/
Автор: Карлов Н.В. Кириченко Н.А.
Теги: физика механика квантовая механика
ISBN: 5-9221-0538-8
Год: 2004
Текст
УДК 530.1
ББК 22.31
К 23
Карлов Н. В., Кириченко Н. А. Начальные главы квантовой
механики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 360 с. - ISBN 5-9221-0538-8.
Дается систематическое изложение основных законов квантовой механики
и экспериментальных фактов, образующих фундамент этой науки. Введен
математический аппарат квантовой механики. Последовательно рассмотрены
такие вопросы, как туннельный эффект, энергетические уровни частицы в
потенциальной яме, момент импульса и магнитный момент частицы, спин,
принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева, эффект Зее-
мана. В качестве приложений общей теории рассмотрены принципы квантовой
электроники и элементы теории атомного ядра. В разделе «Семинар» разобрано
некоторое количество задач, дополняющих основное содержание книги.
Для студентов, изучающих квантовую механику в курсе общей физики, и
преподавателей, а также всех, кто интересуется принципиальными вопросами
современной физики.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0538-8 © Н.В. Карлов, Н.А. Кириченко, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................... 9
Глава 1. Квантовая дискретность света .................. 11
1.1. Непрерывное и дискретное ..................... 11
1.2. Ультрафиолетовая катастрофа ................... 12
1.3. Действия света ........................... 14
1.4. Фотоэффект ............................. 15
1.5. Эйнштейновская теория фотоэффекта ............... 18
1.6. Опыты Боте ............................. 21
1.7. Эффект Комптона .......................... 21
1.8. Теория эффекта Комптона ..................... 23
1.9. Тепловое излучение ......................... 27
1.10. Закон Кирхгофа ........................... 28
1.11. Закон Рэлея - Джинса ........................ 29
1.12. Формула Планка ........................... 31
Глава 2. Квантование в микромире, волны де Бройля, соотношение
неопределенностей ......................... 31
2.1. Опыты Франка и Герца ....................... 33
2.2. Опыты Штерна и Герлаха ...................... 36
2.3. Опыты Дэвиссона и Джермера ................... 37
2.4. Волны де Бройля .......................... 40
2.5. Дифракция на двух щелях ..................... 43
2.6. Измерение и траектория частицы в квантовой механике ..... 45
2.7. Соотношение неопределенностей ................. 46
2.8. Соотношение неопределенностей "время-энергия" ....... 49
2.9. Принцип дополнительности .................... 51
Глава 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера ... 53
3.1. Общие свойства волновой функции ................ 53
3.2. Принцип суперпозиции ....................... 58
3.3. Усреднение ............................. 61
Оглавление
3.4. Операторы .............................. 61
3.5. Собственные значения и собственные функции .......... 64
3.6. Еще о соотношении неопределенностей .............. 70
3.7. Уравнение Шредингера ....................... 72
3.8. Стационарные состояния ...................... 77
3.9. Расплывание волнового пакета ................... 78
ЗЛО. Плотность потока вероятности и закон сохранения числа частиц 79
Глава 4. Потенциальные барьеры ..................... 82
4.1. Прохождение частицы через потенциальный барьер ....... 82
4.2. Туннельный эффект ......................... 87
4.3. Туннельный эффект и соотношение неопределенностей ..... 91
4.4. Квазиклассическое приближение ................. 92
4.5. Сканирующий туннельный микроскоп .............. 97
4.6. Надбарьерное отражение ...................... 100
Глава 5. Потенциальные ямы и квантование .............. 103
5.1. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма ..... 103
5.2. Квантование энергии гармонического осциллятора ........ 110
5.3. Нулевые колебания и соотношение неопределенностей ..... 112
5.4. Правило квантования Бора-Зоммерфельда ............ 113
5.5. Уровни энергии в яме U ~ \х\а .................. 116
5.6. Квазидискретные уровни энергии ................. 117
Глава 6. Водородоподобный атом ..................... 123
6.1. Элементарная квантовая теория Н. Бора .............. 123
6.2. Квантование энергии электрона в атоме водорода ........ 127
6.3. Пространственные распределения ("орбиты") электрона в атоме
водорода ............................... 131
6.4. Сериальные закономерности в линейчатых спектрах атомов ... 136
6.5. Изотопический эффект ....................... 140
6.6. Время жизни, ширина линии .................... 141
6.7. Рентгеновские спектры ....................... 144
6.8. Закон Мозли ............................. 145
Глава 7. Штрижи к модели атома. Момент импульса .......... 149
7.1. Момент импульса .......................... 149
7.2. Систематика состояний на основе значений момента импульса . 151
Оглавление
13. Квантовые числа электрона в водородоподобном атоме ..... 152
7.4. Оболочечная модель водородоподобного атома .......... 156
7.5. Снятие вырождения по моменту импульса ............ 158
7.6. Энергетические уровни двухатомной молекулы ......... 159
7.7. Сложение моментов количества движения ............ 163
7.8. Приложение. Вывод формулы G.13) ................ 166
Глава 8. Магнитный момент и спин .................... 168
8.1. Магнитные моменты ........................ 168
8.2. Магнетон Бора ............................ 170
8.3. Снятие вырождения в магнитном поле .............. 170
8.4. Спин ................................. 171
8.5. Тонкая структура .......................... 176
8.6. Сверхтонкая структура ....................... 179
8.7. Спин-орбитальное взаимодействие электронов в атоме ..... 180
8.8. О постоянной тонкой структуры .................. 181
8.9. Состояния электронов в многоэлектронном атоме; jj- и LS-свтъ 183
Глава 9. Принцип Паули. Периодическая система элементов
Менделеева ............................. 186
9.1. Атом гелия, пара-и ортомодификации ............... 186
9.2. Принцип Паули ........................... 187
9.3. Таблица Менделеева ........................ 188
9.4. Правила Хунда ........................... 194
9.5. Тождественные частицы. Четность относительно перестановок . 195
9.6. Волновая функция при учете спина ................ 197
9.7. Математическая формулировка принципа Паули ......... 198
9.8. Обменное взаимодействие ..................... 199
Глава 10. Радиационные переходы .................... 205
10.1. Спин и момент импульса фотона .................. 205
10.2. Четность относительно преобразования инверсии координат . . 208
10.3. Четность квантовомеханических объектов ............ 210
10.4. Закон сохранения четности ..................... 211
10.5. Четность и классификация состояний фотонов .......... 213
10.6. Правила отбора ........................... 215
Глава 11. Эффект Зеемана ......................... 218
11.1. Смещение спектральных линий в магнитном поле ........ 218
Оглавление
11.2. Классическая теория эффекта Зеемана ............... 220
11.3. Эффект Фарадея ........................... 222
11.4. Квантовая теория эффекта Зеемана ................ 225
11.5. Аномальный эффект Зеемана .................... 228
11.6. Энергетические уровни и переходы для атома натрия в магнитном
поле ................................. 234
Глава 12. Спонтанные и вынужденные переходы.
Резонансные процессы ..................... 237
12.1. Коэффициенты Эйнштейна ..................... 237
12.2. Спектральная ширина линии перехода .............. 240
12.3. Линейное поглощение резонансного излучения .......... 243
12.4. Электродипольное взаимодействие и резонансное приближение 244
12.5. Уравнения резонансного приближения .............. 246
12.6. Осцилляции населенностей ..................... 248
12.7. Полевое уширение ......................... 250
12.8. Матричный элемент оператора дипольного момента перехода
и коэффициент Эйнштейна В\2 .................. 252
Глава 13. Квантовая электроника ..................... 255
13.1. Введение ............................... 255
13.2. Когерентность индуцированного изучения ............ 256
13.3. Линейное усиление ......................... 258
13.4. Эффект насыщения ......................... 260
13.5. Усиление с насыщением ...................... 264
13.6. Генерация .............................. 266
13.7. Условия самовозбуждения ..................... 268
13.8. Обратная связь ........................... 268
13.9. Частота генерации .......................... 270
13.10. Добротность резонатора ...................... 271
13.11. Методы создания инверсии населенностей ............ 274
Глава 14. Строение и свойства ядер .................... 281
14.1. Состав ядра ............................. 281
14.2. Электрон — протонная и нейтрон - протонная модели ядра .... 283
14.3. Ядерные силы ............................ 283
14.4. Энергия связи ядер ......................... 284
14.5. Капельная модель ядра. Формула В айцзеккера .......... 285
14.6. Устойчивый изобар ......................... 287
Оглавление
14.7. Бета-распад ядер .......................... 288
14.8. Оболочечная модель ядра ...................... 292
14.9. Спин-орбитальное взаимодействие и ядерные оболочки ..... 296
14.10. Спин ядра .............................. 298
14.11. О других моделях ядра ....................... 299
14.12. Альфа-распад ядер ......................... 301
14.13. Гамма-распад ядер, внутренняя конверсия, эффект Оже ..... 306
14.14. Ядерные изомеры .......................... 307
14.15. Деление ядер ............................ 310
Дополнение. Об уравнении Шредингера .................. 314
Семинар ..................................... 318
Благородному мужу подобает изучать
науки.
(Книга перемен "Чжоу И", XI век до н. э.)
Все люди по природе своей стремятся
к знанию.
(Аристотель, IV век до и. э.)
Когда мы упражняем свой разум в за-
занятиях науками, они обостряют нашу
способность к пониманию и сметают
пыль невежества.
(Кассиодор, VI век н. э.)
Чернила ученого столь же достойны
уважения, как и кровь мученика.
(Великий Али, зять пророка,
VII век н. э.)
Мы определили считать полезным, что-
чтобы каждый, по своим способностям,
прилежал к размышлению о науках и их
изучению. Только тот поймет все нуж-
нужное ему, кто был предварительно на-
наставлен в области науки.
(Карл Великий, VIII век н. э.)
Науки благороднейшими человеческими
упражнениями справедливо почитают-
почитаются и не терпят порабощения.
(Михайло Ломоносов, XVIII век н. э.)
"Учиться никогда не поздно, Ватсон ".
(Артур Конан Дойл, начало XX ве-
века и. э.)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Pro captu lector is habent suafata libelli.
(Terentius)
Книги им,еют свою судьбу в головах чи-
читателей.
(Теренций)
Общая физика — это основной и основополагающий курс, который
не только и не столько вооружает студента конкретными знаниями и уме™
ниями, сколько формирует его мировоззрение и обеспечивает способность
учащегося правильно воспринимать и надежно усваивать любые специаль-
специальные науки. На физических факультетах университетов, в МФТИ и в МИФИ
курс общей физики читается в течение первых пяти - шести семестров. По™
всюду принято предметное построение курса, идущее последовательно по
физическим дисциплинам, в сущности, в соответствии с историей становле-
становления этой науки. Это естественно и потому правильно. Такое традиционное
построение принято, в частности, и в лучших наших учебниках как для
средней ("Элементарный учебник физики" под редакцией Г. С. Ландсбер™
га), так и для высшей школы ("Общий курс физики" Д. В. Сивухина и "Курс
общей физики" И. В. Савельева).
Будучи правильно проведено, предметное представление материала в
рамках курса общей физики, опираясь на последовательное изучение ме-
механики, молекулярной физики, электричества, оптики, атомной и ядерной
физики, физики твердого тела, несомненно, способствует созданию в умах
учащихся ясной картины физического мира. На этом пути должно возник-
возникнуть понимание того, что мир един. Природа не знает нашего деления на на-
учные дисциплины. Любая классификация — всегда лишь более или менее
удобный способ познания. Правильная же классификация — это высшая
ступень познания.
Пример хрестоматиен. Д. И. Менделеев создал свою знаменитую пе-
периодическую систему элементов с целью облегчения процесса обучения
студентов-химиков. При этом он гениально определил главный параметр
классификации — атомный вес элемента. Впоследствии оказалось, что за
атомным весом скрывается иная, еще более фундаментальная характери-
характеристика атома — электрический заряд его ядра.
Квантовая механика, позволившая понять, как строится таблица элемен-
элементов Менделеева, являет собой пример научной парадигмы, идеи которой
10 Предисловие
пронизывают весь корпус современного физического знания — от спектро-
скопии и взаимодействия света с веществом до физики атомного ядра, от
физики твердого тела до квантовой электроники.
Опыт преподавания, бакалаврские и магистерские экзамены по физи-
физике, иногда экзамены кандидатского минимума по той или иной конкретной
дисциплине физического плана показывают, что очень часто студенты име-
имеют весьма смутные, чтобы не сказать фантастические, представления о
смысле и возможностях квантовой механики, равно как и о чисто рабочей
необходимости знать и понимать ее. Только у тех из них, кто добросовестно
прошел тяжелый путь постижения теоретической физики, следуя, напри-
например, многотомному курсу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, вырабатывается
правильное понимание всех этих проблем. Но далеко не все способны к
серьезному изучению теоретической физики, да и не всем это на самом
деле нужно.
Вывод очевиден. Необходима книга, которая бы возможно более про-
просто, но вместе с тем достаточно полно рассказывала об основных законах
квантовой механики, показывала, как они работают в конкретных задачах
физики, а обучаемому облегчала постижение в будущем соответствующих
разделов курса теоретической физики.
Что касается стиля книги, то мы стремились изложить не только и не
столько формальную часть квантовой механики, но имели целью создать
цельную, ясную картину. Для этого мы часто сочетали описательный подход
с формальным, прибегая к словесным рассуждениям, позволяющим лучше
понять физику, скрытую в формулах. Современному студенту, "технокра-
"технократически" ориентированному и "компьютерно" подготовленному, довольно
трудно следить за словесными рассуждениями, и не всегда сопровождае-
сопровождаемыми формулами и выкладками. Здесь следует напомнить, что в физике
рассуждение, логический анализ, изложение и обсуждение предложений
и гипотез играют зачастую определяющую роль. Поэтому надо стараться
не относиться к словесности как к бесполезной трате бумаги или как к
пустому сотрясению воздуха.
Помимо основной части мы включили в книгу раздел "Семинар", где
в виде задач рассмотрели некоторые дополнительные вопросы, не отра-
отраженные в главах. Эти вопросы в действительности заслуживают самого
пристального внимания, но либо их изложение несколько громоздко, либо
они представляют собой некоторый отход от центральной линии книги.
К сожалению, далеко не все вопросы квантовой физики получили от-
отражение в книге. Это, в частности, квантовая физика твердого тела, тео-
теория металлов и полупроводников, теория сверхпроводимости, квантовый
эффект Холла, ядерные реакции и физика элементарных частиц. Все эти
вопросы должны быть рассмотрены в отдельной книге.
Наконец, говоря о содержании книги, мы должны отметить, что отбор
материала отражает наши личные биографии в науке, наши интересы, об™
разование, полученное нами в свое время на ФТФ МГУ и в МИФИ.
ГЛАВА 1
КВАНТОВАЯ ДИСКРЕТНОСТЬ СВЕТА
Quamtitas — количество, величина, размеры, Biscre-
tim — отдельно, раздельно, врозь.
(из латинско-русского словаря)
Настоящей главой мы начинаем изложение одного из важнейших разде-
лов физики. Квантовая механика возникла в начале ХХ-го века, и вскоре ее
методы глубоко проникли в физику. Экспериментальные корни квантовой
физики уходят далеко в классическую физику XIX-го столетия. В этой книге
мы не будем следовать истории развития идей и накопления эксперимен-
экспериментальных фактов. Разбирая те или иные физические явления, важные сами по
себе, мы покажем, как проявляется в них квантовая природа материального
мира или, точнее, как из анализа этих явлений с неизбежностью следует
мысль о квантовой природе мира. Лишь после этого мы сформулируем ос™
новные положения квантовой теории, на этой основе рассмотрим важные
аспекты строения вещества и ознакомимся с некоторыми разделами совре™
менной физики, в частности квантовой электроникой и ядерной физикой.
1.1. Непрерывное и дискретное
Из курса молекулярной физики известно, что вещество построено из
молекул, атомов, ионов. Твердые, жидкие и газообразные тела состоят из
частиц конечной массы и размеров. Масса молекулы водорода, Щ, напри™
мер, составляет 3,3 • 10^24 г. Масса какой-либо порции водорода может
изменяться только на целое число порций, кратных массе молекулы водо-
водорода. Это означает, что масса прерывна, дискретна.
Химические закономерности показывают, что молекула водорода может
быть разбита на две одинаковые части. Говоря иначе — молекула водорода
состоит из двух атомов водорода. Мы не будем напоминать здесь всю ту
логику развития идей молекулярно-кинетической теории, знакомство чита-
читателя с которыми предполагается. Подчеркнем только, что все содержание
курса молекулярной физики должно было, в частности, утверждать изуча-
изучающего в мысли, что все тела состоят из атомов — малых дискретных
частиц.
Или другой пример. Подобно газовому потоку, электрический ток со™
стоит из атомов электричества — электронов, масса каждого из которых
примерно в 2000 раз меньше массы атома водорода. Дискретный характер
электричества не только проверяется опытом Милликена, который каждый
студент с большим, а чаще с меньшим успехом проделывает на физическом
практикуме, но и проявляется характерным и для экспериментатора очень
неприятным дробовым шумом электронных приборов.
12 Гл.1. Квантовая дискретность света
Итак, для вещества характерна, и это хорошо известно, дискретная,
не непрерывная, структура.
Но столь же хорошо известно, что существует большой класс физиче-
физических явлений, для которых характерна непрерывность. Это, прежде все™
го, — волновые процессы, процессы передачи энергии волной, например
электромагнитной волной, световой волной. Вся сововупность дифракци-
дифракционных, интерференционных и поляризационных опытов убеждает нас в
том, что электромагнитное излучение — это волна, но волна, несущая энер-
энергию. Прямолинейность распространения света надежно объяснена методом
зон Френеля. Поток энергии, которую несет волна, определяется значени-
значением вектора Умова-Пойнтинга S = —[ЕН], где ЕиН — векторы на-
4тг
пряженности электрического и магнитного поля волны. В случае плоской
монохроматической волны эти поля записываются как
Е = Ео sin {ut — kx), Н = Но sin (ш t — kx),
где Eq и Но — амплитуды, к — волновое число, х — координата вдоль
направления распространения волны.
Это все означает, что энергия волны непрерывна. По самому смыслу
этой записи она может меняться как угодно малыми порциями. После отка-
отказа от ньютоновской корпускулярной теории истечения света оптика пришла
к чисто волновым представлениям, которые развивались от чисто механиче-
механических волн к волнам электромагнитным. И волны эти были непрерывными.
Другой пример — частица, материальная точка массы га, летящая со
скоростью V. Ее кинетическая энергия равна wF2/2, а ее импульс — mV.
И для конкретной заданной частицы и энергия, и импульс изменяются
непрерывно с изменением скорости.
Таким образом, сложилась следующая картина мира — вещественный
мир атомистичен, т. е. вещество состоит из мельчайших дискретных ча-
частиц — атомов того или иного вида, а энергия этих частиц и поле их излу™
чения — непрерывны.
1.2. Ультрафиолетовая катастрофа
Очень скоро, однако, эта стройная концепция в таком прямом виде рух-
рухнула. Читатель этой книги, конечно, уже хорошо знает, что неравномер™
но движущиеся электрические заряды излучают электромагнитные волны.
Свет — это электромагнитная волна, что надежно установила максвеллов-
екая теория электромагнетизма, блестяще подтвержденная опытами Г. Гер-
Герца и вытекающими из них изобретениями А. С. Попова и Г. Маркони. По-
Поэтому естественны были попытки применить электромагнитный подход к
такому на первый взгляд простому и вульгарному явлению, как свечение
тел при их нагревании.
На этом этапе рассмотрения мы сознательно пока воздержимся от введе-
введения понятия теплового излучения. Это мы сделаем позднее. Сейчас для нас
1.2. Ультрафиолетовая катастрофа 13
достаточно рассмотреть грубую картину, не привлекая при анализе точных
дефиниций.
Всякий источник света, с которым мы имеем дело на опыте, содержит
громадное число атомов. Их тепловые движения вызывают быстрые беспо-
беспорядочные изменения скоростей электрических зарядов, входящих в состав
атомов. Это неминуемо должно приводить к излучению электромагнитных
волн разных частот. Чем выше температура, тем интенсивнее тепловые
движения, тем выше должна быть интенсивность излучаемого света.
То, что наблюдается в таком опыте, знает каждый из нас. По мере на™
гревания любого тела легко обнаруживается его свечение. С ростом тем™
пературы цвет свечения меняется от вишнево-красного до белого. Еще до
появления видимого свечения тело испускает невидимые инфракрасные
лучи. Для конденсированных сред спектр излучения — сплошной. При по-
вышении температуры центр тяжести спектра излучения перемещается к
коротким волнам. Это все суть общеизвестные факты. Для чего это говорит-
ся сейчас? Для того чтобы сказать, что именно крах попыток вычисления
зависимости интенсивности излучения от частоты и температуры и привел
к квантовым представлениям в физике.
На основе классических представлений о том, что всякий осциллятор
частоты v = ш/2тт может заключать в себе любое количество энергии
(пропорционально квадрату амплитуды его колебаний) и, следовательно,
поглощать или испускать любое количество энергии, путем усреднения по
всей совокупности случайно движущихся зарядов была получена формула
?viT = ^kT. A.1)
Это формула Рэлея - Джинса для количества энергии, излучаемой в единицу
времени единицей поверхности излучающего тела в единичном спектраль-
спектральном интервале. Размерность ?у,т — эрг/см = эрг/(см • Гц • с).
Для нас важна зависимость ?у%т ~ У2Т. Экспериментально этот закон
прекрасно выполняется для низких частот (для длинных волн). Например,
вся радиоастрономия как наблюдательная наука стоит на законе Рэлея-
Джинса. Но для оптики видимого излучения это не годится. Наш опыт
разогрева кочерги до белого каления упрямо о том свидетельствует. Более
точные эксперименты тоже говорят о наличии экстремума в ?v^ т по v при
заданной температуре Т. А самое главное, что делает закон A.1) неприемле-
неприемлемым, — это так называемая ультрафиолетовая катастрофа. При увеличении
частоты v значение ?у,т —> оо, чего не может быть, и чего нет на самом
деле. Кроме того, согласно A.1) при любой фиксированной температуре ин-
инею
теграл по всем частотам расходится: J ?у^ ydv —> оо. Это и есть выражение
о
ультрафиолетовой катастрофы — полная энергия излучения бесконечна ^.
Сам термин "ультрафиолетовая катастрофа" предложил П. С. Эренфест.
14 Гл.1. Квантовая дискретность света
Многочисленные попытки теоретически установить правильный закон
излучения не могли дать общего решения задачи. Причина этих неудач
оказалась лежащей очень глубоко. Законы классической электродинами-
электродинамики оказались неприложимыми к рассмотрению элементарных процессов
излучения света атомными осцилляторами.
Анализируя эту ситуацию, Макс Планк пришел к качественно новым
выводам, резко отличным от того, что было известно ранее. Планк пришел
к гипотезе световых квантов. Хотя исторически квантовое рассмотрение
света было впервые введено применительно к тепловому излучению, для
нас более удобно сначала рассмотреть действия света.
1.3. Действия света
Рассмотрим, сначала качественно, одно из самых обыденных действий
света.
Так вот, рассмотрим химическое действие света. Пусть у нас имеется
ткань, равномерно окрашенная. Под действием солнечного света она, к со-
сожалению, постепенно выцветает. Краска—это молекулы, сложные органи-
органические молекулы, равномерно распределенные по ткани. Выцветание ткани
происходит в результате разложения молекул красителя под действием све-
света. Все молекулы одинаковы, их много, на каждую падает одинаковый,
казалось бы, свет, а ткань выцветает постепенно. Молекулы красителя рас-
распадаются не одинаковым образом, по-разному, в разные моменты времени.
Сначала распадается одна молекула, затем другая. Если свет падает равно-
равномерно и молекулы одинаковы, то следует ожидать, что либо все молекулы
разложатся сразу же, либо, если свет слаб, в начале процесса выцветания
не разложится ни одна из них. В последнем, наиболее реалистичном случае
все молекулы разложатся разом, взрывообразно, но через некоторое время,
когда они все накопят достаточную энергию.
А на самом деле процесс идет медленно и постепенно. Как это объ-
объяснить? Либо молекулы не одинаковы, но против этого восстает химия,
либо фронт падающего света в чем-то существенном неоднороден, нерав-
неравномерен. Пусть в какие-то моменты времени в одних точках пространства
энергия света сосредоточена, а в других энергии нет, т. е. световой поток в
каком-то смысле может быть уподоблен потоку дроби, потоку одинаковых
дробинок. Разложение молекул красителя происходит при этом тогда, ко-
когда отдельная дробинка, попав в молекулу, разбивает ее. Другими словами,
разложение молекул красителя светом происходит так, как будто бы моле-
молекулы могут поглощать свет целыми порциями, некоторыми определенными
количествами, квантами — применяя латынь.
Эйнштейн проводил красивую аналогию только что рассмотренному
нами явлению.
Рассмотрим стену, построенную вдоль морского берега. Морские вол-
волны, непрерывно перекатываясь через стену, каждый раз что-то смывают.
Чем интенсивнее волна, тем больше она смывает. Но можно уменьшать
1.4. Фотоэффект 15
массу стены на то же количество за то же время, что и волнами, стреляя в
стену, разбивая ее там, куда попадают пули. Масса стены будет уменьшать™
ся. Можно так устроить, что уменьшение массы за одинаковое, достаточно
длительное время воздействия будет одинаковым, однако по виду стены
всегда можно установить, действовали на нее непрерывные волны или пре™
рывистый ливень пуль.
Суть сказанного в том, что не только энергия воздействия, но и харак™
тер организации, структура носителя энергии определяет результат воздей-
воздействия. Анализируя результат воздействия некоторого агента, мы должны
придти к выводам о природе агента.
Предположение о прерывистом характере света, смутно выступающее
из анализа выцветания окрашенной ткани, становится единственно воз-
возможным при рассмотрении явления фотоэффекта.
Пусть на металлическую поверхность в вакууме падает свет некоторой
длины волны. Свет выбивает электроны, которые вырываются из металла с
некоторой определенной скоростью. Это и есть фотоэлектрический эффект
или, говоря кратко, — фотоэффект.
Из закона сохранения энергии мы можем вывести, что энергия све™
та частично переходит в кинетическую энергию электронов. Естественно
ожидать, что при увеличении интенсивности света той же длины волны
скорость электронов возрастает. Но это не так.
Рассмотрим теперь фотоэффект более тщательно.
1.4. Фотоэффект
В 1887 г. Г. Герц заметил, что проскакивание искры между цинковыми
шариками разрядника облегчается, если один из шариков осветить ультра™
фиолетовым светом.
А. Г. Столетов в 1888-1890 годах детально исследовал это явление и
установил следующее:
1) испускаемые под действием света заряды имеют отрицательный
знак,
2) наибольшее действие оказывают ультрафиолетовые лучи.
В 1897 г. Дж. Дж. Томсон открыл электроны.
В 1998 г. Дж. Дж. Томсон и Ф. Э. А. Ленард определили отношение е/т
вылетающих при фотоэффекте зарядов по их отклонению в электрическом
и магнитном полях. Их измерения дали значение 1,7610 единиц CGSM и
доказали, что это электроны.
Таким образом, было установлено, что фотоэффект — это испускание
электронов под действием света.
Заметим, что различают два типа фотоэффекта: 1) внешний фотоэффект,
то есть испускание электронов с поверхности вещества во внешнюю среду
(например, в вакуум) и 2) внутренний фотоэффект, когда испущенные ато™
мом электроны остаются в веществе, увеличивая ток проводимости. Мы
ограничимся здесь только внешним фотоэффектом, поскольку именно при
16
Гл. 1. Квантовая дискретность света
его изучении были обнаружены важные явления, неклассической, кванто-
вомеханической природы.
Рассмотрим сначала законы фотоэффекта, как они проявляются в экспе-
эксперименте (рис. 1.1). В высоком вакууме A0~ -f-10" Торр), чтобы избежать
побочных эффектов из-за соударений с молекулами газов, катод К освеща-
освещается исследуемым светом. Если нужно выяснить роль металла катода, то
он должен быть очень чистым. При заданном свете, меняя разность потен-
потенциалов V между электродами, мы меняем, вообще говоря, и ток. Но если
вакуум действительно высок и форма электродов такова, что все вырван-
вырванные электроны попадают на анод, а не пролетают мимо, то очень скоро сила
анодного тока не будет расти с ростом анодного напряжения. Наступает эф-
эффект насыщения. Мы будем иметь насыщенный фотодиод. Вольт-амперная
характеристика фотодиода приведена на рис. 1.2. Левая часть графика ил-
иллюстрирует запирающее действие потенциала, направленного навстречу
потоку фотоэлектронов.
Свет
Электрометр
г *
j
-v3 о
V
Рис. 1.1. Схема установки по иссле-
исследованию фотоэффекта
Рис. 1.2. Экспериментально найденная за-
зависимость величины фототока от напря-
напряжения между электродами: г — величина
фототока, гн — фототок насыщения, V —
приложенное напряжение, ( —V3) —запи-
—запирающее напряжение
Так как ток насыщения гн достигается, когда все электроны, выбитые
светом, попадают на анод, то именно гн есть мера фотоэлектрического
действия света.
Так вот, сила фототока насыщения прямо пропорциональна интенсив-
интенсивности падающего светового потока: гн ^ /. Этот закон проверен в очень
широком интервале интенсивностей, вплоть до разрушения катода. Имен-
Именно благодаря этому фотоэлементы широко применяются как измерители
интенсивности света.
Проанализируем теперь левую часть вольт-амперной характеристики
фотодиода. Тормозящее действие поля уменьшает ток, т. е. останавлива-
останавливает те электроны, кинетическая энергия которых при вылете из металла
-mv2 ) меньше работы, которую надо приложить для преодоления разно-
разности потенциалов V.
1.4. Фотоэффект 17
Если при некотором значении V ток обращается в нуль, то это означает,
что мы задержали все электроны, в том числе и самые быстрые. Тогда
Irm;2 = eV И D
А
Пологость кривой i(V) в левой части свидетельствует о разбросе скоро-
скоростей вылета. По кривой можно, если это нужно, определить распределение
электронов по скоростям вылета. Причина разброса — вырывание элек-
тронов не только с поверхности, но и из глубинных слоев. Продираясь к
поверхности металла после акта собственно фотовысвобождения, электро-
ны "глубинного" происхождения теряют энергию из-за столкновений с ато-
атомами кристаллической решетки металла. Значит, для нас физически инте-
интересна именно скорость v, характеризующая энергию, сообщаемую
электрону при его освобождении. Но неверно думать, что для освобожде-
ния электрона, вылетающего из металла со скоростью v9 достаточно сооб-
сообщить ему энергию -mv2. Проходя через поверхность металла, электрон
преодолевает некоторый энергетический барьер, разделяющий металл и
свободное пространство. Это тот энергетический барьер, который в обыч-
обычных условиях препятствует свободным электронам проводимости покидать
металл. Следовательно, покидающим металл электронам приходится тра-
тратить некоторую энергию на преодоление сопротивления своему выходу. Эта
энергия называется работой выхода v4BbIx. Работа выхода различна для ме-
металлов разного сорта, что приводит, как известно, к появлению контактной
разности потенциалов.
Таким образом, энергия W, которую надо сообщить электрону, чтобы
он вырвался с максимальной скоростью vmax из пластины с работой выхода
^вых, равна
W = Unvl^ + Авых = eV + eFBbIX, A.3)
где Увых = ^4вых/е — потенциал выхода, а V = mv^aaiX/2e — запирающий
потенциал.
Так вот, оказалось, что энергия W не зависит от интенсивности падаю™
щего света, а определяется его частотой. Зависимость эта проста: энергия
W линейно растет с ростом частоты света. Отсюда вытекает следующее
фундаментальное утверждение. Поскольку энергия W должна превышать,
по крайней мере, работу выхода и поскольку она пропорциональна частоте,
то существует такая низкая частота, для которой и ниже которой фотоэф-
фотоэффекта нет при любой (долазерной) интенсивности освещения. Уточнение
формулировки, сделанное в скобках, не затрагивает существа рассматрива-
рассматриваемого здесь вопроса о квантовой природе света.
Суммируя результаты многих исследований, можно сформулировать
следующие основные законы фотоэффекта.
1. Количество эмитируемых фотоэлектронов (т. е. фототок г) пропор-
пропорционально интенсивности падающего света, если его частота не меняется
(закон А. Е Столетова).
18 Гл.1. Квантовая дискретность света
2.1. Максимальная скорость фотоэлектронов (и, следовательно, их энер-
энергия) зависит только от частоты света а;, но не зависит от интенсивности I,
т. е. %ах = f(uj) (закон Ф. Ленарда).
2.2. Более детальные исследования показали, что максимальная энергия
фотоэлектронов линейно возрастает с ростом частоты света:
2mt;max = OLU-f3.
3. Существует длинноволновая (или красная) граница фотоэффекта. Это
значит, что фотоэффект не наблюдается при длинах волн света Л > Л тах.
Длина волны Л тах есть характеристика вещества и не зависит от частоты
и интенсивности света (закон А. Г. Столетова).
4. Фотоэффект является практически безынерционным (закон А. Г. Сто-
Столетова).
5. Запирающее напряжение линейно зависит от частоты света:
V3 = аш - (р,
причем константа а не зависит от свойств облучаемого вещества (закон
Р. Мжликена).
Если первый закон еще можно, хотя бы качественно, объяснить на осно-
ве классических представлений о взаимодействии света с электронами, то
все остальные законы, установленные не только качественно, но и количе-
количественно, находятся в вопиющем противоречии с волновым, непрерывным
представлением о свете.
В самом деле, с классической точки зрения под действием электромаг-
электромагнитной волны с частотой и электрон совершает колебания с той же частотой
и и амплитудой, пропорциональной амплитуде волны: х ~ E(t). Соот-
Соответственно кинетическая энергия электрона окажется пропорциональной
интенсивности излучения: WKMH ^ Е2 или WKMH = al. Поэтому вылет
электрона из вещества окажется возможным, если величина WKIiH превы-
превышает работу выхода:
2
Wljmax _ T/I7 _ А — ^ Т _ А
— г'кин Лвых — LX А лвых-
Таким образом, классическое рассмотрение приводит—в противоречии
с экспериментом — к выводу, что скорость фотоэлектронов зависит от
интенсивности излучения.
1.5. Эйнштейновская теория фотоэффекта
Все встало на место, когда Альберт Эйнштейн привлек к теории фо-
фотоэффекта квантовые представления, предположив, что однородный свет
состоит из зерен — квантов энергии. На самом деле идея световых квантов
была высказана Максом Планком за несколько лет до этого для объяснения
1.5. Эйнштейновская теория фотоэффекта 19
гораздо более сложного явления — теплового излучения и его спектра. Но
фотоэффект яснее и проще доказывает необходимость введения квантов.
Действительно, пусть поток квантов падает на металлическую пластину
Взаимодействие между светом и веществом состоит в таком случае из очень
большого числа очень малых одинаковых актов, в которых квант вырывает
электрон из его окружения. Эти элементарные акты подобны друг другу,
и каждый вырванный электрон имеет изначально одну и ту же энергию.
Увеличение интенсивности освещения означает увеличение числа квантов в
потоке света, а, значит, и числа актов соударения, что приводит к росту числа
вырванных электронов. Таким образом, мы получаем пропорциональность
тока насыщения интенсивности освещения (закон 1).
Элементарный акт соударения происходит практически мгновенно, и
мы получаем безынерционность фотоэффекта (закон 4).
Характер элементарных актов не меняется при изменении их числа, и
мы получаем, что энергия фотоэлектронов не зависит от интенсивности
освещения (закон 2.1).
Более существенны законы 2.2 и 3. Они свидетельствуют о том, что
кванты света разной частоты по своему воздействию существенно отлича-
отличаются друг от друга.
По мысли Эйнштейна вся энергия, получаемая электроном в элементар-
элементарном акте его высвобождения, доставляется ему светом с частотой v = ш/2ж
в виде определенной порции величиной hv. Этот квант световой энергии це-
целиком усваивается электроном в одном элементарном акте взаимодействия
со светом. Тогда левая часть уравнения A.3) — это hv, и это уравнение, яв-
являющееся просто записью закона сохранения энергии в рассматриваемом
элементарном акте, приобретает вид
W = -mt^ax + ^вых = eV + eFBbIX = hv, A.4)
или иначе
-^L = hv- Авых. A.5)
Все сразу же встало на свое место. Пункты 2.2 и 3 объясняются самим
видом уравнения A.5). Измерения показывают точное соответствие этого
уравнения наблюдаемым на опыте закономерностям. Для разных металлов
зависимость максимальной кинетической энергии фотоэлектронов от ча-
частоты имеет один и тот же наклон (рис. 1.3). Этот наклон дает значение
постоянной Планка: h = 6,63 • 10™27эрг • с = 6, 63 • 10™34Дж/Гц.
Красная граница фотоэффекта — hvo — дает значение работы выхода
Дзых- У щелочных металлов, которые легко отдают свой внешний электрон,
красная граница фотоэффекта лежит в зеленом свете. Для большинства
других металлов это ультрафиолет.
Наконец, закон Милликена немедленно следует из формулы Эйнштей-
Эйнштейна A.5), если заметить, что величина eV3 есть в точности максимальная
20
Гл. 1. Квантовая дискретность света
кинетическая энергия фотоэлектронов. Тогда, переписывая A.5) в виде
""итах
2е
= —V —
ЛВЫХ
= au-ip,
A.6)
получаем в точности закон 5. Заметим, что это соотношение позволи-
позволило осуществить измерение постоянной Планка по наклону кривых V3(v).
Рис. 1.3. Зависимость максимальной кинетической энергии электронов фотоэффек-
фотоэффекта от частоты света для двух металлов, отличающихся работой выхода АВЬ1Х
Итак, фотоэффект приводит к выводу о квантовой природе света. Гово-
Говоря более строго, закономерности фотоэффекта подводят к выводу о кванто-
квантовой природе взаимодействия света с веществом. Нужно иметь в виду, что
энергия световых квантов очень мала. Для желтого света с длиной волны
о
Л = 6000 А = 0,6 мкм и, соответственно, частотой v = а;/2тг = 5 • 1014 Гц
энергия кванта hv = 3,3 • 10™12 эрг. Для жестких рентгеновских лучей
о
(Л = 1 A, v = 3 • 1018 Гц) энергия кванта равна hv = 2 • 10~8 эрг.
Вместе с тем, температура, при которой средняя энергия теплового дви-
движения равна энергии этих квантов, очень велика. Величина кТ достигает
значения 3,3 • 10™12 эрг при Т = 1,6-104 К, а значения 2 • 10™8 эрг — при
Т = 108 К. Эти оценки объясняют, почему экспериментально достижимая
температура металла не сказывается на фотоэффекте.
Оценим теперь число квантов света, испускаемых в единицу времени
таким скромным источником, как карманный фонарик. Если принять, что
желтый свет мощностью 1 Вт равномерно освещает площадь 5 см2, то легко
найти, что каждый квадратный сантиметр светового пятна ежесекундно
получает примерно б-1017 квантов. На расстоянии в 10 км при расходимости
светового пучка в конусе с телесным углом ОД рад тот же фонарик создает
освещенность в 3 • 108 квантов на см2 в секунду.
1.6. Опыты Боте
21
Мы не будем останавливаться на таких вопросах, как внутренний фото-
фотоэффект в полупроводниках, солнечные батареи, фотоумножители и дру-
другие применения фотоэффекта. Обо всем этом можно прочесть в книге
Г. С. Ландсберга "Оптика", которая всем и рекомендуется.
.R
С,
Л
1.6. Опыты Боте
Пожалуй, не менее ярко дискретность света проявилась в опытах, вы™
полненных Вальтером Боте в 1924 г. Схема опыта показана на рис. 1.4.
В этих опытах рентгеновское излучение
очень малой интенсивности попадало на
тонкую металлическую фольгу, которая в
свою очередь становилась источником вто-
вторичного рентгеновского излучения (т. е. воз™
никала рентгеновская флуоресценция малой
интенсивности). Это вторичное излучение
регистрировалось двумя счетчиками, распо-
расположенными по разные стороны от фольги.
Сигналы от счетчиков поступали на электро-
электрометры, каждые вздрагивания нити которых
записывались на ленте.
Если бы свет представлял собой волну,
то излучение доходило бы до обоих счет-
счетчиков одновременно, и штрихи на ленте
располагались бы симметрично. В действи-
действительности сигналы на счетчики поступали
не одновременно: штрихи на левой и пра-
правой сторонах ленты располагались не сим-
симметрично. И хотя их расположение на
ленте носило случайный характер, среднее
число сигналов, зарегистрированных каж-
каждым счетчиком, оказывалось одинаковым.
Эти результаты явно свидетельствовали, что
излучение от фольги распространялось пор-
порциями, квантами, причем каждый квант дви™
гался в определенном, хотя и случайным об-
образом выбранном направлении.
Э2
Рис. 1.4. Схема опыта
Боте. Ф — металлическая
фольга; R — рентгеновское
излучение; Ci и С2 — счетчи-
счетчики вторичного рентгеновского
излучения; 3i и Эг — элек-
электрометры, регистрирующие
сигналы от счетчиков; Л —
лента для записи сигналов
от электрометров (широкая
стрелка указывает направление
движения ленты)
1.7. Эффект Комитета
Особенно резко и отчетливо корпускулярные свойства света проявляют-
проявляются в эффекте Комптона. В 1922™м году, исследуя рассеяние рентгеновских
лучей в газах или веществах с легкими атомами (парафин), Артур Комп-
тон обнаружил, что длина волны лучей, рассеянных под некоторым углом к
22 Гл. 1. Квантовая дискретность света
первоначальному, исходному лучу, отличается от длины волны падающего
излучения. Так как частота рентгеновских лучей очень велика, то энер-
энергия кванта тоже очень велика и в тысячи раз превосходит энергию связи
электрона в атоме. Следовательно, электроны можно считать свободными.
Тогда эффект Комптона — это рассеяние света на свободных электронах.
По классической волновой теории рассеяние света на электронах, ко-
конечно же, возможно. Поле раскачивает электрон и передает ему часть своей
энергии, причем раскачивающийся, колеблющийся электрон должен излу-
излучать (переизлучать) на той же частоте, хотя и с какой-то, вообще говоря,
иной диаграммой направленности. В самом деле, под действием электриче-
электрического поля падающей волны электрон будет совершать колебания по закону
mi = еЕпад(*), Епад(*) = Е^е"*"*.
Отсюда следует, что
rU\ _ _еЕпад -zo;t _ _еЕпад(?)
\ / 9 9
Таким образом, дипольный момент электрона d = ег периодически меня-
меняется, и в соответствии с законами классической электродинамики возникает
дипольное излучение, напряженности электрического и магнитного полей
которого в дальней зоне оказываются равными
^[[]] ^[[ад]]
czr сгг
НиЗЛ = — И»] = -^-[ЕпадП].
Здесь п = т/г — единичный вектор, направленный от диполя в точку
наблюдения. Как видно из этих формул, временные зависимости падающей
и рассеянной волн одинаковы:
Епад ~ exp(-io;?), Еизл ~ ехр(-га;?).
На опыте оказалось, что применительно к рассеянию рентгеновских
лучей классическая теория совершенно несостоятельна.
Схема опыта, демонстрирующего эффект Комптона, показана на рис. 1.5.
Здесь диафрагмы применяются для того, чтобы организовать узкий пучок
исходного излучения, что необходимо для угловых измерений. Кроме того,
исходное излучение монохроматизируется, что необходимо для спектраль-
спектральных измерений.
В рассеянном свете, наряду с излучением на исходной длине волны А,
было обнаружено излучение на другой длине волны А; — см. рис. 1.6. При
этом оказалось, что величина сдвига А А = А; — А не зависит от значения А
и от материала рассеивающего тела. Из экспериментов была установлена
зависимость сдвига от угла рассеяния:
АА = АоA -cos0), A.7)
1.8. Теория эффекта Комптона
23
где коэффициент Ло = 0,0242 А дает значение сдвига частоты при в = 90°.
Д1Д2
Р. В.
И. К.
Рис. 1.5. Схема опыта Комптона. Обозначения на
схеме: Дг, Дг — диафрагмы для выделения узко-
узкого пучка монохроматического излучения; Р. В. —
рассеивающее вещество; Кр. — кристалл; И. К. —
ионизационная камера
А
Рис. 1.6. Спектр рентге-
рентгеновского излучения, рассе-
рассеянного легким веществом
Оказалось также, что чем тяжелее вещество, тем слабее интенсивность
смещенной линии. Для легких же веществ (Li, Be, В) практически все
рассеянное излучение имеет смещенную длину волны.
Разберем теорию эффекта Комптона, исходя из представления о свето-
световых квантах.
1.8. Теория эффекта Комптона
То, что мы знаем о фотоэффекте, привело нас к представлению о свето-
световых квантах, в соответствии с которым свет частоты v вступает во взаимо-
взаимодействие с веществом в виде отдельных порций энергии hv. Это положе™
ние справедливо для любой частоты — как для видимого света, так и для
рентгеновских лучей, радио-, 7™лучей. Вместо того чтобы говорить "квант
радиоизлучения", "квант видимого света", "квант рентгеновского излуче-
излучения" и т. п., принято употреблять общий термин фотон, имея в виду квант
электромагнитного излучения.
Мы сейчас покажем, что эффект Комптона объясняется, если принять,
что фотон распространяется в пространстве со скоростью света и обла-
обладает не только энергией hv9 но и имеет некоторое количество движения
(импульс).
Величину этого импульса можно получить, привлекая в рассмотрение
один из выводов специальной теории относительности, а именно соотно™
шение Эйнштейна для связи между импульсом и энергией:
Е =
(тос2J.
A.8)
24
Гл. 1. Квантовая дискретность света
Скорость релятивистской частицы при этом дается выражением
v =
рс
Е
A.9)
Естественно считать, что фотон движется со скоростью света. Тогда из A.9)
получаем равенство Е = рс, что с учетом формулы A.8) приводит к выводу,
что масса фотона равна нулю:
т® = 0.
A.10)
В этом состоит важное отличие фотона от большинства других элементар-
элементарных частиц, например электрона, протона и других, масса которых отлична
от нуля.
Таким образом, импульс фотона равен
Е
р = - =
с
A.11)
а его направление совпадает с направлением распространения света.
Если ввести волновой вектор к, компоненты которого в некоторой де™
картовой системе координат суть
1 2тг 7 2тг п 1 2тг ,Л 1 г%\
кх = —cos а, ку = —cosp, kz = —cos 7, A.12)
A A A
где Л — длина волны, a cos a, cos f3 и cos 7 — направляющие косинусы
(рис. 1.7), то с учетом равенства к = 2тги/с выражение A.11) для импульса
фотона может быть записано в вектор-
векторной форме:
р = —к.
2тг
A.13)
Рис. 1.7. Определение направляю-
направляющих углов волнового вектора
В литературе широко использует-
используется обозначение h = —, h = 1,05 х
2тг
х Ю~27эрг • с. Это связано с тем боль™
шим значением, которое имеет кру-
круговая частота ш = 2тгг/. Используя
такую частоту и и "перечеркнутую"
постоянную Планка % получаем сле-
следующие выражения для энергии и им™
пульса фотона:
Е = /го;, р = Кк.
A.14)
Формулы A.14) являются основными уравнениями квантовой теории
света. Они связывают энергию и импульс фотона соответственно с ча™
стотой и длиной волны плоской монохроматической волны, направление
распространения которой определяется вектором к.
1.8. Теория эффекта Комптона 25
Следует отметить, что утверждение о нулевой массе и выражение для
импульса фотона можно получить исходя из гипотезы Планка об энергии
светового кванта (Е = Ни), преобразований Лоренца и представлений об
электромагнитной волне (см. задачу 1 "Семинара").
Однако глубокий смысл квантовой теории состоит не в том, что мы
представляем себе свет как газ частиц с энергией Е и импульсом р, а в
том, что обмен энергией и импульсом между светом и микросистемами,
например, электронами, происходит путем уничтожения одних фотонов и
порождения других. Этот процесс подчиняется законам сохранения энергии
и импульса:
Шо + Е = hw' + Е\ A.15 а)
ftk + p = ftk' + p'. A.15 6)
Левая часть здесь соответствует, условно говоря, времени до "столкнове™
ния", правая — после.
В этих уравнениях, как легко видеть, представлены поглощение света
(а/ = 0, к; = 0), его излучение (ш = 0, к = 0) и рассеяние (и ^ 0,
a/^0,k^0,kV0).
Прежде чем применить соотношения A.15а)иA.15б)к эффекту Комп-
Комптона, отметим, что ранее мы уже использовали закон сохранения энергии
A.15а) для объяснения фотоэффекта. Тогда у нас было Е = —Авъш, и/ =
2
= 0 и Е1 = —ш*ш Закон сохранения импульса не применялся, так как
он утверждал лишь то, что весь импульс фотона передавался всему куску
металла как целому.
Вернемся, однако, к эффекту Комптона (или, как это часто говорят,
комптон-эффекту).
После столкновения с рентгеновским квантом энергия электрона, а зна-
значит, и его скорость может быть очень большой. Следовательно, надо учи™
тывать релятивистские зависимости энергии и импульса частицы от ее ско-
скорости. Согласно теории относительности кинетическая энергия электрона,
движущегося со скоростью v, равна
Е = — — т®с , A.16)
VI - (v/cJ
а импульс
р'= , mov ¦ A.17)
/1 (/J
Тогда законы сохранения энергии и импульса принимают вид
2Г ! 1
fVaJ = flUJ + UIqC —1 + ^=^= , A.18)
A.19)
/1 — РЛ
где использовано обычное обозначение ,
26 Гл. 1. Квантовая дискретность света
Уже сразу же из A.18) видно, что ш > а/. И это соответствует эке-
перименту, в котором оказалось А; > А. Как отмечалось выше, согласно
классической электродинамике частота рассеянного света должна совпа-
совпадать с частотой света, падающего на электрон.
Тот факт, что а/ < и, есть прямое следствие закона сохранения энер-
энергии гК При этом легко заметить, что при v —>• 0 окажется а/ —> ш. Иными
словами, частота излучения при рассеянии не изменится.
Законы сохранения в форме A.18) м A.19) позволяют найти зависимость
сдвига длины волны рассеянного излучения от угла рассеяния. Несложные
выкладки (см. задачу 2 в разделе "Семинар") дают:
ДА = Ao(l-eos^), Л0 = 2тгЛ, Л = —, A.20)
что прекрасно совпадает с экспериментальным результатом, изложенным
ранее. Найденное на опыте численное значение константы Aq в A.7) позво-
позволяет, кроме всего прочего, определить значение постоянной Планка % кото-
которое хорошо согласуется с результатами измерений, выполненных другими
способами. Отметим также тот очевидный из A.20) вывод, что комптон-
эффект является эффектом чисто квантовым — он пропадает при Н —> 0.
Введенную в A.20) величину Л называют комптоновской длиной волны
электрона. Она составляет
Л = — = 3,86 • КГ11 см. A.21)
Осталось объяснить еще один экспериментальный факт. Как видно из
рис. 1.6, помимо фотонов с измененной длиной волны в спектре комптонов-
ского излучения присутствуют фотоны с исходной (несмещенной) длиной
волны. Их происхождение объясняется следующим образом. При рассея-
рассеянии фотонов на сильно связанных электронах обмен энергией и импульсом
происходит с атомом как целым. Поскольку масса атома много больше мас-
массы электрона, то и смещение длины волны фотона при рассеянии мало. По
мере роста атомного номера вещества растет доля сильно связанных элек-
электронов. Поэтому растет интенсивность несмещенной компоненты спектра.
Для излучения видимого диапазона (видимого света) энергия связи электро-
электрона в атоме больше энергии фотона. Поэтому эффект Комптона практически
не наблюдается.
Итак, если фотоэффект приводит к признанию существования квантов
световой энергии Е = Ни, дискретно, неделимыми порциями взаимодей-
взаимодействующих с веществом, то комптон-эффект говорит о том, что эти кванты
распространяются со скоростью света и имеют импульс р = Н к. Оба эти
эффекта носят чисто квантовый характер и не могут быть истолкованы
классически. Они противоречат классическим представлениям о свете -
как волновому, так и корпускулярному.
^Так сказать, фотон потерял энергию и от стыда покраснел.
1.9. Тепловое излучение 27
Неверно думать, что квантовые представления сводятся к замене вол™
нового корпускулярным, непрерывной волны — каким-то шариком. Квант
света не представляет собой частицу вроде поплавка на волне.
Свет по определению ассоциируется с плоской монохроматической вол-
волной. Такая волна представляет собой чисто периодический процесс, бес™
конечный как в пространстве, так и во времени. Однако предположение,
что квант света где-то локализован, где-то находится, противоречит про-
пространственной периодичности и спектральной монохроматичности волны.
Вместе с тем эксперимент свидетельствует о том, что при взаимодействии
света с веществом законы сохранения имеют вид A.15 а) и A.15 6) — и
фотоэффект, и комптон-эффект это подтверждают. Иными словами, в этих
процессах мы имеем дело с отдельными квантами.
Таким образом, мы должны согласиться с тем, что классические пред-
представления недостаточны для выражения явлений, имеющих место при рас-
распространении света и при его взаимодействии с веществом. Свет имеет
двойственную природу, он обладает как волновыми, так и корпускулярны-
корпускулярными свойствами.
К вышеизложенному целесообразно добавить, что наличие у фотонов
импульса позволяет очень просто объяснить давление света и вычислить
его величину (см. задачу 3 в разделе "Семинар"). Это же относится и к
эффекту Доплера (задача 4 там же).
1.9. Тепловое излучение
Первые положения квантовой теории были сформулированы Максом
Планком в 1900-м году при разработке теории теплового излучения.
Тепловое излучение — это электромагнитное излучение, испускаемое
телом, находящимся в состоянии термодинамического равновесия. Поло-
жение о равновесности очень существенно, так как оно делает ситуацию
весьма определенной и позволяет при ее анализе применять хорошо отра-
отработанные термодинамические соображения.
Пусть излучающее тело помещено внутрь идеально отражающей,
непроницаемой, замкнутой оболочки. Излучение, если оно внутри этой
оболочки, в этой полости изначально существует, сохраняется в ней. Излу-
Излучение отражается от внутренних поверхностей оболочки, падает на тело,
частично поглощается, снова излучается и т. д. Потери энергии нет. Рассмат-
Рассматриваемая система состоит из полости с идеально отражающей внутренней
поверхностью, поля излучения и излучающего тела. Ее энергия частично
содержится в виде излучения (т. е. в виде электромагнитных волн), частично
в виде внутренней энергии излучающего тела. В равновесном состоянии
распределение энергии между телом и излучением во времени не меня-
меняется. Равновесие устойчиво. Если мы поместим внутрь полости нагретое
(или охлажденное) тело в любом агрегатном состоянии (безразлично, в
твердом, жидком или газообразном состоянии, плазму и т. д. ), то увидим,
что, если в единицу времени тело больше испускает, чем поглощает, то
28 Гл. 1. Квантовая дискретность света
его температура будет понижаться. Наоборот, если тело больше поглощает,
чем испускает, то его температура будет расти. При этом будет постепенно
ослабляться испускание (или наоборот), пока не наступит равновесие.
Еще раз подчеркнем, что только равновесное излучение называется
тепловым. Иногда термин "тепловое" применяют к излучению какого-либо
накаленного тела, находящегося в неравновесных условиях. При этом име-
ется в виду механизм генерации излучения, его, так сказать, происхожде-
происхождение. Но такое употребление термина некорректно. Только когда температура
тела равна температуре стенок окружающей его полости — только тогда
мы получаем равновесное тепловое излучение. В случае же неравенства
этих температур излучение тела перестает быть тепловым, даже если тем-
температура тела постоянна. Примеры: люминесценция тела под действием
излучения сильнее нагретых стенок, лазерное излучение, излучение радио-
радиогенераторов.
Для описания состояния равновесия применима и хорошо работает тер™
модинамика. Поэтому равновесное тепловое излучение можно характери-
характеризовать температурой излучающего тела. Кроме того, второе начало термо-
термодинамики, т. е. невозможность вечного двигателя второго рода, приводит к
важным выводам.
В равновесной термодинамике большую роль играет принцип деталь-
детального равновесия {детального баланса): при термодинамическом равнове-
равновесии число переходов системы из состояния 1 в состояние 2 должно быть
в точности равно числу обратных переходов. Согласно этому принципу в
состоянии термодинамического равновесия любое тело должно излучать
в окружающее пространство ровно столько энергии, сколько оно поглоти-
поглотило из падающего на него равновесного излучения, причем равенство это
должно выполняться для любого сколь угодно малого интервала частот и
направлений излучения и для каждой из двух поляризаций. Именно в этом
и заключается детальность баланса.
Мы воспользуемся принципом детального баланса для установления
закона Кирхгофа.
1.10. Закон Кирхгофа
Введем определения.
Пусть AV) т — поглощательная способность тела на частоте и при тем-
температуре Т. Поглощательная способность всегда А^ т ^ 1, так как она есть
та доля падающей на тело энергии излучения, которая поглощается телом
и превращается в тепло.
Пусть Ejj^ т — спектральная испускательная способность тела, т. е. такая
величина, что E^^dv — это энергия, испускаемая им в диапазоне частот
v-z-v-\-dv при температуре Т одним квадратным сантиметром поверхности
тела в 1 секунду во все направления.
Кирхгоф предложил называть абсолютно черными те тела, для кото-
которых Аиут = 1 для всех v и Т. Обозначим испускательную способность
абсолютно черного тела символом Еу,т-
1.11. Закон Рэлея -Джинса 29
Теперь представим себе замкнутую оболочку, внутри которой вакуум,
а стенки сделаны из абсолютно черного тела, температура Т, AV) т = 1 и
ЕУ) т = ?i/,T> a теплообмен осуществляется с помощью излучения. Участок
поверхности оболочки da посылает внутрь полости энергию ?v% т da, но и
поглощает столько же.
Заменим теперь участок da другим тоже непрозрачным кусочком, но
только с Av% т < 1 • Так как наружу этот участок ничего не пропускает, то
/Участь падающего на него излучения он поглощает, а A — А)-чжтъ отра-
жает обратно. Падает на него по-прежнему ?v,t da. Значит, поглощает он
энергию AV) т^и, т da, но при этом излучает в соответствии со своей ис-
пускательной способностью Е1Л т энергию Evj^da. Так как тепловой обмен
при одинаковой температуре не нарушает равновесия, то применение прин-
принципа детального баланса дает равенство Av^?v,t da = EUiTda. Отсюда
вытекает закон Кирхгофа
?„,т = ^. A.22)
Аи,т
Отношение испускателъной и поглощателъной способностей тела
не зависит от природы тела и является универсальной функцией часто-
частоты и температуры — испускателъной способностью абсолютно черного
тела 8V^*
Другими словами, в равновесных условиях всякая сильно поглощающая
система сильно излучает.
Для наблюдателя, помещенного внутрь полости, тот участок стенки,
который мы в нашем мысленном эксперименте заменили, в равновесном
случае не будет отличаться, не будет выделяться на фоне черной стенки, по™
скольку то, что он недоизлучит, он отразит. Действительно, поток энергии,
идущий от этого элемента, равен
da[EUiT + A - AUiT)?viT] = da^^E^^ + A - AUiT)?UiT] = da81J^Ti
т. е. совпадает с потоком, идущим от абсолютно черного тела.
Закон Кирхгофа указал на то огромное значение, которое имеет абсо-
абсолютно черное тело в физике.
Дополнительные вопросы, относящиеся к закону Кирхгофа, рассмотре-
рассмотрены в задаче 7 раздела "Семинар".
1.11. Закон Рэлея-Джинса
Итак, задача о тепловом излучении вообще свелась к задаче об испус-
кательной способности абсолютно черного тела.
Привлечем для анализа одно из положений статистической физики. Тео-
Теорема о равномерном распределении тепловой энергии по степеням свобо-
свободы утверждает, что на каждую степень свободы той или иной достаточно
большой системы в среднем приходится кТ/2 кинетической и кТ/2 потен-
потенциальной энергии, а всего на колебательную степень свободы — кТ/2 +
+ кТ/2 = kT, где к = 1,38 • 10™16 эрг /К — постоянная Больцмана.
30 Гл. 1. Квантовая дискретность света
В случае электромагнитных волн в некоторой полости, линейные разме-
размеры которой велики по сравнению с длиной волны излучения, колебаниями,
на которые приходится по кТ энергии поля излучения, являются так назы-
называемые собственные колебания поля или колебательные моды этой полости.
В курсах теории электромагнитных волн доказывается, что если длина вол-
волны мала по сравнению с линейным размером полости, объемная плотность
мод (числа собственных колебаний), попадающих в спектральный интервал
от Л до Л — 5 А, составляет (см. задачу 8 в разделе "Семинар")
с 8тг 6 А ,Л г%^\
on = . A.23)
Л3 Л
Значит, по теореме о равнораспределении плотность энергии равна
рх5Х = кТ5п = —кТ—. A.24)
Л3 Л
Тогда спектральная плотность объемной плотности энергии оказывается
равной
рх = ^кТ. A.25)
Это и есть знаменитая формула Рэлея - Джинса: в равновесных услови-
условиях объемная плотность энергии теплового излучения в полости обусловлена
испусканием "света" стенками (или поглощающим телом в полости).
Простые геометрические соображения (см. задачу 7) позволяют связать
объемную плотность с интенсивностью излучения в полости, а эту послед-
последнюю — с испускательной (излучательной) способностью абсолютно чер-
черного тела. В результате мы имеем другую запись формулы Рэлея - Джинса:
?„,т = 2тг—кТ. A.26)
с2
Весь этот рэлеевский вывод приведен для того, чтобы еще раз сказать,
что, несмотря на это безупречное классическое рассуждение, формула Рэ-
Рэлея - Джинса A.25), во-первых, приводит к абсурду — к "ультрафиолетовой
катастрофе"
оо
г
pxd\ = оо,
о
т. е. к утверждению, что при любой конечной температуре полная энер-
энергия излучения в замкнутой полости бесконечна. Во-вторых, формула A.26)
совершенно не соответствует результатам экспериментальных наблюдений
спектра излучения черного тела, которые неоднократно и очень тщатель-
тщательно проводились после того, как был изобретен способ реализации черного
тела в оптике.
1.12. Формула Планка 31
1.12. Формула Планка
Планк, анализируя сложившееся положение, отказался от мысли, что
осциллятор частоты и может заключать в себе и испускать произвольное
количество энергии. Он предположил, что осциллятор, собственное колеба-
колебание излучения в полости, может увеличивать или уменьшать свою энергию
только целыми порциями — квантами hu. Следовательно, абсолютно чер-
черное тело может излучать энергию только квантами hu.
И тогда, вместо A.26) Планк получил
?„г = 2тг^ hy . {121)
2 hv/kT ! 1 >
Отнеся вывод этой замечательной формулы на семинар (задача 9), под-
подчеркнем, как главное, то обстоятельство, что она прекрасно описывает всю
совокупность экспериментально наблюдаемых явлений.
Прежде всего, следует сказать, что для низких частот (hu <C кТ) полу™
чаем и кТ. Как оно и должно быть, в этой области спектра мы
получаем закон Рэлея^ Джинса A.26).
Далее. Полная энергия, излучаемая в единицу времени с единицы по-
поверхности абсолютно черного тела при температуре Т, равна
СО
R(T) = ^p=^ \
4 4 J
о
A.28)
где р — полная (по всему спектру) объемная плотность энергии, а коэффи-
коэффициент
^^ Ч^ эрг
а = 2^^ = ^Ч^ = Ю^5 эрг
15 c2h3 60c2 h3 см2 -с-К
получил название постоянной Стефана-Больцмана.
Таким образом, из формулы Планка как ее прямое следствие вытекает
закон Стефана ^Больцмана, установленный до Планка экспериментально
(Стефан, 1879 г.) и выведенный теоретически из термодинамических сооб™
ражений задолго до появления формулы A.27) (Больцман, 1884 г.)
Зная экспериментально полученную величину постоянной Стефана-
Больцмана A.29), Планк нашел значение постоянной h, прекрасно совпав™
шее с тем, что впоследствии дало исследование фотоэффекта.
Аналогично, из формулы Планка следует закон смещения Вина, суть
которого в следующем. Распределение по частоте A.27), вид которого при-
приведен на рис. 1.8, обладает явно выраженным максимумом. Положение
этого максимума зависит от температуры, смещаясь к более коротким вол-
волнам при ее увеличении. Дифференцируя A.27) по и и приравнивая нулю
производную, легко получить закон Вина в виде
AmaxT = const. A.30)
32
Гл. 1. Квантовая дискретность света
Рис. 1.8. Спектральная испускательная способность абсолютно черного тела
(в формуле Планка A.28)) для двух значений температуры Т\ < Г2
Здесь Атах —длина волны излучения, соответствующего максимуму план-
ковского распределения, а значение константы составляет 0,2896 см-град.
Что касается точности формулы Рэлея - Джинса, то, в частности, при
температуре Т = 1К ошибка составляет ^ 1% на длине волны А = 1 м
(при данной температуре величина Amax ~ 0,3 см).
В радиодиапазоне, где излучательная способность черного тела пропор-
пропорциональна температуре, очень часто интенсивность излучений со сплоиь
ным спектром (а тепловые излучения имеют сплошной спектр) измеряют
в эффективных температурах. Это особенно характерно для радиоастроно-
радиоастрономии. Так, температура реликтового излучения, измеренная на длине волны
3 см, составляет примерно 3 К.
Подводя итог содержанию этой главы, мы приходим к выводу, что свет
воздействует на вещество как совокупность фотонов — квантов энергии
his, распространяющихся со скоростью света и несущих импульс h k. Кро-
Кроме того, испускается свет, по крайней мере, черным телом в виде порций
энергии hv.
ГЛАВА 2
КВАНТОВАНИЕ В МИКРОМИРЕ,
ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ, СООТНОШЕНИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Er hat einen Zipfel des grossen Schleiers geliiftet.
Он приподнял краешек великого занавеса,
(Альберт Эйнштейн о диссертации Луи
де Бройля в письме Полю Ланжевену, 1924 г.)
В предыдущей главе мы установили, что свет имеет квантовую природу,
проявляющуюся в его испускании и взаимодействии с веществом (по край™
ней мере, применительно к тепловому излучению). В этой главе речь пойдет
0 наличии дискретности, прерывистости состояний, т. е. "квантовости" у
атомов вещества, в микромире.
2.1. Опыты Франка и Герца
Вопрос об энергетических состояниях, в которых атомы вещества мо-
гут находиться, естественнее всего исследовать, изучая поведение атома
под действием сообщаемой ему энергии. Наиболее удобным способом со™
общения атому какого-то определенного количества энергии является метод
бомбардировки атомов ускоренными электронами. Дело в том, что кине™
тическая энергия электронов легко регулируется разностью ускоряющих
потенциалов. Поскольку энергия, сообщаемая электрону (с зарядом е) при
прохождении разности потенциалов V, есть eV9 то часто таковая измеряет™
ся в электрон-вольтах, или просто в вольтах.
Соотношение
- mv2 = hu = kT = eV B.1)
позволяет связать воедино такие энергетические характеристики, как кине™
тическая энергия электрона - mv2, частота излучения и, квант которого hv
имеет энергию eV, и эффективная температура Т, при которой на колеба-
колебательную степень свободы приходится энергия, равная eV. Именно в смысле
этой энергетической эквивалентности существует соответствие разнород-
разнородных единиц, которое записывается цепочкой "равенств":
1 эВ = 11606 К = 2,4 • 10м Гц = 12500 А = 1, 25 мкм =
= 1,6 • 1(Г12 эрг =1,6- 1(Г19 Дж,
что полезно помнить, чтобы быстро делать численные оценки.
34 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
Итак, чем больше разность потенциалов поля, тем выше скорость элек-
трона. В нерелятивистской области, т. е. для медленных электронов (v <C с),
v = J — V = 6,7 ¦ 107->/У(Вольт) (см/с).
у т
Вернемся, однако, к эксперименту Джеймса Франка и Густава Герца
A912—1914 гг.). Схема опыта по идее довольно проста (см. рис. 2.1). Элек-
Электроны, вылетающие из горячего катода, ускоряются сеткой, находящейся
под потенциалом У\. Потенциал V2 препятствует попаданию медленных
электронов на собирающий анод. В опыте измеряется анодный ток в за-
зависимости от ускоряющего потенциала У\ при некотором фиксированном
значении V^.
При высоком вакууме вольт-амперная характеристика I{Vi) имеет вид,
показанный на рис. 2.2. Видно, почему потенциал Vi называется защитным
или запорным: когда У\ < ?2, анодный ток практически исчезает.
I
Рис. 2.1. Схема опыта Франка и Герца
v2 vx
Рис. 2.2. Вольт-амперная харак-
характеристика лампы в случае глубо-
глубокого вакуума
Наличие следов газа в сосуде существенно меняет картину. Сталкиваясь
с атомами, электроны могут отдавать им часть своей энергии (или даже всю
свою энергию). Наиболее быстрые электроны могут при этом ионизовать
атомы. Тогда ток возрастал бы из-за появления вторичных электронов.
Опыты Франка и Герца были произведены с парами ртути. Оказалось,
что протекающий ток с ростом энергии электронов увеличивается отнюдь
не монотонно, а имеет максимумы и минимумы, как это показано на рис. 2.3.
Первоначально, пока энергия электронов меньше 4,9 эВ, пучок элек-
электронов проходит через пары ртути, не теряя энергии. Вольт-амперная ха-
характеристика подобна обычной. И на самом деле, в этой области энергий
происходит упругий удар электрона о тяжелый атом ртути. Электрон отска-
отскакивает, теряет направление, но, в конце концов, попадает на анод. Поэтому
2.1. Опыты Франка и Герца
35
ток растет с напряжением. Но как только достигается энергия в 4,9 эВ, ток
резко падает. Это происходит из-за того, что при этой энергии электронов
изменяется характер их соударений с атомами ртути. Соударения становят-
становятся неупругими. Атомы ртути активно поглощают энергию налетающих на
них электронов, если эта последняя составляет 4,9 эВ. При этом внутреннее
состояние атома ртути изменяется, а испытавший неупругое соударение и
потерявший свою энергию, а значит, и скорость электрон не пропускается
к аноду запорным потенциалом. Наличие экстремумов при ускоряющем
потенциале в 9,8 В и 14,7 В говорит о том, что в этих случаях после неупру-
неупругого удара электрон успевает так ускориться, что претерпевает еще одно
неупругое соударение.
49
9,8
14,7
Рис. 2.3. Опыт Франка и Герца. Зависимость тока от ускоряющего напряжения
в ртутной лампе
Поскольку при неупругом ударе энергия электрона в соответствии с за-
законом сохранения идет на изменение энергии внутреннего состояния атома,
и поскольку происходит это не при любом, а только при четко выраженных,
резонансных значениях энергии налетающего на атом электрона, то оче™
видно, что возможные состояния внутренней энергии атома прерывисты,
дискретны. Энергия состояния атома ртути, ближайшего к нормальному,
превышает его энергию на 4,9 эВ.
При этом оказывается, что при таких неупругих ударах пары ртути све-
светятся, испуская свет в относительно узкой линии люминесценции с длиной
о
волны 2537 А. Энергия кванта этого излучения с вполне приличной точно™
стью совпадает со значением в 4,9 эВ. Ясно, следовательно, что при неупру™
гом соударении с электроном, имеющим кинетическую энергию 4,9 эВ,
атом ртути захватывает, поглощает эту кинетическую энергию и прихо™
дит в возбужденное состояние. Через некоторое время атом возвращается
из возбужденного состояния в нормальное, испуская при переходе квант
излучения соответствующей энергии.
36 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
Потенциал 4,9 В есть первый потенциал возбуждения. Второй потенци™
ал равен 6,7 В. Ему соответствует вторая известная линия свечения ртути
1850 А.
Аналогичные опыты были выполнены и с другими атомами.
Все эти опыты показывают, что атомы могут принимать от бомбарди-
бомбардирующих электронов не произвольные количества энергии, а лишь вполне
определенные порции. Приобретая эти порции энергии, атомы переходят
в новые состояния, отличающиеся величиной внутренней энергии. Таким
образом, внутренняя энергия атома квантована.
2.2. Опыты Штерна и Герлажа
Важный эксперимент был выполнен в 1922 г. Отто Штерном и Вальте-
Вальтером Герлахом. Условная схема опыта показана на рис. 2.4.
N ...
И
К
м
Рис. 2.4. Схема опыта Штерна и Герлаха по расщеплению пучка атомов серебра
в магнитном поле. И — источник атомов, К — коллиматор (система диафрагм),
М — магнит, Э — экран
В высоком вакууме пучок атомарного серебра, который получается тер-
термическим испарением металла и последующим выделением пучка из пара
с помощью системы диафрагм, проходит через неоднородное магнитное
поле, перпендикулярное пучку. Пролетев через область, занятую полем,
атомы осаждаются на пластинке, образуя на ней некоторые пятна. Форма и
расположение этих пятен, распределение плотности осажденного серебра
в них позволяют, зная геометрию опыта, определить влияние магнитного
поля на ориентацию атомов в полете.
Если атом обладает магнитным моментом М, то в поле Н он имеет
потенциальную энергию
U = -МН = -МЯ cos а,
B.2)
2.3. Опыты Дэвиссона и Джермера 37
где а — угол между полем и моментом. В эксперименте градиент поля
был направлен перпендикулярно пучку атомов. Тогда сила, действующая
на атом со стороны магнитного поля, оказывается равной
F = - grad U = (MV)H = M— cos a, B.3)
dz
если для оси z выбрано направление вдоль магнитного поля. Следователь-
Следовательно, сила F должна вызывать отклонение пучка от первоначального направ-
направления.
Согласно ожиданиям классической теории опыта, в которой на угол
между векторами МиНне накладывается никаких ограничений, на пла-
пластинке должна была получиться относительно широкая, монотонно убыва-
убывающая к краям полоска, дающая размытое изображение щели диафрагмы.
Различно ориентированные атомы отклоняются по-разному, и рас-
распределение этих ориентации отражается в распределении плотности осадка
в пятне. Так вот, в действительности образуются не размытое распределе-
распределение, а две узкие полоски, расположенные симметрично относительно по-
лоски, получающейся при выключенном магнитном поле. Этот результат
показывает, что возможны лишь две дискретные ориентации магнитного
момента атома, при которых cos а = ±1 — т. е. по полю Н или против Н.
Явление, открытое Штерном и Герлахом, называют пространственным
квантованием, т. к. речь идет о дискретности ориентации магнитного мо-
момента атома относительно направления намагничивающего поля.
В контексте проводимого изложения важно подчеркнуть, что этот опыт
наглядно свидетельствует о существовании дискретности, квантовости,
свойственной возможным состояниям атома как целого при его ориента-
ориентации в пространстве во внешнем магнитном поле.
2.3. Опыты Дэвиссона и Джермера
Электромагнитные волны, как впрочем, и все другие волны, в опре-
определенных обстоятельствах ведут себя не как волны, а как частицы. Как
оказалось, в свою очередь, частицы в микромире в некоторых явлениях
проявляют волновые свойства. Это показали знаменитые опыты Клинтона
Дэвиссона и Лестера Джермера 1927 г. по дифракции электронов.
В опытах изучалось отражение от металлов (кристалл никеля), но не све-
света, а пучка электронов. Исследовалась интенсивность (сила тока) отражен-
отраженного пучка в зависимости от энергии падающих на кристалл электронов при
заданном угле отражения, а также, при заданной энергии, — в зависимости
от угла отражения.
Параллельный пучок электронов из электронной пушки попадал на ми-
мишень. Отраженные в каком-то определенном направлении электроны со-
собирались коллектором. Их ток измерялся. Одна из возможных схем опыта
показана на рис. 2.5.
38 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
Оказалось, что имеет место точная аналогия интерференционному отра-
жению рентгеновских лучей от кристаллов, описываемому формулой Брэг-
Брэгга ^Вульфа. Отраженный луч наблюдается только в том случае, если длина
волны соответствует условию Брэгга:
2dsiinp =
B.4)
где if — угол скольжения, d — постоянная решетки, п — порядок интерфе-
интерференции. Так вот, при отражении электронов дело обстояло таким образом,
как если бы электрон представлял со™
бой волну. И при этом, самое интерес-
интересное, — такую волну, длина которой за-
зависит от энергии электронов.
Формулу Брэгга -Вульфа при ана-
анализе интерференционных опытов
можно применять двумя способами.
Можно, оставляя неизменной длину
волны, поворачивать кристалл и ис-
искать углы ifi, (р2,<Рз и т- Д-j соответ-
соответствующие числам n = l, п = 2, n =
= 3 и т. д., т. е. смотреть спектры 1-го,
2-го, 3-го и т. д. порядков. Так делают в
случае рентгеновских лучей. А можно
иначе: зафиксировав угол, при кото-
котором уже есть отражение, непрерывно
менять длину волны. Тогда отражения
будут иметь место для длин волн
2dsin ip
Рис. 2.5. Схема опыта Дэвиссона и
Джермера. П — электронная пушка,
К — коллектор (гальванометр), d —
постоянная решетки, (р — угол сколь-
скольжения пучка, Кр — кристалл (зачер-
(зачерненные кружки — атомы, находящие-
находящиеся в узлах решетки)
B.5)
Ai/4
т. е. для волн Ai, Ai/2, Ai/3,
их д.
В обсуждаемом эксперименте для
некоторого определенного угла была
получена показанная на рис. 2.6 за-
зависимость тока в отраженном пучке,
т. е. зависимость интенсивности отра-
отражения электронов в направлении на максимум некоторого интерференци-
интерференционного лепестка от ускоряющего потенциала V.
Характер зависимости на рис. 2.6 означает, что та длина волны, которая
ассоциируется с этим дифракционным опытом, обратно пропорциональна
скорости электронов. В самом деле, как видно из рис. 2.6, максимумы тока
наблюдаются при значениях ускоряющего напряжения V = УП9 удовлетво-
удовлетворяющих условию
п = \jV\n, п = 1, 2, 3, ...
B.6)
2.4. Волны де Бройля
39
Здесь V\ — значение напряжения, при котором наблюдается первый макси-
максимум отражения. Учтем теперь, что под действием ускоряющего напряжения
V электрон приобретает энергию Е = eV и импульс
3,06
1
its
3
1 /1
4
,, л,
л
5
j
6
и
1
8
о
10
15
20
25
Рис. 2.6. Зависимость тока в отраженном пучке от ускоряющего потенциала в опыте
Дэвиссона и Джермера
Тогда формулу B.6) можно переписать в виде
Рп =Vin, п = 1, 2, 3, ... ,
B.7)
где введено обозначение р\ = \/2теУ\. С другой стороны, если предпо™
дожить, что эти максимумы возникают вследствие брэгговского отражения
волн от кристалла, то из B.5), B.7) следует, что наиболее сильные отраже-
отражения наблюдаются при таких значениях импульса электронов, когда
\ _ '/
Рп
B.8)
где г) = 2dp\ sin ср. Зная постоянную решетки, можно по формуле B.5) пай™
ти длину волны, отвечающую максимумам отражения, а затем определить
соответствующие значения импульса электрона. В результате формула B.8)
позволяет в принципе измерить константу rj. Она оказалась совпадающей с
постоянной Планка /г, входящей в формулу, связывающую длину волны и
импульс фотона: Л = h/p. Таким образом, из опытов Дэвиссона и Джермера
вытекает связь между импульсом электрона р = mv и волновым числом к
соответствующей волны:
2тг 2тг
= — = —р, или
р = hk.
B.9)
Приведем простую формулу, позволяющую находить длину волны элек-
электрона, зная ускоряющее напряжение V (в вольтах):
А =
1,24
им.
B.10)
40 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
2.4. Волны де Бройля
1)
Опыты Дэвиссона и Джермера произвели в свое время колоссальное
впечатление. Они показали, что традиционное, так сказать, чисто корпус™
кулярное понимание такой фундаментальной физической сущности, как
частица является неполным. Оказалось, что частицы обладают типичны-
типичными волновыми свойствами. Они, т. е. частицы, создают дифракционную
картину!
Вскоре дифракционные картины были получены в привычной форме
при фотографировании пучков электронов, рассеянных при прохождении
через тонкие поликристаллические металлические пленки, например через
золотую фольгу. В этих опытах были получены системы интерференцион-
интерференционных колец — типичные дебаеграммы, стандартно получаемые при рентге-
рентгеновском исследовании поликристаллических образцов.
Дж. П. Томпсон развеял возможные сомнения, простым и остроумным
способом доказав, что эти кольца действительно вызваны рассеянными
электронами, а не вторичными рентгеновскими лучами. Он магнитным по-
полем смещал интерференционную картинку, менял ее контрастность, сма™
зывал ее вовсе. На рентгеновское же излучение, как известно, магнитное
поле не действует.
Факт дифракции электронов установлен достаточно твердо. К настоя™
щему времени более чем полувековой опыт электронной микроскопии под-
подтверждает это. Так, например, постоянные кристаллов, определенные из
опытов с электронами, совпадают с известными значениями, полученными
другими методами (в частности, при исследовании дифракции рентгенов-
рентгеновских лучей).
В предыдущем изложении было показано, что энергия светового кванта
связана с частотой колебаний в световой волне формулой
Е = Пш, B.11)
а импульс этого кванта связан с волновым вектором формулой
р = Пк B.12)
(см. A.14)). Теперь опыты по дифракции электронов показывают, что эти
же соотношения выполняются и для частиц, но только с другого конца,
в рамках некой обратной теоремы.
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну. Запишем ее в виде
Aexp[i(kr - out)} = Aexp \-(pr - Et)] . B.13)
^ "В оптике в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным
способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории вещества
обратная ошибка?" (Л. де Бройль)
2.4. Волны де Бройля 41
Здесь использованы соотношения B.11) и B.12). Хотя B.13) выглядит как
тавтологически тождественная перезапись известного выражения, только
лишь с заменой обозначений, на самом деле применение равенств B.11) —
B.13) имеет глубокий смысл. С одной стороны, это означает, что электро-
магнитной волне с частотой ш и волновым вектором к ставится в соответ™
ствие частица — фотон с энергией Е = huj и с импульсом р = Кк. С другой
стороны, это означает, что частице с энергией Е и импульсом р ставится в
соответствие волна с частотой ш = Е/Нш волновым вектором к = p/h.
Поставленная таким образом в соответствие электрону волна называет-
называется волной де Бройля. Ее длина равна
Л=^ = —. B.14)
к р
Для нерелятивистских электронов (v <С с) энергия равна Е = р2/2т и
Л= 2wh . B.15)
у/ЪпЁ
Если энергию электрона измерять в электрон-вольтах (т. е. считать, что
электрон прошел разность потенциалов V (Вольт)), то при его массе т =
= 9,1 • Ю~28 г окажется
/ 1 ГЛ Г)
B.16)
При ускоряющем потенциале в 150 В это дает значение длины волны в
о
1 А. Волны де Бройля обычно очень короткие. Например, для молекулы
водорода Ш'2 при энергии теплового движения в б • 10~14 эрг, отвечающей
температуре в 300 К, (га = 3,3 • 1СГ24 г) длина волны де Бройля состав-
о
ляет 1 А, что хорошо соответствует размеру этой молекулы, известному из
газокинетических соображений.
Очень важное свойство волн де Бройля состоит в том, что их групповая
скорость совпадает со скоростью механического движения частицы.
Рассмотрим волну де Бройля, приняв для простоты записи, что она
распространяется вдоль оси Ох:
Ф(ж5 t) = Аехр[г(кх - ut)]. B.17)
Фаза этой волны ср = кх — cut. Тогда координата точки постоянной фазы
09П + OJt ш^
LpQ равна х = . Фазовая скорость, по определению равная скорости
распространения точки фиксированной фазы, составляет тогда
^фаз = — = -, BЛ8)
dt к
что является соотношением, хорошо известным в теории волн.
42 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
Зависимость фазовой скорости волны от волнового числа означает на™
личие дисперсии. Для электромагнитных волн дисперсия обусловлена свой™
ствами материальной среды распространения излучения. В пустом и неогра-
неограниченном пространстве для электромагнитного излучения дисперсии нет.
Оказывается, однако, что для волн де Бройля дисперсия существует и в пу-
пустом пространстве. Это происходит в силу наличествующей в этом случае
связи между энергией и импульсом.
В нерелятивистской области (v <^ с) энергия равна Е = р2 /2т. Но,
вместе с тем, Е = hw, p = ftk, и мы получаем
ш = Thk2/2m. B.19)
Согласно B.18) фазовая скорость равна
из hk Tih
^Фаз = у = — = "Г
к 2т тл
и зависит от волнового числа к (т. е. от длины волны), что и свидетельствует
о наличии дисперсии. Это, в свою очередь, приводит к отличию групповой
скорости от фазовой. Групповая скорость есть производная частоты по вол-
волновому вектору, и мы имеем:
duj hk p /nnm
t^rp = — = — = - = v, B.20)
dk m m
где v — скорость частицы как механического объекта.
Тот факт, что групповая скорость волны де Бройля, ассоциируемой с
частицей, совпадает со скоростью движения частицы в реальном трехмер™
ном пространстве, имеет, конечно, глубокий смысл. Нельзя не отметить
при этом, что определение групповой скорости как скорости перемещения
в пространстве центра тяжести некоего волнового пакета становится таким
образом более наглядным.
Итак, рассмотрев ряд ключевых экспериментов и их трактовку, мы при™
шли к необходимости так строить физику микромира, чтобы она правильно
передавала как волновые, так и корпускулярные свойства частиц и волн. Эта
физика должна удовлетворять очень важному непременному условию: она
должна переходить в классическую физику при переходе к макрообъектам.
Это требование называется принципом соответствия Бора.
Вернемся к волнам де Бройля. Их физический смысл был осознан не ера™
зу. Первоначально частицы рассматривались как образования из волн, долж-
ным образом распределенных в пространстве. Это волновое образование
по существу рассматривалось как сама частица. Интенсивность волны де
Бройля рассматривалась как величина, характеризующая плотность среды,
из которой образована частица. Частица физически, так сказать, "размазы-
"размазывалась" по пространству в соответствии с распределением интенсивности
волны де Бройля.
Такое понимание носит совершенно классический характер. Действи™
тельно, из волн всегда можно построить путем суперпозиции некоторого
2.5. Дифракция на двух щелях
43
их числа требуемые волновые образования — волновые пакеты, движу™
щиеся с групповой скоростью v = г;гр. Однако это ошибочное представ™
ление: вследствие дисперсии, описываемой уравнением B.19), волновой
пакет неизбежно расплывается даже в пустоте. Размер частицы возрастает,
она становится неустойчивой. Это во-первых. А во-вторых, при прохожде-
прохождении электронов через поликристаллическую фольгу была получена система
дифрагировавших пучков. Если их регистрировать по отдельности (что тех-
нически возможно), то можно было бы ожидать, что регистрируется часть
электрона, часть неделимой частицы. Все это — нарушение принципа ато-
атомизма и резко противоречит опыту. В то же время настоящий волновой
пакет вполне возможно разделить на части и регистрировать эти части по
отдельности.
Точно так же неверно думать, что волны де Бройля всего лишь сопро-
сопровождают частицы, что они как-то образуются частицами. Дело в том, что
наличие дифракционной картины не определяется интенсивностью пото™
ка частиц. Если частиц мало, надо только подождать — и дифракционная
картина проявится. Поэтому существование волновых явлений нельзя свя-
связывать с одновременным когерентным действием большого числа частиц.
Правильной оказалась статистическая трактовка, предложенная Максом
Борном в 1926 г.
2.5. Дифракция на двух щелях
Рассмотрим для начала опыт по распространению световой волны через
перегородку с двумя щелями (рис. 2.7).
Экран
Рис. 2.7. Дифракция света на экране с двумя щелями
Поместим фотоэлемент, регистрирующий фотоны, в максимум дифрак-
дифракционной картины. Поставим вопрос: через какую из двух щелей прошел
фотон, который только что был зарегистрирован фотоэлементом? В поис-
поисках ответа закроем одну из щелей. Обозначим количество регистрируемых
44 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
при этом фотонов через а2. Если закрыть другую щель, а первую открыть, то
интенсивность фототока снова оказывается равной а2. А вот если открыть
обе щели одновременно, то в соответствии с волновой оптикой получим
BаJ = 4а2, т. е. наблюдается возрастание интенсивности в 4 раза. Так как
количество фотонов, прошедших через две щели, не в два, а в четыре раза
больше количества фотонов, прошедших через одну открытую щель, то во™
про с о том, через какую щель прошел каждый конкретный фотон, сильно
осложняется.
