Розділ 11
Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
♦	Розв’язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші
♦	Метод прицілювання
♦	Метод скінченних різниць
♦	Власні значення однорідної крайової задачі
♦	Метод колокацій
♦	Метод Гальоркіна
♦	Метод найменших квадратів
♦	Метод скінченних елементів
У цьому розділі розглядаються наближені методи розв’язання двоточкових лінійних крайових задач для диференціальних рівнянь другого порядку [1, 4]. Наводиться різницева апроксимація крайової задачі і методи чисельного розв’язання отриманих рівнянь. Розглянуто також наближені аналітичні методи: колокацій, найменших квадратів і Гальоркіна.
11.1.	Постановка задачі
Щоб знайти єдиний розв’язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння п-го порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв’язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Ця задача докладно розглянута в розділах 8-10. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.
Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд:
У" = /(*> у, у'), а< х <Ь
(И-1)
11.1. Постановка задачі 337
із граничними умовами
У(а) = То, у(^) = Ті-	(И.2)
Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розв'язку задачі (11.1), (11.2). Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розв’язку [25].
Теорема. Припустимо, що /(х, у, г) неперервна в області
О = {(х, у, г): а < х < Ь, -ао< у <оо, - со < г < со}
і що
= їу{х,у, г) і ^ = /г(х,у,г) су	02
теж неперервні на І). Якщо існує постійна М > 0, для якої виконуються умови
/у(х, у,2)>$ для всіх (х, у, 2) є Ц	(113)
/г(х, у, г) < М для всіх (х, у, г) є Б,
то крайова задача (11.1), (И.2) має єдиний розв’язок у(х) для а < х < Ь.
Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду
Цу] = у" + Р(х)у'+	= а<х<Ь,	(11.4)
4[г/] = аоХа) + Роу'(а) = Уо, Іь{у] = аіУ<Ь) + Ріу'(Ь) = у(,	(И-5)
де
«о + 0о * 0, а? + 0і # 0.
Умови, які повинні задовольняти функції р(х), г?(х) і /(х), для того щоб задача (11.4), (11.5) мала єдиний розв’язок, випливають із теореми як наслідок.
Наслідок. Якщо р(х) і д(х) неперервні на О і д(х) < 0, то задача (11.4), (11.5) має єдиний розв’язок на а х Ь.
Граничні умови (11.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (11.4). Якщо припустити, що 0о =0і =0, то умови (11.5) визначають першу крайову задачу, а коли а0 = «і = 0 — другу.
Точне (аналітичне) розв’язання крайових задач — більш складна процедура, ніж знаходження розв’язку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналі-тичні методи, що дають наближений розв’язок крайової задачі на відрізку [а, й] у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розв’язок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка [а, Ь]. Нижче будуть розглянуті підходи до побудови і реалізації методів обох типів.
338 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
11.2.	Розв’язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші
Припустимо, що розв’язок задачі (11.4), (11.5) будемо шукати у вигляді
у(х) = Ат(х) + и(х),	(11-6)
де А — деяка константа, &(х) — функція, що задовольняє однорідне рівняння
Дк] = 0,	(11.7)
а п(х) — функція, яка задовольняє неоднорідне рівняння
£Н = /(г).	(11.8)
Через те, що рівняння (11.4) є лінійним, функція у(х) буде його розв’язком для будь-якого А. Справді,
£[г/] = ЦАм + V] =	+ £[ц] = / (х).
Якщо припустити, що розв’язок (11.6) задовольняє першу граничну умову (11.5) для будь-якого А, то отримаємо рівняння
Іо{у] = 10{Аіі) + V] = АІо{и] + 4[ц].
Ця гранична умова задовольняється, якщо покласти
Цк] = а0®(а) + 0о^'(а) = 0	(11.9)
і
4,М = аоЦа) + Рог'(а) = уо.	(11.10)
Рівність (11.9) справедлива, коли прийняти, наприклад, що
к’(а) = р0, т'{а) = -ай.	(11.11)
Щоб задовольнити рівність (11.10), можна покласти:
ц(а) = —, ц'(а) = 0, якщо ао*О	(11.12)
ао
чи
ц(а) = 0, ц'(а) = —, якщо 0о * 0.	(11.13)
Ро
Врахуємо, що одночасно «о і 0о на нуль не перетворюються через умову (11.5).
11.2. Розв’язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші 339
Таким чином, для розв’язання крайової задачі (11.4), (11.5) необхідно знайти розв’язок задач
V)" + р(х)ш' + д{х)т = 0, №{а) = ро, к>'(а) = -ао	(11.14)
та
V” + р(х)г' + д(х)г = / (х)
(11.15)
з початковими умовами (11.12) чи (11.13). Для цього можна використати будь-який чисельний метод розв’язання задачі Коші для рівнянь другого порядку. Наближений розв’язок цих рівнянь отримуємо на відрізку [а, 6], у результаті чого стають відомими значення м(Ь), ж'(а), г(Ь), г'(а). Це дозволяє вибрати таку константу А, щоб функція (11.6) задовольняла не тільки рівняння (11.12) і першу граничну умову, але і другу граничну умову (11.5). Маємо
Іь[у} = Іь[Ам + <у] = Л/Дк] + 4 [г] = уь
звідки
Л _Ді - іь[у\ Уі ~	- Ріг/(6)
4,[к] аіК’(і) + Рік'(і)
якщо 0.1 ®(6) + Ріа/(£) * 0.
(11.16)
Коли аіК’(і) + Ріда'(і) = 0, то однорідна крайова задача
£[к| = 0, 4[к] = 0, 4[к] = 0
має нетривіальний розв’язок ж(х), який є ознакою виродженості початкової задачі (11.4) , (11.5).
Приклад 11.1
Розв’яжемо крайову задачу
У — (1 + х )// — х + 2х,	.ц
у(-1) = у(1) = 0.
Порівнюючи умови (11.17) із загальними граничними умовами, можна помітити, що
а = -1, Ь = 1, ао = 1, Ро =0, аі = 1, Рі =0, уо = 0, уі = 0.
Будемо шукати розв’язок у вигляді (11.6). Тоді для функції ю(х), відповідно до (11.7), маємо задачу Коші
а>’ - (1 + х2)и> = 0, ю(-1) = 0, да'(-І) = -1.
Розв’язуючи будь-яким чисельним методом останню задачу, використовуючи МаіЬе-таїіса:
Іґ)[]:= а = -1; Ь = 1, ао = 1; /Зо = 0; уо = 0; он * 1; /Зі = 0; уі = 0;
51 = N0501 ує[{и"[х] - (1 + х2)и[х] -= 0, н[-1] =» 0,	== -1},
и[х], {х, -1, 1}]; Н[х_] = Н[Х]/.51;
отримуємо розв’язок ю(х).
340 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Задача Коші (11.15) з початковими умовами (11.12) для розглянутого випадку має такий вигляд:
V — (1 + .г2)г = у? + їх, с(-1) = 0, с'(-1) = 0.
Розв’язуючи цю задачу, отримаємо функцію с(х):
Іп[]:= 52 = N0501 ує[{у"[х] - (1 + х2Мх] = х2 + 2х, у[-1] == 0, у'[-1] = 0},
У[х],{х, -1, 1}]; У[х_] = у[х]Л52;
Для визначення константи А за формулою (11.16) знайдемо значення похідних и>”(Ь) і обчислимо значення А:
Іп[]: = Мх_] = 0[И[х], х]; <Мх_] = 0[У[х], X];
А » (уі - аіУ[Ь] - ДібУ[Ь])/(аіН[Ь] + /Зі<МЬ])
ОіЛО {-0.334994}
Відповідно до рівняння (11.6) розв’язок отримаємо у вигляді
у(х) = -0,334994и>(х) + г(х~),
графік якого показано на рис. 11.1.
Рис. 11.1. Розв'язок крайової задачі
11.3.	Метод прицілювання
Викладений вище метод редукції крайової задачі до задачі Коші має певні недоліки.
♦	Він не дозволяє використовувати методи розв’язання задачі Коші зі змінним порядком і змінним кроком. Розв’язки ®(х) і ц(х) повинні обчислюватись на сітці з однаковим кроком, інакше знайти їх комбінацію (11.6) буде неможливо.
♦	Використання методу, як правило, обмежується лише одновимірною лінійною задачею. Причина полягає в тому, що під час розв’язання системи рівнянь потрібно обчислювати не одне значення константи А (11.16), а матрицю А, що є далеко не простою задачею.
♦ Метод не придатний для розв’язання нелінійних крайових задач.
11.3. Метод прицілювання 341
Ці недоліки спричинилися до появи нових методів. На практиці двоточкова крайова задача (лінійна чи нелінійна) звичайно розв’язується методом прицілювання (стрільби), назва якого запозичена із теорії артилерійської стрільби. Відповідно до цього методу розв'язок шуканого рівняння другого порядку
У" = /{х, у, у')
із заданими граничними умовами
у{а) = уй, у(Ь) = уі, хє[а, Ь]
знаходять у такий спосіб: ітераційним розв’язанням задачі Коші
У" = /(х, у, у'), у(а) = у0 і у'(а) = о
(11.18)
підбирається значення першої похідної у'(а), для якої виконується друга крайова умова у(Ь) = уі.
Спочатку вибирається довільне значення о = оо і розв’язується задача Коші (11.18). Значення о0 бажано вибирати так, щоб наближений розв’язок на кінці інтервалу задовольняв умову уо(Ь) < уі (рис. 11.2). Потім вибирається о = оі, і розв’язання задачі Коші повторюється. Тепер бажано вибрати його так, щоб виконувалась умова у\(Ь)> уі (рис. 11.2).
Уі(Ь, аО
Уг(Ь, а2)
Уа(Ь, а0)
а	Ь
Рис. 11.2. Ілюстрація методу прицілювання
Після цього шляхом інтерполяції уточнюється значення о, для задач Коші з початковими умовами:
/ / \	\ оі - оо
СТ2 = СТ1 - (и(оі) - уі) ——-——,
п(о|)-п(оо)
Оз = 02 - (и(О2 - у,)) Р2 Р‘ , п(о2)-и(оі)
(11.19)
де г/(о, ) — наближений розв’язок задачі Коші в точці Ь для вибраного значення о, .
342 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Метод прицілювання є універсальним і використовується для розв’язання нелінійних диференціальних рівнянь и-і'о порядку. Слід зазначити, що довільний вибір початкового наближення оо може привести до того, що задача (11.18) виявиться жорсткою (розділ 10) навіть у випадку, коли задача (11.1), (И.2) є добре обумовленою.
11.4.	Метод скінченних різниць
Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (11.4) і граничних умовах (11.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку [а, Ь] сітку з кроком /г:
Ь-а п
:	= {хі | Хі = х0 + іїг, і = 0,1,..., п; х0 =а; х„ = Ь}.
Позначимо через у і - у(х) точний розв’язок задачі (11.1) у і-му вузлі сітки, а через іу — наближений розв’язок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння:
ООШ ,ИБТ О".
им - 2ііі + и,-і иі+і -
----------+ =
(11.20)
і =
Як відмічалось у розділі 5, симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно к, тобто О(к2). Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розв’язку рівняння. Дійсно, для вузлів х,_і та хі+і маємо
,, У‘^ У^
Ум =Уі +Уік + ^-к + ~к +..., 2 о
Ум = Уі - у'ік + — /г2 —!— /г3 +...
ум уі	2	6
. з різниці яких отримуємо шуканий результат:
(3)
(4) <1к21)
У^^ + Уі-і =уі+Уі_.ії+... = у? + 0(к2).
Знайдемо нев’язку різницевого рівняння
’і = у1+і 2у + у,л _ Ум Ум _	+^= _у„ _ Ріу, _	+ у: + 0^2 у
п
11.4. Метод скінченних різниць 343
Оскільки у(х) є точним розв’язком рівняння (11.4),
-уї ~ РіУі ~ ЯіУі + /і = 0 та Гі = О(к2).	(11.22)
Тому різницеве рівняння (11.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння (11.4) також із другим порядком відносно к.
Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями:
л По	р и„ ип~і	/-ї-і оо\
аозд+Ро—; = Уо, аіШ+Рі----------------= у(.	(11.23)
к	к
Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Нев’язки граничних умов (11.23) мають вигляд:
о У і ~ уо	п У” ~ Уп-І ,
Го = -аоУо - Ро--~~ + уо, г„ = -аі#„ - Рі---------+ уь
к	к
Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно к, тобто О(к). Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора
го = -аоуо - -РоУо ~ РоУок + О(к2) - ОЦІ),
із якого отримуємо
Го = О(к), г„ = О(к).
Отже, граничні умови (11.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення
-Згд)+4пі-п2	„ п„-2 -4п„-і + Зп„ ...
аопо + Ро-------------= уо, аіп„ + Рі-----------------= уі, (11.24)
2.П	2п
похибка апроксимації яких також пропорційна О(к2), як і для випадку симет-
ричної апроксимації похідних. Це випливає із порівняння двох рядів Тейлора:
Уі = у(хо +к)- уо + уок + ^-к2 + к3 +...,
2	6
"	,.<3)
г/г = у(хо + 2к) = уо + 2куо + — (2/г)2 + ^—(2к)'і +.... 2	6
Якщо перший вираз помножити на 4 і відняти його від другого, отримаємо:
4г.<3)
—Зг/о ~ 4г/і + г/2 “ 2г/6Л + к? +... = 2у(>к + О(А3).
6
344 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Після його підстановки у формулу (11.24) знаходимо нев’язку у вигляді: го = аоуо + 0ог/о - У о + О(к2) = О(к2),
тобто крайова умова апроксимується з другим порядком відносно к.
У такий же спосіб доводиться, що і друга гранична умова (11.23) апроксимується з другим порядком відносно к.
Розглянемо ще одну можливість апроксимації крайових умов типу (11.5) на прикладі умови
Іь[у} = аіу(Ь) +	= уь
Для цього за межами інтервалу [а, і] вводиться додаткова точка хп+) = = Ь + к, за допомогою якої обчислюється перша похідна за симетричною формулою апроксимації:
01 (^я+1 24ї-і )
«ії/п + ------77---------= Уь
(11.25)
2к
Точку Щ-и можна виключити, скориставшись співвідношенням (11.25) і різницевою апроксимацією диференціального рівняння (11.4) в кінцевій точці інтервалу хп:
^4ї+і 2ип + ііп-і и„+і ііп—і	/
~2	Рп ТТ І" ЦМ, — ]п-
к	2к
(11.26)
Отримуємо рівняння для граничної умови в точці п із порядком О(к2), яким можна замінити останнє рівняння в системі алгебраїчних рівнянь, одержаній у разі кусочно-різницевої апроксимації похідних у рівнянні (11.4).
Те ж саме можна зробити з першою умовою (11.5) і першим апроксимую-чим рівнянням для щ. Варто підкреслити, що врахування граничних умов різних типів впливає тільки на перше й останнє рівняння цієї системи.
Зведемо подібні члени в рівнянні (11.21) і отримаємо стандартне триточко-ве різницеве рівняння:
(1 - 0,5крі - (2 - к2уі Ущ + (1 + 0,5крі )им = к2/і , і = 1,..., п —1.
(11.27)
Включивши до системи рівнянь (11.25) різницеве рівняння (11.23) чи (11.24), отримаємо систему рівнянь, що містить п +1 рівняння з п + 1 невідомими иі.
Порівняємо ці два варіанти апроксимації крайової задачі. У першому з них система лінійних алгебраїчних рівнянь, утворена рівняннями (11.21) і (11.23), має тридіагональну матрицю коефіцієнтів, і її можна розв’язати методом прогону (розділ 3). Щоб застосувати метод прогону в другому випадку, слід створити
11.4. Метод скінченних різниць 345
відповідну тридіагональну матрицю. Для цього потрібно з першого рівняння (11.27) для і = 1
(1-0,5крі )гді - (2 - к2ді )мі + (1 + 0,5крі )и2 = к2/і
і першого рівняння (11.24) виключити иг. Виконавши це, отримаємо:
к(2 + крі)уо — (~к2 /і + (2 + 2кр\ + к2 ді )гл )Ро + + ио (к(2 + крі )а0 + (-2 - 2крх )0О).
Маємо рівняння з двома невідомими — щ і Иі. Замінимо ним перше рівняння (11.24). Виконаємо такі ж перетворення з другим (11.24) і останнім рівнянням (11.27) для г = п-1:
(1-0,5крп-, Уііп-2 - (2 - к2д„_і )и„-і - (1 - 0,5/гр„_( )ип = к2.
Виключивши з них и„-2, знаходимо:
к(-2 + /гр_і+„)уі = {-к2	+ (2 - 2кр^+п + /г2д_і+„>_І+и)Рі +
+ и„{к{-2 + йр_і+„)а( + (-2 + 2/гр_І+„ )0і).
Це рівняння містить дві невідомі — ип і ііп-і. Замінимо ним друге рівняння (11.27). Два останні рівняння разом із (11.27) утворюють систему рівнянь із тридіагональ-ною матрицею, що апроксимує вихідну крайову задачу (11.4), (11.5) з порядком О(к2). Цю систему також можна розв’язати методом прогону. В розділі 3 показано, що метод прогону є стійким, якщо матриця коефіцієнтів діагонально домінантна. Забезпечити діагональну домінантність можна обранням кроку к. Для цього необхідно, щоб для системи рівнянь (11.27) виконувались умови:
1-0,5р,/г > 0,1 + 0,5/?і/г > 0 і <у; < 0, г = 1,..., п-і.
Підсилюючи останні нерівності, маємо такі обмеження на величину кроку:
<?(х) < 0, х є [а, і] і к <------------, х є [а, 6].
шах|р(х)|
(11.28)
Щоб задовольнялись умови (11.23), мають виконуватись нерівності
ао0о < 0 і сц0і > 0.
(11.29)
Наявність обмежень (11.28) і (11.29) свідчить про умовну стійкість розглянутого методу апроксимації.
346 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Приклад 11-2
Розв’яжемо різницевим методом крайову задачу
у' - 1п(х)У - 2у = 1, г/(0,5)-у(0,5) = 1, г/(1,5) + г/'(1,5) = 0.	(11.30)
Відповідна різницева задача має вигляд:
(й + 1)ко - щ = к, (2 + Л1п(х,))і/,-і-4(1 + Л2)ц; + (2 - й1п(хі))иі+і = 2й2, г = 1.п~1,
Ил-і - (1 + к)и„ = 0.
Виберемо крок к, який забезпечує стійкість різницевої схеми (11.26):
Функція 1п(х) монотонна, тому вона досягає найбільшого за модулем значення на одному з кінців інтервалу. Це значення
|1п(0,5)| = 0,693147, |1п(1,5)| = 0,405465.
Таким чином, к С 0,30103 і умови (11.29) виконані. Щоб отримати розв’язок із достатньою точністю. Виберемо крок рівним к = 0,2. Формули методу прогону (3.13) для р, = = 2 + Ліп(хі), а; = -4(1 + й2), у,- = 2 - йіп(хі), Д = 2й2 мають такий вигляд:
1	й
®1 = ~---Г.	V! = ----,
1 + Й	1 + Й
2-йІпх;	__	2й2 -(2 + Й1п(х,))й-і
(2 + й1п(х,))к'і-і - 4(1 + й2)	(2 + й1п(х,))к',-і - 4(1 + й2)
Наведемо програму розв’язання задачі за допомогою пакета Маіїїетагіса:
Іп[]: = П = 50;
її - (ХП - хО)/п;
хО = 0. 5;
ХП = 1. 5;
Аггау[К, п, 0]; АггауЕХ/, п, 0]; АггауЕи, {п+1, 2}, 0];
И[0] = 1/(1 + її); УСО] = їі/(1	+ її); Ь = 4(1	+	її2); и[0, 0]	=	х0;	и[п, 0]	=	хп;
Оо [1е = ІодЕхО + Ї1*1]; а = 2	+ Ї1*ЇЄ; с = 2	-	Ї1*ЇЄ;
И[і] = с/(Ь - а*К[і - 1]);	УЕ1 ] = -(2*Ї12	-	а*УЕі	-	1])/Ь	-	а*И[і-1]),	{і, п-1}];
Прямий прогін завершено. Обчислимо значення	ип:
ІпЕ]:= и[п, 1] - \/[п-1]/(1 + її - И[п-1])
0иї[]= -0.120967
Виконаємо зворотний прогін:
Іп[]:= Оо [и[п-і, 0] = хп - їі*і; иЕп-1, 1] = К[п-1 ]*и[п-1+1, 1] + УЕп-і], {і, 1, п}];
Отримаємо розв’язок тієї ж задачі (10.26) за допомогою стандартного оператора пакета Маїїіепіагіса з використанням методу прицілювання (підрозділ 11.8):
ІпЕ];- Е0 = М0$о1уєЕ{у'Ех] - Еод[х]*у'М - 2*у(х] == 1, уЕО. 5] - у'ЕО.5] == 1, уЕІ.5] - у'[1.5] == 0}, у, {х, 0.5, 1.5}];
11.4. Метод скінченних різниць 347
Побудуємо графіки обох розв’язків на одному рисунку (11.3):
Іп[]: = Аггау[г, {т-1, 2}, 0];
5[х_] = уЕх]/. Е0;
Оо [г[і, 0] = хО + 1*і); г[І,1] = 5[х0 + і*І1][[1]], {1,0, п}];
Іп[]:= «ЄгаріїіСї'МиІ (лрі еіл 5ІР1 ої'
Іп[]:= «ОгарІтісз'ЕедегкГ
Іп[]:= МиіііріеП5ІР1 оЦАггау[г, {п+1, 2}, 0], АггауЕи, {п+1, 2}, 0],
РІоИедепсі -» {"МаУіетаІІса", "Різницевий метод"}, РІоОозпесі -> {Еаїзе, Тгие}, Р1 оРРозі 11 оп -> {0.3, -0.5}]
Рис. 11.3. Графіки розв’язків крайової задачі, отримані різницевим методом (11.26) і за допомогою стандартного оператора пакета Маіїїетаїіса
Приклад 11.3
Проілюструємо ефективність застосування екстраполяції Річардсона для розв’язання крайових задач на прикладі рівняння
у" + у = х
з граничними умовами г/(0) = 1, г/(л/2) = л/2 - 1.
Диференціальне рівняння апроксимується лінійною системою рівнянь виду:
Аи = /г2(х - и) - г,	(11.31)
де
Результати розв’язання системи (11.31) на інтервалі [1, л/2] для и = 5 і п = 10 відрізків систематизовані в табл. 11.1. Там же наведені уточнення, отримані екстраполяцією Річардсона (8.20) з поправками д/((/р -1) = Д/3 (р = 2 і гд = 2). Оскільки відомий точний розв’язок крайової задачі у(х) = созх-зіпх + х, останній стовпець таблиці містить значення похибки е.
348 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Таблиця 11.1. Результати застосування екстраполяції Річардсона для уточнення розв’язку крайової задачі
2х/л	т = 5 и(х, 0,1л)	т = 10 и(х, 0,05л)	ю6д/з	Значення за Річардсоном	106Е
0	1,000000	1,000000	0	1,000000	0
0,1		0,988402			
0,2	0,956572	0,956291	-94	0,956197	-2
0,3		0,908337			
0,4	0,849741	0,849597	-48	0,849549	-1
0,5		0,785398			
0,6	0,721056	0,721199	48	0,721247	1
0,7		0,662460			
0,8	0,614224	0,614505	94	0,614599	1
0,9		0,582395			
1,0	0,570796	0,570796	0	0,570796	0
11.5. Власні значення однорідної крайової задачі
Однорідна крайова задача
у”+*у=о, і/(О) = о, г/(і) = о
(11.32)
завжди має тривіальний розв’язок у(х) = 0. Однак для практичного застосування важливе значення мають нетривіальні розв’язки, існування і вигляд яких залежать від параметра X. Ці особливі значення параметра К називають власними значеннями крайової задачі, а відповідні до них нетривіальні розв’язки — власними функціями. Наприклад, задача (11.32) має розв’язок
у(х) = асо5(х\/Х) + &8Іп(х\/Х),
з якого випливає:
г/(0) = 0 => а = 0, у(ї) = 0 => 4Ї. = пп, п = 0, ± 1, ± 2...........
Отже, власні значення задачі (11.32):
,	2 2
Л. = п я ,
власні функції:
у(х) = Ь$їп(пхп).
(11.34)
(11.33)
11.5. Власні значення однорідної крайової задачі 349
Приклад 11.4
Знайдемо власні значення різницевого аналога крайової задачі (11.32)
У + ^У = 0, 2/(0) = 0, г/(1) = 0.
Для цього на інтервалі [0, 1] виділимо три відрізки (п = 3) із кроком к = 1/3 введемо різницеву апроксимацію другої похідної:
п и-п+і —	+ ип-\
и„ »---------------.
Тоді для рівняння (11.32) можна записати систему рівнянь виду:
-2иі +ІІ2	п
----5---+ Хщ = 0, А'
(11.35)
Якщо для задачі існує нетривіальний розв’язок (щ * 0, и? * 0) , то визначник системи рівнянь (11.35) повинен дорівнювати нулю (11.35):
-2+ ХА2 1
1	-2 + ХА2
= 0,
звідки
ХА2-2 = ±1.
Для А = 1/3 отримуємо значення Хі = 9 (точне значення я2 ® 9,8696) і Х2 = 27 (точне значення 4л' х 39,48).
Похибку обчислень власних значень можна записати за допомогою виразу
Х(А) = X + С2А2 + С3А3 + С4А4 +....
Точність обчислення власних значень задачі можна істотно підвищити, якщо застосувати екстраполяцію Річардсона (8.20). Для цього додатково розіб’ємо інтервал і знайдемо визначник системи рівнянь, побудованої для кроку А = 1/4. Результати оцінювання значення Хі зведені в табл. 11.2. Бачимо, що оцінка Х| = 9,8517 досить близька до точного значення Хі = я2 ® 9,8696.
Таблиця 11.2. Уточнені власні значення крайової задачі
А	X,-	Д/(7/9)	Значення за Річардсоном	Е
1/3	9	0,4791	9,8517	-0,0176
1/4	9,3726			
Дані табл. 11.2 свідчать про те, що застосування екстраполяції Річардсона дозволяє отримати оцінку Хі із малою похибкою, навіть коли на інтервалі невелика кількість точок, що сприяє зменшенню обсягу обчислень, необхідних для знаходження визначників.
350 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
11.6. Метод колокацій
У методі колокацій розв’язок крайової задачі. (11.4), (11.5) шукається у вигляді функції
и(х) = <ро (х) + £ с,ф, (х).	(11.36)
1=1
де ф;(х), і = 0,1,..., п — лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку [а, 6]. Функція фо(х) повинна задовольняти задані граничні умови (11.5):
/О[фо] = аофо(я) + Рофо(я) = Уо>	(И37 а)
/*[г/] = аіфо(6) + Ріфо(&) = уі,
а функції фі(х), і = 0,1,..., п — відповідні однорідні граничні умови, тобто
Іа [ф; ] = аОфі(а) + роФ,' (а) = 0,
4[фі] = аіфі(6) + Ріфї(6) = 0,	(11.37, б)
і = 0,1,..., п.
Через лінійність граничних умов функція м(х) у (11.36) задовольняє граничним умовам (11.24) для будь-яких значень с,. Наприклад, у точці х = а маємо
/о — /о
п
фо(«) + ХС'Ф<(«)
1=1
= Цф0 («)] + /«
п
Хчф<(«) 1=1
п
= Уо + ХсіМфі(«)] = Уо.
і=і
Аналогічно для х - Ь отримаємо
4[«] = Уі-
Суть методу колокацій полягає в тому, що для заданих п точок на відрізку [а, 6], названих вузлами колокації, підбирають значення с, так, щоб отримана при цьому функція м(х) (11.36) задовольняла рівняння (11.4) у кожному з вузлів колокації:
£[м(х7)] = Ь
п
фо(ху) + £с,ф,(х,) 1=1
п
= ЦфоСч)] + £с,Цф,(х,)] = У*(Ху), і=1
0 < у < п,
(11.38)
11.6. Метод колокацій 351
де
І[ф>(х7)] = ф'(х7) + р(хі)<Рі(хі) + я(х7)ф,(х7), у = 0,1,п.
Покладемо
ч-іколі.	(1139)
Ь) =/(*7)-Цфо(х7)].
тоді (11.39) матиме стандартний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
^а17с, = Ь,, у = 0,1,п,	(11.40)
і=і
відносно коефіцієнтів Сі. Якщо розв’язати цю систему і підставити отримані значення коефіцієнтів у вираз (11.36), отримаємо наближений розв’язок м(х).
Точність розв’язку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій <рі(х). У конкретних задачах вибір цих функцій слід здійснювати з урахуванням апріорної інформації про розв’язки задачі або на основі емпіричних даних. Якщо така інформація відсутня, можна використати запропонований в [4] метод. Нехай фо(х) — це лінійна функція
Фо(х) = <& + £,	(И-41)
параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь
(і(аа0 +Ро) + #ап = уР,
(11.42) а(Ьа.і + Рі) + &сі = уі.
Функції ф,(х) можна задати у вигляді:
Ф, (х) = 5і(х-а)'+1+(х-а)''2, і = 1, 2,..., п.	(11.43)
Очевидно, що за будь-яких з, функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення 5,, за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке:
5. = _ аі(б-а)2 +Рі(г-ь2)(&-а)	(11 44)
а.і(Ь- а) + р((г +1)
Якщо в умовах (11.37, а, б) р0 = 0, то можливий інший вибір, а саме:
Ф,(х) = 5,(х - а)' + (х - а)І+І,
аі(^-а)2+Рі(г + 1)(^-а)	(11.45)
аі(й-а) + гр(
352 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Приклад 11.5
Розв’яжемо задачу:
£[г/(х)] = Xіу" + хеу' - х5у = 6 - Зх2, 1 < х < 2,	(11.46)
1/(1) = 1, Зг/(2) + г/'(2) = 0,5.	(11.47)
Порівнюючи умови (11.47) із загальними граничними умовами, бачимо, що:
а = 1, Ь = 2, ао = 0, Ро =0, уо = 1, а, 3, Рі=1, уі = 0,5.
Розглянемо, як необхідно вибирати систему базисних функцій. Спочатку знайдемо коефіцієнти функції (11.42). Розв’язавши систему рівнянь (11.43) для умов (11.47), отримаємо
<ро(х) = 0,625х +1,625.
Сформуємо базисні функції <р,(х) у вигляді (11.43):
<р,(х) = 1,25(х -1) + (х -1)2, <Рг(х) = -1,2(х-1)2 +(х-1)3.
Визначимо диференціальний оператор £[и(х)], іцо відповідає лівій частині рівняння (11.4) для наближеного розв’язку:
и(х) = фо(х) + С,<р,(х) + С2<Р2(х).
Виразимо нев’язку диференціального рівняння для наближеного розв’язку и(х):
г(х) = /(х) - £[и(х)] = 6 - Зх2 + (-2сі + 8,4с2)х4 + (1,625 + 2,25 - 8,2сг)х5 + + (0 + Осі + 0сг)х6 + (-сі + 4,2сг)х7 - 2сгх8.
Виберемо дві точки колокації з координатами х, = 1,33, хг = 1,667. Задамо вимогу, щоб нев’язки в точках колокацій були рівними нулю, й отримаємо систему рівнянь для обчислення сі, С2:
5,7334 - 4,32347с, + 3,48198с2 = 0, 13,0213-22,2528с, -9,7125ІС2 = 0.
Розв’яжемо отримані рівняння і запишемо розв’язок задачі:
и(х) = фо(х) + 0,8457<р,(х) - 0,5967<рз(х) = = -0,597(-2,47684 + х)(3,27523 - 3,14045х + х2).
Тепер розв’яжемо цю крайову задачу (11.46), (11.47) за допомогою пакета Маїїіепіаііса: Іп[]: = а = 1; Ь = 2; 1[х_] = 6 - Зх2;
05о1 Уе[{-х5у[х] + х6у'[х] + х4у"[х] == Г[х], у[а! == 1, у'[Ь] + Зу[Ь] == 0.5}, у[х], х]
0іЛ[]- {{у[х] -> Дг}}
X
11.7. Метод Гальоркіна 353
Наведемо графіки наближеного і точного розв’язків, що дорівнюють у = х 2.
Рис. 11.4. Точний і наближений розв’язки задачі (11.46), (11.47)
На рис. 11.4 видно, що, використовуючи три базисних функції, отримали досить точний наближений розв’язок крайової задачі (11.46), (11.47). Максимальна помилка досягається, коли х = 2, і дорівнює є = ІІ[2) - 0.25 = -0.330594.
11.7.	Метод Гальоркіна
Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв’язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді
м(х) = фо(х) + £с,ф,(х),	(11.48)
І=1
де ф, (х), і - 0,1, 2,... — лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку [а, Ь]. Функція ф0(х) повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції ф,(х). г = 0,1, 2,... — відповідні однорідні граничні умови (11.37, б).
Необхідно, щоб система базисних функцій ф;(х), г = 0,1, 2,... була ортогональною на відрізку [а, &], тобто
ь	ь
|фі(х)ф,(х)«2г = 0 при	і |ф,2(х)<£г# 0,
а	а
і повного. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій ф,(х), і = 0,1, 2,....
Використуючи наближений розв’язок (11.48) знайдемо нев’язку:
г(х, Сі, с2 с„) = £[ф0(х)] + £с>Цфі(х)]- /(х).	(11.49)
356 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Підставимо наближений розв’язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо не-в’язку:
г(х, Сі, с2.с„) = £[<р0(х)] + £і[(рі(х)]	(11.55)
абсолютна величина якої для а С х С Ь повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова
и
І = |г2(х, Сі, Сг....с„)сіх —> тіп.
а
(11.56)
Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:
ь
8ІС, =2(г—<2г = 0,
8ІС2 = 2 Гг——сіх = 0, } сс->
а
Ь о
8ІСЗ =2[г—сіх = 0, а 8с3 ь _
8ІС„ = 2 17—= 0. ? 8сп
На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів С1, с2.с„.
Приклад 11.7
Розглянемо розв’язання задачі
хіу" + х6у'-х5у = 6-3х2, 1 < х < 2,	(11.57)
г/(1) = 1, Зг/(2) + г/’(2) = 0,5	(11.58)
наведеної в прикладі 11.5.
У даному випадку будемо використовувати ті ж самі базисні функції і ту ж форму зображення розв’язку, що і в прикладі 10.2:
Фо(х) = 1,625 - 0,625х,
<рі(х) = -1,25(-1 + х) + (-1 + х)2,
<ра(х) = —1,2(—1 + х)2 + (-1 + х)3, и(х) = <ро(х) + С|<р,(х) + с2<р2(х).
Підставимо и(х) в (11.55) і знайдемо нев’язку:
г(х) = 6 - Зх2 + (-2сі + 8,4с2)х4 + (1,625 + 2,25 - 8,2сг)х5 + + (0 + Осі + 0с2)х6 + (-сі + 4,2сг)х7 - 2с2х8.
11.9. Метод скінченних елементів 357
Отримаємо систему рівнянь ДЛЯ обчислення коефіцієнтів Сі, С2'.
2 ггг
\г—<1х = -433,582 + 962,617сі + 883.262с2 = 0,
і дсі
[г—сіх = -372,153 + 883,262сі + 879,967о> = 0.
/ дс2
Розв’яжемо цю систему і знайдемо
сі = 0,789449, с2 = -0,369488.
Сформуємо наближений розв’язок:
и(х) = -0,369488(-2,71191 + х)(4,20565 - 3,6247х + х2).
Наведемо графіки розв’язку, отриманого методом найменших квадратів и(х), і точне значення х~2 (рис. 11.6).
Рис. 11.6. Графіки точного розв'язку крайової задачі (11.57), (11.58), рівногоу=х 2, і наближеного розв’язку н(х), отриманого методом найменших квадратів у Маіїїетаііса
Із використанням трьох базисних функцій отримано досить точний наближений розв’язок крайової задачі (11.57), (11.58), бо криві розв’язків практично збіглися.
