHoBeHHbIX зна
чений токов, сходящихея в любом узле схемы, равна нулю:
l}k === О.
(3.40)
Подставив вместо i k в (3.40) I kejwt и вынеся e iwt за скобку, получим
ejrotI}k == О. Так как e/ wt не равно нулю при любом t, то
Lik===O.
(3.40а)
Уравнение (3.40а) представляет собой первый закон Кирхrофа
в СИмволической форме записи.
95
Для замкнутоrо контура сколь уrодно сложной электрической
цепи синусоидальноrо тока можно составить уравнение по второму
закону Кирхrофа для MrHoBeHHbIX значений токов, напряжений и
ЭДС.
Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая k BeTBb в
общем случае включает в себя источник ЭДС e k , резистор R k , ИНДУК.7
тивный Lk И емкостный C k элементы, по которым протекает ток i k .
Тоrда по второму закону Кирхrофа,
п d . п (3.41 )
lk I
IYkRk + Lk dt + c k ikdt) === Ee k .
k l k 1
.
Но каждое слаrаемое .[Iевой части уравнения в соответствии с
3.1.2 можно заменить на IkZ k , а каждое слаrаемое правой части
на Ek' Поэтому уравнение (3.41) переходит в
п п
I/kZk == L Ek'
k 1 k 1
(3.41 а)
Уравнение (3.41a) представляет собой второй закон Кирхrофа в
символической форме записи.
3.17. n рименение к расчету цепей синусоидальноrо тока мето-
дов, рассмотренных в rJlaBe «ЭJlектрические цепи постоянноrо то-
ка». Для анализа и расчета электрических цепей постоянноrо тока
разработан ряд методов и приемов, облеrчающих решение по cpaB
нению с решением системы уравнений при непосредственном исо:.
пользовании законов Кирхrофа. Из rл. 2 известно, что к числу таких
методов относятся меТ<lДЫ КОНТУРНЫХ токов, узловых потенциалов,
эквивалентноrо reHepaTopa и т. д. Известно также, что окончатель
ные расчетные формулы этих методов получают в результате BЫBO
дов, в основу КОТОРЫХ положены первый и второй законы Кирхrофа.
Поскольку первый и второй законы Кирхrофа справедливы и
для цепей синусоидальноrо тока, можно было бы записать ypaBHe
ния для MI'HoBeHHbIX значений величин цепей синусоидальноrо тока,
перейти от них к уравнениям в комплексах и затем повторить вывод
всех формул rл. 2 для цепей синусоидальноrо тока. Понятно, что
проделывать выводы заново нет необходимости.
В том случае, коrда отдельные ветви электрической цепи сину
соидальноrо тока не связаны между собой маrнитно, все расчетные
формулы rл. 2 приrодны и для расчета цепей синусоидальноrо тока,
если в эти формулах вместо постоянноrо тока 1 подставить комп
лекс тока 1, вместо проводимости g комплексную проводимость
у, вместо сопротивления R комплексное сопротивление Z и BMe
сто постоянной ЭДС Е комплексную эдс Е.
Если же отдельные ветви электрической цепи синусоидальноrо
тока связаны друr с друrом маrнитно (это имеет место при наличии
96
ВЗаИМОИНДУКЦИИ), то падение напряжения на каком либо участке
цеПИ зависит не только от тока данной ветви, но и от токов тех
ветвей, с которыми данная ветвь связана маrнитно. Расчет элект
рических цепей синусоидальноrо тока при наличии в них маrнитно
связанных ветвей приобретает ряд осо6енностеЙ J которые не MorYT
быть учтены, если в формулах rл. 2 непосредственно за менить Е на
Е, R на Z и g на У. Особенности расчета маrнитно связанных цепей
рассмотрены в 3.36.
3.18. П рименение векторных диаrрамм при расчете электриче-
ских цепей синусоида.Jlьноrо тока. Ток и напряжения на различных
участках электрической цепи синусоидальноrо тока, как правило,
по фазе не совпадают. Наrлядное представление о фазовом распо
ложении различных векторов дает векторная диаrрамма токов и
напряжений. Аналитические расчеты электрических цепей синусо
идальноrо тока рекомендуется сопровождать построением BeKTOp
ных диаrра мм, чтобы иметь возможность качественно контролиро
вать эти расчеты.
Качественный контроль заключается в сравнении направлений
различных векторов на комплексной плоскости, которые получают
при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя
из физически соображений. Например, на векторной диаr.ра.мме
напряжение и L ДО.Jfжно опережать ток J на 900, а напряжение и с
отставать от тока J на 900.
Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с
такими очевидными положениями, то, следовательно, в Hero BKpa
JlaCb ошибка. Кроме Toro, векторную диаrрамму часто используют
и как средство расчета, например в методе пропорциональных Be
личин.
Пример 31. в схеме (рис. 3.12, а) е === 141sin(J)t В; RI === 3 Ом; R2 === 2 Ом;
L === 0,00955 [н. УrJIOвая частота (J) === 314 рад/с.
Определить ток и напряжение на элементах цепи.
Реш е н и е. Запишем уравнение ДJIЯ MrHoBeHHbIx значений
. di
1 (R 1 + R 2 ) + [м === е.
Перейдем от Hero к уравнению в KOM JleKc.ax:
I(R 1 + R 2 ) + jwLI === Е или /Z === Е,
rAe Z === R 1 + R 2 + jwL === 3 + 2 + j314. 0,00955 === 5 + 3j === 5,82e i31 °.
I(омплекс действующеrо значения эдс Е == [41/"2 === 100 В. Ток
/ === E/Z === 100/5,8e i31 ° === 17,2e j31° А.
. . .
Н .31 о ". "31 о
аПряжения на RI URI===Uab==IRI===Бi,6e J В, на R2 UR2===Ubc==/R2===34,4e J В;
... °31° "59°
На L UL ==: Ucd == jwL/ === 3j. [7,2e J == 51,6е ! В. .
Векторная диаrрамма изображена на рис. 3.13, 6. Вектор Е направлен пооси + [.
Вектор тока 1 отстает от Hero на 310.
4 Зак. 683
97
UR, V R ;. DL.
. о....... Ь с....... d
а) t [ i
+j
i
о)
+j
.
lIe.
6)
.
ин
,
....
Рис. 3.1 3
Пример 32. Решить задачу примера 31 методом пропорциональных величин.
Реш е н и е. Зададимся TQKOM в цепи в 1 А и направим ero на векторной диаr
рамме (рис. 3.13, в) по оси + 1(/ == 1). Напряж ние на RI совпадает по фазе с током
и численно равно 1.3 == 3 В. Напряжение на R 2 также совпадает с током и равно 2 В.
Напряжение на L равно 3 В и опережает ток на 9 00. Из пр ямоуrольноrо треуrольника
следует, что при токе 1 == 1 А на входе Е == -V 5 2 + 32 == 5,82 В. Так как на входе
действует ЭДС в 100/5,82 == 17,2 раза больше, то все токи и напряжения должны
быть умножены на коэффициент 17,2. На рис. 13.3, в все векторы повернуты на 31 о
против часовой стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13,
6. Ясно, что взаимное расположение векторов на диаrрамме при этом не изменилось.
. Пример 33. В цепи рис. 3.14, а R === 4 Ом; (1) === 105 рад/с. Определить емкость
конденсатора С, если Е == 10 мВ; 1== 2 мА.
Р е ш е н и е. Комплексное сопротивление цепи l == R j/(I)C, ero модуль
z === -V R 2 + (1 / (1) с) 2 .
Е
По закону Ома 1 == E/z, отсюда z == т == 10. 10 3 /2 .10 3 == 5 Ом.
Следовательно, ХС == l/(I)C === V z 2 R 2 === -У 5 2 4 2 == 3 Ом; С === 1/(105.з) ==
== 1/(105.з) == 3,33 мкФ.
Векторная диаrрамма изображена на рис. 3.14,6.
Пример 34. На участке аЬ разветвленной цепи рис. 3.15, а параллельно включе.
ны индуктивное сопротивление Х L == (l)L и активное сопротивление R, численно раБ
ное X L . Показание амперметра А 2 == 5 А. Определить показание амперметра А;{.
полаrая сопротивление амперметров наСТОЛhКО малыми, что их можно не УЧfпываТI,.
. .
a)
+jI
+j .
1
о) +1
.
lfc
Р....с.3.14
ы
иоь
+1
98
.
е
а
/1
1) " +1 6)
Рис. 3.16
Реш е.н и е. На рис. 3.15,6 качестве.нно по троим векторную диаrрамму. Ha
пряжение и аЬ совпадает по фазе с током 12" Ток 1. OTCTa T от ,!,ока {2 на 900 и равен
ему по величине. Ток в неразветвленной части схемы 13 == /. + /2' Модуль тока
i з == 5 === 7,05 А. Амперметр Аз покажет 7,05 А.
Пример 35. I)остроить векторную диаrрамму токов и напряжений для схемы
рис. 3.16, а, если /1 == 1 А, R. == 10 Ом, wLI == 10 Ом, l/wC == [4,1 Ом; wL3 == 20 Ом,
R 2 === 2,5 Ом.
Реш е н и е. Обозначим токи и примем положительные направления ДJIЯ них в
соответствии с рис. 3.16, а. Быберем масштаб для токов т/ == 0,5 А/см и для напря
ений ти == 4 Б/см. Ток i. направим по oc + 1 (рис. 3.16,6). Падение напряжения
U R . === 10 Б и по фазе совпадает с током 1.. Падение н пряжения в индуктивном
сопротивлении wL также равно 10 Б, но опережает ток 1. на 900. rеометрическая
сумма О Rl + о L. по модулю равна 10{2 === [4,1 Б. Емкостный ток i 2 опережает это
напряжение на 900. Модуль тока /2 === 14,1/14,1 === 1 А.
. Т,ок в. неразветвленной части цепи равен rеометрической сумме токов:
/3 == 1. + 12' Модуль ero равен'" 0,8 А (найден rрафически). Падение напряжения
на сопротивлении R3 равно 2 Б и COB!IaAaeT по фазе с током 13. Падение напряжения
на индуктивности L3 опережает ток 13 на 900 и численно равно 0,8.20 === 16 Б. Напря
жение на входе схемы равно ЭДС и составляет около 18,3 Б.
Пример 36. Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. Б xeMe рис.
3.16, а опытным путем найдены значения токов 1., 12 и 13. (в ветви схемы включили
амперметры и записали их показания), 1. === [ A,/2 == 1 А, /3 === 0,8 А и определены
три напряжения: напряжение на входе схемы и == Е === [8,3 Б, напряжение на KOH
денсаторе и с === 14,1 Б (оно же напряжение на первой ветви) и напряжение на
третьей ветви (на R3 и L з ) из [6 Б. Напряжения были определены путем подклю
Чения вольтметра поочередно к зажимам а и е, а и с, е и С.
ПО опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить
векторную диаrрамму. .
Реш е н и е. На рис. 3.16, в отложим вектор и с , по модулю равный 14,4 Б. ДЛЯ
СОпоставления с рис. 3.16, 6 расположим ero надиаrрамме так же, какон расположен
на рис. 3.16, б.. .
Изобразим на диаrрамме ток 12' Он на 900 опережа т апряжение и с и по
Модулю равен [ А. После этоrо построим на диаrрамме токи 1. и 1з, воспользовавшись
т .. .
ем, что три тока (/.,/2 и 1з) образуют замкнутый треуrольник (рис. 3.16, 6).
4-
99
Для построения треуrольника 110 трем сторонам (т. с. фактически для определе
ния третьей вершины ero) из конца вектора тока (из одной веРШИН,?1 треУI'ОJlьника)
подведем дуrу радиусом, равным току 11' а из начала вектора тока 12(1'. е. из второй
вершины треуrольника) проводим дуrу радиусом, равным току 13.
Точка пересечения этих дуr дает искомую треть!О вершину треуrОJlьника, т. е.
точку, в которой оканчиваются вект.оры токов 13 и 11' После 1'01'0 как диаrрамме
опре4елено по ожение вектора тока 1з, можно изобразить на неи векторы напряже
ния ИЗ и эдс Е. .
.. .
Напряжения И С, И З и ЭДС Е также образуют замкнутый треуrольник. Ero
построение осуществля тся аналоrично построению треуrольников токов.
. Из конца вектора И С проводим дуrу радиусом, равным И 3 ' а из начаJlа вектора
И С дуrу радиусом, равным Е. Дуrи пересекаются в точках е и,. .
Так как напряжение 0з представляет собой падение напряжения от ток.а 13 на
последоватеJIЬНО соединенных R3 и Lз, то оно по фазе должно опережать ток 1з, а не
отставать от Hero.
Поэтому из точе е и f выбираем точку е (если бы выбрали точку t, то.в этuм
случае напряжение ИЗ пунктир на рис. 3.16, в отставало бы от тока 1 з' а не
опережало el'O).
В заключение отметим, что в треуrольнике токов дуrи тоже пересекаются в двух
точках, но вторая (лишняя) точка на рис. 3.16, в не показана.
3.19. Изображение разности потенциаJlОВ на комплексной ПJlО-
скости. Потенциалы цепи переменноrо тока являются комплексны
ми числами. На комплексной плоскости комплексное число можно
изображать либо точкой, координаты которой равны действитель
ной и мнимой частям комплексноrо потенциала, либо вектором,
направленным от начала координат к данной точке плоскости.
На рис. 3.17 представлены два вектора, изобража ющие собой
комплексные потенциалы: Фа == 2 + 5j и Фь == 4 + j.. .
По опред лению, разность потенциалов и аь == СРа ерь ==
== 6 + 4j; и аь изобразится вектором, направленным от Ь к а.
Первый индекс у напряжения (в нашем примере индекс а) указы
вает, к какой точке сл дует направить стрелку вектора напряже
ния. Естественно, что и Ьа == и аь .
3.20. Топоrрафическая диаrрамма. Каждая точка электриче
ской схемы, в которой соединяются элементы схемы, имеет свое
значение комплексноrо потенциала.
Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих
комплексные потенциалы одноименных точек электрической cxe
мы, называют топосрафuческой дuаС?раммой.
Термин «топоrрафическая» объясняется тем, что диаrрамма
напоминает топоrрафическую карту местности, rде каждой точк{'
местности отвечает определенная точка карты. Расстояние между
двумя точками на меС7НОСТИ можно определить, измерив расстоя
ние между одноименными точками на карте.
Аналоrичные измерения можно проводить и на топоrрафиче
ской диаrрамме. Напряжение между любыми двумя точками элек
трической схемы, например между точками а и Ь, по значению и
направлению определяется вектором, проведенным на топоrрафи
ческой диаrрамме от точки Ь к точке а.
100
е
+; а
1z .
d 11
+j jtuLJ
С
:L.
ь tuC!
а Ь
+1 h
Рис. 3.17 Рис. 3.18 Рис. 3.19
При построении топоrрафической диаrраммы, как и потенци
альной (см. 2.10), потенциал любой точки схемы может быть при
нят равным нулю. На диаrрамме эту точку помещают в начало
координат. Тоrда положение остальных точек схемы на диаrрамме
определяется параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей. PaCCMOT
рим HeCKOJlbKO примеров.
Пример 37. По данным примера 35 IIОСТРОИТЬ топоrрафическую диаrрамму для
схемы рис. 3.16, а.
Реш е н и е. Обозначим буквами а, Ь, с, ... точки схемы рис. 3.16, а, которые
хотим отобр.азить на топоrрафическои ,сщаrрамме. Примем потенциал точки а paB
ным нулю: ЧJ а == О.
Выразим [IOтенциаJI точки Ь через потенциаJl точки а:
"-
b == a + itRt === a + 10.
Знак плюс перед слаrаемым 'tRt обусловле.н тем, что при переходе от точки а к точке
перемещение происходит навстречу току 11 (при этом потенциал увеличивается на
ItRt). Точка Ь на диаrрамме имеет кuординату 110 оси абсцисс + 10. Аналоrично,
tP c == b + i tjwLt == 10 + jlO;
Ч>d === c + i3 R 3;
e === d + i 3j wL 3.
Совокупность точек а, Ь, с, d, е на комплексной плоскости (рис. 3.18) IIредстав
ляет собой ТОllоrрафическую диаrрамму схемы рис. 3.16, а. По ней удобно опреде
пять напряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиr по фазе этоrо напря
Жения относитеJIЬНО JlюБOl'О друrOl'О напряжения.
..
Пример 38. Найти токи в схеме (рис. 3.19) методом узловых 1I0тенциаЛQВ. Поло
жительные наllраВJlения ЭДС указаны на схеме стрелками, е . === 120{2sinwt В;
е з == 100 cos(wt 120°) В; R === 2 Ом; [/ЫС 2 == 10 Ом; wL3 === 5 Ом.
Реш е н и е. Запишем ЭДС в комплексной фuрме: El === 120, Ез === [OOe j30°.
Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу а. Определим
ПРОВОдимости ветвей: У . === I/Zt === 1/2 === 0,5 См; У2 === [/Z2 === I/( 10j) === O,lj См;
УЗ == [/Z3 === 1/(5j) === O,2j См.
Заземлим точку Ь. Уравнение по методу узловых потенциалов
. .
ЧJ а у аа === J аа;
.ЗОО .90°
q:Ja === 120.0,5 + 100e / .o, e J === 104e j8° В.
0,5 + 0,[/ 0,2/
101
Токи в ветвях
E1 epa
'1===
Z1
.ВО
120 04e } == 8,5 + j7,25 == 11,17ej40025' А;
ера
12 ===
Z2
'ВО
1 04е / j9BO .
000 10,4e д,
10e}
Ез ера
'3 ==
Z3
100e j30° 104e jBO
5j
100(c9S30° jsin300) 104(cos8° jsin8°)
5j
16,2 35,5j
5j
j245°30'
39,1 е == 7 82 Л55030' А
'900 ,е .
5е/
Пример 39. Найти токи в схеме рис. 3.20, а методом контурных токов и построить
. . "90°
топоrрафическую диаrрамму, если Е] === 100 В; Е2 == 100e/ В; ХС == l/юС == 2 Ом;
R == юL == 5 Ом.
Реш е н и е. Выберем направления контурных токов 'н и '22 по часовой стрел
ке. Запишем в общем виде урав ения длf! KOHTypH?IX токов [ср. С уравнениями (2.46)]
/1l Z 1l + 1 22 Z 12 == Е ll;
Itt Z 21 + 1 22 Z 22 == Е22'
[де Ztt собственное сопротивление nepBoro контура; Zll == R L == 5 2j;
. юС
Z22 собственное сопротивление BToporo контура, Z22 == R + jюL == 5 +.5j;
Z 12 == Z21 собственное сопротивление BToporo контура, взятое со знаком минус,
12 == R === 5; . Е1l алrебраическая сумма эдс nepBoro контура,
Il == Е} . 100; Е22 алrебраическая сумма эдс BToporo контура,
Е22 == Е2 == 100j.
с
Следовательно,
I 1(5 . 2Л 5/22 === 100;
5/11 + 122(5 + j5) == 100j.
42
Определитель системы
/1 == 1 (5 2j) 5 1 == 10 + 15j === 18ej56°20'.
5 (5 + 5j) ,
I 1 00 5 1
/11 == 100j (5 + 5Л === 500;
IJ 6.2 1(5 I I 300 500j 582e ;56 0 \Ю'.
Токи в схеме
+j
с
+/
. 111 === /1 1 / /1 === 500/ 1 8 e j56 ° 20' === 27 ,8е j56°20' А;
122 == /12/ . 582е j59° /.1 8ej56°20' === 32,Зе j115°2Q' А;
jl1 °43'
I R == Iн 122 === 30е .
5)
Рис. 3.20
Топоrрафическая диаrрамма изображена на рис. 3.20, 6.
102
...
3.21. Активная, реактивная и ПОJlная мощности. Под активной
,МОЩНОСТЬЮ р понимают среднее значение мrновенной мощности р
за период Т:
т т
[ 1
Р === т pdt == Т uidt.
о о
(З.42)
Если ток i == [тsiпwt, напряжение на участке цепи
u == U тsiп( w t + <р), то
т U / (З.4З)
1 ( т т
р == т ) / т и тsiпооtsiП(ооt + q»dt == 2 cosq> == U/cosq>.
о
Активная мощность физически представляет собой энерrию, KO
торая выделяется в единицу времени l в виде теплоты на участке
цепи в сопротивлении R. Действительно, про изведение
Ucosq> == [R. Следовательно,
Р == Ucosq>/ == [2R. (З.44)
Единица активной мощности Вт.
Под реактивной .мОЩНОСТЬЮ Q понимают произведение напря
жения U на участке цеПI1 на ток / fIO этому участку и на синус уrла
q> между напряжением U и током /: .
Q == U[siПq>. (З.45)
Единица реактивной мощности вольт ампер реактивный
(ВАр). Если siПq> >0, то Q >0, если siПq> <О, то Q <О.
Рассмотрим, что физически представляет собой реактивная
мощность. С этой целью возьмем участок цепи с последовательно
соединенными R, L и С. Пусть по нему протекает ток i == / тsiпwt.
Запишем выражение для MrHoBeHHoro значения суммы энерrий
маrнитноrо и электрическоrо полей цепи:
Li 2 Cи L/;. 2 С/; 2
W мэ === W м + w э == 2 + 2 == 2 slП oot + 2 cos oot ==
2( 00 С)
L/2 /2
=== 2 1 cos2oot) + (1 + cos2oot).
200 С
Из полученноrо выражения видно, что W мэ имеет постоянную
составляющую W мэО ' неизменную во времени, и переменную COCTaB
ЛЯЮщую W МЭ ' изменяющуюся с двойной уrловой частотой:
W мэ == W мэО W МЭ '
L/2 /2 ( L/2 /2 )
rДе W === + и w === cos2oot.
чэ о 2 2оо2с мэ 2 2оо2с
1
Предполаrается, что в 1 с укладывается целое число периодов Т.
103
На создание постоянной составляющей W мэО была затрачена
энерrия в процессе становления данноrо периодическоrо режима.
В дальнейшем при периодическом процессе энерrия W мэО остается
неизменной и, следовательно, от источника питания не требуется
энерrии на ее создание.
Среднее значение энерrии W МЭ ' поступающей от источника за
интервал времени от Т /8 до + т /8,
w ===! t / /8 w dt == ( LP L ) == 2t 2 ( x Х ) ==
мэ ер т) мэ Л (fJ2C ЛW L С
t т /8
2 2
=== U/sinq; ::=: Q.
nы пы
(3.46 )
Таким образом, реактивная мощность Q пропорциональна
среднему за четверть периода значению энерrии, которая отдается
источником питания на создание переменной составляющей элект
рическоrо и маrнитноrо поля индуктивной катушки и конденсатора.
За один период переменноrо тока энерrия W мэср дважды OTдaeT
ся reHepaTopoM в цепь и дважды он получает ее обратно, т. е. peaK
тивная мощность является энерrией, которой обмениваются reHe
ратор и приемник.
Полная .мощность
S == Ul.
(3.47)
Единица полной мощности В .Л.
Мощности Р, Q и 5 связаны следующей зависимостью:
р2 + Q2 == 52.
(3.48)
fрафически эту связь можно представить в виде прямоуrольно
ro треуrольника рис. 3.21 треуrольника мощности, у KOToporo
имеются катет, равный Р, катет, равный Q, и rипотенуза S.
На щитке любоrо источника электрической энерrии переменно
ro тока (reHepaTopa, трансформатора и т. д.) указывается значение
S, характеризующее ту мощность, которую этот источник может
отдавать потребителю, если последний работает при COS(f) == 1 (т. е.
если потребитель представляет собой чисто активное сопротивле
ние).
3.22. Выражение мощности в КОМПJlексной форме записи.
Пусть задан некоторый комплекс
А ==Aei'PA ==ACOS(f)A + jАsiП(f)А'
* .
Под комплексом А, сопряженным с комплексом А, будем пони
мать
*
А == А e i'PA == ACOS(f) А jA siп<:р А'
104
Рассмотрим простой прием определения активной и реактив
ной мощностей через комплекс напряжения и сопря.жений комп
лекс тока. Напряже.ние на некотором участке цепи U == Uejf[!u, ток
по этому участку / == /eif[!( Уrол между 'напряжением и током
ер === ери epi' Умножим комплекс напряжения на сопряженный KOM
*
плекС тока / == /e if[!i и обозначим полученный комплекс через s:
.*
s === И/ == U/ej(f[!u f[!i) == U/ejf[! == U/COSqJ + jU/sinq; == Р + jQ.
(3.49 )
Значок (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряжен
ный комплекс) полной мощности, составленный при участии сопря
*
женноrо комплекса тока /.
Таким образом, активная мощность Р есть действительная
часть (Re), а реактивная мощность Q мнимая часть (1т) Произ
.*
ведения U /:
.*
р == ReU.'
Q == ImU/.
(3.50 )
Пример 40. Определить активную, реактивную и полную мощности по данным
прим ра 31.P е ш е н и е. На ряжение o входе всей схемы равно ЭДС
и == Е == 100 В. Ток в цепи J == [7,2e 13 А. Сопряженный комплекс тока
* .*
1==17,2e i31 o А. Комплекс полной мощности S===UI==100.17,2ej31o==1720cos310+
+j1720sin3Io===1475 + j886; Р == 1475; Q == 886.
Следовательно, активная мощно<;ть р::::= 1475 Вт, реактивная Q == 886 ВАр и
полная S == 1720 В . А.
3.23. Измерение мощности ваттметром. Измерение МОIЦНОСТИ
производят обычно С помощью ваттметра электродинамической
системы, в котором имеются две катушки неподвижная и по
движная.
Подвижная катушка, выполненная из очень TOHKoro провода,
имеет практически чисто активное сопротивление и называется
параллельной обмоткой. Ее включают параллельно участку цепи.
подобно вольтметру. Жестко скрепленная со стрелкой (указате
лем), она может вращаться в маrнитном поле, создаваемом непод
ВИЖJ-:IОЙ катушкой.
.
1
.
I
Рис. 3.21
Рис. 3.22
Рис. 3.23
[ОБ
Неподвижная катушка, выполненная из довольно толстоrо Про
вода, имеет очень малое активное сопротивление и называется пO
следовательной обмоткой. Ее включают в цепь последовательно,
подобно амперметру.
На электрической схеме ваттметр изображают, как показано на
рис. 3.22. Одна пара концов (на рисунке обычно расположена rори
зонтально) принадлежит последовательной обмотке, друrая пара
концов (на рисунке расположена вертикально) параллельной.
На концах одноименных зажимов обмоток (например, у начала
обмоток) принято ставить точки.
Вращающий момент ваттметра, а следовательно, и ero показа
ния пропорциональны ействительной части произведения комп
лексноrо напряжения и аЬ на параллельной обмотке ваттметра на
*
сопряженный комплекс тока /, втекающеrо в конец последователь
ной (токовой) обмотки ваттметра и снабженной точкой:
. * ...........
ReU ab / == Uab/COs(U ab /).
Напряжение на параллельной обмотке берут равным разности
потенциалов между ее концом, имеющим точку (точка а), !1 ее KOH
цом, не имеющим точки (точка Ь). Предполаrается, что ток / втекает
в конец последовательной обмотки, у KOToporo поставлена точка.
Цена деления ваттметра определяется как частное от деления
произведения номинальноrо напряжения на номинальный TOK(YKa
зывают на лицевой стороне прибора) на число делений шкалы.
Пример 41. Номинальное напряжение ваттметра 120 В. Номинальный ток 5 А.
Шкала имеет 150 делений. Определить цену деления ваттметра.
Реш е н и е. ЦeH деления ваттметра равна 120.5/150 == 4 Вт/дел.
3.24. Двухполюсник в цепи синусоидаJlьноrо тока. На схеме
рис. 3.23 изображен пассивный двухполюсник, подключенный. к .ис
точнику ЭДС. Входное сопротивление двухполюсника ZBX == Е / /. В
общем случае
ZBX === R BX + jX BX == ze jqJ .
При Х ВХ > О входное сопротивление имеет индуктивный xapaK
тер (ер > О), при Х ВХ < О емкостный и при Х ВХ == О чисто актив
ный.
Входная проводимость У ВХ представляет собой величину, обрат
ную входному сопротивлению: У ВХ == l/ZBx'
Входное сопротивление можно определить расчетным путем,
если известна схема внутренних соединений двухполюсника и xa
рактер и значения сопротивлений, либо опытным путем.
При опытном определении входноrо сопротивления двухполюс
ника собирают схему рис. 3.24, а, в которой амперметр измеряет ток
/, вольтметр напряжение и аЬ == U на входе двухполюсника.
. *
Ваттметр измеряет Re{ и аь /}, т. е. активную мощность Р == U /cosep.
106
l/
.
и
. с
lс
Ь
а)
.
Ic
'Р<О
о)
6)
Р....с. 3.24
Модуль входноrо сопротивления z == И / /. При делении Р на произ
ведение И/ получают косинус уrла между напряжением и током:
cos<p == р / И/.
По косинусу уrла находят sin<p и затем находят R Bx == zcos<p И
Х == zsiп т .
ВХ 't'
Так как косинус есть функция четная, т. е. cos( <р) == cos<p, то
измерения необходимо дополнить еще одним опытом, который по
зволил бы путем сопоставлений показаний амперметра в двух опы
тах выявить знак уrла <р. Для определения знака уrла q> можно
воспользоваться специальным прибором фазометром либо при
ero отсутствии, проделав следующий опыт: параллельно исследуе
мому двухполюснику путем замыкания ключа К подключают He
большую емкость С (рис. 3.24, а).
Если показания амперметра при замыкании ключа К станут
меньше, чем они были при разомкнутом ключе, то уrол q> IIоложите
лен и входное сопротивление Z == zeJq> имеет индуктивный характер
(рис. 3.24, б). Если показания амперметра при замыкании ключа
станут больше, то <р отрицательно и входное сопротивление имеет
емкостный ха рактер (рис. 3.24, 8). .
На B KTOpHЫX диаrраммах (рис. 3.24,6,8) / ток через двухло
люсник; / С ток через емкость, который опережает напряжение И на
входе двухполюсника на 900. Пунктиром изображен ток через ампер
метр при замкнутом ключе. Сопоставление пунктиром изображенно
ro тока с током / и подтверждает приведенное заключение.
Пример 42. В схеме рис. 3.24, а U == 120 В; / == 5 А; Р === 400 Вт.
Замыкание ключа К приводит к уменьшению показаний амперметра. Опреде
Лить ВХодное сопротивление двухполюсника.
Реш е н и е. Модуль входноrо сопротивления
Z === U / / === 24 Ом;
COSqJ == Р / и/ === 400/120.5 == 0,666; sinqJ === 0,745.
Таким образом,
R BX === ZCOSqJ === 24.0,666 == 16 Ом;
107
Х ВХ == zsin<p == 24.0,745 == 17,90м.
Комплекс входноrо сопротивления ZBX == ([ б + j[ 7,9) Ом.
3.25. Резонансный режим работы ДВУХПОJlюсника. Пусть ДBYX
полюсник содержит один или несколько индуктивных элементов и
один или несколько конденсаторов. Под резонансным режимом
(режимами) работы TaKoro двухполюсника понимают режим (pe
жимы), при котором входное сопротивление двухполюсника явля
ется чисто активным 1.
По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном
режиме ведет себя .как активное сопротивление, поэтому ток и Ha
пряжение на ero входе совпадают по фазе. Реактивная мощность
двухполюсника при этом равна нулю.
Различают две основные разновидности резонансных режимов:
резонанс токов и резонанс напряжений.
3.26. Резонанс токов. Явление резонанса в схеме рис. 3.25, а,
образованное двумя параллельными ветвями с pa3HoxapaKTepHЫ
ми реактивными сопротивлениями, называют резонансом токов.
Пусть первая ветвь содержит активное сопротивление R, и ин
дуктивн.ое юL, а вторая ветвь активное R 2 и e KOC!Hoe l/юС.
Ток 1, в первой ветви отстает от напряжения U === и аЬ (рис. 3.25, б)
и может быть записан как
. . .
1, == UY 1 == U(gl jb 1 ).
.
Ток 12 во второй ветви опережает напряжение:
. . .
12 === ИУ 2 == U(g2 jb 2 ).
Ток в неразветвленной части цепи
. . .. .
1 == I1 + 12 == U(g, + ц) jU(b, + Ь 2 ).
+}
и аЬ
+1
а
,/
п,
L
Р....с. 3.25
l C u
ледовательно, ДJIЯ определения условии наступления разонанса СJlедует I1рИ
равнять нулю мнимую часть комплекса входноrо сопротивления ДВУХПОJlюсника.
Такой способ справедлив, если не пренебреrать активными сопротивлениями индук
тивных катушек.
[08
.
ПО определению раЗОJ:Iансноrо режима ток 1 должен совпадать
по фазе с напряжением U. Это будет при условии, что сумма peaK
тивныХ проводимостей ветвей равна нулю: ы + Ь 2 === о.
в соответствии с (3.36)
ь === wL
I R + oo2 L 2'
ь === ljwC
2 R + Ijw 2 c 2 '
Следовательно, условие наступления режима резонанса токов
в схеме рис. 3.25, а можно записать так:
wL IjwC (3.51)
R 2 + w 2 L 2 2 1
I R 2 + ы 2 с 2
На рис. 3.25, 6 изображена векторная диаrрамма для резонанс
Horo режима. Из (3.51) следует, что если R 2 === О, то резонанс HaCTY
пит при
(t) I
2 2 2 == 1I1r..
R 2 + ы L
В еще более частном случае, коrда R 2 === О И R I«(J)L,
резонанс наступит при
(3.51 а)
(J)2LC 1.
(3.516)
Резонанса можно достичь путем изменения ю, L, С или RI И R 2 .
Числовое значение тока в неразветвленной части схемы может быть
меньше токов в ветвях схемы. При R 2 === О, RI О ток 1 может OKa
заться ничтожно малым по сравнению с токами I1 и 12'
В идеализированном, практически не выполнимом режиме pa
боты, коrда R i === R 2 === О, ток в неразветвленной части схемы рис.
3.25, а равен нулю и входное сопротивление равно бесконечности.
Обратим внимание на следующее. В формулу (3.51) входит пять
величин (L, С, RI' R2' ы). Если определять из нее L или С, то может
оказаться, что для искомой величины будут получены одно или два
действительных значения либо мнимое значение.
Получение двух действительных значений для L и С свидетель
Ствует о том, что при неизменных четырех параметрах вследствие
Изменения. пятоrо можно получить два резонансных режима. (По
ЯСНения к возникновению двух резонансных режимов при измене
НИи одноrо параметра и неизменных остальных даются в примере
54).
Получение мнимых значений L и С свидетельствует о том, что
При данных сочетаниях па раметров резонанс невозможен.
109
Определим ffi из (3.51):
V L/C Ri
(O (O
о L/ С R '
rде ыо == l /yLC резонансная частота в контуре без потерь при
R J == R 2 == О.
Поскольку уrловая частота действительна и положительна, то
числитель и знаменатель формулы (а) должны быть с одинаковыми
знаками. Это имеет место при
а) L/C>RT; L/C>R ; б) L/C<RT; L/C<R .
(а)
При Rl == R 2 частота ffi == ЫО' При L/C == R; == R
ffi == Ы о\!О /0,
(б)
т. е. ffi получается величиной неопределенной. Физически это озна
чает, что резонанс может возникать при любой частоте. Сопротив
ление параллельноrо контура равно Rt/2+(ffiL)2/2Rt.
Пример 43. В схеме (рис. 3.25, а) RJ == 30 Ом; юL === 40 ом; R2 === о; ю === 103 рад/с.
При каком значении емкости конденсатора в схеме будет резонанс токов?
Реш е н и е. По формуле (3.51),
1 R2 J + (юL)2 30 2 0 2
Х + 4 == 62 5 О .
с === юС === юL 40 ,м,
"1 1 1
С === == === 16 мкФ.
{ОХ с 103.62,5
3.27. Компенсация сдви"а фаз. Входное сопротивление боль
шинства потребителей электрической энерrии имеет индуктивный
характер. Для Toro чтобы уменьшить потребляемый ими ток за счет
снижения ero реактивной составляющей и тем снизить потери энер
rии в reHepaTope и подводящих проводах, параллельно приемнику
энерrии включают батарею конденсаторов.
Уменьшение сдвиrа фаз между напряжением на приемнике и
током, потребляемым от reHepaTopa, называют компенсацией cдви
za фаз.
Компенсация сдвиrа фаз существенна для энерrоемких потре
бителей, например крупных заводов. Осуществляется она в месте
ввода линии питания в распределительном устройстве. Экономиче
ски выrоДНО подключать конденсаторы на возможно более высокое
напряжение (ток через конденсаторы I с == иыс). Сдвиr фаз ер меж
ду напряжением и током, потребляемым от источника питания,
доводят до значения, при котором COSqJ O,9 O,95.
3.28. Резонанс напряжений. Резонанс в схеме последователь
Horo соединения R, L, С (рис. 3.26, а) называют резонансом напря
жений.
110
.
. l{ . 1 U L . и с
и!.. . и с 1
........и с
с
.
IR
а) t о} i 8) (JJ
I/(E/R)
1 0,8
0,6
o,li
0,2
l.J) О wL
е) е)
.
При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с ЭДС Е.
Это возможно, если входное сопротивление схемы
Z == R + i(wL ljwC) будет чисто активным. Условие наступле
ния резонанса в схеме (рис. 3.26, а)
bloL == 1/( шоС), (3.52)
rде ш о реЗОl!аНС!lая частота.
При этом 1 == Е / R. Напряжение на индуктивном элементе при
резонансе равно напряжению на емкостном:
ffioL
U L == и с == ffioLl == R E .
Отношение
(3.53)
ffioL {LfC Q
R R
называют добротностью резонансноrо контура. Добротность пока
зывает, Во сколько раз напряжение на индуктивном (емкостном)
Элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном
реЖиме. В радиотехнических устройствах Q может доходить до 300
и более. Векторная диаrрамма для режима резонанса изображена
на рис. 3.26, б.
Характеристическим сопротивлением Q для схемы (рис. 3.26, а)
наЗывают отношение напряже ния на L и С в режиме резонанса к
току в этом режиме: Q === QR :y LjC.
111
3.29. Исследование работы схемы рис. 3.26, а при изменении
частоты и индуктивности. Пусть в схеме рис. 3.26, а параметры R,
L, С и ЭДС Е постоянны, а меняется частота ю. Рассмотрим xapaK
тер изменений модулей тока 1 и напряжений U L и и с В функции от ы.
Ток в цепи
Е Е I
/
v R 2 + (.,L .,IC) 2 R V I + Q2 (:0 :,) 2 .
При изменении ffi меняется реактивное сопротивление цепи
Х == (J)L (J)lc : при Wl О сопротивление Х----+ 00 И ток I о; при
ffi == 1 /у LC сопротивление Х == О, ток 1 == Е / R; при Ы----+ОО сопро
ТИВJlение Х---+ОО, ток 1----+0.
Напряжение
Q(J)
ЫО
U L == O)L/ == Е
V I + Q2 (:', :0) 2
При ы---+о напряжение U L == о; при ю---+оо напряжение U L---+E
(рис. 3.26, 8). При Q>1/ 2 кривая U L (и кривая и с ) проходит через
максимум, при Q<1/'./2 кривая U L монотонно стремится к Е.
. 1
При Ы----+ О U с == 1 W С ---+ Е, при Ы----+ 00 U с---+ о.
Из рис. 3.26, в видно, что максимумы напряжений U L и U С имеют
место при частотах, не равных резонансной частоте Ы О === 1/ C:
максимум U L имеет место при '1:ICToTe ffi L > ы о ' а максимум и с
при частоте ы с < Ы О
(Ш L == 0)0 '-l 2 2 ; ЮС == Ы ) .
\ 2 RC (J)L}
L
На рис. 3.26, С? изображены две кривые, характеризующие зави
симость 1 == '(ы) для цепи с неизменными L, С и Е при двух различ
ных значениях R. Для кривой 2 сопротивление R меньше (а доброт
ность Q больше), чем для кривой '.
Обычно кривые изображают в относительных единицах
(рис. 3.26, е), откладывая ток в долях от тока при резонансе, а
ч астоту в дол ях от резонансной частоты. fрафики тока в OTHO
сительных единицах изображены на рис. 3.26, д. Они построены по
формуле
1 I
Е/ R == 11 + Q2(w/w o ыо/ы) 2 '
l C u
трелка ----+ заменяет CJlOBO «стремящиися» или соответственно «стремится».
112
.
Чем меньше активное сопротивление резонаНl'ноrо контура при
неизменных остальных параметрах схемы, т. е. чем больше доброт
ноСТЬ контура Q, тем более острой (пикообразной) становится фор
ма кривой / === '(ы).
Полосой пропускания резонансноrо контура называют полосу
частОТ Ы 2 UJ 1 == UJo/Q, на rраницах которой отношение E R COCTaB
Jlяет 0,707 (см. рис. 3.27, д).
ыо
fраничные частоты rol,2 === 2Q ( + 4Q 2 + 1). AprYMeHT входноrо co
противления схемы рис. 3.26, а <р == arctgQ(UJ/ ы о Ы а / ю).
Если в схеме рис. 3.26, а изменять не частоту, а индуктивность
L, то зависимости /, U L в функции от Х L === UJL(UJ == const) будут
иметь вид кривых рис. 3.26, е.
1
Так как и с === ыс /' а 1/ юС == const, то кривая и с == f(юL) качест
венно имеет такой же вид, что и кривая 1 == f(UJL).
Пример 44. В схеме (рис. 3.26, а) R == 10 Ом; L === 1 rH; с === 1 мкФ.
Определить резонансную частоту ы о ' добротность Q, а также напряжение и с ,
если на вход схемы подано напряжение 10 мВ при резонан сной ч астоте.
Реш е н и е. Резонансная частота ы о === [/YLC === I/VIo 6 === 103 paд/ .
Добротность Q == Ci)oL/R == (103.1)/10 == 100. Ток в цепи 1 == E/R == 0,01/10 ==
==1 мА. Напряжение на конденсаторе и с == QE == 100.O,0[ == 1 В.
3.30. Частотные характеристики двухполюсников. Входное co
противление и входная проводимость двухполюсника в общем слу
чае являются функциями частоты Ы. Под частотными xapaKTepи
стиками (ЧХ) понимают следующие типы характеристик: 1)
зависимость модуля входноrо сопротивления (проводимости) от ча
стоты ы; 2) зависимость действительной или мнимой части ВХОДНОI'О
сопротивления (проводимости ) от частоты Ы. ЧХ MorYT быть получе
ны расчетным (если известна схема, ха рактер элементов и их чис
ловые значения) либо опытным (в этом случае схему двухполюсни
ка и характер составляющих ее элементов можно и не знать) путем.
При снятии чх опытным путем на вход двухполюсника подают
напряжение, частоту KOToporo изменяют в широких пределах, начи
ная с нуля, и по результата м измерений подсчитывают модуль BXOД
Horo сопротивления (проводимости) или действительную (мнимую)
часть входноrо сопротивления (проводимости).
В общем случае двухполюсники содержат резистивные и peaK
Тивные элементы. В частном случае двухполюсники MorYT состоять
только из реактивных элементов, тоrда их называют реактивными
двухполюсниками. Применительно к ним под ЧХ понимают зависи
мости Х == f(ш) или ь == '(ы). ЧХ дЛЯ несложных двухполюсников,
содержащих резистивные и реактивные элементы, иноrда можно
качественно строить на основании простых физических соображе
ний о характере изменения сопротивления отдельных элементов
113
R , z
R .RZ С
f.J)
а)
Р....с. 3.27
этоrо двухполюсника в функции частоты. Если это сделать затруд
нительно, то прибеrают к аналитическому расчету либо к снятию
чх опытным путем.
Качественно построим характеристику z == [(ы) для двухполюс
ника рис. 3.27, а(рис. 3.27, б). При ffi == О (конденсатор представляет
собой разрыв) z === R + Я), При ы---+ 00 сопротивление KOHдeHcaTO
ра l/wC---+О, а индуктивное сопротивление wL---+ 00. Поэтому при
ы---+ 00 Z === R + R 2 . При W == ы имеет место режим резонанса токов
и потому входное сопротивление имеет максимум. В области частот
О ffio'Z имеет индуктивный характер, в области ы а ' 00 eMKO
стный.
Если RI == R 2 «L/C, то при
, 1 LjC LjC
юо == юо '-"; {Lc Z R + 2RI 2R} '
Рассмотрим вопрос о построении частотных характеристик pe
активных двухполюсников, не содержащих резистивных сопротив
лений.
Входное сопротивление их Z == jX, а входная проводимость
. 1
У === ljZ == j х == jb Ь == ljX. Частотная характеристика таких
двухполюсников это зависимость Х(ы) или Ь(ы).
Эти зависимости взаимно обратны.
. Для индуктивноrо элемента Х(ы) == wL (рис. а.28, а), а Ь(ю) === юlL
(рис. 3.28, б). Для eMKocTHoro элемента Ь(ы) == юС (рис. 3.28, 8), а
1
Х(ю) == юС (рис. 3.28, i!). Если учесть, что при последовательном
соединении элементов сопротивления элементов складывают, то
ясно, что для получения Х(ы) последовательно соединенных элемен
тов надо сложить ординаты кривых Х(ы) этих элементов.
ЧХ последовательно соединенных LI и С 1 (рис. 3.28, д) построена
на рис. 3.28, е в виде кривой 3 (прямая 1 это ЧХ LI' а кривая 2
ЧХ C 1 ). Зависимость Ь(ы) для схемы рис. 3.28, д изображена на рис.
1
3.28, ж. При частоте ШО == L С кривая Х(ы) пересекает ось абсцисс,
I I
114
х (j) ь О h ({) Х @
(u ( {Q
ш lIJ
а} 61 8} 2}
lz L
[, l, С,
4) 3) С ! л)
х х
х
е) и) М) tJJ
(JJ
ж)
К)
h
IJ
I
,lU J
I
ltJ
lU
н}
Р....с. 3.28
а кривая Ь(ы) претерпевает разрыв от oo до + 00. При этой частоте
имеет место резонанс напряжений.
Если учесть, что при па раллельном соединении элементов прово
димости их надо сложить, то ясно, что для получения кривой Ь(ю)
параллельно соединенных элементов надо сложить ординаты кривых
Ь(ы) этих элементов. Зависимость Ь(ы) для схемы рис. 3.28, з изобра
жена на рис. 3.28, к, а обратная ей зависимость Х(ы) на рис. 3.28, и.
1
При частоте Шо' === vT кривая Ь(ы) пересекает ось абсцисс, а Х(ы)
L 2 C 2
претерпевает разрыв от +00 до oo. При этой частоте имеет место
реЗонанс токов в цепи (рис. 3.28, з). На рис. 3.28, л последовательно
соединены два двухэлементных ранее рассмотренных двухполюсни
Ка. Так как Х(ы) каждоrо из этих двухполюсников построена, то pe
ЗУJlЬТИрующее Х(ы) схемы рис. 3.28, л получим, суммируя ординаты
Х(ы) этих двухполюсников (т. е. кривых рис. 3.28, е, и). Зависимость
Х(ы) для схемы рис. 3.28, л см. рис. 3.28, м, а Ь(ю) на рис. 3.28,Н. При
Плавном увеличении частоты в схеме (рис. 3.28, Ж), начиная с m == О,
Сначала возникает резонанс напряжений при частоте ю., затем резо
Нане Токов при (02' после этоrо резонанс напряжений при m з . При
даЛьнейшем увеличении ю резонансов возникать не будет.
115
Сдел аем слеДУЮlцие выводы:
1) режимы резонанса токов и резонанса напряжений чередуют
ся;
2) число резонансных частот для канонических схем (см. 3.31)
на единицу меньше числа реактивных элементов;
3) если в схеме есть путь для прохождения постоянноrо тока, то
при плавном увеличении частоты, начиная с нуля, первым наступит
резонанс токов, если нет резонанс напряжений.
Это следует из Toro, что если есть путь для постоянноrо тока, то
при w == О характеристика Х == [((1)) начинается с нуля, затем Х
увеличивается [dX / d.w>O), а при некоторой w кривая претерпевает
разрыв, который и соответствует резонансу токов. При аналитиче
r'v')'V! пПРРПf'лении резонансных частот R Dрактивном двухполюсни
K сопротивление ero следует представить в виде отношения двух
полиномов по степеням ы, т. е. Х == N(w)/ М((1)). Корни уравнения
N(ш) == О соответствуют частотам, при которых возникает резонанс
напряжений, корни уравнения М(ы) == О частотам, при которых
имеет место резонанс токов.
3.31. Канонические схемы. Эквивалентные двухполюсники.
Путем эквивалентных преобразований отдельных частей сложных
схем последние можно привести к более простым схемам с мини
мально возможным числом R, L, С в них к каноническим схемам.
Так, схемы рис. 3.28 являются каноническими. Преобразования
осуществляют либо путем перехода от звезды к треуrольнику (или
наоборот) или от параллельно последовательноrо соединения (рис.
3.29, а) к параллельному (рис. 3.29, 6), либо от параллельноrо coe
динения (рис. 3.29, в) к последовательно параллельному (рис. 3.29,
е) и последующеrо упрощения схемы. Значения коэффициентов пе
рехода: для рис. 3.29, а, 6 Ь === а( 1 + а); с == (1 + а)2; d === 1 + а; для
рис.3.29,в,С? Ь===а 2 /(l +а);с== 1/(1 +a)2;d===a/(1 + а).
ДВУХПОJlЮСНИКИ рис. 3.29, а, 6, как и рис. 3.29, в, е, называют
эквивалентными, так как они имеют равные входные сопротивле
ния при всех частотах.
1, 61, Сl,
011
1, dZ ,
а) 6) bZ,
dZ,
cZt
6) 2)
Р....с. 3.29
116
А
А
а)
Рис. 3.30
3.32. Передача энерrии от активноrо ДВУХПОJlюсника наrрузке.
К зажимам аЬ активноrо двухполюсника (рис. 3.30, а) подключена
наrрузка ZH == R H + jX H . Требуется выяснить, при соблюдении Ka
ких условий в наrрузке выделяется максимальная активная мощ
ность.
По методу эквивалентноrо reHepaTopa (см. Э 1.25) ток в наrрузке
. .
1 == Uabx/(ZBX + ZJ,
rде ZBX == R BX + jX BX входное сопротивление двухполюсника по OT
ношению к зажимам аЬ, поэтому
и аЬХ
l
R Bx + R H + j(X BX + Хн)'
По условию, R BX И Х ВХ заданы и изменять их нельзя. Изменять
можно лишь R H И Хн' Выберем такое Хн, чтобы ток в цепи был
максимальным; это возможно, если Х ВХ + ХН == О. При этом двухпо
люсник работает в резонансном реж ме ток через наrрузку по
фазе совпадает с напряжением и аЬХ : 1 == и аЬХ : (R Bx + R H ).
Как и в цепи постоянноrо тока (см. 1.26), если взять R H == R Bx ,
выделяющаяся в наrрузке мощность максимальна:
Р тах === U bx/( 4R ВХ)'
Таким образом, чтобы выделить в наrрузке, присоединяемой к
активному двухполюснику с входным сопротивлением R Bx + jX BX '
максимально возможную мощность, необходимо выбрать следую
щие сопротивления наrрузки: ХН === Х вх , R H == RF\X'
3.33. СоrJlасующий трансформатор. Наrрузкой двухполюсни
Ка может быть какое либо уже существующее устройство, сопро
ТИвление KOToporo Zи, так же как и входное сопротивление двухпо
JlЮсника ZBX' задано и не может быть изменено. В этом случае
Соrласование наrрузок с двухполюсником осуществляют, присое
ДИНяя наrрузку не непосредственно к зажимам двухполюсника, а
117
через СО2ласующий трансформатор (рис. 3.30, 6). Обозначим через
W 1 и W 2 число витков первичной и вторичной обмоток трансформа
тора. Активные сопротивления и индуктивности рассеяния обмоток
весьма малы и при расчете не учитываем. Сердечник трансформа
тора (на рисунке не показан) выполнен из BbIcoKoKa ecTBeHHoro
маrнитноrо материала с малыми потерями, поэтому ток холостоrо
хода трансформатора мал по сравнению с током по обмотке W 1 при
наrрузке. Такой трансформатор по своим свойствам приближается
к трансформатору, который называют идеальным (см. 3.34). Для
Hero справеДЛ!1ВЫ соотн ше ия (обозначения соответствуют рис.
3.30,6) IW 1 I H w 2 О, И аЬ / Ин == W 1 !W 2 . ПояснеНJ:IЯ к ЭТ!lМ.Фор У
J.IaM M. в 15.67 (обозначения соrласуются так: И аЬ == И 1 , I н === 12 И
1 == 11)' Входное сопротивление изображенной пунктиром части cxe
мы по отношению к зажимам аЬ
и аЬ
z
BX .
1
. W.
U H W2 wi ( w 1 ) 2 ( Wl ) 2
=== ZH2== Я н + i X H .
. w 2 W2 w 2 W 2
I
HW
1
в соответствии с 3.32 это сопротивление должно быть комп
лексно сопряженным с сопротивлением двухполюсника:
ZBX === R Bx + jX BX '
Отсюда следует, что для соrласования по активному сопротив
лению R Bx == R H (w./W 2 )2, а для соrласования по реактивному сопро
тивлению Х ВХ == X H (W./W 2 )2. Отношени е чисе л витков wJW 2 опре
делим из nepBoro условия W 1 /W 2 -== VRBX/RH' При выборе числа
витков W 1 И площади поперечноrо сечения сердечника трансформа
тора S должно быть учтено, что в установившемся режиме работы
аМПJIитудное значение потока в сердечнике не должно достиrать
пото.ка наС lшения этоrо сердечника, иначе будет нарушено усло
вие IIWl I H w 2 О. Для выполнения соrласования по реактивно
му сопротивлению последоватеJIЬНО с наrрузкой включают допол
нительное сопротивление соответствующеrо характера.
3.34. Идеальный трансформатор. В качестве элементов схем
замещения электрических цепей наряду с R, L, С, М в литературе
используют идеальный трансформатор (ИТ).
Идеальным называют трансформатор без потерь, у KOToporo
щ{одные. и I3ЫХОДljые токи и на пряжения связаны соотношениями
И] == КИ 2 , 12 == KI " rде К == w./w 2 коэффициент трансфОРl"vJа
ции. Идеальнь й тран<;форматор !рансформирует напряжение И 1 в
напряжении и 2 , ток 1. в ТОК 12' сопротивление наrрузки Z в
сопротивление J(2Z (см. 3.33).
118
",
"!
i,
it
+j
а)
/)
u,
rl rlrZ1
6) е)
f1 2
Рис. 3.31
Рис. 3.32
3.35. Падение и потеря напряжения в линии передачи энерrии. reHepaTop
соединен с приемником энерrии линией передачи, которая обладает активным R л и
индуктивным Х л === юL л сопротивлениями.
Построим векторную диаrрамму для цепи, состоящей из reHepaTopa, линии
передачи и приемника. Для определенности положим, что наrрузка приемника име
ет индуктивный характер. Вектор наl!ряжения в коние линии (на приемнике) напра
вим пооси + 1 (рис. 3.31); вектор тока / отстает от Hero в силу ИНДУКТl1вноrо характера
наrрузки. Падение напряжения в активном сопротивлении лини / R л совпадает по
фазе с током, падение напряжения в индуктивном сопротивлении /jX л опережает ток
на 900.
Под падением напряжен я в линии передачи понимают модуль rеометрической
разности векторов в начале (и 1) и ко нце (и 2 ) лини и:
/ 1j R + (юL л ) 2 .
Потеря напряжения в л.инии п редачи равна разности модулей напряжения в
начале и конце линии, т. е. I U11 I и 2 1. Потеря напряжения показывает, на сколько
вольт напряжение в коние линии меньше, чем напряжение в ее начале.
Как правИJIO, падение напряжения больше потери напряжения.
3.36. Расчет электрических цепей при наJlИЧИИ в них маrнитно-
связанных катушек. В состав электрических цепей MorYT входить
катушки, маrнитно связанные с друrими катушками. Поток одной
из них пронизывает друrие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции,
которые должны быть учтены при расчете. При составлении ypaB
нений для маrнитно связанных цепей необходимо знать, соrласно
или встречно направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.
Правильное заключение об этом можно сделать, если известно
направление намотки катушек на сердечнике и выбрано положи
теЛьное направление токов в них.
На рис. 3.32, а катушки включены соrласно, на рис. 3.32, 6
встречно. Чтобы не заrромождать чертеж, сердечники катушек на
электрических схемах обычно не изображают, оrраничиваясь тем,
ЧТО Одноименные зажимы (например, начала катушек) помечают
ОДинаковыми значками, например точками.
3 Схема рис. 3.32, в эквивалентна схеме рис. 3.32, а, а схема рис.
.32, с схеме рис. 3.32, 6.
1[9
.
IJ
.
Ез
,
м
,
RJ
Рис. 3.33
Рис. 3.34
Если на электрической схеме токи двух маrнитно связанных
катушек одинаково ориентированы относительно одноименно обоз
наченных зажимов, например оба направлены к точкам или оба
направлены от точек, то имеет место соrласное включение, в про
тивном случае встречное.
Если маrнитно связано несколько катушек, то начало и конец
размечают для каждой пары катушек отдельно.
На примере рис. 3.33 рассмотрим методику составления ypaB
нений для расчета маrнитно связанных цепей. Произвольно выбе
рем положительные направления токов в ветвях схемы. Направле
ния обхода контуров выберем по часовой стрелке. Составим
уравнения для MrHoBeHHbIx значений: i) == i 2 + i3.
Для левоrо контура (первая и вторая ветви)
1 di 1 di з 1 ( а )
i)R) + c;- i1dt + L 1 dt + М dt + С 2 i2dt + i 2 R 2 === е)"
d;з d;)
Перед слаrаемым М dt поставлен тот же знак, что и перед L)dt'
так как Токи i 1 и i 2 входят В одноименные зажимы маrнитно связан
ных катушек, т. е. имеет место соrласное включение. Сумма слаrа
di з di( u
емых ММ + L) dt представляет собои падение напряжения на пер
вой катушке.
Слаrаемые левой части уравнения (а) взяты со знаком плюс, так
как на всех участках первоrо контура положительные направления
токов совпадают с направлением обхода контура.
Составим уравнение для I1paBOrO контура (вторая и третья BeT
ви). Направление тока i 2 встречно направлению обхода контура,
поэтому сумма падений напряжений во второй ветви войдет в ypaB
нение со знаком минус:
1 di з di}
С 2 i2dt ;2 R 2 + L 3 dt + ММ + ;3 R 3 === ез"
В комплексной форме записи:
. . .
I( === 12 + 1з;
(6)
120
,
А
ij шМ
м
ijшL,
j
PI-iС. 3.35
РИС. 3.36
ч R, ", , + i",L,) + Ч R 2 ", 2) + iзi"'М Е,;
i,i",M Ч R2 ", 2) + iЗ<R з + i",Li) Е з .
(в)
(r)
3.37. ПОСJlедовательное соединение двух маrнитно связанных
катушек. На рис. 3.34 изображена схема последовательноrо соrлас
Horo включеНИЯ двух катушек, а на рис. 3.35 последовательноrо
встречноrо включения тех же катушек.
При соrласном включении
di di di di
iR 1 + Lldj + Mdj + L2dj + Mdj + iR 2 === е.
в комплексной форме записи:
. .
/[Я 1 + Я 2 + jffi(Ll + L 2 + 2М)] === Е;
. .
/ Zсоrл === Е;
Zсоrл == R l + Я 2 + jffi(L 1 + L 2 + 2М).
(3.54 )
Векторная диаr.рамма для соrласноrо включения изображена
На рис. 3.36, rде и 1 напряжение на первой катушке; и 2 на
второй.
При встречном включении
di di di di
iR 1 + Lldj Mdj + L2dj ММ + iR 2 === е.
ОТсюда
. .
/ZBCTP == Е,
rДе
ZBCTP == R I + R 2 + jffi(L 1 + L 2 2М).
(3.55)
121
JWMi
.
1
l/z
v
.
IjfJJlz
.
и !
Рис. 3.37
Рис. 3.38
Векторная диаrрамма для встречноrо включения при L}>M и
L 2 >M изображена на рис. 3.37.
3.38. ОпредеJlение взаимной индуктивности опытным путем.
Обсудим два практически важных способа опытноrо определения
взаимной индуктивности М двух маrнитно связанных катушек.
Первый способ. Проделаем два опыта. В первый из них включим
катушки последовательно и соrласно. Измерим ток и напряжение
на входе и активную мощность цепи. Во втором те же катушки
включим последовательно и встречно и также измерим J, и, Р. По
результатам измерений найдем:
Х соrл == оо( L. + L 2 + 2М);
Х встр == оо( L( + L 2 2М).
Разность Х соrл Х ВСТР == 4ыМ, следовательно,
М ==(Х СОrЛ Х встр )/(4ы). (3.56)
Второй способ. Подключим первую катушку к источнику сину
соидальной ЭДС через амперметр (рис. 3.38), а к зажимам второй
катушки присоединим вольтметр с большим внутренним сопротив
лением. Измерим ток I} и напряжение и 2 .
di.
MrHoBeHHoe значение напряжения и2 == ММ. Ero действующее
значение и 2 == wM/}. Следовательно,
м == и 2 / (oo/().
(3.57)
Пример 45. В схеме (рис. 3.38) вольтметр показал 100 В, амперметр 10 А; ro ==
314 рад/с. Определить М.
Реш е н и е . По формуле (3.57), М === 100/(314.10) === 0,0319 [н.
3.39. Трансформатор. Вносимое сопротивление. Трансформа
тор представляет собой статическое (т. е. не имеющее подвижных
.
Е .
Е
. . .....
.
1, 1 2 jU)I.. Z 11
U H IZ RZ
. .
[2 12 RI
й) 8)
Рис. 3.39
частей) устройство, служащее для преобразования числовоrо зна
чениЯ переменноrо во времени напряжения, а также для электри
ческоrо разделения цепей и преобразования числовых значений
сопротивлений. Передача энерrии из одной цепи в друrую произво
дится трансформатором блаrодаря явлению взаимоиндукции.
Трансформатор имеет две обмотки, находящиеся на общем cep
дечнике. Маrнитную проницаемость сердечника будем полаrать
постоянной. Параметры первичной обмотки RI и L 1 , вторичной R 2
И L 2 . Взаимная индуктивность между обмотками М (рис. 3.39, а).
Сопротивление наrрузки, подключенной к зажимам вторичной об
мотки, равно ZH' . .
Выберем положительны.е направления токов I1 и 12' Обозначим
напряжение на наrрузке ИИ' Запишем уравнения в комплексной
форме:
для первичной цепи
. . . .
IIRl + 11jwL 1 + 1 2 jwM == Е; (3.58)
для вторичной цепи
. . . .
1 2 R 2 + 1 2 jwL 2 + 11jwM + и И == О.
(3.59)
На рис. 3.39, 6 качественно построим векторную диаrрамму,
lJолаrая, что наrрузка Zи === zнеjqJи имеет ИНДУКТИВН IЙ характер. Ток
2 направим по оси + 1. Напряжени на наrрузке ин опережает ток.
12 на yro{l ЧJ и . Падение напряжения 1 2 R 2 совпадает по фазе с током 12'
Вектор 1 2 jwL 2 опережает вектор тока i 2 на 90 О:
В соответствии с уравнением (3.59) вектор IljwM проводим так,
Чтобы rеометрическая сумма падений нап'ряжений во вторичной
цепи равнялась нулю. . .
Вектор тока 11 отстает T вектора 11jwM на .900. Вектор IIRI
СОВпада.ет с вектором тока 11 по фазе, а вектор 11jwL 1 опережает
Вектор 1 на 900.
1 . .
Вектор 1 2 jwM опережает вектор 12 на OO. В оответст.вии с ypaB
lI.еНИем (3.58) rеометрическая сумма IIRI + IIjwL 1 + 1 2 jwM дает
ЕI .
123
и
А 12 +j
.
h LZ
.
[н а с +1
Нн .
[2
а) 5)
Рис. 3.40
.. . .
Подставим в (3.59) Ин ==/2 Z H == /2(R H + jXJ и решим уравнения
(3.58) и (3.59) относительно /1 :
ЕI
11 === (R 1 + R BH ) + j(X 1 Х ВН )'
rде R BII и Х ВН вносимые из вторичноrо контура в первичный актив
ное и реактивное сопротивления. При этом
ro 2 м 2
R вн === 2 2 ( R 2 + R 11 )
(R 2 + R II ) + (roL 2 + ХН)
ro 2 м 2
Х === ( ffiL 2 + Х ) .
вн (R 2 + R H )2 + (ooL 2 + Х н )2 и
Вносимые сопротивления представляют собои такие сопротив
JIения, которые следовало бы "внести" в первичную цепь (включить
последовательно с R 1 иХ 1 ), чтобы учесть влияние наrрузки вторич
ной цепи трансформатора на ток в ero первичной цепи (рис. 3.39, в).
Пример 46. Определить токи в схеме рис. 3.40, а и IIОСТРОИТЬ ТOIюrрафическую
диа'"рамму. совместив ее с векторной диаrраммой токов, ПОJlаrая roLl === Ом; ffiL2 ===
===3 Ом; roМ == 1 OM Rи == 4 Ом; Е === 100 В.
Реш е. н и " Со<;тавим уравнения 110 законам Кирхrофа. По первому закону
КИРXl'офа, 11 === 12 + 1".
При состаВJlении уравнений 110 второму закону КИРХI'офа обход контуров будем
совершать по часовой CTpeJ Ke. Тоrда.
IIjroL 1 + 1 2 jooM + IHR II == Е;
11jroM + 1 2 jroL 2 1 HRH == О .
в двух последних уравнениях заменим 1 н на /1 12:
" "
I. I (R H + jffiL 1 ) + 2(jroM R ,1 ) == Е 2 '
11(jroM R H ) + 1 2 (R H + jroL 2 ) == О.
Подставим числовые значения:
/1(4 + 2п + 1 2 и 4) === 100;
. .
/1(; 4) + 12(4 + 3j) == о.
[24
+j
+1
а
с
L , Н,
.
i, Н {
[2 d Н!
с
. .
Iz
j
а
.
Е
а)
Рис. 3.41
Решение уравнении дает: 1I === 17,7e j63° А; /2 == 14,6e j1l4° Л,
. . . j9°54'
/н /. /2 14,12e А.
На рис. 3.40, б изображены ТОПОI'рафическая диаrрамма и совмещенная с ней
векторная диаrрамма токов.
Пример 47. Построить топоrрафическую диаl'рамму для схемы (рис. 3.41, а),
совместив ее с векторной диаl"раммой токов. Две ветви схемы связаны маrнИ'I:НО.
Значения пара метров: roL) === 3 Ом; roL 2 === 4 Ом; юМ === 3 Ом; R 1 == R 2 === 2 Ом; Е ==
==100 В.
Реш е н и е. Обозначим токи в I:Н.'ТВЯХ через ,) и 12 и ток В неразвеТВJlенной
части схемы через i. Составим уравнения 110 второму закону Кирхrофа для co
rласноrо включения катуш к:
(.(R. + jfJ:!L.) + '2jюМ === Е. ;
II;roM + /2(R 2 + jroL 2 ) === Е .
. .
Совместное решение их дает: '\ == 16e j600A; '2 == 14,27е j860ЗО' А.
Тorюrрафическая диаrрамма, совмещенная с векторной диаrраммой токов, изо
бражена на рис. 3.41, б.
Рассмотрим вопрос о переносе мощности из одной (1етви в дpy
еую вС1Jедствие ма2НИТНОЙ связи. Если ветвь k с током / k И ветвь q с
Током / q связаны маrнитно и взаимная индуктивность между ветвя
ми М, то маrнитный поток из ветви k в ветвь q переносит комплекс
ную мощность, равную произведению ЭДС взаимоиндукции в q BeT
. *
ви =F jroM/ k на сопряженный комплекс тока q ветви, т. е. /ц :
. *
S == (=f jroM / k)/ q .
Знак минус соответствует соrласному, плюс встречному coe
ДИнению.
3.40. Резонанс в маrнитно связанных колебательных контурах. В 3.23 3.27
были Оllисаны резонансные ЯВJlения в lIараJlлельном, 1I0следоватеJlЬНОМ и lIоследо
ватеЛЬНО !lараллельном резонансных контурах. Рассмотрим резонанс в маl"НИТНО
связанных контурах, например в схеме рис. 3.42, а, часто применяемой в радиотех
НИКе. для упрощения ВЫКJlадок положим L\ === L 2 === L, С\ == С 2 === С; R\ === R 2 === R,
:то дает ВОзможность относитеJIЬНО леl'КО выявить основные закономерности резо
аНса в этой схеме.
[25
. I пюх l
[2 J
JilCt
(J)
а)
Rf С, '-,'*"М LJ'*"M
С ! IJ
2 Е.;,
L.z= "'"
В)
е)
Р....с. 3.42
Составим уравнения по второму закону Кирхrофа:
. j"
I,(R + jюL юС) 12jюМ == Е ;
". j
lljюМ + /2(R + jюL юС) == О.
Ток
/ jюМЕ
2 (R + i.. L c) + ..2м2
Напряжение на конденсаторе BToporo контура
. . 1.М 1
и С2 == 12 == E 2
jffiC С ( j )
R + jroL + ffi2M2
. . ыС
Пусть и С2 / Е == ku.тоrд
ku ==
R 2
1
("L ..IC) 2 + i2R("L ..IC) + ..2м2
(а)
Обозначим
2 1 R R м м ы 2
Ю О === L C ; L == rt l C === d; k == rt L === т; в == [ 2"
Ю О VL VL( 2 ЮО
С помощью параметра Е учитывается отклонение текущей частоты ю от резо
нансной юо. Рассмотрим работу схемы при относительно малых отклонениях ю от
юо' Положим ю == ыо ю. Тоrда
2 2 2
(J) (1)0 (1)
8==I ==
6)6 w 6
(ыо (1)«(1)0 + (1)
(1)2
О
2 ю
.
ыо
126
в свою очередь,
2
ЮО 2 (O
1 2 === В.
ffi ЮО
При М алых отклонениях (о от (00' вынеся в зна менателе выражения (а) за скобку
(J)2L 2 == ю L 2 и использовав указанные обозначения, получим
k
ku === .
k 2 + d 2 в 2 j2Bd
Модуль
I k I == k
u V (k 2 + d2 в 2 ) 2 + 4B 2 d 2 .
(б)
При фиксированных k и d можно исследоваТЬ I kul на экстремум в функции в
ДЛЯ двух случаев: k>d и k<d .
При k>d имеются три экс тремума : минимум при в === О, т. е. при ffi === ЮО, И два
максимум а при В12 === +V k 2 d 2 , которым соответствуют частоты
ЮI.2 == ffi oV l В 1 ,2 . '
Резонансная кривая при этом имеет два "rорба" (кривая J на рис. 3.42, 6 постро
ена при k === 3d). С увеличением k "rорбы" кривой раздвиrаются.
При k d имеется только один экстремум: максимум при в:;;:: О(кривая 2 на рис.
3.42. 6). По оси абсцисс иа это у икс ОТJIDЖСИО E/d . по оси ордииат
Ikиl/lkUmaxl ,rде IkUmaxl 1/(2d) С / 2R.
Ток первичноrо контура в функции от B/d при k>0,49d имеет двуrорбую форму.
3.41. « Развязывание» маrнитно-связанных цепей. Иноrда в
литературе можно встретить расчетный метод, который называют
развязыванием маrнитно связанных цепей (катушек). Метод co
стоит в том, что исходную схему с маrнитно связанными индуктив
...
ностями путем введения дополнительных индуктивностеи и измене
ния имевшихея преобразуют так, что маrнитная связь между всеми
индуктивностями в преобразованной схеме отсутствует.
Так как преобразования осуществляют на основе составленных
по законам Кирхrофа уравнений для исходной схемы, то вновь по
лученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквива
лентны, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет
возможности применения метода узловых потенциалов.
Составим, например, схему, ЭКВ!1вал нтну'Ю схеме рис. 3.33. С
той целью. в уравнении (в) заменим 13 на 1) 12 И В уравнении (r)
1) на 1) + 13 (см. 3.36). Замену одних токов друrими производим
Так, чтобы в каждое из получающихея после замены уравнений
ВХодили только те токи, которые текут в ветвях рассматриваемоrо
КОНтура.
В результате получим:
i,[R, to , + jto (L, + М)l+ i.(R2 to 2 + jtoM) [.;,; (в)
'2 (R 2 c jюМ) + '3 (R 2 + jюL з + jffiM) === Ез. (r)
ffi 2
127
Уравнениям (в) и (r) соответствует схема рис. 3.42, в. Сопостав
ляя схемы рис. 3.33 и рис. 3.42, 8, замечаем, что LI заменена на
(L 1 +М), L3 на (L з +М), а во вторую ветвь введена отрицатель
ная индуктивность L 2 == м (физически осуществить полученную
расчетным путем отрицательную индуктивность в цепи только с
линейными ЭJlементами невозможно). Таким образом, участок цe
пи, изображенный на рис. 3.42, с, в расчетном смысле может быть
заменен участком, показанным на рис. 3.42, д. ЕСJIИ катушки будут
включены встречно, то на рис. 3.42, д следует изменить знак перед
М. fIокажем, как можно осуществлять развязывание, не составляя
полных уравнений по второму закону Кирхrофа. В основу поло
жим неизменность потокосцепления каждоrо контура до и пОсле
развязывания. Пусть в схеме рис. 3.33 после развязывания Х
индуктивность первой ветви, у второй, z третьей. Условие He
изменности потокосцеПJlения левоrо контура: ilL} + i3M =::
== ilL] + (i l i 2 )M == i,x + i 2 y, откуда х == LI + м и у == М.
Условие неизменности потокосцепления правоrо контура
i1M + i3L3 == (i 2 + i з )М + i3L3 == i3z i 2 y, откуда у == м и
z == М + L3. Знак минус поставлен потому, что при обходе контура
по часовой стрелке перемещаемся встречно току i 2 .
3.42. Теорема о балансе активных и реактивных мощностей (теорема Лонже
вена). В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источни
ков ЭДС равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощ
ностей источников ЭДС сумме реактивных мощностей приемников энерJ'ИИ.
Пусть схема содержит f УЗJ10В, Ь ветвей и все веТАИ или часть их связаны друr с
друrом маrнитно. По первому закону Кирхrофа сумма токов в любом узле равна
п п
*
нулю. Например, для k узла, в котором сходится n ветвей, I' kp === О или II kp === О.
р== ] р=== 1
Умножим каждое слаrаемое этой суммы на потенциал k узла <Pk
п*
fJJkI' kp == о.
р==1
Просуммируем аналоrичные выражения ДJ1Я всех f узлов схемы:
'. п*
IЧJk 2..' kp === О.
k== 1 р== 1
В двойную сумму Jlюбой ток схемы, например ток, m q ' входит дважды и притоМ
. *
с разными знаками. Действительно, ПDИ k === т и р === q слаrаемое равно ({Jm' m q ' а прИ
. * ., *
k === q и р == т PiBHO .fJJ/ qm: Так как' qm == 'mq' то эти слаrа мые можно объеди-
нить и получить' mifJJ m qJq). ПОJl0ЖИМ, что какая то ветвь схемы, например ветВЬ
kq, маrнитно связана с ветвью sr так, что сопротивление взаимоиндукции междУ
ними Х M k (рис. 3.43).
q/sr
В соответствии с рис. 3.43
ДJ1Я ветви qk
q:> q fJJ k == Е kq I kqZ kq 1 sri х м kq I sr ;
128
i
>v t!ь . !. , ё к<
} XH.ffsr
>r ,
. 7 5 ,
Р....с. ЗАЗ
для ветви s r
Ч>r qJs == Esr /s,zsr /kqiXM k '
q/sr
Если принять / kq === / kqejqJkq; / sr == / srejqJsr ; И учесть
* .
1 :::=: 1 e JqJsr, то сумма двух слаrаемых
sr sr * ' *
/ k q / sri Х M k + / k q / sri Х M k == / k q / sri Х M k Х
q/sr q/sr q/sr
*
/ == / e jffJkq и
kq kq
X [ ej(qJkq qJsr) + е j(qJkq qJsr) ] == J '2X / / COS ( ,-.... ш ) .
. Mkq/sr kq sr 't'kq 't'sr
Таким образом, нопарное рассмотрение слаrаемых двойной суммы позволяет
перенисать ее н ниде
. *
Ek/kp == 'l}ipZkP + j21}kplsrXMkq/srcos(qJkq qJsr)' (3.60)
rде /kp квадрат модуля тока ветви kp; Zkp=== Rkp + jXkp,
Левая и нравая части формулы (3.60) представляют собой комплексы. PaBeHCT
во действительных частей комплексов
, *
Re I Е k/ kp === I! pR kp , (3.Ы)
равенство мнимых частей
. *
ImIEk/kP == I/ pXkP + 2Ilk/srХМkq/srСОS(Ч>kq Ч>sr)'
(3.62)
В этом выражении ХМ принято положительным при соrласном направлении
kq/sr
ПОТоков взаимоиндукции и самоиндукции ветвей kq и -"" и отрицательным при встреч
ном их направлении. Формулы (3,Ы) и (3.62) являются математической записью
сформулированной теоремы.
Пример 48. По данным примера 46 убедиться в справедливости теоремы о
баJlансе мощности применительно к схеме рис. 3.40, а.
Реш е н и е. Активная мощность, доставляемая источником ЭДС,
.*
ReE/ === Re 100 - 17,7e j63D === 1770 cos 630 === 800 Вт.
Д-ктивная мощность, потребляемая приемниками, / RH == [4, [22.4 == 800 Вт. Следо
88тельно, равенство активны *мощностей действительно выполнено, Реактивная
МUЩность источника ЭДС ImE! == 1770 sin 630 == [582 ВАр, Реактивная мощность
Приемников энерrии с учетом соrласноrо включения катушек
/TffiL 1 + / ыL2 + 21/ 2 ыMcos (Ч>ij 'Pi2) ==
=== 17,72.2 + 14,62.з + 2.17,7 -14,6 cos (б30 (440) === 1582 ВАр.
ТаКИМ образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется.
5 3(11<. 683
129
3.43. Теорема ТеJlлеrена. Пусть в некоторой схеме имеется п ветвей и узловая
матрица ее[А]. Матрицу столбец комплексно сопряженных токов ветвей обозначим
[l в ), а матрицу столбец комплексных напр жений на ветвях (включая ЭДС ветвей
и падение напряжения на них) обозначим [ив ).
В соответствии с законом сохранения энерrии
. * . * . *
и\,\ + и 2 '2 + .., + и п / п == О. (а)
Соотношение (а) можно записать так
*
1\
[U 1 U 2 ,.. и п )
*
=== [и в)Т [1 в) == о .
(6)
..
/п
. .
Но в соответствии с 2.35 [и в) == (А)Т (q», rде [q» матриuа столбеu потенциа
лов незаземленных узлов.
В свою очередь,
[UB]T===[q>]T[A].
(в)
Подставим (в) в (б):
. *
[q>]T[A][/ в] == О.
(r)
*
в формуле (r) произведение [А][I в] === о физически выражает собой систему
уравнений по первому закону Кирхrофа для незаземленных узлов схемы, составлен
ную для комплексно сопряженных токов ветвей.
Из (r) следует, что если в одной и той же схеме с неизменной [А] матрицей
создать два режим а, от личающихся сопротивлениями, и ЭДС ветвей и все величины,
относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму двумя, то
. * . *
[и ]T [1;] === [и ;)Т [/ ) . (д)
Соотношение (д), получившее название теоремы Теллеrена, справедливо и по
отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы у них были одинаковые
узловые [А ) матриuы.
3.44. Определение дуальной цепи. Две электрические цепи
называют дуальнымu, если закон изменения контурных токов в
одной из них подобен закону изменения узловых потенциалов в
друrой. В качестве простейшеrо примера на рис. 3.44 изображены
две дуальные цепи. .
Схема рис. 3.44, а состоит из источника ЭДС Е и последователь
но с ним включенных активноrо, индуктивноrо и eMKocTHoro ?лемен
тов (R, L, С). Схема рис. 3.44, 6 состоит из источника тока J э и трех
параллельных ветвей. Первая ветвь содержит активную проводи
мость gэ, вторая емкость С э , третья индуктивность L э .
Для Toro чтобы показать, KaKoro рода соответствие имеет местО
в дуальных цепях, составим для схемы рис. 3.44. а уравнение по
методу контурных токов:
. [. (3.63)
, (R + jffiL + c ) === Е ,
/00
[ЗО
R
l
с
а
!/а Са
а)
1)
Р....с. 3.44
а для схемы рис. 3.44, б по eToдy узловых потенциалов, обозна
чив потенциал точки а через (})а' положив равным нулю потенциал
BToporo узла:
1>1
. 1 -
<Ра (gэ + L + jwС э ) == J э .
J(J) э
(3.64 )
Если параметры схемы рис. 3.44, б gз, L э , С Э соrласовать с пара
метрами схемы рис. 3.44, а R, L, С таким образом, что
R/ gэ == L/С э == L з /С == k, (3.65)
rде k некоторое произвольное число (масштабный множитель
преобразования), Ом 2 , то
1 1 1 ( 3.66 )
gэ + L + jwС э === k ( R + c + j(J)L) .
JW э J(J)
с учетом равенства (3.66) перепишем уравнение (3.64) следую
щим образом:
. [.
'11 , <Ра (R + j(J)L + C ) === kJ э .
)M ' J(J)
. Из сопоставления уравнений (3.63) и (3.67) следует, что если ток
:lэ источника тока в CX Me рис. 3.44, б изменяется с той же уrло ой
q 'Wстотой, что И ЭДС Е в схеме рис. 3.44, а, и численно равен Е, а
параметры обеих схем соrласованы в соответствии с уравнением
.65), то при k == 10м2 закон изменения во времени потенциала
fPa в с;хеме рис. 3.44, б совпадает с законом изменения во времени
тока 1 в схеме рис. 3.44, а.
'i" Если свойства какой либо из схем изучены, то они полностью
M9 r YT быть перенесены на дуальную ей схему.
HT Между входным сопротивлением ZИСХ исходноrо двухполюсника
и Входной проводимостью У дуал дуальноrо ему двухполюсника суще
1'ByeT соотношение ZИСХ == k Уду ал'
Из (3.66) получаем соотношение между частотной характери
СТИКой чисто реактивноrо исходноrо двухполюсни ка Х ИСХ( ш) и час
тотной характеристикой дуальноrо ему тоже чисто реактивноrо
ДВухполюсника ЬдуаАш). Действительно, так как ZИСХ == jХисх(<.u), а
(3.67)
5"
131
R
L
.........../'v'
а)
gэ
.........c::::r
lэ
о)
Р....с. 3.45
У дуал === iЬдуал(ro), то ХисХ<ro) == kЬдуал(ro), т. е. частотная xapaKTe
ристика дуальноrо двухполюсника получается из исходной частот
ной характеристики путем опрокидывания ее относительно оси ro И
деления на масштабный множитель k.
Каждому элементу исходной схемы (схемы с источниками ЭДС
Е и параметрами R, L, С) отвечает свой Э.[lемент эквивалентной
дуальной схемы (схемы с источниками тока 1 э и параметрами gэ, С з ,
L э ).
3.45. Преобразование исходной схемы в дуальную. Каждому
независимому контуру исходной схемы, а также области, являю
щейся внешней по отношению к схеме, соответствует свой узел
дуальной схемы.
Если в какой либо ветви исходной схемы, являющейся смежной
между двумя контурами, имеется п последовательно включенных
элементов, то этой ветви соответствует п параллельных ветвей,
соединяющих узлы дуальной схемы, которые отвечают этим KOHTY
рам. .
Так, источнику ЭДС Е исхqдной схемы рис. 3.45, а отвеча т в
дуальной схеме .источник тока J э рис. 3.45, 6, а источнику тока J э ...........
источник ЭДС Е; активному сопротивлению R проводимость gэ;
индуктивности L емкость С э ; емкости С индуктивность L э . Для
преобразования исходной схемы в дуальную поступают следую
щим образом. Внутри каждоrо независимоrо контура (и во внешней
области) ставят точки и называют их. Эти точки являются узлами
эквивалентной дуальной схемы.
В схеме рис. 3.46, а три независимых контура, поэтому внутри
них ставим точки 1, 2, 3 (точка 1 соответствует первому контуру,
точка 2 второму, точка 3 третьему). Будем считать, что все
контурные токи направлены по часовой стрелке.
Во внешней относительно схемы области ставим точку 4. МежДУ
полученными четырьмя узлами проводим пунктирные линии
ветви дуальной схемы. Эти линии проходят через элементы исхоД
ной схемы (R, L, С, Е) и в дуальной схеме рис. 3.45, б включаем в них
соответствующие эквиваленты.
132
2
1
1)
Р....с.3.46
Узел 1 на схеме рис 3.46, а соединен с узлом 4 ОДНОЙ ПУНКТИРНОЙ
линией, так как в ветви, являющейся смежной между первым KOH
туром и внешней областью, включено лишь одно сопротивление
(активное сопротивление R 1 ). На схеме рис. 3.46,6 между узлом 1 и
узлом 4 включена активная проводимость gэl == R 1/ k.
Узлы 1 и 2 на схеме рис 3.46, а соединены двумя пунктирными
линиями (одна из них проходит через источник эдс Е 5 , друrая
через индуктивность L 5 ), поскольку в ветви, являющейся смежной
между к >нтурами 1 и 2, последовательно соединены два элемента
схемы (Е 5 и L 5 ). Узлы 1 и 2 на схеме рис. 3.46, 6 оединены двумя
ветвями. В одну из них включен источник тока J э5, а в .друrую
конденсатор емкостью С э5 === L5/ k (элементы дуальные Е5 и L 5 ).
Положительные направления токов источников тока в дуальной
схеме должны быть соrласованы с положительными направления
ми ЭДС источников ЭДС в ИСХОДНОЙ схеме. Если при обходе k KOH
тура по часовой стрелке направление какой то эдс этоrо контура
Совпадает с направлением обхода контура, то ток эквивалентноrо
ей Источника тока должен быть направлен к k узлу. Если ток по
некоторой ветви исходной схемы совпадает по направлению с Ha
правлением обхода k KoHTypa, то в дуальной схеме стрелку на COOT
ветствующей ветви направляют к k узлу. Последнее замечание сле
eT иметь в виду при составлении [А] и [Кr] матриц взаимно
дуальных схем (см. 2.31). При этом полаrаем, что в каждой ветви
ИСХодной схемы имеется по одному пассивному элементу.
Исходную и дуальную ей схемы называют взаимно обратными.
80nросы дпJl самопроверки
Ф 1. Какими тремя величинами характеризуют синусоидально изменяющуюся
т ункцию? 2. Каков смысл стрелки, указывающей положительное направление для
дока ветви и напряжения на элементе цепи? 3. Почему среднее значение синусои
д::rьноrо тока определяют за ПО.1шериода, а не за период? 4. Что понимают под
ИСТВУЮщим значением тока (напряжения)? 5. Поясните процесс прохождения
133
..-j
.
13
EJ
б)
а)
5)
Р....с. 3.47
синусоидаJlЬНОl'О тока через индуктивную катушку. 6. Поясните процесс прохождt'
ния синусоидаJlьноrо тока через конденсатор. 7. Изложите основы символичеСКОI о
метода расчета. На каком основании все методы расчета цепей постоянноrо тока
применимы к цепям синусоидальноrо тока? 8. Дайте определение векторной и топо
rрафической диаrраммам. 9. Какому моменту времени соответствует положение
векторов токов и напряжений на векторной диаrрамме? 10. Как определить напря
жение между двумя точками схемы по топоrрафической диаrрам ме? 11. Физически
интерпретируйте Р, Q, S. 12. Выразите комплексную мощность S через комплексы
напряжения и тока. 13. Запишите условие резонансноrо режима двухполюсника.
Постройте резонансные кривые для рис. 3.26, а при изменении ХеИ неизменных Е,
R, L, 00. 14. Что lIонимают под добротностью индуктивной катушки, конденсатора и
резонансноrо контура? Что физически характеризует каждая из них? 15.Дайте оп
ределение режиму резонанса токов и режиму резонанса напряжений. 16. Какие
двухполюсники называют реактивными? 17. Как по виду частотной характеристики
Х( 00) реактивноrо ДВУХПОJlюсника можно определить, какие и в каком количестве
будут возникать в нем резонансные режимы при изменении ы? 18. Какой должна
быть взята наrрузка, присоединяемая к активному ДВУХПОJIЮСНИКУ, чтобы в ней
выделялась максимальная мощность? 19. Дайте определение соrласующеrо и иде
альноrо трансформаторов. 20. Как в расчете учитывают наличие маrнитной связи
между индуктивными катушками? 21. Какой смысл имеют вносимые сопротивления
в трансформаторе? 22. Что понимают под развязыванием маrнитно связанных .ц.e
пей? С какой целью ero осуществляют? 23. Покажите на примере, как практически
осуществить развязывание цепей, положив в основу принцип неизменности потокос-
цепления каЖДОI'О контура до и после развязывания. 24. Запишите выраже-
ние для комплексной мощности, переносимой маrНИТНblМ путем из одной ве1 ви
в друrую, с ней маrнитно-связанную. 25. Сформулируйте теорему о балансе актИБ
ных и реактивных мощностей. 26. Сформулируйте алrоритм Ilреобр.азования, исХ6д
НQЙ схемы в дуальную. 27. Даны параметры схемы рис. 3.47, а: Е\===[ В; E 2 ===j Б;
Е з ==(1+j) В; R1==ooL\==1 Ом; R 2 == 1/ooC 2 ==2 Ом; R з == 1 Ом. Определите комп-
лексные значения токов в ветвях и показание ваттметра. Постройте топоrраФи-
ческую диаrрамму (считая зазеМ:'Iе ной т чку О), CO Me T B ее. с векторн.ойощ) r-
рам мой токов. (Ответ: '\ === [,О8е/\65 А; '2 === 0,632е/\21 40 А; /з==о,715е/ 1920 А;
\==0.83e iIl2°401 В. Показание ваттметра O,83.1,08cos( 97°40')== === 0,155 Вт. топо-
rрафическая диаrрамма изображена на рис. 3.47, 6). 28. Выведите соотношениЯ
между модулями и арrументами комплексных сопротивлениЙ
Z \ == z\e iQJ \, Z2 === z2 eiQJ2 , Z3 == zзеifPЗ, Z4 === Z4eifP4 мостовой схемы рис. 3.47, в, служа-
щей для измерения одноrо из сопротивлений по трем известным. Равновесие моста
фиксируется по нулевому ноказанию вольтметра. (Ответ: Z\/Z2 == Zз/ZJ и
(J)\ CJ!2=== (}Jз (}J4)' 29. Решите задачи 5.1, 5.5,5.9.5.11,5.[4,5.22, 5.34, 5.3 , 5.44,
5.54.
134
fl1a8a четвертая
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ. ЦЕПИ С УПРАВЛЯЕМЫМИ
исТОЧНИКАМИ. KPyrOBbIE ДИАrРАММЫ
t 4.1. Определение четыреХПОЛЮС!fика. Четырехполюснu эТо
обобщенное понятие электрическои цепи, рассматриваемои по OT
ношению к четырем ее зажимам.
Трансформатор, линию передачи энерrии, мостовую схему и
т. п. можно рассматривать как четырехполюсники.
Принято изображать четырехполюсник в виде прямоуrольника
с выходящими из Hero концами (полюсами) тп ирq(рис. 4.1, а). Если
четырехполюсник содержит источники электрической энерrии, то в
прямоуrольнике ставят букву А (активный); если буква А OTCYTCT
вует, то это значит, что четырехполюсник пассивный.
В общем, практически мало распространенном случае, рабочи
ми парами зажимов четырехполюсника MorYT быть три пары зажи
мов. Применительно к рис. 4.1, а это, например, пары тп, рт и
pq. А этом случае режим работы четырехполюсника определялся
бы тремя независимыми уравнениями, в которые входили бы три
независимых напряжения (что следует из BToporo закона Кирхrо
фа) между упомянутыми парами зажимов и тремя независимыми
токами (что следует из первоrо закона Кирхrофа). На практике
четырехполюсник обычно работает в режиме, коrда одна пара за
жимов, например тп, является входной, а друrая пара, например
pq, выходной. Четырехполюсник, у KOToporo рабочими являются
две пары зажимов, называют проходным. В данной rлаве paCCMaT
ривается теория проходноrо четырехполюсника. (Термин "проход
ной" далее упоминаться не БУ.fI.ет.) .
rll. Входной ток обозначаI?Т 11? входное напряжение и 1 ; ток и
f!Iапряжение на выходе 12 и и 2 .
1
Четырехполюсник является передаточным звеном между ис
ТОчником питания и наrрузкой. К входным зажимам тп, как прави
ло, присоединяют источник питания, к выходным зажимам pq
JА2rрузку.
,1 \ Предполаrается, что наrрузка четырехполюсника и напряже
Ние на входе при работе четырехполюсника в качестве связующеrо
Звена MorYT изменяться, но схема внутренних соединений четырех
I10люсника и сопротивления в ней остаются неизменными.
/jЮ
т i
1 Z
и, Й2
п
.
1 Р
а)
q
. . . .
т 1 , 12 Р т 1, 12 Р
и, Й2 Й, ti 2 J
п q. п q
tJ) )
Р....с.4.1
135
1111
щ.
.1{
4.2. Шесть форм записи уравнений четырехполю ника: Четы
реХПОЛЮСНI1К хар'актеризуется двумя напряжеНI;IЯМИ и 1 и и 2 И ДBy
мя токами /1 и 12' Любые две величины из четырех можно опреДе
лить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по Два
равно шести, то возможны следующие шесть фОрМ записи ypaBHe
ний пассивноrо четырехполюсника:
А форма
. . .
и 1 === А и 2 + B1 2 ;
. . .
/1 == си 2 + D1 2 ;
(4.1 )
(4.2)
У форма
. . .
1I === Y 11 и 1 + Y 12 U 2 ;
. . .
12 === У 21 и 1 + У 22 и 2 ;
(4.3)
(4.4 )
Z форма
. . .
и 1 == Zll/l + Z12 / 2;
. . .
и 2 === Z21 / 1 + Z22 / 2;
(4.5)
(4.6)
Н форма
. . .
и 1 === Hll/11 + H 12 U 2 ;
. . .
12 == Н 2 / 1 + н 22 и 2 ;
(4.7)
( 4.8)
fJ
G форма
. . .
1) == G 11 U 1 + G 12/2;
. . .
и 2 === а 21 и 1 + G 22 / 2 ;
(4.9)
(4.10)
В форма
. . .
и 2 == В 11 и 1 + B 1 il;
. . .
12 === В 21 и 1 + B 2 il'
(4.11 )
(4.12)
Обратим внимание на попарную инверсию y и Z форм, A И
В форм, H и G форм.
Исторически сложилось так, что для А-формы (ее будем считатЬ
основной) положительные направления для токов и напряжений
соответствуют рис. 4.1, а; для У., Z , Н., G -фор м рис. 4.1, 6, В фор
ме рис. 4.1, 8. .
. Обратим внимание. на то, что ток 12 на рис. 4.1, б напраВJlt'Н
противоположно. току 12 на рис. 4.1, а.
На p c. 4.1, в /1 и 12 изменили направление по сравнению с TOKa
ми /1 и 12 на рис. 4.1, а.
Рассмотрение уравнений начнем с А формы.
136
i т
Ё' сВ "
п
р
Bj ;
q
.
1
Е, сЕ1
[} "
. Е2.
q
с'
]
а)
6)
Р....с. 4.2
t 4.3. ВЫВОД уравнений вА форме. Комплексные коэффициен
тЫ А, В, С, D в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних
соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и ча
сТОТЫ. Для каждоrо четырехполюсника их можно определить расчет
HыM или опытным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих
условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением
AD ЕС == 1. (4.13)
Выведем уравнения (4.1.) и (4.2). G этой целью к зажимам тn
подключим источник ЭДС Е == U тn == U 1 , а к зажимам pq наrруз
ку Z2 (рис. 4.2, а). .,.
Напряжение на наrрузке и 2 == 1 2 Z 2 == U pq ' Соrласно теореме
компе»сацt.lи (см. 1.17), заменим наrрузку Z2 источником ЭДС С
ЭДС Е 2 == и 2 И направл нно.й встречно току 12 (рис. 4.2" б). апишем
выражения для токов /1 И 12' выразив их через ЭДС Е 1 ' Е 2 И BXOД
ные, и взаимные проводимости ветвей Уl1' У12, У21' У22:
.. .
/1 ==Е 1 Уll E2Y12;
(а)
(б)
.. .
12 == E 1 Y21 Е 2 У22'
. .
{Of Если токи /1 И /2 рассматривать как контурные, то ЭДС KOHTY
ров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в ypaB
нения, подобные уравнению (1.7), со знаком плюс, а ЭДС, не совпа
ljl.ающие с направлением соответствующих контуров токов, со
знаком MJj:HYC. .
's.: ЭДС Е 1 направлена соrласно С/ 1 , поэтому она вошла ypaBHe
ние (а) и (б) со знаком плюс; ЭДС Е 2 направлена встречно /2' поэто
1му она вошла в эти уравнения со знаком минус.
I Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных
Элементов (для взаимных четырехполюсников), соrласно принципу
заимности (см. 2.16), У12 == Y21' Из (б) найдем
'-j(
. . YZ2 . 1 ( в )
Еl == E2 + J2 '
У21 У21
9!
Подставив(в)в(а),получим
. YliY22 Yl2Y21 . Yll
11 == Е 2 + 12 '
У21 У21
(r)
137
Обозначим:
А == Y22/Y21' Е == I/У2" С == (УIIУ22 УI2У21)/У21' D == УII/У21' (д)
. . . .
в уравнениях (в) и (r) заменим ЕI на и 1 и Е 2 на и 2 и, восполь
зовавшись обозначением (д), получим уравнения в А форме
uzt
р
.
Е,
. . .
и 1 === А и 2 + 8/2;
. . .
/1 === еи 2 +DI 2 .
f/
Рис. 4.3
Проверим выполнение соотношения (4.13) для взаимноrо четы
рехпол юсник а:
AD 8е == УIlУ22 УIlУ22 У12У21
2 2
У21 У21
1.
Для невзаимноrо четырехполюсника YI2 =l=Y21 и Ап Ее ==
===У 12/ У21 =F 1.
. Ра смот.рим. соотношения, которь\е имеют место между
и 1 и 1I И и 2 И 12' если источник эдс ЕI присоединен к зажимам
pq, а наrрузка к зажимам тп (рис. 4.3).
Как и в предыдущем выводе, заменим наrрузку Z2 на источник
ЭДС с эдс Е 2 ,.наПр'авленный встречно току 12' и запишем выраже
ния для токов 11 И 12:
. . ,
12 === E 2 YIl + E 1 Y12;
. . .
11 :::::::: E2Y21 + Е IY22'
(е)
(ж)
Из (е) найдем
. . Ун . 1
El==E2 +/2 '
Yl2 У12
(3),
Подставим (з) в (ж):
1 Е . У"IУ22 YI2Y21 . У22
1 == 2 + 12 '
У12 Yl2
\t.
. . . .
Заменив Е на и 1 и Е 2 на и 2 и воспользовавшись обозначения
ми (д), перепишем две последние строчки следующим образом:
. . .
и 1 == D U 2 + в 12; ( 4.14)
i 1 == си 2 +Ai 2 . (4.l4a)
138
ТаКИМ образом, уравнения (4.1) и (4.2) характеризуют работу
четырехполюсника при питании со стороны зажимов тn и присое
динении наrрузки к зажимам pq, а уравнения (4.14) и (4.14а) при
ero питании со стороны зажимов pq и присоединении наrрузки к
зажимам тп.
Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене
местами источника питания и наrрузки токи в источнике питания и
наrрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике А === D.
Уравнения (4.1) и (4.2) иноrда записывают так:
. . .
и 1 ==А 11 и 2 +A 12 / 2 ; (4.1 а)
. . .
11 ===А 21 и 2 + А 2212' (4.1б)
rде А 11 === А; А 12 == В; А 21 === с; А 22 == D.
4.4. ОпредеJlение коэффициентов А-формы записи уравнений
четыреХПОJlюсника. Комплексные коэффициенты А, В, С, D, входя
щие в уравнения (4.1) и (4.2), можно определить по формулам (д),
если схема внутренних соединений четырехполюсника и ее пара
метры известны, либо используя входные сопротивления четырех
полюсника, полученные опытным или расчетным путем.
Комплексные входные сопротивления находят опытным путем
с ПОМОIЦЬЮ ваттметра, амперметра и вольтметра по схеме, подо
бной схеме рис. 3.24, а, с тем отличием, что вместо двухполюсника
зажимами тп и pq (в зависимости от определяемоrо входноrо co
противления) подключают испытуемый четырехполюсник.
Определим комплексное входное сопротивление четырехполюс
ника при трех различных режимах ero работы.
. 1. При питании со стороны зажимов тn и разомкнутой ветви pq
<(2 == О, индекс х).
и 1х .
z lх == 1=== Zlxe!(J)lx == А/С.
lx
(и)
2. При питании со стороны зажимов тп и коротком замыкании
ветви pq (02 == О, индекс к).
ZII( == U}I(/111( == zll(e/(J)11( == В/ D . (к)
3. При пита.нии со стороны зажимов pq и коротком замыкании
зажимов тп (и 2 ==0)
Z == z e ifP 21( == В / А
21( 21( .
(л)
Таким образом, для определения четырех неизвестных коэффи
циентов А, В, С, D взаимноrо четырехполюсника располаrаем че
ТЫРЬмя уравнениями: AD ВС === 1, Zlx == А/С; Zll( == В/ D; Z21( ==
:::::::.:8/ А. Составим разность
139
Z\K 8С 1 Zlx ZIK
1 Z Iх === 1 AD == AD или 11x
1
AD'
(М)
Имеем
Z2K/ZIK == D/A.
(Н)
Умножим (м) на (н):
(ZIX ZlK) Z2K
Z lx Z lк
1
2'
А
Отсюда
""\ I Z \ xZ \ к ( 4 .15 )
A V
12K(1\x ZIK)'
Формула (4.15)1 позволяет через Zlx' Z\K и Z2K определить коэф
фиuиент А; после этоrо коэффициент С находят из (и), В из (л) и
D из (к).
Коэффициенты А и D имеют нулевую размерность, коэффици
ент В имеет размерность Ом, коэффициент С См.
Заметим, что вместо формулы (4.15) коэффициент А может быть
определен по формуле (4.15а):
""\ I Z\x
А == V Z2x Х 2к . ( 4 .15 а)
-51°12'
Пример 49. Опытным путем было найдено, что 11x == 7,815e J Ом;
-66°23' -27°33'
11K == 12,5е 1 Ом; 12K == 3,33е 1 Ом. Определить коэффициенты А, 8, С, D
четырехполюсника.
Реш е н и е. Найдем 11x 1lK == 5 бj 12j 5 === 18j.
По формуле (4.15) подсчитаем:
f7 ,815e j5\0\2' . 12,5e j 6602з' j39 0 40' .
А V -27033' "900 1,28e ,
3,33е / . 18e /
C===Aj1 lx==1,28ej39°40' j7,815e j51021' 0,lббеi900 См;
"67<>
8 === AZ 2K == 4,2бе 1 Ом; D =:: 8j11K == 0,34.
Пример 50. К зажимам pq (см. рис. 4.1) четырехполюсника примера 49 п.одсо.е
динена наrрузка 12 == б + jб Ом; к зажимам тп источник эдс. Найти и 1 и /1'
еслиi 2 == 1 А.
Реш е н и е. По формуле (4.1), и 1 == Аи 2 + 812 == /2(A1 2 + В) == IX
Х (1,28e j39°40' .б-V2 е j45° + 4,2бе j67°) == 14,85e /79045' 8.
По формуле (4.2),
. . . .
1I == си 2 + D/ 2 == 1 2 (C1 2 + D) == 1,lб5е j\23° А.
18 формул х (4)5) и (4.15з) перед корнем взят знак плюс. Этому знаку COOTBeT
ствует отсчет и2 и 12 ПО рис. 4.2, а. Знак минус перед корнем отброшен, так как он
соответствует отсчету (;2 и i2 В противоположном направлении.
140
4.5. Т- и П-схемы замещения пассивноrо четыреХПОJlюсника.
ФуКЦИИ пассивноrо взаимноrо четырехполюсника как передаточ
иоrо звена между источником питания и наrрузкой может выпол
иять T cxeMa (схема звезды рис. 4.4, а) или эквивалентная ей П схе
ма треуrольника (рис. 4.4, 6).
Предполаrается, что частота (t) фиксирована. Три сопротивле
иия T или П схемы подсчитывают с учетом Toro, что схема замеще
иия должна обладать теми же коэффициентами А, В, С, D, что и
заменяемый ею четырехполюсник.
Задача эта однозначна, так как схема замещения содержит три
элемента, и четырехполюсник характеризуется тоже тремя пара
метрами (одна связь между А, В, С, D задана уравнением
AD BC===I)I. . .
Выразим l-!аПРЯЖt;ние и, и ток /1 T cxeMЫ (рис. 4.4, а) через
напряжение и 2 и ток 12:
c-l . . и 2 + 12 Z 2 . 1 . ( Z 2 )
/1 === /2 + Z === U2 Z + [2 1 + Z ;
333
и, и 2 + i 2 Z 2 + i,z, и+ + :) + i.(z, + Z2 + Z 2) . (4.17)
Сопоставим (4.16) с (4.1) и (4.17) с (4.2). При сопоставлении най
дем
А== 1 +(Zl/ZЗ); В==ZI+Z2+ Z 1 Z 2/ Z З; С==I/Z з , D==1+Z 2 /Z з . (4.18)
( 4.16)
Следовательно,
Z3 == ljC; )
Zl == (А l)jC;
Z2 === (D l)jC.
Формулы (4.18) и (4.19) позволяют определить сопротивления
lr, Z2 И Z3 (рис. 4.4, а) по коэффициентам четырехполюсника
( 4.19)
. 1, 12 i, 1ft. i1.
/, /2
т р т р
и,! [;2 Lir Z6' U 2
п '1 л '1
а) 6)
Рис. 4.4
,
у невзаимноrо четырехполюсника YI2=#=Y21, поэтому для Hero схема замещения
образована не тремя, а четырьмя элементами (см., например, схему замещения
транзистора в 15.35).
141
А, С, п. Аналоrичные выкладки для П схемы (рис. 4.4, 6) дают:
Z4 Z4 + Z5 + Z6 Z4
А :::::: 1 + . в == Z . С == . D == + l'
z · 4' Z Z ' Z ·
5 5 6 5
Z4 == В;
Z5 == B/(D 1);
Zб == В/(А 1).
( 4.20)
(4.21 )
( 4.22)
( 4.23 )
Если четырехполюсник симметричный, то А == D и в T cxeMe
замещения ZI == Z2' а в П схеме Z5 == Z6'
4.6. ОпредеJlение коэффициентов Y , Z , o и Н форм записи
уравнений четыреХПОJlюсника. Комплексные коэффициенты
Y11' У. 2 , У 2 l'. У 22.В ураВI:Iениях (4.3) (4..4) найдем следующим 9бра
зgм: Ун === 1,/ и. при и 2 ::::::: о; У. 2 == 1,/ и 2 при и 1 == о; У 22 == 12/ и 2 при
и. == о. Обозначим YII Y I\' У22 У 22' но YI2== YI2 И Y21== Y21'
Коэффициеl!ТЬ! ZII' 12' Z21' Z22 В ура нения.х (4.5) и (4.6).опреде
.l)им так: Z 11 === U1/1 1 при 12 == о; Z '2 == U 2 /1, при 12 == о; Z22 == U 2 /1 2 при
11 == о.
Аналоrичным образом опредеЛИl\f крэФФиu.иенты и друrих форм
аписи, наПР!lМ Р Н формы: НН == U1/1 1 при и 2 ===0; Н 22 ===/2/U2ПРИ
1I == о; Н 21 == /2/1. при и 2 == о. Обратим внимание на то, что для Вза
имноrо четырехполюсника У. 2 == У 21 , ZI2 == Z21' но
H I2 == Н21' 012 == 021' а B I2 не равно В 21 даже по модулю.
Пример 51. Вывести формулы Z параметров для Т cxeMЫ замещения четырех
полюсника рис. 4.4, а.
Реш е н и е. ДJIЯ Т cxeMЫ замещения
Z 11 == U 1 / IIприJ 2 == О:::::: Z2 + ZЗ; z 12:::::: Z21 == и 2 / IIIlриJ 2 == О == ZЗ;
Z22 == и 2 / '2приi, == о == Z2 + ZЗ,
4.7. ОпредеJlение коэффициентов одной формы уравнений че..
рез коэффициенты друrой формы. На практике возникает потреб
ность в переходе от одной формы записи уравнений к друrой.
Для Toro чтобы коэффициенты одной формы записи найти через
коэффициенты друrой формы, необходимо выразить какие либо
две одинаковые вел чин.ы в этих двух формах и сопоставить их, учтя
направления токов 11 и /2 В них.
Для А формы
. . А . I
и 1 == II C ' 2С '
. 1 . D
и 2 == /I C 12(5;
142
(о)
(п)
\
для формы
.. .
и 1 == IIZll + 1 2 Z 12 ,
(р)
(с)
.. .
и 2 == II Z 21 + 1 2 Z 22 .
Сопоставляя правые част.и (о) и (р) и учитывая, что
выражении (р) равен току 12 В выражении (о), получим
ZII === А/С, ZI2 == I/С.
.
ток 12 В
ИЗ (п) и (с)
Z21 == l/С, Z22 == D/C.
При переходе от коэффициентов А формы к коэффициентам
друrих форм найдем:
У II == D/B. Y 12 == У 21 == I/В. У 22 ===А/В;
НН == В/ D, H 12 == Н 21 == 1/ D, Н 22 == С/ D;
ОН == С/А, 012 == 021 == 1/ А, 022 == В/А;
Bll :=:: D, В 12 == В, B 21 == С, В 22 ==А.
Пример 52. Определить У параметры четырехполюсника ч рез .? параметры.
Реш е н и е. Решим уравнения (4.5) и (4.6) относительно 1, и 12, сопоставим
полученные уравнения с уравнениями (4.3) и (4.4). В результате получим
Y 11 == Z22/Az; У 22 === Zll/Az; Y 12 == Y 21 == Z'2/Az; Az === ZII Z 22 Z 2'
ДЛЯ Т cxeMЫ (рис. 4.4. а)
Az == (Z 1 + ZЗ)(Z2 + ZЗ) Z === Z I Z 2 + Z lZЗ + Z2 Z З;
Y 11 == (Z2 + Zз)/А z ; У 22 == (Z, + Zз)/А z ; Y I2 == Z3/Az.
в табл. 4.1 да 'lЫ соотношения для перехода от одной формы
уравнений к любой друrой.
т а б л и ц а 4.1
От матрицы
К. матрице [ ]
[Z] [ У] [Н] [О]
У 22 Y12 Ан Н'2 1 °12 А А
с с
[Z] Ау Ау Н 22 Н 22 °11 G 11
r21 Y 11 H21 1 °21 Аа 1 D
с с
Ау Ау Н 22 Н 22 ОН °'1
143
17 д
I
б 41
r ро олженuе та л.
Z22 Z12 1 H12 a 012 D
( У] в в
z l1 z Н 11 H 11 022 022
Z21 Zll Н 21 H 021 1 1 А
в в
z z НН Н 11 022 022
l1 z Z12 1 Y12 022 012 В l1
D D
Z22 Z22 У 11 У 11 !!..а !!..а
(Н] Z21 1 У 21 Ду 021 011 1 С
D D
Z22 Z22 У 11 УН Да Да
1 Z12 !!..у Y I2 Н 22 H12 С Д
А А
III Zll У 22 У 22 ДН !!..Н
[О] Z21 ДZ Y21 1 H21 Н 11 l1 В
А А
ZII Zll У 22 У 22 l1 H l1 H
Zl1 z Y22 I ДH НlI 1 022
[ ]
Z21 Z21 У 21 У 21 Н 21 Н 21 021 021
1 Z22 l1 YII H22 l 011 l1a
у
Z21 Z21 У 21 У 21 Н 21 Н 21 021 021
4.8. Применение различных форм записи уравнений четырех-
ПОJlюсника. Соединения четыреХПОJlЮСНИКОВ. УСJlОВИЯ реrулярно-
сти. Ту или иную форму записи уравнений применяют, исходя из
соображений удобства. Так, в теории синтеза цепей (см. 10.5
10.8) используют обычно y или Z форму записи. Параметры TpaH
зисторов для малых переменных состаВJIЯЮЩИХ (см. 15.35) дают в
y , или H , или Z форме, так как в этих формах их удобнее опреде
лить опытным путем.
При нахождении связи между входными и выходными величи
нами различным образом соединенных четырехполюсников (при
определении коэффициентов эквивалентноrо четырехполюсника)
используют Z , H , o , y и А формы
При последовательно последовательном соединении четырехполюс
ников а и Ь(рис. 4.5, а) применяют Z форму, при параллельно параллель
ном соединении (рис. 4.5, б) У форму, при последовательно параллель
ном (рис. 4.5, в) Н Форму, при параллельно последовательном (рис. 4.5.
С?) G форму, при каскадном (рис. 4.5, д) А форму.
а)
z}
}
Р....с.4.5
144
r ' r "'"
I [' [' I I [' I
I I
I , Z' 2 1 I 2
I J I I I
I I I I
L .J
r .......... .......... ............ ..
I 2 I
I Z, Z2 I
I ZJ I I
I I I
L
а)
L ....J
oj
Р....с.4.6
Форму записи уравнений выбирают, ИСХОДЯ из удобств получения
матрИЦЫ cocTaBHoro четыреХПОJlюсника. Так, Z матрица последова
тельно последовательно соединенных четырехполюсников равна CYM
ме Z матриц этих четырехполюсников, так как напряжение на входе
(выходе) эквивалентноrо четырехполюсника равно сумме наПРЯ}l{е
ний на входе (выходе) составляющих ero четырехполюсников, а токи
соответственно на входе(выходе)у последовательно последовательно
соединенных четырехполюсников одинаковы. У M атрица параллель
но параллельно соединенных четырехполюсников равна сум ме их y
матриц, так как ток на входе (выходе) эквивалентноrо четырехпол юс
ника равен сумме токов на входе (выходе) параллельно параллельно
соединенных четырехполюсников, а напряжения на входе (выходе) у
них одинаковы. Аналоrично и в отношении Н матрицы ПрИ последова
тельно параллельном и G матрицы при параллельно последователь
ном соединениях четырехполюсников. При каскадном соединении ток
и напряжение на входе первоrо четырехполюсника равны входным
току и напряжению BToporo четырехполюсника, поэтому А матрица
двух каскадно соединенных четырехполюсников а и Ь равна произве
дению А матриц этих четырехполюсников:
[ Аа Ва ] [ Аь Вь ] === [ АаАь + ВаСЬ АаВЬ + BuDb 1
Са Da С Ь Db СаАь + DaCb СаВЬ + DaDbj.
При параллельно параллеJlЬНОМ, последовательно последова
тельном, параллельно последовательном и последовательно па
раллельном соединениях необходимо соблюдать условие ре2УЛЯр
Ности соединения четырехполюсников через оба первичных
заЖИма каждоrо четырехполюсника должны течь равные по значе
Нию и противоположные по направлению токи то же и по отноше
Нию к вторичным зажимам каждоrо четырехполюсника.
При ре2УЛЯрНОМ соединении матрица каждоrо четырехполюс
Ника должна оставаться такой же, какой она была до соединения
четырехполюсников.
пример нарушения условия реrулярности при последователь
НО пос.педовательном соединении показан на рис. 4.6, а. Так соеди
145
т р т р т
ZC! А 4=0 Zcz ZCf А =1=0 ZCZ Zc
...............
п q п q п
а) OJ
Р....с. 4.7
р
А==О
Zc
6)
q
нять четырехполюсники I и 2 нельзя, поскольку входные зажимы
BToporo четырехполюсника оказались накоротко соединенными с
ero выходными зажимами.
Реrулярное соединение тех же четырехполюсников показано на
рис. 4.6, б перекрешены обе пары концов BToporo четырехполюс
ника (при перекрещивании обеих пар концов все элементы любой
матрицы остаются неизменными).
4.9. Характеристические и повторные СОПРОТИВJlения четырех-
полюсников. В случае несимметричноrо четырехполюсника (A=i=D)
рассматривают два характеристических сопротивления ZCI и ZC2'
rде Zcl входное сопротивление со стороны зажимов тп, коrда
наrрузка подключена к зажимам pq и равна Zc2 (рис. 4.7, а):
(;1 А (;2 + Bi 2 AZ c2 + в
ZI=="'""';""'"""'=== ' . == .
с 11 си 2 + DI 2 CZ c2 + D'
( 4.24 )
Zc2 входное сопротивление со стороны зажимов pq, коrда наrруз
ка ZCI подключена к зажимам тп (рис. 4.7, б); при этом коэффици
енты А и D меняются местами:
D(;2 + Bi 2 DZ C1 + в
Z2== ' . ==
с си 2 + AI 2 CZcl + А.
(4.25 )
Совместно решая (4.24) и (4.25), найдем
ZCl == \j AB/CD; Zc2 ==: \jDB/CA.
Учитывая, что А / С === Z lх' В / D == Z IK' В/А ==: Z2K' D / С ==: Z2x'
получим
01
( 4.26)
Zcl === \j Z lX Z lк; Zc2 == \j Z2X Z 2K'
( 4.27)
Если четыр ехпо люсник симметричен (А == D), то
Z lс ==: Zc2 == Zc ==: -'J В/С, rде Zc равно входному сопротивлению четы
рехполюсника, коrда он наrружен на Zc (рис. 4.7, в).
В теории цепей иноrда пользуются понятием пОВТОРНО20 coпpo
тuвленuя четырехполюснuка ZПОВ' Под ним понимают входное co
противление со стороны зажимов тп, если к выходным зажимам pq
присоединено ZnOB' Из формулы (4.24), заменив в ней ZCl и Zc2 на
146
Z пол у чим
пов'
AZ nOB + в
Zпов === CZ + О"
пов
(4.24а)
РеШИВ (4.24а) относительно Z/IOB' найдем
\j 2
А D ( А D ) В
ZПUВ=== 2С + 2С + с '
Если четырехполюсник симметричный (А == D), то ZnoB == 1/ в/с,
т. е. оно совпадает с характеристическим сопротивлением Zc. Co
противление ZnOB называют повторным потому, что оно повторяет
сопротивление наrрузки на выходе четырехполюсника.
4.10. Постоянная передача и единицы измерения затухания.
Для симметричноrо четырехполюсника, наrруженноrо на Zc,
и, === А и 2 + Bi 2 === и 2 (А + -УВ С) ; i 1 === i 2 (A + VBC) .
Комплексное число А + VBC полаrают равным е g, rде
g ::=: а + jb === ln(A + )/ВС) ----:-- постоянная передачи. .
Из формул и 1 == .U 2 e a e jb ; 1, . 1 2 e a e jb следует, что МОДУ.JIЬ и, В е а
РflЗ больше мод.уля и 2 , а модул.ь 1, в е а раз бо.льше модуля 12' По фазе
и, опережает и 2 на уrол Ь, ток 1) опережает /2 также на уrол Ь.
Величина а характеризует затухание четырехполюсника. Еди
ницами затухания являются неперы (Нп) и белы (Б). Неперы опре
делены на основе натуральных лоrарифмов, а белы на основе
десятичных. Затухание в неперах
. *
1 S, 1 U,/,
анп === 2 In --==---- == 2 In .
S 2 и 2/2
При соrласоваlIнОЙ наrрузке
*
. и,
UI === ( ) 2 и
и 2 и 2
и 2У
с
Если U 1 / и 2 === е, то затухание равно 1 Нп. Затухание в белах
а Б === ln(5,/5 2 ) === ln( U 1 / и 2 )2 === 21n I и,/ и 2 1,
.*
U1/,
===
и 2 / 2
[ ( и, ) 2 и,
анн == 2 1п и 2 == ln и 2 "
а в децибелах а дБ === 201n( UJ и 2 ).
Если и, больше и 2 в 10 раз, то затухание равно 20 дБ, если
и,/ и 2 === 100, то а === 40 дБ.
Выразим неперы через белы. Если 15,/52 I == 10, то
а н « =:::: 0,51п 10 == 1,15; а Б === IglO === 1. Таким образом, 1 Б == 1,15 Нп,
а 1 Н" === 0,868 Б === 8,68 дБ.
147
4.11. Уравнения четырехполюсника, записанные через rипер-
БОJlические функции. Для сим метричноrо четырехполюсника А
форму уравнений (4.1) и (4.2) записывают иноrда через rиперболи
ческие функции от aprYMeHTa g, полаrая А === D == chg,
В === Zcshg, С === shg/ Zс.l!Ри это AD l!C == ch 2 g sh 2 g === 1 и
и, === chgU 2 + ZCShg/2; }
. shg .. (4.28)
1, === ти2 + chg/ 2 .
с
Убедимся в справедливости замены А на chg:
е g === А + -увс е g \jВC' ch g === e g + е g ) === А
, А + ВС' 2' .
Фпрму записи через rиперболичеСКIJР функции используют, Ha
пример, в теории фильтров (см. rл. 5).
Для несимметричноrо четырехполюсника уравнения через rиперболические
функции запишем след ющим образом: . .
и. === VZc./Zc 2chrU2 + VZclZc ;shr/2;
i l v 1 =shrU 2 + V Z c2/ Z C, chri 2 ,
Z с I Z с2
rде r мера передачи; chr === -YAD; shI' === {вс.
Если несимметричный взаимный четырехполюсник наrружен на ZC2' то
й 2 === i 2 z c2 ; U 1 == U2{ ./zc2( chr + shr), и il===i2 VZc27 z (chf+shr). Имея в виду,
что e"==chf+shf, получим
.... ....
и. == и 2 V ./Zc; е 1'; 1. == 12 2/Zc е 1'.
Мера передачи r == а' + jb' === In ( -VAD + {вс) . ЕСЛIt четы.Q ПОЛЮСНИК СИМ
метричный, то ZCI == Zc2. D === А, f === g . Так как 1[icl/ Zc2 === УА/ D , то передача по
напряжению для несимм тричноrо взаимноrо четырехполюсника, наrруженноrо на
и. А ,r ,r
Zc2, составляет Iп (;2 === Iп D + (v AD + у вс ) и передача по току
i. D ,r; Ji
lп i2 === Iп А + Iп (v AD + у вс ).
4.12. Конвертор и инвертор СОПрОТИВJlения. Если у невзаимноrо
четырехполюсникаВ === С == Оионнаrруженназажимахрqнасопро
тивление Zи, то входное сопротивление со стороны зажимов тп
AZ H + в
ZBX == CZ H + D == ZH/kp
rде k,===D / А, т. е. четырехполюсник преобразует (конвертирует)
сопротивление ZH в сопроtивление ZH/k. Коэффициент k. называюr
коэффициентом конвертирования. Если А и D имеют одинаКОВblе
знаки, то ZBX имеет тот же знак, что и ZH (конвертор положительноrО
сопротивления), если разные, то знак ZBX противоположен знаку ZH
(конвертор отрицательноrо сопротивления).
148
.
2 1 [1 [2 2 11 IZ 11 1?
lи, 4 u, . .
Gl4 lи Е
GU 2
J
6) 8) z)
Р....с. 4.8
. .. .
Если у конвертора А == 1, то k, == п; и, == и 2 ; 1, == k/ 2 - В этом
случае конвертор называют идеальным конвертором с прео6разо
ванием тока (при неизменном напряжении.). . . .
Если у конвертора D == 1, то k, == 1/ А; и 1 == U 2 /k,; 1, == 12' Такой
конвертор называют идеальным конвертором с прео6разованием
напряжения.
у конвертора есть H и G матрицы, но отсутствуют Z и Y MaT
рицы.
Если у невзаимноrо четырехполюсника А == D == О, то
ZBX === (B/C)/(ZH) и четырехполюсник наЗbIвают инвертором coпpo
тивления, а В/С == k 2 коэффициентом инвертирования.
Если В и С имеют одинаковые знаки, то ZRX == 1/ ZH (инвертор
положительноrо сопротивления), если знаки у В и С разные, то
ZBX== 1/ ZH (инвертор отрицательноrо сопротивления).
у идеальноrо инвертора входное сопротивление не зависит от
Toro, к каким зажимам (pq или тп) подключена наrрузка.
у инвертора есть Y и Z матрицы, но отсутствуют H и G матри
ЦЫ.
'{
4.13. rиратор. Тиратором называют инвертор положительноrо
сопротивления, имеющий следующую У матрицу:
(YI [ + + ],
rде G проводимость rиратора. Для иде.ал?ноrо rир тора G
вещественное число. Для rиратора /1 == ои 2 ; /2 == ои,.
fиратор не поr лощает энерrию. Он преобрэзует напряжение в
Ток. Если на выходе rиратора включено сопротивление ZH' то ero
ВХодное сопротивление ZBX == 1/(G 2 Z H ).
I Представим rиратор как трехполюсник (зажим 3 на схеме рис.
4.8, а общий для входной и выходной цепей). Ero У матрица остается
неИзменной, если, оставив rиратор неподвижным, в направлении
Стрелки последовательно изменять нумерацию ero зажимов. rира
тор Является невзаимным (необратимым ) четырехполюсником, так
КаК для Hero Y 12 =F Y 21 . В настоящее время rиратор чаще обозначают
в СООТветствии с рис. 4.8, 6.
149
" J
.
t Jf>, . з
8
. 8з
Z 8<PZ E=k У>, и. ,н
2 "
",
. J
О а о о
а) б) д) е) д) е)
Рис. 4.9
Практически осуществить rиратор можно, например, по схеме
рис. 4.8, 8, в KOTOpO(i ИСПО.[Iьзованы два управляемых напряжением
источника тока: G и 2 И G U 1 или по схеме рис. 4.8, 2 с двумя управля
емыми источниками напряжения. Воспользовавшись табл. 4.1..,
можно перейти от У параметров rиратора к ero Z и А параметрам:'
о .l [ 1 ]
G o
[Z] === 1 ;[А] === а.
о G О
G
f 4.14. Операционный усилитель. Операционный усилитель (ОУ)
это усилитель с очень большим входным сопротивлением, очень
малым выходным сопротивлением и очень БОЛЫllИМ коэффициен
том усиления k (теоретически k , практически k lО4---;--IО5 ). ОУ
выполняют по интеrральной технолоrии в виде отдельноrо кристал
ла, поэтому ero можно считать самостоятельным активным элемен
том схем, подобно транзистору. Коэффициент усиления
k === ko/( 1 +jw't). Знак минус обусловлен тем, что вход 1 является
инвертирующим. Постоянная времени 't учитывает инерционные
свойства ОУ.
ОУ имеет обычно восемь выводов: два входных или управляю
щих, один выходной (3), один заземленный (О), два вывода для
источника питания и два для реrулировки. Четыре последних BЫBO
да на схемах не покззывают. На электрических схемах ОУ изобра
жают в виде треуrольника с тремя выводами l J 2 J 3 (рис. 4.9, а),
потенциалы которых относительно заземленной точки COOTBeTCT
венно q)l' чJ2' <Рз (рис. 4.9, 6). При ВКЛI<?чеНJ;IИ О.У по дифференциаль
ной схеме ero входное напряжение UBx===qJl <P2. При использовании
одноrо входа и заземлении BToporo VBX== l' Выходное напряжение
ОУ равно р?знос!и пот нциалов между точкой 3 и заземленной
точкой о: Uвых qJ з О qJ з, ОНО В k раз больше входноrо, т. е.
k( 1 q)2) qJ з или kqJl q; з соответственно. Значение коэффициента
усиления k записывают рядом с ОУ либо внутри ero. Знание число
Boro значения при анализе схем с ОУ не всеrда требуется, важНО,
что k велико и стремится к бесконечности. Так как k...-.+oo, а и ВыХ ...........
150
величина конечная, то в зависимости от способов включения
( l 2)---+O или qJ1---+О.
Таким образом, входные напряжения ОУ можно полаrать в пер
воМ приближении равными нулю. Для облеrчения анализа схем,
содержащих ОУ, последние в ряде случаев будем заменять их pac
четными эквивалентами. Выходную цепь ОУ будем заменять BeT
вью (рис. 4.9, в), присоединенной между выходной точкой 3 и зазем
л.еннqй ТОЧКОЙ О и содержащей источник ЭДС E==k( l 2) или
E==kqJl' соответственно, и последовательно с ним включенным co
.противлением порядка десятков или сотен ом (точное числовое зна
чение ero обычно не задано.), по которой проходит некоторый ток 1
(рис. 4.9, в). Значение тока J в расчетах, как правило, не требуется,
а если и потребуется, то всеrда может быть определено по законам
Кирхrофа. Входное сопротивление ОУ в первом приближении пола
rают стремящимся к бесконечности.
После замены ВХОДНОЙ и ВЫХОДНОЙ цепей ОУ на расчетные экви
валенты схему рассчитывают по законам Кирхrофа, имея в виду в
первом приближении, что входные напряжения и входные токи всех
ОУ равны нулю.
Расчет схем с операционными усилителями, коrда необходимо
учесть конечное (не бесконечное) значение k и конечное значение
входных сопротивлений, производят обычно методом узловых по
тенциалов.
Сделаем еще два замечания относительно ОУ. Зависимость
и ВЫХ f {ugJ дЛЯ ОУ линейна только до HeKoToporo максимальноrо
значения иBыx 10...;..-15 В, после чеrо наступает насыщение. В даль
нейшем будем полаrать, что работа схем с ОУ происходит на линей
ном участке характеристики ОУ (рис. 4.9, е). Заметим еще, что
скорость изменения выходноrо Напряжения du BbIx / dt у ОУ оrрани
чена величиной порядка 106 В/с.
Рассмотрим три примера.
Сначала рассмотрим схему рис. 4.9, z, являющуюся схемой источника напряже
ния, управляемOI'О напряжением. Резисторы R 1 и R 2 МOI'ут реrулироваться. Через
резистор R 2 осуществляется обратная связь. Расчетная схема изображена на рис.
4.9, д. Так как второй вход схемы рис. 4.9, z заземлен (qJ2 == О), а напряжение на входе
ау ДОлжно быть равно нулю, то qJl O.
Потенциал на входе схемы еР1' == iR]. Потенциал на выходе ОУ з == iR2,
. .,R2
отсюда qJЗ == qJl Rl ' Так как R O, то выходное сопротивление схемы стремится к
НУлю, т. е. действительно схема рис. 4.9, z может выполнять функции источника
напряжения (внутреннее сопротивление KOToporo стремится к нулю), управляемOI'О
наПРяжением.
Рассмотрим схему преобразователя сопротивлений на ОУ, изображенную на
РИс. 4.10, а. В схеме имеется два ОУ и пять сопротивлений Zl Z5. Покажем, что
ВХОДное Сопротивление схемы относительно зажимов АВ дЛЯ малых переменных
Оlставляющих ZAB == (Z lZЗZ5)/Z2Z4. Обозначим токи в ветвях в соответствии с рис.
. О, а. На рис. 4.10,6 изображена схема, в которой выходные цепи ОУ заменены их
151
А
[,
[7
А
1,
а
2J
[7
l,
16
[6
R
Z*
. Z'f
.i, + i6 + i7
4
в
8
о)
5}
Р....с.4.10
расчетными эквивалентами. Для схемы рис. 4.10, 6 приравняем к нулю входные
напряжения ОУ:
U вх 1 == <Р а Q) с === 11 Z 1 + (/1 + 1 6 )Z 2 == О,
U вх2 == <Р с <Ре == (11 + 1 6 )Z 3 + (11 + 16 + 17)Z 4 === О.
(а)
(б)
Из ( а )
. ZI
'1 + 16 === 11 Т'
2
(в)
. . . . ZIZЗ
з (б) с. учето (в) олуч м 11. + 16 + 1: === 11 Z2Z4 ' Входное напряжение схемы
иА.В === и ас == и се + (/1 + 16 + 17)Z5. Но и ас + и се === О, поэтому
. . .. . Z,Z3 Z 5 и АВ ZI Z З Z 5
U АВ === (/1 + 16 + 1 7 )Z 5 === 11 Z Z ; Z вхАВ == 1 === Z Z .
2 4 1 2 4
Применение ОУ дЛЯ реализации rиратора иллюстрирует рис. 4.11. В этой схеме
три ОУ и четыре резистора. Проводимости резисторов R, и R 2 выполняют функции
проводимостей rиратора. Обозначим потенциа.rIЫ УЗJIOВ и токи ветвей в соответствии
с рис. 4.11. Учтем, что напряжение и токи на входе каждоrо ОУ стремятся к нулю, а
точки, обознаЧeI;шые qуквой О, и точка С практич ски им ют нулеврй потенциал. В
этой cxe e ток '4 . U B lxI R, потенциал точки 1 <PI === 14R == U 8Ь1Х' Потенциал
точки С ЧJ с === О == ЧJl 13R2'
Отсюда i3 === (Pl/R2 == U Bblx I.R 2 - Hq 1, === 1з, поэтому
11 === U BbI xlR 2 . (r)
Потенциал точки А <РА === -----: /2R,. Входное н пряжение
и вх === c A == 1 2 R 1 .
(д)
Имея в виду, что для У формы записи уравнений четырех полюс ника ток 12 должен
иметь направление. противоположное указанному на рис. 4.11, установим, что ypaB
152
с
11
I x Z
. н
.
R 1 IZ
Р....с. 4.11
нение (r) и (д) являются уравнением rиратора. Недостатком схемы рис. 4.11 является
то, что источник сиrнала и наrрузка Zи непосредственно не соединены с заземленной
точкой.
4.15. УпраВJlяемые источники напряжения (тока). Управляе
мый источник напряжения (тока) представляет собой невзаимный
четырехполюсник (трехполюсник), выходное напряжение (ток) KO
Toporo пропорционально входному напряжению (току) этоrо четы
рехполюсника, а сам он обладает свойством источника напряжения
(ЭДС) (напряжение на ero зажимах не зависит от протекающеrо
через Hero тока) или источника тока (ero ток не зависит от наrрузки).
Управляемый источник обозначают часто в виде ромба, в котором
указана стрелка (если это источник напряжения), либо двойная
стрелка (если это источник тока). Рядом записывают управляю
щую величину, умноженную на некоторый масштабный множи
тел ь 1.
Известны четыре типа идеализированных управляемых источ
!
ников:
1) источник TOKa J управляемый напряжеН(lем (ИТУН). Схема
ero изображена на рис. 4.12, а. Входной. ток /1.== О, выходной ток
пропорционален входному напряжению: /2 == GU 1 , входное и BЫXOД
. .
о---- 1, 12
l и , 1 й , tuz
.
k. Z 11
а) о) (3) е)
Р....с.4.12
1
Управляющими величинами MorYT быть также интеrрал и производная по
ВРеМени от тока или напряжения.
[53
ное сопротивления бесконечно велики. Матрица У ИТУН такова:
[ 1 '
2 источник напряжениЯ J управляемый ТОКОМ (ИНУТ). Схема
ero представлена на рис. 4.12, 6. Входное напряжен е и. . О, BЫXOД
ное напряжение пропорционально входному току: и 2 == RI., входное
и выходное сопротивления равны нулю. Ero Z матрица имеет вид
[ 1 '
3 источник напряжениЯ J управляе.мый напряжением (ИНУН).
Схема дана на рис. 4.12, в. BXO.l-!-ной то.к 1. == О, выходное напряжение
пропорционально входному: и 2 == k и., входное сопротивление бес
r Н J Ч О велико, а выходное равно нулю. Ero О-матрица такова:
4 источник TOKa J управляемый ТОКОМ (ИТУТ). Схема изображе
на на рис. 4.12, С? Bxo.{I.Hoe н?пряжение и) == О, входной ток пропор
ционален входному: 12 == k 2 / 1 , входное сопротивление равно нулю,
выходное бесконечности. Матрица Н параметров ero равна
[ 2 Ч
Каскадное соединение ИНУТ с ИТУН обладает свойством
ИТУТ, а каскадное соединение ИТУН с ИНУТ свойством ИНУН.
ДЛЯ всех перечисленных управляемых источников выходная Be
личина не влияет на входную, а входная мощность равна нулю, так
как входной ток либо входное напряжение равны нулю.
Управляемые источники часто осуществляют на основе операционных усилите-
лей. Так, схема ИНУН на ОУ изображена на рис. 4.9, е, а схема ИТУТ на двух ОУ
на рис. 4. [3.
Убедимся, что схема рис. 4.13 обладает свойствами ИТУТ. Воспользуемся обоз
начениями на этой схеме.
Так как входное напряжение первоrо ОУ равно нулю, а ((JI === О, то и ((J2 0.
Входной ток первоrо ОУ i 1 == О, входной ток BToporo ОУ i 2 === О. Выходной ток схемы
i вх == з/ R, отсюда 3 == i BXR. Выходной ток первоrо ОУ обозначим i. Тоrда для
узла 3 по первому закону Кирхrофа i3 == i Bx + i. Так как i 2 === О, то
. .
14=== ЧJ4/(R I + R 2 ),
(а)
а потенциал точки б 6 === 3 i3R 1 == 3 (i вх + i)R.. Входное напряжение второ.
('о ОУ равно нулю, поэтому 5 == 6' Так как сопротивление между точками 4 и 5
равно сопротивлению между точками 4 и б, то
. ((J4 ((J6
14 ==
R 2
4 + iихR + (i их + i)R 1
R 2
(6)
Приравняв (а) к (б), определим
. [ . .
q>4 == R.(l Bx(R + Rj)(R. + R 2 ) /R.(R, + R 2 )].
(в)
154
.
18)(
1 и вх
Р....с. 4.1 3
Подставим (в) в (а)
. . R + Rl .
/4 == / ИХ R 1 /.
(r)
Для узла 6, по первому закону Кирхrофа,
. . . . . . ( R ) ' . R
/ вых === '3 + '4 == ВХ / I ВХ 1 + R 1 / . / их R 1 .
Так как /ВЫХ пропорционально 'ВХ' U ИХ === О. а выходной ток /ВЫХ не зависит от сопро
тивления наrрузки ZH' то схема (рис. 4.13) по ОТНOIрению к выходной цепи обладает
свойствами источника тока, управляемоrо током / ВХ' На рис. 4.14, а предстаВJlена
одна из возможных схем ИНУТ, на рис. 4.14 б одна из возможных схем ИНУТ, а
на рис. 4.[4, в схема конвертора отрицательноrо сопротивления.
Как имитировать элементы R, С, заземленную инезаземленную L, час
тотно зависимые сопротивления, высокоомные резисторы [см. приложение Б].
ko
В 4.14 4.15 было принято, что дЛЯ ОУ К == 1 . ------roo за счет Toro, что
+ J uH
ko--+OO. Практически же ko 104+ 106, а '{ 10 2+ 10 3. Поэтому при относительно
высоких частотах 00 при рассмотрении схем с управляемыми источниками следует
учитывать зависимость К от 00.
f 4.16. Активный четыреХПОJlЮСНИК. ПОД активным четырехпо
люсником будем понимать линейный четырехполюсник, содержа
щий источники энерrии, за счет которых на разомкнутых зажимах
ero появляется напряжение. Следует иметь в виду, что в понятие
Я,
й 2 !
1 и,
Я,
С.
R з
(
Я 2
а)
6)
Рмс.4.14
ы
155
.
1, т
E
f1
.
pIz т
А G Ф1
q п
I
А !.: .i2 Ptkk
о) q
22
I
,
. I
ZJ l Zkk t
I
I
а)
б)
Р....с. 4.15
активный четырехполюсник в литературе вкладывают также и
иной смысл, а именно такой четырехполюсник, активная мощ
ность на выходе KOToporo превышает (может превышать) активную
мощность на входе. Этот эффект достиrается обычно за счет Toro,
что в состав четырехполюсника входят активные невзаимные эле
менты, такие, как операционные усилители, транзисторы, элект
ронные лампы, туннельные диоды и др. Чтобы различать эти два
класса активных четырехполюсников, условимся рассматривае
мый четырехполюсник называть активным автономным [по зажи
мам тп и (или) pq], а четырехполюсник, обладающий свойством
усиливать мощность, активным неавтономным в направлении
УСИJJения мощности.
Рассмотрим уравнения, описывающие связь между входными и
выходными величинами активноrо aBToHOMHoro четырехполюсника
и ero схему замещения.
Положим, что в первой ветеи тп активноrо четырехполюсника
рис. 4.15, а есть источник эдс Е 1 , во второй ветви pq наrрузка Zи,
а в остальных ветвях (3 р), находящихся внутри чет.ырехполюс
ника, имеются или MorYT иметься источники эдс Ek (индекс k'
может принимать значения от 3 до р). Тоrда, замеtIив по теореме
компенсации сопротивление Zи .на I:IСТОЧНИК эдс Е 2 (рис. 4.15, 6),
запишем выражения для токов 11 И 12:
р
.. . .
11 == Е 1 Уll Е 2 У12 + IE k Ylk;
k==:3
( 4.29)
р
.. . .
12 == Е 1 У21 Е 2 У22 + IE k Y2k'
k==3
Осуществим короткое замыкание одновременно на зажимах тп
р
( 4.30 )
. .
и pq. При этом по первой ветви протекает ток 1 1К == IEYlk' а по
k==3
р
. .
второй ток 1 2к == IE k Y2k'
k==3
1
р
.
в (4.29) вместо L Е kYlk подставим 1 1k , а в (4.30) вместо
k==З
Р. . . . .
I E kY2k 1 2к , Кроме Toro, заменим ЕI на и 1 и Е 2 на и 2 . В результате
k==3
получим
.. . .
11 /IK === YII и 1 .YI2U2;
(4.31 )
( 4.32)
.. . .
/2 1 2к === У21 и 1 У22 и 2'
Уравнения (4.31) и (4.32) отличаются от уравнений (а) и.( б) ТQЛЬ
ко Te , что в и ле ых частях находятся соответственно 1 1 l 1К И
i 2 1 2к вместо 11 и 12' Отсюда следует, что все уравнения, получаю
щиеся из (а) и (б) в результате их преобразова ий, справедливы и
для. акти.вноr четыре ПОЛIpсника, только в них 11 следует заменить
на 11 1 1K , а 12 на 2 1 2к , .Так, А. Ф9рме ур'авнен й пассивноrо
четырехполюсника (и, === А и 2 + 812,11 == си 2 + D1 2 ) COOTBeTCT
вует А форма уравнений активноrо четырехполюсника:
. . . .
и 1 == А и 2 + 8(/2 1 2к );
.. . "
/1 l lК == си 2 + D(1 2 1 2 J.
Коэффициенты А, 8, е активноrо aBTOHOMHoro взаимноrо четы
рехполюсника удовлетворяют условию AD 8е == 1 и определя
ют их так же, как и для пассивноrо.
На рис. 4.14, 8 изображена одна из возможных T cxeM замеше
ния активноrо четырехполюсника. Сопротивления ZI, Z2 и Z3 Haxo
дят через коэффициеНТI I А, .[3, е так же, как для пассивноrо ч ты
ехполюсника, а ЭДС Е з и Е4 вычисляют по значениям токов l lК и
/2к И сопротивлениям из уравнений, составленных для режима oд
HOBpeMeHHoro KopoTKoro замыкания входа и выхода (показано ПУН
Ктиром На рис. 4.15, 8):
. ..
1 1 "(ZI + Z..з) 1 2к Z з == Е з !
/lк Z з + 12K(Z2 + Zз) == Е4'
I 4.17. МноrОПОJ1ЮСНИК. На рис. 4.16, а изображена пассивная схема, в которой
выдленоo т ветвей (т пар зажимов). Условимся называть такую схему М1iОi!ополюс
ником. Будем полаrать известными входные YII У тт И взаимные Ykm, Ymk проводи
Мости ветвей. Они определены в соответствии с 2.15 (k BeTBb входит только в
k"KOHTYP; направления всех контурных токов при составлении уравнений по методу
КОНтурных токов одинаковы), .