Действительно, если бы фотоны проходили то через одну щель, то через
другую, то интенсивность равнялась бы а2 ^ а2 = 2а2, а не 4а2. Вместе
с тем этот экспериментальный результат (имеется в виду 4а2) характерен
не только для большой интенсивности света, когда сразу летит много фото™
нов. Даже если пускать фотоны по одному в секунду, все равно в максимуме
интерференционной картины от двух щелей интенсивность фототока будет
в четыре раза больше, чем от одной щели.
Следовательно, фотон — это частица, одновременно проходящая через
две щели!
Парадоксальность происходящего станет еще более яркой, если поме™
сить измерительный фотоэлемент в минимум дифракционной картины. За™
кроем одну щель — и минимума не будет. Значит, фотон может попасть в
фотоэлемент, когда открыта только одна щель, и не может, если открыты
обе одновременно. Фотон каким-то образом "знает", что открыты обе щели.
И говорить здесь о том, что фотон прошел через одну из щелей, не имеет
смысла.
Точно такой же опыт можно произвести, освещая экран с двумя щелями
не фотонами, а электронами. Надо только взять другой детектор. Электро-
Электрону надо сопоставить волну де Бройля ехр -(рг — Ei) , рассчитать для
lh J'
нее интерференционную картину, поставить детектор в максимум или в
минимум и убедиться в том, что в максимуме при двух открытых щелях
регистрируется в 4 раза большая интенсивность, чем при одной откры™
той щели. Значит, как и фотон, электрон одновременно проходит через обе
щели, т. е. он не имеет траектории.
Одно из главных свойств частиц в классической физике — это наличие
траектории. Классическая частица, находясь в какой-то момент времени в
одном месте, в остальных местах в это же время обязательно отсутствует.
Вместе с тем классическая волна присутствует одновременно в протяжен™
ных областях пространства. Плоская монохроматическая волна, являюща-
являющаяся, как известно, идеализацией, безгранична в пространстве и бесконечна
во времени.
Экспериментальные факты говорят о том, что микрочастицы — фотоны
и электроны — не обладают классическими свойствами только волны или
только частицы.
Выход был найден в 1926 г., когда Макс Борн предложил рассматривать
амплитуду световой волны или волну де Бройля как амплитуду вероят-
вероятности нахождения микрочастицы (соответственно фотона или электрона)
2.6. Измерение и траектория частицы в квантовой механике 45
в некотором месте. Это предложение оказалось исключительно плодотвор-
плодотворным. По существу вся квантовая механика, а значит, и вся современная
физика зиждется на этой мысли Борна. Суть ее формулируется достаточно
просто: интенсивность волны де Бройля в каком-то месте пространства
пропорциональна вероятности обнаружить описываемую этой волной ча-
частицу в данном месте. При этом валено лишь отношение интенсивностей
в различных точках пространства.
Введенную выше функцию Ф(г), следуя Шредингеру, называют волно-
волновой функцией или, кратко, Ф-функцией.
Итак, квадрат модуля волновой функции от координаты дает относи-
относительное распределение вероятности по пространству. В ряде случаев мож-
можно и удобно использовать абсолютные значения амплитуд вероятности, для
чего необходимо произвести нормировку Ф-функции:
\!{y)\2 dV = 1. B.21)
Эта запись исходит из следующего простого соображения. Вероятность
того, что частица хоть где-нибудь в пространстве да наличествует, равна
единице.
2.6. Измерение и траектории частицы в квантовой
межанике
Здесь уместно подчеркнуть следующее. Подобно тому, как переход от
геометрической оптики к волновой происходит тогда, когда размеры пре-
препятствий или, в общем случае, каких-либо неоднородностей на пути рас-
распространения излучения сравнимы с длиной волны, так и волновые свой™
ства частиц начинают проявляться, когда размеры представляющих интерес
физических областей сравнимы с длиной волны де Бройля рассматривае-
рассматриваемого объекта. Так, о траектории частицы можно говорить лишь тогда, когда
характерные размеры в задаче ^ как в продольном, так и в поперечном
направлениях много больше, чем длина волны де Бройля, которая, как мы
знаем, чрезвычайно мала.
И это на самом деле объясняет, почему безуспешны были разнообраз-
разнообразные попытки перехитрить природу так, чтобы все-таки узнать, через какую
щель прошел электрон в дифракционном опыте с двумя щелями. Все попыт-
попытки поставить заслонку, частично прозрачную преграду, прорезать еще одну
щель и т. п. коренным образом меняют ситуацию — дифракционная карти-
картина радикально изменяется, а то и исчезает вовсе. Проследить траекторию
электрона до момента его регистрации невозможно. Только после регистра-
регистрации мы знаем, где он. Но он уже не может интерферировать. В результате
^ Имеются в виду характерные расстояния, на которых существенно меняются
свойства среды, в частности потенциальная энергия частицы.
46 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
регистрации состояние электрона коренным образом изменилось. Мы зна-
знаем, где он. Но это уже другой электрон, точнее, это уже электрон в другом
состоянии. Невозможно определить, по какой траектории летел электрон,
через какую из двух щелей он прошел, не воздействуя на него, не изменяя
его состояния.
Как видно из сказанного, в физике микромира принципиальную роль
играет измерение. Оно радикально меняет состояние микрообъекта. Для
более формального определения этой процедуры вводят понятие прибора:
это такой объект, который с достаточной точностью (своей для каждой кон-
конкретной задачи) подчиняется законам классической физики. Соответствен-
Соответственно измерением называют всякий процесс взаимодействия микрообъекта с
прибором. На этом языке можно сказать, что состояние квантового объекта
меняется в результате измерения.
В описанном выше опыте роль прибора играет экран со щелями, а из-
измерение — это определение координаты электрона, т. е. локализация элек-
электрона в области щели. В зависимости от устройства прибора он по-разному
воздействует на частицу, но каждый раз приводит к изменению ее траектории.
Уже из сказанного видно, что чем точнее измерение, тем сильнее оказы-
оказываемое прибором воздействие. Но отсюда сразу следует, что понятие мгно-
мгновенной скорости теряет какой-либо смысл. В самом деле, по определению
мгновенная скорость равна пределу:
v = lim 1-^—' г . B.22)
At^o At
Это значит, что мы должны часто и с достаточной точностью измерять ко-
координаты электрона. Но на каждом шаге мы радикально меняем состояние
частицы, и в результате ни о какой определенной скорости говорить уже
невозможно. Как результат мы не можем установить, по какой траектории
летела частица (иначе в каждой точке была бы известна ее скорость).
Таким образом, квантовые объекты не могут быть описаны строго де-
детерминировано, предсказанию подлежат только вероятности различных со-
состояний.
Количественное выражение степени воздействия прибора на квантовый
объект дается соотношениями неопределенностей.
2.7. Соотношение неопределенностей
Рассмотрим внимательнее запись B.13) для волны де Бройля,
Ф(г, t) = Aexp \^(pr - Et)] .
lh J
При точно определенном значении импульса р эта запись представляет
собой плоскую волну. А так как плоская волна по определению распре-
распределена по всему пространству, то и соответствующая частица со строго
2.7. Соотношение неопределенностей
47
определенным импульсом р "размазана" по всему пространству, и ее поло-
положение совершенно не определено.
Поставим на пути такой плоской волны диафрагму со щелью. За щелью
плоской волны уже нет. Значит, за щелью волна уже не имеет определенного
значения волнового вектора к, а соответствующая микрочастица не имеет
определенного значения импульса р. Состояние частицы за щелью — это
состояние с неопределенным точно импульсом. Будем этой щелью (шири™
на щели а) измерять координату электрона по оси ж, направленной вдоль
поверхности диафрагмы нормально падающему пучку электронов. Ось у
пусть идет по направлению пучка исходных электронов (см. рис. 2.8). По™
еле прохождения экрана со щелью возникает дифракционная картина, т. е.
электрону соответствует теперь расходящаяся волна.
Рис. 2.8. К выводу соотношения неопределенностей "координата-импульс"
Направление на первый минимум дается известной дифракционной
формулой: a sin в = А. Угол в есть мера расходимости волны, так как с по-
подавляющей вероятностью электрон находится в промежутке между направ-
направлениями на первый минимум. В пределах симметричного конуса с углом
при вершине 26 мы имеем набор направлений распространения, т. е. набор
направлений импульсов. Импульс, направленный под углом в к оси у имеет
компоненту рх вдоль плоскости экрана. Если полный импульс электрона
равен р9 то sin 0 = рх/р. Угол 6 в этом соотношении есть угол дифракции,
даваемый формулой a sin 6 = Л, и мы имеем:
B.23)
С целью получить стандартную запись введем обозначение: Арх = рх,
имея в виду, что именно эта последняя величина определяет конус возмож-
возможных направлений импульса электрона после дифракции, т. е. веер его откло-
отклонений от первоначального направления, а значит и разброс в значениях рх.
48 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
Имеется в виду, что до пересечения плоскости экрана компонента импульса
электрона рх равнялась нулю, а после пересечения изменилась неконтро-
неконтролируемым образом на величину масштаба Арх. Кроме того, обозначим
Ах = а — неопределенность координаты электрона в момент пересечения
плоскости экрана. В этих обозначениях формула B.23) принимает вид:
АрхАх = Хр.
Но Л = 2тг/к = 2тг Н/р, значит,
ApxAx = 2nh. B.24)
Мы получили знаменитое соотношение неопределенностей (принцип
неопределенности Гейзенберга). Аналогичное рассмотрение можно прове-
провести и для случая определения положения электрона микроскопом. Соотно-
Соотношение B.24) называют также соотношением неопределенностей ('коорди-
('координата -импульс¦". Это фундаментальное соотношение было установлено
Вернером Гейзенбергом в 1927 г.
Мы получили соотношение B.24) при анализе только одного опыта,
но оно на самом деле имеет всеобщую применимость. Отличаться может
только числовой множитель в правой части. В общем случае записывают
АрхАх - ft. B.24а)
В действительности можно строго показать (это сделано в задаче 12 в раз-
разделе "Семинар"), что
АрхАх > ft/2. B.25)
Эта формула называется соотношением неопределенностей в форме Вейля.
Итак, импульс электрона, прошедшего через щель шириной Ах9 прини-
принимает значения, лежащие в интервале Арх ~ h/Ах: чем точнее измеряется
координата электрона, тем больший интервал возможных значений импуль-
импульса содержится в том наборе волн де Бройля, которые соответствуют это-
этому электрону после измерения, тем неопределеннее импульс конкретного
электрона. И обратно, плоская волна со строго определенным импульсом
соответствует состоянию с совершенно неопределенным положением элек-
электрона.
Соотношение неопределенностей возникает не по причинам техниче-
технического несовершенства наших конкретных опытов, что носит временный
характер и, следовательно, в принципе преодолимо. Это соотношение обу-
обусловлено самим существом природы вещей.
Приведем некие математические соображения. Рассмотрим функцию
Ф(г), заданную во всем бесконечном пространстве и представимую в виде
3-мерного интеграла Фурье:
[кг-^-, B.26)
где
/(к)= [*(r)e-<krdV. B.27)
2.8. Соотношение неопределенностей "время-энергия" 49
Здесь /(к) — Фурье-спектр или, иначе говоря, Фурье-преобразование (Фурье™
образ) функции Ф(г).
Фурье-преобразования B.26) и B.27) говорят о том, что координатная
волновая функция может быть разложена в (непрерывный) ряд по плоским
волнам де Бройля, каждая со своим к. Существует не одна плоская волна,
а, вообще говоря, непрерывный их набор. Чем больше значение |/(к) |, тем
больший вклад в результирующую волновую функцию вносит соответствую
ющая волна егкг. Подобно тому как величина |Ф(г) | дает вероятность того,
что частица имеет координату ж, значение квадрата модуля Фурье-образа
волновой функции |/(к) | определяет вероятность того, что частица имеет
импульс р = Йк. В этой связи величину /(к) называют волновой функци-
ей в импульсном представлении (в отличие от волновой функции Ф(г) в
координатном представлении).
Задача 12 (см. раздел "Семинар") демонстрирует, что соотношение
неопределенностей представляет собой факт, в известном смысле, чисто
математический: если определять координаты частицы с помощью волно-
вой функции, а импульсы — ее разложением по плоским волнам де Брой-
ля, то соотношение неопределенностей является математическим выводом.
Собственно физика состоит именно в том, что координата определяется
волновой функцией, а импульс — ее Фурье-образом. Тогда из разложения
Фурье, точнее, из того факта, что волновые функции координаты и им™
пульса оказываются взаимно сопряженными по Фурье, следует принцип
неопределенности B.25).
"
2.8. Соотношение неопределенностей "время - энергия
Помимо рассмотренного выше соотношения неопределенностей "ко-
"координата-импульс" существует множество соотношений с аналогичным
смыслом. Имеется, однако, одно соотношение неопределенностей, имею-
имеющее принципиальное значение для понимания целого ряда явлений в мик-
микромире.
Радиоинженерам хорошо знакома следующая ситуация: чем короче во
времени радиоимпульс, тем шире его частотный спектр, так что произведе-
произведение ширины полосы Аи на длительность импульса т всегда есть величина
порядка единицы, точнее: тАш ~ 2тг. Иначе говоря, всякий волновой па-
пакет, существующий конечное время т, необходимо содержит множество
гармоник, причем характерная ширина спектра Аш ^ 2тг/т. Это утвержде-
ние вытекает, например, из того, что временная форма сигнала f(t) и его
частотный спектр а(и) связаны Фурье-преобразованием:
№= | а(ш)е-^, а(ш)= | f(t)e^dt. B.28)
50 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
(Знаки в показателях экспонент здесь выбраны так, чтобы не отходить от
вида волны де Бройля B.13), B.17)). В частности, если мы имеем дело с
плоской волной де Бройля, которая никогда (по времени) не имела начала и
никогда не закончится, то длительность процесса г = оо, а ширина Фурье-
спектра Да; = 0.
Сформулированное соотношение неопределенностей обычно записы-
вают в виде
Аш At - 2тг, B.29)
где проведена замена т —> At. Переходя здесь от частот к энергии, запишем
искомое соотношение в квантовой механике:
AEAt~2irh. B.30)
Это соотношение допускает различные толкования. Одно из них состоит
в том, что если измерение энергии производится в течение времени At, то
неточность измерения не может быть меньше чем
AE~2irh/At. B.31)
Эта ошибка может быть, в частности, связана с тем, что само измерение
продолжительностью At вносит неконтролируемое изменение энергии си-
системы на величину, даваемую соотношением B.31). С такой интерпрета-
интерпретацией связано понятие о виртуальных частицах (или состояниях): условно
можно считать, что на короткое время At ~ 2тг h/AE физическая система
может переходить в так называемые виртуальные состояния с нарушением
закона сохранения энергии. Это нарушение в действительности является
кажущимся, поскольку оно принципиально не проверяемо в измерениях:
либо само измерение приведет к сильному изменению энергии на величину
не менее той, что дается соотношением B.31), либо измерение подтвер-
подтвердит выполнение закона сохранения энергии (если оно проводится доста-
достаточно длительное время). Термин "'виртуальный", использованный выше,
переводится с английского языка как "фактический", "действительный" и
обозначает короткоживущие промежуточные состояния (или частицы), для
которых нарушается обычная связь энергии и импульса.
Справедлива также следующая трактовка соотношения B.29). Если
некоторое квантовое состояние существует в течение времени т, то оно
имеет энергетический спектр шириной Г ~ Й/т, и наоборот, если неко-
некоторое состояние имеет (энергетическую) ширину Г, то оно существует в
течение времени г ^ Ть/Т.
Рассмотрим связь соотношения неопределенностей B.30) с соотноше-
соотношением неопределенностей "координата-импульс" вида B.24). Пусть име-
имеется нестационарное состояние — локализованный волновой пакет — с
разбросом энергий АЕ. Пусть наш пакет существует в течение времени
At и занимает в пространстве область Ах. Если t;rp — групповая скорость
2.9. Принцип дополнительности 51
пакета, то
л» д / Ах Ах Ах Ак Ах Ар 2тгЯ /^ о"»\
At « Ax/vrT} = « = = ^ . B.32)
duj/dk Аш/Ak Аш АЕ АЕ
Таким образом, мы "вывели" соотношение неопределенностей "время-
энергия" B.30) из соотношения неопределенностей "координата^ импульс"
ДрАж ~ 2тг Н. Это, однако, не вполне правильное утверждение, поскольку
оба эти соотношения являются независимыми. Дело в том, что ранее мы
рассматривали соотношение неопределенностей "координата-импульс",
имея в виду изменение траектории микрочастицы при неизменной вели™
чине полного импульса, т. е. в условиях, когда энергия частицы не менялась,
а менялось лишь направление движения. Вместе с тем пространственная
форма волнового пакета F(r) и его Фурье-спектр G(k) также связаны пре™
образованием Фурье. Например, в одномерном случае имеем
оо оо
F(x)= \ G(k)eikx — , G(k)= I F[x)e^lkx dx. B.33)
Здесь уже в спектре присутствуют различные значения волнового числа к
и, следовательно, импульса р = Нк. Тем самым мы имеем пакет, содержа-
содержащий гармоники с различной энергией Е = Ни (к) = Е(р). Соответственно
преобразования B.33) и B.28) оказываются эквивалентными, отражающи-
отражающими одно и то же свойство изучаемой волны — ее энергетический спектр.
Поэтому использованное в B.32) соотношение Ах Ар ~ 2ттН учитывает
именно сложный энергетический спектр волнового пакета, а не разброс
направлений волн, и является точным аналогом соотношения B.30).
Итак, мы пришли к выводу, что волновая (она же Ф-функция) опреде™
ляет не только координаты, но и импульс (количество движения) частицы.
Следовательно, в физике микромира, т. е. там, где действуют квантовые за-
законы, для тех или иных объектов, в тех или иных ситуациях надлежит уметь
находить Ф-функцию и уже по ней определять все искомые динамические
переменные задачи.
2.9. Принцип дополнительности
Часто исследователи, занимающиеся принципиальными вопросами
квантовой механики, цитируют утверждение, называемое принципом до-
дополнительности. Это утверждение было выдвинуто Нильсом Бором в 1927 г.
в ходе осознания фундаментальных идей квантовой механики: ни в каком
эксперименте невозможно одновременно наблюдать корпускулярные и вол-
волновые свойства микрочастиц.
В дальнейшем была предложена более общая формулировка, содер-
содержащая предыдущую как частный случай: получение экспериментальной
52 Гл. 2. Квантование в микромире, соотношение неопределенностей
информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект,
неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величи-
величинах. Эти другие величины названы Бором "дополнительными" к первым
и являются канонически сопряженными с ними. Примером является пара
"координата - импульс".
Качественные соображения Бора о дополнительных величинах имеют
количественную формулировку в виде различных соотношений неопреде™
ленностей, два из которых были подробно рассмотрены выше. Следует,
однако, иметь в виду то немаловажное обстоятельство, что не всегда легко
установить, каковы конкретные механизмы возникновения и разрушения
интерференционных картин.
ГЛАВА 3
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, ОПЕРАТОРЫ,
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Raffiniert ist derHerr Gott, aber boshaft istEr nicht.
Господь Бог утончен, но не коварен.
(Альберт Эйнштейн)
По традиции, идущей с самого начала XX века, физическая теория, уста-
устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц, а также
связь величин, их характеризующих, с теми, которые непосредственно из™
меряются на макроскопическом опыте, называется квантовой механикой.
Именно квантовомеханические закономерности управляют физикой мик-
микромира.
В конце предыдущей главы было установлено, что волны де Бройля
допускают вероятностную интерпретацию: их интенсивность в каком-либо
месте пространства пропорциональна вероятности обнаружения микроча-
микрочастиц в этом месте (борновская интерпретация). Эти волны стали называться
Ф-функциями. По историческим причинам сохранилось также и название
"волновая функция".
Посмотрим сначала, какими свойствами должна обладать Ф~функция и
как ей пользоваться.
3.1. Общие свойства волновой функции
Сформулируем сначала некоторые свойства волновой функции.
Как уже было выяснено, Ф-функция есть амплитуда вероятности, т. е.
величина |Ф(г,?)| dV определяет вероятность найти частицу в элементе
объема dV в окрестности точки г (в момент времени t). Поскольку вероят™
ность найти частицу где-нибудь в пространстве равна единице, то
(r,*)|2dV = l. C.1)
Мы ввели волновую функцию, исходя из представлений о волнах де
Бройля. При этом мы записали плоскую волну в виде
Ф(г,*) = Фоехр [1(рг - Et)] = Фр(г)е-^*/й. C.2)
Однако нормировка C.1) для нее не может быть реализована, поскольку
|Ф| = |Фо| = const, а интегрирование производится по бесконечному
пространству. Невозможность нормировки C.1) — это общая ситуация,
54 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
когда мы имеем дело с инфинитным, т. е. неограниченным в пространстве,
движением частиц. В таких случаях вводят другие способы нормировки.
В частности, часто используется "нормировка на (!)-функцию":
-p2). C.1а)
Здесь интегрирование выполняется по всему пространству, а 5з(ц) =
= S(qx)S(qy)S(qz) — Замерная дельта-функция, определяемая тем уело™
вием, что для произвольной непрерывной функции имеет место равенство
f(rM(r-a)dV = f(a).
Для 1-мерной E-функции существует интегральное представление
+ ОО
ад = }
oiqx (
2тг
— сю
Обобщения на случаи 2-мерной и 3-мерной E-функций очевидны:
где dnq — элемент поверхности в g-пространстве (в 2-мерном случае,
п = 2) или объема (в 3-мерном случае, п = 3).
С учетом указанного представления ^-функции нормировка вида C.1а)
выполняется следующим образом (разумеется, мы имеем в виду 3-мерный
случай). Используя выражение C.2), находим
Ф* (rLfp2(r)dV = |Ф0|2 exp [--pir + -ргг] dV =
J J L л h J
V V
= |ФоГBтгЙKE(р1-р2).
Здесь для краткости мы не выписали временную зависимость Ф-функции,
поскольку при равенстве импульсов совпадают и энергии, и множитель
ехр \-E\t — -Е2Ц обращается в единицу. Из сравнения полученного ра-
венства с условием C.1а) следует: Фо — Bтг Й)^3/2, так что нормированное
выражение для волны де Бройля принимает вид
1 C-2а)
{2тгЩ
Следует, однако, помнить, что использование того или иного условия
нормировки не должно влиять на конечный результат вычислений: оно
3.1. Общие свойства волновой функции 55
лишь позволяет упростить промежуточные вычисления или придать фор™
мулам более наглядный вид.
Выше мы все время записывали волну де Бройля в комплексной форме
(например, C.2)). Возникает естественный вопрос: а нельзя ли использовать
только действительную функцию, например, в виде
Ф(г, t) = Фо cos Г±(рг - Et)] ? C.3)
Как функция C.2), так и функция C.3) описывают бегущие волны, распро-
распространяющиеся с одинаковой фазовой скоростью г^фаз = Е/р.
Для ответа на этот вопрос обратим внимание на то, что в квантовой ме-
ханике мы имеем дело с волновыми (колебательными) процессами. Но даже
в простейшем случае гармонического осциллятора для его описания необ-
необходимо дифференциальное уравнение второго порядка по времени. Вместе
с тем, в соответствии с соотношением неопределенностей мы не можем од-
одновременно измерить точно координату частицы и ее импульс. Это проявля™
ется, в частности, в том, что состояние микрообъекта однозначно (в смысле
нахождения распределения вероятностей) должно характеризоваться функ-
функцией координат и времени — волновой функцией Ф(г, t). Предсказание
состояния в квантовой механике состоит в определении закона изменения
этой функции со временем. В соответствии со сказанным для пред сказа™
ния мы должны использовать единственное начальное условие — значение
волновой функции в начальный момент:
Ф(г, t)\t=0 = Ф0(г). C.4)
Но это означает, что уравнение для волновой функции должно содержать
производную по времени только первого порядка. Иными словами, мы
должны уметь описывать колебательные и волновые явления дифферен™
циальными уравнениями первого порядка по времени. Сказанное не явля™
ется неразрешимой проблемой: достаточно лишь перейти к комплексным
функциям. Следующие два примера иллюстрируют процедуру сведения
дифференциальных уравнений второго порядка по времени к уравнениям
первого порядка.
Рассмотрим одномерный гармонический осциллятор, описываемый диф-
дифференциальным уравнением второго порядка
— + и2х = 0 C.5)
dt2
или эквивалентной ему системой двух уравнений первого порядка
dx dy /о гх
= (jjy^ —Z. = ^(jjx. C.6)
dt ' dt
Введем комплексную функцию
z = х + iy. C.7)
56 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
Для этой функции из C.6) несложно получить дифференциальное уравне-
ние первого порядка
г — =uz. C.8)
dt
Решение последнего уравнения есть z = zoexp(-iut), что, разумеется,
эквивалентно решению уравнения C.5) (или C.6)). Обратим внимание на
то, что решение имеет осциллирующий характер. Если бы перед производ-
производной по времени отсутствовала мнимая единица, то мы имели бы диффе-
дифференциальное уравнение первого порядка по времени с действительными
коэффициентами. Но у такого уравнения никаких периодических решений
не существует.
Запишем с учетом C.6) энергию осциллятора (считая его массу равной
единице), используя либо пару действительных функций {ж, у}, либо одну
комплексную функцию z:
Е = !(ж2 +w V) = ±{и2у2+и>2х2) = ^uj2\zf . C.9)
Как известно, для гармонического осциллятора выполняется закон со™
хранения энергии: полная энергия Е = const, тогда как кинетическая и
потенциальная энергии порознь не сохраняются, осциллируя в пределах от
О до Е. Учтя явный вид решения z = z® exp(—iu;t)9 мы видим из C.9), что
r i-i 1 9| 2
это решение действительно удовлетворяет требованию Ь = -о; \zq =
= const. В итоге мы свели описание осциллятора к одной, но комплексной
функции (см. C.8), C.9)), удовлетворяющей дифференциальному уравне-
уравнению первого порядка по времени с комплексными коэффициентами.
В качестве другого примера рассмотрим электромагнитное поле, кото-
которое, как известно, описывается двумя векторами: ЕиЕ Введем комплекс-
комплексный вектор
Q = E + iH. (ЗЛО)
С помощью вектора Q уравнения Максвелла в области пространства, сво-
свободной от токов и зарядов, могут быть представлены в виде уравнений,
содержащих производную первого порядка по времени:
, „ 1 дШ ш iaE ( . dQ , ^
rotE = — , rotH = , г—= crotQ,
с dt' с dt _^ J dt C 11)
divE = 0, d!vH = 0, [
Решение этих уравнений, имеющее вид плоской волны, дается формулами
Q = Qoeikr-iuJt, kQo = 0, ik х QO = ^Qo. C.11a)
С
Простые, но несколько громоздкие вычисления показывают, что из по-
последнего равенства вытекает обычное соотношение, связывающее частоту
3.1. Общие свойства волновой функции 57
и волновой вектор: к2 = оо2/с2. Таким образом, мы свели описание поля
от двух функций (Е и Н) к одной (Q), но комплексной.
С помощью вектора Q плотность энергии поля можно записать в виде
w= Е2 + Д2 =^1Q12, C.12)
8тг 8тг
где |Q| = Q*Q, а звездочка, как обычно, обозначает комплексно сопря-
женную величину.
Очевидно, что для случая плоской волны C.11а) плотность энергии
Г)
поля постоянна: w ^ | Q | = const. Если поле состоит из квантов с энергией
Ни, то число фотонов в элементе объема dV окажется равным
dN = —dV = ^— |Q|2 dV. C.13)
fk 8h
Величина dN пропорциональна вероятности найти фотон в элементе объ-
объема dV9 что эквивалентно тому определению вероятности, которое мы ис-
использовали по отношению к Ф-функции.
Итак, в обоих примерах мы имели дело с колебательными (волновыми)
движениями, и в обоих случаях мы свели описание поведения объекта к
одной комплексной функции, подчиняющейся уравнению, содержащему
производную первого порядка по времени.
Помимо приведенных чисто формальных соображений о возможности
пользоваться только одной функцией для описания колебательных (вол™
новых) процессов, нужно упомянуть и физические соображения. В самом
деле, в том случае, когда электроны описываются плоской волной де Брой-
ля C.2), мы предполагали, что вероятность найти электрон в любой точке
пространства в любой момент времени одинакова. Если же для описания
того же самого состояния мы попытались бы использовать плоскую волну
в действительной форме C.3), то заметили бы, что вероятность
dW - Ф2(г, t)dV = Ф2, cos2 Г±(рг - Et)] dV C.14)
lh J
меняется от точки к точке, либо (в фиксированной точке) с течением вре-
времени. Это лишено смысла, поскольку соседние точки физически ничем
не отличаются и нет никаких оснований для того, чтобы вероятности обна-
обнаружения электрона в их окрестности отличались. Точно так же нет никаких
оснований для того, чтобы в фиксированной точке вероятность менялась
со временем, как это следует из C.14). Однако на примере осциллятора и
электромагнитного поля мы видели, как обойти эту проблему: достаточно
использовать две функции вместо одной:
lh J
C.15)
\-(pr-Et)] ,
lh J
58 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
каждая из которых описывает одинаковые бегущие волны, только со сдви-
сдвинутыми относительно друг друга фазами. Тогда вероятность следует запи-
записывать в виде
dW - [Ф?(г, t) + Ф^(г5 t)]dV. C.16)
Но это уже то же самое, что использовать одну комплексную функцию
Ф(г, t) = *i(r, *)+гФ2(г, *) =
= Фо ехр [1(рг - Et)] , dW - |Ф(г, t)\2 dV. C.17)
Представление о Ф-функции как амплитуде вероятности приводит к
некоторым довольно жестким ограничениям, накладываемым на ее допу-
допустимые свойства. Поскольку величина |Ф(г)| dV определяет вероятность
найти частицу в элементе объема dV в окрестности точки г и имеет место
условие нормировки C.1), то функция |Ф| должна быть интегрируемой.
Посмотрим, каким при этом условиям должна удовлетворять Ф-функция.
Допустим, что эта функция в некоторой точке xq ведет себя как
Ф(ж)-(ж-ж0)^. C.18)
Тогда сходимость интеграла C.1) означает, что C > —1/2. Таким обра™
зом, Ф-функция может стремиться к бесконечности в отдельных точках, но
не слишком быстро. Аналогичные ограничения можно получить и в случае
2-х и 3-мерного движения.
В действительности ограничения оказываются, как правило, более силь-
сильными. В частности, за исключением особых случаев волновая функция
должна быть ограниченной всюду ^. Кроме того, если потенциальная энер-
гия не претерпевает бесконечных скачков в пространстве, то функция Ф(г)
оказывается к тому же непрерывной — конечные скачки могут претерпе-
претерпевать лишь ее производные по координатам. Это следует из уравнения Шре-
Шредингера, которому подчиняется волновая функция и которое будет вве-
введено ниже.
3.2. Принцип суперпозиции
Одним из важнейших постулатов квантовой механики является принцип
суперпозиции.
Будем исходить из аналогии с волновой оптикой. Как известно, в
оптике принцип суперпозиции означает, что если в некоторую область
^ Особые случаи отвечают так называемому падению частицы на центр, т. е.
когда велика вероятность того, что частица будет обнаружена в малой окрестности
притягивающего центра.
3.2. Принцип суперпозиции 59
пространства попадают волны от нескольких источников, то напряженно-
напряженности их электрического и магнитного полей складываются:
г. C.19)
Каждое из слагаемых в сумме не зависит от того, имеются ли какие-либо
другие слагаемые и каковы их значения. Именно принцип суперпозиции
C.19) приводит к наличию типичных волновых явлений — интерференции
и дифракции волн.
Ту же самую идею — суммирование амплитуд вероятности или Ф- функ-
функций — мы использовали в главе 2 для объяснения существования волновых
свойств микрочастиц. Теперь, продолжая оптическую аналогию, мы можем
сформулировать принцип суперпозиции в квантовой механике.
Допустим, что квантовая система может находиться в состояниях, опи-
описываемых волновыми функциями Ф]_, 4f2j • • •, Фп- Тогда она может нахо-
находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией
C&i, C.20)
г=1
где Сi — некоторые комплексные постоянные, определяющие амплитудные
и фазовые соотношения между компонентами суперпозиции. Если состо-
состояния отличаются друг от друга мало, то эта сумма переходит в интеграл.
В этой последней форме мы уже пользовались принципом суперпозиции,
разлагая Ф-функцию в интеграл Фурье по плоским волнам де Бройля.
Смысл коэффициентов Ci в представлении C.20) определяется тем, что
вероятность в результате измерения найти систему в состоянии, описывае-
описываемом функцией Ф^, пропорциональна
W- ~ \C- 2 И 21)
Если мы используем "правильную" нормировку вероятностей:
п
\J Wi = 1, ИЛИ \_. I Сг | — 1 ?
i г=1
то вместо C.21) следует писать
Wi = \Ci\2. C.22)
Таким образом, коэффициенты Ci можно рассматривать как альтер-
альтернативное представление волновой функции, в котором рассматривается
не пространственное (координатное) распределение вероятности, а распре-
распределение вероятностей по состояниям г. При этом можно утверждать следу-
следующее. Если выбранный набор состояний является полным в том смысле,
60 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
что в данной группе никаких иных состояний быть не может; то
|2^ = ^|С4|2. C.23)
В математике это равенство известно как равенство Парсеваля.
В качестве примера, иллюстрирующего сказанное, заметим, что коэф-
коэффициенты Фурье-разложения обычной волновой функции
d3P =ф(г),
1K V h
= о(р)
дают одно из представлений волновой функции: а(р) есть волновая функ-
функция в ^-представлении. В частности, состоянию с определенным импуль-
импульсом ро отвечает волновая функция а(р) = BтгЙKФ0^(р — Ро): она есть
альтернативное представление плоской волны де Бройля Ф = Ф0егроГ^
(временной множитель для краткости опущен).
Из равенства C.23) можно получить одно важное соотношение, позво-
позволяющее находить коэффициенты С г. Используя представление C.20), пе-
перепишем C.23) в виде
\ г / г
г=1
Сравнивая начало и конец этой формулы, получаем
Сг= f*J*dV. C.24)
Итак, чтобы найти "вес" г-го состояния С{ в полной волновой функции
достаточно вычислить интеграл C.24).
Наконец, установим одно важное свойство волновых функций Ф^. Для
этого перепишем соотношение C.24), воспользовавшись равенством C.20):
dV.
к ' /
Ввиду произвольности коэффициентов Ci отсюда сразу заключаем, что
= 5ik, C.25)
где Sik — единичный символ Кронекера, равный нулю при г ф к и единице
при г = к (в случае непрерывного спектра состояний г этот символ нужно
понимать как ^-функцию).
3.3. Усреднение 61
Равенство C.25) выражает свойство ортогональности волновых функ-
функций различных состояний. Это свойство хорошо известно в оптике: при
сложении некогерентных волн, т. е. волн, отличающихся частотой, интен-
интенсивность равна сумме интенсивностей складываемых волн:
1 = {Аг + А2J = W + {МJ = h + h, C.26 a)
интерференционный же член обращается в нуль:
2А1А2=0. C.266)
3.3. Усреднение
Введем теперь понятие среднего значения. Теория вероятности опреде-
определяет среднее значение какой-то непрерывной случайной величины ?, обо™
значаемое символом (?), интегралом
оо
(О = f Zw(€№. C.27)
Здесь w(?)—плотность вероятности. Величина w (?) d? есть вероятность то-
того, что случайная величина ? заключена в пределах ? ¦+¦ ? + d?.
Как мы выяснили, по Борну
w(x) = |Ф(ж)|2 = Ф*(ж)Ф(ж). C.28)
При таком определении w(x) удобной оказалась запись среднего значения,
эквивалентная C.27):
Г
(х) = x\^(x)\2dx= Ф*(ж)жФ(ж)йж. C.29)
— оо ™
Аналогично, например,
(X)
(ж™) = I" y*(x)x
3.4. Операторы
Математический аппарат квантовой механики широко использует объек-
объекты, называемые операторами. В общем определении некий оператор L пока™
зывает, каким образом каждой функции и{х) из некоторого класса сопостав-
сопоставляется другая функция v(x). Символически это записывается следующим
образом:
Lu(x) =v(x). C.30)
62 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
Здесь под L может пониматься все, что угодно, любая операция. Например,
можно иметь в виду операцию умножения на х (L = ж), дифференцирова-
дифференцирования по х (L = д/дх), извлечения корня (L = \/~) и т. д.
Из всего многообразия мыслимых в математике операторов в квантовой
механике употребляются как правило операторы только одного класса —
так называемые линейные самосопряженные (иначе говоря, эрмитовы) one™
раторы.
Оператор называют линейным, если он обладает тем свойством, что
L(ciu\ + с2и2 + с3и3 + ...)= ciLui + c2Lu2 + c3Lu3 + ..., C.31)
где ci, C2, сз,... — произвольные постоянные, а щ9 и2, и3,... — произ-
произвольные функции. Ограничение только линейными операторами вытекает
из принципа суперпозиции состояний. Ясно, что свойство линейности опе-
оператора означает, что его применение к суперпозиции волновых функций
эквивалентно суперпозиции результатов применения этого же оператора к
каждой из волновых функций порознь.
Оператор L+ называется эрмитово сопряженным оператору L, если
\u\{Lu2)dV = {{L+mfu^V, C.32)
где интегрирование распространено по всей разрешенной области измене-
изменения переменных. Очевидно свойство (Ь+)+ = L.
Линейный оператор называется самосопряженным (или эрмитовым),
если L+ = L, т. е. имеет место равенство
u\{Lu2)dV = \(Lu1)*u2dV. C.32a)
Заметим также, что оператор L, удовлетворяющий условию ?+ = —L,
называется антиэрмитовым.
В качестве примера рассмотрим оператор L = —% —. Введем две ком-
dx
плекснозначные функции щ(х) и щ(х), которые дифференцируемы и удо-
удовлетворяют условию: щ^2(х) —> 0 при \х\ -^ оо. Тогда
+ ОО +СХЭ
\ и\{х){Lu2{x)\ dx = и\(х)[—г—u2(x))dx =
! V / J V dx J
— оо
+oo
(ul(x)u2(x))} dx + i I \(—ul(x))u2(x)\dx =
J J LV dx / J
o
+OO
u2(x))dx=\(Lu1(x))u2(x)dx.
J J\ /
— оо
+ ОО +ОО
, dx
— оо —оо
=0
+ ОО
7 \ * -1
—щ(х) 1 ио.(х) I dx ¦
dx
— со
3.4. Операторы 63
Таким образом, данный оператор является самосопряженным. Заме-
Заметим, что без множителя г этот оператор уже не был бы самосопряженным
(а являлся бы антиэрмитовым).
Линейные операторы можно складывать:
имея в виду результат действия на какую-либо функцию:
L\u + L2U = Lu.
Операция перемножения операторов L\ и L\ задает оператор L = L1L2,
действие которого определяется как результат последовательного примене™
ния операторов Z/2 и L\ к некоторой функции:
L1L2U = L\{L2u).
В общем случае перемножение операторов не коммутативно (порядок
следования операторов в произведении важен), поскольку действие опера™
торов L = L\Li2 иЬ = 1/2^1 на функцию, вообще говоря, различно:
Это становится очевидным, если, например, L\ = х, L2 = d/ dx:
т / т \ d / \ , du т / т \ d / \ du
L2{LiU) = (XU) = U + X , Li{L2U) = X (и) = X .
dx dx dx dx
Нетрудно установить свойство произведения операторов относительно
операции эрмитова сопряжения:
В самом деле, с одной стороны,
u*1(L1L2u2)dV = \[(L1L2)+u1}*u2dV1
а с другой стороны,
\ul{LlL2U2)dV = \(L+ulY{L2u2)dV = f(L+
Сравнивая правые части полученных равенств, приходим к сделанному
утверждению.
Квантовая механика постулирует, что каждой физической величине /
соответствует некий линейный самосопряженный оператор /, такой, что
64 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
среднее значение величины /, найденное в процессе многократных изме™
рений, равно
= 2 • (зЗз)
В этой записи мы не предполагали, что Ф-функция как-либо нормирована,
что иногда удобно при практических вычислениях. Если же выполняется
условие нормировки C.1), то вместо C.33) мы будем иметь более простую
запись:
</)=|ф*/ФсЖ C.33 а)
Последнее соотношение позволяет понять, почему должны использо-
использоваться самосопряженные операторы. В самом деле, преобразуем C.33 а),
предполагая, что оператор / самосопряженный:
С другой стороны, произведем комплексное сопряжение в C.33 а):
</>* = f(*7*)w= f*(/*)W.
Легко увидеть, что (/) = (/)*. Это означает, что величины, опи-
описываемые эрмитовыми операторами, являются действительными. Послед-
Последнее является необходимым условием, предъявляемым к физическим
величинам.
3,5. Собственные значении и собственные функции
Допустим, что физическая величина / может принимать значения fi.
Числа fi называются собственными значениями величины /. Пусть состо-
состоянию квантовомеханической системы, в котором реализуется какое-либо
конкретное значение величины /, / = fi, отвечает волновая функция
Ф = Ф^. Функции Ф^ называются собственными функциями величины /.
По своему смыслу среднее значение величины / в состоянии с волновой
функцией Ф^ совпадает с fi:
m = и
В общем случае, в соответствии с принципом суперпозиции, волновая
функция произвольного состояния может быть представлена в виде
3.5. Собственные значения и собственные функции 65
Согласно C.22) вероятность найти при измерении величины / значе-
значее fi равна W(fi) =
быть записано в виде
ние fi равна W(fi) = \Ci\ , так что среднее значение величины / может
Воспользуемся формулой C.24) для коэффициентов С?:
V^ I I vty vty* иг I / г л\ _ I m* I \ ^ f.m.fj. 1 Л1/
У i i i, - - ¦ s \ ~i i/ - Ъ I 1 1 / J Ъ Ъ ^-^ Ъ 1 ^^ ' *
C.36)
С другой стороны, запишем действие линейного оператора / на функ-
функцию C34):
" л C37)
Вспоминая определение среднего значения
и сравнивая это равенство с C.36) и C.37), заключаем, что
/Ф = ]Г/(С(Ф;. C.38)
i
Если мы изначально имеем дело с состоянием, отвечающим собствен™
ному значению fi и волновой функции Ф = Ф^, то из C.38) получим
М = /»*». C39)
Это означает, что действие оператора / на волновую функцию Ф^ сводится
к умножению на собственное значение fi.
Равенство C39) можно прочитать и иным образом: зная заранее вид one™
ратора / и решив уравнение C39) с определенными краевыми условиями,
можно найти как собственные значения fi, так и собственные функции Ф^.
Нетрудно убедиться, что в состоянии, отвечающем собственной функ™
ции Фг оператора /, среднее значение совпадает с соответствующим соб-
собственным значением оператора /. В самом деле, полагая Ф = Ф^ и исполь-
используя определение среднего C33), получим
(Здесь не предполагалось, что волновая функция нормирована).
66 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
Итак, по одному постулату квантовой механики каждой физической
величине ставится в соответствие некоторый оператор, позволяющий с по-
помощью интеграла C.29) определить среднее значение этой величины.
Другой постулат квантовой механики утверждает, что те соотношения,
которые классическая механика знает для макроскопических физических
величин, верны как соотношения между квантовомеханическими средними
значениями. На языке алгебры операторов это означает, что классические
соотношения должны выполняться для операторов соответствующих вели-
величин. Этот постулат эквивалентен принципу соответствия Н. Бора, является
его другой, но полностью равноправной формулировкой.
Второй постулат дает нам возможность написать все нужные операторы,
если только не забыты классические соотношения.
Найдем вид некоторых важнейших операторов.
Начнем с оператора импульса. Как мы уже знаем, состояние микроча-
микрочастицы с определенным импульсом описывается волной де Бройля
= Фоехр[1(рг-
Легко проверить, что
ЭФ г
рж, или - ih—
дх h дх
Аналогичные равенства выполняются и для остальных координат. В ре-
результате можно записать
= рФр, C.40)
где мы использовали векторный оператор "набла"
V = iA+jA+kA. C.41)
дх ду dz
Сравнивая C.40) и C.39), можно заключить, что оператор импульса
имеет вид
р = -iW. C.42)
Как было сказано выше, собственные функции можно найти исходя из
вида оператора. Для примера решим одну такую обратную задачу: найдем
Ф-функцию состояния, в котором импульс частицы имеет определенное
значение р. Для импульса в соответствии с C.42) уравнение C.39) в одно™
мерном случае записывается как
-ih™=px9.
дх
Решение этого уравнения очевидно:
3.5. Собственные значения и собственные функции 67
Мы получили плоскую волну де Бройля, как и должно быть. Обобщение
на трехмерный случай не представляет труда.
Теперь установим вид оператора кинетической энергии. Для движения
вдоль оси х кинетическая энергия Т частицы массы m связана с импуль™
сом рх, как это хорошо известно, формулой
2
пп = Рх
2т'
Соответственно для оператора кинетической энергии получаем выражение
f=^ = — (-ih—) (-ih—) = -^-^-. C.43)
2m 2m V дх J \ дх J 2m дх2
Здесь pi = (рхJ — это квадрат оператора, т. е. последовательное двукрат-
двукратное применение оператора рх к функции: р^Ф = рж(ржФ). В трехмерном
случае оператор кинетической энергии записывается следующим образом:
Т = — = —{pi+pt +Р2г) = ——А, C.44)
2т 2т 2т
где А = V2 — оператор Лапласа, или лапласиан, имеющий в декартовых
координатах вид
А = — + — + —. C.45)
дх2 ду2 dz2
Из формулы для среднего значения координаты C.27а) вытекает, что
оператор координаты есть сама координата:
х = х. C.46)
Отсюда, в соответствии со вторым постулатом, немедленно следует, что
оператор любой функции координаты есть сама эта функция. Поэтому для
потенциальной энергии U = U(ж, у, z\ являющейся функцией координат,
имеем
U = Щх, у, z). C.47)
Наконец, для полной энергии Н = Т + U получаем
H = f + U = -^-A + U(x,y,z). C.48)
2m
В механике энергия системы Н9 выраженная через координаты и импульсы,
носит название функции Гамильтона. Соответствующий квантовомехани-
ческий оператор называется оператором Гамильтона или гамильтониа-
гамильтонианом.
Помимо рассмотренных операторов полезным оказывается оператор
полной энергии, который формально можно ввести следующим образом.
Используем выражение для волны де Бройля, описывающей состояние с
определенной энергией:
^ = А Гфоехр \-(рг-Et)]) = --ЕФ, или г!г— = ?"Ф.
dt dt \ Ih J/ h ' dt
68 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
Отсюда на основании C.39) заключаем, что
E = ih^. C.49)
Смысл введенного оператора энергии проявляется особенно ярко тогда,
когда мы перейдем в релятивистскую область, в которой энергия и импульс
рассматриваются единообразно как компоненты 4-мерного вектора
р = (р°, р\ р2, р3) = (р0, Vx, Ру, Pz) = (Е/с, р).
Переходя здесь к операторам, получим р = (ро, Рж? Ру> Pz) = {Е Iс, р).
При этом
-щ- д (.*- д ч-т-Л <-? • *- о* f -f~ д -
р- = ^д— = ^/г—, mv , р = гд— = гд—, —г
dxi \ cdt J dxi V сЖ'
Однако даже в нерелятивистской ситуации использование оператора Е
может оказаться полезным, позволяя установить некоторые закономерно-
закономерности.
По ходу дальнейшего изложения нам понадобится оператор момента
количества движения (момента импульса или углового момента) L. Оттал™
киваемся, как и выше, от классического выражения для момента L = rxp
как векторного произведения. -^ Компоненты этого вектора равны
Lx =ypz- zpy, Ly = zpx-xpz, Lz = xpy-ypx. C.50)
В соответствии со вторым постулатом, рассматривая это равенство как one™
раторное, получаем
L = г х р = -ih(r х V). C.51)
Компоненты этого символического (операторного) вектора равны
Lx = —ih I у— — z—
\ dz ду
I) ' Cв52)
д Х
Lz = ^ih x— — у
у ду дх
При решении ряда задач бывает полезно перейти от декартовых ко-
координат {ж, |/, z} к сферическим {г, <^, в}9 где г — радиус-вектор, в —
широтный угол (угол места), а (р — долготный угол (азимут) - см. рис. 3.1:
х = г sin в cos (р^ у = г sin в sin <?>, z = r cos 61. C.53)
этом параграфе мы обозначаем векторное произведение символом "х".
3.5. Собственные значения и собственные функции
69
Во многих задачах выделенным направлением считают ось z. Соот-
Соответственно важную роль приобретает z-компонента момента импульса Lz.
Перепишем оператор, отвечающий этой ком™
поненте углового момента, в сферических ко-
координатах, для чего произведем замену пере-
переменных в операторе Lz по формулам C.53).
Здесь, однако, удобнее провести вычисления
в обратном направлении:
д dxd.dyd.dzd
dip dip дх dip ду dip dz
- - — + — - --L
дх ду ih
Таким образом, получаем
Lz = -ih-
Рис. 3.1. Декартовы и сфери-
C.54) ческие координаты
Приведем еще без вывода оператор квадрата момента импульса:
L2=Li
д ( • п д
Sin б—
V дО
C.55)
sin2 0 dip2
Здесь уместно провести параллель с выражением для кинетической
энергии, которое может быть разбито на два слагаемых: одно отвечает
радиальному движению частицы, а второе — вращению вокруг центра с
заданным значением момента импульса L:
гр = Р * = Ру
2т 2т
L2
2тг2'
Перейдем здесь к операторам:
f = -—A = -—l
2m 2m
2тг2
C.56)
C.57)
В этом выражении мы разбили лапласиан на радиальную и угловую части:
1 д2
а 1 д f 2 д\ . 1 \ 1 д f . пд
А = rz— +^ sin0—
2 \ ) 2 V
г2 дг
дг
ятвдв
дв
зш2 в dip2
C.58)
Вернемся теперь снова к существу вопроса. В квантовой механике фи™
зические величины связываются друг с другом операторными равенствами,
70 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
а не числовыми. Возьмем для примера гамильтониан Н = Т -\-U(r)9T =
= p2/2m. Мы не можем, однако, записать числовое равенство для полной
энергии, подобное тому, которое имеет место в классической механике:
Е = H(pj г), хотя бы потому, что в квантовой механике невозможно одно-
одновременно точно измерить координату и импульс, определяющие величину
этой энергии. Но если мы вычислим среднее
(Е) =
(Н) =
2m J \ 2m /
то увидим, что из равенства операторов следует равенство средних числен-
численных значений:
(Е) = (Н) = (f) + (U).
\ 2т/
Для классических объектов, когда неопределенности координат и им-
импульсов несущественны, пренебрежимо малы, распределения вероятностей
очень узки, разброс значений пренебрежимо мал, мы можем средний квад-
квадрат заменить квадратом среднего, а среднее — самим значением. Тогда
3.6. Еще о соотношении неопределенностей
Как уже неоднократно говорилось, некоторые физические величины
не могут одновременно иметь определенные значения. Например, грани-
границы точности одновременного измерения координаты и импульса определя-
ются соотношением неопределенностей Ах Арх ~ h. С другой стороны,
кинетическая энергия и импульс частицы могут одновременно принимать
определенные значения. Возникает вопрос: есть ли способ заранее, без
сложных вычислений, установить, могут ли какие-либо две физические
величины иметь одновременно определенные значения или для них суще-
существуют некоторые соотношения неопределенностей?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам понадобится объект, называемый
коммутатором операторов. Пусть имеются два оператора Аш В. Тогда их
коммутатором называется оператор
К= [А, В] =АВ^ВА. C.59)
Операторы, коммутатор которых равен нулю, называются коммутирую-
коммутирующими друг с другом.
Заметим, что коммутатор К = [Д В] двух эрмитовых операторов А
и В является антиэрмитовым, т. е. К+ = —К:
[i, В]+ = (АВ - ВА)+ = В+А+ - А+В+ = ВА-АВ = -[1, В
3.6. Еще о соотношении неопределенностей 71
(учтено, что А+ = А, В+ = В). Однако оператор С = i[A, В] уже является
эрмитовым (С+ = С), поскольку операция эрмитова сопряжения включает
в себя и комплексное сопряжение:
\ul(i[A, B]u2)dV = \{-i[A,B]+u1yu2dV = \{г[А, B}Ul)*u2dV.
одновременно иметь определенные значения, то коммутатор их опера-
операторов равен нулю.
Доказательство этой теоремы достаточно простое. В самом деле, пусть
величины А и В одновременно измеримы. Рассмотрим какое-либо состоя™
ние, в котором эти величины имеют определенные значения. Пусть этому
состоянию отвечает волновая функция Ф. Как было показано выше, для
этой функции и операторов А и В справедливы соотношения
Аф = аф, лф = вф.
Тогда коммутатор определится из следующих равенств:
[А, В]Ф = А(ВФ) - В(Аф) = А(ВФ) -
- АШ = (ВА - АБ)Ф = О,
откуда и следует, что [А, В] = 0.
Если коммутатор отличен от нуля, то такие величины не могут иметь
одновременно определенные значения. В задаче 12 в разделе "Семинар" по-
казано, как установить вид соотношений неопределенностей, если известен
коммутатор операторов.
Найдем коммутаторы некоторых операторов.
Предварительно заметим, что любой оператор А коммутирует сам с
собой, а также с оператором Ап, равным n-й степени самого оператора А.
Получим коммутатор операторов координаты и импульса:
[ж, рж]Ф = ж(ржФ) - Рх(^Ф) = х (-ih—y&\ - (-ih—\ (жФ) = гШ.
\ дх / V дх/
Следовательно,
[ж, рх] = ih. C.60)
Мы уже знаем, координата и импульс одновременно не измеримы, что
и проявляется в существовании их ненулевого коммутатора.
Коммутатор операторов импульса и кинетической энергии равен нулю:
[f, р]Ф = ^(рФ) - р f—ф) = 0,
2т \ 2т /
поскольку оператор импульса есть (с точностью до постоянного коэф™
фициента) просто оператор дифференцирования, оператор кинетической
72 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
энергии пропорционален квадрату оператора импульса, а результат диффе-
дифференцирования не зависит от порядка, в котором производится дифферен-
дифференцирование по различным переменным. Нулевой коммутатор означает, что
импульс и энергия могут быть иметь одновременно определенные значе-
значения, что, впрочем, было очевидно заранее из формул, связывающих эти
величины.
Приведем без вывода коммутаторы для вектора момента импульса:
[LX1 Ly] = ihLz, [Ly, Lz] = ihLx, [Lz, Lx) = ihLy. C.61)
Кроме того, все компоненты момента коммутируют с оператором квадрата
полного момента:
[V,Lx] = \L2,Lv] = [t2,Lz]=0. C.62)
Равенства C.61) и C.62) означают, что определенные значения одновремен-
одновременно могут иметь полный момент и одна и проекций; две же другие проекции
остаются при этом неопределенными.
3.7. Уравнение Шредингера
Перейдем теперь к построению уравнения для Ф-функции. Мы бу-
будем исходить из уравнения C.39), являющегося, так сказать, "рецептурно"
значимой сердцевиной всей системы постулатов. Важность этого уравне-
уравнения подчеркивается еще и тем обстоятельством, что оно позволяет найти
Ф-функцию при определенном значении физической величины. В реаль™
ной практике такой определенной, постоянной физической величиной ча-
часто является полная энергия системы. Как известно, замкнутая, ни с чем
не взаимодействующая система сохраняет свою энергию.
Класс систем с постоянной энергией очень важен, и их Ф-функции
можно найти с помощью уравнения C.39), переписав его соответствующим
образом:
ЯФ = ЯФ. C.63)
Уравнение C.63), которое мы получили из более общего уравнения
C.39) заменой оператора произвольной функции / гамильтонианом Н9 на-
называется уравнением Шредингера. Оно играет в квантовой механике ту же
роль, что и уравнение Ньютона в классической механике. Найденная при
решении этого уравнения Ф-функция дает ответ на вопрос о возможных
состояниях системы с заданным значением полной энергии Е.
Уравнение C.63) имеет простую аналогию в классической механике.
Пусть (р, q) — совокупность обобщенных координат и импульсов, описы-
описывающих состояние системы. Тогда если потенциальная энергия не зависит
от времени, то на траектории системы {#(?), p(t)} функция Гамильтона
должна принимать постоянное значение, равное энергии этой системы:
Н(р, q) = Е,
3.7. Уравнение Шредингера 73
что представляет собой классический аналог уравнения C.63).
В явном виде уравнение Шредингера записывается как
?- + U(r)) Ф = ЯФ, C.64)
2т /
или, что эквивалентно,
Дф + ^[? _ С/(г)]Ф = 0, C.65)
Я2
<92 <92 92
где Е — полная энергия, а А = — + — + лапласиан.
дх2 ду2 dz2
В отличие от уравнения Ньютона, уравнение Шредингера является
не просто дифференциальным уравнением, а уравнением в частных произ-
производных. Такие уравнения, к сожалению, в большинстве случаев не реша-
решаются аналитически.
Здесь необходимо подчеркнуть, что уравнение Шредингера C.65) реша-
решает так называемую стационарную проблему, когда силовое поле от времени
не зависит. Поэтому его часто называют уравнением Шредингера для ста-
стационарных состояний или стационарным уравнением Шредингера. Чтобы
сформулировать более общее уравнение, описывающее также нестацио-
нестационарные состояния, воспользуемся алгеброй операторов.
Как мы уже знаем, оператор энергии частицы имеет вид Е = ih—.
dt
Выше мы фактически заменяли Е —> Е, имея в виду, что рассматривается
состояние, в котором энергия имеет определенное значение. Теперь же
мы должны явно использовать оператор Е, если допускается, что энергия
частицы может принимать не одно, а много различных значений.
В классической механике мы имели равенство: Н(р, g, t) = Е.В кван-
квантовой механике это соотношение следует рассматривать как операторное
равенство Е = Н9 что приводит к уравнению
it™- = ЯФ C.66)
или, подробнее, к уравнению
C.67)
Это уравнение называется уравнением Шредингера для нестационарных
состояний (или, кратко, нестационарным уравнением Шредингера).
Отметим одно принципиально важное обстоятельство, касающееся сфор-
сформулированного уравнения. Это дифференциальное уравнение, содержащее
производную по времени первого порядка. В соответствии с теорией диф-
дифференциальных уравнений для нахождения его решения для всех моментов
t > О необходимо иметь единственное начальное условие: Ф(г, t )|t=0 —
= Фо(г). Тем самым данное уравнение удовлетворяет упомянутому выше
74 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
требованию: состояние системы в произвольный момент t > 0 (т. е. волно-
волновая функция Ф(г, t)) полностью определяется ее состоянием в начальный
момент (т. е. волновой функцией Ф(г, 0)).
Во многих руководствах и курсах ощущается стремление "вывести" это
уравнение. На самом деле оно ниоткуда не выводится, как не выводится
и уравнение Ньютона. По сути своей, уравнение Шредингера является эм-
пирическим обобщением большого масштаба и, как таковое, оно должно
полностью охватывать все известные нам данные о физических процессах
в микромире. И если оно правильно, то должно верно предсказывать новые
явления. Это уравнение (его иногда еще называют волновым уравнением)
было найдено Шредингером в 1926 г. Оно полностью подтверждается всем
огромным материалом атомной физики, физики микромира.
В разделе "Дополнение" дан вывод уравнения, принадлежащий самому
Шредингеру и основанный на аналогии уравнений механики и оптики.
Обратимся теперь к записи уравнения Шредингера в виде C.66). Здесь
надо подчеркнуть очень важное обстоятельство — наличие мнимой еди-
единицы перед производной волновой функции по времени <9Ф /dt. В класси-
классической физике уравнения первого порядка по времени не имеют периоди-
периодических, колебательных решений. Они всегда описывают какие-то необра-
необратимые процессы релаксационного типа. Уравнение Шредингера, благодаря
мнимости коэффициента при производной по времени, может давать перио-
периодические решения, даже будучи уравнением первого порядка. Но волновая
функция при этом оказывается, вообще говоря, комплексной величиной.
Этот факт мы уже обсуждали выше, изучая свойства волновой функции.
Если внешнее поле U не зависит от времени, т. е. в стационарных усло-
условиях, уравнение Шредингера C.66) принимает вид
эмг^ ? t)] C 68)
dt
где оператор Н не зависит явно от времени и действует только на функ-
функции от координат. Это позволяет провести разделение переменных г и t.
Представив Ф(г, t) в виде
Ф(г, t) = /(*)Ф(г), C.69)
и подставив это в C.68), получаем
. C.70)
dt
Разделив почленно это уравнение на Ф(г, t) из C.69), получим
ч- 1 df(t) 1 Т\ж/ ч
%h ^ = —яф(г).
f(t) dt Ф(г)
В этом равенстве левая и правая части зависят от разных независимых
переменных — времени и координат. Поэтому для того, чтобы равенство
3.7. Уравнение Шредингера 75
выполнялось тождественно, необходимо, чтобы левая и правая части были
постоянными. Обозначая
lhj_dm=E C71)
получаем постулированное выше уравнение Шредингера для стационарно™
го случая (см. C.63)):
ЯФ = ЕФ. C.72)
Решение уравнения C.71) хорошо известно:
f(t) = const -e-iEtlh. C.73)
Тогда
Ф(г, t) = Ф(т)е-*т/п, C.74)
где Ф(г) есть решение стационарного уравнения C.72).
Следует подчеркнуть тот важный вывод, что Ф-функция стационарного
состояния, т. е. состояния с определенным значением энергии Е9 гармони-
гармонически зависит от времени, осциллируя с частотой
ш = Е/К. C.75)
Иными словами, здесь выполняется известное соотношение Е = Ни, что,
конечно, не случайно.
Наконец, обратим внимание на следующее. Уравнение C.72) для функ-
функции Ф(г) есть уравнение с действительными коэффициентами. Оно обычно
"снабжается" граничными условиями, также не содержащими комплекс™
ных величин. Поэтому, если мы имеем дело с финитным движением, т. е.
движением в ограниченной области пространства, то функцию Ф(г) всегда
можно считать действительной. Это общее утверждение, которое можно
сформулировать так: волновые функции стационарных состояний финит™
ного движения можно выбрать в действительной форме. Подчеркнем, од-
однако, что это относится только к координатной части Ф(г) полной волновой
функции Ф(г, t) в C.74). Если же движение инфинитно, то в общем слу-
случае функцию Ф(г) нельзя считать действительной; пример тому — плоская
волна де Бройля.
Пусть потенциальные поля отсутствуют, а частица имеет энергию Е.
Для этого случая мы можем воспользоваться представлением волновой
функции в виде C.74), в котором функция Ф(г) удовлетворяет стационар-
стационарному уравнению Шредингера
?^ 0. C.76)
Ф 0.
h2
Полагая, что импульс частицы имеет определенное значение, запишем
Ф(г) = Фоегрг^ C.77)
76 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
Такая функция удовлетворяет уравнению C.76). Подстановка C.77) в C.76)
дает связь энергии и импульса:
#=—, или р = \/2тЕ. C.78)
2т
Никаких других ограничений на допустимые значения вектора импуль-
импульса р нет. Соответственно в пространстве, свободном от полей, стационар-
стационарное решение уравнения Шредингера можно представить как суперпозицию
состояний с определенными значениями импульсов, отличающихся лишь
направлением, но не величиной:
Ф(г, t) = ехр (-if*) [/(р)ехр (TL) Ъ C.79)
где /(р) = <р(рN(р - лДтЕ).
В частности, в случае волны распространяющейся вдоль оси ж в поло-
положительном направлении,
Ф(ж, t) = Фо ехр \^ - —1 , р = у/2гпЁ. C.80)
Частицы с такой же энергией, но распространяющиеся в обратном направ-
направлении, описываются волновой функцией
Ф(х, t) = Фоехр [-^ - —1 , р= л/2^Е. C.81)
L h h J
Суперпозиция этих двух состояний имеет вид стоячей волны:
Ф(ж, t) = 2Ф0 (-—1 cos f ^) , р = л/2тЕ. C.82)
Приведем также более сложный случай, когда все направления импульса
в суперпозиции равновероятны. Это означает, что в формуле C.79) нужно
положить (f(p) = const = (ро. Учтем также, что в сферических координатах
d3p = p2dpdQ. Интегрирование по dp в C.79) выполняется следующим
образом:
5(р - у2тЕ) ехр l-Z-)dp = (po exp -^
V h J \ h
)p po p
V h J \ h /
р=\/2тЕ
3.8. Стационарные состояния 11
В результате мы получаем
Элемент телесного угла в аксиально-симметричном случае можно предста-
представить в виде dCl = 2тг sin в d6, если выбрать в качестве оси направление
радиус-вектора г. Тогда, произведя замену pr = рт cos 6, нетрудно вычис-
вычислить оставшийся интеграл по направлениям вектора импульса:
Ф(г, t) =^оехр (-***) ^^ [exp (^ costf) 27rsin0d0 =
v ' ; ^ F V п ) BЬK J V h )
iTr ( iEt\ sin (pr/h) /o 7-, /o ООЛ
= Wq exp —— v ; , p = \/2mE. C.83)
Здесь для краткости обозначено Фо — ^о —-— • Это решение представляет
2тг21г3
собой сферически-симметричную волну, амплитуда которой убывает с рас-
расстоянием как г^1, причем во всех точках (включая начало координат г = 0)
волновая функция остается конечной.
Подчеркнем, что ни соотношение C.82), ни соотношение C.83) не опи-
описывают состояния с определенным импульсом: таковым является только
состояние, описываемое плоской волной де Бройля, сохраняющей неиз-
неизменный вид во всем пространстве и во все моменты времени.
3.8. Стационарные состояния
Уточним теперь понятие стационарности, которое выше мы использо-
использовали, опираясь на интуицию.
В физике стационарным называется состояние, которое в определенном
смысле неизменно во времени. Например, не меняется положение части-
частицы, не меняется поток жидкости в каждой точке и т. д. По аналогии с
классической физикой в квантовой механике стационарным называется та-
такое состояние системы, в котором все вероятности не зависят от времени.
Иными словами, от времени не должна зависеть величина | Ф | . Если волно-
волновая функция отвечает состоянию с определенной энергией, то она зависит
от времени по закону C.74). При этом, очевидно, условие стационарно-
стационарности выполнено: <9|Ф|2/Ш = 0, хотя, подчеркнем еще раз, сама волновая
функция Ф от времени зависит явно.
Очевидно, что стационарные состояния могут возникать только в том
случае, если внешние условия неизменны во времени, т. е. от времени не за-
зависит, в частности, потенциальная энергия. Этого, однако, не достаточно.
Имеет место утверждение: если состояние системы есть суперпозиция
78 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
состояний с разными энергиями, то такое состояние не является стационар™
ным даже при неизменных внешних условиях (другими словами, суперпо-
суперпозиция стационарных состояний в общем случае уже может не являться
стационарным состоянием!). В самом деле, найдем для примера распре-
распределение вероятностей в случае суперпозиции двух состояний с разными
энергиями:
o-iE2t/h
|#2(r)|cos р - El)t - а] . C.84)
Здесь мы записали Фх (г) = |Ф]_(г)| еШ1 и #2 (г) = |Ф2 (г) | ега'2,а = а2—скь
причем фазы а\ и а2 могут зависеть только от координат, но не от времени.
Кроме того, мы воспользовались формулой |а + Ь| =Н -\-\b\ +2Re(a*6).
\
Из формулы C.84) видно, что при Е\ ф Е2 величина |Ф(г, t)\ зависит от
времени явно, осциллируя с периодом Т = 2ттН/\ Е\ ~~ Е2 |. Очевидно, что
при Е\ -^ Е2 период осцилляции стремится к бесконечности, и мы прихо-
приходим к стационарному состоянию с неизменным во времени распределением
вероятностей.
Суперпозиция состояний с различными значениями энергии может воз-
возникать как следствие каких-либо воздействий на систему. Формальным
признаком того, что рассматриваемое состояние не является стационар-
стационарным, является тот факт, что его волновая функция Ф не является собствен-
собственной функцией гамильтониана ни в начальный, ни в последующие моменты
времени: ЯФ ф E4f.
33. Расплывание волнового пакета
В качестве важного примера сказанного рассмотрим эволюцию локали-
локализованного волнового пакета в свободном пространстве. Пусть в начальный
момент был сформирован пакет с волновой функцией
Ф(г, t)|t=0 ее Ф0(г) = Фоехр [-^ + г^) . C.85)
В это выражение входит множитель ехр (грог/К), отражающий тот факт,
что центр пакета (находящийся в начальный момент в точке г = 0) движется
со скоростью v = ро/т. В этом нетрудно убедиться, вычисляя скорость:
v = ?, Plr=o = ^~ (Рфо)|г=о = Ро.
3.10. Плотность потока вероятности и закон сохранения числа части 79
Уравнение Шредингера в свободном пространстве имеет вид
гЙ^=ЯФ, Я=^ = ^^А. C.86)
dt 2т 2т
Заметим, что начальное состояние C.85) не является собственной функцией
не только гамильтониана, но и оператора импульса. Поэтому оно содержит
волны, распространяющиеся с различными скоростями (как фазовыми, так
и групповыми). Как следствие волновой пакет будет расплываться. Нашей
целью будет найти, по какому закону это происходит. Фактически мы долж-
должны найти решение уравнения Шредингера C.86).
Подробное решение уравнения дано в задаче 13. Здесь же мы приведем
окончательный ответ.
Распределение вероятностей нахождения частицы дается формулой
W - \Щ2 = Ф§-?- ехр РГ-"У) . C.87)
Здесь введено обозначение
5(t) = Syjl + (Ы/mS2J, 5@) = 5. C.88)
Из формулы C.87) видно, что волновой пакет равномерно движется со
скоростью v = ро/т и при этом в собственной системе отсчета расплы-
вается. Эффективная ширина пакета растет по закону C.88) с характерным
временем т = тб2/ft, причем чем меньше начальная ширина пакета, тем
быстрее он расплывается. Для оценки скорости расплывания возьмем в
качестве начального размера электрона его комптоновскую длину волны
5 ~ Д = h/mc « 3,86 • 10™и см. Тогда для времени т следует оценка г ^
~ h/mc2 ~ 10~21 с. Полученный результат подтверждает сделанное ранее
утверждение о том, что "волновая" интерпретация локализованной частицы
как цуга волн, волнового пакета, неверна вследствие быстрого расплывания
пакета.
Итак, волновой пакет — суперпозиция состояний с определенной энер-
энергией (т. с. стационарных состояний) — ведет себя даже в отсутствие внеш-
внешних полей явно нестационарно: он перемещается в пространстве, одновре™
менно увеличивая свою ширину.
3.10. Плотность потока вероятности и закон сохранения
числа частиц
Уравнение Шредингера
ih^L = ( р!_ + [/(г, t)) Ф C.89)
dt \2m J
80 Гл. 3. Волновая функция, операторы, уравнение Шредингера
описывает поведение частиц в потенциальных полях. При этом частицы
могут как угодно перемещаться, менять свой импульс, но они не исчезают.
Этот факт отражается законом сохранения, непосредственно вытекающим
из уравнения C.89). Покажем, как это получается. Рассмотрим уравнение,
полученное из C.89) применением операции комплексного сопряжения:
~ih— =(— + U(r, t)) Ф*. C.90)
dt \2т J
Умножим почленно уравнение C.89) на Ф*, а уравнение C.90) — на Ф.
Вычитая почленно полученные равенства, найдем
*^ + Ф^) = Ф* (*?- + [/(г, t)W - Ф (*1 + U(r, t)) Ф*.
at dt J \2m V 4 \2m V V
C.91)
Левая сторона равенства приводится к виду гп^——. Правая же сторона
dt
преобразуется следующим образом:
Ф* f-Hi + C/(r, t)W - Ф (?- + [/(г, t)) Ф* = Ф*^Ф - f^-f* =
\2m У \2m У 2m 2m
= - — (Ф*АФ - ФАФ*) = - — У(Ф*УФ - ФУФ*) = -г/idivj ,
2т 2т
где введено обозначение
j = — (Ф*?Ф - Ф?Ф*). C.92)
2т%
В итоге равенство C.91) принимает следующий вид:
— +divj=0, C.93)
dt
где для краткости мы ввели естественное обозначение w = |Ф| для вели™
чины, пропорциональной плотности вероятности.
Мы получили закон сохранения C.93), имеющий тот же вид и тот же
смысл, что и закон сохранения заряда в электродинамике: др/dt + div j = 0,
в котором величина р имеет смысл плотности заряда, а величина] = р v —
плотности тока. По аналогии величину j в C.92) называют плотностью
потока вероятности.
Соотношение C.93) можно переписать в интегральной форме:
d {
— w
dt J
dV = - cb jdS. C.94)
S(V)
3.10. Плотность потока вероятности и закон сохранения числа части 81
В этой форме смысл найденного закона сохранения почти очевиден: изме-
изменение вероятности нахождения частицы в объеме V равно полному потоку
вероятности через поверхность S(V)9 ограничивающую этот объем.
Выясним вид плотности потока j для случая, когда волновая функция
имеет вид плоской волны де Бройля: Ф = Фо ехР ( — — -— ) • Подставляя
это выражение в C.92), найдем
j = WR. = wv. C.95)
т
Это типичное соотношение, связывающее плотность потока j какой-либо
величины (в нашем случае — плотности вероятности w) с самой этой вели™
чиной и скоростью потока. В этой связи отметим, что структура выражения
C.92) становится более наглядной, если его переписать в операторном виде:
j = — [Ф*(рФ) + Ф(рФ)*] = Re Гф*^ф1 . C.96)
2т L m J
Выражение C.95) отсюда следует как очевидный частный случай.
ГЛАВА 4
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ БАРЬЕРЫ
"КбаръеруХ"
(Л. Толстой. Война и мир)
В предыдущей главе мы сформулировали уравнение Шредингера, опи-
описывающее поведение частицы в потенциальном поле. В этой главе мы рас-
рассмотрим некоторые достаточно простые, но вместе с тем принципиально
важные задачи, иллюстрирующие квантовомеханические закономерности.
Мы будем здесь изучать только стационарные состояния, т. е. состояния
с определенной энергией, для которых временная зависимость Ф-функции
имеет вид ~ exp (—iEt/h). Поскольку этот множитель не войдет в выраже-
выражения для распределения вероятностей, мы его будем в дальнейшем опускать,
считая Ф = Ф(г). Ограничимся также одномерным случаем, когда все вели-
величины зависят только от одной координаты. В принятых условиях исходное
уравнение Шредингера может быть записано в виде
+ %[E-U(x)]* = 0. D.1)
dx1 hl
4.1. Прохождение частицы через потенциальный барьер
Начнем с простейшего случая, когда барьер имеет вид прямоугольной
ступеньки (рис. 4.1):
Г 0, х < О,
U(x) = I D.2)
1 } [ С/о, x>0. l }
Пусть частицы с энергией Е налетают на барьер слева. Если бы работали
законы классической физики, то при условии Е > Щ частицы свободно
проходили бы над барьером, лишь меняя свою скорость, а при условии Е <
< U® они отражались бы назад. Посмотрим, что происходит с частицами,
следующими законам квантовой механики.
Предположим сначала, что энергия частицы больше высоты барьера,
Е > С/о. Мы имеем две области, в которых потенциальная энергия посто-
постоянна, и, следовательно, для которых уравнение Шредингера может быть
решено точно. Полагая
Г *i(#) при х < О,
Щх) = 1 D3)
] Ф2(ж) при х > О,
4.1. Прохождение частицы через потенциальный барьер
83
запишем уравнение D.1) для двух характерных областей:
1 h2 '
Введем обозначения
h2
h2
В рассматриваемом сейчас случае q2
решения уравнений D.4 а) и D.4 б) име-
имеют вид соответственно
V1(x)=a1eikx + b1e-ikx, D.6 а)
D.4 а)
D.46)
D.5)
> 0. В принятых обозначениях
Щх)
= a2eiqx
D.6 6)
Uo
В этих выражениях первые слагаемые
{а\егкх и п2ещх) описывают волны,
распространяющиеся в положительном
направлении (в сторону х —>• +оо).
Вторые же слагаемые описывают вол-
волны, распространяющиеся в обратном
направлении (т. е. в сторону х —> — оо).
ПоскольЕу по предположению исход-
исходная волна распространялась в сторону
х —> +оо, то обратные волны могут воз-
0
Рис. 4.1. Прямоугольный потен-
потенциальный барьер типа ступеньки.
Широкая стрелка показывает нале-
налетающий поток частиц
никать только вследствие отражения. Согласно теории дифференциальных
уравнений эти волны мы не можем исключить из рассмотрения без до-
достаточных оснований, т. к. иначе не сможем построить правильное общее
решение изучаемого уравнения.
Как мы уже отметили, формула D.6 б) описывает волновую функцию
частиц, уже преодолевших границу барьера. При дальнейшем распростра-
распространении наши частицы уже не встречают препятствий. Поэтому естественно
считать, что отраженной волны в этой области нет. Это дает основание по-
дожить коэффициент &2 равным нулю, так что волновая функция в области
х > 0 примет вид
V2(x)=a2eiqx. D.6 в)
Теперь учтем, что выражения D.6 а) и D.6 в) дают в действительности
выражение для единой волновой функции Ф(ж), определенной во всем
пространстве. Поэтому нужно непротиворечивым способом "сшить" эти
две части.
Получим условия сшивки волновой функции. Пусть потенциальная
энергия U(x) — кусочно-непрерывная функция, меняющаяся в конечных
пределах. Это значит, что в отдельных точках допускаются скачки U(х)
84 Гл. 4. Потенциальные барьеры
на конечную величину. Выберем какую-либо точку х®. Проинтегрируем
почленно уравнение Шрединтера D.1) по области х® — е < х < х® + е:
е
[E-U(x)]Vdx = 0. D.7)
Устремим теперь число е к нулю. Поскольку волновая функция интегриру-
интегрируема, а коэффициент перед ней [Е — U(x)] в подынтегральном выражении
конечен, то при е —> 0 интеграл обратится в нуль, и все равенство D.7)
примет вид
Ф'(жо-О) = Ф'(жо + О). D.8)
Другими словами, в тех точках, где потенциальная энергия конечна, про-
производная волновой функции непрерывна. Из непрерывности производной
следует непрерывность и самой волновой функции:
О). D.9)
Равенства D.8), D.9) выражают искомые условия сшивки волновой
функции. Они заведомо выполняются в тех точках, где потенциальная энер-
энергия U(x) непрерывна. Следует, однако, иметь в виду, что при наличии бес-
бесконечных скачков U(х) эти условия, вообще говоря, не справедливы.
Вернемся теперь к задаче о прохождении частицы над потенциальным
барьером. Применим найденные условия для сшивки функций f i и f 2
в точке х = 0:
ai + bi = a2,
D.10)
гк{а\ — Ь\) = iqa2.
Выражая отсюда коэффициенты а2 и Ь\ через коэффициент а\, найдем
2к
п'2 = п\1
* + q D.11)
h = -аь
fc + g
Удобно ввести так называемые амплитудные коэффициенты прохож-
прохождения (d) и отражения (г):
= —, г = —. D.12)
В нашем случае эти коэффициенты равны
D.13)
к + q к + q
Для практических целей большое значение имеют коэффициенты ^
г' Часто добавляют слова "по интенсивности", чтобы отличать на слух эти коэф-
коэффициенты от соответствующих амплитудных коэффициентов.
4.1. Прохождение частицы через потенциальный барьер 85
прохождения (пропускания) D и отражения R:
D = 3^s., R = ^, D.14)
где jnaA) ioTp? inpom — плотности потоков исходной {а\егкх), отражен-
отраженной (bie~tkx) и прошедшей через барьер (а2ещх) волн г\ Напомним, что
плотность потока вероятности дается формулой
j = — (Ф*УФ - ФУФ*). D.15)
2mi
Используя эту формулу, нетрудно получить явные выражения для величин
^пад? Jotp И Jnponi*
hk | 12 • hk | L 12 • % 12 / /i 1 r\
^пад = — Fl| j Jotp = — Pi | j Jnponi = — tt2| • D.16)
mm m
Соответственно для коэффициентов Re. D находим представления
D.17)
К угь ~г" C[j
Легко проверить, что выполняется закон сохранения
R + D = l, D.18)
выражающий тот факт, что в рассматриваемом процессе частицы не исчеза-
исчезают и не возникают: часть из них отражается от барьера, а оставшаяся часть
продолжает лететь в первоначальном направлении.
В рассмотренном случае классически разрешенной областью является
все пространство (^оо < х < +оо). Поэтому не удивительно, что неко™
торое количество частиц попадает в область над барьером (х > 0). Более
удивительным является наличие потока, отраженного от барьера (х < 0).
В классической механике частиц такого потока нет. Однако в квантовой
механике отраженный поток возникает точно так же, как в волновой оптике
отраженные (рассеянные) волны возникают практически всегда при на-
наличии неоднородностей среды. В действительности происхождение этого
потока связано с взаимодействием налетающих частиц с барьером (клас-
(классическим прибором), в результате чего с какой-то вероятностью возникают
состояния с различными импульсами, в том числе и с отрицательными. Это
явление называют надбарьерным отражением.
Здесь следует подчеркнуть тот факт, что состояние, описываемое вол-
волновой функцией
( a\eikx + bie^ikx. x<®.
Ф(я) = < . D.19)
^ Обозначения коэффициентов происходят от первых букв немецких слов
durchgehen — "проходить" и reflektieren — "отражать".
86 Гл. 4. Потенциальные барьеры
не является состоянием с определенным импульсом. В самом деле, опре™
деленным импульсом частицы обладают только тогда, когда их волновая
функция совпадает во всем пространстве с плоской волной де Бройля Ф =
= Фоегрг/^. Очевидно, что функция D.19) не может быть представлена во
всем пространстве в виде Ф ~ е^ж, где s — некоторое действительное
число. Она не может быть представлена и в виде суммы конечного числа
таких экспонент. Формальной причиной этого является явная зависимость
потенциальной энергии от координаты и невозможность точного одновре-
одновременного измерения координаты и импульса.
Здесь уместно обратить внимание на аналогию с задачей о прохождении
электромагнитной волной среды с переменной оптической плотностью.
Дело в том, что потенциальная энергия может рассматриваться как фактор,
меняющий эффективный показатель преломления среды. Действительно,
считая величину к волновым вектором частиц в свободном пространстве,
обозначим волновой вектор q в среде как q = пк. Тем самым вводится
эффективный показатель преломления п9 причем, согласно D.5),
п2 = 1 - ^. D.20)
Е
В случае потенциального барьера, т. е. при Щ > 0, показатель прелом-
преломления меньше единицы. Наоборот, в случае потенциальной ямы (С/о < 0)
окажется п > 1. Пользуясь данной формальной аналогией, можно перено-
переносить выводы оптики на задачи квантовой механики.
Мы исследовали случай, когда энергия частицы превышает высоту ба-
барьера: Е > Uq. Противоположный случай — Е < Щ — исследуется ана-
аналогично. Именно, для волновой функции мы имеем уравнения в двух ха-
характерных областях:
Ф'/+ fc2*i = 0, ж<0, D.21а)
Щ - /32Ф2 = 0, х > 0, D.21 б)
где введены обозначения
02 = Zn{
Решение этих уравнений можно представить в виде
#i(x) = сцегкх + he~lkx, х < 0, D.23 а)
Щх) = с2е^ж, х > 0. D.23 б)
В формуле D.23 б) мы не выписали слагаемое U2^x\ поскольку оно неогра-
неограниченно растет при х —> +оо и не удовлетворяет требованию конечности
волновой функции всюду в пространстве.
Сшивая функции D.23 а) и D.23 б) в точке х = 0 по формулам D.8),
D.9), получим
с2 = -аь h = ^аь D.24)
к+ i/3 k + i/3
4.2. Туннельный эффект 87
Далее находим коэффициент отражения:
R=
2
ai
= 1. D.25)
В соответствии с законом сохранения D.18) отсюда следует D = 0, т. е. ни
одна частица не проходит в запрещенную классически область.
В то же время из формул D.24) следует, что в классически запрещенной
области вероятность найти частицу отлична от нуля:
dw\x>0 - |Ф2(^)|2 dx = \с2\2 е^2/3ж dx ф 0.
Посмотрим, как согласуется этот вывод с утверждением об отсутствии
проходящего вперед потока. Найдем плотность потока вероятности в об™
ласти х > 0, используя формулу D.15). Подставляя в нее выражение для
волновой функции из D.23 б) и учитывая, что функция Ф = Фг(^) действи™
тельная, сразу находим
^(ffH. ,4.26,
В соответствии с определением D = jnpom/jnaA это и означает D = 0, т. е.
отсутствует поток частиц в запрещенную область: все частицы, падающие
на барьер, отражаются назад. Наличие потока в область х > 0 означало бы,
что имеется поглощение частиц, меняющее их общее количество в системе.
Но для этого требовалось бы дополнительно учесть какие-либо механизмы,
благодаря которым осуществляется такой процесс. Мы их не учитывали и
получили результат, очевидный заранее: как бы глубоко частицы ни по-
попадали в запрещенную область, они все равно отразятся назад, в область
разрешенную.
Наконец, отметим, что если коэффициент к имеет, как и раньше, смысл
волнового числа в свободном пространстве, то величина /3 может быть
интерпретирована как коэффициент затухания волны в среде. Здесь так-
также прослеживается полная аналогия с оптикой. Как было отмечено выше,
можно ввести показатель преломления среды (см. D.20)), причем оказы-
оказывается, что в подбарьерной области п2 < 0. В оптике это означало бы
невозможность проникновения света в среду на расстояния, превышающие
I rsj \/C = 1/(|п| к). Такое же утверждение получается и для частиц.
4.2. Туннельный эффект
Мы рассмотрели простейшую ситуацию — взаимодействие частиц с
барьером типа ступеньки (рис. 4.1). Несколько более сложным является
случай барьера конечной ширины (рис. 4.2). Остановимся на этом примере
подробнее. В предыдущем примере мы видели, что частицы могут про-
проникать в классически запрещенную область, где Е < U. Поэтому можно
Гл. 4. Потенциальные барьеры
ожидать, что в случае барьера конечной ширины часть частиц сможет выйти
из барьера, но уже с другой стороны. Имея в виду сказанное, будем изучать
прохождение частиц через барьер
О, х < О,
U(x) = { С/о, О < х < а,
О, ж > а.
D.27)
Рассмотрим ситуацию Е < Щ, причем поток частиц на рис. 4.2 летит в по-
положительном направлении оси х. Классически запрещенной здесь является
область 0 < х < а.
Щх) j
Uo
^>
1
0
2
с
3
X
1
Рис. 4.2. Прямоугольный потенциальный барьер ширины а. Широкая стрелка ука-
указывает направление налетающего потока частиц. Цифрами 1, 2, 3 обозначены три
характерные области
Запишем уравнение Шредингера для стационарного состояния с энер™
гией Е. Учтем, что имеются три характерные области: х<0,0<х<а
и х > 0. Соответственно для этих областей имеем
х < 0 : Ф7/ + кЧг = 0,
0 < х < а : Ф;2 - /32Ф2 = 0,
х > 0 : Ф? + кЧ3 = 0.
Здесь введены обозначения
D28)
h h
Решение уравнений D.28) запишем в виде
= агегкх
Ф2(ж) =
х < 0,
0 < х < а,
D.29)
D30)
х > а.
4.2. Туннельный эффект 89
Для области х > а мы оставили только волну, распространяющуюся в
положительном направлении, поскольку предполагается отсутствие в этой
области каких-либо неоднородностей, приводящих к появлению отражен-
отраженных волн. Три части в D.30) нужно сшить в точках х = 0 и х = а, используя
условия D.9), D.10). Это дает систему четырех линейных однородных урав™
нений
«1 + Ь\ = п2 + &2,
ik(ai - bi) = /3(а2 - Ь2I
D.31)
^a bfja tka
/3(a2el3a -b2e^f3a)=ika3etka1
из которой можно выразить коэффициенты 6i, a2j b2j а3 через амплиту-
амплитуду падающей волны а\. Мы приведем выражение только для амплитуды
прошедшей через барьер волны:
а3 = ^ е-ыаь D.32)
Отсюда легко найти коэффициент прохождения (пропускание):
2
D =
(к2 - /З2J ch2(f3a) + 4k2f32 sh2(f3a)
D33)
Рассмотрим частный случай этой формулы при (За ^> 1, отвечающий
широкому барьеру:
D =
2
D34)
Напомним, что величина /3 дается выражением D.29). Таким образом, чем
выше и шире барьер, тем меньшая доля частиц может его преодолеть. В
этой связи становится ясным, что непрозрачность барьера для классиче-
классических частиц обусловлена именно малостью коэффициента прохождения.
