Текст
                    ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
СПЛОШНЫХ СРЕД
В трех томах
Научный редактор доктор технических наук,
профессор В.В. Селиванов
томз
Москва
Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана
2006


А.В. Бабкин, В.И. Колпаков, В.Н. Охитин, В.В. Селиванов ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших технических учебных заведений Издание второе, исправленное Москва Издательство МГТУ имени Н.Э. Баумана 2006
УДК 519.6:532:539.2/.6@75.8) ББК 22.139 4-67 Рецензенты: зав. кафедрой газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова академик РАН Е.И. Шемякин; зав. лабораторией волновых процессов д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Смирнов; зав. кафедрой теоретической и экспериментальной механики Саровского государственного физико-технического института д-р техн. наук, проф. С.А. Новиков; зав. кафедрой прикладной математики МГТУ им. Н.Э. Баумана д-р техн. наук, проф. B.C. Зарубин. Численные методы в задачах физики быстропротека- 4-67 ющих процессов: Учебник для втузов / А.В. Бабкин, В.И. Колпаков, В.Н. Охитин, В.В. Селиванов. — 2-е изд., испр. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. — 520 с: ил. (Прикладная механика сплошных сред: В 3 т. / Науч. ред. В.В. Селиванов; Т. 3). ISBN 5-7038-2346-3 (Т. 3) ISBN 5-7038-2343-9 В третьем томе комплекса учебников серии «Прикладная механика сплошных сред» изложены вопросы использования разностных методов вычислительной математики применительно к задачам физики быстропротекающих процессов. Рассмотрены фундаментальные понятия теории разностных схем, представлены основные разностные схемы и методы численного решения одномерных задач: сеточные методы, численный метод характеристик, методы семейства «частиц в ячейках». Приведены постановки, алгоритмы численного решения и результаты решения ряда одномерных и двумерных нестационарных задач при использовании лагранжевых, эйлерово-лагранжевых и эйлеровых методов. Обсуждены проблемы технологии проведения вычислительного эксперимента и приведены примеры, демонстрирующие возможности численного моделирования как инструмента исследования быстропротекающих процессов. Материал этого учебника предназначен для первоначального ознакомления учащихся высших технических учебных заведений с теорией разностных схем и основами практического использования численных методов при решении задач физики взрыва и механики высокоскоростного соударения различных деформируемых тел и сред. В основу учебника положен материал лекций, читаемых авторами студентам МГТУ им. Н.Э. Баумана. Для студентов технических университетов и вузов. УДК 519.6:532:539.2/.6@75.8) ББК 22.139 © А.В. Бабкин, В.И. Колпаков, В.Н. Охитин, В.В. Селиванов, 2000; 2006, с изменениями © Издательство МГТУ ISBN 5-7038-2346-3 (Т. 3) им. Н.Э. Баумана, 2000; ISBN 5-7038-2343-9 2006, с изменениями
ПРЕДИСЛОВИЕ Физика (или механика) взрыва и удара является составной частью прикладной механики сплошных сред. В рамках этого раздела механики изучаются сложные процессы движения и взаимодействия газов, жидкостей и твердых тел. Численные методы в задачах физики быстропротекающих процессов в настоящее время являются важным и весьма эффективным инструментом моделирования процессов, протекающих в экстремальных условиях нагружения газов, жидкостей и деформируемых твердых сред. Создание высоких технологий и разработка новой техники требуют все более точных знаний о количественных характеристиках нестационарных явлений при интенсивных нагрузках, которые инициированы процессами физического или химического взрыва и высокоскоростного удара. Эти процессы, в отличие от квазистатических, являются кратковременными быстропротекающими процессами, сопровождающимися образованием ударных волн, волн сжатия и разрежения, их взаимодействием и отражением от различных дезориентированных поверхностей и движущихся тел и сред, что приводит к большим деформациям, локальному перегреву вещества, изменению кристаллической структуры и свойств нагружаемых сред, множественным разрушениям и другим необратимым эффектам. Именно поэтому третий том комплекса учебников серии «Прикладная механика сплошных сред» посвящен описанию разностных методов решения прикладных задач физики быстропротекающих процессов, сформулированных в рамках феноменологического подхода с позиций и с помощью математического аппарата механики сплошных сред. Наличие разрывов параметров движения и состояния на фронте ударной волны не противоречит гипотезе сплошности, так как и в этом случае законы сохранения остаются справедливыми, принимая вид условий на разрыве. В первом томе было показано, что расчетно-теоретическому исследованию любого процесса взаимодействия деформируемых тел и сред предшествует важнейший этап — этап постановки задачи и формулировки физико-математической модели изучаемого явления. Такие модели представляются в виде систем дифференциальных уравнений в частных производных и конечных функциональных
уравнений в сочетании с начальными и граничными условиями, соответствующими решаемой задаче. В большинстве практических случаев составляемые на этапе постановки задачи системы уравнений довольно сложны и редко поддаются аналитическому решению. Между тем конечной целью теоретического исследования является получение решения задачи, т.е. информации об изменении во времени и в пространстве параметров движения и состояния деформируемых сред. Если же эта цель не достигнута, то полностью обесцениваются все усилия, затраченные на постановку задачи, сколь бы значительными они ни были. Таким образом, поиск, обоснование и реализация эффективных методов решения прикладных задач приобретают вполне самостоятельное и весьма существенное значение. В настоящее время наиболее эффективным средством решения прикладных задач взаимодействия деформируемых тел и сред являются (да и в ближайшем будущем будут являться) специальные методы вычислительной математики — численные методы механики сплошных сред. В сочетании с методами программирования и огромными вычислительными возможностями современных компьютеров численные методы механики сплошных сред позволяют создавать расчетные методики (computer codes — компьютерные коды), являющиеся мощным инструментом в руках инженера- исследователя. Подобные расчетные методики дают возможность получать априорную экспертную оценку того или иного технического объекта с точки зрения его работоспособности и эффективности, исследовать влияние параметров конструкции и физико- механических характеристик материалов ее элементов на параметры функционирования конструкции в целом, определять закономерности того или иного процесса, лежащего в основе работы конкретного инженерного объекта. Благодаря своей способности выявлять суть происходящего в процессах взаимодействия деформируемых тел и сред физико-математическое моделирование с позиций механики сплошных сред и при использовании численных методов решения задач (численного моделирования) является вполне конкурентоспособным по отношению к традиционным экспериментальным методам исследования. Численное моделирование, разумеется, не может заменить экспериментальные исследования, но может существенно дополнить их и сделать более эффективным весь процесс создания и изучения технических объектов в целом. Цель третьего тома — обучение специализирующихся в данной области студентов, аспирантов и инженеров-механиков основам технологии решения задач механики сплошных сред с помощью численных методов. Изложение материала ведется применительно к 6
области механики, в которой авторы обладают достаточно большим опытом работы, — механики быстропротекающих процессов, физики взрыва и ударных взаимодействий. Естественно, ввиду большой широты технических приложений механики сплошных сред этот учебник не может претендовать на системное изложение вопросов использования разностных методов для решения всех возможных задач механики. Однако авторы надеются, что учебник создаст у студентов достаточно полное представление о решении задач физики быстропротекающих процессов и обеспечит неплохие начальные условия для их дальнейшего самостоятельного развития в области практического применения методов вычислительной математики. При подготовке рукописи настоящего учебника были использованы известные отечественные и зарубежные работы, посвященные проблемам решения задач физики взрыва и удара; личный опыт решения таких задач, накопленный авторами за продолжительное время работы в этой области; курсы лекций и материалы практических занятий со студентами и аспирантами МГТУ им. Н.Э. Баумана, посвященные проблемам решения задач нестационарной газовой динамики и гидродинамики, а также динамики упругопласти- ческих сред. Содержание учебника соответствует курсу лекций по прикладной механике сплошных сред, который сформировался на факультете «Специальное машиностроение» МГТУ им. Н.Э. Баумана за последние 15 лет и входит в учебный план подготовки инженеров-механиков и инженеров-исследователей, специализирующихся в области физики взрыва и удара. Следует отметить, что этот учебник во многом является практическим руководством к решению класса основных задач физики взрыва и удара и предназначен для проведения практических занятий, на которых учебный материал первых двух томов комплекса учебников должен быть использован для постановки и решения конкретных задач физики взрыва и удара. В первой главе третьего тома на примере простейшей одномерной плоской нестационарной задачи о движении совершенного газа в трубе под действием поршня изложены основные понятия теории разностных схем. Приведена постановка этой задачи при описании движения сплошной среды с позиций Эйлера и Лагран- жа (в лагранжевых линейных и массовых координатах) с помощью обычной и дивергентной форм записи системы уравнений. Отмечаются характерные особенности системы уравнений газовой динамики (система квазилинейных уравнений в частных производных
гиперболического типа). Кратко излагается сущность метода конечных разностей (построение дискретного аналога сплошной среды и пространственно-временной разностной сетки, аппроксимация дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями, аппроксимация начальных и граничных условий). Вводятся понятия устойчивости и сходимости разностной схемы, доказывается фундаментальная теорема о взаимосвязи аппроксимации и устойчивости разностной схемы с ее сходимостью. Рассматривается одно из наиболее широко используемых условий устойчивости — условие устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви. Во второй главе на примере той же одномерной задачи газовой динамики представлены основные разностные схемы и методы численного решения (сеточные методы, численный метод характеристик, методы семейства «частиц в ячейках»). Рассмотрены основные приемы, применяемые для построения однородных разностных схем (псевдовязкость, аппроксимационная вязкость, принцип «фиктивной» ячейки). Сопоставлены различные разностные схемы с точки зрения их достоинств и недостатков. В третьей и четвертой главах на примерах ряда задач физики взрыва и удара, (одномерных нестационарных и двумерных нестационарных задач) приведены постановки этих задач, алгоритмы их численного решения с помощью того или иного численного метода и основные результаты решения. В качестве рассматриваемых примеров выбраны наиболее часто встречающиеся в физике взрыва задачи газовой динамики или гидродинамики (например, задачи о взрыве заряда взрывчатого вещества в воде или воздухе) и динамики упругопластических сред (нагружение взрывом металлических облицовок, соударение металлического элемента кумулятивной струи с плоской поверхностью). Рассмотрен полный цикл теоретического исследования процесса взаимодействия деформируемых тел и сред — от постановки задачи и формулировки физико- математической модели до анализа получаемых результатов. В заключительной пятой главе демонстрируются возможности математического моделирования применительно к исследованию закономерностей процессов взрыва и удара. Обсуждаются основные этапы проведения вычислительного эксперимента, обосновывается самостоятельная роль этого метода исследования среди других известных методов. В.В. Селиванов
ВВЕДЕНИЕ Для математического моделирования процессов взрыва и высокоскоростного удара в большинстве практических задач используются континуальные модели (макромодели) изучаемой среды. Физические и механические свойства таких сред, называемых сплошными средами (материальными континуумами), определяются термодинамическими величинами, которые характеризуют некие усредненные свойства большого ансамбля микрочастиц, составляющих рассматриваемое тело. Сплошные среды, которые обычно используются в качестве объекта моделирования в задачах физики бы- стропротекающих процессов, — это деформируемые среды с различными реологическими свойствами. В первом томе комплекса учебников («Основы механики сплошных сред») было показано, что основой макромоделей является гипотеза о непрерывном изменении характеристик среды в пространстве (ж, /), которая позволяет записать законы сохранения массы, импульса (или количества движения) и энергии в форме дифференциальных уравнений в частных производных. Полная система уравнений, описывающих поведение сплошной среды, содержит три группы уравнений: 1) законы сохранения массы, импульса и энергии, характеризующие фундаментальные свойства поведения сплошной среды; 2) эволюционные уравнения, описывающие процессы, которые протекают в сплошной среде (эти уравнения содержат, как правило, производные по времени); 3) уравнения состояния, определяющие индивидуальные свойства сплошной среды в равновесном состоянии. Основные этапы процессов, протекающих в деформируемых средах при взрыве и ударе, физически взаимосвязаны, и для их математического описания необходимо рассматривать весь процесс с единых позиций, характеризующих по возможности наиболее полную физическую модель явления. Естественно, что все модели будут отражать действительность с некоторой степенью приближения и только в некоторой конкретной области, а их усложнение или упрощение является в известном смысле итогом реализации и анализа результатов решения поставленной задачи. Тем не менее в таком 9
сложном случае, как описание процессов взрыва и удара, связанных с большим числом независимых переменных, значения которых изменяются в широких пределах, требуются концентрация схематизированного опыта и специальные методы теоретических исследований. Подобная схематизация может быть выполнена с помощью математического аппарата механики сплошных сред, использующего законы сохранения в дифференциальной форме в приближении материального континуума, что позволяет рассматривать все этапы процесса в пространстве и во времени, исключив искусственное разделение его на отдельные фрагменты, которое часто необходимо осуществлять при попытках аналитического или приближенного решения сложных нелинейных задач. Изучение явлений распространения волн детонации и дефла- грации, истечения продуктов детонации в различные среды, образования и взаимодействия ударных волн в газообразных, жидких и деформируемых твердых средах требует решения уравнений движения, неразрывности и энергии в самом общем виде. Возможные упрощения в большинстве случаев представляются сегодня слишком далекими от реальности, чтобы давать картину процесса, пригодную для практического использования. Теоретические затруднения объясняют то повышенное внимание, которое уделялось проведению экспериментов с целью изучения отдельных явлений, сопровождающих взрыв и высокоскоростной удар. Очевидно, что экспериментальные методы являются основой для формирования физических представлений об исследуемых процессах и явлениях. В то же время трудности измерения высоких давлений и больших деформаций за малые времена, широкий диапазон масштаба явлений, сложность визуализации структуры течения в области взаимодействия различных сред и тел, необратимое разрушение изучаемых технических объектов крайне ограничивают возможности получения в опытах полезных результатов. Если говорить об аналитическом подходе к изучению процессов взрыва и удара, то необходимо отметить, что в течение длительного времени единственным способом описания поведения среды при статическом, динамическом и ударноволновом нагружении являлось построение точных или приближенных аналитических решений уравнений, описывающих физические модели явлений. Для построения аналитических решений уравнений механики сплошных сред требовалось существенное упрощение постановки задач, что приводило к увеличению погрешностей в описании реальных процессов. 10
Появление вычислительной техники, прогресс в увеличении ее быстродействия и памяти, сопутствующее бурное развитие за последние 50 лет численных методов решения уравнений математической физики привели к широкому применению методов математического моделирования в различных областях науки и техники. Этот качественный скачок в развитии средств и методов вычислительной математики не обошел стороной и механику сплошных сред. Требования теории и практики заставили исследовать многие физические процессы, имеющие место при явлениях взрыва и удара, с помощью численных методов анализа и вычислительной техники. Точность результатов ограничена лишь точностью и устойчивостью применяемых методов аппроксимации и нашими знаниями свойств рассматриваемой среды. Сформулируем основные определения, свойственные процессу математического моделирования. Математическим моделированием будем называть замену исследования какого-либо реального процесса или явления исследованием поведения его математической модели. Численным моделированием будем называть процесс математического моделирования, основанный на использовании разностных методов для решения системы уравнений, описывающей математическую модель процесса или явления. Процесс создания математической модели для численного моделирования изучаемого явления включает ряд последовательных этапов. 1. Построение геометрической модели изучаемого процесса и выбор системы координат, в которой рассматривается изучаемый процесс. 2. Построение физической модели процесса, описывающей физические и механические свойства изучаемых тел и сред с помощью определяющих уравнений и соотношений механики сплошных сред. 3. Построение математической модели процесса, характеризуемой замкнутой системой уравнений (законов сохранения) и определяющих соотношений для выбранной модели сплошной среды. Эта система уравнений называется исходной и должна полностью описывать изучаемый процесс. 4. Задание или выявление системы внешних сил (поверхностных, объемных или массовых), температуры и других факторов, действующих на изучаемую среду, и выбор или установление начальных и граничных условий, которые должны учитывать основные специфические особенности изучаемого процесса. 11
5. Выбор и обоснование метода численного решения полученной системы уравнений и построение численного аналога математической модели (или численной модели) процесса. На этом этапе система уравнений, описывающая изменение переменных в пространстве и во времени непрерывным образом, заменяется системой конечно-разностных уравнений (рекуррентных соотношений), в которых и аргументы, и искомые функции заданы дискретно с помощью выбранной разностной схемы. 6. Идентификация численной модели, т.е. определение ее согласованности, устойчивости, сходимости и эффективности. 7. Верификация математической модели и ее численного аналога, т.е. определение погрешности решения с помощью различных тестов. Тестирование является важнейшим инструментом проверки степени соответствия построенных математической модели и ее численного аналога реальному физическому процессу. Поэтому верификации создаваемых алгоритмов численного решения необходимо уделять особое внимание в процессе математического моделирования. Все тесты можно разделить на три группы. 1. Внутренние тесты. К первой группе относятся такие тесты, как, например, проверка на выполнение симметрии решения при постановке симметричных начальных и граничных условий. Это означает, что если в начальный момент времени мы имели два потока, направленных в противоположные стороны, то решение задачи в последующие моменты времени должно быть симметрично относительно границы раздела. Такого рода проверки позволяют выявить ошибки в написании алгоритма, рекуррентных соотношений, в формулировке граничных условий и т.д. К этой же группе тестов можно отнести и проверку на скорость распространения малых возмущений (звуковых волн). Этот простой тест крайне важен, так как распространение звуковых волн определяется внутренней энергетикой среды, ее состоянием и в конечном итоге формально связывает все входящие в систему уравнений параметры. Еще один важный внутренний тест связан с проверкой выполнения интегральных законов сохранения импульса и энергии по результатам, полученным в процессе численного интегрирования. Весьма распространен также внутренний тест, смысл которого заключается в сравнительной оценке результатов решения одной и той же задачи по одному и тому же алгоритму, но с разным шагом пространственной разностной сетки: как правило, используется прием деления пространственного шага пополам. 12
2. Качественные тесты. Суть второй группы тестов заключается в сопоставлении результатов расчетов и картин течения среды, полученных экспериментально методами визуализации. Сравниваются геометрические характеристики течения, форма и положение ударных волн, контактных разрывов, свободных границ и т.д. Важность такого рода тестов обусловлена тем, что количественные характеристики потоков, положение контактных разрывов и границ в различные моменты времени неразрывно связаны с геометрическими характеристиками процесса. Если мы неправильно определили значение какого-либо параметра в какой-нибудь точке потока, это скажется на окружающих областях и в конечном итоге приведет к искажению картины течения среды, неправильной форме фронтов ударных волн, неадекватному расположению контактных разрывов в пространстве. 3. Количественные тесты. Третья группа тестов основана на сравнении прямых численных данных или интегральных характеристик процесса с известными аналитическими решениями и с измеренными (экспериментальными) характеристиками реальных процессов. Следует отметить, что для большинства сложных нестационарных задач физики быстропротекающих процессов не доказаны математические теоремы существования и единственности, отсутствуют строгие математические формулировки задач. Тем не менее необходимость решения задач, связанных с процессами взрыва, генерации, распространения, взаимодействия и отражения ударных волн, с процессами метания и разрушения деформируемых твердых сред, с процессами взаимодействия и проникания различных тел, вынуждает не только применять известные методы, но и разрабатывать новые подходы или их элементы без строгого математического обоснования. Разумеется, решение не сводится к тривиальной замене дифференциальных операторов конечными разностями, а требует правильного применения математической технологии организации вычислительного алгоритма, тщательной и глубокой проработки всех вопросов численной реализации решения задач, глубокого физического осмысления получаемых результатов с целью последующего уточнения как физической, так и математической модели процесса. В соответствии с пятым этапом процесса математического моделирования осуществляется переход от математической модели к ее численному аналогу — разностной схеме. Разностная схема представляет собой систему алгебраических уравнений, которая по 13
определенным правилам записывается для решаемой дифференциальной задачи. Построение разностной схемы начинается с построения дискретного аналога сплошной среды. При этом осуществляется переход от непрерывного описания свойств среды к их дискретному описанию. Функции, характеризующие состояние и процесс движения материального континуума, задаются на некотором конечном и вполне определенном множестве точек, составляющих пространственно-временную разностную сетку) и называются сеточными функциями. Уравнения, связывающие значения сеточных функций в различных точках среды, назовем конечно-разностными уравнениями, а методы их решения — сеточными разностными методами (или сеточными методами). Пространственно-временная разностная сетка является первым элементом разностной схемы. Пространственная разностная сетка включает в себя: 1) ячейки сетки — множество малых элементов, на которые разбивается область, где ищется решение; 2) узлы сетки — выделенные точки внутри ячеек или на их границах. Если моделируемый процесс является нестационарным, т.е. развивается во времени, то одновременно с пространственной разностной сеткой вводится временная разностная сетка с малыми временными интервалами. В совокупности эти две сетки образуют пространственно-временную разностную сетку. В зависимости от выбранного подхода к описанию движения сплошной среды ячейки и узлы пространственной разностной сетки соответствуют различным математическим объектам. Так, при использовании подхода Лагранжа узлы сетки соответствуют индивидуальным точкам сплошной среды, а ячейки — ее индивидуальным частицам. При использовании подхода Эйлера узлы сетки соответствуют точкам пространства с фиксированными относительно неподвижной системы отсчета координатами, а ячейки — фиксированным малым областям пространства. Очевидно, что при переходе от сплошной среды к ячейкам конечного размера непрерывные функции необходимо заменить функциями, заданными в узлах пространственной разностной сетки. Одновременно с этим дифференциальные уравнения следует заменить конечно-разностными уравнениями, содержащими значения функций в узлах сетки. Такая замена называется аппроксимацией, а сущность этой операции заключается в замене одного математического 14
объекта другим: в данном случае осуществляется переход от частных производных (отношения бесконечно малых приращений функции и аргумента) к разностным производным (отношению конечных разностей минимально возможных на дискретной разностной сетке приращений дискретных сеточных функций и аргументов). Итак, вторым элементом разностной схемы является совокупность конечно-разностных уравнений, необходимых для определения всех неизвестных переменных. Третьим элементом разностной схемы является совокупность граничной разностной сетки и граничных условий. Это связано с тем, что практически все реальные задачи физики быстропро- текающих процессов являются краевыми. Следовательно, существуют и границы области определения решения, т.е. поверхности в пространстве (х, t), на которых заданы краевые условия. Очевидно, что границы вместе с заданными на них граничными условиями также требуют дискретизации, т.е. введения граничной разностной сетки и аппроксимации соответствующих граничных условий. Пространственно-временные разностные сетки могут быть построены различными способами. При этом первым вопросом, требующим предварительного анализа, является выбор независимых переменных в исходной системе уравнений, определяющих математическую модель изучаемого процесса. Известны три основных представления: а) лагранжево, при котором система координат или разностная сетка вписывается в исследуемую конфигурацию и жестко связывается со средой, а течение среды рассматривается по отношению к этой сетке, что дает возможность наблюдать за фиксированными элементами; б) эйлерово, при котором система координат или разностная сетка фиксирована в пространстве, среда проходит через сетку и представляется непрерывным методом, а вычисления проводятся для вещества, находящегося в данной ячейке; в) комбинация эйлерова и лагранжева представлений, при которой представление материального континуума в эйлеровой системе координат совокупностью дискретных частиц или массой всей ячейки в целом приводит к методу «частиц в ячейках» или методу «крупных частиц», причем аппроксимирующим является лагран- жево представление, так как контролируется положение частиц, а не деформирование координатной сетки. Опыт применения различных численных методов анализа для решения большого числа задач физики взрыва и удара позволяет 15
сделать практические выводы о возможности и целесообразности использования известных численных методов в тех или иных приложениях. Все три представления имеют свои преимущества и недостатки. Преимущества алгоритмов с лагранжевой координатной сеткой состоят в простоте реализации граничных условий на свободных поверхностях и границах раздела разнородных сред, в возможности использования определяющих соотношений, учитывающих историю нагружения каждой частицы. В то же время применение лагран- жевых координат имеет такие недостатки, как чувствительность к искажению поля течения среды и, следовательно, низкая точность аппроксимации при существенном искажении формы ячеек; образование отрицательных масс и соответствующая патология (неустойчивость) в результате наложения ячеек друг на друга при сильном деформировании ячеек, связанных с веществом; необходимость перестройки координатной сетки и интерполяции вычисляемых функций при сильном деформировании аппроксимационной сетки. При использовании эйлерова представления алгоритмы удовлетворительно описывают большие формоизменения, не приводят к флуктуациям результатов решения в случае пересечения границ ячеек малыми массами вещества и дают возможность применять разностные методы для решения задач о течении сложных сред. Среди недостатков эйлеровой аппроксимационной сетки можно отметить следующие: низкую точность при расчетах движения свободной поверхности и условий на границах раздела разнородных сред вследствие дополнительного расчета лагранжевых линий и поверхностей, образующих нестационарные нерегулярные ячейки; переопределенность совместной системы рекуррентных соотношений и граничных условий при расчете параметров на границе раздела, т.е. свободные поверхности и границы раздела не могут рассчитываться без введения некоторых искусственных ограничений на характер течения сред; возможность псевдодиффузии через границу раздела двух сред. Основными достоинствами метода, при котором область интегрирования разделяется на ячейки перпендикулярными поперечными сечениями, а каждая ячейка содержит некоторое число дискретных частиц, являются следующие: отсутствие трудностей при расчете, несмотря на большие изменения формы области течения; простота реализации при решении задач о течении многокомпонентных сред; возможность изучения весьма сложных течений среды при ударноволновом нагружении. Главный недостаток метода заключается в высоких требованиях, предъявляемых к быстродействию и 16
объему памяти вычислительной техники, так как алгоритмическая размерность задач увеличивается на единицу (дополнительный параметр — число частиц в ячейке), а расчеты проводятся на двух сетках (эйлеровой и лагранжевой), причем число ячеек обычно имеет порядок 103, а число частиц — 104. Однако этот недостаток становится все менее заметным в связи с прогрессом в развитии как самих компьютеров, так и компьютерных технологий. Кроме того, можно отметить недостаточную вычислительную устойчивость метода, а также неудовлетворительную информацию, получаемую в области сильного разрежения. Однако модификация метода, когда вместо совокупности частиц в ячейках рассматривается масса всей ячейки в целом (метод «крупных частиц»), позволяет весьма успешно решать многие задачи физики быстропротекающих процессов. Итак, применение лагранжевой системы координат и лагранжевой аппроксимации целесообразно в случае отсутствия областей сильно развитых деформаций или малости этих областей. Эйлерово представление необходимо использовать для расчета течения однородной среды при наличии значительных областей больших деформаций. Основные недостатки эйлеровой координатной сетки, связанные с расчетом параметров на свободных поверхностях и границах раздела сред, могут быть преодолены с помощью детального анализа различных способов численной реализации граничных условий в конкретных задачах. Методы, основанные на представлении среды дискретными частицами в эйлеровой координатной сетке, успешно могут применяться для исследования процессов течения и формирования многокомпонентных сред при отсутствии областей сильного разрежения. Совокупность дифференциальных уравнений, определяющих математическую модель задачи, можно представить в виде дифференциального оператора L, действующего на вектор 17, где U — решение данной системы уравнений. По аналогии совокупность соответствующих конечно-разностных уравнений можно рассматривать как разностный оператор L/i, действующий на сеточный вектор Y. Погрешность аппроксимации u>h будет определяться разностью (LU)h — LhUh = uihUhy где (LU)h — точное значение дифференциального оператора в узлах аппроксимационной сетки, а С7д — так называемая проекция точного решения в пространство сеточных функций (значение точного решения в узлах аппроксимационной сетки). Существует множество различных способов построения разностной схемы и соответствующего разностного оператора L^, 17
однако очевидно, что конкретный выбор Lh определяет погрешность аппроксимации Wh. При выборе конкретной разностной схемы для построения численной модели задачи всегда возникает вопрос: какими критериями необходимо руководствоваться для того, чтобы получить решение, наиболее близкое к искомому точному, в наибольшей степени отражающему реальный процесс? В этом случае кроме погрешности аппроксимации ид необходимо учитывать основные свойства разностных схем, используемых для аппроксимации уравнений механики сплошных сред: согласованность, сходимость, устойчивость и эффективность. Согласованность разностной схемы. Аппроксимация дифференциального оператора L разностным оператором Lh называется согласованной, если при стремлении к нулю шагов сетки по времени и по пространству оператор u>h стремится к нулю. Требование согласованности является фундаментальным свойством применяемой разностной схемы: если это условие не выполняется, то построенные математическая модель и ее численный аналог не отвечают физической модели процесса. При отсутствии согласованности разностной схемы исследование других ее свойств становится бессмысленным. Необходимость наличия этого свойства у разностной схемы является настолько очевидной, что иногда согласованность не выделяют в отдельное свойство разностной схемы. Чаще это свойство формулируется следующим образом: погрешность аппроксимации имеет определенный порядок малости относительно шагов сетки по времени и по пространству. При этом сам порядок малости называют порядком аппроксимации. Сходимость разностной схемы (сходимость численного решения к искомому точному решению). Численное решение У всегда отличается от точного решения Uh (в проекции на аппроксимационную сетку), так как уравнения, составляющие оператор Lh) отличаются от уравнений, составляющих оператор L. Различие между искомым точным решением Uh и реально найденным разностным решением У характеризуется нормой их разности \\Uh — У||, которую иногда называют точностью численного решения. Разностная схема называется сходящейся, если \\Uh — У|| —> О при стремлении к нулю шагов сетки по времени и по координате. Точность численного решения А^ = Uh — У зависит от степени проявления двух источников погрешности численного решения. Первый из них непосредственно связан с погрешностями аппроксимации, неизбежно допускаемыми при переходе от дифференциальных 18
уравнений к конечно-разностным соотношениям. Второй источник связан с эволюцией погрешностей при решении системы алгебраических конечно-разностных уравнений, в частности обусловленной ошибками округления, возникающими вследствие особенностей выполнения арифметических операций на компьютерах (эти операции не точны, и в последних значащих цифрах обрабатываемых на компьютерах чисел непрерывно генерируются ошибки). Точность разностной схемы определяется скоростью, с которой стремится к нулю величина Ад при стремлении к нулю шагов сетки по времени и по пространству; порядок величины Ад относительно шагов сетки по времени или по координате называют порядком точности разностной схемы. На практике точность, или сходимость, разностной схемы можно охарактеризовать средней квадратичной погрешностью ,2 где N — произведение числа точек пространственной разностной сетки и числа шагов сетки по времени; AUj — абсолютная погрешность в точке j; Uj — решение в этой точке. При этом среднюю квадратичную погрешность а принято определять апостериори с помощью эталонных задач, для которых удается построить аналитические решения, т.е. в каждой точке j расчетного поля необходимо найти величину AUj, равную разности численного и точного решений в этой точке. Записанное выражение дает два предельных случая: если а — О, то точность разностной схемы абсолютна и Ад = 1; если <т = 1, то точность разностной схемы Ад = О, т.е. отсутствует полностью. Вообще говоря, можно предложить немало различных зависимостей Ад (а), каждая из которых будет качественно описывать уменьшение точности при увеличении погрешности в соответствии с практическим опытом, накопленным в конкретной области математического моделирования. Если согласиться с тем, что при решении задач механики сплошных сред допустима относительная погрешность не более 10 %, то можно использовать нелинейную зависимость вида - 1~<г h~ 1 + 100<т" Устойчивость разностной схемы. Разностный оператор Z/д называют устойчивым, если в результате его применения ошибка, допущенная в процессе решения, убывает. Исследование устойчивости разностной схемы связано со вторым источником погрешности численного решения, т.е. отвечает на вопрос о поведении ошибок округления и ранее допущенных погрешностей аппроксимации. 19
Если разностная схема аппроксимирует исходную дифференциальную задачу и устойчива, то такая разностная схема является сходящейся и позволяет рассчитывать на получение разностного решения, достаточно близкого к искомому точному решению. Эффективность разностной схемы. Это понятие не является достаточно строгим и несет на себе печать некоторой субъективности оценок. Назовем эффективностью разностной схемы время получения численного решения данной задачи с заданной точностью. Введем два параметра времени: — время Ath, затраченное на решение задачи данного класса с использованием данной разностной схемы на данном компьютере или вычислительном комплексе; — разумное время работы данного компьютера или вычислительного комплекса AtKOMn) необходимое для решения задачи данного класса. Вообще говоря, для определения значения AtKOMn не существует каких-либо строгих правил, так как на эту величину влияет множество различных факторов. В зависимости от важности задачи и целей математического моделирования это время может принимать значения от нескольких минут до нескольких сотен часов. Очевидно, что эффективность разностной схемы увеличивается при повышении точности численного решения, а разностная схема с меньшим значением Ath более эффективна, чем разностная схема с большим значением Ath. Следовательно, эффективность разностной схемы можно оценить с помощью соотношения Z\tKOMn А где Ath = NM/VKoMn] M — число операций, необходимых для реализации оператора Lh] Комп — быстродействие компьютера или вычислительного комплекса, выражаемое числом операций в единицу времени. К свойствам разностных схем относятся также понятия дивер- гентности и консервативности (полной, интегральной и локальной). Эти понятия будут рассмотрены далее в той мере, в какой это необходимо для постановки и решения практических задач физики бы- стропротекающих процессов. Свойства разностной схемы, ее достоинства и недостатки в значительной степени определяют качество вычислительного (или численного) эксперимента. Одно из основных следствий вычислительного эксперимента заключается в том, что он подобно физическому 20
эксперименту дает информацию для некоторой частной комбинации параметров, но в отличие от физического натурного эксперимента требует очень малого времени для реализации (разумеется, при наличии соответствующего разработанного и протестированного компьютерного кода) и существенно дешевле, что позволяет без больших дополнительных материальных затрат провести серию необходимых вычислений. В ряде случаев, когда физический эксперимент не осуществим, вычислительный эксперимент является единственным инструментом исследования. Особенно важными представляются использование методов математического моделирования и проведение соответствующего вычислительного эксперимента для задач, не имеющих первоначальной строгой физической постановки. Именно к ним относятся многие задачи физики взрыва и удара, для которых не всегда очевиден механизм поведения взаимодействующих тел и сред. И хотя вычислительный эксперимент не может установить какие-либо функциональные зависимости, помимо получаемых из основных уравнений с помощью анализа размерностей, тем не менее он может указать на возможные пути установления таких связей, а главное — наполнить качественные функциональные зависимости реальным содержанием, привести их к количественным соотношениям и указать область их практической применимости.
Глава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 1.1. Постановка простейшей одномерной плоской нестационарной задачи о движении газа в трубе под действием поршня Принципы решения задач механики сплошных сред с помощью разностных методов и основные понятия теории разностных схем целесообразно рассмотреть на простейшем примере одномерного плоского нестационарного движения совершенного газа в трубе под действием поршня (рис. 1.1). Будем считать, что покоящийся совершенный газ с начальными значениями плотности /эо, удельной внутренней энергии Eq и давления ро находится в цилиндрической трубе, имеющей площадь поперечного сечения 5 (рис. 1.1, а). Предположим, что справа труба ограничена жесткой поверхностью, а слева в ней находится поршень, движущийся по определенному закону и приводящий в движение газ (рис. 1.1, 5). Стремясь к максимальному упрощению, из всех возможных законов движения поршня примем закон равномерного его движения с неизменной во времени скоростью ип = const. В таком случае, как это известно из физики взрыва, в газе будет 22
\dX Pq,%E0,u= X Рис. 1.1. К постановке простейшей одномерной плоской нестационарной задачи о движении газа в трубе под действием поршня 23
распространяться плоская стационарная ударная волна с неизменной скоростью D. Начальным этапом постановки задачи является этап выбора системы отсчета — точки или тела отсчета и связанной с ними конкретной системы координат. В рассматриваемом случае целесообразно в качестве точки отсчета принять точку 0 начального положения поршня, неподвижную относительно Земли. Такой выбор точки отсчета с достаточной для решаемой задачи точностью обеспечит инерциальность системы отсчета и возможность использования для описания движения деформируемой газообразной среды законов механики Ньютона. Что же касается выбора системы координат, то в данном случае целесообразен выбор простейшей декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнения механики принимают наиболее простой вид (см. том 1, главу 4). Ось х системы координат следует ориентировать в направлении движения поршня. В этом случае вектор скорости v = vxi + vyj + vzk движения частиц среды будет иметь лишь одну отличную от нуля компоненту vx, которую для удобства в дальнейшем будем обозначать как vx = и. Кроме того, при такой ориентации осей декартовой прямоугольной системы координат все текущие значения параметров движения и состояния среды (массовой скорости г/, давления р, плотности р и удельной внутренней энергии Е) будут одинаковыми в любом плоском сечении трубы, т.е. будут зависеть лишь от одной координаты х и не будут зависеть от координат у и z. Такие течения деформируемой среды называются одномерными плоскими или течениями, обладающими симметрией слоя. Следует отметить, что при неизменной во времени скорости движения поршня ип = const решение этой задачи может быть получено аналитическим путем без привлечения разностных методов и ее рассмотрение обусловлено лишь учебными целями, так как она наиболее простая и «опорная» для изложения основных принципов, являющихся общими для любых задач механики сплошных сред, в том числе и для гораздо более сложных. Решение этой задачи можно найти с помощью системы соотношений на фронте ударной волны, получаемой 24
на основе законов сохранения массы, импульса и энергии для заключенного между поршнем и фронтом ударной волны газа и включающей уравнение состояния Клапейрона — Менделеева в калорической форме: Р-РО = р = РЕ(к-1), где к — показатель адиабаты Пуассона. Приведенная система четырех уравнений содержит пять неизвестных величин (и, р, р, ?, D), которые могут быть определены с использованием дополнительного условия и = ип. Решение системы A.1) показано на рис. 1.1, в в виде пространственно-временной диаграммы процесса, (законы движения поршня и фронта ударной волны представлены в плоскости изменения независимых переменных (ж, t)) и на рис. 1.1, г, д в виде распределений по координате х значений параметров движения и состояния для двух различных моментов времени t\ и <2- При неизменной скорости поршня и движении фронта ударной волны с постоянной скоростью так же неизменны во времени значения параметров газа, заключенного между поршнем и фронтом, и именно поэтому такая ударная волна называется стационарной. Так как в целом параметры движения и состояния деформируемой газообразной среды зависят от одной координаты и от времени, т.е. и — и(х, t), р = р(х, ?), р = р(х, <), Е = Е{х, /), то подобная задача называется одномерной плоской нестационарной задачей. Деформируемую газообразную среду будем рассматривать в рамках модели совершенного газа. Идеальная среда не оказывает сопротивления формоизменению своих частиц. В такой среде отсутствуют касательные напряжения, тензор напряжений является шаровым (atj = —pgij), а напряженное состояние полностью характеризуется одной скалярной величиной — давлением р. Совершенный газ является частным 25
случаем модели идеальной среды: давление газа определяется его плотностью р и удельной внутренней энергией Е в соответствии с уравнением состояния р = рЕ(к — 1). Математическое описание течения деформируемой среды при нагружении взрывом или ударом осуществляется, как правило, в адиабатическом приближении и в пренебрежении внешними силами (массовыми или объемными). В таком случае для принятой модели идеального совершенного газа система разрешающих уравнений (в дальнейшем — система уравнений) приобретает следующий вид: "^ = -VlP; A.2) dE p dp ~dl = ~pi~dV P = pE(k-l) (см. том 1, раздел 4.2). Эта система уравнений включает пять дифференциальных уравнений, выражающих основные законы сохранения (одно уравнение неразрывности — закон сохранения массы, три уравнения Эйлера — закон сохранения импульса, одно уравнение энергии — первый закон термодинамики), а также уравнение состояния. Система уравнений является замкнутой и содержит шесть неизвестных характеристических функций: три компоненты Vi вектора скорости, давление р, плотность р и удельную внутреннюю энергию Е. Система уравнений A.2) записана с использованием тензоров нулевого и первого рангов с помощью операций тензорного анализа и в силу этого имеет универсальный характер, охватывая все возможные в геометрическом отношении адиабатические течения совершенного газа. Для рассматриваемой одномерной плоской задачи в принимаемой декартовой прямоугольной системе координат и при наличии движения лишь 26
в направлении оси х уравнения системы A.2) приобретают более простую форму записи, а именно A.3) dp dt du dE dt P = du Р~дх ~ = _dp P dp p2 dt' pE(k-l), и сводятся к четырем уравнениям с четырьмя неизвестными — и, р, р, Е. Существуют два подхода к изучению движения деформируемых сред — подход Эйлера (изучение изменения параметров движения и состояния в каждой точке области пространства, в которой происходит движение сплошной среды) и подход Лагранжа (изучение изменения параметров движения и состояния в каждой индивидуальной точке или индивидуальной частице сплошной среды). С этой точки зрения математическое описание одномерного плоского нестационарного течения совершенного газа A.3) содержит одновременно элементы обоих подходов. Полные (индивидуальные, субстанциональные) производные по времени dp/dt, du/dt, dE/dt характеризуют скорость изменения значений соответствующих величин в индивидуальных точках или индивидуальных частицах (присуще подходу Лагранжа). Частные же производные ди/дх, др/дх характеризуют неравномерность пространственного распределения значений этих величин по эйлеровой координате х — координате точек пространства относительно системы отсчета наблюдателя (присуще подходу Эйлера). При постановке задачи необходимо выбрать один из возможных подходов к описанию движения деформируемых сред и представить систему уравнений сообразно сделанному выбору. При выборе подхода Эйлера все параметры движения и состояния среды рассматриваются как функции эйлеровых переменных — времени t и эйлеровой координаты х: и = и(х, ?), 27
р = р(х, t), p — р(х, t), Е = Е(х, t). Поскольку полную производную по времени можно представить как сумму локальной dp dp др и конвективной производных, например — = — + и —, то at ox x ох система уравнений, описывающая адиабатическое одномерное плоское нестационарное течение совершенного газа с позиций Эйлера, будет выглядеть следующим образом: дР dt ди ~dt дЕ ~dt р= X X X РЕ(к др дх ди Ъ~х~~ дЕ дх ~ ди 1 др р дх^ р ди р дх A.4) Такая система уравнений связывает скорости изменения значений параметров движения и состояния сплошной среды в каждой точке области пространства, занимаемой средой, с неоднородностью их пространственного распределения. Например, скорость изменения плотности dp/dt в каком-либо плос- X ком сечении трубы с фиксированной эйлеровой координатой х определяется неравномерностью распределения скорости и и плотности р в окрестности данной точки, а также значениями этих параметров. В некоторых случаях систему уравнений течения деформируемой среды представляют в так называемой дивергентной форме (такое представление позволяет построить разностные схемы, обладающие очень важным в практическом отношении качеством — свойством консервативности). Уравнения газовой динамики в дивергентной форме связывают скорости изменения значений каких-либо величин (или комплексов, составленных из этих величин) со значением дивергенции от некоторых других комплексов. Так, система уравнений A.4) 28
одномерного плоского нестационарного течения совершенного газа может быть преобразована к дивергентной форме: dp dt x d(pu) d(pu) дх = 0; дх = 0; dt = РЕ{к-\). д \{рЕ + ри2/2 + р) и = 0; Эта система уравнений является частным следствием тензорной (т.е. справедливой для любой системы координат) дивергентной формы записи уравнений динамики совершенного газа: d(pv) + div(pv) = 0; dt + div[-(cr) + pvv] = 0; pv2/2) A.5) A.6) «1=0; A.7) dt где v — вектор скорости (v — его модуль); (а) = -pgijrlrJ — тензор напряжений в идеальной среде, а производные по времени являются локальными и определяются в определенной точке пространства с эйлеровыми координатами хг (ж1, х2, ж3). Записанные в дивергентной форме уравнения неразрывности A.5), движения A.6) и энергии A.7) содержат комплексы, составленные из физических величин и обладающие определенным физическим смыслом. Так, вектор потока массы /9V, по существу, является удельным импульсом (импульсом, или количеством движения, единицы объема среды) и позволяет определить перенос массы dm через бесконечно 29
малую неподвижную относительно системы отсчета наблюдателя площадку dS за бесконечно малый интервал времени dt: dm = pv • п • dS • dt, где п — единичный вектор нормали, задающий ориентацию площадки dS. Тензор второго ранга pvv (где w — результат неопределенного, или тензорного, умножения вектора скорости на самого себя) является тензором потока импульса (его размерность — это количество движения, переносимое в единицу времени через единицу площади) и позволяет определить перенос импульса через бесконечно малую площадку dS за бесконечно малый интервал времени dt: di = pvv • n • dS • dt = v(pv • n) • dS • dt = v dm. Комплекс pE + pv2 /2 является удельной суммарной энергией (суммой внутренней (рЕ) и кинетической (pv2/2) энергий единицы объема среды), а вектор (рЕ + pv2/2)v — это вектор потока энергии, позволяющий определить перенос полной энергии через бесконечно малую площадку dS за бесконечно малый интервал времени dt: dW = (рЕ + pv2/2) v • п • dS • dt = = (E + v2/2)pv-n-dS -dt = (E + v2/2)dm. Замечательной особенностью уравнений механики сплошных сред, записанных в дивергентной форме, является то, что они представляют собой практически явные выражения соответствующих законов сохранения. В этом нетрудно убедиться на примере уравнения энергии A.7). При интегрировании этого уравнения по объему V* произвольной области пространства, в которой происходит движение деформируемой среды и которая ограничена неподвижной относительно системы отсчета наблюдателя поверхностью 5*, приходим, используя теорему Остроградского — Гаусса, к выражению |- f(E + v2/2)pdV* = i(- V* S* S* являющемуся законом сохранения полной энергии для адиабатического процесса: изменение полной энергии среды, заключенной в объеме V* области пространства, определяется работой внешних по отношению к данному объему поверхностных сил —рп (по отношению ко всей среде это внутренние силы) и переносом энергии (внутренней и кинетической) через поверхность 5*, ограничивающую этот объем. 30
При постановке одномерной плоской задачи о движении совершенного газа в трубе под действием поршня может быть применен и подход Лагранжа. Используемые в этом случае уравнения являются наиболее простыми среди встречающихся в задачах механики сплошных сред. Получению системы уравнений, описывающей движение газа с позиций Лагранжа, предшествует установление правила индивидуализации точек материального континуума. Возможны два способа индивидуализации точек — с помощью лагранжевых линейных координат X или лагранжевых массовых координат га. Под лагранжевой линейной координатой X какой-либо индивидуальной точки газа (или совокупности индивидуальных точек в плоском сечении трубы) понимается начальное значение ее эйлеровой координаты х : X — х (см. рис. 1.1, а). Каждая индивидуальная точка имеет свое уникальное значение начальной эйлеровой координаты, которое и используется для того, чтобы отличать точки друг от друга по мере движения и изменения во времени текущих значений их эйлеровых координат х (см. рис. 1.1,6). При таком способе индивидуализации все параметры движения и состояния газа считаются зависящими от лагранжевых переменных X гранжева линейная координата X при t = О раз и навсегда закрепляется за определенной индивидуальной точкой газа и не зависит от времени. Индивидуализация точек с помощью лагранжевых массовых координат га является физически более наглядной. Для каждой индивидуальной точки можно указать параметр, значение которого действительно не изменяется во времени в процессе движения и деформирования газообразной среды, и, следовательно, он удобен для того, чтобы отличать точки друг от друга. Таким неизменным во времени параметром является масса га газа, заключенного между поршнем и данной индивидуальной точкой (или слоем точек в плоском сечении трубы). Значение этой массы и определяет лагранжеву массовую координату индивидуальной точки или индивидуальной 31
частицы газа. Следует отметить, что при постановке рассматриваемой одномерной плоской нестационарной задачи под ла- гранжевой массовой координатой т целесообразнее понимать не полную массу газа, заключенного между поршнем и данной индивидуальной точкой, а погонную массу, т.е. отнесенную к единице площади поперечного сечения трубы. В таком случае лагранжевы массовые координаты га индивидуальных точек газа, находящихся в контакте с поршнем, равны нулю, а для индивидуальных точек на жесткой поверхности т = poL, где L — длина участка трубы, занятого газом при t = 0 (см. рис. 1.1, а). При таком способе индивидуализации все параметры движения и состояния газа считаются зависящими от лагранжевых переменных га и t: и — и(т, t), p = р(га, t), p = p(m,t),E = E(m,t). Система уравнений, описывающая течение газа с позиций Лагранжа, является следствием системы A.3). При использовании для описания движения среды не зависящих от времени координат Лагранжа (например, и = = и(Х, t) или и = и(т, t)) входящие в систему A.3) полные (индивидуальные, субстанциональные) производные совпадают с частными производными по времени, определенными при фиксированных значениях лагранжевых координат и характеризующими скорость изменения значения параметра состояния в определенной индивидуальной частице сплошной среды, например: dp dp(m, t) dp ~dt ~ It ~ dt т Л др_ dt dm dm dp >~dt ~ ~dt В то же время для перехода к описанию движения среды с позиций Лагранжа необходимо перейти от входящих в систему A.3) производных по эйлеровой координате х к производным по лагранжевой координате (X или т). Этот переход осуществляется с помощью дифференциальной взаимосвязи лагранжевых и эйлеровых координат, устанавливаемой на основе закона сохранения массы для индивидуальной частицы, ограниченной двумя фиксированными (по Лагранжу) 32
плоскими сечениями (см. рис. 1.1, а, б). Так, показанная на рис. 1.1, а индивидуальная частица в форме бесконечно тонкого диска в начальный момент времени t = 0 характеризуется лагранжевой линейной координатой X, лагранжевой массовой координатой т, имеет начальные толщину dX, плотность ро и массу dm = ро dX (так же как и лагранжева массовая координата, масса частицы определена как погонная масса, т.е. приходящаяся на единицу площади поперечного сечения трубы). Очевидно, что массу частицы dm можно рассматривать как бесконечно малое приращение (дифференциал) лагранжевой массовой координаты га, осуществляемое при переходе от индивидуальных точек в левом ограничивающем плоском сечении к индивидуальным точкам в правом сечении. Та же самая индивидуальная частица показана на рис. 1.1, б в произвольный момент времени /, когда она имеет эйлерову координату х, толщину dx, плотность р и при этом сохраняет неизменную массу dm — pdx. Закон сохранения массы dm — podX = pdx приводит к дифференциальным соотношениям dx 1 дх ро которые с учетом независимости друг от друга времени t и ла- гранжевых координат (dt/dm = О, dt/dX = 0) дают возможность установить взаимосвязи между производными по эйлеровой координате и производными по лагранжевой координате, например: др_ _ др(х, t) _ др^дх дрд^_ _ fyl dm dm дх dm dt dm dx p' dp _ dp(x, t) _ dp dx dp dt _ dp po IX = dX 1h~dX + ~di~dX " ~di~~p' Последние соотношения позволяют перейти от системы A.3) к системе уравнений, описывающей одномерное плоское нестационарное адиабатическое течение совершенного газа с позиций Лагранжа в лагранжевых линейных координатах (и = и(А', О, Р = р(А', 0, Р = P(-Y, 0, Е = Е(Х, 0), т.е. 2 - 2728 33
dp p du Hi + p~o"d~X = °' du _ 1 dp ~di~~p~o"dX] A.8) dE _ p du ot pq a a P = pE(k-l), и в лагранжевых массовых координатах (и = и(т, t), p = 54х Sp _ Ot^ дт~ ' A.9) Системы уравнений A.8) и A.9) связывают скорости изменения значений параметров движения и состояния сплошной среды в каждой ее индивидуальной точке (частные производные по времени определяются при фиксированных значениях лагранжевых координат: dp/dt\m = dp/dt и т.п.) с неоднородностью их распределения в среде и с самими значениями этих параметров. Итак, в зависимости от принимаемого подхода одномерное плоское нестационарное адиабатическое течение совершенного газа надо описывать с помощью одной из систем уравнений — A.4), A.8), A.9). Для определенности будем полагать, что решение рассматриваемой задачи выполняется в рамках подхода Лагранжа при использовании лагранжевых массовых координат. Дальнейшее рассмотрение основных понятий теории разностных схем и основных разностных схем численного решения одномерных задач газовой динамики будем строить на основе системы уравнений A.9). 34
Система уравнений газовой динамики A.9) включает дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии, а также конечное функциональное уравнение Клапейрона — Менделеева. Иногда эту систему уравнений для удобства представляют в матричной форме записи. Для этого предварительно дифференцируют по времени уравнение состояния, а затем с учетом уравнений неразрывности и энергии получают следующую систему четырех дифференциальных уравнений: ди др at A.10) до о ди дЕ ди Матричная форма записи системы уравнений одномерного плоского нестационарного адиабатического течения совершенного газа имеет вид сьтт ятт = 0, A.11) где U, dU/dt, dU/dm, A — матрицы, составленные из искомых характеристических функций и = и(т, t), р = р(т, t), p = p(m,t), E = E(m,t): и = аи dt ~ и Р Р . Е , ¦ du/dt ' dp/dt dp/dt , dE/dt, A.12) 35
ди _ dm A = ' ди/дт л dp/dm др/дт . дЕ/dm , 0 р(к- l)(p + />j Р2 V 1 Е) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A.12) Нетрудно увидеть, что согласно правилам умножения матриц из A.11) и A.12) следуют все четыре дифференциальных уравнения A.10). Описывающая движение газа в трубе под действием поршня система уравнений газовой динамики A-9) (или {1.11) и A.12)) представляет собой систему квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Под квазилинейными дифференциальными уравнениями понимаются уравнения, линейные относительно частных производных, но не линейные относительно искомого решения. Именно такими уравнениями являются уравнения неразрывности и энергии в системе A.9). Характерным признаком гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных является существование трех семейств характеристик (С+, С- и Со), и это отличает их от систем параболического типа (одно семейство характеристик) или эллиптического типа (характеристик не существует). Вопрос о характеристиках дифференциальных уравнений газовой динамики будет подробно рассмотрен в разделе 2.2. Завершающим этапом постановки одномерной плоской нестационарной задачи о движении газа в трубе под действием поршня является формулировка начальных и граничных условий. Начальные условия задаются исходя из предположения, что при t = 0 газ не движется, а параметры его состояния имеют некоторые начальные значения: 36
, 0) = 0; р = р(т,О)=ро; О) = ро; Е(тО) = Е [ ' Граничные условия для рассматриваемой одномерной задачи при движении газа лишь в направлении оси х должны задаваться на двух границах деформируемой среды — на левой (т — 0) и правой (га = М = poZ, см. рис. 1.1). На левой границе, где частицы газа граничат с движущимся с определенной скоростью поршнем, следует задавать кинематические граничные условия и@, <) = *„. A.14) Правой границей деформируемой среды является жесткая поверхность, в связи с чем также накладываются ограничения на скорость движения частиц газа: и(М, *) = 0. A.15) В частном случае, до момента отражения фронта ударной волны от жесткой поверхности, в качестве правой границы может рассматриваться сам фронт, перемещающийся в газе. На такой подвижной границе устанавливаются граничные условия смешанного типа, которыми являются соотношения A.1) на фронте ударной волны. 1.2. Сущность метода конечных разностей Сущность метода конечных разностей в приложении к решению задач механики сплошных сред проявляется в последовательной реализации нескольких этапов: 1) построение дискретного аналога сплошной среды; 2) аппроксимация системы уравнений, описывающей движение и изменение состояния сплошной среды; 3) аппроксимация соответствующих начальных и граничных условий; 4) решение получающейся системы алгебраических уравнений; 5) получение информации об исследуемом процессе. 37
Рассмотрим каждый из этих этапов применительно к сформулированной в разделе 1.1 одномерной плоской нестационарной задаче о движении газа в трубе под действием поршня — вначале в самых общих чертах, а затем и более детально. В указанной задаче рассматривается движение газообразной сплошной среды, непрерывным образом заполняющей определенную область пространства, характеризуемую изменением лагранжевой массовой координаты в пределах 0 < т < < М. Целью решения является получение информации об изменении значений параметров движения и состояния среды за некоторый промежуток времени 0 < t < Т. Движение и состояние сплошной среды описываются функциями и = ?z(ra, ?), р = р(т, /), р — р(т, t), E = Е(т, /), являющимися непрерывными (или кусочно непрерывными — при распространении в среде ударных волн) функциями непрерывно изменяющихся аргументов — лагранжевой массовой координаты га и времени t. На первом этапе — этапе дискретизации — строится дискретный аналог сплошной среды. Предполагается, что как пространственная независимая переменная га, так и время t принимают некоторые фиксированные значения гаг (г = 0, 1,..., N) и tj (j = 0, 1,..., К). Переход от непрерывно изменяющегося аргумента т к дискретному аргументу mi с точки зрения механики сплошных сред соответствует отказу от попытки рассмотрения всего бесконечно большого количества индивидуальных точек, составляющих газообразную среду, и переходу к рассмотрению лишь вполне определенных индивидуальных точек (индивидуальных частиц), поскольку по изменению в них параметров движения и состояния можно судить о движении и состоянии всей среды. Аналогичный переход к дискретно изменяющемуся времени tj означает принятие соглашения о том, что информация о поведении среды может быть получена только в определенные моменты времени, по которым можно судить о поведении среды и в другие (произвольные) моменты времени. Совокупности пар дискретно изменяющихся значений тг-, tj в плоскости изменения независимых переменных (m, t) соответствует конечное множество точек — пространственно-временная 38
разностная сетка (далее для краткости — разностная сетка). В связи с переходом к дискретному аналогу сплошной среды ее движение и состояние характеризуются так называемыми сеточными функциями и? = и;-(гаг, fy), p? = р\(т{, fy), pi = р?(тг, tj), Е? = ?^(гаг, tj), определенными в конечном множестве точек (тг-, tj) на разностной сетке и являющимися дискретными функциями дискретно изменяющихся аргументов. Сеточные функции — это аналоги соответствующих функций и = и(т, t), р = р(т, t), р = р(т, t), Е — Е(т, <), описывающих движение и состояние сплошной среды. Эволюция газообразной сплошной среды при ее одномерном плоском нестационарном движении описывается системой уравнений A.9) и существенно зависит от начальных условий A.13) и граничных условий A.14) и A.15). Совокупность этой системы уравнений, начальных и граничных условий образует так называемую дифференциальную задачу. Однако входящие в систему A.9) дифференциальные уравнения, выражающие основные законы сохранения, справедливы лишь для сплошной среды и не могут быть непосредственно применены для описания движения ее дискретного аналога. Тем не менее на основе этих дифференциальных уравнений по определенным правилам переходят к алгебраическим конечно-разностным уравнениям для дискретных сеточных функций. Полученными конечно-разностными уравнениями заменяются (аппроксимируются) дифференциальные уравнения с определенной контролируемой погрешностью. Соответствующими алгебраическими уравнениями аппроксимируются также начальные и граничные условия. Подобный переход от дифференциальных уравнений к алгебраическим конечно- разностным соотношениям определяет сущность второго этапа метода конечных разностей — этапа аппроксимации. Фактически на этом этапе осуществляется переход от дифференциальной задачи к разностной, от дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий к соответствующей системе алгебраических уравнений (разностной схеме), решение которой с определенной степенью приближения дает представление об искомом решении исходной дифференциальной задачи. 39
Заключительная стадия (этапы 3—5) применения метода конечных разностей при решении задач механики сплошных сред связана с непосредственным решением составленной на этапе аппроксимации системы алгебраических уравнений, получением количественной информации об исследуемом процессе и ее анализом, выявлением закономерностей исследуемого процесса. Для этой стадии характерна необходимость решения достаточно большого количества алгебраических конечно-разностных уравнений. Количество решаемых уравнений пропорционально числу точек (гаг-, tj), составляющих разностную сетку. Однако многие из этих алгебраических конечно-разностных уравнений однотипны, при этом количество типов, по существу, ограничено количеством имеющихся в исходной дифференциальной задаче дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет достаточно легко составлять эффективные вычислительные алгоритмы, а в сочетании с методами программирования и с использованием современных ЭВМ создавать быстродействующие программы расчета. В настоящее время решение большинства представляющих практический интерес задач получают именно таким путем. Рассмотрим более подробно содержание первых двух этапов. 1.3. Построение дискретного аналога сплошной среды Начальным этапом построения разностной схемы является замена области непрерывного изменения независимых переменных 0<т<Ми0<КГ конечным множеством точек (тг-, tj), находящихся в этой области (рис. 1.2). Это множество точек называется разностной сеткой и является областью определения функций дискретных аргументов тг и tj — сеточных функций, описывающих движение и состояние дискретного аналога сплошной среды. Простейший способ дискретизации по координате связан с построением равномерной пространственной разностной сетки, когда область непрерывного изменения пространственной переменной 0 < т < М разбивается на N равных частей, характеризуемых шагом сетки по координате 40
t, /¦/< j ' j-'l Граничные// узлы ^^ 0 \ Целый временной слой т W ч Начальный временной слои 1 h i 1 Щ Пощепый Временной спой. lil'4 1 1 л \ Ч Граничные у/1 узлы M-y0L m f Ь Рис. 1.2. Разностная сетка, вводимая при построении дискретного аналога сплошной среды h = M/N = PqL/N. В рассматриваемом случае, когда в качестве независимой пространственной переменной используется лагранжева массовая координата га, шаг сетки по координате называется также массовым интервалом. Точки деления отрезка 0 < т < М на равные части называются узлами сетки (или целыми точками), а части, ограниченные узлами, — ячейками сетки. При равномерной сетке координаты узлов равны гп{ = ih, где г = 0, 1, ..., N — возможные номера узлов. Ячейки сетки удобно обозначать дробными индексами, ассоциировав с ними так называемые полу целые точки. Например, на рис. 1.2 ячейка, ограниченная слева узлом г, а справа узлом г + 1, может быть обозначена дробным индексом г + 1/2 (среднее от номеров ограничивающих узлов), а ее центр — полуцелая точка — будет иметь координату тй-1/2 = \™>i + гаг'+l)/2 = rrti + 0,5/г. Следует обратить внимание на имеющееся соответствие между математическими объектами и терминами, характеризующими выстраиваемый дискретный аналог и моделируемую с его помощью сплошную среду. Так, узлы простран- 41
ственной разностной сетки с дискретно изменяющимся значением лагранжевой координаты, по существу, соответствуют выделяемым индивидуальным точкам сплошной среды. Например, узлам г = 0 и г = N соответствуют индивидуальная точка газообразной сплошной среды с лагранжевой массовой координатой т = О, находящаяся в контакте с поршнем, и индивидуальная точка с координатой т = М — p$L, находящаяся на. жесткой поверхности. Ячейки же пространственной разностной сетки соответствуют индивидуальным частицам, на которые разбивается сплошная среда, при замене ее дискретным аналогом, а массовый интервал, или масса ячеек, характеризует массу таких выделяемых индивидуальных частиц. Таким образом, совокупность узлов и полу целых точек ™ .-+1/2 = ™г + 0,5/i, г = 0, 1,..., N - 1 составляет область изменения дискретного пространственного аргумента и является пространственной разностной сеткой. Рациональный выбор числа N узлов пространственной разностной сетки проводится с учетом двух противоречивых требований. С одной стороны, число узлов сетки должно быть как можно большим, если исходить из максимального приближения дискретного аналога сплошной среды к непрерывной сплошной среде. Увеличение числа узлов уменьшает шаг сетки по координате, а это обеспечивает уменьшение погрешностей аппроксимации дифференциальных уравнений конечно- разностными соотношениями (см. раздел 1.4) и увеличение точности получаемого решения. С другой стороны, чрезмерное увеличение числа узлов сетки недопустимо в связи с соответствующим увеличением объема вычислений. Возможный же объем обрабатываемой информации даже при использовании современных ЭВМ ограничен их объемом памяти и быстродействием. Поэтому при проведении реальных расчетов приходится использовать пространственные разностные сетки с относительно небольшим числом узлов — реальные, 42
или грубые, сетки. Например, решение одномерных нестационарных задач допустимо проводить при числе N узлов сетки по координате порядка 102. Для решения двумерных нестационарных задач механики сплошных сред на пределе возможностей существующих ЭВМ число узлов должно составлять порядка 104 ... 106, при этом временные затраты ЭВМ на получение решения могут достигать десятков часов. Выбор конкретного значения числа узлов сетки в случае максимальных требований к точности получаемого решения определяется как раз максимально возможным значением N с точки зрения имеющихся ресурсов памяти ЭВМ и допустимого времени работы программы расчета. Если же приемлема несколько меньшая точность расчета, то в таком случае критерием для выбора рационального значения N (меньшего максимально возможного) является хорошее соответствие результатов расчета с известными решениями или же с экспериментальными данными. Вопрос построения пространственной разностной сетки в общем случае не является таким простым, как это следует из рассмотренного примера равномерной сетки для решения одномерной плоской нестационарной задачи в лагранжевых массовых координатах. Достаточно часто приходится использовать такие специальные приемы, как построение неравномерной сетки, создание сетки, адаптирующейся к особенностям течения исследуемой сплошной среды, перестроение сетки в процессе проведения расчетов и т.п. При этом необходимость или допустимость использования того или иного принципа построения сетки определяется особенностями исследуемого процесса и достижением цели решения задачи — получением информации о процессе. Временная разностная сетка строится аналогично пространственной и представляет собой совокупность узлов с определенными дискретными значениями независимой переменной — времени t (см. рис. 1.2): , j = 0, 1...}. A.17) 43
Узлы временной разностной сетки нумеруются, при этом номер узла j = О соответствует моменту времени t — 0. Промежуток времени ту = tj+\ — tj, соответствующий расстоянию по оси t между двумя соседними узлами j + 1 и j, называется шагом сетки по времени. В отличие от пространственной разностной сетки, которая достаточно часто выбирается равномерной, временная разностная сетка, как правило, бывает неравномерной, и шаг сетки по времени зависит от номера узла \tj = Tj(j)j или от текущего момента времени (tj = Tj(tj)j. Причины такой зависимости связаны с требованием придания разностной схеме одного из ее фундаментальных и необходимых свойств — свойства устойчивости (см. раздел 1.6). Совокупность пространственной A.16) и временной A.17) разностных сеток образует разностную сетку для решения методом конечных разностей одномерной нестационарной задачи A.9), A.13)—A.15). Эта сетка показана на рис. 1.2 в плоскости изменения независимых переменных (m, t). Пересечения вертикальных линий с определенным значением лагранжевой массовой координаты гаг и горизонтальных линий с определенным значением времени tj образуют узлы разностной сетки, которым присваиваются индексы г и j, соответствующие координате и времени. С позиций механики сплошных сред каждый узел сетки соответствует конкретной индивидуальной точке сплошной среды с лагранжевой координатой гаг, а момент времени tj — моменту рассмотрения этой индивидуальной точки. Совокупность узлов г = 0, 1,..., N при фиксированном временном индексе j (и фиксированном моменте времени tj) образует так называемый целый временной слой. Аналогичный набор узлов, соответствующих фиксированному моменту времени tj+i/2 = *> + 0,5т;-, образует так называемый полу целый временной слой, и с этим слоем ассоциируется дробный временной индекс j + 1/2. На разностной сетке можно указать три группы узлов, имеющих особое значение при решении задачи методом конечных разностей. Это временной слой j — 0 (начальный временной слой), а также две группы граничных узлов, расположенных на вертикальных прямых, 44
соответствующих координатным индексам г = 0 и г = N. Как следует из самих названий, начальный временной слой используется для последующей аппроксимации начальных условий, а граничные узлы — для представления на сетке граничных условий. Разностная сетка — конечное множество точек в плоскости изменения независимых переменных (га, t) — является областью определения сеточных функций, характеризующих движение и состояние дискретного аналога сплошной среды. Необходимо отметить, что при решении задачи методом конечных разностей в связи с введением дискретного аналога сплошной среды реально получается не точное решение дифференциальной задачи U = и V Р Е ) = U{m, *), A.18) являющееся непрерывной (или кусочно непрерывной) функцией непрерывных аргументов т и t , а близкое к нему разностное решение — сеточная функция У = Уи Ур Ур УЕ ) = У{ти tj), A.19) являющаяся дискретной функцией дискретно изменяющихся аргументов тг и tj, где уи, У-р, Ур, УЕ — сеточные функции, соответствующие массовой скорости г/, давлению р, плотности р, удельной внутренней энергии Е. Рассмотрим, например, сеточную функцию уи массовой скорости и, опуская для простоты индекс: уи = у. Для обозначения значений сеточных функций в узлах разностной сетки 45
используется индексная форма записи: При этом верхний индекс соответствует номеру временного слоя (временной индекс), а нижний — номеру узла по координате (координатный индекс). Поиск решения разностной задачи имеет практический смысл лишь в том случае, если гарантировано, что полученное решение у будет в достаточной степени близким к искомому точному решению и. Однако даже в принципе судить о степени близости искомого и реально полученного решений сложно, так как эти функции принадлежат к различным функциональным пространствам: функция и — непрерывная функция непрерывных аргументов, а функция у — дискретная функция дискретных аргументов. С целью преодоления барьера между различными функциональными пространствами в теории разностных схем вводится понятие проекции точного решения дифференциальной задачи на пространство сеточных функций. Под проекцией точного решения на пространство сеточных функций понимается дискретная сеточная функция ид, значения которой в узлах разностной сетки равны значениям точного решения при соответствующих значениях координаты и времени: г^(гаг-, tj) = и(т{, tj). С использованием проекции точного решения на сетку щ степень близости искомого решения дифференциальной задачи и и реально найденной сеточной функции у оценивается нормой разности двух этих сеточных функций \\у — щ\\. Норма произвольной сеточной функции — это величина, интегрально оценивающая ее модуль. Например, для фиксированного момента времени tj норма сеточной функции у определяется как максимальный модуль значений этой функции в различных узлах по координате: |Ы|| = max \уЦ. Решение разностной задачи считает- 11 " 0<i<N г ся близким к искомому точному решению дифференциальной задачи, если ||у — щ\\ —> 0 при одновременном стремлении 46
к нулю шагов сетки по координате и по времени, т.е. при h —> 0, т —> 0. Разностные схемы, обладающие подобным свойством, называются сходящимися, и только такие схемы могут использоваться для решения практических задач. 1.4. Аппроксимация дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями Основным моментом при постановке разностной задачи является переход от дифференциальных уравнений, которыми описывается поведение сплошной среды, к соответствующим соотношениям для сеточных функций. Этот переход осуществляется с использованием определенных принципов аппроксимации частных производных или дифференциальных операторов. Дифференциальные уравнения A.9) движения сплошной среды включают частные производные искомых функций, например: du/dt, ди/дгп. Иначе говоря, дифференциальные уравнения A.9) включают дифференциальные операторы Lu, действующие на искомые функции (в частности, на массовую скорость -и) и приводящие к появлению новых функций, например: Lu = du/dt или Lu — ди/dm. Каждый дифференциальный оператор представляет собой определенную последовательность действий, проводимых над искомой функцией. Например, последовательность действий дифференциального оператора Lu = ди/dm, приводящего к частной производной массовой скорости по координате ди/dm, описывается известным из математического анализа определением г Л /Л r u(m + Am, t) - u(m, t) Lu = du dm = lim — -. A.20) ДO Am Частная производная непрерывной функции данного аргумента определяется как предел отношения приращения функции, отвечающего изменению лишь данного аргумента, к приращению этого аргумента при его стремлении к нулю. Для сеточных функций — дискретных функций дискретных аргументов 47
гаг, tj — это определение теряет смысл, так как минимально = Л, At nun mm возможные приращения аргументов Am не могут быть бесконечно малыми, а являются просто малыми и конечными величинами. Однако именно на основе определения A.20) в теории разностных схем строится разностное представление частных производных или аппроксимация дифференциальных операторов. При этом ключевым моментом является именно замена отношения бесконечно малых величин отношением конечных разностей. На рис. 1.3 показан фрагмент разностной сетки и отмечены ее узлы, значения сеточных функций в которых могут быть использованы для разностного представления различных частных производных в точке (гаг-, tj) (в узле с координатным индексом г и временным индексом j). Например, частная производная первого порядка по координате ди/дт может быть аппроксимирована разностной производной «вперед» (правая разностная производная j/m), разностной производной «назад» (левая разностная производная yjn)-, центральной (двусторонней) разностной производной у^. J4- j- c-1 т К. i+ Рис. 1.3. Фрагмент разностной сетки с узлами, используемыми для аппроксимации частных производных в точке (га», tj) 48
В первом случае относительно узла (m,-, tj) пространственному аргументу т дается минимально возможное прира- шение в сторону его увеличения (гаг+1 - гаг = h) при сохранении неизменным значения второго дискретного аргумента tj. Отношение соответствующего приращения сеточной функции к шагу сетки по координате и определяет правую разностную производную по координате или соответствующий разностный оператор = Во втором случае подобное минимальное частное приращение лишь одного пространственного аргумента дается в сторону его уменьшения (тг_1 - гаг = -h) и левая разностная производная по координате принимает вид у —- У!-1- У3г = yllA± = Lky (L22) = ^ = соответствующий некоторому другому разностному операто- РУ Lhy. В третьем случае центральная разностная производная аппроксимирует частную производную в данной точке (тг-, tj), не используя значение в самой этой точке, — это так называемая аппроксимация через точку. При этом используется отношение конечной разности значений сеточной функции в правом узле (г + 1, j) и левом узле (г — 1, j) сетки к соответствующему приращению аргумента: у^ = У(тг+Ъ tj) - у(пч_ь t}) = уЦ_?к = Lhy (L23) Аналогичным образом в данной точке (m,-, tj) могут быть аппроксимированы и частные производные по времени 49
Lu = ди/dt. Отличие этой аппроксимации от аппроксимации координатных частных производных заключается лишь в том, что разностные производные по времени определяются при фиксированном значении дискретного пространственного аргумента, а минимально возможные приращения даются по времени. Например, разностная производная по времени «вперед» примет вид - yj = Lhy ~ tj Tj Аппроксимация частных производных более высоких порядков ведется на основе известного в математическом анализе определения, согласно которому частная производная последующего порядка является частной производной первого порядка предшествующей ей частной производной. Например, разностная производная у mm-, аппроксимирующая частную производную второго порядка по координате д^и/дт?, может быть определена как разностная производная первого порядка Утт = -^{Ут ~ Ут) по значениям ут и у^ правой и левой для данной точки разностных производных первого порядка, являющихся центральными по отношению к полу целым точкам (г + 1/2, j) и (г - 1/2, j). С учетом A.21) и A.22) выражение для разностной производной второго порядка по координате запишем в следующем виде: 1, ч lfvUl-Уг Утт = jiym -Ут)= ^ I yj+1 - Ч + A.25) В связи с переходом от отношения бесконечно малых величин к отношению конечных разностей при аппроксимации 50
частных производных неизбежно появление погрешности аппроксимации. Значение погрешности аппроксимации устанавливается с помощью разложения в ряд Тейлора точного решения и дифференциальной задачи в окрестности данной точки (mt,tj) (узла (г, jf) разностной сетки). Например, значение точного решения в узле (г + 1, j), ближайшем к данному справа, определится как г/(тг-+ь tj) = и{гп{ + /г, tj) = -и(т- t) h—(m- —д2и Из этого разложения следует очевидное соотношение между точным значением частной производной в данном узле сетки и ее разностным представлением в виде односторонней правой производной, построенным по значениям точного решения в узлах сетки (проекции точного решения на пространство сеточных функций): h ~ дтк"н'":>^2дт^ или в операторной форме Lhuh — {^u)h + ^(mn tj)> где L^u^ — разностный оператор, примененный к проекции точного решения на пространство сеточных функций (разностная производная); (Lu)^ — проекция на сетку результата действия дифференциального оператора на точное решение (точное значение частной производной в узле сетки); ф(т{, tj) — погрешность аппроксимации дифференциального оператора разностным. Нетрудно заметить, что различие между точным значением частной производной по координате и ее разностным представлением, т.е. погрешность аппроксимации , hd2u/ 51
зависит от шага сетки по координате и от того, насколько резко изменяется точное решение в окрестности данной точки (характеризуется частной производной второго порядка). Очевидно, что для уменьшения погрешности аппроксимации необходимо выбирать шаг сетки достаточно малый и соответственно с этим количество координатных узлов должно быть достаточно большим. Для рассмотренного частного случая аппроксимации частной производной по координате в виде односторонней правой разностной производной погрешность аппроксимации имеет первый порядок относительно шага сетки по координате: ф(т{, tj) = O(h^). В общем случае порядок погрешности аппроксимации ^(m;, tj) = 0(hn) относительно шага сетки по координате h или по времени т может быть отличен от единицы и называется порядком аппроксимации п. Используя разложение точного решения в ряд Тейлора, нетрудно убедиться, что не только правая разностная производная A.21), но и другие односторонние производные A.22), A.24), как по координате, так и по времени, обеспечивают одинаковый порядок аппроксимации п = 1. Центральная же разностная производная первого порядка A.23) и разностная производная второго порядка A.25) дают более высокий порядок аппроксимации п = 2, что уменьшает погрешность аппроксимации при прочих равных условиях по сравнению со случаем п = 1. На основе изложенных принципов аппроксимации дифференциальных операторов разностными операторами осуществляется аппроксимация дифференциальных уравнений, описывающих движение сплошной среды, алгебраическими конечно-разностными уравнениями. Покажем, как проводится такая аппроксимация, на примере одного из дифференциальных уравнений, входящих в систему A.9), — уравнения движения Рассматривая возможные способы аппроксимации выбранного уравнения, для простоты сохраним обозначения сеточных функций такими же, что и для искомого решения дифференциальной задачи: yu('mi,ij) = У3и{ — и\> 2/j?(mn tj) = 52
рис. 1.4. Фрагмент разностной сетки и шаблон «левый уголок» J+f- J пи- т = у3 • = р;- и т.п. Различия в способах аппроксимации связаны с использованием того или иного шаблона — набора узлов разностной сетки, значения сеточных функций в которых используются для аппроксимации входящих в дифференциальное уравнение частных производных по координате и по времени. На рис. 1.4 показаны фрагмент разностной сетки и набор узлов, образующих трехточечный шаблон «левый уголок». В узле (г, j) разностной сетки (соответствует индивидуальной точке среды с лагранжевой массовой координатой тг-, рассматриваемой в момент времени tj) входящие в дифференциальное уравнение движения частные производные по координате и по времени могут быть аппроксимированы односторонними разностными производными «вперед», и соответствующее конечно-разностное уравнение приобретет вид J+1 h = 0. A.27) В точке (mn tj) разностная производная по времени (и? — ~~u\)lTj аппроксимирует частную производную du/dt с погрешностью фг(тг, tj) = O(rj), а разностная производная 53
ЦП- 1-1 /77 и{,р{ i+t Рис. 1.5. Фрагмент разностной сетки и шаблон «правый уголок» по координате (pj+1 — p[)/h заменяет частную производную др/дт с погрешностью Vb(mt> ';) — 0(hl). В целом же погрешность аппроксимации дифференциального уравнения A.26) конечно-разностным уравнением A.27) имеет первый порядок и по времени, и по координате, что выражается записью ф(гп{, tj) = O(rj + /i1). Уравнение A.27) может быть представлено в виде, выражающем значения сеточных функций на последующем временном слое j + 1 через значения сеточных функций на текущем временном слое j: •г41=•?-? Это и подобные конечно-разностные уравнения называются явными. Соответственно и разностные схемы, в основе которых лежат обладающие таким свойством конечно-разностные уравнения, называются явными разностными схемами. На рис. 1.5 показаны фрагмент разностной сетки и набор узлов, образующих трехточечный шаблон «правый уголок». В отвечающем этому шаблону конечно-разностном уравнении 5 Z- Pi ~ Pj-i = 0 54