11.9. Метод скінченних елементів
Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розв’язання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розв’язку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку [а, Ь]. У цьому випадку розв’язання крайової задачі зводиться до формування і розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тому метод отримав назву методу скінченних елементів. Його часто використовують для розв’язання дво- та тривимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними. У цьому розділі розглянемо основні ідеї методу на прикладі розв’язання крайових задач для ЗДР.
358 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Шукатимемо наближений розв’язок задачі
і[г/] = У" + Р(*}у' + Я<*}У = /(*). а<х<Ь як лінійну комбінацію простих однотипних функцій
к-1
м(х)=X с,<Р'(г)'
1=1
що мають вигляд
(11.59)
(11.60)
	X - Хі-1	ЯКЩО	X Є [х,-і, Х|],
	к		
<р,(х) = -	X - Хі+1	якщо	X Є [Хі, Х,+1],
	к		
	о,	якщо	X Й [Хі-1, Хі+1
(11.61)
і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 11.7, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі (хі-і , хі+і). Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку [а, і>], відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі Ц[а, /;]. Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.
Рис. 11.7. Графік фінітної функції фі(х)
Запишемо умову ортогональності (11.50):
и-1 ь	ь
|ф*(х)1[фі(х)]«£г = ^<рі(х)/(х)сіх, к = 1, 2,..., п -1	(11.62)
і=1 а	а
і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих с,-. Праві частини цих рівнянь позначимо через і отримаємо для їх обчислення вираз
Ь	хь+\
(1к = |фл(х)/(х) дх = £ | <рЦх)/(х) дх =
а	А=1 Хк
Хк	Хк+\
= [	/(х) (їх + [	/(Х)
(11.63)
11.9. Метод скінченних елементів 359
Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через
ь
Які = |фі(х)£[ф,(х)]Дг.
а
Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь акі з невідомими с,-. Підставляючи в останній вираз £[ф,(х)], отримаємо
ь
акі = |фі(х)(<р7(х) + р(х)<рї(х) + д(х))Лх.
а
Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:
ь	ь
|ф/і(.т)<р;,(.г)й!х = фі(.г)ф'(х)|'’ - |ф4(х)ф;(х)сЬг.
а	а
Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються п-1 базисних функцій від фі(.т) до ф„ і(х) і всі вони в точках я і Ь дорівнюють 0, то
ь	ь
|фі(х)фГ(х) Дг = - |фЦх)ф;(х)Дг.
а	а
Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:
ь	ь	ь
Які ~ - |ф4(х)фї(х)Дг + |р(х)фї(Х)фі (*)<& + |<7(х)ф&(х)фі(х)Дг = Лд-	°	°	(11.64)
= X I (~Ф*	(*) + Р&'Юк (х)<Рі (х) + <?(*)фі (*)ф> О)) <&
Для обчислення Які треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (11.61) і отримуємо:
ф'(х) =
£ А ’

А ’
ЯКЩО Хє[Хі-і,Хі],
0,
ЯКЩО	X Є [Хі, Х,+1],
ЯКЩО	X £[Хі-і, Хі+1].
(11.65)
Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі (х,_і, Лт+і)- Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 11.8), тобто на інтервалі (Хі, Хі+1) ВІДМІННІ ВІД нуля фі(.т), фі+і(х), фї(х), ф!+і(х) іт. д.
360 Розділ 11. Крвйові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Рис. 11.8. Система фінітних функцій
У виразі для а^і (11.64) добутки ф1(.г)ф,'(х), ф4(х)ф,(х), ф;г(.г)ф, (х) можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли і -1 к і +1. А це означає, що
аи = 0 для
|г - &| > 1,
(11.66)
тобто матриця системи А = {«/,,} (11.62) є тридіагональною матрицею. Її нену-льові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи і = к у виразі (11.64):
(11.67)
Для і~к + 1, отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці А:
*ґТ 1	/ ч(*-*і+1)	, Х(х ~ хм)(х - ХіУ\ , /псоч
Ой+1 = ] 7Г “	-—Ті—- -	------- (їх, (11.68)
’ ік	к	к .1
а для і - к -1 — лівої:
«п-'= І	-г:і)-д{х)^Хі-^Х~Хі}\(Іх,	(11.69)
Мі	к	к2
Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів Сі.
Розглянемо розв’язання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов
Іо[у] = у{а) = а., Іь[у\ = у(Ь) = р
(11.70)
і зведемо п до розв’язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:
Р — а
у = г + м>, де да = а + ^--(х-а).
о-а
11.9. Метод скінченних елементів 361
Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (11.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами:
В — сі
£[г] = V" + р(х)г' +	= /(%) - ----р(х) - <?О(.г),
о-а	(11.71)
V(а) - 0, г(Ь) = 0.
*
Приклад 11.8
Розв’яжемо задачу
у\х) + х2у'(х) - ху(х) = е2’5х
з граничними умовами
И0] = 0, И1] = 2
методом скінчених елементів. Спочатку зведемо її до розв’язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього виконаємо заміну
у = V + ш. де № = 2х.
Відповідно до формули (11.71) отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами:
г?’(х) + х2г/(х) - хм(х) = Р(х), г?(0) = 0, о(1) = 0, Р(х) = е2 5х -2х?-Х№)(Х).
Розіб’ємо відрізок [0,1] на п частин і розв’яжемо цю задачу методом скінченних елементів. Для цього визначимо коефіцієнти системи алгебраїчних рівнянь (11.67), (11.68), (11.69), склавши програму для пакета Маійетаііса. Опишемо змінні, що використовуються, і введемо початкові дані:
Іп[]: = и[х_] = 2 х; Р[х_]:= Е~2. 5 х - 2 /'2 - х и[х];
П = 10;
Аггау[а, {п-1, п-1}]; Аггау[Ь, п-1]; Аггау[х, п+1, 0];
Х[0] = 0; Х[П] = 1; її = (х[п] - х[0])/П;
ОО [Х[1] = х[0] + 1*11, {І, 1,П}];
р[х_]-.“ х"2; я[х_]:= X;
Визначимо функції, які обчислюють інтеграли у формулах (11.67), (11.68) (11.69):
Іп[]:= Р[1_]:= Іпїедгаїе[р[х] (х - х[1 - 1]) + д[х] (х - х[1 - 1]Г2, {х, х[1-1], х[1]}]/іі/Іі;
Н[1_]:= ІгДедгаїеЕрЕх] (х - х[1 + 1]) + р[х] (х - х[1 + 1])Л2, {X, х[1], Х[1+1]}]/Іі/Іі;
Обчислимо коефіцієнти системи алгебраїчних рівнянь:
Іп[]:= Оо [Оо [II [АЬ5[(і - к)] > 1, а[і,к] = 0,
ІТ [і “ к, а[і,к] = N[-2/11 + Н[1] + Р[1 ]],
ІГ[1 == к - 1, а[1,к] = М[1/Ь - Р[1 ]],
а[і,к] = N[1/11 - Н[1] ] ] ] ], {1,1,п-1} ], {к, 1, п-1} ]
362 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Виведемо матрицю коефіцієнтів							
Іп[]:= А = [АггауЕа,		{п-1,п-1}]; МаІгіхРогт[Аггау[а, {п			1. П-1}]]		
0(Л[]//МаігіхЕогг	п= -20	9.995 10.02	-20 0	10.045 0	0 0	0 0	0 0	0 0	0 0	0		0 9.98 -20 10.08 0 0 0 0 0	0	0	0 0	0	0 9.955	0	0 -20	9.92	0 10.125	-20	9.875 0	10.18	-20 0	0	10.245 0	0	0 0	0	о		0	0 0	0 0	0 0	0 0	0 9.82	0 -20	9.755 10.32	-20 0	10.405	0 0 0 0 0 0 0 9.68 -20	
Тепер обчислимо праві частини рівнянь:							
Іп[]: = Оо [Ь[і]	- (ІпІедгаіе[Р[х]			(х - х[1 - 1]),{х, х[і - 1], х[1]}]		-	
		ІпІедга1е[Р[х]		(х - х[1 + 1]), {х, х[1], х[1 + 1]}]),			і, 1. п-1}];
Виведемо їх значення:
Іп[]: = В = АггауЕЬ, п-1]
Оиї[]= {0.117158, 0.226983, 0.328808, 0.422633, 0.508458, 0.586283, 0.656108, 0.717933, 0.771758}
Розв’яжемо систему алгебраїчних рівнянь для обчислення значень V.
Іп[]:- V = Еіпеаг5о^е[А, В]
ОіЛ[]= {-0.170396, -0.32924, -0.465978, -0.570922, -0.634955,
-0.649119, -0.6041, -0.489561, -0.293282}
Тепер можна записати наближений розв’язок початкової неоднорідної крайової задачі як у = V + ю:
Іп[]:= АггауЕи, п+1, 0]; и[0] = и[х[0]]; и[п] = и[х[п]];
Оо [и[і] = У[[і]] + и[х[і]], {1,1,п-1} ]; У = АггауЕу, {п+1,2}];
Оо [у[і, 1] = И[х[І -	1]]; уГі,2]	= и[і-1], {1,1,п+1} ];	У = АггауЕу, {п+1,2}]
ОіЛ[]= {{0.,	0.},	{0.1,	0.0296042},	{0.2, 0.0707596},	{0.3,	0.134022},
{0.4,	0.229078}	{0.5,	0.365045},	{0.6, 0.550881},	{0.7,	0.7959},
{0.8,	1.11044},	{0.9,	1.50672},	{1., 2}}
І нарешті побудуємо графік розв'язку (рис. 11.9):
Іп[]:= 62 = Ьі5ЇРІ0ІЕУ, АхезЬаЬеІ -> {"х", "и(х)"}, РІоІЗІуІе -> Роіп18І2е[0. 02]] к(х).
2
1,5
1
0,5
0,2	0,4	0,6	0,8	1
Рис. 11.9. Наближений розв'язок крайової задачі
Висновки 363
У кінці розділу покажемо, як отримати розв’язок прикладу 11.9 за допомогою стандартного оператора МаїЬетаІіса:
ІП[]:= №о1уе[{у"[х] + хА2у'[х] - х*у[х] == Ех2. 5х, у[0] == 0, у[Ц = 2}, у, {х, 0, 1}]
0(Л[]= {{у -♦ ІпГегро1аІіпдЕипсі1оп[{{0., 1.}}, <>]}}
і покажемо графіки розв’язків, отриманих методом кінцевих елементів і за допомогою оператора N0801ує пакета МаїЬешайса (рис. 11.10).
Рис. 11.10. Наближені розв'язки крайової задачі, отримані за допомогою стандартного оператора пакета МаїЬетаїіса і методом скінченних елементів
Висновки
1.	Крайова задача для звичайних диференціальних рівнянь є набагато складнішою, ніж задача Коші. Одним із підходів до розв’язання цієї задачі є зведення її до задачі Коші зі змінними початковими умовами. Розв’язок задачі отримують багаторазовим розв’язанням задачі Коші.
2.	У загальному випадку для розв’язання двоточкової крайової задачі (одно- чи багатовимірної, лінійної чи нелінійної) доцільно застосовувати метод прицілювання, а для розв’язання окремих лінійних одновимірних задач — метод композиції двох розв’язків задачі Коші з різними початковими умовами.
3.	Ефективним методом розв’язання лінійної крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку є метод скінченних різниць, у якому використовуються різницеві схеми апроксимації для похідних першого і другого порядків. У результаті крайова задача перетворюється на задачу розв’язання системи лінійних рівнянь із тридіагональною матрицею. Цю систему можна розв’язати методом прогону. Використання екстраполяції Річардсона дозволяє отримати розв’язок із малою похибкою навіть у випадку, коли кількість точок на інтервалі розв’язку невелика.
364 Розділ 11. Крайові задачі для звичайних диференціальних рівнянь
4.	Метод скінченних різниць дозволяє також обчислювати власні значення і власні функції крайової задачі, які визначають нетривіальні розв’язки однорідної крайової задачі.
5.	Метод скінченних різниць можна застосовувати і для розв’язання нелінійних крайових задач, але в цьому випадку необхідно лінеаризовувати нелінійні функції, що входять в умову задачі. Процес розв’язання передбачає для уточнення значень розв’язку в кожній точці інтервалу виконання ітерацій Ньютона-Рафсона.
6.	Розв’язок крайової задачі у вигляді апроксимуючого аналітичного виразу отримують методами колокацій, Гальоркіна і найменших квадратів введенням базисних функцій, які враховують граничні умови.
7.	Коефіцієнти для базисних функцій та їх композиції, які апроксимують розв’язок крайової задачі, у методі колокацій вибирають з умови нульової нев’яз-ки в обраних вузлах інтервалу розв’язку, у методі найменших квадратів — з умови мінімуму квадрату нев’язки, а в методі Гальоркіна — з умови орто-гональності нев’язки до обраних базисних функцій.
8.	У сучасних математичних пакетах розв’язання крайових задач для рівнянь з частинними похідними конкуренцію розглянутим методам складає метод скінчених елементів, що базується на концепціях метода Гальоркіна за умови спеціального вибору базисних функцій.
Контрольні запитання та завдання
1.	Переконайтеся, що функція у(х) - х - 0,2525826491х - 2,528442297х1п(х) є розв’язком крайової задачі у" = (1/х)у' - (1/х2 )у = 1 з умовами г/(0,5) = 1 і у(3) = -1.
2.	Розв’яжіть крайову задачу у” = -(2х/1 + х2)у' + (2/1 + х2)г/ = 1 з умовами г/(0) = 1,25, г/(4) = -0,95 на інтервалі 0 < х < 4 зведенням до задач Коші. Порівняйте отриманий розв’язок із чисельним розв’язком, визначеним у пакеті МаїЬетаїіса. Побудуйте графіки розв’язків.
3.	Розв’яжіть крайову задачу у" + 2 г/' - 2 г/ = е“л + соз2х з умовами г/(0) = 1, г/(1) = 0,1 на інтервалі 0 < х < 1 різницевим методом. За допомогою пакета МаіФетаІіса знайдіть точний розв’язок і визначте похибку наближеного розв’язку.
4.	Розв’яжіть крайову задачу у" - ^у' -4у = х е~х соз х з граничними умовами г/(0) = 1, г/(1) = -0,5 на інтервалі 0 < х < 1 різницевим методом. За допомогою пакета Маійегпаііса знайдіть точний розв’язок і визначте похибку наближеного розв’язку.
5.	Розв’яжіть крайову задачу у" + х2у' - ху = 15.г е“* сохх з граничними умовами г/(0) = 0, г/(1) = 0 на інтервалі 0 < х < 1 методом колокацій. За допомогою МасЬетаГіса знайдіть точний розв’язок і порівняйте обидва розв’язки.
Контрольні запитання та завдання 365
6.	Розв’яжіть крайову задачу у” + ху' + у = 15,г з граничними умовами г/(0) = 1, г/(1) = 0 на інтервалі 0 < х < 1 методом Гальоркіна. За допомогою пакета МаїЬешаІіса знайдіть наближений розв’язок і порівняйте обидва розв’язки.
7.	Розв’яжіть крайову задачу у” + Xіу' + ху - хзіп2хз граничними умовами г/(1) = 0, г/(2) = 1 на інтервалі 1 < х < 2 методом найменших квадратів. За допомогою пакета МаНіетаІіса знайдіть наближений розв’язок і порівняйте обидва розв’язки.
8.	Розв’яжіть крайову задачу у” + х2у' + ху = хяп2х з граничними умовами г/(1) = 0, г/(2) = 1 на інтервалі 1 < х < 2 методом колокацій і Гальоркіна. Порівняйте обидва розв’язки.
9.	Розв’яжіть крайову задачу у” + х2у' + у = .гяп.г з граничними умовами г/(1) = 0, г/(2) = 1 на інтервалі 1 < х < 2 методом найменших квадратів і колокацій. Порівняйте обидва розв’язки.
10. Знайдіть мінімальне власне значення Хтіг
б/ Г/л 2Ч <&] , л задачі — (1 + х ) — + ку = 0, ах\_ ах З
у(-1) = г/(1) = 0, застосовуючи метод скінченних різниць, для к = 2/3 і к = 2/5,
і апроксимацію типу
Упі)
(1 ї\^у
для лівої частини рівняння — (1 + х ) — . дх\_ дх_
Розділ 12
Розв’язання рівнянь із частинними похідними
♦	Типи диференціальних рівнянь із частинними похідними
♦	Метод скінченних різниць
♦	Умови розв’язання різницевих рівнянь
♦	Ітераційні методи
♦	Прямі методи
♦	Метод скінченних елементів
Рівняння із частинними похідними описують багато фізичних процесів у таких галузях, як механіка суцільних середовищ, термодинаміка, квантова механіка, електродинаміка, теорія пружності й багато інших. Тому розділ математики, що вивчає властивості можливих розв’язків рівнянь з частинними похідними, називається математичною фізикою, а самі рівняння найчастіше називають рівняннями математичної фізики.
Аналітичний розв’язок рівнянь із частинними похідними вдається отримати лише в окремих практично важливих випадках, і тому значення чисельних методів для розв’язання задач, які описуються за допомогою цих рівнянь, дуже важливе. Математичними моделями багатьох фізичних процесів є лінійні диференціальні рівняння другого порядку. Тому основна увага у цьому розділі приділяється саме цім рівнянням.
12.1.	Рівняння математичної фізики
Постановку задач для рівнянь математичної фізики наведемо для класичних рівнянь параболічного, гіперболічного й еліптичного типів. У цих рівняннях найчастіше незалежними змінними є час і просторові координати, від яких залежить функція розв’язку. Такі рівняння описують велику кількість реальних фізичних процесів, властивості яких змінюються не тільки в часі, але й у просторі.
Задача називається стаціонарною, якщо її розв’язок не залежить від часу, і нестаціонарною — якщо така залежність існує. Задачі з однією просторовою змінною називаються одновимірними, з двома змінними — двовимірними, з трьома - тривимірними.
12.1. Рівняння математичної фізики 367
Наведемо рівняння канонічної форми, що має дві просторові змінні і є лінійним відносно других похідних:
=2	-ч2
а(хі, х2) —7 + 2о(хі, х2)-----------
8х{	дХідх2
.	. 52н	,С	си диЛ
+ с(%і, х2)—7 = / Хь хг,и, —,---------- .
дх2 І	5X1 5х2 7
Коефіцієнти а, Ь, с — це функції, які двічі неперервно-диференційовані і не дорівнюють нулю одночасно. Залежно від значень цих функцій розрізняють кілька типів квазілінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку. Щоб визначити тип рівняння у заданій точці (х(, х2) області простору, обчислимо значення О = Ь2 - ас. Диференціальне рівняння є параболічним, якщо 0 = 0, гіперболічним — коли О > 0 і еліптичним — коли О < 0. Слід зазначити, що тип певного рівняння може змінюватись залежно від значень (хі, Х2) координат точки.
Класичним рівнянням параболічного типу є рівняння теплопровідності, гіперболічного типу — хвильове рівняння, а еліптичного типу — рівняння Лапласа.
Рівняння параболічного типу
До рівнянь параболічного типу належать рівняння теплопровідності чи дифузії виду
— = с2-^ + /(хД), 0<х</,	(12.1)
5ґ дх2
де а — коефіцієнт теплопровідності (якщо и — температура) і масоперенесення (якщо и — концентрація, тиск у задачах фільтрації). Оскільки рівняння містить похідну за часом, для його розв’язання необхідно додатково задавати як початкові (для і = 0), так і граничні умови (для х = 0, х = І, і > 0) (рис. 12.1).
і
Г	С	Г
и(0, 0=у(0	и(/, 0=^(0
ди 2 82и 8і дх1
0 и (х. 0) = <р(х) І х
Рис. 12.1. Область визначення розв’язку одновимірного рівняння теплопровідності
Для рівняння теплопровідності за граничних умов
м(0, і) = <р(ґ), х = ОД > 0, и(1,1) = £,(/), х = 1,1 > 0
(12.2)
і початкової умови
и(х, 0) = <р(ґ),
0^х^/,ґ = 0
(12.3)
маємо першу мішану крайову задачу, інакше задачу Коші з початковими умовами.
368 Розділ 12. Розв’язвння рівнянь із частинними похідними
Рівняння теплопровідності за граничних умов
си(0, і) ... п . п
—-—- = у(0, х = 0, і > 0,
8х	(12.4)
ди(1, і) .	, п
—-—- = х(і), х-1,і>0 дх
і початкової умови (12.3) визначає другу мішану крайову задачу.
Рівняння теплопровідності за граничних умов
аоа(О, і) + р0 8и^' її - х = 0, і > 0, дх	(12.5)
аіи(/,і) + Рі — = £(ґ), х = 1,і>0 дх
і початкової умови (12.3) визначає третю мішану крайову задачу.
Для нескінченної області ставлять таку задачу Коші для рівняння теплопровідності:
и(х, 0) = <р(ґ), 0 < х < ю, і = 0.
Рівняння гіперболічного типу
Прикладом рівнянь гіперболічного типу є хвильове рівняння
д2.	д2.
—7 = а —г + /(х, і),	0 < х < І, і > 0,
ді2	дх2
(12.6)
що описує малі подовжні коливання стрижня і поперечні коливання струни, де и — відхилення від положення рівноваги і а — швидкість розповсюдження збурення. Хвильове рівняння описує процес розповсюдження малих акустичних коливань.
Початкові умови для хвильового рівняння мають такий вигляд:
п(х,0) = <р1(О, бц(Х’ - = <р2(0. 0^х^/,г = 0. ді
(12.7)
Граничні умови першого, другого і третього родів для хвильового рівняння задаються виразами (12.2), (12.4) і (12.5).
Задача Коші у нескінченній області для хвильового рівняння формулюється у такий спосіб:
/ лч	ди(х, 0)	...	_
п(х, 0) = фі(ґ), —------— = <р2(0> -оо<х<оо, г = 0.
ді
12.1. Рівняння математичної фізики 369
Рівняння еліптичного типу
Прикладом рівнянь еліптичного типу є рівняння Лапласа:
д и д и	ч „
ТТ + 7-? = 0-ох ду
чи рівняння Пуассона:
32	32
о и 0 и г	_
-у + —7 = /<х, у), (х, у) є С.
дх2 ду
(12.8)
(12.9)
Ці рівняння описують потік ідеальної рідини в стаціонарних потоках, стаціонарний розподіл температури або напруженості електричних чи магнітних полів. Рівняння Лапласа описує ці процеси у разі відсутності джерел енергії чи стоків, а рівняння Пуассона — ті ж самі процеси за наявності розподілених в області С джерел, що задаються правою частиною рівняння —/(х, у).
Оскільки рівняння Лапласа і Пуассона — стаціонарні, то в постановці задачі задаються тільки граничні умови (рис. 12.2). Залежно від граничних умов маємо:
♦	першу крайову задачу для рівняння Лапласа (задача Діріхле):
и|г = <р(х, у), (х, у) £ Г;	(12.10)
♦	другу7 крайову задачу для рівняння Лапласа (задача Неймана):
ди
<5п г
= ф(х, у),
(х, у) є Г;
(12.11)
♦	третю крайову задачу для рівняння Лапласа:
Рис. 12.2. Область визначення розв’язку двовимірного еліптичного рівняння
(12.12)
При цьому в другій і третій крайових задачах похідні слід обчислювати у напрямку зовнішньої нормалі п відносно області С,
370 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
12.2.	Основні поняття методу сіток
На практиці розв’язання крайових задач для рівнянь із частинними похідними за допомогою аналітичних методів часто неможливе чи пов’язане зі значними обчислювальними труднощами. У цьому випадку використовують наближені чисельно-аналітичні або чисельні методи. Методи цих типів є універсальними, на відміну від чисто аналітичних, і їх можна застосовувати для розв’язання більш складних задач. Одним із таких наближених методів є метод сіток, або скінченних різниць.
У методі сіток розв’язання рівняння із частинними похідними, як правило, зводиться до розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь із розрідженими матрицями [10]. Реалізація методу здійснюється у три етапи.
1.	Область неперервного аргументу чи аргументів замінюється дискретною множиною вузлів, яка називається різницевою сіткою. У ній виділяють внутрішні й граничні вузли. Функція дискретного аргументу, визначена на різницевій сітці, називається сітковою функцією.
2.	Диференціальне рівняння, а також початкові й граничні умови замінюються (апроксимуються) різницевими аналогами. У результаті диференціальне рівняння зводиться до системи алгебраїчних (різницевих) рівнянь, яка називається різницевою схемою. Така система повинна мати єдиний розв’язок. Необхідно, щоб зі збільшенням кількості вузлів сітки розв’язок різницевої схеми наближався (збігався) до розв’язку початкового диференціального рівняння.
3.	Розв’язується система алгебраїчних рівнянь (у більшості випадків матриця системи рівнянь має дуже велику розмірність і є розрідженою).
Основні ідеї методу сіток розглянемо на прикладі задачі Діріхле для рівняння Пуассона (12.9) із граничною умовою (12.10), де Г — границя області С (рис. 12.3, а), у якій шукається розв’язок и(х, у), що задовольняє рівняння (12.8) і граничну умову (12.10).
Рис. 12.3. Область визначення розв’язку еліптичного рівняння: а — сіткова область; б — шаблон різницевої схеми
12.2. Основні поняття методу сіток 371
Спочатку область С неперервної зміни аргументів із границею Г заміняють її сітковою областю С/, із границею Г/,. Для цього проводять лінії хт = сопзі і уп = соп8і, так що хт ~ тк\, т = 0,1,..., М і у„ = пкі, п = 0,1,..., IV. Величини Аі і Аг, які називаються кроками сітки, у загальному випадку можуть бути різними. Точки перетину ліній х,„ = сопзі і уп = соп8І називають вузлами сітки. Розрізняють два типи вузлів — внутрішні та граничні. Внутрішніми називають такі вузли, для яких чотири сусідніх вузли (по два в кожному напрямку) належать області С + Г.
Замінимо диференціальний оператор Лапласа різницевим оператором. Із цією метою виберемо шаблон різницевої схеми — систему вузлів, які використовують для заміни похідних скінченними різницями. Шаблон, що містить р точок, називається р-точковим. Для апроксимації других похідних, що входять до оператора Лапласа, використовуємо п’ятиточковий шаблон, зображений на рис. 12.3, б. Нехай А, - Аг = А. Розкладаючи точний розв’язок и (х,у) у ряд Тейлора в околі точки (х,„, уп), маємо:
,	,,	,	,	,ди{хт,уп')к2д2и{хп,у„) к3б3и{хт,уп) ,і
и(хт+к, уп) = и(хт,у„) ± А 4	- + —---- ± —-------; -3- -	+ О(к ),
дх 2!	&	3! дх
/	।	\ , і ди(х пі і Уп) А д и(х т, уп) А д и(рс т, уг)	,4 \
и(хт,ут+к) = и(хт,у„)±к	+ ——--- 2-—-± ——\ 3	+ О(А ).
ду 2! ду 3! ду
Для скорочення запису введемо індекси для значень функції ит.п,ит-\,п у вузлах шаблону відповідно (див. рис. 12.3). Тоді вирази для похідних запише-
мо у вигляді:	& ^т.п	+ 2і4п,я + ^пг+1,п ,	/ш „ 2	“	,2	+О(А ),	(12.13) дх	А -	+О(А).	(12.14) ду2	А2
Використовуючи (12.13) і (12.14), введемо позначення для сіткової функції у вузлах Утл,гт-л,п,пт.п-А,Ут,п+і і запишемо різницеве рівняння, що відповідає рівнянню Пуассона (12.9) на п’ятиточковому шаблоні, у такий спосіб:
&пі -1,п	2.&п1гп + &пі+1.п Оп,п-\ ‘2&тп,п +
А2	к2
Перепишемо систему сіткових рівнянь у вигляді:
&т-1,п "Є	4пт>п + &иі,п~1 "1”	— А /тп,П‘
(12.15)
(12.16)
Подібні рівняння можна записати для кожного внутрішнього вузла. Оскільки другі похідні, що входять у рівняння (12.9), апроксимовані з другим порядком за А, різницева схема (12.15), яка апроксимує рівняння (12.9), має такий же порядок апроксимації.
372 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
12.2.1. Апроксимація граничних умов
Розглянемо апроксимацію граничних умов першого роду (12.10). Якщо вузол (тп, п) вважається граничним, але не належить границі Г, значення сіткової функції пга,п у цьому вузлі покладемо рівним значенню функції <р(х, у) у точці границі Г, найближчій до цього вузла. Наприклад, якщо вузол В — граничний вузол, а вузол А — найближчий вузол границі, тоді гранична умова (12.10) буде записана у вигляді п(В) = <р(А), як на рис. 12.4, а.
Рис. 12.4. Апроксимація граничних умов:
а — об’єднання з найближчою точкою; б — застосування лінійної інтерполяції
У цьому випадку схема апроксимації граничних умов має лише перший порядок за А. Переконаємося в цьому і знайдемо нев’язку
г(В) = <р(А) - и(В) = <р( А) -и(хА +5,уА) =
, ..	,	. е дй	~дй
= <р(А) - и(хА, уА) - б— = -5—. ох дх
Альтернативою простому перенесенню за апроксимації граничних умов є лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що значення сіткової функції в точці В обчислюється лінійною інтерполяцією її значень у точках А і С (рис. 12.4, б), тобто
о(С) - <р(А) _ Іг + б
о(В) - <р(А) б
Тоді одержимо рівняння
(/2 + б>(В)-бг7(С) = Л<р(А),	(12.17)
що апроксимує граничну умову з другим порядком за Іг.
Розглянемо апроксимацію граничних умов другого роду (12.11). Нехай точка В є одним із граничних вузлів, а точка А є найближчою до неї точкою границі (рис. 12.5). Припустимо, що сітка є квадратною. Якщо п = {соха, созр}— одиничний вектор нормалі до Г, то похідна за напрямком нормалі в точці В дорівнює
ди ।	ди	ди	п
— в = —соха + —сох В .
дп	дх	ду
12.2. Основні поняття методу сіток 373
Будемо вважати, що у вузлі В напрямок нормалі той же, що і в точці А:
За'і 8п)в
Похідні в напрямках х і у замінимо різницевими наближеннями:
ди
дп А
(12.18)
^т+1,п ®т,п	. ^т,п+1 &т,п
-------------соз а +---------------зіп а.
Л	А
Похибка виникає через заміну нормальної похідної різницевими співвідношеннями і через перенос нормалі в точку В. Похибка апроксимації в цьому випадку має перший порядок за А.
Такі рівняння (12.18) записуються для кожного граничного вузла. Отже, для знаходження невідомих значень ага,„ у вузлах сітки одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, у якій кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих. Відзначимо, що кількість рівнянь може бути досить великою. Так, для розв’язання задачі з високою точністю потрібно задати кількість вузлів М та N не менше 100, тому кількість рівнянь може сягати кількох тисяч. Наприклад, кожне рівняння (12.16) містить лише п’ять невідомих, але в системі їх близько ТУ2. Матриця цієї системи є сильно розрідженою. Методи розв’язання систем із розрідженими матрицями розглянуто в розділі 3.
12.2.2. Умови розв’язання різницевих рівнянь
Розглянемо задачу Діріхле для еліптичного рівняння загального вигляду
Т д2и ,д2 и ди ,ди ,	.
Ілі = а—- + Ь—- + с— + а — +еи = /, м = <р(х, у),	(12.19)
дх ду дх ду
де а, Ь, с, б/, £, / — функції незалежних змінних х, у, що визначені в обмеженій області С із границею Г. Припустимо, що ці функції неперервні в С + Г, та а > 0, Ь > 0, § < 0.
374 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
Апроксимація рівняння (12.19) різницевою схемою (рис. 12.3) виконується досить просто. Дійсно, для других похідних використаємо співвідношення (12.13) і (12.14), а перші похідні апроксимуємо за допомогою того ж шаблону за симетричними формулами:
-----=------------+ О(п ), дх 2А
~ 2Л	''
(12.20)

Підставивши ці співвідношення у рівняння (12.19), отримаємо:
__	&тп-1,п	і ^т,п~1 ^т,п ^т.п+1
^т,п —	®т,п	Гй
к	Л	(12.21)
(	^'т+1,п	^тп-\,п (	&тп,п+\	^тп,п-1 (	_ Г
'Стп.п	Ь ^тп,п	—-	г ^тп,п^т,п — /т,пі
що апроксимує рівняння (12.19) із другим порядком відносно Л. Кількість рівнянь (12.21) дорівнює кількості невідомих, тобто кількості внутрішніх вузлів. Перепишемо цю систему в іншому вигляді, згрупувавши члени, що містять однакові невідомі:
де
т.п ~ ^т,п^т~1 .п + ^т.п Оп+1,п + С'тп,п^тп,п~ї + &т,п^т,п+1 ^т,п^т,п = /т,п, (12.22)
Ат,п	&т,п Сгп.п	^т.п	_ @т,п	СтП'П ІГ’	с -	&т,п	^т,п '~2к
Е\п,П	— &т,п І	Ет,п	^С^т.п її2	А2	~ §т,п •		
Оскільки ми припускали, що а, Ь, с, сі, £ неперервні в області С + Г, причому а > 0, 6 > 0, ^<0 в області С + Г, то, коли /г досить мале, коефіцієнти Атл, В„,„, Ст.„, От.п, Ет,п будуть додатними в усіх вузлах сіткової області. Якщо ця умова виконана, є справедливою наведена нижче теорема.
Теорема (принцип максимуму). Нехай „ — сіткова функція. Якщо для кожного внутрішнього вузла виконується умова Ьнгт,п £ 0 (Цгт,п С 0), то у внутрішніх вузлах області Сн функція пт,„ не може мати додатного максимуму (відповідно — від’ємного мінімуму). Винятком Є випадок, КОЛИ ьп,п = СОП8І.
Справді, нехай г„,п * сопзі, і у всіх внутрішніх вузлах має місце нерівність Цьт.г. 0. Припустимо, що гтл досягає додатного максимуму М у деякому внутрішньому вузлі. Тоді існує такий внутрішній вузол (то, По), у якому Гтопо = М, і хоча б в одному сусідньому з ним вузлі значення Утл менше М. У виразі „Сі замінимо гга.„ на М, тоді матимемо строгу нерівність:
А/(	+ Вт.л, + Спи},па 1" -б^то.ло £"то.по
12.3. Ітераційні методи розв’язвння 375
але
^ящ.по + Втом, + Сто.ну + ^та,пй ~ Етц.тіо = Дто.по •
Таким чином, §П)„В > 0, що неможливо. Отже, наше припущення було невірним, і перша частина твердження доведена. Другу частину доводять аналогічно.
Тепер можна показати, що система рівнянь (12.22) має єдиний розв’язок. Для цього досить довести, що відповідна однорідна система має тільки тривіальний розв’язок і всі значення в граничних вузлах дорівнюють нулю, а це відразу випливає з принципу максимуму. Так, якби розв’язок однорідної системи був відмінний від нуля хоча б в одному внутрішньому вузлі С/і, він мав би досягати найбільшого додатного значення у внутрішньому вузлі або найменшого від’ємного значення, що неможливо, оскільки всі = 0 в усіх граничних вузлах. Отже, однорідна система має лише тривіальний розв’язок, а неоднорідна система (12.22) має єдиний розв’язок.
Основною особливістю матриць систем виду (12.22) є розрідженість. Методи розв’язання таких систем розділяються на прямі та ітераційні. На даний час ефективних прямих методів розв’язання подібних систем рівнянь з великими значеннями N не існує (розділ 3). Для їх розв’язання, як правило, використовуються ітераційні методи. Застосування класичних методів лінійної алгебри недоцільне. Наприклад, під час виконання перетворень Гаусса чи ЬН-розкладан-ня практично всі нульові елементи проміжних нульових діагоналей поступово стають ненульовими, тобто матриця втрачає властивість розрідженості. Ітераційні методи є простішими і менше залежать від виду матриці. З цієї причини для розв’язання двовимірних різницевих рівнянь часто використовувалися винятково ітераційні методи. Однак збіжність таких методів, як метод Якобі та метод Зейделя, дуже повільна. В даний час інтенсивно розвиваються і прямі методи.