Например, для частиц массой т = 10~6г и энергией Е = 0,99 эрг ба™
рьер высотой C/q — 1ЭРГ и шириной а = 10^3 см имеет коэффициент про-
пропускания
— -у2ш(С/о — Е) а\ ~ ехр
Эта величина столь мала, что данный барьер может считаться абсолютно
непрозрачным. Однако для электрона (ш = 9,1 • Ю~28 г), преодолевающее
го барьер шириной а = 2А = 2-10^8 см, пропускание при С/о — Е =
= 1 эВ « 1,6 • 10~12 эрг составит D ~ 0,13, что уже вполне наблюдаемо.
90 Гл. 4. Потенциальные барьеры
Учитывая, что при изменении энергии экспонента меняется гораздо
быстрее, чем предэкспоненциальный множитель, можно переписать выра-
выражение D.34) для D в виде
D « Doexp \-*y/2m(Uo-E)a] . D35)
L h J
В формуле D.35) предэкспоненциальный множитель Do есть, как правило,
величина порядка единицы. Получить же экспоненциальный множитель,
оказывается, достаточно просто из следующих соображений. В самом де-
ле, если барьер широкий, то в подбарьерной области @ < х < а) волновая
функция затухает сильно, так что у правого края ее значение мало. Поэтому
отраженная от точки х = а волна пренебрежимо мала (отражаться могут
только частицы, достигшие этого края). Следовательно, всюду в подбарьер-
подбарьерной области волновую функцию можно записать в виде
Ф2 и b2e^f3x, D.36)
На расстоянии Ах = а амплитуда волновой функции уменьшится ве@а раз
и составит Ф(а) ^ Ф@)е^а. Амплитудный коэффициент прохождения
оказывается при этом равным d ~ Ф(а)/Ф@) ~ е^а, а пропускание
барьера
D = \d\2 - e~2/3a. D37)
Итак, мы установили, что частица может пройти через потенциальный
барьер несмотря на то, что ее энергия меньше высоты барьера. В клас-
классической механике этот эффект невозможен: частица должна отразиться
от барьера. Явление прохождения частицы через классически запрещен-
запрещенную область называется туннельным эффектом, поскольку оно отдаленно
напоминает прохождение поезда через туннель в горе.
Может сложиться впечатление, что в этом явлении нарушается закон
сохранения энергии. В самом деле, на языке классической механики мы
написали бы равенство
E = T + U(x). D38)
Поскольку кинетическая энергия неотрицательна, Т ^ 0, то должно было
бы выполняться условие
Т = Е^ и(х) > 0, D39)
т. е. энергия должна всюду быть не меньше высоты барьера. В то же время
в классически запрещенной области выполняется противоположное нера-
неравенство: Е — U{x) < 0, что явно противоречит D.39). Это рассуждение,
однако, является чисто классическим и не правомочно в квантовой механи-
механике: соотношение D.39) должно выполняться только для средних значений:
(Т) = Е - (U(x)} > 0. D.40)
4.3. Туннельный эффект и соотношение неопределенностей 91
Нетрудно установить, что в нашем случае (U(x)} = 0. В самом деле, по
определению квантовомеханического среднего значения имеем
оо
J 4f*{x)U
В этой формуле числитель имеет конечное значение, поскольку барьер зани-
занимает конечную область пространства (см. D.27) и рис. 4.2) и интегрирование
фактически осуществляется в конечных пределах: от 0 до а. Знаменатель
же равен бесконечности, поскольку волновая функция всюду отлична от
нуля, а на больших расстояниях от барьера описывает свободное движение
частиц, т. е. имеет конечную амплитуду. Таким образом, неравенство D.40)
сводится к равенству Е = (Т), интуитивно понятному для частиц на боль™
ших расстояниях от барьера. Локально же применять неравенство D.39) мы
не имеем права.
4.3. Туннельный эффект и соотношение
неопределенностей
Как мы видели, при туннельном эффекте имеется ненулевая вероятность
найти частицу в классически запрещенной области. Выше мы формально
показали, что закон сохранения энергии при этом не нарушается. Однако
вопрос можно поставить иначе: если частица находится в точках классиче-
классически запрещенной области, то можно ли с помощью какого-либо измерения
проверить, что энергия этой частицы в запрещенной области действительно
удовлетворяет неравенству Е <U1 Процесс измерения может радикально
изменить состояние квантовомеханического объекта. Выясним, как измере-
измерение проявится в нашей задаче. Будем для простоты считать барьер широким.
Тогда в классически запрещенной области волновая функция описывается
соотношением D.36), которое мы перепишем в следующем виде:
Ф - ехр (--) , L = - = h D.42)
Входящая сюда величина L есть характерное расстояние, на котором
должна быть зарегистрирована частица, для того чтобы уверенно говорить:
частица находится в классически запрещенной области. Эту длину следует
принять в качестве значения неопределенности координаты частицы. Тогда,
согласно соотношению неопределенностей, возникает неконтролируемый
разброс значений импульсов частицы в характерном диапазоне
Ар - - = y/2m(U-E). D.43)
92 Гл. 4. Потенциальные барьеры
Соответствующая неопределенность кинетической энергии составит
1М! „ и - Е. D.44)
2т
Это соотношение означает, что при измерении частица приобретает до-
дополнительную энергию (^ U — Е) порядка той, которой недостает для
классического (надбарьерного) движения. Таким образом, оказалось, что
зарегистрировать в классически запрещенной области значения энергии
частицы меньше высоты барьера невозможно: измерение "вышибет" ча-
стицу из барьера.
Сказанное можно пояснить иным способом, конкретизировав процеду-
процедуру измерения. Используем для измерения координаты частицы свет. Оче-
Очевидно, что для определения положения частицы с точностью ~ L необхо-
димо использовать свет с длиной волны А < L. Соответствующая энергия
фотона при этом составит
= 2ncy/2m(U - E). D.45)
Л JL
Мы рассматриваем нерелятивистский случай. Это значит, что энергия
фотона должна быть меньше, чем энергия покоя частицы: Ни < тс2 (иначе
нужно было бы последовательно учитывать релятивистские эффекты при
столкновении частицы с фотоном). В этих условиях из D.45) следует
(НиJ > 8тг2тс2(и -Е)> 8п2Пш(и - Е),
или
Пы > 8tt2(U -E). D.46)
Последнее неравенство означает, что энергии фотона с запасом хватает для
того, чтобы энергия частицы, поглотившей этот фотон, превысила высоту
барьера: Two > U — Е.
4.4. Квазиклассическое приближение
Выше для упрощения расчетов мы обсуждали только случай прямо™
угольных барьеров, когда потенциальная энергия U(x) меняла значение
только в одной или двух точках, оставаясь постоянной во всех прочих точ-
точках ^ (см. рис. 4.1 и 4.2). В природе, как правило, потенциальная энергия
меняется от точки к точке, и иногда довольно сложным образом, так что пря-
прямоугольные барьеры практически не встречаются, представляя собой идеа-
идеализацию реальной ситуации. В общем случае найти пропускание реально-
реального барьера, решая точно уравнение Шредингера, невозможно. Существуют,
г' В математике для этого случая употребляется термин "кусочно-постоянная
функция".
4.4. Квазиклассическое приближение 93
однако, различные приближенные способы решения. Один из них, широко
встречающийся на практике и называемый квазиклассическим приближе-
приближением, мы сейчас рассмотрим. Данный способ позволяет получить решение в
тех случаях, когда потенциальная энергия меняется достаточно медленно.
Соответствующий предел совершенно аналогичен тому, что имеет место
при переходе от волновой оптики к геометрической: если длина волны ма-
мала по сравнению с характерными масштабами неоднородности среды, то
выполняются законы лучевого распространения света. В квантовой меха™
пике критерий аналогичен: если де бройлевская длина волны частицы мала
по сравнению с расстояниями, на которых существенно меняется потенци-
потенциальная энергия, то мы должны перейти к законам классической механики.
Количественно этот критерий будет сформулирован дальше.
Рассмотрим уравнение Шредингера для стационарного одномерного
движения:
Ф/; + ^Ф = 0, D.47)
где классический импульс частицы р(х) введен соотношением
р2(х) = 2m[E-U(x)]. D.48)
Если бы оказалось, что U(x) = const, т. е. р(х) = const, то решение послед-
последнего уравнения записывалось бы в виде
^2e~ipx'h. D.49)
Пусть теперь функция р{х) меняется, но медленно. Будем искать реше-
решение уравнения D.47) в виде
Ф(ж) = ехр \гЗЩ . D.50)
L h J
Функция S(x) называется действием. В случае р(х) = const мы имели
бы S(x) = рх или S(x) = —рх, что соответствует волновой функции
вида D.49). Для преобразования уравнения D.47) найдем производные от
функции D.50):
Ф; = ^5;Ф, Ф/; = (is" - ^Sf2) Ф. D.51)
Подставляя выражение для Ф/; в уравнение D.47), получим
Sf2-ihSff=p2(x). D.52)
Предположим, что функция S(x) меняется медленно. С учетом этого
будем искать решение уравнения D.52) методом последовательных при-
приближений. Низшее приближение (S = So) мы получим, если примем
2 D.53)
94 Гл. 4. Потенциальные барьеры
В этом приближении из D.52) следует S'o « Р2(%), или
[x) dx. D.54)
Этому соответствует приближенное выражение для волновой функции:
Ф(ж) = Ci ехр ( - р(ж) dx) +С2 ехр -- р(ж) dx . D.55)
V^J / V hJ J
Здесь учтены оба линейно независимых решения, отвечающих знакам "+" и
"—" в D.54). Числа С\ ш С2 — произвольные константы,
в общем случае комплексные.
Данного приближения обычно достаточно для решения большинства
задач. Покажем, однако, как получается следующее приближение. Для этого
запишем S = So + Si, |Si| <C |S0|. Подставляя это выражение в D.52),
получим уравнение для поправки Si:
ih
или
Qff r^ % Of q/ (Л CfX
Здесь учтено, что \S'{\ <C |Sq \, |Si | <C |SfQ\, а также использовано равенство
SfQ = p2(x) для действия в низшем приближении. Решение уравнения
D.56) имеет вид
Si = - In Sf0 = ih In y/p(x). D.57)
Отсюда получается уточненное выражение для действия:
S(x) « ± \р(х) dx + iMn VpM- D-58)
Приближенное же решение уравнения Шредингера принимает вид
- р(х) dx ) + ^= ехр ( ^^ р{х) dx ) . D.59)
Остановимся на условиях применимости решений D.55) и D.59). Мы
считали h\S/f\ <C S/2. Используя здесь для оценки низшее приближение
Sf{x) = р(х), получаем
Щр\х)\ <р2(ж). D.60)
Введем часто используемую величину
Х(х) = * D.61)
р(х)
4.4. Квазиклассическое приближение
95
пропорциональную длине волны де Бройля. Тогда неравенство D.60) может
быть переписано в следующей форме:
dX(x)
dx
D.62)
Это неравенство означает, что длина волны де Бройля должна меняться
в пространстве достаточно медленно. Может быть, более наглядным это
условие окажется, если ввести изменение импульса частицы на расстоянии
порядка длины волны де Бройля: Ар ^ 2тг Хр f(x). Тогда неравенство D.62)
примет вид
L. D.63)
1
о'{х)
92(х)
h
р2
Ар
2тгХ
_ 1
2тг
Ар
р
Отсюда видно, что квазиклассическое приближение справедливо тогда, ко™
гда изменение импульса на расстояниях порядка длины волны де Бройля
мало по сравнению с величиной самого импульса.
Строго говоря, приближение D.59) очевидным образом неприменимо
в малой окрестности особых точек, в которых р(х) = 0, поскольку здесь
нарушается критерий D.62). Однако точная волновая функция непрерывна
и дифференцируема всегда, когда потенциальная энергия не имеет каких™
то бесконечных скачков. Поэтому мы можем исключить из рассмотрения
малые окрестности особых точек, имея в виду, что основная координатная
зависимость будет передаваться только экспоненциальными множителями.
Обратим внимание на структуру приближенного выражения D.58). Чи-
Чисто формально его можно рассматривать как первые члены разложения
действия S(x) по степеням постоянной Планка Н. Это отвечает тому факту,
что постоянная Планка отражает наличие квантовомеханических законо-
закономерностей и в уравнения классической физики не входит.
Решение D.55) справедливо для классически разрешенной области, ко™
гдар2(ж) > 0. Пусть теперь р2 (х) < 0. Обозначим
q2(x) = -р2(х) = 2m[U(x) - Е].
D.64)
Получить решение уравнения Шредингера для этого случая можно, по™
чти дословно повторив вывод формулы D.55). Очевидно, что все сведется к
замене в D.55) функции р(х) на функцию iq(x)9 что приводит к следующе-
следующему выражению для квазиклассической волновой функции в подбарьерной
области:
=В1ехр(- [q(x)dx) +В2ехр( -- \q{x)dx
D.65)
где ^i и ^2 — некоторые константы. Заметим, что в уточненном реше-
решении эти величины константами уже не являются, но они меняются много
медленнее, чем экспоненциальные множители.
Классическая частица может двигаться только в области, где р2(х) >
> 0. Точки, в которых импульс обращается в нуль, р2(х) = 0, называются
96
Гл. 4. Потенциальные барьеры
классическими точками поворота, поскольку классическая частица, дости-
гая этих точек, меняет направление движения на противоположное. Иными
словами, эти точки отделяют классически разрешенную область от класси-
классически запрещенной.
Используя приближение D.65), нетрудно получить выражение для коэф-
коэффициента прохождения через барьер произвольной формы (рис. 4.3), лишь
бы только выполнялось условие квазиклассичности D.62). Пусть классиче-
классически запрещенная область движения заключена между классическими точка-
точками поворота х = а и х = Ь. Эти точки определяются из уравнения р(х) = О
или
U(x) = Е.
D.66)
Рис. 4.3. Потенциальный барьер произвольной формы. Энергия частицы Е меньше
максимальной высоты барьера; а и Ъ — классические точки поворота. Штриховая
стрелка указывает направление движения частиц
Считая барьер широким, мы можем пренебречь волной, отраженной от
правого края (т. е. от точки х = Ъ). Тогда, согласно D.65), волновую функ-
функцию в под барьерной (классически запрещенной) области можно записать в
виде
I Г
Ф(а)ехр --
q(x) dx
D.67)
Вне барьера амплитуда волновой функции меняется относительно слабо
(поскольку отсутствует ее экспоненциально быстрое убывание). Соответ-
Соответственно мы приходим к следующему выражению для пропускания барьера:
D •
Ща)
: exp ( -- I y/2m[U(x) - E] dx ) . D.68)
Часто вывод этой формулы иллюстрируют следующим образом. Разо™
бьем весь барьер на последовательность прямоугольных барьеров, как по-
показано на рис. 4.3. Тогда число частиц, падающих на г-й барьер, равно
4.5. Сканирующий туннельный микроскоп 97
числу частиц, прошедших через (г — 1)-й барьер. Соответственно коэффи-
циент прохождения через весь барьер а < х < Ъ будет равен произведению
коэффициентов прохождения через элементарные барьеры:
Если элементарные барьеры выбрать достаточно широкими, то для нахож-
дения их пропускания можно использовать формулу D.35). В результате
получим:
п
D « ГТ Д^ехр (-ly/2m[U(xi) - Е) Агсг) =
г=1
Ъ
= Do ехр ( -- [ y/2m[U{xi) - Е] dx ) .
ft J
а
Это совпадает с формулой D.68), полученной выше более формальным
способом.
4.5. Сканирующий туннельный микроскоп
В качестве одного из приложений изложенной теории рассмотрим прин-
принцип работы туннельного микроскопа, позволяющего с высокой точностью
измерять расстояния.
Как известно, чтобы удалить электрон из металла, нужно затратить
определенную энергию, называемую работой выхода. Пусть имеется ме-
металлический (проводящий) образец с относительно ровной поверхностью.
Обозначим работу выхода из него А^. Для точного определения формы
поверхности поместим вблизи поверхности (на расстоянии d от нее) метал-
металлическую иглу (рис. 4.4, а). Обозначим работу выхода электрона из иглы А\.
В образце и игле электроны заполняют все низколежащие состояния вплоть
до энергии, называемой уровнем Ферми. Расстояние от уровня Ферми до
верхнего края ямы и представляет собой работу выхода. На рис. 4.4, б по-
показаны потенциальные ямы, создаваемые для электрона образцом и иглой.
Всюду вне образца и иглы электроны могут двигаться свободно. Это озна-
означает, что их энергия должна быть выше края ям для иглы и образца, причем
края обеих ям лежат на одном уровне.
Переход электрона из образца в иглу возможен только благодаря тун-
туннельному эффекту. Для увеличения туннельного тока на иглу подают по-
положительный потенциал V относительно образца (рис. 4.4, в). При этом
уровни электронов в игле понижаются на eV (e < 0), а работа выхода А\
не меняется, поскольку она определяется только связью электрона с ядрами
и другими электронами.
Рассмотрим качественно работу микроскопа. Для упрощения будем счи-
считать задачу стационарной и одномерной. Выберем ось х в направлении от
98
Гл. 4. Потенциальные барьеры
образца к игле (рис. 4.4). Туннельный переход электронов из образца в
иглу возможен (т. е. происходит в свободные состояния), если их энергия
на уровне Ферми ^ в образце превышает энергию уровня Ферми в игле.
В частности, если А\ > А2, то туннелирование возможно без приложения
дополнительных внешних полей.
зазор
образец ¦
"А уровни
свободного
движения
электрона
проводящий
образец
х=0 x=d
проводящий
образец
Рис. 4.4. а — качественная схема туннельного микроскопа; б — проводящий обра-
образец и игла как потенциальные ямы для электрона; в — то же после приложения к игле
положительного потенциала. Штриховая стрелка, идущая от кружка, иллюстрирует
туннелирование электрона из образца в иглу. Уровень Ферми образца выбран за
начало отсчета энергии электрона (Е = 0)
Будем отсчитывать энергию от уровня Ферми образца. Тогда полная
энергия электрона Е = 0. Пусть между образцом и иглой действует одно™
родное электрическое поле с напряженностью Е, направленной от иглы к
^ В теории металлов устанавливается, что в основном состоянии электроны зани-
занимают все энергетические уровни в диапазоне энергий 0 < Е ^ Ef , где величина Ef
носит название уровня Ферми. При добавлении еще одного электрона он попадает
только в состояния с Е > Ef .
4.5. Сканирующий туннельный микроскоп 99
образцу. Тогда потенциал иглы относительно образца равен V = ^Ed. При
этом потенциальная энергия электрона в образце равна U(x)\x=0 = 0, а в
промежутке от образца до входа в иглу 0 < х < d
U{x) =A2- еЕх. D.69)
Туннелирование электронов приводит к появлению электрического тока
J(d), по величине которого можно судить о расстоянии d между иглой и
образцом. Величина тока пропорциональна пропусканию барьера:
/ d \
if \
D и Do exp -- sj2m[A2 - еЕх] dx
\ Н1 )
(А2 eV)^]\ . D.70)
В частном случае, когда \eV\ <C А2, эта формула упрощается:
Д « Доехр( -V8mA2d) . D.71)
\ h J
Пусть расстояние между иглой и поверхностью уменьшилось на Ь. Тогда
возрос туннельный ток, причем
J(d^b) I \f8mA21 \ /л -о\
V ' ~ ехр ^—-±Ъ . D.72)
J{d)
Пусть, например, А\ = 4,5 эВ, А2 = 4эВ V = 0,5 эВ. Если в процессе
о
сканирования иглы ее расстояние до образца меняется на Ь = 1 А, то по
формуле D.72) найдем, что туннельный ток изменяется примерно в 8 раз.
Сказанное демонстрирует огромную разрешающую способность туннель™
ного микроскопа.
На практике туннельный микроскоп работает следующим образом. Игла
о
устанавливается на расстоянии ж^C^10)Аот поверхности образца, так
что туннелирование электронов уже вполне возможно. Соответствующие
значения туннельного тока составляют J ~ A-=-10) нА при разности потен™
циалов между иглой и образцом от нескольких милливольт до нескольких
вольт. Организуется цепь обратной связи, которая поддерживает туннель™
ный ток неизменным, соответствующим образом изменяя расстояние х от
иглы до образца. Запись сигнала обратной связи дает рельеф поверхно™
сти образца. Разрешение микроскопа составляет доли ангстрема вглубь ве-
вещества и единицы ангстремов вдоль поверхности. Это величины порядка
межатомных расстояний в жидкости и твердом теле.
Таким образом, туннельный микроскоп позволяет явно наблюдать
атомно-молекулярную структуру вещества. С его помощью удалось рекон-
реконструировать атомную структуру поверхности ряда кристаллов: углерода,
100 Гл. 4. Потенциальные барьеры
кремния и т. д. Он используется при изучении адсорбции, для исследова-
исследования полупроводниковых и сверхпроводящих структур и т. д.
4.6. Надбарьерное отражение
Вернемся к задаче о потенциальном барьере вида D.27) — см. рис. 4.2.
Пусть теперь частица имеет энергию, превышающую высоту барьера: Е >
> Щ. Найдем коэффициент отражения от такого барьера. Как и в слу-
случае D.28), запишем уравнение Шредингера для трех различных областей:
х < 0 : Ф'/ + кЧг = 0,
0 < х < а : Щ + ^|Ф2 = 0, D.73)
х > 0 : Ф? + кЧ3 = 0.
Здесь введены обозначения
к = -у/2тЕ, к2 = -y/2m(E-U0). D.74)
h h
Решение уравнений D.73) имеет вид
Ч!г{х) = егкх +ге~гкх, х < 0,
Ф2(ж) = beik2X + ce~ik2X, 0 < х < а, D.75)
Здесь, как и раньше, мы оставили в выражении для Фз (х) только волну,
распространяющуюся в положительном направлении. Кроме того, мы при-
приняли, что амплитуда исходной волны равна единице. Тогда коэффициент
при отраженной волне совпадает с амплитудным коэффициентом отраже-
отражения г, а коэффициент при прошедшей волне — с амплитудным коэффици-
коэффициентом прохождения d. Сшивая различные части волновой функции в точках
х = 0 и х = а, получим систему четырех уравнений для коэффициентов
г, Ь, с, d:
1 + г = Ъ + с,
ik(l-r) = гк2(Ь-с),
^се~гк2а ёегка D.76)
гк2(Ьегк2а - се^гк2а) = ikdelka.
Несложные вычисления дают
2 2 2ifc2a DJ?)
r _ —^ д 1—_
4.6. Надбаръерное отражение
101
Из первого выражения видно, что всегда часть частиц проходит над
барьером: коэффициент d не обращается в нуль ни при каких значениях
энергии, удовлетворяющих условию Е > Щ. Более интересным являет-
является вопрос об отражении. Легко увидеть, что если выполняется равенство
e2ik2a = l, или к2 = ^, 1 = 1,2,3,...,
то оказывается г = 0. Это значит, что частицы с энергией
2та2
D.78)
D.79)
не отражаются от препятствия, двигаясь как в свободном пространстве.
Однако амплитудный коэффициент прохождения, вообще говоря, не равен
единице:
d = ег(к2~к)а, D.80)
хотя D = \d\ =1. Ситуация здесь аналогична той, что имеет место в
оптике: благодаря наличию показателя преломления
п = к'2/к
D.81)
на участке 0 < х < а волна, пройдя через среду, приобретает дополнитель™
ную фазу А(р = (к<2 — к\)а = (п — 1)ка.
На рис. 4.5 показан вид зависимости пропускания барьера D от энер-
энергии частицы. Как видно из рисунка, имеет место резонансный характер
пропускания.
D
Рис. 4.5. Типичная зависимость коэффициента прохождения через прямоугольный
барьер от энергии частицы при E>Uo
102 Гл. 4. Потенциальные барьеры
Здесь уместно заметить, что аналогичное явление — резонансное про-
пропускание оптического излучения — наблюдается в интерферометре Фаб-
Фабри-Перо: если на расстоянии а между пластинами укладывается целое
число полуволн, Л = 2а//, I = 1, 2, 3, ..., то независимо от коэффициен-
коэффициента отражения пластин R пропускание интерферометра оказывается равным
единице.
Для полноты изложения следует отметить, что случай I = 0 в D.78),
D.79) исключается. Этот случай соответствует тому, что число &2 =
= л^2т(Е ~~ С/о) /h = 0. Тогда, осуществляя в D.77) предельный пере-
переход к>2 —> 0, получим
d = е^гка —^, г = ^^—. D.82)
2-ika 2-ika
Справедливость закона сохранения \r\ + \d\ =1 для выражений D.77) и
D.82) проверяется без труда.
ГЛАВА 5
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ И КВАНТОВАНИЕ
За дерзость стихов ожидала Хайяма
? шаха в Герате глубокая яма.
Слава Всевышнему, слава друзьям —
От участи злой был избавлен Хайям.
(Омар Хайям. Рубай 531)
В предыдущей главе мы подробно обсудили такие простейшие кванто-
вомеханические явления, как надбарьерное отражение и туннельный эф-
эффект. В этой главе мы посмотрим, какие новые явления возникают тогда,
когда потенциальная энергия имеет форму ямы (а не барьера, как было
выше). Предварительно заметим, что такая форма потенциальной энергии
означает наличие притяжения. При этом в классической физике любое сколь
угодно слабое притяжение между частицами приводит к тому, что может
возникнуть связанное состояние этих частиц: в системе центра инерции они
совершают финитное движение относительно общего центра инерции или
вообще покоятся. Как правило, связанное состояние не единственно: суще™
ствует целый набор таких состояний, отличающихся по энергии, причем
их спектр значений энергии непрерывен. Посмотрим, что в этих условиях
происходит с частицами, следующими законам квантовой механики.
5.1. Бесконечно глубокая прямоугольная
потенциальная яма
Начнем анализ с простейшего случая, когда мы имеем одномерную бес-
бесконечно глубокую потенциальную яму с плоским дном, показанную на
рис. 5.1. Аналитически выражение для такой ц
ямы записывается следующим образом:
+оо, х < 0, |
U(x) = { 0, 0<ж <а, E.1) |
+00, x > a. |
Мы выбрали начало отсчета энергии таким об™ ^
разом, что уровню дна ямы отвечает значение ^
энергии Е = 0. Запись U = +оо при х < 0 и х > n
> а означает, что частица не может проникнуть 0 ах
в эти области ни при каких значениях энергии. рис> 5.1. Бесконечно глу-
В самом деле, если энергия частицы меньше вы- бокая прямоугольная по™
соты барьера, то в этой классически запрещен™ тенциальная яма. Разре™
ной области волновая функция экспоненциала шенная область движения
но убывает по мере удаления от классической 0 < х < а
104 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
точки поворота. При этом скорость убывания тем больше, чем больше раз™
ность U — Е. В пределе U —> +оо волновая функция обратится в нуль сразу
на границе, отделяющей разрешенную и запрещенную области. Вследствие
свойства непрерывности мы можем сразу сформулировать граничное усло-
условие, которому должна удовлетворять волновая функция в точках стенок
такой ямы:
Ф@) = 0, E.2 а)
Ф(а) = 0. E.2 6)
Волновая функция частицы в яме E.1) удовлетворяет уравнению ТТТре-
дингера
A2Ф , 2тЯф = ^ о<ж<а. E.3)
dx2 h2
Решение этого уравнения имеет вид
E.4)
где А и В — константы интегрирования, а число к определено соотноше-
соотношением
У?? E-5)
Используем граничное условие E.2 а). Оно дает В = —А, так что вол™
новая функция E.4) примет вид
Ф(ж) =2iAsin(kx). E.6)
Используем теперь граничное условие E.2 б): Ф(а) =2 г A sin {ко) = 0.
Коэффициент А не может быть равным нулю, поскольку это отвечало бы
отсутствию частиц в яме, Ф = 0. Поэтому мы необходимо должны принять
sin (ka) = 0 или
к = кп = -п, п = 1, 2, 3, ... E.7)
а
Значение п = 0 здесь недопустимо, поскольку оно приводит к тривиаль-
тривиальному решению Ф = 0, отвечающему отсутствию частиц в яме. Используя
E.5), получим
^ п = 1, 2, 3, ... E.8)
2та2
Величина п называется квантовым числом.
Волновые функции в рассматриваемой задаче имеют вид E.6). Коэф-
Коэффициент А у этих функций может быть найден из условия нормировки.
Поскольку частица находится в конечной области пространства, удобно
5.1. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма 105
выбрать нормировку |Ф| dx = 1. В результате приходим к следующему
о
выражению для нормированных волновых функций:
Фп(ж) = W-sin ( ) . E.9)
у а V а У
Вне ямы следует всюду полагать Фп = 0.
Заметим, что основному состоянию (т. е. состоянию с наименьшей энер-
энергией, п = 1) отвечает волновая функция, симметричная относительно се-
середины х = а/2 и представляющая собой половину волны синусоиды.
Первое возбужденное состояние (п = 2) описывается волновой функцией,
антисимметричной относительно середины ямы. Далее с ростом п симмет-
симметричные и антисимметричные волновые функции чередуются.
Итак, мы установили, что частица в яме может иметь не произвольные
значения энергии, а только дискретный набор E.8).
Важно подчеркнуть, что в нашей задаче квантование возникло из-за то-
того, что нам пришлось сшивать решения для Ф-функций на границах разных
физических областей. В одной из них полная энергия больше потенциаль-
потенциальной, в двух других — меньше потенциальной. Все дело именно в том, что в
эти две последние области частица глубоко заходить не может. Ее движение
ограничено стенками ямы. Если бы яма имела конечную глубину, а энер-
энергия (Е) превышала С/, то частица могла бы двигаться от бесконечности до
бесконечности, не было бы разнородных решений и никакого квантования
энергии не было бы вовсе.
Сказанное есть следствие общей теоремы, состоящей в том, что энергия
всегда квантуется у систем, которые не могут уходить на бесконечность (со-
(совершают финитное движение) и не квантуется у систем, способных уходить
на бесконечность (движение которых инфинитно).
Заметим, что вывод о дискретности спектра значений энергии не слиш-
слишком удивителен. В самом деле, в рассматриваемой задаче мы имеем дело
с волнами в ограниченной области пространства. Прослеживая аналогию
с электромагнитными волнами, мы вспоминаем, что в идеальных резона-
резонаторах волны всегда имеют дискретный набор волновых чисел и, следова-
следовательно, частот, при которых на длине резонатора умещается целое число
полуволн (см. E.7)).
Тем самым, полученный сейчас результат объясняет, хотя бы качествен-
качественно, возникновение квантования в микромире: оно обусловлено наличием
волновых свойств частиц, находящихся в ограниченной области прост-
пространства.
Мы пришли, таким образом, к дискретности, к квантованию энергии.
Это очень важный момент. Напомним схему изложения. Опыты Франка
и Герца, опыты Штерна и Герлаха, о которых говорилось ранее, нагляд-
наглядно показали дискретность состояний микросистем. Фотоэффект, эффект
Комптона, т. е. взаимодействие света с веществом, равно как и собственно
106 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
испускание света веществом, столь же очевидным образом демонстрируют
дискретную природу микромира. Обсуждая все это, мы исходили из умо-
умозрительных представлений о фотонах и о волнах де Бройля, ввели понятие
волновой функции (или Ф— функции), приняли вероятностную ее интер-
интерпретацию и сформулировали ряд постулатов о ее свойствах и о том, как ее
находить. В результате мы пришли к квантованию энергии пока в одном, но
важном частном случае бесконечно глубокой прямоугольной потенциаль-
ной ямы.
Помимо существования квантования имеется еще одно важное отли-
чие квантовомеханической ситуации от классической. Как было сказано,
в классической физике наличие даже слабого притяжения частиц позволя-
позволяет образовать их связанное состояние. Слабость притяжения означает, что
потенциальная яма является мелкой. В квантовой механике, оказывается,
не всякое притяжение может дать связанное состояние. Если яма симмет-
симметричная, то связанное состояние существует в любой яме независимо от ее
глубины, если только она одномерная или двумерная. В трехмерной же яме
уровни возникают лишь тогда, когда ее глубина превышает некоторое ми-
минимальное значение, т. е. когда она достаточно глубокая. Подробное иссле-
дование вопроса об энергетических уровнях в симметричных одномерной
и трехмерной ямах проведено в задачах 15 и 16 семинара.
Остановимся на одном формальном вопросе. Рассмотрим одномерное
стационарное уравнение Шредингера
ЯФ = ЕФ, H = - — — + U(x) E.10)
2т dx2
совместно с определенными граничными условиями. Оно представляет со-
собой задачу на собственные значения Е гамильтониана Н. Считаем, как
всегда, гамильтониан самосопряженным оператором. В математике дока-
доказывается ряд свойств собственных функций и собственных значений само-
самосопряженных операторов. Прежде всего, собственные значения действи-
тельные. Если область определения конечна (т. е. если частица совершает
движение в конечной области пространства), 0 < х < а, то собственные
значения образуют дискретный набор, который в порядке возрастания за-
запишем в виде
{Ег, Е2, Е3, ...}. E.11)
При этом различным собственным значениям соответствуют взаимно ор-
ортогональные собственные функции.
Имеет место так называемая осцилляционная теорема, суть которой в
следующем. Собственная функция, отвечающая порядковому номеру п соб-
собственного значения Еп в последовательности E.11), имеет во внутренних
точках интервала 0 < х < а число узлов, равное п — 1. Это означает, что
на интервале 0 < х < а волновая функция Фп обратится в нуль п — 1 раз.
Граничные точки х = 0 и х = а исключаются. Самому первому, мини-
минимальному собственному значению Е\ отвечает собственная функция Фь
не обращающаяся ни разу в нуль на интервале 0 < х < а. Мы не будем
5.1. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма
107
доказывать эти утверждения, отсылая читателя к соответствующим курсам
математики.
Вернемся к задаче о потенциальной яме E.1). Найдем распределение
вероятностей нахождения частицы в разных точках ямы. В соответствии с
E.9) имеем
f)
V а / а
—) —. E.12)
На рис. 5.2 показано распределение плотности вероятности (т. е. вели-
чины w = dW/ dx) для некоторых значений квантового числа п.
Как видно из рисунка 5.2, с увеличением квантового числа п количество
узлов возрастает. Область допустимых положений частицы оказывается
п = 2
п=Ъ
п=4
Рис. 5.2. Распределение вероятности нахождения частицы в разных точках беско-
бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы
разбитой узлами Ф-функции на ряд подобластей, разделенных интервала-
ми, на которых (вблизи узлов) вероятность обнаружить частицу мала (соб-
(собственно в узлах эта вероятность обращается точно в нуль). Размер каждой
подобласти
Ах = а/п. E.13)
Чем больше узлов имеет волновая функция в пределах пространствен™
ного размера потенциальной ямы, тем выше энергия частицы. Это следует
из формулы E.8), полученной при решении уравнения Шредингера. Но этот
вывод очевиден и с точки зрения принципа неопределенности. Увеличивая
на заданном интервале а число узлов волновой функции, мы все сильнее
ограничиваем область движения, т. е. размер области возможного нахожде-
нахождения частицы Ах (см. E.13)). Следовательно, возрастает неопределенность
в значениях импульса:
Ар- —= ^п. E.14)
Ах а
108 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
Соответственно увеличивается разброс в скоростях частицы, т. е. ее средняя
кинетическая энергия. Поскольку вследствие симметрии рассматриваемой
задачи оба направления движения частицы (влево и вправо) равновероятны,
среднее значение импульса равно нулю: (р) = 0. Следовательно, можно
положить Ар = р — (р) = р. В результате мы получим
2т 2т 2та2
что по сути правильно.
В связи со сказанным следует подчеркнуть, что в яме определенным
значением обладает только полная энергия частицы, но не по отдельности
кинетическая и потенциальная. Иногда ошибочно утверждают, что части™
ца в яме обладает импульсами, имеющими определенное значение модуля
\Рп\ — ^кП9 где величины кп даются формулой E.7). Тогда отсюда еле™
довало бы, что кинетическая энергия частицы также имеет определенное
значение, что неверно. Ошибка состоит в том, что величина Ькп не равна
импульсу частицы, даже по абсолютной величине, а указывает лишь ха-
характерный масштаб разброса значений импульсов. Грубую оценку этого
разброса можно получить, приняв Ар ~ 2hkn (множитель " связан с
наличием встречных волн в яме, дающих вместе стоячую волну). Для полу™
чения всего спектра значений импульсов мы должны разложить волновую
функцию E.9) в интеграл Фурье:
ос а
Г Г I
а(к) = егкх^(х) dx = егкхх^ sin (knx) dx =
J J Vа
0
J J
-оо 0
2 1
а2
1 fei(k-kn)a _ А _ 1 (ег{к+кп)а _
где учтено, что кп = тгп/а, егкпп = е~гкпа = (^1)п. В этом выражении
уже следует отождествить импульс частицы с величиной р = Кк.
На рис. 5.3 показана плотность вероятности различных значений им™
пульса (или спектр мощности) wp = | а{р/Щ |2 для трех характерных зна™
чений номера уровня п. Как видно из рисунка, спектр действительно со™
держит бесконечное число импульсов. Кроме того, для всех уровней, кроме
основного, спектр имеет максимумы при значениях р = —рп и р = +pn?
в которых величина рп определена формулой рп = hkn = ттпН/а. При
п = 1 величина р\ = Ьк\ = nh/a определяет ширину единственного
максимума.
Вернемся, однако, к формуле E.8). Поскольку мы выбрали отсчет энер™
гии от дна ямы, то величины Еп совпадают со средней кинетической энер™
гией частицы. Минимальное значение энергии получается при п = 1, и, как
5.1. Бесконечно глубокая прямоугольная потенциальная яма
109
следует из E.8), оно не равно нулю. Состояние с минимальной энергией
называется основным состоянием. Как мы видим, в этом состоянии частица
в потенциальной яме совершает некоторое движение, которое называется
нулевыми колебаниями. Соответствующая энергия называется энергией ну-
нулевых колебаний. Только в классической механике частица может покоиться
на дне ямы. В квантовой же механике это невозможно: если бы частица мог-
могла находиться в состоянии покоя, т. е. обладала бы определенным импуль-
импульсом (р = 0), то она одновременно имела бы и определенную координату.
Ограничив движение частицы по координате областью а, в соответствии с
принципом неопределенности мы получили разброс по импульсам, а раз-
разброс по импульсам дает отличную от нуля среднюю кинетическую энергию.
Оценка ее значения с помощью соотношения неопределенностей приведе-
приведена в E.15), где нужно положить п = 1. Точное значение следует из E.8)
также при п = 1.
п=5
Рис. 5.3. Спектральная плотность различных значений импульсов частицы в пря-
прямоугольной яме для п = 1,п = 2шп = 5
Итак, для квантовой системы характерно, что нижнее энергетическое
(или основное) состояние уже имеет некоторую кинетическую энергию.
Проследим теперь переход в классику. Из E.8) легко вычислить разли-
различие в энергиях между уровнями с номерами п и п + 5п при 5п <С п:
SE = п5п.
та2
При больших значениях п относительное изменение Е составляет
SE субп
Е ~ п '
что при переходе с уровня п на соседний Eп = 1) дает
SE _ 2
Е п
E.16)
Таким образом, расстояние между соседними энергетическими уровнями,
отнесенное к энергии уровня, уменьшается с ростом квантового числа п.
Для очень больших п расстояния между уровнями столь малы по сравнению
с полной энергией, что разрешенные значения энергии представляются
распределенными не дискретно, а непрерывно.
110 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
Этот вывод носит очень общий характер. Уже говорилось о том, что от
квантовой механики можно перейти к классической тогда, когда характер-
характерные расстояния, на которых существенно меняются характеристики систе-
системы L, много больше де бройлевской длины волны, Ь^>\. Теперь мы имеем
и второй критерий: когда квантовое число п достаточно велико, система
ведет себя как классическая.
Классический предел можно проследить и в распределении вероятно™
стей нахождения частицы в разных точках (см. рис. 5.2). Частица, следу-
следующая законам классической механики, имела бы с равной вероятностью
любую координату на интервале 0 < х < а (см. рис. 5.1):
dWKJiac = —. E.17)
а
Как сказано выше, переход от квантовой механики к классической дол-
должен происходить при п —>• оо. Но из рис. 5.2 видно, что точки, в которых
плотность вероятности w(x) максимальна, сгущаются с ростом квантового
числа п. Это и означает, что при больших значениях п, ограничивая точ-
точность измерения координаты малой величиной Ах = а/п <С а, мы найдем
частицу в любой точке отрезка. Сделанная оговорка формально означа-
означает, что мы должны произвести усреднение распределения вероятности по
отрезку длиной Ах:
i | dx = —, E.18)
a
что, естественно, совпадает с E.17).
В заключение этого параграфа подчеркнем, что выводы, которые бы-
были сделаны при анализе модельной и, казалось бы, очень частной задачи
о квантовании энергии частицы в прямоугольной потенциальной яме, яв-
являются весьма общими. Кроме того, очень часто потенциальная энергия
микросистем имеет подобный ямообразный характер.
5.2. Квантование энергии гармонического осциллятора
Гармоническим осциллятором является система, описываемая в клас-
классической механике уравнением
шж = -Ь, E.19)
где (в случае пружинного маятника) т — масса, а к — жесткость
5.2. Квантование энергии гармонического осциллятора
111
(упругость) пружины (рис. 5.4). Потенциальная энергия деформированной
пружины равна
U = Щ + hx2. E.20)
2
Поэтому в квантовой области задача о гармоническом осцилляторе — это
задача о поведении частицы в потенциальной яме параболической формы
(рис. 5.5). Как известно, частота колебаний маятника и = \Jkjm. Ис-
Используя эту величину, перепишем выражение E.20) в более общей форме,
не конкретизирующей устройство системы:
U = -тш2х2.
2
E.21)
!0
Рис. 5.4. Пружинный маятник
U(x)
Рис. 5.5. Параболическая по-
потенциальная яма
В классической физике многие задачи из разных ее разделов сводят™
ся к задаче о гармоническом осцилляторе. В квантовой области задача об
осцилляторе также очень важна и прежде всего потому, что такая зависи-
зависимость возвращающей силы (F = —кх) и потенциальной энергии E.20)
обычно имеет место при малых отклонениях от положения равновесия.
Устойчивое равновесие отвечает минимуму потенциальной энергии, а око™
ло гладкого минимума любая кривая может быть аппроксимирована пара-
параболой. Решение задачи об осцилляторе применимо, например, при анализе
малых колебаний атомов в двухатомной молекуле.
Действуя стандартно, выпишем уравнение Шредингера для рассматри™
ваемого случая:
Й2Ф 2т
1b2 ~h?
Е-
Мы должны найти ограниченное и гладкое решение этого уравнения.
Математические выкладки при решении этого уравнения несколько гро-
громоздки, и мы не будем их здесь приводить. Оказывается, решение с требу™
емыми свойствами существует, но не при всех значениях энергии, а только
при тех, которые удовлетворяют соотношению
Еп=
= 0, 1, 2,
E.23)
112 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
Это выражение будет получено ниже с помощью классического при-
приближения.
Рассмотрим внимательно это выражение. Мы видим, что, во-первых,
энергия квантуется и что, во-вторых, она линейно растет по мере увели™
чения квантового числа п. Поэтому расстояния между уровнями энергии
одинаковы: уровни эквидистантны. Кроме того, при п = 0 в параболи-
параболической потенциальной яме, как и в прямоугольной, существуют нулевые
колебания с энергией
Е = Пи/2 ф 0. E.24)
С тем весьма важным обстоятельством, что в параболической потенци-
потенциальной яме уровни энергии эквидистантны, часто приходится иметь дело в
разных разделах физики, в частности молекулярной спектроскопии и фи™
зике полупроводников.
При воздействии на осциллятор периодической силы в нем возникают
вынужденные колебания. Хорошо известно, что зависимость амплитуды
этих колебаний от частоты силы имеет резко выраженный резонансный
характер, когда частота вынуждающей силы близка к собственной частоте
осциллятора. При этом для случая нулевого затухания, которое мы предпо-
предполагаем, резонанс является бесконечно острым. Так обстоят дела в классике.
А как в квантовой физике? Что значит раскачать систему с точки зрения
квантовой механики? Это значит перебросить ее с более низкого уровня
энергии на более высокий. Промежуточных значений энергии в квантовой
системе быть не может. А скачок энергии между соседними уровнями равен
АЕ = En+i -Еп = Нш. E.25)
Следовательно, частота кванта а;кван, которым мы воздействуем на систему
с тем, чтобы перевести ее с нижнего уровня на верхний,
ыкван = АЕ/Н = и, E.26)
равна собственной частоте осциллятора ш. Таким образом, квантовый гар™
монический осциллятор реагирует только на кванты резонансной частоты.
Это прекрасное согласие выводов из классического и квантового рас-
рассмотрений лишний раз свидетельствует в пользу боровского принципа
соответствия.
5.3. Нулевые колебания и соотношение
неопределенностей
Энергию нулевых колебаний осциллятора нетрудно оценить с помо-
помощью соотношения неопределенностей. Для этого запишем выражение для
полной энергии частицы:
Е = f_ + гжА^
2га 2
5.4. Правило квантования Бора - Зоммерфелъда 113
Учтем, что в симметричной яме средние значения координаты и импульса
равны нулю: (х) = 0, (р) = 0. Поэтому Ар = р — (р) = р, Ах = х —
— (х) = х. Неопределенности координаты и импульса Ах и Ар связаны
соотношением Гейзенберга, которое мы запишем сейчас в форме Вейля:
Ах Ар > /г/2. E.28)
Отсюда следует: Ар > h/2Ax. Подстановка этого выражения
в E.27) дает
Е > h2 + шш2(АжJ = F(Ax). E.29)
8т(АхJ 2
Мы получили оценку полной энергии в зависимости от неопределенно™
сти координаты. Правая часть этого выражения имеет минимум, который
можно найти по обычным правилам. Найдем положение минимума {Ах)т
из условия равенства нулю производной:
dF(Ax) п h2 . 2 а п /с ->л\
—^—J- = 0, или + ти Ах = 0. E.30)
d(Ax) 4m(AxK
Отсюда следует, что
Ах=<Р^. E.31)
у 2тш
Кроме того, согласно E.28) отсюда следует выражение для неопреде™
ленности импульса:
Ар=Л—. E.32)
Подставляя найденное значение Ах в E.29), найдем
Smin = \tbUJ, E.33)
что совпадает с энергией нулевых колебаний, получающейся из точной
формулы E.23) при п = 0. Правильное значение числового множителя A/2)
не случайно и связано с использованием соотношения неопределенностей
в специальной форме Вейля. Оказывается, именно в случае гармонического
осциллятора и реализуется эта форма.
Заметим, что формула E.31) дает оценку среднеквадратичного значения
координаты частицы в основном состоянии, т. е. дает характерный размер
области, занимаемой осциллятором.
5.4. Правило квантования Бора-Зоммерфельда
Как правило точно решить задачу о нахождении уровней энергии ча-
частицы в яме произвольной формы невозможно, имеются лишь отдельные
точно решаемые случаи. Однако в квазиклассическом пределе можно суще-
существенно упростить задачу, сведя ее к некоторому определенному алгоритму.
114 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
Рассмотрим случай одномерной потенциальной ямы U(ж), удовлетво-
удовлетворяющей условию квазиклассичности D.62):
dX
dx
- U(x)]
Пусть частица может находиться в области 0 < х < а при всех разре-
разрешенных значениях энергии. Иными словами, доступная частице область
движения ограничена слева и справа бесконечно высокими стенками. Для
этого случая волновая функция дается формулой D.55):
(X \ / X \
- \р(х) dx ] + С2 exp I -{- \p(x) dx I . E.34)
.0 / \ 0 /
На границах области нужно положить
Ф@) = 0, Ф(а) = 0. E.35)
Первое из этих условий дает С 2 = — Ci, а второе, по аналогии со случаем
прямоугольной ямы, приводит к условию
р(х) dx = тг/m, п = 1, 2, ... E.36 а)
о
Это условие часто записывают в ином виде. Учитывая, что один полный
цикл движения частицы в яме включает две части: "вперед" и "назад",
левую часть равенства E.36 а) записывают как интеграл по замкнутому
циклу {0 ^ а ^ 0} — полному периоду классического движения частицы:
г
фр(х) dx = 2ттНп = hn, n = 1, 2, ... E.366)
Здесь учтено, что обе части цикла вносят одинаковый вклад в интеграл:
а
Г
р(х) dx = 2 р{х) dx. Уравнение E.36 6) называют: условием кваншова-
о
ним Бора.
Более сложным является случай, когда границы классически разрешен-
разрешенной области (а < х < Ь) зависят от энергии частицы. Например, в случае
гармонического осциллятора с потенциальной энергией E.21) классиче-
классические точки поворота определяются из уравнения U(x) = Е и имеют коор-
координаты
/ ^ К / ^ /^ 1П\
При этом квантовомеханическая частица может заходить в "запрещенные"
области, где ее волновая функция экспоненциально убывает. Для подобных
5.4. Правило квантования Бора - Зоммерфелъда 115
задач следует произвести сшивку квазиклассических волновых функций по
разные стороны от классических точек поворота. Мы не будем проводить
здесь эту процедуру, ограничившись только тем, что приведем конечный
результат. Вместо E.36 б) теперь должно выполняться равенство
bp(x) dx = 2жП (п+±\ гс = 0, 1, 2, ... E.38)
Последнее соотношение носит название условия квантования Бора-
-Зоммерфелъда. Оно отличается лишь наличием поправки 1/2 в правой
части равенства. Кроме того, в диапазон изменения квантового числа вклкь
чено значение п = 0 (в E.36 6) этому значению отвечала бы тривиальная
волновая функция Ф = 0). Очевидно, что для больших квантовых чисел
(п^> 1), когда обычно и работает квазиклассическое приближение, данная
поправка не играет существенной роли. Тем не менее иногда она позволяет
уточнить те или иные формулы.
Остановимся на одной важной интерпретации формулы E.36 б). Инте-
грал в ее левой части f mpdx J есть площадь на фазовой плоскости, огра-
ограничиваемая фазовой траекторией частицы за период колебаний а —> Ъ —> а.
Г Г
Этот интеграл можно записать также в виде dpdx. Величина п есть
число квантовых состоянии с энергиями, не превышающими данного зна-
значения Е. Поэтому на одно квантовое состояние приходится клетка (ячейка)
в фазовом пространстве {р, х} площадью 2тгЙ. Таким образом, если мы
выберем в фазовом пространстве некоторую замкнутую траекторию, то
число квантовых состояний (элементарных ячеек), ограничиваемых ею
будет равно
dpdx l(i /г ^»л\
= mpdx. E.39)
п =
2тг h 2тг h J
В качестве примера применения правила квантования Бора-Зом™
мерфельда E.38) найдем уровни энергии частицы, находящейся в пара-
параболической потенциальной яме вида E.21) (см. рис. 5.5).
Для частицы с энергией Е классические точки поворота определяются
условием
тш2х2
= Е, или х = ±хт, хт = х —-. E.40)
Соответственно условие E.38) для данного случая записывается в виде
p(x)dx = 2 I x/2m(E- U^^\ dx = 2<7rh(n + -Y E.41)
116 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
Входящий сюда интеграл вычисляется достаточно просто:
о I /о /771 тш2х2\ j о Е
2 \2m\E— 2
UJ
Соответственно условие E.41) немедленно дает
Еп=(п+ ±)
что, очевидно, совпадает с выражением для уровней энергии гармониче-
гармонического осциллятора E.23).
5.5. Уровни энергии в мме U ^
Рассмотрим модельную задачу, в которой потенциальная энергия пере™
дается выражением
U=-k\x\a. E.42)
а
Считаем здесь а > 0. Такая зависимость потенциальной энергии от смеще-
смещения имеет место в том случае, когда сила меняется с координатой по закону
F = — fc| х \а~1. Частный случай гармонического осциллятора имеет место
при а = 2.
Нас будет интересовать зависимость энергии от квантового числа п.
Подставляя выражение E.42) в формулу E.38), получим
2m (e - ^kxa) dx = 27rh (n + -) . E.43)
V а У \ 2/
Входящий сюда интеграл преобразуется совершенно аналогично тому, как
это было проделано в случае гармонического осциллятора. Введя класси-
классические точки поворота
перепишем левую
X-m
Г
2л/2тЕ i
-L '
X
часть
/
^±x
E.43)
/ \
( X \
\xm)
m
В
a
виде
dx =
n =
2V
(^ )
2mExrt
l/a
l
-1
Д
_ za
dz.
E.44)
E.45)
В получившемся выражении интеграл представляет собой некоторое
число, которое не зависит от энергии Е. В соответствии с E.44) хт ^
5.6. Квазидискретные уровни энергии 111
и мы видим, что левая часть в E.43) зависит от энергии как Е@', где
/3 = - Ч- —- E.46)
2 а
Поэтому из условия квантования E.43) находим
Е = Е0^п+^ , E.47)
где коэффициент Е® есть некоторое число, зависящее от массы частицы и
показателя степени о.
Обратим внимание на следующее. Если в выражении для потенциаль-
потенциальной энергии E.42) показатель степени а = 2, то согласно E.46) величина
C равна 1. При этом уровни энергии оказываются эквидистантными. Это
отвечает случаю гармонического осциллятора, рассмотренного выше. Если
а > 2, то C < 1. При этом, согласно E.47), расстояние между уровнями
энергии растет с ростом номера п. Очевидно, что при а > 2 потенциаль-
потенциальная энергия возрастает по мере удаления от центра быстрее, чем в случае
параболической ямы. Аналогичная ситуация реализуется в случае прямо-
прямоугольной ямы, где скорость возрастания U(x) на границах ямы бесконечна.
В обратном случае (а < 2) имеем C > 1, так что расстояние между уров-
уровнями уменьшается с ростом номера п: уровни сгущаются. Как мы увидим
дальше, подобная ситуация реализуется в случае кулоновского притяжения
между частицами.
Таким образом, квадратичная зависимость U ^ х2 разделяет случаи,
в которых расстояние между уровнями энергии уменьшается и возрастает.
5.6. Квазидискретные уровни энергии
До сих пор мы считали, что частица в яме может находиться неогра-
неограниченно долго. Такая ситуация имеет место всякий раз, когда эта частица
не может перейти в какую-либо другую область пространства или в другие
энергетические состояния. Однако иногда оказывается, что частица в яме
находится лишь конечное время. Например, пусть имеется область, огра-
ограниченная слева бесконечно высокой потенциальной стенкой, а справа —
потенциальным барьером конечной ширины (рис. 5.6). Легко понять, что в
таком "мешке" частица может находиться лишь некоторое время, которое
ограничивается пропусканием барьера. Но, в свою очередь, это означает,
что система оказывается нестационарной.
Остановимся на этой задаче подробнее. Попробуем найти уровни энер-
энергии частицы в "мешке", исходя из стационарного уравнения Шредингера
^ + %[Е-Щх)]9 = 0. E-48)
d2 h2
Будем отсчитывать энергию Е частицы от дна ямы. Справа от барьера счи-
считаем также U = 0. Чтобы задача в сформулированном виде имела какой-то
118
Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
смысл, предполагаем, что барьер является достаточно широким и высо-
высоким, для того чтобы в "мешке" могли возникать уровни энергии, а частица
находилась на этих уровнях достаточно долго. Кроме того нас будут инте-
интересовать состояния частицы именно в "мешке", т. е. состояния с энергией
E<U0.
Для решения уравнения Шредингера E.48) с потенциальной энергией
вида, показанного на рис. 5.6, учтем, что имеются три характерные об-
области, в которых потенциальная энергия постоянна. В области 0 < х < а,
где U = 0, решение уравнения Шредингера, как мы уже знаем, имеет вид
Ф = Сге
ikx
¦C2e~
2тЕ
E.49)
О
Рис. 5.6. Потенциальная яма, ограниченная слева бесконечно высокой стенкой, а
справа — потенциальным барьером конечной ширины
Учтем, что левая стенка ямы непроницаема. Это значит, что Ф@) = 0.
Поэтому получаем соотношение между коэффициентами С\ и С2:
— —С\.
E.50)
Поскольку мы предполагаем барьер широким и рассматриваем случай
Е < C/q, можно пренебречь волной, отраженной от правой стенки барьера
(от точки х = Ь). Тогда волновую функцию в подбарьерной области а <
< х < Ь можно записать в виде
Ф — CoP^qx в — л im (Tin — FA
Сшивка решений E.49), E.50) и E.51) в точке х = а дает
2ikClCoska = -
E.51)
E.52)
5.6. Квазидискретные уровни энергии 119
Деля почленно второе уравнение на первое, получим уравнение для уров-
ней энергии частицы в "мешке":
ctgfca = -^. E.53)
к
Этому уравнению удобно придать несколько иной вид. Разрешим его отно-
относительно С/о- Для этого заметим, что согласно E.51)
,kJ E
С учетом этого из E.53) немедленно получим
Uo = уЛ г. E.54)
Последнее соотношение уже удобно исследовать различными приема™
ми. В любом случае видно, что Е < С/о, что согласуется с тем условием, что
энергия частицы меньше высоты барьера. Кроме того, в рассматриваемом
приближении мы имеем дело с изолированными (дискретными) уровнями
энергии того же типа, что и в потенциальной яме. Нас, однако, будет сейчас
интересовать другой вопрос. В данной задаче мы имеем дело с барьером
хоть и большой, но конечной ширины и, следовательно, ненулевой прони-
проницаемости. Поэтому если частица попала каким-либо способом в "мешок"
О < х < а, то рано или поздно она из него выйдет. Нетрудно оценить время,
за которое это будет происходить. Мы знаем, что широкий прямоугольный
барьер имеет коэффициент пропускания, который, согласно D.34), равен
D = D0e~2Cd. E.55)
Здесь d = Ь — а — ширина барьера, коэффициент D® — число, которое
почти не зависит от ширины барьера и является медленно меняющейся
функцией энергии, а величина C равна
Учтем теперь, что частица движется в "мешке" со скоростью порядка
v и \J2E jm. Тогда один классический период движения осуществляется
за время Т = 2а/v = a 2ma2/Е, а число колебаний в единицу времени и,
следовательно, частота столкновений частицы с правой стенкой, составит
= 1/Т = \JE/2ma2.
Если яма 0 < х < а достаточно глубокая, то в основном состоянии
энергия частицы, согласно E.8), составит!^ = тг2Й2 /2тпа2:. Соответственно
120 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
для частоты столкновений получаем оценку
a2. E.56)
В результате каждого столкновения частица с некоторой вероятностью
может покинуть "мешок". Пусть в некоторый момент в "мешке" находи™
лось N частиц. По своему смыслу величина D определяет скорость убыва-
убывания числа частиц в "мешке", что позволяет записать уравнение
— = -rjDN. E.57)
dt
Таким образом, число частиц в "мешке" убывает по закону
N = N0e-t/to, E.58)
причем характерное время убывания есть
** ^2^. E.59)
Обратим теперь внимание на парадоксальность результата. Мы иссле-
исследовали стационарное уравнение Шредингера и пришли к тому, что вероят-
вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства меняется со
временем (убывает). Однако по смыслу в стационарном состоянии вероят-
вероятности вовсе не должны зависеть от времени.
Это противоречие возникло, во-первых, из-за неправомерного приме-
применения стационарного уравнения Шредингера, а во-вторых, из-за использо-
использования некоторых приближений. Оказывается, мы тем не менее имеем право
использовать уравнение E.48), но с определенными оговорками. Чтобы
прояснить ситуацию, мы должны более точно решать задачу. Выпишем в
этой связи точные решения уравнения Шредингера во всех трех областях:
Ф = deikx + С2е^гкх, 0 < х < а,
Ф = Cse~^x + C4efjx, a<x<b, E.60)
Ф = С5егкх, х>Ь.
В последней области мы, как обычно, оставили только волну, распростра-
распространяющуюся в положительном направлении. Из условия непроницаемости
левой стенки х = 0 следует С2 = —С\. Остальные условия сшивки приве-
приведенных решений на стенках барьера х = а и х = Ь дают
2id sin ка = C3e~f3a + С4е/За,
2ikd cos ка = -p(Cse-Pa - С4е/За);
E.61)
C3e-Pb + CAePb = Cbeikb,
5.6. Квазидискретные уровни энергии 121
Исключив из первой пары уравнений коэффициент С\9 а из второй
пары коэффициент С$9 получим два различных выражения для отноше-
отношения О3/С4, приравнивая которые находим трансцендентное уравнение для
определения возможных значений энергии:
-к /3-ik
где d = b — a — ширина барьера. Очевидно, что при d —> оо правая часть
уравнения обращается в нуль, и мы приходим к найденному ранее условию
E.53). Обозначим его решение как Е = Е®. Соответствующие значения
чисел к и C обозначим через ^о и C®. При конечных значениях ширины
барьера правая часть уравнения E.62) отлична от нуля. Ясно, что при боль™
ших значениях d (формально — при d —> оо) разность АЕ = Е — Е® будет
пропорциональна e~2P°d.
Далее обращает на себя внимание тот факт, что правая часть E.62) явно
содержит мнимую единицу. Это означает, что допустимые значения энер-
энергии, т. е. решения уравнения E.62), суть комплексные числа. Вспоминая,
что прозрачность барьера при d —> оо пропорциональна e~2P°d9 заключаем,
что разность АЕ имеет мнимую часть ^
ImAE~D. E.63)
Выясним смысл этой поправки. Переходя к стационарному уравнению
Шредингера, мы записывали временную зависимость волновой функции в
виде Ф ^ ехр ( — -— ]. Положим
E = E1-t^, E.64)
где Ei = Е® + Re АЕ, Г = —2 Im АЕ. Тогда окажется, что
Ф rsj ехр -—— ехр -^ . E.65)
V h / V 2hJ
Следовательно, вероятность нахождения частицы в некоторой области
пространства | Ф |2 ~ exp(—Tt/h). Теперь нетрудно понять смысл мнимой
поправки к энергии: из E.65) видно, что она определяет характерное время
жизни данного состояния, причем
г = ?. E.66)
Величина Г называется шириной уровня.
г^ Разумеется, имеется того же порядка и поправка Re АЕ. Однако эта поправ-
поправка не представляет для нас интереса, поскольку не меняет качественно свойства
спектра значений энергии.
122 Гл. 5. Потенциальные ямы и квантование
Таким образом, в рассматриваемой задаче мы имеем дело с нестаци-
нестационарной системой, у которой каждый уровень имеет конечную ширину
^ Г. При Г <С Ei — уровни называют квазидискретными, а соответству-
соответствующие состояния - квазистационарными. В таких состояниях система жи-
живет относительно большое время (во всяком случае, много больше соб-
собственного периода Т = 2nh/Ei). Подчеркнем, что ширина Г возникает
благодаря конечной проницаемости барьера D, причем Г ~ D ~ e~2/3d.
Осталось пояснить смысл слова "ширина" в названии величины Г.
Формула E.66) непосредственно связана с соотношением неопределенно-
неопределенностей "время - энергия" (АЕ At ~ 2тгН). В соответствии с тем, что говори-
говорилось при обсуждении этого соотношения, величина Г = АЕ есть неопре-
неопределенность энергии, т. е. ширина энергетического спектра системы. Теперь
мы можем уточнить понятие ширины. Поскольку система нестационарная,
ее состояние есть суперпозиция состояний с разными значениями энергии.
Найдем, какие именно значения энергии присутствуют в спектре. Для этого
разложим волновую функцию E.65) в интеграл Фурье:
оо
Г
а(Е) = Ф(?) ехр (-— ] dt ~
о
оо
еХР Й (Е ~ El + f)] М ~ Е1 Т2* E#6?)
О
Нормированное распределение вероятностей различных значений энергии
частицы в системе | а(Е) |2 при этом принимает вид
\a(E)\2dE = l. E.68)
В условии нормировки интегрирование по энергии распространено
от ^оо до +оо, поскольку как правило рассматриваются ситуации, когда
Г <С Ei, так что основной вклад в интеграл дает относительно небольшая
область в окрестности середины линии Е = Е\. Распределение E.68) опре™
деляет так называемую лоренцевскую форму спектра {линии). Из него вид-
видно, что волновая функция E.65) содержит непрерывный спектр значений
энергии, причем кривая | а(Е) |2 имеет явно резонансный вид с шириной,
равной Г. Именно это обстоятельство и дало величине Г название "ширина
уровня", одновременно придав ей точный количественный смысл. Нестро-
Нестрого сказанное можно суммировать так, что мнимость приводит к "уходу
в сторону", к уширению резонанса.
ГЛАВА 6
ВОДОРОДОПОДОБНЫЙ АТОМ
Еще, быть может, каждый атом —
Вселенная, где сто планет;
Там все, что здесь, в объеме сжатом,
Но также то, чего здесь нет.
(Валерий Брюсов, 1922 г.)
Водородоподобный атом представляет собой систему двух частиц —
легкого отрицательно заряженного электрона с зарядом ^ — е, обращающе-
обращающегося вокруг тяжелого ядра с зарядом
+Ze. Для водорода Z = 1. Выражение
для потенциальной энергии электрона
в электростатическом поле ядра имеет
вид
Ze2
U(t) = --
F.1)
где г — радиус-вектор электрона, г =
= |г|. График зависимости потенци-
потенциальной энергии от г имеет вид гипер-
гиперболической ямы (рис. 6.1.)
Соответственно уравнение Шре-
дингера записывается как
™ ? + ±fL Ф = 0. F.2)
h2
Рис. 6.1. Зависимость потенциаль-
потенциальной энергии взаимодействия электро-
электрона и ядра в водородоподобном атоме
от расстояния г между ними
6.1, Элементарная квантовая теория Н. Бора
Исторически первой квантовой теорией атома водорода была теория,
предложенная Н. Бором в 1913 г. Она была призвана объяснить структуру
спектров излучения и поглощения атомов (да и самого существования ато-
атомов). Поскольку до настоящего времени эта теория широко используется
для различных оценок, целесообразно остановиться на ней более подробно.
В качестве фундаментальных принципов своей теории Н. Бор выдвинул
следующие два постулата.
1. Атомы могут длительное время находиться только в определенных,
так называемых стационарных состояниях. Энергии стационарных состоя-
состояний {Ei, ?^2,... } образуют дискретный спектр. Иными словами, электрон
Мы полагаем величину е положительной, записывая заряд электрона как — е.
124 Гл. 6. Водородоподобный атом
может находиться лишь на определенных орбитах, на которых он не из™
лучает.
2. При переходе атома из начального состояния с энергией Еп в конеч-
конечное состояние с энергией Ет происходит излучение кванта света с энергией
Еп — Ет и частотой
шпт = {Еп-Ет)/П. F.3)
При этом энергия атома уменьшается: Ет = Еп — hwnm.
Очевидно, при поглощении кванта света с частотой ш энергия атома
увеличивается:
Ет = Еп + Пи, F.4)
Вследствие дискретности атомных состояний атом может эффективно
поглощать только такие кванты, частота которых удовлетворяет соотноше-
соотношению F.3). Это и определяет структуру спектров поглощения.
Соотношение F.3) часто называют правилом частот Бора.
Хотя первый постулат явно противоречил классической электродина-
электродинамике, Бор заявил: "Принимая теорию Планка, мы признаем открыто недо-
статочность обычной электродинамики и решительно порываем с рядом
положений, тесно связанных с этой теорией".
"Узаконив" посредством этих постулатов дискретный характер спек-
спектров излучения - поглощения атомов, Бор одновременно предложил кон-
конструктивный способ рассчитывать уровни энергии атомов и частоты спек-
спектральных линий. Для этого он предположил, что имеет место правило кван-
квантования момента импульса:
L = nh, n = 1, 2, ... F.5)
Небезынтересно проследить, как Бор пришел к этому правилу.
Исходной идеей для него была гипотеза квантов М. Планка. Согласно
Планку излучение испускается порциями, квантами с энергией hw. Тогда
полная энергия излучения с такой частотой равна
еп = пТш1 п = 1, 2, ... F.6)
(значение п = 0 не представляет здесь интереса, поскольку отвечает пол-
полному отсутствию излучения). Таким образом, энергия электромагнитного
поля квантуется. Но согласно электродинамике поле излучения может быть
представлено как совокупность осцилляторов. Поэтому квантуется энер-
энергия осциллятора. Эту идею — квантование энергии осциллятора — Бор
перенес на электрон, введя в рассмотрение поле, в котором электрону от-
отвечает некоторый осциллятор. Это позволило записать энергию электрона
в следующем виде:
t р2 muj2q2 1 о /г нх
пПш = — + —, п = 1, 2, ..., F.7)
2т 2
где {д, р} — координата и импульс электрона. При заданных значениях
6.1. Элементарная квантовая теория Н. Бора 125
квантового числа п и частоты ш уравнение F.7) на фазовой плоскости
{д, р} задает эллипс с полуосями
J , Ъ у/2тпПи. F.8)
о2
Площадь этого эллипса равна
S = ттаЬ = 2ттпП. F.9)
С другой стороны, эту же площадь можно записать в виде
г
5 = фр dq = 2тгпЙ. F.10)
Отсюда видно, что вся фазовая плоскость делится на ячейки с одина-
одинаковой площадью, так что минимальная площадь фазовой плоскости, от™
ражающая состояние осциллятора (в нашем случае — электрона), рав™
на 2тгН = h.
Равенство F.10) совпадает с правилом квантования Бора E.36 б), полу™
ченным выше на основе приближенного решения уравнения Шредингера.
Пусть электрон равномерно вращается по круговой орбите радиуса г.
Тогда р = mVj dq = r dip, где (р — угловая координата. Соотношение F.10)
при этом примет вид
Г
S = fomvr dtp = 2тгЬ = 2тгпН. F.11)
Здесь величина L = mvr есть момент импульса электрона относительно
ядра. Очевидно, что полученное соотношение совпадает с гипотезой F.5).
Развивая далее свою, как сейчас говорят, "полуквантовую" теорию, Бор
рассматривал движение электрона в атоме, отталкиваясь от законов клас-
классической механики, дополненных правилом квантования F.5).
Рассмотрим электрон, движущийся по круговой орбите вокруг ядра с
зарядом Ze. Приравнивая центробежную силу силе кулоновского притяже-
притяжения, получим
или (mvr) = mZe r. F.12)
r r^
Используя условие F.5), заменим выражение в круглых скобках вели-
величиной nh. Это приводит нас к дискретному набору радиусов орбит:
г„ = -^, п= 1,2,3,..., F.13)
те2 Z
называемых воровскими орбитами. Величина
а = — ^0,529 А F.14)
те2
126 Гл. 6. Водородоподобный атом
есть радиус первой, самой низкой орбиты для Z = 1; она называется бо-
робским радиусом.
Далее можно найти энергию электрона, находящегося на n-й боровской
орбите. Замечая предварительно, что согласно F.12) —- = , получаем
j-, _ mvl Ze2 _ Ze2 _ те4 Z2 ^ 1 ..
2 тп 2гп 2П? п2
Величину
л
ев = -^ и 13,60 эВ F.16)
называют боровской энергией, а иногда — энергетической постоянной Рид™
берга. Часто используется внесистемная единица энергии, называемая "Рид-
берг" и численно равная боровской энергии:
1 Ry = 13,60 эВ = 2,1796 • Ю^11 эрг. F.17)
Представляет интерес оценить величину скорости электрона, находя-
находящегося на n-й боровской орбите. Поскольку согласно правилу квантования
F.5) mvnrn = nh, имеем
nh е2 Z fc 1 оч
vn = = . F.18)
mrn h n
Таким образом, наибольшей скоростью обладают электроны, находящиеся
на самых низких орбитах. Соотношению F.18) можно придать несколько
иной вид, если ввести так называемую постоянную тонкой структуры
а = ^^—-—. F.19)
Не 137,036
Тогда
vn = ac^. F.20)
п
Эта формула удобна для численных оценок. Например, скорость электрона
в низшем состоянии атома водорода (т. е. при Z = 1, п = 1) составляет
v = а с « с/137 « 2200 км/с. Для электрона же на первой боровской
орбите вокруг ядра урана (т. е. при Z = 92, п = 1) она равна v = Za с «
« 200 000 км/с. Эта величина сравнима со скоростью света, так что замет-
заметную роль могут играть релятивистские эффекты.
Наконец, представляет интерес оценить характерные значения напря-
напряженности электрического поля в атомах. На расстоянии боровского радиу-
радиуса а от ядра с Z = 1 поле имеет величину порядка
Е~± = 1,72 • 107 ед. СГСЭ = 5,15 • 109 В/см. F.21)
При всей простоте и успехах теория Бора оказалась не в состоянии объ-
объяснить целый ряд закономерностей атомных спектров. Ее количественные
6.2. Квантование энергии электрона в атоме водорода 127
предсказания отличались от того, что наблюдалось в опытах для большин-
большинства атомов (кроме водорода). Она также не могла оценить интенсивности
спектральных линий испускания, объяснить расщепление линий и т. д. Вме-
Вместе с тем эта теория остается весьма полезной для разнообразных оценок
величин, характеризующих атомные взаимодействия.
6.2. Квантование энергии электрона в атоме водорода
Перейдем к изложению последовательной теории водородоподобных
атомов, основанной на уравнении Шредингера.
Если энергия электрона меньше нуля, Е < 0, то он локализован в по-
потенциальной яме (рис. 6.1). Его движение финитно, а энергия квантована.
Соответствующие уровни энергии можно найти, решив уравнения F.2).
При анализе ввиду сферической симметричности задачи удобно перей-
перейти к сферическим координатам C.53). Ограничим себя сначала возможно
более простой задачей и рассмотрим случай, когда волновая функция не за-
зависит от углов 9 и ср. Это означает, что мы ищем состояния, не имеющие
момента импульса. Тогда после выполнения замены C.53) входящий в F.2)
лапласиан переписывается как
А = —+ ?— F.22)
дг2 г дг
и мы получаем уравнение
ЛчТг О™ / 7^2 \
-- 0. F.23)
+ + (+^ 0
dr2 г dr П2 \ г J
Из-за того что мы не учитываем зависимость Ф-функции от углов 9 и (р,
т. е. не учитываем углового движения, уравнение Шредингера оказалось
записанным в обыкновенных производных.
Введем обозначения
а = , k = . F.24)
П2 ' П2 V '
Очевидно, что к2 > 0. Тогда уравнение F.23) примет вид
Ф;/ + ?Ф; + ^Ф = кЧ, F.25)
г г
где штрих означает дифференцирование по г.
Чтобы изучить решения этого уравнения, введем функцию
F(r) = гФ(г) F.26)
и учтем тождество
дф(г) = ?1 + I ^ = 1
d2 d
+
dr2 r dr r dr2 r dr2
128 Гл. 6. Водородоподобный атом
Тогда уравнение F.25) упростится:
Fff + ^F = k2F. F21)
г
Далее заметим, что при г —> оо второе слагаемое в левой части равен-
равенства оказывается малым по сравнению со слагаемым, стоящим в правой
его части. Поэтому в этой области функция F(r) удовлетворяет уравнению
F" = k2F, F.28)
решение которого имеет вид
F - еГкг. F.29)
Второе решение, F ~ e+fcr, мы должны отбросить, поскольку оно неогра-
неограниченно растет при г —> оо и не удовлетворяет требованиям, предъявляе-
предъявляемым к волновой функции. С учетом этого удобно положить
F(r) = e-krf(r). F.30)
Таким образом, мы пришли к представлению волновой функции в следую-
следующем виде:
Ф(г) = l-e-krf(r). F.31)
Подстановка F.30) в F.27) приводит к уравнению для функции /(г):
F.32)
Его решение ищем в виде степенного ряда:
со
f(r) = J2Asr's< F33)
Тогда уравнение F.32) принимает вид
оо
\ [Ass(s — l)rs~2 — 2ksAsrs~1 + а А*.^™1] = 0
5 = 0
или, после перегруппировки слагаемых, вид
оо
У2 [^s+is(s + 1) - 2ksAs + a As)rs^1 = 0. F.34)
s=0
Полученное равенство должно тождественно выполняться для любых
значений г. Следовательно, должны обратиться в нуль коэффициенты пе~
ред всеми степенями rs~l. В частности, при s = 0 находим Aq = 0. Для
6.2. Квантование энергии электрона в атоме водорода 129
остальных s получаем рекуррентное соотношение, связывающее последо-
последовательные коэффициенты ряда F.33):
= 1, 2,
s(s
F35)
В случае произвольного, случайно выбранного значения числа а коэф-
коэффициенты As при больших значениях номера (s ^> 19 s ^> а /к) удовлетво™
ряют соотношению
Л 2ft* л л У ^1^1 /г 1 г\
А8+х «—AS1 т.е. As ^ -—'—. F.36)
s s!
Подстановка такого решения в F.33) приводит к оценке
со
/М - /о@ ~ ]Р ^Bfcr)s = e2fcr. F.37)
Здесь функция /о (г) есть полином, учитывающий отличие первых коэф-
коэффициентов ряда F.33) от значений F.36). Таким образом, если на число а
не накладывать никаких ограничений, то решение уравнения F.25) при
г ^ оо будет неограниченно расти: Ф(г) ^ _е-кге2кг _ _е^?\ Посколь-
г г
ку это противоречит требованию ограниченности волновой функции, мы
должны исключить подобные ситуации. Для этого мы должны оборвать
ряд F.33), сделав так, чтобы все коэффициенты As с достаточно большими
номерами s > п обратились в нуль. При этом функция /(г) сведется к
полиному степени п. Обращение в нуль коэффициента An+i и всех после-
последующих возможно, если окажется
2кп -а = 0 F.38)
или, согласно F.24),
Еп = ^ — —, п = 1,2,3,... F.39)
2h2 п2
Отметим, что это выражение в точности совпадает с выражением F.15),
полученным на основе полуквантовой теории Бора.
Итак, мы пришли к квантованию энергетических уровней атома, при-
причем в соответствии со сказанным волновая функция электрона может быть
записана в следующем виде:
Фп(г) = ^k-rQn{r), Qn(r) = Агг + A2r2 + ... + Anrn. F.40)
В частности, для основного состояния (п = 1) имеем
= -. F.41)
130
Гл. 6. Водородоподобный атом
Константу А\ можно определить, воспользовавшись условием нор-
нормировки:
или A1 = J^ = J^-. F.42)
У 7Г V ^а
Схема уровней F.39) приведена на рис. 6.2. Для атома водорода (Z = 1)
лестница уровней энергии начинается от Е\ = —13,6 эВ при п = 1 и идет
до Еоо = 0 при п —> оо.
Классически разрешенная область движения электрона определяется
условием С/(гп?тах) = Е. Если электрон имеет энергию, отвечающую
п~му энергетическому уровню F.39), то
|?7п
e2 z
= 2a^, n = l, 2,
F.43)
Огибающая системы уровней на рис. 6.2 показывает, как в соответствии
с потенциальной кривой ^Ze2 /r расширяется область локализации элек-
электрона, если идти снизу вверх по лестнице разрешенных уровней энергии.
Видно, что если электрону сообщить
л т? m(Ze2J
энергию АЬ = — —, то он ока-
г зывается способным уйти на беско-
^^^ — ^ нечность. Эта энергия называется
энергией (потенциалом) ионизации I
атома. Для атома водорода (Z = 1)
U
О
^3
Ej
I = TL. = 13,6 эВ.
2
F.44)
При Е > Еоо = 0 энергия электро-
электрона больше не квантуется, а допусти-
допустимые значения образуют непрерывный
спектр, или континуум, — атом теряет
электрон, который становится свобод-
свободным. Вдали от притягивающего центра
электрон — свободная волна, плоская
волна де Бройля.
Таким образом, мы получили
вполне четкий результат, который мо-
может быть непосредственно проверен
опытом. Когда начинаешь вводить пер™
вичные понятия квантовой механики, то возникает ощущение, что не по™
лучишь ничего конкретного. Все зыбко и расплывчато: нельзя одновремен-
одновременно измерять импульс и координату частицы; ее состояние характеризуется
Ф-функцией, дающей лишь вероятностное описание наблюдаемой ситуа-
ситуации. .. Тем не менее оказалось, что построенная на этих основаниях наука
Рис. 6.2. Уровни энергии водоро-
доподобного атома. Горизонтальные
линии указывают уровни энергии и
одновременно — классически разре-
разрешенную область движения электрона
в соответствующем энергетическом
состоянии
6.3. Пространственные распределения электрона в атоме водорода 131
способна давать весьма определенные результаты, позволяющие проводить
не только качественное, но и количественное, притом — с высокой точно-
точностью, сопоставление с экспериментом. А успех такого сопоставления и есть
лучший критерий правильности теории.
6.3. Пространственные распределения ("орбиты")
электрона в атоме водорода
Итак, энергия электрона в атоме водорода (Z = 1) квантуется по фор™
муле
Еп = -^-2, п= 1,2,3,... F.45)
Alb Tl
Надо, однако, помнить, что полученные при этом решения не полны:
была исключена из рассмотрения зависимость Ф-функции от углов в и (р.
Следовательно, уровни энергии, даваемые формулой F.41), суть уровни
энергии электрона с нулевым моментом количества движения, так сказать,
уровни энергии "невращающегося" электрона. Учет моментов приводит к
появлению в схеме уровней энергии некоторой дополнительной структуры,
что будет обсуждено позднее.
То, что для "невращающегося" электрона существует некий набор устой-
устойчивых состояний, а значит, и положений в атоме, можно пояснить, вое™
пользовавшись соотношением неопределенностей. Когда благодаря куло-
новскому притяжению электрон приближается к ядру, неопределенность в
координате уменьшается. Но при этом, согласно соотношению неопреде™
ленностей, возрастает разброс в значениях импульса. А с ростом Ар растет
кинетическая энергия. Электрон притягивается к ядру потому, что при этом
уменьшается его потенциальная энергия. Но это является определяющим
фактором лишь до тех пор, пока не станет слишком сильно возрастать ки~
нетическая энергия. Когда же кинетическая энергия заметно возрастает,
дальнейшее приближение к ядру становится энергетически невыгодным.
Так возникает некий уровень, некое положение, где минимум имеет не по-
потенциальная энергия, а полная. Соотношение неопределенностей, таким
образом, качественно поясняет, что электрон не может упасть на ядро, даже
если он не вращается вокруг последнего.
Все сказанные слова нетрудно облечь в строгую математическую форму.
В самом деле, получим оценку энергии основного состояния атома водорода
с помощью соотношения неопределенностей в форме
Ар А ж ~ h. F.46)
Запишем выражение для полной энергии атома:
Е = ^--—. F.47)
2т г
132 Гл. 6. Водородоподобный атом
Заменим здесь
р —>• Ар
и будем считать мерой неопределенности координаты величину г. Тогда,
полагая Ар ^ h/r9 получим
Е^ -^--^- = ф(г). F.48)
2mr2 r
Минимального значения эта величина достигает при
йФ п П2 . е2 п
— =0, или — + — = 0.
dr mr^ г2
Отсюда находим оценку среднего расстояния электрона от ядра:
г
те2
F.49)
Это совпадает с боровским радиусом, отвечающим низшей орбите электро-
электрона. Подстановка F.49) в F.48) дает оценку энергии основного состояния
атома водорода:
гр _ те4
min " ~^"'
совпадающую с боровской энергией ев- Совпадение числового коэффи™
циента связано с выбором соотношения неопределенностей в форме F.46),
как раз отвечающей структуре волновых функций электрона в кулоновском
потенциале.
Исследуем теперь более тщательно пространственное распределение
вероятности нахождения электрона в атоме. Как было установлено выше,
Ф-функция электрона в атоме водорода представляется в виде
3=1
F.50)
2me2 2 , / 2mEn
a = = -, kn = a I —
h2 a' \j h2
Рассмотрим сначала основное состояние, в котором, естественно, п = 1.
Его нормированная функция, как уже указывалось выше, есть
^fcir, fci = ±. F.51)
Очевидно, что Ф].(г) имеет максимум при г = 0, т. е. в ядре атома. Это
то, что осталось от того вывода, который сделала бы классическая меха-
механика. По классике электрон должен упасть на ядро. А мы это классиче-
классическое утверждение заменяем другим: для электрона характерно некоторое
пространственное распределение волновой функции, максимум которого
6.3. Пространственные распределения электрона в атоме водорода 133
находится в начале координат. Но нельзя делать вывод о том, где вероятнее
всего находится электрон, рассматривая координатную зависимость только
лишь его волновой функции. Надо рассматривать величину | Ф1 (r) | dV —
вероятность того, что электрон находится в объеме dV.
Вследствие сферической симметрии задачи удобно перейти к сфериче-
ским координатам. Возьмем сферический слой радиуса г и толщины dr.
Его объем равен dV = 4тгг2'dr. Тогда вероятность нахождения электрона в
этом слое, согласно F.51), составляет
dWx = W!(r)dr = —e^2r/a47rr2dr F.52)
тга3
(индекс " указывает, что мы рассматриваем состояние с п = 1). Так
как экспонента убывает быстрее, чем любая степенная функция нарастает,
плотность вероятности w\{r) = dWi/dr где-то имеет максимум по г. По-
Положение этого максимума определяется из условия dw\/dr = 0 и дается
выражением
Гтах = а=—-• F.53 а)
те2
На таком расстоянии от ядра вероятность обнаружить электрон максималь-
максимальна. Эта величина есть радиус первой боровской орбиты. Если бы мы рас-
рассматривали водород ©подобный атом с Z > 1, то получили бы
Гтах = -\. F.53 6)
Здесь используется старая, боровская терминология. На самом деле мы
далеко ушли от боровских представлений. Во-первых, электрон не всегда
обращается вокруг ядра в том смысле, что не всегда имеет момент импульса
относительно ядра. Но мы как раз и искали состояния, в которых электрон
не вращается, и нашли таковые. Во-вторых, в атоме нет орбит, а есть про-
пространственное распределение вероятности, на первый взгляд как бы даже
имеющее максимум в нуле. Тем не менее боровский радиус — это очень
полезный параметр, поскольку он определяет по порядку величины рас-
расстояние от ядра, на котором с максимальной вероятностью можно встре-
встретить электрон. На расстояниях, заметно превышающих эту величину, элек-
электрон найти практически невозможно, так как соответствующая вероятность
экспоненциально падает по мере роста г (рис. 6.3, а).
Численное значение величины а = 0,529 А = 0, 529 • 10~8 см хоро-
хорошо совпадает с тем, что дают газокинетические опыты. Заметим, что это
обстоятельство — "диаметр" атома водорода равен одному ангстрему —
поясняет, почему "столь внесистемная" единица длины, несмотря на все
декреты и стандарты, до сих пор живет в повседневном лексиконе физиков.
Обратимся теперь к возбужденным состояниям. Для следующего за ос-
основным состояния квантовое число п = 2, и степенной ряд F.50) для
134
Гл. 6. Водородоподобный атом
Ф-функции обрывается на втором члене:
F.54)
В соответствии с рекуррентным соотношением в F.50) оказывается А2 =
ь причем к2 = 1/2а. Тогда
F.55)
Хотя коэффициент А\ и не представляет для нас интереса, отметим, что
w2(r)
0,6
04
0,2
г
1
Л
N. г/а
jp»,
12 3 4
а
Рис. 6.3. Распределение вероятностей нахождения электрона в атоме водорода для
случаев основного (а) и первого возбужденного (б) состояний
ОО
он определяется из условия нормировки \\^2\ dV =
о
4тгг2с1г = 1
и равен
Самым интересным в формуле F.55) является наличие нуля Ф-функции
при значении г = 1/fe = 2а, т. е. при двойном боровском радиусе.
Вероятность найти электрон в интервале dr, удаленном на расстояние г
от ядра, есть
dW2(r) =w2(r)dr = a\(l - —)
V 2а/
F.56)
График плотности вероятности W2(r) приведен на рис. 6.3, б. Функция
w2{r) имеет четыре экстремума: два минимума и два максимума. Один
6.3. Пространственные распределения электрона в атоме водорода 135
минимум, как и в случае п = 1, находится в центре атома при г = 0. Второй
минимум реализуется при г = 2а, когда при удалении на двойной боров™
ский радиус Ф-функция первого возбужденного состояния обращается в
нуль. Максимальные значения плотности вероятности достигаются при
ri = C - у/Ь)а, г2 = C + у/Ь)а. F.57)
Таким образом, в распределении вероятностей появился узел при г > 0,
т. е. точка, где электрон найти нельзя. Частица может быть расположена в
двух областях:
0 < г < 2а и г > 2а. F.58)
Как видно из рис. 6.3, б, более вероятно ее найти во второй области, т. е.
на расстоянии, превышающем 2а. В этом состоит статистический смысл
понятия более высокой (в нашем случае — второй) боровской орбиты. Тем
не менее электрон в первом возбужденном состоянии может с конечной
вероятностью находиться и на более низкой орбите @ < г < 2а).