.J*t J+l- ряс. 1.6. Фрагмент разностной сетки и четырехточечный «явный» шаблон 1-1 1+1 т также участвуют односторонние разностные производные: по отношению к точке (тг, tj) разностная производная по времени является производной «вперед», а разностная производная по координате — производной «назад». Погрешность аппроксимации и в этом случае имеет первый порядок как по координате, так и по времени: ф(т^ tj) = = O(tj + /i1). Очевидно, что и с помощью шаблона «правый уголок» уравнение движения A.26) аппроксимируется явным конечно-разностным уравнением позволяющим вычислить сеточные функции на последующем временном слое j + 1 через их известные значения на текущем временном слое j. На рис. 1.6 и 1.7 показаны примеры четырехточечных шаблонов, позволяющих построить явные конечно-разностные уравнения, но при этом получить более высокие порядки аппроксимации, нежели для шаблонов «левый уголок» и «правый уголок». Так, в шаблоне, изображенном на рис. 1.6, по отношению к точке (тг, tj) производная по времени представляется в виде односторонней разностной производной, а производная по координате — в виде центральной разностной производной: Т3 55
j+t J + * j j-h /-/ i-i I l+{ i+f m Рис. 1.7. Фрагмент разностной сетки и шаблон «крест» В результате использования центральной разностной производной по координате в целом погрешность аппроксимации V>(mi> '>) — O(rj +h2) имеет порядок п = 1 по времени и п = 2 по координате. Результирующее явное конечно-разностное уравнение примет вид В четырехточечном шаблоне, приведенном на рис. 1.7, использованы целые и полуцелые точки по координате, а также целые и полу целые временные слои. Такой шаблон в соответствии со своей конфигурацией называется шаблоном «крест». Он достаточно широко используется в разностных схемах при численном решении задач механики сплошных сред. По отношению к точке (т,-, tj+i/г) разностные производные по времени и по координате являются центральными, т.е. Tj П что и обеспечивает самый высокий среди рассмотренных конечно-разностных уравнений порядок аппроксимации п = 2 по времени и по координате: ф(т{, tj) = O(rj + h2). 56
рис. 1.8. Фрагмент разностной сетки и четырехточечный « неявный » шаблон hi ..J+1 J+1 т На рис. 1.8 приведен пример четырехточечного шаблона, на основе которого строится неявное конечно-разностное уравнение, аппроксимирующее уравнение движения A.26): J ~ ui , 2h = 0. Так же как и для четырехточечного шаблона, изображенного на рис. 1.6, в этом случае обеспечивается погрешность аппроксимации V>(mi> fy+l) == ^(г7^ + ^2)? имеющая в точке (тг-, /j+i) порядок п = 1 по времени и п = 2 по координате. Однако использование для разностного представления частной производной по координате значений сеточных функций на последующем временном слое j + 1 не дает возможности получить явное выражение значений сеточных функций на временном слое j' + 1 через их известные значения на временном слое j: В этом случае искомые значения сеточных функций и? 7 + 1 определяются через неизвестные значения р< , что существенно усложняет решение системы неявных алгебраических конечно-разностных уравнений по сравнению с явными 57
конечно-разностными уравнениями. Следует отметить, что при решении задач газовой динамики, динамики жидкости и твердого тела используются преимущественно явные разностные схемы, построенные на основе явных конечно-разностных уравнений. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением главным образом именно таких разностных схем. 1.5. Аппроксимация начальных и граничных условий Как известно, неотъемлемым элементом постановки любой задачи механики сплошных сред является задание начальных и граничных условий. Именно задание начальных и граничных условий позволяет выделить среди целого класса течений сплошной среды единственное вполне определенное течение, отвечающее рассматриваемому процессу. С этой точки зрения в приведенном в разделе 1.1 простейшем примере системе дифференциальных уравнений A.9), описывающей все возможные одномерные плоские нестационарные адиабатические течения газообразной среды, сопутствуют начальные условия A.13) (они учитывают условия изначально покоящегося газа) и граничные условия A.14) и A.15) (они учитывают тот факт, что движение газа в трубе происходит под действием движущегося с постоянной скоростью поршня при наличии в трубе плоской жесткой поверхности на противоположном поршню конце трубы). В связи с этим при постановке разностной задачи с целью последующего решения задачи механики сплошных сред методом конечных разностей обязательной является аппроксимация начальных и граничных условий. Подобная аппроксимация осуществляется путем представления начальных и граничных условий на разностной сетке в виде соответствующих значений сеточных функций в определенных узлах сетки (или, в более общем случае, путем установления взаимосвязей между значениями сеточных функций в этих узлах). В рассмотренном примере задание начальных и граничных условий на разностной сетке осуществляется простым 58
способом (см. рис. 1.2). Начальным условиям соответствует начальный временной слой j = 0. Согласно начальным условиям A.13) все значения сеточных функций на этом временном слое соответствуют параметрам покоящегося и неде- формированного газа: у% = 0, р® = р0, р\ = />(h Ef = Eq, где 0 < г < N. Кинематические граничные условия A.14), A.15) на границе газа с поршнем и на жесткой поверхности задаются так же просто. Граничащей с поршнем индивидуальной точке сплошной среды со значением лагранжевой массовой координаты га = 0 соответствует узел пространственной разностной сетки с координатным индексом г = 0. В этом узле для любого момента времени t (на любом временном слое j) граничные условия A.14) требуют задания значения сеточной функции скорости, равного значению скорости движения поршня: Uq — un. Аналогично в находящемся на жесткой поверхности правом граничном узле со значением лагранжевой массовой координаты т = М и координатным индексом г = N на любом временном слое j задается значение массовой скорости v?N = 0. Очевидно, что для приведенной в разделе 1.1 задачи о движении газа в трубе под действием поршня начальные и граничные условия аппроксимируются тривиальным образом и представляются на разностной сетке в виде элементарных алгебраических уравнений, которые задают определенные значения сеточных функций на начальном временном слое и в граничных узлах. Однако подобная простота является скорее исключением, нежели общим правилом. Даже при незначительном усложнении постановки задачи по отношению к исходной усложняется и аппроксимация граничных условий. Например, если в рамках такой же одномерной плоской нестационарной задачи рассматривать движение поршня под действием газа, то на границе газа с поршнем должно задаваться граничное условие, описываемое дифференциальным уравнением движения поршня (второй закон Ньютона для поршня): dti(O,t) т K = 59
где тп — погонная (приходящаяся на единицу площади поперечного сечения трубы) масса поршня; u@, t) — скорость движения находящихся в контакте с поршнем частиц газа, равная скорости поршня; р@, t) — давление газа на поршень. Это граничное условие является условием смешанного типа и устанавливает дифференциальную взаимосвязь между давлением и скоростью газа. Его аппроксимация на разностной сетке проводится в соответствии с принципами, изложенными в разделе 1.4, и может быть представлена, например, явным конечно-разностным уравнением 1 ~ ио з позволяющим определить скорость поршня и^ на последующем временном слое по известным скорости и30 и давлению р^ газа на поршень в предшествующий момент времени. Естественно, представление на разностной сетке граничного условия, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением, неизбежно влечет за собой появление соответствующей погрешности аппроксимации. Подводя итог соображениям, изложенным в разделах 1.4 и 1.5, подчеркнем следующее. Выстраиваемые по рассмотренным в этих разделах правилам конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие систему дифференциальных уравнений на вводимой дискретной разностной сетке, в сочетании с аппроксимацией начальных и граничных условий составляют некоторую систему алгебраических уравнений — разностную схему. Разностная схема заменяет исходную дифференциальную задачу с некоторой погрешностью аппроксимации, зависящей от шагов сетки по координате и по времени и стремящейся к нулю при бесконечном увеличении количества узлов сетки. Решение именно этой системы алгебраических уравнений на сетке с конечным числом узлов позволяет определить поведение дискретного аналога сплошной среды и получить представление об искомом решении исходной дифференциальной задачи механики сплошных сред. 60
1.6. Понятия сходимости и устойчивости разностных схем. Условие устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви Основным критерием качества разностной схемы, обеспечивающим правильное воспроизведение искомого решения на разностной сетке, является наличие у схемы свойства сходимости. Сходимости сопутствует другое важнейшее свойство разностной схемы — устойчивость. Дадим определения этим фундаментальным понятиям теории разностных схем и рассмотрим их взаимосвязь между собой и с введенным ранее понятием аппроксимации дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями. Как уже отмечалось в разделе 1.3, при решении задачи методом конечных разностей в связи с введением дискретного аналога сплошной среды реально ищется не точное решение U A.18) дифференциальной задачи, являющееся непрерывной (или кусочно непрерывной) функцией непрерывных аргументов га, t, а близкое к нему разностное решение — сеточная функция У A.19), являющаяся дискретной функцией дискретно изменяющихся аргументов га,-, tj. Для получения возможности сравнения этих двух функций, принадлежащих к различным функциональным пространствам, в теории разностных схем вводится понятие проекции точного решения дифференциальной задачи на пространство сеточных функций. Под такой проекцией понимается дискретная сеточная функция ?/д, значения которой в узлах разностной сетки равны значениям точного решения при соответствующих значениях координаты и времени: ?/д(тг-, tj) = G(гаг-, tj). Определим понятие сходимости разностной схемы следующим образом: решение разностной задачи считается сходящимся к искомому точному решению дифференциальной задачи (разностная схема сходится), если для любого момента времени t = tj (j = 0, 1,..., if — номер временного слоя) норма разности реально полученного разностного решения и 61
проекции на сетку точного решения стремится к нулю при стремлении к нулю шагов сетки по координате и по времени: \\Yj-Ul\\->0 при Л-+0, т->0. A.28) Если это условие выполняется и указанная норма имеет порядок п\ относительно шага сетки по времени и порядок щ относительно шага сетки по координате, т.е. ||W-tfj[|| = O(rni +hn2), A.29) то говорят о наличии сходимости разностной схемы со скоростью 0(тП1 + Л712), а также о порядках точности схемы — щ по времени и П2 по координате. Прямое теоретическое доказательство выполнения условий A.28) или A.29) даже для самых простых разностных схем весьма затруднительно. Однако для обеспечения сходимости разностной схемы необходимо наличие у нее еще одного важнейшего свойства — свойства устойчивости. Под устойчивостью разностной схемы понимается непрерывная зависимость решения разностной задачи от входных данных (начальных и граничных условий). Строгое математическое определение устойчивости может быть получено с помощью символической записи решаемых дифференциальной и разностной задач. Так, решаемая дифференциальная задача (система уравнений A.11) и A.12), начальные условия A.13) и граничные условия A.14) и A.15)) может быть коротко записана как LU = /, A.30) где L — дифференциальный оператор A.11) и A.12); U — искомое точное решение A.18); / — входные данные. Символическая запись A.30) интерпретируется следующим образом: элементы искомого точного решения U (и, р, /э, Е) взаимосвязаны между собой посредством дифференциальных уравнений (дифференциального оператора L) и зависят от входных данных /. По аналогии символическая запись разностной задачи будет иметь вид V, A.31) 62
где Lh — разностный оператор, соответствующий используемой разностной схеме; Y — разностное решение; <р — представление на разностной сетке входных данных /. Предположим, что в силу некоторых причин представление на сетке входных данных изменилось и стало характеризоваться некоторым иным значением (р. При неизменной разностной схеме lh это должно повлечь за собой и изменение разностного решения (т.е. У станет Y ): LhY =tp. A.32) Разностная схема называется устойчивой, если существует постоянная К, не зависящая от входных данных, шагов сетки по координате и по времени, такая, что выполняется условие т.е. малым изменениям входных данных соответствуют малые изменения решения разностной задачи. Необходимость обладания разностной схемой свойством устойчивости может быть обоснована следующим простым, базирующимся на здравом смысле суждением. При решении задачи методом конечных разностей неизбежны погрешности представления входных данных. Эти погрешности — отклонения от идеально точного представления входных данных — могут появляться при аппроксимации выражающих граничные условия дифференциальных уравнений, вследствие ограниченной точности задания чисел при вычислениях и в ряде других случаев. Естественно, что получающееся разностное решение при этом отклоняется от искомого точного решения. Не следует упускать из виду, что отклонение разностного решения от точного на каждом последующем временном слое будет происходить даже при идеально точном представлении начальных и граничных условий вследствие наличия погрешностей аппроксимации дифференциальных уравнений конечно- разностными соотношениями. Понятия устойчивости или неустойчивости как раз и характеризуют способность разностной схемы реагировать на подобные погрешности. Неустойчивая разностная схема как бы накапливает, усугубляет даже малые начальные или текущие погрешности, существенно 63
«уводя в сторону» разностное решение относительно искомого точного решения. Устойчивая же разностная схема реагирует ограниченным образом на малые текущие или начальные погрешности, не накапливая и не усугубляя их. Это дает основание рассчитывать на получение разностного решения, в достаточной степени близкого к искомому точному решению, т.е. на сходимость разностной схемы. Приведем обоснование фундаментальной теоремы теории разностных схем: разностная схема, аппроксимирующая исходную дифференциальную задачу и обладающая свойством устойчивости, является сходящейся. Пусть для решения дифференциальной задачи A.30) составлена разностная схема A.31), аппроксимирующая решаемую задачу, при этом входным данным / в разностной схеме соответствует их некоторое приближенное представление <р на разностной сетке, а вместо точного решения U реально ищется разностное решение У. Утверждение о наличии аппроксимации дифференциальной задачи разностной схемой означает, что разностные операторы LfrUh (разностные производные в узлах разностной сетки), оцениваемые по проекции U^ на разностную сетку точного решения U (значения точного решения в узлах сетки), заменяют собой дифференциальные операторы {LU)h (точные значения частных производных в узлах сетки) с некоторой погрешностью *ф, стремящейся к нулю при стремлении к нулю шагов сетки по координате и по времени: LhUh = (LU)h + rl> A.34)' (см. раздел 1.4). Это же касается и соотношения между точными значениями входных данных Д в соответствующих узлах разностной сетки и их реальным представлением </?: Л = ?> + ^/> A.35) 64
где ф/ — погрешность представления входных данных. Наличие погрешностей аппроксимации является одной из возможных причин отклонения реально полученного дискретного разностного решения У от точного решения [/, характеризуемого в пространстве сеточных функций проекцией [/д. Очевидно, что для получения в качестве разностного решения У точного решения U при неизменных разностных операторах Lfr необходимо некоторое иное представление ip входных данных, отличающееся от исходного представления </?, приводящего к разностному решению У: LhUh = $. A.36) Из условия обладания разностной схемой свойством устойчивости и из определения A.33) этого свойства вытекает \\Uh-Y\\<K\\<p-<p\\, откуда с учетом A.36) получаем следующее соотношение между кормами: \\Uh-Y\\<K\\LhUh-4>\\. A.37) Преобразуем выражение L^U^ — у>, учитывая, что условие A.30), описывающее решаемую дифференциальную задачу, справедливо во всей области изменения непрерывно изменяющихся аргументов га, t. В частности, это условие должно выполняться и в узлах разностной сетки: (LU - f)h = 0 или {LU)^ - Д = 0. С учетом этого выражение, стоящее под знаком нормы в правой части A.37), представим в виде Норма произвольной сеточной функции определяется через модуль этой функции, и поэтому норма суммы двух сеточных функций не больше суммы их норм: WLhUh ~ И1 = WiLhUh - (LU)h] + [fa - <р]\\ < <\\LhUh-(LU)h\\ + \\fh-v\\. 3 - 2728 65
С учетом этого обстоятельства, а также с учетом соотношений A.34) и A.35) взаимосвязи между точными значениями дифференциальных операторов или входных данных в узлах разностной сетки и их представлениями в разностной схеме выражение A.37) приведем к виду \\uh-Y\\< позволяющему сделать вывод о том, что различие между разностным решением У и точным решением в проекции f/д на разностную сетку ограничено значениями погрешностей аппроксимации ф и ф{. С учетом же условия существования аппроксимации исходной дифференциальной задачи разностной схемой получаем ф -> 0, ф! -*Ъ при h -> 0, т -> О, откуда следует вывод о сходимости разностной схемы: \\Uh~y\\ ->0 при Л->0, г ->0. Рассмотренная теорема теории разностных схем имеет фундаментальное значение, так как указывает практический путь построения разностных схем, гарантирующих сходимость разностного решения к искомому точному решению. Этот путь заключается в одновременном обеспечении аппроксимации и соблюдении условия устойчивости разностной схемы. В этом случае гарантируется получение разностного решения, в достаточной степени близкого к точному решению, и в целом становятся оправданными затраченные на решение задачи усилия. Устойчивость разностных схем выражается и описывается так называемыми условиями устойчивости. Одним из наиболее распространенных и используемых, в частности при решении методом конечных разностей задач физики взрыва и 66
удара, является условие устойчивости Куранта — Фридрих- са— Леви (далее для краткости — условие устойчивости Куранта). Получим математическую запись этого условия применительно к одномерным нестационарным задачам, рассмотрим его содержание и сущность. Это удобно сделать на частном примере одномерной плоской нестационарной задачи об изоэнтропическом истечении газа в пустоту из закрытой с одной стороны трубы. Эта задача отличается от рассмотренной в разделе 1.1 лишь граничным условием на границе истекаю- шего в пустоту газа, в качестве которого выступает динамическое граничное условие равенства нулю давления. Для выявления сущности условия устойчивости Куранта необходимы представления о характеристиках дифференциальных уравнений газовой динамики. Кратко изложим эти представления, взяв за основу постановку задачи, решение которой выполняется в рамках подхода Эйлера. Более подробное изложение вопроса о характеристиках уравнений газовой динамики будет дано в разделе 2.2. Система уравнений A.4), описывающая одномерное плоское нестационарное адиабатическое течение совершенного газа в эйлеровых переменных (время t и эйлерова координата ж), в частном случае изоэнтропического течения несколько упрощается. В этом случае входящее в систему A.4) уравнение состояния Клапейрона — Менделеева в сочетании с уравнением энергии своим частным следствием имеет так называемую изоэнтропу совершенного газа р = Арк, где А — некоторая константа, общая для всех частиц газа и зависящая от их энтропии S; к — входящий в уравнение состояния показатель адиабаты Пуассона совершенного газа. В связи с этим при составлении замкнутой системы уравнений в нее не включают уравнение энергии. Эта система содержит три уравнения и принимает следующий вид (частные производные по времени являются локальными производными): до др ди at ox ox ^ + u^ + I^-0- A-38) p = Apk. 3* 67
Помимо A.38) еще одной возможной формой математического описания одномерного плоского нестационарного изоэн- тропического течения газа является характеристическая форма представления — представление в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик и соотношений на характеристиках, в общем случае выражаемых также обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в некоторых частных случаях и вовсе сводящихся к алгебраическим уравнениям. Подобная форма представления математического описания газодинамического течения получается при использовании специальной физической величины, характеризующей состояние среды, — местной скорости звука С=4 ? =[Akp*-lY = [=?). A.39) Местная скорость звука С характеризует скорость распространения в среде малых (звуковых) возмущений параметров состояния и движения среды (давления р, плотности р, массовой скорости и и др.)- Иначе говоря, местная скорость звука определяет скорость передачи в среде информации об изменении параметров движения и состояния в одних частицах среды по отношению к другим. Как следует из A.39), местная скорость звука С зависит от плотности р или от давления р, поскольку р = Арк, Напротив, плотность и давление могут быть выражены через местную скорость звука: р = /?(С), р — р(С), что позволяет преобразовать дифференциальные уравнения A.38), оставив в них в качестве неизвестных только массовую скорость и и местную скорость звука С. Дальнейшее преобразование этих дифференциальных уравнений (последовательное попарное сложение и вычитание уравнений движения и неразрывности) дает возможность представить математическое описание одномерного плоского нестационарного изоэнтропического течения газа в виде системы уравнений 68
2С \ я( 2С et +(-g) дх =ь ( p = p(C); p = p(C), A.42) полностью эквивалентной в математическом отношении системе A.38). При рассмотрении первых двух уравнений системы A.40)—A.42) нетрудно заметить, что в каждой точке плоскости изменения независимых переменных (я, t) можно выделить два характерных направления: dx - = (и + С); A.43) й± = {и-С). A.44) Вдоль первого направления A.43) (иначе говоря, при выполнении условия A.43)) дифференциальное уравнение в частных производных A.40) примет вид dt r dt дх или J 2С at dt+ ь\ d^° и, поскольку и+2С/(к-1) — f(x, t), сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению или к условию постоянства некоторого комплекса, выражаемому следующим алгебраическим уравнением: 2С U + -г 7 — а = COnst . A-46) /с — J. 69
Аналогичным образом в каждой точке плоскости изменения независимых переменных (ж, t) вдоль второго характерного направления A.44) (при выполнении условия A.44)) дифференциальное уравнение в частных производных A.41) сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению несколько иного вида, а именно (^H' (L47) или к условию постоянства некоторого другого комплекса: 2С и - = р = const. A-48) /с — 1 В целом же, в масштабах всей плоскости изменения независимых переменных (ж, <), обыкновенное дифференциальное уравнение A.43) описывает некоторое семейство линий, и вдоль любого бесконечно малого фрагмента каждой линии выполняется дифференциальное соотношение A.45), вследствие чего сохраняется неизменным значение комплекса A.46). Такие линии называются С+ -характеристиками, соотношения A.45) называются дифференциальными соотношениями на C-f-характеристиках, а сохраняющиеся неизменными комплексы A.46) называются инвариантами Римана. Аналогично обыкновенное дифференциальное уравнение A.44) в плоскости изменения независимых переменных (ж, t) описывает семейство С_-характеристик, обыкновенным дифференциальным уравнением A.47) выражаются соотношения на (^-.-характеристиках, а сохраняющиеся неизменными на каждой из этих характеристик инварианты Римана принимают вид A.48). Таким образом, характеристики уравнений газовой динамики для одномерных плоских нестационарных течений — это линии в плоскости изменения независимых переменных (ж, <), вдоль которых дифференциальные уравнения газовой динамики в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям или даже, как в рассмотренном частном случае изоэнтропического течения совершенного 70
газа, к алгебраическим уравнениям. В этом состоит математический смысл характеристик. Что же касается их физического смысла, то он следует непосредственно из дифференциальных уравнений A.43), A.44). Действительно, местная скорость звука С определяет скорость распространения малых (звуковых) возмущений в среде. При движении самой среды со скоростью и относительно неподвижной системы отсчета скорость распространения малых возмущений будет характеризоваться комплексом (и + С) в направлении оси координат (ось х) и комплексом (и — С) в противоположном направлении. Поэтому с точки зрения физического смысла характеристики уравнений газовой динамики для одномерных плоских нестационарных течений — это линии в плоскости изменения независимых переменных (ж, <), характеризующие распространение малых возмущений в данной среде в пространстве и во времени. Опираясь на представления о характеристиках уравнений газовой динамики, определим теперь понятия областей зависимости решения дифференциальной задачи и решения разностной задачи и сформулируем необходимое условие устойчивости Куранта (в некоторых случаях в литературе используется другое название — необходимое условие сходимости Куранта). На рис. 1.9 показана разностная сетка, которая может быть введена для решения задачи об истечении газа в пустоту методом конечных разностей. На рисунке выделен узел сетки Р, имеющий координатный индекс г и временной индекс j и соответствующий в плоскости изменения независимых переменных (ж, t) точке (жг-, tj). Под областью зависимости решения дифференциальной задачи в данной точке Р понимается совокупцость точек при t = 0, от значений начальных условий в которых зависит точное решение в данной точке Р. Аналогично область зависимости решения разностной задачи в данной точке Р — это совокупность узлов разностной сетки на начальном временном слое, от значений начальных условий в 71
Рис. 1.9. К определению понятий областей зависимости решения дифференциальной задачи (точки 1 и 2) и решения разностной задачи (группа узлов А на начальном временном слое) которых зависит разностное решение в данной точке Р. Отметим, что фактически в обоих случаях речь ведется о зависимости решения (точного или разностного) в точке пространства с эйлеровой координатой Х{ в момент времени tj. Через точку Р, как и через любую точку плоскости изменения независимых переменных (#, /), проходят две характеристики С+ и CL, пересекающие начальный временной слой t = 0 в точках 1 и 2 соответственно (для простоты на рис. 1.9 приведен частный случай с показателем адиабаты Пуассона к = 3, когда обе характеристики являются прямыми линиями). Вдоль каждой характеристики сохраняется неизменным соответствующий инвариант Римана, причем конкретное его значение может быть определено по любой точке этих характеристик, в которой одновременно известны массовая скорость и и местная скорость звука С. Такими точками являются как раз точки 1 и 2, в которых в соответствии с начальными условиями задаются значения всех параметров движения и состояния: ии рь Ръ Сь и2, V2, Р2, CV Таким образом, массовая скорость и и скорость звука С в произвольной точке С+-характеристики оказываются взаимосвязанными, т.е. = а\ = щ + Л-1 k-V 72
а в произвольной точке С_-характеристики эта взаимосвязь имеет вид 1С 2С2 Так как точка Р находится одновременно на обеих характеристиках, то массовая скорость и скорость звука в этой точке определяются из совместного решения приведенных выше двух линейных алгебраических уравнений. Последующее использование уравнений A.42) позволяет определить также давление и плотность в точке Р. Таким образом, точное решение дифференциальной задачи в данной точке Р имеет вид i#2 r i -02 иР = ; С = ; Ср (*1); РР = Р{Ср); рр = р(Ср) и полностью определяется значениями начальных условий в точках 1 и 2, которые и являются областью зависимости решения дифференциальной задачи в данной точке Р. Область зависимости решения разностной задачи определяется в первую очередь применяемым для аппроксимации дифференциальных уравнений шаблоном. Предположим, что для получения разностного решения используется шаблон «правый уголок» (см. рис. 1.5). В таком случае разностное решение в точке Р (узел (г, j)) зависит от разностного решения в двух узлах (г, j — 1) и (г — 1, j — 1) на предшествующем временном слое (см. рис. 1.9). В свою очередь, разностное решение в двух этих узлах зависит от решения в трех узлах на еще более низко расположенном временном слое j — 2: в узлах (г, j - 2), (г - 1, j - 2) и (г - 2, j - 2). Продолжая рассуждать подобным образом, приходим к выводу о том, что в итоге областью зависимости решения разностной задачи в точке Р будет являться группа узлов А на начальном временном слое. Очевидно, что для показанного на рис. 1.9 частного случая отсутствует взаимосвязь между областями зависимости решений разностной и дифференциальной задач. В такой ситуации нельзя рассчитывать на сходимость разностного решения к точному решению. Например, любое изменение 73
ф Рис. 1.10. Пример взаимного расположения областей зависимости точного и разностного решений, при котором выполняется необходимое условие устойчивости Куранта начальных условий в точке 1 или 2 (область зависимости решения дифференциальной задачи) приведет к изменению значений точного решения в точке Р, но оставит без изменения решение разностной задачи в этой точке. Из рассмотренного частного примера вытекает необходимое требование к устройству разностной схемы: для того чтобы имела место сходимость разностного решения к искомому точному решению при h —> 0, разностная схема должна быть устроена так, чтобы при h —» 0 в произвольной окрестности любой точки области зависимости решения дифференциальной задачи имелась точка области зависимости решения разностной задачи. Эта формулировка и является наиболее общим выражением условия устойчивости Куранта. На рис. 1.10 показан пример, где требование наличия взаимосвязи между областями зависимости точного и разностного решений соблюдено. В этом случае для нахождения разностного решения применен четырехточечный шаблон (см. рис. 1.6). На рис. 1.10 выделены все узлы, последовательно используемые для нахождения разностного решения в дан- 74
t j H / M л 'A и с, J~ u AX u ® Рис. 1.11. Пример взаимного расположения областей зависимости точного и разностного решений, при котором необходимое условие устойчивости Куранта не выполняется ной точке Р, включая область зависимости разностного решения — группу узлов А на начальном временном слое. В данном случае можно рассчитывать на сходимость разностного решения к точному решению. В окрестности точек 1 и 2 при h —> 0 обязательно будут находиться узлы из группы А. Поэтому любое изменение входных данных в окрестности этих точек приведет к изменению как точного, так и разностного решения. Из сопоставления двух рассмотренных примеров можно сделать вывод о том, что для удовлетворения условию устойчивости Куранта четырехточечный шаблон предпочтительнее шаблона «уголок». Однако даже при использовании четырехточечного шаблона условие устойчивости Куранта выполняется далеко не всегда. Пример этого показан на рис. 1.11. В этом случае одна из точек (точка 1 на рис. 1.11) области зависимости точного решения оказывается за пределами области зависимости разностного решения. На рис. 1.10 и 1.11 видно, что наличие или отсутствие взаимосвязи между областями зависимости точного и разностного решений при использовании одного и того же четырехточечного шаблона определяется параметрами разностной сетки, т.е. соотношением шагов сетки 75
по координате и по времени. Для удовлетворения условию устойчивости Куранта соотношение шагов сетки по времени г и по координате Ах должно выбираться в зависимости от искомого решения, а именно определяться наклоном характеристики, ориентированной под наименьшим углом по отношению к оси х. Наклоны же характеристик С+ и С- по отношению к оси х в соответствии с дифференциальными уравнениями характеристик A.43) и A.44) определяются значениями 1/(\и+ С\) и 1/(\и — С\). Поэтому соотношение шагов сетки по времени и по координате должно удовлетворять условию г . . ( 1 1 \ 1 -— < mm Ах ~ \\и + СУ \и-С\ которое обычно записывается в виде где Кг < 1 — число Куранта. Соотношение A.49) является математическим выражением условия устойчивости Куранта для одномерных задач, сформулированных с позиций подхода Эйлера (независимая пространственная переменная — эйлерова координата ж). Очевидно, что в этом случае условие устойчивости Куранта может быть интерпретировано следующим образом: допустимый шаг сетки по времени не должен превышать время, за которое наиболее быстрое звуковое возмущение fmax(|it + С|, \и — С\) = \и\ + С) пересекает одну ячейку сетки по координате. Опираясь на такую интерпретацию условия устойчивости, можно по аналогии получить его математическую запись для случаев, когда движение сплошной среды описывается с позиций Лагранжа в лагранжевых линейных координатах X или лагранжевых массовых координатах га. В соответствии с постановкой задачи, изложенной в разделе 1.1, в первом из двух этих случаев шаг сетки по координате должен задаваться величиной ДХ, а во втором — 76
величиной массового интервала Am = h = pqAX = р Дя, где шаг по лагранжевой линейной координате АХ может рассматриваться как начальная толщина лагранжевой ячейки, а шаг Ах — как ее текущая толщина при изменении плотности от начального значения ро до некоторого текущего значения р (см. рис. 1.1, а, б). При описании движения сплошной среды с позиций Лагранжа, по существу, используется сопутствующая система отсчета, относительно которой среда неподвижна, и скорость распространения малых (звуковых) возмущений определяется непосредственно местной скоростью звука С (а не комплексом (и + С) или (и — С), как это было в случае использования неподвижной системы отсчета при решении задачи в рамках подхода Эйлера). Поэтому допустимый шаг сетки по времени при использовании лагранжевых линейных координат должен определяться как _ Кг Ах _ Кт&Х(ро/р) _ КтАХрр Т ~ ~С~ ~ С " РС ' (L50) а при использовании лагранжевых массовых координат — как КгДт Кг Л ,, ,,ч т = -р-с- = -р-с- (L51) Во всех трех случаях (см. A.49)—A.51)) видно, что допустимый в соответствии с условием устойчивости Куранта шаг сетки по времени зависит от параметров состояния и движения среды (плотности /?, местной скорости звука С, массовой скорости и), которые, в свою очередь, зависят от координат и времени: р = p(m, t), С = С(т, /), и = и(т, t). Этим обстоятельством объясняется отмеченный в разделе 1.3 факт принципиальной неравномерности временной разностной сетки, когда шаг сетки по времени tj зависит от текущего значения времени tj = Tj(tj) (см. рис. 1.2). При этом в отличие от построения сетки по координате, как правило проводимого до начала разностного решения задачи, сетка по времени заранее построена быть не может. Шаг tj = tj+i — tj перехода 77
с одного временного слоя на другой может быть найден только после определения решения на текущем временном слое j. В связи с зависимостью решения в данный момент времени также и от координат допустимые шаги по времени т для различных ячеек или узлов пространственной разностной сетки различны. Поэтому в целом шаг временной разностной сетки tj — tj+\ — tj определяется как соответствующий условию устойчивости Куранта одновременно для всех ячеек или узлов пространственной разностной сетки по минимально допустимому шагу для всех ячеек или узлов. Например, при решении задачи в рамках подхода Лагранжа и использовании лагранжевых массовых координат шаг tj можно определить с помощью условия A.50) как Tj = min —:—г. A.52) 3 0<<N ?С3 Вопросы для самоконтроля 1. Как следует понимать утверждение о том, что течение газа обладает симметрией слоя? 2. Каковы характерные признаки одномерных плоских нестационарных течений сплошных сред? 3. Почему решение задач физики взрыва и удара, как правило, проводят в адиабатическом приближении? 4. На каком основании при математическом описании процессов взрыва и удара, как правило, пренебрегают влиянием массовых (объемных) сил? 5. Какова сущность подхода Эйлера к изучению движения сплошной среды? Что понимается под эйлеровой координатой при математическом описании одномерного плоского течения газа? 6. Что характерно для дивергентной формы представления системы дифференциальных уравнений газовой динамики? 7. Что такое вектор потока массы и вектор потока энергии? Какую информацию о движении сплошной среды позволяют получить эти величины? 78
8. Что такое тензор потока импульса? Какую информацию о движении сплошной среды позволяет получить эта величина? 9. Как следует понимать утверждение, что уравнения газовой динамики, записанные в дивергентной форме, представляют собой практически явное выражение соответствующих законов сохранения? 10. В чем состоит точка зрения Лагранжа на изучение движения сплошной среды? 11. Какими способами может быть осуществлена индивидуализация точек газа при его одномерном плоском течении? 12. Что понимается под лагранжевыми линейными координатами индивидуальных точек газа при его одномерном плоском течении? 13. Что понимается под лагранжевыми массовыми координатами индивидуальных точек газа при его одномерном плоском течении? 14. Как бы Вы задали лагранжевы линейные и лагранжевы массовые координаты при описании одномерных течений с осевой симметрией и с точечной симметрией? 15. В чем состоит принципиальное смысловое отличие частных производных какой-либо величины по времени при описании движения сплошной среды с позиций Эйлера и с позиций Лагранжа? 16. Чем и почему различаются полная (индивидуальная, субстанциональная) и локальная производные какой-либо величины по времени? 17. Какой из законов сохранения позволяет установить дифференциальную взаимосвязь лагранжевых и эйлеровых координат для одномерного плоского нестационарного течения? Как выглядит эта взаимосвязь? 18. Получите дифференциальное соотношение взаимосвязи лагранжевых и эйлеровых координат для одномерных течений с осевой симметрией. 79
19. Получите дифференциальное соотношение взаимосвязи ла- гранжевых и эйлеровых координат для одномерных течений с точечной симметрией. 20. В воздухе находится сферический заряд взрывчатого вещества радиусом До и плотностью ро, инициируемый из центра симметрии. Чему равны лагранжевы массовые координаты индивидуальных частиц воздуха и продуктов детонации взрывчатого вещества, находящихся на границе раздела (считать течение продуктов детонации и воздушной среды одномерным с точечной симметрией)? 21. Как выглядит матричная форма записи системы уравнений одномерного плоского газодинамического течения? 22. Охарактеризуйте систему уравнений одномерного плоского нестационарного течения совершенного газа. 23. Как следует понимать термин «квазилинейное дифференциальное уравнение»? 24. Каков смысл понятия «дифференциальная задача»? 25. Назовите этапы реализации метода конечных разностей применительно к решению задач механики сплошных сред. 26. Что понимается под дискретным аналогом сплошной среды? Чему с точки зрения механики сплошных сред соответствует переход от непрерывной сплошной среды к ее дискретному аналогу? 27. Что понимается под пространственно-временной разностной сеткой? 28. Что такое сеточные функции? Какое отношение они имеют к дискретному аналогу сплошной среды и что характеризуют? 29. К какому классу функций (непрерывные или дискретные) относятся сеточные функции? Что является их аргументами, каков характер этих аргументов? 30. В чем состоит сущность этапа аппроксимации при решении задач механики сплошных сред методом конечных разностей? 80
31. Определите понятие «разностная схема». 32. Определите понятия: «шаги сетки по координате и по времени», «массовый интервал», «узлы и ячейки сетки по координате», «целые и полуцелые точки по координате», «целые и полуцелые временные слои». 33. Чему с точки зрения механики сплошных сред соответствуют узлы и ячейки сетки по координате при решении одномерной плоской задачи газовой динамики, сформулированной с позиций подхода Лагранжа? 34. Чему с точки зрения механики сплошных сред соответствуют узлы и ячейки сетки по координате при решении одномерной плоской задачи газовой динамики, сформулированной с позиций подхода Эйлера? 35. Из каких двух противоречивых требований выбирается количество узлов сетки по координате? 36. Каков смысл понятия «реальные, или грубые, сетки»? 37. Назовите основную причину неравномерности временной разностной сетки. Почему в общем случае нельзя задавать временную разностную сетку равномерной? 38. Какие группы узлов разностной сетки имеют особое значение при решении методом конечных разностей одномерной задачи нестационарной газовой динамики? Почему? 39. Что понимается под проекцией точного решения на пространство сеточных функций? С какой целью вводятся в рассмотрение это понятие и соответствующие сеточные функции? 40. Что понимается под нормой произвольной сеточной функции? 41. Каким образом в принципе оценивается степень близости точного решения и реально найденных с помощью метода конечных разностей сеточных функций (разностного решения)? 81
42. Что понимается под дифференциальным оператором? В какой последовательности проводятся действия над непрерывной функцией при определении ее частных производных по координате и по времени? 43. Что является основой для аппроксимации дифференциальных операторов? 44. Что понимается под разностным оператором? В какой последовательности проводятся действия над дискретной сеточной функцией при определении ее разностных производных по координате и по времени? 45. Чем отличаются друг от друга правая, левая односторонние и центральная разностные производные по координате? 46. Как определяется на разностной сетке разностная производная второго порядка по координате? 47. Почему при аппроксимации частных производных на разностной сетке неизбежна погрешность аппроксимации? 48. Каким образом выявляется погрешность аппроксимации дифференциального оператора разностным оператором? От чего зависит погрешность аппроксимации? 49. Что называется порядком аппроксимации? Каковы порядки аппроксимации частной производной с помощью односторонних разностных производных и центральной разностной производной? 50. Что понимается под шаблоном для аппроксимации дифференциальных уравнений газовой динамики? Назовите известные Вам шаблоны для аппроксимации дифференциального уравнения движения при одномерном плоском нестационарном течении газа. 51. Какие конечно-разностные уравнения называются явными? В чем их отличие от неявных конечно-разностных уравнений? 82
52. Каким образом и в каких узлах разностной сетки задаются начальные и граничные условия (на примере одномерного плоского нестационарного течения газа)? 53. Определите понятие сходимости разностной схемы. 54. Что понимается под скоростью сходимости разностной схемы, под порядками точности разностной схемы? 55. Определите понятие устойчивости разностной схемы. 56. Как следует понимать символическую запись LU = / решаемой дифференциальной задачи? 57. Что понимается под входными данными при решении дифференциальной задачи? 58. Как следует понимать символическую запись L^Y = (р решаемой разностной задачи? 59. Расшифруйте определение устойчивости разностной схемы \\Y - У || < К\\<р - <р\\ (что есть что?). 60. Сформулируйте фундаментальную теорему теории разностных схем о взаимосвязи сходимости, устойчивости и аппроксимации. 61. Почему для получения разностного решения, сходящегося к искомому точному решению, не достаточно наличия одной аппроксимации? Поясните, почему разностная схема обязательно должна быть еще и устойчивой. 62. Что понимается под условием устойчивости разностной схемы? 63. Что понимается под областями зависимости решений дифференциальной и разностной задач? 64. Чем определяется область зависимости решения разностной задачи? 65. Сформулируйте в общем виде условие устойчивости Куранта. Поясните, почему для обеспечения сходимости разностного решения к искомому точному решению области зависимости точного и разностного решений должны быть определенным образом взаимосвязаны. 83
66. Запишите соотношение, выражающее условие устойчивости Куранта при решении одномерной задачи нестационарной газовой динамики в эйлеровых и лагранжевых координатах. 67. Что такое число Куранта, какие значения оно может принимать? 68. От чего зависит допустимый временной шаг разностной сетки? 69. Каков физический смысл условия устойчивости Куранта? 70. Как выбирают временной шаг разностной сетки в общем случае, когда допустимые значения шага для каждой ячейки сетки различны?
Глава 2 ОСНОВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Целью этой главы является знакомство с основными разностными схемами и методами численного решения одномерных задач механики сплошных сред на примере простейшей задачи о движении газа в трубе под действием поршня. В последовательности, определенной в главе 1 (построение дискретного аналога сплошной среды, аппроксимация дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями, аппроксимация начальных и граничных условий), здесь представлены три группы методов: сеточные методы, численный метод характеристик с его разновидностями, методы семейства «частиц в ячейках». Рассмотрены основные приемы, используемые для построения однородных разностных схем, и дан сравнительный анализ достоинств и недостатков различных разностных схем с точки зрения особенностей их практического применения. Следует отметить, что деление разностных методов на три указанные выше группы является достаточно условным и определяется особенностями математического описания движения деформируемой среды (система дифференци- 85
альных уравнений в частных производных или же характеристическая форма представления в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений), а также особенностями этапов дискретизации и аппроксимации при реализации метода конечных разностей для решения задачи. 2.1. Сеточные методы Это самая большая группа разностных методов, при использовании которых математическое описание движения среды представляется в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных. Для определенности будем считать, что одномерное плоское нестационарное движение газа в трубе под действием поршня описывается с позиций Лагран- жа. Примем за основу математическое описание движения газа с помощью лагранжевых массовых координат системой уравнений A.9), несколько дополнив ее и записав в виде % -« <»•*> ди д р = РЕ(к-1), B.5) при начальных условиях A.13) и граничных условиях A.14), A.15). Дополнительно включенное уравнение B.2) не является обязательным для построения замкнутой системы и используется в случае необходимости получения информации об изменении во времени эйлеровых координат частиц среды: х = = ж (га, t). Последнее обеспечивает возможность при необходимости перейти от описания движения газа с позиций Ла- гранжа (и = и(т, <), р = р(т, <), р = р(т, *), Е = Е(т, t)) к 86
описанию с позиций Эйлера (и = и(х, t), р = р(х, /), р = р(х, t), E = E(x,t)). Одной из самых простых разностных схем и в то же время достаточно распространенной является схема «крест». 2.1.1. Схема «крест» Особенностью этапа дискретизации для схемы «крест» является построение так называемой шахматной разностной сетки. Эта сетка показана на рис. 2.1 в плоскости изменения независимых переменных (га, t), где (так же как и на других рисунках далее) в кавычках даны обозначения шаблонов, используемых для определения соответствующих сеточных функций. Для простоты будем считать, что сетка является равномерной по координате с постоянным шагом (массовым интервалом) h. Граничныеусловия 1 1 1 Q^*****^ Начальные условия Рис. 2.1. «Шахматная» разностная сетка схемы «крест» с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений (стрелками указана последовательность вычислений значений сеточных функций в узлах сетки согласно конечно- разностным уравнениям) 87
При построении «шахматной» разностной сетки используется принцип ассоциирования различных сеточных функций с определенным типом узлов сетки. Например, сеточные функции скорости и эйлеровых координат (параметры движения дискретного аналога сплошной среды) считаются определенными в узлах (в целых точках) на целых временных слоях пространственной разностной сетки: u^xj. Напротив, сеточные функции, соответствующие параметрам состояния (плотности />, удельной внутренней энергии Е, давлению р), относятся к полуцелым точкам по координате (к центрам ячеек) и определены на полуцелых временных слоях: /^+i/2 > ^+1/2 > Р -4-1/2* Подобное «отнесение» различных параметров к различным типам узлов сетки оправдано с точки зрения механики сплошных сред. Ведь узлы пространственной разностной сетки (в случае лагранжева подхода) соответствуют индивидуальным точкам сплошной среды — математическим объектам, не имеющим размеров и характеризуемым лишь параметрами движения — скоростью и эйлеровыми координатами. Ячейки же сетки соответствуют индивидуальным частицам среды, в которых в процессе деформирования реализуется некоторое состояние, характеризуемое плотностью, удельной внутренней энергией и давлением. Задание сеточных функций в узлах различных типов позволяет использовать для аппроксимации большинства уравнений системы B.1)—B.5) четырехточечные шаблоны «крест», показанные на рис. 2.1. С использованием такого шаблона дифференциальное уравнение движения B.1) аппроксимируется следующим конечно-разностным уравнением: = 0. B.6) h Конечно-разностное уравнение движения B.6) является явным и позволяет вычислить на последующем временном слое скорость v?^ , используя известное значение скорости и\ в данном узле на предшествующем целом временном слое и значения давлений р*. А~ и f^-Jio B соседствующих с данным узлом ячейках на предшествующем полуцелом временном слое 88
пространственной разностной сетки. Входящие в уравнение B.6) разностные производные являются центральными относительно точки М на рис. 2.1, поэтому это конечно-разностное уравнение обеспечивает порядок аппроксимации п = 2 как по времени, так и по координате. Очевидно, что шаблон «крест» может быть применен для аппроксимации уравнения движения во всех внутренних узлах пространственной разностной сетки и выражение B.6) описывает целую группу однотипных алгебраических конечно-разностных уравнений, соответствующих изменению координатного индекса в пределах 1 < г < N — 1. Уравнение B.6) обеспечивает определение значений скорости во всех узлах (в индивидуальных точках) на последующем временном слое за исключением левого граничного (г = 0) и правого граничного (г = N) узлов. Полное « заполнение » последующего временного слоя значениями скорости обеспечивается с помощью граничных условий A.14) и A.15), принимающих на сетке следующий вид: ^ 0. B.7) Дифференциальное уравнение B.2) изменения во времени эйлеровых координат индивидуальных точек не содержит частной производной по координате, в связи с чем это уравнение аппроксимируется на « вертикальном » двухточечном шаблоне. Соответствующее конечно-разностное уравнение имеет следующий вид: J+1 J Tj 2 * ' и оно справедливо для всех узлов координатной сетки 0 < г < < N. Формально конечно-разностное уравнение B.8) выглядит как неявное, ибо в нем значения эйлеровой координаты i+l х^ на последующем временном слое выражаются через значения скорости и^ на этом же временном слое. Однако в сочетании с предварительным расчетом новых значений скорости по конечно-разностному уравнению движения B.6) уравнение B.8) приобретает явный характер и позволяет полностью «заполнить» последующий временной слой по эйлеровой координате х* . При этом конечно-разностное уравнение 89
B.8) обеспечивает порядок аппроксимации по времени п = 2, так как его правая часть (гг- + ^)/2 = и\ ' представляет собой скорость в данном узле на полу целом временном слое, а левая часть является центральной разностной производной по отношению к точке (г, j + 1/2), где эта скорость определена. Аппроксимация дифференциальных уравнений неразрывности и энергии проводится на показанном на рис. 2.1 шаблоне «крест», смещенном на полшага сетки по координате и по времени относительно шаблона «крест» для расчета скорости. Соответствующие конечно-разностные уравнения имеют вид B.9) ?.7+1/2 _ EJ-l/2 J+l/2 , Pi+i/2 1 h 2 h и при изменении координатного индекса в пределах 0 < г < < N — 1 справедливы для каждой ячейки дискретного аналога сплошной среды (минимальному значению координатного индекса % = 0 соответствует дробный индекс 1/2, обозначающий левую приграничную ячейку, а максимальному значению координатного индекса i = N - I — дробный индекс N - 1/2, обозначающий правую приграничную ячейку). Конечно-разностное уравнение неразрывности B.9) обеспечивает порядок аппроксимации п = 2 и является явным; оно позволяет вычислить значение плотности p\+^i2 на последующем полуцелом временном слое по ее предыдущему значе- нию ^гЧ-1/2 и по значениям скоростей и^, j и и! на предшествующем целом временном слое (в правом и левом по отношению к данной ячейке узлах). Что касается конечно- разностного уравнения энергии B.10), то очевидно, что оно содержит элемент неявности за счет использования неизвестного значения 3.^' При усреднении давления в данной ячейке 90
((Pi+l/2 +pUl/2j /2) на точку (i + 1/25 Л- Подобное усреднение осуществляется также для обеспечения порядка аппроксимации уравнения энергии п = 2 как по времени, так и по координате, что достигается за счет использования в уравнении B.10) разностных производных, центральных по отношению к точке (г + 1/2, j). Следует отметить, что формально присутствующая в конечно-разностном уравнении энергии неявность >+1/2 по Р-. I/O легко исключается, так как параметры состояния в произвольной ячейке на последующем временном слое должны быть взаимосвязаны через уравнение состояния J+l/2 _ Поскольку плотность р\хЦ2 определяется независимо по уравнению неразрывности B.9), с помощью уравнений B.10) и B.11) можно вычислить на последующем полу целом временном слое и удельную внутреннюю энергию Е3 ,,„ , и давление Рй-1/2* Таким обРазом5 конечно-разностные уравнения B.9) и B.10) в сочетании с уравнением состояния B.11), будучи примененными ко всем ячейкам пространственной разностной сетки, позволяют «заполнить» последующий полуцелый временной слой, определив на нем значения всех параметров состояния. Завершает построение разностной схемы задание на сетке начальных условий A.13). Для схемы «крест» задание начальных условий обладает некоторой спецификой, обусловленной принятым принципом дискретизации (параметры движения задаются на целых временных слоях, параметры состояния — на полу целых). Так, если начальные значения скорости и эйлеровой координаты задаются на начальном временном слое j = 0 естественным образом, т.е. иР = 0; x°i=ji, 0 < г < iV, B.12) 91
где L — начальная длина участка трубы, в которой заключен газ; N — количество ячеек пространственной разностной сетки, то начальные значения параметров состояния могут быть заданы лишь на ближайшем к начальному полуцелом временном слое, например, следующим образом (см. рис. 2.1): О < » < iV — 1. B.13) Ясно, что при таком отклонении от идеально точного представления начальных условий будет допущена погрешность задания входных данных. Однако при соблюдении условия устойчивости A.52), налагающего ограничение на выбор шага сетки по времени, влияние этой погрешности на разностное решение будет невелико (см. раздел 1.6). Приведенные выше алгебраические уравнения B.6)— B.13) (конечно-разностные уравнения движения, неразрывности и энергии, а также записанные для сеточных функций уравнение состояния, начальные и граничные условия) и представляют собой схему «крест», аппроксимирующую исходную дифференциальную задачу. Рассмотрим теперь в целом последовательность получения разностного решения в соответствии с построенной разностной схемой (см. рис. 2.1). Уравнения B.12) и B.13) задают значения сеточных функций на начальном (j = 0) и ближайшем к начальному полуцелом (с индексом 1/2) временных слоях. Условие устойчивости A.52) определяет шаг перехода по времени с начального временного слоя j = 0 на последующий временной слой j = 1. Конечно-разностные уравнения B.6) позволяют рассчитать значения скорости во всех внутренних узлах 1 < г < N -1 на целом временном слое j = 1, а с помощью кинематических граничных условий B.7) определяются значения скорости в граничных узлах г = 0 и г — N на этом же временном слое. Таким образом, целый временной слой j = 1 оказывается полностью «заполненным» значениями скорости. Последующее 92
использование конечно-разностных уравнений B.8) позволяет рассчитать значения эйлеровых координат всех узлов на этом же временном слое. В дальнейшем с помощью конечно- разностных уравнений B.9) проводится расчет плотности во всех ячейках на полуцелом временном слое с индексом 3/2, при этом используются начальные условия B.13) и полученное распределение скорости на целом временном слое j = 1. После этого используются конечно-разностное уравнение энергии B.10) и уравнение состояния B.11), позволяющие рассчитать удельную внутреннюю энергию и давление в каждой ячейке на полуцелом временном слое с индексом 3/2. Таким образом, полуцелый временной слой с индексом 3/2 оказывается полностью «заполненным» значениями параметров состояния. На этом цикл расчета одного временного шага завершается, и воспроизводится ситуация, аналогичная имевшей место вначале (задание параметров движения на целом временном слое, задание параметров состояния на ближайшем к данному целому полуцелом временном слое). Теперь уже имеется возможность определения скоростей и координат на следующем целом временном слое j = 2, а параметров состояния на полуцелом временном слое с индексом 5/2. Таким образом, проводится последовательный переход с одного временного слоя на другой, сопровождаемый определением разностного решения в виде распределений параметров движения и состояния по координате в различные моменты времени. По существу же, такая расчетная процедура реализует пошаговое численное интегрирование системы дифференциальных уравнений B.1)—B.5) с учетом соответствующих начальных и граничных условий. Следует отметить, что, несмотря на простоту схемы «крест», ее довольно широко используют при численном решении задач механики сплошных сред, так как она является основой «конструкции» множества других разностных схем (схемы Неймана — Рихтмайера, схемы Лакса — Вендроффа, схемы метода Уилкинса, схемы Фромма метода Мейдера и Др.). Это объясняется достаточно высоким порядком аппроксимации п = 2, обеспечиваемым в целом схемой «крест», а 93
также рядом других достоинств, связанных с ее особенностями. Одним из таких достоинств является, например, простота реализации кинематических граничных условий при решении задачи в переменных Лагранжа. В этом случае граница имеет не изменяющуюся во времени лагранжеву координату (в отличие от меняющейся эйлеровой координаты при использовании подхода Эйлера), а задание кинематических граничных условий сводится всего лишь к заданию соответствующих значений сеточной функции скорости в граничных узлах, в то время как давление, плотность и другие параметры состояния определяются в приграничных ячейках по общим конечно- разностным уравнениям. Несмотря на свои достоинства, схема «крест» в приведенном выше виде (см. B.6)—B.13)) не лишена недостатков, главным из которых является невозможность ее использования при расчете течений с ударными волнами. В приложении к рассматриваемой в качестве примера одномерной плоской нестационарной задаче о движении газа в трубе под действием поршня описанная выше разностная схема может быть успешно применена для решения задачи с выдвигающимся поршнем (соответствует условию ип < 0) и формированием волны разрежения в газе. При вдвигании же поршня в газ (ип > 0), например, с постоянной скоростью в газе будет распространяться стационарная ударная волна, фронт которой представляет собой резкий скачок (сильный разрыв) параметров (см. рис. 1.1). При попытке расчета такого процесса с помощью схемы «крест» с соблюдением условия устойчивости Куранта разностное решение выглядело бы примерно так, как это показано на рис. 2.2 для некоторого момента времени tj. Вместо характерного для стационарной ударной волны распределения параметров (область невозмущенной среды, резкий скачок параметров — фронт ударной волны, «полочка» — равномерное распределение параметров между фронтом и поршнем) разностное решение будет представлять собой пилообразное распределение параметров с резко выраженными минимумами и максимумами, меняющимися местами всего за один шаг сетки по времени. Очевидно, что такой характер разностного 94
рис. 2.2. Характер точного решения при распространении в газе стационарной ударной волны (штриховая линия) и разностного решения при расчете по схеме «крест» (кружки и сплошная линия) т решения говорит о проявлении некоторого неупорядоченного колебательного процесса дискретного аналога сплошной среды и о проявлении некоей неустойчивости разностной схемы. При этом подобная картина будет сохраняться при любом, даже очень большом, количестве узлов сетки по координате. Причины такого поведения разностного решения при расчете течений с ударными волнами связаны одновременно с особенностями системы дифференциальных уравнений B.1)— B.5) и особенностями искомого решения для случая ударной волны. Дело в том, что входящие в эту систему дифференциальные уравнения справедливы для непрерывных течений, когда производные по координатам не могут быть бесконечно большими, как это имеет место на фронте ударной волны. Именно поэтому построенная на основе аппроксимации этой системы уравнений схема «крест» не в состоянии правильно воспроизводить разрывное решение ни по параметрам за фронтом ударной волны, ни по скорости его распространения. Тем не менее существуют подходы к использованию схемы «крест» для численного решения задач о распространении ударных волн, позволяющие преодолеть отмеченную трудность. Один из таких подходов связан с делением всей области течения на ряд подобластей и использованием этой разностной схемы для расчета тех подобластей, где параметры движения и состояния, или, как их еще называют, параметры течения, не терпят сильного разрыва. Окрестность фронта ударной волны при этом выделяется на разностной сетке и рассчитывается по особому алгоритму. Подобным образом поступают в рамках так называемого комбинированного сеточно-характеристического метода (см. раздел 3.3), 95
когда необходимо обеспечить максимально высокую точность расчета параметров на фронте ударной волны. Более простым и удобным с точки зрения построения разностной схемы является подход, связанный с использованием специальных искусственных приемов, позволяющих рассчитывать сильный разрыв (фронт ударной волны) без его специального выделения на разностной сетке. Подобный подход сопряжен с некоторой модификацией разностной схемы, придающей ей свойство однородности по отношению к расчету сильного разрыва. Под однородными разностными схемами понимаются схемы, позволяющие рассчитывать всю область течения по одинаковым конечно-разностным уравнениям (вести так называемый сквозной расчет), а положение фронта ударной волны и параметры на фронте определять из расчета автоматически. Рассмотрим принцип построения однородных по отношению к расчету сильного разрыва разностных схем и основанную на этом принципе модификацию схемы «крест» — схему Неймана — Рихтмайера. 2.1.2. Принцип построения однородных разностных схем с псевдовязкостью. Схема Неймана — Рихтмайера Для расчета распространения ударной волны без специального выделения на разностной сетке ее фронта применяется метод «размазывания» фронта за счет введения в систему конечно-разностных уравнений некоторых так называемых «диссипативных членов» (например, псевдовязкости, или, как ее еще называют, искусственной вязкости), моделирующих действие реальной вязкости и преобразующих кинетическую энергию колебательного движения дискретного аналога сплошной среды в его внутреннюю тепловую энергию. Покажем, что наличие у сплошной среды вязких свойств приводит к ликвидации фронта ударной волны как такового, к его «размазыванию» и, по существу, к замене фронта областью относительно плавного изменения параметров по координате. 96
Как известно (см. том 1), реальная (физическая) вязкость — это способность сплошной среды оказывать сопротивление относительному движению ее частиц или реагировать на скорости деформаций. В соответствии с моделью вязкой среды уравнения, определяющие физическое и механическое поведение среды, выглядят следующим образом: G = -р + 3\ё] B.14) (Аг) = 2/х(^), B.15) где а — среднее напряжение; р — давление (применительно к газу называемое газодинамическим или газокинетическим давлением и определяемое уравнением состояния); (Da) — де- виатор напряжений; {D-e) — девиатор скоростей деформаций; ё — средняя скорость деформаций; Аи/i — динамические коэффициенты реальных объемной и сдвиговой вязкостей соответственно. В частном случае при Л = /х = 0 из B.14) и B.15) следуют определяющие уравнения для модели идеальной среды: G = -ри (Аг) = 0. Предположим, что имеется вязкая среда, обладающая только реальной объемной вязкостью (Л ф 0, // = 0). Определяющие уравнения для модели такой среды о = -р + ЗАб = -(р - ЗЛё) = -(р +q) = -p; (Ах) = 0 очень похожи на определяющие уравнения для модели идеальной среды с тем лишь различием, что вместо давления р в них фигурирует эффективное давление р = р + q — сумма газодинамического давления р и вязкой составляющей эффективного давления (вязкой добавки) q = -ЗЛв. B.16) Для рассматриваемого примера одномерного плоского движения газа средняя скорость деформаций определится производной скорости по координате, т.е. 4 - 2728 97
вязкая добавка будет равна ди ди B.18) а определяющее уравнение для модели вязкой среды примет вид Оценим теперь, как повлияет наличие у среды реальной объемной вязкости на математическое описание ее течения, а также на процесс течения среды при распространении в ней ударной волны. Уравнение движения идеальной среды, физическое поведение которой описывается уравнением а = -р, принимает для одномерного плоского нестационарного течения вид уравнения Эйлера du dp P~dt=~]h' В такой среде возможно распространение ударных волн с резкими скачками параметров на фронте (см. на рис. 2.3 распределение массовой скорости и для случая А = 0). Для модели вязкой среды, описываемой определяющим уравнением B.19), и 0 В N Ч к > 1=0 /77 Рис. 2.3. Характер распределения массовой скорости в окрестности фронта стационарной ударной волны при ее распространении в идеальной и вязкой средах 98
в связи с появлением вязкой добавки q B.18) к газодинамическому давлению р уравнение движения приобретает вид уравнения Навье — Стокса отличающегося от уравнения Эйлера наличием дополнительной составляющей, зависящей от динамического коэффициента реальной объемной вязкости и частной производной второго порядка скорости по координате. В вязкой среде невозможно распространение резких скачков параметров, подобных скачкам, наблюдающимся в идеальной среде. Если предположить обратное и допустить существование в вязкой среде с динамическим коэффициентом реальной объемной вязкости Л = Ai ф О распределения скорости, характерного для ударной волны, то в соответствии с B.18) на фронте ударной волны должны возникать бесконечно большая вязкая добавка q и бесконечно большое эффективное давление р. Это должно приводить к ускорению частиц среды перед фронтом ударной волны и замедлению частиц за фронтом, т.е. к «размазыванию» фронта, а также к ликвидации фронта как резкого скачка параметров и к замене фронта областью относительно плавного изменения параметров по координате (см. на рис. 2.3 распределение массовой скорости и для случая Л = Ai). При ударно- волновом нагружении вязких сред вводят понятие эффективной ширины фронта ударной волны, понимая под этим характерный размер / области «размазывания» фронта. Эффективная ширина фронта ударной волны зависит от динамического коэффициента реальной объемной вязкости и возрастает с увеличением последнего: /2 > h ПРИ ^2 > ^1 (см- Рис- 2.3). На основе охарактеризованного выше влияния реальной объемной вязкости на распределения параметров течения в окрестности фронта ударной волны и реализуется подход к построению однородных разностных схем, позволяющих проводить сквозной расчет течений с ударными волнами. При этом по аналогии с реальной объемной вязкостью (когда появляется вязкая добавка q B.18) к газодинамическому давлению р) осуществляется ввод в разностную схему аддитивной 4* 99
(суммируемой) искусственной вязкой («квазивязкой») добавки к газодинамическому давлению р — псевдовязкости {ди О при — > О, I«m a. „ B'21> при — < О, am где Апв — коэффициент псевдовязкости, имеющий размерность динамического коэффициента реальной объемной вязкости [Па • с]. В отличие от реальной вязкости, действующей во всей области течения среды, псевдовязкость вводится в разностную схему только для области течения, соответствующей «размазываемому» фронту ударной волны, т.е. для области, где проявляется тенденция к сжатию индивидуальных частиц среды. На рис. 2.3 этой области соответствует условие ди/дт < 0 (дивергенция вектора скорости отрицательная). Области же, где распределение скорости отвечает условию ди/дт > О, интерпретируются как не содержащие фронта ударной волны (дивергенция вектора скорости положительная — проявление тенденции к расширению индивидуальных частиц), и в таком случае отсутствует необходимость введения псевдовязкости в разностную схему. Псевдовязкость B.21) называют иногда скалярной, отличая от имеющей более сложный вид тензорной псевдовязкости, которая строится по аналогии с реальной сдвиговой вязкостью и используется при решении многомерных задач механики сплошных сред. В этом разделе ограничимся рассмотрением лишь скалярной псевдовязкости, которую подразделяют на три вида: линейную, квадратичную и комбинированную. Линейная псевдовязкостъ определяется постоянным коэффициентом Апв = АЛСЛ, где Ал — безразмерный коэффициент линейной псевдовязкости; С — скорость звука в среде; h — шаг сетки по координате (для рассматриваемого примера — массовый интервал). В целом линейная псевдовязкость имеет вид ди О при 7г->0, *=< ди ди <2'22> - ХлрСН^— = -ХлрСАи при ^— < О, от от 100
рис. 2.4. «Размазывание» фронтов стационарных ударных волн различной интенсивности с помощью линейной псевдовязкости (точное решение — штриховые линии, разностное — кружки и сплошные линии) где Аи = hdu/dm — перепад скорости в пределах одной ячейки сетки по координате. Ввод в разностную схему линейной псевдовязкости приводит к проявлению эффекта «размазывания» фронта ударной волны, подобного показанному на рис. 2.4, где для двух стационарных ударных волн различной интенсивности штриховыми линиями обозначено точное решение, а сплошными линиями и кружками — разностное. «Размазывание» фронта происходит в пределах эффективной ширины /, зависящей прежде всего от коэффициента линейной псевдовязкости Лл. Обычно значение этого коэффициента задается в пределах 0,5... 1,0, и в этом случае обеспечивается эффективная ширина фронта / = C .. . 5)/i (практически удовлетворительной считается ширина фронта /< E...10)/0* Линейная псевдовязкость обладает существенным достоинством, заключающимся в эффективном подавлении малых осцилляции (колебаний) параметров за фронтом ударной волны. Однако ей присущ и весьма существенный недостаток, проявляющийся в зависимости при Апв = \лС1г = const ширины зоны «размазывания» фронта от интенсивности ударной волны. Характер этого влияния показан на рис. 2.4 и сводится к увеличению эффективной ширины « размазываемого » фронта с уменьшением интенсивности ударной волны: l<i > l\ при и2 < и\. Подобный эффект весьма не желателен, так как он может приводить к снижению точности разностного решения, особенно при расчете процессов, связанных с сильным затуханием ударных волн. 101
Квадратичная псевдовязкость (псевдовязкость Неймана— Рихтмайера) определяется таким образом, чтобы исключить зависимость эффективной ширины фронта ударной волны от ее интенсивности. В этом случае коэффициент псевдовязкости АПв = \к^\ди/дт\ является варьируемой величиной, зависящей от интенсивности ударной волны, характеризуемой величиной ди/дт. Менее интенсивной ударной волне в окрестности «размазываемого» фронта соответствуют меньшее значение ди/дт, меньший коэффициент псевдовязкости Апв и меньшая степень «размазывания» фронта по отношению к той, какой она была бы при постоянном коэффициенте линейной псевдовязкости. Таким образом, при уменьшении интенсивности ударной волны увеличение эффективной ширины фронта сопровождается уменьшением коэффициента псевдовязкости Апв, что и приводит к независимости ширины «размазываемого» фронта ударной волны от ее интенсивности. В целом квадратичная псевдовязкость имеет вид О при ^> ди дт ди dm \ ) = Кр{ЬчI при -|р < 0. B.23) Значение безразмерного коэффициента квадратичной псевдовязкости Ак подбирается исходя из удовлетворительного «размазывания» фронта ударной волны на несколько ячеек пространственной разностной сетки и обычно находится в пределах Ак = 1...4. Отмеченное выше важнейшее достоинство квадратичной псевдовязкости обеспечивается за счет ее особого вида B.23). Однако это же обстоятельство обусловливает и недостатки, присущие квадратичной псевдовязкости. Так, большое значение ди/дт в окрестности «размазываемого» фронта приводит к появлению большой квадратичной псевдовязкости (большей, чем линейная псевдовязкость в том случае, когда 102
она пропорциональна ди/дт). Это порождает малые осцилляции параметров за фронтом ударной волны (пример малых осцилляции показан на рис. 2.4). Малые же осцилляции квадратичная псевдовязкость подавляет менее эффективно, чем линейная (при малых значениях ди/дт квадратичная псевдовязкость q ~ (ди/дтJ является величиной более высокого по- рядка малости, чем линейная псевдовязкость q ~ (ди/дтI ). Комбинированная псевдовязкость представляет собой сумму двух ее составляющих — квадратичной и линейной псевдовязкостей — и имеет вид ди О при — > О, Т /л \2 о B-24) х ™ ди 2 1 ди \ ди Л ч ' - ллрСН— + \Kph* ^— при —- < 0. от \omj dm Комбинированная псевдовязкость находит применение в том случае, когда стремятся максимально использовать достоинства квадратичной и линейной псевдовязкостей. При этом сочетание коэффициентов Ал и Ак составляющих комбинированной псевдовязкости также должно подбираться исходя из обеспечения требуемого «размазывания» фронта. Необходимо отметить, что в B.22)—B.24) линейная, квадратичная и комбинированная псевдовязкости определены для примера одномерного плоского течения. Именно для этого случая реальная объемная вязкость, являющаяся основой для построения псевдовязкости, может быть выражена через производную единственной отличной от нуля компоненты вектора скорости по координате: f = - В более общем случае, для течений произвольной геометрии (одномерные течения с осевой и точечной симметриями, двумерные и трехмерные течения), реальная объемная вязкость может быть определена по относительной скорости изменения плотности р или удельного объема V = l/р частиц 103
среды. Действительно, с учетом уравнения неразрывности dp/dt + pViV1 = О имеем q = -А(Зё) = -AV.V = +\р/р = -XV/V, причем тенденции к сжатию частиц соответствует условие V/V < 0, а тенденции к их расширению — условие V/V > 0. Поэтому для общего случая псевдовязкость по аналогии с реальной вязкостью определяется так, как это показано на следующем примере комбинированной псевдовязкости: 4 = О при - > О, v ./*\> v B'25) + \А21\ 0 + \крА1-\ при - где А — характерный размер ячейки пространственной разностной сетки. Таким образом, псевдовязкость — это искусственный механизм, позволяющий осуществлять сквозной расчет ударных волн без явного выделения их фронтов на разностной сетке. Разностная схема с псевдовязкостью является однородной. Под областью фронта в этом случае понимается область резкого изменения параметров течения (при отсутствии в распределениях параметров сильных разрывов). Следует подчеркнуть, что ширина ударного перехода, обусловленная действием псевдовязкости, не имеет никакого отношения к реальной ширине фронта ударной волны. Реальная ширина, фронта ударной волны в газах, жидкостях и твердых телах составляет несколько длин свободного пробега молекул. Эффективная же ширина «размазываемого» за счет псевдовязкости фронта определяется, по существу, параметрами сетки по координате (/ = C .. .5)/i). Рассмотрим теперь, каким образом осуществляется ввод псевдовязкости непосредственно в разностную схему на примере схемы Неймана — Рихтмайера, являющейся модификацией схемы «крест» (см. конечно-разностные уравнения B.6)— B.13)). 104
В схеме Неймана — Рихтмайера использована квадратичная псевдовязкость, для описания которой на разностной сетке вводится еще одна сеточная функция — функция псевдовязкости q?1y2, определенная по координате в центрах ячеек, а по времени на целых временных слоях (рис. 2.5). Согласно изложенным выше представлениям о псевдовязкости последняя является аддитивной «квазивязкой» добавкой к давлению, т.е. сумма газодинамического давления и псевдовязкости определяет эффективное давление: р — р + q. Поэтому модификация схемы «крест» сводится к изменению конечно- разностных уравнений движения B.6) и энергии B.10), в которых участвует давление (замена давления р эффективным давлением р), а также непосредственно к определению сеточной функции псевдовязкости. Например, конечно-разностное уравнение движения схемы Неймана — Рихтмайера будет выглядеть как B.26) J + 1 \ „k / I /I Рис. 2.5. «Шахматная» разностная сетка схемы Неймана — Рихтмайера с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений и вычисления значений сеточных функций 105
где сеточная функция эффективного давления ^_ = PJ--i/o + 9\-i/2 B кажд°й ячейке определяется суммой сеточных функций газодинамического давления Р^_ 2 /2 и псевдовязкости д^/з' При этом газодинамическое давление определяется согласно уравнению состояния B.11), а квадратичная псевдовязкость — на основании B.23) по значению перепада скорости Аи = hdu/dm = и^ — i^_j между двумя узлами, ограничивающими данную ячейку: О при и{ - и\_х > О, при и? — uj_j < 0. С целью сохранения явного характера конечно-разностного уравнения движения B.26) схемы Неймана — Рихтмайера сеточная функция псевдовязкости вычисляется по распределению скорости гг? на предшествующем временном слое — псевдовязкость 4J_i/o как ^ы <котстает» на полшага по времени по отношению к газодинамическому давлению v\_i/2 • На рис. 2.5 показан шаблон для аппроксимации уравнения движения схемы Неймана — Рихтмайера. Этот шаблон несколько сложнее шаблона «крест» за счет включения дополнительных узлов (г - l,j) и (г + 1, j), необходимых для вычисления псевдовязкости согласно B.27). При этом утрачивается присущая шаблону «крест» симметрия относительно узла (г, j + 1/2) сетки, что ведет к уменьшению порядка аппроксимации уравнения движения до п = 1. Аналогичным образом в схеме Неймана — Рихтмайера модифицируется и конечно-разностное уравнение энергии B.10), которое с введением псевдовязкости приобретает вид /Г>+1/2 _ Ы-1/2 /J+l/2 _ i-1/2 г+1/2 г+1/2 . / *t+l/2 Pi+l/2 . j Tj 106
где в скобках находится сеточная функция эффективного давления pj,!/2 на телом временном слое j. Шаблон для расчета удельной внутренней энергии также приведен на рис. 2.5. По набору необходимых узлов разностной сетки он практически не отличается от соответствующего шаблона схемы «крест». При использовании псевдовязкости фронт ударной волны ликвидируется как таковой. Он заменяется областью достаточно резкого и в то же время непрерывного изменения параметров течения вследствие «размазывания» на несколько (до 5—10) ячеек сетки по координате. В случае необходимости уточнения положения фронта ударной волны на основе разностного решения используются специальные приемы. Положение фронта ударной волны может определяться с помощью так называемого дифференциального анализатора фронта или же как положение так называемого центра сглаженных ударных волн. При определении положения фронта с помощью дифференциального анализатора принимают во внимание, что скорость изменения объема частиц Зе = Vtv* = ди/дх = рди/дт на фронте ударной волны в идеальной среде бесконечно велика, а в вязкой среде достигает максимального по модулю значения (см. рис. 2.3). В связи с этим применение дифференциального анализатора фронта основано на предположении, что фронт ударной волны в данный момент времени находится в том узле разностной сетки, в котором максимальна псевдовязкость q = -АпвCё) = -\пврди/дт. Этот прием весьма эффективен, так как позволяет по ходу получения разностного решения определять положение фронта путем анализа значений сеточной функции псевдовязкости. Под центром сглаженных ударных волн понимается узел пространственной разностной сетки, в котором значение разностного решения в данный момент времени не зависит от шагов сетки по координате и по времени. Практически центр сглаженных ударных волн определяется путем проведения не менее двух расчетов одного и того же процесса на сетках с различными шагами по координате (а следовательно, и по времени). Положение узла сетки, в котором разностные решения 107
/77 Рис. 2.6. К определению положения фронта ударной волны как центра сглаженных ударных волн (кружки, сплошная и штриховая линии — разностные решения на сетках с различными шагами по координате): УВ — центр сглаженных ударных волн — положение фронта ударной волны для обоих вариантов одинаковы (или близки), и принимается за положение фронта ударной волны в данный момент времени (рис. 2.6). 2.1.3. Схема Лакса. Понятие аппроксимационной вязкости Так же как и схема Неймана — Рихтмайера, схема Лакса позволяет проводить сквозной расчет ударных волн без специального выделения их фронтов на разностной сетке и является однородной по отношению к сильным разрывам. Однако это обеспечивается не за счет специального ввода в разностную схему «диссипативных членов», а путем особого способа аппроксимации дифференциальных уравнений конечно- разностными соотношениями. Принцип построения дискретного аналога сплошной среды для схемы Лакса весьма прост. Рассматривается равномерная пространственная разностная сетка с массовым интервалом Л, определяемая совокупностью узлов (целых точек) с фиксированными значениями лагранжевой массовой координаты гаг = г/i, где 0 < г < N. Временная разностная сетка 108
t + / j 1 (i «?» 0 L-1 i 1+1 N /77 Рис. 2.7. Разностная сетка схемы Лакса с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений определяется совокупностью целых временных слоев с фиксированными значениями времени tj, при этом шаг сетки по времени tj = tj-^-i —tj = т определяется в соответствии с условием устойчивости Куранта A.52). На такой разностной сетке все сеточные функции и!,х1,р!, Е\, р! считаются заданными в ее узлах. Аппроксимация уравнений движения и неразрывности ведется на трехточечном шаблоне, а уравнения энергии — на четырехточечном (рис. 2.7). Основной особенностью схемы Лакса является то, что при аппроксимации производных по времени в узле (г, j) сетки наряду со значением сеточной функции // на последующем временном слое используются значения сеточной функции fi 4- fi jj _ Jj+i + Jj-\ B.28) на предшествующем временном слое, усредненные на узел (i, jf) по двум ближайшим по координате узлам. Координатные же производные представляются в виде центральных разностных производных. В целом явные конечно-разностные Уравнения, аппроксимирующие законы сохранения импульса, массы и энергии, имеют вид 109
- и\ Р;+1 - v\-\ /; - 7У7 После определения значений сеточных функций uj, p\ , Е? на последующем временном слое новые значения эйлеровых координат вычисляются по конечно-разностному уравнению B.8), а давление — по уравнению состояния р{ = р+ ti^ \к — 1). \1.61) При рассмотрении уравнений B.29)—B.31) совместно с B.28) нетрудно убедиться в том, что они эквивалентны конечно-разностным уравнениям : + kl = wz и > к2-66) 2/г h2 l//4+1 - 2/р( + 2т h2 B.34) г r% 2/i h2 Е? ¦ " Yt h2 ' B*35) в правых частях которых содержатся разностные производные второго порядка соответствующих сеточных функций (см. для сравнения A.25)). С учетом этого приходим к выводу, что конечно-разностными уравнениями B.29)—B.31) схемы Лакса реально аппроксимируются дифференциальные уравнения но
ди dp _ д2и ди д\\1р) at dm - Аа дЕ ди д2Е . + А B-38) отличающиеся от уравнений газовой динамики B.1), B.3) и B.4) наличием в правых частях составляющих, зависящих от частных производных второго порядка скорости, удельного объема и удельной внутренней энергии и от шагов сетки по координате и по времени, объединяемых коэффициентом аппроксимационной вязкости Аа = Л2/Bг). B.39) Несмотря на такое обстоятельство, конечно-разностные уравнения схемы Лакса в пределе все же аппроксимируют систему уравнений динамики идеального газа, так как вследствие выполнения условия устойчивости Куранта A.52) г ~ h и при h —> О Аа = O(h) —> 0, а система уравнений B.36)—B.38) сводится к системе уравнений B.1), B.3) и B.4). На реальных же разностных сетках, для которых Аа ф 0, конечно-разностному уравнению движения B.33) соответствует дифференциальное уравнение B.36), практически совпадающее с уравнением Навье — Стокса движения вязкой среды (см. для сравнения B.20)). На основании такого соответствия правая часть конечно-разностного уравнения B.33) называется аппроксимационной вязкостью, а коэффициент B.39) — коэффициентом аппроксимационной вязкости (по аналогии и правые части конечно-разностных уравнений неразрывности B.34) и энергии B.35) также называют аппроксимационной вязкостью, хотя общность с вязкостью здесь заключается лишь в структуре математического выражения). Наличие в конечно-разностных уравнениях аппроксимационной вязкости приводит к такому же эффекту, что и наличие реальной объемной вязкости, — «размазыванию» фронта ill
ударной волны на несколько ячеек сетки по координате. Таким образом, аппроксимационная вязкость — это внутренний присущий разностной схеме механизм, проявляющийся вследствие особенностей аппроксимации дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями и позволяющий проводить сквозной расчет ударных волн без специального выделения их фронтов на разностной сетке. Вследствие определения всех сеточных функций только в целых точках по координате на целых временных слоях {и^, х\, р\, Е\, р\) задание начальных условий в схеме Лакса проводится самым простым образом и для начального временного слоя j = 0 сводится к элементарным алгебраическим уравнениям и°г = О, р? = p0, р°г = ро, Е? = ?о, где 0 < г < N (см. раздел 1.5). Однако по этой же причине задание даже самых простых кинематических граничных условий сопряжено с гораздо большими трудностями, чем это было при использовании схемы «крест». Например, для рассматриваемой базовой задачи кинематическое граничное условие на границе газа с поршнем т = О задает значение единственной сеточной функции — массовой скорости uJ0 = un. В соответствии с принятым для схемы Лакса принципом дискретизации на границе должны быть определены также и значения остальных сеточных функций — р3^~ , Е^~ , Pq+ . Для расчета граничных значений сеточных функций />q , Eq , Pq используются дифференциальные уравнения неразрывности B.3) и энергии B.4), аппроксимируемые в граничном узле г = 0, а также уравнение состояния B.5). Очевидно, что трехточечный шаблон схемы Лакса не может быть применен для этой цели (см. рис. 2.7). Шаблон схемы Лакса и соответствующие ему конечно-разностные уравнения B.29)— B.32) применимы лишь для расчета значений сеточных функций во внутренних узлах разностной сетки. Для расчета граничных условий конечно-разностные уравнения схемы Лакса должны быть дополнены иными конечно-разностными уравнениями, построенными на основе шаблона, позволяющего проводить аппроксимацию дифференциальных законов сохранения на границе. 112
2.1.4. Схемы «прямоугольник» и «уголок» как дополняющие схему Лакса при расчете граничных условий Примером шаблона, позволяющего проводить аппроксимацию дифференциальных законов сохранения на границе и определять в дополнение к кинематическим граничным условиям uJ0 = ип значения остальных сеточных функций pJ0 , El •> Pq ? является шаблон «прямоугольник», показанный на рис. 2.8. Этот шаблон включает четыре узла сетки, соответствующие граничному (г = 0) и ближайшему приграничному (г = 1) узлам по координате и предыдущему (j) и последующему (j + 1) временным слоям. По своей сути конечно-разностные уравнения схемы «прямоугольник» являются конечно-разностными уравнениями схемы «крест», записанными по отношению к значениям сеточных функций в полуцелых точках (г + 1/2, j), (t'+l/2, jf + 1), (г, i+1/2) и (г + 1, Jf+ 1/2), при этом значения в этих точках находятся путем усреднения значений сеточных функций в целых точках, включая и искомые граничные J+f Граничные Внутренние узпы узлы Рис. 2.8. Шаблон «прямоугольник», дополняющий схему Лакса при расчете значений сеточных функций на границе 113
значения (например, l/pgl/2 = (l//^'+1 + l/^JJjA EJ+1/2 = = (Е{ + Е{+1)/2, ttj+1/2 = (tt/+1 + uj')/2 и т.п.). Конечно- разностное уравнение неразрывности на границе г = 0 будет иметь вид а конечно-разностное уравнение энергии — _n Нетрудно заметить, что по отношению к точке (г+1/2, j+ + 1/2) разностные производные в уравнениях схемы «прямоугольник» являются центральными, что обеспечивает порядок аппроксимации п = 2 как по времени, так и по координате. По формальному признаку эти конечно-разностные уравнения являются неявными, выражая искомые граничные значения р! , Ej через значения сеточных функций и?^, р\+\ > ?/+i 5 p??i > ^+ ^ Р^ на последующем временном слое. Однако в сочетании с предварительным вычислением сеточных функций t^j, p\+\i ^-fi*' W+l B0 внУтРенних узлах с помощью схемы Лакса, а также с учетом кинематических граничных условий v?^ = izq+ = ип и взаимосвязи между параметрами состояния р^+ , ^+ , Е^ согласно уравнению состояния B.32) конечно-разностные уравнения схемы «прямоугольник» могут быть разрешены явным образом с определением искомых значений /?q+ , 114