Включим в ветвь 1 эдс El == Ир а в ветви 2 т наrрузки 22 2 т (рис. 4.16. 6).
Ток . . .
и В Ветвях 2 т обозначим 12' 1т', а в ветви 1 обозначим /1' Все токи направ-
ЛеНЫ по часовой стрелке.
Н.а ОСНовании теоремы компенсации заменим наrрузки Z2 Zm на источники
ЭДСЕ . . .
2 Ет' направленные встречно токам 12' 1т' (рис.4.16,в). Наосновании
157
.
Е т
а)
о)
б)
2)
Р....с.4.16
принuипа наложени зап шем вы ажения ля токов ветв й:
./1 === U1YlI U 2 Yl2 UЗУIЗ '" UmYl m '
12' === U 1 Y21 и 2 У22 U З У2З ... и т У2т'
i m ' == (;IYml 02У т 2 ОзУтз ... ОтУ тт '
(а)
ИЗf1ени на равле ия TO OB в вет ях 2 т на противоположные и назовем их
токами 12 1т (/2 === I{, ..., 1т === 1т') (рис. 4.16, е). Для Toro чтобы все слаrае
мые уравнений имели положительные знаки, введем следующие обозначения:
Ykk == Ykk,
Y 1k == Ylk == Ykl; У р, == Y rp == У р, == Yrp(p =1= r =1= 1).
Тоrда система уравнений мнor'ОПОЛl.осни а (а) будет иметь вид
[У] [И] == [/]; (б)
У\I У'2 У 1з ... У'т и 1 {I
[Уl == У21 У 22 ... У 2т ; ( О] == (;2 ; [i] == 12
У тl У т2 .,. ... У тт От i m
Если систе у уравнений мноrополюсника (б), записанную в У форме, решить
относительно [И], то получим систему уравнений мноrополюсника, записанную в
Z форме:
[ И] == [Zl [ 1],
(в)
ZII ZI2 ... Zlm
Z21 Z22 .,. Z2m
== [ Y] 1 .
(Z) ==
ZтI Z т2", Z mт
Если у мноrополюсника Ykm =1= У mk, ero называют невзаu-мны-м. Если мноrоПО
люсник содержит источники энерrии (активный автономный мноrополюсник), то erO
уравнения в Y или Z форме запишутся подобно тому, как это сделано в 4.16 Д",Я
четырехполюсника:
[У)[ И) == [} 1 kkl или [Z)[l I kk) == [И).
Исследование работы электрических цепей часто проводят rpa
фическими методами путем построения KpyroBbIx и линейных диаr
158
Ij
Рис. 4.17
+j
8)
рамм. Перед тем как приступить к изучению KpyroBbIx диаrрамм,
рассмотрим вопрос о построении дуrи окружности по хорде и впи
санному уrлу.
4.18. Построение дуrи окружности по хорде и вписанному yr JlУ.
Из курса rеометрии известно, что вписанным У2ЛОМ называют уrол,
вершина KOToporo находится на окружности, а стороны являются
хордами.
Вписанный уrол измеряется половиной дуrи, на которую он опи
рается. Так, LA В С == 'Ф (рис. 4.17, а) измеряется дуrой ADC /2, а
LADC дуrой АВС/2. Сумма LABC + LADC == Л.
Уrол LEDC дополняет доп уrол LADC, поэтому LEDC =='Ф.
Какое бы положение ни занимала точка D в интервале от А дО
С, уrол между продолжением хорды AD (т. е. линией DE) и хордой
DC остается неизменным и равным 'Ф.
Уrол между продолжением хорды АС и касательной (полукаса
тельной) к окружности в точке С также равняется уrлу 'Ф.
dl Центр окружности О находится на пересечении перпендикуля
нра к середине хорды и перпендикуляра к касательной (рис. 4.17, 6).
( Из изложенноrо следует, что если заданы хорда и вписанный
rол 'Ф, то для нахождения центра окружности необходимо: 1) BOC
ставить Перпендикуляр к середине хорды; 2) под уrлом 'Ф к продол
жению хорды провести прямую, которая будет являться касатель
ной к окружности; 3) восставить перпендикуляр к касательной;
пересечение перпендикуляра к хорде и перпендикуляра к Kaca
тельной даст центр окружности.
О/
:1' 4.19. Уравнение дуrи окружности в векторной форме записи.
Построения, аналоrичные построениям рис. 4.17, а, MorYT быть BЫ
ПОлнены и на комплексной плоскости. В этом случае все хорды,
например СА, DA, CD, являются векторами.
На комплексной плоскости рис. 4.17, в совместим хорду
СА ==== F с осью + 1. Если уrол 'Ф > О, ТО от продолжения хорды ero
159
откладывают против часовой стрелки; если 'Ф <О, уrол откладыва
ют по часовой стре.пке.
Обозначим DA == G и CD == Н. Тоrда
G + н == Р.
( 4.31 а)
---+ ---+
---+
Вектор Н опережает вектор G на уrол 'Ф. Пусть модуль вектора
--+
н будет в k раз больше модуля вектора а. Тоrда
(4.3Iб)
н == kGе jф .
--+ ........
Если k === О, то Н === О и G === Р. При k == 00 н == F и G == О. Подста
вив (4.31б) в (4.31a), получим
........
О( 1 + ke N ) == F,
или
G == F j( 1 + ke i1P ).
(4.31в)
--+
у равнение (4.31 в) называ ют уравнением дуС?и окружности в BeK
то рной форме записи.
При изменении коэффициента k от О до 00 меняются оба вектора
--+
G и Н, но так, что уrол 'Ф между ними остается неизменным, а сумма
--+
векторов равна вектору Р. Конец вектора G скользит по дуrе окруж
---+
ности, хордой которой является вектор Р. Поэтому можно сказать,
что дуrа окружности является rеометрическим местом концов BeK
тора а.
Рабочей частью окружности, или рабочей дуrой, является та
часть окружности, которая по отношению к хорде лежит по обрат
ную сторону от по,лукасательной (рабочая дуrа на рис. 4.17, в BЫ
черчена сплошной линией, нерабочая пунктиром).
Рабочая дуrа меньше половины окружности при I 'Ф I < 900 и
больше половины окружности при I 'ф I > 900.
4.20. KpyroBbIe диаrраммы. Из 3.4 известно, что синусоидаJ1h
но изменяющиеся функции времени (токи, напряжения) MorYT быть
изображены векторами на комплексной плоскости. Если IIроцесс I3 '
электрической цепи описывается уравнением, по форме тождесТ
венным уравнению (4.31в), то rеометрическим местом концов BeK
тора тока (напряжения), выполняющеrо в уравнении электриче,
IБО
+j
9
f
1,
1I
1
.
Е
Рис. 4.18
Р....с. 4.19
---+
СКОЙ цепи те же ФУНКЦИИ, что и вектор G в уравнении (4.31B), явля
ется окружность.
Под круrовой диаrраммой тока или напряжения понимают дуrу
окружности, являющуюся rеометрическим местом концов вектора
тока (напряжения) при изменении по модулю какоrо либо сопро
тивления электрической цепи и сохранении неизменными осталь
ных сопротивлений, частоты и ЭДС источников энерrии.
С помощью KpyroBbIx диаrрамм производят rрафический aHa
лиз работы электрических цепей.
4.21. Круrовая диаrрамма тока двух ПОСJlедоватеJlЬНО соеди
ненных СОПрОТИВJlений. Пусть к источнику ЭДС подключены после
доватеJIЬНО Z\ == z\e jlp1 и Z' === ze jljJ (рис. 4.18). Сопротивление Z\ неиз
Менно, а Z может меняться лишь по модулю, так что уrол <р остается
постоянным. Ток в цепи
1 == Е
Z\ +z
EjZ\
(4.32а)
,
1 + ej(qJ qJ\)
Z\
. .
rде E/Z\ === /k ток В цепи при коротком замыкании сопротивле
ния Z.
Обозначим <р <р\ === 11'. Тоrда
/k (4.32б)
1==
Z ',.,
I + eJ't'
Z\
Уравнение (4.32б) тождественно (4.31B). Роль вектора F выпол
ннет Комплекс i k; роль коэффициента k отношение z/ ZI; роль o
() 3al(, 683
161
.... ,
. .
вектор 1. При изменении Z вектор.! будет скользить по дуrе окруж
ности, хордой KOToporo является / k'
На круrов й ди rрамме рис. 4.19 B KTOp ЭДС направлен по оси
+ 1. Ток / k == Е / z\e JqJ \ отстает от ЭДС Е на уrол (})\. Для определен
ности построим диаrрамму при 'Ф <О. Выберем масштаб токов:
пусть отрезок ас в масштабе т } BbIpaR,(aeT собой модуль тока i k .
Отрезок da характеризует модуль тока /, отрезок da в соответствии
.z
с уравнением (4.32б) модуль произведения / e j ",. Отложим По
. z\
направлению /k отрезок ае в произвольном масштабе m z , выраЖа
ющий модуль постоянноrо сопротивления z\( z\ == aem z ).
Из точки е под уrлом 'Ф к линии ае проводим прямую ef, KOTO
рая является (как будет показано далее) линией модуля перемен
Horo сопротивления z при отсчете от точки е. На ней в масштабе
m z нанесем деления для измерения z.
Из подобия треуrольников adc и ае! следует
J2...
ad ае dc 2\ Zl Z
== , е! == ае == ==
dc е! ad m z 1 m z '
или
z == efm z '
Следовательно, отрезок е! в масштабе m z определяет модуль
переменноrо СО!1ротивления z. .
Проекция / на направление Е (отрезок ag) в масштабе
т р == Ет[ измеряет активную мощность:
Р == agm p == agEm[ == agE(/ / ad) == E/cosqJ,
т/ == I / ad; ag / ad == COSqJ.
. .
Проекция / на направление, перпендикулярное Е (отрезок ah),
в масштабе т р определяет реактивную мощность:
Q == ahm p == ahE(/ / ad) == Е/siл(}).
4.22. Круrовая диаrрамма напряжения двух ПОСJlедоватеJlЬНО
соединенных сопротивле.ний. У ножив обе части уравнения (4.326)
на Z\ == z\e jqJ \ и учтя, что / Z\ === U Z \' получим
Е (4.33)
и \ ==
z Z
1 + ej(qJ 'Р\)
zl
Уравнение (4.33) сви.р.етельствует о том, что rеометрическиМ
MecTQM концов вектора U z1 является дуrа окружности, хорда кото'
рой Е.
162
94.23. Круrовая диаrрамма тока активноrо двухполюсника. Ток
в цепи наrрузки ZH == zнеjlJJн.активноrо д ухполюсника (см. рис. 3.30, а)
U аЬх U аЬх/ ZBX (4.34)
/ ===
н ZBX + ZH
р
,
ZH " ( )
[ + е ! IJJ H IJJ Bx
ZBX
rде ZBX == zBxejlJJBx комплексное входное сопротивление двухполюс
ника по отношению к зажимам аЬ выделенной ветви.
ИЗ уравнения (4.34) сл.едует, что при изменении модуля сопро
тивления наrрузки ZH ток 'н скользит по дуrе окружности.
Пример 53. В схеме рис. 4.19 Е === 120 В; ZI === RI === 24 Ом; сопротивление Z
чисто емкостное и модуль ero изменяется от О до 00. Построить KpyroBble диаrрам мы
тока и напряжения на сопротивлении ZI.
., Реш е н и е. TOKi k == 120/24 === 5 А. Выберем масштабдлятоков(т/ === 1,39 А/см)
и напряжений (ти === 26 В/см).
Найдем yrOJI 'ф === ЧJ ЧJ\ === 90° 0° == 90°.
На рис. 4.20 построены круrовая диаrрамма тока на токе i k как на диаметре и
круrовая диаrрамма напряжения на ЭДС Ё, как на диаметре. Масштаб для сопро
тивленИЙ m z == 13 Ом/см. Для любоrо значения сопротивления Z по диаrрамме
находим ток 1 и напряжение U zJ . Так, при Z === 9,5 Ом / === 4,65 А, U z1 === 111,5 В.
Пример 54. Построить rеометрическое место концов вектора тока i неразветв
ленной части схемы рис. 4.21 и rрафически исслещшать возможность возникновения
резонансных режимов при следующих данных: Е == 30 В; R 2 === 6 Ом; ХС == 8 Ом;
RJ == 3 Ом; X L изменяется от О до 00. .
Реш е н и е. Ток i 2 в схеме остается неизменным: /2 === 30/(6 j8) . 3e j530 \0' А.
Он на 53°10' опережает ЭДС Ё (рис. 4.22). Вектор тока i l при изменении X L меняется
так, чтр KOHeI}. ero скользит по дуrе окружности, диаметром которой является вектор
тока: l\k == E/R 1 === 10 А, т/ === 2,65 А/см. Ток в неразветвленной части схемы
i == i l + i 2 " rеометрическим местом ero является также дуrа окружно<:ти a12b. В
режимах, соответствующих точкам 1 и 2, ток i совпадает по фазе с эдс Е. Следова
тельно, в этих режимах в схеме имеет место резонанс токов.
Выберем масштаб сопротивлений m z === 2 Ом/см. rрафически найдем X L для
Точек 1 и 2. Для точки 2 X L 0,8 Ом, для точки 1 Х L 10,6 Ом. При этом ток 1===11,[
Iк2,4 А.
),.. .
1
()'
f.l . t Н;
Е
4 ХС
".
Н 1 = 2*0,.,
Р....с. 4.20 Р....с. 4.21
6.
[63
......
.
Е
ь
.
I flr
R ,
rеоиетриvеСlrое Hfcтo
концоВ Вектора 1, lJ
zeOHeтpUqec/(oe мес.то
i донцоВ 6едтора 1
peJz
Рис. 4.22
4.24. Круrовая диаrрамма напряжения четырехполюсника. Пусть напряжение
четырехполюсника рис. 4.2, а неизменно по модулю, фазе и частоте. а наrрузка
Z2 == Z2ei\i!2 на выходе ero изменяется только 110 МОДУJIЮ. так что характеризующий
ее уrол Ч>2 остается постоянным. В этом случае для тока i 2 , напряжения (;2' тока i l
MorYT быть 1)0cTpoeHbI KpyroBbIe диаrраммы. Сначала рассмотрим круrовую диаl'
рамму тока 12' С этой целью схему четыреХПОJlюсника рис. 4.2. а, ИСКJlючая наrрузку
Z2' аменим активным двухполюсником и 110 методу эквивалеНТНОI'О l'eHepaTopa найдем
ток 12 В ветви pq:
/2 == U pq x/(Znx pq + Z2)'
( 4 .35 )
rде U pq Х наllряжение между точками р и q при размыкании ветви pq;
ZBX pq === Z2Kf JCP2K входное соrrРОТИВJlение 110 отношению к зажимам pq IlрИ KOpOT
козамкнутых зажимах тп (в схеме рис. 4.2. а к зажимам тп присоединен источник
ЭДС). Разделив .ЧИСЛИТ JlЬ и знаменатель "равой части (4.35) на ZBX pq === Z2K И учтя,
что U pQX /Z2K === 12к. rде /2к ток короткоз мкнутой ветви pq, получим
1 2к
/2 ===
(4.35а)
Z2
1 + ej(\i!2 \i!2K)
z2!<
Из уравнения (4.35а) следует, что вектор тока /2 СКОJIЬЗИТ 110 ДУI'е окружности,
хордой которой является ток i 2K .
Построим КРУI'ОВУЮ диаl'рам му тока 1\ на входе четыреХПОJlюсника. Из преllЫ'
дущеl'О [см. фОРМУJIУ (2.14)] известно, что при изменении со"ротивления в одной из
ветвей линейной электрической цеrlИ два тока ВJIЮQЫХ двух ве rвях этой цепи связаНbI
соотношением / т === а + Ы n. СледоватеJIЬНО. ток 1, может быть Jlинейно выражен
через ток i 2:
/, === а + ь/ 2'
(4.36 )
ОllредеJIИМ коэффициенты а и Ь. Если ветвь pq разомкнута, то 12 == О и 11 == 1\'1.'
При этом из (4.36) найдем а == i!x' ЕСJIИ ветвь pq короткозамкнутая, то ;2 == ;21\ I
j, == i IK' Поэтому
/\к == I\х + Ы 2К '
( 4.37)
11;4
'/е тырех ПОЛЮСН/JIr
. ..,
1, тl I
Лшшя
XI.,OM
f
а)
Р....с. 4.23
о)
uтсюда
Ь === (/IK Ilx)/12K'
Подставив(4.37) и (4.38) в (4.36), получим
1 I
/ === / + IK Ix
1 lx 2
1 + е j ( ЧJ 2 ЧJ2к)
22к
( 4.38)
( 4.39)
Уравнени (4.39) свидетельствует о том, что rеометрическим местом концов
вектора тока 11 также является ДУI'а окружности. Хордой ее является разность
i IK i Ix; вектор i Ix смещает начало отсчета.
Аналоrичным образом строят круrовую диаrрамму напряжения. Так, если в
какой то схеме изменяется по модулю сопротивление Z2 == 2 2 е jЧJ2 в одной, например
второй ветви, то для напряжения на участке аЬ этой схем ы можно записать выраже
ине, аналоrичное (4.39):
и аЬ === и аЬ х +
и аЬ к И аЬ х
22. '
1 + е J ( ЧJ 2 ЧJ2к)
Z2K
( 4.40)
rде и аЬ х напряжение на зажимах аЬ при 22 == 00; и аЬ к напряжение на зажимах
аЬ при 22 === о; Z2K == 22кеjЧJ2К выходное СОПРОТИВJlение схемы относительно зажи
МОВ, к которым присоединено сопротивление Z2-
Формула (4.40) выведена на основании выражения и аЬ == а l + b l / 2 и (4.35).
Пример 55. Построить круrовую диаrрамму тока i l схемы рис. 4.23, а, в которой
ХС == 50м; R == 5 Ом; Ё === [00 В. Наrрузкой четьrрехполюсника является индуктив
Ное СОпротивление Х {.., которое может изменяться от О до 00.
Реш е н и е. Наидем ток холостоrо хода при разомкнутой выходной ветви:
. .
llx == E/(R jX c ) == [00/(5 j5) === 14,15e j45 ° А.
Определим ток KopoTKoro заМЫf:\ания при коротком замыкании наrрузки:
Е j71020'
R( jX c ) 12,82e А.
jXc+ R 'Х
J с
РаССчитаем входное сопротивление Z2K со стороны зажимов РЧ при коротком
/IK ===
165
иll,
.
а [/
" 1, ,
ХС
x L
!
а) 1)
Рис. 4.24
замыкании зажимов тп:
. R( jX c ) 7)020'
Z2K === Z2K e / 1JJ2K == jX c + R 'Х == 7,8e / Ом.
/ с
Следовательно, ({J2K == 7JО ;Ю'. Уrол 'Ф===qJ2 qJ2к==900 ( 71020')==161020'.
Круrовая диаrрамма тока 1) построена на рис. 4.23, б. Хордом окруЖности
является разность j IK i lx' Уrол 'ф > О, поэтому для определения положения Kaca
тельном он отложен от продолжения хорды против часовом стрелки. Диаrрамма
носит несколько необычным характер: рабочая часть дуrи занимает почти целую
окружность.
Для определения положения конца вектора 1) из конца вектора I,x через точку
на линии Х L' соответствующую заданному значению Х L' проводя! прямую до пере
сечения с рабочем частью дуrи окружности. При Х L === 5 Ом ток J) опережает ЭДС
Ё на 900.
4.25. Линейные диаrраммы. Подлинемными диаrрам мами понимают диаrрам-
мы, в которых I'еометрическим местом концов вектора тока (напряжения) является
прямая линия. По существу, линейная диаrрамма является частным случаем кру-
rовой, поскольку прямая есть ДУI'а окружности с бесконечно большим радиусом.
При мер 56. Построить rеометрическое M CTO концов вектора тока в схеме
рис. 4.24, а при изменении Хс. Напряжение и аЬ === const R. и X L неизменны.
Реш е н и е. На рис. 4.24, б изображаем вектор И аЬ. Вектор тока i) отстает от
Hero на уrол qJ === arctg Х L/ R l'
Ток i 2 опережает (;аЬ на 900. rеометрическим местом концов вектора тока
i === i, + i 2 будет прямая линия pq. Она и является линемной диаrраммой тока i.
Вопросы АЛ. саМОПрО8ерк"
1. Запишите шесть форм записи уравнений четырехполюсника, покажите дЛЯ
них положительные направления отсчета токов и напряжений и поясните, в какИХ
случаях каждая форма записи имеет преимушества перед остальными. 2. Какие
четырехполюсники называют взаимными, невзаимными, симметричными и несиМ-
метричными? 3. Как опытным путем определить коэффициенты A , Z-, y , Н-, 0-,
В-форм записи? 4. Каким образом, зная коэффициенты одной формы записи, опре-
делить коэффициенты друrой формы? 5. Прокомментируйте схемы замещения "ас-
сивных четырехполюсников. 6. Какое соединение четырехполюсников называюТ ре-
rулярным? 7. Что понимают под ZCI и ZC2 несим метричноrо четыреХПОJlюсника и каК
их определить через коэффициенты А, В, С, D и через входные сопротивления? 8. Что
понимают под вовторным сопротивлением четырехполюсника? 9. Запишите уравне-
ния для симметричноrо четырехполюсника через rиперБОJlические функции. 10. За-
пишите уравнения для несимметричноrо четырехполюсника через rиперболически е
[66
ф нкции. 11. Что понимают под постоянной передачи симметричноrо и под мерой
пlредачи несимметричноrо четырехполюсников? 12. В каких единицах измеряют
затухание? Как эти единицы связаны между собой? 13. Охарактеризуйте свойства
конвертора, инвертора и rиратора. 14. Дайте характеристику операционному усили
телЮ как элементу электрической цепи. 15. Каким расчетным схемным эквивален
том может быть замещен ОУ? 16. Охарактеризуйте свойства управляемых источни
ков напряжения и тока. 17. Покажите, что схема рис. 4. [1 может выполнять функции
rиратора. 18. Поясните, почему схема рис. 4.13 может выполнять функции ИТУТ,
схема рис. 4.14, а функции ИНУТ, схема рис. 4.14, 6 функции ИТУН, а схема
рис. 4.14, в функции конвертора отрицательноrо сопротивления. 19. В схеме рис.
4.1 О Z2 == Z4 === Z5 === R. Какими следует взять Z I === Zз, чтобы входное сопротивление
схемы ZAB было отрицательным, чисто резистивным и пропорциональным [/ю 2 ? 20.
Каким следует взять сопротивление Z2 == Z4 в схеме рис. 4. [О (Z. === Z3 === Z5 === R),
чтобы входное сопротивление схемы ZAB было отрицательным, чисто резистивным и
пропорциональным ю 2 ? 21. Какой четырехполюсник называют активным aBTOHOM
ным и какой активным неавтономным? 22. Запишите систему уравнений мноrопо
люсника в У форме и поясните, как определить ero У kk и У Р' пара метры. 23. Дайте
определения активноrо aBToHoMHoro и активноrо HeaBToHoMHOI'O мноrополюсника.
24. Запишите уравнение дуrи окружности в векторной форме и поясните ero. 25.
Сформулируйте условия, при которых можно строить круrовую диаrрамму. В чем
преимущества исследований цепей с помощью KpyroBbIx диаrрамм? 26. Поясните
последовательность построения круrовой диаrраммы двухполюсника и четырехпо
люсника. 27. Как определить рабочую часть дуrи окружности? 28. Как определить
масштаб на JIИНИИ переменноrо сопротивления? 29. При каком условии круrовая
диаrрамма переходит в линейную? 30. Решите задачи 6,4; 6,9; 6,13; 6.23; 6.35; 6,38.
rnaBa пятая
н
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
5.1. Назначение и типы фИJlЬТРОВ. Подэлектрически.ми фильтрами
.понимают четырехполюсники, включаемые между источником пи
) тания и приемником (наrрузкой), назначение которых состоит в
том, чтобы беспрепятственно (без затухания) пропускать к прием
,Нику токи одних частот и задерживать или пропускать, но с боль
Шим затуханием, токи друrих частот.
SI! Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания, назы
вают полосой nрозрачности; диапазон частот, пропускаемых с за
туханием, полосой затухания.
Электрические фильтры собирают обычно из индуктивных Ka
,ТУшек и конденсаторов. Исключение составляют RС фильтры (см.
Э 5.6 5.9). Фильтры используют rлавным образом в радиотехнике
И технике связи, rде применяют токи довольно высоких частот.
\) При высоких частотах индуктивные сопротивления wL индук
.. ивных катушек во MHoro раз больше их активных сопротивлений.
оэтому будем полаrать, что активные сопротивления индуктив
f:lЫх катушек и активная проводимость конденсаторов равны нулю,
т. е. что фильтры составлены только из идеальных реактивных эле
ментов.
( Фильтры обычно собирают по симметричной T или П схеме
см. РИс. 4.4, а, б), т. е. при Z2 === Z. И Zб === Z5'
167
При изучении фильтров будем пользоваться понятием коэффи
циента затухаНИfl и коэффициента фазы (см. 4.10).
Условимся сопротивление Z, в схеме рис. 4.4, а и сопротивлеНие
Z4 в схеме рис. 4.4, 6 называть продольными, а сопротивление Z3 в
схеме рис. 4.4, а и сопротивление Z5 в схеме рис. 4.4, 6 попереl.{
ными.
Фильтры, в которых произведение продольноr() сопротивления
на соответствующее поперечное сопротивление представляет co
бой некоторое постоянное для данноrо фильтра число (число k), Не
зависящее от частоты, принято называть k фuльтрами.
Сопротивление наrрузки ZH' присоединяемой на выходе фильт
ра, должно быть соrласовано с характеристическим сопротивлени
ем фильтра Zc (ZH === ZJ. Входное сопротивление k фильтра при
этом также равно Zc' В k фильтрах Zc существенно изменяется в
зависимости от частоты ы, находящейся в полосе прозрачности. Это
обстоятельство вызывает необходимость изменять сопротивление
наrрузки в функции>частоты (особенно при приближении к rранице
полосы прозрачности), что нежелательно. В т фильтрах при опре
деленных значениях коэффициента т сопротивление Zc мало изме
няется от частоты (в пределах полосы прозрачности) и поэтому
наrрузка практически может быть одна и та же по модулю для
различных ы, находящихся в этих пределах. .
Качество фильтра тем выше, чем более резко выражены ero
фильтрующие свойства, т. е. чем более резко возрастает затухание
в полосе затухания.
Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены воз
никновением в них резонансных режимов резонансов токов или
резонансов напряжений.
5.2. ОСНОВЫ теории k-фИJlЬТРОВ. Из 4.10 известно, что если
наrрузка ZH соrласована с характери тическим сопро ивлением
Zc четыреХПОЛЮСl!ика, то наf!ряжение и 2 и ток В наrрузке 1 2 связаны
с напряжением и, и током 1, на входе четырехполюсника следую
щими соотношениями:
. . . .
и 2 == UJe g, 12 === Ile g,
rде g === ln(A + VВC) === а + jb.
Тоrда
.. ..
и 2 === Ule ae jb, 12 === Ile ae jb..
Множитель e a определяет, во сколько раз модуль напряжениЯ
(тока) на выходе фильтра меньше модуля напряжения (тока) на erO
входе.
Если а == О, то e a === е О === 1 и фильтр пропускает колебания без
затухания. Таким образом, в полосе прозрачности а === О.
168
В полосе затухания а > О. Множитель e ib, по модулю равный 1,
свидетельст!3уе о том, что напряжение и 2 и ток i 2 отстают COOTBeT
ствен нО от и\ и '\ на уrол Ь.
Фильтрующие свойства четырехполюсника рассмотрим путем
сравнения выражения для коэффициента А четырехполюсника с
равн.ым ему выражением rиперболическоrо косинуса от aprYMeHTa
а + /Ь:
А === ch(a + jb).
rиперболический косинус от суммы двух aprYMeHToB (с учетом
Toro, что chjb === cosb и shjb == jsinb) можно представить следующим
образом:
N'
сЬ( а + jb) === cha cosb + jsha si лЬ.
fI
Для любоrо фильтра, собранноrо по Т cxeMe (см. 4.5),
А == 1 + (Z\/ Zз).
. Для фильтра, собранноrо по П схеме (см. 4.5),
А == 1 +(Z4/ Z 5)' Из каких бы реактивных сопротивлений ни был
собран фильтр, отношения Z\/ Z3 в Т cxeMe и Z4/ Z5 В П cxeMe всеrда
будут действительными (не мнимыми и не комплексными) числа
МИ отношение двух мнимых чисел всеrда есть число действитель
ное. Следовательно, всеrда будет действительным и коэффициент
А. Но если коэффициент А действителен, то действительным долж
но быть и выражение paBHoro ему ch(a + jb):
ch( а + jb) == chacosb + jsh а sinb == А.
Это выражение действительно, если
shasinb === О. (5.1)
При этом
н
t.,.
chacosb == А.
(5.2)
k! Уравнения (5.1) и (5.2) используют для определения rраниц по
(lOсы прозрачности и характера изменения уrла Ь в этой полосе, а
также характера изменения коэффициента затухания в полосе (по
лосах) затухания.
Равенство (5.1) для полосы прозрачности (а === О) удовлетворя
ется, так как sha == shO == О. в силу Toro что chO == 1, уравнение (5.2)
для полосы прозрачности переходит в следующее:
cosb ===: А. (5.3)
I<.руrовой косинус (cosb) может изменяться в пределах от + 1 до
1. Поэтому крайние значения коэффициента А [являющеrося
ФУнкцией частоты A( ш)] в полосе прозрачности равны + 1. Поло
Са Прозрачности в общем случае лежит в диапазоне частот от Ы) дО
(02' Значения Ы\ И Ы 2 дЛЯ фильтров нч и ВЧ (подробнее см. 5.3)
169
определяют путем решения уравнений
A(w) + l.
(5.4 )
ДЛЯ ПОЛОСОВЫХ И заrраждающих фильтров (см. 5.3) Ы 1 и (J)2
находят как корни уравнения А( ы) === l.
Частоту, являющуюся rраничной между полосой прозрачности
и полосой затухания, называют частотой среза.
Характер изменения уrла Ь в функции от (i) для полосы прозрач
ности определяют в соответствии с уравнением (5.3) следующим
образом:
ь == arccos А(ы).
(5.5 )
Определим а и Ь для полосы затухания. В полосе затухания
а >0. Уравнение (5.1) удовлетворяется при условии
sinb === о, (5.6)
Т.е.ПрИ
ь===о
(5.7)
и(или)при
ь == + л.
Соrласно уравнению (5.2), при Ь === О
cha === А( ы),
(5.8)
(5.9)
а при Ь === + л
cha === A( ы). (5.10)
Уравнения (5.9) и (5.10) позволяют по значениям А как функции
w рассчитать cha в полосе затухания, а по cha определить а и, таким!
образом, построить кривую а == '(ы). Из ураВ!lений (5.7) и (5.8) сле
дует, что в полосе затухания напряжение и 2 на выходе фильтра
находится либо в фазе (при Ь == о), либо в противофазе (при
Ь == + л) с напряжением 01 на входе фильтра.
В заключение необходимо отметить два важных положения:
1) с изменением частоты w меняются коэффициенты В и С четы
рехполюсника, поэт ому изменяется и характеристическое сопро
тивление Zc === -У В/С. Для Toro чтобы фильтр работал на соrласо
ванную наrрузку (только в этом случае справедлива изложеннаЯ!
теория фильтров), при изменении частоты нужно менять и сопрu
тивление наrрузки;
2) в полосе прозрачности характеристическое сопротивление
К фильтров( 5.3) активное, а в полосе затухания чисто реактив
ное (индуктивное или емкостное).
. Если наrрузка фильтра не чисто активная или не соrласована с
характеристическим сопротивлением фильтра, а также требуется
[70
с
о- т о
а)
L
а а,Ь
а, Ь 7t Ь
w
w,= )БЫ
Ы2= l. С 7C
В) 8)
zcr zcr \ Емк.
v J L
\
\
\
2) си
2.) (L)
zcп \ Е МК.
\ zcп , Рез
vr; , J
, ИJl8. I JБ
'"
(j) /
а) "'"
д' w
J
Р....с. 5.1 Рис. 5.2
учесть влияние активноrо сопротивления индуктивных катушек на
работу фильтра (что существенно для низких частот), то для постро
е!lИЯ ависимости U 1 / и 2 == '( ы) и зависимости сдвиrа фаз между
и 1 и и 2 В функции частоты можно воспользоваться, например, Me
ТОдом пропорциональных величин (см. при мер 57). Характеристи
ческое сопротивление фильтра берут равным внутреннему сопро
тивлению источника сиrнала (reHepaTopa). При этом и reHepaTop и
фильтр работают в режиме соrласования.
5.3. K-фИJlЬТрЫ Н Ч и В Ч, ПОJlосно-пропускающие и полосно-за-
rраждающие k-фильтры. Фильтрами НЧ (ФНЧ) называют фильт
ры, пропускающие в наrрузку лишь низкие частоты: с w I == О ДО ы 2 "
Полоса их затухания находится в интервале от Ы 2 ДО 00.
Схемы двух ФНЧ приведены на рис. 5.1, а, 6. Характер измене
ния коэффициента затухания а и коэффициента фазы Ь качественно
ИЛлюстрируют кривые рис. 5.1, в.
Под фильтром ВЧ (ФВЧ) понимают фильтры, пропускающие в
171
наrрузку лишь высокие частоты: с w I до 00. Полоса затухания ИХ
находится в интервале от О до ш,.
Схемы двух ФВЧ приведены на рис. 5.2, а, 6. Характер измене
ния коэффициентов а и Ь для них иллюстрируют кривые рис. 5.2, в.
Рассмотрим вопрос об изменении модуля характеристичеСкоrо
сопротивления Zl в полосе прозрачности для Т фильтра ну
(см. рис. 5.1, а) и для Т фильтра ВЧ (рис. 5.2, также для
П фильтров. С этой целью в выражение Zc ==-УВ/С подставим
значения В и С в соответствии с формулами (4.18) и проанаЛИзируем
полученные выражения.
Для Т фильтр'а НЧ (см. рис. 5.1, а) ZcT== y2 002L2. rрафик
ZcT == '(ш) представлен на рис. 5.1 , с?
При w === Ш 1 === О ZcT == 2L/C . с увеличени ем час тоты ZcTYMeHb
шается, сначала мало от личая сь от значения -Y 2L/ С . При ДОСТИже
нии значения w == Ю 2 == -У 2/ LC Zc == О.
( 2С ] O,5
ДЛЯ П фильтра НЧ (см. рис. 5.1,6) Zсп == т оо 2 с 2 . rрафик
Zсп == '( ю) дан на рис. 5.1, д.
, / 2L [
Для Т фильтра ВЧ (см. рис. 5.2, а) ZcT=== yc . rрафик
ZcT == '( ю) дан на рис. 5.2, . 00 с
В этом случае характер изменения ZcT отличен от характера
изменения ZCT дЛЯ Т фильтра НЧ, а именно ZcT === О при w ==
==Ю 1 == 1/ -Y 2LC . С увели чением w сопротивление Zcr увеличивается
и при ю---+оо ZCT == 2LjС.
Для П фильтра ВЧ (CM рис. 5.2, 6)z'JI (2f )L 2 ) O.5 . [рафик
Zсп == '( ю) представлен на рис. 5.2, д.
Если фильтр предназначен для работы на частотах, находящих
ся внутри полосы прозрачности данноrо фильтра и относительно
далеко отстоящих от значения ю, при котором Zc == О, то сопротив
ление наrрузки ZH на выходе фильтров НЧ выбирают равным Zc'
которо е соотв етствует w == ю. == О. ДЛЯ Т фильтра НЧ (см. рис. 5.1,
a)Zc :y 2L/C.
ДЛЯ фильтров ВЧ обычно наrрузку соrласовывают со з начен иеМ
Zc при ю оо . Для Т фильтра НЧ (см. рис. 5.2, а) Zc == -Y 2L/C . в
полосе (полосах) затухания Zc оказывается чисто реактивным д.ТIЯ
всех типов k фильтров.
Для Toro чтобы выяснить, индуктивный или емкостный xapaK
Тер имеет Zc в полосе затухания, следует определить характер BXOД
Horo сопротивления этоrо фильтра (фильтр всеrда работает в реЖИ
Ме соrласованной наrрузки) для предельноrо режима, а именНО
для фильтров нч (рис. 5.1, а, 6) при очень высокой частоте, а длЯ
фильтров вч (рис. 5.2, а, 6) при очень низкой частоте (теоретически
172
[, [,
" с, с, "
t;
[2 tz О т е!
о
« а)
а
а Ь а)
а
)j J( ь liJ 1 lUz
Ь {Jj
w
(()
б) 7[
7r о}
Zc
" Zc Емк. Рез ина. Рез. ff
С 2
В) W llJ
б)
)1
Р....с.5.з
Рис. 5.4
при ы---+О), считая выходные зажимы схем закороченными. Тот же
результат будет получен, если считать их разомкнутыми. В резуль
, тате определим, что в зоне затухания Zc имеет индуктивный xapaK
тер для Т фильтра НЧ (рис. 5.1, а) и П фильтра ВЧ (рис. 5.2,6) и
емкостный характер для П фильтра НЧ (см. рис. 5.1,6) и Т фильтра
ВЧ (рис. 5.2, а).
[lолосно nроnускающие фильтры представляют собой фильт
ры, пропускающие в наrрузку лишь узкую полосу частот от W 1 ДО
Ы 2 . Слева от Ы, и справа от Ы2 находятся полосы затухания. Схема
R Простейшеrо полосно пропускающеrо k фильтра изображена на
r ис . 5.3, а. Параметры схемы должны удовлетворять условию
,С, == L 2 C 2 .
Характер изменения а и Ьдля полосно пропускающеrо фильтра
ИЛлюстрируют кривые рис. 5.3, 6.
Без вывода дадим формулы для определения параметров филь
тра Рис. 5.3, а по заданным частотам 1, и 12 И сопротивлению наrруз
173
ки фильтра Zc при резонансной частоте ' р == lOр/2л :
12 fl
l>t p == v/ 1 /2 ; 2)С' 2л/I/2ZС ;
Zc [
3) LI === 2 (1 f ; 4) С 2 == Z (1 f ;
11 2 ') л с 2 ')
Zc(f2 /1)
5)L 2 == 4л/l/2
Под nолосно заi!раждающими фильтрами (рис. 5.4, а)понимают
фильтры, в которых полоса прозрачности как бы разрезана на ДВе
части полосой затухания (рис. 5.4, 6). Слева от ш, и справа от (1)2
находятся две части полосы прозрачности.
В схеме простейшеrо заrраждающеrо фильтра на рис. 5.4, а
L,C 1 ==L 2 C 2 .
Обозначим ffip===l/ VL'CI, k === LI/L2 И запишем формулы для определения
001,2 и Zc фильтров рис. 5.3, а, рис. 5.4, а.
Для рис. 5.3, а
(()
001,2 === V l + 2k =F 1);
, f2L;v k ( "P ., J '
Z Vr:-- 1 .
с С 1 2 (J) Юр ,
для рис. 5.4, а
001,2 == О,25юр ( V2k +16 =f:. 1[2k) ;
Zc == V2L2 1 O,5k .
С 2 ц)р (J) 2
( )
ffi (J)
Для фильтра рис 5.3, а в области частот от Одо ({)I ZC имеет емкостный характер, а
в области частот от 002 до 00 индуктивный. Для фИJlьтра рис. 5.4, а в области частот
от (1)1 до ffipZc имеет индуктивный характер, а в оБJlасти от Юр до (lJ2 емкостный.
Характер изменения Zc иллюстрируют кривые рис. 5.3, в, 5.4, В.
Пример 57. В схеме рис. 5.5, а L == [О м I H; С === 1 О мкФ. Определить b==/«(J) в
полосе пропускания, a==/«(J) в полосе затухания. Построить векторную диаrрамму
при ffi == 2000 рад/с и токе /2 == 0,2 А при соrласованной НЗI'рузке. Вывести формулу
расчета фильтра рис. 5.5, а при работе ero в Hecor ласованном режиме.
Реш е н и е . Частота среза Ю2 == :С == 4470 рад/с. в полосе пропускания а:::;:::
=== О, Ь === arccos А === arccos(l (J)2LC). При (J) == 2000 рзд/с ь === 530[5', (J)L === 20.
.
ин и а
................
i,
lu, Li с 1
с
Ic
1,
+1
""'530
5)
п!
174
Р....с.5.5
::::::: 50 Ом, ZH===ZC=== y2 m2L2 === 40 Ом. Векторная диаrрам ма изображена на
юС .' ..
рис 5.5,6 U 2 ==/ 2 Z H === 8 В, UI==U2eaeib===8ei53°15' В. В полосе затухания при соrла
сованной наrрузке a==Arch(m2LC 1). Если ZH будет несоrласована с Zc' то расчет
фильтра в полосе пропускания и в rloJlOce затухания можно проводить, используя
. .. .. И 2
соотношения U1===Uc+/1jmL, U c ==U 2 + z jmL,
., н
. . . и 2 и 2 jmL '
/1 == /2 + I с === Z + 1 + [и 2; U 1 === т U 2'
н z
jmC н jmC
rде
2jmL jmL (jmL)2
т== 1 + + +
ZH Z
jmC н jmC
Если взять m == 2 Ы2 === 8940 рад/с (работа в полосе затухания) и ZH === 40 Ом (вместо
"118°40'
j 77,5 Ом, исходя из условия cor ласованности), то т== 12,55e l , т. е. затухание
UI
будет Iп 02 ==Iп [2,55 == 2,53 Нп (вместо 2,64 при соrласованной наrрузке).
Аналоrичные формулы для несоrласованноrо режима можно вывести для лю
боrо друrоrо фильтра.
Пример 58. Определить параметры полосовоrо фильтра рис. 5. 3, а, исходя из
Toro, что он должен пропускать полосу частот от I1 === 750 [ц до 12 === 850 [ц и что при
резонансной частоте ' р сопротивление наrрузки ZH == Zc === [130 Ом.
Решение.
l)fp === -vf 1 / 2 == -У 75О .8 50 798 [ц.
850 750
) С 1 === 2п . 750 . 850 . 1 [30 === 0,022 мкФ;
1[30
3) LI === 2п (850 750) == 1,6 [н;
[
4) С 2 == n . 1130 . 100 == 2,825 мкФ;
[ [30 . [00
5) L 2 == 4п . 750 . 850 === 0,0141 [н. .
5.4. Качественное определение k-фильтра. По схеме k фильтра
без проведения подробноrо математическоrо анализа можно cy
Дить О том, К какому из перечисленных типов может быть отнесен
тот или иной фильтр. Заключение основывается на характере про
ДОЛЬноrо сопротивления фильтра.
Характер продольноrо сопротивления k фильтра, как правило,
ПРямо противоположен характеру поперечноrо сопротивления. В
это можно убедиться, рассмотрев схемы рис. 5.1, а, 5.2, а и 5.3, а.
Деиствительно, если продольное сопротивление индуктивное, то по
ПереЧное емкостное. Если продольное сопротивление образовано
ПОСледовательно соединенными L и С, то поперечное параллельно
Соединенными L и С и т. д. Если продольное сопротивление состоит
только из индуктивностей, то фильтр относится к катеrории НЧ; если
Продольное сопротивление чисто емкостное, то фильтр ВЧ.
[75
а а r , с r , е
I I I I 19 I 1,
I ' I I I
1" I I ZC2 I , 1'1 I 1........... I ,
I 18 ' .I l и =1 С2 I 1,0 I lс! I ZJ ZH
I I I I ' I
, J J , I I
lJ L .J f
7 пОЛ!lзВено л фильтр типа k
т фЦ/lhтрtl а)
IJ L J d L ..... f'
r пО/lуз6ено Т фuльтр тuno.lc
т фl1Аhтра 51
Р....с.5.6
Если продольное сопротивление состоит из последовательно co
единенных L и С, то фильтр полосовоrо типа. Если продольное
сопротивление состоит из параллельно соединенных L и С, ТО
фильтр заrраждающеrо типа.
5.5. Основы теории т-фильтров. Каскадное включение фильтров. Для увели
чения крутизны характеристики а == f (ы) в начале полосы затухания, получения
заданноrо значения затухания при определеннои частоте (частотах) и меньшей зави
симости Zc от частоты в полосе прозрачности применяют полузвенья т фильтров,
каскадно включаемые с k фильтрами.
На рис. 5.6 в качестве примера изображены две возможные схемы каскаДНоrо
включения l полузвена т и k фильтров. На практике обычно применяют также
схемы, в которых k фильтр находится между двумя полузвеньями т фильтра.
Входное сопротивление фильтра Zc) берут равным сопротивлению источника
сиrнала (источника питания) Zи. Схемы рис. 5.6 при меняют, коrда сопротивление
наrрузки на выходе фильтра ZH не может быть ВЗЯТо равным Zи. Схему рис. 5.8, а и
ей подобные используют, коrда ZH === Zc) === Zи.
Рассмотрим свойства полузвеньев т фильтров и каскадных соединений их с
k фильтрами. На рис. 5.6, а l полузвено т фильтра, состоящее из сопротивлений Z7
и Z8' каскадно соединено с П фильтром типа k(сопротивления Z4' Z5,Z5)' На рис. 5.6,
6 r полузвено т фильтра из сопротивлений Zg и Z IU каскадно соединено с Т фИJIЬТ
ром типа k (сопротивления Z), Z), Z.3). СОПРОТИВJlения Z7 и Z8 зависят от Z4 и Z5' а
сопротивления Zg и ZIO от Z) И .l3' Поэтому rоворят, что прототипами 1 ИJIИ
r полузвеньев m фильтров являются каскадно соединенные с ними k фильтры.
При каскадном соединении фильтров друr с друrом всеrда соблюдают принцип
соrласованности. Входное сопротивление k фильтра должно быть равно сопротив
лению наrрузки на выходе этоrо фильтра: Zc2 === ZH' . Для левоrо полузвена т филь
тра Zc2 является сопротивлением ню"рузки. Несимметричный четырехполюсник,
каким является полузвено т фильтра, описывается двумя характеристическими
сопротивлениями Zc) и ZC2' Сопротивление Zc) в т фильтре рис. 5.6. а определяется
ь
т
Z'Z4
Z7
С а с
ICZ т
lC1 Z8 f...т2 'ZS
d Ь d
о) 9)
Р....с. 5.7
Z7
а
'С1 18 ICl
..
о
а)
а
176
r , От От
Z, Z4 Z,
ZИ=ZСl
I t J ltJ
7 пОЛ!Jз6ено /( f/JUЛlJтр r ПОЛ!/.J6ено
т qJUЛlJтР(l т f/JlLльтР(l
о) 1 С1
И Ь т
Ш С
(фнчJ
H r
ClJc Шр IA) 0,5 1 lJ.JС (ФВЧ)
2) 6) е) (J)
Р....с.5.8
как входное сопротивление схемы рис. 5.7, а, в которой наrруэкой является Z,,2
(входное сопротивление k фильтра). Сопротивление Zc2 для полузвена m фильтра
представляет собой входное сопротивление схемы рис. 5.7, б, в которой наrрузкой
является Zcl'
Коэффициенты А. В. С. D, l полузвена m фильтра рис. 5.6, а ВЫЧИСJIИМ по
формулам 4.5, полаrая в них Z 1 === Z7' Z2 === О, Z3 === Z8' В результате получим А ===
==1 + (Z7/Z8)' в === Z7' С == 1/Z8' D === 1.
Подставим найденные значения А . В. С. D в фо рмулы для Zcl И Zc2
Zcl === {Z;Z 8(1 + Z7/ Z 8) ;
\j Z7 Z 8
Zc2 === 1 + Z7/ Z 8'
Входное сопротивление BToporo каскада схемы рис. 5.6, а
(5.11 )
(5.12)
\j Z4 Z 5
Zc2=== 1 + Z4/ Z 5 .
Сопротивление Z8 в l полузвене m фильтра рис. 5.6, а берут равным Z5/m, rде
ЧИСловой коэффициент m находится в интервале от О до 1. Подставляя в (5.12) Z5/m
Вместо Z8 и приравнивая подкоренные выражения формул (5.12) и (5.13), получим
уравнение для определения Zi
Z5
Z
7т
(5.13)
Z7
l+m
Z5
Z4 Z 5
или
2 + Z4/Z5
1 1
=== +
Z7 Z m Z m
4 2 5 1 т 2
1
Последнее выражение свидетельствует о том, что сопротивление Z7 образовано
m т
Двумя параллельно соединенными сопротивлениями Z4 2 и Z5 2 (рис. 5.7, в).
) т
т ак как Z7 образовано параллельно соединенными сопротивлениями, которые явля
ЮТся зависимыми (производными) ОТ сопротивлений Z4 и Z5 k фильтра, m фильтр
РИс. 5.6, а называют фильтром параллельно производНО20 типа.
Заменим в схеме рис. 5.6, а сопротивление ZH' === Zc2 на второе полузвено т
Фильтра, на входе KOToporo включим соrласованную наrрузку ZH == ZCl (рис. 5.8, а).
)77
Если первое полузвено т фильтра схемы рис. 5.6, а представляло собой l полузве
но, состоящее из сопротивлений Z7 и Z8' то второе полузвено т фильтра должно
представлять собой r полузвено, состоящее из тех же сопротивлений Z7 и Z8' но как
бы перевернутых относительно вертикаJIЬНОЙ прямой. Для BToporo полузвена т
филы'ра входное сопротивление слева равно ZC2' а входное сопротивление справа (со
стороны наrрузки ZH) Zcl' Практически Zcl для фильтра НЧ берут равным ero
значению при 00 --+ О , а для фильтра ВЧ ero значению при 00 --+ 00 . Для т филь
тра рис. 5.6, а в обоих случаях Zcl === -{L/2C , [де L и С индуктивность и емкость
k фильтра, являющеrося прототипом т фильтра. Для фильтра НЧ это значения
L и С в схеме рис. 5.1, 6, а для фИJlьтра ВЧ в схеме рис. 5.2, 6.
rраницы полосы прозрачности у т фильтра определяют так же, как и у k филь
тра, т. е. 1I0лаrая А (00) == + 1 для фильтров НЧ и ВЧ. В полосе затухания для
т фильтра
ch а == :f: А (00) .
Знак минус относится к полосе частот от оор до Ыс, знак плюс к полосе частот
от Юр до 00 для фильтров НЧ и к полосе частот от оор до О для фильтров ВЧ (объяс
няется это тем, что сопротивление Z7 изменяет знак при резонансной частоте Юр)'
rраницы полосы прозрачности по частоте для k фильтра и для каскадно и cor ласо
ванно с ним соединенноrо т фильтра совпадают. Результирующее затухание Bcero
фильтра а равно сумме затуханий т(aт) и k(аk) ФИЛЬТРОВ:
а === а т + ak'
Характер зависимости а т == f (ы) для т фильтров НЧ и ВЧ показан на рис. 5.8,
6. в, rne ЮС частота среза (rраничная частота полосы прозрачности). На рис. 5.8,
6 Юр резонансная частота. при которой ПрОТИВОПОЛОЖНОI'О характера сопротивле
т т
ния 2 Z4 и 2 Z5 В схеме рис. 5.7, в вступают в резонанс, так что Z7 === 00 (при
1 т
частоте Юр ) при этом бесконечно велико затухание т фильтра. В области частот от
ЮС дО Юр затухание а т резко возрастает, что существенно, так как получается боль
шое затухание в начале полосы затухания, rде ak мало. Уменьшение а т при ю > Юр
компенсируется ростом ak' Напряжение на входных зажимах фильтра опережает
напряжение на НaI'рузке на уrол Ь == Ь т + b k , rде Ь т уrол сдвиrа фаз от т филь
тра, а b k уrол сдвиrа фаз от k фильтра. Зависимость b k == f( (0) рассмотрена в 5.3.
Зависимость Ь т == f(ю) показана на рис. 5.8, с ДJIЯ фИJlьтра НЧ и на рис. 5.8, д для
ю
фильтра ВЧ. Зависимость ZCI == f ( ) для фильтра НЧ показана на рис. 5.9, 6 при
Юс
трех значениях т. При т 0,5 ....;-- 0,6 сопротивление Zcl остается приблизительно
постоянным почти по всеи полосе прозрачности, резко уменьшается только вблизи
частоты среза.
Рассмотрим свойства r полузвена т фильтра рис. 5.9, а, являющеrося COCTaB
ной частью фильтра рис. 5.6, б. Опуская промежуточные выкладки, запишем OKOH
чательные выражения для Zcl и Zc2 этоrо фильтра:
"""\ I ZgZ 10
Zcl == V 1 + Z /Z ; Zc2== VZgZ1o(1 + Z9/ZIO) .
9 10
Входное сопротивление k фильтра рис. 5.6, б
Zc2 === Z I Z з(2 + ZI/ Z З) .
r 1I0лузвено т фильтра рис. 5.9, а называют последовательно производным.
так как ero сопротивление Z 10 состоит из двух последовательно соединенных сопро
2 1 т 2
тивлений ZЗ и ZI' являющихся производными от сопротивлений ZI и Z3
т т
178
Z9==тl,
[Сl
(l
uu
а
с
2. !
т J
' т2
.z
т .'
ь
d
(ФНI()
1 !!!t..(ФВЧ)
ш
Ы р, UJ p2 f.JJ
6)
а)
5)
Р....с. 5.9
k-фильтра. Сопротивления Z I и Z3 имеют противоположный характер (одно индук
тивный, друrое емкостный), поэтому при некоторой частU'I е сопротивление Z 10 == О
w
(резонанс напряжений). Для полосы прозрачности зависимость Zcl == f ( ) для
<й с
фильтра НЧ (от <йс/оо для фильтра ВЧ) при трех значениях т показана на рис. 5.8, е.
При т (0,5 --;-. 0,6) Zcl относительно мало изменяется в полосе прозрачности, что
важно для практики. Зависимости а т === f (00) и Ь т == f (ы) для т-фильтра рис. 5.6, 6
такие же, как и для соответствующеl'О ему т-фИJlьтра рис. 5.6, а. Обобщенно можно
сказать, что теоретически бесконечно большое затухание в т фильтре на частоте
ю создается либо за счет тш'о, что на этой частоте в последовательной ветви 1I0ЛУ
р
звена т фильтра оказывается участок с бесконечно большим СОllротивлением (воз
никает резонанс токов), либо за счет TOI'O, что параллельная ветвь т-фильтра обра
зует короткое замыкание при возникновении в ней режима резонанса напряжений.
При каскадном соединении нескольких т-фильтров значения L, С выбирают различ
ными, чтобы создавать большие затухания на нескольких заданных частотах
(Юрl' Ы р 2 и т. п.). При этом зависимость а == f (ы), например, для фильтра НЧ имеет
вид rребенки (рис. 5.9, в). Фильтр с такой характеристикой ИНоrда называют i?pe6eH
чатым. На рис. 5.10, а показана схема IlOследовательно производнш'о IIOJIOСНО-ПРО-
пускающеrо фильтра. Параметры ее соответствуют соотношениям, указанным на
L L
r полуз8вно k фильтр 7 полуздено
ФильтР r , rт иnьт
mL 11 r. 11 mL I
11 11 C/ql
С/та 1 н С/т а
C/q 11 l' qL 1
IL./т '1 ': L/т I
1 ....... т С I [ "'т" ZC 11 ....... mCI
Oi ..... I . 1 I ..... ()
-. L .
r полуз8ено k фильтр 7 полузВено
т фllльтра о) т- фцльтра
Р....с.5.10
179
R
.",
о L:
а)
R
R
R
с
6)
6)
4 4
4
'\.../
(,f)c (,f)
,}
lIJС
1)
tII
tdf
'}
IIJ
Р....с. 5.11
""f' !; 9, а; q == () т 2 )/т. Продольные mL и 1 ЭJlемt'НТЫ MorYT быть заменены
uдним (т + ) )L, а элементы С/т и С на С/(т + ). На рис. 5. [0,6 представлена
схема IIOСJlедоватеJIЬНО I1роизводноrо Jlолосно заrраждающеl'О фИJlьтра (ч имеет тот
же смысл). В обоих схемах СОIIРОТИlмение наrрузки берут равным Zcl' но ДJIЯ фИJIЬ
тра рис. 5.10, а при w == Ы р ' а для фильтра рис. 5.10, 6 при w --+ О.
5.6. RС фильтры. Если СОllротивление наrрузки, на которую ВКJlючен фильтр,
очень веJIИКО, т. е. теоретически стремится к бесконечности (например, входное
СОIlРОТИl3Jlение JlаМIIOIЮI'О усилителя ИJIИ входное СОПРОТИВJlение ПOJlевOI'О транзи
стора), то часто ИСIlОЛЬЗУЮТ RС фильтры. На рис. 5.1 [, а в изображены схемы НЧ,
ВЦ и IIOЛОСНО ПРОIlускающеI'О RС фИJIЬТрОВ, а на рис. 5.1 [, с е соответствую
щие им зависимости a===ln U,/U 2 ==f(w). ДJIЯ НЧ фИJlьтра рис. 5.1[, а
а === 111 I 1 + j ю RCI, дЛЯ ВЧ фильтра рис. 5. [1, 6 а == 111 1 [ j /(ы ЯС) 1. Для всех
RС фИJIЬТрОВ в рабочей зоне а =1= О. Рабочая зона НЧ фИJlьтра простирается от
(t) === о до W == ы с == [/RС(нринятоусловно), при которой а === ЗдБ.Для ВЧ фильтра
рабочая зона находится в диапазоне от w === Ы С == 1/ ЯС, коrда а == 3 дБ, до w === 00,
коrда а --+ О . В IlOлосно пронускающем фильтре минимальное затухание имеет Mec
то при ю == юо == 1/ яс , IJрИ этом a===ln 13+ j(wRC ы c )I.
5.7. Активные RС-фильтры. Обычные k и т фильтры формируют из KOHдeHca
торов и ИНДУКl ивных катушек. Но индуктивные катушки элементы I'ромоздкие и их
неJlЬЗЯ изrотовить методами интеl'ральной технолOl'ИИ. Кроме 1'0['0, при очень низких
(инфранизких) частотах, применяемых, нанример, в I'идролокации и акустике, очень
трудно И31'ОТОВИТ!) индуктивные катушки с высокой добротностью. Требования миниа
тюризации аIlllарзтуры вызвали интерес к активным RС фИJlьтрам. Они IIредстаВJlЯ
ЮТ собой фИJlЫрЫ, состоящие из ЭJlементов R и С и активных элементов (ОУ ИJlИ
транзисторов); индуктивные элементы в них не входят. Известны два направления
реаJlИзации активных RС фильтров. Первое основано "а "римеlIении схем с активнымИ
ЭJlементами, в которых используют обратные связи, второе на ИСllOльзовании обыч
ных схем k и т фИJIЬТрОВ, в которых индую ивные элсменты заменены на имитирован
ные (1lOЗВОJlяющие осуществить их в миниатюрном ИСlJолнении).
Рассмотрим основы построения активных RС фильтров с обратным и связями.
На рис. 5.12, а изображена одна из схем низкочастотноrо аКТИВНОI'О RС фильтра. она
состоит из двух конденсаторов, четырех резисторов и ОУ, ИСIIОJII)зованнOI'О в инвер-
тирующем ВКJlючении.
СОIIРОТИВJlсние на['рузки, включаемой на выходе активных RС фиJН)ТРОВ, обыч
но во MHOI'O раз больше MaJIOI'O вых()дноrо СОI1РОТИВJlения caMOI'o фИJН;rра, ноэтому
можно счита"I'Ь, что фИJIЫ'рЫ рабоrают в условиях, БJlИ3КИХ К ХOJlOстому ходу. ИСХО:1 Я
из ЭТОI'О, анаJIИ cxe ы р'ис. 5.12, а нроведем для режима XUJIOCTOI'O хода. ОбозначиМ
токи в ветвях (1, 15' lих) и узлах (1 5) в соотв тствии С рис. 5.12, а и выведеМ
формулу для затухания фильтра. IIри выводе учтем, что входной ток ОУ '5 О.
18U
а,дБ
15
5 J 10
!. R, 5
и вх . ивых! п
13 Ы/йJ o
5
а) о)
Рис. 5.12
поэтому ЧJ2 ЧJ\ о. Ток i\ == j(j)2СqJз; потенциал qJ4=== /,R2== j(j)C2R2 3'
Ток i 2 === (сР3 сР4)/ R3 == сР3 (l + j(j)R 2 C 2 )/ R3. Ток i3 === сР4 j(j)C 1 == сРз С \С 2 R 2 (j)2 . BXOk
. . .. . 2
НОЙ ток фильтра /ВХ == /3 /\ /2=== ч>з[С\С 2 R 2 (j) + j(j)C 2 + ([ + jwС 2 R 2 )/R з ].
Входное напряжение
. .,. [ R \ R 2 C 2 ] R \
q>5::::::Ч>4+18хR\== q>з { CIC2RIR2w2+i(j) (R 1 +R 2 )C 2 + R3 + Rзl '
Затухание фильтра в децибелах
сР5 ( ЯI 2 )
адБ === 20lg 3 === 20[g R3 C\C 2 R\R 2 (j) +
[ R\R2C2 ] Я\
+ j(j) (R 1 + R 2 ) С 2 + R3 R3 .
Если принять R\ === R 2 === R3 == R и обозначить ыо === 1/ R -Vi ? 2 ' то зависимость
a==f((j)) (выраженная в долях от ЫО) может быть ПРОИJlлюстрирована кривыми рис.
5.12,6 при С'/С 2 === 1; 9; 36. Отношение С\/С 2 определяет вид затухания в lIолосе
частот от О до ЫО' За счет наличия ОУ при некоторых С\/С 2 затухание может быть
отрицательным (вместо затухания имеет место усиление). На рис. 5. [3, а приведена
схема высокочастотноrо активноrо RС фильтра, образованная из схемы рис. 5.12, а
перестановкой конденсаторов и резисторов. Резисторы R4 в схеме рис. 5.12, а и R4 в
схеме рис. 5.13, а, вы полняют функции сопротивлений, реr'улирующих работу
ОУ, ПОЭТОМУ IIрИ упомянутой замене их не СJlедует принимать во внимание. Для зт()й
схемы (ВЫКJlадки опускаем) затухание фильтра в децибелах
R 2
С2.
R,
и8 /X!
й Вы х. .!
1 й 6х
Б)
Р....с. 5.1 3
[81
адБ == 20 Ig I ( [ 2 С з ) + i С 1 + С 2 + СЗ I
R,R 2 C,C 2 W C 1 C,C 2 R 2 w
1
ЮО === R R2С2СЗ .
Зависимости а === f(w)для схемы рис. 5.13, а можно качественно получить из кривых
а == f(ю) для схемы рис. 5.12, а, если последние зеркально отразить относительно
вертикальной оси, проведенной через юо. Схема полосно пропускающе['о аКТИВlЮ['о
RС фильтра изображена на рис. 5.13, 6. Затухание этоrо фильтра в децибелах
Яl С 2 Rl + Я 2 I
а дБ === 201g R з ( 1 + l;) + i (Я 2 С 2 ю R 2 R з С 1 ю) .
При этом
V Rl + Я 2
юо == RIR2RЗСIС2'
Наимеиьшее затухание а 201g [ (1 + :)] имеет место при частоте "'о.
Отношение ВblХОДНШ'О напряжения четырехполюсника к входному как функция
частоты ю l1азь!вают передаточной функцией четырехnолюсника. Для схемы рис.
5.12, а К == <fJз/<fJ5'
Схема ПОЛОСlю зar'раждающеrо фильтра изображена на рис. 5.13, в.
Второе направление реализации активных RС Фильтров основано на замене
обычных индуктивных элементов в k или m фильтрах на имитированные. При заме
не учитывают, является ли или может ли быть заземленным один из концов имити
pyeMoro индуктивнш'о элемента. Если один из концов заземлен, то выбирают одну
схему имитации, если нет, то дру['ую. Так, в схеме фильтра ВЧ рис. 5.2, а нижний
зажим индуктивноrо элемента соединен с землей, т. е. элемент L является зазем
ленным. В схеме фильтра НЧ рис. 5.1, б ни один из зажимов L не заземлен (т. е. L не
заземлена). Поэтому индуктивные элементы в схемах рис. 5 2, а, 5.1, б должны быть
имитированы различно (см. IIриложение Б).
t 5.8. Передаточные ФУНКЦИИ активных RC-фИJ1ЬТрОВ в нормированном виде.
Будем различать обычную частоту W и нормированную Юн' выраженную в долях от
частоты среза ЮС дЛЯ НЧ фильтра рис. 5.14, а и в долях от центральной частоты
полосы пропускания ю, рис. 5.14, б ПОJIOСНО ПРО[lускающе['о фильтра. То есть дЛЯ
НЧФ ЮН === ю/ю с , д"IЯ ППФ ю н == ю/ю,. Передаrочные функции ОДНОI'О звена НЧ ,
пп , ВЧ и ПЗ фильтров В нормированном виде записывают так:
ю ри
k p
k Ю рн Чр Н
К нч (Р н ) == М ( ) ; К пп (Р н ) == М ( ) ;
Р ри Рри
k Р; k (p + Ю Н)
К вч (Р н ) == М (Р н ); К пз (рн) == М (Ррн)
( 2 Ю ри 2 .
Здесь М Р н ) == Р И + три + п; т == ; п == Ю рн ; Р н == jЮ н ; Ю рн нормиро
Чр
ванная резонансная У['JIOвая частота однш'о звена фильтра (Ю рн < I ). Степень Р н в
числителях этих выражений различна. У низкочастотнш'о нулевая, у ППФ
первая, у ВЧФ и ПЗФ вторая. Уравнение М(Р н ) == О имеет комплексно сопряжен
ные корни (полюса K(P 1i ». Под д обротностью полюсов qp одно['о звена фильтра
понимают величину 2а / у а 2 + 2 . Она показывает, насколько острой является час
тотная характеристика звена (полюса равны a + iP).
182
а
атах
a тLп
G
аrnах
U)c
(us
UJ
UJst Шв, CJ r fA)81 UJS2 ц)
о)
а)
Р....с.5.14
При Чр 2 звено фильтра считают низкодобротным, при Чр 20 среднедоб
ротным, при Чр> 20 высокодобротным. Схемы звеньев фИЛЬТров с различной
величиной qp приведены в [9, 17].
5.9. Получение передаточной функции низкочастотноrо активноrо RС Фильт-
ра, выбор схемы и определение ее параметров. На рис. 5.14, а изображена зависи
мость затухания а НЧ фильтра от частоты ы; ыс частота среза, ffis частота,
начиная с которой НЧ фильтр имеет относительно большое затухание а тш . В полосе
пропускания допустимо небольшое затухание атах' Порядок расчета следующий:
сначала определим отношение ffis/ffic' затем по величинам ffis/ffic, а тш и атах по
таБJIИцам, помещенным в [9, 17], при выбранном способе аппроксимации частотной
характеристики фильтра (см. 10.10)определяем знаменатель М(Р Н ) всеr'офильтра.
В таблицах он представлен, как правило, в виде произведения полиномов BToporo
порядка вида P + трн + п . Каждому полиному соответствует свое звено активнor'о
RС фильтра. Все звенья соединяют каскадно. Для каждоrо полинома определяем
добротность q р и по ее величине подбираем схему каждоrо звена по [9, 17). После
этоrо передаточную функцию каждOl'О звена денормируем, заменяя
ffi
Ю рн на Ыр/Ыс' а Р н на j . Затем определяем параметры R, С каждоrо звена. С
ыс
этой целью сопоставляем почленно выражение передаточной функции звена (напри
мер, выражения .vз/.v5 схемы рис. 5.12) с полученной функцией К иы) звена. Часть
параметров в схеме может быть взята произвольно (резисторы по нескольку килоом,
а конденсаторы доли микрофарад), друrую часть находим из сопоставления. Так как
вариантов решения может быть неск()Лько, то выбираем по тем или иным соображе
ниям наиболее целесообразное.
5.10. Получение передаточной функции полосно пропускающеrо активноrо
RС-фильтра. Положим, что требуется получить ПП фИJrьтр с относительно большим
затуханием а тш в полосах затухания (от ffi == О до ffi s1 И от ffis2 до 00) рис. 5.14, б
и небольшим допустимым затуханием атах в полосе пропускания от ю ы до ЫЬ2'
Центральная частота в полосе пропускания обозначена ы, (в относительных едини
цах ы, == 1).
Передаточную функцию ПП фильтра получают на основе частотных преобра
Зований (см. Приложение Е) следующим образом: сначала нодсчитывают нормиро
ffi s2 ffi s 1
ванную частоту ffis === НЧ фильтра прототипа. Затем по ffis И заданным
ffi Ь2 ffi Ы
Значениям а тш и атах полосовоrо фильтра, при заданном способе аппроксимации
частотной характеристики (по Чебышеву, по Баттерворту, по Бесселю и т. д.) по
таБЛицам, нриведенным в {9, 17}, определяем нормированную передаточную функ
цию НЧ филыра прототипа. После этоrо подсчи rbIBaeM коэффициент
Ь::::::. b2 ю ы
и В передаточной функции НЧ филыра прототипа заменяем Р н на
ы,
183
S + Ю; S + [
ь ь ,т. е. осуществляем переход от НЧ фильтра к ПП нормированно
s Sи
и
му фильтру (см. ПРИJlOжение Е).
Здесь Sи == jюн, Юн теку шее значение нормированной yr лавой частоты. для
перехода от нормированной частоты Юн к ненормированной юзаменяем
Юр
юн на ю / Юrненорм И Юрн на
Юrненорм
Обратим внимание на То, что степень полинома знаменателя передаточной J I
функции ПП фильтра увеJIИчивается при этом в два раза по сравнению со степенью
полинома знаменателя передаточной функции НЧ прототипа. Друrими словами,
каждое квадратичное звено НЧ прототипа заменяется на два каскадно включенных
квадратичных звена ПП фильтра.
Вопросы Дn. самопроверки
1. Что понимают под электрическими т и k фильтрами? 2. Дайте определение
полосы прозрачности и полосы затухания. Как расчетным путем найти rраницы
полосы прозрачности для фильтров НЧ и ВЧ, а также полосно пропускающих и
полосно заrраждающих фильтров? 3. Начертите rрафики изменения Zc, а и Ь в
функции частоты ю для всех известных вам типов фильтров. 4. Из чеrо следует
исходить при выявлении характера Zc фильтра в полосе затухания? 5. Как по схеме
k фильтра определить, к какому типу он принадлежит? 6. В чем недостатки k филь
тров? 7. Как соrласовывают полузвенья т фильтра с k филыром? За счет че['о R
т фильтрах при некоторых частотах возникает бесконечно большое затухание? 8. В
чем преимущества m фИJ[ЬТРОВ перед k фильтрами? 9. Что послужило основанием
подразделять полузвенья т фильтров на параллельно производные и на последова
тельно производные? 10. Чем объяснить, что коэффициент т берут равным 0,55
О,6? 11. Чем принципиально отличается RС фильтр от k и т фильтров? 12. Что
понимают под активными RС фильтрами и каковы их достоинства? 13. Какие вы
знаете два осн.овных направления реализации активных RС фильтров? 14. Какие
способы создания имитированной индуктивности вы знаете? 15. Выведите формулы
зависимости затухания а от частоты ю: а)для фильтра на рис. 5.12, а; б)для фильтра
на рис. 5.13, б; в) для фильтра на рис. 5.13, В. 16. Решите задачи 14.1; 14.4; [4.6; [4.7;
14.18; 14.2[; 14.22.
rnaBa wестая
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
6.1. Трехфазная система эдс. Под трехфазной симметричной
системой эде понимают совокупность трех синусоидальных ЭДС
одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 1200. [pa
фики их MrHOBeHHbIX значений изображены на рис. 6.1, векторная
диаrрамма на рис. 6.2. Принцип получения трехфазной системы
ЭДС иллюстрирует рис. 6.3. В равномерном маrнитном поле с по
стоянной уrловой скоростью w вращаются три одинаковых жестко
скрепленных друr с друrом катушки.
Плоскости катушек смещены в пространстве друr относительнО
друrа на 1200. В каждой катушке наводится синусоидальная ЭДС
одинаковой амплитуды. По фазе ЭДС катушек сдвинуты на 1200.
Аналоrичным путем можно получить ДBYX И четырехфазную
1R.4
+1
wt
+j
Р....с.6.1
Рис. 6.2
систему ЭДС и более. Наибольшее практическое применение по
лучила трехфазная система.
ЭДС трехфаз .юrо reHepaTopa обозначают следующи образом:
одну из ЭДС ЕА' о:rстающую от нее на 1200 ЭДС Ев. а опере
жающую на 1200 Ее'
Последовательность прохождения ЭДС через одинаковые зна
чения (например, через нулевое значение) называют последова
тельностью фаз.
6.2. Принцип работы трехфазноrо машинноrо reHepaTopa. В машинном reHe
ратаре (рис. 6.4) обмотки неподвижны (помещены в пазы статора); на рисунке они
обозначены буквами А, В, С. Маrнитное поле в reHepaTope создается вращающимся
ротором с намотанной на Hero катушкой, по которой протекает постоянный ток. Если
число пар полюсов ротора равно еДИнице, то yr ловая частота вращения ротора равна
уrловой частоте вращающеrося маrнитнО['о поля. Маrнитная цепь в такой KOHCTPYK
цИИ почти замкнута (имеется только небольшой зазор между статором и ротором),
что позволяет получить значительный поток при относительно небольшой маrнито
движущей силе обмотки ротора. При конструировании reHepaTopa стремятся к тому,
чтобы распределение маrнитной индукции по окружности статора было практиче
ски синусоидальна. На рис. 6.4 пунктирам показаны маrнитные силовые линии в
некоторый момент времени.
6.3. Трехфазная цепь. Расширение понятия фазы. Совокуп
ность трехфазной системы ЭДС, трехфазной наrрузки (наrрузок) и
соединительных проводов называют трехфазной цепью.
w
61 1 1 1 1 1
Р....с.6.з
Р....с.6.4
185
Е А .
А (1)
с
в
Р....с.6.5
Р....с.6.6
Токи, протекающие по отдельным участкам трехфазных цепей,
сдвинуты относительно друr друrа по фазе. Под фазой трехфазной
цепи понимают участок трехфазной цепи, по которому протекает
одинаковый ток. В литературе фазой иноrда называют однофазную
цепь, входящую в состав мноrофазной цепи. Под фазой будем также
понимать aprYMeHT синусоидально меняющейся величины. Таким
образом, в зависимости от рассматриваемоrо вопроса фаза ЭТО
либо участок трехфазной цепи, либо aprYMeHT синусоидально изме
няющейся величины.
6.4. Основные схемы соединения трехфазных цепей, опредеJlе-
ние Jlинейных и фазовых веJlИЧИН. Существуют различные способы
соединения обмоток reHepaTopa с наrрузкой. Самым неэкономич
ным способом явилось бы соединение каждой обмотки reHepaTopa
с наrрузкой двумя проводами, на что потребовалось бы шесть coe
динительных проводов. В целях экономии обмотки трехфазноrо re
нератора соединяют в звезду или треуrольник. При этом число
соединительных ПрОБОДОВ от reHepaTopa к наrрузке уменьшается с
шести до трех или до четырех.
На электрической схеме трехфазный reHepaTop принято изобра
жать в виде трех обмоток, расположенных друr к друrу под уrлом
120°. При соединении звездой одноименные зажимы (например,
концы X J YJ z) трех обмоток объединяют в одну точку (рис. 6.5),
которую называют нулевой точкой reHepaTopa О. Обмотки reHepa
тора обозначают буквами А, В, С; буквы ставят: А у начала
первой, В У начала второй и С У начала третьей фазы.
При соединении обмоток reHepaTopa треуrольником (рис. 6.6)
конец первой обмотки reHepaTopa соединяют с началом второй,
конец второй с началом третьей, конец третьей с началом пер
вой. fеометрическая сумма ЭДС в замкнутом треуrольнике равна
нулю. Поэтому если к зажимам А, В, С не присоединена наrрузка,
то по обмоткам reHepaTopa не будет протекать ток.
Обратим внимание на то, что расположение звезды или треу['ольника векторОВ
фазовых ЭДС на комплексной ПJЮСКОСТИ не следует связывать с расположением в
пространстве осей трех обмоток rеиератора.
l fi
Линеiiныii лро60d
с
А
. t
Е А
. О Н!/ле80и лро60d
E .
E I(J
8
ic
Р....с. 6.7
.
[А
Ic
Рис. 6.8
ПЯТЬ простейших способов соединения трехфазноrо reHepaTopa
с трехфазной наrрузкой изображены на рис. 6.7 6.10.
Точку, в которой объединены три конца трехфазной наrрузки
при соединении ее звездой, называют нулевой точкой насрузки и
обозначают О'. Нулевым проводом называют провод, соединяю
щий нул вые точки reHepaTopa и наrрузки. Ток нулевоrо провода
назовем 10' Положительное направление тока возьмем от точки О'
к точке О.
Провода, соединяющие точки А, В, С reHepaTopa с наrрузкой,
наЗblва ют линейными.
Схему рис. 6.7 называют звезда звезда с нулевым проводом;
схему рис. 6.8 звезда звезда без нулевоrо провода; схему
рис. 6.9, а звезда треуrольник; схему рис. 6.9, б треуrоль
ник треуrольник; схему рис. 6.10 треуrольник звезда.
Текущие по линейным проводам токи называют линейными; их
обозначают i А, i в' i с . Условимся за положительное направление
токов принимать направление от reHepaTopa к наrрузке. Модули
'линейных токов часто обозначают I л (не указав никакоrо дополни
тельноrо индекса), особенно тоrда, коrда все линейные токи по MO
дулю одинаковы.
Напряжение между линейными проводами наз.ывают линейным
и часто снабжают двумя индексами, например и АВ (линейное Ha
пряжение между точками А и В); модуль линейноrо напряжения
обозначают U .
л
. с в .
[8 18
lс
а) 6)
Рис. 6.9
187
i A
I..
с
в
А
i8
i.
Р....с.6.10
Рис. 6.11
Каждую из трех оомоток reHepaTopa называют фазой reHepaTo
ра; каждую из трех наrрузок фазой наrрузки; протекающие по
ним токи фазовыми токами reHepaTopa [ф или соответственно
наrрузки, а напряжения на них фазовыми напряжениями (И ф )'
6.5. Соотношения между Jlинейными и фазовыми напряжения-
ми и токами. При соединении reHepaTopa в звезду (см. рис. 6.7,6.8,
6.9, а) линейное напряжение по модулю в -уз раз больше фазовоrо
напряжения reHepaTopa (И ф )' Это следует из Toro, что ИЛ есть
основание равнобедренноrо треуrольника с острыми уrлами по
300 (рис. 6.11):
ИЛ === И АВ === И ф 2 cos 300=== 13Иф'
(6.1 )
в основу формирования ряда трехфазных наПRяжений, коrда
п ос леДУЮLцее напряжение больше преДЫДУlцеrо в раз, положен
-уз == 1,73. Приведем часть этоrо ряда при относительно низких
напряжениях: 127,220,380,660 В.
Линейный ток [л при соединении reHepaTopa в звезду равен фа
зовому току reHepaTopa: [л == [ф'
При соединении reHepaTopa в треуrольник линейное напряже
ни€:' равно фазовому напряжению reHepaTopa (см. рис. 6.6, 6.9, б):
Ил == И ф' (6.2)
При соединении наrрузки в звезду (см. рис. 6.7, 6.8, 6.10) линей
ный ток равен фазовому току наrрузки: [л == [ф'
При соединении наrрузки треуrольником положительные Ha
правления для токов выбирают по часовой стрелке. Индексы у
токов соответствуют выбранным для них положительным направ
лениям: первый индекс отвечает точке, от которой ток утекаеl,
второй точке, к которой ток притекает.
При соединении наrрузки треуrольником (см. рис. 6.9, а, б) ли
нейные токи не равны фазовым токам наrрузки и определяются
через них по первому закону Кирхrофа:
. . . . . .
[А == [АВ 'СА; 'В == 'ВС 'АВ;
. . .
[ С == [СА [ВС .
188
6.6. Преимущества трехфазных систем. Широкое распростра
нение трехфазных систем обьясняется rлавным образом тремя
основными причина ми:
1) передача энерrии на дальние расстояния трехфазным током
экономически более выrодна, чем переменным током с иным чис
лом фаз;
2) элементы системы трехфазный синхронный reHepaTop,
трехфазный асинхронный двиrатель и трехфазный трансформа
TOP просты в производстве, экономичны и надежны в работе;
3) система обладает свойствами неизменности значения MrHo
венноЙ МОlЦНОСТИ за период синусоидальноrо тока, если наrрузка во
всех трех фазах трехфазно['о reHepaTopa одинакова.
6.7. Расчет трехфазных цепей. Трехфазные цепи являются
разновидностью цепей синусоидальноrо тока, и потому расчет и
исследование процессов в них производят теми же методами и при
емами, которые рассматривались в rл. 3 и 4. Для цепей трехфазноrо
тока применим также символический метод расчета и можно CTpO
ить векторные, ТОПОI'рафические и KpyroBbIe диа['раммы.
Аналитический расчет трехфазных цепей рекомендуется сопро
вождать построением векторных и топоrрафических диаI'рамм.
Векторные диаrраммы облеrчают нахождение уrлов между токами
и напряжениями, делают все соотношения более наrлядными и
помоrают находить ошибки при аналитическом расчете, еСJlИ 1I0
следние возникнут.
6.8. Соединение звезда звезда с НУJlевым проводом. Если
нулевой IIрОВОД в схеме рис. 6.7 обладает весьма малым сопротив
лением, то потенциал точки О' практически равен потенциалу точ
КИ о; точки о' и О фактически представляют собой одну точку. При
ЭТОМ в схеме образу тся Tp обос;обленны?, кон!ура, через которые
проходят токи 1 А === Е А / ZA; 1 в === ЕвА/ ZB; 1 с === Ее/ Ze .
По первому закону Кирхrофа ток в нулевом проводе равен ['eo
метрической сумме фазовых токов:
. . . .
1 о === 1 А +/ в + I е . (6.3)
Если ZA === ZB == Zc (такую наrрузку называют равномерной), то
ток 'о равен нулю и нулевой провод может быть изъят из схемы без
ИЗменения режима ее работы. .
При неравномерной на['рузке фаз ток 10 в обlцем случае не равен
нулю.
При наличии в нулевом проводе HeKoToporo сопротивления pac
чет схемы производят методом узловых потенциалов.
127 Пример 59. В схеме рис 6.12, а ЭДС каждuй фаЗbl трехфаЗНUI о I'енератора равна
Ха В СОfJроrИВJfения фаз наl'РУЗКИ равны 110 модулю (6,35 Ом), но имею 1 раЗЛИЧНblЙ
раКтер: ZA == R , ZB == jwL; Ze == j / ыС. Определить ток в HYJleBOM Ilрuводе.
189
с
.
.
10
i A
о)
.
Ев
а)
Ее
Р....с.6.12
Р....с. 6.1 3
Реш е н и е. Построим веКТОР!1УЮ ДЮН рамму рис. 6.!2, 6. Т.оки всех фаз по
"lOдулю равны 127/6,35 == 20 А. Ток 1 А совпадает по фазе с Е k Ток 1 в на 900 отстает
от Ё в' Ток i С опережает Ё С на 900. Сум м а i А + i в + i С дает вектор тока i о. По модулю
он равен 14,6 А.
Пример 60. Какое значение должно иметь сопротивление в фазе А схемы рис.
6.12, а, чтобы ток в нум'вом проводе стал paBHЫ НУЛ!Q?
Реш е н и е . I'eOMe". рическая сумма токов I в + 1 С по модулю равна
2 . 20 cos 300 == 20 I{з Л .
Ток в нулевом IIроводе равен нулю, если ток I А' направленный противоположно
сумме j в + i С, 110 модулю равен 20 3 А. При этом сопротивление фазы А R ==
==Е /20 З == 127 /20 3 == 3,66 Ом.
Пример 61. Определить ток в нулевом проводе схемы рис. 6.12, а, если в фазу А
включить активное сопротивл{'ние 3,66 Ом, а индуктивность и емкость фаз В и С
1
поменять местами; ooL == юС == 6,35 Ом.
Реш е н и е . Векторная диаrрамма изображена на рис. 6.13. Из нее следует,
что I == 34,6 + 34,6 =;: 69,2 А.
6.9. Соединение наrрузки треуrОJlЬНИКОМ. Выберем напраВ.1!е
ние токов в фазах треуrОЛЬНl!ка в соответствии с рис. 6.9, а. Ток 1 АВ
вызывается н?пряжением и Ав , Модуль и фаза ero относительно
l:Iапряжения и АВ опредеЛЯJ{)ТСЯ сопротивлением наrрузки ZAB' Трк
1 ВС вызван напряжением и ВС' Модуль и фрза ero относительно и ВС
ОfIределяются сопротивлением ZBC' Ток I СА вызван напряжением
U СА и зависит от сопротивления ZCk Линейные токи вычислим че
рез фазовые токи по первому закону Кирхrофа:
. . .
J А == 1 А В 1 СА ;
. . .
1 в == 1 ВС 1 АВ ;
(6.4)
. . .
1 С == 1 СА 1 ВС .
При равномерной наrрузке фаз линейные токи по модулю в 1./3
раз больше фазовых токов наrрузки. При неравномерной наrрузке
линейные токи MorYT быть и больше и меньше фазовых токов H8
rрузки.
190
.
. с
I8
Ic
а)
Р....с. 6.14
1)
Пример 62. В схеме рис. 6.14, а ZAB === 19j; ZBC == 19j; ZCA === 19 Ом. эде
каждой фазы reHepaTopa 220 В. Определить все токи и построить векторную диаr
рамму.
Реш е н и е. Векторная диаrрамма построена На рис. 6.14,6. Напряжения на
фаз х наrрузки в VЗ раз больше фазовых эде .'енератора и равны 22.01jз === 380 В.
Ток / АВ опережает напряжение и АВ на 900 и равен 30/19 === 20 А. Ток 1 вс отстает от
V ВС на 900 и также равен 20 л. Ток j СА по модулю равен 20 А и совпадает по фазе с
напряжением V СА Линейные токи j А, i в, j С найдем rрафическим путем, используя
соотношения (6.4). По модулю, I А == I С 10 А; I в == 20 А.
6.10 Оператор а трехфазной системы. Условимся комплексное
число eiI20°, по модулю равное единице, обозначать а и называть
оператором трехфазной системы. Тоrда
ei240° === (eiI20o)2 == а 2 .
Три вектора: 1, а и а 2 образуют симметричную трехфазную сИс
тему (рис. б.15):
1 + а + а 2 == О.
(б.5)
Умножение какоrо либо вектора на а поворачивает ero без из
менения модуля на уrол 1200 против часовой стрелки. Умножение
,вектора на а 2 поворачивает ero на уrол 2400 против часовой стрелки,
'или, что то же самое, поворачивает ero по часовой с.треЛl\е на 1200.
С помощью оператора а можно выраз.ить ЭДС Ев и ЕС симмет
рИчной трехфазной системы через ЭДС Е А:
. .. .
Е в ==а 2 Е А ; Ес==а 2 ЕА' (б.б)
6.11 Соединение звезда звезда без HYJleBOrO провода. На
РИс. б.8 представлена схема с двумя узлами (точки О и О'). Для
расчета токов в ней целесообразно пользоваться методом двух уз
,ПОВ(см. 1.21). Напряжение между двумя узлами
. . . .
ЕАУ А + Ев У в + ЕсУс ЕА(У А + а 2 у в + аУс) (6.7)
и 0'0 ==
УА+Ув+У с УА+Ув+У с
191
1
.
Ic
+1
а
+J
Р....с.6.15
Р....с. 6.16
Если наrрузка равномерна (УА == У в == у с), то [см. соотношеНие
(6.5) ]
Е А У А ([ + а + а 2 )
иО,О == == о
3У А
И напряжение на каждой фазе наrрузки равно соответствующей
эдс:
. .. .. .
и АО , == Е А ; И во' == Ев; U со' == Ее.
Если наrрузка неравномерна, то U 0'0 =F О и
. . . . . . . . .
И АО ' == Е А ИО'О И во ' === Ев ИО'О; И со ' ==.Е с ИО'О-
Токи в фазах наrрузки:
. . . . . .
1 А === И АО ,; ZA; 1 в === И 80'; ZB; 1 с == И СО'/ Zc-
Если в двух фазах наrрузка одинакова, например
ZB == Zc =1= ZA, то формула (6.7) после преобразований имеет следу
ющий вид:
. Z8 ZA
И 0'0 === Е А Z + 2Z .
В А
(6.8)
6.12. Трехфазные цепи при наJlИЧИИ взаимоиндукции. Расчет
трехфазных цепей, содержащих маrнитно связанные катушки, ocy
lцествляют так же, как и расчет маrнитно связанных цепей OДHO
фазноrо синусоидальноrо тока.
Пример 63. О"ределить показания амперметра и вольтметра в схеме рис. 6.16.
Построить ТОПOl"рафическую диаl"рамму, совместив ее с векторной диаl"раммоЙ TO
ков. Дано: Еф == 127 В; юL == l/юС == 4 Ом; юМ == 2 Ом.
Реш е н и е . Выберем 1l0ложи-.:ельн.ые на.прав.пения токов в соответстВии с риС.
6.16. По первому закону Кирхrофа. 1.4 +1 В + 1 с == о.
Примем ЭДС Е А , наllраВJlенной 110 оси, + 1. Составим уравнение по второмУ
закону КИрXl"офа дл KOHTYP ОАО'ВО:
I АiюL +1 вiюМ (J вi юL + 1 АiюМ) == И АВ'
192
После Iюдстановки ЧИСJlОВЫХ значений 1I0JlУЧИМ
. . . - 220е / 3ОО
. .300 "БО О
2j{/A /в)==220е/ или /А /в=== "900 == 110е / А.
2е/
ДJlЯ контура ОСО' ВО
ie( !с) (i нjю/, + iАjЮМ) Иен
или
4j 1 c 2j/A 4j/ в == 220j.
Совместное решение трех уравнений дает
. . .
I А === 110 I в == 110еjБОО I е === 110 vз e jl50° А.
ТОПОI'рафическая диаl'рамма, совмещенная с вектuрной диаl'раммой токов, ИЗU
бражена на рис. 6.17. Амперметр показывает 110 А, ольтметр приблизительно
640 В. Последний результат получен ПОСJlе подсчета ЧJо' по формуле
. . ... .
ЧJо' == 'Ро + Е А 1 АjюL / BjwM.
6.13. Активная, реактивная и ПОJlная мощности трехфазной
системы. Под активной мощностью трехфазной системы понимают
сумму активных мощностей фаз наrрузки и активной мощности в
сопротивлении, включенном в нулевой провод:
Р === РА. + Р в + Ре + РО. (6.9)
Реактивная мощность трехфазной системы представляет собой
сумму реактивных мощностей фаз наrрузки и реактивной мощно
сти в сопротивлении, включенном в нулевой провод:
Q === QA + QB + Qc + Qo.
Полная мощность
( 6. 10)
S=== р2 + Q2.
(6.11 )
.
А
о'
ic
I8
Р....с.6.17
Р....с.6.18
7 з..н. М.;]
193
Если НЗI'рузка равномерная, то
р О == Qo === о; р А == Р 8 == Ре == и ф , ф СОS(j)ф;
QA === QB == Qc == U Ф /ф siпсрф>
[де срф уrол между напряжением Uф на фазе НЗI'рузки и током /ф фазы наrрузки
При равномерной наrрузке фаз .
Р == зи ф , ф cos 'Рф; (6.12)
Q == 3U ф 'ф sin СРф;
S == ЗU ф !ф.
При равномерной. наrрузке фаз независимо от способа ее соединения (звездой
или треуrольником)
3U ф /ф == -уз -уз U ф /ф == -уз U Л I л ,
(6.13 )
rде U л линейное напряжение на наl'рузке;!л линейный ток наrрузки.
Поэтому вместо формул (6.12) часто используют следующие:
Р == VЗUЛ 'л cos СРф;
Q === -УЗU Л lл sin СРф;
S == -УЗU Л I J1 "
'{
(6.14)
6.14. Измерение активной мощности 8 трехфазной системе. Для
измерения активной мощности трехфазной системы в общем случае
(неравномерная наrрузка и наличие нулевоrо провода) необходимо
включить три ваттметра (рис. 6.18). Активная мощность системы
равна сумме показаний трех ваттметров. Если нулевой провод OT
сутствует, то измерение мощности производят двумя ваттметрами
(рис. 6.19). Сумма показаний двух ваттметров при этом определяет
активную мощность всей системы независимо от Toro, звездой ИЛ,"
треуrольником соединена наrрузка (треуrольник наrрузки Bcer4fl
может быть преобразован в эквивалентную звезду). * . а
fJо\азание первоrо ваттметра равно Re UAcI A , BToporo
Re U 8с l в, но
. * . * . * . * . * .* -*
Re {иАсl А+ и ве! в }==Re {(и A иc>' А+(и B иc)! B}===Re(U А 1 А+ и 81 B+Ucl e ),
* * *
так как I А + I в == 1 в'
При равномерной наrрузке фаз достаточно измерить мощность
одной фазы и результат утроить.
Р....с.6.19
Рис. 6.20
tn..
А .
с
ио'ОК иo,ox ио,ок ==Ё А
ч
.
о'ох == o,5EA
в
51
Рис. 6.21
.tti
6.15. KpyroBbIe и линейные диаrраммы в трехфазных цепях.
Если изменяется модуль сопротивления одной из фаз трехфаз
ной цепи, а aprYMeHT ero постоянен, то rеометрическим местом
концов векторов напряжения (тока) любой фазы цепи является
окружность или прямая линия.
Для примера рассмотрим круrовую диаrрамму напряжений по
схеме рис. 6.20, если ZB === Zc === r === const и изменяется только MO
дуль сопротивления фазы A(ZA)'
Используем формулу (4.40), заменив в ней индексы а и Ь на О '
и О. в режиме холостоrо хода ток по фазе А равен нулю, а напряже
иия на двух сопротивлениях ZB === Ze == r равны Иве /2. При этом
Т9чка О' наХОДI)ТСЯ посередине вектора Иве (точка {на рис. 6.21, а);
ио,ох === 0,5 ЕА" При коротком замыкании сопротивлен.ия ZA п.о
тенциал точки О' равен потенциалу точки А. Поэтому И О'Ок === Е А .
Хордой искомой окружности является разность векторов (рис. 6.21,
t!jl) V О'Ок V О'Ох === Е А ( 0,5Е А) == 1 ,5Е k Для определения вход
\\bro сопротивления ZBX относительно точек А и О' служит схем а рис.
22, а (источники ЭДС закорочены). Два сопротивления r включе
ны параллельно, поэтому ZBX == r /2 и (})ВХ == О.
Рассмотрим три случая, отличающихся характером сопротив
ления Z k
11'
......... х.
, L
А т ,
,
\
ХС "t{
о ,
о I
, .
............ ...... I иво'
......
В
а) 6)
Р....с. 6.22
7.
195
1. Если ZA изменяющееся емкостное сопротивление, То
ZA == j /шс; fPи . 90 о; 'ф === fP и fPИХ == 90 о. Круrовая диаrрам
ма напряжения Ио'о построена на рис. 6.22, 6, rде линия ХС ПрОВе
дена по отношению к хорде под уrлом 'ф == 90 о. Масштаб дЛЯ ХС
соответствует масштабу, в котором отрезок fd выражает входное
сопротивление ZBX == r /2. rеометрическим местом точки О' S!ВЛЯеТ
ся полуокружность IрА. Для определения модуля и фаЗbI и 0'0 при
некотором произвольном значении ХС ero следует отложить на ли
нии md и провести луч 'т. Точка пересеч ния луча 'т с полуокруж
ностью IрА обозна.чена р. Напряжение Ио'о, соответствующее Взя
тому значению Хс, изобразится вектором, проведенным из точки О
в точку р.
2. Если Z А изменяющееся индуктивное сопро:rивление, то 'ф
===90 о и rеометрическим местом концов вектора И 0'0 является по
луокружность IqA (изображена пунктиром на рис. 6.22, 6). Линия
переменноrо параметра в этом случае будет справа от точки d.
3. Если ZA чисто активное сопротивл ние, то 'Ф == fP H fP BX === О
и rеометрическим местом концов вектора И 0'0 является прямая А/.
6.16. Указатель последовательности чередования фаз. Опреде
ление последовательности чередования фаз в трехфазной сим MeT
ричной системе ЭДС (напряжений) осуществляют с помощью ука-
зателя последовательности чередования фаз. В простейшем
исполнении он состоит ИЗ двух одинаковых ламп накаливания и
конденсатора (рис. 6.23).
Емкость С берут такой, чтобы емкостное сопротивление равня
лось резистивному сопротивлению каждой лампы.
Если три конца указателя подключить к трем концам симмет
ричной трехфазной системы эдс, то потенциал нулевой точки cxe
мы на рис. 6.23 будет соответствовать положению точки О' на BeK
торной диаrрамме рис. 6.22, 6.
На диаrрамме рис. 6.22, 6 видно, что напряжение на лампах
накаливания будет различно. На лампе, включенной в фазу В, оно
в
"....- .....,
/" .}-,
I " // \
,/
\ /' I
\ / '1
" '"
" ",
.... ....
с
й)
Р....с.6.23
Р....с. 6.24
196
.
определяе ся вектором И во '; на лампе, включенной в фазу С,
векТОРОМ и ео " Так как И во ' > и ео ', то лампа в фазе В будет ropeTb
более ярко, чем лампа в фазе С. Следовательно, если фазу трехфаз
ной системы ЭДС к которой подключен конденсатор, принять за
фазу A то фаза к которой окажется подключенной ярко орящая
лампа, есть фаза B а фаза с тускло орящей лампой фаза С.
Одним из важнейших свойств мноrофазных и, в частности, Tpex
фазНЫХ токов является их способность создавать KpyroBoe враща
ющееся маrнитное поле.
(', 6.17. Маrнитuное ПОJlе катушки с с!,нусоидальным током. Mar:
нитное поле однои катушки, по которои протекает синусоидальныи
ток, представляет собой пульсирующее} (не вращающееся) маrнит
ное поле. На рис. 6.24, а изображена катушка, по которой проходит
синусоидальный ток i == 1т sin rot. Маrнитное поле характеризуется
векторОм маrнитной индукции В. Направление В определяется Ha
. nравлением намотки катушки и направлением тока в ней в данный
момент времени. Пусть буква Н означает начало, а К конец Ka
тушки. Если ток входит в зажим Н и выходит из зажима К (это
направление тока будем считать положительным: ему COOTBeTCTBY
ет интервал времени от О до л то вектор маrнитной индукции
направлен вверх по осевой линии катушки. В следующий полупери
од, коrда ток отрицателен, вектор В направлен вниз (пунктир на
рис. 6.24, а). Таким образом, rеометрическим местом концов BeKTO
ра В является ось катушки.
1 6.18. Получение KpyroBoro вращающеrося маrнитноrо ПОJlЯ.
(KpYC?080e вращающееся Ma HиTHoe поле представляет собой Mar
Нитное поле, вектор результирующей маrнитной индукции KOToporo
имеет постоянное значение и вращается с постоянной уrловой CKO
Хростью ffi (рис. 6.24, б).
01 Расположим три одинаковые катушки так, чтобы их оси были
Смещены на 120° относительно друr друrа (рис. 6.25, а).
Присоединим катушки к симметричной трехфазной системе ЭДС.
Пусть токи входят в начале катушек Н и изменяются следующим
образом:
i} == 1т sin rot;
i 2 === 1т sin (rot 1200);
i з / m sin (ю t + 120°).
}
н Под пульсирующим полем понимают поле, вектор маrнитной индукции KOToporo
3МеНяется (пульсирует) вдоль оси, создающей ero катушки с током.
197
+1
111;
к
1 ох
Н
i
1}
Р....с. 6.25
у
Bg
8z .r
8)
rрафики токов изображены на рис. 6.25, б. Каждый из токов
создает пульсирующее поле, направленное вдоль оси своей катуш
ки.
Положительное направление оси первой катушки обозначим
+ 1, второй +2, третьей +3, маrнитную индукцию первой Ka
тушки обозначим В 1 , второй В2' третьей В З ' Тоrда
В 1 === Вт sinffit; В 2 === Вт sin (ffit 120°);
ВЗ === Вт sin (ffit + 1200).
Изобразим векторами в пространстве MrHoBeHHbIe значения В 1 ,
В 2 , ВЗ И результирующую индукцию для моментов времени ffit == О,
'Л/2, 'Л, 3п/2 (рис. 6.26, а z). Запишем a.1]reQpal-!ческую сумму
проекций векторов маrнитных индукций Вр В 2 , ВЗ на оси х и у
декартовой системы координат (см. рис. 6.25, в), совместив ось х с
осью I и ось у с осью +i:
.. . .
ВХ == В 2 cos 30° ВЗ cos 300 == 1,5 Bmi;
. .. . .
Ву == В. B 2 cos 60° В3 cos 60° == 1,5 Вт'
+1
+1
8 Ре8
+1
В рез
В"
+J
wt==O
а)
+2
.".
wt-= 2
б)
6)
Рис. 6.26
lQR
+1
В з 82
8,
В рез
fdt = 7Т t)
2
MrHoBeHHbIe значения проекций векторов маrнитной индукции
н а оси х и у
Bx 1,5BmcoSffit;By 1,5B m s inffit.
Результирующая индукция по модулю В -У В; + В; 1,5В т и
составляет уrол с осью х: tg == Ву/ ВХ == tgffit, т. е. уrол
=== ffit.
С увеличением времени вектор результирующей маrнитной ин
дукции, оставаясь по модулю равным 3В т /2, вращается с уrловой
скоростью ffi по направлению от начала первой катушки с током
1 sinffit к началу второй катушки с током 1 т sin(ffit 120°), т. е.
т
вектор результирующей маrнитной индукции вращается в сторону
'катушки с отстающим током.
Если ток 1 т sin(ffit 120°) пропустить по третьей, а ток
1т sin(ffit + 120°) по второй катушке, то направление вращения
поля изменится на обратное.
Если произойдет обрыв одной из фаз или ток в ней по амплитуде
не будет равен току в какой либо друrой фазе или сдвинут по фазе
не на 120 о, то образуется эллиптическое вращающееся поле. При
возникновении ero конец вектора результирующей маrнитной ин
Дукции будет скользить по эллипсу.
Для Toro чтобы усилить вращающееся маrнитное поле, внутрь
катушек помещают полый или сплошной ферромаrнитный ци
линдр, а стороны катушек заключают в пазы внешнеrо ферромаr
нитноrо цилиндра (рис. 6.27).
Вращающееся маrнитное поле используют в электрических
двиrателях.
Обратим внимание на то, что пульсирующее поле (см. 6.17)
можно представить в виде суммы двух вращающихся в противопо
Ложные стороны с уrловой скоростью ffi маrнитных полей. Действи
тельно,
В
Вт sinffit == 2/ (ej(j)t e j(j)t) == 0,5В т [ej«(j)t 900) + e j«(j)t 900)].
Вектор 0,5 Вт ej«(j)t 900) вращается против часовой стрелки, вектор
О,5В т e /«(j)t 900) по часовой.
6.19. ПРИНЦИП работы асинхронноrо двиrателя. Наиболее pac
Пространенным в промышленности типом двиrателя переменноrо
ТОКа является трехфазный асинхронный двиrатель. В нем имеется
неПОДВижная часть статор, в пазах KOToporo помещены три Ka
ТУШки, создающие KpyroBoe вращающееся маrнитное поле, и по
ДВИ>кная часть ротор, в пазах KOToporo находятся три замкнутые
На себя или на внешнее сопротивление катушки (рис. 6.27). Катуш
КИ На рис. 6.27 даны вразрез, торцовые части катушек не показаны;
199
. У2
А СО
. ... .
80 ,. .
С, В, . .. .
С! Ао
а) б) 6)
Р....с. 6.27 Р....с. 6.28
каждая из катушек занимает лишь небольшую часть окружности
статора (или ротора). В действительности каждая из катушек (пря
мые и обратные провода ее) занимает около 1/3 окружности pac
точки статора (или окружности ротора). Вал ротора двиrателя co
единен с валом рабочей машины.
Допустим, что сначала ротор неподвижен. При этом вращающе
еся маrнитное поле, созданное обмотками статора, пересекает Про
вода катушек неподвижноrо ротора с уrловой частотой W И наводит
в них ЗДС. ЗДС вызовут ТОКИ в катушках ротора. По закону Ленца,
эти токи стремятся своим маrнитным полем ослабить вызвавшее их
маrнитное поле.
Механическое взаимодействие токов ротора с вращающимся
маrнитным полем приведет к тому. что ротор начнет вращаться в
ту же сторону, в какую вращается маrнитное поле (в этом можно
убедиться, применив правило левой руки).
В установившемся режиме частота вращения ротора Ш р COCTaB
ляет (0,98-70,95) Ш. Двиrатель называют асинхронным потому, что
ротор ero вращается не синхронно с вращающимся полем; Ы р не
может равняться уrловой частоте вращающеrося поля. Это станет
понятно, если учесть, что при Ы р === W вращающееся поле не пересе
кало бы провода катушек ротора, в них отсутствовал бы ток и ротор
не испытывал бы вращающеrо момента.
В курсе rоз оrраничимся качественным рассмотрением OCHOB
ных положений, характеризующих принцип работы асинхронноrо
двиrателя. Подробнее эти вопросы изучают в курсе электрических
машин.
6.20. Разложение несимметричной системы на системы прямой, обратной и нуле-
вой последовательностей фаз. Любую несимме р ч ую систему трех токов, напряже
ний, потоков одинаковой частоты (обозначим ихА, В, С,) можнооднозначно I1редставитЬ
в виде трех систем: НУJlевой, I1рЯМОИ и обратной ПОСJlедоватеJlьностей фаз. .
Система прямой ПОСJlедовательности (рис. 6.28, а) состоит из трех векторов А l'
81' С 1 , р-авных по модулю и повернутых относительно друr друrа на 120 о, причем
вектор В 1 отстает от вектора А I на 120 О. ИСПОJlЬЗУЯ оператор а трехфазной системЫ
(СМ. 6,(0), можно записать:
. -
в 1 === а 2 А 1 ;
(б.l 5 )
200
.....
C1===aA 1 .
Система обратной последовательности (рис. 6.28, 6) состоит из векторов А2' В2'
(;2' равных по модулю J:I"oBepHYTbIx относительно друr дрУI"а на 120 О, причем вектор
82 опережает вектор А 2 на 120 О: . .
в 2 == а А 2; ( 6. 16 )
. .
С 2 == а 2 А 2 .
Система нулевой последовательности (рис. 6.28, в) образована тремя BeKTopa
ми, совпадающими lIО фазе:
Ао === ВО == Со.
(6.17)
Выразим заданные три вектора А, В, С через векторы симметричных систем
следуюЩИМ образом:
А ==Ао+АI +А 2 ;
(6.18 )
В == Во + В} + В 2 ;
С === СО + С} + С 2 .
Перепишем (6.18) с учетом (6.15).и (6. !6):
А === А о + А} + А 2;
.... .. ..
В == Ао + а 2 А 1 + а А 2;
(6.19)
(6.20 )
(6.21 )
.... .. ..
С == Ао + а А 1 + а 2 А 2 .
Из системы уравнений(6.19) (6.21) найдем Ао, А },А 2 , через заданные векторы
А, В, С. Для определения Ао сложим уравнения (6. (9) (6.21) и учтем, что [ + а +
+а 2 == О. в реЗУJlьтате llOJlУЧИМ
. l' . . (6.22)
Ао === 3 (А + В + С).
'.
Таким образом, .L.IЯ нахождения Ао следует rеом трически сложить три задан
ных вектора и взять од.ну треть от полученной суммы.
Для нахождения А 1 К уравнению (6.19) прибавим уравнение (6.20), умноженное
На а, и уравнение (6.21), умноженное на а 2 ;
. l' . 2 . (6.23)
А 1 === 3 (А + аВ + а С).
Следовательно, одна треть суммы, состоящей из вектора плюс вектор В
,(повернутый против часовой стреJIКИ на 120 О) и плюс вектор С (новернутый по
часовой CTpeJIKe на [20. О), дает вектор А l'
Для вычисления A к уравнению (6.19) прибавим уравнение (6.20), предвари
. тельно ум ноженнос на а , и уравнение (6.11), умноженное на а:
. l' 2 . . (6.24)
А 2 === 3 (А + а В + аС).
6.21. Основные положения метода симметричных составляющих. Трехфазные
СИстемы передачи электрической энерl'ИИ состоят из источников энеРl'ИИ, линий
( передачи, трансформаторов и элеКТрОДВИl'ателей. В результате какой либо аварии
НаllРИМер, KopoTKoro замыкания ИJIИ обрыва провода) или при несимметричной
На['рузке на элементах системы (электродвиrателях, трансформаторах, самой ли
Нии передачи) возникают несимметричные напряжения.
201
'.
Р....с. 6.29
Расчет токов и напряжений в таких системах производят с помощью схем заме
щения, на которых все элементы системы должны быть представлены комплексны-
ми сопротивлениями. Но сопротивление на фазу одноrо и Toro же элемента не оди
наково для разных последовательностей. Поэтому расчет следует вести для каждой
из последовательностей отдельно, а затем искомую величину (ток или напряжение)
определить как сумму токов или соответственно напряжений нулевой, прямой и
обратной последовательностей.
Рассмотрим причины, обусловливающие различные значения сопротивления
одноrо и Toro же элемента для разных последовательностей фаз (при относительно
низких частотах).
Сопротивление на фазу трехфазной линии передачи для прямой, обратной и
нулевой последовательностей фаз обозначим соответственно Zlл' Z2Л'ZОЛ. Сопротив-
ление на фазу линии передачи для прямой последовательности Z lл равно сопротив-
лению на фазу линии для обратной последовательности Z2л' но не равно сопротивле-
нию на фазу линии для нулевой послеДовательности фаз вследствие различных
значений индуктивности на фазу трехфазной линии для сиСтем прямой и нулевой
последовательностей фаз.
Различные значения индуктивностей на фазу линии для прямой и нулевой по-
следовательностей фаз объясняются двумя причинами. Во-первых, индуктивность
на фазу линии для прямой и обратной Последовательностей определяется только
rеометрическими размерами петель, образованных ЛИнейными проводами, тоrда
как индуктивность на фазу линии для нулевой последовательности зависит не только
от rеометрических размеров петель, образованных линейными проводами, но и от
rеометрических размеров петель, образованных линейными проводами и нулевым
проводом. Во-вторых, ЭДС, наводимые в петлях провода Линии для прямой и обрат-
ной последовательностей, представляют собой rеометрическую сумму ЭДС, наводи
мых сдвинутыми по фазе на 120 о токами в линейных проводах, тоrда как ЭДС,
наводимые в петлях проводов линии для нулевой последовательности, созданы сов-
падающими по фазе токами нулевой последовательности.
В трехфазном трехстержневом трансформаторе (маrнитная система ero изо-
бражена на рис. 6.29) сопротивление на фазу для нулевой последовательности ZaT не
равно сопротивлению на фазу для прямой последовательности ZlT' но ZlT == Z2T' rде
Z2T сопротивление на фазу для обратной последовательности.
Объясняется это rлавным образом тем, что маrнитные потоки нулевой последо-
вательности Фа всех трех фаз находятся в фазе и поэтому не MorYT замыкаться по
соседним стержням маrнитной системы и замыкаются по воздуху (рис. 6.29). Mar-
нитные Потоки трех фаз прямой Ф 1 и соответственно обратной последовательностей
по фазе сдвинуты на 120 о и поэтому MorYT замыкаться по соседним стержням
маrнитной системы. Так как маrнитное сопротивление по пути в воздухе MHorO
больше маrнитноrо сопротивления по пути в стали, то при одинаковых токах нулевоЙ
и прямой последовательностей Фо<Ф 1 . Поэтому ZOт<ZIT. Еще большее различие
имеют сопротивления прямой Z lJ.' обратной Z2;J, и нулевой ZOJ. последовательностей
асинхронноrо двиrателя.
202
I
Если к выходным зажимам трехфазноrо асинхронноrо двиrателя (см. рис. 6.27)
одновременно подвести напряжения прямой, нулевой и обратной последовательно
стей фаз, то входное сопротивление на фазу двиrателя для прямой последователь
НОСТИ Zlд не будет равно входному сопротивлению на фазу для обратной последова
тельности Z2д и оба они будут отличны от входноrо сопротивления для нулевой
последовательности l.од' Разберем, чем это объясняется.
Под действием напряжения прямой последовательности в двиrателе создается
KpyroBOe вращающееся маrнитное поле. Оно увлекает за собой ротор ДВИI'ателЯ.
ротор вращается с уrловой частотой ЮР' Система напряжений обратной последова
теЛЬНОСТИ также создает KpyroBoe вращающееся поле, но напраВJlение вращения ero
обратно направлению вр щения оля прямой последовательности.
Система напряжении нулевои последовательности вращающеrося маrнитноrо
поля не создает. BOKpyr статорных обмоток ею создаются пульсирующие потоки,
замыкающиеся по воздушному зазору между статором и ротором, подобно тому как
в трехстержневом трехфазном трансформаторе (рис. 6.29) потоки от нулевой после
довательнОСТИ, выходя из сердечника, замыкались по воздуху.
Входное СОIlротивление на фазу двиrателя для данной последовательности за
висит не только от активноrо и реактивноrо сопротивлений фазы статорной обмотки,
но и от активноrо и реактивноrо сопротивлений роторной обмотки [подобно тому как
в трансформаторе входное сопротивление определяется не только собственным co
противлением первичной обмотки, нои сопротивлением, вносимым вторичной обмот
КОЙ (см. 3.39»). Индуктивное сопротивление фазы ротора прямо пропорционально
частоте. ЭДС прямой последовательности создают в роторе токи частоты (ю U)p)'
чтосоставляет примерно от 0,02 До 0,05 ю, Tor да как токи ротора от обратно вращающеrося
поля имеют чаСТОТУffi+ffiр (l,9871,95)u). Так как частоты токов в роторе, создаваемые
прямой и обратной последовательностями, различны, то различны и входные сопро
тивления на фазу для прямой (l!fl) и обратной (Z2д) последовательностей.
Маrнитные потоки нулевои последовательности фаз замыкаются, минуя ротор,
а потоки прямой и обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При
одном и том же токе прямой и нулевой последовательностей соответствующие им
потоки различны. Поэтому для асинхронноrо двиrателя zод =1= llд=l=Z2д'
Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На OCHO
вании IIринципа наложения, применимоrо к линейным цепям, заданный несиммет
ричный режим работы схемы представляют как результат наложения трех симмет
ричных режимов.
В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только
составляющие прямой последовательности фаз, а линии передач, вращающиеся
машины и трехфазные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлени
ями ДJIЯ прямой Последовательности.
Во втором симметричном режиме все токи. ЭДС и напряжения содержат COCTaB
ЛЯющие только обратной последовательности. а машины и трансформаторы пред
ставлены их сопротивлениями обратной последовательности.
В третьем,симметричном режиме все токи. ЭДС и напряжения содержат только
СОстаВJlяющие нулевой последовательности, а машины и трансформаторы пред
ставлены соответствующими сопротивлениями нулевой последовательности.
Для 1'01'0 чтобы от симметричной исходной схемы прийти к трем симметричным
схемам, поступают следующим образом: в том месте схемы, rде с.оздС!етс несиммет
рия, в схему вводят сумму трех несимметричных напряжений и А , ив, и с . Система
этих напряжений (ЭДС) на основании теоремы компенсации заменяет три неодина
КОвых сопротивления, образовавшихся в месте аварии и приведших к несимметрии
80 всей схеме. Далее три несимметричных напряжения в соотве.тстt3ии.с 6.20
раСкладывают на три симметричных, основные векторы которых и о , U 1 , и 2 надле
жит определить. Точно так же три несимметричных тока i А' i в' i с раскладывают на
три Симметричные системы токов. основные векторы которых io. i., i 2 следует найти.
в методе симметр'ИЧНЫХ составляющих неизвестными являются шесть величин:
три напряжения (и о . U l' ( 2 )и три тока (i o ,i I .i 2 ). через которые MorYT быть выражены
ЛЮбые напряжения и токи в цепи.
203
Для определения шести неизвестных составляют шесть уравнений: по Одному
уравнению составляют для каждой из трех симметричных систем; остальные три
уравнения записывают ДJIЯ Toro участка схемы, rде создается несимметрия. Вид
трех послеДНИХ уравнений зависит от характера несимметрии в схеме.
Вопросы АН. семопроверкм
_. Дайте определение трехфазной симметричной системы эдс. Какими ДOCTO
инствами объясняется широкое распространение систем в энерrетике? 2. Что пони
мают под линейным и нулевым проводами, линейнЫми и фазовыми напряжениями
и токами? 3. Как вы объясните, что напряжения, которые получают от трехфазных
цепей, MorYT быть представлены следующим рядом: 127,220,380,660 В? 4. Каковы
функции нулевоrо провода в системе звезда звезда при несимметричной наrруз
ке?5. При каких способ х соединения reHepaTopa с наI'рУЗКОЙ линейный ток равня
ется фазовому? 6. При каких способах соединения reHepaTopa с наrрузкой линейное
напряжение равняется фазовому? 7. На распределительном щитке выведены три
конца симметричной трехфазной системы эдс. Как определить зажимы фаз А, В,
С? 8. Что понимают под активной и полной мощностями трехфазной системы? 9.
Почему при симметричной наrрузке расчет можно вести на одну фазу? 10. Почему
активную мощность трехфазной системы при наличии нулевоrо провода нельзя
измерять с помощью схемы рис. 6.19? 1 _. Охарактеризуйте условия получения Tpex
фазноrо KpyroBoro вращающеrося маrнитноrо поля. 12. Начертите кривую, по KOTO
рой будет перемещаться конец вектора результирующей маrнитной индукции Bpa
щающеrося маrнитноrо поля, которое образуется при обрыве фазы А трехфазной
симметричной системы рис. 6.25, а. 13. Что свойственно прямой, нулевой и обратной
последовательностям фаз? 14. Как разложить несимметричную трехфазную систе
му на три симметричных? 15. Объясните, почему сопротивление на фазу элементов
трехфазных систем (линии Передачи, трехстержневоrо трансформатора, асинхрон
Horo двиrателя) неодинаКово для различных последовательностей. 16. Решите зада
чи 6.4; 6.13; 6.15; 6.21; 6.28.
fllaBa седьма.А
ПЕРИОДИЧЕСКИЕНЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕТОКИ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
7.1. Определение периодических несинусоидальных токов и напря-
жений. Периодическими несинусоидаЛЫ-lЫМU токами u напряжеflU
ями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по
периодическому несинусоидальному закону.
Они возникают при четырех различных режимах работы элект
рических цепей (и при сочетаниях этих режимов):
1) коrда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную
эде (несинусоидальный ток), а все элементы цепи резистивные,
индуктивные и емкостные линейны, т. е. от тока не зависят;
2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную
эде (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи
нелинейны;
3) коrда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальную
ЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входяТ
один или несколько нелинейных элементов;
4) если источник эде (тока) дает постоянную или синусоидаль
ную эде (ток), а один или несколько элементов цепи периодически
изменяются во времени.
204
в данной rлаве рассматриваются методика расчета и особенно
сти работы линейных электрических цепей при воздействии на них
несинусоидальных ЭДС и токов первый из перечисленных режи
МОВ работы. Второй и частично третий режимы работы обсуждают
ся в rл. 15, четвертый в rл. 18.
7.2. Изображение несинусоидаJlЬНЫХ токов и напряжений с
помощьЮ рядов Фурье. Из курса математики известно, что любую
периодическую функцию t(x) с периодом 2п, удовлетворяющую yc
ловиям Дирихле 1 , можно разложить в ряд Фурье.
Переменная величина х связана со временем t соотношением
х == wt == 2nt / Т,
rде т период функции во времени.
Таким образом, период функции по х равен 2п, а период той же
функции по времени равен Т.
Ряд Фурье записывают так:
t(x) == Ао+А' I sinx+ А' 2sin2x+A' зsiп3х+А' 4sin4x+ ...
... +А")соsх+А"2соs2х+А"зсоs3х+А"4соs4х+..., (7.1)
rде Ао постоянная составляющая; A'l амплитуда синусной
(изменяющейся по закону синуса) составляющей первой rармоники;
А"l амплитуда косинусной составляющей первой rармоники; А'2
амплитуда синусной составляющей второй rармоники и т. д.
Здесь
2л
1
Ао == ( f(x)dx;
2л)
о
(7.2)
1 2л 1 2л
А' == n t(x)sinxdx; А" 1 == -; t(x)cosxdx;
о о
(7.3)
2л 2л
1 1
A'k == Л f(x)sinkxdx; A"k == Л t(x)coskxdx.
о о
Так как
A'ksinkx+A"kCOskx == Аksiп(kХ+'Фk)'
rДе
Ak == v' (A'k)2+(A"k)2 И tg'Vk == A"k / A'k'
1
Все периодические функции, с которыми имеют дело в электротехнике, услови
Д Я М Дирихле удовлетворяют. Поэтому производить проверку на выполнение условий
ИРИХJlе не требуется.
205
{{х)
f(x}
x .т
ох
X+1f
а)
6)
Рис. 7.1
то ряд Фурье (7.1) МОЖНО записать в друrой форме:
f(x) == A o +A(sin(x+1PI) +A 2 sin(2x+1I'2) +... ==
00
(7.4 )
=== А 0+ L Aksin( kX+1Pk) '
k===l
rде Ak амплитуда k rармоники ряда Фурье.
rармоники, для которых k нечетное число, называют нечет
ны.ми; для которых k четное число, четными.
7.3. Некоторые свойства периодических кривых, обладающих
симметрией. На рис. 7.1 и 7.2 изображены три кривые, обладающие
некоторыми специфическими свойствами. Кривая рис. 7.1, а YДOB
летворяет условию f(x+п )==f(x).
Кривые, для которых выполнимо это условие, называют cиM.мeT
ричными относительно оси абсцисс. Если кривую рис. 7.1, а сместить
по оси хна пол периода и зеркально отразить относительно оси х, то
полученная кривая совпадает с кривой f(x).
При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют посто
янная составляющая и четные rармоники, т. е. равны нулю коэффи
циенты Ао == А' 2 == А"2 === А'4 === А" 4 ==... ==О .
Поэтому кривые типа кривой рис. 7.1, а раскладывают в ряд
f(x) А 'lsinx+A" Icosx+A" зsiп3х+А соs3х+...
{(х)
:l
.r .r
Рис. 7.2
206
Каждое слаrаемое этоrо ряда удовлетворяет условию
f(x+n) == {(х), например siп(х+л) == sinx.
Кривая, подобная кривой рис. 7.1, 6 обладает симметрией OTHO
сuтеЛьНО оси ординат и удовлетворяет условию t( x) == {(х).
Если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отразить
относительно оси ординат, то полученная кривая совпадает с кри
вой, лежащей правее оси ординат. При разложении таких кривых в
ряд Фурье отсутствуют синусные (А' 1 == А'2 == А' 3 ==... === О) COCTaB
ляющие, т. е. присутствуют лишь косинусные и постоянная COCTaB
ляющие.
ТакиМ образом, кривые типа кривой рис. 7.1, 6 можно разложить
в ряд \
{(х) === Ао+А" .cosx+A " 2 cos2x+A "зcos3x+... .
Кривые типа кривой рис. 7.2 удовлетворяют условию
f( x) == {( х), их называют кривыми, симметричными относитель
НО начала координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид:
{(х) ==A'lsinx+A'2sin2x+A'3sin3x+....
\
7.4. О разложении в ряд Фурье кривых rеометрически правиль-
ной и неправильной форм. Встречающиеся в электротехнике пери
одические кривые можно подразделить на две rруппы: 1) кривые
rеометрически правильной формы, например трапецеидальной,
треуrольной, прямоуrольной и т. П.; разложение их в ряд Фурье дано
в табл. 7.1, rде вместо х записано wt; 2) кривые произвольной (reo
метрически неправильной) формы; чаще Bcero они заданы в виде
rрафика; разложение их в ряд Фурье производят rрафически (rpa
фоаналитически).
7.5. rрафический (rрафоаналитический) метод определения rармоник ряда
Фурье. rрафический метод определения rармоник ряда Фурье основан на замене
определенноrо интеrрала суммой конечноrо числа слаrаемых. С этой целью период
2л
ФУНКЦИИ f(x), равный 2л, разбивают на п равных частей I1х === и интеrралы заМе
п
Няют суммами.
По определению, постоянная составляющая
2п; р==п п
1 1 [2л
Ао == 2л f(x)dx 2л I f p(x)t!..x == 2л I f p(X ,
о р== ' p==l
ИЛИ
п
1
Ао == п If р(Х),
р=='
,(е ) р текущий индекс, принимающин значения от 1 доп; f р(Х) значение ФУНКЦИИ
х при x==(p 0,5)t!..x, т. е. в середине p ro ннтернала.
(7.5 )
207
а ы[
Jt Jt
"/w t
Jt
27['
Jbll
2I.J7t
'Т а б л и ц а 7. J
"- .
4а 1 1 11
f({fjt)=== (siпаsiП{fjt+ 9 siп3аsiП3{fjt+ 25 siп5аsiп5{fjt+... )1,
ал I
I
8а т J 1 1
t({fjt) === 7 (sin{fjt 9 sin3 {fjt+ 25 sin5ыt 49 sin7 {fjt+. о о)
4а т 1 [ 1
f({fjt) === (sin{fjt+ 3 sin3{fjt+ 5 sin5{fjt+"7 sin7 {fjt+...)
. 4а т ал J 3ал
J({fjt) === (sinTcos{fjt+ 3 siПТСОSЗ{fjt +
1 5ал
+5siптсоs5юt+... )
2а т 1;I, 1 [
f(rot) == ( + соsrot+ соs2ro соs4юt +
л 2 4 1.3 I 3.5
1
+ 5. 7 cOS 6rot ...)
4а т 1 1 [1 ]
f{юt) == (2 +т:зсоs2rot 3. 5 соs4юt+ 5. 7 соs6юt ...)
зу з а т 1 1 1
f(rot) == л ("2+ 2.4 cos 3rot 5:" 7 cOS 6rot +
[
+ 8. [o cos 9rot oo.)
{( ) 3ат ( 2соs6юf
юt === [+
л 5.7
2cos [2юt 2cos 18юt
1[.13 + 17.19 о..)
Амплитуда синусной составляющей k r'армоники ряда
2л п
1 ( 2 \' 2л
А' k === j t(x)sinkxdx 2 L./ p(x) sinpkx,
л ::t п
о р==1
или
п
2
А' k п It p(x)sinpkx,
р==1 (
амплитуда косинусной составляющей k rармоники
208
(7.6)
п
2
А" k === п 'L./ p(x)cospkx,
р==1
(7.7)
о
f(wt)
t
wt
f(шt)
а)
5\
Р....с.7.3
rде siпр kx и cOSp kx соответственно значения функций siпkх и coskx при x===(p
O,5) x, т. е. в середине p ro интервала.
При расчетах по (7.5) (7.7) обычно достаточно разделить период на п===24 или
18 частей, а в некоторых случаях и на меньшее число.
Перед тем как производить rрафическое разложение в ряд, необходимо выяс
нить, не обладает ли раскладываемая функция сим метрией относительно осей KOOp
динат (см. 7.3). Наличие Toro или иноrо вида симметрии позволяет до проведения
разложения предсказать, какие rармоники следует ожидать. Так, если кривая t(x)
симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая Ао и все чет
ные rармоники отсутствуют, а ВЫЧИСJIЯЯ А' k И А" k при нечетных k, следует учесть, что
Itix)sinpkx за первый полупериод равна сумме I/ix)sinpkx за второй полупериод.
Знак уrлов 'Фk в формуле (7.4) зависит от знаков А' k и А" k' При ностроении
rармоник на общем rрафике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для
k l'армоники должен быть взят в k раз большим, чем для первой rармоники.
Так, например, если некоторый отrезок на оси абсцисс для первой rармоники
выражает собой уrол л / 3, то тот же отрезок для третьей I'армоники выражает собой
yrOJI, в 3 раза больший, т. е. 3(Л/3)===:1:.
Пример 64. Найти первую и третью rармоники функции {(х), изображенной на
рис. 7.3, а. Значения ординат ФУНКllИИ t(x) за первый полупериод при разбивке
периода на п===24 части следующие:
р........... .
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 [[ 12
{р(Х) ......... 7 ] [ [3,5 15,4 [7,4 20,525,432,527,7 [9,2 10 5
Реш е н и е. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, то А ===0 и
ряд будет состоять только из нечетных I'армоник.
Амплитуда синусной составляющей первой rармоники
n n / 2
A'l === I tp(x)sinpx === : Itp(x)sinpx,
p 1 p l
4
А I === 24 ( 7sin7°30' + [[ sin22°30' + 13,5siп37030' +
+ [5,4sin52°30' + 17,4siп67030' +20,5siп82030' +
+25,4sin97°30' +32,5sin 1 [2°30' +27,7siп [27°30' +
+ 19,2sin [42°30' + 10sin [57°30' +5siп [72030') 25,3.
209
Амплитуда косинусной составляющей первой rармоники
n/2
4
А' 1 === п I t p(x)coSpx 5,23.
р==1
Амплитуда синусной составляющей третьей rармоники
12
4
А'з ==: 24 I tр(х)siПр3х З,47.
р==1
Амплитуда косинусной составляющей третьей rармоники
12
[
А"з === 6 I fp(x)cosp3x 5,1.
р==1
Амплитуда первой r'армоники Al=== V (A l ) 2 +(A ; ) 2 ==:25,9. TaHreHC уrла 'Фl, на KO
торый начало первой rармоники смещено относительно начала кривой f{x),
tg'ФI === А" 1 / А' 1 === 5,23 /25,3 === O,206; 'Фl === [ 1040'.
Амплитуда третьей rармон ики
А з === v (А'з)2+(А"з) 2 ===6; tg'Фз===А"з/А'з=== 1,47; 'Фз===55 0 50'.
Следовательно, если оrраничиться третьей rармоникой, то
f(юt) === 25,9siп(юt 11 °40')+6siп(3юt+55°50').
На рис. 7.3, 6 изображены первая и третья rармоники полученноrо ряда, а также
результирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис. 7.3, а.
7.6. Расчет токов и напряжений при несинусоидаJlЬНЫХ источ-
никах питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток
источника тока или ЭДС источника ЭДС) должны быть представ
лены рядами Фурье.
Соrласно принципу наложения, MrHoBeHHoe значение тока лю
бой ветви схемы равно сумме MrHoBeHHbIx значений токов отдель
ных rармоник. Аналоrично, MrHoBeHHoe значение напряжения на
любом участке схемы равно сумме MrHoBeHHbIx значений напряже
ний отдельных rармоник на этом участке. Расчет производят для
каждой из rармоник в отдельности с помощью уже известных при
емов. Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от
действия постоянной составляющей ЭДС или источника тока, за
тем токи и напряжения от действия первой rармоники, после
чеrо от второй, третьей и т. д.
При расчете токов и напряжений, возникающих от действия
постоянной составляющей ЭДС, необходимо иметь в виду, что па
дение напряжения на L при постоянном токе равно нулю, а также
что постоянный ток через конденсатор С не проходит.
При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление
X L растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для k rapMO
ники Ха в k раз больше, чем для первой rармоники Х о :
XLk==kblL ==kX Ll ; (7.8)
Х LI == (J.) L.
210
j(t)
ь
.(D}
t J
3 т
'(1) .(2)
lJ lJ
j(J)L Н, jZblL
L,
м
а
а)
1)
8)
z)
Рис. 7.4
Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, ПОЭТО
МУ дЛЯ k rармоники X Ck в k раз меньше, чем для первой rармоники
X C1 :
X Ck 1 /( kwC) Х CI /k;
X C1 1 /(ыС).
(7.9)
Для каждой rармоники можно построить векторную диаrрам
му. Однако откладывать на векторной диаrрамме токи и падения
напряжения различных частот и тем более векторно складывать
токи и падения напряжения различных частот недопустимо, по
скольку уrловые скорости вращения векторов разных частот неоди
наковы.
Резистивные сопротивления, если частоты не очень велики, по
лаrают от частоты не зависящими.
При расчете каждую rармонику выражают комплексным чис
лом. Суммирование одноименных rармоник производят путем сло
жения комплексных чисел или векторов на комплексной плоскости,
т. е. так же, как это делалось в rл. 3.
Пример 65. В левой ветви схемы рис. 7.4, а имеется источник тока
j(t) === Jkmcos2rot, В средней (второй) источник ЭДС e(t) === Ео+Етsiпrot. Катушка
индуктивностью L4 маrнитно связана с катушкой индуктивностью L3. Взаимная
индуктивность между ними М. Определить MrHoBeHHoe значение тока i3 и напряже
Ния Ща на зажимах L4. Дано: Jkm == 5 А; ro==lOOO рад/с; Ео===3 В; Е т ===6 В; Rl==3 Ом;
L3===3 MrH; М===} MrH.
Реш е н и е. Положительные направления для токов выберем в соответствии с
рис. 7.4, а. По второму закону Кирхrофа
di 4 di з di з
uba L 4 dt +М dt == О, но i 4 ===O, поэтому иЬа === M dt '
Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие тока i3 от каж
доrо ИСточника в отдельности.
ь Схема рис. 7.4, б служит для расчета токов от действия постоянной составляю
щеи ЭДС. Левая ветвь схемы разомкнута, так как в ней включен источник тока с
бесконечным сопротивлением. Правая ветвь короткозамкнута, так как индуктив
CTb для постоянноrо тока имеет нулевое сопротивление. При этом
l3 ===Ео/ Rl === [А.
2[[
Первую rармонику тока I O найдем, используя схему рис. 7.4, в:
I === 6/ (3+3Л == [,41e i45".
Вторую rармонику тока i ) вычислим в соответствии со схемой рис. 7.4, 2:
j(2) == 5ei90° 3 == 2 23еj2БО40'
3т 3+ j6' .
MrHoBeHHoe значение тока iз равно сумме MrHoBeHHhIx значений:
i з === i O)+i l)+i ) === [+ [,41 sin(ыt 45°)+2,23sin(2ыt+26°40f) А.
Напряжение
di з
иЬа === MM == [,4[cos«(J)t 45°) 4,46cos(2ыt+26°40f) В.
7.7. Резонансные явления при несинусоидальных токах. Как
известно из rл. 3, резонансным режимом работы электрической
цепи, содержащей один или несколько индуктивных и один или
несколько емкостных элементов, называют такой режим, при KOTO
ром ток на входе совпадает по фазе с действующей на входе эдс.
Если действующая эдс несинусоидальна, то в электрической
цепи MorYT возникать резонансные режимы (резонансы токов или
напряжений) не только на первой, но и на высших rармониках.
Условимся под резонансом на k rармонике понимать такой pe
жим работы, при котором ток k rармоники на входе цепи по фазе
совпадает с k rармоникой, действующей на входе ЭДС(но при этом
токи остальных rармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их
ЭДС).
Если учитывать активные сопротивления индуктивных KaTY
шек, то условие возникновения резонанса для какой либо rармони
ки заключается в том, что реактивная составляющая входноrо co
противления для этой rармоники должна быть равна нулю.
Исследование резонансных явлений при несинусоидальных TO
ках часто производят, полаrая активные сопротивления индуктив
ных катушек равными нулю. В этом случае входное сопротивление
при резонансе токов равно бесконечности, а входное сопротивление
при резонансе напряжений равно нулю.
При возникновении резонансноrо и близкоrо к нему режима на
какой либо высшей rармонике токи и (или) напряжения этой rap
моники MorYT оказаться бо' льшими, чем токи и напряжения первой
rармоники на этих участках цепи, несмотря на то что амплитуда
соответствующей высшей rармоники ЭДС на входе схемы может
быть в несколько раз меньше амплитуды первой rармоники эдс.
Пример 66. в схеме рис. 7.5 катушка обладает индуктивностью L2. Полаr"а Я
активное сопротивление индуктивной катушки равным нулю, найти, при какиХ зна
чениях емкостей СI и С2 входное сопротивление схемы для первой rармоники равНЯ-
ется нулю, а для девятой бесконечности.
919.
РеШ е н и е:
. jЮL2 ( / с ' )
/ ю 2
Z\ == юС + ( 1 ) === О,
I j юL
2 юС
2
i i9roL2( )
Z9 == 9ЮС 1 + " ( ] == 00.
/ 9юL2 9ЮС 2
1 81
Совместное решение дает 1 / ЮС 2 == 81юL 2 ; == 8 юL2'
ЮС 1 О
0------1
с,
С 2
Рис. 7.5
7.8. Действующие значения несинусоидаJlьноrо тока и несину-
соидаJlьноrо напряжения. По определению (см. 3.2), квадрат дей
ствующеrо значения тока 1 выражают через MrHoBeHHoe значение
тока i следующим образом:
1 т
J2 === Т i 2 dt.
о
Если ток
i === 10 + I\msin(ffit + 'Ф\) + 1 2m sin(2ffit + 'Ф2) + ...,
то
00
i 2 === 16 + L lim sin2 (kffit + 'Фk) +
k==O
00
+ L 1 рт l qmSin(pffit + 'Фр)siп(qffit + 'Фа)'
р==О
q == О, р =1= q.
Но .
т
т
sin2(kffit + 'Фk)dt === 2;
о
т
Sin(pffit + 'Фр)siп(qffit + 'Фq)dt === О.
о
p=l=q
(7.10)
Поэтому
J2 === 16 + Пт / 2 + I т / 2 + I т / 2 +...
213
или
1 === I + /im / 2 + J m / 2 + ... . (7.1 О а)
Так как амплитуда k rармоники тока I km В '-12 раз больше дейст
вующеrо значения тока k rармоники I k , то
/ т / km / km 2
"2: === == /k;
/ == V / 6 + /i + / + / + ". . (7.11 )
Следовательно, действующее значение несинусоидальноrо тока
равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной COCTaB
ляющей тока и действующих значений отдельных rармоник. От
уrлов сдвиrа фаз 'Фk действующее значение тока не зависит.
Аналоrично, действующее значение несинусоидзльноrо напря
жения и равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной
составляющей и дейст вующих значений отдельн ых rармоник:
и == U6 + Ui + и + и5 +... (7.11a)
При мер 67. На входе двухполюсника и== 100+80 siп(ыt+300)+60siп(3ыt+200)+
+ 50 sin(5wt + 45°) В; i == 33,3+ 17,87Xsin(wt 18 0 )+5,59siп(5юt+ 120°) А. Най
ти их действующие значения.
Реш е н и е:
и == -У [оо2 + 802/2 + 602/2 + 50 2/2 == [27,1 В.
/== -V 33,2 2 + 17,87 2 / +5,59 2 /2 ;::::35,6 А.
7.9. Среднее по МОДУJlЮ значение несинусоидаJlЬНОЙ функции.
Под средним по модулю значением функции понимают среднее
значение модуля этой функции за период:
1.2п (7.12)
2л I f{wt} I dwt.
о
в отличие от действующеrо значения оно зависит от значений 'Фk'
Пример 68. Дана функция, не содержащая постоянном составляющем и четныХ
rармоник и не изменяющая знака в течение каждоrо полупериода. Определить ее
среднее по модулю значение.
Реш е н и е. Разложим заданную функцию Б ряд Фурье:
i == /lт siп (юt + 'Фl) + /зт siп (3ыt + фз) + /5m sin (5wt + 'Ф5) +...
После интеrрирования получим
211
/ср.по.мод. == /lтСОS'Фl + /зтСОS'Фз + /5тСОS'Ф5 + ...).
(7.13)'
7.10. ВеJlИЧИНЫ, которые измеряют амперметры и воJlьтметры
при несинусоидаJlЬНЫХ токах. Несинусоидальные токи и напряже
ния измеряют приборами различных систем. Принципы действИЯ
214
,.
(] + r $ 8у 1.. (]
Т
а) о) 6) ё) а} е) If() J)
Р....с.7.6
тих приборов рассматривают в курсе электрических из/мерений.
Поэтому здесь упомянем лишь, какие величины измеряют вольт
метрЫ и амперметры различных систем.
Приборы электромаrнитной, электродинамической и тепловой
систем реаrируют На действующее значение, маrнитоэлектриче
ские приборы с выпрямителем на среднее по модулю значение
велИЧИНЫ, маrнитоэлектрические без выпрямителя на постоян
ную составляющую, амплитудные электронные вольтметры на
максимальное значение функции.
Напомним, что на лиuевой стороне измерительноrо прибора
Йсеrда имеется условный значок, свидетельствующий о том, к какой
системе относится данный прибор. На рис. 7.6 приведены HeKOTO
рые из них: а маrнитоэлектрическая с подвижной рамкой; 6
маrнитоэлектрическая с подвижным маrнитом; в электромаr
нитная; С? электродинамическая; д ферродинамическая; е
тепловая; ж электростатическая; з маrнитоэлектрическая с
выпрямителем.
7.11. Активная и ПОJlная мощности несинусоидаJlьноrо тока.
Под активной мощностью Р несинусоидальноrо тока понимают cpeд
нее значение мrновенной мощности за период первой rармоники:
1 т
(' Р == т и; d t.
о
Если представить напряжение и и ток i рядами Фурье:
и == и о + U1тsin( wt + 'lJ 1 ) + U 2т sin(2rot + 'lJ 2 ) +
+ и Зтsiп( 3ы t + 'lJз) +...,
i == 10 + Ilт sin ( <ut + 'lJ 1 I) + 1 2т sin(2rot + 'lJ2
fP2) + 1 Зт siп ( 3ы t + 'lJ З fPз) +...,
"{)Дставить эти ряды под знак интеrрала и проинтеrрировать, учтя
СООтношения (7.1 О), то можно получить
р == Uo/ o + U/1COS(f!1 + U 2 / 2 cOS(f!2 + Uз/зСОS(f!з +... (7.14)
ТаКИМ 06разом активная мощность несинусоидальноС?о тока равна
СУММе активных мощностей отдельных С?армоник.
у
2[5
Полная мощность S равна произведению действуюш.еrо значе
ния несинусоидальноrо напряжения на действуюш.ее значение He
синусоидальноrо тока:
s == и/
,
(7.15)
rде
u== v u + ит+ и + и +
/ == V / + /т + / + / +
. . . ,
Пример 69. Определить Р и S, если
U==25,9sin((J)t I [046')+6siп(3юt+53°50') В;
i==3sin(wt 400)+O,9v'2sin(3wt+ [25°) А.
Реш е н и е:
U1==25,9/V2 === 18,3 В; U з ===6/{2==4,26 В; /,===2,[3 А;
1з==0,9 А; (})I == 11 °40' ( 400)===28030'; (})з==71 о 10'.
р== 18,3 . 2, 13cos 28°20' +4,26. O ,9cos(71 °10 ')===35,5 Вт;
U=== V Uf+U ==18,55 В; I=== V 2, [3 2 +0,92 ===2, 13 А;
S === U 1 == 18,55.2,3 [==42,8 БА.
7.12. Замена несинусоидальных токов и напряжений эквивалентными синусо-
идальными. При изучении некоторых простейших свойств нелинейных ЭJlектриче
ских цепей (см. rл. 15) несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие посто
янных составляющих и в которых высшие rармоники выражены слабо, заменяют
эквивалентными синусоидальными. Действующее значение синусоидальноrо тока
нринимают равным действующему значению заменяемоrо несинусоидальноrо тока,
а действующее значение синусоидальноrо напряжения равным действующему
значению несинусоидаJlЬНOl'О напряжения.
едвиr фаз (})эк между эквивалентными синусоидами напряжения и тока берут
таким, чтобы активная мощность эквивалентноrо синусоидаJlьноrо тока была равна
активной мощности несинусоидальноrо тока, т. е.
СОS(})эк === р / (и 1).