Итак, волновая функция основного состояния #i(r) не имеет узлов
нигде в области 0 < г < оо. В случае первого возбужденного состояния у
функции Ф2 (j) появляется один узел. По мере дальнейшего роста квантово-
квантового числа п волновая функция Фп(г) каждый раз дополнительно пересекает
нулевую линию. Число узлов функции n-го состояния равно п — 1: один
узел при п = 2, два узла при п = 3 и т. д. Сказанное отражает содержание
осцилляционной теоремы, которая упоминалась в гл. 5.
Приведем для справок нормированную волновую функцию состояния
с квантовым числом п = 3:
Фз(г) = , l f 1 - — + —) ехр (-—) , F.59)
W л/27^з V За 27аЗ/ F\ За/' l J
исследование которой подтверждает все сделанные утверждения.
Очевидно, что более высоким уровням энергии соответствуют еще бо-
более сложные пространственные распределения вероятности обнаружить
электрон.
То обстоятельство, что пространственная ширина максимумов распре™
делений рис. 6.3, а и 6.3, б по порядку величины совпадает с тем расстоя-
расстоянием, на котором этот максимум наблюдается, подчеркивает всю услов-
условность понятия орбиты. Если и говорить о наглядном зрительном образе,
то приходится признать, что представление об электронном облаке или о
должным образом послойно стратифицированной по высоте электронной
оболочке более точно передает суть дела.
Развитые нами сейчас соображения качественно могут быть применены
к анализу более тяжелых атомов, если интересоваться их внутренними элек™
тронами. Хотя термины "внутренний" и "внешний" по отношению к элек-
электронам многоэлектронного атома не нужно понимать слишком буквально
и прямо, пользоваться ими все-таки можно. Если у одного электрона функ-
функция распределения такова, какой она показана на рис. 6.3, а, а у другого —
как на рис. 6.3, б, то естественно считать, что первый электрон находится
136 Гл. 6. Водородоподобный атом
обычно ближе к ядру, чем второй. Поэтому можно говорить, что первый
из них по отношению ко второму является внутренним, по крайней мере
качественно. Такое представление оказывается полезным при оценочном
рассмотрении вопроса.
Остановимся кратко на случае тяжелого атома с большим числом разных
электронов. Среди этих электронов есть внутренние. Волновые функции
этих внутренних электронов "прижаты" к началу координат, т. е. к ядру,
и максимально просты. Поле внешних электронов на внутренние действует
относительно слабо. Для качественных оценок можно считать, что каждый
из внутренних электронов находится только в поле ядра. Тогда для этих
электронов тяжелых атомов справедливы как оценочные те же формулы,
которые были получены для атома водорода, если только произвести в них
замену е2 —> Ze2.
Существенными характеристиками электрона являются энергия его
основного состояния и расстояние от ядра. В соответствии с F.39) и F.41)
для самого глубоко расположенного электрона (п = 1)
т-, m(Ze2J rj2 h2 a /r rn,
Ei = —— J— = —sbZ, r\ = = —. F.60)
2H? ' mZe2 Z l J
С возрастанием заряда ядра (номера элемента) энергия внутреннего элек-
электрона, все сильнее и сильнее поджимающегося к центру, растет пропорцио™
нально квадрату заряда ядра (~ Z 2). С внутренними электронами связаны
так называемые характеристические рентгеновские лучи, энергия квантов
которых возрастает при переходе от элемента к элементу пропорциональ-
пропорционально Z. Но об этом речь пойдет позднее.
6.4. Сериальные закономерности в линейчатых спектрах
атомов
Четкий результат теории, выраженный формулой F.45) для уровней
энергии электрона в атоме водорода, позволяет проводить количественное
сравнение с экспериментом.
Прежде всего ясно, что должен существовать набор потенциалов иони-
ионизации, соответствующих переходам электрона из дискретных связанных
состояний сп = 1, 2, Зит.д. в континуум свободных состояний. В случае
атома водорода, находящегося в основном состоянии, т. е. при п = 1, мини-
минимальная энергия, необходимая для такого "связанно-свободного" перехода
(первый потенциал ионизации), составляет 13,6 эВ. Опыты Франка и Герца
отчетливо показали наличие явно выраженных дискретных потенциалов
ионизации. До создания квантовой механики это казалось удивительным.
Но главное состоит в объяснении оптических спектров не только каче-
качественном, но и количественном.
Как известно, излучение изолированных атомов (находящихся в атом-
атомных пучках, разреженных атомарных, т. с. не молекулярных, газах, в па-
парах металлов при относительно низких давлениях) отличается наибольшей
6.4. Сериальные закономерности в линейчатых спектрах атомов 137
простотой. Спектры таких объектов состоят из ряда дискретных спектраль-
спектральных линий и по этой причине называются линейчатыми.
Линейчатый спектр газов может быть возбужден различными способа-
способами. Он появляется при электрическом разряде через газ, при бомбардировке
атомов газа электронами в установках, подобных тем, что использовались
в опытах Франка и Герца, при нагревании газа, при освещении светом под-
подходящей длины волны и т. п.
Расположение линий в линейчатых спектрах не представляет собой бес-
беспорядочного скопления. Внимательное изучение этих спектров атомов при™
вело к установлению определенных закономерностей.
Впервые некая строгая закономерность в расположении линий спектра
водорода была обнаружена И. Бальмером еще в 1885-м году. Он нашел,
что в спектре водорода есть серия линий, частоты которых укладываются в
общую формулу
(±L) m = 3, 4, 5, ... F.61)
В спектроскопии вместо частоты v часто рассматривают величину N =
= - = -. Это число показывает, сколько волн данной длины укладывается
с А
на единице длины (в одном сантиметре). Такой способ указания значения
частот спектральных линий — в обратных сантиметрах (см^1) — истори-
исторически обусловлен особенностями спектрометрической техники измерения
спектральных промежутков в угловой или линейной мере. В этих единицах
для серии Бальмера
N = R (— - — V m = 3, 4, 5, ... F.62)
V22 m2/' ' ' ' К J
Экспериментально найденное значение коэффициента R составляет
R = R/c = 109677J см. F.63)
Величину R называют постоянной Ридберга.
Установлено, что 29 линий водородного спектра с поразительной точ-
ностыо укладываются в формулу серии Бальмера F.62). Число знаков в
постоянной Ридберга, с одной стороны, показывает, какой точности дости-
достигает спектроскопия, а с другой стороны, иллюстрирует, насколько удачна
формула Бальмера. Следовательно, это не просто удачно подобранная эм-
эмпирическая формула, а выражение какой-то внутренней закономерности.
Серия Бальмера лежит в видимой и близкой ультрафиолетовой областях
спектра. Фотография спектра этой серии линий выглядит примерно так,
как показано на рис. 6.4. Самая длинноволновая из них — знаменитая
о
линия На — имеет длину волны в 6562,8 А и лежит в красной области
спектра. Ее чистый и ясный красный цвет долгое время служил (по крайней
мере до широкого распространения гелий - неоновых лазеров) эталоном
138
Гл. 6. Водородоподобный атом
понятия красного. Граница серии лежит в ультрафиолетовой области при
Л = 3647 А.
Глубокий смысл сериальных формул стал еще более выпуклым, когда
были открыты серия Лаймана (далекая ультрафиолетовая область):
N = r(^~ —
V2 2
Л2 ш
серия Пашена (близкий инфракрасный свет):
1
т = 2, 3, 4, ...
N = r(^~ —
V32 т2
серия Брэккета:
серия Пфунда:
= 4, 5, 6, ... ,
т = 5. 6, 7, ...
= Д — - _ , m = 6, 7, 8, ...
\52 т? !
При этом все серии имели одно и то же значение постоянной Ридбер-
га R. Вскоре Ритц объединил все линии водородного спектра в ряд серий,
описываемых единой формулой:
= r(—-—), п = 1, 2, 3, ..., m > п.
F.64)
N
н„
н.
6563
4861 4340
3647 А, А
Рис. 6.4. Примерный вид серии Бальмера в спектре атома водорода. Указаны (округ-
(округленно) длины волн и обозначения первых трех линий, а также коротковолновая
граница серии
Эта формула была установлена на основании анализа экспериментальных
данных в 1908 г., задолго до появления квантовой механики. Тот факт, что
она так хорошо описывала все спектральные закономерности, уже давно
наводил на мысль, что она отвечает какому-то глубинному физическому
смыслу. Но все попытки классического объяснения не приводили к успеху.
Если же принять во внимание, что всякая спектральная линия есть резуль-
результат испускания (или поглощения) энергии при переходе атома с одного из
дискретных уровней энергии (№ ш) на другой (№ п), а энергия кванта
6.4. Сериальные закономерности в линейчатых спектрах атомов 139
соответствующего излучения должна быть равна разности энергий этих
уровней, то из F.45) следует
F.65)
2h2
где
2П2
= 13,6 эВ. Переходя здесь от частоты света к его длине волны,
ш = 2тгс/Л, приходим к формуле Ритца F.64). Кроме того, мы получаем
явное выражение постоянной Ридберга:
R=
= 109737,3 см"
F.66)
(В последних формулах во избежание недоразумений мы обозначили
массу электрона как гае). Значение F.66) численно весьма близко к экс-
экспериментально найденному значению постоянной Ридберга F.63). Схе-
Схема переходов, отвечающая некоторым спектральным сериям, показана на
рис. 6.5.
п = 5
п=4
п
м
f\
м
м
п
п
п
п
f\
п
у
п
Г 1
f
серия Бреккета
серия Пашена
г
серия Бальмера
серия Лаймана
Рис. 6.5. Примерная схема уровней атома водорода и переходов, отвечающих ос-
основным спектральным сериям
Оптические измерения производятся с огромной точностью. Поэтому
именно в оптике хорошо сравнивать теорию с экспериментом. Здесь умеет™
но подчеркнуть, что в теорию атома водорода, результаты которой столь
хорошо совпали с экспериментом, не было введено ни одной новой пос-
постоянной: значение заряда электрона бралось из опытов Милликена,
массы — из опытов Холла, постоянной Планка — из опытов по фото-
фотоэффекту и т. д.
140 Гл. 6. Водородоподобный атом
К сказанному следует добавить, что сплошной спектр, всегда примы-
примыкающий к границе той или иной серии, легко объяснить переходом электро-
на с одного из связанных состояний в свободное состояние с любой кине-
кинетической энергией и обратно (переход дискретный уровень-континуум).
Заметим также, что водород весьма распространен во Вселенной, так
что его спектральные линии встречаются при изучении большинства кос-
космических объектов. В частности, переходы между уровнями с высокими
значениями квантового числа п наблюдались при исследовании межзвезд-
межзвездного пространства радиоастрономическими методами на волнах около 5 см
и 8 см, т. е. при N = 0,2 см^1 и N = 0,125 см.
6.5. Изотопический эффект
Вернемся к выражению для постоянной Ридберга F.66), пропорцио-
пропорциональной энергии ионизации атома водорода и определяющей спектральное
положение линий излучения в сериях Бальмера, Лаймана и т. п. Входя-
Входящая в это выражение величина т является массой электрона и появилась
в соответствующих формулах в уравнении Шредингера при записи операто-
pa кинетической энергии в форме ——А. Но при этом предполагалось, что
2т
масса ядра бесконечно велика, и потому решалась задача о движении элек-
трона около неподвижного ядра. В действительности надо рассматривать
движение как ядра, так и электрона около их общего центра масс. Отноше-
Отношение массы водородного ядра к массе электрона составляет примерно 1835,
и поправка, хотя и мала, но все же вполне измерима.
В первом приближении поправку можно учесть, если вместо массы
электрона использовать его приведенную массу
тМ m ,r г„^
II = = , F.67)
т + М 1 + (т/М)
где М — масса ядра. Тогда уточненное выражение для постоянной Ридбер-
Ридберга для атома водорода, традиционно обозначаемой символом Rh, прини-
принимает вид
RH = ~^— = — = 109677,6 см. F.68)
4тгсЯ3 1 + (т/М)
Здесь введено обозначение
^ = 109737,3 см^1 F.69)
для постоянной Ридберга, которая формально отвечала бы случаю бес-
бесконечно тяжелого ядра. В результате мы пришли к значению Rh, очень
близкому к тому, что было установлено экспериментально.
Не было бы особого смысла останавливаться специально на такой спек-
спектральной тонкости, если бы она не привела к открытию тяжелого водоро-
водорода — дейтерия.
6.6. Время жизни, ширина линии 141
После того как естественная смесь изотопов была обогащена тяжелым
водородом путем длительного и медленного испарения сжиженного газа
(более легкие молекулы, как известно, выпариваются быстрее), спектр сме-
смеси показал отчетливое наличие в серии Бальмера так называемых изото™
пических дублетов. Линии расщепились, новые компоненты сдвинулись в
сторону низких частот в точном соответствии с формулой F.68) и предполо-
предположением о существовании атома водорода с ядерной массой, вдвое большей
массы атома обычного водорода: М « 2Мя. При этом
Rd _ 1 + (т/Мн)
Rh I + (m/MD)
1,000272. F.70)
Для первых линий серии Лаймана этот сдвиг составляет примерно 0,3 А.
Аналогичная поправка на приведенную массу проявляется в сериаль-
сериальных спектрах ионизованного гелия, для которого Z = 2 и М « АМн-
С учетом этих обстоятельств формула Ритца для ионизованного гелия пол-
полностью соответствует формуле Ритца для водорода.
Следует отметить, что поправку на приведенную массу мы ввели, от-
отталкиваясь от представлений классической механики. Эту поправку, одна-
однако, можно получить и непосредственно, исходя из уравнения Шредингера
(см. задачу 14 семинара).
6.6. Время жизни, ширина линии
Когда выше говорилось об уровнях энергии, по умолчанию предпо-
предполагалось, что они являются энергетически бесконечно тонкими. Но такое
предположение незаконно. Оно было бы верным, если бы уровни были
населены бесконечно долго. Однако на самом деле частицы, находящие-
находящиеся на каком-либо определенном уровне энергии, бесконечно долго на нем
не остаются. Это приводит к появлению конечной ширины данного уровня.
Ввиду важности этого вопроса разберем его подробнее.
Запишем соотношение неопределенности "энергия-время":
П, F.71)
связывающее время жизни состояния т и ширину его энергетического спек™
тра Г = АЕ. Один механизм происхождения ширины Г как результат мед™
ленного туннелирования частицы из "потенциального ящика" обсуждался
в конце предыдущей главы. В случае атома переходы с более высоких уров-
уровней на более низкие могут осуществляться как под действием внешних
факторов (вынужденные переходы), так и самопроизвольно (спонтанные
переходы). Последние определяют так называемую естественную ширину
линии Гест.
Постулаты Бора фактически предполагают, что ширина любого уровня
бесконечно мала. То же самое мы получили, решая уравнение Шредингера
для атома водорода. В последнем случае это проявлялось в том, что основ-
основное и все возбужденные состояния являлись состояниями с определенной
142 Гл. 6. Водородоподобный атом
энергией. Тем не менее возбужденные состояния как правило имеют ко™
нечное время жизни, т. е. их энергетические уровни обладают конечной
шириной. Это противоречие связано с тем, что мы рассматривали элек-
электрическое поле только как источник силы притяжения между электроном
и ядром и никак иначе не учли законов электродинамики. То же самое
имело бы место и в классической механике: без учета степеней свободы,
связанных с электромагнитным полем, мы получили бы бесконечно долго
живущие возбужденные состояния системы противоположно заряженных
частиц.
Согласно классической электродинамике заряженная частица при нерав-
неравномерном движении может излучать энергию. Квантовомеханический
аналог этого процесса и приводит к появлению естественной ширины
возбужденных состояний. Строгий квантовомеханический расчет естест-
естественной ширины уровней требует привлечения законов квантовой элек-
электродинамики. Однако оценить ее характерный масштаб можно на основе
представлений классической физики. Например, рассматривая систему
"электрон-ядро" как диполь-осциллятор и используя для оценки време-
2 2
ни жизни возбужденного состояния формулу г ~ Е/Р, где Е ~
начальная энергия, m — масса электрона, х — амплитуда колебаний, Р —
2е2х2
мощность излучения, равная в дипольном приближении Р = =
Зс3
2e2x2uj4" Зтпс3 -л п 1Ait; _i /f i ^x
= , находим т ^ . Для частоты ш = 2 • 10 с (nw ~ 1 эВ)
Зз 422 м v ;
Зс
отсюда следует т ~ 10 8 с. Такая величина действительно характерна для
времени спонтанных (самопроизвольных) атомных переходов. Это соот-
ветствует естественной ширине линии Г = h/т ~ 10™19 эрг ~ 10™8эВ
(это примерно отвечает ширине линии АЛ^5-10^8 мкм при длине волны
центра линии А ~ 1 мкм).
Рассмотрим теперь вопрос о том, когда же атом перешел из возбуж-
возбужденного состояния в основное, если при переходе был испущен цуг волн
длительностью т. В классической физике атом мог катиться из возбужден-
возбужденного состояния в основное, проходя по дороге все промежуточные значения
энергии. В квантовой механике этого не может быть, поскольку все про-
промежуточные значения энергии невозможны. Значит, до какого-то момента
времени атом находился в возбужденном состоянии, а после какого-то опре-
определенного момента он оказался в основном состоянии. Атом не совершил
переход до того, как цуг начал испускаться, переход не совершался также
и после того, как акт испускания закончился. Переход состоялся где-то на
интервале 0 ^ т.
Ответить на вопрос, в какой именно момент времени на этом интер-
интервале атом перестал находиться на верхнем уровне и оказался на нижнем,
невозможно. Поэтому тот временной интервал, в течение которого мимо
наблюдателя проходит испущенная при переходе световая волна, это и есть
та неопределенность во времени, с какой мы можем определить момент
перехода атома из одного состояния в другое.
6.6. Время жизни, ширина линии 143
Временная неопределенность, т. е. разброс в моментах времени, в кото-
которые те или иные атомы из множества себе подобных "покидают" возбуж-
возбужденный уровень, эквивалентна такой важной статистической характеристи-
характеристике ансамбля атомов, как среднее время жизни соответствующего уровня
энергии.
В соответствии с F.71) неопределенность во времени существования
энергетического уровня определяет неопределенность значения его энергии
или, что эквивалентно, его энергетическую ширину. Значит, время жизни,
т. е. время, в течение которого атом в среднем может находиться на уровне,
определяет ширину этого энергетического уровня.
В основном состоянии атом, взятый сам по себе, без внешних воздей-
воздействий, может находиться бесконечно долго, поскольку из этого состояния
уже никуда перейти не может. Поэтому основной уровень имеет беско-
бесконечное время жизни и, следовательно, нулевую ширину. Это бесконечно
тонкий энергетический уровень. Возбужденные же уровни имеют каждый
свою вполне определенную конечную продолжительность жизни. Поэто-
Поэтому они обладают конечной шириной. Они тем шире, чем короче их время
жизни. Любые процессы, сокращающие время жизни на соответствующем
уровне, приводят к уширению уровня и тем самым, очевидно, к уширению
спектральных линий.
В качестве примера рассмотрим экспоненциальный распад уровней:
Г о, t<o,
f = I ' F.72)
[ /оехр(-*/2т-га;о*), t> 0,
где т — время релаксации энергии возбуждения (количества атомов на
возбужденном уровне Е2), %ш® = (^2 — Е\)/К — некоторая центральная
частота. Как правило, экспоненциальный закон часто имеет место при раз™
ного рода релаксационных процессах, обусловленных, например, обменом
энергии при газокинетических столкновениях частиц. Экспоненциальный
распад уровней здесь не имеет смысла закона индивидуального "разруше-
"разрушения" одного уровня одной частицы. Это невозможно. Один уровень, взятый
сам по себе, распадается сразу, в одном единичном акте. Речь идет лишь о
вероятностях. Имеется в виду большое множество, ансамбль одинаковых
по природе и имеющих одинаковую энергию уровней, которые распада-
распадаются, опустошаются "по очереди" так, что с течением времени количе-
количество возбужденных уровней (количество атомов на возбужденном уровне)
уменьшается экспоненциально. Фурье-спектр этого процесса есть спектр
iwt) dt = i-^—r,
которому отвечает нормированный энергетический спектр
: + —
At2
144
Гл. 6. Водородоподобный атом
Это известная нам лоренцевская форма линии. С ней мы уже еталкива-
лись ранее при изучении туннелирования частиц из ящика. Ее ширина на
половине высоты, т. е. при расстройке ш = ш® ±1/2т, составляет Да; = 1/т,
что и должно быть.
6.7. Рентгеновские спектры
Спектральные закономерности излучения атомов в видимом и рентге-
рентгеновском диапазонах длин волн могут быть очевидным образом исполь-
использованы при построении модели электронной структуры сложных атомов.
Оптический спектр атома определяется поведением внешних электро-
электронов. Это становится особенно ясным, если принять во внимание, что одни и
те же атомы в разных химических соединениях демонстрируют различаю-
различающиеся оптические спектры. Внутренние электроны многоэлектронного ато-
атома проявляются в его оптических спектрах лишь постольку, поскольку
они как-то влияют на поведение внешних электронов. Непосредственно
же внутренние электроны проявляются в рентгеновских спектрах.
Как известно, рентгеновские лучи возникают обычно при торможе-
торможении потока электронов, бомбардирующих некоторый антикатод. Измене-
Изменения скоростей отдельных электронов при ударах о поверхность антикатода
происходят случайным образом независимо друг от друга. Образующее-
Образующееся при этом излучение представляет собой случайную последовательность
коротких импульсов разной длительности и обладает сплошным спектром.
Сплошной спектр тормозного излучения (рис. 6.6, а) имеет максимум
30 кВ
25 кВ
0,15 0,20 А,ым
Рис. 6.6. Спектр тормозного рентгеновского излучения при облучении вольфрамо-
вольфрамового анода (а); то же при облучении молибденового анода (б)
при некоторой определенной длине волны, причем в сторону длинных волн
6.8. Закон Мозли 145
спад интенсивности идет полого, а в сторону коротких — круто. С корот-
коротковолновой стороны спектр резко обрывается при некоторой длине волны,
определяемой энергией электронов по простому правилу:
hv = eV. F.73)
Следует подчеркнуть, что характер сплошного спектра тормозного из™
лучения практически не зависит от природы антикатода. Существенно,
однако, что такое тормозное излучение наблюдается, когда энергия элек-
электронов не превышает некоторой определенной, характерной для вещества
антикатода, критической величины.
Когда же энергия электронов равна или превышает эту величину, то
возникает так называемое характеристическое излучение (рис. 6.6, б). Оно
так называется потому, что характерно для вещества антикатода. Спектр
его уже не является сплошным. Это излучение выглядит как монохромати-
монохроматическое и состоит из нескольких характерных линий. Каждый элемент дает
совершенно определенный, только ему присущий спектр характеристиче-
характеристического излучения, причем вне зависимости от своего химического состояния.
Это резко отличает рентгеновский спектр от оптического и свидетельствует
об участии в его возбуждении внутренних электронов.
При исследовании характеристического излучения оказалось, что его
спектральные линии группируются в серии. Самая коротковолновая из них
получила наименование серии К, следующие — L, М, N шт. д.
6.8. Закон Мозли
Рентгеновские лучи — это весьма высокочастотное электромагнитное
излучение. Энергия его квантов очень сильно, в тысячи раз, больше энергии
квантов видимого света. Следовательно, испускание атомом характеристи-
характеристического рентгеновского излучения сопровождается потерей им громадных
порций энергии, соответственно превышающих таковую при испускании
видимого света. Всякое изменение внутренней энергии совокупности элек-
электронов атома связано с изменением их конфигурации.
Чем более высоки потери энергии в акте испускания кванта излучения,
тем более прочные части атома подвергаются перестройке. Естественно
предположить, что именно внутренние электроны, в силу близости к ядру
более прочно с ним связанные, принимают участие в этих процессах.
Генри Мозли в 1913-1914 годах установил, что частоты линий характе™
ристического рентгеновского спектра связаны с порядковым номером ато-
атома Z соотношением
у/п = A(Z -a), F.74)
где А и а — величины, сохраняющие свое значение в пределах одной и той
же серии для всех элементов, но меняющиеся при переходе от серии к серии.
Для К -серии число а = 1, для L-серии а = 7,5. Закон Мозли, утвержда-
утверждающий линейную зависимость между корнем из частоты и номером атома,
выполняется прекрасно. Настолько прекрасно, что он был использован для
146 Гл. 6. Водородоподобный атом
уточнения порядка следования элементов в группе редких земель и для
обнаружения пропущенных элементов таблицы Менделеева.
Выше в связи с обсуждением уровней энергии водородоподобного ато-
атома было замечено, что соответствующие соотношения можно использовать
как оценочные для внутренних электронов тяжелых атомов. В соответствии
с F.39) энергия электронов в водород ©подобном атоме квантуется по пра-
виду
Еп = -^^, 71 = 1,2,3,... F.75)
2h2 п2
Соответственно мы бы сказали, что при переходах между различными уров-
уровнями возникают спектральные линии, частоты которых должны следовать
правилу
hwnm = Еп- Ет = RZ2 _ - _ I или у/щ^ = AZ. F.76)
Связь этого оценочного выражения с формулой Мозли очевидна. Но фор-
формула F.76) — только оценка. Она никак не учитывает действия других
электронов. А в формуле Мозли есть поправочный член, общий для всех
атомов периодической системы элементов, начиная с 11-го (Na).
Дело в том что притягивающее действие атомного ядра на каждый из
атомных электронов ослаблено действием остальных электронов. Это экра-
экранирующее действие формально учитывается уменьшением Z на некоторую
величину а в формуле Мозли. Чем ближе к ядру электрон, тем сильнее
действие ядра, тем слабее экранирующее действие остальных электронов.
Следовательно, серия К обязана своим происхождением самой внутрен-
внутренней группе электронов. Утверждение, что это именно группа электронов,
подкрепляется существованием целой серии линий К: Ка, Кр9 К1 и т. д.
Более отдаленная группа (опять-таки именно группа) электронов экра-
экранируется сильнее. Для L-серии а = 7,5 и т. д. Следующие, более мягкие
серии — М, N, О — отвечают еще более удаленным группам. (Термины
"мягкое" и "жесткое" излучение, означающие соответственно излучение
с большей и меньшей длиной волны, возникли в рентгеновской спектро-
спектроскопии благодаря различию в проникающей способности этих излучений).
В соответствии со сказанным величину а называют постоянной экра-
экранирования. Качественно объяснить значение <г можно следующим образом.
Как будет показано ниже, в слое К атома может находиться всего два
электрона. При удалении одного из них остается один. В результате перехо-
переходы в К-слож осуществляются в поле частично экранированного ядра, т. е.
заряда Z — 1. Это отвечает значению а = 1, что вполне отвечает экспери-
экспериментальным данным.
Слой L вмещает 8 электронов. Поэтому всего в К- и L-слоях содержится
доЖ = 8 + 2 = 10 электронов. При переходах на вакантный уровень в этом
слое эффективный заряд атомного остова есть Z — (N — 1) = Z — 9. Из этих
рассуждений следует, что а = 9. В действительности а = 7,5, т. е. имеется
заметное расхождение между теоретической оценкой и экспериментом. Это
6.8. Закон Мозли
147
расхождение свидетельствует о том, что электроны, участвующие в пере-
переходах, заметную часть времени проводят на малых расстояниях от ядра, где
степень экранирования меньше. С подобным явлением мы уже сталкива-
сталкивались при анализе электронных орбит в атоме водорода. Согласно сказанному
мы должны "исправить" формулу F.76) следующим образом:
v = R{Z-o?\±--±\.
Отсюда сразу следует закон Мозли F.74).
Весьма важным является то обстоятельство, что значение поправки а
в заданной серии оказывается одним и тем же для всех элементов.
Значит, внутренние группы электронов построены одинаково у атомов
разных элементов. Следовательно, в нормальном состоянии электронная
система атома представляет собой совокупность последовательных слоев
электронов, окружающих ядро. Первый из них — это ближайший к ядру
слой К, затем идет слой L, затем — М, и т. д. Это очень важный вывод для
построения последовательной теории атома.
Схема переходов, отвечающих некоторым спектральным линиям и сери-
сериям характеристического рентгеновского излучения, показана качественно
на рис. 6.7.
Непрерывный спектр
М
К
К-,
к?
ка
f 1
f \
\
f \
f }
ма
\
f \
i
f
f
L~ серия
г
Возбуждение
L- серии
s
I
s
О
PQ
К- серия
Рис. 6.7. Некоторые линии характеристического рентгеновского излучения. Слева
указаны атомные слои К, L, М
148 Гл. 6. Водородоподобный атом
Пусть каким-либо внешним воздействием электрон вырван из слоя К. Об-
Образовавшаяся вакансия заполняется при соответствующем переходе на ва-
вакантное место в слое К либо свободного электрона, либо электрона из
слоев L, М и т. д., что и дает какую-то линию i^-серии. Жесткая грани-
граница К -серии соответствует переходу в if-слой свободного электрона (на
рис. 6.7 — крайняя правая стрелка в спектральной серии). Аналогично
формируются и другие спектральные серии.
Наконец, следует отметить, что рентгеновские линии как правило воз-
возникают не поодиночке, а все вместе. Дело в том что при излучении, напри-
например, Ка -линии возникает вакансия в L-слое атома. Поэтому оказываются
возможными переходы электронов из слоев М, N, О и т. д. на L-уровни,
сопровождаемые излучением L-серии рентгеновского излучения. В свою
очередь эти переходы делают возможным излучение серий М, N и т. д.
ГЛАВА 7
ШТРИХИ К МОДЕЛИ АТОМА.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Ordnung muss sein.
Порядок долженствует быть.
(Очень немецкое утверждение)
7.1. Момент импульса
При движении электрона вокруг ядра, когда Ф-функция имеет угловую
зависимость, момент импульса ^ становится существенным. Это приво-
приводит к дополнительному квантованию, что отчетливо проявилось в опытах
Штерна и Герлаха.
Найдем, какие значения может принимать момент. Начнем с задачи о
возможных значениях проекции момента на какую-то ось Z. Исходим из
уравнения, определяющего собственные значения оператора Lz:
LZV = LZV. G.1)
Нам нужно найти его конечное, однозначное, непрерывное и гладкое ре-
решение. Тогда будут найдены состояния с определенным значением Lz —
проекции момента количества движения на ось Z. Поскольку
А, G.2)
Oif
уравнение G.1) переписывается как
-ih™ = L,9. G.3)
Последнее уравнение имеет хорошо известное решение:
Ф = ^oeiLz(p/h. G.4)
Это решение, конечно, непрерывно, но в общем случае не однозначно. Для
обеспечения однозначности, т. е. для того чтобы при углах, отличающих-
отличающихся на 2тг, волновая функция принимала одинаковые значения, необходи™
мо потребовать, чтобы Ф(<^ + 2тг) = Ф(<?>). Тогда из G.4) следует, чтобы
¦^ Мы будем также употреблять термины "момент количества движения" и "уг-
"угловой момент", которые столь же часто встречаются в научной литературе.
150 Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
exp B7iiLz/h) = 1, так что отношение Lz/h должно быть целым числом.
В итоге мы получаем следующее условие квантования проекции момента:
Lz/h = m, G.5)
где т — любое целое число, т = 0, ±1, ±2, ... Его называют магнит-
магнитным квантовым числом, потому что оно играет важную роль в явлениях,
связанных с магнитным полем.
Итак, проекция момента количества движения на ось Z равна целому
числу постоянных Планка:
Lz=mh, га = 0, ±1, ±2, ... G.6)
С учетом G.5) выражение для волновой функции может быть перепи-
переписано в виде
Ф = — eim*\ G.7)
/2^
Коэффициент Фо = \/ \/2ж введен здесь из условия нормировки Ф-функ-
ции \ |Ф|2# = 1.
о
Обратимся теперь к вопросу о возможных значениях квадрата момента
количества движения. В рамках классической механики можно записать
L2 = L^ + L2y + h\. Аналогичное соотношение имеет место и для опера-
операторов:
L2 = 1\ + Ц + 1\. G.8)
Соответственно для средних величин выполняется равенство
(L2) = (Ll) + (Ll) + (Li). G.9)
Рассмотрим только сферически-симметричный случай (например, слу-
случай центральных сил). Тогда момент количества движения сохраняется и
имеет определенное значение. Кроме того, вследствие сферической сим-
симметрии
(Ll) = (I® = (Ll). G.10)
Поэтому
(L2) = 3(?2). G.Ц)
Пусть система имеет некоторый момент импульса. Тогда, согласно G.6),
его проекция на ось Z может принимать лишь ограниченный набор значе™
ний. Обозначим максимальное значение числа т в G.6) как I. Тогда воз-
возможны проекции га, по правилу квантования G.6) отличающиеся друг от
друга на единицу:
т = -Z, -(I - 1), ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., (I- 1), I. G.12)
Всего этих проекций 21 + 1 штук.
7.2. Систематика состояний на основе значений момента импульса 151
Нам надо найти (l?z ). Будем считать, что все 21+1 значения проекции Lz
равновероятны. Тогда
1 9 1
I т 2 \ 1 V4 /1 \ 2 ^ V^ 2
(Li) = > {am) = > m =
X Z/ 21 + 1 ^, 7 21 + 1 ^,
m= — l m= — l
21 + 1 ^ 3
т=1
Здесь мы воспользовались известным равенством (см. приложение в конце
главы):
I
X ~ 1
-1). G.13)
(
тп=1
В результате из G.11) мы получаем, что средний квадрат момента импульса
системы принимает значения
(L2) = П21A + 1), G.14)
Обратим внимание на то, что \/{Ь2) > (Lz)max = Ы. Этот факт связан
с тем, что одновременно определенное значение могут иметь только одна из
проекций момента (например, Lz) и его квадрат L2. Две другие проекции
при этом не имеют определенного значения, так что (L2 + Щ) > О-
Очень часто в квантовой механике моментом системы называют число I,
т. е. максимальное значение его проекции на ось Z, измеренное в единицах
постоянной Планка Н. Эту терминологию мы также будем использовать,
если противное не оговаривается.
7.2. Систематика состомний на основе значений
момента импульса
Итак, угловая зависимость волновой функции в сферически-симметрич-
сферически-симметричном случае характеризуется парой чисел: проекцией m углового момента
на ось Z и его квадратом (см. G.14)). Других характеристик мы указать
уже не можем. Величина I является одной из важнейших характеристик
состояния электронной оболочки атома. При данном I количество значе-
значений, которые может принимать проекция момента импульса на выделенное
направление, равно 21 + 1.
Исторически первой в роли той экспериментальной науки, на кото-
которой основываются и с помощью которой строятся модели электронной
оболочки атомов, выступила спектроскопия. По историческим же причи™
нам в спектроскопии принято говорить, что при I = 0 мы имеем дело
с s-состоянием, если I = 1 — то это р-состояние, если I = 2 — то
d-состояние, 1 = 3 — /-состояние, а далее — по алфавиту (#, /г, г, ...).
152 Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
Эта терминология заимствована из систематики спектров щелочных метал™
лов и происходит от сокращения английских прилагательных, качественно
описывающих наблюдаемое:
1 = 0: sharp — s-состояние (резкий спектр);
1 = 1: principal — р-состояние (главный спектр);
1 = 2: diffuse — d-состояние (диффузный спектр);
1 = 3: fundamental — /^состояние (фундаментальный спектр).
Легко запомнить, что именно 5-состояние обладает моментом, равным
нулю, потому от углов не зависит, т. с. является сферически-симметричным.
7.3. Квантовые числа электрона в водородоподобном
атоме
В предыдущем изложении, исследуя уравнение Шредингера примени™
тельно к электрону в кулоновском поле атомного ядра, мы ограничились
решениями, независимыми от углов 9 ш ср. Сейчас мы обсудим результаты
решения, при котором принимается во внимание зависимость не только от
радиуса, но и от угловых координат.
Запишем уравнение Шредингера для электрона в кулоновском поле:
= 0. G.15)
h2
Здесь мы обозначили массу электрона символом гае, чтобы не путать ее
с магнитным квантовым числом т. Решение этого уравнения может быть
представлено в виде
Ф(Г, в, if) = Фп1т(г)?1т(в, f), G.16)
где первый множитель описывает радиальную, а второй — угловую за-
зависимость волновой функции. Угловая часть волновой функции есть соб-
собственная функция оператора квадрата углового момента (см. C.48), C.49))
и удовлетворяет уравнению
_ ^ Л Л V, (А ?п\ — ^ K^ + l)v, (й [п\ A Л1\
Ae^Yim@, f) ^Ylm@, f).
2merz 2merz
L2 h2
(Напомним, что = — ^o^ сеть оператор центробежной ча~
2mer2 2mer2
сти кинетической энергии.) Зависимость ?^@^ f) от угла f как состо-
состояния с определенным значением проекции момента Lz = mh передается
формулой
Ylm@, <р) = РГ(cose)eim* G.18)
(ср. G.7); функции Pln(z), называемые присоединенными полиномами Ле-
жандра, для нас сейчас не представляют интереса).
7.3. Квантовые числа электрона в водородоподобном атоме 153
С учетом G.17) уравнение Шредингера для радиальной части прини-
принимает вид
Ze2
П2
Е-
2mer2
Ф = 0. G.19)
Этому уравнению можно придать более привычный вид, если ввести эф-
эффективный потенциал
иэф(г) = -^ + ^±^, G.20)
г 2merz
включающий, помимо обычной кулоновской части, еще и центробежную
энергию. Кулоновская часть входит со знаком "—" и отвечает притяжению,
а центробежная часть — со знаком "+" и отвечает отталкиванию. В резуль-
результате получим
ДГФ + ^ [Е - иэф(г)] Ф = 0. G.21)
Обратим внимание на то, что это уравнение не содержит магнитно™
го квантового числа т. Следовательно, от т не будет зависеть и энергия
Е. Данный факт почти очевиден, поскольку мы имеем дело со сферичес-
сферически-симметричным потенциалом, где отсутствуют какие-либо выделенные
направления. Поэтому, несмотря на то что волновая функция может явно
зависеть от угла (р, энергия состояния должна быть одинаковой для всех
допустимых значений т. Данное явление называется вырождением энер-
энергетических уровней. Если же сферическая симметрия потенциала окажется
нарушенной, то энергия будет зависеть иотт. Такая ситуация возникает,
например, при наложении на атом внешнего магнитного поля. Вместе с тем,
даже в случае сферически-симметричного потенциала энергия состояния
может явно зависеть от полного углового момента I.
Для нахождения значений энергии атома с помощью уравнения G.19)
можно воспользоваться процедурой, которая аналогична той, что была
реализована для состояния с нулевым угловым моментом (см. гл. 6, а также
задачу 17 раздела "Семинар"). Мы, однако, применим метод квантования
Бора-Зоммерфельда, дающий в данной задаче для значений энергии в точ-
точности тот же результат. Чтобы воспользоваться этим методом, учтем, что
АГФ = —, введем функцию и{г) = гФ(г) и перепишем уравнение
г дг2
G.21) следующим образом:
*± ?М = 0. G.22)
+
dr2 h2
Здесь введено обозначение
р(г) = ^2те[Е-иэф(г)}. G.23)
График зависимости 11эф(г) для случая I ф 0 показан на рис. 7.1.
Связанным состояниям электрона отвечают значения энергии Е < 0.
154
Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
Теперь для нахождения значений энергии можно применить правило
квантования Бора-Зоммерфельда, которое в нашем случае имеет вид
p(r)dr =
G.24)
Здесь пг = 0, 1, 2,
— произвольное целое число. Оно называет™
ся радиальным квантовым числом, по-
поскольку описывает квантование ради™
ального движения электрона. В G.24)
интегрирование выполняется по пол™
ному периоду квазиклассического
движения частицы, осуществляемому
между классическими точками пово™
г рота г 1 и Г2 (рис. 7.1), так что в явном
виде правило G.24) записывается сле-
следующим образом:
p(r)dr =
G.25)
Рис. 7.1. Эффективный потенциал
электрона в кулоновском поле ядра
при ненулевом угловом моменте
При этом, согласно G.20), G.23),
p(r) = 2me\E\{r-ri)^-r). G.26)
Значения Т\ и г 2 определяются из уравнения Е = С/Эф(г)? которое сводится
к квадратному уравнению
-г +
\Е\ 2те \Е\
С учетом G.26) правило квантования G.25) принимает вид
у/2те \Е\ V(r - ri)(r2 - г)— =тгП ( пг + - ) .
J г \ 2/
G.27)
G.28)
Используем "табличный" интеграл:
— = -
г 2
Следовательно,
G.29)
7.3. Квантовые числа электрона в водородоподобном атоме 155
Далее воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения G.27):
Ze2 h2l(l +1)
\Е\ 2тое \Е\
Отсюда нетрудно получить
« , Ze2
\Е\
G30)
Рассматривая квазиклассическое приближение, мы говорили, что в пра-
правиле квантования вносится поправка 1/2 к квантовому числу п. Дналогач™
ного типа поправка вносится и по орбитальному моменту (так называемая
( 1\2
поправка Лангера): 1A + 1) —> II + - J . Поэтому из G.29), G.30) получаем
Ze2 2fc Л . l\ 2^ / . 1
+ - = / \пг + -
2/ ^2тое|^| V 2
ИЛИ
^Е~ = /2h E ^Г + 1 + 1)'
Отсюда окончательно следует (с учетом знака энергии)
Е = ^^^ —. G31)
о fe2 2
Здесь введено обозначение
Величина п называется главным квантовым числом.
Обратим внимание на то, что мы получили фактически уже известное
нам выражение для уровней энергии электрона в водородоподобном атоме.
Разница состоит только в том, что мы связали главное квантовое число с
радиальным квантовым числом и орбитальным моментом.
Остановимся на условии применимости квазиклассического приближе™
ния к рассматриваемой задаче.
В наиболее существенной области движения \Е\ ~ \U\9 т.е. г ^
~ Ze21 \E\. Движение является квазиклассическим, если длина волны де
Бройля, А ~ h/^/2me \E\, мала по сравнению с размерами этой области:
—^=^= <С —^- или —^- А / -^- ^> 1. Вводя скорость частицы v ~ л/\Е\ /те,
л/2те\Е\ \Е\ Л у \Е\ Vii/
получим искомое неравенство:
Ze2 v
> 1, или - <С Za, G33)
hv с
156 Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
где а — постоянная тонкой структуры. Иными словами, движение элек™
трона должно происходить с относительно малыми скоростями или в поле
ядра с большим зарядом Ze.
Итак, полное решение задачи показывает, что тройка квантовых чисел
n, I, m описывает некоторое определенное состояние электрона в водо-
родоподобном атоме, в котором определенной значение имеют три одно™
временно измеримые величины — энергия, квадрат момента импульса и
проекция момента импульса.
7.4. Оболочечная модель водородоподобного атома
Обсудим, как установленные правила квантования позволяют постро-
построить оболочечную модель водородоподобного атома. Эта модель использует
тройку квантовых чисел п, I, т.
Состояния электрона в водородоподобном атоме разделяются на группы
с одним и тем же значением главного квантового числа п. Группы в свою
очередь делятся на подгруппы с одинаковым I. Подгруппы по изложенной
ранее схеме и в соответствии с отвечающими им значениями I обозначаются
буквами
/ = 0 — 5, 1 = 1—р, Z = 2 — d,
1 = 3 —f, 1 = 4 —g, l = 5^h и т. д.
В наименовании состояний должно учитывать также и главное квантовое
число. Это реализуется в виде записи nl. Например,
15, 25, 2р, 35, Зр, 3d, ...
При определении возможных состояний следует помнить равенство
п = пг + I + 1, связывающее главное квантовое число с радиальным чис™
лом и угловым моментом. Очевидно, что при заданном значении п ^ 1
орбитальный момент I может пробегать значения в диапазоне
О ^ Z < гс - 1. G.34)
Соответствующие значения радиального квантового числа пробегают зна™
чения п — 1 ^ nr ^ 0, так что сумма
nr + I = const = п — 1.
Состоянием с наинизшей энергией, или основным состоянием, явля-
является ^-состояние. У него п = 1 и, следовательно, 1 = 0. Соответственно
т = 0. Это так называемое невырожденное состояние. Последнее означа-
означает, что только одно состояние имеет такую энергию. Существуют и другие
л-состояния, у которых п = 2, 3, 4, ...,а! = 0. Но все эти состояния
обладают большей энергией.
Каждой энергии соответствует только одно состояние с I = 0, и оно
сферически-симметрично. Именно о таких состояниях шла речь в главе
7.4. Оболочечная модель водородоподобного атома
157
шестой при вычислении независящей от угловых координат Ф-функции
электрона в атоме водорода (см. формулы F.40), F.51), F.55), F.59) и
рис. 6.3). Волновые функции этих состояний с ростом радиуса-вектора г
меняют знак пг = п — 1 раз. Имеется п — 1 сферическая узловая поверх-
поверхность, где Ф-функция проходит через нуль.
За «^состоянием следует р-состояние, у которого 1 = 1. Для каждо-
каждого n ^ 2 при I = 1 существует три различные состояния с одинаковой
энергией. Эти состояния различаются значением проекции момента: т =
= -1, 0, +1.
Как следует из G.31), при заданном значении п величина энергии оказы-
оказывается одинаковой для всех допустимых орбитальных моментов I ^ n — 1.
При выбранном же значении I значения энергии оказываются одинаковыми
при всех возможных проекциях орбитального момента га, число которых
есть 21 + 1.
Как уже говорилось выше, явление, при котором одному и тому же
уровню энергии соответствует несколько различных состояний, называ-
называется вырождением. Количество способов, каким этот уровень может быть
построен, называется кратностью вырождения. Таким образом, р-уровень
трижды (трехкратно) вырожден A = 1, 21 + 1 = 3).
Схема уровней энергии для водородоподобного атома с учетом угловой
зависимости Ф-функции представлена на рис. 7.2.
п = А
As
Ad
?
3s
Ър
3d
п=2
п = \
2s
Is
Рис. 7.2. Схема уровней водородоподобного атома
Отметим, что для всех состояний с I > 0 волновые функции обраща-
обращаются в нуль в начале координат, т. е. на ядре. Кроме того, чем больше I,
тем больше среднее расстояние электрона до ядра. Последнее очевидно,
поскольку центробежные силы, возникающие при I ф 0, стремятся удалить
электрон от центра.
Суммируя сказанное, мы видим, что в водородоподобных атомах состо-
состояние с заданным главным квантовым числом п > 1 является вырожденным.
158 Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
Кратность вырождения равна
п-1
B1 + 1) = п2. G.35)
1=0
Например, при п = 3 имеется З2 = 9 различных квантовых состояний,
обладающих одной и той же энергией.
7.5. Снятие вырождении по моменту импульса
Мы рассмотрели идеализированную ситуацию, когда электрон нахо-
находится в поле точечного ядра, и установили, что уровни энергии вырождены
по орбитальному моменту. На первый взгляд подобное вырождение долж-
должно было бы иметь место и в случае щелочных металлов, у которых один
валентный электрон находится в поле атомного остатка с единичным поло-
положительным зарядом—ядра с зарядом Z\ e | и Z—1 электронов с суммарным
зарядом — (Z — 1) | е |, частично экранирующих ядро. В действительности в
данной ситуации мы имеем дело уже не с водород ©подобным атомом. Де-
Дело в том, что все Z — 1 электронов расположены на больших расстояниях
от ядра, порядка боровского радиуса (~ 10~8см). В результате остаточ-
остаточный электрон находится в электрическом поле, которое формируется как
ядром, так и оставшимися Z — 1 электронами, и зависимость которого от
расстояния до центра не передается простой формулой
U(r) = -е-. G.36)
г
В то же время обнаруженное выше вырождение по орбитальному моменту
имеет место только в случае поля вида G.36). Такое вырождение иногда
называют "случайным".
Чтобы проследить эффект снятия вырождения, рассмотрим уточненное
выражение для потенциальной энергии электрона в атоме:
U (г) = -е- + ^- + ... G.37)
Г Г2
Второе и последующие слагаемые учитывают отклонение истинного поля
в атоме от поля точечного заряда и по смыслу должны считаться малы-
малыми поправками. Мы ограничимся только выписанными слагаемыми. Имея
в виду сферическую симметрию потенциальной энергии, запишем, как и
выше, уравнение Шредингера для радиальной части волновой функции
(ср. G.19)):
Ф = 0. G.38)
h2 2mer2
7.6. Энергетические уровни двухатомной молекулы 159
Введем обозначение
1*A* + 1) = 1A + 1) + Щ^. G.39)
Тогда уравнение G.38) примет тот же вид, что и G.19):
Дгф + ^ \е - Я2|*(Г + 1) + — Ф = 0. G.40)
П? [ 2mer2 r \
Процедура дальнейшего решения полученного уравнения не отличается от
той, что применялась в случае атома водорода. В результате мы получаем
энергетический спектр:
Е(пГ1Г) = -^ ^ГТ*' G>41)
Обратим внимание, что число I* уже не совпадает с целочисленным
орбитальным моментом I, а определяется из уравнения G.39). Считая ко-
эффициент А достаточно малым, мы можем приближенно записать
о — л
V G.42)
Теперь можно, как и раньше, ввести главное квантовое число
п = пТ + I + 1 G.43)
и записать энергетический спектр в виде
Ещ1 = -^- \ G.44)
2h2 (n + AiJ
Поскольку число п целое, а поправка Ai целым числом не является и
явно зависит от момента I, то при заданном значении главного квантового
числа мы будем иметь п различных, не налагающихся друг на друга, энерге™
тических уровней, различающихся значением I: I = 0, 1, 2, ..., п — 1. Это
и означает снятие вырождения. Отметим, однако, что B1 + 1)-кратное вы™
рождение по магнитному квантовому числу сохраняется, покуда не "вклкь
чаются" внешние поля, разрушающие сферическую симметрию и выделя-
выделяющие явно некоторое направление в пространстве.
7.6. Энергетические уровни двухатомной молекулы
Мы рассмотрели простейшие системы — водородоподобный атом и
атом щелочного металла. Однако достаточно просто и полезно сделать
оценки для более сложной системы — двухатомной молекулы.
160
Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
Представим полную энергию молекулы в виде суммы
G.45)
Здесь первое слагаемое описывает энергию, обусловленную электронной
конфигурацией атомов, второе учитывает колебания, т. е. изменения рас-
расстояния между атомами, а третье дает энергию вращения молекулы как
целого. Рассмотрим все три слагаемые и найдем соотношение между ними.
Энергию электронной конфигурации по порядку величины можно оце-
оценить как боровскую энергию:
G.46)
2П2
Для этой энергии можно также дать оценку как кулоновской энергии элек-
электрона на боровской орбите:
где
а =
п2
— боровский радиус.
G.47)
G.48)
Для того чтобы получить оценку колебательной энергии молекулы Е^тЬ\
представим молекулу как систему двух атомов массы М каждый, соеди-
соединенных пружинкой с эффективной жесткостью к. Это можно сделать, имея
в виду, что потенциальная энергия
молекулы зависит от расстояния меж-
между атомами так, как показано на
рис. 7.3. Тогда при малых отклоне-
отклонениях от положения равновесия, от-
отвечающего точке минимума г = г о
на кривой U(г), зависимость потен-
потенциальной энергии от смещения х =
= г — го можно представить в виде
G.49)
Рис. 7.3. Качественный вид зависимо-
зависимости потенциальной энергии двухатом-
двухатомной молекулы от расстояния между
атомами
где Щ = U(ro), я = Uff(r0). Такая
зависимость U от смещения х озна-
означает, что система ведет себя как гар-
гармонический осциллятор.
Изменение расстояния х между атомами такой молекулы описывает-
описывается уравнением fix = —жх, где /х = М/2 — приведенная масса. Отсюда
следует оценка искомой частоты колебаний:
7.6. Энергетические уровни двухатомной молекулы
161
Поскольку энергетический спектр гармонического осциллятора с по-
потенциальной энергией
U(x) = ^кх2 = ^Ми?х2
W 2 4
определяется формулой Е = Нш(п + 1/2), колебательную энергию моле-
молекулы мы можем оценить как
G.50)
Оценим величину эффективной жесткости связи атомов к. Для этого
перепишем формулу G.49) в виде
Сопоставление с формулой U(х) = U® + жх2 J2 дает оценку
G.51)
Далее учтем, что величина г о порядка размера атома, т. е. порядка боров-
ского радиуса, г о ^ а. При относительном смещении атомов на расстояния
порядка го их энергия взаимодействия меняется на величину порядка бо-
ровской энергии: U\ ~ ев = шее4/2Й2, поскольку сила притяжения атомов
определяется только электронной конфигурацией самих атомов. Таким об-
образом, заключаем, что
C/i-ixa2-5B. G.52)
Поскольку
то
В соответствии с этим находим Е ^тЪ^ ^ %А —
ум
сюда выражений G.47) и G.48) дает
G.53)
. Подстановка
Аналогичным образом нетрудно получить оценку и вращательной энер-
энергии молекулы. Рассматривая молекулу как жесткий ротатор, запишем его
вращательную энергию:
E(rot) = —, G.55)
21
162 Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
где / — момент инерции. Учитывая квантование момента импульса, можно
записать уровни энергии ротатора в виде
l), G.56)
где введена так называемая ротационная постоянная
в = h2/2i.
Для рассматриваемой молекулы момент инерции I ~ Ма2, поскольку
характерное расстояние между атомами порядка а. Тогда масштаб враща-
вращательной энергии молекулы
Ma2 a Me2 a M
Таким образом, мы получили следующее соотношение:
(el) . ^(vlb) . ?(rot)
V м м
Приведем численную оценку. Поскольку боровская энергия ев ~ Е^ ~
^ 10эВ, а отношение массы электрона к массе атома те/М ~ Ю~4, то
E{Vlb) - 10 эВ, E(rot) - 10^3эВ. G.59)
Это означает, что энергетический спектр молекулы представляет собой на-
набор электронных уровней, каждый из которых расщепляется на серию коле-
колебательных подуровней. В свою очередь последние расщепляются на серию
вращательных подуровней. Эта схема качественно проиллюстрирована на
рис. 7.4.
(el)
{=
(el)
Рис. 7.4. Качественный вид энергетических уровней двухатомной молекулы
7.7. Сложение моментов количества движения
163
7.7. Сложение моментов количества движения
Рассмотрим систему из двух электронов. Пусть угловой момент одного
электрона Lb а другого L2. Требуется найти суммарный угловой момент
системы. В классической механике вопрос решается просто: нужно вос-
воспользоваться обычным правилом сложения векторов:
L = Li +L2
G.60)
как это продемонстрировано на рис. 7.5, а. В квантовой механике задача
несколько усложняется, поскольку как проекции, так и длины векторов
угловых моментов могут принимать лишь дискретный набор значений.
Рис. 7.5. Сложение моментов Li и L2 по обычному правилу (а); сложение мо-
моментов в суммарный момент с наибольшим значением проекции (б); то же, но при
образовании момента с меньшей величиной (в)
Будем предполагать, что частицы практически не взаимодействуют друг
с другом, так что векторы Li и L2 сохраняются порознь. Вследствие изотро™
пии пространства сохраняться будет также суммарный момент системы L.
Если же "включить" слабое взаимодействие, то сохраняться будет только
суммарный угловой момент L, а моменты Li и L2, вообще говоря, по-
рознь сохраняться не будут. Вместе с тем, с удовлетворительной точностью
можно считать, что сохраняться будут длины векторов Li и L2. На языке
классической физики это допускает ту интерпретацию, что векторы Li и L2
прецессируют вокруг выделенной оси Z, задаваемой вектором суммарного
момента L, меняя непрерывно направление в пространстве, но оставляя
неизменными свои длины и проекции на ось Z.
Фактически нам надо связать квантовые числа углового момента систе™
мы с квантовыми числами моментов каждого из электронов. Пусть один
из электронов имеет момент, характеризуемый числом li, другой — чис-
числом 12- Возникает вопрос: каковы возможные квантовые числа суммарного
вращения I?
В соответствии с общими правилами мы должны воспользоваться
соотношением G.60), имея в виду, что в квантовой механике это равен-
ство должно выполняться для операторов и средних значений. Поэтому, в
частности, имеем аналогичное равенство для проекций моментов:
т =
G.61)
164 Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
Мы знаем, что числа 1\ и Z2 определяют максимальные значения
проекции соответствующих угловых моментов. Поэтому максимальное зна-
значение т составляет
^imax = (^l)max + HJmax = h + h-
В свою очередь величина mmax определяет максимально возможное зна-
значение суммарного момента I. Следовательно, существует состояние с мо™
ментом
l = h + l2. G.62)
Рассмотренный случай, когда проекция (L2)z = ^2, отвечает мини™
мальному углу между вектором Ъ2 и осью Z (в классической физике этому
соответствовала бы ситуация, когда Li || L2 ТТ L). Этот случай качествен™
но проиллюстрирован на рис. 7.5, б.
Аналогично минимальное значение полного момента реализуется, когда
векторы Li и L2 антипараллельны. Тогда результирующее состояние имеет
момент
/ = |/i-Z2|. G-63)
Таким образом, все возможные значения суммарного момента заключе-
заключены в интервале
\h~h\ <Kh+h. G.64)
Найдем, какие именно значения из этого диапазона могут реализоваться.
Мы должны учесть относительное расположение складываемых векторов
моментов. Примем для определенности, что l\ > h. Выберем ось Z так,
чтобы проекция момента Li на нее имела значение mi = l\. Тогда проекция
момента L2 на эту ось может принимать значения
т2 = -h, -Z2 + 1, • • •, 0, ..., Z2 - M2 G.65)
(естественно, в единицах постоянной Планка).
Максимальное значение проекции т и, следовательно, значение сум™
марного момента I определится условием
т = 1\ + Ш2- G.66)
Имея в виду, что число ni2 пробегает значения G.65), мы заключаем, что
результирующий вектор момента может иметь любое квантовое число I из
списка
l = h + h, h + h-1, Z1 + /2-2, /i-Z2. G.67)
При этом для каждого из этих значений I имеется 21 + 1 состояний, отли-
отличающихся значением проекции т суммарного вектора момента.
Заметим, что если бы изначально оказалось, что 1\ < Ь, то наименьшее
значение суммарного момента составило бы Z2 — h-
7.7. Сложение моментов количества движения 165
Общее число состояний, которые может принимать вращательное дви-
жение двух частиц, есть
h+h
Y, B1 + 1) = BZi + 1)BZ2 + 1). G.68)
l=\h-h\
Представляет интерес найти число состояний вращения системы двух
электронов без процедуры предварительного сложения их моментов. Оно
равнялось бы произведению числа различных проекций одного углового
момента Bli + l) на число проекций другого момента B12+1), т. е. величине
B11 + 1) B^2 + 1). Это, очевидно, совпадает с результатом G.68), поскольку
сложение моментов не может изменить полного числа состояний: меняется
только способ их перечисления.
Следует еще раз подчеркнуть, что при рассмотрении сложения момен-
моментов мы предполагали отсутствие взаимодействия между электронами. Если
же взаимодействие имеет место, то каждый из моментов порознь не сохра-
сохраняется, а сохраняется лишь суммарный момент системы. Однако процесс
такого взаимодействия должен удовлетворять закону сохранения момен-
момента импульса. Поэтому результат сложения окажется таким же, как было
установлено выше.
Рассмотрим вопрос о том, какие значения могут принимать скалярные
произведения моментов.
Пусть два момента li и 12 складываются в один:
l = li+l2. G.69)
Возводя это равенство в квадрат, получим
отвуда следует
\1\2=1-{\2-\\-\22). G.70)
Это равенство представляет собой обычную теорему косинусов в тригоно-
тригонометрии, выражающую квадрат стороны треугольника (с2) через две другие
стороны (а и Ь) и угол между ними а:
с2 = а2 + Ъ2 — 2abcosa.
Посмотрим, как видоизменяется формула G.70) в квантовой механике.
Прежде всего, мы должны учесть, что равенства G.69) и G.70) должны
выполняться для операторов, так что
i = ii+i2, G.71 а)
G.71 б)
166 Гл. 7. Штрихи к модели атома. Момент импульса
Далее учтем, что согласно G.71 а) в результате квантовомеханическо-
го сложения моментов li и I2, характеризуемых квантовыми числами 1\
и 12? возникнут состояния с моментом 1, квантовое число I которого может
принимать значения
J = |Zi-Z2|, ..., h + h- G.72)
Имея это в виду и переходя в G.71 б) к средним значениям, получим выра-
выражение
(lib) = \[Щ + 1) - h(h + 1) - Uh + 1)]. G.73)
Аналогичным образом нетрудно найти, например, среднее значение ска-
скалярного произведения (Hi). Исходя из тождества
i2 = (i-i1J = i2 + i2-2ii1,
находим
(Их) = | <12 + If - \1) = 1-\1{1 + 1) + h(h + 1) - 12{12 + 1)]. G.74)
Таким образом, все скалярные произведения выражаются через кванто-
квантовые числа соответствующих моментов.
7.8. Приложение. Вывод формулы G.13)
Для удобства чтения дадим вывод формулы G.13). Обозначим искомую
сумму как
I
s=j2m2- (шл)
771=1
Рассмотрим разность
I
Q=Y, [(^ + 1K^^3]- (П7.2)
га=1
С одной стороны, очевидно, что эта сумма равна
<9 = (г + 1K-1, (П73)
поскольку в ней выпадают все слагаемые, кроме первого и последнего.
С другой стороны, перепишем эту же сумму, раскрыв (га + IK:
I
Q = J2 [3w2 + Зга + 1]. (П7.4)
то=1
7.8. Приложение. Вывод формулы G.13) 167
Имея в виду, что
i i
V^ т = — -, V^ 1 = L (П7.5)
/ ^ О / .а/
771=1 771=1
перепишем (П7.4) в виде
Ц/ = oo + о + I. (II/. b)
С учетом (П7.3) находим искомую сумму:
1 7/Jii\/07ii\
1. (П7.7)
( )
3 L 2 J 6
Это выражение и было использовано в основном тексте.
ГЛАВА 8
МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ И СПИН
Spines —устарев. 1. каверзный, изощренный
2. придирчивый.
(Из немецко-русского словаря)
8.1. Магнитные моменты
Одной из важнейших характеристик системы движущихся зарядов яв-
является магнитный момент, определяющий взаимодействие этой системы с
внешним магнитным полем. Он также определяет магнитное поле, созда-
создаваемое самими зарядами.
В классической электродинамике магнитный момент витка с током вво-
вводится соотношением
/x = i/S. (8.1)
с
Здесь I — ток в витке, a S — вектор площади витка (т. е. вектор, имеющий
длину, равную площади витка и направленный по нормали к плоскости
витка в соответствии с правилом бурав-
буравчика); (рис. 8.1). При этом на виток, по-
помещенный во внешнее магнитное по-
поле В, действует момент силы, равный
М = [д, В],
(8.2)
Рис. 8.1
Магнитный момент витка
с током
моментом /х в магнитном поле В равна
приводящий к тому, что магнитный мо-
момент стремится ориентироваться по на™
правлению поля.
Потенциальная энергия системы дви-
движущихся зарядов (токов) с магнитным
U = -/хВ.
(8.3)
Сама же система движущихся зарядов, имеющая магнитный момент /л,
создает на больших расстояниях магнитное поле
В = rot
(8.4)
Установим связь между механическим и магнитным моментами. Рас-
Рассмотрим для простоты круговой виток радиуса г. Пусть по витку цирку-
циркулирует заряд q со скоростью v (рис. 8.1). Тогда период обращения заряда
8.1. Магнитные моменты 169
т 2тгг т q qv ~.
равен 1 = , а ток 1 = -1 = ——. Соответственно магнитный момент
v T 2тгг
витка окажется равным
м = ±[r, v] (8.5)
с2тгг 2с 2с
(п — единичный вектор нормали к плоскости витка). Полученное соотно™
шение обобщается на случай системы заряженных частиц:
г
где индекс г нумерует частицы.
Рассмотрим сначала одну частицу. Вспоминая, что при движении по
витку момент импульса частицы составит L = [г, р] = mo [r, v], где то —
ее масса, из (8.5) получаем искомую связь:
^^ (8.7)
2тос
Обозначим
7=-2— (8-8)
Эта величина называется гиромагнитным отношением. Соответственно
связь магнитного и углового моментов запишется в виде
М = 7L- (8-9)
В случае системы, состоящей из разных частиц, соотношение (8.9), во-
вообще говоря, оказывается несправедливым. Однако если отношение q%im%
одинаково для всех частиц, то соотношение (8.9) определит связь магнит-
ного и углового моментов для всей системы.
В квантовой механике момент импульса квантуется. Вследствие связи
(8.9) квантоваться будет и магнитный момент.
Прежде всего найдем возможные значения проекции магнитного мо-
момента на выбранную ось. Проектируя (8.9) на ось Z, имеем fiz = jLz.
Вспоминая, что это равенство в квантовой механике должно выполняться
для средних значений, а возможные значения проекции углового момента
суть Lz = mh, m = 0, ±1, ±2, ..., заключаем, что
/iz = 7mft, т = 0, ±1, ±2, ... (8.10)
С учетом определения гиромагнитного отношения (8.8) перепишем данное
соотношение:
m = 0, ±1, ±2, ..., (8.11)
170
Гл. 8. Магнитный момент и спин
где введена величина
Мо = , (8.12)
ZniQC
часто называемая магнетоном.
Что касается величины магнитного момента /i = у^/А2), то в соответ™
ствии с (8.9) находим
= | 7 I
Минимальное ненулевое значение магнитного момента достигается при
I = 1 и равно /х = |/io | л/2-
8.2. Магнетон Бора
Из формулы (8.11) в случае электрона (q = —е < 0, т® = те) ^
находим
m = 0, ±1, ±2, ... , (8.14)
где величина
2тес
= 9,274 • 1(Г21 эрг/Гс,
(8.15)
есть так называемый магнетон Бора — своего рода квант магнитного
момента.
Для разных частиц величина магнетона различна, так как он выражается
не только через мировые константы, но и через массу и заряд частицы.
Самый большой магнетон у частицы, имеющей наименьшую массу, т. е.
у электрона. Для протона (q = е > 0, т® = тр) соответствующая величи™
на (8.12):
^^ = 5,0508 • 1(Г24 эрг/Гс, (8.16)
/Яд
2трс
называется ядерным магнетоном.
8.3. Снятие вырождения в магнитном поле
Энергия магнитного момента в магнитном поле дается скалярным про™
изведением момента на поле (8.3), т. е. зависит от угла между магнитным
моментом и магнитным полем. Если выбрать ось Z по направлению по-
поля В, то
U = -fjL0Bm, ш = 0, ±1, ±2, ... (8.17)
Так как проекция магнитного момента квантуется, то и энергия магнит-
магнитного момента в поле принимает дискретный ряд значений. Поэтому при
г' В этой главе мы обозначаем заряд электрона символом -ей соответственно
полагаем е > 0.
8.4. Спин
171
помещении частицы в поле у нее возникает столько же уровней энергии,
сколько проекций магнитного момента она имеет.
Таким образом, в магнитном поле следует ожидать расщепления уров-
уровней с заданным значением орбитального момента I на серию 21 + 1 экви™
дистантных подуровней с шагом АЕ = /хб?», как показано на рис. 8.2. Это
означает, что магнитное поле снимает вырождение по магнитному кванто-
квантовому числу (проекции орбитального момента).
В = 0
V
+2
+ 1
О
-1
Рис. 8.2. Расщепление в магнитном поле уровня с орбитальным моментом I = 2
на подуровни, разделенные шагом АЕ = /лв В
8.4. Спин
В соответствии со сказанным ранее число проекций магнитного мо-
момента на выделенную ось равно 21 + 1, где, напомним, I — орбитальное
квантовое число или квантовое число полного момента количества движе-
движения. Значит, подсчитав на опыте число проекций га, мы экспериментально
найдем число I, т. е. найдем момент количества движения.
Опыты этого типа впервые, как известно, были поставлены Штерном и
Герлахом. Впоследствии их техника была серьезно усложнена и при этом
существенно усовершенствована.
Водородоподобный атом в основном состоянии, т. е. в ^-состоянии,
имеет 1 = 0. Следовательно, имеется только одна компонента га = 0.
Соответственно в опыте типа Штерна и Герлаха должна получаться она
нерасщепленная линия. В р-состоянии A = 1) возможны три значения
проекции момента импульса: I = +1, 0, — 1. Значит, кроме неотклоненной,
должны появиться еще две отклоненные компоненты. Компоненты, вообще
говоря, должны появляться в нечетных количествах B1 + 1 штук).
Штерн и Герлах изучали отклонение пучка невозбужденных атомов се™
ребра в сильном поперечном магнитном поле. Эти атомы, обладая одним
валентным электроном, в основном состоянии должны обладать равны-
равными нулю моментом импульса и магнитным моментом. Поэтому следовало
172 Гл. 8. Магнитный момент и спин
ожидать появления одной линии. Аналогичная ситуация ожидалась и для
холодного, невозбужденного атомарного водорода. Однако в обоих опытах
наблюдались две линии.
Таким образом, результат опыта Штерна и Герлаха качественно про™
тиворечит нашим выводам об электронной структуре водородоподобного
атома.
Дело в том, что изложенная выше теория неполна в том смысле, что при
квантовании вращательных движений она ограничивается приня-
тием в рассмотрение механического и магнитного моментов, лишь созда-
ваемых орбитальным движением электрона как точки, и никак не учиты™
вает, не принимает во внимание собственный механический и магнитный
моменты электрона. Эти механический и сопутствующий ему магнитный
моменты называются спиновыми. То свойство электрона, вследствие ко-
которого он обладает механическим и магнитным моментами, называется
спином электрона. По природе своей спиновый момент сильно отличается
от подробно обсуждавшегося выше орбитального момента, создаваемого
движением электрона как точки.
Здесь, пожалуй, целесообразно обратить внимание на мудрый и забав-
забавный языковый курьез. Английское слово spin, происходящее из староне-
мецкого языка (die Spinne — паук, spinnen — прясть) и переводимое как
прядение, веретено, волчок, быстрое вращение, часто означает хитроумную
изворотливость.
К идее спина электрона можно подойти, отправляясь от нескольких фак-
фактов. Проще всего опираться на данные тех опытов типа Штерна и Герлаха, в
которых наблюдалось расщепление пучка атомов, заведомо находившихся в
s-состоянии, на два пучка. Но в s-состоянии механический, а следователь-
следовательно, и магнитный орбитальные моменты равны нулю. Вместе с тем факт
отклонения пучка нейтральных атомов в магнитном поле свидетельствует
о том, что все-таки магнитный момент имеется. Расщепление на два пучка
показывает, что проекция этого момента на направление поля может прини-
принимать только два значения. Прецизионные измерения абсолютной величины
собственного магнитного момента электрона дали значение, совпадающее
с величиной магнетона Бора для электрона //б • Таким образом, опыт пока™
зал, что атом, имеющий один электрон и находящийся в s-coстоянии, обла™
дает магнитным моментом /л, проекция которого на направление магнит™
ного поля принимает только два значения:
Hz = ±№- (8.18)
Существование этого момента в том состоянии, в котором орбитальный
момент заведомо отсутствует, можно объяснить, приписав обсуждаемый
момент непосредственно самому электрону.
К этому добавляется еще один серьезный аргумент. Спектры атомов,
имеющих один оптический электрон, оказываются более сложными, чем
это следует из представленной ранее теории движения электрона в поле яд-
ядра (пусть даже с учетом экранирующего действия других электронов). Речь
8.4. Спин
173
идет о том, что линии главных серий щелочных металлов являются дублет-
дублетными. Наиболее хорошо известен дублет желтой линии натрия (часто ее
называют двойной желтой линией). Эта так называемая D-линия расщеп-
о о
лена на компоненты D\ и D2, отстоящие друг от друга на 6 А (Л\ = 5896 А,
о
Л2 = 5890 А), что легко наблюдается хорошим призменным спектромет-
спектрометром. Лорд Рэлей утверждал, что "по цвету" он на глаз различает эти две
линии излучения. Расщепление какого-либо энергетического уровня (спек-
(спектральной линии) на группу близко расположенных уровней (спектральных
линий) называют тонкой структурой уровня (линии).
Суть дела состоит в том, что вместо одной спектральной линии, отве-
отвечающей переходу ^ Зр1 —» 3s1 (рис. 8.3, а), наблюдается дублет, как это
показано на рис. 8.3, б.
Зр
D
3s
3s
Рис. 8.3. Переходы, отвечающие двойной желтой линии натрия: а) без учета рас-
расщепления Зр-уровня (компоненты сливаются в одну линию); б) с учетом расщеп-
расщепления Зр-уровня
Приходится, таким образом, считать Зр-терм Na состоящим из двух
близких уровней. С точки зрения рассмотренных до сих пор положений
объяснить это невозможно. Ведь Зр-терм (п = 3, I = 1) состоит из трех
точно совпадающих друг с другом уровней (га = 0, ±1), а вовсе не из двух
близких. Во внешнем поле расщепление этого терма может происходить на
три подуровня. Однако в эксперименте вместо триплета наблюдается дуб-
дублет и при том в отсутствие внешнего поля. Отсюда следует вывод, что трех
квантовых чисел n, L т недостаточно для полного описания состояния
электрона в атоме.
Вместе с тем легко объяснить дублетное расщепление термов однова-
одновалентных атомов, если ввести предположение о том, что электрон
имеет собственный магнитный момент. В атомах во всех состояниях, кро-
кроме s-состояния, для которого орбитальный момент равен нулю, существует
внутреннее магнитное поле орбитального происхождения. В этом поле,
подобно тому, как это имеет место в опыте Штерна и Герлаха, возмож-
возможны две ориентации магнитного момента электрона, соответствующие двум
несильно различающимся уровням энергии.
¦^ Ниже будет показано, что единственный валентный электрон натрия имеет
квантовое состояние 3s, а первое возбужденное состояние есть Зр.
174 Гл. 8. Магнитный момент и спин
Три квантовые числа n, I, m были введены при общем рассмотрении
внутриатомного движения электрона, исходя из его трех степеней свобо-
свободы. Другими словами, до сих пор электрон рассматривался как точка. На
самом деле его действительный размер не установлен. Известно лишь, что
характерный пространственный размер электрона заведомо не превышает
10~14 см. Можно, следовательно, рассматривать электрон как предельный
случай малого тела. А малое тело может вращаться вокруг своей оси. В пре-
дельном переходе при дальнейшем уменьшении размеров это тело будет
продолжать вращаться. Именно этим предельно малое тело отличается от
материальной точки, которая вращаться не может по определению в силу
бессмысленности понятия поворота для объекта нулевой размерности. Если
бы можно было рассматривать электрон как тело конечной протяженности,
то он, кроме трех поступательных степеней свободы, обладал бы и враща-
вращательными степенями свободы. Соответственно, он имел бы механический
момент и, как всякое вращающееся заряженное тело, магнитный момент.
Но идея "макроскопической" конечности размеров электрона не находила
в свою пользу никаких аргументов. Напротив, все тому противоречило.
В 1925-м году Уленбек и Гаудсмит под давлением экспериментальных
фактов выдвинули смелую гипотезу, приписав электрону механический и
магнитный моменты столь же формально, как ему приписываются масса
те и заряд — е.
Величина механического момента легко определяется из результатов
спектроскопических исследований щелочных металлов. Подобно всякому
моменту, момент электрона должен быть квантован. Поэтому если в едини-
единицах h величина механического момента есть s9 то должны быть возможны
2.S + 1 проекций этого момента на выделенное направление. Это полно-
полностью подобно тому, как орбитальный момент I имеет 21 + 1 возможные
ориентации относительно выбранного направления.
Тот факт, что термы натрия представляют собой дублеты, приводит к
выводу, что спин электрона имеет только две возможные ориентации, т. е.
2s + 1 = 2, и мы имеем
5 = 1/2. (8.19)
Это соотношение дает квантовое число механического момента электрона.
Соответственно (в размерном виде) проекция механического момента на
выделенную ось может принимать два значения:
sz = ±h/2. (8.20)
Появление полуцелых квантовых чисел выглядит странно, но стран-
странность или обыденность тех или иных физических представлений не мо-
может служить критерием их истинности или ложности. Так, представление
о вращающемся протяженном электроне хотя и не странно, но неверно.
В частности, для того чтобы столь малый объект, как электрон, мог иметь
конечный угловой момент (8.20), точки его поверхности должны были
бы двигаться со сверхсветовой скоростью. В самом деле, представим
8.4. Спин 175
момент импульса электрона в виде
Lz = Iuj = h/2. (8.21)
Здесь I — момент инерции электрона. В случае однородного шара ради™
О
уса ге, как известно, /ш = -тег2. Поэтому положим I ~ /ш. Поскольку
о
скорость точек поверхности шара равна v = шге, из (8.21) находим
v=*?l~ _5_. (8.22)
21 ШГе
Для оценки величины ге примем, что энергия электрона тес2 имеет
электростатическое происхождение, т. е. по порядку величины
Последнее соотношение определяет так называемый классический радиус
электрона:
r0 = -i-. (8.23)
mecz
Поэтому, полагая re ^ го, получим из (8.22)
г; - — с = - « 137с, (8.24)
е2 а
что на два порядка превышает скорость света!
Если бы мы взяли в качестве оценки радиуса электрона его компто-
новскую длину, re rsj А = , то вместо (8.24) получили бы v ~ с. В то
тес
же время нет никаких оснований для такой, более "оптимистичной", чем
(8.24), оценки: как уже отмечалось выше, измерения показывали, что элек™
трон ведет себя как частица с радиусом если и конечным, то много меньшим
его комптоновской длины.
Вопрос о происхождении момента импульса электрона полностью ре-
решается в релятивистской квантовой механике, в которой полуцелые значе™
ния его спина получаются из весьма общих предположений. В рамках же
нашего изложения важно лишь то, что использование полуцелых кванто-
квантовых чисел для спина электрона ведет к результатам, находящимся в полном
согласии с данными экспериментов.
Итак, электрон обладает собственным магнитным моментом /х, проек-
проекция которого на любое заданное направление может принимать только два
значения:
Мг = ±№ = ± —• (8.25)
2тес
В этой записи учтено, что заряд электрона есть ^е < 0. Сравнивая (8.25)
и (8.20), мы видим, что отношение спинового магнитного момента к
176 Гл. 8. Магнитный момент и спин
спиновому механическому моменту равно
^ = - —. (826)
sz mec
Это значит, что мы можем записать
/z=-—s. (8.27)
тес
Таким образом, гиромагнитное отношение, которое для пространствен™
ного (орбитального, см. (8.8)) вращения электрона равно ji = — —^—, для
2тес
собственного спина электрона оказывается вдвое большим: 7s — — •
тес
В классической квантовой механике этот факт является чисто эксперимен-
экспериментальным. В релятивистской квантовой механике уравнение Дирака позво-
позволило вычислить магнитный момент электрона и дало правильное значение
гиромагнитного отношения без привлечения каких-либо дополнительных
гипотез или экспериментальных фактов. Но это лежит уже вне пределов
нашего изложения.
Чтобы учесть отличие магнитных моментов орбитального и спинового
происхождения, соотношением
М = ^g№J (8.28)
формально вводят так называемый фактор Ланде g или, кратко, g-фактор.
Знак "—" здесь связан с тем, что заряд электрона отрицателен, а магнетон
Бора по определению положительная величина. В (8.28) мы единообраз-
но обозначили символом J момент импульса (орбитальный I или спино-
спиновый s), измеренный в единицах постоянной Планка h. В частности, запи-
записывая (8.28) для орбитального и спинового магнитных моментов, имеем
/xs = ^gs№S5 gs = 2,
(8.29)
Vi = -gz№l, gi = 1.
Индексы I и s указывают, о каком именно моменте идет речь.
8.5. Тонкая структура
Итак, электрон участвует сразу в двух вращениях: в собственном (спино-
(спиновом) и в пространственном (орбитальном). Его спиновый s и орбитальный
I моменты, складываясь по правилам сложения векторов, дают (в едини-
единицах К) результирующий момент], равный
j = 1 + s. (8.30)
Следуя Зоммерфельду, j иногда называют внутренним квантовым
8.5. Тонкая структура 111
числом. Оно представляет собой полный механический момент одноэлек-
тронного атома. Поскольку для электрона s = 1/2, полный момент всегда
является полуцелым; мы имеем либо j = I + 1/2, либо j = I — 1/2.
Рассмотрим электрон, у которого I ф 0. У него есть пространственное
вращение. Опираясь на орбитальное движение электрона, выделим ось —
направление механического момента. Тогда спин может быть двумя взаим-
взаимно противоположными способами ориентирован по отношению к направ-
направлению этого момента: как по направлению, так и против него. Благодаря
движению электрона возникает взаимодействие его магнитного момента с
кулоновским полем ядра (атома). Энергия этого взаимодействия зависит
от того, как ориентированы относительно друг друга спин и орбитальный
момент. Две ориентации — две энергии. Это и приводит к дублетному
расщеплению.
Одни лишь s-термы (I = 0) синглетны, так как в этом случае нет про-
пространственного вращения.
Итак, возможность двоякой ориентации спина электрона относитель-
относительно его орбитального момента эквивалентна расщеплению уровней энергии
электрона вследствие магнитного взаимодействия спинового и орбиталь-
орбитального движений.
Рассмотренное расщепление уровней носит название тонкой структуры
и ярко проявляется в оптических спектрах.
Нетрудно получить явную оценку величины тонкой структуры. Вос-
Воспользуемся квазиклассическими представлениями. Собственный магнит-
магнитный момент электрона равен магнетону Бора, /i = —/is. Для нахождения
энергии взаимодействия магнитного момента с кулоновским полем перей-
перейдем в систему отсчета, связанную с электроном. Тогда в этой системе вокруг
электрона будет вращаться ядро со скоростью ? и создаст в точке нахожде-
нахождения электрона магнитное поле
B = i[v, E]. (8.31)
с
Напомним, что это соотношение имеет место в нерелятивистском при-
приближении и может быть легко получено из закона Био - Савара. В самом
деле, согласно этому закону магнитное поле объемного элемента тока }dV
равно (Ж = - ^^-dV. Перейдем здесь к точечному заряду, имея в виду, что
с г3
объемная плотность тока] = р v, где ? — скорость заряда, ар — объемная
плотность заряда. Заменяя pdV —> q, получим
где hi = — — напряженность электрического поле точечного заряда q.
3
г
Потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента с магнит-
магнитным полем равна U = — /хВ = —-/x[v, E]. Возвращаясь в лабораторную
178
Гл. 8. Магнитный момент и спин
систему отсчета, где покоится ядро, а электрон вращается вокруг него со
скоростью (—v), получим
с
, Е] = i[/x, v]E = -~nz
(8.32)
Здесь появился знак "—", поскольку [/х, v] f j, Е при fiz > 0 (рис. 8.4).
Наконец, учитывая, что jjlz = ±/хб, полу™
чаем 17 = ^-iibvE, так что благодаря на-
наличию спина каждое состояние расщепля-
расщепляется на два подуровня, расстояние между
которыми составляет
АЕ = 2eOi
(833)
Оценим величину е® на основе боров™
Рис. 8.4. Относительное распо- ской теории.
ложение векторов скорости элек- Электрическое поле в атоме оценим,
трона v и напряженности атомно- как Е ~ —. В качестве оценки рас-
го электрического поля Е. Указа- стояния г э?ешрош до центра примем
на одна из двух возможных ори- 12
ентаций спинового магнитного боровский радиус г ^ а = , а для ве-
момента электрона fi личины v возьмем значение скорости элек-
электрона на первой боровской орбите: v ^ ув = = —. Имея в виду, что
теа h
eh
/ , получим
2тес
2/h eh
где ?В =
с 2тес (h2/mee2J
- боровская энергия, а
(834)
е
а = —
he
1
137
(8.35)
— постоянная тонкой структуры. Этой оценке можно придать несколько
иной вид, если заметить, что
а =
(8.36)
Тогда окажется, что
?0 ^ Ев
VB
(8.37)
Последняя оценка подчеркивает тот факт, что возникновение тонкой
структуры есть чисто релятивистский эффект.
8.6. Сверхтонкая структура
179
Таким образом, расщепление уровней тонкой структуры имеет масштаб
порядка
()с. ~ 1(П4?б ~ 10эВ. (8.38)
8.6. Сверхтешкам структура
Более точные спектроскопические исследования показали, что помимо
тонкой структуры, существует еще более тонкое расщепление спектраль™
ных линий и, следовательно, энергетических уровней. Это расщепление
получило название сверхтонкой структуры. Ее происхождение связано со
взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным полем, создавае™
мым электронами атома.
Проведем оценку сверхтонкого расщепления на примере основного со™
стояния атома водорода. В этом случае мы имеем взаимодействие спинового
магнитного момента электрона с магнитным моментом протона. Послед™
ний по порядку величины дается ядерным магнетоном (8.16). Более точно
его значение есть
/1Р = 2,79/1ЯД = 2,79^. (839)
Энергия взаимодействия двух параллельных магнитных моментов
дается формулой U = /Х1/х2/г3,гдег —
расстояние между ними. \ie
Спиновые магнитные моменты элек-
электрона и протона могут оказаться ли-
бо параллельными (рис. 8.5), либо ан™
типараллельными. Соответственно раз™
ность энергий этих двух состояний бу™
дет равна
AE = 2f~
(8.40)
Считая, что электрон находится от
ядра на расстоянии первой боровской
орбиты, т. е. г ~ а = Н2 /тее2, и под™
ставляя в (8.40) выражения для магнит-
магнитных моментов электрона (/ie = /1б =
= eh/2mec) и протона (8.39), получим
после несложных преобразований
(ДЯ)ст.с. = 2-2,79 4-
Рис. 8.5. Одна из двух возможных
относительных ориентации магнит-
магнитных моментов ядра (протона) и элек-
электрона
= 2,79-
(8.41)
Имея в виду, что масса протона примерно в 2000 раз больше массы
электрона, заключаем, что масштаб сверхтонкой структуры составляет
(ДЯ)ст.с. ^ 1(Г3(ДЯ)Т.С. - 1(Г6 эВ. (8.42)
180 Гл. 8. Магнитный момент и спин
Приведенная оценка удовлетворительно описывает экспериментально
наблюдаемое расщепление уровней.
8.7. Спин-орбитальное взаимодействие
электронов в атоме
Итак, мы установили, что при движении электрона в атоме возникает
взаимодействие его собственного, спинового магнитного момента с элек-
электрическим полем. Это утверждение обычно формулируют таким образом,
что имеет место спин-орбитальное взаимодействие. Разумеется, было бы
грубой и недопустимой ошибкой говорить, что спин взаимодействует с ор™
битой. На самом деле имеется в виду взаимодействие спинового магнитного
момента электрона с атомным электрическим полем (создаваемым ядром
и другими электронами), причем это взаимодействие возникает благодаря
орбитальному движению. Выбранные из этой фразы два слова "спин" и
"орбита" и дали название данному взаимодействию.
Наметим путь приближенного количественного учета спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия электронов в атоме. Предположим, что среднее (эф™
фективное) поле, действующее на электрон, является центрально-симмет-
центрально-симметричным, так что потенциальная энергия зависит только от радиальной
координаты: V = V(r). Тогда электрическое поле можно представить в
виде
Е= ^^LgradF = i— n, n = -. (8.43)
() d
gradF
(¦—e) e dr
(Здесь считается е > 0.) Электрон, обладая магнитным моментом
2тес
(8.44)
движется в этом электрическом поле. Энергию взаимодействия магнитно-
магнитного момента с полем можно найти разными приемами. Мы остановимся
на одном, полностью аналогичном использованному выше, в параграфе,
посвященном тонкой структуре.
Пусть электрон движется со скоростью v = —. Перейдем в систему
те
отсчета, связанную с электроном. Тогда вокруг него будут двигаться заряды
атома со скоростью (—v) = — —, создавая магнитное поле
те
Н = -±[v, Е] = - —[р, Е]. (8.45)
с тес
Соответственно энергия взаимодействия магнитного момента электрона с
этим полем окажется равной
ULS = -дН = — /и[р, Е] = Е3^-Ж р] s. (8.46)
тес 2?г
8.8. О постоянной тонкой структуры 181
Мы учли равенство (8.44). Подставляя сюда выражение для напряженно-
напряженности электрического поля (8.43) и учитывая определение орбитального мо-
момента [г, р] = М, получим выражение для энергии спин-орбитального
взаимодействия:
h dV Г i* 1 k2^-dVj /n ,_ ч
— -, p s = A^-—ls, (8.47a)
dr lr J r dr
где введена комптоновская длина волны электрона А = и учтено, что
тес
gs =2. Заменяя в (8.47 а) векторы Ins операторами, приходим к искомой
добавке в гамильтониан:
ULS = A2^—Is. (8.47 6)
г dr
Таким образом, энергия спин-орбитального взаимодействия опреде-
определяется градиентом потенциальной энергии электрона в атоме. Кроме того,
энергия окажется различной в зависимости от ориентации спина и орби-
орбитального момента. В самом деле, поскольку спин электрона 5 = 1/2, то при
I ^ 1 его полный угловой момент j может принимать значения
j = 1-1/2 и j = I + 1/2 (8.48)
(случай I = 0 не представляет интереса, поскольку при этом спин-орби-
спин-орбитальное взаимодействие вообще отсутствует). Тогда собственные значения
оператора 1 s можно найти по известному правилу G.74):
j = l + s, (Is) = ±[j (j+ 1)-1A+ l)-s(s+l)]. (8.49)
Имея в виду (8.48), получим
Г I при j = I + 1/2,
(Is) = 1 (8.50)
V \ -A + 1) при j = 1-1/2.