Граничные узлы tk J Рис. 2.9. Шаблон «левый уголок», дополняющий схему Лакса при расчете значений сеточных функций на границе Необходимость дополнения конечно-разностных уравнений схемы Лакса уравнениями, построенными на основе иных шаблонов, сохраняется и в случае задания динамических граничных условий. Для рассматриваемого одномерного плоского нестационарного течения газа такие граничные условия могут задаваться, например, на его левой границе т = 0 при отсутствии поршня и истечении газа в пустоту: р@, t) — рТ = 0. Такое граничное условие задает значение сеточной функции давления в граничном узле Pq = рг, в то время как остальные сеточные функции uJ0~*~ , Е^ , р3^ должны быть определены в соответствии с уравнениями газовой динамики. Возможным шаблоном является простейший шаблон «уголок», показанный на рис. 2.9 в форме «левого уголка». Скорость в граничном узле г = 0 определяется из соответствующего этому шаблону конечно-разностного уравнения движения Удельная внутренняя энергия рассчитывается по конечно- разностному уравнению энергии г+1 h 115
а плотность должна соответствовать давлению и внутренней энергии согласно уравнению состояния Pq =Pq Eq (к—I). Очевидно, что за счет использования в приведенных уравнениях односторонних разностных производных порядок аппроксимации граничных условий схемой «уголок » имеет значение п= 1. 2.1.5. Сравнительные особенности практического применения схем Неймана — Рихтмайера и Лакса. Принцип «фиктивной» ячейки Схемы Неймана — Рихтмайера (схема «крест» с псевдовязкостью) и Лакса были предложены в начале 1950-х годов как альтернативные однородные разностные схемы, позволяющие проводить сквозной расчет распространения ударных волн без специального выделения их фронтов на разностной сетке. В первой схеме свойство однородности обусловлено влиянием дополнительно включаемой в разностную схему псевдовязкости, а во второй — наличием аппроксимационной вязкости. С точки зрения расчета кинематических граничных условий схема «крест», безусловно, более предпочтительна, так как реализация их расчета проводится тривиальным образом и сводится к заданию соответствующих скоростей в граничных узлах. При использовании «шахматной» разностной сетки и определении сеточных функций параметров состояния в центрах ячеек их вычисление в приграничных и во внутренних ячейках проводится по однотипным конечно-разностным уравнениям (см. раздел 2.1.1). Схема Лакса для расчета кинематических граничных условий требует привлечения дополнительных конечно-разностных уравнений и является неоднородной по отношению к расчету таких граничных условий. Неоднородность схемы Лакса сохраняется и при расчете динамических граничных условий. В этом случае схему Лакса необходимо дополнять конечно-разностными уравнениями, построенными на основе иных шаблонов. 116
Схема и шаблон « крест » могут использоваться и при задании динамических граничных условий с помощью введенной «фиктивной» ячейки. Благодаря этому простому и эффективному приему схема «крест» приобретает свойство однородности по отношению к расчету динамических граничных условий. Принцип «фиктивной» ячейки поясняется на рис. 2.10, где показаны три фрагмента разностной сетки — внутренний для случая сетки с переменным шагом Лг = гаг+1-гаг по ла- гранжевой массовой координате (рис. 2.10, а), приграничный с заданными динамическими граничными условиями р@, t) = = рт (рис. 2.10, б) и приграничный с введенной «фиктивной» ячейкой (рис. 2.10, в). Скорости во внутренних узлах рассчитываются по конечно-разностному уравнению схемы «крест» i+l j J+l/2 _ i+1/2 являющемуся обобщением уравнения B.6) для случая неравномерной разностной сетки. На первый взгляд это конечно- разностное уравнение не применимо для расчета скоростей Uq на границе г = 0 при заданном граничном давлении Рг .В этом случае должен использоваться отличающийся от шаблона «крест» четырехточечный шаблон, показанный на рис. 2.10,6, с соответствующим ему конечно-разностным уравнением Г+ 0,5*0 = °- ( где /iq — массовый интервал приграничной ячейки. Нетрудно, однако, убедиться в том, что если слева от границы ввести еще одну ячейку с массовым интервалом /i_i = 0 и ассоциировать граничное давление с центром этой ячейки (р"\/о — 117
J+t «ФиктиВная» ячейка Граничные узлы Рис. 2.10. К пояснению принципа «фиктивной» ячейки при задании динамических граничных условий: а — шаблон «крест» для расчета скорости во внутренних узлах сетки; б — шаблон для расчета скорости в граничных узлах сетки; в — шаблон «крест» для расчета скорости в граничных узлах сетки при задании динамических граничных условий с помощью «фиктивной» ячейки 118
- рт ), то для расчета скоростей в граничных узлах может быть использован шаблон «крест» (см. рис. 2.10, в), а из обших уравнений B.40) при % = 0, /i_i = 0, р^!^ = Рг+1^2 следует необходимое конечно-разностное уравнение B.41). Таким образом, подобным простейшим путем схеме «крест» придается свойство однородности по отношению к расчету динамических граничных условий. Схема «крест» обладает свойством однородности и по отношению к так называемым контактным разрывам, позволяя проводить их сквозной расчет без «размазывания» с течением времени. Схема Лакса такой способностью не обладает — при сквозном расчете контактных разрывов с течением времени наблюдается их «размазывание» с отклонением разностного решения от искомого точного. Для исключения этого нежелательного эффекта схема Лакса должна дополняться иными шаблонами и конечно-разностными уравнениями. Рассмотрим этот вопрос более подробно, учитывая, что эффекты «размазывания» контактных разрывов могут проявляться и в других разностных схемах с аппроксимационной вязкостью. В общем случае в газовой динамике различают три вида разрывов параметров движения, показанных на рис. 2.11. Сильный разрыв соответствует фронту ударной волны — на таком разрыве скачком изменяются значения всех параметров движения и состояния и ди/дх = оо, др/дх = оо, др/дх = оо, дЕ/дх — оо (рис. 2.11, а). На слабом разрыве значения параметров непрерывны, но скачком изменяется первая производная по координате и д2и/дх2 = оо, д2р/дх2 = оо и т.п. (рис. 2.11, б). Под контактным разрывом понимается граница раздела двух сред с разными физико-механическими характеристиками или двух сред, находящихся в различном состоянии. Пример контактного разрыва показан на рис. 2.11, в для случая соударения двух пластин из различных материалов (например, из меди с начальной плотностью poi = 8900кг/м3 и алюминия с />02 = 2700 кг/м3), имеющих разные начальную температуру и удельную внутреннюю энергию. При соударении двух таких пластин в каждой из них распространяются 119
Сильный разрыв Joz СлйЬьш разрыв Рис. 2.11. Характер распределения параметров движения и состояния в окрестности различных разрывов: а — сильный разрыв; б — слабый разрыв; в — контактный разрыв ударные волны, а их фронты являются сильными разрывами. На границе раздела двух пластин при сохранении непрерывности скорости (щ = U2 — граничное условие «прилипания») и давления {р\ = Р2 — третий закон Ньютона на границе раздела взаимодействующих тел) терпят разрыв плотность (др/дх = оо) и удельная внутренняя энергия (дЕ/дх = ос). «Шахматная» разностная сетка схемы «крест» позволяет представить контактный разрыв естественным образом, как это можно видеть на рис. 2.12. Один из координатных узлов сетки в этом случае размещается на контактном разрыве. Имея вполне определенные значения массовой скорости и^ и эйлеровой координаты х^ этот узел соответствует 120
Рис. 2.12. Естественное представление контактного разрыва на «шахматной» разностной сетке схемы «крест» сразу двум индивидуальным точкам находящихся в контакте сред, обеспечивая выполнение условия непрерывности скорости и координаты. Сеточная функция плотности, задаваемая в полу целых точках по координате, позволяет однозначно отобразить разрыв плотности: слева от контактного разрыва р?ф = Роь справа — pt+lf% = р02. Представление контактного разрыва на разностной сетке схемы Лакса несколько затруднено в связи с заданием всех сеточных функций в одних и тех же узлах сетки. В этом случае один из координатных узлов сетки также размещается на границе раздела сред (рис. 2.13). Определенные в этом узле значения сеточных функций v%, xl, pi обеспечивают выполнение условия непрерывности скорости, координаты и давления. Однако в отношении значений плотности и удельной внутренней энергии возникает неоднозначность: с одной стороны, этому узлу должны соответствовать параметры слева от контактного разрыва, а с другой — параметры справа от разры- 121
и;? «двойной» узел Рис. 2.13. Возможные варианты представления контактного разрыва на разностной сетке схемы Лакса: а — введение «двойного» узла с нарушением регулярности сетки; б— изначальное «размазывание» контактного разрыва на одну ячейку сетки по координате (штриховая линия) ва. Возможны два способа преодоления этой неоднозначности (см. рис. 2.13). Первый способ связан с введением «двойного» узла (рис. 2.13, а). В этом случае на границе раздела двух сред буквально воспроизводят условия их контакта и, по сути, « двойной» узел соответствует двум находящимся в контакте индивидуальным точкам взаимодействующих сред. В двух частях «двойного» узла одинаковыми считаются сеточные функции и^, ж;-, pj, а различными — терпящие разрыв на границе раздела функции р|, Ej. Этот способ обеспечивает довольно точное представление на разностной сетке контактного разрыва, но приводит к нарушению регулярности координатной сетки и к необходимости использования для расчета граничных условий на границе раздела двух сред шаблонов и конечно-разностных уравнений, отличных от применяемых для проведения расчета по схеме Лакса. Второй способ представления контактного разрыва на разностной сетке схемы Лакса является более простым и приближенным. Для ухода от неоднозначности задания плотности и удельной внутренней энергии значения сеточных функций справа от контактного разрыва ассоциируют с одним узлом, а значения сеточных функций слева от разрыва — с дру- 122
гим ближайшим узлом. В этом случае, по существу, переходят от распределения плотности, показанного на рис. 2.13,5 сплошной линией, к распределению, показанному штриховой линией, как бы изначально «размазывая» контактный разрыв в пределах одной ячейки сетки по координате. При таком подходе сохраняются регулярность пространственной разностной сетки и возможность расчета параметров на границе раздела с помощью конечно-разностных уравнений схемы Лакса. «Размазывание» контактного разрыва на одну ячейку сетки по координате в принципе можно считать вполне удовлетворительным приемом в случае, если оно остается локализованным в пределах этой ячейки в ходе проведения расчета. Легко показать, анализируя простейший частный случай движения, что схема «крест» удовлетворяет этому требованию, а в схеме Лакса с течением времени область «размазывания» контактного разрыва будет увеличиваться. Таким простейшим случаем движения является покой двух находящихся в контакте сред, когда отсутствуют скорости движения их индивидуальных точек. На рис. 2.14 показан фрагмент «шахматной» разностной сетки схемы «крест» в окрестности контактного разрыва 1*1 Рис. 2.14. К пояснению причин сохранения контактного разрыва с течением времени при расчете его по схеме «крест» 123
Рис. 2Л5. К пояснению причин «размазывания» контактного разрыва с течением времени при расчете его по схеме Лакса и приведены шаблоны для расчета плотности слева и справа от границы раздела покоящихся сред. Согласно конечно- разностному уравнению неразрывности B.9) при отсутствии движения сред (и? = 0) плотности по обеим сторонам границы раздела будут сохраняться неизменными для любого момента времени tji схема «крест» позволяет проводить расчет без «размазывания» контактного разрыва с течением времени. Иначе обстоит дело при использовании схемы Лакса, что можно установить путем анализа конечно-разностного уравнения неразрывности B.34) и с помощью рис. 2.15. В конечно- разностном уравнении неразрывности содержится аппрокси- мационная вязкость, зависящая от производной второго порядка плотности. При начальном «размазывании» контактного разрыва в пределах одной ячейки по координате аппроксима- ционная вязкость отлична от нуля в узлах сетки, ограничивающих данную ячейку (узлы с координатными индексами г и г - 1 на рис. 2.15). Это приводит к тому, что даже при отсутствии движения сред (и? = 0) плотность в узлах в окрестности контактного разрыва будет изменяться с течением времени так, как показано на рис. 2.15. Область «размазывания» контактного разрыва с течением времени будет увеличиваться, а сама граница раздела двух сред — как бы «размываться». 124
Эффекты сохранения контактного разрыва при расчете его по схеме «крест» и «размазывания» контактного разрыва при расчете его по схеме Лакса будут проявляться и в более обшем случае движения взаимодействующих сред, накладыва- ясь на естественные изменения плотности вследствие движения. Таким образом, содержащаяся в конечно-разностных уравнениях схемы Лакса аппроксимационная вязкость проявляет и положительные и отрицательные качества. Положительным является «размазывание» сильных разрывов (фронтов ударных волн), позволяющее проводить их сквозной расчет, отрицательным — «размазывание» контактных разрывов, по существу исключающее сквозной расчет таких разрывов и не обеспечивающее разностной схеме свойство однородности по отношению к их расчету. Однако при изменении структуры аппроксимационной вязкости можно сохранить положительные и устранить отрицательные качества, присущие схеме Лакса. Такая идея реализуется в схеме Лакса — Вен- дроффа. 2.1.6. Схема Лакса — Вендроффа По принципу построения схема Лакса— Вендроффа (иногда называемая схемой «чехарда») является двухшаговой разностной схемой типа предиктор — корректор. Рассмотрим ее в простейшем варианте. Принцип дискретизации для этой разностной схемы такой же, как и для схемы Лакса. Разностная сетка определяется совокупностью целых точек по координате и целых временных слоев, и все сеточные функции и\,х\, р\,Е\,у*^ считаются заданными в ее узлах (рис. 2.16). Основным шаблоном схемы Лакса — Вендроффа является четырехточечный шаблон, показанный на рис. 2.16 светлыми кружками. Однако вычисление сеточных функций на последующем временном слое проводится более сложным образом, чем это можно предположить по виду основного шаблона. На первом этапе (предиктор) осуществляется предсказание с определением значений всех сеточных функций в полуцелых точках 125
t J+'Л j 1 j (">P, V Ппо I Корректор \ A у I lipcuuiMt 1 \ . пор \ I h 1 M / m 1-1 tr\ I L+j M Рис. 2.16. Разностная сетка двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений по координате г + 1/2 на полуцелом временном слое j + 1/2. Предсказание выполняется по схеме Лакса с половинным шагом по времени г/2, и соответствующие конечно-разностные уравнения имеют следующий вид: и" 1+1/2 г/2 1/PJ + Г/2 B.42) A r/2 _ J+l/2 pj = 0; На втором этапе (корректор) проводится корректировка и определяются окончательные значения сеточных функций на последующем временном слое. Аппроксимация дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями на втором этапе выполняется на основе схемы «крест» с помощью вычисленных на первом этапе предварительных значе- 126
ний и?ф> pJ+J/J* ^+1/2' E\+l'l2- При этом осуществляется полный шаг по времени т и соответствующие конечно- разностные уравнения принимают следующий вид: B.43) 0 Схема Лакса— Вендроффа обладает аппроксимационной вязкостью. Вид аппроксимационной вязкости выявляется из анализа конечно-разностных уравнений первого и второго этапов вычислений. Так, например, из конечно-разностных уравнений неразрывности B.42) и B.43) следует результирующее конечно-разностное уравнение фактически аппроксимирующее дифференциальное уравнение ди которое отличается от уравнения неразрывности наличием ненулевой правой части, являющейся аппроксимационной вязкостью (Аа = -г/2 — коэффициент аппроксимационной вязкости). Как можно обнаружить из сопоставления конечно-разностных уравнений неразрывности схемы Лакса B.34) и схемы Лакса— Вендроффа B.44), а также из сопоставления соответствующих дифференциальных уравнений B.37) и B.45), для 127
обеих разностных схем аппроксимационная вязкость определяется производной второго порядка одной из функций, характеризующих состояние среды, по координате. В схеме Лакса такой функцией является плотность /?, терпящая разрыв и на фронте ударной волны, и на границе раздела двух различных сред. В схеме же Лакса — Вендроффа аппроксимационная вязкость зависит от давления р, терпящего разрыв на фронте ударной волны, но непрерывного на контактном разрыве. Именно за счет такого вида аппроксимацион- ной вязкости в этой разностной схеме сохраняются положительные и устраняются отрицательные качества схемы Лакса. Схема Лакса—Вендроффа ликвидирует сильные разрывы, «размазывая» фронты ударных волн на несколько ячеек сетки по координате и тем самым позволяя проводить сквозной расчет ударных волн с автоматическим определением из расчета положения фронта и параметров на фронте. Контактные же разрывы (разрывы только плотности при непрерывном давлении) схемой Лакса—Вендроффа не «размазываются» с течением времени, благодаря чему можно осуществлять их сквозной расчет, т.е. схема Лакса— Вендроффа является однородной по отношению к расчету границ раздела двух сред. Что касается особенностей схемы Лакса—Вендроффа в части задания начальных условий, расчета кинематических или динамических граничных условий, то в этом отношении ее свойства одинаковы со свойствами схемы Лакса (см. раздел 2.1.5). 2.1.7. Разностная схема метода Уилкинса Сеточный лагранжев метод Уилкинса был разработан в середине 1960-х годов в Калифорнийском университете и в Ливерморской лаборатории США и по настоящее время широко используется при расчетно-теоретическом исследовании нестационарных движений сплошных сред. Рассмотрим разностную схему метода Уилкинса в простейшем ее варианте и применительно к базовой одномерной плоской нестационарной задаче о движении газа в трубе под действием поршня (см. раздел 1.1). 128
du ~di ' dx d(i/ dt dE- P = 1 P = u- dp ~d~x' du 'dm'' \-pd(l/p) = O A(p) + B(p)E В основе математического описания движения деформируемой среды лежит подход Лагранжа. Запись системы дифференциальных уравнений газовой динамики несколько отличается от приведенной выше системы уравнений B.1)—B.5) и имеет следующий вид: 1 Я™ B.46) B.47) B.48) B.49) B.50) Дифференциальное уравнение движения B.46) имеет смешанную форму представления. В него входят субстанциональная (лагранжева) производная по времени du/dt, характеризующая ускорение индивидуальных точек среды, и производная давления р по эйлеровой координате х. Однако при расчете производная др/дх определяется не в фиксированных точках пространства (что свойственно эйлерову подходу к описанию движения среды), а в точках пространства, где в данный момент времени находятся индивидуальные точки среды. Для вычисления текущих значений эйлеровых координат индивидуальных точек среды используется дифференциальное уравнение B.47). Уравнение энергии B.49) записано в полных дифференциалах (сравните с дифференциальным уравнением энергии в адиабатическом приближении dE/dt = = (p/p2)(dp/dt), полученным при постановке задачи механики идеальной среды в томе 1). Уравнение состояния B.50) представлено в двучленной форме, к которой сводится большинство известных уравнений состояния в калорической форме. В частности, для совершенного газа функции плотности, задающие уравнение состояния, равны А(р) = 0, В(р) = р(к — 1). 5 - 2728 129
J+* J-i «a» v kx» 1 > NH —1 . L . I ШТ1^ —1— 1 t t A I- ( ) ' i ' I, -^ 1-1 I N m Рис. 2.17. Разностная сетка разностной схемы метода Уилкинса с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений и вычисления значений сеточных функций В основе метода Уилкинса лежит схема «крест» с псевдовязкостью. Используется «шахматная» разностная сетка, при этом предполагается, что сетка по координате может быть неравномерной (рис. 2.17). Шаг по лагранжевой массовой координате т определяется начальными значениями эйлеровых координат х (равными значениям лагранжевых линейных координат X) узлов сетки: /il+i/2 = />o(^t'+l — -X"i) = = /0о(я?+1~ж?)# Различные сеточные функции отнесены к разнотипным узлам сетки. Скорости и^ ' определены в узлах сетки на полуцелых временных слоях, текущие значения эйлеровых координат х\ — в узлах на целых временных слоях, параметры состояния р! /2, pJ. /2, ^,1/2 отнесены к центрам ячеек на целых временных слоях, а псевдовязкость q3 . („ задается также в центрах ячеек, но на полу целых временных слоях. Для аппроксимации дифференциальных уравнений B.47)—B.50) используются шаблоны четырех типов, показанные на рис. 2.17. Приведем соответствующие конечно- 130
разностные уравнения в последовательности, обычно используемой при численном решении задач. Будем считать известными значения сеточных функций и\~ , х\, Р^+1/2> /^+1/2> ^+1/2' ^й-1/2 (ПРИ 3 — ^ эти значения определяются начальными условиями), а значения и3^ ' , х^ , р1* ,2, Р"??\/2> EJti/2 рассмотрим в качестве искомых. Для расчета скоростей и индивидуальных точек среды используется девятиточечный шаблон, на котором конечно- разностное уравнение движения, аппроксимирующее дифференциальное уравнение B.46), принимает вид + Новое значение скорости гг- ; в узле г зависит от разности эффективных давлений р = р + q в примыкающих к данному узлу правой (г + 1/2) и левой (г - 1/2) ячейках, от плотностей р в этих же ячейках, а также от эйлеровых координат х данного узла и ближайших к нему узлов слева (г — 1) и справа (г + 1). Конечно-разностное уравнение B.51) справедливо для всех внутренних узлов 1 < г < N — 1 пространственной разностной сетки. Граничные значения скоростей задаются кинематическими граничными условиями на поршне и на жесткой поверхности: и^ = ип и и^ =0. тт J + 1/2 После вычисления дискретного поля скорости и^ на последующем полуцелом временном слое рассчитываются новые значения эйлеровых координат х всех узлов 0 < г < N в соответствии с конечно-разностными уравнениями 131
аппроксимирующими дифференциальное уравнение B.47) с помощью приведенного на рис. 2.17 «вертикального» трехточечного шаблона. Следующим этапом расчета по методу Уилкинса является определение нового дискретного поля плотности по конечно-разностному уравнению неразрывности аппроксимирующему соответствующее дифференциальное уравнение B.48) на шаблоне «крест». При этом вычисляются значения плотности во всех ячейках пространственной разностной сетки — от левой приграничной (г = 0) до правой приграничной (г = N - 1) ячейки. Завершает расчет значений сеточных функций на последующем временном слое вычисление новых значений удельной внутренней энергии Е и давления р. Ввиду записи уравнения энергии B.49) в полных дифференциалах и отсутствия в нем частных производных по координате аппроксимация проводится на «вертикальном» трехточечном шаблоне. Аппроксимирующее конечно-разностное уравнение принимает вид •7+1 - Ej ^ + -+1/2 ^-••i/o) + .u + i '^ч •T*/*+^r1i;;i 1-7=5—j^ =o i+l/2 Рг+1/2/ и выглядит как неявное. Однако, учитывая, что новые значения плотности /г?7\ /9 уже рассчитаны, а новые значения да- вления р\\/2 выражаются через плотность и удельную внутреннюю энергию как 132
конечно-разностное уравнение для вычисления удельной внутренней энергии можно привести к явному виду: Теперь уже не составляет большого труда определить и давление и тем завершить цикл вычислений значений сеточных функций на последующем временном слое. При расчете течений без ударных волн (отсутствие псевдовязкости) и при использовании равномерной по координате сетки конечно-разностные уравнения разностной схемы метода Уилкинса обеспечивают порядок аппроксимации п = 2, так как в этих случаях все использованные для аппроксимации разностные производные являются центральными. При наличии ударных волн или применении неравномерной по координате сетки порядок аппроксимации снижается до п = 1. Следует отметить, что для разностной схемы метода Уилкинса задание на сетке начальных и граничных условий проводится так же, как и для схемы «крест» (см. раздел 2.1.1). Начальные и кинематические граничные условия задаются тривиальным образом, а динамические граничные условия учитываются с помощью «фиктивных» ячеек (см. раздел 2.1.5). 2.1.8. Разностная схема Фромма метода Мейдера. Понятие консервативности разностных схем Разностная схема Фромма лежит в основе лагранжева метода Мейдера, разработанного в Лос-Аламосской национальной лаборатории США. Особенностью этой схемы является 133
присущее ей весьма важное в практическом отношении свойство консервативности. Конечно-разностные уравнения схемы Фромма составляются на основе дивергентной формы записи системы уравнений газовой динамики, т.е. каждое дифференциальное уравнение представляет собой практически явное выражение соответствующего закона сохранения. Для рассматриваемого одномерного плоского нестационарного течения газа система уравнений имеет вид ?¦?¦* <-> дх — = и; B.53) dl{E+T) + -dm- = 0> B'55) р = рЕ(к-1), B.56) где все параметры движения и состояния считаются зависящими от лагранжевой массовой координаты т и времени t. Очевидным своеобразием в этой системе обладают уравнение неразрывности B.54) и уравнение энергии B.55). Уравнение неразрывности записано в виде дифференциального соотношения между текущими эйлеровыми координатами х и лагран- жевыми массовыми координатами т индивидуальных точек среды (см. раздел 1.1), а уравнение энергии — через удельную суммарную, или полную, энергию Е + у?/2. На примере дифференциальных уравнений движения B.52) и энергии B.55) убедимся в том, что они практически явно выражают соответствующие законы сохранения. С этой целью проинтегрируем эти уравнения по массе газа в пределах от т = 0 (левая граница газа) до т = М = pqL (правая граница газа, см. раздел 1.1): 134
м м ди Iaidm+1-?im=u< О О о о С учетом независимости от времени переменной интегрирования т эти интегродифференциальные соотношения преобразуем к виду М М QIj, л =0; ^r + (Pr2-Pri) = 0; B.57) dt о д_ 8t /К) 0 dm + (ри) М о = 0; B.58) + (Рг2%2 ~ Priori) = 0> где М М Г [( и2\ / и dm = /^ — полный импульс газа; / [ Е Н 1 dm = о о = ^? — полная энергия газа (сумма внутренней и кинетической энергий); рТ\ = р@, t) и ит\ = u@, t) — давление и скорость на левой границе газа; рГ2 = р(М, i) и иТ2 = и(М, t) — давление и скорость на правой границе газа. Очевидно, что второе соотношение B.57) выражает закон сохранения импульса согласно которому изменение полного импульса газа определяется импульсом внешних по отношению к газу сил, а второе соотношение B.58) является выражением закона сохранения энергии в адиабатическом приближении = [priori - Vt2Ut2] Д«, B.59) 135
t J*fh > 4 J l 0 > a\ 11 J I T " —I—I a «о» ?1У/ Ш [V ч 1 " г ¦ ту1— tJ pi- ~l M 0 1 L-1 H . /77 Jt + 1 Рис. 2.18. Разностная сетка схемы Фромма с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений и вычисления значений сеточных функций в соответствии с которым изменение полной энергии системы (газа) определяется работой внешних по отношению к системе сил. Принцип построения дискретного аналога сплошной среды для схемы Фромма и используемые для аппроксимации шаблоны показаны на рис. 2.18. При построении дискретного аналога сплошной среды исходят из предположения о возможной неравномерности сетки по лагранжевой массовой координате — масса ячеек h{ может быть переменной величиной. Ячейкам сетки по координате присваиваются целочисленные индексы г. Например, примыкающая к левой границе крайняя ячейка имеет индекс г = 1, а крайняя правая ячейка — индекс N. При необходимости учета динамических граничных условий вводятся «фиктивные» ячейки — слева г = 0, справа г = N + 1. Узлам же соответствуют дробные индексы. Например, узлу, находящемуся на границе между ячейками i и г + 1, соответствует дробный индекс г + 1/2, левый граничный узел обозначается дробным индексом 1/2, а правый граничный узел — дробным индексом N + 1/2. Отнесение различных сеточных функций к разнотипным узлам сетки проведено так же, как при использовании разностной схемы метода Уилкинса (см. рис. 2.17). Скорости 136
опРеДелены в узлах сетки на полуцелых временных слоях, текущие значения эйлеровых координат х! 1,2 — в узлах на целых временных слоях, параметры состояния pj, pi, Ej отнесены к центрам ячеек на целых временных слоях. Схема Фромма является разностной схемой с псевдовязкостью, и последняя задается также в центрах ячеек, но на полуцелых временных слоях: qj ' . Дифференциальное уравнение движения B.52) аппроксимируется на шеститочечном шаблоне и имеет вид n где конечная разность эффективных давлений берется по их значениям (pj+1 + 0jf+i ) и (р; + ч\~ ) в Центрах примыкающих к данному узлу ячеек, а соответствующее приращение лагранжевой массовой координаты складывается из двух приращений — приращения 0,5/ц (переход от центра ячейки % к узлу г + 1/2) и приращения 0,5Лг_|_1 (переход от узла г + 1/2 к центру ячейки г + 1). Это конечно-разностное урав- - i+l/2 нение позволяет определить новые значения скоростей и.. ',2 - После вычисления скоростей новые значения эйлеровых координат индивидуальных точек рассчитываются по следующему конечно-разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение B.53) на «вертикальном» шаблоне: ri+1 - х3 xi+\/2 xi+i/2 _ = Vl/2* В свою очередь, новые значения эйлеровых координат ^, i/2 позволяют вычислить значения плотности в ячейках сетки. Для этой цели используется конечно-разностное уравнение неразрывности, аппроксимирующее дифференциальное уравнение B.54) на «горизонтальном» шаблоне: г-1/2 _ 137
Следует отметить, что в схеме Фромма, в отличие от всех ранее рассмотренных разностных схем, используется наиболее рациональное уравнение неразрывности, обеспечивающее вычисление плотности pi максимально простым путем. Наиболее сложным конечно-разностным уравнением схемы Фромма является конечно-разностное уравнение энергии. Оно аппроксимирует дифференциальное уравнение B.55) на двенадцатиточечном шаблоне, приведенном на рис. 2.18, и имеет вид i • 4 9j A,- + Аг+1 Ы a; = 0. B.60) При составлении конечно-разностного уравнения энергии удельную внутреннюю энергию Ej~*~ произвольной ячейки на последующем временном слое (искомая величина) ассоциируют с удельной кинетической энергией на ближайшем предшествующем полу целом временном слое, что является неизбежным следствием определения различных сеточных функций в разнотипных узлах разностной сетки. Эта величина определяется по скорости (^,1/2 + ^_1/о ) /2> усредненной на центр данной ячейки по значениям скоростей uJ .L и ^_i/2 B У3" лах, ограничивающих эту ячейку. При выражении давлений в этих узлах использована линейная интерполяция на границу 138
ячеек по их центрам (точкам, в которых согласно принципу дискретизации определены давления), например: 0,5/ц 0,5hz = hx Псевдовязкость в узлах определяется путем простого усреднения по значениям в двух примыкающих к данному узлу ячей- Схема Фромма в целом обеспечивает порядок аппроксимации п = 1 за счет использования в конечно-разностном уравнении энергии односторонней разностной производной по времени и с этой точки зрения уступает, например, разностной схеме метода Уилкинса (п = 2). Однако схема Фромма обладает и весьма существенным достоинством — она является консервативной разностной схемой. Консервативными разностными схемами называются схемы, обладающие свойством точного выполнения разностных аналогов интегральных законов сохранения (или массы, или импульса, или энергии). Рассмотрим, как конкретно проявляется свойство консервативности в схеме Фромма на примере конечно-разностного уравнения энергии и для частного случая задания динамических граничных условий: р@, t) = pri, p(M, t) — рГ2- На рис. 2.19 схематично показан дискретный аналог сплошной среды в виде совокупности ячеек определенной массы /ц. «Фиктивная» ячейка «$>иктидная» ячейка Рис. 2.19. К пояснению понятия консервативности разностной схемы 139
Для учета динамических граничных условий слева от левого граничного узла (индекс 1/2) вводится «фиктивная» ячейка с массовым интервалом /io = 0, в центре которой задается граничное давление р^ = рт\. Справа от правого граничного узла (индекс N + 1/2) также вводится «фиктивная» ячейка с массой Лдг_|_1 = 0, и с ее центром ассоциируется граничное давление р*дг+1 = Рт2 (см- раздел 2.1.5). Конечно-разностное уравнение B.60) может быть представлено в виде = 0. В первых фигурных скобках приведенного выражения содержится изменение полной энергии в произвольной ячейке г дискретного аналога сплошной среды, происходящее в течение одного временного шага г. При суммировании подобных выражений по всем реальным ячейкам дискретного аналога 21 i=l hi 140
несложно убедиться в том, что результатом такого суммирования независимо от количества N ячеек сетки по координате является соотношение где - П 1=1 изменение полной энергии дискретного аналога, сплошной среды за время г. В итоге анализа конечно-разностного уравнения энергии приходим к выводу о точном выполнении разностного аналога закона сохранения энергии B.59) = т( .i+i/2 B.61) т.е. изменение полной энергии дискретного аналога сплошной среды независимо от количества ячеек сетки по координате определяется работой внешних сил (в рассматриваемом примере — поверхностных сил). В точном выполнении разностного аналога соответствующего интегрального закона сохранения и проявляется свойство консервативности разностной схемы. Для разностных схем, не обладающих свойством консервативности (такой схемой является, например, разностная 141
схема метода Уилкинса), при вычислении удельной внутренней энергии разностный аналог закона сохранения энергии выражался бы соотношением = т ( рп<4|21/2 - Рг2^++(/22) + где 6W(t, h) — так называемая дисбалансная составляющая, зависящая от шагов сетки по координате и по времени. Появление подобной дисбалансной составляющей при составлении разностного аналога соответствующего закона сохранения для неконсервативной разностной схемы связано с особенностями аппроксимации дифференциальных уравнений конечно- разностными (дисбалансная составляющая имеет аппроксима- ционное происхождение). Наличие дисбалансной составляющей в выражении какого-либо закона сохранения не говорит о принципиальной недопустимости использования неконсервативных разностных схем для расчетов, так как 6W(t, h) —> О при т —> 0, h —> 0. Однако на реальных, или грубых, сетках, для которых шаги сетки по координате и по времени являются хоть и малыми, но конечными величинами, дисбалансные составляющие играют роль «фиктивного» источника (стока) энергии (массы, импульса) и могут приводить к отклонениям от выполнения интегральных законов сохранения, а следовательно, к отклонению разностного решения от искомого точного. Неконсервативные разностные схемы могут использоваться на практике, однако при этом следует проводить контроль выполнения разностных аналогов интегральных законов сохранения массы, импульса и энергии. Непревышение дисбалансными составляющими некоторого допустимого значения (обычно — несколько процентов) является необходимым условием правильности получаемого разностного решения. Следует отметить, что в теории разностных схем различают понятия консервативности разностных схем в отношении определенного закона сохранения (или энергии, или импульса, или массы) и полной консервативности. Полностью консервативными разностными схемами являются схемы, для которых точно выполняются разностные аналоги сразу всех интегральных законов сохранения. Схема Фромма относится как раз к числу полностью консервативных разностных схем. 142
2.2. Численный метод характеристик В разделе 2.1 были рассмотрены сеточные методы решения одномерных задач нестационарной газовой динамики, основанные на аппроксимации системы дифференциальных уравнений в частных производных B.1)—B.5). Однако возможна и другая форма представления математического описания одномерного нестационарного течения газа. Это так называемая характеристическая форма — описание течения газа с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик и соотношений в полных дифференциалах на характеристиках. Такая форма представления математического описания лежит в основе численного метода характеристик. 2.2.1. Характеристическая форма представления уравнений газовой динамики в лагранжевых массовых координатах Уравнения характеристик и соотношения на характеристиках получаются путем преобразования системы уравнений газовой динамики в частных производных B.1)—B.5). Сущность такого преобразования заключается в выявлении условий, при которых уравнения B.1)—B.5) сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям, и в получении самих этих уравнений. Подобные условия выражаются обыкновенными дифференциальными уравнениями — уравнениями характеристик, а получающиеся в итоге соотношения в полных дифференциалах являются дифференциальными соотношениями на характеристиках. Для проведения такого преобразования вводится в рассмотрение еще одна физическая величина — местная скорость звука С, определяющая скорость распространения малых (звуковых) возмущений в среде. Известно, что скорость звука в идеальной среде зависит от ее сжимаемости и текущих значений параметров состояния: С2 = др/др , где частная производная берется при постоянной энтропии S. 143
Выражение местной скорости звука через параметры состояния среды может быть получено, если известно уравнение состояния. При задании уравнения состояния в энтропийной форме р = р(/э, 5) определение местной скорости звука С = С(/?, 5) не составляет труда. При этом представляется возможным установить взаимосвязь между полными производными давления и плотности по времени, которая для рассматриваемого адиабатического течения газа (dS/dt = 0) примет следующий вид: др(т, dt 0 m dp dt dp dp dp Sdt dp ds dS pdt \dp r2c dt C ~ W"», t) dt B.62) m При задании уравнения состояния в калорической форме р = = р(р, Е) и учете уравнения энергии dE/dt = (p/p2)(dp/dt) аналогичную взаимосвязь можно представить как dp dt dp dp dp dp Edt BE dt 'dp dp P dp 2dE Сопоставление последнего выражения с B.62) позволяет получить выражение для местной скорости звука, если известно уравнение состояния в калорической форме, а именно др B.63) Нетрудно убедиться в том, что для совершенного газа, описываемого уравнением состояния Клапейрона — Менделеева B.5), местная скорость звука зависит от давления и плотности газа: С = у/кр/р. B.64) Преобразуем теперь систему уравнений газовой динамики B.1)—B.5). Прежде всего выберем из нее уравнения движения B.1) и неразрывности B.3), преобразовав последнее с учетом B.62) и приведя к следующему виду: 144
Последовательное сложение двух этих уравнений и их вычитание позволяют получить два уравнения в частных производных: при этом система двух этих уравнений равносильна двум уравнениям B.65). Из B.66) следует, что при выполнении условия тг= рс B68) это уравнение приводится к виду 1 / dp dm dp ~рС \dt + 1Г~дт ди dm ди \ __ Ik ~dt~dm) ~ или же к виду 'ди , д\ что позволяет, учитывая имеющиеся зависимости массовой скорости и давления от координаты и от времени (и = u(m, t), р = p(rriyt)), получить следующее соотношение между полными дифференциалами этих величин: ^ + du = 0. B.69) рС Уравнение B.68) в дифференциальной форме выражает некоторую взаимосвязь между независимыми переменными — лагранжевой массовой координатой m и временем t. В плоскости изменения независимых переменных (га, t) это дифференциальное уравнение описывает некоторое семейство линий, 145
С0-характеристики т Рис. 2.20. Три семейства характеристик дифференциальных уравнений газовой динамики называемых С+ -характеристиками (рис. 2.20). В каждой точке плоскости изменения независимых переменных (т, <), соответствующей фиксированной индивидуальной частице среды с лагранжевой массовой координатой т, рассматриваемой в определенный момент времени t, наклон проходящей через эту точку С+ -характеристики задается значениями плотности и скорости звука при данных координате и времени: dm/dt = p(m, t)C(m, t). При этом вдоль любого бесконечно малого фрагмента любой С+ -характеристики (фрагмент задается двумя приращениями независимых переменных: dt и dm = pCdt) выполняется соотношение B.69), отражающее взаимосвязь между соответствующими бесконечно малыми приращениями давления и массовой скорости, а также между плотностью и скоростью звука. Аналогичным образом из дифференциального уравнения в частных производных B.67) при выполнении условия B.70) получается соотношение между полными дифференциалами dp — -du = 0. B.71) 146
Уравнение B.70) является дифференциальным уравнением С_-характеристик, и в плоскости изменения независимых переменных (m, t) ему соответствует семейство линий, называемых С--характеристиками (см. рис. 2.20). Соотношение же B.71) является дифференциальным соотношением, выполняемым на С_-характеристиках. Еще одно семейство линий — семейство Со-характеристик — описывается дифференциальным уравнением ?-0. B,2) и в плоскости изменения независимых переменных (m, t) на рис. 2.20 ему соответствуют вертикальные прямые с фиксированными значениями лагранжевой массовой координаты т. По существу, каждая Со-характеристика соответствует вполне определенной индивидуальной точке (или индивидуальной частице) среды, рассматриваемой в различные моменты времени t. Вдоль любого бесконечно малого фрагмента любой Со-характеристики могут быть записаны в полных дифференциалах закон изменения эйлеровых координат индивидуальных точек B.2) и уравнение энергии. Это следует из того, что при описании движения с позиций Лагранжа частная производная по времени совпадает с полной (индивидуальной, субстанциональной). Поэтому уравнение B.2) эквивалентно дифференциальному соотношению dx = udt, B.73) а уравнение энергии B.4) совместно с уравнением неразрывности B.3) сводится к взаимосвязи между полными дифференциалами удельной внутренней энергии и удельного объема: dE + pd(l/p) = 0. B.74) Таким образом, характеристики дифференциальных Уравнений газовой динамики представляют собой некоторые линии в плоскости изменения независимых переменных (га, /), 147
вдоль которых дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В этом заключается математический смысл характеристик. Полностью характеристическая форма представления математического описания одномерного плоского нестационарного течения совершенного газа включает дифференциальное уравнение B.68) семейства С+-характеристик и дифференциальное соотношение B.69) на (^-характеристиках, дифференциальное уравнение B.70) семейства С--характеристик и дифференциальное соотношение B.71) на С_-ха- рактеристиках, дифференциальное уравнение B.72) семейства Co-характеристик и дифференциальные соотношения B.73) и B.74) на Co-характеристиках, а также уравнение состояния Клапейрона — Менделеева B.5) и зависимость B.64) местной скорости звука от параметров состояния среды. Перечисленные обыкновенные дифференциальные и конечные функциональные уравнения составляют замкнутую систему, в математическом отношении полностью эквивалентную системе уравнений в частных производных B.1)—B.5). Следует обратить внимание на ту «цену», которую приходится «платить» за упрощение дифференциальных уравнений при переходе к характеристической форме. Система уравнений B.1)—B.5) является системой уравнений в частных производных (более сложные уравнения), но содержит ограниченное количество их (четыре). Обыкновенные дифференциальные уравнения характеристик и соотношения на характеристиках являются более простыми, но таких уравнений бесконечно много: через любую точку плоскости изменения независимых переменных (га, t) проходят определенные характеристики С+, С- и Со- Характеристики дифференциальных уравнений газовой динамики обладают вполне определенным физическим смыслом. Наиболее прозрачен смысл Co-характеристик. Как уже отмечалось, каждая Со-характеристика B.72) соответствует определенной индивидуальной точке или индивидуальной частице среды, рассматриваемой в различные моменты времени. Физический смысл характеристик С+ и С- установим 148
на частном примере движения среды, когда ее параметры состояния незначительно отличаются от параметров состояния невозмущенной среды: р w ро, С w Co- Запишем дифференциальные уравнения B.68), B.70) характеристик С+ и С_, имея в виду существующую взаимосвязь dm = ро dX между лагранжевыми массовыми координатами т и лагранжевыми линейными координатами X (см. раздел 1.1): При наличии малых (звуковых) возмущений параметров состояния дифференциальные уравнения характеристик С+ и С- сводятся к виду dX/dt « ±Со> т.е. при одномерном движении среды, описываемом с позиций Лагранжа, С+-ха- рактеристики характеризуют распространение в среде малых возмущений в направлении оси координат, а С--характеристики — в противоположном направлении. 2.2.2. Численный метод характеристик с естественной характеристической сеткой Рассмотрение основ численного метода характеристик проведем на примере базовой одномерной плоской нестационарной задачи о движении газа в трубе под действием поршня. Постановка этой задачи была представлена в разделе 1.1, а характеристическая форма математического описания движения получена в разделе 2.2.1. На рис. 1.1, в показана пространственно-временная диаграмма процесса в плоскости изменения независимых переменных (ж, t) — эйлеровой координаты х и времени t. При постоянной скорости движения поршня ип = const постоянной является и скорость распространения фронта ударной волны D = const. В таком простейшем случае в плоскости изменения независимых переменных (x,t) законы движения поршня и распространения фронта ударной волны изображаются прямыми х = uut n х = Dt. В более общем случае переменной 149
О т Рис. 2.21. Пространственно-временная диаграмма m — t распространения стационарной ударной волны под действием поршня: УВ — фронт ударной волны скорости поршня ии = un(t) скорость фронта ударной волны будет изменяться с течением времени: D = D(t). В этом случае законы движения поршня и распространения фронта ударной волны будут изображаться кривыми линиями, соответствующими дифференциальным уравнениям dx/dt = ип и dx/dt = D. На рис. 2.21 пространственно-временная диаграмма процесса распространения в газе стационарной ударной волны показана в плоскости изменения независимых переменных (m, i) — лагранжевой массовой координаты т и времени t. Здесь ось ординат (т = 0) соответствует поршню независимо от скорости его движения (на границе газа с поршнем находится всегда одна и та же индивидуальная точка газа, характеризуемая значением лагранжевой массовой координаты т = 0). Закон же распространения фронта ударной волны при ип = const описывается уравнением прямой т = poDt, а в более общем случае (ип ф const) соответствует дифференциальному уравнению dm/dt = poD. Последние два уравнения указывают на индивидуальную точку т, в которой в данный момент времени t находится фронт ударной волны. Они следуют из соотношения dm = р$ dX между дифференциалами ла- гранжевых массовой и линейной координат, поскольку лагран- жевы линейные координаты индивидуальных точек совпадают с начальными значениями их эйлеровых координат (см. 150
раздел 1.1), а до момента прихода фронта ударной волны в индивидуальную точку она неподвижна и ее эйлерова координата неизменна, т.е. х = X. В плоскости изменения независимых переменных (га, t) область между поршнем (га = 0) и фронтом ударной волны (dm/dt = pqD, в частности га = poDt) соответствует газу, охваченному движением, а область между фронтом и осью абсцисс — покоящемуся невозмущенному газу. Целесообразно рассматривать в качестве одной из границ газа подвижную границу, совпадающую с перемещающимся в газе фронтом ударной волны (dm/dt = PqD). На такой границе параметры движения и состояния газа взаимосвязаны системой соотношений A.1) на фронте ударной волны — это граничные условия смешанного типа. Очевидно (см. рис. 2.21), что движение газа начинается в момент t = 0 и сопровождается последовательным вовлечением в движение все новых частиц, начиная с частицы га = 0. Для простоты будем считать, что известны распределения параметров движения и состояния для некоторого момента времени to: u(m, tfo),p(m, *o)> p(mi ^o)> E(m, to), С(га, to). Эти известные распределения будем рассматривать в качестве начальных условий. При реализации численного метода характеристик, как и при использовании сеточных методов, строится разностная сетка — характеристическая сетка. Однако принцип ее построения и определения разностного решения в ее узлах значительно отличается от принципов, используемых в сеточных методах. Этот принцип иллюстрируется рис. 2.22—2.25. На рис. 2.22 показана характеристическая сетка в целом. На ней выделяются характерные группы узлов: узлы на начальном временном слое *о (например, узлы А и 5), внутренние узлы (например, узел С), граничные узлы на фронте ударной волны (например, узлы F и G), граничные узлы на поршне (узлы М и К). Положения узлов на начальном временном слое *0 задаются произвольным образом (простейший вариант — равномерно по лагранжевой массовой координате). Значения разностного решения в этих узлах определяются начальными условиями. Положения внутренних и граничных узлов характеристической сетки в плоскости изменения независимых 151
П Ш Г Поршень О /77 Рис. 2.22. Естественная характеристическая сетка: УВ — фронт ударной волны переменных (m, t) и решение в этих узлах находят с помощью аппроксимации дифференциальных уравнений характеристик и соотношений на характеристиках с учетом граничных условий A.1) на фронте ударной волны и A.14) на поршне. На рис. 2.23 показан характеристический шаблон, используемый для нахождения внутренних узлов характеристической сетки и определения разностного решения в них. Внутренние узлы характеристической сетки определяются пересечением характеристик С+ и С_, координаты узлов в С ?+ -характеристика dm _ dp+<?Cdu=O < A -характеристика С- - характеристика дг—yG dp-qCdu т Рис. 2.23. Характеристический шаблон для нахождения внутренних узлов характеристической сетки и определения разностного решения в них 152
плоскости изменения независимых переменных (га, t) устанавливаются с помощью записываемых в конечных разностях уравнений B.68), B.70) характеристик С+ и С_, решение в этих узлах находится с помощью записываемых в конечных разностях соотношений B.69), B.71), B.74) на характеристиках и уравнения состояния B.5). На рис. 2.23 таким искомым очередным внутренним узлом характеристической сетки является узел С, в то время как положения узлов А к В тВ-> ^в) и разностное решение в них (и, р, /9, ?, С = считаются известными (для рис. 2.22 эти значения задаются начальными условиями). Координаты (тс-, tc) очередного узла характеристической сетки в плоскости изменения независимых переменных (га, t) фактически соответствуют индивидуальной частице с лагранжевой массовой координатой тс, рассматриваемой в момент времени tc, и определяются из двух конечно-разностных уравнений характеристик С+ и С-\ тс -тв = -[рС]ВсA>С - где задающие наклон характеристик С+ и С- комплексы [рС]АС и [рС\вс можно считать известными (в первом приближении эти комплексы определяются по известным параметрам в узлах А и В: [рС]лс = (рС)А = Ра^А^ [рС]вс = = (рС)в = РВ^в)' Записываемые в конечных разностях соотношения на характеристиках позволяют определить в узле С массовую скорость ис и давление рс' (PC ~ Ра) + [pCUciuc - иА) = 0; (рс - рв) - [рС]вс(ис - ив) = о. Последующее использование записываемого в конечных разностях соотношения B.74) на Со-характеристике, проходящей через найденный узел С (тс = raj), см. рис. 2.23), а также уравнения состояния и соотношения B.64) позволяет 153
определить в узле С удельную внутреннюю энергию Eq, плотность рс и скорость звука Cq из следующей системы уравнений: рс = РсЕс(к - l); [ZJ1> Сс = VkPc/pc, где параметры в промежуточном узле J9 считаются известными и могут быть рассчитаны по известным параметрам в узлах А и В путем линейной интерполяции, например: Ed = Ед-\ (га# - гад). тВ ~ тЛ После определения в первом приближении положения узла С и разностного решения в нем, как правило, организуется итерационный процесс последовательного уточнения полученных значений, когда учитывается изменение наклона характеристик С+ и С- с помощью найденного решения в узле С: [рС\лс = i^PaCa + 9сСс)\ [рс\вс = i^PвСв + 9сСс)- Система конечно-разностных уравнений B.75)—B.77) решается вновь, и этот процесс продолжается вплоть до достижения сходимости — обеспечения заданного малого отличия последующего приближения относительно предыдущего. Обычно достаточно двух-трех итераций для достижения сходимости в пределах 1.. .2 %. Следует отметить, что широкое использование интерполяционных и итерационных процедур в целом свойственно численному методу характеристик. На рис. 2.24 показан характеристический шаблон, применяемый для нахождения узлов характеристической сетки на фронте ударной волны и параметров на фронте. Считается, что известны положения в плоскости изменения независимых переменных (m, t) узлов F и Е (тр, tp, nig, tg), 154
4? С+ - характеристика 4— = at ж*** /77 Рис. 2.24. Характеристический шаблон для нахождения узлов характеристической сетки на фронте ударной волны и определения разностного решения в них: УВ — фронт ударной волны разностное решение в этих узлах (tz, р, р, С = \J^vlР ) > а также скорость фронта ударной волны Dp, которая находится из системы соотношений A.1). На характеристической сетке, показанной на рис. 2.22, узел Е определяется как внутренний узел сетки, а узел F является одним из узлов на начальном временном слое. Очередной узел G (mG, tg) характеристической сетки на фронте ударной волны определяется пересечением (см. рис. 2.24) линии движения фронта ударной волны (дифференциальное уравнение dm/dt = PqD) и (^-характеристики (dm/dt = pC), «догоняющей» фронт со стороны области течения за фронтом ударной волны: mG-mE = mG-mF = [poD]FG(tG - где в первом приближении наклоны С+ -характеристики и линии фронта ударной волны определяются по известным параметрам в узлах F и Е: [pC]eg = (pQe = PeCe> [D]fg = = Dp, Параметры на фронте в новом его положении определяются из системы соотношений A.1), замыкаемой записываемым в конечных разностях соотношением вдоль «догоняющей» фронт ударной волны С+ -характеристики: 155
p0DG = PG - PQ = EG - Eo = PG+PO 2 \po PG pg = pg^g(^ - 1); (PG-PE) + [pC]eg{uG - uE) = 0. Необходимо подчеркнуть, что наличие в этой системе уравнений «замыкающего» соотношения вдоль «догоняющей» С+-характеристики отражает реально существующее влияние параметров движения и состояния среды за фронтом на параметры на фронте ударной волны. На рис. 2.25 показан характеристический шаблон, используемый для расчета граничных условий на границе газа с поршнем. Считается, что известны положения в плоскости изменения независимых переменных (га, t) узлов М и L [тм = 0, tjtf, mi, ti) и разностное решение в этих узлах (и, р, р, Е, С = Jkpfp) . Например, на рис. 2.22 узел L определяется как внутренний узел характеристической сетки, а узел М является одним из узлов на начальном временном слое. Очередной узел К {mj{ = 0, t%) характеристической сетки на границе газа с поршнем определяется пересечением (см. рис. 2.25) граничной Со-характеристики ^-характеристика У Со - характеристика ?_ -характеристика dm т Рис. 2.25. Характеристический шаблон для расчета граничных условий на границе газа с поршнем 156
(m = 0) и С_-характеристики (dm/dt — -рС), приходящей на границу со стороны внутренней области течения: тк = 0; шк - где в первом приближении наклон С- -характеристики определяется по известным параметрам в узле L: [рС]ц{ — (pC)i = = PL^L- Массовая скорость и к на границе газа с поршнем задается кинематическим граничным условием, а давление распределяется с помощью записываемого в конечных разностях соотношения на С--характеристике: ик = ии; {рк - pl) - Ipc]lk(uk - *>l) = 0- Следует отметить, что в случае задания динамических граничных условий на границе газа с поршнем (га = 0, р = рг) то же самое соотношение на С- -характеристике использовалось бы для нахождения массовой скорости их на границе по известному давлению р^: РК = Рг5 (РК - PL) ~ [рС]ьк(и>К ~ uL) = 0. Что касается определения граничных значений удельной внутренней энергии, плотности и скорости звука, то оно проводится так же, как и для внутренних узлов характеристической сетки: с помощью соотношений на граничной Co-характеристике, уравнения состояния и выражения для скорости звука (см. B.77)). Расчет граничных условий на фронте ударной волны и на границе газа с поршнем, как правило, сопровождается итерационным процессом последовательного уточнения положений граничных узлов и определения разностного решения в этих узлах. Принцип организации такого итерационного процесса полностью аналогичен используемому при расчете внутренних узлов характеристической сетки (уточнение наклона характеристик С+,С-, линии движения фронта ударной волны, 157
уточнение входящих в соотношения на характеристиках комплексов [рС]). Таким образом, приведенные в этом разделе конечно- разностные уравнения позволяют построить характеристическую сетку в плоскости изменения независимых переменных (га, t) и определить разностное решение в ее узлах. Подобную сетку можно назвать естественной характеристической сеткой. По существу, в процессе ее построения выстраиваются определенные характеристики С+, С- уравнений газовой динамики, отвечающие решаемой задаче с ее начальными и граничными условиями. Выстраиваемые характеристики соответствуют выбранным узлам на начальном временном слое. Их пересечение задает положение узлов (тг, tj) характеристической сетки, что определяет дискретное множество индивидуальных частиц гп{ и соответствующих моментов их рассмотрения tj. Пример такой сетки показан на рис. 2.22. 2.2.3. Достоинства и недостатки численного метода характеристик по сравнению с сеточными методами Численный метод характеристик по сравнению с сеточными методами обладает определенными достоинствами и недостатками. Существенным достоинством численного метода характеристик по сравнению с сеточными методами сквозного счета является более точный расчет ударных волн. Как было показано в разделе 2.2.2, в численном методе характеристик не используются искусственные приемы типа псевдовязкости или аппроксимационной вязкости, приводящие к «размазыванию» фронта ударной волны и снижающие точность расчета параметров движения и состояния на фронте ударной волны. В численном методе характеристик выделяется фронт ударной волны, а определяемые параметры точно соответствуют системе соотношений A.1) на фронте. В большинстве случаев численный метод характеристик обеспечивает более точный расчет граничных условий, так 158
как не связан с волевым изъятием из системы конечно-разностных уравнений на границе разностного аналога одного из законов сохранения. Поясним это на частном примере расчета динамических граничных условий, когда на границе т = О задается граничное давление р = рТ. Предположим, что для расчета течения газа используется один из сеточных методов, основанный на схеме Лакса для внутренних узлов и на схеме «уголок» для граничных узлов. Как было показано в разделе 2.1.4 (см. также рис. 2.9), в этом случае значения сеточных функций на границе (координатный индекс г = 0) определяются из решения системы конечно-разностных уравнений = 4 - j где первое уравнение учитывает непосредственно заданное на границе давление Pq+ , второе и третье уравнения позволяют вычислить скорость Uq и удельную внутреннюю энергию j?q+ в соответствии с законами сохранения импульса и энергии. Плотность же р^ определяется из четвертого уравнения — уравнения состояния — по известным значениям давления и удельной внутренней энергии. В таком случае из системы конечно-разностных уравнений на границе оказывается изъятым конечно-разностное уравнение неразрывности (оно, по существу, заменяется динамическим граничным условием Pq = рг). Однако возможным вариантом расчета граничных условий является и такой, когда плотность р^ определяется из конечно-разностного уравнения неразрывности »1 j _ и{ - 4 159
а удельная внутренняя энергия Е$ вычисляется из уравнения состояния по известным значениям давления и плотности. В этом случае из системы конечно-разностных уравнений на границе фактически изъятым оказывается конечно- разностное уравнение энергии. Оба этих варианта расчета граничных условий являются допустимыми, и отдать одному из них предпочтение затруднительно. Они обладают определенными погрешностями аппроксимации, которые обычно стараются уменьшить, задавая достаточно малый шаг сетки по координате. В случае же использования для расчета течения газа численного метода характеристик расчет динамических граничных условий обладает максимально возможной корректностью (см. рис. 2.25). Как было отмечено в разделе 2.2.2, параметры движения и состояния в очередном граничном узле К определяются из решения системы уравнений РК = Рт', (рк - pl) - [рС]ьк(ик - ul) = 0; РК = РкЕк{к - 1), где первое уравнение непосредственно задает действующее на границе давление р#, второе уравнение (соотношение на С_-характеристике, «приходящей» на границу со стороны области течения) позволяет вычислить массовую скорость uj{ на границе, третье и четвертое уравнения (соотношение на граничной Co-характеристике и уравнение состояния) определяют удельную внутреннюю энергию Ej( и плотность р^. В такой системе уравнений изъятым (и замененным динамическим граничным условием р% = рг) оказывается соотношение на С+-характеристике (на рис. 2.25 показана штриховой линией), которая «приходила» бы в узел, если бы он являлся внутренним (см. рис. 2.23), но фактически отсутствует для граничного узла. Так же как и при использовании сеточных методов, расчет граничных условий по численному методу характеристик обладает определенной погрешностью аппроксимации, однако одинаковая погрешность в этом случае обеспечивается на более грубой сетке. 160
Численный метод характеристик наилучшим образом соответствует условию устойчивости Куранта (см. раздел 1.6). Как следует из самого алгоритма построения характеристической сетки (см. раздел 2.2.2), условие устойчивости Куранта (см. ограничение A.51) на шаг сетки по времени в зависимости от шага сетки по координате и скорости распространения в среде малых (звуковых) возмущений) выполняется автоматически. Выстраиваемая характеристическая сетка, по существу, определяет область зависимости решения разностной задачи, а различие в областях зависимости решений разностной и дифференциальной задач при уменьшении шага характеристической сетки по координате (/г —» 0) фактически исчезает. Численный метод характеристик обладает высокой степенью соответствия физическим особенностям процесса, так как выстраиваемая характеристическая сетка позволяет проследить распространение в среде малых возмущений, посредством которых и передается информация в среде. Так, например, на рис. 2.22 можно видеть, что на параметры движения газа в области I плоскости изменения независимых переменных (га, t) оказывают влияние только начальные условия, в области II — начальные условия и граничные условия на поршне, в области III — начальные условия и граничные условия на фронте ударной волны, разностное решение в области IV определяется как начальными условиями, так и граничными условиями на обеих границах, условия движения поршня начинают сказываться на движении фронта ударной волны начиная с момента времени tjj и т.п. Вместе с тем численный метод характеристик по сравнению с сеточными методами обладает и определенными недостатками. К числу таких недостатков относится неоднородность разностной схемы в целом, когда внутренние узлы, граничные узлы на фронте ударной волны и на границе с кинематическими или динамическими граничными условиями рассчитываются по различным конечно-разностным уравнениям. Сеточные же методы в ряде случаев обеспечивают возможность сквозного расчета, когда практически по одинаковым конечно-разностным уравнениям рассчитывается вся 6 - 2728
область течения. Такой возможностью обладает, например, схема. Неймана — Рихтмайера (схема «крест» с псевдовязкостью), которая является однородной по отношению к расчету ударных волн, контактных разрывов, границ с динамическими граничными условиями (при использовании «фиктивных» ячеек). Численный метод характеристик становится логически достаточно сложным при расчете сложных течений, когда, например, ударная волна возникает не с момента начала движения среды, а в ходе этого процесса и время и место ее возникновения заранее не известны и определяются параметрами течения среды. Еще более сложным с точки зрения реализации с помощью численного метода характеристик является вариант распространения нескольких фронтов ударных волн, и особенно при наличии взаимодействия между ними. Расчет же таких течений с помощью сеточных методов сквозного счета с псевдовязкостью или с аппроксимационной вязкостью не представляет трудности, хотя и менее точен. Численный метод характеристик с естественной характеристической сеткой создает некоторые трудности в части анализа получаемой информации. При определении узлов такой сетки как точек пересечения характеристик С+ и С_ положение узлов в плоскости изменения независимых переменных (m, t) не зависит от вычислителя и определяется самим решением. Поэтому в общем случае характеристическая сетка представляет собой набор узлов с различными сочетаниями лагранжевой массовой координаты га и времени t (рис. 2.26), соответствующих различным индивидуальным частицам среды, рассматриваемым в разные моменты времени. Анализ же параметров движения и состояния среды удобно проводить, имея зависимости типа / = /(га, t*) (распределение по координате га для фиксированного момента времени /*) или / = /(тп*> t) (изменение во времени для индивидуальной частицы с фиксированной лагранжевой массовой координатой га*). Для получения таких зависимостей необходимо дополнительно проводить интерполяцию с характеристической 162
Рис. 2.26. К пояснению необходимости использования дополнительных интерполяционных процедур в численном методе характеристик с естественной характеристической сеткой сетки, в узлах которой известно разностное решение, на интересующий временной слой t* или на Co-характеристику, соответствующую интересующей частице га*. Подобная дополнительная вычислительная процедура имеет чисто технический характер. Однако существует одна из модификаций численного метода характеристик, в которой устраняется этот недостаток, вследствие чего отсутствует необходимость использования дополнительной интерполяции. Это численный метод характеристик с фиксированным шагом сетки по времени (схема Хартри). 2.2.4. Численный метод характеристик с фиксированным шагом сетки по времени В численном методе характеристик с фиксированным шагом сетки по времени используется разностная сетка, подобная применяемым в сеточных методах. Такая сетка показана на рис. 2.27. При использовании лагранжева подхода к описанию движения она образуется пересечением Со-характеристик (вертикальные прямые с фиксированными значениями лагран- жевой массовой координаты гаг соответствуют определенным 6* 163
/77 Рис. 2.27. Разностная сетка и характеристические шаблоны в численном методе характеристик с фиксированным шагом сетки по времени: У В — фронт ударной волны; траектория фронта ударной волны; фрагменты характеристик С+ и С_ индивидуальным точкам среды) и определенных временных слоев tj, при этом шаг ту = tj+i — tj перехода с одного временного слоя на другой одинаков для всех индивидуальных точек (фиксированный шаг сетки по времени). Численный метод характеристик с фиксированным шагом сетки по времени отличается от метода характеристик с естественной характеристической сеткой лишь тем, что положение узлов сетки фиксировано и отсутствует необходимость интерполяции при анализе результатов. При фиксированной сетке фронт ударной волны будет передвигаться по сетке, занимая в некоторый момент времени tj произвольное положение и не обязательно попадая в координатный узел (см. рис. 2.27). Ограничимся здесь рассмотрением лишь принципа определения разностного решения на последующем временном слое j + 1 по известным параметрам на временном слое jf, имея в виду, что в разделе 3.3 этот вопрос будет рассмотрен более детально применительно к одномерной задаче сферического взрыва в воде. 164
Будем считать известными параметры движения и состояния в группе узлов Л, В, С на временном слое j, а в качестве искомых рассматривать параметры в узле D на временном слое j +1 (см. рис. 2.27). Записываемые в конечных разностях уравнения характеристик С+иС_, «приходящих» в узел D с известными координатами тр = тг, fy+i, используются для нахождения координат гад/ и гауу промежуточных точек М и N пересечения этих характеристик с предыдущим временным слоем tj: rnD - тм = [pC]MDTj] mD -mN = -[pC]NDTj. Последующая интерполяция, проводимая на временном слое.;, позволяет определить параметры ш, р, р,Е,С'= у/кр/р ) в промежуточных точках М и N по известному решению в узлах Л, Б и С Дальнейшее определение разностного решения в узле D проводится аналогично тому, как это делается в методе характеристик с естественной характеристической сеткой: массовая скорость ujy и давление рр находятся с помощью записываемых в конечных разностях соотношений на характеристиках С+ и С- (разностный аналог — соотношения B.76)), удельная внутренняя энергия Ер и плотность рр — из соотношения на Со-характеристике тр — гп{ (первый закон термодинамики — уравнение энергии) и уравнения состояния (разностный аналог — соотношения B.77)). Так же как и в численном методе характеристик с естественной характеристической сеткой, расчет нового положения фронта ударной волны (точка G на временном слое j + 1, см. рис. 2.27) и параметров на фронте в новом его положении проводится с помощью системы соотношений A.1) и соотношения на С+-характеристике, «догоняющей» фронт в точке G. Особенностью расчета является то, что конечно-разностное Уравнение «догоняющей» С+ -характеристики используется Для нахождения координаты точки rri? пересечения этой характеристики с временным слоем j. В этой точке путем интерполяции определяются параметры движения и состояния, 165
что и дает возможность внести определенность в соотношение на С+-характеристике и составить замкнутую систему уравнений для расчета параметров на фронте в новом его положении (см. подробнее в разделе 3.3). Аналогичным образом проводится и расчет граничных условий на поршне. Нетрудно прийти к выводу, что в численном методе характеристик с фиксированным шагом сетки по времени осуществляется как бы «перенос» интерполяции с заключительного этапа анализа результатов (что свойственно численному методу характеристик с естественной характеристической сеткой) на более ранний этап определения разностного решения. Такой «перенос» интерполяции обеспечивает значительное преимущество численного метода характеристик с фиксированным шагом сетки по времени с точки зрения удобства обработки получаемой расчетной информации. Кроме того, использование фиксированной сетки, такой же, как и в сеточных методах, обусловило широкое применение этого метода в рамках так называемых сеточно-характеристических методов, когда параметры движения и состояния среды во внутренних узлах рассчитываются по более простым сеточным конечно-разностным уравнениям, а границы, включая и подвижные границы фронтов ударных волн, выделяются и рассчитываются по более точному численному методу характеристик. Пример использования комбинированного сеточно- характеристического метода для расчета сферического взрыва в воде представлен в разделе 3.3. 2.3. Методы семейства «частиц в ячейках» Вопрос о выборе системы координат (разностной сетки) при построении разностных схем является очень важным. В одномерных задачах нестационарной газовой динамики наиболее широко используется представление конечно- разностных уравнений в переменных Лагранжа. В этом случае координаты связаны с движением сплошной среды в пространстве и лагранжева аппроксимационная сетка также движется вместе со сплошной средой. 166
Использование переменных Эйлера требует применения неподвижной разностной сетки. В таком случае координаты соответствуют уже фиксированным точкам (ячейкам) пространства и движение среды рассматривается относительно этих ячеек. При этом, как правило, возникают неудобства, связанные с аппроксимацией подвижных границ расчетной области или границ раздела находящихся в контакте сред. Переменные Эйлера более удобны при изучении двумерных и трехмерных задач газовой динамики. В ряде случаев, особенно для многомерных задач нестационарной газовой динамики, целесообразно использовать совместное эйлерово-лагранжево представление. Одним из возможных способов реализации такого подхода является метод «частиц в ячейках» (метод PIC — Particle-in-Cell), предложенный Харлоу в середине 1950-х годов. Область решения представляется неподвижной (эйлеровой) разностной сеткой. Сплошная среда трактуется дискретной моделью — совокупностью частиц фиксированной массы (лагранжева координатная сетка частиц), которые перемещаются по эйлеровой координатной сетке ячеек. Эйлерова координатная сетка используется для определения параметров состояния среды (давления, плотности, температуры), а лагранжевы частицы — для определения параметров самой среды (массы, энергии, скорости) и для описания движения границ раздела. Основная идея метода состоит в расщеплении исходной системы дифференциальных уравнений по физическим процессам. В течение каждого временного шага At (шага сетки по времени) интегрирование уравнений сохранения импульса и энергии разбивается на три этапа: этап I (эйлеров) — на этом этапе пренебрегают эффектами переноса среды, учитывающими массообмен между эйлеровыми ячейками, и на неподвижной разностной сетке рассматривают разностную схему, которая позволяет определить для всех эйлеровых ячеек промежуточные значения параметров, характеризующих сплошную среду; этап II (лагранжев) — на этом этапе моделируется движение частиц через границы эйлеровых ячеек, учитывающее обмен массами между ячейками; 167
этап III(заключительный) — на этом этапе осуществляется перераспределение массы, импульса и энергии по пространству на основе законов сохранения. Если частица или группа частиц пересекает границу эйлеровой ячейки, переходя из первой ячейки во вторую, то масса, импульс, энергия частицы или частиц вычитаются из массы, импульса, энергии первой ячейки и добавляются к соответствующим параметрам второй ячейки. Метод «частиц в ячейках» первоначально был предложен Харлоу для решения одномерных задач. Однако выяснилось, что по своей точности он не может конкурировать с уже существующими и описанными выше методами. Тем не менее для расчета двумерных нестационарных газодинамических течений и особенно для решения задач о течении многокомпонентных сред и задач, в которых моделируемые среды претерпевают сильное деформирование, большие относительные перемещения и сложные контактные взаимодействия, применение метода оказалось наиболее эффективным. Основная трудность метода «частиц в ячейках», не позволяющая широко его использовать, заключается в достаточно высоких требованиях, предъявляемых к объему памяти и производительности компьютеров. Кроме того, вследствие дискретного представления сплошной среды (конечное число частиц в ячейке) параметры течения на разностной сетке также изменяются дискретно. Такие скачки приводят к большим нефизическим флуктуациям рассчитываемых величин (особенно плотности и давления), в решениях появляются автоколебания. Затруднительным является также получение информации для сильно разреженных областей, откуда в процессе решения уходят практически все частицы. Реализация существенного увеличения количества частиц обычно невозможна или крайне затруднительна, так как реальные научные расчеты в основном проводятся на пределе возможностей современных вычислительных машин. На базе метода «частиц в ячейках» был развит метод моделирования движения сплошной среды, известный под названием метода «жидкости в ячейках» (метод FLIC — Fluid-in- Cell). Его разностная схема была разработана в 1966 г. Джен- 168
три, Мартином и Дали на основе более ранней A963 г.) работы Рича. Они упразднили рассмотрение дискретных частиц метода «частиц в ячейках», но сохранили большинство других его аспектов. Работы, перечисленные выше, и более поздние работы Хёрта, Амсдена, Мейдера и других авторов послужили толчком к разработке в 1970 г. О.М. Белоцерковским и Ю.М.Давыдовым метода «крупных частиц». В этом методе, как и в методе «жидкости в ячейках», вместо совокупности («ансамбля») частиц в ячейке рассматриваются масса ячейки в целом («крупная частица» — отсюда и название метода) и непрерывные потоки массы через границы фиксированных ячеек. При этом удалось сохранить сильные стороны метода Харлоу (эйлерово-лагранжев подход) и существенно упростить организацию процесса вычислений. 2.3.1. Метод «частиц в ячейках» Алгоритм расчета по методу «частиц в ячейках» рассмотрим на примере решения одномерной плоской нестационарной задачи о движении совершенного газа в трубе под действием поршня (см. рис. 1.1). Постановка задачи. Покоящийся газ плотностью /?о, давлением ро и внутренней энергией ?"о, характеризуемый уравнением состояния р = pE(k-l), где к — показатель адиабаты Пуассона, занимает полупространство справа от поршня. В начальный момент времени t = 0 поршень под действием внешних сил начинает двигаться со скоростью, направленной вдоль оси х. Закон изменения скорости движения поршня во времени vn = vu(t) известен заранее. Правая граница исследуемой области имеет координату х = L. В движущемся под действием поршня газе начинает формироваться волна, фронт которой распространяется от поршня, захватывая новые частицы среды. Для введения пространственной разностной сетки разобьем отрезок [0, Л], ограничивающий область рассматриваемого течения, на N равных частей, длина которых равна шагу сетки (Ах — L/N). Будем обозначать ячейки индексом г 169
/ 2 3 . о-кмо . 1-1 I L+1 Рис. 2.28. Пространственная разностная сетка (l<i<JV),a точки деления отрезка, называемые узлами сетки, — дробными индексами 1/2, 3/2, ..., г - 1/2, % + 1/2, г+ 3/2,..., N +1/2 (рис. 2.28). Смысл введения «фиктивной» ячейки N + 1 будет пояснен далее. Аналогично пространственной разностной сетке определяется сетка по временной переменной tn, причем At = tn+1 ~ tn — шаг сетки по времени (п = 0,152..".). Совокупность пространственной и временной разностных сеток определяет пространственно-временную диаграмму (рис. 2.29), в которой набор узлов (хг, tn) или (яг-±1/2, tn) при 1 < г < N и фиксированном п называют временным слоем п. Ячейки, удовлетворяющие условию г = 1п или г = 7V, будем называть граничными (см. рис. 2.29), где 1п — ячейка, в которой находится поршень в момент времени tn. Кривая xu(t) на t\ n*1 n / 0 X 1 / \ =¦> t)d Xj K° j t° 4 н 1т t \(p,U)L±% • 1-1 Jf X Рис. 2.29. Пространственно-временная диаграмма 170
пространственно-временной диаграмме соответствует закону движения правой границы поршня. Опишем движение идеального сжимаемого газа системой дифференциальных уравнений Эйлера в интегральном виде: f dp Г / -?- dV = - <f> pvndS] B.78) VE SE — I pvdV = - ipndS] B.79) VL Sl Vl Vl = - ipvndS] B.80) p = pE(k-l)\ B.81) dx x = v(x, t) = —. B.82) Соотношения B.78)—B.81) представляют собой законы сохранения массы, импульса, энергии и уравнение состояние газа соответственно; уравнение B.82) характеризует изменение положения лагранжевой расчетной точки во времени, причем х и v рассматриваются как скаляры в одномерном случае и как векторы {х{} и {v{] — в многомерном; р — плотность; р — давление; Е и J = Е + v2/2 — удельная внутренняя и удельная суммарная, или полная, энергии соответственно; n(x, t) — единичный вектор внешней нормали к поверхности; V^, Vi и Se, Si — объемы и поверхности, ограничивающие эйлеро- d д д д д ву или лагранжеву ячейку газа; — = — + v— к —, at ot их at ox полная и частные производные искомых функций; dS и dV — элементы поверхности и объема. Заметим, во-первых, что объемы Vi и поверхности Si являются функциями времени, т.е. Vi = Vi(t), Si = Si(t). Однако в начале каждого расчетного цикла они совпадают с 171
соответствующими характеристиками неподвижной (эйлеровой) разностной сетки Vi — Vg = Ax • 5, Si = Sg = 5, где 5 — площадь поперечного сечения (см. рис. 1.1). Во-вторых, в задачах с плоской симметрией во избежание недоразумений с размерностями площадь S выражает массу, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения, и в системе СИ имеет размерность [кг/м2]. В-третьих, будем в дальнейшем считать, что 5 = 1. Начальные условия. Для решения системы уравнений B.78)—B.82) в исследуемой области 0 < х < L начальными условиями являются распределения параметров, соответствующие покоящейся и невозмущенной среде: * = 0; р = ро\ р = р0; v = 0; Е = Ео = Ро . {к - 1)/>0 Граничные условия. Эти условия определяются на поршне соотношениями t х = хп= vndt\ vn = vn(t). О При х = L рассмотрим два типа граничных условий: жесткую поверхность и границу с притоком или оттоком вещества. Разностная схема. В методе «частиц в ячейках» используется дискретная модель сплошной среды. При этом область интегрирования разбивается на некоторое число фиксированных ячеек. Внутри этих ячеек сплошная среда представляется частицами, каждая из которых несет определенную массу. Таким образом, имеется лагранжева система координат (частиц), наложенная на неподвижную (эйлерову) разностную сетку. Введем в рассмотрение множество лагранжевых частиц j = 1, 2,..., if, каждая из которых в начальный момент времени t = 0 характеризуется местоположением х^, скоростью Vy и массой rrij (см. рис. 2.29). Определим массу частицы j в предположении, что при t = 0 в каждую эйлерову ячейку г сетки помещено одинаковое количество частиц К0: S _ ррАх к* ' 172
так как S = 1. В дальнейшем масса частицы остается неизменной, а ее положение хп- и скорость vj изменяются с течением времени. Изменяется также количество частиц в конкретной эйлеровой ячейке К™. Так как масса вещества в эйлеровой ячейке равна сумме масс принадлежащих ей лагранжевых частиц, то получаем Организация вычислительного процесса. Установив начальные распределения параметров течения v™, p™, р™, Е?, J? (г = 1, 2,..., N и j = 1, 2,..., К) в области интегрирования, покажем, как выполняются вычисления с помощью законов сохранения импульса и энергии при переходе от временного слоя tn (в данном случае tn = 0) к временному слою t71^1. Шаг интегрирования по времени At можно определить из условия устойчивости разностной схемы (см. раздел 1.6): B-83) \vi\ Здесь Кг — число Куранта; г;г, Сг — массовая скорость и скорость звука в ячейке г; /г — доля заполненности дробной ячейки газом (жидкостью). Этап I (эйлеров). На этом этапе по уравнениям B.79), B.80) вычисляются промежуточные значения скорости v\ и удельной суммарной энергии Ju которые можно рассматривать как некоторые вспомогательные величины для эйлеровой ячейки г в момент времени ?n+1. При этом предполагается, что среда является моментально «замороженной», т.е. отсутствует движение частиц через границы неподвижной разностной сетки. Изменение газодинамических параметров происходит только за счет сил давления, действующих по границам ячеек. 173
Можно показать, что для поставленной задачи вследствие сделанных допущений уравнения B.79) и B.80) аппроксимируются соотношениями V? - — ?пх j. - jn _ ±±i 1 -л р? где Vl/2 1 2 1 2 Ах рГ-1/2 B.84) B.85) 1 /~ 1,- Использование усредненного значения скорости v71 = = (vn + vn)/2 позволяет достигнуть консервативности описываемой разностной схемы. Для улучшения устойчивости вычислений на первом этапе в уравнениях B.84), B.85) вместо давления р иногда рекомендуется использовать эффективное давление р = р + д, где q — псевдовязкость. В качестве последней может быть взят один из ее видов. Этап II (лагранжев). На этом этапе моделируется движение лагранжевых частиц через границы эйлеровых ячеек за промежуток времени Д?. Проинтегрировав уравнение B.82), для каждой частицы j = 1, 2,..., К получим B.86) 174
1-1 Hi -n+f Рис. 2.30. К расчету скоростей перемещения лагранжевых частиц по эйлеровой координатной сетке где хп- и х^ — координаты частицы в моменты времени tn и tn^ соответственно. Скорость частицы v^ можно определить разными способами, например линейной интерполяцией по промежуточным значениям скорости v в центрах смежных эйлеровых ячеек (рис. 2.30). В ряде расчетов одномерных движений скорость частицы полагалась равной значению скорости v , v или vn в той ячейке, где находится частица. Результаты расчетов были менее точными, чем в тех случаях, когда скорость определялась интерполяцией по значению v. Определение скорости частицы интерполяцией не по значению ?,апо значению vn или v также понижало точность расчетов. Аналогичным образом вычисляется удельная суммарная энергия лагранже- вой частицы «Л1, значение которой используется на заключительном этапе вычислений. Сравнивая координаты частиц B.86) с координатами границ эйлеровых ячеек я, = г'Дж, можно определить, остались ли частицы в пределах прежней ячейки или перешли в другую, и в какую именно. Этап III (заключительный). На этом этапе осуществляется перераспределение массы, импульса и энергии по 175
пространству и определяются окончательные значения эйлеровых параметров движения и состояния в момент времени t71^1 = tn + /\t. Уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массы, импульса и энергии, записанные в конечно-разностной форме: где Kfcx — количество частиц, исходящих из ячейки г; Kf^ — количество частиц, входящих в эйлерову ячейку г из т соседних ячеек. В частном случае при Kfcx = Kf7^ = 0 масса, импульс и энергия частиц в ячейке г остаются неизменными. Исходя из B.87)—B.89), нетрудно получить окончательные недостающие значения параметров состояния: Еп+1 _ j г г Ах ' 1 B.90) г 176
Как следует из соотношений B.87)—B.89), алгоритм заключительного этапа является некоторой дискретной моделью, не являющейся однородной разностной схемой. Однако если количество частиц в ячейке велико, то их движение может быть усреднено, что приведет к асимптотическому представлению метода. Можно показать, что при таком рассмотрении разностная схема заключительного этапа является однородной на эйлеровой координатной сетке, в которой пространственные производные аппроксимируются конечно- разностными соотношениями «вперед» или «назад» в зависимости от направления движения среды. Разностная схема полного временного шага является дивергентной и аппроксимирует исходную систему дифференциальных уравнений с первым порядком точности по времени и по координате. Граничные условия на правой границе расчетной области. При расчете скоростей частиц, находящихся в приграничных ячейках, вводят внешние приграничные, или «фиктивные», ячейки (ячейка N + 1 на рис. 2.28), в которых значение массовой скорости среды задается в зависимости от типа границы. Если граница является жесткой поверхностью, совпадающей с правой границей ячейки 7V, то значение массовой скорости среды в «фиктивной» ячейке N + 1 полагается равным значению массовой скорости среды во внутренней ячейке, прилегающей к «фиктивной», но с обратным знаком, т.е. 1W+1 = -vN. B.91) Если граница является «непрерывной» (граница с притоком или оттоком вещества), то значение массовой скорости среды в «фиктивной» ячейке задается равным значению массовой скорости среды в прилегающей к ней внутренней ячейке, т.е. vN+l = VN- B.92) Условия типа B.91) и B.92) задаются в конце I и III этапов вычислений и, например, для жесткой поверхности имеют вид Vtf+i = —vj\f и ^дг~|Л = —^V соответственно- Частица, покидающая область интегрирования через «непрерывную» границу, считается вытекшей и из дальнейшего рассмотрения исключается. 177
Рис. 2.31. К определению массовой скорости среды в дробных ячейках эйлеровой координатной сетки Помимо перечисленных кинематических граничных условий для решения конечно-разностных уравнений B.85) и B.89) соответственно на I и III этапах вычислений требуются дополнительные условия, определяющие значение давления р на границе расчетной области в первом случае и промежуточное значение удельной суммарной энергии частиц J в «фиктивной» ячейке во втором случае. Первое условие для «непрерывной» границы и для жесткой поверхности формулируется идентичным образом и имеет вид PN+1/2 = PN или PW+1 = PN- B.93) Второе условие используется только для «непрерывной» границы с притоком вещества во внутреннюю приграничную ячейку N и имеет вид Jjy+l = Jn- Дробные ячейки (граничные условия на левой границе расчетной области). Типовой вариант дробной ячейки показан на рис. 2.31. Рассмотрим один из возможных способов расчета параметров течения в дробных ячейках. Для этого будем полагать, что в момент времени tn правая поверхность поршня (левая граница расчетной области) достигнет координаты G. Введем вспомогательную функцию /,- = 178
— 6х{/Ах, характеризующую степень заполнения ячейки г газом с параметрами />", р^1, Е™, JJ1, vj1. Очевидно, что для полностью заполненной ячейки /г = 1, для пустой ячейки ft = О, для дробной ячейки 0 < /, < 1 и, наконец, для составной ячейки /, > 1, когда <5жг > Дж (см. ячейку г + 1 на рис. 2.31). Введение такой функции предусмотрено для сохранения однородности алгоритма расчета дробных ячеек на левой границе расчетной области при различных степенях заполнения их газом. Так как скорость и положение границы GF заданы, то значение массовой скорости частиц v? в дробной ячейке проще всего находится линейной интерполяцией (или экстраполяцией) по значениям vq и v^. Полагая при этом, что V{ = vj1, из соотношения B.84) можно получить PG = РГ+1/2 = Р" = 0>Я)Г(* " !)• По аналогии с соотношением B.85) определяется искомое промежуточное значение удельной суммарной энергии частиц в ячейке г J*-J* p»ff Ax ' а из уравнений B.87)—B.90) — характеристики Mf+1, ? и Р«+1 = Т^н • Здесь ^+1/2 = A/2)[A/2)(«?+1 + Как следует из соотношений B.83) и B.94), для рассмотренного способа определения параметров течения газа в Дробных ячейках следует избегать случаев, когда /,- стремится к нулю. Поэтому при /t- < /min, где /min « 0,25 — пороговое значение введенной функции, рекомендуется использовать процедуру укрупнения дробных ячеек: 1) дробная ячейка г исключается из вычислительного ци- кла, при этом находящиеся в ней частицы добавляются к частицам смежной целой ячейки г + 1, которая становится составной; 179