(7.16)
Пример 70. Заменить несинусоидальный ток и напряжение примера 69 эквивЗ
лентными и найти сдвиr фаз q:>эк между ними.
Реш е н и е. Действующее значение синусоидальноrо напряжения U === 18,55 В; дей-
ствующее значение синусоидальноrо тока 1 === 2,31 А; cos (})эк===35,5 / (18,55 .2,3] )==0,828 ;
(})эк == 34°.
7.1з1 Особенности работы трехфазных систем, вызываемых rармониками,
кратными трем. эде каждой фазы трехфазноrо трансформатора иди трехфаЗНОI"О
reHepaTopa часто оказываются несинусоидальными. Каждая эде (еА, ев, ее) повТО
ряет по форме остальные со СДВИI'ом на одну треть периода (Т /3) и может быrь
разложена на rармоники. Постоянная составляющая обычно ОТСУl ствует.
Пусть k rармоника эде фазы А
ем == Еkтsiп(kюt + ЧJk)'
I Материал 7. [3 особенно необходим студентам электроэнерrетических и ЭJ1еК
тромеханических специальностей.
2]6
Фаза С
wt
I Фаза А
ФаJа 8
tlJt
wt
Рис. 7.7
Так как ЭДС фазы В отстает от ЭДС фазы А на Т /3, а ЭДС фазы С опережает
ЭДС фазы А на Т /3, то k rармоники ЭДС фаз В и С соответственно
т
e kB === Ekтsin[kffi(t 3) + 'Фk] ==
== Ekтsin(kffit 120 0 k + 'Фk);
ekc === Ekтsin(kffit + 120 0 k + Фk);
2п Т 2п
kffiT3 === k-тз === k3 == 120 0 k.
r
ЕСJIИ k === 1,4,7,10, то k rармоника ЭДС фазы В отстает на 120° от k rармоники
ДC фазы А. Следовательно, I , 4 , 7 , 10 я rармоники образуют систему прямой
последовательности фаз (что понимают под прямой ПОСJlедовательностью фаз, см.
6.20).
ЕСJIИ k === 2, 5, 8, 11, то k rармоника ЭДС фазы В опережает k l"армонику ЭДС
фазы А на 120°. Следовательно, 2 , 5 , 8 я и т. д. ,"армоники образуют системы
обратной последовательности.
rармоники, кратные трем (k === 3,6,9, ...), образуют систему нулевой (IOСJlедова
тельности, т. е. третьи rармоники ЭДС всех трех фаз совпадают 110 фазе (3. [20° ===
===360° ):
,t
е3А===езв==езс==ЕзтsiП(3ffit + '1'з).
d ' Шестые rармоники ЭДС также совпадают по фазе и т. д.
Совпадение по фазе третьих rармоник ЭДС всех трех фаз проиллюстрируем
rРафически.
На рис. 7.7 ЭДС е А' е В' е с представляют собой три фазные ЭДС трехфазнOI'О
reHepaTopa. Они имеют нрямоуrольную форму и сдвинуты относительно друr друrа
На одну треть периода основной чаСI"ОТЫ. На том же рисунке показаны первая и
ретья rармоники каждой эде Из рисунка видно, что третьи rармоники ЭДС дей
твительно находятся в фазе.
2[7
А
А
в с
ев
б)
п
Р....с.7.8
,(;
.',
Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызывае
мые rармониками, кратными трем.
1. При соединении обмоток трехфазноrо [енератора (трехфазноrо траНСфОрма
тора) треуrольником (рис. 7.8, а) по ним протекают токи rармоник, кратных TpeM j
даже при отсутствии внешней наrрузки. Алrебраическая сумма третьих rармоник
ЭДС равна 3Езl. Обозначим сопротивление обмотки каждо фазы.для третье.й rap
моники Zз, тоrда ток третьей rармоники в треуrольнике /3 === ЗЕ з / зz з :=::: Е з / Z3'
Аналоrично, ток шестой rармоники i6 === Е6/ Z6' rде E6 действующее значение
шестой rармоники фазовой ЭДС; Z6 сопротивление фазы для шестой rармоники.
Действующее значение тока, протекающеrо по замкнутому треуrольнику в cxe
ме на рис. 7.8, а:
J == V I + / + J + .., .
2. Если соединить обмотки трехфазноrо reHepaTopa (трехфазноrо трансформа
тора) в открытый треуrольник (рис. 7.8, 6), то при наличии в фазовых ЭДС rармоник.
кратных трем, на зажимах т и п будет напряжение, равное сумме ЭДС rармоник,
кратных трем:
и тп === ЗЕзтsiп(Зrot + Ф3) + 3Е бт siп(6rot + 'Фб) + ....
Показание вольтметра в схеме рис. 7.8,6
и === З V Е + E + .....
,f
З. в линейном напряжении независимо от Toro, звездой или треуrольником.
соединены обмотки reHepaTopa (трансформатора). rармоники, кратные трем, ОТСП1
ствуют, если наrрузка равномерна.
Рассмотрим сначала схему соединения трехфазноrо источн.ика ЭДС треуrоль
ником (рис. 7.8, а) при отсутствии внешней наrрузки. Обозначив «РА3 потенциал точкИ
А. .рвз потенциал точки В по третьей rармонике, 1I0ЛУЧИМ q)A3 === q)вз + Е з i3 Z 3.
Но Е з === lзZз; следовательно, <РА3 == B3' При наличии равномерной наrрузки, соеди
ненной треуrольником, каждая фаза reHepaTopa (трансформатора) и параллельнd
ей присоединенная наrрузка MorYT быть заменены эквивалентной ветвью, с некотО-
lАлrебраическая сумма первых rармоник ЭДС и всех rармоник ЭДС, не крат-
ных трем, равна нулю, поэтому от перечисленных rармоник при отсутствии наrруЗI\И
по замкнутому треуrольнику ток протекать не будет.
218
с
А
с
Р....с.7.9
Р....с. 7.1 О
рой ЭДС Е' 3 и сопротивлением Z' 3. На полученную схему можно распространить
вывод, сделанный для случая отсутствия внешней наrрузки.
При соединении звездой трехфазноrо источника ЭДС (рис. 7.9) линейное напря
жение третьей rармоники равно разности соответствующих фазовых напряжений.
Так как третьи rармоники в фазовых напряжениях совпадают по фазе, то при COCTaB
леиии этой разности они вычитаются.
В фазовом напряжении MorYT присутствовать все rармоники (постоянная co
ставляющЗя обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазовоrо
иапряжения
и ф == иi + и + и + и + ... .
Влинейном напряжении схемы (рис. 7.9) отсутствуют rармоники, кратные трем,
поэтому
и 1 === v'З и i + и + и .
Отношение и) / U Ф < v'З, если есть rармоники, кратные трем.
4. При соединении [енератора и равномерной наrрузки звездой и отсутствии
нулевоrо провода токи третьих и друrих rармоник нулевой последовательности не
MorYT протекать по линейным проводам. Поэтому между нулевыми точками прием
ника О' и rенерзтора О (рис. 7.10 при Zo == 00) действует напряжение
"
"0'0 == Е зт siП(3(i)t + "1'3) + E 6т sin(6(i)t + "1'6) + ...,
действующее значение KOToporo
U 0'0 == E т /2 + E т /2 + ... .
5. Если в схеме звезда звезда при равномерной наrрузке фаз сопротивление
наrрузки для третьей rармоники обозначить Zи3' а сопротивление нулевоrо прОВОДЗ
д.1Iятретьей rармоники Zоз(рис. 7.10), то по нулевому проводу будет протекать ток
Третьей rзрмоники
Ез
== Z.
н3
. Zоз + 3
110 каждому из линейных проводов будет протекать ток третьей rармоники i03 / 3.
Аналоrично находят токи и друrих rзрмоник, кратных трем.
Пример 71. MrHoBeHHoe значение напряжения фазы А трехфазноrо [енератора
"А == 127sin«i)t + 10°) + 30sin(3(i)t + 20°) + 20sin(11(i)t + 15°)B.
Р Определить MrHoBeHHoe значение линейноrо напряжения при соединении reHe
аТОра звездой. .
219
Р....с. 7.11
Реш е н и е. В линейном напряжении третья rармоника отсутствует. Пер ые
rармоники фаз А и В п фазе сдвинуты на 120°. Поэтому линейное напряжение и АВ
первой rармоники в \!3 раз больше фазовоrо напряжения первой rармоники О А и На
30 о опережает ero по фазе.
Одиннадцатая rармоника (обратная последовательность фаз)линейноrо напря
ж ния 0"1 t,( ает по фазе от одиннадцатой rармоники напряжения фазы А на 300 и в
{3 раз БОJlьше ее:
и АВ == 127VЗsiп(юt + 40°) + 20 siп(11юt 15°) В.
Пример 72. ЭДС фазы А в схеме (рис. 7.11)e А== 170siпюt+80соs3юt+34соs9юt В;
R == 9 Ом; юL == 2 Ом.
Определить показания всех приборов. Приборы электродинамической систеМbI.
Реш е н и е . Действующие значения ЭДС
Е 1 === 170/ {2 == 121 В; Е з === 56,5 В; Е9 == 24,2 В.
По линейным проводам те чет пер вая rармоника тока
/, == Е} / -V R 2 + (;;;W === 1 21 / 9,2 === 13,2 А.
П оказан ие вольтметра V}== -V E +E +E == 13 6 В; V 2 == /}R}==13,2.9===1l8,5 В;
V з == V 3.118,5 == 205 В; V 4 == /)юL == 26,4 В; V 5 == -Y E + E === 61,4 В.
Прнмер 73. ЭДС каждой фазы reHepaTopa (рис. 7.12) изменяется по трапецеи
дальному закону: а т === 220 В; а == Т /36; наrрузка равномерная; R == 6 Ом;
юL === 0,5 Ом; / / юС === 12 Ом. Определить MrHoBeHHoe значение тока по нулевому
"f10ВОДУ, пренебреrая rармониками тока выше седьмой.
а
t
ОzиJающqя
,...
.,....
t
Рис. 7.12
Р....с.7.13
()(){\
РеШ е н и е. С ПОМОЩЬЮ табл. 7.1 запишем разложение трапецеидальной эдс:
4.220 1
еА === (sinlOosin(J)t + 9 siпЗ0ОsiП3(J)t +
:rt
18:rt
1 1
+ 25 siп500siп5(J)t + 49 sin70osin7(J)t).
Следовательно,
еА === 274sin(J)t + 89,3sin3(J)t + 49,5sin5(J)t + 30,9siп7(J)t.
ПО нулевому проводу протекает только трет.ья rармоника тока
Ез
103 ===
Z03 + ZH3/3
[де Ез===89,з/ V2 63,3 В; Zоз===[,5j; Zнз===6 4j; ZH / 3 === 2 jl,33; 103 === 63,3/
/ (1,5 + 2 jl,33) === 31,8 e 4040' А. MrHoBeHHoe значение тока i03 === 44,8sin(3(J)t
4040') А.
7.14. Биения. Колебательный процесс, получающийся в
результате сложения двух синусоидальных колебаний с paBHЫ
ми амплитудами А и близкими, но не равными частотами ю) и
Ш2' дает колебание, которое называют биением. Пусть
t(t) ==Asinw)t +Asinw 2 t.
Воспользуемся известным триrонометрическим преобразова
нием
. . а 13 . а+13
sша + sm13 === 2cos 2 s1П 2 .
Следовательно, t(t) можно представить следующим образом:
t(t) ==2AcosQtsinwt,
rде Q ==(Ы 1 Ю2) /2, w ==(ы) +ы 2 ) / 2( ы).
fрафик результирующеrо колебания изображен на рис. 7.13.
Амплитуда колебания изменяется по закону 2AcosQ t. Оrибающая
колебаний нанесена пунктиром.
Возникновение биений при сложении двух синусоидальных колебаний с paBHЫ
ми амплитудами и близкими (но не равными) частотами используется на практике
в различных целях, в частности для Toro, чтобы установить, что складываемые
Колебания имеют неодинаковые частоты.
7.15. Модулированные колебания. При передаче информации
Широко применяют модулированные колебания. Модулированным
Колебанием t(t) == А sin( ы! + 'ф) называют колебание, в котором aM
ПЛИтуда А, частота ы, фаза 'Ф или и те и друrие вместе изменяются
во Времени.
к.олебание, в котором изменяется только амплитуда А, а уrло
Вая частота w и фаза 'Ф неизменны, называют колебанием модули
Рованным по амплитуде.
221
Оzuоающая
тА wt
Аа
t
U) $2 W+Q
..... а) а) б)
(f)
(J)o
Z)
си
8) о
Рис. 7.14
(()
Колебание с изменяющейся уrловой частотой ю, но неизменны
ми амплитудой А и фазой "', называют колебанием, модулирован
НЫМ по частоте.
Колебание, в котором изменяется только фаза '1-', а амплитуда А
и уrловая частота ffi неизменны, называют колебанием, модулиро
ванным по фазе.
Простейшим амплитудно модулированным (АМ) является KO
лебание, в котором амплитуда модулирована по закону синуса:
'и) ==Ао( 1 +тsinQt)sjn(wt +"'),
rде т rлубина модуляции (как правило, т < ]); Q частота
модуляции (Q ы).
fрафик АМ колебания показан на рис. 7.l4,a (оrибающая дана
пунктиром ).
Если воспользоваться известным из триrонометрии тождеством
1 1
sinasinl} == 2c os(a I}) 2 cos(a + I}),
то колебание Ао( 1 + тsin t)sjn( rot + ",) можно представить в виде
суммы трех колебаний:
тА о
{(/) == Аоsiп(юl + 1J?) + 2СОS[(Ю Q)t +
mАо
+ ",) 2СОS[(Ю + Q)t + ",).
Частоту ffi называют несущей, а частоты (ы Q) и (ы + Q)
боковыми. Спектр АМ колебания изображен на рис. 7.14,6. Дейст
вующее значение функции f(t) в соответствии с формулой (7.11)
Ао
равно V l + (m 2 / 2).
222
Прнмер 74. Разложить на составляющие функцию l(t)===20(1 +
+0,6sin 1 03 t )sin 105t.
Реш е н и е. Боковые частоты bl Q== 99. 1 аз; ы+ Q== 1 О 1.1 аз; тАо/2 ==6.
Следовательно, I(t) === 20sinl0 5 t + 6cos(99.10 3 t) 6cos(10[ .103t).
Амплитуды колебания боковых частот при АМ колебании зависят
от rлубины модуляции т, но не зависят от частоты модуляции Q.
Ширина полосы частот, занимаемой АМ колебанием, не зави
сит от m и равна (ш + Q) (ш Q) == 2Q.
Рассмотрим спектры частотно модулированных (ЧМ) и фазо
модулированных (ФМ) колебаний. Форма колебаний качественно
показана на рис. 7.14, в.
AprYMeHT синусоидально изменяющейся функции t(t) обозна
чим a(t). Тоrда
t(t) == Asin [a(t)] ,
(а)
a(t) можно интерпретировать как уrол, на который повернется Bpa
щающийся вектор на комплексной плоскости за время t. Уrловая
частота поворота этоrо вектора w == da(t) / dt. В том случае, коrда
ю == ш о == cons t,
а( t) == wod t == wot; '( t) == А s i nwot.
При частотной модуляции частота w изменяется и равна
Ю о + wcp(t). При этом
a(t) == [шо + wcp(t)]dt == wot + w cp(t)dt.
При '1'(t) == cosQt
1.
a(t) == wot + ')'sinQt, (б)
r
rде')' == ш / Q rлубина модуляции.
Таким образом,
t(t) / А == sin(wot + ')'sinQt) == sinwtcos(')'sinQt) +
+ coswotsin(')'sinQt),
Но
00
sin(')'sinQt) == 2IJ 2п + )(')')sin(2п + 1 )Qt;
п==О
00
cos(')'sinQt) == J 0(')') + 2IJ 2n(V)cos2пQt,
п==)
rДе J k (')') бесселева функция k порядка от действительноrо ap
223
......
1,0
0,9
0,8
0,7
0.6
0.5
0.'+
0,3
0.2
0.1
О
o.'
a2
.
о,з
a,+
,
J , (x)
:!zfx)
Р....с.7.15
rYMeHTa 1'1. rрафики трех бесселевых функций при k == О, 1, 2 изо
бражены на рис. 7.15.
После преобразований
(х)
'и) jA==Jo(1')sin<Uot + L( 1)kJk(1')X
k==-I
(х)
(в)
Xsin{ ffio kQ) t + LJ k( у) sin( ffio + kQ) t.
k==1
Теоретически полоса частот, занимаемых ЧМ колебанием, paB
н.а бесконечности. Однако если учесть, что с ростом k значение
Jk(1') быстро уменьшается, и в равенстве (в) отбросить слаrаемые
рядов, амплитуды которых меньше 0,01, чему соответствует k , то
ЧМ колебание практически занимает полосу частот
(шо + kQ) (шо k ) == 2k 21' ==
2 ( д <u j ) Q == 2д ffi .
Ширина ее зависит от rлубины модуляции до) и не зависит от
частоты модуляции Q. Амплитуды боковых частот зависят от!:1ш и
. Спектр ЧМ колебания при.1' == 5 показан на рис. 7.14, с.
При фазовой модуляции уrловая частота ffio неизменна и менЯ
ется только фаза 'Ф(/). Следовательно, a(t) == ffiot + 'Ф( t). Приняв
'Ф(/) == Ч'тсоsQ t, получим '( t) == А sin( <Uot + Ч'тСОS t).
Амплитуда фазы Ч'т от частоты модуляции Q не зависит.
IОбщее выражение для бесселевых Функuий приведено в [5,[4.
224
Опустив выкладки, определим, что амплитуды боковых частот
зависят от 'Ф т , а ширина полосы частот 2k 21VmQ от 'Фт и Q.
СпеКТР ФМ колебания при k == 5 изображен на рис. 7.14, д.
ИЗ рис. 7.15 видно, что если x«l, то Jo(X) 1, а J)(x) х/2.
отсюда следует, что в ЧМ колебании при,\, «1, а в ФМ колебании
прИ Фm «1 можно оrраничиться только основной rармоникой ы о и
двумя боковыми ы о + Q, т. е. в этом случае имеет место почти такая
же ситуация, что и в АМ колебании.
Различие будет в том, что при ЧМ и ФМ модуляции на комплек
сной плоскости два вращающихся вектора боковых частот дают в
сумме вектор, направленный перпендикулярно неподвижному BeK
тору частоты ы о , тоrда как при АМ модуляuии векторная сумма
двух вращающихся векторов боковых частот будет направлена
вдоль неподвижноrо BeK;ropa частоты ы о ' Это различие вызвано
разными знаками у временных компонент rармоники частоты
ШО Q.
7.16. Расчет Jlинейных цепей при воздействии МОДУJlированных
колебаний. Расчет токов и напряжений в линейных электрических
цепях при воздействии на них модулированных колебаний произво
ДЯТ для MI'HoBeHHbIx значений величин либо для MrHoBeHHoro значе
ния оrибающей. В первом случае расчет проводят путем разложе
ния модулированных КОJlебаний на составляющие, вычисления
токов и напряжений от каждой из них в отдельности и последующе
ro суммирования соорветствующих токов и напряжений на OCHOBa
нии принципа на.поже.НИЯ. При этом оrраничиваются теми COCTaB
ЛЯЮIЦИМИ, которые существенны в формировании выходной
величины.
При воздействии АМ колебания на какую либо систему точный
расчет оrибающей выходной величины может быть осун ествлен по
формуле интеrрала Дюамеля для оrибающей (см. 8.67).
' опросы ДПЯ самопроверки
1. В каких случаях следует ожидать возникновения несинусоидаJIЬНЫХ токов и
. lIапряжений R электрических цепях? 2. Какие виды симметрии несинусоидальных
кривых вы знаете и ка!.{ они сказываются на I'армоническом составе? 3. Изложин'
L3
"Вх С з RH
tA-
f(O la
\ и I \ GJt
\ .; \
\ I \
' итСОSЦ)t
8)
f т t
lA
а)
5)
Рис. 7.16
8 Зак. 683
225
основные положения, на которых основывается методика расчета линейных цеЩ::11
при периодических несинусоидальных воздействиях. 4. Входное напряжение URX(t)
(рис. 7.16, а) содержит постоянную составляющую, первую и третью r аРМОНИКI1.
Оllределите С 1 и С 2 через w и L з , чтобы в наrрузку R H IIроходила неизменной только
8 1
Ilервая rармоника, а остальные отсутствовали. (Ответ: CI 2 ' С З == 2 .) 5.
9ы L3 9ы L3
Охарактеризуйте физический смысл действующеrо значения несинусоидаЛЬноrо
тока. 6. Всеrда ли самым коротким расчеrным "утем IIрИ определении деЙСТВующеr о
значения несинусоидальноrо тока I является нахождение ero по rармоническому
составу, по формуле (7,[0)? Определить I на рис. 7,[6, 6. (Ответ: 0.707 А.) 7. Прибо
рам и каких систем можно измерять: а) действующее значение несинусоидальноrо
тока; б) среднее по модулю значение; в) амплиrудное значение? 8. Определить дей
ствующее значение TOKa,i==5( 1 O,8sin 100t)sin 10OOt. (Ответ: 4,075 А.) 9. Почему HeJrb
зя складывать действующие значения токов различных частот? 10. MorYT ли отдеJrь
ные слar-аемые в формуле активной мощности (7.14) быть отрицательными? 11. При
каких or-раничениях несинусоидальные токи и напряжения приближенно мor'ут БЫlb
заменены эквивалентными синусоидальными? 12. Чем можно объяснить, что при
равномерной наrрузке трехфазной системы звезда звезда для протекания ТОков
третьих rармоник необходим нулевой провод? 13. В каком СJlучае возникают колеба-
ния, называемые биениями? 14. Охарактеризуйте виды модулированных колебаний
и занимаемые ими полосы частот. 15. Нарисуйте rрафики колебаний, модулирован
ных по: а) амплитуде; б) частоте; в) фазе. 16. На рис. 7.16, в изображена функция
f(t)==( и о + и тcoswt) > О (и т > и о ), Она имеет вид rюложительных косинусои
и о
дальных импульсов. Уrол отсечки a==arccos U ' Вывести формулы ДJIЯ пОстоянной
т
составляющей и амплитуды k rармоники ряда Фурье. (Ответы:
и т 2и т
Ао == siпа acosa); А" k === 2 ( sinkacosa kcoskasina)].
:rt nk(k 1)
17. Решите задачи 9.9; 9.12; 9.13; 9.15; 9.16; 9.19; 9.21; 9.25.
r пава восьмая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
8.1. Определение переходных процеСС08. Под переходными пpo
цессами понимают процессы перехода от одноrо режима работы
электрической uепи (обычно периодическоrо) к друrому (обычно
также периодическому), чем либо отличающемуся от предыдуще
ro, например амплитудой, фазой, формой или частотой, действую
щей в схеме ЭДС, значениями параметров схемы, а также вследст
вие изменения конфиrурации uепи.
Периодическими являются режимы синусоидальноrо и посто
янноrо тока, а также режим отсутствия тока в ветвях цепи.
Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. KOM
мутация это процесс замыкания (рис. 8.1, а) или размыкания
(рис. 8.1, б) выключателей.
Физически переходные процессы представляют собой процес сЫ
перехода от энерrетичеСКОI'О состояния, соответствующеrо ДOKoM
мутационному режиму, к энерrетическому состоянию, COOTBeTCTBY
ющему послеКОММУ1.:ационному режиму.
226
а)
б)
Р....с. 8.1
Р....с.8.2
Переходные процессы обычно являются быстро протекающи
ми; длительность их составляет десятые, сотые, а иноrда даже мил
лиардные доли секунды; сравнительно редко длительность пере
ходных процессов достиrает секунд и десятков секунд. Тем не менее
изучение переходных процессов важно, так как оно дает возмож
ность установить, как деформируются по форме и амплитуде сиr
налы при прохождении их через усилители и друrие устройства,
позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участ
ках цепи, которые MorYT оказаться опасными для изоляции YCTa
новки, увеличения амплитуд токов, которые MorYT в десятки раз
превышать амплитуду тока установившеrося периодическоrо про
цесса (и вызвать недопустимые механические усилия), а также оп
ределить продолжительность переходноrо процесса.
8.2. Приведение задачи о переходном процессе к решению
пинейноrо дифференциаJlьноrо уравнения с постоянными коэффи
циентами. Запишем уравнение по второму закону Кирхrофа для
схемы рис. 8.2 при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений
на элементах L и R равна ЭДС Е:
uL+Ri==E,
или
di
Ldi + Ri === Е.
Как известно из курса математики, уравнение, содержащее He
известную функцию (в нашем случае i) и ее производные (в нашем
di
случае Ldi)' называют дифференциальным уравнением.
Таким образом, определение тока как функции времени, по сути
дела, есть решение дифференциальноrо уравнения.
Известно, что решение дифференциальноrо уравнения это
ОТыскание функции, удовлетворяющей ему. Подстановка этой фун
КЦИИ И ее производных превращает дифференциальное уравнение
в ТОждество.
Решение линейных дифференциальных уравнений будем прово
ДИТЬ В основном четырьмя методами: классическим, операторным,
методом интеrрала Дюамеля и методом пространства состояний.
Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть
оБЩие свойства линейных цепей при переходных процессах, а TaK
8.
(8.1 )
227
же общие законы, которым подчиняются переходные процессы в
линейных электрических цепях. 8.3 8.25 посвящены вопросам,
имеющим отношение ко всем перечисленным методам расчета Пе
реходных процессов; однако часть этих параrрафов (см. 8.3, 8.8,
8.10 и 8.12 ) следует рассматривать так же, как введение к класси
ческому методу расчета переходных процессов.
8.3. n ринужденные и свободные состаВJlяющие токов и напря-
жений. Известно, что общий интеrрал линейноrо дифференциаль
Horo уравнения равен сумме частноrо решения неоднородноrо ypaB
нения плюс общее решение однородноrо уравнения. ЧастНое
решение уравнения (8.]) равно Е/ R (Е постоянная ЭДС). '
Однородное уравнение получаем из исходноrо, если в нем возь .
мем правую часть равной нулю. В нашем случае ()
di . (8.2)
L + Rl === О
dt .
Решением однородноrо уравнения является показательная
функция вида Ae pt .
Для всех переходных процессов условимся, что момент t == О
соответствует моменту коммутации.
Постоянные А и р не зависят от времени. Вез вывода дадим ИХ
значения для рассматриваемоrо примера: А == Е/ R ир == Я/ L.
Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так:
Е Е Rt (8.3)
i=== e L
R R
rде Е/ R частное решение неоднородноrо уравнения (8.1);
R
Е t
R e L общее решение однородноrо уравнения (8.2). Подста
новка (8.3) в (8.1) дает тождество
L :1 ( е ' ) + R ( е ')
Е R Rt R t
== LRl- т) е L + Е Ее L === Е.
Следовательно, (8.3) действительно является решением ypaBHe
ния (8.1).
Частное решение неоднородноrо дифференциальноrо ypaBHe
ния будем называть прuнужденной составляющей тока (напряже-
ния), а полное решение однородноrо уравнения свободной co
ставляющей. Применительно к рассмотренному примеру
принужденная СОСТRвляющая тока i лр === Е/ Я, а свободная состав-
ляющая i CB == e Lt. Полный ток i == i лр + i CB ,
228
Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи
и напряжения MorYT и еть и дополнительные индексы, COOTBeTCT
вующие номерам ветвеи на схеме.
Принужденная составляющая тока (напряжения) физически
представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же часто
той, что и действующая в схеме принуждающая эдс. Если в схеме
действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты ю, то при
нужденная составляющая любоrо тока и любоrо напряжения в
схеме является соответственно синусоидальным током (синусои
дальНЫМ напряжением) частоты ю.
Определяются принужденные составляющие в цепи синусои
дальноrо тока с помощью символическоrо метода (см. rл. 3). Если в
схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме
рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят ero с
помощью методов, рассмотренных в rл. 2.
Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому при
нужденная составляющая тока через Hero в цепях с источниками
постоянной ЭДС равна нулю. Кроме Toro, напомним, что падение
напряжения на индуктивной катушке от неизменноrо во времени
тока равно нулю.
В линейных электрических цепях свободные составляющие TO
ков и напряжений затухают во времени по показательному закону
Е R t
e pt . Так, в рассмотренном примере i CB === R е L С увеличением
R t
времени t множитель е L быстро уменьшается. Название "CBO
бодная" объясняется тем, что эта составляющая есть решение
уравнения, свободноrо от вынуждающей силы (однородноrо ypaB
нения без правой части).
Из трех токов (полноrо, принужденноrо и свободноrо) и трех
напряжений (полноrо, принужденноrо и свободноrо) основное зна
чение имеют полный ток и полное напряжение.
Полный ток является тем током, который в действительности
Протекает по той ил и иной ветви при переходном процессе. Ero
Можно измерить и записать на осциллоrрамме. Аналоrично, пол
Ное напряжение это напряжение, которое в действительности
Имеется между некоторыми точкам и электрической цепи при пе
реходном процессе. Ero также можно измерить и записать на
Осциллоrрамме.
Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений
во Вр мя переходноrо процесса иrрают вспомоrательную роль; они
ЯВ.пяются теми расчетными компонентами, сумма которых дает
действительные величины.
Здесь следует еШ,е раз обратить внимание на тот факт, что
При любых переходных и установившихся процессах соблюда
229
ют два основных положения: ток через индуктивную катушку и
напряжение на конденсаторе не MorYT изменяться скачком 1.
8.4. Обоснование невозможности скачка тока через Индуктив_
ную катушку и скачка напряжения на конденсаторе. Доказатель
ство Toro, что ток через индуктивную катушку не может изменяться
скачком, проведем на примере схемы рис. 8.2. По второму закону
Кирхrофа
di
Ldi + Ri === Е.
ТОК i и ЭДС Е MorYT принимать конечные (не бесконечно боль-
шие) значения. ..
Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока
означает, что за бесконечно малый интервал времени дt o ТОI(
изменится на конечное значение f!i. При этом дi jf!t 00. Если BMe
di
сто Ldi в уравнение (8.1) подставить 00, то ero левая часть не будет
равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхrофа.
Следовательно, допущение о возможности скачкообразноrо из
менения тока через ИНДУКТИВНУЮ катушку противоречит второму
закону Кирхrофа.
Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на L,
di
равное Ldi ' скачком измениться может. Это не противоречит
второму закону Кирхrофа.
Доказательство Toro, что напряжение на конденсаторе не может
изменяться скачком, проводится аналоrично.
Обратимся к простейшей цепи с конденсатором (рис. 8.3, а).
Составим для нее уравнение по второму закону Кирхrофа:
Я; + и с == Е,
rде Е ЭДС источника, конечная величина; и с напряжение на
конденсаторе.
H
С t
O 0+
а) 6)
Р....с. 8.3
IИноrда эти положения формулируются так: потокосuепление индуктивной K
тушки И заряд конденсатора MorYT изменяться только плавно, без скачков. ДальнеИ
шее обобщение законов коммутации дано в 8.28.
230
duc
Так как i === См, то
. .:1
du c
RCdi + ис == Е.
( 8.4 )
..'
"..
Если допустить, что напряжение и с может измениться скачком,
!1и d и с
то d ---+ 00 И левая часть (8.4) не будет равна правой части.
l:1t t .
отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразноrо
изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму за
du c
кону Кирхrофа. Однако ток через конденсатор. равный См' может
изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхrофа.
Из указанных двух основных положений следуют два закона
(правила) коммутации.
8.5. Первый закон (праВИJlО) коммутации. Ток через индуктив
ный элемент L непосредственно до коммутации iL(O ) равен току
через этот же индуктивный элемент непосредственно после KOMMY
тации iL(O+):
iL(O ) ===iL(O+).
(8.5)
Время t == O представляет собой время непосредственно до
коммутации, t == 0+ после коммутации (рис. 8.3, б). Равенство
(8.5) выражает собой первый закон коммутации.
.( 8.6. Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напря
жение на конденсаторе непосредственно до коммутации ис(О ), а
напряжение на нем непосредственно после коммутации.иС<О+).
В соответствии с невозможностью скачка напряжения на KOH
Iденсаторе
и с ( O ) === и с ( 0+). (8.6)
Равенство (8.6) выражает собой второй закон коммутации.
Перед тем как приступить к изучению методов расчета переход
Ных процессов, необходимо условиться о некоторых дополнитель
Ных определениях.
8.7. Начальные значения величин. Под начальными значения
Ми Величин (в литературе их называют еще начальными условиями)
понимают значения токов и напряжений в схеме при t==O.
Как уже отмечалось, токи через индуктивные элементы и напря
Жения на конденсаторах непосредственно после коммутации равны
ИХ Значениям непосредственно до коммутации. Остальные величи
Ны: напряжения на индуктивных элементах, напряжения на рези
СТОрах, токи через конденсаторы, токи через резисторы MorYT
231
изменяться скачком, и поэтому их значения после коммутации
чаще Bcero оказываются не равными их значениям до коммутации.
Поэтому следует различать докоммутационные и послекоммутаци
онные начальные значения.
Докоммутационными начальными значениями называют значе
иия токов и напряжений непосредственно до коммутации (при t===O );
послекоммутационными начальными значениями значения
токов и напряжений епосредственно после коммутации (при
t==O+).
8.8. Независимые и зависимые (послекоммутационные) На-
чаJlьные значения. Для любой схемы после коммутации в ней мож
но записать уравнения 110 законам Кирхrофа и из этих уравнений
определить значения токов во всех ветвях и напряжений на любых
участках схемы в послекоммутационном режиме (при t===O+).
С этой целью значения токов в ветвях, содержащих индуктивные
элементы, и значения напряжений на конденсаторах берут paBHЫ
ми тем значениям, которые они имели до коммутации при t===O ,
а остальные токи и напряжения после коммутации при t O+
находят из уравнений Кирхrофа, поскольку часть слаrаеМbIХ в
них известна.
Значения токов через индуктивные элементы и напряжений на
конденсаторах, известные из докоммутационноrо режима, усло
вимся называть независимы.ми начальными значениями.
Значения остальных токов и напряжений при t==O+ в послеком
мутационной схеме, определяемые по независимым начальным
значениям из законов Кирхrофа, будем называть зависимыми Ha
чальными значениями.
8.9. Нулевые и ненулевые начальные условия. Если к началу
переходноrо процесса непосредственно перед коммутацией все TO
ки и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, то в
схеме имеют место нулевые начальные условия. Если же к началу
переходноrо процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме
не равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальные
условия.
При нулевых начальных условиях токи в индуктивных элемен
тах и напряжения на конденсаторах начнут изменяться с нулевых
значений, при ненулевых условиях с тех значений, которые оНИ
имели непосредственно до коммутации.
8.10. СостаВJlение уравнений для свободных токов и напряж е ..
ний. Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по
законам Кирхrофа для полных токов и напряжений, так же как это
делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произво.пь
но выбирают для них положительные направления, затем COCTaB
ляют уравнения по первому и второму законам Кирхrофа. Так, длЯ
232
.....
" С
i 2 LJ
С
а)
tfJ
R
j(t)
R
R
С.
6)
2)
Р....с.8.4
схемы рис. 8.4, а после выбора положительных направлений для
токов имеем:
i 1 i2 iз == о;
di
Ll d: +R li 1 +i2R2 === Е;
1
i2R2 С i з dt === о.
В этих уравнениях i 1 , i 2 и i3 f.олные токи. Каждый из них COCTO
ит из свободноrо и принужденноrо токов. Для Toro чтобы от этой
системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов,
«освободим» систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от
ЭДС Е) и вместо i) запишем i lcB , вместо i 2 i 2cB И т. д. В результате
получим:
i 1cB i2cB iзсв == о;
di 1cB
Ll dt + i 1cB R 1 +i 2cB R 2 === о;
1
i 2cB R 2 С iзсвdt === о.
(8.7)
Заметим, что для люБОI О контура любой электрической цепи
СУмма падений напряжений от свободных составляющих токов paB
На нулю.
В 8. J 1. Алrебраизация системы уравнений для свободных токов.
8.3 rоворилось о том, что свободный ток представляет собой
решение однородноrо дифференциальноrо уравнения (уравнения
без Правой части). Как известно из курса математики, решение
233
однородноrо дифференциаЛЬНОI'О уравнения записывают в вИде по
казательных функций Ae pt . Таким образом, уравнение для каЖДОI'Q
свободноrо тока можно представить в виде i CB == Ae pt .
Постоянная интеrрирования А для каждоrо свободноrо ТОКа
своя. Показатели же затухания р одинаковы для свободных ТОКОв
ветвей. Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена еди
ным (общим) переходным процессом.
Составим производную от свободноrо тока:
di cB d
=== ..:.:.....{ А e pt ) === Р А ept === Р ;
dt dt' СВ'
:
Следовательно, .производную ОТ свободноrо тока можно заМе
нить на pi cB ' а свободное напряжение на индуктивном элементе j
di cB
Ldi на Lpi cB ' Найдем интеrрал от свободноrо тока:
: ,
t
icBdt ,, Aeptdt === Ae pt /р === i CB /р.
Постоянная интеrрирования взята здесь равной нулю, так как
свободные составляющие не содержат не зависящих от времени
слаrаемых.
Следовательно, интеrрал от свободноrо тока .VIожно заменить на
. . 1
( СВ / р, а свободное напряжение на конденсаторе С iCBdt на iCB/(Cp).
В систему дифференциальных уравнений для свободных токов
. di cB i CB 1
подставим LplCB вместо LM и Ср вместо С iCBdt. Следовательно,
ilсв i2св iзсв == о;
(L IP+R 1) i 1cB + i 2cB R 2 == о;
i2свR2 iзсв /( Ср) == О.
Уравнения (8.8) представляют собой систему алrебраических
ура внений относительно i 1cB , i 2cB ' i ЗСВ И В отличие от исходной системы
не содержат производных и интеrралов.
Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к
системе алrебраических уравнений называют алС?ебраизацией cиc
темы дифференциальных уравнений для свободных токов. Можно
сказать, что система (8.8) есть результат алrебраизации системЫ
дифференциальных уравнений (8.7).
8.12. Составление характеристическоrо уравнения системы.
Число алrебраических уравнений равно числу неизвестных свобод
ных токов. Положим, что р известно (в действительности оно пока
не найдено и бrде: опр делено вдальнейшем) и решим систему(8.8)
относительно Е!св, Е2св И lзсв:
i lCB === L\ I /6,; i 2cB === 6,2 /6,; i зсв === 6,3 /L\,
(8.8)
234
('де л определитель системы. В рассмотренном примере
1 l l
/1 === L 1 P+R t R 2 О
О R 2 l/(Cp)
Определитель At получим из выражения для определителя А
путем замены первоrо столбца правой частью уравнений (8.8):
о l I
/11 == О R 2 О
О R 2 l/(Cp)
Определитель А 2 получим из выражения для А путем замены BTO
poro столбца правой частью системы (8.8) и т. д.
Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом
определителе Ар А 2 и Аз один ИЗ столбцов будет состоять из нулей.
Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из
нулей, то этот определитель равен нулю. Следовательно,
АI ==0; А 2 ==0; А з ==О.
Из физических соображений ясно, что каждый из свободных
токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выпол
нены законы коммутации. Однако из предыдущеrо следует, что
i tCB == О/А; i 2cB == О/А; i зсв === О/А.
Свободные токи MorYT быть не равны нулю в том случае, коrда
определитель системы
А ==0.
(8.9)
Таким образом, определитель А алrебраизированной системы
уравнений должен равняться нулю.
Уравнение А == О называют характеристически-м уравнение-м.
Единственным неизвестным в нем является р.
Пример 75. Используя уравнение (8.9), составить характеристическое ypaBHe
иие для схемы рис. 8.4, а и найти ero корни.
Реш е н и е:
R 2 . pLt +Rl
Ср +R2 (LIP+Rt) + Ср === о
или
р2 R 2L t С + p(R 1 R 2 С + L 1)+ R 1 + R 2
рС === о.
Если дробь равна "УJIЮ, то равен нулю ее числитель. СлеЛlIнательно,
.
P R2LIC+p (R 1 R 2 C+L 1 ) + RI+R2 === о.
Корни квадратноrо уравнения
(R IR 2 C+L 1 )::!:: 1j(R IR2С+Lд2 4(R 1 + R 2 )R 2 L 1 с
PI.2 === 2 R L С
2 1
(8.1 О)
(8.11 )
235
в начале 8.1) rоворилось о том, что решение для своБОдноrо
тока берется в виде Ae Pt . Если характеристическое уравнение ИМеет
не один корень, а несколько, например п, то для каждоrо своБОдноrо
n
тока (напряжения) нужно взять L Ake Pkt .
k==t
Пример 76. Найти корни характеристическоrо уравнения схемы рис. 8.4, а при:
1) C I мкФ; 2) C==IO мкФ; 3) C===IOO мкФ; Rt===R z: 100 Ом; Lt==1 rH.
Реш е н и е: [) При C I мкФ RIR2С+Ll==100.100.lо б+[==[tОl;
4(Rt+R2)R2LIС===4.200.100.10 б===Оt0 8; 2R2LIС=='2.100.10 б==2.10 4;
. [,01'::I::Y1:Oi 2 0,08 l t
P t 2 == 4; Pl == 250 с ; P2=== 9850 с .
, 2. 1 O
2) При C==lO мкФ Pl== 230 c t; P2=== 870 c t.
3) При C==IOO мкФ Pt=== IOO+IOOj; P2=== 100 100i.
8.13. Составление характеристическоrо уравнения путем ИС-
ПОJlьзования выражения ДJlЯ входноrо сопротивления цепи на "ере-
менном токе. Характеристическое уравнение для определения р
часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в
предыдущем параrрафе. С этой целью составляют выражение
входноrо сопротивления двухполюсника на переменном токе [обоз
начим ero l(jffi»), заменяют в нем jffi на р [получают l(p)) и прирав
нивают l(p) нулю.
Уравнение Z(p)===O совпадает с характеристическим. Такой спо
соб составления характеристическоrо уравнения предполаrает,
что в схеме отсутствуют маrнитно связанные ветви. Если же Mar-
нитная связь между ветвями имеется, то предварительно следует
осуществить развязывание маrнитно связанных ветвей (см. 3.41).
Поясним сказанное. Как отмечалось в 2.15, если для некоторой
цепи на постоянном токе составить систему уравнений по методу
контурных токов, то входная проводимость относительно т ветви
gm == /;:;..т / /;:;.., а входное сопротивление R m === /;:;.. / /;:;..т' Для режима
синусоидальноrо тока входное сопротивление ZBX т == 6.({ \.
6. т /ю
Комплексное число р===а+ jb в соответствии с 8.41 представим
в виде р == j(b ja) === jQ, rде Q комплексная уrловая частота.
Сопротивление l(p) это сопротивление цепи на ком плексной ча
стоте; l(j(J)) это частный случа й l(p), коrда Q === (J). Имея это в
виду, запишем
lихт(Р) === /;:;..(р) / т(p),
rде /;:;..(р) определитель системы уравнений, составленных по ме-
тоду контурных токов.
Таким образом. уравнение lBX т(Р) === О имеет те же корни, чТО и
уравнение /;:;..(р) :::::: О.
236
Лри составлении Z(p) следует учитывать внутреннее сопротив
ление источника питания.
Характеристическое уравнение можно составить так же, взяв за
основу не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В
этом случае следует приравнять нулю определитель матрицы узло
ВЫХ проводимостей, полаrая при составлении матрицы один из уз
лов схемы заземлеННblМ.
Пример 77. Для схемы рис. 8.4, а составить характеристическое уравнение.
Реш е н и е. Входное сопротивление относительно зажимов аЬ при переменном
токе
1
R2
Z ab(j(j) === j(j)L I + R I + 1Ш [ .
R2+ C
J(j)
Заменим в нем j(j) на р и приравняем ero нулю:
1
R2pc
Z аЬ(Р) === Р L I + R 1+ 1 === о.
R 2 + рС
Отсюда
р2 L I CR 2+ p(L I + R I R 2 С )+ R I + R 2
===0
1 +R 2 Cp
или
p2LICR2+P(LI+RIR2C)+(RI+R2) === о.
(B.10a)
Уравнение (8.10а) совпадает с уравнением (8.10), составленным иным путем, и
получено оно путем использования выражения для входноrо сопротивления первой
ветви схемы рис. 8.4, а относительно зажимов аЬ. Точно такое же уравнение можно
. получить, если записать выражение для входноrо сопротивления любой друrой BeT
ви.
Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать
6.(р) и 6. k (p) на общий множитель, если он имеется. Однако на общий Множитель р
сокращать 6.(р) и 6. k (p), как правило, возможно, но не всеrда. Сокращение на р
допустимо для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений
не может содержать незатухающую свободную составляющую. Если же исследуе
Мая величина в рассматриваемой схеме может иметь незатухающую свободную
составляющую, то сокращать числитель и знаменатель Z(p) на р (терять корень
р==О) нельзя. Для иллюстрации недопустимости сокращения на р рассмотрим два
Примера. В послекоммутационной схеме рис. 8.4, 6 имеется контур из индуктивных
элементов, активное сопротивление KOToporo равно нулю. В нем теоретически может
протекать незатухающая свободная составляющая тока, которая не будет учтена в
pL(2R+pL)
решении, еСJrи сократить ЧИСJIитель и знаменатель Z(p) === 2pL на р. В схеме
рис. 8.4, в, дуальной схеме рис. 8.4,6 после коммутации на конденсаторах возможно
ВОЗНикновение равных по значенИЮ и противоположно направленных незатухающих
свободных составляющих напряжений. Свободный заряд каждоrо конденсатора не
сможет стечь через сопротивление R, так как этому мешает второй конденсатор с
ПРОТивоположно направленной незатухающей свободной составляющей напряже
НИЯ.
237
Для схемы рис. 8.4. в характеристическое уравнение получим, вриравняв нулю
входную rrроводимость относительно зажимов источника тока:
О ( ) === g + рСрС === pC(2g+pC) === о
р 2рС 2рС ·
r де g=== 1/ R .
В качестве примера цепи, для которой можно сокращать числитель и знамена
тель Z(p) на р. приведем схему рис. 8.4. . Для нее
R
рС
Z(p) := R + I
R+
рС
RCp(RCp+2)
Cp(RCp+ 1)
R(RCp+2)
RCp+ I
8.14. Основные и неосновные зависимые начальные значения.
Для сложных схем со мноrими накопителями энерrии число неза
висимых начальных значений (начальных условий) может оказать
ся больше, чем порядок характеристическоrо уравнения, и, следо
вательно, больше числа постоянных интеrрирования. В этом случае
при определении постоянных интеrрирования используем не Все
независимые начальные значения, а часть из них.
Основными независимыии начальными значениями называют
те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах,
которые MorYT быть заданы независимо от друrих. Остальные неза
висимые начальные значения называют неосновными.
в качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис. 8.5. Она содержит три
индуктивных элемента в один емкостный. В схеме Bcero четыре независимых началь
ных значения (начальных услuвия):
1) il(O+)== о; 2) i2(O+) === о; 3) iз(О+) === о; 4) ис (0+) === О.
Из них три ЯВJIЯЮТСЯ uсновными И одно неосновным. Выбор основных значе
ний здесь произволен. Если за основные взять вервое, второе и четвертое значения,
то неосновным будет третье.
Пример 78. Убедимся в том, что для схемы рис. 8.5 характеристическое ypaBHe
ние имеет не четвертую. а третью ступень.
Реш е н и е: СостаВJlяем выражение для BxoAHoro сопротивления:
1
(pL 2 + c )рLз
р '2
Z(p) === R)+pl'l+ 1 === о.
рL2+рLз+ с
р 2
Отсюда
(R 1 +pL1)[1 +р 2 С 2 (L 2 +L з Н+рL з (1 +C 2L2p 2) === О.
Следовательно, ха р :1!\ l'еристическое уравнение имеет третью степень.
Н,
Р....с.8.5
238
А
н" L "
1 ,
с..
"
J J
С 5
L Л "
, 1
Н] LZ
Н 1 [2
п ю
Рис. 8.6
8.15. ОпредеJlение степени характеристическоrо уравнения.
Степень характеристическоrо уравнения цепи необходимо уметь
оuенивать, взrлянув на схему, в которой исследуется переходный
процесс. Быстрая ориентация в этом вопросе дает возможность
определить трудоемкость предстояш,ИХ выкладок и способствует
выявлению ошибки, если она возникает при составлении xapaKTe
ристическоrо уравнения.
Степень характеристическоrо уравнения равна числу основных
независимых начальных значений в послекоммутационной схеме
после максимальноrо ее упрощения и не зависит от вида ЭДС ис
точников ЭДС В схеме.
Упомянутое УПРОlцение состоит в том, что последовательно coe
диненные индуктивные элементы должны быть заменены одним
эквивалентным; конденсаторы, включенные последовательно и па
раллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными.
Применительно к схеме рис. 8.6, а последовательно включенные
L'I и L"2 следует заменить на L 1 == L'I+L"I + 2M, если между ними
есть маrнитная связь(если нет маrнитной связи, то М==О), а KOHдeH
саторы емкостью С' 3' С"з, С 4 на конденсатор емкостью
С' С"
з 3
С 5 == С 4 + с' с'" Начальное значение напряжения на С 5 равно Ha
3+ 3
чальному значению напряжения на С 4 .
В результате упрощений схемы рис. 8.6, б получаем схему на
рис. 8.7, в которой два индуктивных элемента и один конденсатор.
Все три независимые начальные значения основные. Следова
тельно, характеристическое уравнение будет третьей степени.
Обратим внимание на то, что степень характеристическоrо
уравнения не зависит от Toro, имеется ли маrнитная связь между
индуктивными элементами схемы или она отсутствует.
Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой
из ветвей KOToporo имеются либо только конденсаторы (рис. 8.7, а),
либо в одни ветви входят только конденсаторы, а в друrие только
ИСточники эде (рис. 8.7, б). Положим, что после максимальноrо
УПРощения схемы в емкостный контур входит п конденсаторов. Ec
ли учесть, что по второму закону Кирхrофа алrебраическая сумма
наПряжений на ветвях контура равна нулю, то только на п 1 KOH
239
/
а)
5)
8)
2),
Р....с. 8.7
денсаторах контура напряжения MorYT быть заданы ПРОИЗВОльно.
Условимся под индуктивным узлом понимать узел, в котором cxo
дятся ветви, в каждой из которой имеются индуктивности (рис. 8.7,
8), либо часть ветвей с индуктивностями, а друrая с источниками
тока (рис. 8.7, с). Положим, что в индуктивный узел сходится т BeT
вей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по первому зако
ну Кирхrофа сумма токов в узле равна нулю, то только в т 1
индуктивностях токи MorYT быть заданы произвольно.
Обобщенно можно сказать, что после максимальноrо упроще
ния схемы степень характеристическоrо уравнения может быть оп
ределена путем подсчета величины пL+пC YL ko rде п L число
индуктивных элементов в схеме; п с число конденсаторов; YL
число индуктивных элементов, токи в которых не MorYT быть заданы
произвольно; kc число конденсаторов, напряжения на которых
не MorYT быть заданы произвольно.
3 а м е ч а н и я: 1. Если схема с источником тока имеет несколько 1l0следова
тельных участков, содержащих параJIлельно соединенные ветви с R, L, С, то ДJIЯ
каждой rруппы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со
своими корнями (свободные токи не MOI'yT замыкаться через источник тока, 1l0СКОЛЬ
ку ero сонротивление равно бесконечности).
2. Если в схеме будут имеТhСЯ так называемые дополняющие двухполюсники
(см. 8.63), содержащие элементы R, L, С, между которыми выполняются опреде
ленные соотношения, то при упрощении схемы они должны быть заменены на экви
валентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки(на этутему peKOMeH
дуется решить пример 30 из вопросов для самопроверки).
8.16. Свойства корней характеристическоrо уравнения. ЧислО
корней характеристическоrо уравнения равно степени этоrо ypaB
нения. Если характеристическое уравнение представляет собой
уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй
степени два корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всеrда
отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) KO
рень.
Уравнение второй степени может иметь: а) два действительныХ
неравных отрицательных корня; б) два действительных равных
отрицательных корня; в) два комплексно сопряженных корня с oT
рицательной действительной частью.
240
Уравнение третьей степеlНИ может иметь: а) три действительных
неравНЫХ отрицательных корня; б) три действительных отрица
тельных корня, из которых два равны друr друrу; в) три действи
тельных равных отрицатеЛI..НЫХ корня; r) один действительный OT
рицательный u K peHb и Ba комплексно сопряженных с
отрицательнои деиствительнои частью.
8.17. Отрицательные 31ilаки действительных частей корней xa
рактеристических уравнеНИIИ. Свободный процесс происходит в цe
ли, освобожденной от источн ика ЭДС. ОН описывается слаrаемыми
вида Ae Pt . В цепи, освобожденной от источников ЭДС, свободные
токи не MorYT протекать скодь уrодно длительно, так как в ней OTCYT
ствуют источники энерrии, которые были бы способны в течение сколь
уrодно длительноrо времени покрывать тепловые потери от свобод
ных токов, т. е. свободные токи должны затухать во времени.
Если свободные токи (выраженные слаrаемыми e Pt ) должны за
тухать (спадать) во времен и, то действительная часть р должна
быть отрицательной.
Значения функции e a! === t(at), с'де at===x, приведены в табл. 8.1.
х е Х e Х shx
О 1,0 1,0 0,0 ][
0,1 1,10 0,905 0,10 1
0,2 1,22 0,819 0,20 1
0,3 1,35 0,741 0,30 1
0,4 1,49 0,67 0,41 J
0,5 1,65 0,606 0,52 ]
0,6 1,82 0,549 0,64 i
0,7 2,01 0,497 0,76 1
0,8 2,22 0,449 0,89 1
0,9 2,46 0,407 1,03 il
1,0 2,72 0,368 1,17 11
[,[ 3,00 0,333 1,34 1
[,2 3,32 0,301 1,51
1,3 3,67 0,272 1,70
[,4 4,05 0,247 1,90
[,5 4,48 0,223 2,[3
[,6 4,95 0,202 2,38
[,7 5,47 0,183 2,65
[,8 6,05 0,165 2,9 L1 !
[,9 6,68 0,15 3,2,7
2,0 7,39 0,135 3,БЗ
т а б л и Ц а 8.1
х е Х e X shx chx
,0 2,1 8,17 0,122 4,02 4,14
,005 2,2 9,02 0,1 [ 1 4,46 4,56
,02 2,3 9,97 0,100 4,94 5,04
,04 2,4 11,02 0,09 5,47 5,56
,08 2,5 12, 18 0,082 6,05 6,13
,13 2,6 13,46 0,074 6,70 6,77
,18 2,7 14,88 0,067 7,41 7,47
2 r - 2,8 16,44 0,061 8,19 8,25
,д
, И 2,9 18,17 0,055 9,06 9,11
143 3,0 20,08 0,05 10,02 10,07
,
,54 3,2 24,53 0,041 12,25 12,29
,67 3,4 29,96 0,033 14,96 15,0
,81 3,6 36,6 0,027 [ 8,28 18,31
,94 3,8 44,7 0,022 22,34 22,36
,15 4,0 54,6 0,018 27,29 27,3
,25 4,2 66,69 0,015 33,33 33,35
,58 4,4 81,45 0,012 40,72 40,73
,83 4,6 99,48 0,01 49,74 49,75
,11 4,8 121,5 0,0082 60,75 60,76
,42 5,0 184,4 0,0067 74,2 74,21
,76 6,0 400 0,0025 200 200
1
1
2
2
2
2
3
3
3
241
Рассмотрим характер изменения свободных составляющих для
простейших переходных процессов в цепях с характеристическим
уравнением первой и второй степеней.
Если число корней характеристическоrо уравнения БОЛЬше
двух, то свободный процесс может быть представлен как процесс,
составленный из нескольких простейших процессов.
8.18. Характер свободноrо процесса при одном корне. Коrда
характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток
i CB === А e pt == Ae at, (8.12)
rде Р == а зависйт только от параметров цепи, А от парамет
ров цепи, ЭДС и момента включения. Характер изменения i CB при
А > О показан на рис. 8.8.
За интервал времени t == '[ == 1/ а функция Ae at уменьшится в
е == 2,72 раза. Действительно, при t =='[ == l/а а! === а'[ == а/а == 1;
е at === е а1: == е 1 == 1 / е == 1 /2,72.
Величину '[ === 1/ а == 1/1 р I называют постоянной времени цепи;
'[ зависит от вида и параметров схемы. Для цепи рис. 8.2 '[ == L/ R,
дЛЯ цепи рис. 8.3, а '[ == RC, дЛЯ цепи рис. 8.17
'[ ==(R 1 R з С)/(R 1 + R з ) и т. д.
Название «постоянная времени» отражает постоянство 1l0дкасательной к экс
поненте: подкасательная к экспоненте e tjt ЧИСJlенно равна 1; (см. рис. 8.8).
8.19. Характер свободноrо процесса при двух действительных
неравных корнях. Пусть Рl == а, Р2 === ь (для определенности
положим Ь >а). Тоrда
i CB ==A 1 e P \t +A 2 e P2t ==Ale at +A2e Ы. (8.12а)
I 1 \
\ \ В)
а) \ \
t
t
А
5) t ) t
t
f' <r
Р....с.8.8 Pl1c.8.9
242
Характер изменения свободноrо тока при различных по значе
АНЮ и знаку постоянных интеrрирования А I И А 2 качественно иллю
стрируется кривыми рис. 8.9, a c; кривая 1 представляет собой
функцию А le at; кривая 2 функцию A2e Ы; результирующая
(<<жирная») кривая получена путем суммирования ординат кривых
1 и 2.
Для рис. 8.9, а АI >0, А 2 >0; для рис. 8.9, 6 АI >0, А 2 <о,
IA 2 1 >A 1 ; дЛЯ рис. 8.9, в АI >0, А 2 <о, I А 2 1 <A 1 ; для рис. 8.9, с
А 1 >0, А 2 <о, I А 2 1 ==AI'
8.20. Характер свободноrо процесса при двух равных корнях.
Известно, что если среди корней характеристическоrо уравнения
есть два равных корня РI == Р2 == а, то соответствующие слаrае
мые решения должны быть взяты в виде
А lept + A 2 te pt === (А 1 + A 2 t)e at. (8.13)
На рис. 8.10 построены пять кривых. Они показывают возмож
ный характер изменения функции (А I + A2t)e at при различных
значениях постоянных интеrрирования А I И А 2 , а также при paBeH
стве нулю одной из постоянных.
Кривая 1 построена при АI >0 и А 2 >0; кривая 2 при АI <о
И А 2 >0; кривая 3 при АI >0 и А 2 <о; кривая 4 при AI ==0 И
А 2 >0; кривая 5 при А 1 >0 и А 2 === о.
8.21. Характер свободноrо процесса при двух комплексно-со-
пряженных корнях. Комплексные корни всеrда встречаются попар
но сопряженными. Так, если РI == {, + jш о , то Р2 == {, jшо. COOT
ветствующее им слаrаемое решения должно быть взято в виде
i CB == А e lIt sin( шоt + "). (8.14)
Формула (8.14) описывает затухающее синусоидальное колеба
ине (рис. 8.11) при уrловой частоте юо И начальной фазе ". Оrибаю
А
Ас 6t
......./
t
t
Рис. 8. 1 U
Рис. 8.11
243
щая колебания описывается кривой Ae 6t. Чем больше 6, тем быс
трее затухает колебательный процесс; А и v определяются значени
ями параметров схемы, начальными условиями и ЭДС ИСТОЧНИка;
W o и 6 зависят только от параметров цепи после коммутации; <U O
называют уrловой частотой свободных колебаний; 6 коэффици
ентом затухания.
8.22. Некоторые особенности переходных процессов. Как ИЗВе
стно из предыдущеrо, полное значение любой величины (тока, Ha
пряжения, заряда) равно сумме принужденной и свободной COCTaB
ляющих. Если среди корней характеристическоrо уравнения есть
комплексно сопряженные корни Р1,2 == 6 + jw o и значение уrло
RОЙ частоты свободных колебаний W o почти равно уrловой чаСтоте
w источника синусоидальной ЭДС (источника питания), а коэффи-
циент затухания {j мал (цепь с малыми потерями), то сложение
принужденной и свободной составляющих дает колебание, для KO
Toporo характерно биение амплитуды (рис. 8.12, а).
Колебание (рис. 8.12, а) отличается от колебаний, рассмотрен-
ных в Э 7.14, тем, что здесь у одной из составляющих колебанJ1.Я
амплитуда медленно уменьшается.
Если уrловая частота свободных колебаний W o точно равна yr-
ловой частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее
колебание имеет форму, изображенную на рис. 8.12, 6.
Простейшим примером колебаний TaKoro типа является коле
бание, возникающее на конденсаторе схемы рис. 8.13 в результате
сложения принужденноrо и cтcosw t и свободноrо и Cme fJt COS(J)"t
колебаний: и с == и сm( 1 e Ы) coswt.
Амплитуда результирующеrо колебания нарастает по экспо
ненциальному закону.
При наличии конденсатора (конденсаторов) в схеме MorYT воз-
никать большие начальные броски токов, в несколько раз превыша
ющие амплитуды тока установившеrося режима. Так, в схеме рис.
8.14 при нулевых начальных условиях в первый момент после замы-
кания ключа напряжение на конденсаторах равно нулю и ТОК в
неразветвленной части цепи равен и тsiп-ф / R). Если -ф == 900, то в
t
а)
о)
Р....с.8.12
244
с
i z
[] []
Р....с. 8.1 3
Р....с.8.14
первый момент после замыкания ключа ток равен и т / R\. При раз
мыаниии ключа в индуктивных цепях возникают опасные увеличе
ния напряжения на отдельных участках (см. 8.24).
8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электриче-
ской искрой (дуrой). Е;сли переходный процесс вызывается размы
канием ключа в электрической цепи, содержащей индуктивные Ka
тушки, то между ero расходящимися контактами при определенных
условиях может возникнуть электрическая искра (дуrа). При этом
расчет переходноrо процесса усложняется и, cTporo rоворя, не MO
жет проводиться методами, изучаемыми в данной rлаве. Объясня
ется это тем, что сопротивление электрической искры является
нелинейной функцией протекающеrо через нее тока. В этом случае,
если известна ВАХ дуrи, для расчета переходных процессов MorYT
при меняться методы, излаrаемые в rл. 16.
Попытаемся выяснить, можно ли ожидать возникновения электрической искры
при размыкании ключа в схеме рис. 8.15.
До размыкания ключа в цепи был установившийся режим:
. Е 2Е
,(O ) === R + 0,5R == 3R ;
;(O ) Е
;2(0 ) === 2 == 3R .
Допустим, что при размыкании ключа искра не возникает. При этом ток ;\1l0ЧТИ
MrHoBeHHo уменьшается до нуля, а ;(0+) должен равняться ;2(0+). Но каждый из токов
(i\ И ;2) по первому закону коммутации не может измениться скачком. Следовательно,
между достаточно медленно расходящимися контактами ключа при определенных
условиях можно ожидать возникновения электрической искры. Расчет переходноrо
процесса в схеме на рис. 8.15 дан в 8.28.
t 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием
ветвей в цепях, содержащих индуктивные катушки. При размыка
Нии ключей в электрических цепях, содержащих катушки с большой
L
t Е
v
l
R
Р....с.8.15
Р....с. 8.16
245
индуктивностью, на отдельных участках MorYT возникать наПряже
иия, во MHoro раз превышающие установившиеся. Напряжения,
превыша ющие уста новившиеся, называ ЮТ перенапряженuямu.
Они MorYT оказаться настолько значительными, что при определен
ных условиях вызовут пробой изоляции и выход из строя измери
тельной аппаратуры.
Пример 79. К зажимам индуктивной катушки с R == 100 Ом; L == 10 rH ПОДклю
чен вольтметр (рис. 8.16). Сопротивление вольтметра Rv == 3000 Ом; Е == [00 В.
Найти приближенное значение напряжения на зажимах вольтметра при t == 0+,
если допустить, что размыкание ключа произойдет MrHoBeHHo и искры не возНикнет.
Реш е н и е. До размыкания ключа через L протекает ток i == E/R == 1 А. В
индуктивной катушке была запасена маrнитная энерrия и 2 /2. Если допустить, что
размыкание ключа ПРОИЗОШJIO MrHOBeHHo и искры не появилось, и учесть, что ток
через L должен оставаться равным 1 А, то по замкнутому контуру, составленному
вольтметром и катушкой, за счет запаса энерrии маrнитноrо поля индуктивной
катушки в первое мrновение будет протекать ток в 1 А. При этом на вольтметре
возникнет пик напряжения 3 кВ. Прохождение большоrо импульса тока через ВОЛЬТ
метр может вызвать переI'орание катушки прибора и выход eI'o из строя.
При размыкании ключа с конечной скоростью между ero расходящимися KOH
тактами возникнет электрическая искра. Это приведет к тому, что увеличение Ha
пряжения на вольтметре будет меньше, чем в только что рассмотренном идеализи
рованном случае, коrда ключ размыкался MrHoBeHHo без искры.
При более детальном рассмотрении процесса необходимо еще учесть влИяние
. межвитковых ем костей и ем костей на землю (см. 11.1). Если не учитывать возник
новение искры, распределенные емкости и индуктивности, то приведенный расчет
ЯВJlяется rрубым и носит иллюстрированный характер.
Чтобы не «сжечь» вольтметр в цепи рис. 8.16, сначала следует отключить вольт
метр, а затем разомкнуть ключ. Перенапряжения IIРОЯВЛЯЮТСЯ тем сильнее, чем
больше индуктивность в цепях. Особенно опасны они в цепях постоянноrо тока,
содержащих индуктивности порядка единиц и десятков rенри. В таких цепях при
отключениях соблюдают специаJlьные меры предосторожности (ключ размыкают
после введения дополнительных резисторов в цепь).
8.25. Общая характеристика методов анаJlиза переходных про-
цессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных про
цессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих
основных операций:
1) вьiбора положительных направлений токов в ветвях цепи;
2) определения значений токов и напряжений непосредственно
до коммутации;
3) составления характеристическоrо уравнения и нахождения
ero корней;
4) получения выражения для искомых токов и напряжений каК
функции времени.
Широко распространенными методами расчета переходныХ
процессов являются:
1) метод, называемый в литературе классическим;
2) операторный метод;
3) метод расчета с помощью интеrрала Дюамеля.
Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета)
являются обязательными. Для всех методов первые три операциИ
246
совершают одинаково и их нужно рассматривать как общую для
всех методов часть расчета. Различие между методами имеет место
IIЗ четвертом, наиболее трудоемком этапе расчета.
Чаще используют классический и операторный методы, реже
метод расчета с применением интеrраJlа Дюамеля. В дальнейшем
будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область при
менения каждоrо из них (см. 8.56).
В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, элект
ронике, автоматике и в технике, связанной с теорией информации,
кроме этих трех методов применяют метод анализа переходных
процессов, основываюшийся на интеrрале Фурье. (Об интеrрале
Фурье и спектральном методе, основываюшемся на интеrрале
Фурье, СМ. rл. 9.) Для исследования характера переходноrо процес
са, описываемоrо уравнениями высоких порядков, используют MO
делирующие установки, а также метод пространства состояний
(см. 8.66).
8.26. ОпредеJlение КJlассическоrо метода расчета переходных
процессов. Классическим методом расчета переходных процессов
Itазывают метод, в котором решение дифференциальноrо ypaBHe
ния представляет собой сумму принужденной и свободной COCTaB
ляющих. Определение постоянных интеrрирования, входя щих в BЫ
ражение для свободноrо тока (напряжения), производят путем
cOBMecTHoro решения системы линейных алrебраических ypaBHe
ний по известным значениям корней характеристическоrо ypaBHe
'иия, а также по известным значениям свободной составляющей
тока (напряжения) и ее производных, взятых при t === 0+.
8.27. Определение постоянных интеrрирования в КJlассическом
методе. Как известно из предыдущеrо, любой свободный ток (Ha
пряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных
слаrаемых. Число членов суммы равно числу корней характеристи
ческоrо уравнения.
При двух действитеJIЬНЫХ неравных корнях
i === А ePl t + А e P 2 t .
св 1 2'
при трех действительных неравных корнях
i === А ep,t + А e P 2 t + А ерз t
св 1 2 З.
ДЛЯ любой схемы с помощью уравнений Кирхrофа и законов KOM
МУтации можно найти: 1) числовое значение искомоrо свободноrо тока
При t === 0+, обозначим ero i C8 (0+); 2) числовое значение первой, а если
Понадобится, то и высших производных от свободноrо тока, взятых
при t === 0+. Числовое значение первой производной от свободноrо
l'Ока при t === 0+ обозначим iCB'(O+); второй iCB"(O+) и т. Д.
Рассмотрим методику определения постоянных интеrрирова
247
ния A 1 , А 2 , ..., полаrая известными icn(O+)' iCB'(O+), i C8 "(0+) и значения
корней PI, Р2, ... .
Если характеристическое уравнение цепи представляет собой
уравнение первой степени, то iC8 == Ae pt . Постоянную интеrрИрова
ния А определяют по значению свободноrо тока i C8 (0+):
А == iCB(O+). (8.15)
Если дано характеристическое уравнение второй степени и ero
корни действительны и не равны, то
i CB == А le P1t + A 2 e P2t . (8.16)
Продифференцируем это уравнение по времени:
iсв' == PIA le P1t + p 2eP2t.
(8.16a)
Запишем уравнения (8.16) и (8.16з) при t == О (учтем, что при t ===
==0 ePl t == e P 2 t == 1 ).В результате получим
i C8 ( 0+) == А I + А 2;
iCB'(O+) == PIAI + P 2'
( 8.17)
(8.17а)
В этой системе уравнений известными являются iCB(O+), i C8 '(0+),
РI и Р2; неизвестными АI и А 2 .
Совместное решение (8.17) и (8.17 а) дает
iCB'(O +) P2 i cn(0 +)
A 1 === ;
РI Р2
А 2 === icn(O+) Alo
(8.176)
Если корни характеристическоrо уравнения являются комплек
сно сопряженными, то в (8.16) сопряжены не только РI И Р2
(PI.2 == {, + jw o ), но и А I И А 2 . Поэтому свободный ток
. А бt . ( t )
l сп == е s I n w о + v .
(8.18 )
Уrловая частота Wo И коэффициент затухания {, известны из
решения характеристическоrо уравнения.
Определение двух неизвестных А и v производят И В этом случае
по значениям i C8 (0+) и i C8 ' (0+).
Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим
(в' == A{,e lItsin( юоt + v) + А шое бtсоs( wot + v).
(8.18a)
Запишем уравнение (8.18a) при t === 0+:
icn'(O+) == A6sinv +Аюосоsv.
248
Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два
уравнения:
iCB(O+)==Asinv; }
ёсв'(О+) == A6sinv + AffiOCOSV.
Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей CTe
ленИ, свободный ток
i === А ePl t + А e P 2 t + А ерз t
сп 1 2 З'
(8.19)
(8.20)
Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой
частей уравнения (8.20):
i ' == Р А еР 1 t + Р .d e P 2 t + Р А ерз t .
св 1 1 r 2 з з ,
,
i "=== Р 2А ePlt + Р 2А eP2t + Р 2А ерзt
св 1 1 2 2 З З .
(8.21 )
(8.22)
Запишем (8.20) (8.22) при t == 0+:
iCB(O+) == А 1 + А 2 + Аз; I
iCB'(O+) == PI A I + P 2 + рзАз; (8.23)
ёсв"(О+) === Pi A l + P 2 + р Аз.
Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех ли
нейных алrебраических уравнений с тремя неизвестными: А 1, А 2 И
Аз. Все остальные входящие в нее величины
(PI' Р2' Рз, i CB ( 0+), i CB '( 0+), i CB "( 0+)] известны.
Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для
облеrчения расчета величины и ее производной (производных) при
t == 0+ рекомендуется решать задачу относительно тока через L или
напряжения на С и только затем, используя законы Кирхrофа, оп
ределять любую друrую величину через найденную.
Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процес
сов классическим методом в цепях первоrо и BToporo порядков с
Источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых
начаJlьныx условиях.
Пример 80. В схеме рис. 8.17 до замыкания ключа был установившийся режим:
RI == Rt' == Rз === 50 Ом; С == [00 мкФ; Е === [50 В. Требуется найти: 1) ПОJIные, при
НУжденные и свободные состаВJlяющие токов il, ё2, i3 и ис при t == 0+, а также
Н'
1
Н,
1.,
l2
С
[]
RJ
Е
Р....с. 8.17
249
начальное значение производной от свободноrо напряжения на конденсаторе; 2)токи
il, Ё2, Ёз И напряжение ис в функции времени.
Реш е н и е 11 е р в о й ч а с т и з а Д а ч и. До ком мутации Ё2(O ) == О и
il(O ) === iз(О ) == E/(RI + R 1 ' + R з ) == 150/150 == [ А.
Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе R з :
иc(O ) === iз(О )Rз == 1.50 === 50 В.
Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации:
i 1llp == i зllр == E/(R 1 + R з ) == 150/100 == 1,5 А;
Uспр(О+) == i 3пр (0+)R з == 1,5.50 === 75 В.
По второму закону Кирхrофа составим уравнение для контура, образованноrо
первой и второй ветвями при t == 0+:
il(0+)R 1 + ис(О+) === Е, но иС<О+) == иc(O ).
I
I
,
Поэтому
Е иc(O ) 150 50
Ё(О+) == R I == 50 === 2 А.
Из уравнения ис(О +) === iз(О+)R з получим
iз(О+) === ис(О+)/ R3 === 1 А.
По первому закону Кирхrофа il(O+) === Ё 2 (О+) + i з (О+). СJlедовательно,
Ё 2 (О+) == il(O+) i з (О+) == 2 1 === 1 А.
Свободные составляющие тока и напряжения при t == 0+ определим как pa3HO
СТН между полными н принужденными веJIичинами:
ис св(О+) === ис(О+) ис пр(О+) === 50 75 === 25 В;
i1cn(0+) === il(O+) i1пр(0+) == 2 1,5 == 0,5 А;
Ё 2св (0 +) === Ё 2 (О +) i 2пр (0 +) == 1 О === 1 А;
i зсв (о +) == i з (О +) i зl1р (О +) === 1 1,5 == 0,5 А.
Так как свободный ток через конденсатор
. duc св .
'св == С dt ' то duC CB/ dt === ,св/с.
В рассматриваемом примере
(du c CB/dt)1 0== 0+ === Ё 2св (0 +)/С == 1/( 1 00. 1 О б) === 104 В/с.
Реш е н и е в т о рой ч а с т и з а Д а ч Но Характеристическое уравнение
для послекоммутационной схемы рR 1 R з С + RI + R з == О имеет один корень
RI+Rз 1
р == R1RзС == 400 с .
Каждый ток равен сумме принужденной Н свободной состаВJlяющей Ae pl , rде А
равно значению свободной состаВJIяющей при t == 0+ (рис. 8.(8):
i == 1 5 + О 5е 4001 А- i == е 4001 А'
1 " '2 '
Ёз == 1 ,5 0,5е 4001 А; и с == 75 25е 4001 В.
Пример 81. В схем{' рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режиМ:
j
RI === R 2 == 2 Ом; (j)L == 3 Ом; e(t) == 127sin((j)t 500) В; (j) == 314 рад/с. Требуется
опредеJ1ИТЬ: 1) Ёсв(О +); 2) закон изменения тока в цепи ПОСJ1е коммутации.
Реш е н и е пер в ой ч а с т и з а Д а ч и. Комплексная амплитуда тока в
цепи до коммутации
"50°
I == [27e J === 25 4 j86°5(Y А
т 4 + 3j , е .
MrHoBeHHoe значение тока до коммутации i === 25,4sin((j)t 86050') А.
В момент коммутации (при (j)t == О)
Ё(O ) == 25,4sin( 86050') == 25,35 А.
Принужденный ток после коммутации
j50° .
127e jl06020'
1 т 2 + 3j 35,2е А.
MrHoBeHHoe знаЧf'II\tI
1\ жденноrо тока
1,11> == 35,2sin((j)t 106020') А;
iпр(О +) == 35,2sin( 106020') == 33,8 А.
По первому закону коммутации Ё(O ) == Ё(О+) == 25,35 А.
Но Ё(О+) === iпр(О+) + Ёсв(О+). Следовательно, Ёсв(О+) === Ё(О+) iпр(О+) == 25,35 +
+ 33,8 === 8,45 А.
Реш е н и е в т о р ой ч а с т и з а Д а ч и. Характеристическое уравнение
pL + R 2 === О имеет корень
R 2 R 2 2.314 I
Р === т== (j)L/(j) === 3 210с .
i,
t
1
Нl
l
о 2 " t; 10 JC
О 2 ti1D J C
Р....с. 8.19
.
lJ
'r
* t;fO с
,
J
27Т Jff wt
и с
о
2
t;fD Jc
Р....с.8.18
Р....с. 8.20
251
По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации (кривая I на рис. 8.20
до ffit === О)
i == 25,4sin(ffit 86050') А.
MrHoBeHHoe значение принуждеННОI'О тока после коммутации (кривая 2 на рис.
8.20)
i пр == 35,2sin(ffit 106020') А; ЁСВ(О+) == 8,45 А.
Следовательно,
i == i пр + Ё св :::::: 35,2sin(ffit 106020') + 8,45e 210t А.
Кривая 3 на рис. 8.20 определяет характер изменения свободноrо тока, кривая
4 flOJIНOrO тока после 'коммутации (ординаты кривой 4 при ffit О равны сумме
ординат кривых 2 и 3).
Пример 82. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения ис(О), при
замыкании ключа К разряжается на L и R (рис. 8.21, а). Вывести формулы и постро
ить rрафики изменения во времени ие, Ё, UL' KOfna корни характеристическоrо ypaB
нения: а) действительные; б) комплексно сопряженные.
2 R 1
Реш е н и е. Корни уравнения р + р + :;;:;: о равны
L LC
Pt,2 :J:: v1 ( 2 ( L1C Они действительны при (2 ) 2 > L и комплексно-
сопрнжены нри (2 ) 2 < :С ' При (2 ) 2 L]C корни равны. Соответствующее это-
му случаю R на ыJают крuтuчес uм. При решении учтем, что i (О) == О, i пр == О,
ис пр == О.
а) Полаrаем Pl.2 действительные корни. Тоrда
U А ep,t + А e P 2 t .
Ссв I 2'
d u c
. С св А Р t.1 Р t
t c св == dt == Р, le' + Р2' '2 е 2 .
Составим два уравнения для определения А I И А 2 :
А, + А 2 == uс(О); PIA, + P 2 == О.
Отсюда
иС(О)Р2 ис(О)РI
A 1 == ,A2==
Р2 Pl Р2 Р,
и с IJ '
..........
G
а)
иc
i :
UL V;) t
Рис. 8.1 t
252
ис ь.
L V t
t
U L rБJ t
Следовательно,
ис(О)
u == (р е Р 1 ! Р e P2t );
С Р Р 2 1
2 1
i == CPIA1(ePlt e P2t );
U L == LCP1Al(P1eP1t P2 eP2t ).
[рафики
и с , i, U L ДJIЯ СJlучая а) даны на рис. 8.21, б. Для случая б) корни
000 L1C ( 2:) 2
б == R/2L;
Напряжение
Р1,2 === б + jffio, rAe
и === Ае бtSiП(ffiоt + "')'
С св
ТОК
i ==С dUCCB == ACe бt [ бsiП(ffiоt+v) + ffiOCOS(ffiot+V)] ==ACe бtSiП(ffiоt+ ",+ ).
св dt
Здесь tg == юо/( б), yrOJI находится во второй четверти. Из начальных УСJЮВИЙ
ис(О) == А sinv и Ёсв(О) == А Csin(v + ) == О.
Отсюда
о . tgv ЮО
v + == 180 ; tgv == ffiо/б; sшv == -v 2 -v 2 2 '
1 + t g v (j + ЮО
Постоянная
. Ис;(О) 2
А === . == Uc(O) -У l + ((j/ffi O ) .
sшv
[рафики ис == Ае бt sin(ffiot + "');
== A C/L е бtsiПffiоt и
ис(О)
UL == «(j2 + ffi6)ACLe бtSiП(ffiоt "') == e бtSiП(ffiоt "')
sшv
. А С .... / 2 + 2 бt. t
l == VU ЮО е SШffiо ==
изображены на рис. 8.21, в; UL(O+) == ис(О).
Пример 83. В схеме рис. 8.22 КJIЮЧ замыкается в третьей ветви. До этоrо БыJ1
установившийся режим: e(t) ==Е == [20 В. Требуется найти: 1) i 2cB (0+); (di 2cn /dt)o '
+
иссв(о+), (duCCB/dt)o+; 2)Ё 2 (О,и с и), еслиR 1 ==500M,R 2 == 100M,L 2 == 2rн,R: з ==
== 50 Ом, С == 150 мкФ.
Реш е н и е пер в о й ч а с т и з а Д а ч и. До замыкания ключа
il(O ) == Ё2(O ) == E/(R 1 + R 2 ) == [20/(50 + 10) == 2 А.
Принужденный ток ПОСJlе коммутации i 1пр == i 2пр == 2 А. Постоянный ток через
КОНденсатор не проходит, поэтому i зпр == О.
l /'2 R Z
.,
Lz
lJ
RJ С
Р....с. 8.22
253
От 110стоянноrо тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, Следо_
вательно, U L 2пр == О.
Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на R.
от тока i 2пр : и с пр == 2.10 == 20 В. По первому закону коммутации 2
Ё2(O > == Ё 2 {О+) === 2 А. Но Ё 2 (О+> === Ё 2пр (0+) + Ё 2со (0+), откуда
Ё 2св (0 +> === Ё 2 (О +) Ё 2пр (0 +) === 2 2 === о;
Ё 1 (О+) == Ё 2 (О+> + i з (О+),
или
i 1{0 +) == 2 + i з (О +).
Составим уравнение [10 второму закону Кирхrофа для замкнутоrо КОНТура,
образованноrо первой и третьей ветвями:
i 1 (0+)R 1 + i з (О+>R з + ис (0+) == Е.
Так как и с (0+) === О и Ё,(О+) === 2 + i з (О+>, то
Е 2R, 120 2.50
i з (О+) == R 1 + R3 == 50 + 50 === 0,2 А.
Свободная составляющая
iзсв(О +> == iз(О +) iзпр(О +) == 0,2 О == 0,2 А.
Чтобы определить U L св(О+), составим уравнение для свободных составляющих
[10 контуру, образованному первой и второй ветвями:
i 1cB (0+)R} + i 2cR (0+)R 2 + UL св(О+) == О,
откуда
ULCB(O+) == i lcB (0+)R 1 i 2cB (0+)R 2 === 0,2.50 О === 10 В.
di 2cB
Но U L св === L 2 d/' Следовательно,
( di 2cB )
d/ 0+ == U L св(О+)/ L 2 === 10/2 == 5 А/с.
Свободное напряжение на конденсаторе при t == 0+ подсчитаем [10 второму
закону коммутации:
ис (O ) == и с (О +);
ис (0+) == и с пр(О +) + и с СВ(О +); О == 20 + ис св(О +),
отсюда ис св(О+) == 20 В.
Определим скорость изменения свободной составляющей напряжения на KOH
du c св
денсаторе при t == 0+" С этой целью воспользуемся тем, что i ЗСВ == С dt . Следова
тел ьно,
( dU C св ) б
dt 0+ == iзсв(О+)/С == 0,2/(150.10 ) == 1333 В/с.
Реш е н и е в т о рой ч а с т и з а Д а ч и. Характеристическое уравнение
p2 L2 C(R, + R 2 ) + р[С(R 2 R з + RIR2 + R 1 R з ) + L 2 ] + R 1 + R 2 == О
254
о t
Рис. 8.23
имеет два комплексно сопряженных корня:
р == 42,1 + j15,2 c I, Р2 == 42,1 j15,2 c l.
Поэтому свободная состаВJlяющая должна быть взята в виде
Ae lItsin(ffiot + v),
rде (j == 42,1; юо == 15,2; А и v определяются 110 значению свободной составляющей и
ее первой производной при t == 0+. По данным первой части задачи, i2пр === 2 А;
i2cn(0+) == о; Ё2св(0+) === 5 А/с; ис пр == 20 В; иС св(О+) === 20 В; ис св'(О+)== 1333
В/с.
При {==о Ae lItsin(ffiot + v) == Asinv. Производная функция Ae lItsin(ffiot + v):
Абе 6t sin (ffi o t + v) + Ae 6tffiOCOS(ffiot + v).
Значение этой производной при t == О равно (jAsinv + ffioAcosv.
Найдем значения А и v для свободной составляющей тока Ё 2 . ДЛЯ этоrо составим
два уравнения:
Ё 2св (0+) == О или Asinv == о;
i 2cB '(0+) === 5 или (jAsinv + ffioAcosv == 5.
Совместное решение их дает А == 0,328 А и v === О. Следовательно,
Ё 2 == i 2пр + Ё 2Сn == 2 0,328e 42,lt s in 15,2t А.
Кривая I на рис. 8.23 выражает собой rрафик Ё 2 == 1(/). Найдем А и v для
свободной составляющей напряжения ис
и с св(О+) == 20 или Asinv === 20;
и св(О+) == 1333 или (jAsinv + ffioAcosv === 1333.
Отсюда А === 37,9; v === 31052'. Таким образом,
и с == U спр + uCcB==20+37,ge 42,ltsin(15,2t 31 052')8.
Кривая 2 на рис. 8.23 изображает и с == I(t).
Пример 84. В схеме рис. 8.22 e(/)===127sin (3141 +400) 8. Параметры схемы те
Же, Что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим.
( di 2cB ) ( dUCCB )
Требуется найти: 1) ;2,,(0+); dI 0+; "ссв(О+); d/ 0+;
2) Ё 2 и), uc(t).
255
Реш е н и е пер в о й ч а с т и з а д а ч и . До кuммутации
'40°
127е/ j44030' .
11т 12т 60 + j628 О,202е А,
Ё 1 == Ё 2 === 0,202sin(ffi/ 44°30')
il(O ) == Ё2(O ) === 0,202sin( 44°30')=== 0,1415 А.
Определим принужденные токи и напряже ния на конденсаторе flOCJle КОММУта_
ции.
Входное сопротивление цепи
. (R 2 +jffiL 2 ) (Rз .iё;)
z R + ю. 104 , 8e j9°50'OM.
=== 1 .
R2+jffiL2+Rз :с
. .
j40° j9°50' , j49°50'
Тоrда llm==El m /Z Bx ==127e /[04,8е ==1.,213e .
MrHoBeHHoe значение принужденноrо тока после коммутации
i 1пр === 1 ,213sin(ffit .+ 49050')
ilnp(O+) === 1,213sin49°50' == О,923А.
:;
. f
Комплексное сопротивление параллельно соеДиненных второй и третьей ветвей
(R2+jffiL2)(Rз jc)
Z23 === Ю. . === 56,3е Л8035' Ом.
R 2 + jffiL2+Rз c
Комплексное напряжение на параллельном участке
. .
U ===1 Z ==1 213еj49030'5б О: е j18035'===б8 2ej31015'B
23т 1т 23 ' , , .
Отсюда
. .
1 ===и / Z ===68 2ej31015' /( 10 +/ '628 ) ===0 1085e j58°45'
2т 23т 2 ' "
1 ===68 2ej31015' /( 50 J '21 3 ) === 1 253ej54°20'
3т ' ".
MrHoBeHHbIe значения принужденных токов Ё2 и Ёз ПОС 1е коммутации:
i 2пр ===0,1 085sin( ffit 58045');
i зп р == [ ,253s i п( ffi t + 54 020');
i 2пр (0 +)==0,1 085sin( 58045')== o,o928 А;
iзпр(О+)=== 1 ,253sin54°20'== 1,016 А.
Принужденное напряжение на конденсаторе
и ' ===i. ( j ) ===l 253еj340ЗО'21 3e i900===26 7e j35°40'B
Сп р 3т ffi С' , , .
MrHoBeHHoe значение принужденоrо напряжения на конденсаторе после ком ",у-
тации
UСпр==26,7siП(ffit 35040'); UСпр(О+) ===2б,7siп( 35040')== [5,57 В.
256
По первому закону коммутации,
ё2(0 ) == ё2(0+)== 0, [415==i2пр(0+)+i2св(0+);
i 2пр (0+)===0,0928А; i2cB(0+)== 0,[415+0,0928== 0,0487 А.
Свободное напряжение на конденсаторе иссв(О+) найдем по второму закону
коммутации:
Uс(О )===UСпр(О+)+UСсв(О+) ;
иссв(О +)==ис(О ) Uспр(О +)===o ( 15,7)=== 15,57 В.
Для определения iзсв(О +) составим уравнение по контуру, образованному первой
и-третьей ветвями:
ё}св(О +)R 1 +iзсв(О +)Rз+uссв(О +)==0.
Заменим в нем i1cB(0+) на [ 0,0487+ё3CB(0+)]' и, учтя, что U CcB (0+)===15,57 В,
получим
. [5,57 +2,43
tзсв(О+) === 50+50 === 0,[314 А;
i1cB(0+) === i2св(0+)+iзсв(0+)== 0,18 А.
( di2CB ) -' .
Чтобы найти ULCB(O+)==L """d't" о ' составим уравнение для контура, образован
+
Horo первой и втор о" ветвями:
i1cB(0+)R} +ё 2св (0 +)R 2 +U LcB (0+)==0,
откуда
ULCB(O+) == 9,487 В;
( di 2CB )
dt 0+ === ULCB(O+)/ L==9,487 /2===4,74 А/с;
( dU C ) i (О )
М'В O+ З'В е + O.1314/(150.IO "> 876 В/с.
Реш е н и е в т о рой ч а с т и з а Д а ч и . По данным, полученным при реше
'Нии первой части,
i2пр===0,[085siп«ut 58045'), i2ciO+)== 0,0487 А;
i ;св(0+)===4,74 А/с;
uCllp===26,7sin(oot 35°40'), u CcB (0+)==15,57 В;
U CB(0+)=== 876B/c.
o Корни характеристическOI'О уравнения те же, что и в предыдущем при мере.
, ffредеJlИМ А и v для ё 2св , составим два уравнения:
Asinv=== 0,0487; БАsiпv+оооАсоsv==4,74,
ОТкуда А==О, [84 А; v=== 15020'.
Следовательно
,
i 2 ===i 2пр +ё 2св ===О, [085sin(wt 58°45')+0, 184e 42.}tsin(15,2t [5020') А.
9 3ак. 683
257
Найдем А и v для иссв, составим два уравнения:
Asinv== 15,57; БАsiпv+wоАсоsv== 876.
I1
"-
('
Их совместное решение дает А==2[,3; v==[36°50'. Таким
ис==испр+иссв==26,7siп(wt 35040')+2 [,3е 42.)tsin(15,2t+ 136°50') В.
обра30 1
':;
\ ;.f
8.28. О переходных процессах, при макроскопическом рассмот.
рении которых не ВЫПОJlНЯЮТСЯ законы коммутации). ОбобщеННые
законы коммутации. На практике встречаются схемы, переХОДНые
процессы в которых состоят как бы из двух стадий резко различной
продолжительнос и. Длительность первой стадии в тысячи и мил-
лионы раз короче второй. В течение первой стадии токи в индуктив
ных элементах и напряжения на конденсаторах изменяются на-
столько быстро (почти скачкообразно), что если считать t === О
началом, а t == 0+ окончанием первой стадии, то создается впё:
чатление, что при переходе от t == O к t == 0+, т. е. за время, напри-
мер, в несколько микросекунд, как бы нарушаются законы KOMMy
тации.
Для иллюстраuии нарушения BToporo закона коммутации рас-
смотрим переходной процесс в схеме рис. 8.24 с начальными усло-
виями иC1(O ) == Е, UciO ) == о.
Сначала при замыкании ключа через конденсаторы возникают
очень большие броски токов (оrраничиваемые хотя и очень малыми,
но все же конечными сопротивлениями соединительных проводов
R пр ), прохождение которых приводит почти К MrHoBeHHoMY уравне-
нию напряжения на конденсаторах до значения, меньшеrо Е. (Стро-
ro rоворя, если учесть сопротивление R пр , то для первой стадии
переходноrо процесса в схеме рис. 8.24 характеристическое уравне-
ние будет уравнением BToporo порядка, один корень KOToporo пр
Rпр"'-'+О стремится к бесконечности.)
После 3Toro начинается вторая стадия, коrда параллельно сое-
диненные конденсаторы относительно медленно за ряжаются до на'.
пряжения Е. Длительность переходноrо процесса практически ОП,-
u u -.'
ределяется второи стадиеи.
В качестве примера нарушения первоrо закона коммутацИ'.и
рассмотрим переходной процесс в схеме рис. 8.15. Быстрое размьr'-
кание КЛlQча в первой ветви, например за
10 5 с, приводит К тому, что сопротивле-
ние этой ветви быстро увеличивается,
I'OK i 1 почти скачком уменьшается до ну-
ля и почти скачком изменяются токИ Б
остальных ветвях.. Таким образом, з8
очень малое время порядка 1 0 5 с (от t
==o до t == 0+) токи резко изменяюТСЯ'
а i( 0+) =l=i( O ); i 2 (0+) =l=i2(0 ),
R i
&, .-;Ji
и с , {с !
Рис. 8.24
)
Имеются в виду ранее paCCMOTpeHHble заКОНbI коммутации.
258
Нарушение законов ком мутации в формулировке 8.5, 8.6
при переходе от t == 9 до t u == 0+ объясняется тем, что процессы в
быСТРО протекающеи первои стадии и их зависимость от времени не
рассматриваются. Если же первую стадию не исключать при pac
смотрении, то ранее рассмотренные законы коммутации выполня
ЮТСЯ.
ДЛЯ Toro чтобы можно было рассчитать переходные процессы
сразу во второй стадии, как бы перешаснув через первую, надо,
во первыХ, примириться с тем, что при переходе от от t == O дО t ==
:::::=0+ В рассматриваемых задачах законы коммутации в том виде,
aK они сформулированы в 8.5, 8.6, не будут выполнены; BO BTO
рых, принять исходные положения, которые позво яют определить
значения токов через индуктивности и напряжении на KOHдeHcaTO
р:ах (а если потребуется, то и их производные) при t == 0+ через
значения токов и напряжений при t == O . Таких положений (правил)
два. При решении задач рассматриваемоrо типа они заменяют за
коны (правила) коммутации, о которых шла речь в 8.5, 8.6, и
потому их называют иноrда обобщенными законами (правилами)
коммутации.
1. При переходе от t == O дО t == 0+ суммарное потокосцепле
ние I 'ф каждоrо замкнутоrо контура послекоммутационной схемы
не должно претерпевать скачкообразных изменений. Это положе
'иие следует из BToporo закона к.ирхrофа и доказывается от против
иоrо: если допустить, что L 'Ф HeKoToporo контура изменится ска ч
ком, ТО в уравнении для этоrо контура, составленном по второму
закону к.ирхrофа, появилось бы слаrаемое (А L 'Ф/ At)llt o ----+ 00 И BTO
JiQЙ закон к.ирхrофа не был бы вьiполнен.
Суммарное потокосцепление \....., 'Ф представляет собой алrебра
э( L
ескую сумму произведений токов ветвей этоrо контура на индук
вности их индуктивных элементов (в общем случае с учетом Mar
нитной связи с друrими ветвями). Со знаком плюс в эту сумму
, r.одят слаrаемые ветвей, направление токов в которых совпадает
'IПРОИЗВОЛЬНО выбранным направлением обхода контура.
E' 2. При переходе от t == O дО t == 0+ суммарный заряд L q на
Обкладках конденсаторов, присоединенных к любому узлу после
коммутационной схемы, должен остаться неизменным. Если этоrо
I{е выполнить, то суммарный ток, проходящий через конденсаторы,
БJ!.IЛ бы бесконечно большим (стремился бы к бесконечности), бес
Онечно большими были бы токи и через друrие ветви, присоединен
Hhle к этому узлу. Это также привело бы к нарушению BToporo
заКона к.ирхrофа.
о Прнмер 85. В схеме рис. 8. [5 до размыкания ключа был установившийся режим.
Пределить ток в цепи после коммутации.
9'"
I
259
'АЕ l,z/f
1f
2 J 7/'Z" и С ( и с "
2 ,r
/ I/!
7/12 '1/3 '/
а) .t б) t в) 8)
Рис. 8.25
Реш е н и е. Послекоммутационная схема рис. 8.15 имеет Bcero один контур.
По первому закону (правилу) коммутации:
Li (O ) + L 2 i 2 (O ) === i (0+) (L + L 2 );
ЦО+) == P/(L + L2)][Li(0 ) + L 2 i2(0 »).
Закон изменения тока при t 0+ ' если считать, что до коммутации был YCTц
новившийся режим,
Е [ Е 2L + L 2 Е ] 2R t
i == 2R + 3R L + L 2 2R е L + L 2 .
На рис. 8.25, а, 6 показан характер изменения токов для схемы рис. 8.15 в долях
от Е/ R при L == 3L2 (L2 в правой ветви).
Пример 86. Определить закон изменения напряжений ис, и иС2 при замыкании
ключа в схеме рис. 8.24.
Реш е н и е. В схеме известны UCl(O ) == Е; ис2(О+) === о. По второму закону
(правилу) коммутации составляем одно уравнение (т. е. столько, сколько надо COCTa
вить уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхrофа):
иС} (O ) С} === ис (0+) === (С} + С 2 ).
отсюда
ЕС}
ис (0+) == иСl (0+) === иС2 (0+) === С С '
1 + 2
)
')
tJ
Приt О+
'1
С 2 t
иС === UСпр + иССВ == Е Е С + С е R(C} + С2>.
} 2
\ )
Характер изменения ис} и иС2 показан на рис. 8.25, 8, z. Ji
В
В заключение обратим внимание на то, что, допустив при пер -
ходе от t == O к t == 0+ скачкообразное изменение токов через И
дуктивный элемент и скачкообразное изменение напряжений на
конденсаторах, тем самым допускаем скачкообразное изменеНlН
энерrии маrнитноrо поля индуктивных элементов и энерrии элеКТ
рическоrо поля конденсаторов.
Суммарная энерrия электрическоrо и маrнитноrо полей прИ
t == 0+ всеrда меньше суммарной энерrии при t == O , так как часТЬ
запасенной энерrии расходуется на тепловые потери в резисторах,
искру при коммутации, электромаrнитное излучение в окружаю
щее пространство.
260
,
Прежде чем перейти к изучению основ BToporo метода расчета
переходных процессов в линейных электрических цепях опера
TOpHoro метода, вспомним некоторые известные положения.
8.29. Лоrарифм как изображение числа. Известно, что дЛЯ BЫ
полнения операций умножения, деления, возведения в степень и
извлечения корня из мноrозначных чисел целесообразно пользо
ваться лоrарифмами.
Действительно, операция умножения сводится к сложению ло
rарифмов, операция деления к вычитанию лоrарифмов и т. д.
ТакиМ образом, произвести расчет леrче в силу Toro, что сравни
тельно сложная опера llия сводится к более простой. Каждому чис
лу соответствует свой лоrарифм, поэтому лоrарифм можно pac
сматривать как изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение
(лоrарифм) при основании 10 числа 2.
8.30. Комплексные изображения синусоидальных функций. С
понятием изображения встречаются также при изучении символи
ческоrо метода расчета цепей синусоидальноrо тока. Соrласно сим
волическому методу, комплек ная амплитуда есть изображение
синусоидальной функции. Так, 1т изображение синусоидальноrо
тока 1т sin (ш t + 'Ф). Между изображением числа в виде лоrариф
ма и изображением синусоидальной функции времени в виде комп
лексноrо числа имеется существенная разница. В первом случае
речь идет об изображении числа (не функции), во втором об изо
бражении функции времени.
Подобно тому как введение лоrарифмов упростило проведение
операций над числами, введение комплексных изображений сину
соидальных функций времени позволило упростить операции над
функциями времени (свести операции расчета цепей синусоидаль
Horo тока к операциям, изученным в rл. 2).
8.31. Введение в операторный метод. Операторный метод тоже
ОСнован на использовании понятия об изображении функций Bpe
Мени. В операторном методе каждой функции времени COOTBeTCT
.lJ)'eT функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наобо
_ ,OT функции переменной р отвечает определенная функция
,!3ремени.
1 Переход от функции времени к функции р осуществляют с по
- i Ощью преобразования (прямоrо) Лапласа.
Таким образом, операторный метод расчета переходных про
Цессов представляет собой метод расчета, основанный на преобра
зовании Лапласа.
Операторный метод позволяет свести операцию дифференциро
Вания к умножению, а операцию интеrрирования к делению. Это
Облеrчает интеrрирование дифференциальных уравнений.
2Ы
...
I
8.32. Преобразование Лапласа. Условимся под р понимать
комплексное число
р === а + jb,
- \
(8.24 )
rде а действительная, а jb мнимая части комплексноrо числа
(в ряде книr вместо буквы р пишут s).
В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой Ko
эффициент Ь с учетом знака условимся называть не коэффициен
том при мнимой части комплекса (чем он в действительности ЯВJIЯ
ется), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС,
заряд) обозначают 1(t) и называют орuzuналом. Ей соответСтвует
функция F(p), называемая изо6ражением, которая определяется
следующим образом:
00
(8.25 )
F (р) == f (t) e pt di .
о
Соответствие между функциями F(p) и '( 1) записывают так:
Р(р) . . '( t) о
'. .
.
(8.26)
Знак« ' » называют знаком соответствия.
Верхний предел интеrрала (8.25) равен бесконечности. Интеrра
лы с бесконечным верхним пределом называют несо6ственными.
Если в результате интеrрирования и подстановки пределов получа
ют конечное число (не бесконечностьt то rоворят, что интеrрал
сходится.
В курсе математики доказывается, что интеrрал (8.25), в состав
KOToporo входит функция e pt == e ate ibt, сходится только в том
случае, коrда модуль функции I(t), если и увеличивается с ростом t,
то все же медленнее, чем модуль функции e Pt , равный e at .
Практически все функции 1(1), с которыми имеют дело в курсе
ТОЭ, этому условию У ДQвлетворяют.
Составим изображения некоторых простейших функций.
8.33. Изображение постоянной. Требуется найти изображение
функции f(t) == А, rде А постоянная величина. С этой целью, в
(8.25) вместо 1(/) подставим А и проведем интеrрирование:
00
00 ( 1 ) 00 А е pt I А
F (р) == А e pt dt === А d(e Pt) == == .
о р орр
о
Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, дe
ленной на р:
А .О А/р.
(8.27)
262
8.34. Изображение показательной функции e nt . Вместо ,и) в
(8.25) подставим e at :
( 00 ос) 1
F (р) == (e at e ptdt == ( e t(p а) dt== ( ) х
) ) p a
о о
.
.>
ос)
[ ос) [ [
X(e t(p n)d[ t(p a»)== e t(p n)1 == (o 1)== .
) p a p a p a
о о
.'
Таким образом,
1
e at .
. p a
При выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) было
учтено, что действительная часть оператора р больше, чем а, т. е.
а> а. Только при этом условии интеrрал сходится.
Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в
ней а == jro , получим
(8.28)
ej(J)t . . 1 / (р j ы) .
(8.29)
Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплек
са синусоидальноrо тока:
. .
1 m ej «(J)t + 'Ф) == 1 mej(J)t .
С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число 1 т:
i j(J)t . i 1 (8.30)
те . т р jw .
Аналоrично, изображение комплекса синусоидальноrо напря
,жения
и ej(J)t . и [
т . т р jw
(8.31 )
Функции e nt соответствует изображение l/(p + а):
e nt . . l/(p +а) .
(8.32)
8.35. Изображение первой производной. Известно, что функ
ЦИи f(t) соответствует изображение Р(р). Требуется найти изобра
ЖеНие первой производной df(t) / dt, если известно, что значение
Функции lи) при t == О равно 1(0).
Подверrнем функцию dt(t) / dt преобразованию Лапласа:
ос) ос)
( df (t) e pt dt === ( e pt d [' (t»)
) dt ) .
о о
263
Интеrрирование произведем по частям udv === uv vdu. Обоз
начив e pt == u и d [f (/)] == dv, получим
00
00
e pt d[f (/)J == e Ptf (/) I ) t (/)d[e pt].
О О О
00
Но
I '
00
, I
e ptf (t)1 === О f (О) == f (О),
о
а
00
00
f (t) de pt == р t (t) e pt dt == рР (р) .
О О
Таким образом,
00
d t) e pt dt == рР (р) f (О),
О
(8.33)
или
df (t)jdl . . рР (р) f (О).
(8.33а)
8.36. Изображение напряжения на индуктивном элементе.
Изображение тока i равно /(р). Запишем изображение напряжения
d
на L: u L === L d[' По формуле (8.33а), di/ dt . . р/(р) i(O), rде i (0)1
значение тока i при t == O . Следовательно,
di . (8.34)
L М . Lp/ (р) Li (О).
Если i(O) == О, то
di .
L М . Lp/ (р).
8.37. Изображение второй производной. Без вывода дадим
формулу
(8.34а)
d 2 f(t) . 2F ( p ) f( O ) [ df(t) ] .
м 2 . Р Р dt
t===O
(8.35)
1 Для сокращения записи вместо i(O ) пишем i(O); Ё(О) может быть и положителЬ
ной, и отрицательной величиной; Ё(О) положительно, коrда направление тока совпа
дает с ПРОИЗВОJIЬНО выбранным положительным направлением послекоммутаци ОН -
Horo тока в индуктивном элементе L.
264
Следовательно, изображение второй производной тока i
d 2 .
2 t . р2/ (р) рё (О) ё' (О).
dt .
8.38. Изображение интеrраJlа. Требуется найти изображение
1
функции t (t) dt , если известно, что изображение функции l(t) paB
о
но Р(р).
Подверrнем функцию 1 (t) dt преобразованию Лапласа:
о
\ [ \f(t)dt ] e fJidt== ! \ [ \f(t)dt ] d(c pt).
о о РО о
Примем I(/) dt ==и; d(e PI) ==dv и возьмем интеrрал rlOчастям:
о
!\ [ \f(t)dt ] d(e fJi)== [ \f(t)d/ ] c fJtl+
РО о о о
00
f (t) е р' d t
+0
Р
р (р)
Р
Первое CJIaraeMoe I1равой части при (lодстановке и BepXHero и
нижнеrо I1ределов обращается в нуль. При подстановке BepXHero
предела нуль получается за счет ранее наложенноrо ОI'раничения
на функцию 1(t)(CM. 8.32) функция 1(1), если и растет с увеJlичени
(ем t, то все же медленнее, чем растет функция e al , ('де а действитеJIЬ
иая часть р. При IIодстановке нижнеr'о предеJlа нуль IIОЛУЧИМ за счет
1
\ обращения в нуль 1 (1) dt . Следовательно, если 1(/) .' Р(р), то
о
f (t) d t . F (р) / р .
()
(8.36 )
(\- 8.39. Изображение напряжения на конденсаторе. Напряжение
На конденсаторе и с часто заIIисывают в виде ис; === :; idt , ['де не
указаны пределы интеrрирования по времени. БОJIее полной ЯВJIЯ
ется следующая запись:
i
I
и с == и с (О) + с id t ,
о
2()!)
rде учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаТОре
определяется не только током, протекшим через Hero в интерваJIе
времени от О до t, но и тем напряжением ис(О), которое на нем было
t
при t == О. в соответствии с формулой (8.36) изображение idt
о
равно J(p)/Cp, а изображение постоянной ис(О) есть постоянная,
деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаТОре
записывают следующим образом:
. 1 (р) ис (0)1
u === +
с. Ср р
(8.37)
"
Приведем простейшие операторные соотношения; часть их бы
ла выведена ранее, друrая дается без вывода:
1 . t
1 ) == o. ;
p a' , ,
1 . t
2) == e o. ;
р+а'
[ .' t
3 ) . == е/ (J) ;
р Jffi .
а . t
4 ) === 1 e o. .
р (р + а) . ,
1 . t
5) . t е a ;
(р + а)2
р. t
6 ) 2. ([ at)e o. ;
(р + а)
1 . [ t
7) 2. 2[1 e o. (1 + at»);
р (р + а) а
1 . t 1 е at
8) == + .
р2(р + а)' а а 2 а 2 '
р . 1 at ы
9) (р+а) (р+Ь) ' a b (ае be );
1 . 1 ы at
10) (р+а) (р+Ь) ' a b (е е );
[ . 1 1
11) == + х
р(р + а)(р + Ь)' а Ь Ь а
( е ы е at )
X .
Ь а'
[ .
12 ) ===t.
2 . ,
Р
1 . tn 1
13) рn' (п [)! ;
(4) р з.' t( 1 ) е aJ ;
(р + а)
1 . 1 1 t
15) == tn e a;
(р + а)n' (п 1) !
1 . 1
16) 2 2. sh at ;
р a а
р .
17) 2 2. ch at ;
р a
[ . [
18) 2 2 sin at ;
р +а . а
I Для сокращения записи вместо иC<O ) пишем ис(О); щ{О) может быть и поло-
жительной, и отрицательной величиной. В формуле (8.37) ис(Ь) считают положителЬ-
ной величиной, если направление ис(О) совпаДает с произвольно выбранным поло-
жительным направлением lIослекоммутационноrо тока через конденсатор.
266
,
р .
19) 2. cos at ;
р2+ а
1 .
25) -v 2 2' Jo(a/);
р +а
1 .
26) -v 2 2' Jo(jat);
р a
р 1
20) (р2 + а2) (р2 + ь 2 )' ь2 а2Х
Х (cos at cos Ы);
1 . 1 at .
21) 2 2. Ь е SIЛ bt ;
(р + а) + ь
22) 1 . . 6(/);
1 . 1
23) {jJ. v iii ;
1 '-.
24) Р {Р' 2 v t / 'л ;
e aWi . ( а )
27) р 1 Ф 2 {t ,
r де Ф интеrрал ошибок r аусса;
2
e avii . 1 a
28) е 4t;
Р .iЛi
29)
е 't 1.) р2 +2Ьр
2 е btJо(jь -V /2 't2). t>'t.
р +2Ьр
8.40. Некоторые теоремы и предельные соотношения. 1. Teope
ма смещения в области ориzиналов (теорема запаздывания). Если
изображение функции f(t) равно Р(р), то изображение функции
{( t т) равно e pt Р(р).
Теорема доказывается путем подстановки {( t т) в формулу
преобразования Лапласа и введения новой переменной t т === t l ,
dt === dt l , e pt===e p'te ptl:
00
00
e pt f (t т) dT == e P't e ptl f (t l ) dt l === e P't I! (р).
о о
Пример на применение теоремы см. в 9 8.60.
2. Теорема смещения в области изображений. Если изображе
пию функции Р(р) соответствует функция f(t), то изображению
Р(р л) функция еМ f(t).
Доказательство проводят путем подстановки функции е лt f(t) в
формулу преобразования Лапласа:
00
00
e pt е лt f (t) dt === e t(p л) f (t) dt == F (р л) .
о о
Пример 87. Найти ориrинал l/(p + 'Лi. если известно. что 1/ р2 . . t.
Реш е н и е: l/(p + лi . . е лt 1 .
3. Теорема об изменении масштаба (теорема подобия). Если
функции '( t) соответствует изображение Р(р), ТО функции f (лt)
Изображение F (:) .
267
...
Теорема доказывается следующим образом:
00
00
1 !!.. I Р
( e pt f (at) dt == (e а (at) f (at) d(at) == F ( ) .
) а) а а
О о
4. Нахождение начальноzо значения функции времени {(О+) по
изображению функции Р(р):
f (0+) == liт рР (р) .
p oo
Это соотношение получают, если в (8.33) р устремим к бесконеч
ности. При этом левая часть (8.33) равна нулю.
5. Нахождение установившеzося значения функции времени
f (00) по изображению функции Р(р):
f (00) == Нт рР (р) .
p O
Соотношение получим, если в (8.33) р устремим к нулю и учтем,
что е р! о == 1 . В результате имеем
00
df(t) == t (00) t (О) == Нт рР (р) t (О) ,
О p O
или
'.
f'J ?
f (t) == НтрР (р) .
t oo р----+О
Если искомая функция f(t) в ПОСJlекоммутационном режиме содержит в своем
составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то понятие
f (00) для нее оказывается неопределенным. Например, не имеет определенно/оо
смысла функция siп wt при t == 00. в соответствии с этим к цепям с синусоидальны
ми источниками не следует применять предельное сортношение п. 5. Точно так же не
следует пользоваться им для цепей без синусоидальных источников, еСJIИ эти цеllИ
чисто реактивные и не содержат резисторов. Так, при подключении последовательно
соединенных L и С (при HYJleBbIX начальных условиях) к единичному напряжению [(t)
'10 цеп и п роте кает сиободная сос т а ид я IOшая тока, ЧИCJIенно ра иная УЕ7 L s in (" c ) .
в этом случае Оllределять t (00) как lim рР(р) также не имеет CMbICJla.
p O
6. Дифференцирование в области изображений. Если Р(р) . .
. dF (р) .
. {( t), то dp . tf (t) . Доказательство:
f f (t) e P' d/ l === f (t) [ Т e Pt ] dt== tt (t)e ptdt.
р l О р О
268
Например, если {(I) == e at; F (р) === 1 ; te at d (р) == 1
р + а р (р + а)2 .
7. Интеzрuрованuе в областu изображенuй. Если при
00
{ (t)
t О f (t) и t преобразуемы по Лапласу и F (р) dp существует,
р
то
00
F p)dP . .{ п .
р
Доказательство:
i F (р) dp === i [ i f (t)e Pt d t ] dp === i {(t) [ ie PtdP ] dt ===
р о о о р
00 [ t ] 00 00
=== f(t) е / I dt== f t) e Ptdt.
о р о
а
Например, если f (/) === 1 е at (а > О), F (р) == ( ) '
рр+а
00 00
1 е at . ( а dp === ( [ .l 1 ] dp == Iп (р + а) .
t '; Р (р + а) ; р р + а р
8.41. Закон Ома в операторной форме. Внутренние эдс. На
рис. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической
цепи. Между узлами а и Ь этой цепи включена ветвь, содержащая
R L С и источник эдс e(t). Ток по ветви обозначим через i. '
Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу.
До коммутации ток i == i(O ) и напряжение на конденсаторе и с ==
==иc(O ). Выразим потенциал точки а через потенциал точки Ь для
послекоммутационноrо режима:
СРа == СРЬ + и с + U L + U R е (t);
и аЬ ==СРа CPb ===U R +U L +и с e(t).
Рис. 8.26
269
"--
t
di 1
Вместо U L запишем L dt' вместо и с соответственно ис (О) + с idt.
О
Тоrда
t
di 1
и аЬ === iR + L di + ис (О) + с idt е (/).
о
( 8.38 )
к уравнению (8.38) применим преобразование Лапласа. Преоб
разование Лапласа является линейным, поэтому изображение CYM
мы равно сум ме изображений.
Каждое слаrаемое уравнения (8.38) заменим операторным изо
. бражением: вместо' iR запишем R/(p); вместо и аЬ и аЬ (р); j I
di . . и с (О)
L М . Lp/ (р) Li (О); ис (О) . р;
t
1 r . 1 (р) .
с J idt . ср ; e(t) . Е (р).
о
'j
,
J
v J
в результате найдем
и а > (р) I (р) (R +pL + ; ) и(о) + ис(О) E (р). (8.39)
Смысл проведенн rо преОбр:Jования COCTotT в том, что вместо
дифференциальноrо уравнения (8.38) получили алrебраическое
уравнение (8.39), связывающее изображение тока J(p) с изображе
нием ЭДС Е(р) и изображением напряжения иаь(р). Из уравнения
(8.39) следует, ЧТО
ис (О)
иаь(р) + Li(O) + Е(р)
р
Z (р)
(8.40 )
1 (р) ===
1
rде Z (р) === R + pL + Ср операторное сопротивление участка цe
пи между точками а и Ь. Структура ero аналоrична структуре KOM
плекса сопротивления Toro же участка цепи переменному току,
если jw заменить на р (ер. с 8.13).
Как указывалось в 8.13, комплексное число р == а + jb может
быть записано в виде р == j(b ja) === j Q, }'де 2 == Ь ja комп
лексная частота; Z(p) == Z(j ) сочротивл.ение, оказываемое pac
сматриваемой цепью воздействию U eit},t==U e pt , подобно тому каК
Z (jw) есть сопротивление, оказываемое воздействию U ei(fJt . Поэто
му Z(p) называют сопротивлением на комплексной частоте.
Уравнение (8.40) может быть названо законом Ома в оператор
ной форме для участка цепи, содержащеrо ЭДС. ОНО записано прИ
ненулевых начальных условиях.
Слаrаемое Li(O) представляет собой внутреннюю ЭДС, обуслов
270
....
R pl
Рис. 8.27
ленную запасом энерrии в маrнитном поле индуктивной катушки
вс.lедствие протекания через нее тока Ё(О) непосредственно дО KOM
мутации. Слаrаемое ис(О)/ р представляет собой внутреннюю ЭДС,
обусловленную запасом энерrии в электрическом поле KOHдeHcaTO
ра вследствие наличия напряжения на нем ис(О) непосредственно
до коммутации.
В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8.27 изображена опе
раторная схема замещения участка цепи рис. 8.26. Операторные
сопротивления ее Я pL 1/( Ср). Как следует из формулы (8.40),
внутренняя ЭДС Li(O) направлена соzласно с направлением тока
/(р), внутренняя ЭДС ис(о)/р встречно току /(р).
В частном случае, коrда на участке аЬ отсутствует ЭДС е( t) и к
моменту коммутации ё(О) == О и ис(О) == О, уравнение (8.40) приобре
тает более простой вид:
{
/ (р) == и аЬ (р) / Z (р).
(8.41 )
Уравнение (8.41) есть математическая запись закона Ома в опе
раторной форме для участка цепи, не содержащеrо источник ЭДС
при нулевых начальных условиях.
t 8.42. Первый закон Кирхrофа в операторной форме. По перво
му закону Кирхrофа, алrебраическая сумма MrHoBeHHbIx значений
токов, сходящихея в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла
а схемы рис. 8.26
i} +Ё +i2 ==0.
(8.42)
Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.42) и BOC
пользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображе
Ний:
/( (р) +1 (р) +/ 2 (p) ==0.
)
в общем случае
I/(Р) ==0.
( 8.43 )
Уравнение (8.43) выражает собой первый закон Кирхrофа в опе
раторной форме.
271
8.43. Второй закон Кирхrофа в ОПе.
раторной форме. Для любоr'о замкнуто
1'0 контура л юбои ЭJlектрической цеllН
можно составить ураннение 110 второму
aKOHY КИРХI'офа ДJlЯ МПlовеННblХ значе
IIИЙ. Предварительно необходимо Bы
брать положительные наrlравления ДJIЯ
токов в ветвях и напраВJlение оБХОда
Рис. 8.28 контура.
Запишем уравнение rIo второму за
кону Кирхrофа для контура рис. 8.28.
Контур обходим по часовой стрелке. Учтем у что индуктивности L, н
L 2 связаНbI маI'НИТНО. При выбранных положительных направлени
ях для токов i l И ё 2 между L, и L 2 имеет место соrласное включение.
d i , d ( 2
Падение напряжения на LI равно L\di + м di; на L 2 составляет
di 2 di.
L2di+ М di. При составлении уравнения учтем, что начаJJьное Ha
пряжение на конденсаторе равно ис(О), Пусть оно действует cor'JJac
но С ТОКОМ (3. НачаJJьное значение ё, == i,(o), тока i 2 == iiO). Имеем
di, di 2 1 l
L'di + м dt + ис(О) + с l:з dt i 2 R 2
()
(8.44 )
di 2 di,
L2di м dt == е, (t) е:\ (t).
Каждое из cJlar'aeMbIx(8.44 )заменим ОIJераторным изображением:
di, .
L1d7 . L1P', (р) L,i\ (О);
272
di 2 .
м dt . МР'2(Р) Mi 2 (O);
; \ i"dt . .I. ) ;
()
i 2 R 2 . R 2'2( р );
(8.45 )
di 2 .
L2d{ . L 2 P/2 (р) L 2 i 2 (О);
di l .
м dt . мр/, (р) МЁ, (О);
. .
l'1(t) . E1(p); l':\(t) . Е.\(р).
Подставив (8.45) в (8.44), объединим слаrаеМblе с ',(р). '2(Р)'
'J(p), перенесем в правую часть ис(О)/ Р. L,i,(O) и друrие внутренние
эДС. В результате получим
1,(p)Z,(p) + '2(P)Z2(P) + liр)Z:з(Р) ==
=== Е ,(р) Ез(р) + Евн(р).
rде Z,(p) === p(L, М); Z2(P) == р(М L2) R'2; Z:J(p) ===l/(Cp);
( 8.46 )
Е,\lI(Р) === (L, M)i\(O) + (М L 2 )i 2 (O) ис(О)/р.
в более общем виде уравнение (8.46) можно записать так:
L /k (р) Zk (р) == L Ek (р).
(8.47)
Уравнение (8.47) представляет собой математическую 'запись
- ВТОрОI'О закона Кирхrофа в операторной форме. В состав Ek(p) в
общем случае входят и внутренние эдс.
8.44. Составление уравнений для изображений путем исполь-
зования методов, рассмотренных в третьей rлаве. Из уравнений,
составлеННblХ по законам Кирхrофа для MrHoBeHHblx значений, BЫ
1 текают соответствующие уравнения для изображения.
Уравнения для изображений по форме аналоrИЧНbI уравнениям,
составленным для той же цепи с ПОМОIЦЬЮ символическоrо метода
для комплексов токов и напряжений.
Но еС.I1И каждому уравнению для комплексов отвечает COOTBeT
ствующее уравнение для изображениЙ, то все основанные на зако
нах Кирхrофа приемы и методы составления уравнений (MerO;J.bI
эквивалеНТНОI'О reHepaTopa, контурных токов, УЗJlОВЫХ Потенциа
лов, наложения и т. п.) можно применить и при СОQтавлении ypaB
нений для изображений.
При составлении уравнений для изображений ненулевые Ha
чальные условия учитывают путем введения "внутренних" ЭДС,
обусловленных начаJlЬНЫМИ токами через индуктивные элементы и
начальными напряжениями на конденсаторах.
8.45. Последовательность расчета операторным методом. Рзс
чет Оllераторным методом состоит из двух основных этапов: 1) co
Ставления изображения искомой функции времени 2) lIepexo;J.3 от
изображения к функции времени.
На нескольких rIримерах покажем, как производится l1ервыЙ
ЭТаl1. Второй этап будет рассмотрен в 8,47.
Пример 88. В схеме рис. 8.29 ври нулевых начаJlЬНЫХ УС:lOвиях замыкакн К,'IЮЧ.
СОстави l'b OllepaTopHbIe изображения I оков i\ И iJ. IIOJIЬЗУЯСh \1('I'O,l.OM КОН I' рllЫл
ТОков.
273
с d
"1 9 lJ
Ir'z С
Реш е н и е. НапраВJ1ения контурных ТОКОВ
'" И i 22 показаны на схеме. Имеем:
d'
illR, + L, ' + R2(ill i22) == e(t),
е
1
С i 22 dt + R2(i22 i'l) == о.
"
Переходим к изображениям:
Р....с. 8.29
'Il(Р) (pL, + R) + R 2 ) /22(P)R 2 === Е(р),
1 i
'1l(p)R 2 + '22(Р) (R 2 + рС ) == о.
Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает:
Е(р) (1 + R 2 Cp)
"l(P) === 2 ;
Р R 2 L 1 C + p(R,R 2 C + L,) + Rl + R 2
Е(р)Я 2 Ср
'22 (р) === 2 .
Р R 2 L)C + p(R)R 2 C + L 1 ) + R) + R 2
(8.48 )
(8.49 )
Изображение KOHTypHoro тока ',,(р) равно изображению тока / ,(р), изображение
/ 22(Р) изображению /з(р). В (8.48) и (8.49)Е(р) есть изображениеЭДС e(t). Если е( t)==
. 1
== Е, то Е(р) == Е/р, если e(t) === Етsiп(ыt + ЧJ), то Е(р) === Е т . и Т. д.
Р 1Ы
Пример 89. Составить операторные изображения токов i, и i3 схемы рис. 8.29,
пользуясь законами Ома и Кирхrофа.
Реш е н и е. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет маrнитно свя
занных индуктивных катушек, то составить уравнение можно проще, чем по методу
кон rypHbIx токов.
Изображение тока
',(р) === Е(р)! ZBX(P),
rде ZBX(P) входное сопротивление схемы в оператор ной форме относительно зажи
мов аЬ. Ero определяют так же, как входное сопротивление ДJ'Я переменноrо тока,
только jw заменяют на р.
Входное операторное сопротивление
1
R 2cp
ZBX(P) == R, + pL, + 1
R 2 + Ср
p 2 L,CR 2 + p(L) + R,R 2 C) + R, + R 2
1 + R 2С Р
)
СJlедовательно,
Е(р) Е(р) (1 + R 2 Cp) (8.48а)
/, (р) == === 2 ;
ZRX(P) р L,CR 2 + p(L 1 + R,R 2 C) + RI + Я 2
уравнение (8.48а) совпадает с уравнением (8.48).
Найдем изображение /з(р). С этой целью выразим lз(р) через/)(р) и операторные
сопротивления второй и третьей ветвей. ВОСПОJlьзуемся анаJlOrией с переменным
током. Для переменноrо тока
Я 2
J 3 == " R 2 + 1 / (j ы С) .
274
Следовательно,
R 2
1з(P) == 1 I(Р ) R 2 + l/(Cp)'
Если в последнее выражение подставить 1 t(p) из уравнения (8.48а), то будет
получено уравнение (8.49).
Таким образом, безразлично, каким способом составлять изображение токов:
результат будет одинаков.
Пример 90. Для схемы рис. 8.29 составить изображение напряжения на зажимах
се, если считать, что начальные условия нулевые (как в примере 89).
Реш е н и е. Изображение напряжения на зажимах се равно произведению
изображения тока 1з(P) на операторное сопротивление конденсатора:
1 E(p)R 2
исе(р) '== 1з(P) С === 2 .
Р Р R 2 L 1 C + p(R 1 R 2 C + L 1 ) + RI + R 2
8A Изображение функции времени в виде отношения
N(p)j М(р) двух полиномов по степеням р. Для тока III(p) в примере
89, если принять Е(р) == Е j р, то
N(p) == Е( 1 + R 2 Cp);
М(р) ==[p 2 R 2 L 1 C +p(R 1 R 2 C +L 1 ) +RI +R 2 ]p.
(8.50)
Если в том же при мере принять e(t) == Emsin(mt +11'), то
d . 1
Е(р)==Е т . и
p 1ы
N(p) == Eт(l + R 2 Cp);
М(р) == (р jw)[p 2 R 2 L 1 C + p(R 1 R 2 C + L 1 ) + Rt + R 2 ].
Обозначим высшую степень оператора р в полиноме N(p) через
п, а высшую степень р в полиноме М(р) через т.
Часть корней уравнения М(р) == О обусловлена характером из
менения во времени возмущающей силы, воздействующей на систе
МУ; остальные корни обусловлены свойствами самой цепи, ее KOH
фиrурацией и значениями параметров.
Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие электриче
Ские цепи, то во всех физически осуществимых электрических цепях
при воздействии любых эдс всеrда п < т. Лишь для физически
неОсуществимых электрических цепей степень п может оказаться
равной т. При мер цепи, для которой степень
п равна степени т, дан на рис. 8.30. Если CI
Считать, что сопротивление проводов и BHYT
Рен нее сопротивление источника нулевые, то
Е/р ЕСр
J(p) == [/(Ср) == р'
Рис. 8.30
275
8.47. Переход от изображения к функции времени. В 8.45
указывалось, что вторым этапом расчета переходных процессов с
помощью операторноrо метода является переход от изображения к
функции времени. Эту операцию можно осуществить различными
путям и.
Первый путь состоит в применении формул соответствия между
функциями оператора р и функциями времени t. Часть формул
соответствия приведена в 8.39. В научной литературе имеются
специальные исследования, содержащие большое число формул
соответствия (1518), охватывающих все возможные практические
задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в
том случае, коrда среди корней уравнения М(р) == О есть несколько
()пинаковых (кратные корни).
Второй путь состоит в применении так называемой формулы
разложения. Формула разложения в 8.49 выведена, исходя из
предложения, что уравнение М(р) == О не имеет кратных корней
(при наличии кратных корней формула разложения записывается
иначе см. 8.50).
Третий путь непосредственное применение формулы обрат.
Horo преобразования Лапласа с использованием теории вычетов
(см. 8.50).
Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее
принято рассматривать как основную формулу для перехода от
изображения к функции времени.
Рассмотрим два примера на применение формул соответствия,
а затем после рассмотрения вопроса о разложении сложной дpo
би на простые перейдем к выводу формулы разложения.
Пример 91. В схеме рис. 8.31, а ток источника тока линейно нарастает во BpeMe
ни: j(t) == 2,Ы А (рис. 8.31,6); R === 40 кОм, С === 2 мкФ. Определить закон изменения
во времени тока i, через резистор R.
Реш е н и е. Изображение тока j(t) равно 2,5/р2 (см. соотнdшение 12 8.39).
Сопротивление параллеJIЬНО соединенных R, С 11
R
Z(p) === RCp + 1
Изображение тока через R
I,(р) === j(p)Z(p) == 2,5 1
R R С р2(р + а)' Ч
rдеа== l/(RC)== 12,5c '. I
jftJ
'1
R
с
t
а)
о}
6)
Рис. 8.31
276
со('ласно соотношению 8 8.39,
1 . i ([ e al),
р2(р + а)' а а 2
i,(t) == 2,5(t O,08(l e '2.ы)] А.
Пример 92. В схеме рис. 8.3[, в u(t) == 100e a' В, ('де а == O,5c '; R == 2 Ом; L ===
:::=4 [Н. Найти i === l(t) и u L === I(t), а также значения i и U L "ри t == 1 с.
Реш е н и е. Соrласно соотношению 2 8.39, функции e a' соответствует из'о
бражение I/(p + а). СJlедоватеJIЬНО,
[00
и(р) == + ; Z(p) === R + pL;
р а
И(р) 100 100.1
'(р) == Z(p) === (р + a)(pL + R) Цр + а)(р + Ь);
100 1
L === 25 А/с; Ь == R/ L === 0,5 == а; '(р) == 25 2 '
(р + а)
.(
при условии, что п < т и полином М(х) == О не имеет кратных KOp
ней, может быть предстаВJlена в виде сум м ы простых дробей:
N(x) 1 [ [
М( ) == А, + А 2 + ... + А т
х х х, х Х 2 х х т
8 '.'
1 . 1 ) !:
По соотношению 5 8.39 2 ' е a . Поэтому i(t) === 25te (..11
(р + а)
Наllряжение на L:
d'
UL === L d; == 1 ООе O.51(l 0,51).
При t == 1 с i == 25.le O,5 == 15,15 А; щ, === 100е O.5p 0,5) == 30,3 В.
8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса
матики известно, что дробь
р N(x) апх п + aп ,xп ' + ... + а,х + а{)
М(х) ЬтХ т + bт ,xт ' + ... + Ь\х + Ь()
или
т
N(x) === А 1
М(х) I k x x k '
k==[
м aTe
(8.51 )
( 8.52)
rДе x k корни уравнения М(х) == О.
ДЛЯ определения коэффициента А[ умножим обе части ypaBHe
Ния (8.52) на (х х,). в реЗУJlьтате получим
( 8.53 )
k == т
Щ 1
М( ) ( х х[) === А, + (х х[)\ Ak .
х L х x k
k==2
...
277
Рассмотрим выражение (8.53) при X---+-X 1 - Правая часть ypaBHe
ния равна А l' а левая представляет собой неопределенность, Так
как множитель (х Х.) при Х--+Х( равен нулю и знаменатель М(х)
при Х == Х 1 также равен нулю [х( есть корень уравнения М(х) === О).
Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой
целью производную от числителя разделим на производную от Зна
менателя и найдем предел дроби:
(х x1)N(x) N(x) + (х x()N'(x) N(x 1 )
Iiт М ( х ) == Нт М' ( х ) === М' ( х ) '
X XI X XI (
rде М'(х) производная от М(х) по Х M'(x) значение М'(х) при Х=::=
== Х,; N(x) значение N(x) при х == х(_
Следовательно, из (8.53) при Х---+-Х 1 получаем уравнение . r
N(x()/ М'(х.) == А l'
(8.54')
или
I f
А ( == N(x l )/ М'(х.).
(8.55)
Аналоrично,
Ak == N(x k )/ M'(x k ).
( 8.56)
Таким образом,
N(x) N(хд) N(x 2 ») N(x m ) I
М( ) == М'( ) + М'( ) + ... + М ' ( )
х Х 1 Х Х 1 Х 2 Х Х 2 х т Х Х т
( 8.57)
или
k m
N(x) N(x k ) 1
М(х) === I M'(x k ) Х x k .
k==(
Пример 93. Найти коэффициенты разложения дроби )/( + 5х + 6). '
Реш е н и е. Корни уравнения М(х) == о: x == 2, Х 2 === 3;
М'(х) == 2х + 5; М'(х.) == 2.2 + 5 == + 1; М'(х 2 ) == 1; N(x 1 J==N(x 2 ) == 1. ,<
По формуле (8.56),
(8.58]
А} == N(xI)/M'(xl) == 1/(+ 1) == + 1;
" .
,
\ )
А 2 == N(x 2 )/ М'(х 2 ) == 1.
. j
8.49. Формула разложения. Переход от изображения N(p)j M P)
к функции времени часто ПРОИЗВОДЯТ с помощью формулы н
N(p) . ; N(Pk) е Pk t , (8.59)
М(р)' L M'(Pk)
k==l
которую называют формулой разложения.
278
Левая часть формулы является функцией р, правая часть
соответствующей ей функцией времени t.
Вывод формулы можно осуществить следующим образом.
пусть изображение какой либо функции времени, например тока,
(p) === N(p)j М(р).
Для получения тока как функции времени i(t) представим CHa
чала N(p)j М(р) в виде суммы простых дробей разложим
N(p)j М(р). С этой целью в формуле (8.58) заменим хна р:
т
N(p) N(Pk) 1
'(Р) === М(р) === I М'(р) Р Р "
k==l k k
(8.60 )
Перейдем от изображения к ориrиналу. Ориrиналом левой час
ти является i(t). Ориrинал правой части равен сумме ориrиналов ее
fлаrаемых.
-: Учтем, что множители N(Pk)j М '(Pk) у слаrаемых суммы правой
части (8.60) есть постоянные числа (не функции р!). Кроме Toro,
функциями р в правой части являются только множители
1,/(р Р k); им соответствуют функции времени вида е Pk t [см. фор
мулу (8.28)]. Поэтому
т
. N(Pk) Pk t
l(t) I М'( )е "
k J Pk
{ Переход от изображения (функции р) к ориrиналу (функции t) с
помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что изобра
u N(Pk) 1
жение представлено в виде суммы простых дробеи М'() , а
Pk Р Pk
(};. N(Pk)
Ьриrиналами их являются показательные функции M'(Pk) e Pk t .
N(p k) u
Число слаrаемых M'(Pk) e Pk t равно числу корнеи уравнения
М(р) ==0. Коэффициенты N(Pk)j M'(Pk) можно сопоставить с ПОСТО
ЯНными интеrрирования дифференциальноrо уравнения (ypaBHe
ний) цепи в классическом методе расчета.
Если среди корней уравнения А1(р) ==0 есть нулевой корень
(р == О), то ему в правой части уравнения (8.61) соответствует слаrа
еМое N(O) е ot == N(O) Слаrаемое N ( O )j M' ( O ) П р едставляет собой co
\}\ М'(О) М'(О)"
ставляющую искомоrо тока (напряжения), обусловленную ПОСТО
ЯННыми вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих
л в схеме нет, то N(O)/ М'(О) == О.
Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61).
1. Формула разложения применима при любых начальных усло
Виях И при любых практически встречающихся формах напряже
НИЯ Источника ЭДС или тока, воздействующеrо на схему.
(8.61 )
279
2. Если начальные условия не нулевые, то в состав N(p) ВОйдут
внутренние ЭДС. =-:.
3. Если уравнение М(р) == О имеет комллеКСНО СОIIряжеННые
корни, то CJJaraeMbIe, соответствующие им в фОРМУJJе (8.61), оказЬJ
ваются также комплексно сопряженными и в сумме дают действи
тельное CJJ araeMoe.
. i'
4. Если воздействующая на схему ЭДС синусоидаЛьна:
. 1
Emsin( ()}t + ф) и изображение ЭДС взято в виде Е т . . rде комп
. р J(J)
лексная амплитуда Е т == Eme N , то при использовании формулы раз
ложения из правой части ее ДJIЯ перехода от комплекса к MrHoBeH
ному значению следует взять коэффициент при j (взять мнимую
часть)l. В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляют
ся в правой части формулы разложения при ненулевых начальных
условиях в цепях с синусоидальной ЭДС ДОЛЖНрl быть умножены
на коэффициент j. . "
Умножить внутренние ЭДС на j необходимо потому, что только
в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой
части от правой части формулы разложения. В цепях с постоянной
ЭДС внутренние ЭДС умножать на j не нужно.
5. ЕСJJИ воздействующее на схему напряжение синусоидально,
то принужденная составляющая решения входит в число слаrае
N(p k) .
мых I M'(Pk) е Pk l И определяется корнем Р == J()}. Вычисление при
нужденной составляющей в виде члена этой суммы, соответствую
щеrо корню р == j(), для сложных схем в большинстве случаев более
rромоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью симво
лическоrо метода. Поэтому для сложных схем перемеННОI'О тока
принужденную составляющую рекомендуется вычислять СИМВОJIИ
ческим методом. t'
С помощью формулы, нодобной формуле (8.61), можно опреде
лять не только токи и напряжения, но и мноrие друrие функuи
времени: заряд конденсатора, скорость I1еремещения какоrо либо
TeJJa механической системы и т. П. \
Пример 94. OllpeAeJI и'' ь нж i](t) в схеме рис. 8.17 с IIOМОЩЬЮ фОРМУJlЫ раЗJIОА<е-
ния и сравни" ь с реЗУJIЬ'j а10М решения КJlассическим мен>дом (см. Ilример 80), есЛИ
Е == 150 В; R == R]' R: == 50 Ом; С == [00 мкФ; ис(О) == 50 В.
Реш е н и е. Составим I/OcJ/eKOM МУ'I аuионную Оllераторную схему (рис. 8.32),
имея в виду. Ч'IО Н3Ч3JIЫlые УСJIOВИЯ неНУJlевые. ВНУ'lренняя ЭДС ис(О)/р 1I0ЗВО"Н! "
учесть, что до коммутации конденсатор бы!! заряжен ДО наllряжения ис(О) 'IOKOM
IIO'Н ом У она на Ilpa BJleHa встречно току 12(Р). УзеJI О схем ы зазеМJI им. ПО1 енциаJl уЗJ
I обозначим ((I1(p) и OI'редеJlИМ еl 0110 Me'lOAY УЗJlОUЫХ /lтенциаJlОВ: i[
\ 1
1 М ., Ф б . ч'fО
нимую, 3 не деИСТВИ'1 еJIЬНУЮ чаС'1 ь из ОрМУJlЫ раЗJlо)!Sения еру" 110'1 ОМ),
задаНllая ЭДС Етsiп(шt + 'Ф) eC'1 ь мнимая чаС1Ъ КОМНJlекса Етс j(Jll (см. f'JI. 3).
280
Е 1 ис(О)
+ Cp
р я, р
ЧJ, (р) === 1 1 .
+ Ср +
Я . о' '> Я 3
! . i ,
11{Р)
1
ПО закону Ома для участка цепи с ЭДС,
О ЧJ,(р) + Е/р
1. (р) == R
1
f
Ср
ис{о)
р
RJ
. ,
t ".
после преобразований
Р....с. 8.32
у!
[Е uс(О)]R з Ср + Е N(p)
1, (р) === С R R ) М(р) '
р( R . R 3 Р + . + з
IУравнение М(р) == О имеет корни
НI.
Я'+Я3 .
Р, == О и Р2 === === 400 с
Я,Яз С
(1/
пЬэтом у
N(p.) === Е === 150;
N(P2) === (150 50). 50. 1 ОО( 400). 1 0 6 + 150 == 50:
М'(р) == 2R 1 R з Ср + я, + R з ;
М '(Pl) == 100; М'(Р2) == 100.
Ток в схеме рис. 8. [8
150 ( 50)e 400!
Б)' i.(t) === 100 + ( 100) === 1,5 + 0,5e 400 А,
'
что совпадает с результатом примера 80.
(, Пример 95. Найти i(t) в схеме рис. 8.19 путем применения формулы разложения
& сравнить рузультат с результатом решения той же задачи классическим методом
M. пример 81).
о Реш е н и е. Изображение синусоидальной ЭДС 127 sin (З14t 500)
. 1 .
Е(Р)===Е rде Е === 127e j50° В
т ., т .
i: P /Ы
НI' В схеме ненулевые начальные условия:
I(p) (R 22 +pL)==E(p)+Li(0) i(0 )== 25,З5 А.
. '
Так как действующая в схеме эдс синусоидальна и изображение ее взято в виде
. . 1 .
т . (Е т комплексная амплитуда), то в дальнейшем от правой части форму
P /Ы
ЛЬ! раЗложения следует взять коэффициент при мнимой части (см. п. 4 8.49),
Поэтому умножим внутреннюю ЭДС и(О) на j.
После небольших преобраз ваний найдем
Eт+jLi(O)(p jw) N(p)
I(p) (p jw)(R2+pL) М(р)'
281
Следовательно,
, t
N(p)==E т + j Li(O)(p jw); M(p)==(p jw)(R 2 +pL).
Уравнение М (р)==О имеет корни Pl===jmc 1 и P2== R2/L=== 210c l, поэтому
M'(p)===R2+pL(p jw); M'(PI)==2+3j==3,61 е/ 56 ° 20 ';
M'(P2)=== 3,61 ei56°20' ===3,61 е il23°40'; N(;I'} . 127e i50o;
., .
N(P2)=== 127e j50° + j( 21 o j314 )з 4 ( 25,35)===5,4 'j46 4==47, 1 е j83°24'.
.Н '
,
. '1
'
Ток
[ 12 7 j«(J)t 500) 47 l e j83°24' ]
. е , 200t
t( t)== 1 m 56020' + 123040' е ==
3,61e/ 3,61e /
===35,2sin(wt 106°20')+ 13,1 sin40° 16'e 21Ot А;
13,1 sin40° 16'==8,45.
Результат совпадает с результатом примера 81.
8.50. Дополнения к операторному методу. 1. Для перехода от
изображения F(p) к ФУНКllИИ времени f( t) может быть использовано
обратное преобразование Лапласа:
1 v+ioo (а)
f(t) == 2лj . F(p)ePtdp.
v /oo
Функция F(p) аналитична в области Re р> v и стремится к нулю
при 1 р 1---+ 00. При практическом использовании этой формулы ИН
теrрал по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменя
ют контурным интеrралом, охватывающим все полюсы функции
F(p):
1
f(t)== 2лj Ф F (p)ep1dp.
Полюсами называют значения р, при которых F(p) обращается
в бесконечность. В том случае, коrда F(p)==N(p)/ М(р), полюсамИ
являются корни уравнения М(р )==0. В теории функций комплект
Horo переменноrо доказывается, что правая часть формулы (б) раЮ
на сумме вычетов (Res) подынтеrральной функции во всех ее полю]
саХ,Т.е. '
2 j Ф F(p)eP1dp=== I ResF(p)e pt . '
Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, 8
которую уменьшается разделенный на 2лj контурный интеrрал оТ
этой функции, коrда контур при ero стяrивании пересечет этот по.
N(p) N(Pk) t
люс. Но вычет функции М(р) e pt В простом полюсе Pk равен M'(Pk) e Pk .
(6)
')${')
Поэтому
. '
"
т N(Pk) Pk t
f( t) I М'( ) е .
k===1 Pk
Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа,
вывели формулу разложения (8.61).