Мы нашли, что энергия спин-орбитального взаимодействия зависит как
от орбитального, так и от полного углового момента электрона.
Таким образом, последовательный учет эффектов спин-орбитального
взаимодействия может быть проведен с помощью обычного уравне-
уравнения Шредингера, где учтена дополнительная потенциальная энергия
(8.47 6), (8.50).
8.8. О постоянной тонкой структуры
Для водородоподобного атома энергетический спектр, учитывающий
тонкую структуру, можно получить из релятивистской квантовой теории,
базирующей на так называемом уравнении Дирака. Точность формулы
182 Гл. 8. Магнитный момент и спин
огромна. Она дает следующие значения энергии водородоподобных
(8.51)
ТеРМ0В: 72 74 Г 1 о
Eni = -R— - a2R— -J— + —
J n2 n3 [i+ 1/2 4n
4
где R = —-— — постоянная Ридберга, п — главное квантовое число,
2П?
a j — полный угловой момент электрона. Мы видим, что точный расчет
дает тот же масштаб тонкой структуры (^ а2ев), что был установлен выше
на основе оценок.
Тонкое расщепление уровней возникает, как это обсуждалось выше,
из-за спин-орбитального взаимодействия. Слабость этого взаимодействия
приводит к относительной малости, т. е. тонкости расщепления. Вели-
Величина поправочного члена в (8.42) определяется малостью коэффициента
а2 -5- Ю~5.
Формула (8.51) хорошо описывает не только оптические спектры Н,
Не, Li и т. д. , но и рентгеновские спектры. Здесь следует, однако, сказать
несколько слов о принципиальной значимости константы тонкой структуры
а « 1/137. Важно, конечно, что величина тонкой структуры в оптических
спектрах многих атомов пропорциональна а2. Но этим дело не ограничи-
ограничивается.
Конечно, спектроскопия — наука увлекательная и точная. Из всех фун-
фундаментальных естественных наук в ней наиболее полно реализуется Кон-
Конфуцианское мудрое высказывание: "Правильная классификация есть выс-
высшая ступень познания". Однако сколько-нибудь серьезно претендующий
на полноту рассказ о спектроскопии лежит вне рамок нашего изложения.
Но вместе с тем нельзя, ограничивая объем изложения спектроскопического
материала, опускать принципиальные моменты общефизической значимо-
значимости.
К числу таковых несомненно относится вопрос о постоянной тонкой
структуры а. Это единственная безразмерная величина, которую можно
образовать из фундаментальных физических постоянных Й, с, е. По дан-
данным на 1996-й год
- = 137,03599993E2) (8.52)
а
(в скобках указана погрешность последних цифр). Это очень близко к це-
целому числу, хотя и отличается от него на измеримую величину « 3 • 10™2.
Связь этой безразмерной комбинации мировых констант со спектральными
закономерностями, близость 1/а к целому (и к тому же простому) числу
свидетельствуют, по-видимому, о наличии какой-то очень глубокой связи
между электродинамикой (заряд электрона е и скорость распространения
электромагнитных вон в пустоте с) и квантовой механикой (постоянная
Планка Н). Следует заметить, что в квантовой электродинамике константа о,
являясь естественной характеристикой интенсивности процессов электро-
электромагнитного взаимодействия, выступает малым безразмерным параметром
при приближенном решении соответствующих уравнений методом теории
возмущений.
8.9. Многоэлектронный атом, jj- и LS-связь 183
8.9. Состояния электронов в многоэлектронном атоме;
jj- и LS'-связь
Рассмотрим многоэлектронный атом. Мы получаем так называемую за-
задачу многих тел, решение которой, даже в простейшем случае системы трех
тел, и в классической-то физике представляет собой серьезную математи-
математическую проблему. В квантовой же механике положение кажется вообще
безнадежным — точное решение вообще невозможно. Однако для получе-
получения некоторой достаточно важной информации о возможных состояниях
системы точные решения не нужны. В первом приближении мы пренебре-
пренебрегаем взаимодействием электронов между собой и решаем задачу, сначала
полагая, что электроны двигаются в поле ядра без каких-либо возмущений
и независимо друг от друга. Если же это окажется необходимым, то по ходу
дела учтем соответствующие поправки.
Припишем каждому из электронов, как и в задаче об атоме водорода,
три квантовые числа — щ, ^, j%. Соответствующие моменты складывают™
ся векторно и, если мы пренебрегаем взаимодействием электронов, полный
механический момент равен ] = ]Р] {. Аналогично орбитальный и спино™
выи моменты равны соответственно 1 =
г г
Однако для того, чтобы определить, как и какими квантовыми числа™
ми описывать реальный атом, взаимодействие электронов приходится все
же учитывать. Если взаимодействие очень слабо, орбитальным моментам
можно приближенно сопоставить орбитальные квантовые числа, которые
эти моменты имели бы в отсутствие связи. Здесь существенны два фак™
тора: кулоновское взаимодействие электронов между собой и связь ор-
орбитального и спинового моментов для каждого из электронов. Роль этих
факторов определяется энергиями электрон-электронного (Uee) и спин-
орбитального (Uls) взаимодействия соответственно. В зависимости от со-
соотношения между ними выделяются следующие ситуации.
Предположим, что орбитальный и спиновый моменты каждого элек-
электрона связаны сильной связью, а друг на друга электроны влияют слабо.
Другими словами, имеет место неравенство
ULS > Uee. (8.53)
В этой ситуации электроны как бы независимо формируют свой "вра-
"вращательный статус", и только "определившись внутри себя", вступают во
внешнее взаимодействие. Каждый электрон в отдельности можно харак™
теризовать квантовым числом его полного момента j. Векторы 1^ и s^ для
каждого г-го электрона продолжают, хотя и в приближенном смысле, пре-
цессировать вокруг направления своей суммы ]^ = 1^ + s^, "не обращая
внимания" на возмущающее действие других электронов. И только век-
векторы j i различных электронов объединяются в полный угловой момент
>, (8.54)
184
Гл. 8. Магнитный момент и спин
прецессируя, в свою очередь, вокруг него.
Эта ситуация называется случаем jj-связи и схематически проиллю-
проиллюстрирована на рис. 8.6.
Случай jj-связи встречается редко. Более распространен противопо-
противоположный предельный случай, когда у всех электронов объединяются по
отдельности векторы спинового и орбитального моментов в суммарные
векторы
^> ^, (8.55)
которые в свою очередь объединяются в суммарный момент системы
=l + s.
(8.56)
Векторы \i вращаются вокруг полного орбитального момента 1, а спины
Si — вокруг полного спина s. Векторы же I и s, в свою очередь, прецессируют
вокруг вектора полного момента j системы.
Эта связь называется LS-связью или связью Рассела-Саундерса. Часто
употребляют также названия "нормальная связь" и "Рассел- Саундеровская
связь". Она проиллюстрирована на рис. 8.7. Легко понять, что энергетиче-
энергетический критерий, когда реализуется рассмотренный механизм сложения мо-
моментов, есть
Uls < Uee (8.57)
и отвечает сильному кулоновскому межэлектронному взаимодействию.
Рис. 8.6. Случай jj -связи двух электро- Рис. 8.7. Случай Ь5-связи двух элек-
нов. Малые штриховые эллипсы иллю- тронов
стрируют прецессию моментов li и h
относительно "своих" полных момен-
моментов ji и J2. Большой эллипс иллюстри-
иллюстрирует прецессию момента ji относитель-
относительно суммарного сохраняющегося момен-
момента j=jl+J2
Заметим, что значения спинов электронов равны Si = 1/2, так что эти
векторы всегда либо параллельны, либо антипараллельны. На рис. 8.7 для
большей наглядности между ними изображен некий угол.
8.9. Многоэлектронный атом, jj- и LS-связь 185
Напомним, что спин-орбитальное взаимодействие является проявлени-
проявлением релятивистских эффектов, что и определяет условия возникновения jj-
связи. Как видно из (8.51), энергия спин-орбитального взаимодействия для
внутренних электронов атома зависит от заряда ядра как Uls ~ ^4, в то
время как кулоновская энергия Uee меняется относительно слабо. Поэто-
Поэтому с ростом Z происходит постепенное смещение от LS-связи в сторону
jj-связи. Вместе с тем в чистом виде последняя в атомах не встречается.
В некотором приближении о ней можно говорить лишь в случае электронов
внутренних оболочек тяжелых атомов (Z ~ 90), когда релятивистские эф-
эффекты начинают играть заметную роль гК Однако jj-связь характерна для
нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре.
Отметим, наконец, что относительная роль спин-орбитального и куло-
новского взаимодействий может оказаться различной для разных уровней
одного атома, в результате чего могут возникать иные, промежуточные типы
связи.
В частности же, в случае гелия (Z = 2) с его двумя электронами, а также
атомов щелочноземельных металлов (имеющих два электрона во внешней
оболочке) осуществляется LS-связь.
^ В гл. 6 мы установили (см. F.20)), что скорость электрона на первой боровской
орбите вокруг ядра урана (Z = 92, п = 1) оказывается порядка 200000 км/с, что
сопоставимо со скоростью света.
ГЛАВА 9
ПРИНЦИП ПАУЛИ.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА
иКолъ кубок уже не кубок, какой же это кубок ?"
(Конфуций)
9.1. Атом гелия, пара- и ©ртомодификации
Одним из интереснейших квантовомеханических явлений является спе-
специфическое взаимодействие частиц, возникающее вследствие их тожде-
тождественности. Это явление не связано с какими-либо обычными силами и
не имеет классического аналога. В то же время оно имеет самое прямое
отношение к обсуждавшемуся в предыдущей главе понятию спина.
Для выяснения существа дела рассмотрим атом гелия. Его электронная
оболочка содержит два электрона, причем для них имеет место LS-связь.
Два орбитальные момента 1\ и I2 образуют полный орбитальный момент I,
который должен быть целочисленным и может принимать только значения
I = \h ^h\, \h -Z2| + 1, ... , h + h*
Аналогично два вектора спина s\ и 52, объединяясь, образуют полный
спиновый момент s, который для двух электронов тоже должен быть цело-
целочисленным. Так как s\ = 1/2 и 52 = 1/2, то возможны только два значения:
s = 0 и s = 1, отвечающие случаям антипараллельных и параллельных
спинов соответственно.
По этой причине в зависимости от значения полного спина термы гелия
распадаются на две совершенно отдельные группы: при s = 0 мы получаем
термы парагелия, а при 5 = 1 — термы ортогелия.
Здесь мы использовали слово "терм" (происходящее от греческого
"вер/лг]" — теплота, жар), широко употребляемое в спектроскопии и атом™
ной физике. Оно имеет смысл уровня энергии атома, характеризуемого
определенными значениями полного орбитального и полного спинового
моментов.
Между термами первой и второй групп нет ничего общего, они принад-
принадлежат физически разным атомам, радиационно они друг с другом не связа-
связаны, т. е. между ними нет переходов. Спектроскопические свойства пара- и
ортогелия резко различаются.
В парагелии полный спиновый момент равен 5 = 0, так что полный
механический момент атома совпадает с полным орбитальным моментом,
9.2. Принцип Паули 187
j = I. Вследствие этого все термы парагелия синглетны. Каждому орби-
тальному квантовому числу I соответствует нерасщепленный уровень с
внутренним квантовым числом j = I.
В ортогелии полный спин равен s = 1, и он векторно складывается
с полным орбитальным моментом I, давая полный механический момент
атома j. Так как все эти три вектора целочисленные, то j принимает три
значения: j = l_^ . = ^ J=l + h
Поэтому каждому значению орбитального квантового числа I соответствую
ют три уровня и набор термов ортогелия образует систему триплетов, на-
наблюдаемую экспериментально.
Аналогично щелочноземельные элементы Ва, Be, Са, Mg, Sr, имеющие,
как и гелий, два внешние электрона, демонстрируют триплетный спектр.
Не входя в более сложные теоретические построения, отметим, что вы-
вычисление энергии ионизации парагелия, т. е. энергии, необходимой для
удаления одного электрона из атома парагелия, находящегося в основном
состоянии, дало величину, очень близкую к экспериментально наблюдае™
мому значению 24,45 эВ.
Обратимся к принципиальному вопросу об основном состоянии атомов
парагелия и атомов ортогелия.
В случае парагелия, для которого полный спиновый момент равен нулю,
основной уровень, расположенный на 24,45 эВ ниже потенциала иониза™
ции, хорошо определяется спектроскопическими методами. В случае же
ортогелия, для которого полный спиновый момент равен единице, спек-
троскопические исследования не дают ни одной линии, которую можно
было бы связать с переходом на уровень с главным квантовым числом
п = 1. Именно таковым по всем канонам должно быть главное квантовое
число (оно же — номер уровня, считая снизу вверх) основного энергетиче-
ского состояния электронной системы атома. Вместе с тем все остальные
триплетные энергетические термы ортогелия отчетливо проявляются в его
спектрах. Эксперимент, таким образом, заставляет принять тот вывод, что
у ортогелия в совокупности его возможных состояний нет того состояния,
которое должно быть основным.
9.2. Принцип Паули
Рассмотрим более внимательно тот терм ортогелия, который должен
быть основным. Из его собственных специальных свойств обращает на
себя внимание то обстоятельство, что на этом уровне все квантовые числа
каждого из двух электронов атома гелия одинаковы.
Во-первых, оба электрона имеют одинаковые главные квантовые числа
п\ = П2 = 1. Это обстоятельство совпадает с таковым в случае парагелия.
Во-вторых, в силу того что орбитальное квантовое число I не мо-
может превосходить п — 1, для обоих электронов оно должно быть нуле™
вым, h = I2 = 0. Следовательно, и орбитальные моменты, и их проекции
одинаковы, причем опять-таки как у ортогелия, так и у парагелия.
188 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
Наконец, в-третьих, спины обоих электронов параллельны, так что и их
проекции одинаковы, {s\)z = («2J; — +1/2- Но это уже принципиально
отличается от случая парагелия, где спины антипараллельны.
Таким образом, для того терма ортогелия, который должен был бы слу-
служить основным в энергетическом спектре этих атомов, полные наборы
квантовых чисел обоих электронов полностью совпадают друг с другом.
И именно этого терма в природе не существует!
Эта ситуация заставила Вольфганга Паули провести общую проверку
всех известных атомных спектров с целью выяснить, не выпадают ли какие-
либо еще определенные термы в случаях других элементов. Оказалось,
что иногда выпадают. Причем оказалось, что всегда, когда терм выпадал,
квантовые числа по крайней мере двух электронов из числа тех, которым
следовало бы населять этот терм, полностью совпадали.
Иными словами, если терм некоторого атома компонуется таким обра-
образом, что соответствующие электроны обладают одинаковыми квантовыми
числами, то такой терм существовать не может.
В 1925™м году В. Паули как мощное эмпирическое обобщение выдвинул
гипотезу, содержавшую утверждение, что на одном уровне энергии атома
не могут располагаться два (или более) электрона. Дальнейшие исследова-
исследования прекрасно подтвердили это положение, и сейчас мы говорим о нем как
о принципе Паули.
Существуют другие формулировки этого принципа. Одна из наиболее
общих гласит: в одном квантовом состоянии не может находиться более
одного электрона.
Мы видим, что существование якобы основного (п = 1, I = 0, s\z =
— S2z — +1/2) уровня ортогелия противоречит этому принципу. При-
Придавая принципу Паули основополагающее значение одного из первичных
постулатов теории, можно утверждать, что обсуждаемый терм ортогелия
не существует потому, что его существование запрещено принципом Паули.
Решая задачу о движении электрона в электростатическом поле ядра, мы
получили систему разрешенных уровней энергии, последовательно зани-
занимаемых электроном по мере увеличения его энергии. При этом естественно
было ожидать, что во всяком невозбужденном атоме все электроны долж-
должны находиться на самом нижнем уровне, в самом нижнем, s-состоянии.
А повседневный опыт показывает, что в атомах по мере роста заряда яд-
ядра, т. е. при переходе от элемента к элементу, происходит последователь-
последовательное заполнение уровней энергии. Именно так строится периодическая си-
система элементов Д. И. Менделеева. И именно принцип Паули позволяет
понять это.
9.3. Таблица Менделеева
Очевидно, что существование обо л очечной структуры атомов является
одним из важнейших следствий принципа Паули. Именно на этом языке
удается объяснить периодичность свойств химических элементов.
9.3. Таблица Менделеева
189
Как известно, в таблице Менделеева элементы расположены по прави-
правилам, которые первоначально ставили в соответствие химическим свойствам
элементов их атомные веса. На самом деле решающим фактором является
не атомный вес (мы сейчас знаем о существовании изотопов), а атомный
номер Z, т. е. число электронов, обращающихся вокруг ядра в нейтраль™
ном атоме.
Введем следующую терминологию. Совокупность электронов с задан-
ным значением главного квантового числа п будем называть слоем. Слои
обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, как показано в
табл. 9.1. Говорят, например, что группа электронов, характеризуемых глав™
ным квантовым числом п = 1, образует К-слои, при п = 2 мы имеем
L-слой и т. д.
Совокупность электронов с заданным значением орбитального момен-
момента I образует оболочку. Обозначения оболочек аналогичны тем, которые
обсуждались в главе 7 (табл. 9.2).
Таблица9.1. Обозначения электронных слоев атома
п
Обозначение слоя
Наибольшее число электронов в слое
1
К
2
2
L
8
3
м
18
4
N
32
5
О
50
Таблица9.2. Обозначения электронных оболочек атома
1
Оболочка
Наибольшее число электронов в оболочке
1
s
2
2
Р
6
3
d
10
4
/
14
5
g
18
Как мы установили ранее, каждый слой содержит определенное число
оболочек. Именно, в слое п имеется п оболочек, у которых I = 0, 1, ...,
п-1.
Заметим, что иногда термин "слой" заменяют термином "оболочка",
а вместо введенного ранее термина "оболочка" используют слово "под-
оболочка". Мы, однако, будем здесь пользоваться введенной нами терми-
терминологией.
Весьма важным является вопрос о емкости оболочек и слоев. Нетрудно
понять, что число различных состояний в оболочке определяется числом
различных проекций орбитального момента I, отвечающего этой оболочке,
т. е. 21 + 1. Кроме того, следует учесть, что в соответствии с принципом
Паули при заданных значениях n, I, m может существовать только два
190 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
электрона, причем проекции их спинов должны иметь противоположные
знаки: s\z = —1/2 и S2Z = +1/2. Таким образом, оболочка I в любом
выбранном слое может вмещать
Nnl = 2B1 + 1) (9.1)
электронов. Для первых пяти оболочек соответствующее число приведено
в табл. 9.2.
Емкость слоя определяется числом различных оболочек, его обра™
зующих, и емкостью оболочек. Поскольку в слое п имеется п оболочек
@ ^ I $С п — 1), то полная емкость слоя оказывается равной
п-1
Nn = J2 2B1 + 1) = 2^2- (9.2)
1=0
Для первых пяти слоев это число приведено в табл. 9.1.
Рассмотрим теперь порядок заполнения электронных оболочек легких
атомов. Простейшим является атом водорода (Z = 1). Его элек-
электрон в основном состоянии находится в К-слое, главное квантовое чис-
число п = 1.
При переходе к гелию появляется второй электрон. Он тоже садится в К-
слой. Для обоих электронов п = 1, значит и I = 0, т = 0. Но по принципу
Паули они должны иметь различные проекции спина: s\z = +1/2 и s^z —
= —1/2. И это все. В K-croq имеются места только для двух электронов.
В этом методе построения таблицы Менделеев мы, следуя Бору, разви™
ваем теорию периодической системы, переходя шаг за шагом от предыду-
щих элементов, более простых, к последующим, более сложным. В начале
каждого следующего шага мы имеем элемент с известной электронной кон™
фигурацией, затем увеличиваем заряд ядра на единицу и добавляем элек-
электрон на периферии электронной оболочки. И хотим узнать, как и куда этот
электрон сядет.
Итак, в K-croq есть место только для двух электронов и эта оболочка
исчерпывается гелием. Если появляется третий электрон, то он может идти
только в L-слой.
Всего в L-слой можно поместить 8 электронов, которые по оболочкам
распределяются следующим образом. Во-первых, имеются два электрона
в ^-оболочке (I = 0), отличающиеся друг от друга направлениями спина.
Далее, поскольку для L-слоя п = 2, орбитальный момент может принимать
также значение I = 1 (р-оболочка). Этому значению соответствуют три про-
проекции: т = — 1, 0, +1, для каждой из которых возможны две ориентации
спина. Итого, 2-3 + 2 = 8.
Далее следуют атомы элементов, у которых заполняется М-слой. Для
него п = 3. Следовательно, число I принимает значения 0, 1,2. Как мы уже
знаем, оболочка I = 0 дает место двум электронам, 1 = 1 — 6 электронам, а
I = 2 вмещает B1 + 1)-2 = B-2 + 1)-2 = 10 электронов. В сумме получается
18 электронов, разделенных на подгруппы по 2, 6 и 10 электронов. Простая
табл. 9.3 показывает, как это происходит.
9.3. Таблица Менделеева
191
Таблица9.3 Первые слои и оболочки
Слой,
п
1
т
Sz
Всего
элект-
электронов
к,
п = 1
0
0
+1
2
2
I
гг =
= 2
1
-1
+ 1
2
0
+ 1
2
+1
+ 1
2
8
0
0
+ 1
2
м,
2
+ 1
2
-1
+i
2
0
+ 1
2
+ 1
+ 1
2
+2
+ 1
2
18
1
-1
+ 1
2
0
+ 1
2
+ 1
+ 1
2
0
0
+ 1
2
Существует традиционная схема записи электронных конфигураций
атомов. В ней указываются слои (своим номером) и оболочки (символом).
Для последних приводится число находящихся в них электронов (в виде
показателя степени). Например, если в оболочке р, относящейся к слою L,
имеется 3 электрона, то этой оболочке ставится в соответствие символ 2р3.
Итак, после появления третьего электрона начинает заполняться L-слой.
Это атомы Li, Be, В, С, N, О, F, Ne. Атом неона имеет полностью укомплек-
укомплектованный L-слой — 8 электронов. Следующий электрон водворяется уже в
М-слой. Таким образом, мы получаем Na, Mg, A1 и т. д.
Первые две оболочки слоя М (8 электронов) образуют второй короткий
период таблицы Менделеева — от натрия до аргона. Электронные конфи-
конфигурации натрия и аргона следующие:
Натрий
Is22s22p63s1
Аргон is Ar b22522p63s23p6.
Сказанное иллюстрирует табл. 9.4, показывающая заполнение этих двух
первых периодов периодической системы элементов.
Дальше дело усложняется. Начиная с калия (элемент № 19), оболочка
4«s заполняется раньше, чем 3d:
Калий 19К I522522p63523p64s1,
Кальций зоСа Is22s22p63s23p6 4s2.
192 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
Таблица9.4 Заполнение электронных оболочек легких атомов
Слой
Оболочка
Максимальное число
электронов в оболочке
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Элемент
Н
Не
Li
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
-Е'ион, эВ
13,60
24,45
5,37
9,48
8,4
11,22
14,47
13,56
18,6
21,48
2,12
7,61
5,96
7,39
10,3
10,31
12,96
15,69
К
Is
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
L
2s
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2p
6
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
M
3s
2
1
2
2
2
2
2
2
2
3p
6
1
2
3
4
5
6
3d
10
9.4. Правила Хунда 193
Это приводит к появлению больших периодов. Такое усложнение объ-
объясняется тем, что важную роль начинает играть центробежная энергия
= — -, существенная именно для оболочек с большими ор-
2тег2 2шег2
битальными моментами. В результате энергетический порядок следования
состояний меняется таким образом, что вместо оболочки 3d (I = 2) энер-
энергетически выгодно оказывается сначала заполнить оболочку As (I = 0).
По аналогичной причине задерживается заполнение оболочек Ad (I = 2)
и 4/ A=3).
Для иллюстрации происходящих усложнений приведем электронные
конфигурации некоторых элементов:
Скандий
Никель
Медь
Криптон
2lSc
28Ni
29 Си
збКг
Is2
ь2
ь2
Is2
2s2
2s2
2s2
2s2
2/3s2
2/3s2
2/3s2
2/3s2
4s2
4s2
4s1
4S2
3d1,
3ds,
3d10,
4/3d10
Следует также упомянуть группу лантанидов, или редкоземельных эле-
элементов, — 14 элементов с номерами 58-71 (от церия до лютеция). У этих
элементов заполняется оболочка 4/ (с полной емкостью 14 электронов),
тогда как уже заполнены оболочки 5s, 5р и 6s (хотя здесь также име-
имеются некоторые нерегулярности). Например, конфигурация церия (эле™
мент 58) есть
Is2 2s2 2/ %s2 Зр6 As2 Ар6 3d10 5s2 5p6 4d10 6s2 4/2.
Здесь оболочки указаны в порядке их заполнения по мере поступле-
поступления новых электронов. Вместе с тем именно электроны одинаковых 5- и
р-оболочек определяют химические свойства элементов, поскольку d- и
/-электроны находятся ближе к ядру. По этой причине все лантаниды об-
обладают сходными химическими свойствами.
Следует отметить, что периоды завершаются формированием полно-
полностью заполненных оболочек. Это инертные газы Не, Ne, Ar, Kr, Xe, Rn.
Энергия ионизации ЕИОН их атомов оказывается максимальной (в своих
рядах). Значения ЕИОН (в электрон-вольтах) приведены табл. 9.4. Таким
образом, соответствующие атомы оказываются наиболее устойчивыми, ин-
индифферентными к внешним воздействиям.
Современные методы позволяют рассчитать на основе квантовой меха-
механики расположение электронов в атомах и атомов во всей таблице Менде-
Менделеева. В то же время, обычно это не делается. Из анализа спектральных
данных выясняется истинная картина, которая затем соотносится с прави-
правилами квантовой механики, классифицируется, табулируется, и, если надо,
запоминается. Но это уже лежит вне пределов нашего изложения.
194 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
9.4. Правила Хунда
Помимо структуры электронной оболочки представляют интерес харак-
характеристики — орбитальный, спиновый и полный моменты — всего атома.
Прежде всего введем обозначение для термов атомов. Обычно исполь-
используется следующая символика:
2S+1Lj, (9.3)
где корневая буква (L) отражает полный орбитальный момент в виде обыч-
обычного символа момента, записываемого заглавной буквой: S9 P, D и т. д.
Левый верхний (числовой) индекс 2^ + 1 отражает спиновый момент S
атома и называется мультиплетностью терма (число различных ориентации
спина). Поскольку наличие спина приводит к спин-орбитальному взаимо-
взаимодействию, при S < L мультиплетность терма определяет число компонент
тонкой структуры. Однако название "мультиплетность" сохраняется и при
S > L, хотя число компонент тонкой структуры в этом случае равно 2L +1.
Наконец, нижний (числовой) индекс J указывает полный угловой момент
атома.
Примером может служить символ 21^з/2? означающий, что мы имеем
дело с термом, у которого орбитальный момент L = 2, спин 5 = 1/2,
а полный момент J = 3/2.
Рассмотрим вопрос об определении терма основного состояния атома.
Прежде всего нужно учесть, что полностью заполненные оболочки обла-
обладают нулевыми суммарными орбитальным и спиновым моментами. Это
становится очевидным, если вспомнить, что емкость оболочки определяет™
ся числом различных ориентации векторов орбитального момента и спина.
В случае же целиком заполненной оболочки использованы все возможные
ориентации этих векторов. Таким образом, спиновый и орбитальный мо-
моменты атома определяются оболочками, заполненными только частично.
В 1925 г. Фридрих Хунд эмпирически установил, что терм основно-
основного состояния атома может быть выделен среди всех возможных термов с
помощью следующего правила.
1. Наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным зна-
значением полного спина S и наибольшим (при выбранном S) значением пол-
полного орбитального момента L.
Еще одно правило позволяет найти полный угловой момент, отвечаю-
отвечающий основному состоянию.
2. Мультиплеты, образованные эквивалентными электронами, являют-
являются правильными (т. е. энергия растет с ростом полного момента J), если
заполнено не более половины оболочки, и обращенными (т. е. энергия убы-
убывает с ростом J), если заполнено более половины оболочки.
Это утверждение означает, что в случае, когда заполнено не более по-
половины оболочки L, минимальной энергии отвечает полный момент J =
= \L — S\. Если же заполнено более половины оболочки, то момент J
определится формулой J = L + S.
В тяжелых атомах могут существовать две незаполненные оболочки.
В этом случае сначала с помощью правил Хунда находят характеристики
9.5. Тождественные частицы. Четность относительно перестановок 195
каждой из этих оболочек, а затем по найденным характеристикам с помо-
помощью тех же правил определяют параметры всего атома.
Проиллюстрируем, как работают сформулированные правила. Рассмот-
Рассмотрим в качестве примера атом углерода бС. Его электронная схема есть
6С: \s22s22p2 (9.4)
(левый нижний индекс "б" у символа элемента означает, что ядро атома
имеет заряд Z = 6).
Видно, что оболочка 2р заполнена лишь частично: в ней имеется два
электрона (из шести возможных для данной оболочки). Оба электрона име-
имеют орбитальный момент I = 1 и спины s = 1/2. Поэтому орбитальный
момент системы может принимать значения L = 0, 1, 2, а спин — зна-
значения 5 = 0, 1. Таким образом, в принципе возможны 6 различных со-
состояний. Определим параметры основного состояния. В соответствии с
правилом Хунда ему отвечает терм с максимальным возможным спином, в
нашем случае — со спином 5 = 1. При этом проекции спина s\z = S2Z —
= +1/2, т. е. спиновые состояния одинаковы. Поэтому у электронов долж-
должны отличаться проекции орбитального момента, но таким образом, чтобы
обеспечить максимально возможное значение L. Это возможно, если т\ =
= 1, ni2 = 0. Тогда суммарный орбитальный момент L = 1 + 0 = 1. По-
Поскольку оболочка заполнена менее, чем наполовину, то J = L — S = 0. Сле-
Следовательно, терм основного состояния атома принимает вид 3Р®. Наряду с
ним возможны состояния, термы которых записываются как 3Р\ и 3Р2 (для
которых соответственно J = L — S +1 = 1hJ = L^5 + 2 = 2). Это, одна™
ко, состояния с большей энергией (иначе говоря, возбужденные состояния).
В качестве другого примера рассмотрим атом кислорода с электронной
конфигурацией
8О: ls22s22pA. (9.5)
В этом случае все 4 электрона 2j>оболочки уже не могут иметь одина-
одинаковые проекции спина (так как всего возможны 3 различные проекции
орбитального момента). В итоге максимальный спин атома окажется рав-
равным S = ™ + ^ + ™ ~ ~ = 1 (ТРИ электрона имеют sz = +1/2, а у
четвертого sz = —1/2). Значение орбитального момента при этом составит
L = [(+1) + @) + (—1)] + (+1) = 1. Поскольку заполнено более половины
оболочки, то J = L + S = 2. Таким образом, терм основного состояния
кислорода записывается как 3Р2-
9.5. Тождественные частицы. Четность относительно
перестановок
Качественные рассуждения относительно принципа Паули позволяют
уже сделать целый ряд выводов о свойствах атомов. Однако во многих елу™
чаях должны использоваться более определенные, количественные утвер-
утверждения. Для их формулировки мы уточним некоторые представления,
196 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
одним из которых является понятие о тождественных частицах. Интуи-
тивно это понятие вполне ясно: электроны одинаковы, протоны одинаковы,
атомы натрия в основном состоянии одинаковы и т. д. Это нужно понимать
так, что две тождественные частицы мы не можем различить ни в каком
эксперименте: любая копия идентична оригиналу. Вместе с тем существу-
существуют объекты одинаковые, но не тождественные. Последнее означает, что мы
можем, хотя бы мысленно, пронумеровать их, а затем выбирать в нужной
последовательности. Таковы, например, практически любые макроскопи™
ческие объекты. В частности, на любую песчинку можно (мысленно) нане-
сти метку с номером.
Перемена местами двух одинаковых частиц
(а, Ь) -> (Ь, а)
приводит к некоторому изменению состояния системы (хотя бы за счет из™
менения положения "меток"): состояния до и после перестановки в прин-
принципе различимы. В случае же тождественных частиц такой обмен местами
(е, е) -> (е, е)
ни к каким изменениям не приводит, т. е. состояния системы до и после
перестановки идентичны, неразличимы.
Рассмотрим систему двух тождественных частиц. Их волновая функ-
функция Ф зависит как от координат (ri, Г2), так и от спинов (si, S2) этих частиц.
Обозначим q = (г, s) — совокупность координат и спиновых переменных
для одной частицы. Тогда Ф = Ф(дь д2)-
При перестановках тождественных частиц физическое (наблюдае-
(наблюдаемое) состояние системы не может измениться. Это означает, что волно-
волновая функция в результате перестановки может приобрести только фазовый
множитель:
Щ02, Ш) = е**ЩЯ1, 92), (9-6)
где \ег(р\2 = 1. В результате повторной перестановки получаем
q2). (9.7)
Отсюда следует е2г(р = 1, так что
ei(p = ±1. (9.8)
Этим значениям фазового множителя отвечают волновые функции, удовле™
творяющие, согласно (9.6), условиям
Ф(д2, qi) = +Ф(?ъ 42) при eiip = +1 (9.9)
или
Ф(?2, qi) = -Ф(?1, 42) при е^ = -1. (9.10)
Если волновые функции следуют условию (9.9), то соответствующие
частицы называются бозонами. В случае же, когда выполняется условие
(9.10), частицы называются фермионами.
В релятивистской квантовой теории поля доказывается теорема, соглас-
согласно которой частицы, спин которых есть целое число (или нуль), являются
9.6. Волновая функция при учете спина 197
бозонами, а частицы с полуцелым спином — фермионами. Это утвержде-
утверждение было установлено в 1940 г. В. Паули и называется теоремой о связи
спина со статистикой (имеется в виду, что ансамбль бозонов подчиня-
подчиняется статистике Бозе - Эйнштейна, а ансамбль фермионов — статистике
Ферми-Дирака). Нетрудно понять, что составная частица, включающая
четное число фермионов, всегда является бозоном, тогда как из бозонов
невозможно сделать фермион.
Как мы уже знаем, электроны являются фермионами. К этому же клас™
су относятся протоны и нейтроны, спин которых также равен s = 1/2.
Бозонами же являются известные нам фотоны, а также мезоны.
9.6. Волновая функции при учете спина
Здесь уместно остановиться кратко на структуре волновых функций,
учитывающих наличие спина частицы. Как мы видели, имеется принци™
пиальное различие между орбитальным моментом и спином. Если первый
связан с непрерывными поворотами вокруг координатных осей и пред-
представляется операторами дифференцирования по координатам (или углам),
то второй (т. е. спин), будучи внутренней квантовой характеристикой, за-
задается дискретным набором чисел (в частности, своей проекцией на ось).
Соответственно волновая функция частицы со спином зависит как от коор-
координат, так и от спиновой переменной sz:
<ф = <ф{х,у,г\8г). (9.11)
Поскольку величина sz является дискретной переменной, пробегающей
2s + 1 значений, то функция (9.11) есть по существу совокупность 2s + 1
функций координат. В частном случае спина s = 1/2 переменная sz пробе-
пробегает всего два значения, и вместо одной функции ф удобно рассматривать
две функции:
а = ф(х, у, z, +1/2),
Полную же волновую функцию при этом можно записывать в виде столбца
/ а(х, у, z) X
ф(х, у, zjSz)={ . (9.13)
у Ь(ж, 2/, z) )
Компоненты а и Ъ есть амплитуды вероятности нахождения частицы
в спиновых состояниях sz = +1/2 и sz = —1/2 соответственно. Полная
вероятность обнаружить частицу в окрестности точки г есть
dW = (|a(r)|2 + |6(r)|2)dF = V;+(r, sz)i)(r, sz)dV. (9.14)
Здесь введена операция эрмитова сопряжения для столбца (9.13):
ф+ = (а*, 6*), (9.15)
198 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
после чего перемножение ф+ и ф осуществляется по обычным правилам
перемножения матриц (в данном случае — строки и столбца).
Если частица находится в определенном спиновом состоянии, то ее
волновую функцию можно представить в виде
^i=a(r)x+i/2 (9.16)
для случая sz = +1/2 или
ф2 = Ь(г)х_1/2 (9.17)
для случая sz = —1/2. В этих формулах величины х±1/2 есть столбцы
Если мы имеем дело с частицей со спином нуль, то ее волновая функция
сводится к скаляру — единственной функции координат. В случае же части-
частицы со спином s > 0 волновая функция может быть представлена столбцом
с числом компонент 25 + 1.
9.7. Математическам формулировка принципа Паули
После этих замечаний рассмотрим систему двух тождественных частиц.
Предположим, что обычное силовое взаимодействие между ними отсут™
ствует. Гамильтониан системы тогда записывается в виде
где Н\ и Н.2 — гамильтонианы отдельно первой и второй частиц. Пусть
частица 1 находится в квантовом состоянии о, а частица 2 — в квантовом
состоянии /3. Обозначая волновые функции этих частиц фа{Т1) и ф(з{т2),
имеем уравнения для одночастичных стационарных состояний:
Й1фа(г1)=Еафа(г1I
).
Нас интересует вероятность того события, что один электрон находится
в точке (#i, г/i, zi)9 а второй одновременно — в точке (x2i y2i z2). Ампли™
туда вероятности такого события, очевидно, равна произведению
Ф*р(г1, г2) = фа(гг) фр(г2). (920)
Запись эта предполагает, что можно проверить на опыте тот факт, что
именно первый электрон находится в первой точке, а второй — во вто-
второй. Однако электроны тождественны и невозможно проверить, где нахо-
находится какой из пары неразличимых электронов, равно как нельзя просле-
проследить за траекторией каждого из электронов на их пути в эти точки — ведь
траекторий тоже нет. Кроме того, с формальной точки зрения функция (9.20)
не удовлетворяет свойству симметрии (9.9) или (9.10) и потому неприме™
нима для описания частиц тождественных.
9.8. Обменное взаимодействие 199
Для того чтобы записать правильную волновую функцию, нужно
ее должным образом симметризовать. При этом для системы бозонов по-
получаем
i>ap(<ll, 42) = -= [Фа{4\) Ф(з(п2) + Фа{42) ФрЫ)] j (9.21)
л/2
а в случае фермионов
Фа[АЧЪ 42) = -= [Фа{4\) ФC{Ч2) ~ ФаШ Ф(з{4\)\ • (9.22)
В этих формулах введен нормировочный множитель 1/л/2, предпола-
предполагающий возможность нормировки на единицу одночастичных волновых
ФУНКЦИЙ фа{^\) И фр(Г2).
Если бы мы имели систему из большего числа частиц, то должны были
бы произвести соответствующую симметризацию таким образом, чтобы
при перестановке любой пары частиц волновая функция оказалась симмет™
ричной в случае бозонов и антисимметричной в случае фермионов.
Теперь не представляет труда получить принцип Паули. В самом деле,
если два фермиона находятся в одном квантовом состоянии, т. е. а = /3,
то из (9.22) немедленно следует
Фаа{4\, 42} = ^р [Фа{4\) Фа{42) ~ ФаШ Фа{4\)] = 0.
Это означает, что не существует двух тождественных фермионов, которые
бы одновременно находились в одном и том же квантовом состоянии. Кроме
того, из (9.22) видно, что если фермионы находятся в одинаковом спиновом
состоянии, siz = S2Z, то волновая функция системы фар(Я1, 42) обращается
в нуль при г2 ^ г 1 (т. е. q\ ^ ^) • Иными словами, два фермиона в одинако-
одинаковом спиновом состоянии не могут одновременно находиться в одной точке
пространства. Это можно интерпретировать так, что между тождествен-
тождественными фермионами возникает эффективное отталкивание, не связанное с
действием каких-либо обычных сил.
Из (9.21) видно, что для бозонов подобные утверждения не рабо™
тают: бозоны могут находиться в одинаковых квантовых состояниях и мо-
могут неограниченно сближаться (если, конечно, какие-то силы отталкивания
не препятствуют этому).
9.8. Обменное взаимодействие
Из уже сказанного видно, что благодаря принципу Паули характер
взаимодействия двух тождественных фермионов зависит от полного спи-
спина системы. Такая зависимость возникает вследствие свойств симметрии
волновой функции относительно перестановок частиц и по существу отра™
жает согласованный, коррелированный характер их движения, даже если
прямое, силовое взаимодействие частиц отсутствует.
200 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
Взаимное влияние частиц, обусловленное их тождественностью, на™
зывают обменным взаимодействием. Это взаимодействие является чисто
квантовым эффектом и пропадает при переходе к классической механике.
С некоторой долей условности обменное взаимодействие можно пред-
представлять следующим образом. Рассмотрим два электрона, из которых один
находится в атоме с центром в точке ri, а второй — в атоме с центром
в точке 1*2 • Каждый электрон проводит некоторое время то в одном атоме,
то в другом. При этом мы не можем сказать, какой из них и в каком атоме
находится. Таким образом, происходит непрерывный "обмен информаци-
информацией" между атомами, за которым мы не в состоянии наблюдать, но который
приводит к вполне наблюдаемым явлениям.
Если электроны находятся в одном спиновом состоянии, то они не могут
сильно сблизиться вследствие принципа Паули — возникает их эффектив-
эффективное отталкивание. И поскольку фермионы в среднем находятся дальше
друг от друга, чем так же заряженные бозоны, электростатическая энергия
понижается. Если же спины электронов ориентированы противоположно,
то принцип Паули не запрещает электронам сближаться. Однако при этом
электростатическая энергия их взаимодействия повышается.
Из сказанного видно, что обменное взаимодействие меняет энергию
обычных видов взаимодействия вследствие перераспределения частиц в
пространстве.
Найдем поправку к энергии системы, включающей два электрона.
Напомним, что если спины электронов параллельны (||), то мы го-
говорим об орто со стояниях, если же спины антипараллельны (||), то это
парасостояния. Имея в виду значение полного спина системы, эти состо-
состояния называют также триплетным (s = 1, 2s + 1 = 3) и сингл етным
(s = 0, 2s + 1 = 1).
Энергия кулоновского взаимодействия электронов равна
, г2) = —, (9.23)
Г12
где ri и Г2 — радиусы-векторы электронов, а г и = |ri — Г21 — расстояние
между ними. По общим правилам среднее значение этой энергии дается
формулой
(V) = IV(rb r2)V(ri, г2)Ф(г1, v2)dVldV2}
(9.24)
где волновая функция Ф(г]_, Г2) предполагается нормированной условием
J|#(ri, T2)\2dV\dV2 = 1. Считая межэлектронное взаимодействие слабым
по сравнению с взаимодействием электронов с ядром, мы можем прибли-
приближенно заменить волновую функцию Ф(гх, гг) функцией, в которой элек-
электроны считаются вообще не взаимодействующими друг с другом.
Для того чтобы построить требуемую функцию, учтем, что кулоновское
9.8. Обменное взаимодействие 201
взаимодействие практически не влияет на спиновое состояние системы 1К
Поэтому полную волновую функцию, отвечающую определенному значе-
значению спина системы, можно представить в виде произведения
Ф(ГЬ Г2, Siz, S2z) = X(S1Z, 52г)Ф(Г1, Г2). (925)
Здесь x(stzi S2z) — спиновая часть, полностью определяемая значениями
проекций спина на ось z, а Ф(гь Г2) — пространственная часть.
Нетрудно понять, что спиновая часть, удовлетворяющая условию
X(S2Z, Slz) = +X(siz, *2z), (926)
отвечает ортосостоянию, т. е. суммарному спину s = 1. Если же спиновая
часть антисимметрична:
ХЫ, slz) = -x(siz, s2z), (921)
то мы имеем дело с парасостоянием, когда суммарный спин s = 0. Сказан™
ное становится очевидным, если учесть, что в случае ортосостояния (оба
спина ориентированы одинаково) перестановка вообще не меняет располо-
расположения спинов, тогда как в случае парасостояния (спины антипараллельны)
такая перестановка приводит, хотя бы формально, к некоторому изменению
спинового состояния системы.
Далее учтем, что для фермионов, каковыми являются электроны, полная
волновая функция (9.25) должна быть антисимметричной. Поэтому в слу-
случае ортосостояния (когда спиновая часть волновой функции симметрична)
пространственная часть должна быть антисимметричной:
Ф(г2, п) = -Ф(гь г2), (9.28)
а в случае парасостояния (когда спиновая часть антисимметрична) — сим-
симметричной:
Ф(г2, ri) = +Ф(гь г2). (929)
Если обозначить через ^«(г) одноэлектронную волновую функцию, то
с учетом сказанного можно записать
Фа(гь г2) = -^Ыг1)Ыг2) " ^(r2)^(ri)] (930)
для ортосостояния и
ФДгь г2) = ^=[^(ri)^(r2) + ^(r2)^(n)] (931)
v2
для парасостояния. В (930) индекс а у функции Ф означает антисиммет-
антисимметричную пространственную часть, а в (931) индекс s — симметричную.
Индексы а и C указывают квантовые состояния электрона в атоме (кроме
его спинового состояния).
^ Кулоновское поле непосредственно действует только на заряды. Действие же
его на спин осуществляется лишь посредством спин-орбитального взаимодействия,
которое является весьма слабым.
202 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
Теперь нетрудно записать выражение для средней энергии взаимодей-
ствия электронов. Предполагая, что спиновая часть волновой функции нор-
нормирована на единицу (х+Х = 1)? согласно (9.23), (9.24) и (9.30), (9.31)
находим
\ ЫОМ2) ± Va(r2)V;3(ri)|2 dVxdV2 = /кул ± 1об.
2 J Г12
(9.32)
Знак "+" отвечает парасостоянию (s = 0), а знак "—" — ортосостоянию
(s = 1). В (9.32) введены обозначения
т f Pa(ri)p/3(r2) Л1/ ,т/ /О Ц\
1кул = aviav2, {933)
J
(9.34)
(9.35)
. (9.36)
Как видно из приведенных формул, энергия взаимодействия электронов
состоит из двух частей: /кул и /об. Выражение для 1кул имеет классический
вид и представляет собой обычную энергию кулоновского взаимодействия.
Слагаемое /об обусловлено тождественностью частиц и называется обмен-
обменным интегралом. В кулоновскую энергию входит обычная плотность заряда
(9.35). В обменную же энергию входит величина (9.36), которую условно
можно назвать обменной плотностью заряда. Ее квадрат модуля | рар(г) |2
определяет плотность вероятности одновременного нахождения двух элек™
тронов в одной точке пространства (для случая, когда эффекты тождествен-
тождественности не учитываются). Очевидно, что эта величина отлична от нуля, если
волновые функции первого и второго электронов перекрываются. Именно в
этих условиях начинают проявляться эффекты, обусловленные тождествен-
тождественностью частиц.
В большинстве случаев обменный интеграл положителен. Поэтому энер™
гия ортосостояния E = 1) оказывается меньше, чем энергия парасостоя-
ния (s = 0). Этот факт дает квантовомеханическое обоснование (хотя и
для частного случая двухэлектронной системы) эмпирически установлен-
установленного правила Хунда, по которому в основном состоянии спин электронной
системы должен быть максимальным.
Оказывается, именно обменное взаимодействие играет существенную
роль в образовании ковалентной связи в молекулах. В качестве примера
рассмотрим молекулу водорода Н2.
Если электроны взаимодействующих атомов находятся в противопо-
противоположных спиновых состояниях (что соответствует парасостоянию молеку-
молекулы), то они могут сближаться. В результате в пространстве между ядрами
электроны могут находиться с большой вероятностью, формируя в этой
области "электронное облако". В свою очередь экранирующее действие
9.8. Обменное взаимодействие
203
"облака" приводит к уменьшению отталкивания ядер и даже к их притя-
притяжению к "облаку". Кроме того, увеличение доступной электронам области
движения приводит, в соответствии с соотношением неопределенностей,
к уменьшению их средней кинетической энергии. В итоге полная энергия
системы понижается и появляется достаточно сильное притяжение атомов,
создающее молекулу в парасостоянии.
Если электроны находятся в одинаковом спиновом состоянии (что соот-
соответствует системе, находящейся в ортосостоянии), то электроны оказыва-
оказываются пространственно разнесенными к разным атомам, отталкивание ядер
усиливается — минимум потенциальной энергии достигается при беско-
бесконечном удалении атомов друг от друга. Кроме того, возрастает средняя
кинетическая энергия электронов
(вследствие сужения доступной
области движения). Это приводит к
увеличению энергии системы и невоз-
невозможности образовать молекулу в ор-
ортосостоянии.
Таким образом, связанное состоя-
состояние двух атомов существует только в
случае полного спина s = 0 (синглет-
ного состояния), тогда как состояние
со спином 5 = 1 (или триплетное со-
состояние) оказывается неустойчивым.
Зависимость потенциальной энергии
взаимодействия двух атомов водоро-
водорода от расстояния г между ядрами для
орто- и парасо стояний показана на
рис. 9.1, иллюстрирующем сказанное.
В заключение этой главы найдем
вид оператора, описывающего энер-
энергию обменного взаимодействия элек-
электронов. Пусть операторы спина первого и второго электронов есть §i и §2,
причем (sf) = (s|) = - ( - + l) = -. Далее заметим, что
2 \ 2 / 4
Рис. 9.1. Зависимость потенциальной
энергии взаимодействия атомов во-
водорода в случае ортосостояния (||)
и парасо стояния (||). Величина г о
есть значение равновесного расстоя-
расстояния между атомами для триплетного
состояния
Отсюда ясно, что собственные значения оператора §i§2 есть
Соответственно оператор - [1 + 4§i§2] имеет собственные значения
(9.37)
204 Гл. 9. Принцип Паули, периодическая система элементов Менделеева
Они, очевидно, зависят от суммарного спина s. Таким образом, добавку к га-
гамильтониану, описывающую обменное взаимодействие электронов, можно
представить в виде
Кб = ™4б [1 + 4§i§2]. (938)
Обобщение на случай системы, включающей произвольное число элек-
электронов, не представляет труда:
^] (9.39)
г, к
где суммирование производится по всем электронам системы. Величи-
Величины Jik называются обменными интегралами (по аналогии с /об)- Обратим
внимание на то, что выражение (9.38) (или (9.39)) выглядит по форме так
же, как оператор взаимодействия спиновых магнитных моментов электро-
электронов. В рассматриваемом сейчас случае такая структура Vo^ никак не связа-
связана с магнитным взаимодействием, а является проявлением принципа Пау-
Паули. Заметим, что именно обменным взаимодействием обусловлено явление
ферромагнетизма и, согласно теории, предложенной В. Гейзенбергом, оно
описывается гамильтонианом вида (9.39).
ГЛАВА 10
РАДИАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Шел в комнату, попал в другую.
(А. С. Грибоедов)
Итак, микромир характеризуется наличием некоторого дискретного на-
набора разрешенных к существованию квантовых состояний — дискретных
уровней энергии. Закономерно возникает вопрос о том, по каким правилам
и как происходят переходы между теми или иными уровнями.
10.1. Спин и момент импульса фотона
В 1898 г. А. И. Садовский теоретически предсказал вращающее действие
эллиптически поляризованных световых волн, падающих на кристалл. Из
его утверждения следовало, что световая волна имеет собственный момент
импульса.
Чтобы убедиться в сказанном, рассмотрим заряд е, вращающийся по
круговой орбите вокруг оси z (рис. 10.1). В этой ситуации заряд созда-
ет дипольное излучение, поскольку периодически меняется джюльный
момент электрона d = er относитель-
относительно ядра. Заметим, что согласно зако-
законам электродинамики в направлении
оси z, перпендикулярной плоскости
орбиты, излучение имеет круговую
поляризацию, а в направлении, пер™
пендикулярном оси z, — линейную.
Чтобы исключить последнюю, доста™
точно рассмотреть систему большого
числа диполей, лежащих в одной штос™
кости. Тогда в результате интерферен-
интерференции волн от отдельных диполей со-
составляющая излучения в направлении,
перпендикулярном оси z, исчезнет.
Рассмотрим атом водорода. Пусть
потери энергии за счет излучения ма-
малы, так что можно пользоваться формулами, описывающими равномерное
вращение электрона вокруг ядра. Предположим для простоты, что электрон
находится на круговой орбите радиуса г. Если угловая скорость вращения
электрона есть и, то центробежная сила равна
Рис. 10.1. Электрон, вращающийся
по круговой орбите (к объяснению
эффекта Садовского)
9
= гаеаГг.
A0.1)
206 Гл. 10. Радиационные переходы
Сила кулоновского притяжения к ядру
^кул = — (Ю.2)
г2
уравновешивает центробежную силу:
теш2г = ^, A0.3)
Отсюда находим связь угловой скорости электрона и радиуса орбиты:
A0.4)
Полная энергия электрона с учетом A0.3) равна
д _ mev2 _ е2 _ теш2г2 _ е2 _ _е^ ,.~ _.
2 г 2 г 2г
За счет излучения радиус орбиты меняется. При этом
е2
dE=—dr, A0.6)
2Г2
С учетом A0.4) момент импульса электрона можно представить в виде
<ТЮ /> 1/уэ ^FTl / 1 /У» ^КУ1 ^У* / ^ 1 ?Э<?> tYYl tv* I I I I / I
IIIqU I I llgUJ I ' ' t'e ' 4/ \/^ ''"?,'•) \^^*'/
так что при изменении радиуса орбиты оказывается
2 ., (Ю.8)
Используя A0.6) и A0.8), находим
A0.9)
Поскольку полная энергия и момент импульса системы "электрон +
+ свет" сохраняются, свет уносит как энергию, так и момент импульса,
связь которых определяется найденной формулой A0.9). Величина ш при
этом совпадает с частотой излучения, поскольку она определяет частоту
изменения дипольного момента заряда (электрона). Известно, что свет ис-
испускается порциями (квантами) с энергией dE = hw. Тогда, в соответствии
с A0.9), квант будет уносить и момент импульса dL = Н: на эту величину
будет убывать проекция орбитального момента Lz = mh электрона при
излучении одного фотона.
Сказанное указывает на то, что при электрическом дипольном излуче-
излучении испускаются фотоны со спином
5 = 1. A0.10)
10.1. Спин и момент импульса фотона
207
Попробуем понять качественно смысл собственного момента фотона.
Что же такое фотон? Фотон непосредственно связан со световой волной.
О световой волне мы знаем, что это поперечная волна и что, следовательно,
для нее возможна та или иная поляризация. В оптике, да и в СВЧ-технике,
предпочитают работать с линейно поляризованной волной, с которой про™
ще иметь дело в эксперименте. Но возможна не только линейная, но и цир-
циркулярная поляризация, которую в оптике представляют как две линейные
взаимно перпендикулярные поляризации со сдвигом фаз тг/2.
В квантовой механике удобнее за исходные поляризации брать не ли-
линейные, а циркулярные, направленные в противоположные стороны
(рисунки 10.2,аи10.2, б). Тогда линейно поляризованная волна (рис. 10.2, в)
есть суперпозиция двух волн с круговой поляризацией и наоборот. Как все-
всегда, важно число компонент, а не то, какие именно компоненты выбраны.
У
Рис. 10.2. Поляризации электромагнитной волны: а) левая поляризация; б) правая
поляризация; в) линейная поляризация (jp = const)
Рассмотрим циркулярно поляризованный свет. Вектор Е вращается по
кругу. В элементарной световой волне, циркулярно поляризованной, при™
сутствует вращение. Кроме того, в силу поперечности световых волн вол-
волновой вектор к, вокруг которого вращается вектор Е, направлен или по
движению волны света, или против.
Поэтому ясно, что когда мы хотим квантовомеханически описать фотон,
то оказывается, что спин фотона не равен нулю. Если бы спин фотона был
бы равен нулю, то свет не мог бы быть поляризован.
Как мы видели из анализа эффекта Садовского, фотону логично припи-
приписать спин s = 1. У любой другой частицы при спине, равном 1, возможны
2s + 1 = 3 проекции спина на избранное направление: sz = +1, 0, — 1.
У фотона дело обстоит иначе: он может находиться только в двух спи-
спиновых состояниях с проекциями спина на направление распространения,
равными только sz = +1 и sz = — 1. Это свойство фотона ассоциируется с
поперечностью световой (электромагнитной) волны.
В самом деле, вследствие поперечности электромагнитных волн в ва™
кууме (а именно об этой ситуации мы и говорим) вектор Е ортогонален
вектору к. Поэтому винт, ассоциируемый с поляризацией волны, т. е. с
вращением вектора Е, может иметь только две ориентации: по направле™
нию распространения волны (т. е. по направлению волнового вектора к)
и против.
208 Гл. 10. Радиационные переходы
Поляризационное состояние микрообъектов иногда удобно характери-
характеризовать квантовым числом, называемым спиралъностъю, и по определению
равным проекции спина на направление импульса:
A = i(sp). A0.11)
р
Если Л > 0, то говорят, что частица имеет правую или правовинтовую
спиральность, если же А < 0, спиральность называется левой или левовин™
товой.
Для фотона, в соответствии с двумя возможными поляризационными
состояниями, спиральность может принимать два значения:
А = ±1. A0.12)
Подробнее говорить о свойствах фотона в рамках нерелятивистской
квантовой механики затруднительно. Вместе с тем можно сделать некие
качественные утверждения. Фотон движется со скоростью света, так что
невозможно перейти в систему отсчета, где бы он покоился. Но это значит,
что невозможно разделить его полный угловой момент на орбитальную
часть и спин (т. е. собственный момент). В связи с этим утверждение, что
спин фотона 5 = 1, означает только то, что это значение есть минимальное
количество момента импульса, которое может унести фотон. Дело в том,
что фотоны возникают в результате движения (изменения состояния) систе-
системы частиц (зарядов), например при переходах электронов в атомах с одних
энергетических уровней на другие. Соответственно момент импульса фо-
фотона определяется по тому, какое изменение момента импульса системы
произошло в результате его испускания или поглощения.
Остановимся немного подробнее на классификации состояний фотона.
Для этого нам понадобится такое важное понятие, как четность.
10.2. Четность относительно преобразования
инверсии координат
Понятие четности определяет свойства волновой функции при преоб-
преобразовании инверсии координат. (Сразу подчеркнем, что эта четность от-
отличается от четности относительно перестановок частиц, о которой мы
говорили в предыдущей главе в связи с формулировкой принципа Паули.)
Под преобразованием инверсии имеют в виду преобразование зеркаль-
зеркального отражения:
г^-г A0.13)
(рис. 10.3, а). Формально действие этого преобразования записывается еле™
дующим образом. Введем оператор инверсии Р, который действует по пра™
виду
Рг = -г. A0.14)
10.2. Четность относительно преобразования инверсии координат 209
Рис. 10.3. Поведение полярного (а) и аксиального (б) векторов при преобразовании
инверсии (отражении в зеркале)
Соответственно действие этого оператора на волновую функцию состоит в
следующем:
РФ(г) = Ф(-г). A0.15)
Это правило позволяет найти собственные значения оператора Р. При-
Применяя дважды этот оператор к волновой функции, мы должны получить,
согласно A0.15), тождественное преобразование:
Р2Ф(г) = Ф(г). A0.16)
Если обозначить символом Р собственное значение оператора F, то соот-
соотношение A0.16) означает, что
= 1 или F = ±1.
A0.17)
Если в некотором состоянии окажется Р = +1, то говорят, что данное
состояние является четным, состояние же с Р = — 1 — нечетное.
Пусть имеется некоторая функция координат /(г). Если эта функция
не меняется как при поворотах системы координат, так и при преобразо-
вании инверсии, то она называется скаляром. Если же она инвариантна
относительно поворотов, но меняет знак при преобразовании инверсии, то
она называется псевд о скаляром.
Аналогично имеются полярные векторы и аксиальные векторы (или
псевдовекторы). И те, и другие ведут себя одинаково при преобразовани-
преобразованиях вращения систем координат — как обычные векторы. В то же время
полярные векторы характеризуются определенным направлением в про-
пространстве, тогда как направление псевдовекторов задается условно, в соот-
соответствии с выбором положительного направления вращения (например, по
правилу буравчика). При отражении в зеркале (рис. 10.3) полярные векто-
векторы (v) меняют направление на противоположное, а аксиальные векторы (а)
направления не меняют.
Формально действие оператора инверсии Р на полярный (v) и аксиаль-
аксиальный (а) векторы записывается следующим образом:
Fv = -v. Fa = a.
A0.18)
210 Гл. 10. Радиационные переходы
Примерами полярных векторов являются радиус-вектор точки г, вектор
импульса р, вектор напряженности электрического поля Е и т. д. Примерами
аксиальных векторов являются вектор момента импульса L = [г, р], вектор
напряженности магнитного поля Н, вектор спина S и т. д.
10.3. Четность квантовомеханических объектов
Найдем четность частицы, связанную с движением в центральном поле.
Оказывается, в стационарном состоянии ее волновая функция может быть
представлена в виде
Щг) = Щг)У1т@,<р),
A0.19)
?1тF,<р) = е*т1<>РГ (cos в).
Здесь PJn(z) — присоединенные полиномы Лежандра:
выражающиеся через обычные полиномы Лежандра:
ад = ——(z2-i)z.
В частности, Pf(z)=Pi (z). Подробно со свойствами этих полиномов можно
познакомиться в любом учебнике по математической физике. Для нас же
достаточно того, что эти полиномы обладают тем свойством, что Р]71 (—z) =
= (-i)l-mPT(z).
Преобразование инверсии сводится в сферических координатах к
замене е _> ^ _ в
A0.20)
Соответственно для волновой функции это означает
P!m(cOsGr-0)) = If1 (-COS в) = (^1I^тРГ(с08в),
eimGr+cp) _ f^\meim(p^ A0.21)
?1т(тг ^в,тг + ^) = {^1)т{^т?1т{в, ф) = (-l)lYlm@, if).
Таким образом, состояния с определенным угловым моментом имеют чет-
четность (—l)z.
Пусть система состоит из частей А и В (например, атомов), которые
имеют четность Рд и Рв соответственно. Числа Ра и Рв называются внут-
внутренними четностями частей системы и связаны с внутренними степенями
свободы. Тогда волновая функция всей системы равна произведению волно-
волновых функций частей, умноженному на волновую функцию относительного
10.4. Закон сохранения четности 211
движения. При этом полная четность системы может быть представлена
в виде
где I — момент импульса относительного движения частей А и В, а (— II —
четность волновой функции относительного движения.
Элементарным частицам приписывают внутреннюю четность следую-
следующим образом.
Если частица — бозон, то (за исключением фотона) ее четность может
иметь определенное значение и определяется из экспериментов, в кото™
рых происходят превращения частиц, но выполняется закон сохранения
четности.
Если частицы со спином s = 0 обладают четностью Р = +1, то их
называют скалярными бозонами, а если четностью Р = — 1, — то псевдо-
псевдоскалярными бозонами.
Для фермионов внутренняя четность не определена однозначно, и для
них вводится относительная внутренняя четность, т. е. четность по от-
отношению к некоторым фундаментальным частицам. В частности, для элек-
электрона, протона и нейтрона полагают
Р = +1. A0.23)
10.4. Закон сохранения четности
Рассмотрим систему, состоящую из п частиц, взаимодействующих друг
с другом и/или с внешним полем. Запишем уравнение Шредингера для
такой системы:
Щ— = ЯФ, A0.24)
а гамильтониан представим в виде
H = f + U. A0.25)
Здесь Т — оператор кинетической энергии образующих систему частиц:
t = V-^, A0.26)
г
a U — оператор, описывающий взаимодействие частиц между собой и
с внешними полями. Очевидно, что преобразование инверсии координат
не меняет оператор Т.
Что касается оператора взаимодействия С/, то обычно он также инвари™
антен по отношению к преобразованию инверсии. Например, если имеет
место парное взаимодействие, определяемое только расстояниями между
212 Гл. 10. Радиационные переходы
частицами, то энергию взаимодействия частиц можно записать в виде
^ A0.27)
Свойство инвариантности (PU) = U для такого взаимодействия очевидно.
Взаимодействие частиц, обладающих дипольным моментом d, с электри-
ческим полем Е и частиц, имеющих магнитный момент /х, с магнитным
полем Н,
, Е) = ^dE, Ufa H) = -|хН, A0.28)
также является инвариантным, поскольку в первом случае в оператор U
входит скалярное произведение двух полярных векторов, а во втором —
двух аксиальных векторов. Аналогичная ситуация имеет место и в дру-
других случаях, когда присутствует обычное электромагнитное или сильное
(ядерное) взаимодействие.
Имея в виду сказанное, предположим, что при изменении знака коор-
координат все слагаемые в гамильтониане остаются без изменения. Это зна-
чит, что
Р(ЯФ)=Я(РФ), или РН^ЫР = 0. A0.29)
Таким образом, гамильтониан и оператор четности коммутируют друг с
другом и, следовательно, энергия и четность могут иметь одновременно
определенные значения. Если в начальный момент четность имела опреде-
определенное значение, то она является сохраняющейся величиной.
Покажем это же, непосредственно рассматривая эволюцию системы.
Пусть в момент t = 0 имеется состояние с определенной четностью.
Тогда, согласно уравнению A0.24),
Ф(г5 t + At) = Ф(г5 t) + -^ЯФ(г5 t)At = A + -HAt) Ф(г5 t). A0.30)
ih \ ih /
Оператор, стоящий в скобках, является четным. Поэтому из A0.30) сле-
следует, что функции Ф(г, t) и Ф(г, t + At) имеют одинаковую четность.
В частности, если Ф(г, t) — четная функция координат, то и Ф(г, t + At)
также четная функция. Другими словами, при сдвиге во времени на малый
шаг At четность волновой функции не изменилась. Но это значит, что и при
сдвиге на любой конечный — не малый — шаг (представляющий серию
малых шагов) четность не изменится.
Сказанное составляет содержание закона сохранения четности: если
гамильтониан системы не меняется при преобразовании инверсии коорди-
координат, то четность волновой функции сохраняется.
Как следует из сказанного, в электромагнитных процессах четность
должна сохраняться.
10.5. Четность и классификация состояний фотонов 213
10.5. Четность и классификация состояний фотонов
Фотон, как уже говорилось, является бозоном. Однако он движется со
скоростью света и для него невозможно однозначно разделить полный уг™
ловой момент на спиновый и орбитальный: его состояние определяется
полным угловым моментом j. Угловой момент определяет тип симметрии
излучения относительно вращения и определяет распределение излучения
по направлениям. Электромагнитное излучение с полным моментом им™
пульса j = 0 невозможно, поскольку оно обладало бы сферической сим-
симметрией. Это, однако, невозможно вследствие поперечности электромаг-
электромагнитных волн. Поэтому всегда оказывается j ^ 1. Часто с некоторой долей
условности говорят, что спин фотона равен единице, т. е. минимально воз-
возможному моменту импульса.
Если момент фотона равен j, а четность Р, то его состояние обозначают
символом jn9 где тг = signP — знак числа Р. Например, при j = 1, Р = —1
имеем символ 1~.
Фотоны могут образовываться за счет изменения положений зарядов
или магнитных моментов частиц, образующих излучающую систему.
Соответственно различают следующие типы фотонов.
1. Фотон с моментом j и четностью Р = (^1)J" называют 2^-поль-
ным электрическим фотоном и обозначают как Ej-фотон (например,
El, Е2, ...). Значение j = 1 отвечает дипольному BJ' = 2) излучению,
j = 2 — квадрупольному BJ> = 4) излучению, j = 3 — октупольному
BJ" = 8) излучению и т. д.
2. Фотон с моментом j и четностью Р = (—1) J"+г называют 2J' -польным
магнитным фотоном и обозначают как Мj-фотон (например, Ml, М2, ...).
Таким образом, возможны следующие состояния фотонов:
Я1A"), Я2B+), ?3C"),...,
М1A+), М2B"), М3C+), ...
(в скобках указаны альтернативные обозначения типа фотона).
В частности, при электрическом дипольном излучении образуются фо-
фотоны с моментом j = 1 и четностью Р = — 1. Это фотоны, обозначаемые
символами El или 1™. При магнитном дипольном излучении, когда меня-
ется магнитный момент системы, образуются фотоны с моментом j = 1
и четностью Р = +1. Это фотоны, обозначаемые символами Ml или 1+.
Качественно понять разницу между приведенными случаями можно из
следующих соображений. Электрическое дипольное излучение возникает,
когда меняется дипольный момент системы d. Но вектор d является поляр-
полярным вектором, и его четность равна — 1. Этой же четностью обладают и
излучаемые фотоны. Напомним, что в этой ситуации векторы напряженно-
напряженности поля ЕиНв дальней зоне равны
Е = — [[dn]n], Н = — [dn]. A0.32)
214 Гл. 10. Радиационные переходы
Магнитное дипольное излучение возникает, когда меняется магнитный
момент системы /х. Но вектор ^ является аксиальным вектором и его чет™
ность равна +1. Этой же четностью обладают и генерируемые фотоны.
При этом электрическое и магнитное поля в дальней зоне равны
E = -L[n#], H = -L[[#n]n]. A0.33)
Можно также сказать, что электрическое дипольное излучение ассоци™
ируется с осцилляциями заряда, задаваемыми полярным вектором. Маг™
нитное же дипольное излучение ассоциируется с вращением заряда, т. е.
с круговым током, не меняющимся при отражении и задаваемым аксиаль™
ным вектором (см. на рис. 10.3 векторы ? и а соответственно).
Следует отметить важное обстоятельство. Вектор дипольного момен™
та определяется положением зарядов в пространстве, d = ^e^, тогда
г
как вектор магнитного момента определяется также скоростями зарядов,
/л = — ]СеЛгь vi\- Поэтому интенсивность магнитного дипольного из™
2с i
т 2ii2 „ / / \2
лучения 1м = ~JZ- содержит дополнительный множитель ^ (у/с) по
Зс3
сравнению с интенсивностью электрического дипольного излучения Ie =
2d2
= . Это значит, что при малых скоростях движениях частиц (v <C с)
Зс3
доминировать будет именно электрическое излучение (если по каким-либо
причинам оно не окажется запрещенным или сильно подавленным по срав™
нению с магнитным излучением). С точки зрения квантовой механики дан™
ное утверждение означает, что переходы, связанные с изменением магнит™
ного момента, должны протекать с малой вероятностью по сравнению с
переходами, осуществляемыми при изменении дипольного момента.
Точно также интенсивность квадрупольного излучения, согласно
электродинамике, определяется формулой Iq = Qaf3 ~ Ie {р/с) .
Вообще, интенсивность электрического j-польного излучения Iej ~
^ {v/с) J^ ' Ie, а интенсивность магнитного j-польного излучения
1мj ~ {v/c) 3 Ie (по смыслу Ie = Iei)- Поэтому в обычных условиях
всегда доминирует электрическое дипольное излучение. Этот вывод мы
учтем ниже при анализе атомных радиационных переходов.
Приведенные выше формальные выводы можно пояснить с помощью
более наглядных, хотя и нестрогих соображений.
Если фотон испущен центром системы, то атом теряет минимальный мо-
момент количества движения, связанный только со спином фотона, т. е. атом
теряет единицу момента. Если же атом испускает фотон краешком, (что со™
ответствует 2J' -польному излучению с j ^ 2), то тогда он кроме того потеря™
ет еще и некоторый орбитальный момент количества движения. Но испус™
кание краем в оптике практически невозможно. Действительно, если фотон
испускается из края атома с каким™то моментом количества движения, то
10.6. Правила отбора 215
надо по крайней мере считать, что в момент испускания волновая функция
фотона на краю атома была велика, а во всех остальных местах мала. Но это
о
невозможно. Длина волны света (желтого) ~ 5000 А =5-10 см, а размер
атома порядка 10~8 см. Значит, волна видимого света в 5000 раз больше
размера атома и из нее нельзя скомпоновать такую Ф-фушсцию, которая
была бы острее размеров атома. Поэтому в оптике существует жесткое пра-
вило: момент количества движения, уносимый светом, всегда равен спину
фотона (единице).
Испускание фотона краешком атома крайне маловероятно. Вероятность
излучения, уносящего момент, равный не единице, а двойке, в 107 ч-108 раз
меньше, чем излучения, уносящего момент, равный единице.
10.6. Правила отбора
Пусть на квантовую систему наложено внешнее воздействие. Ограни-
Ограничимся случаем, когда система находится в поле электромагнитной волны.
Будем считать, что эта волна резонансна, т. е. для интересующей нас пары
уровней энергии Е\ и Е^ выполнено условие Бора:
Пш = Е2-Е1. A0.34)
Условие A0.34) необходимо, но не достаточно. Важную роль играет
то, как изменяется квантовое состояние системы при переходе с одного
уровня энергии на другой. Мы характеризуем состояния системы с по-
помощью набора квантовых чисел. Их изменения под действием излучения
отнюдь не произвольны, что приводит к существованию вполне опреде-
ленных ограничений, правил отбора, устанавливающих допустимые кван-
квантовые переходы между уровнями энергии системы при наложении на нее
внешнего воздействия.
Рассмотрим радиационное воздействие, т. е. испускание или погаоще-
ние фотона, и сформулируем основные правила отбора.
Физически при обсуждении правил отбора речь идет об излучении элек-
электромагнитных волн электроном. Электрон имеет, во-первых, электрический
заряд, и во-вторых, собственный магнитный момент. С классической точки
зрения испускание света возможно либо в результате движения электриче-
электрического заряда, либо в результате поворота магнитного момента.
Выше было установлено, что испускание света, связанное с магнит-
магнитным моментом, хотя, вообще говоря, и существует, но является очень сла-
слабым. В оптической спектроскопии, если не изучать очень слабые линии,
то испусканием света, связанным с переворотом собственного магнитно-
магнитного момента электрона, можно пренебрегать. В основном испускание света
связано с движением заряда, а не со спиновым магнитным моментом элек-
электрона. Следовательно, последний не должен меняться при излучении, т. е.
при переходе с уровня на уровень. Отсюда вытекает первое правило:
AS = 0. A0.35)
216 Гл. 10. Радиационные переходы
Следует только помнить, что это правило не является очень строгим,
очень точным. Оно верно для сильных линий.
Далее учтем, что вероятность того, что испущенный фотон унесет мо-
момент импульса больше единицы, мала, поскольку маловероятными явля-
являются процессы мультипольные (квадрупольные, октупольные и старше).
Поэтому при испускании фотона атом теряет единицу момента (при погло-
поглощении, очевидно, получает).
Считая, что излучение является электрическим дипольным, заключаем,
что при испускании света уносится единичный момент. Если свет ушел
в направлении J, то он унес единичку момента этого же направления, и
вектор J стал на единицу длиннее или короче: A J = ±1. Если свет уйдет
в перпендикулярном направлении, то вектор J изменится по направлению,
а не по величине: A J = 0. Проекция вектора J меняется точно таким же
образом. Следовательно, те переходы возможны, при которых испускание
(поглощение) одного фотона сопровождается рассмотренными выше изме-
изменениями квантовых чисел J и га:
AJ = 0, ±1, Am = 0, ±1. A0.36)
Особый случай, когда начальный момент атома равен нулю. Поскольку
фотон обязательно должен унести единичный момент, то по закону сохра-
сохранения момента атом должен получить единичный момент. Наоборот, если
в результате испускания фотона момент атома оказался равным нулю, то
следует сказать, что до излучения атом имел единичный момент. В самом
деле, конечный момент системы равен моменту фотона (т. е. единице);
начальный момент, равный начальному моменту атома, также должен рав-
равняться единице. Таким образом, в данной, особой ситуации невозможно
правило A J = 0, оно исключается.
Рассмотрим случай, когда испускание света связано с изменением со-
состояния одного электрона, а остальные не затрагиваются. Этот электрон
имел момент j и проекцию га. Учтем сформулированный выше закон со-
сохранения четности. В рассматриваемом сейчас электрическом дипольном
излучении четность Е1 -фотона Р1 = — 1. Пусть электрон меняет свой мо-
момент: 1\ —> 12- Тогда закон сохранения четности в таком переходе означает,
что должно выполняться равенство
{-l)h = (-l)l2Pj. A0.37)
Отсюда вытекает правило отбора:
Zi-Z2 = ±l. A0.38)
Таким образом, переходы без изменения орбитального момента (т. е. при
AI = 0) запрещены законом сохранения четности. Переходы же с | Al | >
> 1 запрещены законом сохранения момента импульса, поскольку момент
фотона при дипольном излучении равен 1. Эти же условия определяют
изменение момента всего атома: AL = ±1.
Отметим также, что в переходах отдельных электронов, обусловленных
магнитным дипольным излучением, четность фотона Р7 = +1. Поэтому в
таких переходах должно выполняться правило отбора AL = 0.
10.6. Правила отбора 217
Подводя итог всему этому не очень строгому рассуждению, приведем
правила отбора в той форме, в которой они обычно используются.
Если начальный и конечный моменты атома отличны от нуля, то
AJ = 0, ±1, Amj = 0, ±1;
AL = 0, ±1, AmL = 0, ±1; A0.39)
В тех случаях, когда начальный или конечный моменты равны нулю, а
также в процессах с участием единственного электрона правила A J = 0 и
AL = 0 исключаются:
= 0, ±1 при JHa4 = 0 или JKOH = 0, A0.40)
AL = ±1; AmL = 0, ±1 при LHa>4 = 0 или LKOH = 0 A0.41)
(правила Amj = 0 и Агпь = 0 тем не менее возможны, поскольку и
ненулевой момент может иметь нулевую проекцию).
Заметим, что правила отбора часто называют правилами запрета, имея
в виду запрет на осуществление переходов, не удовлетворяющих условиям
A0.39)-A0.41). Подчеркнем также, что эти правила обусловлены необхо™
димоетыо выполнения законов сохранения при испускании (или погаоще™
нии) фотона при том наборе параметров, которым он обладает. Если переход
из одного состояния в другое осуществляется не с помощью света, то этих
правил запрета нет и возможны переходы других типов. Такие безызлуча™
тельные переходы происходят, например, при электронном ударе или при
соударениях атомов друг с другом.
ГЛАВА 11
ЭФФЕКТ ЗЕЕМАНА
иЯ осветил магнитную силовую
линию и намагнитил луч света"
(Майкл Фарадей)
11.1. Смещение спектральных линий в магнитном поле
В предыдущих главах мы пришли к понятию спина, отталкиваясь от ре™
зультатов опытов Штерна -Герлаха и анализа дублетов в спектрах щелоч-
щелочных металлов. Посмотрим теперь, как спин, т. е. собственный магнитный
момент электрона, проявляется в так называемом эффекте Зеемана.
Эффект Зеемана заключается в изменении частоты спектральных ли-
линий под действием внешнего магнитного поля, наложенного на излучаю-
излучающую или поглощающую атомную систему. Кроме частотных изменений
существенным является характер поляризации излучения, испускаемого
веществом при эффекте Зеемана.
Рассмотрим сначала классическую картину наблюдения эффекта, вос-
восходящую непосредственно к опытам Питера Зеемана. Опыты проводились
для очень узкой зелено-голубой линии кадмия. Между полюсами электро-
электромагнита с однородным полем напряженностью 10 -^ 15 кЭ расположен ис-
источник линейчатого спектра. Сердечник магнита просверлен (как это дела™
ют в магнитооптике) с тем, чтобы можно было вести наблюдение не только
поперек поля (так называемый поперечный эффект), но и вдоль поля (про-
(продольный эффект). Схема опыта Зеемана представлена на рис. 11.1.
Пластинка А/4 и призма Николя анализируют характер поляризации
света, спектрограф — его спектр.
Для некоторых простых линий и в относительно сильных полях резуль™
таты (для случаев Н, Zn, Cd) сводятся к следующему.
Линия, имеющая в отсутствие поля частоту z/, расщепляется. В попе™
речном направлении наблюдается триплет с частотами и + Az/, z/ и z/ — Аи.
Линии и ± Аи поляризованы перпендикулярно магнитному полю. Это так
называемые cr-компоненты. Электрическое поле cr-компонент перпендику™
лярно внешнему магнитному полю. Поляризация несмещенной компонен-
компоненты v соответствует колебаниям электрического вектора вдоль направления
намагничивающего поля — это тг-компонента.
В продольном эффекте линия представляется в виде дублета с частота-
частотами и + Аи и и — Av, причем компоненты этого дублета имеют круговую
поляризацию противоположных направлений по правому и левому кругу
соответственно. Интенсивности тг-компоненты и циркулярно поляризован-
поляризованных компонент совпадают. Интенсивности ст-компонент равны друг другу,
и каждая из них вдвое слабее тг-компоненты.
П. 1. Смещение спектральных линий в магнитном поле
219
Л/4
Рис. 11.1. Схема установки по наблюдению эффекта Зеемана: Л/4 — пластинка,
N — призма Николя, S — спектрограф, N и S — полюса электромагнита, стрелки
между полюсами магнита — силовые линии магнитного поля
Величина смещения частоты Аи пропорциональна магнитному полю.
Диаграмма, которая обычно приводится в этих случаях, очень показатель-
показательна (рис. 11.2).
и-Аи
Поля нет
а I Поперечный эффект
и-Аи
и-\-Аи
Продольный эффект
Рис. 11.2. Спектральные линии в эффекте Зеемана
220 Гл.11. Эффект Зеемана
Распределение интенсивностей условно показано высотой палочек. При
переходе к Аи = 0 при Н —> 0 линии сливаются и суммарная интенсив™
ность остается равной исходной.
11.2. Классическая теория эффекта Зеемана
То, что мы сейчас рассмотрели, есть проявление так называемого нор-
нормального или простого эффекта Зеемана. Нормальный эффект поддается
классическому анализу, выполненному Лоренцем на основе его электрон-
электронных представлений. Поучительно проследить за его рассуждениями.
Излучение монохроматического света рассматривается в этом подходе
как результат движения электрона по простому гармоническому закону,
т. е. под действием квазиупругой силы. Тогда изменение излучения есть
результат изменения движения электрона за счет дополнительной силы,
с которой магнитное поле действует на движущийся электрон. Это сила
Лоренца: ^
F = --[v, H]. A1.1)
с
Теперь разложим колебательное движение электрона в отсутствие по-
поля на гармоническое колебание вдоль направления магнитного поля и два
круговые равномерные движения, оба в плоскости, перпендикулярной на™
правлению поля, но одно из них правого вращения, другое — левого. На
первую компоненту поле не действует, так как sin ip = 0 (где (р — угол
между векторами v и Н). В случае же круговых компонент на электрон
действуют добавочные силы ± evH/c, направленные по радиусу.
Итак, колебательное движение вдоль поля остается неизменным. Дви-
Движения же по кругам приобретают большую или меньшую частоту в
зависимости от того, увеличивается или уменьшается центростремитель-
центростремительная сила.
Новое, измененное сложное движение заряда соответствует трем моно-
монохроматическим колебаниям с частотами и -\- Аи, и и и — Аи.
Если мы смотрим перпендикулярно полю, то видим частоту и, соот-
соответствующую колебанию электрона вдоль поля (т. е. тг-компоненту), и два
колебания и + Аи hi/- Аи, соответствующие колебанию электрона пер-
перпендикулярно полю (т. е. а -компоненты).
Так по Лоренцу объясняется наблюдение нормального триплета в опыте
Зеемана.
В направлении вдоль магнитного поля компонента и не будет излучаться
в силу поперечности электромагнитных волн. Частоты и ± Аи представятся
в виде циркулярно поляризованных волн левого и правого вращения. Знак
заряда определяет направление вращения (рис. 11.3). Он оказался отрица-
отрицательным (электрон).
В этой главе мы обозначаем заряда электрона как (—е), считая величину е > 0.
11.2. Классическая теория эффекта Зеемана
221
Величину сдвига частоты легко вычислить. Пусть в отсутствие поля
центростремительная сила, обеспечивающая круговое движение электрона,
Рис. 11.3. К классической теории эффекта Зеемана
обеспечивается квазиупругим притяжением —кг. Тогда круговая частота ш
дается условием
кг = теи2г* ш = uq = \ к/т .
A1.2)
При изменении поля центростремительная сила меняется. При этом для
левого круга оказывается
A1.3)
а для правого круга
кг =
oir--vnH. A1.4)
С
Но ул = шлг\ vn = ипг. Тогда уравнения A1.3), A1.4) перепишутся в виде
nieu'ir + -илгН — кг = О,
пеш^г + -шигН — кг = 0.
A1.5)
Решения этих уравнений суть
еН
2тес
еН
2тес
те
е2Н2
A1.6)
е2Я2
4т2 с2
(Мы оставили только знак "+" перед корнем, поскольку интересуемся толь-
ко положительным корнем уравнения.) Имея в виду, что к/тпе = ш%9 пере™
пишем квадратный корень в A1.6) в виде
е2Я2
4т2 с2
е2Я2
222
Гл. 11. Эффект Зеемана
Эта величина вплоть до миллионов эрстед практически равна ш®. Тогда
ши = ш0 + О,
где
2тес
есть частота ларморовской прецессии. Сдвиг частоты, равный
2тг 4тг тес
Аи = — = Шп^и
2тг 2тг
A1.7)
A1.8)
A1.9)
оказывается пропорциональным полю, как это и наблюдалось в экспери-
эксперименте. Получающееся из опыта значение е/те хорошо совпадает с извест-
известным значением для электрона.
Таким образом, опыты Зеемана во времена Лоренца привели к выводу,
что электрическим зарядом, определяющим оптические свойства атома,
является электрон. Это действительно так.
Но мы уже знаем, что поведение электрона в атоме описывается кван™
товыми законами. Однако прежде чем перейти к квантовому описанию
эффекта Зеемана, рассмотрим эффект Фарадея.
11.3. Эффект Фарадея
В 1845 году М. Фарадей обнаружил вращение плоскости поляризации
световых волн, возникающее под действием магнитного поля.
Идея опыта проста (рис. 11.4). Плосмшоляризованный свет пускается
вдоль магнитного поля. Николь N2 позволяет определить угол поворота
N2
Рис. 11.4. Схема опыта по наблюдению эффекта Фарадея
плоскости поляризации. Этот угол не зависит от направления распростране-
распространения света и пропорционален величине поля и длине пути света в веществе:
= VLH,
(НЛО)
где V — характерная для вещества постоянная Верде.
По своей сути эффект Фарадея тесно связан с эффектом Зеемана. Дей-
Действительно, эффект Зеемана наблюдается не только на линиях излучения,
11.3. Эффект Фарадея
223
но и в поглощении (обратный эффект Зеемана). При продольном наблю-
наблюдении (в случае нормального зееман-эффекта) резкая линия поглощения
раздваивается, расщепляя симметрию. Сдвиг каждой из компонент дается
тем же выражением A1.9) для круговых поляризаций разного направления
вращения.
Так как всякое резонансное (аномальное) поглощение сопровождается
аномальной дисперсией, обратный эффект Зеемана говорит о сдвиге дис-
дисперсионных кривых, причем различном для света правой и левой круго-
круговой поляризации. Схематично это можно представить рисунком (рис. 11.5),
а; о
Рис. 11.5. Сдвиг дисперсионных кривых для левой (штрихпунктирная линия) и
правой (штриховая линия) круговых поляризаций
из которого видно, что для заданной частоты показатели преломления для
правого и левого круга отличаются друг от друга. Поскольку это ведет
к отличию фазовых скоростей соответствующих волн, в результате воз™
никает вращение плоскости поляризации линейно поляризованного света.
Остановимся кратко на классической теории эффекта Фарадея.
Мы имеем дело с эффектом, наблюдающимся в продольном относи™
тельно магнитного поля направлении, так что в эффекте Зеемана име-
имеются две волны с круговой поляризацией, обе со смещенной частотой
(ш = ujq ± Да;). Представим волны с круговой поляризацией как
= Ео cos
in) = Ео cos (vt - ku
A1.11a)
для случая правовинтовой поляризации и
Е^ = E0cos (ut
Е^=Е0 cos
A1.116)
224 Гл.11. Эффект Зеемана
для случая левовинтовой поляризации. Предполагается, что плоские волны
распространяются в направлении оси z. Обозначим
гъц :=: Гь ~\~ (У,.