2) с учетом местоположения левой границы расчетной области в центре составной ячейки г+1 интерполяцией определяется значение массовой скорости среды v^\^ и вычисляется вспомогательная функция /^ = <$жг-+1/Дя; 3) с учетом проведенного перераспределения частиц (см. п. 1) в составной ячейке последовательно определяются значения плотности /э™+1, удельной внутренней энергии Е*^, давления pf+i> а по формуле B.94) рассчитывается промежуточное значение удельной суммарной энергии J,-+i; 4) по формулам B.87)—B.90) вычисляются значения остальных параметров в составной ячейке, а именно: МЙ1, Еп+1 п+1 п+1 _ тг+1 •>i'+l Р|+1 Недостатки метода. Главный из них состоит в том, что вследствие дискретного представления сплошной среды (конечное число частиц в ячейке) методу присуща вычислительная неустойчивость (флуктуации расчетных параметров). Другими словами, если не принимать дополнительных мер, разностная схема будет сильно немонотонной. Немонотонность схемы не позволяет с достаточной точностью вычислять значения параметров в любой момент времени в определенных точках области течения. Например, затруднительно получение информации для сильно разреженных областей течения, откуда уходят практически все частицы. Кроме того, немонотонная разностная схема является достаточно сложной в практической реализации, требует большего объема памяти и временных затрат для проведения вычислений, чем чисто лагранжев или чисто эйлеров метод расчета. Рекомендации по количеству частиц. Выбор рационального числа частиц на эйлеровой координатной сетке — сложный и неоднозначный вопрос, который должен решаться автономно для каждой конкретной задачи. При этом некоторые ячейки могут и вовсе не содержать частиц (пустые ячейки) или содержать частицы нескольких веществ (смешанные ячейки). Остановимся лишь на некоторых факторах этой процедуры. 180
С одной стороны, число лагранжевых точек ограничено ресурсами компьютера, а с другой стороны, их количества должно быть достаточно не только для задания начальной геометрии конкретной задачи на эйлеровой координатной сетке, но и для правильного описания движения среды, не вызывающего сильных колебаний расчетных параметров (в основном плотности и давления) в процессе получения решения. Известно, что для выполнения последнего условия в каждом конкретном случае можно определить не только требуемый минимум частиц, при котором проведение вычислений еще возможно, но и оптимальное число частиц в ячейке, с увеличением которого наблюдается лишь незначительное увеличение точности получаемого численного решения. Например, моделирование одномерных и двумерных задач газовой динамики показывает, что для сред, которые с течением времени будут только сжиматься, решение можно начинать с небольшого числа частиц в ячейке (двух — четырех или даже одной). Исключение составляет движение, в котором ударное сжатие ведет лишь к незначительному возрастанию плотности. Для сред, которые будут предположительно расширяться, необходимо использовать существенно большее число частиц (на порядок, а то и на два больше, чем для процессов сжатия). Большое количество частиц следует использовать для выделения контактных разрывов двух и более сред. Универсальных же рекомендаций по определению рационального количества частиц в ячейках дать нельзя. Особенности расчета многокомпонентных сплошных сред. В этом случае, как и при расчете однокомпонент- ной среды, процесс вычислений состоит из трех этапов. Однако в связи с усложнением физической модели сплошной среды эйлеров этап вычислений разбивается, в свою очередь, на три шага. При этом для всех ячеек, содержащих среду, последовательно вычисляются: на первом шаге — параметры давления, на втором шаге — промежуточные значения массовой скорости, на третьем шаге — промежуточные значения удельной внутренней энергии. 181
Коротко рассмотрим особенности расчета двухкомпо- нентной среды (жидкости или газа), причем один из компонентов будем обозначать «единицей» A), а другой — «двойкой» B). На первом шаге эйлерова этапа вычисляется давление р{ в ячейке г. Для этого в ней предварительно определяются плотности обоих компонентов р± п р\ . Каждый из них рассчитывается как сумма масс всех частиц в данной ячейке, деленная на соответствующую часть объема ячейки. Пусть первый компонент среды, обозначенный «единицей», занимает часть а объема V ячейки г, который полагается постоянным. Тогда второй компонент, обозначенный «двойкой», займет часть 1 — а объема этой же ячейки. Отсюда rB) aV т A) rB) т B) aV (l-a)V (l-a)V где Щ , Щ' — количество частиц первого и второго компонентов среды в ячейке г; Mt- , Mt- ' — суммарные массы первого и второго компонентов среды в ячейке г. В пустой ячейке давление полагается равным нулю. Если ячейка содержит только один компонент среды, например «единицу», то давление рг в ней определяется из уравнения состояния Рг = РA) r(!) v Если ячейка смешанная, то давление в такой ячейке определяется из условия равенства его составляющих — давлений отдельных компонентов среды. Таким образом, получаем М\ A) .(i) aF 182
или аЛ2) Рг = I .B) г Если уравнения состояния обоих компонентов среды имеют вид р = f(E)p, то полное давление в смешанной ячейке равно сумме парциальных давлений двух компонентов (под парциальным давлением понимают давление, которое создавалось бы веществом, если бы оно занимало ячейку целиком), т.е. или 0 где /3 — количество компонентов конкретной среды. В других случаях используют более сложные соотношения. На втором шаге эйлерового этапа вычисляются промежуточные значения массовой скорости среды vг. Для случая одномерного плоского нестационарного движения двухкомпонентного газа в трубе под действием поршня (см. рис. 1.1) обычно полагают, что массовые скорости отдельных компонентов газа в ячейке одинаковы. Поэтому для расчета v г воспользуемся зависимостью B.84), в которой М? = М\1) + м\2\ а рп{ = M?/V. На третьем шаге эйлерового этапа вычисляются промежуточные значения удельной внутренней энергии среды Ег. Для этого преобразуем уравнение B.80) к виду ЗЕ dv Его разностным аналогом является соотношение Рпх Ах 183
Введем обозначения AQt = -Atp» (*?+1/a - vl1/2) ; АЁг = Щ-, B.95) где AQ i и АЕ i — полное и удельное приращения внутренней энергии среды, находящейся в ячейке. Значения усредненных величин vn, как и ранее, определяются по формуле vn = (vn + vn)/2. Тогда Щ Если ячейка содержит только однородные компоненты среды (только «единицы» или только «двойки»), то м\ где Е\ \ El' и М\ , М> ' — энергии и массы отдельных компонентов среды, определенные на временном слое п. Если же ячейка разностной сетки является смешанной, то каждый находящийся в ней компонент среды получает свое или АЁ ± удельное приращение внутренней энергии Д?г или АЁ ± и, следовательно, ИЛИ 0 где /3 — количество компонентов среды. Таким образом, для смешанных ячеек разностной сетки возникает проблема распределения между отдельными компонентами среды полного приращения внутренней энергии AQ ,-, рассчитанного в предположении равенства массовых скоростей этих компонентов по формуле B.95). Другими словами, 184
требуется определить составляющие Д?\ по известным значениям AQ г и Мг- . Для этого обычно используют несколько способов, каждый из которых соответствует различным условиям термодинамического равновесия компонентов среды в ячейке. Остановимся на двух из них. 1. Если предположить, что отдельные компоненты получают одинаковое удельное приращение внутренней энергии, то искомая величина будет иметь вид до, д<г, >?иг р 2. Если предположить, что среда, находящаяся в ячейке, является изотермической, т.е. АЕ г = (су)^АТ{ (ATi — при) ращение температуры в ячейке г), то можно получить следующую искомую зависимость: Р Лагранжев этап вычислений в целом аналогичен соответствующему этапу вычислений при расчете однокомпонент- ной среды, но он делится на два шага. На первом ша- г е осуществляется перерасчет удельной внутренней энергии среды, полученной на эйлеровом этапе вычислений, в удельную суммарную энергию среды. На втором шаге реализуется движение частиц. Наконец, на заключительном этапе вычислений определяются окончательные значения параметров течения среды в момент времени tn+l = tn + At. 2.3.2. Метод «крупных частиц» Алгоритм расчета по модифицированному методу «крупных частиц» рассмотрим на примере решения одномерной 185
плоской нестационарной задачи о движении совершенного газа в трубе под действием поршня (см. рис. 1.1). Среда моделируется системой крупных частиц, совпадающих в начальный момент времени с ячейками эйлеровой координатной сетки. Как и в методе «частиц в ячейках», расчет параметров течения на каждом временном шаге А* разбивается на три этапа: эйлеров, лагранжев и заключительный. Для описания движения идеального сжимаемого газа используем систему дифференциальных уравнений в переменных Эйлера: р = рЕ(к-1). B.99) Соотношения B.96)—B.99) представляют собой в порядке следования законы сохранения массы, импульса, энергии и уравнение состояния газа. Остальные обозначения соответствуют ранее введенным (см., например, раздел 2.3.1). Организация вычислительного процесса. Покажем, как выполняют вычисления при переходе от временного слоя tn к временному слою ?n+1. Для этого область интегрирования покроем неподвижной (эйлеровой) равномерной разностной сеткой с шагом Ах. Значениями целых чисел г вдоль оси х будем обозначать центры ячеек. Этап I (эйлеров). На этом этапе газ предполагается моментально «замороженным». Поэтому конвективными составляющими уравнений B.96)—B.98), соответствующими эффектам переноса среды, пренебрегаем. С учетом принятых допущений исходную систему уравнений приведем к виду % = 0; BЛО0) 186
+ ^) 1 <2102> Из уравнения неразрывности B.100), в частности, следует, что плотность газа в каждой эйлеровой ячейке в течение временного шага At будет постоянной (/>,- = const). Аппроксимируя уравнения B.101) и B.102) в момент времени tn, получаем конечно-разностные уравнения для крупной частицы — ячейки г: dvV 1 РГ+1/а ~ Р"-1/2 p'i Ax Если производные по времени определить как (dv\n vj - v? (dr\n h \dt)t- At ; \dt)t- ~ At ' то в результате получим явные конечно-разностные уравнения первого порядка точности по времени и второго порядка по пространственной переменной, аналогичные соотношениям B.84) и B.85) метода «частиц в ячейках»: .-.-•Г- = J? - >+1/2>+1/2д7'/ '/2^ = 0- Здесь ?j; и J { — промежуточные значения параметров течения на временном слое ?п+1, полученные без учета эффектов переноса среды. Характеристики с дробными индексами, относящиеся к границам ячеек, находятся так же, как и при расчете по методу «частиц в ячейках». 187
Для улучшения устойчивости вычислений на первом этапе в уравнениях B.101), B.102) я B.103), B.104) вместо давления р иногда используют эффективное давление р = р + q, где q — псевдовязкость. При этом в расчетах по методу «крупных частиц» рекомендуется использовать линейную псевдовязкость, имеющую следующий вид: 0 при "тт— > 0, _ dv dv - АлСДж— при — < 0, где Ал — коэффициент линейной псевдовязкости; С — местная скорость звука среды. Этап II (лагранжев). На этом этапе рассчитываются эффекты переноса среды, учитывающие массообмен между ячейками. При этом поток массы среды АМп рекомендуется вычислять по формулам первого порядка точности. Например, для границы между ячейками г и г + 1 (рис. 2.32) At при B.105) Рис. 2.32. К определению потока массы среды через границы ячеек эйлеровой координатной сетки 188
Использование формулы B.105) совместно с B.103) и B.104) позволяет в ряде случаев проводить устойчивые расчеты без введения явных членов псевдовязкости. Устойчивость вычислений при этом обеспечивается наличием аппроксимационной вязкости разностной схемы. Этап III (заключительный). На этом этапе осуществляется перераспределение массы, импульса и энергии по пространству и определяются их окончательные значения на эйлеровой координатной сетке в момент времени /n+1 = = tn + At. Например, при направлениях движения среды, указанных на рис. 2.32, уравнение неразрывности B.96) в конечно-разностной форме можно представить следующим образом: откуда AM: 1 /о ~ ДМ:.1 /о Pi =Р?+ Ах ¦ ( Аналогичные соотношения получаются для закона сохранения импульса: zn+ipn+iAx = zip?Ax + дм,-_1/21,-_1 - AMi+1/2Z{, bZ = {v,J};Z ={v,J}. Тогда 7n+i_ Pi ~ , дм^г.^-дм,^!^ B.107) fe - 1). Граничные условия. Для реализации граничных условий типа условия непроницаемости на жесткой поверхности или условия «непрерывности» на открытой поверхности (ячейка N на рис. 2.28) в методе «крупных частиц», как и в Методе «частиц в ячейках», вводят внешние приграничные, или «фиктивные», ячейки (ячейка N + 1 на рис. 2.28). 189
В первом случае единственным условием, которое необходимо соблюсти, является условие равенства нулю потоков массы, импульса и энергии, проходящих через жесткую поверхность. Его можно реализовать, положив, что в конце I этапа вычислений Stf+l = -vN\ JjV+i = JN; pN+! = pN, B.108) а в конце III этапа вычислений „n+1 _ „n+1 V7V+1 - ~VN ' Во втором случае, когда газ вытекает из трубы или втекает справа в трубу (см. рис. 2.28), параметры в «фиктивной» ячейке N + 1 должны быть такими же, как и в самой ячейке N, Таким образом, полагаем, что в конце I этапа вычислений 4V+1 = W Jn+1=Jn', PN+\=PN', P7N^i=prN^ B.109) а в конце III этапа вычислений 7;n+l _ n+1 VN+1 ~ VN ' Необходимость в конце I этапа вычислений дополнительного определения плотности в «фиктивной» ячейке для «непрерывной» правой границы расчетной области в сравнении с граничными условиями для жесткой поверхности (см. B.109) и B.108) соответственно) обусловлена спецификой расчета потока массы среды (см. B.105)) через эту границу при условии, что среда из «фиктивной» ячейки N + 1 втекает в ячейку N расчетной области. Известны и другие способы реализации граничных условий при численном решении конкретных прикладных задач методом «крупных частиц», например: использование большего числа «фиктивных» ячеек, применение более точных формул экстраполяции или специальных конечно-разностных соотношений для задания сеточных переменных поля течения среды в «фиктивных» ячейках и т.п. Однако изложенный подход является наиболее простым. 190
Метод «крупных частиц» широко использовался и используется для систематических расчетов большого класса задач газовой динамики. При этом изменения, внесенные в разностную схему и отличающие этот метод от метода « частиц в ячейках», способствуют устранению флуктуации расчетных параметров в области течения среды и позволяют получать удовлетворительные результаты расчетов при сравнительно небольшом числе узлов разностной сетки. Вопросы для самоконтроля 1. Что понимается под «шахматной» разностной сеткой? 2. В чем состоит главная особенность этапа дискретизации при использовании схемы «крест»? 3. С каким типом узлов разностной сетки ассоциируются различные сеточные функции в схеме «крест»? 4. Как выглядят шаблоны, на которых ведется аппроксимация дифференциальных уравнений с помощью схемы «крест»? 5. Запишите конечно-разностные уравнения схемы «крест», аппроксимирующие дифференциальные уравнения газовой динамики. Каков характер этих конечно-разностных уравнений (явные или неявные)? 6. Каков порядок аппроксимации дифференциальных уравнений газовой динамики конечно-разностными уравнениями схемы «крест»? 7. Какова особенность задания начальных условий на «шахматной» разностной сетке? 8. Как реализуются кинематические граничные условия в схеме «крест»? 9. Охарактеризуйте последовательность действий при численном решении одномерной задачи нестационарной газовой динамики с помощью схемы «крест». 191
10. К чему приведет попытка расчета течений газа с ударными волнами по конечно-разностным уравнениям схемы «крест» без использования псевдовязкости? 11. Каковы причины появления неустойчивости схемы «крест» при расчете течений с ударными волнами? Каковы внешние проявления этой неустойчивости? 12. Определите понятие «однородная разностная схема». 13. Сформулируйте принцип построения однородных разностных схем с псевдовязкостью. 14. Что понимается под сильным разрывом параметров течения газа? 15. Почему в вязкой среде невозможно появление сильных разрывов параметров течения? 16. Что понимается под эффективным давлением в среде с реальной объемной вязкостью? Каковы составляющие эффективного давления и от чего они зависят? 17. К каким последствиям приводит наличие у среды вязких свойств с точки зрения распространения ударных волн? 18. Что понимается под эффективной шириной фронта ударной волны в вязкой среде? 19. Как влияет динамический коэффициент реальной объемной вязкости на эффективную ширину фронта ударной волны в вязкой среде? 20. Как следует понимать термин «псевдовязкость»? 21. Каким образом псевдовязкость вводится в разностную схему? С какой физической величиной она ассоциирована как аддитивная «квазивязкая» добавка? 22. Для каких областей течения газа вводится в разностную схему псевдовязкость? В каком случае необходимость введения псевдовязкости отсутствует? 23. Как проявляется действие псевдовязкости при расчете течений с ударными волнами? 192
24. Какие виды скалярной псевдовязкости Вам известны? Чем они отличаются друг от друга? 25. Какова структура линейной псевдовязкости? Каковы рекомендуемые значения безразмерного постоянного коэффициента линейной псевдовязкости? 26. Какая эффективная ширина «размазываемого» с помощью псевдовязкости фронта ударной волны считается приемлемой? 27. В чем состоит основной недостаток линейной псевдовязкости? 28. Какова структура квадратичной псевдовязкости? Каковы рекомендуемые значения безразмерного постоянного коэффициента квадратичной псевдовязкости? 29. За счет чего квадратичная псевдовязкость обеспечивает относительную независимость эффективной ширины фронта ударной волны от ее интенсивности? 30. В чем состоит основной недостаток квадратичной псевдовязкости? 31. Почему линейная псевдовязкость более эффективно подавляет малые осцилляции параметров за фронтом ударной волны по сравнению с квадратичной псевдовязкостью? 32. По какой величине следует определять псевдовязкость при расчете неодномерных течений? 33. По какому признаку выделяют ту область течения, для которой следует вводить в разностную схему псевдовязкость как аддитивную «квазивязкую» добавку к давлению? 34. В чем состоит модификация схемы «крест», приводящая к схеме Неймана — Рихтмайера? Какая дополнительная сеточная функция вводится и как она определяется? 35. Какие конечно-разностные уравнения схемы Неймана — Рихтмайера и схемы «крест» отличаются друг от друга и чем? 36. Как изменяется порядок аппроксимации, обеспечиваемый схемой Неймана — Рихтмайера, по сравнению с порядком аппроксимации, обеспечиваемым схемой «крест»? 7-2728 193
37. Какие приемы существуют для определения положения фронта ударной волны при расчете течения газа с помощью однородной разностной схемы с псевдовязкостью? 38. На чем основано действие дифференциального анализатора фронта ударной волны? 39. Что понимается под центром сглаженных ударных волн? 40. Что понимается под аппроксимационной вязкостью? 41. Что общего у псевдовязкости и аппроксимационной вязкости и в чем их различие? 42. Каковы особенности построения дискретного аналога сплошной среды для схемы Лакса? 43. Какие шаблоны используются для аппроксимации дифференциальных уравнений газовой динамики с помощью схемы Лакса? 44. Какая особенность конечно-разностных уравнений схемы Лакса позволяет придать ей свойство аппроксимационной вязкости? Как проявляется это свойство при расчете течений с ударными волнами? 45. От чего зависит коэффициент аппроксимационной вязкости в схеме Лакса? 46. Как уменьшение числа Куранта скажется на эффективной ширине фронта ударной волны, рассчитываемой по схеме Лакса? 47. Какой из двух разностных схем, схеме Неймана — Рихт- майера или схеме Лакса, Вы бы отдали предпочтение при численном расчете ударноволновых процессов в стали при давлениях нагружения, больших давления фазового перехода а -» el 48. С чем связана необходимость дополнения конечно-разностных уравнений схемы Лакса конечно-разностными уравнениями, построенными на основе иных шаблонов, при расчете граничных условий? Какие дополнительные шаблоны и конечно-разностные уравнения могут использоваться для этой цели? 194
49. Каким образом при расчете граничных условий неявные конечно-разностные уравнения схемы «прямоугольник» могут быть сведены к явным? 50. Какая из дополняющих схему Лакса разностных схем, «прямоугольник» или «уголок», обеспечивает более высокий порядок аппроксимации при расчете граничных условий? 51. В какой части справедливо утверждение, что схема Неймана— Рихтмайера (схема «крест» с псевдовязкостью) является однородной по отношению к расчету сильных разрывов, контактных разрывов, кинематических и динамических граничных условий? 52. В какой части справедливо утверждение, что схема Лакса является однородной по отношению к расчету сильных разрывов, контактных разрывов, кинематических и динамических граничных условий? 53. Что понимается под «фиктивной» ячейкой? Каковы ее характерные признаки? С какой целью и когда вводятся такие ячейки? Каков положительный эффект от их использования? 54. Какие типы разрывов параметров течения в газовой динамике Вам известны? 55. У каких физических величин значения на контактном разрыве непрерывны, а у каких — терпят разрыв? 56. Как следует понимать утверждение, что «шахматная» разностная сетка схемы «крест» аппроксимирует контактный разрыв естественным образом? 57. Какие способы представления контактного разрыва на разностной сетке схемы Лакса Вам известны? 58. К чему приведет попытка сквозного расчета контактного разрыва по схеме Лакса? Какова причина наблюдаемого в этом случае эффекта? 59. Каковы положительные и отрицательные качества ап- проксимационной вязкости в схеме Лакса? 7* 195
60. В чем состоит основная отличительная особенность разностных схем типа предиктор — корректор? 61. Какие разностные схемы лежат в основе этапов «предиктор» и «корректор» в схеме Лакса — Вендроффа? 62. Как изменяется структура аппроксимационной вязкости в схеме Лакса — Вендроффа по сравнению с ее структурой в схеме Лакса? К чему приводит это изменение с точки зрения обеспечения однородности разностной схемы? 63. За счет какой особенности схема Лакса—Вендроффа позволяет проводить сквозной расчет контактных разрывов без их «размазывания» с течением времени? 64. Каковы особенности представления системы уравнений газовой динамики при построении разностной схемы метода Уилкинса? 65. Какая разностная схема лежит в основе метода Уилкинса? 66. Каков порядок аппроксимации дифференциальных уравнений газовой динамики конечно-разностными уравнениями разностной схемы метода Уилкинса при использовании равномерной координатной сетки и при расчете течений без ударных волн? Как изменяется порядок аппроксимации при расчете течений с ударными волнами или для неравномерной сетки по координате? 67. Каковы особенности представления системы одномерных уравнений газовой динамики при построении разностной схемы лагранжева метода Мейдера? 68. Как показать, что уравнения, описывающие одномерное плоское нестационарное течение газа для его последующего численного расчета с помощью лагранжева метода Мейдера, представляют собой практически явное выражение соответствующих законов сохранения? 69. Какие разностные схемы называются консервативными? В чем проявляется свойство консервативности? 196
70. Какие разностные схемы называются полностью консервативными? Являются ли полностью консервативными разностные схемы, лежащие в основе лагранжевых методов Уилкинса и Мейдера? 71. Какой порядок аппроксимации системы уравнений газовой динамики обеспечивает разностная схема лагранжева метода Мейдера? 72. В чем состоит преимущество консервативных разностных схем по сравнению с неконсервативными? 73. С какой целью при численном решении задачи необходимо контролировать выполнение разностных аналогов интегральных законов сохранения? 74. Какую информацию несет факт невыполнения разностных аналогов интегральных законов сохранения при численном решении задачи с помощью неконсервативных разностных схем? 75. Какую информацию несет факт невыполнения разностных аналогов интегральных законов сохранения при численном решении задачи с помощью консервативных разностных схем? 76. Достаточно ли точного выполнения разностных аналогов интегральных законов сохранения для уверенности в правильности получаемых с помощью консервативной разностной схемы результатов расчета? 77. Какие две формы представления математического описания одномерного плоского нестационарного течения газа Вам известны? В чем их отличие друг от друга? 78. Какова основная особенность характеристической формы представления математического описания одномерного плоского нестационарного течения газа? 79. Какая физическая величина обязательно вводится в рассмотрение при переходе от дифференциальных уравнений газовой динамики в частных производных к характеристической форме записи этих уравнений? Каков физический смысл этой величины? 197
80. Как определяется местная скорость звука, если известно уравнение состояния газа в энтропийной форме? 81. Как определяется местная скорость звука в случае задания уравнения состояния в калорической форме? 82. Сколько семейств характеристик существует для гиперболической системы дифференциальных уравнений в частных производных одномерного плоского нестационарного адиабатического течения газа? Каков физический смысл характеристик каждого семейства? 83. Каким законам сохранения соответствуют дифференциальные соотношения на характеристиках С+, С_ и Со? 84. В чем состоит математический смысл характеристик дифференциальных уравнений газовой динамики? 85. Какую «цену» приходится «платить» за переход от дифференциальных уравнений газовой динамики в частных производных к более простым обыкновенным дифференциальным уравнениям характеристик и дифференциальным соотношениям на характеристиках? 86. Что понимается под естественной характеристической сеткой? Каков принцип ее построения и определения разностного решения в ее внутренних узлах? 87. Каков принцип определения узлов характеристической сетки на подвижной границе — фронте ударной волны? Как определяется разностное решение в этих узлах? 88. Существенно ли различие в алгоритмах расчета кинематических и динамических граничных условий по численному методу характеристик (для одномерного плоского нестационарного течения газа)? 89. В чем состоят преимущества численного метода характеристик по сравнению с сеточными методами? 90. В чем состоят недостатки численного метода характеристик по сравнению с сеточными методами? 91. За счет чего численный метод характеристик обеспечивает более точный расчет ударных волн по сравнению с сеточными методами сквозного счета? 198
92. За счет чего численный метод характеристик обеспечивает более точный расчет кинематических и динамических граничных условий по сравнению с сеточными методами? 93. Как следует понимать утверждение, что численный метод характеристик наилучшим образом соответствует условию устойчивости Куранта? 94. Каким образом выстраивается естественная характеристическая сетка? Зависит ли она от субъективных намерений исследователя, или же определяется какими-то другими факторами? 95. Какими преимуществами обладает численный метод характеристик с фиксированным шагом сетки по времени по сравнению с численным методом характеристик с естественной характеристической сеткой? 96. Что общего у сеточных методов и численного метода характеристик с фиксированным шагом сетки по времени и в чем их различие? 97. В чем состоит ключевая идея методов семейства «частиц в ячейках»? 98. К какому классу методов относятся методы семейства «частиц в ячейках»? 99. Перечислите основные этапы расчета многокомпонентных сплошных сред по методу «частиц в ячейках». 100. В чем различие методов «частиц в ячейках» и «крупных частиц»? 101. Каким образом реализуются граничные условия типа условия непроницаемости на жесткой поверхности или условия «непрерывности» на открытой поверхности в методе «крупных частиц»?
Глава 3 ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВКИ, АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ФИЗИКИ ВЗРЫВА И УДАРА 3.1. Соударение сжимаемых пластин (лагранжев метод Мейдера) Развитие навыков практического применения методов численного решения задач механики сплошных сред целесообразно проводить, последовательно переходя от относительно простых ко все более сложным задачам. Используя данный принцип, в этом разделе рассмотрим решение одной из классических задач физики взрыва и удара — задачи о соударении двух сжимаемых пластин, материалы которых описываются моделью идеальной жидкости. Эта задача более сложная, нежели представленная в разделе 1.1 одномерная плоская нестационарная задача о движении газа в трубе под действием поршня. Усложнение связано прежде всего с появлением второй взаимодействующей деформируемой среды, а также с необходимостью реализации более сложных граничных условий. Подробно рассмотрим весь процесс постановки и решения задачи, а именно: постановку дифференциальной задачи, построение разностной схемы, пример составления программы расчета параметров процесса взаимодействия пластин, результаты 200
расчета и анализ особенностей процесса. При построении разностной схемы используем изложенный в разделе 2.1.8 метод Мейдера. Будем считать, что пластина 1 толщиной <5i из материала с начальной плотностью р§\ соударяется со скоростью щ с неподвижной пластиной 2, имеющей толщину <$2 и начальную плотность ро2 (рис. 3.1). Неподвижную систему отсчета наблюдателя (эйлерова система отсчета) зададим следующим образом. Выберем в качестве точки отсчета точку 0 в плоскости соударения. Движение обеих взаимодействующих пластин обладает очевидной симметрией слоя: все текущие значения параметров движения и состояния среды (массовой скорости и, давления р, плотности р и удельной внутренней энергии Е) будут одинаковыми в любой плоскости, параллельной плоскости соударения. Поэтому в качестве системы координат следует выбрать декарто- ву прямоугольную систему (ж? 2/? z)-> ось х которой ориентирована в направлении удара, а оси у и z лежат в плоскости соударения. При таком выборе системы координат вектор скорости имеет лишь одну компоненту vx = и, а параметры движения и состояния зависят лишь от одной координаты х и времени t. Это одномерная плоская нестационарная задача. 11 ilii * X Рис. 3.1. К постановке одномерной плоской нестационарной задачи о соударении двух сжимаемых пластин 201
Решение такой задачи целесообразно искать, описывая движение с позиций Лагранжа. За лагранжевы линейные координаты X индивидуальных точек сплошной среды примем начальные значения их эйлеровых координат: X — #|t=o- Под лагранжевой массовой координатой т будем понимать погонную (приходящуюся на единицу площади) массу, заключенную между наружной поверхностью пластины 1 и данной индивидуальной точкой. При этом дифференциал лагранжевой массовой координаты (масса индивидуальной частицы сплошной среды) определится как dm = podX, где dX — соответствующий дифференциал лагранжевой линейной координаты (начальное расстояние между двумя бесконечно близкими индивидуальными точками, между которыми заключена данная индивидуальная частица; см. более подробно в разделе 1.1). При таком определении лагранжевы массовые координаты поверхностей пластин равны: на наружной поверхности пластины 1 (левая на рис. 3.1) — т — 0; на поверхности соударения (правая для пластины 1 и левая для пластины 2) — т = /9oi^i; на наружной (правой) поверхности пластины 2 — т = /?01<$1 +/002^2- Будем использовать лагранжевы массовые координаты и искать решение в виде и = гб(т, /), р = р(га, <), р = /9(т, /), Е — J5(m, t), x = я(т, /), где х — изменяющиеся во времени эйлеровы координаты индивидуальных точек. При использовании для материалов обеих пластин модели идеальной жидкости будем считать их баротропными средами и в качестве уравнения состояния примем уравнение ударной адиабаты в форме Тэта. Изменение во времени и в пространстве параметров движения и состояния взаимодействующих сред описывается системой дифференциальных уравнений B.52)—B.56) в дивергентной форме. Приведем здесь эту систему уравнений, последовательно включающую законы сохранения импульса, массы и энергии, закон движения в дифференциальной форме и баротропную зависимость давления от плотности: 202
~р' C>2) C.4) при этом константы в уравнении Тэта C.5) зависят от свойств материала пластин и, следовательно, от координат: А = Ль ?0 =/>оь 71 = ^1 при O<m<poi<Si; п = п2 C.6) при poiSi < т < ро\6\ + /902^2- Задача решается при следующих начальных условиях. При t = 0 г/(т, 0) = г^о, />(^5 0) = ро\ для индивидуальных точек пластины 1@ < т < poi^i) и и(т, 0) = = 0, р(т, 0) = рог Для индивидуальных точек пластины 2 (poi^l ^ m ^ /9oi^i + Р02$2)- Начальные распределения давления и удельной внутренней энергии будем считать одинаковыми для обеих пластин: р(га, 0) = 0, Е(т, 0) = 0 при 0 < т < poi$i + Р02$2- Что касается начальных значений эйлеровых координат индивидуальных точек, то они совпадают со значениями лагранжевых линейных координат: ж(т, 0) = Х(т, 0). Граничные условия таковы. Будем считать, что на наружных свободных поверхностях обеих пластин (т = 0 и m = /9qi^i + Ро2$2) отсутствуют поверхностные силы. Для принятой модели идеальной жидкости динамические граничные условия на этих поверхностях сводятся к условиям р@, t) = 0; р(ро1бг + />02<*2, 0 = 0. C.7) Граничные условия на обращенных друг к другу поверхностях пластин (т = po\6i) зависят от наличия или отсутствия контакта между ними (в общем случае возможны нарушение контакта в ходе взаимодействия пластин и переход 203
к их свободному деформированию). О наличии или об отсутствии контакта можно судить по значениям эйлеровых координат индивидуальных точек обращенных друг к другу поверхностей пластин: при x(po\6i + 0) > x(po\6i - 0) контакт отсутствует, при #(poi^i + 0) = х{ръ\6\ — 0) контакт имеется. Случаю отсутствия контакта соответствуют динамические граничные условия на свободных поверхностях: при z(/9Oi<5i + 0) > z(poi*i - 0). C.8) При наличии контакта между пластинами на поверхности контакта задаются граничные условия смешанного типа — условие «прилипания» по скоростям и условие равенства по давлениям, следующее из третьего закона Ньютона: + 0) = u 1-0), р\ при х(ро 1*1 + [ + 0) О) = Р( = s(/»oi Poi^i - «1 - 0). 0) C.9) Таким образом, система уравнений C.1)—C.6) с приведенными выше начальными условиями и граничными условиями C.7)—C.9) математически описывает процесс соударения двух сжимаемых «жидких» пластин. Перейдем к рассмотрению алгоритма численного решения этой задачи с помощью метода Мейдера. Метод Мейдера является лагранжевым методом сквозного счета с псевдовязкостью и по своим возможностям хорошо соответствует решаемой задаче, позволяя рассчитывать течения с ударными волнами, а также с контактными разрывами и границами с динамическими граничными условиями (за счет использования «фиктивных» ячеек). На рис. 3.2 в плоскости изменения независимых переменных (X, t) показана разностная сетка, вводимая по методу Мейдера на этапе дискретизации по координате и по времени. Установим следующую индексацию ячеек и узлов сетки по координате. Присвоим координатный индекс г = 2 левой приграничной ячейке пластины 1 (пластины-ударника), оставив 204
« Фиктивная » ячейка « Фиктивная » ячейка о ел Рис. 3.2. Разностная сетка метода Мейдера для расчета параметров соударения двух пластин с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений и вычисления значений сеточных функций
координатный индекс г = 1 для обозначения примыкающей к этой границе «фиктивной» ячейки. Крайнюю правую ячейку пластины 1, примыкающую к поверхности соударения, обозначим индексом г = М — 1, а крайнюю левую ячейку пластины 2, примыкающую к поверхности соударения, — индексом г = М + 1. Координатный индекс г = N — 1 присвоим крайней правой приграничной ячейке пластины 2, примыкающей к свободной поверхности, а индекс % = N — соответствующей «фиктивной» ячейке. На рис. 3.2 утрированно показана еще одна «фиктивная» ячейка г = М. Эта «фиктивная» ячейка размещена между обращенными друг к другу поверхностями пластин. Предполагается, что она имеет нулевую толщину по лагранжевой линейной координате. Ее введение необходимо для расчета динамических граничных условий C.8) при нарушении контакта между пластинами и для определения момента нарушения контакта. Индексацию узлов разностной сетки будем также осуществлять с помощью целых чисел (в отличие от принятой при описании метода Мей дера в разделе 2.1.8 дробной индексации узлов), что более удобно с точки зрения последующего составления программы численного расчета. Будем полагать, что целочисленный индекс узла равен индексу ячейки, находящейся справа от данного узла. При такой индексации узлов ячейка г ограничена слева узлом г, а справа узлом г + 1. Индекс 2 указывает на левый граничный узел пластины i, индекс М — на ее правый граничный узел. Индексы М + 1 и N указывают соответственно на левый и правый граничные узлы пластины 2. Будем считать, что разностная сетка в пределах каждой пластины является равномерной по лагранжевой линейной координате X и характеризуется шагами <310> которым соответствуют определенные массы ячеек (шаги сетки по лагранжевой массовой координате). С учетом вводимых 206
для расчета динамических граничных условий «фиктивных» ячеек получим массы ячеек координатной сетки при 2 < i < М - 1, ТП{ — <{ /902^^2 ПРИ M + l<i<N — 1, C-11) 0 при г = 1, М, JV. Лагранжевы линейные координаты всех узлов координатной сетки и их начальные эйлеровы координаты определятся как 6л ,. -. — 2 2<г<М, при М + 1 < г < N. Нетрудно увидеть, что при таком задании начальных координат для граничных узлов выполняются геометрические условия согласно расчетной схеме, приведенной на рис. 3.1: Х2 = "~^15 ХМ = хМ+\ = ^' XN = ^2- Временная разностная сетка определяется совокупностью целых временных слоев tj и полуцелых временных слоев tj+l/2* Совокупность целых и полуцелых точек по координате и по времени задает «шахматную» разностную сетку (см. рис. 3.2). На такой сетке эйлеровы координаты определяются в узлах на целых временных слоях f х^), скорости — также в узлах, но на полуцелых временных слоях (uJk ' J, давление, плотность и удельная внутренняя энергия — в центрах ячеек на целых временных слоях ((/э, р, E)Jk J, псевдовязкость — в Центрах ячеек на полу целых временных слоях I q3k J. На рис. 3.2 показаны характерные узлы разностной сетки и приведены шаблоны, на которых аппроксимируются уравнения, описывающие процесс соударения двух сжимаемых «жидких» пластин. 207
Группы узлов на начальном временном слое j = 0 и на ближайшем к начальному «фиктивном» полуцелом временном слое с индексом -1/2 предназначены для представления на разностной сетке начальных условий. Начальные значения эйлеровых координат задаются условиями C.12). В соответствии с начальными условиями для соударяющихся пластин значения остальных сеточных функций должны задаваться следующим образом: ' щ при 2 < t < М + 1 (во всех узлах пластины 1 и в левом граничном /2 узле пластины 2), иг О при М + 2 < г < N (во всех узлах пластины <?, кроме левого граничного); р°г = О, Я? = 0 при 2 < t < М - 1 и М + 1 < г < N - 1 (во всех реальных ячейках обеих пластин); р\= = < ПРИ 2 < г < М — 1 (во всех ячейках пластины /902 ПРИ M + l<i<JV-l (во всех ячейках пластины 2). C.13) Группа узлов разностной сетки предназначена для реализации граничных условий. Так, в наружных «фиктивных» ячейках г = 1, г = N и во внутренней «фиктивной» ячейке г = М на каждом временном слое задаются неизменные значения сеточных функций давления и псевдовязкости: В сочетании с заданием нулевых масс этих ячеек согласно C.11) такой прием дает возможность учитывать динамические граничные условия C.7) на наружных свободных поверхностях взаимодействующих пластин (обоснование использования «фиктивной» ячейки см. более подробно в разделе 2.1.5) 208
или же на обращенных друг к другу свободных поверхностях пластин после их возможного отделения друг от друга. Помимо этого, внутренняя «фиктивная» ячейка позволяет определить момент выхода взаимодействующих пластин из контакта. Приведем теперь конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие входящие в систему C.1)—C.6) дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение C.1) закона сохранения импульса аппроксимируется на шаблоне, обозначенном на рис. 3.2 как «и». Соответствующее конечно-разностное уравнение имеет вид Я-1/2 i—1/2 и- —и _j г Atj Это уравнение позволяет определять значения скоростей и? ' и должно решаться для всех узлов сетки 2 < г < N. При г = 2, г = М, г = М + 1, % = N именно в этом конечно-разностном уравнении проявляется механизм влияния «фиктивных» ячеек, учитываются динамические граничные условия на наружных свободных поверхностях и прогнозируются значения скоростей во внутренних граничных узлах пластины 1 (и3^ ) и пластины 2 \и3м+\ у В слУчае отсутствия контакта между пластинами при + . 2 значения вычисленных согласно C.15) скоростей и3м ' и i+i/2 uAf+'i верные. Верными эти значения являются и тогда, когда контакт имел место на предыдущем временном ша- Ге (жм+1 = xif)' °Днако распределение давления в окрестности поверхности контакта таково, что выполняется усло- ВИе иМ+\ > и3М (пластины отделяются друг от друга). 209
Напротив, в случае наличия контакта между пластинами при жМ+1 = ХМ и выполнении условия v?M > ^м-{-1 пРеД- сказанные по C.15) значения скоростей в граничных узлах неверны (пластины не могут внедряться друг в друга). В этом случае должны выполняться граничные условия смешанного типа C.9) и скорости в граничных узлах определяются из конечно-разностного уравнения движения, записанного без учета существования внутренних свободных поверхностей пластин (наличие между пластинами «фиктивной» ячейки с нулевыми массой и давлением игнорируется): М ~иМ , 0. ^ _ М+\ ~ иМ После определения скоростей гг- ' рассчитываются новые значения эйлеровых координат х? всех узлов, выделенных на этапе дискретизации индивидуальных точек обеих пластин. Этот расчет ведется по следующему конечно- разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение закона изменения текущих координат C.4) на «вертикальном» шаблоне «х» (см. рис. 3.2): 2<i<N. C.18) В свою очередь, новые значения эйлеровых координат узлов х^ позволяют определить поле плотности р\ на последующем временном слое. Расчет плотности в каждой реальной ячейке обеих пластин B < г < М — lnM + l<i<iV — 1) осуществляется с помощью разностного аналога дифференциального уравнения C.2) закона сохранения массы: = -4т (зл9) 210
(см. «горизонтальный» шаблон «р» на рис. 3.2). Для используемых моделей материалов обеих пластин (идеальная баротропная жидкость) новое поле плотности р3^ позволяет сразу определить и новое поле давления р3^ . Давление в каждой реальной ячейке вычисляется в соответствии с уравнением Тэта C.5): — j - 1 Р02 ) при 2 < % < М - 1, при М + 1 <i < N -1. C.20) Цикл определения новых значений параметров движения и состояния завершается вычислением удельной внутренней энергии Е3 в каждой реальной ячейке обеих пластин. Удельную внутреннюю энергию находят по конечно- разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение энергии C.3) на шаблоне «?"» (см. рис. 3.2) (принцип аппроксимации достаточно подробно изложен в разделе 2.1.8). Это конечно-разностное уравнение имеет следующий вид: + «+1 At i+i/2 j+i/2 -l/2 , J-l/2' тг+1 211
= 0. C.21) При вычислении удельной внутренней энергии в приграничных ячейках пластин (г = 2, г = М-1, г = М + 1, г = ЛГ — 1) вновь проявляется механизм влияния «фиктивных» ячеек (в том числе и внутренней «фиктивной» ячейки г = М) и учитываются динамические граничные условия C.14). Однако при наличии контакта между пластинами у них отсутствуют внутренние свободные поверхности. В этом случае (при невыполнении условия C.16)) удельная внутренняя энергия в примыкающих друг к другу по поверхности контакта ячейках г = М — 1 и г = М + 1 должна определяться в предположении отсутствия между ними внутренней «фиктивной» ячейки по следующим конечно-разностным формулам: -х ,1 иМ + иМ-\ \ м~1 + 2 2 1 тМ-\ -1/2' 2 = 0; C.22) 212
, ! I M+2 +UM+1 1 + 2 ^ 2 J P>M+lm + Pm ^ +9 M+lmM+2 uj+1/2 +1 = 0. C.23) Как следует из конечно-разностных уравнений C.15), C.17), C.21)—C.23), для вычисления скорости и удельной внутренней энергии используется еще одна, не определенная »-1/2 ранее, сеточная функция — функция псевдовязкости qi Для ее определения будем использовать комбинированную псевдовязкость (см. раздел 2.1.2). Это удобно при программной реализации алгоритма, так как легко позволяет путем задания исходных данных — коэффициентов линейной Ал и квадратичной Ак псевдовязкости — отдельно вводить в действие псевдовязкость одного или другого вида. Согласно B.24) формула для вычисления комбинированной псевдовязкости принимает следующий вид: 213
= о при tij - uf1/2 > о, при < О, C.24) где С\ — местная скорость звука, вычисляемая по известной плотности материала в соответствии с соотношением С = \1(др/др) _. по формулам \ m-i Poi при 2 < г < М - 1, \ C.25) Р02 Значение местной скорости звука используется также при вычислении шага сетки по времени Д/„+1/2. В соответствии с условием устойчивости Куранта A.52) допустимый шаг сетки по времени определяется как At = mm 2<i<N-l Кгтг C.26) где Кг < 1 — число Куранта (см. раздел 1.6). Уравнения C.10)—C.26) представляют собой замкнутую систему алгебраических уравнений. Это — разностная схема, аппроксимирующая решаемую дифференциальную задачу о соударении двух сжимаемых «жидких» пластин в рамках метода Мейдера. Очевидно, что решение этой системы 214
уравнений сопряжено с необходимостью использования весьма ограниченного количества типов уравнений: количество типов решаемых алгебраических уравнений, по существу, определяется количеством уравнений в системе C.1)—C.5). Например, вычисление скорости и\ ' в произвольном узле сетки и в произвольный момент времени проводится по одному и тому же конечно-разностному уравнению движения C.15), в котором в зависимости от рассматриваемого узла или момента времени изменяется лишь координатный индекс г или временной индекс j. Подобные вычисления очень удобно проводить на ЭВМ, так как языки высокого уровня (Фортран, Паскаль, Си и т.п.) позволяют легко реализовывать соответствующие вычислительные процедуры, используя операторы цикла, условные операторы и т.д. Ниже приведен пример расчетной программы на языке Фортран применительно к задаче о соударении пластин. Наличие достаточного количества комментариев и ссылок на формулы разностной схемы, в основном мнемонический принцип обозначений идентификаторов позволяют легко установить соответствие между операторами программы и конечно- разностными уравнениями, а также выявить функциональное назначение различных фрагментов программы. С Подпрограмма расчета кинетической, внутренней и С полной энергий взаимодействующих пластин С (для проверки выполнения разностного аналога закона С сохранения энергии и определения энергетического С баланса процесса) SUBROUTINE EN(ENTOT,ENKIN,ENVN,U,EIH,N1,N2) С С Массивы для представления на сетке полей параметров С течения: U — скорость, Е — удельная внутренняя С энергия, Н — масса ячеек (шаг сетки по лагранжевой С массовой координате), N1 и N2 — номера крайних С ячеек пластины DIMENSION UA000),EA000),HA000) 215
ENT=O. ENK=O. ENV=O. С С Суммирование кинетической и внутренней энергий С по всем лагранжевым ячейкам пластины DO I I=N1,N2 ENK=ENK+H(l)*.5*((U(l)+U(l+l))/2.)**2 1 ENV=ENV+H(I)*E(I) ENTOT=ENK+ENV ENKIN=ENK ENVN=ENV END С С С Подпрограмма расчета импульса системы С двух взаимодействующих пластин (для проверки С выполнения разностного аналога закона сохранения С импульса) SUBROUTINE AIMP(AIMTOT,U,H,N) С С Массивы для представления на сетке полей С параметров течения: U — скорость, Н — масса ячеек DIMENSION UA000),HA000) А1М=0. С С Суммирование импульсов всех лагранжевых ячеек С обеих пластин по всем ячейкам пластины DO 1 1=1,N-1 1 AIM=AIM+H(l)*(U(l)+U(l+l))/2. AIMTOT=AIM END С С С Основная программа С Программа расчета параметров процесса соударения двух С сжимаемых пластин — разностная схема Фромма. 216
С Ч. Мейдер. Численное моделирование детонации. С М.: Мир, 1985. PROGRAM MADER INTEGER I.J.M.N С С Массивы для представления на сетке полей параметров С течения: U — скорость, X — эйлерова координата, Н — С масса ячеек (шаг сетки по лагранжевой массовой С координате), Р — давление, R0 — плотность, С Е — удельная внутренняя энергия, Q — псевдовязкость, С U1 — скорость на последующем временном слое, С — С местная скорость звука, DIMENSION UA000),XA000),HA000),PA000),ROA000), * EA000).QA000).UlA000).CA000) С С Вспомогательные массивы для определения изменения С во времени энергетического баланса процесса DIMENSION BALTA000),BALK2A000),BALV2A000), * BALVl(lOOO), BALKl(lOOO) С С Открытие файлов с исходными данными и для записи С результатов OPEN(UNIT=16,FILE=lrezind.dat',STATUS='NEW) OPEN(UNIT=22,FILE='isxodind.datI,STATUS=1OLDl) С С С С Входные данные: С DELT1 — толщина первой пластины С DELT2 — толщина второй пластины С М — характеризует количество узлов первой пластины С N — характеризует общее количество узлов С RO1 — плотность материала первой пластины С RO2 — плотность материала второй пластины С АС1 — константа в уравнении Тэта для материала первой С пластины С АС2 — константа в уравнении Тэта для материала второй С пластины 217
С AN1 — показатель степени в уравнении Тэта для материала С первой пластины С AN2 — показатель степени в уравнении Тэта для материала С второй пластины С V0 — скорость соударения пластин (первая — подвижная, С вторая — покоится) С AKR — число Куранта С TLIM — предельное время расчета С DTOUT — шаг сетки по времени выдачи информации С AKV — коэффициент квадратичной псевдовязкости С AKL — коэффициент линейной псевдовязкости С С С Считывание входных данных из файла READB2,2501)DELTlIDELT2IM(N(ROl,RO2,ACl,AC2I * AN1,AN2,VO,AKR,TLIM,DTOUT,AKV,AKL CLOSEB2) 2501 FORMAT(//////65x(E11.4/65x,E11.4/65x,lll/65x,lll/65x, * E11.4/65x,E11.4/65x,E114/65x,E114/65x,E11.4/65x,E11.4/ * 65х,Е11.4/65х,Е11.4/65х,Е11.4/65х,Е11.4/65х,Е11.4/65х, * Е11.4) С С Принятая индексация узлов и ячеек разностной сетки С по координате. С Индексация ячеек — целочисленная: С 1 —левая «фиктивная» ячейка первой пластины С 2.. .М-1 — реальные ячейки первой пластины С М — «фиктивная» ячейка между первой и второй пластинами С М+1. . .N-1 — реальные ячейки второй пластины С N — правая «фиктивная» ячейка второй пластины С Индексация узлов — целочисленная — по номеру С ячейки, расположенной справа от данного узла: С 2. . .М — номера узлов первой пластины (М — граница С раздела) С М+1. . .N — номера узлов второй пластины (М+1 — С граница раздела) 218
с с С Определение шагов сетки по лагранжевой линейной С координате C.10) DXl=DELTl/FLOAT(M-2) DX2=DELT2/FLOAT(N-M-1) С С Определение шагов сетки по лагранжевой массовой С координате C.11) H1=RO1*DX1 H2=RO2*DX2 С С Задание начальных условий по эйлеровым координатам С C12) и скоростям (начало координат — в точке С соударения пластин, направление — по ходу соударения) DO 10 1=2,М U(l)=V0 10 X(l)=-DELTl+DXl*(l-2) DO 11 I=M+1,N U(l)=0. 11 X(I)=DX2*(I-M-1) U(M+l)=V0 X(M)=X(M+1) С С Задание начальных условий по плотности, давлению, С удельной внутренней энергии DO 12 1=2,М-1 RO(I)=RO1 РA)=0. 12 ЕA)=0. DO 13 I=M+1.N-1 RO(I)=RO2 P(l)=0. 13 E(l)=0. С С Задание C.11) масс ячеек лагранжевой координатной С сетки (включая «фиктивные» ячейки: на левой свободной С поверхности ударяющей пластины, на правой свободной 219
С поверхности пластины-мишени, в «фиктивной» ячейке С между пластинами — отработка варианта отрыва С пластин после соударения) НA)=0. DO 14 1=2,М-1 14 НA)=Н1 Н(М)=0. DO 15 I=M+1,N-1 15 H(I)=H2 H(N)=0. С С Задание граничных условий в «фиктивных» ячейках C.14) РA)=0. Р(М)=0. РAЧ)=0. Q(l)=0. Q(M)=0. Q(N)=0. ROA)=0. RO(N)=0. E(l)=0. С С Эхо-контроль правильности задания начальных условий WRITEA6,16) 16 FORMAT(' Начальные и граничные условия '// * 'I/X/U/H/RO/P/E') DO 17 1=1,N 17 WRITEA6,18)I,X(I),U(I),H(I),RO(I),P(I),E(I) 18 FORMAT(I3,1X,6(' /'.Е10.3)) С С Вычисление начальных значений полных импульса и энергии CALL EN (ENTOT0,ENKIN,ENVN,U,E,H,2,l\l-l) CALL AIMP (AIMT0,U,H,N) С С Задание начального времени и начального значения С счетчика выдачи информации через интервалы времени С DTOUT Т=0. 220
NOUT=1 С С С Начало глобального цикла по времени С DO 20 J=l,20000 С С Расчет шага сетки по времени по условию устойчивости С Куранта С С Искусственное занижение шага сетки по времени С на первых шагах расчета (облегчение С адаптации разностной схемы к условиям соударения) AKOR=1. IF(J.LE.IOO) AKOR=.l С С Задание заведомо большого числа в качестве С первого приближения шага сетки по времени DTMIN=10000. С С Определение допустимых шагов сетки по времени для ячеек С первой пластины и выбор минимального шага C.25)—C.26) DO 21 1=2,М-1 C(I)=SQRT(AC1*AN1*(RO(I)/RO1)**(AN1-1.)/RO1) DT=AKR*AKOR*H1/(RO(I)*C(I)) 21 IF(DT.LE.DTMIN) DTMIN=DT С С Определение допустимых шагов сетки по времени для ячеек второй пластины и выбор минимального шага C.25)—C 26) DO 22 I=M+1,N-1 C(I)=SQRT(AC2*AN2*(RO(I)/RO2)**(AN2-1.)/RO2) DT=AKR*AKOR*H2/(RO(I)*C(I)) 22 IF(DT.LE.DTMIN) DTMIN=DT С Выбор глобального минимального шага сетки по времени С и определение текущего момента времени DT=DTMIN 221
T=T+DT С С Определение псевдовязкости для ячеек обеих пластин C.24) DO 23 I=2,N-1 Q(l)=0. IF(I.EQ.M) GOTO 23 DELTU=U(I+1)-U(I) IF(DELTU.GE.O) GOTO 23 Q(I)=AKV*RO(I)*DELTU**2-AKL*RO(I)*C(I)*DELTU 23 CONTINUE С С Определение новых значений скоростей во всех узлах (вклю- С чая граничные наружные и внутренние — в предположении С отсутствия контакта между пластинами) C.15) DO 24 1=2,N 24 U1(I)=U(I)-DT*(P(I)+Q(I)-P(I-1)-Q(I-1))/(.5*(H(I)+ * H(l-l))) С С Уточнение значений скоростей в узлах на границе раздела С пластин при наличии контакта С Условие отсутствия контакта — Х(М).1_Т.Х(М+1) C.16) С или — U1(M).LT. U1(M+1) IF((X(M).LT.X(M+l)).OR.(Ul(M).LT.Ul(M+l)))GOTO50 С С При наличии контакта — определение C.17) новых значений С скоростей в узлах на границе раздела пластин из условия С «прилипания» U1(M)=U(M)-DT*(P(M+1)+Q(M+1)-P(M-1)-Q(M-1))/ * (.5*(Н(М+1)+Н(М-1))) U1(M+1)=U1(M) 50 CONTINUE С С Определение нового поля удельной внутренней энергии С С Запоминание предшествующих значений удельной С внутренней энергии в граничных ячейках на обращенных С друг к другу поверхностях пластин ЕММ1=Е(М-1) 222
ЕМР1=Е(М+1) С С Определение C.21) удельной внутренней энергии С во всех реальных ячейках обеих пластин — в С предположении отсутствия контакта DO 27 1=2,N-1 IF(I.EQ.M) GOTO 27 QRIGHT=.5*(Q(I)+Q(I+1)) QLEFT=.5*(Q(I)+Q(I-1)) DPUDM=(U(I+1)*(PRIGHT+QRIGHT)- * U(I)*(PLEFT+QLEFT))/H(I) UDKPR=.5*((U(l+l)+U(l))/2.)**2 UDKPS=.5*((Ul(l+l)+Ul(l))/2>*2 E(I)=-DT*DPUDM+E(I)+UDKPR-UDKPS 27 CONTINUE С С Уточнение значений удельной внутренней энергии в узлах на С границе раздела пластин при наличии контакта С Проверка выполнения условия C.16) отсутствия контакта IF((X(M).LT.X(M+1)).OR.(U1(M).LT.U1(M+1))) GOTO 52 С С При наличии контакта: С Расчет C.22) удельной внутренней энергии С в левой контактной ячейке (примыкающая С к поверхности контакта ячейка первой пластины) PRIGHT=(P(M-1)*H(M+1)+P(M+1)*H(M-1))/(H(M+1)+ * Н(М-1)) PLEFT=(P(M-2)*H(M-l)+P(M-l)*H(M-2))/(H(M-l)+ * Н(М-2)) QRIGHT=.5*(Q(M-1)+Q(M+1)) QLEFT=.5*(Q(M-l)+Q(M-2)) DPUDM=(U(M)*(PRIGHT+QRIGHT)-U(M-1)*(PLEFT+ * QLEFT))/H(M-1) UDKPR=.5*((U(M)+U(M-l))/2.)**2 UDKPS=.5*((Ul(M)+Ul(M-l))/2.)**2 E(M-1)=-DT*DPUDM+EMM1+UDKPR-UDKPS 223
с С Расчет C.23) удельной внутренней энергии в правой С контактной ячейке (примыкающая к поверхности С контакта ячейка второй пластины) PLEFT=PRIGHT PRIGHT=(P(M+l)*H(M+2)+P(M+2)*H(M+l))/(H(M+l)+ * Н(М+2)) QLEFT=QRIGHT QRIGHT=.5*(Q(M+l)+Q(M+2)) DPUDM=(U(M+2)*(PRIGHT+QRIGHT)-U(M+1)*(PLEFT+ * QLEFT))/H(M+1) UDKPR=.5*((U(M+l)+U(M+2))/2.)**2 UDKPS=.5*((Ul(M+l)+Ul(M+2))/2.)**2 E(M+1)=-DT*DPUDM+EMP1+UDKPR-UDKPS 52 CONTINUE С С Определение C.18) новых координат DO 25 I=2,N 25 X(I)=X(I)+DT*U1(I) С С Уточнение координат в случае появления контакта С после его отсутствия: X(M).GE.X(M+1) IF(X(M).LT.X(M+1)) GOTO 51 ХСР=.5*(Х(М)+Х(М+1)) Х(М)=ХСР Х(М+1)=ХСР 51 CONTINUE С С Определение C.19) нового поля плотности для С всех реальных ячеек DO 26 1=2,N-1 IF(I.IME.M) RO(I)=H(I)/(X(I+1)-X(I)) 26 CONTINUE С С Переприсвоение массивов скоростей (последующий С временной слой по скоростям становится текущим) DO 28 I=2,N 28 U(I)=U1(I) 224
с С Определение C.20) нового поля давления DO 29 1=2,М-1 29 P(I)=AC1*((RO(I)/RO1)**AN1-1.) DO 30 I=M+1,N-1 30 P(I)=AC2*((RO(I)/RO2)**AN2-1.) С С Вычисления параметров движения и состояния на С последующем временном слое завершены С С С Сравнение текущего времени с заданными моментами С выдачи информации С При невыполнении условия вывода информации — С переход к расчету очередного шага сетки по времени IF(T.LT.DTOUT*NOUT) GOTO 20 С Выполнение условия вывода информации С Вывод результатов расчетов, вычисление текущих С значений полных импульса и энергии, определение С дисбалансных составляющих С С Вычисление кинетической, внутренней и полной энергий С обеих пластин, а также полной энергии системы двух С пластин CALL EN (ENTOT1,ENKIN1,ENVN1,U,E,H,2,M-1) CALL EN (ENTOT2,ENKIN2,ENVN2,U,E,H,M+1,N-1) ENTOT=ENTOT1+ENTOT2 С С Вычисление полного импульса системы CALL AIMPfAIMT.U.H.N) С С Вычисление дисбалансных составляющих по энергии С и по импульсу DISBEN=(ENTOT-ENTOT0)/ENTOT0*100. DISBIM=(AIMT-AIMT0)/AIMT0*100. С С Вычисление доли кинетической энергии первой пластины С в полной энергии системы 8 - 2728 225
ENKIN1=ENKIN1/ENTOTO*100. С С Вычисление доли внутренней энергии первой пластины С в полной энергии системы ENVIM1=ENVN1/ENTOTO*100. С С Вычисление доли кинетической энергии второй пластины С в полной энергии системы ENKIN2=ENKIN2/ENTOT0*100. С С Вычисление доли внутренней энергии второй пластины С в полной энергии системы EIWN2=ENVN2/ENTOT0*100. С С Формирование массива, характеризующего изменение во С времени энергетического баланса системы двух пластин BALT(IMOUT)=T BALK2(NOUT)=ENKIN2 BALV2(NOUT)=ENKIN2+ENVN2 BALV1(NOUT)=ENKIN2+ENVN2+ENVN1 BALK1(NOUT)=ENKIN2+EIWN2+ENVI\I1+ENKII\I1 С С Отсчет счетчика моментов выдачи информации NOUT=NOUT+1 С С Вывод текущего времени, дисбалансных составляющих С и структуры энергетического баланса WRITEA6,31)TfDISBEN,DISBIM,ENKINl,ENVNl,ENKIN2, * ENVN2 31 FORMAT(///' Распределение параметров в момент Т=' * Е11.4/1 Дисбалансные составляющие: по энергии ', * F11.4,1 %, по импульсу ', F11.4,' %' * /' Составляющие баланса:'/ * ' Первая пластина: кинетическая энергия — * 'F11.4,' %, внутренняя энергия',1 — 'F11.4,' %'/ * ' Вторая пластина: кинетическая энергия — * 'F11.4,' %, внутренняя энергия',' — 'F11.4,' %'/ * /4/X/U/H/RO/P 226
*/Е') С С Вывод распределений параметров по взаимодействующим С пластинам DO 32 I=1,N 32 WRITEA6,18)I,X(I),U(I),H(I),RO(I),P(IIE(I) С С Проверка на выполнение критерия остановки С расчета по времени С При невыполнении условия остановки расчета — переход С к расчету очередного шага сетки по времени IF(T.LTTLIM) GOTO 20 С С Выполнение критерия остановки расчета по времени. С Окончание расчета. Вывод показателей изменения во С времени энергетического баланса системы WRITEA6,53) 53 FORMAT(///' Энергетический баланс процесса1/ * ' /Т/ 7 Кин2 /7 Вн2/7 Вн1/\ * ' Кин1 /') DO 54 I=1,NOUT 54 WRITEA6,55)BALT(I),BALK2(I),BALV2(I),BALV1(I),BALK1(I) 55 FORMATF(' ДЕ10.3)) STOP 20 CONTINUE С Метка последнего оператора глобального расчетного цикла С по времени. Происходит возврат к началу цикла или же С (при неограниченном времени расчета) остановка С программы по критерию допустимого количества шагов С сетки по времени STOP END Представим теперь некоторые результаты расчета пара- Метров процесса соударения двух сжимаемых пластин. 227
и, м/с 1,20Е+03 ЩЕ + 03 8,00Е+02 6,00Е+02 WOE* 02 гщ+ог 0,00Е+ОО р, Па ЦОЕ+10 ЬЖ + 10 ; уьЛ У8 0,5 мкс #, м/с 6,00E+0Z 4,О0Е+О2 2,00Е+02 ОЩ+00 =?>УВ 0,00Е+00 УВ /;^ мкс I Ut м/с /,20?+0J t = 1,5 мкс t =2,0 мкс вр?Гквр 1,00Е+10 0,00Е+00 Рис. 3.3 (начало). Результаты расчета параметров процесса соударения со скоростью ио = 1000 м/с двух одинаковых медных пластин толщиной 6\ = $2= 5 мм: У В — фронт ударной волны; ВР — волна разгрузки; ИР — импульс разрежения; ИС — импульс сжатия На рис. 3.3 показаны результаты расчета параметров процесса соударения двух одинаковых медных пластин толщиной 6\ = <$2 = 5 мм со скоростью гбо = Ю00 м/с. Результаты представлены в виде построенных для различных моментов времени t распределений массовой скорости и и давле- 228
и, м/с f,20E*03 ЩЕ+03 доовог цж+м гщ+ог р,Па 2,0ОЕ*09 ОМ+00 -г,00Е+09 -U,00E+09 -6.00Е+09 -8ЩЕ+09 t= 2,5 мне и, м/с f,20E+03 ЩЕ+03 ZJQOE+09 Q,OOE+OQ Ч,00Е+09 ИР t =з,о икс и, м/с А t= 4,0 МКС ИС Ж OJJOE+00 Рис. 3.3 (окончание) ния р по лагранжевой линейной координате (по существу, в узлах лагранжевой координатной сетки). На каждую пластину задано по 100 реальных ячеек, положение границы раздела отмечено вертикальной прямой. На рисунке видно, что в момент времени t = 0,5 мкс в обеих пластинах после их соударения распространяются стационарные ударные волны, при этом фронты ударных волн «размазываются» на несколько ячеек сетки по координате за счет псевдовязкости. На фронтах ударных волн значения мас- 229
совой скорости материалов пластин скачкообразно изменяются, увеличиваясь в пластине 2 (пластина-мишень) и уменьшаясь в ударяющей пластине 1 (пластина-ударник). При этом за фронтами ударных волн значения массовой скорости материалов обеих пластин одинаковы и равны 0,5 от скорости соударения, что соответствует известному из физики взрыва результату (таковы аналитически определяемые начальные параметры ударных волн при соударении одинаковых материалов). Так же скачкообразно на фронтах обеих ударных волн изменяется и давление, при этом данной скорости соударения соответствует давление около 20 ГПа. К моменту времени t = t\ = 1,0 мкс фронты ударных волн приблизились к наружным свободным поверхностям пластин. Как следует из рисунка для этого момента времени, скорости распространения фронтов ударных волн в материалах обеих пластин одинаковы, что и должно выполняться в случае одинаковых соударяющихся материалов. Значение скорости распространения фронта ударной волны примерно равно 5 км/с. В момент времени, несколько больший t = 1,0 мкс, происходит отражение ударных волн от свободных поверхностей. Как известно из физики взрыва, при отражении ударной волны от свободной поверхности формируется центрированная волна разрежения, в которой происходит уменьшение плотности и давления, и соответственно изменяется скорость движения индивидуальных частиц сплошной среды. Это явление хорошо фиксируется в момент времени t = 1,5 мкс, когда наклонные участки распределений скорости и давления как раз и соответствуют волнам разрежения в обеих пластинах. После удаления волны разрежения от свободной поверхности пластины-мишени скорость движения ее материала увеличивается до 1000 м/с (до скорости соударения), и материал полностью разгружается (давление равно нулю). Волна разрежения в пластине-ударнике не только полностью разгружает материал, но и полностью останавливает движение материала. Следует отметить, что конечная ширина (размытость) области центрированной волны разрежения объясняется совершенно иными причинами, чем «размазывание» фронта ударной волны (сравним распределения параметров для моментов времени t = 0,5 и 1,5 мкс). «Размазывание» фронта ударной 230
волны — следствие действия механизма псевдовязкости, реализованного в алгоритме численного решения для получения возможности сквозного расчета течений с ударными волнами. Это формальный фактор, не связанный с физикой явления. Размытость же волны разрежения объясняется именно физическими причинами, обусловленными механизмом ее распространения в среде малых (звуковых) возмущений. Головным участкам волны разрежения соответствуют малые возмущения, распространяющиеся в сжатой среде, а хвостовым — в среде, полностью разгруженной до начальных значений плотности и давления. Как следует, например, из формул C.25) для местной скорости звука, более сжатой среде соответствует большая скорость распространения малых возмущений. Именно поэтому область волны разрежения по мере ее распространения увеличивается в размерах (как бы размывается). В момент времени t = %ч = 2,0 мкс начинается взаимодействие волн разрежения с границей раздела пластин. Видно, как в области границы раздела давление значительно уменьшилось по сравнению с давлением, существовавшим до прихода волн разрежения. К этому моменту времени в пластинах формируется характерное распределение скорости: движение материала большей части пластины-ударника остановлено, движение материала большей части пластины-мишени ускорено до начальной скорости соударения, и лишь в приграничных областях обеих пластин имеется примерно линейное распределение скорости. За счет такого распределения скорости приграничные области обеих пластин испытывают динамическое растяжение, вследствие чего давление постепенно уменьшается до нуля, а затем и вовсе приобретает отрицательные значения (соответствует уменьшению плотности по отношению к плотности в нормальном состоянии, см. уравнение Тэта C.5)). В процессе такого динамического растяжения приграничных областей уже к моменту времени I — 2,5 мкс происходит нарушение контакта между пластинами и отрыв их друг °т друга, а в пластинах формируются приблизительно треугольные по форме импульсы отрицательных (как бы растягивающих) давлений и соответствующие импульсы скорости 231
Е, % WE+ог Qjm+йо t1 мкс Рис. 3.4. Диаграмма изменения во времени энергетического баланса процесса соударения двух одинаковых пластин: ?кинъ ?вн1, ?кин2, Еън2 — относительные доли кинетической и внутренней энергий пластин в полной энергии системы Е (импульс растяжения). Далее происходит свободное деформирование практически остановленной пластины-ударника и летящей с начальной скоростью соударения пластины-мишени при распространении в них импульсов скорости и давления (сравним распределения параметров для моментов времени t = 2,5 и 3,0 мкс). При взаимодействии этих импульсов со свободными поверхностями (t = 3,5 мкс) происходит изменение их знака с переходом от отрицательных (растягивающих) давлений к положительным (сжимающим) (t = 4,0 мкс, импульс сжатия) и т.д. Таким образом, в результате соударения двух одинаковых пластин, по существу, между ними происходит взаимный обмен импульсами и энергиями. Это хорошо видно на диаграмме изменения во времени энергетического баланса процесса соударения (рис. 3.4). Диаграмма построена в виде зависимости от времени относительных долей кинетической и внутренней энергий каждой пластины, составляющих полную энергию системы. При t = 0 кинетическая энергия пластины-ударника определяет полную энергию системы. При 0 < t < t\ (т.е. до момента отражения ударных волн от свободных поверхностей) происходит линейное увеличение кинетической и внутренней энергий пластины-мишени, внутренней энергии пластины- ударника, а также линейное уменьшение кинетической энер- 232
гии последней. Такой характер зависимостей объясняется постоянной скоростью распространения ударных волн в обеих пластинах и линейным увеличением масс пластин, охваченных ударными волнами. Примерно линейным сохраняется характер зависимостей и при t\ < t < t^ (т.е. на этапе распространения волн разрежения в пластинах). В целом с течением времени доля кинетической энергии пластины-мишени монотонно увеличивается от нуля, достигая после разделения пластин значения 91,5%. Доля кинетической энергии пластины-ударника монотонно уменьшается со 100 % в начале процесса до 0,5 % к моменту разделения пластин (кинетическая энергия движения материала в треугольном импульсе, распространяющемся в свободно деформирующейся пластине- ударнике). Внутренние энергии обеих пластин изменяются одинаково, сначала возрастая на этапе распространения ударных волн до 25 %, а затем уменьшаясь до 4 %. Последнее значение характеризует суммарную долю в общем энергетическом балансе необратимых потерь энергии при ударноволно- вом сжатии материала и внутренней потенциальной энергии объемной деформации в треугольных импульсах растяжения- сжатия, распространяющихся в пластинах. При численном решении задачи правильность составления алгоритма расчета, работы программы и, следовательно, достоверность получаемых результатов контролируют с помощью проверки выполнения разностных аналогов интегральных законов сохранения. Для рассматриваемого примера расчета параметров процесса соударения двух одинаковых пластин дисбалансные составляющие равны: по энергии — 0,03 %, по импульсу и по массе — нулю. Рассмотрим теперь, как изменяется характер процесса соударения с той же скоростью щ = 1000 м/с пластин различной толщины. На рис. 3.5 приведены результаты расчета параметров процесса соударения медных пластины-ударника 1 толщиной <5i = 5 мм и пластины-мишени 2 толщиной ($2 = = 15 мм. До момента времени t = 1,0 мкс распределения скорости и давления по координате такие же, как в ранее рассмотренном случае (см. рис. 3.3). Однако уже к моменту времени t = 1,5 мкс возникает различие: тогда как в 233
и, м/с 1Щ+03 1,5 мкс 2,0мкс 3,0мкс J.Smkc / t-1,5мкс 2.0мкс 3,0мкс 3,5мкс '/////////л ттжтжшжж Рис. 3.5 (начало). Результаты расчета параметров процесса соударения со скоростью но = 1000 м/с двух медных пластин толщиной $i= 5 мм и б? = 15 мм: УВ — фронт ударной волны; ВР — волна разгрузки; ВС — волна сжатия пластине-ударнике при отражении ударной волны от свободной поверхности формируется волна разрежения, в более толстой пластине-мишени продолжает распространяться ударная волна. Устремляющаяся «вдогонку» ударной волне в пластине-мишени волна разрежения останавливает движение материала пластины-ударника и полностью разгружает его, затем, проходя без преломления через границу раздела пластин (см. распределения для моментов времени t = 2,0 и 3,0 мкс), также останавливает движение материала пройденной части пластины-мишени и полностью разгружает его. При t = 3,0 мкс ударная волна в пластине-мишени подходит к ее свободной поверхности, и уже к моменту времени t = 3,5 мкс со стороны свободной поверхности распространяется волна 234
U, М/С 0,00Е+00 V///////// вр /Ul * \ 5 мкс \ ВР, ВР A //ВР ^ W мкс -МОЕ 40 Рис. 3.5 (окончание) разрежения, после прохождения которой материал пластины- мишени приобретает скорость, равную начальной скорости соударения, и полностью разгружается. По существу, в пластине-мишени к этому моменту времени встречно распространяются две волны разрежения. Одна из них (левая) передает в среде информацию об остановке и полной разгрузке материала части пластины-мишени, граничащей с остановившейся пластиной-ударником, а вторая (правая) — о полной разгрузке и движении с определенной скоростью материала примыкающей к свободной поверхности части пластины- мишени. Взаимодействие встречных волн разрежения, начало которого приходится на момент времени t = 4,0 мкс, приводит к динамическому растяжению соответствующей части пластины-мишени. Следствием такого взаимодействия являются образование к моменту времени t = 4,5 мкс области 235
отрицательных значений давления во внутренней области пластины-мишени и формирование вторичных волн разрежения, которые на этот раз распространяются в сторону свободной поверхности и поверхности контакта, передавая в среде информацию об образовании такой области. При очередном взаимодействии волн разрежения с поверхностями пластины- мишени (см. рис. 3.5, t = 6,5 мкс) происходит торможение свободной поверхности, а поверхность, находившаяся ранее в контакте с пластиной-ударником, отрывается от нее и оставляет ее свободно покоящейся. Происходящие в ходе такого взаимодействия ускорение обращенной в сторону пластины- ударника левой поверхности пластины-мишени и торможение свободной правой поверхности приводят к моменту времени t = 7,5 мкс к формированию волн с тенденцией к сжатию, постепенно ликвидирующих область растягивающих напряжений внутри пластины-мишени, при этом движение материала пластины-мишени со стороны правой поверхности останавливается. Ясно, что следующими этапами процесса соударения пластин будут взаимодействие этих волн во внутренней области пластины-мишени, полная ликвидация растягивающих давлений и, напротив, возникновение области сжатия (области положительных значений давления) и формирование вторичных волн сжатия. В рамках модели идеальной среды, не предусматривающей диссипации энергии, такой волновой процесс в пластине-мишени будет происходить бесконечно долго с последовательным чередованием волн разрежения- сжатия. Это видно и на диаграмме изменения энергетического баланса (рис. 3.6): после двух волнопробегов по толщине пластины-ударника практически вся энергия (за исключением необратимых потерь в пластине-ударнике при ее ударноволно- вом нагружении и последующей разгрузке) сосредоточивается в пластине-мишени, при этом происходит периодический переход кинетической энергии во внутреннюю потенциальную энергию объемной деформации и наоборот. В заключение приведем с минимальными комментариями результаты расчетов и анализ волновых процессов, происходящих при соударении со скоростью щ = 1000 м/с медной пластины-ударника 1 толщиной 6\ = 5 мм и алюминиевой (более сжимаемой и менее плотной) пластины-мишени 2 236
6 7 8 t, тс Рис. 3.6. Диаграмма изменения энергетического баланса процесса соударения двух медных пластин различной толщины в зависимости от времени: ?Кин1, ?внь ?кин2, ?вн2 — относительные доли кинетической и внутренней энергий пластин в полной энергии системы Е толщиной ($2 = 15 мм. Результаты представлены на рис. 3.7 в форме распределений скорости и и давления р по лагранжевой линейной координате. Для различных моментов времени характерны следующие особенности течения деформирующихся пластин. 1. При t = 0,5 мкс в обеих пластинах распространяются ударные волны, при этом скорость распространения ударной волны в менее плотной алюминиевой пластине-мишени выше, чем в медной пластине-ударнике. 2. При t = 1,0 мкс ударная волна, распространяющаяся в пластине-ударнике, подходит к свободной поверхности. 3. При t = 1,5 мкс после взаимодействия ударной волны со свободной поверхностью в пластине-ударнике распространяется волна разрежения, полностью разгружающая материал. 4. При t — 2,0 мкс ударная волна, распространяющаяся ь алюминиевой пластине-мишени, подходит к свободной поверхности, а волна разгрузки, распространяющаяся в медной пластине-ударнике, — к границе раздела пластин. 237
и, м/с WE+ 01 f гщ+ог OflOE+OQ ¦ u. t=ff,Smc L Г \ BP 1,0 мкс УВ ! => r I 1,5mkc У УВ i УВ 2,0 мкс / t/5 J ¦ I i • - / lr 1 ) / Ь IBP / УВ 1 1 УВ 1 А /,^ ИКС i ii/6 Н> 1 v\ \ 1,5 мкс 5/8 \ \ мкс р,Па 1,№ +10 5Щ + 09 0.00E+00 -5Щ+09 Рис. 3.7 (начало). Результаты расчета параметров процесса соударения со скоростью ti0 = 1000 м/с медной пластины-ударника толщиной ?i = 5 мм и алюминиевой пластины-мишени толщиной fo = 15 мм: УВ — фронт ударной волны; ВР — волна разгрузки; ВС — волна сжатия 5. При t = 2,5 мкс в пластине-мишени со стороны ее свободной поверхности распространяется волна разрежения, сформировавшаяся при отражении от свободной поверхности ударной волны. В процессе взаимодействия волны разрежения, распространяющейся в пластине-ударнике, с границей раздела пластин формируются распространяющиеся от этой границы волна разрежения (в пластине-мишени) и волна сжатия (в пластине-ударнике). 6. При t — 3,0 мкс волна сжатия, распространяющаяся в пластине-ударнике, подходит к свободной поверхности, а встречные волны разрежения, распространяющиеся в пластине-мишени, приближаются к области их последующего взаимодействия. 238
и, м/с 1Ж+03 BflOE+Ol - гщ+ог O,OOE+QO Рис. 3.7 (продолжение) 7. При t = 3,5 мкс начинается взаимодействие волны сжатия, распространяющейся в пластине-ударнике, с ее свободной поверхностью, формируется волна разрежения в пластине- ударнике. Во внутренней области пластины-мишени происходит взаимодействие встречных волн разрежения и появляется область отрицательных значений давления. В пластине- мишени формируются две расходящиеся волны разрежения. 8. При t = 4,0 мкс в пластине-ударнике распространяется волна разрежения, а в пластине-мишени — расходящиеся волны разрежения. 9. При t = 4,5 мкс начинается взаимодействие волны разрежения, распространяющейся в пластине-мишени, со свободной поверхностью, идет процесс торможения свободной 239
1/, И/С Щ+03 WE+ 02 6tO0E+ 02 4,00Е+02 2,OOE+0Z ОМ+00 г - WM ' =5,0 тс в!/ bJJ^- Up /вр/вр 5 МКС ¦*•— Омкс р,Па t = ? bp/j? v \ вр\ МКС яЛ StOOE+09 ОЩ+дО -5,Ж+09 Рис. 3.7 (окончание) поверхности. Начинается взаимодействие волн разрежения, распространяющихся в пластине-ударнике и пластине-мишени, с границей раздела пластин, уменьшается давление на границе. 10. При t = 5,0 мкс происходит отрыв пластины-мишени от пластины-ударника. Начинается свободное раздельное движение пластин. Продолжаются волновые процессы в пластинах. Таким образом, происходящие в ходе соударения двух плоских пластин сложные ударноволновые процессы достаточно адекватно отображаются с помощью численных методов решения задач, являющихся эффективным инструментом их исследования. 240
3.2. Схлопывание металлического упругопластического кольца под действием продуктов детонации (лагранжев метод Уилкинса) Как известно из физики взрыва, одним из этапов функционирования кумулятивного заряда (рис. 3.8, а) является схлопывание металлической облицовки кумулятивной выемки в результате ее обжатия под действием продуктов детонации взрывчатого вещества (далее для краткости — продукты детонации) (рис. 3.8, б). Такой процесс предшествует образованию кумулятивной струи, параметры движения и состояния которой (начальные радиус, скорость, градиент осевой скорости, температура) определяются параметрами схлопы- вающейся облицовки. В силу этого обстоятельства определение основных параметров схлопывающейся облицовки представляет самостоятельный интерес. В случае осесимметричного кумулятивного заряда движение продуктов детонации и материала облицовки обладает осевой симметрией и поэтому должно исследоваться в рамках решения двумерной осесимметричной г — z —/-задачи нестационарной газовой динамики и динамики упругопластиче- ской среды. Однако в первом приближении можно исследовать схлопывание элемента металлической облицовки в рамках одномерной осесимметричной нестационарной г — /-задачи (рис. 3.8, в). В этом случае предполагается, что выполняется гипотеза плоских сечений, элемент облицовки имеет кольцевую форму (До — начальный наружный радиус, <$о — начальная толщина) и окружен кольцевым слоем взрывчатого вещества (До — внутренний радиус примыкающей к облицовке части кумулятивного заряда, Д3 — наружный радиус кумулятивного заряда). Предполагается также, что движение как материала кольца, так и продуктов детонации происходит лишь в радиальном направлении: v = У{Гг = vrrr, где гг — радиальный базисный вектор, vr — единственная отличная от нуля радиальная компонента вектора скорости. Ясно, что для математического описания такого движения наиболее удобна 241
Рис. 3.8. К постановке одномерной осесимметрич- ной задачи о схлопывании металлического упруго- пластического кольца под действием продуктов детонации: а — схема кумулятивного заряда с металлической облицовкой кумулятивной выемки; б— характер движения продуктов детонации и материала облицовки при функционировании кумулятивного заряда; в — расчетная схема для исследования схлопывания элемента металлической облицовки в рамках решения одномерной осесимметричной нестационарной задачи цилиндрическая система координат (г, 0, z). В этой системе координат vT ф О, v$ = v2 = 0, а все параметры движения и состояния зависят лишь от одной радиальной координаты и времени: и = u(r, t), р = р(г, <), р = р(г, *), Е = E(r, t) и т.п. 242
Ясно также, что при предполагаемом отсутствии зависимости параметров движения и состояния от осевой координаты z и угловой координаты в и при отсутствии движения вдоль этих направлений, по существу, рассматривается радиальное движение произвольного плоского сечения бесконечно длинной в осевом направлении цилиндрической оболочки, окруженной таким же бесконечно длинным слоем взрывчатого вещества. В рамках одномерной модели схлопывания элемента металлической облицовки для взрывчатого вещества примем гипотезу мгновенной детонации и будем считать, что в начальный момент времени / = 0 из взрывчатого вещества образуется сильно сжатый газ с параметрами мгновенной детонации: и = О, Р = />0ВВ> Р = РМД = Р0ВВ^2/8, Е = Q, где р0ВВу D, Q — соответственно начальная плотность взрывчатого вещества, скорость детонации и удельная теплота взрыва заряда взрывчатого вещества. Особенности напряженно-деформированных состояний взаимодействующих деформируемых сред, а также принцип задания лагранжевых линейных и лагранжевых массовых координат выявляются при рассмотрении рис. 3.9, где показана произвольная индивидуальная частица сплошной среды, ограниченная координатными поверхностями цилиндрической системы координат, в начальный (t = 0) и произвольный (t > 0) моменты времени. Рис. 3.9. К выявлению особенностей напряженно-деформированных состояний взаимодействующих деформируемых сред при их одномерном осесимметричном течении и к принципу задания лагранжевых линейных и лагранжевых массовых координат 243
Будем считать, что выделенная индивидуальная частица в начальный момент времени находится от оси симметрии на расстоянии г t=0 ность /?о и массу dm = Л, имеет толщину dR, начальную плот- = (Rdd)dRdz po- При решении од- dO.dz номерных плоских задач массы индивидуальных частиц обычно рассматриваются как погонные (см. раздел 1.1), а в случае одномерных осесимметричных течений они относятся к единице длины вдоль оси гик единице угла в: dm =¦ dm dO,dz /(dzd6) = poRdR = p0d(R2/2). C.27) Начальное значение эйлеровой координаты индивидуальной частицы г = R является значением ее лагранжевой ли- неинои координаты, погонная масса частицы dm представляет собой дифференциал лагранжевой массовой координаты, сама же лагранжева массовая координата т •I Rq—6q dm = РОм- при R < РОм- R2-Rl при R> Rq по физическому смыслу является не изменяющейся во времени погонной массой, заключенной между внутренней поверхностью кольца с лагранжевой линейной координатой (Rq — <5о) и данной индивидуальной частицей (где ром — начальная плотность материала облицовки). Не изменяется во времени и масса индивидуальной частицы dm, и в произвольный момент времени t текущее значение плотности частицы /?, расстояние от нее до оси симметрии г (текущее значение эйлеровой координаты данной частицы) и толщина dr оказываются взаимосвязанными между собой: dm — г dr p. C.28) 244
На рис. 3.9 видно, что координатные линии цилиндрической системы координат определяют главные оси тензора деформаций. Действительно, в процессе движения происходит изменение длин материальных отрезков радиального и тангенциального направлений, материальные отрезки осевого направления не изменяют своей длины, а углы между материальными отрезками всех трех направлений не изменяются, т.е. сдвиговые деформации в выбранной системе координат отсутствуют. Тензоры деформаций и скоростей деформаций в соответствии с геометрическим смыслом компонент тензора деформаций характеризуются следующими матрицами: (Ы) = ет 0 0 kr 0 0 ев 0 0 ка 0> 0 0, 0> 0 U о о о; При отсутствии сдвиговых деформаций в выбранной системе координат в индивидуальных частицах сплошной среды не будут возникать и касательные напряжения, а ограничивающие данную частицу площадки, совпадающие с координатными поверхностями цилиндрической системы координат, будут являться главными площадками для тензора напряжений (а) и девиатора напряжений (Da). Поэтому тензор напряжений, девиатор напряжений и шаровой тензор напряжений E^) будут характеризоваться следующими матрицами: ат 0 0 0 0 0 °в 0 т 0 ^ 0 * ; 0 0 ?>ав 0 0 Daz 245
-р О О О -р О О О -р ) При этом напряженное состояние материала кольца будет характеризоваться тензором напряжений ст,у = 5^^ + -Do-jj = а тензор напряжений в продуктах детона- = — pgij + ции (идеальная среда) будет являться шаровым: Приведем теперь систему уравнений, описывающую одномерное осесимметричное динамическое деформирование материала кольца и продуктов детонации в том виде, который используется при последующем численном решении задачи с помощью сеточного лагранжева метода сквозного счета — метода Уилкинса. Как известно из механики сплошных сред (см. том 1, главу 4), при постановке задачи динамики упругопласти- ческой среды составляемая для описания движения система уравнений имеет вид dt dE }~dl + 2G\Doii = 2G oii C.29) p = p(p, ?); aij = ~P9ij 246
Система уравнений C.29) включает (в порядке следования) дифференциальные уравнения законов сохранения массы, импульса (в пренебрежении объемными силами), энергии (в адиабатическом приближении), кинематические соотношения, уравнения пластического течения Прандтля — Рейсса, уравнение состояния, взаимосвязь тензора напряжений, шарового тензора и девиатора напряжений и соотношение для определения скалярного множителя А, участвующего в записи уравнений Прандтля — Рейсса и зависящего от удельной мощности пластического деформирования. Система уравнений C.29) записана в тензорной форме, справедливой для течения любой геометрии и в любой системе координат. С помощью операций тензорного анализа (см. том 1, главу 1) из нее может быть получена система уравнений для рассматриваемого одномерного осесимме- тричного течения в цилиндрической системе координат. Так, дифференциальное уравнение неразрывности при vr = и ф О, vq = vz = 0 примет вид ди затем оно может быть преобразовано как 1 д(иг) dt pr дг и с учетом C.28) окончательно представлено в лагранжевых массовых координатах через величину относительного удельного объема: dV д(иг) -аТ = р°-д^> C'30) где относительный удельный объем V = A/р)/A/ро) = = ро/р = 1/т/ — величина, обратная относительной плотности 7/ = p/pQ. Из трех дифференциальных уравнений движения при одномерном течении среды имеет смысл лишь уравнение 247
движения в радиальном направлении. Это уравнение в принятой цилиндрической системе координат с учетом особенностей напряженного состояния можно представить в виде Для записи уравнения C.31) использованы полная (индивидуальная, субстанциональная) производная по времени du/dt (определяет ускорение индивидуальной точки сплошной среды) и частная производная даг/дг радиальных напряжений по эйлеровой координате г. При реализации лагранжева подхода к описанию движения эти частные производные определяются для каждой индивидуальной точки среды, для чего необходимо знать текущие значения их эйлеровых координат, которые изменяются в соответствии с дифференциальным уравнением Уравнение энергии определяет скорость изменения удельной (отнесенной к единице массы среды) внутренней энергии Е индивидуальных частиц сплошной среды в зависимости от удельной мощности деформирования. Как известно из механики сплошных сред (см. том 1, главу 2), удельная мощность деформирования представляется в виде суммы двух составляющих, одна из которых связана с изменением объема (или плотности) частиц, а другая — с их формоизменением. Поэтому уравнение энергии может быть записано в виде dE _ vljeij p dp DlJetj dt p /?2 dt p с учетом особенностей напряженно-деформированного состояния может быть представлено как dE_^_ d(l/p) dt P dt 248
и при использовании величины относительного удельного объема примет окончательный вид = ~Р^Г + v {D°rtT + D°dke)' Cl33) где Еу = Еро — удельная внутренняя энергия, отнесенная к единице начального объема среды. Для одномерного осесимметричного течения существенно упрощаются и кинематические соотношения — в рассматриваемом случае имеют смысл лишь выражения для радиальной, тангенциальной и осевой компонент тензора скоростей деформаций: ди и ёг = тг; ё0 = -; ёг = 0. C.34) иг г Физико-механические свойства материала кольца и продуктов детонации определены с помощью уравнений, описывающих их физическое поведение (способность деформируемой среды сопротивляться изменению объема или плотности частиц) и механическое поведение (способность деформируемой среды сопротивляться формоизменению частиц). Физическое поведение в общем случае описывается уравнением состояния р = р(/9, Е) (или р = р(/9, Г), р = р(/?, 5)). Для простоты будем считать, что расширение продуктов детонации в процессе метания кольца происходит изоэнтропиче- ски (в сочетании с гипотезой мгновенной детонации это вполне приемлемое предположение, так как в этом случае в газе не распространяются ударные волны). Тогда физическое поведение продуктов детонации может быть охарактеризовано уравнением изоэнтропы Р = АввРк = ^вв/^овв7?*' C-35) где для конденсированного взрывчатого вещества к — 3, константа Лвв определяется из условия мгновенной детонации РЫп = ^ВВРоВВ' а относительная плотность ту = р/poBB- При описании физического поведения материала кольца будем исходить из известного из физики взрыва факта: при давлении 249
менее 50 ГПа металлы имеют весьма близкие значения ударной адиабаты, изоэнтропы и изотермы (частные следствия уравнения состояния соответственно на фронте ударной волны, при постоянной энтропии и при постоянной температуре). При нагружении металлической облицовки взрывом давление не превышает указанного верхнего предела, что дает основание рассматривать материал кольца как баротропную среду и с приемлемой точностью описывать его физическое поведение с помощью уравнения ударной адиабаты в форме Тэта: р=Ам [{р/ромТ - 1] = Ам(т,п - 1), C.36) где константы, например для меди, имеют значения Ам = = 30,2 ГПа, п = 4,8, а под относительной плотностью понимается величина rj = р/рои- Механическое поведение газообразных продуктов детонации описывается в рамках модели идеальной среды. Такая среда не оказывает сопротивление формоизменению и независимо от деформаций и скоростей деформаций характеризуется тензорным определяющим уравнением (Dа) = 0. В продуктах детонации реализуется напряженное состояние всестороннего сжатия ат — gq - az — -р, и приведенные выше уравнения движения C.31) и энергии C.33) приобретают характерный для газа вид. Механическое поведение материала кольца следует описывать в рамках модели упругопластической среды по теории пластического течения, так как схлопывание металлического кольца при нагружении его продуктами детонации сопровождается сложными волновыми процессами и происходит при больших конечных деформациях. На рис. 3.10 показана диаграмма, характеризующая сопротивление материала кольца формоизменению. В качестве такой диаграммы выбрана одна из самых простых идеализированных диаграмм — диаграмма идеальной упругопластической среды, для которой существует упругий участок ОМь а пределы пропорциональности, упругости, текучести и прочности ассоциированы с одним и тем же значением ат — пределом текучести при одноосном растяжении. Для материала, 250