2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней.
положим, что уравнение М (р )==0 имеет q простых корней (Pl' Р2' ...,
pq), корень Р, кратности r и корень Ps кратности s. Тоrда
N(p) . q N(Pk) t 1 d' 1 [ N(P)(P P,)' e Pt ] 1 ' ds 1
\' ePk +. + х
М(р) L M'(Pk) (r 1)! dp, 1 М(р) (s l)! dps I
k==1 P P,
[ N(P)(p ps)SePt ]
Х М(р) p==ps
N(p) 1
Пример 96. Найти ориrинал М( ) === 2
Р Р (р+а)
N(p) pt 1 al
Реш е н и е. Корню p== a соответствует ориrинал М'( ) е ==""2 е ,
р p== a а
корню р===О второй кратности ориrинал
d [ p2 e P t ] d ( ept )
dp р2 (р + а) Р===О == dp р + а р===о ==
== ( te pl (р + а) e Pl . ) ==!... .
(р + а)2 )Р==О а а 2
1.
f'
Н'
1 . е at t 1
{1ледовательно, 2 == + 2'
р (р + а) . а а а
R 8.51. Переходная ПрО80ДИМОСТЬ. В 2.15 указывалось, что ток
i.влюбой ветви схемы может быть представлен в виде произведения
напряжения U на входе схемы на собственную или взаимную про
8Одимость g: i == U g.
(. При переходных процессах это соотношение также имеет силу.
Если на вход какой либо цепи в момент t == О включается постоян
Ное напряжение U (ЭДС Е), то ток i (t) в любой ветви этой схемы
равен произведению постоянноrо напряжения U на проводимость
g( t):
>
i(t) == Ug(t).
(8.62)
При переходном процессе проводимость является функцией
ВРеМени, поэтому в скобках указывается время t; g(t) называют
283
.ii t )
e,JtJ
, .. [.
i/r(t)
.' r
l.f
/: :1
'а)
}.
1)
'1-1
"-'
Р....с. 8.33
переходной проводuмостью. Она измеряется в тех же еДИНИЦах
(См), что и обычная проводимость.
Если в формуле (8.62) принять и === 1 В, то i(t) === g(t), т. е.
переходная проводимость какой либо ветви схемы численно равна
току i(t) в этой ветви при подключении цепи к источнику постоянно
ro напряжения в 1 В. Индексы у g(t)указывают на то, какую именно
переходную проводимость имеют в виду. Если индексы одинаковы,
то имеют в виду собственную переходную проводимость ветви, HO
мер которой соответствует цифре, указанной в индексе; если индек
сы разные, то проводимость между теми ветвями, номера KOTO
рых указаны в индексе. Например, если источник постоянноrо
напряжения и при нулевых начальных условиях включают в пер
вую ветвь, то ток первой ветви i I (t) == U g 1 1 (t), а ток третьей ветви
i з (1) == Ug З1 (t).
Переходную проводимость можно определить расчетным либо
опытным путем. При расчете gkk (t) классическим или оператор
ным методом ток k ветви находят при включении источника посто
янноrо напряжения в k BeTBb; gkk (t) ток k ветви вычисляют при
включении источника постоянноrо напряжения и в т BeTBb. Далее,
в полученных формулах полаrают и === 1 В. При опытном определе
нии переходной проводимости ток i(t) соответствующей ветви Haxo
дят путем осциллоrрафирования.
В 2.16 было доказано, что gkm ===gmk. Это свойство вытекает из симметрии
ОllределитеJIЯ относительно rлавной диаrонали.
АнаJlOrично можно доказать, что операторное изображение IIРОВОДИМОСТИ
gkm (р) равно ollepaTopHoMY изображению gmk (р). Но если равны изображения двуХ
lIереходных проводимостей, то равны и сами переходные проводимости, т. е.
gkm (t) === gmk(t).
Данное равенство свидетельствует о том, что на переходные процессы paCI1PO
страняется теорема взаимности. Для переходных процессов теорема взаимносТ
формулируется следующим образом (см. «скелетные» схемы рис. 8.33): в любо
линейной электрической цепи ток переходноrо процесса k ветви i k (t), вызываемЫИ
включением источника Э,J,С е т (t) в т BeTBb (рис. 8.33, а), равен току переходноrо
процесс а i m (t) в т ветви, вызываемому включением источника эде e k (t) в k ветБЬ
(рис. 8.33, 6), при условии, что e k (t) === е т (t).
284
8.52. Понятиео переходной функции. При подключении линей
НОЙ электрической цепи с нулевыми начальными условиями к ис
точнику постоянноrо напряжения U между какими то двумя точка
ми а и в схемы возникает напряжение и аЬ (t), ЯВЛЯЮlцееся функцией
времени и пропорциональное воздействующему напряжению И:
и аЬ (/) == Uh и), (8.62а)
rде h(t) переходная функция. Это безразмерная величина, чис
леН но равная напряжению между точками а и в схемы, если на ее
вход подать постоянное напряжение в 1 В; h(t), так же как и g(/),
можно определить расчетным либо опытным путем.
Пример 97. Определить переходную проводимость схемы рис. 8.2.
Е R
{ Реш е н и е . При замыкании ключа i(t) === R (1 e Lt).
По определению, переходная проводимость равна току в цепи при Е === 1 В.
1 Я !
Следовательно, g(t) === R (1 е L ).
Пример 98. Найти собственную переходную проводимость первой ветви gp(t),
взаимную и переходную проводимость между третьей и первой ветвями g3Itt) и
переходную функцию напряжения на конденсаторе huC (t) для схемы рис. 8.34. Па
раметры схемы: R 1 === 1000 Ом; R 2 === 2000 Ом; С === 50 мкФ.
Реш е н и е . По определению,
i 1 === Eg l1 (t); i3 === Еgз.(t); иС === EhuC (t).
\
с помощью классическоrо метода определим:
. Е ER 2 pt. . pt.
t I R. + R 2 + (R 1 + R 2 )R. е ,tз R. е
R 2 t R 1 + R 2
и С === Е R 1 + R 2 (1 еР); р === R. R 2 С'
(
N
Полаrая в этих формулах Е === 1 В, найдем:
( ) [ R 2 я. + R2 t
gl1 t ===R.+R 2 + R.(R 1 +R 2 ) e Я.Я2С;
( ) pt. h ) R 2 ( 1 pt )
gЗI t R е, иС (t R 1 + R 2 е.
Н!
N
У.
Подстановка числовых значений дает:
gIl (t) === 0,00033 + 0,00067e 30tCM;
2
gз. (t) === 0,001 e 30tCM; huc == 3<1 e 30t).
<.
. J
, \
, Пример 99. Определить взаимную переходную проводимость между первой и
Третьей ветвями схемы рис. 8.4, а при включении источника ЭДС в первую ветвь и
Следующих значениях параметров: R. == R 2 === [00 Ом; L. === 1 rH; с == 100 мкФ.
Реш е н и е . Изображение тока третьей ветви
ER 2 C N (р)
J з (р) === 2 .
р R 2 L. С + р (R. R 2 C + L 1 ) + R. + R 2 м (р)
285
"!
l2
' 2
1.2
t:"\i HJ
· IzI
с
Р....с. 8.34
Р....с. 8.35
Корни 1равнения м (р)== О(см. при мер 76): РI == 100 + j 100c I;P2 === 100
jlOOc . .
Полаrая Е == [ В, в соответствии с формулой разложения найдем
R CePli R СеР2'
. 2 2
[3 и) == + . .
2РI R 2 L 1 C + (R 1 R 2 C + L 1 ) 2Р2 R 2 L1C + (R 1 R 2 C + L 1 J ·
J
1
\1
После подстановки значений параметров, корней Рl и Р2 и использования фор
мулы (e jx e jX)/2i == sinx получим '!
g31 (t) == 0,01 e lOOisinlOOt См.
Таким образом, взаимная переходная проводимость между третьей и первой
ветвями схемы рис. 8.4, а при данных значениях параметрон как функция времени
представляет собой затухающую синусоиду.
Пример 100. В схеме рис. 8.35 u(t) == 170sin(314t + 30 0 )В; R 1 == 10 Ом; R == 5 Ом;
R3 === 15 Ом; L 1 == 30 MrH; L 2 == 50 MrH; м == 25 MrH. Найти i I (t) С IIOМОЩЬЮ qЮРМУJIЫ
разложения.
Реш е н и е . Составим уравнения по методу контурных токов:
/1 (p)[R 1 + R 2 + p(L 1 + L 2 + 2М)] J 2 (p)[R 2 + p(L 2 + М)]== U(р);
J 1 (р) [R 2 + р (L 2 + М)] + /2 (р) [R 2 + R3 + pL 2 ] === о.
Совместное их решение дает .
U т (20 + 0,05р)
J 1 (р) ==
(р jw)(O,000875 p 2 + 2,6р + 275)
N(p)
М(р)'
н
Корни уравнения М ( р ) === о:
р 1 === 3 [4 j, Р2 === 2860 и Р3 == 1 [4 с 1;
М'(р) == 0,000875 р2 + 2,6 р + 275 + (р jw )(О,ОО[ 75 р + 2,6);
N(Pl) == 4301 e j68 ° 2 0'; N(P2) == 123.170ej2100;
N(рз) === 14,29 .170e i30 o; M'(PI)==838e j77 °; M'(P2)===6930ej6°16; М'(рз)===806е jllОО40'.
:-1
')
Ток
{ N(PI) N(P2) N(Рз) }
i( t) == 1 m еР 1I + e P 2 t + ерз i ==
M'(PI) М'(Р2) М'(рз)
== Im{5,lзе j (Wi 8°40') + з,03еji20ЗО44' e 2860t +
+ З,01еiI40° e 1l41 === 5,13 sin (wt 8040')
1,16e 2860t + 1,97e 114tA}.
в
'1
l)Qh
ц
L1и::: ( ) L1r= 11' (т )1J,
и (о)
r T t '[ r
t
r
Р....с. 8.36
8.53. ИнтеrраJl ДюамеJlЯ. Познакомимся с третьим методом
расчета переходных процессов в линейных электрических цепях
расчетом с помощью интеrрала Дюамеля.
При использовании интеrрала Дюамеля переменную, по KOTO
рой производится интеrрирование, обозначим т, а под t по прежне
му будем понимать тот момент времени, в который требуется найти
ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в
момент времени 1 == О подключается напряжение u (т)(рис. 8.36).
Для Toro чтобы найти ток в цепи в момент времени 1, заменим
плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начальноrо
напряжения u (О) и от всех ступенек напряжения, вступающих в
действие с запозданием во времени.
Напряжение u (О) в момент времени t вызовет в цепи ток u (О)Х
xg и), rде g (/) переходная проводимость. В момент времени
т + T (рис. 8.36) возникает скачок напряжения
du
и T == и' (т) T.
dT
Для Toro чтобы найти составляющую тока в момент времени 1,
вызываемую этим ска чком напряжения и, необходимо и'( т) т ум
НОжить на значение переходной проводимости с учетом времени
действия скачка до момента времени t. Из рис. 8.36 видно, что это
время равно 1 т T. Следовательно, приращение тока от этоrо
скачка составляет и'( т) g (t т т) т.
Полный момент времени t получим, если просуммируем все час
ТИчные токи от отдельных скачков и прибавим их к току u ( О ) g ( 1 ):
i и) == и( О) g( t) + и' (т) g (t т т) т.
Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Оче
ВИдно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кри
вую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный
интервал времени T на бесконечно малый dT и перейдем от суммы
1( интеrралу:
t
i(t) u(O)g(t) + u'( ) g(t ) d .
о
(8.63)
287
Формулу (8.63) называют uнтеС?ралом Дюамеля.
С помощью интеrрала Дюамеля можно найти не только ток, НО
и любую друrую физическую величину, например напряжение. В
этом случае в формуле вместо переходной проводимости g ( t ) будет
входить переходная функция h ( t ), если на входе цепи действует
источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление R ( t ),
если на входе цепи действует источник тока.
8.54. ПоследоватеJlЬНОСТЬ расчета с помощью интеrрала Дюа-
меля. Расчет с помощью интеrрала Дюамеля проводят в чеТыре
этапа:
1) определение переходной проводимости g ( t ) [переходной
функции h ( t )] для исследуемой цепи;
2) нахождение g(t т) [h( t т»). С этой целью в формуле для
g(t)[h(t)] заменяют t на (t T);
3) определение и'(т). Для этоrо находят производную от задан
Horo напряжения и ( t ) по времени t и в полученном выражении
заменяют t на т;
4) подстановка найденных на этапах 1,2,3 функuий В формулу
(8.63), интеrрирование по переменной т и подстановка пределов.
Пример 101. Найти il == t(t) и и2 == t(t) при замыкании ключа из схеме рис. 8.37, а.
Напряжение источника эдс u(t) == 100 (1 e at)B; а == 0,25 c l; R == 0,5 Ом; Lt ==
=== 1 [н; м == 0,5 [н.
Реш е н и е . Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно
1
включенных R и L, g(t) == R (1 e Ы), rде
1
Ь == R/ Lt; g(t т) === R [1 e b(t 't)].
Первое слаrаемое в формуле (8.63) выпадает, так как и(О) == О. При этом
d
и' (t) === dt 100 (1 e at) === 100ae at; и' (т) === 100a e aT;
li
U(OJ{
о
t,
t 2 r
а)
5)
Р....с. 8.37
288
t 100a t
i 1 (t) === ( и' (т) g (t т) dT === ( e a't [1 e b(t 't)] dT.
)0 R)o
ы
При интеrрировании учитываем, что е от т не зависит:
i) (t) === 200 (1 +" е о.Бt 2е 0.2Бt) А.
Напряжение на зажим ах вторичной обмотки
di)
и 2 (t) === М dt === 50 (е 0.2Бt е о.Бt) В.
8.55. П рименение интеrрала ДюамеJlЯ при сложной форме
напряжения. Пусть напряжение и( 1) изменяется во времени по
сложному закону, например в соответствии с рис. 8.37, 6. Начальное
напряжение равно и (О). В интервале от 1 == О до 1 == 1) напряжение
плавно растет, и закон ero изменения И) (t). В момент t == t) оно
меняется скачком от и а до и ь , а затем снова плавно растет, Но уже
по друrому закону и 2 (1) во времени. При t == 12 напряжение скачком
уменьшается от и с до нуля.
Требуется найти ток в каждом из трех интервалов времени. Под
первым интервалом будем понимать интервал времени от 1 == О до
1 == 1) (не включая скачка напряжения от И 2 до и ь ); под вторым от
t) до 12, включая скачок от и а дО И Ь , но не включая скачок от и с до О;
под третьим при t>/ 2 , включая скачок от и с до О.
Интеrрирование по прежнему проводим по т, понимая под 1
фиксированный момент времени, в который требуется найти ток.
На основании принципа наложения ток в любой момент времени t
определится как сумма токов от всех напряжений, воздействовав
тих на uепь до момента t.
В первый интервал времени
1
. i(t) u(O)g(t) + и', (-r) g(t T) dT.
О
Во второй интервал времени
t)
i и) u(O)g(t) + и', (т) g (t т) dT +
О
t
+ (и ь и а ) g( t t ,) + и' 2 (т) g (t т) dT,
1,
rДе Слаrаемое (и ь и а ) g(t 1)) обусловлено скачком напряжения
от И а И и ь в момент времени 1).
10" за 1<. 683
289
В третий интервал времени
t 1
i (t) == и(О)g(t) + и' 1 (1:) g (t 1:) d1: +
о
'2
+ (и ь и а ) g(t t.) + и'2 (1:) g (t т) d1: +
t1
+ (О и с ) g(t t 2 ).
Пример 102. В электрической цепи рис. 8.37. а в момент времени t === О замыка!
ется ключ и напряжение U (t) изменяется в соответствии с рис. 8.37, б; u (О) === 50 В.
В первый интерrал времени от t == О до t == tl == 4 с напряжение UI (t) == 150 100 е at,
rде а == 0,25 c . Во второй интервал времени от t == 1. == 4 с до t == t2 == 6 с и2 (t) =:::t
==50 + 100 e c(t tl), rде с == 0,4 c .. Параметры схемы рис. 8.37, а R == 0.5 Ом; L. ==
==1 rH (вторичная цепь разомкнута).
Найти закон изменения тока i 1 во времени для обоих интервалов времени, а
также значения тока i) при 1, равном 2 и 5 с.
Реш е н и е . В соответствии с 8.54 переходная проводимость
1 1
g(t) == R (1 e Ы); Ь === Я/ L == O,5c .; g(t '{) === R [1 e b(t 't)).
в первый интервал времени U'('t) == 100 ae aT. Поэтому
t
i 1 (t) === u(O)g(t) + и' ('t) g (t '{) d't ==
О
t
== и(О) (1 e Ы) + 100а ( e aT (1 e b(t 't)]d't ==
R R )
о
== 1 00 (1 е o.ы) + 200 (1 + е O.5' 2е O.25t).
При t == 2 с il === 100 (1 e ) + 200 (1 + e . 2 e O.5) == 94.9 А.
Во второй интервал времени (включая скачок и ь и а == 36,9 В)
t t
i.(t)==u(O)g(t)+ и' 1 ('t) g (t '[) d't +(и ь и а ) g (t t.)+ и' 2 ('t) g (t '{) d't;
о t.
и' 2 ('t) == 1 ООсе ct' e ct1 ;
i.(t)==lOO(l e o.5t)+200(O.632 1.718e O.5t)+ 3 : (1 e o.5(t t.)]
.
100c Ь Ь с t Ь( )
[ ct + c I + ctl t tl ] ct.
(Ь С)Я с е с е е е е.
При t == 5 с i. == 204.32 А.
290
1
. ,
(1
о
r
1.
[:)
18
)Н
8.56. Сравнение раЗJlИЧНЫХ методов расчета переходных "ро-
цесСОВ. Классический и операторный методы расчета теоретически
можно применять для решения задач любой сложности. Каким из
ниХ пользоваться. во MHoroM зависит от навыка и привычки.
Однако классический метод более физически прозрачен. чем
операторный. в котором решение уравнений во MHoroM формализо
вано.
Если при сравнении методов исходить из объема вычислитель
ной работы. то решение уравнений первоrо. BToporo. а иноrда и
TpeTbero порядков для источников постоянной (синусоидальной)
эДС или тока целесообразно проводить классическим методом. а
решение уравнений более высоких порядков операторным. Объ
ясняется это тем. что чем выше порядок характеристическоrо ypaB
ненИЯ. тем более rромоздкой и трудоемкой оказывается операция
нахождения постоянных интеrрирования в классическом методе.
Операторный метод имеет перед классическим явное преимущест
во при решении зада ч. в которых определение п ринужденной ком
поненты искомой величины оказывается затруднительным вслед
ствие сложноrо характера вынуждающей силы. а также при
решении уравнений в частных производных (см. 12.13 12.15).
Если воздействующее напряжение изменяется во времени. напри
мер линейно или в виде всплеска одной или нескольких экспонент,
рекомендуется применять операторный метод или интеrрал Дюа
меля. Но основной областью применения интеrрала Дюамеля явля
ются случаи. коrда напряжение изменяется по сложному закону во
времени, например при наличии скачков напряжения (см. 8.55).
или коrда переходная проводимость g(t) и (или) воздействующее на
схему напряжение заданы rрафически (в последнем случае интеr
рал Дюамеля берется путем численноrо интеrрирования).
Рассматриваемый B 8.66 метод расчета переходных процессов,
получивший название метода пространства состояний. использует
ся rлавным образом. коrда расчет осуществляется с применением
ЭВМ. ДЛЯ ручноrо счета этот метод rромоздок.
Классический и операторный метод. а также метод пространст
ва состояний в аналитической форме и интеrрал Дюамеля имеет
общий недостаток: необходимость определения всех корней xapaK
теристическоrо уравнения, что для уравнений высоких степеней
(например. 5.6. 7 й....) требует MHoro времени. В этих случаях может
быть рекомендовано числовое решение на ЭВМ уравнений. COCTaB
Jlенных по методу пространства состояний; может быть применен и
Спектральный метод в том виде. в каком он рассмотрен. например.
в rл. 9. Кроме Toro, в этих случаях используют моделирующие YCTa
НОВки.
8.57. Дифференцирование ЭJlектрическим путем. Для четырех
ПОлюсников рис. 8.38. а. 6 при определенных условиях выходное
наПряжение и 2 (t) пропорционально производной от входноrо Ha
10.
291
о
и, И2 иl I Ц2
I
I
L J L J
а) о)
r l
R I
и, С I Ju z и, и2
I
I
L ..J L ...J
6) 2)
Р....с. 8.38
пряжения U 1 и), т. е. и 2 (t) dul (t)/dt. Схему рис. 8.38, а применяют
чаще схемы рис. 8.38, 6, так как при практическом осуществлении
она обладает меньшими rабаритами, массой и более удобна при
реrулировке.
Если u1(t) . . U 1 (р), то du, (t) /dt . . ри[(р). Отсюда следует, что
четырехполюсник осуществляет дифференцирование, если для He
R
ro U 2 (P)==-рU 1 (р). Для схемы рис. 8.38, а и 2 (р) == и[(р) RCp + l ' Чтобы
схема осуществила дифференцирование, необходимо выполнить
условие IRCpl «1, тоrда и 2 (р) RCp и, (р). Для синусоидальноrч
процесса заменим р на jro и тоrда схема рис. 8.38, а будет выполнят.J;,
свои функции, если ffiRC «1. "'
Аналоrично, доказывается, что для схемы рис. 8.38, 6 необходи,"!
мо выполнить условие (ffiL/ R) «1. Если и,и) несинусоидальная
периодическая функция, то эти условия должны выполняться длЯ
наивысшей частоты функции u1(t). q
При дифференцировании импульсных воздействий длительНо
стью t}\ параметры схем рис. 8.38, а, 6 должны удовлетворять УСЛQ
виям ЯС «t H и L/ R «t H . Эти условия получим из двух преДЫДУI-:
щих, если в первом приближении будем считать, что поступление
на вход четырехполюсника импульса длительностью t H COOTBeTCT
вует воздействию на вход одной полуволны синусоиды частотоЙ
ffi == 2л/ (2t H ) === л/ t H . ,1.
I}f<
8.58. Интеrрирование ЭJlектрическим путем. Для четырехпо-
люсников рис. 8.38, 8, 2 при определенных условиях выходное на-
пряжение u 2 (t) == и,и) dt.
292
I К (jlAJ)I ср{ц;)
1
и 1 (р) ! ! (p)
л..
2
а) 6) (.() 8)
lft(p) + иос(р) К(р) и2(P)
............
1 Z 3
Коcfр)
2) о)
Р....с. 8.39
Схема рис. 8.38, в предпочтительнее схемы рис. 8.38, 2 по причи
нам, упомянутым в 8.57.
Если и,(t) . . и, (р), то и,(t) dt . . и, (р) / р. Отсюда следует, что
схема выполняет свои функции, если соотношение между ее пара
метрами обеспечивает выполнение соотношения и 2 (р) == и) (р) / р.
Для схемы рис. 8.38, 8 и 2 (р) == и, (р) /(RCp + 1), т. е. для нее
должно быть I RCPI »1. Заменив р на j 00, найдем условие
(i)RC »1, при котором схема рис. 8.37, 8 будет выполнять функции
интеrрирующеrо звена при синусоидальном процессе. Для схемы
рис. 8.38, 2 (ooL/ R »1).
i При интеrрировании импульсных воздействий длительностью t и
должны быть выполнены следующие условия: RC >:>t и для схемы
рис. 8.38, в и (L/ R) >:>t и для схемы рис. 8.38, 2.
. Напряжение с выхода интеrрирующеrо (дифференцирующеrо)
УСтройства подается для наблюдения (записи) на электронный oc
циллоrраф.
J
8.59. Передаточная функция четырехполюсника на комплекс-
НОЙ частоте. Под передаточной функцией четырехполюсника К(р)
На комплексной частоте р понимают отношение выходноrо напря
>кения и 2 (р) ко входному U,(р)(рис. 8.39, а)
К(р) == и 2 (р) / и)(р); (а)
/(р) зависит от схемы четырехполюсника, числовоrо значения эле
293
ментов схемы и от частоты р. Для четырехполюсника рис. 8.38, i!
R
К(р) === R+pL " Из уравнения (а) следует, что
и 2 (р) == к(р)и)(р). (6)
Под передаточной функцией четырехполюсника для синусоидаль
Horo процесса на частоте ffi понимают
U 2 (jю). (В)
К(jю) == . == I К(jю) I e/q>(w);
и )(jю)
K(jffi) получают из К(р) заменой р на jffi, IK(jffi модуль, а
<p(ffi) aprYMeHT K(jffi). Для схемы рис. 8.38, 2
ки.,) R+ "L' I K(j.,) I VR2:.,2L2 ' q>(.,) arct g ( 0;:-) .
Зависимости IK(jffi и <p(ffi) изображены на рис. 8.39, 6 J в. Если
несколько четырехполюсников, например три, соединены каскадно
(рис. 8.39, 2) И известны передаточные функции каждоrо че
тырехполюсника , то передаточная функция каскада в COOTBeTCT
вии с формулой (б) равна произведению передаточных функций
этих четырехполюсников
К(р) == К,(р)КcJр)Кз(р).
(r)
Пример 103. На рис. 8.39, д изображена замкнутая сuстема(система с обратной
связью). Она состоит из OCHoBHoro четырехполюсника с передаточной функцией К(р)
и четырехполюсника обратной связи с Кос(Р)' Функцию последнеrо часто выполняет
усилитель, работающий в режиме пропорциональноrо усиления. Вывести формулу
передаточной функции всей системы К зс (р).
Реш е н и е. На вход OCHoBHoro четырехполюсника поступает основной сиrнаJI
и)(р) и сиrнал с выхода четырехполюсника обратной связи, поэтому
U 2(Р) == I U )(р) + U ос(р)]К(р).
(д}
j
Кроме Toro,
иос(р) == к ос (р)и 2 (р).
(е)
Подставим (е) в (д). Получим
и 2 (р)
Кзс(Р) == и)(р)
ii
К(р)
1 + К(Р)Кос(Р) "
(Я})
N
\j
Если I K(p)Koc(p)==O, то в системе ВО3.lИкнут автоколебания, амплитуда их будет
оrраничиваться нелинейностью системы. Плюс в формуле (д) и минус в формуле (ж)
соответствуют положительной обратной связи. Минус в формуле(д) н плюс в (ж)........
отрицательной. ,8
8.60. Переходные процессы при воздействии импульсов напрЯ"
жения. Ток в любой схеме при действии на нее импульса напряже
ния (рис. 8.40, а) можно найти, например, тремя способами:
1) применяя интеrрал Дюамеля;
2) определяя ток при /</) так же, как от действия постоянноrо
напряжения И; при /> /) действующее на систему напряжение ра Б -
294
а) « l I и2 1 t,
t, t 2)
t
. t,
и l t
о) и !
б) О tt t
t и
8) е) 1 {
t ! ft J7: t
Р....с. 8.40
НО нулю. Следовательно, система освобождается от вынуждающих
ЭДС и по ней протекают свободные токи, обусловленные запасом
энерrии в индуктивных и емкостных элементах системы;
3) представляя импульс в виде двух постоянных напряжений.
Положительное напряжение и действует начиная с t==O, отрица
тельное начиная с t==t 1 . При t<t 1 токи В цепи определяются
одним напряжением И; при t>t 1 обоими напряжениями с учетом
сдвиrа BToporo напряжения на время t 1 .
Рассмотрим третий способ. Положим, что требуется найти ток
в цепи при подключении ее к источнику напряжения, имеющеrо
форму равнобедренноrо треуrольника (рис. 8.40, 6). Задача реша
ется в три приема.
('; Сначала определяем ток в интервале времени от t==O до t::;;;)\ от
действия напряжения и,===kt (рис. 8.40, 8). Затем для интервала
времени t2 t t\ находим ток в цепи от действия двух напряжений
(рис. 8.40, 8 J 2): от продолжающеrо действовать напряжения u 1 ==kt
нот вступающеrо вдействие при t==t, дополнительноrо напряжения
и 2 == 2k(t t\).
I , ДЛЯ интервала времени t>t 2 ток определяется действием трех
напряжений: продолжающих действовать напряжений И 1 и И 2 И
ВНовь вступающеrо в действие при t==t 2 напряжения И 2 == k(t t2)
luри t t2 сумма напряжений и\, И 2 и ИЗ (рис. 8.40, д) даст нуль].
Из трех перечисленных способов наиболее экономным является
Первый.
При воздействии серий импульсов переходный процесс рассчи
ТЫвают часто операторным методом.
Пример 104. На последовательно соединенные R и L поступает серия прямо
yrOJ!bHbIX импульсов напряжения единичной амплитуды; длительность импульса 1; и
295
длительность паузы также 'т (рис. 8.40, е). Используя третий способ в сочетании t
теоремой запаздывания (см. 8.40), определить ток в цепи.
Реш е н и е. Найдем изображение напряжения:
1
и(р) === р (1 e Р'(+е 2Р'( е ЗР'(+...).
Выражение в скобках предстаВJlяет собой бесконечную rеометрическую IIРО
1
rрессию со знаменателем e P'(. Сумма членов ее равна . Изображение
1 +е pT
тока
l ( ) 1
р p(l +e P'() (R+pL)
т)
Применим формулу разложения. Корни знаменателя:
р"::;:: R / L; TPk === (ak+jbk)T == jл(2k+l) ( oo<k<oo).
rруппируя член k===O с k== 1, член k:::= 1 с членом k== 2 и т. д., получим
R t
1 е Lt 2 ею siп[л(2k+I qJ2k+IJ
i(t) === R + I
2R T л z2k+ I
R(l +e L ) k ===O
z2k+1 \j R2+[ (2k I)"L ] 2 ; 'Р2Н' arctg (2k )"L .
р' =:::0;
"
8.61. Дельта-функция, единичная функция и их свойства. Им-
ПУJlьсная переходная проводимость. Дельта функцuей 6(t) или еди
ничным импульсом (рис. 8.41, а) называют прямоуrольный импульс
амплитудой 1 / б.т И длительностью б.т при б.т---+О. Единичным назы
1
вают потому. что площадь ero равна единице: б.'t б.т == 1. Размер
ность 6(t) C '.
Единичной функцией 1(t) (рис. 8.41, 6) называют функцию, paB
ную единице при t>O и равную нулю при t<O. Единичная функuия
1( t)(рис. 8.41, в) равна нулю при t>O и единице при t<O. Функции
l( t) и l( t) имеют нулевую размерность. Свойства 6(t):
1) из определения 6(t) следует, что
1 t>O;
t
6(t)dt
о
о t<O;
' ==:t
'l" t t t
а) ) )
Р....с. 8.41
1
L1't
t
в)
296
2) производная фУНКIJ,ии 1(/) равна 6 функции:
d l(t) / dt == 6(t);
3) 6 функция обладает фильтрующим действием:
l(t)6(t t ,) === f(t ,)6(t t ,);
4) изображение по Лапласу 6 функции равно 1:
00
6(t)e Ptdt == 1, а 6(t to) . ' e pto
о
на основании теоремы смещения.
Единичные функции 1(t) и l( o также обладают фильтрующим
действием. Умножение произвольной функции '( t) на 1( t) обращает
произведение l(t)1(t) в нуль при t<O. Аналоrично,
) ( { О. 1>0;
f(t 1 t) == I(t) t O.
Импульсное (иrольчатое) напряжение или ток в виде 6 функции
единичной площади записывают так: 6(t). 1. Здесь единица имеет
размерность В . с ил и А. с соответственно.
В соответствии с рис. 8.41, а импульсное напряжение единичной
площади, равное 6(t). 1 В. С, можно представить как сумму двух
п'рямоуrольных импульсов: импульса напряжения 1 / T, вступаю
щеrо в действие при t==O, и импульса (1 / T), вступающеrо в
действие при t == T.
При t> T И нулевых начальных условиях ток на входе цепи при
.воздействии на нее напряжения в виде 6 функции
i(t) === 1 ;т [g(t) g(t T)].
a Разложив g(t T) в ряд Тейлора по степеням T и учитывая
I<малость T, получим
Н{
1 1
i(t) == 1 [g(t) g(t)+ Tg'(t)] == 1 . Tg'(t) == g'(t). 1,
иТ T
rДе g'(t) === d t) импульсная переходная проводимость. ДЛЯ MO
ментов времени t> 't она численно равна току в цепи при воздей
ствии на цепь напряжения в виде 6 функции.
Аналоrично, h'(t) === d:( ;) импульсная переходная функция.
Для t> т---+О она численно равна напряжению на выходе четырех
ПОлюсника при воздействии на ero вход импульса напряжения
б(t).l В. с. В интервале времени от O до 0+ (во время действия
Импульса) u 2 (t) == h'(t). 1 +h(0+)6(t) == h 6 (t).
Наряду с понятиями "переходная проводимость" g(t) и "им
297
пульсная переходная проводимость" g'(t) применяют дуальные Им
понятия: переходное сопротuвленuе ,(t) и uмпульсное переходн.ое
сопротuвленuе ,'(t). Переходное сопротивление, ab(t) численно paB
но напряжению на входе цепи uab(t) при воздействии на ее ВХод
единичноrо тока: <.:
и аЬ ( t) == l(А), аь( t).
Импульсное переходное сопротивление ,'ab(t) численно равно
напряжению на входе цепи uab(t), после Toro как на ее вход воздей
ствовал импульс тока в виде 6 функции единичной площади:
:}
. иаь(п == 6(t). l(А. с).,' ab(t).
Величины ,(t) и ,'(t) MorYT быть входными и взаимными, ОДнако
g(t) и R(t) не являются взаимно обратными величинами; g(t) опре
деляется при питании схемы от источника ЭДС, а R(t) при ПИта
нии схемы от источника тока. ri
Подчеркнем, что в литературе по переходным процессам в зави
симости от рассматриваеМоrо вопроса под одним и тем же названи
ем импульсная переходная функция понимают либо функ
цию h'(t), либо h 6 (t). Между этими функциями имеется зависимость
h 6 (t) == h(O+) 6(t)+h'(t);
h'(t) характеризует реакцию четырехполюсника (ero ВЫХОДное
напряжение) после окончания воздействия на ero вход единичным
импульсом напряжения 1 . 6(t) В . с, а h 6 (t) напряжение на выходе
четырехполюсника и во время действия импульса и после оконча
ния.
Аналоrичные соотношения существуют между двумя импульс
ными переходными проводимостями
gб(t) == g(O+) 6(t)+g'(t)
и между двумя импульсными переходными сопротивлениями
R 6 (t) == R(O+) 6(t)+R'(t)
при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С по
мощью hб(t) интеrрал Дюамеля запишется так:
t
u 2 (t) == и(т) hб(t т)dт.
О
Здесь h б (t т) :::::: h(O) 6(t) + h' (t 'Т) .
Формулу интеrрала Дюамеля в математических работах называюТ
формулой свертки двух функций в данном случае функций u(t) и
h 6 ( t).
298
* 8.62. Определение h(t) и hб(t) через К(р). Как упомина ось, при
воздействии на вход четырехполюсника единичноrо напряжения
u ( t)== l(t) напряжение на выходе ero uit)===h(t). Если это положение
1 1
записать относительно изображений, учитывая, что I(t) . . р и обоз
начив изображение h(t) через Н(р), то Н(р )===К(р)/ р.
отсюда
К(р) === рН(р). (8.64)
Определим теперь h(t) через К(р). Поскольку h(t) . . Н(р), а Н(р)
определено предыдущей строкой, то
h(/) . К(р) . (8.65)
. р
При воздействии на вход четырехполюсника единичныМ импульсом
напряжения ul(t) == 1 .6(t) . . 1 == ul(p), напряжение на выходе ero
u 2 (t) === hб(t) . . UJ(p)K(p) === 1. К(р),
таким образом
hб(t) . . К(р). (8.66)
, б
Пример 105. Запишем h(f). h ((), h (t) для схемы рис. 8.38, а:
1
h(t)==-l.e t/RC; h'(t)=== RC e RC;
t
б. RCp RCp+l l 1. 1
h (/) . К(р) === ЯСр+ I === RCp+ 1 === 1 RCp+ 1 . h (О+)б(t) RC e RC.
8.63. Метод пространства состояний. Метод пространства co
стояний (метод переменных состояния) представляет собой упоря
доченный способ нахождения состояния системы в функции BpeMe
ни, использующий матричный метод решения системы
дифференциальных уравнений первоrо порядка, записанных в фор
Ме Коши (в нормальной форме). Применительно к электрическим
цепям ПОД переменными состояния понимают величины, определя
ющие энерrетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные
элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин
полаrаем известными к началу процесса. Переменные состояния в
обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функции
времени, то их можно обозначить x(t).
Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу столбец пе
реМенных состояния в п MepHOM пространстве состояний обозна
xl
ЧИМ [х) === ..., т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у,
Х п
299
У.
матрицу столбец ВЫХОДНЫХ величин [у] == 0-'
Ут
ИСТОЧНИКИ воздействий (источники ЭДС
ка ) будем имено
Z.
вать z. Матрица столбец источников воздействий [z) == ....
zp
Для электрических цепей можно составить матрич ь ypaBHe
ния вида (проrрамм.а решения На ЭВМ уравнения (8.67) приведена
в [23]).
[х] == [М] [x]+[N] [z]; (8.67)
[у] === [P][x]+[Q][z], (8.68)
rде (М], [N], [Р], [Q] некоторые матрицы, определяемые CTPYKTy
рой цепи и значениями ее параметров.
На основании принципа наложения решение (8.67)
t
[x(t)] == e(M]t [X(O)]+ e(M)(t ) [N] [z(1:)]d't, (8.69)
о
rде [х(О)] матрица начальных значений х.
Первое слаrаемое в формуле (8.69) описывает свободные про
цессы в системе, второе принужденные и свободные при нулевом
исходном состоянии [вывод ФОРМУЛЫ (8.69) см. в конце параrрафа].
Из (8.68) и (8.69) находим
[y(t)] === [P]e(M]t [х(О)] + [P]e(MJ(t ) [N] [Z(1:)] d't + [Q] [z(t)]. (8.70)
о
Поясним формулу (8.69) на простом примере. Ток в схеме рис. 8.42
до коммутации был i(O ) == E/(2R). Уравнение состояния для этой
схемы di/dt === (R/ L)i + (Е/ L), т. е.
[х] == di/dt; [М] === R/ L; [N] == 1/ L; [z] === Е;
R
R
l
t
R t Е R (t '[) Е
i(t) === е L + е L d1: ==
2R L".
о
t Е
Е Е R t
=== R 2R е L.
Р....с. 8.42
300
Матричную функцию e(M]t в формуле (8.69) вычисляют по фор
муле (теореме) Сильвестра [13]:
е[М] t == еЛ} t [А 1] + еЛ2t [А 2] + ... + еЛп t [А п]' (8.71 )
rде
п
П ([М] лJ11])
j }
[А,] j -=l='n
П(л, л j )
j===}
j -=1= ,
( 8. 72)
Л, собственные значения (характеристические числа) KBaдpaT
нои матрицы [М], т. е. корни уравнения
det ([М] л[l) == О. (8.73)
Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно л co
ставляют, приравнивая нулю определитель матрицы [М], в котором
все элементы этои матрицы атт(т == 1, ..., п), расположенные по
rлавной диаrонали, заменяют на элементы а тт л.
Характеристические числа л это не что иное, как корни xa
рактеристическоrо уравнения послекоммутационной схемы. За
пись решения в виде ряда (8.71) предполаrает, что все характери
стические числа различны (нет кратных корней). Если же среди
корней уравнения det([ М] л[ 1]) == о будет кратный корень Л S KpaT
ности S, то составляющая e[M]t, обусловленная этим корнем, имеет
вид
1 d S }
(5 l)!dл S }
е[Л]/ Adj (Л[l] [М])
П(Л л j )
j===}
j -=1= s
( 8. 74)
л === Л s
rде Аdj(л[ 1) [М]) присоединенная матрица к матрице
"-(1) [М]. В неи все элементы a ij заменены на алrебраические дo
полнения, а затем проведено транспонирование. Составляющие pe
Шения по формуле (8.74) соответствуют части решения по формуле
разложения (см. 8.50), учитывающей кратные корни. При машин
НОМ счете функцию е(М] t подсчитывают разложением в ряд:
(М] / [M]2t 2
е ==[l]+[M]t+ 2! +....
Пример 106. Методом пространства состояний исследовать переходный процесс
в СХеМе рис. 8.43, а. До коммутации был установившийся режим; Е == 4 В, J === 1 А;
R ::::: 2 Ом; L == 1 rH; с == 1 Ф.
301
а а
J
J
[ l1cl Е,=ис
Ь
о) tJ)
Р....с. 8.43
Реш е н и е. Обозначим токи и напряжения в соответствии с рис. 8.43, а. До
коммутации
Е 1 ( 1 Е )
il(O ) == 2R 2 == 0,5 А; иC<O ) == R 2 + 2R === 3 В.
J.
В качестве переменных состояний выбираем ток i) " напряжение на KOHдeHca
торе ис.
Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим
наиболее целесообразный, основанный на сведении послекоммутационной схемы к
резистивной с источниками эде и тока. е этой целью индуктивные элементы в
послекоммутационной схеме заменяем на источники тока, которые достаВJIЯЮТ ток
в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере L
заменяем на источник тока i l с напряжением на нем Ldil/dt), а конденсатор С на
источник эде, причем в соответствии с теоремой конденсации эде этоrо источника
должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно
напряжению ис на конденсаторе (в рассматриваемом при мере конденсатор С с
напряжением на нем ис заменен на источник эде Е 1 === и с ).
В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто
резистивной), но с дополнительными источниками тока и эде (рис. 8.43, 6).
В полученной резистивной схеме один из узлов заземлим. Составим уравнения
по методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В
рассматриваемом примере не заземлен Bcel'o один узел а. Поэтому
(i l + J) + (и с / R)
<Ра == l/R == (i, + J)R + ис.
По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках тока
Lkdik/dt, эквивалентирующих индуктивные элементы lJk' и токи i m == CmduCm/dt
через источники эде, эквивалентирующие емкостные ЭJlементы емкостью С т .
Для первой ветви схемы рис. 8.4З, 6
. . di l
qJ а == (1, + J)R + и с == Е t 1 R L d t .
Отсюда
di 1 2R . ис Е R
м== T" L+L LJ.
ТОК второй ветви i 2 можно определить по первому закону Кирх
rофа или по закону Ома для участка цепи с источником эдс:
duc <Ра и с (i l + J)R +,ис ис
i 2 === С dt == R R === i 1 + J_
302
Следовательно, du c / dt == (iJ С) + (! / С). Т аким образом, ypaB
нения переменных состояния для послекоммутационной схемы рис.
8.43, а таковы:
di l 2R . 1 1 R
dt === L II L и с + L Е L J;
du c 1 )
== ; + О.и + O.E + }
dt с 1 с С '
[х] [ c]; [М]
di}
dt
duc '
dt
2R
L
1
С
)
: [ ];
или [х] === [М) [х] + [N] [z), rде [х) ===
1
L
[N] ===
R
[ l;[Z] [7] Р];
с
о
[х(0)] [035].
Составим уравнение для определения характеристических чисел л:
1 4 Л 1 I
det([ М] л[ 1 ] ) == 1 л == о.
Таким образом, л 2 + 4л + 1 == о; лl == 0,27; Л2 == 3,73 c l. По формуле
(8.72), [ 4 1 ] [ 1 О ]
) О + 3,73 О 1
[А 1] == [М] л l] == == [ 0,078 0'289 ] .
лl Л2 3,46 0,289 1,077'
[А 2 ) === [М] л l [1] == [ 1,077 0'289 ]
Л2 Л 1 0,289 0,078 .
По формуле (8.69),
[ c] {е о,27I[ч + е 3'73I[ч}[Оз5] +
t
+ {e 0,27(1 .) IЧ + е 3,73(1 .) (ч} [ ] [п d .
Выполнив подсчеты, получим
i l == 1 + o,75e o,27! + 0,75е з,73t А;
ис === 6 2,8e O,27t 0,2e 3,731 В.
303
Если за выходную величину у принять напряжение Иdf между точками d и J, то
[Ud,j) [ я 11[ c] + [1 0][;].
Поясним переход от (8.67) к (8.69).
Решение неоднорОДНОI'О уравнения (8.67) можно IIОЛУЧИТЬ в виде суммы ПОЛНоrо
решения однороднО['о уравнения и частноrо решения неоднородноrо. Полное реШе
ние однородноrо уравнения
[х] == [М] [х] для t '{,
(8.75 )
rде 't постоянная величина, найдем по аналоrии с решением скалярноrо диффе
ренциальноrо уравнения х == тх, х === ет(! 1:)x('t), в виде
[xn(t)] == e[M](t 1:) {xn('t)]. (8.76)
Подставив (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения однородноrо
уравнения (8.75). Функцию е(МI t обозначим [<p(t)], а e(Ml(t 1:) === [<p(t '{)). Так как
[M]2t 2
e[MJt - [1] + [M]t + 2! + ..., то [<р(О)] === [1].
в соответствии с методом вариации произвольных постоянных частное решение
неоднородноrо уравнения представим в виде [хч(t)] === [<ри '{» [и(t)] [x('t)].
Общее решение
[x(t») == [<p(t '{)) [x('t)) + [<p(t '{)) [и(t)] [x('t)) === [qJ(t 1;)] [1) + [u(t)) [x('t)) ==
=== [qJ(t '{)] [R(t)],
rде R(t) нужно определить.
Подставим
[x(t)) == [qJ(t '{)] [R(t)]
(8.77)
в уравнение (8.67):
[[«i>(t '{») 1М) [<p(t '{))] IR(t») + [qJ(t '{)) IR(t)] === [N) [z].
( 8. 78 )
ПОСКОJlьку[<р(t '{)) есть матрица, СТОJlбцы которой являются решением ypaB
нения (8.75), то первый член выражения (8.78) нулевая матрица. СледоватеJIЬНО,
[R(t)] === [qJ(t 't») I[N] [z]. (8.79)
Проинтеrрируем (8.79) от 't до t:
t
[R(t)) [R('t)) === [<р(л 't)) I[N] [z]dл.
(8.80)
1:
Из уравнений (8.77) и (8.80) следует
t
(8.81 )
[<p(t '{)] l [x(t)] === [<p(O)] I[x('t)] + [qJ(Л 't» I[N] [z(л)] dл,
1:
но [<р(О)] === [1]. Умножая (8.81-) слева на [qJ(t '{)] и учитывая, что
[qJ(t 't»)[<р(л '{)] l === erMJ(t 1:)e [МJ(Л 1:)=== е[М](t л)=== [<р(! л)],
получим
t
[x(t)] === [<p(t '{)] [x('t») + [qJ(t л)] [N] [z(л)]dл.
(8.82)
1:
304
с
L
R, L
Я,
R 2
R2 С
.а)
5)
Р....с.8.44
Ползrая в (8.82) 'I == О и заменяя затем переменную л на Т, получим формулу
(8.69).
8.64. ДОПОJlняющие двухполюсники. Два двухполюсника, co
держащие элементы R, L, С, называют дополняющими, если BXOД
ное сопротивление при их последовательном (параллельном) coe
динении оказывается чисто активным, не зависящим от
комплексной частоты р. Так, двухполюсник из параллельно соеди
ненных L и R 2 И двухполюсник из параллельно соединенных С и R,
(рис. 8.44, а) являются дополняющими при их посл едов ательном
соединении и выполнении условия R 1 == R 2 == R === 1/ L/C. Двухпо
люсники R 2 , С И R " L при их параллельном соединении (рис. 8.44, 6)
являются дополняющими при том же условии.
Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно дуаль
ны. Элементам L" C 1 , R, одноrо соответствуют такие дуальные эле
менты С 2 , L 2 , R 2 дополняющеrо, что произведение сопротивлений
двух взаимно дуальных элементов должно быть равно R 2 , rде R
произвольное активное СОПРОТИВJlение.
Последовательное соединение L, и С, в исходном двухполюснике
заменяют на параллельное соединение С 2 == L 1 / R 2 И L 2 == C,R 2 В
дополняющем. Параллельное соединение С, и L, в исходном ДBYX
полюснике заменяют на последовательное соединение L 2 === C;,R 2 И
С 2 === Ll/ R 2 В дополняющем.
8.65. Системные функции и понятие о видах чувствитеJlЬНОСТИ.
Системные функции Н(р) это обобщенное название функций, xa
рактеризующих четырехполюсник. Ими MorYT быть, например, пе
редаточная функция напряжения и 2 (р)/ и,(р), передаточная функ
ция тока 1 2 (p)/I,(p) и т. п. Если какой либо параметр (R, L, С) в
Схеме четырехполюсника изменяется, то изменяются модуль и ap
rYMeHT системной функции и можно rоворить о чувствительности
СИстемной функции к изменению этоrо параметра.
Под классической чувствительностью понимают отношение OT
НОСительноrо изменения функции H(p)/ Н(р) к относительному
ИЗменению параметра X/ х
Н(р) . ( Д,Н . Д' Х ) dH(p)
S х 11т н' Х Н(р) dx .
305
Применительно к установившемуся синусоидальному режиму
рассматривают чувствительность модуля и чувствительность apry
мент а H(jro ).
Для ре.зонансных систем с высокой добротностью ПОЛЬЗУЮтся
понятием корневой чувствительности, имея в виду ЧУВСТВИТель
ность Н(р) к изменению положения нуля или полюса этой ФУНКЦИИ
находящеrося вблизи мнимой оси плоскости комплексной частоты:
Понятие чувствительности используют rлавным образом в задаЧах
синтеза. Электрические цепи стремятся сформировать так, чтобы
они были ПО возможности малочувствительны к изменению пара
метра. Если Н(р) зависит от мноrих параметров и все они MorYT
изменяться, то верхней rраницей возможной ошибки считают CYM
му модулей чувствительностей по всем параметрам. При определе
нии классической чувствительности можно воспользоваться Teope
мой ва риаций (см. 2.19) и теоремой Теллеrена (см. 3.43).
8.66. Обобщенные функции и их применение к расчету переход-
ных процессов. Обобщенными функциями (ОФ) называют функции
времени f(t), которые терпят разрыв, например, при t == О. Значе
ние функции при t < О обозначим f и), при t > О f +( t) (рис. 8.41, С?).
Имея в виду фильтрующее свойство единичных функций, можно
записать
f{ t} === f и) l( t) + f +( t) l( t).
В общем случае f(t) может содержать также 6 функцию и ее
производные. Производная от I(t)
dt === f (t)Ц t) + t (t)l(t) + t (t) dd t ) d( t) + f+(t) d t) ==
, ,
=== f (t)l( t) + t+(t)l(t) + 6(t)[f+(0) { (o)].
Используя ОФ, можно решать задачи на переходные процессы,
о которых rоворилось в 8.28, а также задачи на импульсные воз
действия. В этом случае необходимо составить уравнения для по
слекоммутационной схемы, выразить токи, напряжения и их произ
водные через ОФ, и воспользовавшись фильтрующим свойствоМ
l( t), l( t) и 6( t), приравнять в этих уравнениях коэффициенты,
содержащие только l( t), только l(t) и только 6(t), и затем решить
их совместно.
Пример 107. Путем использования обобщенных функций решить задачу приме
ра 86 (см. рис. 8.24).
Реш е н и е. В уравнении для послекоммутационной схемы
( dUCI d U C2 )
R C1"""dt + С 2 М + и С1 === Е
(а)
подставим
иСI === uCI (t)l( t) + uCI+(t)l(t); иС2 === uC2 (t)1( t) + u c2 +(t)1(t);
306
I I I
иСl === uCI (t)I( t) + иc (t)1(t) + 6(t) [иСI(О+) UCI(O )];
и 2 == U 2 (t)1( t) + U 2+(t)l(t) + 6(t) [uci o +) uciO )];
Е == El( t) + El(t).
Коэффициенты при I( t). 1 (t) и 6и) дают три уравнения:
, I
R [C1UC1+(t) + C2UC2 (t)] + UC1 (t) === Е;
R [CIU I+(t) + C2U 2+(t)] + UCI+(t) === Е;
uCl(O+) (С 1 + С 2 ) === CluCI(O ) + C2uciO ).
(б)
(в)
(r)
Из (6) uCl (t) === Е, из (r) uC1(O+) === C 1 Ej(C 1 + С 2 ); даJlее решаем (в) К.пассиче
ским или операторным методом, имея в виду, что UCI+(t) == UC2+(t). В результате
получаем тот же ответ, что и в примере 86.
f8.67. Иитеrрал Дюамеля для оrибающей. Положим, что на вход четырехполюс
ника, имеющеl'О переходную функцию h(t), воздействует синусоидальное напряже
lIие единИчной амплитуды ul(t) == 1 siпrot == ImejfJ)t. Тоrда, используя формулу ИНтеr
рапа ДюамеJIЯ, определим: напряжение на выходе четырехполюсника:
t
и 2 (t) == 1т {[h(O) + h'('t)e jm'( d't] e jmt } === Im{a(oo, t) ejfJ)t}. (а)
о
Здесь
а(оо, t) === h(O) + h'('t) e jfJ)'(d't == т(ro, t) + jn(oo, t) === q(oo, t) ejftl(m, t), (б)
о
rAe а(оо, t) оrи6ающая ВЫХОДноrо напряжения при воздействии синусоидальноrо
Ul(t). Воздействуем на вход четырехполюсника амппитудно модулир()ванным сину
'Соидальным напряжением Ul(t) === Im{ Um(t) e jmt } и определим
t
и 2 (t) === 1т {[h(O)U m(t) + h'('t)U ти 't) e jm'(d't] e jmt }.
О
da(oo, t) .
Учтем, что dt == h'('t)e Jm'( === а'(оо, 't) и h(O) == а( 00, О). TorAa
и2 (t) == 1т {А(оо, t) e jmt },
(в)
rДе
t
А(оо, t) === а(оо, О)и m(t) + a'(oo, 't)U ти 't)d't; (r)
о
А д (ffi, t) оrи6ающая выходноrо напряжения. Формулу (r) называют uнтеi?раЛDМ
Юамеля для оrи6ающей, она позволяет, не вдаваясь в мелкие детали, ВblЯВИТЬ
aKpOCTpYKTYPY переходноrо процесса.
307
Пример 108. Определим OI'ибающую тока в цепи, коrда на вход последовательно
соединенных R и L воздействует напряжение Ul(t) === klsinwt. Вместо h(t) используем
I R t
g(l) == R<l е L). В соответствии с формулой (б)
t
а(ш, t) == g(O) + g'(T) e jw'tdT == R +1 jwL [1 e qt);
О
R + .
q === L Iw.
1
Учтем, что g(O) == О, а'(ш, т:) == те q't, ит(! '[) == k(t '[).
Оrибающая тока в цепи по формуле (r):
t .
k 't kt kL t kL
А ( ш t ) == ( 1 т: ) e q dT === + ( e q 1 ) === Х
, L о R + jwL (R + jwL)2 R 2 + (wL)2
х
[ Rt Rt ] [ Rt ]
т+ е L cos(wt+2QJ) СО: ЧJ + wt+e L sin(wl +2QJ) sin2QJ е Щы.t);
wt + е L sin(wt + 2ЧJ) sin2<p wL
13(w, t) === arctg RI Rt ; <р === arctg R'
+ е LCOS(wt + 2ЧJ) cos2(j)
L
Вопросы дл. самопроверки
1. Дайте определение переходному процессу. 2. Что понимают под принужден
ными и свободными токами и напряжениями? 3. Сформулируйте законы (правила)
коммутации. 4. Дайте определение зависимым и независимым начальным условиям.
5. Какие вы знаете способы составления характеристическоrо уравнения. 6. Объяс
ните, почему при составлении характеристическоrо уравнения путем приравнива
ния нулю входноrо сопротивления Z(p) === N(p)j М(р) в общем случае нельзя сокра-
щать числитель и знаменатель дроби на общий множитель. 7. Чем определяется
ЧИСJIO корней характеристическоrо уравнения? 8. Изложите сущность классическоrо
метода расчета и принцип составления уравнений для определения постоянных
интеrрирования. 9. Переходный процесс в не которой цепи сопровождается биения-
ми. О чем это может свидетельствовать? 10. Дайте обоснование обобщенным зако-
нам коммутации. 11. Запишите известные вам соотношения между f(t)и Р(р), а также
теоремы OJlepaTOpHoro метода и предельные соотношения. 12. Почему р называют
комплексной частотой? 13. Охарактеризуйте этапы расчета операторным методоМ.
14. В чем особенности расчета lIереходных процессов операторным методом при
синусоидальном источнике и ненулевых начальных условиях? 15. Охарактеризуйте
свойства единичной функции 1(1) и свойства де.пьта-функции 6(1). 16. Определите
переходную и импульсную переходную проводимости (сопротивления) и функциИ.
Укажите, с какой целью они используются. 17. Охарактеризуйте идею расчета с
помощью интеrрала Дюамеля. 18. Прокомментируйте известные вам формы запиСИ
интеrрала Дюамеля. 19. Какими способами можно определить отзвук системЫ.
KorAa на нее воздействует импульс напряжения И.пи тока? 20. Поясните принцип
работы интеrрирующих и дифференцирующих цепей. Запишите условия, при кото-
рых эти цепи выполняют свои функции. 21. Чем следует руководствоваться прИ
формировании дополняющих ДВУХПОJIЮСНИКОВ? 22. Поясните идею расчета переход-
ных процессов с помощью обобщенных функций. 23. Перечислите основные этапЫ
расчета методом переменных состояния. 24. Как составляют уравнения переменныХ
состояния путем сведения послекоммутационной схемы к чисто резистивной? 25.
Охарактеризуйте сильные и относительно слабые стороны известных вам MeTOДO
расчета переходных процессов. 26. Что понимают под системными функциями.
308
J o
! и,
U z R
Р....с. 8.45
а)
б)
B
. . L2
R 2
L 2
:J
6)
z)
Рис. 8.46
Какие виды чувствительности системных функций вы знаете? 27. 8 схеме рис. 8.45 ('
источником тока 10 в момент t === О одновременно размыкается ключ К 2 и замыкает
I ся К.. Показать, что заряды, протекшие через сопротивление Rt и R 2 за время от О
до 00, не зависят от емкостей С } и С 2 . Определить величины этих зарядов. (Ответ:
L10 L10
1 + (R 2 / R ,) и 1 + (R 1 /R 2 ) .) 28.8 схеме рис. 8.4, в при размыкании ключа происходит
'. переходный процесс. ОпредеJIИТЬ законы изменения во времени напряжений и с , и и С 2
на конденсаторах. Задано j(t) === lsin(U}l + 900) А, R === l/U}C === 1 Ом; U} == 100 рад/с.
[Ответ: ис, == 0,447sin(U}t + 63027') 0,253 O,15e 200t В; иС2 ===
. == 0,447sin(U}t + 63°27') + 0,253 0,15e 2001 8.]29. Покажите, что в симметричной
мостОвой схеме (рис. 8.46, а), в которой выполняется условие L/C === R 2 , переходная
R
1 I
функция h(t) === 2 + е L. 30. В схеме рис. 8.46, б R == L == С === 1. Покажите, что
Входная переходная проводимость равна te 1.31. Покажите, чтu энерrия, заIlасае
Мая в L схемы рис. 8.46, в (начальные условия нулевые). равны тепловым потерям в
Д. 32. Первичная обмотка трансформатора рис. 8.46, 2 при нулевых начальных
УСЛовиях подключается к источнику постоянной ЭДС Е, R, == R 2 === R; L, === L 2 === М.
Определите i1(O+), i 2 (O+). [Ответ i,(O+) == i 2 (0+) == E/(2R).] 33. Определите CTe
I heHb характеристическоrо уравнения для схемы рис. 8.47.(Ответ пятая.)34. Как
3R
1 t
Определить К(р) через h(t) и через hlJ(t)? 35. По h(t) === I + 2е L) четырехполюс
R + jU}L U}2 RLC
ника определите ero K(jU}). (Ответ: 3R + . с ) 36. По К(jю} == 2
/Ю R RCU} L + jюL
HeKOToporo четырехполюсника определите ero h(l) при R === 0,2 Ом, С === 5 Ф, L === 1
rH. (Ответ: h(t) === 1,62e 0.724t 0,62e 0,2761.) 37. На вход четыреХIIШlюсника с
;:юч
Рис. 8.47
. j(J)
K(J(J) == 1 + j2ы воздействует единичный импульс напряжения в виде 6 Функции.
Определите напряжение на выходе четырехполюсника после окончания действия
импульса.(ОтвеТ:О.25е о,5t.)38. Решите задачи 11.4; 11.12; 11.15; 11.26; 1l.29 11.32;
1).38; )1.40; 11.47; )).50; 11.55; 11.57.
rllaB8 девятая
ИНТЕrРАЛ ФУРЬЕ.
СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД. сиrНАЛЫ
9.1. РЯД Фурье в комплексной форме записи. Как известно из
предыдущеrо (см. 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую
периодическую функцию f( t), удовлетворяющую условиям Дирих-
ле.
Обозначим период функции Т, а основную частоту
<ио == 2л/Т. Ряд Фурье можно записать двоя ко.
Первая форма записи:
00
f(t) == Ао + L Aksin(kffi o ' + 1J'k);
k===l
(9.1 )
вторая форма записи:
00
f( t) == А о + L( A sinkroot + A k " coskroot),
k===l
(9.1 а)
rде Ао постоянная составляющая ряда; Ak амплитуда k rap
моники ряда; 'Ф k начальная фаза k rармоники;
A k ' == AkcoS1J'k; A k " == А k siП 1J'k;
Tj2
1
Ао == Т f(t)dt;
T12
(9.2)
310
Т/2
, 2 (
Ak == Т J f(t) sinkoootdt;
T/2
Т/2
" 2 (
Ak == Т J f(t) coskoootdt.
T/2
(9.3)
(9.4 )
ИЗ курса математики известно, что sinx == (e ix e jX)/{2j). Следо
вательно,
siп(kюоt + 'Фk) == ;j [ei(kO)ot + Фk) e j(k(j)ot + Фk)].
(9.5)
Подставив правую часть формулы (9.5) в выражение (9.1), полу
чим
00
f(t) === Ао + ;. I А k [ej(k(j)ot + Фk) е i(kO)ot + Фk»).
/ k == 1
(9.5а)
Обозначим
.
Ak == Аkе iФk ;
(9.6 )
(9.7)
.
A k == Ake Nk.
Тоrда ряд (9.5а) можно записать так:
k==oo
1 .
f(t) == Ао + 2j I AkejkO)ot.
k== oo
(9.8)
Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи
ряда Фурье. Текущий индекс k может принимать все целые число
ВЫе значения от 00 до + 00, но не может равняться нулю, так как
постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельноrо слаrа
ем oro.
Пример 109. Представить функцию t(t)==2+3siп(ю о t+300) + 2sin(2oo o t 45°)
в Комплексной форме записи. .
I Реш е н и е А === 2' А == 3e j30 °. А == 3e i30°. А === 2e j45°. А === 2 e i45 °.
. о · 1 · l · 2 · 2 '
f(t) == 2 + ;j [3e j (0)0t + 30°) 3е j(O)ot + 30°) + 2e j (20)0t 45°) 2е 1'(20)0t + 45°)].
Составим выражение для комплексной амплитуды Ak' По опре
делению [см. формулу (9.6)],
Ak == Аkе jФk == АkСОs'Фk + jАksiПЧ>k == А/ + jA/', (9.9)
rДе А/ определяется формулой (9.3), А/' формулой (9.4).
311
Подставим правые части формул (9.3) и (9.4) в формулу (9.9):
2 2
. 2 2.
Ak == Т f(t)(sink(J)ot + jcosk(J)ot)dt === i f(t)(cosk(J)ot jsink(J)ot)dt,
т /2 Т /2
или
Т/2
. 2'
Ak == i f(t)e jkrootdt.
Т/2
(9.10)
Подставим правую часть формулы (9.10) в формулу (9.8):
f
k == 00 т /2
f(t) == Ао + I eikroo t f(t)e ikrootdt.
k == 00 т /2
(9.1 1 )
9.2. Спектр функции и интеrрал Фурье. Ряд Фурье это три
rонометрический ряд, представляющий собой изображение перио
дической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны,
а aprYMeHTbI кратны основной частоте ыо'
Под интеrралом Фурье понимают триrонометрический ряд.
представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно
большоrо числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а
aprYMeHTbI соседних синусоид отличаются на бесконечно малые
значения.
Формулу для интеrрала Фурье получают из формулы для ряда
Фурье [из формулы (9.11)] предельным переходом при стремлении
периода Т к бесконечности.
На функцию f(t)при представлении ее интеrралом Фурье накла
+00
дывают оrраничение, а именно, полаrают, что f(t)dt есть величина
oo
конечная (не бесконечно большая). Это серьезное оrраничение. Ряд
функций этому условию не удовлетворяет 1 .
00
lСреди функций f(t), для которых интеrрал f(t)dt расходится, наиболее важнОЙ
00
для практики является функция f(t) === А, rAe А постоянное число. Для Toro чтобы
эту функцию представить интеrралом Фурье пользуются следующим приемом. Ha
ходят интеrрал Фурье для функции f(t) == Ae f:lt, rде > О и f(t) === О при t < о. Для
00
этой функции f(t)dt сходится, поэт-ому она может быть представлена интеrрало М
00
Фурье. Далее в полученном выражении устремляют к нулю.
312
Т/2
1
Так как по определению [см. формулу (9.2)], Ао === Т f(t)dt, а при
Т/2
+00
Т.-+ОО f(t)dt есть величина конечная, то Ао == О.
00
Т/2
Преобразуем выражение f(t)e ikrootdt, стоящее ПОД знаком
Т/2
суммы В формуле (9.11). С этой целью произведение kooo заменим на
ro[под 00 будем понимать изменяющуюся (текущую)частоту). В ряде
Фурье разность двух смежных частот oo === 000 === 2л/Т. Следова-
тельНО, 1/Т == оо/(2л).
При T oo заменив oo дифференциалом doo, получим
Т/2 + 00
f(t)e ikrootdt=== : I(t)e jrotdt.
т /2 00
Обозначим
+00
(9.12)
S(joo) == f(t)e jrotdt.
00
Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию вре-
мени f( t) в функцию частоты S(joo); преобразование (9.12) называют
прямым преобразованием Фурье, а S(jw) спектром функции f(t).
Это комплексная величина, зависящая от вида функции f(t). В со-
1 Т/2. 1
ответствии с (9.12) в (9.11) заменим Т f(t)eJrotdt на 2л S(joo)doo И
Т/2
учтем, что при изменении k от 00 до + 00 00 == kooo также изменя-
ется от 00 до + 00. Следовательно,
ro==+oo
I(t) == 2 I S(jw)eirotdw.
ro== oo
Заменив сумму интеrралом, найдем
1
/(t) == ( S(jw)eirotdw.
2л )
+00
(9.13 )
00
Формула (9.13) представляет собой запись интеС?рала Фурье
(формулу обратноС?о прео6разования Фурье). Она выражает непе-
риодическую функцию f(t) в виде бесконечно большоrо числа сину-
СОидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и беско-
нечно малыми амплитудами S(joo)doo [S(joo) конечно, но
Произведение S(joo)doo бесконечно мало, так как бесконечно мало
Значение doo].
313
В соответствии с формулой (9.13) для наХОЖДения реакции сис
темы на любое воздействие следует ero представить в виде беско
нечно большоrо числа rармонических воздействий, символическим
методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем
просуммировать реакцию на все воздействия.
Преобразования (9.12) и (9.13) являются взаимно обратными.
Отметим, что представление функции f(t) в комплексной ФОРМе
в виде интеrрала Фурье [формулы (9.13)] привело к необходимости
формально ввести отрицательную уrловую частоту. При этом CYM
ма слаrаемых подынтеrральной функции (9.13) при +w дает сину
соидальные колебания частоты ю.
Сопоставим формулу (9.12) с формулой преобразования по Лап
ласу:
00
Р(р) == f( t)e ptdt,
о
(9.14)
если f(t) == О при t < О.
Если учесть, что f(t) == о при t < О, и заменить р на jw, то (9.14)
переходит в (9.12). Следовательно, формулы для спектра функции
S(jro) MorYT быть получены из соответствующих выражений для
изображений по Лапласу, если в последних р заменить на jro.
Пользуясь соотношениями 8.39, найдем спектр функции
f(t) == e at, полаrая, что f( t) == О при t < О.
Изображение по Лапласу 1/(0, + р). Заменим р на jw и получим
спектр S(jw) == 1/( а + jw); S(jw) есть комплек сная ве личина, paB
ная S( ro)e jqJs . Модуль ее равен 1/ v O,2 + ю 2 , aprYMeHT
'Ps == arctg[ ю/а]. fрафики для экспоненциальноrо импульса изо
бражены на рис. 9.1, а, 6.
Аt и
(,)
2 !
1t
2
f
А
tlf t
6)
w
а)
oj
О)
Р....с.9.1
314
Пример 110. Найти S(ю) и <р(ю) для прямоуrольноrо импульса (рис. 9.1, в) aMrl
литудой А и длительностью t и .
Реш е н и е. По формуле (9.12) определим спектр
t и .
. 1 e f rot и А
S(jю) === A(e frot dt == А . === 7i 1 соsюt и + jsiпwt и );
) }Ю}W
О
2 юtи юt и
V (I соswtи) 2 + siп 2 wt и == -У2(l соswt и ) === 4sin ""2"" === 21 sin""2""l.
Модуль
2Аt и юt и I siпwt и I юt и
S(ю) === sin === At /
ооt и 2 и 2 2 .
fрафик этой функции приведен на рис. 9.1, 2. Пунктиром покззана оrибающая.
AprYMeHT Ч>S дЛЯ прямоуrольноrо импульса вычислим по формуле
соsюt и 1 wt и
tgч>s == . === tg 2 . fрафик Ч>S показан на рис. 9.1, д. При значениях
Slnооt и
rot и == п, 3n,"'<Ps возрастает скачком на п.
Обратим внимание на то, что при определении S(joo) путем заме
ны р на joo в формуле для Р(р) следует соблюдать некоторую OCTO
рожность, если функция f(t) имеет импульсный характер, иначе
можно потерять импульсную компоненту в S(joo) в виде дельта фун
кции. Например, изображение функции l(t) по Лапласу равно 1/ р,
тоrда как спектр S(joo) функции 1(t) равен не 1/ joo, а п6(ы) + . Чтобы
/00
показать это, определим спектр функции l(t)e Pt ( >O), а затем
устремим o:
00
( l(t)e te irotdt === 1 == . w
) + j 00 2 + w 2 } 2 + w 2'
oo
Первое слаrаемое правой части при O и при oo O стремится к
"бесконечности, т. е. имеет вид дельта функции а6(оо), второе слаrа
емое правой части при O равно 1/ joo. Чтобы вычислить коэффи
циент а, проинтеrрируем (З/«(32 + (02) === а6(ы) по 00 от 00 до + 00:
00 00
2 2 dw == а 6(оо)dю.
oo + w oo
Но 7 dю == ! аrсt g Ю i f === п ( п ) === п, а 7 6(ю)dw === 1.
) 2 + ю 2 fi oo 2 2 )
oo oo
1
Поэтому а === л и спектр S(joo) функции 1(t) равен л6(оо) + . в
JOO
ПРимере 110 при определении S(joo) функции f(t) (см. рис. 9.1, в)
Слаrаемое в виде дельта функции в спектре отсутствует, так как у
ФУнкции имеются два равных по значению, но противоположных по
315
1 1. О
знаку скачка [лб(ю) +"7"""") [лб(ю) + "7"""")e Jro't; при (J) == слаrаеМые
/ю }ю
лб( ы) выпадают.
9.3. Спектр функции, смещенной во времени. Спектр суммы
функций времени. Если функции времени f(t) соотв.етствует спектр
S(j(J), ТО функции f( t 1:) соответствует спектр e Jbl'tS(j(J), что сле
дует из теоремы смещения в области ориrиналов (см. 8.40), если
заменить р на J(J).
Так как модуль функции e ibl't равен единице, то модуль спектра
функции f(t 1:) равен модулю спектра функции f(l), т. е. равен
S«(J), однако aprYMeHT спектра функции f(t 1:) отличается от ap
rYMeHTa спектра функции f( t) на Ы1:.
Если f(t) представляет собой сумму нескольких функций BpeMe
ни, например f( t) == f l( t) + f 2( t), а каждая из них имеет спектр COOT
ветственно Sl(j(J) и S2(j(J), то спектр S(j(J) функции f(t) равен сумме
спектров этих функций, т. е. S(j(J) ==SI(j(J) +S2(j(J). Это следует из
линейности преобразования (9.12). Однако модуль
S«(J) =#=St«(J) +S2«(J) и aprYMeHT s«(J) =#= sl«(J)) + s2«(J).
9.4. Теорема Рейли. Теорему Рейли (Релея) записывают следу
ющим образом:
00 00
1
{2(t)dt == л s2(ю)dю.
о о
(9.15)
Функция f(t) == о при t<dJ; S( ы) представляет собой модуль
спектра S(j(J) функции f(l):
+00
S( j ы) === f( t) е jrotdt.
(9.16)
oo
Если принять, что f(t) есть напряжение, приложенное к актив
ному сопротивлению в 1 Ом, то левая часть в (9.15) представляет
собой энерrию, выделяющуюся в этом сопротивлении.
Таким образом, площадь квадрата модуля спектра S( ы), разде
ленная на л, является энерrией, рассеиваемой в активном СоПРО f
тивлении, на которое воздействует f(t). '
Основой при выводе теоремы Рейли служит обратное преобра
зование Фурье:
+00
f(t) === 2 S(jю)еirotdю.
oo
316
Умножим обе части последнеrо равенства на f(t) и проинтеrри
руем по t от oo до +00:
+00 +00 +00
f2(t)dt === 2 f(t) [ S(jю)еi(j)tdю )dt.
oo
oo
oo
В правой части изменим порядок интеrрирования:
+00
+00
+00
+00
f(t) [ S(joo)ei(j)tdoo ]dt == S(joo) [ f(t)ei(j)tdt]doo.
oo
oo
oo
oo
В соответствии с формулой (9.16)
+00
f(t)ei(j)tdt == S( joo),
oo
следовательно,
+00 +00 +00
1 1
f 2 (t)dt === 2л S(jю)S( jю)dю == 2л s2(ю)dю.
oo
oo
oo
Для перехода к формуле (9.15) учтем, что при t<O функция
f(t) == О. Это дает возможность заменить в левой части нижний пре
дел с oo на О. Приняв во внимание, что квадрат модуля S2{oo) есть
+00
четная функция частоты, заменим в правой части последнеrо ypaB
oo
+00
нения на 2 . В результате получим формулу (9.15).
о
Величину S oo) называют спектральной плотностью энерrии
сиrнала, а функцию S2(oo) == '(ш) энерсетическим спектром.
t 9.5. Применение cneKTpaJlbHOrO метода. Спектральный (час
тотный) метод исследования процессов в электрических цепях oc
нован на использовании понятий спектров воздействующих им
Пульсов и частотных свойств цепей. Особенно широко ero
Применяют в радиотехнике при рассмотрении вопросов прохожде
нин модулированных колебаний через усилители, фильтры и друrие
устройства, в импульсной технике при рассмотрении вопросов про
Х ждения через четырехполюсники коротких импульсов длитель
НОстью порядка нескольких микросекунд, а в некоторых случаях
даже нескольких наносекунд. Допускается, что модулированное
Колебание или соответственно импульс, пройдя через четырехпо
Люсник, изменился по амплитуде, на некоторое время t o запоздал
Во Времени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма
ИМпульса (колебания) на выходе по сравнению с формой импульса
317
(колебания) на выходе. Недопустимость изменения формы импуль
са (колебания) следует из Toro, что именно в форме импульса (коле
бания) заключена информация, которую он несет.
Положим, что на вход HeKoToporo четырехполюсника с переда-
точной функцией K(j(J) == K((J)ei w) при нулевых начальных услови
ях воздействует сиrнал f1(t), имеющий спектр SBX(j(J). На ВЫХОДе
четырехполюсника появится сиrнал f2(t), спектр KOToporo
SBblx(j(J) == K(j(J) )SBx(j(J),
(9.17)
+00
rде SBX(j(J) === f,(t)e iwtdt.
'1
oo
Так как сиrнал f2(t) может отличаться от сиrнала fl(t) по значе
нию (по амплитуде), положим в а раз, и запаздывать на некоторое
время t o , но по форме должен быть таким же, как и ' 1 (/), то можно
записать, что f2(t) == af1(t t o )' )
Если к функции f2(t) применить преобразование Фурье, то ока-
жется, что спектр функции f2(t) равен
aSBX(j(J)e jwto. (9.18)
Сравнивая (9.17) и (9.18), замечаем, что
К(jю) === K(ro)ej w) == ae iwto.
Следовательно, для прохождения импульса или модулирован-
Horo колебания через четырехполюсник без искажения формы не-
обходимо, чтобы модуль передаточной функции был постоянен (не
зависел от частоты), а aprYMeHT ср(ы) == (J)t o линейно изменялся в
I
функции частоты (рис. 9.2, а).
В реальных четырехполюсниках эти условия MorYT быть выпол ,
нены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которую назы-
вают полосой пропускания. Полоса пропускания оrраничена значе-
ниями ы, при которых отношение масимальноrо значения К(ы) к
минимальному равно v2 (рис. 9.2, 6). Такой характеристикой обла {
к
K(w)
/(
1
,')
9'
cv
.С:::
I Полоса I (J)
...ПРОЛ,l/tканuн ..1
.1)
о)
Рис. 9.2
318
дает, например, схема рис. 3.42, а. Для этой полосы приближенно
полаrают, что К( ы) == const; q:>( (0) == 00/0'
Для Toro чтобы сиrнал при прохождении через четырехполюсник
не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие rармониче
ские составляющие частотноrо спектра сиrнала находились внутри
полосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сиrналов
треуrольной, трапецеидальной, прямоуrольной, колоколообразной и
некоторыхдруrих форм принимают, что они занимают полосу частот от
(t) === о до 00 == 2л/ lи, rде t и длительность импульса.
Если же необходимо передать через четырехполюсник основную
частьэнерrии сиrнала (например, 90 % энерrии сиrнала), то полосу
часТОТ можно сузить примерно до 071/t и .
Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохож
дениЯ импульса все же не выполняются, то, проходя через четырех
полюсник, импульс в какой то степени искажается. Определить
степень искажения можно двумя способами, основанными на час
тотных представлениях.
Первый способ состоит внепосредственном применении прямо
ro и обратноrо преобразований Фурье.
Основные этапы этоrо способа таковы: 1) нахождение спектра
U1(jw) входноrо сиrнала u1(t); 2) определение передаточной Функ
ции четырехполюсника киы); 3) получение спектра выходноrо сиr
нала U 2 (jw) == киы) U1(jw); 4) вычисление u 2 (t) по U 2 (jw).
Последнюю операцию можно осуществить с помощью формулы
(9.13), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу
изображения по Лапласу, заменив joo на р в U 2 (jw).
Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи
операторным методом и для сложных схем оказывается малопри
rодным, поскольку решение достаточно rромоздко, и, пользуясь им,
трудно сделать вывод о том, как тот или иной конкретный элемент
схемы при неизменных остальных влияет на фронт и на вершину
ИМПульса. Пользуясь этим методом, трудно также судить о том,
какие элементы схемы в наибольшей степени влияют на деформа
цию фронта, какие на деформацию вершины импульса.
В литературе по импульсной технике получил распространение
второй способ решения, также основанный на спектральных пред
сТавлениях. В основу ero положено то обстоятельство, что искаже
ние формы фронта выходноrо импульса по сравнению с формой
фронта входноrо импульса зависит от свойств передаточной функ
ции четырехполюсника на высоких (теоретически на бесконечно
больших) частотах, а искажение вершины импульса определяется
СВойствами передаточной функции на низких частотах (теоретиче
СКИ на частотах, близких к нулю).
Эти положения соответствуют предельным теоремам оператор
Iforo метода (см. 8.4).
Для Toro чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы
319
на искажение формы ИМпульса, прежде Bcero составляют ПОЛНУIQ
схему замещения четырехполюсника, учитывая в ней все факторы
влияющие на частотные свойства (паразитные емкости ламп, им
пульсных трансформаторов, индуктивности рассеяния трансфор
маторов, емкостные свойства р п переходов транзисторов, зависи
мость коэффициентов усиления транзисторов от скорости ПроцеСса
(от частоты ы)].
Затем из полной схемы замещения образуют две расчетные CXe
мы. Первая схема представляет собой расчетную схему для BЫCo
ких частот и позволяет определить степень искажения фронта им
пульса. Эту схему ,получают из полной схемы замещения путем
закорачивания последовательно включенных конденсаторов по пу
ти следования сиrнала (относительно больших по сравнению с Па
разитными) и разрыва индуктивных элементов, включенных парал
лельно резистивным элементам схемы.
Вторая схема представляет собой расчетную схему для низких
частот и служит для выяснения степени деформирования вершины
импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, OCTaB
ляя в ней последовательно включенные конденсаторы по пути сле
дования сиrнала, а также индуктивные элементы, включенные па
раллельно резистивным сопротивлениям, и закорачивая
последовательные индуктивные элементы по пути следования сиr
нала. Паразитные емкости в низкочастотной схеме не учитывают.
В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений, paCCMOT
ренных в 8.16, число оставшихся индуктивных элементов и KOHдeH
саторов оказывается значительно меньше, чем в полной схеме за
мещения.
Для каждой из схем характеРИСТИ4еское уравнение оказывает
ся часто первой или второй, редко третьей степени, и поэтому ВJIИ
яние каждоrо из элементов схемы на искажение фронта и вершины
импульса может быть выявлено относительно леrко. Расчет пере
ходноrо процесса в высокочастотной и низкочастотной схемах про
изводят обычно операторным методом.
Окончательный результат (кривую Bcero переходноrо процесса)
получают, сопряrая решения этих двух схем. Вопрос об искажениИ
заднеI'О фронта импульса принципиально решается так же, как и
вопрос об искажении переднеrо фронта импульса.
Проиллюстрируем сказанное примером. На рис. 9.3, а изобра.
жена схема ламповоrо усилителя, rде Я н наrрузочное сопротив.
ление; С р относительно большая разделительная емкость (через
нее проходит только переменная составляющая выходной велиЧИ r
ны); С 2 относительно малая емкость наrрузки и (или) емкость
BToporo каскада усиления. Пунктиром показаны источник аноднО.
ro напряжения Еа и малые по сравнению с С р (по нескольку пиКО.
фарад) межэлектродные емкости С са , Сек И С\ (емкость анод ка.
тод и емкость монтажа). В дальнейшем емкости С са И СеК не
учитываем, как оказывающие малое влияние на работу схемы.
320
а)
...... ........ --- .... ,
I
I
I
,.1.,
\ f )Еа
С! lUaыx т z}
1
...J
Ср
ипх
На Ян
С р д) ueX I I
На С, ЯН С 2
с)
ж)
I!a С]+С 2 H икых
з)
В)
Р....с.9.3
t
t
t
t
Схема замещения для расчета переходноrо процесса при воз
действии относительно малых по амплитуде переменных составля
ющих представлена на рис. 9.3, 6. Она является схемой TpeTbero
Порядка. Укороченные схемы для формирования фронта (рис. 9.3,
в) и вершины импульса (рис. 9.3, С?) являются схемами первоrо
ПОрядка.
Для схемы рис. 9.3, в
11 и Bip)
ивых(р) === R i gэl + p(C 1 + С 2 )'
rде gэl == (1/ R) + (1/ Ra) + (1/ R и ).
Для схемы рис. 9.3, 2
J1R H рсривх(р)
U вых(Р) == R .g g
1 э2 1 + R С
g пр р
э2
1 1
gэ2 === R. + R'
1 а
Если входное напряжение представляет собой прямоуrольный
ИМпульс рис. 9.3, д, то фронт выходноrо напряжения будет в виде
I-Iа,:астающей экспоненты рис. 9.3, е, а вершина в виде спадаю
[цеи ЭКспоненты рис. 9.3, ж. Результирующая кривая ИВЫХ изображе
I1 3ак. 683
321
на на рис. 9.3, з. Подбор пара метров усилителя осуществляют
исходя из допустимой деформации фронта и вершины ВЫХодноr
импульса по сравнению с входным импульсом.
* 9.6. Текущий спектр функции времени. За последние rоды в
литературе стали использовать понятие текущеС?о спектра St(j(J})
функции времени f( t):
t
S t( j ш) == f( t) е jwt d t.
(9.19)
oo
,/;
Формула (9.19) отличается от выражения (9.12) тем, что верхний
предел интеrрала в ней t, а не 00. В соответствии с этим St(j(J})
является функцией не только ш, но и времени t.
Таким образом, S(jw) характеризует спектр в различные MOMeH
ты времени t. Функция St(jw) имеет модуль St(w) и aprYMeHT q:Jst(W).
И модуль, и aprYMeHT текущеrо спектра видоизменяются по мере
увеличения t. Модуль спектра изображают обычно в виде семейст
Ба кривых в функции ш, каждой из которых соответствует фиксиро
ванное время t. Если f(t) периодическая функция, а t......."..oo, ТО
спектр St(jw) будет дискретным. Если f(t) == О при t < О, то текущий
спектр определяют по формуле
t
St(jw) == f(t)e irotdt.
о
(9.20)
* 9.7. Основные сведения по теории сиrнаJlОВ. Сиrналы подраз
деляют на детерминированные и случайные. Детерминированный
сиrнал это такой сиrнал, MrHoBeHHoe значение KOToporo можно
предсказать для любоrо момента времени. Случайный сиrнал
это, как правило, помехи, мешающие получать информацию из при
нятоrо сообщения. Импульсный сиrнал действует только опре
деленный интервал времени. Сиrналы в виде единичных функций
I(t), I( t) и дельта функция 6(t) рассмотрены в 8.61. Сиrналы в
виде модулированных колебаний рассмотрены в 7.15. Сиrнал Ha
зывают одномерным, если он может быть описан одной функцией
времени (например, напряжением на входе цепи).
Сиrнал называют MHoroMepHbIM, если он образован совокупно
стью нескольких одномерных сиrналов (например, напряжениямИ
на зажимах мноrополюсника).
Непрерывный временной сиrнал f(t) (см. рис. 9.4, а) приня
ТО называть аналоС?овым. Название обусловлено тем, что ero моЖНО
рассматривать как аналоr некоторых физических процессов L> p8C
сматриваемом устройстве. Аналоrовому сиrналу соответствует
сиrнал в дискретной форме. Дискретные сиrналы это сиrналЫ в
виде совокупности следующих друr за друrом с интервалом 11 днс'
322
....
1ft)
х(о
((п)
xfп)
6ft)
t
LI
t
п
а)
В)
Р....с. 9.4
кретных импульсов (см. рис. 9.4, 6). Ширина каждоrо импульса
-одинакова, а площадь равна MrHoBeHHoMY значению сиrнала в MO
I u
мент деиствия импульса.
, Цифровой сиrнал это нормированный по уровню дискретный
сиrнал, представленный в цифровом виде (в двоичной форме запи
си). Например, 30 == }.2 4 + 1.23 + 1.22 + 1.21 + 0.20 ---+ 11110. Пе
реход от аналоrовоrо сиrнала к цифровому осуществляют с По
мощью аналоrо цифровоrо преобразователя (АЦП), выполненноrо
в виде микросхемы. Обратный переход, с помощью цифроаналоrо
Boro преобразователя (ЦАП). Обработка цифровых сиrналов pac
смотрена в Приложении Д, а цифровая фильтрация в Приложении
Ж. Сиrнал можно рассматривать как вектор в пространстве сиrна
лов. В математике длину вектора принято называть нормой. KBaд
00
'рат нормы аналоrовоrо сиrнала f(t) равен 11 f 112 == {2( t)dt. Он xa
oo
рактеризует энерrию сиrнала (см. 9.4). Норма не чувствительна к
изменению формы сиrнала.
H, Линейным нормированным простраНСТ80М сиrналов называют
оИространство, в котором каждому сиrналу соответствует свой BeK
...тор со своей нормой.
. ! Метрикой двух сuС?налов ft(t) и f2(t) называют норму разности
двухсиrналовll f1(t) f2(t)11 .Пометрикеможносудить,напри
NМep, насколько первый сиrнал аппроксимирован вторым.
а Энерrия суммы двух сиrналов ft(t) +f 2 (t) равна
00 00 00
[ft(t) +f2(t)J 2 dt == fi(t)dt + f (t)dt +2 ft(t)f 2 (t)dt. Величи
oo
oo
oo
oo
(. 00
ну 2 {1( t)f2( t)dt называют взаимной энерС?ией двух сиеналов. Если
OO
-вещественные сиrналы f1(t) и f2(t) имеют спектры St(jro) и S2(jro) , то
Взаимная энерrия двух сиrналов равна
2 f I(п [ 2 1 '\ S2(i(J))ei(J)td(J) ] dt == ! '\ S i(J)){ '\ f l(t)ei(J)tdt)d(J) === ! '\ S i(J))S l( j(J) )d(J) == .
OO Л Л Л
oo oo oo oo
11*
323
00
1 *
=== 11 Rе[S2(jоо)S l(jоо»)dоо.
(9.21 )
* oo
Функцию Re[S2(j(O)S}(j(O)] наЗbIвают взаимным энерzетuчесК,u.м
спектром двух вещественных сиС?налов. Взаимная энерrия опреДе
ляется rлаВНbIМ образом переКРbIвающимися частями спектров
этих сиrналов. Формула
00 00
1 *
f 1 (t)f 2 (t)dt == 2л S2(jоо)S}(jоо)d(оо) (9.22)
oo
oo
получила название обобщенной теоремы Рейли.
СиrнаЛbI называют ортоС?ональными, если их взаимная энерrия
равна нулю. Ряд Фурье при мер совокупности ортоrональных
т т
сиrналов. Функции Уолша, принимающие на интервале 2"";"'2зна
чения + 1, второй пример ортоrонаЛЬНbIХ сиrналов.
Автокорреляционная функция сиrнала {( t) имеет вид
00
R(t) == f(t)f(t t)dt.
oo
Взаимной корреляционной функцией двух сиrналов {1( t) и { 2 ( t)
называют функцию
00
R}2(t) == ' 1 (t) '2(t t) dt.
(9.23)
oo
Свойства этих функций рассмотрены в приложении [, а приме
нение к помехам и дискретным сиrналам B при ложен иях [, Ж, 3, д.
Отметим, что существеННbIМ преимуществом цифРОВbIХ сиrна
лов перед аналоrОВbIМИ является возможность передавать по OДHO,
му каналу несколько различных сиrналов от разных источников
раЗЛИЧНbIМ потребителям, если осуществить разделение сиrналов
..-
во времени. '.1
* 9.8. УЗКОПОJlОСНЫЙ и аналитический сиrнаJlЫ. В теории переда
чи сиrналов используют понятия узкополосноrо и аналитическоrо
сиrналов. Узкополосный сиrнал заним ает узкую полосу частот и
может быть представлен как сиrнал, у KOToporo во времени медлеН
но изменяется амплитуда a(t) и фаза ep(t) : s(t) == a(t)cos[(Ool + ерин.
da(t) 1 dqJ(t) 1
Условия медленности изменения: d ( ) «1 и «1. ш о
t оооа t It 000
опорная частота, ооо(t) === 000 + d: t) мrновенная частота. При обр3J
ботке узкополосноrо сиrнала оrибающая ero воспроизводится aM
плитудным детектором.
1 . t . t
Положим, что сиrнал s(t) === соsооt, но соsооt == 2<е/ Ю + е /Ю ). Таким образОМ.
сиrнал s(t) можно представить в виде суммы двух сиrналов. Один содержит толЬКО
положительные, друrой только отрицательные частоты. Запишем произвольный сиr-
нал s(t) через ero частотный спектр S(jоо):
324
,..",.
Ао
/
I
--j sgп (ц»е Ы
1
.)
lIJf (и, ы
fA)
?1
а)
6) 6)
1
z)
Р....с. 9.S
;
О 00
s(t) 2 S(jffi)ej(j)tdffi + 2 S(jffi)ej(J)tdffi == [z:(t) + zs(t)),
oo О
(9.24)
rде
00
zs(t) == S (jffi)ej(j)tdffi,
О
О
* 1
z (t) === r S(jffi)ej(j)tdffi;
S n J
(9.25)
(9.26)
oo
*
zs(t) соответствует интеrрирование при ffi > О, zs(t) при ffi < О.
zs(t) s(t) + j s (t)
(9.27 )
называют анаJtuтuчес"uм сuzналом. а s(t) == Rezs(t) условимся называть иcxoд
ным сuzналом. s (t) == Imzs(t) сопряженным. На комплексной плоскос}и Zs(t) пред
ставляет собой вектор, проекция на ось + 1 KOToporo s(t), а на ось + j === s (t)(рис. 9.5,
а). Сиrнал Zs(t) называют аналитическим потому, что если время t рассматривать
(как комплексную переменную t == t' + jt", то zs(t) будет являться аналитической
(функцией в верхней полуплоскости. Пусть исходный сиrнал s(t) имеет спектр
S(jffi) == Ао в узкой области частот от ffi == ffit до ffi == +ffit (узко полосный сиrнал
рис. 9.5, б). Ему соответствует аналитический сиrнал
о
N
J'
(.. AOffit sinffi]t
'Исходный временной сиrнал s(t) == Rezs(t) == , кривая 1 на рис. 9.5. в.
n ffi1t
ffitt
sin2
-с AOffit 2
. ОПряженный сиrнал s(t) == Imzs(t) == кривая 2 на рис. 9.5, В.
-t: Л ffi1t
.
2
Обратим внимание на то, что коrда s(t) проходит через максимум.s(t) проходит
через нуль.
f 9.9. Частотный спектр аналитическоrо сиrнала. Так как zit) === s(t) + js (t), то
спектр zs<t) равен сумме спектров функций s (t) и js(t). Если спектр s(t) равен S(jffi),
То
Спектр s (t) равен
(j)t
Ао
z (t) == r
s n j
о
. Ао
eJ(j)tdffi == лt [sinffi 1 t + j(l COSffi 1 t)).
325
's п(оо)S( .(0) === { S( оо), при оо<о; }
J g J JS(JОО), при 00>0.
Соотношение (9.28) следует из формулы (9.25) и из определения
(9.28 )
00
s(t) == 2 S(jffi)еjюtdоо.
,.
oo
Способ получения s (t)c помощью квадратурноrо фильтра вытекает из (9.28). На вход
этоrо фильтра подают сиrнал s(t). Фильтр, сохраняя модули S(jоо) при Всех чаСТОтах
неизменными, изменяет aprYMeHTbI всех спектральных составляющих на 900 при
00 > о и на +900 при 00 < о.
* 9.10. Прямое и обратное преобразование rильберта. Поскольку спектр сопря
женноrо сиrнала s (t) равен S(jоо) == jsgп(оо)S(jоо), то сам сиrнал s (t) может быть
определен как свертка функций s(t) и не которой функции времени f(t), которая
определяется по обратному преобразованию Фурье от функции jsgп(оо).
Последнюю представим так:
jsgп(оо) == liтr jsgп(оо)е е{ю»)(рис. 9.5, 2).
(\ O
Тоrда
о 00
f(t) == ;л liт r е«(\ + jt)ю dоо e( (\ + jt)юdоо) == {
(\ oo О
(9.29)
По формуле свертки
00
1 s(t)dt
s (t) == .".
. t t
(9.30)
oo
Из (9.28) следует S(jоо) == jsgп(оо)S(jоо). Поэтому, по формуле свертки,
00
s(t) == 1. ( s (t)dt.
Л J t t
oo
(9.31 )
Формулу (9.30) называют формулой nрЯМО20, а формулу (9.31) 06раТНО20 nреоб
разованuя ruльберта. Для них приняты обозначения Н и H l. Так,
(t) == Щs(t»), s(t) == H I[ (t»). Ядра подынтеrральных функций (9.30) и (9.31) при
t == t терпят разрыв, поэтому интеrралы следует понимать в смысле rлавноrо зна
чения. Например, интеrрал (9.30) вычисляют так:
s (t) ==! liт [ t((\ s(t)dt + 7 s(t)dt j .
л --+о J t t J t t
е oo t+e
Вопросы AnR С8МОПРО8еркм
1. Чем принципиально отличается ряд Фурье от интеrрала Фурье? Запишите tf
прокомментируйте формулы прямоrо и обратноrо преобразования Фурье. 2. Че
объяснить, что при обратном преобразовании Фурье кроме положительной уrло воtf
частоты 00 используется и отрицательная? 3. Любая ли функция f(t) может быТ
преобразована по Фурье? 4. Для функции {(t) известна F(p). Как записать S(jоо) Э Оtf
"\ 5 П u u t a tf
функции!" . остроите rрафики модуля и aprYMeHTa спектров функции е
326
([ at)e at; ФУНКЦИИ равны нулю ври t < О. (Ответ: для
1 1 2ооа
te all 5(joo) 1 === '""2 . 'ф === arctg 2 2 .6. Сформулируйте и докажите Te
а 1+1 00 12 а oo
а
орему РеЙJlИ, дайте ей физическое толкование. 7. На резистор сопротивлением R===10 Ом
воздеЙСТВlет импульс напряжения, модуль спектра KOToporo 5(00) == 2{л при
0<::00<10 . В остаJIЬНОЙ области частот 5(00) === О. Определите энерrию, выделившу
юся в резисторе? (Ответ: 400 Дж). 8. Что понимают под полосой пропускания реаль
"oro четыр хполюсника? 9. Определите полосу ча тот, занимаемую прямоуrольным
импульсом длительностью 1 мкс. (Ответ: 6,28.10 рад/с.) 10. Чем руководствуются
при составлении укороченных схем четырехполюсника при исследовании деформа
циИ фронта и вершины проходящеrо через Hero KopoTKoro импульса? 11. Определите
текущиЙ спектр 5 t (joo) ФУНКЦИИ f(t) === e at, полаrая, что f(t) == О при t<O. (Ответ:
) e (a+jw)t 100
. .) 12. Проверьте правильность формулы 6(t) === 2л r cosrotdt. 13. По
а + Jm J
oo
"кажите, что спектр 6 функции равен 1. 14. Покажите, что если функция f(t) имеет
m
спектр 5(joo), то спектр ФУНКЦИИ af(at) равен 5(j ). 15. Покажите, что если сиr
а
нал s(t) представляет собой аМПЛИТУДНО МОДУЛИРОВflнное колебание U(l +
+ msiпОt)siпmt. то при 00»0 сопряженный сиrнал s (t) U(l + msiпОt)соsmt.
16. Определить автокоmеляционнуюфункцию пря моуrольноrосиrнала f(t), рис. 9.16,B.
(Ответ: R(T)===A 2t и (1 t T , ).)
и
rnaBa десятая
СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
t 10.1. Характеристика синтеза. Синтезом линейной электрической
цепи называют определение структуры цепи и числовых значений
составляющих ее элементов R, L, С по известным операторным или
(временным характеристикам этой цепи при воздействии на вход
напряжения определенной формы. Одному и тому же операторно
му выражению, принятому в качестве исходноrо при синтезе, может
соответствовать несколько различных схем разной структуры. По
,jЭТОМУ, после Toro как получено несколько решений, выбирают из
н,НИХ наиболее подходящее. Чаще Bcero критериями при окончатель
-(,ном выборе схемы являются стоимость, rабариты и масса устрой
СТва, а также чувствительность при изменении Toro или иноrо пара
метра схемы.
Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров, в
Теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотех
НИКе, а также в кибернетике при создании предсказывающих и
сrлаживающих устройств.
Синтез развивался rлавным образом по двум направлениям: 1)
ИЗвестным операторным функциям [по Z(p) для двухполюсников и
передаточной функции для четырехполюсников]; 2) временным xa
Рактеристикам, т. е. по известному временно'му отклику системы
ПРИ воздействии единичноrо напряжения.
327
Эти два направления взаимно дополняют и развивают друr дpy
та. В настоящее время наибольшие результаты достиrнуты на Пер
вом из упомянутых направлений.
В 10.2 10.9 даны основные сведения о синтезе цепей по за
данной операторной функции (более полно об этом c ., например,
[3]). Методика синтеза цепей по заданным временным функuиям
здесь не рассматривается (для ознакомления с ней следует обра
титься к специальным руководства м).
В теории автоматическоrо реrулирования распространен синтез,
основанный на использовании лоrарифмических частотных xapaKTe
ристик, в импульсной технике подбор параметров электронных и по
лупроводниковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих схем,
производят, используя спектральный метод, рассмотренный в rл. 9.
10.2. Условия, которым ДОJlЖНЫ УДОВJlетворять входные сопро-
тивления двухполюсников. Если представить входное сопротивле
ние двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположен
ных по убывающим степеням оператора р,
N(p) anpn+an lPn l + ... + alP + а (10.1)
Z (p)
M () т m l '
р ЬтР +bm lP +... +b1P+b o
то должны выполняться следующие пять условий:
1) все коэффициенты а и Ь в числителе и знаменателе должны
быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 BЫ
текает из условия 3);
2) наивысшая (наименьшая) степень полинома числителя (п) не
может отличаться от наивысшей (наименьшей) степени полинома
знаменателя (т) более чем на единицу;
3) если условиться значения р, при которых Z(p) :::= О, называть
нулями функции Z(p), а значения р, при которых Z(p) :::= 00, полю
сами Z(p), то нули и полюсы должны быть расположены только в
левой части плоскости р;
4) нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р,
должны быть только простые, не кратные;
5) если вместо р в выражение Z(p) подставить jw, то при любом
значении w должно быть ReZ(jw) .
Поясним эти требования. Из 8.] 1 известно, что свободные
процессы описываются слаrаемыми вида AkeP/(1 и обязательно дол
жны затухать во времени; Pk корни уравнения Z(p) == О. Но зату-
хать свободные процессы (слаrаемые вида Ake P, /) MorYT только в том
случае, коrда действительная часть Pk отрицательна. Отсюда сле-
дует, что нули уравнения Z(p) == о должны обязательно находитьсЯ
в левой части плоскости р.
. Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует
дуальный, а входная проводимость дуальноrо двухполюсника У(р):::::::
== Z(p)/ k, rде k некоторый коэффициент, имеющий размерносТЬ
328
ОМ в квадрате (см. Э 3.43), то входное сопротивление дуальноrо
двухполюсника равно k/ Z(p). Нули дуальноrо двухполюсника, яв
ляющиеся полюсами исходноrо, также должны быть расположены
в левой части плоскости р.
ИЗ курса математики известно, что если имеются два кратных
корня уравнения N(p) --:--- О, т.о соответствующие им слаrаемые в
решении берут в виде (C 1 + C 2 t)e Pt . Если допустить, что на мнимой
оси MorYT быть два кратны)( корн.я р == j , то соответствующая им
свободная составляющая (C 1 + C 2 t)e /fl нарастала бы до бесконеч
ности, чеrо физически быть не может. Коэффициенты а и Ь в числи
теле и заменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это
условие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из Teo
ремы fурвица (см. Э 17.2), среди корней уравнения Z(p) == о появи
лись бы корни с положительной действительной частью.
Поясним, почему степень т не может отличаться от степени
более чем на единицу. Допустим, что степень т больше степени п на
два. Тоrда р--+оо является нулем второй кратности для Z(p), а то,
что происходит при р--+оо, можно считать происходящим на мнимой
оси плоскости р (мнимая ось простирается в бесконечность). Но
тоrда на мнимой оси получается кратный корень, чеrо быть не
может.
Проведя такое же рассуждение ДulЯ дуальноrо двухполюсника,
убедимся, что степень п не может быть больше степени т более чем
на единицу.
Если в Z(p) вместо р подставить j(fJ, то Z(j(fJ) будет представлять
собой ксмплексное сопротивление двухполюсника в установив
шемся синусоидальном режиме при частоте ы, а ReZ(j(fJ) дейст
вительную часть входноrо сопротивления. В том случае, коrда ДBYX
( полюсник содержит резистивные сопротивления, ero ReZ(j(fJ»O[OH
потребляет активную мощность /2ReZ(j(fJ)]. Если же двухполюсник
f чисто реактивный, то ReZ(j(fJ) === О. в общем случае для пассивноrо
двухполюсника всеrда должно быть ReZ(j(fJ) O.
В литературе по синтезу цепей иноrда пользуются термином
«положительная действительная (вещественная) функция». Под
ней понимают функцию: 1) действительная часть которой положи
тельна, если положительна действительная часть р; 2) действитель
Ная при действительном (не комплексном) р. Поскольку Z(p) этим
Свойствам удовлетворяет, оно является положительной действи
тельной функцией.
Пример 111. Задано несколько выражений вида N(p)/ М(р). Выяснить, MorYT ли
они представлять собой входные сопротивления некоторых двухполюсников:
1) 5р 6 . 2) 20р2 + 12p + 6 .
25 р 2 + [2р + 2' 12 р 4 + 8 р 3 + [2 р 2 + 13p + l'
3) 3р2 + р + 1 ; 4) 2 р 2 + р + 1 _
р3 + р2 + р + 1 (р + 1) (р2 + 1)
329
Реш е н и е. Первое выражение не может представлять собой Z(p), так как один
из коэффициентов в числителе отрицателен. Второе и третье выражения также Не
MorYT представлять собой Z(p): второе потому, что максимальная степень р в знаме-
нателе больше максимальной степени р числителя на два, третье потому, что
[ 3р + 1 + I ] (1 ro 2 )([ 2ro 2 )
Re
р == jro р3 + р2 + р + 1 (1 ro 2 )2 ([ + ro 2 )
при значениях ro от 0,707 до 1 отрицательно. Четвертое выражение всем требованиям
удовлетворяет и потому может представлять собой Z(p) HeKoToporo двухполюсника.
Кроме названных общих свойств перечислим свойства Z(p)
двухполюсников, состоящих только из R и С, только из R и L и только
из L и С. Двухполюсн'ики типа RC и RL имеют чередующиеся Про
стые нули и полюсы на отрицательной вещественной оси плоскости
р. Для RС двухполюсников ближайшей особой точкой к началу
координат является полюс, в бесконечности полюс отсутствует.
Для двухполюсников типа RL ближайшей к началу координат oco
бой точкой является нуль, при р === о полюс отсутствует. Двухпо
люсники типа LC имеют чередующиеся простые нули и полюсы на
мнимой оси. Степени полиномов числителя и знаменателя отлича
ются на единицу.
Нули и полюсы Z(p) можно изобразить условными значками из
комплексной плоскости, скажем, нули кружками, полюсы крести
ками. Полученную картину называют картой нулей u полюсов. Эта
карта наrлядно характеризует частотные свойства двухполюсника
и реакцию ero при воздействии единичноrо напряжения.
По расположению и количеству нулей на ней можно определить
число апериодических и колебательных компонент, которое coдep
жит свободная составляющая, и быстроту затухания той или иной
из них во времени. Чем ближе к мнимой оси расположены нули, тем
медленнее затухает соответствующая им свободная составляю
щая.
Существует несколько способов реализации двухполюсников по
заданной Z(p), удовлетворяющей перечисленным в Э 10.2 условиям.
Три основных способа реализации рассмотрены в Э 10.3 10.5.
10.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схе-
мой. Познакомимся с понятием непрерывной дроби. Непрерывной
называют дробь вида
а+
Ь+
с+
d+...
1
1
[
1
Входное сопротивление или входная проводимость лестничноЙ
(цепной) схемы по типу рис. 10.1, а, в которой продольные сопротив
330
е с л1 1 1815
1, 11 15
'1 У. " о 1 1/6 Т Sn +
I d п
а) IJ
111 10/J61
o-----f
1)
1)
Р....с.10.1
пения названы Zl' Zз, Z5' ..., а поперечные проводимости У2' У4' У6'
..., MorYT быть представлены непрерывной дробью.
Для Toro чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выклад
КИ. Найдем входную проводимость правой части схемы по отноше
1
нию К зажимам тп. ОНа равна Z5+ 1 / У6' Суммарная проводимость
правой части схемы по отношению к зажимам тn с учетом ветви с
1
проводимостью У4 равна У4+ Z5+ 1 / У6 .Входное сопротивление по OT
ношению к тем же зажим ам
1
1
У4+ Z5+1 / У6
Входное сопротивление всей схемы равно
1
Zl+ 1 (10.2)
У2+ 1
Zз+ 1
У4+
Z5+ 1 / Y 6
Таким образом, возникает задача о переходе от (10.1) к (10.2),
т. е. задача о последовательном упорядоченном определении эле
ментов лестничной схемы (ZI' Zз, ...,; У2' У4' У6' ...) по выражению
(10.1). С этой целью:
1) располаrаем полиномы N(p) и М(р) по убывающим либо по
Возрастающим степеням р;
2) делим мноrочлен на мноrочлен, следя за тем, чтобы в процессе
деления получались положительные (не отрицательные) слаrае
МЫе и чтобы они не содержали р в степени больше 1 и меньше 1;
331
3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходи
мость перейти от расположения полиномов по убывающим степе
ням к расположению их по возрастающим степеням, то эта оПера
ция вполне допустима.
При делении полинома N на полином М будет получено чаСТНое
Zl и остаток 01/ М, т. е.
N 01 1
Z == м == Z 1 +м- == Z 1 + м / 01'
При делении M/0 1 будет получено частное У2 и остаток
02 1 01 0з 1
О О / О . НО O == Z3+ 0 === ZЗ+ О / о ' Поэтому
=== 1 2 2 2 2 3
м 1
0== У2+ 1
ZЗ+ О / О
2 3
На основании изложенноrо процесс последовательноrо опреде
ления элементов можно представить следующей схемой:
0з
Z5 0 4
N
MZ 1
М 01
°t Y 2 У 2
01 02
02 Z З Z3
02 0з
03 У 4
У4
04
Z5
м
ZI
. . .
Прнмер 112. Определить параметры лестничных схем, для которых
р4+ 9р 2+8
Z(p) == 3 ' располаrая сначала при делении полиномы по убывающим, а
р +Зр
затем (для реализации второй схемы) по возрастающим степеням р. Как будет видно
из дальнейшеrо, в процессе деления в обоих случаях не возникнет необходимостИ в
переходе от расположения по убывающим к расположению по возрастающим степе
ням р.
Реш е н и е. Производим деление, расположив слаrаемые по убывающим CTe
пеням р:
332
р4+9р2+8 р3+3р
6р2
р3+3р
8
р3 + p
6
10
p
6
36
w р --+ Zз
p--+Z 1
6р2+8
10
p
6
10
p
6
О
8
. ,
. .... 1
, '
5
p--+ У 4
24
На рис. 10.1, б изображена схема, v на ней указаны соответственно в rенри и
фарадах значения индуктивностей и еМl\v тей, полученные при делении, коrда сла
raeMbIe были расположены по убывающим степеням. Так как при м еры имеют чисто
иллюстративный характер, то не следу(>т обращать внимание на то, что индуктивно-
сти и емкости в примерах достиrают I1раl\llI'Н'СКИ трудно осуществимых значений.
Кроме Toro, реализуемые здесь Z(p) можно рассматривать как нормированные по
частоте и значению (см. 10.9). В этом случае от нормированных RH' LH' С Н пара мет-
ров переходят к действительны \1.., осуществить которые практически уже не составит
затруднений.
Схема и параметры для BToporo случая, коrда при делении слаrаемые располо-
жены по возрастающим степеням р. даны на рис. 10.1,8.
Рассмотрим пример, который является иллюстрацией Toro, что иноrда в процес-
се деления возникает необходимость изменения порядка расположения слаrаемых.
Пример 113. Требуется реализовать лестничной схемой
( ) 2р3+3р2+2р+ 1
Z р ===
2р2 +2р+ 1
Реш е н и е.
1
Так как получаем отрицательные слаrаемые, дальнейшее деление прекращаем
и переходим к расположению по возрастающим степеням
333
1 + Р+ р2
l+p
1+2p+2p21+
1+ + 2 I---+Y2
+ 2
1
.....-......+Z3
р
2
р+р2
Р
2
1
Y4
Р
р2 р2
Р2 1 Z5
На рис. 10.1, с изображена соответствующая схема.
В заключение отметим, что MorYT встретиться такие Z(p), KOTO
рые невозможно представить лестничной схемой. В этом случае
применяют второй способ реализации, описанный в 10.4. [Второй
способ применяют не только в случае невозможности представле
ния Z(p) лестничной схемой.] Если и он окажется неприменимым
(например, при комплексных нулях и полюсах), то следует восполь
зоваться методом Вруне (см. 10.5) или друrими методами.
10.4. Реализация двухполюсников путем последовательноrо
выделения простейших составляющих. В качестве введения ко BTO
рому способу реализации двухполюсника запишем операторные
сопротивления для простейших OДHO и двухэлементных двухпо
люсников. На рис. 10.2, а д изображены простейшие двухполюс
ники и записаны соответствующие им операторные сопротивления;
на рис. 10.2, е, ж сопротивления и проводимости и на рис.
1 0.2,з проводимость. Для рис. 10.2, а с== l/а о , для рис. 10.2,6
L==a 1 , для рис. 10.2, в 2a k == 1 / C k И ы === 1 / (LkC k ), для рис.
10.2, с a k == Rk и m k == Rk / L k , дл Я рис. 10.2, д Ь== 1 / С и d===-l / RC.
Сущность метода состоит в том, что заданное Z(p) представляют
в виде (рI1С. 10.3, а)
а о 2a k P (10.3)
Z(p) == alP+ + I 2 2 + Z 1(P).
р р +ro k
Первому слаrаемому a1P соответствует последовательно соеди
ненный индуктивный элемент индуктивностью U 1 , второму по
следовательно соединенный емкостный элемент емкостью l/а о .
2a k P
Каждому слаrаемому вида 2 2 соответствует последовательнО
р +Ю k
параллельный резонансный контур (слаrаемому
полюсов PI,2 === + jffi k , находящихся на мнимой оси
соединенный
2akP
2 2 пара
Р +rok
334
F-
Z(p) = ;0
1
ао=-ё
а)
R
Ф
1
С Ь
цр) Р + ..L == p+d
НС
д)
l
y
1
Р с: la Р
ZIп1: /r /r
} p2+L p2+ rи /
[к СК
6)
m
Z(p)= pHk := о/(р
. НК p+m k
P+
Lk
е)
1
У(р)= Р l = 20kP
р2+ ...1..... Р 2 +- UJ 1
[/(СК
з)
плоскости р). Сопротивление ZI(P) уже не содержит полюсов на
мнимой оси. Функцию ZI(P), среди полюсов которой нет полюсов,
находящихся на мнимой оси, называют функцией минимаЛЬНО20
реактивНО20 сопротивления. Возможны следующие варианты дЛЯ
ZI(P )1:
akP
а) ZI(P) == '\ осуществляют последовательным соединением
L p+т k
двухполюсников рис. 10.2, 2;
b k
б)ZI(Р) === '\ d +Ь О реализуют в виде резистора сопротивлением
Lp+ k
Ь О и последовательно с ним соединенных двухполюсников рис. 10.2, д;
в) ZI(P) == Ь О осуществляют в виде резистора сопр-ь 1 ивлением ь о .
Индуктивность а 1 === lim Z(p) (рис. 10.3, а).
p oo р
Величину а о в схеме рис. 10.3, а определяют как интеrральный
Вычет функции Z(p )==N(p)/ М(р) в полюсе р==о:
ао == ResZ(p) == N(O) / М'(О), или ао === limpZ(p).
p o p O
1(Р)=О,р
а '
,
!)
н l
1(р) =R +р!
1
У(Р}= Т
p+JJ...
l
р+1
Z(p) = Rf
рн
р'
Y(p)=
1
P+ RC
JК)
2a k P
Коэффициент a k в выражении 2 2 равен интеrральному выче
р +Ю k
е)
Р....с. 10.2
18 пунктах а) в) полаrаем, что коэффициенты a k , b k и Ь О действительны и
ПМОжительны.
-;
335
/07 Р
(]о р '2 +йJ/
а,р p
'Y
10 т Р
p2+йJj,
11(p)
yz (р)
а)
о)
Р....с. 10.3
ту функции Z(p) в полюсе р == j(fJk [ем у же равен вычет функции Z(p)
при р == j(fJk' так как они оба действительны]:
N(jы k )
a k === Res Z(p) == М' ( "ы ) "
Р == J(j)k J k
После Toro как найдено a k , можно определить Lk и СkДВУХПОЛЮС
ника рис. 10.2, в: C k == 1 / (2a k ); Lk === 1 / «(fJ Ck)'
Реализацию двухполюсника можно осуществлять не только по
efo входному сопротивлению Z(p), но и по ero входной проводимости
У(р)== 1/ Z(p). Входную проводимость У(р) представляют в виде cxe
мы рис. 10.3,6:
а' 2а' р
У(р) == a'lP+ + L 2 k 2 + У 2 (р)"
р р +Ыk
В соответствии с правой частью (10.4) двухполюсник осуществ
ляют в виде параллельноrо соединения eMKocTHoro элемента a'l,
индуктивноrо 1 / а' о, двухполюсников рис. 10.2, з (им соответствуют
2а' Р
k ) ..."
слаrаемые вида 2 2 И двухполюсника минимальнои реактивнои
р +Ы k
проводимости У2(Р)' не соДержащеrо полюсов на мнимой оси. Коэф
фициенты а' о И a k находят путем нахождения интеrральных вычетов
функции У(р) соответственно при р==О и р == j(fJk' а
С == a'l == Нт У(р) / р.
( 10.4)
P OO
т
Если функция У 2 (р) == I р+п ' то ее реализуют в виде параллель
Horo соединения двухполюсников рис. 10.2, е. Если функция
У 2 (р) == '\ , то ее реализуют параллельным соединением двухпо
L.. p+s
люсников рис. 10.2, ж 1 . Следует иметь в виду, что при реализациИ
lПолаrаем, что коэффициенты т и r действительны и положительны.
336
двухполюсника по ero Z(p) в виде последовательноrо соединения
простейших двухполюсников, начиная с HeKoToporo этапа, может
оказаться целесообразным перейти от сопротивления к проводи
мости И дальнейшую реализацию осуществлять уже параллельно
соединенными двухполюсниками. Потребность в таком переходе
может возникнуть, например, коrда остающаяся для реализации
частЬ Z (р) имеет нуль при р===О. Этому нулю соответствует полюс
У(р) при р===О, который реализуют индуктивным элементом.
рЗ +3р2 +2р+2
Пример 114. Реализовать Z(p) === 2 .
р(р +2р+р)
Реш е н и е. Так как Z(p) имеет полюс при р===О, то в схеме может быть выделен
последовательно включенный конденсатор емкостью с== 1/ ао, rде
ао == Res Z(p)===2/2===1. Функция Z(p) не имеет полюсов, лежащих на мнимой оси.
р==о
Поэтому в состав ero не входят последовательно включенные двухполюсники рис.
[0.2, в. Определим, какое Z(p) осталось реализовать, обозначим ero
Z (р) === Z(p) ао === р2+2р
з р р2+2р+2
Функция Zз(р) имеет нуль при р===О. Для реализации оставшейся части схемы
р2+2р+2
перейдем к проводимости У з(р) === р(р+2) . Полюсу этой проводимости при р==О
соответствует индуктивный элемент индуктивностью аА=== Res у з(р) === 1.
р==о
Осталось реализовать
[ р2 +р р 1
У2(Р) === Уз(р) р === р(р+2) === р+2 + р+2 .
Слаrаемому р/(р+2) в соответствии с рис [0.2, ж отвечает ветвь из последова
тельно соединенных R===[ ОМ и С===О,5 Ф. В соответствии с рис. [0.2, е проводимосlИ
1/(p+2) отвечает ветвь с L==l rH и R==2 Ом. Полученная схема изображена на рис.
10.4, а.
!
Я, R m
ю о
С, С т
Ь)
R, R n
и
,
0-----1
1 1/2
2 ,
о
а)
О)
L, L п
2)
Р....с.10.4
337
р3+ р 2+2р
Пример 115. Реализовать Z(p) === 3 2 . I
р +р +р+[
Реш е н и е. При р===о у Z(p) нет полюса, поэтому последовательно включенный
конденсатор у искомоrо двухполюсника отсутствует. Функция Z(p) имеет два полюса
Р.,2 ""j, расположснных на мнимой осн. Выделим параллельный резонансный '
контур рис. 10.2, в, соответствующий этим полюсам:
a k === ReSZ (p) Res ( p3+p2+2P ] j [+2j [C k === === 1 Ф.
2 3 + 2 J ' + [ 2' 2a k
P == J ' 3р +2p+l .
Р == J
Ы k === 1; L k === [ / (ы C k) === 1 rH.
I
[
Найдем функцию минимальноrо реактивноrо сопротивления:
Z l(P) === Z(p)
р
p2+1
р
p+l'
в соответствии с рис. 10.2, с реализуем Zl(P) в виде параллельноrо соединения
R===l Ом и L===l rH. Схема искомоrо двухполюсника изображена на рис. 10.4, б.
Двухполюсники, состоящие только из R и С, MOrYT быть реали
зованы, например, канонической схемой рис. 10.4,8, а состоящие из
R и L схемой рис. 10.4, с. Для схемы рис. 10.4, 8
т
ао Ь k 1
Z(p) === R' + + I +d ; Ь k === с;
р k== 1 Р k k
1
d k === R С ; R' === IimZ(p); а о === IimpZ(p); b k === ResZ(p).
k k P OO o p== dk
Для схемы рис. 10.4, с
n
akP
Z(p) == R"+pL o + L + ;
k== / т k
R" == limZ(p); Lo == limZ(p) jp.
p O p oo
Параметры Rk И Lk находим, имея в виду, что сопротивление
akP
соответствует параллельному соединению Rk и L k , rде
p+т k
a k == R k ; m k == Rk jL k ; a k == ResZ(p) jp.
p== mk
t 10.5. Метод Бруне. Основные этапы метода Вруне следующие.
1. Прежде Bcero проверяют, не содержит ли заданное Z(р)[назовем ero Zзад(Р»)
полюсов на мнимой оси. Если они имеются, то из состава Zзад (р) выделяют COOTBeT
ствующие этим полюсам один или несколько последовательно включенных парал
лельных резонансных контуров. В результате получают
2a k P (10.5)
Zзад(Р) L 2 == Z(p).
P2+ W k
Этот этап соответствует переходу от рис. 10.5, а к рис. [0.5,6.
338
ZЗОiJ f рJ
::J
а)
Hтiп
L,
L 2
С 2
oj
6)
LJ J f.J,!!.. IJ
IJ J
L 2 [.. 2. Lj
12
f
d)
е)
Р....с. 10.5
L5
RJ
Ж)
Коэффициент ak === RеsZ ззд (Р), Функция Z(p) не имеет полюсов на мнимой оси и
р == jrok
представляет собой функцию минимальноrо реактивноrо сопротивления.
2. Полаrая р == joo в Z(joo) выделяют действительную часть, т. е. находят
Re Z(joo) и определяют частоту 00, при которой Re === ReZ(joo) миним альна. Эта часто
та может быть равна нулю, бесконечности или иметь некоторое конечное значение (в
последнем случае ее будем называть (00)' Подсчитывают также минимаJlьное значе
"не ReZ(joo), которое называют R miп .
3. Из Z(p) вычитают R miп и находят Z I(P). Этой операции соответствует переход
от рис. 10.5, б к рис. 10.5, в. Заметим, что степени числителя и знаменателя Z.(p)
одинаковы.
4. Если частота, при которой имеет место минимум ReZ(joo) равна нулю или
бесконечности, то уже на этой стадии делается попытка реализовать Z(р)лестничной
схемой. Если же минимум ReZ(joo) имеет место при не которой 00 == ООо,отличающейся
от О и 00, то дальнейшую реализацию производят в соответствии с п. 5 12.
5. Подсчитывают ZI(P) при Р == joo. Так как при частоте р === jooo действительная
часть Z(p) == R min , то действительная часть разности Z(jOOO) Rmin равна нулю, т. е.
ZI(jюо) представляет собой чисто реактивное сопротивление jX l'
6. Возможны два случая. Первый, коrда Х 1>0, второй, коrда Х 1<0. Будем
полаrать Х 1 === OOoL1>0 (случай Х 1<0 рассмотрен в п. 12). Тоrда
LI === Х 1/ юо' (10.6)
7. Составляют разность ZI(p) pLI и приводят ее к общему знаменателю. Ha
ПРимер, если исходить из Toro, что
p2+aIP+aO
, . Z I(P) === p2+bIP+bo '
то Проводимость оставшейся для реализации части двухполюсника
1
У о(р) === Zl(p) pLI
P 2 +b 1 p+b O
3 2 .
P L1+p ([ bILI)+p(al boLI)+ao
(а)
Обратим внимание На то, что в знаменателе УО(Р) имеется слаrаемое p3LI'
КОТорое при дальнейшей реализации приведет к появлению в схеме отрицательной
ИНДУктивности.
8. Поскольку при р === jOOI ZI(p) pLl==O' то УО(Р) == 00, т. е. р === jooo является
ПОЛЮсом У о(Р)' Наличие полюса у Y,Jp) позволяет представить оставшуюся часть
339
двухполюсника ветвью из последовательно соединенных L 2 и С 2 . настроенной в
резонанс на частоту (00' и параллельно ей присоединенноrо двухполюсника Сопро
тивлением ZiР)(Рис. 10.5, с):
р / L 2 1
УО(Р) === р2+(О6+ Z2(P) .
(10.7)
9. Полаrают Z2(P) === N 2 (p) / М 2 (р). Степени полиномов N 2 (p) и М 2 (р) должны Бы1 ь
такими, чтобы после приведения правой части (10.7) к общему знаменателю степень
полинома ЧИС/lИтеля левой части равнялась степени полинома числителя правой
части; то же и в отношении степеней знаменателей. Так, если У rJp) соответствует
выражению (а), то Z2(P) == (CIP+CO) / d.
Методом неопределенных коэффициентов можно найти C 1 , СО, d o и L 2 . В paCCMaT
риваемом случае
С I === L. (06; со === а о ; d o == ь о ;
L 2 == Ll(06/(bo (06); С 2 === 1/( OO 6 L 2).
( 10.8)
Разность (Ьо Ю6»0; это следует из Toro, что условие Х .>0 означает, что
l p2+ a . p + ao l
1т 2 >0, а при р === jooo ReZ I(P) === о.
Р +b1P+d o
10. Реализа ию Z2(P) производят, как правило, лестничной схемой. В paCCMaT
риваемом при мере Z2(P) реализуют индуктивным L3 == СI / d o === Ю6L. / Ь о и рези
стивным R з ===ао/Ь о элементами (рис. 10.5, д). Важно обратить внимание на то, что L3
оказалось отрицатеJIЬНОЙ.
1 [. Так как физически осуществить отрицательную L3 в линейной цепи невоз
можно, то дальнейший этап реализации в методе Бруне состоит в том, чтобы три
маrнитно не связанные индуктивные катушки, имеющие индуктивности LI' L 2 и Lз,
заменяют трансформатором, состоящим из двух катушек L4 и L5' между которыми
имеется маrнитная связь (взаимная индуктивность М). Это действие является об
ратным по отношению к операции "развязывания" маrнитно связанных цепей.
На рис. 10.5, е изображены два участка цепи: левый до преобразования,
IIравый после преобразования; показаны положительные направления токов в
ветвях и указаны одноименные зажимы катушек. Напряжения между точками / и 2
для обоих участков цепи в силу из эквивалентности должны быть одинаковы, т. е.
pL./.+pL 2 / 2 === рLi. рМ/з,
рL2/2+рLзlз === рL5/з рМII'
Подставляя в эти две строки / .==12+/з и учитывая, что каждая из них должна
удовлетворяться при Jlюбых значениях токов, получают:
М === L 2 ; L4 == L.+L 2 ; L5 === L2+Lз, (10.9)
rде L4 и L5 положительны. Окончательная схема изображена на рис. 10.5, ж.
12. Если условиться сумму степеней полиномов в числитеJlе и знаменателе
ZзаiР) называть порядком Zзад(Р)' то совокупность перечисленных операций ("цикл
Бруне") позволяет снизить порядок на четыре. Естественно, что потребность в Ka
ком либо одном или нескольких этапах в любом конкретном примере может и не
возникнуть (например, в этапах 1 или 3).
Для ZззiР), порядок которых достаточно высок, может возникнуть потребностЬ
применить эту последовательность операций не один раз. В заключение отметим, что
если в п. 5 Х ,<о, то L.<O, а вычитание соrласно п. 7 сопротивления р 1 L,lсводиТСЯ
К прибаВJlению сопротивления +р I L.I.
Некоторым недостатком метода Бруне является ero относительная сложносТЬ
и необходимость введения в схему идеальноrо трансформатора с коэффициентОМ
связи k 2 === м 2 / (L4L5) === 1.
340
+j +j
а
P P, P P:
': и,!
+1 Рl Р: +1
а) 1)
lU 2
Р....с. 10.6
Р....с. 10.7
10.6. Понятие о минимаJlьно..фазовом и неминимаJlьно..фазо..
БОМ четыреХПОJlюсниках. У минимально фазовых (м.ф.) четырехпо
люсников все нули передаточной функции расположены в левой
части плоскости р. У неминимально фазовых (н.ф.) четырехполюс
ников хотя бы часть нулей находится в правой части плоскости р.
Название объясняется тем, что при одинаковом значении MOДY
лей передаточной функции м.ф. и н.ф. четырехполюсников apry
мент передаточной функции м.ф. четырехполюсника меньше apry
мента передаточной функции н.ф. четырехполюсника. Поясним
сказа нное.
Сравним выражения для двух передаточных функций:
,
P Pl p p 1
К'(р) === и К"(р) === .
P P2 P P2
Положим, что Рl И Р'l равны по модулю и действительны. Нуль
первоrо выражения находится в левой части плоскости р (рис. 10.6,
а), а нуль BToporo р'( === p( в правой части плоскости Р (рис. 10.6,
6). Пусть на вход обоих четырехполюсников воздействует синусои
дальное напряжение частотой ю. Некоторой конкретной частоте на
комплексной плоскости соответствует точка а на оси +j. Образуем
разности Р Рl И Р Р2 на рис. 10.6, а и разности P P'l и P P2 на
рис. 10.6, 6:
" ",
P Pl Р 1 /(!fJ !fJ) p p 1 == е /(!fJ' 1 !fJ2)
=== ........" е 1 2 ; " .
P P2 Р 2 P P2 Р 2 .
Модули этих передаточных функций одинаковы и равны
р" I /р" 2 тоrда как aprYMeHTbI различны. AprYMeHT 1 2 первоrо
четырехполюсника меньше aprYMeHTa 'l 2 BToporo четырехпо
ЛЮСНИка. Четырехполюсник с передаточной функцией К'(р) мини
МаЛьно фазовый, а четырехполюсник с К"(р) неминимально фазо
Вый. Пример н.ф. четырехполюсника на рис. 10.7. Для Hero
/(р) =:: [ RCp
[+RCp'
В м.ф. четырехполюснике существует однозначная зависимость
341
и , l 12
и !
r l
i, I z, I
I
I
1. I
t и, I
I
I z, I
L ...... .... ....J
[2
11
RJ
й 2
Р....с. 10.8
Рис. 10.9
между модулем И aprYMeHToM передаточной ФУНКЦИИ. в н.ф. четы
рехполюсниках между модулем и aprYMeHToM передаточной функ
ции нет однозначной зависимости.
Перейдем к вопросу о реализации четырехполюсника по ero
заданной передаточной функции, полаrая, что она удовлетворяет
условиям физической реализуемости. Существует MHoro различ
ных методов реализации. В одних методах в основу положена пере
даточная функция при холостом ходе четырехполюсника, а дpy
rих передаточная функция четырехполюсника, наrруженноrо на
соrласованное резистивное сопротивление. В последнем случае
принято наrрузку брать равной 1 Ом и называть ее нормализован
ной.
В одних методах реализации сопротивление источника питания
полаrают равным нулю, в друrих равным заданному значению.
Каждый способ реализации имеет те или иные оrраничения.
10.7. Синтез четыреХПОJlЮСНИКОВ r..образными RС схемами.
r образный четырехполюсник (рис. 10.8) является делителем Ha
пряжения. Ero передаточная функция по напряжению при ХОЛО
стом ходе
U 2(Р)
и,(р)
Z.J.p)
Z 1(P)+Z2(P)'
(10.10)
в дальнейшем вместо Z l(P) и ZJ..p ) будем писать соответственнО
Z. и Z2'
Положим, что С помощью r образноrо четырехполюсника, co
стоящеrо из RС элементо , требуется реализовать передаточную
функцию по напряжению ПрИ холостом ходе:
и 2 (Р) IU,(p) == N 1М, (10.11)
rде N и М полиномы по степеням р; N / м удовлетворяет услови
342
ям, которые предъявляются к передаточной функции RС четырех
полюсника.
Приравняем правые части (10.10) и (10.11)
N /М ==Z2/(ZI+Z2)' (10.12)
Разделим числитель и знаменатель правой части (10.12) на He
который полином Q==Q(p), имеющий тот же порядок, что и полино
МЫ N и М; корни ero чередуются с корнями уравнений N==O и М==О.
Тоrда
(10.13)
Z2 N / Q
Z.+Z2 М / Q'
Из уравнения (10.13) находим Z2==N / Q и Z.==(M N)/ Q. Реали
зуем двrхполюсники Z. и Z2 по найденным операторным сопротив
лениям . Реализацию двухполюсников производят В соответствии с
10.3 и 10.4.
Аналоrично производится синтез f образными RL схемами.
10.8. ЧетыреХПОJlЮСНИК ДJlЯ фазовой коррекции. На рис. 10.9
изображена симметричная скрещенная схема, состоящая из чисто
реактивных двухполюсников Z. и Z2, на выходе которой включен
резистор сопротивлением R. Положительные направления токов и
..
напряжении указаfIЫ ра схем:е. ..
. В. ур.авнении U 2 +/ a Z. == /bZ2 заменим l/2 на /2/J. и учтем, что
/2 == /a Ib' Это дает возможность выразить /ь череЗ/а:
. R+Z.
/ь === /а R+Z 2 "
. . . .
Подставим J ь В /2 == /а /ь И найдем
. R+Z 2 . R+Z.
/ а === /2 Z Z ' / ь === /2 Z Z "
2. 2.
Составим уравнение для периферийноrо контура:
. .. . R(Zl+ Z 2)+2Z.Z 2
и, === 2Z./ a +U 2 === и 2 R(Z2 Z.)
Передача напряжения
и 2 R(Z2 Z ,)
Ки === ===
и. R(Z.+Z2)+2Z.Z 2 '
Входной ток
. . . . 2R+Z.+Z 2
/, === /а+/Ь === /2 Z2 Z.
.
УС Предполаrаем, что полином Q(p) может быть найден и чтоZ. И Z2 удовлетворяют
J!ОВиям, перечисленным в 10.2.
343
R
L
[7
[ 2
12
я
1:7
С 2
Р....с.10.10
Р....с. 10.11
Входное сопротивление
u. R(Z) +Z2)+2Z )Z2
Z
ВХ i. 2R+Z.+Z 2
Приравняв ZBx===R, получим соотношение Z.Z2==R 2 . Из Hero сле
дует, что реактивные сопротивления Z. и Z2 взаимно обратны.
В ФОРМУЛУ дЛЯ КU подставим Z2:=: R 2 / Z.:
R Z. (а)
К === === к ( w ) ejqJ(U})
и R+Z} и .
Так как Z, чисто реактивное сопротивление, то модули чис
лителя и знаменателя формулы (а) одинаковы и потому кu(ш) == 1.
При изменении частоты W меняется только aprYMeHT ({)(ш).. Четы
рехполюсник рис. 10.9 служит для фазовой коррекции. С этой целью
ero включают между источником питания с внутренним сопротиВ
лением R и активной наrрузкой R, и он, не изменяя напряжение
источника питания по модулю, поворачивает ero на требуемый уrол.
ср(ш) по фазе, осуществ яя этим фазовую коррекцию.
Имея в виду, что K<t) === 1; e/tp(w) === cos<p(w)+jsin<p(w), определим из (а)
Z == R 1 K и === R 1 соs(})(w) jsiп(})(ю) :::= 'Rt (})(ю) == "Х.
, 1 +К и 1 +соs(})(w)+jsiп(})(ю) 1 g 2 1
СОПРОТИВJlение Z2 === R 2 / Z." Сопротивление Z)==;X чисто реактивное. rрафик
X===f(w) имеет вид танrенсоиды. При (})(w)==л, 2п...Х изменяет знак. Иноrда Zr
реализуют схемой (рис. [О. [О). ДЛЯ определения параметров этой схемы составляЮ'Q
столько уравнений, сколько параметров неизвестно, и затем эти уравнения COBMeCT
но решают. Положим, что qJ(Ш) корректирующеrо четырехполюсника должна имеТЬ
значения <р(ш,) при ш" qJ(Ю 2 ) при Ш 2 и т. д. Тоrда уравнения, которые нужно совместнО
решить относительно L, L., L 2 , С.' С 2 , получают, если входное сопротивление схемь.
(рис. 10. [О) J
jwL) jшL 2
jюL + 2 + 2
l ю L)C, l w L 2 C 2
'Обратим внимание на то, что знак (})(ю) противоположен знаку aprYMeHTa Ь в
выражении постоянной передачи g==a+ jb четырехполюсника.
344
R
R
R
R
Я 2
L 2
о
. C z
[2
a a O U
w w
а)
5)
8}
2)
Р....с.10.12
. ср(ю)
последовательно приравнивать к Zl == JRtg2 при выбранных частотах. В pe
зультате система уравнений относительно L. L 1 , С" С 2 имеет вид
R ср(ю,) Ll L 2
tg ===L+ 2 + 2 '
ш, 2 1 ЮIL,с, 1 ю,L2С2
10.9. Четырехполюсник для аМПJlИТУДНОЙ коррекции. Схема
четырехполюсника, осуществляющая амплитудную коррекцию,
изображена на рис. 10.11. Корректор наrружен на резистор сопро
тивлением R, входное сопротивление ero также равно R. Сопротив
ления Z, и Z2 взаимно обратны (Z)Z2==R 2 ). Постоянную передачу
g===a+jb (см. 4.10) в этом случае определяют по формуле
e g == e a + ib == 1 +Zl / R.
Так как le ib 1 == 1, то ей == 11 +Z, / R 1. Последняя формула связывает
параметры схемы рис. 10.11 и частоту U) с затуханием а. В зависи
Мости от Toro, что представляет собой сопротивление Zl' характер
зависимости а == f(U)) оказывается различным. В качестве примера
На рис. 10.12, а 2 изображены четыре схемы с различными Z) и Z2
И rрафики соответствуюш.их им зависимостей..
Схему амплитудноrо корректора выбирают в соответствии с той
зависимостью а === f(U)), которую необходимо реализовать. Пара
метры схемы корректора (например, сопротивление R" емкость
Конденсатора С) дЛЯ схемы рис. 4.12, а) определяют путем COBMeCT
Horo решения системы уравнений, полученных приравниванием MO
дуля величиныl1 +Zl / Rlзначение ей при фиксированных значениях
частоты ы. Уравнений составляют столько, сколько в Z) неизвест
НЫХ параметров. Уравнения имеют вид
11+Zl / RI(J)l == еа(ш,); 11+Z, / R1w2 == е а (Ш2), ...
345
! If(jx)/
1
1
1
х
О)
1 х
а)
Р....с.10.13
Частоты ш" Ш2,'" выбирают ДЛЯ характерных точек зависимо
сти а == f(U)) либо через равные интервалы.
10.10. Аппроксимация частотных характеристик. Аппрокси'м'ация это при
ближенная замена заданной частотной зависимости друrой частотной зависимо
стью, которая точно совпадает с заданной в оrраниченном числе точек, отклоняется
от нее в допустимых пределах вне этих точек, давая в то же время физически
реализуемую функцию. Например, кривая I К(;ю) I рис. 10.13, а это частотная
характеристика идеальноrо фильтра НЧ 1 КиХ) I === {(х), rде КиХ) передаточная
функция; х === (J) / юс, rде юс безразмерная величина, равная частоте среза.
В диапазоне изменения х от О до 11 КиХ) 1=== 1; при х>lI КиХ) 1=== О. Пунктирная
кривая / рис. 10.13, б повторяет кривую рис. [0.13, а, кривая 2 характеризует rлад
кую аппроксимацию, при которой отклонение от кривой / неодинаково в диапазоне
аппроксимации. Кривая 3 ИЛJlюстрирует равноволновую аппроксимацию, при KOТO
рой абсолютные значении максимальных отклонений от средней линии в обе стороны
одинаковы. r ладкую аппроксимацию осуществляют обычно пl>линомами Баттер
ворта, равноволновую полиномами Чебышева. Известны и друrие способы апп
роксимации [9, [7], У каждоrо из них имеются свои достоинства и недостатки.
r ладкая аппрокси'м'ация. Применительно к фИJlЬТРУ НЧ аппроксимацию KBaд
рата модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так:
.21
1 K(Jx === 2 .
1 + тх n
Принимают, что при x===lIK(jx)! === 1/-y2, откуда т == [. Полаrая Р === jx, найдем
полюсы I К(;х) f:
1
К(;х)К( jx) == 1 + (р/ j)2n .
При нечетных п Pk === 11/2n == е jkЛ / n k === O,l,...,n; при четных п Pk === ( 1)'/(2n) ==
j(2k + l)л
=== е 2n , k === O,l....,n.
Полюсы расположены симметрично по окружности единичноrо радиуса. ПОЛИ
номы (Р PI)"'(P Pn) образуют знаменатель K(jx) и называются ПOJlИномами Бат
терворта. При составлении их используют значения Р, находящиеся только в левоЙ
полуплоскости. Это обеспечивает *изическую осуществимость К(р). Запишем поли
номы при п === 1 (Р + 1); при п===2р + у2р + 1; при п === 3 р 3 + 2р 2 + 2 Р + [.
Задаваясь требуемым затуханием фильтра в децибелах (обычно при х == 2)
а=== 101g( и,/ и 2 )2 опредеJIИМ п:
и 2
1 КОХ)! === U I
[
=== -Y l + х 2 n
1
20lg1 и,/и 2 1
п === 20lg2
,.."., .
,.."., ,
х n
346
!
х
7j(x)
1
а)
Р....с.10.14
Например, при а == 18 дБ п === 18/ (20 Ig 2) == 2,98 З. в рассматриваемом
примере
1
К(р) == .
р3 + 2р2 + 2р + 1
Функцию К(р) реализуют известными методами.
Равноволновая аппрокси'м'ация. Полиномы Чебышева порядка п записывают в
триrонометрической форме: -
т п (х) === cosn arccos х.
п( п 1) 2 2
Пола rая arc cosx==6 и имея в виду, что cosn6==cosn6 1.2 cosn 6sin 6+...,
а sin6 === " 1 x 2 , получим алrебраическую форму записи полиномов:
т п(х) === х п + C XZ 2( 1) + C XZ 4( 1)2 + ....
Например, при п === 5 ТБ(Х) === 16x5 20x3 + 5х.
В интервале х==О+ИТп(х) колеблется от 1 до 1 (рис. 10.14, а). При
х> 1 Тп(х) монотонно возрастает.
Квадрат модуля нормированной передаточной функции фильтра НЧ с ПОМОЩЬЮ
полиномов Чебышева аппроксимируют так:
tl
1 К: ( 'х ) 1 2 === 1
/ 1 + y2T (x)'
Максимальное отклоне ие I K(jx)l от 1 равно у2/2
2
1 у 2
1 1 ( 1 ) === 0,5у .
" 1 + у2 2
'1
"
,При х > 1, т. е. в области затухания фильтра НЧ,
2 . 1 I
у Тп(х) »1 и I К{/Х) 1== Т ( ) === h( А h ) .
у п Х ус п rc х
'.
{'
Примерный вид аппроксимирующей кривой 1 K{jx}! показан на рис. 10.14, б.