Сьогодні все частіше застосовуються багатосіткові та неявні ітераційні методи, у яких розв’язок на кожній ітерації знаходять прямим методом. Хоча такі методи алгоритмічно складніші, ніж явні, їхньою безсумнівною перевагою є те, що вони швидше збігаються.
12.3. Ітераційні методи розв’язання
Методи розв’язання двовимірних різницевих крайових задач розглянемо на прикладі задачі Діріхле для рівняння Пуассона (12.9) із однорідними граничними умовами (12.10) в одиничному квадраті С(0 < х, у < 1) із границею Г:
д2и д2и ..	.	. ч „
—у + —у = /(х, г/), (х,г/)єС, дх ду
и|Г = 0,	(х, у) є Г.
Введемо в області С квадратну сітку з кроком к. Замінимо початкове диферен-ціальне рівняння (12.9) системою різницевих рівнянь (12.16):
^т-1,п + &т+1.п	^&т.п + ^т.п-І + 27т,п+1 ~	/т.п>	= 1» ...»	1.	(12.23)
376 Розділ 12. Розв'язання рівнянь із частинними похідними
У граничних вузлах значення шуканої функції відомі точно, тому значення сіткової функції в цих вузлах будуть гт,о = гп.м = 0, га,п = им,п =0, т, п = 0,М.
Матриці систем, які отримують за апроксимації багатовимірних задач математичної фізики, звичайно мають велику розмірність, характеризуються значною розрідженістю і великим розкидом власних чисел. Наприклад, на сітці, що має крок Л = 0,01, порядок системи дорівнює приблизно 10000. Сильна розрідженість спричинюється тим, що кожне рівняння системи (12.16) містить не більше п’яти відмінних від нуля елементів. Отже, відношення кількості нульових елементів до загальної кількості її елементів не перевищує 5/(М - 1) = О(Л).
Власні числа матриці системи (12.16) такі, що відношення найменшого ЛтіЛ власного числа до найбільшого Хпіах має вигляд
^.тіп _ £р2
Хтах 2 ‘
Відношення є величиною другого порядку малості, якщо Л —> 0, а саме
^ = ^іТ = 2Т" + 0(/г4)-сопа А	4
Наслідком малості величини % є погана обумовленість системи (12.16), тому явні ітераційні методи для цієї системи збігаються повільно.
Покажемо, як можна розв’язати систему (12.16) простими ітераційними методами, а саме методами Якобі та Зейделя, і переконаємося, що швидкість їх збіжності невелика.
Розглянемо задачу:
*^2	г\2
ди ди о 2 •
—- + 	шіпгзіплг/,
дх2 дх2
0 < х < 1, 0 < г/ < 1, п(0, у) - и(1, у), и(х, 0) = и(х, 1) = 0.
(12.24)
У граничних вузлах значення шуканої функції відомі точно (12.24). Результатом різницевої апроксимації розглянутої задачі на рівномірній сітці з однаковим кроком Іг -	- 1) по осях є така система алгебраїчних рівнянь:
= 0, гт,м-\ =0,	т = 0.......М - 1,
-Ь	&>т,п + &тп,п-і + &т,п+1 ~ Я — 1, ..., АГ 2,
= -2А2 8Іп(тп7г/г) 8Іп(лн/г),
р0,п = 0,	=0,	п = 0,..., М -1.
(12.25)
Розв’яжемо систему (12.25) спочатку методом Якобі, а потім методами Зейделя і верхньої релаксації.
12.3. Ітераційні методи розв’язання 377
12.3.1	. Метод Якобі
Для знаходження чисельного розв’язку необхідно задати початкове наближення — значення сіткової функції на нульовій ітерації Приймемо ці значення рівними нулю. Запишемо формули методу Якобі:
^т°и =0, тп, п = 0,..., М -1,
С)=®.=0- ^ = 0,...,М-1,
С1)=4*Х=0, п = 0,.... м-і,
= 0,25(^?, „ + 4+і.п +	+2/г2 8Іп(лшЛ)8Іп(лпЛ)),
тп, п = 1,.... М - 2, к = 0,1, 2,....
Програма, що реалізує метод Якобі, і результати наведені нижче.
Приклад 12.1
Використаємо пакет МаїЬетаїіса для розв’язання задачі методом Якобі:
Іп[]: = т = 17; к = 0;
11 = 1/(т - 1);
ер8 = 0.001; Єр5І * 10;
Аггау[и, {т,т},0]; АггауО, {т, т}, 0]; Аггау[Г, {т, т},0];
0о[ Лл,І] = N[2 Р1Л2 Г2 81п[Р1 И і]81п[Р1 Ь і]];
и[і,Л - 0, {1,0,т-1}, {1,0,т-1} ];
ИМ1Є[ ер51 > ер$, к = к + 1; Єр5І = 0;
0о[ \'[і,Л = 0.25 (и[і-1,Л + и[і+1,і] + и[і,3-1] + и[і,1+1] + Т[і,Л);
ер - АЬ5[у[і,Л - и[і,]]]; ерзі = Мах[ер,ер81], {і,1,т-2}, {□, 1,т-2}];
0о[ и[1,і] = у[1,і], {і, 1,т-2}, {і,1,т-2} ] ];
II = АггауЕи, {т, т}, 0]; ет = 1 - и[8,8];
Рг1пІ[”к = ", к, "Тої = ", ет]; ИзІРІоІЗОЕІІ];
0иі[]- к = 154 Сої = 0.0473382
Графік розв’язку задачі методом Якобі зображено на рис. 12.6.
Рис. 12.6. Розв’язок задачі (12.1) методом Якобі, кількість ітерацій 154, максимальна похибка дорівнює 0,04734
378 Розділ 12. Розв'язання рівнянь із частинними похідними
12.3.2	. Метод Зейделя
Метод Якобі має повільну збіжність, тому його рідко використовують для розв’язання подібних задач. У практиці частіше застосовують метод Лібмана, що являє собою окремий випадок методу Зейделя, розрахункові формули якого наведені нижче.
=0, ^=«=0,
Щ.п -
4^° = о, 25(^_+1‘,), +	+ *С+і + 2/г2 8Іп(лщ/г)8Іп(ли/г)),
т, п = 0,..., М -1.
У цих формулах використовують значення, які обчислюються на (к - 1)-му та (к + 1)-му кроках. Швидкість збіжності методу Зейделя приблизно в два рази більша, ніж швидкість збіжності методу Якобі, що підтверджують практичні результати. Похибка розв’язку методом Зейделя, отримана за 96 ітерацій становить 0,021, а похибка, отримана методом Якобі за 154 ітерації — 0,047.
12.3.3	. Метод верхньої релаксації
Метод верхньої релаксації дозволяє значно прискорити збіжність ітераційного процесу. Чергове наближення визначається за формулою
ЛЬІ) _ (І) +со('й(4+1> _.,(4)ч
де — чергове наближення, знайдене за формулою методу Зейделя, 1 < со < 2 — ітераційний параметр. Розв’язання тієї ж самої задачі показало, що швидкість збіжності даного методу на порядок вище, ніж швидкість збіжності методу Зейделя. Похибка розв’язку після ЗО ітерацій становить лише 0,0016.
Незважаючи на ефективність описаної процедури, не слід зловживати зменшенням кроку сітки, оскільки з ростом розмірності N обумовленість задачі знижується, через ЩО неминучі похибки обчислення елементів наближення істотно зменшують точність результатів. Наприклад, для задачі з N = 104 число обумовленості має порядок ® 108.
Тому рекомендуємо змінити крок сітки (наприклад, збільшивши вдвічі кількість її вузлів) і повторити розв’язання, результати виконання яких відповідно до екстраполяції Річардсона (див. підрозділ 1.4) дозволяють значно підвищити точність розв’язку, коли кількість вузлів сітки невелика. При цьому для симетричних формул апроксимації других похідних порядок похибки розв’язку зменшується з О(/г2) до О(/г4). Якщо ж використати три сітки зрізною кількістю вузлів і застосувати повторну апроксимацію Річардсона, то порядок похибки можна знизити до О(/г6).
12.3. Ітераційні методи розв'язання 379
12.3.4	. Багатосітковий релаксаційний метод Федоренка
Альтернативою екстраполяції Річардсона є багатосітковий релаксаційний метод Федоренка, ефективність якого оцінимо для рівняння Пуассона
д2и 8ги ,,	.
—7 + —^ = Ж^).
Зх сіГ
Відповідне різницеве рівняння має вигляд
(гт-і.
4^т,„ + ^т,п-\ +
к
т,п = 0,1,..., N.
(12.26)
У цьому методі для зменшення норми початкової похибки в N разів необхідно виконати 0(77) ітерацій. Відомо, що найбільш швидкозбіжний метод Ду-гласа-Рекфорда (див. підрозділ 13.5.2) вимагає 0(^г Іп^г) ітерацій. Багатосіт-ковий метод можна застосовувати для тих же рівнянь, що і метод простої ітерації.
Для розв’язання різницевих рівнянь (12.26) використовуємо обчислювальну схему
Д*+1> =
^ІП.П ^гп,п
й2	й2
. (12.27)
Чисельний розв’язок задачі збігається, однак на дрібній сітці збіжність повільна. Після виконання к ітерацій за формулою (12.27) знайдемо поправку е„,„ розв’язку що задовольняє рівняння на сітці з удвічі більшим кроком:
£т-1,п + £т+1.п	4єтп.п + “Ь Єт,и+1 _ (к)
гт,п >
(2й)2
(12.28)
де
.(*) _ ст-і,п + ст+1.п ^т.п т.п —	* •
(2А)'
(*) (*)
)	4- 71
т,п-\ 1
т.п
і являє собою нев’язку, що виникає в разі підстановки Гк у рівняння (12.26). Задача (12.28) розв’язується ітераційно за тими ж формулами, що і (12.27):
(А+1) _ (Л) д
<*гя,п — Ьт,п > V
Д*)	_і_	_ А__ .М . М
г і'їп+],п *^т,п с.гп п^ т
(2//)2
е°,,„ =0, 6 = 4т.
380 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
Похибка швидко зменшується завдяки збільшенню кроку сітки. Однак збіжність, яка досягнута за рахунок цього і завдяки використанню формули (12.27), може виявитися недостатньою. Тому крок сітки доцільно ще збільшити вдвічі. Під час розв’язання задачі для кроку, збільшеного в чотири рази, знову слід використовувати процес подвоєння і т. д. Потім починається повернення до сітки з меншим кроком. Спочатку із самої великої сітки інтерполюємо отриману там останню поправку на вдвічі дрібнішу сітку, вносимо її в отриману до цього поправку на передостанній сітці і робимо кілька ітерацій, щоб вибрати внесену під час інтерполяції похибку. Результат цих ітерацій інтерполюємо на ще вдвічі дрібнішу сітку і т. д. На останньому кроці після інтерполяції та внесення поправки з попередньої сітки, виконавши кілька ітерацій, отримаємо наближене рішення.
12.4.	Прямі методи
Якщо системи різницевих рівнянь, апроксимуючих еліптичну крайову задачу, мають невелику розмірність, їх можна розв’язати будь-яким прямим методом. Однак для розв’язання більшості практичних задач будують сітки, що мають десятки й сотні тисяч вузлів. У результаті отримуємо системи рівнянь, які мають таку ж кількість невідомих. У цих випадках необхідно використовувати більш ефективні та швидкодіючі методи, які враховують специфіку систем рівнянь (12.22).
Один із підходів до розв’язання системи різницевих рівнянь великої розмірності виду (12.16) прямими методами є підхід, що передбачає використання блочних матриць, за допомогою яких представляють матрицю системи. Такий підхід дозволяє скоротити обсяг обчислень, оскільки в цьому випадку розв’язання однієї великої системи рівнянь зводиться до розв’язання кількох систем меншої розмірності, значна частина яких має нульові матриці та праві частини. Щоб продемонструвати переваги цього підходу розглянемо різницеву схему (12.16), переписавши її в іншому вигляді:
^т-ї,п £&т,п “Ь &гп,п “Ь	£&т,п + ^т,и+1 — Я /т,пі
Уо,п = <р(0, у„), ьт,п =<р(а,уГІ), п = \.......АГ —1,
= ф(ли, 0),	= ф(х,„, Ь), т = 1,...,М -1.
Припустимо, що М » N і введемо позначення
— [Ут,1,	---» Ут.М" 1 ] і Ш — 0, ..., А/.
(12.29)
(12.30)
Покладемо у формулах (12.29) п = 1, 2,..., М - 1 і, використовуючи умови (12.30), запишемо систему (12.29) у векторній формі:
Уо = Фо,
Ут-1 + АУт + У„,,1 = Рт, тп = 1,..., М — 1, Ум = Фа,
(12.31)
12.4. Прямі методи 381
де А — тридіагональна матриця порядку М - 1, яка має вигляд
-4	1	0 ...	0	0
1-4	1 ...	0 0
0’ 0
&	ф(^т, 0)
0	0	0...	1 -4
0	0	0 ...	0	1
1
-4
^г.М-1 ф(лИІ, Ь)_
ф(0, г/і)
<р(0,#2)
<р(а, уі)
ІЇ.а,у2)
Гт
ФО =
ф(0, Ум-і) . ф(0, ум)
<р(а, ум-і) . Ф(я, Ум)_
Матриця рівняння (12.31) є блоковою тридіагональною матрицею, що має такий вигляд:
А -Е
-Е А
V,,, = Еи,
А -Е
0 -Е А
де Е — одинична матриця порядку М -1.
12.4.1.	Метод матричного прогону
Розв’язок системи (12.31) будемо шукати у вигляді

(12.32)
де Рт+і — квадратна матриця, а О.т+і — вектор (розмірність матриці та вектора М -1).
382 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
Підставивши ¥га_і = Рга¥,„ +£)„, у рівняння (12.31), одержимо рекурентні формули:
Ри+1 = -(А + Р,„)~', ат+і=(А + Рга)-1(Р,„-аи),
тп=\,..., М -1.
Початкові значення матриці Рі = 0 та вектора (ф = Фо задаються відповідно до рівняння ¥о = Фо.
Після обчислення всіх коефіцієнтів Рт, 0,т вектори У„ для т = М - 1.1
визначаються послідовно з рівняння (12.32), починаючи з У«_і, тому що вектор УЛ/ =Ф„.
Розглянутий вище метод називається методом матричного прогону і являє собою узагальнення звичайного методу прогону для системи векторних рівнянь (12.31). На відміну від інших прямих методів цей метод є універсальним, оскільки дозволяє розв’язати рівняння зі змінними коефіцієнтами і не накладає сильних обмежень на граничні умови. Проте даний метод потребує великої кількості обчислень і ресурсів пам’яті, тому що під час його реалізації необхідно зберігати у пам’яті всі матриці Рга, (ф,,, т = 1,..., М -1.
Крім того, для обчислення розв’язку в кожному вузлі необхідно знайти обернену матрицю і двічі перемножити матриці порядку N -1, для чого треба виконати О(№) арифметичних операцій. Отже, для обчислення всіх коефіцієнтів Р,„, <ф,, т = 1,..., М-1 потрібно загалом О(І\г3М) операцій. Для модельної задачі, коли М - N = кількість операцій зростає до О(/г4). Із цих причин метод порівняно рідко застосовують для розв’язання задач математичної фізики. Однак його можна рекомендувати для розв’язання систем з матрицями невеликої розмірності.
Щоб знайти розв’язок еліптичних крайових задач, застосовують також метод установлення (див. підрозділ 13.6), різницева реалізація якого дозволяє використовувати сучасні чисельні методи змінних напрямків.
12.5.	Метод скінченних елементів
Метод скінченних елементів є альтернативою методу скінченних різниць. Основна ідея методу полягає в тому, що розв’язок диференціальних рівнянь із частинними похідними апроксимується дискретною моделлю, яку будують на .множині кусково-неперервних функцій, визначених на скінченній кількості підобластей (елементів), на які розбивається область визначення.
Існує певна аналогія між методом скінченних елементів і методом Гальоркіна у разі наближення розв’язку крайової задачі за допомогою системи базисних функцій. Базисними функціями тепер є кусково-неперервні функції, що наближено апроксимують розв’язок задачі для кожного з виділених елементів. Загальний розв’язок формується об’єднанням часткових розв’язків із забезпеченням його неперервності в усій області визначення функції розв’язку.
12.5. Метод скінченних елементів 383
Такий підхід, по-перше, більш зручний для розв’язання диференціальних рівнянь із частинними похідними зі складними граничними умовами, оскільки форму виділених елементів можна змінювати залежно від типу граничних умов (у методі скінченних різниць елементами сітки є прямокутники). Крім того, можна змінювати і розміри елементів, якщо в цьому є необхідність, із метою покращення апроксимації розв’язку за великих значень градієнтів у різних точках області визначення функції розв’язку. По-друге, метод дозволяє отримати розв’язок у кожній точці області визначення, а не тільки в ізольованих вузлах сітки.
Особливості реалізації методу скінченних елементів залежать від постановки задачі, але послідовність етапів методу не змінюється.
12.5.1.	Дискретизація області визначення розв’язку
Дискретизація області полягає в поділі області визначення розв’язку на скінченну кількість підобластей (елементів), що мають певні розміри і форму [32]. Під час розв’язання задач математичної фізики методом скінченних елементів використовують елементи різних типів. Найпростішим елементом є одновимір-ний відрізок (рис. 12.7, а), який може мати поперечний переріз. Такий елемент має два вузли, по одному на кожному кінці.
Для побудови дискретної моделі двовимірної області використовуються два основних типи елементів: трикутники і чотирикутники (рис. 12.7, б), що можуть мати й криволінійні сторони. Для моделювання криволінійних границь у середину сторін цих елементів включаються додаткові вузли. Трикутні й прямокутні елементи можуть застосовувати одночасно. Із тривимірних елементів найчастіше використовують тетраедри і паралелепіпеди (рис. 12.7, в), грані яких можуть бути криволінійними поверхнями.
а
Рис. 12.7. Можливі конфігурації скінченних елементів: а — одновимірні відрізки; б — трикутники і чотирикутники; в — паралелепіпед
Як правило, область розв’язку розбивається нерівномірно, в результаті чого всі елементи мають різну форму і розміри, які вибирають залежно від фізичних особливостей задачі, наприклад концентрації механічних напруг, температурних градієнтів і т. д. Можливість варіювати розміри і форму елементів — важлива властивість цього методу (рис. 12.8).
384 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
Слід зазначити, що під час дискретизації області розв’язку необхідно не лише виділяти елементи і вузли, але й нумерувати їх. Спосіб нумерації вузлів істотно впливає на ефективність обчислень.
Рис. 12.8. Двовимірна дискретна модель механічної деталі
Метод скінченних елементів також зводить розв’язання крайових задач до розв’язання систем лінійних рівнянь великої розмірності з розрідженими стрічковими матрицями. Ширина стрічки (смуги) матриці визначається співвідношенням В = (1 + К)М, де М — кількість змінних у кожному вузлі, К — найбільша різниця між номерами вузлів у окремому напрямку. Мінімізація значення К, зокрема, досягається послідовною нумерацією вузлів у напрямку до області розв’язку найменшого розміру.
12.5.2.	Кусково-неперервні функції елементів
Наступний етап полягає у пошуку наближеного розв’язку для кожного елемента. Для цього спочатку задається вид апроксимуючої кусково-неперервної функції з невідомими коефіцієнтами, що використовується для побудови розв’язку, а потім обчислюються значення невідомих коефіцієнтів за умови найкращого наближення цієї функції до розв’язку.
Апроксимуючими функціями найчастіше є поліноми, степінь яких визначається кількістю вузлів, зв’язаних з елементом. Для найпростішого одновимірно-го елемента такою функцією є
и(х) = ао + аіх,
(12.34)
яка повинна задовольняти граничні умови:
и(хі) = щ = ао + аіХі, и(х2) = г/2 =ао + аіХ'2,
звідки
ІДХ'2 - 1/2X1	Х-Х1
ао =------------------, аі =-------------
Х2 - Х1	Х'2 - Х1
(12.35)
12.5. Метод скінченних елементів 385
Після підстановки виразів (12.35) у (12.34) отримаємо:
и(х) = М«і + Л’гйг,
де
(12.36)
,	%2 - X .. Х-Хі
1=------,	N2=-----.
Х2 - Хі	Х2 ~ Хі
Формула (12.36) являє собою, власне кажучи, інтерполяційний поліном Ла-гранжа першого порядку, що задає значення функції на проміжку [%і, х2].
Для двовимірного елемента (трикутника з вершинами 1, 2 і 3) лінійна функція може мати вигляд
и(х, у) = ао + аіх + а2г/.
(12.37)
Використовуючи значення функції у вершинах трикутника, запишемо систему рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів:
и(хі, уі) = иі =ао + сцхі + азуі, и(х2, у2) = и2 =а0 + аіх2 + а2у2, и(хз, уз) = из — йо +	+ азУз,
котра в матричній формі має вигляд:
(12.38)
Розв’язання наведеної системи дозволяє знайти невідомі коефіцієнти:
1
«0 = — [П1(Х2#3 - Хз#2) + «2{ХзУі - Хіуз) + из(ХіУ2 - Х2Уі)}, 2А
а\ = —[гл (г/2 - Уз) + п2(г/з - г/і) + м3(г/і - уз)},
«2 = -Ммі(%3 ~ Х2) + Ц2(Х1 - %з) + Из(%2 - )],
2А
1
А = - [(*2Уз - %3?/2) + (ХзУі - ХіУз) + (ХіУ2 ~ Х2Уі)].
Після підстановки цих коефіцієнтів у вираз (12.37) отримаємо
и(х, у) = Миі + N3113 + А'зйз,
(12.39)
386 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
де
М = -~ї(х2уз - ХзУї) + (у2 -у3)х + (Хз - х2)у],
2Д
1
М = — [(Лз2/1 - ХіУз) + (уз -у,)х + (Хі - Хз)у],
№ = ^[(ХіУ2 - х2уі) + (Уі -у2)х + (х2 - Хі)у].
Функції елементів (12.36) і (12.39) можна диференціювати та інтегрувати. Наприклад, диференціюючи вираз (12.39), знаходимо значення градієнта за напрямком х:
ди(х,у) 5М	д1У2	8^з	/ю/л\
———-——• —----іі\ 4---іі2 + —	(12.40)
дх	дх	дх	дх
Але оскільки
дії\ = у2 - уз д1У2 _ уз -у\	дії з = У\ - Уї
дх 2А ’ дх 2А ’ дх 2А
то градієнт (12.40) не залежить від заданих координат х,,уі і значень функції и{Хі, уі). Сталість градієнта всередині кожного елемента вказує на необхідність використання для апроксимації швидко змінюваних функцій елементів дуже малих розмірів.
Продемонструємо можливість інтегрування введених функцій на прикладі найпростішого лінійного скінченного елемента:
XI	Х2
| и(х) сіх = |(Миі + ЛГ2П2) сіх.
хі	XI
З урахуванням (12.36)
х2 - х
Х2 - Хі
, 1/
ах - —(л2 - хі)иі,
отримаємо
|и(х)сіх = и' +	(х2- хі),
хі
що дорівнює площі трапеції з висотою (х2 - Хі) і основами и2 і
12.5. Метод скінченних елементів 387
Відмітимо, що змінний за значенням градієнт всередині елемента можна отримати вибором для двовимірного трикутника замість формули (12.37) нелінійної функції, наприклад полінома другого порядку:
и(х, у) = ао + а\х + аіу + а$х2 + а^ху + а5г/2.
Але в такому елементі для обчислення шести невідомих коефіцієнтів повинно бути шість вузлів для формування системи із шести рівнянь. Це істотно збільшує обсяг необхідних обчислень, виконання яких без комп’ютера (на відміну від методу скінченних різниць) вже неможливе.
Для тривимірного елемента (тетраедра з чотирма вершинами 1, 2, 3 і 4) вибирають найпростіший поліном типу
и(х, у, г) = а0 + а\х + а^у + а32,
(12.41)
невідомі коефіцієнти якого визначають з урахуванням чотирьох умов у вузлах тетраедра:
и(%і, у\,	г\) = и\	=ао	+ а[Хі	+ аіу\	+ а32|,
и(х2, г/2,	и2) = и2	= «о	+	+	а>Уг	+
и(хз, уз,	23) = из	= ао	+ Оі%з	+ йгі/з	+ Оз^з,
и(х4, у4,	24) = щ	= «о	+01X4	+ а2у4	+ 0324.
12.5.3.	Знаходження наближених розв’язків методом скінченних елементів
Наближений розв’язок для кожного елемента можна обчислити з використанням початкового диференціального рівняння. Зокрема, з цією метою успішно застосовується метод Гальоркіна (див. розділ 11).
Нагадаємо основне положення цього методу: різниця між наближеним і точним розв’язками рівняння (нев’язка) повинна бути ортогональною до апрокси-муючих функцій. Якщо виходити з диференціального рівняння Ьи- / = 0, де £ — диференціальний оператор, і наближений розв’язок шукати у вигляді й = ЕА£ці, то завдання полягає в мінімізації нев’язки е = £й-/, тобто виконання таких умов:
рм<т = 0, і = 1,2..п,	(12.42)
к
це К — область визначення функції, що задається конфігурацією скінченного елемента, п — кількість вузлів скінченного елемента.
Найвищий порядок похідної, обумовлений диференціальним оператором £, не обмежений, але він перевищує порядок неперервності використовуваних
388 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
інтерполяційних поліномів на одиницю. У разі вибору для скінчених елементів поліномів першого порядку, розглянутих вище, функція и неперервна, але не її перша похідна, тому в цьому випадку в рівняння (12.42) можуть бути включені похідні лише першого порядку. Для подолання цього обмеження для обраного кусково-лінійного опису скінченного елемента слід зменшувати порядок рівняння, заданого оператором £, використанням процедури інтегрування частинами.
Подальший виклад прив’яжемо до найпростішого прикладу розв’язання од-новимірного рівняння Пуассона:
(І'Г (іх~

(12.43)
яке описує розподіл температури в стрижні довжиною І із граничними умовами
Г(0Д) = 7і- Т(/,0 = Т2.
(12.44)
Нев’язка наближення розв’язку цього рівняння на скінченному лінійному од-новимірному елементі обчислюється за формулою
г, ч
£ = -ту + /(*)> ах
а рівняння (12.42) набуває такого вигляду:
| ^ + /(Х) М-Дг- = 0, і = 1,2.
(12.45)
Лї
Розв’яжемо ці рівняння, застосовуючи метод інтегрування частинами для першого добутку під інтегралом:
XI
і = 1, 2.
(12.46)
Обчислимо спочатку окремі члени правої частини виразу (12.46) для і = 1:
2 = М(х2)ф1-М(хі)ф>. СІХ х.
Згідно з формулами (12.36) маємо М(х2) = 0 і М(хі) = 1, тому
ЛГ(хі)
1 СІХ х,
(12.47)
12.5. Метод скінченних елементів 389
Аналогічно для і = 2 отримаємо:
^дт_Х2 __ ат{х2)
2 дх „ дх
(12.48)
Другий член правої частини виразу (12.46) знаходимо підстановкою (12.46), (12.47) і (12.48) у вираз (12.45). Для і = 1 отримаємо:
	хгдТ дії і , дТ(хі) , ..кг, 	дх =	4—- + /(х) М (х) дх,	(12.49) 2 дх дх	дх * Х1	Х1
а для і = 2 маємо:	^дТдМі,	дТ(х2) 5 	—дх =——-+ \ У(х)^і(х)дх.	(12.50) * дх дх	дх	; Х1	Хі
Відзначимо, що інтегрування частинами дозволяє ввести граничні умови безпосередньо в рівняння скінченного елемента.
Обчислимо праві частини виразів (12.49) і (12.50), підставляючи в них похідні від М, Ач і 7’ (12.36):
б/М _	1 д^ =	1
дх Хі ~ Хі' СІХ Х2 - Хі
ди д.\'\
— = --------иі
дх дх
д\Ч 1	.
+ —— и> =-------(-щ + гл).
дх	Хі-Хі
Одержимо для скінченного елемента, якщо і = 1 і і = 2, такі рівняння:
Х2
Д-Д -	1
------- дх =----(Ті - Ті ),
(х2-ХіУ Хі-хі
(12.51)
Г2Г -Ті + Т _г, (х2 -хіу
дх =
—^—(-Ті+Ті).
Хі - Хі
(12.52)
Рівняння (12.51) і (12.52) можна записати в матричній формі як рівняння обчислення наближеного розв’язку одновимірного рівняння Пуассона у вузлах скінченного лінійного елемента:
1 Г 1 -11 |Т2
Хі - Хі -1	1 ІД
Г/(х) М дх дТ(хі)/(1х Х] дТ(хі)!дх Хі.
\/(х)^ідх
(12.53)
390 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
Якщо позначити матрицю у лівій частині рівняння (12.53) через к, вектор невідомих значень температур у вузлах сітки через и, а вектор, що враховує зовнішні збурення елемента і граничні умови для нього через Р, отримаємо загальний вигляд рівняння для скінченного елемента, що являтиме собою модель типу
Ти = Р,
(12.54)
Ця модель може служити основою під час побудови спеціалізованої бібліотеки підпрограм для розв’язання диференціальних рівнянь із частинними похідними визначеного типу (параболічного, гіперболічного чи еліптичного) методом скінченних елементів.
12.5.4.	Композиція загального розв’язку задачі
Дискретна модель для неперервної функції (розв’язку задачі) будується на множині кусково-неперервних функцій, кожна з яких є чисельним розв’язком рівняння для окремого елемента. Умова неперервності функції забезпечується рівністю значень функції у вузлах, що є спільними для сусідніх скінченних елементів. Якщо скінченні елементи задані поліномами другого порядку і вище, то умови неперервності розв’язку можуть включати також вимоги рівності похідних у вузлах сусідніх елементів.
Вимогу рівності значень функції у вузлах сусідніх елементів можна задати в матричній формі за умови узгодження глобальної нумерації вузлів всієї області розв’язку (координатного базису задачі) і локальної нумерації вузлів моделі рівнянь окремого елемента (координатного базису елемента), як це прийнято в теорії електронних схем у разі побудови матриці всієї схеми з моделей окремих компонентів. У результаті формується система лінійних рівнянь, що визначає вузлові значення в усій області розв’язку задачі:
Ки = Р,
(12.55)
де К — стрічкова матриця жорсткості дискретної моделі задачі, и — вектор вузлових значень, Р — узагальнений вектор зовнішніх збурень.
Оскільки деякі складові вектора и відомі з граничних умов, систему рівнянь (12.55) можна модифікувати, перенісши відомі величини з лівої частини рівняння у праву і виключивши їх із інших рівнянь системи. Надалі таку розріджену систему лінійних рівнянь розв’язують відомими методами. Наближений чисельний розв’язок диференціального рівняння з частинними похідними одержують у вигляді значень функції у вузлах.
Слід відмітити, що розв’язок рівняння, отриманий методом скінченних елементів, є єдиним і визначеним у всій області розв’язку, а не тільки у вузлах. Послідовність значень у вузлах є просто компактним зображенням функції розв’язку (а для двовимірної функції — кусково-планарною апроксимацією поверхні розв’язку). Метод скінченних елементів дозволяє досить точно описати складні криволінійні границі області визначення розв’язку і граничних умов.
12.5. Метод скінченних елементів 391
Приклад 12.2
Обчислимо розподіл температури у стрижні довжиною / = 8см, якщо температура на кінцях стрижня Т(0) = 20, Т(8) = 100 та існує рівномірне джерело тепла /(х) = 10.
Теплові процеси у стрижні описуються рівнянням Пуассона (12.43):
а2т сіх'
= -10.
Виділимо на стрижні чотири лінійних скінченних елементи довжиною /,. = 2 і задамо номери п’яти вузлів: 1, 2, 3, 4, 5.
Щоб скористатися рівняннями (12.53), необхідно обчислити вирази
Ч	г 2-х
|/(х)М(х)бТг = |10у—сіх = 10,
0
Х2	2	г - 0
^/(х)\+(х)с1х = ро—-сіх = 10.
X,	0	“ - 0
Тоді рівняння (12.53) набувають такого вигляду:
1Г1
2 -1
сПХх^/сіх + 10
сіТ(хі)/с1х +10
(12.56)
т
Щоб записати рівняння для всіх чотирьох елементів, встановимо відповідність між локальними й глобальними номерами вузлів стрижня згідне з табл. 12.1.
Таблиця 12.1. Відповідність між локальними й глобальними номерами вузлів
Номер елемента	Локальна нумерація вузлів	Глобальна нумерація вузлів
1	1,2	1,2
2	1,2	2,3
3	1,2	3,4
4	1,2	4,5
Система рівнянь (12.55) для обчислення розв’язку в усіх вузлах створюється підсумовуванням рівнянь для всіх елементів і має такий вигляд:
Ті Тг	Ті	Ті			
0,5 -0,5				Ті	-сІЇ(хТ)/сіх+ 10
-0,5	1	-0,5			Ті	20
-0,5	1	-0,5		X Т3	20
	-0,5	1	-0,5	ті	20
		-0,5	0,5	т5	-с1Т(х5)/сіх +10
За послідовного внесення рівнянь скінченного елемента (12.56) у загальну систему граничні умови в суміжних вузлах 2, 3 і 4 взаємне компенсують одна одну. Це не виконується у першому і останньому вузлах (вузли 1 : 5).
392 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
Оскільки значення температури Ті і Ті задані (відомі з граничних умов), то отриману систему рівнянь можна перетворити у такий спосіб.
1. Члени лівої частини рівнянь, що містять Ті і Тз, перенести в праву.
2. Невідомі з правої частини (</(хі)/й!г, </(лз)/й!г), перенести в ліву.
У результаті отримаємо систему рівнянь з тридіагональною матрицею:
1	-0,5	<П\хі)і<1х		0
1	-0,5	т2	ЗО
-0,5	1	-0,5	х Тз	20
	-0,5	1	Ті	70-
	-0,5 -1	(П\х$)І<1х	-40
Розв’язуючи цю систему рівнянь, отримаємо:
= 50,
Тг = 100, Т3 = 140, Ті = 140,
</(хз)/б£с = -ЗО.
Висновки
1.	Розв’язання диференціальних рівнянь із частинними похідними є однією з найбільш трудомістких обчислювальних задач, що базуються на чисельних методах, розглянутих у попередніх розділах.
2.	Існують два основних підходи до розв’язання диференціальних рівнянь із частинними похідними: метод скінченних різниць і метод скінченних елементів. Перший з них більше підходить для регулярних сіток. У разі використання симетричних формул апроксимації похідних він забезпечує другий порядок точності. Другий метод застосовується для розв’язання задач, в яких границя області визначення є досить складною (наприклад, під час проектування виробів зі складними поверхнями й у механіці рідких середовищ і газів). Цей метод за відповідного вибору базисних функцій забезпечує більш високу точність.
3.	Метод скінченних різниць після підстановки різницевих апроксимацій для похідних зводить задачу розв’язання диференціальних рівнянь із частинними похідними до розв’язання еквівалентної системи розріджених лінійних рівнянь зі стрічковими матрицями, обумовленість яких погіршується зі збільшенням кількості вузлів сітки. Метод розв’язання еквівалентної системи рівнянь залежить від виду диференціального рівняння (параболічне, еліптичне або гіперболічне).
4.	Еквівалентні системи лінійних алгебраїчних рівнянь для одновимірних і двовимірних еліптичних диференціальних рівнянь із частинними похідними зви
Контрольні запитання та завдання 393
чайно розв’язують прямими методами. Для забезпечення стійкості розв’язку необхідно підтримувати лінійну пропорційність між кроками змінювання змінних (Лґ ® Дх).
5.	Еквівалентні системи лінійних алгебраїчних рівнянь для тривимірних еліптичних диференціальних рівнянь з частинними похідними звичайно розв’язують через їх велику розмірність ітераційними методами, наприклад методом Ліб-мана з урахуванням вказаних вище обмежень на вибір кроків для змінних.