О Bi Рис. ЗЛО. Диаграмма механического поведения материала кольца, рассматриваемого в рамках модели идеальной упруго- пластической среды механическое поведение которого характеризуется такой диаграммой, в качестве критерия пластичности выступает критерий Мизеса сгг = ат или T2(Da) = DlJDa{j = B/3)<j2, где T2(D<r) — второй основной инвариант девиатора напряжений. Рассматриваемому одномерному осесимметричному течению отвечает запись критерия пластичности Мизеса в виде 2 3 C.37) и именно таким образом взаимосвязаны между собой компоненты девиатора напряжений при пластическом деформировании материала кольца (участки М\М^ М^М^ на рис. 3.10). При деформировании в упругом режиме (на участках ОМь ЩЩ, М3М2 О{ < сгт) компоненты девиатора напряжений в материале кольца удовлетворяют условию Di Dz 2 з( C.38) В процессе деформирования материала кольца изменение компонент девиатора напряжений во времени характеризуется уравнениями пластического течения Прандтля — Рейсса, которые в нашем случае принимают следующий вид: 251
-±%); C.39, dD +2СЛЦ, = 2С(^ где скалярный множитель А определяется удельной мощностью пластического деформирования: А = ± (РтЪР + D^] + Я„е?°) , C.40) .(р) .(р) .(р) а вг , ?^ , ?^ — пластические составляющие компонент тензора скоростей деформаций. В частности, при работе материала в упругой области C.38) скалярный множитель А = 0 и уравнения Прандтля — Рейсса C.39) сводятся к чисто упругому уравнению механического поведения ((Da) = 2G(D?)), записанному в скоростной дифференциальной форме. Замыкают систему уравнений, описывающую динамическое деформирование материала кольца и продуктов детонации, соотношения взаимосвязи компонент тензора напряжений, шарового тензора и девиатора напряжений: " = -' + ^ C.41) Постановка одномерной осесимметричной задачи о схло- пывании металлического кольца под действием продуктов детонации завершается формулировкой начальных и граничных условий. Начальные условия для продуктов детонации (лагранже- вы линейные координаты частиц Rq < R < R3, см. рис. 3.8, в) задаются в соответствии с принятой гипотезой мгновенной детонации, а начальные условия для материала кольца (лагран- жевы линейные координаты частиц Rq - 6q < R < Rq) соответствуют условиям покоя, отсутствия деформаций и внутренних напряжений. При t = 0 имеем: 252
для До < Д < Д3 u = 0\ r = Д; V = PoBB/p= 1; для Ro-io<R<Ro u = 0; r = Д; V = pOu/p= 1; p = Dar = Dad = Daz = 0; ?y = 0. Граничные условия для рассматриваемой задачи следует задавать на трех поверхностях: на внутренней поверхности кольца (Д = До ~ <$о)> на наружной поверхности кольцевого слоя продуктов детонации (R = Д3) и на границе раздела продукты детонации — металл (Л = До). При решении этой задачи внутреннюю и наружную поверхности вполне можно рассматривать как свободные, пренебрегая поверхностными силами атмосферного давления. В таком случае компоненты тензора напряжений на поверхности взаимосвязаны между собой и с компонентами единичного вектора нормали п = n3rj к поверхности как с^п3 = 0. Учитывая, что единичный вектор нормали к цилиндрической поверхности имеет лишь одну отличную от нуля радиальную компоненту (пг = 1, 7г = nz = 0), а также принимая во внимание особенности напряженного состояния материала кольца и поля давления продуктов детонации, приходим к следующей форме представления динамических граничных условий на внутренней поверхности кольца и на наружной поверхности кольцевого слоя продуктов детонации: для R = Ro - 6о для R = Д3 C'43) Граничные условия для Д = До на границе раздела продукты детонации — металл (на контактном разрыве) относятся к условиям смешанного типа. У частиц металла и газа, находящихся в контакте, одинаковы скорости движения (условие 253
«прилипания»), а векторы полных напряжений равны по модулю и противоположны по направлению (третий закон Ньютона). С учетом особенностей напряженного состояния металла и поля давления газа и ориентации границы раздела (цилиндрическая поверхность с осью z) приходим к следующей форме представления граничных условий на границе раздела для R = Rq: v>m = ^ПД; °гм = -РПД> C.44) где иы и агм — скорость и радиальное напряжение металла на границе раздела; г^цд и рдд — массовая скорость и давление продуктов детонации на границе раздела. Таким образом, система уравнений C.30)—C.41) с начальными условиями C.42) и граничными условиями C.43) и C.44) описывает схлопывание металлической облицовки под действием давления продуктов мгновенной детонации и является физико-математической моделью этого процесса в рамках одномерного приближения. Следует отметить, что при численном решении задач механики упругопластических сред достаточно часто используют упрощенный метод решения уравнений пластического течения Прандтля — Рейсса C.39), применяя так называемую процедуру приведения вектора девиатора напряжений на круг текучести. Поясним сущность упрощенного метода решений уравнений Прандтля — Рейсса и обоснуем его. С этой целью предварительно определим понятия «девиаторная плоскость», «круг текучести», «вектор девиатора напряжений», «вектор среднего напряжения». Эти понятия вводятся при рассмотрении пространства главных напряжений <ть 0*2, <тз, в котором представляются возможные напряженные состояния упругопластической среды (см. том 2). На рис. 3.11 в пространстве главных напряжений введена декартова прямоугольная система координат, по осям которой откладываются возможные значения главных напряжений ai = сгг, о = <70, <тз = az- Здесь же показан цилиндр Мизе- са, т.е. поверхность пластичности согласно критерию Мизеса сгг = aT (или критерию C.37)). Как известно, точки внутри 254
'Гидростатическая ось Круг текучеста Рис. 3.11. Изображенные в пространстве главных напряжений гидростатическая ось, поверхность пластичности согласно критерию Мизеса, девиаторная плоскость, круг текучести: <т — вектор, соответствующий произвольному напряженному состоянию идеальной упругопластической среды; Р — вектор, соответствующий шаровому тензору; Da — вектор, соответствующий девиатору напряжений цилиндра соответствуют упругим состояниям упругопластической среды, точки на поверхности цилиндра — пластическим состояниям, при этом для идеальной упругопластической среды, диаграмма механического поведения которой показана на рис. 3.10, выход за пределы цилиндра Мизеса исключен. Произвольное напряженное состояние материала кольца в декартовой прямоугольной системе координат (<тг, с^, az) пространства главных напряжений может быть изображено вектором а = ari + gqJ + azk (далее для краткости использован условный термин «вектор напряженного состояния») (см. рис. 3.11). В связи с представлением тензора напряжений в виде суммы шарового тензора и девиатора напряжений вектор напряженного состояния также может быть представлен в виде суммы двух векторов: а = Da + Р, где Da = Dari + + В(твЗ + Dazk — вектор, соответствующий девиатору тензора напряжений (далее использован условный термин «вектор 255
девиатора напряжений»), а Р = a(i + j + к) = -p(i + j + к) — вектор с модулем |сг|\/3, соответствующий шаровому тензору (далее — вектор среднего напряжения). Очевидно, что вектор среднего напряжения Р направлен по гидростатической оси с единичным вектором нормали п = (г + j + fc)/\/3, a вектор девиатора напряжений Da перпендикулярен этой оси, так как Da n = (Dar + DaB + D*z)/V3 = Ti(Da)/y/3 = О, где T^Dv) — первый основной инвариант девиатора напряжений. Плоскость аг + сг$ + oz — 0, проходящая через начало координат декартовой прямоугольной системы координат пространства главных напряжений перпендикулярно гидростатической оси, называется девиаторной плоскостью (см. рис. 3.11). Все возможные векторы девиатора напряжений Da, удовлетворяя условию Dar + DaQ + Daz = 0, находятся в этой плоскости, и их выход за ее пределы исключен. Девиаторная плоскость пересекается с цилиндром Мизеса по кругу текучести радиусом R = Gт^/2/3, равным радиусу цилиндра. Круг текучести в девиаторной плоскости показан на рис. 3.12, где точка 0 соответствует началу координат, а проекции координатных осей пространства главных напряжений ориентированы под углом 120° друг к другу. Рис. 3.11 и 3.12 наглядно подтверждают известное утверждение о том, что гидростатическое давление р не оказывает влияния на выполнение критерия пластичности Мизеса C.37). Рис. 3.12. Круг текучести в девиаторной плоскости и траектории крайней точки вектора девиатора напряжений при упругом (OAfi, Л/гЛ/з, МзМ^) и- пластическом (Л/1М2, М^М*) деформировании материала 256
Действительно, выполнение критерия пластичности Мизеса соответствует выходу на поверхность пластичности крайней точки вектора напряженного состояния а с координатами ат, <70, crz- Ясно, что вектор среднего напряжения Р, коллине- арный гидростатической оси, не оказывает влияния на приближение крайней точки вектора напряженного состояния а к поверхности пластичности, а этот процесс контролируется и определяется только вектором девиатора напряжений Da: выполнению критерия пластичности Мизеса отвечает выход крайней точки вектора DG на круг текучести. При пластическом деформировании идеальной упругопластической среды, происходящем при постоянном значении интенсивности напряжений О{ = ат (постоянное выполнение критерия пластичности Мизеса C.37)), крайняя точка вектора Da будет перемещаться по кругу текучести, а при упругом деформировании — внутри круга текучести (см. соответствующие точки О, МЬ М2, М3, М^, М4 на рис. 3.10 и 3.12). Приведенные рассуждения создают основу упрощенного метода решения уравнений пластического течения Прандт- ля — Рейсса C.39). Перепишем эти уравнения в виде dt где г = г, 0, z. Согласно этим уравнениям приращения компонент ADa{ вектора девиатора напряжений за малый промежуток времени Д* определяются как ADai = AD(ae) - 2GXDaiAt, C.45) где приращения компонент вектора девиатора напряжений, какими они были бы при упругой работе материала. Соотношение C.46) эквивалентно уравнению A(Da) = 2GA(D?), определяющему механическое поведение упругой среды и записанному в приращениях. Из уравнения C.45) следует, что при пластическом деформировании упругопластической среды (А / 0) 9 - 2728 257
истинные приращения компонент ADai вектора девиатора напряжений отличаются от предсказанных AD^ в предположении упругой работы на величину, пропорциональную компонентам Dd вектора девиатора напряжений. Отсюда разность истинного приращения вектора девиатора напряжений и приращения вектора девиатора напряжений в предположении упругой работы материала есть вектор, коллинеарный самому вектору девиатора напряжений: ADa = A?>ie) - 2G\AtDcr. C.47) Соотношения C.45)—C.47) в сочетании с критерием пластичности Мизеса C.37) позволяют простым путем решать уравнения пластического течения Прандтля — Рейсса, по существу заменяя их решением уравнений C.46) для упругой среды с последующей проверкой выполнения критерия пластичности Мизеса C.37) и приведением в случае необходимости вектора девиатора напряжений на круг текучести. На рис. 3.13 в девиаторной плоскости проиллюстрирован упрощенный метод решения уравнений Прандтля — Рейсса для двух типовых случаев — наличия пластического течения (а) и упругой работы материала (б). Будем считать, что в Рис. 3.13. К обоснованию вычислительной процедуры упрощенного решения уравнений пластического течения Прандтля — Рейсса: а — пластическое деформирование; б — упругое деформирова- 258
момент времени t материал находится в упругом состоянии, вектор девиатора напряжений Da с компонентами Ва{ находится внутри круга текучести радиусом R = <тт\/2/3. Предположим, что в течение промежутка времени At материал работает упруго, вектор девиатора напряжений получает приращение ADy с компонентами C.46), становится равным Da = Dff + AD а и имеет компоненты D?j = D^ + AD^ . Проверка выполнения критерия пластичности Мизеса C.37) по отношению к компонентам D^ позволяет установить, верно ли сделанное предположение об упругой работе материала. При выполнении условия 2 2 3 т материал действительно работает упруго и вектор девиатора напряжений к моменту времени tl = t + At имеет значение Dp = D^' с компонентами D1^ = D^ (см. рис. 3.13,6). В противоположном случае при вектор «упругого» девиатора напряжений D<f' выходит за круг текучести, что говорит о пластическом деформировании материала в течение промежутка времени At и о необходимости использования уравнений пластического течения C.45), C.47) для определения вектора девиатора напряжений D^ к моменту времени tf = t + At (см. рис. 3.13, а). Ясно, что крайняя точка вектора D'a должна находиться на круге текучести, и ее положение определяется пересечением вектора D^ с этим кругом. Фактически вектор D^ получается путем уменьшения вектора Z?^e и каждой его компоненты пропорционально соотношению радиуса круга текучести и модуля вектора «упругого» девиатора напряжений D<r'\ 9* 259
D, C.48) На рис. 3.13, а видно, что определенный таким образом вектор девиатора напряжений ?)(,. вполне удовлетворяет уравнениям Прандтля — Рейсса: разность истинного приращения вектора девиатора напряжений ADa = Dla — Da и приращения его «упругого предсказания» AD&' оказывается кол- линеарной самому вектору девиатора напряжений Dfa. Описанный выше метод упрощенного решения уравнений пластического течения Прандтля — Рейсса обычно называют процедурой приведения вектора девиатора напряжений на круг текучести, ассоциируя его с завершающей стадией определения компонент девиатора напряжений. Эта процедура довольно проста и удобна и в большинстве случаев используется при численном исследовании динамического деформирования упругопластических тел. Перейдем теперь к рассмотрению алгоритма численного решения задачи о схлопывании металлического кольца под действием продуктов детонации с помощью метода Уилкинса. В основе этого метода лежит схема «крест» с псевдовязкостью. Поэтому с его помощью удобно рассчитывать течения с ударными волнами, а также с имеющимися контактными разрывами и границами с динамическими граничными условиями (за счет использования «фиктивных» ячеек). На рис. 3.14 в плоскости изменения независимых переменных (R, t) показана разностная сетка, вводимая на этапе построения дискретных аналогов сплошных сред, участвующих в рассматриваемом процессе, и на этапе дискретизации по времени. Присвоим координатный индекс г = 1 узлу сетки, расположенному на левой внутренней границе кольца. Узел на 260
j J-'I2 H z 1 0 ~T I «?y,prD6» 30 4 I 1 1 г L I 1_ 1 i 1 i T- 1 t~" 1 r J S T| \ ill J_ 1 1 "+ " 1 1 1 1 1 J 1 1 1 r- A !br ^ «Фиктийная» ячейка ШШ T фХх> ! 1 1 ft /sfrt - 1 -- г f-r 1 1 1 1 T " 1 i 1П > Ur,B V,Ey,I) Ъ- -<Ь- -6- -< Ячейки кольца ШШШШШ L" [ft 1 _J 1 1 j *з ! [. ^ ^ ^ 1 J Лгш/ продуктоб детонации «( Ьиктибно ячейка Нояапьные to Рис. 3.14. Разностная сетка метода У ил ки не а для расчета параметров схлопывания металлического кольца под действием продуктов детонации с шаблонами для аппроксимации дифференциальных уравнений и вычисления значений сеточных функций
границе раздела будет характеризоваться номером г = М, а правый граничный узел — номером г = N. При такой индексации узлов сетки по координате на материал кольца приходится М - 1 ячеек, а на продукты детонации — N - М ячеек. Для простоты будем считать, что сетка является равномерной по лагранжевой линейной координате R и характеризуется шагом 6° =дз-До М-1 N-M Тогда лагранжевы линейные координаты всех узлов сетки 1 < г < N и их начальные эйлеровы координаты определятся как R• = rJ = До + АД(г - М). C.49) Например, при г = 1 R\ = Rq - 6q, при г = М Rm = До> при г = JV Д# = Л3. Будем обозначать ячейки сетки по координате дробными индексами (полуцелые точки по координате). Например, индекс г + 1/2 соответствует ячейке между узлами г и г + 1, при г = 1 дробный индекс указывает на левую приграничную ячейку, при г = 0 — на примыкающую к левой границе «фиктивную» ячейку, при г = N - 1 — на правую приграничную ячейку, при t = N — на «фиктивную» ячейку, примыкающую к правой границе. Каждая ячейка сетки является разностным аналогом индивидуальной частицы и имеет определенную массу (шаг сетки по лагранжевой массовой координате — разностный аналог дифференциала лагранжевой массовой координаты), которая вычисляется на основании выражения C.27) как m «+1/2 = < R? - R? —S±± L при 1 < i < M - 1 (для металла), -^ при M < i < N - 1 (для продуктов детонации). C.50) 262
Сетка по времени определяется совокупностью целых временных слоев tj и полуцелых временных слоев tj+\i2-> при этом различают шаг перехода с одного целого временного слоя на другой Д<у+1/2 = *;+1 — tj (индекс временного шага j + 1/2 является средним между номерами целых временных слоев) и шаг перехода с одного полуцелого временного слоя на другой Д<; = 'j+i/2 "~ 'j-l/2 (инДекс шага j является средним между номерами полуцелых слоев). Совокупность целых и полуцелых точек по координате и по времени задает «шахматную» разностную сетку. На такой сетке эйлеровы координаты определяются в узлах на целых временных слоях (х3Л, скорости — также в узлах, но на полуцелых временных слоях (и? ' j, все параметры состояния — в центрах ячеек на целых временных слоях f(V, р, Dar, DaQ, D(rZ, ЕуI ^ ,Л, псевдовязкость и компоненты тензора скоростей деформаций — в центрах ячеек на полуцелых временных слоях Приведем теперь конечно-разностные уравнения, аппроксимирующие решаемую задачу о схлопывании металлического кольца под действием продуктов детонации (система уравнений C.30)—C.41) с начальными условиями C.42) и граничными условиями C.43) и C.44)), придерживаясь последовательности, обычно используемой при вычислениях в программах численного расчета. Характерные узлы сетки и используемые для аппроксимации дифференциальных уравнений шаблоны показаны на рис. 3.14. Начальные условия задаются в группах узлов на начальном временном слое j = 0 и на ближайшем к нему «фиктивном» полуцелом временном слое с индексом -1/2. Необходимость ввода такого «фиктивного» временного слоя обусловлена используемой «шахматной» разностной сеткой. В соответствии с начальными условиями C.42) начальные значения сеточных функций должны задаваться следующим образом: 263
г? = Ri, u{ 1/2 = 0 при 1 < г < N (во всех узлах сетки); при 1 < г < 7V - 1 (во всех ячейках сетки); О при 1 < г < М - 1 (в ячейках, принадлежащих материалу кольца), QPOBB ПРИ М < г < N - 1 (в ячейках, принадлежащих газу); Г 0 при 1 < t < М - 1, | 2s при М < i < iV - 1; 0 Рг+1/2 - __ Г/?ом при 1 < г < М- 1, - | ровв при М < г < iV - 1. C.51) Дифференциальное уравнение движения C.31) аппроксимируется на девятиточечном шаблоне, обозначенном на рис. 3.14 как «и» (шаблон для расчета массовой скорости). Соответствующее конечно-разностное уравнение имеет вид •"-1/2 C.52) где при 2 < i < iV - 1 (во всех внутренних узлах), (в левом граничном узле), | И-1/2 (ri ~ri-l)] npHi = JV (в правом граничном узле); 264
при 2 < i < N - 1, Л-1/2 (rj + fij /2 Лч-1/2 при j = 1, при г = N\ при 1 < i < N - 1 (во всех внутренних ячейках), 0 при г = 0 (в левой «фиктивной» ячейке), О при г = N (в правой «фиктивной» ячейке); При вычислении значений ^ и (Gr)Jii1/2 на границах учитываются динамические граничные условия C.43). В «фиктивных» ячейках, примыкающих к внутренней поверхности кольца и наружной поверхности кольцевого слоя продуктов детонации, полагаются равными нулю их масса (плотность р) и радиальные напряжения ат (обоснование использования «фиктивных» ячеек для расчета динамических граничных условий см. подробнее в разделе 2.1.5). Конечно- разностное уравнение C.52) решается для всех узлов разностной сетки, в результате чего определяется поле массовой скорости и\ ' на последующем временном слое. 265
Следующим этапом вычислений при решении задачи является расчет новых значений эйлеровых координат г* всех узлов 1 < г < N сетки. Расчет проводится по конечно- разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение закона изменения текущих значений координат C.32) на «вертикальном» шаблоне, обозначенном на рис. 3.14 как «х»: C.53) В дальнейших вычислениях используются также значения эйлеровых координат на полу целом временном слое, которые определяются простым усреднением новых и прежних значе- ний: г{+1/2 = (г?+1 + г{) /2. Рассчитанные скорости и! и эйлеровы координаты г* позволяют определить новое поле относительно- го удельного объема У/Л/2 или плотности />^i/2 шения конечно-разностного уравнения неразрывности. Это конечно-разностное уравнение аппроксимирует дифференциальное уравнение C.30) на шаблоне «крест» (шаблон «V,q» на рис. 3.14) и имеет вид t+i/2 yt+i/2 _ о ui+i rt+i С учетом относительного удельного объема У-Тл/о определяют необходимые для дальнейших вычислений относитель- i-4-l / i4-1 НуЮ ПЛОТНОСТЬ Щ1.112 = V ^i+1/2' непосРеДственно ПЛОТНОСТЬ pJt1/2 = Р^л. 1/2/^+1/2' a также объем на полуцелом временном слое Т'г^+1 L = \у?*\2 + Vl+i/2) /2. Скорости и\ ' и эйлеровы координаты т\ ' позволяют также рассчитать компоненты тензора скоростей деформаций C.34), необходимые для разностного решения уравнения 266
энергии C.33) и уравнений пластического течения C.39). Для такого расчета используется «горизонтальный» шаблон, обозначенный на рис. 3.14 как «?»: J+l/2 J+l/2 ' S+l ~ ri j+l/2 j+l/2 ' rt+l + rt' Следует отметить, что расчет скоростей деформаций необходим лишь для ячеек 1 < г < М — 1, принадлежащих материалу кольца (скорости деформаций входят в уравнения пластического течения Прандтля — Рейсса). Для продуктов детонации, являющихся идеальной средой, такая необходимость отсутствует: напряженное состояние всестороннего равноосного сжатия газа в ячейках М < i < N — 1 определяется и в отсутствие информации о скоростях деформаций. Однако для упрощения алгоритма и расчетной программы можно проводить сквозной расчет скоростей деформаций для всех ячеек 1 < г < N - 1, а особенности механического поведения взаимодействующих сред учитывать на последующем этапе — этапе решения уравнений Прандтля — Рейсса. Численное решение уравнений пластического течения Прандтля — Рейсса проводится в соответствии с обоснованной выше упрощенной процедурой (шаблон «Еу, р, Da» на рис. 3.14). Сначала исходят из предположения, что материал в течение шага сетки по времени Atj+i/2 работает упруго, и в соответствии с «чисто упругим» уравнением механического поведения C.46) определяют предварительные значения компонент девиатора напряжений: , C.56) 267 + 2G i+l/2 A r I+1/2 1+1/2 ДЬ'1/2 «+1/2
где к — свободный индекс, принимающий любое из значений к = г, 0, z. Затем по вычисленным предварительным значениям проверяют выполнение критерия пластичности Мизеса C.37). При выполнении условия предположение об упругой работе материала в течение шага сетки по времени Д^+1/2 верно и «упругое предсказание» определяет истинные компоненты девиатора напряжений: (D У+1 В противоположном случае, при в течение шага сетки по времени Д^+1/2 происходит упруго- пластическое деформирование материала и компоненты девиатора напряжений определяются в соответствии с процедурой приведения вектора девиатора напряжений на круг текучести: X C.58) где к = г, 0, z. Обратим внимание на то, что при задании модуля сдвига G — О в результате решения уравнений пластического течения получаем B?от ) = [&„}) \ /i+l/2 V **){•{ 268
= (Dai•¦). = 0, что соответствует механическому поведению продуктов детонации. Поэтому и расчет компонент девиатора напряжений может проводиться сквозным образом с соответствующим заданием модуля сдвига: G ф О при 1 < г < М - 1, G = О при М < г < N - 1. Следующими этапами расчета являются определения полей удельной внутренней энергии и давления. Если в качестве уравнений состояния продуктов детонации и материала кольца выбраны уравнение C.35) изоэнтропы и уравнение C.36) ударной адиабаты в форме Тэта, то давления в ячейках, принадлежащих материалу кольца и продуктам детонации, определяются по уже вычисленным значениям относительной плотности ^, w2 = 1/^н-1/2: к ) при 1 < г < М- 1, - l] при М < г < N - 1. Удельная внутренняя энергия определяется по конечно-разностному уравнению, аппроксимирующему дифференциальное уравнение энергии C.33), при этом используются уже вычисленные значения где к = г, в. Конечно-разностное уравнение энергии принимает вид 269
и должно рассчитываться для всех ячеек 1 < г < N — 1 сетки. При этом для продуктов детонации (М < г < N — 1) при Dar = Da0 = Daz = 0 это уравнение сводится к виду Следует отметить, что в общем случае уравнения состояния деформируемых сред могут задаваться в более сложном виде, например в калорической форме: р = р(/9, Еу) = A(rj) + + В(л)Еу, где A(rj) и B(tj) — функции относительной плотности г] = р/ро- Тогда вычисление удельной внутренней энергии и давления несколько усложняется. Конечно-разностное уравнение энергии принимает вид - (М+1/2 = где ^(^)+^(^i%)(Mi1/a=FJi1/2 - C-62) искомое давление, а приращение удельной работы формоизменения за шаг сетки по времени / 270
Уравнение энергии C.61) может быть разрешено относительно искомой удельной внутренней энергии, и в результате эта величина вычисляется из выражения в 2 •+1/2 vi « ¦4SS C.63) / i+l _ > \ »+l/2 «+1/2 а уже затем по уравнению состояния C.62) определяется давление P^Tjm- Входящая в конечно-разностные уравнения движения C.52) и энергии C.60) сеточная функция псевдовязкости qJ I. вычисляется по скорости изменения относительного удельного объема V. Для варианта квадратичной псевдовязкости эта сеточная функция определяется в соответствии с B.25) как 0 при й-1/2 (J+W J C.64) «+1/2 где AK « 4 — коэффициент квадратичной псевдовязкости (см. подробнее в разделе 2.1.2); p^^/v^j^ = /^/2 "" текущее значение плотности материала в ячейке; Г-+1 — Г- = Д — характерный размер ячейки. 271
Завершающим этапом построения разностной схемы для решения задачи о схлопывании металлического кольца под действием продуктов детонации является определение шагов сетки по времени: Atj = tj+i/2~tj-i/2 (шаг перехода с одного полуцелого временного слоя на другой используется в конечно- разностном уравнении движения); Д^+1/2 = fy+l - tj (шаг перехода с одного целого временного слоя на другой используется в прочих конечно-разностных уравнениях). Временной шаг AJy+i/2 определяется в соответствии с условием устойчивости Куранта A.50), A.52) по известным параметрам на временном слое j как минимально допустимый по всем ячейкам сетки: 1 rj - rj S+l/2 где Cj?\ц2 — сеточная функция, определяющая местную скорость звука в материале кольца или в продуктах детонации. Скорость звука в газе при известной изоэнтропе определяется как С2 = 4 др/др (см. том 2). В сжимаемой упругопластическои среде скорость звука зависит не только от сжимаемости, но и от способности сопротивляться формоизменению — в металле максимальная из возможных продольная скорость звука зависит также и от модуля сдвига G: + 4G/Cp). При использовании для описает yjdPidp\ ния сжимаемости продуктов детонации и металла уравнении C.35) и C.36) (являющихся, по существу, уравнениями изо- энтроп) выражение для вычисления местной скорости звука в различных ячейках примет следующий вид: V Jfc-1 при М < i < N - 1, \ п-1 4 G C.66) РОм Pi+l/2 при 1 < г < М - 1. 272
Использование выражений C.66) позволяет вычислить шаг сетки по времени A^+i/2> a вслед за этим и шаг Д^ Ь-ф) / (см. временную разностную сетку на рис. 3.14). Таким образом, разностная схема метода Уилкинса для решения одномерной осесимметричной задачи о схлопыва- нии металлического кольца под действием продуктов детонации полностью определена. Ее составляют алгебраические конечно-разностные уравнения C.49)—C.67). Решение этой системы уравнений позволяет исследовать особенности интересующего процесса, определить его основные параметры. Для примера на рис. 3.15 и 3.16 приведены некоторые результаты расчета схлопывания медного кольца под действием продуктов детонации флегматизированного гексогена. Исходные геометрические параметры системы металлическое кольцо — кольцевой слой продуктов детонации соответствовали и, км/с г J -^ / / И,0 0,8 0,6 RmO,i> 0,2 0 Рис. 3.15. Характер изменения скорости кольца при его схлопывании к оси симметрии: 1 — для внутренней свободной поверхности; 2 — для средней скорости кольца wCp5 3 — для наружной (граничащей с продуктами детонации) поверхности 273
6г,П)а 15 r/R0 10 1,5 0,1 Рис. 3.16. Характер распределения радиальных напряжений по толщине кольца в момент времени, близкий к моменту полного схлопы- вания срединному плоскому сечению кумулятивного заряда диаметром 93 мм. Физико-механические характеристики материала кольца и продуктов детонации соответствовали характеристикам металлической облицовки и взрывчатого вещества этого заряда. На рис. 3.15 показан характер изменения скоростей внутренней и наружной (граничащей с продуктами детонации) поверхностей кольца по мере его схлопывания к оси симметрии (в зависимости от текущих значений эйлеровой координаты г этих поверхностей). Видно, что разгон кольца имеет ярко выраженный волновой характер: ускорение поверхностей кольца происходит скачкообразно, что особенно проявляется на начальной стадии процесса. Волновой характер разгона объясняется следующим образом. В начальный момент времени воздействие газа высокого давления на материал кольца приводит к формированию ударной волны, и именно вследствие 274
этого появляется первый скачок скорости наружной поверхности. Ударная волна распространяется в кольце, и в момент отражения волны от его внутренней поверхности происходит первый скачок ее скорости, а сама поверхность начинает радиальное движение к оси симметрии. Взаимодействие ударной волны с внутренней свободной поверхностью приводит к формированию центрированной волны разрежения, распространяющейся в кольце в сторону продуктов детонации. При взаимодействии волны разрежения с границей раздела происходит повторное скачкообразное ее ускорение, и под действием продуктов детонации формируется волна сжатия. Эта волна, достигая внутренней поверхности, производит очередное ее ускорение и отражается от нее волной разрежения и т.д. Как видно на рис. 3.15, распространение в кольце волн разрежения и сжатия происходит неоднократно, и такой волновой процесс приводит к постепенному нарастанию скорости внутренней поверхности кольца. Скорость же наружной поверхности кольца на начальных стадиях его движения в целом возрастает, а с определенного момента времени начинает убывать. Примерно так же изменяется и средняя скорость кольца М / и dm где М — погонная масса кольца. Обозначение RCXJi на рис. 3.15 соответствует радиусу наружной поверхности кольца в момент, когда его внутренний радиус близок к нулю (полное схлопывание кольца). Уменьшение средней скорости кольца иСр и скорости его наружной поверхности является следствием проявления известного из физики взрыва эффекта кумуляции энергии, ее «перекачки» во внутренние слои кольца. Как видно на рис. 3.15, в момент полного схлопывания кольца при средней скорости около 2 км/с скорость внутренней поверхности кольца составляет около 6 км/с. Процессу «перекачки» энергии во внутренние слои коль- Да способствует распределение радиальных напряжений по 275
его толщине, показанное на рис. 3.16 для момента времени, когда внутренний радиус составляет около 10 % от своего начального значения, а толщина кольца увеличилась более чем в 3 раза. Распределение радиальных напряжений характеризуется наличием максимума в области, примыкающей к внутренней поверхности кольца, тогда как радиальные напряжения на внутренней поверхности равны нулю, а на границе раздела наружной поверхности кольца с продуктами детонации — текущему значению давления газа (около 1,5 ГПа для примера на рис. 3.16). Такое распределение напряжений и определяет ускорение внутренней поверхности и торможение наружной поверхности кольца. При этом максимум радиальных напряжений (около 15 ГПа) не только примерно на порядок превышает текущее значение давления продуктов детонации, но и больше начального значения их давления (давление мгновенной детонации флегматизированного гексогена составляет около 13 ГПа). 3.3. Сферический взрыв в воде (комбинированный сеточно-характеристический метод) Сферический взрыв заряда взрывчатого вещества в воде описывается одномерной системой уравнений газовой динамики, которая в форме Эйлера имеет вид C.68) где г и t — независимые переменные (радиус и время); р, /9, Е, и — давление, плотность, удельная внутренняя энергия и массовая скорость среды. Последнее уравнение системы C.68) является уравнением состояния в калорической форме и имеет различный вид для продуктов детонации и воды. 276 ди л I4 дЕ dt ди dp дг дЕ дг ldp р дт ди дг рди рдг 2ри г 2ри рт
Основные особенности поведения продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ хорошо описываются уравнением состояния в форме Ми — Грюнайзена (см. раздел 5.2) C.69) где 7 — показатель адиабаты продуктов детонации в области низких давлений (при их расширении в вакуум), значения которого для различных индивидуальных взрывчатых веществ изменяются в пределах 1,2... 1,4; А и п — константы, вычисляемые по известным параметрам на фронте детонационной волны, т.е. в плоскости Чепмена — Жуге (см. раздел 5.2): n = l + (fcc-J-7) А = pc-j - (т - i)/>c-j?c-j ' pc-j - G - i)/»c-j?c-j Здесь к — показатель адиабаты, а индекс С —J относится к параметрам Чепмена — Жуге, которые для сильной детонационной волны определяются по скорости детонации D, начальной плотности взрывчатого вещества ровв и удельной теплоте взрыва заряда взрывчатого вещества Q по формулам &C-J + 1 -J + Показатель адиабаты продуктов детонации в плоскости Чепмена — Жуге для высокоплотных конденсированных взрывчатых веществ может быть принят &C-J « 3. При калорической форме записи уравнения состояния скорость звука в среде определяется с помощью известного термодинамического соотношения ¦( ?)+ h (Л) д дЕ (Л) • <з-7о) 277
которое в конкретном случае уравнения состояния C.69) приводит к зависимости с = При А = 0 и п = 1 уравнение C.69) сводится к уравнению состояния совершенного газа, которое можно использовать для продуктов детонации низкоплотных взрывчатых веществ (в частности, газообразных), так как показатель адиабаты в процессе их расширения практически не изменяется. Экспериментальные исследования показывают, что изо- энтропическое сжатие воды и ее ударная адиабата на начальном участке хорошо описываются уравнением Тэта где т « 7; В = роС^/т « 0,3214 ГПа, а индекс 0 относится к начальному состоянию среды. С помощью первого закона термодинамики дЕ\ р_ ) 2 Р2 можно показать, что изоэнтропа C.71) соответствует уравнению состояния в калорической форме Е = P + m(VQ). C-72) (ml)/9 Используя соотношение C.70), для скорости звука в среде, подчиняющейся уравнению состояния C.72), получаем выражение 278
Подстановка уравнения состояния C.72) в уравнение ударной адиабаты среды в общем виде ,Р0 Р, приводит к зависимости плотности на фронте ударной волны, распространяющейся в воде, от давления: р (га+1)(р-р0)- Ударная адиабата C.73) в точке начального состояния (ро, ро) имеет касание второго порядка с изоэнтропой C.71), и на начальном участке сжатия ее расчетные значения практически совпадают с расчетными значениями изоэнтропы. Система уравнений C.68) с конкретной формой уравнений состояния C.69) и C.72) является замкнутой и может быть проинтегрирована только с помощью численных методов. На каждом временном шаге после определения параметров и, р, Е давление среды находится из уравнений состояния по известным значениям плотности и внутренней энергии, в частности давление воды вычисляется по формуле р = (га - 1)рЕ - т(В - ро)- Из этого соотношения следует, что погрешность определения давления связана с погрешностью численного расчета значений плотности и внутренней энергии зависимостью 6p*(m-l)pEl —+ ^г ) • Допустив, что в области низких значений параметров {р ^ Ро, р ~ ро, Е ~ Eq) порядок относительной погрешности вычислений плотности и внутренней энергии один и тот Же, получим выражение РО РО РО 279
и, подставив в него конкретные значения т и В для воды, найдем — « 0,45 • 1О5<5. Отсюда следует, что на поздних стадиях процесса взрыва погрешности вычислений давления воды могут более чем на четыре порядка превосходить погрешности численного интегрирования системы уравнений C.68). Поскольку основной практический интерес при взрыве имеет определение давления формирующейся ударной волны, имеет смысл преобразовать систему уравнений C.68) таким образом, чтобы этот параметр определялся непосредственно при численном интегрировании дифференциальных уравнений, а внутреннюю энергию, которая в подобных задачах физики взрыва не представляет интереса, вообще исключить из рассмотрения. Для этого выполним ряд несложных преобразований. Третье уравнение системы C.68) эквивалентно условию постоянства энтропии в индивидуальной частице сплошной среды, которое в дифференциальной форме имеет вид dt р> dt Учитывая, что это условие приведем к виду дЕ\ dp dp)pdt Используя уравнение состояния продуктов детонации C.69), с помощью уравнения неразрывности (второе уравнение системы C.68)) последнее соотношение можно свести к дифференциальному уравнению в частных производных: др др г , х . п, ди г , .Ni B12« п — + и— + [7Р +(п- \)Арп\ — + [7Р + (п - 1)Лр ] — = и' 280
Аналогичное уравнение для воды, используя уравнение состояния C.72), запишем в виде % % ? + [т(Р -Р0 + в)]у = о. Вводя обобщенную функцию 7Р + (п - 1)Арп (в области продуктов детонации), т(Р - РО + В) (в области воды), приведем систему уравнений C.68) к трем дифференциальным уравнениям относительно трех неизвестных функций u, р и р: ди ди 1 др — + и— + -~- = 0; at or p or dp dp ди 2ри Л /Q7a а/ аг аг г В рассматриваемой задаче вдоль пространственной координаты существуют три различные границы, на которых должны выполняться определенные граничные условия. 1.В центре симметрии (г = 0) должна равняться нулю массовая скорость продуктов детонации (и = 0). 2. На поверхности контакта продукты детонации — вода должно выполняться условие непрерывности изменения массовой скорости и давления в области течения, т.е. ид = щ и Рд = Vh гДе индексы д и / относятся соответственно к газообразным продуктам детонации и воде. 3. На фронте детонационной волны, распространяющейся в заряде, параметры продуктов детонации определяются известными соотношениями: D fcc-j +1 C-J = I ГТ; рс-з = —7 ^овв; pc-j t & после выхода волны в воду на фронте должны выполняться условия динамической совместности, в качестве которых 281
используются ударная адиабата C.73) и следующие зависимости для волновой и массовой скоростей: Р-РО и = Так как инициирование заряда происходит в центре симметрии, то формально начальные условия сводятся к заданию начальных значений параметров состояния внутри заряда (р = ро,р = /эовв> и - 0) и во внешней среде (р = ро> Р = Ро, Проведем численное интегрирование системы дифференциальных уравнений C.74) с помощью модифицированного метода Лакса — Вендроффа. Для этого расчетную область по пространственной координате приведем к стандартной единичной длине путем введения новой безразмерной координаты А = r/R(t), где R(t) — радиус границы расчетной области, связанной в рассматриваемой задаче вначале с фронтом детонационной волны, а затем с фронтом ударной волны. Так как для частных производных по г и t справедливы соотношения + A \dtJx+{dx)t\Ot)r UJ; дХ\ dR(d\ =(l\ ^АШ W A d\) 0t)x R\8\ 1\ _ (±\ дУ] = I (d\ drJi \d\Ji\OrJt RKdXJi* то система уравнений C.74) относительно независимых переменных A, t приводится к виду ди ди др | + О1|^ + О5 = 0; C.75, др др ди 282
t i < t! к m n m1 j Рис. 3.17. Шаблон схемы Лакса — Вендроффа где переменные коэффициенты af определяются зависимостями u-\D I р R 2ри Ли Параметры течения вычисляются в узлах разностной сетки с постоянным шагом по пространству AA=1/GV-1), где N — число узлов. Расчетный шаблон схемы Лакса—Вендроффа представлен на рис. 3.17. На первом этапе по известным параметрам на предыдущем временном слое в точках a, b и с по схеме Лакса рассчитываются параметры в точках / и т на промежуточном временном слое a At. После интерполяции параметров в точки /', га' и п на полуцелый слой 0,5At по схеме «крест» проводится расчет параметров в точке к на следующем временном слое. Разностная запись уравнений системы C.75) на первом этапе имеет вид (на примере точки I) Щ = At 283
ра + р6 Д - Ua)J - О:Д<[аб]а6- Здесь квадратные скобки с индексами означают усреднение коэффициентов по значениям в соответствующих точках, указанных в индексах. Интерполяция и разностная запись уравнений на втором этапе приводят к следующим соотношениям: + Ып [(Рт ~ Pi) + (а - 0,5)(рс - ра)] }; Рк=РЬ~ g^ дд {Ып [(рт ~ Pi) + (« - 0,5)(/>с - ра)] + [<*з]п [(«т - ¦«/) + (а - 0,5)(ис - «о)] } - Рк = РЬ- ^ дд {[al]« [(Ря» - Р') + (а - °>5)(Рс - Ра)] + [а4]п [(«т - «/) + (а - 0,5)(ис - tie)] } - Здесь индекс п у коэффициентов в квадратных скобках означает вычисление их значений по параметрам в точке п, которые после двойной интерполяции определяются по следующим формулам: u« = ~ I и1 + и™ + Bа ~ 2а-1) и, »^ i.^tp.-i)'1^^ ¦ 284
Метод Лакса—Вендроффа обладает «схемной» вязкостью (т.е. вязкостью, обусловленной свойствами самой разностной схемы), за счет которой сильные разрывы «размазываются» на некоторое число расчетных узлов, что позволяет использовать его для сквозного расчета течений с ударными волнами. Однако при этом возникают значительные трудности с определением точного места нахождения фронта ударной волны и конкретных значений параметров на фронте. Кроме того, этот численный метод при сквозном расчете контактных разрывов приводит к счетной (не физической) взаимной диффузии находящихся в контакте сред. Учитывая, что при взрыве в воде наибольший практический интерес представляют параметры на фронте ударной волны и характеристики расширяющейся каверны (газового пузыря) продуктов детонации, имеет смысл выделить эти разрывы в качестве особых точек, рассчитываемых по индивидуальным алгоритмам. Для осуществления этой процедуры рассмотрим алгоритм применения метода характеристик по схеме Хартри. Система дифференциальных уравнений C.74) относится к уравнениям гиперболического типа и имеет три семейства характеристик: dr = (u±C)dt] dr-udt, C.76) вдоль которых соответственно выполняются следующие соотношения в полных дифференциалах: -Ldp±du=-—dt; dp=^dp. C.77) рС т г Последнее соотношение C.77), выполняющееся вдоль траектории частицы, позволяет получить связь между давлением и плотностью газообразных продуктов детонации и давлением и плотностью воды на поверхности контакта продукты детонации — вода в последовательные моменты времени (на временных слоях п и п+1). В частности, подставив в него выражение Функции F для воды и проинтегрировав на шаге At, получим Ып+1 = Ып \рп + В-ро ) ' CJ8) где индекс / относится к плотности воды. 285
Функциональная зависимость F для продуктов детонации не позволяет получить выражение для плотности через давление в виде конечного соотношения. Нетрудно заметить, что для газообразных продуктов детонации F = рС2. Тогда последнее соотношение C.77), выполняющееся вдоль траектории частицы, можно записать как где к = С2р/р — местный показатель адиабаты продуктов детонации. Интегрируя это уравнение на шаге сетки но времени At и учитывая слабую зависимость показателя адиабаты от давления, получаем выражение Wn+1 = [Р9]п C.79) где индекс д относится к газообразным продуктам детонации, а квадратные скобки у показателя степени означают усреднение его значения на временном шаге At. Шаблон для расчета параметров на фронте ударной волны, распространяющейся в воде, представлен на рис. 3.18. Параметры в точке / на следующем временном слое рассчитывают по известным параметрам в узлах разностной сетки на предыдущем временном слое (точки а, 6 и с), используя положительную характеристику и граничные условия на фронте ударной волны. Запись траекторий фронта ударной волны и положительной характеристики, а также соотношения вдоль этой П &t\ a b с г Рис. 3.18. Шаблон для расчета параметров на фронте ударной волны, распространяющейся в воде 286
характеристики на шаге Д< приводит к системе конечно- разностных уравнений: rf = rc + [D]cfAt; C.80) П = rf - [и + C]ciAt; C.81) Исключая из последнего уравнения Uf, с помощью соотношения на фронте ударной волны pf — ро = poUfDf для вычисления давления в точке / получаем зависимость 1 ДД C>82) \lf J Расчет параметров в точке / на фронте ударной волны на следующем временном слое проводится в определенной последовательности : — предварительно в точки / и / вносятся параметры точки с; — из уравнения C.80) определяется координата фронта на следующем временном слое; — из точки / опускается характеристика на предыдущий временной слой и из соотношения C.81) вычисляется координата точки /; — по известным параметрам в точках а, 6, с проводится интерполяция параметров в точке /; — по формуле C.82) вычисляется давление в точке /; — с помощью ударной адиабаты C.73), уравнения состояния C.72) и граничных условий на фронте ударной волны рассчитываются все остальные параметры в точке /; — цикл расчета повторяется до достижения необходимой точности. 287
а Ь п с d r Рис. 3.19. Шаблон для расчета параметров на контактном разрыве Расчет параметров в точке на контактном разрыве требует привлечения всех трех характеристик совместно с условием равенства давления и скорости газообразных продуктов детонации давлению и скорости воды. Шаблон для этого случая представлен на рис. 3.19. Запись уравнений C.76) и C.77) на шаге сетки по времени Д/ приводит к соотношениям = гк-[и + С)дк C.83) C.84) C.85) т \\к Исключив из двух последних уравнений чк, получим выражение для вычисления давления на границе каверны продуктов детонации на следующем временном слое: Рк = C.86) 288
Скорость в точке к может быть рассчитана с помощью любого из двух характеристических соотношений, например: Вычисление параметров в точке к проводится в следую- шей последовательности: — предварительно в точки к, д, I вносятся параметры точки п (в точки д и / — соответственно со стороны газа и со стороны воды); — из уравнения C.83) определяется новое положение поверхности контакта; — из точки к на предыдущий временной слой опускаются положительная и отрицательная характеристики и определяются координаты точек д и / из уравнений C.84) и C.85); — по известным параметрам в точках а, 6, п (со стороны газа) и d, с, п (со стороны воды) проводится интерполяция параметров в точки д и /; — по формулам C.86) и C.87) вычисляются давление и скорость в точке к] — плотности воды и газа в точке к рассчитываются по зависимостям C.78) и C.79) соответственно; — остальные параметры газа и воды в точке к вычисляются с использованием соответствующих уравнений состояния C.69) и C.72); — цикл расчетов повторяется вплоть до достижения необходимой точности. Третьей и последней границей в рассматриваемой задаче является центр симметрии, совпадающий с первым узлом разностной сетки, в котором и = 0. При этом условии из первого уравнения системы C.75) следует др/д\ = 0, что дает возможность воспользоваться параболической экстраполяцией для вычисления давления в центре симметрии по известным значениям во втором и в третьем узлах, т.е. записать Pi = Dр2 - Рз)/3, где индексы относятся к номерам узлов на следующем временном слое. Ю - 2728 289
Так как равенство г = О описывает траекторию частицы при и = О, то для вычисления плотности на следующем временном слое можно использовать соотношение C.79), а все остальные параметры рассчитать с учетом уравнения состояния C.69). Для определения шага сетки по времени при численном решении задачи используется условие устойчивости Куранта At — Кг • min — г-;; Учет собственной скорости перемещения узлов подвижной разностной сетки (второй член в знаменателе) при определении шага сетки по времени обеспечивает устойчивость численного решения при значении числа Куранта Кг =0,9. Интегрирование системы уравнений C.75) начинается с некоторого начального момента времени ^о = Ro/D> ПРИ Достижении которого фронт детонационной волны удаляется на малое расстояние Rq от центра симметрии. Как правило, это расстояние принимается равным До = О,О1го, где tq — радиус заряда. При этом в узлы разностной сетки вносятся начальные значения искомых функций. Вследствие малости начальной области (ее объем составляет 10~6 от объема заряда) законы распределения параметров в начальный момент времени to могут быть приняты достаточно произвольными. Наименьшие возмущения (осцилляции параметров) в области течения на начальных этапах расчета возникают тогда, когда в качестве начальных условий принимаются постоянные значения давления и плотности, равные значениям параметров Чепмена — Жуге pc-J и PC-J> a также линейное распределение массовой скорости — от нуля в центре симметрии до значения uc-J в плоскости Чепмена — Жуге на фронте детонационной волны. В этом случае при удалении детонационной волны всего лишь на несколько начальных радиусов за ее фронтом устанавливаются автомодельные распределения параметров, характерные для распространения сферической детонационной волны (см. раздел 5.2). 290
В момент выхода детонационной волны на поверхность заряда необходимо решить задачу о распаде произвольного разрыва и определить начальные параметры ударной волны рн> ^н? Р\, />?, где, как и прежде, индексы / и д относятся соответственно к воде и газообразным продуктам детонации. В случае детонации высокоплотных конденсированных взрывчатых веществ рн < pc-J? следовательно, в продукты детонации уходит волна разрежения и начальную скорость надо определять, используя решение для простой волны Римана: Г С9 = иС-3 - / — J Ря .а = UC_J - Рд rg Так как С = (dp/dp)s, то, интегрируя термодинамическое соотношение C.70) с помощью уравнения состояния C.69), для изоэнтропы продуктов детонации можно получить уравнение где константа Aq_j определяется по давлению и плотности в плоскости Чепмена — Жуге. Это соотношение используется при разностном вычислении интеграла в уравнении C.88) вплоть до совпадения с заданной точностью значения ия со значением г/, рассчитанным по текущему значению давления на фронте ударной волны по зависимости, следующей из ударной адиабаты C.73) и граничных условий на фронте ударной волны, распространяющейся в воде: 10* 291
Для низкоплотных взрывчатых веществ, например для газообразных, рн > pc-J> и в этом случае в продукты детонации уходит отраженная ударная волна, а начальная скорость движения поверхности контакта определяется из соотношения - \ (р - рс-з) [ — ) • V \PC-J Рд) C.90) Подстановкой уравнения состояния C.69) в уравнение ударной адиабаты продуктов детонации C-J Рд можно получить зависимость между давлением и плотностью на фронте отраженной ударной волны, распространяющейся в газообразных продуктах детонации, {рд ~ PC-j) PC-J + A (pc-iPg1 ~ PgPc-i) которая позволяет подобрать такое значение плотности продуктов детонации рд (например, методом половинного деления), при котором скорость газа в отраженной ударной волне C.90) совпадала бы со скоростью воды на фронте ударной волны C.89) с заданной степенью точности. На начальном этапе после распада разрыва при расчете параметров в точках на фронте ударной волны и на контактном разрыве характеристики в воде уходят в области, расположенные перед фронтом ударной волны и занятые продуктами детонации и невозмущенной средой. В этом случае параметры в точке I на предыдущем временном слое (см. рис. 3.18 и 3.19) определяются путем экстраполяции по параметрам на фронте и на поверхности контакта со стороны воды. Описанные блоки расчета используются в следующей алгоритмической последовательности: — по известным параметрам в узлах разностной сетки определяется шаг сетки по времени; 292
— рассчитываются положение фронта ударной волны (г = N) на следующем временном слое и параметры на фронте, а также новый шаг подвижной разностной сетки; — вычисляются параметры в точке на контактном разрыве; — в цикле от г — 2 до г = N — 1 рассчитываются параметры во всех (кроме граничных) узлах разностной сетки; — с помощью параметров на следующем временном слое рассчитываются параметры в центре симметрии (г = 1); — в узлах разностной сетки в окрестности контактного разрыва проводится корректировка параметров, рассчитанных в узлах на предыдущем временном слое, расположенных по разные стороны от контактного разрыва (на рис. 3.19 в узлах, рассчитываемых по точкам а, 6, с и 6, с, d)\ при этом указанная корректировка проводится путем интерполяции параметров по ближайшему к разрыву правильно рассчитанному по общей схеме узлу и по узлу, расположенному на поверхности контакта (с соответствующей стороны разрыва); — общий цикл расчетов повторяется до момента выполнения условия остановки решения (например, по величине гу). Описанный алгоритм допускает появление вторичных ударных волн в процессе решения задачи. При этом за счет «схемной» вязкости метода Лакса— Вендроффа фронты этих волн «размазываются» на несколько узлов и не требуют своего выделения в качестве разрывов. Однако при большой интенсивности вторичных волн за их фронтами могут появляться осцилляции, вызванные ограниченными возможностями разностной схемы. Для подавления этих осцилляции в вычислительном алгоритме можно использовать процедуру сглаживания параметров. Для этого после определения параметров на следующем временном слое их значения пересчиты- ваются с помощью простых соотношений, таких, как, например, для давления: Pi = api-i + A - 2а)рг + apt+i, гДе а — коэффициент сглаживания, подбираемый экспериментально и для данной задачи принимаемый равным 0,005. 293
Сглаживание проводится в узлах г = 2,..., N - 1 за исключением двух узлов, ближайших к поверхности контакта продукты детонации — вода. Общее число N узлов разностной сетки подбирается путем кратного увеличения в 2 раза до момента получения приемлемого совпадения результатов расчетов для каждой конкретной задачи и варьируется от 500 до 5000. Точность численного интегрирования контролируется с помощью интегральных законов сохранения массы и энергии для всей области течения, которые при данном методе численного решения выполняются с погрешностью порядка 0,1 % на любой стадии процесса. Подводный взрыв характеризуется двумя основными процессами, скорости протекания которых существенно различаются. Во-первых, это распространение ударной волны с характерной скоростью, равной скорости звука в воде, и во- вторых, расширение газового пузыря продуктов детонации, средняя скорость которого на несколько порядков меньше. Указанная особенность существенно усложняет проведение численных расчетов, так как к моменту формирования полного профиля ударной волны размер области течения за ее фронтом в воде примерно на три порядка превосходит размер газового пузыря продуктов детонации и для обеспечения приемлемой точности вычислений требуется слишком большое число узлов разностной сетки. Для преодоления отмеченной трудности существует специальный алгоритм свободной выходной внешней границы расчетной области. При достаточно большом удалении ударной волны от заряда, когда ее интенсивность существенно уменьшается и фронт ударной волны становится практически изоэнтропическим, на каждом шаге численного интегрирования можно течение в окрестности свободной границы считать плоским и давление и массовую скорость связать между собой решением Римана для простой волны, распространяющейся в положительном направлении пространственной координаты, а именно = —;dp. C.91) 294
Тогда первое соотношение C.77), выполняющееся вдоль положительной характеристики, выходящей на свободную границу, принимает вид -Ldp=~dt, C.92) что позволяет непосредственно вычислять давление без привлечения дополнительных граничных условий. После достижения фронтом ударной волны некоторого заданного радиуса г$ за правую границу подвижной разностной сетки принимают не сам фронт, а индивидуальную точку сплошной среды за ним, т.е. расчет начинают проводить для фиксированной массы воды. При этом для определения местоположения границы используются уравнения положительной характеристики и траектории частицы C.76), а для вычисления параметров на границе — адиабата воды C.78) и соотношения C.91) и C.92), записанные в конечно-разностной форме аналогично соотношениям C.80) и C.81). Безусловно, при использовании описанного алгоритма с течением времени происходит накопление ошибок вычислений, однако соответствующий выбор значения г$ позволяет достаточно точно проводить численное интегрирование вплоть до выделения полного профиля ударной волны в воде на любом расстоянии. В зависимости от конкретных условий каждого варианта расчета диапазон значений г$ составляет от 100 до 500 радиусов заряда. В качестве конкретного примера рассмотрим решение двух задач: о сферическом взрыве в воде заряда конденсированного взрывчатого вещества типа ТЭНа (ровв — = 1600 кг/м3; D = 7748 м/с; Q = 5,85 МДж/кг; fcc_j = 3,0; 7 = 1,25) и о сферическом взрыве в воде заряда газовоздушной смеси ацетилена с воздухом стехиометрического соста- ва (РОВВ = 1,2168 кг/м3; D = 1862 м/с; Q = 3,269 МДж/кг; &C-J = 7 = 1,234). На основании результатов численного решения этих задач проиллюстрируем методический подход к анализу получаемых количественных и качественных зависимостей. 295
Большое различие составов по плотности (примерно на три порядка) и давлению детонации (на четыре порядка) приводит к появлению качественных отличий волновых процессов возникающих течений. На рис. 3.20 и 3.21 в полулогарифмических безразмерных координатах представлены распределения давления в последовательные моменты времени при взрыве в воде зарядов конденсированного взрывчатого вещества и газовоздушной смеси соответственно. В качестве масштабов измерения давления приняты нормальное атмосферное давление ро = 0,1013 МПа и радиус заряда го- Вертикальными штрихами на рисунках отмечено положение поверхности контакта продукты детонации — вода. В момент выхода детонационной волны, распространяющейся в конденсированном взрывчатом веществе, на поверхность заряда происходит распад разрыва и в продукты детонации уходит волна разрежения, а в воду — ударная волна (распределение 1 на рис. 3.20, а). Начальное давление на фронте ударной волны, уходящей в воду, составляет 16,6 ГПа и примерно в 1,35 раза меньше давления детонации ТЭНа. В волне разрежения, распространяющейся к центру симметрии, давление продуктов детонации резко падает B). После выхода волны разрежения в центр симметрии C) давление в его окрестности начинает резко уменьшаться (^), что приводит к формированию вторичной ударной волны, распространяющейся вначале к центру симметрии E), а после отражения от центра симметрии — в направлении поверхности контакта продукты детонации — вода F). На более поздних стадиях (рис. 3.20, б) вторичная ударная волна приближается к поверхности контакта продукты детонации — вода G) и после взаимодействия с ней образует две волны: проходящую в воде и отраженную в продуктах детонации (8). В дальнейшем ударная волна, распространяющаяся в продуктах детонации, возвращается к центру симметрии (9) и после отражения от него A0) начинает двигаться в направлении поверхности контакта. Такой характер течения приводит к появлению ряда вторичных волн в воде, распространяющихся вслед за фронтом основной ударной волны. Интенсивность 296
Р/Ро 100000 10000 woo 100 Л / L —г ^^ -r ..——— Р/Ро 1000 100 / /-—- I У ., 9 У 10 У 12 16 г/г0 с. 3.20. Распределения давления при взрыве в воде заряда конденсированного взрывчатого вещества на ранних (а) и более поздних (б) стадиях в последовательные моменты времени (i—10) 297
PIP, wo w к - -X, I1 ( У 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 r/rQ a PlPo 100 6 10 15 20 r/r0 Рис. 3.21. Распределения давления при взрыве в воде заряда газовоздушной смеси на ранних (а) и более поздних F) стадиях в последовательные моменты времени A—9) 298
этих вторичных волн относительно невелика и оказывает слабое влияние на общий характер волнового течения в воде. В отличие от волновых процессов, возникающих при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества, в случае взрыва заряда газовоздушной смеси при выходе распространяющейся в ней детонационной волны на поверхность заряда (распределение 1 на рис. 3.21, а) образуются две ударные волны — в воде и в продуктах детонации. При этом начальное избыточное давление ударной волны составляет 4,59 МПа, что примерно в 2,51 раза выше давления детонации ацетиленовоздушной смеси, т.е. близко к давлению отражения детонационной волны от жесткой поверхности. Интенсивность отраженной волны, распространяющейся в продуктах детонации, по мере приближения ее к центру симметрии возрастает B и 3) и в момент отражения от него D) достигает очень большого значения. Однако после отражения от центра симметрии давление на фронте ударной волны, распространяющейся в продуктах детонации, резко падает и к моменту выхода отраженной ударной волны на поверхность контакта продукты детонации — вода E) становится меньше давления детонации, хотя радиус газового пузыря продуктов детонации практически не изменился и остался равным радиусу заряда. На более поздних стадиях процесса (рис. 3.21,5) происходит многократное отражение ударной волны, распространяющейся в продуктах детонации, от поверхности контакта (б) и от центра симметрии G), а в воде за фронтом основной ударной волны формируется цуг волн практически постоянной частоты G—9). Амплитуды этих волн сравнимы с интенсивностью основной волны, а сами волны накладываются на общий фон давления, снижающегося от медленно расширяющегося газового пузыря продуктов детонации к фронту основной ударной волны. Такой характер течения приводит к тому, что эпюры Давления ударной волны, распространяющейся в воде при взрыве заряда газовоздушной смеси, существенно отличаются от аналогичных эпюр, формирующихся при взрыве заря- Да конденсированного взрывчатого вещества. Например, на 299
Р/Ро W К А \ — U-i- 1 10'' W'f w Рис. 3.22. Эпюра давления ударной волны, распространяющейся в воде при взрыве заряда газовоздушной смеси на расстоянии 5го от центра симметрии рис. 3.22 в логарифмическом масштабе представлена зависимость безразмерного давления р/ро от безразмерного времени у (^oVVo/Po j при взрыве заряда газовоздушной смеси на расстоянии 5го от центра симметрии. Отчетливо виден немонотонный характер изменения давления за фронтом ударной волны. Пунктирной линией на рис. 3.22 нанесены результаты решения задачи с помощью модели равновесного расширения продуктов мгновенной детонации газовоздушной смеси. Эта модель, за исключением начального участка эпюры, хорошо описывает среднее значение давления, и полученные при ее использовании результаты по длительности фазы сжатия ударной волны и импульсу избыточного давления фазы сжатия ударной волны практически совпадают с результатами решения задачи с помощью модели реальной детонации. Модель реальной детонации приводит к появлению короткого пика эпюры давления в окрестности фронта ударной волны, связанного с отражением детонационной волны от поверхности воды (максимальное давление при отражении приблизительно в 5 раз превосходит давление мгновенной детонации). 300
Штрихпунктирной линией на рис. 3.22 нанесен профиль давления ударной волны, распространяющейся в воде при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества, который принято описывать зависимостью Г ехр(-<!/0) при 0 < «1 < 0, Р - П = Дршах | 03ШЛ при ^ h < m C.93) где Артах — максимальное избыточное давление на фронте ударной волны; t\ — время с момента прихода ударной волны в рассматриваемую точку; в — постоянная спада давления за фронтом ударной волны (время снижения избыточного давления в е раз, отмеченное на рис. 3.22 кружком). При наличии явно выраженного начального пика эпюры давления при взрыве заряда газовоздушной смеси соотношение C.93) хорошо описывает давление лишь в самом пике, приводя к существенному занижению давления в остальной области. Длительность указанного пика невелика (порядка 10~2 от длительности фазы сжатия ударной волны), и по мере распространения ударной волны за счет нелинейных процессов она постепенно уменьшается. Однако даже после полного исчезновения начального пика зависимость C.93) плохо описывает эпюру давления ударной волны, распространяющейся в воде при взрыве заряда газовоздушной смеси, так как не учитывает наличие за фронтом ударной волны достаточно интенсивных вторичных волн, и, кроме того, падение избыточного давления до нуля начинает происходить за время, значительно меньшее чем 100. На рис. 3.23 представлены безразмерные зависимости максимального избыточного давления на фронте ударной волны от расстояния при взрыве эквивалентных по энергии зарядов газовоздушной смеси и конденсированного взрывчатого вещества в воде, когда давление окружающей среды ро равно 0,1; 1,0 и ЮМПа. Эти значения соответствуют размещению заряда на глубине 0; 100 и 1000 м. В качестве масштабов измерения давления и длины выбраны нормальное атмосферное давление рМасш = ОД МПа и радиус заряда газовоздушной смеси при этом давлении гмасш- 301
/Рм 10 \ 2 > ( Ч w г W'1 1 W W2 Рис. 3.23. Зависимости максимального избыточного давления от расстояния при взрыве зарядов газовоздушной смеси A—3) и конденсированного взрывчатого вещества D ) на различной глубине: 1 — 0 м; 2 — 100 м; 3 — 1000 м; ^ — 0... 1000 м Под действием внешнего давления исходная газовоздушная смесь сжимается, и радиус заряда уменьшается. В расчетах принят изотермический закон сжатия газовоздушной смеси, приводящий к пропорциональному увеличению плотности смеси в зависимости от давления. Соответственно возрастают давление детонации и начальное давление ударной волны, распространяющейся в воде. На малых глубинах степень затухания АрШах близка к акустическому закону 1/г во всей области распространения ударной волны в воде. По мере роста противодавления и интенсивности ударной волны на начальном этапе ее распространения за счет нелинейных процессов степень затухания Дртах заметно возрастает. На доста- 302
точно больших расстояниях (например, г = 30гмасш) увеличение противодавления в 10 и в 100 раз по отношению к атмосферному давлению приводит к возрастанию максимального избыточного давления на фронте ударной волны, распространяющейся в воде, примерно в 3 раза и в 6 раз соответственно. Радиус заряда конденсированного взрывчатого вещества при изменении глубины подрыва не изменяется и составляет примерно 0,075 от радиуса эквивалентного по энергии заряда газовоздушной смеси при нормальном атмосферном давлении. Также практически не изменяются давление детонации, начальное давление ударной волны и зависимость максимального избыточного давления от расстояния. В ближней зоне взрыва степень затухания Дртах в-зависимости от расстояния заметно выше акустического закона 1/г, однако она все же меньше, чем при взрыве заряда газовоздушной смеси на большой глубине. Это является следствием резкого уменьшения интенсивности пика давления в окрестности фронта ударной волны. При взрыве на любой из рассмотренных глубин максимальное избыточное давление на фронте ударной волны для конденсированного взрывчатого вещества выше, чем для газовоздушной смеси (например, на глубине 1000 м на больших расстояниях от эпицентра взрыва значение этого давления выше примерно в 2,5 раза). Противоположная картина наблюдается в изменении длительности т фазы сжатия ударной волны, безразмерные зависимости которой от расстояния представлены на рис. 3.24 (в качестве масштаба плотности принята плотность воды />масш = 1000 КГ/М3). Длительность фазы сжатия ударной волны при взрыве как заряда газовоздушной смеси, так и заряда конденсированного взрывчатого вещества на начальном этапе распространения ударной волны в воде возрастает (причем более существенно для конденсированного взрывчатого вещества), а с некоторого расстояния начинает оставаться практически постоянной. Малое значение г в ближней зоне взрыва связано в основном с попаданием точек измерения в область расши- 303
W'1 1Р О- О- , / 1 У 1 2 3 w ~2 If1 1 10 Рис. 3.24. Зависимости длительности фазы сжатия ударной волны от расстояния при взрыве зарядов газовоздушной смеси A—3) и конденсированного взрывчатого вещества D—б) на различной глубине: 1, 4 — 0 м; 2, 5— 100 м; 3, 6— 1000 м; 7— зависимость для постоянной спада давления на любой глубине ряющихся продуктов детонации и отчасти с нелинейным характером распространения фронта ударной волны. На любой глубине длительность фазы сжатия ударной волны при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества меньше, чем при взрыве заряда газовоздушной смеси, однако с ростом противодавления это различие несколько уменьшается. На- 304
пример, если при противодавлении 0,1 МИа (практически нулевая глубина) на больших расстояниях значение т при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества примерно в 3 раза меньше, чем при взрыве заряда газовоздушной смеси, то на глубине 1000 м — уже в 1,7 раза. С ростом глубины взрыва длительность фазы сжатия ударной волны уменьшается почти пропорционально противодавлению, причем при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества это происходит несколько медленнее. Так, при увеличении противодавления в 10 раз (от 0,1 до 1 МПа, а затем от 1 до 10 МПа) длительность фазы сжатия ударной волны на больших расстояниях при взрыве заряда газовоздушной смеси снижается примерно в 7,5 раз, а при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества — в 6,4 раза. Постоянная 9 спада давления за фронтом ударной волны при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества (кривая 7) практически не зависит от глубины размещения заряда. Однако если на малых глубинах она на два-три порядка меньше длительности т полной фазы сжатия ударной волны, что дает возможность использовать зависимость C.93) для описания эпюры давления, то на большой глубине значения вит становятся сравнимыми, что делает неправомерным использование C.93) для вычисления импульса избыточного давления фазы сжатия ударной волны, распространяющейся в воде. Этот вывод подтверждается результатами численных расчетов (рис. 3.25) для импульса / избыточного давления положительной фазы сжатия ударной волны при взрыве зарядов газовоздушной смеси (сплошные линии 1—3) и конденсированного взрывчатого вещества (пунктирные линии 4) 5) на разной глубине. С ростом противодавления значение / при взрыве заряда газовоздушной смеси все время уменьшается. В то же время увеличение глубины размещения заряда конденсированного взрывчатого вещества от 0 до 100 м практически не приводит к уменьшению импульса избыточного давления полной фазы сжатия ударной волны, а дальнейшее увеличе- 305
Гмасш Урмасш 9 масш 10 XT' w ч г/гтсш Рис. 3.25. Зависимости импульса избыточного давления положительной фазы сжатия ударной волны от расстояния при взрыве зарядов газовоздушной смеси A—3) и конденсированного взрывчатого вещества Ц, 5) на различной глубине: 1 — 0 м; 2 — 100 м; 3, 5 — 1000 м; ^ — 0 ... 100 м ние глубины до 1000 м ведет к заметному снижению значения / (примерно в 1,6 раза на больших расстояниях от центра взрыва). На малых глубинах импульс избыточного давления фазы сжатия ударной волны при взрыве заряда газовоздушной смеси больше, чем при взрыве эквивалентного по энергии заряда конденсированного взрывчатого вещества (примерно в 1,8 раза при нулевой глубине на больших расстояниях от заряда). Однако по мере роста противодавления это различие уменьшается и на глубине 1000 м составляет уже несколько процентов. 306
Вопросы для самоконтроля 1. Почему при постановке задачи о соударении двух пластин в качестве системы отсчета наблюдателя наиболее целесообразен выбор неподвижной системы отсчета с декартовой прямоугольной системой координат? 2. Чему равны лагранжевы массовые координаты поверхностей пластин при соударении пластины толщиной 6\ и начальной плотностью /?01 с неподвижной пластиной толщиной #2 и ПЛОТНОСТЬЮ /9Q2? 3. Что понимается под сжимаемой «жидкой» пластиной? 4. В каком случае обязательно включение в систему уравнений, описывающих одномерное плоское нестационарное движение двух соударяющихся пластин в лагранжевых переменных, дифференциального уравнения dx/dt = и? 5. Обязательно ли включение дифференциального уравнения энергии в систему уравнений, описывающих процесс соударения двух сжимаемых «жидких» баротропных пластин? 6. Что имеется общего и различного в задании начальных условий для пластины-ударника и пластины-мишени? 7. Какого вида граничные условия могут выполняться на обращенных друг к другу поверхностях соударяющихся пластин? От чего зависит выполнение того или иного вида граничных условий? 8. Следствием какого закона механики является условие равенства давлений на поверхности контакта двух «жидких» пластин? 9. С какой целью при построении дискретного аналога системы двух пластин в рамках метода Мейдера вводятся «фиктивные» ячейки на свободных поверхностях пластин? 10. С какой целью при построении дискретного аналога системы двух пластин в рамках метода Мейдера вводится дополнительная «фиктивная» ячейка между обращенными друг к другу поверхностями пластин? 307
11. Каков характер разностной сетки, выстраиваемой при численном решении задачи о соударении двух пластин с помощью лагранжева метода Мейдера? Какие сеточные функции вводятся для описания движения и состояния дискретного аналога взаимодействующих сплошных сред и к какого типа узлам сетки они относятся? 12. Как задаются массы ячеек (реальных, «фиктивных») пространственной разностной сетки при численном решении одномерной плоской нестационарной задачи с помощью лагранжева метода Мейдера? Разностным аналогом какого математического объекта в постановке дифференциальной задачи являются массы ячеек? 13. Почему задание на аппроксимационной сетке начальных условий в методе Мейдера приходится осуществлять не только на начальном целом временном слое, но и на ближайшем полуцелом временном слое? 14. Значения каких сеточных функций в обязательном порядке задаются в «фиктивных» ячейках аппроксимационной сетки? Чему равны значения задаваемых сеточных функций и для чего они вводятся? 15. В каком случае шаблон для аппроксимации уравнения движения в лагранжевом методе Мейдера сводится к шаблону «крест» с обеспечением второго порядка аппроксимации? 16. Какой порядок аппроксимации уравнения движения в целом обеспечивается при расчете соударения двух пластин по методу Мейдера? 17. В чем суть видоизменения конечно-разностного уравнения движения при расчете скоростей индивидуальных частиц сплошной среды на обращенных друг к другу поверхностях пластин в случае наличия между ними контакта? 18. По какому признаку следует судить о наличии или об отсутствии контакта при расчете взаимодействия соударяющихся пластин? 308
19. Почему при аппроксимации дифференциальных уравнений одномерного плоского течения по методу Мейдера шаблон для расчета текущих значений эйлеровых координат х является «вертикальным», а шаблон для расчета плотности р — «горизонтальным»? 20. Как наличие или отсутствие контакта между пластинами влияет на расчет удельной внутренней энергии на обращенных друг к другу поверхностях пластин? 21. Почему псевдовязкость удобно задавать как комбинированную? Из каких составляющих комбинируется псевдовязкость? 22. Что можно сказать о степени однородности разностной схемы лагранжева метода Мейдера применительно к решению задачи о соударении двух сжимаемых пластин? По отношению к каким особенностям разностная схема является однородной? При каких условиях однородность нарушается? 23. Какие основные блоки обязательно должна содержать типовая программа расчета одномерного нестационарного течения? Как эти блоки соотносятся с разностной схемой — системой алгебраических уравнений, аппроксимирующих решаемую дифференциальную задачу механики сплошных сред? 24. Какого типа массивы, одномерные или двумерные, целесообразно вводить в программу расчета сеточных функций при решении одномерной нестационарной задачи? 25. С какой целью в программе расчета обычно вычисляются дисбалансные составляющие по энергии и по импульсу и какую информацию они несут? Почему при решении задачи о соударении пластин лагранжевым методом Мейдера (в лагранжевых массовых координатах) можно не контролировать дисбалансную составляющую по массе? 26. Какие волны распространяются в сжимаемых «жидких» пластинах вследствие их соударения? 309
27. Что понимается под ударной волной, под волнами разрежения и сжатия? 28. Чем принципиально отличаются друг от друга ударные волны и волны разрежения, распространяющиеся в сжимаемых пластинах вследствие их соударения? 29. Что общего у изоэнтропических волн разрежения и сжатия и в чем их различие? 30. Что общего у ударной волны и волны сжатия и в чем их различие? 31. Какая волна формируется после отражения ударной волны от свободной поверхности? 32. По результатам расчета процесса соударения двух сжимаемых пластин фронты ударных волн и области волн разрежения или сжатия оказываются «размазанными» по координате. Каковы причины этих эффектов? В каком из двух указанных случаев это «размазывание» является следствием физических причин, а в каком не имеет отношения к физике явления? 33. Почему ширина области волны разрежения увеличивается по мере распространения волны в пластине? 34. В итоге соударения двух одинаковых сжимаемых «жидких» пластин происходит взаимный обмен импульсами и энергиями, отрыв друг от друга и последующее свободное движение, сопровождающееся распространением в обеих пластинах импульсов разрежения-сжатия. Каковы причины этого явления? 35. При соударении двух одинаковых пластин из одного материала волна разрежения из более тонкой пластины- ударника проходит через границу раздела этой пластины с более толстой пластиной-мишенью, не преломляясь и «не замечая» эту границу. Чем это объясняется? Как изменится картина в случае соударения пластин из разных материалов? 310
36. Какие волны формируются после взаимодействия встречных волн разрежения друг с другом? 37. Как поведут себя находящиеся в контакте поверхности остановленной пластины-ударника и пластины-мишени при взаимодействии с волной разрежения, распространяющейся в пластине-мишени и приближающейся к границе раздела пластин? 38. Какая волна формируется после отражения волны разрежения от свободной поверхности пластины? 39. Какая волна формируется после отражения волны сжатия от свободной поверхности пластины? 40. Как поведут себя находящиеся в контакте поверхности пластины-ударника и пластины-мишени при взаимодействии с контактным разрывом встречных волн разрежения? 41. Возможен ли отрыв пластин друг от друга при взаимодействии с контактным разрывом встречных волн сжатия? 42. Какие задачи механики сплошных сред называются одномерными осесимметричными нестационарными? 43. Какую систему координат системы отсчета наблюдателя целесообразно вводить при математическом описании одномерного осесимметричного течения сплошной среды? 44. Какова сущность гипотезы мгновенной детонации? 45. Как в рамках гипотезы мгновенной детонации соотносятся начальная плотность продуктов детонации и плотность исходного взрывчатого вещества? 46. Чему, согласно гипотезе мгновенной детонации, равна начальная скорость продуктов детонации? 47. Каковы особенности напряженно-деформированного состояния сплошных сред, учитываемые в рамках решения одномерной осесимметричной задачи? 311
48. Как обосновать утверждение, что для одномерного осесим- метричного течения сплошных сред координатные линии цилиндрической системы координат определяют главные оси тензоров напряжений, деформаций, скоростей деформаций? 49. Как называется деформированное состояние, реализующееся в частицах материала кольца при его одномерном осе- симметричном движении? 50. Различаются ли деформированные состояния частиц материала кольца и частиц газа при одномерном осесимме- тричном течении обеих сред? 51. Что общего у тензоров напряжений в частицах материала кольца и в частицах газа при одномерном осесимметрич- ном течении обеих сред и в чем их различие? 52. Что понимают под эйлеровой координатой при решении одномерной осесимметричной нестационарной задачи? 53. Что понимают под лагранжевой линейной координатой при решении одномерной осесимметричной нестационарной задачи? 54. Что понимают под лагранжевой массовой координатой при решении одномерной осесимметричной нестационарной задачи? 55. Какая теория пластичности (деформационная или пластического течения) более адекватна описанию физико- механических свойств материала кольца, схлопывающего- ся под действием продуктов детонации? Почему? 56. Что понимается под относительным удельным объемом и под относительной плотностью? Как взаимосвязаны эти величины? В каких уравнениях они используются? 57. Чем существенно отличается запись дифференциального уравнения движения при одномерном осесимметричном течении материала кольца и при одномерном плоском течении сжимаемой «жидкой» среды? 312
58. Какие две составляющие имеет удельная мощность деформирования для металлического кольца? В записи какого дифференциального уравнения участвует удельная мощность деформирования? 59. Какие уравнения состояния могут быть использованы для описания физического поведения материала кольца и продуктов детонации? 60. Какие компоненты тензора скоростей деформаций в металлическом кольце отличны от нуля, если скорость всех частиц материала кольца одинакова? 61. Каков знак ненулевых компонент тензора скоростей деформаций в металлическом кольце, если скорость всех частиц материала кольца одинакова и положительна? Расширению или сжатию материала кольца соответствует такая ситуация? 62. Как выглядит запись уравнения, определяющего механическое поведение продуктов детонации? 63. Какая среда понимается под идеальной упругопластиче- ской? Какой вид для такой среды имеет диаграмма механического поведения? Выполнение какого критерия пластичности предполагается? 64. Как критерий пластичности Мизеса может быть записан через компоненты девиатора напряжений в общем случае напряженного состояния? Как выглядит эта запись для напряженного состояния, реализующегося в одномерном осе- симметричном случае? 65. Какими уравнениями описывается механическое поведение материала кольца в рамках теории пластического течения? Сколько таких уравнений для случая одномерного осесим- метричного течения? 66. От чего зависит значение скалярного множителя А, входящего в уравнения пластического течения Прандтля — Рейсса? 313
67. Как можно с помощью одной и той же системы дифференциальных уравнений описывать одномерные осесимме- тричные течения материала кольца и продуктов детонации? Какие механические характеристики обеих сред в этом случае следует варьировать в зависимости от принадлежности среды к металлу или к газу? 68. Что общего в заданиях начальных условий для металла и для газа и в чем их различие при решении одномерной осе- симметричной задачи о схлопывании металлического кольца под действием продуктов мгновенной детонации? 69. Чем отличается запись динамических граничных условий на свободных поверхностях металлического кольца и продуктов детонации? 70. Как задаются граничные условия на контактном разрыве металл — газ? Следует ли в этом случае учитывать возможность отрыва газа? 71. Определите понятия: «пространство главных напряжений», «гидростатическая ось», «цилиндр Мизеса», «вектор напряженного состояния», «вектор девиатора напряжений», «девиаторная плоскость», «вектор среднего напряжения», «круг текучести». 72. Как следует понимать термин «вектор девиатора напряжений» с учетом того, что девиатор напряжений является тензором второго ранга? 73. Почему вектор девиатора напряжений для любого напряженного состояния всегда находится в девиаторной плоскости? Как ориентирована эта плоскость по отношению к гидростатической оси? 74. Может ли вектор напряженного состояния выходить за пределы цилиндра Мизеса при использовании модели идеальной упругопластической среды? 75. Влияет ли шаровой тензор напряжений (и вектор, соответствующий ему в пространстве главных напряжений) на выполнение критерия пластичности Мизеса? 314
76. На чем базируется вывод о том, что выполнение критерия пластичности Мизеса контролируется вектором девиатора напряжений? 77. Как вектор девиатора напряжений соотносится с кругом текучести в момент выполнения критерия пластичности Мизеса? 78. Как вектор девиатора напряжений соотносится с кругом текучести при упругой работе материала? 79. В чем состоит процедура упрощенного решения уравнений пластического течения Прандтля — Рейсса? 80. Что понимается под приведением вектора девиатора напряжений на круг текучести? Какие уравнения и соотношения механики сплошных сред обосновывают эту проце- ДУРУ? 81. Охарактеризуйте метод Уилкинса применительно к одномерным осесимметричным упругопластическим течениям. 82. Где располагаются «фиктивные» ячейки на пространственной разностной сетке? Какой элемент постановки задачи они отображают? В каких конечно-разностных уравнениях проявляется их влияние? 83. Какая сеточная функция рассчитывается в методе Уилкинса по «чистой» схеме «крест»? 84. В чем состоит своеобразие шаблонов для расчета скоростей деформаций? 85. Обязательно ли следует рассчитывать скорости деформаций в ячейках пространственной разностной сетки, принадлежащих продуктам детонации? 86. Обязательно ли следует рассчитывать скорости деформаций в ячейках пространственной разностной сетки, принадлежащих материалу кольца? 87. Какие три этапа обязательно выполняются при вычислении компонент девиатора напряжений на последующем временном слое? Какие сеточные функции должны быть известны для этого? 315
88. В чем состоит своеобразие шаблона и конечно-разностного уравнения, используемых для вычисления удельной внутренней энергии по методу Уилкинса? 89. Почему при решении одномерной осесимметричной задачи вычисление псевдовязкости должно проводиться через величину относительного удельного объема, а ее вычисление через разности скоростей по границам ячеек, используемые для одномерного плоского течения, приведет к ошибке? 90. При расчете схлопывания металлического кольца под действием продуктов детонации формулы для вычисления местной скорости звука усложняются по сравнению с формулами для сжимаемых «жидких» сред. С чем это связано? 91. Чему равно значение числа Куранта в записи условия устойчивости Куранта по методу Уилкинса? 92. В чем причина волнового характера набора скорости металлическим кольцом при нагружении его продуктами детонации? Какие волны распространяются в кольце? 93. Почему внутренняя свободная поверхность металлического кольца начинает движение несколько позже, чем поверхность контакта с газом? 94. Что вызывает первый и второй скачки скорости движения поверхности контакта металл — газ? 95. Почему увеличивается толщина металлического кольца по мере его схлопывания к оси симметрии? 96. В чем причина немонотонного в целом характера изменения средней скорости металлического кольца в процессе его схлопывания к оси симметрии? Почему после возрастания на начальном участке разгона далее она начинает незначительно убывать? 97. Чем можно объяснить неуклонное возрастание скорости движения внутренней свободной поверхности металлического кольца в процессе его ускорения под действием продуктов детонации? 316
98. В чем проявляется явление кумуляции энергии при схло- пывании металлического кольца? Касается ли это явление концентрации в ограниченной области пространства лишь кинетической энергии, или же также и потенциальной энергии деформации? 99. Каков характер распределения радиальных напряжений по толщине металлического кольца при приближении его внутренней поверхности к оси симметрии? 100. Как распределение радиальных напряжений по толщине металлического кольца при приближении его внутренней поверхности к оси симметрии сказывается на дальнейшем изменении скорости движения поверхностей кольца? 101. В чем смысл исключения из системы дифференциальных уравнений внутренней энергии среды и замены ее давлением в задаче о подводном взрыве? 102. На каких границах и какие граничные условия ставятся в задаче о сферическом взрыве заряда взрывчатого вещества в воде? 103. Какие преимущества дает введение новой безразмерной пространственной координаты в задаче о сферическом взрыве в воде? 104. Какой прием используется для вычисления плотности продуктов детонации на поверхности контакта с водой на следующем временном слое? 105. Какие соотношения и в какой последовательности используются для расчета параметров на фронте ударной волны, распространяющейся в воде? 106. Какие соотношения и в какой последовательности используются для вычисления параметров на поверхности контакта продукты детонации — вода? 107. Какое условие используется для расчета параметров в центре симметрии сферического взрыва в воде? 317
108. Зачем проводится учет собственной скорости перемещения узлов подвижной разностной сетки при определении шага сетки по времени в задаче о подводном взрыве? 109. Какие начальные условия используются при численном решении задачи о сферическом взрыве в воде? 110. Как вычисляются начальные параметры ударной волны, распространяющейся в воде при детонации высокоплотных конденсированных взрывчатых веществ? 111. Как вычисляются начальные параметры ударной волны, распространяющейся в воде при детонации низкоплотных газообразных взрывчатых веществ? 112. В чем состоит особенность расчета параметров в точках на фронте ударной волны, распространяющейся в воде, и на контактном разрыве на начальном этапе после распада разрыва? 113. Поясните смысл использования процедуры сглаживания параметров течения. 114. Какая особенность подводного взрыва усложняет проведение численных расчетов до момента формирования полного профиля ударной волны? 115. Что такое свободная выходная внешняя граница расчетной области? 116. Какое условие используется при разработке алгоритма расчета параметров на свободной выходной внешней границе? 117. В чем состоит причина появления вторичных волн при взрыве в воде заряда высокоплотного конденсированного взрывчатого вещества? 118. В чем состоит причина появления сложной волновой конфигурации при взрыве в воде заряда низкоплотного газообразного взрывчатого вещества? 119. С чем связано появление короткого пика эпюры давления в окрестности фронта ударной волны при взрыве в воде заряда газообразного взрывчатого вещества? 318
120. Почему эпюру давления при взрыве в воде заряда газообразного взрывчатого вещества нельзя описать зависимостями, использующимися для заряда конденсированного взрывчатого вещества? 121. Как изменяется давление на фронте ударной волны, распространяющейся в воде при взрыве заряда газовоздушной смеси на различной глубине? Почему? 122. Изменяется ли избыточное давление на фронте ударной волны, распространяющейся в воде при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества на различной глубине? Почему? 123. Как изменяется длительность фазы сжатия ударной волны при взрыве зарядов газовоздушной смеси и конденсированного взрывчатого вещества на различной глубине? 124. Как соотносятся между собой импульсы избыточного давления фазы сжатия ударной волны при взрыве зарядов газовоздушной смеси и конденсированного взрывчатого вещества на различной глубине? 125. Почему нельзя использовать формулу C.26) для вычисления импульса избыточного давления фазы сжатия ударной волны при взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества на большой глубине?