Для заданноrо отклонения у и затухания а в децибелах при
х === 2 а === 201gj U 1 / U == 20lg I 1/ Kи2 порядок ПОJlИнома Чебышева определяют по
Формуле
1 10a/20
п == 1 3 2 A rch , r де 1 ,32 == Arch2.
, у
347
Например, для у == 0,4 и а == 30 дБ при х 2 I K(jx) 1==0,0318;
1 101.5 5,06
п == 1 3 2 Arch 0 4 == 1 32 === 3,84. Принимаем п === 4.
, , ,
Для составления K(jx) следует определить полюсы I кох) 12, находящиеся в
левой ПОJlУПЛОСКОСТИ. Подставим вl K(jx) I х === Pk/ j и приравняем нулю знаменатель
:K(jxX 2 .1 + y2T (Pk/j) === о или Tn(Pk/j) == + j/y.
При О Х I Т п(Х) т _ ( k) cosп(arccos k l + i /"1.
При х > 1 Тп(х) == Tn(pk/j) == cHпArch(pk/j).
Так как Pk комплексное число, то arccos Pk/ j тоже комплексное число,
которое положим равным Uk + j k' Тоrда
Tn(Pk/ j) == cos(пU k + jп k) === cosпukchп k jsinп ukshп k == + j /1'.
Отсюда
cos п U k ch п k == О, sin п U k sh п k === + l/y.
Так как ch п k =1= О, то
n
cos п ak == О и U k == (2k + 1 )2п ' k == 0,1 ,...,п.
При этом
1
sin п uk === + 1; sh п k == l/y; k == Arsh(l/y).
п
Так как arc cos(Pk/ j) === a k + j k' то Pk == ak + jb k == jcos(a k + j k)'
Действительные и мнимые части полюсов Pk' лежащих в левой полуплоскости:
. n k+l
ak === sh k SIЛ (2k + 1 )2п ; k === ch k cos 2п ' k == O,l,...,п.
Из последней строчки следует. что a /sh2 k + bi/ch2 k === 1. т. е. полюсы Pk
расположены на эллипсе, одна полуось KOToporo равна sh k' друrая ch k.
В рассматриваемом примере при п == 4 и У == 0,4 k == 0,412; sh k==0,421;
sh k==1,08.
Для построения эллипса чертим две окружности одну радиусом sh k' друrую
радиусом ch k (рис. 10.15) и через начало координат проводим прямые до пересече
ния с окружностями под уrлами a k == (2k + lXn/2п), [де k == 0,1,..., п. В примере
Uk 22,3; 67; 111; 156°.
Из точек пересечения лучей с окружностью меньшеrо радиуса проводим вертИ!!
кали, а из точек пересечения с окружностью большеrо радиуса rоризонтаJIИ. Точ
ки пересечения соответствующих rоризонталей и вертикалей на левой полуплоско
сти дают искомые полюсы. В примере Ро,з == 0,164 + jO,99
Рl.2 == 0,388 + jO,416. Нормированная передаточная функция
1
К(Р) == (p po) (Р Рз) (P Pl) (P P2)
1
[(Р + 0,164)2 + о,995 2 ](р + 0,388)2 + 0,416 2 }'
348
jfЗk
ах
Рис. 10.15
По К(р) определяют схему и ее нормированные параметры L 1P Сн, Таблицы
полиномов знаменателя нормированноrо К(р) низкочастотных фильтров, аппрокси
мированных различными способами даны в [9,]7]. Для перехода от нормированных
к действительным параметрам L, С пользуются соотношениями L == LH/ffic И
С === С Н / ffic'
Какому способу синтеза схемы и какой конкретной схеме следует отдать пред
почтение, зависит не только от стоимости и rабаритов при Ilрактическом осуществ
лении схемы, но и от Toro, насколько фазочастотные характеристики получающихся
четырехполюсников удовлетворяют поставленной задаче.
В заключение отметим, что нормирование распространяется не только на пере
даточную функцию четырехполюсника, но и на друrие функции, в частности на
входное сопротивление или проводимость двухполюсников.
Если аппроксимируют не передаточную функцию, а входное сопротивление
(проводимость) HeKoToporo двухполюсника, то оно обычно нормируется не только по
частоте Шо, но и по ero числовому значению. При нормировании Z(p) по числовому
значению входное сопротивление (проводимость) деJIЯТ на некоторую безразмерную
величину Ro > О. При переходе от схемы, реализующей нормированное сопротив
ление ZH (ее параметры RH' L H . Си И частота х), к той же схеме, но с ненормирован
ными параметрами (ее сопротивление Z, а параметры R. L, С), последние опреде
Z R jffiL [
JIЯЮТ, сопоставив почленно одинаковые слаrаемые == + + и
Ro Ro Ro jffiCR o
1
ZH == R и + jxL H + c (х == Ш/ffiо).
/Х н
В результате получим R == RHRo; L == Lн(Rо/шо); С == Си / (ROffi O )' [де Ш о вели
чина безразмерная.
Вопросы дп. самопроверкн
J. Укажите два основных направления развития синтеза электрических цепей.
2. Определите задачи синтеза, перечислите условия, которым должны УДОВJlетво
РЯть Z(p) физически реализуемых двухполюсников. 3. Поясните идею реализации
ДВУхполюсников лестничной схемой. Покажите, как следует упорядоченно опреде
ЛЯть ее Элементы. Любое ли Z(p) может быть реализовано лестничной схемой? 4. Как
ОСуществить реализацию путем последовательноrо выделения простейших COCTaB
JIЯющих? 5. Нарисуйте две канонические схемы двухполюсников, отображающих
Идеи реализации методом выделения простейших составляющих. 6. В чем идея
Реализации методом Бруне? 7. Какой четырехполюсник называют минимаJlьно фа
зовы?? 8. Начертите схему четырехполюсника для фазоной коррекции и поясните,
349
как определить ее элементы, если известна зависимость qJ(Ю). 9. Изобразите схему
аМllлитудноrо корректора и расскажите, как определить ее элементы, если извеСтна
зависимость а(ю). 10. В чем состоит задача аппроксимации и как она решается? 11.
Поясните идею состаВJIения К(р) четыреХПOJlюсника, еСJIИ в основу положена: а)
rладкая; б) равноволновая аппроксимация. 12. Как от нормированных параметров
перейти к ненормированным, задавшись некоторыми Ro и юо? 13. Решите задачи 12,3;
12,6; 12.10; 12.7; 12.14; 12.17; 12.28.
rnaBa одиннадцатая
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
И МАrнитных ЦЕПЯХ, СОДЕРЖАЩИХ ЛИНИИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
11.1. Основные определения. В данной rлаве рассмотрены основы
теории установившихся процессов в электрических и маrнитных
цепях, содержащих линии с распределенными параметрами.
Электрическими линиями с распределенными параметрами Ha
зывают такие линии, в которых для одноrо и Toro же момента Bpe
мени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от
одной точки (сечения) линии к соседней точке, т. е. являются функ
циями времени и пространственной координаты.
Под маснитными линиями с распределенными параметрами по
нимают такие линии, маrнитный поток и маrнитное напряжение
вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки
линии к соседней (см. 14.24).
Эффект непрерывноrо изменения тока (потока) и электрическо
ro (маrнитноrо) напряжения вдоль линии имеет место вследствие
Toro, что линии обладают распределенными продольными и попе
речными элементами (рис. 11.1, а).
На схеме рис. 11.1, а изображен участок линии с распределен
ными параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемеНТ
длины линии.
Сопротивления ZI' Z2' Zз,... называют продольными, в них вклю
чены сопротивления и прямоrо и обратноrо проводов; сопротивле
ния Z4' Z5' Z6'''' называют поперечными.
В результате утечки тока через сопротивление Z4 ток i2=Fil' AHa
лоrично, ток i3=Fi2 и т. д. Напряжение между точками а и Ь не равно
напряжению между точками с и d и т. д.
В электрических линиях с распределенными параметрами пр()
дольные сопротивления образованы активными сопротивлениямИ
проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друr дpy
ry участков линии длиной dx. Поперечные сопротивления состояТ
из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершен
ства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованнЫХ
350
Il,
I
I
I
I
I
а)
.....
н
5J
8)
Рис. 11.1
противостоящими друr друrу элементами (участками) линии. В
маrнитных линиях с распределенными параметрами продольные
сопротивления представляют собой маrнитные сопротивления ca
мих маrнитных стержней, образующих маrнитную линию, а попе
речные сопротивления обусловлены утечкой маrнитноrо потока по
воздуху между противостоящими друr друrу участками линии.
Линию с распределенными параметрами называют oдHopoд
ной, если равны друr друrу все продольные сопротивления участков
линии одинаковой длины и равны друr друrу все поперечные сопро
тивления участков линии одинаковой длины. Участок линии
рис. 11.1, а однороден, если ZI == Z2 == Z3 == ... И Z4 == Z5 == Zб'
Линию С распределенными параметрами называют HeoдHopoд
НОЙ, если продольные сопротивления в ней различны или попереч
ные сопротивления неодинаковы.
Кроме Toro, линии с распределенными параметрами можно под
разделить на две большие rруппы: нелинейные и линейные.
L В нелинейных линиях с распределенными параметрами про
дольные и (или) поперечные сопротивления являются функциями
протекающих по ним токов, в линейных продольные и поперечные
сопротивления не являются функциями протекаЮlЦИХ через них
токов.
Примером нелинейной электрической линии с распределенны
ми параметрами является электрическая линия передачи BbIcoKoro
напряжения при наличии между проводами линии тихоrо электри
ческоrо разряда (явление короны на проводах). В этом случае eM
Кость между противостоящими друr друrу участками линии явля
ется функцией напряжения между этими участками.
Примером нелинейной маrнитной линии с распределенными па
раметрами является линия, образованная параллельно располо
Женными маrнитными сердечниками, которые в процессе работы
ЛИнии MorYT насыщаться.
I(оrда используют термин "линия с распределенными парамет
Рами", то обычно ero мысленно связывают с мощными линиями
Передачи электрической энерrии на большие расстояния, с теле
351
фонными И телеrрафными воздушными и кабельными линиями, с
рельсовыми линиями автоблокировки на железнодорожном TpaHc
порте, с антеннами в радиотехнике и друrими родственными ЛИНИ
ями и установками. В то же время с линиями с распределенными
парам трами имеют дело и тоrда, коrда "линий" в буквальном
смысле слова, казалось бы, вовсе нет. Так, обычная ИНДуктивная
катушка при достаточно высоких частотах представляет собой ли
нию с распределенными параметрами. Картина элек 1 рическоrо и
маrнитноrо полей катушки показа на рис. 11.1,6. Линии напря
женности электрическоrо поля Е --..+-показаны пунктиром, Линии
напряженности маrнитноrо поля Е сплошными линиями.
Схема замещения катушки показана на рис. 11.1, в. Из рисунка
видно, что кроме индуктивностей в схеме есть межвитковые eMKO
сти и емкости на корпус прибора (на землю).
Если по катушке проходит переменный ток, то через межвитко
вые емкости и емкости на землю также идет ток. При одном и том
же напряжении между соседними витками ток через емкости тем
больше, чем выше частота переменноrо тока. При низкой частоте
(десятки, сотни, тысячи rерц) ток через емкости несоизмеримо мал
по сравнению с токами через витки катушки и наличие емкостей
можно не учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же
частота тока очень велика, например сотни миллиардов rерц, то
токи через емкости MorYT во MHoro раз превышать токи через витки
катушки. В этом случае вся катушка в целом будет оказывать
прохождению переменноrо тока емкостное, а не индуктивное сопро
тивление (количественные изменения перешли в качественные).
При промежуточных частотах порядка нескольких меrаrерц (коrда
линейные размеры катушки соизмеримы с длиной волны) индуК
тивная катушка является типичной линией с распределенными па
раметрами. Если индуктивная катушка намотана на стальной cep
дечник, который способен насыщаться, и частота тока достаточно
велика, то все устройство в целом представляет собой сложную
совокупность из электрической и маrнитной нелинейных цепей с
распределенными параметрами.
В курсе Т03 изучают только основы однородных линейных цe
пей с распределенными параметрами. Вся теория излаrается при
менительно к электрическим линиям с распределенными парамеТ
рами на переменном токе. Теория однородных линейнЫХ
электрических цепей с распределенными параметрами на постояН
ном токе непосредственно следует из теории цепей перемен ноrо
тока, если принять уrловую частоту равной нулю.
Теория однородных линейных маrнитных линий на постоянном
токе в значительной мере аналоrична теории однородных линейНЫХ
электрических линий с распределенными параметрами, только
вместо тока в уравнении должен быть подставлен маrнитный потоК,
вместо электрическоrо напряжения маrнитное напряжение,
352
.:r
dx
. О'
{,+ их d,x
t
и
tfi
Kod,x Lud.:r
dl1
!11+ O,x d:!
C()d:r
Р....с. 11.2
вместо продольноrо активноrо сопротивления продольное Mar
нитное сопротивление, вместо поперечной электрической проводи
мости поперечная маrнитная проводимость.
11.2. СостаВJlение дифференциаJlЬНЫХ уравнений ДJlЯ однород-
НОЙ Jlинии С распредеJlенными параметрами. Пусть ЯО продоль
ное активное сопротивление единицы длины линии; Lo индуктив
ность единиuы длины линии; СО емкость единицы длины линии;
00 поперечная проводимость единиuы длины линии. Поперечная
проводимость 00 не является обратной величиной продольноrо co
противления ЯО'
Разобьем линию на участки длиной dx (рис. 11.2), rде х pac
стояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное
сопротивление равно ЯО dx, индуктивность Lodx, проводимость
утечки Oodx и емкость Codx. Обозначим ток в начале paCCMaT
риваемоrо участка линии через i, а напряжение между провода ми
линии через и. И ток и напряжение являются в общем случае
функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в даль
нейшем в уравнениях использованы частные производные от u и i по
времени t и расстоянию х.
Если для HeKoToporo момента времени t ток в начале paCCMaT
Риваемоrо участка равен i, то в результате утечки через поперечный
Элемент ток в конце участка для Toro же момента времени равен
. ai С
l + a;dx, rде ai/ дх скорость изменения тока в направлении х. KO
рость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока
на Пути dx.
Аналоrично, если напряжение в начале участка и, то в конце
У ди
частка для Toro же момента времени напряжение равно u + ax dx.
Составим уравнение по второму закону Кирхrофа для замкну
Toro контура, образованноrо участком линии длиной dx, обойдя ero
по часовой стрелке:
ai ди
u + Rudxi + Lodx + u + д dx == О.
at х
12 3,11( 683
353
После упрощения и деления уравнения на dx получим
дu ai
дх == LO{jj + Roi.
По первому закону Кирхrофа,
. d . . ai a
t === t + t + дх х.
ТОК di(рис. 11.2) равен сумме токов, проходящих через проводи
мость Godx и емкость Codx:
d , дu д дu
di == (и + ax dx ) Godx + at Codx( u + ax dX).
Пренебреrаем слаrаемыми BToporo порядка малости. Тоrда
. ди (11.3)
dt === uGodx + Codxat.
(11.1)
( 11.2)
Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим уравнение на dx:
a с ди (11.4)
д х ои + о at .
Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциаль
IIЫМИ уравнениями для линии с распределенными параметрами.
11.3. Решение уравнений Jlинии с распредеJlенными парамет-
рами при установившемся синусоидаJlЬНОМ процессе. Пусть напря
жение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во
времени. Воспользуемся символическим методом.
Изображение тока
i == / тsin(rot + <"Pi) ---+- /ej{j)t,
r де j === / тejrpi / -у2.
Изображение напряжения
.
и === U тsin(rot + <"Ри) ---+- Uej{j)t,
rде и == U тeirpu/ . .
Комплексы и и / являются функциями расстояния х, но не
являются функциями времени. Множитель ei{j)t есть функция BpeMe
ни t, не зависящая от х.
Представление изображений тока и напряжения в виде произ;
ведения двух множителей, из которых один является функциеи
только х, а друrой функцией только t, дает возможность перейтИ
от уравнений в частных производных [уравнений (11.1) и (11.4)] к
уравнениям в простых производных. Действ тельно,
ди . ди
........ eJ{j)t .
дх dx'
ai . d . . . ( 11.5)
L ........ L / e/{j)t === jroL /e/{j)t.
ОМ о dt о'
354
д; ........ eiwt a/ .
дх dx'
дu . .
С ....... / 'юС Ue/ wt .
0at о
( 11.6)
Подставим (11.5) и (11.6) в (11.1) и (11.4), сократив в полученных
уравнениях множитель e iwt :
. .
dU /dx == Zol;
. .
dl/dx == уои,
( 11.7)
( 11.8)
rде
Zo == Ro + jroLo;
уо == 00 + jroC o .
( 11.9)
(11.10)
> . .
Решим систему уравнений (11.7) и (11.8) относительно и. С этой
целью продифференцируем (11.7) по х:
. .
д 2 и д/
д == Zo дх .
(11.11)
.
в (11.11) вместо dl/ dx подставим правую часть уравнения (11.8):
д 2 и .
d === ZoYou. (11.12)
Уравнение (11.12) представляет собой линейное дифференци
альное уравнение BToporo порядка. Ero решение
.. .
U == А.е)'Х + A2e )'X.
(11.13)
. .
Комплексные числа А} и А 2 есть постоянные интеrрирования,
которые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале
или через напряжение и ток в конце линий.
Комплексное число
v == \j Zoyo
(11.14)
наЗывают постоянной распространения; ero можно представить в
Виде
v == а + j ,
(11.15)
rДе и коэффициент затухания, характеризующий затухание па
даЮщей волны на единицу длины линий, например на 1 м (км);
КОЭффициент фазы, характеризующий изменение фазы падаЮll ей
ВОJlНЫ На единицу длины линии, например на 1 м (км). Следова
тельно
, .
(v] [и] == [ ] == 1/м.
12"
355
Ток 1 найдем из уравнения (11.7):
. 1 d и А 2е yx А 1 е ух
l== ==
Z o dx Zo/y
Отношение Zo/Y == Zo/ V ZoYo == V Zo/Yo, имеющее размерность
сопротивления, обоз на чают ZB и н азывают в олновым сопротивлением:
, , fRo + jffiLo
ZB == V == v 00 + jffiC o == ZBeJ'P B , ( 11.17)
rде ZB модуль; СРв aprYMeHT волновоrо сопротивления ZB'
Следовательно,
(11.16)
. А А
I == е YX е УХ.
ZB ZB
(11.16 а)
11.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление. Как указыва
лось ранее, постоянная распространения
у == (1 + jp == (Ro + jffiL )(Oo + jffiC O )' (11.18)
Для линии постоянноrо тока ш==О и п отому
У == RоG о
Для линии синусоидальноrо тока без потерь (R o == 00 === о)
у == jffi -V RoC o .
(11.19)
( 11.20)
Запишем формулы для IIриближенноrо определения и (1 в линии с малыми
потерями, коrда Ro/ffiLO «1 и 0о/шС о «1. С этой целью перепишем формулу
(11.18) следующим образом:
Ro 1/2 а о 1/2
У == jffi LoCo( 1 j L ) (1 j c )
ffi О ffi О
И разложим биномы в ряды, О);J2 анич ившись двумя членами каждоrо ряда [ т. е.
воспользуемся соотношением ,,1 + x 1 + 0,5х). В результате получим
Ro, rr;; 00, (11.21)
у 2 Ут; + 2 ус: + jffi -VLOCO'
о о
Следовательно,
(1== R0W; + 00 W;,
2 Lo 2 Со
=== ffi -V LoC o .
(11.22)
( 11.22а)
Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянноrо тока (ш == о) из
(11.17) следует, что
ZB == Rо/О ,
( 11.23)
Для линии синусоидальноrо тока без потерь (R o === а о === о)
ZB == 1/ I o/C o .
(11.23а)
Для линии синусоидальноrо тока с малыми потерями, коrда
Ro 00
L «1, C «1
ffi о ffi О
fih
, rr;; Ro 00
ZB y [ 1 + j( 2roL o + 2roС о ) ]'
( 11.24 )
Для реальных воздушных линий I ZJ 3007600 Ом,
I ZJ 50 7200 ОМ. Уrол qJ имеет емкостный характер.
для кабельных
11.5. ФОРМУJlЫ ДJlЯ опредеJlения КОМПJlексов напряжения и
тока в любой точке Jlинии через комплексы напряжения и тока в
начаJlе JlИНИИ. Как и раньше, через Х будем обозначать расстояние
от начала линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при
х === О напряжение и 1 и ток j l' Составим уравнения для определения
постоянных А} и А 2 через V t иi l . Из (11.13) и (11.16а) следует (х == О).
. . .
и} == А 2 + A 1 ; (11.25)
. . .
/1 Z в === А 2 А l' ( 11.26 )
.
Для определения АI из (11.25) вычтем (11.26):
А I == 0,5( и 1 i }ZB) === А le 11jJ0 ;
. ..
А 2 === 0,5( U t + /IZB) == А 2 е 1 'IJ п ,
(11.27)
(11.28)
.
rде АI модуль; 'Фо .aprYMeHT комплекса А}; А 2 модуль; 'Фп
aprYMeHT 1 комплекса А 2 .
Подставим (11.27) (11:28) в (11)3):
и} IIZB и. + IIZB
U === е УХ + e УХ ===
2 2
. е уХ + е УХ . е ух е УХ
=== и} 2 I.Z B 2
Введем rиперболические функции. Известно, что
chx === 0,5(е Х + e X), shx == 0,5(е Х e X).
Поэтому
0,5( е УХ + e УХ) === ch,\,x;
0,5(е УХ e УХ) == sh)'x. .
( 11.29)
( 11.30)
Следовательно,
и == Ujch)'x j IZBsh)'X. (11.31 )
Аналоrичные преобразования, примененные к (11.16), дают
.. и 1 (11.32)
/ == /Ich)'x ZSh,\,X.
в
...............
1
Индексы «о» И «п» начальные буквы слов «отраженная» И «падающая» вол
ныl (см. 11.8).
357
+j
е t(;r eJ.fJ:t
e t1.Zeoi'px
Р....с. 11.3
Формулы (11.31) и (11.32) позволяют найти комплексы напряже
ния и тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее
начала. Следует иметь в виду, что aprYMeHToM rиперболических
функций в этих формулах является комплексное число
,\,Х == ах + j x.
11.6. rрафическая интерпретация rиперболических синуса и
косинуса от КОМПJlексноrо aprYMeHTa. rиперболические функции от
комплексноrо aprYMeHTa сами являются комплексами и MorYT быть
изображены векторами на комплексной плоскости.
Заменим ,\,Х в уравнениях (11.29) и (11.30) на ах + jf>x:
chl'x eRXeiPx + e ""e iPX);
shl'x eRXejPX e ""e jPX).
По таблицам показательных функций найдем значение еnХ.И
e nх И на комплексной плоскости рис. 11.3 отложим векторы eaXel X
и e nXe i x. Первый из них ПО модулю равен е ах и относительно оси
действительных значений повернут на уrол x против часовой
стрелки; второй по модулю e аХ И относительно оси действительныХ
значений повернут на уrол X по часовой стрелке.
rиперболический косинус равен полусумме ЭТИХ векторов, а
rиперболический синус их полуразности.
11.7. ФОРМУJlЫ для опредеJlения напряжения и тока в Jlюбой
точке Jlинии через комплексы напряжения и тока в конце JlИНИИ'
Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии
у, а длину всей линии (рис. 11.4) 1:
у == l х. (11.33)
. .
Пусть известны напряжени и то.к B.Ko цe линии и 2 и 12- подста
вим в (11.13) и (11.16a) х === 1, U == и 2 , 1==/2 И составим два ypaBHe
358
lIаvt1Ло
лини"
t
r т
.!/
конец
:IIинии
Р....с. 11.4
. .
ния для определения постоянных интеrрирования А 1 И А 2 :
.. .
и 2 == A2e '" + A1e"';
. . .
1 2 Z B == A2e '" A1e"'.
Отсюда
1 ,4 1 === О,5( и 2 i2ZB)e ,,1 == А lе JФО ; ]
1 " ( 11.34 )
А 2 == 0,5( и 2 + '2ZB)e" === A 2 e/'iJ n .
Если подставить (11.34) в (11.13) и (11.168), заменить 1 х на у
и перейти к rиперболическим функциям, то получим
.. .
u == U2ch'YY + 1 2 Z B sh'YY; (11.35)
. и 2 .
1 === Zsh'YY + 12Ch'YY. (11.36)
в
. .
Зная и 2 и 12 С помощью формул (11.35) и (11.36), можно найти
комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии
у от конца линии.
11.8. Падающие и отраж нные ВОJlНЫ в JJ.ИНИИ. Подставим в
формулу (11.13) А le i 1/J o вместо А l' А 2 е i 1/J п вместо А 2 [см. (11.34)], заме
нив 'У на а + j , получим
. .
U == А leaxe i (фо + x) + A2e aXe i ('iJ n fix). ( 11.37)
Аналоrичную операцию проделаем с формулой (11.16a), причем
В дополнение заменим ZB на zиеifPи [см. формулу (11.17)]:
. А 1 А 2
1 == eaxei ('iJo + fix 'РБ> + e axe i ('Р п рх 'Р в ). ( 11.38)
ZИ ZИ
Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям
Времени умножим правые части формул (11.37) и (11.38) на v2 ej(J)t и
от Произведений возьмем мнимую часть:
u====A 1 "V2e ax sin(roi+ 11'0 + x)+A2 e ax sin(rot+ 'Фп x); (11.37a)
359
...... vi А e CYД;
..................L 'z
...... -.....
А
I
vi А,Р«.х
II
t,
t z > t 1
х
Р....с. 11.5
Р....с. 11.6
А
i === е ах sin((t)t + <ро + X 'Фи) +
ZИ
A 2 'V2
+ e aXsin{(t)t + 'Ф п X 'Ф в ).
ZИ
(l1.З8а)
Падающей электромаС?нuтной волной называют процесс пере
мещения электромаrнитноrо состояния (электромаrнитной волны)
от источника энерrии к приемнику, т. е. в нашем случае в направле
нии увеличения координаты х. Электромаrнитное состояние опре
деляется совокупностью электрическоrо и маrнитноrо полей, обус
ловливающих друr друrа. Падающая волна, распространясь от
источника энерrии к приемнику, несет энерrию, заключенную в ее
эл-ектрическом и маrнитном полях.
Отраженной электромаС?нuтной волной называют процесс пере
мещения электромаrнитноrо состояния (электромаrнитной волны)
от приемника к источнику энерrии, т. е. в нашем случае в сторону
уменьшения координаты х.
Падающая электромаrнитная волна образована падающей
волной напряжения [второе слаrаемое формулы (11.37а)] и падаю
щей волной тока [ второе сл araeMoe формулы (11.38a )]. Отраженная
электромаrнитная волна образована отраженной волной иапряже
иия [первое слаrаемое формулы-( 11.З7а)] и отраженной волной тока
[первое слаrаемое формулы (11.38а)].
Знак минус у отраженной волны тока свидетельствует о том, ЧТО
поток энерrии, который несет с собой отраженная электромаrнит
ная волна, движется в обратном направлении по сравнению с поТО
ком энерrии, который несет с собой падающая волна.
Каждая компонента падающей волны (волны напряжения илИ
волны тока) представляет собой синусоидальное колебание, aMn
литуда KOToporo уменьшается по мере роста х (множитель e ах), а
aprYMeHT является функцией времени и координаты х.
Каждая компонента отраженной электромаrнитной волны за
тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (MHO
360
житель е ах ). Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и
отраженной волн по мере их продвижения по линии объясняется
наличием потерь в линии.
На рис. 11.5 изображены rрафики распределения падающей
волны напряжения вдоль линии (в функции х) для двух смежных
моментов времени: t 1 и t 2 > t 1 . Падающая волна распространяется
слева направо. При построении принято wt 1 + 'Ф 11 == о.
На рис. 11.6 представлены rрафики распределения отраженной
волны напряжения для двух смежных моментов времени: 11 и
t 2 > (.. Отраженная волна распространяется справа налево.
11.9. Коэффициент отражения. Отношение напряжения OTpa
жен ной волны в конце линии к напряжению падающей волны в
конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению
и обозначают К и . В соответствии с формулой (11.34)
к === A/e yl ZH ZB
и А . yl Z + Z
2 е н в'
При cor ласованной наrрузке К и == О, при холостом ходе К ц == 1.
Коэффициент отражения по току K i == К ц .
11.10. Фазовая скорость. Фазовой скоростью V Ф называют CKO
рость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблю
дать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость
это скорость перемещения по линии неизменноrо фазовоrо состоя
ния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то в COOT
ветствии с формулой (11.37a)
wt + 'Ч'п fЗх == const.
Возьмем производную по времени от обеих частей последнеrо
равенства:
d dx
d/ rof + 'Ф 11 x) === О, или ro M === о.
Отсюда
V Ф == dx /dt === w /13.
Прнмер 116. Найти фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии с
Малыми потерями.
Реш е н и е . Из формулы (11.22a) следует, что === <i H/ Lo Со. Поэтому
(i) 1
V Ф === r; === {[о Со' (11.39)
Индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии
110 d
L === In ,
о л ,
361
rде J.to маrнитная постоянная; d расстояние между осями проводов; r радиус
каждоrо провода.
Емкость единицы длины воздушной двухпроводной ЛИНИИ см. формулу (19.43)
ЛЕо
СО == d' rде Во электрическая постоянная.
In
r
1 1
Фазовая скорость V Ф '=" "" L С === .. .
v о о v 110 Ео
1
v === зоо 000 км/с.
ф -V l,256.10 б [н/м .8,86.10 12 Ф/м
11.11. Длина волны. Под длиной волны л понимают расстояние,
на которое распространяется волна за один период Т == 1/ ':
л == v Т === v / '. ( 11.40)
Пример 117. Найти длину электромаrнитной волны при f == 50 и 50.106 [ц.
Реш е н и е . При f === 50 [ц
л == 300 ОООкм/с === 6000 км.
50с 1
При f == 50. 106 [ц л == 6 м.
11.12. ЛИНИЯ без искажений. Линия без искажений представ
ляет собой линию, вдоль которой волны всех частот распространя
ются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени.
При движении электромаrнитной волны по линии без искаже
ний волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но фор
мы волн напряжения в конце и начале линии подобны; точно так же
подобны формы волн тока в начале и конце линии.
Неискажающие линии находят применение в телефонии. При
телефонном разrоворе по таким линиям не искажается тембр rоло
са, т. е. не искажается спектральный состав rолоса.
Для Toro чтобы линия была неискажающей, коэффициент заТУ
хания а И фазовая скорость V Ф не должны зависеть от частоты; а и
V Ф не зависят от частоты, если между параметрами линии имеет
место следующее соотношение:
Ro/ Lo == Оо/С о ' (11.41)
Для сокращения записи обозначим Ro/ Lo == Оо/С о == k. По опре
делению,
Zo === Ro + jroLo === LJ.k + jro);
Уо == 00 + jroC o === CJk + jro);
'\' ==(k + jro) -У LоС о .
Следовательно,
а == k -V LoC o == -у RoO о;
( 11.42)
362
== ro V LoC o ;
V Ф == (f) / == 1 / -vLoС о , (11.43)
Из формул (11.42) и (11.43) следует, что коэффициент затухания
а И фазовая скорость V Ф в линии без искажений действительно не
зависЯТ от частоты.
В линии без искажений в олново е с опроти вление
ZB == V Zo/Y o == -V Lо/Со
является действительным числом и также не зависит от частоты.
Чтобы убедиться, что форма волны напряжения в конце линии "2 полностью
подобна форме волны напряжения в начале линии иl' возьмем напряжение на входе
линии в виде суммы двух синусоидаJlЬНЫХ колебаний, одно из КОl'ОрЫХ имеет чаСl'Оl'У
(О, а друrое 20), и составим выражение для llz. Пусть
и 1 == U1тsin(O)t + 11'.) + U 2т sin(2wt + 11'2).
Так как для линии без искажения коэффициент затухания а не зависит от частоты
[см. формулу (11.42)], то амплитуды обоих колебаний на расстоянии 1 уменьшаются
u U al U o.l
в одинаковои степени и становятся равными lте и 2те .
Для линии без искажения коэффициент фазы прямо пропорционален частоте,
поэтому для частоты 2ы коэффициент в два раза больше, чем для частоты ю.
Следовательно, MrHoBeHHoe значение напряжения в конце линии
" 2 == U 1те alsin(wt + 'Ф1 13/) + и 2т е alsin(2wt + 'Ф2 213/) ===
и'т е .'Smf"'(t ) + ",,1 + U 2m e .'Sin[2"'(t i:) + 11'21.
Вынесем е al за скобку и обозначим время t 1!!. через '{.
w ' !
Получим
"2 === е o.l[ U lт sin (w't + 'Фt> + U 2m sin(2w't + 11'2»'
Если сопоставить 1I0следнее выражение с "l' то можно сделать вывод, что Ha
IIряжение в конце JIИНИИ имеет ту же форму, что и напряжение в начале линии.
Однако оно уменьшено по амплитуде за счет затухания и смещено во времени на
1 u
I/(J) === на время движения волны по линии длинои 1.
V Ф
В реальных линиях передачи сиrналов соотношение (11.41)
обычно не соблюдается, так как Lо<Я.оС о / а о . Для Toro чтобы было
достиrнуто это соотношение, принимают меры 110 увеличению Lo.
Практически устранение частотных искажений сиrнала во всем
передаточном тракте часто достиrают не за счет использования
JlИний без искажения, а путем включения в тракт специальных
Корректирующих четырехполюсников.
11.13. Соrласованная наrрузка. Линия с распределенными па
раметрами, как правило, служит в качестве промежуточноrо звена
Между источником энерrии (сиrнала) и наrрузкой. .
Обозначим сопротивление наrрузки Z2 (Z2== (;2/12) (рис. 11.7, а).
363
l
у
й
у
о)
а}
Р....с. 11.7
Если Z2 =1= ZB' то падающая волна частично пройдет в наrрузк),
частично отразится от нее (возникает отраженная волна). При Z2 ===
==ZB такую наrрузку называют соrласованной отраженная
волна отсутствует. В этом можно убедиться с помощью формулы
(11.34). Действительно, отраженная волна отсутствует, так как
А 1 == о.
в линиях передачи информации кроме соrласования Z2 с ZB
соrласовывают 1 акже ZB с внутренним сопротивлением источниКа
сиrнала Zи. При Zи, HeMHoro не равном ZB' кроме истинноrо сиrнала
через некоторое время после Hero может появиться ложный сиrнал
типа эха; наличие последнеrо затруднит обработку получаемой ин
формации.
11.14. Определение напряжения и тока при соrJ1асованной на-
rрузке. Чтобы получить формулы для определения напряжения и
тока в любой точке, удаленной от конца линии на раССТОЯН!1е У, в
формулы (1l. 5) и (11.36) вместо ZB подставим Z2' заменим 1 2 Z 2 на
и 2 и и 2 / Z2 на 12' Получим:
. . .
u == U 2 (chyy + sh'YY) == и 2 е УУ;
. . .
1 == 12(ch'YY + sh'YY) == 12 е УУ.
. .
( 11.44)
( 11 .45 )
в начале линии при У == 1
. .
{ 1 ==. и 2 е yl===: U 'i /11 {J2 C al e / f3 l ; }
/1 == /2е yl === /2 е iffi/ 2e al e jf3l,
.
rде и 2 модуль, а ери aprYMeHT комплекса и 2 ; 12 модуль, а
2 .
<Р/ apryMeHT комплекса 12'
2
fрафик зависимости действующеrо значения напряжения U ОТ
расстояния У для линии с потерями при соrласованной наrрузке
иллюстрирует рис. 11.7,6, кривая 1, при несоrласованной наПрИ
мер кривая 2 рис. 11.7, 6.
( 11.46)
..
11.15. Коэффициент полезноrо действия линии передачи при
соrJ1асованной наrрузке. Коэффициент полезноrо действия линии
364
передачи равен отношению активной мощности в конце линии Р2 К
активной мощности в начале линии Р,:
Р2 == U 2 1 2 cos((f)u 2 (f)JJ == U 2 1 2 COS(f)B'
rде (f)B aprYMeHT волновоrо сопротивления B' .
При соrласованной наrрузке уrол между и, и 11 также равен (f)B'
поэтому в соответствии с формулами (11.46)
Р1 == U 1 I 1 cos(f)B == и 2 / 2 е 2alCOS(f)B'
следователыi,,
11 == р 2/ Р 1 == е 2ш.
(11.47)
11.16. Входное сопротивление наrруженной линии. На рис. 11.7
изображена схема, состоящая из источника напряжения и 1 , линии
с распределенными па.ра.метрами длиной 1 и наrрузки Z2' Входное
сопротивление lBX == U 1 !I 1 . В. форМулах (11.35) и (11.36) вместо у
подставим 1 и заменим и 2 на 1 2 Z 2 . Получим
. .
1 2 Z 2 chyl + 1 2 Z Bshyl
ZBX == Z t
. 2 .
1 2z shyl + 1 2 chyl
в
или
Z2chyl + ZBshyl
Z ВХ == Z
2
Tshyl + chyl
в
( 11.48)
Если наrрузка соrласована (т. е. Z2 == lo), то из (11.48) следует,
что входное сопротивление равно волновому: lBX === lB'
11.t7. ОпредеJlение напряжения и тока в Jlинии без потерь.
CTporo rоворя, линий без потерь не существует. Однако можно
создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми Ro и 00 по
сравнению с (fJLo и ыс о соответственно) и распространить на нее
теорию линий без потерь.
Из предыдущеrо [см. формулу (11.20)], известно, что еслИ
Ro == а о == О, то
l' == а + j == jw y LoC o ,
T. е. фициент затухания а == О, а коэффиuиент фазы
юУ LoLo .
При этом волновое сопротивление lB === -v Lo/ Со является чисто
активным [см. формулу (11.23a)].. .
Для определения напряжения U и тока J в любой точке линии
Обратимся к формулам (11.35) и (11.36):
365
.. .
u == U 2 chyy + 1 2 Z B shyy;
. и 2 .
1 == zshyy + 1 2 chyy.
в
f '
/
I
Учтем, что уу == (а + jf3)y == (О + jf3)y == jt}y.
rиперболический косинус от МНИМОI'О aprYMeHTa JX равен
KpyroBoMY косинусу от aprYMeHTa х:
chjx == О,5(е jx + е jX) == O,5(cosx + jsinx + cosx jsinx) == cosx.
rиперболический синус от aprYMeHTa jx равен KpyroBoMY синусу
от aprYMeHTa х, умноженному на j:
shjx == 0,5(е jx е JX) == 0,5(cosx + jsinx cosx + jsinx) == jsinx.
Следовательно, sh)'x == shjt3Y == jsint3y.
Поэтому для линии без потерь формулы (11.35) и (11.36)
перепишем следующим образом:
" .
U == U 2 cosf3y + j/2Zosinf3y; (11.35a)
. и 2 .
1 == j z sinf3y + 1 2 cosf3y. (l1.З6а)
в
1 t.18. Входное СОПРQтивление линии без потерь при холостом
ходе. При холостом ходе 12 == О. Поэтому
и U2cosf3y
ZBXX==-----:--== .
/ и2
j z sin t3y
в
Исследуем характер изменения lИХ Х при изменении расстояния
у от конца линии до текущей точки на ней и ПРОИЛJlюстрируем это
рис. 11.8, а.
В интервале значений {)у от О до л/2 tg t3Y изменяется от О до
00, поэтому lBXX имеет емкостный характер (множитель j) и ПО
модулю изменяется от 00 до о. Расположение кривой выше ОСИ
абсцисс соответствует индуктивному характеру реактивноrо co
противления линии х, ниже оси емкостному. В интервале значе
ний f3y от л/2 до л tgfjy отрицателен и изменяется от oo дО О,
поэтому lBX Х изменяется по модулю от О до 00 и имеет индуктивныЙ
характер (множитель +j) и т. д.
Конденсаторы или индуктивные катушки, изображенные на
рис. 11.8, а иллюстрирует характер входноrо сопротивления х.
Таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно
имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой веЛИ
jZB == j ТCZ; == 'х. (11.49)
tgf3y tgt3y J
366
:r
б} /3!/
а}
Рис. 11.8
чины. Практически это свойство используют при высокой частоте в
различных радиотехнических установках.
11.19. Входное сопротивление линии без потерь при коротком
замыкании на конце линии. При коротком замыкании на конце
линии и 2 == О И из формул (11.35а) и (11.36a) следует, что входное
сопротивление
ZBXK == jZBtg y == N Lo/Cotg y,
( 11.50)
rде ==ro V Lo / Co.
Будем изменять длину отрезка линии у и исследуем характер
входноrо сопротивления.
В интервале значений f3y от О до л/2 tg y положителен и изме-
няется от О до 00, следовательно, в этом интервале входное сопро-
тивление имеет индуктивный характер и по модулю изменяется от
Одооо(рис.ll.8,б).
В интервале y от л/2 до л входное сопротивление имеет емко-
стный характер и изменяется по модулю от 00 до О (в точке
ВУ == л/2 tg y скачком изменяется от +00 до oo).
Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой на
конце линии, также можно создавать различные по величине индук-
тивные и емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой на
конце линии без потерь длиной в четверть длины волны теоретиче-
ски имеет входное сопротивление, равное бесконечности. Это позво-
Ляет применять efo при подвеске проводов в качестве изолятора.
11.20. Входное сопротивление линии без потерь при реактивной
наrрузке. Определим входное сопротивление линии без потерь при
чисто реактивной наrрузке ZH == jX H :
ZH
jZBCOS Y [tg y + fZ':J
COS/!+ + i : Ig/!y] .
ZHcosfJy + jZBsinfJy
ZBX == Z
cos y + i Z н sinf3y
в
367
Обозначим jZH/ZB == tgv и учтем, что
tg y + tgv
tg( y + ") === 1 tg ytgv'
. tg y + tgv .
ZBX == ,ZB 1 tgv tg y === /ZBtg ( y + ")'
j
,
I
( 11.51 )
Получим
т. е. входное сопротивление изменяется по танrенсоиде, начало Ko
торой смещено на уrол v.
При индуктивной наrрузке
. jюL юL
Хн == юL; tgv == , == ; v > о;
ZB ZB
при емкостной
1 . j( 1/ (j) С) 1
Хн == юС ; tgv === J ZB == юСZ в ; v < о.
11.21. Определение стоячих электромаrнитных ВОЛН. В линиях
без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при
чисто реактивных наrрузках возникают стоячие электромаrнитные
волны.
Стоячая электромаzнитная волна образована стоячими волна
ми напряжения и тока. Математически такие волны описываются
произведением двух периодических (в нашем случае
триrонометрических) функций. Одна из них функция
координаты текущей точки на линии (в нашем случае f3y), друrая
функция времени (wt). Стоячие волны напряжения и тока всеrда
сдвинуты по отношению друr к друrу в пространстве и во времени.
Сдвиr во времени между стоячими волнами напряжения и тока
равен 900, сдвиr в пространстве четверти длины волны [см. фор
мулы (11.52a) и (11.53a), (11.54а) и (11.55а)].
Точки линии, rде периодическая функция координаты проходит
через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодиче
ская функция координаты принимает максимальные значения,
пучностями.
При возникновении стоячих волн электромаrнитная энерrия от
начала к концу линии не передается. Однако на каждом отрезке
линии, равном четверти длины волны, запасена некоторая электрО
маrнитная энерrия.
Эта энерrия периодически переходит из одноrо вида (энерrи и
электрическоrо поля) в друrой (энерrию маrнитноrо поля).
В моменты времени, коrда ток вдоль всей линии оказываетсЯ
равным нулю, а напряжение достиrает максимальноrо значениЯ,
вся энерrия переходит в энерrию электрическоrо поля.
В моменты времени, коrда напряжение вдоль всей линии равНО
368
нулю, а ток достиrает максимальноrо значения, вся энерrия пере
ходиТ в энерrию маrнитноrо поля.
11.22. Стоячие ВОJlНЫ в линии без потерь при ХОJlОСТОМ ходе
линии. Из формул (11.35a) и (11.36a) следует, что при холостом ходе
. .
u === U2COS Y; (11.52)
.
. . и 2
/ === / 1) L o/ СО sin y.
( 11.53)
Для перехода к функциям времени умножим правые части
формул (11.52) и (11.53) на .y2e i (J)t и. от полученных произведений
возьмем мнимые части:
и .y2U2cos ysinwt; (11.52a)
. u 2 . А . ( t + 90 0 )
l === V Lo/C o Sln t-'y Sln w . (11.53a)
Уrол 900 в aprYMeHTe у синуса в формуле (11.53a) соответствует
множителю j в формуле (11.53).
В точках y === kл, rде k == О, 1,2, ..., будут узлы тока и пучности
напряжения.
fрафик стоячих волн напряжения и тока для трех смежных
3
моментов времени wt l == О, wt 2 == л/2 и wt з === 2 л показан на рис. 11.9: а
напряжения, 6 тока. Сплошными линиями обозначена волна
при wt 1 == О, тонкими при wt 2 == л/2, пунктирными при
3
юt з === 2 л для напряжения и при wt з == л для тока.
11.23. Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыка-
нии на конце JlИНИИ. Из формул (11.35а) и (11.36а) следует, что при
коротком замыкании на конце л инии
U == ji 2 v Lo/CosinBy;
. .
/ == /2cosBY.
( 11.54 )
( 11.55)
Для перехода к MrHoBeHHbIM значениям умножим правые части
формул (11.54) и (11.55) на e f(J)t и от произведений возьмем мни
Мые части:
и == V21 2V Lo/Cosin у sin (wt + 900); (11.54a)
i == .y2/2COS В У sin wt. (11.55а)
В правой части формулы (11.54a) в формуле для напряжения
есть множитель sin у sin(wt + 900), как и в формуле (11.53a)
для тока i.
369
Следовательно, картина стоячей волны напряжения при KOpOT
ком замыкании на конце линии качественно повторяет картину
стоячей волны тока при холостом ходе линии. i
11.24. Четвертьволновый трансформатор. Для соrласования
линии без потерь, имеющей волновое сопротивление ZBl' с активной
наrрузкой ZH == R H =1= ZBl применяют четвертьволновый трансфор-
матор (ЧВТ). Он представляет собой отрезок линии без потерь
длиной в четверть волны л/4 с волновым сопротивлением ZB2' Со-
противление Zo2 рассчитывают так, чтобы входное сопротивление в
схеме рис. 11.9, в по отношению к точкам а и Ь оказалось равным
ZBl (при этом на линии с ZBl практически установится режим бету-
щей волны):
R H cos 900 + jZB2 sin 900 2
Zвxab;::::: R === Zв2/ R н === ZBl-
cos 900 + j z н sin 900
в2
Отсюда ZB2 == -V RHZ B1 .
На линии с ZB2 есть и падающие и отраженные волны.
Если наrрузочное сопротивление не чисто резистивное
(ZH == R H + jX H ), то для соrласования ZBl с ZH на заданной частоте к
зажимам аЬ на рис. 11.9 кроме четвертьволновой линии подключа
ют еще отрезок короткозамкнутой линии, длину которой берут та-
кой, чтобы суммарная входная проводимость четвертьволновой и
дополнительной короткозамкнутой линий равнялась 1/ ZBl'
1 t.25. Беrущие, стоячие и смешанные волны в линиях без по.
терь. Коэффициенты беrущей и стоячей волн. При соrласованной
н rруз!<е на линии J;lмеI9ТСЯ только беrущие волны напряжения
(и == и 2 е jf3y) и тока (1 == 1 2 е jfly). Так как при любом у I е jflYI == 1, то
для 6еС?ущей волны действующее значение напряжения и тока
вдоль линии неизменно (рис. 11.10, а). При возникновении на линии
стоячих волн действующее значение напряжения на линии изменя
ется в функции расстояния у пропорционально I cosBy I при корот-
ком замыкании [см. формулу (11.54)].
При несоrласованной активной наrрузке на линии возникает
смешанная волна комбинация беrущей и стоячей волн. ЕслИ
обозначить т == ZB/ZH' то
.. . .
и == и 2 cos J1y + jm и 2 sin f3y === и 2 cos ВУ +
. .
+ jU 2 sin f3y + jU 2 (т 1) sin f3y,
или
. . .
U == U 2 e i f\Y + j(m 1 )и 2 sin f3y.
370
jJ!I
I
I
wt J ==7f
1 :
ру :
Ли щ :
!зу б)
А
. .
t
5}
а
ZH==R H
Линия
ь В}
Р....с.11.9
Р....с. 11. 1 О
Первое сл araeMoe определяет беrущую, второе стоячую волны.
Распределение напряжения на ли нии в функции расстояния у
i U === U2 v'COs2f3Y+ m2sin2 y .
При т > 1 напряжение на конце линии минимально, а через
четверть длины волны f3y === л/2 максимально (рис. 11.10,6). При
т < 1 напряжение на конце линии максимально, а через
f3y === 'Л/2 минимально (рис. 11.10, в).
Коэффициентом 6еС?ущей волны называют отношение миниму
ма напряжения смешанной волны к ее максимуму:
Кб. в === U min/ U шах.
Коэффициент стоячей волны Кс. в === 1/ К б _ в.
* 11.26. Аналоrия между уравнениями линии с распределенными
параметрами и уравнениями четырехполюсника. Напряжение и
ток на входе линии с распределенными парамет а и (U 1 , /1) связа
ны с напряжением и током в конце этой линии (и 2 , 12) следующими
Уравнениями [ПОJIучены из (11.35) и (11.36), в которые вместо у
ПОдставлена длина всей линии 1]:
и. === и 2 ch -yl + 12 ZB sh -yl;
и 2 .
12 === Z sh -yl + 12 ch -yl.
в
Сопоставим их с известными из ч. 1 учебника уравнениями че
371
. . .. . .
тырехполюсника: и 1 === А и 2 + B1 2 ; /1 === С и 2 + D/ 2 . Из сопоставле
ния следует, что уравнения по форме полностью аналоrичны, а если
принять, что
А == D === chyl;
В == ZBshyl;
С === shyl / ZB'
( 11.56)
( 11.57)
( 11.58)
. . . . .
1'0 зависимость между и 1 и и 2 , И 12 И зависимость между /1 и и 2 , И
12 В линиях С распределенными параметрами точно такие же, как и
в четырехполюснике. Друrими словами, при соблюдении условий
(11.56) (11.58) четырехполюсник эквивалентен линии с распреде
ленными параметрами в отношении связи между входными и вы-
ходными токами и напряжениями.
Напомним, что обратная постановка вопроса, т. е. запись ypaB
нений четырехполюсника через rиперболические функции, рас-
сматривал ась в 4.11.
11.27. Замена четыреХПОJlюсника эквиваJlентной ему Jlинией С
распредеJlенными параметрами и обратная замена. При перемене
местами источника и наrрузки в схеме (см. рис. 11.7) токи в источ-
нике и наrрузке не изменятся. Таким же свойством обладает сим-
метричный четырехполюсник. Поэтому однородная линия с рас-
пределенными параметрами может быть заменена симметричным
четырехполюсником и, наоборот, симметричный четырехполюсник
можно заменить участком однородной линии с распределенными
параметрами. При замене будем исходить из уравнений (11.56)
(11.58) и зависимостей, с помощью которых параметры симметрич-
Horo четырехполюсника связаны с коэффициентами А, В, С.
Для симметричной T cxeMЫ замещения четырехполюсника
ZI === (А 1)/С;
Z3 === I/С
(11.59)
(11.60)
или
А == D == 1 + ZI/ Zз;
В == 2Z 1 + Zi/Zз;
С 1 == ] / Z3.
(11.61)
( 11 .62)
(11.63)
Для симметричной П-схемы
Z4 == В;
Z5 === В/(А 1)
(11.64)
( 11.65)
372
или
А == 1 +Z4/Z5;
В == Z4;
2 2
С ==7: + Z4/ Z 5'
5
( 11.66)
(11.67)
(11.68)
Рассмотрим сначала последовательность операций при замене Т
и П схем замещения четырех пол юс ника эквивалентной ему линией
с распределенными параметрами (имеется в виду замена при фик
сированной частоте).
Пусть известны параметры ZI и Z3 В T cxeMe (Z4 и Z5 В П схеме).
Требуется найти ZB и yl для эквивалентной линии.
По формулам (11.61) и (11.63) или соответственно (11.66)
(11.68) находим коэффициенты А, В, С.
Для определения волновоrо сопротивления ZB разделим (11.57)
на (11.58):
ZB=== V B / C .
( 11.69)
Для определения у! составим выражение для thyl, использовав
(11.56), (11.57) и (11.69):
в
thyl === sh yl === -vвтc == \fBC
chv1 А А '
(11.70)
е v 1 е v 1
но thv l === 1 1 .
e V + e v
Умножив и числитель, и знаменатель последней формулы на
e v1 , получим
e 2y1 1
thv 1 === 2 1 .
е v + 1
Отсюда
2vl 2al i2f31 1 + thV 1
е е е 1 thyL"
Правую часть формулы (11.71) переведем в показательную фор
му. Пусть она будет равна Me iv . Тоrда e 2a1 === М, и так как
e/ v == ei(v + 2nk) === ei2f31, rде k цеJIое число, то 2 l 2kлу == v. Отсюда
v (а)
[:Н === 2 + k'Л.
(11.71)
Для реальных линий Ro, Lo, СО, О О >0. Это накладывает условие
На Определение k. Следует подсчитать l по приближенно известно
Му значению фазовой скорости в линии
373
{Н ==rol/v ф
(б)
и затем, сопоставив значения l, найденные по (а) и (б), определить
k, окруrлив ero значение до ближайшеrо целоrо числа.
Рассмотрим теперь последовательность операций при замене
линии с распределенными параметрами эквивалентным ей четы
рехполюсником.
Известны yl и ZB' Требуется найти сопротивления Z 1 и Z3 В Т cxe
ме (Z4 и Z5 В П схеме). С этой целью по (11.56) (11.58) находим
значения коэффициентов А, В, С, а затем по (1] .59) и (11.60) опреде
ляем Zl и Z3 дЛЯ T cxeMЫ [или по (11.64) и (11.65) сопротивления Z4
и Z5 дЛЯ П схемы].
Возникает вопрос: любой ли симметричный четырехполюсник
можно заменить участком линии с распределенными параметрами
и любую ли линию с распределенными параметрами можно заме
нить четырехполюсником?
Очевидно, подобную замену можно осуществить, если получен
ные в результате расчета параметры таковы, что заменяющее YCT
ройство физически можно выполнить. Как правило, замена участка
линии с распределенными параметрами четырехполюсником воз
можна всеrда, а обратная замена не всеrда. Она невозможна в
тех случаях, коrда в результате расчета волновое сопротивление
окажется чисто мнимым числом; в реальных линиях этоrо не бывает.
11.28. ЧетыреХПОJlЮСНИК заданноrо затухания. Включаемый
между источником сиrнала и наrрузкой четырехполюсник, пред
назначенный для ослабления амплитуды сиrнала в заданное число
раз, называют четырехполюсником заданноrо затухания (аттенюа
тором). Ero собирают обычно по симметричной T или П схеме и
наrружают соrласованно.
Положим, что требуется найти сопротивления Zl и Z3 TaKoro
четырехполюсника, собранноrо по T cxeMe, полаrая известныМИ
затухание а (в неперах) и характеристическое сопротивление Zc.
Исходим из двух соотношений:
Z
cha == 1 + i и Zc === -yB/C == V 2Z 1 Z З + Z i .
3
Из первоrо находим Zl/ Z3 === cha 1 и подставляем во второе.
Пример 118. Дано: а === 0,963 Нп; Zc === 700 ОМ.
Найти Z 1 и Z3.
Реш е н и е. Zl/ZЗ == chO,963 1 1 == O,5;Z} === 0,5Z з ;Zс == 2,25Z 1 ;Zl == 311 ом;
Z3 === 622 ОМ.
lТаблицу rиперболических функций СМ. в 8.18.
374
UЛ+f: i л +/
Рис. 11.11
11.29. Цепная схема. На практике приходится встречаться со
схемой, представляющей собой каскадное включение нескольких
одинаковых симметричных четырехполюсников (рис. 11.11).
Такую схему принято называть цепной. Исследование распре
деления тока и напряжения вдоль цепной схемы удобно проводить,
используя теорию линий с распределенными параметрами. Дейст
вительно, в предыдущем параrрафе rоворилось о замене одноrо
четырехполюсника отрезком линии длиной 1, имеющей постоянную
распространения у и волновое сопротивление ZB' Если число четы
рехполюсников равно п, то длина отрезка линии с распределенны
ми параметрами будет в п раз больше, т. е. равна пl.
Обо:значи напряжение и ток на выходе п четырехполюсника
через и п + 1 и lп +}; тоrда напряжение и ток на входе первоrо четы
рехполюсника .. .
и. == и п + ,chyпl + 1 п + lZBshy/;
и п +} .
I} === Z sh,\,nl + 1 п + Ich,\,nl.
в
( 11.72)
( 11.73 )
Напряжение и ток на входе k от начала четырехполюсника
(k п ):
. . .
U k == и п + }ch( п k + 1),\,1 + [п + IZBsh(п k + 1),\,1; (11.74)
u n + 1 .
/k === Z sh(n k + 1),\,1 + lп + Ich(n k + 1),\,1. (11.75)
в
Рассмотрим несколько числовых примеров на материал, изло
Женный в 11.1 11.28.
Пример 119. Для не которой линии длиной 5 км на часТоте 1000 rц были прове
дены опыты по определению ее входноrо сопротивления при холостом ходе и KOpOT
Ком замыкании на конце линии. Оказалось, что ZBX x===535e j64° Ом и
lBX К == 467,5e jlO° Ом. Требуется найти волновое сопротивление ZB и постоянную
раСПространения,\, этой линии.
Реш е н и е. Из формулы ([ 1.48) следует, что при холостом ходе, коrда
l2 === 00 ZBX Х === ZB/th,\,l.
При коротком замыкани и, к оrда Z2 === О, ZBX К === Z Bth,\,I, отсюда
ZB == -Y ZBX XZBX К === "y 535e i 64 °467,5e j1 0° === 500e j37° Ом;
"270
th,\,1 === -Y ZBX к/ ZBX Х === О,935е/ .
375
UЛ+f: i л +/
Рис. 11.11
11.29. Цепная схема. На практике приходится встречаться со
схемой, представляющей собой каскадное включение нескольких
одинаковых симметричных четырехполюсников (рис. 11.11).
Такую схему принято называть цепной. Исследование распре
деления тока и напряжения вдоль цепной схемы удобно проводить,
используя теорию линий с распределенными параметрами. Дейст
вительно, в предыдущем параrрафе rоворилось о замене одноrо
четырехполюсника отрезком линии длиной 1, имеющей постоянную
распространения у и волновое сопротивление ZB' Если число четы
рехполюсников равно п, то длина отрезка линии с распределенны
ми пара метрами будет в п раз больше, т. е. равна пl.
Обо:значи напряжение и ток на выходе п четырехполюсника
через и п + 1 и lп +}; тоrда напряжение и ток на входе первоrо четы
рехполюсника .. .
и. == и п + ,chyпl + 1 п + lZBshy/;
и п +} .
I} === Z sh,\,nl + 1 п + Ich,\,nl.
в
( 11.72)
( 11.73 )
Напряжение и ток на входе k от начала четырехполюсника
(k п ):
. . .
U k == и п + }ch( п k + 1),\,1 + [п + IZBsh(п k + 1),\,1; (11.74)
u n + 1 .
/k === Z sh(n k + 1),\,1 + lп + Ich(n k + 1),\,1. (11.75)
в
Рассмотрим несколько числовых примеров на материал, изло
Женный в 11.1 11.28.
Пример 119. Для не которой линии длиной 5 км на часТоте 1000 rц были прове
дены опыты по определению ее входноrо сопротивления при холостом ходе и KOpOT
Ком замыкании на конце линии. Оказалось, что ZBX x===535e j64° Ом и
lBX К == 467,5e jlO° Ом. Требуется найти волновое сопротивление ZB и постоянную
раСПространения,\, этой линии.
Реш е н и е. Из формулы ([ 1.48) следует, что при холостом ходе, коrда
l2 === 00 ZBX Х === ZB/th,\,l.
При коротком замыкани и, к оrда Z2 === О, ZBX К === Z Bth,\,I, отсюда
ZB == -Y ZBX XZBX К === "y 535e i 64 °467,5e j1 0° === 500e j37° Ом;
"270
th,\,1 === -Y ZBX к/ ZBX Х === О,935е/ .
375
e v1 == eO.707ejO.707 === 2,02(cos40020' + jsin40020') === [,54 + j1,305;
e vl === e 0.707e jO.707 === 0,495(cos40020' jsin40020') === 0,377 jO,32;
chyl == 0,5(e V1 + e Vl) === 0,96 + jO,4925 === 1,07ej27°20';
shyl === O,5(e V1 e Vl) == 0,582 + jO,8[2 ej54°20'.
Следовательно,
и 1 === '2 Z B sh yl === [.500e i37°ej54°20' == 500ej17°20' В;
. .
j27°20'
1I == 1 2 chyl === [,07е А.
Пример 123. J)ин я примера 119 замкнута на активн.ое сопротивление Z 400
Ом. Определить и} и 11' если по наrрузке протекает ток 12 === 0,5 А; f === 1000 l"ц.
Реш е н и е.
.. .
и 1 === U 2 chyl + 1 2 Z B shyl == 200.1,07ei27°20' + 0,5.500е j370еiБ4020' === 463e j22 ° В;
. U 2 "53038'
I} === 1 2 chyl + z shyl == 0,8е/ А.
в
Пример 124. По данным примера 12 определить комплекс действующеrо зна
чения падающей волны в начале линии (А 2 ).
Реш е н и е. В с отве.тствии с формулой (11.28)
. U 1 + 11 Z 463e i22 ° + О 8ej53°38' 500е j37° . о ,
А 2 === А 2 е/"Фп === в ' === 43 [e/ 19 30 В.
2 2
Пример 125. Записать выражение для MrHoBeHHoro значения падающей волны
напряжения в начале и конце линии по данным примера 124.
Реш е н и е. MrHoBeHHoe значение падающей волны напряжения в начале ли
нии при х === 0 .431sin(ffit + [9°30').
MrHoBeHHoe значение падающей волны напряжения в конце линии при х === 1 в
общем виде A2e alsin(ffit + 'Ф п [:Н); определяем
е al === е 0.707 === 0,495; [:Н === 0,707 рад === 40°20'
A2e al === .431.0,495 === 301 В;
'фп [:Н === 19°31' 40°20' === 20°50'.
Следовательно, MrHoBeHHoe значение падающей волны напряжения в конце
Линии 30[ sin(ffit 20°50') В.
Пример 126. Определить затухание в неперах для лJiнии примера 119, если на
Конце ее включена соrласованная наrрузка.
Реш е н и е. Затухание в неперах равно al. Так как произведение
0.1 == 0,1414.5 == 0,707, то затухание линии равно 0,707 Нп.
Пример 127. Какую дополнительную индуктивность L одоп нужно включить на
каждом километре телефонной линии с параметрами: Ro === 3 Ом/км; Lo === 2. 10 3
rH/KM; О О === [0 60M. KM I; СО === 6.10 9ф/км, чтобы линия стала неискажающей?
Реш е н и е. Для Toro чтобы линия была неискажающей, ее параметры долж
Ны Удовлетворять уравнению (11.41 ). Следовательно,
RoC o 9 6 3
L одоп + Lo === === 3.6.10 ЛО === 18.10 rH/KM;
о
Lo доп === '18 2 === [6 м r / к м .
377
Пример 128. Определить наименьшую длину КОiоткозамкнутой на конце ДBYx
проводной воздушной линии, чтобы при частоте 10 rц входное сопротивление ее
равнялось 800j Ом. Расстояние между осями проводов d == 20 см, радиус каЖдоrо
провода r == 2 мм.
Реш е н и е. В соответствии с формулой (11.50)
lBX К === j ..y Lo/Cotgf!y.
Для двухпроводной линии
L 110 Iп d . С Л8 0 . Lo 110 ( IП(d/r) ] 2. rr; Iп(d/r)
о 'о , , y У--::;
л r Iп(d/r) со 80 л СО Л 80
(ii; In ( 200 / 2 )
y == 377 Ом; y == 377 === 553 Ом.
Во СО n
По условию, 800j == j553tgf!y.
Отсюда
tgf3y == 800/553 == 1,445; f!y === 55020' == 0,963 рад;
..yJ!080 === 1/(3. (010) с/см;
=== ffi L 'Co == ffi VI1080 == 2л.10 8 /(з. (010) === 2,092. [0 2 CM I.
Искомая длина линии
у == 0,963/(2,092.10 2) == 46,1 см.
Пример 129. В T cxeMe рис. 6.5, а ZI == 100 Ом, Z3 === 500j Ом. Определить
характеристическое сопротивление четырехполюсника и произведение 'Y1 эквива
лентной ему линии с распределенными параметрами.
Реш е н и е. В Соответствии с формулами (11.61 ) (1 [.63)
А === 1 + 1 === 1 + 100/( 500j) == 1 + 0,2j == [,02ejll°18';
3
в === 2Z 1 + Z / Z3 === 200 + 104 /( 500j) == 200 + 20j 200e i5 ° 4 0';
С == I/Z з === [/( 500Л === 0,002e j90 °.
По формуле (11.69),
ZB === -УВ/С === Y 200e i 5 ° 4 0' /(0,002e j 90 o) == 3[6e j42°10' Ом.
По'формуле (1 [.70),
tg'Y l == -УВ/С/ А === Y200ej5°40'O,002ei90" /(1,02ejl1oI8') == 0,498 + 0,З69j.
По формуле (1 [.71 ),
2yl 20./. j2f31 1 + th'Y 1 1,498 + jO,369 5 j50010'.
е е е 1 th'Y 1 0,502 jO,369 2,47 е ,
al === 0,5In2.475 ;::: 0,454;
l === 2505' 0,437 рад; 'Yl == 0,454 + j0,437.
378
вопросы А". самопроверки
1. Чем принципиально отличаются цепи с распределенными параметрами от цe
пей с сосредоточенными параметрами? 2. За счет чеrо токи и напряжения вдоль линии
с распределенными параметрами неодинаковы для ОДНоrо и Toro же момента времени?
3. Поясните переход от уравнений для MrHoBeHHbI.x Зl;lачений U и i уравнений ([ 1.1) и
(Н.4) к уравнениям для комплексных значений U и 1 [уравнениям (Н.7) и ([ 1.8)].4.
Каков физический смысл постоянной распространения у и BOJIHOBOrO сопротивления
ZB? 5. Если два провода двухпроводной линии с малыми потерями раздвинуть по
сравнению с их исходным состоянием, то как это скажется на ZB и у? 6.l\aK Оl1ределить
ZB и У опытным путем? 7. Из каких условий определяют постоянные Al и А2? 8. Как
показать, что сиrнал, проходя по линии без искажений, не изменяет своей формы? 9.
Почему в линии передачи информации стремятся братьZн == ZB? 10. Линия без потерь
наrружена несоrласованно. Коэффициент отражения по напряжению ku === [/3. Чему
равно ZH в долях от ZB? 11. В чем различие между беrущей и стоячей волнами в
физическом и математическом отношении? Какую волну называют смешанной? 12.
Покажите, что линия без потерь является неискажающей. 13. При каком соотноше
ниимеждупараметрами можносчитатьреальнуюлиниюсRо =F ОиО =F Окаклинию
без потерь? 14. Линия длиной "лj2 наrружена соrласованно, у === 0,1 + jO,314. Опре
делите кпд линии. (Ответ: 0,[33.) 15. Линия имеет длину 10 км И У == 0,2 + 0,314j.
. озо о . озо о
В середине линии U п == IООе/ В, и ОТР == 50е / В. Запишите MrHoBeHHbIe значения
Uп и ио в начале линий. [Ответ: Uп == 272sin(ffit + (200), ио == 36,8sin(ffit (200) В.] 16.
В каком смысле четырехполюсник может быть эквивалентен линии с распределенны
ми параметрами? 17. Как рассчитать элементы аттенюатора по известным а и ZB? 18.
Каково назначение четвертьволновоrо трансформатора? 19. Решите задачи 13.3; [3.11;
[3.23; [3.31; 13.37; 13.43.
rnaBa двенадцатая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ,
СОДЕРЖАЩИХ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
12.1. Общие сведения. В rл. 8 рассматривались переходные про
цессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными пара
метрами. Для электроэнерrетики, телефонии, телеrрафии, счетной
техники, радиотехники, электроники и импульсной техники сущест
венное значение имеют также переходные процессы в электриче
ских цепях, содержащих линии с распределенными параметрами.
В тех участках цепей, которые MorYT быть представлены как
участки с сосредоточенными параметрами, расчет переходных про
цессов производят с помощью методов, изложенных в rл. 8. В данной
rлаве обсуждаются особенности переходных процессов в самих ли
НИях с распределенными параметрами, вопросы соrласования и
увязки их с переходными процессами на участках цепей с cocpeдo
ТОченными параметрами.
Как уже rоворилось в 11.2, основными уравнениям и для линий
с распределенными параметрами являются уравнения (11.1) и
( 11.4). Они справедливы для установившихся и переходных процес
сов.
В силу Toro, что интеrрирование двух совместных дифференци
3ЛЬных уравнений в частных производных [уравнений (11.1) и (11.4)]
379
в общем виде представляет собой довольно сложную в матемаТиче
ском отношении задачу, в курсе rоэ переходные процессы на пер
вом этапе изучают несколько упрощенно, а именно: рассматривают
переходные процессы в однородных линиях без потерь, т. е. при
Ro == О и О О ::;:;;; О. Практически это вполне оправдано, поскольку pe
альные линии с распределенными параметрами, как правило, об
ладают относительно малыми потерями.
Изучение переходных процессов при Ro == О и О О == О дает воз
можность качественно исследовать основные черты процессов. В
количественном отношении неучет Ro и О О для начальных стадий
переходноrо процесса существенноrо влияния обычно не оказыва.
ет, однако для последующих стадий учет Ro и О О желателен и даже
необходим.
После Toro как основные черты переходных процессов в линиях
с распределенными параметрами будут изучены, в 12.11 12.15
будет рассмотрено применение onepaTopHoro метода, позволяющее
учесть затухание волн в линиях (учесть наличие Ro и о о )'
В энерrетических, телефонных и телеrрафных устройствах, co
держащих линии с распределенными параметрами, переходные
процессы возникают при подключении линий к источнику ЭДС (ис
точнику сиrнала), при отключении от источника ЭДС, при подклю
чении и отключении наrрузки, а также при атмосферных (rрозовых)
разрядах.
В радиотехнических устройствах и устройствах, используемых
в вычислительной технике, также происходят переходные процессы
типа рассматриваемых в данной rлаве, например в линиях задерж
ки и формирующих линиях.
12.2. Исходные уравнения и их решение. Из уравнений (11.1) и
(11.4) при Ro === О и О О === О следует, что
ди а; ( 12.1 )
ах == Lo дi;
а; с аu
ах === о at '
( 12.2)
Ток и напряжение являются функциями двух переменных: pac
стояния х от начала линии и времени t. Продифференцируем (12.1)
по х и (12.2) по t:
а 2 и а 2 ;
L .
ах2 о дхд/'
( 12.3)
д 2 ; д 2 u
c
axat о at2'
( 12.4)
в соответствии с (12.4) в правую часть (12.3) вместо a 2 i/ axat
380
д 2 u
подставим СО """"""2 и обозна чим LoC o == 1/ v 2 :
at
д 2 u 1 д 2 u
дх 2 === v 2 . at 2 '
(12.5)
Из Iдущеrо [см. 11.10, формула (11.39)] известно, что
v == 1 /у LoC o есть скорость распространения электромаrнитной
волны по линии. Если уравнение (12.2) продифференцировать по х,
а (12.1) по t и в правую часть продифференцированноrо ypaBHe
иия (12.2) подставить правую часть продифференцированноrо
уравнения (12.1), то получим
a 2 i 1 a 2 i (12.6)
дх 2 == v 2 . at 2 '
Уравнения (12.5) и (12.6) это уравнения BToporo порядка в
частных производных. Из курса математики известно, что ypaBHe
ния TaKoro вида называют волновыми.
Решением уравнения (12.5) является сумма любых функций 11 и
12' причем aprYMeHToM функции I1 является (t xjv), а aprYMeHToM
функции 12 (t +x/v)
U ==/1(/ x/v) +/2(/ +x/v). (12.7)
Для сокращения записи в дальнейшем будем обозначать:
U п === 'I(t x/v); (12.8)
и о == '2( / + x/v). (12.9)
Следовательно,
U == u п + и о ,
( 12.1 О)
rде индексы «о» И «п» означают отраженная и падающая (волны).
Вид функций I1 И 12 определяется rраничными условиями в Ha
чале и конце линии. Функции 11 И 12 В общем случае должны позво
Лять дважды дифференцировать их по х и /.
Подстановка функций 'I( t x/v) и , 2 ( / + x/v) в (12.5) дает тож
дество. .
Решение уравнения (12.6):
i ===rpI(t x/v) +rp2(t +x/v). (12.11)
Для сокращения записи обозначим:
iп==rpl(/ Х/V);
io == rp2(/ +x/v).
( 12.12)
(12.13)
т оrДа
i === i ll + io.
(12.14)
381
12.3. Падающие и отраженные волны на линиях. В COOTBeTCT
вии с формулами (12.7) и (12.11) напряжение и ток в линии MorYT
быть представлены в виде двух функций: функции I,(t х/и) и
,и x/v) падающие волны; функции 12(/ + х/и) и 2и + x/v)
отраженные волны.
Падающие волны перемещаются со скоростью v по направле
нию от источника энерrии к приемнику, т. е. в сторону увеличения
координаты х; отраженные волны от приемника энерrии к источ
нику, т. е. в сторону уменьшения координаты х.
Обсудим, как следует понимать, что aprYMeHToM функции 1,
является (/ x/v) (аналоrичные выводы можно сделать и по OTHO
шению к друrим функциям).
Пусть в некоторой точке линии при х:::= x 1 И t == /, значение
функции I,(tl x,/v) равно FI' Это значение функция 1, будет при
нимать во всех точках линии, rде х > х, с запозданием во времени,
равным (х x,)/v и обусловленным конечной скоростью переме
щения волны по линии.
Так, в точке х == Х 2 значение функции 1, будет равно Р, при
/ == /2 == /, + (Х 2 x,)/v. Действительно,
/,(t 2 х 2 /и) == fl(t, + Х 2 x 1 ) === fl(t l 1 === Р,"
Таким образом, каков бы ни был закон изменения напряжения
падающей волны /1 в начале линии, по такому же закону, но с
запозданием во времени изменяется напряжение падающей волны
в любой точке линии.
12.4. Связь между функциями 11,12 И функциями " 2' Найдем
связь между функциями 1, и " а также 12 и 2. С этой целью в (12.1)
и (12.2) подставим (12.7) и (12.1 1) и для сокращения записи обозна
чим:
d/,(t х/и)
d(t х/и) === 1,';
df2(t + х/и)
d(i + х/и) === 12';
Тоrда уравнение (12.1) дает
1, 1, , ,
/, ! 2 === LofP, + LOfl>2"
v V
d<p,(t х/и) ,
d(t х/и) == <Р,;
d<p2(t + х/и) ,
d(t + х/и) === Ч>2'
(12.15)
Из (12.2) следует, что
1, 1, , ,
fl>l -----<Р2 == СО! 1 + C o 1 2 .
V V
(12.16)
Перепишем (12.15) и (12.16):
382
1; 12' == V LO( f:P; + f:P;);
, , 1 , 1
I1 + 12 == c (<PI Ч'2)'
v о
(12.15а)
(12.16а)
НО
vL o == Lo/ V LoC o == V L o/ СО == ZB;
1/(vC o ) == V LoCo/Co== V Lo/Co ==ZB'
rде ZB волновое сопротивление однородной линии без потерь[см.
формулу (11.23a »).
Таким образом,
1 l' 12' == Z в( fP l' + (f) 2') ;
11' +/2' ==ZB(fPl' fP{).
(12.15б)
(12.16б)
Следовательно,
f:Pl' == 11' / ZB;
fP2' == '{ / ZB'
( 12.17)
( 12.18)
Если производные двух функций (например, fPl' и '/) при любых
значенияххи t равны, то это значит, что сами функции (fPl И fl) равны
с точностью до постоянной. Поэтому
1 (12.19)
Ч'} (t x/v) == Z 11 (t x/v);
в
1
Ч'2 (t + x/v) == z 12 (t + x/v).
в
( 12.20)
Постоянные интеrрирования опустили, так как полаrаем, что в
Токах и напряжениях падающей и отраженной волн отсутствуют
постоянные составляющие, не зависящие от х и от t. Два последних
уравнения можно переписать с учетом (12.8), (12.9), (12.12), (12.13):
i n == un/Z B ; (12.19a)
io == и о / ZB' (12.20а)
Из( 12.19а)следует, что ток падающей волны для любоrо MOMeH
Та времени и для любой точки на линии равен частному от деления
напряжения падающей волны для Toro же момента времени и для
Той же точки линии на волновое сопротивление.
ИЗ (12.20a) вытекает, что ток отраженной волны для любоrо
МОмента времени и для любой точки линии равен взятому с обрат
IIЫм знаком частному от деления напряжения отраженной волны в
Той же точке линии и для Toro же момента времени на волновое
Сопротивление. Знак минус в (12.20a) означает, что ток отраженной
383
волны направлен встречно положительному направлению отсчета
тока, показанному на рис. 11.2.
12.5. Электромаrнитные процессы при движении прямоуrоль-
ной волны по линии. Пусть источник постоянноrо напряжения и,
имеющий внутреннее сопротивление, равное нулю, подключается к
незаряженной однородной линии с распределенными параметра
ми, у которой Ro == 00 == о (рис. 12.1).
По линии перемещается падающая электромаrнитная волна.
Начальный участок волны, первым продвиrающимся по линии,
принято называть фронтом волны. В данном случае волна имеет
прямоуrольный фронт.
Двиrаясь полинии, волна создает между проводами линии элек
трическое и маrнитное поля.
Приращение маrнитноrо потока (потокосцепления) на фронте
волны за время dt равно произведению тока i на индуктивность
участка линии длиной dx: d'Ф == iLodx; оно вызывает ЭДС
е ::;:=: d'Ф === iLo dx == iLov === i Lo === i W ==
dt dt LoC o СО
== iZB == U П == и.
Таким образом, на фронте волны возникает ЭДС самоиндукции,
численно равная напряжению reHepaTopa. На фронте волны проис
ходит зарядка проводов линии: один провод, например верхний,
присоединенный к плюсу источника ЭДС, приобретает положи
тельный заряд,друrой(нижний) отрицательный заряд(такой же
величины ).
Кроме Toro, на фронте волны возникает ток смещения
i CM == dq/dt, rде dq приращение заряда на одном из проводов
линии за время dt:
dq == Coudx == Couvdt.
Проходящий по диэлектрику на фронте волны ток смещения
равен току падающей волны, проходящему по проводам линии:
i CM == dq / dt == Couv == u п / ZB'
Электромаrнитная волна, продвиrаясь по линии, каждой единИ
це длины ее сообщает энерrию электрическоrо поля Coи /2 и энер
rию М.аrнитноrо поля Lo i /2. Можно показать, что эти количества
энерrий равны. Действительно,
u п == iПZ В == i п \) Lo/ Со.
Следовательно,
Coи /2 == Coi Lo/(2Co) == Loi /2.
384
11
t
lJ
(f
"СМ
dx == vdt
Р....с. 12.1
"
i
[н
ZH IIN "н
а) 5)
Р....с. 12.2
Коrда падающая волна достиrает конца линии, к которому в
общем случае присоединена некоторая наrрузка или друrая линия
(с друrим волновым сопротивлением), то часть падающей волны
проходит в наrрузку (или соответственно во вторую линию), а часть
отражается возникает отраженная волна.
Чтобы выяснить, какова форма волны, проходящей в наrрузку,
какова форма отраженной волны и как они деформируются во Bpe
мени, применяют расчетную схему, которую принято называть cxe
мой замещения для исследования волновых процессов в линии с
распределенными параметрами.
12.6. Схема замещения для исследования ВОJlНОВЫХ процессов
в Линиях с распредеJlенными параметрами. Для обоснования MeTO
дики составления схемы замещения обратимся к рис. 12.2, а. На нем
изображена линия с распределенными парам трами, на конце KO
Торой включена нек:оторая наrрузка. Начиная с Toro момента, Kor
a падающая волна дойдет до конца линии, по наrрузке пойдет ток
lн и На ней будет напряжение ин,
На рис. 12.2, а изображены эпюры волн и и i на линии для
Момента времени, непосредственно предшествующеrо подходу вол
ны К концу линии.
В соответствии с формулами (12.10) и (12.14) напряжение и ток
в любой точке линии можно представить в виде суммы падающих и
ОТраженных волн. Это справедливо также в отношении напряже
Ния и тока в конце линии. Следовательно,
13 З'\К 683
385
И[\ + И О == ин;
i п + iO == i H .
Заменив i n на И п / ZB' а io на и о / ZB' получим
и п + и о == ин; И П И О == iHZ B ,
(12.21 )
( 12.22)
или
2и п == Ин + iHZ B .
( 12.23)
Таким образом, напряжение на конце линии Ин и ток в наrрузке
i n независимо от характера наrрузки связаны с напряжением паДа
ющей волны и п уравнением (12.23). Последнему соответствует cxe
ма с сосредоточенными параметрами, изображенная на рис. 12.2, б.
В ней к источнику ЭДС напряжением 2и п подключают последова
тельно соединенные ZB и ZH' 1,"
Расчет переходноrо процесса в схеме с сосредоточенными пара
метрами (рис. 12.2, 6) выполняют любым из методов, paCCMOTpeH
ных в rл. 8. Расчет дает возможность определить iH==f(t) и ин==f(t).
После Toro как эти зависимости найдены, можно определить ха paK
тер изменения во времени напряжения и тока отраженной волны:
uo===f(t) и io==f(t). Действительно, из уравнений (12.21) и (12.20a)
следует, что
и о ( t) == и н ( t) п( t);
io( t) == иo( t) /Z B;
ZB == 1/ L o /с о '
(12.21a)
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих примеН fI
ние схемы замещения.
12.7. ПОДКJlючение разомкнутой на конце ЛИНИИ к источнику
постоянноrо напряжения. В линии без потерь, так же как и в колеt Н
бательном контуре без потерь, при подключении к источнику ПОСТОil-
янной ЭДС возникают незатухающие колебания. Период колеба tJ
ний состоит из четырех частей или стадий (рис. 12.3, а z);
одинаковой продолжительности l/v, rде 1 длина линии, v CKOjl
рость распространения волны. Для рассмотрения этих стадий вос;
пользуемся двумя различными схемами замещения. Первая схема
(рис. 12.4, а) соответствует разомкнутому концу линии (ZH == 00),
коrда к нему подходит падающая от начала линии волна. Вторая
схема (рис. 12.4,6) соответствует моменту времени, КОI'да отражен
ная волна подошла к началу линии, rде включен reHepaTop посто
янноrо напряжения, внутреннее сопротивление KOToporo полаrаем
равным нулю (ZH==O).
Рассмотрим каждую из стадий процесса в отдельности.
386
v
,...
I
1I
а)
и
1I
Н"'
.L
rt л /
'о/
I
(J
1)
: :i===J
z)
,i
Р....с. 12.3
Первая стадuя. От reHepaTopa к концу линии распространяются
волна напряжения unI===u И волна тока iпl===UпI/Zв===i (см. рис. 12.3, а).
Вторая стадия заключается в TOM что от конца линии к ее нача
лу движется отраженная волна (U ol , i ol ). Для определения и о1 и
служит схема рис. 12.4, а. Она составлена в соответствии с общим
методом, изложенным в ]2.6. В ней к напряжению 2и пI ===2u под
ключаются волновое сопротивление линии ZB и сопротивление Ha
rрузки ZH === 00 (линия на конце разомкнута!).
Соrласно рис. 12.4, а напряжение на наrрузке равно удвоенному
напряжению падающей волны. Действительно, при ZH oo
ZH
U ZH === 2U пl Z Z == 2U пI == 2и.
н+ в
В соответствии с формулой (12.21 а) отраженная волна напряжения
U o1 === Uн Uпl === 2UпI ппl === и;
в соответствии с формулой (12.20a) отраженная волна тока
i ol === uol / ZB === in) === i.
'у. Таким образом, в течение второй стадии процесса от конца ли
нии к началу продвиrается отраженная волна Uo1===U, iol=== i. Pe
зультирующее состояние на линии определяется наложением пер
вой падающей волны (u nl , i nl ) и первой отраженной волны (U ot ' i ol )'
На рис. ]2.3, б дана эпюра распределения нанряжения и тока по
ЛИНИИ дЛЯ HeKoToporo момента времени во второй стадии. (В этоЙ
с адии для участков линии, на которые прошли отраженные волны.
.(
[,
Z
2и 1l1 =2и
l=oo
н
Z8
Zи- О
. а)
о)
Рис. 12.4
13*
387
результирующее напряжение равно 2и, а результирующий ток pa
вен нулю.)
Третья стадuя процесса состоит в том, что волна U o1 ' i ol , дойдя до
начала линии, отразится от reHepaTopa, как от короткозаМКНуТоrо
конца линии (внутреннее сопротивление reHepaTopa принято paB
ным нулю), И вызовет распространение в направлении от reHepaTO
ра к концу линии второй падающей волны (и п2 , i n2 ), являющейся, по
существу, отраженной волн.ой по отношению к волне (U o1 ' i ol ).
Для определения характера отражения волн от начала ЛИlIии
используем схему рис. 12.4,6. В ней ZH==O, 2u ol ==2u. Так как наrруз
ка ZH==O, то и напряжение на ней равно нулю. Но напряжение на
наrрузке в соответствии с (12.21) равно сумме напряжения падаю
щей волны (в данном случае uo1==u) и напряжения отраженной от
начала линии волны, распространяющейся от reHepaTopa к концу
линии и потому названной второй падающей волной. Следователь
но, 0==U+U п2 ' Отсюда
U п2 == и; i п2 === и п2 / ZB === i.
Результирующее состояние на линии во время третьей стадии
процесса изображено на рис. 12.3, в. Оно получено в результате
наложения трех волн: первой падающей волны (u nl , i nl ), первой OT
раженной от конца волны (U o1 , i ol ) И второй падающей волны (U п2 ' i п2 ).
Четвертая стадuя процесса заключается в том, что на три пре
дыдущие волны накладывается четвертая волна, представляющая
собой отражение от разомкнутоrо конца линии второй падающей
волны.
Отражение второй падающей волны от конца линии произойдет
в соответствии со схемой замещения рис. 12.4, а, только вместо
2u nl ==2u в схеме будет напряжение 2ип2== 2и.
Вторая отраженная волна имеет иo2== и, i o2 ==i. Результирую.
щее состояние на линии во время четвертой стадии (рис. 12.3, z) есть
результат наложения четырех волн:
Uпl+Uоl+Uп2+Uо2 === и+и и и == о;
i пl +i ol +i п2 +i о2 == i i +i == О.
Таким образом, к концу четвертой стадии напряжение и тоК
вдоль всей линии равны нулю линия приобретает такое же состо'
яние, какое у нее было к началу первой стадии. Затем процесС
повторяется до бесконечности, так как Ro и 00 были приняты рав'
ными нулю. В действительности блаrодаря наличию сопротивлениЯ
Ro и утечки 00 колебательный процесс постепенно затухает и вдоль
линии устанавливается режим, соответствующий установившему'
ся процессу в линии при постоянном напряжении.
В рассмотренном примере линия на конце была разомкнута,
поэтому отраженные волны имели такую же прямоуrольнуЮ фор'
му, как и падающие.
388
l, [,2
t2
l82
l6/
l82
с
а)
о)
Рис. 12.5
Отраженные волны будут иметь форму, в общем случае не похо
жую на форму падающей волны, если в состав наrрузки на конце
линии входят емкости и (или) индуктивности, а также в том случае,
если в месте перехода с одной линии на друrую есть сосредоточен
Hыe индуктивности и (или) емкости.
12.8. Переходный процесс при ПОДКJlючении источника посто-
янноrо напряжения к двум ПОСJlедовательно соединенным Jlиниям
при наJlИЧИИ емкости в месте стыка JlИНИЙ. Пусть первая линия
имеет длину 11 и волновое сопротивление Zиl' вторая линия длину
/2 И ZB2#BI' Напряжение источника ЭДС равно U (рис. 12.5, а). В
месте стыка линий есть сосредоточенная емкость С.
Требуется определить форму волны, проникающей во вторую
линию, характер изменения тока через сосредоточенную емкость, а
также результирующее распределение напряжения и тока вдоль
первой линии при движении по ней отраженной от стыка линий
волны.
Переходный процесс начинается с Toro, что от reHepaTopa по
первой линии распространяется падающая волна с прямоуrоль
ным фронтом Un1===U И inl==u/ Zиl.
Для определения характера изменения токов и напряжений,
коrда падающая волна дойдет до стыка линий, обратимся к схеме
замещения с сосредоточенными параметрами рис. 12.5, 6. В этой
схеме наrрузка образована двумя параллельными ветвями eM
костью С и волновым сопротивлением второй линии ZB2'
Две параллельные ветви появились в схеме замещения потому,
что в исходной схеме рис. 12.5, а падающая волна, дойдя до места
стыка линий, встречает два пути для cBoero дальнейшеrо распрост
ранения: первый путь через емкость С, второй путь по второй
линии с волновым сопротивлением Zи2'
Расчет переходноrо процесса в схеме рис. 12.5,6 дает:
. 2u pt .
12 Z + Z (l e ). ( а )
BI 82
2u
i == e Pt .
3 Z ·
вl
(б)
. 2u ( ZB2 pt .
11 Z + z 1 + Z е ).
01 82 01
(в)
389
iz v
а)
t
.If,
..AI
a)
"u
LJ
6)
.' : . \\
,
,. )
t
Ст6/К линшi
I
I! Л1
'. ., t \.:
В)
t
n
8)
е)
t
80а(/ющt1. g 8ujoКJЩl.llf
по лер60U ло lтop'!ii
линии "'i линии
Волна I' IОАна
M :;
1Iie
2)
Рис. 12.6
Р....с. 1 2.7
2uZ в2 t
ис == UZ B2 == Z +Z (l eP);
в1 в2
(r)
р==
ZBI+ Z B2
ZB1 ZB2 С'
(д}
Ха рактер изменения i 2 , i з , i l И и с В функции от времени изображен
на рис. 12.6, а ё. В первый момент после подхода волны к месту
стыка линий напряжение падает до нуля, так как незаряженный
конденсатор для этоrо момента времени представляет собой как бы.
короткое замыкание.
Начальное значение тока через конденсатор равно 2и/ ZBI' Затем
конденсатор заряжается, напряжение на нем растет, а ток через
Hero уменьшается. Ток i 2 в схеме замещения представляет собой ток
электромаrнитной волны, распространяющейся по второй линиИ;
напряжение волны, распространяющейся по второй линии, равно
i 2 Z в2.
Для получения отраженной волны напряжения, распространя
ющейся по первой линии в направлении от стыка линий к reHepaTo
ру, из ординат кривой рис. 12.6, С? нужно вычесть соответствующие
ординаты напряжения падающей волны и затем перенести полу
ченную кривую на линию, зная скорость отраженной волны.
390
На рис. 12.7, a J б изображены соответственно отраженные волны
напряжения и тока.
Эпюра распределения напряжения и тока вдоль первой и второй
линий для момента времени, коrда отра енная от стыка волна
дошла до середины первой линии, представлена соответственно на
рис. 12.7, 8 J i!.
Перепад тока е! в кривой рис. 12.7, i! равен току через KOHдeHca
тор для данноrо момента времени. По второй линии волна продви
нулась на расстояние, вдвое большее, чем прошла отраженная вол
на по первой линии. Это объясняется тем, что первая линия
кабельная, а вторая воздушная. Скорость продвижения волны
по воздушной линии 300 000 км/с, а по кабельной около 150000
КМ/С (формула для скорости v движения волны по линии и входя
щие в нее Lo и СО приведены в 11.10).
Пример 130. В схеме рис. 12.5, а Zиl===50 Ом; Zи2===400 Ом; 11==100 км; С===5,62
мкФ; /1==60 км; u==IO кВ. Первая линия кабельная, вторая воздушная. Построить
эпюры распределения волн напряжения и тока вдоль линий для момента времени,
коrдз рзспространяющаяся по второй линии волна дойдет до конца второй линии.
50+400 1
Реш е н и е. По формуле (д), р == 6 == 4000 c .
50.400.5,62. 10
Ток падающей волны по первой линии in===U/ Zиl=== 104/50==200 А.
По формуле (а), i2==44,5(1 e 4000t) А. [рафик изображен на рис. 12.6, а.
По формуле (б), (I === 400e 4000t А. [рафик i з ==f(t) представлен на рис. 12.6, б.
По формуле (в), i l == 44,5(1 +8e 4000t) А. [рафик тока изображен на рис. 12.6, в.
По формуле (r), ис == UZ и 2 === 17 750(I e 4ooot) В. Кривая изображена на рис.
12.6, .
По условию, падающая по второй (воздушной) линии волна должна дойти до
конца второй линии. Расстояние 12==100 км она пройдет за время t==1 2 /v===
==100/300000==1/3000 с.
За это время отраженная от стыка волна пройдет по первой кабельной линии
расстояние, в два раза меньшее.
[рафики распределения u и i вдоль линии изображены на рис. 12.7, а, б.
Перепад е! на рис. 12.7, б равен току i3 при t==I/3000 с; i3, == 400e 4 / 3==106 А.
Отрезок gf равен току!2 при t===I/3000 с: i2===44,5(1 e 4/3)==32,7 А.
Отрезок тп на рис. 12'/, а равен напряжению и с при t==1/3000 с: u c ==13,05 кВ.
В ра"ссмотренном при мере электрическая цепь, содержащая
Линию с распределенными параметрами, подключалась к источни
ку постоянноrо напряжения.
=[
[, ; lB
а
1(=:[
8
Z8 [2 /J 1; /' 0,518 116
1 2иOTP= 2
18 16 Z8 t
0.518
0)' 6)
Р....с.12.8
391
"
а)
.
"
Однако часто встречаются цепи, в которых ЭДС источника из
меняется по синусоидальному закону во времени. Если длина линии
с распределенными параметрами и частота синусоидальной эдс
таковы, что время пробеrа волны по линии (t==I/v) MHoro меНЬше
периода переменноrо тока Т, например составляет величину поряд
1 1 Т u
ка (30 -7 50 ) ,то при исследовании первых стадии переходноrо про
цесса в первом rрубом приближении можно принять, что линия
подключается к источнику постоянной ЭДС, которая равна ампли
туде синусоидальной ЭДС (расчет на наиболее тяжелый случай).
Если же время пробеrа волны по линии составляет большую, чем
1 1
(50 -7 30 )' часть периода, то при расчетах учитывают изменение эдс
источника при перемеll ении падающей волны по линии.
При отключении наС?рузки или ее части в линиях также возника
ют переходные процессы. Расчет их производят на основании прин
ципа наложения, включая в размыкаемую ветвь источник тока,
который дает ток, равный и противоположно направленный току в
размыкаемой ветви.
Результирующие волны тока и напряжения на всех участках
линии находят наложением на волны тока и напряжения, которые
были на линии до отключения ветви, волн тока и напряжения, про
двиrающихся от места размыкания в остальные участки линии.
При подключении в каком ли60 месте линии новой ветви токи и
напряжения в этой ветви находят методом эквивалентноrо reHepa
тора, а токи в остальных участках линии методом наложения.
12.9. ЛИНИЯ задержки. Под линией задержки, применяемой в
импульсной технике, понимают устройство, которое включают
между источником сиrнала и наrрузкой, служащее для задержкИ
поступления сиrнала в наrрузку на некоторое заданное время t з . В
простейшем случае (при малом t з ) линию задержки выполняют в
виде куска коаксиальноrо кабеля длиной 1. Он создает задержку
t з ==l/v ф . Если хотят получить относительно большое t з , то ИСПОJIЬЗУ:
ют цепочку из каскадно соединенных одинаковых фильтров низкои
частоты (см. рис. 5.1, а), выбирая параметры L и С фильтров так,
чтобы полоса частот сиrнала О шс наход илась в полосе прозрач-
ности фильтра и чтобы Шс<Ш2' rде Ш2 == "'.j 2 / LC частот а среза
фильтра. Лараметры фильтра соrласую т с на rрузкой R H == "'.j 2L / С.
Время задержки tз п(dЬ / dffi)ш==о == п "'.j 2LC. Содержание, вклады-
ваемое в термин "время задержки" (ВЗ) линии и четырехполюС-
ника, различно. ВЗ линии это время прохождения линии
электромаrнитной волной. ВЗ, оказываемое четырехполюсни
ком, это время, отсчитываемое от момента поступления сиrнала
на вход четырехполюсника до момента, коrда напряжение на
выходе ero нарастает от нуля до HeKoToporo определенноrо значе-
ния, скажем до 0,5 от амплитудноrо при относительно небольШОМ
392
изменении формы сиrнала по сравнению с входным. Физически это of
время обусловлено переходным процессом в самом четырехпол юснике
и наrрузке. Выведем записанную формулу для t j .
в 9.4 показано, что передаточная функция четырехполюсника
U2(jffi) I I /f[!((u)
K(jbl) == U.(jffi) == K(jffi) е , пропускающеrо сиrнал без искажения, но с задерж
кой 10 == t'з во времени, ДОJlжна обладать двумя свойствами: 1) модуль
I Kиы == const (в частности, равен единице);
2) aprYMeHT «р(ы) == ыt'з'
Применительно к фильтру K(jffi) == 1 / e g === 1 / (eae ib ). Сопоставление xapaKTe
ристик фильтра с характеристиками четырехполюсника для зоны прозрачности
дает
:K(jffi): == 1/ е а == 1, Ь == «p(ffi) == ffit'з.
Для фильтра НЧ (см. рис. 5.1, а) в зоне прозрачности
Ь == arccos А == arccos(l ffi2LC)
нелинейно зависит от ю. Для определения времени задержки приближенно заменим
эту нелинейную зависимость прямой с уrловым коэффициентом, равным ( )
: , '
т. е. положим Ь === ю ( ) .
ш----+О
Тоrда время задержки, создаваемое одним фильтром,
t' == ( )
з dю
ro---+О
db d(l ю2LС)
d( 1 (j)2LC) dю
1
2 ( 2ffiLC)
{l (l ю 2 LC)
1 f,
ю 2LС ( 2юLС) == v 2LC .
, Если каскадно соединены п фильтров НЧ, то время задержки в п раз больше:
t з == m.j2LC.
ЕСJIИ сиrнал, проходящий через четырехполюсник, предстаВJlяет собой KOpOT
кий импульс, то ero частотный спектр весьма широк и чеl ыехполюсникK в ОТJlичие
от линии с распредеJlенными параметрами не в состоянии пропустить без затухания
колебания всех частот. В этом случае можно только условно rоворить о времени
db
задержки, понимая под ним усредненную производную dю ' подсчитанную дЛЯ OCHOB
Ной части частотноrо спектра.
. .
12.10. Использование линий для формирования кратковременных импульсов.
На рис. 12.8, а изображена схема, позволяющая формировать прямоуrольные им
IIYJlbCbl тока в наrрузке R H . В схеме имеется источник постоянноrо тока 1 и три линии.
При размыкании ключа от источника тока 1 по первой линии длиной 1. с ВОЛНОВbJМ
Сопротивлением ZB распространяется прямоуrольная падающая волна тока 1/2 и
ВОЛна напряжения IZB/2. Дойдя до узла а, волна частично пройдет во вторую и
Третью линии и частично отразится. Для определения волн, проходящих во вторую
и Т;>етью линии, служит схема замещения на рис. 12.8, б. Из нее следует, что 12==1/4
и / э===/ /2.
По второй линии распространяется волна U 2 ==/ 2 Z B , по третьей U з ===/ з О,5Z в .
Волна и 2 , дойдя до конца второй линии, rде включена наrрузка RH===ZB' поrлощается
В ней без отражения.
393
Волна из, дойдя до короткозамкнутоrо конца третьей линии, отразится от Hero
с переменой знака у напряжения. Отраженная от конца третьей линии волна наllрЯ
жения 10.0,5Zв== /Zв/2,дойдядоузлаа,вызоветтоки/'2== 1'\ === I /4впервоА
и второй линиях в соответствии со схемой замещения (рис. 12.8, в). Волна тОка /'
1
поrлощается без отражения в сопротивлении ZB' шунтирующем источник тока. I<.ак
только волна тока 1'2 дойдет до конца второй линии, импульс тока в наrрузке Я н
прекратится, поскольку токи 12 И /'2 равны по величине и противоположны по знаку.
Прямоуrольный импульс тока через наrрузку появится через время (/\ +12)/V и
протекает в течение времени 2/ з /v, paBHoro удвоенному времени движения вОЛны по
линии длиной 13.
До сих пор в rл. 12 рассматривали переходные процессы в линии, используя
метод наложения пад.JlОЩИХ и отраженных волн, продвиrающихся по линиям без
затухания (так как было принято, что Яо===Оо===О). Теперь рассмотрим, как
рассчитывают переходные процессы с учетом ЯО и О о ,
12.11. Исходные положения по nрименению onepaTopHoro ме-
тода к расчету "ереходных "роцессов в JlИНИЯХ. В линии С распре
деленными параметрами ток i и напряжение u являются Функция
ми времени и расстояния от начала линии, т. е. i==i(x t); и==и(x t).
Току i(x, t) соответствует операторное изображение /(х, р), а
напряжению и(х, t) операторное изображение /(х, р). Кроме
Toro, имеют место соотношения Lo ( д / д t) i (x,t) . ' Lop/( х, р );
ао(д / at)u (х, t) . ' аори(х, р).
Имея это в виду, запишем уравнения (11.1) и (11.4) в оператор ной
форме:
dU(x, р) Z I( ) .
dx о х, р,
( 12.24)
d/(x, р)
dx === уои(х, р),
(12.25 )
rде
Zo == Ro+pLo; (12.26)
У О == ао+рс о . (12.27)
Уравнения (12.24) и (12.27) отличаются от уравнений (11.7) и
(11.8) тем, что jro заменено на комплексную частоту р. Из (12.24) и
( 12.25) сл едует, что
d 2 u(x, р) Z У и( ) .
2 О О х, р,
dx
d 2 /(x, р)
dx2 === ZoYo/(x, р).
( 12.28)
( 12.29)
Решение (12.28) и (12.29):
и(х, р) === А leYX+A2e YX ;
А\ А 2
I(x, р) === yeYX+ye YX,
в в
( 12.30)
(12.31 )
394
.
1,(р) /(Х,р) ZB(P)
1 ц(о) 1 и(х,р)
Er{P) t
l x
I/(р)
lu z fp)
lz(p)
, ,
Р....с.12.9
rде А 1 И А 2 постоянные интеrрирования, зависящие от rраничных
условий. Постоянная распространения l' и волновое сопротивление
являются функциями компл ексной частоты р :
l' == 1j(Ro +p L o) (ао+ рс о ); (12.32)
"' /Ro+pLo
ZB У'ао+рс о ' (12.33)
Если линия бесконеqно протяженная, то отраженная волна OT
сутствует иА 1 ==О;А 2 ==U 1 (О, р)== U1(p), rде U1(p) операторное изо
бражение напряжения на входе линии (при х==О). В этом случае
и(х, р) == UI(p)e Yx; (12.34)
I( ) ut(P) YX
х, р Z с .
в
( 12.35)
На рис. 12.9 изображена линия длиной [, наrруженная на Zи(Р).
Напряжение в начале линии U1(p), в конце линии и 2 (р). Напряже
ние reHepaTopa Ur(p). Внутреннее сопротивление reHepaTopa Z,.(p);
; х расстояние текущей точки на линии от начала линии. Опера
торное изображение напряжения и тока в точке х запишем анало
rично уравнениям (11.35) и (11.36), заменив в них у на l х:
и(х, р) == и 2 (р)сь l' (l X)+J2(P)ZBSh l' (l x); (12.36 а)
U cjp)
I(x. р) == z sh у (l x)+J2(p)ch l' (l x).
в
(12.36 б)
UJ..p) .
Ток в наrрузке 1 2 (р) == Z . Положим х==О и из (12.36а б)
н
получим
ZB
U1(p) == U 2 (p)[chyl+T sh 1'1);
2
( Chl'l S hl'l ]
I1 (р) == и 2 (р) + z-:: .
Напряжение reHepaTopa
( 12.37)
395
[( Z,. ) ( ZB Zr ) ] (12.38)
Ur(p) == и)(р)+! )(p)Zr == U.jp) 1 + ZB ch)'l+ Z2 + ZB sh)'l .
Из (12.38) определим и 2 (Р) и затем 1 2 (р) и подставим их в (12.36):
ZB
и,.(р) [chy (1 x)+z;sh",(l х)]
и(х, р) == ( Z ) ( Z Z ) ; (12.39)
1 + Z: chyl + Z: + Z: shyl
Z2
и r(P) [chy(l x)+zsh", (l x»)
l(х, р) == [ Z ] ( ZB Z ) . (12.40)
ZH 1 + z: chyl+ Z: + Z: sh",l
ZB(P) Zr(P) Zr(P) Z,.(p)
Обозначим а == ; ь == ; с == ; т ==
ZH(P) ZH(P) ZB(P) ZB(P)
и введем эти обозначения в(12.39) и (12.40). Получим
(1 +a)ev(/ x)+(1 a)e v(/ x)
и(х, р) == Ur(p ) 1 1 ; ( 12 39а)
(1 +а+Ь+с)е У +(1 +b a c)e Y .
Ur(p) (1+a)eV</ x)+(a l)e v(/+x)
I(x. р) ( ) 1 1 . ( 12 40а )
ZB р (1+а+Ь+с)е У +(1+b a c)e Y .
Поделив числитель на знаменатель формулы (12.39а), получим
изображения падающих и отраженных волн напряжения в точке,
удаленной на расстояние х от начала линии:
и(х, р) == и,.(р) [Р)(р) e YX+P2(P) e V<2/ x)
p з(Р) e v(2/+X) F4(P) e v(4/ x)+
+Р 5(Р) e V<4/+x)+F6(P) e v(6/ x) ...].
( 12.39б)
'1
Аналоrично, для тока:
l(x, р) z ) [F,(p) e yx F.j'p) e y(2I x)
Fз(р) e V<2/+X)+F4(P) e v(4/ x)+F5(P) e v(4/+x) F6(P) e v(6/ x) ...). (12.40б) 1
01
Здесь
F == l+a ; F == l a ; F == (1+a)(l+b a c).
I(Р) 1 +а+Ь+с 2(Р) 1 +а+Ь+с з(Р) (1 +Ь+а+с)2 '
F ( ) (1 a) (1 +b a c). F ( ) (1 +а) (1 +b a c)2.
4 Р (1 +Ь+а+с)2 ' 5 Р (1 +Ь+а+с)3 '
396
(1 a) (1 +b a c)2
F6(P) == (1 +Ь+а+с)3
Нахождение функций времени, соответствующих уравнениям
(12.39б) и (12.40б) с учетом Toro, что U 1 , '\', Zr' ZB И Z2 являются функци
ями р, В общем случае оказывается довольно rромоздким делом. По
этому оrраничимся рассмотрением лишь нескольких задач.
12.12. Подключение линии без потерь конечной ДЛИНЫ 1, разо-
мкнутой на конце, к источнику постоянноrо напряжения. В этом
случае Ro==Go== O и в с оответствии с (12.32 ) и (12.33)
'\' == p -V LoC o == р /v; ZB == -V Lo /С О ; U1(p) === и /р.
Обозначим время прохождения волной расстояния 1 через
To('Io == I/v) и время x/v через '(. Тоrда из (12.39) следует, что
U Ch('to T) U еР ('tO 't)+e P (-to 't)
и(х, р) == р chp'to == Р eP'to+e fYt .
Поделив почленно числитель на знаменатель, получим
И(х, р) == и le P't+e p(2tO 't) e p(2'tO+'t)
р
e P (4'tO 't')+e P (4'tO+'t) +... ]. ( 12.41 )
В соответствии с теоремой смещения вобл асти ориrиналов (см.
8.40) от (12.41) перейдем к функции времени
и( x,t) == и {1( t 't) +1 [t 2'to 't) ]
1[t 2'to+'t) ]+1[t 4't o +'t) ] ...}. (12.42)
Таким образом, решение для напряжения в произвольной точке
записано как сумма падающих и отраженных волн напряжения
(что совпадает с решением, полученным в 12.7 волновым методом),
незатухающих по амплитуде. Каждое слаrаемое решения вступает
в действие, коrда aprYMeHT соответствующей единичной функции
становится .
12.13. Подключение линии без искажения конечной длины 1,
разомкнутой на конце, к источнику постоянн оrо н апряжения и. В
Это м сл учае Ro/ Lo == ао/с о == б, у р-f-.l}) -V Lос о == (p-f-.l})/v; ZB ==.
==== v Lо/СоИз (12.39) следует, что
U ch{(p+l» (l x)} и ch (р+б) (To T)
и(х, р) == р' ch{(p+l» \I'LoCol } == р' ch(p+l»TO
U e(p+6)('t o 't) + е (p+6)('to 't) ( 12.43)
== р . е(р+б) '(о + е (р+lJ)то
397
Поделим почленно числитель на знаменатель и перейдем к Функ
ции времени:
u(х, t) == U{е l\Ч(t 't)+е (21:0 '[)61 [(t (2'to 't)]
e 6(2'(o+'()I[ t (2'to+'t)] e 6(4'[o '()I[ t (4'to 't)]+...}. (12.44)
I
Падающие и отраженные волны теперь затухают по аМПЛИтуде
по экспоненциальному закону в зависимости от пройденных ими
расстояний. Установившееся значение напряжения в конце линии
при t---+-oo в соответствии с п. 5 8.40:
UchO U (12.45)
HmpU(I, р) === h ( rL С 1 ) == 'hl R .r; c / L .
p O с vv U U с оу. u ()
12.14. Подключение бесконечно протяженноrо кабеля без ИН-
дуктивности и утечки к источнику постоянноrо напряжения и. По
лаrаем, что прямой и обратный провода кабеля близко расположе
ны друr к друrу (поэтому Lo O) и ero изоляция между проводами
очень хорошая ( ao o ). Тоrда соrласно (12.32) и (12.33)
'V== VRCp ; zb==-Уi{/ср. Обозначим a==x -VRC и учтем, что
U1(p) == и / р. По (12.39) и (12.40),
U. И(х р) "' rc e afP
и(х, р) == e a/vp; I (х,р) === z' == U V D R V .
р в р
в соответствии с табл. 8.39:
e «VP . ( а ) e a-{ji . 1 a2 / 4t
l ф . e
р :----- '2-у[' -VP :----- -Улt .
z
Функция Ф(z) == У 2 e i dz (в нашем СJIучае z == x{Rc / 2{t ==
n
о
== a/2fi) предстаВJlяет собой интеrрал ошибок raycca (рис. 12.10,
а). Решение для напряжения и тока:
u (х, t) == U [1 Ф(z)] ; (12.46)
2
"' rc z
i(x, t)===u y e vт .
(12.47)
Отметим, что решение, полученное в предположении, что у Ka
беля Lo==Go==O, имеет два недостатка: 1) напряжение и ток переда
ются от точки К точке не с конечной, а с бесконечно большой CKOpO
стью; 2) ток в начале линии в момент включения достиrает
бесконечно большоrо значения (в действительности он оrраничива
ется хотя и малым, но конечным сопротивлением источника пита
пия ).
398
..
\
\
\
\
I
I
,
Фlz}
1,0
О,В
8,6
0,"
0,2
1 2 z
а}
J * 5 вы
51
Рис. 12.10
t 12.15. Подключение бесконечно протяженной линии без утечки
!'к источнику постоянноrо напряжения. Полаrаем ао==о и из формул
(12.32) и (12.33), обозначив v == l/ "VLC; Ь == Ro/ 2Lo, определим
;. у === (Rо+рLо)рС о == ! у р 2 +2Ьр;
v
Ro+Plo W O 1 .., 2
ZB == == "р +2Ьр.
РС О СО р
Изображение напряжения в начале линии U1(O, р)== и / р. в COOTBeT
ствии с формулами (11.34) и (11.35) изображение напряжения и тока
в точке, удаленной на расстояние хот начал а линии,
х .. / 2
U "р +2Ьр
и(х, р) == е v ;
р
"' rc; -V p 2 +2bp
uV v
I(х, р) === и(х, р) === L (} е
ZB р 2+2Ьр
Для определения тока i(x, t) как функции времени t и расстояния
х(для i>x/v == т) воспо льзуе мся табличным соотношением
т; Y p 2 +2Ьр
е . ы . .., 2 2
V 2 . е J о (} Ь v t 1: ),
Р +2Ьр
I rде J о (jb t2 т2) бесселева функция нулевоrо порядка от мнимоrо
aprYMeHTa. Значения ее приведены в табл. 15.1. Сл едовательно,
Цх, 1) u е btJо(jЬ -V 12 (=( ). (12.48)
В соответствии с (12.48) на рис. 12.10,6 изображена зависимость
i(x, t) === t (bt) == ' ( ЯО t ) .
W O 2Lo
и
Lo
ЯОХ
ИЗ рисунка видно, что при малых х (малых 2VL o ) ток i, получив
.
399
большой начальный толчок, уменьшается во времени. При больших
значениях х ток i после скачка сначала возрастает, а затем YMeHЬ {
шается. Так как для линии с распределенными параметрами, у
u ди [д;
которои 00 == о, дi === СО дх ' то
( 12.49j
t
( ) [ д; (х, t) d
u х, t Со) дх t.
x/v
Возьмем частную производную от i(x, t)[CM. (12.48)] по х, ПОдста
вим ее в (12.49) и учтем также напряжение, обусловленное скачком
тока на фронте волны. В результате получим
'Ь t ы ""\ I ( ] 2
/ v х ""\ I е 2 J 1 ( j Ь V (2 ; ) d t, ( 12.50)
xfv Vt2 ( ) .
rде J 1 функция Бесселя первоrо порядка от мнимоrо aprYMeHTa
(см. табл. 15.1).
Слаrаемое e bx/v в (12.50) соответствует скачку тока на фронте
волны. На фронте волны в точке х в момент x/v ток равен
, rc;; bx
U V т=:.е v, а в соседней точке x+ x в тот же момент времени ток еще
отсу1>ствует. Поэтому напряжение, вызванное скачком тока на
фронте волны,
х/v+!и;
1 . 1 [ Bi(x, t)
1т Со ) д х
x/v
Ьх
u (х, t)
==е
и
х+.6.х
V 1
dx == di(x, t) ===
v vC o
х
,rc;;
1 х+.6.х U V i3. Ьх Ьх
== I i(x, t) I == 0+ о е v == ие v.
vC o х vC o
Вопросы для самопроверки
_. При каких допущениях на первом этапе изучения рассматривают переходные
процессы в линиях с распределенными параметрами? Какими дифференциальными
уравнениями описывают эти процессы? 2. Как пони мать, что арrументами функций,
являющихся решением, оказываются (t x/v) и (t+x/v)? 3. Как показать, что для
линии без потерь характер изменения u или i падающей волны в любой точке линии
повторяет характер изменения u и i в начале линии, но с запозданием во времени? 4.
Как соrласовывают переходные процессы в линиях с распределенными параметра
ми с переходными процессами в наrрузке на конце линии? 5. Обосновать методику
составления схем замещения для исследования АОЛНОВЫХ процессов, коrда волна
дойдет до наrрузки. 6. Как из BpeMeHHbrx rрафиков напряжения U 11 на наrрузке и тока
i H в наrрузке получить rрафики отраженных волн ио и io на линии? 7. Какова идея
расчета Ilереходных процессов в линии с распредеJ1енными Ilараметрами при ОТКЛЮ
400
чении наrрузки или части ее? 8. Охарактеризуйте стадии волновоrо процесса при
, подключении разомкнутой на конце линии длиной l к источнику постоянноrо напря
I женИЯ, полаrая сначала для линии Ro==Go===O, а затем, что линия является линией
без искажения. 9. Как от уравнений для MrHoBeHHbIx значений тока и напряжения
перейти к уравнениям, записанным для операторных изображений этих величин? 10.
В каком случае в качестве линии задержки используют линию с распределенными
параметрами, а в каком каскадное соединение фильтров НЧ? 11. Объясните идею
формирования кратковременных импульсов с помощью линии с распределенными
параметрами. 12. Решите задачи 15.5; 15.6; 15.12; 15.17.
Часть 11
нЕлинЕйныE
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
rnaBa тринадцатая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
постоянноrо ТОКА
13.1. Основные определения. Как уже rоворилось в 2.1, под
нелинейными электрическими цепями принято понимать электри
ческие цепи, содержащие нелинейные элементы. Нелинейные эле
менты подразделяют на резистивные, индуктивные и емкостные.
Нелинейные резисторы (НР) в отличие от линейных обладают
нелинейными вольт амперными характеристиками. Напомним, что
вольт амперная характеристика (БАХ) это зависимость тока,
протекающеrо через резистор, от напряжения на нем. Нелинейные
резисторы MorYT быть подразделены на две большие rруппы: Heyп
равляемые u управляемые. Б управляемых HP в отличие от неуп
равляемых кроме основной цепи, как правило, есть еще по крайней
мере одна вспомоrательная или управляющая цепь, воздействуя на I
ток или напряжение которой можно деформировать ВАХ основной
цепи. Внеуправляемых HP ВАХ изображается одной кривой, а в
управляемых семейством кривых.
В сруnnу неуnравляе,М,ых HP входят лампы накаливания, элек
трическая дуrа, бареттер, rазотрон, стабиловольт, тиритовые co
противления, полупроводниковые выпрямители (диоды) и HeKOTO
рые друrие.
В сруnnу управляемых HP входят трехэлектродные (и более) I
лампы, транзисторы, тиристоры, терморезисторы, фоторезисторы,
фотодиоды, маrниторезисторы, маrнитодиоды, маrнитотранзистО
ры и друrие элементы.
13.2. БАХ нелинейных резисторов. На рис. 13.1 изображено
четырнадцать типов наиболее часто встречающихся ВАХ неуправ ,
ляемых резисторов.
ВАХ на рис. 13.1, а имеют, например, лампы накаливания с
металлической нитью. Чем больше протекающий через нить ток,
тем сильнее наrревается нить и тем больше становится ее сопротИВ
ление.
404
I 1 I
и и
а) 8) е) д)
1 1 1
и
и
е) Ж) J) и) к) Л)
I 1 1
и и и
М) Н) О)
Рис. 1 3.1
Если величину, откладываемую по оси абсцисс, обозначить х, а
величину, откладываемую по оси ординат, '(х), то характеристика
рис. 13.1, а подчиняется условию '(х) === '( х).
Нелинейные резисторы, для которых выполняется это условие,
называют HP с симметричной вольт амперной характеристикой.
ВАХ на рис. 13.1,6 обладают варисторы, некоторые типы TepMO
резисторов и лампы накаливания с уrольной нитью.
Для данной rруппы характерно, что с увеличением протекающе
ro тока сопротивление их уменьшается. ВАХ их симметрична.
ВАХ на рис. 13.1, в обладает, например, бареттер. Бареттер
Выполняют в виде спирали из стальной проволоки, помещенной в
стеклянный сосуд, заполненный водородом при давлении порядка
80 мм рт. ст. В определенном диапазоне изменения тока ВАХ барет
тера расположена почти rоризонтально. Бареттер используют, Ha
ПРИмер, для стабилизации тока накала электронных ламп при из
менении напряжения питания. ВАХ на рис. 13.1, в также
СИмметрична.
ВАХ на рис. 13.1, в отличие от предыдущих несимметрична. Ею
обладают полупроводниковые диоды (кремниевые, rерманиевые),
Широко применяемые для преобразования переменноrо тока в по
етоянный. Они способны пропускать ток практически только в oд
ном, проводящем направлении. Широко используют их также в
различных датчиках и преобразователях устройств автоматики.
ВАХ на рис. 13.1, д имеют электрическая дуrа с разнородными
Электродами, rазотрон и некоторые типы терморезисторов. Если
наПряжение повышать начиная с нуля, то сначала ток растет, но
405
остается весьма малым, после достижения напряжения и 1 (напря
жения зажиrания) происходит резкое увеличение тока в цепи и
снижение напряжения на электрической дуrе или rазотроне. Для
BepxHero участка БАХ приращению тока соответствует убыль Ha
пряжения на нелинейном сопротивлении.
Участок ВАХ типа BepxHero участка кривой рис. 13.1, д называ
ется падающим участком вольт амперной характеристики 1.
Электрическую дуrу широко применяют при сварке металлов,
в электротермии (вдуrовых электропечах), а также в качестве МОЩ
Horo источника электрическоrо освещения, например в прожекто
рах.
rазотрон представляет собой лампу с двумя электродами, за
полненную блаrородным rазом (неоном, aproHOM и др.) или парами
ртути.
ВАХ на рис. 13.1, е имеет двухэлектродная выпрямительная
лампа кенотрон. По нити накала лампы пропускают ток. Этот
ток разоrревает катод (один из двух электродов лампы) до Высокой
температуры, в результате чеrо с поверхности катода начинается
термоэлектронная эмиссия. Под действием электрическоrо поля
поток электронов направляется ко второму, холодному, электро
дy аноду. В начальной части ВАХ зависимость тока от напряже
ния подчиняется закону трех вторых: i === au 3j2 . ВАХ кенотрона He
симметрична, это объясняется тем, что поток электронов
направляется с катода на анод только в том случае, если анод
положителен по отношению к катоду.
БАХ на рис. 13.1, ж обладают лампы с тлею[цим разрядом. К
числу ИХ относятся стабиловольты (стабилитроны) и неоновые лам
пы. При тлеющем разряде блаrородный rаз, которым заполнена
лампа, светится. ВАХ на рис. 13.1, ж свидетельствует о том, что 8
определенном диапазоне значений токов напряжение на лампе oc
тается практически неизменным.
Некоторые типы точечных rерманиевых и кремниевых диодов
имеют ВАХ на рис. 13.1, з. I
Электрическая дуrа между электродами, выполненными из oд
Horo и Toro же материала и находящимися в одинаковых условиях,
имеет БАХ типа рис. 13.1, и.
ВАХ четырехслойноrо rерманиевоrо(кремниевоrо)диода ди
нистора изображена на рис. 13.1, л; ВАХ туннельноrо диода
на рис. 13.1, к (о принципах работы тринистора см. 15.43 и туннель
Horo диода СМ., например, [20]). :
ВАХ ламбда диода изображена на рис. 13.1, м, БАХ диодноrо or
раничителя тока на рис. 13.1, н иВАХ полупроводниковоrо CT
IПадающий участок БАХ преД(:таВJlяет собой такой ее участок, на котором
положительному нриращению тока через HP соответствует отрнцатеJlьное прирaIuе
нне напряжения на нем.
406
билизатора тока на рис. 13.1, о. ВАХ управляемых нелинейных
элементов рассмотрены в rл. 15.
, 13.3. Общая характеристика методов расчета нелинейных
электрических цепей постоянноrо тока. В rл. 13 учебника paCCMaT
ривается методика расчета простейших нелинейных электрических
цепей с последовательно, параллельно и последовательно парал
лельно соединенными HP и источниками ЭДС. Кроме Toro, изложе
на методика расчета сложных цепей, в основу которой положена
диакоптика.
Обратим внимание на то, что с линейной частью любой сложной
разветвленной цепи, содержащей нР, можно осуществлять любые
преобразования, рассмотренные в rл. 1, если они облеrчают расчет
всей сложной схемы. Одно из таких преобразований от треуrоль
ника сопротивлений к звезде для облеrчения нахождения входноrо
iсопротивления линейной части схемы использовано при расчете
! в 13.9.
;. Из методов расчета, приведенных в rл. 1, к нелинейным цепям
применимы следующие: метод двух узлов; замена нескольких па
раллельно включенных ветвей одной эквивалентной; метод эквива
лентноrо rенерзтора.
До проведения расчета нелинейных цепей должны быть извест
ны ВАХ НР, входящих в схему. Расчет нелинейных цепей постоян
Horo тока ПрОИЗБОДЯТ, как правило, rрафически. MorYT применять
ся и ЭВМ.
13.4. Последовательное соединение НР. На рис. 13.2, а изобра
жена схема последовательноrо соединения HP с заданной ВАХ,
l! инейноrо сопротивления R и источника эдс Е. ;.' .'
Требуется найти ток в цепи. ВАХ HP обозначена на рис. 13.2, 6
как 1 == '( и нр ), ВАХ линейноrо сопротивления прямая линия.
1 ВАХ всей цепи, т. е. зависимость тока в цепи от суммы падений
напряжений на HP и R, обозначена через 1 == f (ине + и R)' Расчет
основывается на законах Кирхrофа. Обсудим два способа расчета.
'Первый способ иллюстрирует рис. 13.2,6, второй рис. 13.2, в.
При расчете цепи по первому способу строим результирующую
ВАХ всей пассивной части схемы, исходя из Toro, что при последо
. Вательном соединении через HP и R проходит одинаковый ток. Для
построения результирующей ВАХ задаемся произвольным TO
. KOM точкой т, проводим через нее (рис. 13.2, 6) rоризонталь и
. кладываем отрезок mп, равнь !й н аПJ2!!же!:! ию на нР, с отрезком
тр, равным напряжению на R: тn + тр == тql.
Тоrда q принадлежит результирующей ВАХ всей схемы. Анало
rично строят и друrие точки результирующей ВАХ. Определение
..............
1
Здесь и далее черта над отрезком означает, что речь идет о ero длине.
407
1
а}
\
1 и HP 1
Е ф нО т
i =;= f( (JHP + (J/t)
Е
7f
\
\
\
\
\
\а
\
\
и
lJ
Е ,
б)
6)
Р....с. 13.2
тока в цепи при заданной ЭДС Е производят rрафически по резуль-
тирующей ВАХ. С этой целью следует заданное значение ЭДС
отложить по оси абсцисс и через полученную точку провести верти
каль до пересечения с результирующей ВАХ в точке q. Ордината
точки q равна искомому току. .
При расчете цепи по второму способу нет необходимости CTPO '
ить результирующую ВАХ пассивной части схемы. Учитывая, что
уравнение / R + и НР === Е в координатах I и и НР представляет собой
уравнение прямой, проходящей через точки 1 === Е/ R; и'== и НР == О;
1 == о; и НР == U == Е, проводим на рис. 13.2, 8 эту прямую. TaHreHc
уrла а наклона ее к вертикали, умноженный на отношение т и / т i
масштабов по осям, численно равен R. Точка пересечения прямой с
БАХ HP определяет режим работы цепи. Действительно, для этой
точки ток, проходящий через HP и R, одинаков, а сумма падений
напряжений и НР + UR==E. При изменении ЕДС от Е дО ЕI прямую
1 :::::= f (и R) следует переместить параллельно себе так, чтобы она исхо
дила из точки 1 == О, U == ЕI (пунктирная прямая на рис. 13.2, в).
Аналоrично рассчитывают цепи при последовательном соедине
нии двух и большеrо числа НР. В этом случае сначала находят ВАХ.
двух НР, затем трех и т. д.
Обсудим применение BToporo способа для расчета цепи
(рис. 13.3, а) с двумя различными НР, ВАХ НРl и НР2 изобра
жена на рис. 13.3, б. Так как НР2 имеет нелинейную ВАХ, TO
вместо прямой l==f(U R ), как это было на рис. 13.2, 8, теперь!
нужно построить нелинейную зависимость 1 == {( и 2 ). Начало e
1 2 1 2 1
ц {)2
1 .........
E
u
Е
6)
о,
а}
5)
Р....с. 13.3
. 408
а,)
и
1, НР, 1
1I
5)
Р....с. 1 3.4
(рис. 13.3, в)расположено в точке 1 === О, и l == Е. Отсчет положитель
ных значений и 2 производится влево от этой точки. Так как положи
тельные значения и 2 на рис. 13.3,6 откладываем вправо от начала
координат, а на рис. 13.3, в влево, то кривая 1 === f (и 2 ) (рис. 13.3,
в) представляет собой зеркальное отображение кривой 2 (рис. 13.3,
б)относительно вертикальной оси, проведенной через точку и l == Е.
13.5. Параллельное соединение ИР. Схема параллельноrо co
единения двух HP изображена на рис. 13.4, а; ее ВАХ на рис. 13.4,
б. При построении результирующей ВАХ исходят из Toro, что Ha
пряжения на HP 1 и НР2 равны в силу их параллельноrо соедине
ния, а ток в неразветвленной части схемы 1 == 1I + 12'
Кривая 3 рис. 13.4, б представляет собой ВАХ параллельноrо
соединения. Строим ее следующим образом. Задаемся произвольно
напряжением и, равным отрезку От. Проводим через точку т
вертикаль. Складываем Q!.1?езо к т n, рав ный току в НР2, с отрезком
тр, равным току в НР1: тn + тр === mq.
Отрезок mq равен току в неразветвленной части цепи при напря
жении От. Аналоrично определяют и друrие точки результирую
щей ВАХ параллельноrо соединения.
13.6. ПОСJlедовательно параJlJlельное соединение СОПрОТИВJlе
нии. На рис. 13.5 изображена схема последовательноrо соединения
НР3 и двух па раллельно соединенных HP 1 и Н,Р2. Требуется найти
токи в ветвях схемы. Заданы ВАХ нелинейных резисторов (кривые
1, 2, 3 на рис. 13.6) и ЭДС Е. Сначала строим ВАХ параллелъноrо
Соединения в соответствии с методикой, рассмотренной в 13.5
(кривая 1 + 2 на рис. 13.6). После этоrо цепь сводится к последова
тельному соединению нрз и нР, имеющеrо ВАХ 1 + 2.
Применяем второй способ построения (см. 13.4). Кривая 3'
(рис. 13.6) представляет собой ВАХ НС3, зеркально отраженную
ОТносительно вертикали, проведенной через точку и == Е. В точке
пересечения кривой 3' с кривой 1 + 2 удовлетворяется второй закон
I\ирхrофа: из + U l2 === Е. Сумма токов I ] + 12 == 13.
409
1
J
I j
1, 1
12
и ,! U J и
Е
Р....с. 13.5
Р....с. 1 3.6
13.7. Расчет разветвленной нелинейной цепи методом двух
узлов. Для схем, содержащих только два узла или приводящихся к
ним, применяют метод двух узлов. Рассмотрим ero на примере
схемы (рис. 13.7). В схеме три HP и три источника ЭДС. Пусть ВАХ
HP изображаются кривыми (рис. 13.8, а в). Для определенности
положим, что Е 1 >Е 2 >Е з , Выберем положительные направления
для токов. Пусть, например, все токи направлены к узлу а. Тоrда,
по первому закону Кирхrофа,
11 +/2+/з ===0 . (13.1)
Каждый из токов является нелинейной функцией падения Ha
пряжения на своем НР. Так, /. является функцией И 1 , 12 функ
цией и 2 и 13 функцией ИЗ'
Выразим все токи в функции одноrо переменноrо напряже 1
ния и аЬ между двумя узлами. Для этоrо выразим и 1 , и 2 , И 3 через
ЭДС и И аЬ :
И 1 ;;:::zE 1 И аЬ;
U 2;;:::zE 2 U аЬ;
И з;;:::zЕ з U аЬ'
( 13.2)1
( 13.3 Ь
( 13.4J1
Таким образом, возникает задача о том, как перестроить КрИ11
вую /1 === {( И 1 ) в кривую /1 === {( и аь ), кривую /2 == f( И 2 ) в кривую
12 === {( и аЬ ) и т. д. На рис. 13.9 показано, как из кривой 11 === {( U 1 )(рие. н
13.8, а) получить кривую /. == {( И аЬ ) точки соответственно обоз..о
начены одинаковыми цифрами. \
Для точки 5 кривой (рис. 13.8, а) /1 == О И И 1 === о; при этомl
и аЬ === Е 1 [см. (13.2)], т. е. начало кривой /1 === f( и аЬ ) сдвинуто в точку
И аЬ === Е 1 .
Росту И 1 при и 1 -::.>о соответствует убыль И аЬ ' Для точки 2 прй
410
ь а) 5) 6)
Р....с. 1 З.7 Р....с. 1 З.8
1
Е,
Ez
I , ""
.--. ..... 1
..... ..,
./
/
* I
I
5 I
и оь
fl
Р....с. 13.9
z 1
О,
и аЬ
fз= и аЬ иском
Р....с. 13.10
и) === Е. и аЬ === О. Росту и} при и. <О отвечает рост и аь , причем
иаь>Е }.
На основании изложенноrо рекомендуется поступать следую
Щим образом:
1) сместить кривую /) == {( и.) параллельно самой себе так, что
бы ее начало находилось в точке и аЬ == Е. (кривая, полученная в
результате переноса, представлена пунктиром на рис. 13.9);
2) провести через точку U аЬ == Е) вертикаль и ;зеркально отразить
Пунктирную кривую относительно вертикали.
Аналоrичным образом перестраивают кривые и для друrих BeT
Вей схемы. Нанесем кривые 1) == {( и аЬ)' 12 == {( и аЬ) и 13 == '( и аЬ) на
одном рисунке (кривые J, 2, 3 на рис. 13.10) и построим кривую
1) + 12 + 13 == '( и аЬ) (кривая 4 на рис. 13.10), просуммировав ордина
Ты кривых J, 2, 3. Точка т пересечения кривой 4 с осью абсцисс дает
ЗНачение и аь , при котором удовлетворяется уравнение (13.1). Boc
СТавим в этой точке перпендикуляр к оси абсцисс. Ординаты точек
Пересечения перпендикуляра с кривыми J, 2, 3 дадут COOTBeTCTBeH
НО Токи 1., 12 И 13 по величине и по знаку.
4) J
13.8. Замена нескольких параJlлельных ветвей, содержащих
ир и ЭДС, одной ЭКВИ8алентной. Положим, что имеется совокуп-
ность нескольких параллельных ветвей, содержащих HP и источни-
ки ЭДС (рис. 13.11). Параллельные ветви входят в состав сложной
схемы, не показанной на рис. 13.11. Каковы должны быть ЭДС и
ВАХ эквивалентноrо нелинейноrо резистора HP эк участка схемы
(рис. 13.12), чтобы он был эквивалентен параллельным ветвям (рис.
13.11)?
Одна ветвь (рис. 13.12) будет эквивалентной ветвям (рис. 13.1])
в том случае, если ток 1 в неразветвленной части цепи (рис. 13.11)
при любых значениях напряжения и аЬ будет равен току J в ветви
(рис. 13.12).
Воспользуемся построениями на рис. 13.10. Кривая 4 этоrо ри
сунка представляет собой зависимость 11 + 12 + 13 == '( и аЬ)' т. е. яв
ляется результирующей ВАХ трех параллельных ветвей. Такую же
ВАХ должна иметь ветвь (рис. 13.12). Если ток 1 в схеме (рис. 13.12)
равен нулю, то и аЬ == Ез, Следовательно, Ез на рис. 13.10 определя
ется напряжением и аь , при котором кривая 4 пересекает ось абс
цисс. Для определения ВАХ HP эк необходимо кривую 4 (рис.
13.10) зеркально отобразить относительно вертикали, проведен-
ной через точку т.
ВАХ HP эк изображена на рис. 13.13. Важно подчеркнуть, что
включение ЭДС в параллельные ветви привело к тому, что БАХ
НР эк стала несимметричной, несмотря на то что ВАХ нелинейных
сопротивлений 1,2,3 в схеме (рис. 13.7) были взяты сим метричными.
Таким образом, изменяя ЭДС в ветвях параллельной rруппы,
можно изменять ее результирующую БАХ и как бы искусственно
создавать HP с самыми причудливыми ВАХ.
13.9. Расчет неJlинейных цепей методом ЭК8иваJlентноrо reHe-
ратора. Если в сложной электрической цепи есть одна ветвь с НР,
то определить ток в ней можно методом эквивалентноrо reHepaTopa.
1
а
1
[2
а
Е 2
1
Е-
э
и
ь
[
Р....с. 13.11
Рис. 13.12
Р....с. 13.13
A.I?
А
а)
t
Е=и аьх
5)
Рис. 13.14
с этой целью выделим ветвь с нР, а всю остальную линейную схему
представим в виде активноrо двухполюсника (рис. 13.14, а).
Как известно из 2.25, схему линейноrо активноrо двухпо.пюсни
ка по отношению к зажимам а и Ь выделенной ветви можно пред
ставить в виде последовательноrо соединения источника Э[LС с
ЭДС, равной напряжению на зажимах аЬ при разомкнутой ветви аЬ
(и аьх ), сопротивления, paBHoro входному сопротивлению R Bx линей
Horo двухполюсника, и сопротивления ветви аЬ (рис. 13.14, б).
Определение тока в схеме (рис. 13.14, 6) не представляет труда
и может проводиться в соответствии с 13.4.
Пример 131. Определить ток в ветви аЬ схемы (рис. 13.15) по методу эквивален-
THoro [енератора при Rl === Ro === 27 Ом; R2 === 108 Ом, Rз == 81 Ом; R4 == 54 Ом; Е ===
=== 70 В. ВАХ HP изображена на рис. 13.16, а.
Реш е н и е. Размыкаем ветвь и определяем напряжение холостоrо хода:
U аьх==20 В.
ДЛЯ подсчета входноrо сопротивления R Bx линейной части схемы относительно
зажимов аЬ необходимо преобразовать треуrольник сопротивлений Rl' R 2 , R3 (или
R4.' Ro, R з )(рис. 13.15,6) в эквивалентную звезду (рис. 13.15, в) по формулам (2.35
2.J7):
Rl Я 2
R5 == Rl + R 2 + Ro == 18 Ом; R б === 4,45 Ом;
(R б + R:J (R 7 + R 4 )
R7 === 18 Ом; R Bx === R5 + R б + R3 + R7 + R4 == 57 Ом.
Для определения тока в ветви аЬ схемы (рис. 13.15, а) на рис. 13.16, а ПрОБОДИМ
прямую, проходящую через точки U == и аьх == 20 В, 1 === О и и===о, 1== и аьх / R BX ===
а а
Но
а)
Рис. 1 З. 15
413
I,A
0,+
Нст,Ом
100
20
o,
//
./
./
./
./
/"
./
ю JO 20 10
10 20 30 1,0 50 и,в О
а)
0,1 O,Z о,з O,If 0,5 I,А
б)
Рис. 13.16
==0,351 А (уrол j'наклона этой прямой к вертикали сучеl0М масштабов поосям равен
R BX )' Точка пересечения этой прямой с БАХ HP (точка п) определяет рабочий режим \
схемы. Ток J === 0,22 А.
13.10. Статическое и дифференциальное сопротивления. Свой
ства нелинейноrо резистора MorYT быть охарактеризованы либо ero
БАХ, либо зависимостями ero статическоrо и дифференциальноrо
сопротивлений от тока (напряжения).
Статическое сопротивление R CT характеризует поведение HP в
режиме неизменноrо тока. Оно равно отношению напряжения на
HP к протекающему по нему току:
R cT == U/J. (13.5)
Сопротивление R CT численно равно TaHreHcy уrла а между осью
ординат и прямой, идущей в точку Ь (рис. 13.16, а), умноженному на
отношение м асштабов по осям т и / т/.
При переходе от одной точки ВАХ к соседней статическое сопро
тивление изменяется.
Под дифференциальным сопротивлением R диф принято пони-
мать отношение малоrо (теоретически бесконечно малоrо) прира
щения напряжения d и на HP к соответствующему приращению
тока d/:
R диф == dU/d/.
(13.6)
Дифференциальное сопротивление численно равно TaHreHCY yr-
ла (рис. 13.16, а) наклона касательной к ВАХ в рабочей точке,
умноженному на т и / т/. Оно характеризует поведение HP при до-
статочно малых отклонениях от предшествующеrо состояния, т. е.
приращение напряжения на HP связано с приращением тока, про-
ходящеrо через Hero, соотношением d U ::=: Rдифd/.
Таким образом, R CT это сопротивление HP по постоянному
току, а R диф по малой переменной составляющей.
414
Если ВАХ HP имеет падающий участок, т. е. такой участок, на
котором увеличению напряжения на /). и соответствует убыль тока
на /),1, что имеет место, например, для электрической дуrи (см. ее
ВАХ на рис. 13.1, д), то дифференциальное сопротивление на этом
участке отрицательно.
Из двух сопротивлений (Rc:r и R иф) чаще применяют R ДИ 4!; Ero
используют, например, при замене HP эквивалентным линеиным
сопротивлением и источником эде (см. 13.11), а также при
исследовании устойчивости режимов работы нелинейных цепей
(см. 17.3).
Пример 132. Построить кривые зависимости RCT и Rдиф в функции тока 1 для
нелинейноrо сопротивления, БАХ KOToporo изображена на рис. 13.16, а.
Реш е н и е. Кривые построены на рис. 13.16, б.
13.11. Замена нелинейноrо резистора эквивалентным Jlиней-
ным СОПРОТИВJlением и эдс. Если заранее известно, что изобража
ющая точка будет перемещаться лишь по определенному участку
ВАХ HP и этот участок может быть с известной степенью прибли
жения заменен прямой линией, то HP при расчете может быть
заменен эквивалентным линейным сопротивлением и источником
эде.
Положим, что рабочая точка перемещается лишь по участку аЬ
(рис. 13.16, а, а также рис. 13.17). Для этоrо участка
тu (13.7)
U === и о + ItgfJ == и о + I Rдиф'
mj
Уравнению (13.7) удовлетворяет участок цепи (рис. 13.18). На
нем Е == и о и линейное сопротивление R === R диф '
Замена HP линейным сопротивлением и источников эде удоб
на тем, что после нее вся схема становится линейной и ее работа
Может быть исследована методами, разработанными для линейных
цепей. Однако при этом необходимо внимательно следить за тем,
чтобы рабочая точка не выходила за пределы линейноrо участка
ВАХ.
и а7
1
Н=R дuф
./1
I I
и о I lu
I f
I
Рис. 1 З. 17
Рис. 1 З. 18
Рис. 1 З. 19
415
Пример 133. Выразить аналитически участок БАХ (рис. 13.16, а) в интервале
между точками а и с.
Реш е н и е. Из рис. 13.16, а находим и о == 45 В и R диф === 220 Ом. Следова
тельно, U 45 + 220/.
* * *
Нелинейные резисторы в ряде случаев придают электрическим
цепям свойства, принципиально недостижимые в линейных цепях,
например с их помощью можно осуществить стабилизацию тока, CTa
билизацию напряжения, усиление постоянноrо напряжения и др.
13.12. СтаБИJlизатор тока. Стабилизатором тока называют yc
тройство, которое способно поддерживать в наrрузке неизменный
ток при изменении сопротивления наrрузки и напряжения на входе
всей схемы.
Стабилизацию постоянноrо тока можно производить с помощью
различных схем. Простейшей схемой стабилизатора тока является
схема на рис. 13.19. В ней последовательно с наrрузкой R Jt включен
бареттер Б. На рис. 13.20 приведена ВАХ бареттера.
Пример 134. Бареттер используют для стабилизации тока накала электронной
лампы. Номинальный ток накала 0,3 А, напряжение 6 В. Определить, в каких преде
лах можно изменять напряжение U на входе схемы, чтобы ток нити накала лампы
оставался неизменным и равным 0,3 А.
Реш е н и е. Сопротивление нити накала Jlампы RJt === 6/0,3 == 20 Ом.
Проводим через точки а и Ь (рис. 13.20), оrраничивающие участок бареттирова
ния, две прямые под уrлом a(tga с учетом масштабов по осям численно равен 20) к
вертикали. По рис. 13.20 определяем, что напряжение U можно изменять в интервале
23 41 В.
Пример 135. Б схему предыдущей задачи введено последовательное сопротив
ление R l' Полаrая напряжение на входе схемы неизменным и равным 41 В, найти, до
KaKoro максимальноrо значения Rl в схеме имеет место стабилизация тока.