6.	Метод скінченних елементів, що базується на ідеях методів Гальоркіна (розділ 11), є більш складним, але має явні переваги порівняно з методом скінченних різниць, особливо коли область визначення функції розв’язку має складну форму. При цьому базисними функціями для апроксимації розв’язку можуть виступати кускові поліноми. Оскільки вони є фінітними, та їх вплив поширюється тільки в межах скінченного елемента довільної форми, матриці систем лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення вагових коефіцієнтів біля базисних функцій також мають стрічкову структуру.
7.	Для прискорення розв’язання диференціальних рівнянь із частинними похідними, наприклад релаксаційним багатосітковим методом Федоренка, можна успішно застосовувати багатопроцесорні обчислювальні системи.
Контрольні запитання та завдання
1.	Доведіть, що функція и(х, у) = яхіп(х)хЬ(г/) + Ь кЬ(х) 8Іп(г/) є розв’язком рівняння Лапласа.
2.	Доведіть, що функція г/(х, у) = а 8Іп(их) 8Й(г?г/) + І8Ь(пх)8Іп(пу) є розв’язком рівняння Лапласа для кожного цілого додатного п.
3.	Нехай и(х, у) має вигляд и(х, у) = ах2 + Ьху + су2 + (їх + /у +
а)	знайдіть співвідношення між коефіцієнтами, які гарантують виконання рівності + иуу = 0;
б)	знайдіть співвідношення між коефіцієнтами функції и(х, у) = ах2 + Ьху + + су~ + (їх + /у +	які гарантують рівність и** + иуу = -1;
в)	знайдіть коефіцієнти функції и(х, у), заданої в п. а, які задовольняють рівняння Лапласа і граничні умови и(х, 0) = 0 та и(х, Г) = 0;
г)	знайдіть коефіцієнти функції и(х, у), заданої в п. б, які задовольняють рівняння з п. б, і граничні умови г/(х, 0) = 0 та г/(х, /) = 0.
4.	Розв’яжіть рівняння
Ми + иуу = -4г/
в області С = {(х, у): 0 < х < 1,0 < у < 1} з граничними умовами и(х, у) = = 8ІП 2у + СО8 х.
394 Розділ 12. Розв’язання рівнянь із частинними похідними
5.	Складіть систему різницевих рівнянь, що апроксимують на квадратній сітці
з кроком к рівняння + иуу = ху, задане в півколі з границею:
х~ + у~ < 1, У >0
для граничних умов:
а) и{х,у)\{ху^г=\х + у\-1-
У - 8ІП ЮС, 0
#>0, # = 0.
Який порядок апроксимації побудованих різницевих схем? Знайдіть розв'язок отриманих різницевих рівнянь.
Розділ 13
Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
♦	Стійкість і збіжність різницевих схем
♦	Спектральна ознака стійкості
♦	Різницеві схеми підвищеної точності
♦	Методи встановлення і прямих
Рівняння математичної фізики описують реальні фізичні процеси, тому їх розв’язок повинен бути єдиним і неперервно залежати від вихідних даних. Остання вимога обумовлена тим, що вихідні дані, як правило, визначаються під час експериментів, тому необхідно гарантувати незалежність розв’язку від похибок вимірювань.
Введення понять апроксимації, стійкості та збіжності дозволило створити необхідну базу для побудови ефективних різницевих схем розв’язування задач математичної фізики [8, 28, ЗО, 34].
У	даному розділі розглядаються явні та неявні різницеві схеми розв’язування параболічних рівнянь та аналізуються умови їх стійкості.
13.1.	Апроксимація, стійкість, збіжність різницевих схем. Основні поняття
У розділах 11 і 12 були введені поняття похибки апроксимації та стійкості різницевих схем. Тепер дамо їх формальне визначення. Спочатку розглянемо деяку задачу, визначену диференціальним рівнянням і граничними умовами, і запишемо її в операторній формі:
£С = Г,	(13.1)
де 1 — деякий диференціальний оператор, що впливає на шукану функцію Г/, Р — права частина. Вважатимемо, що оператор £ включає як диференціальне рівняння, так і граничні умови.
Пояснимо введений оператор (13.1) на прикладі мішаної задачі для однови-мірного рівняння теплопровідності.
396 Розділ 13. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Постановка цієї задачі була розглянута в підрозділі 12.1.3, а тут наведемо відповідні формули для неї:
ди 2	...	/ л
— = а —-+ т(х,і), 0<х<1,0<і.
ді дх2
(13.2)
Оскільки рівняння містить похідну за часом, необхідно задавати початкові умови для і = 0:
и(х, 0) = 'р(л), О^х^/, ґ = 0
і граничні умови для х = 0, х = І, і > 0.
Спочатку розглянемо граничні умови першого роду п(0, і) = \|/(0, х = 0, і > 0, и(1, і) = Ці), х = 1,і >0.
(13.3)
(13-4)
У цьому випадку маємо першу мішану задачу, інакше задачу Коші з граничними умовами (рис. 13.1).
Рис. 13.1. Область визначення розв'язку одновимірного рівняння теплопровідності
Встановлюючи зв’язок мішаної задачі для одновимірного параболічного рівняння (13.2), (13.3) і (13.4) з операторпим рівнянням (13.1), запишемо
	ди > д2и		для	і > 0,0 < х <	:1,
		а ді	дх1			
	и(х, 0),		для	і = 0, 0 х;	И,
	п(0, і),		ДЛЯ	і > 0, X = 0,	
	и(1, і),		для	і > 0, х -1.	
Відповідно
'/(х,і),	для і	> 0, 0 < х < /
ф(х),	для і	= 0, 0 4 х /,
	для і	> 0, х = 0,
	для і	> 0, х = 1.
13.1. Апроксимація, стійкість, збіжність різницевих схем. Основні поняття 397
Для побудови сітки (рис. 13.2, а) виберемо крок к = 1)М по осі Ох і т = ТІК і проведемо лінії хт = сопзі і & = сопзі, так що хт = тії, т = 0,1,..., М і 4 = кт, к = 0,1,..., К. Тепер замінимо диференціальне рівняння (13.1) різницевим. Із цією метою виберемо шаблон різницевої схеми, зображений на рис. 13.2, в.
Рис. 13.2. Сіткова область і шаблони різницевої схеми для параболічного рівняння (а):
б — шаблон неявної схеми; в — шаблон явної схеми
Введемо позначення для сіткової функції у вузлах і на основі вибраного шаблону запишемо різницеве рівняння для задачі (13.2) у такий спосіб:
гЛ = а2	+ у* т = 1,..., М - 1, к = 1, 2,...,	(13.5)
т	к~
ДЄ
Подібні рівняння запишемо для кожного внутрішнього вузла сітки. Початкові та граничні умови першого роду апроксимуються без похибки завдяки таким співвідношенням:
^=<р(хт) = <рт, т = 0,1,..., М,	(13.6)
гк =^((1,) = ук, гкм =£,((/,) = £,к, к = 1,2,....	(13.7)
Тепер різницеву схему (13.5), (13.6) і (13.7) зобразимо в операторній формі:
НУ* = Я,,
(13.8)
де Vа = (&о, VI,..., гкм), к = 0,1,..., М — сукупність значень сіткової функції на к-му часовому шарі:
ЦУ*
Л+і л
Т
Л о Л . Л 2 ^т-1	"1“ ^т+1
кг
»т=фт, ^й=ук, Гм=£,к,
”=*....Л,-и=1'2...... (1М)
т = 0,..., М, к = 1,..., К -1.
~ а
398 Розділ 13. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Порівнюючи вирази (13.9) і (13.8), побачимо, що ЦУк визначається лівими частинами рівнянь (13.5), (13.6) і (13.7). Відповідно
/4~У всіх внутрішніх вузлах сітки, (рт — у вузлах нижнього шару, V* — У вузлах лівой границі, ~ У вузлах правой границі.
(13.10)
Похибкою наближеного (різницевого) розв’язку називається функція, яка визначена у вузлах сітки в такий спосіб:
еа = Ук - 1/к, тобто гкт = V™ - и(хт, Ік), т = 0,..., М, к = 0,..., К.
Оскільки функції, визначені на сітковій області, можуть інтерпретуватися як вектори, то вибираючи норму у відповідному векторному просторі, приймемо за похибку значення ііеа II.
Визначення. Наближений розв’язок Ук збігається до точного П, якщо ІІєАІІ —> 0 і /г, т -> 0.
У попередніх розділах ми використовували поняття «похибка апроксимації». Дамо його формальне (загальне) визначення. Після підстановки точного розв’язку І/ рівняння (13.1) у різницевий оператор Ік маємо
£*І7 = Рк + Кк,
(13.12)
де Кк називається нев’язкою. Значення похибки апроксимації позначається як ІІНдІІ-
Із виразу (13.12) видно, що в загальному випадку Кк є сукупністю нев’язок, які отримують у разі підстановки точного розв’язку в різницеві рівняння, у початкові та граничні умови.
В окремому випадку для розглянутої різницевої схеми (13.5), (13.6) і (13.7) нев’язка різницевого рівняння має такий вигляд:
о.,* ,	*+1 к
к 2 їїтп-1 -Ь їїтп+1 гк	Цт
Гт = а --------------------------+ /т-------------------
к	т
т = 1,М -1, к = 1, 2,...,
(13.13)
нев’язки початкової та граничної умов дорівнюють нулю:
Г„ = <р-и(Хт, 0), т=0,..., М,
го = / -и(0,ік)=0,	= $к -и(1,ік) = 0, к = 1,...,К.
13.1. Апроксимація, стійкість, збіжність різницевих схем. Основні поняття 399
Визначення. Метод (різницева схема) (13.8) апроксимує задачу (13.1) на її розв’язку, коли ||/?Л|| -> 0 і /г, т -> 0. Якщо при цьому норма нев’язки задовольняє умову
(13.14)
і константа С не залежить від /г, має місце апроксимація з порядком р. Наприклад, різницевий оператор
г	+ Пщ+І.п 4пт,п + Пт.и-1 "Ь Пт,п+1
що апроксимує оператор Лапласа, має другий порядок точності (підрозділ 12.2).
Порядок апроксимації диференціального рівняння не завжди збігається з порядком точності різницевої схеми, тому що останній залежить як від схеми апроксимації диференціального рівняння, так і від схеми апроксимації граничних і початкових умов.
Проте не всі апроксимуючі схеми є стійкими. У зв’язку з цим важливим є поняття стійкості різницевої схеми. Помилки обчислень початкових і граничних умов, а також правих частин рівнянь через округлення величин, що використовуються під час обчислень, й інші причини можна розглядати як збурення початкових і граничних умов і правих частин рівнянь. Очевидно, що різницева крайова задача (чи мішана задача) буде коректною і стійкою, якщо малі зміни початкових і граничних умов та правих частин рівняння, які пов’язані з випадковими похибками, не зумовлюють суттєвих змін розв’язку різницевої задачі. Якщо цс не так, різницева задача є нестійкою. Важливо відзначити, що в нестійких різницевих схемах сітка не стає стійкою внаслідок зменшення її кроку, оскільки будь-які малі збурення розв’язку з часом необмежено ростуть. У зв’язку з цим для лінійних систем можна сформулювати визначення стійкості.
Різницева схема (13.8) є стійкою, якщо для будь-якої функції Рь має місце єдиний розв’язок Vа , такий, що
ІІРаКС||Раіі	(13.15)
з константою С, яка не залежить від параметрів сітки.
Очевидно, що для будь-якої з векторних норм, застосовуваних для оцінювання величини Црь Ц, справедлива нерівність
ІгАК||/А||+||ФА||+кА||+||^||.
Отже, перевірка стійкості зводиться до з’ясування, за яких умов виконується нерівність, що випливає з визначення (13.14):
ІІРАКС(іі/а|| + ІІФа|| + ІІУа|| + іі^іі)-	(13-16)
Запис умови стійкості у вигляді (13.16) деталізує уявлення про фактори, від яких залежить стійкість різницевої схеми: наявність у правій частині величини /А означає стійкість за правими частинами різницевих рівнянь, <рА —
400 Розділ 13. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
за початковими умовами, ц/*, Е,* — за граничними. Зрозуміло, що стійкість за кожним із згаданих факторів, є в загальному випадку, необхідною умовою стійкості в цілому (в розумінні виконання нерівності (13.16) з усіма доданками в правій частині). Проте якщо вихідна задача являє собою задачу Коші для еволюційних рівнянь, то визначальними факторами є стійкість за правими частинами і початковими даними (крайових умов у задачі Коші немає). Для стаціонарної задачі (не залежної від часу) немає початкових даних, і стійкість визначається за правими частинами рівнянь і граничними умовами. Нижче на конкретних прикладах переконаємося, що перевірка нерівності (13.16) є надзвичайно актуальною під час аналізу різницевих схем із метою вибору конкретної схеми для розв’язання задачі. Іноді вдається встановити справедливість нерівності (13.16) без всяких припущень щодо параметрів сітки. У цьому випадку схема називається абсолютно стійкою. Якщо нерівність (13.16) задовольняється в припущенні про деяке співвідношення між кроками сітки, то це припущення є достатньою умовою стійкості.
Коли вдається встановити, що за деякого обмеження на сіткові параметри стійкість має місце лише за окремим фактором, то дане обмеження на крок сітки трактується як необхідна умова стійкості.
Тепер можна сформулювати умови, за яких чисельний розв’язок (13.8) збігається до точного.
Теорема. Нехай різницева задача ЦУк = Д апроксимує початкову диференціальну задачу І№ = Р на її розв’язку з порядком р і різницева задача є стійкою. Тоді наближений розв’язок Vа збігається до точного, і має місце оцінка
ІІу^КСГ,	(13.17)
де С — константа, що не залежить від р і вхідних даних Р.
Доведення. Vа є розв’язком різницевої задачі (13.8), тобто ЦVа = Рк, нев’язка якої має вигляд (13.12), тобто ЦІ/ = Рк + /?а. Підставимо в останнє співвідношення значення Рк = ЦУк, одержимо ЦУ - РУк = Кк і перепишемо його у вигляді Ц(У - Vа) = Кк.
Величина V -Vа згідно з (13.11) є похибкою єА розв’язку різницевої схеми.
Звідси отримаємо формулу для похибки:	1
іл£А = -КК.
За умовою теореми ця різницева схема є стійкою, тому згідно з (13.15) можемо записати	11
І|£АК<Ж||.
Використовуємо той факт, що різницева схема апроксимує початкову задачу з порядком р, тобто ||7?а|| їС С2ЛР, одержимо тоді ІІ£АІІСіС2Л'’, що і було пот- і рібно довести, — збіжність наближеного розв’язку різницевої задачі до точного розв’язку початкової задачі з порядком р.
Доведена теорема має загальне значення, тому що вона визначає умови, достатні для збіжності не тільки задач із рівняннями, які містять частинні похідні, але і для задач зі звичайними диференціальними рівняннями.
13.2. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі 401
13.2.	Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для одновимірного параболічного рівняння
13.2.1.	Апроксимація одновимірного параболічного рівняння
Розглянемо методи чисельного розв’язання мішаної одновимірної задачі (13.2), (13.3), (13.4). Відомо, що для цієї задачі існує єдиний розв’язок и(х, і). Нев’яз-ка різницевого рівняння (13.5) на точному розв’язку диференціального рівняння (13.2) визначається формулою (13.13). Встановимо її порядок. Для цього підставимо у формулу (13.13) вирази для різниць (див. формулу 12.13):
к о к к д2 к
Мт-І т _______ V
—	- —— +	),
к	дх
к+1 к -\к
і одержимо вираз для нев’язки:
гт = /т + а —г + О(Л ) - —— + О(т). дх	ді
Враховуючи, що и(х, і) є розв’язком рівняння (13.2), отримаємо остаточно:
тах |г* | = Ь Ц = О(т + к2).
0<т<М,
Оскільки перша похідна за часом апроксимується з першим порядком точності за т, а друга похідна за змінною х — з другим порядком відносно к, то різницеве рівняння (13.5) апроксимує рівняння (13.1) на його розв’язку з порядком О(т + к2).
Співвідношення
Пт=<рт> т = 0,..., М,	(13.18)
£ = 1,2,...	(13.19)
без похибки замінюють початкові та граничні умови першого роду.
Розглянемо різницеву схему апроксимації на основі шаблона (рис. 13.2, б). Для цього використаємо вирази для похідних, шо входять у рівняння (13.1) (див. формулу 12.13):
к+і ^+1 гіцк+І к+і
дх2	к2	( Л
гх,,к+і „,к+і к
(Літ	Мт ч
-т—=------------+ О(т).
ді т
402 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Замінивши похідні в рівнянні (13.1) їх апроксимаціями, одержимо різницеві рівняння:
к+1 к	к+і о /+1
__ 2	^-^77?	гк+\
т ~а ~ к2 + /м ’	(13.20)
т = 1....М - 1, к = 1, 2......
Початкові та граничні умови записують у вигляді (13.18) і (13.19). Отже, обидві різницеві схеми апроксимації задачі (13.1), (13.2) і (13.3) мають однаковий порядок точності відносно к і т.
13.2.2.	Обчислювальні алгоритми
Розв’язавши рівняння (13.5) відносно с*+І, одержимо:
= С2^-1 + (1 - 2о2)п„ + <А*,+і + т/,*,
(13.21)
де
2 а2х о = —тг-
к~
Оскільки значення шуканої функції на нульовому часовому шарі задані початковими умовами (13.6), то значення на першому шарі о™, т = 1.М -1 можна
знайти за формулою (13.21) для к = 0. Значення Го = і/,	= Е,1 знаходять
з граничних умов (13.7). Використовуючи знайдені значення їД, т = 0,..., М на першому шарі, можна за тією ж формулою (13.21) знайти значення функції п2,, т = 1,..., М -1 на другому шарі. Таким чином, розв’язок системи (13.5), (13.6) і (13.7) знаходять за формулою (13.21) явно, шар за шаром. Така різницева схема (13.5), (13.6) і (13.7) називається явною.
Розглянемо різницеву задачу (13.18), (13.19) і (13.20). Різницеве рівняння (13.20) запишемо в такому вигляді:
2 А+1	2ч .	2 й+1 к гк+1
а - (1 + 2о )гт + о итА =	,
т = 1,..., М -1, 6 = 1,2,....
На першому шарі для к = 0 рівняння (13.22) має вигляд:
а2^_і - (1 + 2о2)п‘; + о2о':1+І =	- т/,“.
(13.22)
(13.23)
Значення о„ =<рт задають, виходячи з початкових умов. Згідно (13.18) і (13.19) маємо
^=чД	(13.24)
Таким чином, щоб знайти п™, т = 1,..., М - 1, треба розв’язати триточкове різницеве рівняння з граничними умовами першого роду. Така різницева схема (13.18),
13.2. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі 403
(13.19) і (13.20) називається неявною. Розв’язок різницевої схеми (13.18), (13.19) і (13.20) знаходять шар за шаром методом прогону [37], оскільки на кожному шарі задовольняються умови стійкості методу прогону для системи рівнянь (13.22). При цьому кількість необхідних арифметичних операцій для знаходження розв’язку на одному шарі прямо пропорційна значенню М, тобто не більше, ніж у разі застосування явної формули (13.21).
13.2.3.	Стійкість і збіжність явних схем
Розглянемо спочатку різницеву схему (13.5), (13.6) і (13.7). Припустимо, що задовольняється умова 1-2о2^0. Знайдемо величину із рівняння (13.10)
І4+/І °2 (1^-/1 + Ш) + 0 - 2°2)к4І + т|/4|
< 2 шах |?4| + (1 - 2с/) шах | + т шах 1/4І < шах т шах 1/4 . 0<т<М	0<т<М
Остання нерівність справедлива для будь-якого 0 < т < М, у тому числі й для такого т , за якого І?/'/1 досягає максимуму, тобто к/-*І = шах к4+І|- Тому для ’ т	' т 0<т<М
цього вузла останню нерівність можна записати у вигляді
шах /4/1 < шах |г4І + т шах 1/41
0<т<М	[)<т<М
чи, підсилюючи нерівність за рахунок другого доданка в правій частині формули: тах|ї4Г'|^ шах |г4| + ттах|/4| < шах |г4І + т||/||.
0<т<М	0<т<М.0<к^К
Тепер врахуємо граничні умови на (к + 1)-му шарі:
шах |?4+1| < шах / шах І^І + г||/||,|/+,|.к4+1|].	(13.25)
Нерівність (13.25) називається принципом максимуму для різницевої схеми (13.5), (13.6) і (13.7). Враховуючи рекурентність нерівності (13.25) за т, можна переписати її у вигляді:
шах|п4+1| < шах( шах |&4 'І + 2т||/,||, шах{|у*|, |\|/+1|, |і;*|,	< ...
... < шах / шах |п41 + (К + 1)т Ц/, II, шах / шах |\і/+| І, шах ІЕ*+1 П
З огляду на довільність значення к із останньої нерівності випливає, що
шах|г4+1| < шах І шах /41 + (к + 1)т|І/,||
т	11
тах{||^>||,к<А’||}}.
404 Розділ 13. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Враховуючи початкові умови
отримаємо
І^ктахОфлІІ + ТЦЛІІ.ІІуАІІ.ІЬІІ} < Л/4 + ііф4 + М+М
і остаточно
ііулКс(ІІЛІІ + ііф/.іі + ііфаіі + іі^іі)-
де С = гаах(1, Т).
Отже, отримано нерівність (13.16) для розглянутої схеми, тобто доведено достатність умови 1 - 2о2 0 для стійкості явної схеми (13.5), (13.6) і (13.7).
Таким чином, явна різницева схема (13.5), (13.6) і (13.7) апроксимує початкову задачу (13.2), (13.3) і (13.4) на її розв’язку з порядком О(т + /г2) і є стійкою за умови 1 - 2о2 0.
Із теореми (див. с. 400) одержимо, що за умови 1 - 2о2 0 наближений розв’язок крайової задачі за явною різницевою схемою (13.5), (13.6) і (13.7) збігається для т -> 0 і /г —> 0 до точного и(хт, іь) з першим порядком за т і другим порядком за к.
Явну схему (13.5), (13.6) і (13.7) можна застосовувати лише за умови (13.18), тобто, коли т</?2/(2«2). Це означає, що крок т треба брати досить малим. Різницева схема, стійкість якої зв’язана з деякими обмеженнями на крок, називається умовно стійкою.
Явна схема є більш простою і потребує меншої кількості операцій для підрахунку значень наближеного розв’язку на одному часовому шарі. Її застосування обмежується тим, що явна різницева схема є стійкою лише для
Умова стійкості накладає занадто сильне обмеження на крок за часом. Дійсно, нехай, наприклад, к = 10~2. Тоді крок т не повинен перевищувати 0,5-Ю'4/а2, якщо а2 = 102, т < 0,5 • 10 10. Для того щоб обчислити розв’язок ут за І = 1, треба взяти кількість кроків п = т”1 =0,5-106, а для всіх т провести 0.5 -108 обчислень за формулою (10.5). Тому явні схеми для рівнянь параболічного типу використовують рідко. Далі буде показано, що багато неявних схем позбавлені цього недоліку.
13.2.4.	Стійкість і збіжність неявних схем
Покажемо, за яких умов неявна різницева схема є збіжною. Рівняння похибки неявної різницевої схеми має такий вигляд:
13.2. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі 405
Підставивши + и(хт, Ік) У рівняння (13.9), отримаємо:
к	Л+1 п &+1 ।
Ет	2 £т-1	+ Ет+1
--------------а т й+1 _ к Шт Мщ
гі+1 т
А2
г -2і£'+іІЇ\
а2
т = 1,..., М -1.
(13.26)
а
Вираз
,л+і
ик+і - ик
к+\ г\ к+\	Л+1
2 2/т-1	і~ *Ап+1
' л2
визначає нев’язку рівняння (13.9) для розв’язку диференціального рівняння (13.2). Розв’язавши рівняння (13.26) відносно £„+1, отримаємо
/1 і 9 2\ Л+1	2_Л+1	2 6+1 к .	6+1
(1 + /СУ )&т — СУ Єт-1 + СУ Ет+1 £т	,	ҐІЗ 27^
т = 1,...,М-1.
Для початкових і граничних умов маємо
Л+1 гт Л+1 г\ () г\
Єо 0, £Л/ “	Ґ13 28^
т = 0,..., М.
Нехай у вузлі то похибка приймає найбільше за абсолютною величиною значення серед всіх абсолютних значень похибок на (к + 1)-му часовому шарі, тобто
тах|єга | = ІЄти |. т
Якщо такого внутрішнього вузла немає, то похибки в усіх вузлах (к + 1)-го шару дорівнюють нулю і, отже, внаслідок довільності к наближений розв’язок збігається з точним. Якщо такий вузол є, то запишемо рівняння (13.27) для вузла (то, к + 1):
/4 ।	Л+1 _ 2 А+1	2 Л+1 к
+ 2СУ )^то — & ^то-і СУ Є/по+1	•
Візьмемо модуль лівої та правої частин останнього рівняння:
(1 + 2о2) (є™11 о2 |езд'-і і + о2 |єад+, | + |евд і + т |гХ+11 •
Ми лише підсилимо останню нерівність, якщо в правій частині замінимо
І к+і І • І *+1 І	І *+1|
Одержимо тоді
|е^‘| ^к.0| + тк;’|.	(13.29)
406 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Позначимо через є* множину значень сіткової функції на шарі к, тобто
£к =(ео,£?,...,£л/), к = 1, 2.К,
і визначимо норму
Не* II = тах |є„ | і II/ II - тах |/1 -
т	т
Підставивши ||є*|| й ||/|| у вираз (13.29), знову підсилимо нерівність і одержи-
мо замість (13.29) нерівність
ІІ/^кІІ/ІІ + гІІ/+ЧІ.
Записавши (13.30) для к = 0,1,.... К -1, отримаємо:
(13.30)
ІІєЧІ ІІЕ°ІІ + ТІІгЧІ
і, підсумувавши ці вирази, одержимо
ІкЛИИІ + Кт
шах
Якщо ІІє°ІІ = 0, враховуючи значення порядку апроксимації неявної різницевої схеми, отримаємо остаточно для будь-якого к - 1,..., К -1 оцінку
||е^кг, о(т + л2),
(13.31)
з якої випливає збіжність розв’язку неявного методу (13.20) розв’язання однови-мірної параболічної задачі, якщо т —> 0 і к —> 0, до точного и(хт, із першим порядком за т і другим порядком за к. Неявна схема має абсолютну стійкість.
Такі ж викладки (пов’язані з використанням принципу максимуму) іноді забезпечують успіх під час дослідження стійкості та збіжності деяких різницевих схем. У наступному розділі ми одержимо більш простий універсальний метод, що дозволяє сформулювати необхідну умову стійкості різницевих схем для еволюційних задач.
13.3.	Спектральна ознака стійкості
Для багатьох задач необхідні умови стійкості можна отримати досить легко. Такі умови дозволяють відразу виключити ті схеми, для яких вони не виконуються, і не аналізувати стійкість цих схем (оскільки у випадку порушення необхідної умови стійкості бути не може).
13.3. Спектральна ознака стійкості 407
Виявляється, за деяких додаткових припущень розв’язок відповідних різницевих рівнянь може бути отриманий в явному вигляді. Аналізуючи поведінку цих розв’язків, отримують умови, які трактуються як необхідні у разі поширення їх на схеми загального вигляду. Сформулюємо згадані припущення. Під час дослідження стійкості різницевих схем вважатимемо праві частини рівнянь і граничні умови рівними нулю, тобто будемо розглядати схеми, що апроксимують задачу Коші для однорідних диференціальних рівнянь. Крім того, будемо вважати коефіцієнти цих рівнянь сталими.
За цих умов різницеві рівняння мають частинні гармонічні розв’язки:
^т/е™,	(13.32)
де а — довільне дійсне число, а значення А необхідно знайти для кожної конкретної схеми.
Надалі в усіх прикладах будемо перевіряти існування розв’язків різницевих схем (13.32). Внаслідок спрощень вхідних даних для задачі побудови схеми є лише початкові умови. Умова стійкості за початковими даними для розв’язків (13.32) зводиться до вимоги обмеженості амплітуди цих гармонік, тобто
|пт І = ІХ* I < С0П5І.
Остання нерівність буде виконуватися для к —> а>, якщо
ІХІ^І.	(13.33)
Нерівність (13.33) називається умовою Неймана стійкості різницевих схем для еволюційних задач.
Далі ми побачимо, що для кожної схеми існує певна залежність амплітуди від параметрів сітки і параметра а: X = Х(т, /г, а). Вимагаючи виконання нерівності (13.33) для довільного а (тобто для довільної гармоніки), знаходимо необхідну умову стійкості конкретної схеми у вигляді деякого обмеження на кроки сітки т та к. її аналіз показує, що здебільшого вона є головною для визначення стійкості різницевих схем, які апроксимують еволюційні задачі.
Тепер перейдемо до дослідження конкретних різницевих схем.
Приклад 13.1
Перевіримо стійкість явної схеми (13.5), яка після спрощень, прийнятих у методі гармонік, має такий вигляд:
_Л+1 к к о к . к
--------- а ------------- т = і, у М -\,к = 1, 2,
= <ри, т = 0,..., М.
408 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Будемо шукати розв’язок рівняння (13.34) у вигляді = ХЛ е'гаа. Підставивши його в рівняння (13.34), одержимо:
л А+1 йпа л к іта	к і(тп-Г)а «« к та , л к і(т+1)а
К Є ~ Л Є 2 Є - ЛК Є +Лек
Скоротимо обидві частини рівняння на Хке™“:
К-1 2Є -2+е ---= а -----------
т	к1
і знайдемо X:
X = 1 + о2(е*'а- 2Х + е'а), де о2 = а1іІк?.
Скориставшись тригонометричними формулами, отримаємо:
X = 1 - 2о2(1 - сто а) = 1 - 4о2 зіп2 а.
Використаємо умови Неймана:
-1 1-4о28іп2а 1 або -1^1-4о2^1
і остаточно матимемо
2,1 Л
о , тобто т <----тг .
2	2а
(13.35)
Отже, нами одержано той же результат, що і в підрозділі 13.2.3.
Приклад 13.2
Розглянемо стійкість неявної різницевої схеми, що апроксимує параболічне рівняння зі змінним коефіцієнтом
Зк о/	/•/
— = 9(Л',0 — + /(х,1). ді	дх
Неявна різницева схема для цього рівняння має вигляд:
.,*+!	-Л+1	П-Л+1 , _Л+1
Ст	_ „і+1 Ст-1	+ ит+і гк+\ „і ЛТ і г і ч	/чоосч
— Ит	^2 ~	— 1> •••»	" — 1» 2.. (13.Зо)
Для рівнянь зі змінними коефіцієнтами метод гармонік застосовується в припущенні, що коефіцієнти «заморожені» (постійні). Потім в остаточній умові коефіцієнти «розморожуються». Стосовно розглянутої вище явної схеми останнє означає перехід від умови (13.35) до
о2 = тах{9(л'>
Приймаючи, що /т+1 = 0 в (13.36), і підставляючи в це рівняння = X* е""“, одержимо після скорочень:
Х-1 (.(е“,а-2 + е'а)Х
Т = 8	
13.4. Різницеві схеми підвищеної точності 409
Виконавши перетворення, аналогічні перетворенням, проведеним у прикладі 13.1, одержимо:
1 + мп2 а/2 Л2
Очевидно, що завжди 111 = X 1, незалежно від величини кроків сітки і значень 9(х, і), тому схема (13.36) є абсолютно стійкою.
13.4.	Різницеві схеми підвищеної точності
Розглянемо кілька різницевих схем для одновимірного параболічного рівняння (13.2), що часто використовується на практиці. Ефективність цих схем було багато разів підтверджено.
13.4.1.	Схема Кранка-Ніколсона
Схема будується за шеститочковим шаблоном, показаним на рис. 13.3, а, і має вигляд:
Ут _ г( Ит-\ ~	+ О«+| гіт-1 — 2і>т + Ут+і 'і
-------------а ---------------—-----------1-----------—----------- + ./™
X І 2й2	2И2	)
(13.37)
Встановимо її порядок апроксимації. Запишемо нев’язку
2 Мт-І £и?п • ^Ал-т-І •	"
= а
2/г2
*+1 к
• /т Т
т - і, к + і т, к + І т + і, к+і
т, к + І
т, к - І
б
Рис. 13.3. Різницеві схеми підвищеної точності: а — шеститочковий шаблон, б — чотириточковий тришаровий шаблон «хрест»; в — п’ятиточковий тришаровий шаблон
О т, к
т, к - І
в
410 Розділ 13. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Скориставшись виразами (12.13)
її/П-1 2і/пі "і” ЇЇ/П+І к2
Л+1 ґч к+1	£+1
1 ।
—^ + О(^ )-СХ
^ + О(к2), дх2
замінимо різниці у формулі нев’язки
а_( д2икт д2гЛЛ
2 І дх2 дх2 7
Пт ит Г':^\ , о//2, --------------+	2 + О(к );
(13.38)
Розкладемо функції і4, ик„\ що входять в останню формулу, в ряд Тейлора в околі точки (х„„ Ік + т/2). Для скорочення запису позначимо через і, = ік + т/2. Тоді матимемо:
к ,	. /оч /	тбм(хга,ґ.) т2 д2и(хт,і.) 3
ит = и(х„,, і. - т/2) = и(хт Д.) - --;------+ —--------+ О(т ),
2 сі 8 ді
к+і ,	. /оч ,	.. т ди{хт,і.) т2 д2 и(хт,Ь) „.з.
ип =и(хт,і, + т/2) = и(хт, і.) + -—--------+ -----------+ 0(т ),
2 сі 8 ді
звідки одержимо
Ц”1'~Ц”1 =	+ 0(т2).	(13.39)
т	ді
Аналогічно розкладемо й похідні:
д2и„ д2и(хт, І, -т/2) д2и(хт,і.) тд3и(хт,і,) 2х
---т— =--------;	=	5-—--5----Ь СДТ ), бг2	дх2-дх2 2 дх3
б2«„+1 д2и(хт,і. + т/2) тд3и(хт,і.) 2 дх2	дх2	2 дх3
звідки матимемо, що
1	+ б2^1 = 82и(х^,^ + 0{х2}
21 дх2 дх2 ) ох2
Підставляючи останній вираз і вираз (13.39) у формулу для нев’язки (13.38), одержимо: ~2 к+к „ Л+-1-
= а2	+ 0(т2 + к2).
дх ді
13.4. Різницеві схеми підвищеної точності 411
Враховуючи, що и(х, і) є точним розв’язком рівняння (13.2), маємо:
г*+|=О(т2+/г2),
тобто неявна різницева схема Крайка-Ніколсона апроксимує початкове рівняння (13.2) з точністю О(т2 + /г2).
Перевіримо стійкість схеми Кранка-Ніколсона методом гармонік. Покладемо в рівнянні (13.37) /гп"'1' =0, підставимо в нього =ХІІ ета, і після скоро-п к іта чень на А е одержимо:
л 4	~-іа. о , іа -т / -іа о
А — 1	2 Є —2 + с А(е — 2 + Є )
-----~а ----------------------------------
Спростивши останнє рівняння і використавши відомі тригонометричні формули, як це було зроблено в прикладі 13.1, отримаємо:
7. = 1 - 4а2 зіп2 а/2 - 7.4о2 зіп2 а/2,
де о2 = а2 т/ /г2. Звідси
Оскільки в умові (13.40) завжди І2.І 1 незалежно від величини кроків сітки, схема Кранка-Ніколсона абсолютно стійка. Це дозволяє використовувати її з довільними кроками к і т.
Поряд із розглянутими вище застосовуються й інші схеми апроксимації рівняння теплопровідності (13.2) з менш прозорою логікою побудови. Нижче наводяться ДВІ З НИХ.
13.4.2. Схема Дюфорта-Франкела
Схема будується за чотириточковим тришаровим шаблоном (рис. 13.3, б) і має вигляд:
к2
(13.41)
Ця явна схема є абсолютно стійкою, і її похибка дорівнює:
ґ 2'
г* = О(т2 + /г2) 4- о 1-
<к2.