и и A1Л2)
кл = к — а.
Суперпозиция волн A1.11 а) м A1.11 б) дает
Ех = Ехл) + Ехп) = 2Е0 cos (az) cos (out - kz),
A1.13)
Ey = Ey + Ey = 2Eq sin (az) cos (ut — kz).
В каждом сечении z это линейно поляризованная волна. Однако ее плос-
плоскость поляризации на пути L поворачивается на угол
Свяжем угол вращения с показателями преломления для соответствую™
щих волн. По определению фазовой скорости на основании A1.12) имеем
(П.15)
к -\- а к ¦— а
С другой стороны, фазовая скорость связана с показателем преломления
соотношением v = с/п, так что
пи = — = Цк + а), пл = — = Цк - а). A1.16)
Следовательно, пп — пл = —а, или
CU/ \7Г/ \ /111 '-7\
а = — (пп - пл) = - (пп - пл). (П.17)
2с А
Имея в виду, что показатель преломления зависит от частоты, находим
л / \ /\/ \ dn о/-* / dn dX\ eH ^odn
An = п(шп) - п(шл) = К-^л)— =2ПЬт^" ="^ 2Л 37-
аш \dXduj/ 2тттесА ал
dA A2
Здесь использованы равенство — = — и формулы A1.7), A1.8). В ре™
duj 2тгс
зультате для постоянной Верде получается выражение
у Ae (ПЛ8)
Н X Н 2тес2 dX
Интересно, что знак угла поворота плоскости поляризации не зависит
от направления распространения света — по полю или против поля. Это
связано с тем, что напряженность магнитного поля описывается акси-
аксиальным вектором Н (направление которого задается, например, правилом
буравчика).
11.4. Квантовая теория эффекта Зеемана
225
11.4, Квантовая теория эффекта Зеемана
Перейдем теперь к квантовой трактовке эффекта Зеемана.
Мы знаем, что обращение электрона, будучи эквивалентно круговому
току, приводит к возникновению магнитного диполя с магнитным моментом
2тес
L = -//б1.
Здесь мы ввели магнетон Бора
№ =
eh
2тес
A1.19)
A1.20)
и безразмерный вектор момента 1 = Ъ/h.
Опираясь на наглядные представления классической физики, мы
говорим, что магнитный момент в по™
ле прецессирует. Поле стремится раз™
вернуть момент вдоль поля. Этому пре-
препятствует инерция вращения электрона.
Получается хорошо известная кар-
картина движения волчка, гироскопа
(рис. 11.6). Эта коническая прецессия
по существу служит оправданием, каза-
казалось бы, произвольного выбора Лорен-
Лоренцем представления движения электрона
при классическом анализе нормального
зееман-эффекта. При таком коническом
движении, при прецессии вокруг направ-
направления Н, компонента момента 1, рав-
равная га, должна быть, вследствие про-
пространственного квантования, целым числом. Дополнительная энергия, ко-
которую атом приобретает в поле, равна
Рис. 11.6. Прецессия момента им-
импульса вокруг силовой линии маг-
магнитного поля
Но
так что
A1.21)
A1.22)
A1.23)
где га — целое число. Вследствие этого уровень энергии в магнитном поле
расщепляется на серию эквидистантных подуровней, причем расстояние
между соседними подуровнями
АЕмаг —
eh
2mec
¦Н
226 Гл.11. Эффект Зеемана
соответствует сдвигу частоты на величину
Аш = ^^, A1.24)
2тес
равную ларморовской частоте. Это совпадает с полученной ранее класси-
классической формулой A1.9). Приведем удобную расчетную формулу для сдвига
частоты:
v = ^— = 1Л-106ЯГц, A1.25)
4тгтеес
где магнитное поле выражено в эрстедах.
Итак, мы получили расщепление линии. Теперь о числе компонент.
Каждый терм расщепляется на 21 +1 равноотстоящих терма соответственно
21 + 1 возможным ориентациям вектора момента 1. Тем не менее каждая
линия может расщепиться только на три компоненты.
Дело вот в чем. Здесь вступают в игру правила отбора, подробно рас-
рассмотренные в предыдущей главе. Для удобства повторим основные выводы.
При испускании света, уносящего единицу момента количества движе-
движения, полный момент j изменится:
Aj = 0, ±1, Arrtj = 0, ±1;
Д/ = 0, ±1, Ami=0J±h A1.26)
As = 0.
Возвращаясь теперь к эффекту Зеемана, мы видим, что в системе маг-
магнитных подуровней энергии A1.23), во-первых, возможны переходы меж-
между соседними подуровнями одного уровня при условии Am = ±1. Но эти
переходы, согласно A1.25), при разумных полях лежат в радиодиапазоне.
Во-вторых, возможны переходы между магнитными подуровнями, при-
принадлежащими различным оптическим уровням, т. е. между составляющими
расщепленных в поле уровней. Здесь работает правило отбора Am = 0, ±1,
и именно оно приводит к появлению триплета.
На схеме рис. 11.7 горизонтальные линии показывают нерасщеп лен-
ленные оптические уровни энергии, расстояние между которыми соответ-
соответствует исходной оптической линии. Точки на линиях показывают расщеп л е-
ния оптических уровней, цифрами отмечены значения т. Стрелки
указывают разрешенные переходы. Величина скачка энергии одинакова
для всех стрелок, наклоненных вправо. Поэтому соответствующие пере-
переходы сопровождаются излучением одной и той же частоты. Аналогично
обстоит дело со стрелками, направленными вертикально вниз или влево.
Таким образом, получается простой триплет (или дублет).
Эта схема всего лишь иллюстрация. Если же мы запишем энергии наших
уровней в виде Е\ + EiJr и Е2 + -Е"маг и вычислим разность энергий, то
найдем, что
Пи = АЕ = Д?(°) + ^^(т2 - тг), A1.27)
2тес
11.5. Аномальный эффект Зеемана 227
где АЕ^ = Е^ — Е\ — расстояние между уровнями в отсутствие магнит-
магнитного поля. Но
ш<2 — mi = Am, = 0, ±1,
что и дает искомый триплет.
-2 -1 0 +1 +2
^2 -1 0 +1 +2
Рис. 11.7. Переходы между магнитными подуровнями в случае простого эффекта
Зеемана
Итак, согласно правилам отбора возникают три линии. Когда
Am = +1 —частота увеличивается,
Am = О — частота не меняется,
Am = — 1 — частота уменьшается.
При наблюдении вдоль магнитного поля кванты, соответствующие ли-
линиям с Am = ±1, имеют проекции момента количества движения на на-
направление движения, равные ±1. Это потому, что мы смотрим вдоль поля,
так что направление движения фотона совпадает с направлением поля. Зна-
чит, как мы уже знаем, эти фотоны соответствуют циркулярно поляризован™
ному свету. Для несмещенной компоненты Am = 0, поэтому соответству-
соответствующий фотон должен иметь проекцию спина на ту же ось (т. е. на поле Н),
равную нулю. Но если мы смотрим вдоль поля, то нулевая проекция на
поле есть нулевая проекция на направление движения. Из-за поперечности
светового кванта таких проекций не бывает, поэтому линия с Am = 0 при
рассмотрении вдоль поля не видна.
При наблюдении поперек поля линии, которые вдоль поля были цирку-
циркулярно поляризованными, кажутся поляризованными линейно. Несмещен-
Несмещенная компонента наблюдается, так как запрет на переход с Am = 0 работает
только в направлении движения фотона. Так как линия видна при наблю-
наблюдении поперек поля и не видна при наблюдении вдоль и так как мы хотим,
чтобы это было верно и в классике, мы должны поляризовать ее линейно
вдоль поля.
228 Гл.11. Эффект Зеемана
11.5. Аномальный эффект Зеемана
В предыдущем параграфе мы говорили о нормальном эффекте Зеемана.
Однако присущий нормальному эффекту тип расщепления — триплет из
двух ст-компонент и одной тг-компоненты—наблюдается редко. Он характе-
характеризует только простые спектральные линии, так называемые сингулярные
линии. В большинстве же спектральные линии сложны и представляют
собой мультиплеты. Даже для простого мультиплета — известного жел-
желтого дублета натрия — воздействие магнитного поля дает очень сложную
картину. Дублет расщепляется в поле таким образом, что линия D2 дает 6
компонент, а линия D\ — 4 компоненты.
Часть из них является тг-компонентами, часть — (^компонентами. Для
одних расщепление больше, для других меньше, чем нормальное расщеп-
расщепление в том же поле. Известны и гораздо более сложные случаи.
2тес
Сложность картины этого аномального зееман-эффекта неслучайным об-
образом связана со сложным характером линии в отсутствие внешнего поля.
Мы уже знаем, что мультиплетность спектров объясняется влиянием спина.
Точно также спин электрона ответственен за аномальный эффект Зеемана.
Здесь оказалось существенным то обстоятельство, что гиромагнитное
отношение для спинового момента вдвое меньше гиромагнитного отно™
шения для орбитального момента: для орбитального момента мы имеем
^ A1.28)
№ ,
2тес
а для спинового
/xe = —?-s. A1.29)
тес
Если бы это было не так, то полный магнитный момент /х = /х/ + /xs
был бы параллелен полному механическому моменту] = 1 + s. Одинаково
направленные j и/хв магнитном поле прецессировали бы вместе вокруг
направления поля в соответствии с правилами пространственного кванто-
квантования. Тогда единственное отличие при учете спина свелось бы к тому, что
число возможных ориентации равнялось бы не 21 + 1, a 2j + 1, и каждый
невозмущенный терм расщепился бы на 2j + 1 магнитных подуровней.
Но правила отбора и величина расщепления не изменились бы, а спектр
остался бы прежним, соответствующим нормальному эффекту Зеемана.
На самом же деле направление полного магнитного момента /х не совпа™
дает с направлением полного механического момента j. Нарисуем это для
произвольных векторов 1 и s, направления которых различны (рис. 11.8).
Масштаб произволен, поэтому пусть вектор щ вдвое длиннее, чем 1. Тогда
в том же масштабе вектор /л3 будет вчетверо длиннее s.
Из рис. 11.8 видно, что направление полного механического момента]
не совпадает с /х, и видно почему.
В соответствии со смыслом вектора j — полного углового момента —
мы должны считать, что атом, а вместе с ним и вся эта векторная диаграм™
ма, вращаются вокруг направления вектора j. Поэтому любой вектор,
11.5. Аномальный эффект Зеемана
229
направленный не вдоль j, прецессирует вокруг j. Частота этой процессии
довольно велика (того же порядка, что и расщепление мультиплета — тон™
кая структура).
Рис. 11.8. Относительное расположение составляющих углового и магнитного
моментов
Для процессов, медленных по сравнению с прецессией, достаточно
знать лишь средние во времени величины. Во внешнем магнитном поле
атом ведет себя так, как если бы он имел магнитный момент (|1)время.
Среднее от /х по времени равно проекции /х на ось вращения. Поэтому
в слабом магнитном поле (а почему в слабом, мы выясним позднее) атом
обладает эффективным магнитным моментом fij, направленным вдоль j.
Теперь мы можем повторить те рассуждения, которые были проведены
при квантовом анализе нормального зееман-эффекта.
Обладая механическим и магнитным моментами, атом прецессирует
вокруг направления магнитного поля. Вектор j при этом может ориентиро-
ориентироваться по отношению к полю 2j + 1 способом, каждая ориентация харак-
характеризуется компонентой т вектора j в направлении поля (т. е. проекцией
вектора j на направление поля). Каждой ориентации соответствует маг™
нитная энергия —/хмН = —ш\Н— (отношение — имеет смысл косинуса
3 3
угла между направлениями векторов Н и /хц). Поэтому невозмущенный
терм расщепляется на 2 j + 1 подуровней, отстоящих друг от друга на вели™
ЧИНу -/X||iJ.
230
Гл. 11. Эффект Зеемана
Таким образом, энергетическое расщепление определяет некий "эффек-
"эффективный" магнитный момент атома, который в общем случае не равен про-
тг-. eh „ v.
изведению магнетона Бора на полный механический момент j, а за-
2тес
висит от остальных квантовых чисел, в частности от углов, показывающих
направление векторов в нашей модели. Этот эффективный момент можно
записать в виде
^ A1.30)
М|| SrJ
2тес
где знак "—" учитывает отрицательный знак заряда электрона (—е), а мно™
житель g описывает отличие нашего векторного случая от нормального
зееман^эффекта. Множитель g называется обычно g-фактором или факто-
фактором расщепления Ландё. Тогда дополнительная энергия равна
где ujl =
еН
2тес
A1.31)
— классическая ларморовская частота. Отсюда следует,
что невозмущенныи терм — исходный уровень энергии — хотя и расщеп™
ляется на 2j + 1 равноотстоящих подуровней, но величина расщепления
определяется g-фактором и составляет ghuL-» где
^l = ujl/2tt.
Фактор Ланде различен для различных термов. И это объясняет наличие
большого числа линий перехода между уровнями в аномальном эффекте.
Расщепляющиеся линии образуют не лоренцевский триплет, а дают
большое число компонент в соответствии с тем, что разности энергии для
переходов, определяемых все теми же правилами отбора, Am = 0, ±1,
не одинаковы, как это было в нормальном эффекте. Это наглядно поясняет
схема (рис. 11.9), подобная приведенной ранее (рис. 11.7).
-1
0
+ 1
+2
+3
Рис. 11.9. Переходы между магнитными подуровнями в случае аномального
эффекта Зеемана
11.5. Аномальный эффект Зеемана
231
Так как расщепление верхнего и нижнего термов различно, получается
много разных линий. Легко понять, что для уровней 1 и 2 сдвиг частоты
перехода в поле дастся формулой
A1.32)
Тогда для ni2 = 0иш1 =0, ±1 расщепления окажутся равными
Аи = 0, Аи = -gi^L, Аи =
для W2 = 1 соответственно
Аи = g2vLi Аи = (g2 - gi)vL, Аи = (g2 - 2g1)vL
их д.
Итак, расщепление линий в аномальном зееман-эффекте существенно
зависит от факторов Ланде для верхнего и нижнего состояний. Найти зна™
чения g-факторов можно с помощью векторной модели (см. рис. 11.8).
Из рис. 11.8 легко видеть, что
/1ц = щ cos (I, j) + /is cos (s, j).
Запишем величины, входящие в A1.33), в виде
A1.33)
Щ\ A1.34)
где множители gl и g s называются соответственно орбитальным и спино-
спиновым g-факторами. Они характеризуют гиромагнитное отношение для ор-
орбитального и спинового угловых момен-
моментов. Величина /хб = есть, как обыч-
2тес
но, магнетон Бора. Как мы знаем, для
электрона
= 2.
A1.35)
Мы будем, однако, писать в общем
виде, не используя пока явно значе-
значений A1.35). С учетом A1.34) уравнение
'
Рис. 11.10. Векторное сложение
() у () ур
A1.33) на'языке ^факторов перепись!- орбитального момента и спина в
полный момент Символы A j) и
вается в виде
, j).
полный момент. Символы A, j) и
(s, j) обозначают углы между соот-
ветствующими векторами
J J
A136)
(Символы A, j) и (s, j) обозначают углы между соответствующими векто-
векторами.) Из диаграммы для сложения векторов Ins (рис. 11.10) по теореме
косинусов находим
, COS(S, j) = .
2jl 2js
A1.37)
232 Гл.11. Эффект Зеемана
Тогда фактор Ланде
^2^г-!- (И.38)
Мы провели классический вывод. По принципу соответствия при боль™
ших квантовых числах результат должен быть верен для квантовой меха-
механики.
Чтобы получить квантовомеханический результат, мы должны всюду
заменить
f^j(j + l), I2 ^1A + 1), S2^ 8(8 + 1).
Для электрона с учетом A1.35) получим
gi+gs , gf-ga^ + i)-g(g + i) = з | ф + 1)-г(г + 1)
2 2 i(i + 1) 2
Результаты расчета по формулам A1.39) и A1.32) прекрасно совпадают
с экспериментом.
Наш вывод формулы A1.39) опирался на наглядные классические пред™
ставления. Уместно поэтому привести более корректный квантовомехани-
квантовомеханический ее вывод, где приходится иметь дело не с обычными величинами,
а с операторами.
Представим оператор магнитного момента как
). A1.40)
При этом оператор полного углового момента равен
! = ! + §. A1.41)
Составляющую вектора ?, параллельную], запишем как
?|| =-g№J. A1.42)
С другой стороны, проектируя вектор A1.40) на], получим
AJ = -№[ft(jl) +g.s(js)]. A1.43)
Эта же величина, согласно A1.42), равна
! 2 A1.44)
Производя усреднение в A1.43) и A1.44) и приравнивая результаты,
получим
js}=g(j2)- A1.45)
11.5. Аномальный эффект Зеемана 233
Средние значения операторов, входящие в последнюю формулу, вычисля-
ются по схеме, изложенной в гл. 7. Именно, учитывая связь A1.41), находим
(j s> = \\jlj + 1) + Ф + 1) - 1A + 1)], AL46)
Подстановка этих выражений в A1.45) дает
Si+Ss iSi^gs l(l + i)-s(s + i) A147)
2 2 i(j + l)
что, естественно, совпадает с полученной выше формулой A1.39).
После того как мы увидели существование аномального эффекта, по-
посмотрим, как обстоит дело с нормальным эффектом.
Все дело в том, что при выводе фактора Ланде мы предполагали маг-
нитное поле малым. А при малых полях векторы Ins благодаря спин™
орбитальному взаимодействию связываются в единый вектор j, который
как целое прецессирует вокруг силовых линий магнитного поля. Это и со-
здает сложную картину. Мы имеем двойное проектирование: после того
как 1 и s сложились в j, и с этим j связался магнитный момент, этот момент
надо спроектировать на ось j, а затем ось j может давать разные проек-
проекции на направление магнитного поля. Весь атом крутится вокруг вектора j,
как-то крутится и магнитный момент; при этом существенную роль играет
проекция полного магнитного момента на ось j.
В магнитном поле энергия взаимодействия атома с полем есть ^/хэфН.
Но если поле очень сильно, то энергия взаимодействия распадается на три
части:
u = uLH + uSH + uLS.
Здесь Ulh = —MzH — взаимодействие поля с орбитальным магнитным
моментом, Ush — ~М$Н — взаимодействие поля со спиновым моментом,
a Uls — спин-орбитальное взаимодействие.
Если поле Н велико, то последним членом можно пренебречь. Иными
словами, LS-связь рвется. В этом случае наблюдается переход от сложного
(аномального) эффекта Зеемана к простому (нормальному). Данное явление
называют эффектом Пашена-Бака. В сильном магнитном поле орбиталь-
орбитальный и спиновой моменты независимо друг от друга прецессируют вокруг
поля Н (рис. 11.11). Полная энергия взаимодействия с полем
Еьшг = iiBH[l cos A, Н) + 2s cos (s,H)]. A1.48)
Пусть mi — целочисленная проекция 1 на направление поля.
Если учесть, что спин может ориентироваться только параллельно или
234
Гл. 11. Эффект Зеемана
антипараллельно полю (т. е. ms = ±1/2), то мы получаем из A1.48)
^маг = ЦвЩпц + 2шв), т8 = ±1/2, A1.49)
что и дает нормальный эффект Зеемана (при Ams = 0).
Итак, плавно увеличивая магнитное поле, мы постепенно переходим от
аномального зееман-эффекта к нормальному. Переходную область состав-
составляет область эффекта Пашена-Бака. Условность терминологии отчетливо
видна.
Теперь несколько слов о слабых
полях.
Мы говорили, что при помещении
атома в магнитное поле линии расщеп™
ляются на массу компонент. Разные про-
проекции вектора j приобретают разную
энергию. А как все это будет менять™
ся при переходе к бесконечно слабому
полю?
Дело в том, что в соответствии с
соотношением неопределенностей все
уровни, за исключением самого нижне-
нижнего, имеют конечную ширину:
Рис. 11.11. Независимая прецессия
орбитального и спинового момен-
моментов вокруг направления магнитного
поля (случай сильного поля)
AEAt = 2тгЙ,
A1.50)
где At — время жизни атома в возбуж-
возбужденном состоянии. Если поле слабое и
расстояние между уровнями не превышает ширины их размытия, то можно
считать, что не происходит выделения четких проекций моментов. Четкое
же выделение определенных проекций моментов происходит только то™
гда, когда поле достаточно велико для того, чтобы уровни перестали пере™
крываться.
11.6. Энергетические уровни и переходы для атома
натрим в магнитном поле
Построим в явном виде картину уровней и переходов для атомов натрия
в случаях слабого и сильного магнитных полей.
Как известно, атом натрия в основном состоянии имеет электронную
структуру
Na: Is22s22p63s1. A1.51)
Первое возбужденное состояние отвечает переходу единственного валент-
валентного электрона в Зр-оболочку, так что возбужденное состояние есть
Na*:
A1.52)
11.6. Энергетические уровни атома натрия
235
Запишем термы основного и возбужденного состояний. Напомним, что
термы обозначаются символом 2S+1Lj, где L, 5 и J — соответственно
орбитальный момент, спин и полный угловой момент атома. Для нахож-
нахождения термов учтем, что состояние атома в обоих случаях определяется
единственным электроном. В случае основного состояния A1.51) имеем
1 = 0, 5 = 1/2 =ф j = l + s = 1/2,
а в случае возбужденного состояния имеются две возможности:
1=1, s =
/2 => j =
l-s = 1/2,
I + s = 3/2.
A1.53)
A1.54)
Соответственно терм основного состояния есть 2S\j2, а термы возбужден™
ных состояний — 2Р\/2 и 2^з/2- П° второму правилу Хунда первое из этих
состояний имеет меньшую энергию, чем второе. Таким образом, в отсут™
ствие магнитного поля имеются переходы
2р ^2п тж 2р ч 2
ГЛ / » J/ И Г/ >
1/2
тж 2р
И Г
3/2
A1.55)
Это двойная желтая линия натрия, о которой уже говорилось в гл. 8 при
обсуждении понятия спина.
Рассмотрим сначала случай слабого магнитного поля, и следовательно,
сложного эффекта Зеемана. При включении магнитного поля каждый из
уровней расщепляется на подуровни, число которых равно 2 J + 1, как это
показано на рис. 11.12: основное и низшее возбужденное состояния — на
НФО
= 2/3
V V
V V V
mJ
+3/2
+ 1/2
-1/2
-3/2
+ 1/2
-1/2
+ 1/2
Рис. 11.12. Переходы между подуровнями основного и возбужденного состояний
натрия при аномальном эффекте Зеемана
236
Гл. 11. Эффект Зеемана
два подуровня, а верхнее возбужденное состояние — на четыре эквиди-
эквидистантных подуровня.
При нахождении допустимых переходов следует помнить, что правила
отбора в данном случае таковы:
Второе из этих правил означает, что невозможны переходы между воз™
бужденными состояниями 2Рз/2 ""> 2Р\/2- Итоговая схема переходов ка-
качественно показана на рис. 11.12. Правилам отбора Anij = О, ±1 удо™
влетворяют всего 10 переходов, которые и образуют наблюдаемый спектр
излучения при аномальном эффекте Зеемана.
Пусть теперь магнитное поле сильное, т. е. реализуется простой эффект
Зеемана. В этом случае число подуровней, на которое происходит расщеп™
ление исходных уровней Р ш S в магнитном поле, определяется, согласно
A1.49), величиной mi + 2ms:
Е = Eq + 1ЛвН(гп1 + 2ras), A1.57)
и составляет два в случае основного состояния (га/ = 0, ms = —1/2,
+1/2) и пять в случае возбужденного состояния (га/ = — 1, 0, +1, ms =
= -1/2, +1/2). Соответствующая схема переходов показана на рис. 11.13.
При определении допустимых переходов следует руководствоваться пра~
вилами Ams = 0 и А(ть + 2ms) = 0? ±1. В итоге остаются три
2Р.
ш
,/2
\
f }
/
//
\
f S'
\
1
}
f
f
mL
+1
0
±1
0
-1
ms >
+ 1/2
+ 1/2
+1/2
-1/2
-1/2
mLrz
+2
+1
0
-1
-2
0 +1/2 +1
0 -1/2 -1
/SmL = +1 AmL = 0 AmL = -1
Рис. 11.13. Расщепление уровней и переходы при нормальном эффекте Зеемана
различные линии, отвечающие трем различным парам переходов, причем
компоненты внутри одной пары отвечают одинаковой энергии перехода.
ГЛАВА 12
СПОНТАННЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ
ПЕРЕХОДЫ.
РЕЗОНАНСНЫЕ ПРОЦЕССЫ
"'Только тот, кто знает, куда он идет, знает
также, какой ветер — попутный ему"
(Ф. Ницше. Так говорил Заратустра)
12.1. Коэффициенты Эйнштейна
> Е\9 между которыми разрешен
Рассмотрим два уровня энергии
радиационный переход на частоте
LU21 =
A2.1)
определяемой условием, которое в нашем случае, очевидно, есть форма
записи закона сохранения энергии.
Между энергетическими состояниями Е^ и Е\, вообще говоря, воз-
возможны как излучательные, т. е. радиационные, так и безызлучательные
переходы. Оставляя эти последние в стороне, обратимся к радиационным
переходам, т. е. к переходам, единичный акт которых сводится к излучению
(поглощению) фотона (рис. 12.1).
Спонтанный
переход
Индуцированные
переходы
Рис. 12.1. Спонтанный и индуцированные переходы
Прежде всего следует иметь в виду существование самопроизвольно-
го испускания излучения. Атомы, находящиеся в верхнем энергетическом
состоянии (Е2), могут совершать спонтанные переходы в нижнее состоя-
состояние (Е\). Эти переходы самопроизвольны, их вероятность не зависит от
238 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
внешних воздействий, в том числе и радиационных, включая резонансные,
лишь бы они не разрушали атом или структуру его уровней энергии.
Спонтанное (самопроизвольное) излучение является эффектом кван-
квантовым. В классической механике метастабильное состояние, обладающее
энергией, большей по отношению к энергии некоторого основного устойчи-
устойчивого состояния, в отсутствие внешних возмущений может жить бесконечно
долго. В квантовой области такое метастабильное состояние спонтанно
распадается с некоторой отличной от нуля средней скоростью.
По предположению, вероятность спонтанного перехода частицы из верх-
верхнего состояния в нижнее (Е^ —> Е\) пропорциональна времени. За время dt
эта вероятность составляет тогда
dW2(inOH) = А2\ dt, A2.2)
где величина А21 называется коэффициентом Эйнштейна для спонтанно-
спонтанного излучения. Таким образом, постулируется, что вероятность спонтанного
излучения в единицу времени, или, что то же самое, скорость спонтанного
распада, постоянна и по определению равна соответствующему коэффици-
коэффициенту Эйнштейна А21:
4ГН) = Ш^] =Мъ A23)
dt
Спонтанное излучение описывает процесс самопроизвольного перехо-
перехода частицы из верхнего состояния в нижнее. Самопроизвольных переходов
снизу вверх не бывает. Заселение верхнего уровня в ситуации, когда безыз-
лучательные процессы несущественны, может происходить только путем
поглощения фотонов частоты A2.1). Естественно классифицировать про-
происходящие при этом переходы из нижнего энергетического состояния в
верхнее как переходы, индуцированные внешним электромагнитным по-
полем резонансной частоты. Такая терминология позволяет рассматривать
резонансное поглощение излучения как результат индуцированных по-
полем переходов снизу вверх. Но поле может индуцировать и переходы свер-
сверху вниз.
В 1916-м году А. Эйнштейн, рассматривая процессы испускания и по-
поглощения излучения на основе представления о фотонах, предположил, что
наряду с индуцированным поглощением существует и явление индуциро-
индуцированного излучения, и постулировал свойства индуцированных переходов,
часто называемых вынужденными или стимулированными. Следует при-
признать, что все эти три термина, будучи полностью эквивалентными, доста-
достаточно выразительно передают суть явления.
В соответствии с постулатами Эйнштейна вероятность индуцирован-
индуцированных переходов в единицу времени пропорциональна плотности энергии
внешнего поля в единичном спектральном интервале (т. е. спектральной
объемной плотности энергии):
u4iH) =В2хрШ1 A2.4)
wffi =В12Рш, A2.5)
12.1. Коэффициенты Эйнштейна 239
где В12 и В21 — величины, называемые коэффициентами Эйнштейна для
индуцированного поглощения и излучения соответственно, а порядок ин-
индексов 1 и 2 указывает направление перехода.
При этом предполагается равенство частоты внешнего поля собствен-
собственной частоте перехода Ei н Е2 и постулируется, что кванты электромаг-
электромагнитного поля, излучаемые при индуцированных переходах сверху вниз,
полностью тождественны квантам поля, вызывающего эти переходы. Это
означает, что внешнее электромагнитное поле и поле, созданное при ин-
индуцированных переходах, имеют одинаковые частоту, фазу, поляризацию и
направление распространения. Они неразличимы.
Заметим, что неразличимость, полная тождественность фотонов стиму-
стимулированного (т. е. вторичного) и стимулирующего (т. е. первичного) изуче-
изучений является фундаментальной основой такой важной науки, как наука о
лазерах — квантовая электроника.
Существование индуцированных переходов можно понять уже на ос-
основе представлений классической электродинамики. В самом деле, пусть
в среде имеется некоторое электромагнитное поле с частотой ш. Тогда под
действием периодической вынуждающей силы заряды начнут совершать
колебания с той же частотой. Чем больше плотность энергии поля в среде,
тем сильнее раскачиваются заряды, т. е. интенсивнее поглощается энер-
энергия поля. Поскольку амплитуда колебаний зарядов а пропорциональна ам-
амплитуде поля Е, а энергия зарядов пропорциональна а2 ~ Е2, то это и
означает, что вероятность индуцированного поглощения пропорциональна
плотности энергии поля р. (В этом и следующем абзацах символом Е мы
обозначаем напряженность электрического поля электромагнитной волны.)
Обратно, в результате вынужденных колебаний заряды начнут излучать
на частоте поля и. В результате будет возникать вторичное (индуцирован-
(индуцированное) когерентное излучение. Чем больше амплитуда колебаний зарядов а,
тем интенсивнее их излучение: /изл ^ ^2 ^ Е2. Следовательно, интен-
интенсивность индуцированного излучения также пропорциональна плотности
энергии имеющегося в среде поля.
Эти же соображения на основе классической электродинамики позво-
позволяют качественно понять причину тождественности исходного и индуциро-
индуцированного излучения, поскольку исходное и вторичное излучения обладают
строго одной и той же частотой.
Рассматривая ансамбль квантовых частиц, находящихся в термостате
при температуре Т, и исследуя условия равновесия этого ансамбля в поле
его собственного излучения, испускаемого и поглощаемого при переходах
между уровнями энергии составляющих ансамбль частиц, Эйнштейн уста-
установил связь между коэффициентами:
A21 = ^—hwB21 A2.6)
7Г2СЛ
И
В21 = В12. A2.7)
240 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
Последнее верно для случая, когда кратности вырождения (т. е. ста™
тистические веса) уровней 2 и 1 одинаковы (см. задачу 18 из раздела
"Семинар".)
Приведенные соотношения очень важны. Они говорят о равной веро-
вероятности (в пересчете на одну частицу и одно невырожденное состояние)
индуцированного излучения и поглощения и о пропорциональности веро-
ятности спонтанного излучения коэффициенту Эйнштейна ?»2Ъ Там, где
запрещены индуцированные переходы, не может быть спонтанного излу-
излучения и, наоборот, там, где нет спонтанного, не может быть и индуциро-
индуцированного излучения.
В соотношение между вероятностями спонтанного и индуцированного
излучений в явном виде входит куб частоты излучения (см. A2.6)). При
прочих равных условиях эта зависимость приводит к тому, что роль спои™
тайного излучения мала на радиочастотах и велика в оптическом диапазоне,
где оно часто определяет время жизни частиц в возбужденном состоянии.
12.2. Спектральная ширина линии пережода
Рассмотрим вопрос о спектральной ширине линии радиационного (из-
лучательного или поглощательного) перехода.
В главах пятой и шестой обсуждался вопрос о конечности ширины
уровня энергии, время жизни частиц на котором ограничено и имеет дли-
длительность т. Естественно, любые процессы, уширяющие уровень энергии,
приводят к уширению спектральных линий соответствующих переходов.
Таким образом, неопределенность энергии состояния приводит к неопре-
неопределенности частоты перехода, равной 1/т.
Величина т представляет собой характерный масштаб времени, необхо™
димого для того, чтобы возбужденная система отдала свою энергию. Значе-
Значение т определяется скоростями спонтанного излучения и безызлучательных
релаксационных переходов, опустошающих возбужденный уровень энер-
энергии. В отсутствие внешних воздействий спонтанное излучение является
единственным фактором, определяющим время жизни состояния. Поэтому
наименьшая возможная так называемая естественная ширина линии опре-
определяется скоростью спонтанного перехода А21:
Аио=А2ъ A2.8)
Вследствие пропорциональности коэффициента Эйнштейна А21 кубу
частоты естественная ширина более существенна на высоких частотах. Од-
Однако обычно влиянием спонтанного излучения на ширину линии перехода
можно пренебречь, так как в реальных условиях столкновительные релак-
релаксационные процессы более эффективно сокращают время жизни.
Тем не менее наиболее общим, фундаментальным механизмом, ограни-
ограничивающим сверху время жизни частицы на возбужденном уровне, является
спонтанное излучение, которое должно, таким образом, иметь спектраль-
спектральную ширину, соответствующую скорости спонтанного распада.
12.2. Спектральная ширина линии перехода 241
Квантовая электродинамика позволяет вычислить спектральное распре-
распределение фотонов спонтанного излучения, исходящих с уровня шириной
АЕ = КК2\. Контур линии спонтанного излучения оказывается имеющим
так называемую лоренцеву форму с шириной A2.8).
Лоренцева форма линии определяется форм-фактором (см. E.68))
G(u) = ^ i -. A2.9)
2тг (ujo - toJ + (Awo/2J
f
Функция G(o;) удовлетворяет требованию нормировки G(u)du = 1 (в
котором предполагается, что ширина линии мала, Аи® <С (jJq).
Таковы спектральные свойства спонтанного излучения. Его интенсив-
интенсивность частотно зависима. Следовательно, его вероятность имеет некоторый
спектр, который можно представить в виде
ш?спон) = G(uj)w{cuoh) = G(uj)A21. A2.10)
При этом необходимо, чтобы
он). A2.11)
Выше было приведено выражение A2.6), связывающее друг с другом
вероятности спонтанного и индуцированного излучений. Эта связь озна-
означает, что вероятность индуцированного излучения также частотно зависима
и имеет спектральную плотность
w^ = G(u)w^ = С(и)В21Рш. A2.12)
При этом, как и в случае спонтанного излучения, необходимо, чтобы
iuj = w(mH\ A2.13)
Если индуцирующее излучение монохроматично, то при настройке точ-
точно в резонанс окажется рш = р8{ш—ш®), где 5(х) —дельта-функция Дирака.
Тогда A2.13) дает
w^ = G(uj®)B2iP = —^B21p. A2.14)
тг Acjq
Сокращение времени жизни, уширяющее спектральные линии инду-
индуцированных переходов, уменьшает вероятность таких переходов, индуци-
индуцируемых резонансным монохроматическим излучением, обратно пропорцио-
пропорционально ширине линии.
Выражение A2.14) допускает не лишенную интереса трактовку. В пре-
предельном случае, когда величина Аи® определяется только естественной
242 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
шириной линии, следует положить Аш® = A2i. Но коэффициенты Эйн-
штейна А21 и В21 связаны между собой прямой пропорциональностью.
Поэтому из A2.6) нетрудно найти коэффициент ?»2ъ
Подставив это выражение в A2.14) и произведя несложные преобразования,
получаем
w^ = ^-p=^ A2.15)
где Т = 2тт/и — период колебаний поля, Л — длина волны резонансного
излучения, а величина N = пЛ3 — число квантов в элементарном куби-
ке с гранью в длину волны, п = р/Нш имеет смысл числа квантов этого
излучения, приходящихся на единичный объем.
Таким образом, если спектральная линия наблюдаемого перехода уши-
уширена одним лишь спонтанным излучением, то число квантов индуцирован™
ного излучения, испускаемых в единицу времени одной частицей, прямо
пропорционально числу квантов индуцирующего излучения, приходящих™
ся на элементарный объем Л3, отнесенному к периоду соответствующих
колебаний поля.
Уширение линии, обусловленное конечностью времени жизни состо-
яний, связанных рассматриваемым переходом, называется однородным.
Каждый атом, находящийся в соответствующем состоянии, излучает при
переходе сверху вниз линию с шириной Аа; и форм-фактором G(u). Ана-
Аналогично каждый атом, находящийся в соответствующем нижнем состоянии,
поглощает при переходе снизу вверх излучение в спектре шириной Аа; и
в соответствии со спектральной зависимостью G(u). Невозможно припи-
приписать какую-либо определенную спектральную компоненту в спектре G(uj)
какому-то одному определенному атому, взятому из ансамбля себе подоб-
подобных. При однородном уширении, вне зависимости от его природы, спек-
спектральная зависимость G(uj) есть единая спектральная характеристика как
одного атома, так и всей их совокупности. Изменение этой характерис-
характеристики, в принципе возможное при том или ином воздействии на ансамбль
атомов, происходит одновременно и одинаковым образом для всех ато-
атомов ансамбля.
Примерами однородного уширения являются уширение естественное и
уширение столкновительное в газах и в плазме газового разряда. Другое де-
дело —неоднородное уширение. Экспериментально наблюдаемые спектраль-
спектральные линии могут явиться бесструктурным наложением, приборно не разре-
разрешаемой суперпозицией нескольких однородно уширенных линий. В этих
условиях каждая частица (или группа частиц) излучает или поглощает в
пределах лишь части всей экспериментально наблюдаемой линии. Именно
такая спектральная линия называется неоднородно уширенной. Причиной
неоднородного уширения может быть любое обстоятельство, приводящее
к различиям в условиях излучения (поглощения) для разных групп номи-
номинально одинаковых атомов исследуемого ансамбля частиц.
12.3. Линейное поглощение резонансного излучения 243
Простейшим примером неоднородного уширения является уширение,
наблюдаемое при спектральном исследовании газового разряда вследствие
эффекта Доплера при тепловом движении атомов газа. Заметим, что до-
плеровское уширение при максвелловском распределении атомов газа по
скоростям дает гауссову форму линии (см. задачу 19 из раздела "Семинар").
12.3. Линейное поглощение резонансного излучения
В силу равенства коэффициентов Эйнштейна (В\2 = ?>2i) индуци™
рованные переходы сверху вниз (с излучением энергии) и снизу вверх
(с поглощением энергии) в расчете на один атом равновероятны. В целом
же в равновесной квантовой системе вынужденных переходов с нижних
уровней на верхние оказывается больше, чем обратных переходов, потому
что внизу частиц больше, чем вверху. Это приводит к поглощению энер-
гии внешнего резонансного излучения, индуцирующего соответствующие
переходы.
Действительно, изменение энергии внешнего поля излучения в единич™
ном объеме квантовой системы определяется разностью энергий, излучае-
излучаемых и поглощаемых при индивидуальных переходах вниз и вверх. Пусть
система в единичном объеме содержит п резонансных атомов, п = щ + П2,
где индексы 1 и 2 относятся соответственно к нижнему и верхнему уровням.
Тогда излучаемая мощность равна n2W2ifuj, а поглощаемая — niw^fou.
Следовательно, в соответствии с A2.14) скорость изменения плотности
энергии (в случае невырожденных состояний 1 и 2) равна
^ = (п2 - гы)В21^—Пш. A2.16)
dt тг Ашо
Эта величина при п\ > П2 отрицательна. Энергия внешнего поля поглоща-
поглощается. При заметном поглощении этой энергии населенности п\ и П2 изменя-
изменяются, меняя тем самым скорость поглощения. Пренебрегая столь сильным
влиянием поля на вещество, мы остаемся в пределах обычной, долазерной,
линейной оптики, для которой характерна независимость коэффициента
поглощения излучения от его интенсивности.
Для излучения, распространяющегося в виде волны, бегущей со скоро-
скоростью с в направлении оси z9 коэффициент поглощения определяется как
а = -- — . A2.17)
I dz
Поскольку I = const • р и dz = cdt9 то
1^. A2.18)
ср dt
Тогда из A2.16) мы получаем
а = (щ - n2)B2i—-—Ни. A2.19)
А
244 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
В оптическом диапазоне как правило ri2 <С щ « п и
^^ A2.20)
Этому выражению можно придать другую, более наглядную форму.
После несложных преобразований, воспользовавшись еще раз связью A2.6)
между коэффициентами Эйнштейна и введя в рассмотрение длину волны
излучения Л, мы можем записать коэффициент поглощения а в виде
а = па. A2.21)
Эта запись вводит в рассмотрение так называемое эффективное сече™
ние а взаимодействия частицы с резонансным электромагнитным полем
или, кратко, сечение резонансного поглощения, характеризующее погао-
щательные свойства частицы. Эта величина оказывается равной
a=^^L, A2.22)
2тг Д
В предельном случае естественного уширения А21 = Ашо, так что
А2 „
а = — .В реальности характерные значения сечения поглощения в зави-
зависимости от спектрального диапазона и конкретного перехода конкретного
атома лежат в очень широком диапазоне A0^12 ч-10~ см2).
Подчеркнем еще раз, что выше речь шла о линейном коэффициенте
поглощения или коэффициенте поглощения малого сигнала, когда вели-
величина этого коэффициента не зависит от интенсивности сигнала. Незави-
Независимость коэффициента поглощения от интенсивности поглощаемого
излучения соответствует хорошо известному в оптике закону Бугера-Лам-
Бугера-Ламберта-Бера. Этот закон в нашем рассмотрении получен в предположении,
что поглощаемое излучение не вызывает отклонений распределения числа
частиц по уровням энергии от термодинамически равновесного.
12.4. Электродипольное взаимодействие и резонансное
приближение
В предыдущем рассмотрении была установлена связь с коэффициен-
коэффициентами Эйнштейна таких феноменологических характеристик резонансного
взаимодействия излучения с совокупностью атомов, как сечение и коэффи-
коэффициент поглощения. Для того чтобы понять, как квантовая механика подхо-
подходит к количественному описанию взаимодействия излучения с принципи-
принципиально квантовыми системами, и получить представление о методах опре-
определения вероятностей переходов, сечений поглощения и т. п. , необходимо
провести квантовомеханическое рассмотрение.
Последовательная квантовая теория излучения и поглощения света бы-
была сформулирована П. А. М. Дираком в 1927-м году (см. в достаточной ме-
мере доступное издание его книги "Принципы квантовой механики." — М.:
12.4. Электродиполъное взаимодействие и резонансное приближение 245
Наука, 1979). Однако сколько-нибудь строгое следование традиционному
рассмотрению этой теории далеко выходит за рамки нашего изложения.
Ограничимся полуклассическим рассмотрением, в ходе которого уже
могут быть получены важные результаты и применение которого в целом
характерно для оптической (и радио-) спектроскопии и лазерной физики.
В этом рассмотрении система "частица+поле излучения" разбивается на
две части: квантовая частица и классическое поле излучения. Соответствен™
но энергия такой системы представляется как суммарная энергия отдельно
взятых частицы и поля излучения плюс энергия взаимодействия между
ними. Частица описывается волновой функцией, удовлетворяющей урав-
уравнению Шредингера, в которое входит как возмущение оператор взаимодей-
взаимодействия, соответствующий энергии взаимодействия.
Рассмотрим дипольное взаимодействие электрического поля
E(t) =E0cosut= ^0(etuJt + e^luJt) A223)
электромагнитной волны с двухуровневой квантовой частицей. Пусть ди-
польный момент перехода между этими уровнями равен d. Тогда энергия
взаимодействия частицы с полем составляет
V = -dE(t). A2.24)
Для простоты в дальнейшем будем считать векторы d и Е параллельными.
Пусть расстройка частоты поля ш относительно частоты перехода Ш2\
А = ш-ш21 A2.25)
всегда мала:
|Д| «а;21, cj. A2.26)
Это есть условие того, что рассматриваемое взаимодействие является
резонансным. Оно справедливо до тех пор, пока энергия взаимодействия
не слишком велика и всегда заметно меньше энергетического расстояния
между уровнями:
V = dE<.hjj2i. A2.27)
При нарушении этого условия возмущение собственных частот части-
цы становится заметным и понятие резонанса теряет свой "линейный"
смысл. Для хорошо разрешенных переходов, т. е. при d, превышающем
10~18ед. СГСЭ A Дебай), условие A2.27) начинает заметно нарушаться
для инфракрасного излучения при интенсивности 1011 ^ 1013Вт/см2, а для
видимого и ультрафиолетового — при 1013 ^ 1015Вт/см2. Интенсивности
такого порядка в настоящее время легко достижимы методами лазерной
физики.
Кроме того, необходимо иметь в виду следующее важное обсто™
ятельство. Для сохранения резонансного характера взаимодействия на-
напряженность поля излучения Е не должна превышать атомную напря-
напряженность поля EaTt ~ е/а2 = 5 • 109 В/см или даже приближаться к ней:
246 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
Е<Еат. A2.28)
Здесь нелишне напомнить, что е = 4,8 • 10~10 ед. СГСЭ — заряд электрона
и а = 0, 53 • 10™8 см — радиус первой боровской орбиты атома водо-
водорода. Полю величины 5 • 109 В/см соответствует интенсивность линейно
поляризованного излучения, примерно равная 3,5 • 1016 Вт/см2. Поэтому,
как правило, хотя и не всегда, условие A2.27) оказывается более жестким.
При выполнении условий A2.26) —A2.28) уравнение Шредингера, опи-
сывающее рассматриваемое взаимодействие, решается в резонансном при™
ближении, иногда называемом также приближением вращающейся волны.
Пусть суммарная энергия отдельно взятых частицы и поля излучения
описывается гамильтонианом Н®. Тогда для Ф-функции частицы в поле
излучения мы имеем уравнение
ih— = (Но + У)Ф, A2.29)
dt
где оператор взаимодействия V между полем и частицей соответствует
энергии взаимодействия A2.24). Это означает, что в дипольном приближе-
приближении оператор взаимодействия сводится к оператору дипольного момента
перехода d:
V = --Ео(е^г + е"™*) I A2.30)
Именно оператор дипольного момента перехода d9 точнее, его матричные
элементы
Г Г
dx dy dz = (fid(f2 dx dy dz = cfei, A2.31)
учитывают специфическую природу конкретной квантовой частицы в ее
взаимодействии с классическим электромагнитным полем. Стационарные
волновые функции ^и^ зависят только от пространственных координат
и, удовлетворяя каждая своему стационарному уравнению Шредингера:
Щсрг = Ег<ръ Й0ср2 = E2ip2i A2.32)
полностью характеризуют состояния 1 и 2 рассматриваемой квантовой си-
системы (уровни энергии Е\ < Е2).
Тогда, когда частота осцилляции возмущения A2.30) близка к собствен-
собственной частоте перехода ш2г = (Е^ — Е\)/% выполняется условие резонансно™
сти A2.26) и уравнение A2.29) можно решать в резонансном приближении.
12.5. Уравнении резонансного приближения
Зависящее от времени уравнение Шредингера A2.29) в резонансном
приближении для двухуровневой частицы сводится к двум уравнениям для
амплитуд волновых функций первого и второго состояний частицы. Полу-
Получим эти уравнения.
12.6. Осцилляции населенностей 247
Пусть искомая Ф-функция представляет собой суперпозицию исходных
волновых функций частицы с зависящими от времени коэффициентами:
Ф = ai(t)#i + a2(t)#2, A2.33)
где
«3>i = (fi(r) ехр (-iEit/K), Ф2 = <p2(r) ехр (-iE2t/h),
а зависящие только от пространственных координат функции ^и^ суть
стационарные волновые функции состояний 1 и 2 нашей двухуровневой
квантовой системы и, следовательно, удовлетворяют уравнениям A2.32).
Подставим A2.33) в A2.29) с учетом A2.32). Умножая получившее-
получившееся уравнение в первом случае на ip*9 а во втором случае — на (/?2, и
почленно интегрируя по всем пространственным переменным с учетом
ортонормированности волновых функций, приходим к двум уравнениям:
ih^ = --а2 [eluJt + e^luJt] е^ш^Е0ё12,
dt 2 A234)
indO2_ = _ 1 ГгиН + e_iwt-| eiu>2ltE d
dt 2 L J
В этих уравнениях использовано определение A2.31) матричных элементов
оператора дипольного момента перехода.
Упростим теперь уравнения A2.34), учтя условие резонансности A2.26)
и опустив быстро осциллирующие члены вида ехр [±г(о; + ui2i)t] ~
« ехр [±2го;21^]:
ih^ = --Eod12a2 е-*»™-")*,
dt 2 A2.35)
i%™* = -±E0d2iai е*(^1-^)*.
dt 2
Представим теперь медленно меняющиеся во времени коэффициенты
а\ и п2 в симметричном виде:
аг = фг ехр [-i{u2i - ш) t/2],
A236)
a2 = Ф2 exp[i(a;2i - a;) t/2].
Для амплитуд их осцилляции ф\ и ф2 из A2.35) получаются тогда уравнения
ih— = --(Нш21 ^ Ни) ф\ ^ ™1?о^12^2,
ddt г 2 х 2 A2.37)
^ B1 )ф2
at 2 2
которые и являются искомыми уравнениями резонансного приближения.
248 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
12.6, Осцилляции населенностей
Эволюция во времени функций ф\шф2, относительно которых записаны
уравнения резонансного приближения A2.37), определяет динамику иско-
искомой Ф-функции рассматриваемой двухуровневой частицы под действием
резонансного поля E(t). При этом квадраты модулей l^il2 и \ф2\2 опреде-
определяют вероятности найти частицу на уровнях 1 и 2 соответственно. Другими
словами, квадрат модуля этих функций определяет динамику населенно-
населенностей уровней 1 и 2 под действием излучения.
Рассмотрим воздействие на резонансную среду поля постоянной ам~
плитуды Eq, включаемого в момент t = 0. Пусть в этот момент частица
находилась на нижнем уровне, ф\ (t = 0) = 1, а верхний уровень был пуст,
ф2A = 0) = 0.
Когда амплитуда поля излучения постоянна, уравнения резонансного
приближения A2.37) суть линейные уравнения с постоянными коэффици-
коэффициентами. Выражая фг из второго уравнения через ф2,
ф\ = - nth-!— + ф2\ , A2.38)
E0d12 V dt 2 J
и подставляя результат в первое из них, легко получить для функции ф2
уравнение второго порядка, которое оказывается уравнением гармониче™
ского осциллятора:
ф2 + Д2 + Ооу;2 = 0, или ф2 + п2ф2 = 0, A2.39)
4
где частота осцилляции определена соотношением
2 + О§, A2.40)
Разность А = и — uj2i есть отстройка частоты поля относительно частоты
перехода, а величина
О0 = 12 ° A2.41)
h
называется частотой Раби. Решение уравнения A2.39) хорошо известно:
ф2 = A cos пt + Б sin fit.
В принятых начальных условиях А = 0. Значение коэффициента В
можно установить из второго уравнения в A2.37), где при t = 0 следует
положить ф\ = lj ф2 = 0, ф2 = Вп. Это дает В = Шо/20. Тогда
ф2 = i^sinUt. A2.42)
20
12.6. Осцилляции населенностей 249
При этом из A2.38) вытекает, что
фг = cos fit - г— sin fit. A2.43)
Видно, что волновые функции тех состояний, которые в отсутствие
внешних воздействий были стационарными, теперь оказываются осцилли-
осциллирующими во времени с частотой О. Для нас интересна вероятность заселе™
ния верхнего (второго) уровня. Она составляет
о 1 О2
\ф2\2 = - ° A - cos2m). A2.44)
Полученная формула описывает характерные черты процесса заселения
верхнего уровня под действием монохроматического поля, близкого к ре-
резонансному.
Из формулы A2.44) следует, что населенность верхнего уровня осцилли-
осциллирует во времени между нулем и максимальным значением |-021 max = ^—
А2 + О0
с частотой 20, определяемой как расстройкой, так и частотой Раби. Очевид-
Очевидно, что при всех Д ^0 величина |V>2 |max < 1, т. е. все атомы одновременно
не могут оказаться на верхнем уровне.
Спектральная зависимость амплитуды колебаний в A2.44) имеет лорен-
цеву форму, т. е. соответствует случаю однородного уширения с полуши-
полушириной, равной частоте Раби.
Остановимся на предельных частных случаях.
При большой отстройке или при слабом поле излучения, когда А2 >> Од,
можно положить fi = А/2, так что
|^2|2 = -^A - cos At). A2.45)
В обратном предельном случае малой отстройки или, что эквивалентно,
при интенсивном поле излучения А2 <С fig, им^ем О = Qq/2 и
\ф2? = -A ~~ cosU0t). A2.46)
Смысл двух последних формул достаточно прозрачен. При интенсивном
облучении, напряженность поля которого столь велика, что частота Раби су-
существенно превышает отстройку частоты поля от точного резонанса, двух-
двухуровневая квантовая система осциллирует между верхним и нижним уров-
уровнями с частотой Раби (см. A2.46)). В слабом же поле, когда соответствую™
щая ему частота Раби много меньше отстройки частоты поля от точного ре-
резонанса, вероятность нахождения частицы на верхнем уровне никогда не до-
достигает единицы (см. A2.45)). При этом осцилляции вероятности происхо-
происходят с частотой отстройки. Наконец, в случае точного резонанса (А = 0) ча-
частица с необходимостью достигает верхнего уровня и при слабом поле, хотя
250 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
и за длительное время, определяемое в этом случае медленностью осцилля-
ций Раби.
Надо, однако, помнить, что все проведенное выше рассмотрение вы-
выполнено без какого-либо учета процессов необратимого релаксационного
распада верхнего уровня. Это справедливо только для тех временных ин-
интервалов, на которых релаксационные процессы можно считать несуще-
несущественными.
12.7. Полевое уширение
Рассмотрим более подробно спектральную зависимость A2.44). Выше
было подчеркнуто то важное обстоятельство, что если поле отстроено от
точного резонанса, А ^ 0? и является слабым, Од <С А2, то вероятность
найти частицу на верхнем уровне никогда не достигает единицы. Но увели-
увеличение напряженности поля и вызванный этим рост Qq преодолевают влия-
влияние отстройки. При Oq ^> А2, как мы знаем, населенность верхнего уровня
с большой частотой осциллирует между нулем и единицей. Следовательно,
поле эффективно уширяет переход.
Вопрос о полевом уширении перехода (или уровня) очень важен. Речь
идет о динамическом уширении, когда под действием сильного поля ча-
частица периодически и с вероятностью, близкой к единице, осуществляет
переход между уровнями 1 и 2, несмотря на отстройку частоты поля от
частоты перехода. Спектральная зависимость вероятности перехода A2.44)
является лоренцевой, в резонансный знаменатель которой, наряду с квадра-
том отстройки, входит и квадрат частоты Раби, играющей, таким образом,
роль однородного уширения. Следовательно, строго говоря, в отсутствие
релаксационных процессов можно ввести в рассмотрение динамическое
полевое уширение d^Eo/h, существенно изменяющее резонансные свой-
свойства двухуровневой квантовой системы при больших напряженностях поля
электромагнитной волны.
При смещении частоты линии перехода на величину Qq соответству-
соответствующее изменение энергии фотона, индуцирующего этот переход, составля-
составляет Шо. Единственным взаимодействием, могущим изменить величину энер-
энергетического зазора между уровнями 2 и 1, является в рассматриваемой
ситуации электродипольное взаимодействие с энергией ^ duE®. Прирав-
Приравнивание этих двух энергий друг другу дает, как и следовало ожидать, значе-
значение частоты Раби A2.41). Заметим, кстати, что соображения размерности
точно таким же образом позволяют определить значение полевого ушире-
уширения. Единственным параметром задачи, имеющим размерность частоты,
является комбинация d^Eo/h.
Наконец, уместно остановиться на одном принципиальном вопросе.
Изучая поглощение и испускание излучения двухуровневой системой, мы
вначале предполагали, что строго выполнено условие резонансности
U) = UJ\ = (Е2 — Е\) /Н.
12.7. Полевое уширение 251
Далее мы рассмотрели ситуацию, когда это условие нарушается: ока-
оказывается либо ш > Ш21, либо ш < Ш21. При этом мы нашли, что часть
атомов все же периодически переходит в возбужденное состояние, т. е. на
уровень Е2. Возникает вопрос: как это согласуется с законом сохранения
энергии? Вопрос стоит особенно остро в случае ш < oj2\9 когда энергии
кванта излучения явно недостаточно, чтобы перебросить атом с нижнего
уровня на верхний. Вопрос решается с помощью соотношения неопреде-
неопределенности.
В действительности в данной ситуации мы имеем дело с нестационар-
нестационарным процессом. Поскольку атом с течением времени меняет свое состояние,
он не характеризуется определенным значением энергии. Более того, мы
не можем строго говорить и о положении энергетических уровней, посколь-
ку эти уровни определяются из задачи об атоме в отсутствие электромагнит-
электромагнитного поля. Поле приводит, во-первых, к смещению уровней, а во-вторых,
в случае нестационарных состояний — к уширению, размытию уровней.
Последнее и делает возможным переход при неточном выполнении условия
резонанса. Поскольку характерное время процесса т ~ 1/20, возникающая
неопределенность энергии составляет АЕ ^ h/r ^ 2Ш. Из определения
частоты О в A2.40) следует, что АЕ ^ Щ А |, где А = ш — Ш2\ — отстрой-
отстройка частоты поля от резонанса. В итоге мы получаем естественный вывод,
что в пределах, допускаемых соотношением неопределенностей, никакого
нарушения закона сохранения энергии не происходит.
Завершая анализ динамики населенностей двухуровневой квантовой си-
системы в резонансном поле монохроматического электромагнитного излу-
излучения, заметим, что более полное изложение приведено в §40 и в задаче
к этому параграфу книги: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая меха-
механика. — М.: Физматлит, 2001.
В заключение этого параграфа остановимся кратко на более сложном
процессе — многофотонном поглощении, суть которого в следующем.
Пусть энергии одного фотона недостаточно, чтобы перевести атомы в воз-
возбужденное состояние, а требуется по крайней мере два фотона. В соот-
соответствии с постулатами Бора по энергетическим соображениям электро-
электромагнитное поле, состоящее из таких фотонов, не может возбудить систему
(со сколько-нибудь заметной вероятностью), несмотря на конечную шири-
ширину уровней, поскольку в каждом акте взаимодействия с отдельным атомом
участвует только один фотон. Еще менее вероятными представляются про-
процессы, в которых для возбуждения атома требуются три и более фотонов.
Рассмотрим в качестве примера двухфотонное поглощение (рис. 12.2).
Такой процесс оказывается возможным благодаря тому, что на промежу-
промежуточной стадии, когда поглощается первый фотон, возникает не реальное, а
виртуальное, ненаблюдаемое состояние, которое может существовать лишь
короткое время т ~ h/AE ~ 1/ш2\- В течение этого короткого време-
времени атом должен успеть поглотить второй фотон и перейти уже в реальное
состояние. Вероятность такого процесса тем больше, чем выше интенсив-
интенсивность поля излучения. Однако в отличие от случая, когда для возбуждения
252 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
системы достаточно одного фотона, вероятность двухфотонного погло-
поглощения оказывается пропорциональной квадрату интенсивности. Вообще
Ех+Пш
Рис. 12.2. Диаграмма двухфотонного возбуждения атома
в случае многофотонных процессов вероятность пропорциональна w ~ IN9
где N — число фотонов, необходимых для перехода Е\ —> Е^. Оценки
показывают, что реально многофотонное поглощение наблюдается лишь
при тех интенсивностях поля, которые достигаются с помощью мощных
лазеров.
Следует подчеркнуть, что закон сохранения энергии не нарушается и в
этом процессе, хотя на пути встречается стадия, невозможная в классиче-
классической физике. Ее реализуемость в квантовой механике обусловлена тем, что
процесс нестационарный и столь короткий, что возникающая неопределен-
неопределенность энергии не приводит к его запрету.
12.8. Матричный элемент оператора дипольного момента
перехода и коэффициент Эйнштейна Bi2
Для того чтобы связать полученную выше вероятность перехода A2.44)
с коэффициентом Эйнштейна В\2 для индуцированного перехода, надо при™
менить этот результат к случаю теплового излучения и учесть спектраль™
ную ширину перехода. Спектральная интенсивность теплового излучения
относительно мала, ширина спектра чрезвычайно велика. Следовательно,
нам надлежит воспользоваться формулой A2.45), относящейся к частному
случаю слабых полей и больших отстроек. Представим ее сейчас в более
удобном для проводимого далее анализа виде:
- UJ2l)t/2]
fl У
— UJ2lJ
A2.47)
Входящая в формулу A2.47) величина Е$ связана с плотностью энер-
энергии электрического поля электромагнитной волны простым и хорошо из-
известным соотношением: Eq = 8тгр. При выводе A2.47) мы рассматривали
12.8. Матричный элемент оператора диполъного момента перехода 253
электрическое поле, поляризованное вдоль направления диполя. В случае
изотропного теплового излучения плотность энергии электрического поля
по какому-то одному выбранному направлению составляет третью часть
полной энергии этого поля. Кроме того, в плоской волне, распространи
ющейся в свободном пространстве, только половина полной энергии вол-
волны заключена в ее электрическом поле. Следовательно, можно считать,
что квадрат напряженности электрического поля теплового излучения в
Эйнштейновской полости связан с объемной плотностью этого излучения
соотношением Eq = 4тгр/3.
Плотность энергии поля теплового излучения распределена по всему
спектру частот в соответствии с формулой Планка. В то же время формула
A2.47) выведена для монохроматической внешней силы. Полную вероят™
ность перехода в поле теплового излучения можно определить, проинте-
грировав выражение A2.47) для W(u^ i) по всем частотам поля теплового
излучения, считая, что в A2.47) входит спектральная плотность квадрата
напряженности поля Е^ = 4тгра;/3. Таким образом, полная вероятность
индуцированного перехода в поле теплового излучения равна
P(t) = \W(U>, t)du = ^
J 3
3 \ ft / J (UJ — UJ2l)
, „ sin[(o;-ct;2i)t/2l
Функция рш является очень плавной, а и-± носит резко вы-
( J
раженный резонансный характер. Тогда рш выносится за знак интеграла
при значении ш = Ш2\, а то, что остается, легко сводится к "табличному"
интегралу. В результате получаем
P(t)=2-^(d-^JpJ. A2.49)
3 \ ft /
Важной особенностью полученного выражения является то, что веро-
вероятность перехода под действием возмущения пропорциональна времени
этого действия i, что полностью соответствует постулату Эйнштейна о ве-
вероятностях индуцированных переходов.
Введем вероятность перехода в единицу времени:
12 ^(^)V A2.50)
dt 3 V h /
Сравнивая это выражение с постулатом Эйнштейна A2.5),
w12 = B12PujJ A2.51)
мы получаем окончательное выражение для коэффициента Эйнштейна В^:
A2.52)
з V h 1
254 Гл. 12. Спонтанные и вынужденные переходы. Резонансные процессы
Совершенно аналогичным образом можно получить выражение для ко™
эффициента ?»2i, который в нашем двухуровневом случае без вырождения
оказывается равным В\ч- Коэффициент же Эйнштейна А21, определяющий
вероятность спонтанного распада, таким способом получен быть не может.
Итак, значения коэффициентов Эйнштейна В\ч и В^\ определяются
величиной соответствующего матричного элемента оператора дипольного
момента перехода d\2 = ^21, вычисление которого для большого числа
простых электронных конфигураций вполне доступно методами квантовой
механики. Во многих случаях приходится, однако, прибегать к эксперимент
тальному определению этих дипольных моментов.
Приведем численные оценки. В видимом оптическом диапазоне харак-
характерная для спектроскопически хорошо разрешенных и сильных линий ре™
зонансного поглощения величина d\2 составляет один Дебай A0~18 СГСЭ).
Этому дипольному моменту соответствуют коэффициенты Эйнштейна
В12 = 6 • 1018 СГСЭ и А12 = 107с^1 = 10 МГц (последнее — для дли-
длины волны 0,5 мкм), что дает естественное время жизни в 0,1 мкс. Вместе с
тем частота Раби в этих условиях составляет те же 10 МГц при интенсив-
интенсивности монохроматического облучения всего в 10 мВт/см2, достигая при
интенсивности в 1 МВт/ см2 значения в 1011 Гц, или, в принятых в спек-
спектроскопии единицах, 3,3 см.
ГЛАВА 13
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
Лазер — сильнодействующая слабительная ре-
зинообразная смола, получаемая из растения
лазер-корень.
Лазер-корень — растение из рода Лазерпитиум
семейства моркови (зонтичные).
(Словарь Вебстера 1939 г.)
Laserpitlum latifolium
(Лазерпитиум широколистый)
13.1. Введение
Кванты излучения электромагнитного поля, фотоны суть бозоны. По™
этому они могут неограниченно заполнять одно и то же квантовое состоя-
состояние. При индуцированном испускании фотоны, как исходные, индуцирую-
индуцирующие, так и излученные квантовой системой, индуцированные, полностью
тождественны, неотличимы друг от друга. Они имеют совершенно одина-
ковые частоты, поляризации и направления распространения.
Классическая электромагнитная волна есть результат заполнения мно-
многими тождественными бозонами некоторого заданного состояния поля
излучения. Электромагнитная волна индуцированного излучения, явля-
являясь результатом заполнения индуцированными квантами именно того со™
стояния поля излучения, которое задано индуцирующей волной, есть ее
точная копия.
Из этого вытекает возможность когерентного усиления классической
электромагнитной волны квантовой системой. Устройства, принцип дей-
действия которых основан на этих основаниях, получили наименование лазе-
лазеров, а соответствующая отрасль знания называется квантовой электрони-
электроникой, что довольно точно передает суть дела.
Слово "ЛАЗЕР" или "LASER" есть аббревиатура англоязычного выра-
выражения "Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation", что озна-
означает "Усиление света посредством индуцированного испускания излуче-
излучения". Термин этот довольно быстро вошел в русский язык, прежде всего
256 Гл. 13. Квантовая электроника
потому, что он точно отражает суть вопроса, а его русские эквиваленты
либо недостаточно точны, либо слишком неблагозвучны.
История квантовой электроники началась фактически в 1939 г., когда
В. А. Фабрикант показал возможность усиления света за счет вынужденного
испускания в плазме с инверсной населенностью.
В 1953-1954 гг. Н. Г. Басов и A.M. Прохоров создали молекулярный
квантовый генератор радиодиапазона, работающий на аммиаке (NH3). Этот
генератор получил название мазер (термин построен по образцу слова "ла-
"лазер" с тем отличием, что первая буква названия происходит от "Microwave").
Длина волны излучения составляла Л = 1,24 см (частота v = 24840 МГц).
В 1954 г. независимо мазер построили Дж. Гордон, X. Цейгер и Ч. Таунс.
В 1960 г. Т. Мейман создал лазер, работавший на рубине.
В 1964 г. Ч. Таунсу, А. М. Прохорову и Н. Г. Басову была присуждена Но™
белевская премия по физике (за фундаментальные исследования в области
квантовой электроники).
Лазер (или оптический квантовый генератор, ОКГ) — это устройство,
генерирующее когерентное электромагнитное излучение оптического диа-
диапазона за счет вынужденного испускания или вынужденного рассеяния
света активной средой.
Основной характерной чертой лазеров, существенно отличающей их
от обычных источников света, является высокая монохроматичность и на-
направленность, пространственная и временная когерентность их излучения,
что приводит к возможности концентрировать весьма большую энергию в
крайне малом спектральном интервале, весьма узком телесном угле и на
чрезвычайно коротких отрезках времени.
Именно способность лазеров предельно концентрировать энергию све-
светового излучения в пространстве, во времени и в спектральном интервале
оправдывает интерес к квантовой электронике.
Эту главу мы посвящаем памяти одного из создателей квантовой элек-
электроники, лауреата Нобелевской премии, академика Александра Михайло-
Михайловича Прохорова A916- 2002).
13.2. Когерентность индуцированного изучении
В главе двенадцатой применительно к двухуровневой квантовой си™
схеме сравнительно подробно рассказано о вероятностях индуцированных
переходов снизу вверх и сверху вниз, соответственно характеризуемых ко™
эффициентами Эйнштейна В\2 и В^ъ Введена была также вероятность
спонтанного радиационного распада верхнего уровня, характеризуемая ко-
коэффициентом Эйнштейна А21.
Для описания термодинамического равновесия в системе частиц, обла™
дающих дискретными уровнями энергии, и поля их излучения Эйнштейн
ввел в рассмотрение индуцированные полем переходы из верхнего состо-
состояния в нижнее и из нижнего в верхнее. Соответствующие величины и со-
соотношения между ними даются формулами A2.3) —A2.7). Из этих формул,
13.2. Когерентность индуцированного изучения 257
в частности, видно, что там, где запрещены индуцированные переходы,
не может быть спонтанного излучения, и наоборот, где нет спонтанных
переходов, не может быть индуцированного излучения. При этом вероят-
вероятность последнего определяется величиной матричного элемента оператора
дипольного момента перехода, т. е. характером и параметрами внутренней
структуры квантовой частицы (см. A2.49)).
В соотношение A2.6) между вероятностями спонтанного и индуциро-
индуцированного излучений входит величина и2/тг2с3, равная объемной плотности
числа осцилляторов поля (типов волн, типов колебаний, колебательных
мод) в единичном спектральном интервале для свободного пространства.
В силу этого вероятность спонтанного излучения в свободном пространстве
пропорциональна ш3, и поэтому его роль мала на радиочастотах и велика в
оптике.
Суммарная вероятность излучательного перехода для одной частицы
равна
w = \-^-Пш + рш] В21. A3.1)
L7T2C3 J
Для квантовой электроники, однако, определяющим является тот факт,
что вероятность индуцированного излучения пропорциональна плотности
энергии индуцирующего поля. При достаточно большой плотности этого
поля, как видно из A3.1), происходит главным образом индуцированное
излучение. Это излучение когерентно в силу свойств процесса индуци-
индуцированного его испускания. Спонтанные же переходы, в конечном счете,
приводят к уширению спектра излучения тем меньшему, чем выше роль
вынужденных переходов.
Здесь уместно обсудить вопрос о когерентности индуцированного излу-
излучения. Критерием когерентности тех или иных колебаний является наличие
постоянного фазового соотношения между ними. В квантовой области в си-
силу соотношения неопределенностей "энергия - время"
AEAt^h A3.2)
или, что ближе к сути дела, в силу эквивалентного ему соотношения неопре-
неопределенностей "число квантов - фаза волны"
АпАср~1 A3.3)
фаза электромагнитной волны (р точно определена только в том случае,
когда число квантов п неопределенно. Поэтому бессмысленно говорить
о фазе одного кванта. Однако если для двух волн известны не значения
индивидуальных фаз, а их разность, то соотношение неопределенностей
разрешает определение полного числа квантов, оставляя неопределенным,
к какой именно из волн какие кванты относятся. Поэтому при сложении в
одну волну когерентных электромагнитных излучений, соответствующих
нескольким квантам, мы говорим о сложении тождественных, неразличи-
неразличимых квантов.
258 Гл. 13. Квантовая электроника
Кванты, соответствующие излучениям с одинаковыми частотами, на™
правлениями распространения, фазами и поляризациями, нельзя отличить
друг от друга. Они являются бозонами и подчиняются статистике Бозе-
Эйнштейна, их число, приходящееся на один осциллятор поля (один тип
колебаний, одну моду), может быть неограниченным. Состояние всего поля
излучения определяется числом фотонов в моде. Именно это при большом
числе неразличимых квантов позволяет переходить к классическому рас™
смотрению электромагнитного излучения, для которого характерен прин-
принцип суперпозиции колебаний, в том числе и когерентных. В силу характер-
характерных свойств бозонов с ростом числа актов индуцированного испускания
в единицу времени интенсивность индуцирующей, т. е. исходной, волны
нарастает, а фаза, частота и т. д. сохраняются.
В отличие от спонтанного излучения, эффекта чисто квантового, инду-
индуцированное излучение имеет классические аналоги. Поэтому важное место
в квантовой электронике занимает полуклассическое рассмотрение, приме™
пение которого, как это уже отмечалось в главе двенадцатой, в целом для
нее характерно. При этом легко прослеживается сохранение когерентности
испускаемых квантов излучения. Классическое поле вынуждает появление
осциллирующего дипольного момента, вычисляемого по правилам кванто™
вой механики и когерентного вынуждающей силе. В свою очередь, осцил-
осциллирующий дипольный момент создает когерентное ему осциллирующее
поле излучения.
Эта когерентность приводит ко всем тем многообразным свойствам ла-
лазеров, которые столь разительно отличают их от обычных источников света.
13.3. Линейное усиление
Равновесная квантовая система поглощает энергию внешнего излуче-
излучения. Рассмотрим ситуацию, когда равны вероятности индуцированных пе-
переходов сверху вниз (с излучением энергии) и снизу вверх (с поглощением
энергии) в расчете на одну частицу. В этих условиях в системе многих
частиц общее число переходов с нижних уровней на верхние превосходит
число обратных переходов, потому что внизу частиц больше, чем вверху.
Это и приводит к поглощению резонансного излучения, индуцирующего
соответствующие переходы. Коэффициент поглощения не зависит от ин™
тенсивности поглощаемого излучения (поглощение линейно) до тех пор,
пока релаксационные процессы быстро по сравнению со скоростью засе-
заселения верхнего уровня резонансным полем возвращают частицы вниз. По-
Постоянное наличие практически неизменного избытка частиц на нижнем
уровне обеспечивает постоянство коэффициента поглощения резонансного
излучения, обеспечивает линейность поглощения. Поглощение резонанс-
резонансного излучения рассмотрено в главе двенадцатой.
Усиление возникает в условиях, когда число актов испускания излуче™
ния при индуцированных переходах превышает число актов поглощения.
Для этого необходимо, чтобы населенность верхнего уровня превышала
13.3. Линейное усиление 259
населенность нижнего:
п2 > ni. A3.4)
При этом (см. A2.19)) коэффициент поглощения, как и следовало ожи-
дать, есть величина отрицательная. Усиление означает отрицательное пог-
поглощение.
Таким образом, увеличение плотности энергии поля внешнего излуче-
излучения, т. е. его усиление, происходит в квантовой системе тогда, когда рав-
новесное распределение населенностей в ней так нарушено, что верхние
состояния населены сильнее, чем нижние.
Системы квантовых частиц, у которых хотя бы для двух уровней энер-
энергии более высоко расположенный (т. е. соответствующий большей энергии)
уровень населен сильнее нижнего уровня, называются системами с инвер-
инверсией населенностей. В них распределение населенностей инвертировано по
отношению к равновесному, предписываемому, например, больцмановской
статистикой. Иногда такую инвертированную систему называют системой
с отрицательной температурой. Введение этого термина является формаль-
формальным следствием применения распределения Больцмана
A3.5)
pf
щ V кТ
к неравновесным системам с инверсией населенностей. Действительно, из
A3.5) видно, что при Е2 > Е\ условие п2 > п\ следует автоматически,
если только считать, что Т < 0.
Лишенный непосредственного физического смысла термин "отрица-
тельная абсолютная температура" хорош только своей эмоциональной окра-
окрашенностью, подчеркивающей термодинамическую неравновесность систем
с инверсией населенностей и необходимость затраты энергии на создание
и поддержание этого неравновесного состояния.
Усиление малого сигнала линейно до тех пор, пока усиленное излучение
не вызывает заметных отклонений распределения числа частиц по уровням
энергии от состояния исходной инверсии. Тогда коэффициент усиления, по-
подобно коэффициенту линейного поглощения, не зависит от интенсивности
входного сигнала.
Обозначим символом Z величину абсолютной инверсии в отсутствие
внешнего сигнала:
Z = п2-П1>0. A3.6)
Тогда выражение A2.19) для коэффициента поглощения двухуровневой си-
системы с учетом определения сечения поглощения A2.22) переписывается
в виде
а = Za A3.7)
и имеет смысл линейного, т. е. соответствующего малым сигналам, коэффи-
коэффициента усиления в центре инвертированной линии резонансного поглоще-
поглощения. Для целей данной главы мы переобозначили а -> -а по сравнению с
260 Гл. 13. Квантовая электроника
определением A2.19), так что теперь величина а имеет смысл коэффициент
та усиления. Величина а измеряется в обратных сантиметрах (в см™1), в за™
висимости от конкретной ситуации принимая значения от 10~2 до 10° см~г.
В силу экспоненциального характера усиления слабого сигнала в режиме
бегущей волны величину а в литературе довольно часто называют также
показателем или инкрементом усиления.
Частотную (спектральную) зависимость усиления малого сигнала опре™
деляет форм-фактор инвертированной линии поглощения G(u):
а(и) = a0G(u). A3.8)
Очевидно, что в режиме бегущей волны по мере экспоненциального уси™
ления спектральная ширина полосы пропускания такого усилителя плавно
сужается. Действительно, поскольку вероятность вынужденного излучения
пропорциональна плотности уже имеющегося излучения, то наиболее ак-
активно растет интенсивность тех компонент спектра, интенсивность которых
выше, т. е. отвечающих частотам вблизи максимума функции G(u).
13.4. Эффект насыщении
Рассмотрим изменение населенностей в системе двух уровней энер-
энергии, происходящее под действием резонансного электромагнитного поля,
релаксационных и спонтанных радиационных переходов. Выпишем так
называемые скоростные (кинетические) уравнения для населенностей рас-
рассматриваемых двух уровней п\ тщ.
Прежде всего, запишем закон сохранения числа частиц:
п = п\ + n2 = const. A3.9)
Далее, изменение плотности числа частиц на верхнем уровне п2 дается
уравнением
dri2 I @) , 1 \ , @) (инд) , (инд) /1О 1АХ
= ~ ^21 + — П2 + Щ2П1 - ^21 П2 + W\2 П\. A3.10)
dt \ то/
В правой части здесь первый член соответствует уходу частиц со второго
уровня за счет спонтанного распада (с вероятностью в единице времени
1/то) и безызлучательной релаксации (с вероятностью w2\ ). Второй член
отвечает заселению верхнего уровня за счет безызлучательного увода ча-
/ @)
стиц с нижнего уровня (с вероятностью w\2 ; в оптическом диапазоне, где
Е2 — Е\ >> кТ9 всегда w2i ^> wl2 ). Третий и четвертый члены обусловлены
индуцированными переходами 1 <-> 2.
Подставляя в A3.10) п\ = п ~~ щ, вспоминая, что В\2 = В21> и запи-
записывая tt;^™ в виде A2.14), получаем
dn2 (l , 4Ei2 \ , ( @) . 2^12 \ /Ю11Ч
-Г" = - - + —^—Р П2 + Ч2 + —^Р П^ A3.11)
dt A / \ 1
13.4. Эффект насыщения 261
где для эффективной скорости релаксации рассматриваемой двухуровневой
системы введено обозначение
1 = ±+W<$+WW>. A3.12)
т то
В отсутствие внешнего поля, как это видно из A3.11), система релакси-
рует со временем т.
Для упрощения записи будем считать, что в интересующем нас он-
тическом диапазоне верхний уровень Е^ настолько высок, что никакие
безызлучательные процессы не могут сколько-нибудь заметно заселять этот
уровень. Другими словами, мы положим wl2 — 0- Это предположение ни™
сколько не изменяет суть приводимых далее результатов, а лишь упрощает
их запись.
В стационарных условиях dn^/ dt = 0 и мы легко получаем из A3.11)
П2= (^г/псАШ0I
A + 4В/АI
где I = ср — плотность потока энергии или интенсивность резонансного
излучения. В отсутствие излучения, т. е. при 1 = 0, окажется П2 = 0 и п\ =
= п, так что ri2 — п\ = —п. При высокой интенсивности, т. е. при I —> оо,
населенности верхнего и нижнего уровней выравниваются: П2 = п\ = п/2,
^2 — Щ = 0. Происходит полное насыщение перехода 1 ^ 2 резонансным
излучением.
Запись A3.13) позволяет ввести удобную характеристику:
Is = ^^, A3.14)
4В12т
имеющую смысл интенсивности насыщения. Формулы A2.6), A2.7)
и A2.22) позволяют связать интенсивность насыщения Is с сечением резо-
резонансного поглощения:
Is = —, A3.15)
что приводит к наглядному, физически ясному толкованию смысла этой
величины.
Действительно (см. A3.6) и далее), параметр Z = n<i — п\, опреде™
ляющий величину резонансного усиления или поглощения, с помощью
соотношений A3.13)-A3.15) может быть представлен в виде
Z = Zo , A3.16)
l + I/Is
где Z® означает соответствующую разность населенностей в отсутствие
внешнего поля, т. е. при I = 0. В принятом выше предположении w[2 — 0
величина Zq = —п.
262 Гл. 13. Квантовая электроника
Как следует из A3.16), первоначальная разность населенностей падает с
увеличением интенсивности облучения. Характерный масштаб изменения
задается величиной Is. Когда интенсивность облучения достигает значения
I = IS9 первоначальная разность населенностей падает вдвое. При I «С Is
эффектом насыщения можно пренебречь.
Величина Is допускает наглядное физическое истолкование: в условиях
непрерывного облучения произведение сечение поглощения а на интенсив™
ность излучения I, измеренную в единицах Ьы, т. е. величина а 1/Нш, дает
значение средней скорости актов индуцированного поглощения. Когда эта
скорость, увеличиваясь с ростом интенсивности, достигает скорости релак-
релаксационного распада населенности верхнего уровня 1/т (т. е. при I ~ Is),
насыщение становится заметным.
Здесь необходимо подчеркнуть, что изложенное выше справедливо для
однородно уширенных линий, насыщающихся как целое при увеличении
интенсивности облучения. Неоднородное уширение требует отдельного
анализа.
Эффект насыщения играет важную роль в квантовой электронике. На™
сыщение уменьшает эффективный коэффициент поглощения неинвертиро-
ванных резонансных поглощающих систем, приводя их, таким образом, в
просветленное состояние, что часто бывает очень полезным. Насыщение
снижает коэффициент усиления инвертированных систем, что часто бы™
вает очень нежелательным. Насыщение является той нелинейностью, кото™
рая принципиально ограничивает интенсивность излучения лазерных те™
нераторов. Наконец, в системах со многими уровнями энергии насыщение
одного из резонансных переходов может вызвать инверсию населенностей
другого перехода.
Насыщение населенностей уровней энергии резонансного перехода но™
сит фундаментальный характер. В течение многовековой истории оптики
закон Бугера-Ламберта-Бера считался непреложной аксиомой. Мысль о
возможном уменьшении поглощения при увеличении интенсивности об-
облучения впервые высказал и обосновал СИ. Вавилов еще в 20™х годах
ХХ-га века, задолго до появления лазеров. Нелинейный характер процее-
са поглощения света большой интенсивности позволил Вавилову ввести
термин "нелинейная оптика". Будучи ныне весьма широко распростра-
распространенным, этот термин приобрел еще более богатый смысл после возник™
новения лазеров, обусловивших бурное развитие оптики высокой интен-
интенсивности.
До сих пор мы рассматривали непрерывный режим. Здесь важно уточ-
уточнить терминологию. Непрерывный режим — это режим работы, стабильно
продолжающийся в течение времени, заметно большего времени релак™
сации. Все остальное — это импульсный режим. Длительности импуль-
импульсов могут сильно различаться. Будем называть сверхкороткими те им™
пульсы, длительность которых ти столь мала, что за время их действия
всеми релаксационными процессами можно полностью пренебречь, тш<^т.
При таком временном режиме сохраняется когерентность волновых функ™
ций двухуровневой квантовой системы, взаимодействующей с сильным
13.5. Усиление с насыщением 263
резонансным электромагнитным полем. В результате наблюдаются осцил-
осцилляции Раби, описанные в главе двенадцатой, и может быть осуществлен
целый ряд других интересных эффектов, на которых мы здесь останавли-
останавливаться не будем.
Короткий импульс — это импульс, длительность которого есть вели™
чина порядка или несколько меньше времени релаксации, ти ^ т. В этой
ситуации следует ожидать эффекта насыщения по плотности энергии об™
лучения
F= \l(t)dt. A3.17)
Интеграл A3.17) дает удельную дозу энергии облучения, полученной си™
стемой за время действия импульса ти. Величина F измеряется в Джоулях
на квадратный сантиметр, чем и отличается от плотности потока энергии
(т. е. интенсивности I) облучения, измеряемой в Ваттах на квадратный
сантиметр.
При увеличении энергии импульса наступает эффект насыщения в том
смысле, что с ростом F дальнейшего роста щ не происходит просто потому,
что все атомы переброшены с уровня 1 на уровень 2, уровень 1 исчерпан,
а обратная релаксация за время действия импульса ти практически не про™
исходит.
Введя в качестве параметра насыщения величину
Fs = Isr = Пи/2а, A3.18)
имеющую очевидный смысл плотности энергии насыщения, и решив при
нулевом начальном условии П2 = 0 линейное дифференциальное уравне™
ние первого порядка A3.11)
dn,2 1 / 1 I
dt т \ Is) 2rls
получим, что к концу действия сильного сигнала, т. е. при условии I ~^> Is,
для п2 справедлива простая формула:
n2(F) = in [I - exp (-F/Fs)]. A3.19)
Отсюда следует, что инверсия
Z = Zo exp (-F/F3) A3.20)
полностью насыщается (т. е. Z ^ 0) при
F>FS. A3.21)
264 Гл. 13. Квантовая электроника
13.5. Усиление с насыщением
В квантовой электронике с целью получения предельно больших значе-
значений мощности или энергии лазерного излучения используются квантовые
усилители. Это позволяет отделить генерацию излучения высокого каче-
качества при необходимой манипуляции им от его усиления.
При определении выходной мощности лазеров-усилителей следует при-
принять во внимание эффект насыщения. Выше была получена формула A3.16),
показывающая, как изменяется первоначальная инверсия с ростом интен-
интенсивности сигнала. С учетом этой зависимости уравнение переноса излу-
чения вдоль оси z в среде с коэффициентом нерезонансных потерь E и
линейным коэффициентом усиления ао записывается как
^ = /31+ ао1 A3.22)
/3+
dz 1 + I/Ia
Это уравнение можно решить явно. Получающееся при этом трансцен-
трансцендентное уравнение дает в принципе возможность найти выходную интен-
интенсивность I(L) в зависимости от входной /вх при различных значениях
параметров ао, /3, / и заданной длине усилителя L. Однако это решение
в общем виде плохо обозреваемо. Вместе с тем, нетрудно провести каче-
качественное исследование поведения решения.
Прежде всего, отметим, что при условии ао/[3 < 1 интенсивность излу-
излучения монотонно убывает до нуля с ростом длины резонатора L, поскольку
согласно A3.22) производная dl /dz < 0. Следовательно, при малом коэф-
коэффициенте усиления (или больших потерях) сигнал в усилителе затухает.
В обратном случае ао/C > 1 интенсивность сигнала на выходе из доста-
достаточно длинного усилителя достигает значения
()\z^oo m (
которое может быть найдено из A3.22), если положить dl/dz = 0. Соответ-
Соответственно, если /вх < /т, то сигнал усиливается. Наоборот, если /вх > /т,
то он ослабляется. Обычно представляет интерес случай ао//3 > 1, что мы
и будем далее предполагать. Тогда 1т = (ао/C)IS.
Рассмотрим теперь частные случаи.
При малом уровне сигнала, I <C IS9 естественным образом наблюдает-
наблюдается экспоненциальный рост выходной интенсивности с длиной усилителя:
= IBXexp [(а0 - /?)?]. A3.23)
В отсутствие потерь энергии (C = 0), но при сильном насыщении (I ^> Is)
экспоненциальный рост сменяется линейным:
A3.24)
13.6. Генерация 265
Это означает; что в отсутствие потерь мощный насыщающий сигнал сни-
снимает накопленную каждым элементарным участком усилителя энергию и
добавляет ее в общий поток.