Реш е н и е. Если Rl === О И U == 41 В, то рабочий режим характеризуется поло
жением точки Ь(рис. 13.20). С увеличением сопротивления Rl рабочая точка на БАХ
перемещается по направлению к точке а. Б rраничном режиме (точка а)
тu
R 1max + R 1 == tga2 == 80 Ом. Следовательно, R 1max == 80 20 === 60 Ом.
т/
13.13. СтаБИJlизатор напряжения. Стабилизатором напряже
ния называют устройство, напряжение на выходе KOToporo ин поддер
l,A
, ..... ..,a
I Н6 [5
и , 1 Ян
I
I
о
10
20
JO
u,B
L J Ь
Рис. 13.20
Рис. 13.21
416
I.NA \ \
\
\
ItO \
\
\
JO \
20 \
10
О 50 100 150 200 250 JO(J V,B
Р....с. 13.22
живается постоянным или почти постоянным при изменении сопро
тивления наrрузки R H или напряжения И 1 на входе устройства.
Схема простейшеrо стабилизатора напряжения приведена на
рис. 13.21. В кач стве HP используется стабилитрон; R б балла
стное сопротивление. На рис. 13.22 изображена ВАХ стабилитрона.
При анализе работы стабилизатора определяют пределы допу
стимых изменений и 1 при R H == const, а также исследуют работу
стабилизатора при одновременном изменении И 1 и R H .
Для оценки качества работы стабилизатора иноrда пользуются
понятием коэффициента стабилизации. Под ним понимают отноше
ние относительноrо приращения напряжения на входе стабилиза
тора (А и 1/ И 1 ) к относительному приращению напряжения на BЫXO
де стабилизатора (А и н/ ин>.
Пример 136. В схеме на рис. 13.21 RH === 5 кОм; Rб == 2 кОм. ВАХ стабилитрона
соответствует рис. 13.22. Определить rраницы допустимоrо изменения Ul. при KOTO
рых на выходе стабилитрона поддерживается стабилизированное напряжение 150 В.
Реш е н и е. Воспользуемся методом эквивалентноrо reHepaTopa. Разомкнем
ветвь стабилитрона и найдем напряжение холостоrо хода:
R H RнR б
и аЬХ == U 1 R R == O,713U 1 ; R Bxab == R R == 1427 Ом.
н+ б н+ б
На рис. 13.22 проведем две прямые (сплошные) линии через точки т и n ВАХ
стабилитрона так, чтобы TaHreHc уrла (образованноrо ими с вертикалью), умножен
ный на тu/т f . был равен R Bxab == 1427 Ом. .
Отрезки. отсекаемые этими прямыми на оси абсцисс. равны U аЬх. Из рис. 13.22
находим O,713U lmin === 157 В, или U lтln == 220 В. Аналоrично, 0,713U lmax === 192 В, или
U 1тax == 269 В. Следовательно, напряжение U 1 может изменяться от 220 до 269 В.
Пример 137. Для схемы на рис. 13.21 при R б === 2,5 кОм (ВАХ стабилитрона см.
На РИС. 13.22) и и 1 === 250 В определить, в каких предеJlах можно изменять сопротив
леНие наrрузки R H , чтобы стаБИJlИзатор Mor выполнять свои функции по стабилиза
ЦИИ выходноrо напряжения.
Реш е н и е. Составим уравнение по второму закону Кирхrофа:
/о U
БЕ\.Б + U === и 1 . Подставив в Hero 1 б === 1 н + 1 === + 1, получим
R и
14 3,11(. Ь83
417
I,,,,A
U 1
f +
ц,;
а) О 0,1 0.2 Е
5)
1,мА 1, нА
" j
3 3
2
1
N, 011
О 100 100 300 *00 500
8)
Рис. 1 3.23
z
1
о
V(l + Rб/R н ) + /R б == U 1 .
(а)
Из (а) следует, ЧТО при U == о / == U1/R б === 250/2000 == 125 мА.
Отметим положение этой точки на оси ординат (рис. 13.22) и пунктиром прове
дем из нее два луча, чтобы они проходили через точки т и n, оrраничивающие участок
стабилизации. Решим уравнение (а) относительно я н :
U
R H === (U 1 U)/R б / .
, /(')
,
(б)
Уравнение (б) применим дважды: один раз, используя координаты точки т,
друrой раз точки n. Для точки т/ === 5 мА; U === 150 В и Я н1 === 4,28 кОм. Для точки
п 1 == 30 мА; V == 157 В, Я н2 === 9,52 кОм. Таким образом, сопротивление можно
изменять в пределах от 4,28 до 9,52 кОм.
Пример 138. В схеме на рис. 13.23, а к источнику эде Е присоединены туннель
ный диод (ero ВАХ кривая а на рис. 13.23, б) и линейный резистор R. построить
зависимость: 1) тока / от изменения R при Е == 0,5 В; 2) тока / от эде Е при R == 100
Ом.
Реш е н и е. Построение для случая 1 дано на рис. 13.23, в и для случая 2 на
рис. 13.23, z. Кривые построены по точкам пересечения ВАХ диода (кривой а рис.
13.23,6) с ВАХ резистора R (прямая Ь, ее координаты U == о, / == Е/ R, и U == Е, /::::::
== о). в случае 1 проводим несколько прямых при различных R, в случае 2 прямую Ь
переносим параллельно самой себе.
13.14. Построение БАХ участков цепей, содержащих узлы с подтекающиМИ
извне токами. На рис. 13.24, а изображен участок цепи, между точками а и Ь KOTOporo
имеются HPl и НР2, а к узлу т подтекает ток / от непоказанной на рисунке частИ
схемы. ВАХ НРl и НР2 известны (рис. 13.24, б). Требуется построить семействО BAf
/1 == '( U аЬ) при нескольких фиксированных значениях тока /. При любом U аЬ ТОК 1
больше тока /2 на ток /. Это учтено при построениях на рис. 13.24, z тем, что начаЛО
418
1 1,
' и1 ' и1
/1 Е,
1 /
т
12
НР2 tuz
6) 8) t) Н)
Рис. 13.24
.
кривой 12 == ,(и 2 ) смещено выше начала кривой 11 === ,(и 1 ) на ток 1. Из рис. 13.24, а
следует. что и Ьа == и) + и 2 или и аЬ === (и 1 + и 2 ). Для построения кривой
1 1 ( и Ьа ) при 1 === const задаемся произвольным током 1 l' IlрОВОДИМ через это значение
J 1 rоризонталь и суммируем абсциссы пересечения этой rоризонтали с абсциссами
кривых J и 2. Получаем КРИВУЮ 3. Кривая 11 === ,(и аЬ ) (кривая 3') на рис. 13.24, д
получается из кривой 3 (рис. 13.24, z) зеркальным отражением относительно верти
кальной оси. При ином значении 1 будет новая кривая 1. === ,(и аь ), Если на участках
J и 2 будут включены ЭДС Е) и Е 2 (рис. 13.24, В), то и аЬ == (и. + и 2 ) + Е. + Е 2 .
ВАХ 1I === ,(и аЬ ) в этом случае получаем параллельным переносом кривой3(рис.
13.24, д) на (Е 1 + Е 2 ) кривая 4.
* 13.15. Диакоптика нелинейных цепей. Под дuакоптuкой понимают расчет
сложных цепей по частям, с учетом влияния частей друr на друrа.
Проиллюстрируем идею метода на примере схемы (рис. 13.25. а). Это мостовая
схема с шестью ветвями и шестью НР. Всю схему. за исключением ветви 5 с током
15' представим на рис. 13.25, б некоторым нелинейным двухполюсником 1, а ветвь 5
двухполюсником 2. Общим для них является ветвь аЬ с током 15'
I Если на рис. 13.25, В построить кривую 15 === '( U аЬ) кривую 1 для двухпо
ЛЮсника I и кривую 15 == '( U аЬ) кривую 2 для двухполюсника 2, то точка пере
сечения кривых 1 и 2 удовлетворяет работе обеих частей схемы, т. е. является
решением задачи.
)1
)(
1
, i
t"
-ш
14'"
16
а)
а
т
1.5
1 2
Ь
15
5)
Рис. 13.25
15
Uah
8)
419
1. нА
r"A . 120
,
10 80
Т
5 40
20 406080 ЦN 10 20 Ц8
tJ) 6) 6)
Рис. 1 3.26
I,МкА 1,MA !,% J,%
/ 100 f\
40 2
ZO 1
О 10 20 ЦВ О 500 1000 Ф, лн О 0,75 II,МНМ О ч 8 f,,..rц
О) 1) 8) t)
.
Рис. 13.27
Для получения кривой 1 необходимо в соответствии с 13.14 сначала построить
семейство ВАХ ветвей 1 и 2 11 == f(U cd )' ВАХ ветвей 3 и 41з == '( U Cd ) при различных
{5' Затем учесть, что /1 + 13 + 16 == О для каждоrо /5' Из этоrо условия определить
и cd' / l' /3 для каждоrо фиксированноrо /5 и по ним построить /5== '( U аЬ)'
13.16. Терморезисторы. Терморезисторы представляют собой НР, сопротивле..
ние которых сильно зависит от температуры Т тела терморезистора. Так как эта
температура зависит не только от тока, проходящеrо по терморезистору, но и ох.
температуры окружающей среды 8, то они представляют собой температурно упраD i
ляемые нР. Друrими словами, один и тот же терморезистор обладает различными'
ВАХ при различных 8. Ток, наrревающий терморезистор, может проходить по caMO
му терморезистору либо по наrревательной обмотке, электрически изолироваННОЧI
от Hero.
Терморезисторы подразделяют на два класса: термисторы (с отрицательным
температурным коэффициентом) и позисторы (с положительным температурны!,!
коэффициентом). Термисторы изrотовляют из оксидов меди и марrанца, позисторнr
из титаната бария, леrированноrо редкоземельными металлами. Постоянная
времени HarpeBa терморезисторов составляет обычно несколько десятков секунд.
Обозначают терморезисторы в соответствии с рис. 13.26, а, ставя соответственнО
букву Т или П.
На рис. 13.26, б изображены ВАХ термистора типа MMT 4, а на рис. 13.26, в
позистора CT5 1.
13.17. Фоторезистор и фотодиод. Фоторезистор это резистор, управляемый
световым потоком Ф. Действие ero основано на внутреннем фотоэффекте. БАХ при
неизменном потоке показана на рис. 13.27, а. люкс амперная характеристика при
неизменном напряжении на рис. 13.27, б, спектральная характеристика 1 f(Л)
(ток в относительных единицах, л длина волны) при неизменном U и Ф на
рис. 13.27, в, частотная характеристика 1 == (f) при неизменном Ф и U на рис.
13.27, z.
420
I,MA
9лм
0,3 r
6
0,2 .,..
J
0.' о
о 20 O 60 и,В
а) 6J
Рис. 13.28
1 1
1, NI<A
;,
R H
Ян
1
Ех,мВ
200
о
Ф,лм
а)
6)
Р....с. 13.29
Фотодuод (ФД) это rерманиевый или кремниевый диод, обратный TOKp n lН.'
рехода KOToporo зависит от освещенности перехода. Работа ero основана на вентиль
IЮМ фотоэффекте.
ФД Mor}'T работать с внешним источником (схема на рис. 13.28, а) и без неrо(рис.
13.29, а). БАХ одноrо из типов серно таллиевоrо ФД при различных Ф изображена
на рис. 13.28,6.
При работе без внешнеrо источника питания Фотоrальваническая ЭДС дости
raeT О, 1 0,2 В и более. Схема замещения для рис. 13.29, а изображена на рис. 13.29,
б. ФД на нем представлен источником ЭДС холостоrо хода Ех и внутренним сопро
ТИВJlением R B . эдс Ех нелинейная функция cBeToBoro потока Ф. ВАХ RRr-. кри
Вая 1 на рис. 13.29, в, а прямая 2 БАХ R и при Ех == 0,2 В и R H === 250 Ом. нересе-
чение кривой 1 с прямой 2 определяет рабочии режим.
13.18. Передача максимальной мощности линейной наrрузке от источника с
нелинейным внутренним сопротивлением. В схеме на рис. 13.29, 6линейной наrрузке
СОIlротивлением R H передается мощность от источника ЭДС через резистор R Bt
Имеющий нелинейную БАХ (кривая 1 на рис. 13.29, в). Обозначим через U RB
НаIlряжение на нелинейном резисторе. Мощность, выделяющаяся в наrрузке,
р dP H
н::::: 1 R H / === (Ех U RB)/' Возьмем производную М и приравняем ее нулю:
I . dU RB dU RB
d/ == Ех U RB / == О. Учтем, что Ех U RB == / R и , а dI === R диф пред
Ставляет собой дифференциальное сопротивление нелинейноrо резистора. Следова
тельно, максимальная мощность передается наrрузке, коrда в рабочей точке R и ===
::::::R диф .
Если в схеме рис. 13.29, 6 нелинейным будет не только внутреннее сопротивле-
Нне ИСточника питания, но и сопротивление наrрузки, то наrрузке будет
передаваться максимальная мощность (энерrия), коrда в рабочей точке статическое
Оllротивление наrрузки равно дифференциальному СОПРОТИВJlению источника пи
ания (доказывается анаJIоrично).
421
t 13.19. Маl"ниторезисторы и маI"НИТОДИОДЫ. Маzнuторезисторы это резисто-
ры, сопротивлением которых управляют внешним маrнитным полем индукцИи l!;
направленным перпендикулярно направлению протекания тока через резистор.
Электронь в теле маrниторезистора находятся в шрекрестных маrнитном поле
индукции .в и электрическом поле напряженностью l! и движутся не по напряженно-
сти поля l!; а по кривой, напоминающей циклоиду (см. 26.7), за счет чеrо путь их, а
следовательно, и сопротивление увеличиваются. Выполняют их в виде дисков или
ПлеНОК. На рис. 13.30, а изображена ВАХ маrниторезистора из антимонида индия, а
на рис. 13.30, 6 из арсенида индия.
MaZHUTodUodbl это диоды, в которых маrнитное поле изменяет ПОДВижность
и направление движения электронов и дырок. На рис. 13.30, 8 изображена БАХ
маrиитодиода КДЗОIЖ при В == О(кривая 1) и при В === 0,3 Тл (кривая 2).
Вопрос.. ""_ С8Мonроверии
1. Дайте определения следующим понятиям: нелинейный резистор, нелинейная
электрическая цепь, статическое и дифференциальное сопротивления. 2. Дайте оп
ределение неуправляемых НР. 3. Качественно изобразите ВАХ известных вам типов
неуправляемых и управляемых НР. 4. Для каких известных вам типов HP диффе-
ренциальное сопротивление может быть отрицательным? 5. Может ли для реальных
HP статическое сопротивление быть отрицательным? 6. В чем заключается препят-
ствие, затрудняющее применять метод контурных токов или метод узловых потенци
алов для расчета сложных разветвленных нелинейных цепей? 7. Как заменить He
сколько параллельных ветвей с HP и источниками ЭДС на одну эквивалентнуio?
Определите характеристики элементов эквивалентной ветви. 8. Перечислите этапы
расчета нелинейных цепей (НЦ) методом двух узлов и методом эквивалентноrо
reHepaTopa. 9. В чем оrраниченность метода замены HP эквивалентным линейным
сопротивлением и источником ЭДС? 10. Перечислите свойства, которыми при опре
деленных условиях MorYT обладать Ни и не обладают линейные цепи. 11. Охаракте-
ризуйте свойства термисторов и позисторов, фото- И маrниторезисторов. 12. Поясни-
те идею расчета схем с применением диакоптики. 13. В чем отличие условий
передачи активной мощности наrрузке от источника с нелинейным внутренним со-
противлением и от источника с' линейным сопротивлением? 14. Решите задачи 2.4,
2.8, 2.13, 2.14, 2.15, 2.20, 2.22.
и.в
10
и. в
I, нА
J
1
6
2
о
"О
[,нА
80
I,HA
а)
Рис. 13.30
422
rпaBa четырнадцатая
МАrНИТНЫЕ ЦЕПИ
14.1. Подразделение веществ на сильномаrнитные и слабомаrнит-
ные. Из курса физики известно, что все вещества по их маrнитным
свойствам подразделяют на диамаrнитные, парамаrнитные, фер
ромаrнитные, ферримаrнитные и антиферромаrнитные. У диамаr
нитных веществ относительная маrнитная проницаемость r<l,
например для висмута , == 0,99983, у парамаrнитных веществ
r>l, например для платины , == 1,00036. У ферромаrнитных Be
ществ (железо, кобальт и их сплавы) , MHoro больше единицы
'{I(например, 104, а у некоторых материалов даже до 106). У ферримаr
"1 нитных веществ , Toro же порядка, что и у ферромаrнитных, а у
"
I
. антиферромаrнитных веществ , Toro же порядка, что и у пара
маrнитных.
При решении большинства электротехнических задач достаточ
но подразделять все вещества не на перечисленные rруппы, а на
сильномаrнитные, у которых , 1, и на слабомаrнитные (практи
чески немаrнитные), у которых , 1.
: !
14.2. Основные величины, характеризующие маrнитное поле.
Основными векторными величинами, хаРЁJ.<теризующими маrнщ
ное поле, являются маrнищая индукция В и намаrниченность Jl.
Маi!нитная индукция В это векторная величина, определяе
мая по"силовому возде..ц..ствию маrнитноrо поля на ток (см. rл. 21).
НамаС?ниченность J маrнитный момент единицы объема Be
щества.
Кроме этих двух величин MartlJiTHoe поле характеризуется Ha
пряженностью масниЩQ4.0ДОЛЯ Н.
Три величины В, J, Н связаны друr с друrом следующей
зависимостью 2 :
""""* """"*""""*
в == o(H + J).
( 14.1 )
Б СИ единица индукции В тесл а (Т л): 1 Т л === 1 Б. с/ м 2 == 1
Вб/м 2 или В кратных единицах Бб/см 2 , а в системе CfCM raycc
(l rc == 10 8 Бб/см 2 ).
Единица намаrниченности J и напряженности поля Н ампер
На метр (А/м), а в системе crCM эрстед (Э).
Стрелка над буквой характеризует вектор в пространстве.
Пояснения к формуле (14.1) см. в 14.24.
423
----+
Намаrниченность J представляет собой вектор,даправление KO
Toporo полаrают совпадающим с направлением Н в данной точке:
----+ ----+
J === хН.
( 14.2)
Коэффициент х для ферромаrнитных веществ является функ
цией Н. Подставив (14.2) в (14.1) и обозначив 1 + х == J1 r , получим
----+ ----+ ----+
В == O rH === aH,
( 14.3)
rде O постоянная, характеризующая маrнитные свойства BaKY
ума; a абсолютная маrнитная проницаемость.
В СИ O == 4л .10 7 [н/м == 1,257 .Iо б [н/м; в CfCM o == 1. Для
ферромаrнитных веществ I-t r является функцией Н.
Маrнитный поток Ф через некоторую поверхность S это поток
вектора маrнитной индукции через эту поверхность:
( ----+ ----+
Ф === )BdS,
s
( 14.4)
----+
rде dS элемент поверхности S.
В СИ единица маrнитноrо потока вебер (Вб); в CrCM MaK
свелл (Мкс); 1 Мкс == 1 0 8 Вб; 1 кМкс == 103 Мкс.
При расчетах маrнитных цепей обычно применяют две величи
ны: маrнитную индукцию В и напряженность маrнитноrо поля Н.
Намаrниченность J в расчетах, как правило, не используют [при
необходимости значение J, отвечающее соответствующим значени
ям В и Н, всеrда можно найти по формуле (l4.l )].
Известно, что ферро и ферримаrнитные тела состоят из обла
стей самопроизвольноrо (спонтанноrо) намаrничивания. Маrнит
ное состояние каждой области характеризуется вектором намаrни
ченности. Направление вектора намаrниченности зависит от
внутренних упруrих напряжений и кристаллической структуры
ферромаrнитноrо тела.
Векторы намаrниченности отдельных областей ферро( фер
ри)маrнитноrо тела, на которые не воздействовало внешнее маrниТ
ное поле, равновероятно направлены в раЗJIичные стороны. Поэто
му во внешнем относительно этоrо тела пространстве
намаrниченносЦ? тела не проявляется. Если же ero поместить во
внешнее поле Н, то под ero воздействием векторы на маrниченносТИ
отдельных областей повернутся в соответствии с полем. При этом
индукция результирующеrо поля в теле может ()казаться во MHoro
раз больше, чем маrнитная индукция внешнеrо поля до помещениЯ
в Hero ферромаrнитноrо тела.
424
14.3. Основные характеристики ферромаrнитных материалов.
Свойства ферромаrнитных материалов принято характеризовать
зависимостью маrнитной индукции В от напряженности маrнитно
ro поля Н. Различают два основных типа этих зависимостей: кривые
намаrничивания и rистерезисные петли.
Под кривыми намаrничивания понимают однозначную зависи
мость между В и Н. Кривые намаrничивания подразделяют на Ha
чальную, основную и безrистерезисную (что будет пояснено далее).
Из курса физики известно, что ферромаrнитным материалам
присуще явление С?истерезиса отставание изменения маrнитной
индукции В от изменения напряженности маrнитноrо поля Н. Он
обусловлен необратимыми изменениями энерrетическоrо состоя
ния под действием внешнеrо поля Н. При периодическом изменении
напряженности поля зависимость между В и Н приобретает петле .
вой характер.
Различают несколько типов rистерезисных петель симмет
ричную, предельную и несимметричную (частный цикл).
На рис. 14.1 изображено семейство симметричных rистерезис
ных петель. Для каждой симметричной петли максимальное поло
жительное значение В равно максимальному отрицательному зна
чению В и соответственно Нтах ==1 Hтax I .
rеометрическое место вершин симметричных rистерезисных пе
тель называют основной кривой намдС?ничивания. При очень боль
ших Н вблизи +Н тах восходящая и нисходящая ветви rистерезисной
петли практически сливаются.
Предельной rистерезисной петлей или предельным циклом Ha
зывают симметричную rистерезисную петлю, снятую при очень
больших Нтах' Индукцию при Н == О называют остаточной иHдYK
цией и обозначают В,.
. Br
., Спинк.а" преdеЛbNоео
цикла} или кри8ая
раJнаенцqи6ания
8.
Осно6ная криВая
HaHfzZHUVu8aHIJR
н
( \
СимиетРШlные
еистерезисные
пеnщи
Рис. 14.1
425
8
HeCUHMeтpl1i1Hhle
zиcтepeJUCHbIe
петли U Лl/
"астные цикnы
н
Рис. 14.2
Напряженность поля при В == О называют задерживающей или
коэрцитивной силой и обозначают Н с-
Участок предельноrо цикла BrHc (рис. 14.1) принято называть
кривой размасничивания или «спинкой» С?истерезисной пет ли.
Этот участок используют при расчетах маrнитных цепей с посто
янными маrнитами и маrнитных элементов запоминающих YCT
ройств вычислительной техники.
Если изменять Н периодически и так, что +Hmax I Hmaxl, то
зависимость между В и Н будет иметь вид петли, но центр петли не
совпадает с началом координат (рис. 14.2). Такие rистерезисные
петли называют частными петлями систерезиса или частными циK
лами.
Коrда предварительно размаrниченный ферромаrнитный MaTe
риал (В == О, Н == О) намаrничивают, монотонно увеличивая Н, по
лучаемую зависимость между В и Н называют начальной кривой
намаС?ничивания.
Начальная и основная кривые намаrничивания настолько близ JJ
ко расположены друr к друrу, что практически во мноrих случаях ,1I
их можно считать совпадающими (рис. 14.2). :M
БезС?истерезисной кривой намаС?ничивания называют зависи
мость между В и Н, возникающую, коrда при намаrничивании фер
d
ромаrнитноrо материала ero периодически постукивают или воз С
действуют на Hero полем, имеющим кроме постоянной
составляющей еще и затухающую по амплитуде синусоидальную
составляющую. При этом rистерезис как бы снимается. I rl
Безrистерезисная кривая намаrничивания резко отличается от
основной кривой. J.
В различных справочниках, а также в rOCTe в качестве OДHO '1Ч
значной зависимости между В и Н дается основная кривая HaMar >,
ничивания. rJ
('....
14.4. Потери, обусловленные rистерезисом. При периодиче
ском перемаrничивании ферромаrнитноrо материала в нем COBep
шаются необратимые процессы, на которые расходуется энерrия от
намаrничивающеrо источника. В общем случае потери в ферромаr
426
,
J
,
1
2
N
1 1
+- 8 3z 2 ,
J J
Н. Н
В
Н +-
1
4- 3..
Рис. 1.4.3
нитном сердечнике обусловлены rистерезисом, макроскопически
ми вихревыми токами и маrнитной вязкостью. Степень проявления
различных видов потерь зависит от скорости перемаrничивания
ферромаrнитноrо материала. Если сердечник перемаrничивается
во времени замедленно, то потери в сердечнике обусловлены прак
тически только rистерезисом (потери от макроскопических вихре
вых токов и маrнитной вязкости при этом стремятся к нулю).
Физически потери, обусловленные rистерезисом, вызваны инер
ционностью процессов роста зародышей перемаrничивания, инер
ционностью процессов смещения доменных rраниц и необратимы
ми процессами вращения векторов намаrниченности.
Площадь rистерезисной петли фНdВ характеризует энерrию,
выделяющуюся в единице объема ферромаrнитноrо вещества за
один цикл перем аrничивания.
Представим площадь rистерезисной петли (рис. 14.3) в виде суммы четырех
площадей:фНdВ == 51 + 52 + 5з + 54.
Площадь 51 соответствует движению от точки / до точки 2; так как на этом
участке Н> О и dB > о, то произведение HdB > О и 51 > О. Площадь 52 xapaKTe
ризует движение от точки 2 ДО точки 3, так как в этом интервале Н > О и dB<O, то
52 < о. Площадь 5з движение от точки 3 ДО точки 4; так как Н < О и d В < О, то
53> О. Площадь 54 движение от точки 4 ДО точки J; так как Н < О и d В > О, т о
54<0.
Если ферромаrнитный сердечник подверrается периодическо
му намаrничиванию (например, в цепях переменноrо тока), то для
Уменьшения потерь на rистерезис в нем он должен быть выполнен
из маrнитомяrкоrо материала (см. 14.5).
427
14.5. Маrнитомяrкие и маrнитотвердые материалы. Ферромаr.
нитные материалы подразделяют на маrнитомяrкие и маrнито.
твердые.
Маzнuтомяzкuе материалы обладают круто поднимаюшейся
основной кривой намаrничивания и относительно малыми площа.
дями rистерезисных петель. Их применяют во всех устройствах,
которые работают или MorYT работать при периодически изменяю.
щемся маrнитном потоке (трансформаторах, электрических двиrа.
телях и reHepaTopax, индуктивных катушках и т. п.).
Некоторые маrнитомяrкие материалы, например перминвар,
сплавы 68НМП и др., обладают петлей rистерезиса по форме, близ.
кой к прямоуrольной (рис. 14.4,а). Такие материалы получили pac
пространение в вычислительных устройствах и устройствах aBTO
матики.
В rруппу маrнитомяrких материалов входят электротехниче
сКие стали, железоникелевые сплавы типа пермаллоя и др.
МаС?нитотвердые материалы обладают полоrо поднимающейся
основной кривой намаrничивания и большой площадью rистерезис
ной петли. В rруппу маrнитотвердых материалов входят уrлероди.
стые стали, сплавы маrнико,вольфрамовые, платинокобальтовые
сплавы и сплавы на основе редкоземельных элементов, например
самарийкобальтовые. У последних В, 0,9 Тл и Не == 660 кА/м.
На рис. 14.4, 6 качественно сопоставлены rистерезисные петли
для маrнитомяrкоrо материала типа пермаллоя (кривая 1) и для
маrнитотвердоrо материала (кривая 2).
14.6. Маrнитодиэлектрики и ферриты. В радиотехнике, rде
используют колебания высокой частоты, сердечники индуктивных
катушек изrотовляют из маrнитодиэлектриков или ферритов.
МаС?ни,тодиэлектрики материалы, полученные путем смеше
ния мелкоизмельченноrо порошка маrнетита, железа или пермал
лоя с диэлектриком. Эту смесь формуют и запекают. Каждую фер
ромаrнитную крупинку обволакивает пленка из диэлектрика.
Блаrодаря наличию таких пленок сердечники из маrнитодиэлект
н
8"
а)
51
Рис. 14.4
428
риков не насыщаются; J.tr их находится в интервале от нескольких
единиц до нескольких десятков.
Ферриты ферримаrнитные материалы. Маrнитомяrкие фер
риты изrотовляют из оксидов железа, марrанца и цинка или из окси
дов железа, никеля и цинка. Смесь формуют и обжиrа ют, в результате
получают твердый раствор. По своим электрическим свойствам фер
риты являются полупроводниками. Их объемное сопротивление
Q ::=:: 1.-7-107 Ом. м, тоrда как для железа Q 10 б Ом. м.
Можно получить ферриты с различными маrнитными свойства
ми. В отличие от маrнитодиэлектриков ферриты MorYT насыщаться.
Коэрцитивная сила маrнитом'яrких ферритов составляет примерно
10 А/м. Маркируют их буквами и цифрой. Например, феррит 6000
НМ означает никель марrанцевый феррит, у KOToporo на началь
ном участке кривой намаrничивания J.tr == 6000. Маrнитотвердые
ферриты выполняют на основе феррита бария. Например, у ферри
та ЗБА Br == 0,38 Тл; Не == 145 А/м.
14.7. Закон полноrо тока. Маrнитное поле создается электри
ческими токами. Количественная связь между лин еl)н ым интеrра
лом от вектора напряженности маrнитноrо поля Н вдоль любоrо
произвольноrо контура и алrебраической суммой токов I /, OXBa
ченных этим контуром, определяется законом полноrо тока
----+ .-...+
фНdl::=::I/.
( 14.5)
.-...+
Положительное направление интеrрирования dl связано с поло
жительным направлением тока / правилом правоrо винта. Если
.", контур интеrрирования будет пронизывать катуш с числом вит
;; ков w, по которой проходит ток J, то I/ == /w и Ф Н dl /w.
, Закон полноrо тока является опытным законом. Ero можно экс
.-...+ ----+
периментально проверить путем измерения Ф Н dl с помощью спе
циальноrо устройства (известноrо из курса физики), называемоrо
маС?нитным поясом.
14.8. Маrнитодвижущая (намаrничивающая) СИJlа. MaC?HиTO
движущей силой (МД С) или намаС?ничивающей силой (Н С) катушки
или обмотки с током называют произведение числа витков катушки
w на протекающий по ней ток [.
МДС /w вызывает маrнитный поток в маrнитной цепи подобно
тому, как ЭДС вызывает электрический ток в электрической цепи.
Как и ЭДС, МДС величина направленная (положительное Ha
правление на схеме обозначают стрелкой).
Положительное направление МДС совпадает с движением OCT
429
I \ \ а
Uсно6НОl1
I{Q q с поток
Ф Лоток
pacceR
НI1Я
IJ
lш /ш
Рис. 14.5 Рис. 14.6
рия npaBoro винта, если винт вращать по направлению тока в об
мотке.
Для определения положительноrо направления мдс пользу
ются мнемоническим правuлом: если сердечник мысленно охватить
правой рукой, расположив ее пальцы по току в обмотке, а затем
oTorHYTb большой палец, то последний укажет направление мдс.
На рис. 14.5 дано несколько эскизов с различным направлением
намотки катушек на сердечник и различным направлением мдс.
14.9. Разновидности маrнитных цепей. Маrнитной цепью в
общем случае называют совокупность катушек с током, ферром ar
нитных тел или каких либо иных тел (сред), по которым замыкается
маrнитный поток.
Маrнитные цепи MorYT быть подразделены на неразветвленные
и разветвленные. Примером неразветвленной цепи может служить
цепь, показанная на рис. 14.6. Разветвленные цепи делятся на сим
метричные инесимметричные. Маrнитная цепь на рис. 14.7 симмет
рична: в ней Ф} == Ф2' если обе части ее, расположенные слева и
справа от вертикальной пунктирной линии, одинаковы в rеометри
ческом отношении, изrотовлены из одноrо и Toro же материала и
если I}w. == 1 2 w 2 .
Достаточно сделать I.w. =1= 1 2 w 2 , изменить направление тока fj.N:
одной из обмоток или сделать воздушный зазор в одном из крайних
стержней' маrнитопровода, чтобы маrнитная цепь (рис. 14.7) стала
несимметричной. Если цепь (рис. 14.7) окажется несимметричной, )!
то Ф. =1= Ф2'
O'\
14.10. РОJlЬ ферромаrнитных материаJlОВ в маrнитной цепи.')
Электрические машины, трансформаторы и друrие аппараты KOH
струируют так, чтобы маrнитный поток в них был :по возможности
наибольшим. Если в маrнитную цепь входит ферромаrнитный MaY
териал, то поток в ее ветвях при одной и той же мдс и одинаковой О"
rеометрии цепи оказывается во MHoro раз больше, чем в случае
отсутствия ферромаrнитноrо материала.
Пример 139. Даны два одинаковых в rеометрическом отношении кольцевыХ
сердечника (рис. 4.8). Радиус их средней маrнитнои линии R === 10 см, поперечное
сечение S == 2 см . Один сердечник неферромаrни ныи, например деревянный, а
430
I, Ш, ,
Рис. 14.7
Рис. 14.8
I
I
.1
I
t l.? W z
;tруrой ферромаrнитный (кривая намаrничивания представлена на рис. 14.9). На
каждый кольцевой сердечник намотана обмотка с числом витков w == 200 и через них
пропущен одинаковый ток / === 1 А. Определить потоки в сердечниках.
Реш е н и е. По закону полноrо тока, напряженность поля одинакова в обоих
сердечниках и не зависит от материала: Н == /w/(2лR) == 1. 200/(2л' 0,1) == 318 А/м.
Маrнитный поток в неферромаrнитном сердечнике
Фиф == BS == 110l1HS == 1,257 .10 6.318.2.10 4 == 8.10 8 Вб.
По кривой намаrничивания (рис. 14.9) находим, что при Н == 318 А/м B 1,02 Тл.
Маrнитный поток в ферромаrнитном сердечнике
Ф фм == BS == 1,02.10 4.2 == 20,4.10 5 Вб.
Таким образом, поток в ферромаrнитном сердечнике в 2550 раз больше, чем в
неферромаrнитном. .
Ферромаrнитные материалы вводят в маrнитную цепь также с целью сосредо.
точения маrнитноrо поля в заданной области пространства и придания ему опреде
ленной конфиrурации. .
14.11. Падение маrнитноrо напряжения. Падением маС?нитноzо
напряжения между точками а и Ь маrнитной цепи называют линей
lIый интеrрал от напряженности маrнитноrо поля между этими
Точками:
ь
(.-...+----+
и маь === ) н dl.
(14.6)
а
431
Если на этом уч ткеДщ>стоянна и совпадает по направлению
с элементом пути dl, то Н dl == HdlcosO° и Н можно ВbIнести из под
знака интеrрала. Тоrда
Ь
и маь === H dL == HL ab ,
а
(l4.6a)
rде Lab длина пути между точками а и Ь.
Единица падения маrнитноrо напряжения ампер (А).
Б том случае, коrда участок маrнитной цепи между точками а и
Ь может быть подразделен на п отдеЛЬНbIХ частей так, что для
каждой части Н === Н k === const, то
n
( 14.7)
U маЬ === L н klk'
k==1
14.12. Вебер-амперные характеристики. Под вебер амперftой
(максвелл амперной) характеристикой (БАХ)} понимают зависи
мость потока Ф по какому либо участку маrнитной цепи от падения
маrнитноrо напряжения на этом участке: Ф == '( и м), Она также
важна при расчетах и исследовании маrНИТНbIХ цепей, как и БАХ
нелинеЙНbIХ сопротивлений при расчетах и исследовании электри
ческих цепей с нелинейными резисторами (см. rл. 13).
БАХ при расчетах маrНИТНbIХ цепей в rOTOBoM виде не задаются.
Перед расчетом их нужно построить с ПОМОIЦЬЮ кривых намаrничи
вания ферромаrнитных материалов, входящих в маrнитную цепь.
14.13. Построение вебер-амперных характеристик. На рис.
14.10 изображен участок маrнитной цепи, по которому проходит
поток Ф. Пусть участки 11 и 1'2 сечением S выполнеНbI из ферромаr
нитноrо материала, кривая В == '(Н) для котороrода а на рис. 14.9.
1,2
.
/
f
: [, b
В,Тл
0,8
4*
о 1,00 600 1100 lБОО /00021,001800 Н,А/'"
Рис. 14.9
Рис. 14.10
I B rл. 14 (в отличие от rл. 13) ПОД ВАХ понимается вебер змпернзя хзрзктери
СТИК3.
432
На участке ДЛИНОЙ 6 маrнитный поток проходит по воздуху. Требу
ется построить ВАХ участка цепи между точками а и Ь.
При построении допустим, что: 1) маrнитный поток вдоль Bcero
участка от а до Ь постоянен (отсутствует рассеяние); 2) сечение
маrнитноrо потока в воздушном зазоре такое же, как и на участках
I} и 12 (отсутствует боковой распор силовых линий в зазоре). В дей
ствительности оба допущения справедливы лишь в известной мере
и чем больше воздушный зазор, тем менее они выполняются.
Построение ВАХ производим следующим образом. Задаемся
рядом значений индукции В, например для электротехнических
сталей о; 0,5; 0,8; 1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5 Тл, и для каждоrо значения
В находим напряженности поля на всех участках I}, 1'2 и 6.
На участках из ферромаrнитноrо материала (l} и 12) напряжен
ность Н} == Н 2 (так как В} == В 2 ) определяем по кривой намаrничи
вания.
Для неферромаrнитных участков (участок 6)
Н === === в о 8. 106 В
110 1,256.10 6' ,
r де Н в А/ м; В в Т л; flo в [н / м.
Таким образом, для определения Н в воздухе следует умножить
индукцию, выраженную в теслах, на коэффициент 0,8 . 106.
Для каждоrо значения В вычисляем поток Ф == BS и находим
И маЬ == H}I} + Н 2 1 2 + Н б 6.
По результатам подсчетов строим кривую Ф == '( им),
Пример 140. Построить ВАХ ля участка цепи (рис. 14.10) при {j === о; 0,005; 0,05
см; L} === 10 см; L2 == 5 см; S === 5 см .
Реш е н и е. Определим падение маrнитноrо напряжения между точками а и Ь
J участка маrнитной цепи (рис. 14.10) при {j === 0,005 см и В === 0,5 Тл.
Из кривой (рис. 14.9) находим, что индукции В === 0,5 Тл соответствует напряжен
. ность поля Н === 40 А/м. Таким образом, при В == 0,5 Тл Н} === Н 2 === 40 А/м.
Падение напряжения между точками а и Ь и маь == HJL} + H 2 L 2 + Нб{j ===
=== 40.0,1 + 40.0,05 + 0,8.0,5.106.5.10 5 === 26 А.
Значения и маь при иных зазорах и индукциях рассчитываем аналоrичным обра
30М (табл. 14.1).
т а б л и Ц а 14.1
Н} == Н2' . и маЬ' А, при 6, см
Ф.Вб.1О........-5 5
В,Тл А/м Н б,А/м, 10
О 0,005 0,05
0,5 25 40 4 6 26 206
0,8 40 130 6,4 19,5 51,5 339,5
1,0 50 300 8 45 85 445
1,1 55 440 8,8 66 110 506
1,2 60 700 9,6 ]05 153 585
1,3 65 1080 10,4 162 214 682
1,4 70 1800 Н,2 270 326 830
433
*0
о
200
wo
800 Ц"шдА
Ф,М
х 10 5
Рис. 14.11
По данным таблицы на рис. 14.11 построены ВАХ при трех зна
чениях 6. Из построений видно, что если участок, для KOToporo
строят ВАХ, не имеет "воздушноrо" включения, то ВАХ круто под
нимается вверх. При наличии воздушноrо включения ВАХ спрям
ляется и идет более полоrо.
14.14. Законы Кирхrофа для маrнитных цепей. При расчетах
маrнитных цепей, как и электрических, используют первый и BTO
рой законы (правил а) Кирхrофа.
Пер вый з а к о н К и р х r о Ф а: аЛi!ебраическая сумма Mac
нитных потоков в любом узле маснитнои цепи равна нулю:
IФк == о.
(14.8)
Первый закон Кирхrофа для маrнитных цепей следует из прин
ципа непрерывности маrнитноrо потока, известноrо из курса физи 11
ки (см. также 21.8). J
В т о рой з а к о н К и р х r о Ф а: аЛi!ебраическая сумма пaдe
нии маснитносо напряжения вдоль люБОi!О заМКНУТОi!О контура )
равна аЛi!ебраической сумме мдс вдоль ТОсО же контура: н
I Им == Ilw.
( 14.9)
Второй закон Кирхrофа для маrнитных цепей, по сути дела, есть н
иная форма записи закона полноrо тока. . J
Перед тем как записать уравнения по законам Кирхrофа, сле "}
дует произвольно выбрать положительные направления потоков в
ветвях и положительные направления обхода контуров. . "-
Если направление маrнитноrо потока на некотором участке COB
падает с направлением обхода, то падение маrнитноrо напряжения )f
этоrо участка входит в сумму I ИМ со знаком плюс, если встречно
ему, то со знаком Минус.
Аналоrично, если мдс совпадает с направлением обхода, она
434
п p6a/l 'ет6ь
Tp "'It/l 'ет6ь
Ф,f
f '
I 8тора/l I 15
6ет6ь
I t Фz ,
I
2 &z I f
I Ф"
.1b J
1, w, t
I lJO i1з
i !
Рис. 14.12
ВХОДИТ В I./w со знаком плюс, в противном случае со знаком
минус.
В качестве примера составим уравнения по законам Кирхrофа
для разветвленной маrнитной цепи, изображенной на рис. 14.12.
Левую ветвь назовем первой, и все относящиеся к ней величины
запишем с индексом 1 (поток ФJ' напряженность поля HJ, длина
пути в стали 11' длина воздушноrо зазора 61' мдс II(J)I)'
Среднюю ветвь назовем второй, и все относящиеся к ней величи
ны будут соответственно с индексом 2 (поток Ф2' напряженность
поля Н2' длина пути в стали 12' длина воздушноrо зазора 62' мдс
1 2 w 2 ).
Все величины, относящиеся к правой ветви, имеют индекс 3
(поток фз, длина пути на вертикальном участке /'з, суммарная дли
на пути на двух rоризонтальных участках 1" з)'
Произвольно выберем направление потоков в ветвях. Положим,
что Все потоки (ФI' Ф2' Фз) направ.пены вверх (к узлу а). Число ypaB
нений, которые следует составить по закона Кирхrофа, должно
быть равно числу ветвей цепи (в рассматриваемом случае нужно
СОставить три уравнения).
По первому закону Кирхrофа необходимо составить столько
уравнений, сколько в цепи узлов без единицы (см. 2.8).
В цепи (рис. 14.12) два узла; следовательно, по первому закону
I<.ирхrофа составим одно уравнение:
Ф 1 + Ф 2 + Ф З == О. ( а)
ПО второму закону Кирхrофа следует составить число ypaBHe
ний, равное числу ветвей, за вычетом числа уравнений, составлен
435
ных по первому закону Кирхrофа. в рассматриваемом примере 00
второму закону Кирхrофа составим 3 1 === 2 уравнения.
Первое из этих уравнений составим для контура, образованноrо
первой и второй ветвями, второе для контура, образованноrо
первой и третьей ветвями (для периферийноrо контура).
Перед составлением уравнений по второму закону Кирхrофа
необходимо выбрать положительное направление обхода контуров.
Будем обходить контуры по Ilасовой стрелке.
Уравнение для контура, образованноrо первой и второй ветвя-
ми, имеет ВИд
HIII + H tH 6 1 Н 2 1 2 Нб2 6 2 == IIWl 1 2 w 2 ,
(б)
rде Ны и Нб2 напряженности поля соответственно в ВОЗДУШНЫх
зазорах 61 и 62'
В левую часть уравнения вошли слаrаемые Н 111 И Н бl61 со знаком
плюс, так как на первом участке поток ФI направлен соrласно с
обходом контура, слаrаемые Н 212 И Нб262 со знаком минус, так как
поток Ф2 направлен встречно обходу контура.
В правую часть уравнения МДС IIWI вошла со знаком плюс, так
как она направлена соrласно с обходом контура, а МДС I'2W2 со
знаком минус, так как она направлена встречно обходу контура.
Составим уравнение для периферийноrо контура, образованно
ro первой и третьей ветвями:
Hlll +Ны6 1 Н"зl"з Н'зl'з===/IWI' (в)
Совместно решать уравнения (а) (в) с тремя неизвестными
(ФI. Ф2, Фз) не будем, так как в 14.8 дается решение рассматрива-
емой задачи более совершенным методом, чем метод на основе
законов Кирхrофа методом двух узлов.
14.15. Применение к маrнитным цепям всех методов, ИСПОJlЬ-
.. ..
зуемых для расчета электрических цепеи с нелинеиными резистора-
ми. В rл. 13 подробно рассматривались различные методы расчета
электрических цепей с НР. Эти методы полностью применимы и к
расчету маrнитных цепей, так как и маrнитные и электрические
цепи подчиняются одним и тем же законам законам Кирхrофа.
Аналоrом тока в электрической цепи является поток в маrниТ-
ной цепи, аналоrом ЭДС МДС, аналоrом вольт амперной xapaK
теристики нелинейноrо резистора вебер амперная характери
стика участка маrнитной цепи.
14.16. ОпредеJlение мдс неразвеТВJlенной маrнитной цепИ по
заданному потоку. Заданы конфиrурация и rеометрические разме-
ры маrнитной цепи, кривая (кривые) намаrничивания ферромаr
нитноrо материала и маrнитный поток или индукция в каком либо
436
сечении. Требуется найти МДС, ток или число витков нам аrничива
ющей обмотки.
< Расчет проводим в такой последовательности:
I 1) разбиваем м аrнитную цепь на участки постоянноrо сечения и
определяем длины Lk (м) И площади поперечноrо сечения Sk (м 2 )
участков (длины участков берем по средней силовой линии);
2) исходя из постоянства потока вдоль всей цепи, по заданному
потоку и сечениям Sk находим м аrнитные индукции на каждом
участке: Bk == Ф /Sk;
3) по кривой намаrничивания определяем напряженности поля
Hk для ферромаrнитных участков маrнитной цепи; напряженность
поля в воздушном зазоре
'1
н ==0 8.10 6 B
, ,
( 14.10)
. rде Н в А/м; в в Тл;
4) подсчитываем сумму падений маrнитноrо напряжения вдоль
всей маrнитной цепи IHkLk и на основании закона полноrо тока
приравниваем эту сумму полному току /w: I HkLk == /w.
Основным допущением при расчете является то, что маrнитный
поток вдоль всей маrнитной цепи полаrаем неизменным. В действи
тельности небольшая часть потока всеrда замыкается минуя OCHOB
ной путь. Например, для маrнитной цепи(см. рис. 14.6) поток, выйдя
из левоrо сердечника, в основном направляется по пути mасЬп, но
небольшая часть потока идет по воздуху по пути mqп.
Поток, который замыкается минуя основной путь, называют
потоком рассеяния. При м алом воздушном зазоре поток рассеяния
}: относительно мал; с увеличением воздушноrо зазора поток рассея
ния может стать соизмеримым с основным потоком.
Пример 141. rеометрические размеры маrцитной цепи даны на рис. 14.13 в
миллиметрах; кривая намаrничивания показана на рис. 14.9. Какой ток должен
протекать пообмотке с числом витков w === 500, чтобы маrнитная индукция в воздуш
ном зазоре была В === 1 Т л?
t'
1
"
11
1" 100 ! G
15
t"
1
Р....с. 14.1 3
437
Реш е н и е. Маrнитную цепь разбиваем на три участка:'. ". + '''. == 30 см;
S. == 4,5 см 2 ; '2 == 13,5 см; SJ. === 6 см 2 .
Воздушный зазор {j === U,Ol см; S{, === S. === 4,5 см 2 . Индукция В. === 8{, === 1 Тл.
Индукция на участке '2В2 === Ф/S2 === B{'S{/S2 == 1.4,5/6 === 0,75 Тл.
Напряженности поля на участках 1. И'2 определяем соrласно кривой намаrни
чивания (см. рис. 14.9) по известным значениям В. и В 2 : Н 1 === 300 А/м; Н 2 === 115 А/м.
Напряженность поля в воздушном зазоре H{j === 0,8.106. B{j == 0,8.106.1==8.105
А/м.
Падение маrнитноrо напряжения вдоль всей маrнитной цепи IHk'k===
===Н.'.+Н2'2+Н{, (j === 300.0,3 + 115.0,135 + 8.105.104 == 185,6 А.
Ток в обмотке I === I н k'k/w === 185,6/500===0,371 А.
14.17. Определение потока внеразветвленной маrнитной цепи
по заданной мдс. Заданы rеометрические размеры маrнитной цe
ПИ, кривая намаrничивания и полный ток. Определить поток.
Для решения задачи необходимо построить зависимость потока
в функции от IHkLk И на ней найти рабочую точку.
Пример 142. Найти маrнитную индукцию в воздушном зазоре маrнитной цепи
примера 141, если /w === 350 А.
Реш е н и е. Задаемся значенйями В === 0,5; 1,1; 1,2; 1,3 Тл и для каждоrо из
них подсчитываем IHkLk так же. как в предыдущей задаче. В результате получим
В{" Тл 0.5 1.1 1.2 1.3
BI. Тл 0,5 1,1 1,2 1.3
В2. Тл 0,375 0,825 0.9 0.975
Нб. 105, А/м 4 8,8 9,6 10.4
н., А/м 50 460 700 1020
Н2. А/м 25 150 200 300
IHkl k , А 58,3 246,3 333 450,5 .! l
1 f:
Ф.lо 5 Вб 22,5 49,5 54 58,5
,
По полученным данным строим зависимость Ф == fCI н k'k)' изображенную на
рис. 14.14, и по ней находим, что при Iw === 350 А Ф === 55.10 5 Вб. Следовательно.
Вб === Ф/S{j === 55.10 5/(4,5. ю 4)==1,21 Тл.
14.18. Расчет разветвленной маrнитной цепи методом дВУХ J1
узлов. Ранее отмечалось, что для расчета разветвленных маrнит..J'
ных цепей применимы все методы, рассмотренные в rл. 13.
Рассчитаем разветвленную маrнитную цепь (см. рис. 14.12) Me
тодом двух узлов.
Пример 143. rеометрические размеры маrнитной цепи даны в миллиметрах;
кривая намаrничивания представлена на рис. 14.9; I.w. === 80 А; /2W2 === 300 А;
б'. === 0,05 мм; 62 === 0,22 мм. Найти маrнитные потоки в ветвях маrнитнои цепи.
Реш е н и е. Как и в схеме на рис. 13.7, узловые точки обозначим буквами а и Ь.
Выберем положительные направления потоков Ф., Ф2' Ф З к узлу а. Построим зави
симость потока Ф. от падения маrнитноrо напряжения первой ветви им., Для этоrо
произвольно задаемся рядом числовых значений В.. ДЛЯ каждоrо значения В. по
кривой намаrничивания находИМ напряженноc<rЬ на пути в стали по первой ветВИ.
438
ф,Вl s
)('O
"О
tP, 1-
}l.1O
50
1
100
О
100
200
300
I HkLfr ,А
О
200
J,.()O
600
и,."А
Р....с.14.14
Р....с. 14.15
Падение маrнитноrо напряжения на первом участке
ИМ} === H}II + 0,8. [06. В }6.. rде I} === 0,24 м длина пути в стали по первой ветви.
Выбранному значению В} соответствует Ф} === B}S}.
Таким образом, для каждоrозначения потока Ф} ПОДСЧИТbIваем им} и поточкам
строим зависимость Ф} f(И м }) кривая 1 на рис. 14.15.
Аналоrично строим зависимость Ф 2 === ,(и м2 ) кривая 2 на рис. [4.15;
И м2 === Н 2 1 2 + 0,8.106. В262' rде 12 === 0,138 м длина пути в стали во второй ветви.
Кривая 3 есть зависимость Ф З == '( и м3); И м3 == Н' з l ' 3 + Н" з l " 3' r де l' 3 0,1 и
I"з 0,14 м. Им соответствуют участки третьей ветви, имеющие сечения 9 и 7,5 см 2 .
Маrнитная цепь (см. рис. 14.12) формально аналоrична нелиней
ной электрической цепи (см. рис. 13.7). Аналоrами /} и /2 электриче
ской цепи (см. рис. 13.7) являются маrнитные потоки Ф} и Ф2 маrнит
ной цепи (см. рис. 14.12), аналоrом эдс Е} мдс I 1 w}, аналоrом
зависимости тока в первой ветви от падения напряжения на сопро
тивлении первой ветви [/} === '( и 1 )] зависимость маrнитноrо пото
ка Фl в первой ветви маrнитной цепи от падения маrнитноrо напря
жения U мl вдоль первой ветви [Ф} === '( U мl)] И т. д.
Воспользуемся аналоrией с нелинейной электрической цепью
для определения потоков Фl' Ф 2 , ФЗ' С этой целью выполним rрафи
ческие построения, подобные построениям на рис. 13.10.
Вспомним, что кривые (см. рис. 13.10) представляют собой зави
СИмости токов в ветвях схемы не от падений напряжений (и(, и 2 , Uз)
вд(}ль этих ветвей, а от напряжения и аЬ между узлами а и Ь схемы
(см. рис. 13.7).
В соответствии с этим введем в расчет маrнитное напряже
Иие разность маrнитных потенциалов между узлами а и Ь:
U МаЬ === fP Ma fPMb'
Выразим маrнитный потенциал точки а (fPMa) через м аrнитный
Ilотенцtlал точки Ь (fPMb)' следуя от точки Ь к точке а сначала по
Ilервой ветви, затем по второй и, наконец, по третьей. Для первой
ветви
fP Ma ==fPMb (Hll( + Ныб}) +/(Wl'
439
2'
"
,
'\
\
\
600 J,.OO 200
\
,
,
.....
1
J
Р....с.14.16
Р....с.14.17
rде HlLl + H бl 6 l === U Ml падение маrнитноrо напряжения по пер
вой ветви. Знак минус перед скобкой обусловлен тем, что при пере
мещении соrласно с направлением потока маrнитный потенциал
(как и электрический при перемещении по току) снижается (если
бы Двиrались против потока, то маrнитный потенциал возрастал и
нужно было ставить плюс). Плюс перед I1W l свидетельствует о том,
что при перемещении от точки Ь к точке а идем соrласно с направ
лением мдс I}w}. Таким образом, для первой ветви
и маь == fPMa fPMb == и м } + I}w l ; (а)
для второй ветви (перемещаясь от Ь к а по потоку Ф 2 И соrласно с
направлением мдс 1 2 w 2 )
и маь === и м2 + 1 2 w 2 ; (6)
для третьей ветви (на ней МДС отсутствует)
и маь == U мз .
(в)
rрафическое решение задачи приведено на рис. 14.16. На нем
зависимость Ф 1 == '( и маЬ) представлена кривой 1; Ф 2 === '( и маЬ)
кривой 2; Ф З == '( и маЬ) кривой 3. Построение их производилось
так же, как и построение соответствующих кривых на рис. 13.10.
Начало кривой 1 смещено в точку U маЬ :::::: I} W l === 800 А; начало крИ
вой 2 в точку и маь == 1 2 W 2 === 300 А. Кривая 123 представляет соб, Й
Ф l + Ф 2 + Ф З === '( и маЬ)' Она пересекает ось абсцисс в точке m. ПР.о
ведем через точку т вертикаль и найдем потоки в ветвях:
Ф l == 126,2.10 5 Вб; Ф 2 == 25.10 5Вб; фз == 101,2.10 5 Вб.
В результате расчета потоки Ф 2 и Ф З оказались отрицательными.
Это означает, что в действительности они направлены противопО
ложно положительным для них направлениям, показанным стрел
ками на рис. 14.12.
Рассмотрим, какие изменения произошли бы в построениях на рис. 14.16, есЛИ
бы какая либо из мдс изменила направление на противоположное, например в
440
pe YJIbTaTe изменения направления протекания тока в этой обмотке. Допустим, что
изменилось на противоположное направление МДС '2w2' В уравнение (б) МДС '2W2
вошла бы теперь с отрицательным знаком. При построениях это нашло бы свое
отражение в том, что кривая 2 перемеСТИJlась влево параллеJIЬНО самой себе так, что
пересекла бы ось абсцисс не в точке И маЬ == 300 А, а в точке. И маЬ == 300 А
(l1унктирная кривая 2). Кривые J и 3 останутся без изменений, но суммарная кривая
ФI + Ф2 + Ф З === f(И маь ) будет иная.
14.19. Дополнительные замечания к расчету маrнитных цепей. 1. При постро
ении ВАХ участков маrнитной цепи в 14.12 и далее явление rистерезиса не учиты
валось. Поэтому ВАХ выходили из начала координат, не зависели от предыдущих
I1роцессов намаrничивания и размаrничивания и удовлетворяли соотношению
Ф( ИМ) == Ф(И М )' Если учитывать rистерезис, то у БАХ каждой ветви будут
неодинаКQвые восходящий и нисходящий участки, которые, в свою очередь, зависят
от маrнитноrо состояния, предшествующеrо рассматриваемому (от маrнитной пре
дыстории). В этом случае Ф( и м) =1= Ф( им), Для ПОJlучения более правильных
реЗУJlьтатов при построении ВАХ следует учитывать rистерезис, что практически
возможно, если известны rистерезисные зависимости используемоrо материала.
. 2. В лоrических устройствах и устройствах, применяемых в вычислительной
технике, используют элементы, имеющие разветвленные маrнитные цепи, выпол
пенные из феррита с почти прямоуrольной петлей rистерезиса (трансфлюксоры,
биаксы, леддики и др.).
Изложенную в 14.18 методику расчета, если ее несколько видоизменить, можно
применить и при нахождении потокораспределения в упомянутых элементах в YCTa
новившихся режимах работы. В этом случае расчет следует начинать с определения
положения узлов маl'НИТНОЙ цепи этоrо элемента (в таких элементах УЗJIЫ, как
правило, выражены в неявном виде). Каждую ветвь следует представить как две
параллельные со своими длинами и рассматривать их как самостоятельные ветви
со своими потоками. Это необходимо потому, что маrнитные потоки в двух парал
лельных участках каждой ветви MorYT замыкаться по различным путям. Например,
маrнитные потоки двух параллельных участков при опредеJlенных условиях MOJ'YT
замыкаться в пределах одной ветви. Расчет выполняют так же, как и в 14.18.
Однако ВАХ каждOl'О участка должны быть взяты в виде прямоуrольной (ромбовид
ной) петли с исходящими из двух ее противоположных уrлов rоризонтальными (почти
rоризонтальными) прямыми. Для каждоrо сочетания МДС (они MorYT и OTCYTCTBO
вать) будет по крайней мере по два решения, так как ВАХ имеют петлевую форму.
; 3. Если число УЗJЮВ маrнитной цепи больше двух, то потокораспределение в ней
Можно найти методом постепенноrо приведения ее к маrнитной цепи с двумя УЗJlами.
Так, в трехотверстном трансфлюксоре (рис. [4.17) цифры в кружках J, 2, 3 означают
узлы. Восемь тонких линий это средние маrнитные линии ветвей. СтреJIКИ на них
указывают произвольно выбранные напраВJlения потоков. Провода с токами /1 и /2
проходят через отверстия трансфлюксора.
. Сначала строим зависимость суммы потоков ветвей 5 и 6 от маrнитноrо напря
Жения между узлами 3 и 2, учитывая ток 12' Затем строим зависимость
Ф4,7 == f(И м2 .l)' Имея в виду, что ФБ,6 === Ф4,7' суммируем абсциссы полученных кри
Вых и находим ФБ,6 === f( и мЗ,I)' После этоrо задача оказывается сведенной к задаче с
двумя узлами J и 3. В более сложных задачах можно воспользоваться методом,
рассмотренным в [20).
4. Методика расчета разветвленных маrнитнЫХ цепей в историческом плане
развивалась постепенно и усовершенствоваJlась по мере возникновения новых прак
ТИческих задач. СначаJlа расчет проводили, используя маrнитные сопротивления
Участков маrнитной цепи RM (см. 14.23). Однако ввиду Toro что RM является нели
liейной функцией маrнитноrо потока, который перед проведением расчета неизве
СТен, на второй стадии перешли к расчету маrнитных цепей с использованием OДHO
Зliачных нелинейных ВАХ (см. [4.13). Впоследствии появилась необходимость
ИСПользовать петлевые зависимости потоков от маrнитных напряжений. В настоя
щее время при расчете маrнитных цепей, работающих при больших скоростях пере
МаrНичивания, оказывается необходимым приним ать во внимание не только зависи
Масть маrнитнOJ'О состояния от предшествующих процессов намаrничивания, но
УЧИтывать и маrнитную вязкость, и поверхностный эффект (см. 16.10,23.5).
. ,
441
14.20. ПОJlучение постоянноrо маrнита. Возьмем замкнутый
кольцевой сердечник из маrнитотвердоrо материала. Сделаем в
нем два очень тонких (бесконечно тонких) радиальных пропила на
расстоянии б (рис. 14.18, а). Выпиленный кусок оставим пока на
месте. Затем намотаем на сердечник обмотку и пропустим по ней
такой ток, чтобы намаrнитить сердечник до насыщения. После это-
ro ток выключим и обмотку смотаем. Сердечник оказывается На-
маrниченным. Намаrниченность ero есть следствие Toro, что Mar-
нитные моменты областей самопроизвольноrо намаrничивания
сохранили свою ориентацию, вызванную предшествующим воздей
ствием внешнеrо поля.
Маrнитныи поток в теле сердечника определяется сум мой Mar
нитных моментов Bcero сердечника. Удалим выпиленный кусок
(рис. 14.18, 6). Объем намаrниченноrо вещества уменьшится на
объем вынутой части. Кроме Toro, маrнитному потоку придется
проходить через воздушный зазор. Все это приведет к уменьшению
маrнитноrо потока в теле сердечника.
В воздушном зазоре сердечника при отсутствии на нем обмотки
с током проходит маrнитный поток устройство представляет co
бой постоянный маrнит.
14.21. Расчет маrнитной цепи постоянноrо маrНИТа. Маrнитная
индукция в зазоре маrнита (В{) зависит от соотношения между
длиной воздушноrо зазора () и длиной ферромаrнитной части Mar
нита le (рис. 14.18,6). Обозначим: Нб напряженность поля в воз
душном зазоре; Ве маrнитная индукция в теле маrнита; Не
напряженность маrнитноrо поля в теле маrнита.
Найдем две неизвестные величины Ве и Не' полаrая известными
кривую размаrничивания ферромаrнитноrо материала, зазор () и
длину le. Одна связь между ними (нелинейная) дается кривой раз
маrничивания (рис. 14.18, в). Друrая связь (линейная) следует из
закона полноrо тока.
Действительно, если воспользоваться законом полноrо тока, то
6
а)
б)
Рис. 14.18
442
в, 7ft _\
h
0,8
0,6
о,lt
0,2
f
800Q 6QQO ItOOO 2000 О Н, А/М
6)
можно записать
:-+
'j'Hdl == He1e + Н(,6 == о.
(14.11)
Нуль в правой части уравнения (14.11) объясняется тем, что на
постоянном маrните нет обмотки с током. Но Н{, == 0,8.10 6 В{" rде
Н(, в А/м, в{, в Тл.
Если зазор достаточно мал, то можно в первом приближении
принять, что рассеяние потока отсутствует и BeSe == B{,S{" rде Se
площадь поперечноrо сечения м а rнита; S(, площадь поперечноrо
сечения воздушноrо зазора. Отсюда
Se 6 6Se
В{, == BeS; Н6 === 0,8.10 В{, === 08.10 sBe.
.; {, 6
Подставив Н (, в уравнение (14.11), получим
Не == NBC'
(14.12)
rде
66 Se
N == 0,8.10 тs.
е 6
(14.13)
. Коэффициент N, зависящий от rеометрических размеров, назы
вают разма2нuчuвающuм фактором 1 : [N] == А . м/(В . с).
Для определения Не И Ве на рис. 14.18, в следует нанести прямую,
построенную по (14.12). В точке пересечения прямой с кривой раз
маrничивания удовлетворяются обе связи между Ве и Не, которым
iДОЛЖНО быть подчинено решение.
. (" Приведенный расчет дает достаточно точный результат, если зазор 6 очень мал
по сравнению с длиной 1. Если это условие не выполнено, то значительная часть
{маrнитных силовых линий замыкается, как показано i1унктиром на рис. 14.18, б. В
этом случае поток, индукция и напряженность вдол сердечника изменяются. Это
учитывают при расчете, вводя некоторые поправочные коэффициенты, определяе
мые из опыта.
Пример 144. Найти Ве' В6' Н е и Н 6' если постоянный маrнит (рис. 14. [8, б) имеет
R == 5 см, 6 == 1 см. Кривая размаrничивания изображена на рис. 14.18,8.
Реш е н и е. Если пренебречь боковым распором маrнитных силовых линий В
зазоре, то S{, === Sc- При этом размаrничивающий фактор
106
N === 0, 82 5 === 263.102. На рис. 14.18,8 проводим прямую Оа по уравнению
п. l
Не == 263.102 Ве' Точка а ее пересечения с кривой размаrничивания дает Ве == 0,3
Тл и Не == 8000 А/м. Такая же индукция будет В воздушном зазоре.
H{j == 0,8.106.0,3 === 24.104 А/м.
IНазвание коэффициента N показывает, что с ero помощью можно определить то
размаrничивание (уменьшение маrнитноrо потока в теле маrнита), которое происхо
Дит при ВВедении воздушноrо зазора В маrнитную цепь постоянноrо маrнита.
443
14.22. Прямая и коэффициент возврата. Частично заполним
зазор 6 на длине lмс(рис. 14.18,6) куском маrнитомяrкоrо материа
ла. Под действием поля постоянноrо маrнита внесенный кусок на
маrнитится и поток в теле маrнита возрастет.
Ввиду наличия rистерезиса маrнитное состояние постоянноrо
маrнита будет изменяться не по участку аЬ (рис. 14.18, в) кривой
размаrничивания, а по нижней ветви adc частноrо цикла.
Для упрощения расчетов принято заменять частный цикл пря
мой линией, соединяющей ero вершины. Эту прямую линию назы
вают прямой возврата.
TaHreHc уrла наклона прямой возврата к оси абсцисс называют
коэффициентом возврата. Ero числовые значения для различных
маrнитотвердых материалов даются в руководствах по постоянным
маrнитам.
Обозначим длину оставшеrося воздушноrо зазора (рис. 14.18,6)
61 == 6 IMc И На основании закона полноrо тока запишем
HJe + Н6161 + lмеНмс === о.
Напряженность поля в маrнитомяrком материаJlе Н ме MHoro
меньше напряженности ноля в маrнитотвердом материале и в воз
душном зазоре при одном и том же значении маrнитной индукции,
поэтому слаrаемым Н Mc1Me пренебреrаем по сравнению с остальны
ми. Прf'l этом
6 6( 5с
Не == 0,8.10 Т SBc-
с 6
( 14.12a)
Маrнитное состояние постоянноrо маrнита определяется пере
сечением прямой возврата с прямой, построенной по (14.12a).
l.j
Пример 145. Воздушный зазор маrнита примера 155 уменьшен вдвое. Найти 1:
индукцию в нем.
Реш е н и е. Находим N:::::: 131,5 .102. Прямая ОА (рис. 14.18, в) пересекается с
прямой возврата в точке d. Поэтому Ве :=: 0,42 Тл. Такая же индукция будет и в
воздушном зазоре, так как 56 === Sc-
Следовательно, уменьшение зазора со значения 6 до 6( привело к увеличению
маrнитной индукции в нем с 0,3 до 0,42 Тл.
Если же зазор 61 получить не путем ero уменьшения со значения 6 до 61' а путем
выемки из намаrниченноrосердечника куска длиной 61' то маrнитное состояние маrни
та определится пересечением луча АО с кривой размаrничивания Ьа! в точке е.
В этом случае Ве === В6 == 0,48Т л, т. е. возрастет на [(0,48 0,4 )/0,4)' 100 == 20%.
Таким образом, маrнитный поток в постоянном маrните зависит не только от
размера воздушноrо зазора, но и от предыстории установления этоrо зазора.
14.23. Маrнитное сопротивление и маrнитная проводимость:
участка маrнитной цепи. Закон Ома для маrнитной цепи. По опре
делению, падение маrнитноrо напряжения и м === Hl, но
Н == В /(J.toJ.t,) === Ф /(J.toJ.trS),
rде S площадь поперечноrо сечения участка.
444
Следовательно,
1
и м === ф S === ФR м ,
J..tOJ..t r
(14.14)
откуда
RM == [/( J10tt r S ).
(14.15)
Уравнение (14.14) называют законом Ома для маС?нитной цепи.
Это уравнение устанаВJIивает связь между падением маrнитноrо
напряжения и м и потоком Ф; RM называют маС?нитным сопроти8ле
нием участка маrнитной цепи. ВеJIИЧИНУ, обратную маrнитному
сопротивлению, называют маС?нитной nр080димостью:
а м === I/RM === ttott,S/l. (14.16)
Из предыдущеrо известно, что вебер амперная характеристика
участка маrнитной цепи в общем случае нелинейна. СледоватеJIЬ
но, в общем случае RM и а м являются функциями маrнитноrо потока
(непостоянными величинами). Поэтому практически понятиями RM
И а м при расчетах пользуются в тех случаях, коrда маrнитная цепь
в целом или ее участок, для которых определяются RM и о м , не
насыщены. Чаще Bcero это бывает, коrда в маrнитной цепи имеется
достаточно большой воздушный зазор, спрямляющий вебер ампер
ную характеристику маrнитной цепи в целом или ее участка.
Маrнитное сопротивление участка цепи RM можно сопоставить
со статическим СОПРОТИВJlением нелинейноrо резистора R CT (см.
13.10) и так же, как последнее, RM можно использовать при качест
венном рассмотрении различных вопросов, например вопроса об
изменении потоков двух параллельных ветвей при изменении пото
ка в неразветвленной части маrнитной цепи (как в 13.2 относитеJIЬ
но электрической цепи).
Пример 146. Найти RM Боздушноrо зазора постоянноrо маrнита и маrнитны
поток, если l) === 0,5 СМ, площадь поперечноrо сечения 80здушноrо зазора S == 1,5 см ,
Им == 1920 А.
Реш е н и е:
R == 1 5.10 3 == 0,256.108 rH l;
м 110l1,S l,257.[0 6.1.1,5.10 4 .
Ф === UM/R M == [920/(0,256.108) == 7230.10 8 Вб,
rДе 1 8 м; S Б м 2 .
В заключение отметим, что если воспользоваться понятием Mar
НИтноrо сопротивления, то второй закон Кирхrофа [см. формулу
(14.9)] для Jlюбоrо контура маrнитной цепи, содержащей п участков,
МОжет быть записан так:
п
п
I ФkR Мk == I/ kWk'
k===l k===l
(14.17)
445
ин
Ф2
..-.)
иM2
o
иM
............ф
!I
1
Рис. 14.19
Практически формулой (14.17) как расчетной удается восполь
зоваться, коrда маrнитная цепь не насыщена и R Mk не является
функцией Фk' Если же имеет место насыщение, то R Mk является
функцией Фk (т. е. неизвестно R Mk и Фk) и при использовании Форму
лы (14.17) возникают известные трудности.
14.24. Маrнитная JlИНИЯ с распределенными параметрами. На
рйс. 14.19 изображены два ферромаrнитных стержня длины 1, ради
уса r, маrнитной проницаемости Jl a , расположенные в воздухе. Pac
стояние между осями стержней d <<1 и соизмеримо с r. Вдоль
стержней проходит постоянный во времени маrнитный поток в про
тивоположных направлениях.
2
Обозначим R MO == 2 (rH I. M l) продольное маrниТное сопро
l1 а лr
л 110
тивление двух стержней на единицу длины линии; О МО == d
a
ln
r
(rH. M l) поперечная маrнитная проводимость на единицу длины
линии. Если поток в конце линии Ф2 (наrрузка на рис. 14.19 не
показана), а маrнитное напряжение и м2 , то, используя аналоrию с
электрической линией с распределенными параметрами (rл. Н),
запишем формулы:
им == U M2 chay + Ф2 Z вм shа у.
и м2
ф == z shay + Ф2 сhа у.
вм
( 14.18)
(14.19)
и м' Ф на пряж ение и поток на расстоянии у от конца линии,
ZBM = L G мО волновое м аrнитное сопротивление [rH l],
а == v'R:P о постоянная распространения [M l].
Если воспользоваться системой уравнений Максвелла в сим
метричной форме (см. 111 часть курса), то для синусоидаЛЬН020
режима работы маrнитной линии рис. 4.19 вместо уравнений (4.18)
и (4.19) будут следующие [18 ч. 11]:
и м== и м2сhVУ+Ф2Zвмshvу,
. U м2 .
Ф zshVУ+Ф2 Сhv у.
вм
( 14.20)
(14.21)
446
Волновое маrнитное сопроти вление ZBM== V ZO м/ У О м [А/Вс]. По
стоянная распространения V=== V ZOMYOM [M I]. Продольное маrнит
ное сопротивление единицы длины Zo м===п ом + jwLo м [А/мВс]. Попе
речная маrнитная проводимость единицы длины YOM==GOM+jwCOM
[Вс/ Ам]. Стержни полаrаем ферритовыми, для них абсолютная
маrнитная проницаемость ....ac===....o....,e jq>,. Продольное резистивное
2coSqJ,
сопротивление ROM 2 [А/ВсМ]. Поперечная резистивная
ла 11011,
лl1 о
проводимость aOM d ) Bc/ Ам]. Продольная маrнитная индук
Iп
а
тивность единицы длины линии для маrнитноrо потока
LOM===L M+L M' L M внутренняя маrнитная индуктивность двух
2sinqJ, 11
стержней, равная 2 [А/Вм]; LOM внешняя маrнитная ин
па 11 011,00
дуктивность единицы длины линии, равная отношению потока BeK
тора электрическоrо смещения D ФD В пространстве между CTep
( . 'у МС Ф
жнями созданноrо маrнитным током [M== ,проходящим ПО
.... а с
d a
801'мс]П
стержням) к маrнитному потоку Ф. L м а (А/Вм]. Маrнит
лl1 ас
ная проводимость (непроницаемость) стержней 'УМС==УМО У,. 'Умо
маrнитная проводимость среды (воздуха), окружающей стержни
. [В/ Ам) (точное числовое значение ее в настоящее время не опреде
,лено, rрубо приближенно без учета излучения YMo==(2.20)104 Вс 2 /м);
iY,==....,. Поперечная маrнитная емкость единицы длины линии, опре
_ деляемая как отношение маrнитноrо заряда единицы длины линии
. 't M [Вс/м) К маrнитному напряжению ИМ [А) между стержнями
n 11 0 J.t ас
Сом d a .[Вс/Ам).
1'Mcln
а
'L: M и Сом проявляютсебя при весьма высоких частотах, коrда воткрытой
по6ерхностныи то!( ...
С линеиноii плотностhЮ 6 н ,
"оеленно ра6нои J
b
i
lO
ФеРРОNа н"тнаR
среиа
СреМ с РО
z)
а)
5)
Н)
Р....с.14.20
447
системе рис. 4.19 возникает излучение в окружающее пространство. Как
правило, можно считать, что LO M==L м' а СОМ можно не учитывать.
14.25. Пояснения к формуле В === 110(H + J). Контур с током i, охватывающий
площадку AS, создает м аrнитный момент М == i6.S (рис. [4.20, а). Вектор 6.S числен
но равен площади 6.S, а положительное направление 6.S связано с положительным
направлением тока i правилом правоrо винта.
Ферромаrнитный КОJlьцевой сердечник (рис. [4.20,6) имеет обмотку с числом
витков W, по которой проходит ток /. Каждая единица объема ферромаrнитноrо
материала обладает некоторым вектором намаrниченности J, что при расчете можно
рассматривать как результат наличия в ферромаrнитном материале контуров с
молекулярными токами. Эти токи показаны в сечениях сердечника на рис. [4.20, в
(наМaI'ничивающая обмотка с током не показана).
Среднюю линейную плотность молекулярноrо тока, приходящеrося на единицу
длины сердечника в направлении Al, обозначим 6 м (А/см). Единичный вектор, COB
падающий по направлению с направлением 6 м , обозначим пО. Молекулярный ток
--+0 ...
6 M 6.ln охватывает площадку 6.S. Положительное направление вектора 6.S === 6.SS o
связано с положительным направлением ЭТOI'О тока правилом правоrо винта. Через
So обозначен единичнЫЙ вектор по направлению /).S.
По определению, намаrниченность J представляет собой маrнитный момент
--+
едиНИЦЫ объема вещества. Среднюю по объему намаrниченность вещества J можно
найти путем деления м аrнитноrо момента контура с током 6 M /),ln O , охватывающим
площадку 6.S, на объем 6. V === AlAS:
6 M 6.lAS O
J == 6.IAS S ===6 M S o '
Следовательно, средняя по объему намаrниченность J численно равна средней
JIинейной плотности молекулярноrо тока и направлена по SO.
Как видно из рис. [4.20, в, на участках, являющихся смежными между соседниМИ
контурами, молекулярные токи направлены встречно и взаимно компенсируют друr дрУI'а.
Неском пенсированными остаются только токи по периферийному контуру (рис. 14.20, ).
Наличие областей самопроизвольной наМaI'ниченности в ферромаrнитном теле
при расчете можно эквивалентировать протеканием по поверхности этоrо тела,
считая ero неферромаrнитным, поверхностноrо тока с линейной плотностью 6 м , при
чем по модулю 6 м == J.
Занишем уравнение по закону пол Horo тока для контура, показанноrо пунктиром
на рис. 14.20,6. При этом учтем, что после введения поверхностноrо тока сердечник
С1 анет неферромаrнитным и будет намаrничиваться не только током /, протекающиМ
по обмотке с числом витков w, но и поверхностным током с линейной плотностью 6 м .
На длине dl поверхностный ток равен 6 M dl == Jdl. На длине Bcero сердечника он
+ ----+
равенфJdl. Таким образом,
в ......................
ф dl === /w +фJdl.
110
448
Отсюда
( )
в
ф 110 J d 1 == / w.
в
Величину J обозначают Н и называют напряженностью ма2НИТНО20 поля.
110
в отличие от маrнитной индукции В и намаrниченности J напряженность поля Н не
зависит от маrнитных свойств намаrничиваемоrо тела (см. при мер (39). Это и яви
лось uснованием для Turo, чтобы закон полноrо тока для любых сред записывать в
+
видефНdl === /w.
ЕСJШ ферромаrнитное тело намаrничено неравномерно по высоте и толщине, то
плотность молекулярных токов смежных контуров на рис. [4.20, в неодинакова, а
токи на смежных между соседними контурами участках компенсируются не полно
стью. Отсюда следует, что неравномерно намаrниченное ферромаrнитное тело при
расчете можно заменить таким же в rеометрическом смысле неферромаrнитным
телом, по поверхности KOToporo течет поверхностный ток, плотность KOToporo изме
няется по высоте тела, а во внутренних точках тела течет объемный ток, плотность
KOToporo также изменяется от точки к точке.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определения В. J. Н. Ф. l1a. 110' 11,. Как они связаны между собой и в
каких единицах выражаются? 2. В чем отличие начальной. основной и безrистере
зисной кривых намаrничивания? 3. Что понимают под частным и предельным цик
Jlами, прямой возврата. остаточной индукцией. коэрцитивной силой, маrнитомяrки
ми и маrнитотвердыми материалами? 4. Чем физически объясняются потери на
rистерезис? Как их определить, располаrая петлей rистерезиса? 5. Сформулируйте
закон полноrо тока. 6. Дайте определение следующим понятиям: МДС. маrнитная
цепь, м аrнитопровод. ветвь м аrнитной цепи. 7. Как определить направление МДС?
8. С какой целью стремятся выполнить маrнитную цепь с возможно меньшим воз
душным зазором? 9. Как выбирают направление м аrнитных потоков в ветвях? 10.
Сформулируйте первый и второй законы Кирхrофа для маrнитных цепей. 11. Пояс
ВИте, как построить вебер амперную характеристику участка цепи. 12. Псречислите
Этапы расчета пепей методом двух узлов. 13. В чем отличие м аrнитноrо напряжения
от падения м аrнитноrо напряжения? 14. Как экспериментально получить постоян
ВЫЙ маrнит? 15. Как рассчитывают м аrнитную цепь с постоянным м аrнитом? 16. Что
понимают под маrнитным сопротивлением RM участка цепи? маrнипюй IIрОВОДИМО
сrью? От каких факторов они зависят? Зависят ли они от маrнитноrо потока по
участку цепи? Зап шите второй закон Кирхrофа с использованием понятия R M . 17.
Сформулируйте закон Ома для участка маrнитной цепи. 18. MorYT ли В и Н в
PpOM а нитном м атериале быть направлены встречно? 19. Решите задачи 3.2; 3.10;
,[3.3,[5.3.[9.
rnaBa пятнадцатая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕнноrо ТОКА
15.1. ПодраздеJlение неJlинейных ЭJlементов. НелинейНblми
электрическими цепями переменноС?о тока называют электриче
СКие цепи переменноrо тока, в состав которых входит один или
несколько нелинейных элементов.
15 З<IК. 683
449
Как известно из ч. 1 учебника, прохождению переменноrо тока
оказывают сопротивление не только резистивные, но и индуктив
ные и емкостные элементы. В соответствии с этим нелинейные Эле
менты для переменноrо тока можно подразделить на три rруппы: 1)
резистивные; 2) индуктивные; 3) емкостные. Каждую из этих rрупп
можно подразделить на управляемые инеуправляемые.
Управляемые нелинейные элементы обычно имеют один или
несколько управляющих электродов (зажимов) или управляющих
обмоток, включаемых в управляющую цепь (цепи), воздействуя На
ток или напряжение которых можно управлять сопротивлением в
rлавной цепи. При отсутствии специальных управляющих электро
дов или обмоток управляющий ток или напряжение MorYT воздей
ствовать на нелинейный элемент через электроды или обмотки
rлавной цепи.
15.2. Общая характеристика неJlинейных резисторов. Широкое
распространение в качестве управляемых нелинейных резистив
ных элементов получили трех (и более) электродные лампы, TpaH
зисторы и тиристоры. Свойства, принцип работы, характеристики
и применение их рассмотрены в 15.27 15.43.
Неуправляемыми нелинейными резистивными элементами в
упомянутом смысле являются электрическая дуrа, rерманиевые и
кремниевые диоды, тиритовые сопротивления, терморезисторы, ба
реттеры, лампы накаливания и др. Их основные свойства иВАХ
рассматривались в rл. 13.
Нелинейные резистивные элементы можно классифицировать
также по степени влияния температуры HarpeBa, обусловленной
протекающими по ним токами, на форму БАХ.
Так как тепловые процессы (процессы HarpeBa и остывания)
являются процессами инерционными, то резисторы, нелинейность
ВАХ которых в основном обусловлена изменением температуры в
результате HarpeBa протекающим через них током, принято назы
вать инерционными.
Резисторы, нелинейность ВАХ которых обусловлена иными (не
тепловыми) процессами, принято называть безынерционными или
почти безынерционными.
К rруппе инерционных резисторов относят электрические лам
пы накаливания, терморезисторы, бареттеры; к rруппе безынерци
онных или почти безынерционных электронные лампы, полупро
водниковые диоды, транзисторы и др.
Если постоянная времени HarpeBa инерционноrо резистора MHoro больше пери
ода переменноrо тока, то значение сопротивления ero за период переменноrо тока
практически не меняется, так как оно определяется не MrHoBeHHbIM, а действующИМ
значением переменноrо тока. Если к такому резистору подвести синусоидальное
напряжение (при условии, что постоянная времени HarpeBa ero значительнО больше
периода синусоидальноrо напряжения), то ток через Hero будет практически синуСО
идальным. .
Можно сказать, чтотакие резисторы занимают промежуточное положение меЖ
ду линейными и нелинейными. :к. нелинейным они тяrотеют вследствие Toro, что
450
сопротивление их является функцией действующеrо значения тока; к линейным
потому, что в установившемся режиме работы их сопротивления для различных
моментов времени внутри периода воздействующей на схему ЭДС остаются практи
чески неизменными.
15.3. Общая характеристика неJlинейных индуктивных эле-
ментов. Под нелинейными индуктивными элементами понимают
индуктивные катушки с обмотками, намотанными на замкнутые
сердечники из ферромаrнитноrо материала, для которых зависи
мость маrнитноrо потока в сердечнике от протекающеrо по обмотке
тока нелинейна. Индуктивное сопротивление таких катушек, OKa
зываемое прохождению переменноrо тока, не постоянно; оно зави
сит от значения переменноrо тока. Условимся называть их нелиней
ными индуктивными катушками.
Нелинейные индуктивные катушки подразделяют на управляе
мые и неуправляемые, но деление на безынерционные и инерцион
ные на них не распространяется, так как их нелинейность обуслов
лена свойствами ферромаrнитноrо материала, а не тепловым
эффектом.
На электрических схемах нелинейную индуктивную катушку
изображают в виде замкнутоrо сердечника с обмоткой (рис. 15.1, а)
или как показано на рис. 15.1, 6.
Сердечники нелинейных индуктивных катушек при относительно
низких частотах делают обычно двух типов: пакетные и спиральные.
Пакетные сердечники состоят из тонких пластин ферромаrнит
Horo материала кольцевой, п или Ш образной формы.
Спиральные сердечники изrотовляют из тонкой ферром аrнит
ной ленты. По форме они напоминают Tyro навитую часовую пру
жину.
Пластины пакетноrо и отдельные витки спиральноrо сердечни
ков изолируют друr от друrа эмалевым лаком, жидким стеклом или
каким либо иным изолирующим составом и запекают. Изоляция
необходим а для уменьшения потерь энерrии в сердечнике от вихре
вых токов (см. 15.4).
При высоких частотах резко возрастают потери в листовых cep
дечниках, поэтому сердечники, предназначенные для работы на
Высоких частотах, выполняют обычно из маrнитомяrкоrо феррита.
а)
1)
:{]
Р....с. 15.1
Р....с. 15.2
)5*
451
15.4. Потери в сердечниках неJlинейных индуктивных катушек,
оБУСJlОВJlенные вихревыми токами. Если по индуктивной катушк
со стальным сердечником проходит переменный ток, то в сердечни.
ке возникает переменный маrнитный поток, под действием которо.
ro в листах сердечника образуются вихревые токи. На рис. 15.2
изображен один лист сердечника. Пусть маrнитный поток, увели.
чиваясь, направлен вверх (вдоль листа). В плоскости листа, перпен.
дикулярной маrнитному потоку, по закону электромаrнитной ин.
дукции наводится ЭДС. Эта ЭДС вызывает в нем ток, который
называют вихревым. Контур, по которому замыкается вихревой
ток, изображен пунктиром на рис. 15.2. Вихревые токи по закону
Ленца стремятся создать поток, встречный по отношению к вызвав
шему их потоку.
Потери энерrии в листе на вихревые токи пропорциональны
квадрату наведенной в контурах листа ЭДС и обратно пропорцио
нальны сопротивлению контуров. ЭДС, наводимые в контурах, по
которым замыкаются вихревые токи, при заданной ширине листа Ь.
пропорциональны толщине листа а, амплитудному значению ин \
дукции и частоте. В свою очередь, сопротивление контура пропор
ционально ero пери метру и удельному сопротивлению. При Ь>>а
периметр контура почти не зависит от толщины листа. Поэтому
потери энерrии на вихревые токи пропорциональны квадрату амп
литудноrо значения индукции, квадрату частоты и квадрату тол
щины листа.
Уменьшить потери в листовом сердечнике на вихревые токи
можно двумя путями: 1) изrотовлением сердечника из тонких изо
лированных друr от друrа листов (см. 15.3); 2) добавлением в
ферромаrнитный материал примесей, увеличивающих еrоудельное
сопротивление. 'Н
При частоте 50 rц толщина листов обычно 0,35 0,5 мм; при
высоких частотах до 0,005 мм. 11
Кроме потерь от вихревых токов в сердечнике есть еще потери,
обусловленные rистерезисом и маrнитной вязкостью.
15.5. Потери в ферромаrнитном сердечнике, оБУСJlОВJlенные
rистерезисом. Как известно (см. 14.4), ферромаrнитным Ma
териалам свойственно явление rистерезиса, которое вызвано OTCTa
ванием изменения маrнитной индукции от изменения напряженно
сти маrнитноrо поля. Площадь rистерезисной петли в координатах
В, Н (В индукция, Н напряженность поля), снятая при дoCTa
точно медленном изменении маrнитноrо поля во времени (коrда
вихревые токи практически отсутствуют), характеризует энерrию,
выделяющуюся в единице объема ферромаrнитноrо материала за
один период переменноrо тока (за одно перемаrничивание). ПотерИ
в сердечнике, оБУСJIовленные rистерезисом, пропорциональны объ
452
ему сердечника, первой степени частоты и площади rистерезисной
петли. От толщины листов потери на rистерезис не зависят'.
rистерезисные петли при достаточно быстром изменении Mar
нитноrо поля во времени называют динамическими. Динамические
петли шире соответствующих статических за счет вихревых токов и
маrнитной вязкости.
Степень отличия динамической петли от соответствующей стати
ческой зависит от скорости перемаrничивания (от частоты), удельноrо
электрическоrосопротивления материала, толщины листов, темпера
туры и наличия в маrнитном потоке высших rармоник.
15.6. Схема замещения неJlинейной индуктивной катушки. В
расчетном отношении нелинейную индуктивную катушку (рис. 15.1,
а) можно представить в виде схемы на рис. 15.3, а. В ней параллель
но с идеализированной (без потерь) нелинейной индуктивностью
включено сопротивление R rB , потери в котором имитируют потери
энерrии в сердечнике на rистерезис и вихревые токи, а последова
тельно включено резистивное сопротивление самой обмотки
R об ; u напряжение на нелинейной индуктивности.
Как уже отмечалось, потери энерrии на rистерезис и вихревые
токи R rB зависят от качества ферромаrнитноrо материала и толщи
ны листов сердечника.
Если сердечник выполнен из низкокачественноrо маrнитноrо
материала, то потери в нем относительно велики, а сопротивление
R rB достаточн мало и ток i rB === V / R rB может оказаться соизмери
мым с током /11' протекающим по идеализированной (без потерь)
нелинейной индуктивности; в этом случае ветвь с сопротивлением
R rB необходимо учитывать в расчете.
Если же сердечник изrотовлен из тонких листов высококачест
BeHHoro маrнитомяrкоrо материала, то потери в сердечнике малы,
а сопротивление R rB === U 2 / P rB очень велико и потому ветвь с сопро
Тивлением R rB можно не учитывать.
Часто вводят еще одно упрощение: полаrают резистивное сопро
ТИвление обмотки R об настолько малым, что с падением напряже
Rоб .
1
.
и) !е8 I
If
а) 8)
Р....с. 15.3 Р....с. 15.4
...............
1
Явление поверхностноrо эффекта (см. ч. 111 учебника) здесь не учитываем.
453
ния В нем можно не считаться. Аналоrичное упрощение часто деЛа
лось и при расчете цепей с линейными индуктивностями. В этом
случае сопротивление катушки со стальным сердечником окаЗЫва
ется чисто индуктивным (соответствующая схема замещения Пред
ставлена на рис. 15.3,6).
Переход от схемы замещения на рис. 15.3, а к схеме замещения
на рис. 15.3, 6 вызван стремлением облеrчить расчет цепей. При
этом учитывают основной полезный нелинейный эффект (нелиней
ность между индукцией В и напряженностью Н) и пренебреrают
побочным вредным эффектом (потерями, обусловленными rистере
зисом и вихревыми токами в сердечнике).
При периодическом процессе нелинейность между В и Н учиты
вают, ведя расчет по кривой, абсциссы которой равны полусумме
абсцисс восходящей и нисходящей ветвей предельной rистерезис
ной петли (рис. 15.4). '
15.7. Общая характеристика непинейных емкостных эпемен
тоН. В обычных конденсаторах обкладки разделены веlцеством, ди
электрическая проницаемость KOToporo не является функцией Ha
пряженности электрическоrо поля. Для них зависимость
MrHOBeHHoro значения заряда q на одной обкладке от MrHoBeHHoro
значения напряжения u между обкладками (кулон вольтная xapaK
теристика) представляет собой прямую линию (рис. 15.5), а их eM
кость не зависит от напряжения и. Для нелинейных конденсаторов
зависимость q от и нелинейна (рис. 15.6).
Нелинейные конденсаторы называют еще варикондами. На
электрических схемах вариконды изображают в соответствии с
рис. 15.7, а. Пространство между обкладками вариконда запол.
няют сеrнетодиэлектриком. СеС?нетодиэлектриками называют ве-;
щества, диэлектрическая проницаемость которых является функ:
цией напряженности электрическоrо поля. Название
«сеrнетодиэлектрики» им присвоено потому, что впервые это свой'
ство было обнаружено у кристаллов сеrнетовой соли.
Сеrнетодиэлектрики, подобно ферромаrнитным веществам, об
ладают rистерезисом. Электрическим С?истерезuсом называют яв
пение отставания изменения электрическоrо смещения D от изме
нения напряженности поля Е. Как и в ферромаrнитных веществах,
l/ /1
а) 5)
Р....с. 15.6 Р....с. 15.7
Р....с. 15.5
454
площадь rистерезисной петли в координатах D, Е при медленном
изменении поля характеризует потери на электрический rистере
зис в единице объема сеrнетодиэлектрика за один период измене
ния Е.
Кроме потерь на rистерезис в варикондах есть еще потери, обус
ловленные тем, что проводимость сеrнетодиэлектрика не равна HY
лю, а также вязкостью процессов поляризации.
На схеме замещения вариконд можно представить в виде парал
лельноrо соединения идеализированноrо (без потерь) ва риконда и
ветви с резистивным сопротивлением R rп , потери в котором имитиру
ЮТ В расчетном отношении активные потери в вариконде (рис. 15.7,6).
Наличие потерь в варикондах является вредным побочным эф
,
фектом. Чем выше качество сеrнетодиэлектрика, тем уже петля
rистереза и меньше потери в нем. Для облеrчения исследования
свойств электрических цепей, содержащих вариконды, rистерези
сом и потерями обычно пренебреrают и зависимость q == '(и) при
нимают в виде пунктирной кривой на рис. 15.6. Абсциссы ее равны
полусумме абсцисс восходящей и нисходящей ветвей предельной
rистерезисной петли. Однако при исследовании схем, в основе дей
ствия которых лежит явление rистерезиса, например при анализе
работы некоторых запоминающих и счетных устройств, rистерезис
необходимо учитывать.
15.8. Нелинейные элементы как reHepaTopbI высших rармоник
тока и напряжения. Если нелинейный элемент, например резистор,
Присоединить к reHepaTopy синусоидальноrо напряжения, то про
ходящий через Hero ток будет иметь несинусоидальную форму и
потому нелинейный резистор будет являться reHepaTopoM высших
rармоник тока. Для Toro чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис.
15.8, rде кривая 1 БАХ НР; кривая 2 синусоидальное напря
жение на нем; кривая 3 ток через НР.
(.
{,
.
t,и
IJ
...... ..........................-................... ........
i"u
,
Р....с. 15.8
Р....с.15.9
455
Для построения кривой i == f(wt) последовательно придаем wt
значения, равные, например, О, 'Л/б, л/4, '11/3, '11/2 и т. Д.; для каждо,.
ro из них находим напряжение и, переносим соответствующее зна
чение u на кривую u ==:; f(i) и из нее определяем значение тока i для
взятоrо момента времени. Найденное значение тока i откладываем на
той ординате, которой соответствует выбранный момент времени.
Эти операции показаны на рис. 15.8 стрелками. Так, по точкам
строим кривую 3. Она имеет пикообразную форму и может быть
разложена на rармоники.
Аналоrично, если через нелинейный резистор пропустить сину
соидальный ток, то напряжение на нем будет иметь несинусоидаль
ную форму. Соответствующие построения приведены на рис. 15.9.
Следовательно, неЛИl!ейный резистор является reHepaTopoM BЫ
сших rармоник напряжения.
Амплитуды первой и высших rармоник токов нелинейно зависят
от амплитуд первой и высших rармоник напряжений на нелинейных
элементах.
Это затрудняет анализ и расчет нелинейных цепей и в то же
время позволяет осуществить с их помощью ряд важных в практи
ческом отношении преобразований, принципиально невыполнимых
с помощью линейных электрических цепей при неизменных во Bpe
мени параметрах.
15.9. Основные преобразования, осуществляемые с помощью
нелинейных электрических цепей. На рис. 15.10, а схематически
изображен четырехполюсник, в состав KOToporo входят одно или
несколько нелинейных элементов. Будем называть такой четырех
полюсник нелинейны.м (НЧ).
На рис. 15.10,6 представлен нелинейный шестиполюсник (НШ).
В отличие от четырехполюсника ОН ИМеет еще два зажима (<<полю
са»), к которым присоединяется источник управляющеrо наIlряже
ния или тока.
С помощью нелинейных четырех и шестиполюсников можно
осуществить ряд практически важных преобразований:
1) преобразовать переменный ток в постоянный. Устройства,
предназначенные для этоrо, называют выпря.мителями (см. 15.54);
2) преобразовать постоянный ток в переменный с помощью yCT
ройств, которые называют авТ02енераторами (см. 15.55) и иHвep
торами;
B r ЛV &00
!/Ш
861ХОО
а)
Цепь !/лра6леНfiН
5)
Р....с. 15.1 О
456
3) осуществить умножение частоты, т. е. получить на выходе
четырехполюсника напряжение, частота KOToporo в несколько
раз больше частоты входноrо напряжения. Четырехпол юсники, с
помощью которых производят умножение частоты, называют y.м
ножителя.мu частоты; устройство, удваивающее частоту, yдвo
uтеле.м частоты; устройство, утраивающее частоту, утроителе.м
и т. д.;
4)произвести деление частоты, т. е. выполнить операцию, обрат
ную умножению частоты. Четырехполюсники, используемые для
этоrо, называют делителя.ми частоты;
5) стабилизировать напряжение (ток), т. е. получ",ть на выходе
четырехполюсника напряжение (ток), почти не изменяющееся по
модулю при значительном изменении входноrо напряжения. Такие
четырехполюсники называют стабилизатора.ми напряжения (TO
ка). Устройства для стабилизации напряжения в цепях постоянно
ro тока рассмотрены в rл. 13;
6) осуществить триrrерный эффект, т. е. эффект резкоrо (скач
кообразноrо) изменения выходной величины при незначительном
изменении входной. Триrrерный эффект рассмотрен в 15.58 и
15.60;
7) произвести модуляцию. Как указывалось в 7.15, модуляция
есть процесс, при котором амплитуда (фаза или частота) высокоча
cToTHoro колебания, поступающеrо на ВХОД четырехполюсника,
преобразуется таким образом, что характер изменения ее повторя
ет характер изменения управляющеrо низкочастотноrо сиrнала.
Устройства, предназначенные для этоrо, называют .модулятора.ми;
8) осуществить демодуляцию, т. е. выделить из высокочастотно
ro модулированноrо колебания запечатленный в нем низкочастот
НЫЙ управляющий сиrнал. Устройства для демодуляции называют
демодуляторами или детекторами;
9) преобразовать желаемым образом форму входноrо напряже
ния. Например, при подаче на вход нелинейноrо четырехполюсника
напряжения синусоидальной формы на ero выходе можно получить
напряжение прямоуrольной или ликообразной формы;
10) произвести усиление напряжения (тока), т. е. получить на
выходе нелинейноrо устройства напряжение значительно большее,
чем управляющее напряжение на ero входе. Управляющее напря
Жение может быть постоянным или переменным.
С помощью трансформаторов также можно усиливать напря
Жение, однако в усилителях напряжения на нелинейных элементах
энерrия, потребляемая управляющей цепью, может быть в сотни,
Тысячи и даже сотни тысяч раз меньше энерrии на выходе усилите
ля, тоrда как в обычных трансформаторах эти энерrии почти равны.
Усилители напряжения на нелинейных элементах позволяют
УСиливать не только переменное, но и постоянное напряжение и
ПРитом с плавным изменением коэффициента усиления;
11) осуществить усиление мощности, т. е. выделить на выходе
457
устройства (в наrрузке) мощность, значительно большую Мощно
сти, поступающей в управляющую цепь.
Коrда rоворят об усилении мощности, то имеют в виду, что при
ращение мощности, выделяющейся в наrрузке, оказывается боль
ше приращения мощности, потребовавшейся для изменения режи
ма работы нелинейноrо элемента;
12) произвести степенное и лоrарифмическое преобразование
входноrо напряжения (тока).
С помощью нелинейных электрических цепей кроме перечис
ленных можно осуществить и друrие нелинейные преобразования.
К их числу относится, например, плавное преобразование частоты
с помощью нелинейных четырех и шестиполюсников, не содержа
щих подвижных частей. Рассмотрение этоrо преобразования BЫXO
дит за рамки курса (см. [21 ]).
Нелинейные устройства широко применяют для умножения
электрическим путем двух, трех функций и более, а также в элект
рических счетных и запоминающих устройствах, в качестве нели
нейных фильтров, лоrических устройств и т. п. Несомненно, что по
мере развития техники и изучения свойств нелинейных цепей по
следние будут находить применение для выполнения и друrих функций.
Если зависимость выходной величины от входной в относительно
небольшом диапазоне может быть линейной или близкой к линей
ной, то в большинстве случаев стремятся выбрать режим работы
преобразователя таким образом, чтобы работа ero проходила
именно на линейном участке (если это не противоречит назначению
преобразователя
15.10. Некоторые физические явления, наБJlюдаемые в нели-
нейных цепях. В электрических цепях переменноrо тока, содержа
щих нелинейные индуктивности и линейные или нелинейные KOH
денсаторы и линейные индуктивности, а также нелинейные
индуктивности и нелинейные конденсаторы, при определенных yc
лов иях (далеко не всеrда!) возникают физические явления, которые
невозможны в линейных цепях 1 . Таких явлений довольно MHoro.
Оrраничимся кратким рассмотрением только некоторых, наиболее
важных из них.
1. Возникновение интенсивных колебаний в цепи на высшей rap
монике при отсутствии этой rармоники во входном напряжении.
В линейных цепях возникновение интенсивных колебаний на
высшей rармонике может быть только при наличии этой rармоники
во входном напряжении.
2. Возникновение субrармонических колебаний.
Под су6 ар.монuкой понимают rармонику, частота которой в
lИмеются в виду обычные линейные цепи, параметры которых не являются
функцией времени. О линейных цепях с непостоянными во времени параметрамИ
см. rл. 18.
458
целое число раз меньше частоты источника эдс. Субrармониче
ские колебания представляют собой колебания на какой либо из
субrармоник. Чаще Bcero они наблюдаются на частотах ы/3; 00/2;
ro/5 и т. д. (ro частота источника ЭДС)(см. 15.69).
3. Возникновение колебаний в цепи на rармонике с частотой
ты/ n, rде т и n целые числа.
4. Зависимость характера установившеrося режима в нелиней
ной цепи переменноrо тока от предшествовавшеrо этому режиму
состояния цепи и начальной фазы источника эдс.
Это явление может наблюдаться в нелинейных электрических
цепях в зоне существования триrrерноrо эффекта, о котором было
упомянуто в 15.9. Суть явления состоит в том, что при подключе
нии нелинейной резонансной цепи к источнику эдс в ней может
возникнуть один из двух возможных режимов. Какой из режимов
возникнет, зависит от начальной фазы reHepaTopa и состояния цe
пи, предшествовавшеrо включению (см. 15.58).
5. Возникновение автомодуляции.
Автомодуляция представляет собой процесс периодическоrо
или почти периодическоrо изменения амплитуд токов и напряже
ний в нелинейных электрических цепях без воздействия на них
внешнеfО модулирующеrо фактора, т. е. без воздействия на них
низкочастотноrо сиrнала (см. Э 15.70).
6. Хаотические колебания, перемежающиеся резонансы и дpy
rие типы движений.
Перечисленные физические явления имеют место в резонанс
Hыx цепях только в определенных для каждой цепи диапазонах
пара метров, которые, как правило, оказываются такими, что прак
тически эти явления наблюдаются сравнительно редко. Кроме Toro,
исследование условий возникновения этих явлений часто связано с
rромоздкими математическими выкладками. В настоящей книrе
они рассмотрены в Э 15.58, 15.60, 15.69, 15.70. Подробно можно озна
комиться с этими явлениями также по [20] и [21].
15.11. Разделение неJlинейных элементов по степени симмет-
рии характеристик относительно осей координат. Кроме деления на
резистивные, индуктивные и емкостные, управляемые и неуправ
ляемые (а резистивных еще на безынерцио.нные и инерционные)
нелинейные элементы можно классифицировать еще по одному
признаку по степени симметрии характеристик для мrновенных
значений относительно осей координат.
Пусть х и у величины, характеризующие режим работы нели
нейноrо элемента. Условимся х обозначать величину, откладывае
мую по оси ординат декартовой системы, а у величину, отклады
ваемую по оси абсцисс.
Характеристики, для которых выполняется условие
у( х) === у(х), называют симметричными; характеристики, не
Удовлетворяющие этому условию, несимметричными.
459
Сим метричными характеристиками обладают нелинейные ин
дуктивности и емкости, а из резистивных тиритовые сопроТивле
ния, электрическая дуrа с однородными электродами и некОторые
друrие.
Однако основные типы нелинейных резистивных элементов
электронная лампа, транзистор и тиристор имеют несимметрич
ные характеристики.
В ближайших 13 параrрафах рассматриваются основные oco
бенности работы нелинейных элементов с сим метричными xapaK
теристиками.
Основные особенности работы нелинейных элементов с несим
метричными характеристиками электронной лампы и транзи
стора излаrаются в 15.27 15.43.
15.12. Аппроксимация характеристик неJlинейных ЭJlементов.
Для проведения математическоrо анализа нелинейных цепей пере
MeHHoro тока и изучения их общих свойств целесообразно выразить
аналитически зависимость между мrновенными значениями и и i
для нелинейноrо резистора, зависимость между В и Н для нелиней
ной индуктивной катушки, зависимость q и и для нелинейноrо KOH
денсатора. Приближенное аналитическое описание характеристик
нелинейных элементов называют аппроксимацией характеристик.
15.13. Аппроксимация симметричных характеристик ДJlЯ MrHO-
венных значений rиперБОJlическим синусом. При исследовании
свойств электрических цепей явлением rистерезиса, как правило,
можно пренебречь. Лишь при исследовании цепей, в основе дейст
вия которых лежит это явление (например, работы запоминающих
маrнитных устройств с прямоуrольной петлей rистерезиса), rисте
резис необходимо учитывать.
На рис. 15.11, а изображена типичная симметричная характери
стика у '(х).
Для нелинейной индуктивности роль х иrрает MrHoBeHHoe зна
чение индукции В; роль у MrHoBeHHoe значение напряженности
поля Н. ДЛЯ нелинейноrо конденсатора у это напряжение и, х
заряд q. Для нелинейных резисторов (например, тиритовых сопро
тивлений) роль х иrрает напряжение, у ток.
Существует большое число различных аналитических выраже
ний, в той ИЛИ иной мере приrодных для аналитическоrо описаниЯ
характеристик нелинейных элементов [20]. При выборе наиболее
подходящеrо аналитическоrо выражения для функции у f(x) ис
ходят не только из Toro, что кривая, описываемая аналитическиМ
выражением, должна достаточно близко всеми своими точкамИ
расположиться к опытным путем полученной кривой в предполаrа
емом диапазоне перемещений рабочей точки на ней, но учитывают
и те возможности, которые выбранное аналитическое выражение
дает при анализе свойств электрических цепей. В дальнейшем для
460
47Л
1,0
0,5
О 1000 2000 н,А/М
а) 5)
Р....с. 15.11
.' .
аналитическоrо описания симметричных характеристик по типу
рис. 15.11, а будем пользоваться rиперболическим синусом:
у === ash x. ( 15.1)
В этом выражении а и числовые коэффициенты; а выража
ется в тех единицах, что и У; в единицах, обратных единицам х,
так что произведение X есть величина безразмерная. Для опреде
ления неизвестных коэффициентов а И следует на полученной
опытным путем зависимости У === '(х) в предполаrаемом рабочем
диапазоне произвольно выбрать две наиболее характерные точки,
через которые должна пройти аналитическая кривая, подставить
координаты этих точек в уравнение (15.1) и затем решить систему
из двух уравнений с двумя неизвестными.
Пусть координаты этих точек У}, х} и У2' Х 2 (рис. 15.11, а). Тоrда
YI === ashl3x l ; У2 === ashl3 x 2'
Отношение
У2/ у, === Sh X2/ sh x l'
( 15.2)
Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения KO
эффициента . Следовательно,
а === Y2/sh X2' (15.3)
.
Пример 147. Кривая намаrничивания трансформаторной стали Э41 изображена
на рис. 15.11, 6. Найти коэффициенты а и .
Реш е н и е. Выбираем две точки на кривой: Н} == 200 А/м; в, == 1,1 Тл;
Н 2 == 2400 А/м; В 2 == 1,532 Тл.
По уравнению (15.2) имеем sh(1,532M/sh(1,1 ) == 12. Задаемся произвольными
значениями и производим ПодсчеТЫ:
6 5,22 4,57 3,92 3,26
B2 9,2 8 7 6 5
BI 6,6 5,74 5,03 4,32 3,59
sh B2/sh B} 13,5 9,58 7,25 6,24 4,]
461
По результатам подсчетов строим кривую sh B2/sh BI f( ) и по ней находим
5,75 тл l. Далее определяем
о. == H2/sh B2 === 2400/sh8,82 === 1200/1690 == 0,71.
Пунктирная кривая на рис. 15.11,6 построена по уравнению Н === O,71sh(5,75B).
t 15.14. Понятие о функциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко
используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя
d2y 1 dy ( р2 )
d + х dx + 1 У === О. ( 15.4 )
Функции Бесселя выражают степенными рядами и для них составлены табли
цы. Функцию Бесселя от aprYMeHTa х обозначают J р(х), rде р порядок функции
Бесселя. Общее выражение для J р(х) в виде степеннOl'О ряда можно записать так:
(х/2У' (х/2)Р + 2 (х/2)Р + 4 (х/2)Р + 6
J р(Х) == О!р! 1 !(р + l)! + 2!(р + 2)! 3!(р + 3)! + .... ( 15.5)
Таблица l5.l
х J <l..i х) jJI(jx) J2(jx) jJз(jх) J 4и х)
0,0 1,0 0,00 0,00 0,00 0,00
0,4 1,04 0,20 0,02 О 131 . 10 2 0,671 . 10 4
,
0,8 1,16 0,43 0,08 0,01 0,11 .10 2
1,2 [,39 0,72 0,20 0,04 0,58. 1 0 2
1,6 1,75 1,08 0,39 0,1 0.019
2,0 2,28 [,59 0,69 0,21 О,ОЫ
2,4 3,05 2,30 1,13 О,4[ 0,114
2,8 4,16 3,30 [,80 0,73 0,234
3,2 5,75 4,73 2,79 1,25 0,446
3,6 8,03 6,79 4,25 2,07 0,81
4,0 1 [,30 9,76 6,42 3,34 1,416
4,4 16,01 14,04 9,63 5,29 2,405
4,8 22,79 20,25 14,35 8,29 3,992
5,2 32,58 29,25 21,33 12,84 6,51
5,6 ... 46,73 42,32 31,62 19,74 10,468
6,0 67,23 61,34 46,78 30,15 16,63
7 ]68,6 [56 124 85,17 51,0
8 427,56 399,87 327,6 236,07 150,5
9 1093,59 1030,91 864,50 646,69 433,3
10 28[ 5,7 2671 2281 1758 [226
11 7288 6948,9 6025 4758 3430
12 18948 18142 15924 [2834 9507
Для rл. 15 наибольший интерес предстаВJJЯЮТ функции Бесселя от чисто мни
Moro aprYMeHTa (табл. 15.1). Для их получения в общее выражение (15.5) вместО х
следует подставить jx, rде j === v= 1. Обратим внимание на то, что в табл. 15.1 данЫ
функция jJl(jx) вместо Jl(jx) и функция jJa(jx) вместо Jз{jх). Сделано это потому,
462
70
60
50
40
JO
20
. . 10
О 1 * 5 z
Р....с.15.12
что без дополнительноrо множителя j или j эти функции, как правило, не исполь
зуют.
. При Х === О не равна нулю только функция Бесселя нулевоrо порядка: 10(0) == 1.
По данным табл. 15.1 на рис. 15.12 построены кривые функции Бесселя. Из таблицы
и рис. 15.12 видно, что с ростом Х значения функций увеличиваются. Чем выше
порядок функции Бесселя, тем меньше ее значение при одном и том же Х.
15.15. РаЗЛО1Кение rиперболических синуса и косинуса от периодическоrо
aprYMeHTa в ряды Фурье. Если aprYMeHT Х изменяется по периодическому закону,
например по закону синуса Х == xmsinrot, rде Х т амплитуда колебаний, то по пери
одическому закону изменяются и функции sh(xmsinrot) и ch(xmsinrot). Так как перио
дические функции можно представить рядами Фурье, то разложим в ряд Фурье эти
функции. С этой целью в (15.5) вместо Х подставим xmsinrot. Учтем известные из
триrонометрии формулы
sin 2 a == 0,5 O,5cos2a;
sin 3 a == 0,25sin3a + O,75sina;
sin 4 a === 0,375 0,5cos2a + O,125cos4a,
( 15.6)
( 15.7)
( 15.8)
сrруппируем все слаrаемые с sinrot, cos2rot, siП3ffit и т. д., а также отдельно выделим
постоянную составляющую. В результате оказывается, что коэффициентами при
триrонометрических функциях являются ряды, которыми изображают функции Бес
селя различных порядков от чисто мнимоrо aprYMeHTa jXm. Окончательно получим
.
sh(х т siПffit)===2[ j1 ,(jХт)]siПffit 2j1 з(jХт)siп3rot 2j/5(jХт)siП5ffit ..., ( 15.9)
ch(xmsinffit) === 1 0 (jx m ) + 21 2 (jxm)cos2ffit + 21 4 (jxm)cos4ffit + Н.. (15.10)
Ряддля sh(xmsinffit) состоит только из нечетных rармоник и не имеет постоянной
составляющей. Ряд для ch(xтsinffit) имеет постоянную составляющую и четные rap
Моники.
Пример 148. Разложить в ряд Фурье sh(4sinffit) и ch(4sinffit).
Реш е н и е. Значения функций Бесселя берем из таблицы:
j1,(j4) === 9,76; jJ з (j4) === 3,34; 14(j4) == 1,416;
jJ 5 (j4) == 0,505; J o (j4) == 11,3; 1 2 (4) === 6,42.
463
.
в соответствии с (15.9) и (15.10) получим
sh(4sin(J)t) == 2. 9,76sin(J)t 2. 3,34sin3ffit + 2. 0,505sin5ffit ...;
ch(4sinffit) === 11,3 2.6,42cos2ffit + 2.1,416cos4ffit +... .
15.16. Разложение rиперболическоrо синуса от постоянной и синусоидально
меняющейся составляющих в ряд Фурье. Из 15.13 известно, что MrHoBeHHoe значе
ние функции У связано с MrHoBeHHbIM значением Х формулой (15.1). В этой формуле
aprYMeHToM rиперболическоrо синуса ЯВJlяется не Х, как БыJlo в 15.14, а произведе
ние X. В соответствии с этим для разложения sh( xmsinffit) и ch( xmsin(J)t) в (15.9) и
(15.10) следует заменить Х на t)x m .
Если Х === Хо + xmsin(J)t, rде Хо постоянная составляющая, Х т aM
плитуда синусоидальной составляющей, то У == ash(t)x o + xmsin(J)t) ==
==ash xoch( xmsinffit) + acht)xosh( xmsinffit).
Следовательно,
У === ash xo{[!o(j xm)] + 21 2 и Xт) cos2(J)t + 2/4 и Xт) cos4(J)t + ...} +
+ 2ach xo{[ j! 1 (j Xm)] sinffit j! 3 и Xт) sin3(J)t ...}. (15.11 )
Из (15.11) следует, что постоянная составляющая функции У
уо === ash xolo и Xт)' (15.12)
Первая rармоника функиии У
Yl == 2ach xo [ j/l(j xm)] sin(J)t;
( 15.13)
вторая rармоника
У2 == 2ash xo/2 (j xm) cos2ffit;
( 15.14 )
третья rармоника
уз == 2ach xo[ j 1 з(jj3х т )] sin3(J)t
(15.15)
и т. д.
Пример 149. Разложить в ряд Фурье функцию у/а === sh(2 + 4sin(J)t).
Реш е н и е. По табл. 8.1 находим sh2 == 3,63; ch2 == 3,7. Значения функций
Бесселя берем из табл. 15.1. В соответствии с (15.11)
у/а == sh(2 + 4sinffit) == 3,63(11,3 12,844cos2(J)t + 2,832cos4(J)t ...) +
+ 3,76(19,52sin(J)t 6,674sin3(J)t + 1,01sin5(J)t ...).
Таким образом, уо/а == 41,1; Ylm/a == 73,4; У2т/а === 46,7.
15.17. Некоторые общие свойства симмеТРИЧНblХ нелинеЙНblХ элементов.
1. Если нелинеиный элемент с симметричной характеристикой работает в условиях,
коrда одна из определяющих ero состояние величин, например величина х, изменя
ется во времени по закону х === хо + xmsin(J)t, то в отношении ДРУI'ОЙ определяющей
ero состояние величины (величины у) можно сделать следующие выводы:
1) постоянная составляющая функции уо зависит не только от хо, но и ОТ х т ' что
следует из ( 15.12);
2) в кривой у == f«(J)t) появляются четные rармоники, которые исчезают при
ХО == О. Фаза четных rармоник зависит от знака постоянной составляющей (от знака
хо);
3) путем изменения хо или уо можно изменять амплитуды первой и высших
rармоник функций.
Первое из э rих свойств поясним I"рафически. Пусть нелинейный элемент рабо
тает при отсутствии синусоидальной составляющей (х т == О). TorAa изображением
464
r
а)
Ь)
Р....с. 15.1 3
этоrо процесса на характеристике нелинейноrо элемента будет точка а (рис. 15.13,
а). Для нее
( 15.16)
у == уо; рх == px == Ar shyo/ а.
Этот резульrат следует из (15.12), если учесть, что J 0(0) == 1.
Если же нелинейный ЭJlемент работает при Х т =1= О, То, для Toro чтобы постоян
ную составляющую функции УО сохранить прежней, постоянная составляющая ХО
должна быть снижена (или снизится сама) со значения X до X .
Постоянная составляющая
" у 0/ а
xo===Arsh J o (jj3x m )' (15.17)
rде x определяется ординатой точки Ь, расположенной ниже точки а (рис. 15.13, б).
Первое и третье из этих свойств широко используют в теории упраВJlяемых
нелинейных элементов, второе свойство в теории умножителей частоты.
Пример 150. Нелинейный элемент с характеристикой у === ashj3x сначала рабо
тал при уо/а === 41,1 и отсутствии переменной составляющей (рх т == О). Затем режим
работы ero изменился: постоянная составляющая уо/а осталась прежней, но появи
лась переменная составляющая рх, амплитуда которой РХ т == 4. Найти постоянные
составляющие рхо в этих двух режимах.
Реш е н и е. В первом режиме px == Ar sh 41,1 === 4,41. Во втором режиме
13x == Ar sh( 41,1/ J o(j4)) == Ar sh3,63 == 2.
Таким образом, ври переходе от первоrо режима ко второму постоянная COCTaB
JJяющая xo изменилась с 4,41 до 2, т. е. более чем в два раза.
11. В энерrетическом отношении общие свойства нелинейной цепи, содержащей
одну нелинейную катушку (конденсатор) с безrистерезисной симметричной xapaK
теристикой, в которой действуюr [енераторы синусоидал'ьных колебаний с частота
ми { l и 12 И возникают токи и напряжения частот lт. n === mf} + nf 2 (m и п простые
числа, принимающие положительные, отрицательные и нулевые значения), для пе
РИодических процессов оп.исьwаются iеОРf!МОЙ Мэнлu и РОУ.
Если через W т. п == и т. i т. п + и т. i т. п обозначить среднюю за период мощ
lOсть, поступающую в нелинейную индуктивную катушку (конденсатор) на частоте
! т. п == ml. + пf2' тотеорема устанавливает связь между мощностями, поступающи
ми в нелинейный элемент на различных частотах. Эту теорему записывают в виде
двух соотношений (доказательство см., например, в [20]):
00 00 W 00 00 W
m тп n тп
L L mt. + 'nt2 == О ; L L mt. +'nf2 === о. (15.18)
т==О п== oo т== ooп==O
465
15.18. Появление постоянной составляющей тока (напряжения, потока, заря-
да) на нелинейном элементе с симметричной характеристикой. Если к неJlИнейном\
резистору с симметричной БАХ, например i == аи 3 , подвести напряжение в виде ДBY
компонент и == U.sinffit + U 2 sin(2ffit + qJ), частоты которых относятся как 1:2 [в бо
лее общем случае как 2k/(2p + 1), rде k и Р целые ПОJlOжитеJlьные ЧИСJlа], то в
токе, проходящем через НР, несмотря на отсутствие выпрямитеJlей, появится посто
янная состаВJlяющая, равная O,75aUiU2sinqJ. Ее значение зависит не TOJlbKO от I
и. и и 2 , но и от уrла qJ. Сам факт возникновения постоянной состаВJlяющей в этих I
УСJlОВИЯХ называют селективным выпрямлением. Селективно оно потому, что возни
кает не при любом соотношении частот двух напряжений, а при вполне Оllределен
ном. Сходное ЯВJlение имеет место в нелинейных индуктивных катушках и KOHдeHca
торах. Так, если на нелинейную индуктивную катушку с БАХ i === аshj3Ф
воздействовать потоками частот (i) и 2ы, то при отсутствии постоянной состаВЛЯющей
в МДС в потоке кроме указанных rармоник появится и постоянная состаВJlяющая.
Для ее определения положим Ф === ФО + Ф}siп(wt + qJ) + Ф2siп2ffit, подставим в
формулу дЛЯ тока и, разложив ток в ряд Фурье, приравняем постоянную состаВJlЯ
ющую тока нулю. В результате получим формулу для определения фо:
2 [ jJ 1(jb 2 )][ J 2 (jb.)]
thb o === sin2qJ J о иЬ.) J о иЬ 2 ) ,
rAe ЬО === j3 Ф о; Ь. === j3Фl; Ь2 === j3Ф2.
Если через нелинейный конденсатор проходят первая и вторая rармоники тока,
а уrол qJ =1= О, то на нем будет постоянная составляющая заряда при отсутствии
постоянной составляющей напряжения.
15.19. Типы характеристик неJlинейных ЭJlементов. При анали
зе и расчете электрических цепей с нелинейными элементами в
зависимости от рассматриваемоrо вопроса используют различные
типы характеристик одноrо и Toro же нелинейноrо элемента: а)
характеристики для MrHoBeHHbIx значений; б) ВАХ по первым rap
моникам тока и напряжения; в) БАХ для действующих значений.
15.20. Характеристики ДJlЯ MrHOBeHHbIx значений. Основным
типом характеристик являются характеристики, связывающие
MrHoBeHHbIe значения основных определяющих величин: тока и Ha
пряжения на нелинейном резисторе, индукции и напряженности в
сердечнике нелинейной индуктивной катушки, заряда и напряже
ния на нелинейном конденсаторе. Будем называть их характери
стиками для MrHoBeHHbIx значений. Иноrда перед этим названием
добавляют соответственно следующие слова: вольт амперные, Be
бер амперные или кулон вольтные. В силу ряда причин, обуслов
ленных различными физическими процессами в самих нелинейныХ
элементах, форма характеристик меняется с увеличением скорости
изменения определяющих величин во времени.
15.21. ВАХ по первым rармоникам. Под БАХ по первым rapMO-
никам понимают rрафическую или аналитическую связь междУ
амплитудой (действующим значением) первой rармоники тока и
амплитудой (действующим значением) первой rармоники напря
жения на нелинейном элементе.
466
а}
и,
и,
I1g=D
UfJJ>UOl>U01
6)
I,
103> J02 > I 01
5)
I ,
Р....с.15.14
Этот тип характеристик подразделяют на две 1I0дrруппы. В пер
вой подrруппе наrряжение (поток или заряд) на нелинейном эле
менте изменяется по синусоидальному закону, а во второй по сину
соидальному закону во времени меняется ток через неJIинейный
элемент (напряженность в сердечнике нелинейной индуктивной Ka
тушки или напряжение на нелинейном конденсаторе).
Если воздействующее на нелинейный элемент синусоидальное
напряжение (синусоидальный ток) не содержит постоянной COCTaB
ляющей, то ВАХ дЛЯ первых rармоник даННОI'О элемента изобража
ют какой то одной кривой. Если же воздействующее напряжение
(ток) содержит постоянную составляющую, то ВОJlьт амперные, Be
бер амперные или КУJIон в()льтные характеристики изображают
семействами кривых, на которых постоянная составляющая тока,
напряжения, потока или заряда является параметром.
Этот тип характеристик получают расчетным аналитическим
или rрафическим путем по соответствующим характеристикам для
MrHoBeHHbIx значений или снимают экспериментально.
Ilри rрафическом построении задаются различными значения
ми амплитуды воздействующеrо на нелинейный элемент напряже
ния (тока, индукции, заряда), по точкам строят кривую тока (напря
женности, напряжения) в Функuии времени и путем разложения ее
в ряд Фурье находят соответствующие амплитуды первой rармони
КИ тока (напряженности, напряжения). (Пример rрафическоrо по
Строения кривой тока в функции времени для управляемой нели
нейной индуктивной катушки см. рис. 15.17.)
Аналитически построение точек обсуждаемой характеристики
Производят, используя формулы (15.12) и (15.13) или иные, подо
бные им.
В 15.23 рассмотрено применение формул (15.12) и (15.13) для
461
получения единых характеристик по первым rармоникам для уп I
равляемых симметричных нелин.ейных элементов.
Для нелинейной индуктивной катушки БАХ по первым rapMo i
никам можно получить опытным путем с помощью схемы рис. 15.14,
а, rде ИТ. источник синусоидальной эдс; ИТ 2 источник по
стоянной эдс; аЬ зажимы управляемой цепи НЭ; cd зажимы
управляющей цепи нэ. Измерительный прибор V. реаrирует на
первую rармонику напряжения, а измерительный прибор А I на
первую rармонику тока.
На рис. 15.14, 6 качественно изображены БАХ управляемой
нелинейной индуктивной катушки по первым rармоникам. Пара
метром является ток управления 10' БАХ по первым rармоникам
l1.ля управляемоrо нелинейноrо конденсатора изображены на
рис. 15.14, в. Параметром является управляющее постоянное Ha
пряжение и о .
Снятие характеристик (рис. 15.14, 6) производят следующим
образом. Устанавливают некоторое произвольное значение тока 10
в цепи управления, затем плавно повышают напряжение и 1 и для
каждоrо ero значения записывают значение тока 1.. Затем то же
проделывают при новом значении 10 и т. д. Результаты измерений
наносят на rрафик, и соответствующие точки соединяют плавной
кр ивой.
БАХ дЛЯ первых rармоник используют при расчете установив
шихся режимов в нелинейных цепях, который называют расчетом
по первой rармонике (см. Э 15.47). При расчете применяют БАХ той
подrруппы, которая более подходит по условию работы данноrо
нелинейноrо элемента.
15.22. ВАХ ДJlЯ действующих значений. Под БАХ дЛЯ действу
ющих значений понимают зависимость между действующим значе
нием синусоидальноrо (несинусоидальноrо) напряжения на нели
нейном элементе и действующим значением тока, протекающеrо
через Hero. Если напряжение (ток) содержит постоянную составля
ющую, то БАХ дЛЯ действующих значений изображают семейством
кривых, на которых постоянная составляющая тока (потока, напря
жения или заряда) является параметром.
Эти характеристики получают rрафическим или аналитиче
ским путем из характеристик для MrHoBeHHbIx значений или снима
ют опытным путем с помощью схемы (рис. 15.14, а), но приборы V.
, и А I В этом случае должны измерять действующие зна чения.
БАХ дЛЯ действующих значений зависят от формы напряжения
на нелинейном элементе и (или) от формы протекающеrо через Hero
тока, поэтому необходимо указывать, при каких условиях они по
лучены.
При качественном и rрубом количественном анализах полаrа
ют, что характеристики, снятые при одной форме напряжения на
468
,8Х т ftzm
Ii
5
* *
J J
2 2
1 1
О 20 .0 60 80 100 120 1"0 !/1т О 20 "/J 60 80 100 120 140 1т
20. 5) тii
а)
Р....с. 1 5 , '5
нелинейном элементе, близки к характеристикам, снятым при дpy
rой форме напряжения. В действительности же количественное
различие в характеристиках может оказаться значительным. БАХ
для действующих зна чений используют при расчете, называемом
расчетом по БАХ дЛЯ действующих значений (см. 15.48).
15.23. Получение аналитическим путем обобщенных характеристик управля-
емых нелинейных элементов по первым rармоникам. Как отмечал ось, нелинейные
индуктивные катушки и конденсаторы, а также большая rруппа нелинейных рези
сторов имеют характеристики для MrHoBeHHbIx значений, которые MorYT быть при
ближенно описаны формулой у === ashj3x. Для каждоrо нелинейноrо ЭJlемента под х
и у следует понимать свои величины (см. 15.13).
Таким образом, хи У обобщенные обозначения величин, опредеJlЯЮЩИХ рабо
ту нелинейноrо элемента. Для всех перечисленных нелинейных элементов можно
построить единые характеристики по первым rармоникам. С этой целью положим
х == хо+хтsiПffit. Тоrда в соответствии с (15.13) амплитуда первой rармоники функ
ции
Yl m === 2achj3xo[ jJl и Xт)].
( 15.19)
Формула (15.19) устанавливает связь между амплитудой Yl m первой rармоники
у, амплитудой Х т первой rармоники Х и постоянной составляющей .-to.
На рис. 15.15, а изображены характеристики управляемоrо нелинейноrо эле
мента Xт == f(Yl m /2a) при j3xo===O, 1,2,3,4,5, построенные по(l5.19). Кривыми можно
Пользоваться при известном значении параметра j3xo. Если известна не j3xo, а посто
Янная составляющая уо/а, то семейство кривых Xт ===ЛУlт/(2а)] при параметре
уо/а может быть построено следующим образом. Из (15.12) находим
уо/а
shj3x o === J о и Xт) и вместо chj3x o в (15.19) п одставим
"1+sh2 xo l+[ /; :т)(
в результате ПОJlУЧИМ
2
Ylт уо/а..
2а I + [ /O<j Xт) ] [ ] Il(J тx)].
(15.20 )
4f)()
l
Рис. 15.16
Кривые (рис. 15.15, б), построенные по формуле (15.20), являются характери
стиками управляемоrо нелинейноrо элемента при значениях параметра уо/а == 0,50,
100,150 и 200. Обратим внимание на то, что Ytт/2a, Xт' уо/а величины с нулевой
размерностью. Если масштабы по оси уменьшить в v2 раз, то кривые (рис. 15.15, б)
будут представлять собой характеристики по действующим значениям первых rap
моник. Характеристика неуправляемоrо нелинейноrо ЭJlемента изображена на рис.
15.15, б кривой, для которой Уо/а==-О.
15.24. Простейшая управляемая нелинейная индуктивная ка-
тушка. Простейшая управляемая нелинейная индуктивная катуш
ка изображена на рис. 15.16. Она состоит из обмоток W t и w o , HaMO
танных на замкнутый ферромаrнитный сердечник. Площадь
поперечноrо сечения сердечника S (м 2 ), длина средней м аrнитной
линии l (м).
Обмотка W t включена в цепь переменноrо тока, и по ней прохо
дит переменный т'Ьк i, содержащий первую и высшие rармоники.
Обмотка управления (подмаrничивания) W o присоединена к ис
точнику постоянной ЭДС Ео через дополнительную индуктивность
Lo и реrулируемое резистивное сопротивление Ro. По обмотке W o
протекает постоянный ток 1 о==Ео/ Ro-
Хотя переменный маrнитный поток и наводит в обмотке W o пе
ременную ЭДС, но переменный ток по ней практически не проходит,
так как дополнительная индуктивность Lo образует для переменно
ro тока достаточно большое индуктивное сопротивление.
Пусть приложенное к обмотке W t напряжение равно и mcosrot.
Это напряжение равно ЭДС самоиндукции, взятой с обратным зна
ком (активное сопротивление обмотки W t считаем весьма малым):
dФ
и ==::: L == W tM == и mcoS(J)t.
Отсюда маrнитный поток
и
ф == siП(J)t+Фо == ФmsiП(J)t+Фо;
(J)W t
Фт == и m/< (J)W 1)'
(15.21)
( 15. 2)
470
ф
Фтsiлшt Ф
D
ь
Hl=:iw,+lowo
Ф,
НL=iщ-+Z07ll 0
е !Jf
{()t
а)
А
б)
Р....с. 15.17
rде Ф т амплитуда переменной составляющей маrнитноrо пото
ка; Ф О постоянная составляющая маrнитноrо потока.
Управляемая нелинейная катушка позволяет путем изменения
постоянноrо тока /0 в обмотке W o управлять переменным током i.
Принцип управления режимом ее работы и характер изменения
во времени отдельных величин поясним с помощью рис. 15.17, а, 6,
rде кривые Ф == t(HI) представляют собой зависимости потока Ф в
сердечнике от произведения напряженности маrнитноrо поля Н на
длину средней маrнитной линии 1 сердечника.
Построения на рис. 15.17, а соответствуют случаю, коrда /0==0,
а на рис. 15.17, 6 коrда /0=1=0. На обоих рисунках переменная
составляющая потока Фтsiпrot одинакова. Для рис. 15.17, а посто
янная составляющая потока Ф О == О, дЛЯ рис. 15.17, б Фо=l=О. На
кривых Ф == f(rot), Ф == f(H 1) и iW 1 == f(rot) наиболее характерные
соответствующие друr друrу точки обозначены одинаковыми бук
ва ми.
Построения производим в такой последо ательности.
Сначала откладываем значения постоянной составляющей по
тока Ф О и строим кривую Фтsiпrot == f(rot). Затем произвольно зада
емся различными моментами времени, например равными
rot == о; л/2; л; 3л/2; 2л, и для каждоrо значения rot с помощью
кривой Ф == f(H/) находим соответствующие значения НI и строим
кривую iw1+/ow o == f(rot) (для рис. 15.17, а low o == О). Ось времени
для этой кривой направлена вертикально вниз и проходит через
Точки а, с, е в нижней части рисунка.
Ток i не содержит постоянной составляющей, так как в цепи
обмотки W 1 нет источника постоянной ЭДС и выпрямителей.
471
Прямая А А (рис. 15.17,6) является нулевой линией для кри
вой ёЫ I === f(wt). Ток i изменяется относительно этой прямой так, что
среднее значение ero за период от wt == О до wt == 2л равно нулю.
Друrими словами, проводим прямую А А так, чтобы площадь
51 была равна площади 52' Расстояние, на которое удалена прямая
А А от оси ординат, равно low o .
Полезно сопоставить выводы 15.17, сделанные в 06щей форме, с теми BЫBoдa
ми, которые применительно к нелинейному индуктивному элементу СJlедуют из pac
смотрения рис. 15.17, a l б. Сопоставимыми веJIичинами ЯВЛяются
х Ф; y (iw. +Jowo); хо Фо;. Хт Фт
yo Jowo; у === f(ffit) (iw. + Jowo) === f(ffit);
а) в 15.17 утверждаJlOСЬ, что: путем изменения уо можно влиять на амплитуды
первой и высшей rармоник функции у === f(ffit); этот вывод подтверждается построе
ниями на рис. 15.17, а. б амплитуды первой и высших rармоник функции
iw. === f(ffit) зависят от Jow o (чем 60льше Jowo, тем 60Jlьше аМПJlИтуда первой rapMo
ники тока i);
6) уо зависит не только от Фо, но и ОТ Фт; из построений рис. [5.17. а, б следует,
что Jow o зависит не только от фо' но и от Ф т;
в) при наJlИЧИИ постоянной составляющей в составе функции х в кривой
у === f(ffit) появляются четные rармоники. Из рис. 15.17, б СJlедует, что при наличии
постоянной состаВJlяюшей фо в составе маrнитноrо потока Ф в кривой iWI === f(rot)
появляются четные rармоники кривая iw. === f(ffit) несимметрична относительно
прямой А А.
Запишем потоки через индукции и сечения:
Фт === Вт 5 ;
фо == В 0 5,
(15.23)
(15.24 )
rде Вт амплитуда переменной составляющей индукции; Во
постоянная составляющая индукции.
Из (15.22) и (15.23) следует, что
Вт === U m /(ww.5). (15.25)
Если маrнитную индукцию Вт выражать в [с; S см 2 ; и т заменить на и ,
rде U действующее значение напряжения на обмотке 'Ш., то
1/2и 8108 U .108
В
т 2лfw l S 4,44fw.S'
( 15.26)
Формула (15.25) дает возможность найти амплитуду перемен
ной составляющей маrнитной индукции по амплитуде синусои
дальноrо напряжения U т' частоте f, числу витков w. и сечению S.
По закону полноrо тока, произведение напряженности поля Н
на длину средней маrнитной линии l должно быть равно алrебраи
ческой сумме мдс:
Н! == iw.+/ow o .
( 15.27)
Так как ток i содержит первую и высшие rармоники, то ypaBHe
ние (15.27) распадается на ряд уравнений: уравнение для постоян
472
. -
ных составляющих, уравнения для первой rармоники, второй rap
моники и т. д.
Уравнение для постоянных составляющих
low o == Hol, (15.28)
rде Но постоянная составляющая напряженности поля.
Переменный ток i содержит первую, вторую и друrие высшие
rармоники, но постоянной составляющей не содержит, так как в
цепи обмотки W I нет источника постоянной ЭДС и выпрямителей.
Уравнение для первой rармоники
IlmwI == Hlml, (15.29)
rде llm амплитуда первой rармоники тока i; H 1m амплитуда
первой rармоники напряженности поля. Аналоrично,
1 2m W 1 == H 2m l. (15.30)
Из (15.28) (15.29) следует, что
Но == low o / [,
H 1m == 11mwl/l,
Н 2т == 1 2m W I / 1,
( 15.31 )
( 15.32)
( 15.33)
и т. д.
Формула (15.31) позволяет определить постоянную составляю
щую напряженности поля Но через постоянную составляющую тока
10' Формула (15.32) позволяет найти H 1m череЗ/1m и т. Д.
15.25. ВАХ упраВJlяемой неJlинейной индуктивной катушки по
первым rармоникам. Под ВАХ управляемой нелинейной индуктив
ной катушки по первым rармоникам будем понимать зависимость
действующеrо значения первой rармоники переменноrо напряже
ния и I на обмотке W I от действующеrо значения первой rармоники
переменноrо тока II при постоянном токе 10, взятом в качестве
параметра.
Как уже указывалось в 15.21, ВАХ нелинейной индуктивной
катушки можно получить опытным путем с помощью схемы (рис.
15.14, а) или расчетным.
Рассмотрим расчетный путь, основанный на использовании обобщенных xapaK
теристик (см. 15.23).
Пусть зависимость между MrHoBeHHbIM значением напряженности маrнитноrо
поля Н и MrHOBeHHbIM значением м аrнитной индукции В выражается rиперболиче
Ским синусом:
н == ash B.
(15.34 )
в (15.34) Н выполняет ту же функцию, что у в (15.1), а В ту же, что их.
На основании аналоrии между (15.34) и (15.1) ясно, что характеристики управ
473
ляемой нелинейной индуктивной катушки по первым rармоникам полностью совпа
дают с характеристиками на рис. [5.[5,6, если Xт заменить на Bт'
Y1т/2a на Н 1т /2а, параметр уо/а на Но/а.
Из (15.25) следует, что
ит и
B === ==
m ffiW} ffiW}S
или
\
ffiW}S
U === Bт -y2 .
( 15.35)
Кроме Toro, из (15.32) имеем
11т == 1./2/} == Н }m 1 / w l'
( 15.36)
Следовательно,
1 === H}m == alV2
1 2а w'
}
( 15.37)
На основании (15.31)
НО al
1
o а w'
О
( 15.38)
Таким образом, для перехода от семейства кривых в безразмерных единицах
Bт == '(Н 1т/2а) при параметре Но/а к семейству кривых и} == 1(11) при параметре
10 нужно масштаб пооси ординат изменить в ffiW1S/ 1./2 раз, масштаб пооси абсцисс
в al/wo раз.
Пример 151. Управляема нелинейная индуктивная катушка (рис. 15.16) имеет
следующие данные: S==2,2 см ; [==25 см; w l 250; wo==1775. Аналитическое выраже
ние КI>ИВОЙ намаrничивания H==0,7[sh5,75 В. Воспользовавшись кривыми
Xт === '[У}т/(2а)] при параметре уо/а (см. рис. 15.15,6), построить семейство ВАХ
по ПервыМ rармоникам и} === I(I}) при параметре 10.
Реш е н и е. Подсчитаем коэффициент для перехода от Xт К напряжению И:
ffiW1S 314.250.2,2.10 4
-y2 5,751./2 == 2,13.
Таким образом, при переходе от Xт К напряжению U масштаб по оси ординат
на рис. 15.15, 6 должен быть увеличен в 2,13 раза. Определим коэффициент для
перехода от Н lт/(2а) к действующему значению первой rармоники тока:
a[ / w} == 0,71.0,25.1./2/250 == 10 3.
Следовательно, масштаб по оси абсцисс должен быть изменен в 10 3 раз. Коэф
фищreнт для перехода от Н 0/ а к току 10
al/w o === 0,71.0,25/1775 === [0 4.
Семейство ВАХ изображено на рис. 15.18.
В литературе, посвященной электрическим цепям с нелинейными индуктивны
ми элементами, используют термин "индуктивное сопротивление" нелинейной ин
дуктивной катушки по первой rармонике.
Под индуктивным сопротивлением по первой rармонике понимают отношение
действующеrо значения первой rармоники напряжения и} на зажимах индуктивно
катушки, включенной в цепь переменноrо тока, к действующему значению первои
rармоники тока I}, протекающеrо через нее: Х} == и} / I}, rде Х 1 функция НаПРЯ
жения и 1 и тока подмаrничивания 10. Изменение Х 1 в функции и} при /o==const и Х 1
474
v,
12,78
10,65
о 0,020,0* 0,06 0,08 0,1 0,12'0,11,. Е,А
Рис. 15.18
в ФУНКЦИИ 10 при U.==const можно проанализировать, воспользовавшись кривыми
на рис. 15.18. Если и.===8,52 В, то при 10===0, 1.==0,01 А и, следовательно,
X.==8,52/0,01===852 Ом.
При 10==0,01 АХ .===8,52/0,084=== 101 Ом. При 10==0,015 АХ .==66,5 Ом.
Таким образом, изменяя ток подмаrничивания 10' можно управлять сопротивле
нием Х..
Пример 152. Обмотка Ш. управляемой индуктивной катушки примера 152 под
ключена к источнику синусоидальноrо напряжения U 1 ==12,2 В (/===50 rц). Обмотка
управления шо подключена к источнику постоянной эдс Е 0=== 1 В. Резистивное co
противление цепи подмаrничивания Ro==50 Ом. Определить амплитуду переменной
составляющей Вт И постоянную составляющую Во маrнитной индукции.
Реш е н и е. По формуле (15.25),
12,2 \,!2
Вт === 4 == [ Тл; f3B m ==5,75.
2п.50.250.2,2.10
Постоянная составляющая тока 10===Eo/ R o ===1/50===O,02 А.
Постоянная составляющая напряженности поля Но/а == lowo/l === 141,5 А/м.