(13.42)
Розв’язок рівняння збігається за умови, що т/к -> 0, для т, к -> 0.
412 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
13.4.3. Неявна п’ятиточкова тришарова схема
Схема будується за шаблоном, зображеним на рис. 13.3, в, і визначається такою формулою:
о А+1 А 4 к к-1	к+1 п к+1 й+І
З &т	і	_ 2	’ &т-1 гк+1	/14 /о\
_	_ а	Ь ]т -	(10.4
2 т 2 т	И
Вона також є абсолютно стійкою і має похибку апроксимації г™+1 = 0(т2 + /г2). Тришарові схеми для рівнянь теплопровідності застосовуються значно рідше двошарових, їх іноді використовують для підвищення порядку апроксимації чи для покращення стійкості. Щоб почати розрахунки за формулами тришарових схем, необхідно одержати розв’язок на першому часовому шарі будь-яким двошаровим методом.
13.5. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічного рівняння з двома просторовими змінними
Розглянемо рівняння теплопровідності (рис. 13.4):
— = а2	+ —-^1 + /(х, у, і), 0 < х <Іх,0 < у <Іу,0 <і,
ді І^х2 ду2)	У
и(х, у, 0) = <р(х, у),
ії(0, у, і) = \і/і(у, і), и(Іх, у, І) = у2(у, Ґ), и(х, 0, і) = £д(х, і), и(х, Іу,1) = &(х, і).
(13.44)
(13.45)
(13.46)
Рис. 13.4. Область розв'язку задачі (13.44) - (13.46)
Як видно на рис. 13.4, розв’язок необхідно шукати всередині області незалежних змінних (х, у, і) із прямокутником 1Х*1У в основі, що являє собою паралелепіпед. Значення розв’язку в основі паралелепіпеда задаються відомими початковими даними (13.45), а на бокових гранях — заданими граничними умовами (13.46).
13.5. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічного ріаняння 413
Насамперед уведемо в розрахункову область сітку:
= {(хи, у„, ік)}: хт = тк, т = (>,..., М, уп = пк, п = 0,..., її, ік = кт, к = 0,..., К, М = Іх/к, N = 1,/Іг, К^Т/х...
Обмежимося розглядом областей найпростішої структури — прямокутних із постійними кроками сітки. В області трьох незалежних змінних сітка триін-дексна. Вузол (кт,п) лежить на перетині шарів із індексами к, т та п.
13.5.1. Явні і неявні різницеві схеми
Обмежимо, як звичайно, задачу обчислення наближених значень розв’язку (13.44), (13.45) і (13.46) у вузлах сітки. Шукане значення у вузлі (1,„) будемо позначати через а всю множину шуканих величин будемо розглядати як сіткову функцію . Побудуємо для Vа різницеву схему, що відповідає шаблону явної шеститочкової схеми (рис. 13.5, а):
Оп,п ^т.п &т-1,п ,п + &т+1,п	^'тп.п +	гк
— СІ	—-	Ь ^т пі
т	к~
т = і,.... М -1, п = 1,.... N - 1, к = 1,..., К - 1,
(13.47)
г£,п =	, т = 0,..., М, п = 0,..., М,
ио,п = Чі(у„, ік), &*!., = фг(ї/,;, ік),
п = 1,.... ії,к = 1, к,
Ят.о = $і(хт, ік), ит.ьі =&(хт,Ік), т = 0,к = 1.К.
(13.48)
(13.49)
Рис. 13.5. Шаблони різницевих схем: а — явної; б — неявної
Відзначимо, що методи аналізу порядку апроксимації та стійкості різницевих схем, розглянуті вище для одновимірного параболічного рівняння, досить просто переносяться на багатовимірні рівняння. Перейдемо до визначення порядку
414 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
апроксимації різницевої схеми (13.47), (13.48), (13.49). Нев’язка різницевого рівняння (13.47) на точному розв’язку диференціального рівняння (13.44) визначається за формулою
к _____ Мт-1,п ^Мт,п Мт+1,п +	^-^тп,п +	^т,п ^т,п гк
Тт.п —	5	• У т,п •
П	т
Підставимо в неї формули для скінченних різниць (12.13):
•т,п и ч ~ п дх2 ду2
+ ІЇ.п + О(т) + О(/г2) = О(т + к2).
Оскільки и(х, у, і) є точним розв’язком диференціального рівняння (13.44), одержимо остаточно:
Гт.п = О(Т + к2).
У граничних вузлах похибка апроксимації нульова. Таким чином, явна різницева схема (13.47), (13.48), (13.49) є схемою першого порядку апроксимації за часом і другим порядком — за просторовими змінними.
Стійкість явної різницевої схеми перевіримо за допомогою методу гармонік. Будемо шукати розв’язок однорідного різницевого рівняння, що відповідає (13.47), у вигляді:
V* еі(гаа+"Р).	(13.50)
Підставляючи (13.50) у рівняння (13.47) з = 0, після скорочень на 7? е‘<гаа+"Р) одержимо:
X----= а т
-іа п іа -іа г, , іа Є -2+Є Є -2+е ----9	'	9-- к2---------------к2
Виконавши тригонометричні перетворення, знайдемо значення
А = 1 - 2о2(1 -соза) - 2о2(1 - созР) = 1 - 4о2(зіп2 а/2 + зіп2 р/2),
де о2 = а т/ к2.
Вимагаючи, щоб за будь-яких а і р виконувалася нерівність |),| 1, приходимо до необхідної умови стійкості явної шеститочкової схеми для двовимірного рівняння теплопровідності:
к2
Т С---,
4а
(13.51)
що є узагальненням умови стійкості, отриманої раніше для одновимірного рівняння.
Як уже відзначалося в підрозділі 13.2, більша частка обчислень у разі використання різницевих схем для еволюційних задач виконується під час переходу від к-го шару до (к + 1)-го шару, тобто в рівнянні (13.47), де невідомими є
13.5. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічного рівняння 415
Кожне рівняння містить одну невідому, і значення шуканої функції на нульовому шарі відомі з початкової умови і)т,п = фга.и. Тому розв’язання задачі за явною схемою зводиться до розрахунків за формулою (13.52), починаючи з першого часового шару
Ут.п=фт.п, т = 0,.... М, п = 0, ..., N.
&г£п = О1 2 з (?.'т-.|,„ +	) + (1 - 4О2 )г4,п + (Ят.п-І + їДл+1) + т/Д„,	(13.52)
т = 1,..., М -1, п = 1,..., N -1, к = 1,..., К -1.
Оцінимо трудомісткість обчислень за схемою (13.52). Очевидно, кількість арифметичних операцій пропорційна кількості вузлів сітки. Для простоти оцінок трудомісткості приймемо, що М = N = і/И. Тоді за умови стійкості т = 1/К » 1/М2. Отже, кількість вузлів і відповідно кількість операцій буде IV « М2К » Л/4. Для М = 102 кількість операцій буде мати порядок IV » 108, а це вже забагато для серійних розрахунків, і це змушує шукати більш ефективні алгоритми.
Розглянемо тепер неявну шеститочкову різницеву схему для розв’язання задачі (13.43), (13.44), (13.45). Шаблон схеми зображений на рис. 13.5, б. Різницеві рівняння для внутрішніх вузлів мають такий вигляд:
Іі+1 к	А+1 п А+1	А+1	А+1	।
&т,п ~ &т,п __	£&т,п + &т+1,п ' &т,п-1	' &т,п+І гк+і
ї ~а	п ’ (13.53)
. тп = 1,...; М -1, п = 1,..., N - 1Д = 0..К -1,
^,п=фт,п, т = 0........М, п = 0,..., N.
Інші рівняння схеми збігаються з (13.48) і (13.49). Перепишемо рівняння (13.53), переносячи невідомі в його ліву частину:
СГ2(Пт-1.П + От'і.„ ) - (1 + 4о2)&**„' + О2(^„'-1 +	) = ~От.п ~
т = 1 М - 1, п = 1,..., N - 1Д = 0 К -1.
Метод гармонік для цієї схеми застосовується так само, як і для явної схеми, і приводить до рівняння
2Асг2 соза - Х(1 + 4о2) + 2Ао2 созос = -1.
Звідси одержимо такий вираз для А:
1 + 4зіп2 а/2 + 4 кіп2 р/2
що свідчить про абсолютну стійкість цього неявного методу.
Розглянемо методи розв’язання рівнянь (13.54), кожне з яких містить п’ять невідомих. їх розв’язки обчислюють для окремих часових шарів, починаючи
з першого. Якщо перенумерувати невідомі для перетворення їх в елементи
одноіндексного масиву (вектора), щоб одержати традиційний запис лінійної
416 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
системи рівнянь (13.54), то обчислення розв’язку на (к + 1)-му шарі зводиться до розв'язання системи з п'ятидіагональною матрицею. На жаль, заповнені нену-льовими елементами діагоналі не утворять «суцільної стрічки». Тому, незважаючи на сильну розрідженість матриці, побудувати простий економічний метод розв’язання такої системи (подібний до методу прогону для систем із тридіагональ-ною матрицею) не так просто. Якщо використовувати метод Гаусса, то одержимо вкрай несприятливі оцінки ефективності: кількість необхідних операцій на одному кроці за часом пропорційна кубу числа невідомих, тобто (А/2)3 = М6.
Враховуючи стрічкову структуру матриці, можна на два порядки знизити трудомісткість обчислень на одному часовому кроці (розділ 3). Кількість елементарних операцій, необхідних для розв’язання методом виключення системи зі стрічковою матрицею » $2Р, де 5 — половина ширини стрічки, а Р — порядок системи. У силу абсолютної стійкості схеми тут немає обмежень на вибір кроку за часом, і якщо з міркувань точності можна вибрати т « к (тобто К = М), то, враховуючи, що в нашому випадку 5 ® М, Р ® М~, загальний обсяг необхідних для розв’язання задачі операцій буде IV ® М5. Це менше, ніж для явної схеми.
Оскільки явна і неявна шеститочкові схеми не є економічними, розглянемо методи побудови різницевих схем для двовимірного рівняння теплопровідності, що приводять до більш ефективних чисельних алгоритмів.
13.5.2.	Різницеві схеми розщеплення
Різницеві схеми розщеплення використовуються, якщо кількість просторових змінних — дві і більше. Ці схеми крім стійкості забезпечують мінімальний обсяг обчислень і є одним із важливих засобів розв’язання багатовимірних нестаціонарних задач. Розглянемо метод побудови схеми розщеплення для двовимірного рівняння теплопровідності	(13.44),	(13.45):
ди	д2и	д2и	,	х
— = —Т + —у, и(х, у, 0) = <р(х, у).	(13.55)
ді	дх	ду
Перепишемо	рівняння	(13.55) в операторній формі, прийнявши (для скоро-
чення запису) а = 1:
г т	6і и	и
— = Ьи, де Ьи = —+	(13.56)
ді	дх2 ду2
Припустимо, що розв’язок (13.55) у момент часу ік відомий, тобто відомі значення функції и(х,у,ік). Значення функції и(х,у,ік+Р) розкладемо з урахуванням відомого значення и(х, у,ік) У ряд Тейлора:
/	. ч	л/ 2,	,	„ .	(д2и д2и\ 2.
и(х, у, ік+}) = и(х, у, ік) + т— + О(т ) = и(х, у, ік) + т —- + —- + О(т ) = ді	ду2)
= ії(х, у, ік) + т£п(х, у, ік) + О(т2) = (Е + ті)ії(х, у, ік) + О(т2),
де Е — одиничний оператор (Еи = и).
13.5. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічного рівняння 417
Покладемо £і = д'21дх'2, Е2 = д2 Іду'2, тоді £ = Ц + Ь2. Поряд із задачею (13.55) розглянемо дві допоміжні задачі:
^2	2
— =—г(х, у, ік) ~ и(х, у, ік), ік<і^ік+і,	(13.57)
ді 8х
дш д2№	,	.	.	. х	г„.
— = —х", ті)(х, у, ік)-г(х,у, ік+і), ік<і^ім-	(13.58)
ді 8у
Відзначимо, що задачі (13.57) і (13.58), на відміну від задачі (13.56), одно-вимірні. їх можна розв’язувати незалежно і послідовно, спочатку задачу (13.57) — це дозволить обчислити функцію г(х, у, ік+і), потім задачу (13.58) — це дозволить обчислити функцію №(х,у,ік+і). Встановимо зв’язок між значеннями ю(х, у, ік+і) і №(х, у, ск+\ )• Матимемо:
г(х, у, ік+і) = (£ + хЬі)г(х, у, ік) + О(х2) - (Е + т£і)и(х, у, ік) + О(т2),
70(х, у, ік+і) = {Е + хЬі)г{х, у, ік) + О(т2) = (Е + т£2)г(х, у, ік+1) + О(т2) =
= (£ + тії)[(£ + хЕ2)г(х, у,ік) + О(х2)] =
= [£ + т(£і + £2) + х2ЦЕ2]и(х, у, ік) + О(х2) =
= (£ + т£) и(х, у,ік) + О(х2) =
= и(х, у,ік+і) + О(х2).
Таким чином, якщо послідовно розв’язати задачі (13.57) і (13.58), то для і = ік+і, одержимо значення функції ю(х, у, ік+і), які відрізняються від дійсного розв’язку и(х, у, ік+і) задачі (13.56) лише на величину О(т2). При цьому вдалося замінити розв’язання двовимірної задачі (13.56) послідовним розв’язанням двох одновимірних задач (13.57) і (13.58). Трудомісткість обчислень за такого підходу менша, ніж трудомісткість інших, і це робить метод розщеплення вигідним.
Побудуємо схему розщеплення, замінивши рівняння (13.57) і (13.58) неявними різницевими схемами відповідно до шаблона, наведеного на рис. 13.6, а. Цей метод називається локально-одновимірним методом. Передбачається дво-етапний спосіб переходу від к-го шару до (к + 1)-го шару:
(13.59)
тп = 1,..., М -1, п = 1,..., N -1
із граничними умовами для тп = 0, М;
-Л+1	п£+1 Ут,п ^т,п	£+1	О £+1	^+1	4 л2	~~ ^т,п ' &т,гг+1 , 1 /Л+1
Л. —	--1	-----Ні,,,	-	—	Т Л .	—
= в — -------------------------------т------------------'— + -
X	(1360)
тп = 1,..., М -1, п = 1,..., N -1
із граничними умовами для п = 0, N.
418 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Система рівнянь (13.59) розшаровується на т тридіагональних систем рівнянь для кожного фіксованого п. Останні можна розв’язати методом прогону за напрямом х. Кількість необхідних операцій при цьому « М\г « М2. Аналогічно система рівнянь (13.60) розшаровується на п тридіагональних систем рівнянь для кожного фіксованого т, які можна розв’язати методом прогону за напрямом у. Сумарна кількість операцій на першому і другому етапах ~ М2. Таким чином, розрахунок на кожному етапі є економічним.
Відзначимо, що на етапі розв’язання (13.59) для кожного п відповідна три-діагональна система рівнянь еквівалентна неявній чотириточковій схемі для одновимірного рівняння теплопровідності (див. підрозділ 13.2.1), яка абсолютно стійка. Те ж саме стосується й етапу розв’язання (13.60). І, як результат, локаль-но-одновимірна схема також є абсолютно стійкою. В цьому об’єднанні вибір кроку т зв’язаний лише жорсткою умовою точності обчислень. І якщо це припустимо, то можна взяти т ® к і К~М. У цьому випадку загальна кількість операцій обчислення розв’язку в усіх вузлах сітки МК » М3, що цілком припустимо для сучасних обчислювальних засобів.
Відмітимо, що на кожному окремому етапі різницеві рівняння не апрокси-мують диференціальне рівняння. Однак має місце так звана сумарна апроксимація: різницева схема, що є наслідком (13.59), (13.60), після виключення проміжних значень апроксимує початкову задачу з порядком О(т2 +к2).
13.5. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічного рівняння 419
13.5.3.	Метод Пісмена-Речфорда
Розглянемо ще один підхід до побудови ефективних схем для багатовимірних нестаціонарних задач, що одержав назву методу Пісмена-Речфорда.
Задачу (13.55) можна записати у вигляді:
ди _ 1 Г о2н <32гЛ ді 2 дх2 ду2)
1 ( д2 и	д2 и
2 ( дх2 ду у
и(х, у, 0) = <р(х, у) (13.61)
і поставити їй у відповідність на відрізку і*. І ік+\ дві системи:
дг ді
1Г д2г д22~} ду2)
г(х, у, Ік) = и(х, у, Ік), ік <і^ ік+і (13.62)
і
о® _ 1Г д2№ д2ш ді 2 дх2 ду2
а:(х, у,ік) = г{х, у, їм),	ік < і С ік+і	(13.63)
Різницеву схему побудуємо за шаблоном, наведеним на рис. 13.6, б. Спочатку з рівнянь
к+і к &т.п &т,п _
Т
Л2 / є	є Є	М п # М \	1	. Г
£_ 4,п-і - 2о„.„ + 4,п+1 ит{„ - 2от,„2 +
2 І А2	А2 ) 2
(13.64)
т = 1.М -1, п = 1.N -1,
доповнених граничними умовами, коли т = 0, М, знаходять допоміжні невідомі на проміжному шарі. Потім з рівнянь
т?+1 -^т,п
Т
т = 1,..., М -1, п = 1,..., ЛГ -1
з граничними умовами, коли и = 0, N. знаходять розв’язок на (А+1)-му шарі. Тут так само, як і для локально-одновимірної схеми, система (13.64) розшаровується на три діагональні системи лінійних рівнянь для кожного фіксованого п, а вираз (13.65) зводиться до аналогічних систем для кожного фіксованого т.
420 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Приклад 13.3
Розв’яжемо двовимірну крайову задачу в системі МаіЬетаііса:
Ви | д2и д2и |	„	, „ . „
— = а\—г + -г , 0 <х, у < 1, 0 < і <Т, ді (а? ду2)
и(х, у, 0) = кіп лхкіп тгу,	(13.66)
м(0, у, і) = и(1, у, і) = 0,
и(х, 0, і) = и(х, 1, і) = 0.
Маіетаііса не має стандартного оператора для розв’язання двовимірних крайових задач, тому необхідно складати програми реалізації відповідного алгоритму. Запишемо локаль-но-одновимірну різницеву схему у вигляді, зручному для розв’язання методом прогону. Спочатку здійснюється прогін за умови зміни індексу тп для кожного фіксованого п:
»ои = 0,
'	“ (1 + 25)Циіп + ЗїУп+1,п —
ПМ-І.и = 6.
т = 1,..., М-2, п = 1....М-і, 5 = а2т/Л2,
де гт,и — проміжні значення схеми розщеплення.
Потім проводиться прогін за умови зміни індексу п для кожного фіксованого пт.
Л+1 л ИтО ~ 0,
' $итп-\ ~~ (1 + 25)птп +	= —Г'тл,
^т.Л'-1 = 0,
п = 1,..., М - 2.
Скористуємось програмою розв’язання задачі (13.66) за допомогою локально-одновимір-ної різницевої схеми. Введемо початкові дані й обчислимо початкові умови у вузлах сітки:
ІП[]: = ш = 20; к = 10;
АггауЕи, {ш, ш}, 0]; Аггау[у, {ш, ш}, 0];
И = 1/(ш - 1); а = 1; І = 0.25 Г2/а; 5 = а 1/1Г2; 51 = 1 + 2 5;
0о [и[і,)] = М[$іп[Р1 і її] $іп[Р1 ,і її]], {і,0,т-1}, {і.О.ш-І} ];
0 = АггауЕи, {т,го), 0];
ИзіРІоІЗОЕІЛ
На рис.13.7 зображена поверхня, що відповідає початковим умовам задачі.
Крайова задача (13.66) має аналітичний розв’язок, який записується такою формулою:
и(х, у, і) = с'2" "18Іп(лх)8Іп(лг/).	(13.67)
Тому наближений чисельний розв’язок можна буде порівняти з точним.
Фрагмент програми розрахунку значень сіткової функції и^п послідовно на заданих часових шарах за формулами локально-одновимірної схеми наводиться нижче:
ІПЕ]:= 00 ЕVЕО,^] = 0; уЕш-і, Л = 0, {І, 0,111-1} ];
0о СуЕі, 0] = 0; уЕ1,т-1] = 0, {1,0, т-1} І;
13.5. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічного рівняння 421
АггауЕІ.го,0]; АггауЕп.т, 0];
1[0] = 0; п[0] = 0;
Оо [ Оо [0о [б = 51 - 5 ІЕЛ-1]; 1ЕЛ = 5/6; пЕЛ = (иЕІ.Л + 5 пЕз-1])/П, {з. І.т-2}];
0о Е У[і,т-з] = ІГт-Л уЕі.ш-з + 1] + пЕт-3], {3,2,т-1}], {і, 1,т-2}];
Оо Е 0о Е6 = 51-5 1(1-1]; ІЕі] = 5/6; пЕі] = (уЕі.ЗІ + 5 пЕі-1])/сі, {і, 1,т-2}];
Оо ЕиЕгп-т.з] = ІЕіті-т] иЕт-і + 1, Л + пЕт-1], {і,2,т-1}], {з, 1,т-2}];
0 * АггауГи, {т,т}, 0]; 1.15ЇР1 оіЗОЕО];
аптах = М[иЕт/2,т/2]]; дтах = МЕЕхрЕ-2 Рі'2 кі І а]];
Рг1пЕ["к = ",к1," ".аптах,” ".ділах," ерз = ".дтах-аптах], {кі, 1, к}]
Ця програма виводить на екран графік поверхні розв’язку на всіх часових шарах, одна з яких наведена на рис. 13.8. У табл. 13.1 подані значення наближеного і точного розв’язків у точці, де функція досягає максимуму, і похибки для цієї точки.
20
Рис. 13.7. Розв’язок крайової задачі (13.66), що відповідає початковим умовам
20
Рис. 13.8. Розв’язок крайової задачі для і = 10т
422 Розділ 13. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Таблиця 13.1. Значення чисельного розв'язку крайової задачі
к	£ ^ІЛП	к(х, у, і)	Є	к	к ^ілп	и(х, У, і)	Є
1	0,979772	0,986423	0,006650	6	0,915397	0,921255	0,005857
2	0,966545	0,973031	0,006485	7	0,903039	0,908747	0,005707
3	0,953496	0,95982	0,006323	8	0,903039	0,908747	0,005708
4	0,940624	0,946789	0,006165	9	0,878821	0,884239	0,005418
5	0,927925	0,933934	0,00601	10	0,866956	0,872233	0,005277
13.6. Метод установлення
Метод установлення звичайно застосовують для розв’язання еліптичних чи мішаних еліптично-гіперболічних задач. Ідею методу встановлення розглянемо на прикладі задачі Діріхле для рівняння Пуассона:
^4 +	= Лх> У< )> м(х> Л/)Іг = V(X #)Іг 	(13-68)
дх ду
Задачу (13.68) будемо називати стаціонарною, тому що розв’язок задачі не залежить від часу. Поряд із задачею (13.68) розглянемо еволюційну (нестаціонарну) задачу для параболічного рівняння з тими ж граничними умовами і довільно обраними початковими умовами:
ди ~дї
д2и дх2
д и ,
— + /(х, у), оу
(13.69)
и{х, у, і)|г = ф(*> 3/)|г - м(х- У’ °) =	У)-
У загальному випадку задачу (13.69) називають нестаціонарною задачею, якщо граничні умови залежать від часу. В представленому формулюванні задача (13.69) називається виродженою нестаціонарною задачею, тому що умова на границі не залежить від часу. З фізичних міркувань очевидно, що розв’язок еволюційної задачі (13.69) для І—>оо буде прямувати до розв’язку стаціонарної задачі (13.68). Дійсно, розв’язок стаціонарної задачі відображає розподіл значень шуканої функції (наприклад, температури) в області С за заданого її розподілу на межі області Г (рис. 13.9). Розв’язок еволюційної задачі (13.69) дає розподіл значень функції в часі для тих же, що й у стаціонарній задачі, граничних умов. Очевидно, що через досить великий проміжок часу в області С встановиться розподіл значень функції, що залежить не від початкових умов, а від значень функції на межі. Вищенаведені міркування дозволяють припустити, що розв’язок еволюційної задачі для і —> оо збігається до розв’язку стаціонарної задачі й розв’язок еволюційної задачі за досить великого І = Т може бути прийнятий за наближений розв’язок стаціонарної задачі.
13.6. Метод установлення 423
х
Рис. 13.9. Область розв’язку задачі методом установлення
Таким чином, у методі встановлення вводиться нова незалежна змінна І, і задача формально ускладнюється, тому що збільшується розмірність задачі. Однак при цьому збільшується набір можливих різницевих схем серед тих, які були розглянуті у даному розділі, що допускає вибір із них’стійких і економічних.
Приклад 13.4
Розв’яжемо стаціонарну задачу про розподіл температури Г(.г, у, і) в алюмінієвій пластинці розміром 7x7 см:
д2Т д2Т п —т + —Т = 0, дх2 ду
0 < х, у < І.
Граничні умови по боках пластинки:
Т(х, 0) = 0, 7'(х, І) = 150 -100 х/1, Т(0, у) = 150 у/І, Т(1, у) = 50 у/І.
Застосуємо метод встановлення для розв’язання задачі:
дТ
— = а ді
ґ д2Т + <?ТД дх2 ду2 )
0 < .г, у < І, 0 < і < Т
з граничними умовами виду
Т(х, 0) = 0, Т(х, І) = 150-100 х/1, Т(0, у) = 150 у/І, Т(1, у) = 50 у/І
та початковими умовами, що задаються для £ = 0.
Щоб спростити процедуру розв’язування, використаємо явну різницеву схему і задамо однаковий крок як на осі Ох, так і на осі 0г/. Приймемо, що М = N. тоді к = 1/М. к+і к	к г) к к & п к к
&гп,п ~~ &т.п ^т-і,п ~~ £&Пі,п +	‘.п + &т,п~і ~ ^т,п Угп.п+І
---------- = а--------------------------------------------
т	А2
т = 1,..., М -1, п = і,!•/' — 1, к = 1....К - 1,
= <рга..„ т = 0,..М. л = С,..., V,	(13.70)
Пт,о = 0,	= 150 -100 т/М, іп = 0,..., Л.', к = 1,..., К,
г4,„ = 150 и/Л', цм.и=50и/7У, п~0............М, к = 1,...,К.
424 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
Для розв’язання системи (13.70) використаємо засоби пакету. Спочатку введемо величину кроку за часом таким чином, щоб виконувались умови збіжності. Потім задамо початкові та граничні умови для шуканої функції:
М = 11; к = 1; ер5 = 0.0001; ерзі = 10; АггауЕи, {М,М}, 0];
іі = 1/СМ - 1); а = 0.005; І = 0. 25 іі‘2/а; 5 = а 1/ІГ2;
Оо [и[ш,п] = 100*п/(М-1), {ш, 0 ,М-1}, {п, 0, М-1} ];
Оо [и[т, 0] = 0; ц[т, М-1] = 150 - 100*т/(М-1), {т, 0, М-1} ];
Оо [и[0,п] = 150*п/(М-1); и[М-1,п] = 50*п/(М-1), {п, 0, М-1} ];
0 = АггауЕи, {М.М}, 0]; ИбіРіоіЗОЕО, АхезІаЬеІ -> {"у", "х", "и"}]
Початкові значення показані на рис. 13.10.
Рис. 13.10. Початкові значення різницевої задачі
Ітерації будемо виконувати до тих пір, поки норма похибки розв’язку на двох сусідніх часових шарах не стане меншою, ніж задане значення є:
ІпЕ]:= ИГіІІеЕербІ > ер$, к = к + 1; ер51 = 0;
Оо Е Оо ЕVЕі,^] = 5 (иЕі-1,Л + иЕ1+1,Л) + (1-4 з) иЕт.Л + 5 (иЕі.ЛІ] + иЕі, ]+!]);
ер - АЬ$ЕиЕі, Л - уЕі, ЛЗ; ерзі = МахЕер,ерзі], {1,1,М-2}, {І1.М-2}]];
Оо ЕОо ЕиЕі.Л = уЕі.Л, {і, 1.М-2}, {], 1,М-2}]]];
Після завершення ітерацій побудуємо графік отриманого розв’язку (рис. 13.11).
ІпЕ]:= 0 = АггауЕи, {М.М}, 0];
ИзІРІоІЗОЕО, УіеиРоіпІ -> {1.2, 1.2, 1.2}, Ахе5І_аЬе1 -> {"х", "у”, ’’и’’}];
Рис. 13.11. Графік розв’язку задачі (13.69)
13.7. Метод прямих 425
13.7. Метод прямих
Основна ідея методу прямих полягає в зведенні рівняння з частинними похідними до системи звичайних диференціальних рівнянь. У цьому й полягає відмінність від методу сіток, який безпосередньо зводить розв’язання рівнянь з частинними похідними до розв’язання систем алгебраїчних рівнянь. Метод прямих можна застосувати для розв’язання рівнянь будь-якого типу, але використовують його звичайно для параболічних і еліптичних рівнянь.
Ідею цього методу покажемо на прикладі лінійного диференціального рівняння параболічного типу зі змінним коефіцієнтом:
ди	, ди	г.
— = а(х,і)— + /(х,С), сі	дх
а(х, і) > 0, 0 < х < І, 0 < і
(13.71)
із початковими
н(х, 0) = <р(л),
0 х < І,
і = 0
і граничними умовами першого роду п(0, і) = ц/(0, и(/,о=ад,
х = 0, І > 0, х = І, і >0.
На відрізку [0, виберемо М рівновіддалених точок хт = тк, т = 0,..., М, к = І/М і будемо шукати розв’язок задачі и(х, І) на прямих х = хт, т = = 1..М — і в області і>0 (рис. 13.12). Покладемо в рівнянні (13.71) х = хт
і замінимо похідні за х різницевими відношеннями
Л = ^(0..3М.^ +	+ О(к2), т = 1,.... М -1
дх2 х=Хт	к2
Проводячи таку заміну на всіх прямих х = хт і нехтуючи малими другого порядку, одержимо систему М -1 звичайних диференціальних рівнянь першого порядку:
^<0 = ат(і)ит~'(І) ~ 2ит^ + ит+'^> + /т(0,	(13.72)
аі	к
426 Розділ 13. Різницеві методи розв'язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
де тп = 1,М -1, ага(0 = а(хт,0,	= /(хт,і),
ио(1) = у(Г), им(Г) = Ці)
із початковими умовами
мт(0) = <р(х„).
(13.73)
(13.74)
Система звичайних диференціальних рівнянь (13.72), (13.73), (13.74) апрок-симує рівняння (13.66) разом із граничними і початковими умовами і називається системою рівнянь методу прямих. Цю систему рівнянь розв’язують чисельно або аналітично.
Приклад 13.5
Розв’яжемо одновимірну параболічну задачу стандартними засобами пакета МаіЬетаііса, які реалізують метод прямих:
ди
—у + /(х,0. дхг
0 < х < І, 0 < і.
(13.75)
и(х, 0) = ір(х), и(0, і) = \р(О> “(1> і) - ^(0-
Нехай у задачі (13.75) задані /(х, і) = іе~‘, а = 1, початкові умови ір(х) = зіп лх/4 і граничні умови ір(£) = );(£) = 0. Для розв’язання задачі використаємо оператор НОЗоіує, за допомогою якого одержимо чисельний розв’язок задачі.
ІП[]: = 1 = 4; Т = 9;Т[х_, !_]: =
г = М0$о1уе[(0[и[х, І], і] ==О[и[х, 1], х, х] + Т[х, І], и[х, 0] == $іп[тг*х/4], и[0,1] =0, и[1,і] =0}, и. {х, 0, 1}, {і, 0, Т}]
Результатом є таблиця значень сіткової функції, за якою в пакеті будується інтерполяційна функція, що зображує отриманий наближений розв’язок (рис. 13.13).
ІП[]: = и[х_,ї_] = Ц[х, І] /. Г[[1, 1]];
Р1о130[ІІ[х,1], {х,0,Ц, {1,0,Т), АхезІаЬеІ -> {х,1,К}, РІоІРоілІз -» ЗО]
Рис.13.13. Розв'язок одновимірної параболічної задачі
Висновки 427
Висновки
1.	Оскільки умови стійкості розв’язку одновимірних параболічних рівнянь накладають обмеження на вибір кроків змінних у гірший бік порівняно з розв’язанням еліптичних рівнянь (Ді < £(Дх)2), то для розв’язання одномірних параболічних рівнянь слід застосовувати неявні схеми обчислень Кранка-Ніколсона і Дюфорта-Франкела, які є абсолютно стійкими і забезпечують підвищену точність.
2.	Для розв’язання параболічних рівнянь із двома просторовими змінними умови стійкості розв’язку стають ще більш жорсткими (Ді < [(Дх)2 + (Дг/)2 ]), тому доцільно застосовувати неявні різницеві схеми розщеплення, чи метод змінних напрямків Пісмена-Ретфорда, які теж є абсолютно стійкими у разі зміни кроків обчислень за часом і просторовими координатами.
3.	Різницеві методи зводять задачу розв’язання диференціальних рівнянь із частинними похідними до задачі розв’язання систем лінійних рівнянь. Метод установлення і метод прямих зводять цю задачу до розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь, що може виявитися для конкретних задач і умов більш ефективною процедурою.
4.	Із погляду стійкості розв’язку можна провести певну аналогію між методами розв’язання звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь із частинними похідними: метод Кранка-Нікольсона можна вважати подібним неявному А-стійкому методу трапецій, який використовують для жорстких звичайних диференціальних рівнянь, а метод кінцевих різниць для одновимірних задач — явному методу Ейлера.
Контрольні запитання та завдання
1.	Перевірте, що функція и(х,і) = е~<а'”') 18Іп(илх) — це розв’язок рівняння
ди 2 д2и — = а —т ді дх2
(13.76)
для кожного додатного числа п = 1, 2,....
2.	Обчисліть за допомогою явної різницевої схеми наближений розв’язок мішаної задачі
ди _ д2и ді дх2
0 < х < 1, 0 < ґ < 0,1
з початковою умовою и(х, 0) = |2х -11 і граничними умовами м(0, і) = и(1, і) = = 0. Отримайте розв’язок цієї ж задачі за допомогою оператора N0501 ме системи МаїЬешаІіса і порівняйте два розв’язки.
428 Розділ 13. Різницеві методи розв’язання мішаної задачі для параболічних рівнянь
3.	У формулі (13.21) явної різницевої схеми покладіть о2 = а2 т/к2 = 1/2 і спростіть її. Визначте порядок апроксимації рівняння (13.75) на його розв’язку, за допомогою отриманої різницевої формули.
4.	У формулі (13.37) неявної різницевої схеми Кранка—Ніколсона покладіть а2 т/к2 = 1 і спростіть її. Запишіть отриману систему рівнянь, з урахуванням граничних умов и(0, і) = и(1, і) = 0, у матричній формі. Чи буде отримана матриця діагональнопереважаючою?
5.	Знайдіть нев’язку різницевої схеми, коли 0 0 1:
4+1 к
к г) к , к
+ й’т+І
(13.77)
6.	Дослідіть властивості різницевої схеми Річардсона:
(13.78)
7.	Дослідіть властивості різницевої схеми Дюфорта-Франкела:
„4-1	к 4+1	4
^ги 2
-------= а-------------5—
2т	к2
(13.79)
8.	За яких значень параметра 0 різницева схема (13.77), що апроксимує задачу Коші для рівняння теплопровідності, задовольняє спектральну ознаку стійкості Неймана за будь-якого о2 = а2 т/к2 ?
9.	Визначте, чи стійка різницева схема Річардсона (13.78).
10.	Визначте, чи стійка різницева схема Дюфорта-Франкела (13.79).