Глава 4 ПРИМЕРЫ ПОСТАНОВКИ, АЛГОРИТМОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ФИЗИКИ ВЗРЫВА И УДАРА 4.1. Соударение осесимметричного металлического упругопластического стержня с жесткой поверхностью (лагранжев метод Уилкинса) Суть двумерной лагранжевой методики расчета рассмотрим на примере метода Уилкинса для решения задачи о соударении цилиндрического металлического стержня (ударника) с жесткой поверхностью (с преградой) (см. рис. 4.1). Постановка задачи. В момент времени t = О цилиндрический металлический стержень длиной L и радиусом Л, движущийся со скоростью ^о, начинает взаимодействовать с жесткой поверхностью. В этом случае наиболее адекватной моделью, описывающей поведение материала стержня, является модель сжимаемой идеальной упругопластической среды, механическое поведение которой характеризуется модулем сдвига G и некоторым эффективным пределом текучести сгт- 320
В связи с осесимметричностью процесса деформирования стержня течение упругопластической среды является двумерным, а параметры движения и состояния среды выражаются функциями двух координат г, z и времени t. Такое течение удобно рассматривать в системе отсчета, связанной с перемещением деформируемого тела (в переменных Лагран- жа). Представим двумерные уравнения, выражающие законы сохранения, кинематические и физические соотношения для сжимаемой идеальной упругопластической среды в лагранже- вой форме для цилиндрической системы координат (г, z, 9) (их частным случаем являются уравнения для плоской декартовой прямоугольной системы координат (г, z)). Уравнения движения: dvT dvr V \датт darz v 1 ar = "тг = "ЗГ = —  Ь ~5 1~ " \атт - а0в)\ 5 D-1) at ut pq [ От uz r J _ dvz _ dvz _ V fdazz daTZ .v\ (A ox dt dt po \ dz dr r ) где arr = Darr-(p+q)\ azz = arz = DarZ) ar, az — компоненты ускорения в направлениях г, z соответственно; V = ро/р — удельный объем; po, p — начальное и текущее значения плотности среды; q — псевдовязкость, вводимая для «размазывания» фронта ударной волны; v — показатель симметрии [у — 0 при плоской симметрии или v = 1 при цилиндрической симметрии). В связи с тем, что при описании течения среды с позиций Лагранжа разностная сетка связана со средой, в уравнениях D.1), D.2) и далее полагается d(.. ,)/dt — д{.. ,)/dt. Так как Всгт + Dazz + D^qq - 0, то 11-2728 321
Уравнение неразрывности: Уравнение энергии: дЕ dV dt dt + V{D(TrreTT + Dazzezz DffTZeTZ) = где dvr . ?rr-~d7] e и r zz - V dvz dz' "(err + c-tz izz) dvr dvz Уравнение состояния: p = p(p, E) или p = p{V, E). Компоненты девиатора напряжений: dt -1GUTT-- L/rf, dt dDff1 at =G(erz) D.7) D.8) D.9) 322
где 'dvr dvz\ ^ fdvz dvr -i№-VW-iw,. D10) Здесь <5rr, 6ZZ, Srz — поправки компонент девиатора напряжений, связанные с поворотом фиксированного элемента среды как единого целого. Условие пластического течения. Реализация критерия пластичности Мизеса О{ = аТ при интегрировании исходной системы уравнений обеспечивается выполнением процедуры приведения напряжений на круг текучести (см. раздел 3.2). Для этого в некотором элементе среды предварительно рассчитывается вспомогательное значение функции / = DlTT + D\zz + Din + 2DlTZ = = 2(Dlrr + DlTZ + D\zz + DmD^z). D.11) Если материал стержня находится в состоянии пластического течения (/ > B/3)сг^), выполняется корректировка компонент девиатора напряжений, рассчитанных по формулам D.9), путем умножения каждой из них на множитель Тогда Darr = DarrF] DaZZ = D(TZZF,) Квв = Da99F\ D'arz = DmF, где D'aTr, D'azz, D'a$e и D1(TTZ — скорректированные значения компонент девиатора напряжений. Начальные условия. В начальный момент процесса Деформирования t = 0 индивидуальные частицы материала стержня движутся в осевом направлении vz = — vo, тогда как в радиальном направлении движение частиц отсутствует, т.е. П* 323
vT = 0. Далее предполагается, что в начальный момент времени материал стержня является невозмущенным, т.е. деформации, а следовательно и напряжения, в материале отсутствуют, так что компоненты тензора напряжений и тензора деформаций равны нулю (eij = Gij = Dpij = р = 0), а плотность равна начальной плотности исходного материала pq. Начальное значение удельной внутренней энергии определяется из уравнения состояния р = р(р, Е) по известным значениям давления р — 0 и плотности /9о- Как правило, уравнения состояния задаются таким образом, чтобы для исходного состояния значение удельной внутренней энергии также было равно нулю (Е = 0). Очевидно, что такой способ задания начальных условий не учитывает нагрева материала, а также влияния процесса предварительного деформирования или предыстории нагружения материала. Таким образом, начальными условиями для процесса двумерного осесимметричного деформирования упругопластиче- ского стержня в процессе соударения с жесткой поверхностью являются равенства t = 0; vr = 0; vz = -v0; e^ = 0; a^ = 0; Daij = 0; p = 0; E = 0; p = Po. [ ' Граничные условия. В силу осевой симметрии процесса деформирования стержня область течения упругопласти- ческой среды можно считать ограниченной четырьмя поверхностями — Г\у Г2, Гз, Г± (рис. 4.1). При этом поверхность Г\ вырождена в прямую — ось симметрии; поверхности Г<1 и Г\ в начальный момент времени совпадают с плоскими сечениями, ограничивающими стержень снизу и сверху соответственно; Гз — боковая поверхность стержня; поверхности Гз и Г± свободны от напряжений. При формулировке граничных условий на оси симметрии (поверхность Г\) необходимо учитывать, что при г = 0 частицы движутся только в осевом направлении (vr = 0). Осевые ускорения этих частиц должны быть ограничены. Из уравнения движения D.4) следует, что это может быть реализовано 324
z С i R I Л ШЩШ r п Рис. 4.1. Расчетная схема ударного взаимодействия: С — стержень; П — жесткая поверхность; Fi, Г2, Гз, ГА — границы расчетной области только при отсутствии касательных напряжений на оси симметрии (arz = 0). Граничными условиями на поверхности контакта стержня с жесткой поверхностью (z = 0, поверхность Лг) являются условия смешанного типа, определяющие кинематические (vz = 0) и динамические (arz — 0) величины. Для задания граничных условий на свободных от напряжений поверхностях (боковой Гз и торцевой Г±) необходимо установить взаимосвязь между компонентами тензора напряжений в какой-либо точке и ориентацией этих поверхностей, а именно G{jv? = 0, где п3 — компоненты единичного вектора нормали к свободной поверхности в данной точке. Таким образом, для стержня цилиндрической формы имеем следующую группу граничных условий: на поверхности Г\ (г = 0) vr = 0; arz = 0; на поверхности / (z = 0) vz = 0; arz = 0; на поверхности Гз D.13) на поверхности атт = 0; = 0. 325
г, HJ 0 1-1 l П J+l r. i-t 4 -fc- V •D it?» Рис. 4.2. Разностная сетка с четырехугольными элементами: а — индексация ячеек; б — индексация центров и вершин ячеек сетки; А, Гг, Гз, Г* — границы расчетной области Конечно-разностные уравнения. Пусть в области, занятой средой, построена равномерная четырехугольная разностная сетка, которая движется вместе со средой (рис. 4.2, а). При этом компоненты vr и vz вектора скорости в направлениях г и z относятся к узлам (г, j) лагранжевой сетки, а такие параметры, как масса, внутренняя энергия, давление и другие, — к центрам ячеек. Будем обозначать вершины ячеек арабскими цифрами, а центры ячеек латинскими буквами (рис. 4.2, б). Узлы сетки, расположенные на границах, назовем граничными, а остальные узлы — внутренними. Масса, удельный объем и плотность ячеек. Масса, соответствующая каждому четырехугольнику, определяется в начальный момент времени tn = 0. Для этого четырехугольная ячейка разбивается на два треугольника (а и Ь) так, как показано на рис. 4.2, б. Площади этих треугольников 326
составляют величины ? = \ [4 (г? - т\) + zl {т\ - тп2) + z\ [т\ - г?)]; D.14) \ [ (rj - г?) + z\ (rf - т\) + z\ {rn2 - r2)}, D.15) АЪ = \ тогда An = A% + Al D.16) Так как центры указанных треугольников равны соответственно а п = 0, то масса ячейки определяется зависимостью = f \Л\ (г§ + 4 + '$) + Ag (г? + 4 + rj)] . D.17) В момент времени tfn > 0 удельный объем и плотность каждой ячейки вычисляются по формулам = {^ [Апа (г% + г? + rj) + Л? (г? + rn2 + rj)] ; D.18) Здесь и далее постоянная 2тг опускается. Замечание. Забегая несколько вперед, отметим, что при математическом моделировании высокоскоростного течения среды возникает потребность обработки так называемых нерегулярных (вогнутых) ячеек разностной сетки. В этом случае во избежание ошибок вычисления удельных объемов четырехугольных ячеек по формуле D.18) необходимо контролировать правильность разбиения их текущей площади на составляющие Лд и Л?. Например, для варианта ячейки, показанного на рис. 4.3, оно должно проводиться по диагонали, отмеченной цифрами 2 и 4. 327
Рис. 4.3. Нерегулярные (вогнутые) ячейки Производные сеточной функции по пространственным координатам. В центрах ячеек для аппроксимации частных производных функции F = {vr, vz}, определенной в точках 1—4 (рис. 4.4), используется формула Грина: dF — = lim or A-+Q I Fdz - (F3 - ; D.19) Fdr ¦ dF 1 -г— = hm dz л->о А где / — граница ячейки площадью А. Z(j), - r4)], D.20) rfi) Рис. 4.4. К определению частных производных сеточной функции по пространственным координатам 328
ж ш 1-1 ]Г ¦J Рис. 4.5. К определению компонент v?+1'2 и v?+1'2 вектора массовой скорости среды во внутреннем узле (•', j) двумерной разностной сетки Для вычисления компонент ускорения по формулам D.1), D.2) или D.3), D.4) используется шаблон разностной сетки, показанный на рис. 4.5. При этом параметр F = {aij или Daij}, где г, j = г, г, 0, соответствует центру (точка 0) четырехугольника I, II, III, IV, площадь которого вычисляется как усредненное значение площадей четырехугольных ячеек Л, J5, С и D. Соответствующие конечно-разностные уравнения имеют вид -*iv) D.21) FD(n - rn)] • D.22) Далее будем полагать, что в некоторый момент времени п-1/2 п-1/2 п п известны значения vT ,vz ,rn, zn ки и значения pn, qn, во всех узлах сетв центрах четырехугольников, 329
образующих сетку. Получим соотношения для определения значений этих величин внутри и на границе расчетной области в момент времени Jn+1 = tn + Atn, где Д*п — шаг сетки по времени. Уравнения движения. Для построения конечно-разностных соотношений, определяющих компоненты v? ' , n+l/2 v2 ' вектора массовой скорости среды во внутренних узлах (г, j) двумерной разностной сетки, могут использоваться обе формы записи уравнений движения: D.1) и D.2) или D.3) и D.4). Вначале рассмотрим аппроксимацию уравнений D.1) и D.2). Для этого воспользуемся шаблоном разностной сетки, показанным на рис. 4.5, и введем следующие обозначения: = \(FA + FB + FC + FD); D.23) Ar(F) = - [FA{zl - zfn) + FB(zfn - zfv + Fc(z?y - z?) + FD(zf - *5)]; D.24) A2(F) = [FaW - rfn) + FB(rfu - rfv) + rfr - rf) + FD(r? - гй)], D.25) где Ф(^), Ar(F) и AZ(F) — вспомогательные функции аргумента F, определенного в центрах ячеек Л, Б, С к D. Тогда .п+1/2 .п-1/2 aftjAt»; D.26) .n+l/2 ___ .n-1/2 330 [Л(") + Л(")] + iJAtn. D.27)
Здесь *?> *,-[<*-*)(?)]; Используя операторы D.23)—D.25), аналогично определим конечно-разностные соотношения, аппроксимирующие уравнения D.3) и D.4): .п+1/2 .п-1/2 ijAtn; D.28) .n+l/2 _ .n-1/2 z 2 Здесь С учетом уравнений D.26) и D.27) или D.28) и D.29) найдем новые положения узлов лагранжевой координатной сетки: Уравнения сохранения массы. С помощью уравнений D.14)—D.18) определяются значения площадей А^+1, Л^ ' и удельных объемов Vj+1, Уд ячеек на временных слоях J). D.30) 331
Вводится аппроксимация производной Н )А At которая учитывается при определении величины ,71+1/2 уп+1 _ уп - | — —А д/ = __4 А. Л F?+1/2 F?+1/2 D.31) y y А А Деформации и скорости деформаций. Компоненты тензора скоростей деформаций определяются в центрах ячеек на временном слое ^п+1/2. При этом аппроксимация кинематических соотношений D.7) осуществляется с помощью уравнений D.19) и D.20), D.29) и D.30). Для сокращения записи получаемых конечно-разностных соотношений введем функции D.32) D.33) в которых аргумент Fn определяется в узлах 1—4 ячейки А на временном слое п (см. рис. 4.4). Тогда п+1/2 1 2А Л I '* n+l/2\ . )' 1А n+1/2 A n+1/2 Лг = a J' n+1/2 D.34) . \»+l/2 _ (дуЛп+1/2 (dv?\n+ll2 _ + - 5г )a V ^^ /л 2Лп+1/2 1 \r ( n+l/2\ . r / n+1/2 M 332
С учетом уравнений D.34) определяются приращения деформаций ячейки на временном слое <п+1/2: /. \п+1/2 , \п+1/2л (Аетт)А = (err)A At; п+1/2 / чп+1/2 п+1/2 1/2 /л \п+1/2 / \"+1/2 (Аеее)А = (евв)А At; п+1/2 , \п+1/2д () At Компоненты девиатора напряжений, В зоне упругости эти величины определяются в центрах ячеек на временном слое п + 1 посредством решения уравнений, аппроксимирующих закон Гука в дифференциальной форме, с учетом возможного поворота элемента среды как единого целого (см. D.9) и D.10)): / \ 71 + 1/2 4?T \ /А /А 2G Uez \ п+1/2 ( n-hl / \п / \п+1/2 D+GKL 333
Здесь где п 1 / n-1/2 . n+l/2\ n 1 / п-1/2 , п+1/2\ <=2Г +Vr Г V* = 2VZ z )' Реализация условий пластического течения обеспечивается выполнением процедуры приведения напряжений на круг текучести. Для этого определяется функция DlTZ + D\zz + А,ггЛ«,)^+. D.37) В случае /^+1 > B/3)сг^ проводится корректировка компонент девиатора напряжений: П+1 7l-fl 7l-H где Главные компоненты девиатора напряжений рассчитываются по формулам 334
п+1 п+1 Псевдовязкость. Для «размазывания» фронта ударной волны рассматриваемая разностная схема интегрирования дифференциальных уравнений предполагает использование псевдовязкости, которая добавляется к шаровой компоненте напряжений при условии V/V < 0 (или /9n+1 > pn). Наиболее часто используют два вида ее скалярной формы: квадратичную и линейную псевдовязкости. Квадратичная псевдовязкость имеет вид «+1/2 _ п+1/2 D.38) где А^ = 1... 4 — коэффициент квадратичной псевдовязкости. Линейную псевдовязкость можно записать в виде »+1/2 _ V , п+1/2 D.39) где Со — скорость звука в среде; Ал « 0,5 — коэффициент линейной псевдовязкости. 335
Для решения двумерных задач о соударении тел, в которых рассматривается генерируемая ударная волна, распространяющаяся перпендикулярно свободной поверхности, бывает полезно использовать вязкую добавку по Навье — Сток- су, являющуюся одним из видов тензорной псевдовязкости: п+1/2 D.40) Здесь г yn+1/2 где Аа и 0,01 — коэффициент аппроксимационной вязкости. Замечание. В процессе использования рассматриваемой численной методики выявились следующие недостатки скалярной псевдовязкости. Во-первых, она более приспособлена для «размазывания» фронтов ударных волн, распространяющихся вдоль коротких сторон ячеек. Поэтому в случае сильно вытянутых ячеек фронты ударных волн, распространяющихся вдоль длинных и коротких сторон ячеек, «размазываются» на разное число интервалов. Во-вторых, поскольку скалярная псевдовязкость зависит только от изменения объема ячеек, то она не препятствует их «перехлесту», или так называемому инверсионному повороту (рис. 4.6). По этим причинам в разное время в дополнение к скалярной псевдовязкости вводились различные виды тензорной псевдовязкости, один из которых рассмотрен выше. Другие виды 336
/ з Рис. 4.6. «Перехлест» ячеек тензорной псевдовязкости (ориентированной, контурной, угловой) приведены в различных работах, посвященных проблемам численного моделирования. Давление. С целью совместного интегрирования соотношений D.6) и D.8) можно использовать следующую форму записи уравнения состояния: D.41) где значения Е7^ вычисляются по уравнению D.6); ?l\{V) и &2{V) — заданные функции удельного объема. Очевидно, что на данном этапе вычислений предварительно рассчитываются значения ^i(v^+1) и ^(vj^1)- Уравнение энергии. Для аппроксимации этого уравнения используется следующее конечно-разностное соотношение: (/'/* СФ)Y2^i ?"/, D.42) где = V A [ Varrerr + UazzSzz + ^(тввеев + ^crrz^rz j . 337
Из уравнения D.42) с учетом соотношений D.35) и D.41) можно получить зависимость ~{\[«1 D.43) где D<rrT(Aerr) + n+l/2 Напряжения. Компоненты напряжений определяются следующими зависимостями: Реализация граничных условий. Чтобы сохранить единообразие расчета скоростей в узлах приграничных ячеек, вдоль всех границ вводят «фиктивные» ячейки, в которых параметры определяют с помощью смежных ячеек с учетом граничных условий. Для рассматриваемой задачи схема введения «фиктивных» ячеек показана на рис. 4.7. При этом различают фиксированные границы вдоль осей гиг (ось симметрии Г\ и жесткая поверхность J^), свободные поверхности, ограничивающие стержень сбоку и сверху (Гз и 7^), и угловые точки. 338
Рис. 4.7. К расчету параметров в приграничных ячейках: 1—7— типы приграничных ячеек («фиктивные» ячейки заштрихованы); 8 — схема индексации ячеек относительно внутреннего узла разностной сетки; А, Лг, Лз, А — границы расчетной области Ось симметрии (рис. 4.8). Граничными условиями на оси симметрии являются равенства г = 0, г = vr = О, aTZ — 0. Для их реализации вводятся «фиктивные» ячейки В и С таким образом, чтобы rIV = -гп; zii = zIV; MB = МА\ Мс = D 45) С учетом соотношений D.45) и граничных условий из Уравнения D.27) можно получить зависимости 339
2 i О г Рис. 4.8. Ось симметрии IF h В 0 ш . -i- i I J A Л П г Рис. 4.9. Жесткая поверхность где '3> D-46) (poAn' \ УП JA РоАп D Жесткая поверхность (рис. 4.9). Граничными условиями на жесткой поверхности являются равенства z = 0, z = = vz = 0, <7гг = 0. Для их реализации вводятся «фиктивные» ячейки С и D таким образом, чтобы Ч = ~Ч\\\ П = гш; MD = МА; Мс = Мв\ vee)c = D-47) 340
С учетом соотношений D.47) и граничных условий из уравнения D.26) можно получить зависимости *•>= 0; ^= eft->' D'48) где Свободные поверхности (рис. 4.10). Для свободной поверхности Гз, ограничивающей стержень сбоку, в точке и с 1 —-ч J ч >-~ А В л в с \ ш и I 1 1 А Рис. 4.10. Свободные поверхности Гз и 341
(г, j) все параметры, относящиеся к ячейкам А и D, принимаются равными нулю. Тогда из уравнений D.26) и D.27) можно получить две зависимости: ? - zfv) - ? - rrv)] D.49) где (роАп\ (Р0Ап Для свободной поверхности Г4, ограничивающей стержень сверху, в точке (г, j) все параметры, относящиеся к ячейкам А и 5, принимаются равными нулю. Тогда из уравнений D.26) и D.27) можно получить следующие зависимости: 342
D.50) где V" («-*)(?)] *[(*-•»)(?)] Начало координат. При получим *•¦> = MiJ = 0 и = 0 (см. рис. 4.7) = 0. Угловат ячейка на оси г (рис. 4.11). Граничными для рассматриваемой ячейки являются следующие условия: в точ- ке (г\ i)j расположенной на пересечении поверхностей Г<1 и Гз, — гг;- = 0, it-j<;- = (vz)tj = 0; на поверхности Г<1 — аГ2 = 0 и на поверхности 7~з — °тт = 0. Введем «фиктивные» ячейки А, ДиС таким образом, чтобы 343
Рис. 4.11. Угловая ячейка на оси г 1 = Ы1 = °; D.51) Тогда из уравнения D.26) с учетом соотношений D.51) можно получить следующие зависимости: + aflij, D.52) где Угловат ячейка на оси z (рис. 4.12). Граничными условиями для этой ячейки являются: в точке (г, j), расположенной на пересечении поверхностей Г\ и Г4, — rtJ- = О, 344
Рис. 4.12. Угловая ячейка на оси z rij = (vr)ij = 0; на поверхности Г\ — arz = 0 и на поверхности Г± — ozz = 0. Введем «фиктивные» ячейки А, В и С таким образом, чтобы МА = МВ = 0; Мс = (сг2г) = («тГ2) =0; \ 'А \ /А Ыв = Ыв = 0; D.53) Тогда из уравнения D.27) с учетом соотношений D.53) можно получить следующие зависимости: Z.. г .-,i, D-54) где Угловая ячейка на пересечении свободных от напряжений поверхностей (рис. 4.13). Граничными для такой ячейки являются следующие условия: на поверхности А — &тт = 0, на поверхности Г± — azz = 0. Введем «фиктивные» ячейки Л, В и D таким образом, чтобы 345
п Рис. 4.13. Угловая ячейка, расположенная на пересечении свободных поверхностей Г3 и Г4 Мл = Мв = MD = 0; Ml=Ы1= Ы1=0; / \п ( \п ( \п Ыл = Ыв = Ыв = 0; (°ее)ПА = (°вв)Пв = (°ee)nD = 0. D.55) Тогда из уравнений D.26) и D.27) с учетом соотношений D.55) можно получить две зависимости: Kj = -^~ [*?, (if " rfv) " ^ (*? - D.56) где Шаг интегрирования по времени. В процессе численного решения системы уравнений D.1), D.2), D.5)—D.11) или D.3)—D.11) с соответствующими начальными D.12) и граничными D.13) условиями выбор шага интегрирования по времени осуществляется на основании условия устойчивости 346
разностной схемы (см. раздел 1.6). Можно показать, что для регулярной четырехугольной разностной сетки (параллелограмма) оно имеет вид где Afj, П^-, C"j — площадь и периметр ячейки (г, j) и скорость звука в ней; Кг < 1 — число Куранта. Интересно отметить, что для сильно вытянутых прямоугольников на основании приведенного соотношения можно получить одномерное условие Куранта вида A.49). Границы раздела. Рассмотренная выше задача о соударении цилиндрического металлического стержня с абсолютно жесткой поверхностью относится к идеализированным в математическом отношении расчетным схемам, так как реальных преград, подобных абсолютно жесткой поверхности, не существует. Поэтому применение этой идеализированной модели для описания реальных физических процессов является корректным лишь при условии контактного взаимодействия тел, материалы которых имеют существенно различные плотности. Для решения ряда практических задач сжимаемостью преграды пренебречь нельзя. В этом случае необходимо учитывать такие эффекты, как деформирование границы раздела двух тел (контактного разрыва), проскальзывание материала одного тела относительно материала другого тела, тангенциальные разрывы ударных волн и т.п. Граничными условиями на контактном разрыве являются равенство нормальных компонент векторов скоростей (vn)i = (vnh и равенство нормальных напряжений (<rn)i — (апJ- Здесь индексом 1 обозначен материал стержня, а индексом 2 — материал преграды. Типовые методики расчета параметров на контактном разрыве допускают, что точки на поверхности контакта, которые в момент времени tn совпадали, в последующем могут смещаться относительно друг друга. При этом на первом этапе расчета в течение временного шага Л/ одна из поверхностей Двух тел, как правило принадлежащая телу из более плотного материала, считается фиксированной. Вдоль нее скользит 347
вторая поверхность, параметры на которой связываются только со скользящим материалом. По отношению к скользящему материалу фиксированная поверхность рассматривается как внешняя поверхность с действующими на ней силами давления. На втором этапе расчета смещается фиксированная поверхность. Для этого используется поле сил, которое имеется в прилегающем к ней скользящем материале. Новое положение фиксированной поверхности по отношению к скользящему материалу дает новую границу для скользящего материала и т.д. Перестроение разностной сетки. При сильных сдвиговых деформациях расчетных областей некоторые ячейки разностной сетки, связанной с фиксированными частицами среды, начинают сплющиваться, что приводит вначале к резкому уменьшению шага интегрирования по времени, а впоследствии к невозможности продолжения счета на ЭВМ. Для устранения указанного недостатка лагранжевых методик в ряде случаев мелкие ячейки разностной сетки объединяют в более крупные и проводят перерасчет параметров течения с учетом выполнения законов сохранения. В более общем случае за основу методики перестроения криволинейной разностной сетки и перерасчета всех параметров может быть взят произвольный лагранжево-эйлеров метод ALE (Arbitrary Lagrangian-Euleran), опубликованный Хёртом в 1973 г. В методе для регуляризации разностной сетки в расчетной области используется итеративный процесс, причем первоначально перестраиваются граничные узлы (внешняя итерация), а затем — внутренние (внутренняя итерация). Каждой внешней итерации соответствуют столько внутренних итераций, сколько необходимо, чтобы перемещение каждого внутреннего узла не превышало наперед заданного сколь угодно малого значения. На практике обычно достаточно проведения одной или двух внешних итераций, чтобы добиться требуемого распределения узлов вдоль граничных кривых (равномерного или неравномерного). Оговоренного количества итераций достаточно, с одной стороны, чтобы управлять конфигурацией ячеек в расчетной области, а с другой стороны, чтобы удовлетворить требованиям к перестроению разностной сетки, согласно которым 348
Рис. 4.14. К перерасчету параметров во внутренних (а) и в приграничных (б) ячейках разностной сетки граничные узлы по возможности не должны изменять своего положения. Перерасчет параметров в расчетной области удобно проводить совместно с процессом регуляризации сетки, чтобы избежать основных технических трудностей, связанных с определением значений параметров при переходе от старой сетки к новой в самом общем случае. При этом область возможного перемещения узла (г, j) за одну итерацию ограничивается радиусом Amin, значение которого определяется из условия #min = 0,25 min(lAB, lBC, lCD, lAD), где lAB, lBC, lcD-> lAD — длины граней шаблона согласно рис. 4.14, а. Обмен субстанцией между ячейками А, J?, Си/), окружающими узел (г, j) (рис. 4.14, 6), проводится с помощью метода донорской аппроксимации ячеечного конвективного потока. Например, масса, перетекающая из ячейки D в ячейку С, определяется по формуле - X\SV\). X\6V\) + 1 Здесь Mj), Me nVj),Vc — массы и объемы ячеек D и С соответственно; х — весовой множитель донорской ячейки, причем 0 < [Х = max FV/V)k] < 1. 349
Тогда новые значения масс и объемов ячеек D и С рассчитываются по формулам $ = Мс- 6М\ V$ = Vc - SV\ По аналогичным зависимостям определяются параметры состояния в смежных ячейках: удельная внутренняя энергия Е и компоненты Daij девиатора напряжений. Например, выражение для удельной внутренней энергии, вычитаемой из ячейки D и добавляемой к ячейке С, имеет вид \^ i6V + хт) +i-^ Тогда = (МЕ)с - 6{МЕ)\ {МЕ)^ = (ME)D + 6{МЕ). Новые значения гидростатического давления рассчитываются по формуле D.41) по известным значениям удельных объема и внутренней энергии. Массобмен между другими ячейками (г, jf), а именно между ячейками С и 5, В и Л, А и J9, в указанной последовательности вычисляется аналогичным образом. Процесс перерасчета скоростей в узлах разностной сетки основан на обмене импульсами между узлами и пояснен на рис. 4.15, а, б для внутренних узлов разностной сетки и на рис. 4.15, в для граничных узлов. При этом вся масса ячеек предварительно рассредоточивается по узлам: Mid = ^(МА + МВ + МС + MD), тогда 350
Рис. 4.15. К перерасчету параметров во внутренних (а и б) и в граничных (в) узлах разностной сетки где L = г, Z] ср — весовой множитель донорской ячейки при перерасчете импульсов в узлах, причем Тогда Использование операции сложения или вычитания в двух последних соотношениях пояснено на рис. 4.15 и зависит от места, в которое перемещается узел (г, jf) в процессе перестроения разностной сетки, — от точки 0а (рис. 4.15, а) или точки Oj, (рис. 4.15, б). Перерасчет скоростей в узлах III—IV, II—III, I—II проводится так же, как для пары узлов I—IV. Отметим, что изложенная методика позволяет выполнять перерасчет скоростей в узлах разностной сетки и с помощью формулы Тейлора где производные (dvi/dr)ij и (dvi/dz)ij аппроксимируются соотношениями D.21) и D.22). 351
Z 1= I T 1,0b \\ , i \ Д V \ х -43 \\ \ www. 1=2,80 л. \ \ --¦4 WWW \ \\\\ч 1 J) z •С 1 ¦ .. ш -ri ¦ ¦ \Ш ¦ ¦ Ш ...I Ш ¦ лш ¦Ш ¦ ¦ I\\\S. yfprv i 1 • t=2,08 i ТГ ¦ 1 z -* ^ '"" Г / f\ c,OU P жш\\\ / r Рис. 4.16. Численное решение задачи о соударении цилиндрического стержня из заряда взрывчатого вещества с жесткой поверхностью: а — vq = 500 м/с; б — v0 = 800 м/с Уравнения для перерасчета параметров состояния в приграничных ячейках и скоростей в граничных узлах соответствуют зависимостям, рассмотренным выше. Пример расчета. На рис. 4.16 представлены результаты численного решения задачи о соударении цилиндрического стержня из заряда взрывчатого вещества (L/R = 2) с жесткой поверхностью, полученные при использовании описанной расчетной методики. При этом скорость соударения составляла 500 м/с (рис. 4.16, а) и 800 м/с (рис. 4.16, б). Поведение среды описывалось идеальной упругопластической моделью материала со следующими физико-механическими параметрами: начальной плотностью р$ = 1,68г/см3; начальной скоростью звука Со = 3,15 км/с; динамическим пределом текучести ат = 0,1 ГПа; модулем сдвига G — 5 ГПа. В качестве уравнения состояния использовалось уравнение в форме Ми — Грюнайзена (подробнее см. в томе 1, разделе 4.5) р = р(р, E) = TpE, 352
где А = 13,5 ГПа, В = 9,5 ГПа, С = 100,6 ГПа — экспериментальные коэффициенты; Г = 0,945 — безразмерный коэффициент Грюнайзена; / = р/р0 - 1. При обработке результатов, представленных на рис. 4.16, использовались следующие безразмерные параметры: г = г/Л, г = z/R, т - Cot/R. 4.2. Взрыв заряда топливно-воздушной смеси над жесткой поверхностью (эйлеров метод Лакса — Вендроффа) Пусть над жесткой поверхностью образован осесимме- тричный заряд топливно-воздушной смеси произвольной формы, ось симметрии которого совпадает с нормалью к поверхности (рис. 4.17). Детонация смеси возбуждается в произвольной точке инициирования ги на оси симметрии (рис. 4.17, а) либо вдоль окружности произвольного радиуса ги, лежащей в плоскости z — ги, параллельной жесткой поверхности (рис. 4.17, б), и распространяется в заряде топливно- воздушной смеси с некоторой скоростью D. После выхода детонационной волны на поверхность заряда в окружающем его воздухе формируется ударная волна и появляется контактный разрыв продукты детонации — воздух. Рис. 4.17. Возможные формы зарядов топливно-воздушной смеси и места расположения точек инициирования: ПД — продукты детонации 12 - 2728 353
В указанной постановке задачи течение газообразных продуктов детонации и воздуха обладает осевой симметрией и в цилиндрической системе координат с осями гиг, совпадающими с жесткой поверхностью и осью симметрии заряда, описывается системой квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа, которая в эйлеровых переменных имеет следующий вид: dp dp др (ди dv\ pu -? + и-? + vjf- + р Ьг- + ^- ) + И— = 0; at or dz \дт dz/ г ди ди ди 1 др — + и— + v— + --? = 0; dt dr dz р дг ( . dv dv dv I dp Л [ Ь1) — + u— + v— + ~ = 0; dt dr dz pdz dt dE dE pfdu dv\ pu or dz p\dr dzj pr где t — время; гиг — радиальная и осевая линейные координаты; р, р, Е — давление, плотность и удельная внутренняя энергия среды; и и v — радиальная и осевая компоненты вектора массовой скорости среды. Система уравнений D.57) дополняется уравнением состояния среды, которое как для продуктов детонации, так и для воздуха может быть записано в форме совершенного газа: р = рЕ(к- 1). D.58) Здесь к — показатель адиабаты, в общем случае имеющий различные значения для воздуха и для продуктов детонации, причем для последних его значение может изменяться от частицы к частице при переменной по объему концентрации горючего в топ л ивно-воздушной смеси. Поэтому для замыкания системы уравнений D.57) и D.58) необходимо добавить условие постоянства показателя адиабаты в частице среды: dk dk dk dk ,. спч dt dt dr dz 354
Начальными условиями при решении задачи являются распределения неизвестных функций р, р, Е, и, v в малой окрестности точки инициирования в некоторый начальный момент времени to. Время to желательно выбирать таким образом, чтобы значения энергии и массы среды, заключенной в начальной расчетной области, не превышали 0,01 % от полной энергии и массы топливно-воздушной смеси. При этом начальные значения параметров среды можно считать постоянными и равными значениям параметров Чепмена — Жуге в точке инициирования, за исключением значения массовой скорости, компоненты вектора которой можно задать равными нулю. Граничными условиями в задаче являются: — равенство нулю осевой или радиальной компоненты вектора массовой скорости газа на жесткой поверхности (v = 0 при z = 0) и на оси симметрии (и — 0 при г = 0); — непрерывность давления и нормальной компоненты вектора массовой скорости среды на поверхности контакта продукты детонации — воздух; — параметры Чепмена — Жуге на фронте детонационной волны внутри топливно-воздушной смеси; — соотношения динамической совместности на фронте ударной волны в воздухе. Использование параметров Чепмена — Жуге в качестве граничных условий на фронте детонационной волны исключает возможность формирования режима пересжатой детонации, когда значения параметров на фронте становятся выше значений параметров Чепмена—Жуге, и, строго говоря, не является корректным в некоторых случаях распространения фронта в направлении уменьшения скорости детонации. Однако, как показывают результаты решения одномерных задач, при переходе детонации в пересжатый режим за фронтом детонационной волны с нормальными значениями местных параметров детонации образуется область повышенного давления, что практически приводит к совпадению значений параметров взрыва в воздухе со значениями параметров, рассчитанных с помощью использования точных граничных условий. В то же время применение на фронте детонационной волны в качестве 12* 355
граничного условия параметров Чепмена — Жуге позволяет не выделять фронт в виде особой поверхности, на которой необходимо определять параметры при численных расчетах, что существенно упрощает решение двумерных задач. Система уравнений D.57)—D.59) является замкнутой и позволяет с учетом сформулированных начальных и граничных условий получить решение задачи с помощью одного из известных численных методов. Все известные численные методы решения двумерных задач нестационарной газовой динамики можно условно разделить на две основные группы по способу аппроксимации на фронтах ударных волн и на контактных разрывах. К первой группе относятся методы, требующие выделения фронтов ударных волн и контактных разрывов в виде особых поверхностей, параметры на которых рассчитываются с привлечением соответствующих граничных условий (метод характеристик, метод Годунова и др.). Использование таких методов требует разработки достаточно сложных алгоритмов и больших затрат времени для расчета, а в случае появления в процессе течения среды новых разрывов реализация их становится практически неприемлемой. Указанные трудности, характерные для численных методов первой группы, привели к тому, что при решении двумерных задач почти монопольный приоритет получили численные методы второй группы, а именно методы сквозного счета, т.е. без выделения фронтов ударных волн и контактных разрывов. Одним из распространенных методов сквозного счета, весьма успешно применяющимся для решения задач физики взрыва, является модифицированный двухшаговый метод Лакса—Вендроффа, реализуемый в подвижной (эйлеровой) разностной сетке. Выбор эйлеровых координат для решения осесимметричных задач о взрыве заряда топливно-воздушной смеси обусловлен возможностью появления больших деформаций среды, расчет которых в лагранжевых координатах связан со значительными трудностями. В то же время из практики известно, что использование методов сквозного счета в эйлеровых координатах, как правило, не позволяет удовлетворительно выполнить расчет контактных разрывов, поскольку 356
Рис. 4.18. Распределения A—4 ) относительной плотности в области течения среды в последовательные моменты времени при расчете сферического взрыва заряда топливно-воздушной смеси без выделения поверхности контакта: ро — плотность воздуха; го — радиус заряда возникает взаимная счетная диффузия сред и появляются осцилляции параметров движения и состояния среды. Для оценки влияния на параметры взрыва заряда топливно-воздушной смеси процесса «размазывания» поверхности контакта продукты детонации — воздух, который характерен при использовании схемы Лакса— Вендроффа, была решена одномерная задача о сферическом взрыве заряда смеси на основе ацетилена стехиометрической концентрации, причем расчет фронта ударной волны выполнялся методом характеристик (см. раздел 3.3). На рис. 4.18 представлены распределения относительной плотности внутри области течения среды для некоторых моментов времени. Стрелками на рисунке показаны направления распространения волн в области течения. Распределение 1 соответствует моменту выхода детонационной волны на поверхность заряда, а распределения 2—4 — распространению ударной волны в воздухе. 357
Как видно на рисунке, контактный разрыв «размазывается» в узкой зоне (несколько расчетных узлов) с плавным изменением плотности. Поверхность газового пузыря продуктов детонации можно условно выделить по максимальному градиенту изменения плотности (штрихпунктирная линия), и ее положение почти такое же, как в случае решения задачи с выделением контактного разрыва в качестве особой точки при численном расчете (см. раздел 3.3). Сравнение результатов обоих решений показывает, что параметры на фронте воздушной ударной волны при сквозном расчете поверхности контакта изменяются незначительно (в пределах 2 % вблизи поверхности заряда). В то же время такие интегральные характеристики, как импульсы избыточного давления и скоростного напора в окрестности границы заряда, рассчитываются с некоторой погрешностью, которая при г = го достигает 10 % в сторону завышения значений указанных параметров. Однако при удалении от границы заряда расхождение результатов расчетов быстро уменьшается и уже при г = О,8го и г = 1,5го не превосходит 5 %. Таким образом, сквозной расчет поверхности контакта по схеме Лакса — Вендроффа при взрыве заряда топливно-воздушной смеси не приводит к появлению больших погрешностей и эта схема оказывается практически приемлемой при решении осесимметричных задач. Преобразование координат. Для придания расчетной области стандартной прямоугольной формы вводятся новые независимые пространственные переменные в = 0(r, z) и г/ = = 7y(r, z) таким образом, что О<0<1иО<т/<1. Конкретная форма записи переменных в и г) зависит от геометрии заряда. Так как в общем случае для частных производных по ?, г и z справедливы соотношения dr)tz \dz)itr ~ \de)tt4\dz)ttr 358
то система уравнений D.57)—D.59) в новых переменных принимает вид dp dp dp du du ш + а1дв + а2д^ + а"дв+а^ + dv dv + + + 0 ди dv дЕ dt + du dv dE du dv 2 2 V * dr] dE °2 drj as^ + a dp du dv dp_ du d^ dv D.60) dk dk dk p = PE(k-l), где d6 dO d6 dr) dri dr] at dr dz dt dr dz d6 dr] dO dr] pu a^p-.a^p-; a5 = p-; a6 = ,-; a7 = -; 1вв I5r/ 1^ ISt/ /? ar /9 dr p dz p dz pdO pdr) pdO par p dr poz pdr] pu «is = -7Г-; «16 = —. p az pr Возможные геометрические характеристики зарядов топ- ливно-воздушной смеси и положение точки инициирования в двумерном пространстве (см. рис. 4.17) определяют следующую форму записи переменных 0 и г]\ *=^Ц „=-i^, D.61) ГР -Г1 Zy - ZN 359
где rp,ri, zy, z$ — правая, левая, верхняя и нижняя границы разностной сетки, в общем случае изменяющиеся во времени. Задавая переменные в и г/ в виде D.61), получаем соотношения для их производных в виде ={U до _ 1 ^_о- дт~ rp-ri dz~ ' Ot Zy — 2ГДГ Zy — Zjsj dr ' dz zy — tt drL drP dzy dzN где UL = ^UP = -^; Vv = —¦ VN = — - скорости перемещения соответствующих границ расчетной области. Подставляя соотношения D.62) в систему уравнений D.60), получаем форму записи уравнений для аппроксимации с помощью модифицированной схемы Лакса — Вендроффа: до до до ди dv -dl + a'de + a2d-1 + a3do + a6d-v + a7 = 0' ди ди ди др m+aide + a2d^ + a8do = Of dv dv dv dp т+а1дв + а2Ж, + апд^ = 0] D.63) дЕ дЕ дЕ ди dv + + + + + ° дк дк дк т+п1до + а2д^ = О] р = РЕ(к-1). Здесь u-eUP + @-l)UL v - rjVv + A - ri)VN а\ = ; ai = ; Гр - ГI Zy - Ztf 360
Р Р ри аз = ; «6 = ; сц = ——г, ГР ~ rL zv - zN rL + в(гР - ri 1 1 р а12 = p(rP - rL)' p(zv - zNy p(rP - p pu p{zv - zNy Аппроксимация. Разностная запись системы преобразованных уравнений D.63) осуществлялась по схеме второго порядка точности типа предиктор — корректор с выходом на полуцелый временной слой (рис. 4.19). Определение параметров в узлах разностной сетки проводится в два этапа. На первом этапе, опираясь на четыре известных значения функции Ф в узлах сетки на временном слое п, определяют значения этой функции в полу целых точках на временном слое п+1/2. При этом частные производные записывают с помощью соотношений дФ $ ~ Фг+1/2,.Н-1/2 dt ~ At/2 ' дФ Ф^+1-Ф^1 + Ф^-Ф^. D.64) дв 2Д0 дг) Рис. 4.19. Шаблон двумерной схемы Лакса — Вендроффа 361
где значения функции Ф в полуцелых точках на временном слое п определяются путем усреднения ее значений в узлах сетки на этом же временном слое. На втором этапе по найденным значениям функции Ф в полуцелых точках на временном слое п+1/2 и по ее известным значениям в узлах сетки на временном слое п определяют ее значения в узлах сетки на временном слое п + 1, используя следующую запись производных: dt M _ фп+1/2 РФ _ *i+l/2,j+l/2 Уг-1/2,)+1/2 ^ ~ 2Д0 + ^п+1/2 _ лп+1/2 П+1/2 -1/2 5т/ ~ 2Ат) фп+1/2 _ фп+1/2 yt-l/2,i+l/2 y»-l/2,j-l/2 2Дт/ При этом коэффициенты в уравнениях D.63) вычисляют по усредненным значениям параметров в полуцелых точках на временном слое п + 1/2. Подставляя выражения для производных D.64) и D.65) в систему уравнений D.63), получаем следующие конечно- разностные соотношения для вычисления параметров среды: на временном слое п+1/2 — п+1/2 _ „ 1/_^_[ P P ~ 2 \ 2Д0 Г1 pf+1J - Ptt}) + e3*l] + Щ [«2 (р*+1 J+1 - D.66) " Pf+lJ + P*j+i - Pij) + аб 362
n+1/2 _ n n+l/2 _ n [«2*2 + «11 „n+1/2 _ „n "c'«+l/2,i+l/2 ~ r i _^_ Г я /pi " 2 \ 2Дв Г1 V i a2 _ hn „. A~П 2 V «+ где 4 (/>ч ?J+i " Pi,)] }i D.66) ,+1 - ??^-) + a1562] + а 363
4 ^K«, b2 = an = P _ 15 ~ ПП P P rL ZV ~ ZN +/,У+ a3 = —H 3i « - rj) ; a8 - P*+1/2J+1/2(r*p - rlY ZV - ZN) ; a12 = 1й rP " TL) 7П zn 364
на временном слое п + 1 — /^L п+1/2 _ п+1/2 ~ ^.J \ 2Д0 п+1/2 п+1/2 2Дг/ I- / п+1/2 Г2 \Pi+l/2, п+1/2 п+1/2 + P „п+1/2 п+1/2 _ п+1/2 п+1/2 ,п+1/2 , t п+1/2 D.67) уп+1 = „»._{ _^-а1 (у?*1/? . , п /о - vU+}!? ¦ п+1/2 _ п+1/2 \ Ui+l/2,j-l/2 t-l/2j-l/2J ,п+1/2 „п+1/2 п+1/2 -1/2 ~*~ pi-l/2,j+l/2 "+V2 'i-l/2J+l/2 Д< f /^гп+1/2 рП+1/2 ^п+1/2 - bi+l/2,j-l/2 + Ьг-1/ 365
n+1/2 71+1 где , _ n+1/2 01 ~ ui _ n+1/2 V n+1/2 n+1/2 V n+1/2 g n+1/2 n+1/2 V n+1/2 Ui-l/2J n+1/2 V а7 = n+1/2 n+1/2 ZV ~ ZN n+1/2 n+1/2 n+1/2' п° rP ~ rL n+1/2 n+1/2 Рг,} \j pIT12 n+1/2 n+1/2' Zy ~ ZN Y n+1/2 as = n+1/2/ n+1/2 n+l/2V ij \ZV ~ZN ) n+1/2 V n+1/2/ n+1/2 n+l/2V {Г ~rL ) 366
n+1/2/ n+1/2 n+l/2\' Vz ~z ) ^16 = n+1/2 _ 1 / n+1/2 n+1/2 «,J " 4 rt+l/2,j+l/2 + Ut+l/2,i-l/2 + n+1/2 n+1/2 + U + U n+1/2 _ 1 /n+1/2 ,«+1/2 , V'J ~ 4 V J+1/2J+1/2 + Vi+l/2,j-l/2 + n+1/2 n+1/2 + V + V n+1/2 _1/ n+1/2 «.J ~ 4 VP«+l/ ,«+1/2 . n+1/2 _ 1 Л n+1/2 +jb»+l/2 , »,i ~ 4 V »+l/2,j+l/2 + «+1/2J-1/2 + , tn+1/2 ,i."+l/2 V + «-1/2J+1/2 + 1-1/2 J-1/2J' Параметры в точках, находящихся на оси симметрии и на жесткой поверхности, можно рассчитать по общей схеме D.66) и D.67), используя способ отражения. Его суть сводится к введению «фиктивных» лучей i = -1 и j = -1, в узлы которых экстраполируются параметры из области течения среды после расчета их на каждом временном слое с 367
учетом граничных условии, т.е. антисимметрично по соответствующим компонентам вектора массовой скорости и симметрично по всем остальным функциям. Таким образом, для расчета параметров на оси симметрии в узлы «фиктивного» луча г = — 1 вносятся следующие значения параметров: .П + 1 _ П + 1. П + 1 _ П + 1. П + 1 _ П + 1. n+1 _ n+l _ rn+1, r.n+1 __ Для расчета параметров на жесткой поверхности в узлах «фиктивного» луча j = -1 необходимо принять: В особой точке начала координат (г = z — 0) массовая скорость среды равна нулю (u = 0,v = 0), что в соответствии со вторым, третьим и пятым уравнениями системы D.63) приводит к постоянству показателя адиабаты к в этой точке и выполнению условий Соотношения D.68) позволяют воспользоваться параболической экстраполяцией для определения давления в особой точке как вдоль координаты в, так и вдоль координаты ц. Так как вычисленные значения давления в обоих случаях могут не совпадать, то в решении эти значения надо приводить к среднему, т.е. рассчитывать давление по зависимости Аналогичные соотношения используются также для расчета остальных термодинамических параметров в точке начала координат: 1 = 6 368
Подвижная разностная сетка. Стилизованная разностная сетка для реализации рекуррентных соотношений D.66) и D.67) представлена на рис. 4.20. Особенностью этой сетки является наличие буферной зоны, внутренние лучи которой 5^, 5р, Syy, Sy связаны с лидирующими точками детонационной или ударной волны и перемещаются с соответствующими скоростями DL,DP,DN,Dy. На внешних лучах 0, 5r, Sz буферной зоны, ограничивающих разностную сетку, параметры течения совпадают с параметрами окружающей среды, т.е. в узлах сетки на этих лучах р = ро, р = ро, 7 — 7о> Е = Е0,и = v = 0. Скорости Ul,Up,Vn, Vy расширения разностной сетки определяются по соответствующим скоростям распространения фронта детонационной или ударной волны из следующих геометрических соотношений: SP-SL SP-SL VN = DN- Sy-SN SN; VV = DV + Sy-SN D.69) (SZ-SV). f Sy j r 0 4 ^ Фро ¦Ъ и нтДЪ i T_ \ / \ fUQ) [Щ 1 h 1 s s J * \ Vd г SL I *VN Sp Sp rp ^ Up Рис. 4.20. Стилизованная разностная сетка: ДВ — детонационная волна; УВ — ударная волна 369
При этом границы разностной сетки и буферных зон Fpj, Fy) в любой момент времени связаны между собой аналогичными соотношениями: FP-FL SP-SL Fy - FN Sy — S n SL; FP-FL Sn\ SP-SL Fy - FN Sy — Sj\[ (Sr - SP); (Sz - SV). Положение и форма фронта детонационной волны в заряде топливно-воздушной смеси определяются с помощью маркеров. На рис. 4.21 представлена начальная форма фронта детонационной волны в некоторый момент времени 2о> причем параметры на этом фронте определяются по характеристикам топливно-воздушной смеси в точке инициирования (ги, ги). Цифрами указаны номера маркеров, которые расположены на лучах, выходящих из точки инициирования под углами аг- = (тт/18)(г-1). Общее число маркеров г — 1.. .36. Дальнейшее распространение фронта детонационной волны связано с перемещением маркеров вдоль лучей со скоростью, соответствующей местной скорости детонации смеси и равной косой проекции последней на направление луча. Рис. 4.21. Начальная форма фронта детонационной волны (ДВ) с маркерами 370
Sy 0 f f 1 1/5 > \ ^ •n i HI Г J J 9 f Рис. 4.22. Текущая форма фронта детонационной волны и положения маркеров для заряда топливно-воздушной смеси с переменной концентрацией горючего: о — маркеры; х — узлы сетки, ближайшие к фронту волны Текущая форма фронта детонационной волны и положения маркеров на фронте для заряда топливно-воздушной смеси с переменной концентрацией горючего представлены на рис. 4.22. Численный метод Лакса — Вендроффа является сквозным и не предполагает выделение фронта детонационной или ударной волны. Однако если для ударных волн такой подход вполне допустим, то для определения параметров на фронте детонационной волны он не приемлем, так как в рассматриваемой постановке задачи этот подход не обеспечивает необходимой точности расчета указанных параметров. Поэтому после расчета параметров течения во всех узлах разностной сетки проводится корректировка параметров в узлах, ближайших к фронту детонационной волны в заряде топливно-воздушной смеси. 371
Распространение фронта детонационной волны с местной скоростью детонации может приводить к смещению лучей разностной сетки относительно точки инициирования (ги, ги). Поэтому в каждый момент времени определяются лучи сетки ги, уи, ближайшие к точке инициирования, и проводится разделение сетки на четыре квадранта. После этого в каждом квадранте выполняется перебор лучей г, j и определяются узлы сетки, ближайшие к фронту детонационной волны, образованному прямыми отрезками, соединяющими соседние маркеры. При этом перебор должен быть организован таким образом, чтобы найденные узлы сетки образовали замкнутый ломаный контур, пересекающий фронт. В узлы образованного ломаного контура вносятся значения местных параметров Чепмена— Жуге и компонент вектора массовой скорости, соответствующих ориентации ближайшего отрезка детонационного фронта. Корректировка параметров течения в узлах сетки, ближайших к фронту детонационной волны, при сквозном расчете позволяет к моменту выхода фронта на поверхность заряда топливно-воздушной смеси сформировать предвестник ударной волны, в котором значения всех параметров течения плавно изменяются от значений параметров Чепмена — Жуге до значений параметров атмосферы, окружающей заряд смеси. Режим расширения подвижной разностной сетки может быть реализован двумя различными способами — непрерывно или дискретно во времени. В связи с этим можно проанализировать два варианта разностной сетки: непрерывно- подвижной и дискретно-подвижной. В первом варианте границы разностной сетки непрерывно отслеживают перемещение области максимального давления, жестко связанной с лидирующей точкой детонационной или ударной волны в соответствующем направлении (например, с точками 1 я 19 в направлении г и с точками 10 и 28 в направлении z (см. рис. 4.22)). На рис. 4.23 представлены схема перемещения правой границы сетки и эпюры давления по лучу лидирующей точки в два последовательных момента времени на временных слоях п и п + 1. При распространении детонационной волны точка максимального давления рта,х (давление на фронте волны) всегда 372
Рис. 4.23. Схема перемещения правой границы непрерывно-подвижной разностной сетки находится на внутреннем луче Sp буферной зоны и скорость перемещения этого луча на временном шаге At совпадает с местной скоростью детонации Vp на временном слое п. При расчете ударной волны, когда параметры на ее фронте определяются в результате численного решения, положения точек максимального давления на временных слоях п и п + 1 могут не совпадать с лучом Sp (см. рис. 4.23). В этом случае значения параметров р^ах и Рщ^х и соответствующие положения их точек в расчетной области находятся с помощью параболической интерполяции по трем соседним узлам. Скорость перемещения луча Sp между временными слоями п и п + 1 определяется по координатам точек максимального давления и приписывается лучу на временном слое п + 1. Значение D7^" используется для расчета параметров течения на следующем временном слое, т.е. в режиме непрерывного движения скорость расширения сетки экстраполируется с предыдущего временного слоя. Для исключения неприемлемых осцилляции скорости расширения сетки необходимо наложение физических ограничений на скорость перемещения точек максимального давления, а именно эта скорость не может быть меньше скорости звука в воздухе и больше скорости детонации в заряде топ л ивно-воздушной смеси. Аналогичным образом перемещаются другие границы разностной сетки — левая, нижняя и верхняя. 373
л+f Рис. 4.24. Схема перемещения правой границы дискретно-подвижной разностной сетки Во втором варианте границы разностной сетки перемещаются дискретно на некоторых временных слоях, что сопровождается перестроением всей сетки. На рис. 4.24 представлена схема перемещения правой границы сетки и даны распределения давления по лучам, связанным с лидирующими точками Ртах и Ртах > для ДВУХ последовательных моментов времени на временных слоях п и п+1. Расчет параметров течения на временном слое п +1 проводится в узлах неподвижной разностной сетки, для чего в рекуррентных соотношениях D.66) и D.67) необходимо положить Up = U i = У/у = Vy — О, а значения координат границ сетки гр, т^, z^ и zy оставить постоянными и равными их значениям на временном слое п. После выполнения расчетов и определения параметров в узлах старой сетки (отмечены крестиками на рис. 4.24) находится положение лидирующей точки детонационной волны и проводится перестроение сетки таким образом, чтобы внутренний луч Sp буферной зоны совпадал с лидирующей точкой на фронте. Параметры в узлах новой сетки (отмечены кружками на рис. 4.24) определяются интерполяцией по вычисленным параметрам в узлах старой сетки. Интерполяция в узлы новой сетки повышает устойчивость численного решения, но в то же время приводит к снижению порядка точности аппроксимации. Поэтому для увеличения точности аппроксимации разностной схемы при расчете 374
ударных волн перестроение сетки проводится не на каждом временном слое, а лишь тогда, когда (например, для правой границы) давление на луче Sp + 1 буферной зоны неподвижной разностной сетки становится больше давления на луче 5р. При этом луч Sp необходимо переместить на один шаг сетки в направлении оси г. В этом случае узлы новой сетки в окрестности фронта ударной волны оказываются в непосредственной близости от узлов старой сетки, что не только удобно для построения вычислительного алгоритма, но и повышает точность интерполяции. Аналогичные операции проводятся при перемещении других границ разностной сетки. Алгоритм численного решения. Параметры детонации топливно-воздушной смеси связаны с локальной концентрацией горючего в заряде смеси. Для задания концентрации горючего в заряде топливно-воздушной смеси используется прямоугольная матрица концентраций (рис. 4.25) в плоскости (г, г), которая связана своими крайними лучами 0, 5ь 52 с экстремальными координатами контура заряда смеси #?, %N> Rp> %V- В узлы (га, к) матрицы заносятся значения локальной концентрации Smjc. Контур заряда смеси задается нижней и верхней границами с координатами Z\m> Z2m> соответствующими лучу га матрицы концентраций. Такое задание контура заряда смеси позволяет решать поставленную задачу для зарядов практически любой формы. о Рис. 4.25. Матрица концентраций горючего в заряде топливно-воздушной смеси 375
Рис. 4.26. Взаимное расположение разностной сетки и матрицы концентраций: ДВ — детонационная волна; УВ — ударная волна На рис. 4.26 представлено взаимное расположение разностной сетки и матрицы концентраций горючего в заряде смеси в некоторый момент времени после инициирования заряда в точке (ги, zK). Значения параметров течения в узлах на границе сетки (лучи О, 5V, Sz) до момента совмещения этих лучей с осью симметрии или с жесткой поверхностью не рассчитываются и остаются равными значениям параметров окружающей среды. После совмещения луча г = 0 с осью симметрии или луча j = 0 с жесткой поверхностью движение сетки в этих направлениях прекращается, а параметры в узлах на указанных лучах рассчитываются по общей схеме с привлечением соответствующих граничных условий. Для построения фронта детонационной волны на каждом временном шаге по координатам маркеров определяется их положение относительно матрицы концентраций и по значениям локальной концентрации в четырех ближайших узлах 376
(Ьт,к, <*m,*-l> *m-l,b *m-l,jfc-l) ПРОВОДИТСЯ ИНТврпОЛЯЦИЯ концентрации, с помощью которой рассчитываются скорость детонации D{ и ее составляющие вдоль лучей для каждого маркера. Расширение разностной сетки осуществляется перемещением внутренних лучей 5^, Sp, Syy, Sy буферной зоны, для чего на этих лучах определяются узлы с максимальным давлением, а затем (как описано ранее) по положению указанных узлов рассчитываются скорости перемещения границ сетки или проводится ее перестроение. После расчета параметров течения в узлах на следующем временном слое разностной сетки на лучах i и j определяются узлы, ближайшие к фронту детонационной волны. В эти узлы вносятся значения параметров Чепмена — Жуге, соответствующие положению узлов во внешней матрице концентраций. На участках фронта, выходящих за границу заряда, т.е. в области воздушной ударной волны, корректировка параметров течения не проводится и их значения остаются равными значениям, полученным в процессе сквозного численного расчета (пунктирная линия на рис. 4.26). Если заряд прилегает к оси симметрии (см. рис. 4.26) или к жесткой поверхности, то после остановки движения левого или нижнего луча разностной сетки движение фронта детонационной волны продолжается вплоть до выхода его на соответствующую границу. Для устранения осцилляции параметров течения в области значительных градиентов необходимо использовать одно- параметрическое сглаживание вычисленных функций на каждом временном слое (до корректировки параметров на фронте детонационной волны) по формуле где а — коэффициент сглаживания. Практика показывает, что для подавления осцилляции параметров течения значение коэффициента сглаживания а должно составлять 0,01.. .0,02 при использовании непрерывно-подвижной разностной сетки и 0,001.. .0,005 при использовании дискретно-подвижной разностной сетки. 377
Шаг сетки по времени при численном интегрировании выбирается исходя из условия устойчивости Куранта с учетом местной скорости перемещения узлов сетки, компоненты вектора которой в направлении осей г и z для узла (г, j) равны ULi vNi Тогда условие устойчивости Куранта для определения шага сетки по времени можно записать в форме At — min < mm mm mm mm где Cij — скорость звука в рассматриваемом узле; Кг — число Куранта. Устойчивое решение задачи в рассматриваемой постановке можно получить при Кг = 0,6 .. .0,9. Задачу удобно формулировать в безразмерном виде с основными масштабами для давления рМасш> плотности /эмасш и длины гмасш. При этом значения двух первых масштабов принимаются равными значениям параметров стандартной атмосферы при температуре 20 °С, т.е. рМасш = 1,013 • 105 Па, Рмасш = 1,204 кг/м3, а в качестве линейного масштаба берется значение радиуса эквивалентного по объему полусферического заряда, расположенного на жесткой поверхности. Масштабы измерения скорости, времени и импульса связаны с основными масштабами соотношениями . _ ^масш j _ , ^масш — 5 -*масш — Рмасш^масш- 378
При таком выборе масштабов измерения независимых переменных и искомых функций запись интегрируемых уравнений и граничных условий не изменяется. Оценка точности алгоритма численного решения. Строгое суждение о точности численного метода можно сделать лишь тогда, когда математически доказана его сходимость к точному решению дифференциальных уравнений, описывающих математическую постановку задачи. Однако математические основы определения сходимости и устойчивости разностных схем хорошо развиты только для линейных систем. Для нелинейных задач, подобных рассматриваемой в этом разделе, строгие математические методы оценки точности численного решения либо отсутствуют, либо носят частный характер. Поэтому оценивать точность решения нелинейных задач, как правило, приходится косвенно либо путем проверки интегральных законов сохранения (внутреннее тестирование), либо путем решения с помощью выбранного метода ранее хорошо изученных частных задач (количественное тестирование). Ниже приведены примеры использования обоих способов оценки точности алгоритма численного решения рассматриваемой задачи. В качестве основной модельной задачи рассмотрим одномерный взрыв полусферического заряда топливно-воздушной смеси, расположенного на жесткой поверхности. Параметры этого взрыва хорошо изучены с помощью одномерного алгоритма, позволяющего выделять в виде особых поверхностей (точек) фронт детонационной или ударной волны и поверхность контакта продукты детонации — воздух (см. раздел 3.3). Расчет по двумерному алгоритму проводился на разностной сетке, содержащей 2500 узлов E0 X 50). Количественные тесты. На рис. 4.27 представлены распределения давления и массовой скорости в области течения в некоторые моменты времени (время указано на полях рисунков), полученные при решении задачи о взрыве полусферического заряда ацетилена стехиометрической концентрации с помощью непрерывно-подвижной и дискретно-подвижной разностных сеток. Вертикальные тонкие линии соответствуют внутреннему лучу Sp буферной зоны, а пунктирные — поверхности контакта продукты детонации — воздух. 379
р го 10 t/tMCui-O,ltt От сУ П и р го г ю 0 t/tmcumo,iso л ¦у и 4 2 0 В,5 Рмссш { \ 1 п г/гтт Рис. 4.27. Распределения давления и массовой скорости в области течения, полученные в непрерывно-подвижной (а) и дискретно-подвижной (б) разностных сетках: вдоль оси г (z — 0); § — вдоль оси z (г = 0); о — вдоль диагонали (г = z) Сравнительный анализ показывает, что совпадение результатов решения по различным направлениям лучше выполняется для дискретно-подвижной разностной сетки. Времена t/tM3iCm = 0,156 (рис. 4.27, а) и */Wm = 0,150 (рис. 4.27, б) соответствуют подходу детонационной волны к поверхности заряда, при этом за фронтом волны устанавли- 380
ваются распределения давления и массовой скорости, близкие к автомодельным (см. раздел 5.2). В центральной области протяженностью, приблизительно равной половине радиуса фронта детонационной волны, сформировалась область покоя с постоянным давлением, равным 6,3рмасш в случае непрерывно-подвижной разностной сетки и 6,2рмасш в случае дискретно-подвижной разностной сетки. Решение задачи о сферической детонации по одномерному алгоритму дает значение давления в области покоя, примерно равное 6,1рмаСш> т.е. дискретно-подвижная разностная сетка обеспечивает более высокую точность результатов решения. Кроме того, использование непрерывно-подвижной разностной сетки приводит к появлению некоторой немонотонности изменения параметров за фронтом детонационной волны. Характерной особенностью решения на непрерывно-подвижной разностной сетке является появление в буферной зоне осцилляции параметров, которые связаны со сверхзвуковой скоростью перемещения узлов в этой зоне сетки. Действительно, скорость распространения ударной волны является сверхзвуковой по отношению к невозмущенной среде, что в соответствии с D.69) приводит к еще большей скорости расширения сетки. Поэтому в буферной зоне сеточная скорость перемещения расчетных узлов превосходит скорость распространения сеточных возмущений и использование симметричного шаблона становится неправомерным. На рис. 4.28 в логарифмическом масштабе представлены зависимости максимального избыточного давления Дрщах на фронте ударной волны и импульса / избыточного давления фазы сжатия ударной волны от расстояния, полученные с помощью одномерного и двумерного алгоритмов на дискретно- подвижной разностной сетке. Максимальное расхождение значений избыточного давления наблюдается в воздушной ударной волне в непосредственной близости от заряда и достигает 15...20%. Однако при г > 1,5гмасш различие значений Дртах уменьшается и вплоть до расстояния г = 10гмасш не превосходит 10 %. При увеличении расстояния максимальное избыточное давление в двумерном случае становится заметно меньше, чем в одномерном (до 25 %), а при г > 15гмасш значе- 381
/ /мосш / 0,1 0,1 °> \ % 1 10 а 5 Рис. 4.28. Зависимости максимального избыточного давления (а) и импульса избыточного давления фазы сжатия ударной волны (б) от расстояния: одномерный алгоритм; —о двумерный алгоритм ние Артах начинает нереально быстро уменьшаться. Последнее обстоятельство связано с тем, что на больших расстояниях в фазе сжатия ударной волны оказывается слишком мало расчетных узлов и «схемная» вязкость метода Лакса—Вен- дроффа, а также процедура сглаживания приводят к сильному «размазыванию» фронта ударной волны. Максимальное расхождение результатов по импульсу избыточного давления фазы сжатия ударной волны наблюдается в окрестности поверхности заряда, и достигает 30... 35 %. При удалении от заряда различие значений / уменьшается и при г > 2гмасш не превосходит 15 %. Решение модельной двумерной задачи с использованием непрерывно-подвижной разностной сетки приводит к более заметным расхождениям с результатами, полученными по одномерному алгоритму. Эти различия в окрестности заряда достигают: по максимальному избыточному давлению 30 ... 35 %, а по импульсу избыточного давления фазы сжатия ударной волны 50 ... 60 %. Результаты тестирования дают основание рекомендовать для построения алгоритма численного решения двумерной задачи о взрыве заряда топливно-воздушной смеси над жесткой поверхностью использование дискретно-подвижной раз- 382
ностной сетки. С помощью такого алгоритма было проведено моделирование процессов нормального отражения детонационных и ударных волн различной кривизны и интенсивности от жесткой поверхности, которое показало, что погрешность численных расчетов по отношению к точным аналитическим решениям не превосходит 10 ... 15 % при любых практически реальных начальных и граничных условиях. Внутренние тесты. Определив в результате численного решения задачи параметры течения в узлах прямоугольной разностной сетки, не представляет труда провести интегрирование по объему и вычислить полную энергию и массу среды в расчетной области. После выхода детонационной волны за контур заряда полная энергия в расчетной области должна быть равна сумме начальных внутренних энергий воздуха и смеси, а также энергии, выделившейся при взрыве. Масса среды должна быть равна сумме начальных масс смеси и воздуха. Проведенная проверка выполнения интегральных законов сохранения энергии и массы в процессе решения задачи показала, что они соблюдаются с погрешностью 3 ... 5 % на всех этапах вычислений. Итак, оценки показывают, что описанный алгоритм численного решения двумерной осесимметричной задачи на дискретно-подвижной разностной сетке, содержащей 2500 узлов, обеспечивает удовлетворительную точность и может быть рекомендован для анализа параметров взрыва заряда топливно- воздушной смеси над жесткой поверхностью. Увеличение числа узлов разностной сетки на два порядка (это реальная возможность для современных компьютеров) должно на порядок повысить точность описанного алгоритма. Пример решения конкретной задачи. В качестве иллюстрации использования двумерного алгоритма рассмотрим задачу о взрыве сферического заряда топливно-воздушной смеси на основе ацетилена сте- хиометрической концентрации на различной высоте над жесткой поверхностью. Инициирование детонации осуществлялось в центре заряда, находящемся на высоте h = A...3)го, где го — радиус заряда. Случай h = го соответствует касанию зарядом жесткой поверхности. Для всех вариантов радиус 383
4 - 3 - —с 3 J ч у / / - О 1 г/г0 0 1 2 г/га 0 2 4 г/г0 ^ б в Рис. 4.29. Поля давления в области течения при взрыве сферического заряда топливно-воздушной смеси над жесткой поверхностью в некоторые моменты времени: а — */*масш = 0,127; б — */*масш = 0, 635; в — </<маСш = 2, 21; — граница газового пузыря продуктов детонации; фронт отраженной ударной волны эквивалентного полусферического заряда составлял гмасш — = 1,26г0. На рис. 4.29 для варианта h — 2tq в плоскости (г, z) приведены изобары в области течения в некоторые моменты времени после инициирования заряда. В момент времени ^/^масш = 0,127 фронт детонационной волны выходит на поверхность заряда. Изобары в продуктах детонации имеют форму окружностей и соответствуют автомодельному распределению давления за фронтом сферической детонационной волны, где образуется центральная область постоянного давления р/рмасш = 6,2, протяженность которой приблизительно равна половине радиуса заряда. Время t/tMa>CUI = 0,635 соответствует начальному этапу взаимодействия воздушной ударной волны с жесткой поверхностью на стадии регулярного отражения. Максимальное давление на фронте отраженной волны наблюдается в точке отражения, а минимальное — на оси симметрии. В области отраженной волны изобары откло- 384
няются от окружностей, а граница газового пузыря продуктов детонации тормозится и теряет форму окружности. Стадия нерегулярного отражения сферической воздушной ударной волны на рис. 4.29 соответствует времени t/tMdiCUI — 2,21. Отраженная волна начинает догонять падающую волну, и около жесткой поверхности образуется волна Маха, пересекающая плоскость под прямым углом. Газовый пузырь продуктов детонации оттесняется от жесткой поверхности и немного сплющивается. За фронтом отраженной волны в окрестности центра симметрии появляется область, где давление меньше атмосферного давления, причем наибольшее разрежение наблюдается на жесткой поверхности. На рис. 4.30 и 4.31 для рассматриваемого случая h — 2го в логарифмических координатах представлены зависимости максимального избыточного давления Дртах и импульса / избыточного давления фазы сжатия ударной волны от расстояния от центра системы координат на жесткой поверхности {z = 0), вдоль оси симметрии (г = 0), на плоскости z = 2го, проходящей через центр заряда, и на плоскости z = 4ro- Сравнение значений Дртах и /на жесткой поверхности (г = 0) и на плоскости z = 4г$ дает возможность оценить возрастание параметров взрыва за счет процесса отражения ударной волны. Максимальное избыточное давление (см. рис. 4.30) после выхода ударной волны из заряда вдоль оси z падает вплоть до достижения ею жесткой поверхности, где оно составляет примерно Зрмасш- При отражении ударной волны в эпицентре взрыва давление возрастает до Дртах = И^Рмасш- На жесткой поверхности давление монотонно убывает от эпицентра взрыва. За счет отражения ударной волны избыточное давление на жесткой поверхности возрастает в эпицентре в 3,8 раза, а при удалении от заряда на большое расстояние (г > 10гмасш) — примерно в 1,5 раза. Давление на плоскости, проходящей через центр заряда, после выхода на нее волны Маха становится практически равным давлению на жесткой поверхности. Место выхода волны Маха на плоскость z = 2tq (г « 7го) характеризуется резким изломом кривой изменения Дртах- 13-2728 385
Рис. 4.30. Зависимости максимального избыточного давления от расстояния: 1 — на жесткой поверхности (z = 0); 2 — вдоль оси симметрии (г = 0); 3 — на плоскости z = 2го; 4 — на плоскости z = 4го Рис. 4.31. Зависимости импульса избыточного давления фазы сжатия ударной волны от расстояния: 1 — на жесткой поверхности (z = 0); 2 — вдоль оси симметрии (г = 0); 3 — на плоскости z = 2го; 4 — на плоскости z = 4го 386
Импульс избыточного давления фазы сжатия ударной волны (см. рис. 4.31) вдоль оси z уменьшается от центра заряда в обоих направлениях, однако при приближении к жесткой поверхности он начинает возрастать в результате суммирования с импульсом отраженной волны. На жесткой поверхности импульс монотонно убывает от эпицентра взрыва, при этом за счет отражения импульс падающей ударной волны возрастает в эпицентре примерно в 4 раза, а на больших расстояниях в 1,8 раза. Импульс избыточного давления фазы сжатия ударной волны на плоскости, проходящей через центр заряда, мало отличается от импульса на жесткой поверхности и несколько меньше последнего при расстоянии г = A.. .5)гмасш, например при г = 2гмасш различие составляет 25 %. На рис. 4.32 и 4.33 представлены зависимости максимального избыточного давления и импульса избыточного давления фазы сжатия ударной волны вдоль оси симметрии для всех рассчитанных вариантов (h/ro = 0; 1; 1,5; 2 и 3). Случай h/ro = 0 соответствует взрыву эквивалентного полусферического заряда на жесткой поверхности. Максимальное избыточное давление на фронте отраженной волны (см. рис. 4.32) становится меньше давления падающей волны на расстоянии @,1... 0,2)гмасш от жесткой поверхности (в зависимости от высоты размещения заряда). При высоте взрыва h/ го = 1 и 1,5 отраженная волна догоняет фронт основной ударной волны и давление на ее фронте становится практически равным давлению при взрыве эквивалентного полусферического заряда. При h/ro = 2 и 3 отраженная волна не успевает догнать фронт основной ударной волны, до того как последняя достигнет координаты z = 20гмаСш> и давление на'этом фронте на соответствующих расстояниях 8гмасш и 12,5гмасш становится меньше, чем при взрыве эквивалентного полусферического заряда. Импульс избыточного давления фазы сжатия ударной волны (см. рис. 4.33) имеет локальный максимум в области размещения центра заряда, а его значение примерно равно 2/масш при h > 1,5гмасш и не зависит от высоты взрыва. В случае касания зарядом жесткой поверхности (h = tq) импульс избыточного давления фазы сжатия ударной волны до высоты 13* 387
Рис. 4.32. Зависимости максимального избыточного давления от расстояния вдоль оси симметрии (двойные значки соответствуют отраженной ударной волне): 1 — Л/го = 0; 2 — h/r0 = 1; 3 — h/r0 = 1,5; 4 — h/r0 = 2; 5— h/r0 =3 z = /i, т.е. внутри заряда, остается практически постоянным и несколько большим (примерно на 10 %), чем в центрах более удаленных зарядов, однако меньшим, чем при взрыве эквивалентного заряда (до 15 % на жесткой поверхности). В направлении от жесткой поверхности импульс избыточного давления фазы сжатия ударной волны уменьшается и с некоторого расстояния (для зарядов с h/rQ = 1 и 1,5) начинает совпадать с импульсом при взрыве эквивалентного заряда, а для зарядов с h/ro — 2 и 3 он становится меньше импульса при взрыве эквивалентного заряда. На рис. 4.34 и 4.35 приведены зависимости Дртах и / от расстояния от эпицентра взрыва на жесткой поверхности. Максимальное избыточное давление (см. рис. 4.34) в эпицентре взрыва при h < l,5ro выше давления детонации. При 388
Рис. 4.33. Зависимости импульса избыточного давления фазы сжатия ударной волны от расстояния вдоль оси симметрии: / — Л/г0 = 0; 2 — h/r0 = 1; 3 — h/r0 = 1,5; 4 — h/r0 = 2; 5 — h/то = 3 APmax Рмасш IF 1 г\ 5 \ \ 0,1 1 Ю г/гМсш Рис. 4.34. Зависимости максимального избыточного давления от расстояния от эпицентра взрыва на жесткой поверхности: 1 — h/ro = 0; 2—h/ro = 1; 3—h/r0 = 1,5; 4~h/r0 = 2; 5—h/ro = 3 389
Рис. 4.35. Зависимости импульса избыточного давления фазы сжатия ударной волны от расстояния от эпицентра взрыва на жесткой поверхности: 1 — h/r0 = 0; 2 — h/r0 = 1; 3 — h/r0 = 1,5; 4 — h/r0 = 2; 5 — h/r0 = 3 удалении от эпицентра взрыва максимальное избыточное давление при отражении падающей ударной волны на расстояние г = A,5.. .2,0)/* становится выше, чем при взрыве эквивалентного полусферического заряда, и это превышение достигает 25 ... 35 %, а в дальнейшем начинает приближаться к значению давления взрыва эквивалентного заряда. В рассмотренных вариантах задачи не обнаружено феномена возрастания давления при переходе от регулярного режима отражения воздушной ударной волны к нерегулярному. Очевидно, это связано с криволинейностью и нестационарностью падающей волны. Локальное повышение давления при h/ro = 1 происходит при углах, значения которых значительно меньше критического значения, и не связано с переходом к нерегулярному отражению. Дело в том, что при h = tq заряд касается жесткой поверхности и в точке касания должно происходить отражение детонационной волны, а в непосредственной близости от нее — отражение воздушной ударной волны. При этом нормальное отражение детонационной волны должно приводить к давлению порядка 50рМасш> а отражение воздушной ударной волны интенсивностью Дртах ^ 15рмасш 390
(начальное давление ударной волны при выходе детонационной волны на поверхность заряда) — к давлению порядка 85рмасш- Так как используемый численный метод приводит к «размазыванию» не только фронта ударной волны, но и поверхности контакта продукты детонации — воздух, то локальное повышение давления при /i/ro = 1 связано с постепенным переходом от процесса отражения детонационной волны к процессу отражения воздушной ударной волны. Импульс / избыточного давления фазы сжатия ударной волны на жесткой поверхности (см. рис. 4.35) максимален в эпицентре взрыва (кроме случая h/ro = 1 по указанной выше причине). При удалении от эпицентра взрыва значение / снижается, однако с некоторого расстояния (от 1,25гмасш до 2,50гмасш в зависимости от высоты взрыва) значение J становится больше, чем при взрыве эквивалентного полусферического заряда. Максимальное превышение значения / наблюдается при высоте взрыва h/ro — 3 и достигает примерно 20%. 4.3. Формирование кумулятивной струи при функционировании кумулятивного заряда (эйлерово-лагранжев метод «концентраций») Простейший кумулятивный заряд состоит из металлической облицовки 1 и заряда 2 взрывчатого вещества (рис. 4.36). Кумулятивные заряды бывают осесимметричными (рис. 4.36, а) и удлиненными (рис. 4.36, б). В зависимости от формы, энергетических параметров и места инициирования заряда взрывчатого вещества (точка 3 на рис. 4.36, а), профиля, толщины и материала облицовки возможно получение как кумулятивных струй, так и высокоскоростных компактных тел. На рис. 4.37 для примера показаны типовые конструктивные варианты металлических облицовок. При этом наиболее широкое применение получили медные конические облицовки с углом раствора 2а = 30° ... 145° — облицовки высокого прогиба, у которых ho/do > 0,3 (рис. 4.37, а). В зависимости от специфики решаемых задач довольно часто в кумулятивном заряде используют металлические облицовки сферической 391
Рис. 4.36. Кумулятивные осесимметричные (а) и удлиненные (б) заряды: 1 — металлическая облицовка; 2 — заряд взрывчатого вещества; 3 — точка инициирования заряда (рис. 4.37, б) и комбинированной (рис. 4.37, б) формы, а также облицовки низкого прогиба — конические (рис. 4:37, г) и сегментные (рис. 4.37, с?). Рупорообразные (рис. 4.37, е) и ожи- вальные (рис. 4.37, ж) облицовки применяют редко. Функционирование кумулятивного заряда в настоящее время достаточно хорошо исследовано. Тем не менее представляют интерес определение параметров схлопывания металлической облицовки и энергетических характеристик кумулятивной струи, оценка поведения материала облицовки в области формирования струи, физика растяжения, разрыва и проникания кумулятивной струи в различные среды. Решение этих задач экспериментальными методами затруднено вследствие малой длительности процесса, наличия импульсных Рис. 4.37. Типовые варианты металлических облицовок 392