Параметр H o /a==141,5/0,71==2OO. По формуле (15.17),
200 f3 B o
f3 B o === Arsh /0 (j5,75) == 1,86; Bo == 0,324 Тл.
15.26. ВАХ упраВJlяемоrо неJlинейноrо конденсатора по первым rармоникам.
к.улон вольтную характеристику нелинейноrо конденсатора приближенно можно
описать rиперболическим синусом:
u == ashf3q.
( 15.39)
Пусть заряд
q == Qо+Qтsiпrot,
rДе Qo постоянная составляющая заряда; Qm амплитуда первой rармоники
заряда.
При этом напряжение на конденсаторе имеет постоянную составляющую и о , а
также первую и высшие rармоники. Формулы (15.12) (15.15) можно распростра
Нить на Нелинейный конденсатор, если заменить УО на и о ; У. т на и. т ; Х т на Qm; ХО на
Qo. В соответствии с этим постоянная составляющая напряжения на конденсаторе
и о === ashf3 Q % (jf3 Q m)'" (15.40)
475
Первая rармоника напряжения
2ach Qo [ jJ l(j Q т)]siпюt.
Ток через конденсатор равен dq/dt. Следовательно, первая rармоника тока
через Hero
d
dt (Qтsiпюt) === юQтсоsюt.
Ее амплитуда юQт=== Qт/ ' а дейстlfующее значение в -у2 раз меньше:
ю
1I === Q m -y2 '
(15.41)
Под БАХ управляемоrо нелинейноrо конденсатора по первым rармоникам бу
дем понимать зависимость действующеrо Зf!ачения первой rармоники тока через
конденсатор '1 от действующеrо значения нервой rармоники напряжения и 1 при
параметре и о .
На основании записаНноrо соответствия между и о и УО и U 1m и Ylm и т. д. можно
утверждать, что семейство кривых Qm === {[ U 1m /(2a)] при параметре ио/а полно
стью повторяет семейство кривых Xт === f [Ylm/(2a)] при параметре уо/а, изобра
женное на рис. 15.15,6.
ДJIЯ перехода от семейства кривых Qm === f(U 1m /2a) к семейству БАХ управля
eMoro нелинейноrо конденсатора по первым rармоникам следует учесть формулу
(15.41) и то, что действующее значение первой rармоники напряжения на KOHдeHca
торе
U 1m и о
и 1 === 2 а-у2; и о === a.
а а
,
Следовательно, для перехода от семейства кривых Qm === f( U 1m /(2a») при пара
метре ио/а к семейству кривых 11 === {( U 1 ) при параметре и о необходимо масштаб по
оси ординат измени.ть в ю/( -у2) раз, по оси абсцисс в а-у2 раз, параметр в а раз.
Подобно тому как для нелинейной индуктивной катушки вводят понятие индуктив
ноrосопротивления по первой rармонике (см. 15.25), для нелинейноrо конденсатора
вводят понятие eMKocTHoro сопротивления по первой rармонике: Х 1 === U1/1 1 , rде и 1
действующее значение первой rармоники напряжения на конденсаторе; '1
действующее значение первой rармоники тока через нелинейный конденсатор; Х 1
функция и 1 и и о .
Рассмотрим элементы теории транзисторов и применение по
следних в электрических цепях. В настоящее время применяют
транзисторы двух типов: биполярные и полевые. Физические OCHO
вы работы их различны. Сначала обсудим вопросы, относящиеся к
биполярным транзисторам, а затем (см. 15.35 15.37) к поле
вым.
15.27. Основные сведения об устройстве БИПОJlярноrо транзи-
стора. Биполярным ero называют потому, что ero работа обуслов
лена носителями обеих полярностей. Транзистор представляет co
бой трехслойную структуру p п p или п р п типа. Схематически
структура р п р типа пояснена на рис. 15.19; а, rде знаком плюс в
р области обозначены носители положительных зарядов, знаком
минус в п области носители отрицательных зарядов. Оба пере
ходных слоя между p и п областями обладают односторонней про
водимостью. Ток через каждый из этих слоев может проходить
476
перВая р оол{[стh Вторая Р ОQластh
р п р
+ + ++
/(+: :t:+ J
p п перехооы 5
а)
:
Р....с. 15.19
5
I( J
YJ
о
! ,.. .. \
/ \
"--
2}
практически в том случае, коrда потенциал р области выше потен
циала п области.
у транзистора имеется три вывода. В транзисторе р п р типа
первый вывод от первой р области называют коллектором,
второй вывод от второй р обл асти эмиттером, третий вывод
от п обл асти базой.
На электрических схемах транзистор р п р типа изображают,
как показано на рис. 15.19, б, а транзисторы п р п типа в COOT
ветствии с рис. 15.19, в.
15.28. Основные способы ВКJlючения БИПОJlЯРНЫХ транзисторов
в схему. Различают три основных способа включения триодов в
схему в зависимости от Toro, какой из электродов транзистора яв
ляется общим для управляющей и управляемой цепей. На рис.
15.20, а изображена схема с общей базой, на рис. 15.20, б схема с
общим эмиттером, на рис. 15.20, в схема с общим коллектором.
ВовсехсхемахЕ н источникЭДСвцепинаrрузки;Е у источ
ник ЭДС В цепи управления. Для всех схем, в которых используют
транзисторы типа p п p, полярность источников ЭДС должна быть
такой, чтобы коллектор имел отрицательный, а эмиттер положи
тельный потенциал относительно базы.
Для создания смещения на базе транзистора (напряжение U эб о)
Вместо отдельной ЭДС Еу (рис. 15.20, б) используют делитель Ha
пряжения резисторы RI и R2' подключенные к Е н (рис. 15.20, С?). В
этом случае U эБО == 1 20 R 2 , Uэбо+/lоRI == Е н , I бо +/ 20 == 110, rде 110, 120'
1 БО постоянные составляющие токов i l , i 2 , i б . Си.rнал на базу посту
пает через конденсатор С.
f 15.29. Принцип работы биполярноrо транзистора. Рассмотрим принцип рабо
ты транзистора р п р типа в схеме с общей базой (рис. [5.20, а). Вследствие диффу
зии в переходном слое между эмиттером и базой и между базой и коллектором
ИМеются объемные заряды (на рис. [5.[9, а не показаны). В р области объемные
заряды отрицательны, а в п области положительны.
Объемные заряды в каждом переходном слое создают электрическое поле,
вектор напряженности KOToporo направлен от п к р области, т. е. поле препятствует
ДВижению носителей положительных зарядов из p в п область и движению носите
Лей отрицательных зарядов из п в р область.
477
i и
Н Н С
O:..J
i3
<:::
t:s
....
а)
б)
В)
Z)
,
Р....с. 15.20
Разность потенциалов на переходном слое между p и п областями называют
потенцuальныlM барьером. Потенциальные барьеры зависят от эдс и полярности
каждоrо источника эдс, включенноrо в схему. Так, включение источника эдс Еу в
схему (рис. [5.20, а) приводит к уменьшению потенциальноrо барьера между эмит
тером и базой по сравнению с разностью потенциалов на этом слое, коrда источник
эдс Еу не включен. В свою очередь, включение источника ЭДС Е н приводит К
увеличению потенциальноrо барьера между базой и коллектором по сравнению с
разностью потенциалов на этом слое, Коrда Е н не включена.
Объясняется это тем, что результирующая напряженность поля на переходном
слое коллектор база при наличии ЭДС Е н равна сумме напряженностей от объ
емных зарядов и от ЭДС Ен, Тоrда как на переходном слое эмиттер база резуль
тирующая напряженность поля при наличии эдс Еу равна разности напряженно
стей от объемных зарядов и от ЭДС Еу.
Кривая J на рис. 15.19, 2 зависимость изменения потенциала вдоль триода
при отсутствии эдс Е н И Еу' а кривая 2 при наличии ЭДС Е н и Еу' При сниженном
IlотенциаJIЬНОМ барьере между эмиттером и базой энеРI'етический уровень части
носителей зарядов оказывается достаточным для Toro, чтобы от эмиттера к базе,
соединенной с отрицательным полюсом источника ЭДС Еу' двиrались дырки (носи
тели положительных зарядов).
Небольшое количество отрицательных зарядов движется при этом от базы к
эмиттеру, ноток, создаваемый ими, относительно мал, так как концентрация атомов
примесей в области базы значительно меньше концентрации атомов примесей в
эмиттере.
Хотя в п области при этом и происходит частичная рекомбинация положитель
ных и отрицательных зарядов, однако БJlаrодаря малой толщине п слоя большая
часть дырок успевает продрейфовать к переходному слою между базой и коллекто
ром. В переходном слое между базой и коллектором носители положительных заря
дов оказываются под воздействием сильноrо электрическоrо поля, образованноrо
источником эдс Е н (обычно Ен»Еу)' Под действием этоrо поля дырки втяrивают
ся в область коллектора и движутся к электроду коллектора. Таким образом, боль-
шая часть дырок, вышеДШИХ из эмиттера и прошедших в п-область, устремляется к
коллектору (потенциал коллектора отрицателен по отношению к потенциалу базы и
потенциалу эмиттера).
В результате к электроду базы подходит лишь незначитеJIьное количествО ды
рок, ВЫШедШИХ из области эм иттера и прошедших в область базы.
При принятых на рис. [5.20, а положительных направлениях для токов тоК
эмиттера i э равен сумме тока коллектора Ё к и тока базы i б : iэ==i +i б .
Отношение тока КОЛJlектора к току эмиттера iк/i э === а == 0, 570,99 и зависИТ от
режима работы.
В транзисторе коллекторным током и падением напряжения между электрода-
ми коллекторной цепи можно управлять путем изменения ЭДС Еу.
Следует иметь в виду, что при изменении полярности эдс Е н В схеме (рис. 15.20,
а)транзистор теряет свойство управляемОсти и на участке между базой и коллектО
ром работает как обычный неуправляемый диод. Этот режим ЯВJlяется ненормалЬ
ным режимом работы транзистора.
478
о U э 6 и, иа,
I
, А
. . а) 1)
6)
В
Р....с. 15.21
А
f
i;,
i Эf. >iJJ>lJ2 >la,
c::t
Q::
c:::a
::,
[
i 4 UJKJ>UJKt) У.1К,
иэк,
,
il(
"Э+
иэ/(,
'J
Принцип действия транзистора П р п типа аналоrичен принципу действия
транзистора р п р типа. Но концентрация атомов IIримесей в базе транзистора n p
п типа MHoro меньше концентрации примесей в п облас и эмиттера. В транзисторе
п р п типа в область базы поступают не дырки, а электроны. Полярность ВКЛЮЧеНИЯ
источников питания Еу и Е н транзисторов п р п типа ПРОТИВОlIоложна полярности
источников питания транзистора р п р типа. В соответствии с этим направления
прохождения токов в соответствующих ветвях для этих ТИIlОВ транзисторов противо
положны.
15.30. БАХ БИПОJlярноrо транзистора. Свойства каждоrо TpaH
зистора определяются двумя основными семействами ero БАХ.
Первое семейство характеристик зависимость тока выходной
цепи от напряжения между электродами транзистора, включенны
ми в выходную цепь, при каком либо из остальных токов транзисто
ра, взятом в качестве пара метра. В качестве пара метра может быть
взята и любая друrая величина, например напряжение между Э.пек
тродами транзистора, включенными в цепь управления. Это семей
ство описывает свойства транзистора по отношению к выходной
цепи. Второе семейство характеристик зависимость тока BXOД
Ной цепи (цепи управления) от напряжения между электродами
транзистора, включенными во входную цепь, при напряжении меж
ду электродами, включенными в выходную цепь (или при токе BЫ
Ходной цепи), взятом в качестве параметра. Это семейство xapaKTe
ристик описывает свойства транзистора по отношению к цепи
управления.
На рис. 15.21, а качественно изображено семейство выходных
характеристик iк===f(и эк ) при пара метре i э для схемы с общим эмит
тером (см. рис. 15.20, а). Правее вертикальной пунктирной прямой
А А кривые начинают круто подниматься. Это свидетельствует о
Том, что в данной зоне может произойти пробой транзистора. Поэ
Тому в зоне правее прямой А А работать нельзя.
Расположенная в третьем квадранте кривая ОВ иллюстрирует
479
потерю управляемости транзистора при изменении пОлярности
эде в выходной цепи.
При протекании тока по транзистору он наrревается выделяю
щейся в нем теплотой. Каждый транзистор в зависимости от разме
ров и условий охлаждения можеТ отдавать в окружающее Про
странство определенное количество теплоты. Допустимое
количество теплоты, выделяющейся в транзисторе, характеризует
ся МОЩНОСТЬЮ рассеяния рк==иэкi к (дается в каталоrах). На
рис. 15.21, а пунктиром нанесена rипербола
iк==рк/иэк==.f(иэк)' Транзистор не переrревается в условиях
дл и.тел bHoro режи м а в то м слу чае, если р абоч а я точка Ha
ходится внутри заштри ованной области (кратковременно
можно работать и в области, находящейся выше пунктирной кри
вой). На рис. 15.21, 6 качественно изображено семейство входных
характеристик транзистора iб==f(и эб ) при параметре и эк в схеме с
общим эмиттером (см. рис. 15.20, 6).
Важно обратить внимание на то, что любой ток транзистора
(например, i K или i б ) является функцией не одной, а двух перемен
ных. Так, ток i K является функцией и эк и i э , ток i б функцией И эб и
и эк , (В 15.34 это положение будет учтено.)
В радиотехнике свойства транзистора иноrда описывают еще
так называемой проходной характеристикой iк==f(иэб)(РИС. 15.21,8).
Ее используют, например, коrда ток i K имеет форму косинусоидаль
ных импульсов с отсечкой (в резонансных усилителях мощности,
умножителях частоты и друrих устройствах). Формулы разложе
ния тока i K на rармоники в этом случае приведены в 16 п. вопросов
rл. 7 (5 крутизна характеристики).
15.31. Биполярный транзистор в качестве усилителя тока, напряжения, мощ-
ности. Транзистор может служить усилителем тока, коrда приращение тока управ
ляемой цепи (той, rде включен источник ЭДС Е н ) во MHoro раз больше приращения
тока управляющей цепи (той, rде включен источник ЭДС Еу)' Из трех схем (рис.
15.20) в качестве усилителя тока MorYT быть использованы две: схема с общим'
эмиттером (см. рис. 15.20, 6)и схема с общим коллектором (см. рис. [5.20, в). В обеих
схемах током управления является ток базы i б . Током управляемой цепи в схеме с
общим эмиттером является ток коллектора i K , а в схеме с общим коллектором ток '
эмиттера i э .
Т ак как i K === аi э (см. 15.29) и iэ===iк+i б , то i б === i э iK == ([ а)iэ.
При нахождении связи между малыми приращениями токов можно в первом
приближении принять а===сопst. Тоrда /),i K === а/),i э ; Д,i б === ([ а)д'iэ.
Коэффициент усиления по току k i равен отношению приращения тока на выходе
к приращению тока на Входе. Для схемы с общим эмиттером
k i === !J..iJ /),i б === a/(l a),
для схемы с общим коллектором
k i === д'i э / /),i б === 1/( [ a).
Так как коэффициент а==0,9570,99. то k i 197100.
При работе транзистора в качестве усилитеJIЯ напряжения важно, чтобы при
ращение напряжения на наrрузке Д,и вых , включенной в выходную цепь, было больше
приращения напряжения на входе упраВJlяющей цепи /).и вх ,
480
.
Коэффициент усиления по напряжению ku === 6.ивых/6.ивх, При использовании
I'ранзистора в качестве усилителя напряжения ero включают по схеме с общей базой
(см. рис. 15.20, а) или по схеме с общим эмиттером (см. рис. 15.20,6).
Для схемы с общей базой ku состаВJIяет несколько сотен, для схемы с общим
эмиттером несколько десятков или сотен.
УСИJlение по мощности ДОСТИI'ается во всех схемах включения на рис. 15.20.
Коэффициент усиления по мощности kp равен отношению приращения мощности в
наrрузке 6.Р н к приращению мощности на входе транзистора 6.Р у'
Наибольшее УСИJlение по мощности достиrается в схеме с общим эмиттером.
Для нее kp может достиrать значений 104 И более.
15.32. Связь между приращениями входных и выходных величин биполярноrо
транзистора. Напряжение на входных и, и напряжение на входных и2 зажим ах явля
ются функциями ВХОДноrо i l и выходноrо i 2 токов, т. е.
u 1 === U 1 ( i , ' i 2 );
и2 === U 2(i l' i 2 ).
( 15.42)
( 15.42а)
Условимся исходные значения токов и напряжений обозначать большими бук
вами (и. 1), а приращения малыми (6.и, f1.i). Пусть токи получили малые прира
щения 6.i, и 6.i 2 и стали равными 1, +6.i l и '2+6.i 2 . При этом Н,апряжения также
получили приращения и стали равными и 1 +6.и 1 и и2+6.и2' Следовательно,
и, +6.и 1 == U I [(1, +6.i l ), (/ 2 +6.i 2 )J;
и 2 +6.и 2 == и 2 [(11 +6.i l ), (l2+6.i 2 )J.
(15.43)
(15.43a)
Найдем связь между нриращениями напряжений 6.и 1 и 6.и 2 и приращениями
токов 6.i 1 и 6.i 2 . С этой цеJIЬЮ разложим правые части равенств (15.43) и (15.43a) в ряд
Тейлора для функции от двух переменных по степеням приращений f1.i l и 6.i 2 и
воспользуемся тем, что в силу малости приращений можно пренебречь слаl'аемыМИ,
содержащими 6.i 1 и 6.i 2 В степенях выше первой. В результате получим
U 1 +6.u, === и 1 (11' 12)+ i,.RIl+6.i2RI2'
и 2 +6.и 2 === и 2 (/1' '2)+6.i l . R21+6.i2R22'
r....'l.e
RII ( дд ') ; R'2 (:%' J
'" '2 '" '2
R 21 (дд 2) ; R 22 ( дд%2)
'1, '2 '1, 12
Обратим внимание на то, что R 21 =1=R 12 .
Значения RlI' R12' R21' R 22 MorYT быть найдены rрафическим путем из xapaKTe
rистик транзистора ИJIИ опытным путем, поэтому в дальнейшем будем ПОJlаrать их
ИЗвестными. Если из (15.43) вычесть (15.42), а из (15.43а) (15.42a), то
6.и 1 === Rllf1.il+RI2 i2' (15.44)
6.и 2 === R2,6.i l +R226.i 2 , (15.44a)
Из (15.44) и (15.44a) следует, что по отношению к малым приращениям транзи
стор можно заменить эквивалентной линейной схемой замещения.
16 311К. 683
481
аJ1l з
4=<t J t2= tK RтtJi э р Ra
,.. р' ,
I т J1i2= iH 1 il НI( LJi 2
I I
l'oL., J..
't' 't' Н6
( t )J1и,==е6х Ju 2 . } и21 I
"Т' ',..' I'T"
I I l,+.1i2
I I
L .J J
n q Л q
а) о) 8)
Рис. 15.22
15.33. Схема замещения биполярноrо транзистора для малых приращений.
Методика расчета схем суправ яемыми источниками сучетом их частотных свойств.
В схемы замещения для малых приращений часто вводят не сопротивления RII' R12'
R21' R22' которые рассматривались ранее, а некоторые расчетные сопротивления
сопротивления базы R б , коллектора RK' эмиттера R э и некоторый управляемый
источник, ЭДС KOToporo равна произведению тока управляемой цепи на расчетное
сопротивление R m .
Значения R б , RK' R э и R m определяют через RIl' Rl2' R 21 и R 22 .
Рассмотрим схему замещения транзистора, коrДа общим электродом является
база (рис. 15.22, а). Вх?дной ток в ней i}==i э , выходной ток i 2 === i K (положительное
направление для тока l2 принято противоположным положительному направлению
тока i K на рис. 15.20, а). Схема на рис. 15.22, б заменяет схему на рис. 15.22, а для
малых приращений.
По второму закону Кирхrофа составим уравнения для двух контуров схемы (рис.
[5.22, б):
Llu 1 == (R э +R б )Lli}+R б Lli 2 ;
LlU2 RтLliэ === RБLli l +(R к +R б )Lli 2 ;
( 15.45)
( 15.45a)
Llu 1 == и тп == QJm QJn Llu 2 == u pq == QJp QJq'
rде QJm потенциал точки т; QJq потенциал точки q и т. д.
Сопоставляя (15.45) и (15.45a) с (15.44) и (15.44а), определим:
Rэ+R б === R lI ; R б == R12' Rт+R б === R 21 ; Rк+R б == R 22 . Н/
Последние уравнения дают возможность найти сопротивления R{j' R э , R K И R m fio
известным сопротивлениям Rll' R12' R21' R 22 . Источник ЭДС RтLli э введен в схему
замещения (рис. 15.22, б) для Toro, чтобы учесть в расчете усилительное действие
транзистора; ЭДС этоrо источника пропорциональна входному току.
Таким образом, для расчета малых приращений входных и выходных ТОКОВ в
нелинейной схеме (рис. 15.22, а), определения коэффициентов усиления и входных
сопротивлений следует произвести расчет линейной схемы (рис. 15.22, б), подключив
к ее входным зажимам источник малой, обычно синусоидальной, ЭДС, а к выходным
зажимам наrрузку R H . Источник ЭДС RтLli э в схеме (рис. 15.22, б) является
зависимым источником эдс.
в заКлючение остановимся еще на двух положениях.
[. В схемах замещения транзисторов вместо зависимоrо источника ЭДС и по
следовательно с ним включенноrо резистора часто используют зависимый источник
тока и шунтирующий ero резистор. Так, в схеме на рис. 15.22, 8 вместо источника
ЭДС RтLli э и резистора R K можно включить управляемый источник тока
R m
тLliэ == аLli э и зашунтировать ero резистором R к'
К
482
i,== iз
На
н,
lYJJi a
Н к
ij= J1iK
i,== l5
RrQ I
irф
L..
3
'JJi a
НI( 2
ir t
ннс
..J
н,
Н,
lн'э
4}
5)
Р....с. 15.23
2. При относительно высоких частотах и быстро протекающих процессах р п пе
реходы проявляют свои емкостные свойства и имеет место инерционность основных
носителей зарядов. Емкостные свойства учитывают в расчете, шунтируя в схеме
замещения коллекторный р п переход некоторой емкостью С к , а инерционность HO
сителей заряда вводя зависимость коэффициента усиления U транзистора от KOM
ао
плексной частоты р u === 1 / ,rде ао коэффициент усиления транзистора на
+Р юо
постоянном токе; юо 1 === R кСк,
Емкость эмиттерноrо перехода обычно не учитывают, так как она шунтирует
относительно малое по сравнению с R K сопротивление R э .
Для высокой частоты схема замещения транзистора, собранноrо по схеме с
общей базой, изображена на рис. 15.23, а, с общим эмиттером на рис. 15.23,6. В
зависимости от типа транзистора R K имеет значение от нескольких десятых МОм до
нескольких МОм; R э несколько десятков Ом; R б HeCKOJlbKO десятков ИJlИ сотен
Ом; С К от нескольких единиц до нескольких десятков или сотен пФ.
Рассмот рим методику расчета схем с управляемыми источни
ками для малых переменных составляющих на примере схемы
(рис. 15.23, 6). Пунктиром на ней показаны reHepaTop сиrнала
(ЭДС Er' внутреннее сопротивление Rr) и наrрузка R H . Для сину
а о
соидальноrо процесса р == jro, поэтому u == Воспользуемся
ffi
l+j
юо
методом узловых потенциалов. Незаземленных узлов два (3 и 2).
Поэтому
УззqJЗ+ У 32qJ2 == 1зз, (а)
. . .
У2зqJЗ+ У 22qJ2 == 122' (6)
1 1 1 .1. )
у == + + + jffiC. У32 == У23 == ( +JffiCK'
33 Rr+R б R э R K К' R K
1 [ . Er
У22 == R H + R K + jffiC K ; 133 === Rб+R r
Е ЧJ3' ЧJ3
ul1i э == Rr":R б + а R э ; 122 == и R э '
аq1з . Uq1з .
Сла,rаемые R ' содержащиеся в 1зз, и , содержащиеся в 122'
э R э
l1еренесем в левые части уравнения (а) и (б) и заменим а на
ао
ffi
l+j
юо
16*
483
ао ) . ( 1. [ аО 1 ] . Er
<JJз +JroC <Р2 ==
R,(l+i :0 ) R. · I+i :0 Rб+R;в)
[ [ аО 1 . ( 1 1 ) .
R+ jroC K ro <JJз + R + R + jroC K <Р2 === о.
к R ( 1 +j ) н к
э ro
О
. .
Решив совместно (в) и (r), определим ({)з и ({)2' а по ним все токи и
напряжения.
Получим
( 1 1 1
R + R +R+R+jroCK
r б э к
(r)
15.34. rрафический расчет схем на транзисторах. Схемы На
транзисторах при относительно низких частотах на практике Иноr
да рассчитывают не с помощью рассмотренных схем замещения,
при использовании К01\Орых необходимо знать R э , R б , R K И R т , а
путем непосредственноrо применения семейства характеристик
транзистора. Этот способ расчета показан на примере 153.
Пример 153. ОпредеJlИТЬ коэффициенты усиления по току, напряжению и мощ
ности схемы (рис. [5.24, а), предназначенной ДJIЯ УСИJlения СJlабых синусоидальных
колебаний.
Входные характеристики ИСПОЛЬЗ0ванноrо в схеме транзистора изображены на
рис. 15.24,6, выходные на рис. 15.24,8. Параметром на рис. 15.24,8 ЯВJJяется TOJ<
I б' СОПРОТИВJlение наrрузки R H ==500 Ом. эдс смещения в выходной цепи Е ко == [О В.
ЭДС смещения в цепи упраВJlения Еуо==о,25 В.
Е//6
tк,иА
11)
i,,и/fA
1000
800
100
600 t...;
+(), 6()
2()() IНJ I
10
О 10 иэк.8
1)
Р....с. 15.24
484
Реш е н и е. На рис. 15.24, в проводим прямую, представляющую собой ВАХ
наrрузки R H ===500 Ом. Эта прямая пройдет через точку iK==O, uэк==Еко==[О В и через
точку iK===E Ko / R H ===20 мА, uэк===О.
Семейство входных характеристик транзистора П14, как это видно из рис. 15.24, б,
обладает той особенностью, что в интервале значений u эк ==О,2710 В зависимость
тока базы i б от напряжения между эмиттером и базой изображается одной и той же
кривой. Найдем значение тока iб==l БОВ режиме, коrда на входе действует только ЭДС
Еуо===о,25 В.
Из рис. 15.24,6 следует, что при U э(l-: 0,25 В ток iб==l бо===250 мкА (точка n). Далее
найдем ток i K ===! кО и напряжение u к===U экО в этом режиме.
На семействе кривых рис. 15.24, в режим работы при Еу==Еуо определяется
точкой n. полученной в результате пересечения ВАХ наrрузки с той кривой семейст
ва iк==f(u эк ), для которой параметром является i б ===250 мкА.
В точке n i K ===IKO===[3'[ мА, uэк==Uэко===3,5 В. Линеаризуем входную характери
стику в рабочей точке. С этой целью проведем в окрестности точки n (рис. 15.24, б)
прямую так, чтобы она на возможно большем участке совпала с касательной к
кривой iб===f(u эб ) В точке n. Крайними точками проведенной прямой будем считать
точки рит. В точке р ток i б ===350 мкА и U зб === 0,23 В. В точке т ток i б ===150 мкА и
U э б==0,23 В. Этим точкам соответствуют одноименные точки р и т на рис. 15.24, в.
. В точке р (рис. 15.24, в) i K ===[8,6 мА, в точке т i K ===8,5 мА. Таким образом, при
подаче на вход схемы синусоидальноrо напряжения аМПJlИТУДОЙ U эб т==О,02 В в цепи
управления появится синусоидаJIьная составляющая тока, имеющая амплитуду
! бт === ! ут === 100 м кА, а в выходной цепи кроме постоянноrо тока 1 кО возникает сину
соидальный ток амплитудой !кт==5,0 MA 1 . При этом на выходных зажимах транзи
стора действует синусоидальная составляющая напряжения, имеющая амплитуду
U эк т==2,45 В.
Тоrда коэффициент усиления по току
k i == tJ.iBblx/Aip,x == lKm/1ym==5,0 MA/IOO мкА==50.
Коэффициент усиления по напряжению
k и === Аи вых / Аи вх == R н1 кт/ U эбт === 500.5,0. [0 3 /0,02=== 125.
Коэффициент усиления по мощности
kp === АР вых/ АР ВХ == (RH! m)/( U эбт! ут) ===
== 500(5,0. 1 0 3)2 /0,02. [00. 1 0 6 == 6250.
Входное сопротивление транзистора между зажимами эмиттер база для си
нусоидальной составляющей
R вхэб == Uэбт/l ут == 0,02 ВЛОО MKA==2QO Ом.
Выходное сопротивление между зажимами эмиттер коддектор для синусои
дальной составляющей .
Rвыхэк == Uэкт/lкт == 2,45 В/5,0 мА==490 Ом.
В тепловом отношении транзистор работает вненапряженных УСJЮВИЯХ, так как
мощность, ВЫДеJIяемая в нем в режиме, соответствующем точке п (рис. 15.24,6),
UэкоIко == 3,5 В .13,1 мА===45,8 мВт,
что значительно меньше допустимой для данноrо транзистора мощности рассеяния
150 мВт.
l Б u u
ерем первую rармонику переменнои состаВJIяющеи коллекторноrо тока.
485
и
3
с
ic
6)
и С
8}
им,
и.
и,н
Z}
д}
Р....с. 15.25
15.35. Принцип работы полевоrо транзистора. Полевымu называют транзисто
ры, управляемые электрическим полем. Их работа обусловлена в основном носите
лями одной полярности, поэтому их называют иноrда униполярными.
Принцип действия полевоrо транзистора поясняет рис. 15.25, а. В полупровод
нике п типа создается небольшая р область. У п области имеется два электрода:
исток И и сток С. Электрод р области называют затвором З. С помощью электрода 3
создается электрическое поле в п области, примыкающей к р области. Это поле
влияет на распределение в ней основных носителей (электронов).
Если потенциал затвора 3 станет меньше потенциалов истока И и стока С, то
упомянутая часть п области (rраницы ее показаны точками) оказывается обеднеft
ной электронами. Вследствие этоrо ширина канала, по которому MorYT проходить
основные носители от электрода истока к электроду стока, уменьшается.
Если потенциал стока С будет выше потенциала истока И (uеи>О), то током от
истока к стоку можно управлять, изменяя напряжение между истоком и затвором
Uзи' При некотором Uзи===Uзиl проводимость канала стремится к нулю и ток ie==O.
В полевом транзисторе р типа п и р области меняются местами по сравнению
с транзистором п типа. Условные обозначения полевоrо транзистора п типа показа
ны на рис. 15.25, 6, а р типа на рис. 15.25, в.
15.36. БАХ полевоrо транзистора. Входные (стокозатворные)
ВАХiс===f(изи)при некоторой фиксированной температуре показаны
на рис. 15.25, с. Па раметром является напряжение между стоком и
истоком иеи' При некотором напряжении изи===изиl проводящий Ka
нал перекрывается и ток ie===O. ':
Семейство выходных (стоковых) ха рактеристик ie===f( иен) при па'
раметре изи изображено на рис. 15.25, д. 1')
На обоих рисунках в направлении стрелки параметр возрастает!
>1
15.37. Схемы включения полевоrо транзистора. Три основных
способа включения полевых транзисторов п типа изображены нд
рис. 15.26. На рис. 15.26, а показана схема с общим истоком, на
рис. 15.26, 6 с общим затвором, на рис. 15.26, в с общИfil
стоком. Полярности источников для транзисторов р типа следУ
ет изменить на противоположные по сравнению с указанными. ')
Полевые транзисторы имеют очень большое (теоретически бес<-
конечно большое) входное сопротивление (во MHoro раз больше, чеМ
у биполярных), и потому схема их замещения (рис. 15.26, с) прИ
относительно малых переменных составляющих для области OTHO
сительно низких частот напоминает схему замещения электронной
лампы (см. рис. 15.30). На ней изображен источник тока Sи зи , rде
S===l1ie/ l1u зн крутизна характеристики; Изи малая перемен ная
486
'Su sи
а)
5)
8)
Р....с. 15.26
gi
е)
составляющая входноrо напряжения; gi == l1ic/ 11 изи внутренняя
проводимость.
Достоинством полевых транзисторов является также большое
усиление по току и мощности.
,
15.38. Основные сведения о трехэлектродной лампе. Трехэлек
тродная лампа (триод) имеет три электрода: катод, анод и сетку.
Эти электроды находятся в вакуумированном стеклянном или Me
таллическом баллоне.
Катод, подоrреваемый 'нитью накала от ВСПОМОfательной бата
реи (обычно не показываемой на cxeMax испускает электроны
вследствие явления термоэлектронной эмиссии. Поток электронов
направляется ко второму (холодному) электроду аноду толь
ко В том случае, если потенциал анода выше потенциала катода.
Если же потенциал анода сделать ниже потенциала катода, то
потока электронов от катода к аноду не будет (в этом случае анод
не притяrивает электроны, а отталкивает их). В результате этоrо
электронная лампа обладает несимметричной ВАХ.
Третий электрод сетка расположен ближе к катоду, чем
анод. Поэтому эл_ектрическое поле, создаваемое между сеткой и
катодом, даже при малых напряжениях между ними оказывает
сильное влияние на поток электронов с катода на анод. Сетка явля
ется управляющим электродом. Путем изменения потенциала ceT
ки можно управлять анодным током лампы. Как и транзистор,
электронная лампа может быть включена в схему тремя основными
пособами: с общим катодом, с общей сеткой и с общим анодом (в
зависимости от Toro, какой из электродов является общим для aHOД
Ной и сеточной цепей).
, На рис. 15.27 изображена наиболее ча
сто употребляемая cxeMa схема с общим
катодом. Как и транзистор, электронная
лампа может служить в качестве усилите
ля тока, напряжеt1ИЯ и мощности. Возмож
Ность выполнения лампой всех этих функ
ций основывается на том, что изменение
разности потенциалов между сеткой и Ka
Тодом оказывает более сильное влияние на
Ее
Р....с. 15.27
la
487
"о
[ с
а)
иfl
5)
и с
о)
и с
Р....с. 15.28
поток электронов с aToдa на анод, чем изменение (на то же значе
ние) разности потенциалов между анодом и катодом.
15.39. БАХ трехэлектродной Jlампы ДJlЯ MrHoBeHHbIx значений.
Цепь, образованную анодом и катодом трехэлектродной лампы,
источником ЭДС Еа и наrрузкой R H , называют анодной цепью. Цепь,
образованную сеткой и катодом электронной лампы и источником
ЭДС Ее, называют сеточной цепью.
Напряжение между анодом и катодом и а называют анодным Ha
пряжением, между сеткой и катодом и с сеточным напряжением.
Ток в анодной цепи ia и ток в сеточной цепи ie нелинейно зависят
от анодноrо и сеточноrо напряжений и а и и с .
Под анодными характеристиками трехэлектродной лампы по
нимают зависимость анодноrо тока ia от анодноrо напряжения и а
при сеточном напряжении и е , взятом в качестве параметра.
На рис. 15.28, а изображено семейство анодных характеристик
лампы. Стрелка на рис. 15.28, а 8 указывает направление, в KO
тором возрастает параметр.
Если семейство анодных характеристик рассечь прямыми
ua===const, то можно получить семейство кривых ia===f(u e ) при пара
метре и а . Такие кривые называются сеточнымu (аноdно сеточными)
характеристиками трехэлектродной лампы (рис. 15.28, б). Для них
характерно, что ток ia O при ис==О; кроме Toro, имеется область
насыlения,, в которой ток ia почти не увеличивается с ростом и с . .
Семейство кривых ie===f(u c ) при различных значениях анодноrо
напряжения и положительных значениях и с для одноrо из типов
ламп изображено на рис. 15.28,8.
В общем случае при работе лампы одновременно меняются и а и
и с и изображающая точка на семействах анодных и сеточных xapaK
теристик перемещается с одних кривых на друrие. В частном случае
работы, коrда и а остается неизменным или почти неизменныМ,
ia===f(uJ изображается одной кривой семейства кривых (рис. 15.28,6).
Если электронная лампа работает при отрицательных или cpaB
нительно малых положительных напряжениях на сетке, то сеточ
ный ток имеет малое значение и ero в расчете, как правило, не
учитывают.
488
Следует отметить своеобразие сеточной характеристики по
сравнению с обычными ВАХ: сеточная характеристика дает связь
не между током через нелинейный элемент и напряжением на нем,
что характерно для обычных ВАХ, а между MrHoBeHHbIM значением
тока через нелинейный элемент и MrHoBeHHbIM значением управля
ющеrо напряжения на нем.
15.40. Аналитическое выражение сеточной характеристики лектронной лам-
пы. Сеточная характеристика при uа===сопst можеr быть приближенно предстаВJ(е
на отрезками прямых (рис. [5.29). Часть сеточных характеристик, например xapaK
теристика, выделенная жирной линией на рис. 15.28, б, может быть описана
полиномом третьей степени:
. . + Ь 3
[а === [ аО аи с и с ,
('де iaO з на чение тока ia при Ис===О; а ( А . В 1) И Ь (А. В 3) числовые коэффици
енты.
Для определения коэффициентов а и Ь следует выбрать на характеристике две
точки с координатами (i al , ucl) и иа2' и с 2) и решить систему двух уравнений с двумя
неизвестны м и:
. . + Ь 3
[аl ==t aO aUcl U cl ;
. . + Ь 3
[ а2 === [аО aиc2 и с 2.
Характеристика потипу пунктирной кривой на рис. [5.28, б может быть прибли
женно описана полиномом пятой степени:
. . + + 3 5
[а === [аО рис qu c ruc'
rде р, r и q числовые коэффициенты.
15.41. Связь между малыми приращениями входных и выходных величин
лектронной лампы. Как упоминалось в 15.40, анодный ток iA ЯВ lяется функцией
не только аноднOI'О, но и сеточноrо напряжения: ia===/ а(и а , и с ). tсли по отношению к
некоторому исходному состоянию (и а , и с ) сеточное напряжение получит небольшое
!приращение Аи с , то оно вызовет приращение анодноrо напряжения Аи а и анодноrо
TOKa Aia.
Проделав выкладки, аналоrичные выкладкам 15.32, получим
.
Aia === glAu a +SAu c ' ( 15.46)
( д/а )
rде gl ===
диа
и а . и с
внутренняя nроводимость лампы (проводимость между анодом и катодим).
Ri Н Н
p.tJU
J.: =s и с
Н.
l
.
la
и с
а)
5)
В)
Р....с.15.29
Р....с. 15.30
489
Величину, обратную gi' называют внутренним сопротuвленuем лампы (сопро
тивление между анодом и катодом):
R i == [/ gi' (15.47)
Крутизна характеристики лампы S имеет размерность Проводи
мости:
s == ( д/а )
ди с
и а . и с
Проводимость gi И крутизна характеристики S зависят от вида характеристик
лампы и исходных напряжений и а И ис- Отношение S к gi называют коэффuцuентом
усuленuя лампы:
( 15.48)
11 === S / gi'
( 15.49)
Коэффициент 11 показывает, во сколько раз приращение напряжения между
сеткой и катодом l:1u c оказывается более эффективным, чем приращение напряже
ния между анодом и катодом I:1U a в отношении получения одинаковоrо приращения
анодноrо тока t!J.i a . С учетом сказанноrо имеем
t!J.U a == Rit!J.i a l1t!J.u c ' ( 15.50)
15.42. Схема замещения электронной лампы для малых приращений. На схеме
(рис. [5.30, а)через ин, и а , ис,! а обозначены постоянные составляющие напряжений
и тока, соответствующие исходному состоянию схемы. Положительные направления
для приращений t!J.U c ' l:1u a , t!J.i a те же, что и для исходных напряжений и токов.
Запишем уравнение для приращений напряжений в анодной цепи, вызванных
приращением напряжения t!J.U c на сетке лампы. С этой целью составим два ypaBHe
ния по второму закону Кирхrофа для анодной цепи. Одно из них для режима до
получения приращений: и а + ид==Е; друrое для режима после получения прира
щеш}и: Ua+t!J.ua+UH+t!J.U H === 1:.. Если в последнем уравнении иа+и н заменить на
Е, то окажется, что
t!J.Ua+t!J.U H === О,
(15.51)
rде t!J.UH прирашение напряжения на наrрузке RH.
В уравнение ([5.Ы) вместо t!J.U H подставим RHAia и вместо Аи а в соответствии с
уравнением ([ 5.50) Rit!J.i a l1t!J.u c ' В результате получим
(RH+Ri)t!J.i a === l1t!J.u c . (15.52)
Уравнению (15.52) отвечает схема на рис. 15.30,6. В этой схеме к управляемому
источнику ЭДС l1t!J.u c присоединены наrрузка R H и внутреннее сопротивление элект
ронной лампы R i . Таким образом, для малых приращений анодную цепь электронной
лампы замещают (имитируют) источником ЭДС l1t!J.u c и последовательно с ним ВКJIЮ
ченным резистором сопротивлением R i . ЭДС этоrо источника пропорциональна
изменению напряжения на сетке лампы (т. е. это зависимый источник ЭДС; ср. с
[5.35).
На рис. [5.30, в изображена друrая часто ИСПОJlьзуемая схема замещения. В неЙ
вместо источника ЭДС включены управляемый источник тока st!J.U c и шунтирующий
ero резистор Ri(напомним, что переход от источника ЭДС к источнику тока рассмот!
рен в 2.2). . i.
О . t
В схемах на рис. [5.3 , б, в не учтены межэлектродные емкости, поэтому такие
схемы применимы для относительно низких частот. Схема замещения ДJlЯ высоких
частот изображена на рис. 9.3, 6.
Пример 154. Между сеткой и катодом триода 6С2С приложено напряжение
Uc+t!J.U c === Uc+Ucтsinrot === 2+0,05siпrot(рис. [5.30, а). Зависимость ia===f(u a ) при
490
'а,нА
18
2
14
10
б
...
о lO 60
100
1чО
180 Ца. 8
Рнс. 15.31
параметре и с изображена на рис. 15.31, rдеЕ а ===150 В; R 'i 15 кОм. Найти параметры
,схемы замещения триода и определить с помощью этои схемы амплитуду синусои
. дальной составляющей тока в анодной цепи.
, Реш е н и е. Определим положение рабочей точки на характеристиках лампы
по постоянному току. На рис. 15.31 наносим прямую, характеризующую наrрузочное
сопротивление ан дной цепи. Ее час!о называют наrрузочной прямой. Прямая про
ходит через точкн '0.===0, u a ===150 В и 'а===Еа/ RH==lO мА; иа===О,
Рабочей точкои в рассмотренном режиме будет точка пересечения прямой с ТОЙ
кривой семейства, для которой параметр иc== 2 В. Координаты этой точки: и а ==94 В;
i a ===3,67 мА.
По определению (см. формулу (15.46)], ДJIЯ нахождения gi следует, считая за
исходное положение найденную рабочую точку, при неизменном иc=== 2 В дать
приращение анодному напряжению Аи а , найти соответствующее ему приращение
анодноrо тока Aia и разделить Aia на Аи а :
gi === aia/aua Aia/Aua === 5 мА/50 B===[0 4 См; R; === l/g;==104 Ом,
Проводимость gi пропорциональна таю енсу уrла наклона касательной в рабо
чей точке к кривой ia==f(u a ), для которой иc== 2 В.
ДЛЯ опредеJlения крутизны характеристики S при и а ==94 В даем приращение
еточному напряжению Аuс== I ( 2) ""Ч В и из рисунка находим соответствую
щее ему приращение Aia===4,67 3,67=== [ мА. Следовательно, S == ai.Jauc
Aia/Auc === [О З А/В. Коэффициент усиления 11 === S/g; == [О. Амплитуда синусои
дальной составляющей тока в анодной цепи, COrJlaCHO ([5.52),
I1U
1 == ст == 2.10 5 А.
1т R + R.
н l
Анодный ток ia === 3,67 +0,02siпюt мА.
15.43. Тиристор управляемый полупроводниковый диод.
На рис. 15.32, а изображена простейшая схема включения тиристо
ра. Тиристор это четырехслойный полупроводниковый прибор с
тремя р п переходами (1, 2, 3). Напряжения на них обозначены и l ,
и 2 , Из' ВАХ р п переходов 1 и 3 изображены на рис. 15.32, б, ВАХ
перехода 2 на рис. 15.32, в (включен встречно р п переходам 1 и 3).
При и 2 ==и заж в переходе 2 происходит лавинная ионизация (пунктир
491
"
i
11
u J
........
.......
иJОЖ и2
а)
5)
В)
I
I
I
.
i z t .
..... ..... 1
U зczж и
u (
Z)
д)
е)
ж)
Р....с. 15.32
на рис. 15.32, 8). Суммарная ВАХ трех переходов i==f(u), т. е. ВАХ
Bcero тиристора, изображена На рис. 15.32, 2. Она получена сложе
нием абсцисс (рис. 15.32,8) и двух абсцисс (рис. 15.32, б). Участок
1 2 на ней соответствует участку лавинной ионизации BToporo
р п перехода.
Если при замкнутом ключе К (рис. 15.32, а)ЭДС Е станет HeMHO
ro больше u заж ' тиристор зажжется, т. е. перейдет в открытое COCTO
яние. Ток в цепи станет равным току ip на рис. 15.32, д. Прямую 1
(рис. 15.32, д) называют наrрузочной. Для поrашения тиристора
необходимо, чтобы ток через Hero уменьшился до i<i 2 (рис. 15.32,2).
До сих пор рассматривалась работа тиристора при отсутствии уп
равляющеrо сиrнала (так работает динистор). При воздействии,'
управляющеrо сиrнала (импульса тока или напряжения) на управ
ляющий электрод (расположенный вблизи р п перехода 2 на РИС..i
15.32, а) от вспомоrательной цепи, не показанной на рис. 15.32, а,
происходит лавинная ионизация р п перехода 2. Подавая импуль
сы управления, можно снижать напряжение зажиrания (т. е. зажи
raTb прибор при более низком u заж ).
Пунктиром на рис. 15.32, д показано положение наrрузочной
прямой 2 в управляемом тиристоре. Переход от закрытоrо состоя .
ния К открытому происходит за доли микросекунды. ТИРИСТОРЫ:1
выполняют на токи от долей миллиампер до нескольких килоампер. ,!
На рис. 15.32, е, ж показано условное изображение тиристора на I
схемах: рис. 15.32, е соответствует управлению тиристором со CTO
роны анода, рис. 15.32, ж со стороны катода.
15.44. Общая характеристика методов анализа и расчета нели.
нейных электрических цепей nepeMeHHoro тока. Анализ нелиней
492
\
ных явлений и получение числовых соотношений в нелинейных цe
пях переменноrо тока является более сложным и трудоемким, чем
анализ и расчет линейных электрических цепей.
Как правило, в нелинейных электрических цепях содержатся
либо нелинейные индуктивные катушки, либо нелинейные KOHдeH
саторы, либо безынерционные в тепловом отношении нелинейные
резисторы. Токи и напряжения в таких цепях в той или иной степени
несинусоидальны.
Токи и напряжения в большей степени синусоидальны в цепях,
содержащих только инерционные в тепловом отношении нелиней
ные резисторы.
Все методы анализа нелинейных цепей можно подразделить на
две большие rруппы: аналитическую и rрафическую. Аналитиче
ские методы в отличие от rрафических дают возможность проводить
анализ в общем виде, а не только для частных значений параметров.
Недостатком аналитических методов является то, что приходит
ся выражать аналитически характеристики нелинейных элемен
тов, а это всеrда связано снекоторой поrрешностью. Расчет сколь
ко нибудь сложных нелинейных электрических цепей переменноrо
тока можно произвести лишь с известной степенью приближения.
Наиболее широко распространены следующие методы анализа
и расчета нелинейных цепей переменноrо тока:
1) rрафический при использовании характеристик нелинейных
элементов для MrHoBeHHbIx значений;
2) аналитический при использовании характеристик нелиней
ных элементов для MrHoBeHHbIx значений при их кусочно линейной
аппроксимации;
3) аналитический или rрафический при использовании ВАХ по
первым rармоникам;
4) аналитический или rрэ.фический при использовании ВАХ по
действующим значениям несинусоидальных величин;
5) аналитический путем расчета по первой и одной или несколь
ким высшим или низшим rармоникам;
6) с помощью линейных схем замещения;
7) малоrо параметра;
8) интеrральных уравнений;
9) моделирования.
В дальнейшем кратко охарактеризован каждый метод. Тот или
иной метод целесообразно применять в зависимости от характера
цепи, формы ВАХ нелинейноrо элемента, а также от Toro, какое
нелинейное явление в цепи исследуется. Чем сложнее характер
Нелинейноrо явления, тем более сложным и rромоздким оказывает
ся метод ero анализа. И наоборот, анализ rрубых нелинейных явле
Ний производится простыми средствами.
15.45. rрафический метод расчета при использовании характе-
Ристик неJlинейных ЭJlементов ДJlЯ MrHoBeHHbIx значений. Этот Me
493
тод применим, как правило, к цепям, в которых известен закон
изменения во время какой либо одной определяющей работу нели
нейноrо элемента величины, например тока, напряжения, заряда.
Последовательность расчета данным методом такова:
1) исходя из физических предпосылок, положенных в О('НОВУ
анализа, полаrают известным закон изменения во времени одной ИЗ
определяющих работу нелинейноrо элемента величины;
2) используя характеристики (характеристику) нелинейноrо
элемента для MrHoBeHHbIx значений, путем f'рафических построений
находят закон изменения во времени второй величины, определяю
щей работу нелинейноrо элемента;
3) по результатам п. 2 путем вспомоrательных rрафических По
строений и простейших расчетов определяют выходную величину и
искомое соотношение между параметрами схемы.
Достоинствами метода являются простота и наrлядность, а TaK
же леrкость учета rистерезисных явлений. Примеры см. в 15.8 и
15.24.
15.46. Аналитический метод расчета при использовании харак-
теристик нелинейных элементов для MfHoBeHHblx значений при их
кусочно-линейной аппроксимации. Основой метода является CBeдe
ние задачи о нахождении периодическоrо решения нелинейных
уравнений к определению периодическоrо решения системы линей
ных уравнений.
Основные этапы метода следующие:
1) замена вольт амперной (вебер амперной, кулон вольтной)
характеристики нелинейноrо элемента для MrHoBeHHbIx значений
отрезками прямых линий;
2) подстановка в нелинейные дифференциальные уравнения
уравнений прямых п. 1 (этим нелинейные дифференциальные ypaB
нения будут сведены к линейным). Каждому нелинейному ypaBHe
нию будет соответствовать столько линейных уравнений, сколько
отрезков прямых заменяют характеристику нелинейноrо элемента;
3) решение системы линейных дифференциальных уравнений.
Каждому линейному участку характеристики нелинейноrо элемен
та будет соответствовать свое решение со своими постоянными ин
теrрирования; '1
4) определение постоянных интеrрирования исходя из соrласо
вания решения на одном линейном участке с решением на друrом
линейном участке.
Наиболее эффективен этот метод, коrда характеристику нели"
нейноrо элемента с известной степенью приБJlижения можно заме"
нить отрезками прямых, расположенных таким образом, что коrда
одна величина, определяющая режим работы нелинейноrо элемен
та, например ток, меняется, то друrая, например потокосцепление,
неизменна.
Еще более эффективен метод, если отрезки прямых, заменяЮ
494
\
щие AX нелинейноrо элемента, MorYT быть взяты совпадающими
с'осяМ,и координат. При мер решения задачи для этоrо случая см. в
] 5.5)\\"""" ] 5.53.
\
15.47. Аналитический (rрафический) метод расчета по первым
rармоникам токов и напряжений. В этом методе по с.ножному зако
ну изменяющиеся токи и напряжения на нелинейн()'\1 'jлементе за
меняют их первыми rармониками. В расчете испо rlt) {УЮТ ВАХ по
первым rармоникам в аналитической форме или в ни;н:, rрафиче
ской зависимости.
Основные этапы расчета в аналитическом варианте:
]) выражают аналитически ВАХ нелинейноrо элемента для
MrHoBeHHbIx значений;
. 2) путем подстановки в нее первой rармоники напряжения или
тока получают формулу, которая дает нелинейную связь между
.амплитудой первой rармоники тока через нелинейный элемент и
амплитудой первой rармонИКИ напряжения на нем (в качестве при
мера такой связи можно назвать формулу (15.19)];
3) в уравнение, составленное для исследуемой цепи по второму
закону Кирхrофа, подставляют вместо MrHoBeHHbIX значений тока и
напряжения на нелинейном элементе MrHoBeHHbIe значения их пер
вых rармоник, а высшими rармониками пренебреrают;
4)уравнение разбивают на два уравнения: одно из них выражает
собой равенство коэффициентов при синусных слаrаемых левой и
правой частей уравнения, друrое равенство коэффициентов при
к.осинусных слаrаемых обеих частей уравнения;
5) совместно решают эти два уравнения.
Основные этапы расчета в rрафическом варианте:
f 1) в качестве зависимости между амплитудой первой rармоники
напряжения на нелинеЙ"Ном элементе и амплитудой первой rapMo
ники тока через Hero берется нелинейная зависимость в виде rpa
фика. Эта зависимость может быть получена любым путем, в том
числе и опытным;
. 2) произвольно задаются амплитудой 11т первой rармоники тока
через нелинейный элемент, из rрафика находят соответствующую
ей амплитуду первой rармоники напряжения на нем и затем путем
построения векторной диаrраммы по первой rармонике для всей
схемы определяют амплитуду U lm первой rармоники напряжения
на входе схемы. Построение векторной диаrраммы производится
так же, как и для обычных линейных цепей синусоидальноrо тока,
а именно: если не учитывать потери в сердечнике, то первая rapMo
ника напряжения на нелинейной индуктивной катушке опережает
первую rармонику протекающеrо через нее тока на 900, первая
rарМОНИка напряжения на нелинейном конденсаторе отстает от
протекающеrо через Hero тока на 900, первые rармоники напряже
ния и тока на нелинейном резисторе по фазе совпадают;
3) путем построения нескольких векторных диаrрамм для раз
495
j/
личных значений /lт находят соответствующие им U lт И СТРОЯ'IJ/ВАХ
всей схемы U lт ===t(/lт)' /
Данный метод позволяет рассматривать такие нелинеi} ые яв
лени я, как преобразование постоянноrо тока в переменный(и обрат
ное преобразование, явление резонанса на основной rаРМоНИке,
триrrерный эффект на первой rармонике, некоторые тип/ы aBTOMO
дуляционных процессов. Но он не позволяет исследовать более
сложные явления, как, например, резонанс на высших, низших или
дробных rармониках и др.
Если пользоваться аналитическим вариантом этоrо метода, то
решение можно получить в общем виде, что существенно, так как
становится возможныM исследовать решение при изменении любо
ro из параметров цепи. Этот метод будет применен для анализа
работы aBToreHepaTopa (см. 15.54) и для анализа работы разветв
ленной цепи с нелинейной индуктивной катушкой (см. пример 159).
15.48. АнаJlИЗ неJlинейных цепей nepeMeHHoro тока путем ис-
ПОJlьзования БАХ дЛЯ действующих значений. В этом случае rрафи
ческий расчет проводят путем использования ВАХ нелинейных эле
ментов для действующих значений, полученных расчетным или
опытным путем.
При этом полаrают, что в действите.lIЬНОСТИ несинусоидально
изменяющиеся токи и напряжения MorYT быть заменены эквива
лентными им синусоидальными величинами (эквивалентность в
смысле действующеrо значения).
Все этапы расчета рассматриваемым методом полностью COB
падают с перечисленными в 15.47 этапами rрафическоrо расчета
методом первой rармоники. Отличие между методами состоит толь
ко В том, что в данном случае используется ВАХ не для первых
rармоник, а для действующих значений.
Метод применен в дальнейшем для исследования простейших
явлений в феррорезонансных цепях (см. 15.57 15.62).
Если исследуют нерезонансные электрические цепи или резо
нансные, но для которых по тем или иным соображениям заранее
известно, что в изучаемых режимах работы в них не MorYT возникать
резонансные явления на высших и низших rармониках, то амплиту
да первой rармоники тока, как правило, оказывается больше aMII
литуд высших rармоник тока. При этом действующее значение тока
в цепи сравнительно мало отличается от действующеrо значениЯ
первой rармоники тока.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример: пусть
ток в цепи содержит первую и третью rармоники и действующее
значение третьей rармоники тока составляет 40 % от действующеrо
значения первой rармоники (/ з==0,4 /,). Действующее значение He
синусоидальноrо тока будет -Y / i +f[ == 1,075/1' т. е. Bcero на 7,5 %
больше действующеrо значения первой rармоники /)'
Метод позволяет изучать некоторые свойства нерезонансныХ
496
электрических цепей, как, например, эффект усиления мощности.
Для исследования свойств резонансных нелинейных цепей метод
приrоден в оrраниченной степени. Так, им можно приближенно
исследовать простейший триrrерный эффект (см. 15.59), но нельзя,
например, исследовать резонансные явления на высших rармони
ках.
15.49. Аналитический метод расчета цепей по первой и одной или нескольким
ВblСШИМ или низшим rармоникам. Основные Э1 авы расче1 а СJlедующие: 1) составля
ют систему дифференциальных уравнений цепи; 2) аналитически выражают xapaK
теристики нелинейных элементов и полученные выражения подставляют в диффе
ренциальные уравнения цепи.
Искомую величину выражают в виде ряда, состоящеrо из первой и одной или
_ нескольких высших или низших rармоник, например в виде
х === {lтsiшоt+ХЗтsiп(Зооt+'Фз).
Предполаrаемое решение подставляют в уравнение системы. В результате этой
подстановки оказывается возможным разбить уравнения системы на несколько
трансцендентных аЛl'ебраических уравнений, составленных относительно амплиту
ды первой rармоники, амплитуд высших (соответственно низших) rармоник и их фаз.
Число трансцендентных уравнений в общем случае в два раза больше числа
учитываемых I'армоник, поскольку для каждой из rармоник уравнение разбивается
на два уравнения для синусной и косинусной составляющих.
Далее совместно решают систему трансцендентных уравнений. Трудность co
стоит в том, что каждое из трансцендентных уравнений обычно содержит все неиз-
вестные. Поэтому при решении часто используют метод последовательных прибли-
жений. Решение облеrчается, если учесть последний абзац 15.62.
Расчет этим методом, как правило, rромоздок. Однако метод позволяет иссле-
довать такие сложные явления в нелинейных цепях, как резонанс на высших, низших
и дробных rармониках и т. п.
Рассматриваемый метод в литературе называют также методом 2армонuческо-
20 баланса. Частным случаем ero является метод нервой I'армоники (см. 15.47).
15.50. Расчет цепей с помощью линеЙНblХ схем замещения. Этот метод приме-
ним к расчету нелинейных электрических цепей, на которые воздействуют постоян-
;. ные и синусоидально изменяющиеся ЭДС, еСJIИ переменные составляющие токов и
напряжений относительно малы, например во MHoro раз меньше соответственно
постоянных составляющих токов и напряжений.
Последовательность расчета такова:
1) определяют положение рабочей точки на характеристике нелинейноrо эле-
мента 110 ностоянному току. В окрестности этой точки будет перемещаться изобра-
жающая точка 1I0Д воздеЙС'1 вием малой переменной ЭДС;
2) через рабочую точку по постоянному току проводят касатеJIЬНУЮ к характе-
ристике нелинейноrо элемента и ПрОИЗБОДЯТ замену учас I К(\ еl () характеристики
отрезком касательной;
3) составляют линейную схему замещения для расчета переменной составляю
щей. Вид схемы зависит от характера нелинейноrо элемента, а ее нараметры от
TaHreHca yr ла, составленноrо касательной к характеристике и одной из осей коорди-
нат.
ЭВМ применяют для: а)табулирования решений систем трансцендентных ypaB
нений и систем алrебраических уравнений высоких степеней; б) табулирования ре-
шений, выраженных в виде медленно сходящихся рядов; в) интеrрирования систем
линейных дифференциальных уравнений, к которым сводятся нелинейные диффе-
ренциальные уравнения при КУСОЧIю линейной аппроксимации характеристик нели
нейных элементов; [) численноrо интеrрирования нелинейных дифферt:нциальных
уравнений, в которых ВАХ нелинейных элементов I1реДС1 aBJleHbI анаJlИтически, а
rакже в некоторых друrих случаях.
497
о
/J
8
Z
J
н
а)
.f.
н
1
6)
rp
'т
i
i..:....
6)
rpт
2)
Р....с. 15.33
15.51. Расчет цепей, содержащих индуктивные катушки, сер-
дечники которых имеют почти прямоуrольную кривую намаrничи-
вания. Кривые намаrничивания некоторых высококачественных
маrнитомяrких материалов, например 65НП, 68НМП и др., близки
по форме к прямоуrольной: на участке О а (рис. 15.33, а) кривая
почти совпадает с осью ординат, а на участке а Ь расположена
почти параллельно оси абсцисс.
На рис. 15.33, а пунктиром показана предельная петля rистере
зиса. Коэрцитивная сила Не для таких материалов очень мала и
составляет 1 1 О А/ м.
Расчет электрических цепей переменноrо тока, содержащих ин
дуктивные катушки, сердечники которых выполнены из упомяну
тых маrнитных материалов, обычно производят с помощью метода
кусочно линейной аппроксимации (см. 15.46). Для облеrчения
расчета кривую намаrничивания заменяют идеально прямоуrоль
ной (рис. 15.33, б). Участки 4 1 и 2 3 параллельны оси абсцисс,
а участок 1 2 совпадает с осью ординат.
Если изображающая точка перемещается по участку 1 2, то
изменяется только индукция в сердечнике при напряженности поля
в сердечнике, почти равной нулю. При движении изображающей
точки по участкам 4 1 и 2 3 меняется только напряженность
поля Н, а индукция в сердечнике остается неизменной.
Пример 155. Схема (рис. 15.33, в) состоит из источника синусоидальной ЭДС
u==е==Е тSlПffit, индуктивной катушки с заданной зависимостью потокосцепления 'ф
от тока i и резистора сопротивлением R. Вывести формулу для определения 'Ф и i и
построить rрафики изменения 'Ф и i во времени в установившемся режиме.
Реш е н и е. Так как потокосцепление Ф равно произведению индукции в cep
дечнике В на площадь поперечноrо сечения сердечника и на число витков обмотки:
'Ф == BSw, а по закону полноrо тока, ток i == Hljw, т. е. пропорционален напряженно'
498
е
(J
wt
d'l
dt
иc
,Н
wt
а)
q
+ ,
2" wt
и с
2 '1 т
Рис. 15.34 Р....с. 15.35
сти маrнитноrо поля в сердечнике, то зависимость потокосцеПJlения 'Ф от тока; (рис
15.33. z) качественно такая же. как и зависимость В==j(Н)(рис. 15.33. б). Имеем
d'Ф . . (15.53)
df + Rl == ЕтSIПffif.
В интервале времени от ffif===O до ffif == ffif l (назовем ero первым) ток ;===0, все.
напряжение приходится на индуктивную катушку d'Ф/df==Етsiп(Оf и потокосцепле
ние 'Ф изменяется от 'Фт до +'Ф т (изображающая точка на рис. 15.33. 6 перемеща
ется от I к 2).
В этом интервале d'Ф == Emsin(Ofdf; следовательно.
Е т (15.54)
'Ф == cos(Of+ С.
(О
rде С постоянная интеrрирования.
Во втором интервале времени от (Of == (Of 1 до (Of == 11: потокосцепление 'Ф остается
постоянным и равным 'Ф т ; d'Ф/df == о; из уравнения (15.33) получим
Е (15.55)
Ri === Е msin(Ot, или i == R m sin(Of.
Таким образом. во втором интервале времени ток; изменяется по закону синуса,
потокосцепление 'Ф постоянно и равно 'Ф т . При этом изображающая точка переме
щается по участку 2 3 (рис. 15.33. б).
Найдем постоянную интеrрирования С и значение (0/1. Для определения С аIlИ
шем уравнение (15.54) при (Ot == о. Для этоrо момента времени 'Ф=== 'Ф т . rюз rOMY
'Ф т == Е т / (О + с. Отсюда С === ""т + Е т / (О.
Для нахождения (Ot) воспользуемся также уравнением (15.54), учтя, что при
(Ot === (О( 1 'Ф == 'Ф т . Получим
Е т Е т
'Ф == cos(Ot) 'Ф + .
т (О т (О
499
Отсюда
2Ы т ( 2 Ы т )
coswt[ === 1 Е т или wt[:=: arccos 1 Е т .
Ю т
Характер изменения тока i, потокосцепления и d / dt, коrДа Е < [, паКа
т
зан на рис. 15.34.
Если амплитуда эде Eт<Ы т' то BToporo интервала времени не возникнет, т. е.
ток i === О в течение Bcero периода.
Отметим, что если учитывать rистерезис, то перемаrничивание сердечника бу
дет происходить при токе i =1= о. При d / dt > О i == i c ' при d / dt < О i === ic(CM,
пунктир на рис. 15.34), Ток ic соответствует коэрцитивной силе Нс(см. рис. 15.33, а).
15.52. Расчет цепей, содержащих нелинейные конденсаторы с
прямоуrольной кулон-вольтной характеристикой. Метод расчета
рассмотрим на примере цепи (рис. 15.35, а), которая состоит из
источника синусоидальной ЭДС е == Emsinwt, нелинейноrо KOHдeH
сатора с почти прямоуrольной кулон вольтной характеристикой
(рис. 15.35,6) и резистора сопротивлением R. Задача эта близка
рассмотренной в 15.51. По второму закону Кирхrофа, и с + R == е.
При перезарядке конденсатора изображающая точка движется по
участку 2 1 характеристики q == '( и с ); при этом и с == О. к.оrда
перезарядка закончится, все напряжение источника окажется при
ложенным к конденсатору. При t == О q == qm' Во время переза
,
рядки, коrда и с == О,
dq Е т Е т
R dt == Emsinwt; q:=: mR coswt qm + wR '
к концу перезарядки при wt[ q достиrает значения qm;
2wRqm
coswt[ === 1 Е
т
в интервале времени от wt [ до л и с == Е msinwt.
rрафики i, q, и с изображены на рис. 15.36.
Если учесть rистерезис (см. рис. 15.6), то перезарядка KOHдeHca
тора происходит при напряжении на нем, HeMHoro не равном нулю
(см. пунктир на рис. 15.36).
15.53. Выпрямление nepeMeHHoro напряжения. ПОД8blпрямле..
нием пepeMeHHOi?O напряжения понимают процесс преобразования
переменноrо напряжения в постоянное или пульсирующее. Bы
прямление производят с помощью полупроводниковых, ламповых
или друrих типов диодов.
Неуправляемый диод изображают на схемах в виде большой
треуrольной стрелки с поперечной чертой у острия. Стрелка пока
зывает проводящее направление. Сопротивление диода в проводя
щем направлении в тысячи раз меньше, чем внепроводящем.
500
е р
"----/ wt
(J/t
l
1 а)
' р
'-..J
q
+qm
wt
б) и д
i
и
С
e(t ""
й)
r"o.. r"'\. t JJ
I V V O)V v \ Vo
8)
uд
Рис. 15.36
Р....с. 15.37
Р....с. 15.38
По числу фаз выпрямленноrо переменноrо напряжения выпря
мительные схемы делятся на OДHO и мноrофазные. Однофазные
схемы подразделяют на схемы OДHO и двухполупериодноrо BЫ
прямления.
В однополупериодных схемах выпрямление производится, rpy
бо rоворя, в течение одноrо полупериода питающеrо напряжения, в
ДBYX полупериодных в течение обоих полупериодов.
Мостовая схема однофазноrо двухполупериодноrо выпрямле
ния представлеlна на рис. 15.37, а. Она состоит из четырех полупро
ВОДНИКОВblХ диодов (1, 2,3 и 4), источника выпрямляемоrо синусои
дальноrо напряжения е (t) и наrрузки RH" На рис. 15.38, а показаны
положительные направления тока 1 и напряжения и д на диоде.
На рис. 15.38, 6 изображена ВАХ диода. В целях облеrчения
анализа вместо нее будем пользоваться идеализированной ВАХ,
изображенной на рис. 15.38, в.
В соответствии с этой идеализированной характеристикой, Kor
да через диод проходит ток, падение напряжения на нем равно нулю
и, следовательно, сопротивление caMoro диода равно нулю. Коrда
напряжение на диоде отрицательно (т. е. отрицательна взятая в
направлении стрелки рис. 15.38, а разность потенциалов на самом
диоде), диод не проводит тока (i == О) и сопротивление ero равно
бесконечности.
Диод открывается KOi?aa напряжение на HeM увеличиваясь
становится равным нулю и закрывается коС?да ТОК через HeC?o
уменьшаясь становится равным нулю.
Рассмотрим работу мостовой схемы (рис. 15.37, а). Источник
ЭДС включен в одну диаrональ этой схемы, а наrрузка RII в
друrую. Диоды работают попарно.
В первый полупериод, коrда ЭДС е (t) действует соrласно с
50[
положительным направлением Ha
"ряжения на диодах 1 и 3, эти диоды
проводят ток, а диоды 2 и 4 тока не
проводят. Во второй полупериод,
коrда ЭДС е (t) изменит знак и дей
ствует соrласно с положительным
направлением напряжения на дио
дах 2 и 4, ЭТИ диоды ПрОБОДЯТ ток, а
диоды 1 и 3 не проводят. Направле
ние прохождения тока через на
rрузку показано на рис. 15.37, а
стрелкой. Ток через наrрузку Про
текает все время в одном и том же
направлении. Форма напряжения
на наrрузке иллюстрируется кри
вой на рис. 15.37, б. Через и о обоз
начено среднее значение напряже
ния на на rрузке.
Пример. 156. Рассмотреть работу cxe
мы однополупериодноrо выпрямления, Kor
да наrрузка R и шунтирована конденсатором
емкостью С (рис. 15.39,а).
Реш е н и е. По законам КИРХJ'офа,
Ид + ис === e(t); ис == i,R и ; i == i 1 + i 2 . в co
ответствии с БАХ (рис. 15.38, в) диод закрыт
и сопротивление ero теоретически равно бес
конечности, коrда напряжение на нем и д OT
рицательно. Диод открывается в момент
(J)t 1 , коrда напряжение на нем
и д == e(t) и с , увеличиваясь, становится
равным нулю. Как только диод откроется,
напряжение на конденсаторе станuвится
равным эде и с == Emsin(J)t и ток через KOH
денсатор станет изменяться по закону
du c
i 2 == СМ === (J)CEmcos(J)/ (пунктир на рис.
u Е ,
15.39, б), а ток через наrрузку по закону i 1 == R C == R т s in(J)t (пунктир с точкой на
н и
1
рис. 15.39, б). Ток через диод; ===;, + i 2 == Em«(J)C.cos(j)t + R siП(j)t)(рис. 15.39, z) в
н
момент (j)t 2 становится равным нулю и диод закрывается; tg(j)t2== (j)CRH;
(j)t 2 ==arctg( (j)CR и).
Б интервале от (j)t 2 до 2Л+(j)t, конденсатор разряжается на R и (рис. [5.39, в) и
напряжение на , нем изменяется во времени по показательному закону
<о <O ' 2
u c ===E m sin(j)t 2 e <oCR H ; (j)t>(j)t 2 (CM. rл. 8). При этом i1==uc/R H (кривые на рис. 15.39,
д, е). Зависимость Uд«(j)t) изображена на рис. 15.39, ж. Момент открытия (j)t, диода
определим из условия uc«(j)t ,)===е(ы! ,). Из этоrо условия получаем трансцендентное
уравнение относительно (j)t ,:
i,
R H
L
а)
wt
с
'2
и с
са)
6)
wt
ис
6)
"
,
i
,
2)
wt,
171'
CJ.Jt
1t
iJ) l,
i 2
е)
wt
Уд
ж)
wt
17f+fJJt,
I
2п ы!
Р....с. 15.39
(2л+<о' , <O'2)
sin(j)t 2 e <оСR и ===sin(j)t 1 .
502
. Е
5)
С З
и
а)
Р....с. 15.40
в следующий период процесс повторяется. Чем больше значение RHC по cpaB
нению с периодом 2л/ы, тем меньше пульсация напряжения на наrрузке R H .
15.54. АВТОКОJlебания. Автоколебанuя (АК) это периодиче
ские колебания, возникающие в системах, находящихся под воздей
ствием постоянных во времени вынуждающих сил. АК системы
подразделяют на почти rармонические (см. 15.55) и релаксацион
ные (см. 17.5). АК система на полевом транзисторе изображена на
рис. 15.40, а. В ней имеются источник постоянной ЭДС, колебатель
ный контур L 1 , С} И взаимная индуктивность М между L 1 и Lc, за счет
которой в системе осуществляется отрицательная обратная связь.
При анализе АК систем почти rармоническоrо типа требуется
выяснить частоту и амплитуду возникающих колебаний и характер
возбуждения (мяrкий или жесткий). На рис. 15.40, б изображена
схема замещения для переменных составляющих токов и напряже
ний. Источник постоянной ЭДС закорочен. Транзистор представ
лен источником тока SИ зи , управляемым напряжением Изи, и шун
тирующим ero резистором Rl' Составим уравнения по методу
контурных токов. В схеме три неизвестных контурных тока /с' /К' /з
И один ток источника тока S Изи (Изи == /зRз):
/с(Rl+рLс) рМ/к R1SR)з О ,
PM/c+ ( PLI + ) JK +J, od) ,
Р 1 Р 1
1 ( 1 1 )
C/K+ R З + С + С /з ==о .
Р 1 Р 1 Р з
При АК токи не равны нулю, это может быть только в том случае,
если rлавный определитель системы (15.56) равен нулю:
6.(р) р 4(RзkС СI2) +р3(kС +RIRзLl C CI3) +р2( R3LcCl C I3 +RILl C
( 15.56)
.
503
RISRЗМСIСlз)+р[RIRЗСIСlз+Lс( с I СЗ) ]+R 1 ( CI C13) ==о . (15.57)
2 С 1 С З
Здесь k===LILc M и C13 С +С .
1 3
В t1(p) подставим р j w, выделим из Hero действительную и мнимую
части и приравняем их нулю. После деления всех членов уравнения
Ret1(jw) ==о на RЗС СI3 получим
( Lc RILl R1SM ) Rl( Cl CI3)
kW4 w2 + + 2 ==О .
LI R з С 1з C 1 R з С 1 С 1з
После деления всех членов уравнения Imt1(jw) ==O на C CI3 и COKpa
щения на w имеем
( 15.58)
\ 1: . (.
2 ( ) RIR3 Lc
w RI R 3 L + C С +с С .
13 1 1 3
Отсюда
( RIRз L c ) ( k )
ы== С + с С / RI R 3 L l+C .
1 1 3 13
При весьма больших R3 w==I/ 1/ L 1 C 1 И крутизна
S M/(R1L 1 ).
( 15.59)
(15.59а)
15.55. Мяrкое и жесткое возбуждение аВТОКОJlебаний. ТОК CTO
ка транзистора ic является функцией напряжения ИЗИ' Эта функция
может быть представлена кривой рис. 15.41, а, приближенно описы
ваемой зависимостью
.. Ь 3
1с ==10 +а Изи ИЗИ,
( 15.60)
либо кривой рис. 15.41, б, описываемой формулой
.. Ь 3 5
(с l о+аи зи + Изи СИЗИ'
,> j
(15.61)
При возникновении дк изи==u тsiпwt. Подставим это ИЗИ в (15.60) и
(15.61) и определим амплитуду первой rармоники тока ic, Из фор
, j
Scp
Stp >
l'
J
щи
изи
иmу' ()т
6)
Uт/j и т
2)
а)
5)
Р....с. 15.41
504
, ,
мулы (15.60) она равна /cт a Uт 0,75bи , а из (15.61)
з 5 5
Icm aUm+O,75bUm в сит '
Под средней крутизной по первой rармонике в режиме aBTOKO
лебаний понимают Scp-==/cm/ и т . Она выполняет роль крутизны S в
формулах (15.58) и (15.59). Для первоrо случая (рис. 15.41, в)
Scp==a 0,75bl} . (15.62)
Для BToporo (рис. 15.41, )
S 2 5 и 4 (15.63)
cp===a+-о,75Ь и т 8 т'
Кривые рис. 15.41, в, С? используем для определения амплитуды
и т возникшеrо колебания. С этой целью из (15.58) или при Rз---+оо из
S-== R л:. определим S и положим ero равным Scp, а по Scp ИЗ кривой
1 1
рис. 15.41, в или С? найдем и т' В первом случае каждому Scp COOTBeT
ствует одно и т' во втором может соответствовать либо два режима
(в области ScP от q до Scp шах точки т и п), либо один режим (при
Scp<q). Режим работы на левой ветви кривой рис. 15.41, неустой
,чив, на всей правой ("жирной") ветви устойчив.
Если Scp определяется кривой рис. 15.41, в, то колебания возбуж
даются мя ко, их амплитуда плавно нарастает от сколь уrодно
малоrо начальноrо значения флуктуационноrо происхождения до
установившеrося и ту' Для Scp по рис. 15.41, С? колебания возбужда
ются жестко скачком от нуля до установившеrося значения и ту:
15.56. ОпредеJlение феррорезонансных цепей. Рассмотрим
rруппу довольно rрубых явлений, которые имеют место в цепях,
содержащих нелинейную индуктивную катушку и линейный KOH
heHcaTop. Такие цепи называют феррорезонансными. Аналоrичные
явления имеют место в цепи с линейной индуктивной катушкой и
hелинейным конденсатором.
Для анализа этих явлений можно воспользоваться методом пер
вой rармоники (см. 15.47) или методом расчета по действующим
значениям (см. 15.48). В 15.58 15.61 будет применен метод
расчета по действующим значениям. При этом будем пользоваться
БАХ нелинейной индуктивной катушки для действующих значений
тока и напряжения. В этом методе в действительности несинусои
дальные токи и напряжения заменяют их эквивалентными синусо
Идальными величинами (эквивалентность в смысле действующеrо
Значения по 7.12).
Коrда в 15.58 15.61, 15.64, 15.67 рассматривается сдвиr фаз
Между током и напряжением на каком либо элементе схемы, то под
Ним понимают уrол между эквивалентным синусоидальным током
и эквивалентным синусоидальным напряжением.
505
и
и с
.....
и . lJ L
1
l С .
R 1
11) 6}
Р....с. 15.42
15.57. Построение БАХ последовательной феррорезонансной
цепи. В схеме рис. 15.42, а последовательно включены нелинейная
индуктивная катушка L, линейный резистор сопротивлением R и
линейный конденсатор емкостью С. ВАХ катушки со стальным cep
дечником U L =={(I) изображается кривой J на рис. 15.42, 6; ВАХ
конденсатора и с === / (U1c прямой 2; ВАХ резистора UR==RI пря
мой 3.
Точки, принадлежащие результирующей ВАХ схемы кривой
4, получаем следующим образом.
Произвольно задаемся некоторым током 1, находим для Hero
разность напряжений UL Uс(напряжения на индуктивной катуш
ке и на конденсаторе находятся в противофазе) и напряжение U R;
результирующее напряжение U равно rипотенузе треуrольника,
построенноrо на катетах U R и UL UC (рис. 15.42, в).
При сравнительно малом R на результирующей ВАХ цепи име
ется падающий участок, а сама ВАХ имеет N образную форму. С
увеличением R падающий участок на ВАХ исчезает.
15.58. Триrrерный эффект в последовательной феррорезонанс-
ной цепи. Феррорезонанс напряжений. На рис. 15.43, а отдельн
представлена кривая 4 рис. 15.42,6. Будем начиная с нуля плавно
увеличивать напряжение источника ЭДС в схеме 15.42, а. При этом
изображающая точка на рис. 15.43, а перемещается от точки О через
точку J к точке 2. Если напряжение и дальше повышать, то изобра
жающая точка скачком переместится из точки 2 в точку 4, а затеМ
J
движение будет происходить по участку 4 5.
При уменьшении напряжения изображающая точка перемеща
ется от точки 5 через 4 к точке 3, затем произойдет скачок в точку 1
и далее от точки J к точке О. Таким образом, при увеличении напря"
жения и достижении им значения и 2 в цепи происходит скачкооб
разное увеличение тока со значения 12 до 14' При этом резко изме,
няется сдвиr фаз между током в цепи и общим напряжением: в
точке 2 ток отстает от напряжения ( U L> U с), В точке 4 ток опережа
ет напряжение (UC>U L ). При плавном уменьшении напряжениЯ
источника ЭДС и достижении им значения и 1 ток в цепи скачкоМ
уменьшается со значения 13 до 11'
506
и
(/2
2
о 1,
IJ
1't 1
12
а)
11,8 tr
160 . 1
120
I
а
60
*0
О Iz 0,1 0,2
6)
Р....с. 15.43
Явление резкоrо 11 менения тока в цепи при незначительном
изменении напряжения на входе будем называть три2С?ерным эф
фектом в последовательной феррорезонансной цепи.
Если схему рис. 15.42, а подключить к источнику напряжения и,
напряжение KOToporo находится в интервале между и 1 и и 2 , то В
схеме установится один из двух возможных режимов. Первый pe
жим соответствует положению рабочей точки на участке между
точками 1 и 2, второй на участке между точками 3 и 4.
На каком из двух участков окажется рабочая точка, зависит от
характера переходноrо процесса в цепи при подключении ее к ис
точнику эдс.
Феррорезонансом напряжений называют режим работы цепи
рис. 15.42, а, при котором первая rармоника тока в цепи совпадает
по фазе с напряжением U источника ЭДС. На рис. 15.42, б постро
ены БАХ дЛЯ действующих значений: феррорезонанс напряжений
приблизительно соответствует точке р (находится HeMHoro левее
ее ).
Феррорезонанса напряжений можно достичь путем изменения
напряжения или частоты источника питания схемы, а также путем
изменения емкости и параметров катушки со стальным сердечни
ком.
Прнмер 157. Кривая J на рис. 15.43, 6 представляет собой ВАХ нелинейной
индукrивной катушки. Полаrая R O, определить емкость конденсатора, который
следует включить последовательно с нелинейной индуктивной катушкой (рис. 15.42,
а), чтобы триrrерный эффект происходил при 60 В. Во сколько раз после скачка 14
будет больше тока до скачка 12, если (j)==314c l?
Реш е н и е. Из точки и == 60 В, 1 == О проводим касательную к ВАХ индуктив
ной катушки. Касание произойдет в точке а. ВАХ конденсатора (прямая) должна
быть I1роведена из начала координат параллеJIЬНО касательной. TaHreHc уrла накло
на ее к оси абсцисс численно равен 1/(roC).
Из рис. 15.43,6 находим 1/(roC) === 600 Ом; С== 1 06/(314Х600) == 5,32 мкФ.
Ток при скачке изменяется с 12 === 0,06 А до 14 === 0,3 А; 14/12 === 5.
507
15.59. БАХ napaJlJleJlbHOrO соединения конденсатора и катуш-
ки со стальным сердечником. Феррорезонанс токов. В схеме на
рис. 15.44, а параллельно соединены нелинейная индуктивная
катушка L и конденсатор емкостью С. БАХ катушки со сталь
ным сердечником изображена кривой 1 на рис. 15.44, 6, а KOH
денсатора прямой 2. . . . . .
По первому закону Кирхrофа, I I с+/ L' Так как токи 1 с и 1 L
находятся в противофазе, то точке р пересечения кривой 1 и прямой
2 соответствует режим феррорезонанса токов ток 1 == О. Резуль
тирующая ВАХ всей схемы изображена в виде пунктирной кривой
3 рис. 15.44,6 (абсциссы кривой 3 равны модулю разности абсцисс
кривой 1 и прямой 2). Кривая 3 рис. 15.44,6 повторена на рис. 15.44,
в с тем отличием, что на рис. 15.44, в учтено, что в режиме ферроре
зонанса токов (точка d на рисунке) ток 1 в неразветвленной части
схемы до нуля не снижается за счет высших rармоник и активной
составляющей первой ra рмоники в токе 1 L"
15.60. Триrrерный эффект в параЛJlеJlЬНОЙ феррорезонансной
цепи. Если схему (рис. 15.44, а) питать от источника напряжения,
плавно увеличивая напряжение этоrо источника при неизменной
частоте, то изображающая точка пройдет без скачков по всем уча
сткам ВАХ схемы. Если же схему питать от. источника тока, то при
плавном увеличении тока этоrо источника и неизменной уrловой
частоте ffi изображающая точка будет сначала перемещаться по
участку О е а, затем произойдет скачок из а в Ь, после этоrо
движение будет происходить по участку Ь С. При последующем
плавном уменьшении тока движение будет происходить от С через
Ь к d, затем произойдет скачок из d в е и далее от е к О. Обратим
внимание на то, что режим феррорезонанса токов в схеме (рис.
15.44, а) и режим феррорезонанса напряжений в схеме (рис. 15.42,
а) MorYT быть достиrнуты изменением входноrо напряжения и при
фиксированных уrловой частоте ы, емкости С и неизменной ВАХ
катушки со стальным сердечником.
и
и
d h
C
и
Iс I L
1
1
с
о)
5}
1
о
tJ)
1
Рис. 1 5..4.4
508
r
2
1
1,А
Р....с. 15..45
Пример 158. ВАХ катушки со стальным сердечником в схеме на рис. 15.44, а
изображена в виде кривой / на рис. 15.45. Пренебреrая реЗИСТtiвным сопротивлени
ем и высшими rармониками, определить емкость конденсатора С, который нужно
включить в схеме на рис. 15.44, а, чтобы триrrерный эффект имел место при токе
/2 === 0,15 А; ffi===314c l.
Реш е н и е. На рис. 15.45 откладываем значение тока 12 влево от точки о;
получаем точку '. Из нее проводим пунктиром касательную к кривой / в точке п.
Через точку п проводим rоризонталь. Ордината ее равна напряжению и 2 === 112 В,
при котором произойдет триrrерный скачок. Из точки О ПрОБОДИМ IIРЯМУЮ 2, параJI
лельную касательной ,п. Прямая 2 представляет собой БАХ конденсатора. Абсцис
са точки q (0,235 А) равна току через конденсатор при напряжении и 2 . Следователь
но, l/(wC) === 112/0,235 == 478 Ом; С === 6,68 мкФ.
15.61. Частотные характеристики неJlинейных цепей. Под aM
плuтудно частотной характеристикой (А ЧХ) понимают зависи
мость амплитуды какой либо величины, определяющей работу He
линейноrо элемента, от изменения уrловой частоты w при
неизменной амплитуде внешнеrо воздействия.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) зависимость фазы
этой величины от ffi при неизменной амплитуде и фазе внешнеrо
воздействия. В отличие от линейных цепей формы АЧХ и ФЧХ
нелинейных цепей зависят от амплитуды внешнеrо воздействия, т. е.
можно рассматривать семейства АЧХ и ФЧХ, дЛЯ которых ампли
туда внешнеfО воздействия является параметром.
Построим А ЧХ цепи (рис. 15.46, а), полаrая, что вебер ампернаSl
характеристика нелинейной индуктивной кр.тушки описываетсSl
уравнением i 2 ==a-фЗ, ток источника тока ik==[ тsiПffit, [т==СОПSt.
ffi==var, R==O.
t/l т
I/I т
l2 Фт
Jk l, R
С
и с
а)
tf)
w
п)
w
2)
UJ
Р....с. 15..46
509
du d 2
В уравнении i 1 +i 2 == j k подставим i 1 ===с d с ===с "' 2 и i 2 ===a'iJ3. Примем
t dt
'Ф=='Фmsiпыt и в токе i 2 удержим 1 только первую rармонику
0,75а'Ф siпыt. Получим ура нение, в которое входят ы и 'Фm:
0,75а'Ф ы2С'Фm=== + 1т'
Плюс в правой части соответствует режиму до резонанса, ми
HYC после резонанса. Реши м уравнение относительно ы:
ш=== ' /3 a'iJ =F .
У 4 С C'iJ m
При построении зависимости 'Фт(Ы) учтем, что у rловая частота
ы o и действительна, а также ч то при X 1 l + х 1 + 0,5х.
Если ы===о, то 'Фm== 41 т/(3а). При 0,75а'Ф »1 m
,rзo:( 2 1т \
ffi 'iJ m V 4" с Р =F "3 ------З-- ) ,
\ a'iJ m
при 1 m>0,75а'Ф
, ( 3 a'iJ \
ю y 11+ 8 / J -
'iJ m \ m
Характер зависимости 'Фm(Ы) показан на рис. 15.46, 6. Если не
учитывать резистивное сопротивление R второй ветви, то 'Фт Teope
тически моrла бы возрастать до бесконечности. С учетом небольшо
1'0 R этой ветви зависимость 'Фт(Ы) имеет N Форму (рис. 15.46, в).
При пл авном увеличении ы имеет место скачок из точки J в точку
2; при последующем плавном уменьшении ы скачок из точки 3 в
точку 4. При значительном R зависимость 'Фm(Ы) приобретает вид
кривой на рис. 15.46, 2.
15.62. Применение символическоrо метода для расчета неJlИ
нейных цепей. Построение векторных и топоrрафических диаr
рамм. В 15.56 15.6 были рассмотрены некоторые явления, KO
торые анализировались rрафически с помощью ВАХ, по
действующим значениям или по первым rармоникам. Приближен
яое исследование режимов работы сложных разветвленных нели
нейных цепей перемеННОI'О тока, особенно коrда высшие rармоники
выражены слабо, часто производят путем ПОСТроения векторных
или топоrрафических диаrрамм.
llиаrраммы строят отдельно для каждой из rармоник. Постро
3
1 i2===a('iJmSjnffit)3===(L4'l' Sinffit aO,25'iJ Sin ffit, так как sin3f}===0,75sinp
0,25sin3p_
510
ения производят в принципе так же, как и для линейных цепей (см.
3.18). Отличие состоит в том, что зависимость первой rармоники
напряжения на нелинейном элементе от первой rармоники тока
через Hero является нелинейной и берется из rрафика или ее под
считывают, пользуясь аналитическим выражением.
Если не учитывать потери в ферромаrнитном сердечнике и по
тери от высших rармоник тока, то первая rармоника напряжения
на нелинейной индуктивной катушке по фазе на 900 опережает
первую rармонику тока через нее. Если же учитывать потери в
стали сердечника и (или) потери в резистивных сопротивлениях
цепи от высших rармоник тока, то этот уrол меньше 900' (см., напри
мер, рис. 15.49, в). Аналоrично, если не учитывать наличие потерь в
сеrнетодиэлектрике и потерь в цепи от высших rармоник тока, то
первая rармоника напряжения на нелинейном конденсаторе на 900
отстает от первой rармоники тока через Hero.
При учете потерь в сеrнетодиэлектрике и потерь от высших rap
. .
моник U c1 отстает от /cl на уrол меньше 900.
При построении векторных диасра-м-м для высших и дробных
С?ар-моник на частоте vf следует иметь в виду, что при синусоидаль
ном источнике питания частоты f нелинейный индукти вный (ем KO
стной) эле-мент схе-мы.является источнико-м энеРi!ии на частоте vf,
поэтому напряжение U Lvl на частоте vf на нелинейном инд..уктивном
элементе будет опережать протекающий через Hero. ток /'111 частоты
vf на уrQЛ больше 900 (а на емкостном напряжение U Cvl будет OTCTa
вать от /vf на уrол больше 900).
Обобщенно можно сказать, что комплексное сопротивление He
линейноrо элемента НЭ на частоте vf(v=l= 1) при частоте источника
питания f равно взятому со знаком минус входному сопротивлению
линейноrо двухполюсника на частоте vf, к зажимам KOToporo при
соединен НЭ.
В случае линейноrо активноrо четырехполюсника рис. 4.15, а, с
внутренними источниками частоты " заменив источник эдс часто
ты f в ветви 1 на нелинейный элемент НЭl и линейную наrрузку ZH
в ветви 2 на НЭ2 на любой rармонике vf(v=l= 1) в схеме установится
режим, при котором ZBX НЭl(vf)=== ZСl(vf) и ZвхНЭ2(vf)=== Zс2(vf), rде
cl(vf) и Zc2(vf) характеристические сопротивления линейноrо че
тырехполюсника по отношению к ветвям. J и 2 на частоте vf,
определяемые по (4.26).
Пример 159. Для цепи (рис. [5.47, а) построить топоrрафическую диаrрамму по
первой rармонике при 11 == 0,2 А. ВАХ по первой rармонике для нелинейной индук
тинной катушки изображен на рис. 15.47, 6. Емкостное сопротивление по нервой
rармонике ХС === 229 Ом; Rl == 250 Ом; R 2 === 407 Ом; R3 === 122 Ом.
Реш е н и е. Обозначим токи в ветвях.и узловые точки схемы в соответствии с
рис. [5.47, а. На рис. 15.47,8 направим ток 11 === 0,2 А по оси + 1. Потенциал точки е
Примем paBHb M нулю. Нахрдим Ч>d===Ч>е+О и' Напряжение на нелинейной индуктив
ной катушке и Ll при токе 11 === 0,2 А по мрдулю раВН9 [1013 (найдено из кривой рис.
15.47,6) и по фаз на 900 опережает ток 11; Ч>с===Ч>d+/IRl; 1 1 R 1 ===0,2.250 === 50 В и по
фазе совпадает с 1,.
511
Rf /f =:!:' l/L f
d l!r.,,8
i ь 100
ao2.t с е 80
60
ХС
20
е о
а)
./ i""""
I
I
I
+j
d
0,1 0,2 0,3 0,41 1 ,A
4}
Р....с. 15.47
Под дейст:вием напряжения и се , по модулю приблизитеJ'IЬНО paBHoro .122 В,
poт:eKa T ток 12' численно рав.ный 122/407 0,3 А и I O фазе совпадающий с и се , Ток
1з==/1+/2' По модулю ток Iз 0,41 А; ь=== с+/зRз; I з R з ===0,41.122 === 50 В;
а=== ь+iз( jХс), .
Напряжение H конденсаторе и аЬ численно равно 0,4[ . 229 === 94 В и по фазе на
900 отстает от тока 13.
Напряжение на входе схемы (рис. 15.47, а) в рассматриваемом режиме работы
по модулю равно 164 В.
Из рис. 15.47,8 можно определить уrлы между любыми токами и наllряжениями
цепи рис. 15.47, а. Проделав аналоrичные подсчеты и построения при друrих значе
ниях тока 11 (например, равных 0,5; 1; 2; 3 А и т. д.), можно опредеJIИТЬ н этих режимах
значения всех 10КОВ, напряжений и сдвиrов фаз, свести данные в таблицу и затем,
пользуясь ею, построить кривую зависимости любоrо тока, напряжения, СДВИrа фаз
в функции ОТ модуля входноrо напряжения или от модуля какоrо либо друrоrо
напряжения (тока).
15.63. Метод эквивалентноrо reHepaTopa. Расчет нелинейных
цепей переменноrо тока иноrда осуществляют, используя метод
эквuвалентноС?о С?енератора (МЭf). Рассмотрим применение этоrо
метода к цепи с управляемым нелинейным элементом.
На рис. 15.48, а изображена схема, состоящая из источника
синусоидальной ЭДС Е, двух резисторов R и управляемой индук
тивной катушки (уик), семейство ВАХ которой по первым rapMo
никам изображено на рис. 15.48, 6. Ток управления 10 являетсЯ'
параметром на этом семействе. Ток через уик обозначен 1. В COOT
ветствии с мэr pa OMKH M ветвь, по которой течет ток 1, и опреде
лим напряжение и аьх ==Е/2 В режиме XOJIOCTOro хода. Определим
входное сопротивление Z цепи переменноrо тока относительНО
зажимов а и в. В соответствии с рис. 15.48, в оно равно R/2. На рис.
15.48, С? показана эквивалентная схема цепи, а на рис. 15.48, д изо
бражена ве торная диаrрамма для этой цепи. fеометричеСl5ая cyM
l\1a вектора 1 R/2 и напряжения на индуктивной катушке U L равна
Е /2. Так как Е /2 является rипотенузой прямоуrольноrо треуrоль
ника, катеты KOToporo равны U L и 1 R/2, то по теореме Пифаrора
(/R/2)2 + иI==(Е/2)2. (а)
Поделив обе части (а) на (Е/2)2, получим уравнение эллипса:
512
R R св 1,
.f t [/2 'С j
1 '1.
2 .R
Ь 1 j
а} 8) z) о)
Р....с. 15.48
( 1:' R )'+ (I:' LX 1. (6)
Одна полуось эллипса равна (Е/ R), друrая Е/2. Нанесем
эллипс на семейство БАХ индуктивной катушки (рис. 15.48, 6). По
точкам пересечения эллипса с БАХ можно определить ток 1 и Ha
пряжение и L на индуктивной катушке при любом значении управ
ляющеrо тока 10'
При рассмотрении характеристик управляемой индуктивной
катушки (см. 15.24), феррорезонансных схем (см. 15.57 15.62)
индуктивную катушку полаrали идеализированной, а именно: не
учитывали потери в ее сердечнике, наличие потока рассеяния и
падение напряжения в резистивном сопротивлении обмотки. Это
делалось с той целью, чтобы основные свойства упомянутых схем и
,устройств не были завуалированы относительно второстепенными
факторами.
15.64. Векторная диаrрамма неJlинейНой индуктивной катуш-
ки. Нелинейная индуктивная катушка изображена на рис. 15.49, а.
Резистивное сопротивление обмотки W 1 обозначим R.
ПРОХОДЯIЦИЙ по обмотке ток создает в сердечнике маrнитный
поток. Большая часть этоrо потока (поток Фт) замыкается по cep
дечнику, а меньшая часть (поток ФJ по воздуху. Поток Фт назы
Взют ОСНОВНЫМ, а Фs потоком рассеяния.
Обычно поток Ф s составляет Bcero несколько процентов от пото
Ка ФS' Однако MorYT быть и такие режимы работы, в которых поток
11 j 11 R %.1 С
!4j Ф", иab
6
/J
а) 1)
Р....с. 15.49
17 Зак 683
и аЬ jxsi
Ri
I/cb
i,и
6)
513
фs оказывается соизмеримым с потоком Фт' Такие режимы имеют,
место, если сердечник работает при большом насыщении или коrда
в сердечнике имеется относительно большой воздушный зазор 6.
При построении векторной диаrраммы заменим в действитель
ности несинусоидальный ток и несинусоидальный поток эквивален
тными синусоидальными величинами.
Отношение потокосцепления рассеяния 'Фs == W1ФS К току 1 Ha
зывают индуктивностью рассеяния:
Ls == 'Фs / l==w1Фs / 1.
( 15.64)
Индуктивное сопротивление Xs == ffiLs называют индуктивны-м
сопротивлением рассеяния.
Схема замещения нелинейной индуктивной катушки изображе
на на рис. 15.49, 6. Она отличается от схемы рис. 15.3, а тем, что в
ней добавлено сопротивление Xs. В неразветвленной части схем};>}
включены резистивное сопротивление R обмотки W. и индуктивное
сопротивление рассеяния XS' н,
На участке сЬ есть две ветви. Правую ветвь образует идеализи
рованная нелинеijная индуктивность, по которой проходит HaMar
ничивающий ток 1 JL" Левую ветвь образует активное сопротивление
Rc, потери в котором равны потерям РС на rистерезис и на вихревые
токи в сердечнике нелинейной индуктивной катушки, По левой BeT
ви течет ток
le == Ре / и еь ,
( 15.65)
На рис. 15.49, в изображена векторная диаrрамма нелинейной
индуктивной катушки в соответствии со схемой рис. 15.49, 6. Эта
векторная диаrрамма строится так же, как и для обычных линей
ных схем. .
Начнем ее построение с потока Фт'
Потоки Фт И фs пронизывают обмотку W 1 (рис. 15.49, а) и наводят
в ней ЭДС самоиндукции. '\'
Напряжение и аь на зажимах идеализированной нелинейной ин
дуктивной катушки равно по величине и противоположно по знак
ЭДС самоиндукции, возникающей.в обмотке W 1 схемы (рис. 15.49, ff)
под действием OCHoBHoro потока Фт: ,
. Фт (15.66)
и св === jrow 1 -y2 '
Деление Фт на -у2 объясняется переходом от амплитудноrо зна
чения OTOKa к действующему. Напряжение и еЬ на 900 опережает
поток Ф 1ft'
Ток 1 JL это ток через идеализированную нелинейную индук
тивную катушку, в сердеч.нике которой нет потерь энерrии; о!! на 90
отстает от напряжения и еЬ И по фазе совпадает с потоком Фт' ТОК
\ l
514
. .. .
Ic совпадает по фазе с напряжением и сь , Определение токов 111 и Ic
рассмотрено в 15.65 и 15.66.
По первому закону Кирхrрфq,
1==/11+lc. (15.67)
НапряжеНJ:lе и аЬ на входе схемы ра.вно rеометрической сумме
напряжения и сь , падения напря ения 1 R в резистивном сопротив
лении и падения напряжения jlX s в индуктивном сопротивлении
рассеяния.
, Токи IJ! И Ic не пропорциональны напряжению и аь , а следова
тельно, и напряжению и аЬ на входе схемы, т. е. если напряжение
и аЬ увеличить, например, в 1,3 раза, то токи 111 И Ic увеличатся не в
1,3 раза, а в большее число раз.
, При построении векторной диаrраммы исходили из Toro, что напряжение и т
известно. По напряжению иСЬ определили токи 111 и Ic и затем нашли напряжение
иаЬ на входных зажимах индуктивной катушки.
.' . Обычно известно напряжение U аЬ' а напряжение U сЬ неизвестно. Поэтому при
построении векторной диаrраммы при заданном U аЬ сначала следует разобраться,
может ли напряжение и сь в исследуемом режиме работы схемы значительно отли
чаться от напряжения U аЬ.
Если падения напряжения в сопротивлениях R и Xs малы по сравнению с и аь ,
например 3 8% от и аь , то можно В первом приближении считать, что ись::::::::и аь ,
Если же падения напряжения в сопротивлениях R иХ s соизмеримы с напряжением
и сь , то для расчета напряжения и СЬ необходимо построить векторные диаrраммы
для нескольких значений и сь , например, равных 1; 0,9; 0,8; 0,7 от U аЬ' для каждоrо из
этих значений U сЬ находят U аЬ' по полученным результатам строят вспомоrатель
ную кривую U сЬ === '( U аЬ)' по которой определяют U сЬ при заданном U аЬ И затем
строят искомую векторную диаrрамму.
f
" 15.65. ОпредеJlение намаrничивающеrо тока. ТОК 1 и ero COCTaB
ляющие J 11 И ic находят опытным или аналитическим путем, а
I f-кже с помощью rрафических построений.
Рассмотрим их аналитическое определение. Если через 1 (м)
обозначить длину средней маrнитной линии на пути в стали (рис.
15.50), б (м) длину "воздушноrо" зазора в маrнитной цепи, В
(Тл) MrHoBeHHoe значение маrнитной индукции, Н (А/м) MrHO
венное значение напряженности поля в сердечн.ике, то на основании
закона полноrо тока MrHoBeHHoe значение намаrничивающеrо тока
' : . Hl+O,8B6.10 6
1 ===
11
W.
( 15.68)
На векторной диаrрамме откладывают действующее значение
Н,амаrничивающеrо тока 111'
Для определения действующеrо значения намаrничивающеrо тока нужно в
Выражении (15.68) подставить Втsiпюt вместо В (Вт === Фт / S), н заменить на
аsh(f3В т siпюt), разложить rиперболический синус от периодическоrо aprYMeHTa в
Ряд ПО функциям Бесселя [см. формулу (15.9)]. Воспользовавшись формулой (7.11),
с Помощью которой определяют действующее значение тока через амплитуды OT
17*
515
1
ifvт
ш,
..
800
600
r ;,
I I
I I
ZOO
7
s
1НJO
l
6
о
J
5
ft6 т
Рис. 15.50
Рис. 15.51
Рис. 15.52
дельных rармоник, получим
[ .. 0,86fЗВ т' [06 ] .. 2 .' 2
/Jl(/fЗВm)+ 2аlfЗ +[jJз(/fЗ В m )] +[ /J5(/fЗВm)] +....
(15.69)
На рис. 15.51 изображена кривая, выражающая зависимость I J.tWl / (-у2аl)===f(fЗВ m ) и
построенная по (15.69) при 6==0. С помощью этой зависимости по fЗВ m находят
IJ.tWI/ (-y2al), а !атем определяют IIL(WI.a и l известны).
al
I ===
J.t <01
15.66. Определение тока потерь. Ток le' обусловленный потеря
ми в стальном сердечнике, находят как частное от деления потерь
в сердечнике вследствие вихревых токов и rистерезиса на ЭДС,
наведенную рабочим потоком Фm В обмотке W 1 и равную напряже
нию и еь :
le P с /и сь ,
Ueb==WW IФm 1fJ:. ,44fWIФm'
( 15.70)
(15.71 )
J
rде Ре==mРе полные потери в стали от вихревых токов и rистере)
зиса, Вт; т масса сердечника, Kr; Ре потери в 1 Kr сердечника!
Вт /Kr.
Потери в 1 Kr электротехнической стали при индукuиях 1,0 и 1,5 Тл и частоТ
50 [и нормированы [ОСТом. Обозначим: Рl,о потери в 1 Kr стали при Bm===l Тл
f === 50 [и; Рl.5 потери в [ Kr стали при В === 1,5 Т л и f === 50 [и. Значения PI,O и Рl.5
приведены в табл. [5,2.
Потери при друrих индукuиях и частотах, мало отличающихся от 50 [ц, onpe.l}
ляют с помощью следующей эмпирической формулы: Ре === Pl,O В п ( f / 50 ) "
PI5
п==5,69[g .
Pl,O
516
Т а б л и Ц а 15.2
Марка стали PI,O BT/Kr, при толщине листа, мм PI,5 BT/Kr, при толщине листа, мм
0,5 0,35 0,5 0,35
15[[ [,6 [,35 3,6 3,2
15[2 1,4 [,2 3,2 2,8
[5[3 1,25 1,05 2,9 2,5
15.67. Основные соотношения ДJlЯ трансформатора со стаJlЬ-
ным сердечником. В 3.39 рассматривались соотношения, xapaKTe
ризующие работу трансформатора, для KOToporo зависимость меж
ду напряженностью поля и потоком в сердечнике была линейной, а
потери в сердечнике отсутствовали.
Для улучшения маrнитной связи между первичной (W 1 ) и BTO
ричной (W 2 ) обмотками трансформатора ero сердечник выполняют
из ферромаrнитноrо материала (рис. 15.52)1.
В данном параrрафе рассмотрены соотношения, характеризую
щи е работу трансформатора с учетом Toro, что зависимость между
напряженностью поля и потоком в ферромаrнитном (стальном)
сердечнике нелинейна и что в сердечнике есть потери, обусловлен
ные rистерезисом и вихревыми токами.
Для уменьшения тока холостоrо хода сердечник трансформато
ра стремятся изrотовить таким образом, чтобы он имел возможно
меньший воздушный зазор, расположенный перпендикулярно Mar
нитному потоку, либо совсем не имел ero.
В силу нелинейной зависимости между "0ТОКОМ и напряженно
стью поля в сердечнике по обмоткам трансформатора протекают
несинусоидальные токи 2 .
Анализ работы трансформатора будем проводить, заменив He
синусоидальные токи и потоки и эквивалентными в смысле дейст
вующеrо значения величинами: /1 . комплекс действующеrо зна
чения тока первичной обмотки; ! 2 комплекс действующеrо
значения тока вторичной обмотки; Фт комплексная амплитуда
OCHoBHoro маrнитноrо потока, проходящеrо по сердечнику TpaHC
форматора, пронизывающеrо обмотки W. и W я и наводящеrо в них
ЭДС. .
Вследствие наличия рассеяния небольшо по сравнению с Фт
поток поток рассеяния первичной обмотки ФIs замыкается по
Воздуху, образуя потокосцепление только с обмоткой W 1 . Друrой,
I Ha рис. 15.52 и [5.53 для большей наrлядности обмотки W 1 и W2 показаны
иаходящимися на разных стержнях. Практически их располаrают обычно на одном
11 том же стержне.
2Несинусоидальность проявляется rлавным образом в режимах работы, близких
к холостому ходу.
5[7
также небольшой п сравнению с Фт ПОТОК поток рассеяния
вторичной обмотки Ф2s замыкается по воздуху, сцепляясь толь
ко с обмоткой W 2 . .
Полаrают, что потокосцепление потока Фls С обмоткой W 1 про
порционально току i l :
. . .
'Фls==WIФls==L1i l'
(15.72)
Коэффициент пропорциональности L 1s между потокосцеплени
ем 'Фls и током i 1 называют инdуктивностью рассеяния первичной
обмотки; L 1s зависит от числа витков и конструкции обмотки.
Принимают также, что потокосцепление 'Ф2s потока Ф2s С обмот
кой W 2 пропорционально току вторичной цепи i 2 :
'Ф2s == W 2 Ф 2s==L 2 ) 2' (15.73)
оэффициент пропорциональности L 2s ежду ПОТОl\осцеплени
ем 'Ф2s, обусловленным потоком рассеяния Ф2s, И током /2 называют
индуктивностью рассеяния вторичной обмотки; L 2s зависит от числа
витков и конструкции 'вторичной обмотки.
Индуктивное сопрот!"вление первичной обмотки, обусловлен
ное потоком рассеяния Фls'
X1s==ffiL 1s ' (15.74)
Аналоrично, индуктивное сопротивление вторичной обмотки,
обусловленное потоком рассеяния Ф2s'
X 2s ==ffiL 2s . (15.75)
Пусть RI резистивное сопротивление первичной обмотки,
R2 резистивное сопротивление вторичной обмотки, ZH сопро
тивление наrрузки. ")
На рис. 15.53, а изображена схема Toro же трансформатора, что
и на рис. 15.52, но на ней резистивные и индуктивные сопротивле
ния, обусловленные потоками рассеяния, представлены отдельно
выделенными R 1 , X sl , R 2 , X s2 ' Запишем уравнение по второму закону
Кирхrофа для обеих цепей.
Для первичной цепи
. . Ф .
IIRI+jХSl/t+jЮWI -У; === U 1 ,
I
( 15.76)
для вторичной цепи
. . Ф . (15.77.)
1 2 R 2 + jХS2/2+jЮW 2; + и н === О,
фт б
rде jюw l -у2 напряжение, численно равное ЭДС, наводимой в о
518
lH tliH
. х
R, 11 '11
и, ! . сиro,Фт
J v2
J
l'
н
Фiп
й}
6}
Рис. 15.53
мотке W 1 основным рабочим потоком Фт' Деление Фт на -у2 объяс
няется переходом от амплитудноrо значения к действующему. AHa
Ф
лоrично, jюw 2 ji напряжение, численно .равное ЭДС, наводимой
: ,n обмотке W 2 основн.ым рабочим потоком Фт' .
Обозначим ток /1 при холостом ходе трансфОl?матора через 10'
МДС трансформатора при холостом ходе равна loW 1 . МДС TpaHC
. ..
форматора при наличии тока 1 2 составляет IlwI+/2w2. Трансформа
торы конструируют обычно таким образом, что падения Нl}.пряже
. Ф
ния IIRI И jllX S1 MHoro меньше, чем падение напряжения юw1 ji . Если
это учесть, то для правильно сконструированных трансформаторов
уравнение (15.76) запишем так:
Фт . (15.76а)
jЮW 1 V2"::::::U 1 '
Уравнение (15.76a) справедливо как при холостом ходе, так и при
наrрузке, т. е. Пр'и переходе от холостоrо хода к режиму работы при
наrрузке поток Фт практически остается неизменным по модулю.
Но если в этих двух режимах поток Фт один И тот же, то должны
быть равны и создающие ero МДС, т. е.
. . .
11W 1 + 1 2 w 2 ==/OW 1 . (15.78)
Поделив обе части равенства на W 1 , получим
. . .
Il==lo+/ ,
( 15.78а)
rде
. W2
1'2 === I 2 .
Wl
( 15.78б)
_. Таким образом, ток первичной цепи 1I может быть пред тавлен
! aK rео.метрическая сумма двух токов: тока холостоrо хода 10 и тока
I . Ток /'2 называют приведен.ным (к числу витков.первичной обмот
ки) вторичным ТОКОМ. ОН численно равен току 1'2, измененному в
W 2 /W 1 раз.
519
ic
Фт
б)
а)
Рис. 15.54
Кроме Toro, в правил.ьно сконструированных трансформатор.ах
. . Ф
падения напряжений 1 2 R 2 и jl2XS2 малы по сравнению с jЮW 2 ;i '
поэтому из уравнения (15.77) следует, что
ф. (15.79)
. т и
! row 2 1/2 Н'
Если почленно разделить (15.76a) на (15.79) и перейти к MOДY
лям, ТО
U l / ин W 1 /W 2 ,
( 15.80)
т. е. отношение напряжения на входе трансформатора к напряже
нию на ero выходе (на наrрузке) приблизительно равно отношению
числа витков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки.
В правильно сконструированных трансформаторах при наrруз
ке, близкой к номинальной, ток 10 составляет 1 10% от тока 11'
поэтому уравнение (15.78) можно приближенно представить так:
. .
liwl :::::: 1 2 w 2 .
Между модулями токов 11 И 12 при наrрузке, близкой к номиналь
ной, имеет место следующее приближенное соотношение:
11/12 W2/WI' (15.81)
т. е. ток 11 почти пропорционален току 12' Эта пропорциональностЬ
HeMHoro нарушается за счет тока холостоrо хода 10'
В резистивных сопротивлениях вторичной цепи выделяетсЯ
энерrия, которая переносится маrнитным потоком из первичной
цепи во вторичную и восполняется источником питания схемы. На
рис. 15.53,6 изображена схема замещения трансформ атора со
стальным сердечником. Для ее оБОСJ:Iования. уравнение (15.77) yM
ножим на W 1 / W 2 , заменим в нем ток 12 на 1'2(W 1 / W 2 ) в COOTBeTCT
520
вии С (15.78б) и у всех слаrаемых уравнения изменим знаки. В
результате получим
. . . ф, (15.81 а)
1 2 R' 2 + 1 2 i X 's2 + I ' н jЮW 1 ;- === О.
П риведенные сопротивления
R; == R 2 (W I /w 2 )2; X 2 === X s2 (W I /W 2 )2; Z == ZH (W I /W 2 )2.
Схема (рис 15.53, 6) удовлетворяет уравнениям (15.76), (15.78) и
(15.81 а).
15.68. Векторная диаrрамма трансформатора со стаJlЬНЫМ сер-
дечником. На рис. 15.54, а изображена векторная диаrрамма при
индуктивной наrрузке ZII==Rн+jХ и . .
Построение диаrраммы начнем с тока 12' расположив ero произ
вольно. Под уrлом tpH===a!ctgX H / R H к нему раСПОЛ9ЖИМ векто.р Ha
'!ряжения на наrрузке ИН' Прибавим к вектору ИН векторы 1 2 R 2 и
1 2 jX s2 . Сумма падений напряжения во вторич.ной цепи равна нулю,
фт
что дает возможность построить вектор ir:эW 2,у2 . Далее строим BeK
. Ф
тор Фт (он на 900 отстает от вектора jЮW 2 ; ).
В ферромаrнитном сердечнике трансформатора, как и в сердеч
нике нелинейной индуктивной катушки, есть потери, обусловлен
ные rисторезисом и вихревыми токами. Вследствие этоrо ток холо
cToro .хода 10 состоит з rеометрическо.й CY.MM I намаrничивающеrо
тока 1 f11! тока потерь Ic (рис. 15.54,6): 10 . 1f1+/c..
. Ток 1 f1 совпада т по.фазе с потоком Фт' а ток Ic опережает поток
Фт на 900. Токи 1 f1 И Ic определяют так же, как для нелинейной
индуктивной катушки <.: ферромаrнитным с рдечником.
Ток холостоrо хода 10 опережает поток q>m на некоторый уrол 'У.
В соответствии с уравнением (15.78)TOK 1I равен rеометрической
. .. W 2
сумме тока 10 и тока 1;=== 12 ' fеометрическая сумма падений
.w 1
.. Ф
1, напряжен й IIRI' IIjX s1 и jюw l ;- дает напряжение на входе первич
ной цепи И 1 _
С целью удобочитаемости на рис. 15.54, а не выдержаны имею
щие место в действительности соотношения между модулями Ha
, пряжений, а также между модулями токов.
Пример 160. Повышающий трансформ атор имеет сердечник из трансформатор
нойстали [511 при толщине листов 0,5 мм. Кривая намаrничивания H===O,71 sh(5,75 В).
Сердечник выIJлненH из пластин, имеющих кольцевую форму без воздушноrо зазора;
w l ==250, w2==1750, S===2,2 см 2 , [===25 см. Пренебреrая RI и X s1 , определить ток холо
cToro хода 10 при U 1 ===15 В и f===50 rц.
52[
и
Реш е н и е. Амплитуда индукции В 1,22 Тл. Произведение
т 4,44fw]S
fЗ В т ===5,75.1,22==7,02.
По кривой (рис. 15.51) при fЗВ т ==7,02 находим w]/jA,/(alV2)===185. Но
alV2/w] ===0,7 .0,25 'V2/250==10 3. Следовательно, 1jA,===0,185 А.
Масса сердечника при плотности 7,8 r /см 2 === 7,8.2,2 см 2 . 25 см==0,428 Kr. Из
табл. 15.2 находим: Р] 0==1,6 BT/Kr; PI5==3,6 BT/Kr; п===5,69Ig(3,6/1,6) 1,13.
. . 1 Тз
Удельные потери встали при B m ==1,22 Тл Pe===1,6. [,22' .1===2,1 BT/Kr. Полные
потери в сердечнике массой 0,428 Kr P e ==0,428.2,1==O,9 Вт. Ток, обусловленный
Ре
потерями в стали, le u==0,9/15==0,06 А. Ток холостоrо хода 10 практически равен
1
току 1jA,'
15.69. Субrармонические КОJlебания. Мноrообразие типов дви-
жений в нелинейных цепях. Су6С?армоническими называют колеба
ния, период которых Тек больше периода Т===2'( вынуждающей силы
e(t). Число k=== Т ек / Т ха рактеризует порядок субrа рмонических KO
лебаний (СК). В цепи рис. 15.55, а с нелинейной индуктивной катуш
кой и нелинейным конденсатором, имеющими идеально прямо
уrольные характеристики (рис. 15.55, 6 в), при воздействии ЭДС
e(t)== + E в виде меандра (рис. 15.55, С?) (а в дальнейшем также еще
и постоянной ЭДС Ео) возникают СК нечетноrо порядка.
Обозначим а==2'Ф т /('tЕ) и b==2Rqm/('tE). Сначала рассмотрим
работу схемы при замкнутом КI и разомкнутом К 2 , коrда действует
только e(t)== + Е. При Ь> 1 и а< 1 возникает тип движений, показан
ный на рис. 15.55, С? (для этоrо рисунка а==О,25 и Ь== 1 ,5), коrда
Т ==2т' и ис==О в течение Bcero периода Т.
При Ь<1 и а+Ь<l тип движений (назовем ero тип Н) иллюст
рируется рис. 15.55, d (для этоrо рисунка а==0,25 и Ь==0,5), период
Т ==2'(. Для существования СК в цепи (рис. 15.55, а) необходимо,
чтобы а> 1, Ь< 1. Порядок k равен сумме смежных чисел натураль
Horo ряда, в интервале между которыми находится сумма а+Ь.
Так, для существования колебаний TpeTbero порядка необходи
мо, чтобы 1<а+Ь<2. Физически СК возникают потому, что за
время 't потокосцепление 'Ф нелинейной индуктивной катушки не
успевает измениться на величину 2'Ф т . Условие Ь<1 означает, что
перезарядка нелинейноrо конденсатора на 2qm должна происхо
дить за время, меньшее '{.
fрафики ЭДС e(t), заряда q, напряжения на конденсаторе и о
тока i и потокосцепления 'Ф при СК TpeTbero порядка (k==3;a==I,25,
Ь==0,5) изображены на рис. 15.55, е. При построении кривых учтено,
что увеличение заряда может иметь место только после Toro, как
'Ф достиrло значения 'Ф т , а уменьшение заряда только после Toro,
как 'Ф достиrло значения 'Ф т .
Дадим пояснения к кривым на рис. 15.55, е. Период СК TpeTbero
порядка составляет шесть интервалов длительностью '{. К началу
первоrо интервала e(t)==E, заряд q== qm И потокосцепление
522
e(t) ис
i
Ео
а)
'IJI rn
ис
l/1т f/т
'} 8)
Е
e(t}
9 1 I ' q",
q," /
L
Цс
1
1/Im
е)
Т'cK/i
e(t} hE r--
'i
fJт
t
e(t)
т Е r
t-
lJ
t
UC I
'1 .....,Е/Н t
'
V t
z}
Е
иc
.
t
\......... t
и}
\
\... t
'/1т t
...
.... ....:
f\l1..... tц
... "
1C\j
11 .,
RfJт
тЕ
ж}
'1 c p/qm
1,0
0.6
0.6
0,'1
12
8
ц"
I I
,
c\j ,.... I
.. " 1,
0,1 0.2 0,3
Рис. 15.55
о. 7 Ео/Е. 0.125 425 D,J7.11J. 0,515 Ео/Е
и}
'ф== 'фm' За первый интервал времени длительностью т 'ф изменя
ется от 'фm до 0,6'фm' Так как 'ф не достиrло значения 'фm' то пере
маrничивание сердеч:"ика осталось незаконченным. Во второй ин
тервал времени e(t)== E оказывается приложенной к нелинейному
конденсатору иc== E. В третий интервал времени под действием
523
ЭДС e(t)==E происходит три качественно различных процесса. Сна
чала заканчивается перемаrничивание сердечника нелинейной ИВ
дуктивной катушки, коrда потокосцепление 11' изменяется от О,б'фт
до 'фm (на это затрачивается время 0,25'[). После этоrо за 0,5'[ заряд
нелинейноrо конденсатора изменяется от qm до qm (при этом по
цепи течет ток Е/ R); в оставшуюся часть времени TpeTbero Интер
вала (1 0,25 0,5)'[==0,25'[ на нелинейном конденсаторе появля
етсЯ напряжение ис==Е. В последующие три интервала времени
каждый длительностью '[ имеют место процессы качественно такие
же, что и в трех рассмотренных, но движения происходят в обратном
направлении.
Диаrраммы возможных типов движений в схеме (на рис. 15.55,
а), коrда в ней действует ЭДС e(t)== + E, изображены на рис. 15.55,
ж. Заштрихованная область ис==О соответствует типу движения по
рис. 15.55, С?, область Н движению по рис. 15.55, д, области 3,5,7,
9, 11 это области субrармонических колебаний соответственно 3
II ro порядков. Если на рис. 15.55, ж провести из начала коорди
нат прямую под уrлом а к оси абсцисс (tga==Rq /'фm; на рисунке
tga==0,2) так, чтобы она прошла через все области, то при плавном
увеличении Е изображающая точка будет двиrаться в направлении
стрелки, последовательно проходя области 11, 9, 7, 5,3, ис==О, Н, т. е.
при этом будут получены 7 различных типов движений и все они
будут устойчивы. Переход из предыдущей области в последующую
обусловлен невозможностью при измененной Е осуществить смену
состояний, характерную для предыдущей области.
Если в схеме(на рис. 15.55, а)ключ К, разомкнуть, а К 2 замкнуть,
то в цепи будет действовать ЭДС + Е +Ео. В этом случае при плав
ном увеличении Ео от О дО 0,8E возникнут последовательно суб
rармонические колебания нечетноrо и четноrо (3,4,3,4,3, 6) поряд
ков (рис. 15.55, з). Имеется также область неустойчивости (от
Ео==Е/3 до Ео==Е 'фm/'[)' коrда возникают хаотические (неперио
дические) колебания. Они возникают вследствие Toro, что изобра
жающая точка в этом диапазоне Ео попадает (рис. 15.55, и) на
падающий участок зависимости постоянной составляющей заряда
qep за период Тек от постоянной составляющей напряжения на KOH
денсаторе иео==Е о . Подробнее о rраницах переходов см. [20] 15.6.
15.70. АВТОМОДУJlЯЦИЯ. Хаотические КОJlебания (странные атт"
ракторы). Автомодуляцией называют режим работы нелинейной
электрической цепи, находящейся под воздействием периодиче
ской вынуждающей силы частотой ы, при которой амплитуды токов
и напряжений в цепи периодически изменяются без воздействия
внешнеrо модулирующеrо фактора. Автомодуляция возникает
вследствие неустойчивости периодическоrо режима работы на ча
стоте вынуждающей силы ы. Процесс оказывается периодическиМ
524
п 00 .l,
fJ 5
4 4
J J ,. , I 1" j 1,
, . VJt
2 2
f 1
О f 2 J 4 О 20405060 и со
т
О) oj 6) сх z}
Рис. 15.56
ИЛИ почти периодическим для оrибающих амплитуд первых rapMo
ник и непериодическим (хаотическим) для MrHoBeHHbIx значений.
Выведем основные завиСИМОсти, описывающие процесс aBTOMO
дуляции в схеме (на рис. 15.56, а) с нелинейным конденсатором,
кулон вольтную характеристику KOToporo в соответствии с Э 15.26
выразим в виде uc a sh q.
Так как в цепи действуют постоянная Е и синусоидальная
Emsin( wt+q» ЭДС, то заряд q имеет постоянную и синусоидальную
компоненты:
q==Qo+Qmsinwt.
Постоянная составляющая напряжения на конденсаторе (см.
Э 15.16)
U co a sh QoJ o(j Q т)'
Первая rармоника U C1 2 ach Qo I jJ ,(jf3Q т) }sinwt, первая rap
моника тока il ==w Qmcoswt. Если в уравнение цепи
di
iR+L dt +uc==Eo+Emsin«(J)i+Q)
подставить записанные выражения для i 1 , исо+и с и разбить ero в
соответствии с методом rармоническоrо баланса на уравнения для
постоянной составляющей, а также для синусной и косинусной KOM
понент, а затем два последних уравнения возвести в квадрат и
f3E m
сложить для устранения уrл а q>, то, ввеДf! обозначения а== (J)2L '
R 2af3
Ь === , c== , f3Qo п , f3Qm т , получим два следующих уравнения:
(J)L (J) L
ashпJ o(jm) ==Е 0== U со'
2
Ь 2 т2+{с[ jJ l(jт)chп m} a2.
Решим (б) относительно ch п:
т::f: "y a 2 b 2 m 2
chn
c[ iJl (jm)) .
(а)
(б)
(в)
525
Уравнение (в) дает связь между n и т, обусловленную napaMeT !
рами цепи по первой rармонике частоты ы, а уравнение (а) по I
постоянной составляющей. На рис. 15.56, б изображена зависи-з
мость п от т, построенная по соотношению (в) при а==0,5; b==O,I;
с==О,О54. Верхний участок кривой соответствует знаку плюс, а ниж
ний знаку минус перед радикалом в формуле (в).
Задаваясь значениями п в интервале О 6 и беря COOTBeTCTBY
ющие им значения m из рис. 15.56,6, по формуле (а) строим зависи
мость (3Qo==f(U co /a) (рис. 15.56. в). Из рисунка видно, что в области
значений U со/ а==35-7-60 имеется падающий участок, не прикрытый
восходящими участками.
Если Ео==и со будет такова, что изображающая точка окажется'
на падающем участке характеристики (рис. 15.56, в), то режим
вынужденных колебаний окажется неустойчивым и в системе на-
чнется процесс автомодуляции. Последний будет процессом устой
чивым, так как для Hero имеется единственный предельный цикл.
На рис. 15.56,61 в пунктиром показано, как движется изобража
ющая точка при автомодуляции. Стрелки указывают направление
движения. На рис. 15.56, с? показан характер изменения во времени
тока i} (первой rармоники тока). N
Для более обстоятельноrо ознакомления с теорией автомодуля
ции и некоторыми друrими динамическими явлениями в различных
электротехнических устройствах рекомендуем обратиться к [21].
Из рис. 15.56, в вид.но, что дифференциальная емкость для Meд
dQo
ленно изменяющихся Qo и U со (Сдифо=== ) на падающем участке
со
отрицательна.
Если в схеме (рис. 15.56, а) заменить линейную L на уп
равляемую нелинейную, а нелинейный конденсатор на линейный,
то при определенных условиях также возникнут автомодуляция и
появится отрицательная дифференциальная индуктивность для
медленно изменяющихся составляющих потокосцепления и тока
d'Ф о
(L дифо==d/)'
о
В заключение заметим, что непериодические (хаотические) про
цессы для MrHoBeHHbIX значений токов и напряжений внелинейных
цепях, находяш,Ихся под воздействием периодических вынуждаю-
щих сил, в особенности коrда нет явно выраженной оrибаЮLцей,
называют еще странными аттракторами (аттрактор это путь от
одноrо типа движения к друrому). Возникновение хаотичеСКОI'О дви
жения можно рассматривать как "катастрофу" ожидаемоrо пери
одическоrо движения. Как правило, "катастрофа" происходит Tor-
да, коrда теоретически единственно возможный периодический
процесс в цепи при данных сочетаниях параметров оказывается
неустойчивым и в окрестности единственной неустойчивой точкИ
равновесия нет устойчивоrо предельноrо цикла. Если падающиЙ
526
участок на характеристике мал и (или) почти плоский, то вместо
автомодуляции возникает хаос.
,
I
I \
I
i
Вопросы АПЯ самопроверки
1. Охарактеризуйте известные вам типы нелинейных резистивных, индуктивных
и емкостных элементов. 2. Как понять выражение "нелинейные элементы являются
rенераторами высших rармоник тока (напряжения)"? 3. Какие преобразования
можно осуществить с помощью нелинейных электрических цепей? 4. Какие физиче
ские ЯВJIения MorYT наблюдаться в нелинейных и не MorYT в линейных цепях с
постоянными параметрами? 5. Как из характеристик для MrHOBeHHbIx значений
можно получить ВАХ для первых rармоник иВАХ ДJIЯ действующих значений вели
чин? 6. Проанализируйте зависимость индуктивноrо сопротивления для нелинейной
индуктивной катушки от амплитуды приложенноrо напряжения при неизменной
частоте ю. 7. Качественно начертите семейство ВАХ управляемой индуктивной Ka
тушки и управляемоrо нелинейноrо конденсатора и сопоставьте их. 8. Чем объяс
нить, что ВАХ управляемой нелинейной индуктивной катушки (см. рис. 15.14, б)
имеют насыщение по напряжению, аВАХ управляемоrо нелинейноrо конденсатора
(см. рис. 15.14, 8) по току? 9. Чем можно объяснить, что постоянная составляющая
заряда Qo на нелинейном конденсаторе зависит от амплитуды Qm первой rармоники
заряда? 10. Начертите схемы замещения электронной лампы и биполярноrо и поле
Boro транзисторов для малых переменных составляющих. 11. Охарактеризуйте oc
новные lIоложения известных вам методов расчета периодических процессов нели
нейных цепей. 12. Сформулируйте условия нахождения моментов времени открытия
и закрытия диодов. 13. Покажите, чтодля перемаrничивания сердечника нелинейной
индуктивной катушки от "'т до +"'т под действием напряжения u(t) необходимо
, t,
выполнить условие 2"'т== u(t)dt, а для перезарядки нелинейноrо конденсатора от
о
qm до +qm под действием протекающеrо через Hero тока i(t) необходимо ВЬШОk
11
нить условие 2qm=== i(t)dt, rде "'т амплитуда потокосцепления; qm заряд; t,
о
время перемаrничивания (перезарядки). 14. Что понимают под автоколебаниями?
Как выявить условия, коrда они возникают? 15. В чем причина возникновения суб
rармонических колебаний? 16. В чем причина возникновения автомодуляции? 17. В
чем отличие субrармонических колебаний от автомодуляционных? 18. В чем принци
пиальное отличие феррорезонанса напряжений и токов от соответствующих резо
нансов в линейных цепях? 19. При каких условиях в электрических цепях MorYT
возникать триrrерные явления? 20. Возможны ли триrrерные явления в схеме (см.
рис. 15.42, а), если источником питания схемы будет l:Je источник ЭДС, а источник
тока? 21. Можно ли ожидать возникновения триrrерных явлений в схеме (см. рис.
15.44, а), если на входе ее будет источник ЭДС? 22. Что понимают под частотными
характеристиками нелинейных цепей? 23. Чем принципиально отличаются частот
ные характеристики нелинейных цепей от частотных характеристик аналоrичных
линейных? 24. В чем сходство и в чем различие в построении векторных диаrрамм по
первым rармоникам для линейных и нелинейных цепей? 25. Дайте определение
понятий "индуктивность рассеяния", "намаrничивающий ток", "ток потерь". 26. По
стройте векторную диаrрамму трансформатора со CTaJIbHbIM сердечником при aK
Тивно емкостной наrрузке. 27. Составьте алrоритм расчета нелинейной цепи с уче
том первой и одной из высших rармоник. 28. К нелинейному резистору с
симметричной характеристикой приложено периодическое напряжение без постоян
ной составляющей. Можно ли утверждать, что протекающий через Hero ток не может
содержать постоянную составляющую? 29. Решите задачи 10.9; 10.10; 10.20; 10.23;
10.37; [0.38; 10.39; 10.41; 10.48; 10.58; 10.6[.
527
rnaBa wестнадцатая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ВНЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
16.1. Общая характеристика методов анализа и расчета пере-
ходных процессов. Методы анализа и расчета переходных процес
сов в нелинейных цепях MorYT быть классифицированы: а) по виду
основных операций, которые необходимо ВЫПОJIНЯТЬ дЛЯ интеrриро
вания нелинейных дифференциальных уравнений: на rрафиче
ские (rрафоаналитические) и аналитические; б) по характеру вели
чины, для которой производится расчет (по MrHoBeHHbIM значениям
токов и напряжений), по MrHoBeHHbIM значениям оrибающих токов
и напряжений (их первых rармоник) либо по MI'HoBeHHbIM значени
ям медленно меняющихся средних за период внешнеrо воздействия
значений.
Под С?рафически-м-и (С?рафоаналитически-м-и) понимают такие
методы, в которых основными операциями при определении зави
симости от времени искомых токов и напряжений являются rрафи
ческие построения, нередко сопровождаемые и некоторыми вспо
моrательными числовыми подсчетами.
В rрафических методах характеристики нелинейных элементов
обычно не требуется выражать аналитически (см. 16.2).
Аналитически-м-и называют такие методы, в которых основной
операцией при определении зависимости искомых токов и напря
жений от времени является точное (приближенное) аналитическое
интеrрирование дифференциальных уравнений цепи путем исполь
зования аналитических выражений характеристик нелинейных
элементов.
Рассмотрены следующие аналитические методы: 1) метод ин
теrрируемой нелинейной аппроксимации (см. 16.3); 2) метод KY
сочно линейной аппроксимации (см. 16.4); 3) метод медленно Me
няющихся амплитуд. (см. 16.6); 4) метод малоrо параметра
(см. 16.7); 5) метод интеrральных уравнений (см. 16.8).
fрафические методы имеют следующие преимущества перед
аналитическими: а) нет необходимости выражать характеристики
нелинейных элементов аналитически, что позволяет избавиться от
поrрешностей, связанных с аналитическим представлением xapaK
теристик; б) простота учета rистерезиса и друrих сложных нелиней
ных заВИСИVlостей.
В свою \ ,llередь, аналитические методы также имеют перед rpa
фическими IIреимущества. Из них основным является то, что они
дают возможность получить решение в общем виде, а не для KaKO
rO To одноrо KOHKpeTHoro сочетания параметров. Получить решение
в общем виде желательно потому, что анализ ero позволяет выяс
нить все особенности процесса при изменении всех параметров.
Как упоминалось, все методы расчета MorYT быть подразделены
528
li
а)
о)
Р....с.16.1
на две подrруппы: 1) расчет по MrHoBeHHbIM значениям токов и
напряжений; 2) расчет по MrHoBeHHbIM значениям оrибающих токов
и напряжений.
Расчет по оrибающим важен, потому что он дает возможность,
не вдаваясь в мелкие детали процесса внутри каждоrо периода
действующей в схеме периодической ЭДС (внутри каждоrо периода
автоколебаний в автоколебательной системе), судить о MaKpo
структуре процесса. Он возможен не только для нелинейных цепей,
он представляет существенный интерес и для линейных цепей.
Точность расчета по оrибающим уступает точности расчета по
MrHoBeHHbIM значениям. Однако возможность судить о MaKpOCTpYK
туре процесса часто является решающим фактором.
Там, rде это необход.имо, целесообразно дополнять расчет по
оrибающим расчетам по MrHoBeHHbIM значениям. Метод расчета по
оrибающим представлен методом медленно меняющихся амплитуд
(см. 16.6). Остальные методы относятся к подrруппе расчета по
MrHoBeHHbIM значениям.
Теория переходных процессов в электрических цепях с управля
емыми нелинейными индуктивными, емкостными и резистивными
элементами, а также в электромеханических системах и цепях с
управляемыми источниками с учетом их нелинейных и частотных
свойств рассмотрена в 16.9 16.12.
16.2. Расчет, основанный на rрафическом подсчете опредеJlен-
Horo интеrраJlа. Метод применим к нелинейным электрическим цe
пям, описываемым дифференциальными уравнениями первоrо по
рядка, допускающим разделение переменных. Последняя oroBopKa
свидетельствует о том, что метод применим к цепям постоянноrо и,
как правило, неприменим к цепям переменноrо тока. Основные этапы
и последовательность расчета проиллюстрируем на примере.
Нелинейный конденсатор через резистор подключается к источнику напряже
ния и (рис. 16.1, а). Кулон вольтная характеристика (КВХ) конденсатора задана
rрафически (рис. 16.1, б). Полаrая, что в схеме нулевые начальные условия, постро
ить кривые изменения заряда q, напряжения на конденсаторе ис и тока i в функции
времени. Составим дифференциальное уравнение:
dq
uc(q)+ Rdi=== U.
( 16.1 )
529
.
11
,
и с
l
F
l
а)
1)
dfj 'i
)
t
Р....с. 16.2
Разделим переменные:
dq
dt==-R U ud,q) или dt==-RF(q)dq,
( 16.1 а)
rде
1
F(q) U udл)
Для построения кривой F(q) (рис. 16.1, в) используем КВХ.
Левую часть уравнения (16.la) проинтеrрируем по t от О до текущеrо значения
t, а правую по q от q==-O до текущеrо значения q. В результате получим
q
t===R F(q)dq.
о
( 16.2)
(l 6.3 )
rрафически подынтеrральное выражение F(q)dq представляет собой заштрихо
ванную площадку (рис. 16.1, в).
Кривая 1 на рис. 16.2, а качественно представляет собой зависимость q от t. С
помощы9 кривой q==-f(t) и КВХ нелинейноrо конденсатора строят зависимость uJt)
(кривая 2).
Ток в цепи для произвольноrо момента времени определяется по формуле
i===( U иc)/ R (кривая 3).
16.3. Расчет методом интеrрируемой нелинейной аппроксима-
ции. Данный метод основан на аппроксимации характеристики He
линейноrо элемента такой нелинейной функцией, которая, во пер
вых, достаточно точно отображает ero характеристику в
предполаrаемом интервале перемещения изображающей точки по
ней и, BO BTOpЫX (и это rлавное), дает возможность точно проинтеr
рировать уравнение в известных функциях.
Ценность метода заключается в том, что в результате интеrри
рования получают зависимость исследуемой величины от времени
и всех параметров схемы.
Метод применим к дифференциальным уравнениям первоrо по
рядка, а также к уравнениям, сводящимся к уравнениям первоrо
порядка путем замены переменных.
Пример 161. Определить закон нарастания во времени тока при замыкании
ключа в схеме (рис. 16.2, б). Зависимость тока от потокосцеllления 'ф выражена
формулой i===k'ф4. В схеме нулевые начальные условия.
530
dф .
Реш е н и е. Из уравнения цепи dt +R,===U следует, что dt
из знаменателя множитель R и заменим i на k ф 4:
dt=== . dф
R lу kф4'
dф
U R( Вынесем
rде ly==U/R.
Обозначим J у==а 2 и заменим kф4 на фt; d'Ф на dФl/{1k. В результате получим
1 dФl 1 1 ( 1 1 )
dt== R k а2 Фt; а2 фt == 2а а 'Фi+ а+фт ;
1 ( l+-Vi/l y 4 ) (16.4)
t 075 025 О,51п ;-=+ аrсtgW/Jу.
2/у' Rk' I l/Iy
С помощью (16.4) можно определить время, которое необходимо, чтобы отноше
ние i/ I у достиrло заданноrо значения.
16.4. Расчет методом кусочно-линейнои аппроксимации. При
расчете этим методом осуществляется замена характеристики He
линейноrо элемента отрезками прямых линий, что позволяет перей
ти от нелинейноrо дифференциальноrо уравнения к нескольким
линейным уравнениям, отличающимся дру(' от друrа ЛИПIЬ значени
ями коэффициента.
Каждое из линейных уравнений справедливо для Toro интерва
ла времени, в течение KOToporo рабочая точка перемещается по
соответствующему линеаризованному участку. Метод применим к
цепям, содержащим источники постоянной и (или) синусоидальной
ЭДС, а также к цепям первоrо и более высоких порядков.
Для сложных нелинейных цепей с источником (источниками)
синусоидальной ЭДС основная трудность расчета данным методом
заключается в определении постоянных интеrрирования, исходя из
законов коммутации и времени работы на каждом линейном участ
Ке. В сложных цепях неизвестные находят обычно из TpaHcцeHдeH
тных уравнений, часто применяют ЭВМ. Впервые идея этоrо метода
была высказана русским физиком Н. д. Папалекси в 1912 r.
Рассмотрим основные этапы расчета на простейшем примере.
Пример 162. Конденсатор емкостью С заряжается через HP от источника посто
янноrо напряжения U (рис. 16.3, а). Определить закон изменения тока в цепи при
зарядке. иНР
u,
а)
",
i
1)
Р....с. 16.3
531
Реш е н и е. БАХ HP заменим двумя отрезками прямых линий (рис. 16.3, б).
Пусть на участке от i==O до i==i} u Hp ===k 2 i, rде и НР напряжение на нелинейном
резисторе; k 2 коэффициент. На участке i>i, UHp===Uo+k1i.
Размерность коэффициентов k l и k 2 соответствует размерности сопротивления.
1 ( .
Б уравнение цепи ис+инр=== U вместо и с подставим С ) Idt, заменим и НР для первоrо
участка на Uo+k,i, а для BToporo на k 2 i.
При зарядке конденсатора ток постепенно уменьшается от максимальноrо зна
чения до нуля. Поэтому изображающая точка перемещается сначала по первому
участку. а затем по второму.
1
Для первоrо участка С idt+ Uo+k,i===U;
1
для BToporo С idt+k 2 i==U.
Для nepooro участка i===iпр+iсв===О+Аlе t/kIС.
Постоянную интеrрирования АI найдем из началыюrо условия: t===O, ис==О.
Поэтому Uo+k,i(O+)===U и i(O+)==A,==(U Uo)/kl' Следовательно, при работе на
первом участке
1 == и иo e t/k,C.
1
( 16.5)
Пусть при t==/, ток i===i l . Подставим в (16.5) i, вместо i и /1 вместо / и решим
полученное уравнение относительно /,:
и и о р6.6)
/1===k,CIn k' .
11,
(t t 1>
При работе на втором участке i===A 2 e k 2 C. причем A 2 ===i l .
16.5. Расчет переходных процессов в неJlинейных цепях мето-
дом переменных состояния на ЭВМ. Рассмотрим методику расчета,
используя понятия дифференциальной индуктивности инлуктив
ной катушки Lдиф(i)=== d d и дифференциальной емкости СДИФ(UС)=== d dq
1 ис
нелинейноrо конденсатора.