Розділ 14
Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
♦	Явні та неявні різницеві схеми
♦	Стійкість і збіжність різницевих схем
♦	Методи розв’язання мішаних задач
♦	Методи розв’язання систем гіперболічних рівнянь
У цьому розділі основна увага приділяється побудові та дослідженню властивостей різницевих методів розв’язання рівнянь гіперболічного типу. На сьогодні крім них інтенсивно розвиваються також наближені методи, які зводять задачу розв’язання рівнянь цього виду до задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь [8, 28, 34]. Одним із найбільш ефективних методів такого типу є метод характеристик, що широко застосовується на практиці для розв’язання рівнянь переносу і хвильових рівнянь. Однією з головних переваг цього методу є те, що для його реалізації можна використовувати математичне і програмне забезпечення, що розроблено для розв’язання звичайних диференціальних рівнянь.
14.1. Рівняння переносу
Існує багато задач, що стосуються розповсюдження частин у речовині: перенесення домішок потоком рідини або газу, визначення нейтронних і теплових потоків у реакторі, зумовлених дифузією нейтронів і електронів, та ін. Як приклад "розглянемо найпростіше одновимірне лінійне рівняння переносу:
би	. ди г, ..	,., ..
—- + й(х,0— = /(х,і).	(14.1)
сі	дх
За його допомогою можна пояснити основні ідеї методів розв’язання таких рівнянь. Якщо припустити, що а = соті і функція /(х, у) = 0, то загальний розв’язок цього рівняння матиме вигляд біжучої хвилі:
и(х, і) = <р(х - аі).	(14.2)
Звідси видно, що параметр а характеризує швидкість переносу. Якщо а > 0, то хвиля рухається вправо.
430 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
Розглянемо просте рівняння з частинними похідними
(ІХ
—г = а, (її
розв’язком якого є ряд ліній (у даному випадку прямих), що описуються рівнянням х-аІ = С, де С — довільна константа. Рівняння переносу (14.1) уздовж кожної прямої можна записати як звичайне диференціальне рівняння:
(їй
& с
= /(*. 01с -
(14.3)
де
Ни	ди ди (їх ди	ди
— = — ч------------— = —- + а —
<1і с ді дх Ні ді	дх
являє собою так звану похідну за напрямком, що задається диференціальним рівнянням (їх/(її = а. Лінії, уздовж яких рівняння з частинними похідними (14.1) перетворюється у звичайне, називаються характеристиками. Наявність дійсних характеристик є ознакою рівняння гіперболічного типу. Рівняння (14.1) для а = сопзі, має ряд прямолінійних характеристик х = аІ + сопзі, що заповнюють усю площину (рис. 14.1).
Рис. 14.1. Характеристики рівняння (14.1) для а = сопзі
На кожній характеристиці виконується умова сумісності и = С, де С — константа, яка змінюється від одної характеристики до іншої. Наприклад, значення функції в точці А] дорівнює значенню функції в точці А, тобто им =ил, оскільки вони знаходяться на одній характеристиці (рис. 14.1). Відзначені властивості дозволяють легко побудувати розв’язок рівняння (14.1).
Нехай треба знайти розв’язки рівняння (14.1) для а = сопзі > 0 у прямокутній області	0 х
Щоб знайти розв’язок рівняння переносу в будь-якій внутрішній точці В (рис. 14.2), можна, провівши через цю точку характеристику, розв’язати задачу Коші для рівняння (14.3).
14.1. Рівняння переносу 431
Рис. 14.2. Область розв’язку рівняння переносу
Якщо взяти до уваги, що і може лише зростати, то для знаходження єдиного розв’язку в точці В необхідно задати початкові умови в точці Во. Так само для пошуку розв’язку в точці А необхідно задати початкові умови в точці Ао. Отже, щоб знайти розв’язок у всіх внутрішніх точках, необхідно задати як граничні умови на відрізку [0, /] осі Ох, так і початкові умови на відрізку [0, Т] осі Оґ. Математична постановка задачі для цього випадку має такий вигляд:
ди ,	. ди ,.	.	_	,	_ .
— + а(х, І) — = /(х, І), 0 < х І, і > 0, ді	дх
и(х, 0) = <р(х),	0 ^х С А	(14.4)
и(0, і) = у(О>	0 < І.
Очевидно, якщо а < 0, треба було б задавати граничні умови не на лівій межі осі Оґ, а на правій.
14.1.1.	Різницеві схеми для рівняння переносу
Розглянемо використання методу сіток для чисельного розв’язання задачі (14.4). Уведемо в області визначення розв’язку множину вузлів сітки со* = {хто, £*} із кроком к = 1/М на осі Ох і т = Т/К по осі 0/ і проведемо лінії хт = сопзі і іь = соті. Для заміни диференціального рівняння (14.1) різницевим виберемо шаблон, наведений на рис. 14.3, а. Різницева схема, що відповідає цьому шаблону, є явною:
А+1	к к
ь сі —	.	(14.5)
т	п
о--о о----о	о——о
а	б	в
Рис. 14.3. Шаблони явне:' різн*! ієр.их схем
432 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
Оскільки для апроксимації похідних використовуються односторонні несиметричні різниці, отримаємо різницеву схему першого порядку апроксимації за А і т. Вираз (14.5) дозволяє одержати розв’язок рівняння на (к + 1)-му шарі у вигляді:
V™' = -отДи + (1 +	+ т/4,	= ж/к.	(14.6)
Проаналізуємо стійкість цієї схеми (14.6) за спектральною ознакою. Припустимо, що а > 0 і о 0. Розв’язок рівняння будемо шукати у вигляді гкт = 7ксгт. Підставивши його в (14.6) і припустивши, що /4 =0, після скорочення на ’ккста одержимо:
X = -оею +1 + о.	(14.7)
Вираз (14.7) описує на комплексній площині коло з центром у точці І + о і радіусом о (рис. 14.4).
Рис. 14.4. Годограф спектра різницевої схеми (14.6)
Коло з центром у точці (3,0), зображене на рпс. 14.4, є спектром к диференціального рівняння. Коло з центром на початку координат і радіусом, що дорівнює одиниці, відповідає області значень, для яких ІХІ < 1, тобто області стійкості. На рис. 14.4 видно, що кола не перетинаються, тобто схема (14.5) абсолютно нестійка.
Перейдемо до розгляду різницевої схеми, побудованої за шаблоном рис. 14.3, б:
-V” + а = 0.	(14.8)
т	к
Розв’язок рівняння на (к + 1)-му шарі буде записано в такому вигляді:
= (1 ~	+ <ТОт-.| + /т , П = ж/к > 0.	(14.9)
14.1. Рівняння переносу 433
Підставивши в рівняння (14.9) розв’язок у вигляді =’кке'та, скоротивши і к іти
на А е , одержимо:
к = сге~м +1- о.	(14.10)
Вираз (14.10) описує коло з центром у точці 1-е і радіусом с на комплексній площині (рис. 14.5).
Рис. 14.5. Годограф спектра для різницевої схеми (14.9): а — о = 2; б— а = 0,5
Для с = 2 одиничне коло міститься всередині годографа спектра X (рис. 14.5, а), тому дана різницева схема (14.8) є нестійкою. Для о = 0,5 годограф спектра Л. буде розташований усередині одиничного кола (рис. 14.5, б), тому відповідна різницева схема (14.8) є стійкою. Легко переконатися в тому, що різницева схема (14.8) стійка за умови а 1, тобто д/?я т к/а.
Послідовність обчислень, які необхідно виконати під час розв’язання рівняння за допомогою умовно стійкої різницевої схеми (14.8), така ж, як і для розв’язання за явною схемою одновимірного параболічного рівняння (див. підрозділ 13.2.1). У цьому разі спочатку знаходять значення сіткової функції г® = <р,п, тп = 0,..., М у всіх вузлах початкового шару, а потім, використовуючи граничні умови (14.4), — значення у вузлі, що лежить на лівій межі	І, нарешті, за формулою
(14.9) обчислюються значення в інших вузлах (к + 1)-го часового шару.
Приклад 14.1
Визначимо порядок апроксимації та стійкість різницевої схеми Лакса (рис. 14.6):
_£+!	/ к к \/п к к
&гп ~~ \&г.і+1 ~~	)/ £ । Фуп+1 &т-1 _ д
т	2к
для рівняння
8и ди
— + а— = 0.
д! дх
(14.12)
434 Розділ 14. Методи розв'язання гіперболічних рівнянь
Рис. 14.6. Шаблон різницевої схеми Лакса
Знайдемо нев’язку
£+1	/ к < „	\ /о Л	„
к _ Мт	\Цт+1 *• ит-\)/ £	ит+1	Мщ-І
т =	+ а -
т
(14.13)
Розкладемо в ряди Тейлора різниці, що входять до виразу для нев’язки:
г 2 о2 *
Л О Ищ	у-у,» 4 к
7ТГ + 0(/і ь 4 дх
=	+ О(т) + —+ О(ІЇІХ),
х	ді 4 7 2т дх2
к к	к
№тп+\ Мщ-І   (Літ
2А "аГ (
(Нт+\ Т	~~
4й -(ц^+^-0/2
Підставляючи отримані співвідношення в (14.13), маємо
г* =——+ О(т) + О — +а—— + О0і ). ді	12т)	дх
Враховуючи, що іД є точним розв’язком рівняння (14.12), отримаємо оцінку для порядку нев’язки:
г4=оґт + А2+— ї \ т )
(14.14)
Приклад 14.2
Розв’яжемо мішану задачу:
ди ди п
— + а— = 0, ді дх
и(х, 0) = 2х(Ь - х), 0 х Ь,
и(0, і) = 0, і > 0
(14.15)
для а = 0,5, Ь = 1, використовуючи стандартний оператор N0501 ує. Так само, як і в прикладі 13.6, отримуємо функцію, що інтерполює наближений розв’язок:
ІП[]:= 1-І; а = 0.5;
Е = №5о1уе[{0[и[х, ї],Т] + а 0[и[х, Т],х] — 0, и[х, 0] == 2х (0-х), и[0,1] = 0}, її, (х.ОД}, {ї.0,2.5}];
ОіЛ[> {{и -> Іп1егро1аІіпдЕипсІіоп[{{0. ,1.}.{0. ,2.5}},<>]}}
14.1. Рівняння переносу 435
Таким чином, отримано інтерполяційний поліном, який є наближенням до чисельного розв’язку задачі. Графічно його можна зобразити у вигляді поверхні (рис. 14.7).
Іп[] = 6г = Р1оГ30[Еуа1иаГе[и[х, 1] /. Е[[1]}], {х,0Д}, {ї,0,2.5},
АхезЬаЬеІ -> ("х”, Т", "К(х,Г)"}]
Графіки розв’язку зображено як функції змінної х для фіксованих моментів часу (рис. 14.8, а) та як функції змінної часу, іцо задані у фіксованих точках простору (рис. 14.8, б). На правому графіку видно, як хвиля початкового збурення розповсюджується вправо зі швидкістю, що дорівнює а.
Рис. 14.8. Лінії перетину поверхні розв’язку: а — площиною, перпендикулярною до осі Ох; б — площиною, перпендикулярною до осі 01
Рис. 14.9. Область розв’язку мішаної задачі для хвильового рівняння
436 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
14.2.	Різницеві схеми для хвильового рівняння
Розглянемо різницеві методи розв’язання лінійних диференціальних рівнянь другого порядку гіперболічного типу. Такими рівняннями описується багато фізичних явищ і процесів, наприклад коливання струни і подовжні коливання пружного стрижня, рух стиснутого газу, розповсюдження електромагнітних хвиль і багато інших.
Типовим прикладом рівняння з постійними коефіцієнтами гіперболічного типу є хвильове рівняння:
о2	32
би 2 о и ґ, .	„	„
—5- = а —- + /(х, і), 0 < х І, і > 0 а2	дх2
з початковими умовами
/ о\ / \	ди(х,0)	.
и(х, 0) = <р(х), ------= \у(х), 0 х І.
(14.16)
(14.17)
Відзначимо, що на відміну від рівнянь параболічного типу (13.2) гіперболічні рівняння вимагають задавання двох початкових умов. Наприклад, для струни необхідно задати початкове зміщення струни и(х, 0) і початкові швидкості в кожній її точці ди(х, О)/бґ. Граничні умови, як і для параболічних рівнянь, можуть бути одного з трьох родів. Нижче вказані граничні умови першого роду:
и(0, і) = ^(£), и(1,1) = ф(ґ), 0 < і.
(14.18)
У разі коливань струни умови (14.17) визначають закони руху її кінців. Метод сіток для рівняння гіперболічного типу має багато спільного з методом сіток для рівнянь еліптичного і параболічного типів.
14.2.1.	Явна різницева схема
Розглянемо методи чисельного розв’язання задачі (14.16), (14.17), (14.18). Уведемо в розрахункову область множину вузлів сітки = {хт, іь}, виберемо крок к = 1/М уздовж осі Ох і т = Т/К вздовж осі Оі та проведемо лінії хт = сопії і ік = соп8І. Замінимо диференціальне рівняння (14.16) різницевим за шаблоном «хрест» (рис. 13.3, б):
£+1 г\ к 6-1	,,6 к _ к
Оп	_ 2 &т-1	+ &т+1 _ гк	/1/1 О\
2	— а	Т?	~ /т >	(14.1У)
Т	к
яке апроксимує хвильове рівняння з порядками точності О(т2 + к2). Позначивши
а
к2 ’
(14.20)
14.2. Різницеві схеми для хвильового рівняння 437
перетворимо (14.19) на просту явну схему:
к+1	2 к , г}/2 \ _ к , 2 Л ~.к-1 , 2 гк	/лі о 1 \
кт = о гга-і + 2(1 - о )гт + о гга-і - ат +Т/т.	(14.21)
Розв’язок V™ = <рт, т = 0..М на нульовому часовому шарі відомий з по-
чаткової умови (14.17). На першому шарі наближений розв’язок також можна обчислити за початковими умовами. Найпростіший спосіб полягає в заміні похідної лівою скінченною різницею, тобто
ді (=о т
Звідси отримаємо значення чисельного розв’язку на першому шарі:
= V™ + Тф,„ = фи + Тфга, Ш = 1, ..., М - 1.	(14.22)
Оскільки в другій умові (14.17) похідну за і замінили з похибкою порядку т, рівняння (14.22) апроксимує другу умову (14.17) з тим же порядком. Граничні умови першого роду для прямокутної області апроксимуються без похибки:
гкм=ьк, к = 1,...,К.	(14.23)
Отже, різницева схема (14.19), (14.21), (14.22) і (14.23) апроксимує вихідну крайову задачу (14.16), (14.17) і (14.18) із порядком лише О(т + /г1 2). Її порядок апроксимації можна підвищити. Для цього слід увести фіктивний часовий шар із вузлами {хт, - т}, т = 1.М -1, що лежатиме за межами області сітки. Значення сіткової функції на цьому шарі позначимо через гй*, т = 1...М -1. Для
апроксимації похідної за часом у вузлах нульового часового шару використаємо центральну симетричну різницю:
ди(хт,і)
ді г=о
2т
+ О(т2).
Тоді різницеве рівняння для другої умови (14.17) запишемо у вигляді
звідки = С’т - 2т\|/т. Щоб виключити значення функції у фіктивному вузлі використаємо різницеве рівняння (14.21), записавши його на нульовому шарі для к = 0:
1	2 0	,	2x 0	2 0	-1	2 г0
ит = о пт-і +2(1-0 )гт + о - гт .+ т /т.
438 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
Виключивши з останнього рівняння V™ і використавши початкову умову (14.22), отримаємо явну формулу для обчислення наближеного розв’язку на першому часовому шарі:
і>'т =0,5[<Лрга-і + 2(1 -ст2)<рга + о2<рт_1] + туга + 0,5т2/^.	(14.24)
Із умовою (14.24) різницева схема (14.19), (14.22), (14.23) апроксимує початкову крайову задачу (14.16), (14.17) і (14.18) з порядком 0(т2 +/г2). Обчислення наближеного розв’язку починаються з першого нульового шару за формулою (14.24), а потім виконуються послідовно для наступних часових шарів за формулою (14.21).
14.2.2.	Стійкість явної різницевої схеми
Стійкість явної різницевої схеми будемо досліджувати за допомогою спектральних методів. Розв’язок у вигляді &,п=7.4е"'и підставимо в рівняння (14.21) і, припускаючи, що = 0, отримаємо після скорочення на 1 є'™
X2 = Ао2 е~и + 27.(1 - о2) + 7-е2 еи — 1 =
= Ао2(е”'“ + е'“) + 27.(1 - а2) -1 = 2Ао2 со8« + 27.(1 - о2) - 1 =
= 27. - 2Ао2(1 - сова) - 1 = 27. - 47. о2 зіп2 а -1.
Звідси отримаємо рівняння для годографа спектра А:
А2 - 2А(1 - 2о2 зіп2 а) +1 = 0.
(14.25)
За теоремою Вієта добуток його коренів 7-іА2 = 1. Якщо корені рівняння дійсні й один з них, наприклад, |7.! | < 1, то другий має бути |А21 > 1- Тому для виконання умови стійкості |Аі | < 1 корені рівняння з дійсними коефіцієнтами (14.25) повинні бути комплексно-спряженими, тобто дискримінант рівняння не повинен бути додатним:
П = (1 - 2о2 зіп2 а)2 -1 < 0.
Звідки отримаємо нерівність:
11 - 2о2 зіп2 «І і-
Щоб нерівність виконувалася для будь-яких а, необхідно і достатньо виконання умови Куранта:
о2 < 1, тобто ах < к.
Отже, різницева схема «хрест» є умовно стійкою.
(14.26)
14.2. Різницеві схеми для хвильового рівняння 439
14.2.3.	Збіжність явної різницевої схеми
Із наведених вище викладок випливає, що в разі виконання умови Куранта різницева схема (14.19), (14.22), (14.23) сходиться до точного розв’язку зі швидкістю, пропорційною О(т2 + /г2). Вона забезпечує достатню точність наближеного розв’язку і дозволяє знайти негладкі й навіть розривні розв’язки, хоча в останньому випадку точність результатів невисока.
Умова стійкості (14.26) досить зручна, оскільки для одержання високої точності можна вибирати ах ® к. Тому схему «хрест» часто використовують для практичних розрахунків. Безумовно стійкі різницеві схеми для гіперболічних рівнянь існують, але всі вони є неявними.
14.2.4.	Неявна різницева схема
Якщо схема є умовно стійкою, то навіть невелике випадкове порушення стійкості може призвести до швидкого наростання похибки. Щоб запобігти такій ситуації та забезпечити надійність обчислень, рекомендують використовувати безумовно стійкі неявні схеми.
Розглянемо неявну схему з ваговими коефіцієнтами, шаблон якої наведений на рис. 14.10:
А+1 ґ) к , £-1
у(^-і - 2?4И + п*;‘і) + (1 - 2у) (гД-1 - 2укт + &£и) /г2
/ 1 о	к—1 \
+ у(от,і-2пго +пго+і)
+
(14.27)
т - і,к + 1
т, к + 1
тп + 1, к + 1
т - 1, к
т + 1, к - 1
т - 1,к - 1
Рис. 14.10. Шаблон неявної різницевої схеми з ваговими коефіцієнтами
Щоб усі вагові коефіцієнти були додатними, варто вибирати 0 < у < 0,5. У граничних вузлах розв’язок визначається з умов (14.23).
Дослідимо схему (14.27). Значення розв’язку на нульовому і першому шарах обчислюються за формулами (14.22) і (14.24). На наступних шарах схема (14.27) із граничними умовами (14.23) являє собою систему лінійних рівнянь із тридіагональною матрицею. Розв’язок цієї системи існує, він єдиний і обчислюється методом прогону.
440 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
Розкладанням розв’язку за формулою Тейлора можна встановити, що за умови існування неперервної четвертої похідної функції розв’язку схема (14.27) апроксимує рівняння (14.16) з похибкою О(т2 + /г2) для всіх у .
Стійкість схеми (14.27) перевіряють спектральним методом. Після підстановки = Xі ета у рівняння отримаємо квадратне рівняння стосовно X:
>2 2(1 - 2(1 - 2у)о2 8Іп2 й/2) 1 + 4уо2 8Іп2 а/2
За теоремою Вієта добуток його коренів ХДг = 1. На підставі тих же міркувань, що й у підрозділі 14.2.2, можна зробити висновок, що для виконання умови стійкості ІХІ < 1 корені рівняння з дійсними коефіцієнтами (14.25) мають бути комплексно-спряженими, тобто дискримінант рівняння не повинен бути додатним. Звідси випливає умова стійкості схеми (14.27):
а2(1-4у)^ 1.
(14.28)
Із нерівності (14.28) видно, що коли у 1/4, схема (14.27) безумовно стійка. Коли у < 1/4, схема є умовно стійкою, якщо
1 к о	.—= або	.
71-4у	«уі_4у
(14.29)
Таким чином, у разі вибору ваги 1/4 у 1/2, неявна схема (14.27) є, безумовно, стійкою і має точність О(т2 +/г2). Коли у = 0, схема перетворюється на схему «хрест», а умова стійкості (14.28) на умову Куранта т к/а.
Приклад 14.3
Знайдемо розв’язок мішаної задачі для хвильового рівняння, яке описує коливання струни із закріпленими кінцями:
д2и 2 <52«
= « —о’
сі дх2
0 < х Ь, і > 0
з початковими умовами
х, для 0 < х < 0,67, 1,5(7 - х), для 0,67 С х < 7, 5м(х,0) _
О "
і граничними умовами
«(0,1) = 0, и(Ц і) = 0.
14.2. Різницеві схеми для хвильового рівняння 441
Розв’яжемо задачу, використовуючи різницеву схему (14.21). Введемо вихідні дані, початкові і граничні умови та отримаємо функцію, яка інтерполює наближений розв’язок:
Іп[]: = ГП = 20; к = 25; 1 = 1.0; Н = 1/(гп - 1); а = 1.0;
АггауЕи, {к,гп}, 0]; с = 0; $ = а с*2/ЇГ2;
Оо МО.Л = И [з Ь < 0.6, N(3 Ь], 1.5 (1 -З Ь)]; и>[1, 3) == и[0,)], {□, 0, т-1} ];
Оо М1.0] = 0; и[і,т-1] = 0, {і, 1, к-1) ];
Оо Е Оо [и[і+1,)] = -иГі-1,3] + 5 и[і,3-1] + 2 (1 - 5) 41,31 + 5 41,3+1], {3. 1, т-2} ], {і, 1, к-1} ];
И = АгтауЕч {к,т},0]; ИбіРіоіЗОЕИ, Ахе5І_аЬе1 ->{''т", "к", “и(х, І)"}];
Тепер можна побудувати поверхню, що інтерполює наближений розв’язок (рис 14.11).
На рис. 14.12 показані графіки розв’язку як функції змінної х для фіксованих моментів часу (рис. 14.12, а) та як функції змінної часу, задані у фіксованих точках простору (рис. 14.12,6). На правому рисунку видно, як хвиля початкового збурення розповсюджується вправо і вліво зі швидкістю, що дорівнює а, та як вона відображається від кінців відрізка.
Рис. 14.12. Лінії перетину поверхні розвязку: а — площиною, перпендикулярною до осі Ох; б — площиною, перпендикулярною до осі 01
Відмітимо, що стан струни в момент І = 0 збігається з функцією и(х, 0).
442 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
14.3.	Метод характеристик
Метод характеристик тісно пов’язаний із методами розв’язання задачі Коші. Характеристичні поверхні (лінії) визначаються як поверхні (лінії), на яких розв’язок задачі Коші або не існує, або не є єдиним.
У підрозділі 14.1 було введене поняття характеристик для найпростішого двовимірного рівняння переносу. Розглянемо більш складну систему
'дих	дщ
-------+ «і -— = 0, ді-----дх
ди2	ди2
------1- Й2------= 0,
. ді	дх
(14.30)
що складається з двох незалежних рівнянь. Розв’язок першого з них має вигляд и = /(х-а\і), другого — и2 = @(х - а21). Початкові умови для системи задамо на відрізку аЬ осі Ох (для І = 0) у вигляді
мі (х, 0) = <р(х), и2 (х, 0) = у(х), х є [а, д].
На рис. 14.13 на площині (х, І) зображені ті напівсмуги (І 0), на яких можна задати значення «Дх, І), и2(х,1). Для наочності вибрані різні знаки коефіцієнтів «і >0, «2 < 0.
Рис. 14.13. Характеристики системи рівнянь 14.30
Зрозуміло, що розв’язок системи може бути однозначно визначений тільки всередині трикутника аЬс, що є областю перетину обох смуг, які спираються на відрізок аЬ. Прямі
х - а\1 = соп&І, х-а2і = сои5І
називаються характеристиками системи, а трикутник аЬс, обмежений характеристиками, — характеристичним трикутником. Цей простий приклад дозволяє пояснити введені вище визначення і полегшує розуміння основної задачі.
14.3. Метод характеристик 443
Розгляд методу характеристик почнемо з квазілінійної системи диференціальних рівнянь першого порядку з двома незалежними змінними:
дщ	ди2	,	дщ	,	ди2	£
«и — + «12 —- +	Ьп — + Ьа — =	/і,
ді	ді	дх	дх
диі	ди2	,	дщ	,	ди2	ґ
$21------Ь ^22-----Ь $21-----$22------— 2»
ді	ді	дх	дх
(14.31)
де «у(х, 0, Ьд{х,1), /і(щ,и2, х,і), і = 1,2, ; = 1, 2.
Систему (14.31) можна записати в матричній формі
А зо „ас
А — + В— = Р
ді дх
(14.32)
де введені позначення
«11 «12	(Ьц	Ьі2
І, к —
.«21 «22/	\&1 ^22
Припустимо, що система має гладкий розв’язок у деякій області С. Вибравши в цій області точку (хо, іо), проведемо через неї криву. Вектор нескінченно малого зсуву вздовж цієї кривої з точки (хп, Іо) позначимо через (дх,Л). Припустимо, що значення С вздовж кривої у відомі і що за цими значеннями і за рівняннями системи треба знайти значення С в деякому околі у.
Задача знаходження розв’язку системи в околі кривої у за значеннями цього розв’язку на кривій називається задачею Коші для системи. Звузимо поставлену задачу, а саме обмежимося пошуком лише похідної вектор-функції С = (иі, и2) за нормаллю до кривої у у точці (хо, іо), що лежить на цій кривій.
Оскільки «і, и2 уздовж кривої відомі, а отже, відомі похідні від них уздовж кривої, то, знаючи нормальні похідні, можна обчислити похідні за будь-яким напрямком, у тому числі й похідні
дщ ди2 дщ ди2
ді ді дх дх
у точках кривої. І навпаки, знання цих чотирьох похідних дозволяє обчислити похідні за будь-яким напрямком, у тому числі й за напрямком нормалі до кривої. Отже, можна сформулювати таку задачу: знаючи уздовж кривої у значення вектор-функції С, знайти в точках цієї кривої похідні ЗІЇ/Зї, ЗІЇ/Зх. Обчислювати ці похідні будемо за значенням диференціала б/Ц що відповідає зсуву (її, (їх уздовж кривої. Запишемо Лі за допомогою частинних похідних від О:
,. Зщ , дщ , аі — + ах— = аи , — ді — дх —1
.— ді — дх —2
444 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
У цих рівняннях підкреслені відомі диференціали, що визначають зсув уздовж у. Поєднуючи ці два рівняння з рівняннями системи (14.31), отримаємо чотири лінійних рівняння з чотирма невідомими ди\/ді, диг/ді, 8иіІ8х, си^дх:
8и.\	8иг	,	8и\	.	сиг
«П —-----1- «12 —— + «11 —— +	«12 ——
8і	81	8х	8х
8щ	ди?	,	8иі	,	ди-г
«21 —— + «22	+ «21 —- + «22 —-
ді	8і	8х	8х
81 8х
,8и2	, 8іі2 ,
ді-----+ дх------= аи2.
ді 8х
(14.33)
У матричній формі рівняння для 315/61, ЗІІ/Зх мають вигляд
' д ас „ ас
А— + В— = Р, 8і 8х
, „81}	, „815
діЕ— + дхЕ— = ді}, ді 8х
(14.34)
де Е — одинична матриця. З цих рівнянь шукані похідні можуть бути знайдені за умови
	«и	«12	Ьіі	Ь12	
, ( А В А беї	,	=	«21	«22		Ьп	*0.
\діЕ дхЕ)	ді	0	дх	0	
	0	ді	0	дх	
Лінії, що задаються диференціалами дх, ді, уздовж яких визначник
«и	«12	Ьц	Ьі2	
«21	«22	^21	&2	= 0,
ді	0	дх	0	
0	ді	0	дх	
(14.35)
називаються характеристиками системи
А^+в“,Е.
ді 8х
Розкриємо визначник (14.35) і отримаємо рівняння для обчислення кутових коефіцієнтів дотичних до відповідних характеристик:
ак~ + Ь'К + с = 0,
(14.36)
14.3. Метод характеристик 445
де
к = ^-, « = |АІ, 3 = ІВ|, с = ді
«12 Зц
«22 Ьі'2
«11	312
«21 Зг2
Розв’язавши (14.36), отримаємо два рівняння для характеристик, що проходять через всі точки площини (х, і):
дх _	_ —с + х/с2 -4аЬ	дх _	_ -с - х/с2 - 4аЬ
ді	1	2«	ді 2 2а
(14.37)
А В Е 'і діЕ дхЕ ді))
Нехай крива у є характеристикою. Незважаючи на те, що визначник дорівнює 0, система (14.34) має розв’язок, оскільки за припущенням в області С існує розв’язок системи (14.32), який приймає на кривій у задані значення. Це означає, що ранг розширеної матриці
«11	«12	Зц	Ь[2	/\
«21	«22	Згі	Зг2	/г
ді	0	дх	0	дщ
0	ді	0	дх	дщ ,
дорівнює рангу виродженої матриці
А В
бЙЕ йгЕ
створеної з коефіцієнтів за невідомих д\3/ді, ЗО/Зх. Отже, вектор вздовж характеристики не може бути довільним. Він має задовольняти співвідношення
А В	Е А	(А В )
= гапе
діЕ дхЕ д\])	\діЕ дхЕ)
Це співвідношення і є диференціальним рівнянням уздовж характеристики. Визначник матриці справа дорівнює нулю. Отже, має дорівнювати нулю і визначник матриці, що стоїть в лівій частині й отриманий з розширеної матриці відкиданням від неї чотирьох довільних стовпців. Тобто повинен дорівнювати нулю нижче наведений визначник.
«11	«12	Зц	312	/і
«21	«22	Згі	Ь1’>	/і
ді	0	дх	0	дщ
0	ді	0	дг	дщ
446 Розділ 14. Методи розв'язання гіперболічних рівнянь
Він отриманий виключенням із розширеної матриці її четвертого (передостаннього) стовпця:
р Ни\ + («Хі;+ д) (іиг - § Лх + г сії = 0,	і = 1, 2,	(14.38)
де
/х
/2
«11 Й11
«21	&1
«12 Ь\\
«22	&21
«21 /2
р =
я =
8 =
Для того, щоб проілюструвати поняття характеристик і співвідношення на них, розглянемо систему, яка описує нестаціонарні процеси, що протікають у довгій електричній лінії.
Приклад 14.4
Система телеграфних рівнянь, що описує електричні коливання в лінії з розподіленими параметрами, має такий вигляд:
£й(5£) + а«(х;0 = ді	дх
ді(хЛ) + (,ди(х,1) _ о дх	ді
(14.39)
де і(х,Г) — сила струму, и(х,і) — напруга, К і £ опір та індуктивність, розраховані на одиницю довжини. Наведемо матричну форму запису системи рівнянь (14.39):
£ 0'|д£і(х,О) (0 Л д (і(х,і) 0 с]ді{и(х,1)] Ц о) дх (м(х, І)
-К О'ірХх, І) 0 07(д(хД)
Система (14.33) для даного прикладу матиме такий вигляд:
'£ 0	0 с	0 1	1 ' 0	' ді(хЛ) Л ді ди(х, 1) ді		0		0 0	0' 0	' і(х,1) ' 0
						0	0			
(її	0	(ІХ	0	ді(х,1)		0	0	1	0	(1і(х, 1)
Іо	(її	0		дх ди(х, 1) < дх		1 0	0	0		<сІи(хЛ),,
Рівняння характеристик визначається виразом
£	0	0	1
. 0	С	1	0
(її	0	(їх	0
0	(її	0	<іх
14.3. Метод характеристик 447
Розкриваючи цей визначник, отримаємо:
І
С 0 сії
Таким чином, рівняння характеристик мають вигляд:
сії
і звідси
X + 	= С0П5І.
4ЇС
Перейдемо до розрахунків співвідношень для характеристик розглянутої системи. Для		
цього необхідно, щоб ранг матриці		
	'10 0	1 -КЕ '	
	0 С 1	0	0	
	<11 0 <1х 0 <И(х,1)	
	к0 <11 0 <1х с!и(х,1),	
уздовж характеристики дорівнював рангу матриці, складеної з її перших чотирьох стовпців. Визначник цієї останньої матриці дорівнює нулю. Тому має дорівнювати нулю і визначник матриці, складеної з чотирьох довільних стовпців. Наприклад, повинен дорівнювати нулю визначник
£00	-КІ
ОСІ 0
<11 0 сіх <1і(х,1)
0 <11 0 <1и(х,1)
отриманий викиданням із розширеної матриці її четвертого (передостаннього) стовпця. Розкриємо цей визначник:
І
С 1	0
0 <1х <Н(х, і) сії 0 <1и(х,1)
+ Кі(х,1)
0 сії 0
С 0 сії
1
<1х 0
= ІС сіи(х, 1)<іх+ Іл(х, І) сії + Кі(х, і) <1і2 - 0.
Розділимо на <11 отримане рівняння:
ЬСсІи(х,1)— + Кі(х,і)<11 + Іл(х,1) = 0.
<11
Отже, вздовж першої характеристики сіх/сіі = має виконуватися таке співвідношення:
УЇС <1и(х, і) + Кі(х, І) <11+ І.і(х, І) - 0.
(14.40)
448 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
Для другої характеристики (Іх/Л = -1/>ІТс аналогічно одержуємо співвідношення:
—4Тс <1і(х,1) +	+ £г(х,ґ) = 0.
(14.41)
Таким чином, система диференціальних рівнянь із частинними похідними (14.39) зводиться до еквівалентної системи звичайних диференціальних рівнянь (14.40) і (14.41).
14.3.1.	Чисельні методи розв’язання системи гіперболічних диференціальних рівнянь першого порядку
Візьмемо в площині (х, і) дві досить близькі точки 1 з координатами (х>, і\) і 2 —(*2, І2) (рис. 14.14), що не лежать на одній характеристиці. Нехай у цих точках відомі значення шуканих функцій («Р, і4°) і	що задовольняють
систему рівнянь (14.32) гіперболічного типу. Через першу точку проведемо пряму в напрямку першої характеристики (або характеристики першої множини). Через точку 2 проведемо пряму в напрямку другої характеристики (або характеристики другої множини), що виходить із точки 2. Позначимо через кутовий коефіцієнт дотичної до першої характеристики в точці 1, а через Х22) — кутовий коефіцієнт дотичної до другої характеристики в точці 2. Ці прямі перетнуться в деякій точці 3. Координати (Хз, Ґз) цієї точки є розв'язком системи рівнянь
Хз - Хі = Хі'^ґз-^), <
х3 - Хз = Х22)Ц3-^).
(14.42)
Рівняння (14.42) можна отримати з відповідних рівнянь (14.37), які визначають напрямок характеристик, за формулою Ейлера.
Рис. 14.14. Ілюстрація матоду Массо
Заміняючи диференціали, що входять у співвідношення на відповідних характеристиках (14.38), кінцевими різницями, отримаємо систему рівнянь, щоб знайти значення пр, у точці 3, які позначимо через «із, п2з- Ця система має такий вигляд:
Р\(Ц\3 -Щ1) + (йі^,) +?1)(«23 -«2і)~ §і(х3 -х1) + л(ґ3-ґІ) = 0,
(14.43)
,Р2(«13 - «21) + («2^2 + <72)(«23 ~ «22) ~ &<Х3 ~ Х2) + Г2(і3 - Ґ2) = 0,
де а,, рі, ді, її, і = 1,2 — значення визначників (14.36) і (14.38) у точці і. Це наближення може виявитися недостатньо точним, оскільки характеристики, що виходять із точок 1 і 2, були замінені відрізками прямих, у той час як точка З
14.3. Метод характеристик 449
має бутк-точкою перетину, власне кажучи, криволінійних характеристик. Тому може виникнути необхідність в уточненні координат точки 3 і значень «із, пгз у цій точці. Для уточнення можна використовувати формулу Ейлера з повторним обчисленням (див. формулу (8.35)).