При наличии потерь ситуация существенно меняется. В случае малых,
но конечных значений отношения (З/olq <С 1 и при I >» Is
I(L) = ^/,[1 -exp (-/??)] +/вхехр(-/3?). A3.25)
При больших длинах ([3L ^> 1) входной сигнал затухает, а выходной дости-
достигает максимального значения
/max = —Is- A3-26)
Отсюда следует тот важный вывод, что в лазере-усилителе бегущей
волны интенсивность выходного излучения определяется в конечном сче-
счете интенсивностью насыщения, коэффициентом линейного усиления и ко-
коэффициентом потерь. Максимальное значение интенсивности излучения,
распространяющегося по усилителю, устанавливается тогда, когда все, что
может излучить единичный отрезок длины активного вещества в режиме
полного насыщения, поглощается за счет нерезонансных потерь на том же
отрезке. Баланс изученной и поглощенной энергии приводит к прекраще-
прекращению роста интенсивности излучения по мере его дальнейшего распростра-
распространения вдоль усилителя.
На это важное обстоятельство еще в начале 60-х годов обратил внимание
А. М. Прохоров. Рассматривая ситуацию сильного насыщения, I/Is ^> 1, он
заменил уравнение переноса излучения A3.22) упрощенным уравнением
— = -/31 + ао18. A327)
dz
Если интенсивность достигает предельного значения, то dl/ dz = 0.
Тогда сразу получаем тот же результат A3.26).
Выше шла речь об усилении непрерывных сигналов. Изучение же про-
прохождения импульсных сигналов через насыщающиеся усиливающие (или
поглощающие) резонансные среды, составляя часть предмета нелинейной
оптики, лежит вне рамок нашего изложения. Отметим лишь, что для им-
импульсов излучения, коротких в отмеченном несколько ранее смысле, в усло-
условиях сильного насыщения справедлива формула
Fmax = ^Fs, A3.28)
подобная A3.26). Здесь Fs — плотность энергии насыщения A3.18).
266 Гл. 13. Квантовая электроника
13.6. Генерация
Итак, в квантовой электронике индуцированное испускание излучения
в тех случаях, когда создана и какое-то время поддерживается инверсия на™
селенностей, используется для когерентного усиления электромагнитных
колебаний лазерами-усилителями. Однако когерентные электромагнитные
колебания оптического диапазона создаются лазерами-генераторами. Пред-
Предназначение же усилителя состоит в том, чтобы увеличивать напряженность
поля электромагнитной волны, поступающей на его вход. Это увеличение
должно сопровождаться сохранением фазовых, частотных и вообще про™
странственных и временных характеристик исходного излучения.
Лазеры-генераторы должны быть источниками излучения, зарождаю-
зарождающегося непосредственно в генераторе и выходящего из него во внешнее про™
странство. Для лазерной генерации, как и для генерации вообще, необходи-
необходима положительная обратная связь. Иными словами, эффективные лазерные
генераторы являются автоколебательными системами, в которых генера-
ция электромагнитных колебаний осуществляется в процессе когерентного
усиления колебаний при соответствующей обратной связи. В согласии с
теорией автоколебательных систем лазерные генераторы этого типа, т. е.
с обратной связью, должны давать монохроматическое излучение.
Здесь следует оговориться. Отнюдь не всегда в оптике удается организо-
организовать требуемую обратную связь. Существуют поэтому лазеры-генераторы,
излучающие собственные шумы, в основном усиленное спонтанное излу-
излучение. Но это отдельная тема.
Вернемся к автоколебательным лазерам. Пусть мы умеем достигать ин-
инверсии населенностей, т. е. пусть мы умеем получать усиливающую среду
или, иными словами, среду с отрицательным поглощением. Коль скоро от-
отрицательное поглощение получено, ясно, что соответствующая обратная
связь приведет к генерации. Эта обратная связь обеспечивается помещени-
помещением среды с отрицательным поглощением в резонатор.
Квантовая электроника, по крайней мере по своему происхождению,
есть часть электроники. Необходимым элементом автоколебательных уст-
устройств электроники является частотно селективная цепь — резонансный
контур того или иного вида. В классической электронике длинноволно-
длинноволнового радиодиапазона используются квазистационарные цепи переменного
тока, т. е. цепи с сосредоточенными параметрами. Следовательно, разме-
размеры соответствующих резонансных контуров много меньше длины волны
излучения. При переходе к СВЧ в силу резкого укорочения длины волны
цепи становятся существенно нестационарными, волновыми, волноводны-
ми. Резонаторы, выполненные из отрезков таких цепей, характеризуются
размерами, сравнимыми с длиной волны. Ясно, что для оптических волн
этот путь неприемлем. Необходим переход к резонаторам с размерами, мно-
много большими длины волны.
Решающий шаг был сделан A.M. Прохоровым, который в 1958 году
предложил для использования в квантовой электронике так называемый от-
открытый резонатор, состоящий из двух зеркал, обращенных навстречу друг
13.7. Условия самовозбуждения 267
другу и расположенных на расстоянии L ^> А друг от друга. По существу
в своей простейшей конфигурации открытый резонатор есть интерферо-
интерферометр Фабри-Перо. Когда в его межзеркальное пространство помещается
усиливающий элемент, возможно возникновение генерации.
Действительно, рассмотрим проходной оптический усилитель с резо-
резонатором (рис. 13.1), представляющий собой интерферометр Фабри-Перо,
X
^ Выходное
Активная излучение
среда
Рис. 13.1. Схема резонатора. 3i—глухое зеркало, 3i—полупрозрачное зеркало,
стрелки — траектории лучей, L — оптическая длина резонатора
заполненный усиливающим веществом. Входной сигнал падает на левое
зеркало интерферометра. Усиленный сигнал выходит через правое частично
прозрачное зеркало. Произведя сложение амплитуд, вышедших из интерфе™
рометра после многократных (в пределе — бесконечнократных) отражений,
нетрудно получить коэффициент передачи этой системы по мощности для
монохроматического излучения на длине волны А:
G = У-Ф* . A3.29)
1 - 2RK cos DttL/A) + R2K2
Здесь К — коэффициент усиления среды между зеркалами резонатора в
режиме бегущей волны за один проход, К = exp (aL), R — коэффициент
отражения (по мощности) каждого из зеркал интерферометра. В резонансе,
т. е. при условии cos D?rL/A) = 1, получаем
G= ^д)к, A330)
A - RKJ
Подчеркнем, что суммирование интерферирующих лучей, многократно
испытавших отражение на границах резонатора и многократно прошедших
усиливающую среду, возможно только при условии RK < 1. При К —> R~г
коэффициент усиления G обращается в бесконечность. Это означает, что
возникает генерация.
268 Гл. 13. Квантовая электроника
13.7. Условии самовозбуждения
Очевидно, что условие
1, или a = aKp = -ln(^j A3.31а)
L \ R/
есть энергетическое условие, определяющее порог самовозбуждения. Его
смысл предельно прост: потери энергии за один проход должны быть ском™
пенсированы усилением за этот же проход.
Заметим, что условие самовозбуждения нетрудно получить, непосред-
непосредственно рассматривая закон изменения интенсивности излучения по мере
его прохождения по резонатору. В самом деле, пусть R\ и R2 — коэф-
коэффициенты отражения зеркал 3i и 32 (см. рис. 13.1), a L — оптическая
длина резонатора. Рассмотрим волну, траектория которой начинается на
зеркале З2 и направлена вглубь активной среды. Примем, что в начальный
момент интенсивность излучения равна /о. Пройдя резонатор, волна увели™
чит интенсивность до значения I®eaL (a — коэффициент усиления). После
отражения от зеркала 3i интенсивность волны составит RiIoeaL. Пройдя
второй раз через резонатор и отразившись от зеркала Зг, волна будет иметь
интенсивность I\ = RiR2loe2aL. Таким образом, за один цикл интенсив™
ность изменится вп = Ii/Io = RiR2loe2aL раз. Усиление возможно, если
п > 1, т. е. если коэффициент усиления превышает критическое значение:
а > ас = — In (—^) . A3.31 б)
2L \RiR2j
При R\ = Д2 это условие, очевидно, совпадает с A3.31 а)
13.8. Обратная связь
Помещение среды с отрицательным поглощением в объемный резона-
резонатор обеспечивает осуществление необходимой обратной связи. Если ре™
зонатор настроен в резонанс с частотой излучения квантовых частиц, то
энергия, излучаемая при всегда имеющих место спонтанных переходах,
накапливается в резонаторе в одной (или в нескольких) из его резонансных
мод. Эта накопленная энергия воздействует на еще не излучившие частицы,
стимулируя акты индуцированного испускания излучения, которое в свою
очередь вызывает испускание излучения, себе подобного. Так возникает
положительная обратная связь. Если мощность индуцированного излуче-
излучения, неуклонно нарастающая в процессе этой обратной связи, превышает
мощность разного рода тепловых потерь и потерь на излучение во внешнее
пространство, т. е. если выполнены условия самовозбуждения, то в резона-
резонаторе возникают незатухающие колебания. Благодаря свойствам индуциро-
индуцированного излучения возникающие в активной среде резонатора колебания в
высшей степени монохроматичны и однонаправлены. Все квантовые части-
частицы рабочего тела полученного таким образом лазера работают синхронно.
13.8. Обратная связь
269
Их заставляет синхронно работать положительная обратная связь, осу-
осуществляемая накопленным в резонаторе излучением в процессе иниции-
инициирования актов испускания излучения.
Иными словами, все сказанное можно сформулировать так, что име-
имеет место самовоздействие излучения. Явления самовоздействия во многих
разделах физики интерпретируют как установление обратной связи. В об™
тем случае под обратной связью (ОС) имеют в виду воздействие результа-
результатов какого-либо процесса на характер его протекания (рис. 13.2). Впервые
Цепь обратной связи
Вход
=>
Выход
=>
Рис. 13.2. Схема обратной связи. В отсутствие обратной связи система (заштрихо-
(заштрихованный блок) "перерабатывает" входной сигнал в выходной. При "включении" цепи
обратной связи на вход подается также сигнал с выхода
термин "обратная связь" появился в радиотехнике, где им обозначалось
электрическое воздействие тока в анодной цепи лампового усилителя на
цепь сетки. Впоследствии этот термин стал применяться во многих разделах
науки — химии, биологии, социологии и т. д.
Различают два типа ОС: положительную и отрицательную. Положи-
Положительная ОС приводит к увеличению отклонения (в любую сторону) вы™
ходного сигнала от того, который возникал бы в системе без цепи ОС
(флуктуации нарастают). Отрицательная же ОС приводит к уменьшению
отклонения выходного сигнала (флуктуации затухают). Таким образом, по-
положительная ОС выполняет функцию раскачки системы, а отрицательная
ОС — стабилизатора. Конкретные механизмы реализации ОС могут быть
самыми различными в зависимости от типа и устройства системы.
В нашем случае при вынужденной генерации излучения реализуется
положительная обратная связь, тогда как при поглощении — отрицатель™
ная обратная связь. Первая из них доминирует, если выполняется условие
инверсии населенности уровней щ > щ. Поэтому происходит усиление
излучения. В обратном случае, когда более существенную роль играет по-
поглощение, доминирует отрицательная обратная связь и излучение затухает.
Можно придумать много различных схем сочетания системы зеркал с
активным рабочим веществом и для каждой из них получить условия са-
самовозбуждения. Общим для всех из них является требование того, чтобы
усиление за один эффективный проход излучения через всю систему пре™
вышало все потери энергии в резонаторе за тот же проход.
Условие RK = 1 (или эквивалентные ему) дает баланс амплитуд. Од-
Однако для возникновения автоколебательного режима необходим также и
270 Гл. 13. Квантовая электроника
баланс фаз. Резонансное условие cos DttL/A) = 1 выполняется для излуче™
ния той частоты, для которой все фазовые набеги взаимно компенсируются
и на длине резонатора укладывается целое число полуволн. Это условие
частотно зависимо и, следовательно, может быть использовано для опреде-
определения частоты генерации.
13.9. Частота генерации
Фазовый набег в лазерном резонаторе состоит из трех составляющих.
Одна из них, непосредственно связанная с линейными размерами резона-
резонатора и конечностью скорости света, тривиальна и нам сейчас неинтересна.
Нетривиальны частотно зависимые фазовые набеги, обусловленные дис-
дисперсионными свойствами спектральной линии усиления (поглощения) ра-
рабочего вещества и резонансной кривой пропускания собственно резонатора
лазера.
В сущности речь идет о взаимной компенсации фазовых набегов, могу™
щих возникнуть в двух основных элементах лазера—его рабочем веществе
и его резонаторе.
В рамках одной колебательной моды фазовая характеристика любо-
любого резонатора полностью эквивалентна таковой для одиночного колеба-
колебательного LCR-Kowrypa. Фазовая характеристика одиночного колебатель-
колебательного контура хорошо известна, и легко показать, что при малых отстройках
от резонансной частоты дополнительный сдвиг фазы на резонаторе сос-
составляет ОГ / А /1-> ->\
9?р = 2дшр/Ашр, A3.32)
где 5ир = ир —и — отстройка частоты излучения и от центральной частоты
настройки резонатора о;р, Ашр — ширина полосы пропускания пассивного
резонатора (в одной моде).
Практически аналогично записывается фазовый набег в веществе, воз™
никающий также при отстройке частоты излучения от центра инвертиро-
инвертированной линии поглощения. Это не удивительно, поскольку двухуровневая
квантовая система с конечным временем жизни верхнего уровня в спек-
спектральном отношении полностью подобна классическому гармоническому
осциллятору с вязким трением. При инверсии линии поглощения ее ши-
ширина уменьшается. В режиме бегущей волны это уменьшение невелико.
При коэффициенте усиления по мощности G ширина линии усиления есть
Aujji/lnG, где Аил — ширина линии поглощения. Тогда для малых от-
отстроек Ашл = шл — ш частоты излучения от центральной частоты линии
резонансного перехода шл оказывается, что фазовый набег в веществе мо-
может быть представлен в виде
^ A3.33)
Тогда, приравнивая друг другу эти фазовые сдвиги, мы получаем уело™
вис баланса фаз, задающее частоту генерации лазера.
13.10. Добротность резонатора 271
В результате для частоты генерации, не сильно отличающейся от близ-
близких друг другу центральных частот линии и резонатора, имеем
Ашл/ЫК + Aljp
где К — коэффициент усиления по амплитуде, In К = In
Частота генерации одномодового лазера отличается как от частоты резо-
резонатора, так и от частоты линии, если резонатор настроен не точно на линию
(шр ^ шл). Только в пределе очень узкой линии или очень высокого усиле-
ния, Ашл/ In К —> 0, частота генерации стремится к частоте линии. В про™
тивоположном частном случае очень широкой линии, Ашл ^> Аир In К,
частота генерации определяется частотой настройки резонатора. Эти со-
ображения имеют прямое отношение к проблеме квантовых стандартов
частоты на основе квантовых молекулярных генераторов СВЧ (т. е. на ос-
основе мазеров-генераторов), с одной стороны, и к лазерам с перестраиваемой
частотой излучения — с другой.
Формула A3.34) была получена А. М. Прохоровым в 1954 году приме-
применительно к аммиачному мазеру и в несколько иной записи, однако ее общее
значение было подчеркнуто еще в те времена. С точки зрения физики ла-
лазеров важно, что в случае широкой линии частота генерации определяется
настройкой резонатора.
13.10. Добротность резонатора
В ряде приложений полезно знать добротность резонатора Q, определя-
определяемую для колебательной системы соотношением Q = ujte, где ш — частота
колебаний системы, те — время, за которое энергия убывает в е раз.
Для нахождения Q можно воспользоваться тем, что при малом затуха-
затухании имеет место приближенная формула Q = 2тг——, где Eq — энергия
АЕ
системы в начале какого-либо периода колебаний, АЕ — энергия, теряе-
теряемая за этот период. Рассмотрим резонатор, показанный на рис. 13.1. Для
волны в таком резонаторе период колебаний равен Т = А/с, т. е. равен
времени, за которое бегущая волна проходит расстояние, равное длине вол-
волны А (фаза волны в фиксированной точке меняется на 2тг). За один цикл
волна в резонаторе проходит путь 2L, испытав отражение от двух зер-
зеркал. При этом у нее остается энергия, равная EqR\R2j а теряется энергия
(АЕJь = EqA — R\ R2). Эта потеря осуществляется за время проход а вол-
волной пути 2L. Соответственно за период Т (т. е. на пути А) потеря составит
(АЕ)х = (АЕJь—, так что добротность резонатора оказывается равной
Q = 2тг-^ = - 4ж . A3.35)
(АЕ)х А 1 - Д1Я2
272 Гл. 13. Квантовая электроника
Например, если L = 1 м, Л = 0,5 мкм {у « 0, б • 1015 Гц), R\ = R2 =
= 0,95, то добротность такого резонатора составит Q = 2,6 • 108.
Добротность резонатора связана с шириной спектра излучения: Q =
= и/Аи. Для рассматриваемого резонатора
=2,3- 106 Гц. A336)
Q 2,6-108
Очевидно, что Ai/<O. Таким образом, спектр лазерного излучения является
в высокой степени монохроматическим.
Остановимся также кратко на оценке ширины линии излучения в резо™
наторе.
Как уже было сказано выше, резонатор по существу аналогичен ин-
интерферометру Фабри-Перо. Поэтому в нем излучение может иметь лишь
определенные длины волн, определяемые соотношением 2L = гаА, m =
= 1, 2, ... Эти значения длины волны отвечают центрам линий пропус™
кания резонатора. Этот же вывод непосредственно следует и из формулы
A3.29), в которой нужно принять G = Стах или cos DttL/A) = 1. Толь™
ко такие волны могут многократно циркулировать в резонаторе, и для них
возможно усиление.
Найдем расстояние между ближайшими длинами волн, которые могут
разрешаться с помощью резонатора. Пусть (наряду с излучением с длиной
волны А) усиливаться может также излучение с такой длиной волны А7, что
(га+1) А; = 2L. Тогда дисперсионная область интерферометра определится
условием (га + 1)А; = га А, или А — X' = ААР = А7/га « А/га (последнее
приближение справедливо, если порядок интерференции га ^> 1). Так как
га = 2L/A, то
ДЛР и ?. A3.37)
Если полная ширина линии излучения А А меньше, чем ААР, АА^С ААР,
то резонансные свойства резонатора слабо сказываются, все определяется
резонансными свойствами самой спектральной линии. В обратном случае
А А > А Ар резонатор существенно влияет на частоту излучения: в спек™
тре могут возникнуть несколько близких почти монохроматических линий.
Пусть, например, среда состоит из молекул с атомным весом А ~ 10 (т. е.
Me2 ^ 1010 эВ). Для оценок примем следующие значения параметров: тем™
пература среды 300 К (« 1/40 эВ), естественное время жизни возбужденно-
возбужденного уровня молекул тес ^ Ю~8 с, частота излучения v ^ 0,6 • 1015Гц (длина
волны А = с/и г^ 0, 5 мкм). Тогда естественная ширина линии Ас^ес ~
^ 108с^1 или Аиес ^ 0,17 • 108 Гц. Используя в качестве оценки скорости
движения молекул величину порядка тепловой скорости v
найдем, что доплеровская ширина линии составляет
9,5-Ю8 Гц. A3.38)
13.10. Добротность резонатора
273
Для резонатора длиной L = 1 м дисперсионная область составляет
Л2 1 /С\2 11 7
ДАР = _ = — (-) ^ 1,25 - 101 см = 1,25 • 10~7 мкм. A3.39)
2L 2L \и/
Связанный с этим разброс частот определяется из того условия, что vn =
= — = —п, п = 1, 2, ..., и равен
Хп 2L
2L
A3.40)
Таким образом, в данном примере полная ширина линии Аи = Аиес +
+ Аид ^ 109 Гц складывающаяся из естественной и доплеровской, больше
дисперсионной области (^ 108 Гц), и резонатор лазера выделяет узкие,
почти монохроматические линии.
Строго говоря, величина Аир определяет только расстояние между ли-
линиями (т. е. между центрами пропускаемых резонатором линий). Эффек™
тивная же ширина самой линии, определяемая по полуширине функции
пропускания G(X) (см. A3.29)), оказывается меньше: (Дг/р)эф = u/Q. Для
высокодобротного резонатора эта величина может оказаться существенно
меньше, чем Аир. В рассматриваемом примере разница составляет почти
два порядка (см. A3.36)).
Понять разницу между Аир и (Дг/р)Э(р позволяет рис. 13.3, на котором
показана зависимость G(X) для случая К = 1 (см. A3.29). Напомним,что
v = с/А, так что при Av <C v окажется Av = (с/А2) ДА или Av/v = ДА/А.
Соответственно форма резонансных пиков на кривых G(А) и G(y) прак™
тически одинакова. Видно, что благодаря форме кривой G(А) эффективная
ширина линии (ДАр)эф оказывается много меньше, чем расстояние между
соседними линиями ДАР. Следовательно, и (Дг/р)эф <С Аир.
G(X)
ААР
Рис. 13.3. Вид функции пропускания G(X) резонатора с высокой добротностью.
Видно, что эффективная ширина полосы много меньше расстояния между центрами
соседних полос
274 Гл. 13. Квантовая электроника
13.11. Методы создания инверсии населенностей
Итак, при регенерации квантового усилителя, происходящей при его
помещении в резонатор, возможно самовозбуждение усилителя. Порог са-
самовозбуждения определяется при этом из анализа линейного коэффициента
усиления регенерированного усилителя. Анализ фазовых соотношений при
самовозбуждении позволяет найти частоту генерации. Линейная теория на
большее не способна. Амплитуда генерации может быть найдена только в
рамках нелинейной теории.
Выходную мощность лазерных генераторов, как и в случае усилителей,
определяют эффект насыщения и наличие нерезонансных потерь энергии
излучения. Мы не будем рассматривать этот вопрос сколько-нибудь по-
подробно, чтобы не превращать предлагаемый текст в сокращенный конспект
лекций по квантовой электронике. Ограничимся лишь следующими про-
простыми соображениями.
Физически лазерная генерация обусловлена излучением среды с ин-
инверсией населенностей. Интенсивность генерации в конечном счете опре-
определяется плотностью инверсии населенностей, определяющей величину
запаса энергии в единичном объеме активной среды лазера. Оценим то,
что может дать активная среда, следующим образом. Пусть в стационар-
стационарных условиях скорость создания инверсии составляет А частиц в единич-
единичном объеме за единицу времени. Тогда максимально возможная мощность
излучения, отнесенная к единице объема активного вещества, составляет
Р = АНи. A3.41)
Это простое соотношение, тем более точное, чем выше мощность лазера,
приводит, например, в случае непрерывного СО2-лазера (Л = 10,6 мкм) к
такой оценке, что при массовом расходе возбужденного газа в т (кг/с)
максимальная мощность генерации составляет 250 т (кВт).
Как мы уже хорошо знаем, для возникновения эффекта усиления элек-
электромагнитной волны число атомов на верхнем энергетическом уровне долж-
должно быть больше, чем на нижнем. При создании лазеров основная проблема
состояла в создании инверсной населенности. В связи с этим кратко сфор™
мулируем основную идею методов создания инверсии.
Самой простой представляется двухуровневая схема, суть которой в
следующем. Частицы среды обладают двумя энергетическими состояния-
состояниями, между которыми происходят основные переходы. Инверсная населен-
населенность в этой схеме создается с помощью накачки — ввода энергии в среду.
Эту накачку можно осуществить с помощью мощного электромагнитного
излучения. (При слабом воздействии сохраняется состояние, близкое к рав-
равновесному, е обычным порядком заселения уровней Ni ^ exp(—Ei/kT),
т. е. без создания инверсии населенностей.) В результате действия мощного
импульса накачки происходят вынужденные переходы с одного уровня на
другой, так что вскоре (к моменту t = t\) населенность уровней оказыва-
оказывается противоположной исходной, равновесной населенности. Если накачка
будет продолжаться, то населенности уровней снова поменяются местами.
13.11. Методы создания инверсии населенностей
275
Этот эффект мы подробно обсуждали в предыдущей главе. Однако если на-
накачка будет достаточно длительной, то в результате действия релаксацион-
релаксационных процессов амплитуда колебаний будет уменьшаться до нуля (рис. 13.4),
AN,
Рис. 13.4. Колебания разности населенностей в системе двух уровней под действи-
действием мощной накачки: ANpaB — разность населенностей в состоянии термодина-
термодинамического равновесия; AiVHH — максимальная инверсия населенностей уровней,
достигаемая накачкой; кривая Р описывает релаксацию инверсной населенности
после прекращения действия накачки
и в системе установится состояние с близкими значениями населенностей
Таким образом, для получения максимального эффекта накачка должна
быть кратковременной и заканчиваться в момент t = i\, когда разность
населенностей AN = N2^Ni максимальна. Новый импульс накачки может
быть запущен только после окончания релаксационных процессов.
Из сказанного видно, что для эффективной работы генератора на двух-
двухуровневой схеме необходимо, чтобы импульс накачки имел большую спек™
тральную яркость в окрестности частоты генерации и был достаточно крат-
кратковременным (имел длительность, согласованную с периодом осцилляции
населенностей уровней). Сложность осуществления такой импульсной на-
накачки, а также нестабильность генерируемого излучения обусловили отказ
от практического применения двухуровневой схемы.
В настоящее время широко применяются трехуровневая и четырехуров-
четырехуровневая схемы.
Первый лазер, построенный Т. Мейманом, работал по трехуровневой
схеме (рис. 13.5). Суть этой схемы состоит в следующем. Под действием
внешнего источника происходит переброс атомов на верхний уровень C).
Затем за счет безызлучательного перехода происходит заселение рабочего
уровня B). В этой схеме инверсная населенность возникает между уровня-
уровнями I и 2, переходы между которыми создают лазерное излучение. Чтобы
эта схема эффективно работала, уровень 3 должен быть достаточно широ-
широким, чтобы обеспечить большую вероятность захвата на него. Уровень же 2
276
Гл. 13. Квантовая электроника
должен быть много уже. Это необходимо для того, чтобы до начала рабо-
рабочего перехода (генерации вынужденного излучения) возникла достаточная
разность заселенностей уровней AN = N2 — N\.
Заселение верхнего
рабочего уровня, т ~ 10 с
1
Рабочий переход
т~10~ с
Рис. 13.5. Трехуровневая схема работы лазера. Цифры по оси ординат — номера
уровней. Инверсная населенность реализуется между уровнями 1 и 2
Реалистичная схема уровней рубинового лазера показана на рис. 13.6.
Рабочим материалом является кристалл рубина, состоящий из корунда
(А12Оз) с добавкой 0,05 % Сг2Оз (ионы трехвалентного хрома Сг 3+ замеща-
замещают часть ионов алюминия А13+). Корунд является диэлектриком
В
U
Рис. 13.6. Схема основных уровней и переходов в рубиновом лазере. В обозначени-
обозначениях уровней использованы буквы, входящие в слово RUBY — рубин. По отношению
к схеме на рис. 13.3 уровень 3 образован уровнями U,B,Y, а уровень 2 есть пара
близких уровней R = R\, R2
с широкой запрещенной зоной. Ионы хрома создают дополнительные уров-
уровни в запрещенной зоне (уровни В и К). Переходы с поглощением квантов
13.11. Методы создания инверсии населенностей
277
осуществляются на уровни U, В, Y. С этих уровней происходят безызлу-
чательные переходы с заселением рабочего уровня R.
Излучение при переходах с двойного уровня R в основное состояние на
длинах волны Ai = 694,3 нм и А2 = 692, 8 нм нм придает рубину харак™
терную розовую окраску. Испускание с уровня U дает свет с длиной волны
А = 560 нм, а с уровня Y — А = 410 нм. Для накачки лазера использу-
используется ксеноновая лампа, дающая свет в широком спектральном диапазоне.
Уровни U, Y являются широкими и обеспечивают захват до 10 ч-15 % энер-
гии лампы.
Трехуровневая схема (рис. 13.5) обладает недостатками. В частности,
еще до начала генерации нужно затратить энергию для выравнивания за-
засел енностей, т. е. на заполнение уровня 2 по крайней мере до того же
состояния, что и уровня 1. Лишь при превышении этого минимального за™
пол нения рабочего уровня можно рассчитывать на начало генерации. С этим
связано и то, что невозможно реализовать непрерывную генерацию излу™
чения — при непрерывной накачке устанавливается такое распределение,
при котором заселенность уровня падает с ростом его энергии.
Указанного недостатка лишена четырехуровневая схема, качественно
показанная на рис. 13.7. В этой схеме рабочий переход осуществляется меж™
ду уровнями 3 и 2. Однако вследствие большой ширины уровня 2 он быстро
(по сравнению с уровнем 3) опустошается. Поэтому инверсная населен™
ность Ns > N2 сохраняется практически при любой степени заполнения
уровня 3. Это означает возможность непрерывной генерации излучения.
ей
Заселение
верхнего рабочего
уровня
Рабо
ереход
Освобождение
нижнего рабочего
уровня
Рис. 13.7. Четырехуровневая схема создания инверсной населенности в лазерах
По четырехуровневой схеме работают такие твердотельные лазеры, как
лазер на неодимовом стекле, или ИАГ™лазер ^ (Ш3+: YAG-лазер). Рабочее
"^ Аббревиатура ИАГ (или YAG) расшифровывается как "Иттрий - Алюминие-
Алюминиевый Гранат".
278
Гл. 13. Квантовая электроника
тело представляет собой кристалл граната, в котором часть ионов Y3+
замещена ионами неодима, Y3AI5O12 + 1,5% Nd3+. Основная длина волны
излучения этого лазера есть Л = 1,06 мкм.
Сходная схема используется и в газовых лазерах. В частности, в газо-
газовых электроразрядных лазерах инверсия создается как правило в газовых
смесях, когда энергия возбужденной электронами разряда основной, но
оптически неактивной компоненты смеси в процессе неупругих столкно-
столкновений, идущих с малым дефицитом энергии, квазирезонансно передается
верхним лазерным уровням активной газовой примеси.
В качестве конкретного примера на рис. 13.8 показана схема уровней
и переходов для гелий-неонового лазера. Этот лазер работает в непрерыв-
непрерывном режиме и создает основное излучение на длине волны Л = 0,63 мкм.
Внешний источник возбуждает атомы гелия. Затем в результате столк-
новений атомы гелия передают энергию возбуждения атомам неона (Не* +
+ Ne —> Ne* + Не + Екшн), между уровнями которого и происходят рабочие
переходы.
Уровни Не
Уровни Ne
3,39 мкм
1,15 мкм
I Од
Рис. 13.8. Схема уровней гелия и неона. Первым возбужденным состояниям ге-
гелия соответствуют энергии 19,82 эВ и 20,61 эВ. Состояния гелия 23Si и 2гБо —
метастабильные с временем жизни порядка 1 мс. Уровни неона 4S ш 5S близки к
уровням 23S\ и 21 So гелия, что и позволяет осуществлять эффективную перекачку
энергии от гелия к неону при столкновении атомов
В газодинамических лазерах инверсия создается при резком охлажде-
охлаждении предварительно равновесно нагретого молекулярного газа в сверхзву-
сверхзвуковом потоке, организованном так, чтобы при этом охлаждении резервуар
энергии молекулярных колебаний, соответствующих нижнему уровню ла-
лазерного перехода, опустошался быстрее верхнего уровня.
Среди других ОКГ упомянем СО2 -лазеры, позволяющие получать неп-
непрерывное излучение большой мощности A02 -^ 103 кВт) в инфракрасном
диапазоне спектра (А = 10,6 мкм и А = 9,6 мкм). В этих лазерах излучение
13.11. Методы создания инверсии населенностей 279
генерируется при переходах между колебательными уровнями молекулы
СО2. Для накачки лазера в газ добавляется азот, который возбуждается
электрическим разрядом, а затем передает энергию молекулам СО2. Кроме
того, в газовую смесь добавляется гелий, который позволяет эффективно
осуществлять опустошение нижнего колебательного уровня молекул С02.
Типичное соотношение концентраций компонентов смеси составляет СО2 :
N2 : Не = 1 : 1 : 8.
Мы не будем подробнее говорить о конкретных лазерных конструкциях
и о свойствах лазеров. Это не входит в нашу задачу. Но поскольку главным
в квантовой электронике является инверсия населенностей в термодина™
мически неравновесной системе квантовых уровней энергии, мы все же
упомянем еще несколько наиболее распространенных технических мето™
дов ее создания.
В химических газовых лазерах инверсия создается при неравновесном
распределении энергии, выделившейся в ходе экзотермической химической
реакции, между колебательными уровнями молекул-продуктов реакции.
В эксимерных газовых лазерах инверсия создается в импульсном элек-
электрическом разряде или под действием пучка быстрых электронов для так
называемых эксимерных молекул, т. е. молекул, существующих только в
возбужденном электронном состоянии. Основному электронному состоя™
нию таких молекул соответствует разлетный терм: этих молекул в основном
состоянии не существует. Образуясь под действием электронного удара, они
самим фактом своего существования создают инверсию по отношению к
основному состоянию, распадающемуся почти мгновенно, т. е. быстрее,
чем за одно молекулярное колебание.
В диэлектрических лазерах на твердом теле (оптически совершенные
кристаллы или стекла) инверсия создается в системе уровней энергии при-
примесных ионов под действием вспомогательного излучения накачки, ко-
которая, выравнивая населенности одной пары уровней, преимущественно
населяет один из них по отношению к какому-то третьему или четверто-
четвертому уровню. Метод вспомогательного излучения накачки был предложен
Н.Г. Басовым и A.M. Прохоровым применительно к газовым средам в
1955 году и Н. Бломбергеном для твердотельных парамагнитных мазеров
в 1956 году. Метод используется также при создании перестраиваемых по
частоте излучения лазеров на центрах окрашивания (так называемых F-
центрах) в кристаллах и на жидких растворах органических красителей.
В полупроводниковых лазерах на твердом теле инверсия создается при
инжекции носителей электрическим током в область (р - п)-перехода вы-
вырожденного полупроводника между электронными состояниями его энер-
энергетических зон.
Применение полупроводниковых кристаллов в квантовой электронике
было в 1959 году предложено Н. Г. Басовым, а в 1963 году Ж. И. Алфе-
Алферов предложил и в 1968 году реализовал полупроводниковый гетеролазер,
в котором активной средой является полупроводниковая гетероструктура.
Итак, в основе квантовой электроники лежит квантовый объект — ак-
активная рабочая среда с инверсией населенностей дискретно квантованных
280 Гл. 13. Квантовая электроника
уровней энергии. Эта среда охвачена положительной обратной связью, осу™
ществляемой эффектом индуцированного испускания излучения в резона™
торе. В лазерах активная среда запасает энергию и усиливает излучение,
эффект индуцированного излучения обеспечивает когерентность усиле-
усиления, а резонатор формирует спектральные и пространственные свойства
излучения.
Будучи основана на фундаментальных положениях физики ХХ~га века
и, прежде всего, квантовой механики и оптики, квантовая электроника дала
неведомую ранее возможность концентрировать энергию электромагнитно™
го излучения в пространстве, во времени и в спектральном интервале. Это
подняло оптику на качественно новый уровень, для которого, в частности,
характерно развитие применений в областях, традиционно не оптических.
ГЛАВА 14
СТРОЕНИЕ И СВОЙСТВА ЯДЕР
— Генерал особенно хотел бы посмотреть,
как бомбардируют атомные адра.
(Из сборника: Физики шутят.
^М.:Мир, 1966)
Одним из важнейших направлений современной науки является ядерная
физика. В этой области в полной мере проявляются все законы квантовой
механики. Кроме того, ядерная физика имеет разнообразнейшие примене-
применения в современной технике. Учитывая сказанное, мы в этой главе кратко
сформулируем основные представления об атомном ядре и его свойствах.
14.1. Состав ядра
Начнем изложение с того, что рассмотрим состав ядра, укажем простей™
шие его свойства и введем необходимую терминологию.
В 1911 г. Э. Резерфорд, изучая рассеяние «-частиц на металлических
фольгах, установил, что атомы состоят из компактного ядра, занимающего
незначительную долю объема атома, и электронов, находящихся от ядра на
значительном расстоянии. Было установлено, что радиус ядра зависит от
атомного веса А (измеренного в атомных единицах массы) по закону
A4.1)
где величина г® = 1,8 • 10"3 см. Для сравнения заметим, что радиус первой
боровской орбиты составляет
а = -^— « 5,3 • 1(Г9 см.
В ядерной физике широко применяется внесистемная единица длины
"Ферми": 1 Ферми = 10™13 см. Ее сокращенное обозначение: Ф или Фм.
Таким образом, г о = 1,3 Фм.
Сейчас твердо установлено, что атомное ядро состоит из частиц двух
282 Гл.14. Строение и свойства ядер
типов — протонов и нейтронов. Эти частицы называют нуклонами (от лат.
nucleus — ядро). Их массы равны ^
трс2 = 938,3 МэВ, тпс2 = 939,6 МэВ. A4.2 а)
По отношению к массе электрона тес2 = 0, 511 МэВ получаем
mp = 1836,2me, mn = 1838,7me. A4.26)
Разность масс нейтрона и протона составляет mn^mp~2,5me.
Приведем также магнитные моменты нуклонов:
/1Р = 2,8/1Я, /хп = -1,9/хя, A43)
где величина
^ Г24
= 5,0508 • 1(Г24 эрг • Гс^1 A4.4)
2трс
называется ядерным магнетоном. С высокой точностью выполняется соот-
соотношение
И*- = -1. A4.5)
fin 2
Пусть ядро содержит А нуклонов, в том числе Z протонов и N = А — Z
нейтронов. Такое ядро обозначают символом ^Х (X — символ элемента).
Например, символ 1|О обозначает ядро атома кислорода, содержащее 8
протонов и 8 нейтронов (всего — 16 нуклонов).
Атомы, ядра которых содержат одно и то же число протонов Z, но разное
число нейтронов N = А — Z, называются изотопами. Примерами изотопов
являются водород }Н, дейтерий fD и тритий f Т.
Атомы, ядра которых содержат одинаковое число нуклонов А, но разное
число протонов Z, называются изобарами. В качестве примера изобаров
можно указать изотоп гелия |Не и тритий f Т.
Свойства ядер зависят от того, четным или нечетным является число
нуклонов соответствующего типа. В связи с этим принята следующая тер-
терминология:
четные Z, четные N — четно-четные ядра,
четные Z, нечетные N — четно-нечетные ядра,
нечетные Z, четные N — нечетно-четные ядра,
нечетные Z, нечетные N — нечетно-нечетные ядра.
г' В ядерной физике и физике элементарных частиц массы частиц часто измеряют
в электрон-вольтах (т. е. по сути указывают их энергию покоя тс2).
14.2. Электрон - протонная и нейтрон - протонная модели ядра 283
14.2. Электрон - протонная и нейтрон - протонная
модели мдра
Одна из первых моделей ядра состояла в том, что ядро состоит из прото-
протонов и электронов. Эта гипотеза, однако, противоречила экспериментальным
данным. В самом деле, оценим энергию электрона в ядре. Предполагая, что
электрон находится в области порядка размера ядра 2R ^ б • 10^13 см и
является ультрарелятивистским (Ее « ре), находим
h с, he
2R 2R
„ 2 ¦3,14-6,6-10-1«(эВ- с) -3-1010 (см/с) ^ 20() МэВ
6- 10^13см
Соответственно при /3-распаде ядро могло бы испускать электроны с энер-
энергиями такого порядка. Однако в опытах наблюдались только энергии элек-
тронов порядка 1 МэВ. Поэтому электрон-протонная модель ядра как про™
тиворечащая экспериментальным данным была отброшена.
В 1932 г. Дж. Чедвик открыл нейтроны — частицы с массой, близкой к
массе протона, но только электрически нейтральные. В том же году В. Гей™
зенберг и (независимо) Д. Д. Иваненко предложили модель, по которой
ядро состоит из протонов и нейтронов. Оценим энергию нуклона в ядре.
Предполагая, что частица нерелятивистская и движется в области порядка
2R ~ б • 10~13 см, находим
р ^ —, Еп ~ Ev г^ J^— r^ r^ б МэВ.
2R P 2MP 8MPR2
Эта величина уже соответствует реальным значениям энергии связи нукло-
нуклонов в ядре.
14.3. Ядерные силы
Силы, удерживающие нуклоны в ядре, велики, они существенно превы-
превышают обычные кулоновские силы. В результате исследований было уста-
новлено, что ядерное взаимодействие обладает следующими основными
свойствами:
1) короткодействие, проявляющееся в том, что ядерные силы действуют
на расстояниях г ^ 10™13 см;
2) насыщение, проявляющееся в том, что каждый нуклон взаимодей-
взаимодействует только с небольшим числом других нуклонов;
3) зарядовая независимость ядерных сил, состоящая в том, что за вы-
вычетом кулоновских сил силы притяжения в любой паре р-р, р — п, п — п,
обусловленные ядерным взаимодействием, практически одинаковы;
4) ядерные силы не центральные и зависят от скоростей и спинов нук-
нуклонов.
284 Гл.14. Строение и свойства ядер
14.4. Энергия связи ядер
Чтобы разделить ядро на отдельные нуклоны, нужно затратить неко-
некоторое количество энергии, называемое энергией связи. Имея в виду связь
между энергией и массой Е = тс2, можно записать следующее выражение
энергии связи ядра, содержащего А нуклонов, в том числе Z протонов:
Есвяз = [Zmp + (А - Z)mn - тя(А, Z))c2, A4.6)
где тя(А, Z) — масса ядра. Величина
А = Есвяз/с2 A4.7)
называется дефектом массы, а / = А/ А —упаковочным коэффициентом.
В качестве примера укажем, что энергия связи дейтрона (ядра дейтерия)
составляет ЕСВЯЗBВ) « 2,25 МэВ, а энергия связи а-частицы (ядра гелия™
4)равнаЕсвяз(|Не) « 28,11 МэВ.
На рис. 14.1 показана экспериментально установленная зависимость
удельной энергии связи ядер (в расчете на один нуклон) е = Есвяз/А от
атомного веса (числа нуклонов).
Как видно из рис. 14.1, наибольшие значения е имеют ядра, содержащие
число нуклонов А ^ 50 ч- 60, т. е. ядра элементов Cr-Zn. В частности, для
железа |бРе энергия связи достигает величины ?тах « 8,7 МэВ/нуклон, а
для урана 2||U ?max ~ 7,5 МэВ/нуклон.
Строго говоря, на рис. 14.1 показана лишь усредненная зависимость
s(A). В действительности эта энергия зависит не только от А, но и от Z.
Более того, имеются отдельные, иногда сильные, нерегулярности хода ре-
реальной зависимости e(AJ Z), отвечающие особо устойчивым (так называ-
называемым магическим) ядрам.
Тот факт, что удельная энергия связи относительно медленно меняется
от ядра к ядру, означает наличие насыщения ядерных сил. Если бы каждый
нуклон взаимодействовал с каждым, то в системе А нуклонов существовав
ло бы — связей, так что потенциальная энергия вещества была бы
А(А + 1)
17 ^ —\Ui \— -, где Щ — энергия одной пары, а знак "минус" от-
отражает наличие притяжения нуклонов. При этом энергия связи росла бы
не пропорционально числу нуклонов А, а быстрее (~ А2). Это противоре-
противоречит экспериментально найденной закономерности. Сказанное означает, что
нуклон может эффективно взаимодействовать только с небольшим числом
других нуклонов. Ситуация здесь аналогична той, что имеет место в случае
атомов, взаимодействующих с другими атомами и образующих молекулу.
Состав молекулы определяется лишь валентностями элементов (например,
атом углерода может присоединить только 4 атома водорода, образовав мо-
молекулу СЩ, после чего все валентности исчерпываются).
14.5. Капельная модель ядра. Формула Вапцзеккера
285
Другим проявлением свойства насыщения ядерных сил является тот
факт, что объем ядра растет пропорционально числу нуклонов: V ~ А.
Если бы насыщение отсутствовав
е, МэВ/ыуклоы
9,0
8,5
8,0
7,5
7,0
6,5
ло, то нуклонам было бы энер-
энергетически выгодно максимально
сблизиться, уменьшив потенци™
альную энергию ^. При наличии
же насыщения выигрыш энергии
системы нуклонов незначителен
при уменьшении объема системы,
т. е. при уменьшении расстояния
между частицами, и различные
факторы иной природы удержи-
удерживают нуклоны от сильного сбли™
жения (например, отталкивание,
обусловленное принципом Паули,
квантовомеханическая неопреде-
неопределенность импульса в ядре и т. д.).
Тот факт, что кривая s(A) имеет максимум, означает, что энергетически
выгодными могут оказаться реакции деления ядер. В самом деле, рассмот™
рим реакцию: А ^ Аг + А2
A4.8)
B40) -> A20) + A20) .
Согласно рис. 14.1 ?240 ~ 7,5 МэВ/нуклон, ?120 ~ 8,5 МэВ/нуклон. По-
Поэтому в одном акте деления должна выделяться энергия
50 100 150 200 250
Рис. 14.1. Зависимость удельной энергии
связи ядер от числа нуклонов
АЕ = Екон —
— 2 • 120^120 — 240^240 =
240 МэВ . A4.9)
Для сравнения заметим, что в химических реакциях энергетический
выход обычно составляет величину ^ A — 100)эВ/акт, т. е. величину
на 5 -7 порядков меньшую.
Из рис. 14.1 видно также, что для легких ядер энергетически выгодны
реакции синтеза, а для тяжелых ядер — реакции деления.
14.5, Капельная модель ядра. Формула Вайцзеккера
Одной из первых и вместе с тем весьма плодотворной явилась так на-
называемая капельная модель, в которой ядро рассматривалось как капля
ядерного вещества — практически несжимаемой жидкости.
^ В качестве наглядной аналогии можно заметить, что если бы не существовало
сил отталкивания между механическими частицами, то под действием сил гравита-
гравитационного притяжения им было бы выгодно сжаться до минимального возможного
объема.
286 Гл.14. Строение и свойства ядер
Оценим плотность ядерного вещества. Пренебрегая дефектом массы по
сравнению с массой нуклонов, представим массу ядра в виде Мя « Am, где
т — масса нуклона. С другой стороны, если плотность ядерного вещества
есть ря, то ту же массу можно записать как Мя « ря -ttR3, где радиус ядра
о
связан с числом нуклонов формулой A4.1) R « г®А1/3. Таким образом,
находим
р и« и 1,7 • 10 г/см . A4.10)
Измерения массы различных ядер показали, что энергия связи как функ-
функция числа нуклонов и заряда ядра для большинства ядер удовлетворительно
передается полуэмпирической формулой
Есвяз = avA - asА2/3 - ас~ - aT{A~2ZJ + aP^. A4.11)
Al/S A Av
Входящие в эту формулу коэффициенты равны
av = 15,75 МэВ, as = 17,8 МэВ, ас = 0,71 МэВ,
A4.12а)
аТ = 23,7 МэВ, аР = 34 МэВ.
Показатель степени и в последнем слагаемом в зависимости от способа
аппроксимации имеет значение в интервале 1/3 < и < 1. Что касается
коэффициента S, то его значение зависит от четности чисел Z и N = А — Z:
' — 1 при нечетных N и Z,
0 при нечетных А = Z + JV, A4.126)
^ +1 при четных N и Z.
Соотношение A4.11) носит название формулы Вайцзеккера
(С. F. von Weizsacker, 1935).
Поясним смысл слагаемых в формуле A4.11).
1. Поскольку объем ядра, согласно A4.1), пропорционален числу нукло-
нуклонов, V ^ А, то первое слагаемое дает объемную энергию ядра: Ev = ay А.
2. Благодаря наличию поверхности те нуклоны, которые находятся в
поверхностном слое, испытывают действие только части других нукло-
нуклонов ядра и слабее удерживаются в ядре. Поскольку площадь поверхно-
поверхности S = 4тг1?д rsj А2/3, энергия связи ядра уменьшается на Es = asA2^.
3. Поскольку ядро содержит протоны (положительно заряженные
частицы), возникают кулоновские силы отталкивания, приводящие к умень-
уменьшению энергии связи ядра. Если, например, считать, что протоны рав-
равномерно распределены по объему, то электростатическая энергия ядра
14.6. Устойчивый изобар 287
составляла бы Ькул = - -^—'—. Отсюда следует оценка вклада кулоновских
z2
сил в энергию связи: Ее = ас—> где коэффициент ас подбирается из
А
условия наилучшего согласования с экспериментальными данными.
(А — 2ZJ (N — ZJ
4. Величина Ет = Aт~ — — ^т~ — отражает эксперимент
А А
тально обнаруженную повышенную устойчивость ядер с равным числом
протонов Z и нейтронов N = А — Z, т. е. ядер с Z = N = А/2. Для таких
ядер слагаемое Ет минимально при Z = N, т. е. соответствующая добавка
к энергии связи (—Ет) максимальна. Величина Ет называется энергией
симметрии.
Происхождение этого слагаемого можно понять из следующих сообра-
соображений. Нуклоны являются фермионами. Поэтому в основном состоянии
они распределяются по энергетическим уровням в соответствии с прин-
принципом Паули. Например, если имеется четыре одинаковых нуклона, то в
основном состоянии они должны занять два нижние энергетические уров-
уровня (по два нуклона на уровень — со спином "вверх" и спином "вниз"). Если
же имеются нуклоны двух сортов, то все они займут только один, самый
нижний энергетический уровень. В результате энергия системы окажется
меньше, чем в случае нуклонов только одного сорта.
5. Последнее слагаемое в формуле A4.11), Ер = ар—, называется
Аи
энергией спаривания. Оно означает, что наибольшей устойчивостью облада™
ют четно-четные ядра (для них S = +1), а наименьшей — нечетно-нечетные
(для них 5 = — 1). Наличие этой добавки к энергии обусловлено существо-
существованием "спаривания", т. е. объединения нуклонов одного типа в пары. Спа-
Спаривание обусловлено наличием специфического нуклон^нуклонного взаи™
модействия в ядрах, осуществляемого через посредство среды — ядерного
вещества. Нуклон-нуклонные пары обладают целым спином, т. е. являют™
ся бозонами, и могут конденсироваться на нижнем энергетическом уровне
(поскольку для них не работает принцип Паули). Отсутствие "партнера"
для образования пары приводит к понижению энергии связи, т. е. к умень-
уменьшению стабильности ядра.
14.6. Устойчивый изобар
При фиксированном числе нуклонов энергия связи ядра зависит от чис-
числа протонов. На рис. 14.2 показан график зависимости энергии связи Есвяз
от Z для изобар с А = 127. Как видно из графика, существует наиболее
устойчивое ядро, т. е. обладающее наибольшей энергией связи.
Найдем заряд ядра наиболее стабильного изобара. Ограничимся сейчас
случаем нечетных значений А. Тогда энергия спаривания равна нулю и из
A4.11) находим
dZ
288 Гл.14. Строение и свойства ядер
откуда следует
Z= и . A4.13)
2 + (ас/2ат)А2/3 2 + 0,015А2/3
Таким образом, в легких ядрах числа протонов и нейтронов примерно
одинаковы и равны каждое половине общего числа нуклонов. В тяжелых
же ядрах (А ^> 1) число нейтронов может существенно превышать число
протонов. Например, в наиболее устойчивом ядре, содержащем А = 237
нуклонов, должно, согласно A4.13), находиться Z = 92 протона (это ядро
урана 292^).
14.7. Бета-распад ядер
Как видно из сказанного, если каким-либо образом возникает ядро с
неоптимальным соотношением нейтронов и протонов, то ему выгодно пре-
превратиться в более устойчивое ядро, в котором число протонов близко к
величине A4.13). Этот процесс с большой вероятностью идет путем по-
поглощения или испускания электронов или позитронов. По историческим
причинам процессы, в которых участвуют электроны и позитроны, назы-
называют /^процессами. Дело в том, что в самых первых исследованиях ра-
радиоактивности были обнаружены три вида излучений, названных а-, /3- и
7™радиацией. Второй из них, как оказалось, представляет собой поток элек-
электронов, /3-частиц. Среди Д-процессов выделяют C "-распад, C +-распад и
JiT-захват. Первый из них отвечает испусканию электронов, второй — ис-
испусканию позитронов, последний процесс состоит в захвате электронов
с ближайшей к ядру Ж-оболочки атома (иногда его называют обратным
C -распад ом).
Необходимым условием /3™-распада является неравенство
М(А, Z) > М(А, Z + 1) + те, A4.14)
выражающее то требование, чтобы в результате процесса образовывалось
ядро с большей энергией связи (и соответственно с меньшей массой). Ис-
Используя определение энергии связи, неравенство A4.14) можно переписать
в виде
ЕСВЯЗ(А, Z) < ЕСВЯЗ(А, Z + 1)- тес2. A4.15)
Аналогично необходимое условие C+ -распада состоит в том, что
М(А, Z) > М(А, Z - 1) + те, A4.16)
поскольку позитрон и электрон имеют одинаковые массы.
Чтобы проследить, как происходит установление оптимального соотно-
соотношения нейтронов и протонов в ядре в ходе /3-процесса, рассмотрим диа-
диаграмму, показанную на рис. 14.2. Для большей наглядности представим эту
диаграмму в ином виде, как показано на рис. 14.3. В результате /3-распада
энергия ядра уменьшается, а изображающая точка на кривой опускается
14.7. Бета-распад ядер
289
до нижней возможной отметки, отвечающей стабильному изобару с Z =
= Zm. Эта диаграмма отвечает случаю нечетных Д для которых в формуле
Вайцзеккера A4.11) величина 6 = 0.
Несколько сложнее ситуация в случае четных значений полного
числа нуклонов А. В этом случае могут реализовываться четно-четные
j3 - распад Zm /3 - распад
Рис. 14.2. Зависимость энергии связи Рис. 14.3. Диаграмма ^-распада яд-
ядра с А = 127 от числа протонов Z ра с нечетным числом нуклонов А.
Штриховая линия указывает после-
последовательные переходы ядра в ре-
результате испускания электронов (по-
(позитронов). Процесс прекращается,
когда достигается низшая точка на
кривой Z = Zm
и нечетно-нечетные ядра. Но для таких ядер энергия спаривания уже нену-
ненулевая, и на диаграмме /3-процессов имеются две кривые, одна из которых
отвечает значению S = +1 в формуле Вайцзеккера, а другая — значению
5 = — 1. Первая кривая отвечает большей энергии связи и лежит ниже
второй, отвечающей меньшей энергии. На рис. 14.4 показана последова-
последовательность /3-переходов для случаев, когда минимум кривых приходится на
нечетное (рис. 14.4, а) и четное (рис. 14.4, б) число протонов Zm. В первом
случае значение Zm отвечает минимуму верхней кривой (описывающей
нечетно-нечетные ядра, и следовательно, нечетные Z), а во втором случае
значение Zm отвечает минимуму нижней кривой (описывающей четно-
четные ядра, и следовательно, четные Z).
При анализе результатов следует помнить, что во всех переходах заряд
ядра меняется на единицу, т. е. в каждом акте /3~распада на рис. 14.4 мы пе~
реходим с нижней кривой на верхнюю и обратно. Переходы с изменением
заряда сразу на две единицы означали бы испускание одновременно двух
электронов (позитронов). Этот процесс маловероятен и может не прини™
маться во внимание.
Как видно из приведенной схемы переходов, в случае нечетных Zm
в конце цепочки могут образоваться два устойчивые (по отношению
290
Гл.14. Строение и свойства ядер
к /3-раепадам) изобара с близкими значениями энергии связи. В случае
же четных значений Zm образуется изобар с Z = Zm. Кроме того, в неко-
некоторых каналах могут образоваться изобары с Z = Zm ~~ 2 и Z = Zm + 2.
Вероятность /3-распада этих изобар мала, поскольку такой распад должен
сопровождаться испусканием двух электронов (позитронов).
^ нечетные
Z— четные
^ нечетные
Z— четные
Рис. 14.4. Диаграммы /3-распадов ядер с четным значением полного числа нукло-
нуклонов А для случаев, когда максимум энергии связи приходится на нечетное (а) и
четное (б) значение числа протонов Z. Черными точками указаны состояния, при-
принадлежащие соответствующей кривой, а светлыми — не принадлежащие кривой.
Расстояние между соседними точками по оси абсцисс составляет AZ = 1
Таким образом, в зависимости от числа нуклонов в исходном ядре в
результате /3-распадов могут образовываться от одного до трех различных
ядер.
Как видно из рисунков 14.3 и 14.4, энергия ядра имеет минимум при
определенном соотношении числа протонов и нейтронов. Если постро-
построить трехмерную диаграмму зависимости энергии ядра от числа нейтронов
N = А — Z и числа протонов Z, то возникает поверхность в виде желоба,
низшие точки которого отвечают стабильным изотопам. В этой связи дно
желоба называют долиной стабильности ядер. В действительности ядра,
устойчивые по отношению к /3-распадам, могут оказаться неустойчивыми
по отношению к иным процессам. На рис. 14.5 показана диаграмма стабиль™
ных ядер, где указаны основные типы радиоактивности, ответственные за
распады ядер.
Обсудим теперь спектр электронов, возникающих в результате /3-распа-
да. Экспериментально была получена зависимость, показанная на рис. 14.6.
Как видно из рисунка, спектр является непрерывным, причем сущест-
существует граничная, максимальная энергия, обычно лежащая в области зна-
значений 1-^-2 МэВ, но иногда попадающая за пределы этой области.
Существование граничной энергии электронов легко объяснить с помо-
помощью закона сохранения энергии. В самом деле, если вся энергия распада
14.7. Бета-распад ядер
291
уносится электроном, то его кинетическая энергия оказывается равной
Тгран
Z)c2 - [М(Л Z + \)с2 + тес2
— тРС: .
A4.17а)
Если принять для оценки, что разница масс соседних ядер определяется
разницей масс нейтрона и протона (гпп — тпр « 2,5 ше), то окажется, что
1,
0, 76 МэВ.
В действительности наблюдаемая граничная энергия несколько больше
найденной величины, поскольку в ядре нейтрон обладает некоторой кине-
кинетической энергией, часть которой также может передаваться вылетающему
из ядра электрону.
С ПУН 1 НИКОЙ ДС'Л
?(} 40 60 Ш 100 12У 140 160
'•11ИСЛО нситроииа W
Рис. 14.5. Долина стабильности и основные каналы распада изотопов
N
t
100
80
60
40
20
210
83Bi
Рис. 14.6. Спектр электронов /^-распада висмута-210
292 Гл.14. Строение и свойства ядер
Аналогично A4.17 а) можно оценить и граничную энергию /3+-распада.
Поскольку масса позитрона совпадает с массой электрона, граничная энер-
энергия позитронов оказывается равной
^гран « M(A,Z)c2 - [M(A,Z- I)c2 + mec2] -тес2. A4.17 6)
Возникновение непрерывного спектра C-распада при Т $С Тгран, со-
согласно гипотезе В. Паули, связано с тем, что в процессе распада нейтрона
образуется третья частица, называемая сейчас электронным антинейтрино:
п^р + е + Ре. A4.18)
Эта частица уносит некоторую часть энергии распада, причем чем боль-
больше забирает антинейтрино, тем меньшую энергию приобретает электрон.
Наличие реакции A4.18), а также значение граничной энергии позволя-
позволяют установить некоторые свойства нейтрино. Одно из них — то, что масса
нейтрино, если и не нулевая, то малая величина (иначе антинейтрино всегда
забирал бы энергию не менее га^с2, и граничная энергия электрона умень-
уменьшалась бы на эту же величину). Кроме того, поскольку три из участвующих
в реакции A4.18) частицы (п, р, е) — фермионы (имеющие спин 1/2), то со-
согласно закону сохранения момента импульса четвертая частица (ие) также
фермион со спином 1/2.
14.8. Оболочечная модель ядра
Как уже отмечалось, действительная зависимость энергии связи
1?СВЯЗ(Д Z) содержит нерегулярности, которые не могут быть объяснены
на основе капельной модели ядра. В частности, существуют ядра, обла-
обладающие повышенной энергией связи и, следовательно, особо устойчивые.
Такие ядра называются магическими. У них, как показали измерения, число
протонов Z и/или число нейтронов N имеет определенные значения:
Z, N = 2, 8, 20, 50, 82, 126, ... A4.19)
Приведенные числа называют магическими г\ Ядра, у которых число
протонов и число нейтронов одновременно магические, называют дважды
магическими. Примеры таких ядер:
168О
2^Pb (Z = 82, N = 126).
1 Часто относят к магическим также ядра, содержащие 28 нуклонов.
14.8. Оболочечная модель ядра 293
Подобные нерегулярности энергии связи, приводящие к повышению
устойчивости некоторых ядер, могут быть описаны в рамках подхода, на-
называемого оболочечной моделью. Суть этой модели состоит в следующем.
Считается, что все нуклоны вместе формируют эффективное самосогаа-
сованное поле. Далее рассматривается движение отдельных нуклонов в
этом среднем поле. При этом предполагается, что каждый нуклон движется
почти независимо от других, как если бы взаимодействие между ними бы™
ло слабым. В действительности прямое нуклон-нуклонное взаимодействие
велико, но оно учитывается введением самосогласованного поля. Соответ-
Соответственно точность приближения зависит от того, насколько удачно выбран
эффективный потенциал для нуклонов в ядре.
Так же как и электроны в атомах, нуклоны, согласно модели, находятся
в ядре в определенных оболочках. Ядрам с повышенной устойчивостью
отвечают полностью заполненные оболочки. Отличие оболочечной моде-
модели ядра от теории атома состоит, во-первых, в том, что электрон в атоме
находится в кулоновском поле ядра и других электронов, тогда как нуклон
в ядре — в некулоновском поле короткодействующих ядерных сил, про-
производимых другими нуклонами. Во-вторых, существует только один вид
электронов, тогда как нуклонов — два вида: протоны и нейтроны.
Найдем первые три магические числа. Для этого предположим, что
все нуклоны создают некоторое эффективное поле, которое не меняется
при всевозможных изменениях положения (состояния) выбранного
нуклона. Далее мы считаем, что все нуклоны движутся независимо в этом
среднем поле.
Предполагая среднее поле сферически-симметричным, примем для по-
потенциальной энергии нуклона в ядре следующее выражение:
U{x,y,z) = -U0 + ^^-, r2 = x2+y2 + z2. A4.20)
Тогда уравнение Шредингера для нуклона запишется в виде
Аф + ^[Е-и(х,у,г)]ф = 0. A4.21)
Будем решать это уравнение методом разделения переменных, т. е. положим
ф(х, у, z) = фг(х) ф2(у) фз(%)«
Подставим это представление в уравнение A4.21) и разделим получившееся
уравнение почленно на ф. Это дает
¦ Е + С/о = 0. A4.22)
2т л
h2
%LO X
2
Ф2
2m
h2
1
шш2у2
2
Фз
2m r
n?
tiuj2z2~
2
294 Гл.14. Строение и свойства ядер
В левой части этого выражения каждая из скобок зависит от разных,
независимых аргументов (ж, у или z). Поскольку равенство должно выпол-
выполняться тождественно, для произвольных значений аргументов, то выраже-
выражения в скобках должны равняться некоторым постоянным. В частности, для
первой скобки полагаем
ф'{ 2т тш2х2 2т ^
ИЛИ
,// 2т Г^ тии2х2] , А /1 . оо ч
Ф\ + — |#i ^ —-—j Ф\ = 0. A4.23а)
Аналогично для второй и третьей скобок находим
/// , 2т
j 02 = 0, A4.23 б)
^з + — рз - ——J Фз = 0. A4.23 в)
При этом, согласно A4.22), константы Е\1 ?^2? -Е-з должны быть связаны с
полной энергией нуклона соотношением
Ег + Е2 + Е^з = Е + Щ. A4.23 г)
Каждое из уравнений A4.23 а) - A4.23 в) описывает одномерный гар-
гармонический осциллятор. Уровни энергии этих осцилляторов даются фор-
формулами
Ег = Пш (щ + - V Е2 = hw (п2 + -) , Es = tiuo (п3 + -
в которых величины п\, п2, щ — неотрицательные целые числа. Отсюда,
согласно A4.23 г), находим
E = E1+E2 + E3-Uo = -Uo + Huj^N+^, A4.24)
где введено главное квантовое число
N = щ +п2 + п3, A4.25)
пробегающее целочисленный ряд значений: N = 0, 1, 2, ...
Квантовые состояния, отвечающие различным наборам чисел п\, п2, п3,
различны. Однако, согласно A4.24), разным наборам с одинаковым значе-
значением главного квантового числа N отвечают одинаковые значения энергии.
Это означает наличие вырождения энергетических уровней. Невырожден-
Невырожденным является только состояние с N = 0, поскольку ему отвечает лишь одно
квантовое состояние с п\ = 0, п2 = 0, п% = 0. Будем обозначать уровни
энергии, отвечающие набору чисел ni, n2, п3, символом ЕП1П2П2.
14.9. Спин-орбитальное взаимодействие 295
Основному состоянию (ni = 0, П2 = 0, пз = 0, N = 0) отвечает
энергия
Яооо = -?7o + -&<;. A4.26)
На этом уровне может находиться 2 нуклона одного вида (со спином "вверх"
и спином "вниз").
Следующий уровень (N = 1) образуется тремя состояниями:
. = 1, П2 = 0, П3 = 0},
rii =0, П2 = 1, пз = 0},
{ni = 0, п2 = 0, п3 = 1}.
При этом
A4.27)
o
В каждом из состояний этого уровня может находиться максимально по 2
нуклона одного вида. Всего, следовательно, уровень N = 1 вмещает
3x2 = 6 нуклонов.
Ядро, у которого полностью заполнены две первые оболочки, содержит
2 + 6 = 8 нуклонов.
Следующему уровню (N = 2) отвечают 6 состояний:
1^200 = ^020 — ^002 — Ецо = ?"ю1 = Е®ц = —C/q + -bw. A4.28)
На этом уровне может находиться 6x2 = 12 нуклонов.
Ядро, у которого полностью заполнены все три нижние оболочки, со™
держит 2 + 6 + 12 = 20 нуклонов.
Таким образом, мы получили первые три магических числа: 2, 8,20. При
наличии нуклонов двух видов каждое из найденных чисел отра-
отражает заполнение протонной или нейтронной подсистемы. Кроме того,
следует помнить, что протоны несут электрический заряд. Поэтому вслед™
ствие кулоновского отталкивания уровни протонной подсистемы оказыва-
оказываются несколько выше соответствующих уровней нейтронной подсистемы.
Для сравнения заметим, что при заполнении атомных оболочек число
электронов в слое с главным квантовым числом п равняется 2п2, так что
аналогом магических чисел были бы
I2 х 2 = 2,
(I2 + 22) х 2 = 2 + 8 = 10, A4.29)
(I2 + 22 + З2) х 2 = 2 + 8 + 18 = 28
и т. д. Различие в характере заполнения ядерных и атомных оболочек свя-
связано с некулоновским характером ядерных сил.
296 Гл.14. Строение и свойства ядер
14.9. Спин-орбитальное взаимодействие
и ядерные оболочки
Количественные оценки энергии связи ядер, основанные на изложен™
ной выше упрощенной модели оболочек, могут давать результаты, силь-
сильно расходящиеся с экспериментальными данными. В частности, магиче-
магические числа начиная с четвертого и далее, найденные по изложенной схеме,
не соответствуют наблюдаемым значениям. Дело в том, что в состояниях с
большей энергией существенную роль начинает играть спин-орбитальное
взаимодействие, меняющее как значение энергии, так и взаимное располо-
жение уровней. Вырождение уровней снимается, так что каждый уровень
представляет собой набор близких, но разделенных уровней. Такое уточне-
ние модели позволяет найти последующие магические числа.
Не вдаваясь в подробное обсуждение затронутой проблемы, отметим
только, что достаточно хорошие оценки энергетических уровней нукло-
нов можно получить, если использовать выражение для энергии спин-
орбитального взаимодействия того же вида, что и в случае электронов в
атоме. Именно, можно принять
ULs = —— Is.
г dr
Здесь для константы а следует использовать значение
( h \2
а = а — ,
\Мс/
где М — масса нуклона, а параметр а выбирается из сопоставления с
экспериментальными данными. Оказывается, наилучшее приближение до-
достигается при а « 10.
Используя различные приближенные эффективные потенциалы V(r),
можно найти уровни энергии нуклона и затем найти оболочки. Если, на-
например, использовать осцилляторную модель, в которой
V(r) = -Uo
то оказывается, что
Таким образом, даже в этой упрощенной модели мы получаем расщепление
уровней в зависимости от значений орбитального и полного моментов:
EN tj = ^Uo
14.9. Спин-орбитальное взаимодействие
297
Рассматривая задачу о трехмерном осцилляторе в сферических коорди-
координатах, можно связать главное квантовое число N с радиальным квантовым
числом пГ9 (пг = О, 1, 2, ...) и орбитальным моментом I:
N = 2пг + I.
Очевидно, что при заданном значении N максимальное значение орбиталь-
орбитального момента равно lmax = N.
Как видно из приведенных формул, величина спин-орбитального взаи-
взаимодействия возрастает с ростом орбитального момента. Вследствие этого
при больших значениях N спин-орбитальное взаимодействие может суще-
существенно изменить порядок заполнения оболочек.
В ядерной физике состояния нуклона обычно обозначаются символом
nlj. Здесь I и j — орбитальный и полный моменты нуклона, а число п
пробегает целочисленные значения, начиная с 1, и означает, что символ
lj появляется в последовательности n-й раз. Расчеты показывают, что, на-
например, в ядре свинца ^Pb (Z = 82, N = 126) порядок заполнения
Таблица 14.1. Порядок заполнения оболочек нейтронами в свинце
Слой
0
1
CNI
3
4
5
6
Оболочки nlj
bl/2
lP3/2lPl/2
ld5/2ld3/22si/2
1/7/2
1/б/22рз/22р1/2 l#9/2
lg7/22d5/2lh11/22d3/23s1/2
lhg/22f7/2H13/22f5/23p3/23p1/2
N
2
6
12
8
22
32
44
2
8
20
28
50
82
126
оболочек для нейтронов таков, как указано в табл. 14.1. Оболочка I/7/2 B
таблице выделена в самостоятельный слой, поскольку она отделена от со-
соседних оболочек достаточно большим энергетическим интервалом, а также
потому, что ядра с числом нуклонов 28 обладают рядом свойств магических
ядер, как и в случае соседних чисел B0 и 50).
Для протонов порядок оказывается близким, хотя расположение оболо-
оболочек в пределах слоя может немного отличаться от указанного. В таблице
энергия нейтронов в пределах слоя возрастает от оболочки к оболочке еле™
ва направо. В третьей колонке указано полной число нейтронов в слое, а
в последней — полное число нейтронов в ядре с полностью заполненны-
заполненными слоями до данного включительно. При нахождении числа нуклонов в
298 Гл.14. Строение и свойства ядер
оболочках следует помнить, что число состояний с заданным значением
полного момента j есть 2j + 1. Для большинства ядер порядок заполнения
оболочек аналогичен тому, что имеет место для свинца.
14.10. Спин мдра
Различные оценки показали, что энергия спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия нуклона в ядре (Els) мала по сравнению с энергией взаимодействия
нуклона с самосогласованным полем ядра (Ец), но велика по сравнению с
энергией прямого нуклон-нуклонного взаимодействия (Е^^):
ENN < ELS < Ev. A430)
Первое неравенство означает, что в ядре реализуется случай jj-связи. Сле-
Следовательно, полный угловой момент ядра формируется из моментов отдель-
отдельных нуклонов незаполненных оболочек по следующему правилу: сначала
спин и орбитальный момент каждого нуклона складываются в полный мо-
момент нуклона, а затем эти моменты складываются в полный момент ядра:
. A4.31)
Как обычно в квантовой механике, среднее значение квадрата полного мо-
момента ядра равно
<12)=1(/ + 1). A4.32)
(В этих формулах предполагается, что все моменты измеряются в единицах
постоянной Планка h.)
Суммарный момент ядра называется спином ядра. Он определяет сверх-
сверхтонкую структуру спектральных линий атома, оценка величины которой
была получена в гл. 8 (см. (8.41), (8.42)). Остановимся еще раз на этом во-
вопросе, имея в виду сказанное ранее о спине ядра и связи спина и магнитного
момента.
Пусть g-фактор ядра равен gH. Для нахождения этого фактора нуж-
нужно поступить так же, как и для нахождения магнитных моментов атома,
имея только в виду, что в ядре реализуется jj-связь. С учетом сказанного
магнитный момент ядра можно записать в виде
/*=?яМ, A4-33)
где ря = — ядерный магнетон, тр — масса протона. Соответственно
2трс
энергия взаимодействия магнитного момента ядра с магнитным полем Воб,
создаваемым электронной оболочкой атома в месте нахождения ядра, равна
ис.т.с. = -ц.Вы>. A434)
В свою очередь, поле Воб определяется магнитным моментом элек-
электронной оболочки атома. Например, если рассматривать эту оболочку как
равномерно намагниченное тело с полным магнитным моментом /хат = HJ,
14.11. О других моделях ядра 299
то Воб = —КЗ (где V — объем атома). Таким образом, оператор энергии
магнитного взаимодействия ядра с электронной оболочкой (энергии сверх™
тонкой структуры) принимает вид
С/с.т.с. = AI3. A4.35)
Величину энергии взаимодействия можно отсюда найти, проведя кванто-
вомеханическое усреднение. Среднее от скалярного произведения может
быть найдено стандартным приемом. Именно, учитывая, что полный мо-
момент атома равен F = I + J, причем
<F2)=F(F + 1), <I2)=/(J+1), <J2) = J(J + 1),
находим
<IJ) = I [((I + JJ> - (I2) - (J2)] = l-[F(F + 1) - /(/ + 1) - J(J + 1)].
Полные моменты ядра и электронной оболочки имеют определенные
значения. Поэтому величина сверхтонкого расщепления определяется пол™
ным моментом атома F, который может пробегать значения
F = I + J, I + J - 1, ..., \I-J\. A4.36)
Следовательно, всего имеется min{2/ + 1, 2 J + 1} линий, определяемых
уровнями —F{F + 1).
Численная оценка величины энергии сверхтонкого расщепления была
получена в гл 8:
тт 2 ТПе
Uc.t.c. ~ева —•
мр
Поскольку те/Мр ~ 10~3, энергия сверхтонкого расщепления спектраль-
ных линий примерно на три порядка меньше энергии, определяющей тон™
кую структуру, и на семь порядков меньше боровской энергии, С/С.т. ^
- 1(Г7?Б ^ Ю^6 эВ.
14.11. О других моделмх ядра
Обол очечная модель—это по существу одночастичное описание свойств
ядерного вещества, т. е. описание поведения отдельных нуклонов.
Капельная модель основана на том естественном предположении, что
имеется сильное межнуклонное взаимодействие, т. е. длина свободного
пробега нуклонов в ядерном веществе мала по сравнению с размерами яд-
ядра Освоб <С -Кя). Это точнее отражает действительность: наблюдается много
состояний ядер, которые никак не укладываются в приближение независи-
независимого движения нуклонов. Более того, в ядре нуклон имеет длину волны де
Бройля, равную А = —^^= ^ 10™12 см, что превышает характерные раз™
/2трЕ
меры ядра (~ 10™13 см). Это явно свидетельствует, что движение нуклонов
300 Гл.14. Строение и свойства ядер
не является независимым. Ядро представляет собой систему многих частиц
(например, в тяжелых ядрах число нуклонов составляет ^ 250). Это позво-
позволило сформулировать так называемые коллективные модели, суть которых в
том, что рассматриваются не отдельные нуклоны, а некоторая среда—ядер™
ная материя. В такой среде могут возникать разнообразные возбуждения.
Аналогичная ситуация имеет место в гидродинамике, когда рассматрива-
рассматриваются, естественно, не движения отдельных молекул, а движение жидкости
как некоторого деформируемого тела.
Приведем примеры коллективных возбуждений в ядрах.
Ядра могут оказаться деформированными, т. е. иметь несферическую
форму. Это приводит, в частности, к появлению у них моментов инерции,
что в свою очередь проявляется в существовании вращательных уровней
энергии Е^ =5/A + 1).
Ядра могут периодически менять свою форму, вытягиваясь то вдоль
одного направления, то вдоль другого. Это отвечает колебаниям поверхно-
поверхности ядра (рис. 14.7).
Могут возникать колебания "протонной" и "нейтронной" жидкостей
относительно друг друга (рис. 14.8). Теоретически этот тип возбуждений
исследовал А.Б. Мигдал в 1944 г. В ре-
О акциях фотоделения ядер эффект на™
блюдалсяв 1947 г.
В формировании возбужденного
состояния может принимать участие
большое число нуклонов. Тогда гово-
говорят, что имеет место "гигантский ре™
Рис. 14.7. Квадрупольные колебания зонанс". Этот тип возбуждений про-
поверхности ядра является в виде широкого максимума
в зависимости сечений (вероятностей)
ядерных реакций от энергии налетающих частиц. Энергия гигантского ре-
резонанса обычно лежит в диапазоне 15 -f- 20 МэВ и имеет ширину порядка
2 ^ 10 МэВ.
Оценку зависимости его частоты от атомного веса для дипольных ко-
колебаний, типа изображенных на рис. 14.8, можно получить из следующих
Рис. 14.8. Относительные колебания "нейтронной" и "протонной" жидкостей,
приводящие к возникновению гигантского резонанса: а) дипольные колебания;
б) квадрупольные колебания
14.12. Альфа-распад ядер 301
соображений. Резонансу отвечает возникновение стоячей волны. Это зна-
значит, что на диаметре ядра 2R умещается целое число длин волн: X ^ R,
Следовательно, ^ = ^ „ д-i „ А-щ
Эта зависимость неплохо подтверждается в экспериментах. Количественно
энергия гигантского резонанса для рис. 14.8, а удовлетворительно переда-
передается формулой
Яг.р. « 78А-1/3 МэВ.
Слабо возбужденные состояния ядерного вещества можно рассматри-
рассматривать с помощью метода квазичастиц. Суть метода в следующем. Пусть
большая система частиц находится в состоянии равновесия. Предположим,
что среда перешла в слабо возбужденное состояние, например, в результате
поглощения фотона. В результате в ней возникнут волны, в формирова-
формировании которых участвует большое число частиц (в пределе — все частицы).
Эти волны можно рассматривать квантовомеханически как совокупность
квантов, несущих квазиимпульс ftk и квазиэнергию /го;(к). Ситуация здесь
аналогична той, что имеет место в квантовой электродинамике, когда элек-
электромагнитное поле рассматривается как система фотонов — квантов поля.
Общим в этих двух системах является то, что исходное поле (колебания пук™
лонной жидкости и электромагнитное поле) описывается волновым уравне-
нием, а элементарные колебания, описываемые плоскими волнами, можно
рассматривать чисто формально, безотносительно к конкретной природе
волны, как волны де Бройля некоторых частиц — квантов поля. Такие
кванты в плотной среде называются квазичастицами. Их свойства могут
быть похожими на свойства исходных частиц среды (нуклонов), но могут
и довольно сильно отличаться, поскольку квазичастицы формируются при
участии большого числа первичных частиц.
Когда уровень возбуждения мал, квазичастиц мало — их можно рас-
рассматривать как разреженный (почти идеальный) газ. При этом энергия воз-
возбуждения среды равна сумме энергий квазичастиц (если пренебречь редки™
ми столкновениями). Описание газа является более простой задачей, чем
описание исходной конденсированной системы. На этом языке свойства
многонуклонного ядра определяются движением одного-двух квазинукло-
квазинуклонов. Однако при высоких уровнях возбуждения квазичастиц оказывается
много, они испытывают частые столкновения и, как следствие, переход к
квазичастицам оказывается малопродуктивным по сравнению с исходным
способом описания системы. Значительный вклад в разработку метода ква-
зичатиц в теории ядра сделан А. Б. Мигдалом и его школой.
14.12. Альфа-распад ядер
Помимо рассмотренного выше явления /3-распада возможны другие
процессы превращения неустойчивых ядер в другие, более устойчивые.
В этом параграфе мы рассмотрим явление а-распада, т. е. реакцию, проте-
протекающую по схеме
302 Гл.14. Строение и свойства ядер
(Д Z) -> (А - 4, Z - 2) + а. A4.37)
Здесь символом а обозначена альфа-частица, ядро гелия-4, несущая
заряд 2 и содержащая всего 4 нуклона: а = |Не.
Прежде всего отметим, что необходимым условием существования
а^распада для ядра ^Х является неравенство
Q = [М(Д Z) - М(А - 4, Z - 2) - га(|Не)]с2 > 0. A4.38)
Величина (-Q) есть энергия связи а-частицы с материнским ядром, так
что Q — это энергия а-распада. Укажем также, что характерные времена
жизни ядер, обусловленные а-распадом, могут меняться в очень широких
пределах: от 3 • 10 с (для ядер 2ЦРо) до B^-5)-1015 лет (Щ Се, ^ Nd,
Ц\ Hf) и даже 1017 лет Bg| Pb).
Найдем соотношение между кинетическими энергиями «-частицы (Еа)
и ядерного осколка (Ея). Пусть в начальный момент исходное ядро покои-
покоилось (тем самым мы фиксируем выбор системы центра масс). На основании
закона сохранения энергия распада Q переходит в кинетическую энергию
образующихся компонент а-частицы и ядра
Л- + J&- = Q.
2та 2МЯ
В системе центра масс импульсы обеих компонент одинаковы:
Ра = Ря = Р. ПОЭТОМУ
откуда следует
2
7Ja = JL_ = Q.
Мя
2МЯ Мя + та
Таким образом, энергия распада распределяется между частицами обратно
пропорционально их массам:
— = —. A4.40)
Ея та
Рассмотрим теперь качественную теорию а-распада. Этот процесс про-
проходит в две стадии:
1) формирование в материнском ядре кластера из четырех нуклонов
Bр + 2п), имеющего максимальную энергию связи;
2) выход кластера за пределы ядра.
Следует иметь в виду, что в ядре никаких реальных а-частиц нет, так
что появление в ядре кластера не меняет энергетического состояния ядра.
Просто состояние нуклонов в ядре представляет собой суперпозицию двух
14.12. Альфа-распад ядер
303
состояний, из которых одно отвечает их совместному движению в виде
кластера, а другое — их почти независимому движению в объеме ядра.
Вторая стадия о-распада может быть удовлетворительно объяснена на
основе представлений о туннельном эффекте. Рассмотрим модель, согласно
которой ядро является для а^частиц потенциальной ямой глубины С/о и
радиуса Дя> равного радиусу ядра (рис. 14.9):
-, г >
A4.41)
ит
Е
0
-< >
\
i
R я R\
^
г
Рис. 14.9. График зависимости потенциальной энергии для а-частицы от расстоя-
расстояния до центра ядра
Здесь предполагается, что материнское ядро содержало Z протонов, а
остаток ядра содержит (Z — 2) протонов. Внутри ядра а-частица движется
практически свободно, а вне ядра на нее действуют силы кулоновского
отталкивания, так что создается потенциальный барьер, препятствующий
выходу частиц из ядра. Высоту барьера С/ш можно оценить из условия
ит
A4.42)
Нетрудно проверить, что при Z = 100, Кя = 10 12 см отсюда следует
Um -ЗОМэВ.
Пусть а^частица имеет энергию Е > 0. Проницаемость барьера (коэф-
(коэффициент прохождения) в квазиклассическом приближении имеет вид
D
-E]dr
A4.43)
304
Гл.14. Строение и свойства ядер
Здесь R\ — точка выхода «-частицы из подбарьерной области (классиче-
(классическая точка поворота), определяемая из условия
2(Z - 2)е2
,
Ri
или
xi =
2(Z - 2)e2
.
Е
A4.44)
Интеграл, входящий в A4.43), нетрудно вычислить точно. Однако мы
ограничимся частным случаем, когда
— <С 1, или — <С 1.
Um Кг
A4.45)
Такая ситуация имеет место для типичных значений энергии а-частиц до
нескольких МэВ (например, для ядра 2||U энергия а-частиц составляет
Е = 4,21 МэВ <С Um). Тогда интеграл, входящий в A4.43), вычисляется
следующим образом:
Ri
2та
]r I
dr = ^2ma2(Z - 2)е2 W-- — dr =
J V r Rl
R*
/1 - х2 dx и 7r^2ma2(Z-2)e2R1.
RJRi
Подставляя сюда выражение A4.44) для величины R\, получим
D « Do exp
С
A4.46)
Для нахождения вероятности распада нужно умножить найденную ве-
величину D на число "ударов" а-частицы о стенки ямы за единицу времени,
т. е. на величину порядка va/2R5l, где va — характерная скорость а^частицы
в ядре. Таким образом, для вероятности распада в единицу времени полу-
получаем оценку
С
/3 « /?о ехр
A4.47)
Зная величину /3, можно установить закон, по которому убывает число
нераспавшихся ядер:
di
A4.48)
Последнюю формулу часто записывают в виде
14.12. Альфа-распад ядер 305
вводя время То55, называемое периодом полураспада, т. е. время, за которое
число нераспавшихся ядер уменьшается в два раза. На основании A4.47)
для этого времени можно получить соотношение
1пТо55 = ^ + ^=, A4.49 а)
л/Е
в котором величины А и В слабо зависят от энергии а-частицы. Посколь-
Поскольку на большом расстоянии от ядра скорость а-частицы va = л^2Е/та,
последнее соотношение может быть переписано в эквивалентном виде:
1пТ0,5 = 5 + —. A4.496)
Формула A4.49 а) носит название закона Гейгера-Неттола. Этот закон
был экспериментально установлен в 1911-1912 гг. и объясняет сильную
зависимость периода полураспада ядер от скорости вылетающих а-частиц.
Он прекрасно подтверждается для четно-четных ядер и хуже для ядер с
нечетными значениями Z и/или N = С — Z. Согласно A4.46) величи-
величина С ^ (Z — 2). Однако если рассматриваемые ядра имеют относительно
близкие значения числа Z, то для них коэффициент С можно считать прак-
практически одинаковым. Уместно в этой связи отметить, что а-распаду подвер-
подвержены как правило тяжелые ядра (Z > 82), поскольку у них энергия связи
существенно понижается. Поэтому изменения Z при переходе от одного
а-активного ядра к другому относительно невелики.
Возникает вопрос: почему ядру выгоднее испустить о-частицу, а не по
отдельности протон или нейтрон?
Казалось бы, высота барьера для протона составляет примерно 1/2 от
высоты барьера для а-частицы (поскольку заряд протона в два раза меньше
заряда о-частицы) и выход протонов должен быть более вероятным, чем
а-частиц. Однако это не так. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Энергия
связи нуклона в тяжелом ядре составляет величину порядка 7 МэВ. Найдем
энергию связи нуклонов в а-частице. Известно, что энергия связи ядра |Не
составляет Есвяз( |Не) = 28,28 МэВ, а энергия связи ядра трития f T равна
ЕСВЯЗ(\Т) = 8,48 МэВ. Поэтому для извлечения протона из а-частицы
требуется затратить АЕ = B8, 28 - 8,48) МэВ = 19, 8 МэВ. Аналогично,
зная энергию связи ядра гелия-3, -ЕсвязBНе) — 7,72 МэВ, находим, что
для извлечения нейтрона из а-частицы требуется затратить энергию АЕ =
= B8,28 ™ 7, 72) МэВ = 20,6 МэВ. Таким образом, энергия связи протона с
а-частицей выше, чем с ядром, и следовательно, более вероятно испускание
нуклона в составе а-частицы, чем в изолированном виде. Тем не менее в
1963 г. В. И. Гольданским была обнаружена и протонная радиоактивность.
Отметим еще один фактор, который может влиять на эффективность а-
распада. Это — наличие центробежного барьера, возникающего при нену-
ненулевых моментах импульса. При этом
= С/кул + иц.б = "-^3^ + ^!±i). A4.50)
2г
306 Гл.14. Строение и свойства ядер
Однако центробежные силы меняют высоту барьера не сильно. Даже для
больших значений момента A = 5) оказывается
что существенно меньше высоты кулоновского барьера (^ 30 МэВ).
Наконец, рассмотрим вопрос о спектре образующихся а-частиц. Преж-
Прежде всего, нетрудно понять, что полный наблюдаемый спектр о-частиц дол™
жен быть относительно узким. В самом деле, с помощью формулы Гей™
гера-Неттола нетрудно установить, что ядра, испускающие а-частицы с
энергиями меньше 4 МэВ, живут столь долго, что их можно считать прак-
тически стабильными. Если же ядра испускают «-частицы с энергиями
более 9 МэВ, то у них барьер для а-частиц узок и эти ядра распадаются
практически мгновенно.
Далее учтем, что энергетические состояния ядер определяются лишь
числом нуклонов и уровнем возбуждения. Как мы видели на примере обо-
лочечной модели, энергетические уровни дискретны. Таким образом, в ре™
акции
начальное и конечное состояния имеют строго определенные значения
энергии. Следовательно, энергия о-частиц может принимать строго фик-
фиксированные значения. Если материнское и дочернее ядра находятся в ос-
основном состоянии, то спектр а-частиц состоит из одной полосы. Если же
дочернее ядро может возникать в возбужденных состояниях, то спектр а-
частиц будет содержать несколько полос. Например, в реакции о-распада
урана-235
2iU -+ 2!?Th + \а
наблюдаются три группы а-частиц с энергиями 4,559 МэВ, 4,370 МэВ и
4,170 МэВ. Соответственно дочерние ядра 2goTh образуются в основном
состоянии и на двух возбужденных уровнях. Дальнейший переход тория
из возбужденных состояний в основное осуществляется путем излучения
7™квантов.