Если вебер амперная характеристика индуктивной катушки
i аshfJ'Ф. то Lдиф(i) V1 I- 2 - Если кулон вольтная характеристи-
a 1 +(1/ а)
1
ка конденсатора uc==ashbq, то Сдиф(UС>=== ""\ / 2 .
аЬ V 1+( ;)
',!
ис
Пример 163. Составить систему уравнений по методу
переменных состояния для схемы (рис. 16.4) при нулевых
начальных условиях и указанных на рисунке 1I0ложитель
ных направлениях отсчетов токов и напряжений.
Реш е н и е. Из уравнения il==i2+i3 следует
. и с dq du c и с du c
"==="R+ duc di===R+СДИФ(UС>М' Из уравнения
d'ф d'ф di ( ' ) di E
dt +иc E имеем di d/ +иc E или L диф 1 d/ +иc .
Р....с.16.4
532
Искомая система уравнений:
duc 1 1
== и с + i + ОЕ;
dt RСдиф(U с ) сдиф(uа
di 1 . 1
м== Lдиф(i) и c+O- l + Lдиф(i)Е.
Значения Lдиф(i) и сдиф(uа на (k+l) шаrе интеrрирования подсчитывают по значе
ниям i и ис на k M шаrе.
(16.7)
( 16.8)
16.6. Метод медленно меняющихся амплитуд. В электро и
радиотехнике для расчета переходных процессов широко при меня
ют метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод был предло
жен в 1921 r. rолландским ученым Ван дер Полем.
Рассмотрим основы этоrо метода на при мере нелинейной цепи
BToporo порядка, находяuцейся под воздействием периодической
возмущаюuцей силы.
Пусть уравнение этой цепи записано следующим образом:
d 2 x dx 2 .
dt 2 +f(Х)di+ffiох==АSlПffit. (16.9)
Под действием периодической силы с частотой ro в цепи YCTaHaB
ливается вынужденное колебание, первая rармоника KOToporo име
ет частоту ы. Полаrаем, что высшие rармоники выражены слабо.
Искомая функция x(t) может быть представлена как
х a sinrot+bcoswt, (16.1 О)
rде а и Ь медленно меняющиеся во времени амплитуды искомоrо
колебания.
Медленность изменения а и Ь во времени определяется тем, что
их производные по времени являются величинами первоrо порядка
малости по сравнению с произведениями ыа И ыЬ:
da db (16.11)
dt «ыа, dt« ыЬ.
Если это учесть, то, вместо Toro чтобы взять
dx da db
dt == аы cos {j)t b{j)sint + sin {j)t dt + cos ffit dt '
( 16.12)
можно в первом приближении принять
dx
dt afficost bffisinffit.
(16.13)
Аналоrично, вместо Toro чтобы вторую производную брать в
виде
d 2 x 2 2 da
2 Ы asinffit ffi bCOSffit+ffiCOSffit d
dt t
533
db d 2 a d 2 b
ооsiпооt dt + dt2 Siпооt+ dt2с оsооt+
da db
+оосоsооt dt ооsiпооt dt '
пренебрежем в ней слаrаемыми BToporo порядка малости (учтем,
d 2 a da d 2 b db
что dt 2 «00 dt и 00 dt 2 «di) и оставим слаrаемые первоrо порядка
малости. В результате получим
d 2 x ( 2 d b ) ( 2 da )
dt 2 00 а+2ы dt siпооt+ оо Ь+2оо dt соsооt.
Обратим внимание на то, что слаrаемые первоrо порядка мало
сти оставлены в выражении для d 2 x/dt 2 и их не учитывают в Bыpa '
жении для dx/dt. Объясняется это тем, что исследуемая цепь обла
дает малыми потерями, поэтому амплитуда BToporo слаrаемоrо
левой части (16.9) относительно мала по сравнению с амплитудами
первоrо и TpeTbero слаrаемых левой части (16.9).
В функцию '(х) вместо х подставим (16.10) и разложим '(х) в ряд
Фурье. Затем умножим ряд Фурье, которым выразилось '(х) на
dx/ di [на правую часть (16.13)]. Таким образом,
dx .
{(x === F о(а, Ь) + F l(a, Ь)SlПооt + F.ja, Ь)соsооt +
( 16.14 )
+Fз(а, Ь)siп2ооt+F 4 (а, Ь)соs2ооt+... .
( 16.15 )
Так как расчет ведется по первой rармонике, то постоянной
составляющей Ро(а, Ь) и высшими rармониками ряда Фурье
[Fз(а, Ь), Fia, Ь) и др.] в дальнейшем пренебреrаем.
В (16.9) подставим правую часть (16.14) вместо d 2 x/dt 2 "
Р}(а, b)sinwt+F 2 (a, b)coswt вместо f(x)dx/dt и w (asinffit+bcoswt)
вместо ы x.
Тоrда (16.9) можно разбить на два уравнения. Одно из них [ypaB
нение (16.9)] будет выражать собой равенство коэффициентов при
coswt в левой и правой частях (16.9), друrое [уравнение (16.17)]
равенство коэффициентов при sinwt в левой и правой частях (16.9):
db
2ООdt+Fl(а, Ь)+а(ОО6 оо2)===А; (16.16)
200 +Fia, Ь)+Ь(ОО6 оо2)===о.
( 16.17)
Система уравнений (16.16) и (16.17) представляет собой два CO
вместных дифференциальных уравнения, составленных относительНО
MrHoBeHHbIx значений медленно меняющихся амплитуд а и Ь.
В общем случае решение этой системы может производиться
методом малоrо параметра или методами численноrо интеrрировэ
534
ния. В частном случае, коrда внешняя
периодическая сила равна нулю (А ===0)
и функция F1(a, ь)===о, система сводится
к одному дифференциальному ypaBHe
нию первоrо порядка
da Р 2 (а) (16.18)
(b O).
dt 200
Ранее были рассмотрены основные
этапы перехода от дифференциальноrо
уравнения для MrHoBeHHbIx значений
[уравнение (16.9)] к дифференциальным
уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Метод приме
ним и к уравнениям более высоких порядков.
- В заключение необходимо отметить, что если максимальное зна
чение слаrаемоrо f(x)dxjdt в (16.9)(и подобных ему), выражающее
собой падение напряжения в активном сопротивлении контура
(контуров), соизмеримо с максимальными значениями остальных
слаrаемых (16.9), то в выражении dx/dt должны быть сохранены
слаrаемые первоrо порядка малости, которыми ранее пренебреrли.
Оrибающая колебаний опреде ляется ура внением
f( t) V а 2 ( t) +ь 2 ( t) .
Р....с. 16.5
Пример 164. Определить закон нарастания аМПЛИТУДbI напряжения на сетке в
ламповом aBToreHepaTope (рис. 16.5).
В соответствии с обозначениями на рис. 16.5 составим уравнение по второму
закону Кирхrофа для сеточной цепи:
di dia
L di М dt + Ri + ис == о.
(а)
duc
Подставим в Hero i == С м' Получим
d2uc dia duc
LC M +RC +u ==0.
dt 2 dt dt с
АНОДНbIЙ ток ia ВbIразим через сеточное напряжение [см. (15.40)]:
ia == iao + а' ис but.
dia ' 2 duc dia
HOdi == (а 3bиcrм. Подставим di в (а):
d2uc duc
LC 2 + (RC а/М + 3bMu ) d + ас == о.
dt t
Поделим последнее уравнение на LC == l/ffi , rде (йо уrловая частота автоколеба
ний, и обозначим
,
k Ма RC . k 3ЬМ
1 LC ' 2 Ма' RC'
( 16.1 9)
535
Получим
d2uc duc
2 k1(l k2U ) d + ffiБUс === о.
dt t
(16.20)
Примем
')
duc 1 dx (l lIL 1 d 2 x
Х == иc ; dt == fk; м; df2 == {ii; dt 2 .
Тоrда
d 2 x 2 dx 2
dt 2 k 1 (1 х ) dt + (йох == о.
(16.21 )
Множитель kl(l х 2 ) и представляет собой функцию {(х) уравнения ([6.9). Так
как на систему не действует внешняя периодическая сила и частота автоколебаний
равна 000, а не ы, то примем
х === asinffiot,
dx
dt aOOocosOOot;
( 16.22)!
d da 2 .
dt 2 == 2ыо dt COSffiot ffi о аSlЛоо о t.
( 16.23)
Подставим (16.22) и (16.23) в (16.21) и учтем, что
si n 2 ffiotcosOOot == 0,25( COSffiot COS3ffiot);
da 2 . 2 .
2ffioCOSffiot d t аffiоSШffiоt + аffiоSШffiоt k 1 affiocosffiot +
+ 0,25k 1 (й о а 3 ( COSffiot COS3ffi o t) === О.
Так как расчет ведем по медленно изменяющейся по амплитуде первой rармонике,
то слаrаемое с COS3ffiot не учитываем. Следовательно, ,,'
da 2
2 dt == ak 1 (1 0,25а ).
t
( 16.24 )
Введя новую переменную у === О,25а 2 , получим
dy
dt === k1y(1 у).
:1
....
(16.25)'
Уравнение (16.25) это уравнение с разделяющимися переменными
r dy у
k1t === J y(l у); k1t === InC o + In 1 у;
1
=== ;
1 + Cle klt
2
=== -у k t sinffiot.
1 + C1e I
Амплитуда напряжения на конденсаторе изменяется во времени следующим обра
30М:
С 1 === l/C o ;
у С klt.
интеrрирования: === ое ,
I !I
1/ 2
а == 2 У === -Yl + Cle klt ;
Coe k1t
у=== ::::=
[ + Coe k1t
rДе
lnCo постоянная
х == asinffiot ===
536
а 2 Va'M RC
и с === {k; == -Yl + Cle klt 3ЬМ.
( 16.26)
Постоянную интеrрирования Сl определим по начальному значению. Если при t ==
::=: О ис === иc(o ), то
,
4 аМ RC
С . 1
I и (o ) 3ЬМ .
MrHoBeHHoe значение напряжения на конденсаторе
и с === и с sinffiot.
( 16.27)
16.7. Метод малоrо параметра. Нелинейные дифференциаль
ные уравнения иноrда решают путем последовательных приближе
ний, представляя искомую величину Х в виде ряда по степеням
HeKoToporo коэффициента 11, который называют малым пapaMeT
ром:
Х == ХО + I1X I + 112 Х 2 + . . . ,
( 16.28)
rде ХО решение уравнения нулевоrо приближения (последнее
получают из исходноrо, полаrая, что все нелинейные члены в исход
ном уравнении отсутствуют); Х 1 решение уравнения первой по
правки, которая учитывает влияние нелинейных членов в первом
приближении; Х 2 решение уравнения второй поправки, и т. д.
Если исходное уравнение является дифференциальным ypaBHe
нием BToporo или более BbIcoKoro порядка, а принужденный режим
представляет собой колебательный процесс, то квадрат уrловой
частоты первой rармоники ы 2 или первую степень w также разлаrа
ют в ряд по малому параметру:
ы 2 == ы + I1f, + 112f2'
rде ы квадрат уrловой частоты в нулевом приближении, коrда
всеми нелинейными членами пренебреrают; I1f, поправка перво
ro приближения, вызванная нелинейными членами уравнения;
112f2 поправка BToporo приближения, и т. д.
Последовательность решения рассмотрим на двух примерах.
1. При х(о) === О решить уравнение
dx
+ х 2 == 1
dt .
( 16.29)
:
к такому уравнению, например, сводится задача о переходном процессе в цепи,
состоящей из индуктивной катушки с нелинейной БАХ и линейноrо резистивноrо
сопротивления, при подключении ее к источнику постоянноrо напряжения и при
квадратичной аппроксимации зависимости потокосцепления от тока.
Линейные члены уравнения переносим в левую часть, а нелинейные, умножив
на некоторый малый параметр 11, в правую (в примере 11 == 1):
537
dx 1 == I1,К2
dt .
( 16.30)
Представим решение (16.29) в виде ряда по степеням 11:
х == Хо + I1x} + 11 2 X2 + ...
Подставим (16.31) в (16.30):
dxo dX 1 2 dX 2 2 2 3 2
dt + 11 dt + 11 dt 1 == I1XQ 11 2xOxl 11 (Х! + 2ХОХ2).
( 16.31 )
( 16.32)
Из (16.32) образуем систему уравнений, приравняв члены левой и правой частей
ero при одинаковых степенях 11:
dxo
dt 1 === О уравнение нулевоrо приближения; (16.33)
dx} 2 u
dt === хо уравнение для первои поправки;
dX2
dt === 2x O x 1 уравнение для второй поправки.
Проинтеrрируем (16.33): хо === t + Со.
Постоянную СО == О определили из начальных условий.
Подставим хо == t в уравнение (16.34) и проинтеrрируем ero:
( 16.34 )
( 16.35)
t 3
X 1 === "3 + C 1 .
Для первой поправки начальные условия также нулевые, поэтому C 1 == о;
t 3
Xl == 3' Подставим значения ХО и Xl В (16.35):
dX2 2t 4 2t 5
dt === 3' Х2 == 15 + С 2 , С 2 == О.
в соответств ии с (16.31 )
t 3 2t 5
х == t 3 + 15.
(16.36)
Аналоrичным путем можно было бы получить и последующие члены ряда
(16.31). Так как уравнение (16.29) имеет точное решение Х == tht, то, взяв в разложе
нии tht три первых члена ряда, можно убедиться, что они совпадают с правой частью
( 16.36).
2. Решить уравнение для ламповоrо reHepaTopa (вывод уравнения см. в примере
,
164 при начальных условиях х(О) == Ао Х (о) === о):
d 2 x ') dx 2
dt 2 k1(l А) dt + (йОХ == О. (16.37)
Коэффициент k 1 при нелинейном члене в дальнейшем будем считать м алым
параметром и обозначим 11. В соответствии с предыдущим
Х === хо + J.tX 1 + J.t 2 Х 2 + . . . ,
ы 2 === ы + J.tfl + J.t2f2 +... .
( 16.38)
538
В уравнении (16.37) вместо Х подставим правую часть (16.38) и
00 2 11/ 1 112/2 в м есто oo :
d2xo d 2 x] 2 d 2 x2 2 2 dxo dXl
dt 2 + 11 dt 2 + 11 dt 2 11[1 (Х о + J.tXl + 11 Х 2 + ...) ] (dТ + 11 dТ +
2 dX2 2 2 2
+ 11 dt + ...) + (00 11/ 1 J.t f 2 )(x O + I1 X l + 11 Х2 + ...) == о.
( 16.39)
Образуем из (16.39) три уравнения, соответствующие J.t в нулевой, первой и
второй степенях:
d 2 x
............Q + ffi бх == о;
dt 2 О
d2Xl 2 dxo
dt 2 + 00 Х] == (1 хб) dt + хо!.;
( 16.40)
( 16.41 )
d 2 x2 2 dX 1 dx o
dt 2 + 00 Х2 === (1 хб) dt 2x O x 1 dt + f]Xl + f2 X O'
Проинтеrрируем (16.40): ХО == Ао COsoot.
Подстзвив ХО в (16.41) и учтя, что sinacos 2 a == 0,25sina + 0,25sin3a, получим
d 2 x 1 2 2 3
dt 2 + 00 Xl=== ooAo(l 0,25Ao)sinoot+Aoflcosoot+0,25ooAosin3oot. (16.43)
( 16.42)
Уравнение (16.43) можно трактовать следующим образом: на колебательный
LC KOHTYP без потерь [левая часть уравнения (16.43)] воздействуют вынуждающая
сила с уrловой частотой 00, равной собственной частоте колебательноrо контура, и
сила с уrловой частотой, в три раза большей.
Известно, что если подключить колебательный LC KOHTYP, имеющий активное
сопротивление R ---+- о, к источнику синусоидальной эдс Emsinoot при oroBopeHHbIx
условиях, то амплитуда тока в цепи будет нарастать до бесконечности. Действитель
но,
Е Е
. . + . т. t m 6t . ( t + )
1 === lпр ICB == R SIПОО R е Sln 00 v .
При R ---+- О V ---+- О И () R/(2L) ---+- О.
Разложим е бt в ряд и, учитывая малость 6, возьмем два первых члена ряда. В
Е
результате получим i 2L tsinoot.
Такие члены в решении дифференциальных уравнений, амплитуды которых
нарастают теоретически до бесконечности при увеличении времени t, называют
вековыми. При дальнейшем решении уравнения (16.43) необходимо помнить о том,
.что амплитуды вековых членов должны оказаться равными нулю при любом t > О.
Реш е н и е (16.43) запишем следующим образом:
Xl == А1siпооt + B1cosoot + (C1sinoot + D]cosoot)t +
+ E]sin3oot + F,cos3oot.
(16.44 )
Первое и второе слаrаемые представляют собой полное решение однородноrо
уравнения; четвертое и пятое частное решение неоднородноrо уравнения. Третье
539
слаrаемое представляет собой вековой член. Ero можно было бы не вводить в даль
нейшие выкладки по определению коэффициентов Al' B 1 , El' Fl' C 1 ' Dl' однако BBe
дем ero, чтобы показать, что ero присутствие выкладкам не помешает.
Дважды продифференцируем (16.44) по времени:
х'; == Аlffi2siшйt B 1 ffi 2 COSffit + C,ffiCOSffit D1ffisinffit +
+ ffi(C,COSffit D1sinffit) tffi 2 (C 1 sinffit + D1coSffit) 9ffi 2 E 1 sin3ffit
9ffi 2 F 1 cos3ffit. (16.45)
Подставим (16.44) и (16.45) в (16.43), выделим из левой и правой частей (16.43)
слаrаемые соответственно с sinffit [формула (16.46)], COSffit [формула (16.47)], sin3ffit
[формула (16.48)], COS3ffit [формула (16.49)]:
D, == O,5Ao(l 0,25А6); (16.46)
2ЫС 1 === Ао! 1; (16.47)
8ы 2 Е 1 === 0,25ыA ; ( 16.48)
8ffi2Fl == О. (16.49)
Слаrаемые (16.43) с вековыми членами дают нуль:
t(C 1 sinffit + D1coSffit)(ffi 2 (й2) === О.
( 16.50)
Используем также заданные начальные условия для определения
Al' Bl' С 1 ' D" F" El' Так как начальные условия уже были удовлетворены при опре
делении Х о , то для всех последующих приближений начальные условия нулевые.
Имея это в виду, из (16.44) находим х 1 (0) === В, + F, === О.
в соответствии с (16.49) Fl === О, поэтому Bl == О. Из уравнения (16.44), используя
условие Х'I(О) == О, получим
ыА 1 + Dl + 3ыЕ, == о.
Но Dl И Fl известны из (16.44) и (16.48), поэтому
3 3
Аl == 3Е 1 == 32ы Ао.
Поправку на уrловую частоту fl' а вместе с тем и значение Ао найдем исходя из
Toro, что амплитуда BeKoBoro члена должна быть равна нулю при любом t > О.
Отсюда С, === О и Dl === О.
Из (16.47) следует, что,, == О, а из(16.46) чтоА о === 2:
3 3 A
А 1 === 32ы А о, В 1 == О, С 1 == D 1 === О, Е 1 === 32ы ' F 1 === О, ffi == (йо'
Оrраничившись первым приближением и перейдя от 11 к k 1 , получим
3 3. A .
Х === Хо + I1X, == AoCOSffit + k 1 ( 32ffi АоSШffit 32ы SШ3ffit).
Первое п иближение привело к изменению амплитуды первой rармоникИ с
0,75k 1
Ао == 2 до 2 [+ ( 2 )2 И к появлению третьей rармоники.
У ffi v
rловая частота первои rармоники в первом приближении не изменилась и
равна yr ловой частоте (йо нулевоrо приближения. Аналоrичным образом производит
ся и второе приближение. Однако каждое последующее приближение по сравнениЮ
с предыдущим более трудоемко.
540
," a..-;"
в основу данноrо метода положены работы французскоrо MaTe
матика Пуанкаре по небесной механике. Метод называют методом
малоrо параметра потому, что в нем производят разложение реше
ния в ряд по степеням малоrо параметра. Насколько этот параметр
должен быть мал в каждом примере, заранее сказать нельзя. Важ
но, чтобы ряды для Х и для ы 2 или W сходились. Если ряды будут
сходиться медленно или вообще не будут сходиться, то пользовать
ся этим методом не имеет смысла.
16.8. Метод интеrральных уравнений. От нелинейноrо диффе
ренциальноrо уравнения можно перейти к интеrральному, исполь
зуя одну из форм записи интеrрала Дюамеля. Поясним идею этоrо
перехода. Решение линейноrо дифференциальноrо уравнения, Ha
пример уравнения
d 2 x dx
dP + u 1 dt + аох === f{t),
может быть записано в виде
(а)
t
x(t) ==f(t)g(O) + t('t)g'(t 't)d't.
о
(б)
Под g(t) понимают переходную проводимость, либо переходную
функцию в зависимости от Toro, чем является Х по отношению к BЫ
нуждающей силе t(t); g(t) определим как решение (а) при t(t):::::: 1.
Если исходное уравнение нелинейно, например
d 2 x dx 2
dt 2 + Ul dt + аох + Ьх == f{t),
то нелинейный член Ьх2 можно перенести в правую часть и paCCMaT
ривать как внутреннюю вынуждающую силу:
d 2 x dx 2
dt 2 + U 1 dt + аох == f(t) Ьх . (в)
Используя (б), запишем решение уравнения (в):
t
х == (f{t) bx 2 (t)]g(0) + [((т) bX 2 (T)]g'{t 't)d't.
О
(r)
Переходная функция g( t) определяется по линейной части ис
ходноrо нелинейноrо дифференциальноrо уравнения при воздейст
вии на нее I(t). Уравнение (r) является интеrральным уравнением
по типу Вольтерра BToporo рода. Ero можно решать методом после
довательных приближений, полаrая Хо( t) === х(О) и пользуясь таким
соотношением для k ro приближения:
t
xk(t) ==[f(t) bxi l(t)]g(O) + и(T) bxi l('t)]g'(t 't)d't.
о
541
t Е
1
а
,.
"-.i
13
(j
Е
R+R f 1,
й)
б)
Рис. 16.6
Метод имеет смысл при менять только в том случае, коrда про
цесс последовательных приближений является сходящимся.
dx 2
Пример 165. Решить уравнение dt + r == 1 при х(О) === о.
Реш е н и е. Для определения g(t) на линейную часть системы воздействуем
dx , ,
единичным напряжением dt == 1; g(t) == t; g (t) === 1; g(O) == о; g (t т) === 1. 3аписы
ваем рекуррентное соотношение:
t
Xk(t) == (1 4 }(T)]dT;
О
t t t 3
х) == dT === t; Х 2 === (1 T 2 )dT == t
о о
t т 3 2 t 3 2t 5 t 7
Х3 == [1 (т 3) ]dT === t 3" + 15 63 '
о
16.9. Переходные процессы в цепях с терморезисторами. MeTO
дику рассмотрим на примере схемы (рис. 16.6, а). Переходный про
цесс вызван замыканием ключа К. Полаrаем, что температура OK
ружающей среды 8 неизменна. БАХ термистора при температуре
8 представлена на рис. 16.6, б кривой а. Установившийся режим до
коммутации определяется точкой 1, после коммутации точкой 3.
Сразу после коммутации сопротивление термистора (он обладает
большой постоянной времени) остается равным ero сопротивлению
и т
1
до коммутации R п == т. При коммутации изображающая точка
1
скачком перемещается из положения 1 в положение 2. После этоrО
она по некоторой траектории перемещается из 2 в 3. Режим в точке
3 будем полаrать устойчивым (в 3.10 [20] разобрано, как исследо
вать устойчивость этоrо режима). Переходный процесс описывает
ся уравнением тепловоrо баланса
542
e(t)
f( j3Bo)
i
5)
1380 .
Рис. 16.7
dT 2
С Т си + k (Т 8) === 1 R т'
(а)
dT
rде С Т dt теплота, идущая на увеличение теплосодержания тела
термистора; С Т удельная теплоемкость; Т среднеобъемная
абсолютная температура тела термистора; k(T 8) теплота,
отдаваемая в окружающее пространство; J2RT теплота, выделя
емая в термисторе.
Полаrаем, что за время переходноrо процесса k и С Т практиче
ски неизменны. Сопротивление термистора Я Т === ЯООе В / Т (см., Ha
АЕ
пример, [20]); ЯОО сопротивление термистора при Т ----+ 00; В === 2k .
1
rде !J..E усредненная энерrия активации, k 1 постоянная Боль
цмана. Например, для термистора MMT l B===4600k и ЯОО == 5,5 Ом.
Из уравнения (а) следует, что
Т
dT
t == С Т F(7}"
Тl
(б)
Здесь
( Е ) 2 В/Т
F(T) В/Т Rooe k(T 8).
R + Rooe .
Верхний предел интеrрала в (б) изменяется от Тl до тз:
В В и
Т 1 == In(R T /Roo); Тз == ln(R T /Roo); RT3 == J";'
I З
(в)
16.10. Переходные процессы в цепях с управляемыми нелиней-
ными индуктивными элементами.
Типичный представитель TaKoro класса цепей представлен на
рис. 16.7, а. Управляемая цепь образована источником синусои
543
дальной эдс e(t) == Emsin(ffit + (j)), двумя обмотками w нелинейно
ro индуктивноrо элемента, расположенными на двух одинаковых
м аrнитных сердечниках (сечением S, ДJl иной средней м аrнитной
линии [), и резистором сопротивлением R H .
УпраВJlяющая цепь образована источником постоянной эдс
Ео, резистором сопротивлением Ro и двумя обмотками W o , располо
женными на тех же сердечниках. Переходный процесс вызывается
замыканием КJlюча К. При замкнутом К маrнитная индукция в
левом сердечнике равна Bmsinffit + Во, а в правом Bmsinffit Во
(высшие rармоники не учитываем). Амплитуда синусной кuмпонен
ты Вт и «постоянная» состаВJIяющая Во являются медленно изме
няющимися функциями времени, влияющими друr на друrа.
Учитывая направления намотки катушек, замечаем, что пото
косцепление двух обмоток w равно 2wSB m sinffit, а потокосцепление
двух обмоток W o равно 2w o SBo.
Выразим кривую намаrничивания ферромаrнитноrо материала
сердечников rиперболическим синусом Н == ashpB. ИСПОJlЬЗУЯ за
кон полноrо тока и формулы (15.13) и (15.12), запишем первую rap
2al
монику тока: i == chl3Bd jll(jI3Bm)]sin(Ul. MrHoBeHHoe значение Meд
w
ленно изменяющеrося «постоянноrо» тока в цепи управления
. al
lo === shI3Bo1o(jI3Bm). Запишем дифференциальное уравнение для
Wo
MrHOBeHHbIx значений первых rармоник управляемой цепи
2Sw d 2al
d I3Bmsin(Ut + R H ch l3 B d j/,(jI3 B m )]sin(Ut === Emsin«Ut + ЧJ) (а)
13 t w
И дифференциальное уравнение для MrHoBeHHbIx значений цени уп
равления
2Sw o dl3 B o alR o .
d + chI3BoIO(JI3Bm) == Ео.
13 t w o
Учитывая медленность изменения РВ т во времени
( dPB m )
dt «юРВ т , из уравнения (а) получим уравнение (в):
тl3Bmcos(Ut + пchl3Bd jll(jI3Bm)]sin(Ut === EmcosqJsin(Ut + EmsinqJcos(Ut; (в)
(6)
2wS(U 2alR H
т== 13 ,п=== w
Равенство косинусных ком понент ур авнения (в) дает уравнение (r),
а синусных компонент уравнение (д):
тРВт == Е msin<p, (r)
пchPB o [ jJ ,(jPB m )] == Emcos<p. (д)
544
"yE (тf}B m )2
chf}B o === п[ jJ l(jf}B m )] .
По формуле (е) строим зависимость рв т == '( рво) при переходном
проuессе (рис. 16.7,6).
2woS
Обозначим ko == и перепишем уравнение (б) в виде
Р
df}Bo
ko dt === F(f}B o ),
R
s
Возведем (r) и (д) в
ch Bo. Получим
,
,
А
6, 6Z)
H=ff8} t, t l t t, tt t
6} 8} z)
Р....с.16.8
квадрат, сложим и разрешим относительно
(е)
(ж)
alR o
Здесь F(f}Bo) === Ео chf}RoJo(jf}B m ). Из уравнения (ж) определим
Wo
время /, необходимое для нарастания рво от О до текущеrо значения
рво:
t38
°df}B o
t === ko F(f}B ) '
о о
(з) .
Располаrая зависимостью pBo==f1(t), с помощью рис. 16.7,6
получим РВт ==/2(t), а затем, используя формулу
2а! .
''ll == chf3BJ jJ1(jf}B m )], строим оrибающую амплитуд первой
W
I'армоники тока i управляемой uепи 1т ==/з(/) от времени. По
формуле io == shf}BoJo(jf}B m ) определяем зависимость io == f4( t).
Wo
16.11. Переходные процессы в неJlинейных ЭJlектромеханиче-
ских системах. В качестве примера рассмотрим переходный про
цесс в электромаrн те постоянноrо тока (рис. 16.8, а). Сердечник и
подвижная часть (якорь) электромаrнита имеют площадь попереч
Horo сечения S, длину средней маrнитной линии по пути в стали 1.
j" ).11>. (,\ \
545
Масса якоря и rруза т, кривая намаrничивания сердечника и яко
ря Н == f(B) известны (рис. 16.8, 6). Через х обозначим измеНяюЩе
еся расстояние между верхней частью якоря и сердечником. В ис
ходном состоянии х == О. в процессе движения якоря зазор равен
61 х. При притянутом якоре х == 61 62 (62 толщина тонкой He
маrнитной прокладки; она может и отсутствовать, тоrда 62 === О).
Переходный процесс после замыкания ключа К при 1 == О COCTO
ИТ из трех стадий:
1. От t == О до t == '1 при неподвижном якоре (х == О) сила тяrи
возрастает от О до величины, равной весу якоря и rруза, а индукция
от О до В 1 (рис. 16.8,8 и с).
2. За время от t == t 1 до t === 12 якорь притяrивается к сердечнику,
зазор изменяется от х == О до х == 61 62' а индукция от В 1 до
В 2 .
3. При t 12 И неизменном х индукция В возрастает от В 2 до
установившеrося значения ВУ'
Сила тяrи электромаrнита может быть определена как произ
ведение удель'ноrо продольноrо тяжения вдоль маrнитных силовых
линий в воздушном зазоре [оно равно плотности маrнитной энерrии
в единице объема В2/(2110)] на площадь поперечноrо сечения двух
воздушных зазоров 2S:
в 2 B 2 S
F === 2S ==
эм 2110 110 .
По закону полноrо тока, Н 1 + н в2( 61 х) == iw, но Н == f( В), а
В 1 2В
Н в === , поэтому ток i === I(В) + (61 х).
110 w w 110
Процесс описывается двумя совместными уравнениями:
для электрической части системы
dB [ 1 2В ]
wS dt + R w! (B) + wl10 (61 х) == Е,
(а)
(.1
для механической части
'1
d 2 x B 2 S
т + тg === .
d t 2 Ilo
JJJ
(б)
tf!
в первой стадии якорь неподвижен, х == О и нарастание В от О
B 2 s , .
В 1 определяем поуравнению(а), причем == тgи В 1 == VT' s . во
110
второй стадии уравнения (а) и (б) должны быть решены совместНО
на ЦВМ. Стадия закончится, коrда х станет равным 61 62' В
третьей стадии процесс описывается ур авнением (а) при
546
+ Ее
2
инк
R H
ООн
ин
8)
Р....с. 16.9
х === 61 62; Ву определяем из уравнения
Ву Ew
f(By)l + 262 === R .
110
16.12. Переходные процессы в схемах с управляемыми источниками с учетом
их нелинейных и частотных свойств. Схемы с управляемыми источниками осущест
вляют очень часто на ОУ. Выходное напряжение ОУ нелинейно зависит от входноrо
напряжения (рис. 1 .9, а). Эту зависимость можно аппроксимировать rиперболиче
ko
ским TaHreHCOM ивых == th ивх(пунктир на рис. 16.9, а). Частотные свойства caMoro
ОУ определяются ero частотной характеристикой К(jю). Если учитывать в первом
k
приближении только первый доминантный полюс, то К(jю) === 1 ? . Через
f " + Jffi't ви
1 ko
ю, == обозначим частоту, при которой модуль К(jю) уменьшается до , '2 (затуха
т ви V L
ние в 3 дБ). Инерционные свойства ОУ будем описывать некоторой вспомоrательной
цепью, состоящей из источника управляемоrо напряжения, резистора R ви и KOHдeH
aTopa емкостью С ВИ (Т вн === RBHC BH ).
Макрометод описания переходных процессов проиллюстрируем на схеме ин
вертирующеrо повторителя напряжения (рис. 16.9, б). Сиrнал Ее поступает на ин
6ертирующий вход ОУ, сопротивление KOToporo по отношению к заземленному входу
ОУ Rg, а емкость СВХ' Неинвертирующий вход заземлен, поэтому параметры ero не
учитываем. Расчетная схема изображена на рис. 16.9, 8. Вместо сопротивлений на
ней указаны проводимости. Потенциалы узлов 1 и 2 обозначены СРl и СР2' ЭДС на
ko
Выходе ОУ Е ных === т th ue нм' rде ис вм напряжение на конденсаторе С ВМ вспо
моrctтельной цепи.
18*
541
Переменными состояния являются напряжения на конденсаторах ие ВХ ===
== ЧJI и ие вн' Запишем уравнение для вспомоrательной цепи:
d 13 и е вн 1 1 (а)
dt === т 13 и е вн + T 13CfJ l'
вн вн
Составим два уравнения по методу узловых потенциалов относительно CfJI и СР2:
CfJI(pC BX + gg + ge + go) CfJ2g0 === Eeg e ,
ko
CfJlgo + CfJ2(gO + gB + gH) === gBr: thl3ue вн'
(б)
(в)
Из (в) определим
ko
gBI3 thl3ue вн + goCfJI
СР2 ===
gO+gB+gH
(r)
Под ставим СР2 в (б) и заменим РС вх СРl на
thl3ue вн == 13 и е BHf(l3uc вн)' rде
1 2 2 4 17 6
'(13 и е вн) === 1 3<13 и е вн) + f5<l3 u e вн) 315( l3 u e вн) +...
в результате совместно с (а) получим ДВа уравнения относительно 13 и е вн и I3CfJI:
dl3 u e вн) )
dt == т 13 и е вн + т I3CfJI'
вн вн
dCfJl
Свх М'
Затем
запишем
.
.
dl3CfJI pgc
di== al3 u eBH bl3CfJI + е Ее '
ах
Здесь
kol!ol!B 1 r g 1
а === (go + gB + gH)C BX '(13 и с вн)' ь === Свх l gg + ge + go go + gB + gHj' '11
d СР2 JI
При числовых подсчетах М и ток во вспомоrательной цепи схемы не должнЫ
превышать максимальных паспортных значений ОУ, в противном случае парамет
ры схемы должны быть скорректированы.
";.""
16.13. Перемаrничивание ферритовых сердечников импульсами тока. В yCT
ройствах вычислительной техники в качестве запоминающих элементов применяют
миниатюрные ферритовые сердечники различной формы, в частности кольцевые с
внешним диаметром порядка 1 мм из материала с прямоуrольной петлей rистерези
са (ппr). Через отверстия в них пропускают проводники, являющиеся одновитко
выми обмотками (на рис, 16.10, а показан только один проводник), При запиСИ
информации по одному из проводников пропускают прямоуrольный или почти пря
моуrольный импульс тока (рис. 16.10,6) длительностью в несколько десятков HaHO
секунд или микросекунд, Под действием этоrо импульса сердечник перемаrничива
ется, Хотя в ферритовом сердечнике и отсутствуют макроскопические вихревые токи
(в нем нет замкнутых токопроводящих контуров, выполняющих функции вторичных
обмоток трансформатора), перемаrничивается он все же не MrHOBeHHO.
На длительность процесса перемаrничивания сердечника при высоких CKOPO
стях перемаrничивания решающее влияние оказывает маrнитная вязкость, которая
548
.
[,
ф
*
Не
j
J
"
.
J
,
J
н
J
2
е ll
t
1
6}
!)
Р....с.16.10
создает внутреннее поле трения. Последнее зависит от значения и скорости измене
ния намаrниченности, а также от превышения воздействующей напряженности поля
над коэрцитивной силой.
При математическом описании тормозящеrо действия маrнитной вязкости ис
ходят из уравнения
,
"
dJ
НО === Н вн а dt '
(а)
r де НО напряженность поля, при котором происходит перемаrничивание феррита
(' ппr (НО несколько больше коэрцитивной силы Не по статической петле rистере
lиса); НО находят опытным путем для каждоrо типа феррита); Н вн === iw/l напря
женность внешнеrо поля, вызванная током i (w число витков; 1 длина средней
маrнитной линии).
dJ
Член а dt учитывает тормозящее действие маrнитной вязкости. Множитель
1
а === 2 2 ' [де k некоторый коэффициент; J текущее значение намаrни
k( 1 J / J s)
ченности; J s намаrниченность насыщения.
Решим уравнение (а) относительно dF /dt, заменив J на индукцию В, а J s на
индукцию насыщения Bs' Получим уравнение относительно В:
! .
(б)
=== k(l В: ] (Нвн но),
Bs
Это уравнение с разделяющимися переменными. Из (,б) следует, что для пере
Хода из точки 1 в точку 4 (рис. 16.10, в) под действием импульса тока i длительностью
t и должно выполняться соотношение
t.
<
8,
(HBH Ho)dt
о Bs
, ,
( dB В2] М.
k 1
в 2
/' s
t и
Если же (HBH Ho)dt < М, то изображающая точка из положения J после
о
Ilрекращения действия импульса перейдет вточку 2или3или им подобную (конечное
549
t M
состояние зависит от (HBH Ho)dt и амплитуды импульса тока). Из состояния 1 в
о
состояние 4 сердечник может быть переведен и иным путем путем воздейсТВИя На
Hero несколькими следующими друr за друrом импульсами одинаковой полярности
t '
... ,J 11, ..._
для каждоrо из которых (HBH Ho)dt < М. После первоrо импульса рабочая точка
о
перейдет из положения 1, например, в положение 2, после BToporo из положения 2
в положение 3, затем из положения 3 в положение 4.
I
16.14. Фазовая плоскость и характеристика областей ее применения. Качест
венное исследование процессов в нелинейных электрических цепях, описываемых
дифференциальными уравнениями первоrо и особенно BToporo порядков, в Ряде
случаев производят с помощью фазовой плоскости.
Фазовой плоскостью (ФП) называют плоскость, по оси абсцисс которой отКла
дывают исследуемую величину (например, х), а по оси ординат производную от
исследуемой величины dx/dt (обозначим ее у).
В литературе можно встретить и друrие виды фазовых плоскостей, коrда: 1) по
оси абсцисс откладывают какую либо одну величину (например, ток первой ветви),
а по оси ординат друrую (например, напряжение на конденсаторе во второй
ветви); 2) по оси абсцисс откладывают амплитуду синусной составляющей колеба
ния, а по оси ординат амплитуду косинусной составляющей колебания и т. д.
В каждой конкретной задаче под х понимают ток, напряжение, заряд или индук
цию. Любому сочетанию значений х и у исследуемой цепи соответствует вполне
определенная точка ФП.
ДЛЯ качественноrо исследования процессов в электрических цепях, описывае
мых уравнениями TpeTbero порядка, применяют трехмерное фазовое пространство.
На одной оси декартовой системы этоrо п остранства откладывают значение функ
ции х, на друrой dx/dt, на третьей d x/dt 2 .
Качественное исследование это выявление общих свойств исследуемой цепи
без интеrрирования нелинейноrо дифференциальноrо уравнения. Под общими свой
ствами понимают обычно зависимость характера переходноrо процесса от началь
ных условий, возможность возникновения в схеме автоколебаний, резонансных яв
лений, автомодуляции, а также устойчивости перечисленных режимов и режимqв
равновесия.
Эти вопросы в ряде случаев можно решить и иным путем, без привлечения ФП.
Применение последней делает исследование более наrлядным и оправдано в Te
случаях, коrда объем работы соизмерим или меньше объема работы при решеJlUТt
тех же задач иными Методами.
Обычно ФП применяют для исследования процессов в электрических цепях',
содержащих источники постоянной ЭДС и не содержащих источники периодической
эдс. Однако ее можно использовать и для изучения процессов в цепях, содержащих
источники синусоидальной (и постоянной) ЭДС, если предварительно перейти от
уравнений, составленных для MrHoBeHHbIx значении, к уравнениям для медленно
меняющихся составляющих.
16.15. Интеrральные кривые, фазовая траектория и предельный цикл. Зависи
мость у === '(х), получаемая из решения дифференциальноrо уравнения систеМ'bI,
представляет собой семейство кривых на ФП, соответствующих различным значе
ниям постоянных интеrрирования. Кривые у '(х), соответствующие раЗЛИЧНh' М
начальным условиям, называют интеi!ральныlи..
Начальное положение изображающей точки на ФП определяется значенияМИ Х
и у === dx/dt при t О.
Интеrральную кривую, проходящую через точку ФП с заданными начальнЫМИ
условиями, называют фазовой траекторией.
550
6, lg а
,
I I '1
{$x
..
1)
g
х $
и} 11)
а)
IJ
'}
'}
'1
-)
J)
Р....с. 1 6. 11
Вид фазовой траектории зависит от конфиrурации схемы, характера нелиней
ности и соотношения между параметрами.
Если процесс в цепи является периодическим, то через интервалы времени,
равные периоду процесса, соответствующие друr друrу значения х и у повторяются
и фазовая траектория в этом случае является замкнутой кривой. Замкнутую фазо
вую траекторию называют предельныlM ЦUКЛОМ.
Если интеrральные кривые и снаружи и изнутри навиваются на предельный
цикл, то ero называют УСТОЙЧUВЫМ, если удаляются от Hero неустойчuвым. Если
же процесс непериодический, то фазовая траектория представляет собой незамкну
тую кривую.
Фазовую траекторию можно наблюдать на экране электронно лучевоrо осцил
лоrрафа. С этой целью на одну пару отклоняющих пластин ero подают исследуемую
величину х, а на друrую пару производную от х.
,1 t 16.16. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости. Рассмотрим
Несколько простейших примеров.
i' Требуется изобразить на ФП переходный процесс в схеме на рис. 16.11, а,
вызываемый при нулевых начальных условиях замыканием ключа. Обозначим: i
ток в цепи, и с напряжение на конденсаторе. В уравнение цепи Ri + и с == Е вместо
duc
i llOдставим СМ:
du c
RCdi + ис == Е.
:,.
Положим ис == х, duc/dt . у, тоrда у == (Е x)/(RC).
Последнее уравнение опи ывает прямую аЬ (рис. 16.11, 6), которая является
фазовой траекторией рассматриваемоrо процесса (точка Ь точка равновесия).
Рассмотрим изображение на ФП синусоидальноrо колебания i === / msinmt (рис.
16.11, В).
dx
Обозначим i === х, тоrда у === dt == ы/ mcosmt, т. е. х === 1 msinmt,
у == ы! mcosmt.
Разделив первое уравнение на! т' второе на ы/ т' возведя в квадрат получен
551
!I
"
"с
............
L
а)
'.
'1>
бj
Р....с. 16.12
ные выражения и сложив их, получим уравнение эллипса
( ) 2 + ( ) 2 === 1.
[ т ы[ т
СJIедовательно, изображением синусоидальноrо процесса (фазовой TpaeKTO
рией) на ФП является эллипс (рис. 16.11, с).
Направление движения изображающей точки показано стрелкой. В верхней
dx
ПОЛУШlOскости у === dt >0: следовательно, изображающая точка движется в сторону
u dx '
увеличения координаты х. В нижнеи полуплоскости di<O' поэтому изображающая
точка движется в сторону уменьшения координаты х. В целом перемещение изобра
жающей точки на ФП происходит всеrда по часовой стрелке.
16.17. Изоклины. Особые точки. Построение фазовых траекторий. TaHreHc
уrла наклона, образованноrо касательной к интеrральной кривой в некоторой точке
ФП и осью абсцисс, определяет значение dy/dxB этой точке. Совокупность 10чек ФП,
дЛЯ которых dY/udx === const, называют изоклиной. На ФП можно провести множеств.о
изоклин, каждои из которых соответствует свое значение. !
Для всех точек ФП, отражающей процессы в цепи BToporo порядка (кром'е
особых точек), dy/dx имеет вполне определенное значение. В особых точках (ОТ)
dy/dx === О/О, т. е. не определено. Через эти точки может быть проведено множествО
изоклин с различными значениями dy/dx.
ОТ классифицируют по виду интеrральных кривых, окружающих эти точки.
Если ОТ окружена эллипсами (рис. [6.11, д), то ее называют ОТ типа центр; она
соответствует двум мнимым корням характеристическоrо уравнения.
Если ОТ окружена свертывающейся спиралью, то ее называют устойчивыlM
фокусом (рис. 16.11, е); ей соответствуют КОМIlлексно сопряженные корни с отрица
тельной действительной частью.
Если ОТ окружена раскручивающейся спиралью, то ее называют неустойчивым
фокусом (рис. 16.1 [, ж); ей соответствуют комплексно сопряженные корни с поло
жительной действительной частью. I
Если корни отрицательные и действительные, то ОТ называют устойчивыМ
узлом (рис. [6. [1, з). При положительных действительных КОрНЯХ получают ОТ типа
неустойчивосо узла (рис. 16.11, и). Коrда один корень положитеJlен, а друrой отрица
телен, имеем ОТ типа седла (рис. 16.1 [, к).
Рассмотрим [Jерсходный процесс в схеме на рис. 16.12, а, вызываемый замыкани
ем ключа при нулевых нача.ПЬНЫХ условиях: Е === 1 В; R === 1 Ом; L == [ rH; с == [ Ф.
552
4
t
!
i+1
а)
8
"'11
о
8
б)
/2 lJ+U k Ш r
Р....с.16.13
Построим семейство ИЗОКJIИН дЛЯ напряжения на конденсаторе ис. Определим
положение и тип ОТ. Построим фазовую траекторию переходнOI'О процесса.
d ( dUC ) . duc duc
В уравнении цепи LCd"t + ЯС м + ис === Е заменим ис на х, на у,
d dy dx dy .
y на === y и учтем, что L == R === С === Е === 1. Решим уравнение
dt dx dt dx
dy
у dx + у + х === 1 относительно у и dyjdx:
l x
у == 1 + dyjdx;
dy 1 х у
dx У
. r
(а)
1"
,(6)
, Из уравнения (б) следует, что координаты особой точки у === О, х === 1. Последо
вательно придавая dyjdx значения О, 1,2, ..., 1, 2, 00, строим семейство изоклин
(рис. 16.12, б). Все изоклины проходят через ОТ и представляют собой прямые линии
(цепь линейна). Масштабы по осям х и у приняты одинаковыми. Черточки на каждой
( изоклине характеризуют значение dyjdx ДJJЯ нее.
1 ( dUC )
j Так как х(О) == ис(О) == О и у(О) == dt о == О, то к началу процесса изображаю
щая точка находится в начале координат. В установившемся режиме х === 1 и у === О.
ДЛЯ построения интеrральной кривой из исходной точки х === у === о проводим два
луча до пересечения с изоклиной dyj dx === 1 в точках т и п: Первый JlУЧ соответствует
значению dyjdx == 00 той изоклины, с которой начинается движение, второй зна
dy 1 u u Д
чению dx == следующеи изоклины, на которую точка переидет. елим расстояние
тп пополам и проводим через исходную и полученную точки плавную кривую
кусочек фазовой траектории. Продолжаем аналитический процесс далее и строим
всю фазовую траекторию в виде свертывающейся спирали.
ОТ в примере является устойчивым фокусом. Время в явном виде на фазовой
плоскости не отражено.
, dx I
Временные зависимости х == f(t) по фазовой траектории у === dJ == ЧJ(Х) ПОJlуча
553
, Х dx
ют по формуле t == ( ) ' rде хо начальное значение, а х текущее. В OKpeCTHO
Х (j) Х
о
сти точки пересечения кривой с осью абсцисс подынтеrральное выражение стремит
ся к бесконечности. Чтобы избежать планиметрирования площади под кривой, yxo
дящей в бесконечность при (j)(x}-+O, подсчет времени !!! на этом участке производят
по средней скорости ЧJср(х) === !!x/<rcp(x).
Пример 166. Рассмотреть колебательный процесс в схеме на рис. 16.13, а. Б этой
схеме L == 1 [н; с === 1/3 Ф, БАХ нелинейноrо резистора i + J == f(u + и к ) изобра
жена на рис. 16.13, 6. Ток источника постоянноrо тока J == 7 А. ВАХ относительно
переменных составляющих тока i и напряжения u на резисторе получена переносом
начала координат в точку J == 7 А. Эта ВАХ состоит из трех участков. На участке
1 u == i (1 i I 3), на участке 11 u == 3i 12 (i>3), на участке 111 u == 3; + 12 (i>3).
Обозначим переменную составляющую заряда конденсатора q == х. Учтем, что CYM
ма падений напряжений для переменных составляющих
di q
UR + uL + ис == u R + Ldi + с == О,
(а)
1'ОК
} \
. dq di d dy dx dy
t === == У' === y == == ау' а ==
dt ' dt dt dx dt ' dx'
Подставим соответствующие эквиваленты в (а) и запишем уравнение изоклин
3х 12 3х
на каждом из участков: на участке 1 у === 1 а' на участке 11 у === 3 + а 3 + а' на
12 3х
участке 111 у == 3 3 '
+а +а
в соответствии с этими уравнениями строим на рис. 16.13, в семейство изоклин
для каждоrо из участков. Изоклины являются отрезками прямых. Значения а напи
саны рядом с соответствующей изоклиной. Жирной линией показан предельный
цикл.
Вопросы дпJl самопроверки
1. Охарактеризуйте известные вам rруппы методов расчета переходных процес
сов в нелинейных цепях. 2. Укажите, в чем положительные и в чем отрицательные
стороны расчетов по MrHoBeHHbIM значениям и по оrибающим первых rармоник,
rрафоаналитических и аналитических методов. 3. Почему метод расчета, OCHOBaH
ный на rрафическом подсчете Оllределенноrо интеrрала, неприменим даже для цe
пей первоrо порядка, если вынуждающая сила является функцией времени? 4.
Почему метод интеrрируемой нелинейной аппроксимации не удается применить к
электрическим цепям, описываемых уравнениями BToporo и более высоких поряд
ков? 5. Чем физически можно объяснить, что при подключении линейной RL цепи к
источнику синусоидальной ЭДС максимальное значение тока при переходном про
цессе не может превысить удвоенноrо значения амплитуды тока установившеrося
режима, тоrда как при подключении цепи резистор индуктивная катушка с нелИ
нейной ВАХ к источнику синусоидальной ЭДС это превышение может быть во MHoro
раз больше? 6. Сформулируйте особенности расчета переХОДНblХ процессов в нели
нейных системах не чисто электрических, например электромеханических. 7. На
примере цепи с термистором покажите, что бывает полезно подразделить переход
ный процесс на быстро и на медленно протекающие стадии и рассматривать их
раздельно. 8. Б чем идея метода малоrо параметра? 9. Запишите и прокомментируй
те рекуррентное соотношение, являющееся решением нелинейноrо интеrральноrо
уравнения. 10. Охарактеризуйте идею метода медленно изменяющихся амплитуд.
11. Как расчетным путем учитывают маrнитную вязкость при перемаrничивании
554
ферритовых сердечников импульсами тока? 12. Дайте определение фазовой плоско
сти, интеrральной кривой, фазовой траектории, предельноrо цикла, изоклины, oco
бой точки. 13. По какому признаку классифицируют особые точки? 14. Как по фазо
вой траектории у == {(х) построить временную зависимость x(t)?
rnaBa семнадцатая
ОСНОВЬ! ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕЖИМОВ
РА&ОТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
17.1. УСТОЙЧИВОСТЬ «В малом:ь и «В большом:ь. Устойчивость по
Ляпунову. Режим работы электрической цепи, содержащей нели
нейные элементы, может быть устойчивым или неустойчивым. Как
правило, режим работы большинства электрических цепей являет
ся устойчивым и в значительно меньшем числе случаев неустой
чивым.
Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в боль
шом».
Под устойчивым режимом работы «8 малом» понимают такой,
при котором достаточно малое отклонение режима работы от ис
ходноrо (установившеrося) независимо от Toro, какими причина
ми оно вызвано, с течением времени уменьшается и система воз
вращается в исходное состояние.
При неустойчивом режиме работы «в малом» достаточно малое
отклонение с течением времени увеличивается и система не возвра
щается в исходное состояние. н
у СТОЙЧИ8blМ режимом работы «8 большом» называют такой pe
жим работы, при котором система, получив достаточно большое
начальное отклонение, возвращается в исходное состояние после
прекращения действия возмущения.
Если при достаточно большом отклонении от исходноrо состоя
ния после прекращения действия возмущения система не возвра
щается в исходное состояние, то ее называют системой, неустойчи
вой «в большом».
Различие между устойчивостью «в малом» и устойчивостью «в
большом» можно проиллюстрировать с помощью рис. 17.1, а. На
этом рисунке изображены желоб с помещенным в нем шариком.
Если шарик толкнуть так, что он переместится из положения 1 в
If€)
.»
1)
Р....с. 17.1
555
положение 2, а затем предоставить ero себе самому, то под дейст
вием силы тяжести шарик возвращается в исходное положеНие
(положение равновесия). Если шарик толкнуть с большей силой, то
он пройдет через положение 3 и выскочит из желоба. Таким обра
зом, система (рис. 17.1, а) устойчива «в малом» и неустойчива «в
большом».
В литературе можно встретить также термин «устойчивость ПО
Ляпунову». Системой, устойчивой по Ляпунову, называют систему,
для которой можно указать область допустимых отклонений [об
ласть 6(в) на рис. 17.1, б] от состояния равновесия (точки О), дЛЯ
которой ни одно из движений, начинающихся внутри области 6,
никоrда не достиrнет rраниц некоторой заданной области в.
Размер и форма области 6 зависит от размера и формы области в.
В нелинейных электрических цепях в общем случае возможны
следующие режимы (типы движения): 1) состояние равновесия; 2)
периодическое движение при отсутствии в системе источников пе
риодической ЭДС (тока) автоколебания; 3) периодическое дви
жение с частотой источника периодической ЭДС (тока) вынуж
денные колебания; 4) резонансные явления на высших, низших и
дробных rармониках; 5) квазипериодические (как бы периодиче
ские) процессы по типу автомодуляции, а также ряд друrих, более
сложных типов движений. Каждый из этих режимов (типов движе
ний) может быть исследован на устойчивость.
В большинстве практических задач производят исследование
устойчивости «в малом». Исследование устойчивости «в большом»
производят путем анализа хода интеrральных кривых на фазовой
плоскости или путем использования BToporo метода Ляпунова. Oc
новы теории устойчивости были разработаны крупнейшим русским
математиком А. М. Ляпуновым в 1892 r. и изложены в ero книrе
«Общая задача об устойчивости движения».
17.2. Общие основы ИССJlедования устойчивости «в маJlОМ».
Общие основы исследования устойчивости «в малом» применимы
ко всеМ или почти ко всем известным в настоящее время типам
движения. В каждом конкретном случае возможны некоторые oco
бенности при применении общих принципов.
Для исследования устойчивости исследуемой величине х (вели
чинам) дают малое приращение /).х, развертывают уравнение, опи
сывающее процесс, в ряд по степеням малоrо приращения /).Х и
ввиду малости /).Х отбрасывают все члены ряда, содержащие /).Х в
степенях выше первой.
В полученном уравнении (уравнениях) выделяют слаrаемые,
содержащие /).Х и производные от /).Х по времени, и образуют из них
дифференциальное уравнение (уравнения) относительно /).х. YpaB
нение относительно x алrебраизируют, получают характеристиче
ское уравнение и определяют ero корни.
Если хотя бы один корень характеристическоrо уравнения полО
556
жителен или положительна действительная часть комплексно со
пряженных корней, то это свидетельствует о том, что возникшее
приращение Ах будет не убывать, а возрастать во времени, т. е.
исследуемое движение является неустойчивым. .
Если же все действительные корни характеристическоrо ypaB
нения отрицательны, а все комплексно сопряженные корни имеют
отрицательную действительную часть, то исследуемое движение
является устойчивым.
Характеристическое уравнение, составленное относительно
приращения Ах:
для системы BToporo порядка
а о р2 + а 1 р + а 2 == о;
I
I
/
для системы TpeTbero порядка
. аорз + alP2 + а 2 р + аз == о.
Для суждения о характере корней характеристическоrо ypaBHe
ния разработано несколько математических критериев. Воспользу
емся критерием rурвица (Рауса rурвица). j
Критерий (теорема) rурвица состоит в следующем: для Toro
чтобы действительные части корней характеристическоrо ypaBHe
ния были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы все
диаrональные миноры (A 1 , А 2 , .. .,А п 1) определителя rурвица (А п )
были больше нуля.
Определитель rурвица
а 1 аз аБ " о О
ао а2 а4 .., о
.
I1 п == О аl аз . - о О
'.
.,. о'. .,. .,. а п
Следовательно, условия отрицательности действительных час
тей корней характеристическоrо уравнения выражают следующим
образом:
I аl аз
111 а 1 >0; 112 === === a 1 a 2 аоаз>О;
ао а2
,!.
.' !
аl аз а5
113 == ао а2 а4 >0 и Т. д. .
о а 1 аз
Определитель rурвица А п составляют так:
1) по rлавной диаrонали определителя в порядке возрастания
индексов вписывают коэффициенты от а 1 до а п ;
2) в ту часть каждоrо столбца, которая расположена выше rлав
ной диаrонали, записывают коэффициенты в порядке возрастания
индексов;
3) в ту часть каждоrо столбца, которая расположена ниже rлав
557
ной диаrонали, вписывают коэффициенты в порядке уменьшения
индексов (до а о включительно).
Следствием теоремы rурвица является лемма: все коэффuциен
ты характеристическоС?о уравнения (а о , a 1 , а 2 ,. . . ,а п ) устойчивой cиc
темы положительны.
Из изложенноrо вытекает, что для системы с характеристиче
ским уравнением BToporo порядка положительные вещественные
корни (или комплексно сопряженные с положительной действи
тельной частью) имеют место в том случае, если какой либо из
коэффициентов уравнения (а о , a 1 , аз) окажется отрицательным. Для
системы с характеристическим уравнением TpeTbero порядка поло
жительные вещественные корни (комплексно сопряженные с поло
жительной действительной частью) будут в том случае, если: а)
какой либо из коэффициентов (а о , a l , а 2 , аз) окажется отрицатель
ным; б) a 1 a 2 аоаз<О.
Аналоrичные заключения MorYT быть сделаны и для систем с
характеристическими уравнениями более высоких порядков.
Коэффициенты а о , a 1 , а 2 , ... MorYT оказаться отрицательными в
следующих основных случаях:
а) коrда в состав исследуемой на устойчивость системы входят
нелинейные резисторы, обладающие падающим участком xapaKTe
ристики, а точка равновесия оказывается на падающем участке
характеристики;
б) в схемах с чрезмерно большим воздействием выходной вели
чины на входную (в схемах с чрезмерно большой положительной
обратной связью). В этом случае поступление энерrии из выходной
цепи во входную превышает потребление энерrии во входной цепи
и приращение X возрастает;
в) в схемах с управляемыми нелинейными индуктивными Ka
тушками (нелинейными конденсаторами) при наличии неявно (в
некоторых случаях и явно) действующих обратных связей. В таких
схемах обратные связи при определенных условиях приводят к по
явлению на характеристиках нелинейных индуктивных катушек
(нелинейных конденсаторов) падающих участков. Режим работы
системы может оказаться неустойчивым, если изображающая точ:
ка окажется на падающем участке характеристики управляемои
нелинейной индуктивной катушки (нелинейноrо конденсатора).
17.3. ИССJlедование устойчивости состояния равновесия в систе-
мах с постоянной вынуждающей СИJlОЙ. Коrда рабочая точка по
постоянному току окажется на падающем участке ВАХ, то состоя
ние равновесия в системе при определенных условиях может OKa
заться неустойчивым.
В этом случае применяется известный способ: при исследо
вании устойчивости нелинейный резистор заменяют расчетной
схемой схемой замещения. Она ДОJIжна учитывать свойства
558
[п
{
Сп
i
"
"
Il
11)
1)
6)
е)
Р....с. 17.2
HP как при медленных (при ю----+--О), так и при быстрых (при ю----+--оо)
малых приращениях тока и напряжения на нР.
Свойства HP при ю----+--О определяются самой ВАХ нР, снятой при
постоянном токе, на падающем участке которой дифференциаль
ное сопротивление R диф < о.
Если к HP подвести некоторое постоянное напряжение или че
рез Hero пропустить некоторый постоянный ток TaKoro значения,
чтобы рабочая точка находилась на падающем участке ВАХ, и
затем воздействовать на HP синусоидальным напряжением или
током малой амплитуды, то сопротивление Z(jffi), оказываемое HP
синусоидальной составляющей малой амплитуды, будет представ
лять собой комплексное число. Опыт показывает, что при достаточ
но большой ffi действительная часть этоrо сопротивления оказыва
ется положительной, т. е. Re Z(jffi» О. Объясняется это тем, что
физические процессы в самом HP являются процессами инерцион
ными, причем инерционность (сдвиr фаз) сильнее проявляется с
ростом частоты.
В одних HP инерционность вызвана тепловыми процессами, в
друrих процессами накопления энерrии в электрическом и (или)
маrнитном полях, в третьих процессами ионизации и деиониза
ции (которые также протекают не MrHOBeHHO), в четвертых инер-
ционностью процессов диффузии носителей тока и емкостью, обус
ловленной объемными зарядами. Но чаще Bcero инерционность
есть следствие нескольких взаимно связанных друr с друrом про
Цессов.
Таким образом, схема замещения нР, коrда точка равновесия
находится на падающем участке характеристики, по отношению к
малым приращениям должна быть такой, чтобы при
ю----+--О ReZ(jffi) === R диф <О, а при Ю----+--ОО ReZ(jffi »0.
На рис. 17.2, а изображена одна из возможных схем замещения
дЛЯ HP с S образной ВАХ (рис. 17.2, б), удовлетворяющая перечис
ленным условиям. В этой схеме Ln некоторая малая индуктив
ность, которую часто называют «паразитной», R доб > I R диф I > О
некоторое добавочное активное сопротивление.
На рис. 17.2, в изображена одна из возможных схем замещения
дЛЯ HP с N образной ВАХ (рис. 17.2,2), rде Сп некоторая малая
559
емкость, называемая часто «паразитной», И R доб '> О некоторое
добавочное активное сопротивление. Параметры Ln и R доб , а также
Сп и R доб ' зависят от физических процессов в HP и изменяются при
переходе из одной точки на падающем участке ВАХ в друrую.
17.4. ИССJlедование устойчивости аВТОКОJlебаний и вынужден
ных КОJlебании по первой rармонике. Исходными при исследовании
устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний обычно яв
ляются уравнения, получаемые по методу медленно меняюш.ихся
амплитуд (см. 16.6). Однако в тех случаях, коrда напряжение на
каком либо элементе (ток в исследуемой цепи) резко отличается по
форме от синусоиды, например имеет пикообразную форму, иссле
дование устойчивости целесообразно проводить по средним за пол
периода значениям величин.
Если через а и Ь обозначить медленно меняющиеся амплитуды.
синусной и косинусной состаВЛЯЮIДИХ исследуемоrо колебания, то
из исходных уравнений системы можно получить два уравнения для
медленно меняющихся амплитуд:
";.. da/ dt == А(а, Ь);
" '
db/dt == В(а, Ь).
. .: ":. 1
(17.1)
( 1 7.2)
Здесь А и В являются функциями амплитуд а и Ь, функциями
параметров схемы, уrловой частоты колебаний ffi и амплитуды BЫ
нуждаЮlдей силы. Обозначим значения а и Ь в установившемся'
режиме (коrда амплитуды не изменяются во времени) через а о и Ь о .
Для определения а о и Ь О в (] 7.1) и (17.2) следует положить
da/ dt == О и db / dt == О и решить систему уравнений:
А( а о , Ь о ) == о;
В( а о , Ь о ) == О.
. '.
(17.3 )
(17.4 )
'f ... .... (,
Пусть в результате возмущения амплитуды колебания получи
ли малые приращения да и f1b и стали равными: а == а о + f1a и
Ь == Ь о + 6.Ь.
Подставим эти значения а и Ь в (17.1) и (17.2), разложим
А(а о + f1a, Ь о + f1b) и В(а о + да, Ь о + f1b) в ряд Тейлора по м алым
приращениям f1a и дЬ, в силу малости приращений оrраничимся
слаrаемыми ряда с первыми степенями f1a и дЬ. В результате по
лучим: "
А(а о + да, Ь О + ДЬ) == А(а о , Ь о ) + даА 1 + f1bB 1 ,
В(а о + f1a, Ь О + дЬ) == В(а о , Ь о ) + 6.аА 2 + f1bB 2 .
( 17.5)
(17.6)
Для сокращения записи обозначено:
А === [ дА(а, Ь) ] . В === [ дА(а, Ь) ] .
1 да' 1 дЬ '
,У у
(17.7)
560
А == [ дв(а. Ь) ] "В === [ дв(а. Ь) ]
2 да '2 дЬ " '.
11 У
Индекс у свидетельствует о том, что в частные производные
должны быть подставлены значения а и Ь установившеrося режи
ма, т. е. а о и Ь о .
. Коэффициенты A 1 , BI' А2' В 2 являются функциями а о и Ь о , но не
являются функциями приращений l1а и I1Ь. Подставим правые ча
сти (17.5) и (17.6) в (17.1) и (17.2), учтя при этом (17.3) и (17.4), а также
ТО,что
(17.8 )
d(ao + a)
dt
dAa
=="dt и
d(b o + АЬ)
dt
dAb
dt .
,
.,
/' '
в результате получим два уравнения:
df1a/ dt === А Il1a + в lf1b;
df1b / dt == А 2 11а + B 2 f1b.
(17.9)
(17.10)
Алrебраизируем их:" \, "'.\
pf1a === А lf1a + в lf1b;
,. " 'i"' '\" pf1b === A 2 f1a + B 2 f1b.
(17.9a)
,i., " (17.10б)
. ;-' , .
" l' \
.,'
Составим характеристическое уравнение
"'" р2 + тр + q === О,
-'f'
,..
(17.11)
rде'
.' ,
- )"l
;-" '" ."
, .'
.' "' .
т === (А, + А 2 );
q == AIB2 BIA2'
(17.12)
(17.13)
в соответствии с критерием rурвица для затухания прираще
ний f1a и f1b необходимо, чтобы
т>О, q>O.
.'
(17.]4)
в автоколебательных системах периодические вынуждающие
силы, как правило, отсутствуют, поэтому можно принять Ь === О, т. е.
взять колебание в виде а(t)siпmt (см. пример 164). В этом случае
вместо двух уравнений (17.9) и (17.] О) будет одно уравнение
df1a/dt === A 1 f1a, (17.15)
rде
А, [ d: a1 ao
(17.16)
..
Для устойчивости автоколебаний в этом случае необходимо BЫ
полнение условия AI< О. "". , .
561
R
к
а}
6)
l
Е
R
R
l
с
и НР /l Е и
"
Е
8) Z} а)
'Р....с.17.3
Пример на исследование устойчивости автоколебаний по фор
муле (17.15) см. в 17.61.
J 7.5. Исследование устойчивости состояния равновесия в reHepaTope релакса-
ционных колебаний. Релаксационные колебания представляют собой автоколеба
ния, при определенных условиях возникающие в нелинейных электрических цепях с
одним накопителем энерrии, например в цепи с одним конденсатором (без индуктив
Horo элемента) или одним индуктивным элементом (без конденсатора).
На рис. 17.3, а изображена принципиальная схема reHepaTopa релаксационных
колебаний. Она состоит из источника постоянной эдс Е, линейноrо резистора сопро
тивлением R, конденсатора емкостью С и параллельно соединенноrо с ним нелиней
Horo резистора, имеющеrо БАХ S образной формы.
В качестве HP с такой ВАХ MorYT быть взяты неоновая лампа или тиратрон. На
рис. 17.3, 6 дана схема reHepaTopa с неоновой лампой. Кривая 1 (рис. 17.3, в) пред
ставляет собой ВАХ неоновой лампы, прямая 2 ВАХ R.
Если бы не было релаксационных колебаний, то режим работы определился бы
точкой т пересечения кривой 1 и прямой 2. Для этой точки сумма падений напряже
ний на HP и R в соответствии со вторым законом Кирхrофа равна эдс Е:
iR + UHR === Е.
Точку т будем называть точкой равновесия. Она определяет режим работы
схемы при прохождении по R и неоновой лампе постоянноrо тока.
Убедимся в том, что режим работы, определяемой точкой т, является неустой
чивым: достаточно ничтожно малоrо отклонения от состояния равновесия, чтобы
изображающая точка «ушла» ИЗ точки т и не возвратилась в нее. В схеме возникнут
релаксационные колебания.
Для Toro чтобы убедиться в неустойчивости состояния равновесия, составим
линейную схему замещения релаксационноrо reHepaTopa.
Так как HP имеет S образную ВАХ, то в схеме для исследования устойчивости
оно имитировано (в соответствии с 17.3) дифференциальным сопротивлением R диф
и последовательно с ним включенной малой паразитной индуктивностью L п , зашун
тированной резистором сопротивлением R доб .
IИсследование устойчивости вынужденных колебаний на высших rармониках и
субrармониках, процессов в цепях с переменными во времени параметрами, а также
исследование устойчивости процессов автомодуляции даны, например, в [20] .
562
и с
UJ
ид
R
ЦL
i
а)
t
lJ r
,4-
I
.
I
I
J
UJ
б)
{,мА
II
о
0,2
6)
Рис. 17.4
11.
"
Рис. 17.5
Дифференциальное сопротивление RдиФ. в точке т пропорционально TaHreHcy
уrла а(рис. 17.3, в) и является отрицательной величиной.
Источник ЭДС в схеме замещения (рис. 17.3, с) не включен, так как исследуется
поведение схемы в режиме приращений по отношению к режиму, определяемому
точкой т. .
Входное сопротивление схемы в операторной форме относительно точек а и Ь
RдобрL л R ' ,
Zab(P) == R диф + R доб + рL л + RCp + 1.
Характеристическое уравнение цепи
р2LпСR(RДОб + R диф )+ р[Lп(R+R Доб + R диф ) + СRRдоБRдиф]+RдоБ(R + R диф ) === О.
Так как рабочая точка находится на падающем участке ВАХ НР, то R> I Rдифl
и поэтому свободный член положителен. Из условия ReZ(jro»O при (() OO следует,
что R доб > 1 R диф 1, поэтому коэффициент при р2 тоже положителен. Состояние paBHO
весия будет неустойчивым, если коэффициент при р окажется отрицательным, т. е.
при Ln(R + R доб + R диф ) + СRRДОБRдиф<О,
Рассмотрим последовательность смены состояний при релаксационных колеба
ниях. ;\ '
Пусть в схеме (рис. 17.3, 6) при нулевых начальных условиях замыкается ключ
К. Конденсатор С начнет заряжаться, и напряжение на нем будет расти (рис. 17.4,
а). Так как конденсатор и неоновая лампа нл включены параллельно, то в любом
режиме работы напряжения на них одинаковы. Как только напряжение на KOHдeH
саторе возрастает до значения, paBHoro напряжению зажиrания Uз неоновой лампы,
последняя зажжется и ток в ней возрастет от нуля до i4 (рис. 17.4, 6). Конденсатор
быстро разрядится через нл, внутреннее сопротивление которой мало по сравнению
с сопротивлением R. При этом изображающая точка на БАХ нл переместится из
точки 4 в точку 1. Б точке 1 напряжение на нл равно напряжению ее rашения и р
поэтому неоновая лампа "аснет и ток Б ней становится равным нулю (точка 2). Далее
конденсатор вновь заряжается до напряжения Uз, нл снова зажиrается и процесс
повторяется.
Траектория движения изображающей точки на рис. 17.4,6 образует замкнутую
петлю 1234/.
Следует подчеркнуть, что если условия возбуждения колебаний в схеме выпол
нены, то амплитуда колебаний напряжения на конденсаторе не зависит от наrрузки
R и ЭДС Е, а определяется только напряжениями зажиrания Uз и rашения U r нл.
563
Период колебаний равен сумме времени зарядки и разрядки конденсатора и зависит
от ЭДС Е, емкости С, сопротивления и BHYTpeHHero сопротивления нл. Обратная
связь в схеме находит свое выражение в том, что конденсатор управляет режимом
работы нл.
Б заключение заметим, что если в схеме на рис. 17.3, б ЭДС Е и сопротивление
R взять такими, что БАХ резистора сопротивлением R пересечет БАХ нР с S образ
ной характеристикой в трех точках (/, 2, 3, на рис. 17.3, д), то точки 1 и 3 будут
соответствовать устойчивым состояниям, а точка 2 начиная с HeKoToporo значения С
неустойчивому.
17.6. Исследование устойчивости периодическоrо движения в ламповом reHe
раторе синусоидальных колебаний. Рассмотрим вопрос об исследовании устойчиво
сти синусоидальных колебаний в ламповом [енераторе (см. рис. 16.5). С этой целью
воспользуемся формулами (16.19) и (16.24).
Б соотвеrствии c(16.24) производная от аМIIЛИТУДЫ колебаний
da 2
dt == А(а) === 0,5ak l (1 0,25а ).
Б установившемся режиме работы амплитуду колебаний обозначим ао. Для
da 2
определения ао приравняем dt нулю и решим уравнение 1 о,25а о == О. Отсюда
ао == 2.
Б соответствии с 17.4 для исследования устойчивости периодическоrо движе
ни asinoot в автоколебательной системе, на которую не воздействует внешняя пери
dA(a)
одическая сила частотой 00, достаточно найти знак производной da при а === а о .
dA(a)
ЕСJIИ при этом da <О, то процесс устойчив. Б нашем случае
( dA(a) ) ===
da k l .
ао == 2
Ранее (см. уравнение (16.21)] было выяснено, что а' M>RC и k1>0, так как
только в этом случае амплитуда КОJlебаний представляет собой вещественную вели
чину. Следовательно, ( d a) ) <О процесс устойчив.
а == ао
17.7. ИССJlедование устойчивости работы ЭJlектрических цепей,
содержащих упраВJlяемые источники напряжения (тока) с учетом
их неидеаJlЬНОСТИ. В этом случае следует учитывать: 1) что управ
ляющие напряжения или токи управляемых источников зависят от
структуры схемы, комплексной частоты р и числовых значений эле
ментов схемы; 2) что управляющая способность самих источников
тока или напряжения зависит от р (например, для операционноrо
ko КО
усилителя и транзистора К === 1 или К=== ( ) (1 ) .
+ рт 1 +p't l +РТ2
Порядок исследования: 1. Составляем схему замещения иссле
дуемой цепи, указываем на ней внутренние сопротивления неуп
равляемых и управляемых источников и токи и напряжения, KOTO
рыми они управляются. Учитываем выходные сопротивлениЯ
управляемых источников. 2. Составляем выражения для управля
564
ющих токов и напряжений в функции потенциалов незаземленных
узлов, параметров схемы и частоты р. 3. Учитываем заВИСИМОСТl,
К == '(р). 4. Составляем систему уравнений по методу узловых по
тенциалов подобно тому, как это было в 15.33 (но jш заменено на
р). 5. Составляем rлавный определитель системы и приравниваем
ero нулю. Об устойчивости судим по характеру корней. Степень
характеристическоrо уравнения определяется числом энерrоемких
элементов, независимо накапливающих энерrию, с учетом полюсов
у каждоrо из имеющихся в схеме частотно зависимых управляе
мых источников. Перечисленные условия минимальны. В HeKO
торых случаях необходимо при исследовании устойчивости учиты
вать не только первый доминантный полюс ОУ или транзистора, но
и остальные полюса.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение системы, устойчивой «в малом», «в большом» и устойчивой
по Ляпунову. 2. Изложите общие основы исследования устойчивости «в малом». 3.
При выполнении каких условий можно ожидать неустойчивOI'О режима работы элек
трической цени на постоянном токе? 4. Может ли быть неустойчивым режим вынуж
денных колебаний? режим автоколебаний? 5. Сформулируйте критерий rурвица. 6.
Как по коэффициентам характеристическOI'О уравнения, составленноrо для малых
приращений, можно судить об устойчивости системы? 7. В каких I'руппах электри
ческих цепей можно ожидать неустойчивых режимов работы? В. Изобразите схемы
замещения HP с s и N образной ВАХ дЛЯ исследования устойчивости, КОI'да изобра
жающая точка оказывается на падающем участке ВАХ этих элементов. Покажите,
что для этих схем ВЫIIОЛНЯЮТСЯ условия ReZ(jffi)ro O<O и ReZ(jffi)ro oo>O. 9. Какие
физические процессы в нелинейных резисторах MOI'YT учитывать LfJ и R дQб В схеме
замещения на рис. 17.2, а и Сп и R доб ' В схеме замещения на рис. 17.2, в 10. Для
режима автоколебаний в схеме на рис. 17.3, б постройте одну под друrой зависимости
И с , i c , i R , i в функции времени {. 11.. Воспользовавшись выкладками, приведенными
в 17.5, определите минимальные значения емкости конденсатора С в схеме на рис.
17.3, б, меньше KOTOpOl'O положение равновесия устойчиво, несмотря на то что точка
равновесия (точка т на рис. 17.3, в) находится на падающем участке ВАХ НР. 12.
Покажите, что состояние равновесия в схеме на рис. 17.3, б, соответствующее точке
2 на рис. 17.3, д, нри определенном услонии неустойчиво, а соответствующее точкам
1 и 3 устойчиво. 13. Изложите идею исследования устойчивости вынужденных
колебаний и автоколебаний. 14. Сформулируйте алrоритм исследования устойчиво
сти работы электрической цепи, содержащей управляемые источники напряжения
или тока. 15. На рис. 17.5, а изображена схема reHepaTopa на туннельном диоде. ВАХ
диода дана на рис. 17.5, б: Е === О,зв, R === 5 Ом. Построить кривые i, Ид, ИL В функции
времени при автоколебаниях. Вывести формулу для значения L, начиная с KOTOpOl'O
возникнут автоколебания, воспользовавшись схемой замещения (рис. 17.2, в). (OT
вет: L> I Сп(R + Rдоб')(Rдиф R доб ') 1). ..
rпaBa восемнадцатая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ВО ВРЕМЕНИ ПАРАМЕТРАМИ
18.1. ЭJlементы цепей. Электрические цепи с переменными во
времени параметрами это электрические цепи, в состав которых
входят резистивные, индуктивные и емкостные элементы, изменя
565
1;
\ J} f
JL'
У
Il)
"
1)
t)
Рис. 18.1
ющиеся во времени (если в состав цепи входит хотя бы один изме
няющийся Во времени элемент, то она принадлежит к рассматри
ваемому классу цепей).
Уrольный микрофон пример изменяющеrося во времени pe
зистивноrо элемента (рис. 18.1, а). Сопротивление ero является фун
кциеЙ звуковоrо давления, оказываемоrо мембраной на порошок
rрафита. Индуктивная катушка с незамкнутым ферромаrнитным
сердечником, который выдвиrается из катушки и вдвиrается в нее
(рис. 18.1, б), пример переменноrо во времени индуктивноrо эле
мента. Конденсатор, пластины KOToporo раздвиrаются и сдвиrают
СЯ, Не соприкасаясь (рис. 18.1, в), пример eMKocTHoro элемента,
изменяющеrося во времени. Две индуктивные катушки Ll и L 2 (рис.
18.1,2), взаимное расположение которых меняется во времени (Ha
пример, если одна из них враlцается BOKpyr своей оси, перпендику
лярной рисунку), пример взаимной индуктивности, меняющейся
во времени.
Изменение параметров цепи во времени может происходить под
действием внешней механической силы или чисто электрическим
путем. . t
Параметр цепи может изменяться во времени периодически и
непериодически. Рис. 18.2, а в иллюстрирует несколько различ
ных периодических законов изменения параметров.
18.2. Общие свойства ЭJlектрических цепей. Несмотря на то что
цепи с переменными по времени параметрами являются линейны
ми цепями (описываются линейными дифференциальными ypaBHe
ниями), они обладают свойствами, сближающими их с нелинейны
ми цепями.
Переменные во времени элементы цепи подобно нелинейным
элементам являются rенераторами высших rармоник тока и напря
жения. В силу этоrо в цепях с переменными параметрами протека
ют токи не только тех частот, которые имеют источник вынуждаю
щей силы и переменная составляющая изменяющеrося во времени
параметра, но и токи множества друrих частот.
Блаrодаря этому в цепях с переменными параметрами при Ha
личии в их составе индуктивных и емкостных элементов MorYT воз
никать резонансные явления на высших и низших rармониках при
отсутствии rармоник данной кратности у источника ЭДС.
566
aJ \ I I L
t
O)
t
6J
t
f
Р....с. 18.2
Р....с. 18.3
Обратим внимание на то, что амплитуды отдельных rармоник
тока в цепях с переменными пара метрами линейно зависят от амп
литуд остальных rармоник (в нелинейных цепях аналоrичная зави
симость нелинейна). "" :11'"
Наряду с этим цепи с переменными во времени параметрами
обладают линейными свойствами, принципиально отличающими
их от нелинейных цепей. В них амплитуды rармоник тока и напря
жени я пропорциональны амплитуде вынуждающей силы. Друrими
словами, если ЭДС источника увеличить вдвое, то и амплитуды
токов и напряжений увеличатся вдвое. В цепях снелинейными
элементами, rде имеет место насыщение, такой пропорционально
сти, как известно, нет.
Ранее отмечалось, что изменяющиеся во времени элементы цe
пи являются rенераторами высших rармоник. Убедимся в этом на
простейшем при мере. На рис. 18.3 изображена схема, состоящая из
источника постоянной эдс Е и резистора R, сопротивление KOTOpO
ro изменяется во времени в соответствии с кривой (рис. 18.2, б):
R(t) == Ri 1 ksin<ut). (18.1)
k<l
По закону Ом а, ток в цепи
. Е Е 1
l
R(t) Ro 1 ksinffi(
( 18.1 а )
I ,'(.... ""
Известно, что функция 1/(1 х) при I х 1<1 может быть разло
жена в степенной ряд:
1/(1 x)== 1 +х+х2+х3+... +х п . (18.2)
Роль, которую иrрает х в ( 18.2), в (18.1 а) выполняет ksin<ut. Поэ
тому при k<1
E:R o === 1 + ksinffit + k 2 sin 2 ffit + k 3 sin 3 ffit + ... .
Воспользуемся известными из триrонометрии формулами
(18.3 )
567
sin 2 a == 0,5(1 cos2a); sin 3 a === 0,25sin3a + 0,75sina;
sin 4 a == 0,375 0,5cos2a + 0,125cos4a
и объединим слаrаемые правой части ряда (18.3) с арrументами
одинаковой кратности. В результате получим
Е; Ro (1 + O,5k 2 + O,375k 4 + ...) + (k + O,25k J + ... )sinoot
(0,5k 2 + 0,5k 4 + ...) cos2(Of (0,25k 3 + ... )sin3wt + .,.
Таким образом, несмотря на то что в цепи (рис. 18.3) включен
источник постоянной ЭДС, а переменная составляющая сопротив
ления резистора изменяется по закону синуса с частотой (о, ток
имеет и высшие rармоники (частоты2w, 3ы). Постоянная составля
ющая и амплитуды rармоник тока нелинейно зависят от коэффици
ента k, но линейно зависят от эдс Е.
Обратим внимание также на то, что при k=l=O постоянная COCTaB
ляющая тока в цепи (рис. 18.3) не равна Е/ Ro, т. е. в схеме наблюда
ется своеобразный выпрямительный эффект.
Энерrия, выделяющаяся в виде теплоты в цепи с переменными
во времени параметрами, доставляется не только источниками
ЭДС (тока), имеющимися в цепи, но и теми внешними источниками
(например, механическими двиrателями), которые совершают pa
боту при изменении параметра (параметров) цепи.
Какую долю энерrии доставляет источник ЭДС, а какую дает
внешний источник, совершающий работу при изменении парамет
ра, для каждой цепи с переменными параметрами следует pac
сматривать применительно к конкретным условиям. Доля энерrии,
доставляемая внешним источником, может составлять в одном пре
дельном случае нуль, в друrом 100 %. I ,
18.3. Расчет ЭJlектрических цепей в установившемся режиме.
Если переменный параметр изменяется во времени периодически,
претерпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис. 18.2, а), то
расчет цепей целесообразно проводить с помощью классическоrо
метода расчета переходных процессов. В этом случае постоянные
интеrрирования определяют, исходя из законов коммутации и пе
риодичности процесса. [
Если же переменный параметр изменяется TllK, что ero можно
представить в виде постоянной составляющей и однuи или несколь
ких синусоидальных составляющих, то расчет производят, приме
няя метод rармоническоrо баланса.
Метод rармоническоrо баланса применительно к нелинейныМ
цепям был рассмотрен в 15.49. Основные ero положения и здесь те
Же. Последовательность расчета такая: искомый ток (любая дpy
rая величина) изображают в виде ряда Фурье
568
а)
E
I
6) ;,
о 1" 2т J'l' t
Ь) : !
т 2! t
Z)
Р....с. 18.4
i == 10 + 111sin(Uf + 11 2 cos(Uf + 1 21 sin2(Uf + 1 22 cos2(Uf +... .
Полученное выражение для тока подставляют в дифференци
альное уравнение цепи и выделяют из Hero уравнение, выражающее
собой равенство постоянных составляющих левой и правой ero ча
стей, уравнение, выражающее собой равенство синусных составля
ющих левой и правой частей, и т. д. Каждое из этих уравнений в
общем случае содержит несколько неизвестных (/0,/11,/12,/21,/22)' но
является линейным уравнением относительно этих неизвестных (в
этом отличие от нелинейных цепей). Далее решают систему линей
ных уравнений относительно 10' I ll , 112, 121, 122'
Метод rармоническоrо баланса можно применять к расчету цe
пей, содержащих несколько переменных во времени параметров
(например, изменяющееся во времени резистивное сопротивление
и изменяющуюся во времени индуктивность), причем характер из
менения во времени ЭДС (тока) может быть по любому периодиче
скому закону.
Пример 167. В схеме на рис. 184, а эдс Е источника эдс и индуктивность L
катушки постоянны, а сопротивление резистора R(t) меняется в соответствии с рис.
18.4, б. Определить закон изменения тока в установившемся режиме.
Реш е н и е. Так как сопротивление изменяется периодически, то и ток изменя
ется периодически Обозначим значение тока в момент t==O через 12 В этот момент
сопротивление цепи скачком возрастает от Я 2 до Rl и ТОК в цепи начинает уменьша1 b
ся. В момент t==='t ток принимает значение 1I и сопротивление скачком уменьшается
с RI дО Я 2 . Последнее IIРИВОДИТ к тому, что ток начинает увеличиваться.
В первом интервале времени от t==O до t==='tTOK можно представить в виде суммы
принужденноrо Е/ R, и свободноrо C1e P1t токов, причем p,== RI/ L корень xapaK
теристическоrо уравнения цепи pL+R1===0, С 1 постоянная интеrрирования. " ,
Во втором интервале времени от t==='t до t==2't
Е
i== Я 2 +C2eP2(t 't); P2== R2/ L.
Задача сводится к определению двух постоянных: С 1 и С 2 При t===O t===/ 2 ; следо
BaTeJIbHO,
12=== Е/ R 1 +C 1 .
( 18.4 )
569
При t==='t i===/l, поэтому
Е Р " ( 18.5)
J]=== +Cle 1 .
RI
Начальное значение тока для BToporo интервала времени 1. можно найти и
иначе:
Е
11=== R 2 +С 2 .
К концу BToporo интервала времени, коrда t==2'[, i==/ 2 ,
12===Е/ R 2 +C 2 e P2 ".
( 18.6)
(18.7)
Приравнивая правые части уравнений (18.4) и (18.7), получим
Е Е Р"
+CI=== R 2 +С 2 е 2.
Аналоrично, из уравнений (18.5) и (18.6) следует, что
Е Е Р"
R 2 + C 2 ===R;+ C1e 1 .
Совместное решение двух последних уравнений дает
а( 1 eP2") .
1 ePI"+P2'"
С,
( 18.8)
Р" Е Е
C2=== a+Cle 1 ; а=== R 2 Rl '
В первом интервале времени i===E/RI+ClePlt, во втором i==E/R2+C2eP2(t ,,).
Кривая i==f(i) показана на рис. 18.4, 8.
Пример 168. В схеме на рис. \8.4, z ЭДС e==E+Emsin(ffit+w),
L==Lo(l+ksinffit)(k<l), сопротивление R не является функцией времени. Опреде
лить постоянную составляющую, а также первую и вторую rармоники тока.
Реш е н и е. В дифференциальное уравнение
d (18.10)
Ri+df(Li)===E +Е msin(ffit+W)
(18.9)
подставляем ток
i==lo+/llsinffit+/12Cosffit+/2Isin2ffit+/22COs2ffit.
(18.11)
Выделив постоянную составляющую, получим уравнение
R1o==E.
( 18.12)
Равенство коэффициентов при sinffii в обеих частях (18.10) после подстановки в
Hero (18.11) и деления на R дает
Е т (18.13)
1II a/12 0,5ka/21 ===Rcosw.
Приравняв коэффициенты при COSffit (после деления на R), получим
Е т ( 18.14)
al l + 112 0,5ka/22== aklo+"R s inw;
570
t
'1 t
C
C t .... , ... t
.......J ...
ltJt t
1)
А
4)
Рис. 18.5
при sin2(i)t
ak/ 11+/21 2aI22===0;
( 18.15)
,
при COS2ffit
)1
ak112+2a121 + /22===0,
а==ш LO/ R.
( 18.16)
( 18.17)
Из (18.12) следует, что в схеме на рис. 18.4, z постоянная составляющая тока 10
не зависит от переменных составляющих индуктивности и эдс. Однако постоянная
составляющая потокосцепления, равная Lo/o+O,5kLo/ll' зависит от амплитуды
первой rармоники переменноrо тока.
Это свойство в известном смысле напоминает первое из свойств нелинейных
элементов с симметричными характеристиками, описанное в 15.17.
Запишем решение уравнений (18.13) (18.16):
N / 11
1 21 ===Y/II ,,/12; /22=="/11 Y/12;
1 aM+pN . 1 12
1I a2+ 2'
а
Е т Е т
M==Rcos W ; N===Rsinw aklo; а
1 +4а 2 0,5a2k2
1 +4а 2
l' t I I
у
ak a(l +4a2 a2k2)
1 +4а 2 ' p 1 +4а2 ; v
2a 2 k
1+4a 2 '
Изменяя постоянную эдс Е в схеме на рис. 18.4, с, можно управлять перемен
ным током.
18.4. Параметрические колебания. Возникающие в электрических цепях без
источников эдс и источников тока незатухающие коле.бания, обусловленные пери
одическим изменением индуктивности или емкости системы, называют пapaMeTpи
ческuмu. Колебания поддерживаются за счет работы механической силы при пери
одическом изменении параметра либо за счет энерrии, вносимой в цепь при
периодическом изменении параметра электрическим путем. Частота первой rapMo
ники параметрических колебаний оказывается в два раза меньше частоты измене
ния параметра.
На рис. 18.5, а изображена простейшая цепь, в которой при определенных
условиях возникают колебания рассматриваемоrо типа. Цепь состоит из катушки
индуктивностью L, нелинейноrо резистора, оrраничивающеrо амплитуду колебаний
R{i)===Ro+ki 2 , и конденсатора, емкость KOToporo изменяется во времени:
C===Co ACcos2ffit, AC/C o 4;::.l. (Предположение, что AC/C o 4;::.l, принято только для
об"lеrчения решения.)
571
Сначала рассмотрим случай, Коrда емкость конденсатора изменяется механи
ческим путем.
Внешняя сила, совершающая работу при изменении емкости конденсатора,
доставляет в цепь энерrию. Эта энерrия равна потерям в активном сопротивлении.
По второму закону Кирхrофа,
di .. idt
Ldi+R(t) t + ( 6.С ) === О.
СО 1 С c os2wt
. о
В соответствии с фОрМУJIOЙ (18.2) последнее слаrаемое представим так:
Ц 1+ COS2ffit) \id t.
Подставим в это уравнение i===asinffit bcoSffit, разобьем ero на синусные и
косинусные составляющие частоты ffi (высшими rармониками пренебрежем) и pe
шим относительно квадрата амплитуды тока а 2 +ь 2 ===А2:
2 2 2
A2 :k ( L O) ( ) 4(ю2 L O)
При А 2 >0 колебания существуют; А 2 >0 при ffil<ffi<ffi2 (рис. 18.5, б); ffil2 опре
.
1
деляют как корни уравнения А 2 ===0. При ы2=== LC
О
2 2 2 ( ' rr 6.С )
А ===Атах === 3 y Со 2Ro .
4Ro
3k .
Условием возникновения колебаний в этом случае является
6.С 2Ro
>
Со 1} LjC o '
Качественно поясним сущность процесса поступления энерrии в цепь при изме
нении емкости конденсатора во времени. Энерrия, запасенная вэлектрическом поле
конденсатора емкостью С с зарядом + ч на пластинах, W э ===q2 j(2C). Если при неиз
менном q емкость изменить на 6.C( CjC«l), то энерrия станет равной
q'l q2 ( 6. С )
2(C+6.C) 2C l c .
Приращение энерrии
ч2 6. С
6.W === .
э 2С С
Верхняя кривая (рис. 18.5, в) изображает изМеняющиЙся по синусоидальному
закону во времени заряд Ч. Средняя кривая иллюстрирует характер изменения
емкости во времени (для простоты рассуждений он принят не синусоидальным, а
прямоуrольным). Коrда заряд q проходит через максимум, тоемкость почти скачкОм
уменьшается (6.С<О), коrда через нуль, то емкость почти скачком возрастает
(6.С>О).
Уменьшение емкости соответствует раздвиrанию пластин конденсатора, а YBe
личение их сближению. Поэтому, чтобы при ч===чт емкость почти скачком YMeHb
шить, нужно быстро раздвинуть пластины. Но пластины заряженноrо конденсатора
притяrиваются друr к друr'у. Следовательно, для Toro чтобы раздвинуть пластИНЫ,
внешний источник энерrии должен затратить работу на преодоление сил их (JРИТЯ
572
.
L1 СА
са r- tjH
l :C..J &1
r
L
R W и С, Ij
fo о ь
и д
а) 1 М ') ')
Р....с. 18.6
жения. Эта работа переходит в энерrию электрическоrо поля конденсатора. За
период изменения q энерrия конденсатора дважды возрастает на
q I С i
w э 2С С'
Сближение пластин (увеличение С) происходит при q===O, коrда силы, действу
ющие на пластины (силы ПОJIЯ), равны нулю. Поэтому при сближении пластин
внешняя сила не совершает работы.
Поступление энерJ'ИИ в параметрическую цепь при изменении параметра цепи
называют накачкой энер2ИИ. Рис. 18.5, в качественно поясняет также, почему часто
та колебаний на схеме в рис. 18.5, а в два раза меньше частоты изменения lIараметра
(емкости). Если емкость стала бы изменяться во времени в соответствии с пунктир
ной кривой (рис. 18.5, в), то энерrия в этом случае в цепь не достаВЛЯJJась бы (не
накачивал ась), ибо сколько энерrии доставит в цепь внешний источник при YMeHb
шении емкости, столько же цепь отдаст ему обратно при ее увеличении. Накачка
энерrии в цепь может происходить не только при изменении емкости, но и при
изменении индуктивности во времени.
18.5. Параметрические reHepaTOp и усилитель. В lIараметрических reHepaTope
(пr)и усилителе(ПУ)емкость варьируют не механическим, а электрическим путем
изменяя емкость диода (варикапа), находящеrося в запертом состоянии. На рис. 18.6,
а в пr зажимы аЬ закорочены, а в ПУ к зажимам аЬ подключен источник сиrнала
частотой ш с (показано пунктиром). Источник постоянной ЭДС Ео заlIираеl диод.
Накачка энерrии осуществляется от источника синусоидальноrо тока i H часто-
той Юн и амплитудой I нт . Часть этоrо тока (ток i l ) амплитудой Ilm проходит через R
di.
и L и совместно с Ео образует падение напряжения на диоде: Uд== Ео Ri. L"dt
(кривая 1 на рис. 18.6, б). Чтобы диод был заперт, ЭТQ напряжение должно быть
отрицательным. Диод будет заперт, если
Ео
Ilm< ..., .
VR 2 +(ш и L)2
Зависимость емкости р п-перехода С д 1 от напряжения на диоде Ид иллюстриру
.При Ид<О основную роль иrрает барьерная емкость р п-перехода, обусловлен-
ная перераспределением зарядов у rраницы областей с раЗJIИЧНЫМ характером про
водимости. При Ид>О основную роль иrрает диффузионная емкость р п-перехода.
Она обусловлена перераспредеЛt'нием зарядов в базе. В схеме на рис. 18.6 под С д
подним ается барьерная емкость.
573
ется кривой 2(рис. 18.6,6), а изменение емкое I и С д во времени кривой I (рис. 18.6,
в). Среднее за период значение емкосrи С д обозначим С 1 .
Схема замещения lIаРflМ:fтрическоrо reHepaTopa для частоты параметрических
колебаний ffip==ffiH/2 1 /у LC 1 изображена на рис. 18.6, 2. Вносимая reHepaTopoM
накачки (исrочником синусоидальноrо тока) на частоте ffi H энерrия компенсирует
потери в активном сопротивлении R на частоте ffip. Этот процесс можно трактовать
как уменьшение активноrо СОllротивления колебательноrо контура, э до нуля (ср. с
ламповым reHepaTopoM 16.6, в котором ,э==R МS/С). Амплитуда установившихся
колебаний опредеJlяется энерrетическим балансом.
Если допустить, что rлубина модуляции емкости С д т <:1, то, составив диффе
ренциальное уравнение для колебательноrо контура LRС д (зажимы аЬ на рис. 18.6,
а короткозамкнуты )
. di 1 1 _
Rl 1 + L dt + С д lldt == О
и подставив в Hero
] 1 1
С (1 . 2 ) c (l+тsiп2(t)рt), il==Jmsinffipt,
С д 1 тslП ffipt 1
получим два уравнения (синусная и косинусная компоненrы):
т I
'э === R 2ffi p C. == о; ffip ==="VLC;'
При работе схемы (рис 18.6, а) в качестве ПУ reHepaTop накачки настраивают
на такой режим, при котором вносимая им энерrия уменьшает активное сопротивле
ние контура 'э не до нуля (как это было в случае с пr), а ДО'3 «R. Параметры L и
С 1 подбирают так, чтобы ffi e ===1/ \jLC 1 . При этом источник сиrнала (источник ЭДС Ее
Ее
частотой ffie) вызовет ток J e=== '
'э
Отношение выход ноrо напряжения (на индуктивном элементе) к входному
и вых L v L/ ё;
E == ffic == достаточно велико схема работает в качестве усилителя.
с 'э 'э
Вопросы для самопроверки
1. Почему можно сказать, что линейные электрические цепи с изменяющимися
во времени параметрами занимают промежуточное положение между линейнымИ
цепями с неизменными lIараметрами и нелинейными электрическими цепями? 2.
Какие вы знаете способы изменения параметров реактивных элементов в изучаемыХ
цепях? 3. Изложите известные вам методы расчета цепей с переменными во времени
параметрами. 4. Какие колебания называют параметрическими? 5. Что понимают
под накачкой энерrии в параметрическую цепь? Как ее осуществляют IIраю ически?
6. Чем можно объяснить, что частота изменения параметра в два раза больше
с
1/1"0
а)
5)
10
Р....с. 18.7
574
частоты параметрических колебаний? 7. Поясните принцип работы параметриче
cKoro reHepaTopa и параметрическоrо усилителя. 8. Электрическая цепь (рис. 187, а)
образована источником синусоидальной ЭДС e(t)===E тsiПrot, резистором R, KOHдeH
сатором С и индуктивной катушкой, у которой L(t)===Lo(l +тsiпrot). Через L (t) про
текает ток i+l0' Приняв i===1 тsiп(rot а): 1) нокажите, что зависимость постоянной
составляющей потокосцепления 'Фо индуктивной катушки от тока 10 имеет вид
'Фо==а+bJ о ; 2) выведите условия, Пр 1 которых Ь<О (при этом зависимость 'Фо==f(Jо)
d'Ф
соответствует рис. [8.7, б и L JlИФ ===d7<О),
2 2 т 2 1
mL RE (roLo l/roC) +R 2 ro Lo(rooL C )
о т ro
Ответ: [) a 2 ; b==Lo 1
2[",Lo ",IC] +R 2 (",Lo ",C )2+R2
2) Ь<О при ВЫПОJlНении трех условий:
(",Lo c} >O; ",l+ 2) ",'с <о; R2 1(",I"o ",'c)[ ",Lo(' 2) "'t c ]
1
оrЛА8ЛЕННЕ
Предисловие .......................................................... 3
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Ч а с т ь 1. Линейные электрические цепи. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . ., . 8
r л 8 в 8 пер в а Я. Основные положения теории электромаrнитноrо поля и
их применение к теории электрических цепей ............................ 8
[.[. Электромаrнитное поле как вид материи...................... 8
[.2. Интеrральные и дифференциальные соотношения между основ-
ными величинами, характеризующими поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 9
[.3. Подразделение электротехнических задач на цепные и полевые [7
1.4. Конденсатор. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [9
[.Б. Индуктивность. Явление самоиндукции. . .. .. . . . ., .., . '" . ... . 21
[.б. Взаимная индуктивность. Явление взаимоиндукции ........... 23
[.7. Схемы замещения реальных электротехнических устройств.... 2Б
Вопросы для са.мопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
r л а в а в т о рая. Свойства линейных электрических цепей и методы их
расчета. Электрические цепи ПОСТОянноrо тока .......................... 28
2.1. Определение линейных и нелинейных электрических цепей .... 28
2.2. Источник ЭДС и источник тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи. . . . . . . . 3[
2.4. Напряжение на участке цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.Б. Закон Ом а для участка цепи, не содержащеrо источника ЭДС . . 33
2.б. Закон Ома для участка цепи, содержащеrо источник эдс. Обоб-
щенный закон Ома ............................................... 33
2.7. Законы Кирхrофа ........................................... 34
2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с помощью
законов Кирхrофа ................................................ 3Б
2.9. Заземление одной точки схемы ............................... 37
2.10. ПотенциаJlьная диаrрамма ................................. 38
2. [1. Энерrетический баланс в электрических цепях. . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12. Метод пропорциональных величин .......................... 39
2.13. Метод контурных токов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.14. Принцип наложения и метод наложения ..................... 44
2.1Б. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивле
ние .............................................................. 45
2.[6. Теорема взаимности........................................ 47
2. [7. Теорема компенсации ...................................... 49
2.18. Линейные соотношения в электрических цепях ............... 50
2.19. Изменения токов ветвей, вызванные приращением сопротивле-
ния ОДНОЙ ветви (теорема вариаций) ............................... Б2
2.20. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источни-
ки ЭДС и источники тока, одной эквивалентной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 [. Метод двух узлов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Б5
2.22. Метод узловых потенциалов ................................ 56
2.23. Преобразование звезды в треуrольник и треуrОJlьника в звезду БО
626
2.24. Перенос источников ЭДС и источников тока. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.25. Активный и пассивный ДВУХIIОJIЮСНИКИ ......................
2.26. Метод эквивалентноrо reHepaTopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.27. Передача энерrии от активноrо ДВУХПОJIюсника наrрузке .....
2.28. Передача энерrии по линии передач .........................
2.29. Некоторые выводы по методам расчета электрических цепей. .
2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними. ., .
2.31. Некоторые тополоrические понятия и тополоrические матрицы
2.32. Запись уравнений по законам КИРЛI"офа с помощью тополоrиче
ских матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.33. Обобщенная ветвь электрической цепи ......................
2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью ТОПОЛОI'И
ческих матриц. . .. . . . ., .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . .
2.35. Вывод уравнений метода узловых потенциалов с помощью топо
1
лоrических матриц ...............................................
2.36. Соотношения между тополоrическими матрицами. . " . . . . . . . ;
2.37. Сопоставление матрично тополоrическоrо и традиционноrо Ha
I прав.пений теории цепей ..........................................
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-
(
}
('
"
I л а в а т р е т ь я. Электрические цепи однофазноrо синусоидальноrо тока
3. [. Синусоидальный ток и основные характеризующие ero величины
3.2. Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся
величины ........................................................
3.3. Коэффициент аМПJIИТУДЫ и коэффициент формы ..............
3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами
на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. КОМПJlекс лейсr
вующеrо значения ................................................
3.5. Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на
комплексной плоскости. Векторная диаrрамма .....................
3.6. l'V\rновеНllая мощность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Резистивный элемент в цепи синусоидальноrо тока ............
3.8. Индуктивный элемент в цепи синусоидальноrо тока ...........
3.9. Емкостный элемент в цеllИ синусоидальноrо тока. . . . . . . . . . . . . .
3.10. Умножение вектора на j и j ...............................
3. [1. ОСIIОВЫ СИМВОJIИческоrо метода расчета цепей синусоидальноrо
тока .., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ .
3.12. KO\1I1,ICKCHoe сопротивление. Закон Ома ДJIЯ цепи синусоидаль
Horo тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [3. Комплексная IlРОВОДИМОСТЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14. Треуrольник СОПРОТИВJlений и треуrольник проводимостей ....
3.15. Работа с комплексными числами. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
3.16. Законы Кирхrофа в символической форме заlIИСИ ............
3. [7. П рименение к расчету цепей синусоидаЛЫiоrо тока методов,
рассмотренных в rJIaBe «Электрические цепи постоянноrо тока» .....
3.[8. Применение векторных диаrрамм при расчете электрических
цепей синусоидальноrо тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [9. Изображение разности потенциалов на комплексной плоскости
3.20. Топоrрафическая диаrрамма ...............................
3.2[. Активная, реактивная и lIолная мощности ...................
3.22. Выражение мощности в комплексной форме записи ..........
3.23. Измерение мощности ваттметром ...........................
3.24. Двухполюсник в цепи синусоидаJlЬНОl'О тока. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.25. Резонансный режим работы ДВУХIlОJlюсника .................
3.26. Резонанс токов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.27. КОМlIснсация сдвиrа фаз ...................................
3.28. Резонанс наllряжений ......................................
},
.,
!
С.'
t\.
(;,
( "
( I
(
'<;'
\
р
(1.
.
63
64
64
67
68
70
70
71
74
75
75
77
77
79
80
81
8[
82
. 83
83
85
86
86
87
89
90
91
92
93
93
94
95
96
97
100
[00
103
104
105
[06
108
108
110
[1 О
627
3.29. Исследование работы схемы рис. 3.26, а при изменении частоты
и индуктивности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.30. Частотные характеристики двухполюсников .................
3.3[. Канонические схемы. Эквивалентные двухполюсники. . .. . . .. .
3.32. Передача энерrии от активноrо двухполюсника наrрузке .....
3.33. Соrласующий трансформатор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.34. Идеальный трансформатор .................................
3.35. Падение и потеря напряжения в линии передачи энерrии .....
3.36. Расчет электрических цепей при наличии в них маrнитно свя
занных катушек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.37. Последовательное соединение двух маrнитно связанных KaTY
тек........ ................. .................... .................
3.38. Определение взаимной индуктивности опытным путем. . . . . . . .
3.39. Трансформатор. Вносимое сопротивление ...................
3.40. Резонанс в маrнитно связанных колебатеJIЬНЫХ контурах. . . . .
3.4[. «Развязывание» маrнитно связанных цепей..................
3.42. Теорема о балансе активных и реактивных мощностей (теорема
Лонжевена ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.43. Теорема Теллеrена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.44. Определение дуальной цепи ................................
3.45. Преобразование исходной схемы в дуальную .................
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а ч е т в е р т а я. Четырехполюсники. Цепи с управляемыми источ
никами. KpyroBble диаrраммы ..........................................
4.1. Определение четырехполюсника .............................
4.2. Шесть форм записи уравнений четырехполюсника . . . . . . . . . . . . .
4.3. Вывод уравнений в А форме .................................
4.4. Определение коэффициентов А формы записи уравнений четы
рехполюсника .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. T и П схемы замещения пассивноrо четырехполюсника .......
4.6. Определение коэффициентов y , z , o и Н форм записи ypaBHe
ний четырехполюсника ...........................................
4.7. Определение коэффициентов одной формы уравнений через KO
эффициенты друrой формы .......................................
4.8. Применение различных форм заllИСИ уравнений четырехполюс
ника. Соединения четырехполюсников. Условия реrулярности .......
4.9. Характеристические и повторные сопротивления четырехполюс
Ников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10. Постоянная передача и единицы измерения затухания. . . . . . . .
4.1 [. Уравнения четырехполюсника, записанные через rиперболиче
ские функции ....................................................
4.12. Конвертор и инвертор сопротивления.. . .. .. . .. .. . . .. . . . .. " .
4.13. fиратор ...................................................
4.14. Операционный усилитель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15. Управляемые источники напряжения (тока) .................
4.16. Активный четырехполюсник .......... _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 7. Мноrополюсник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18. Построение дуrи окружности по хорде и вписанному уrлу .....
4.19. Уравнение дуrи окружности в векторной форме записи .......
4.20. KpyroBbIe диаrраммы ......................................
4.21. Круrовая диаrрамма тока двух последоватеJIЬНО соединенных
СОПРОТИВJlений ...................................................
4.22. Круrовая диаrрамма напряжения двух 1I0следовательно соеди
ненных сопротивлений ............................................
4.23. Круrовая диаrрамма тока активноrо двухполюсника .........
4.24. Круrовая диаrрамма напряжения четырехполюсника ........
4.25. Линейные диаrраммы ......................................
Вопросы для самопроверки. . .. . .. . ... . ... . . . . . . .. . . . " .. .. . .. . . . .. .. . . .
628
1[2
Н3
1 [6
[ 17
[ 17
[18
[19
Н9
[2[
[22
122
[25
127
[28
[30
130
132
133
135
[35
136
137
[39
[41
142
[42
[44
146
[47
[48
148
149,\\
[50
[53 1
155' .'
157
159
159
[60
[ 61
162
163
[64
[66
166
r л а в а п я т а я. Электрические фильтры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [б7
"
5.1. Назначение и типы фильтров _. . . . . . .. .. . .. . . . . . . .. . .., .. '" .,
5.2. Основы теории k фИJlЬТрОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. К фильтры НЧ и ВЧ, полосно пропускающие и полосно заrраж
дающие k фильтры ...............................................
5.4. Качественное определение k фильтра ........................
5.5. Основы теории т фильтров. Каскадное включение фильтров. . .
5.б. RС фильтры ................................................
5.7. Активные RС фильтры .. _ . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . .
5.8. Передаточные функции активных RС фильтров в нормирован
ном виде ........... _ . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Получение передаточной функции низкочастотноrо активноrо
RС фильтра, выбор схемы и определение ее параметров ............
5.10. Получение нередаточной функции полосно пропускающеrо aK
тивноrо RС фильтра ..............................................
Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а ш е с т а я. Трехфазные цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
БJ. Трехфазная система ЭДС . .. .. . . . ., ... . . . . . . . . . .. .. . ., .. . . .. .
б.2. Принцип работы трехфазноrо машинноrо reHepaTopa ..........
б.3. Трехфазная цепь. Расширение понятия фазы. . . . . . . . . . . . . . . . . .
б.4. Основные схемы соединения трехфазных цепей, определение ли
нейных и фазовых величин ........................................
б.5. Соотношения между линейными и фазовыми напряжениями и TO
ками............................................................ .
б.б. Преимущества трехфазных систем. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
б.7. Расчет трехфазных цеllей .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
б.8. Соединение звезда звезда с нулевым проводом .............
б.9. Соединение наrрузки треуrольником .........................
БJО. Оператор а трехфазной системы ............................
б. [1. Соединение звезда звезда без нулевоrо провода . . . . . . . . . . . .
БJ2. Трехфазные цепи при наличии взаимоиндукции ..............
б.13. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной системы
6.14. Измерение активной мощности в трехфазной системе. . . . .. .. .
б. [5. Kpyr'oBbIe и линейные диаr'раммы в трехфазных цепях ........
б. [б. Указатель последовательности чередования фаз .............
б. [7. Маrнитное поле катушки с синусоидальным током .. _ . _ . . . . . .
БJ8. Получение KpyroBoro вращающеrося маrнитноrо поля. . . . . . . .
\ БJ9. Принцип работы асинхронноrо двиrателя ..... .. .,. .. . " .. . ..
б.20. Разложение несимметричной систеМbI на систеМbI прямой, об
ратной и нулевой последовательностей фаз. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
б.21. OCHOBHble положения метода симмеТРИЧНblХ составляющих ...
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а с е Д ь М а я. Периодические несинусоидальны токи в линейных
электрических цепях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. [. Оllределение периодических несинусоидаЛЬНblХ токов и напряже
ний ............................. -........................... -....
7.2. Изображение несинусоидальных токов и напряжений с помощью
рядов Фурье .....................................................
7.3. Некоторые свойства периодических кривых, обладающих сим
метрией .........................................................
7.4. О разложении в ряд Фурье КРИВblХ rеометрически правильной и
неllравильной форм. . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. rрафический (I'рафоаналитический) метод определения l'apMO
ник ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . _ . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . .
7.б. Расчет токов и напряжений при несинусоидаЛЬНblХ источниках
питания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . .
('
{!
(
[б7
[б8
[71
[75
17б
180
[80
[82
[83
[83
184
[84
[84
[85
[85
186
188
189
[89
189
[90
[ 91
[ 91
]92
193
[94
195
19б
[97
[97
199
200
20[
204
204
204
205
20б
207
207
210
629
7.7. Резонансные явления при несинусоидальных токах ............
7.8. Действующие значения несинусоидаJlьноrо тока и несинусои
дальноrо наllряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9. Среднее 110 модулю значение несинусоидальной функции. . . . . . .
7.10. Величины, которые измеряют амперметры и вольтметры при
несинусоидальных токах ..........................................
7.11. Активная и полная мощности несинусоидальноrо тока ........
7.12. Замена несинусоидаJlЬНЫХ токов и напряжений эквивалентны
ми синусоидальными .............................................
1
7.13 . Особенности работы трехфазных систем, вызываемых rapMo
никами, кратными трем.. . . . .. .. . ... . . . . . . . . ., . . . .. . " . . . . . . . . . .. .
7.[4. Биения....................................................
7.15. Модулированные колебания ................................
7.16. Расчет линейных цепей при воздействии модулированных коле
баний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I JI а в а в о с ь М а я. Переходные процессы в линейных электрических цe
пях ...................................................................
8.1. Определение переходных процессов ..........................
8.2. Приведение задачи о нереходном процессе к решению линейноrо
дифференциаJlьноrо уравнения с постоянными коэффициентами. . . . .
8.3. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений
8.4. Обоснование невозможности скачка тока через индуктивную Ka
тушку и скачка наllряжения на конденсаторе. . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . .
8.5. Первый закон (правило) коммутации .......... _ . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Второй закон (правило) коммутации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Начальные значения Вf'личин ................................
8.8. Независимые и заВИСИМые (послекоммутационные) начаJlьные
значения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9. Нулевые и HeHYJleBbIe начальные условия .....................
8. Ю. Составление уравнений для свободных токов и напряжений '"
8.1 [. АJlrебраизация системы уравнений для свободных токов. . . . . .
8. [2. Составление характеристическоrо уравнения системы. . . . . . . .
8. [3. Составление характеристическоrо уравнения путем использова
ния выражения для входноrо сопротивления цепи на переменном токе .
8.14. Основные и неосновные зависимые начальные значения ......
8.15. ОlIределение степени характеристическоrо уравнения. . . . . . . .
8.16. Свойства корней характеристическоrо уравнения ............
8.17. ОтрицатеJIьные знаки действительных частей корней xapaKTe
ристических уравнений ...........................................
8.18. Характер свободноrо IIроцесса при одном корне.. ... " . . . . . . .
8.19. Характер свободноrо проuесса при двух действительных HepaB
ных корнях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.20. Характер свободноrо процесса при двух равных корнях. . . . . . .
8.21. Характер свободноrо процесса при двух КОМlIлексно сопряжен
ных корнях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.22. Некоторые особенности переходных I1роиессов ...............
8.23. Переходные процессы, сонровождающиеся электрической иск
рой (ДУI'ОЙ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием ветвей в
цепях, содержащих индуктивные катушки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.25. Общая характерИСl ика методов анаJlИза переходных процессов
в линейных электрических цепях ..................................
8.26. Оllределение классическоrо метода расчета переходных про
цессов ...........................................................
8.27. Определение постоянных интеrрирования в КJIассическом MeTO
де ...............................................................
630
212
213
214
2[4
215
216
216
221
221
225
225
226
226
227
228
230
23[
231
231
232
232
232
233
234
236
238
239
240
241
242
242
243
243
21
24з
. ,
245
246
247
247
8.28. О переходных процессах, при макроско*пическом рассмотрении
которых не выполняются законы коммутации. Обобщенные законы
коммутации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.29. Лоrарифм как изображение числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.30. Комплексные изображения синусоидальных функций. . . . . . . . .
8.31. Введение в операторный метод. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.32. П реобразование Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.33. Изображение постоянной ...................................
8.34. Изображение показательной функции е at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.35. Изображение первой производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.36. Изображение напряжения на индуктивном элементе .........
8.37. Изображение второй производной ...... _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.38. Изображение интеrрала ....................................
8.39. Изображение напряжения на конденсаторе ..................
8.40. Некоторые теоремы и предельные соотношения ..............
с< 8.41. Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС ...........
8.42. Первый закон Кирхrофа в операторной форме. . . . . . . . . . . . . . . .
8.43. Второй закон Кирхrофа в операторной форме ................
8.44. Составление уравнений для изображений путем использования
методов, рассмотренных в третьей rлаве ...........................
8.45. Последовательность расчета операторным методом ..........
8.46. Изображение функции времени в виде отношения N(p)j М(р)
двух полиномов по степеням р . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.47. Переход от изображения к функции времени . _ . . . . . . . . . . . . . . .
8.48. Разложение сложной дроби на простые. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.49. ФОРМУJIа разложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.50. Дополнения к операторному методу .........................
8.51. Переходная нроводимость ..................................
8.52. Понятие о переходной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.53. Интеrрал Дюамеля ................... _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.54. Последовательность расчета с 1I0МОЩЬЮ интеrрала Дюамеля .
8.55. Применение интеrрала Дюамеля при сложной форме напряже
ния .............................................. _...............
8.56. Сравнение различных методов расчета переходных процессов .
8.57. Дифференцирование электрическим путем ..................
8.58. Интеrрирование электрическим путем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.59. Передаточная функция четырехполюсника на комплексной час
тоте .............................................................
8.60. Переходные процессы при воздействии импульсов напряжения
8.6[. Дельта функция, единичная функция и их свойства. Импульс
ная переходная проводимость . _ . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i 8.62. Определение h(t) и h{j(t) через К(р) ...........................
8.63. Метод пространства состояний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S:' 8.64. Дополняющие двухнолюсники ..............................
Е 8.65. Системные функции и понятие о видах чув твительности . . . . . .
8.66. Обобщенные функции и их применение к расчету переходных
t процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
{ 8.67. Интеrрал Дюамеля для оrибающей .........................
150nРОСЫ для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
{j'
\
\
ot
Р.}
еЕ
O
-:;1
ft л а в а Д е в я т а я. Интеrрал Фурье. Спектральный метод. Сиrналы ....
i':t
9.1. Ряд Фурье в комплексной форме записи .....................
9.2. Спектр функции и интеrрал Фурье ...........................
9.3. Спектр функции, смещенной во времени. Спектр сум мы функций
времени .........................................................
9.4. Теорема Рейли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Применение Сllектральноrо метода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
26[
26[
261
262
262
263
263
264
264
265
265
267
269
27[
272
273
273
275
276
277
278
282
283
285
287
288
289
29[
291
292
293
294
296
299
299
305
305
306
307
308
310
3[0
3[2
3[6
316
3[7
63[
9.б. Текущий спектр функции времени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7. Основные сведения по теории СИПlалов .......................
9.8. Узкополосный и аналитический сиrналы ......................
9.9. Частотный спектр анаJlИтическоrо сиrнала ...................
9.1 О. Прямое и обратное преобразование I ильберта ...............
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а Д е с я т а я. Синтез злектрических цепей .......................
10.1. Характеристика синтеза. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[0.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивле
ния двухполюсников ..............................................
[0.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схемой .....
10.4. Реализация двухполюсников путем последовательноrо выделе
ния простейших составляющих. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[0.5. Метод Бруне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.б. Понятие о минимально фазовом и неминимально фазовом четы
рехполюсниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7. Синтез четырехполюсников r образными и RС схемами ......
10.8. Четырехполюсник для фазовой коррекции ...................
10.9. Четырехполюсник для амплитудной коррекции ..............
10.10. Аппроксимация частотных характеристик ..................
Вопросы длл самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а о Д и н н а Д Ц а т а я. Установившиеся процессы в электрических и
маrнитных цепях, содержащих линии с распределенными параметрами '"
11.1. Основные определения .....................................
1 [.2. Составление дифференциальных уравнений для однородной ли
нии с распределенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 [.3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами
при установившемся синусоидальном процессе . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . .
11.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление ......
11.5. Формулы для определения комплексов напряжения и тока в лю
бой точке JIИНИИ через комплексы наllряжения и тока в начале линии.
1 [.б. rрафическая интерпретация rиперБОJlИческих синуса и косину
са от комплексноrо aprYMeHTa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
1 [.7. Формулы ДJIЯ определения напряжения и тока в любой точке
линии через комплексы напряжения и тока в конце линии ...........
1 [.8. Падающие и отраженные волны в линии.. . . .. . .. . . . .. .. . . . . .
11.9. Коэффициент отражения ...................................
[[.10. Фазовая скорость. .. . . " . . . .. ., . . '" ... .. " . .. .. . .. .... ...
1 [.11. Длина волны. .. .,. " .. . . . .. . ... . . ... . '" . .. .. . .. ., . .. ., ...
11.12. Линия без искажений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . .. .
11.13. Соrласованная наrрузка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.14. Определение напряжения и тока при соrласованнОЙ наrрузке
[1.15. Коэффициент полезноrо действия линии передачи при соrласо
ванной наrрузке '" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.16. Входное сопротивление наrруженной линии. . . . . . . . . . . . . . . . .
[1.17. Определение напряжения и тока в линии без потерь. . . . . . . . .
11.18. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе. .
11.19. Входное сопротивление линии без потерь при коротком замы
кании на конце линии .............................................
1 [.20. Входное сопротивление линии без потерь при реактивной Ha
rрузке ...........................................................
11.21. Определение стоячих электромаrнитных волн. . . . . . . . . . . . . . .
11.22. Стоячие волны в JIИНии без потерь при холостом ходе JIИНИИ ..
[[.23. Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыкании на
конце линии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
б32
322
322
324
325
32б
32б
327
327
328
330
334
338
34[
342
343
345
346
349
350
350
353
354
356
357
358
358
35
зв,
3б
3б2
36
3б3
364
,,01
3б4
365
3б5
366
367
3б7
3б8
3б9
3б9
..
э 11.24. Четвертьволновый трансформатор. .. ... .. . .. .. . . ... .. . ... .
э 1 [.25. Беrущие, стоячие и смешанные волны в линиях без потерь. Ko
эффициенты беrущей и стоячей волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э [[.26. Аналоrия между уравнениями линии с распределенными пара
метрами и уравнениями четырехполюсника ........................
э [ [.27. Замена четырехполюсника эквивалентной ему линией с pac
пределенными параметрами и обратная замена ....................
э [[.28. Четырехполюсник заданноrо затухания.. .. .. . . ... ... .. .. ...
э 1 [.29. Цепная схема.. ., . . . .. .. . .... . .. . .. .. . .. ., . ... .... .. . ... ..
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а Д в е н а Д Ц а т а я. "ереходные процессы в электрических цепях,
содержащих линии с распределенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 12.1. Общие сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 12.2. Исходные уравнения и их решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 12.3. Падающие и отраженные волны на линиях. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
; I Э 12.4. Связь между функциями fl. {2 И функциями <PI, <Р2 . . . . . . . . . . . . .
<':'Н Э 12.5. Электромаrнитные процессы при движении прямоуrольной BOk
f't\' ны по линии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.....
э 12.6. Схема замещения для исследования волновых процессов в ли
ниях С распределенными параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 12.7. Подключение разомкнутой на конце линии к источнику постоян
Horo напряжения .................................................
э 12.8. Переходный процесс при подключении источника постоянноrо
напряжения к двум последовательно соединенным линиям при нали
чии емкости в месте стыка линий ..................................
э [2.9. Линия задержки ...........................................
э [2,[0. Использование линий для формирования кратковременных
импульсов .......................................................
э [2.1 [. Исходные положения по применению onepaTopHoro метода к
расчету переходных процессов в линиях. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
э 12.12. Подключение линии без потерь конечной длины 1, разомкнутой
на конце, к источнику постоянноrо напряжения .....................
э 12.13. Подключение линии без искажения конечной длины 1, разо
мкнутой на конце, к источнику постоянноrо напряжения и ..........
. э 12.14. Подключение бесконечно IIротяженноrо кабеля без индуктив
ности и утечки к источнику постоянноrо напряжения и . . . . . . . . . . . . . .
Ra э 12.[5. Подключение бесконечно протяженной линии без утечки к ис
n(1 точнику постоянноrо напряжения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ерnросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 TepaTypa к I части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(.();
(п с т ь П. Нелинейные электрические цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,Е().
4.;Л а в а т р и н а Д Ц а т а я. Нелинейные электрическ е цепи постоянноrо
тока................................................................. .
"
о,
(;a
)(:1:
э 13.1. Основные определения .....................................
э 13.2. БАХ нелинейных разисторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 13.3. Общая характеристика методов расчета нелинейных электри
ческих цепей постоянноrо тока ....................................
э 13.4. Последовательное соединение HP ...........................
э 13.5. Параллельное соединение HP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э [3.6. Последовательно параллельн(Н оединение сопротивлений ...
э [3.7. Расчет разветвленной нелинейн()и цепи методом двух узлов. . .
э 13.8. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих HP и
ЭДС, одной эквивалентной ........................................
э 13.9. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентноrо reHepaTopa
(}(
1
370
370
371
372
374
375
379
379
379
380
382
382
384
385
386
389
392
393
394
397
397
398
399
400
402
404
404
404
404
407
407
409
409
410
412
4[2
633
13.10. Статическое и дифференциальное СОПРОТИВJIения ........... 414
[3. [1. Замена нелинейноrо резистора эквивалентным линейным co
противлением и ЭДС ............................................. 4 [5
13. [2. Стабилизатор тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
[3.[3. Стабилизатор напряжения ................................ 4[6
[3.14. Построение БАХ участков цепей, содержащих узлы с подтека
ющими извне токами ............................................. 418
[3.15. Диакоптика нелинейных цепей............................. 419
13.16. Терморезисторы .......................................... 420
[3.[7. Фоторезистор и фотодиод ... . . ... . . ., . .. .. . . . ... . . . ., .. . " . 420
[3.18. Передача максимальной мощности линейной наrрузке от ис
точника с нелинейным внутренним СОПРОТИВJIением ..... . . . . . . . . . . . . 42[
13.19. Маrниторезисторы и маrнитодиоды ........................ 422
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
r л а в а ч е т ы р н а Д ц а т а я. Маrнитные цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14.[. Подразделение веществ на сильномаrнитные и слабомаrнитные 423
14.2. Основные величины, характеризующие маrнитное поле. . . .. . . 423
[4.3. Основные характеристики ферромаrнитных материалов. . . . . . 425
14.4. Потери, обусловленные rистерезисом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
14.5. Маrнитомяrкие и маrнитотвердые материалы ............... 428
14.6. Маrнитодиэлектрики и ферриты ............................ 428
14.7. Закон полноrо тока. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
14.8. Маrнитодвижущая (намаrничивающая) сила ................ 429
[4.9. Разновидности маrнитных цепей ............................ 430
[4.10. POJIb ферромаrнитных материалов в маI'НИТНОЙ цепи........ 430
[4.[ [. Падение маrнитноrо напряжения .......................... 43[
14.12. Бебер амперные характеристики .......................... 432
14.13. Построение вебер амперных характеристик ................ 432
14.14. Законы Кирхrофа для маrнитных цепей .................... 434
14.[5. Применение к маrнитным цепям всех методов, используемых
для расчета электрических цепей с нелинейными резисторами ...... 436
14.16. Определение МДС неразветвленной маI'НИТНОЙ цепи по задан
ному току ........................................................ 436
14.17. Определение потока в неразветвленной м аrнитной цепи по за
данной МДС ..................................................... 438
14.18. Расчет разветвленной маrнитной цепи методом двух узлов... 438
14.19. Дополнительные замечания к расчету маrнитных цепей ..... 44[
[4.20. Получение постоянноrо маrнита . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
[4.2[. Расчет маrнитной цепи постоянноrо маrнита .... _........... 442
[4.22. Прямая и коэффициент возврата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., . . . . . 444
[4.23. Маrнитное сопротивление и маrнитная проводимость участка
маrнитной цепи. Закон Ома для маrнитной цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
14.24. Маrнитная линия с распределенными параметрами ......... 446
14.25. Пояснения к формуле В === l1o(H + J) ....................... 448
Вопросы для самопроверки. . . . .. ... .. . .. .. .. . . . .. . . . .. '" .. . . '" . . . ... . 449
r л а в а п я т н а д ц а т а я. Нелинейные электрические цепи nepeMeHHoro
тока .................................................................. 449
15.1. Подразделение нелинейных элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
15.2. Общая характеристика нелинейных разисторов .............. 450
15.3. Общая характеристика нелинейных индуктивных элементов. . 451
15.4. Потери в сердечниках нелинейных индуктивных катушек, обус
ловленные вихревыми токами ..................................... 452
[5.5. Потери в ферромаrнитном сердечнике, обусловленные rистере
зисом ............................................................ 452
15.6. Схема замещения нелинейной индуктивной катушки. . . . . . . . . . 453
634
[5.7. Общая характеристика нелинейных емкостных элементов ....
[5.8. Нелинейные элементы как reHepaTopbI высших rармоник тока и
напряжения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[5.9. Основные преобразования, осуществляемые с помощью нели
нейных электрических цепей ......................................
[5.10. Некоторые физические явления, наблюдаемые внелинейных
цепях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
[5.11. Разделение нелинейных элементов по степени симметрии xa
рактеристик относительно осей координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.12. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов ......
[5.13. Аппроксимация симметричных характеристик для MrHOBeH
ных значений rиперболическим синусом ...........................
15.14. Понятие о функциях Бесселя .. .. . .. ... " ..... .. .... ....... .
15.15. Разложение rиперболических синуса и косинуса от периодиче
cKoro aprYMeHTa в ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[5.16. Разложение rиперболическоrо синуса от постоянной и синусои
дально меняющейся составляющих в ряд Фурье ....................
15.17. Некоторые общие свойства симметричных нелинейных элемен
тов ..............................................................
15.18. Появление постоянной составляющей тока (напряжения, пото
ка, заряда) на нелинейном элементе с симметричной характеристикой
[5.19. Типы характеристик нелинейных элементов ................
15.20. Характеристики для MfHoBeHHbIx значений. . . . . . . . . . . .. . . . . .
15.21. БАХ по первым rармоникам ...............................
15.22. БАХ для действующих значений ...........................
15.23. Получение аналитическим путем обобщенных характеристик
управляемых нелинейных элементов по первым rармоникам ........
15.24. Простейшая управляемая нелинейная индуктивная катушка
[5.25. БАХ управляемой нелинейной индуктивной катушки по пер
вым rармоникам .................................................
[5.26. БАХ управляемоrо нелинеЙНОfО конденсатора по первым [ap
моникам .........................................................
[5.27. Основные сведения об устройстве биполярноrо транзистора. .
[5.28. Основные способы включения биполярных транзисторов в cxe
му ...............................................................
[5.29. Принцип работы биполярноrо транзистора .................
15.30. БАХ биполярноrо транзистора. . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .
[5.31. Биполярный транзистор в качестве усилителя тока, напряже
ния, мощности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[5.32. Связь между приращениями входных и выходных величин би
полярноrо транзистора ...........................................
15.33. Схема замещения биполярноrо транзистора для малых прира
щений. Методика расчета схем с управляемыми источниками с уче
том их частотных свойств .........................................
[5.34. rрафический расчет схем на транзисторах. . . . . . .. .. . .. . . .. .
15.35. Принцип работы полевоrо транзистора . . . . . . .. . . ., . . . . . . . .
15.36. БАХ полевоrо транзистора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.37. Схемы включения полевоrо транзистора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[5.38. Основные сведения о трехэлектродной лампе ...............
[5.39. БАХ трехэлектродной лампы для MrHoBeHHbIx значений. . . " .
[5.40. Аналитическое выражение сеточной характеристики электрон
ной лампы .......................................................
[5.41. Связь между малыми приращениями входных и выходных Be
'? личин электронной лампы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[5.42. Схема замещения электронной лампы для малых приращений
[5.43. Тиристор управляемый полупроводниковый диод. . . . . . . . .
15.44. Общая характеристика методов анализа и расчета нелиней
ных электрических цепей переменноrо тока ........................
t,:'"
I
,.
f '
,
.
t\
. .
1,
(
I ,(.
ы
8Е:
1""'
!
!
И
t.!
{Н
8:
е}
Ct
е!!
ОС:
454
455
456
458
459
460
460
462
463
464
464
466
466
466
466
468
469
470
473
475
476
477
477
479
480
481
482
484
486
486
486
487
488
489
489
490
491
492
635
э [5.45. rрафический метод расчета при использовании характери
стик нелинейных элементов для MrHoBeHHbJx значений ..............
э [5.46. Аналитический метод расчета при использовании характери
стик нелинейных элементов для MrHOBeHHbIx значений при их кусочно
линейной аппроксимации .........................................
э 15.47. Аналитический (rрафический) метод расчета по первым rap
моникам токов и напряжений. . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . .
э 15.48. Анализ нелинейных цепей переменноrо тока путем использова
ния ВАХ для действующих значений ........................ _ . . . . . .
э 15.49. Аналитический метод расчета цепей по первой и одной или He
скольким высшим или низшим rармоникам ..................... _ . .
э 15.50. Расчет цепей с помощью линейных схем замещения .........
э 15.51. Расчет цепей, содержащих индуктивные катушки, сердечники
которых имеют почти прямоуrольную кривую намаrничивания .., _ . .
э 15.52. Расчет цепей, содержащих нелинейные конденсаторы с прямо
уrольной кулон вольтной характеристикой ...... _ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 15.53. Выпрямление переменноrо напряжения ....................
э 15.54. Автоколебания . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 15.55. Мяrкое и жесткое возбуждение автоколебаний ..............
э 15.56. Определение феррорезонансных цепей .....................
э 15.57. Построение ВАХ последовательной феррорезонансной цепи. .
Э [5.58. Триперный эффект в последовательной феррорезонансной цe
пи. Феррорезонанс напряжений ...................................
э 15.59. ВАХ параллельноrо соединения конденсатора и катушки со
стальным сердечником. Феррорезонанс токов ......... _ . . . . . . . . . . . .
э 15.60. Триrrерный эффект в параллельной феррорезонансной цепи.
Э 15.61. Частотные характеристики нелиНейнЫх цепей ..............
э 15.62. Применение символическоrо метода для расчета нелинейных
цепей. Построение векторных и топоrрафических диаrрамм .........
э 15.63. Метод эквивалентноrо reHepaTopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 15.64. Векторная диаrрамма нелинейной индуктивной катушки ....
э 15.65. Определение намаrничивающеI'О тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 15.66. Определение тока потерь. . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 15.67. Основные соотношения для трансформатора со стальным cep
дечником ........................................................
э 15.68. Векторная диаrрамма трансформатора со стальным сердечни
ком............................................................. .
Э 15.69. Субrармонические колебания. Мноrообразие типов движений
в нелинейных цепях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 15.70. Автомодуляция. Хаотические колебания (странные aTTpaKTO
ры) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ., . . .
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а ш е с т н а Д ц а т а я. Переходные процессы в нелинейных электри-
ческих цепях ............. _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
493
494
495
496
497
497
498
БОО
500
503
504
505
506
506
508
508
509
510
512
513
515
516
517
521
522
\
524
527
f1
, \
528
4
э [6.1. Общая характеристика методов анализа и расчета переходных I
п роцессов . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Э 16.2. Расчет, основанный на rрафическом I10дсчете определенноrо /,
интеrрала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
16.3. Расчет методом интеrрируемой нелинейной аппроксимации. . . бiю
э 16.4. Расчет методом кусочно линейной аппроксимации ........... l
Э [6.5. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях методом пе t32
ременных состояния на ЭВМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э [6.6. Метод медленно меняющихся амплитуд ..................... 533
Э 16.7. Метод малоrо параметра ...................... _ . . .. . . . . . . . . 537
Э [6.8. Метод интеrральных уравнений. .. ., ... ., . " . . . . . . .. . .. .. . _. 54[
Э [6.9. Переходные процессы в цепях с терморезисторами. . . . . . . . _ . . 542
636
э 16.[0. Переходные процессы в цепях с управляемыми нелинейными
индуктивными элементами. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . .
э [6.[ 1. Переходные процессы в нелинейных электромеханических сис
темах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 16.12. Переходные процессы в схемах с управляемыми источниками
с учетом их нелинейных и частотных свойств .......................
э [6.13. Перемаrничивание ферритовых сердечников импульсами тока
Э [6.[4. Фазовая плоскость и характеристика областей ее применения
Э 16. [5. Интеrральные кривые, фазовая траектория и предельный
цикл............................................................ .
Э [6.16. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости ..
э 16.[7. Изоклины. Особые точки. Построение фазовых траекторий ..
Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а с е м н а д Ц а т а я. Основы теории устойчивости режимов работы
иелинейных цепей .....................................................
э [7.1. Устойчивость "в малом" и"в большом". Устойчивость по Ляпу
нову .............................................................
э 17.2. Общие основы исследования устойчивости "в малом" .........
э 17.3. Исследование устойчивости состояния равновесия в системах с
постоянной вынуждающей силой ..................................
э 17.4. Исследование устойчивости автоколебаний и вынужденных KO
лебаний по первой rармонике .....................................
э [7.5. Исследование устойчивости состояния равновесия в reHepaTope
релаксационных колебаний .......................................
э 17.6. Исследование устойчивости периодичеСКОI'О движения в лампо
вом reHepaTope синусоидальных колебаний. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 17.7. Исследование устойчивости работы электрических цепей, co
держащих управляемые источники напряжения (тока) с учетом их неи
деальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы для самопроверки.. .. . .. . . ., .. . . . .. . . . . . . .... . . . ., " ... . . .. . . .
r л а в а в о с е м н а Д ц а т а я. Электрические цепи с переменными во вре-
мени параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э [8.1. Элементы цепей............................................
Э 18.2. Общие свойства электрических цепей .......................
э 18.3. Расчет электрических цепей в установившемся режиме.. . . . . .
э 18.4. Параметрические колебания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c. f\. 18 5 П
"у .. араметрические reHepaTOp и УСИJIитель ....................
,Вопросы для саМопроВерКи............................................
итература к 11 части..................................................
Приложения ..........................................................
п рuложенuе А ........................................................
11.-.
. -паправленные иненаправленные rрафы ................................
э AJ. Характеристика двух направлений в теории rрафов ................
1. Направленные rрафы ................................................
А.2. Основные определения ...........................................
э.А.3. Переход от изучаемой системы к направленному rрафу . . . . . . . . . . . . .
_A.4. Обшая формула для передачи направленноrо (сиrнальноrо) rрафа ..
>"1. Ненаправленные rрафы ..................................... . . . . . . . .
i -
А.5. Определение и основная формула .................................
.A.6. Определение числа деревьев rрафа ...............................
А.7. Разложение определителя по путям между двумя произвольно вы-
б Р а н н ы м и у зл а м и . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э А.8. П рименение основной формулы ...................................
э А.9. Сопоставление направленных иненаправленных rрафов . . . . . . . . . . . .
п рuложенuе Б ........................................................
.1)
,
\ .
1;
I S:<
543
545
547
548
550
550
5Ы
552
554
555
555
556
558
560
562
564
564
565
565
565
566
568
571
573
574
576
578
578
578
578
578
578
579
581
583
583
584
584
585
588
589
637
Имитированные элементы электрических цепей .........................
Прuложенuе В ........................................................
Исследование процессов в неэлектрических системах на электрических MO
делях аналоrах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
п рuложение r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Случайные процессы в электрических цепях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э [. [. Случайные Ilроцессы. Корреляционные функции ...................
l .2. Прямое и обратное преобразования Фурье для случайных функций
времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r.3. Белый шум и ero свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э [.4. Источники внутренних шумов в электрических цепях ...............
п рuложенuе Д ........................................................
Дискретные сиrналы и их обработка ....................................
ДJ. Теорема Котельникова.. .. ..... ..... .,. .. .. . .... . . . " .. ..........
э Д.2. Частотный спектр дискретизированноrо сиrнала " . . . . . . . . . . . . . . . . .
э Д.3. Дискретизация частотноrо спектра ...............................
Д.4. Прямое преобразование Фурье дискретизированноrо сиrнала . . . . . . .
Д.5. Определение непрерывноrо сиrнала x(t) по коэффициентам ДПФ ...
э Д.6. Обратное дискретное преобразование Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Д.7. Вычисление дискретноrо преобразования Фурье. Быстрое преобразо
вание Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э Д.8. Дискретная свертка ВО временной и частотной областях ............
п рuложенuе Е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Частотные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э EJ. Классификация частотных преобразований ........................
Е.2. Частотные преобразования первоrо рода ..........................
э Е.3. Частотные преобразования BToporo рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Е.4. Частотные преобразования цепей с распределенными параметрами .
Э Е.5. Преобразование Брутона .........................................
Прuложенuе Ж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z преобразование цифровых сиrналов ..................................
э ЖJ. Прямое z преобразование цифровых сиrналов . .. ., '" ., ... .. ... . .
э Ж.2. Решение дифференциальных уравнений путем сведения их к разност
ным . . . . . . .. . .. . .... . .. .. . .. . .. ... .. . . . . '" . .. . .. ..... ., ..... '" . ... ...
Ж.3. Дискретная свертка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э Ж.4. Теорема смещения для цифровOI'О сиrнала ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ж.5. Передаточная функция цифровоrо четырехполюсника .............
э Ж.6. Соответствие между комплексной частотой р и параметром z диск
peTHoro z преобразования ..............................................
э Ж.7. Обратное z преобразование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э Ж.8. Соответствие между полюсами аналоrовоrо и цифровоrо четырехпо
люсников .............................................................
э Ж.9. Переход от передаточной функции аналоrовоrо четырехполюсника к
передаточной функции соответствующеrо цифровоrо . . . . . . . . . . . . . . . . . . " .
Прuложенuе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Цифровые фильтры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Введение ........................................................
э 3.2. Элементная база цифровых фильтров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Классификация цифровых фИЛЬТрОВ ПО виду передаточной функции
K(z).................................................................. .
Э 3.4. Алrоритм получения передаточной функции цифровоrо фильтра. . . . .
З.5. Зависимость модуля и aprYMeHTa K(z) от частоты. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Частотные преобразования цифровых фильтров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
э 3.7. Реализация передаточных функций цифровых фильтров ............
589
593
593
595
595
595
597
597
598
599
599
599
600
601
602
603
603
604
604
606
606
606
606
609
610
611
613
613
613
614
615
ЫБ"
616
6J6
61J,8
6
620
62 ,
б2
. " I
62Q
62.
.
f?t3