Розв’язуючи елементарну задачу пошуку координат точки (хз, г/з, ип, «гз) за координатами двох відомих точок (хі, уі, Иц, Мгі) і (*2, Уі, и>2, и22), можна отримати чисельний розв’язок для різних задач системи (14.31). Розглянемо деякі з них.
14.3.2.	Розв’язання задачі Коші
Ця задача полягає у знаходженні розв’язку системи (14.31), якщо функції и2 задані на деякій дузі гладкої кривої у, яка не має характеристичних напрямків у жодній точці. Опишемо чисельне розв’язання цієї задачі за методом Массо. На дузі кривої вибирається ряд досить близьких точок. На рис. 14.15 ці точки позначені числами 1, 2, 3, 4, 5. По точках 1 і 2 методом Массо, розглянутим вище, знаходимо координати точки 6 і значення Пі6, и2е. Потім по точках 2 і 3 знаходимо координати точки 7, по точках 3 і 4 — координати точки 8, по точках 4 і 5 — координати точки 9. Тепер ряд точок 6, 7, 8, 9 розглядаємо як вихідний і продовжуємо побудову. Процес може тривати доти, поки не буде заповнений «трикутник» асЬ, в якому сторона ас являє собою ламану лінію, що є деяким наближенням до першої характеристики, яка виходить із точки а, а ламана Ьс — це наближення до другої характеристики, яка виходить із точки Ь. Подібну побудову можна виконати і з іншого боку кривої у. При цьому отримаємо «трикутник» аМ, сторони якого є відповідно наближеннями до другої характеристики, що проходить через точку а, і до першої характеристики, яка проходить через точку Ь.
0	х
Рис. 14.15. Метод характеристик розв'язання задачі Коші
Таким чином, у явному вигляді визначається область, яка містить наближений розв’язок системи для початкових умов, заданих на кривій аЬ. Для лінійної системи сітка характеристик може бути заздалегідь побудована, і потрібно буде тільки знаходити значення и\, и2 в точках їх перетину, використовуючи співвідношення на характеристиках.
450 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
14.3.3.	Розв’язання задачі Гурса
Потрібно знайти розв’язок системи (4.31), коли на двох характеристиках аЬ і ас, що виходять з однієї точки а, задані значення функції и\, «2, причому значення відповідних функцій, заданих на характеристиках, збігаються в загальній точці а. Передбачається, що задані функції щ, п2 на кожній характеристиці такі, що диференціальні рівняння характеристик задовольняються.
Наведемо опис чисельного розв’язання цієї задачі методом Массо. На дугах характеристик обирається ряд близьких точок (рис. 14.16), тобто точки 1, 2.8
у нашому випадку. В цих точках значення щ, и2 відомі. Так само, як і для задачі Коші, по точках 4 і 5 спочатку знаходимо точку 9 і значення и^, и^.
Рис. 14.16. Ілюстрація методу Массо для розв’язання задачі Гурса
По точках 3 і 9 знаходимо точку 10, по точках 2 і 10 — точку 11, по точках 11 і 1 — точку 12. Далі, вважаючи ряд точок 5, 9, 10, 11, 12 за новий ряд, продовжуємо побудову. При цьому заповнюємо елементарними чотирикутниками «чотирикутник», що апроксимує криволінійний чотирикутник, дві сторони якого, аЬ і ас, є заданими дугами характеристик, а дві інші, 1</ і 8Д — побудованими ламаними, що приблизно відповідають характеристикам, які виходять із точок 1 і 8.
14.3.4.	Перша мішана задача
Ця задача полягає в побудові розв’язку «і, и2 системи (4.31), коли на дузі, що є характеристикою, й на дузі ас, що у жодній точці не має характеристичного напрямку, задані значення и>, и2. При цьому передбачається, що в загальній точці а значення відповідних функцій погоджені, і друга характеристика (або характеристика другої множини), яка виходить із точки а, лежить усередині кута Ьас (рис. 14.17).
Розв’язання першої мішаної задачі зводиться до послідовного розв’язання задачі Коші і задачі Гурса викладеним вище методом, потрібно тільки починати з розв’язання задачі Коші з початковими даними на дузі ас. При цьому зможемо побудувати розв’язок у «трикутнику», обмеженому дугою ас і ламаною, яка апроксимує характеристики різних множин, що виходять із точок а і с. У результаті розв’язання задачі Коші наближено визначиться друга характеристика асі, а також значення щ, и2 у вузлах цієї характеристики. Далі розв’язання за
14.3. Метод характеристик 451
дачі в області (іаЬ зводиться до розв’язання задачі Гурса, оскільки щ, и2 будуть відомі на обох характеристиках, що виходять із точки а.
Рис. 14.17. Розв'язання першої мішаної задачі
14.3.5.	Друга мішана задача
Ця задача полягає у знаходженні розв’язку системи (14.31), якщо відомі значення и\ і «2 на характеристиці аЬ і відома лінійна комбінація сші + р«2 = Д на кривій ас, яка не має характеристичних напрямків, де а, р, § — задані функції. При цьому вважається, що друга характеристика, яка виходить із точки а, лежить поза кутом Ьас, і у точці а кривої аЬ виконуються співвідношення аи + ру = £.
Розв’яжемо цю задачу в такий спосіб. На дузі характеристики аЬ оберемо ряд точок 1,2, 3,... (рис. 14.18). Із точки 1 у напрямку характеристики другої множини проведемо пряму до перетинання з кривою ас у точці 4. Із диференціальної умови на характеристиці другої множини і граничної умови на кривій ас знаходимо «4 й VI у цій точці. По знайденій точці 4 і точці 2 звичайним шляхом знайдемо точку 5, по точках 5 і 3 — точку 6 і т. д. Ряд точок 4,5,6,... вважаємо за вихідний ряд і повторюємо процес. Таким чином, можна заповнити сітку області, обмеженої кривими аЬ, ас і характеристикою другої сім’ї, проведеною з точки Ь до перетинання з кривою ас. Далі розв’язання задачі в області Нас зводиться до розв’язання задачі Коші, оскільки щ, и2 будуть відомі на прямій ас, що не є характеристикою.
452 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних рівнянь
Приклад 14.5
Розглянемо процес відключення електричної лінії з розподіленими параметрами з активним навантаженням Система телеграфі3'1:: рівнянь, яка описує нестаціонарні коливання в лінії, наведена в прикладі 14.4 і має такий вигляд:
І^Ї + ^1^КІМ
81	дх	(14.44)
ді(х,1)	ди(х,1) п , „ .
. дх	8і
де і(х, і) — сила струму, и(х, і) — напруга, /?, с і £ опір, ємність та індуктивність, розраховані на одиницю довжини. До лівого кінця лінії х = 0 підключена напруга, що дорівнює «о. До правого кінця лінії х = І підключене активне навантаження з опором Кн, що в момент і = 0 відключається.
У початковий момент лінія постійного струму працювала в стаціонарному режимі, тобто початковими умовами є
і(х, 0) = ——, и(х, 0) = «о - Кі(х,і)х, 0 < х < І.	(14.45)
НІ +
До лівого кінця лінії х = 0 підключається джерело напруги, що дорівнює «о, а до правого кінця — активне навантаження з опором К, що у момент і = 0 відключається. Граничні умови для розглянутого випадку мають такий вигляд:
ь(0, і) = ио, =	(14.46)
Наведемо розв’язання цієї задачі в пакеті МаіЬетаїіса. відмовившись від спрощення, тобто від припущення, що К * 0. Скористаємося стандартним оператором N0501ує (див. приклад 13.5).
Введемо початкові дані:
ІП[]:= б = 10; Рч = 0.025;
С = 0. 2; К1 = 450; Т = 6000; 1 = 1000; ио = 1000; Іо = ио/(К1+1К);
Запишемо оператор розв’язання мішаної задачі для системи рівнянь (14.39):
Іп[]:= К03о1ує{і.*0[і[х, і], і] + 0[и[х, і],х] = -К*і[х, і], 0[і[х, 1],х] + с*0[и[х, і], 1] == 0, ц[х, 0] == ио - іо*Р*х, і(х, 0] == і о, и(0,1] == ио, і[1,ї] == іо еЛ(-1000*і)}, (и, і}, {х, 0,1}. {І.О.Т}
0иі[]= {{и -> ІпГегроІа£іпдРипсбіопЕ{{0., 1000.}, {0. ,6000.}}, <>], і -> ІпГегроІаГіпдРипсРіоп[{{0. , 1000.}, {0. ,6000.}}, <>]}}
Результатом є функції и(х, І) і і(х,і). Побудуємо поверхню розв'язку и(х, і) (рис. 14.19). Коливання напруги, зумовлені раптовим відключенням навантаження, поширюються до початку лінії, згасаючи, на відміну від коливань, що описані в розв’язанні задачі 14.3. Побудуємо графіки зміни напруги в точках на відстанях 100, 500 і 1000 м від початку лінії.
Іп[]:= 6г = Р1оі[{11[1000,1:], 11[500, і], 0[100,Г]}, {1,0,Т},
РІоіКапде -> {945,1000}, АхезГаЬеІ -> {1". ”11(х,І)”}, ОізрІауЕипсІіоп -> Ідепіііу];
5Нои[6г, 5Н, 0і$р1ауГипйіоп ->	іол]
14.3. Метод характеристик 453
Рис. 14.19. Графік функції розв'язку и(х,і)
На рис. 14.20 показано стрибок напруги, зумовлений відключенням навантаження, запізнення в поширенні цього збурення і його згасання. На рис. 14.21 зображені графіки зміни сили струму в точках на відстані 0, 500 і 1000 м від початку, на яких чітко помітні процеси запізнення і згасання коливань. Графіки відображають залежність розв’язків від просторової змінної і часу та ілюструють розповсюдження хвилі початкового збурення і її від-
Рис. 14.20. Графіки зміни напруги в точках на відстані 100, 500 і 1000 м від початку лінії
Рис. 14.21. Графіки зміни сили струму в точках на відстані 100, 500 і 1000 м від початку лінії
454 Розділ 14. Методи розв’язання гіперболічних ріанянь
Висновки
1.	Гіперболічні рівняння часто зустрічаються у фізичних задачах, пов’язаних із процесом переносу енергії, розповсюдженням електромагнітних хвиль у провідниках, електромагнітними і акустичними коливаннями в атмосфері, рухом стиснутого газу тощо. Чисельне розв’язання мішаних гіперболічних задач виконується звичайно явними і неявними різницевими методами або методом характеристик. Рідше використовується метод прямих.
2.	Стійкість різницевих схем визначається умовами Куранта, які не накладають таких жорстких обмежень на співвідношення між величиною кроків сітки за часом і простором, як для параболічних рівнянь. Тому для рівнянь цього типу неявні різницеві схеми не мають помітної переваги перед явними. Однак більш надійні результати можна отримати, використовуючи безумовно стійкі різницеві схеми. Ці схеми забезпечують достатню точність обчислень для гладких функцій. Вони придатні й для знаходження негладких функцій розв’язку, але точність розрахунків при цьому невелика. Якщо ж схема умовно стійка, то невелике випадкове порушення стійкості може призвести до швидкого і необмеженого наростання похибок.
3.	Розв’язок лінійної гіперболічної системи рівнянь може мати розриви, якщо їх мають початкові чи граничні умови. У квазілінійному рівнянні навіть за неперервних і досить гладких початкових умов можуть виникати розриви розв’язків. У разі застосування звичайних різницевих схем для розв’язання таких задач можна отримати розв’язки, які істотно відрізняються від точних. Для розв’язання рівнянь з розривними функціями слід використовувати консервативні різницеві схеми [8, 16].
4.	Метод характеристик є найбільш придатним для розв’язання гіперболічних рівнянь. Для одержання гладких розв’язків гіперболічних рівнянь можна використовувати і метод прямих.
Контрольні запитання та завдання
1.	Визначте порядок локальної апроксимації диференціального рівняння ди(х, І) й ди(х, і) _
ді дх
різницевим рівнянням
7>і _ у’м +
--------2----=	•
Контрольні запитання та заадання 455
2.	Для рівняння
ди(х,і)	ди(х,і)	,,	п
—і—- - а —-—- = /(х, І), а = соті, а > 0 й дх
перевірте стійкість різницевих схем, побудованих за шаблонами рис. 14.3.
3.	Для задачі
2ди(хЛ) [ ди(х,і) р (>0 ді дх ’	’
и(х, 0) = 8Іп(тгх), 0 < х < 1, п(0, і) = і, 0 < і < 2
визначте коректність її постановки; встановіть область існування розв’язку.
Знайдіть розв’язок методом характеристик.
4.	Для рівняння
3^и.»)+4а<(х,0 = О[ (>0. ді дх
и(х, 0) = 1 - х, 0 < х $ 1;
п(0, ї) - соз(й), 0 < і < 1
визначте коректність; встановіть область існування розв’язку; знайдіть розв’язок методом характеристик і різницевим методом. Порівняйте отримані результати.
5.	Визначте порядок апроксимації хвильового рівняння (14.16) неявною різницевою схемою (14.27) і дослідіть стійкість неявної різницевої схеми (14.27).
6.	Методом кінцевих різниць розв’яжіть рівняння, що описує коливання струни:
д2и(х, і) _ п 52п(л'. і) ді2 ~ дх2
0^х^.1,і >0
з початковими умовами
/ лч • / ч Й/(Х,0) и(х, 0) = 8іп(лх), —----= 0
і граничними умовами
п(0, і) - 0, и(1, і) - 0.
Розділ 15
Інтегральні рівняння
♦	Типи інтегральних рівнянь
♦	Чисельні методи розв’язання інтегральних рівнянь
♦	Методи апроксимуючих функцій
Розглядаються дві основні групи методів розв’язання інтегральних рівнянь — прямі й ітераційні. Прямі методи дозволяють звести розв’язання інтегральних рівнянь до розв’язання системи алгебраїчних рівнянь за допомогою квадратурних схем чисельного інтегрування апроксимації розв’язку. Ітераційні ж методи базуються на обчисленні послідовності наближених розв’язків, які сходяться до єдиного розв’язку рівняння за обраного початкового наближення. У цьому розділі також описано методи, що дозволяють розв’язувати рівняння з виродженими ядрами.
15.1.	Класифікація інтегральних рівнянь
Необхідність у чисельному розв’язанні інтегральних рівнянь виникає під час дослідження об’єктів багатьох типів і систем, наприклад у механіці (скажімо, аналіз міцності конструкцій), фізиці (кристалографія, спектроскопія, теорія плазми) і радіотехніці (оптимальна лінійна фільтрація). Взаємозв’язок інтегральних рівнянь і задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь дозволяє записувати останні в еквівалентній інтегральній формі. Крайові задачі для багатовимірних рівнянь у частинних похідних також зводяться до інтегральних рівнянь меншої розмірності, ядра яких є функціями Гріна.
Інтегральним будемо називати рівняння виду
ь
ф(х) - А|К(х,ґ)ф(ґ)5ґ = /(х),	(15-1)
а
де ф(х) — функція, що є розв’язком рівняння, X — відомий параметр рівняння, К(х, і) — ядро інтегрального рівняння, /(х) — вільний член, який іноді називають правою частиною рівняння, /(х) і К(х, І) — відомі функції.
Будемо вважати, що нижня та верхня границі а і Ь постійні. Параметр X і функції ф(х), К(х,1) та /(х) можуть приймати як дійсні, так і комплексні зна
15.1. Класифікація інтегральних рівнянь 457
чення. У деяких постановках задачі параметр X не вказується (його приймають рівним одиниці), здобуток г) позначають через К\(х, і) і розглядають К\ (х, і) як нове ядро.
Тип інтегрального рівняння визначається властивостями його ядра. Загалом виділяють три типи інтегральних рівнянь.
1.	Рівняння Фредгольма. Ядро К(х, І) неперервне для а^х^Ь і ьь
або має такі розриви, що подвійний інтеграл {І|№(х, І^дхді є обмеженим. а а
2.	Рівняння зі слабкою особливістю. Ядро рівняння (15.1) може бути задано у вигляді К(х, і) = Н(х, і)І\х- і\а > № Н(х,і) — обмежена функція, а а — постійний параметр, який задовольняє умову 0 < а < 1.
3.	Сингулярні інтегральні рівняння. Ядро має вигляд К(х, І) = А(х, і)/(х - і), де чисельник А(х, і) — диференційована функція за х і і.
Інтегральне рівняння (15.1) називається однорідним, якщо його права частина завжди дорівнює нулю, в іншому разі — неоднорідним. Інтегральне рівняння (15.1) називають інтегральним рівнянням другого роду, а інтегральне рівняння
ь
|К(х,	= /(х)
а
(15-2)
називають рівнянням першого роду.
Під час розв’язання деяких задач математичної фізики застосовують рівняння Фредгольма, що мають особливий вигляд і називаються рівняннями Вольтери. Це рівняння, ядра яких обмежені і тотожно дорівнюють нулю для І > х. Такі рівняння називають рівняннями Вольтери другого роду, якщо їх можна записати у вигляді
<р(х) - X ^К(х, і) <р(ґ) ді = /(х), а
як і рівняння Вольтери першого роду, що мають вигляд
^К(х,1)<$1)ді = /(х).
(15.3)
(15-4)
Задачі Коші відповідають інтегральні рівняння Вольтери, а крайовій задачі — рівняння Фредгольма.
Наближені методи розв’язання інтегральних рівнянь можна розділити на два основні типи: чисельні та апроксимуючих функцій. Спочатку ми розглянемо методи першого типу.
458 Розділ 15. Інтегральні рівняння
15.2.	Чисельні методи розв’язання інтегральних рівнянь
15.2.1.	Рівняння з виродженим ядром
Умови існування розв’язку, тобто функції <р(х), що задовольняє інтегральні рівняння (15.1) —(15.2) для а^х^Ь, визначаються властивостями ядра. Найбільш поширеними наближеними методами розв’язання інтегральних рівнянь, які не мають особливостей, є методи квадратурних сум (скінченних сум), сіток, ітерацій, апроксимуючих функцій. Існує важливий клас інтегральних рівнянь, які можна розв’язати дуже просто зведенням їх до системи алгебраїчних рівнянь. Ядра вказаних інтегральних рівнянь мають бути виродженими, тобто повинна існувати можливість записати їх у вигляді суми обмеженої кількості доданків, кожний з яких є добутком двох множників, причому один множник залежить тільки від х, а інший — тільки від ї.
К(х, 0 = X а‘
(15.5)
Інтегральне рівняння з виродженим ядром можна записати як
п '
<р(х) - «і (х) р (і) <р(і) ді = /(х).
(15.6)
Розв’язок такого рівняння шукають у вигляді:
ф(*) = /<х) + Л.£с,а,(т),
(15.7)
де коефіцієнти Сі обчислюють як
ь
= ^Ьі(і)<р(0 ді, і = 1, 2,..., п.
Сі
(15.8)
Після підстановки (15.7) у (15.6) і деяких нескладних перетворень отримаємо вираз
ь г п її £й,(х) с, - |й,(0 /(0 + Х^сАщ(0 ді =0,
і = 1, 2,..., п.
(15.9)
*=і
п
Якщо ввести позначення
ь	ь
\Ьі{і)/(і)ді = /і,	р>,(0щ(0дґ = а.ік,
а	а
і, к = 1, 2,..., п,
(15.10)
15.2. Чисельні методи розв'язання інтегральних рівнянь 459
то можна перейти до системи лінійних алгебраїчних рівнянь щодо невідомих с,:
є, -Х^а^с* = /і, і = 1,2.......п.	(15.11)
«•=1
Якщо розв’язок такої системи існує, то існує і розв’язок інтегрального рівняння з виродженим ядром (15.6).
Приклад 15.1
У пакеті МаїЬетаїіса за допомогою методу вироджених ядер побудуємо всі можливі розв’язки однорідного рівняння з ядром К(х, і) = соз2х СО52/ + созЗх соЛ для а = 0 і Ь = л.
Спочатку опишемо ядро і допоміжні функції
Іп[]:> К[х ,1_]:" (С05[х])*2*С05[21] + Со5[Зх]*(Со5[і] ГЗ;
Г[х_]:- 0; У1[х_]:- (С05[х]Г2; у2[х_]: = Соз[3х];
Потім обчислимо коефіцієнти а« (15.10)):
А[1,1] - ІпіедгаІе[(Со$ЩГ2*СО5[21], {1,0, л}];
А[1,2] = Іпіедгаїе[(Со5[ї])"2*(Со5[1 ])'3, {і,0,л}];
А[2,1] - Іпіедгаіе[Со5[31]*Со5[2і],	{б, 0,л}];
А[2,2] - Іпіедгаіе[С05[31]*(С05[1])А3,	{1,0, л}];
Аггау[А, {2,2}]
Оиі[]- {{^,0}. {0, £}} 4	о
Тепер сформуємо систему лінійних рівнянь (15.11) та розв’яжемо її:
Іп[]:“ 0 - ІсІепіііуМаІгіх[2] - А*Аггау[А, {2,2}]
ОиЦ> {{1 -	0}. {0. 1 - -у}}
ІП[]:> 0/.Л	л/2
Оиі[> {{1 -	0}, {0. 1 - ^}}
О	10
Іп[]:- Р - 0еІ[ІсІепіііуМаіпх[2] - А*Аггау[А, {2,2}]]
ОіЛ[]= і - 3^ + 8	32
ІП[]:= В = 5о^Є[Р =• 0, А]
0Ш[]= {{А	і), {А —» -^ }}
Якщо в (15.11) X -> л/4, то сг = 0, а сі — вільна константа, інакше, якщо X -> л/8, то сі = 0, а сг — вільна константа, отже, маємо такі розв’язки:
ІП[]:= У[1] » В[[1, 1, 2]]*с*у1[х];
¥[2] = В[[2, 1, 2]]*С*у2[х];
Аггау[У, 2]
пи1[-]^ 4 С С05[х]г 8 С [Зх]
л ’ л
460 Розділ 15. Інтегральні рівняння
15.2.2. Метод квадратурних сум
Метод квадратурних сум полягає в заміні інтеграла в рівнянні (15.1) однією з квадратурних сум (див. розділ 7), наприклад:
г ’	п
(15.12)
де Іп — вузли сітки на відрізку [а, А], А — коефіцієнти квадратурної суми. Внаслідок такої заміни отримаємо рівняння
ф(х) - А К(х, іі)ф(Л) = /(х), і=і
яке є апроксимацією інтегрального рівняння (15.1).
Приймаючи х, = її, і = 1, 2,..., п, одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
ф(х*) - А К(п, Хі)ф(х,) = /(х*), & = 1, 2.....п (15.13)
і=і
з невідомими ф(хі), ф(х2).ф(х„), котрі є наближеними значеннями розв’язку
ф(х) рівняння (15.1) у вузлах хь х2.х„.
Наведемо значення коефіцієнтів і вузлів для різних квадратурних формул.
1.	Формула лівих прямокутників:
Хі = а + (і -1) А, А = А, і = 1, 2,..., п, де А = -—-п
2.	Формула трапецій:
Хі; = а + (і -1) А, і = 1, 2,..., п, л л	л л	лі	І Ь-й
А=А=—, А = А =••• = А-і =А, де А =---------------.
2	п -1
3.	Формула Сімпсона (п = 2тп +1):
Хі = а + (і -1) А, і -1, 2,..., п,
А=А=4. А = А = — = Ат = 4А/3, де А = ^—
З	2т
А = А =... = Ат-і = 2А/3.
Таким чином, наближеним розв’язком інтегрального рівняння (15.1) є функція
ф(х) = Х]^А К(х, Хі)ф(хі) + /(х).
-і
(15.14)
15.2. Чисельні методи розв’язання інтегральних рівнянь 461
Для постійного кроку А = сопзі часто використовують рекурентну формулу методу трапецій:
<р(а) = /(а),
/(х,) + А]ГЛ, К(хі, Х;)<р(ху)	(15.15)
<р(х,) =----------,
і-і^хьх.)
де і = 2, 3,п, Хі =а + (і -1) А,
л ґ 0,5 для і - 1, Аі =<
[1 для у > 1.
Приклад 15.2
Інтегральне рівняння
2.5
(1 - хе2х) СО8(1) - е2х 8Іп(1) + | (1 - (х - і) е2х)<р(і) ді = <р(х)
о
має точний розв’язок [5]
ф(х) = ех(соз(ех) - Є* 8Іп(ЄХ)).
Знайдемо чисельний розв’язок цього рівняння, використовуючи метод трапецій (15.15), і порівняємо його з точним.
Опишемо за допомогою пакета МаіЬетаііса ядро інтегрального рівняння, функцію /(х) й точний розв’язок:
ІП[]:- а = 0; Ь = 2.5;
П = 0. 05;
п - ІпіедегРагЦ(Ь-а)/іі] + 1;
К[Х_,1_]:- 1 - (X - 5)*Ехр[2х];
Г[хД:“ (1 - х*Ехр[2х])*Со5[1] - Ехр[2х]*81п[1];
Іу[х_]:- Ехр[х]*(Сд5[Ехр[х]] - Ехр[х]*81п[Ехр[х]]);
Визначимо межі інтегрування, задамо початкові значення і знайдемо чисельний розв’язок:
ІП[]:- х[1] = а;
у[1] = И[Г[х[1]]];
Оо [х[і] = а + (1 - 1)*Н;
9 - Г[х[1]];
Оо [ІГ [) “ 1, А = 0.5, А - 1];
д = д + І1*А*К[Х[1], х[1]]*у[)], {1,1-1}];
у[і] - д/(1 - іі/2*К[х[і], х[і]]), {1,2,п}];
0 = ТаЬ1е[{х[і], у[1]}, {І,п}}]
Побудуємо графіки точного і чисельного розв’язків (рис. 15.1):
Іп[]:= рі = Р1оІ[Іу[х], {х,а,Ь}, Ахе51_аЬе1 -> {"х”, ”<д(х)"}, ОізрІауЕипсІІоп -> Ісіепіііу];
р2 = І.І5ІРІОІЕ0, Ріоиоіпеб -> Еаїзе, Р1о15іу1е -» РоіпІЗігеЕ.015],
462 Розділ 15. Інтегральні рівняння
ОізрІауЕипсІіоп -> ІбепІПу];
5Нои[р1, р2, От арі ауРипсїтоп	$01 арі ауЕипсІіоп]
Рис. 15.1. Точний і наближений розв’язки інтегрального рівняння
Приклад 15.3
Використовуючи квадратурну формулу Сімпсона, розв’яжемо інтегральне рівняння:
5	1 і
у{х) = —х + —
6	2 о
Виберемо вузли хі =0, хч = 0,5, х$ = 1 і обчислимо значення у вузлах правої частини /(х) і ядра К(х, Р) = хі:
/(0) = 0, /(0,5) = 5/12, /(1) = 5/6,
К(0, 0) = 0, К(0, 0,5) = 0, К(0, 1) = 0, К(0,5, 0) = 0, К(0,5, 0.5) = 0,25,
К(0,5, 1) = 0,5, К(1, 0) = 0, К(1, 0,5) = 0,5, К(1, 1) = 1.
Використовуючи формулу Сімпсона
]у(О^	у(іі) = |[^(0) + 4^(0,5) + £(1)],
побудуємо систему рівнянь (15.13) для знаходження наближеного розв’язку рівняння в обраних вузлах:
г/і =0.
11	1	5
12^ 24Л/3-12’
Система має розв’язок у\ = 0, уч = 0,5, і/з = 1. Згідно з (15.14) наближений розв’язок можна записати у вигляді:
у(х) = —х + 0,5 • —[0 + 4 • 0,5 • 0,5х +1  1 • х] = х,
6	6-
що збігається з точним розв’язком інтегрального рівняння.
15.2. Чисельні методи розв’язання інтегральних рівнянь 463
15.2.3.	Метод послідовних наближень
Даний метод полягає у пошуку послідовних наближень до розв’язку рівняння (15.1) за допомогою рекурентної формули
ь
<рл(х) = /(х) + Х р<(х, ґ)<р„_і(0сіі.	(15.16)
а
Початковим наближенням <ро(х) може бути функція /(х). Послідовність функцій {<р„(х)} збігається до розв’язку рівняння (15.1), якщо |х| < 1/В, де
[ьь
В = 11 р£(х, і)сіхсіі.
і а а
Похибка и-го наближення визначається нерівністю
А ( р А
|<р(х)-<ри(х)|^^Ми Ф + -4- ,	(15.17)
де
І	ь	їь	ІЇ
А = шах |№(х, і)Л, Р = И/2(х)Дг, Ф= Н<ро2(х)Дг.
! а	V а	V а
Кількість кроків (наближень) істотно залежить від вибору початкового наближення, тобто від міри близькості його до шуканого розв’язку.
Приклад 15.4	7
Функція <р(х) = ег є точним розв’язком рівняння 1 + /ф(Р)Й = ф(х) [5]. Методом послі-
0
довних наближень (15.16) знайдемо чисельний розв’язок цього рівняння з точністю не менше ніж £ < 10 3. Опишемо відомі функції та ініціюємо початкові значення:
ІП[]: = а = 0; Ь = 7; П = 0.07; Ерз - 0.001;
п= ІпГедегРагі[(Ь-а)/їі]+1;
К[х_,$_]: = 1;
Г[Х_]:= 1;
Іу[Х_]:= Ехр[х];
ук[1] = Г[а];
Оо [х[1] = а + (і-1)*Н; ук[1] = Е[х[і]], {і,п}]; к = 0;
родг = АЬз[ук[1]];
Організуємо ітераційний цикл:
Іп[]:= Мліє [родг > Ерз, к++;
Оо [ук1[і] = ук[1]; ук[і] - Е[х[1]];
1Г [1*1. Оо [И [(3 =1 Ц 3 = і), А = 0.5, А = 1];
ук[і] = ук[і] + й*А*К[х[і], х[аП*ук1[а], {0,1}] ];
г[і] = АЬ5[(ук[і] - ук1[і])], {ці,п} ];
родг = Мах[Аггау[г, п]] ]
464 Розділ 15. Інтегральні рівняння
Вихід з циклу буде здійснюватися у разі досягнення заданої точності. Оскільки таблиці чисельного розв’язку досить великі, графіки чисельного і точного розв’язків зобразимо на одному рисунку (рис. 15.2):
Іп[]:= 0 - ТаО1е[{х[і], ук[і]},	5}];
рі - Р1оі[іу[х], {х,а,Ь}, Ахе$1_аЬе1 •-> {"х", "«>[х]”}, ОізрІауРипсІіоп ІбепШу]
р2 = 1_і$ІР1оІ[0, РІоРЗоіпей ->РаІ5Є, Р1о151у1е -> Ро1п18І7е[. 02], ОізрІауЕипсІіоп ->Ібепіііу]
5Нои[р1, р2, ОтаріауЕипсііоп -> $01 зріауЕипсІіоп]
15.3. Методи апроксимуючих функцій
Використовуючи методи апроксимуючих функцій, наближений розв’язок інтегрального рівняння (15.1) знаходять у вигляді:
го(х) = £<Ж(х), 1=1
(15.18)
де (7,(х), г = 1, 2,..., п — система базисних лінійно незалежних функцій, С,, і = 1, 2,..., п — шукані коефіцієнти.
Збіжність наближеного розв’язку (15.18) до точного, для п -> а> забезпечується вибором системи базисних функції, що має бути повного на відрізку [а, />], наприклад, як ортогональні поліноми Лежандра:
П,(х) = Л(г),
де Р,(г) = 1, Р2(г) = 7, &(г) = (Зг2 -1)/2, Р(г) = (5г3 - Зг)/2; г =
о - а
Підставляючи вирази (15.18) у рівняння (15.1), одержимо нев’язку
ь
К(х,Сі,С2
...,С„) = £с, П,(х)-Х|К(х,0Е/,(0г* -/(х),
де Сі, і = 1, 2,..., п у (15.18) визначаються після введення додаткових умов.
(15.19)
15.3. Методи апроксимуючих функцій 465
15.3.1.	Метод колокацій
Вимагатимемо, щоб нев’язка К(х, Сі, С2,Сп) (15.18) у вузлах колокації х,-: а < Хі < х2 <... < х„ Ь — дорівнювала нулю
К(хі, Сі, С2,..., Сп) = 0
Л(х2,СьС2......С„>0
(15.20)
К(х„,Сі,С2,..., С„) = 0
Після знаходження коефіцієнтів Сь С2,..., С„ із системи лінійних алгебраїчних рівнянь (15.20) наближений розв’язок інтегрального рівняння (15.1) можна записати у вигляді (15.18).
Приклад 15.5
У пакеті Маїїіетаїіса розв’яжемо рівняння
і
<р(х) = 1 + |(х£ + х2) <р(/) (11
-і
за допомогою методу колокацій (точний розв’язок <р(х) = 1 + 6х2).
Задамо початкові дані, допоміжні таблиці й загальний вигляд чисельного розв’язку:
ІП[]:= а = -1; Ь - 1;
К[х_, $_]: = Х*5 + Хл2;
Т[х_]: = 1;
Визначимо точки колокації і відповідно до їх кількості сформуємо повну систему функцій з поліномів Лежандра, які задовольнятимуть умовам ортогональиості:
Іп[]:= Коїі = {а, 0, Ь}; п = ІепдУі[Ко11];
Е = ТаЬ1е[1/2лі/і!*0[(х~2 - 1У1, {х,і}], {1,0,п-1}]
0іА[]= {1, х, і (8х2 +4(-1 + х2))}
8
Розв’язок будемо шукати у вигляді:
Іп[]:= ¥[х_]:= 5иш[8ітрШу[СГ[і]*Г[[і]]], {1,3}]; ¥[х]
0іЛ[]= СТ[1] + хСГ[2] + |*(-1 + Зх2)СЕ[3]
Для обчислення невідомих коефіцієнтів Сі, С2....С„ побудуємо систему лінійних рів-
нянь (15.19) і розв’яжемо її:
Іп[]:= 5 = ТаЬ1е[1/2лі/і!*0[(5л2 - 1У1, {б,і}], '{1,0,п-1}];
0о [Ог[а] - 0;
По [0г[]] = ОПД] + СТ[т]*(Е[[і]] - Іп1едгаІе[К[Ко11[[Л],5]*5[[і]], {5,а,Ь}]), {1,3} ];
Огіа] - 0г[]] - Г[Ко11[[,і]] ] /.X -> КоІІЕЕЛ], {3,3} ]
Аггау[1іг,п]
0иІ[]41-СГ[1]-^^ + СГ[3], -1-СГ[1]-^Р, -1-СД1]-^^ + СТ[3])
ІЗ	2	З	і
Іп[]: = V = 5о1ує[{0г[1] == 0, 11г[2] == 0, 0г[3] == 0}, {СД1], СТ[2], СЕ[3]}]
ОіЛ[]= {{СТ[1] -> З, СЕ[2]	0, СГ[3]	4}}
466 Розділ 15. Інтегральні рівняння
Отримаємо остаточний розв’язок за методом колокацій:
Іп[]: = ¥ = 51тр1Иу[5ит[У[[1, 1,2]]*Р[[і]], {1,1,3}]]
ОиІ[]= 1 + 6х2,
Побудуємо на одному графіку точний та чисельний розв’язки і покажемо точки колока-ції (рис. 15.3):
Іп[]:= 0 = ТаЬ1е[{Ко11[[і]], 5иіл[СП[і]]*Ко11[и]Г2, {],3}]}, {1,3}]
рі = Р1оІ[¥, {х, а, Ь}, Ахе$1_аЬе1 {"х”, "е>(х)"}, ОІБрІауЕипсІіоп -і Ісіепіііу]
р2 - ПзСРІоЦО, РІоСЗоіпесІ -> Еа1$е, РІоіЗІуІе -> РоіпСЗігеЕ.025],
ОізрІауЕипсІіоп -> ІбепМІу] 5ііои[р1, р2. 01 зріауЕипсііоп -> $01 зріауЕипсііоп]
Рис. 15.3. Точний і чисельний розв’язки, що збігаються, та точки колокації
Результат свідчить, що чисельний розв’язок інтегрального рівняння повністю збігається з точним.