14.13. Гамма-распад ядер, внутренним конверсия,
эффект Оже
Гамма-распадом называют переход ядер из возбужденных состояний
в состояния с меньшей энергией с испусканием 7~квантов. Энергия 7™
квантов, образующихся в этих переходах, определяется разностью энер-
энергий начального и конечного состояний ядер и составляет величины до
2^2,5 МэВ. Этот процесс обычно наблюдается в тех случаях, когда ядро
сильно возбуждено, но снятие возбуждения путем испускания нуклонов
невозможно (по закону сохранения энергии) или имеет малую вероятность
(по тем или иным причинам).
14.14. Ядерные изомеры 307
Помимо обычного 7™распада возможны явления, когда 7~кванты не об™
разуются в свободном состоянии. Одно из таких явлений называется внут-
внутренней конверсией и состоит в следующем. Возбужденное ядро может пе-
передать свою энергию одному из ближайших электронов атомной оболочки,
который затем выбрасывается из атома, имея энергию
Ее = АЕ-Ее>связ. A4.51)
Здесь АЕ — энергия ядерного перехода, EGi связ — энергия связи электрона
в атоме. Условие возможности внутренней конверсии состоит в том, что
величина Ее > 0. Отметим, что в случае тяжелых ядер ^электроны могут
быть сильно связаны с атомом (энергия Ее^ связ велика), так что конверсия
на ff-электронах может отсутствовать.
В процессе внутренней конверсии из атома выбрасывается электрон
(называемый конверсионным) и образуется вакансия в электронной оболоч-
оболочке атома. Эта вакансия ("дырка") может заполняться в результате перехо-
дов электронов на освободившееся место с более высоких энергетических
уровней, приводя к возникновению характеристического рентгеновского
излучения.
Возможна, однако, иная ситуация: избыток энергии приводит к выбра-
выбрасыванию электрона с верхних оболочек атома (без испускания 7~квантов) ^.
Это явление получило название эффекта Оже (Р. V. Auger, 1925). В резуль-
результате в атомной оболочке образуется вторая дырка. Энергия Оже-электронов
не зависит от энергии источника, приводящего к возникновению первой
электронной вакансии и определяется только разностью энергий возбуж-
возбужденных состояний атома:
ЕОже = ЕХ - Е2 - Е3, A452)
где Е\ —энергия ионизованного атома с вакансией на внутренней оболочке,
Е2 — энергия атома после заполнения вакансии одним из электронов ато-
атома, Ез — пороговая энергия вылета Оже-электрона из однократно ионизо-
ионизованного атома. Оказывается, энергия Оже-электронов Еоже для различных
атомов составляет обычно 50^3000 эВ и определяется свойствами испуска-
испускающих их атомов. Поэтому по Оже-спектрам можно установить химический
состав поверхностных слоев твердых тел, исследовать химический состав
газов и т. д. Соответствующий метод получил название Оже-спектроскопии.
14.14. Ядерные изомеры
Ядра как правило имеют очень большое число различных возбужден-
возбужденных состояний. Характерные периоды их 7-распада обычно невелики —
порядка Ю^-102 с.
^ Заметим, что вакансия в атомной оболочке (ионизация атома) может быть созда-
создана и внешними источниками: рентгеновским излучением, быстрыми электронами,
ионами и т. д.
308
Гл.14. Строение и свойства ядер
В 1921 г. О. Ганн обнаружил, что в реакции [3 -распада ядра тория 2|g Th
образуются ядра протактиния 2|оРа, причем образующиеся ядра имеют
два различные периода полураспада: 6,75 часа и 1,22 минуты. В результа-
результате последующего /3^-распада эти ядра превращаются в ядра урана 2g|U.
В 1935 г. И. В. Курчатов с сотрудниками открыли существование двух
периодов полураспада у ядер брома 1б^г: 4,4 часа и 18 минут. При облу™
чении нейтронами брома З5^г происходит ядерная реакция
Вг-
80*
Вг
A4.53)
с образованием ядер в возбужденном состоянии (это отмечено звездоч™
кой рядом с массовым числом). Если энергия нейтрона мала, то энергия
возбуждения близка к энергии связи нейтрона в ядре зб^г- Дальнейшие
стадии распада возбужденных ядер показаны на рис. 14.10.
10,090 МэВ
2,074 МэВ
1,990 МэВ
Рис. 14.10. Схема распадов возбужденного ядра брома с образованием изомерного
состояния E~). Распад ядер брома, находящихся в основном состоянии, может
происходить по каналам C+-распада, /5™-распада и путем электронного захвата.
Штриховой линией показан уровень B™), на который осуществляется переход из
изомерного состояния
Долгоживущие возбужденные состояния ядер получили название "изо-
"изомерных состояний", а само явление — "ядерной изомерии". Ядерные изо-
изомеры обозначают обычным символом, но с добавлением индекса "га" к
атомному весу. Этот индекс происходит от слова "metastable" — метаста-
бильный, почти устойчивый. Таким образом, символы упоминавшихся изо-
изомеров — это 21^шРа и §§шВг.
Времена жизни ядерных изомеров простираются от микросекунд до
нескольких лет. Одним из наибольших из известных периодов полураспада
14.14. Ядерные изомеры 3 09
обладает изомер 2ggmBi — 3 • 106 лет. Многие ядра имеют более одного
изомера.
Причина существования ядерной изомерии состоит в том, что вероят-
вероятность 7-распада изомерного ядра может оказаться малой из-за особенно-
стей квантового состояния изомера. Наиболее часто это наблюдается в тех
случаях, когда соответствующее возбужденное состояние обладает энерги-
энергией Е^т\ близкой к энергии основного состояния Е^°\ Кроме того, ядра в
возбужденном и основном состояниях должны обладать сильно различаю-
различающимися значениями спина. Качественно понять, как работают сформули-
рованные требования, можно из следующих соображений.
Амплитуда электромагнитного поля при L-польном излучении про-
пропорциональна величине
^), A4.54)
где R — характерный линейный размер излучающей системы. Соответ-
ственно мощность и, следовательно, вероятность излучения окажутся про-
пропорциональными
(RUJ\2L /цссч
. A4.55)
Для 7^перехода частота определяется соотношением hw = АЕ = Е^ ~~
— Е^. При испускании 7~квантов должен выполняться также закон сохра-
сохранения момента импульса: L = А/ = /(ш) — /(°\ где /(ш) и /(°) — спины
возбужденного и основного состояний ядра. Поэтому
w~ (—АЕ) . A4.56)
\ch /
Последняя формула дает количественное обоснование требований, предъ-
предъявляемых к изомерам: малые значения АЕ и большие значения А/. По-
Поэтому при большой разнице спинов 7™излучение должно обладать высокой
мультипольноетыо, т. е. быть либо квадрупольным, либо октупольным и
т. д. Тогда вероятность распада изомера окажется малой.
Заметим, что аналогичные соображения были использованы при уста-
установлении правил отбора A5 = 0,AJ = 0, ±1 для атомных переходов:
вероятность мультипольного излучения (с L = 2, 3, ...) мала именно
вследствие большой длины волны излучаемого кванта.
Приведем некоторые данные об упомянутых в начале раздела ядрах.
Оказалось, что спин-четность у изомерного ядра збшВг есть 5~, ау
основного состояния — это 1~. Переход из изомерного состояния осу-
осуществляется на промежуточный уровень 2~, отстоящий от изомерного на
А^ = 48,85 КэВ и обладающий малым временем жизни (см. рис. 14.10).
Для изомерного состояния протактиния 2|отРа спин-четность есть 0~,
а ближайший уровень, на который должен осуществляться переход, отстоит
на 73,92 КэВ и имеет спин-четность 3+. Период 7~раепада изомера столь
велик, что с существенно большей вероятностью происходит его /3-распад.
310 Гл.14. Строение и свойства ядер
В результате оказывается, что изомерное состояние живет меньшее время
A,22 мин), чем основное F,7 ч): время жизни обоих состояний ограничено
главным образом Д-распадами, а не 7™переходами.
Наконец, следует отметить, что существуют ядерные изомеры, обла™
дающие теми же значениями спина, что ядра в основном состоянии, но
отличающиеся от них по своей структуре. Возможны также ядерные изо-
изомеры, отличающиеся формой (т. е. наличием несферичности, некоторой
конечной деформации) — так называемые ядерные изомеры формы. Пе-
Переходы из таких состояний в основное могут быть затруднены по иным
причинам, чем рассматривалась выше.
14.15. Деление ядер
В 1939 г. О. Ганн и Ф. Штрассман доказали, что при облучении урана
нейтронами возникают ядра с меньшими атомным весом и зарядом. Это
означало, что имеет место вынужденное деление ядер. Наряду с вынужден-
вынужденным, возможно и спонтанное (самопроизвольное) деление тяжелых ядер
(хотя более вероятными являются как правило другие типы распада). Это
явление обнаружили в 1940 г. Г. Н. Флеров и К. А. Петржак. Однако для
сверхтяжелых ядер именно спонтанное деление является доминирующим
каналом распада, ограничивающим их время жизни.
Как было показано выше (см. A4.8), A4.9)), для тяжелых ядер деле-
деление — энергетически выгодный процесс: на каждый акт деления тяжелого
ядра выделяется энергия порядка 200 МэВ. В то же время это явление в
действительности наблюдается только в случае самых тяжелых ядер. Объ-
Объяснение данного факта на основе капельной модели предложили почти
одновременно в 1939 г. Я. И. Френкель, Н. Бор и Дж. Уилер. Суть их идеи
в следующем.
Ядро может деформироваться как капля жидкости, практически не ме-
меняя своего объема. Эта капля, однако, заряжена. В основном состоянии
капля имеет почти сферическую форму. Поэтому растяжение (деформация)
капли приводит к уменьшению кулоновской энергии. С другой стороны,
эта деформация приводит к увеличению площади поверхности капли, в
результате чего возрастает ее поверхностная энергия. В итоге каким-то об-
образом меняется полная энергия ядра. Если при малой деформации энергия
уменьшается (АЕ < 0), то оказывается выгодной дальнейшая деформация,
вытягивание ядра. Это означает, что ядро неустойчиво по отношению к та-
таким деформациям и может самопроизвольно разделиться на части. Если
же изменение энергии АЕ > 0, то деформация оказывается энергетически
невыгодной. В этом случае процесс деления если и возможен, то затруднен.
На рис. 14.11 представлен качественный вид зависимости энергии яд™
pa U от величины деформации е. На рис. 14.11, а внизу показана форма
ядра, отвечающая характерной величине деформации. В ряде случаев наи-
наинизшей энергией обладает ядро с малой, но конечной деформацией. Это
отражено на рис. 14.11, а как наличие минимума при е = г® > 0. Наличие
14.15. Деление ядер
311
такого минимума связано с особенностями оболочечной структуры ядра.
В том случае, когда ядро неустойчиво по отношению к делению, зависи-
зависимость U(e) имеет вид, показанный на рис. 14.11, б.
Рисунок 14.11 позволяет понять явление спонтанного деления ядер,
устойчивых по отношению к малым деформациям (рис. 14.9, а): для умень™
шения энергии ядру нужно преодолеть барьер деления, т. е. пройти через
область Е < Um. Это возможно за счет туннельного эффекта. При этом чем
ниже лежит минимум Е на кривой U(е), тем менее вероятным оказывается
деление ядра, тем больше его время жизни по отношению к этому процессу.
Наоборот, если Е = Um9 то ядро оказывается абсолютно неустойчивым и
делится практически сразу после своего образования.
Найдем границу устойчивости ядер по отношению к делению.
О со
Рис. 14.11. Качественный вид зависимости энергии ядра от величины деформа-
деформации в случаях ядра, устойчивого (а) и неустойчивого (б) по отношению к малым
деформациям
Пусть в недеформированном состоянии ядро имеет вид шара радиу-
радиуса R. Предположим, что в деформированном состоянии ядро имеет форму
эллипсоида вращения с полуосями (а, Ь, Ъ). Введем параметр е, характера
зующий деформацию ядра, следующим образом:
Ь =
R
A4.57)
В этих предположениях объем капли не меняется в результате деформации:
V = —R =
з
4тг
аЪ .
Согласно формуле Вайцзеккера A4.11) существенные при деформации
факторы учитываются следующими слагаемыми в энергии связи:
-ac
Z2
А1/3'
A4.58 а)
Нам сейчас удобнее говорить не об энергии связи, а о полной энергии ядра.
Имея в виду, что рост энергии связи означает уменьшение полной энергии,
312 Гл.14. Строение и свойства ядер
мы должны взять слагаемые вA4.58а)с противоположными знаками, т. е.
рассматривать величину
2^ j^ A4.58 б)
Слагаемые в A4.58 б) приведены для случая сферической формы ядра.
Для ядра, имеющего форму эллипсоида с полуосями A4.57), нужно учесть
изменения поверхностной и кулоновской энергий. Можно показать, что
при \е\ <С 1
— —с
5 ЕС 5
Поэтому изменение энергии ядра при малой деформации составляет
АЕ = - \2asA2^ - ас—] г2. A4.60)
5 L AV3J
Как было сказано выше, ядро оказывается неустойчивым по отношению
к делению, если при малой деформации окажется АЕ > 0. Это условие
означает, согласно A4.60), что
^!>^~50. A4.61)
А ас
Если выполняется противоположное неравенство, то ядро устойчиво по
отношению к малым деформациям. Величину Z2 / А называют параметром
делимости ядра.
Таким образом, условие A4.61) определяет границу абсолютной неустой™
чивости ядер. Используя формулу, выражающую заряд ядра через полное
число нуклонов для /3-стабильных изобаров, Z = , можно
показать с помощью A4.61), что неустойчивы все ядра, начиная с
А = 385, Z = 138. A4.62)
Разумеется, все сказанное справедливо только в том случае, если в этой
области можно доверять формуле Вайцзеккера.
Здесь уместно отметить, что все трансурановые элементы (ядра с чис™
лом протонов Z > 92) в природе не существуют, поскольку время их жиз™
ни меньше времени существования Земли (~ 5 • 109 лет), хотя и может
быть довольно большим. Приведем для справки времена жизни самых дол-
гоживущих изотопов некоторых трансуранов. Например, нептуний 2g|Np
имеет период полураспада 1\/2 ~ 2,14 • 106 лет (основной механизм рас™
пада — «^радиоактивность), изотоп плутония 2q^Pu имеет время жизни
Т\/2 ~ 8,2 • 107 лет (ограничиваемое «^активностью и спонтанным рас™
падом), время жизни изотопа кюрия ^Ст составляет 7\/2 « 1,6 • 107
(ограничено о-распадом), калифорний 2g|Cf распадается примерно за
14.15. Деление ядер 313
900 лет и т. д. Элементы же с Z > 107 обладают временем жизни, ис-
исчисляемым тысячными долями секунды и меньше.
Итак, тяжелые ядра неустойчивы и в результате какого-либо процес-
процесса распада превращаются в иные, устойчивые (или долгоживущие) ядра.
При этом оказалось, что время жизни трансурановых элементов убывает
с ростом Z. В то же время теоретические исследования, основанные на
усовершенствованной обол очечной модели, показали, что существует так
называемый "островок стабильности", в котором ядра обладают повышен™
ной устойчивостью. Этот островок приходится на магическое число про-
протонов Z « 114. В частности, при числе нейтронов N и 184 ядро 114Х ока-
оказывается дважды магическим и, следовательно, должно обладать особой
устойчивостью. Действительно, синтезированные в последнее время от-
отдельные ядра с близкими Z обладали огромными, макроскопическими вре-
временами жизни. Это, по-видимому, делает возможным получение измери-
измеримых количеств таких элементов и их исследование обычными физию>
химическими методами. В то же время данный островок, скорее всего,
последний в трансурановой области, поскольку он расположен достаточно
близко к порогу абсолютной неустойчивости A4.61).
Завершая изложение начал квантовой механики, отметим, однако, что в
стороне остались такие темы, как вынужденное деление ядер и связанные с
этим вопросы ядерной энергетики, проблемы термоядерного синтеза, ней-
нейтронной физики и ряд других. Кроме того, одно из важнейших направлений
современной физики — физика элементарных частиц (или физика высоких
энергий)—также осталось за рамками этой книги. Все это, а также дальней-
дальнейшие приложения квантовой механики в физике твердого тела (в частности,
в физике металлов и полупроводников), в физике сверхпроводимости и т. д.
должно составить содержание отдельной книги.
ДОПОЛНЕНИЕ
Об уравнении Шредингера
Благородный муж, способный, обращаясь в
прошлое, разглядеть зерна будущего, досто-
достоин называться ученым.
(Конфуций)
Представляет интерес проследить, как сам Э. Шредингер пришел к
своему уравнению, завершающему логическую схему квантовой механики.
Исходным пунктом рассуждений Шредингера было то, что скорость
распространения частицы-волны есть групповая скорость волны. Иначе го-
говоря, Шредингер считал частицу цугом волн, волновым пакетом, и перенес
на такие объекты представления волновой оптики.
Прежде всего, Шредингер убедился в том, что траектории светового
луча и обычной частицы могут быть единообразно описаны с помощью
вариационного принципа. Для света в среде с показателем преломления п
справедлив принцип Ферма:
в
А
а для частицы с заданным значением энергии Е — принцип Мопертюи:
в
5 I л/2т[Е - U{t)} ds = 0.
(Д.2)
А
В (Д.1) и (Д.2) ds — это элемент длины траектории, соединяющей точки
А и В.
Чтобы увидеть аналогию между этими принципами, следует переписать
принцип Ферма в ином виде. Именно, учтем, что фазовая скорость света в
среде равна
и = -. (Д.З)
п
Тогда соотношение (Д.1) примет вид
в
Л - = 0, (Д.4)
J и
А
Дополнение 315
После этого соотношения (Д.4) для света и (Д.2) для частиц оказыва-
оказываются идентичными, если принять, что частица характеризуется фазовой
скоростью
п= С . (Д.5)
y/2m[E-U(r)]
Здесь С — некоторая константа, не зависящая от координат.
Вместе с тем реальная, физическая частица должна двигаться со
скоростью
v = ^л/2т{Е^иI (Д.6)
т
которая, по мысли Шредингера, представляет собой скорость групповую.
Такая же ситуация имеет место и в случае света: реальный световой сигнал
в среде распространяется именно с групповой скоростью. Это соображе-
соображение, взятое из оптики, позволяет связать фазовую и групповую скорости
частицы.
Как известно, фазовая и и групповая v скорости света определяются
формулами
«-*. ,Д7,
V=Tk (Д8)
Поскольку согласно (Д.7) к = и/и, соотношение (Д.8) можно переписать в
следующем виде:
- = т = т (-) ¦ (д-9)
v аи) аи) \и У
Далее Шредингер учел гипотезу Планка, согласно которой энергия кван-
кванта связана с его частотой соотношением
E = hw. (Д.10)
Это позволило переписать формулу (Д.9) следующим образом:
1 d (^ (Д.11)
и в таком виде применить ее к частицам. Подставляя сюда выражения (Д.5)
и (Д.6), получим
т d
л/2т{Е - U) dE \С
Записывая левую часть этого равенства в виде
т d
^2т(Е - U) dE
приходим к заключению, что
(л/2т{Е - */)) ,
- - 1) л/2т(Е - U) = const, (Д. 12)
G
316 Дополнение
где константа (const) не зависит от энергии. Поскольку равенство (Д. 12)
должно выполняться для всех значений энергии Е9 следует положить
const = 0 и С = Е. Таким образом, мы получили окончательное выра-
выражение для фазовой скорости частицы:
и = ^ (Д.13)
которое, в полном соответствии с (Д. 7), может быть представлено в виде
Е 1
Р '
Заметим также, что сопоставление этой формулы с формулами (Д.7),
(Д. 10) дает связь между волновым числом к и импульсом частицы:
V = Пк. (Д. 15)
Соответственно для длины волны частицы получается выражение
х т 2жи 2ттТш 2тхК h h /тт л ^ч
Л = и± = = = = — = —, (Д. 16)
ш Е р л/2т(Е — U) mv
где введено обычное обозначение h = 2тг Н. Здесь использованы формулы
(Д.13), (Д.14).
Теперь можно построить волновое уравнение для частиц. За основу
дальнейших рассуждений Шредингер взял волновое уравнение
В него входит фазовая скорость и9 выражение для которой дано в (Д.13).
Рассматривая состояния с заданным значением энергии Е или, что эквива-
эквивалентно, частоты ш = E/h:
ф = фо(г) ехр (-го;*) = ^о(г) ехр -г— , (Д. 18)
перепишем (Д. 16) в виде
Аф + — ф = 0
^ h2u2 г
или, после подстановки сюда выражения (Д.13), в виде
Это известное уравнение Шредингера, определяющее волновую функ-
функцию для стационарных состояний. Чтобы отсюда перейти к уравнению
Дополнение 317
для произвольных, в том числе и нестационарных, состояний, достаточно
заметить, что согласно (Д. 18)
— = —г—-ш, или Еф = ш—. (Д.20)
dt n dt
Исключая с помощью этого равенства энергию из уравнения (Д. 19),
получим
ih^ = -—Аф + иф. (Д.21)
dt 2m
Это и есть окончательная форма уравнения Шредингера для частицы в
потенциальном поле С/(г).
Следует отметить, что сам Шредингер до конца жизни был уверен, что
частиц нет, а имеются только волны: частицы — это волновые пакеты.
Соответственно он полагал, что разработал волновую механику, динамику
волн в потенциальных полях. Вероятностную же интерпретацию теории,
предложенную М. Борном, Шредингер не хотел признавать, отметив тем
не менее в письме к М. Планку: "Если действительно нужно, постараюсь
привыкнуть и к таким вещам".
СЕМИНАР
Semen — 1) семя, 2) зародыш, начало,
3) основная причина, первоисточник.
Seminarium — рассадник, питомник.
(из латинско-русского словаря)
Семинар (от лат. seminarium) —
групповое занятие по какой-либо на-
научной, учебной и др. проблеме с це-
целью более глубокого ее изучения.
(из энциклопедического словаря)
Задача 1. Используя преобразования Лоренца, показать, что масса
фотона равна нулю.
Решение. Требование Лоренц-инвариантности физической теории
означает, что энергия и импульс системы преобразуются при переходе от
одной инерциальной системы отсчета к другой по формулам преобразова-
преобразований Лоренца для 4-вектора импульса р = (Е/с, рх, ру, pz):
E =
= ' —
Здесь величины без штриха относятся к лабораторной системе отсчета К,
а величины со штрихом — к системе К\ движущейся со скоростью V
относительно К. Вектор скорости V системы К' относительно системы К
предполагается направленным вдоль оси ж.
С другой стороны, как известно из классической электродинамики, ча-
частота и волновой вектор электромагнитной волны также образуют вместе
4-вектор k = (uj/Cj kXj kyj kz). Этот факт следует из того, что фаза волны
(определяющая, в частности, число ее узлов) есть инвариант относительно
перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой: Lp = ш t — kr =
= inv . В результате оказывается, что формулы пересчета имеют вид
и = ^, кт = — —, ку = toy, kz = kz. B)
к
У
Умножим здесь почленно первое равенство на постоянную Планка:
О)
Семинар 319
Для получения искомой связи между энергией и импульсом фотона вспом-
вспомним, что гипотеза Планка состояла в том, что энергия фотона связана с его
частотой соотношением
Е = hu: D)
причем такое равенство должно выполняться в произвольной системе от-
отсчета (с учетом только возможного изменения частоты за счет эффекта
Доплера). Это значит, что мы должны положить
Е1 = two' E)
и вместо C) получим
Е' = E-hkV F)
У1 - (V/CJ
Сравнивая полученное равенство с первым равенством в A), немед-
немедленно заключаем, что рх = Ькх. Ввиду произвольности величины и на-
направления скорости V связь импульса и волнового вектора можно записать
в векторном виде:
р = Нк. G)
Таким образом, к связи импульса фотона и его волнового вектора при™
водит требование релятивистской инвариантности законов физики.
Поскольку для света частота и волновой вектор волны связаны соот-
соотношением ш = ск9 умножая это равенство почленно на ft, заключаем, что
аналогичная связь существует между энергией и импульсом фотона:
Е = рс. (8)
Но последнее равенство, согласно формуле
Е = у/(рс)* + (тос2J, (9)
означает, что масса фотона равна нулю, wq = 0.
Следует также отметить, что соотношение (8) можно установить и непо-
непосредственно из формул для энергии и импульса электромагнитной волны.
В самом деле, объемная плотность энергии электромагнитного поля дается
выражением
w = , A0)
8тг
а объемная плотность импульса — выражением
g = ls = J-[EH]. A1)
CZ 47ГС
Здесь S — вектор Пойнтинга. В плоской электромагнитной волне в вакууме
колебания векторов напряженностей электрического (Е) и магнитного (Н)
320
Семинар
полей синфазны, их амплитуды равны, а сами векторы Е и Н взаимно
перпендикулярны: EJ_H. Поэтому можно записать
\ g
4тг
откуда и следует искомая связь: w = gc.
A2)
3 ад ача 2. Получить формулу, определяющую изменение длины вол-
волны фотона при рассеянии на покоящемся электроне (эффект Комптона).
Решение. Пусть электрон — свободный, его энергия связи в атоме
мала по сравнению с энергией фото™
на. Предположим, что электрон снача-
Хч л а покоился, v0 = 0. Обозначая энер-
энергию покоя электрона как Е$ = тпос2,
а энергию и импульс электрона после
столкновения — соответственно как
xj^x Ef и р;, запишем законы сохранения
/Ж / энергии:
Пш + Ео = Йа/ + Ef
и импульса:
Рис. 1. К выводу формулы эффекта
Комптона. Электрон сначала покоил-
покоился, vq = 0. Як — импульс налетаю-
налетающего фотона, Hhf — импульс рассе-
рассеянного фотона, р; — импульс рассе-
рассеянного электрона
на рис. 1.
Пк =
A)
B)
Здесь величины без штрихов опи-
описывают электрон и фотон до столк-
столкновения, а величины со штриха-
штрихами — после столкновения. Диаграмма
закона сохранения импульса показана
Энергия движущегося электрона связана с его скоростью соотношением
Е= -
л/1 - («/сJ
Для дальнейших расчетов удобно ввести обозначение
m =
лЛ-WcJ'
C)
D)
так что выражения для импульса и энергии электрона после столкновения
с фотоном примут более компактный вид: р; = mv и Е' = тс2.
Из закона сохранения импульса следует
или
h(k - k') = m(v)v,
= H\k2 + k'2 -2kkfcos(
E)
Семинар 321
Поскольку к = ш/с, из закона сохранения энергии вытекает
Кк + ttiqc = hkf + тс*
или
тс = шос + h(k — kf). (б)
Возводя это равенство в квадрат, получим
mV = mlc2 + ft2(fc - kff + 2mocfi(fc - kf) =
= mlc2 + ft2(fc2 + fc/2 - 2^;) + 2moch(k - kf). G)
Вычитая почленно E) из G), находим
т2(с2 - v2) = mlc2 + 2moch(k - kf) - 2h2kkf(l - cos6>). (8)
Согласно D) ш2(с2 — t;2) = rn^c2. Поэтому из (8) следует
2m,Qch(k - k!) = 2h2kkf(l - cos^), (9)
или
к-к'= — (l-cos0).
Умножая обе стороны этого равенства на 2тг и деля на кк', получим
— — — = A — CQS$).
ill ^ '
к' к niQC
Имея в виду, что длина волны А связана с волновым числом к соотношением
А = 2п/к, приходим окончательно к соотношению
А;- А = АоA -cos 9). A0)
При этом мы получили явное выражение для константы Aq :
Ао = —= 2тгА. A1)
ТПОС
Величина
А = — = 0,00386 А= 3,86 • НГ11 см A2)
называется комптоновской длиной волны. Ее иногда обозначают симво-
символом А (по аналогии с "перечеркнутой" постоянной Планка h = /г/2тг).
3 ад ача 3. Исходя из представления о фотонах, найти давление, про-
производимое светом.
Решение. Рассмотрим излучение с частотой и, падающее по норма™
ли на плосвую поверхность мишени и поглощаемое веществом. Каждый
фотон потока излучения обладает энергией Е = hu и импульсом р = Е/с.
322 Семинар
За время At на поверхность площади S попадет число фотонов, равное
N = cAtSn, где п — число фотонов в единичном объеме пространства,
занятого излучением. Соответственно за единицу времени мишени будет
передан импульс, равный
^р = ^р= csnp = nSE = nShv. A)
At At
Величину п можно представить как
где w — плотность энергии излучения. Поэтому соотношение A) прини-
принимает вид
^ = sw. C)
At
Поскольку импульс, сообщаемый в единицу времени, есть сила, то найден™
ная величина есть средняя сила, с которой излучение действует на мишень.
Давление же определяется силой в расчете на единичную площадь по-
поверхности:
P=±*p=w. D)
S At
Мы рассмотрели случай, когда излучение полностью поглощается веще-
веществом мишени. Если же излучение частично отражается (с коэффициентом
отражения R по интенсивности), то величина давления будет складывать™
ся из двух частей: давления, производимого излучением при попадании
на поверхность, и давления, производимого излучением, отраженным от
поверхности:
-0 = -°пад + -0от. E)
ПОСКОЛЬКУ РПад = ^? Рот = Rwj TO
Р = A + R)w. F)
Заметим, что интенсивность солнечного света, падающего на поверх™
ность Земли, составляет 1 = 2 ккалДсм2 • мин), чему соответствует давле-
давление, производимое солнечным светом, Р = 4,7 • 10™6 Н/м2 (при условии
полного поглощения, R = 0).
3 а д а ч а 4. Исходя из представления о фотонах, получить формулу для
эффекта Доплера в случае источника, движущегося навстречу приемнику
со скоростью V <С с.
Решение. Рассмотрим процесс, в котором движущееся тело испус-
испускает фотоны. Пусть тело вначале имело внутреннюю энергию Щ, а после
испускания фотона — энергию U''. Иными словами, при испускании одного
фотона внутренняя энергия вещества меняется на величину
Uo - U! = hu0, A)
Семинар
323
/ik
где щ — частота фотона в системе отсчета бесконечно тяжелого источника,
определяемая только свойствами самого излучающего тела (т. е. структурой
его энергетических уровней). Пусть ис-
источник имеет массу М, причем эту массу
будем считать достаточно большой, что-
чтобы изменение состояния тела в результате
испускания фотона оказалось малым. Од™
наго хотя это изменение и невелико, мы
должны учесть эффект отдачи. Для это-
этого запишем законы сохранения энергии и
импульса:
MV
MV7
му-
¦С/о =
MV
. Jjf _|_ fijj Q\ Рис. 1. Диаграмма импульсов
источника (излучающего тела)
и испущенного фотона
2 2
MV = MV' + йк, C)
где к — волновой вектор испущенного фотона. Диаграмма импульсов для
рассматриваемого процесса показана на рис. 1.
Для нахождения наблюдаемой частоты фотона v преобразуем уравне-
уравнение B):
^(V + V;)(V - V;) = h{y - z/0). D)
Здесь мы заменили разность Uq — Uf величиной Нщ. Далее учтем, что
изменение скорости тела в результате испускания фотона мало, так что
можно положить V + V; « 2V. Это дает
M(V -V')V = h(v - щ).
E)
Заменяя произведение M(V — V;) величиной Кк = —к в соответствии с
законом сохранения импульса, получим
= 2тг(г/-и0).
F)
Согласно рис. 1 и определению волнового числа (fc = 2тгр/с) перепишем
скалярное произведение kV в виде
kV =
2тп/-.
с
В результате из F) получаем искомое выражение для сдвига частоты:
v =
1 - (V/с) cos в
/1/ \
)A + -COS0J .
V с /
G)
(8)
Заметим, что по смыслу вывода последней формулы в ней предполагает-
предполагается, что при в = 0 источник излучения (атом) движется навстречу приемнику.
Кроме того, переходя к круговым частотам, формулу G) часто записывают
в виде
ш = ш0 + kV, (9)
324 Семинар
где длина волнового вектора к равна к =
Приведем также вывод выражения для эффекта Доплера для случая
произвольных (в том числе больших) скоростей движения источника.
Пусть источник светового сигнала находится в системе отсчета 5;, дви-
движущейся со скоростью V относительно лабораторной системы 5. Как из-
известно, полная энергия Е и импульс р вместе образуют 4-вектор, компонен-
компоненты которого преобразуются при переходе от одной инерциальной системы
отсчета к другой по формулам преобразования Лоренца. В частности,
F/= E~P
j
Здесь в —угол (в системе отсчета приемника) между вектором скорости фо-
фотона и направлением движения системы S''. Далее используем следующие
соотношения:
E' = hu0, E = hu, p = E/c = hu/c. A1)
Подставляя эти выражения в (8) и разрешая получившееся равенство отно-
относительно и, получим
^A2)
Щ
l-(y/c)cos0
Эта формула в пределе V <С с переходит в формулу G), полученную выше
из иных соображений.
В частном случае, когда в = 0, из A0) следует
A3)
что отвечает обычному выражению для продольного эффекта Доплера, ко-
когда источник сигнала приближается к приемнику вдоль прямой, соединяю-
соединяющей их. Если же в = тг/2, то из A0) следует
. A4)
Эта формула описывает поперечный эффект Доплера, отвечающий случаю,
когда сигнал посылается перпендикулярно направлению движения источ-
источника.
Задача 5. Используя законы термодинамики, найти температурную
зависимость плотности энергии равновесного излучения.
Решение. Фотоны — это ультрарелятивистские частицы, движущи-
движущиеся со скоростью v = с. Поэтому давление фотонного газа связано с плот-
плотностью энергии соотношением
р = р/з. A)
Семинар 325
Для равновесного излучения плотность энергии есть функция только
температуры. Следовательно, внутренняя энергия излучения, находящегося
в объеме V, равна
U(T, V) = p{T)V. B)
Найдем зависимость р от температуры. Используем основное термоди™
намическое соотношение:
TdS' = dU + PdV, C)
где S — энтропия, Р — давление, V — объем. С другой стороны, считая
U = С/(Т, V), можем записать
f dT+ \(—) +F dV. D)
KdTJv [KdV/T j
Полагая здесь dT = 0, имеем
/Яи-) +Р. E)
Для исключения энтропии из этого равенства воспользуемся тожде-
тождеством Максвелла. Именно, для свободной энергии F = U ^TS справедливо
равенство dF = -SdT - PdV. Поэтому S = - (—) , Р = - (—) ,
\dTJv \dVJT
dS\ _ fdP^
'v
+ p F)
откуда следует тождество ( — ) = ( — . Таким образом, получаем
\dV J т \дТ/ v
)
dVJT
Подстановка сюда выражений A) и B) для давления Р и энергии U
равновесного излучения приводит к дифференциальному уравнению
ml dp ,1 dp 4p /_ч
Т^—=р+™р, или -J- = J-. G)
3 dT 3 dT T
Решение полученного уравнения имеет вид
(8)
Константа а не может быть определена только методами термодинамики.
Заметим, что для изотропного газа (в нашем случае — фотонов равно™
весною излучения) плотность потока энергии дается формулой
q = -n(ev), (9)
4
где п — концентрация частиц (част./см3), v — скорость частиц, е — энер™
гия, приходящаяся на частицу, а угловые скобки означают усреднение по
статистическому распределению частиц. Для фотонов (света) величина q
326 Семинар
совпадает с интенсивностью излучения I. Поскольку v = с, п(е) = р
плотность энергии, то
1=ср = сат^
4 4
Сравнение этого равенства с законом Стефана-Больцмана (I = аТА) поз-
позволяет выразить константу а через постоянную Стефана-Болыгмана а:
а=^. A1)
3 а д а ч а 6. Найти теплоемкость равновесного излучения.
Решение. Используем термодинамические тождества. Будем исхо™
дить из закона сохранения энергии в форме
A)
Как известно, теплоемкость определяется соотношением
^процесс — I ""—=^=7 i * vzi
\al / процесс
Она, очевидно, зависит от конкретного процесса, что подчеркнуто индексом
"процесс". Мы найдем теплоемкость в двух процессах: изохорическом (V =
= const) и изобарическом (Р = const).
Рассматривая внутреннюю энергию как функцию температуры и объе-
объема, запишем
т\ №\ C)
т\ аг+№\ dv.
dTJv \dVJT
С учетом равенств A) - C) находим выражение для теплоемкости:
сп
роцессь
дТ/у
dV/T
F dV. D)
Для нахождения теплоемкости при постоянном объеме полагаем здесь
dV = 0, так что оказывается
Как было показано в задаче 5, внутренняя энергия равновесного излу-
излучения, занимающего объем V и имеющего температуру Т, равна
U = аТ% F)
где а — некоторая константа. Тогда из E) следует, что
Су = V^- = 4aT3K G)
dT
Семинар 327
Найдем теперь теплоемкость при постоянном давлении Ср. Для рав-
равновесного излучения изобарический процесс (Р = const) является одно™
временно изотермическим (Т = const), поскольку имеет место уравнение
состояния Р = р/3, в котором р = р(Т). Это означает, что в данном про™
цессе dT = 0. Следовательно, Ср = оо. Этот же результат можно получить
формально из соотношения D). В самом деле, перепишем это соотношение
для случая Р = const в виде
\dTJv
) +Р\(Ц Cv+
dV/T j \dTJ p (dT/dV)
(8)
Для равновесного излучения величины, стоящие в числителе, принимают
положительные значения для всех ненулевых температур. Производная же
(dT/dV)p, стоящая в знаменателе, равна нулю, поскольку при постоянном
давлении температура равновесного излучения не зависит от объема в силу
уравнения состояния. Это и означает, что Ср = оо.
3 а д а ч а 7. Получить связь между объемной плотностью энергии рав-
равновесного теплового излучения и излучательной способностью тела.
Решение. Для полноты изложения предварительно дадим некоторые
определения фотометрии.
Потоком энергии Ф называется количество энергии излучения, пере-
переносимое в единицу времени, [Ф] = Вт. Выделим излучение с частотами
в малой окрестности частоты и. Тогда можно ввести спектральную плот-
плотность потока излучения Фш соотношением
dФ = <&udu. A)
Поток энергии йФ с площади поверхности тела dS в телесный угол dVt
равен
йФ = В dU dS± =BdUdS cos 8. B)
Величина В называется испускателъной {излучательной) способностью
тела в заданном направлении или энергетической яркостью. С ней свя-
связана светимость R:
R= I В cos В dfi. C)
Спектральная испускателъная способность Вш на частоте ш определя-
определяется соотношением
dB = ВШ<Ь). D)
Аналогично соотношением
dR = R.jdu; E)
вводится спектральная светимость Ruj.
Источник (светящееся тело) называется ламбертовским (следует зако-
закону Ламберта), если его иепускательная способность не зависит от направ-
направления. Иными словами, две площадки с одинаковой видимой площадью
328
Семинар
dS±(рис. 1) излучают в один и тот же телесный угол одинаковый поток
энергии.
Пусть по закону Ламберта излучает плоская поверхность @ ^ В ^
^ тг/2). В этом случае испускательная способность В и светимость R
связаны простым соотношением:
dS±
тг/2
R= I В cos 8 du =
в
e=o
тг/2
dS
Б cos В 2тг sinBdB = тгБ.
е=о
F)
Рис. 1. Полная dS и видимая dS± пло-
площади светящейся поверхности
Пусть на тело падает поток энер-
энергии ф(пад). При этом тело поглощает
поток энергии ф(погл). Величина А = ф(погл)/ф(пад) называется поглоща-
тельной способностью тела. Рассматривая излучение на частоте и9 можно
ввести спектральную поглощателъную способность Аш = Фц;П° /Фи;П .
При этом
ф(погл) =
G)
v±dt
Перейдем теперь к решению поставленной задачи.
Рассмотрим состояние равновесия поглощающего тела и излучения.
Пусть рш — спектральная плотность
энергии равновесного излучения (в еди-
единичном объеме). Выделим диапазон
спектра ш -ь ш + du. Вследствие изотро-
изотропии доля излучения летящая в телесный
,п du
угол аи, есть —, а соответствующая
4тг
плотность энергии в интервале частот du
равна Pujduj —. За время dt до поверх-
4тг
ности долетит излучение, удаленное от
нее на расстояние v± dt = с cos В dt
(рис. 2). Энергия излучения, находяще-
находящегося в цилиндре высотой v± dt и площа-
площадью основания dS9 равна
dS
Рис. 2. К выводу закона Кирхгофа
dU = dSv± dtp^duj— = ^dcu cos В du dS dt.
4tt 4tt
(8)
Семинар 329
Поэтому поток энергии, падающий на тело, равен
dt 4тг
Этот поток поглощается телом:
йфСпогл) = Д^Ф(пад). A0)
Поглощенная энергия преобразуется в излучаемую энергию:
В состоянии равновесия поглощенный и излученный потоки совпадают:
^ф(погл) = ^фСизл)^ отсюда следует, что
Аш ^i duo cos в dS dU = B^du; cos в dS dft, A2)
4тг
ИЛИ
Аш 4тг *
Полученное равенство выражает закон Кирхгофа: отношение испуска™
тельной способности тела к его поглощательной способности одинаково
для всех тел и является универсальной функцией частоты и абсолютной
температуры. Данный закон был установлен в 1859 г.
Тело, для которого Аш = 1, называется абсолютно черным; оно пол™
ностыо поглощает падающее на него излучение, "перерабатывая" его в
равновесное излучение с температурой, равной температуре тела. Поэтому
о
отношение — = ?ш совпадает с испускательной способностью абсолютно
черного тела, а для последней формула A3) дает явное выражение через
плотность энергии равновесного излучения:
еш = ^. A4)
4тг
Заметим, что излучение абсолютно черного тела следует закону
Ламберта.
3 а д а ч а 8. Найти спектральную плотность мод (число состояний) элек-
электромагнитного излучения в полости, размеры которой много больше длины
волны.
Решение. Найдем число различных осцилляторов с частотами
ш -±ш + dou. Рассмотрим излучение, помещенное в большой прямоугольный
ящик объемом V со сторонами Lx, Ly, Lz. Поле излучения в этом ящике
представляет собой суперпозицию плоских волн, характеризуемых часто-
частотой ш и волновым вектором к. Считая, что поле находится в вакууме, имеем
330 Семинар
связь между а; и к: а; = ск. В ящике с зеркальными стенками проекции
волнового вектора могут принимать следующие значения:
kx=*LNx, kv = —Nv, kz = —Nz, A)
±jx J^y J^z
где NXJ Nyj Nz = 0, ±1, ±2, ... Отсюда находим, что число ANX
различных значений кх в интервале Акх равно ANX = — Акх. Аналогич-
2тг
L- L
но ANy = —Аку, ANZ = — Afcz. Полное число различных значений
2тг 2тг
волновых векторов в диапазоне
равно
AN = ANxANyANz = LxLyLz AkxAk yAkz. C)
BтгK
Теперь необходимо учесть две возможные поляризации фотонов, что
удваивает полученное число AN. Имея в виду, что LxLyLz = V — объем
ящика, получим окончательно максимально возможное число фотонов в
ящике в элементе объема 3-мерного к-пространства:
D)
dN 2V.
BтгK
Поскольку мы имеем дело с равновесным излучением, которое изо™
тропно, записывая dsk = k2dkdft и выполняя интегрирование по всем
направлениям в телесном угле Q = 4тг, получим вместо D)
dN = V—. E)
Наконец, переходя от волновых чисел к частотам по формуле ш = ск,
приходим к искомому соотношению для полного числа мод в диапазоне
частот и ч- ш + du:
dN = V^, F)
Величина
L^L - J^ G)
V duj 7г2с3
дает спектральную плотность числа мод электромагнитного поля в единич™
ном объеме полости.
Формулу F) иногда удобно использовать в ином виде, перейдя от частот
к длинам волн по формуле ш = 2тгс/Х и произведя замену du/ш —» d\/X.
Тогда вместо F) будем иметь
V—^, (8)
A3 A W
Семинар 331
В таком виде это соотношение дает число мод, попадающих в диапазон
длин волн Л ч- А + dX.
3 а д а ч а 9. Вывести формулу Планка.
Решение. Энергия электромагнитного поля равна
W= fE2 + H2dH A)
J 8
Представим поле в виде суперпозиции плоских волн:
Е = E0(cj, k) ехр[г(кг - out)}, H = Н0(о;, к) exp[i(kr - out)]. B)
Тогда, вследствие некогерентности отдельных волн, полная энергия может
быть представлена в виде суммы энергий отдельных волн:
е=
(по всем
волнам)
С каждой плоской волной сопоставляется гармонический осциллятор, энер-
энергия которого, согласно квантовой механике, квантуется:
Еп = (п + ±) Ни. D)
Это значит, что электромагнитное поле может быть представлено в виде
некоторой совокупности квантов колебаний.
Заметим, что согласно гипотезе Планка свет излучается и поглощается
порциями. Это значит, что во всех процессах взаимодействия с веществом
поле выступает только в виде квантов — фотонов с энергией Ни и импуль-
сом Йк. Таким образом, поле представляет собой совокупность фотонов,
фотонный газ. Кроме энергии и импульса, фотон обладает некоторой по-
поляризацией (или спиральностью). В силу поперечности электромагнитных
волн для каждого волнового вектора существуют две независимые поля™
ризации (спиральности), которые будем нумеровать индексом j = 1, 2.
Энергия фотонного газа равна сумме энергий образующих его фотонов:
( ^) nKj=0, 1, 2, ..., E)
где k — волновой вектор.
После этих замечаний выведем сначала распределение Планка, опреде-
определяющее среднее число заполнения п для фотонов с частотой ш.
Как уже говорилось, электромагнитное поле можно рассматривать как
совокупность осцилляторов с разными частотами. Рассмотрим гармони™
ческий осциллятор с собственной частотой ш. Его энергия может прини-
принимать значения, даваемые формулой D). В соответствии с распределением
332 Семинар
Больцмана число частиц с энергией Еп в состоянии равновесия дается вы-
выражением
(M F)
где А — нормировочная постоянная, к в — постоянная Больцмана. Тогда
средняя энергия осциллятора оказывается равной
> nnsjj ехр
\^1 ( 1) G)
n=0
где введено обозначение
exp (hw/квТ) -
(8)
Последнее соотношение называется распределением Планка. Оно дает
среднее число фотонов, приходящихся на один осциллятор с частотой и, и
согласно G), определяет среднюю энергию осциллятора.
Если умножить число осцилляторов на среднюю энергию одного ос-
осциллятора (Е) с частотой а;(к), то мы найдем энергию излучения:
dU = huj(k)nkdN, (9)
где величина dN дается формулой
rJ3h
dN = 2V^^,
Bтг)з'
полученной в предыдущей задаче (см. формулу D)). Соответственно вместо
(9) получим
dU = W— — . A0)
BтгK ехр (Пи/квТ) - 1
В выражении для энергии Еп мы отбросили слагаемое Ни/2, так как его
вклад в полную энергию системы не зависит от температуры и устраняется
путем сдвига нулевого уровня (начала отсчета) энергии.
Если теперь учесть изотропию излучения, то следует выполнить инте-
интегрирование по всевозможным направлениям волнового вектора, что дает
^^A1)
dU V.
тг2с3 ехр (hw/квТ) - 1
^ „ 1 dU
Отсюда для спектральной плотности энергии излучения рш = нахо-
V duj
дим выражение
• A2)
) 1
г2с3
Семинар 333
Полученное соотношение называется формулой Планка. Умножив рш на
с/4 и перейдя к циклической частоте и = о;/2тг, получим выражение для
испускательной способности абсолютно черного тела, приведенное в гл. 1
(формула A.27)).
Задача 10. Найти величину плотности потока теплового излучения,
создаваемого слоем вещества толщиной L, нагретого до температуры Т и
имеющего коэффициент поглощения а.
Решение. В соответствии с законом Стефана - Больцмана массивное
тело при температуре Т создает равновесное тепловое излучение с интен™
сивностью
loo = <?Т\ A)
Рассмотрим распространение излучения вдоль оси z. Пусть излучение
с интенсивностью / попадает на слой вещества толщиной dz. На этом пути
будет поглощена часть излучения, равная
(dJ)i = -al dz. B)
Это значит, что слой имеет поглощательную способность
А = a dz. C)
Тогда по закону Кирхгофа рассматриваемый участок среды произведет из™
лучение с интенсивностью
(dlJ = A^=a dzaT4. D)
4
В результате полное изменение интенсивности при прохождении слоя
составит
dl= (-I + (iT4)a dz.
Мы получили дифференциальное уравнение
— = (-/ + аТ4)а, E)
dz
решение которого при начальном условии
I\z=0 = 70 F)
имеет вид
I = crT4 + (Io^cTT4)e~az. G)
В частном случае, когда /о = 0, т. е. рассматривается собственное излучение
слоя, находим
I = crT4(l-e~az), (8)
а на выходе из слоя толщиной L интенсивность составит
1 = стТ4A-е~аЬ). (9)
334 Семинар
Таким образом, только достаточно толстые слои вещества создают из™
лучение, интенсивность которого следует закону Стефана-Больцмана A).
Необходимо отметить следующее. В условии задачи предполагалось,
что коэффициент поглощения для излучения одинаков на всех частотах и
равен а, что позволяло использовать выражение для интенсивности в виде
A). В действительности вещество может поглощать излучение по-разному
на различных частотах. Пусть, например, излучение поглощается в спек™
тральном диапазоне До;, в котором применима теорема о равнораспреде-
равнораспределении энергии по степеням свободы (т. е. при hw <C кТ). Будем считать,
что в этом диапазоне коэффициент поглощения одинаков для всех частот и
равен а. В этом же диапазоне мы будем регистрировать проходящее излу-
излучение. Тогда интенсивность можно представить в виде
!«, = BkT, A0)
п с uj2duj ,, „
где В = - величина, учитывающая число включенных сте-
4 J тг2с3
(Ли;)
пеней свободы поля. Дальнейшие расчеты аналогичны приведенным выше.
В результате получим
I = BkT(l~e^aL), A1)
Рассмотренная задача имеет непосредственное отношение к оптиче-
оптической пирометрии — бесконтактному измерению температуры различных
тел. Различные методы дают, вообще говоря, различные значения темпера-
температуры. В частности, можно определить яркосшную температуру: она равна
температуре абсолютно черного тела, имеющего тот же угловой размер и
ту же спектральную энергетическую яркость Вш, что и изучаемое тело.
В соответствии с формулой A1) интенсивность излучения 1^ = ВкТ,
создаваемая бесконечно толстым слоем, совпадает (в выбранном спектраль-
спектральном диапазоне) с интенсивностью излучения абсолютно черного тела. Если
бы мы проводили измерение интенсивности излучения от слоя конечной
толщины, то получили бы эффективную (яркостную) температуру:
Тяр = ТA-е-аЬ), A2)
которая отличается от Т. Чем толще слой вещества, тем точнее мы измерили
бы истинную температуру, т. е. тем ближе значение Тяр к температуре
тела Т.
Задача 11. Используя законы термодинамики, показать, что спек™
тральная плотность энергии равновесного излучения монотонно возрастает
с ростом температуры излучения, иными словами, при Т2 > Т\ для любой
частоты и имеет место неравенство рш{Т2) > рш{Т\).
Решение. Как было показано в гл. 1, спектральная плотность энергии
излучения дается формулой Планка:
_
2с3 e^p(hw/kBT) - 1*
Семинар
335
График этого распределения для двух температур Т\ и Т2, где Т2 > Т\9
показан на рис. 1.8. Из этого рисунка видно, что чем выше температура из-
излучения, тем выше проходит кривая рш. В действительности относительное
расположение кривых Рш(Т\) и рш(Т2) можно установить на основе вто™
рого начала термодинамики, не конкретизируя явный вид функции рш(Т).
В самом деле, пусть в одной емкости содержится равновесное излучение
при температуре Xi, а в другой — при температуре Т2, причем Т\ < Т2.
Приведем эти емкости в контакт через окно с фильтром, пропускающим
излучение с частотой ш в интервале dou (рис. 1).
\
/
/
\
i
т2
/
/
\
Сосуд .
Фильтр
Сосуд 2
Рис. 1. Обмен энергией двух емкостей, содержащих равновесное излучение при
различных температурах Т\ < ТЬ, через фильтр, пропускающий излучение в узком
спектральном диапазоне ш ^ ш + duj
Поскольку плотность потока энергии изотропного излучения равна dq =
= cp^duj/4, суммарный поток энергии в сосуд 1 равен
dq = dq2 - dq! = с[рш(Т2) -
B)
Согласно второму началу термодинамики в формулировке Клаузиуса, невоз-
невозможен самопроизвольный переход тепла от тела менее нагретого к телу
более нагретому (без изменения состояния всех иных тел). Это означает,
что поток энергии должен быть направлен в сосуд, имеющий меньшую
температуру (Ti), т. е. dq > 0. Следовательно, Ри(Т{) < рш{Т2)-
Ввиду произвольности выбранного спектрального диапазона это нера™
венство выполняется для всех частот. Доказанное утверждение означает
также, что кривые рш (Т) для разных температур нигде не пересекаются.
Задача 12. Вывести связь среднеквадратичных отклонений двух фи™
зических величин, операторы которых не коммутируют.
Решение. Пусть физические величины А и В таковы, что коммутатор
представляющих их операторов отличен от нуля:
[1, В] = 1
A)
Операторы А и В должны быть эрмитовыми, поскольку представляют фи-
физические величины, т. е. А+ = А, В+ = В. Множитель г в правой части
336 Семинар
введен с тем, чтобы обеспечить эрмитовость оператора С, G+ = С. При-
Примем, что средние значения величин А и В равны нулю:
(А) = (В) = 0. B)
Если это не так, то достаточно ввести операторы А\ = А ~~ (А) и В\ =
= В — (В), для которых требование B) уже выполняется. Напомним, что
среднее значение определяется как
(А) =
Для упрощения записи промежуточных формул считаем волновую функ™
Г
цию Ф нормированной: Ф ФбИ/ = 1.
Введем оператор Q = ^А + Ш, где ^ — некоторый действительный
параметр. Соответственно в результате эрмитовского сопряжения имеем
Введем функцию параметра ?
ПО = lmr№)dv. C)
Очевидно, что /(?) > 0.
Используя определение эрмитово сопряженного оператора, перепишем
равенство C) в виде
или
/(С) = [ Ф*(С-4 -
= [ф*(С212 + Л2 + гС[1,Б])ШУ = С2(у12> + (Б2>^С(С). E)
Здесь мы использовали равенство A) и ввели средние значения. Учтем
далее, что /(?) > 0 для всех ?. Это значит, что дискриминант квадратного
трехчлена в E) не может быть положительным:
А = (СJ-ЦА2){В2)^0. F)
Отсюда вытекает искомое соотношение неопределенностей:
(А2)(В2)^1(С>2. G)
Семинар
337
В качестве примера положим А = ж, В = рх = —г/г—. Посколь-
dx
ку [ж, рх] = г/г, то С = Н. В качестве неопределенностей координаты и
импульса примем их среднеквадратичные отклонения от средних (равных
нулю):
Тогда из G) немедленно получаем
Ах Ар > h/2.
(8)
(9)
Это соотношение неопределенностей в форме Вейля.
Получим последнее соотношение прямым вычислением. Предположим,
что частица совершает финитное движение, так что ее волновая функция
обращается в нуль на бесконечности:
Ф(^оо) = Ф(+оо) =0.
Считая волновую функцию нормированной:
ОО
f |Ф(ж)|2 dx = l,
A0)
(И)
рассмотрим интеграл
№ =
dx
A2)
где ? — действительный параметр. Перепишем этот интеграл, раскрыв
квадрат модуля:
m= х2|ф(Ж)|2 dx+e
. _ , x dx.
dx dx
A3)
Первый интеграл в правой части с учетом условия нормировки A1)
равен
dx = (х2).
A4)
Второй интеграл в правой части преобразуется путем интегрирования
338
Семинар
по частям:
оо
dx/ —
_e
оо
=0
Вспоминая выражение для оператора импульса, получаем
dx2 h2 \ dx) h2
так что интеграл A5) принимает вид
оо
Г *Pl г / 2\
h2 h? ^ '
-—оо
Третий интеграл в A3) переписывается в виде
A5)
A6)
A7)
-|ОО
I —оо
=о
A8)
Таким образом, приходим к следующему выражению для функции /(?):
Минимальное значение этой функции достигается при условии
2{р2)
и составляет
B0)
B1)
Из определения функции /(?) следует, что
ко > ки > о.
Поэтому из B1) следует соотношение
(х2) (pi) * П2/4.
Поскольку считается, что (х) = 0 и (рх) = 0, то полагая
B2)
B3)
Семинар 339
придадим неравенству B2) обычный вид:
АхАрх > ft/2, B4)
что представляет собой искомое соотношение неопределенностей.
В качестве дополнения найдем, при каком виде волновой функции до-
достигается равенство
АхАрх = ft/2. B5)
Для этого учтем, что это равенство осуществляется при условии, что в
B1) окажется /min = 0. Значение / = /min достигается при ? = ?ш. В силу
неотрицательности подынтегрального выражения в функции /(?) ясно, что
условие /min = 0 может быть выполнено, только если окажется
а:Ф(х)+^ = 0, B6)
dx
где нужно положить ? = ?т из B0). Решая это дифференциальное уравне-
уравнение, получим
B7)
Наконец, учитывая, что при условии B5) окажется
^=4=2(ж2>' B8)
перепишем B7) в виде
(^) B9)
Заметим, что решение B9) дает волновую функцию гармонического
осциллятора в основном состоянии. Именно поэтому использование со™
отношения неопределенностей в форме Вейля дает в случае осциллятора
правильные (вплоть до числовых коэффициентов) оценки значений энер-
энергетических уровней.
3 а д а ч а 13. Исследовать эволюцию локализованного волнового
пакета.
Решение. Требуется решить уравнение Шредингера
% -*.д, A)
dt 2m 2т
с начальным условием
(li + iE!!). B)
340 Семинар
Данное состояние описывает волну, центр которой распространяется со
скоростью v = ро/т9 в чем легко убедиться, вычислив вектор плотности
потока вероятности:
г=0 =
[ ] г0
2тг т
Для решения задачи мы воспользуемся приемом, широко используемым
в Фурье-оптике. Разложим исходный волновой пакет на плоские волны, т. е.
в интеграл Фурье:
C)
f . ..
Др) =
Первое из этих равенств означает, что начальная волновая функция есть
суперпозиция плоских волн егрг^п с коэффициентами /(р). Чтобы найти
временную зависимость этих волн, достаточно учесть, что энергия Е и
импульс р нерелятивистских частиц связаны соотношением Е = р2 /2т.
Соответственно полная запись плоской волны с волновым вектором
k = p/7i имеет вид
Лрг .Et\ Лрг . р2
ехр г— — г— = ехр г?^ — г ——t
\ h h / \ h 2mh
Поскольку каждая волна распространяется независимо от других, в про™
извольный момент суперпозицию можно представить в виде
ФМ) = [/(р)ехр (i^-if-t) -f!-. D)
J V h 2mh У BтгЩл
Чтобы получить решение в замкнутой форме, достаточно подставить сюда
явное выражение для коэффициентов /(р), которые могут быть найдены с
помощью второго равенства в C):
г(ро ^ p)r) dV. E)
Входящий сюда интеграл вычисляется достаточно просто. Для удобства
вычислений обозначим q = ро — р и примем, что вектор q направлен вдоль
Семинар 341
оси ж. Тогда выражение E) можно свести к произведению трех интегралов
Пуассона:
2ё2 п
ею оо ос
Г / х2 , .qx\ , Г / у2 \ , Г / z2
J \ 2S2 h J J V 2ё2 J J V 2<52
Подстановка этого выражения в D) дает
d3p
Ф(Г'^ -" |V-" J ""r x 2h2 J ""r V h ~2mh
Этот интеграл также сводится к интегралам Пуассона:
27Th-2J J V 2П? h 2mh
2(- + —)+*>(* +
V2H2 2га1г
з
рЫ2 \ f г 2
^J ехр [^apz
Здесь временно введены обозначения а = — + ——, о = ^г + ——.
2П? 2mh 2Н 2П?
Дальнейшие вычисления стандартны и приводят к окончательному
результату:
2h2
2^2 1 + iht/mS2 2h
Легко проверить, что найденная функция удовлетворяет как начальному
условию B), так и уравнению A). Однако в такой форме решение не нагляд-
наглядно. Поэтому целесообразно найти распределение вероятностей нахождения
частицы:
W - |ФГ = Щ— ехр ^li^P06/^ . G)
342 Семинар
Здесь было удобно ввести обозначение для характерной ширины волнового
пакета в момент времени t:
8(t) = 5yjl + (ht/mS2J, 8@) = 8. (8)
Таким образом, центр пакета движется со скоростью v = ро/тп, а ши-
ширина растет по закону (8).
Задача 14. Исходя из уравнения Шредингера, провести разделение
движения системы двух частиц на движение их центра масс и относитель-
относительное движение частиц.
Решение. Рассмотрим систему двух частиц, потенциальная энергия
взаимодействия которых зависит только от расстояния г = | i*i — г 2
между ними, U = U(г). Волновая функция теперь зависит от коорди™
нат обеих частиц: Ф = Ф(г]_,Г2). Ее смысл состоит в том, что величина
|Ф(г1, Г2)| dV\dV2 есть вероятность того, что частица 1 находится в эле™
менте объема dV\ в окрестности точки i*i, а частица 2 — в элементе объема
dV'2 в окрестности точки 1*2-
Имея в виду рассмотрение стационарных состояний, мы не выписали
зависимость от времени, которая имеет обычный вид: ~ exp(—iEt/K).
Если массы частиц есть mi и Ш2, то гамильтониан системы оказывается
равным
П2 Д ф Я2 Д
i = Ai, J-2 = А2.
2mi 2
Здесь Ai и А2 — лапласианы, в которых дифференцирование осуществля-
осуществляется по координатам соответственно частиц 1 и 2. В результате мы пришли
к следующему уравнению Шредингера:
h2 ДФ Д2Ф + С/(г)Ф = ЕФ. B)
2т\
Подобно тому, как в механике осуществляется переход от координат
отдельных частиц к координатам центра масс R и относительной коорди-
координате г, этот переход удобно сделать и в нашем случае:
т^ miri + ГП2Г2 /оч
R= , Г = Г1^Г2. C)
mi + ni2
Координаты вектора R обозначим как (X, У, Z), а координаты вектора г —
как (ж, у, z).
Преобразуем слагаемое
2т\ дх2 2тп2 дх2
Семинар 343
в левой части B). Поскольку X = , х = х\ — Х2, то по
7711 + 7712
обычным правилам преобразования производных следует записать
ЭФ _ ЭФ ЭХ ЭФ дх _ пы ЭФ ЭФ
дх\ ЭХ дх\ дх дх\ m\ + rri2 ЭХ дх
Далее находим вторую производную:
Э2Ф _ Э / ЭФ \ ЭХ д ( ЭФ \ дх _
дх2 ЭХ \dxij дх\ дх \дх\ ) дх\
Э2Ф 2т 1 Э2Ф Э2Ф
ЭХ2 Ш1+т2ЭХЭж дх2'
Аналогично получаются производные по переменной ж2:
ЭФ ЭФ ЭХ , ЭФ дх т2 ЭФ ЭФ
= + = — —,
Эж2 ЭХЭж2 дх дх2 Ш1+ш2ЭХ дх
Э2Ф _ / т2 \ Э2Ф _ 2т2 Э2Ф Э2Ф
Эж2 \mi + ni2 J ЭХ2 Ш1+т2ЭХЭж Эх2
Подставляя найденные выражения для вторых производных в D),
получаем
2mi Эж2 2ш2 Эж2 2М ЭХ2 2ц дх2
где введены полная и приведенная массы системы:
Mi т\гп2 ,С\
= mi + Ш2, /i = . F)
т\ -\- ГП2
Аналогично преобразуются производные по координатам у mz.B итоге
мы приходим к следующей форме уравнения Шредингера:
h2 h2
2М 2ц
Оператор
2М
есть оператор кинетической энергии системы как целого, т. е. материальной
точки массы М, находящейся в центре масс системы, а оператор
fr = ^Дг
описывает кинетическую энергию относительного движения частиц си™
стемы. Полученный результат полностью аналогичен соответствующему
утверждению из классической механики.
344 Семинар
Будем искать решение уравнения G) в виде произведения
н(г), (8)
в котором первый множитель описывает движение центра масс, а второй —
относительное движение частиц. Подставляя это выражение в G) и деля
почленно получившееся уравнение на (8), найдем
2М
2/i Фотн
В левой части величины, стоящие в первой и второй квадратных скоб-
скобках зависят от различных переменных. Поэтому для того, чтобы равенство
выполнялось при произвольных значениях координат Миг, необходимо,
чтобы содержимое скобок было постоянным. Это приводит к двум урав-
нениям:
-^ДкФц.м. =Яц.м.Фц.м. A0)
- —ДгФотН + С/(г)Фотн = ^отнФотн- A1)
2ц
Из них первое описывает свободное движение центра масс с кинетиче-
кинетической энергией Ец.м.9 а второе — относительное движение с энергией Еотн
при наличии потенциальной энергии взаимодействия U{r). Очевидно, мы
должны потребовать, чтобы
Ец.М. + Еотн = Е. A2)
Таким образом, мы убедились, что весь анализ, проведенный для про-
простейшей системы двух частиц — атома водорода — был верен, если только
вместо массы электрона использовать приведенную массу частиц. Кроме
того, мы увидели, что центр масс системы частиц, на которую не дей-
действуют внешние силы, движется как свободная частица. Это подтверждает
законность разделения всех степеней свободы системы на "внешние" и
"внутренние". Первые описывают движение системы как целого, а вторые
учитывают изменение внутреннего состояния тела.
Задача 15. Найти положение энергетического уровня в мелкой сим-
симметричной одномерной прямоугольной потенциальной яме.
Решение. Как известно, в бесконечно глубокой прямоугольной по-
потенциальной яме уровни существуют всегда и даются формулой
^ п = 1, 2, 3, ..., A)
Еп п
2maz
где энергия отсчитывается от дна ямы, а величина а — ширина ямы. В мел™
кой яме, когда [/q < ^ь уровень также имеется. Найдем его положение.
Семинар
345
U(x)
-all
all
Искомый уровень отвечает основному состоянию, в котором волновая
функция не имеет узлов и является
симметричной относительно середины
ямы (рис. 1).
Выберем за начало отсчета энергии
положение верхнего края ямы. Тогда
энергия, отвечающая уровню, окажет-
окажется отрицательной, Е < 0. Ввиду сим-
метрии волновой функции достаточно
рассмотреть уравнение Шредингера
+ ^[E
dx2 h2
только для областей II и III.
В области II
^ = 0 B)
-all
all
d ф , ^^Г7т _ | z?|i j. _ q /^\ Рис. 1. Потенциальная яма (а) и
2 ' волновая функция основного состо-
состояния (б). Штриховой линией пока-
зан энергетический уровень
dx2 h2
В области III
2т\Е\ ¦
dx2 h2
Вводя обозначения
D)
=—[Uo-\E\],
2 2m I jp
q = —\E
4 h2 '
перепишем уравнения B), C) в виде
E)
F)
dx2
— - д2ф = 0, х > а/2.
dx2
Соответственно решения этих уравнений есть
ф = А2 cos кх^ —а/2 < х < а/2,
ф = Азе~дх', х > а/2.
Сшивка решений при х = а/2
G)
(8)
ж=а/2+0
346
Семинар
дает
-kA2sin— = -qA
Отсюда следует уравнение для нахождения уровней энергии:
, ка к ^ ~
(9)
A0)
Полученное уравнение удобно переписать в ином виде, используя триго-
ка , ctg (ка/2) , к ^
нометрическое тождество cos — = ± — v ' -— = ± —^=^=. С уче-
2 Vl + t2(fc/2) /к2 + 2
том определений C), D) получаем
Обозначим
7 =
тоа2 [/о
и z = ка/2. Тогда уравнение A0) принимает вид
cosz = jz.
hi)
A2)
A3)
Полученное уравнение удобно исследовать графически (рис. 2, а). До-
Допустимые решения выделяются тем условием, что согласно A0) для них
должно выполняться неравенство ctg z > 0 (рис. 2, б), т. е. аргумент z дол™
жен попадать в диапазоны [0, тг/2], [тг, Зтг/2] и т. д. Зная решение уравнения
A3), легко найти и решение уравнения A0):
A4)
Далее учтем, что в зависимости от глубины ямы (значения вели-
величины Uо) параметр j пробегает согласно A2) значения от 0 до бесконеч™
ности. Соответственно меняется и наклон прямой j z. Однако при всех 7
решение имеется. Это и означает, что в сколь угодно мелкой яме имеется
энергетический уровень.
Найдем в явном виде положение уровня в мелкой яме. Учтем, что z =
= ка/2 <С 1, а параметр 7^1 (глубина ямы U® мала). Поскольку при
малых z имеем cos z и 1 — z2/2, уравнение A3) можно переписать в виде
A5)
Семинар
Рис. 2. Графическое решение уравнения A3). Допустимые диапазоны изменения
переменной z определяются условием ctg z > 0
Будем решать это уравнение методом последовательных приближений.
В низшем приближении положим z^ = 1/7. Тогда в следующем прибли-
(!) 1 А 1 \ / \
жении можно положить zKч = - 1 — — , ил \
Подставляя это выражение в A4) с учетом определения параметра j из A2),
получим
т\2 1 / 1 \
K } = — 1 — — .
} 72 V 72/
Е = --
A6)
(Заметим, что если бы мы ограничились приближением z^ = I/7, то
получили бы решение Е = 0.)
Задача 16. Найти минимальную глубину сферически-симметричной
C-мерной) прямоугольной потенциальной ямы, при которой в ней появля-
появляется энергетический уровень.
Решение. Рассмотрим Замерную яму (рис. 1). Уравнение Шредингера
для частицы в такой яме имеет вид
= 0.
A)
Основное состояние является сферически-симметричным, что позволяет
л / <Рф . 2dip 1 й2{гф) „ , ,
записать Агр = —- + —- = ^л^# Поэтому, вводя функцию и = ггр9
dr2 r dr r dr2
перепишем уравнение A):
— + —\Е — U(r)\ и = 0.
dr2 h2i WJ
B)
348
Семинар
В частности, в областях I и II это уравнение принимает следующий вид:
и" + ?HL\e + Uo] и = 0, 0 < г < Д,
w
2т
C)
Eu = Q, r>R.
Здесь штрих означает дифференцирование по переменной г. Подчеркнем,
что здесь отсчет энергии ведется от верхнего края ямы, так что связанному
состоянию (энергетическому уровню) соответствуют значения энергии Е <
< 0. Введем обозначения
2 = _2т
D)
Тогда решение уравнений C) записываются следующим образом:
и = A sin кг + В cos fcr, 0 < г < Д,
и = Ce^qr, r > К
Далее используем условия сшивки:
E)
а)
б)
в)
\г
и'
г=0 =
=Д-0
r=R^
о,
= U|r=
F)
В этом наборе первое условие возникает
вследствие того, что и = гф. Поскольку по™
тенциальная энергия U(г) всюду конечна,
Рис. 1. к задаче 16. 3-мерная волновая функция ф как решение уравне-
прямоугольная потенциальная ния Щредингера A) также конечна. Соответ-
яма ственно при г —> 0 окажется и = гф -^ 0.
С учетом F а) для решения в области 0 < г < Rb E) оказывается В =
= 0, так что в этой области и = A sin кг. Производя сшивку этого решения
с решением в области г > R с помощью условий F б) и F в), получим
к
Отсюда следует
tgkR = --
Перепишем это уравнение, воспользовавшись тождеством
tg kit i к
sinLR = ±-
tg2 kR
= ±-
G)
(8)
(9)
Семинар
349
где учтены определения величин к и q. Введем обозначения
ив
Тогда задача сводится к нахождению корней уравнения
A0)
tgz < 0.
A1)
Далее удобно исследовать решение графически (рис. 2). Как видно из
рис. 2, а, решение, удовлетворяющее требованию tg z < 0 (рис. 2, б), появ™
ляется, только если наклон прямой j z достаточно мал:
7 "^ 7тах — ~~ *
7Г
A2)
тг/2
Рис. 2. Графическое решение уравнения A1). Допустимыми являются интервалы,
для которых tgz < 0
С учетом определения величины 7 в A0) отсюда находим условие появления
энергетического уровня в трехмерной яме:
и > итЫ =
8mR2
A3)
При значении U = Um-m уровень приходится на значение энергии
Е = 0.
Таким образом, в трехмерной яме уровень может возникнуть, только
если глубина ямы достаточно велика.
350 Семинар
Задача 17. Получить точное решение задачи об энергетических уров-
уровнях атома водорода, учитывающее орбитальный момент электрона.
Решение. В гл. 6 задача об энергетических уровнях водородоподоб-
ного атома была решена для случая сферически-симметричных состояний.
В гл. 7 энергетические уровни были найдены с учетом орбитального момен-
момента электрона. Однако в последнем случае мы использовали подход, осно-
основанный на квазиклассическом приближении. Ниже дается решение постав-
поставленной задачи на основе уравнения Шредингера. В главных чертах метод
аналогичен тому, что был использован в гл. 6.
Запишем уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода:
Н'ф = Еф} A)
где гамильтониан дается выражением
О2 Р2
Н = *--*-. B)
2т г
Для перехода к случаю атома с одним электроном и зарядом ядра Ze
достаточно во всех дальнейших формулах заменить е2 —>• Ze2.
Согласно сказанному в гл. 7 оператор кинетической энергии можно
представить в виде
2т 2т 2mrz
где
^ = ^Й2АГ,
D)
L2 П2 Л П2
о 9 о 9 ' г о 9
2тгл 2тгА 2тгл
а/. ла\ , 1 a2
дв/ sin2 в d(f
Будем искать решение уравнения A) в виде
Р), E)
где 6,(р — угловые переменные сферической системы координат. Рассмат-
Рассматривая состояния с определенным значением углового момента и имея в
виду, что оператор L действует только на угловые переменные, мы должны
положить
Ъ2ф = 1A + 1)ф, F)
или
l2Y(e,ip) = i(i + i)Y(e,v). G)
Явный вид функций FF>, (p) для нас сейчас не представляет интереса.
Важно то, что эти функции явно зависят от магнитного квантового числа т,
определяющего проекцию углового момента на выделенную ось. Однако от
Семинар 351
этого числа не зависят собственные значения оператора L2, и следователь-
следовательно, собственные значения гамильтониана, т. е. спектр возможных значений
энергии электрона. Как говорят, имеет место вырождение энергетического
спектра по магнитному квантовому числу: при заданном значении I значе™
ния энергии одинаковы при всех допустимых значениях га.
С учетом сказанного уравнение Шредингера для радиальной части вол-
волновой функции R(r) принимает вид
)г) + U(r) = ER(r). (8)
ArR(r) + Д(
2т 2тг2
1л Л о d2R , 2dR
Имея в виду, что радиальная часть лапласиана равна АГЯ = + ,
dr2 r dr
мы приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению:
2 dR + 2m fE + е^ h4(l +1I R = Q (())
dr2 r dr h2 L r 2mr2 J
Для удобства дальнейших вычислений преобразуем это уравнение. Бу-
Будем измерять длины в единицах боровского радиуса а, а энергии — в едини-
единицах энергии 1-й боровской орбиты. Иными словами, введем безразмерные
переменные
г Е
а Е\ те2 2%2
Кроме того, имея в виду, что энергия электрона в атоме отрицательна, вве-
введем обозначение
?=-rf. A1)
В обозначениях A0), A1) уравнение (9) принимает вид
dp2 р dp [
Наконец, введем функцию
u(p)=pR(p). A3)
В результате мы приходим к следующему уравнению:
d2u
1?
= 0. A4)
Прежде всего, нетрудно установить асимптотику решения этого уравне-
уравнения при р —> оо. Для этого достаточно отбросить второе и третье слагаемые
в квадратных скобках и решить получившееся простое дифференциальное
352 Семинар
уравнение второго порядка:
и" - rfu = 0;
A5)
Второе решение уравнения отброшено, поскольку оно экспоненциально
растет при р —> оо.
Далее введем функцию w(p) соотношением
и(р) = e^pw(p). A6)
Подставляя A6) в A4), получим уравнение для w(p):
d4>_ <Ы + [2 _ 1A +
7 9*7 9
ф^ dp [р р^
Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
Подстановка этого ряда в уравнение A7) дает
!ОО (X)
^к{к + а){к + а^1)рк~2^2г]^к{к + а)рк-Ч
к=0 к=0
+ X>fc[2p*-1-Z(Z + l)/-2] \ =0. A9)
При fc = 0 в фигурных скобках имеется слагаемое, пропорциональное l/p2.
Коэффициент при нем должен быть равен нулю:
ао[а(а-1)-1A + 1)] =0. B0)
Решение этого уравнения позволяет найти величину а:
а = 1 + 1. B1)
Второе решение а = —I дает неограниченное при р —> 0 решение ги ~
^ р^г, i? ~ р~(г+1) и должно быть отброшено. Для нахождения коэффи-
коэффициентов а^ перегруппируем остальные члены ряда:
оо
ра J2 1ак(к + о- + l)(fc + a)-2r]ak(k + а) + 2ак - 1A + 1)ак+1] рк~г = 0.
fe=0
B2)
Семинар 353
Поскольку левая часть этого равенства должна обращаться в нуль тожде-
тождественно, т. е. при всех р, нужно приравнять нулю коэффициенты при всех
степенях р:
ак+1{к + а + 1H + а) - 2г]ак(к + а) + 2ак - 1A + l)ak+i = О.
Это приводит к рекуррентному соотношению, связывающему коэффици-
коэффициенты ак:
ak+i = — - - ак. B3)
{к + ст + 1){к + ст)-1{1 + 1)
Если ряд A8) нигде не обрывается, т. е. все коэффициенты ак отличны
от нуля, то при к —> оо имеем
Последнее соотношение означает, что при больших значениях к коэффи-
циенты ряда A8) ведут себя как ак ~ у и . Учтем, что все коэффициенты
ак при больших к имеют одинаковый знак и, кроме того, разложение экс-
00 хк
поненты в ряд Маклорена имеет вид ех = ]Р —. Тогда с точностью до
к=0 к\
поправок, меняющихся по степенному закону, при больших значениях р
окажется w ^ ехр(-\-2г]р). Это значит, что функция и(р) экспоненциаль-
экспоненциально возрастает: и(р) = e~7]Pw(p) ~ ёпр. Такое поведение недопустимо,
поскольку волновая функция должна быть ограниченной. Следовательно,
ряд A8) обрывается, т. е. существует некоторое максимальное значение
к = пГ9 для которого окажется аПг+\ = 0. Все последующие коэффициен-
коэффициенты akj к > пг + 1, согласно B3) также обращаются в нуль. При этом из
формулы B3) следует
г] (пг + а) - 1 = 0, или г) = . B4)
Пг + I + 1
Последнее равенство с учетом обозначений A0), A1) может быть перепи-
переписано в виде
Е = - ^ = ^— -1. B5)
(пг-Н + 1J 2П? п2
Здесь введено обозначение для главного квантового числа
п = пг + 1 + 1. B6)
Радиальное квантовое число пг указывает число отличных от нуля чле-
членов ряда A8), а также число узлов (нулей) радиальной части волновой
функции. По своему смыслу величина пт пробегает целочисленный ряд
значений
пг = 0, 1, 2, ... B7)
354 Семинар
Поскольку пг ^ О, I ^ 0, то согласно B6) главное квантовое число может
принимать тоже только целые положительные значения:
гс = 1, 2, 3, ... B8)
Заметим, что выражение для радиальной части волновой функции
имеет вид
n1l
nl(p), тп1(р)=рш V акрК B9)
Явный вид этой функции зависит от значений главного квантового числа п
и момента I. Для основного состояния атома водорода, отвечающего ми-
минимальному значению главного квантового числа (т. е. при I = 0, пг = О,
п = 1), из B9) следует
Rio(p)=aoe-r">. C0)
Обратим внимание на тот удивительный факт, что последовательная тео-
теория атома водорода, основанная на точном решении уравнения
Шредингера, привела в конечном итоге к тому набору значений энергии
B5), что и элементарная боровская теория, а также квазиклассическое при™
ближение.
Задача 18. Получить распределение Планка исходя из представления
о спонтанных и вынужденных переходах в двухуровневой системе.
Решение. Пусть в системе имеется N2 атомов, находящихся в со-
состоянии с энергией Е2, и N\ атомов в состоянии с энергией Е\ь Е2 > Е\.
В состоянии равновесия число переходов в прямом направлении Е2 —> Е\
равно числу переходов в обратном направлении Е\ —> Е2. Число спои™
тайных переходов Е^ —> Е\ в единицу времени равно/Ь].^, число вы™
нужденных переходов в том же направлении — Е» 21 Аи ^2? а в обратном
направлении — ВиРшЩ. Здесь рш — спектральная плотность энергии
излучения. С учетом этого условие равновесия записывается в виде
A21N2 + B2lPujN2 = В12РшМъ A)
Распределение атомов по уровням энергии определяется распределение
ем Больцмана:
(^) B)
где gi — кратность вырождения г-го уровня, А — нормировочная постоян-
постоянная. Поэтому из A) следует
N1 gl
Семинар 355
Здесь учтено, что huu = Е2^Е\ — энергия кванта излучения, поглощаемого
или испускаемого при переходе. Тогда из A) следует
Bl2e^ ( s21
g2 \kBTj
При высоких температурах (квТ^> Тшо) излучение будет содержать мно-
много фотонов (плотность энергии излучения рш велика). Поэтому вероятности
индуцированных переходов (Вчхрш и В\2рш) будут много больше вероят-
вероятности спонтанных переходов {А21). Поскольку коэффициенты Эйнштейна
не зависят от температуры, при высоких температурах
Ni gl V kBTJ gl
Из этих соотношений вытекает связь коэффициентов Эйнштейна:
g2B2i =giB12. F)
Это позволяет переписать формулу D) в виде
G)
Рш
B2i ехр (Пы/квТ) -
При высоких температурах отсюда следует
_ A2i квт
р
С другой стороны, при таких температурах имеет место распределение
Рэлея - Джинса:
^ (9)
7Г2С3
Сравнение выражений (8) и (9) для рш показывает, что
-^21 ш ъ /1А\
= пш. A0)
Б21 7Г2С3
Подстановка этого выражения в G) приводит к формуле Планка:
— ПиK г
Ри) ~ A3 ехр (п^/квТ) - 1 *
356 Семинар
Обратим внимание на то, что отношение вероятностей индуцирование-
го и спонтанного испускания, в соответствии с G), равно
VFcnoH A21
Здесь пш — среднее число заполнения, даваемое распределением Планка:
пш = * . A3)
Утверждение, содержащееся в формуле A2), вполне естественно. В са-
самом деле, чем больше пШ9 тем больше фотонов в среде и тем более ве-
вероятны вынужденные переходы по сравнению с переходами спонтанны™
ми. Соотношение A2) показывает также, что не существует ситуаций, ко-
когда присутствуют только спонтанные или только вынужденные переходы:
оба типа процессов всегда существуют одновременно, хотя и с различной
вероятностью.
Рассмотренный вывод формулы Планка предложен А. Эйнштейном в
1916 г. Этот подход впоследствии привел к возникновению квантовой элек-
электроники.
3 ад ач а 19. Получить спектральное распределение излучения, созда-
создаваемого ансамблем частиц при переходах между уровнями Е2 и Е\, уста™
навливающееся благодаря эффекту Доплера в газе с максвелловским рас-
распределением частиц по скоростям.
Решение. Допустим сначала, что естественная ширина линии пре-
пренебрежимо мала. В этом случае, если бы атомы не испытывали отдачи, то
они создавали бы монохроматическое излучение с частотой
Е2-Е1 = Нш0. A)
Поэтому исходное спектральное распределение можно было бы предста-
представить в виде
G^(co) = S(u-u0). B)
Если излучающий атом движется со скоростью v, то вследствие эффекта
Доплера приемник будет наблюдать частоту излучения, равную
Dq=do + kv, C)
где волновой вектор имеет длину к = ujq/c (cm. задачу 4). Здесь учтено, что
характерные скорости атомов и<с.
Семинар
357
В газе вероятности различных скоростей атомов даются распределением
Максвелла:
Здесь п — число атомов в единице объема газа, а функция /(v) удовлетво-
удовлетворяет условию нормировки:
E)
в котором интегрирование по каждой из компонент скорости (vX9 vy, vz)
производится в пределах от ^оо до +оо. Как следствие форм-фактор излу™
чения ансамбля атомов окажется равным
-и0- kv)/(v)d3t;.
F)
Для вычисления этого интеграла выберем ось х в направлении вектора к.
Тогда (!)-функция не содержит переменных vy и vz, и интеграл по этим
переменным легко вычисляется. В результате получаем
1/2
8{ш - шо - kvx) exp (-^|) dvx. G)
Этот интеграл уже вычисляется, исходя из свойств 5-функции, что дает
ехр
(ш -
(8)
Вошедшая в эту формулу величина
Ао;д = кит = ojq —
(9)
имеет смысл характерной ширины спектра и описывает доплеровское уши™
рение спектра, связанное с тепловым движением атомов газа. Здесь введено
обозначение
/ 2kT /1 /л\
(Ю)
358 Семинар
для наиболее вероятной скорости молекул, отвечающей максимуму функ-
функции распределения атомов по абсолютной величине скорости
Ф(у) = 47TV2f{v) = 4тг (^—) v2 exp
2жквт) \ 2kBTj '
Выражение (8) описывает так называемую гауссову форму спектраль-
спектральной линии с шириной (9). Условие нормировки выполнено:
ОО ОО
Г Г 1 Г
G^(u)du = exp —
J J Аа;д^ L
(Ао;дJ
A1)
Гауссова форма получена в предположении, что естественная ширина
линии пренебрежимо мала:
Ашес < До;д. A2)
Если это неравенство не выполняется, то форма линии имеет вид, проме-
промежуточный между лоренцевской и гауссовой. Явный вид форм-фактора для
этого случая может быть установлен, если учесть, что исходной является
лоренцевская форма
G0(uj) = ^ 1 , A3)
2тг (ш~и;оJ + (Д/2J
в которой Aujq — естественная ширина. Для учета эффекта Доплера мы
должны, во-первых, заменить частоту ш® на ш® в соответствии с C), что
дает форм-фактор
GoM = — • A4)
2тг (ш ~~ шо ~~ kvJ + (Ашо/2J
А во-вторых, нужно произвести усреднение по всем скоростям атомов:
A5)
Выбирая ось х вдоль волнового вектора к и выполняя интегрирование
по компонентам скорости vy и vZ9 получим
1/2
2ттквт1 2тг J (uj^ujo^kvxJ + (Aujo/2J
Семинар 359
Если условие A2) выполняется, то это выражение сводится к (8). Действи-
Действительно, подынтегральное выражение при этом содержит медленно меняю-
меняющийся множитель
exp (-mvl/2kBT) , A7)
тогда как другой множитель
[(uj ^ш0^ kvxf + (Дшо/2J] ~г, A8)
напротив, меняется быстро. Поэтому, вынося из-под знака интеграла мно-
множитель A7) при значении vx = (и — ujq)/к и вычисляя оставшийся
интеграл,
сю
dvr 2тг
{uj-ujq- kvxJ + (Ашо/2J
-—сю
приходим к гауссовой форме линии (8).
В обратном случае Aa;ec ^> Д^д мы получаем лоренцевский контур:
множитель A8) меняется медленно и может быть вынесен из-под знака
интеграла при значении vx = 0. Остающийся интеграл вычисляется просто:
exp {-mvzx 2квТ) dvx = ^^- , B0)
и мы получаем контур A3).
В промежуточных случаях Aa;ec ~ ^ид входящий в A5) интеграл
не выражается в элементарных функциях, но в каждом конкретном случае
нетрудно найти его численное значение.
Учебное издание
КАРЛОВ Николай Васильевич
КИРИЧЕНКО Николай Александрович
НАЧАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Редактор О.А. Пекина
Оригинал-макет: В.И. Шутов
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 28.09.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 22,5. Уч.-изд. л. 29,25. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Московская типография № 6»
115088, Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24
ISBN 5-9221-0538-8
785922053в5