нагрузок, а также потому, что структура течений в области взаимодействия в процессе деформирования материала облицовки и в самой кумулятивной струе во время ее растяжения, разрыва и проникания в различные среды скрыта от исследователя. В этом плане особое значение имеет математическое моделирование явлений кумуляции, основанное на применении численных методов механики сплошных сред. Постановка задачи. Изучение процессов схлопывания металлической облицовки и образования кумулятивных струй как для осесимметричных, так и для удлиненных кумулятивных зарядов целесообразно проводить в двумерной постановке (в цилиндрической или декартовой прямоугольной системе координат). Естественно, в первом случае не учитывается асимметрия в изготовлении и инициировании заряда взрывчатого вещества, во втором — протяженность и пространственная кривизна реальных кумулятивных зарядов. Кроме того, необходимо отметить, что сквозной расчет функционирования кумулятивного заряда на основе численных методов механики сплошных сред от момента его инициирования до окончания пробития преграды сопряжен с определенными трудностями, вызванными прежде всего несовершенством физико- математических моделей разрушения кумулятивной струи и длительностью вычислительного цикла. Поэтому необходима увязка процесса численного расчета параметров схлопывания металлической облицовки под действием продуктов детонации и процесса формирования кумулятивной струи («ножа») с инженерным расчетом как перечисленных, так и последующих стадий кумулятивного действия (растяжения, разрыва и внедрения струи в преграду). Расчетная схема процесса схлопывания металлической облицовки представлена на рис. 4.38. Для описания поведения материала облицовки выбрана идеально упругопластическая модель материала, характеризуемая баротропным уравнением состояния, что позволяет избежать интегрирования уравнения энергии в исходной системе соотношений C.3) (см. раздел 3.2). Для зоны продуктов детонации течение считается изоэнтропическим. Распространение детонации рассматривается вне общей системы уравнений и задает границу области 393
Рис. 4.38. Расчетная схема процесса схлопывания металлической облицовки: 1 — металлическая облицовка; 2 — корпус; 3 — взрывчатое вещество; 4 — фронт детонационной волны; 5 — продукты детонации; 6 — границы раздела разнородных веществ; 7 — точка инициирования заряда взрывчатого вещества; 8 — реперные точки (маркеры) течения. С учетом сделанных допущений система уравнений, описывающая двумерное течение в переменных Эйлера, имеет вид dp d(pvr) d{pvz) vpvr __ at or dz r dvr 1 dt + -BDffrr + Г dz aTT — Darr - p; о dt : = Dffzz - p; crr о . a, + °rr, = D ffTZ; dt dt = 2G\^- + — -? \ or 3/9 dt - a(— + —\ + I dz dr I D.70) D.71) D.72) D.73) D.74) D.75) D.76) 394
Все обозначения в уравнениях D.70)—D.76) соответствуют ранее введенным. Для описания пластического течения принимается критерий Мизеса в виде D.11) с последующим приведением напряжений на круг текучести. Поправки Яуманна на поворот <Srr, 6ZZ, 6rz определяются по формулам D.10). В качестве уравнений состояния взаимодействующих сред используются баротропные зависимости: для материалов облицовки и корпуса заряда — ударная адиабата в форме Тэта р = р(р) = Ам [(р//90м)п - l], D.77) для продуктов детонации — изоэнтропа в форме степенного двучлена р = Врк + С>7+1. D.78) Здесь ром? Ам — начальная плотность и экспериментальная константа материала облицовки. Коэффициенты изоэнтропы В, С и к G = 0,25...0,35) определяются по параметрам в точке Чепмена — Жуге: в = Pc-J ~ Рс-з C-7-l)pc_j РОВВ 4 PC- где pc-J = -, > PC-i = ^ k = PC-J ( 2 V — давление, плотность и энергия на фронте де- PC—j/ тонационной волны; /Oqbb — начальная плотность взрывчатого, вещества; D — скорость детонации; Q — теплота взрыва заряда взрывчатого вещества. Для расчета детонации используется подход, согласно которому наиболее полное выполнение условий на фронте детонационной волны достигается подбором изоэнтропы продуктов детонации D.78) и уравнения состояния непрореагировав- шего взрывчатого вещества D.79) 395
в котором коэффициент Agg определяется из условия 0,4 < p/pc-J < 0,75. Область разностной сетки, заполненная воздухом, в представленной постановке задачи рассчитывается приближенно. Для этого в качестве изоэнтропы условного «воздуха» используется изоэнтропа продуктов детонации D.78). Основные трудности решения рассматриваемой задачи на неподвижной разностной сетке связаны как с выделением контактных разрывов типа продукты детонации — металлическая облицовка, взрывчатое вещество — металлическая облицовка, продукты детонации — корпус, так и с ограничением счетного «размазывания» (счетной диффузии) первоначальных скачков параметров течения. В различных методиках эта проблема решается по-разному. Например, в методе «частиц в ячейках» каждому веществу соответствуют частицы определенного типа, положение которых определяет распределение различных веществ в рассматриваемой задаче. В этом разделе излагается другой подход к расчету течений неоднородной среды в переменных Эйлера — подход, предложенный Бахрахом A981 г.), который использовал массовые концентрации веществ и специальный алгоритм выделения потоков массы среды из смешанных ячеек разностной сетки, содержащих несколько компонентов среды (метод «концентраций»). Опишем упрощенный вариант метода «концентраций», разработанный В.В. Кореньковым и используемый для локализации контактных разрывов двухкомпонентной среды. Для этого допустим, что материалы облицовки и корпуса одинаковы, и в дополнение к основным параметрам течения (/?, р, vr,vz, DarT, Dcrrz, Dazz) для неоднородной системы продукты детонации (взрывчатое вещество) — металлическая облицовка (корпус) определим массовую концентрацию веществ следующим образом: Mi ' 1 для взрывчатого вещества, продуктов детонации или воздуха, 0 для металлической облицовки или корпуса. 396
Здесь М\ — масса взрывчатого вещества, продуктов детонации или воздуха в ячейке; М — масса ячейки. Таким образом, для однородных ячеек, содержащих только первый компонент, w = 1, для однородных ячеек со вторым компонентом w = О и, наконец, для смешанных ячеек 0 < w < 1. Локализация контактных разрывов осуществляется на основании анализа текущего распределения концентрации взаимодействующих веществ, которое определяется законом сохранения концентрации: d(Pw) , d(pwvr) d(pwvz) pwvr at or dz г ч Для предотвращения счетного «размазывания» параметров течения используется так называемая донорно-акцепторная схема Джонсона определения потока массы среды в многокомпонентных системах. Согласно такому подходу предполагается, что из смешанной ячейки в однородную первоначально вытекает то вещество, которое содержится в однородной ячейке, а обмен массами между смежными ячейками происходит пропорционально объемным концентрациям веществ, находящихся в акцепторной ячейке, т.е. в той ячейке, в которую направлен поток вещества. Давление в смешанной ячейке вычисляется из условия аддитивности удельных объемов и равенства давлений содержащихся в ней компонентов: 1 1 — w w + Р Pw=i Pw=o' D.81) =o) - Pl(pw=l)i где p, pw=Qi Pw=\ — плотности соответственно смешанной ячейки и содержащихся в ней компонентов; po(pw=o) — УДаР" ная адиабата материала облицовки D.77); p\(pw=l) — из°" энтропа продуктов детонации D.78) или уравнение состояния непрореагировавшего взрывчатого вещества D.79). Система уравнений D.81) разрешима в конечном виде лишь в простейших случаях, а в общем случае для ее решения используются 397
итерационные методы, например метод Ньютона. По значениям поля концентраций определяется вид контактного разрыва и на его основе рассчитывается поток вещества из смешанной ячейки. На контактных разрывах продукты детонации — металлическая облицовка, продукты детонации — корпус в процессе решения обеспечиваются условия равенства нормальных компонент векторов скоростей и равенства нормальных напряжений. Граница раздела продукты детонации — воздух не выделяется. Начальные условия конкретной задачи задаются распределениями параметров /?, р, w, vr и vz в области течения среды. Компоненты напряжений принимаются равными нулю. Дискретизация задачи. Пусть в области интегрирования задачи @ < z < Z, 0 < г < R) происходит плоское или осе- симметричное неустановившееся движение неоднородной среды, описываемое уравнениями D.70)—D.80), D.10), D.11) при заданных начальных и граничных условиях. Область интегрирования разбивается на некоторое число прямоугольных ячеек со сторонами Дг = R/m и Дг = Z/n, которые образуют неподвижную (эйлерову) разностную сетку (рис. 4.39, а). Значения целых чисел г = 2, 3,..., т + 1 и j = 2, 3,..., п + 1 обозначают центры ячеек разностной сетки (рис. 4.39, 6), где тип — число ячеек на осях г и z соответственно (для конкретного кумулятивного заряда это число обычно задают таким образом, чтобы по толщине облицовки оно составляло не менее четырех-пяти целых ячеек, причем Дг/Дг = 0,8 ... 1,2). В случае плоской симметрии отдельные ячейки представляют собой прямоугольники, в случае цилиндрической симметрии — торойды. В точках (г, jf) определяются средние значения параметров течения среды — компонент вектора массовой скорости, плотности, давления, концентрации, компонент напряжений. Область интегрирования слева ограничена осью симметрии или жесткой поверхностью (Г\ на рис. 4.39, а); снизу, справа, сверху — открытыми поверхностями (Г2, Гз и Г4), через которые среда может вытекать или втекать. Чтобы не нарушать единообразия вычислений для приграничных ячеек, 398
г,п зм» ш ш щ i i 0 ш 2,п4 2,2 1 ш, i Й i,n*t и АГ 1,2 щ +2 ш Hj 1 /77- Ш ш >!, п+2 ш ПЧ mi2 ш й Щ Ж //Ж V/ i i m+2,j m+2,2 m*f,f Рис. 4.39. Структура неподвижной (эйлеровой) разностной сетки: а — область интегрирования задачи @ < z < Z и 0 < г < R)] б — индексация ячеек разностной сетки («фиктивные» ячейки заштрихованы); А, Лг, Ль А — границы расчетной области вдоль всех упомянутых границ вводят «фиктивные» ячейки (см. рис. 4.39,6), в которых параметры определяют с помощью смежных ячеек, как и в методе «частиц в ячейках» или в методе «крупных частиц» (см. разделы 2.3.1 и 2.3.2). Например, имеем: для оси симметрии или жесткой поверхности (поверхность Г\) ) \nH-l. PJ D.82) для открытой поверхности V«+l. (-,, \n+! - С.ЛЯ+1- 399
для открытой поверхности /з \vr)m+2,j = \v r)m+lj') \v z)m+2,j ~ (v zjm+lji D.84) n+l _ для открытой поверхности D.85) _ n+1 где параметры, помеченные тильдой, определяются в конце I этапа вычислений, а параметры с верхним индексом п + 1 — в конце III этапа (см. раздел 2.3.1). Метод численного решения. В методе «концентраций», который является модификацией метода «крупных частиц», в дополнение к расщеплению исходной системы уравнений по физическим процессам на три этапа (эйлеров, ла- гранжев и заключительный) проводится геометрическое расщепление уравнений сохранения по пространственным координатам. Реализация такого подхода, предложенного В.В. Ко- реньковым, позволяет существенно упростить разностную схему физического расщепления двумерной задачи и избежать применения псевдовязкости для «размазывания» скачков уплотнений. Геометрическое расщепление трансформирует исходную систему уравнений D.70)—D.80) к виду, в котором вместо соотношений D.70)—D.72) и D.80) используются две подсистемы: 400
ldp d(pvr) 1 d(pw) 2 dt I5tv 2 8t + dr 1 _ pwvr г v = "i a dr r dv^ _ 1 d(DffTT - p) dr ~ p [ Or ldvz dvz D.86) Dazz) \dp_ d(pvz) _ 2 dt dr ' ld(pw) d(pwvz) _ 2 dt + dz D.87) dvz dvz d(DffZZ - p) 1 or 1 r Последовательное интегрирование уравнений D.86) и D.87) с шагом т = Atn/2 по направлениям г и z в предположении неизменности компонент девиатора напряжений (D™rr, D%ZZ) D™rz) позволяет получить значения параметров течения среды /9n+1, pn+1, vj?+1, vj+1, it;n+1 на новом временном слое 2n+1 = /n + А/п. При этом устойчивость вычислений обеспечивается выбором шага интегрирования по времени: ДГ = min j Kr D.88) где V{j, Cfj, {vr)i^ (vz)?j ~ объем ячейки, скорость звука в ячейке и компоненты вектора массовой скорости среды в ячейке; Кг = 0,10 .. .0,35 — число Куранта. 401
На следующем этапе по вновь полученным значениям параметров течения среды p^J1, (iv)^1, (vz^t1 рассчитываются значения производных (dp/dt)^- , (dvr/dr)^- , (dvr/8z)^l/2, (dvz/dr)"+l/2, (dvz/dz)"+1/2 и на основании соотношений D.74)—D.76), D.10), D.11) определяются обновленные компоненты девиатора напряжений (Darr)**1, (Г) \W+1 (Г) N71+1 {J^(Tzz)ij , {^arzJij • Далее будем полагать, что в момент времени tn известны все параметры течения двухкомпонентной среды в центрах ячеек эйлеровой координатной сетки: р? •, wj1-, (vT)^ •, Mij* P*j> (В°ттIэ, (Dazz)lj, {D<rTZ)ly Получим соотно- шения для вычисления перечисленных параметров внутри и на границе расчетной области в момент времени Д*п+1 = = tn + Д#п, где А^п — шаг сетки по времени, определяемый соотношением D.88). Этап I (эйлеров). На этом этапе вычислений среда предполагается «замороженной», т.е. отсутствует массооб- мен между смежными ячейками разностной сетки. Изменение параметров течения среды происходит за счет напряжений, действующих в элементарном фиксированном объеме. В этом случае уравнения D.86) и D.87) принимают вид р = const; wp = const; 1 dvr = 1 \d(Darr - P) 2 dt p\ dr D.89) ldv±_ 1 2 dt ~ p -p) + ^r~+r Заменим уравнения D.89) конечно-разностными соотношениями. Для этого определим разностные аналоги произ- 402
водных типа (df/dr)^ и (df/dz)tJ следующим образом: D-90) . D.91) Здесь ffj — значение некоторой сеточной функции в центре ячейки (г, j) на временном слое п (рис. 4.40); /f, /^, /Зп, /I1 — значения произвольной сеточной функции на левой, нижней, правой и верхней границах ячейки (г, j) соответственно, т.е. 2U) Рис. 4.40. Индексация границ ячейки на неподвижной разностной сетке 403
/Г - 2 \f?-i f71 /3 = 2 ~~ 2 vm-1 + ^м J J_ fn VJj и 5ь 52, S3, 54 — соответственно объем и площади левой A), нижней B), правой C) и верхней D) граней ячейки (г, j), определяемые формулами, приведенными в табл. 4.1. Формулы, определяющие объем и площадь граней фиксированной ячейки при плоской и осевой симметриях Таблица 4-1 Параметр Si = Si-l/2j S2 = Si,j-l/2 S3 = Si+l/2,j S4 = 5i,>+l/2 Тип симметрии i/ = 0 (плоская) Дг Дг Дг ДгДг v = 1 (осевая) Г(|-1)-1/2]дгД* (i- 1)ДгДг [A-1) + 1/2]дгДг A-1)ДгДг (г- 1)Дг2Дг С учетом соотношений D.90) и D.91) и шага интегрирования по времени г = At71 /2 определим промежуточные значения компонент (vr)fj и {v z)^ ¦ вектора массовой скорости среды в ячейке (г, j): D.92) 404
D.93) Этап II (лагранжев). На этом этапе вычисляются эффекты переноса среды, учитывающие массообмен между ячейками эйлеровой координатной сетки. При этом предполагается, что перенос массы сплошной среды через границы ячеек за промежуток времени Atn осуществляется с учетом промежуточных значений компонент v T и v г вектора массовой скорости среды, рассчитанных на I этапе. Вначале определим поток массы среды одинаковой концентрации (w = О или w = 1) через границу между ячейками. Например, для правой границы произвольной ячейки (рис. 4.41) он определяется как Ami+l/2,j = при D.94) Здесь pij, Pi+ij — плотности сред, содержащихся в смежных ячейках; 5г+1/2)^ — площадь правой границы ячейки (г, j), через которую происходит массообмен между ячейками (г, j) и (г + 1, j); (vr)i+i/2j = (l/2)[(vr),¦+!,> + (vr)ij]. Согласно выражению D.94) поток массы среды концентрацией w = 1 (Ami) через ту же границу ячейки рассчитывается по формуле / ПРИ («r),-+i/2j > 0, при (vr) < Обратимся теперь к случаю, когда одна из смежных ячеек является смешанной @ < w < 1), а другая — однородной (w = 1 или w = 0). Для примера будем рассматривать поток 405
l-1/2 i-t.J A k4J \ Рис. 4.41. К определению потока массы среды через границу между смежными ячейками (i,j) и (t+1,j): a— (vr)i+i/2,j > 0; б— (vr)i+i/2,i < 0;Д— донорская ячейка; А — акцепторная ячейка массы среды через правую границу смешанной ячейки (г, j) (см. рис. 4.41). При этом назовем ячейку, из которой происходит истечение среды, донорской, а другую, в которую направлен поток массы среды, — акцепторной. Как указывалось выше, в методе «концентраций» принимается, что из смешанной ячейки в однородную первоначально вытекает то вещество, которое находится в однородной ячейке, а обмен массами между смежными ячейками происходит пропорционально объемным концентрациям веществ, содержащихся в акцепторной ячейке. С учетом сделанных допущений рассматриваемый поток массы среды определяется следующим образом: D.96) Дтг+1/2,> = Mi + М0, где ij при [vr j при (и r A - ai+1j)d(Am0)ij при (vT)i+i/2,j > О, A - aitj)d(Am0)i+ij при (vT)i+i/2,j < О. D.97) D.98) 406
Здесь М\, Mo — первая и вторая составляющие потока массы среды через правую границу смешанной ячейки (г, j), соответствующие концентрации w = 1 или w = О, при этом последовательность расчета величин Мо и М\ определяется значением концентрации вещества, содержащегося в однородной ячейке (г + 1, j); a,-j = >><у г>; , A - atJ) — объемные {Pw=l)i,j концентрации первого и второго компонентов среды в ячейке (г, j); d(Amo)L, d(Ami)L, где L = [(г, j), (г + 1, j)], — потоки массы двухкомпонентной среды, определяемые текущими значениями плотностей (pw=o)l и {Pw=i)l> а именно: d(Amo)L = (Г)|+1/2|>(/и;=о)х; Отметим, что соотношения D.99) справедливы только в частном случае, когда в течение временного шага Atn компоненты среды, находящиеся в смешанной донорской ячейке, не успевают полностью перетечь в однородную акцепторную ячейку. С целью устранения указанного недостатка в общем случае необходимо предусмотреть возможность корректировки потоков перетекающей массы. Рассмотрим вариант такой корректировки для потока массы М\ через границу между смежными ячейками (i,j) и (г + 1, j) при условии (^г)г+1/2 ?' ^ 0. Для этого обозначим массу вещества с признаком w = 1, находящуюся в смешанной донорской ячейке (г, j), через (Ami)ij. Если (Ami)ij стала меньше перетекающей массы Mi, определяемой соотношением D.97), значит, все вещество с признаком w — 1 вытекло из ячейки через правую границу. При этом время истечения составило Д*1 = Atn(Ami/Mi)ij. За промежуток времени А*2 = Atn - At\ через площадь ^t+lj-5z+1/2j B однородную акцепторную ячейку (г + 1, j) будет втекать второй компонент среды с признаком w = 0. С учетом сказанного составляющая М\ потока массы среды пересчитывается следующим образом: Мг = (Ami)hJ 407
1- Сделав аналогичные выкладки для М\ при Err)i4-l/2 ?' < С и для Мо при (vr)i+i/2j > О или (^r)i+i/2,; < 0? окончательно можно получить следующие соотношения: Mi = при aNd(Ami)L < при aNd(Ami)L D.100) Mo = при (l- D.101) при A- Значения нижних индексов L, N и константы ? в соотношениях D.100) и D.101) в зависимости от направления движения среды ((vr)i+i/2j ^ 0 или (vr)i+i/2j < 0) приведены в табл. 4.2. Значения нижних индексов и константы в уравнениях D.100) и D.101) (»r),-+l/2j > о <0 С 1 -1 L hi i+l, j t + i,> h j Давление в смешанной ячейке, содержащей контактный разрыв, определяется из решения системы нелинейных уравнений D.81), представляющих собой условие аддитивности 408
удельных объемов и равенство давлений находящихся в ней отдельных компонентов среды. Этап III (заключительный). На этом этапе в пределах объемов ячеек эйлеровой координатной сетки определяются параметры течения среды на временном слое п + 1 с учетом переноса ее компонентов через границы ячеек: D.103) " A " C+i/2,;)Amt+1/2ii] } /(ptfVij). D.104) Здесь Л = r, z; Cl = 1> если поток массы среды через границу L = [(г — 1/2, j), (г+ 1/2, j)] направлен вовнутрь ячейки (г, jf), и d = 0 в противном случае. Характерной особенностью рассмотренного алгоритма является тот факт, что деформируемая среда рассчитывается с учетом изменения шаровой компоненты напряжений на предыдущем полушаге. Последнее способствует увеличению аппроксимационной вязкости разностной схемы и подавляет счетные осцилляции параметров, свойственные алгоритмам «частиц», без дополнительного введения псевдовязкости. Компоненты девиатора напряжений. Отличительной особенностью уравнений D.74)—D.76), определяющих изменение компонент девиатора напряжений в неподвижной системе координат по отношению к лагранжевой форме 409
записи аналогичных уравнений D.9), является наличие так называемых конвективных составляющих полных производных величин Darr, Dtxrz, Dazz. Для получения их разностного аналога используется подход, предложенный Хагеман, Уолшем, Мейдером A985 г.), в котором значения компонент девиатора напряжений на временном слое п + 1 определяются по значениям величин (DaTr)fj, {Darz)fj, (Dazz)^j и промежуточным значениям приращений (ADarr)*j, (ADarz)^', (ADazz)^-, взятых с соответствующими весами. При этом последовательность вычислений следующая. Во-первых, с учетом граничных условий D.82)—D.85) в каждой ячейке определяются производные вида (dvr\n+] V о* Aj V or \3 V Oz \j и далее /dvr\n+1'2 _ V дг )tj V dz )tj fdvAn+1/2 \dV)ij Ы)г,} [ 1 2 1 2 1 2 2Дг («rK+l - (г 2Дг 2Дг 2Дг \~bVJ + „)-+!. \~dz~) (dvAn \lh) (dVzX \dz) 410
Во-вторых, вычисляются приращения девиатора напряжений: + 1 __ \лП ?1 = д<п jcfeb + l&r \ dz Zp at Ji n+l/2 где » + ^"y 2 2 В-третьих, определяются значения компонент девиатора напряжений на временном слое п + 1 с учетом разностного аналога конвективных производных величин (^o-rr)f у > * взятых с соответствующими весами Рассмотрим конечно-разностные соотношения для расчета одной из компонент. Так как для других компонент соотношения аналогичны, то далее нижние индексы у компонент девиатора напряжений не указаны. Если значения величин Srtj и Szij, отсчитываемые от центра ячейки (г, j), отрицательные (рис. 4.42, а), то U=i 411
Hj i-t.j-f ® — Ф 1 и 1 , © . . _1. о «*—-— U •8 HJ Рис. 4.42. К определению разностной записи конвективной производной: а — 6пу3 < 0, 6ziy3 < 0; б — 6rl}J > 0, 6zij > 0; в — 6nj < 0, 6zi,j > 0; г — ?ri,j > 0, 6z,,j < 0 где - \Srh)\)(Az-\6zhJ\); 412
При г = 2 (см. рис. 4.39) при J = 2 \n-fl — при t = 2 и j = 2 Если йг,-^ > О и tfzij > О (рис. 4.42, 5), то = Д+ — frr -fir- •• При г = m + 1 (см. рис. 4.39) при j = п + 1 при i = m + 1 и j = n + 1 413
Если 6rij < 0 и 6zij > О (рис. 4.42, в), то +. При i = 2 (см. рис. 4.39) при j = n + 1 ЧП+1 при i = 2 и j = n + 1 Если 6rij > 0 и йг,-^ < 0 (рис. 4.42, г), то Л3 - Лг'+1,; чп+1 )i 414
При i = т + 1 (см. рис. 4.39) (ДА при j = 2 /Д П \П+1 — ( Л Т) 471+1. /ДП ЧП+1 _/дп ЧП+1 при i = m + 1 и j = 2 В-четвертых, реализация условия пластического течения обеспечивается выполнением процедуры приведения напряжений на круг текучести (см. разделы 3.2 и 4.1). Для этого в каждой ячейке рассчитываются значения D\rz + D\xt При /f^1 > B/3)<7.2 проводится корректировка компонент де- виатора напряжений по формулам чп+1 — р( П \n+l. /iV \п+1 — Г(П \п+1. rjTp Г - ff / . /^ П/ \П + 1 /Г)/ ЧП+1 /Г)/ ЧП+1 CKOD. ректированные значения компонент девиатора напряжении. Реперные точки. Для получения более полной информации о процессе схлопывания металлической облицовки последнюю обычно маркируют реперными точками — маркерами (см. поз. 8 на рис. 4.38), в которых дополнительно вычисляют параметры течения среды Рт = {/?, р, vr, vz,...} по следующей формуле (рис. 4.43): 415
ркер^^ J i щ AT 4 2 ч i 3 Рис. 4.43. К определению параметров течения среды в маркере площади, определяемые положениЗдесь & = 1, 2, 3, 4; A ем маркера; Р^ — параметры течения среды в ячейках (Л), окружающих маркер. Примеры расчетов. Некоторые примеры численных расчетов функционирования кумулятивного заряда, выполненные в рамках изложенной методики, представлены на рис. 4.44 и 4.45. На рис. 4.44, а приведено решение задачи о соударении двух медных пластин толщиной 6пл каждая, нагружаемых слоем взрывчатого вещества толщиной <$вв- Для разных моментов времени t изображены: изменение формы деформируемых пластин в процессе схлопывания, приводящее к образованию плоской кумулятивной струи, и изобары давления продуктов детонации рдд- Для сравнения на рис. 4.44, б для моментов времени t = 10, 20 и 40 мкс схематично показаны экспериментальные данные В.И.Лаптева, М.В.Рубцова, Ю.А. Три- шина. Начальный угол установки пластин составлял 32°; толщина слоя взрывчатого вещества, в качестве которого использовался состав 6ЖВ, была 14 мм; длина и толщина пластин — 110 и 4 мм соответственно. Рис. 4.44, в иллюстрирует динамику изменения положения лицевой поверхности пластин. Указаны также полученные расчетным путем текущие значения углов соударения ар. При этом скорости кумулятивной струи 416
t =46,8 мКС Ь~10мкс t-20 мкс t-40мкс jo w so 60 г, мм Рис. 4.44. Пример расчета удлиненного кумулятивного заряда 14 - 2728 417
(расчетная г;р « 1,3 км/с, экспериментальная v3 « 1,35 км/с), углы соударения (ар = 43° .. .46°, аэ = 45°) и момент образования струи (/ « 38 мм) практически совпадали. На рис. 4.45 показаны результаты численного расчета функционирования инициируемого в точке пересечения оси симметрии с поверхностью верхнего торца (точка 0) заряда диаметром 70 мм, высотой 90 мм с полусферической медной облицовкой постоянной толщины, равной 3 мм, и внутренним радиусом 30 мм. Параметры взрывчатого вещества имели зна- $27,125 ' 44,79 тс Рис. 4.45. Пример расчета осесимметричного кумулятивного заряда с полусферической медной облицовкой чения: начальная плотность РОВВ = 1>65 г/см3; скорость детонации D = 8,1 км/с; теплота взрыва заряда взрывчатого вещества Q = 5,25 МДж/кг. Различные формы металлической облицовки, деформируемой в процессе формирования кумулятивной струи, показаны для моментов времени * = 6,34; 11,61; 27,125 и 44,79 мкс. Слева от оси симметрии на рис. 4.45 представлено перемещение маркеров серединной поверхности металлической облицовки. Для сравнения показаны результаты расчетов аналогичного кумулятивного заряда, получен- 418
ные Чу, Чиккарелли, Уолтере A977 г.) по известным двумерным алгоритмам HEMP, EPIC-2. Следует отметить, что и в этом случае сравниваемые расчетные данные по форме и кинематическим параметрам кумулятивной струи достаточно хорошо соответствовали друг другу. Вопросы для самоконтроля 1. К какому классу численных методов относится рассмотренный в этой главе метод Уилкинса? 2. Сформулируйте граничные условия для задачи о соударении цилиндрического бойка с жесткой поверхностью. 3. Значение какого параметра, рассчитываемое в ячейке в процессе реализации вычислений по методу Уилкинса, остается постоянным? 4. Какие виды псевдовязкости используются в численном методе Уилкинса? 5. Каким образом реализуются граничные условия в рассмотренном методе Уилкинса? 6. Сколько «фиктивных» ячеек вводится для реализации граничных условий по методу Уилкинса в угловой точке расчетной области? 7. Сколько «фиктивных» ячеек вводится для реализации граничных условий по методу Уилкинса на оси симметрии расчетной области? 8. Сколько «фиктивных» ячеек вводится для реализации 4 граничных условий по методу Уилкинса на жесткой или свободной поверхности расчетной области? 9. Какие и каким образом реализуются условия проскальзывания на поверхности контакта взаимодействующих сред? 10. При каких условиях шаг интегрирования по времени в процессе численного решения исходной системы уравнений становится неприемлемо малым? 4 ,4* 419
11. Перечислите известные Вам способы проверки правильности полученного численного решения? 12. Для чего в задаче о взрыве заряда топливно-воздушной смеси вводится условие постоянства показателя адиабаты в частице среды? 13. В каких случаях использование местных параметров Чеп- мена — Жуге в качестве граничных условий на фронте детонационной волны, распространяющейся в заряде топливно-воздушной смеси, не является корректным? 14. В какой форме записи вводятся новые независимые безразмерные переменные в и ту? 15. Какова запись частных производных в преобразованной системе координат при выходе на полуцелый временной слой по схеме типа предиктор — корректор? 16. Какова запись частных производных в преобразованной системе координат при выходе на временной слой п + 1 в задаче о взрыве заряда топливно-воздушной смеси? 17. В чем состоит суть способа отражения при расчете параметров в точках, находящихся на оси симметрии и на жесткой поверхности? 18. Как рассчитываются параметры в особой точке начала координат? 19. Для чего вводится буферная зона в подвижной разностной сетке? 20. С чем связаны внутренние лучи буферной зоны разностной сетки? 21. Как определяется скорость расширения разностной сетки? 22. Как определяются положение и форма фронта детонационной волны, распространяющейся в заряде топливно- воздушной смеси? 23. Каким образом проводится корректировка параметров в узлах, ближайших к фронту детонационной волны, распространяющейся в заряде топливно-воздушной смеси? 420
24. Как осуществляется расширение непрерывно-подвижной разностной сетки? 25. Как осуществляется расширение дискретно-подвижной разностной сетки? 26. Что такое матрица концентраций и как в ней задается контур заряда топливно-воздушной смеси? 27. Как проводится однопараметрическое сглаживание вычисленных функций в задаче о взрыве заряда топливно- воздушной смеси? 28. Как определяется выбор шага сетки по времени при численном интегрировании задачи о взрыве заряда топливно- воздушной смеси? 29. Как оценить точность алгоритма численного решения задачи о взрыве заряда топливно-воздушной смеси? 30. Какие стадии можно выделить в процессе отражения ударной волны при взрыве заряда топливно-воздушной смеси над жесткой поверхностью? 31. Для чего вводится в рассмотрение эквивалентный полусферический заряд? 32. Как соотносится максимальное избыточное давление на жесткой поверхности при взрыве эквивалентного полусферического заряда с таковым при взрывах сферического заряда топливно-воздушной смеси на различной высоте над поверхностью? 33. Как соотносится импульс избыточного давления фазы сжа- 4 тия на жесткой поверхности при взрыве эквивалентного полусферического заряда с таковым при взрывах сферического заряда топливно-воздушной смеси на различной высоте над поверхностью? 34. С чем связано локальное повышение давления на жесткой поверхности при численном решении задачи о взрыве сферического заряда топливно-воздушной смеси на высоте, равной радиусу заряда? 14 - 2728 421
35. Почему не используется псевдовязкость в описанном в этой главе методе «концентраций»? 36. Какую ячейку на этапе расчета переноса массы среды в методе «концентраций» называют донорской, а какую — акцепторной? 37. Перечислите основные постулаты, используемые для расчета дробных ячеек в описанном в этой главе методе « концентраций »? 38. Какие виды концентрации среды в ячейке Вам известны?
Глава 5 ВОЗМОЖНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА КАК ИНСТРУМЕНТА ИССЛЕДОВАНИЙ БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ 5.1. Основные этапы вычислительного эксперимента В природе и в технике существуют мощные источники ударноволнового нагружения твердых, жидких и газообразных сред. Такими источниками являются ядерные, химические и физические взрывы, высокоскоростное соударение различных деформируемых тел и сред, взрывное испарение различных материалов под действием лазерного излучения и т.д. В результате этих явлений инициируются нестационарные процессы деформирования и движения сплошных и пористых, гомогенных и гетерогенных сред при экстремальных значениях концентрации энергии, порядок которых во многих практических случаях превосходит значение энергии активации нагружаемого ударной волной или ударом вещества. Возникающее сложное пространственно неоднородное течение нагружаемой среды вызывает чрезвычайно широкое изменение ее термодинамических параметров и приводит к процессам 14* 423
высокоскоростного деформирования, полиморфных превращений, деформационного и термического упрочнения и разупрочнения, динамического локального и множественного разрушения и к другим явлениям, которые крайне сложны для теоретического описания и численного анализа. Поэтому основным способом получения информации о процессах взрыва и удара, которые относятся к классу быстропротекающих, долгое время являлись экспериментальные исследования. При этом методы экспериментальных исследований быстропротекающих процессов включали в себя как методы получения высоких плотностей энергии, так и методы измерений параметров этих процессов. Методы получения высоких плотностей энергии принято разделять на две группы: методы, основанные на использовании в качестве источника энергии ударных волн, и методы, основанные на применении концентрированных пучков электромагнитной энергии. Первая группа методов включает нагружение: продуктами детонации; ударными волнами, формирующимися при взрыве зарядов конденсированных взрывчатых веществ, топ- ливно-воздушных и газовоздушных смесей в газообразных, жидких и твердых средах; ударными волнами, создаваемыми в различного типа ударных трубах; ударниками, разгоняемыми в легкогазовых пушках электромагнитными методами, продуктами горения или детонации и некоторыми другими способами; различными оболочками, разгоняемыми, как правило, продуктами детонации конденсированных взрывчатых веществ. Ко второй группе методов относятся процессы, возникающие при взаимодействии мощного лазерного излучения с исследуемой средой и при кумуляции электромагнитной энергии. К методам измерения параметров быстропротекающих процессов, сопровождающих явления взрыва и высокоскоростного удара, относятся: высокоскоростная оптическая регистрация; импульсная рентгенография; электрические методы измерений; интерферометрия; применение микроволновых 424
технологий измерений; спектроскопические методы; измерения с применением лазерного излучения и т.д. Следует подчеркнуть, что многие современные методы экспериментальных исследований быстропротекающих процессов позволяют регистрировать непрерывные зависимости измеряемых параметров от времени, что является важнейшей составляющей информативности проводимого эксперимента. В настоящее время накоплен весьма обширный объем экспериментальных данных о свойствах газообразных, жидких и твердых деформируемых сред в условиях экстремальных нагрузок, реализуемых при взрыве и высокоскоростном ударе. Эти результаты исследований позволили установить многие очень важные закономерности поведения материалов в условиях нагружения взрывом и ударом. В то же время стало очевидным, что вряд ли возможно только экспериментальное исследование поведения и свойств деформируемых сред при изменении в широких пределах значений параметров нагружения и реологических свойств этих сред, поскольку проведение экспериментов для всего спектра начальных условий требует, во-первых, немалых материальных затрат, а во-вторых, достаточно длительного времени на подготовку и проведение конкретного эксперимента. Кроме того, исследователем должны быть приложены немалые усилия для решения проблем достоверности и повторяемости получаемых экспериментальных результатов. Поэтому наряду с развитием методов экспериментальных исследований процессов взрыва и удара создавались основы методов математического моделирования. Роль этих методов как средства изучения сложных нестационарных явлений физики взрыва и удара резко возросла в связи с прогрессом в области создания вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения. Дальнейшие исследования свойств материалов и процессов их высокоскоростного деформирования проводились и проводятся в настоящее время с помощью вычислительных экспериментов, осуществляемых на современной вычислительной технике, и последующего сопоставления получаемых результатов математического модели- 425
рования процессов с результатами физического эксперимента. Следует отметить, что математические модели процессов, разработанные с использованием обширной современной базы экспериментальных данных позволяют не только описывать уже известные факты и явления, но и прогнозировать поведение деформируемых сред в таких условиях нагружения, когда измерения либо существенно затруднены, либо практически невозможны. В то же время результаты сравнительного анализа показали, что во многих случаях простейшие математические модели деформируемых сред и протекающих в них процессов не дают адекватного описания наблюдаемых в опытах явлений. Осознание этого факта повлекло за собой совершенствование физических и соответствующих математических моделей, углубление и обогащение их физического содержания, совершенствование и развитие методов математического моделирования. Итак, в настоящее время наряду с методами экспериментальных исследований все интенсивнее и успешнее используются методы математического моделирования для установления закономерностей и параметров нагружения взрывом и ударом. Формально методы математического моделирования можно разделить на две группы — расчетные и расчетно- экспериментальные. К расчетным относятся методы, используемые для осуществления моделирования процессов, экспериментальное изучение которых либо существенно затруднено, либо невозможно, либо не имеет практического смысла, так как математическое моделирование обеспечивает получение результатов, достаточных для решения поставленной задачи. К расчетно-экспериментальным относятся методы, применяемые для проведения физического эксперимента и математического моделирования параллельно и совместно. Последовательность действий при использовании расчетно-экс- периментального метода исследований можно описать следующим образом. Вначале с максимально возможной точностью исследуются свойства изучаемой среды в экспериментально доступной области изменения внешних условий нагружения. 426
Затем все полученные результаты разделяются на две группы: исходную и контрольную. Данные исходной группы используются для выбора значений начальных параметров математической модели, а данные контрольной группы — для верификации математической модели. Разумеется, расчеты проводятся при фиксированных значениях параметров математической модели, имеющихся в исходной группе экспериментальных данных. При совпадении результатов расчетов с экспериментальными данными с заданной погрешностью разработанная математическая модель может быть рекомендована для практического использования, в противном случае она нуждается в совершенствовании и модернизации. Очевидно, что разрабатываемая математическая модель должна иметь глубокую и хорошо обоснованную физическую базу. Этот фактор повышает надежность и точность прогнозирования свойств и поведения среды не только в области характеристик процессов, близких к уже исследованным, но и вне экспериментально исследованной области параметров на- гружения и параметров течения. Немаловажно и то, что при использовании расчетно-экспериментальных методов в расчетах должны быть учтены все особенности экспериментальных устройств, поведение датчиков в условиях эксперимента и особенности применения методов измерений. Как отмечалось во введении, при применении расчетных и расчетно-экспериментальных методов моделирования быстропротекающих процессов широко используются численные методы анализа, реализация которых определяет область методов исследований, называемую вычислительным (или численным) экспериментом. Вычислительный эксперимент, проводимый исключительно с помощью вычислительной техники, как правило, экономически дешевле физического, а в ряде случаев (кстати, их не мало), когда физический эксперимент трудноосуществим, является единственно возможным инструментом исследования. По аналогии с физическим экспериментом определим основные этапы вычислительного эксперимента. 427
1. На основе всестороннего анализа физического объекта и исследуемого процесса формулируется соответствующая физико-математическая модель, включающая системы разрешающих дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия. В условиях физического эксперимента этому этапу соответствует выбор схемы эксперимента. 2. На основе описанного в литературе или собственного опыта выбирается метод интегрирования записанных уравнений, составляется разностная схема, разрабатывается и тестируется компьютерная программа (отсутствие какого- либо опыта численного интегрирования уравнений для аналогичных задач заменяется эвристическим подходом к выбору метода). При проведении физического эксперимента этому этапу соответствуют конструирование и изготовление экспериментальной установки и ее наладка. В результате получается средство (компьютерная программа или экспериментальная установка) для изучения интересующего явления. Затем с помощью этого средства проводится эксперимент: численные расчеты или серия экспериментальных измерений. При этом желательно обеспечить возможность варьирования значениями физико-механических характеристик изучаемых сред и параметрами их взаимодействия в широком диапазоне, а также исследования их взаимного влияния на характеристики изучаемого явления или процесса. 3. Анализ и обобщение полученных результатов и внесение коррективов в алгоритм расчета (или конструкцию экспериментальной установки для физического эксперимента). Такая обратная связь позволяет совершенствовать методологию проведения как вычислительного, так и физического эксперимента. Критерием, определяющим достоверность результатов, полученных расчетным путем, и адекватность сформулированной физико-математической модели реальному процессу, является соответствие расчетных и экспериментальных данных. Именно поэтому большинство разработанных и разрабатываемых расчетных методов относятся к расчетно- экспериментальным, а полученные и получаемые с их помощью результаты являются востребованными практикой. 428
Анализ имеющихся достижений в области математического моделирования задач физики взрыва и удара и проведения вычислительного эксперимента для соответствующих процессов выявляет определенный диссонанс с методами классической математической физики, и в частности со строгими постановками задач теории дифференциальных квазилинейных уравнений гиперболического типа. Среди специфических особенностей рассматриваемых задач, решение которых проводится с помощью численных методов анализа, выделим наиболее важные. 1. При проведении поисковых исследований с помощью численных методов расчеты часто выполняются без твердой уверенности в корректности математической постановки задачи, включающей существование решения, его единственность и зависимость от совокупности начальных параметров. В то же время, постулируя картину течения среды, выполняя расчеты и сопоставляя их результаты с экспериментальными данными, можно получить необходимое представление о достоверности результатов расчета. 2. В ряде случаев приходится использовать информацию о граничных и начальных условиях без строгих доказательств ее содержательности и непротиворечивости. Нередко граничные условия приходится реализовывать в условиях аппроксимации аналогично схеме расчета внутренних узлов разностной сетки. Именно в этих случаях чаще всего возникают непредвиденные ошибки и осложнения в реализации алгоритма численного решения поставленной задачи. Эта проблема наиболее трудна для аналитического анализа, а на практике именно на ее решение затрачивается больше всего усилий. 4 3. Выбираемые и затем используемые разностные операторы аппроксимируют исходную дифференциальную задачу с определенной долей условности, а это налагает свою специфику на содержание исходной задачи и ставит вопрос о достоверности результатов, получаемых с помощью численных методов. К сожалению, проверка внутренней сходимости выбранного численного метода решения задач (и особенно сложных, практически важных задач) не всегда возможна, поскольку 429
расчеты проводятся, как правило, на пределе возможностей вычислительной техники. Именно вследствие проблем, возникающих с оценкой сходимости, при проведении вычислительного эксперимента в практической работе приходится использовать различные косвенные приемы проверки качества решения. Расположим их в порядке практического применения при отладке алгоритмов численного решения задач физики взрыва и удара (в скобках указана принадлежность того или иного приема проверки качества решения к тестам в соответствии с классификатором тестов, приведенным во введении). 1. Проверка численного метода и схемы решения задачи с помощью сравнения результатов вычислений с точными аналитическими решениями известных задач (количественные тесты). Именно поэтому точные (или асимптотические) решения отдельных задач имеют чрезвычайную ценность, даже несмотря на их кажущийся или действительный искусственный характер. 2. Использование для тарировки численного метода и схемы решения таких задач, решения которых не обязательно известны, но известны некоторые свойства этих решений, например свойства автомодельности, симметрии и т.п. Тогда можно привлекать либо упрощенные постановки задач, либо отдельные уравнения, укладывающиеся в рамки выбранной разностной схемы (внутренние тесты). В этом случае важно, чтобы результаты численного решения задач в упрощенных постановках повторяли определенные закономерности, выявленные заранее. 3. Расчет одной и той же задачи с применением различных тактических приемов, не выходящих за рамки одного и того же численного метода решения (внутренние тесты). Например, для задач проникания можно использовать постановки, реализующие прямое или обращенное движение ударника. В условиях ограниченности ресурсов вычислительной техники этот прием преследует определенную цель — повышение точности вычисления отдельных деталей течения среды за счет 430
огрубления других деталей течения. Кроме того, факт получения близких результатов решения одной и той же задачи в разных постановках также указывает на качественное правдоподобие решения (качественные тесты). 4. Решение одной и той же задачи при различных шагах сетки по пространству (разном количестве расчетных узлов) и при различных шагах сетки по времени (разных значениях числа Куранта в условии устойчивости) с целью сравнительного анализа влияния на результаты решения параметров разностной сетки (внутренние тесты). 5. Сравнение результатов решения, полученных с помощью разных численных методов (количественные тесты). В этом случае, разумеется, не применима никакая математическая аргументация. Тем не менее совпадение результатов вычислений, как правило, свидетельствует в пользу их достоверности. 6. Использование экспериментальных данных для калибровки численного метода (количественные и качественные тесты). Это наиболее объективный способ оценки достоверности результатов расчета, содержащий в себе проверку адекватности математического описания явления реальному процессу в целом. К сожалению, этот метод оценки не всегда оказывается доступным как вследствие больших материальных затрат и наличия организационных трудностей при его использовании, так и ввиду его недостаточной точности и ограниченности области измерений, в которой они реально осуществимы. Следует отметить, что, несмотря на впечатляющий прогресс в развитии численных методов решения задач механики сплошных сред и в создании вычислительной техники, сложность задач, выдвигаемых современной практикой, такова, что их решение в значительной степени остается искусством. Далеко не каждый процесс постановки и выбора численного метода решения двумерной или трехмерной нестационарной задачи, отладки алгоритма ее решения и способов тестирования может быть осуществлен в режиме автоматического 431
использования известных этапов и приемов математического моделирования, т.е., несмотря на большой арсенал существующих численных методов решения, каждая новая задача требует индивидуального подхода к созданию алгоритма ее решения. 5.2. Распространение волн детонации и дефлаграции в зарядах взрывчатых веществ Значительные трудности экспериментального исследования процессов детонации и дефлаграции различных взрывчатых составов обусловили широкое применение вычислительного эксперимента для изучения параметров и физических особенностей указанных процессов. Автомодельное распределение параметров за фронтом одномерной детонационной волны. Течение продуктов детонации за фронтом стационарной детонационной волны является изоэнтропическим и описывается следующей системой одномерных уравнений движения и неразрывности в эйлеровых переменных: ди ди 1 ди до до ди vup at or or г где г и t — независимые переменные (радиус и время); и, /э, р — массовая скорость, плотность и давление; и — показатель симметрии {у — О, 1 и 2 при плоской, цилиндрической и сферической симметриях соответственно). Система уравнений E.1) замыкается изоэнтропой продуктов детонации в форме р = р(р)> Граничными условиями задачи являются известные параметры на фронте детонационной волны и условие равенства нулю массовой скорости продуктов детонации в центре симметрии. Так как детонация возбуждается в точке (сферическая симметрия), вдоль линии (цилиндрическая симметрия) или вдоль плоскости (плоская симметрия), то в строгой постановке начальные условия задачи не определены. 432
Численные расчеты показывают, что поведение продуктов детонации как газообразных, так и конденсированных взрывчатых веществ различной плотности достаточно точно можно описать изоэнтропической зависимостью для совершенного газа с некоторым постоянным показателем адиабаты к: *PRB/ При этом давление и плотность удобно выразить через скорость звука С в продуктах детонации: 2Jfc 2 p = PnB(JLI!=I. p = p (JLY* E2) где индекс ДВ относится к параметрам на фронте детонационной волны. С помощью преобразований dp _ dp dp дС _ 2 дС_ дг~ dp dC дг ~ к-1 Р дг' д_р_ dp _ dp _ dp dp dC _ 2 p dC _ dt+Ud~r~'di~dp"dC~dt~k-lC dt 'dC dC к - 1 С V dt дг систему E.1) можно свести к системе двух уравнений с двумя неизвестными: ди ди 2 дС 2 1 (дС дС\ ди vu „ E-3) k-lC\dt ' drj' дг ' г После интегрирования системы уравнений E.3) давление и плотность продуктов детонации определяются по скорости звука по изоэнтропическим зависимостям E.2). Задача об одномерной детонации обладает свойством автомоде льности, что позволяет ввести одну безразмерную независимую переменную Л = r/(Dt) = r/R, где R = Dt — 433
текущее значение координаты фронта детонационной волны, распространяющегося со скоростью D. При этом в системе уравнений E.3) можно перейти от частных производных к полным, используя соотношения д dt дХ dt d dX г Dt* d dX ~ X t d dA' д 3r дХ дт d dX ~ 1 Dt d dX Подставив эти выражения для частных производных в E.3), нетрудно получить систему двух уравнений в полных производных: XD-u du _ 2 dC С ~dX " Л-1 dA; XD - и\2 _ 1 du vu E<4) J d\ ~ A ' Система уравнений E.4) имеет тривиальное решение и = О, С — const, соответствующее состоянию покоя. При плоской симметрии {у = 0) система уравнений E.4) также имеет аналитическое решение. Положив v = 0, из второго уравнения системы E.4) при условии du/dX ф 0 получим С = XD - и, E.5) а проинтегрировав первое уравнение системы E.4) с учетом E.5) от фронта детонационной волны до произвольной точки с параметрами и и С, получим известное решение для простой волны: и - Чдв = J—у (С - СДВ)- E.6) Совместное решение уравнений E.5) и E.6) с учетом условия стационарной детонации Сдв = D — гхдв приводит к линейным распределениям параметров за фронтом плоской детонационной волны: ^ ||^-1), E-7) где параметры на фронте детонационной волны определяются зависимостями 434
E.8) Здесь индекс 0 относится к начальным параметрам исходного взрывчатого вещества. Вторыми членами в скобках уравнений E.8), как правило, пренебрегают, однако при детонации газообразных взрывчатых веществ их численные значения достаточно велики. При А = 0 из E.7) согласно E.8) следует и < О, что противоречит граничному условию задачи в центре симметрии, поэтому в центральной области течения продуктов детонации образуется зона покоя, описываемая тривиальным решением системы уравнений E.4). Границу зоны покоя и скорость звука в ней (отмечены индексом «з») можно определить из общего решения E.7) по условию и = О, откуда следует . к + 1 идв г п * - 1 Аз = 1 ^ /Г' 3 = дв 2~ или, если учесть E.8), Из уравнения E.9) следует, что в плоской детонационной волне А3 = C3/D « 0,5, т.е. зона покоя, образовавшаяся в центральной области течения продуктов детонации, занимает приблизительно половину радиуса фронта детонационной волны, а скорость звука в ней примерно равна половине скорости детонации. Для дивергентных течений (цилиндрическая и сферическая симметрии) система уравнений E.4) аналитического решения не имеет и может быть проинтегрирована только численно. При этом в окрестности фронта детонационной волны и границы зоны покоя уравнения E.4) имеют особенности следующего типа: 435
du dC x л — -> oo и — > ос при Л —> 1; ал аА du dC __0и—^ОприА^Аз, а все производные более высокого порядка во втором случае стремятся к бесконечности. Указанные особенности затрудняют численное интегрирование уравнений E.4), поэтому для нахождения распределений параметров за фронтом детонационной волны задача об одномерной детонации решается методом установления, при котором численно интегрируется система одномерных нестационарных уравнений E.3). По мере распространения стационарной детонационной волны распределения параметров за ее фронтом быстро становятся автомодельными, причем не возникает никаких особенностей при интегрировании уравнений. Система дифференциальных уравнений E.3) интегрируется численно с помощью явной двухшаговой схемы Лакса — Вендроффа по алгоритму, описанному в разделе 3.3. Начальные условия задачи в виде постоянной скорости звука С = Сдв и линейного распределения массовой скорости от нуля в центре симметрии до значения и = -идв на фронте детонационной волны вносятся в малую расчетную область размером г = О,О1го, где г$ — радиус заряда. Распределения параметров за фронтом детонационной волны, определенные в момент ее выхода на поверхность заряда по результатам численного интегрирования, с высокой точностью (погрешность составляет не более 0,1 %) совпадают с их автомодельными распределениями. Для плоской детонационной волны комплекс / = (XD - —и)/С = 1 и не зависит от свойств продуктов детонации, т.е. от показателя адиабаты. Анализ результатов численного решения задачи о распространении детонационных волн различных симметрии с показателем адиабаты продуктов детонации, изменявшимся в пределах к = 1,1.. .3,0, показывает, 436
f 15 1,25 Л^*^~2 1 0,5 «/«дв Рис. 5.1. Изменение комплекса / за фронтом детонационной волны для различных типов симметрии: 1 — I/ = 0; 2— I/ = 1] 3 — v -2 что функция f(u) также мало отличается от единицы и практически не зависит от значения к. Вид этой функции для различных типов симметрии представлен на рис. 5.1. В этом случае не представляет труда проинтегрировать первое уравнение системы E.4) в пределах от фронта детонационной волны до границы зоны покоя, графически вычисляя интеграл / f(u)du, и получить выражение для скорости звука в области стационарных параметров: к-1- = СдВ где средние значения функции / в случаях цилиндрической и сферической симметрии соответственно равны 1,105 и 1,174 и для любого типа симметрии хорошо описываются соотношением - 15 4i/+ 15' Тогда для параметров в зоне покоя получим зависимость С3 1 г3 С3 1 Аз = R = ~D = ^ к - 1 6i/ + 15 E.10) 437
Зависимость E.10) обеспечивает аппроксимацию результатов численного решения с погрешностью не более 0,5 % во всем диапазоне значений к. Если введенная функция f(u) не зависит от показателя адиабаты, то из второго уравнения системы E.4) следует, что распределение массовой скорости продуктов детонации также не зависит от их свойств и может быть представлено в виде где А = (Л — А3)/A — Л3) — приведенная относительная координата в волне разрежения за фронтом детонационной волны (волна Тэйлора, или тэйлоровская волна), изменяющаяся в пределах от 0 до 1. На рис. 5.2, а и б для случаев сферической и цилиндрической симметрии соответственно приведены результаты численного решения задачи в виде распределений массовой скорости продуктов детонации при различных значениях показателя адиабаты. Видно, что при всех значениях к расчетные значения лежат практически на одних кривых. и илъ I иАЪ 0,5 j уГ о-/ • -J 0,5 А 7 о -; • -J D -4 0,5 а I 0 0,5 д Рис. 5.2. Распределения массовой скорости продуктов детонации в случаях сферической (а) и цилиндрической (б) симметрии: 1 — Л = 1,1; 2— к = \,Ь\ 3 — к = 2; 4 — * = 3 438
Всем указанным асимптотикам второго уравнения системы E.4) в окрестности фронта детонационной волны и границы зоны покоя удовлетворяет функция <р(\) = — = 1 - A - А") при 1 < а < 2 и 0 < /3 < 1. Обработка результатов численных расчетов дает возможность подобрать значения показателей а и C: а = 1,05 и /3 = 2/3 при v = 1; а = 1,1 и /? = 1/2 при */ = 2. Распределения массовой скорости продуктов детонации, построенные с использованием найденных значений аи/?, представлены на рис. 5.2 сплошными линиями. При а = /3 = 1 выбранный вид функции ^(^) приводит к полученному аналитическому решению для плоской детонационной волны. Это дает возможность предложить в случае любого типа симметрии следующие соотношения для показателей аи/?: _ 20 + 1/ _2_ а~ 20 ' ^-*/ + 2- Тогда для распределения массовой скорости продуктов детонации за фронтом одномерной стационарной детонационной волны произвольной симметрии можно записать обобщенную зависимость: ( 0 при 0 < А < А3, ^П1^) E.11) и= приА3<А<1. На рис. 5.1 видно, что функция f(u) в области тэйло- ровской волны разрежения изменяется незначительно (максимальное изменение f(u) наблюдается при сферической симметрии и составляет около 20 %). Поэтому в первом приближении ее можно считать постоянной величиной, равной среднему значению /. Тогда, интегрируя первое уравнение E.4) в 439
пределах от значения А3 до текущего значения координаты Л и от значения Л3 до значения А = 1, соответствующего фронту детонационной волны, получаем откуда следует, что URB С -С3 - С3 В этом случае с учетом E.11) для скорости звука в продуктах детонации можно записать приближенное соотношение О при 0 < А < А3, 1- 1- Л- 1 - при А3 < А < 1. E.12) Давление и плотность продуктов детонации определяются по скорости звука по изоэнтропическим зависимостям E.2). Погрешность описания численных расчетов с помощью полученных соотношений по самому чувствительному параметру — давлению — не превышает 1 %. Таким образом, аналитические зависимости E.10)— E.12), во-первых, с достаточно высокой точностью описывают численное решение задачи о распределении параметров продуктов детонации, подчиняющихся уравнению состояния совершенного газа, за фронтом одномерной детонационной волны, а во-вторых, удовлетворяют асимптотикам точного решения, что имеет важное значение при использовании указанных зависимостей в качестве начальных условий при решении более сложных задач о детонации и взрыве. Влияние плотности взрывчатых веществ на параметры продуктов детонации. Использование уравнения состояния совершенного газа с постоянным показателем 440
адиабаты для описания поведения продуктов детонации позволяет достаточно точно рассчитывать распределения их параметров за фронтом детонационной волны. В то же время такое уравнение состояния не учитывает зависимость скорости детонации от плотности взрывчатых веществ, хотя такая зависимость для конденсированных взрывчатых веществ известна из результатов экспериментальных измерений. Связано это с тем, что показатель адиабаты продуктов детонации с уменьшением плотности взрывчатых веществ уменьшается от значения к = 2,8...3,2 на фронте детонационной волны, распространяющейся в высокоплотных конденсированных взрывчатых веществах, до значения к — 1,2 ... 1,4 при детонации очень низкоплотных составов типа газовзвесей. Более точно поведение продуктов детонации можно описать уравнением состояния в форме Ми — Грюнайзена: р=Арп + (т-1)РЕ, E.13) где Е — удельная внутренняя энергия среды; Л, п, 7 — кон" станты уравнения состояния, требующие своего определения. Первый закон термодинамики для изоэнтропического процесса можно записать в виде 2 \dpJs \dPJP \dpJp где 5 — энтропия. Определив с помощью E.13) частные производные параметра Е и подставив их в E.14), нетрудно получить дифференциальную форму записи изоэнтропы для уравнения состояния E.13) = 2?+ („_!) V-i, E.15) opJ P интегрирование которой приводит к окончательному виду изоэнтропы продуктов детонации: p=?—±Apn + Bpt, E.16) п-7 441
где В — константа интегрирования, определяемая по параметрам на фронте детонационной волны (отмечены индексом ДВ), а именно п- 1 _п_7 Для показателя адиабаты продуктов детонации с помощью E.15) можно записать выражение ^+(*-1)Л-т E18) или с учетом изоэнтропы E.16) * = 7 + (» - 1) п _ 1 АрП • E-19) —-Apn + Bpi п - 7 Анализ соотношения E.19) показывает, что при р —> оо к —> п, а при р —> О А: —> 7> поэтому выбор соответствующих значений п и 7 позволяет учесть реальные свойства продуктов детонации, связанные с изменением показателя адиабаты в процессе их расширения. Скорость звука в продуктах детонации по определению С = y(dp/dp)s или с учетом E.15) С = ^^ + {п-\)Арп-1. E.20) равна Если известны параметры детонации взрывчатого вещества при некоторой стандартной плотности рст и показатель адиабаты продуктов детонации при их расширении в вакуум 7 5 то не представляет труда рассчитать константы А и п уравнения состояния E.13). Исключив из E.18) с помощью E.13) константу Л, запишем h 7 + {)\ р* откуда получим соотношение для п, а затем из E.18) определим константу А: ^^г-'А-^ЧЧ- E-21) п1 рЧ Р* " G ~ 442
Здесь звездочкой отмечены параметры детонации взрывчатого вещества при некоторой стандартной плотности /эст, которые для сильной детонационной волны вычисляются по зависимостям ; E* = где D+, Q* — скорость детонации и удельная теплота взрыва заряда взрывчатого вещества при рст. Определив константы уравнения состояния продуктов детонации E.13), нетрудно рассчитать их параметры на фронте детонационной волны при произвольной начальной плотности РОВВ взрывчатого вещества. Исключая из уравнения ударной адиабаты продуктов детонации „ Рпв( 1 1 \ , п erb = -г- + Q 2 \^0ВВ РпВ/ с помощью уравнения состояния E.13) внутреннюю энергию, получаем РДВ - ApnRB = РДВ /_1 1_\ + Q G-1)РДВ 2 \P0BB PRBJ откуда для давления продуктов детонации на фронте детонационной волны находим зависимость РДВ = (<у + 1)/?овв - G - ^ -- 1 А^ + G - 1)^ДВС I • E-22) Второе замыкающее уравнение получаем из условия стационарной детонации ггдв + Сдв = -D, которое с учетом выражения для скорости звука E.20) и соотношений для волновой и массовой скоростей распространения фронта детонационной волны можно записать в виде \ РДВ P0BB 1 / РДВ Ровв V 1/Ровв - 1/prb 443
Возводя это уравнение в квадрат и решая относительно получаем = (п - i)Ap%B ^Дв-^ов G + 1)Р0ВВ - 7РДВ E 23) Система уравнений E.22), E.23) позволяет определить давление и плотность продуктов детонации на фронте детонационной волны, а также константу В E.17) в изоэнтропе разгрузки. Остальные параметры вычисляются из соотношений для сильной детонационной волны: к = Ровв E.24) Из экспериментов известно, что существует определенная зависимость теплоты взрыва заряда взрывчатого вещества от его плотности, поэтому в уравнении E.22) под Q следует понимать некоторую функцию начальной плотности ровв взрывчатого вещества. Теплоту взрывчатого разложения индивидуальных взрывчатых веществ, имеющих структурную химическую формулу CaH^OcN^, можно определить с помощью соотношения Qmax [l - @,528 - 0,165 . 10-3/90вв)(М - аI'4] при а < 1,4, E-25) , <2max при а > 1,4, где ровв — в кг/м3; а = 2с/Dа + 6) — кислородный коэффициент; Qmax — максимальная теплота взрыва заряда взрывчатого вещества, зависящая от его химического состава и вычисляемая по формуле Qmax — где Qbb — теплота образования взрывчатого вещества, Дж/кг. 444
Изменение начальной плотности взрывчатого вещества приводит к изменению параметров не только на фронте детонационной волны, но и во всей области течения продуктов детонации. Задача о распространении одномерной стационарной детонационной волны при любом уравнении состояния продуктов детонации является автомодельной и может быть сведена к интегрированию системы двух дифференциальных уравнений в полных производных. Однако и в этом случае уравнения имеют особенность в окрестностях фронта детонационной волны и границы зоны покоя, поэтому задача решается методом установления с помощью алгоритма, описанного в разделе 3.3. Исключение давления и плотности из системы дифференциальных уравнений с помощью скорости звука в продуктах детонации не проводится, так как выражение для нее E.20) не позволяет получить аналитические соотношения для определения этих параметров по скорости звука. Таким образом, необходимо численно проинтегрировать систему уравнений E.1), замыкающуюся уравнением изоэн- тропы E.16). Рассмотрим, например, решение задачи о распространении детонационной волны в заряде ТЭНа [C(CH2ONO2L] с начальной плотностью ровв — 400; 800; 1200; 1600 кг/м3. В качестве стандартного состояния взрывчатого вещества была выбрана плотность монокристалла со следующими параметрами: рст = 1770 кг/м3; D* = 8500 м/с; Q* = 5,95МДж/кг; к* = 3; 7 = 1,23. Рассчитанная по соотношениям E.25) теплота взрыва заряда ТЭНа для указанных значений начальной плотности соответственно составляет Q = 5,25; 5,45; 5,65; 5,85МДж/кг. На рис. 5.3. приведены полученные зависимости давления рдв> плотности рцв, массовой скорости t/дв, показателя адиабаты к продуктов детонации на фронте детонационной волны и скорости детонации D от начальной плотности РОЕВ взрывчатого вещества. Наибольшее расхождение расчетных данных с экспериментальными данными наблюдается для скорости детонации в области малых плотностей взрывчатого вещества. Однако это расхождение не превышает 10 %, что сравнимо с погрешностью эксперимента, т.е. уравнение 445
кг 2000 WOO -w / -5 k ^-^' л- 1- JO -20 10 0 400 800 1200 <>овв,хг/м3 Рис. 5.3. Расчетные зависимости основных параметров на фронте детонационной волны и скорости детонации: о — экспериментальные данные для давления; D — экспериментальные данные для скорости детонации состояния E.13) достаточно точно описывает поведение реальных продуктов детонации и может быть использовано для определения их параметров за фронтом детонационной волны. На рис. 5.4 и 5.5 представлены распределения за фронтом детонационной волны плотности, давления и массовой скорости продуктов детонации, отнесенные к соответствующим параметрам на фронте, для плоской и сферической симметрии при различных значениях начальной плотности взрывчатого вещества. Случай цилиндрической симметрии качественно не отличается от случая сферической симметрии и поэтому не приведен на рисунках. Для плоской детонационной волны на границе зоны покоя существует слабый разрыв. При распространении цилиндрической и сферической детонационных волн слабый разрыв отсутствует, однако в окрестности их фронта градиенты изменения параметров стремятся к бесконечности. 446
<?Дв ' Рдв 0,5 ; / / 2 J I I i 2 3 Г > f 7 f и d 1 0,5 0 0,5 1 Рис. 5.4. Распределения параметров за фронтом плоской детонационной волны: 1 — ро = 1600кг/м3; 2 — ро = 800кг/м3; 3 — ро = 400 кг/м3 ? . ' Рав 0,5 I 2 3 1 \ \ —Ц-г / г з 0 0,5 Рис. 5.5. Распределения параметров за фронтом сферической детонационной волны: 1 — Ро = 1600кг/м3; 2 — ро = 800кг/м3; 5 — ро = 400 кг/м3 447
Анализ результатов численного решения показывает, что при снижении плотности взрывчатого вещества относительная плотность продуктов детонации заметно уменьшается (на 25 ... 30 % в центральной области их течения), а давление возрастает (на 15 ... 20 %). Меньше всего изменяется распределение за фронтом детонационной волны массовой скорости продуктов детонации. Изменяется также радиус зоны покоя — с уменьшением плотности взрывчатого вещества он убывает (на рис. 5.4 и 5.5 его изменение показано пунктирными линиями). Для удобства использования этих результатов были получены аналитические аппроксимации для параметров на фронте детонационной волны и в области течения продуктов детонации. На рис. 5.3 видно, что плотность продуктов детонации на фронте детонационной волны линейно связана с начальной плотностью взрывчатого вещества. Эта зависимость хорошо описывается соотношением = 0,053+1,28». E.26) р В этом случае из E.24) нетрудно получить выражение для показателя адиабаты продуктов детонации на фронте детонационной волны: 0,053 + 0,28/90вв//>ст' V ' Результаты расчетов для скорости детонации могут быть описаны зависимостью ? = 0,225 + 0,775 (^ШV'* . E.28) Погрешность аппроксимации уравнений E.26)—E.28) лежит в пределах 1 %, а остальные параметры на фронте детонационной волны определяются по известным зависимостям E.24): 2 D 448
Для определения параметров за фронтом детонационной волны достаточно знать распределения плотности и массовой скорости продуктов детонации, а все остальные параметры могут быть вычислены с привлечением соотношения E.16) и уравнения состояния E.13). По аналогии с рассмотренным ранее уравнением состояния совершенного газа распределения плотности и массовой скорости продуктов детонации за фронтом детонационной волны были приведены к безразмерным координатам: ^^ ^ ?^ E.29) где г3 и р3 — радиус зоны покоя и плотность продуктов детонации в этой зоне. На рис. 5.6 и 5.7 показаны результаты приведения параметров продуктов детонации к новым координатам для плоской и сферической симметрии при различной начальной плотности взрывчатого вещества. Видно, что приведенные плотность ~р и скорость и могут быть описаны одной зависимостью от безразмерной координаты г, которая, как и в предыдущем случае, может быть записана в виде р = п = 1 - ( 1 - fa) при 0 < г < 1, E.30) где показатели а н /3 зависят от типа симметрии и равны: 1 при v — 0, а = { 1,05 при v = 1, 1,15 при v - 2; 1 при v — 0, /3 = { 0,6 при v = 1, 0,5 при v — 2. Графики зависимостей E.30) на рис. 5.6 и 5.7 нанесены сплошными линиями. 449
9; и 0,5 о 0,5 1 Рис. 5.6. Распределения приведенных плотности и массовой скорости продуктов детонации за фронтом плоской детонационной волны: о о — диапазон изменения плотности; х х — диапазон изменения массовой скорости 1 Рис. 5.7. Распределения приведенных плотности и массовой скорости продуктов детонации за фронтом сферической детонационной волны: о о — диапазон изменения плотности; х х — диапазон изменения массовой скорости 450
В зоне покоя значения параметров продуктов детонации остаются постоянными: р = р3] и = 0 при 0 < г < г3. Значения радиуса г3 зоны покоя и плотности р3 продуктов детонации ТЭНа в этой зоне определяются соотношениями 'ст 7 E.31) РЛВ где 0,5 при v = 0, а= { 0,472 при v = 1, 0,455 при I/ = 2; 0,675 при I/ = О, 0,640 при v = 1, 0,616 при i/ = 2; 0,293 при I/ = О, с = { 0,327 при v = 1, 0,348 при I/ = 2. Зависимости E.30) и E.31) аппроксимируют результаты численного решения задачи о детонации ТЭНа с погрешностью Порядка 2 %. Известные экспериментальные результаты и расчеты, проведенные для различных индивидуальных конденсированных взрывчатых веществ (твердых и жидких), показывают, что наиболее универсальной зависимостью для них является линейная связь между начальной плотностью взрывчатого вещества и плотностью продуктов детонации на фронте детонационной волны. Поэтому соотношение E.26) можно использовать практически для всех индивидуальных вторичных 451
взрывчатых веществ. При этом в соответствии с E.27) за их некоторую стандартную плотность рст следует принимать плотность, при которой продукты детонации на фронте детонационной волны имеют показатель адиабаты к = 3. По рассчитанной плотности /9дв с помощью соотношения E.22) вычисляется давление, а затем из E.24) — остальные параметры на фронте детонационной волны. Если считать, что распределение плотности продуктов детонации за фронтом детонационной волны для любого взрывчатого вещества описывается соотношением E.30), то из интегрального закона сохранения массы для всей области течения гдв Г3 можно получить выражение для плотности продуктов детонации в зоне покоя: _?з_ РД.В , E.32) где r = т3/гдв; Jo? ^Ъ ^2 — определенные интегралы вида 1 1 1 Jo= / A-га)^г, J1= jf(\-ra^dr, J2= fr2(l-ra>fdf. 0 0 0 452
При найденных значениях показателей а и /3 в E.30) эти интегралы равны: 0,5 при v — 0, . Jo = { 0,63496 при v = 1, 0,69243 при v = 2; 0,16666 при v = 0, = ^ 0,24538 при v = 1, 0,28014 при j/ = 2; 0,083333 при I/ = О, J2 = ^ 0,13663 при v = 1, 0,16095 при I/ = 2. Для радиуса зоны покоя в рамках автомодельного решения можно записать выражение г, С3 или с учетом выражений для скорости звука E.20) и скорости детонации E.24) кPRB\A п- 1 п_ \Ап/? A п 1 п_х 7_i Ап /?з l+B*fprl . E.33) ГДВ >1(к+1JРпв1 я-7 Система алгебраических уравнений E.32), E.33) дает возможность определить радиус г3 зоны покоя и плотность р3 продуктов детонации в этой зоне для любого взрывчатого вещества. При этом тождественно выполняется интегральный закон сохранения массы для всей области течения продуктов детонации. Течение за фронтом детонационной волны является изоэнтропическим, поэтому существует однозначная связь между плотностью и внутренней энергией продуктов 453
детонации, а так как кинетическая энергия за фронтом детонационной волны составляет всего несколько процентов от полной выделившейся энергии, то описанный подход обеспечивает выполнение интегрального закона сохранения энергии с погрешностью порядка 1 %. Автомодельное распределение параметров течения при дефлаграции. Дефлаграцией называется процесс распространения фронта горения в горючей смеси, впереди которого формируется фронт ударной волны, а позади находятся покоящиеся или движущиеся продукты сгорания. Следовательно, нормальная детонация является предельным случаем более общего процесса — дефлаграции, когда скорость распространения фронта горения совпадает со скоростью распространения фронта ударной волны и эти фронты сливаются. При уменьшении скорости распространения фронта горения перед ним формируется область ударной волны в исходной не прореагировавшей смеси, а за ним находятся движущиеся (режим дефлаграции Чепмена— Жуге) либо покоящиеся (режим слабой дефлаграции) продукты сгорания. При режиме дефлаграции Чепмена — Жуге видимая скорость U распространения фронта горения, как и при детонационном режиме, равна местной скорости звука С в продуктах сгорания за фронтом горения*. Наиболее часто дефлаграционные режимы распространения фронта горения наблюдаются при случайных взрывах зарядов больших объемов топливно-воздушной смеси. Автомодельная задача о распределении параметров при стационарной дефлаграции в совершенном газе описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка в полных производных E.4), где А = r/(Dygi), т.е. скорость детонации D заменена скоростью распространения фронта ударной волны ?>ув- Эта система уравнений имеет аналитическое решение лишь при плоской симметрии, причем решение дает * Скорость распространения фронта горения часто называют скоростью дефлаграции. 454
постоянные значения параметров в области течения, расположенной между фронтом ударной волны и фронтом горения. Граничными условиями задачи являются: а) на фронте ударной волны — соотношения динамической совместности \ Pi - Ро Ро Pi '(П-И)| l-i|; E.34) El ро Р\ +Р0 feo fco-1 б) на фронте горения — интегральные законы сохранения массы, импульса и энергии, которые можно представить в виде U = и2 + — Р2 \ РЗ -Р2 P2 РЗ = «2- J(P3-P2)( ) ! V \P2 РЗ/ E.35) в) в центре симметрии — равенство нулю массовой скорости среды. Здесь индексы 0 и 1 относятся к параметрам среды соответственно перед и за фронтом ударной волны, а индексы 2 и 3 — соответственно перед и за фронтом горения. 455
Так как в областях ударной волны и продуктов сгорания течение газа изоэнтропическое, то давление и плотность связаны со скоростью звука следующими зависимостями: в области ударной волны — г С \^т / С Ы Ы : E.36) в области продуктов сгорания — 2 3 С \*Fr / С Соотношения E.35) при известных параметрах среды р2> г^2, Р2 перед фронтом горения позволяют рассчитать параметры рз > ^3> Рз за фронтом. Так как за фронтом горения должно выполняться либо условие г^з = 0 в случае режима слабой дефлаграции, либо условие щ+Сз = U при режиме дефлаграции Чепмена — Жуге, то система E.35) относительно параметров Рз> Щ, Ръ становится переопределенной. Это указывает на то, что видимая скорость U распространения фронта горения и параметры перед фронтом горения не могут быть независимыми, т.е. каждому значению U должны соответствовать вполне определенные значения р2> и2-> Р2- Решения системы уравнений E.35) для двух режимов дефлаграции (при к\ = А?2) имеют следующий вид: для режима слабой дефлаграции (щ = 0) — х< 1 + - : .. v ". .о -Т7-1 E.37) 456
рз х -¦U = u2+C2 — Р2 ~ 1 + 2*1^ E.37) для режима дефлаграции Чепмена — Жуге (г^з = U — С3)- \ 1 + Q h - А?з - 1 E.38) Р2 92 1 Р2 ~ РЗ В связи с указанной переопределенностью граничных условий E.35) решение автомодельной задачи о дефлаграции может быть осуществлено лишь путем интегрирования системы уравнений E.4), начиная от фронта ударной волны при заданной ее интенсивности, а соотношения E.37), E.38) используются для определения параметров на фронте горения и скорости распространения этого фронта, которая обеспечивает формирование ударной волны заданной интенсивности в исходном взрывчатом веществе. При достаточно высоких скоростях распространения фронта горения система E.4) в области ударной волны не имеет особенностей и может быть проинтегрирована с помощью любого известного численного метода. Набор решений для 15 - 2728 457