15.3.2.	Метод найменших квадратів
Як і в методі апроксимуючих функцій, розв’язок інтегрального рівняння шукаємо у вигляді (15.18). Невідомі коефіцієнти визначаються з умови мінімізації
т
} = ^КХх„Сі,С2,...,Сп)
у вузлах сітки х,-: а х( < хг < ... < хт < Ь (т^ гі). Виходячи з цієї умови отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
УВ(хі, Сі, С2,.... С„) —(х„ Сі, С.-,..., С„) = 0, к = 1, 2,..., п іҐі дСк
чи
т
^АкіСі=Вк, к = 1,2,...,п, і=і
(15.21)
де
ь
т ґ	Ь
АнСк(х^-}.]К(Хі,^ик(^^ СіСхіУ-^КСхі,^^)^ ,
О
Вк^\ ^(х^ -Х^Х;,^)^©^^).
(15.22)
15.3. Методи апроксимуючих функцій 467
Приклад 15.6
Застосувавши пакет МаСІїетаїіса, розв’яжемо інтегральне рівняння з прикладу (15.5) методом найменших квадратів.
Задамо початкові дані, допоміжні таблиці й визначимо вигляд, у якому будемо шукати розв’язок:
ІП[]:= а = -1; Ь = 1;
К[х_, 5_]: = х*5 + хА2; Т[х_]:= 1;
Запишемо повну систему функцій, яка задовольняє вимоги ортогональності:
Іп[]: = Е = ТаЬ1е[х~(1-1), {1,3}]
ОиЦ]= {1, х, х2}
Розв'язок будемо шукати у вигляді:
Іп[]:= ¥ = ТаЬ1е[8ит[С[1]*Е[[1]], {1,3}]]
ОвГ[]= С[1] + хС[2] + х2С[3]
Сформуємо відповідно до (15.22) матрицю коефіцієнтів А і вектор вільних членів В:
Іп[]:= 5 = ТаЬ1е[5~( 1 -1), {1,3}];
Оо [ Оо Г А[і,]] = ІпІедгаі:е[(Е[[]]] -
ІпІедгаіе[К[х,з]*5[[]]], {б,а,Ь}])*(Р[[і]] -
Іпі;едгаІе[К[х,5]*5[[і]], {з.а.Ь}]), {х.а.Ь}], {а.З} ];
В[1] = !пІедгаі;е[Г[х]*(Е[[і]] - Іп1.едгаі:е[К[х,б]*5[[і]], {5,а,Ь}]), {х,а,Ь}], {1,3} ] АггауЕА, {3,3}]
ОіЛ[]= ((—, 0,-—|, (о, —, о|,	, 0, —Ц
1115	45} І 27 І І 45	45Л
Іп[]: = АггауЕВ,{3}]
12	21
Оиі[]= -, 0, -
ІЗ 9}
Розв’яжемо цю систему лінійних рівнянь відносно невідомих С:
Іп[]: = СЕ = І_1пеаг5оІУе[Аггау[А, {3,3}], АггауЕВ, {3}]]
ОіЛ[]= {1, 0, 6}
Отримаємо остаточний розв’язок за методом найменших квадратів:
Іп[]:= ¥ = ТаЬ1е[5ит[СГ[[і]]*х~(і - 1), {1,1,3}]]
0іЛ[]= 1 + 6х2
який збігається з розв’язком, що був отриманий методом колокацій, і з точним розв’язком інтегрального рівняння.
15.3.3.	Метод моментів (метод Гальоркіна)
Наближений розв’язок інтегрального рівняння (15.1) шукають у вигляді суми /(х) і лінійної комбінації раніше вибраних лінійно незалежних функцій ЇЛ(х), і = = 1, 2,..., п. Отже, наближеним розв’язком є
ф(х) = /(х) + ^С^х),
(15.23)
468 Розділ 15. Інтегральні рівняння
де коефіцієнти Сі, і = 1,2,п визначаються у такий спосіб. У рівняння <р(х) -ь
-X Оф(08Г-/(х) = О замість ф(х) підставляють функцію ф(л), і в ре-а
зультаті отримують вираз
ь
£С,	= Ф(х,С), ї = 1, 2,...,п.
Виходячи зумов ортогональності функції Ф(х, Сі) до всіх функцій Сі(х) па відрізку [а, і], отримують рівняння
ь
р7, (х)Ф(х, Сі )с1х = 0, і = 1, 2.п,	(15.24)
а
з яких складається система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів Сі, і = 1, 2,..., п.
Приклад 15.7
Розв’яжемо в пакеті МаіЬетпаііса рівняння з приклад}' 15.5 за допомогою методу Гальоркіна. Задамо початкові дані, допоміжні таблиці й визначимо вигляд, у якому будемо шукати чисельний розв’язок:
ІҐ1[]: = а = -1; Ь = 1;
К[х_, 5 ]:= х*5 + х*2; Т[х_]:= 1; П = 3;
$ = ТаЬ1е[1/2'і/1!*0[(5^2 - 1)'1, {5,1}], {1,0,п-1}]
Е = ТаЬ1е[1/2ж1/1.'*0[(х'2 - 1Г1, {х, 1}], {1,0, п-1}]
0иї[]=|1, 5, |(852 +4(-1 + 52))|
0иї[]=|1, х, |(8х2 + 4(-1 + х2))|
Розв’язок будемо шукати у вигляді:
Іп[]: = у[х_]: = 8иш[81пір11Гу[СГ[1]*Е[Г.1]]], {1,3}]; у[х]
ОіЛ[]= СПИ + хСГ[2] + |(-1 + Зх2)СЕ[3]
Визначимо допоміжні функції та сформуємо систему лінійних рівнянь згідно з умовами (15.24):
ІП: = У[5]:= 5ит[51тр11 Гу[СГ[1 ]*5[[1 ]]], {1,3}];
Уг = Г[х] + Іп1:едга1:е[{К[х. 5]*у[5]}, {з, а, Ь}]
Оиї= {1 + 2хгСГГ.1] + | СГ[2]}
Іп[]:= У1 - у[х];
1)г1 = 1пІедгаі:е[Уг*Е[[1]] - У1*Е[[1]], {х.а.Ь}]
ОиЦ]= (2.2С1Ш)
Іп[]:= 1)г2 = 1пїедгаі:е[Уг*Е[[2]] - У1*Е[[2]], {х.а.о}]
ОиТГ> {-^}
Висновки 469
ІП[]:= ІігЗ = Іпїедгаїе[81тр11Еу[Уг*Е[[3]] - У1*Е[[3]]], {х.а.Ь}]
ОиГ[]= (80^1]. 2Ср]}
Іп[]: = V = 8оІУЄ[{иг1 == 0, 1)г2 = 0, ШгЗ == 0}, {СТ[1], СЦ2], СТ[3]}]
ОіЛ[]= {{СГ[1] -* З, СГ[2] -* 0, СТ[3] -» 4}}
Іп[]:= 5юр11Еу[8ит[У[[1, і,2]]*Е[[і]], {1.1,3}]]
ОіЛ[]- 1 + 6х2
Таким чином, ми отримали розв’язок, що збігається з попередніми.
Висновки
1.	Сфера застосування інтегральних рівнянь досить широка, вона охоплює галузі, в яких традиційно використовуються диференціальні рівняння в частинних похідних і звичайні диференціальні рівняння. Інтегральні рівняння дозволяють знизити розмірність деяких задач дослідження суцільних середовищ і полів, ефективно розв’язувати задачі моделювання нестаціонарних систем, систем із розподіленими параметрами, задачі відновлення та фільтрації сигналів тощо. Відомі закони збереження маси, імпульсу й енергії мають інтегральне формулювання і дають змогу використовувати інтегральні рівняння як моделі конкретних процесів і явищ. При цьому такі моделі не містять похідних від функцій, що є характеристиками стану середовища, і тому допускається існування розривних розв’язків.
2.	Залежно від принципу побудови розрізняють дві основні групи методів розв’язання інтегральних рівнянь — прямі й ітераційні. Прямі методи полягають у зведенні інтегральних рівнянь до більш простих рівнянь чи систем, наприклад систем лінійних алгебраїчних рівнянь, і розв’язанні їх за допомогою квадратурних схем чисельного інтегрування апроксимації розв’язку з використанням композиції базисних функцій. Ітераційні методи, як звичайно, базуються на знаходженні послідовності наближених розв’язків, що збігаються до єдиного розв’язку рівняння у разі вибору певного початкового наближення.
3.	Система лінійних алгебраїчних рівнянь, що утворюється у разі розв’язання інтегрального рівняння Фредгольма чи Вольтери методом квадратурних сум, часто є погано обумовленою. Більшу стійкість має розв’язок інтегрального рівняння Фредгольма (Вольтери) другого роду.
4.	Якщо ядро інтегрального рівняння вироджене, тобто представлене у вигляді суми кінцевого числа доданків, кожний з яких є добутком двох множників, і один із них залежить тільки від х, а другий тільки від і, то метод Гальоркіна у разі вибору складових ядра а,(х) як базисних функцій у виразі (15.17) гарантує точне розв’язання інтегрального рівняння другого роду.
5.	У випадку коли функції, що входять в інтегральне рівняння, періодичні, з періодом Ь-а, досить точний розв’язок отримують застосуванням методу трапецій. Для неперіодичних функцій точні результати дає метод квадратури Гаусса, метод трапецій чи метод Сімпсона з екстраполяцією за Річардсоном.
470 Розділ 15. Інтегральні рівняння
Контрольні запитання та завдання
1.	Знайдіть наближений розв’язок інтегральних рівнянь методом квадратурних сум із використанням квадратурних формул чисельного інтегрування прямокутників, трапецій, формули Сімпсона:
і
ср(%) = 1 + |хґ2 <р(ґ)Л;
о
і
ср(х) = х + 4 * {х2і2 ф(Ґ) Ні;
о
1
ф(х) = (5/6)х +1/2 рй ср(ґ) Л;
о
і
ф(х) = 1 +	+ х2)ф(ґ)Л;
-і
і
ф(х) = 1 + (4/3)х + |(М2 - х) ф(ґ) А.
-і
2.	Знайдіть наближений розв’язок інтегральних рівнянь методом послідовних наближень. Розв’язок визначіть із точністю не менш ніж 0,01:
і
ф(х) = (1/2)(е"х+ Зх 1) +	1)хф(0<&;
о
і
ф(х) = е“х - х - |х(ем - 1) ф(Г) Л;
о
1
ф(х) = X 4- соз(х) + |х(8Іп(0 - 1) ф(ґ) А;
о
1
ф(х) = х/2 + (1/2) 8Іп(х) + |(1 - соз(х^))хф(ґ)б/ґ;
о
1
ф(х) = 8Іп(х) + |(1 - X СО8(0) ф(ґ) Ні.
0
3.	Знайдіть наближений розв’язок інтегральних рівнянь методами колокацій, найменших квадратів і моментів.
і
ф(х) = 1 - х + ^х ф(0 Ні;
о
і
ф(х) = х + £х2і ф(ґ) Ні.
о
Література
1.	Бахвалов Н. С„ Жидков Н. П„ Кобельков Г. М. Численньїе методи. — М.: Лаборатория базових знаний, 2002. — 632 с.
2.	Бахвалов Н. С. Численньїе методи. — М.: Наука, 1978. — 632 с.
3.	Березин И. С., Жидков Н. П. Методи вичислений. — Т. 1 — М.: Наука, 1966. — Т. 2 — М.: Физматгиз, 1962. — 640 с.
4.	Вержбицкий В. М. Основи численних методов: Учебник для вузов. — М.: Вьісш. шк, 2002. — 840 с.
5.	Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Интегральньїе уравнения: методи, алгоритми, программьі. — К.: Наук. Думка, 1986. — 542 с.
6.	Воєводин В. В. Матрицьі и вьічисления. — М.: Наука, 1984. — 318 с.
7.	Говорухин В. Н., Цибулин В. Г. Компьютер в математическом исследовании. Учебннй курс. — СПб.: Питер, 2001. — 624 с.
8.	Годунов С. К, Рябенький В. С. Разностньїе схеми. Введение в теорию — М.: Наука, 1973. — 400 с.
9.	Данилина Н. И., Дубровская Н. С., Кваша О. П. Численньїе методи. — М.: Висш. шк., 1976. — 386 с.
10.	Джордж А., Лю Д. Численнеє решение больших разреженньїх систем уравнений. — М.: Мир, 1984. — 333 с.
11.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основи вьічислительной математики. — М.: Наука, 1970. — 664 с.
12.	Дьяконов В. П. МаїЬешаІіса 4: учебний курс — СПб.: Питер, 2001. — 656 с.
13.	Зеленський К. X., Ігнатенко В. М., Коц О. П. Комп’ютерні методи прикладної математики. — К.: Академперіодика, 2002. — 480 с.
14.	Ильин В. П., Кузнеирв Ю. М. Трехдиагональньїе матрицьі и их приложение. — М.: Наука, 1985. — 207 с.
15.	Калиткин Н. Н. Численньїе методи. — М.: Наука, 1972 — 512 с.
16.	Каханер Д., Моулер К, Наш С. Численньїе методи и математическое обеспечение. — М.: 1998. — 575 с.
17.	Крьілов В. И., Бобков В. А., Монастьірский А. И. Вьічислительние методи. — М.: Наука. - Т. 1. - 1976. - 302 с. - Т. 2. - 1977. - 399 с.
18.	Ляшко И. И., Макаров В. Л., Скоробагатько А. А. Методи вичислений. — К.: Вьісш. шк., 1977. — 408 с.
19.	Марчук Г. Методи вьічислительной математики. — М.: Наука, 1980. — 534 с.
20.	Норенков И. П. Основи автоматизированного проектирования. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. — 336 с.
21.	Ортега Д., Пул У. Введение в численньїе методи решения дифференциальньїх уравнений. — М.: Наука, 1986. — 288 с.
472 Література
22.	Петренко А. І. Обчислювальна математика: Конспект лекцій. — К.: Вид-во МУРОЛ «Україна», 2002. — 210 с.
23.	Потемкин В. Г. Система инженерньїх и научньїх расчетов МАТЬАВ 5.x.: В 2 т. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. - 670 с.
24.	Плис А. И., Сливина Н. А. МАТНСАВ 2000. Практикум для зкономистов и инженеров. — М.: Финансьі и статистика, 2000. — 656 с.
25.	Мзтьюз Д. Г., Финк К. Д. Численньїе методьі. Использование МАТЬАВ. — М.: СПб.; К.: Вильямс, 2001. — 713 с.
26.	Ракитский Ю. В., Установ С. М., Черноруцкий И. Г. Численньїе методьі решения жестких систем. — М.: Наука, 1979. — 208 с.
27.	Самарский А. А. Введение в численньїе методьі. — М.: Наука, 1982. — 272 с.
28.	Самарский А. А. Николаев Е. С. Методьі решения сеточньїх уравнений. — М.: Наука, 1978. - 592 с.
29.	Самарский А. А., Гулин А. В. Численньїе методьі. — М.: Наука, 1989. — 429 с.
ЗО.	Самарский А. А., Гулин А. В. Численньїе методи математической физики. — М.: Научньїй мир, 2003. — 316 с.
31.	Сигорский В. П. Математический аппарат инженера. — К.: Техника, 1975. — 783 с.
32.	Сильвестр П., Феррари Р. Метод конечних злементов для радиоинженеров и инженеров-злектриков. — М.: Мир, 1986. — 229 с.
33.	Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методи решения некорректннх задач. — М.: Наука, 1986. — 228 с.
34.	Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. —
М.: Наука, 1966. — 724 с.
35.	Уилкинсон Д. Алгебраическая проблема собственннх значений. — М.: Наука, 1970. — 540 с.
36.	Холл Д., Уатт Д. Современнне численньїе методи решения обьїкновенннх дифференциальннх уравнений. — М.: Мир, 1979. — 312 с.
37.	Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вичислительние методи линейной алгебри. — М.: Физматгиз, 1963. — 734 с.
38.	Фельдман Л. П. Численньїе методи и математические пакети.
Решение задач в пакете Маїйетаііса-3. — Донецк: ДонГТУ, 2000. — 96 с.
39.	Форсайт Д., Малькомп Н., Моулер К. Маїпиннне методи математических вичислений. — М.: Мир, 1980. — 281 с.
40.	Штеттер X. Анализ дискретизации для обьїкновенннх дифференциальннх уравнений. — М.: Мир, 1978. — 461 с.
41.	Зстербю О., Златев 3. Прямне методи разреженннх матриц.— М.: Мир, 1987. - 118 с.
42.	Скарга 5. С., Сапаїе К. Р. МитегісаІ теійоск їог епфпеега. — Біп^ароге: МсСгаи'-Ніїї Воок Сотрапу, 1990. —812 р.
43.	Вакіциізі С., В]бгск А. Митегісаі МегЬосіз.— №е,л}ег8еу: Ргепіісе- Наїї, Іпс. — 1974. — 574 р.
44.	Каїзіоп А., ВаЬіпоіеііг Р. А Рігеі Соигзе іп Митегісаі Апаїузіз. — 2<1 еф — Неад ¥огк: МсСга^-НіІІ, 1978. - 635 с.
Алфавітний покажчик
А
А-стійкість, 320
В
ВВР, формула диференціювання Брайтона, 315
Б
ЬІІ-розклад матриці, 38
Ш-розкладання
алгоритм,48
метод
Дуллітла, 52
Краута, 51, 52
складність, 50
спрощене, 76
М
Маріє, математичний пакет, 25
МаїЬспіаііса, математичний пакет, 25
Маі±аЬ, математичний пакет, 25
О
£)К-алгоритм, 105, 106 перетворення Хаусхолдера, 115 прискорення, 113
А
алгоритм,13
комбінаторний, 15
Марковиця, 74, 76
обумовленість, 18 поліноміальний, 15
В
вектор
Нордсика, 327
норма, 23
вибір вузлів інтерполяції, 146
визначник
Вандермонда, 132
матриці, 21
відділення коренів нелінійного рівняння, 175
власне значення матриці
максимальне за модулем, 120
мінімальне за модулем, 120
власні значення, 60, 100
алгоритм, 105, 113
блочно-діагональної матриці, 106
матриці, 100
метод
Гівенса, 107
Крилова, 104
Леверє-Фаддеєва, 101
степеневий, 123
перетворення Хаусхолдера, 115
симетричних матриць, 118
стрічкових матриць, 123
вузли інтерполяції, 146
годограф спектра різницевої схеми, 433
граничні умови
апроксимація, 372
нев’язка, 343
першого роду, 372
похибка апроксимації, 343
рівняння
з частинними похідними, 367
Пуассона, 369
теплопровідності, 367, 368
хвильового, 368
диференціальне рівняння
алгоритм зміни порядку, 326
багатокрокові методи, 252, 281
організація обчислень, 325
вибір
кроку інтегрування, 322
порядку, 326
вищих порядків, 294, 297
головний член похибки, 254
екстраполяція за Річардсоном, 256
загальний розв’язок, 250
474 Алфавітний покажчик
диференціальне рівняння (продовження) задача Коші, 249 звичайне лінійне, 250 крайова задача, 336
лінійні багатокрокові методи, 290, 292
локальна похибка, 324
метод
Гіра змінного порядку, 326
Гіра-Шихмана, 320
Глинського, 331, 332
Ейлера неявний, 319
Ейлера, 252, 253
полігону, 260
Ралстона-Рабіновича, 260
трапецій неявний, 319
методи
А-стійкі, 320
Адамса, 290
Адамса-Башфорта, 281
Гіра, 313
зі змінним кроком, 314
зі змінним порядком, 314
нелінійні, 329
А-стійкі, 329
неявні Адамса-Мултона, 312
неявні багатокрокові, 312
неявні Ейлера, 309
об’єднані явно-неявні, 328
однокрокові, 252
організація обчислень, 325
прогнозу-корекції, 260
Ракитського, 312
Рунге-Кутта, 252, 258
Рунге-Фельберга, 266
оцінка похибки, 254
правило Рунге, 265
системи, 270, 294
стійкість
методів Адамса-Мултона, 300
методів Рунге-Кутта, 322
неявних методів, 319
уточнення розв’язку, 256
формули прогнозу-коррекшї, 288
частковий розв’язок, 250
диференціальне рівняння з частинними похідними, 366
граничні умови, 367
апроксимація, 372
гіперболічне, 367
еліптичне, 367
параболічне, 367
теплопровідності, 367
задача Диріхле, 373
принцип максимуму, 374
диференціальне рівняння з частинними похідними (продовження)
метод
верхньої релаксації, 378
Зейделя, 378
прямих, 425
скінченних елементів, 382
установлення, 422
Федоренка, 379
характеристик, 443
схема
Д’юфорта-Франкела, 411 Кранка-Ніколсона, 409
диференціювання
екстраполяція за Річардсоном, 220 залишковий член похибки, 212, 216 на основі полінома Лагранжа, 214 на основі формули Ньютона, 213 некоректність, 221 постановка задачі, 211
формули для обчислень, 217
екстраполяція Річардсона, 20, 220
жорсткість
системи диференціальних рівнянь, 306
число, 308
З
задача
Гурса, 451
Диріхле, 373
друга мішана, 452
Коші, 249
початкові умови, 336
параболічних рівнянь, 395
гіперболічних рівнянь, 431
крайова, 336
власні значення, 348
мішана, перша, 451
збіжність
інтерполяційного процесу, 148
ітераційних методів, 86, 89
методу
простої ітерації, 173
Якобі, 89
різницевої схеми, 400
чисельних методів, 14
значення власні крайової задачі, 348
Алфавітний покажчик 475
І
інтегральне рівняння, 456
Вольтери, 457
із виродженим ядром, 458
зі слабкою особливістю, 457
метод
Гальоркіна, 468
квадратурних сум, 460
колокацій, 465
найменших квадратів, 466
послідовних наближень, 463
сингулярне, 457
Фредгольма, 457
інтегрування
апостеріорна оцінка похибки, 234
вибір кроку, 236
екстраполяція Річардсона, 235
за Ромбергом, 242
залишковий член похибки, 234
метод Ромберга, 235
постановка задачі, 221
похибка, 222
формули прямокутників, 224
формули трапецій, 234
формули Сімпсона, 337
екстраполяція за Річардсопом, 235
правило Рунге, 227
рекурентні формули
Буля, 241
Сімпсона, 240
трапецій, 239
формула
Гаусса, 244
Ньютона-Лейбніца, 221
прямокутників, 222
Сімпсона, 231
трапецій, 228
інтерполювання функцій, 132
вибір вузлів, 146
збіжність, 148
параметричної функції, 155
поліном
Лагранжа, 132
Ньютона, 141
формула
Бесселя, 144
Гаусса, 144
Стирлінга, 144
К
кодування розріджених матриць, 73
коефіцієнт демпфірування у методі
Ньютона, 181
корені алгебраїчного полінома, 186
крайова задача
апроксимація граничних умов, 343, 372
власні значення, 348
власні функції, 348
граничні умови, 338
двовимірна, 375
друга мішана, 368
лінійна, 337
метод
Гальоркіна, 354
колокацій, 350
комбінування двох задач Коші, 338
найменших квадратів, 356
прицілювання, 340
скінченних елементів, 358
скінченних різниць, 342
нетривіальний розв’язок, 348
тривіальний розв’язок, 348
крок інтегрування, 236
М
матриці
базові операції, 20, 24
подібні, 22, 107
матриця
Ш-розклад, 38, 48
блочно-діагональна, 106
визначник, 21
вироджена, 21
власні значення, 22, 60, 100
Гівенса, 107
квадратна, 21
неособлива, 21
норма, 23, 24
обернена, 21
обчислення, 56
складність обчислення, 56
обчислення окремих власних
значень, 120
обумовленість, 58
одинична, 21
ортогональна, 22
перестановок, 42, 46
прямокутна, 21
резольвента, 101, 103
розріджена, 73
симетрична, 21
спектр, 101
стрічкова, 123
транспонована, 21
трикутна, 32
характеристичне рівняння, 100, 101
Хессенберга, 113
число обумовленості, 58
Якобі (Якобіан), 205
476 Алфавітний покажчик
метод
верхньої релаксації, 87
для рівняння з частинними похідними, 378
визначальних величин, 80
Гальоркіна, 468
для крайової задачі, 354
Гаусса, 28, ЗО
з вибором головного елемента, 33
зв’язок із Ш-розкладом матриці, 35
матрична форма, 42
складність, 35
умови застосування, 39
Гаусса-Зейделя, 91
геометрична інтерпретація, 94
для рівняння з частинними похідними, 378
умови збіжності, 92
Гіра-Шихмана, 320
Глинського, 331, 332
графічний відділення коренів, 175
Давиденка, 196
дихотомії, 170
діагональної модифікації, 63
Дуллітла, 51
Ейлера, 252,254
неявний, 309
квадратурних сум, 460
колокацій, 350, 465
Крамера, 27
Краута, 51
Крилова, 104
Левер’є-Фаддеєва, 101
Массо, 449
матричного прогону
для диференціального рівняня
з частинними похідними, 381
Мюллера, 193
найменших квадратів, 156, 466
для крайової задачі, 356
Ньютона, 178
вибір початкового наближення, 179
для кратних коренів, 184
для системи нелінійних
рівнянь, 205
збіжність, 180
коефіцієнт демпфірування, 181
обчислення екстремумів
функції, 187
обчислення коренів поліномів, 186 похибка, 180
точність обчислень, 188
метод (продовження)
Пісмена-Речфорда, 419
полігону, 260
послідовних наближень, 463
пошуку кривої розвязку, 200
прицілювання, 340
прогону, 79
простої ітерації, 85, 172
Ралстона-Рабіновича, 260
рівнянь у нормальній формі, 160
Ромберга, 235
Рунге-Кутта, 259-261
для систем диференціальних
рівнянь, 271
сіток, 370
січних, 189
скінченних елементів, 358
дискретизація області розв’язку, 383
кусково-неперервні функції, 384
наближений розв’язок, 387
степеневий, 120
трапецій неявний, 310
установлення, 422
Федоренка, 379
Холецького, 53
хорд, 191
Якобі, 88
методи
А-стійкі, 320
Адамса, 290
Адамса-Башфорта, 281
Адамса-Мултона, 285
стійкість, 300
апроксимуючих функцій, 464
багатокрокові, 281
Адамса-Мултона, 285
зі змінним кроком, 314, 326
зі змінним порядком, 314, 326
Гіра, 313
неявні багатокрокові, 312
прогнозу та корекції, 260, 288
Ракитського, 312
різницеві для параболічного
рівняння, 401
розширення області розвязку, 196
Рунге-Кутта, 252, 258
апостеріорна оцінка похибки, 263
високих порядків, 262
неявні, 309
порядок точності, 258
стійкість, 274
явні, 258
Рунге-Фельберга, 266
чисельні, 12
модель математична, 11
Алфавітний покажчик 477
н
наближення
метод
найменших квадратів, 156
рівнянь, 161
поліном
Лагранжа, 132
Ньютона, 139
постановка задачі, 130
сплайни, 149
функцій, 130
нев’язка
багатокрокових методів, 282
граничних умов, 343
багатокрокових методів, 290
некоректність формул чисельного
диференціювання, 221
нелінійні рівняння, 169
відділення коренів, 175
збіжність методу
простої ітерації, 173
Ньютона, 178
комбінований метод, 192
метод
Давиденка, 196
дихотомії, 170
Мюллера, 193
Ньютона, 178
пошуку кривої розв’язку, 200
простої ітерації, 172
розширення області розв’язку, 196
січних, 189
хорд, 191
системи, 204
норма
властивості, 23
матриці, 24
р-го порядку, 23
квадратна, 23
максимальна, 23
О
обумовленість
алгоритма, 18
матриці, 58
П
пакети
математичні, 25
перетворення
подібності, 22
Хаусхолдера, 115
поліноми
Ерміта, 161 інтерполяційні, 132 Лагранжа, 132, 135 Лежандра, 161 Ньютона, 139, 140,143 обчислення коренів, 186 ортогональні, 161 Чебишева, 146,161 Штурма, 118
порядок точності багатокрокових методів, 293, 326 методів
Гіра, 313
Рунге-Кутта, 258, 267 формул
Адамса-Мултона, 287
Фельберга, 267 формули інтегрування, 222 прямокутників, 224 Сімпсона, 233 трапецій, 229 похибка
абсолютна, 18 апроксимації багатокрокових методів, 282, 290 граничних умов, 343 багатокрокових методів, 324 відносна, 18 глобальна, 17 диференціювання, 212, 216 інтегрування, 235 локальна, 17
методів Рунге-Кутта, 263 розв’язку диференціального
рівняння, 254 методу
Ньютона, 180
простої ітерації, 174 обчислення функції, 18 полінома
Лагранжа, 135
Ньютона, 143 розв’язку системи лінійних рівнянь, 58 формули
інтегрування, 222 прямокутників, 224 Сімпсона, 233 трапецій, 229
478 Алфавітний покажчик
похибки накопичення, 18
початкове наближення методу
Ньютона, 179
правило Рунге, 227
принцип максимуму, 374
Р
резольвента матриці, 101, 103
рівняння
дифузії, 367
Лапласа, 369
математичної фізики, 366
нелінійне, 169
параболічне, 401
неявна різницева схема, 404
переносу, 431
різницева схема, 432
Пуассона, 369
теплопровідності
граничні умови, 368
двовимірне, 412
характеристичне матриці, 100
хвильове, 368
граничні умови, 368
різницеві схеми, 436
різницеві схеми
годограф спектра, 432
рівняння переносу, 432, 437
хвильового рівняння, 436
шаблони, 397
різниці
розділені, 140
скінченні, 139
розв’язок
диференціального рівняння
загальний, 250
частковий, 250
крайової задачі, 348
розкладання матриці на множники, 35
сбіжність
різницевих схем для параболічного рівняння, 403
символ Кронекера, 21
система
базисних функцій, 354
гіперболічних рівнянь, 449
телеграфних рівнянь, 447
фінітних функцій, 361
лінійних алгебраїчних рівнянь
великої розмірності, 73
із комплексними коефіцієнтами, 68
із розрідженою матрицею, 73
із симетричною матрицею, 54 засоби пакета МаїЬетаїіса, 70, 96
зі стрічковою матрицею, 76
ітєраційні методи, 85
кодування розріджених матриць, 73
матрична форма, 26
метод
верхньої релаксації, 87
визначальних величин, 80
Гаусса, 28, ЗО
Гаусса-Зейделя, 91
Крамера, 27
прогону, 79
простої ітерації, 85
Холецького, 53
Якобі, 88
похибка розв’язку, 58
правило Крамера, 29
прямі методи, 28
точність розв’язку, 58
уточнення розв’язку, 61,63
системи
диференціальних рівнянь, 270, 294
жорсткі, 306
нелінійних рівнянь
визначення, 203
метод Ньютона, 205
Якобіан, 205
складність
Ш-розкладання, 50
методу Гаусса, 35
обчислення оберненої
матриці, 56
обчислень
сигнальна функція, 14
спектр матриці, 101
сплайн
визначення, 149
кубічний, 149, 150
степеневий метод, 120
стійкість
методів
Адамса-Башфорта, 300
Адамса-Мултона, 300
Рунге-Кутта, 274
неявних, 319
різницевих схем, 439
для параболічного
рівняння, 403, 405
схеми Кранка-Ніколсона, 411 чисельних методів, 14
Алфавітний покажчик 479
схема
Горна, 17
Дюфорта-Франкела, 411
Кранка-Ніколсона, 409
Т
теорема Гамільтона-Келлі, 104
точність чисельних методів, 14
У
умови граничні, 338
Ф
форма канонічна рівнянь математичної фізики, 367
формула
Гаусса, 144, 244
диференціювання назад
Брайтона, 315
прямокутників, 222
рекурентна Сімпсона, 240
Сімпсона, 231
трапецій, 228
формули
інтегрування за Ромбергом, 239
чисельного диференціювання, 219
функції
власні крайової задачі, 348
фінітні, 361
функція
похибка обчислення, 18
сигнальна, 14, 15
характеристики
рівняння гіперболічного типу, 430
характеристичне рівняння
матриці, 101
чисельні методи
визначення, 13
властивості, 14
збіжність, 14
похибки обчислень, 17
складність обчислень, 14
стійкість, 14
точність, 14
число
жорсткості, 308
обумовленості матриці, 58, 59
Ш
шаблони різницевих схем, 371, 397
Я
ядро інтегрального рівняння, 457
Навчальне видання
Фельдман Лев Петрович Петренко Анатолій Іванович Дмитрієва Ольга Анатоліївна
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ
Підручник
Керівник проекту В. П. Пасько
Редактор С. Г. Єзерницька
Комп’ютерна верстка Д. С. Трішенкова
ТОВ «Видавнича група ВНУ»
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи України серія ДК №175 від 13.09.2000 р.
Підписано до друку 14.02.06. Формат 70x100^.
Папір офсетний. Гарнітура РеІег$Ьиг£. Друк офсетний.
Ум. друк арк. 38,7. Обл.-вид. арк. 37,72. Наклад 3000 прим. Зам №30211.
Виготовлено в ТОВ «Освітня книга», м. Київ, вул. Орловська, 2/7, оф. 6. Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи України серія ДК № 2245 від 26.07.2005 р.
інформатика
Л. П. Фельдман, А. І. Петренко, О. А. Дмитрієва
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ
питер
Л. П. Фельдман, А. І. Петренко, О. А. Дмитрієва
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ В ІНФОРМАТИЦІ
У підручнику розглянуто прикладні аспекти застосування обчислювальних методів в інженерній практиці. Подано численні приклади розв’язання обчислювальних задач за допомогою пакета Маіґіетаііса, а також рекомендації з використання окремих чисельних процедур для розв’язання технічних задач.
Матеріал підготовлено на основі багаторічного досвіду авторів з викладання відповідних дисциплін та результатів науково-дослідних робіт.
Детально розглянуто такі теми:
•	розв’язання систем лінійних та нелінійних рівнянь;
•	обчислення власних значень і власних векторів матриць;
У \
Г
Базовий курк, для тудонтів ищих навчальних дакпадіь кі н .нч;-»ються за напрямами
•• Комп ют ерні наук и», «Комп клерка інженері •  Прикладна математика-
-КС мп'ютери СіВсІНІ системи, автоматика і управління-
•	розв’язання звичайних диференціальних рівнянь;
•	чисельне інтегрування та диференціювання функцій;
•	розв’язання диференціальних рівнянь з частинними похідними;
•	наближення та інтерполяція функцій;
•	розв’язання інтегральних рівнянь.
Фельдман Лев Петрович — доктор технічних наук, професор кафедри прикладної математики та інформатики Донецького національного технічного університету. Сфера наукових інтересів — паралельні чисельні алгоритми і структури обчислювальних систем.
Петренко Анвтолій Іввнович — доктор технічних наук, професор, лауреат Державної премії України в галузі науки і техніки, Заслужений діяч науки і техніки України, ад’юнкт-професор Мічіганського державного університету, почесний професор Середньо-Південного Університету Китаю та почесний член ІЕЕ. Відомий у світі фахівець у галузі моделювання складних технічних об’єктів та побудови систем автоматизованого проектування.
Дмитрієвв Ольгв Анатоліївна — кандидат технічних наук, доцент кафедри прикладної математики і інформатики Донецького національного технічного університету. Сфера наукових інтересів — моделювання динамічних систем великої розмірності, розробка чисельних алгоритмів, призначених для реалізації в багатопроцесорних обчислювальних системах.
Зміст підручників серії відповідає навчальним планам з інформатики що використовуються у провідних вищих навчальних закладах України
За додатковою інформацією звертайтеся на сайти \муууу.оє7ііа іпіо, уууууу.ЬИу кіеуиа, уууууу.рііег.сот
С^ППТЕР