р Раь 0 0, a I 6 5 J \ J _ 1 S 1 0 Г//Л+) /I "*t ( 40 2 {s 5 J A L J / 0,5 1 I Рис. 5.8. Распределения давления (а) и массовой скорости (б) при цилиндрической дефлаграции в зависимости от видимой скорости распространения фронта горения: 1 — U = 216 м/с; 2— U = 593 м/с; 3—U = 1084 м/с; 4—U = 1326 м/с; 5—U = 1578 м/с; 6—U = 1862 м/с различных интенсивностей ударной волны позволяет с помощью интерполяции решить обратную, практически более важную задачу: по заданной видимой скорости U распространения фронта горения найти распределения параметров течения. В качестве примера на рис. 5.8 для стехиометрической смеси ацетилен — воздух (ро = 1,013 • 105 Па, ро — = 1,2168кг/м3, Q = 3,269 МДж/кг, к0 = кг = к2 = 1,4, &3 = 1,234) при цилиндрической симметрии представлены распределения давления и массовой скорости в области течения в один и тот же момент времени после возбуждения процесса дефлаграции при различной видимой скорости распространения фронта горения. Значения давления и массовой скорости отнесены к соответствующим значениям на фронте детонационной волны (рдв = 19,33 • 105 Па; идв = 808,6 м/с). Распределения 1 и 2 соответствуют режиму слабой дефлаграции, 3—5 — режиму дефлаграции Чепмена — Жуге, 6— режиму нормальной детонации со скоростью D = 1862 м/с (точками отмечены параметры химпика). 458
Переход от режима слабой дефлаграции к режиму дефла- грации Чепмена — Жуге, при котором за фронтом горения появляется область тэйлоровской волны разрежения, происходит при U « 919 м/с (в случаях плоской и сферической симметрии — при 925 и 915 м/с соответственно), т.е. при скорости, примерно равной половине скорости детонации. Это соотношение выполняется достаточно точно не только для смеси ацетилен — воздух, но и для других топливно-воздушных смесей. Дальнейшее возрастание скорости распространения фронта горения приводит к увеличению размера области тэйлоровской волны разрежения и значений параметров за фронтом горения, при этом размер зоны покоя остается практически неизменным. На рис. 5.9 для всех типов симметрии {у = О, 1, 2) представлены зависимости скорости распространения фронта ударной волны от видимой скорости U распространения фронта горения (значения скоростей даны относительно скорости детонации) в ацетиленовоздушной стехиометрической смеси. При U —» О ?ув —* Со = 341,4 м/с. При цилиндрической 0,f У У 7 a- i) = 0 + -*/=/ 0,5 U/D Рис. 5.9. Зависимости скорости распространения фронта ударной волны /)ув от видимой скорости U распространения фронта горения для различных типов симметрии 15* 459
и сферической симметриях за счет дивергенции течения и уменьшения значений параметров в направлении к фронту ударной волны возрастание значения U вначале не приводит к изменению значения Dy# (dDy%/dU = 0]. В области значений U/D > 0,2.. .0,3 для всех типов симметрии зависимость Dyj$(U) близка к линейной. В приближении сильной ударной волны, т.е. при выполнении условий .. - ^УВ, С, = Жь E.39) из второго уравнения системы E.4) для производной на фронте ударной волны следует du \vk\ d\ л=1 (кг + 1) откуда в результате интегрирования имеем Соотношение E.40) достаточно точно (с погрешностью не более 1 %) описывает численное решение задачи в области исходной смеси, сжатой ударной волной, вплоть до значений U = @,2... 0,3J). Используя соотношение E.40), из первого уравнения системы E.4) нетрудно получить решение для скорости звука: или с учетом того, что область смеси, сжатой ударной волной, мала A - А С 1), 460
Даже при скоростях распространения фронта горения, заметно отличающихся от скорости детонации, полная ширина области ударной волны ДА = 1 - \2 невелика (при U = D/2 ДА » 0,05), однако вторым членом в квадратных скобках E.41) пренебрегать все же нельзя, так как его значение сравнимо с единицей (при U = D/2 оно имеет порядок 0,5). Первое из соотношений E.38) на фронте горения для режима дефлаграции Чепмена — Жуге можно записать в виде U = u2+C2F, E.42) где Г — II 1И— А?3 + 1 #1 &з \ , lvo 2&i к\ - При записи F использована связь для сильной детонационной волны (D2 = 2(&з - 1)<Э)« Разлагая функцию F в ряд по степеням D/C2 в окрестности детонационного режима, для которого D/C2 = (fci + I)/y2ki(ki - 1), и оставляя первый член разложения, получаем / D Если подставить последнее выражение в E.42), записать U2 и С2 через ДА из E.40) и E.41), учесть E.39), принять во внимание, что U = A - ДА)?>ув, и пренебречь величинами более высокого порядка малости, то нетрудно получить соотношение (^Л E.43) 461
где а = 4A + ^)&з--(&1 - IJ {к\-\), откуда следует линейная связь между скоростями распространения фронта ударной волны и фронта горения: E.44) Зависимость E.44) с высокой точностью (погрешность не превышает 1 %) описывает результаты численных расчетов не только для режима дефлаграции Чепмена — Жуге, но и для режима слабой дефлаграции при U > @,2.. .0,3)/). В то же время соотношение E.43) для параметра ДА при малой интенсивности ударной волны в некоторых случаях может приводить к значительным погрешностям (до 50 %), связанным с использованием допущений E.39). Для уточнения полученного решения воспользуемся следующими соотношениями для параметров на фронте ударной волны: E.45) DyB[1+ {j первое из которых является точным, а второе включает в себя первый член разложения по малому параметру Разложим функцию F в E.42) по степеням D/C2 в окрестности детонационного режима, оставляя только первый член разложения где индекс D указывает на отношение параметров к детонационному режиму. 462
С учетом E.45) константы в E.46) в пренебрежении величинами более высокого порядка малости приводим к следующему виду: D где С q = kiPo/{poD2) — малый параметр, при к\ = ко численно равный квадрату отношения скорости звука в исходной смеси к скорости детонации. Подставляя E.46) в E.42), выражая щ и C<i через ДА из E.40) и E.41), учитывая E.45) и пренебрегая величинами более высокого порядка малости, можно получить соотношение _D_ ЯуВ -Oh к\-кх ¦с: где значение а соответствует E.43). Учитывая малость второго члена в квадратных скобках и достаточно высокую точность E.44), полученное выражение для параметра ДА можно привести к форме E.43), введя новый коэффициент а\ — а Тогда окончательно получим 1 ,, E.47) ДА =! -Л = 1 + D 463
Соотношение E.47) для параметра ДА во всех газообразных смесях и при любой интенсивности ударной волны в указанном диапазоне значений U обеспечивает погрешность вычислений в пределах 10 %, что, учитывая малость самого значения ДА, можно рассматривать как достаточно высокую точность. Из рис. 5.8 следует, что распределения параметров продуктов сгорания за фронтом горения при режиме дефлагра- ции Чепмена — Жуге качественно подобны распределениям параметров за фронтом детонационной волны. В частности, распределение массовой скорости согласно E.11) и E.12) можно записать в виде С3 - С4 ~~ 1- E.48) где индекс 4 относится к параметрам в зоне покоя. На рис. 5.10 для вариантов, аналогичных вариантам на рис. 5.8, представлено распределение массовой скорости и/щ продуктов сгорания в зависимости от приведенной координаты А = (А — А4)/(А2 — А4). Здесь же даны значения функции / = (?увА - и)/С, с помощью которой строится приближенное решение для детонационной волны. Видно, что с уменьшением скорости распространения фронта горения и с ее приближением к значению, соответствующему переходу к режиму слабой дефлаграции, значение / стремится к единице, при этом безразмерные распределения параметров в области тэйлоровской волны разрежения несколько изменяются. Локальные относительные отклонения от детонационного распределения могут достигать 10 ... 15 % (при сферической симметрии — 20 ... 30 %), однако абсолютные расхождения существенно меньше, так как значение г^з при этом стремится к нулю. Размер зоны покоя и па?аметры в ней определяются по среднему значению функции /, так же как для детонационной волны: С4 = С3 . E.49) 464
0,5 6 \ 6 f 1,2 0,5 .1 0,8 Рис. 5.10. Распределение массовой скорости продуктов сгорания в зависимости от приведенной координаты в области тэйлоровской волны разрежения и изменение функции / при некоторых значениях скорости распространения фронта горения: 3, 4) ^ — то же, что и на рис. 5.8 На рис. 5.11 по результатам численных расчетов построены зависимости функции / = (/ — 1)/(/х> — 1) от комплекса у =г (D/JDyg + Cf)/C^)u^/Buj)), где индексом D отмечены значения, соответствующие детонационному режиму. Видно, что для любого типа симметрии можно положить / = у или fD-l( D Ср\щ 2 lDyB Сз/кд' E.50) где fj) = Fj/ + 15)/Di/ + 15) для детонационного режима и продуктов сгорания с произвольным показателем адиабаты &з • Анализ результатов численного решения (см. рис. 5.10) показывает, что уменьшение среднего значения функции / эквивалентно возрастанию показателя а в распределении E.48). На рис. 5.11 для цилиндрической {у — 1) и сферической 465
Рис. 5.11. Зависимости /(у)иа(/) [у = 2) симметрии представлены зависимости а(/ ), обеспечивающие минимальные погрешности аппроксимации численных расчетов (при плоской симметрии а = 1). С учетом значений а для детонационного режима эти зависимости можно представить в виде 20 20 yjpj "*" 4 /^ - 1 при этом показатель /3 = 2/B+*/) не изменяет своего значения. Таким образом, для построения автомодельных распределений параметров при дефлаграции по заданной видимой скорости U распространения фронта горения (при U > @,2... ...0,3)J9) из E.47) определяются скорость распространения фронта ударной волны и толщина слоя сжатой ею исходной смеси, с помощью которых из E.34) и E.40), E.41) вычисляются параметры за фронтом ударной волны и перед фронтом горения. В зависимости от режима дефлаграции состояние продуктов сгорания на фронте горения определяется соотношениями E.37) или E.38), а за фронтом (при режиме дефлаграции Чепмена — Жуге) — E.48), E.49). Давление и плотность вычисляются по скорости звука по изоэнтропическим 466
зависимостям E.36). Полученные аналитические соотношения с высокой точностью (погрешность порядка 1 %) описывают численные расчеты, удовлетворяют асимптотикам точного решения и могут использоваться в качестве начальных условий для решения более сложных задач. Параметры слабой дефлаграции. При сферической и цилиндрической симметриях за счет дивергентности течения скорость среды перед фронтом горения уменьшается в направлении к фронту ударной волны и при малой скорости распространения фронта горения на самом фронте ударной волны стремится к нулю. При этом производные du/dX и dC/dX в системе уравнений E.4) на границе расчетной области (А= 1) становятся неопределенными (типа 0/0). Используя акустическое приближение для параметров на фронте ударной волны из системы E.4) для первой и второй производных можно получить выражения: du d\ ~d\ d\ d\2 d?C A=l A=l + •Co; —v- -Co 1- kp + 1 u\ \ 4 CoI Л=Г (ко + 1)*щ1С°- - 4Bi/ d\2 A=l E.51) 467
Из E.51) следует, что при щ —> 0 du/dX = const, dC/dX = = const, а вторые производные стремятся к бесконечности, поэтому использование для интегрирования системы E.4) разностных схем первого порядка аппроксимации может привести к весьма значительным погрешностям вычислений, а применение разностных схем более высокого порядка затруднительно. Первое уравнение системы E.4) в области ударной волны можно переписать в виде т dC2 = ADyB du-udu- d(XDy^u) du2 - Dy^u dX. Интегрирование вновь полученного уравнения в пределах от фронта ударной волны (А = 1) до текущего значения координаты А дает зависимость С2 -С2 и2 - и2 т—^ = DYB(Xu -щ) ^-i - Лув?>(А), E.52) л tp(\)= lud\ — где (р[Л) = и ал — потенциал течения. 1 При малой скорости распространения фронта горения С\ —> ?ув —> Со, щ -> 0, к\ = ко и интеграл E.52) упрощается, а именно ^-^1 = С0\и - у - Со<^(А), E.53) а второе уравнение системы E.4) в окрестности фронта ударной волны, где А > и/Со, принимает вид du vu 1 интегралом которого является выражение 2 E.54) где А — константа интегрирования. 468
При плоской симметрии {у — 0) из E.54) следует, что и = А = и\, т.е. массовая скорость сжатой смеси за фронтом ударной волны постоянна и равна скорости смеси на самом фронте, а в дивергентных случаях {у — 1 и v = 2) массовая скорость смеси возрастает от нуля при удалении от фронта ударной волны. Используя E.54), можно вычислить потенциал течения для всех типов симметрии: ' А(Х - 1) = -иA - А) при v = 0, L [ v 1 - А^ - In V А = Хи 1- при v = 1, П-АJ 1-А — А —— = — ил при v — 2. Л 1 ~г Л Подставив эти выражения в уравнение E.53), получим связь между звуковой и массовой скоростями смеси в окрестности фронта ударной волны: С = при v = 1, и 2А 1 / i. . . ^г^ТТ- « 7Г при!/ = 2 E.55) Первое из соотношений E.55) описывает связь между скоростью звука и массовой скоростью не прореагировавшей смеси в области ударной волны перед плоским фронтом горения 469
при очень малой скорости распространения фронта горения (щ —> 0), а два последующих соотношения могут быть использованы вместо граничных условий на фронте ударной волны E.34) при интегрировании системы E.4) в случае малой скорости распространения фронта горения, начиная не от фронта ударной волны (А = 1), а от любой произвольной точки с координатой А 3> и/Со- Проведенные численные расчеты показали, что подобным образом можно избежать указанных выше трудностей без снижения точности получаемых результатов. На рис. 5.12 представлены результаты численного решения цилиндрической задачи для ацетиленовоздушной стехио- метрической смеси в виде распределений в области течения избыточного давления и массовой скорости, отнесенных к м Ро 1,5 0,5 —г"""°—¦* 1 г \ \ О—о о. В| JL Со 0,9 0,6 0,3 ч < ч \ \ N N 0,5 0,5 Рис. 5.12. Распределения избыточного давления (а) и массовой скорости (б) при цилиндрической дефлаграции ацетиленовоздушной смеси в зависимости от скорости распространения фронта горения (точками отмечены результаты приближенного численного решения): 1 — U = 50 м/с; 2— U = 150 м/с; 3 — U = 250 м/с; 4 — U = 350 м/с 470
начальному давлению и скорости звука в исходной смеси соответственно. Видно, что при скорости распространения фронта горения U = 50 м/с интенсивность ударной волны практически снижается до нуля. При сферической симметрии распределения параметров качественно подобны (интенсивность фронта ударной волны стремится к нулю при U < 150 м/с), а при плоской симметрии параметры за фронтом ударной волны постоянны. Анализ численных результатов показывает, что, несмотря на существенное изменение плотности продуктов сгорания (при возрастании скорости распространения фронта горения от 50 до 350 м/с она увеличивается в случаях плоской, цилиндрической и сферической симметрии соответственно в 2,17; 2,04 и 1,94 раза), скачок плотности газа на фронте горения изменяется слабо (на 16, 12и9% соответственно) и в первом приближении может быть принят постоянным и равным степени расширения газа при сгорании, которая определяется из третьего соотношения системы E.35) при рз = V2 — Ро (к2 = к0, р2 = ро): 2к0 2p0Q\ 7 + = 2p0Q\ рз 2&з \ko-l ро ) Это дает возможность, учитывая равенство г^з = 0, с помощью первых двух соотношений E.35) связать между собой скорость распространения фронта горения и массовую скорость среды перед ним: (^Y E.56) Зависимость E.56) в указанном выше диапазоне значений скорости распространения фронта горения выполняется для различных типов симметрии с погрешностью 1,5 ... 3,0 %. Интегральный закон сохранения массы для всей области ударной волны можно записать в форме 471
где р — некоторая средняя плотность в области течения, расположенной между фронтом ударной волны и фронтом горения. При малой скорости распространения фронта горения (Аз <С 1) и линейном распределении плотности в области ударной волны ( к 1/ + 2 Тогда, закон сохранения массы принимает вид Поделив последнее выражение почленно на р\, окончательно получим зависимость {и + 2)^ = (i/ + 2)А?+1- + [Ъ + (и + 1)] A - А?+1), E.57) Р\ <7 \ * / где 6 = рг1ръ Анализ системы одномерных уравнений газовой динамики E.1) показывает, что значения параметров на фронте ударной волны могут возрастать лишь при определенных значениях градиентов за фронтом. Так как коэффициент Ь в E.57) характеризует градиент плотности за фронтом, то можно ожидать, что при дефлаграции возрастание интенсивности ударной волны начнется при достижении этим градиентом некоторого определенного значения. Действительно, численные расчеты показывают, что с увеличением скорости распространения фронта горения коэффициент b возрастает до некоторого значения, при котором начинается заметный рост интенсивности ударной волны, а затем значение коэффициента 6 остается практически постоянным. С учетом изоэнтропической связи между плотностью и скоростью звука (см. E.36)) при условии и\ —> 0 для градиента плотности за фронтом ударной волны из E.51) нетрудно получить зависимость 1 dp _ 2i/ Р d^ A=l &0 + 1 472
Так как Р\ ~ Р2 = 1-6, Pd^ A=l Pi то 1 - b ~ 2v/(ko + 1). По данным численных расчетов коэффициент пропорциональности может быть принят равным 1/4, поэтому для коэффициента 6 в E.57) можно записать С учетом E.58) по уравнению E.57) можно рассчитать скорость U* распространения фронта горения, при которой начинается возрастание интенсивности ударной волны. Так как при этом р\ = />о и А2 = U*/Cq, to из E.57) следует Со ТА E.59) Значения коэффициента, b и скорости [/* для рассматриваемой смеси, вычисленные по зависимостям E.58), E.59), в случаях плоской, цилиндрической и сферической симметрии соответственно равны 1; 1,2083; 1,4167 и 0; 0,2747С0 = 93,8 м/с; О,4821Со = 164,6 м/с. Так как на фронте ударной волны ч2 ко-1 Р\ то, используя E.57), можно получить уравнение для определения скорости распространения фронта ударной волны при U > U* (полагая А2 = ко Cq J Со Со/ которое при плоской и цилиндрической симметриях имеет аналитические решения: 473
Дув Со -- — +1 при i/ = 0; E.60) Дув \ 2 + 6A- 3 к 3/*)/ \ 2 о + 1 <{/ ^Со 6 1 f , - 1 3 2 fco + 1 при и = 1, E.61) а при сферической симметрии может быть представлено в виде рекуррентного соотношения Рув Со = 3 \ Со/ + Со 6-1 при v = 2, E.62) позволяющего получить результат с достаточной для практики точностью за три — пять итераций. На рис. 5.13 представлены результаты расчетов для рассматриваемой смеси по зависимостям E.60)—E.62). Видно, что в области ненулевой интенсивности фронта ударной волны аналитические соотношения E.60) и E.61) обеспечивают высокую точность вычислений. Для описания параметров в области ударной волны воспользуемся более общим, чем E.54), распределением скорости, записав его в виде 1 _ \0 и — щ + А- А* /п A - А?) — константа, определяемая по массовой скорости сжатой смеси перед фронтом горения (при А = А2); A - А^) — множитель, описывающий локальное 474
Со US =?:— р X 0,5 и/С0 Рис. 5.13. Зависимости скорости ударной волны от скорости распространения фронта горения для плоской ( ), цилиндрической ( ) и сферической ( ) симметрии: о, х, D — результаты численного решения соответственно для плоской, цилиндрической и сферической симметрии снижение скорости в окрестности фронта ударной волны (см. рис. 5.12, б); а — показатель, приводящий градиент скорости на фронте горения к точному значению (см. E.4)): du 1\ - щ Л=Л2 / л \ - 1 По данным численных расчетов можно принять /3 = Зг/. Тогда, учитывая E.56) и принимая во внимание, что скорость звука за фронтом ударной волны изменяется незначительно (в пределах 3 %), можно получить окончательное соотношение для определения массовой скорости: 475
E.63) где 0L — V У" _ -, ) \ V и ) Используя E.63), можно вычислить потенциал течения </?(А) и привести интеграл E.52) к виду г2 а -А- -a) ).64) Соотношение E.64) совместно с E.36) позволяет построить распределения давления и плотности в области течения, расположенной между фронтом ударной волны и фронтом горения. В частности, для давления перед фронтом горения (А = А2 = UIБуъ) получим Р2 = ~ U\ 1 U l-(U/DyB)*"[a-lDyB / U V 3i/-a (a-l)Ci/+l-a)Vi3yB/ 3«/+Г Параметры за фронтом горения определяются из граничных условий E.35), которые в сочетании с E.56) позволяют получить соотношение для определения давления: РЗ = Р2 ~ P2U E.66) 476
y/ >• 1 0 o,s 5 Рис. 5.14. Зависимости от скорости распространения фронта горения избыточного давления (а) и массовой скорости (б) на фронте ударной волны A), на фронте горения B) и за фронтом горения C) для плоской ( ), цилиндрической ( ) и сферической ( ) симметрии: о, х, D — результаты численного решения соответственно для плоской, цилиндрической и сферической симметрии При скорости распространения фронта горения U < U* имеем ?>ув = С\ — Со, щ = 0 и в E.63) с высокой точностью можно положить а = v, при этом соотношения E.64) и E.65) несколько упрощаются. На рис. 5.14 для рассматриваемой смеси приведены зависимости от скорости распространения фронта горения избыточного давления и массовой скорости на фронте ударной волны, фронте горения и за фронтом горения (в продуктах сгорания), построенные с помощью соотношений E.56), E.60)— E.62), E.65) и E.66). На рис. 5.12 точки соответствуют распределениям избыточного давления и скорости за фронтом ударной волны, рассчитанным по зависимостям E.63) и E.64) для цилиндрической симметрии. Сравнение результатов численного и аналитического решений показывает, что соотношения E.63) и E.64) обеспечивают приемлемую точность рас- 477
чета параметров одномерной дефлаграции газообразных смесей: по наиболее чувствительному параметру (избыточному давлению) погрешность не превышает 3 ... 5 % вплоть до достижения скоростью распространения фронта горения значений U = A,5 .. .2,О)Со. С учетом зависимостей E.47) и E.48), полученных для значений U > @,2 ... 0,3)J9 « A,1... 1,6)Со, с помощью настоящего решения можно рассчитать параметры одномерной дефлаграции по заданной видимой скорости распространения фронта горения с достаточно высокой точностью во всем диапазоне значений U вплоть до значения скорости нормальной детонации. Ускоряющаяся сферическая дефлаграция. В отличие от задачи о стационарной дефлаграции одномерная задача о нестационарной дефлаграции не является автомодельной и описывается полной системой дифференциальных уравнений газовой динамики в частных производных. Эта система уравнений для сферической симметрии в переменных Эйлера имеет следующий вид: ди ди 1 др at or p or dp dp ди 2ри л I + U/r+pd^ + i- = 0' E.67) дЕ дЕ р ди 2ри п dt dr p дг рг р = рЕ(к-1). Последнее соотношение системы E.67) представляет собой уравнение состояния совершенного газа, где показатель адиабаты к имеет различные значения для исходной смеси и для продуктов сгорания. Граничные условия задачи имеют тот же вид, что и в случае стационарной дефлаграции (см. E.34) и E.35)). Интегрирование системы уравнений E.67) проводится с помощью численного алгоритма в подвижной разностной сетке, граничные узлы которой связаны с центром симметрии и с фронтом ударной волны. Параметры в граничных узлах 478
разностной сетки рассчитываются с помощью метода характеристик по схеме Хартри, а во внутренних узлах — с помощью модифицированной схемы Лакса—Вендроффа. (Более подробно алгоритм был описан в разделе 3.3.) Фронт горения выделяется в качестве дополнительного разрыва, не совпадающего с узлами разностной сетки, и для расчета параметров на этом фронте необходимо применение специального алгоритма. Особенностью задачи является нестационарность распространения фронта горения, что не дает возможности воспользоваться условием щ = О для режима слабой дефлаграции (при дозвуковом режиме распространения фронта горения в продуктах сгорания) и требует формулировки более общего условия. Преобразовав граничные условия на фронте горения E.35), можно получить адиабату продуктов сгорания в координатах (р, и): Р2 При известных параметрах смеси перед фронтом горения (Р2> и2) параметры продуктов сгорания за фронтом горения (РЗ) ^з) соответствуют точке пересечения адиабаты E.68) с прямой Релея, которая является следствием первых двух соотношений из граничных условий E.35): Р2 - РЗ = (U - и2)(и2 - ti3)p2- E*69) Совместное решение E.68) и E.69) дает зависимость J Ejo) 479
Пересечение прямой Релея с адиабатой продуктов сгорания в двух точках соответствует режиму слабой дефлаграции. При этом физический смысл в уравнении E.70) имеет знак минус и за фронтом горения выполняется условие щ + Сз > U. Равенство нулю подкоренного выражения в E.70) означает касание прямой Релея адиабаты продуктов сгорания и распространение фронта горения при режиме дефлаграции Чепме- на—Жуге, когда щ + Сз = U. Условие касания позволяет по заданным параметрам перед фронтом горения однозначно определить скорость U распространения фронта горения и все параметры за фронтом E.38). В частности, для определения давления можно получить зависимость Р2 ~ Рз = (*з - !)/><2 '1 + -1 . E.71) В рассматриваемой задаче параметры перед фронтом горения сами по себе являются неизвестными и должны определяться в процессе решения, для чего используются соотношения, выполняющиеся вдоль характеристик (см. раздел 3.3). Запись этих соотношений в разностях на временном шаге At позволяет замкнуть граничные условия E.35) и по известным параметрам в окрестности фронта горения на предыдущем временном слое определить все параметры на следующем временном слое. Для положительной и отрицательной характеристик, а также для траектории частицы, начинающихся соответственно в точках /, га, п на предыдущем временном слое и пересекающихся по прошествии времени At в точках 2 и 3, находящихся перед и за фронтом горения, можно записать: ' -w) +0*з-и,)+ |~| д* = °; E-72) /з L т J/з [рс\ 1 [рс\ т2 (?2 ~ Рт) ~ {Щ - Um) Jm2 = 0; E.73) E.74) 480
где двойной индекс у квадратных скобок означает усреднение коэффициентов по значениям в соответствующих точках. Если характеристика из области течения продуктов сгорания догоняет фронт горения (и$ + Сз > [/), т.е. фронт распространяется при режиме слабой дефлаграции, то для расчета его параметров необходимо привлекать все три соотношения E.72)—E.74). На рис. 5.15, а представлены траектории характеристик и диаграммы р—и для этого случая. Линии E.72) и E.73) соответствуют соотношениям, выполняющимся вдоль положительной и отрицательной характеристик, а линии E.68) и E.69) — семействам адиабат продуктов сгорания и прямых Релея. При выполнении граничных условий E.35) параметры на фронте горения на следующем временном слое соответствуют точкам тройного пересечения указанных линий (точки 2 и 3). Если параметры перед фронтом выбраны завышенными (точка 21), то пересечение прямой Релея E.69) с адиабатой продуктов сгорания E.68) произойдет перед характеристикой E.72) в точке <?', а если параметры ZJ (S.6S) E.73) Рис. 5.15. Траектории характеристик и диаграммы р — и при расчете параметров на фронте горения: а — режим слабой дефлаграции; б — режим дефлаграции Чепмена — Жуге; обозначения E.68), E.69), E.72) и E.73) соответствуют формулам, определяющим поведение функций в плоскости (р, и) 481
перед фронтом занижены (точка #"), то точка пересечения Зп будет находиться за характеристикой E.72). В соответствии с указанными особенностями можно предложить следующую итерационную схему расчета параметров на фронте горения при режиме слабой дефлаграции: 1) задается приближенное значение р2, равное, например, его значению на предыдущем временном слое; 2) по значению рг из E.73) и E.74) определяются значения Щ и рг, 3) после исключения щ с помощью E.69) из E.72) по заданной скорости U вычисляется значение рз; 4) по значению рз с помощью E.68) и третьего соотношения граничных условий E.35) определяются значения щ и/>з; 5) после исключения щ с помощью E.69) из E.73) определяется значение рг i 6) цикл повторяется по вновь найденному значению р2 до достижения необходимой точности вычислений. Если характеристика из области течения продуктов сгорания не догоняет фронт горения (^з + Сз = {/), т*е- ФРОНТ распространяется при режиме дефлаграции Чепмена — Жуге, то соотношение E.72) теряет смысл и для расчета параметров на фронте необходимо привлекать соотношение E.71). Картины в координатах (г, 1)ив плоскости (р, и) для этого случая представлены на рис. 5.15, б. При выполнении граничных условий E.35) параметры за фронтом горения соответствуют точке касания прямой Релея адиабаты продуктов сгорания (точка 3). Если параметры перед фронтом выбраны завышенными (точка #'), то при заданной скорости распространения фронта горения прямая Релея пересекает адиабату продуктов сгорания в двух точках, а если заниженными (точка 2"), то она не имеет с ней ни одной общей точки. При этом использование зависимости E.71) в любом случае задания параметров перед фронтом дает координаты точек касания (точки 3f и Зп) при соответствующем изменении угла наклона прямых Релея (пунктирные линии на рис. 5.15, б). Такое поведение диаграмм р — и позволяет проводить расчет параметров на фронте горения при режиме дефлаграции Чепмена — Жуге по следующей итерационной схеме: 482
1) в первом приближении задается значение р2\ 2) по значению рг из E.73) и E.74) определяются значения Щ и р2\ 3) из E.71) находится значение рз; 4) по найденному значению рз из третьего соотношения E.35) и уравнения E.68) определяются значения щ и />з; 5) после исключения щ с помощью E.69) из E.73) вычисляется уточненное значение р2', 6) цикл повторяется по вновь найденному значению рз Д° достижения необходимой точности вычислений. Разработанный алгоритм является абсолютно сходящимся, не накладывает ограничений на характер течения в окрестности фронта горения и обеспечивает сходимость вычисляемых параметров в пределах восьмой значащей цифры за 10—15 итераций для любой скорости распространения фронта горения. В частности, этот алгоритм автоматически приводит к нулевой скорости продуктов сгорания за фронтом при режиме стационарной слабой дефлаграции и обеспечивает естественный переход дефлаграции из одного режима в другой при изменении скорости распространения фронта горения. Точность разработанного алгоритма проверялась сравнением численных расчетов с автомодельными решениями для режимов стационарной дефлаграции, а также контролем соблюдения интегральных законов сохранения массы и энергии для всей области течения; погрешность не превышала долей процента. Численные расчеты были проведены для стехиометриче- ской ацетиленовоздушной смеси при изменении видимой скорости распространения и радиуса фронта горения по степенному закону: U = Ata; R=-^-ta^ = -^-. E.75) а + 1 а + 1 v ' В соответствии с теорией подобия и размерностей задача об ускоряющейся дефлаграции, аналогично классической задаче о расширяющемся поршне, имеет лишь один переменный безразмерный параметр — показатель а (степень возрастания скорости распространения фронта горения), поэтому 483
Рис. 5.16. Распределения избыточного давления (а) и массовой скорости (б) в области течения продуктов сгорания при равноускоренном режиме распространения фронта горения: 1 — U = 99,7 м/с; 2 — U = 215,7 м/с; 3 — U = 331,7 м/с; ^ — ^ = = 433,8 м/с; 5— U = 557,5 м/с при расчетах в законе E.75) коэффициент А полагался равным единице, а показа!ель а принимал значения 0,5; 1; 2 и 5. На рис. 5.16 представлены распределения избыточного давления и массовой скорости за фронтом ударной волны (А — относительная линейная координата в области течения продуктов сгорания) для равноускоренного закона E.75) с показателем а = 1 в такие моменты времени, когда скорость U распространения фронта горения принимала значения 99,7; 215,7; 331,7; 433,8 и 557,5 м/с. Для удобства представления результатов параметры на рисунке нормированы относительно соответствующих значений перед фронтом горения. Характерной особенностью ускоряющейся дефлаграции является возникновение течения продуктов сгорания даже при режиме слабой дефлаграции и формирование сильного разрыва в области течения перед фронтом горения. В рассматриваемом случае (а = 1) сильный разрыв появляется при скорости U w 444 м/с « 1,ЗСо примерно посере- 484
дине между фронтом ударной волны и фронтом горения. С течением времени интенсивность разрыва возрастает, и он постепенно догоняет фронт ударной волны. Выход разрыва на фронт ударной волны происходит при скорости распространения фронта горения U w 649 м/с « 1,9Со, причем до этого момента интенсивность фронта ударной волны остается нулевой (скорость его распространения равна скорости звука в исходной смеси), а после выхода разрыва на фронт ударной волны скорость распространения последнего возрастает скачком. В случае снижения интенсивности возрастания скорости U распространения фронта горения сильный разрыв возникает при меньших значениях t/, а место его появления смещается к фронту ударной волны (например, при а = 0,5 момент появления разрыва соответствует скорости U « 341 м/с w Co, а место его возникновения примерно в 3 раза ближе к фронту ударной волны, чем к фронту горения). Дальнейшее уменьшение значения а приводит к тому, что разрыв начинает формироваться непосредственно за фронтом ударной волны и при этом плавно повышается интенсивность последнего. Увеличение интенсивности возрастания скорости U распространения фронта горения приводит к более позднему возникновению разрыва (по параметру U) и к смещению места его появления к фронту горения (так, при а = 2 разрыв появляется в момент, когда U « 546 м/с « 1,6Со, в области, удаленной от фронта ударной волны примерно в 5 раз дальше, чем от фронта горения), причем с течением времени фронт горения начинает догонять разрыв. При очень высокой интенсивности возрастания скорости распространения фронта горения (а = 5) сильный разрыв формируется непосредственно перед фронтом горения (при U « 683 м/с w 2Co) и распространяется вместе с ним. Давление продуктов сгорания за фронтом горения (рис. 5.16, а) практически постоянно по радиусу фронта, а массовая скорость продуктов сгорания (рис. 5.16, б) изменяется линейно и отрицательна (течение направлено к центру симметрии). При этом относительная скорость u$/v,2 продуктов 485
Рис. 5.17. Зависимости массовой скорости перед фронтом (t*2 A)) и за фронтом (из B)) горения от скорости U распространения фронта: # — а = 0, 5; о — а? = 1; х — а = 2; О — а = 5 сгорания непосредственно за фронтом горения до момента выхода сильного разрыва на фронт ударной волны также практически линейно возрастает в зависимости от относительной линейной координаты фронта А2 = R/(Cot). На рис. 5.17 представлены безразмерные зависимости массовой скорости газа перед фронтом (г^/Со) и за фронтом (Uz/Co) горения от скорости U/Cq распространения фронта горения для всех рассчитанных вариантов. С увеличением интенсивности возрастания скорости распространения фронта горения проявляется тенденция к некоторому снижению скорости газа перед фронтом по отношению к режимам стационарной дефлаграции (сплошная линия), однако это снижение даже при U/Cq = 1,5 и а = 5 не превосходит 1,5 %. Скорость 486
1,0 If/Co Рис. 5.18. Зависимости избыточного давления перед фронтом (Дрг A)) и за фронтом (Арз B)) горения от скорости U распространения фронта: ф — а = 0,5; о — а = 1; х — а = 2;О — а = 5 продуктов сгорания за фронтом горения по модулю возрастает от значения U нелинейно и при U/Co > 1 может достигать 20 ... 25 % от значения, которое достигается перед фронтом. На рис. 5.18 приведены безразмерные зависимости избыточного давления перед и за фронтом горения от скорости его распространения. По сравнению с режимами стационарной дефлаграции ускорение фронта горения приводит к возрастанию избыточного давления перед фронтом в области значений U/Со < 0,8 ... 0,9, причем максимальное относительное расхождение наблюдается при U/Cq = 0,1.. .0,2 и может достигать 487
30 ... 40 %. В области значений U/Co > 0,8 ... 0,9, вплоть до выхода сильного разрыва на фронт ударной волны, избыточное давление перед фронтом горения снижается относительно его значений при режимах стационарной дефлаграции, но не более чем на 2 ... 3 %. Избыточное давление за фронтом горения также возрастает при малых значениях U (до 40 % при U/Со « 0,1), однако в области значений U/Co > 0,6 ... 0,7 наблюдается монотонное снижение избыточного давления Дрз относительно его значений при режимах стационарной дефлаграции, и при U/Со = 1,5 и а = 5 это снижение достигает примерно 20 %. Так как при ускоряющейся дефлаграции интенсивность фронта ударной волны достаточно долго остается нулевой, то течение идеального невесомого газа перед фронтом горения до момента формирования сильного разрыва будет потенциальным, поэтому для описания его параметров можно воспользоваться квазиакустическим подходом, в соответствии с которым потенциал скорости сферически симметричной волны имеет вид </? = /(?)/r> a массовая скорость, давление и скорость звука определяются соотношениями E.76) ; Lf1; E.77) выполняющимися вдоль характеристик, начинающихся на фронте горения и распространяющихся с местной скоростью звука % = ч + С. E.79) at Здесь f = Cot -r — характеристический аргумент; /(?) — функция, определяемая по параметрам фронта горения; /'(?) — производная функции по своему аргументу. На фронте горения массовая скорость газа в соответствии с E.76) равна /'(О ДО (,т и2 = E80) 488
а избыточное давление согласно E.77) и E.80) составляет Ар2 = Р2-ро = роСои2 (l + ^jpj . E.81) Значение характеристического аргумента на фронте горения изменяется по закону ? = Сот - Д, E.82) где т — время, соответствующее радиусу фронта Л(т). С учетом E.82) можно записать выражение для производной функции fm = df dR = и/с° df J J "' dRdi 1-U/CodR' а из E.80) можно получить дифференциальное уравнение для ее определения: df , 11- U/Cq t 1 - U/Со dR + R-TJ-f = -U2-UI7~ В случае стационарной дефлаграции при постоянных значениях U и U2 уравнение E.83) имеет простое решение: Подставив E.84) в уравнение E.81) для избыточного давления на фронте горения при режиме стационарной слабой дефлаграции в акустическом приближении, получим соотношение в безразмерной форме: Ро E'85) Как было показано ранее, при режиме стационарной слабой дефлаграции массовая скорость газа перед фронтом горения хорошо описывается соотношением E.56), подставив которое в E.85) получим АР2 _ 2ko[(a-l)/a}(U/CoJ ро 1 + U/Со 16 - 2728 489
Результат, полученный по этому соотношению для режимов стационарной дефлаграции, имеет расхождение с результатами численного решения более 20 % уже при U > ОДСо- На рис. 5.17 пунктирная прямая соответствует зависимости E.56), которая с погрешностью не более 3 % выполняется также и при режимах нестационарной дефлаграции. Тогда, вводя новую безразмерную функцию / = //(г^Я2), соотношение E.81) для избыточного давления можно записать в форме U —A Со /). E.86) Зависимости функции / от видимой скорости распространения фронта горения, построенные по результатам численного расчета с помощью соотношения E.86), представлены на рис. 5.19 для различных режимов ускоряющейся дефлаграции (пунктирная линия соответствует акустическому приближению E.84) для стационарной дефлаграции). Видно, Г -0,5 .4 /чу о 0,5 1 Рис. 5.19. Зависимости функции / от видимой скорости распространения фронта горения: • — а = 0,5; о — а = 1; х — a = 2;D — а = 5 490
что акустическое приближение для функции / при вычислении избыточного давления Ар2 можно использовать лишь при очень малых скоростях распространения фронта горения. С увеличением интенсивности возрастания скорости распространения фронта горения растет и значение параметра A+/) в области значений U < О,8Со, превышая примерно на 40% свое значение для режимов стационарной дефлаграции при ?/ = О,1Соиа=:5. Поэтому при оценке избыточного давления ускоряющейся дефлаграции следует учитывать значение показателя а в законе E.75). По данным численных расчетов функцию / можно аппроксимировать зависимостью - 1,05([//С0J - 1 3/? Со + где 0 = 0,5 - 0,028а. При а = 0 соотношение E.87) соответствует режимам стационарной дефлаграции и позволяет рассчитывать избыточное давление перед фронтом горения с погрешностью не более 3 % при любой исследованной степени возрастания скорости распространения фронта горения а @ < U < 1,5Со). Так как характеристический аргумент на фронте горения E.82) сохраняет свое значение вдоль уходящих от него звуковых линий, то, используя связь между функциями / и / и исключая с помощью E.80) производную /' из E.76)—E.78), нетрудно получить с учетом E.56) зависимости для основных параметров, выполняющиеся вдоль характеристик: - E.90) 491
Здесь значения параметров С/, /, R соответствуют моменту выхода характеристик с фронта горения г, а г — текущее значение координаты, которое определяется путем интегрирования уравнения E.79) с помощью соотношений E.88) и E.90). В пренебрежении величинами более высокого порядка малости этот интеграл можно привести к виду С помощью соотношений E.87)—E.91), в которые т входит как параметр, изменяющийся в пределах 0 < г < /, можно построить распределения параметров перед фронтом горения в произвольный момент времени t. На рис. 5.16 кружками нанесены полученные с помощью указанных зависимостей распределения избыточного давления и массовой скорости для соответствующих моментов времени. При дозвуковой скорости распространения фронта горения из соотношений E.88)—E.91) следуют распределения параметров, отличающиеся от результатов численного решения в пределах нескольких процентов, а при U > Со появляется область неоднозначных значений параметров, что указывает на образование сильного разрыва. Если фронт ударной волны проводить через точки излома получаемых распределений, то соотношения E.88)—E.91) с несколько большей погрешностью (порядка 10%) можно использовать вплоть до выхода разрыва на фронт основной ударной волны. Анализ результатов численного решения (см. рис. 5.16, б) показывает, что распределение массовой скорости газа за фронтом горения можно представить в виде и = щ^ при 0 < г < Я, E.92) К 492
а для массовой скорости продуктов сгорания непосредственно за фронтом можно записать зависимость щ — В(а)и2\2 или с учетом закона распространения фронта горения E.75) и соотношения E.56) Щ = В(а), а + 1 а Со где В (а) — некоторая константа, зависящая от степени возрастания скорости распространения фронта горения а. По результатам обработки данных численного решения можно принять В (а) = -0,23а, тогда окончательно для массовой скорости продуктов сгорания за фронтом горения получим зависимость 023? ^. E.93) С из 0,23 ^ а + 1 а С При известных значениях массовой скорости газа перед и за фронтом горения для оценки давления продуктов сгорания можно воспользоваться соотношением E.69), из которого с учетом E.56) и E.93) получим a При нулевой интенсивности фронта ударной волны течение за ним является изоэнтропическим, поэтому плотность р2 газа перед фронтом горения связана с давлением через адиабату Пуассона и для давления продуктов сгорания в безразмерной форме можно записать выражение Р0 Р0 (у1 \ a+lC Соотношения E.93) и E.94) с увеличением значения U приводят к несколько завышенным значениям параметров, однако даже при U = 1,5Со и а = 5 погрешность вычисления значений избыточного давления за фронтом горения и скачка скорости не превышает 5 %. 493
Полученные аналитические соотношения позволяют оценить основные параметры ускоряющейся сферической дефла- грации и их распределения в области течения с достаточно высокой для практики точностью при скорости распространения фронта горения U < 1,5Cq. 5.3. Схлопывание металлических облицовок и пластин с образованием кумулятивной струи Кумулятивные струи образуются как при косом соударении пластин, ускоренных взрывом (см. рис. 4.44), так и при осесимметричном схлопывании конических, сферических и сегментных облицовок (рис. 5.20). Для иллюстрации Рис. 5.20. Процесс формирования кумулятивной струи из осесимметричных металлических облицовок: 1—9 — номера кадров высокоскоростной оптической съемки процесса 494
в о Рис. 5.21. Расчетная схема косого соударения рассматриваемых процессов на указанных рисунках использованы расчетные и экспериментальные данные работ В.И. Лаптева, М.В. Рубцова, Ю.А. Тришина и Уол- терса, Цукаса. Если положить, что скорость схлопы- вания г>схл пластины или осесимметричной металлической облицовки заранее известна, то в упрощенном варианте в качестве исходной удобно принять расчетную схему, показанную на рис. 5.21. Она полезна при исследовании критических условий струеобразования и задач классической кумуляции, связанных с оценкой влияния типа симметрии (плоская, осевая) облицовки и физико- механических характеристик ее материала на кинематические параметры кумулятивной струи. Скорость кумулятивной струи vc, как правило, оценивается согласно гидродинамической теории кумуляции: ^с = vCXJl/ tg(a/2) = ^хл ctg(a/2), E.95) где a — угол схлопывания; исхл — скорость схлопывания пластины или облицовки, направленная перпендикулярно поверхности АВ (см. рис. 5.21). В связи с этим можно выделить два существенных момента. Во-первых, зависимость E.95) получена для соударяющихся пластин в предположении, что их материал является несжимаемым, а течение — стационарным. Возможность использования указанной зависимости для осесимметричной облицовки, строго говоря, не доказана. Во- вторых, отклонения от гидродинамической теории кумуляции были отмечены в широких диапазонах значений угла и скорости схлопывания. На рис. 5.22 точки соответствуют экспериментальным данным Уолша, Шрефтера, Уилинга A953 г.) 495
ш 10@иШ t ' J —* -— 5 ¦^— О ZO 40 60 80 100 2d, град Рис. 5.22. Зависимости установившейся фазы истечения кумулятивной струи vc от угла а и скорости схлопывания иСхл: 1 — скорость струи согласно гидродинамической теории кумуляции vc/vCXJl=ctg(a/2); 2— vc/t^ = ctg(a); 3— 6— осе- симметричное соударение при скоростях схлопывания vCXn = = 0,5; 1,0; 2,0 и 3,0 км/с соответственно; 1—9 — плоское соударение при скоростях схлопывания уСхл = 0,5; 1,0; 2,4 км/с соответственно; 10— режимы соударения, при которых струя отсутствовала (ф — осесимметричное, 0 — плоское); экспериментальные данные по Уолшу, Шрефтеру, Уиллингу A953 г.): * — алюминиевый сплав 24ST (95 % А1), D — сталь (99 % Fe), Л — свинец, + — латунь F7 % Си, 33 % Zn); экспериментальные данные по С.К. Годунову, А.А. Дерибасу, В.И. Мали A975 г.): х — сталь, о — алюминий и С.К. Годунова, А.А. Дерибаса, В.И. Мали A975 г.) для пластин из разных металлов. К дополнительным факторам, оказывающим влияние на процесс струеобразования, относились сжимаемость (Уолш и другие A953г.)), вязкость (А.А.Дерибас и другие A975 г.)) и прочность (С.А. Кинеловский, Ю.А. Тришин A980 г.)) материала пластины. В этом разделе представлены результаты оценки влияния типа симметрии (плоская, осевая) облицовки и сжимаемости материала последней на скорость кумулятивной струи 496
для установившейся фазы истечения. Она проводилась в рамках двумерной идеализированной расчетной схемы соударения, показанной на рис. 5.21. При этом поведение материала облицовки описывалось гидродинамической моделью с баро- тропным уравнением состояния: На свободных поверхностях АБ, ВС\ CD задавалось равенство р = 0. На жесткой поверхности AD имело место условие непротекания vr = 0. В такой постановке рассматриваемая задача эквивалентна задаче о соударении двух одинаковых пластин под углом друг к другу в предположении зеркальной симметрии относительно оси z. Очевидно при этом, что жесткая поверхность заменяется осью симметрии. Отличительной особенностью процесса образования кумулятивной струи, которая имеет меньшую толщину по сравнению с толщиной облицовки, является наличие значительных градиентов массовой скорости в окрестности точки торможения потока. Указанные особенности создают известные трудности для расчета подобных течений, причем с уменьшением угла а трудности расчетного характера возрастают вследствие увеличения градиента осевой скорости и уменьшения толщины струи. Поэтому, как показывает практика, поставленную задачу трудно решать в лагранжевых координатах ввиду сильных искажений разностной сетки. Тем не менее отдельные решения в этих переменных известны (см., например, работы Л.П. Орленко, А.В. Бабкина, В.И. Колпакова A988 г.) или Уолтерса, Цукаса A989 г.) и других). Однако в данном конкретном случае более приемлемым вариантом организации вычислений является использование криволинейных подвижных разностных сеток (схема Годунова). 497
Рис. 5.23. Вариант расчета процесса формирования кумулятивной струи с помощью метода подвижных разностных сеток (по Ю.П. Мещерякову, В.П. Шапееву, Н.Н. Яненко) При таком подходе привлекаются разностные сетки, сгущающиеся в окрестности струи (рис. 5.23). Последнее позволяет уменьшить максимальную погрешность аппроксимации исходных уравнений без привлечения дополнительных узлов. Однако, на наш взгляд, наиболее эффективным и универсальным средством решения задач рассматриваемого класса являются эйлеровы алгоритмы (см. разделы 2.3 и 4.3), позволяющие проводить вычисления во всей области интегрирования на неподвижной разностной сетке без предварительного анализа особенностей течения. Примеры расчетов деформирования облицовки и формирования кумулятивной струи, проведенных с использованием подобных методик, показаны на рис. 4.44 и 4.45. Конкретные расчеты по расчетной схеме, приведенной на рис. 5.21, проводились для трех наиболее широко используемых для изготовления кумулятивной облицовки металлов (меди, стали и алюминия) по лагранжеву (см. раздел 4.1) и эйлеровому (см. раздел 4.3) алгоритмам. Определялись параметры процесса образования струй в интересных с точки зрения практики диапазонах значений скорости схлопыва- ния г;схл = 0,5.. .3,0 км/с и угла схлопывания а = О...7О0. При этом принималось, что скорость схлопывания г;схл (как в классической теории) направлена перпендикулярно поверхности пластины (облицовки). На рис. 5.24 и 5.25 показаны типовые примеры лагранже- вых и эйлеровых расчетов для плоской и осевой симметрии 498
и 93 s I и I u се CQ OS I I a ? 499
соответственно. Время на рисунках указано в безразмерном виде, причем г = t(C/Ar). Здесь т — безразмерное время; t — текущее время, мкс; С — скорость звука, мм/мкс; Аг — радиальный размер ячейки, мм. В процессе численного решения фиксировались значения осевой компоненты вектора скорости в начале установившейся фазы течения и факт образования струи. При малых углах соударения в определенных условиях кумулятивная струя не успевала формироваться или образовывалась в момент схлопывания основания конической облицовки или пластины (рис. 5.25, в). В последнем случае факт образования струи уточнялся. Для этого длина осесим- метричной облицовки или пластины увеличивалась в 2 раза и расчет повторялся. Если при повторном расчете в том месте, где раньше наблюдалось образование кумулятивной струи, ее формирования не происходило, то делался вывод, что в данных условиях кумулятивная струя не образуется. 1=1,37 Ifik 3,78 4,98-ol6- 1=1,0 1,82 2,60 Vх I л! w I \] VJ Рис. 5.25. Примеры расчетов в эйлеровых координатах: а — 2а = 60°, иСХл = 1,0 км/с (плоская симметрия); б— 2ol — 60°, Усхл = 1,0 км/с (осевая симметрия); в — 2а = 35°, Усхл = 0,5 км/с (плоская симметрия) 500
При обработке результатов проведенного численного эксперимента получены кривые, характеризующие зависимость установившихся значений скорости кумулятивной струи от угла и скорости схлопывания для осесимметричных облицовок или пластин из меди, стали и алюминия. На рис. 5.22 они показаны в координатах (vc/vCXJ1, 2a). При этом для одного и того же типа симметрии и фиксированного значения скорости схлопывания усхл при схлопывании облицовок или соударении пластин функциональные зависимости vc = /(а) для всех рассмотренных материалов практически совпадают или находятся в узком диапазоне значений параметра vc (сплошные и штриховые линии на рис. 5.22). Представленные результаты говорят о существенном влиянии типа симметрии облицовки и сжимаемости ее материала на процесс образования кумулятивной струи и ее скорость. На рис. 5.22 кривые 7—9, характеризующие плоское соударение пластин ('Усхл = 0,5; 1,0; 2,4 км/с), находятся несколько ниже кривой 1, рассчитанной по формуле E.95), и их различие тем существеннее, чем меньше угол схлопывания. В случае осесимметричного соударения пластин (^хл = 0,5 .. .3,0 км/с) полученные зависимости при 2а > 35° лежат выше, а при 2а < 35° — ниже кривой 1 и имеют явно выраженный экстремум в диапазоне значений угла 2а = 22° .. .35°. Режимы соударения, при которых кумулятивная струя (по расчету) не образовывалась, отмечены на диаграмме (см. рис. 5.22) укрупненными точками (® — для плоского соударения и 0 — для осесимметричного соударения). Верхняя граница данной совокупности точек в координатах (vc/vCXJl, 2a) неплохо описывается соотношением vc = vCXJl ctg(a). В заключение отметим, что полученные и описанные выше расчетные закономерности не противоречат экспериментальным данным, определенным в условиях косого соударения металлических пластин в широких диапазонах значений параметров г;схл и а. Таким образом, представленное исследование показывает, что результаты расчета скорости кумулятивных струй из облицовок с углами раствора 2а > 40° (соответствующих 501
реальным на практике конструкциям), полученные с учетом сжимаемости материала и осесимметричности процесса, не имеют существенных отличий от результатов, полученных согласно гидродинамической теории кумуляции, созданной на основе теории соударения плоских струй несжимаемой жидкости. Существенные отличия имеют место для режимов схло- пывания, близких к критическим условиям формирования кумулятивной струи. 5.4. Проникание элементов кумулятивной струи в плотную среду Действие кумулятивного заряда можно разделить на несколько характерных стадий: детонацию взрывчатого вещества; схлопывание металлической облицовки под действием продуктов детонации, приводящее к образованию кумулятивной струи (см. раздел 5.3); растяжение и разрыв кумулятивной струи на отдельные элементы и проникание последних в преграду. Поскольку обычно кумулятивная струя проникает в среду на значительное расстояние, то она участвует в этом процессе в разорванном на отдельные элементы состоянии, причем число таких элементов струи может достигать 30—60. Поэтому математическое моделирование проникающего взаимодействия кумулятивной струи со средой в полном объеме распадается на несколько десятков двумерных осесимметричных взаимосвязанных задач, решение которых должно осуществляться с помощью численного интегрирования системы дифференциальных уравнений механики сплошных сред с соответствующими начальными и граничными условиями. Решение указанной задачи на ЭВМ связано с большой трудоемкостью и имеет трудности физического характера, обусловленные, например, выбором критерия разрушения струи при ее растяжении, учетом физико-механических характеристик реальной среды и т.п. Вместе с тем именно с помощью вычислительного экспериментирования возможны оценка влияния сжимаемости материалов струи и преграды на глубину проникания; 502
определение поля давлений и поля скоростей как в отдельном элементе кумулятивной струи (стержне), так и в преграде, в которую он проникает; детальное изучение механизма проникания элемента или элементов струи в преграду. С этой целью ограничимся рассмотрением движения отдельного осе- симметричного элемента струи (стержня) в жидкости, например в воде. При проникании стержня в воду с большой скоростью, характерной для кумулятивной струи, для обеих сред может быть принята модель идеальной сжимаемой жидкости, движение которой для двумерного осесимметричного течения описывается системой уравнений E.96). В качестве уравнений состояния для проникающего стержня и покоящейся в начальной момент времени преграды удобно использовать баротроп- ные зависимости в форме Р = Ас [(рс/рос)Пс - l]; Р = АВ [(/>в//>0в)Пв - l], E-97) где рос, ров — начальные плотности материалов взаимодействующих стержня и преграды (воды) соответственно; Ас, Ав, пс, пв — экспериментальные коэффициенты, определяющие динамическую сжимаемость стержня и воды. К уравнениям E.96) и E.97), описывающим движение материалов преграды и стержня, необходимо добавить начальные и граничные условия, соответствующие прониканию цилиндрического стержня диаметром dc и длиной /о: в начальный момент времени t = О вода находится в покое, т.е. vr = vz = 0, рв = />ов> а стержень — в невозмущенном состоянии (рс — рос) и движется вдоль оси ординат со скоростью vr = 0, vz = vc. На границе раздела вода — стержень в процессе проникания должны выполняться условия равенства нормальных компонент вектора массовой скорости и равенства давлений, а на свободных поверхностях взаимодействующих сред р = 0. Численное интегрирование исходной системы уравнений с учетом начальных и граничных условий осуществлялось по алгоритму, описанному в разделе 4.3, с выделением контактных разрывов по методу «концентраций». Конкретные расчеты проводились для железного цилиндрического стержня 503
Рис. 5.26. Типичные стадии деформирования элемента кумулятивной струи при проникании в воду длиной /о = 6dc при скорости струи vc = 3... 7 км/с. В этом случае коэффициенты в уравнениях E.97) принимали следующие значения: для железа Ас = 21,5 ГПа, пс = 5,5; для воды при р < 3 ГПа Ав = 0,3045 ГПа, пв = 7,15 и при р > 3 ГПа Аъ = 0,425 ГПа, пв = 6,29. На рис. 5.26 представлены типичные стадии деформирования элемента кумулятивной струи (стержня) и распределения давления воды по мере развития процесса. На рис. 5.26, а время т указано в безразмерном виде в зависимости от начального диаметра dc. При подстановке реальных значений диаметра стержня в миллиметрах получаются текущие значения времени протекания процесса в микросекундах. Как следует из рис. 5.26, несмотря на то что материал внедряющегося стержня существенно плотнее материала преграды, первый вовсе не ведет себя как твердое тело. С течением времени площадь поверхности контакта стержня с каверной, образованной в жидкой преграде (в рассматриваемом случае — в воде), постепенно увеличивается, из материала стержня формируется пелена, растекающаяся по профилю каверны. В результате этого, с одной стороны, постепенно уменьшаются начальная длина и масса центральной части стержня, а с другой стороны, увеличивается масса пелены, находящейся в контакте 504
с каверной в воде. Будем называть подобный процесс процессом «срабатывания» стержня. Например, в момент времени г = 0,94dc (рис. 5.26, б) примерно 50 % начальной длины стержня «сработалось» о воду, а в момент времени г = 2,04dc (рис. 5.26, в) «сработавшаяся» часть стержня увеличилась до 75 %. В дальнейшем пелена, сформированная из материала стержня, утончается по всей его поверхности, находящейся в контакте с каверной в воде, а сама каверна продолжает расширяться и углубляться. На рис. 5.27 представлены количественные результаты, характеризующие изменение различных параметров процесса проникания стержня в воду. Скорость vx точки контакта стержня с водой вдоль оси z в зависимости от глубины проникания I/Iq непрерывно уменьшается (рис. 5.27, а и б). Первый крутой спад скорости связан с начальным этапом внедрения. В дальнейшем темп изменения скорости увеличивается после того, как «сработалась» часть стержня, примерно равная О,75/о, что связано с изменением характера движения. Пунктиром на рис. 5.27, б для каждого частного случая показана скорость проникания, рассчитанная согласно гидродинамической теории кумуляции: Кривые 1 — 5, представляющие собой зависимости, полученные путем численного расчета, и пунктирные линии, соответствующие скоростям, рассчитанным согласно гидродинамической теории кумуляции, заметно расходятся в начале и в конце процесса проникания, где, например, для vc = 5 км/с это расхождение достигает 200 %. Еще большее различие имеется между давлениями на границе раздела двух сред, причем это различие увеличивается с ростом скорости удара (рис. 5.27, в). На рис. 5.27, г представлена зависимость диаметра dKOHT пятна контакта цилиндрического стержня с водой от длины «сработавшейся» части стержня. В момент времени, соответствующий / « 0,7dc, диаметр пятна контакта достигает значения dKonT « 2,2dc и далее до конца «срабатывания» стержня практически не увеличивается. 505
6 г —/ / V г / dкот у 2 3 4 l/l, 5 50 25 f 7 uc, км/с 0,5 г 1,0 Рис. 5.27. Результаты численного решения двумерной задачи о проникании железного стержня в воду: а — схема процесса проникания: dc, lo = 6dc — диаметр и начальная длина стержня, ^конт — диаметр пятна контакта стержня с водой, / — длина «сработавшейся» части стержня, х — точка контакта; б— изменение скорости точки контакта: 1 — vc = 7 км/с, 2 — vc = 5 км/с, 3 — vc = 3 км/с; в — изменение давления на границе раздела двух сред в точке контакта: 4 — сжимаемый стержень, 5— несжимаемый стержень; г — зависимость диаметра пятна контакта цилиндрического стержня с водой от длины его «сработавшейся» части Представленное численное решение задачи о проникании стержня в воду позволяет оценить существующие теоретические подходы к решению этой задачи. На рис. 5.28 показаны зависимости длины / «сработавшейся» части стержня от глубины L его проникания в воду, соответствующие численному расчету для начальных значений скорости струи vc = 3... 5 км/с (линия 1) и vc = 7 км/с (линия 2). Линия 3 506
В Mr /л 1,00 0,75 0,50 0,25 О 12 3 4 L/l0 Рис. 5.28. Сравнение численного решения задачи о проникании стержня в воду с теоретическими оценками: 1, 2 — численное решение A — vc = 3... 5 км/с, 2 — vc = 7 км/с, ОЛ — «срабатывание» стержня, АВ — растекание пелены, сформированной из материала стержня, по каверне в воде); 3 — гидродинамическая теория проникания; 4—7 — реологическая модель стержня — сжимаемая жидкость D — по Ф.А. Бауму, Л.П. Орленко, К.П. Станюковичу; 5—7 — по А.Я. Сагомоняну при vc = 3, 5, 7 км/с соответствен но) представляет собой зависимость /о 1оУйс* E.98) следующую из теории несжимаемой жидкости (гидродинамическая теория проникания), согласно которой глубина проникания элемента струи (стержня) в среду не зависит от скорости струи. На участке О А (линия 1), где I < О,75/о, существует линейная связь между величинами / и L. Для скорости струи vc = 3 ... 5 км/с глубина проникания в воду с учетом сжимаемости примерно на 15 % больше глубины проникания, рассчитанной согласно гидродинамической теории кумуляции, а для vc = 7 км/с различие глубин проникания составляет около 30 %. На участке, где 1о > I > О,75/о, линии 1 и 3 существенным образом расходятся, а конечные значения L на этих ли- 507
ниях различаются в 1,7 раза. Такое большое различие объясняется разным характером увеличения значений L на участках О Л и АВ. На участке О А происходит «срабатывание» стержня (см. рис. 5.26, а и б), а на участке АВ — растекание пелены, сформированной из материала стержня, по каверне в воде (см. рис. 5.26, в). Существуют две приближенные теории, учитывающие влияние сжимаемости материалов стержня и преграды на глубину проникания стержня. В рамках одной из них, основанной на теории соударения двух сжимаемых тел, имеем E.99) где Ас = 1 - рс/рсх', Ав = 1 - рв/Рвх] Рсх, Рвх — плотности материалов соответственно стержня и преграды (воды) в точке х их контакта. Согласно другой теории, основанной на уравнении Бер- нулли для сжимаемой жидкости, глубина проникания в среду определяется формулой E.100) На рис. 5.28 по формуле E.99) построены прямые 5—7, а по формуле E.100) — прямая ^, которая практически не зависит от скорости струи при ее изменении от 3 до 7 км/с и достаточно близка к линии 3, рассчитанной по формуле E.98). Из соотношений E.99) и E.100) следуют диаметрально противоположные оценки влияния сжимаемости материалов взаимодействующих тел на величину L. Зависимость E.100) фактически неверно оценивает влияние сжимаемости на глубину проникания стержня в воду, а зависимость E.99) неоправданно завышает это влияние: например, для vc = 5 км/с — более чем в 1,5 раза, а для vc = 3 км/с — более чем в 1,85 раза. Таким образом, полученные результаты математического моделирования процесса проникания элемента кумулятивной струи в виде стержня в воду позволяют с достаточной 508
для практических целей точностью описать особенности движения образующейся в воде каверны в зависимости от геометрических (dc, /о), энергетических (г;с) и физико-механических (инерционных) характеристик взаимодействующих тел как до момента полного «срабатывания» внедряющегося элемента (гидродинамическая стадия проникания), так и после момента «срабатывания» (инерционная стадия проникания). Подобного рода информация особенно необходима для построения адекватных инженерных моделей, описывающих проникание кумулятивных струй в жидкие преграды. Отличительной особенностью такого функционирования является большая глубина проникания кумулятивной струи, достигающая 20 .. .40 диаметров заряда (для сравнения укажем, что глубина пробития кумулятивным зарядом стальных преград, как правило, не превышает 6...8 диаметров заряда). В результате этого практически вся кумулятивная струя проникает в воду в разорванном на отдельные элементы состоянии. Поэтому необходимо учитывать возможность увеличения глубины проникания струи за счет инерционного движения воды, имеющего место в период между временем окончания проникания текущего элемента струи и временем начала проникания последующего элемента струи. Вопросы для самоконтроля 1. Какова область применения расчетных методов математического моделирования? 2. Какова область применения расчетно-экспериментальных методов математического моделирования? 3. Что такое вычислительный эксперимент? Назовите его основные этапы. 4. Каковы особенности постановки и решения задач с помощью численных методов? 5. Перечислите косвенные приемы проверки качества решения задач с помощью численных методов. 509
6. Какие разностные схемы принято называть однородными схемами сквозного счета? 7. Какие факторы свидетельствуют в пользу достоверности получаемого численного решения? 8. Как свойство автомодельности одномерной детонации позволяет упростить решение соответствующей задачи? 9. В каком случае задача об одномерной детонации имеет нетривиальное аналитическое решение? 10. Почему распределения параметров за фронтом плоской детонационной волны приходится описывать двумя аналитическими решениями? 11. Чему равен размер зоны покоя продуктов детонации за фронтом одномерной детонационной волны? 12. Какие особенности имеет система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих распределения параметров одномерной детонационной волны в окрестности ее фронта и границы зоны покоя? 13. Какова суть метода установления при решении задачи об одномерной детонации? В чем его преимущества? 14. Какое свойство плоской детонационной волны используется для получения приближенного аналитического решения задачи в дивергентных случаях? 15. Какой вид имеет безразмерная функция, удовлетворяющая всем асимптотикам системы обыкновенных дифференциальных уравнений и использующаяся для описания параметров детонационной волны в области тэйлоровской волны разрежения? 16. Какое свойство детонации высокоплотных взрывчатых веществ не позволяет воспользоваться для продуктов детонации уравнением состояния в форме совершенного газа? 510
17. Какая форма уравнения состояния позволяет учесть изменение показателя адиабаты продуктов детонации высокоплотных взрывчатых веществ в процессе их расширения? Каков диапазон значений показателя адиабаты продуктов детонации? 18. Из каких соотношений получаются два разрешающих алгебраических уравнения для определения давления и плотности на фронте детонационной волны, распространяющейся во взрывчатом веществе произвольной плотности? 19. Как связана теплота взрыва с плотностью индивидуальных конденсированных взрывчатых веществ? 20. Какая зависимость между параметрами детонационной волны и исходного взрывчатого вещества произвольной плотности наиболее универсальна для всех индивидуальных конденсированных взрывчатых составов? 21. Какой интегральный закон сохранения используется для получения распределений параметров за фронтом детонационной волны, распространяющейся в конденсированных взрывчатых веществах произвольной плотности? Какова форма его записи? 22. Что такое дефлаграция? Чем она отличается от детонации? 23. Какие существуют режимы стационарной одномерной де- флаграции? Чем они отличаются друг от друга? 24. Какие условия за фронтом горения выполняются при различных режимах дефлаграции? 25. При каких краевых условиях и начиная с какой границы может быть осуществлено численное решение автомодельной задачи об одномерной дефлаграции? 26. При какой видимой скорости распространения фронта горения происходит переход от одного режима дефлаграции к другому? 511
27. Как связаны между собой скорости распространения фронта ударной волны и фронта горения при режиме дефлагра- ции Чепмена — Жуге? 28. По какому закону изменяется массовая скорость среды в области течения, расположенной между фронтом ударной волны и фронтом горения, при режиме дефлаграции Чепмена — Жуге? 29. Как связаны между собой распределения параметров за фронтом горения при режиме дефлаграции Чепмена — Жуге и за фронтом стационарной детонационной волны? 30. Какие особенности в распределениях параметров на фронте ударной волны появляются в дивергентных случаях при одномерной дефлаграции с малой скоростью распространения фронта горения? Как они раскрываются? 31. Каким образом можно обойти особенности, отмеченные в предыдущем вопросе, при численном решении задачи? 32. Как связаны между собой массовая скорость среды перед фронтом горения при режиме слабой дефлаграции и видимая скорость его распространения? 33. Какой интегральный закон сохранения используется для получения аналитической зависимости между скоростью распространения фронта горения при режиме слабой дефлаграции и параметрами на фронте ударной волны? Как он записывается? 34. При каком условии в случае режима слабой дивергентной дефлаграции интенсивность фронта ударной волны становится отличной от нуля? 35. Каким образом определяются аналитические соотношения для расчета параметров в области течения, расположенной между фронтом ударной волны и фронтом горения, при режиме слабой одномерной дефлаграции? 36. Какие характеристики и соотношения, выполняющиеся вдоль них, используются при численном решении задачи для определения параметров на фронте горения при режиме слабой дефлаграции? 512
37. Какая характеристика и какое соотношение, выполняющееся вдоль нее, теряют смысл в случае определения при численном решении задачи параметров на фронте горения при режиме дефлаграции Чепмена — Жуге? Какое соотношение используется в таком случае? 38. Какие особенности в распределениях параметров в области течения появляются при ускоряющейся сферической дефлаграции? 39. Какой подход используется для получения аналитического решения задачи об ускоряющейся сферической дефлаграции в области течения, расположенной между фронтом ударной волны и фронтом горения? До какого момента справедливо полученное решение? 40. Почему при идентичных начальных условиях скорость кумулятивной струи, получаемой при схлопывании осесимме- тричной облицовки, больше, чем при плоском соударении пластин? 41. Каким образом прочность среды влияет на скорость кумулятивной струи при схлопывании осесимметричных облицовок? 42. Каким образом сжимаемость среды влияет на скорость кумулятивной струи при схлопывании осесимметричных облицовок? 43. Каковы причины отсутствия кумулятивной струи при соударении пластин под малыми углами? 44. Какие механизмы проникания реализуются при высокоскоростном (более 1 км/с) взаимодействии металлического цилиндрического элемента кумулятивной струи с жидкостью? 45. В чем отличие механизма высокоскоростного проникания металлического цилиндрического элемента кумулятивной струи конечной длины от механизма проникания бесконечно длинной струи при одинаковых начальных условиях? 513
46. Каким образом изменится результат решения задачи о проникании металлического цилиндрического элемента кумулятивной струи в воду, если вместо уравнения состояния среды р = р(р) будет использовано уравнение р = р(/9, Е)? 47. Каким соотношением наиболее адекватно описывается скорость проникания высокоскоростного металлического цилиндрического элемента кумулятивной струи в воду?
Список рекомендуемой литературы Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982. 392 с. Вычислительные методы в гидродинамике: Пер. с англ. / Под ред. Б. Олдера, С. Фернбаха, М. Ротенберга. М.: Мир, 1967. 385 с. Мейдер Ч. Численное моделирование детонации: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. 384 с. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 616 с. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики / Н.Н. Анучина, К.И. Бабенко, С.К. Годунов и др.; Под ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, 1979. 294 с. Физика взрыва: В 2 т. 3-е изд., испр. / Под ред. Л.П. Орленко. М.: Физматлит, 2004. Т. 1. 832 с. Т. 2. 656 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Введение 9 Глава 1. Основные понятия теории разностных схем 22 1.1. Постановка простейшей одномерной плоской нестационарной задачи о движении газа в трубе под действием поршня ... 22 1.2. Сущность метода конечных разностей 37 1.3. Построение дискретного аналога сплошной среды 40 1.4. Аппроксимация дифференциальных уравнений конечно-разностными соотношениями 47 1.5. Аппроксимация начальных и граничных условий 58 1.6. Понятия сходимости и устойчивости разностных схем. Условие устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви ... 61 Вопросы для самоконтроля 78 Глава 2. Основные разностные схемы и методы численного решения одномерных задач газовой динамики 85 2.1. Сеточные методы 86 2.1.1. Схема «крест» 87 2.1.2. Принцип построения однородных разностных схем с псевдовязкостью. Схема Неймана — Рихтмайера . . 96 2.1.3. Схема Лакса. Понятие аппроксимационной вязкости . 108 2.1.4. Схемы «прямоугольник» и «уголок» как дополняющие схему Лакса при расчете граничных условий 113 2.1.5. Сравнительные особенности практического применения схем Неймана — Рихтмайера и Лакса. Принцип «фиктивной» ячейки 116 2.1.6. Схема Лакса — Вендроффа 125 516
2.1.7. Разностная схема метода Уилкинса 128 2.1.8. Разностная схема Фромма метода Мейдера. Понятие консервативности разностных схем 133 2.2. Численный метод характеристик 143 2.2.1. Характеристическая форма представления уравнений газовой динамики в лагранжевых массовых координатах 143 2.2.2. Численный метод характеристик с естественной характеристической сеткой 149 2.2.3. Достоинства и недостатки численного метода характеристик по сравнению с сеточными методами . 158 2.2.4. Численный метод характеристик с фиксированным шагом сетки по времени 163 2.3. Методы семейства «частиц в ячейках» 166 2.3.1. Метод «частиц в ячейках» 169 2.3.2. Метод «крупных частиц» 185 Вопросы для самоконтроля 191 Глава 3. Примеры постановки, алгоритмов численного решения и результатов решения одномерных нестационарных задач физики взрыва и удара 200 3.1. Соударение сжимаемых пластин (лагранжев метод Мейдера) 200 3.2. Охлопывание металлического упругопластического кольца под действием продуктов детонации (лагранжев метод Уилкинса) 241 3.3. Сферический взрыв в воде (комбинированный сеточно-характеристический метод) 276 Вопросы для самоконтроля 307 Глава 4- Примеры постановки, алгоритмов численного решения и результатов решения двумерных нестационарных задач физики взрыва и удара 320 4.1. Соударение осесимметричного металлического упругопластического стержня с жесткой поверхностью (лагранжев метод Уилкинса) 320 4.2. Взрыв заряда топливно-воздушной смеси над жесткой поверхностью (эйлеров метод Лакса — Вендроффа) 353 517
4.3. Формирование кумулятивной струи при функционировании кумулятивного заряда (эйлерово-лагранжев метод «концентраций») 391 Вопросы для самоконтроля 419 Глава 5. Возможности вычислительного эксперимента как инструмента исследований быстропротекающих процессов 423 5.1. Основные этапы вычислительного эксперимента 423 5.2. Распространение волн детонации и дефлаграции в зарядах взрывчатых веществ 432 5.3. Охлопывание металлических облицовок и пластин с образованием кумулятивной струи 494 5.4. Проникание элементов кумулятивной струи в плотную среду 502 Вопросы для самоконтроля 509 Список рекомендуемой литературы 515
Учебное издание ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД ТомЗ Бабкин Александр Викторович Колпаков Владимир Иванович Охитин Владимир Николаевич Селиванов Виктор Валентинович ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ БЫСТРОПРОТЕКАЮЩИХ ПРОЦЕССОВ Редактор Е.В. Авалоеа Художники С.С. Водчиц, Н.Г. Столярова Компьютерная верстка В.А. Товстонога Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана Санитарно-эпидемиологическое заключение N° 77.99.02.953.Д.005683.09.04 от 13.09.2004 г. Подписано в печать 14.12.2005. Формат 60 х 90/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 32,5. Уч.-изд. л. 32,01. Тираж 1000 экз. Заказ №. 2728 Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета в ППП «Типография «Наука» 121099, Москва, Шубинский пер., 6 ISBN 5-7038-2346-3 785703 823460
Для заметок